Przestrzeń zupełna

Przestrzeń metryczna zupełna – przestrzeń metryczna o takiej własności, że każdy ciąg Cauchy’ego utworzony z punktów tej przestrzeni ma granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni.

Przestrzeń nazywa się niezupełną, jeśli istnieje choć jeden ciąg utworzony z punktów tej przestrzeni, którego granica nie należy do tej przestrzeni. Np. przestrzeń liczb wymiernych z metryką euklidesową nie jest zupełna, gdyż np. można utworzyć ciąg liczb wymiernych, który jest zbieżny do liczby , która jest niewymierna (patrz przykłady poniżej). Przestrzeń niezupełną można uzupełnić o „brakujące” punkty tak, aby stała się zupełna. Np. zbiór liczb wymiernych uzupełniony o „brakujące” punkty staje się zbiorem liczb rzeczywistych.

Pojęcie zupełności wymaga istnienia metryki, pozwalającej określać granice ciągów – dlatego można je definiować tylko dla przestrzeni metrycznych. W szerszej klasie przestrzeni topologicznych, w ogólności niemetryzowalnych, wprowadza się analogiczne pojęcie zwartości przestrzeni.

Przykłady

Przestrzenie zupełne 
 Przestrzenie euklidesowe  n-wymiarowe z metryką euklidesową są przestrzeniami zupełnymi.
 Dowolny zbiór z topologią dyskretną jest przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny przez metrykę dyskretną.
 Z definicji przestrzenie Banacha są przestrzeniami unormowanymi, które są zupełne.
 Szerszą klasą zupełnych przestrzeni liniowo-metrycznych są F-przestrzenie.

Przestrzenie niezupełne 
 Dowolny przedział otwarty jedno- lub dwustronnie z metryką euklidesową nie jest zupełny. Np. przedział  nie jest zupełny, gdyż np. ciąg  jest ciągiem Cauchy’ego w nim zawartym, ale jego granica = 0 nie należy do tego przedziału.
 Zbiór liczb wymiernych  nie jest zupełny, gdyż np.
 ciąg  oraz  jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = 
 ciąg   jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna =  (liczba Nepera).

Zupełność jako niezmiennik 
Tw. 1 Zupełność jest niezmiennikiem metrycznym, tzn. jest zachowywana przy izometriach.

Tw. 2 Zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym.

Np. zbiór liczb rzeczywistych  oraz dowolny przedział obustronnie otwarty  są przestrzeniami wzajemnie homeomorficznymi (więc są to przestrzenie topologicznie nieodróżnialne); z drugiej strony zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią zupełną, zaś przedział otwarty  nie jest.

Dalsze własności 
Tw. 3 (Cantora) Przestrzeń jest zupełna  każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.

Tw. 4 W przestrzeni metrycznej zupełnej przeliczalna suma domkniętych zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym.

Tw. 5 Przestrzeń metryczna jest zupełna i całkowicie ograniczona  przestrzeń metryczna jest zwarta.

Tw. 6 Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.

Twierdzenie Hausdorffa 
Tw. Hausdorffa (o uzupełnieniu przestrzeni metrycznej)
 Dla każdej przestrzeni metrycznej  istnieje przestrzeń metryczna zupełna  oraz zanurzenie izometryczne  dla którego  jest gęstą podprzestrzenią  Przestrzeń  nazywa się uzupełnieniem przestrzeni 
 Ponadto jeśli  jest przestrzenią zupełną oraz istnieje izometryczne zanurzenie  dla którego  jest gęstą podprzestrzenią  to  i  są izometryczne.

Innymi słowy:
 Każda przestrzeń metryczna ma jedyne uzupełnienie – z dokładnością do izometrii.

Zobacz też 
 przestrzeń ośrodkowa
 przestrzeń spójna
 przestrzeń topologiczna
 przestrzeń topologicznie zupełna
 przestrzeń zwarta

Przypisy

Bibliografia 
 W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.

Geometria metryczna