Hilbertraum

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist ein Hilbertraum (Hilbert‧raum, auch Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum), benannt nach dem deutschen Mathematiker David Hilbert, ein Vektorraum über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen, versehen mit einem Skalarprodukt – und damit Winkel- und Längenbegriffen –, der vollständig bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten Norm (des Längenbegriffs) ist. Ein Hilbertraum ist ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist. Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem Prähilbertraum.

Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine Hilbertraumdimension. Diese kann eine beliebige Kardinalzahl sein. Ist die Dimension endlich und betrachtet man als Körper die reellen Zahlen, so handelt es sich um einen euklidischen Raum. In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik, ist „der“ Hilbertraum mit abzählbarer Dimension, d. h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. Ein Element eines Hilbertraums kann als eine Familie einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen kartesische Koordinaten genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer Hamelbasis ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in abzählbar vielen Koordinaten einer Orthonormalbasis ungleich null und die Koordinatenfamilie ist quadratsummabel.

Hilberträume tragen durch ihr Skalarprodukt eine topologische Struktur. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von Normen bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen.

Definition 
Ein Hilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum  mit einem Skalarprodukt , der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert. Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum.

Im Folgenden sei das Skalarprodukt linear im zweiten und semilinear im ersten Argument, d. h. ist  ein komplexer Vektorraum und sind  Vektoren und  ein Skalar (komplexe Zahl), so ist
 und .
In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt.

Bedeutung 
Hilberträume spielen in der Funktionalanalysis, speziell in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen, und damit auch in der Physik eine große Rolle. Ein Beispiel ist die Quantenmechanik, wo reine Zustände eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur.

Beispiele für Hilberträume 
 Der Koordinatenraum  mit dem reellen Standardskalarprodukt .

 Der Koordinatenraum  mit dem komplexen Standardskalarprodukt .

 Der Matrizenraum  der reellen oder komplexen Matrizen mit dem Frobenius-Skalarprodukt.

 Der Folgenraum  aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle separablen unendlichdimensionalen Hilberträume isometrisch isomorph zu  sind.

 Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen  mit dem Skalarprodukt . Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über Lp-Räume.

 Der Raum  der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu  betrachte man die Funktionen  mit . Durch das Skalarprodukt  wird der Raum  (der von den Funktionen  aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die Vervollständigung  dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel.

 Der Sobolev-Raum  für alle  und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen.

 Der Raum  der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

 Für  sind der Hardy-Raum  und der reelle Hardy-Raum  Hilberträume.

Orthogonalität und Orthogonalsysteme 
Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. Unter den Orthogonalsystemen spielen die Orthogonalbasen eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. Äquivalent dazu ist, dass die lineare Hülle im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen keine Basis im üblichen Sinn der linearen Algebra (Hamelbasis). Sind diese Basisvektoren darüber hinaus so normiert, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis.
Die Vektoren
 bilden also genau dann ein Orthonormalsystem, wenn  für alle . Dabei ist  das Kronecker-Delta.

Mittels des Lemmas von Zorn lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden).

Pythagoreische Identität 
Für orthogonale Vektoren  in einem Hilbert-Raum gilt die pythagoreische Identität

Unterräume 
Ein Unterhilbertraum oder Teilhilbertraum eines Hilbertraums ist eine Teilmenge, die mit der Skalarmultiplikation, Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein Untervektorraum ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne abgeschlossen ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als abgeschlossene Unterräume bzw. abgeschlossene Teilräume und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als Unterräume bzw. Teilräume. Ein solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als dichter Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner Vervollständigung. Auch ist es möglich einen Quotientenraum bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist.

Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige Banachräume, wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber normierte Räume sind. Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des Projektionssatzes: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das orthogonale Komplement, und das Konzept der Orthogonalprojektion. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein komplementärer Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum.

Konjugierter Hilbertraum 
Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und konjugiert linear in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum  wie folgt einen weiteren Hilbertraum  definieren. Als Menge ist , auch die Addition auf  wird von  übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für  werden wie folgt erklärt:
skalare Multiplikation: 
Skalarprodukt: .
Man prüft nach, dass  mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den konjugierten Hilbertraum. Der zu  konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder .

Operatoren zwischen Hilberträumen 

Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt lineare Abbildungen, im Folgenden lineare Operatoren genannt.

Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der stetigen Operatoren, die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators. Eine stärkere Einschränkung ist die der Kompaktheit. Die Schattenklassen sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und Operatortopologien definiert.

Unitäre Operatoren liefern einen natürlichen Isomorphismenbegriff für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der Kategorie der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als Morphismen. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der adjungierte Operator zu einem linearen Operator von  nach  als linearer Operator von  nach  verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator kommutiert, solche Operatoren bilden die Klasse der normalen Operatoren. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem selbstadjungierten Operator.

Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden eingeschränkt auf Operatoren auf einem einzigen Hilbertraum Operatoralgebren. Mit der Adjungierung als Involution, unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar involutive Banachalgebren. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der Operatornorm bilden eine C*-Algebra.

Klassifikation 

Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind gleichmächtig. Die Kardinalität einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche Hilbertraumdimension oder kurz Dimension genannt wird. Je zwei Hilberträume mit derselben Dimension sind isomorph: Man erhält einen Isomorphismus, indem man eine Bijektion zwischen einer Orthonormalbasis des einen und einer Orthonormalbasis des anderen eindeutig zu einem stetigen linearen Operator zwischen den Räumen fortsetzt. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. Tatsächlich gibt es zu jeder Kardinalzahl einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum  (wobei  eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst):
,
wobei  oder  und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur abzählbar viele Summanden ungleich  sind (vgl. unbedingte Konvergenz). Dieser Raum wird versehen mit dem Skalarprodukt
,
welches wohldefiniert ist. Die Vektoren  mit  bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes . Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum  für passendes  ist als Satz von Fischer-Riesz bekannt.

Dualraum 
Der topologische Dualraum  der stetigen, linearen Funktionale auf einem Hilbertraum  ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der Satz von Fréchet-Riesz: Jeder reelle Hilbertraum  ist mittels des isometrischen Vektorraumisomorphismus  isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur semilinear, das heißt ein antiunitärer Operator. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator  lässt sich nämlich in einen unitären Operator  und einen antiunitären Operator  zerlegen), und somit erst recht zu seinem Bidualraum, jeder Hilbertraum ist also reflexiv.

Fourierkoeffizient 
Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über  bzw.  und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei  eine Orthonormalbasis und  ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da  eine Hilbertraumbasis des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten  bzw. , so dass

ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als

,

da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der -te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch Fourierkoeffizienten genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der Fourieranalyse darstellen.

RKHS 
Wenn man einen Hilbertraum mit einem Kern assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker Stanisław Zaremba erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim Maschinenlernen.

Hilberträume in der Quantenmechanik 
Die Axiome der Quantenmechanik besagen, dass die Menge der möglichen Zustände eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine Linearkombination von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt  zwischen zwei Zuständen  und  definiert, dessen Betragsquadrat nach der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System, das sich im Zustand  befindet, bei einer Messung im Zustand  vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der Dirac-Notation.) Ist in der Physik also die Rede von dem Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint.

Beispiele sind
 die möglichen Wellenfunktionen eines freien Teilchens bilden den Hilbertraum  aller quadratintegrablen Funktionen  mit dem üblichen -Skalarprodukt .
 die möglichen Spinzustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum  mit dem komplexen Standardskalarprodukt auf.

Trivia 
An mehreren Universitäten des deutschsprachigen Raumes gibt es als „Hilbertraum“ bezeichnete Räumlichkeiten.

Literatur 
 Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII.
 Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Band 1: Elementary Theory. Academic Press, New York NY 1983, ISBN 0-12-393301-3 (Pure and Applied Mathematics 100, 1), Kapitel 2: Basics of Hilbert Space and Linear Operators.

Siehe auch 
 Besselsche Ungleichung
 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
 Hilbertraumbasis
 Hilbertraum-Tensorprodukt
 Parallelogrammgleichung
 Parsevalsche Gleichung
 Peetre-Ungleichung

Einzelnachweise 

Skalarproduktraum
Funktionalanalysis
David Hilbert als Namensgeber