Aksjomat wyboru

Aksjomat wyboru, pewnik wyboru, AC (od ) – aksjomat teorii mnogości gwarantujący istnienie zbioru zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do danej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych. Postulowany zbiór jest nazywany selektorem.

Aksjomat AC jest niezależny od powszechnie przyjmowanych aksjomatów Zermela-Fraenkla (ZF). Teorie mnogości oparte o aksjomaty ZF oraz aksjomat AC oznacza się zwykle skrótem ZFC. Można również rozważać teorie mnogości oparte na ZF, w których przyjęto negację AC.

Większość matematyków uznaje i stosuje AC, jednak w dowodach twierdzeń zazwyczaj wyraźnie zaznacza się, gdy zakłada się AC. Dowody te nazywa się nieefektywnymi; zwykle są one także niekonstruktywne, gdy mówią jedynie o istnieniu danego obiektu, jednak nie wskazują go (nie podają konstrukcji; por. intuicjonizm).

W przypadku rodzin zbiorów skończonych aksjomat wyboru jest trywialny (tzn. wynika z innych aksjomatów). W przypadku rodzin zbiorów nieskończonych aksjomat AC również wydaje się intuicyjny, jednak jego konsekwencje bywają zaskakujące. Na przykład Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli (kulę z trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej można rozłożyć na sześć części, a następnie z tych części można złożyć, korzystając wyłącznie z obrotów i przesunięć, dwie kule identyczne jak kula wyjściowa).

Definicja formalna 
Aksjomat wyboru podawany jest zwykle w następującej postaci:
 Dla każdej rodziny  niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór  (tzw. selektor), do którego należy dokładnie po jednym elemencie z każdego ze zbiorów należących do rodziny

Twierdzenia równoważne 
Wśród ważnych twierdzeń równoważnych aksjomatowi wyboru można wymienić następujące wyniki teorii mnogości:

 twierdzenie Tarskiego: Iloczyn kartezjański dowolnej rodziny zbiorów niepustych jest niepusty.Elementami iloczynu kartezjańskiego rodziny niepustych zbiorów  są wszystkie funkcje  spełniające warunek  dla każdego  gdzie  jest ustalonym zbiorem indeksów. Teza twierdzenia Tarskiego brzmi: istnieje chociaż jedna taka funkcja 
 twierdzenie Hessenberga: Każdy zbiór nieskończony jest równoliczny ze swoim kwadratem kartezjańskim, tj. 
 prawo trychotomii: Dla dowolnych zbiorów  zachodzi  albo  albo 
 twierdzenie Königa: Jeśli dla dowolnych liczb kardynalnych  spełniona jest nierówność  to  gdzie  przebiega zbiór indeksów 
 lemat Teichmüllera-Tukeya: Niech  będzie własnością skończonego typu, mogącą przysługiwać podzbiorom pewnego zbioru  każdy podzbiór tego zbioru mający wspomnianą własność jest zawarty w maksymalnym (ze względu na zawieranie) podzbiorze  mającym własność 
 twierdzenie Zermela: każdy zbiór można dobrze uporządkować.
 lemat Kuratowskiego-Zorna: w dowolnym niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym, w którym każdy podzbiór liniowo uporządkowany ma ograniczenie górne, istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny;
 twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym: każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany zawiera maksymalny (w sensie zawierania) podzbiór liniowo uporządkowany.

Twierdzenia słabsze 
Czasami matematycy asekurując się przed paradoksalnymi następstwami zakładania aksjomatu wyboru ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji. W wielu zastosowaniach są one wystarczające i, nierzadko, wygodniejsze. Część z nich jest podobna do samego aksjomatu wyboru: niektóre ograniczają tylko rozważane rodziny niepustych zbiorów, np. do skończonych (ACF), inne zakładają z kolei, że funkcja wyboru wybiera podzbiór każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu.

 Zasada wyboru (SP od ang. selection principle)
 Dla każdego zbioru  istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu, co najmniej dwuelementowemu podzbiorowi zbioru  pewien niepusty, właściwy podzbiór zbioru 

 Aksjomat wyboru dla zbiorów dających się dobrze uporządkować (ACWO, od ang. axiom of choice for well orderable sets)
 Dla każdego zbioru  istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element  każdemu niepustemu podzbiorowi zbioru  dającemu się dobrze uporządkować.

 Aksjomat wyboru dla zbiorów skończonych (ACF, od ang. axiom of choice for finite sets)
 Dla każdego zbioru  istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element  każdemu niepustemu, skończonemu podzbiorowi zbioru 

 Aksjomat wyboru dla zbiorów n-elementowych (Cn, od ang. axiom of choice for finite sets of n elements)
 Dla każdego zbioru  istnieje funkcja wybierająca po jednym elemencie z każdego -elementowego podzbioru zbioru 

 Przeliczalny aksjomat wyboru (CAC, od ang. countable axiom of choice, albo ACω)
 Dla każdej przeliczalnej rodziny zbiorów istnieje funkcja wyboru.

Inne wersje wynikają z aksjomatu wyboru, ale mają całkowicie od niego odmienną postać:
 aksjomat liniowego uporządkowania (OP, od ang. ordering principle)
 Każdy zbiór da się uporządkować liniowo.

 Aksjomat podziału (PP, od ang. partition principle)
 Każdy zbiór nieskończony da się podzielić na dwa nieskończone, rozłączne zbiory.

 Zasada wyborów zależnych (PDC, od ang. principle of dependent choices, albo DC)
 Jeśli  jest taką relacją na niepustym zbiorze  że dla dowolnego  istnieje  spełniający  to istnieje ciąg  dla którego  dla 

 Twierdzenie o ideale pierwszym (BPI, od ang. Boolean prime ideal theorem)
 Na każdej algebrze Boole’a istnieje ultrafiltr.

Prawdziwe są następujące ciągi implikacji:
 AC ⇒ PDC ⇒ CAC
 AC ⇒ SP ⇒ OP ⇒ ACF ⇒ ∀n Cn ⇒ Cm ⇒ PP
 AC ⇒ BPI ⇒ OP 
 AC ⇒ ACWO ⇒ ACF

Przykłady zastosowań aksjomatu 
Aksjomat wyboru (często w postaci lematu Kuratowskiego-Zorna) pojawia się w dowodach różnych wyników spoza teorii mnogości, choć często potrzebna jest jedynie jego słabsza wersja, na przykład:
 analiza matematyczna – równoważność definicji ciągłości funkcji według Cauchy’ego i Heinego
 teoria pierścieni – twierdzenie Krulla: każdy pierścień z jedynką ma ideał maksymalny (każdy ideał zawarty jest w pewnym ideale maksymalnym)
 algebra liniowa – twierdzenie Hamela: każda przestrzeń liniowa ma bazę (Hamela)
 algebra uniwersalna – twierdzenie Steiniza: każde ciało ma domknięcie algebraiczne
 analiza funkcjonalna – twierdzenie Hahna-Banacha oraz twierdzenie Krejna-Milmana
 topologia – twierdzenie Tichonowa: produkt przestrzeni zwartych jest zwarty.

Zobacz też 
 aksjomat determinacji

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
  Roman Duda, Kłopotliwy aksjomat wyboru, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 3 sierpnia 2016 [dostęp 2021-05-23].
  [dostęp 2023-06-01].
 
  Axiom of choice , Routledge Encyclopedia of Philosophy, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-08].

Wyboru