Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa, inaczej identycznościowa, tożsamościowa – macierz kwadratowa, której współczynniki są określone wzorami:
 

Skrótowo:  gdzie  to symbol Kroneckera. Obrazowo: na głównej przekątnej macierzy jednostkowej są same jedynki, a reszta jest wypełniona zerami.

Macierz jednostkową zwykle oznacza się symbolem  Dla podkreślenia stopnia (wymiaru) macierzy pisze się też  gdzie  jest liczbą naturalną (oznaczającą liczbę wierszy i kolumn). Inne oznaczenia to  i .

Macierz jednostkowa reprezentuje wersory z bazy standardowej danej skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, np. przestrzeni euklidesowej:  Oprócz tego macierz jednostkowa reprezentuje tożsamościowe odwzorowanie liniowe.

Przykłady

Własności

Własności układu wektorów 
 Macierz jednostkowa wymiaru  ma rząd równy  ponieważ parami różne wersory (jej kolumny) są liniowo niezależne. . To samo dotyczy każdej innej niezerowej macierzy skalarnej i każdej innej macierzy diagonalnej niezawierającej zer na głównej przekątnej.

 Jej wyznacznik jest równy 1.  Jeśli wyznacznik jest zdefiniowany geometrycznie (zorientowana miara układu wektorów, np. zorientowane pole równoległoboku lub zorientowana objętość równoległościanu), to wynika to wprost z definicji. Jeśli wyznacznik jest definiowany aksjomatycznie (zwłaszcza nad ciałami innymi niż liczby rzeczywiste), to wartość 1 dla macierzy jednostkowej jest jednym z aksjomatów (jedną z definiujących cech).

 Jest równa swojej macierzy dopełnień algebraicznych i swojej macierzy dołączonej:

Własności odwzorowania liniowego 
Własności ogólne
 Macierz jednostkowa reprezentuje identyczność, dlatego przemnożenie jej przez dowolny wektor (kolumnowy) daje ten sam wektor. 

 To samo dotyczy wektorów wierszowych (kowektorów). 

 Obrazem odwzorowania tożsamościowego jest cała przestrzeń, a jądrem – wektor zerowy. Innymi słowy jądro jest trywialne. 

Własności mnożenia
 Macierze można mnożyć nie tylko przez wektory (kolumny) i kowektory (wiersze). Mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Iloczyn (lewo- lub prawostronny) dowolnej macierzy kwadratowej przez macierz jednostkową daje w wyniku tę pierwszą: .

 Macierz jednostkowa jest zatem elementem neutralnym pierścienia macierzy określonego stopnia. Równoważnie: reprezentuje jedynkę pierścienia endomorfizmów danej przestrzeni liniowej. Jest też jedynką pełnej grupy liniowej i jej wszystkich podgrup.

 Bycie elementem neutralnym mnożenia można też przyjąć za definicję macierzy jednostkowej. Odpowiednie równania jednoznacznie wyznaczają jej elementy.

 W szczególności: macierz jednostkowa jako identyczność komutuje ze wszystkimi elementami odpowiednich pierścieni i grup.  dla pierścieni oraz  dla grup, gdzie  jest kwadratową macierzą zerową.

 Jako element neutralny mnożenia (składania) jest równa swojej macierzy odwrotnej:  Innymi słowy jest przykładem inwolucji. Odwracanie jest możliwe, ponieważ spełnione są 3 równoważne warunki: rząd jest maksymalny  wyznacznik jest niezerowy, a jądro jest trywialne.

 Jako element neutralny jest mnożenia (składania) równa swojemu kwadratowi i przez to wszystkim swoim potęgom (iteracjom):  Innymi słowy jest idempotentna, czyli jest rzutem. W połączeniu z poprzednim faktem (inwolutywnością): wszystkie iteracje całkowite (nie tylko naturalne) są identyczne. Podany wzór zachodzi dla dowolnego wykładnika  całkowitego 

 Powyższa własność bardzo upraszcza obliczanie wielomianów od macierzy.  podobnie jak dla każdego rzutu (idempotentu). To uproszczenie rozciąga się również na nieskończone szeregi potęgowe, np. szereg Taylora. Dzięki nim można definiować różne funkcje na macierzach, m.in. eksponens. Zachodzi  – wynikiem funkcji jest zwykłe przeskalowanie. Podobnie jest dla innych rzutów oraz dla macierzy skalarnych, ale przy tych ostatnich – z innym czynnikiem skali.

 Macierz kwadratową  wymiaru  można mnożyć nie tylko przez inne macierze kwadratowe tego samego wymiaru. Aby mnożenie  przez inną macierz  było wykonalne, potrzeba i wystarcza, aby jeden z wymiarów macierzy  wynosił  Innymi słowy: dla każdego  wykonalne są działania  i  W szczególności: kiedy ta macierz kwadratowa jest jednostkowa, czyli  to taki iloczyn zawsze zwraca pozostałą, niekoniecznie kwadratową macierz: 

 Macierze kwadratowe można pierwiastkować. Pierwiastek kwadratowy z macierzy jednostkowej  można oznaczyć przez  i zdefiniować równaniem:  Dla przypadku 2-wymiarowego to równanie jest spełnione przez macierze postaci:
 
 oraz przez ich transpozycje, dla dowolnych liczb .

Własności diagonalizacji
 Wektorem własnym odwzorowania tożsamościowego (i przez to macierzy jednostkowej) jest każdy wektor:  Odpowiednią przestrzenią własną jest cała rozważana przestrzeń liniowa. Ta sama własność dotyczy wszystkich innych niezerowych macierzy skalarnych. Dla macierzy jednostkowej jedyną wartością własną jest 1 – ta liczba to całe widmo macierzy (spektrum).

 Macierz jednostkowa jest przez to diagonalizowalna: w sposób dość trywialny, bo jest z definicji diagonalna.

 Wielomian charakterystyczny macierzy jednostkowej jest dość prosty, ponieważ ma tylko jeden pierwiastek (równy 1). Jego krotność jest równa wymiarowi rozważanej przestrzeni i macierzy. . Wielomian minimalny to w tym wypadku funkcja liniowa:  Analogicznie jest dla każdej niezerowej macierzy skalarnej.

 Ślad macierzy jednostkowej (i odwzorowania tożsamościowego) jest równy wymiarowi przestrzeni oraz macierzy.

Własności związane z iloczynami skalarnymi 
 Macierz jednostkowa jest macierzą symetryczną, czyli równą swojej transpozycji:  Odpowiadające jej przekształcenie tożsamościowe  jest reprezentowane przez tę samą macierz co jego odwzorowanie dualne:  Zachodzi tożsamość  gdzie  to iloczyn skalarny, a  to wektory odpowiedniej przestrzeni.

 Jako macierz symetryczna ma same rzeczywiste wartości własne, które wspomniano wyżej (równe 1). Jest macierzą dodatnio określoną – jej wartości własne są dodatnie, a zadana forma kwadratowa jest dodatnio określona. Jest nią zwykły kwadrat modułu wektora. Zadaną formą dwuliniową, symetryczną i dodatnio określoną jest „zwykły” euklidesowy iloczyn skalarny.

 Jako macierz symetryczna (nad ciałem liczb rzeczywistych) jest też automatycznie hermitowska nad ciałem liczb zespolonych, w kontekście półtoraliniowego iloczynu skalarnego. 

 Jako macierz diagonalna spełnia warunki antysymetrii dla wyrazów pozadiagonalnych:  Mimo to nie jest macierzą antysymetryczną, bo jej wyrazy diagonalne są niezerowe: 

 Macierz jednostkowa jest jednocześnie ortogonalna: jej kolumny (oraz wiersze) są parami ortogonalne (prostopadłe), a w dodatku tworzą układ ortonormalny:  Jej macierz odwrotna jest równa transpozycji:  Zachowuje rzeczywisty iloczyn skalarny: 

 Jako macierz ortogonalna jest też automatycznie unitarna.  Półtoraliniowy zespolony iloczyn skalarny również jest zachowany.

Uogólnienia 
Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej, a przez to: macierzy diagonalnej:
 

Przez to jest też szczególnym przypadkiem macierzy trójkątnej i macierzy schodkowej. Niezależnie od tego, jako macierzy diagonalna jest szczególnym przykładem macierzy wstęgowej i ma postać kanoniczną Jordana. Można ją też zaliczać do macierzy operacji elementarnych.

Jedynki i zera w macierzy jednostkowej nie muszą być koniecznie liczbami całkowitymi. To wyróżnione elementy ciała  nad którym zdefiniowano macierz i odpowiednią przestrzeń liniową  do której należą kolumny i wiersze macierzy. Przykładowo 1 i 0 mogą oznaczać funkcje stałe lub reszty z dzielenia (elementy ciał skończonych). Przestrzenie liniowe nad ciałami uogólniają się na moduły nad pierścieniami z jedynką, dlatego elementy macierzy jednostkowej mogą należeć do odpowiedniego pierścienia.

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 
 Rozdział VII. Wektory i przestrzenie wektorowe, § 6. Kryteria zależności liniowej,
 Rozdział VIII. Algebra macierzy, § 3. Mnożenie macierzy.
 
 Rozdział I. Początki algebry, § 3. Układy równań liniowych. Pierwsze kroki,
 Rozdział II. Macierze, § 3. Przekształcenia liniowe. Działania na macierzach,
 Rozdział III. Wyznaczniki, § 4. Uwagi o konstrukcji teorii wyznaczników.

Linki zewnętrzne 
 

J