Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit  ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem Medium ausbreiten. Ihre SI-Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s). Zum Beispiel beträgt sie in trockener Luft von 20 °C 343,2 m/s (1236 km/h).

Die Schallgeschwindigkeit als Ausbreitungsgeschwindigkeit ist zu unterscheiden von
 Der Strömungsgeschwindigkeit von Stoffen.
 Der Schallschnelle, d. h. der Geschwindigkeit, mit der sich die einzelnen Teilchen des Mediums um die Ruheposition bewegen, um die zu der Schallwelle gehörige Deformation auf- und abzubauen.

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Eigenschaft des Ausbreitungsmediums, insbesondere dessen Widerstand gegen elastische Deformationen und dessen Dichte. Da diese Eigenschaften von Druck und Temperatur abhängig sind, ist die Schallgeschwindigkeit auch von diesen abhängig. Die Schallgeschwindigkeit steigt im Allgemeinen mit der Temperatur, in der Nähe von Phasenübergängen fällt sie aber wieder. Bei nicht zu hohen Drücken ist die Schallgeschwindigkeit kaum vom Druck abhängig, weil sich die Änderungen von Dichte und Elastizität ausgleichen.
In Flüssigkeiten und Gasen kann sich nur eine Art von Druckwellen (Longitudinalwellen) ausbreiten, es gibt nur eine Schallgeschwindigkeit.
In Festkörpern gibt es dagegen noch Scherwellen (Transversalwellen), die sich langsamer (meist knapp die halbe Geschwindigkeit) ausbreiten. In anisotropen Festkörpern ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit richtungsabhängig und es kann zwei verschiedene Transversalwellen mit leicht unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten geben.

Die Schallgeschwindigkeit wird im Allgemeinen für unbegrenzte Medien angegeben, in der Nähe von Grenzflächen (Rayleigh-Welle, Lamb-Welle) an Oberflächen oder bei schwingenden Flächen reduziert sich die Schallgeschwindigkeit.
Die Schallgeschwindigkeit ist bei geringem Schallwechseldruck von diesem unabhängig, bei höheren Amplituden steigt die Schallgeschwindigkeit an und es kommt zu Stofftransporten (siehe Stoßwelle).

Schalltransport ist weitgehend verlustfrei und unabhängig von der Frequenz, bei höheren Frequenzen oder in der Nähe von Phasenübergängen kommt es zu erhöhten Transportverlusten und die Schallgeschwindigkeit wird frequenzabhängig.

Für den Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit  und Frequenz  einer monochromatischen Schallwelle der Wellenlänge  gilt wie für alle solchen Wellen:

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten und Gasen 
In Flüssigkeiten und Gasen können sich nur Druck- bzw. Dichtewellen ausbreiten, bei denen sich die einzelnen Teilchen in Richtung der Wellenausbreitung hin und her bewegen (Longitudinalwelle). Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte  und des (adiabatischen) Kompressionsmoduls  und berechnet sich so:

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern 
Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl als Longitudinalwelle (hierbei ist die Schwingungsrichtung der Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung) oder als Transversalwelle (Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte , der Poissonzahl  und dem Elastizitätsmodul  des Festkörpers ab. Dabei gilt

mit dem Schubmodul .

Das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit zwischen Longitudinal- und Transversalwelle ist in isotropen Medien immer größer als 1,414 ()  und nur abhängig von der Poissonzahl :
{| class="wikitable" style="border:0"
!  ||  || Material || rowspan="6" style="background:white; border:0" | 
!  ||  || Material
|-
| 0       || 1,414 || Kork           || 0,3333...  || 2     || 
|-
| 0,032   || 1,438 || Beryllium      || 0,4375  || 3     || 
|-
| 0,2     || 1,633 || Beton          || 0,44    || 3,05  || Blei
|-
| 0,33    || 1,895 || Titan          || 0,47916... || 4     ||
|-
| 0,35    || 2,082 || Al, Cu, Mg     ||  0,5 ||  || Gummi, Übergang zu Flüssigkeiten
|}

Für eine Oberflächenwelle auf einem ausgedehnten Festkörper (Rayleigh-Welle) gilt:

Der Ausdruck  wird auch als Longitudinalmodul bezeichnet, sodass für die Longitudinalwelle auch

geschrieben werden kann.

Im Spezialfall eines langen Stabes, dessen Durchmesser deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle ist, kann der Einfluss der Querkontraktion vernachlässigt werden (d. h. ), und man erhält:

Das theoretische Limit für Schallgeschwindigkeit in Festkörpern beträgt

wobei c die Lichtgeschwindigkeit, α die Feinstrukturkonstante, me die Masse eines Elektrons und mp die Masse eines Protons ist.

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas

Klassisches ideales Gas 
Da der Kompressionsmodul eines klassischen idealen Gases  nur vom Adiabatenexponenten  („kappa“) des Gases und dem herrschenden Druck  abhängt, ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit:

Hier ist  die universelle Gaskonstante,  die molare Masse (Masse/Stoffmenge) des Gases,  die Boltzmann-Konstante,  die (durchschnittliche) Masse eines Teilchens und  die absolute Temperatur. Für feste Werte  und , also für ein gegebenes ideales Gas, hängt die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur ab. Sie ist insbesondere weder vom Druck noch von der Dichte des Gases abhängig.
Der Adiabatenexponent berechnet sich näherungsweise aus , wobei  die Anzahl der Freiheitsgrade der Bewegung eines Teilchens (Atom oder Molekül) ist. Für einen Massenpunkt gilt , für eine starre Hantel mit zwei Massenpunkten (Molekül mit zwei Atomen) , für einen starren Körper mit mehr als zwei Massenpunkten (stark gewinkeltes Molekül) , für nicht starre Körper mit mehr als zwei Massenpunkten (Molekül mit einer fehlenden starren Verbindung) . Für komplexe Moleküle erhöht sich der Freiheitsgrad um jede fehlende starre Verbindung . Ohne Berücksichtigung der Vibration aller mehratomigen Moleküle im höheren Temperaturbereich kann der Adiabatenexponent also nur folgende Werte annehmen:
  für einatomige Gase (z. B. alle Edelgase)
  für zweiatomige Gase (z. B. Stickstoff N2, Wasserstoff H2, Sauerstoff O2, Kohlenmonoxid CO)
  für starre Moleküle mit mehr als zwei Atomen (z. B. Wasserdampf H2O, Schwefelwasserstoff H2S, Methan CH4)
  für Moleküle mit einer fehlenden starren Verbindung (z. B. Stickoxide NO2 und N2O, Kohlendioxid CO2, Schwefeldioxid SO2, Ammoniak NH3)
  für größere Moleküle mit fehlenden starren Verbindungen (z. B. Ethan C2H6, Ethen C2H4, Methanol CH3OH)

Für trockene Luft (mittlere Molmasse , Normaltemperatur , ) erhält man
,
in guter Übereinstimmung mit dem in trockener Luft gemessenen Wert.

Die Schallgeschwindigkeit  ist etwas kleiner als die mittlere Translationsgeschwindigkeit  der im Gas sich bewegenden Teilchen. Das steht im Einklang mit der anschaulichen Interpretation der Schallausbreitung in der kinetischen Gastheorie: Eine kleine lokale Abweichung des Druckes und der Dichte von ihren Durchschnittswerten wird von den durcheinanderfliegenden Teilchen in die Umgebung getragen.

Der Faktor  kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung, die Prozesse beschreibt, bei denen die Temperatur nicht konstant bleibt, obwohl keine Wärme ausgetauscht wird. Schallwellen bestehen aus periodischen Schwankungen von Dichte und Druck, die so rasch ablaufen, dass währenddessen Wärme nennenswert weder zu- noch abfließen kann. Wegen der damit verbundenen Temperaturschwankungen gilt die obige Formel für  nur im Grenzfall kleiner Amplituden, wobei für  die Durchschnittstemperatur einzusetzen ist. Tatsächlich machen sich bei großen Amplituden, z. B. nach einer Detonation, nichtlineare Effekte dadurch bemerkbar, dass die Wellenberge – Wellenfronten mit maximaler Dichte – schneller laufen als die Wellentäler, was zu steileren Wellenformen und zur Ausbildung von Stoßwellen führt.

Quanteneffekte 
Da die Schallgeschwindigkeit einerseits mit dem Kundtschen Rohr schon früh verhältnismäßig leicht präzise zu messen war und andererseits direkt mit einer atomphysikalischen Größe, der Anzahl der Freiheitsgrade, verknüpft ist, führte sie zur frühen Entdeckung wichtiger Effekte, die erst mit der Quantenmechanik erklärt werden konnten.

Atome als Massenpunkte 
Das erste mit chemischen Methoden als einatomig identifizierte Gas – Quecksilberdampf bei hoher Temperatur – zeigte 1875 auch zum ersten Mal den Wert , also . Dieser Wert ist nach der kinetischen Gastheorie einem Gas aus idealen Massenpunkten vorbehalten. Ab 1895 kamen gleiche Befunde an den neu entdeckten Edelgasen Argon, Neon etc. hinzu. Das stützte einerseits die damalige Atomhypothese, nach der alle Materie aus winzigen Kügelchen aufgebaut ist, warf aber andererseits die Frage auf, warum diese Kugeln nicht wie jeder starre Körper drei weitere Freiheitsgrade für Drehbewegungen besitzen. Die Ende der 1920er Jahre gefundene quantenmechanische Erklärung besagt, dass für Drehbewegungen angeregte Energieniveaus besetzt werden müssen, deren Energie so hoch liegt, dass die kinetische Energie der stoßenden Gasteilchen bei weitem nicht ausreicht. Das gilt auch für die Rotation eines zweiatomigen Moleküls um die Verbindungslinie der Atome und erklärt somit, warum es hier für die Rotation nicht drei, sondern nur zwei Freiheitsgrade gibt.

Einfrieren der Drehbewegung 
Eine markante Temperaturabhängigkeit des Adiabatenkoeffizienten wurde 1912 bei Wasserstoff entdeckt: Bei Abkühlung von 300 K auf 100 K steigt  monoton von 1,400 auf 1,667, d. h. vom Wert für eine Hantel zum Wert für einen Massenpunkt. Man sagt, die Rotation „friert ein“, bei 100 K verhält sich das ganze Molekül wie ein Massenpunkt. Die quantenmechanische Begründung schließt an die obige Erklärung für Einzelatome an: Bei 100 K reicht die Stoßenergie der Gasmoleküle praktisch nie zur Anregung eines Energieniveaus mit höherem Drehimpuls, bei 300 K praktisch immer. Der Effekt ist bei anderen Gasen so deutlich nicht beobachtbar, weil sie in dem jeweils betreffenden Temperaturbereich bereits verflüssigt sind. Jedoch wird auf diese Weise erklärt, warum die gemessenen Adiabatenkoeffizienten realer Gase von der einfachen Formel  meist etwas abweichen.

Schallgeschwindigkeit im realen Gas / Phänomene in der Luftatmosphäre 
Die für das ideale Gas entwickelten Vorstellungen und Formeln gelten in sehr guter Näherung auch für die meisten realen Gase. Insbesondere variiert deren Adiabatenexponent  über weite Bereiche weder mit der Temperatur noch mit dem Druck. Für die Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft im Bereich normaler Umwelttemperaturen wird oft die lineare Näherungsformel

benutzt. Diese Näherung gilt im Temperaturbereich  mit einer Abweichung von weniger als 0,2 %. Die absolute Temperatur wurde hier nach  in °C umgerechnet.

Neben der Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft ist der Einfluss der Luftfeuchtigkeit zu berücksichtigen. Diese lässt die Schallgeschwindigkeit geringfügig zunehmen, denn die mittlere molare Masse  feuchter Luft nimmt durch die Beimischung der leichteren Wassermoleküle stärker ab als der mittlere Adiabatenkoeffizient . Beispielsweise ist bei 20 °C die Schallgeschwindigkeit bei 100 % Luftfeuchtigkeit um 0,375 % höher als bei 0 % Luftfeuchtigkeit. Die gleiche Erhöhung der Schallgeschwindigkeit gegenüber trockener Luft würde sich durch eine Temperaturerhöhung auf gut 22 °C ergeben.

In der normalen Atmosphäre nimmt die Schallgeschwindigkeit daher mit der Höhe ab. Sie erreicht ein Minimum von etwa 295 m/s (1062 km/h) in der Tropopause (ca. 11 km Höhe). Andererseits nimmt die Schallgeschwindigkeit bei einer Inversionswetterlage mit der Höhe zu, da dann eine wärmere Luftschicht über einer kälteren liegt. Oft geschieht dies am Abend nach einem warmen Sonnentag, weil sich der Boden schneller abkühlt als die höheren Luftschichten. Dann schreiten die Wellen in der Höhe schneller voran als unten, sodass eine Wellenfront, die von einer bodennahen Schallquelle schräg aufwärts strebt, wieder nach unten gelenkt wird (siehe Schallausbreitung). Man sagt, die Schallstrahlen werden zum Boden hin gekrümmt. An Sommerabenden kann man das oft an der größeren Reichweite der Schallausbreitung bemerken.

Ähnlich lautet die Begründung dafür, dass man mit dem Wind besser hört als gegen den Wind. Obwohl die Bewegung des Mediums Luft keinen Einfluss auf die Schallausbreitung als solches haben sollte, da die Windgeschwindigkeit immer klein gegen die Schallgeschwindigkeit ist, verbessert sich die Reichweite des Schalls. Der Wind hat fast immer ein Geschwindigkeitsprofil mit nach oben zunehmender Geschwindigkeit, was, wie oben beschrieben, zur Ablenkung der Schallausbreitung führt, und zwar einer Ablenkung nach oben bei Gegenwind und nach unten bei Mitwind.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien 
In den folgenden Tabellen sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien aufgelistet. Angegeben ist für alle Materialien die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Longitudinal-Welle), in Festkörpern breiten sich auch Scherwellen (Transversal-Wellen) aus.

In Gasen 

Soweit nicht anders vermerkt, gelten die Werte für Standardbedingungen (Temperatur von 20 °C, Druck von einer physikalischen Atmosphäre).

In Flüssigkeiten  
Die meisten Flüssigkeiten haben ähnliche Schallgeschwindigkeiten um die 1400 m/s, die in der Nähe des Siedepunktes sich reduzieren.

Soweit nicht anders vermerkt, gelten die Werte bei Normaldruck und einer Temperatur von 20 °C.

In Festkörpern 

Soweit nicht anders vermerkt, gelten die Werte für eine Temperatur von 20 °C.

Unter extremen Bedingungen

Temperaturabhängigkeit 

Die Berechnung der Geschwindigkeiten durch die Formel für ein Ideales Gas , mit der absoluten Temperatur  weicht weniger als 0,2 ‰ von den Tabellenwerten ab.

Frequenzabhängigkeit 
Ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig, handelt es sich um ein dispersives Medium. Jede Frequenzkomponente breitet sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit (und Dämpfung) aus, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Gummi ist ein Beispiel für ein dispersives Medium: Bei höherer Frequenz ist es steifer, hat also eine höhere Schallgeschwindigkeit.

In einem nicht-dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Wasser und trockene Luft sind im für Menschen hörbaren Frequenzbereich nicht-dispersive Medien. Bei hoher Luftfeuchte und im nahen Ultraschallbereich (100 kHz) ist Luft dispersiv.

Schallgeschwindigkeit in Gasen bei sehr hohen Frequenzen 

Bei hohen Frequenzen geht die Kompression von Gasen durch Schall durch Wärmeleitvorgänge von adiabatisch in isotherm über.

Die Schallgeschwindigkeit fällt dadurch:

Der Übergang erfolgt im Bereich der thermischen Leitfähigkeitsfrequenz (thermal conduction frequency) :

.

Sie beträgt für Luft bei 20 °C und 101,325 kPa:
.

Bei dieser Frequenz befindet man sich halbwegs zwischen adiabatischer und isothermer Kompression, was für zweiatomische Gase einen Abfall von knapp 8 % bedeutet. Das entspricht einem Abfall von knapp 90 ppm/MHz. Da die Wärmeleitung gleichzeitig ein dissipativer Prozess darstellt,
reduziert sich nicht nur die Schallgeschwindigkeit, sondern die Dämpfung steigt erheblich an, so dass dieser Prozess unter Normalbedingungen kaum zu beobachten ist.

In dünnen Gasen tritt der Effekt schon bei deutlich geringeren Frequenzen auf. Da  kaum vom Druck abhängen, und , verschiebt sich der Effekt proportional zum Druck zu niedrigeren Frequenzen.

Schallgeschwindigkeit und Thermodynamik 
Die Schallgeschwindigkeit spielt eine besondere Rolle in der Thermodynamik, insbesondere bei Druckentlastungseinrichtungen, wo sie die maximal erreichbare Geschwindigkeit definiert, mit der die Druckänderung sich ausbreitet. Dadurch, dass sie mit extremer Genauigkeit gemessen werden kann, spielt sie eine große Rolle bei der Aufstellung hochgenauer Zustandsgleichungen und bei der indirekten Messung der Wärmekapazität eines idealen Gases.
Die allgemeine Gleichung zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit ist

mit  für das spezifische Volumen oder den Kehrwert der Dichte . Der Index s beim Differentialquotienten bedeutet „bei konstanter spezifischer Entropie“ (isentrop). Für das ideale Gas ergibt sich daraus wie oben angeführt

mit

als dem Verhältnis der isobaren und der isochoren spez. Wärmekapazitäten und R als der speziellen Gaskonstante (massebezogen). Die gebräuchlichen thermischen Zustandsgleichungen haben die Form . Es folgt nach einigen Umformungen

mit der realen spez. isochoren Wärmekapazität

Mit diesen Beziehungen kann man bei Kenntnis einer thermischen Zustandsgleichung den Druckeinfluss auf die Schallgeschwindigkeit berücksichtigen. Bild 1 zeigt die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Druck bei Ethylen für eine Temperatur von 100 °C.

Die Schallgeschwindigkeit hat besonders durch ihre leichte experimentelle Zugänglichkeit Bedeutung erlangt. Die direkt kaum messbare spezifische Wärmekapazität idealer Gase ist mit der Schallgeschwindigkeit des idealen Gases verknüpft:

Ebenso kann die Gaskonstante mit Schallgeschwindigkeitsmessungen sehr genau ermittelt werden. Für einatomige Edelgase (He, Ne, Ar) ist
, unabhängig von der Temperatur. Dann folgt

Da  und  sehr exakt gemessen werden können, ist dies eine extrem genaue Methode, die Gaskonstante zu bestimmen.
Die Schallgeschwindigkeit ist maßgeblich bei der Druckentlastung von Gasen über ein Ventil oder eine Blende. Abhängig vom Zustand in dem zu entlastenden Behälter gibt es eine maximale Massenstromdichte (choked flow) im engsten Querschnitt des Ventils, die nicht überschritten werden kann, auch wenn der Druck jenseits des Ventils noch weiter abgesenkt wird (Bild 2). Im engsten Querschnitt stellt sich dann die Schallgeschwindigkeit des Gases ein. Bei idealen Gasen ist dies näherungsweise dann der Fall, wenn der Austrittsdruck kleiner ist als die Hälfte des Behälterdrucks. Die max. Massenstromdichte gilt auch dann, wenn ein Gas durch ein Rohr mit konstantem Querschnitt strömt. Die Schallgeschwindigkeit kann dann nicht überschritten werden, was ebenfalls von erheblicher sicherheitstechnischer Bedeutung für die Auslegung von Druckentlastungseinrichtungen ist. Für eine Beschleunigung eines Gases über die Schallgeschwindigkeit hinaus benötigt man speziell geformte Strömungskanäle, die sich nach einem engsten Querschnitt definiert erweitern, sog. Lavaldüsen (Bild 3). Ein Beispiel dafür sind die Austrittsdüsen von Raketentriebwerken (Bild 4).

Sonstiges 
In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach (benannt nach Ernst Mach) verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt.

Die Entfernung eines Blitzes und damit eines Gewitters lässt sich durch Zählen der Sekunden zwischen dem Aufleuchten des Blitzes und dem Donnern abschätzen. Der Schall legt in der Luft einen Kilometer in etwa drei Sekunden zurück, der Lichtblitz dagegen in vernachlässigbar kurzen drei Mikrosekunden. Teilt man die Anzahl der gezählten Sekunden durch drei, ergibt sich daher in etwa die Entfernung des Blitzes in Kilometern.

Siehe auch 
 Schallkennimpedanz
 Überschallgeschwindigkeit
 Überschallflug

Weblinks 

 Versuch A6: Schallgeschwindigkeit in Gasen und Festkörpern. (PDF; 169 kB).
 Die Schallgeschwindigkeit, die Temperatur … und nicht der Luftdruck. (PDF; 32 kB).
 Berechnen der Schallgeschwindigkeit in Luft und die wirksame Temperatur.

Einzelnachweise 

Geschwindigkeit
Aerodynamik