Unità immaginaria

In matematica l'unità immaginaria  (a volte rappresentata dalla lettera greca iota ) permette di estendere il campo dei numeri reali  al campo dei numeri complessi . L'unità immaginaria è caratterizzata dall'essere un numero il cui quadrato è uguale a .

In elettrotecnica, l'unità immaginaria viene sempre rappresentata dalla lettera , poiché la lettera  è già utilizzata per indicare l'intensità di corrente.

La necessità di estendere il campo dei numeri reali  nasce dal fatto che non è possibile in tale campo calcolare la radice quadrata di un numero negativo e più in generale che non tutte le equazioni polinomiali  hanno una soluzione. In particolare l'equazione  non ha soluzioni reali. Ma, se si considerano i numeri complessi, allora quella equazione, e in effetti tutte le equazioni polinomiali , dove  è un polinomio a coefficienti reali o complessi, hanno almeno una soluzione: questo fatto prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra, e dice formalmente che  è la chiusura algebrica di .

Definizione

Per definizione, l'unità immaginaria  è una soluzione dell'equazione

L'anello  (che è un campo in quanto il polinomio  è irriducibile su ) e  risultano essere isomorfi come spazi vettoriali su  attraverso l'isomorfismo  che manda  in . In tal senso l'unità immaginaria non è altro che l'immagine di  secondo  e si ha 

Le operazioni sui numeri reali possono essere estese ai numeri complessi considerando  come una quantità incognita durante la manipolazione delle espressioni, e poi usando la definizione per sostituire  con .

i e -i

L'equazione  ha, in effetti, due soluzioni distinte che sono opposte. Più precisamente, una volta che è stata fissata una soluzione  dell'equazione, allora  è anch'essa una soluzione. Dato che l'equazione stessa è l'unica definizione per , sembra che questa definizione sia ambigua (più precisamente, non sia ben definita). Però non si ha alcuna ambiguità una volta che si sceglie una soluzione e la si fissa, indicandola con .

Questa considerazione è sottile. Una spiegazione più precisa consiste nell'affermare che, sebbene il campo complesso definito come  è unico a meno di isomorfismi, esso non è unico a meno di un unico isomorfismo. Infatti esistono esattamente due automorfismi di , l'identità e l'automorfismo che manda  in . Si noti che questi non sono solo gli unici automorfismi del campo , ma sono gli unici automorfismi del campo  che fissano qualunque numero reale. Si vedano le voci complesso coniugato e gruppo di Galois.

Un problema simile si ha se i numeri complessi vengono interpretati come matrici reali , perché entrambe le seguenti matrici

sono soluzioni dell'equazione . In questo caso l'ambiguità è dovuta alla scelta che si fa riguardo a quale sia la "direzione positiva" con cui viene percorso la circonferenza unitaria. Una spiegazione più precisa è la seguente: il gruppo degli automorfismi del gruppo ortogonale speciale  ha esattamente due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia le rotazioni in senso orario in rotazioni in senso antiorario.

Avvertenza

Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come , ma bisogna fare molta attenzione quando si manipolano formule che contengono radicali. Questa notazione è riservata alla funzione radice quadrata principale, che è definita solo per numeri reali , o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa. L'applicazione delle proprietà delle radici quadrate principali (reali) al ramo principale delle radici quadrate complesse produce risultati scorretti:

Infatti la regola

è valida solo per valori di  e  reali e non negativi.

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da , in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

Potenze di i

Le potenze di  si ripetono periodicamente (sono cicliche con periodo ):

Questa proprietà può essere espressa in forma più compatta in questo modo, dove  è un qualunque intero:

Radici dell'unità immaginaria

Le due radici quadrate di  (cioè le due soluzioni dell'equazione )  sono complesse, ricavabili dall'espressione: . Ciò può essere verificato nel modo seguente:

{|
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|-
|
|
|}

Per  la radice quadrata sarà quella di  moltiplicata per l'unità immaginaria stessa. Quindi:

Come per ogni altro numero complesso, le radici -esime dell'unità immaginaria si calcolano facilmente tramite la sua descrizione in coordinate polari. Infatti:

Imponendo che un generico numero complesso  sia radice -esima di  si deve avere:

da cui:

La disposizione delle radici nel piano complesso è quella di poligoni regolari inscritti nella circonferenza complessa di raggio : tenendo conto della non unicità della rappresentazione polare dei numeri complessi, per la radice quadrata avremo due radici distinte (ponendo ad esempio ), per la radice cubica ne avremo tre () e così via. Ritornando alla rappresentazione nel piano complesso tramite la formula di Eulero otteniamo:

i e la formula di Eulero

Prendendo la formula di Eulero , e sostituendo  al posto di , si ottiene

Se entrambi i membri dell'uguaglianza vengono elevati alla potenza , ricordando che , si ottiene l'identità

In effetti è facile trovare che  ha un infinito numero di soluzioni nella forma di

dove  è un qualunque intero. Dal punto di vista della teoria dei numeri,  è un numero irrazionale quadratico, come , e applicando il teorema di Gel'fond-Schneider si può concludere che tutti i valori ottenuti sopra, e in particolare , sono trascendenti.

Sempre dalla formula di Eulero, o elevando al quadrato ambo i membri della precedente identità , si arriva elegantemente all'identità di Eulero:

che mette in relazione cinque delle più significative entità matematiche, assieme al principio di uguaglianza e le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza, in una semplice espressione.

Notazione alternativa

In ingegneria elettrica e campi ad essa relativi l'unità immaginaria è spesso indicata con  per evitare confusione con il simbolo di corrente elettrica variabile, tradizionalmente indicato con . Anche il linguaggio di programmazione Python usa  per l'unità immaginaria.

Occorre prestare ulteriore attenzione ad alcuni libri di testo che definiscono , particolarmente in argomenti legati alla propagazione delle onde (per esempio, un'onda piana che viaggia verso destra nella direzione delle  è indicata con ).

Alcuni testi usano la lettera greca iota per l'unità immaginaria per evitare confusione.

Bibliografia 
 Giuseppe Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari nella matematica vol.1, Padova, CEDAM, 1989, ISBN 88-13-16794-6

Voci correlate
 Numero complesso 
 Piano complesso

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

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