Liczby zespolone

Liczby zespolone – liczby będące elementami rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną  to znaczy pierwiastek wielomianu  Liczby zespolone rozszerzają koncepcję jednowymiarowej osi liczbowej do dwuwymiarowej płaszczyzny zespolonej, przy zastosowaniu osi poziomej do oznaczenia liczb rzeczywistych, a pionowej do oznaczenia liczb urojonych. Liczba zespolona postaci  może być określona za pomocą współrzędnych  na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone pozbawione części rzeczywistej, a zatem leżące bezpośrednio na osi pionowej płaszczyzny zespolonej, nazywane są liczbami urojonymi, zaś liczby pozbawione części urojonej, a więc leżące bezpośrednio na osi poziomej, to liczby rzeczywiste. Zbiór liczb zespolonych zawiera zatem w sobie zbiór liczb rzeczywistych, rozszerzony w celu umożliwienia rozwiązywania takich problemów, które nie posiadają rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Poza matematyką liczby zespolone znajdują zastosowanie także w innych dziedzinach nauki, jak fizyka, chemia, biologia, ekonomia, informatyka, elektrotechnika i statystyka.

Historia 

Po raz pierwszy pojęcie liczb zespolonych, jako składających się z części rzeczywistej oraz urojonej, wprowadził niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss w 1832. Problem istnienia pól o ujemnej wartości rozważał znacznie wcześniej włoski matematyk Girolamo Cardano podczas prób znalezienia rozwiązań równań sześciennych w XVI wieku. Nazywał je liczbami fikcyjnymi. Kartezjusz nadał im nazwę liczb urojonych w pracy wydanej w 1637. Samo istnienie pierwiastka kwadratowego liczby ujemnej było najprawdopodobniej po raz pierwszy rozważane już w starożytności przez Herona z Aleksandrii.

Postać algebraiczna (kanoniczna) 
Każdą liczbę zespoloną  można zapisać w postaci
 

gdzie  i  są pewnymi liczbami rzeczywistymi oraz  jest tak zwaną jednostką urojoną, to znaczy jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniających warunek  (drugim elementem jest ). Spotyka się czasami zapis  który nie jest formalnie poprawny ze względu na fakt, że również  jest on jednak uznawany za pewien skrót myślowy i powszechnie akceptowany.

Postać  nazywana jest postacią algebraiczną (albo kanoniczną) liczby zespolonej 

Dla liczby  definiuje się jej
 część rzeczywistą (łac. pars realis) jako  (inne oznaczenia: ),
 część urojoną (łac. pars imaginaria) jako  (inne oznaczenia: ).

Przykładowo liczba  jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi  a część urojona  Liczby rzeczywiste są utożsamiane z liczbami zespolonymi o części urojonej równej 

Liczby postaci  nazywa się liczbami urojonymi.

Zapis alternatywny 
W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych i tym podobnych zapis  może okazać się mylący z powodu wykorzystywania w tych dziedzinach litery  do innych celów, na przykład chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie  w którym to  oznacza jednostkę urojoną.

Równość 
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe. Innymi słowy, liczby zespolone  oraz  są równe wtedy i tylko wtedy, gdy  oraz

Działania 
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej
wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, przy czym 
 
 

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):

Płaszczyzna zespolona 

Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektory na płaszczyźnie, podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych).

Każdej więc liczbie zespolonej  można przyporządkować wektor  i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:
 
 

Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

Moduł 

Zauważmy, iż długość wektora  jest równa z twierdzenia Pitagorasa  Dla liczby  moduł definiujemy jako  Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, spełniając przy tym definicję normy.

Argument 

Niech  oznacza kąt, który wektor  tworzy z prostą  oznaczmy go przez  Jest to tzw. argument. Widać, iż  i  Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Argument liczby  spełniający nierówność  (czasami też równoważnie ) oznacza się przez  i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób  jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla  Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz  dla ujemnych.

Postać trygonometryczna 

Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument):
 

Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj.  oraz  są równe, gdy
 

oraz (istotne tylko dla )
 

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:
 

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:
 

 

Powyższy wzór ma wiele przypadków, lecz istnieje wzór korzystający z funkcji arcus cosinus, który wymaga mniejszej ich liczby:

Mnożenie 
Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech
 
 

Wówczas iloczyn
 

Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne, otrzymujemy ostatecznie
 

co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Mnożenie przez  można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt

Wzór de Moivre’a 

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia  dla danego wykładnika  przy warunku  Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

Rozpatrzmy  Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór
 

Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu -tej potęgi funkcji  i  – należy wówczas obliczyć  przy

Pierwiastkowanie 

Istnieje wersja wzoru de Moivre’a dla wykładników wymiernych. Każda niezerowa liczba zespolona  ma dokładnie  różnych pierwiastków -tego stopnia, które wyrażają się wzorem
 

gdzie  oraz

Postać wykładnicza 
Rzeczywiste funkcje   oraz  zmiennej rzeczywistej można rozwinąć na szeregi Maclaurina:
 ,

które są zbieżne dla każdego  Ponieważ w tych wzorach występują jedynie działania dodawania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi o wykładniku naturalnym, które są dobrze zdefiniowane dla liczb zespolonych, to wzory te mogą posłużyć jako definicje zespolonych funkcji zmiennej zespolonej. Mianowicie definiuje się funkcje:
 ,

 ,

 .

Definicje te są poprawne, ponieważ szeregi występujące po prawej stronie są zbieżne dla każdego  gdyż kryteria zbieżności szeregów takie jak kryterium d’Alemberta i kryterium Cauchy’ego pozostają prawdziwe dla liczb zespolonych.

Korzystając z pojęcia iloczynu Cauchy’ego szeregów, można udowodnić, że:
  dla każdych .

Z definicji oraz własności szeregów wynikają następujące wzory:
  dla dowolnego .

W szczególności:  dla dowolnego  (jest to tzw. wzór Eulera).

Zatem każda liczba zespolona różna od zera ma następujące przedstawienie:
  które nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.

Pierwiastki zespolone w postaci wykładniczej wyrażają się wzorami:
  dla 

Korzystając z parzystości cosinusa i nieparzystości sinusa, można też wyprowadzić następujące wzory na funkcje trygonometryczne:
 ,
 .

Sprzężenie 

Niech  Bardzo ważną operacją jest sprzężenie liczby zespolonej, jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:
 

Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi  płaszczyzny zespolonej. Zatem liczba w postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na  lub równoważnie – zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta sama obserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej części urojonej) jest równe tej liczbie.

Sprzężenie przeprowadza izomorficznie ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem automorfizmem. Oprócz tożsamości jest to jedyny ciągły automorfizm tego ciała, moc zbioru nieciągłych automorfizmów wynosi zaś  Działanie sprzężenia zespolonego jest inwolucją:

Relacja porządku 
Choć można sztucznie wprowadzić jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorze liczb zespolonych spełniała aksjomaty ciała uporządkowanego, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł, jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

Przykłady 
Przedstawmy liczbę  (zob. sekcję dot. konstrukcji) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej (biegunowej) i wykładniczej, obliczając za każdym razem jej sprzężenie.

Postać algebraiczna:
 
 

Obliczamy
 
 
 
 

podobnie
 

Stąd postać trygonometryczna  oraz  to
 
 

zaś wykładnicza:

Konstrukcje i własności

Konstrukcja Hamiltona 

Następująca formalna definicja liczb zespolonych pochodzi od Hamiltona, matematyka irlandzkiego.

W iloczynie kartezjańskim  wprowadza się działania dodawania i mnożenia:
 
 

gdzie 

Tak określona struktura  jest ciałem zwanym ciałem liczb zespolonych oznaczanym symbolem  (od ang. complex – złożony). Wówczas  odpowiada wektorowi

Ciało 
Ciało to struktura algebraiczna z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, która spełnia określone prawa algebraiczne. Liczby zespolone jako ciało w szczególności mają więc:
 element neutralny dodawania („zero”), 
 element neutralny mnożenia („jedynka”), 
 element odwrotny dodawania (element przeciwny) dla każdej liczby zespolonej, dla liczby  jest nim 
 element odwrotny mnożenia (odwrotność) dla dowolnej niezerowej liczby zespolonej, dla liczby  jest nim 

Innymi ciałami są liczby rzeczywiste i liczby wymierne. Utożsamienie każdej liczby rzeczywistej  z liczbą zespoloną  sprawia, że liczby rzeczywiste  stają się podciałem 

Liczby zespolone  mogą być scharakteryzowane również jako domknięcie topologiczne liczb algebraicznych oraz jako domknięcie algebraiczne  co opisano dalej.

Reprezentacja macierzowa 
Chociaż niezbyt użyteczne, alternatywne reprezentacje ciała liczb zespolonych mogą dać pewien wgląd w jego naturę. Jedna ze szczególnie eleganckich reprezentacji przedstawia każdą liczbę zespoloną jako 2×2-macierz o współczynnikach rzeczywistych, które rozciągają i obracają punkty (wektory) płaszczyzny. Każda taka macierz jest postaci
 

gdzie  Suma i iloczyn dwóch takich macierzy także ma tę postać, a działanie mnożenia macierzy tego typu jest przemienne. Każda niezerowa macierz tego typu jest odwracalna, a jej odwrotność także ma tę postać. Stąd macierze tego typu są ciałem izomorficznym z ciałem liczb zespolonych. Każda taka macierz może być zapisana jako
 

co sugeruje, że liczba rzeczywista  powinna być utożsamiana z macierzą identycznościową 
 

a jednostka urojona  z
 

obrotem o  w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kwadrat drugiej z macierzy rzeczywiście jest równy 2×2-macierzy reprezentującej 

Kwadrat modułu liczby zespolonej wyrażonej jako macierz jest równy wyznacznikowi tej macierzy.
 

Jeżeli macierz postrzegana jest jako przekształcenie płaszczyzny, to obraca ono punkty o kąt równy argumentowi liczby zespolonej i skaluje o współczynnik równy modułowi liczby zespolonej. Sprzężenie liczby zespolonej  odpowiada przekształceniu, które obraca o ten sam kąt, co  lecz w przeciwnym kierunku i skaluje w ten sam sposób, co  może to być oddane jako transpozycja macierzy odpowiadającej 

Jeżeli elementy macierzy same są liczbami zespolonymi, to powstała w ten sposób algebra może być utożsamiana z kwaternionami. Innymi słowy, ta reprezentacja macierzowa jest sposobem wyrażenia konstrukcji Cayleya-Dicksona algebr.

Istnieją dwa wektory własne 2×2-macierzy reprezentującej liczbę zespoloną: rzeczona liczba zespolona i jej sprzężenie.

Rzeczywista przestrzeń liniowa 
Ciało  jest dwuwymiarową rzeczywistą przestrzenią liniową. W przeciwieństwie jednak do liczb rzeczywistych, liczby zespolone nie mogą być w żaden sposób uporządkowane liniowo tak, by było to zgodne z działaniami arytmetycznymi w nich określonymi:  nie może być przekształcone w ciało uporządkowane. Ogólniej: żadne ciało zawierające pierwiastek z  nie może być uporządkowane.

W ogólności -liniowe przekształcenia  są postaci
 

gdzie  są współczynnikami zespolonymi. Tylko pierwszy wyraz jest -liniowy i tylko on jest holomorficzny, drugi jest różniczkowalny w sensie rzeczywistym, lecz nie spełnia równań Cauchy’ego-Riemanna.

Funkcja
 

odpowiada obrotom złożonym ze skalowaniem (która nie zmienia orientacji), zaś funkcja
 

odpowiada symetriom złożonym ze skalowaniem (zmienia orientację).

Rozwiązania równań wielomianowych 
Pierwiastek wielomianu  to liczba zespolona  spełniająca  Zaskakującym wynikiem analizy zespolonej jest to, iż wszystkie wielomiany stopnia  o współczynnikach rzeczywistych lub zespolonych mają dokładnie  pierwiastków zespolonych (licząc pierwiastki wielokrotnie zgodnie z ich wielokrotnością). Wynik ten znany jest jako podstawowe twierdzenie algebry i pokazuje, że liczby zespolone są ciałem algebraicznie domkniętym. Rzeczywiście, są one domknięciem algebraicznym liczb rzeczywistych, jak opisano niżej.

Konstrukcja algebraiczna 
Jedna z możliwych konstrukcji ciała liczb zespolonych polega na rozszerzeniu ciała liczb rzeczywistych  o pierwiastek wielomianu  Aby skonstruować to rozszerzenie, należy wziąć pierścień  wielomianów o współczynnikach z  Wielomian  jest nierozkładalny nad  skąd ideał przez niego generowany  jest maksymalny, a więc pierścień ilorazowy  jest ciałem. Rozszerzenie to zawiera dwa pierwiastki kwadratowe z  wybiera się jeden z nich i oznacza symbolem  Zbiór  stanowi bazę tego rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych. Dokładniej: każdy element tego rozszerzenia można zapisać w postaci
 

dla pewnych  rzeczywistych.

Algebraiczna domkniętość 
Chociaż dodano wyłącznie pierwiastki  to otrzymane ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte – każdy wielomian o współczynnikach w  można rozłożyć na wielomiany liniowe o współczynnikach z  Ponieważ każde ciało ma tylko jedno, co do izomorfizmu, domknięcie algebraiczne, liczby zespolone mogą być scharakteryzowane jako domknięcie algebraiczne liczb rzeczywistych.

Charakteryzacja algebraiczna 
Opisywane rozszerzenie odpowiada dobrze znanej płaszczyźnie zespolonej, lecz fakt ten charakteryzuje je wyłącznie algebraicznie. Ciało  jest scharakteryzowane z dokładnością do izomorfizmu ciał przez następujące trzy własności:
 jego charakterystyka wynosi 
 jego stopień przestępności nad ciałem prostym jest mocy continuum,
 jest algebraicznie domknięte.

Jedną z konsekwencji tej charakteryzacji jest to, że  zawiera wiele podciał właściwych izomorficznych z  (to samo jest prawdą dla  które zawiera wiele podciał izomorficznych do siebie). Jak opisano poniżej, aby odróżnić te podciała od samych ciał  i  wymagane są rozważania topologiczne.

Charakteryzacja topologiczna 
Jak zauważono wyżej, algebraiczna charakteryzacja  nie dostarcza pewnych z jego najważniejszych własności topologicznych. Własności te są kluczowe podczas studiowania analizy zespolonej, gdzie liczby zespolone badane są jako ciało topologiczne.

Następujące własności charakteryzują  jako ciało topologiczne:
  jest ciałem,
  zawiera podzbiór  niezerowych elementów spełniających:
  jest zamknięte ze względu na dodawanie, mnożenie i branie elementów odwrotnych,
 jeżeli  i  są różnymi elementami  to tak  jak i  należą do 
 jeżeli  jest niepustym podzbiorem  to  dla pewnego 
  ma nietrywialny, będący inwolucją automorfizm  który dla ustalonego  spełnia własność, że  należy do  dla dowolnego niezerowego 

Dla danego ciała o tych własnościach można zdefiniować topologię, biorąc zbiory
 

jako bazę, gdzie  przebiega to ciało, a  przebiega 

Aby przekonać się, że te własności charakteryzują  jako ciało topologiczne, należy zauważyć, że  to ciało uporządkowane zupełnie w sensie Dedekinda, które może być w związku z tym utożsamiane z liczbami rzeczywistymi  poprzez jednoznacznie wyznaczony izomorfizm ciał. Z ostatniej własności łatwo wynika, że grupa Galois nad liczbami rzeczywistymi ma rząd równy dwa, co uzupełnia charakteryzację.

Lew Pontriagin pokazał, że jedynymi spójnymi lokalnie zwartymi ciałami topologicznymi są  oraz  Fakt ten umożliwia jeszcze jedną charakteryzację  jako ciała topologicznego, ponieważ  może być odróżnione od  poprzez uwagę, iż niezerowe liczby zespolone są spójne w przeciwieństwie do niezerowych liczb rzeczywistych.

Historia 
Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie  nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzór Cardana).

Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton czy Euler (zob. wzór Eulera). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od odkrycia. Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru  z odpowiednio zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia, pochodzi od Hamiltona.

Zastosowania 
Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny. Analizą euklidesowej przestrzeni rzeczywistej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona.

Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w samej matematyce:
 wyznaczaniu pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera,
 teorii fraktali,
 rozwiązywaniu wielu klas równań różniczkowych,
 znajdywaniu wartości całek oznaczonych funkcji rzeczywistych przy pomocy metody residuów,
 analizie przebiegów zmiennych i periodycznych, oraz rozwiązywaniu wielu problemów różniczkowych oraz całkowych, przy użyciu transformacji Fouriera,
 analizie grafów przez wartości własne macierzy sąsiedztwa,
 są typem wbudowanym w niektórych językach programowania.

a także poza nią, w jej zastosowaniach:
 analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego,
 mechanice kwantowej i jej rozszerzeniach.

Liczby zespolone można rozumieć m.in. jako szczególny przypadek kwaternionów, oktaw Cayleya, sedenionów.

Zobacz też 

 ciało lokalne
 kwaterniony
 liczby całkowite Eisensteina
 liczby całkowite Gaussa
 liczby dualne
 liczby hiperzespolone
 liczby podwójne
 sfera Riemanna (rozszerzona płaszczyzna zespolona)
 wzór Eulera

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
 Zbiór ćwiczeń z rozwiązaniami + teoria
 Obliczenia na liczbach zespolonych 

 
Rodzaje ciał