Funzione Gamma

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo  si ha:
,
dove  denota il fattoriale di  cioè il prodotto dei numeri interi da  a : .

Definizione 

La notazione  è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso  è positiva, allora l'integrale

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della  a tutti i numeri complessi , anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

per cui si ha:

.

In questo modo, la definizione della  può essere estesa dal semipiano  a quello  (ad eccezione del polo in ), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in ).

Siccome , la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali , che:

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

che si ottiene ponendo , e quindi , ottenendo quindi

Espressioni alternative 

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

dovuta a Gauss,

dove  è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione 

 

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

In questa formula sono espliciti i poli di ordine  e residuo  che la funzione Gamma ha in , per ogni  intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

dove è stato fatto uso della relazione .

Proprietà 

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

e quella di duplicazione:

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

la quale per  diventa: 

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica  .

Le derivate della funzione Gamma:

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

dove  è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

dove  è la costante di Eulero-Mascheroni. 

Si ha, inoltre:

che per  intero positivo si riduce ad una somma finita

dove  è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a  si ha, ancora,

che per  diverge, mentre per  diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine  è definita nel modo seguente:

 .

Valori notevoli 

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

che si può trovare ponendo  nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di 

dove  denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità 

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia

Voci correlate 
 Funzione gamma incompleta
 Funzione digamma
 Funzione poligamma
 Teorema di Bohr-Mollerup
 Funzione beta di Eulero
Distribuzione chi quadrato
 Variabile casuale Gamma
 Approssimazione di Stirling
 Funzione (matematica) - Integrale
 Teorema di Hölder

Altri progetti

Collegamenti esterni
 
Capitolo dedicato alla Gamma Function nella Digital Library of Mathematical Functions

Funzioni speciali