Teorema dell'energia cinetica

In fisica, il teorema dell'energia cinetica (o teorema lavoro-energia, o teorema delle forze vive) afferma che se un corpo possiede un'energia cinetica iniziale e una forza agisce su di esso effettuando un lavoro, l'energia cinetica finale del corpo è uguale alla somma dell'energia cinetica iniziale e del lavoro compiuto dalla forza lungo la traiettoria del moto.

È importante sottolineare che il teorema vale anche per forze variabili con il tempo o con la posizione, per sistemi a massa costante.

Origine del nome
Anticamente si definiva "vis viva", cioè "forza viva", il prodotto della massa per il quadrato della velocità.

Ad introdurre per primo questa denominazione è Leibniz (1646 - 1716), celebre matematico e scienziato tedesco, che nel suo "Specimen Dynamicum" contrappone due tipi di forze. Una di queste è la "vis mortua", ossia quella forza che un corpo possiede per mettersi in movimento mentre è a riposo e che concettualmente corrisponde all'energia potenziale di un corpo. L'altra forza ad essa contrapposta è proprio la "vis viva", più significativa dal punto di vista della dinamica, che è determinata dalla capacità di un corpo di provocare effetti sul sistema a seguito del suo movimento. Questa forza, secondo Leibniz, si conserva sia nel caso particolare di urto tra due corpi, che nel sistema globale in generale. 

Da qui deriva perciò la denominazione di "teorema delle forze vive", usata su alcuni vecchi testi di fisica al posto della più recente denominazione di "teorema dell'energia cinetica".

Dimostrazione del teorema 
Il teorema è fondamentalmente una conseguenza del secondo principio della dinamica. Sia  la forza risultante agente su un punto materiale di massa . In base al secondo principio della dinamica la forza è proporzionale al tasso di variazione della quantità di moto  nel tempo:

Consideriamo ora il lavoro infinitesimo sotto questo aspetto. Si ha:

Nel caso in cui la massa del sistema sia costante nel tempo:

ovvero la variazione infinitesima di energia cinetica (definita come ) dopo un istante di tempo è uguale al lavoro elementare della forza risultante.

Altra dimostrazione 
Una dimostrazione alternativa del teorema tiene conto della conseguenza del secondo principio della dinamica, secondo cui in un sistema con massa inerziale costante nel tempo, la forza  impressa su un corpo di massa  è direttamente proporzionale all'accelerazione  del corpo con costante di proporzionalità uguale a .

In questo modo si ha:

dove  corrisponde allo spostamento. Considerando il prodotto scalare  in termini di componenti, si ottiene:

Focalizzandosi inizialmente solo sul primo termine , tenendo presente che  e  si ha:

Il secondo membro della precedente uguaglianza può essere riscritto come il prodotto tra la derivata di  rispetto al tempo e la massa :

Perciò:

 

Tornando alla formula iniziale dell'infinitesimo di lavoro e riscrivendo i termini in  e  in modo analogo ai termini in  

in quanto . Quindi, anche in questo caso, con  costante nel tempo, si ha:

Considerando intervalli di tempo finiti, ciò significa che il lavoro compiuto dalla forza  quando il corpo si sposta da uno stato iniziale ad uno stato finale, è uguale alla variazione dell'energia cinetica del corpo.

Osservazioni 

 Se su un punto materiale agiscono diverse forze, in modo che la risultante sia , allora il lavoro di essa è pari alla somma dei lavori effettuati dalle singole forze. Si ha quindi ;
 Nel caso in cui lo spostamento del corpo sia, istante per istante, ortogonale alla forza , il lavoro corrispondente è nullo: informazione che, nelle applicazioni del teorema, troverà ampio utilizzo;
 Se lo spostamento del corpo ha una componente parallela e concorde con la forza risultante, si può notare che , e che quindi l'energia cinetica è in aumento ; viceversa, se la componente parallela è opposta alla forza risultante, l'energia cinetica diminuisce. Ad esempio, le forze di attrito dinamico e di resistenza del mezzo sono sempre dirette in verso contrario alla velocità, e comportano, di conseguenza, una diminuzione dell'energia cinetica del corpo che subisce la loro azione.

Versione differenziale del teorema 
Il teorema viene spesso enunciato in forma integrale:

Tuttavia può essere sfruttata l'equivalente forma, detta differenziale, che prende in considerazione la derivata rispetto al tempo dei termini precedenti:

Dove  rappresenta la potenza delle forze agenti sul sistema e  la derivata prima dell'energia cinetica rispetto al tempo.

Tale forma viene estensivamente utilizzata in meccanica razionale e nell'ingegneria per ricavare l'equazione di moto di un sistema ad un singolo grado di libertà, in presenza di vincoli fissi.

Applicazioni del teorema

Moto unidimensionale con forze dipendenti dalla posizione 
Si consideri un punto materiale che si muove lungo una traiettoria rettilinea (a cui facciamo corrispondere l'asse x), sottoposto a forze che dipendono solo dalla sua posizione. Supponiamo che il moto che stiamo considerando si svolga nell'intervallo di tempo , e che sia descritto dalla legge oraria x(t). Con queste condizioni, vediamo che tutte le forze applicate al corpo sono anch'esse dirette lungo l'asse x, e il lavoro si esprime come 

Poiché , possiamo cambiare variabile d'integrazione da t a x, ottenendo

Quindi il lavoro compiuto dalle forze applicate dipende soltanto dalle posizioni iniziale e finale del corpo durante l'intervallo di tempo considerato. Supponendo che -U(x) sia una primitiva di :

Allora

dove . 

Il teorema dell'energia cinetica impone, dunque, che 

Ovvero

Poiché  e  sono arbitrari, otteniamo che

Abbiamo evidenziato una quantità che si mantiene costante durante il moto del corpo. Questa quantità si chiama energia meccanica, ed è costituita dalla somma dell'energia cinetica K e di U(x), che è chiamata energia potenziale.

Caso di corpo in caduta libera 
Se si lascia cadere un oggetto verso il basso, l'unica forza agente su di esso è la sua forza peso , la quale ha stessa direzione e stesso verso della traiettoria dell'oggetto, pertanto il lavoro prodotto è positivo. Secondo il teorema delle forze vive anche l'energia cinetica dovrebbe aumentare, infatti questo si verifica poiché la velocità aumenta.
Se, invece, l'oggetto viene lanciato verticalmente verso l'alto avviene il contrario: il lavoro diventa negativo, in quanto la forza peso ha stessa direzione ma verso opposto rispetto allo spostamento, e la velocità diminuisce durante il moto. Anche in questo caso, quindi, si conferma il teorema.

Corpo che scivola su un piano inclinato 
Se un corpo è sottoposto a dei vincoli lisci e indipendenti dal tempo, come il caso dello scivolamento su un piano inclinato, sottoporrà il piano stesso a un'azione, dovuta al suo peso. Si può notare che ci sarà una componente della forza peso relativa al corpo che agirà in direzione normale alla superficie; in questo modo, per il terzo principio della dinamica, il piano inclinato opporrà delle reazioni vincolari di modulo pari a questa componente. Di conseguenza le forze vincolari, essendo normali alla superficie, e quindi alla traiettoria, non compiono lavoro.

Corpo in moto circolare uniforme 
Nel moto circolare uniforme la velocità tangenziale del corpo che si muove è costante in modulo perciò, essendo anche la massa costante, la sua energia cinetica non varia. Per questo motivo, conseguentemente al teorema dell'energia cinetica, la forza centripeta agente sul corpo non compie lavoro. Questo lo si appura dal fatto che la forza e la direzione dello spostamento sono perpendicolari tra loro, perciò generano lavoro nullo.

Note

Bibliografia

Voci correlate
 Energia cinetica
 Lavoro (fisica)
 Energia meccanica
 Legge di conservazione dell'energia
 Energia potenziale
 Energia

Collegamenti esterni 
 
 

Energia
Energia cinetica

en:Work_(physics)#Work–energy_principle