Para uporządkowana

Para uporządkowana – każdy obiekt matematyczny powstały z dowolnych dwóch elementów  w którym  może być określony jako pierwszy, a  jako drugi element pary; nazywa się je odpowiednio poprzednikiem oraz następnikiem pary (w innych kontekstach używa się też innych określeń, np. pierwsza/druga współrzędna, rzut lewo-/prawostronny). Parę złożoną z wymienionych elementów oznacza się zwykle symbolem  choć stosuje się też inne notacje, gdy można by go mylnie wziąć za inny obiekt (np. za przedział otwarty w zbiorze liczb rzeczywistych), przykładowo  (którym oznacza się również iloczyn skalarny).

Podstawową własnością par uporządkowanych jest to, że
 Własność charakteryzująca
  wtedy i tylko wtedy, gdy  oraz 

Wynika stąd, że  wtedy i tylko wtedy, gdy 

Parę uporządkowaną  należy odróżniać od pary nieuporządkowanej  która jest zbiorem utworzonym z elementów  toteż 

Prototypowym przykładem pary uporządkowanej są współrzędne punktu na płaszczyźnie.

Iloczyn kartezjański 
Zbiór wszystkich par uporządkowanych, których poprzednik należy do zbioru  a następnik do zbioru  nazywa się iloczynem kartezjańskim  oraz  oznaczanym symbolem
 

Relacja dwuargumentowa nad dziedziną  jest formalnie definiowana jako zbiór tych par  które pozostają w danej relacji, a zatem jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego 

W teorii mnogości pojęcie funkcji  definiuje się jako zbiór par uporządkowanych  a więc też jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego

Definicje teoriomnogościowe 
Pojęcie pary uporządkowanej, intuicyjnie oczywiste, sprawia poważne trudności przy próbach zdefiniowania go w terminach aksjomatycznej teorii mnogości. Nie można bowiem wtedy użyć takich określeń jak np. „kolejność elementów” czy „pierwsze miejsce”. Felix Hausdorff był świadom, że jego definicja, w której używał symboli  i  ma ten mankament, że owe  i  nie mogą być symbolami liczb 1 i 2: gdy  lub  byłyby liczbami 1 lub 2 doszłoby do kolizji oznaczeń.

Własność charakterystyczna par uporządkowanych, wspomniana wyżej, jest wszystkim co konieczne do zrozumienia istoty par uporządkowanych w matematyce. Dlatego para uporządkowana może być postrzegana jako pojęcie pierwotne, którego aksjomatem jest wspomniana własność charakteryzująca. Podejście to wykorzystywała grupa N. Bourbakiego w swojej Teorii mnogości wydanej w 1954 roku.

Niżej podano kilka definicji teoriomnogościowych pary uporządkowanej.

Definicja Wienera 
Pierwszą teoriomnogościową definicję pary uporządkowanej zaproponował w 1914 roku Norbert Wiener:
 

Zauważył on, że definicja ta umożliwiła zdefiniowanie typów Principia mathematica za pomocą zbiorów. W Principia Mathematica używano typów, dlatego relacje wszystkich arności są pojęciami pierwotnymi.

Definicja Hausdorffa 
Mniej więcej w tym samym czasie co Wiener (1914) swoją definicję zaproponował Felix Hausdorff:
 

„gdzie  i  są dwoma różnymi obiektami różnymi od  i .

Definicja Kuratowskiego 
W 1921 roku Kazimierz Kuratowski przedstawił do dzisiaj przyjmowaną definicję pary uporządkowanej 
 .

Definicja pozostaje prawidłowa, jeśli pierwsza i druga współrzędna są identyczne, tzn.
 

Dla danej pary uporządkowanej  własność „ jest pierwszym elementem” może być wyrażone jako
 

a własność „ jest drugim elementem ” jako
 

Należy zauważyć, że definicja ta jest dalej prawidłowa dla pary uporządkowanej
 

w tym przypadku wyrażenie
  jest spełnione trywialnie, ponieważ nigdy nie zachodzi przypadek 

Inną metodą jest skorzystanie z działań iloczynu i sumy zbiorów:
 
 

Wtedy  to jedyny element zbioru  Uzyskanie  wymaga rozważenia dwóch przypadków:
 jeśli  to  i 
 jeśli  to  a więc  czyli  to jedyny element tego zbioru.

Warianty 
Powyższa definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej jest „adekwatna” w tym sensie, iż spełnia własność charakteryzującą parę uporządkowaną (tzn. jeśli  to  i ), ale również arbitralna, ponieważ istnieje wiele innych adekwatnych definicji o podobnej lub mniejszej złożoności, jak na przykład:
 
 
 

Para „odwrócona” jest mało interesująca, ponieważ brak jej jakiejkolwiek oczywistej zalety (lub wady) względem pary Kuratowskiego. „Krótka” para jest tak nazywana, gdyż w jej definicji korzysta się z dwóch, a nie trzech, nawiasów. Ma ona jednak tę wadę, że dowód własności charakteryzującej parę (zobacz wyżej) wymaga użycia aksjomatu regularności (z ZFC). Co więcej, jeśli przyjmie się standardową definicję liczb naturalnych, to  jest zbiorem  który jest nieodróżnialny od pary

Dowód własności charakteryzującej 
Twierdzenie:  wtedy i tylko wtedy, gdy  oraz 

 Definicja Kuratowskiego Jeżeli  to
 
 oraz
 
 stąd  a więc 

 Jeżeli  to wtedy 

 Załóżmy, że  Wówczas  i dlatego  Ale wtedy  również równałoby się  czyli  co przeczy 

 Założenie  dające  przeczy 

 Dlatego  lub  oraz 

 Jeżeli byłoby prawdą, że  to  sprzeczność. A więc  i dlatego  i 

 Odwrotnie:  oraz  to  Stąd 

 Definicja odwrócona
 Prawdą jest, że  
 Jeżeli  to  stąd  oraz 

 W przeciwną stronę, jeżeli  i  to  a więc

Definicja Quine’a-Rossera 
Rosser (1953) przyjął definicję pary uporządkowanej pod wypływem Willarda Van Ormana Quine’a, która wymaga wcześniejszego zdefiniowania liczb naturalnych. Niech  będzie zbiorem liczb naturalnych oraz
 

Przyłożenie tej funkcji zwiększa o jeden liczbę naturalną w  W szczególności  nie zawiera liczby  a więc dla dowolnych zbiorów  oraz 
 

Parę uporządkowaną  definiuje się jako
 

Wydobycie wszystkich elementów z pary nie zawierających  i anulowanie  daje  Podobnie można odzyskać  z elementów pary zawierających 

W teorii typów oraz w teoriach mnogości takich jak New Foundations, które zasadzają się na teorii typów, para ta ma ten sam typ co jej rzuty (stąd też nazywa się ją parą uporządkowaną „typ-poziom”). Dlatego definicja ta ma tę zaletę, iż funkcja zdefiniowana jako zbiór par uporządkowanych ma typ tylko o jeden wyższy niż typ jej argumentów. Szczegółowe informacje o parze uporządkowanej w kontekście teorii mnogości Quine’a znajdują się w pozycji Holmesa (1998).

Definicja Morse’a 
Teoria mnogości Morse’a-Kelleya (Morse, 1965) korzysta w swobodny sposób z klas właściwych. Morse zdefiniował parę uporządkowaną tak, aby jej rzuty mogły być, obok zbiorów, klasami właściwymi (definicja Kuratowskiego na to nie zezwala). Najpierw zdefiniował on pary uporządkowane, których rzuty są zbiorami, na modłę Kuratowskiego. Następnie przedefiniował parę  jako  gdzie składowe iloczyny kartezjańskie są parami Kuratowskiego na zbiorach. To właśnie ten drugi krok sprawia, że prawidłowe są pary, których rzuty są klasami właściwymi. Powyższa definicja Quine’a-Rossera również umożliwia użycie klas właściwych jako rzutów.

Trójki, czwórki... n-ki uporządkowane 

Pary uporządkowane mogą mieć za elementy inne pary uporządkowane. Z tego powodu para uporządkowana może służyć definicji rekurencyjnej krotek (n-tek) uporządkowanych (uporządkowanych list n-elementowych). Na przykład trójka uporządkowana  może być zdefiniowana jako  jedna para zagnieżdżona w innej. To podejście znajduje swoje odzwierciedlenie w językach programowania komputerów, gdzie można skonstruować listę elementów za pomocą zagnieżdżonych par uporządkowanych: lista  oznacza  Język Lisp używa tego typu list jako podstawowej struktury danych.

Za pomocą pojęcia pary uporządkowanej można zdefiniować indukcyjnie kolejno trójki, czwórki, piątki... n-tki uporządkowane. W żargonie informatycznym pojęcia te występują zbiorczo pod nazwą krotek (n-elementowych).

Dla  n-tkę uporządkowaną
 

definiuje się jako parę uporządkowaną
 

lub
 

Do celów technicznych można przyjąć umowę, że
 

oraz

Przypisy 

Teoria mnogości