Matching (Graphentheorie)

Die Theorie um das Finden von Matchings in Graphen ist in der diskreten Mathematik ein umfangreiches Teilgebiet, das in die Graphentheorie eingeordnet wird.

Folgende Situation wird dabei betrachtet: Gegeben sei eine Menge von Dingen und zu diesen Dingen Informationen darüber, welche davon einander zugeordnet werden könnten. Ein Matching (in der Literatur manchmal auch Paarung) ist dann als eine solche Auswahl aus den möglichen Zuordnungen definiert, die kein Ding mehr als einmal zuordnet.

Die am häufigsten gestellten Fragen in dieser Situation sind dann die folgenden:
 Wie findet man ein Matching, das eine maximale Anzahl an Dingen einander zuordnet?Dieses Problem ist das klassische Matchingproblem.
 Gibt es ein Matching, das alle Dinge zuordnet? Wenn ja, wie viele?Solche Matchings heißen perfektes Matching. Die Anzahl der perfekten Matchings in einem Graphen  wird meistens mit  notiert.
 Angenommen, man könnte quantifizieren „wie wichtig“ (oder „teuer“) die einzelnen Zuordnungen wären: Wie findet man dann ein Matching, das eine maximale Zahl von Dingen zuordnet und dabei ein möglichst großes (oder kleines) Gewicht hat?Dieses Problem heißt gewichtetes Matchingproblem. Zwischen einer Maximierungs- und einer Minimierungsaufgabe wird hier oftmals nicht unterschieden: Indem man bei allen Gewichten (Kosten) das Vorzeichen vertauscht, kann man beide Probleme ohne nennenswerten Aufwand ineinander überführen.
 Angenommen, man hätte genau zwei Klassen von Dingen und angenommen, man wüsste, dass es ausschließlich zwischen diesen Klassen mögliche Zuordnungen gibt. Werden die Probleme 1–3 dadurch einfacher?Dieses Problem heißt bipartites (gewichtetes) Matchingproblem und ist ein viel diskutierter Spezialfall.
 Kann man anderes Wissen, das man über die Struktur der möglichen Zuordnungen hat, ähnlich wie in 4 geschickt benutzen, um die Probleme 1–3 effizienter zu lösen?

Die Theorie um die Matchings untersucht möglichst effiziente Lösungsverfahren dieser Probleme, klassifiziert diese nach ihrer Laufzeit mit den Methoden der Komplexitätstheorie und stellt Beziehungen dieser Probleme zueinander und zu anderen Problemen in der Mathematik her.

Definitionen 

Das oben beschriebene Problem lässt sich wie folgt formalisieren. Gegeben sei ein endlicher, ungerichteter Graph . Eine Menge  heißt Matching, wenn keine zwei Kanten aus  einen Knoten gemeinsam haben. Ein Matching heißt
 nicht erweiterbar (engl. maximal matching)falls es keine Kante  derart gibt, dass  ein Matching ist. Maximale Matchings sind im Vergleich zu den folgenden Begriffen sehr einfach zu berechnen.
 größtmöglich (engl. maximum matching)falls  als Menge eine maximale Kardinalität unter allen Matchings von  hat. Maximum-Matchings sind maximal. Die Mächtigkeit eines Maximum-Matchings wird Matchingzahl genannt und mit  notiert.
 perfektfalls  gilt, d. h. wenn jeder Knoten gematcht wurde. Perfekte Matchings sind Maximum-Matchings und damit auch maximal. Perfekte Matchings können als 1-Faktoren eines Graphen, das heißt 1-reguläre aufspannende Teilgraphen, aufgefasst werden. Dieser Auffassung folgend spricht man auch von faktorisierbaren Graphen, wenn sie einen 1-Faktor besitzen.

Definitionen (gewichtetes Matching-Problem) 
Für das gewichtete Matchingproblem spielt eine Kostenfunktion  eine Rolle. Ein Matching heißt
 maximalfalls  maximal unter allen Matchings von  ist.
 minimal maximal falls  minimal unter allen maximalen Matchings ist.

Eigenschaften 
In jedem Graphen ohne isolierte Knoten ist die Summe der übereinstimmenden Matchingzahl und der Kantenüberdeckungszahl gleich der Anzahl der Knoten. Wenn es ein perfektes Matching gibt, sind sowohl die Matchingzahl als auch die Kantenüberdeckungszahl gleich .

Wenn  und  zwei nicht erweiterbare Matchings sind, dann gilt  und . Das liegt daran, dass jede Kante in  höchstens mit zwei Kanten in  benachbart sein kann, weil  ein Matching ist. Außerdem grenzt jede Kante in  an eine Kante in , weil  nicht erweiterbar ist. Daher gilt

Daraus folgt

also .

Wenn der Graph zum Beispiel ein Pfad mit 3 Kanten und 4 Knoten ist, beträgt die Größe eines minimalen maximalen Matchings 1 und die Größe eines perfekten Matchings beträgt 2.

Kombinatorik 
Die Anzahl der Matchings mit  Kanten für bestimmte Graphen zeigt die folgende Tabelle:

Historisches 

Als eine der frühesten systematischen Untersuchungen von Matchings wird ein Artikel von Julius Petersen angeführt, der 1891 über „Die Theorie der regulären graphs“ schrieb. Er untersuchte ein Zerlegungsproblem aus der Algebra, das David Hilbert 1889 gestellt hatte, indem er es als Graphenproblem formulierte. Letztlich bewies er darin folgendes:
 Für alle Zahlen  kann jeder -reguläre Graph in disjunkte -Faktoren zerlegt werden. (1)
 Jeder kubische, zusammenhängende Graph mit weniger als drei Brücken besitzt ein perfektes Matching. (2)
Die Tatsache (2), bekannt als Satz von Petersen, lässt sich auch als eine leichte Verallgemeinerung des Eulerkreisproblems formulieren.

Rückblickend erscheinen Petersens Argumente, mit denen er das Obige bewies, kompliziert und umständlich. Bei der weiteren Untersuchung etwa durch Brahana 1917, Errera 1922 und Frink 1926 sowie zusammenfassend durch Kőnig 1936 wurden aber viele Methoden der modernen Graphentheorie entwickelt oder zuerst systematisch formuliert. Petersens Denkansatz wurde dann von Bäbler 1938 1952 und 1954 sowie von Gallai 1950, Belck 1950 und schließlich Tutte auf andere reguläre Graphen übertragen.

In modernen Lehrbüchern und Vorlesungen tauchen Petersens ursprüngliche Resultate, wenn überhaupt, meist nur noch als Folgerungen aus den Resultaten von Tutte oder Hall auf. Im Buch von Diestel folgt die erste Aussage aus dem Heiratssatz von Hall. Die zweite Aussage wird auf den Satz von Tutte zurückgeführt.

Bipartite Matchings 
Eines dieser frühen Resultate betrifft bipartite Graphen, die sich in der Folge als ein sehr natürlicher und aus heutiger Sicht für die Praxis zentraler Spezialfall herausgestellt haben. Kőnig und Egerváry untersuchten beide unabhängig voneinander das bipartite Matchingproblem und das Knotenüberdeckungsproblem und fanden dabei heraus, dass beide Probleme in dem folgenden Sinn äquivalent sind:

 Die Größe einer minimalen Knotenüberdeckung und eines maximum-Matching stimmen auf bipartiten Graphen überein. (3)

Dieser Satz wird meistens Kőnig zugeschrieben oder Min-Max-Theorem bzw. Dualitätssatz genannt. Beide bewiesen die Aussage für endliche Graphen. Aharoni bewies 1984 die Aussage für überabzählbar unendliche Graphen. Ein elementarer Beweis von (3) findet sich in Lovász & Plummer 43, der von den meisten Lehrbüchern übernommen wurde. Bondy & Murty 200 führt den Satz auf ein Resultat der linearen Programmierung zurück: Ist  die Inzidenzmatrix des Graphen , dann lassen sich maximum Matchings als Lösungen von folgendem ganzzahligen linearen Programm auffassen:

Dabei ist  der Einsvektor bestehend aus lauter Einsen. Das Programm des Knotenüberdeckungsproblems hat folgende Gestalt:

Diese Programme haben eine sogenannte primal-dual-Gestalt. Für Programme von dieser Gestalt wird in der Theorie der linearen Programme gezeigt, dass sie in ihren Optima übereinstimmen. Für bipartite Graphen lässt sich außerdem leicht zeigen, dass  total unimodular ist, was in der Theorie der ganzzahligen linearen Programme ein Kriterium für die Existenz einer optimalen Lösung der Programme mit Einträgen nur aus  (und damit in diesem speziellen Fall sogar aus ) ist, also genau solchen Vektoren, die auch für ein Matching bzw. für eine Knotenüberdeckung stehen können. Dieser Primal-Dual-Ansatz der linearen Programme scheint zunächst wenig mit der Matching-Theorie zu tun zu haben, stellt sich aber als einer der fruchtbarsten Ansätze zur effizienten Berechnung von Matchings, insbesondere im gewichteten Fall, heraus.

Es gibt eine ganze Vielzahl von Sätzen, die zum Satz von König äquivalent sind. Darunter der Satz von Birkhoff und von Neumann, der Satz von Dilworth und das Max-Flow-Min-Cut-Theorem für bipartite Graphen. Für die Matchingtheorie am interessantesten ist folgende Bedingung, die Hall 1935 angab, um bipartite Graphen mit perfektem Matching zu charakterisieren. Dieser Charakterisierungssatz ist ebenfalls äquivalent zum Satz von König.
 Ein bipartiter Graph mit Knotenpartitionen  und o.B.d.A  hat genau dann ein perfektes Matching, wenn für jede Auswahl von Knoten  gilt: . Dabei ist  die Nachbarschaftsmenge von . (4)

Aus (4) folgt schnell, dass sich unter den bipartiten Graphen genau alle regulären Graphen -faktorisieren lassen und die Aussage (1) von Petersen lässt elegant auf diese Folgerung zurückführen. Eine Verallgemeinerung dieses Resultats liefert eine Formel für die Größe eines maximum Matchings, die sogenannte König-Ore Formel:

Lösungsverfahren 

Viele der folgenden Konzepte spielen in fast allen Lösungsverfahren von Matchingproblemen eine Rolle. Ist ein Graph  mit einem Matching  gegeben, dann heißt ein Knoten von  frei (in der Literatur auch ungepaart, exponiert, verfügbar …), falls er zu keiner Kante in  inzident ist. Andernfalls heißt der Knoten gesättigt. Ein Pfad  in  heißt alternierend, falls dieser abwechselnd Kanten aus  und aus  enthält. Falls dieser Pfad in einem freien Knoten beginnt und endet, heißt der Pfad verbessernd oder auch augmentierend. Die letzte Bezeichnung kommt von der Tatsache, dass  durch  ein größeres Matching als  liefert. Folgendes grundlegendes Resultat von Berge 1957 motiviert das Studium von augmentierenden Pfaden.
 Ein Matching ist genau dann Maximum, wenn es keinen verbessernden Pfad in  bezüglich  gibt.
Diese Bezeichnungen entsprechen genau der Sprache, die auch bei der Behandlung von Flüssen in Netzwerken gebraucht wird. Das ist kein Zufall, denn Matchingprobleme lassen sich in der Sprache der Netzwerktheorie formulieren und mit den dort entwickelten Verfahren lösen. Im bipartiten Fall ist diese Zurückführung, wie das folgende Beispiel zeigt, sogar fast trivial. Gegeben ein Graph  mit Knotenmenge . Konstruiere ein Netzwerk . Dabei ist  und . Außerdem ist  die Fortsetzung von der Kostenfunktion , die alle neuen Kanten mit Inf belegt.

Mit dem Satz von Berge lässt sich auch gleich ein Algorithmus (I) zum Finden von maximum Matchings angeben. Weil jeder verbessernde Pfad zu einem gegebenen Matching einen weiteren Knoten matcht und maximal  Knoten zu matchen sind, beschränkt sich die Zahl der Schleifendurchläufe asymptotisch durch . Eine sehr naive Methode zum Finden verbessernder Pfade stellen sogenannte Graph Scans dar, etwa eine Breitensuche (BFS) mit einer Laufzeit von . Ferner ist , weil der Graph bipartit ist und damit ist die angegebene Methode in .

Einer der frühesten Beiträge zum Berechnen von Maximum-Matchings, der über die oben angeführte naive Methode hinausgeht, war der Algorithmus von Hopcroft und Karp 1973. Die Grundidee folgt dem Algorithmus von Dinic (mit dem das Problem mit derselben asymptotischen Laufzeit gelöst werden kann), der in jeder Phase, wo der Algorithmus nach einem verbessernden Pfad sucht (Zeile 2), möglichst kurze Pfade und nach Möglichkeit „mehrere gleichzeitig“ sucht.

Alt, Blum, Mehlhorn & Paul 1991 schlagen eine Verbesserung von Hopcroft & Karp vor, indem sie ein Scanningverfahren für Adjazenzmatrizen nach Cheriyan, Hagerup, and Mehlhorn 1990 anwenden. Eine einfache Beschreibung der Methode findet sich auch in Burkard, Dell’Amico & Martello 47 ff. Feder und Motwani 1991 haben eine Methode vorgeschlagen, die auf der Zerlegung von  in bipartite Cliquen beruht und erreichen damit eine asymptotische Laufzeit von . Eine Methode, die nicht auf der Idee augmentierender Pfade beruht, sondern sogenannte „starke Spannbäume“ benutzt, haben Balinski & Gonzalez 1991 vorgeschlagen und erreichen damit eine Laufzeit von .

Programmierung 
Das folgende Beispiel in der Programmiersprache C# zeigt ein Programm, das die Matchingzahl für einen bipartiten Graphen bestimmt. Der bipartite Graph wird als zweidimensionales Array vom Datentyp bool (Boolesche Variable) deklariert. Wenn zwei Knoten verbunden sind, wird der Wert true gespeichert, wenn nicht, wird der Wert false gespeichert. Die Methode BipartiteMatching, die feststellt, ob es ein passendes Matching gibt, verwendet einfache Rekursion. Bei der Ausführung des Programms wird die Methode Main verwendet, die die Matchingzahl auf der Konsole ausgibt.using System;

class Program
{
	// Diese Methode verwendet Tiefensuche und stellt fest, ob es ein Matching mit dem Knoten mit startIndex gibt
	bool BipartiteMatching(bool[,] bipartiteGraph, int startIndex, bool[] visitedIndexes, int[] matchedIndexes, int n)
	{
		for (int targetIndex = 0; targetIndex < n; targetIndex++) // for-Schleife, die alle Indexe der Zielknoten durchläuft
		{
			if (bipartiteGraph[startIndex, targetIndex] && !visitedIndexes[targetIndex]) // Wenn die Knoten mit startIndex und targetIndex im bipartiten Graphen verbunden sind und Zielknoten nicht besucht ist
			{
				visitedIndexes[targetIndex] = true; // Setzt den Zielknoten auf besucht
				
				// Wenn der Knoten mit targetIndex nicht zugeordnet ist, wird er dem Knoten mit startIndex zugeordnet. Wenn der Knoten mit targetIndex auf besucht gesetzt ist, wird er im rekursiven Aufruf nicht erneut zugeordnet.
				if (matchedIndexes[targetIndex] == -1 || BipartiteMatching(bipartiteGraph, matchedIndexes[targetIndex], visitedIndexes, matchedIndexes, n)) // Rekursiver Aufruf der Methode mit dem Nachbarknoten als Startknoten
				{
					matchedIndexes[targetIndex] = startIndex;
					return true;
				}
			}
		}
		return false;
	}
	
	// Diese Methode gibt die Matchingzahl des bipartiten Graphen zurück
	int GetMatchingNumber(bool[,] bipartiteGraph, int m, int n)
	{
		int[] matchedIndexes = new int[n]; // Array, das die Indexe der zugeordneten Knoten speichert
		for (int i = 0; i < n; ++i) // for-Schleife, die alle Indexe der Zielknoten durchläuft
		{
			matchedIndexes[i] = -1; // Setzt alle Knoten auf nicht zugeordnet
		}
		int matchingNumber = 0; // Zählt die Anzahl der Matchings
		for (int startIndex = 0; startIndex < m; startIndex++) // for-Schleife, die alle Indexe der Startknoten durchläuft
		{
			bool[] visitedIndexes = new bool[n]; // Array, das die Indexe der besuchten Knoten speichert
			for (int i = 0; i < n; ++i) // for-Schleife, die alle Indexe der Zielknoten durchläuft
			{
				visitedIndexes[i] = false; // Setzt alle Knoten auf nicht besucht
			}
			if (BipartiteMatching(bipartiteGraph, startIndex, visitedIndexes, matchedIndexes, n)) // Untersucht, ob es ein Matching mit dem Knoten mit startIndex gibt
			{
				matchingNumber++;
			}
		}
		return matchingNumber;
	}
	
	// Hauptmethode, die das Programm ausführt
	public static void Main()
	{
		// Erzeugt einen bipartiten Graphen
		bool[,] bipartiteGraph = new bool[,]
			{{false, true, true, false, false, false},
			{true, false, false, true, false, false},
			{false, false, true, false, false, false},
			{false, false, true, true, false, false},
			{false, false, false, false, false, false},
			{false, false, false, false, false, true}};
		Program program = new Program();
		Console.WriteLine("Die Matchingzahl des bipartiten Graphen ist " + program.GetMatchingNumber(bipartiteGraph, 6, 6) + "."); // Ausgabe auf der Konsole
		
		Console.ReadLine();
	}
}

Allgemeiner Fall

Satz von Tutte 

Während Charakterisierungen von Matchings und effiziente Algorithmen zum Bestimmen relativ schnell nach der Formulierung von Matchings als Problem gefunden wurden, dauerte es bis 1947 bis Tutte eine Charakterisierung für perfekte Matchings in allgemeinen Graphen formulieren und beweisen konnte. Aus diesem tiefliegenden Resultat lassen sich alle bisher besprochenen vergleichsweise leicht herleiten. Tutte benutzt die einfache Tatsache, dass eine Komponente mit ungerader Knotenzahl in einem Graphen kein perfektes Matching haben kann. Wenn also eine Knotenmenge  so gefunden werden kann, dass  mehr ungerade Komponenten als  Knoten hat, dann müsste für ein perfektes Matching aus jeder solcher Komponente wenigstens ein Knoten mit einem Knoten aus  gematcht werden und das kann nicht sein. Es stellt sich heraus, dass die Existenz einer solchen Menge  Graphen ohne perfektes Matching nicht nur beschreibt, sondern charakterisiert:

 Ein Graph  hat genau dann ein perfektes Matching, wenn für jede Menge  gilt: . ( gibt die Anzahl der ungeraden Komponenten eines Graphen an.) (5)

Eine solche Menge  heißt Tutte-Menge und die Bedingung in (5) heißt Tutte-Bedingung. Dass sie notwendig für die Existenz perfekter Matching ist, wurde schon skizziert und es gibt mittlerweile viele Beweise dafür, dass die Bedingung hinreichend ist: Tuttes ursprünglicher Beweis formulierte das Problem als ein Matrix-Problem und benutzte die Idee der pfaffschen Determinante. Elementare Abzählargumente wurden relativ rasch danach veröffentlicht, wie in Maunsell 1952, Tutte 1952, Gallai 1963, Halton 1966 oder Balinski 1970. Andere Beweise, wie Gallai 1963, Anderson 1971 oder Marder 1973 verallgemeinern den Satz (4) von Hall systematisch. Ferner gibt es Beweise aus der Perspektive der Graphentheorie, die die Struktur von Graphen betrachten, die selbst kein Perfektes Matching besitzen, doch falls eine Kante ergänzt wird, hat der resultierende Graph ein solches. Diesen Ansatz verfolgen etwa Hetyei 1972 oder Lovász 1975.

Algorithmus von Edmonds 
Der erste Polynomialzeitalgorithmus für das klassische Matchingproblem stammt von Jack Edmonds (1965). Die Grundstruktur der Methode entspricht Algorithmus (I): Sie sucht verbessernde Pfade und gibt ein maximum Matching zurück, falls kein solcher gefunden werden kann. Einen verbessernden Pfad zu finden, stellt sich hier aber als schwieriger heraus als im bipartiten Fall, weil einige neue Fälle auftreten können. Edmonds Suchmethode konstruiert nach und nach einen alternierenden Wald. Das ist ein kreisfreier Graph  mit so vielen Zusammenhangskomponenten wie es freie Knoten gibt. Jeder freie Knoten ist Wurzel  eines Baumes  und  ist so konstruiert, dass für alle anderen Knoten  der eindeutig bestimmte --Pfad ein alternierender Pfad ist. Ein Knoten in  heißt dann innen oder ungerade, falls  und andernfalls außen oder gerade.  sei hier die Distanzfunktion in , gebe also die Länge des eindeutig bestimmten --Pfades an.

Es genügt die Betrachtung auf die Konstruktion eines alternierenden Baumes zu reduzieren. Falls diese Konstruktion keinen augmentierenden Pfad findet, wird sie mit einem neuen freien Knoten reinitialisiert und alle bereits betrachteten Kanten werden ignoriert. Existiert kein freier Knoten mehr, dann existiert auch kein augmentierender Pfad. Diesen alternierenden Baum konstruiert Edmonds, indem er ausgehend von einem freien Knoten nach und nach alle Kanten hinzufügt oder ignoriert. Dabei können für eine neue Kante  ( gehöre bereits zum Baum) folgende Fälle auftreten:

 Wenn  ein innerer Knoten ist, können nur Kanten  zu  hinzugefügt werden, weil  alternierend werden soll. Diese Kante ist eindeutig durch  gegeben.
 Falls  ein äußerer Knoten ist, dann kann  …
 frei sein und noch nicht in . Dann ist der --Pfad augmentierend.
 gepaart sein und weder  noch  ist in . Dann können  und  zu  hinzugefügt werden.
 bereits in  als innerer Knoten enthalten sein. Damit schließt  einen geraden Kreis. Diese Kanten können ignoriert werden.
 bereits in  als ein äußerer Knoten enthalten sein. Dann schließt  einen ungeraden alternierenden Kreis ; eine sogenannte Blüte. Edmonds zieht die Knoten in  zu einem Pseudoknoten  zusammen mit den Inzidenzen aller Knoten aus . (Diese Operation lässt sich auch beschreiben als „Bildung des Quotientengraphen“ ) Er reinitialisiert dann die Suche in  und gibt ein Verfahren an, einen dort gefundenen augmentierenden Pfad  zu einem augmentierenden Pfad  in  zu liften.

Blüten können, anders als bei Fall , nicht ignoriert werden. Der Knoten, der die Blüte mit dem Baum verbindet, lässt sich in das Schema der inneren und äußeren Knoten nicht einordnen. Die naheliegende Idee, ihn als „sowohl innen als auch außen“ zu behandeln führt zu einem falschen Algorithmus. Die Behandlung von Blüten mit Kontraktion ist neben dem Ansatz von Berge die zentrale Idee von Edmonds’ Algorithmus und Grundlage vieler späterer Verfahren. Bipartite Graphen enthalten keine ungeraden Kreise und damit auch keine Blüten. Edmonds’ Algorithmus reduziert sich daher im bipartiten Fall auf die Methode von Munkres.

Man kann ablesen, dass die skizzierte Methode von Edmonds einen Aufwand von  hat. In Fall  reinitialisiert Edmonds die Suche und verwirft damit den bereits geleisteten Suchaufwand. Gabow 1976 und Lawler haben eine naive Implementierung vorgeschlagen, die den Suchaufwand nicht verwirft und eine Laufzeit von  erreicht. Das Beispiel folgt bereits dieser Methode.

Literatur 

 Historisch

Weblinks

Einzelnachweise

Anmerkungen 

Grundbegriff (Graphentheorie)