Funzione (matematica)

In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

Se il dominio e il codominio della funzione  sono rispettivamente indicati con  e , la relazione si indica con  e l’elemento che  associa a  si indica con  (si pronuncia "effe di x").

Descrizione 
La parola "funzione" non si riferisce alla sola associazione di elementi, ma alla terna: associazione di elementi, dominio e codominio. Specificare un'associazione non definisce una funzione: occorre specificare anche dominio e codominio. Infatti, due funzioni che hanno una "stessa" associazione di elementi ma diverso dominio o diverso codominio sono funzioni diverse. Per esempio, la funzione che associa a ogni numero naturale il suo quadrato () è diversa dalla funzione che associa a un numero intero il quadrato di quel numero (); infatti la prima è iniettiva la seconda no. In molti casi, quando il dominio e il codominio sono chiari dal contesto, una funzione viene espressa indicando solamente la relazione e sottintendendo dominio e codominio.

Si dice che  è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre  è un valore della variabile dipendente della funzione.

Sinonimi del termine "funzione" sono applicazione e mappa. Il termine trasformazione viene utilizzato spesso in ambito geometrico per indicare una funzione  invertibile e che conserva le proprietà geometriche di , mentre operatore è talvolta utilizzato nella trattazione di funzioni lineari tra spazi vettoriali.

Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna a un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, il valore della pressione viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione.

Esempi 
Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero, si ha una funzione, il cui dominio è l'insieme dei numeri naturali e il cui codominio è l'insieme dei numeri naturali pari.

Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi numerici. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano si associa il cerchio in esso inscritto, si ha ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio in esso inscritto.

Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori: per esempio la funzione che alle coordinate  di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura  e pressione  dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna  e ha sempre un solo valore, che è la coppia

Definizione 
Dati due insiemi non vuoti  e , si chiama funzione da  in  una relazione  tale che per ogni  esiste uno ed un solo elemento  tale che . Tale elemento tradizionalmente si denota con : in altre parole, invece di scrivere  si può usare la scrittura più tradizionale:

Il fatto che  sia una funzione da  in  che associa a  l’elemento  si può esprimere con la scrittura:

L’insieme  (da cui la funzione  “prende” i valori) è il dominio della funzione , mentre l’insieme  (in cui si trovano i valori “restituiti” dalla funzione ) è il codominio della funzione .

Le espressioni “prendere un valore” e “restituire un valore” fanno riferimento a un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo “trasformano” nel corrispondente elemento del codominio.

Immagine e controimmagine 

Data una funzione  di dominio  e codominio  comunque scelto un elemento  del dominio, si chiama immagine di  il corrispondente elemento del codominio, indicato con  Analogamente, se  è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento  del dominio, cioè se , si dice che  è una controimmagine di  Mentre a ogni elemento del dominio di  è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi “controimmagine” dell’elemento  l’insieme

Se  per ogni  si dice che  è suriettiva, mentre se  contiene al più un elemento per ogni  si dice che  è iniettiva. Se valgono entrambe le condizioni,  è detta biiettiva o biunivoca.

L’insieme

degli elementi  del codominio per i quali esiste almeno un  nel dominio che ha  come immagine è detto immagine di  e si denota con  o con .

Altre notazioni per le funzioni 
Per il valore di una funzione  corrispondente a un elemento , denotabile con la notazione tradizionale , vengono usate anche altre due scritture.

Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone

Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissale si pone

A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:

In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l’ordine delle operazioni. Questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.

Nelle funzioni di due variabili si usa talvolta la notazione infissa, ossia

ad esempio, nelle usuali operazioni di addizione e sottrazione si usa scrivere  e  invece di  e

Estensione e restrizione di una funzione 
Data una funzione  e un insieme  tale che , si dice che la funzione  è un’estensione di  all’insieme  se

dove  è l’inclusione di  in , data da . Si dice viceversa che  è la restrizione di  all’insieme .

La restrizione di una funzione  a un insieme  contenuto nel suo dominio è abitualmente indicata con .

Funzioni di due o più variabili 
Quando il dominio di una funzione  è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, e dunque la funzione agisce su -uple di elementi di insiemi, allora l'immagine del vettore di questi elementi  viene indicata con la notazione

In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di vettore. A tal proposito in fisica si parla di campo.

Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa un vettore di due numeri naturali  e  al loro prodotto: . Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio , l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore:  e quindi si tratta di una funzione di un insieme  in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importante nello studio dei sistemi di equazioni differenziali la teoria della funzione di matrice:

Operazioni binarie 
Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano  a valori in , e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè  (e non ) per descrivere l'immagine della coppia  tramite l'operazione .

Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme  dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.

Funzioni a più valori 
Se il codominio di una funzione  è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.

Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:

Una funzione è invece detta polidroma nel caso in cui esista almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione

che associa a ogni numero reale positivo l'insieme delle sue due radici quadrate. Un esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.

Tipologia 
Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse, e che vengono classificate seguendo diversi criteri.

Classificazione puramente insiemistica 
 Funzione iniettiva
 Funzione suriettiva
 Funzione biunivoca
 Endofunzione
 Permutazione
 Involuzione

Classificazione delle funzioni nell'ambito della teoria della calcolabilità 
 Funzione ricorsiva primitiva
 Funzione calcolabile
 Funzione ricorsiva (secondo la Tesi di Church-Turing, funzioni ricorsive e funzioni calcolabili sono la stessa cosa)
 Funzione ricorsiva totale
 Funzione enumerativa

Classificazione delle funzioni nell'ambito dell'analisi matematica 
 Funzione algebrica e funzione trascendente
 Funzione analitica
 Funzione antiolomorfa
 Funzione armonica
 Funzione cilindrica
 Funzione concava
 Funzione continua
 Funzione convessa
 Funzione crescente, funzione decrescente e funzione monotona
 Funzione differenziabile
 Funzione integrabile
 Funzione integrale
 Funzione lipschitziana
 Funzione liscia
 Funzione meromorfa
 Funzione olomorfa
 Funzione pari e funzione dispari
 Funzione polinomiale
 Funzione razionale fratta

Alcune funzioni notevoli 
 Funzione Beta, funzione Gamma, funzione zeta di Riemann
 Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante
 Funzione identità
 Funzione esponenziale, logaritmo

Funzioni di interesse probabilistico e statistico 
 Funzione di ripartizione
 Funzione di probabilità
 Funzione di densità
 Funzione generatrice dei momenti
 Funzione caratteristica

Operazioni elementari su funzioni di variabile reale a valori reali
Data una funzione  di variabile reale a valori reali e una costante , su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice n-esima ovvero:

se  si ha anche

se  si ha anche

e se  intero maggiore di 1, e se  pari si deve avere anche , si ha anche

Date due funzioni  e  di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ossia:

se  si ha anche

se  (o  nel caso in cui ) si ha anche

Composizione 
Date due funzioni  e  si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima  ad  e quindi applicando  al risultato .

Questa nuova funzione viene denotata con  (si legge: "g composta f" oppure "g composto f"). Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento  del dominio si può scrivere

Traslazione
Data una funzione  di variabile reale a valori reali e una costante :

 la sua traslata rispetto all'asse  verso destra è 
 la sua traslata rispetto all'asse  verso sinistra è 
 la sua traslata rispetto all'asse  verso l'alto è 
 la sua traslata rispetto all'asse  verso il basso è

Simmetria
Data una funzione  di variabile reale a valori reali:

 la simmetrica di  rispetto all'asse  è 
 la simmetrica di  rispetto all'asse  è

Note

Bibliografia 
 
 
 
 Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203
 Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi Matematica Uno, Liguori Editore, 1998, ISBN 9788820728199
 Enrico Giusti, Analisi Matematica 1, Boringhieri, 2002, ISBN 9788833956848

Voci correlate 
 Dominio e codominio 
 Immagine (matematica)
 Grafico di una funzione
 Funzione di variabile reale
 Funzione definita a tratti
 Parte positiva e parte negativa di una funzione
 Studio di funzione
 Storia della nozione di funzione matematica
 Analisi matematica, integrale, derivata
 Funzione speciale
 Funzione periodica
 Funzionale
 Funzione parziale
 Applicazione parziale
 Serie di funzioni
 Serie formale di potenze
 Equazione differenziale
 Equazione funzionale
 Teoria delle categorie

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Matematica di base
Teoria degli insiemi