Gruppentheorie

Die Gruppentheorie als mathematische Disziplin untersucht die algebraische Struktur von Gruppen.

Anschaulich besteht eine Gruppe aus den Symmetrien eines Objekts oder einer Konfiguration zusammen mit jener Verknüpfung, die durch das Hintereinanderausführen dieser Symmetrien gegeben ist. So bilden beispielsweise die Drehungen eines regelmäßigen -Ecks in der Ebene, mit denen die Figur auf sich selbst abgebildet werden kann, eine Gruppe mit  Elementen. Um dieses Konzept allgemein zu fassen, hat sich eine knappe und mächtige Definition herausgebildet: Demnach ist eine Gruppe eine Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung (durch die jedem geordneten Paar von Elementen eindeutig ein Element dieser Menge als Resultat zugeordnet wird), wenn diese Verknüpfung assoziativ ist und es ein neutrales Element gibt sowie zu jedem Element ein Inverses. So bildet zum Beispiel auch die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition eine Gruppe.

Die systematische Untersuchung von Gruppen begann im 19. Jahrhundert und wurde durch konkrete Probleme ausgelöst, zunächst durch die Frage nach der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen, später durch die Untersuchung geometrischer Symmetrien. Dementsprechend stand zunächst die Untersuchung konkreter Gruppen im Vordergrund; erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurden verstärkt abstrakte Fragestellungen untersucht. Wichtige Beiträge stammen unter anderem von Évariste Galois und Niels Henrik Abel in der Algebra sowie Felix Klein und Sophus Lie in der Geometrie. Eine der herausragenden mathematischen Leistungen des 20. Jahrhunderts ist die Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen, also der unzerlegbaren Bausteine aller endlichen Gruppen.

Die große Bedeutung der Gruppentheorie für viele Gebiete der Mathematik und ihrer Anwendungen resultiert aus ihrer Allgemeinheit, denn sie umfasst in einer einheitlichen Sprache sowohl geometrische Sachverhalte (Bewegungen des Raumes, Symmetrien etc.) als auch arithmetische Regeln (Rechnen mit Zahlen, Matrizen etc.). Vor allem in der Algebra ist der Begriff der Gruppe von grundlegender Bedeutung: Ringe, Körper, Moduln und Vektorräume sind Gruppen mit zusätzlichen Strukturen und Eigenschaften. Methoden und Sprechweise der Gruppentheorie durchziehen daher viele Gebiete der Mathematik. In Physik und Chemie treten Gruppen überall dort auf, wo Symmetrien eine Rolle spielen (z. B. Invarianz physikalischer Gesetze, Symmetrie von Molekülen und Kristallen). Zur Untersuchung solcher Phänomene liefern die Gruppentheorie und die eng verwandte Darstellungstheorie die theoretischen Grundlagen und eröffnen wichtige Anwendungen.

Zugang ohne mathematische Voraussetzungen 
Gruppen werden in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit Zahlen zu verallgemeinern. Entsprechend besteht eine Gruppe aus einer Menge von Dingen (z. B. Zahlen, Symbolen, Objekten, Bewegungen) und einer Rechenvorschrift (eine Verknüpfung, in diesem Artikel als  dargestellt), die angibt, wie mit diesen Dingen umzugehen ist. Diese Rechenvorschrift muss dabei bestimmten Regeln genügen, den sogenannten Gruppenaxiomen, die im Folgenden erklärt werden.

Von einer Gruppe spricht man, falls für eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung je zweier Elemente dieser Menge, hier geschrieben als , die folgenden Anforderungen erfüllt sind:
 Die Verknüpfung zweier Elemente der Menge ergibt wiederum ein Element derselben Menge. (Abgeschlossenheit)
 Für die Verknüpfung ist die Klammerung unerheblich, das heißt, es gilt  für alle . (Assoziativgesetz)
 Es gibt ein Element  in der Menge, das bezüglich der Verknüpfung nichts bewirkt, also ein -neutrales Element:  für alle .
 Zu jedem Element  gibt es bezüglich der Verknüpfung ein Umkehr-Element, also ein -inverses Element . Dieses hat die Eigenschaft, beim Verknüpfen mit  das neutrale Element zu ergeben: .

Man beachte: Falls auf der Menge von mehreren Verknüpfungen die Rede ist, etwa  und , dann gibt es mehrere neutrale und inverse Elemente, jeweils passend zur Verknüpfung. Wenn aus dem Kontext klar ist, dass nur eine bestimmte Verknüpfung gemeint ist, dann spricht man kurz von dem neutralen Element  und dem inversen Element  zu  ohne die Verknüpfung nochmals explizit zu erwähnen.

 Wenn man zudem noch die Operanden vertauschen darf, wenn also stets  gilt, dann liegt eine abelsche Gruppe vor, auch kommutative Gruppe genannt. (Kommutativgesetz)

Beispiele für abelsche Gruppen sind
 die ganzen Zahlen  mit der Addition  als Verknüpfung und der Null als neutralem Element,
 die rationalen Zahlen  ohne Null mit der Multiplikation  als Verknüpfung und der Eins als neutralem Element. Die Null muss hierbei ausgeschlossen werden, da sie kein inverses Element besitzt: „1/0“ ist nicht definiert.

Die sehr allgemeine Definition von Gruppen ermöglicht es, nicht nur Mengen von Zahlen mit entsprechenden Operationen als Gruppen aufzufassen, sondern auch andere mathematische Objekte mit geeigneten Verknüpfungen, die die obigen Anforderungen erfüllen. Ein solches Beispiel ist die Menge der Drehungen und Spiegelungen (Symmetrietransformationen), durch die ein regelmäßiges n-Eck auf sich selbst abgebildet wird, mit der Hintereinanderausführung der Transformationen als Verknüpfung (Diedergruppe).

Definition einer Gruppe 

Eine Gruppe ist ein Paar . Dabei ist  eine Menge und  eine zweistellige Verknüpfung bezüglich . Das heißt, dadurch wird die Abbildung  beschrieben. Zudem müssen die folgenden Axiome für die Verknüpfung erfüllt sein, damit  als Gruppe bezeichnet werden kann:

 Assoziativität: Für alle Gruppenelemente ,  und  gilt: 
 Es gibt ein neutrales Element , mit dem für alle Gruppenelemente  gilt: .
 Zu jedem Gruppenelement  existiert ein inverses Element  mit .

Eine Gruppe  heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich das folgende Axiom erfüllt ist:

 Kommutativität: Für alle Gruppenelemente  und  gilt .

Andernfalls, d. h., wenn es Gruppenelemente  gibt, für die  ist, heißt die Gruppe  nichtabelsch.

Beispiele 
Bekannte Beispiele für Gruppen sind:
 Kleinsche Vierergruppe (abelsch)
 symmetrische Gruppe (nicht-abelsch für n > 2)
 alternierende Gruppe (nicht-abelsch für n > 3)
 Diedergruppe (nicht-abelsch für n > 2)
 Quaternionengruppe (nicht-abelsch)
 Triviale Gruppe (abelsch): Besteht nur aus dem neutralen Element
Eine ausführlichere Aufzählung befindet sich in der Liste kleiner Gruppen.

Grundkonzepte der Gruppentheorie

Ordnung einer Gruppe 
Die Mächtigkeit (Kardinalität)  der Trägermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe oder kurz Gruppenordnung. Für endliche Mengen ist dies einfach die Anzahl der Elemente.

Untergruppen 

Ist  eine Teilmenge der Trägermenge  einer Gruppe  und ist  selbst eine Gruppe, so nennt man  eine Untergruppe von , Bezeichnung .

Hierzu ein wichtiger Satz (Satz von Lagrange): Die Ordnung jeder Untergruppe  einer endlichen Gruppe  ist ein Teiler der Ordnung der Gruppe . Ist speziell  eine Primzahl, dann hat  nur die (trivialen) Untergruppen  (bestehend aus dem neutralen Element) und  selbst.

Zyklische Gruppen 

Gibt es in  ein Element  so, dass man jedes Element als Potenz  (mit einer ganzen Zahl , die auch negativ sein darf) schreiben kann, so nennt man  eine zyklische Gruppe und  erzeugendes Element.

Ordnung von Elementen 

Ergibt ein Element  der Gruppe, endlich viele Male (-mal) mit sich selbst verknüpft, das neutrale Element , d. h., gibt es ein  mit , so nennt man das kleinste derartige  die Ordnung des Elements . In diesem Fall spricht man von einem Element endlicher Ordnung oder Torsionselement. Falls kein solches  existiert, sagt man, dass  unendliche Ordnung hat. In beiden Fällen entspricht die Ordnung des Elements der Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe.

Aus dem Satz von Lagrange folgt daher: In einer endlichen Gruppe ist die Ordnung jedes Elements endlich, und ein Teiler der Gruppenordnung.

Die kleinste positive Zahl , mit der  für jedes Gruppenelement  gilt, wird Gruppenexponent genannt.

Unterschiedliche Schreibweisen für das Verknüpfungszeichen 
Steht das Zeichen »*« für das Mal-Zeichen »·«, dann spricht man von einer multiplikativ geschriebenen Gruppe. Diese kann kommutativ sein oder auch nicht, und das Zeichen »·« kann weggelassen, d. h. die zwei Operanden direkt nebeneinander geschrieben werden. Das neutrale Element ist dann  und das Inverse wird  oder im kommutativen Fall auch  geschrieben.
In Analogie zu den reellen Zahlen wird für das multiplikativ Iterierte die Potenzschreibweise  verwendet.

Wird andererseits das Plus-Zeichen »+« als Zeichen für die Verknüpfung verwendet, dann spricht man von einer additiv geschriebenen Gruppe, die dann auch allermeist kommutativ ist und  als neutrales Element hat. Das Vielfache wird  und das Inverse  geschrieben.

Es gibt aber außer Multiplikation und Addition noch weitere Operationen, die eine Gruppenstruktur definieren. So gilt für die Hintereinanderausführung von Funktionen stets das Assoziativgesetz. Werden dabei nur Funktionen betrachtet, die invertierbar sind, und zwar Bijektionen einer Menge auf sich selbst, dann definieren sie eine Gruppe (die im Allgemeinen nicht kommutativ ist).
Häufig wird  als Zeichen für die Hintereinanderausführung und  für das entsprechende neutrale Element verwendet.
Ist bei Inversenbildung und Iteration gegenüber der Potenzschreibweise ein Unterschied zu machen, dann wird der Exponent auch in spitze Klammern gesetzt, z. B.  und

Nebenklassen

Definition 

Definiert man auf der Gruppe  mit einer Untergruppe  die Relation  durch

,

erhält man eine Äquivalenzrelation auf  deren Quotientenmenge die Menge  partitioniert. Die Nebenklasse (englisch: coset) zu einem Element  ist die Menge

.

Dies ist die Menge aller Elemente , die zu  in der Relation  stehen, und damit eine Äquivalenzklasse. Die Nebenklasse, die man für ein zu  äquivalentes Element  durch Linksverknüpfung aller  erhält, ist daher die Gleiche. Für die Nebenklasse bezüglich  schreibt man   oder auch kurz  wenn klar ist, durch welchen Vorgang die Nebenklassen gebildet werden. Da diese Menge alle Elemente von  enthält, die dadurch entstehen, dass die Elemente aus  links mit dem Element  verknüpft werden, heißt sie (genauer) die Linksnebenklasse, Alternativbezeichnung Linksrestklasse, von  nach dem Element .

Wenn man andererseits eine Relation  durch

definiert, dann ist dies im Allgemeinen eine andere Äquivalenzrelation und die Menge der zu  äquivalenten Elemente in  jetzt

,

die durch Rechtsverknüpfung der Elemente aus  mit dem Element  entsteht. Sie wird mit  oder  bezeichnet und Rechtsnebenklasse, Alternativbezeichnung Rechtsrestklasse, von  nach dem Element  genannt.

Für die Faktor- oder Quotientenmenge aller Links- bzw. Rechtsnebenklassen wird die Notation

bzw.

verwendet.

Nebenklassen werden benutzt, um den Satz von Lagrange zu beweisen, um die Begriffe Normalteiler und Faktorgruppe zu erklären und um Gruppenoperationen zu studieren.

Nebenklassen als Bahnen einer Gruppenoperation 

Man kann Nebenklassen auch als Bahnen einer Gruppenoperation verstehen. Die Untergruppe  operiert nämlich auf der Gruppe  von links

bzw. von rechts

durch Multiplikation. Für ein gegebenes  ist dann die Rechtsnebenklasse

gerade die Bahn von  der Linksoperation, entsprechend die Linksnebenklasse

die Bahn von  der Rechtsoperation. Die Notation  für die Menge der Linksnebenklassen bzw.  für die Menge der Rechtsnebenklassen deckt sich mit der für Bahnen üblichen Notation für den Orbitraum.

Doppelnebenklassen 
Sind zwei Untergruppen  und  gegeben, so erhält man eine Äquivalenzrelation durch
.
Die Äquivalenzklasse zu  ist

Für diese Menge schreibt man  oder  und nennt sie die -Doppelnebenklasse zu .

Normalteiler 

Ist für jedes Element  die linke Nebenklasse von  gleich der rechten, d. h. , so nennt man  einen Normalteiler von , Bezeichnung .

In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Der Kern jedes Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler.

Faktorgruppe 

Die Linksnebenklassen (oder auch die Rechtsnebenklassen) bezüglich einer Untergruppe teilen die Gruppe (als Menge angesehen) in disjunkte Teilmengen auf. Ist die Untergruppe sogar ein Normalteiler, so ist jede Linksnebenklasse zugleich eine Rechtsnebenklasse und wird ab jetzt nur Nebenklasse genannt.

Ist  ein Normalteiler von , dann kann man auf der Menge  der Nebenklassen eine Verknüpfung definieren:

Die Verknüpfung ist wohldefiniert, d. h., sie ist nicht abhängig von der Wahl der Repräsentanten  und  in ihrer Nebenklasse. (Ist  kein Normalteiler, dann gibt es Nebenklassen mit Repräsentanten, die verschiedene Ergebnisse produzieren.)

Zusammen mit dieser induzierten Verknüpfung bildet die Menge der Nebenklassen eine Gruppe, die Faktorgruppe . Die Faktorgruppe ist eine Art vergröbertes Abbild der originalen Gruppe.

Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen 
Eine nicht-triviale Gruppe heißt einfach, wenn sie keine Normalteiler außer der trivialen Gruppe und sich selbst hat. Beispielsweise sind alle Gruppen von Primzahlordnung einfach. Die einfachen Gruppen spielen eine wichtige Rolle als „Grundbausteine“ von Gruppen. Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert. Jede gehört entweder zu einer der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen oder ist eine der 26 Ausnahmegruppen, die auch als sporadische Gruppen bezeichnet werden.

Beispiel 

Manche Eigenschaften endlicher Gruppen lassen sich mit dem Zauberwürfel veranschaulichen, der seit seiner Erfindung vielfach im akademischen Unterricht eingesetzt wurde, weil die Permutationen der Ecken- und Kantenelemente des Würfels ein sichtbares und handgreifliches Beispiel einer Gruppe darstellen.

Anwendungen

Chemie

Punktgruppen 
Die Menge der möglichen Positionen der Atome der Moleküle in ihrer Gleichgewichtskonformation lässt sich mit Hilfe von Symmetrieoperationen (Einheitselement, Spiegelung, Drehung, Inversion, Drehspiegelung) auf sich selbst abbilden. Die Symmetrieoperationen lassen sich zu Gruppen, den sogenannten Punktgruppen zusammenfassen.

Beispielanwendungen 
 Quantenchemie
 Der Rechenaufwand von quantenchemischen Rechnungen kann unter Benutzung der Gruppentheorie erheblich verringert werden, z. B. hat ein Hamiltonoperator die gleiche Symmetrie wie sein System.
 Weiterhin ist sie hilfreich zur Beschreibung von SALKs (symmetrieadaptierten Linearkombinationen aus Atomorbitalen, auch Liganden-Gruppen-Orbitale), was in der MO-Theorie und Ligandenfeldtheorie Anwendung findet.
 Weiterhin findet die Gruppentheorie Anwendung bei der Theorie der Erhaltung der Orbitalsymmetrie (siehe: Woodward-Hoffmann-Regeln).

 Spektroskopie
 Die Gruppentheorie ist auch für die Infrarotspektroskopie von Bedeutung, IR-, Raman-Eigenschaften, Vorhandensein von Quadrupol- und Octopolmoment können direkt aus der Charaktertafel eines Moleküls abgelesen werden.
 In der NMR-Spektroskopie sind Protonen, die sich durch Spiegelung aufeinander abbilden lassen, chemisch äquivalent und ergeben daher im Spektrum die gleiche chemische Verschiebung.

 Physikalische Eigenschaften
 Ein permanentes elektrisches Dipolmoment können nur Moleküle ohne jegliche Symmetrie oder Symmetrien der Punktgruppen  und  und  haben.
 Chiralität / optische Aktivität
 Moleküle, die keine Drehspiegelachse  aufweisen, sind chiral und daher optisch aktiv, z. B. Bromchloriodmethan.
 Moleküle, die eine Spiegelachse haben, sind nicht optisch aktiv, auch wenn sie chirale Zentren enthalten, z. B. Meso-Verbindungen. Chirale Katalysatoren in der enantioselektiven Synthese enthalten oft Liganden mit -Symmetrie, damit sich definierte Komplexe bilden.

 Kristallographie
 In der Kristallographie kommt die Gruppentheorie durch die Einordnung von Kristallstrukturen in die 230 möglichen Raumgruppen vor.

Physik 
In der Quantenmechanik sind Symmetriegruppen als Gruppen von unitären oder antiunitären Operatoren realisiert. Die Eigenvektoren einer maximalen abelschen Untergruppe dieser Operatoren zeichnet eine physikalisch wichtige Basis aus, die zu Zuständen mit wohldefinierter Energie oder Impuls oder Drehimpuls oder Ladung gehört. Beispielsweise bilden in der Festkörperphysik die Zustände in einem Kristall mit einer fest gewählten Energie einen Darstellungsraum der Symmetriegruppe des Kristalls.

Geschichte 
Die Entdeckung der Gruppentheorie wird Évariste Galois zugeschrieben, der die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen durch Radikale (in heutiger Terminologie) auf die Auflösbarkeit ihrer Galois-Gruppe zurückführte. Galois’ Arbeit wurde erst 1846 postum veröffentlicht. Implizit spielte das Konzept einer Gruppe aber bereits bei Lagrange (Réflexions sur la résolution algébrique, 1771) und Gauß (Disquisitiones Arithmeticae, 1801) eine Rolle.

Im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts wurde die Gruppentheorie vor allem durch Felix Kleins Erlanger Programm und die von Sophus Lie entwickelte Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen sowie auch Poincarés und Kleins Arbeiten über automorphe Funktionen zu einem zentralen Bestandteil der Mathematik. Aus dem Jahr 1881 stammt Poincarés bekanntes Zitat „Les mathématiques ne sont qu’une histoire des groupes.“ (Die Mathematik ist nur eine Geschichte der Gruppen.)

Eine abstrakte Definition von Gruppen findet sich erstmals 1854 bei Arthur Cayley:

Erst ab 1878 erschienen die ersten Arbeiten zur abstrakten Gruppentheorie. Cayley bewies, dass jede endliche Gruppe isomorph zu einer Gruppe von Permutationen ist, und bemerkte in derselben Arbeit, dass es einfacher sei, Gruppen als abstrakte Gruppen statt als Gruppen von Permutationen zu betrachten. 1882 definierte Dyck erstmals Gruppen mittels Erzeugern und Relationen.

Literatur 
 Pavel S. Alexandroff: Einführung in die Gruppentheorie. Deutsch, Frankfurt 2007, ISBN 978-3-8171-1801-4.
 Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer, Berlin 1998, ISBN 3-540-60331-X.
 Thorsten Camps u. a.: Einführung in die kombinatorische und die geometrische Gruppentheorie. Heldermann, Lemgo 2008, ISBN 978-3-88538-119-8.
 Oleg Bogopolski: Introduction to group theory. European Mathematical Society Publishing House, Zürich 2008, ISBN 978-3-03719-041-8.
 Stephan Rosebrock: Anschauliche Gruppentheorie – Eine computerorientierte geometrische Einführung. Springer Spektrum, 2020, ISBN 978-3-662-60786-2.
 Serge Lang: Algebra. In: Graduate Texts in Mathematics. Dritte überarbeitete Auflage. Band 211. Springer, New York 2002, ISBN 978-0-387-95385-4.
 Yvette Kosmann-Schwarzbach: Groups and Symmetries – From Finite Groups to Lie Groups. In: Universitext. Zweite überarbeitete Auflage, Springer, Cham 2022, ISBN 978-3-030-94359-2.

Weblinks 

 Gruppenzwang. Eine Einführung in die Gruppentheorie auf Matroids Matheplanet.
 Online-Werkzeug zur Erstellung von Gruppentafeln (englisch).
 Israel Kleiner: The Evolution of Group Theory: A Brief Survey. Mathematics Magazine, Vol. 59, No. 4 (Oktober 1986), S. 195–215.

Einzelnachweise 

 
Symmetrie (Physik)
Theoretische Chemie
Kristallographie
Teilgebiet der Mathematik