Ciało skończone

Ciało skończone lub ciało Galois – ciało skończonego rzędu, tj. o skończonej liczbie elementów; druga z nazw pochodzi od nazwiska Évariste’a Galois, który znacząco przyczynił się do rozwoju badań nad ciałami skończonymi (zob. Rys historyczny).

Galois wskazał ich zastosowanie w tzw. teorii Galois dającej m.in. definitywną odpowiedź na pytania o rozstrzygnięcie możliwości wykonania klasycznych konstrukcji w geometrii euklidesowej czy też zgrabnie uzasadniającej brak ogólnych wzorów na pierwiastki wielomianów wyższych stopni.

 W artykule za naturalne uważa się dodatnie liczby całkowite, ciało proste o  elementach (tzn. rzędu  gdzie  jest liczbą pierwszą) oznaczane będzie zamiennie jednym z symboli  oraz  inną stosowaną notacją jest  (od ang. Galois field, ciało Galois).

Konstrukcja i własności 

Niech  będzie liczbą pierwszą, a  będzie unormowanym (monicznym) wielomianem nierozkładalnym stopnia  należącym do  (tj. zmiennej  o współczynnikach z ciała ). Pierścień  (pierścień ilorazowy  przez ideał główny generowany przez  który jest ideałem maksymalnym, co wynika z nierozkładalności i unormowania ) jest wtedy ciałem (reszt) rzędu . Każde ciało skończone ma rząd wyrażający się naturalną potęgą liczby pierwszej, a ponadto jest izomorficzne z  dla pewnej liczby pierwszej  i unormowanego wielomianu nierozkładalnego  należącego do  (grupa multiplikatywna ciał skończonych jest cykliczna).

Dowolne ciało skończone można opisać jako ciało rozkładu wielomianu wyłącznie w zależności od rzędu ciała: ciało skończone o rzędzie  będącym potęgą liczby pierwszej jest ciałem rozkładu wielomianu  nad ciałem ; wynika stąd, że ciała skończone tego samego rzędu są izomorficzne. Wychodząc stąd, można dowieść istnienia ciał skończonych dowolnego rzędu będącego potęgą liczby pierwszej. Dla dowolnej liczby pierwszej  i naturalnej liczby  istnieje unormowany wielomian nierozkładalny stopnia  należący do . Podciała  są rzędu  gdzie  przy czym istnieje jedno i tylko jedno takie ciało dla każdego .

Zbiór pierwiastków wielomianu  zawiera wszystkie elementy  zatem ciało to jest ciałem rozkładu tego wielomianu rozdzielczego nad ciałem  Stąd ciało  jest rozszerzeniem Galois – zasadniczą cechą ciał skończonych jest to, iż grupa Galois  jest cykliczna i ma kanoniczny generator w postaci endomorfizmu Frobeniusa . Jeśli  jest wielomianem nierozkładalnym stopnia  i ma pierwiastek  w pewnym rozszerzeniu ciała  to jego pierwiastki tworzą zbiór złożony z elementów .

Powyższe twierdzenia można uogólnić, zastępując ciało  rzędu wyrażającego się pewną liczbą pierwszą  ogólnym ciałem  rzędu  wykorzystując obserwację, iż dla każdego  zachodzi  zatem rolę endomorfizmu Frobeniusa  dla skończonych rozszerzeń  przejmuje odwzorowanie  dla skończonych rozszerzeń .

Ciała skończone nie są algebraicznie domknięte (dla każdego jednak ciała istnieje ciało algebraicznie domknięte je zawierające). Twierdzenie Wedderburna mówi, że każdy skończony pierścień całkowity (w szczególności: pierścień z dzieleniem) jest przemienny, a więc jest ciałem (skończonym); teza zachodzi również dla pierścieni alternatywnych, czyli przy zrezygnowaniu z założenia łączności pierścienia na rzecz jego alternatywności, o czym mówi twierdzenie Artina-Zorna.

Przykłady 
Pierścień  tworzy ciało 7-elementowe; jego elementami są ideały  z naturalnie określonymi działaniami (zob. pierścień ilorazowy). Innym ciałem 7-elementowym jest pierścień  o elementach  z działaniami arytmetyki modularnej; ciało to ma tę postać, co  W gruncie rzeczy wszystkie ciała o 7 elementach mają tę samą strukturę. Pierścień  nie jest ciałem, ponieważ ma on (właściwy) dzielnik zera 2; skoro  to 2 jest niezerowym elementem nieodwracalnym (a więc przeczy definicji ciała, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny). Tabliczki działań dodawania i mnożenia w jedynym (z dokładnością do izomorfizmu) 4-elementowym ciele 
(wielomian  jest jedynym nierozkładalnym wielomianem drugiego stopnia nad ) przedstawiono niżej:
 

Odpowiednio 8- i 9-elementowe pierścienie  i  nie są poprawnymi konstrukcjami ciał – pierścień  jest ciałem wyłącznie wtedy, gdy  jest liczbą pierwszą – niemniej ciała skończone tych rzędów istnieją: ciałami rzędu 8 są np.  oraz  a przykładami ciał rzędu 9 są np.  bądź  albo  – są to wszystkie ciała postaci  dla unormowanego wielomianu  dla  i  czyli rzędu  innym ciałem rzędu 9 jest  które jest izomorficzne z  a nawet wszystkimi innymi ciałami rzędu 9. Wielomian  jest nierozkładalny w  zatem  jest ciałem rzędu 

Zbiór niezerowych elementów ciała  tworzy grupę (cykliczną) rzędu 8; element  nie generuje tej grupy – jego kolejnymi potęgami są  jednakże element  jest jej generatorem – jego kolejne potęgi to  (w pozostałych ciałach rzędu 9 w „modelu wielomianowym”, generatorem grupy multiplikatywnej jest ).

Wielomian  jest nierozkładalny w  jednym z jego pierwiastków w ciele  jest element  dwoma pozostałymi są  Ponieważ  w  to  (gdyż ), zatem  skąd wynika, że pierwiastki  w  można zapisać jako  Element  jest jednym z pierwiastków  w  dwoma pozostałymi są  oraz 

Element  ciała  ma wielomian minimalny  nad  Pozostałymi dwoma pierwiastkami tego wielomianu są nad  oraz  potęgi tych elementów można zredukować, korzystając z tożsamości  mianowicie:  oraz

Rys historyczny 
Ciała o rzędzie wyrażającym się liczbą pierwszą,  były przedmiotem badań wielu pionierów teorii liczb, m.in. Pierre’a de Fermata, Leonharda Eulera, Josepha Louisa Lagrange’a, Adriena-Marie Legendre’a, czy Carla Friedricha Gaussa. Pierwszym matematykiem piszącym o innych ciałach skończonych był Évariste Galois, który przedstawił o nich pracę w 1830 roku (ciałami o rzędach niewyrażających się liczbami pierwszymi zajmował się wcześniej Gauss, co odkryto jednak dopiero po jego śmierci w 1855 roku, wydając jego prace na ten temat w 1863 roku, lecz przeszły one bez większego echa).

Galois konstruował ciała skończone jako rozszerzenia pojedyncze  gdzie  jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego  zmiennej  nad ciałem  (tzn. należącego do ); jest to równoważne rozpatrywaniu  Galois nie pokazał, że w  istnieje wielomian nierozkładalny dowolnego stopnia.

W 1893 roku na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Chicago Eliakim Hastings Moore dowiódł, że każde ciało skończone jest izomorficzne z ciałem postaci  twierdzenie opatrzył komentarzem „Nigdzie indziej nie widziałem sformułowania tego interesującego wyniku”. Moore był pierwszą osobą, która użyła angielskiego słowa field (dosł. „pole”) w sensie algebraicznym, choć traktował je jako synonim niemieckiego endlicher Körper (dosł. „ciało skończone”). Każde skonstruowane ciało postaci  nazywał on ciałem Galois, były więc one dla niego konkretnymi modelami wszystkich ciał skończonych. W informatyce wyrażenie Moore’a „ciało Galois” jest synonimem ciała skończonego, a stosowana przez niego notacja  (od ang. Galois field) stosowana jest często zamiast

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa 
 
 Rudolf Lidl, Harald Niederreiter, „Finite Fields”, Addison-Wesley 1983.

Linki zewnętrzne 
 

 
Rodzaje ciał
Teoria informacji