Funkcja boolowska

Funkcja boolowska (funkcja logiczna) – dowolne odwzorowanie  gdzie  jest podzbiorem  zaś  jest podzbiorem 

Jeżeli funkcja boolowska jest określona dla każdego elementu zbioru  (czyli ), to nazywamy ją funkcją zupełną. Analogicznie, jeśli  jest właściwym podzbiorem  to funkcja jest nazywana niezupełną lub też nie w pełni określoną.

Liczba wszystkich -argumentowych funkcji zupełnych jest równa: 

Funkcja boolowska jest matematycznym modelem układu kombinacyjnego. Układy tego typu są używane do budowy między innymi multiplekserów, mikroprocesorów, do sterowania na przykład wyświetlaczami LED i w wielu innych urządzeniach elektronicznych.

Zapis funkcji boolowskiej 
W opisie funkcji boolowskich używa się następujących elementów: literałów i wartości ze zbioru  0 i 1 są tutaj umownymi oznaczeniami dla wartości funkcji i nie należy ich wiązać z liczbami 0 (zero) i 1 (jeden); kreska oznacza, że funkcja nie jest dla danego wektora określona.

Literały 
Literał definiuje się jako:
 

gdzie  jest symbolem zmiennej, natomiast  wskaźnikiem literału. Mając dowolne  zmiennych można przedstawić je w postaci literałów:
 

W niektórych zastosowaniach często przedstawia się funkcję (lub jej elementy) wyłącznie za pomocą wektorów wskaźników literałów:
 

np.
 
 

W przypadku drugiej konwersji przypisanie poszczególnym bitom zmiennych jest czysto umowne.

Termy 
Termem (wyrazem) iloczynowym/sumowym nazywamy iloczyn (np. )/sumę (np. ) w którym żadna ze zmiennych nie występuje więcej niż raz. Np. jeśli funkcja ma trzy argumenty   i  to termem jest   itp.

Iloczyn nazywany jest pełnym, gdy zawiera wszystkie literały; analogicznie definiuje się sumę pełną. Miniterm jest innym określeniem dla iloczynu pełnego, maxterm dla sumy pełnej.

Jeśli miniterm (analogicznie maxterm) zostanie przedstawiony za pomocą wektora wskaźników literałów, to wartość dwójkowa tego wektora nazywana jest indeksem dwójkowym iloczynu (sumy), natomiast wartość dziesiętna indeksem dziesiętnym iloczynu (sumy); czasem pomija się przymiotniki „dwójkowy” i „dziesiętny”, mówiąc po prostu „indeks iloczynu (sumy)”.

Formy zapisu funkcji 
W przykładach zakładamy, że funkcja  ma trzy argumenty:   i

Opis słowny 
Ten sposób stosowany jest w przypadku prostych funkcji, lub gdy charakteryzowane są pewne specyficzne własności funkcji. Np. „funkcja ma wartość jeden, gdy a jest różne od b, lub c jest równe b” lub „dla indeksów nieparzystych funkcja jest równa zero”.

Tablica prawdy 
W tablicy wypisuje się wszystkie kombinacje zmiennych wejściowych oraz odpowiadające im wartości funkcji. W pierwszej kolumnie (oznaczonej #) można wpisać odpowiednie indeksy dziesiętne.

Gdy funkcja posiada niewiele jedynek (zer), wówczas do tablicy wpisuje się tylko te wiersze dla których funkcja jest równa jeden (zero).

Mapa Karnaugha 

Jest to przekształcona tablica prawdy, przedstawiona w postaci prostokątnej tablicy, gdzie indeksy dwójkowe zostały pogrupowane tak, by spełniały własności kodu Graya.

Kanoniczna postać sumy 
Dowolną funkcję boolowską można rozłożyć na dwa składniki w następujący sposób (jest to tak zwane twierdzenie o rozkładzie):
 

Postępując w ten sposób, dla wszystkich  argumentów otrzymamy  sum iloczynów minitermów i wartości funkcji o stałych argumentach, np.
 

Ponieważ iloczyn  można zatem usunąć (nie pisać) wszystkie iloczyny w których funkcja ma wartość zero.

Np. jeśli funkcja  przyjmuje wartości 1 dla a=1, b=0 dla pozostałych kombinacji zero, to jej kanoniczna postać sumy będzie miała postać:
 
 

Zatem w ostatecznej postaci funkcji pozostają jedynie te minitermy (iloczyny pełne) dla których funkcja ma wartość jeden. Często, w skróconej formie, opisuję się funkcję wyłącznie za pomocą zbioru ich indeksów dziesiętnych, np.:  Wartość w nawiasie oznacza, że dla tego indeksu funkcja ma wartość nieokreśloną.

W polskiej literaturze kanoniczna postać sumy oznaczana jest skrótem KPS, a w angielskiej SOP.

Kanoniczna postać iloczynu 
Twierdzenie o rozkładzie ma również inną postać:
 

Postać wynikowa kanonicznej postaci iloczynu zawiera iloczyn wszystkich maxtermów (sum pełnych) dla których funkcja przyjmuje wartość zero.

W polskiej literaturze kanoniczna postać iloczynu oznaczana jest skrótem KPI, a w angielskiej POS.

Macierz kostek

Podsumowanie 
Powyższe zapisy niosą z sobą nadmiar informacji. W tym przykładzie możliwa jest minimalizacja funkcji  czyli sprowadzenie jej do prostszej, jakkolwiek równoważnej postaci:
 

Oprócz minimalizacji istnieją inne ważne zagadnienia z dziedziny syntezy logicznej – redukcja argumentów i dekompozycja funkcji boolowskich. Dzięki nim możliwe jest budowanie szybszych, tańszych i mniej zawodnych układów cyfrowych.

Najczęściej używane funkcje boolowskie:
 NOT
 AND i NAND
 OR i NOR
 XOR

Zobacz też 
 algebra Boole’a
 kostka boolowska
 system funkcjonalnie pełny
 układ cyfrowy
 układ kombinacyjny

Przypisy 
  [dostęp 2023-08-29].
  Boolean function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-29].