Distribuzione binomiale

In teoria della probabilità la distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli, ovvero la variabile aleatoria  che somma  variabili aleatorie indipendenti di uguale distribuzione di Bernoulli .

Esempi di casi di distribuzione binomiale sono i risultati di una serie di lanci di una stessa moneta o di una serie di estrazioni da un'urna (con reintroduzione), ognuna delle quali può fornire due soli risultati: il successo con probabilità  e il fallimento con probabilità .

Definizione 
In sostanza, una variabile o processo può essere definito binomiale se rispetta tutti i seguenti criteri:
 il risultato di ogni evento può essere considerato di due sole tipologie: positivo o negativo, + o -, bianco o nero, successo o fallimento, ecc...
 ciascun evento è indipendente da tutti gli altri possibili
 il processo o variabile assume un determinato e fissato numero intero di valori
 la probabilità di successo/fallimento di ogni evento è costante

La distribuzione binomiale  è caratterizzata da due parametri:
 : il numero di prove effettuate.
 : la probabilità di successo della singola prova di Bernoulli  (con ).
Per semplicità di notazione viene solitamente utilizzato anche il parametro , che esprime la probabilità di fallimento per una singola prova.

La distribuzione di probabilità è:

cioè ogni successione con  successi e  insuccessi ha probabilità , mentre il numero di queste successioni, pari al numero di modi (o combinazioni) in cui possono essere disposti i  successi negli  tentativi, è dato dal coefficiente binomiale .

La formula del binomio di Newton mostra come la somma di tutte le probabilità nella distribuzione sia uguale a :

Esempio 
Per calcolare la probabilità di ottenere con 5 lanci di un dado (equilibrato a 6 facce) esattamente 3 volte "4", basta considerare i lanci come un processo di Bernoulli.

Ogni singola prova ha probabilità p=1/6 di ottenere "4" (successo) e probabilità q=5/6 di non ottenerlo (insuccesso). Il numero di successi con 5 prove è allora descritto da una variabile aleatoria S5 di legge B(5,1/6).

La probabilità di ottenere esattamente 3 volte "4" con 5 lanci (e 2 volte "non 4") è

Caratteristiche 
Siccome la distribuzione binomiale  descrive una variabile aleatoria  definita come la somma di  variabili aleatorie indipendenti  di uguale legge di Bernoulli , molte caratteristiche di  possono essere ricavate da quelle di :
 il valore atteso

 la varianza

 la funzione generatrice dei momenti

 la funzione caratteristica

 il coefficiente di skewness

 il coefficiente di curtosi

La moda di  si ottiene confrontando le probabilità successive . Se  è un numero intero allora  e la moda non è unica; se invece  non è un intero allora la moda è pari alla sua parte intera .

Non esistono formule precise per la mediana di , che tuttavia dev'essere compresa tra le parti intere inferiore e superiore di ,  e . Se  è un intero allora la mediana è . Se la funzione di ripartizione assume il valore  (ad esempio  per  ed  dispari) allora tutti i valori dell'intervallo possono essere presi come mediana.

Altre distribuzioni di probabilità 
La distribuzione di Bernoulli  può essere considerata come un caso particolare di distribuzione binomiale , che descrive un processo di Bernoulli con una sola prova: .

Gli insuccessi in una sequenza di estrazioni da un'urna in un processo di Bernoulli sono descritti da una variabile aleatoria che segue la distribuzione di Pascal, un caso limite della quale è la distribuzione geometrica.

I successi in una sequenza di estrazioni da un'urna, eseguite senza reintroduzione degli estratti, sono descritti da una variabile aleatoria che segue la legge ipergeometrica.

Convergenze 
Per valori di  sufficientemente grandi la legge binomiale è approssimata da altre leggi.

Quando  tende a infinito, lasciando fisso , la distribuzione binomiale tende alla distribuzione di Poisson . In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando  e , oppure quando  e .

Per il teorema del limite centrale, quando  tende a infinito, lasciando fisso , la distribuzione binomiale tende alla distribuzione normale , di media  e varianza . In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando  e .

Più precisamente, il teorema del limite centrale afferma che

Generalizzazioni 
Una generalizzazione della distribuzione binomiale  è la legge distribuzione Beta-binomiale , che descrive la somma  di  variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione di Bernoulli , dove  segue la legge Beta . (Al contrario della distribuzione binomiale, le  non hanno lo stesso parametro.)

La distribuzione binomiale è una delle quattro distribuzioni di probabilità definite dalla ricorsione di Panjer: .

Statistica 
Nell'inferenza bayesiana si utilizzano particolari relazioni tra la distribuzione binomiale e altre distribuzioni di probabilità.

Se  è una variabile aleatoria che segue la distribuzione Beta  e  è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale , allora la probabilità condizionata da  per  segue la distribuzione Beta . In altri termini, la distribuzione Beta descrive  sia a priori che a posteriori di .

In particolare la distribuzione continua uniforme sull'intervallo  è un caso particolare di distribuzione Beta , quindi la distribuzione per , a posteriori di , segue la legge Beta , che per inciso ha un massimo in .

Note

Bibliografia

Voci correlate 
 Processo di Bernoulli
 Distribuzione di Bernoulli
 Distribuzione normale
 Distribuzione di Poisson

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 
 

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