Homomorfizm

Homomorfizm (gr. ὅμοιος, homoios – podobny; μορφή, morphē – kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach.

Homomorfizm bijektywny, nazywa się izomorfizmem algebr i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmu 
Niech  i  oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie itp.), gdzie:
  są zbiorami,
  są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru  (np. +, *, potęgowanie itp.),
  są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru  odpowiadającymi działaniom w zbiorze 
 liczby argumentów  działania  są równe liczbie argumentów  działania  

Funkcja  przekształcającą zbiór  w zbiór  jest homomorfizmem algebry  w algebrę  jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działań  oraz  i dla każdego ciągu  elementów zbioru  zachodzi równość:
 

O funkcji  mówi się, że przeprowadza każde działanie  w odpowiadające mu działanie

Rodzaje homomorfizmów 

Homomorfizm, który jest:
 iniekcją, nazywamy monomorfizmem,
 suriekcją, nazywamy epimorfizmem,
 bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem),
 odwzorowaniem struktury w samą siebie nazywamy endomorfizmem,
 wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.

Typy homomorfizmów 
Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:
 homomorfizm grup,
 homomorfizm pierścieni,
 homomorfizm przestrzeni liniowych,
 homomorfizm modułów.

Homomorfizm grup 
Niech  oraz  oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie  nazywamy homomorfizmem grupy  w grupę  jeżeli spełnione są warunki:

a) 

tzn.  jest funkcją ze zbioru  w zbiór 

b) 

tzn. wynik działania  wykonanego na wszystkich parach elementów  zbioru  i następnie odwzorowany do zbioru  za pomocą funkcji  jest równy wynikowi działania  wykonanego na obrazach   elementów  (wynik ten jest na pewno elementem zbioru  ponieważ operacja  jest działaniem w ).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe  na działanie

Twierdzenie 
Tw. Jeżeli  jest homomorfizmem  to

a)  przekształca element neutralny działania  w  na element neutralny działania  w  tzn.
 

b)  przekształca element odwrotny działania  w  na element odwrotny działania  w  tzn.
 

gdzie  oznacza element przeciwny do elementu  w  zaś  oznacza element przeciwny do  w

Przykłady

Homomorfizm pierścieni 
(1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścień  liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb,

b) pierścień  macierzy 2×2 (tj. zbiór macierzy 2×2) z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioru  na zbiór macierzy 
 

(3) Funkcja  jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego
 

2) zachowuje mnożenie
 

3) element neutralny dodawania w  przechodzi w element neutralny dodawania macierzy
 

4) element neutralny mnożenia w  przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy
 

Z powyższych własności wynika, że funkcja  jest homomorfizmem ze zbioru  do zbioru 

Ponadto:

5) funkcja  jest injekcją (funkcją różnowartościową), gdyż każdym dwóm elementom ze zbioru  odpowiadają dokładnie dwa różne elementy ze zbioru  Z powyższych własności wynika, że funkcja  jest monomorfizmem zbiorów  oraz

Brak homomorfizmu pierścieni 
Zbiory  oraz  są pierścieniami z działaniami dodawania i mnożenia liczb. Rozważmy funkcję  która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł, tj.
 

Funkcja ta nie jest homomorfizmem, gdyż na ogół nie zachowuje dodawania, tj. na ogół
 

Np. niech   Wtedy mamy:
 

ale

Homomorfizm grup 
Jeżeli ograniczymy odpowiednio wyżej omawiane zbiory, to możemy zdefiniować homomorfizm grup.

(1) Rozważmy zbiory niezerowych liczb zespolonych  oraz niezerowych liczb rzeczywistych  Zbiory te tworzą grupy z działaniami mnożenia liczb.

(2) Definiujemy funkcję  która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł (który jest liczbą rzeczywistą)
 

(3) Funkcja  jest homomorfizmem z  w  gdyż odtwarza działanie mnożenia w  tj.

Homomorfizm monoidów 

1) Niech  będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:
 

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż
  oraz 

tzn.
  oraz 

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny (tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0) – zobacz rysunek obok).

2) Niech  oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania  a  oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza  Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też 
 antyhomomorfizm
 jądro homomorfizmu

Przypisy

Bibliografia 
 T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 1–27.

Morfizmy
Algebra abstrakcyjna