Distribuzione normale

La distribuzione normale (o  distribuzione di Gauss  dal nome del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, o distribuzione a Campana di Gauss), nella teoria della probabilità,  è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio. 

Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come "curva a campana", "curva normale", "curva gaussiana" o "curva degli errori".

Descrizione 
La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. 
Un insieme di valori dato potrebbe essere normale: per stabilirlo si può usare un test di normalità.
Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di  variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di  all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali come un semplice modello per fenomeni complessi.

La distribuzione normale dipende da due parametri, la media  e la varianza , ed è indicata tradizionalmente con:

Metodologia 
La distribuzione normale è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana:

Dove  è il valore atteso e  la varianza.

Per dimostrare che  è effettivamente una funzione di densità di probabilità si ricorre innanzi tutto alla standardizzazione (statistica) della variabile casuale, cioè alla trasformazione tale per cui risulta:

,

dove la variabile risultante  ha anch'essa distribuzione normale con parametri  e . L'integrale della funzione di densità di probabilità della variabile casuale standardizzata  è il seguente:

Dato che deve necessariamente valere la condizione , allora risulta anche  quindi:

dove anche la variabile casuale  ha distribuzione normale standardizzata. Per risolvere questo integrale doppio si ricorre alle coordinate polari  e , dove  e . La matrice jacobiana della trasformazione è

,

il cui determinante è pari a . Sostituendo nell'integrale di cui sopra si ottiene:

La sua funzione generatrice dei momenti è

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto  e .

Non essendo possibile esprimere l'integrale della  in forma chiusa mediante funzioni elementari, è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua funzione di ripartizione. 
I più usati sono:

Essendo  una funzione simmetrica è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi, per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Fisher-Snedecor, nonché le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

Teoremi

Combinazione lineare di variabili gaussiane 
Se  sono  variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso  e varianza ,
allora la variabile casuale  è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso  e varianza .

Altri teoremi: teorema di Cochran.

Relazioni con altre variabili casuali

La Normale come derivazione da altre voci 
I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.

Se  è distribuita come una variabile casuale binomiale con  molto grande (per dare un'idea di quanto grande, possiamo dire che deve essere ), e approssimativamente ,
allora la binomiale può essere approssimata con una Normale con valore atteso pari a  e varianza uguale a .

Se  è distribuita come una variabile casuale poissoniana con il parametro  molto grande (orientativamente ), allora
la Poissoniana può essere approssimata con una Normale con valore atteso e varianza pari a .

Variabili casuali derivate dalla Normale 
Date  distribuzioni normali  con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. Allora

è una variabile casuale chi quadro con  gradi di libertà.

Siano  variabili casuali indipendenti distribuite come una Normale con media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre  delle costanti tali che 

allora si indica con  la variabile casuale chi quadro non centrale con  gradi di libertà costruita come

Se  e , allora  è distribuita come una t di Student con  gradi di libertà.

Se  e , allora  è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri  e .

La normale nell'inferenza bayesiana

Variabile casuale Gamma come priori coniugati della normale 
Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la normale e la distribuzione Gamma.

Se  è una distribuzione normale con parametri  e 

e il parametro  ha una distribuzione  con i parametri  e 

allora il parametro  è distribuito a posteriori anch'esso come una variabile casuale Gamma, ma con parametri  e :

Priori coniugati normale di una normale 
Se  è distribuita come una v.c. normale
con parametri  e 

e il parametro  è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri  e 

allora il parametro  è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri:

 e

Storia 

Abraham de Moivre, nell'ambito dei suoi studi sulla probabilità, introdusse per la prima volta la distribuzione normale in un articolo del 1733. Gauss, che a quel tempo non era ancora nato, ne fu invece un grande utilizzatore: egli propose la "distribuzione normale" studiando il moto dei corpi celesti.
Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi "curva di Gauss" e "curva degli errori".

Nel 1809 il matematico americano Adrain pubblicò due derivazioni della legge normale di probabilità, simultaneamente e indipendentemente da Gauss I suoi lavori rimasero ampiamente ignorati dalla comunità scientifica fino al 1871, allorché furono "riscoperti" da Cleveland Abbe..

Nel 1835 Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una "Gaussiana", ma non andò oltre.

Fu Galton a intuire che la curva in questione, da lui detta anche "ogiva", poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine "Normale", in quanto rappresentava un substrato "normale" ovvero la "norma" per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, Galton - in mancanza di strumenti adeguati - si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.

Note

Bibliografia

Voci correlate 
 Carl Friedrich Gauss
 Curva di Hubbert
 Distribuzione normale inversa
 Distribuzione normale multivariata
 Funzione gaussiana
 Integrale di Gauss
 Regola 68-95-99,7
 Statistica parametrica
 Teoria delle probabilità
 Teorema di Cochran

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 
  Thermopedia, "Gaussian Distribution"

Normale
Teoria della probabilità