Summe

Eine Summe bezeichnet in der Mathematik das Ergebnis einer Addition sowie auch die Darstellung der Addition. Im einfachsten Fall ist eine Summe also eine Zahl, die durch Zusammenzählen zweier oder mehrerer Zahlen entsteht. Dieser Begriff besitzt viele Verallgemeinerungen. So sprach man früher beispielsweise von summierbaren Funktionen und meinte damit integrierbare Funktionen.

Wortgeschichte und -bedeutungen 
Das Wort Summe wurde im Mittelhochdeutschen von lateinisch summa entlehnt. Summa war bis in das 19. Jahrhundert neben Summe gebräuchlich und geht auf summus zurück, einen der lat. Superlative zu superus „oberhalb befindlich, der/die/das Höhere/Obere“, die folglich „der/die/das Höchste/Oberste“ bedeuten. „Das Oberste“ deshalb, weil die Römer die Summe in der obersten Zeile, also über den Summanden, zu notieren pflegten und nicht, wie heute üblich, „unterm Strich“.

In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist oder nicht.

Summe als Ergebnis und Darstellung einer Addition 
In dem mathematischen Term

heißen die Zahlen 2 und 3 Summanden. Der gesamte Term  wird ebenso wie das Ergebnis 5 als die „Summe von 2 und 3“ bezeichnet.

Man kann eine Summe mit mehr als zwei Summanden bilden, so zum Beispiel . Eine häufige Konvention ist dabei, bei Linksklammerung die Klammern einfach wegzulassen, also  einfach mit  abzukürzen. Aufgrund der Assoziativität der Addition von natürlichen Zahlen spielt es hier übrigens für das Ergebnis keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Additionen auszuführen sind. So gilt:

Mit dem Gleichheitszeichen wird dabei die Gleichheit der Ergebnisse der beiden unterschiedlichen Terme ausgedrückt.

Aufgrund des Kommutativgesetzes der Addition von natürlichen Zahlen ist auch die Reihenfolge der Summanden irrelevant, zum Beispiel gilt:

Wird -mal die gleiche Zahl  addiert, dann kann die Summe auch als Produkt  geschrieben werden. Zum Beispiel:

Gewichtete Summe 
In einigen Fällen werden die einzelnen Summanden nicht einfach addiert, sondern zuvor noch mit einem Gewicht multipliziert:

Zum Beispiel:

In diesem Fall spricht man von einer gewichteten Summe. Teilt man die gewichtete Summe durch die Summe der Gewichte, erhält man das gewichtete arithmetische Mittel.

Summe einer Folge, Reihe 
Wenn eine Summe sehr viele Summanden hat, ist es zweckmäßig, eine abgekürzte Schreibweise zu vereinbaren. Die Summe der ersten 100 natürlichen Zahlen kann zum Beispiel als

angegeben werden, denn es ist leicht zu erraten, welche Summanden durch die Auslassungspunkte ersetzt wurden.

So wie man in der elementaren Arithmetik von Zahlenrechnungen wie  zu Buchstabenrechnungen wie  übergeht, kann man z. B. auch die Summe von hundert ganz bestimmten Zahlen zur Summe einer beliebigen Anzahl beliebiger Zahlen verallgemeinern. Dazu wird zunächst eine Variable gewählt, zum Beispiel , die die Anzahl der Summanden bezeichnet. Im obigen Fall, der Summe der ersten einhundert natürlichen Zahlen, wäre . Da beliebig große  zugelassen sein sollen, ist es nicht möglich, alle  Summanden mit  verschiedenen Buchstaben zu bezeichnen. Stattdessen wird ein einzelner Buchstabe, z. B. , gewählt und um einen Index ergänzt. Dieser Index nimmt nacheinander die Werte  an. Die Summanden heißen dementsprechend . Sie bilden somit eine Zahlenfolge.

Wir können nun für beliebige natürliche Zahlen  die Summe der ersten  Glieder der Zahlenfolge als

schreiben. Wenn man für  verschiedene Werte  einsetzt, bilden die  ihrerseits ebenfalls eine Folge. Eine solche Folge von Partialsummen über die Anfangsglieder einer Folge wird als Reihe bezeichnet.

Beispiel: Für die Folge der Quadratzahlen ist , , . Ganz allgemein gilt:

Die Folge der Partialsummen dieser Folge beginnt mit , , . Eine Summationsformel besagt nun für beliebige :

Weitere Summationsformeln wie zum Beispiel Der kleine Gauß

finden sich in der Formelsammlung Arithmetik. Der Beweis solcher Formeln kann oft mittels vollständiger Induktion erfolgen.

Notation mit dem Summenzeichen 

Summen über endliche oder unendliche Folgen können statt mit Auslassungspunkten auch mit dem Summenzeichen notiert werden:

Das Summenzeichen besteht aus dem großen griechischen Buchstaben Σ (Sigma), gefolgt von einem Folgenglied, das durch einen zuvor nicht benutzten Index (hier ) bezeichnet wird. Dieser Index wird oft als Laufindex oder Summationsvariable bzw. Lauf- oder Zählvariable bezeichnet. Hierfür wird oft einer der Buchstaben  verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden.

Einfaches Beispiel: .

Welche Werte die Laufvariable annehmen kann, wird an der Unterseite, gegebenenfalls auch der Oberseite des Zeichens Σ angezeigt. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten:
 Entweder wird unten ein Start- und oben ein Endwert angegeben (hier:  und ). Der Laufindex wird in der Regel nur unten angeschrieben; ausführlicher, aber recht ungebräuchlich, ist 
 Oder es werden unten eine oder mehrere Bedingungen für die Zählvariable angegeben. Das obige Beispiel kann also auch durch  notiert werden.

Diese Angaben können reduziert oder weggelassen werden, wenn angenommen werden kann, dass der Leser sie aus dem Kontext heraus zu ergänzen vermag. Hiervon wird in bestimmten Zusammenhängen ausführlich Gebrauch gemacht: In der Tensorrechnung vereinbart man häufig die einsteinsche Summenkonvention, der zufolge sogar das Summationszeichen weggelassen werden kann, da aus dem Kontext klar ist, dass über alle doppelt vorkommenden Indizes zu summieren ist. Hier eine Animation zur Sigma-Schreibweise:

Formale Definition 
Sei  eine (Index-)Menge,  ein kommutatives Monoid.
Für jedes  sei ein  gegeben.
Dann kann  zumindest für endliche Indexmengen durch Rekursion definiert werden:
Man setzt

und ansonsten

nach Wahl eines beliebigen Elementes . Kommutativität und Assoziativität der Addition in  garantieren, dass dies wohldefiniert ist.

Die Schreibweise  mit  ist in diesem Sinne nur eine Abkürzung für  mit .

Falls  unendlich ist, ist  allgemein nur definiert, falls  für fast alle  gilt. In diesem Fall setzt man

Rechts steht nach Voraussetzung eine endliche Indexmenge, also eine wie oben definierte Summe.

Sind unendlich viele  ungleich 0, dann handelt es sich trotz gleichartiger Schreibweise nicht mehr um eine Summe, sondern eine Reihe (siehe unten).

Klammerkonventionen und Rechenregeln 
Wird das Folgeglied als Summe (oder Differenz) mitgeteilt, so muss es in Klammern geschrieben werden:

Wird das Folgeglied als Produkt (oder Quotient) mitgeteilt, so ist die Klammer überflüssig:

Vorsicht: Allgemein gilt:
.

Besondere Summen 
Für  besteht die Summe aus einem einzigen Summanden :

.

Für  hat man eine sogenannte leere Summe, die gleich 0 ist, da die Indexmenge  leer ist:
 für .

Ist das allgemeine Folgeglied konstant (genauer: unabhängig von der Laufvariablen ), kann die Summe zu einem einfachen Produkt umgeschrieben werden:
 für .

Doppelsummen 
Auch über Summen kann wieder summiert werden. Das ist insbesondere dann sinnvoll, wenn die erste, die „innere“ Summe, einen Index enthält, der als Laufindex für die „äußere“ Summe verwendet werden kann. Man schreibt zum Beispiel:

Dabei gilt die Regel: .

In der mathematischen Physik gilt für Doppelsummen zudem folgende Konvention:

Ein Apostroph am Summenzeichen besagt, dass bei der Summation Summanden auszulassen sind, für die die beiden Laufvariablen übereinstimmen:

Reihe 

Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel

mit (abzählbar) unendlich vielen Summanden ungleich null, müssen Methoden der Analysis angewendet werden, um den entsprechenden Grenzwert

zu finden, falls er existiert. Eine solche Summe wird unendliche Reihe genannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol  für Unendlichkeit.

Wichtige Unterschiede zwischen Reihen und echten Summen sind beispielsweise:
 ist nicht für beliebige  definiert (d. h. konvergent).
 Konvergenz und Wert können von der Reihenfolge der Summanden abhängen.
 Auch die Vertauschung von Doppelsummen lässt sich nicht immer auf (Doppel-)Reihen übertragen.
 Fehlende Abgeschlossenheit: Beispielsweise ist  irrational, obwohl alle Summanden rational sind.

Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die  als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe

für Primzahlen  und mit der Ganzzahl-Funktion  zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich null. (Diese Summe gibt an, wie oft der Faktor  in der Primfaktorzerlegung von  vorkommt.)

Verwandte Begriffe 
 Die disjunkte Vereinigung von Mengen hat eine gewisse formale Ähnlichkeit mit der Addition von Zahlen. Sind beispielsweise  und  endliche Mengen, so ist die Anzahl der Elemente von  gleich der Summe der Elementanzahlen von  und . Das kartesische Produkt ist distributiv über dieser Summenbildung:

 Die aus kategorieller Sicht analoge Konstruktion für Vektorräume oder abelsche Gruppen wird als direkte Summe bezeichnet; allgemein spricht man von einem Koprodukt.
 Eine Teleskopsumme ist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben.
 Als Pythagoreische Summe bezeichnet man eine der Addition ähnliche Rechenoperation, bei der die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate mehrerer Größen berechnet wird.

Siehe auch 
 Produkt (Mathematik)

Weblinks 

Addition