Całkowanie przez podstawienie

Całkowanie przez podstawienie – jedna z metod obliczania zamkniętych form całek.


Opis metody 
Jeśli:
 Funkcja  jest różniczkowalna w 
  jest przedziałem
 Funkcja  ma funkcję pierwotną w przedziale  tzn.  dla  należących do 
 

to funkcja  jest całkowalna w  oraz:
 

Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
 

to można zmienić podstawę całkowania na 
 

W przypadku obliczania całek oznaczonych poprzez podstawienie zmianie ulegają granice całkowania. W takim przypadku twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wygląda następująco:

Założenia:
 Funkcja  jest całkowalna w swej dziedzinie.
 Funkcja  określona na przedziale  jest różniczkowalna w sposób ciągły.
  dla każdego  z przedziału 
 Obraz funkcji  zawiera się w dziedzinie funkcji 

Wówczas:

Przykłady 
 Obliczając całkę  zastosować można podstawienie  tzn.  więc:
 

 Przykład zastosowania metody całkowania przez podstawienie z pominięciem pomocniczej zmiennej:

Przydatne podstawienia

Całkowanie funkcji trygonometrycznych 
Całkując funkcje wymierne funkcji trygonometrycznych (czyli funkcje postaci ) stosuje się podstawienia pozwalające na wyeliminowanie ich z obliczeń:
 W ogólności stosować można zawsze tzw. podstawienie uniwersalne  Jeżeli jednak funkcja spełnia jeden z podanych niżej warunków, wygodniej jest stosować podstawienie z nim związane.
 Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na sinus  stosuje się podstawienie 
 Jeśli funkcja jest nieparzysta ze względu na cosinus  stosuje się podstawienie 
 Jeśli funkcja jest parzysta ze względu na sinus i cosinus równocześnie  stosuje się podstawienie 

Za pomocą jedynki trygonometrycznej oraz innych tożsamości trygonometrycznych można wyprowadzić czynniki zastępujące funkcje trygonometryczne, w szczególności w przypadku podstawienia uniwersalnego:
 
 
 

zachodzi:
 

 

W przypadku podstawienia  mamy dla funkcji postaci

Przykłady 
Przykład zastosowania podstawienia uniwersalnego:

Podstawienia Eulera 
Podstawienia Eulera stosuje się przy obliczaniu całek funkcji postaci  gdzie R jest funkcją wymierną.

I podstawienie Eulera 
I podstawienie można stosować, gdy a>0. Przyjmuje się wtedy:  Wobec tego otrzymuje się:
 

 

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:

II podstawienie Eulera 
II podstawienie można stosować, gdy c>0. Przyjmuje się wtedy:
 

Zachodzi:
 
 

Zgodnie z przyjętym podstawieniem otrzymuje się: 

Drugie podstawienie Eulera można zapisać następująco:
 

Wtedy gdy  to da się tak dobrać  aby

III podstawienie Eulera 
III podstawienie można stosować, gdy istnieją dwa różne pierwiastki rzeczywiste x0, x1 trójmianu  Przyjmuje się wtedy:
  Stąd:

 

 

Zgodnie z przyjętym podstawieniem zachodzi:

Całkowanie różniczek dwumiennych 
Różniczka dwumienna jest to wyrażenie postaci:  gdzie  i  są niezerowymi liczbami rzeczywistymi oraz  i  są pewnymi liczbami wymiernymi. Niech ponadto  gdzie  są liczbami całkowitymi. Twierdzenie Czebyszewa mówi, iż całkę
 

można wyrazić za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych jedynie w trzech przypadkach:
 gdy  jest liczbą całkowitą; przypadek nie wymaga podstawień.
 gdy  jest liczbą całkowitą; stosuje się wtedy podstawienie 
 gdy  jest liczbą całkowitą; stosuje się podstawienie

Podstawienia trygonometryczne 
Poniższe typy całek można sprowadzić do całek funkcji wymiernych, których argumentami są funkcje trygonometryczne, przy pomocy podanych podstawień:
  – podstawiamy  lub 
  – podstawiamy  lub 
  – podstawiamy  lub

Inne podstawienia 
 Całki typu  obliczamy przez podstawienie  Stąd: 
 Całki typu  gdzie p1, p2, ..., pn są liczbami wymiernymi, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej podstawiając  gdzie k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb p1, p2, ..., pn.

Zobacz też 
 całkowanie przez części

Przypisy 

Całki

es:Métodos de integración#Método de integración por sustitución