Ottetto (matematica)

In matematica, gli ottetti (o ottonioni) sono un'estensione non associativa dei quaternioni. L'algebra relativa viene spesso denotata con  oppure con O.

Storia 
Furono inventati da John T. Graves nel 1843, e indipendentemente da Arthur Cayley, che pubblicò il primo lavoro su essi nel 1845.
Spesso ci si riferisce a essi come ai numeri di Cayley, agli ottetti di Cayley o all'algebra di Cayley.

Operazioni algebriche 
Gli ottetti formano un'algebra a 8 dimensioni non associativa sul campo dei numeri reali e si possono quindi manipolare mediante ottuple (sequenze di lunghezza 8) di numeri reali. Lo spazio vettoriale degli ottetti è costituito dalle combinazioni lineari dei seguenti ottetti: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 e e7. Questi costituiscono una base di elementi invertibili dell'algebra.

Sommare degli ottetti vuol dire sommare i relativi coefficienti, come per i numeri complessi o per i quaternioni, e più in generale i vettori. La moltiplicazione degli ottetti si ottiene per bilinearità dalla matrice di moltiplicazione degli ottetti di base, la cui tabella è presentata qui sotto.
Le sette unità immaginarie e l'unità non costituiscono un gruppo a causa della mancanza di associatività, ma formano comunque un quasigruppo e più precisamente un loop.

Moltiplicazione degli ottetti e Piano di Fano 

Una comoda regoletta mnemonica per ricordare i prodotti degli ottetti unitari è data
dal diagramma del piano di Fano composto da sette punti e sette linee (il cerchio tra i, j, k  è considerato una linea). Le linee si devono considerare orientate nel diagramma. 
I sette punti corrispondono alle sette unità immaginarie. 
Ogni paio di punti distinti giace su un'unica linea e ogni linea passa esattamente da tre punti.
Siano  (a, b, c)  una tripla ordinata di punti giacenti su una data linea con ordine specificato dalla direzione della freccia. La moltiplicazione è data da:
ab = c e ba = −c
soggetta a permutazione ciclica. Questa regola insieme a:
 1 è l'identità,
 e2 = −1 per ogni punto del diagramma, definisce completamente la struttura moltiplicativa degli ottetti. Ognuna delle sette linee genera una sottoalgebra di  O isomorfa ai quaternioni H.

In particolare sottoalgebre quaternioniche sono generate dalle unità immaginarie con i seguenti indici:
 1,2,4
 2,3,5
 3,4,6
 4,5,7
 5,6,1
 6,7,2
 7,1,3

Rappresentazione "matriciale" degli ottetti 
Poiché la moltiplicazione degli ottetti non è associativa, contrariamente a quanto accade per i quaternioni non ne esiste una rappresentazione matriciale.
Tuttavia Max Zorn propose una comoda rappresentazione, visivamente simile a quella matriciale, in cui l'ottetto viene decomposto come aggregato di due scalari e due vettori tridimensionali (Algebra di Zorn).

Sia A un generico elemento dell'Algebra di Zorn, detto vettore-matrice o matrice di Zorn:

il prodotto tra due elementi dell'algebra di Zorn si definisce:

che corrisponde alla comune moltiplicazione di matrici se si eccettuano i termini di prodotto vettoriale che rendono questa moltiplicazione non-associativa.

Con queste definizioni, si ha che gli ottetti possono essere espressi in forma "matricial-vettoriale" nell'algebra di Zorn.
Si ha che un ottetto X può esser messo nella forma:

dove x e y sono numeri reali e v e w sono vettori in R3.
Si noti la somiglianza con la rappresentazione matriciale dei quaternioni:

dove stavolta x,y,v,w sono tutti numeri reali.

Il "determinante" di una matrice di Zorn si definisce come consueto:
.
Questo determinante è una forma quadratica dell'algebra di Zorn che soddisfa la regola:

Pertanto il determinante della matrice di Zorn associato ad un ottetto è:
,
ossia la norma al quadrato stessa dell'ottetto.

Proprietà 
Gli ottetti forniscono l'unica algebra a dimensione-finita non-associativa definibile sul campo dei numeri reali. Le uniche algebre a dimensione finita associative sono costituite dai numeri reali stessi (algebra monodimensionale), dai numeri complessi (algebra bidimensionale) e dai quaternioni (algebra quadridimensionale). Mentre già con i quaternioni si perde la commutatività della moltiplicazione, gli ottetti perdono anche l'associatività:

In essi comunque non esistono divisori dello zero.

Tuttavia essi sono collegati ad alcune strutture matematiche come i gruppi di Lie eccezionali. Il gruppo degli automorfismi (simmetrici) degli ottetti è il gruppo di Lie G2.

Note

Bibliografia

Voci correlate 
 Sedenioni
 Numeri ipercomplessi
 Costruzione di Cayley-Dickson
 Piano di Fano

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 
 The Octonions - un articolo di John C. Baez

Numeri ipercomplessi
Algebra nonassociativa