Funzioni iperboliche

In matematica, le funzioni iperboliche costituiscono una famiglia di funzioni elementari dotate di alcune proprietà analoghe a corrispondenti proprietà delle ordinarie funzioni trigonometriche.

Definizioni 

Possiamo definire le funzioni iperboliche in questo modo:
 Data un'iperbole equilatera unitaria, quindi con , centrata con gli assi sugli assi coordinati e dato un angolo , consideriamo il settore iperbolico di apertura  ed area : questo determina un punto  come intersezione con l'iperbole; definiamo quindi l'ordinata del punto  come seno iperbolico () della suddetta area , nonché la relativa ascissa come coseno iperbolico () sempre della suddetta area , come indicato in figura (cioè  e ).

Conseguentemente si possono definire le altre funzioni iperboliche tramite  e  così come si fa per quelle trigonometriche. È inoltre possibile legarle alla funzione esponenziale grazie alla definizione di quest'ultima (vedere derivazione delle funzioni iperboliche).
 Funzione seno iperbolico

 Funzione coseno iperbolico

 Funzione tangente iperbolica

 Funzione cotangente iperbolica

 Funzione secante iperbolica

 Funzione cosecante iperbolica

In queste definizioni  si può considerare variabile reale o complessa.

Relazione con le funzioni trigonometriche 
Per  reale la funzione  è una funzione pari, cioè simmetrica rispetto all'asse ; la funzione  è invece una funzione dispari, cioè simmetrica rispetto all'origine.

Conseguentemente sono funzioni dispari anche ,  e , mentre  è pari.

Si trovano poi i seguenti valori particolari:

Così come al variare della variabile reale  i punti  definiscono la circonferenza , analogamente i punti  definiscono l'iperbole equilatera 

Questa è una conseguenza dell'identità:

 

derivabile dalle definizioni mediante funzioni esponenziali con manipolazioni algebriche elementari.

Al contrario delle corrispondenti funzioni trigonometriche, le funzioni iperboliche non sono periodiche nel campo dei numeri reali, ma lo sono nel campo dei numeri complessi, quando hanno argomento immaginario, così come lo è la funzione esponenziale. 

L'argomento  delle funzioni seno e coseno che definiscono la circonferenza può essere interpretato naturalmente come un angolo; la  argomento delle funzioni iperboliche rappresenta invece due volte l'area del settore iperbolico compreso tra il segmento che collega l'origine con il punto  su un ramo dell'iperbole equilatera di equazione , l'arco di tale iperbole che dal punto si conclude nel punto  sull'asse  e il segmento sull'asse  da questo punto all'origine. Tuttavia, in realtà, si può verificare che anche la  argomento delle funzioni trigonometriche, se , oltre che come angolo espresso in radianti, si può intendere come il doppio dell'area del settore circolare compreso tra il segmento che collega l'origine con il punto  sulla circonferenza unitaria di equazione , l'arco di tale circonferenza che dal punto si conclude nel punto  sull'asse  e il segmento sull'asse  da questo punto all'origine.

Le funzioni iperboliche soddisfano molte identità, simili a corrispondenti identità trigonometriche.

In effetti la regola di Osborn specifica che si può convertire ogni identità trigonometrica in una identità iperbolica sviluppandola completamente in termini di potenze intere di seni e coseni, trasformando ogni  in  e ogni  in  e infine cambiando il segno di ogni termine che contiene un prodotto di due . Procedendo in questo modo, ad esempio, si trovano i teoremi di addizione:

e le formule di duplicazione

e le formule di bisezione

La derivata di  è data da  e la derivata di  è ; questo collegamento si legge facilmente sui grafici delle funzioni.

Il grafico della funzione  è la curva catenaria, profilo assunto da un cavo di densità uniforme con le due estremità fissate e sottoposto alla gravità.

Sviluppi in serie di Taylor 
È possibile esprimere le funzioni iperboliche in termini di sviluppi di Taylor:

La funzione  ha serie di Taylor con soli termini dispari, e quindi il seno iperbolico è una funzione dispari, ossia , e 

La funzione  presenta invece solo termini pari, come ci si aspetta da una funzione pari, simmetrica rispetto all'asse delle . La somma del seno e del coseno iperbolici rappresenta lo sviluppo della funzione esponenziale.

 (serie di Laurent).

 (serie di Laurent).

dove

 è l'-esimo numero di Bernoulli,
 è l'-esimo numero di Eulero.

Funzioni iperboliche inverse 
Le inverse delle funzioni iperboliche sono:

Funzioni iperboliche fornite da integrali

Funzioni iperboliche di argomento complesso 

Dato che la funzione esponenziale può essere definita per ogni argomento complesso, possiamo estendere la definizione delle funzioni iperboliche anche agli argomenti complessi. Le funzioni  e  sono quindi olomorfe per ogni argomento complesso, e si possono sviluppare in serie di Taylor.

Le relazioni con le funzioni trigonometriche sono ottenute dalla formula di Eulero per i numeri complessi:

Notazioni 
I nomi delle funzioni iperboliche inverse citati in questo articolo sono quelli ufficiali dettati dalle norme ISO. I loro nomi derivano da abbreviazioni di espressioni latine. Per esempio  deriva da area sinus hyperbolicus,  deriva da area cosinus hyperbolicus, ecc.

Spesso si trovano anche le diciture arcsinh, arccosh, ecc. che sono chiaramente mutuate dai nomi delle funzioni trigonometriche inverse. Queste diciture sono però concettualmente errate perché le funzioni iperboliche e le loro inverse non hanno nulla a che vedere con gli archi.

Infine nella tradizione italiana è frequente trovare i nomi  (settore seno iperbolico, in riferimento all'area corrispondente),  e via dicendo. Seppur concettualmente corretti, questi nomi non seguono le norme ISO e le convenzioni internazionali.

Note

Bibliografia 
 James McMahon Hyperbolic functions (New York J. Wiley, 1906) 
 George F. Becker e Charles E. Van Orstrand Smithsonian mathematical tables: hyperbolic functions (Washington DC, Smithsonian Institution, 1909) (tavole) 
 Arthur E. Kenelly The application of hyperbolic functions to electrical engineering problems (London, University of London Press, 1912) (applicazioni)
 Ruth Zucker in Handbook of Mathematical Functions, Milton Abramowitz e Irene Stegun (eds.) (NY, Dover, 1972) p. 83

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