Teorema della probabilità totale

Il teorema della probabilità totale consente di calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno di due o più eventi, ovvero la probabilità dell'unione di essi. Il teorema ha due diverse formulazioni, a seconda che si considerino solo eventi a due a due incompatibili o eventi qualsiasi.

Eventi incompatibili 
Dato un insieme  finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale alla somma delle probabilità degli eventi.

Questa è una prima formulazione del teorema, che si dimostra come segue.

Nel caso di due eventi  e  incompatibili, se cioè , si applica il terzo assioma della probabilità:

Si dimostra per induzione che ciò vale anche per un insieme finito di eventi  a due a due incompatibili, ovvero che:

Essendo la probabilità una funzione di insieme continua, essendo quindi:

il risultato può essere esteso ad unioni numerabili di eventi:

Infatti:
 dalla definizione di limite per successioni di insiemi crescenti si ha:
;
 dalla continuità delle funzioni di probabilità segue:

Esempio 
Se si lancia un dado, e si indicano con  gli eventi "ottengo ", ..., "ottengo ", gli eventi sono a due a due incompatibili ed hanno ciascuno probabilità pari a . La probabilità dell'evento "ottengo un numero maggiore di " è:

Eventi qualsiasi 
Dato un insieme finito  di eventi, la probabilità dell'unione di tutti gli eventi è uguale a:

dove ciascuna somma  è calcolata per tutti gli  possibili sottoinsiemi di  elementi dell'insieme .

È questa la formulazione più generale del teorema, che vale anche per eventi non incompatibili e si dimostra come segue.

Se gli eventi considerati non sono a due a due incompatibili, si deve tenere conto delle loro intersezioni. In particolare, la probabilità di due eventi  e , in generale, è pari alla somma delle singole probabilità  e  diminuita della probabilità della loro intersezione:

Infatti, scomponendo sia  che  in unioni di insiemi disgiunti ed applicando ad esse il quarto assioma, si ha:

Sottraendo membro a membro le due equazioni si ha:

da cui segue la formula data sopra.

Con più di due eventi, alla somma delle probabilità di ciascuno si deve sottrarre la somma delle loro intersezioni due a due, poi aggiungere la somma delle loro intersezioni tre a tre e così via. Nel caso di tre eventi  e , si ha:

La formula per il caso di  eventi si dimostra per induzione (v. anche il principio di inclusione-esclusione).

Il teorema nella sua forma generale non può essere esteso a unioni numerabili di eventi. In tali casi risulta applicabile solo la disuguaglianza di Boole.

Esempi 
Se si lanciano due dadi e si indicano con  l'evento "il primo dado dà ", con  l'evento "il secondo dado dà ", l'evento "almeno un dado dà " è unione di due eventi non incompatibili, in quanto può verificarsi anche la loro intersezione ("entrambi i dadi danno "). La probabilità di ottenere almeno un  (anche più di uno quindi) è dunque:

In un ristorante vi sono 3 sale ed entrano 10 persone, ciascuna delle quali sceglie a caso una sala. Qual è la probabilità che almeno una delle sale resti vuota? Le persone possono scegliere le sale in  modi diversi (numero delle disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 10); vi sono  modi di lasciar vuota una sala (le 10 persone si dispongono solo in due sale). Indicando con  l'evento "rimane vuota la esima sala", le probabilità sono:

La probabilità dell'evento "rimane vuota una sala" è:

in quanto potrebbero restarne vuote due (un solo caso possibile: tutti nell'altra).

Note

Voci correlate 
 Probabilità
 Principio di inclusione-esclusione
 Probabilità condizionata
 Indipendenza stocastica
 Teorema della probabilità composta
 Teorema della probabilità assoluta
 Teorema di Bayes
 Legge delle aspettative iterate
 Legge della varianza totale

Collegamenti esterni 
 

Probabilità totale