Przestrzeń spójna

Przestrzeń spójna – przestrzeń topologiczna, której nie można rozłożyć na sumę dwóch niepustych, rozłącznych podzbiorów otwartych. Istnieje silniejsze pojęcie przestrzeni spójnej drogowo, w której dowolne dwa punkty dają się połączyć drogą.

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywa się spójnym, jeżeli jest spójny jako podprzestrzeń tej przestrzeni.

Definicja formalna 
Niepustą przestrzeń topologiczną  nazywa się niespójną, jeżeli jest sumą dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów otwartych. W przeciwnym przypadku  jest spójna. Podzbiór przestrzeni topologicznej jest spójny, jeśli jest spójny w topologii podprzestrzeni.
Dla przestrzeni topologicznej  następujące warunki są równoważne:
  jest spójna,
  nie może być rozłożona na dwa rozłączne i niepuste zbiory domknięte,
 jedynymi podzbiorami  zarazem otwartymi i domkniętymi (tzw. zbiory otwarto-domknięte) są  i zbiór pusty,
  nie daje się przedstawić jako suma dwóch niepustych zbiorów oddzielonych,
 jedynymi funkcjami ciągłymi z  w  są funkcje stałe.

Składowe spójne 
Maksymalne podzbiory spójne dowolnej przestrzeni topologicznej nazywa się składowymi spójnymi lub składowymi spójności tej przestrzeni. Innymi słowy składową zbioru nazywa się taki jego podzbiór spójny, który nie zawiera się w żadnym większym podzbiorze spójnym tego zbioru. Składowe stanowią rozbicie przestrzeni (tzn. są one rozłączne i sumują się do całej przestrzeni). Spójne składowe zbiorów jednopunktowych nazywa się często spójnymi składowymi punktu należącego do takiego zbioru. Każda składowa jest domkniętym podzbiorem oryginalnej przestrzeni. W ogólności składowe nie muszą być otwarte: przykładowo składowymi liczb wymiernych są zbiory jednopunktowe. Jednakże składowe zbiorów otwartych płaszczyzny są otwarte.

Niech  będzie spójną składową punktu  przestrzeni topologicznej  zaś  oznacza przekrój wszystkich zbiorów otwarto-domkniętych zawierających  (nazywa się go quasi-składową tego punktu). Wówczas  Równość zachodzi, jeżeli  jest zwartą przestrzenią Hausdorffa bądź jest lokalnie spójna.

Niespójność 

(1) Przestrzeń, której wszystkie składowe są zbiorami jednopunktowymi, nazywa się całkowicie niespójną. 

Np. przestrzeniami całkowicie niespójnymi są: zbiór liczb naturalnych oraz zbiór liczb wymiernych z naturalną topologią metryczną daną jako wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb. 

(2) Z całkowitą niespójnością związana jest inna własność - całkowite oddzielenie: 

Df. Przestrzeń  nazywa się całkowicie oddzieloną, jeżeli dla każdych dwóch elementów  istnieją rozłączne otoczenia  punktu  oraz  punktu  takie, że  jest sumą mnogościową  oraz  

Tw. 1 Każda przestrzeń całkowicie oddzielona jest całkowicie niespójna; jednak wynikanie w drugą stronę nie zachodzi. Niech dane będą przykładowo dwa egzemplarze liczb wymiernych  utożsamione ze sobą w każdym punkcie poza zerem. Otrzymana przestrzeń, z topologią ilorazową, jest całkowicie niespójna. Rozważając jednak dwa egzemplarze zera widać, że przestrzeń nie jest całkowicie oddzielona. Istotnie, nie jest ona nawet Hausdorffa, a warunek całkowitego oddzielenia jest ściśle mocniejszy niż warunek hausdorffowości przestrzeni.

Twierdzenia 
Tw. 2 Ciągłe przekształcenia zachowują spójność przestrzeni.

Np. Ciągła funkcja zmiennej rzeczywistej w liczby rzeczywiste odwzorowuje przedział liczbowy w inny przedział.

Twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu o wartości pośrednie (tzw. własności Darboux):

Tw. 3 Jeżeli ciągła funkcja rzeczywista przyjmuje jako wartości liczby  to przyjmuje także wartość  leżącą między nimi. 

Tw. 3 Każda ciągła funkcja rzeczywista na przestrzeni spójnej ma własność Darboux.

Tw. 4 Suma dwóch zbiorów spójnych o niepustym przekroju jest zbiorem spójnym. 

Tw. 5 Iloczyn kartezjański dowolnej rodziny przestrzeni spójnych jest spójny.

Spójność drogowa i łukowa 

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna  Przestrzeń  nazywa się drogowo spójną (0-spójną), jeżeli dwa dowolne jej punkty można połączyć drogą, tzn. dla każdych dwóch punktów  istnieje funkcja ciągła  taka, że  oraz 

Przestrzeń  nazywa się łukowo spójną, jeżeli dwa dowolne jej punkty można połączyć łukiem, tzn. istnieje droga  będąca homeomorfizmem przedziału jednostkowego  oraz jego obrazu 

Zachodzą następujące związki między różnymi rodzajami spójności:
 łukowa spójność  drogowa spójność  spójność;

Przykładem pokazującym, że nie można odwrócić pierwszego wynikania jest przestrzeń Sierpińskiego, a drugiego – sinusoida zagęszczona. Mimo wszystko, jeżeli rozpatrywana przestrzeń jest Hausdorffa, to pojęcia drogowej i łukowej spójności pokrywają się. Podobnie dla otwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowej pokrywają się pojęcia łukowej spójności i spójności.

Spójność lokalna 

Przestrzeń topologiczną nazywa się lokalnie spójną w punkcie, jeżeli każde otoczenie tego punktu zawiera otwarte otoczenie spójne. Jest ona lokalnie spójna, gdy ma bazę składającą się ze zbiorów spójnych. Można pokazać, że przestrzeń jest lokalnie spójna wtedy i tylko wtedy, gdy każda składowa dowolnego zbioru otwartego tej przestrzeni jest otwarta. Przykładem przestrzeni spójnej, która nie jest lokalnie spójna jest sinusoida zagęszczona.

Podobnie o przestrzeni topologicznej mówi się, że jest lokalnie drogowo spójna, jeżeli jej bazę stanowią zbiory drogowo spójne. Otwarty podzbiór przestrzeni lokalnie drogowo spójnej jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest drogowo spójny. Uogólnia to wcześniejsze stwierdzenie o  oraz  które obie są lokalnie drogowo spójne. Ogólniej: dowolna rozmaitość topologiczna jest lokalnie drogowo spójna.

Dla przestrzeni lokalnie spójnej (np. płaszczyzny) rozbicie podzbiorów otwartych na składowe jest identyczne z rozbiciem na obszary.

Continuum 

Continuum to spójna przestrzeń zwarta. Przykładami continuów są: odcinek domknięty, koło, okrąg, kwadrat, sześcian (wszystkie z brzegiem) oraz pseudołuk.

Ponieważ przekształcenia ciągłe zachowują zwartość, jak i spójność, więc obrazem continuum przez dowolną funkcję ciągłą jest continuum.

Każde continuum będące przestrzenią metryczną lokalnie łukowo spójną jest obrazem odcinka  w pewnej funkcji ciągłej. Wynika stąd, że istnieje funkcja ciągła z odcinka  której obrazem jest dowolny kwadrat na płaszczyźnie (wraz z brzegiem); funkcję taką można skonstruować nie korzystając z tego twierdzenia – zob. krzywa Peana.

Przykłady 
Każda przestrzeń, zatem także przestrzenie liczb rzeczywistych  zespolonych  czy przestrzeń euklidesowa  dowolnego wymiaru  jest spójna. Każdy przedział liczbowy jest przestrzenią spójną. Torus oraz sfera są zbiorami spójnymi.

Przestrzeń otrzymana z usunięcia prostej z płaszczyzny nie jest spójna. Niespójne są również płaszczyzna z usuniętym pierścieniem kołowym, czy suma dwóch rozłącznych kół dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Zobacz też 
 przestrzeń jednospójna i wielospójna

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
 
  [dostęp 2022-10-09].

Własności przestrzeni topologicznych