Oplossen van vergelijkingen

Het oplossen van vergelijkingen is een term uit de wiskunde die aangeeft hoe de waarde(n) van onbekenden bepaald worden uit een of meer vergelijkingen. Een vergelijking bestaat daarbij uit twee wiskundige uitdrukkingen die aan elkaar gelijkgesteld zijn.

Oplossen van algebraïsche vergelijkingen 
Algebraïsche vergelijkingen heten oplosbaar door middel van worteltrekking als het mogelijk is de oplossingen van deze vergelijkingen te berekenen door uitsluitend gebruik te maken van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. Voor de vergelijkingen van graad een tot vier bestaan er inderdaad dergelijke oplossingsmethodes. Voor vergelijkingen van graad vijf of hoger bestaan zulke algemene oplossingsmethodes niet. Wel kunnen benaderingsmethodes gebruikt worden, of kunnen er speciale methodes gebruikt worden, die op zijn minst in sommige gevallen resultaat opleveren.

Oplossingsmethode per type algebraïsche vergelijking 
Dat we weten dat iedere polynoomvergelijking van de  n-de graad n complexe wortels heeft, geeft nog geen expliciete uitdrukking voor die wortels.

Voor n = 1 is de oplossing eenvoudig: de polynoomvergelijking ax + b = 0 met (a ≠ 0) heeft de wortel −b/a.

Voor n = 2 wisten Arabische geleerden uit de Middeleeuwen al dat de polynoom ax2 + bx + c (a ≠ 0) met reële coëfficiënten (een kwadratische functie) geen, een of twee reële nulpunten heeft al naargelang de discriminant  negatief, 0 of positief is. In het algemene, complexe geval hebben de twee nulpunten de waarden

 

(zie verder vierkantsvergelijking) 

Voor n = 3 en n = 4 bestaan sinds de Renaissance gelijkaardige, zij het wat ingewikkelder, expliciete oplossingsmethoden, zie bijvoorbeeld de derdegraadsvergelijking. Lange tijd bleven wiskundigen zich het hoofd breken over de algemene oplossingsmethode van de vijfdegraadsvergelijking, totdat Niels Henrik Abel bewees dat een dergelijke oplossingsmethode niet bestaat. Moderne bewijzen van de stelling van Abel worden meestal gegeven aan de hand van de Galoistheorie.

Voorbeeld, balansmethode 
Gegeven is de functie . Bereken de coördinaten van het snijpunt A van de grafiek van de functie met de x-as.
 1. In het punt A geldt ; dus:

 2. Van beide kanten  aftrekken:

 3. Beide kanten delen door :    

 4. Controle:

 5. Conclusie:
De grafiek van de functie  snijdt de x-as in het punt A = (-3, 0).

Deze manier van oplossen van een vergelijking wordt ook wel de balansmethode genoemd. De waarde links en rechts van het gelijkteken moet in balans blijven. Anders gezegd: er moet telkens eenzelfde type bewerking op beide leden van de vergelijking worden toegepast.

Twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden
In de wiskunde gebruiken we vergelijkingen bijvoorbeeld om een kromme in een tweedimensionaal coördinatensysteem vast te leggen. 

Voor het vastleggen van een lijn in een 2-dimensionaal systeem wordt een lineaire vergelijking gebruikt. Om het snijpunt van 2 lijnen te berekenen moet de oplossing worden gezocht van twee lineaire vergelijkingen met twee onbekenden. Elk van beide lijnen wordt namelijk gerepresenteerd door een lineaire betrekking tussen de coördinaten x en y. Het snijpunt van de beide lijnen heeft coördinaten x en y die aan beide vergelijkingen voldoen. 

Met uitzondering van evenwijdige lijnen, hebben twee rechte lijnen altijd een snijpunt. Als we het snijpunt willen weten, kunnen we de grafiek tekenen, maar dat kost erg veel tijd en veel papier als het snijpunt erg "ver" ligt. Om het snijpunt te vinden is het handiger de twee lineaire vergelijkingen op te lossen.

Voorbeeld 
Beschouw twee lijnen die  zijn gegeven door de betrekkingen:  en . Om het snijpunt te vinden vatten we deze betrekkingen op als twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y, die nu de coördinaten van het snijpunt voorstellen:

 

Er zijn verschillende systematische oplossingsmethoden voor zulke vergelijkingen. Omdat hier voor y al twee uitdrukkingen staan, ligt het voor de hand om die aan elkaar gelijk te stellen en y te elimineren:

,

waaruit direct volgt:
.

Door deze waarde in te vullen in een van de beide vergelijkingen, vinden we:
.

Het punt  is dus het gezochte snijpunt.

Derdegraadsvergelijking 
Het oplossen van de derde- en vierdegraadsvergelijkingen gaat met behulp van elementaire symmetrische polynomen. Voor derdegraadsvergelijkingen leidt dit tot de formule van Cardano.

Irrationale vergelijkingen oplossen over het lichaam/veld van de reële getallen 
Een irrationale vergelijking is een vergelijking waarin de onbekende onder een wortelteken voorkomt. 

Zo zijn  en  irrationale vergelijkingen, terwijl de vergelijking  dat niet is.

Gelijkwaardige vergelijkingen en kwadrateren 
Twee vergelijkingen heten gelijkwaardig als ze dezelfde oplossingenverzameling hebben. Zo zijn de vergelijkingen  en  gelijkwaardig. Die gelijkwaardigheid wordt aangeduid met het symbool "  ". Dus .

Als beide leden van een vergelijking gekwadrateerd worden, krijgt men een nieuwe vergelijking die heel dikwijls niet gelijkwaardig is met de oorspronkelijke. De vergelijkingen  en  zijn niet gelijkwaardig. Elke oplossing van de eerste is ook oplossing van de tweede, maar niet omgekeerd. Dit wordt symbolisch weergegeven door de uitdrukking . De "gekwadrateerde" vergelijking heeft de oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking, maar over het algemeen heeft die vergelijking er nog andere. 

Een vergelijking wordt veelal opgelost door achtereenvolgens de vergelijking te vervangen door gelijkwaardige vergelijkingen tot de oplossing voor de hand ligt.

Oplossen van irrationale vergelijkingen

Voorbeeld 1 
Los op: 

Om de vergelijking op te lossen moeten de wortelvormen weggewerkt worden. Als beide leden gekwadrateerd worden is er al een wortelvorm minder maar de nieuwe vergelijking kan meer oplossingen hebben dan de oorspronkelijke. Dit probleem kan vermeden worden door voorwaarden in de vorm van ongelijkheden aan de berekeningen toe te voegen, bv. . Een andere methode is de nu volgende. De voorwaarden worden weggelaten maar we onthouden dat we uiteindelijk waarden voor x kunnen vinden die geen oplossing zijn van de gegeven vergelijking. Men noemt dit parasitaire oplossingen. Het is voldoende alle gevonden oplossingen te testen in de gegeven vergelijking om de parasitaire oplossingen van de echte oplossingen te scheiden.
In dit voorbeeld krijgt men :
 

Nogmaals beide leden kwadrateren en dan uitwerken. Er komt 

De oplossingen van die laatste vergelijking zijn  en . Deze oplossingen worden nu getest in de gegeven vergelijking. Alleen  is de enige oplossing van de oorspronkelijke vergelijking, de waarde 86 is een parasitaire oplossing en moet geschrapt worden.

Voorbeeld 2 
Los op: 
 
Voor reële getallen  en  is de vergelijking  gelijkwaardig met . Dit betekent dat het probleem omtrent de parasitaire oplossingen, dat zich voordoet in het vorige voorbeeld, hier niet kan optreden. Er geldt dus:

Voorbeeld 3 
Los op:  

Isoleer eerst de wortelvorm:
 
 

Na uitwerken en vereenvoudigen vindt men x = 5. Het is niet omdat dit de enige oplossing van die laatste vergelijking is, 
dat dit geen parasitaire oplossing kan zijn. Dus we toetsen 5 aan de gegeven vergelijking en zien dat het een echte oplossing is

Goniometrische vergelijkingen 
Een goniometrische vergelijking is een vergelijking waarbij een onbekende deel uitmaakt van het argument van een of meer goniometrische functies.

Voorbeelden:

Strategie 
We starten met vier basisvaststellingen. Daarna wordt aangetoond dat heel veel goniometrische 
vergelijkingen opgelost kunnen worden door ze te herleiden tot een van deze basisvormen.

De vier basisvaststellingen 

Met behulp van een goniometrische cirkel kan ingezien worden dat voor variabelen u en v geldt:
 
 
  voor een   op voorwaarde dat  bestaan.
  voor een  op voorwaarde dat  bestaan.

Vergelijkingen die rechtstreeks tot de basisvormen kunnen herleid worden 
Voorbeeld 1:

Met elke waarde van k correspondeert een oplossing van de vergelijking.

Voorbeeld 2: 

Voorbeeld 3:

op voorwaarde dat 

Maar  bestaat niet voor  !

Dus de opgegeven vergelijking heeft geen oplossingen!

Een hulponbekende gebruiken 
Sommige vergelijkingen kunnen door middel van een substitutie herleid worden tot een algebraïsche vergelijking. Nadat de algebraïsche vergelijking is opgelost, kan men veel gemakkelijker de oplossingen van de goniometrische vergelijking vinden.

Voorbeeld:
.
      
Stel 

en dit kan gemakkelijk tot de basisvorm 
 gebracht worden.

Soms kan een vergelijking eerst aangepast worden, zodat ze pas na een paar stappen tot een algebraïsche vergelijking te herleiden is.

Voorbeeld:

Stel nu  .

Ontbinden in factoren 
Als men erin slaagt een op nul herleide vergelijking te ontbinden in factoren, valt de vergelijking uiteen in eenvoudiger vergelijkingen.

Voorbeeld:

.

Homogene vergelijkingen 
We beschouwen vergelijkingen die  homogeen zijn in sin(u) en cos(u).

Procedure:
 Breng alle termen  naar het linker lid en ontbind dit lid, indien mogelijk, in factoren. De vergelijking valt dan uiteen in een of meer homogene vergelijkingen. Ze worden afzonderlijk opgelost.
 Deel de vergelijking  door een gepaste macht van cos(u), zodat nog enkel tan(u) voorkomt. De bekomen vergelijking kan verder opgelost worden met behulp van een hulponbekende t.

Voorbeeld : 

De eerste factor  geeft 

In het tweede deel delen we door . We krijgen :

Deze vergelijking kan verder opgelost worden met een  hulponbekende

Vergelijkingen van de vorm  a·sin(u) + b·cos(u) = c 
Gebruik de  t-formules.

Voorbeeld : 
                   
Stel .  

Er komt dan een algebraïsche vergelijking in t die verder kan opgelost worden.

Andere vergelijkingen
Sommige vergelijkingen kunnen opgelost worden door verschillende besproken methodes op een gepaste manier te combineren. Bovendien moeten dikwijls omvormingen toegepast worden gebruik makend van gepaste goniometrische formules. Het is begrijpelijk dat ervaring en inzicht hierbij een grote rol spelen.

Zie ook 
Stelsel van lineaire vergelijkingen
Methode van Jacobi
Differentievergelijking
Diofantische vergelijking

Algebra