Szereg (matematyka)

Szereg – konstrukcja umożliwiająca wykonanie uogólnionego dodawania przeliczalnej liczby składników. Przykładem znanego szeregu jest dychotomia Zenona z Elei
 

Wyrazy szeregu często powstają w wyniku zastosowania pewnej reguły, takiej jak np. wzór, czy algorytm. W przeciwieństwie do sumowania, do pełnego zrozumienia i manipulowania nimi szeregi wymagają narzędzi analizy matematycznej. Poza ich wszechobecnością w samej matematyce szeregi szeroko stosuje się w innych dyscyplinach ilościowych takich jak fizyka, czy informatyka; szczególnie ważne są rozmaite szeregi funkcyjne, w tym trygonometryczne, na czele z szeregiem Fouriera, czy potęgowe (za pomocą których można przybliżać z dowolną dokładnością wiele funkcji).

Definicja 
Szeregi mogą składać się z elementów z dowolnego zbioru, w tym z liczb rzeczywistych, liczb zespolonych czy funkcji (wtedy mówi się o szeregach funkcyjnych). Poniższa definicja podana będzie dla liczb rzeczywistych, lecz można ją uogólniać.

Dla danego nieskończonego ciągu liczb rzeczywistych  definiuje się -tą sumę częściową ciągu  bądź sumę częściową szeregu wzorem
 

Szeregiem nazywa się ciąg  sum częściowych. Formalnie szereg należy więc traktować jako parę uporządkowaną .

Sumą szeregu nazywa się liczbę  o ile granica ta istnieje i jest właściwa. W przeciwnym przypadku szereg nie ma sumy. Szereg, który ma sumę nazywa się zbieżnym, który jej nie ma – rozbieżnym.

Zarówno szereg, jak i jego sumę oznacza się na jeden z następujących sposobów:
 

To, które z tych pojęć jest odpowiednie wynika zwykle z kontekstu. Oddzielenie tych dwóch całkowicie różnych obiektów (ciągu i jego granicy) osiąga się niekiedy przez pominięcie granic (oznaczeń nad i pod symbolem sumy), np.
 

symbol ten służy wtedy odnoszeniu się do szeregu formalnego, który może, lecz nie musi mieć określonej sumy.

Szeregiem, w zależności od autora, a czasem także od kontekstu, bywa też nazywana suma wszystkich elementów danego ciągu nieskończonego.

Niżej stosowany będzie również symbol  na oznaczenie obu rodzajów obiektów, o ile nie będzie prowadzić to do nieporozumień.

Zbieżność i rozbieżność 

O szeregu  mówi się, że jest zbieżny, jeżeli ciąg  sum częściowych ma skończoną granicę, wtedy
 

Jeżeli granica  jest nieskończona lub nie istnieje, to szereg nazywa się rozbieżnym.

Szereg  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg  sum częściowych spełnia warunek Cauchy’ego. Zmiana (również opuszczenie, czy dodanie) skończenie wielu wyrazów szeregu zbieżnego nie wpływa na jego zbieżność.

Należy zaznaczyć, że suma szeregu nie jest tym samym, co suma jego składników. Niektóre szeregi można jednak traktować jako sumę, tzn. zmieniać kolejność składników (wyrazów w ciągu). Szereg  nazywa się
 zbieżnym bezwzględnie/absolutnie, jeśli
 
 zbieżnym względnie/nieabsolutnie, jeśli jest zbieżny, ale nie bezwzględnie, tzn.
  lecz 

Twierdzenie Riemanna wyróżnia dodatkowe dwa rodzaje zbieżności szeregów, mianowicie szereg  jest
 zbieżny bezwarunkowo, jeżeli dla każdej permutacji  zachodzi
 
 zbieżny warunkowo, jeżeli dla każdej liczby  istnieje permutacja  taka, że
 

Oznacza to, że wyrazy szeregów zbieżnych bezwarunkowo można dowolnie przestawiać, nie zmieniając przy tym sumy szeregu, z kolei przestawiając wyrazy szeregu zbieżnego warunkowo, można otrzymać jako sumę nowego szeregu dowolną, z góry zadaną liczbę lub otrzymać szereg rozbieżny – z tego powodu operacje na nich należy wykonywać ze szczególną uwagą.

Wspomniane twierdzenie gwarantuje, że szereg  jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są szeregi  złożony z jego wyrazów dodatnich i  złożony z jego wyrazów ujemnych; wówczas jego suma wynosi  Jeżeli jeden z tych ciągów jest rozbieżny, to szereg jest rozbieżny, lecz jeśli rozbieżne są oba, to szereg może być albo zbieżny warunkowo albo rozbieżny.

Każdy z powyższych rodzajów zbieżności pociąga zbieżność w zwykłym sensie. Dla szeregów liczbowych pojęcia zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej pokrywają się, lecz w ogólności (w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha, gdzie wartość bezwzględną zastępuje się normą) tylko zbieżność absolutna pociąga zbieżność bezwarunkową szeregu.

Działania 
Ponieważ szereg jest definiowany jako ciąg, to wszelkie działania na ciągach takie jak ich dodawanie, czy mnożenie przez skalar można stosować dla szeregów; szeregi tworzą więc przestrzeń liniową nad ciałem, z którego pochodzą jego wyrazy. Suma szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym. Mnożenie szeregu przez niezerowy skalar nie wpływa na jego zbieżność.

Można również określić mnożenie dwóch szeregów, jednym ze sposobów jest przedstawiony niżej iloczyn Cauchy’ego. Iloczynem szeregów  oraz  nazywa się szereg  gdzie
 

 Twierdzenie Mertensa Jeżeli szeregi  oraz  są zbieżne i co najmniej jeden z nich jest zbieżny bezwzględnie, to zbieżny jest ich iloczyn (Cauchy’ego), którego suma wynosi 

Pewnym uogólnieniem powyższego twierdzenia jest
 Twierdzenie Abela Jeżeli iloczyn (Cauchy’ego) zbieżnych szeregów  oraz  jest zbieżny, to ma on sumę równą 

Uwaga: Jeśli oba szeregi są zbieżne bezwzględnie, to suma dowolnego szeregu  który za wyrazy ma wszystkie liczby postaci  (każda występuje dokładnie raz, ich kolejność jest dowolna) jest równa 

Dowód: Ograniczoność szeregu  a co za tym idzie bezwzględna zbieżność szeregu  wynika z nierówności:
 

gdzie  i  to maksymalne indeksy przy  i  w pierwszych  wyrazach ciągu  i założenia o bezwzględnej zbieżności szeregów ().
Zatem można przestawiać kolejność wyrazów, w szczególności do postaci iloczynu Cauchy’ego.

Przykład 
Niech dany będzie szereg  jego iloczyn przez siebie wynosi  Ponieważ szereg geometryczny  jest zbieżny dla  i ma sumę  to z twierdzenia Mertensa otrzymuje się, iż

Rodzaje 
Ważnymi rodzajami szeregów są:
 szereg geometryczny, złożony z wyrazów ciągu geometrycznego; jest on zbieżny, jeśli moduł ilorazu ciągu jest mniejszy od 
 szereg harmoniczny,  który jest rozbieżny
 szereg harmoniczny rzędu  czyli  zbieżny dla 
 szereg naprzemienny
 szereg teleskopowy

Uogólnienia 
Definicja szeregu nie musi ograniczać się do szeregów liczbowych, gdyż ciąg  nie musi być ciągiem liczb rzeczywistych, czy zespolonych. Do poprawnego określenia szeregu potrzebujemy przestrzeni, w której określone jest działanie dodawania (by określić ) oraz topologia (by określić wartość granicy  czyli granicę szeregu ). Dlatego też definicja ta bez zmian przenosi się na przykład na przestrzenie liniowo-topologiczne.

Zobacz też 
 iloczyn nieskończony
 iterowane działanie dwuargumentowe
 transformata ciągu
 ułamek łańcuchowy

Przypisy

Linki zewnętrzne