Wielomian

Wielomian (inaczej suma algebraiczna) – wyrażenie algebraiczne będące sumą jednomianów; używane w wielu działach matematyki. Przykładowo w analizie matematycznej pomocne jest przedstawienie funkcji danego rodzaju w postaci ciągu wielomianów (bądź szeregu), w algebrze są one centralnym punktem zainteresowań w teorii Galois, a stąd służą w geometrii jako środek dowodowy przy wykazywaniu konstruowalności różnych obiektów; służą też kodowaniu własności rozmaitych obiektów (np. wielomian charakterystyczny przekształcenia liniowego).

Definicja 
Dla danej nieujemnej liczby całkowitej n wielomianem stopnia n zmiennej x jest wyrażenie w postaci:
 

gdzie  są współczynnikami wielomianu oraz

Zarys 
Niezerowy wielomian można zapisać jako wyraz lub sumę wyrazów, przy czym ich liczba musi być skończona. Każdy z takich wyrazów składa się ze stałej, nazywanej współczynnikiem, pomnożonej przez pewną (nawet zerową) liczbę zmiennych oznaczanych zwykle literami. Współczynnik może być liczbą dowolnego rodzaju: całkowitą, wymierną, rzeczywistą, zespoloną. Wielomian nazywa się całkowitym, wymiernym, rzeczywistym lub zespolonym w zależności od zbioru, z którego pochodzą jego współczynniki.

Wielomian jest asymptotycznie dodatni, jeśli współczynnik przy wyrazie  jest dodatni. Jeśli współczynnik przy wyrazie  jest ujemny, wielomian jest asymptotycznie ujemny.

Niezerowy wyraz bez zmiennych ma stopień 0 i nazywany jest wyrazem wolnym. Stopniem wyrazu (niezerowego) nazywa się sumę stopni wszystkich zmiennych tego wyrazu. Wielomian nazywa się jednorodnym, jeśli wszystkie jego wyrazy są tego samego stopnia. Stopniem wielomianu (niezerowego) nazywa się największy stopień wyrazu i oznacza symbolem . Jeżeli istnieje tylko jeden wyraz o najwyższym stopniu, to współczynnik przy nim stojący nazywa się najstarszym lub wiodącym. Wielomian unormowany (bądź moniczny, od ang. monic) to wielomian, którego najstarszy współczynnik jest równy jedności.

Dla niezerowych wielomianów  zachodzą zależności:
 
 .

Zwyczajowo wielomian składający się z jednego wyrazu nazywa się jednomianem, z dwóch – dwumianem, a trzech – trójmianem. Często wielomiany, których stopień wynosi  nazywa się odpowiednio: stałym, liniowym, kwadratowym, sześciennym (związane jest to z własnościami funkcji wielomianowych z nimi skojarzonymi, zob. dalej).

Przykład 
Wyrażenie
 

jest wyrazem. Jego współczynnikiem jest  zmiennymi są  oraz  przy czym stopień zmiennej  wynosi dwa, zaś zmiennej  równy jest jeden. Stopniem całego wyrazu jest suma stopni zmiennych, stąd stopień powyższego wyrazu równy jest 3. Może więc być on traktowany jako jednomian, a zatem i wielomian.

Wielomian jest sumą wyrazów. Następujące wyrażenie jest wielomianem:
 

Zwykle wielomian jednej zmiennej przedstawia się w postaci, w której wyrazy wyższego stopnia stoją przed wyrazami niższego. Powyższy wielomian składa się z trzech wyrazów, jest więc trójmianem: pierwszy z nich jest drugiego stopnia, drugi – pierwszego stopnia, a trzeci ma stopień zerowy. Pierwszy wyraz, który zawiera zmienną  o wykładniku  ma współczynnik 3. Napis  oznacza  a więc współczynnikiem środkowego wyrazu jest  nie zaś  Trzeci wyraz jest wolny. Ponieważ stopień niezerowego wielomianu dany jest jako największy ze wszystkich stopni wyrazów, to powyższy wielomian ma stopień równy dwa.

Postać 
Ogólnie każde wyrażenie, które można przekształcić w wielomian za pomocą podstawowych własności działań (przemienności, łączności i rozdzielności) uważane jest za wielomian. Przykładowo wyrażenie  jest wielomianem, ponieważ można je przekształcić do postaci  Podobnie
 

uważane jest za poprawny wyraz wielomianu. Chociaż zawiera dzielenie, to jest ono równoważne  gdzie  jest stałą, może więc pełnić rolę współczynnika. W ogólności jednak dzielenie przez wyrażenie zawierające zmienną nie tworzy wielomianu. Na przykład
 

nie jest wielomianem, podobnie
 

gdyż ma wykładnik zawierający zmienną.

Ponieważ odejmowanie może być traktowane jak dodawanie liczby przeciwnej, a potęgowanie o naturalnym wykładniku jako wielokrotne mnożenie, wielomiany mogą być tworzone ze stałych i zmiennych wyłącznie za pomocą dwóch działań: dodawania i mnożenia.

Każdy wielomian można przekształcić do postaci beznawiasowej wykonując wszystkie możliwe działania na wyrażeniach algebraicznych, nazywana jest ona czasem postacią kanoniczną. Każdy wielomian jednej zmiennej jest równoważny z wielomianem postaci:

Funkcje wielomianowe 
Wartością wielomianu nazywa się wartość otrzymaną po podstawieniu danej liczby w miejsce zmiennej (lub tylu liczb w miejsce zmiennych ile ich jest w przypadku wielomianów wielu zmiennych) w wielomianie i wykonanie wszystkich dodawań i mnożeń w wielomianie (tzw. ewaluacja).

Przyporządkowanie każdej liczbie odpowiadającej jej wartości wielomianu jest pewną funkcją. Oznacza to, że dowolny wielomian wyznacza pewną funkcję zwaną funkcją wielomianową. W skończonych ciałach jednej funkcji wielomianowej może odpowiadać więcej niż jeden wielomian. Np. w pierścieniu wielomianów  wielomiany  wyznaczają tę samą funkcję wielomianową.

Analogicznie do definicji wielomianu jako sumy algebraicznej, funkcja  jednej zmiennej nazywana jest funkcją wielomianową, jeżeli:
 

dla wszystkich argumentów  gdzie  jest liczbą naturalną, a  są stałymi współczynnikami. Niekiedy obliczenie wartości wielomianu można przeprowadzić efektywniej za pomocą tzw. schematu Hornera:
 

Przykładowo funkcja  ze zbioru liczb rzeczywistych w siebie zdefiniowana wzorem
 

jest jednoargumentową funkcją wielomianową. Można również zdefiniować wieloargumentowe funkcje wielomianowe za pomocą wielomianów wielu zmiennych, np.
 

Do najważniejszych, a zarazem najprostszych funkcji wielomianowych zalicza się funkcję stałą, funkcję liniową, funkcję kwadratową (nazywaną popularnie trójmianem kwadratowym). Funkcje wielomianowe są ważną klasą funkcji gładkich. W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie. Jednak w algebrze bywa to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z2 wielomiany  i  definiują te same funkcje, gdyż  oraz

Równania wielomianowe 
Równanie wielomianowe to równanie, w którym przyrównywane są dwa wielomiany. Wielomiany uważa się za równe, jeżeli mają one równe współczynniki przy odpowiadających sobie wyrazach. Przykładem równania może być
 

W przypadku równań wielomianowych zmienna uważana jest za niewiadomą, a zadaniem jest znalezienie wszystkich możliwych wartości dla których obie strony równania przyjmują tę samą wartość (w ogólności może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie). Równanie wielomianowe może być przeciwstawione tożsamościom wielomianowym, takim jak  gdzie obie strony przedstawiają ten sam wielomian pod różnymi postaciami, dlatego też jakiekolwiek obliczenie wartości obu stron zawsze da równość.

Równanie, w którym wielomian jednej zmiennej jest przyrównywany do zera, nazywa się równaniem algebraicznym. Przykładem może być powyższe równanie wielomianowe. W strukturach uporządkowanych, takich jak liczby rzeczywiste, czy wymierne, ale nie zespolone, można również rozpatrywać nierówności algebraiczne.

Działania 
 Suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem.
 Pochodna wielomianu jest wielomianem
 
 Funkcja pierwotna (całka) wielomianu jest wielomianem

Dodawanie i mnożenie 
Dodawanie i mnożenie wielomianów zapisanych w postaci uporządkowanej można wykonywać w postaci analogicznej do dodawania i mnożenia liczb w pozycyjnym systemie liczbowym. Przykład dodawania dwóch wielomianów:
 {| cellspacing="0"
|- align="right"
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|- align="right"
| 
|style="border-bottom:1px solid black"|
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|- align="right"
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|}
Przykład mnożenia dwóch wielomianów:
 {| cellspacing="0"
|- align="right"
|
|
| 
| 
| 
| 
|- align="right"
|
| 
|style="border-bottom:1px solid black"|
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|- align="right"
|
|
| 
| 
| 
| 
|- align="right"
|
| 
| 
| 
| 
|
|- align="right"
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"| 
|style="border-bottom:1px solid black"|
|style="border-bottom:1px solid black"|
|- align="right"
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|}

Dzielenie 
Iloraz dwóch wielomianów nie musi być wielomianem, jednak każdy wielomian  można przedstawić w postaci
 

gdzie  są wielomianami, przy czym stopień wielomianu  jest mniejszy niż stopień  i wielomiany  oraz  są jednoznacznie wyznaczone.

Operacja ta jest równoważna dzieleniu wielomianu  przez  z resztą. Jeżeli reszta  jest wielomianem zerowym, to mówi się, że wielomian  jest podzielny przez  z kolei  nazywa się dzielnikiem wielomianu 

Algorytm dzielenia wielomianów z resztą jest analogiczny do dzielenia liczb całkowitych z resztą. Algorytmem, który zakończy się z całą pewnością, jest algorytm Euklidesa, bywa on również wykorzystywany do wyznaczania największego wspólnego dzielnika,  dwóch wielomianów, czyli wielomianu jak najwyższego stopnia, który dzieli oba z nich;  wyznaczony jest w tym przypadku z dokładnością do stałej.

Twierdzenie Bézouta mówi, że  jest pierwiastkiem wielomianu  wtedy i tylko wtedy, gdy  jest podzielny przez  Stąd w przypadku dzielenia przez dwumian postaci  często stosuje się również schemat Hornera.

Iloraz wielomianów nazywany jest wyrażeniem wymiernym, zaś funkcję go realizującą nazywa się funkcją wymierną. Oto przykład
 

Wyrażenia wymierne (funkcje wymierne) pełnią względem wielomianów (funkcji wielomianowych) rolę podobną do liczb wymiernych względem liczb całkowitych.

Wielomian  jest podzielny przez  jego ilorazem jest

Pierwiastki 
Pierwiastek wielomianu  to taka liczba  dla której dwumian  dzieli bez reszty wielomian  Miejscem zerowym funkcji wielomianowej nazywa się taką wartość zmiennej (lub wartości zmiennych w przypadku wielomianu wielu zmiennych), dla której wartość funkcji wielomianowej wynosi 0, innymi słowy jest to rozwiązanie równania algebraicznego. Zbiór miejsc zerowych funkcji wielomianowej pokrywa się ze zbiorem pierwiastków odpowiadającego jej wielomianu, o czym mówi twierdzenie Bézouta.

Stopniem równania algebraicznego nazywa się stopień wielomianu niezerowego. Istnieją wzory pozwalające rozwiązać każde równanie stopnia pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego. Udowodniono, że efektywne znalezienie rozwiązań równań wyższych stopni przez wykorzystanie podstawowych działań arytmetycznych wraz z pierwiastkowaniem na ogół nie jest możliwe (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Krotność 
Krotnością pierwiastka  wielomianu  nazywa się największą liczbę naturalną  taką, że wielomian  dzieli się bez reszty przez wielomian  Jeżeli pierwiastek ma krotność równą co najmniej 2, to zwykle nazywa się go wielokrotnym (dwu-, trzy-, cztero-, pięciokrotnym itd.), jeżeli wynosi ona 1, nazywa się go jednokrotnym.

Jeżeli  jest (co najmniej) dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu  to  jest także pierwiastkiem pochodnej  wielomianu  Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Rozkład na czynniki 
Wszystkie wielomiany jednej zmiennej o rzeczywistych lub zespolonych współczynnikach mogą być przedstawione w postaci iloczynu zespolonych wielomianów liniowych:
 

gdzie  są pierwiastkami wielomianu. Liczba iloczynów jest równa sumie krotności wszystkich pierwiastków, co wynika z zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta.

Wielomian rzeczywisty jednej zmiennej można rozłożyć na iloczyn wielomianów rzeczywistych co najwyżej drugiego stopnia. Czynniki nieliniowe mają wtedy postać  przy czym  Każdy taki czynnik odpowiada dwóm sprzężonym pierwiastkom zespolonym. Nie istnieje podobna reguła dla wielomianów wymiernych.

Rozkład na czynniki przeprowadza się zwykle jednym z następujących sposobów:
 za pomocą wzorów skróconego mnożenia,
 znajdując pierwiastek i wykorzystując twierdzenie Bézouta;
 wykorzystując wzory Kroneckera i Hermite’a (dla dowolnych wielomianów), bądź ich uogólnienia dane przez Kleina.

 Przykład
Wielomian
 

można zapisać w postaci
 

stąd  jest pierwiastkiem dwukrotnym, zaś  pierwiastkiem jednokrotnym tego wielomianu.

Szukanie pierwiastków 
Oprócz rozkładu na czynniki istnieje szereg metod ułatwiających wyznaczanie pierwiastków danego wielomianu. Niżej, tam gdzie wspomina się o liczbie pierwiastków, stosowana będzie konwencja mówiąca, iż równa jest ona sumie krotności wszystkich pierwiastków wielomianu.
 Zasadnicze twierdzenie algebry: każdy wielomian zespolony stopnia  ma pierwiastek zespolony. Wynika z tego, że każdy wielomian zespolony ma dokładnie  pierwiastków zespolonych.
 Pierwiastki zespolone wielomianu rzeczywistego występują jako pary liczb wzajemnie sprzężonych.
 Wielomian rzeczywisty stopnia  ma  pierwiastków rzeczywistych lub o parzystą liczbę mniej; w szczególności, wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego zawsze ma pierwiastek rzeczywisty.
 Twierdzenie Sturma pozwala wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu rzeczywistego w przedziale 
 Twierdzenie Hurwitza pozwala rozstrzygnąć, czy wszystkie pierwiastki wielomianu rzeczywistego leżą w lewej półpłaszczyźnie zespolonej.
 Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu całkowitego: jeżeli liczba całkowita jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego o niezerowym wyrazie wolnym, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego.
 Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu całkowitego: jeżeli ułamek nieskracalny  jest pierwiastkiem wielomianu całkowitego, to  jest dzielnikiem wyrazu wolnego oraz  jest dzielnikiem współczynnika wiodącego.
 Wzory Viète’a łączą pierwiastki wielomianu z jego współczynnikami.
 Dla dowolnego wielomianu  wielomian  jest wielomianem mającym te same pierwiastki co wyjściowy, lecz wszystkie są jednokrotne.
 Rugownik dwóch wielomianów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy mają one wspólny pierwiastek.
 Reguła Kartezjusza: liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest równa liczbie zmian znaku pomiędzy kolejnymi niezerowymi współczynnikami lub też mniejsza od niej o wielokrotność liczby 2. Zamieniając  na  można oszacować liczbę ujemnych pierwiastków; przykładowo wielomian
 
 ma dokładnie jeden pierwiastek dodatni – zmiana znaku występuje przy przejściu od współczynnika przy drugim wyrazie do współczynnika przy trzecim.

Wykresy 
W prostokątnym układzie współrzędnych:
 Wykres przecina on pionową oś w punkcie  gdzie  to wyraz wolny tego wielomianu;
 Wielomian zerowy i wielomian stopnia zerowego posiadają wykres będący prostą równoległą do poziomej osi;
 Wykresem wielomianu stopnia pierwszego jest prosta o współczynniku kierunkowym równym najstarszemu współczynnikowi wielomianu;
 Wykresem wielomianu stopnia drugiego lub wyższego jest krzywa ciągła, niebędąca prostą. Wykresem wielomianu stopnia drugiego jest parabola.
 W odciętej, gdzie pierwiastek wielomianu jest parzystokrotny, krzywa jest styczna do poziomej osi. W przeciwnym przypadku, krzywa przecina poziomą oś układu współrzędnych.

Wykresy wielomianów można badać używając metod analizy matematycznej (przecięcia z osiami, punkty przegięcia, wypukłość, zachowanie w nieskończoności itd.)

Zastosowania

Analiza matematyczna 
Wielomiany ze względu na swoje „silne” własności (ciągłość, różniczkowalność) odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej.

Wielomiany służą przybliżaniu (aproksymacji) funkcji. Do ważniejszych wyników w tej dziedzinie należą:
 Twierdzenie Weierstrassa: każdą funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami.
 Układy wielomianów ortogonalnych takie jak wielomiany Czebyszewa i Legendre’a.

Analiza numeryczna 
Mając dany dowolny -elementowy zbiór punktów  w którym  są parami różne, istnieje wielomian stopnia co najwyżej  którego wykres przechodzi przez te punkty. Zagadnienie znalezienia tego wielomianu nazywa się interpolacją wielomianową. Interpolacja może służyć do przybliżania funkcji wielomianami.

Wielomian interpolacyjny istnieje dokładnie jeden. W szczególności wynika stąd, że jeśli dwa wielomiany stopnia nie większego od  przyjmują takie same wartości w  punktach to są równe.

Do interpolowania można używać postaci Lagrange’a i postaci Newtona.

Algebra liniowa 
W ujęciu algebry liniowej każdy wielomian jest kombinacją liniową funkcji potęgowych postaci  gdzie  Zbiór wielomianów rzeczywistych lub urojonych jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich funkcji określonych odpowiednio na  lub  Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa mówi, że przestrzeń wielomianów jest zbiorem gęstym w przestrzeni Banacha  z normą supremum.

Ważnym obiektem związanym z pojęciami macierzy oraz przekształcenia liniowego jest ich wielomian charakterystyczny.

Algorytmika 
Naiwny algorytm obliczenia wartości wielomianu w punkcie wymaga  mnożeń (zob. asymptotyczne tempo wzrostu). Zapisując wielomian w postaci:
 

potrzebny czas skraca się do  Powyższy sposób obliczania, nazywany schematem Hornera, może służyć również do szybkiego dzielenia wielomianu przez dwumian  Po znalezieniu pierwiastka równania można dzięki temu szybko obniżyć jego stopień.

Naiwny algorytm mnożenia dwóch wielomianów stopnia  wymaga czasu  Za pomocą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) czas ten można zmniejszyć do  Mówiąc w uproszczeniu, algorytm mnożenia wpierw przedstawia czynniki za pomocą listy ich wartości w zespolonych pierwiastkach z 1 (ewaluacja), dokonuje mnożenia i powraca do pierwotnej postaci (interpolacja).

Uogólnienia 
Zniesienie ograniczenia dotyczącego liczby wyrazów prowadzi do pojęcia szeregu potęgowego. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy (często ich istotność wynika właśnie z tego faktu), co ułatwia badanie ich własności. Przykładowo funkcja wykładnicza  ma rozwinięcie:
 

Każdy wielomian będący wynikiem wzięcia pewnej skończonej liczby (zwykle początkowych) wyrazów tej sumy jest przybliżeniem funkcji. Rozwijanie funkcji w szeregi jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, które nie są elementarne (zob. funkcje specjalne).

Inną możliwością jest zdefiniowanie wielomianów jako skończonych napisów formalnych, w których współczynniki wzięte są z dowolnego pierścienia. Tego typu napisy dla porządnych pierścieni umożliwiają nawet uprawianie analizy, gdzie wiele pojęć zdefiniowanych jest także formalnie (pochodna, pierwotna wielomianu). Kolejnym uogólnieniem jest szereg formalny będący połączeniem dwóch powyższych możliwości.

Pójściem w innym kierunku jest przyzwolenie na wyrazy o wykładnikach całkowitych, a nie tylko naturalnych – wielomiany takie nazywa się wielomianami Laurenta. Rozszerzenie wielomianów Laurenta w sposób podobny do rozszerzenia zwykłych wielomianów do szeregów potęgowych nazywa się szeregiem Laurenta.

Zobacz też 

 wielomiany trygonometryczne

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
 Polynomial, Encyclopedia of Mathematics [dostęp 2021-03-12].