Distribuzione geometrica

In teoria della probabilità la distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri naturali senza l'elemento "0", che segue una progressione geometrica:

È la probabilità che il primo successo (o evento in generale) richieda l'esecuzione di k prove indipendenti, ognuna con probabilità di successo p. Se la probabilità di successo in ogni prova è p, allora la probabilità che alla k-esima prova  si ottenga il primo successo è

con k = 1, 2, 3, …

La formula qui sopra è usata, dunque, per calcolare la probabilità di fare un certo numero k di tentativi fino ad ottenere il primo successo (al k-esimo tentativo). Qui sotto invece, la seguente distribuzione esprime la probabilità di avere k fallimenti prima di ottenere il primo successo:

per k = 0, 1, 2, 3, …

In entrambi i casi, la successione di probabilità è una serie geometrica.

Definizione 
La distribuzione geometrica  è la distribuzione di probabilità sui numeri naturali della forma
, con  
dove q indica la probabilità di insuccesso.
Il parametro  si ricava da

E ricordando la definizione di q si ottiene 1. Questo risultato è di fondamentale importanza: significa che per quanto sia piccola la probabilità che un evento accada, in un processo di Bernoulli questo prima o poi accadrà (questo si ricollega al teorema della scimmia instancabile).

Se la variabile casuale X ha la distribuzione geometrica sopra descritta riguardante il numero di estrazioni necessarie per ottenere il primo successo, cioè X è distribuita secondo   , allora la distribuzione della variabile casuale  sarà  . Nell'esempio citato sopra, X è il numero di estrazioni da fare perché esca un numero fissato (alla X-esima estrazione), mentre Y è il numero di fallimenti prima di avere il primo successo.

Processo di Bernoulli 
La distribuzione geometrica di parametro q descrive anche il numero Y di fallimenti che precedono il primo successo in un processo di Bernoulli  di parametro :

Caratteristiche 
Una variabile aleatoria T con distribuzione geometrica di parametro q e avente come supporto i numeri naturali escluso il numero 0 ha
 funzione di probabilità

 funzione di ripartizione

 valore atteso

 varianza

 funzione generatrice dei momenti 
 funzione caratteristica 

I quantili si ricavano dalla funzione di ripartizione:
 se  è un numero intero () allora  e ;
 se invece  non è intero, allora  (parte intera).
In particolare la mediana è
 se  con  intero,
 altrimenti.

Assenza di memoria 
La distribuzione geometrica è priva di memoria, ossia

ed è l'unica distribuzione di probabilità discreta con questa proprietà.

L'indipendenza delle prove in un processo di Bernoulli implica l'assenza di memoria della distribuzione geometrica.
D'altro canto, ogni variabile aleatoria T a supporto sui numeri naturali e priva di memoria rispetta

pertanto ha una distribuzione di probabilità geometrica di parametro .

Generalizzazioni 
Una generalizzazione della distribuzione geometrica è la distribuzione di Pascal (o distribuzione binomiale negativa), che descrive il numero di fallimenti precedenti il successo r-esimo in un processo di Bernoulli.

Un'ulteriore generalizzazione della distribuzione di Pascal è la distribuzione di Panjer che, come la distribuzione geometrica, definisce le probabilità per ricorsione.

Esempi 
La probabilità che un dado (equilibrato, a 6 facce) debba venire lanciato esattamente 10 volte prima di fornire un "4" è data dalla distribuzione geometrica. Il lancio del dado può essere considerato un processo di Bernoulli, in cui ogni prova Xi ha probabilità  di fornire "4" (successo) e  di fornire un altro numero (fallimento). La probabilità cercata è quindi

La probabilità che dopo 10 lanci sia uscito almeno un "4" è invece

La probabilità che al decimo lancio si ottenga un "4" dopo che per 9 lanci questo numero non è mai stato ottenuto è facilmente calcolabile grazie alla mancanza di memoria

Voci correlate 
 Distribuzione di Bernoulli
 Distribuzione di Panjer
 Distribuzione di Pascal
 Mancanza di memoria
 Processo di Bernoulli
 Variabile casuale

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Collegamenti esterni
 

Geometrica