Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt oder Mengenprodukt ist in der Mengenlehre eine grundlegende Konstruktion, aus gegebenen Mengen eine neue Menge zu erzeugen. Gelegentlich wird für das kartesische Produkt auch die mehrdeutige Bezeichnung „Kreuzprodukt“ verwendet. Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei die erste Komponente ein Element der ersten Menge und die zweite Komponente ein Element der zweiten Menge ist. Allgemeiner besteht das kartesische Produkt mehrerer Mengen aus der Menge aller Tupel von Elementen der Mengen, wobei die Reihenfolge der Mengen und damit der entsprechenden Elemente fest vorgegeben ist. Die Ergebnismenge des kartesischen Produkts wird auch Produktmenge, Kreuzmenge oder Verbindungsmenge genannt. Das kartesische Produkt ist nach dem französischen Mathematiker René Descartes benannt, der es zur Beschreibung des kartesischen Koordinatensystems verwendete und damit die analytische Geometrie begründete.

Produkt zweier Mengen

Definition 
Das kartesische Produkt  (lies „A kreuz B“) zweier Mengen  und  ist definiert als die Menge aller geordneten Paare , wobei  ein Element aus  und  ein Element aus  ist. Dabei wird jedes Element aus  mit jedem Element aus  kombiniert. Formal ist das kartesische Produkt durch

 

definiert. Insbesondere ist es auch möglich, das kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst zu bilden und man schreibt dann

 .
Gelegentlich wird für das kartesische Produkt auch der Begriff „Kreuzprodukt“ verwendet, der jedoch weitere Bedeutungen hat, siehe Kreuzprodukt.

Die obige Definition ist problemlos auf (echte) Klassen  und  erweiterbar. Insbesondere erfolgt die Paarbildung nur für Elemente von  und ; diese können keine echten Klassen sein und stellen an die Paarbildung keine besonderen Anforderungen.

Beispiele

Endliche Mengen 

Das kartesische Produkt  der beiden Mengen  und  ist
 .

Das kartesische Produkt  ist hingegen eine andere Menge, und zwar

 ,

da bei geordneten Paaren die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielt. Das kartesische Produkt von  mit sich selbst ist

 .

Reelle Zahlen 
Die reelle Zahlenebene entsteht aus dem kartesischen Produkt der reellen Zahlen  mit sich selbst:

 .

Intervalle 
Die Tupel  nennt man auch kartesische Koordinaten. Das kartesische Produkt zweier reeller Intervalle  und  ergibt das Rechteck

 .

Spielkarten 
Spielkarten, wie sie zum Beispiel beim Texas Hold’em, beim Canasta, beim Doppelkopf und beim Skat verwendet werden, sind ein Beispiel für ein kartesisches Produkt. Die erste Menge ist in diesem Fall die Menge der Kartenwerte, zum Beispiel V = {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}, und die zweite Menge ist die Menge der Kartensymbole, zum Beispiel S = {, , , }. Die Menge der Spielkarten ist dann das kartesische Produkt dieser beiden Mengen: V × S = {(A, ), (A, ), (A, ), (A, ), (K, ), ..., (3, ), (2, ), (2, ), (2, ), (2, )}.

In diesem Beispiel hat die Menge  der Kartenwerte 13 Elemente, also , und die Menge  der Kartensymbole hat 4 Elemente, also . Daraus ergibt sich, dass die Menge  der Spielkarten  Elemente hat.

Dieses kartesische Produkt kann mit einer Tabelle dargestellt werden:

U-Bahnlinien oder S-Bahnlinien 
Bei Verkehrsnetzen, die aus U-Bahnlinien und S-Bahnlinien bestehen, ist die Menge der Verkehrslinien ein kartesisches Produkt, das zum Beispiel aus der Menge L = {U, S} der Linienarten und der Menge N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} der Liniennummern gebildet werden kann. Hier ist .

Hinweise:

Es ergibt sich nur dann ein (vollständiges) kartesisches Produkt, wenn die Anzahl der U-Bahnlinien und S-Bahnlinien gleich ist. Ansonsten ergibt sich ein unvollständiges kartesisches Produkt, das grundsätzlich andere Eigenschaften hat. Im Bereich der Informatik und Programmierung ist dieses Thema zum Beispiel unter Array - Dimensionen zu finden.

Eigenschaften

Zahl der Elemente 

Sind die Mengen  und  endlich, dann ist ihr kartesisches Produkt  eine endliche Menge geordneter Paare. Die Anzahl der Paare entspricht dabei dem Produkt der Anzahlen der Elemente der Ausgangsmengen, das heißt

 

In dem Spezialfall, dass  ist, gilt

 .

Enthält zumindest eine der beiden Mengen  und  unendlich viele Elemente und ist die andere nicht leer, dann besteht ihr kartesisches Produkt  aus unendlich vielen Paaren. Das kartesische Produkt zweier abzählbar unendlicher Mengen ist dabei nach Cantors erstem Diagonalargument ebenfalls abzählbar. Ist zumindest eine der beiden Mengen überabzählbar, so ist auch ihre Produktmenge überabzählbar.

Leere Menge 
Da aus der leeren Menge kein Element ausgewählt werden kann, ergibt das kartesische Produkt der leeren Menge mit einer beliebigen Menge wieder die leere Menge. Allgemeiner gilt

 ,

das heißt, das kartesische Produkt zweier Mengen ist genau dann leer, wenn zumindest eine der beiden Mengen leer ist.

Nichtkommutativität 
Das kartesische Produkt ist nicht kommutativ, das heißt, für nichtleere Mengen  und  mit  ist

 ,

denn in den Paaren der Menge  ist das erste Element aus  und das zweite aus , während in den Paaren der Menge  das erste Element aus  und das zweite aus  ist. Es gibt allerdings eine kanonische Bijektion zwischen den beiden Mengen, nämlich

 ,

mit der die Mengen miteinander identifiziert werden können.

Nichtassoziativität 
Das kartesische Produkt ist auch nicht assoziativ, das heißt, für nichtleere Mengen ,  und  gilt im Allgemeinen

 ,

denn die Menge auf der linken Seite enthält Paare, deren erstes Element aus  und deren zweites Element ein Paar aus  ist, wohingegen die Menge auf der rechten Seite Paare enthält, deren erstes Element ein Paar aus  und deren zweites Element aus  ist. Auch hier gibt es eine kanonische Bijektion zwischen diesen beiden Mengen, nämlich

 .

Manche Autoren identifizieren die Paare  und  mit dem geordneten Tripel , wodurch das kartesische Produkt auch assoziativ wird.

Distributivität 

Für das kartesische Produkt gelten die folgenden Distributivgesetze bezüglich Vereinigung, Schnitt und Differenzbildung von Mengen:

 
Das vierte Gesetz kann verwendet werden, um die Distributivität bei den Natürlichen Zahlen zu beweisen, wenn diese über Kardinalzahlen definiert sind.

Monotonie und Komplement 

Das kartesische Produkt verhält sich monoton bezüglich Teilmengenbildung, das heißt, sind die Mengen  und  nichtleer, dann gilt

 .

Insbesondere gilt dabei Gleichheit

 .

Betrachtet man die Menge  als Grundmenge von  und die Menge  als Grundmenge von , dann hat das Komplement von  in  die Darstellung

 .

Weitere Rechenregeln 

Es gilt zwar

 ,

aber im Allgemeinen ist

 ,

da die Menge auf der linken Seite Paare aus  und  enthält, die in der Menge auf der rechten Seite nicht enthalten sind.

Produkt endlich vieler Mengen

Definition 
Allgemeiner ist das kartesische Produkt  von  Mengen  definiert als die Menge aller -Tupel , wobei  für  jeweils ein Element aus der Menge  ist. Formal ist das mehrfache kartesische Produkt durch

 

definiert. Mit Hilfe des Produktzeichens wird das mehrfache kartesische Produkt auch durch

 

notiert. Das -fache kartesische Produkt einer Menge  mit sich selbst schreibt man auch als

 .

Leeres Produkt 

Das kartesische Produkt von null Mengen ist die Menge, die als einziges Element das leere Tupel enthält, das heißt
 
Insbesondere ist für eine beliebige Menge 
.
Davon wird Gebrauch gemacht, wenn Konstanten einer mathematischen Struktur als nullstellige Verknüpfungen betrachtet werden.

Vereinigung aller Produkte 

Mit  bezeichnet man die Vereinigung aller -fachen kartesischen Produkte einer Menge  mit sich selbst (für alle ), also die Menge aller Tupel mit Elementen aus A, einschließlich des leeren Tupels:

.

Beispiele 
Ist , dann ist

 .

Der euklidische Raum  besteht aus dem dreifachen kartesischen Produkt der reellen Zahlen :

 .

Die 3-Tupel  sind die dreidimensionalen kartesischen Koordinaten. Das kartesische Produkt dreier reeller Intervalle ,  und  ergibt den Quader

 .

Allgemein ergibt das -fache kartesische Produkt der reellen Zahlen den Raum  und das kartesische Produkt von  reellen Intervallen ein Hyperrechteck.

Eigenschaften

Zahl der Elemente 
Sind die Mengen  alle endlich, dann ist ihr kartesisches Produkt ebenfalls eine endliche Menge, wobei die Anzahl der Elemente von  gleich dem Produkt der Elementzahlen der Ausgangsmengen ist, das heißt

 

bzw. in anderer Schreibweise

 .

In dem Spezialfall, dass alle Mengen  gleich einer Menge  sind, gilt

 .

Das kartesische Produkt endlich vieler abzählbar unendlicher Mengen ist ebenfalls abzählbar, wie sich durch Iteration des Arguments für das kartesische Produkt zweier Mengen mit Hilfe der Cantorschen Tupelfunktion zeigen lässt.

Monotonie 
Sind die Mengen  und  nichtleer, dann gilt wie beim kartesischen Produkt zweier Mengen Monotonie

 

und Gleichheit

 .

Produkt unendlich vieler Mengen

Definition 
Es ist auch möglich, das kartesische Produkt unendlich vieler Mengen zu definieren. Ist dazu  eine Indexmenge und  eine Familie von Mengen, dann definiert man das kartesische Produkt der Mengen  durch

 .

Dies ist die Menge aller Abbildungen  von  in die Vereinigung der Mengen , für die das Bild  in  liegt. Sind alle  gleich einer Menge , dann ist das kartesische Produkt

 

die Menge aller Funktionen von  nach . Sind die Mengen  unterschiedlich, so ist das kartesische Produkt allerdings weit weniger anschaulich. Bereits die Frage, ob ein beliebiges kartesisches Produkt nichtleerer Mengen nichtleer ist, ist mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF nicht entscheidbar; die Behauptung, dass es nichtleer ist, ist eine Formulierung des Auswahlaxioms, welches zu ZF hinzugefügt wird, um die Mengenlehre ZFC („Zermelo-Fraenkel + Choice“) zu erhalten.

Spezialfälle 
Ein wichtiger Spezialfall eines unendlichen kartesischen Produkts entsteht durch die Wahl der natürlichen Zahlen  als Indexmenge. Das kartesische Produkt einer Folge von Mengen 

 

entspricht dann der Menge aller Folgen, deren -tes Folgenglied in der Menge  liegt. Sind beispielsweise alle , dann ist

 

die Menge aller reeller Zahlenfolgen. Das abzählbare kartesische Produkt lässt sich bijektiv auf das allgemein definierte kartesische Produkt abbilden, denn jede Folge  definiert eine Funktion  mit  und umgekehrt lässt sich jede solche Funktion als Folge  schreiben. Auch das kartesische Produkt endlich vieler Mengen lässt sich unter Verwendung endlicher Folgen als Spezialfall der allgemeinen Definition auffassen.

Universelle Eigenschaft des kartesischen Produktes 
Zu dem kartesischen Produkt  gehört die Familie der Projektionen .  Das kartesische Produkt  zusammen mit der Familie  hat die folgende Eigenschaft: Ist  eine beliebige Menge und ist  eine Familie von Abbildungen, so gibt es genau eine Abbildung   mit  für alle . Das heißt, folgendes Diagramm ist kommutativ:
Ist  zusammen mit der Familie  auch diese Eigenschaft, so gibt es eine bijektive Abbildung .

Abgeleitete Begriffe 

 Eine binäre Relation zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts der beiden Mengen. Insbesondere ist damit jede Abbildung eine Teilmenge des kartesischen Produkts aus Definitions- und Zielmenge der Abbildung. Allgemeiner ist eine -stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von  Mengen.
 Eine Projektion ist eine Abbildung von dem kartesischen Produkt zweier Mengen zurück in eine dieser Mengen. Allgemeiner ist eine Projektion eine Abbildung von dem kartesischen Produkt einer Familie von Mengen auf das kartesische Produkt einer Teilfamilie dieser Mengen, die Elemente mit bestimmten Indizes auswählt.
 Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung von dem kartesischen Produkt zweier Mengen in eine weitere Menge. Allgemeiner ist eine -stellige Verknüpfung eine Abbildung von dem kartesischen Produkt von  Mengen in eine weitere Menge. Jede -stellige Verknüpfung kann somit auch als -stellige Relation aufgefasst werden.
 Ein direktes Produkt ist ein Produkt algebraischer Strukturen, wie zum Beispiel von Gruppen oder Vektorräumen, das aus dem kartesischen Produkt der Trägermengen besteht und zusätzlich mit ein oder mehreren komponentenweisen Verknüpfungen versehen ist. Eine direkte Summe ist eine Teilmenge des direkten Produkts, die sich nur für Produkte unendlich vieler Mengen vom direkten Produkt unterscheidet; sie besteht aus allen Tupeln, die nur an endlich vielen Stellen von einem bestimmten Element (meist dem neutralen Element einer Verknüpfung) verschieden sind.
 Das kategorielle Produkt entspricht in der Kategorie der Mengen dem kartesischen Produkt und in der Kategorie der Gruppen sowie in anderen Kategorien algebraischer Strukturen dem direkten Produkt.
 In relationalen Datenbanken werden das kartesische Produkt von Tabellen und die darauf aufbauenden Join-Operationen zur Verknüpfung von Datenbanktabellen eingesetzt.

Literatur 
 Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2. verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks 

 
 
 

Mathematischer Grundbegriff
Mengenlehre
René Descartes als Namensgeber