Pierścień (matematyka)

Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni.

W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. pierścienia łącznego. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: pierścień z jedynką, pierścień przemienny.

Definicja 
Niech  będzie algebrą, w której  jest pewnym niepustym zbiorem, symbole  oznaczają dwa działania dwuargumentowe określone w tym zbiorze, a  jest pewnym wyróżnionym elementem. Algebra ta nazwana jest pierścieniem (łącznym), jeśli:
 struktura  jest grupą abelową, nazywaną grupą addytywną, z działaniem  nazywanym dodawaniem i elementem neutralnym  nazywanym zerem:
 
 
 
 
 struktura  jest półgrupą z działaniem  nazywanym mnożeniem:
 
 oba działania powiązane są ze sobą prawami rozdzielności:
 
 

Ponieważ  jest grupą, to pierścień ma dokładnie jedno zero, a element odwrotny do  względem dodawania (element  z trzeciego aksjomatu), nazywany w tym kontekście elementem przeciwnym, jest wyznaczony jednoznacznie i oznaczany

Warianty 
Na działanie mnożenia nakłada się często dodatkowe warunki regularności, precyzując nazwę nowej struktury:
 pierścień z jedynką – istnienie elementu neutralnego mnożenia nazywanego jedynką:
 
 pierścień przemienny – przemienność mnożenia (wówczas prawa rozdzielności stają się sobie równoważne):
 

 Uwaga W pierścieniu z jedynką struktura  jest monoidem (przemiennym, jeśli pierścień jest przemienny), wynika stąd, że pierścień może mieć co najwyżej jedną jedynkę.

W praktyce najczęściej rozpatruje się (niezerowe) pierścienie z jedynką; ich atutem jest, gdy są one dodatkowo przemienne.

Rodzaje 
Podstawowa definicja pierścienia, bywa rozwijana w wielu różnych kierunkach:
 pierścień bez dzielników zera – brak właściwych dzielników zera (zob. dalej):
 
 pierścień z dzieleniem – dowolny niezerowy element ma element odwrotny (zakłada się, że pierścień ma jedynkę):
 

Element odwrotny do  (względem mnożenia;  w powyższym aksjomacie) oznacza się zwykle symbolami  lub  Zbiór  elementów odwracalnych pierścienia tworzy grupę ze względu na mnożenie (z jedynką jako elementem neutralnym; przemienną, jeśli pierścień jest przemienny) nazywaną także grupą multiplikatywną. W pierścieniu z dzieleniem jest 

Pierścień z jedynką bez dzielników zera nazywa się dziedziną. Ponieważ własność dzielenia pociąga za sobą brak dzielników zera, to każdy pierścień z dzieleniem jest pierścieniem bez dzielników zera, a więc dziedziną. Dziedziny przemienne określa się nazwą dziedzina całkowitości (także: pierścień całkowity; niekiedy nie wyróżnia się nieprzemiennych dziedzin całkowitości, wówczas często skraca się nazwę tej struktury do: dziedzina). Pierścień przemienny z dzieleniem (lub z powyższej obserwacji: dziedzinę całkowitości z dzieleniem) nazywa się ciałem.

Przykłady 
Do najprostszych uniwersalnych przykładów należą:
 pierścień trywialny, zawierający dokładnie jeden element,
 pierścień zerowy, w którym mnożenie przez dowolny element daje zero.

Innymi ważnymi przykładami pierścieni są:
 liczby całkowite z działaniami arytmetycznymi dodawania i mnożenia (dziedzina całkowitości),
 pierścienie klas reszt (pierścienie przemienne z jedynką oraz ciała),
 kwaterniony (pierścień z dzieleniem),
 liczby całkowite Gaussa (dziedzina z jednoznacznością rozkładu, dziedzina Euklidesa),
 liczby całkowite Eisensteina (pierścień przemienny, dziedzina Euklidesa),

Osobnym przykładem są pierścienie wielomianów  jednej zmiennej  o współczynnikach z pierścienia  W  zachowywane są następujące własności pierścienia  przemienność, istnienie jedynki, brak dzielników zera, całkowitość (tzn. bycie dziedziną całkowitości), jednoznaczność rozkładu (twierdzenie Gaussa), noetherowskość (twierdzenie Hilberta o bazie). Jeżeli  jest ciałem, to  jest pierścieniem euklidesowym.

Dobrze znane struktury liczb wymiernych, liczb rzeczywistych, czy liczb zespolonych z działaniami arytmetycznymi są przykładami pierścieni, jako że wszystkie są ciałami. Z kolei liczby naturalne (z działaniami arytmetycznymi) nie tworzą pierścienia, ponieważ wraz z działaniem dodawania nie tworzą nawet grupy; oktoniony również nie są pierścieniem, ponieważ mnożenie w nich określone nie jest łączne, lecz tylko alternatywne.

Składowe

Podpierścienie 

Podzbiór  pierścienia  nazywa się podpierścieniem, jeżeli sam tworzy pierścień z działaniami odziedziczonymi z  Równoważnie:
 
 

Pierwszy warunek oznacza, że  musi być grupą (przemienną), drugi gwarantuje, że wynik mnożenia elementów z  będzie zawierał się w tym samym zbiorze (tzn. mnożenie jest tam poprawnie określonym działaniem wewnętrznym).

Ideały 

Podgrupę  grupy addytywnej pierścienia  nazywa się ideałem lewostronnym, jeżeli dla dowolnych dwóch elementów  oraz  spełniony jest warunek
 

Jeżeli  spełnia w zamian warunek
 

to nazywa się ją ideałem prawostronnym. Ideał będący zarazem lewo- jak i prawostronny nazywa się krótko ideałem; pojęcia te pokrywają się w pierścieniach przemiennych. Każdy ideał jest podpierścieniem.

W dowolnym nietrywialnym pierścieniu  istnieją co najmniej dwa różne ideały: cały pierścień  i podpierścień trywialny  nazywa się je ideałami trywialnymi lub niewłaściwymi, wszystkie pozostałe nazywa się ideałami właściwymi.

Ze względu na inne własności wyróżnia się m.in. następujące rodzaje ideałów pierścienia 
 ideał główny – generowany przez jeden element pierścienia,
 ideał maksymalny – zawarty wyłącznie w ideale niewłaściwym 
 ideał pierwszy – taki, że jeśli dany element ideału jest iloczynem dwóch innych, to przynajmniej jeden z nich również należy do ideału.

Elementy wyróżnione 
Element  pierścienia  nazywa się
 dzielnikiem zera, gdy istnieje taki niezerowy element  że 
 idempotentnym, gdy 
 nilpotentnym, gdy istnieje  dla którego 

W pierścieniu skończonym (mającym skończenie wiele elementów) każdy element jest odwracalny albo jest dzielnikiem zera.

Homomorfizmy 

Przekształcenie  między dwoma pierścieniami zachowujące ich działania, tzn. dla dowolnych elementów  spełnione są warunki:
 
 

nazywa się homomorfizmem pierścieni. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm półgrup multiplikatywnych tych pierścieni.

Przekształcenie  między dwoma pierścieniami z jedynką zachowujące ich działania i jedynkę, tzn. dla dowolnych elementów  spełnione są warunki:
 
 
 

nazywa się homomorfizmem pierścieni z jedynką. Inaczej: jest to homomorfizm grup addytywnych, a przy tym homomorfizm monoidów multiplikatywnych.

Pierścień ilorazowy 

W dowolnym pierścieniu  grupa ilorazowa  gdzie  jest dowolnym ideałem (dwustronnym), jest pierścieniem z dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia na warstwach:
 
 

Pierścień ten nazywa się pierścieniem ilorazowym pierścienia  przez ideał  i również oznacza się symbolem 

Dodawanie jest dobrze określone z definicji grupy ilorazowej. Wystarczy więc dowieść, że iloczyn warstw nie zależy od wyboru reprezentanta mnożonych warstw. Niech dane będą dwie warstwy, każda z nich reprezentowana przez dwa różne elementy:  oraz  Równość
 

dowodzi, że zmiana reprezentantów nie wpływa na wynik mnożenia, gdyż otrzymuje się tę samą, choć reprezentowaną przez inny element, warstwę.

Uogólnienia i przypadki szczególne 
Wyróżnia się wiele rodzajów pierścieni, na które nakłada się dodatkowe warunki:
 pierścień ideałów głównych – pierścień, w którym każdy ideał jest główny (także: każdy ideał ma jeden generator),
 pierścień noetherowski – pierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie zawierania) ideałów stabilizuje się (także: każdy ideał jest skończenie generowany),
 pierścień artinowski – pierścień, w którym każdy ciąg zstępujący (w sensie zawierania) ideałów stabilizuje się,
 pierścień z jednoznacznością rozkładu – pierścień przemienny, w którym każdy element można rozłożyć w sposób jednoznaczny na elementy nierozkładalne,
 pierścień lokalny – pierścień mający tylko jeden ideał maksymalny,
 pierścień Euklidesa – pierścień umożliwiający stosowanie algorytmu Euklidesa (znajdowanie NWD),
 pierścień zredukowany – pierścień bez niezerowych elementów nilpotentnych,
 pierścień Boole’a – pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy element jest idempotentny,
 pierścień Dedekinda – dziedzina całkowitości, w której każdy niezerowy właściwy ideał rozkłada się na iloczyn ideałów pierwszych.
 pierścień skończenie generowany – pierścień, dla którego istnieje skończony zbiór generatorów (taki, że najmniejszym podpierścieniem go zawierającym jest cały pierścień). Przykładem takiego pierścienia są liczby całkowite (generowane przez jedynkę). Przykładem pierścienia, który nie jest skończenie generowany są liczby wymierne (bo dla dowolnego skończonego zbioru liczb wymiernych istnieje liczba pierwsza nie dzieląca mianownika żadnej z nich).

Zobacz też 

 algebra nad ciałem
 moduł
 pierścień Boole’a
 pierścień przemienny
 półpierścień

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 Andrzej Białynicki-Birula, Algebra.
 Jerzy Browkin, Teoria ciał.

Linki zewnętrzne 
  Ring , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

 
Struktury dwóch działań wewnętrznych