Wortel (wiskunde)

In de wiskunde wordt met de wortel zowel de wortel van een getal als van een vergelijking aangeduid.

Wortel uit een getal

Vierkantswortel  
De vierkantswortel, kort wortel, uit een positief getal  is het positieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan het getal . Het symbool hiervoor is √. Het proces om een wortel te berekenen heet worteltrekken. Het is dus een rekenkundige bewerking van een getal.

 is te vereenvoudigen tot . Wortel 2, genoteerd als , wortel 3 als  en wortel 5 als  zijn niet verder te vereenvoudigen. Het is te bewijzen, dat wortel 2 geen rationaal getal is, dus niet als breuk is te schrijven.

Hogere-machtswortels  
Er zijn ook wortels van een hogere macht uit een getal gedefinieerd. Een -de-machtswortel uit een getal  is een getal  zo, dat 

Voor de derdemachtswortel  uit een getal , is bijvoorbeeld .

Als  even is spreekt men van een evenmachtswortel, is  oneven dan spreekt men van een onevenmachtswortel. Positieve reële getallen hebben twee tegengestelde evenmachtswortels en juist één positieve onevenmachtswortel. Negatieve reële getallen hebben geen (reële) evenmachtswortel en juist één onevenmachtswortel, die negatief is. Men kan ook volgende notatie gebruiken voor de positieve -de-machtswortel van een positief getal  of voor de onevenmachtswortel van een negatief getal :
.
Dan is 
.

Voorbeelden 
De positieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is 5, want 5 > 0 en 52 = 25, dit wordt genoteerd als .

De negatieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is −5, want −5 < 0 en (−5)2 = 25, dit wordt genoteerd als .

De positieve 4e-machtswortel van 16 is 2, want 2 > 0 en 24 = 16. Dit wordt genoteerd als .

De 3e-machtswortel van −8 is −2, want (−2)3 = −8. Dit wordt genoteerd als .

Breuken als exponent 
Wortelvormen kunnen genoteerd worden door middel van gebroken exponenten op voorwaarde dat het grondtal  positief is.

en algemener ():

Dan geldt:

Eigenschap 
Voor alle -de-machtswortels geldt:

Immers:

Wortel van een vergelijking  
Een wortel van een vergelijking, waarin een functie gelijk aan 0 wordt gesteld, is hetzelfde als een nulpunt van die functie. Een wortel van een vergelijking is dus een waarde voor de onbekende, zodat de vergelijking een gelijkheid wordt. Het is dus een oplossing van de vergelijking.

Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft een polynoom van de -de graad  wortels in de complexe getallen. Zo heeft de vergelijking  de wortels +5 en −5. Wel kunnen sommige van die  wortels meervoudig zijn. Zo lijkt de vergelijking  slechts de wortels +1 en −1 te hebben, maar de vergelijking kan geschreven worden als , waaruit blijkt dat de wortel −1 gezien kan worden als twee wortels met dezelfde waarde.

De wortels van de vergelijking  zijn  en .

De wortels van een vierkantsvergelijking kunnen met de wortelformule worden bepaald of in duidelijker gevallen met de som-product-methode.

Wortelvrij maken van de noemer van een breuk 
Om  wortelvormen weg te werken uit de noemer van een breuk, kunnen volgende formules nuttig zijn.

Complexe wortels 

Met behulp van de opvatting van worteltrekken als machtsverheffen kunnen ook wortels uit complexe getallen gedefinieerd worden.

Algemeen geldt voor twee complexe getallen  en :

Daarmee laat zich de -de-machtswortel van  definiëren door:
 .
De wortel is op deze wijze dubbelzinnig bepaald. Er zijn in het algemeen  -de-machtswortels van de vorm:

 voor .

Neemt men echter de hoofdwaarde van de logaritme, dan is de wortel niet dubbelzinnig bepaald.

Voor de zo eenduidig bepaalde complexe wortels geldt niet meer algemeen de eigenschap:

Het volgende tegenvoorbeeld laat dit zien:

,
terwijl

In het algemeen geldt voor complexe getallen  en  en de met de hoofdwaarde bepaalde wortel:

.
Anderzijds is:
.

Hierin stelt log de hoofdwaarde van de logaritme voor. Omdat niet noodzakelijk geldt dat , is de genoemde eigenschap niet geldig voor willekeurige complexe getallen.

Op dezelfde manier kunnen ook wortels uit een quaternion  gedefinieerd worden. De verzameling van de -de-machtswortels van  is:

waarbij  een willekeurig geheel getal voorstelt en  een willekeurige wortel van −1 is, dus zodanig dat . Er hoeft dus niet langer te gelden dat . Meer bepaald geldt nu: .

Herkomst √-teken 
Leonhard Euler dacht dat het teken ontstaan was uit de r van radix, wortel. Later wees Duits onderzoek uit dat het wortelteken in Duitse handschriften rond 1500 is afgeleid uit een punt met een haal omhoog. Het teken verscheen het eerst in druk voor een vierkantswortel in 1525 in Die Coss van de Duitse wiskundige Christoph Rudolff, waar ook de tekens '+' en '−' in druk opdoken.

Rekenen
Wiskundige analyse