Matematica

La matematica (dal greco: μάθημα (máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza" o "apprendimento"; μαθηματικός (mathematikós) significa "incline ad apprendere") è la disciplina che studia le quantità, i numeri, lo spazio, le strutture e i calcoli.

Col termine matematica di solito si designa la disciplina (e il relativo corpo di conoscenze) che studia problemi concernenti quantità, estensioni e figure spaziali, movimenti di corpi, e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. La matematica fa largo uso degli strumenti della logica e sviluppa le proprie conoscenze nel quadro di sistemi ipotetico-deduttivi che, a partire da definizioni rigorose e da assiomi riguardanti proprietà degli oggetti definiti (risultati da un procedimento di astrazione, come triangoli, funzioni, vettori ecc.), raggiunge nuove certezze, per mezzo delle dimostrazioni, attorno a proprietà meno intuitive degli oggetti stessi (espresse dai teoremi).

La potenza e la generalità dei risultati della matematica le ha reso l'appellativo di regina delle scienze: ogni disciplina scientifica o tecnica, dalla fisica all'ingegneria, dall'economia all'informatica, fa largo uso degli strumenti di analisi, di calcolo e di modellazione offerti dalla matematica.

Descrizione

Evoluzione e finalità della matematica 

La matematica ha una lunga tradizione presso tutti i popoli della storia antica e moderna; è stata la prima disciplina a dotarsi di metodi di elevato rigore e portata. Ha progressivamente ampliato gli argomenti della sua indagine e progressivamente ha esteso i settori ai quali può fornire aiuti computazionali e di modellazione. È significativo che, in talune lingue e in talune situazioni, al termine singolare si preferisca il plurale matematiche.

Nel corso della sua lunga storia e nei diversi ambienti culturali si sono avuti periodi di grandi progressi e periodi di stagnazione degli studi. Questo in parte è dovuto a singoli personaggi, capaci di dare apporti profondamente innovativi e illuminanti e di stimolare all'indagine matematica grazie alle loro doti didattiche. Si sono avuti anche periodi di arretramento delle conoscenze e dei metodi, specie in relazione a eventi distruttivi o a periodi di decadenza complessiva della vita intellettuale e civile. Negli ultimi 500 anni, per il miglioramento dei mezzi di comunicazione, è prevalsa la crescita del patrimonio di risultati e di metodi, dovuta alla natura stessa delle attività matematiche, tese alla esposizione precisa di problemi e soluzioni; ciò impone di comunicare col fine ultimo di chiarire ogni dettaglio delle costruzioni logiche e dei risultati (alcuni chiarimenti richiedono un impegno non trascurabile, talora molti decenni). Questo ha corrisposto alla definizione di un linguaggio, strumento esemplare per la trasmissione e la sistemazione delle conoscenze.

Non va dimenticato che nell'antichità (più precisamente nel periodo ellenistico), con "matematica" ci si riferisce ad un insieme di discipline (geometria, meccanica, ottica, idrostatica, astronomia, geografia matematica, teoria musicale e altre), ossia essa configurava nell'insieme una scienza – si veda al senso etimologico del termine – con rigorosa struttura logica interna e saldi rapporti con applicazioni, ossia avente connessioni con la tecnologia. La scienza antica si è estinta in alcune "ondate distruttive", progressivamente è rinata suddivisa in varie discipline più circoscritte.

Il linguaggio e il rigore matematico 

Del linguaggio matematico moderno, fatto di simboli riconosciuti in tutto il mondo, la maggior parte è stata introdotta dopo il XVI secolo. Prima di allora la matematica era scritta usando parole, un processo faticoso che rallentava le scoperte matematiche. Eulero (1707-1783) è stato il responsabile di molte delle notazioni oggi in uso. La notazione matematica moderna rende molto più facile il lavoro del matematico, ma i principianti lo trovano scoraggiante. È estremamente compressa: pochi simboli contengono una grande quantità di informazioni; come le note musicali, la notazione matematica moderna ha una sintassi rigorosa (che in misura limitata varia da autore ad autore, e da disciplina a disciplina) e codifica informazioni difficili da scrivere in qualsiasi altro modo.

Il linguaggio matematico può essere difficile per i principianti. Parole come o e solo hanno precisi significati, più che nella lingua corrente. Inoltre, parole come aperto e campo hanno specifici significati matematici. Il gergo matematico comprende moltissimi termini tecnici, come omeomorfismo e integrabile, perché la matematica richiede assai più precisione del linguaggio quotidiano.

Nelle dimostrazioni matematiche è fondamentale il rigore. Per rigore si intende un utilizzo preciso e logico di teoremi già dimostrati, in modo che, analizzando la dimostrazione in profondità attraverso un processo a ritroso, si arrivi ad assiomi e definizioni universalmente accettati. Il livello di rigore richiesto in matematica è variato col tempo: i Greci richiedevano argomentazioni dettagliate, ma nel periodo di Isaac Newton il rigore utilizzato nelle dimostrazioni si era alleggerito. I problemi nati dalle definizioni usate da Newton hanno portato alla rinascita di una attenta analisi delle dimostrazioni nel corso del Diciannovesimo secolo. Il significato di rigore matematico non è sempre chiaro. Ad esempio i matematici continuano a discutere sull'opportunità di considerare valide le dimostrazioni effettuate attraverso computer: dato che lunghi calcoli sono difficili da verificare, tali dimostrazioni potrebbero essere considerate non sufficientemente rigorose.

Gli assiomi, nel pensiero tradizionale, erano considerati le "verità auto-evidenti", ma questa concezione comporta alcuni problemi. A livello formale, un assioma è solo una successione di simboli, che ha un significato intrinseco solo nel contesto di tutte le formule derivabili di un sistema assiomatico. L'obiettivo del programma di Hilbert è stato proprio quello di fornire l'intera matematica di una solida base assiomatica, ma secondo il teorema di incompletezza di Gödel una completa assiomatizzazione della matematica è impossibile. Nonostante ciò, la matematica è spesso immaginata consistere (per lo meno nel suo contenuto formale) nella teoria degli insiemi in una qualche assiomatizzazione, nel senso che ogni enunciato matematico, o dimostrazione, può essere scritto con formule esprimibili all'interno di tale teoria.

Matematica teorica e applicata 

Le attività matematiche sono naturalmente interessate alle possibili generalizzazioni e astrazioni, in relazione alle economie di pensiero e ai miglioramenti degli strumenti (in particolare degli strumenti di calcolo) che esse sono portate a realizzare. Le generalizzazioni e le astrazioni quindi spesso conducono a visioni più approfondite dei problemi e stabiliscono rilevanti sinergie tra progetti di indagine inizialmente rivolti a obiettivi non collegati.

Nel corso dello sviluppo della matematica si possono rilevare periodi e ambienti nei quali prevalgono alternativamente atteggiamenti generali e valori riconducibili a due differenti generi di motivazioni e di approcci: le motivazioni applicative, con la loro spinta a individuare procedimenti efficaci, e le esigenze di sistemazione concettuale con la loro sollecitazione verso generalizzazioni, astrazioni e panoramiche strutturali.

Si tratta di due generi di atteggiamenti tra i quali si costituisce una certa polarizzazione; questa talora può diventare contrapposizione, anche astiosa, ma in molte circostanze i due atteggiamenti stabiliscono rapporti di reciproco arricchimento e sviluppano sinergie. Nel lungo sviluppo della matematica si sono avuti periodi di prevalenza di uno o dell'altro dei due atteggiamenti e dei rispettivi sistemi di valori.

Del resto la stessa nascita della matematica può ragionevolmente ricondursi a due ordini di interessi: da un lato le esigenze applicative che fanno ricercare valutazioni praticabili; dall'altro la ricerca di verità tutt'altro che evidenti, forse tenute nascoste, che risponde a esigenze immateriali, la cui natura può essere filosofica, religiosa o estetica.

Negli ultimi 30 o 40 anni tra i due atteggiamenti si riscontra un certo equilibrio non privo di tensioni riemergenti, ma con molteplici episodi di mutuo supporto. A questo stato di cose contribuisce non poco la crescita del mondo del computer, rispetto al quale il mondo della matematica presenta sia canali di collegamento (che è ormai assurdo cercare di interrompere) sia differenze, ad esempio differenze dovute a diverse velocità di mutazione e a diversi stili comunicativi, che proiettano le due discipline agli antipodi.

Argomenti principali 

Cerchiamo ora di segnalare a grandi linee i temi dell'indagine matematica, illustrando una sorta di itinerario per un progressivo accostamento dei problemi, delle argomentazioni e delle sistemazioni teoriche.

Aritmetica 

I primi problemi che inducono ad accostarsi alla matematica sono quelli che si possono affrontare con l'aritmetica elementare: i calcoli eseguibili con le quattro operazioni possono riguardare contabilità finanziarie, valutazioni di grandezze geometriche o meccaniche, calcoli relativi agli oggetti e alle tecniche che si incontrano nella vita quotidiana.

I più semplici di questi calcoli possono effettuarsi servendosi solo di numeri interi naturali, ma presto i problemi di calcolo richiedono di saper trattare i numeri interi relativi e i numeri razionali.

Algebra 

I problemi aritmetici più semplici sono risolti mediante formule che forniscono risultati conseguenti. Ad esempio: l'area di un rettangolo con lati lunghi  e  è il loro prodotto . Complicando gli enunciati diventa necessario servirsi di equazioni. 
Ad esempio: per il teorema di Pitagora, se un triangolo rettangolo ha i lati più corti (cateti) di lunghezza  e , quello più lungo (ipotenusa) ha come lunghezza il numero positivo  che risolve l'equazione:

.

Le equazioni più semplici sono le equazioni lineari, sia perché rappresentano le questioni geometriche più semplici, sia perché sono risolvibili con procedimenti standard.

Nelle formule e nelle equazioni conviene far entrare parametri con valori indeterminati: in tal modo si viene a disporre di strumenti di portata più generale, che permettono di conseguire evidenti economie di pensiero. 
Ad esempio: in un triangolo rettangolo con cateti di
lunghezza  e , la lunghezza dell'ipotenusa è il numero positivo  tale che . 
Per meglio valutare le formule e per risolvere molti tipi di equazioni è necessario sviluppare un calcolo letterale che permetta di rimaneggiarle. Le regole di questo calcolo letterale costituiscono la cosiddetta algebra elementare.

L'algebra moderna si occupa anche dello studio delle relazioni fra insiemi e delle strutture algebriche, cioè strutture che caratterizzano insiemi concreti (come i numeri) o astratti sui quali è stata definita una o più operazioni.

Geometria 

Lo studio della geometria piana e spaziale riguarda inizialmente concetti primitivi: il punto, la retta, il piano. Combinando questi elementi nel piano o nello spazio si ottengono altri oggetti quali segmenti, angoli, angoli solidi, poligoni e poliedri.

Punto, retta, piano e spazio hanno dimensione rispettivamente 0, 1, 2 e 3. Tramite il calcolo vettoriale si definiscono e studiano spazi a dimensione più alta (anche infinita). Gli analoghi "curvi" di questi spazi "piatti" sono le curve e le superfici, di dimensione rispettivamente 1 e 2.
Uno spazio curvo in dimensione arbitraria si chiama varietà. 
Dentro a questo spazio si possono spesso definire punti e rette (dette geodetiche), ma la geometria che ne consegue può non soddisfare gli assiomi di Euclide: una tale geometria è generalmente detta non euclidea. Un esempio è dato dalla superficie
terrestre, che contiene triangoli aventi tutti e tre gli angoli retti.

Analisi 

L'analisi riguarda principalmente il calcolo infinitesimale, introduce la fondamentale nozione di limite, e quindi di derivata e integrale. Con questi strumenti sono analizzati i comportamenti delle funzioni, che spesso non hanno una descrizione esplicita ma sono soluzioni di una equazione differenziale, derivante ad esempio da un problema fisico.

Settori 

Come riportato sopra, le discipline principali sviluppate all'interno della matematica sono nate dalla necessità di eseguire calcoli nel commercio, di capire i rapporti fra i numeri, di misurare la terra e di predire eventi astronomici. Questi quattro bisogni possono essere collegati approssimativamente con la suddivisione della matematica nello studio sulla quantità, sulla struttura, sullo spazio e sul cambiamento (cioè, aritmetica, algebra, geometria e analisi matematica). Oltre a queste, vi sono altre suddivisioni come la logica, la teoria degli insiemi, la matematica empirica di varie scienze (matematica applicata) e più recentemente allo studio rigoroso dell'incertezza.

Quantità 
Lo studio sulle quantità incomincia con i numeri, in primo luogo con i numeri naturali (numeri interi non negativi) e tramite operazione aritmetiche su di essi. Le proprietà più profonde dei numeri interi sono studiate nella teoria dei numeri, di cui un esempio famoso è l'ultimo teorema di Fermat. La teoria dei numeri inoltre presenta due problemi non risolti, largamente considerati e discussi: la Congettura dei numeri primi gemelli e la congettura di Goldbach.

I numeri interi sono riconosciuti come sottoinsieme dei numeri razionali ("frazioni"). Questi, a loro volta, sono contenuti all'interno dei numeri reali, usati per rappresentare quantità continue. I numeri reali sono generalizzati ulteriormente dai numeri complessi. Queste sono i primi punti di una gerarchia dei numeri che continua a includere i quaternioni e gli ottonioni. L'analisi dei numeri naturali conduce inoltre ai numeri infiniti.

Strumenti

Strumenti informatici 

Tra gli strumenti informatici negli ultimi anni si sono resi disponibili vari generi di pacchetti software volti ad automatizzare l'esecuzione di calcoli numerici, le elaborazioni simboliche, la costruzione di grafici e di ambienti di visualizzazione e, di conseguenza, volti a facilitare lo studio della matematica e lo sviluppo delle applicazioni che possano essere effettivamente incisive.

Particolare importanza ed efficacia vanno assumendo quelli che vengono chiamati sistemi di algebra computazionale o addirittura con il termine inglese Computer algebra systems, abbreviato con CAS.

Segnaliamo alcuni programmi open source o comunque gratuitamente disponibili per lo studio della matematica:

Strutture 

Molti oggetti matematici, come gli insiemi di numeri e funzioni, mostrano la loro struttura interna e coerente. Le proprietà strutturali di questi oggetti sono investigate nello studio di gruppi, anelli, campi e altri sistemi astratti, i quali sono a loro volta oggetti. Questo è il campo dell'algebra astratta. In questo campo un concetto importante è rappresentato dai vettori, generalizzati nello spazio vettoriale, e studiati nell'algebra lineare. Lo studio di vettori combina tre tra le fondamentali aree della matematica: quantità, struttura, e spazio. Il calcolo vettoriale espande il campo in una quarta area fondamentale, quella delle variazioni.

Spazi 

Lo studio dello spazio incomincia con la geometria, in particolare con la geometria euclidea. La Trigonometria poi combina simultaneamente spazio e numeri. Lo studio moderno dello spazio generalizza queste premesse includendo la Geometria non euclidea (che assume un ruolo centrale nella teoria della relatività generale) e la topologia. Quantità e spazio sono trattati contemporaneamente in geometria analitica, geometria differenziale, e geometria algebrica. Con la geometria algebrica si ha la descrizione di oggetti geometrici come insiemi di soluzioni di equazioni polinomiali combinando i concetti di quantità e spazio, e anche lo studio di gruppi topologici, i quali combinano a loro volte spazio e strutture. I gruppi di Lie sono usati per studiare lo spazio, le strutture e le variazioni. La Topologia in tutte le sue molte ramificazioni può essere considerata la zona di sviluppo più grande nella matematica del XX secolo e include la congettura di Poincaré e il controverso teorema dei quattro colori, di cui l'unica prova, eseguita a computer, non è mai stata verificata da un essere umano.

Matematica discreta 
Matematica discreta è il nome comune per i campi della matematica utilizzati nella maggior parte dei casi nell'informatica teorica. Questa include teoria della computazione, teoria della complessità computazionale, e informatica teorica. La teoria della computazione esamina le limitazioni dei vari modelli di computer, compresi i modelli più potenti conosciuti - la Macchina di Turing. La teoria della complessità è lo studio delle possibilità di trattazione da parte di un calcolatore; alcuni problemi, nonostante siano teoricamente risolvibili attraverso un calcolatore, sono troppo costosi in termini di tempo o spazio tanto che risolverli risulta praticamente impossibile, anche prevedendo una rapida crescita delle potenze di calcolo. Infine la teoria dell'informazione si interessa della quantità di dati che possono essere immagazzinati su un dato evento o mezzo e quindi di concetti come compressione dei dati e entropia.

Come campo relativamente nuovo, la matematica discreta possiede un numero elevato di problemi aperti. Il più famoso di questi è il problema " P=NP?" uno dei problemi per il millennio.

Matematica applicata 
La matematica applicata considera l'utilizzo della matematica teorica come strumento utilizzato per la risoluzione di problemi concreti nelle scienze, negli affari e in molte altre aree. Un campo importante della matematica è la statistica, la quale utilizza la teoria della probabilità e permette la descrizione, l'analisi, e la previsione di fenomeni aleatori. La maggior parte degli esperimenti, delle indagini e degli studi d'osservazione richiedono l'utilizzo della statistica (molti statistici, tuttavia, non si considerano come veri e propri matematici, ma come parte di un gruppo collegato a essi). L'analisi numerica investiga metodi computazionali per risolvere efficientemente una vasta gamma di problemi matematici che sono, in genere, troppo grandi per le capacità di calcolo umane; essa include lo studio di vari tipi di errore che generalmente si verificano nel calcolo.

{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="13"
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| Fisica matematica || Fluidodinamica matematica || Ottimizzazione || Probabilità || Statistica || Matematica finanziaria || Teoria dei giochi
|}

Note

Bibliografia

Letture introduttive 
 
 
 
 
 Richard Courant, Herbert Robbins, Ian Stewart (1996): What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed., Oxford University Press, ISBN 0-19-510519-2 [trad. it. Che cos'è la matematica, seconda edizione riveduta da Ian Stewart, Bollati Boringhieri, 2000].
 Gian-Carlo Rota (1997): Indiscrete Thoughts, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3866-0.
 Keith Devlin (2000): The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 0-8050-7254-3 [trad. it. Il linguaggio della matematica, Bollati Boringhieri, 2002].
 Timothy Gowers (2002): Mathematics, a very short introduction, Oxford University Press, ISBN 0-19-285361-9 - trad. italiana Matematica - un'introduzione, Giulio Einaudi (2004).
 Philip J. Davis e Reuben Hersh: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., (1980).
 Riccardo Bersani - Ennio Peres:  Matematica, corso di sopravvivenza  TEA Pratica 2002 1* Edizione Ponte delle Grazie Milano ISBN 88-502-0104-4.
 Philip J. Davis: Il mondo dei grandi numeri Zanichelli, Matematica Moderna, 1968.
 Boris de Rachewiltz: Egitto Magico Religioso, edizioni Terra di Mezzo, capitolo: l'universo matematico, il culto di Maat, dea astratta della verità e della Giustizia.

Approfondimenti 
 
 Morris Kline (1981): Mathematics - The loss of Certainty. Oxford University Press (1980) (esposizione di livello medio dei cambiamenti di concezione della matematica che si sono imposti nel XX secolo.).
 Björn Engquist, Wilfried Schmid eds. (2001): Mathematics Unlimited - 2001 and beyond, Springer. Raccolta di una ottantina di articoli di matematici militanti sullo stato corrente e sulle prospettive della ricerca matematica.

Voci correlate 

 Quantità

 Numero
 Numeri naturali
 Pi Greco
 Numeri interi
 Numeri razionali
 Numeri reali
 Numeri complessi
 Numeri ipercomplessi
 Quaternioni
 Ottetti
 Sedenioni
 Numeri iperreali
 Numeri surreali
 Numeri ordinali
 Numeri cardinali
 Numeri p-adici
 Successioni di interi
 Costanti matematiche
 Nome dei numeri
 Infinito (matematica)

 Strutture

 Algebra astratta
 Teoria dei numeri
 Geometria algebrica
 Gruppo (matematica)
 Monoide
 Analisi Matematica
 Topologia
 Algebra lineare
 Teoria dei grafi
 Algebra universale
 Teoria delle categorie

 Spazi

 Topologia
 Geometria
 Trigonometria
 Geometria algebrica
 Geometria differenziale
 Topologia differenziale
 Topologia algebrica
 Algebra lineare
 Geometria frattale
 Teoria della misura
 Analisi funzionale

 Teoremi e congetture famose

 Ultimo teorema di Fermat
 Ipotesi di Riemann
 Ipotesi del continuo
 Complessità P e NP
 Congettura di Goldbach
 Congettura dei numeri primi gemelli
 Teoremi di incompletezza di Gödel
 Congettura di Poincaré
 Argomento diagonale di Cantor
 Teorema di Pitagora
 Teorema del limite centrale
 Teorema fondamentale del calcolo integrale
 Teorema fondamentale dell'algebra
 Teorema fondamentale dell'aritmetica
 Teorema dei quattro colori
 Lemma di Zorn
 Identità di Eulero
 Congettura di Scholz
 Teorema del punto fisso di Brouwer
 Congettura di Collatz
 Teorema di Dandelin
 Teorema di Lagrange
 Congettura abc

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 Fondamenti della matematica
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