Trasformata di Legendre

In analisi funzionale, il funzionale di Legendre o trasformazione di Legendre, è un funzionale  involuzione che fu definito da Adrien-Marie Legendre. La funzione risultato si chiama di solito trasformata, come per le trasformate integrali di Laplace, Fourier, ecc. Consente un importante cambiamento di variabile per funzioni dotate di alcune proprietà. Il funzionale è l'inverso di sé stesso

È molto importante in termodinamica: le funzioni energia (energia interna, entalpia, energia libera di Gibbs) sono infatti legate tra loro da trasformazioni di Legendre.

L'argomento del funzionale di Legendre è una funzione convessa a valori reali di variabile reale, e il risultato è un'altra funzione convessa dipendente esplicitamente dalla derivata dell'argomento.

Definizione 
La trasformata di Legendre  di una funzione convessa reale  è data da:

Nel caso  sia differenziabile la trasformata  può essere vista come il valore cambiato di segno dell'intercetta sull'asse  di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza . Per calcolare l'estremante di  rispetto a , che è il punto  per cui è massima la distanza tra la funzione e la retta , se ne pone la derivata nulla:

quindi il valore massimo si verifica quando:

Nel caso  si ha:

e il vettore  coincide con il gradiente:

Scrivendo  in funzione di  e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:

dove nella relazione a destra si è esplicitata la dipendenza della trasformata da . La trasformata di Legendre trasforma  in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata  invece che da .

Funzione generatrice
Un modo di scrivere esplicitamente  si ottiene differenziando la funzione :

Introducendo la funzione ausiliaria  si ha:

essendo . Si ha pertanto:

La funzione ausiliaria  si chiama generatrice.

In generale, si dimostra che se  e  allora , dove  è la soluzione di . Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata a una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.

Definizione alternativa
La trasformata di Legendre  di  può anche essere definita come la trasformazione tale che la sua derivata prima e la derivata della funzione sono una la funzione inversa dell'altra. Detto  l'operatore di derivazione:

Infatti, derivando  rispetto a  si ha:

Pertanto, valgono le relazioni:

dove le funzioni  e  sono univocamente determinate a meno di una costante additiva, solitamente fissata con l'ulteriore condizione:

Funzioni di più variabili
Si consideri  il cui differenziale sia dato da:

Per costruire una funzione che dipenda da  e  (invece che  e ) si definisce . Differenziando:

da cui:

La funzione  è il risultato della trasformazione di Legendre di  in cui la variabile indipendente  è stata rimpiazzata da .

Esempio
Ad esempio, nel caso in cui  si ottiene che:

e quindi:

Con procedimento formale, invece, servendosi della generatrice in questo caso si ha:

e semplificando:

da cui:

Trasformazione in una dimensione
In una dimensione la trasformazione di Legendre di  può essere valutata con la formula:

Per mostrare ciò si considera la definizione:

Integrando entrambi i membri da  a , utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale nel membro a sinistra e sostituendo nel termine a destra:

si ha:

con:

Integrando per parti:

e quindi:

Dal momento che il termine a sinistra dipende solo da  e quello di destra solo da :

Risolvendo per  e scegliendo  si ottiene la relazione iniziale.

Hamiltoniana 

In analisi funzionale l'hamiltoniana  è data dalla trasformata di Legendre della lagrangiana del sistema , con:

Nel caso di sistemi a un grado di libertà (un'unica coordinata lagrangiana), e ricordando le equazioni di Eulero-Lagrange, il differenziale di  si scrive:

da cui:

Si è trasformata in questo modo la lagrangiana in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a , cioè dipendente da:

Se si pone , sapendo che il differenziale di , dipendente da  e , è:

uguagliando i membri si ottengono le equazioni di Hamilton:

dove  e  sono le sue variabili canoniche hamiltoniane. Si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.

Funzioni termodinamiche 

Per il primo principio della termodinamica si ha:

e per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili:

Sostituendo:

Assumendo come variabili libere (o naturali)  e , cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare :

da cui:

Usando il teorema di Schwartz si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell:

Ora si possono operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche e altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema.

 Entalpia :

 Energia libera di Helmholtz ( secondo la IUPAC,  secondo altre convenzioni):

 Energia libera di Gibbs :

Riassumendo si ha:

Note

Bibliografia

Voci correlate 
 Adrien-Marie Legendre
 Polinomi di Legendre
Equazione differenziale
 Trasformata di Fourier
 Trasformata di Laplace
 Meccanica hamiltoniana
 Funzione di stato

Altri progetti

Collegamenti esterni
 

Legendre
Meccanica razionale
Equazioni differenziali