Fermi-Dirac-Statistik

Die Fermi-Dirac-Statistik (nach dem italienischen Physiker Enrico Fermi (1901–1954) und dem britischen Physiker Paul Dirac (1902–1984)) ist ein Begriff der physikalischen Quantenstatistik. Sie beschreibt das makroskopische Verhalten eines Systems, das aus vielen gleichen Teilchen vom Typ Fermion besteht, und gilt z. B. für die Elektronen, die in Metallen und Halbleitern für die elektrische Leitfähigkeit sorgen.

Die Ausgangspunkte der Fermi-Dirac-Statistik sind:
 Keiner der Zustände der einzelnen Teilchen kann mit mehr als einem Teilchen besetzt sein (Pauli-Prinzip).
 Vertauscht man zwei Teilchen miteinander, erhält man keinen neuen Zustand (der in der statistischen Betrachtung extra zu zählen wäre), sondern denselben wie vorher (Prinzip der Ununterscheidbarkeit gleicher Teilchen).

Die Fermi-Verteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit  in einem idealen Fermigas bei gegebener absoluter Temperatur  ein Zustand der Energie  von einem der Teilchen besetzt ist. In der statistischen Physik wird die Fermi-Verteilung aus der Fermi-Dirac-Statistik für gleichartige Fermionen für den wichtigen Spezialfall der Wechselwirkungsfreiheit hergeleitet.

Zur vollständigen Beschreibung der Fermi-Dirac-Statistik siehe Quantenstatistik. Für eine vereinfachte Herleitung siehe ideales Fermigas.

Beschreibung

Allgemeine Formel 
In einem System der Temperatur  lautet die Fermi-Verteilung , die die Besetzungswahrscheinlichkeit beschreibt:

mit
 der Energie  für den Zustand eines Teilchens,
 dem chemischen Potential  (Bei  gilt , wobei  als Fermi-Niveau bezeichnet wird),
 der thermischen Energie , wobei  die Boltzmann-Konstante ist.

Wird die Energie  vom tiefstmöglichen Einteilchenzustand aus gerechnet, heißt  auch Fermi-Energie. Die Besetzungswahrscheinlichkeit  für einen Zustand mit der Energie des Fermi-Niveaus  ist bei allen Temperaturen:

Um die bei der Energie  herrschende Teilchendichte  zu berechnen, z. B. für Elektronen in einem Metall, muss die Fermi-Verteilung noch mit der Zustandsdichte  multipliziert werden:

Am absoluten Temperaturnullpunkt 
Am absoluten Temperaturnullpunkt  befindet sich das Fermi-Gas als Ganzes in seinem energetisch tiefstmöglichen Zustand, also im Grundzustand des Vielteilchensystems. Da (bei genügend großer Teilchenzahl) nach dem Pauli-Prinzip nicht alle Teilchen den Einteilchengrundzustand besetzen können, müssen sich auch am absoluten Temperaturnullpunkt  Teilchen in angeregten Einteilchenzuständen befinden. Anschaulich lässt sich das mit der Vorstellung eines Fermi-Sees beschreiben: jedes hinzugefügte Fermion besetzt den tiefstmöglichen Energiezustand, welcher noch nicht von einem anderen Fermion besetzt ist. Die „Füllhöhe“ bestimmt sich aus der Dichte der besetzbaren Zustände und der Anzahl der unterzubringenden Teilchen.

Entsprechend hat die Fermi-Verteilung für die Temperatur  einen scharfen Sprung bei der Fermi-Energie , die daher auch Fermi-Kante oder Fermi-Grenze genannt wird (siehe Abbildung).
 Alle Zustände mit  sind besetzt, da hier gilt: , d. h. die Wahrscheinlichkeit, in einem solchen Zustand eines der Fermionen anzutreffen, ist Eins.
 Keiner der Zustände mit  ist besetzt, da hier gilt: , d. h. die Wahrscheinlichkeit, in einem solchen Zustand eines der Fermionen anzutreffen, ist Null.

Das Fermi-Niveau bei  ist daher durch die Anzahl und energetische Verteilung der Zustände und die Anzahl der Fermionen, die in diesen Zuständen unterzubringen sind, festgelegt. In der Formel erscheint nur eine Energiedifferenz. Gibt man die Größe der Fermi-Energie allein an, ist es die Energiedifferenz des höchsten besetzten zum tiefstmöglichen Einteilchenzustand. Zur Veranschaulichung oder zur schnellen Abschätzung von temperaturabhängigen Effekten wird diese Größe oft als Temperaturwert – die Fermi-Temperatur – ausgedrückt:

.

Bei der Fermi-Temperatur wäre die thermische Energie  gleich der Fermi-Energie. Dieser Begriff hat nichts mit der realen Temperatur der Fermionen zu tun, er dient nur der Charakterisierung von Energieverhältnissen.

Bei endlichen Temperaturen 
Die Fermi-Verteilung gibt die Besetzungswahrscheinlichkeit im Gleichgewichtszustand zur Temperatur  an. Ausgehend von  werden bei Erwärmung Zustände oberhalb der Fermi-Energie  mit Fermionen besetzt. Dafür bleiben gleich viele Zustände unterhalb der Fermi-Energie leer und werden als Löcher bezeichnet.

Die scharfe Fermi-Kante ist in einem symmetrisch um  gelegenen Intervall der Gesamtbreite  abgerundet („aufgeweicht“, s. Abb.). Zustände mit kleineren Energien sind nach wie vor nahezu voll besetzt (), die Zustände bei höheren Energien nur sehr schwach ().

Da nach wie vor die gleiche Teilchenzahl auf die möglichen Zustände mit der Zustandsdichte  zu verteilen ist, kann sich die Fermi-Energie mit der Temperatur verschieben: Ist die Zustandsdichte im Bereich der angeregten Teilchen kleiner als bei den Löchern, steigt die Fermi-Energie, im entgegengesetzten Fall sinkt sie.

Im Temperaturbereich  bezeichnet man das System als entartetes Fermi-Gas, denn die Besetzung der Zustände wird maßgeblich durch das Pauli-Prinzip (Ausschließungsprinzip) bestimmt. Dies führt dazu, dass alle Zustände mit  die gleiche Wahrscheinlichkeit (von nahezu eins) haben, besetzt zu sein; dies betrifft einen im Vergleich zum Aufweichungsintervall großen Energiebereich.

Bei Energien  von mindestens einigen  oberhalb von , d. h. für , lässt sich die Fermi-Verteilung durch die klassische Boltzmann-Verteilung nähern:

.

Bei sehr hohen Temperaturen 
„Sehr hohe Temperaturen“ sind solche weit oberhalb der Fermi-Temperatur, d. h. . Weil damit das Aufweichungsintervall sehr groß wird, so dass auch für Energien weit oberhalb der Fermi-Energie die Besetzungswahrscheinlichkeit merklich von null verschieden ist, führt die Teilchenzahlerhaltung dazu, dass die Fermi-Energie unter dem niedrigsten besetzbaren Niveau liegt. Das Fermi-Gas verhält sich dann wie ein klassisches Gas, es ist nicht entartet.

Fermi-Verteilung bei Metallen 
Für die Leitungselektronen in einem Metall liegt die Fermi-Energie  bei einigen Elektronenvolt, entsprechend einer Fermi-Temperatur  von einigen 10.000 K. Dies hat zur Folge, dass die thermische Energie  viel kleiner ist als die typische Breite des Leitungsbands. Es handelt sich um ein entartetes Elektronengas. Der Beitrag der Elektronen zur Wärmekapazität ist daher schon bei Raumtemperatur vernachlässigbar und kann störungstheoretisch berücksichtigt werden. Die Temperaturabhängigkeit der Fermi-Energie ist sehr gering (meV-Bereich) und wird oft vernachlässigt.

Fermi-Verteilung bei Halbleitern und Isolatoren 
Für Halbleiter und Isolatoren liegt das Fermi-Niveau in der verbotenen Zone. Im Bereich der Fermi-Kante existieren daher keine Zustände, deren Besetzung deutlich von der Temperatur abhängen kann. Dies führt dazu, dass bei einer Temperatur  das Valenzband vollständig mit Elektronen besetzt und das Leitungsband unbesetzt ist, und dass es bei  nur sehr wenige Löcher bzw. angeregte Elektronen gibt. Durch Einbringen von Fremdatomen mit zusätzlichen Ladungsträgern (Donator- oder Akzeptordotierung) kann das Fermi-Niveau nach unten bzw. nach oben verschoben werden, was die Leitfähigkeit stark erhöht. In diesem Fall verschiebt sich auch mit der Temperatur das Fermi-Niveau deutlich. Daher arbeiten z. B. elektronische Schaltungen auf Basis von Halbleitern (wie im Computer) nur in einem engen Temperaturbereich richtig.

Herleitung aus einem Minimum der freien Energie 

Aus der Bedingung, dass im thermischen Gleichgewicht (bei festem  und Volumen ) die freie Energie  ein Minimum annimmt, kann die Fermi-Dirac-Statistik auf schöne Art hergeleitet werden. Dazu betrachten wir  Fermionen – beispielsweise Elektronen –, die über Niveaus  verteilt sind. Die Niveaus haben Energien  und sind jeweils  - fach entartet (s. Abb.), können demnach maximal  Elektronen aufnehmen (Pauli-Prinzip). Die Anzahl Elektronen im -ten Niveau wird mit  bezeichnet. Für den Makrozustand des Systems ist unerheblich, welche der  Elektronen im -ten Niveau sind und welche der  Zustände darin sie besetzen. Der Makrozustand wird daher vollständig durch die Folge der Zahlen  bestimmt.

Für eine beliebige Verteilung der Elektronen auf die Niveaus gilt:

Gleichung (1) gibt die Gesamtzahl der Teilchen wieder, die konstant gehalten werden soll, während die einzelnen  variiert werden, um das Minimum von  zu finden. Gleichung (2) gibt die zur vorliegenden Verteilung gehörende Energie  des Systems an, wie sie in die Formel für  einzusetzen ist. Gleichung (3) ist (nach Ludwig Boltzmann) die Entropie des Zustands des Systems (Makrozustand), wobei  die thermodynamische Wahrscheinlichkeit für die betreffende Folge der Besetzungszahlen , angibt, also die Anzahl der möglichen Verteilungen (Mikrozustände) von jeweils  Elektronen auf  Plätze, für alle Niveaus  zusammen.

Um die Verteilung zu finden, bei der durch Variation der  unter der Nebenbedingung  die freie Energie  minimal wird, benutzen wir die Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Es ergibt sich

 für alle .

Darin ist  der (von  unabhängige) Lagrange-Multiplikator. Die Ableitung 
,
da jedes  genau einmal linear in der Summe vorkommt. Für die Berechnung der Ableitung  wird die explizite Formel für  benötigt:

Dabei ist

der Binomialkoeffizient, d. h. die Anzahl der Möglichkeiten, unter  Objekten  verschiedene auszuwählen.

Mit Hilfe der vereinfachten Stirlingformel  ergibt sich weiter

und damit

Insgesamt wird Gleichung (2) zu
.

Einsetzen der durch  gegebenen Besetzungswahrscheinlichkeit  und Umstellung ergibt:
.

Dies ist die Fermi-Dirac-Statistik. Der Lagrangemultiplikator erweist sich als ihr chemisches Potential .

Beobachtungen 
In Festkörpern kann die Fermi-Verteilung sehr gut beobachtet werden, wenn die elektronische Besetzungsdichte des Leitungsbandes in Abhängigkeit von der Energie gemessen wird. Ein besonders gutes Beispiel für das ideale Fermigas liegt bei Aluminium vor. Mit solchen Studien lässt sich auch das Auflösungsvermögen einer Messapparatur bestimmen, indem man den Verlauf der Verteilung bei einer bestimmten Temperatur misst und mit der Formel für die Fermi-Verteilung vergleicht.

Weitere Beispiele zur Bedeutung siehe unter Fermi-Energie.

Siehe auch 
 Intrinsisches Fermi-Niveau
 Fermi-Dirac-Integral
 Bose-Einstein-Statistik
 Boltzmann-Statistik

Literatur

Einzelnachweise 

Quantenphysik
Statistische Physik
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
Festkörperphysik
Enrico Fermi als Namensgeber
Paul Dirac als Namensgeber
Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung