Fattoriale

In matematica, si definisce fattoriale di un numero naturale , indicato con , il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a tale numero. In formula:

per la convenzione del prodotto vuoto si definisce inoltre . La generalizzazione analitica del fattoriale è nota con il nome di funzione gamma di Eulero.

La notazione con il punto esclamativo è stata introdotta nel 1807 da Christian Kramp, mentre il nome fattoriale era stato coniato pochi anni prima, nel 1800 da Antoine Arbogast.

La sequenza dei fattoriali compare nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) come sequenza A000142.

Esempio di numeri fattoriali 
I valori dei primi numeri fattoriali sono riassunti nella seguente tabella:

Definizione ricorsiva 
La funzione fattoriale può anche essere definita in modo ricorsivo:

Per questa ragione, viene spesso utilizzata nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo esempio di calcolo ricorsivo.

Zero fattoriale 

Nella definizione come produttoria, la richiesta che  sia pari a uno si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad . Per convincersi ulteriormente di questo fatto, si può anche pensare di definire  e osservare che

 

come si desume dalla definizione ricorsiva.

Applicazioni 
I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono  diverse sequenze formate da  oggetti distinti, cioè vi sono  permutazioni di  oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.

Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni.  Ad esempio, rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di  oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di  elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di  elementi di un dato insieme di  oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale:

I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzitutto va osservato che la -esima derivata di  è ; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione  come serie di potenze nella  servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.

Varianti e generalizzazioni 

Il fattoriale presenta numerose varianti e generalizzazioni. Tra le prime il multifattoriale e in particolare il semifattoriale, il fattoriale crescente e il fattoriale decrescente. Tra le generalizzazioni discrete troviamo l'iperfattoriale e il superfattoriale. Molte di queste varianti nascono dal calcolo della cardinalità di alcuni insiemi nati dalla combinatoria. La funzione gamma è invece una generalizzazione continua.

Funzione gamma 

La funzione gamma è una funzione analitica definibile mediante l'integrale

per essa si dimostrano facilmente le proprietà

essa dunque estende la funzione fattoriale definita sugli interi naturali all'intero campo complesso (con la sola eccezione degli interi negativi):

Si dimostra inoltre che essa è l'unica estensione analitica del fattoriale.

Semifattoriale o doppio fattoriale 

La notazione  denota il semifattoriale (o doppio fattoriale) di  ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

per esempio  e . La sequenza di semifattoriali per  è la seguente:

Tra le identità che legano il fattoriale al doppio fattoriale, troviamo:

La seconda identità risulta utile per i semifattoriali pari, mentre l'ultima identità per i semifattoriali dispari: è deducibile dalla constatazione che moltiplicare tra loro tutti i numeri dispari fino a  equivale a moltiplicare tutti gli interi fino a  per poi eliminare, ossia dividere, quelli pari, ossia ).

Valutazione numerica dei fattoriali 

Il valore numerico di  può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di ; questo è ciò che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo  lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per via dell'overflow. Ad esempio, una calcolatrice capace di operare su  cifre decimali riesce a calcolare , ma non il fattoriale successivo, in quanto .

Quando  è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di  e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa l'approssimazione di Stirling:

Note

Bibliografia

Voci correlate 

 Calcolo combinatorio
 Permutazione
 Primo fattoriale
 Primoriale
 Fattoriale crescente
 Coefficiente binomiale
 Funzione gamma

Altri progetti

Collegamenti esterni 

 
 
  Fattoriale Calcolatrice: da 0! a 100.000!
 
 
 Mauro Fiorentini, Fattoriali (nel paragrafo delle proprietà si fa cenno al concetto di base fattoriale)
 Calcolo fattoriale passo per passo

Funzioni speciali
Combinatoria
Teoria dei numeri