Mengenlehre

Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen von Objekten, beschäftigt. Die gesamte Mathematik, wie sie üblicherweise gelehrt wird, ist in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf den Axiomen der Mengenlehre auf. Die meisten mathematischen Objekte, die in Teilbereichen wie Algebra, Analysis, Geometrie, Stochastik oder Topologie behandelt werden, können als Mengen definiert werden. Gemessen daran ist die Mengenlehre eine recht junge Wissenschaft; erst nach der Überwindung der Grundlagenkrise der Mathematik im frühen 20. Jahrhundert konnte die Mengenlehre ihren heutigen, zentralen und grundlegenden Platz in der Mathematik einnehmen.

Geschichte

19. Jahrhundert 

Die Mengenlehre wurde von Georg Cantor in den Jahren 1874 bis 1897 begründet. Statt des Begriffs Menge benutzte er anfangs Wörter wie „Inbegriff“ oder „Mannigfaltigkeit“; von Mengen und Mengenlehre sprach er erst später. 1895 formulierte er folgende Mengendefinition:

Cantor klassifizierte die Mengen, insbesondere die unendlichen, nach ihrer Mächtigkeit. Für endliche Mengen ist das die Anzahl ihrer Elemente. Er nannte zwei Mengen gleichmächtig, wenn sie sich bijektiv aufeinander abbilden lassen, das heißt, wenn es eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen ihren Elementen gibt. Die so definierte Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation und die Mächtigkeit oder Kardinalzahl einer Menge M ist nach Cantor die Äquivalenzklasse der zu M gleichmächtigen Mengen. Er beobachtete wohl als Erster, dass es verschiedene unendliche Mächtigkeiten gibt. Die Menge der natürlichen Zahlen und alle dazu gleichmächtigen Mengen heißen nach Cantor abzählbar, alle anderen unendlichen Mengen heißen überabzählbar.

 Wichtige Ergebnisse von Cantor
 Die Mengen der natürlichen, der rationalen (Cantors erstes Diagonalargument) und der algebraischen Zahlen sind abzählbar und damit gleichmächtig.
 Die Menge der reellen Zahlen hat größere Mächtigkeit als die der natürlichen Zahlen, ist also nichtabzählbar (Cantors zweites Diagonalargument).
 Die Menge aller Untermengen einer Menge M (ihre Potenzmenge) hat stets größere Mächtigkeit als M, das ist als Satz von Cantor bekannt.
 Von je zwei Mengen ist mindestens eine gleichmächtig zu einer Untermenge der anderen. Das wird mit Hilfe der von Cantor ausführlich behandelten Wohlordnung bewiesen.
 Es gibt überabzählbar viele Mächtigkeiten.

Cantor benannte das Kontinuumproblem: „Gibt es eine Mächtigkeit zwischen derjenigen der Menge der natürlichen Zahlen und derjenigen der Menge der reellen Zahlen?“ Er selbst versuchte es zu lösen, blieb aber erfolglos. Später stellte sich heraus, dass die Frage grundsätzlich nicht entscheidbar ist. Neben Cantor war Richard Dedekind ein wichtiger Wegbereiter der Mengenlehre. Er sprach von Systemen statt von Mengen und entwickelte 1872 eine mengentheoretische Konstruktion der reellen Zahlen und 1888 eine verbale mengentheoretische Axiomatisierung der natürlichen Zahlen. Er formulierte hier als erster das Extensionalitätsaxiom der Mengenlehre.

Giuseppe Peano, der Mengen als Klassen bezeichnete, schuf bereits 1889 den ersten formalen Klassenlogik-Kalkül als Basis für seine Arithmetik mit den Peano-Axiomen, die er erstmals in einer präzisen mengentheoretischen Sprache formulierte. Er entwickelte damit die Grundlage für die heutige Formelsprache der Mengenlehre und führte viele gebräuchliche Symbole ein, vor allem das Elementzeichen , das als „ist Element von“ verbalisiert wird. Dabei ist  der kleine Anfangsbuchstabe ε (Epsilon) des Wortes ἐστί (griechisch „ist“).

Eine andere mengentheoretische Begründung der Arithmetik versuchte Gottlob Frege wenig später in seinem Kalkül von 1893. In diesem entdeckte Bertrand Russell 1902 einen Widerspruch, der als Russellsche Antinomie bekannt wurde. Dieser Widerspruch und auch andere entstehen aufgrund einer uneingeschränkten Mengenbildung, weshalb die Frühform der Mengenlehre später als naive Mengenlehre bezeichnet wurde. Cantors Mengendefinition beabsichtigt aber keine solche naive Mengenlehre, wie sein Beweis der Allklasse als Nichtmenge durch die zweite Cantorsche Antinomie belegt.

Cantors Mengenlehre wurde von seinen Zeitgenossen in ihrer Bedeutung kaum erkannt und keineswegs als revolutionärer Fortschritt angesehen, sondern stieß bei manchen Mathematikern, etwa bei Leopold Kronecker, auf Ablehnung. Noch mehr geriet sie in  Misskredit, als Antinomien bekannt wurden, so dass etwa Henri Poincaré spottete: „Die Logik ist gar nicht mehr steril – sie zeugt jetzt Widersprüche.“

20. Jahrhundert 
Im 20. Jahrhundert setzten sich Cantors Ideen immer mehr durch; gleichzeitig vollzog sich innerhalb der sich entwickelnden Mathematischen Logik eine Axiomatisierung der Mengenlehre, mittels derer zuvor herrschende Widersprüche überwunden werden konnten.

1903/1908 entwickelte Bertrand Russell seine Typentheorie, in der Mengen stets einen höheren Typ als ihre Elemente haben, damit problematische Mengenbildungen unmöglich würden. Er wies den ersten Ausweg aus den Widersprüchen und zeigte in den Principia Mathematica von 1910–1913 auch ein Stück der Leistungsfähigkeit der angewandten Typentheorie. Letztlich erwies sie sich aber als unzulänglich für Cantors Mengenlehre und konnte sich wegen ihrer Kompliziertheit nicht durchsetzen.

Handlicher und erfolgreicher war dagegen die von Ernst Zermelo 1907 entwickelte axiomatische Mengenlehre, die er gezielt zur widerspruchsfreien Begründung der Mengenlehre von Cantor und Dedekind schuf. Abraham Fraenkel bemerkte 1921, dass dazu zusätzlich sein Ersetzungsaxiom nötig sei. Zermelo fügte es in sein Zermelo-Fraenkel-System von 1930 ein, das er kurz ZF-System nannte. Er konzipierte es auch für Urelemente, die keine Mengen sind, aber als Mengenelemente in Frage kommen und Cantors „Objekte unserer Anschauung“ einkalkulieren. Die heutige Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist dagegen nach Fraenkels Vorstellung eine reine Mengenlehre, deren Objekte ausschließlich Mengen sind.

Da das Zermelo-Fraenkel-System von 1930 auch das Auswahlaxiom enthält (englisch „Axiom of Choice“), wird es als ZFC bezeichnet und mit ZF das Axiomensystem, welches das Auswahlaxiom nicht enthält.

Viele Mathematiker setzten aber statt auf eine konsequente Axiomatisierung auf eine pragmatische Mengenlehre, die Problem-Mengen mied, so etwa die oft aufgelegten Mengenlehren von Felix Hausdorff ab 1914 oder von Erich Kamke ab 1928. Nach und nach wurde es immer mehr Mathematikern bewusst, dass die Mengenlehre eine unentbehrliche Grundlage für die Strukturierung der Mathematik ist. Das ZFC-System bewährte sich in der Praxis, weshalb es als Basis der modernen Mathematik von der Mehrheit der Mathematiker anerkannt ist; keinerlei Widersprüche konnten mehr aus dem ZFC-System abgeleitet werden. Die Widerspruchsfreiheit konnte allerdings nur für die Mengenlehre mit endlichen Mengen nachgewiesen werden, aber nicht für das komplette ZFC-System, das Cantors Mengenlehre mit unendlichen Mengen enthält; nach Gödels Unvollständigkeitssatz von 1931 ist ein solcher Nachweis der Widerspruchsfreiheit prinzipiell nicht möglich. Gödels Entdeckungen steckten nur Hilberts Programm, die Mathematik und Mengenlehre auf eine nachweislich widerspruchsfreie axiomatische Basis zu stellen, eine Grenze, aber hinderten den Erfolg der Mengenlehre in keiner Weise, so dass von einer Grundlagenkrise der Mathematik, von der Anhänger des Intuitionismus sprachen, in Wirklichkeit nichts zu spüren war.

Die endgültige Anerkennung der ZFC-Mengenlehre in der Praxis zog sich allerdings noch über längere Zeit hin. Die Mathematiker-Gruppe mit Pseudonym Nicolas Bourbaki trug wesentlich zu dieser Anerkennung bei; sie wollte die Mathematik auf Basis der Mengenlehre einheitlich neu darstellen und setzte dies ab 1939 in zentralen Mathematikgebieten erfolgreich um. In den 1960er Jahren wurde es dann allgemein bekannt, dass sich die ZFC-Mengenlehre als Grundlage der Mathematik eignet. Es gab sogar einen vorübergehenden Zeitraum, in dem die Mengenlehre in der Grundschule behandelt wurde.

Parallel zur Erfolgsgeschichte der Mengenlehre blieb jedoch die Diskussion der Mengenaxiome in der Fachwelt aktuell. Es entstanden auch alternative axiomatische Mengenlehren, etwa 1937 die sich nicht an Cantor oder Zermelo-Fraenkel, sondern an der Typentheorie orientierende Mengenlehre von Willard Van Orman Quine aus dessen New Foundations (NF), 1940 die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, die ZFC auf Klassen verallgemeinert, oder 1955 die Ackermann-Mengenlehre, die neu an Cantors Mengendefinition anknüpfte.

Definitionen 
In der reinen Mengenlehre ist das Elementprädikat  (sprich ist Element von) die einzige notwendige Grundrelation. Alle mengentheoretischen Begriffe und Aussagen werden aus ihr mit logischen Operatoren der Prädikatenlogik definiert.

 Aufzählende Notation
 Die Elemente einer Menge werden durch die Mengenklammern { und } zu einem Ganzen, der Menge, zusammengefasst.
 Die Menge, welche aus den Elementen  bis  besteht, enthält das Element  genau dann, wenn  mit einem der  übereinstimmt. Formal:
 
Z. B. ist die Aussage
 
äquivalent zur Aussage
 
 Beschreibende Notation
 Die Menge der , für die das Prädikat  gilt, enthält ein Element  genau dann, wenn das Prädikat auf  zutrifft. Formal:
 
 Zu dieser unbeschränkten Beschreibung gibt es auch eine beschränkte Variante:
 
 Oft kommt auch die Kurzschreibweise
 
 vor, wobei mit  ein Funktionsterm gemeint ist.
 Entsprechend der Definition der Gleichheit von zwei Mengen lässt sich die Aussage
 
 jetzt in den logischen Ausdruck
 
 auflösen.
 Teilmenge 

 Eine Menge  heißt Teilmenge einer Menge , wenn jedes Element von  auch Element von  ist. Formal:

 Leere Menge

 Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Sie wird mit  oder auch  bezeichnet.

 Für die Negation  schreibt man kürzer .
 Schnittmenge 
 Gegeben ist eine nichtleere Menge  von Mengen. Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von  ist die Menge der Objekte, die in jedem Element von  – das ist jeweils wiederum eine Menge – enthalten sind. Formal:
 

 Vereinigungsmenge 
 Dies ist der zur Schnittmenge duale Begriff: Die Vereinigungsmenge einer (nicht notwendigerweise nichtleeren) Menge  von Mengen ist die Menge der Objekte, die in mindestens einem Element von  enthalten sind. Formal:
 

 Gleichheit von Mengen
 Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
 Diese Definition bezeichnet die Extensionalität und damit die grundlegende Eigenschaft von Mengen. Formal:

 Differenz und Komplement 
 Die Differenz wird gewöhnlich nur für zwei Mengen definiert: Die Differenzmenge (auch Restmenge) von  und  (umgangssprachlich auch A ohne B, s. Abb.) ist die Menge der Elemente, die in , aber nicht in  enthalten sind. Formal:
 
 Man nennt die Differenz auch Komplement von B in Bezug auf A. Betrachtet man die Komplementärmenge von 

 so ist . Ist A als Grundmenge vorausgesetzt und B eine Teilmenge von A, dann gilt gerade .

 Symmetrische Differenz 
 Bisweilen wird noch die „symmetrische Differenz“ benötigt:
 

 Potenzmenge

 Die Potenzmenge  einer Menge  ist die Menge aller Teilmengen von :

 Die Potenzmenge einer Menge  enthält immer die leere Menge und die Menge  selbst. Somit ist , also eine einelementige Menge.
 Geordnetes Paar
 Auch der Begriff des geordneten Paares  wird auf  zurückgeführt. Da es beim geordneten Paar auf die Reihenfolge ankommt, muss es irgendwie gelingen, das  vor dem  auszuzeichnen. Üblicherweise verwendet man die auf Kuratowski zurückgehende Definition:

  ist also eine Menge von zwei Mengen und sind  und  verschieden (nur dann muss man eine Reihenfolge festlegen), so ist  dasjenige Element, das in beiden Mengen vorkommt, kurz .
 Kartesisches Produkt
 Die Produktmenge oder das kartesische Produkt, in älterer Terminologie auch Verbindungsmenge oder Produkt zweiter Art, soll hier ebenfalls zunächst als Verknüpfung von zwei Mengen definiert werden:
 Die Produktmenge von  und  ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus  und deren zweites Element aus  ist.

 Relationen und Funktionen
Eine Relation  zwischen  und  ist eine Teilmenge .
Eine Funktion  von  nach , in Zeichen , ist eine Relation  mit
     (d. h. zu jedem  gibt es mindestens einen Funktionswert)
    (d. h. zu jedem  gibt es höchstens einen Funktionswert).
Für  schreibt man suggestiver . Damit sind auch diese Begriffe auf die -Beziehung zurückgeführt. Damit lassen sich weitere Begriffe wie Äquivalenzrelation, injektive Funktion, surjektive Funktion, bijektive Funktion und vieles mehr definieren.
 Quotientenmenge
 Ist eine Äquivalenzrelation  gegeben, lässt sich zunächst die Äquivalenzklasse eines Elements  definieren:
 
 Die Menge aller Äquivalenzklassen wird Quotientenmenge genannt:
 
 Sagt die Äquivalenzrelation z. B. aus, dass zwei Schüler in dieselbe Klasse gehen, dann ist die Äquivalenzklasse eines Schülers seine Schulklasse und die Quotientenmenge die Menge der Schulklassen der Schule.
 Natürliche Zahlen
Nach John von Neumann kann man die natürlichen Zahlen in der Mengenlehre wie folgt definieren:

Damit sollte klar sein, wie man mittels obiger Definitionen alle weiteren Begriffe der Mathematik auf den Mengenbegriff zurückführen kann.
 Mächtigkeit und Kardinalzahl
 Mit den Begriffen der bijektiven Funktion und der Äquivalenzrelation lässt sich nun auch die eingangs erwähnte Mächtigkeit einer Menge definieren. Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge  wird mit  (zuweilen auch #) bezeichnet. Eine Menge heißt endlich, wenn sie gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl ist, dann ist  die Anzahl der Elemente von . Damit ist der Begriff Kardinalzahl eine Verallgemeinerung der Elementanzahl einer (endlichen) Menge. Unter Einbeziehung der Arithmetik der Kardinalzahlen wird die Mächtigkeit der Potenzmenge von , auch bei unendlichen Mengen, mit  bezeichnet.

Gesetzmäßigkeiten 
Die Menge  ist bezüglich der Relation  partiell geordnet, denn für alle  gilt:

 Reflexivität: 
 Antisymmetrie: Aus  und  folgt 
 Transitivität: Aus  und  folgt 

Die Mengen-Operationen Schnitt  und Vereinigung  sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv:

 Assoziativgesetz:
  und
 
 Kommutativgesetz:
  und
 
 Distributivgesetz:
  und
 
 De Morgansche Gesetze:
  und
 
 Absorptionsgesetz:
  und
 

Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

 Assoziativgesetze:
  und
 
 Distributivgesetze:
  und
  und
  und
 

Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

 Assoziativgesetz: 
 Kommutativgesetz: 
 Distributivgesetz:

Siehe auch 
 Liste mathematischer Symbole
 Deskriptive Mengenlehre
 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre
 Axiomatische Mengenlehre

Literatur 
 Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publ. Co., New York 1914/1949/1965, ISBN 978-3-540-42224-2.
 Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer, Berlin / Heidelberg / New York, NY 1928. Neudruck: Martin Sändig oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4.
 Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
 Erich Kamke: Mengenlehre. 7. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1971, ISBN 3-11-003911-7.
 Kenneth Kunen: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980, ISBN 0-444-85401-0.
 Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschaft, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.
 
 (online frei zugänglich über die Website des Autors)
 André Joyal, Ieke Moerdijk: Algebraic Set Theory. Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55830-1.
 Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.

Weblinks 

 Christian Spannagel: Mengenlehre. Vorlesungsreihe, 2010.

Einzelnachweise 

 
 
Teilgebiet der Mathematik