Hyperbool (meetkunde)

In de meetkunde is een hyperbool een kegelsnede (die dus wordt gevormd door beide helften van een dubbele kegel met een vlak te snijden) die bestaat uit twee krommen. Deze worden de takken van de hyperbool genoemd.

De hyperbool werd ontdekt door de Griekse wiskundige Menaechmus. De benaming 'hyperbool' stamt van Apollonius van Perga en komt uit het Oudgrieks: , hyperbolé, overtreffing, overdrijving van , hyper, over, en , bállein, werpen, en verwijst naar de overdrijving, de "overdreven worp" van de snijhoek (of numerieke excentriciteit , zie onder) in de kegelsnede. Met toenemende snijhoek verandert de cirkel () eerst in steeds langwerpiger ellipsen en ten slotte via de parabool () in een hyperbool ().

Definities

Definitie uitgaande van de brandpunten 

Men kan een hyperbool ook beschrijven als alle punten waarvoor het verschil van de afstanden  en  tot twee gekozen punten, de brandpunten, een constante waarde  heeft. Een hyperbool bestaat daarom uit twee takken.

Hoofdas en nevenas 
Een hyperbool heeft twee assen: de lijn door de twee brandpunten van de hyperbool heet de hoofdas en de lijn loodrecht daarop midden tussen de brandpunten en ook midden tussen de takken van de hyperbool heet de nevenas.

De assenrechthoek van een hyperbool is de rechthoek waarvan twee zijden raken aan de toppen van de takken van de hyperbool, en de hoekpunten op de asymptoten liggen. De diagonalen liggen op de asymptoten. De lengte van de diagonalen is gelijk aan de afstand tussen de brandpunten van de hyperbool.

Definitie uitgaande van brandpunt en richtcirkel 
Als twee cirkels met een gelijke straal zijn gegeven, kleiner dan de afstand van de middelpunten, dan vormen de beide conflictlijnen van de ene cirkel met het middelpunt van de andere cirkel een hyperbool. De middelpunten van de cirkels zijn de brandpunten en de cirkels worden richtcirkels genoemd. De conflictlijn bestaat uit alle punten waarvan de afstand tot de richtcirkel gelijk is aan de afstand tot het middelpunt van de andere richtcirkel.

Definitie uitgaande van brandpunt en richtlijn 
Een hyperbool is de meetkundige plaats van de punten in het platte vlak waarbij de verhouding van de afstand tot een zeker punt, het brandpunt, tot de afstand tot een zekere lijn, de richtlijn, constant is. Deze constante verhouding heet de excentriciteit  van de hyperbool. Voor een hyperbool is . Er correspondeert met ieder brandpunt een richtlijn. De twee combinaties van een brandpunt en de bijbehorende, dichtbijzijnde richtlijn leveren allebei de complete hyperbool op.

Voor  wordt de figuur een parabool en voor  een ellips.

De richtlijnen staan loodrecht op de hoofdas, op een afstand van  van de nevenas. De afstand van de hyperbool tot de dichtstbijzijnde richtlijn is , dit is voor  ongeveer gelijk aan . De afstand van het betreffende brandpunt tot de hyperbool is hieraan dan ook ongeveer gelijk. Als  van boven naar 1 nadert en  gelijk wordt gehouden, dus  naar oneindig nadert, nadert de betreffende hyperbooltak in de buurt van het betreffende brandpunt en de betreffende richtlijn tot een parabool, met als as de hoofdas van de hyperbool. De nevenas en de andere tak verdwijnen, gezien vanuit de betreffende omgeving, naar het oneindige, de parabool heeft maar een as en een tak. De hoek tussen de asymptoten, met het hoekpunt ook steeds verder weg, gaat naar nul.

Vergelijkingen

Middelpuntsvergelijking 
De punten  op een hyperbool met het centrum in de oorsprong en waarvan de brandpunten in  en  liggen, voldoen aan:

;

daarin is:

Verderop wordt een afleiding van deze vergelijking gegeven.

De hyperbool snijdt de x-as in de punten  en , en voor de afstanden  en  van een punt op de hyperbool tot de brandpunten geldt:

Anders dan bij een ellips kan  groter zijn dan .

Parametervergelijking 
Een hyperbool wordt, bij geschikte keuze van het assenstelsel, beschreven door de volgende parametervergelijking:

,

waarbij gebruikgemaakt wordt van de hyperbolische functies (let op de naam!).

Poolvergelijking 
Er zijn meer definities in poolcoördinaten mogelijk:

Eigenschappen 
De hyperbool met vergelijking

convergeert voor grote waarden van  en  naar het lijnenpaar:

die de asymptoten van de hyperbool zijn.

Aangetoond kan worden dat de snijpunten van de hyperbool met de x-as altijd binnen het interval  zullen liggen.
Naarmate de snijpunten meer in de richting van de brandpunten komen, zal de hyperbool sterker gekromd zijn. De verticale lijn door de oorsprong is een speciaal geval, de hyperbool heet ontaard. De twee takken van de hyperbool vallen hier samen, omdat het verschil in afstand precies gelijk is aan 0.

Een speciaal geval treedt op als . De asymptoten zijn dan gelijk aan de diagonalen van het xy-vlak. Als het coördinatenstelsel 45° gedraaid wordt, zijn in het nieuwe stelsel de oude x- en y-as de asymptoten. In dit nieuwe coördinaten-stelsel  is de hyperbool dan te beschrijven als de omgekeerde functie

Twee hyperbolen snijden elkaar in maximaal vier punten.

Zijn  en  de brandpunten van een hyperbool en  een punt op de hyperbool, dan heten de lijnen  en  de brandpuntsvoerstralen van het punt . De bissectrices van de brandpuntsvoerstalen zijn de normaal en de raaklijn aan de hyperbool in punt .

Gelijkzijdige hyperbool 
Een hyperbool waarvan de asymptoten elkaar loodrecht snijden heet een gelijkzijdige hyperbool, orthogonale hyperbool of rechthoekige hyperbool.
Elke hyperbool die door de punten van een hoogtepuntssysteem gaat is een gelijkzijdige hyperbool.

Neem nu aan dat de asymptoten evenwijdig lopen aan de horizontale en verticale as.  is de vergelijking van de ene asymptoot en  van de andere. Dan is  het snijpunt van de 2 asymptoten. Hiermee kunnen we de hyperbool als volgt afleiden: de verticale asymptoot wordt gevonden als  tot  nadert en  oneindig groot wordt.

Hiermee hebben we dus een hyperbool gevonden met de juiste verticale asymptoot. Hoe krijgen we een formule die ook nog de juiste horizontale asymptoot heeft? Als  tot  nadert, wordt  oneindig groot.  wordt oneindig.

Wat gebeurt er met ? Deze blijft altijd , ongeacht welk getal we voor  kiezen. Maar wat als we deze samenvoegen met onze eerder gevonden formule?

Als , dan geldt er dat  oneindig groot is. De  valt te verwaarlozen, omdat deze ontzettend klein is in vergelijking met de oneindig grote . Je krijgt dan . Dit klopt!

Als , dan geldt er dat  oneindig groot is, omdat  precies 0 is. (Iets delen door 0 nadert oneindig).

Dus, als je 2 asymptoten hebt met snijpunt  dan vinden we de volgende formule met de bijbehorende hyperbool:

Afleiden van de middelpuntsvergelijking

Stelling 
Een hyperbool met
 hoofdas ,
 nevenas ,
 middelpunt in de oorsprong  van een cartesisch coördinatenstelsel ,
 brandpunten op de -as,
voldoet aan de vergelijking:

Dit is de middelpuntsvergelijking van de hyperbool.

Symbolen 
Waar eerst  en  werden gebruikt, worden hier  en  gebruikt.

Afleiden  en  als lineaire functies van  
{| class="wikitable"
! stap
! maak gebruik van
! er geldt dan
|-
| 
| definitie hyperbool
| 
|-
| 
| stelling van Pythagoras
| 
|-
| 
| stelling van Pythagoras
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
|  • merkwaardig product
| 
|-
| 
|  
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| ()
|-
| 
| 
| ()
|}

s.8 en s.9 gelden samen.

Afleiden kwadratisch verband tussen  en  
{| class="wikitable"
! stap
! maak gebruik van
! er geldt dan
|-
| 
| 
| 
|-
| 
|  • merkwaardig product
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
|  • merkwaardig product
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
| 
| 
|-
| 
| betrekking tussen brandpuntsafstand, hoofdas en nevenas
|   
|-
| 
|  
| 
|-
| 
| 
| 
|}
</div>

Nu is aangetoond dat als een punt  op de hyperbool ligt, de coördinaten  van  voldoen aan de vergelijking .

Omgekeerd kan men aantonen dat als de coördinaten  van een willekeurig punt  voldoen aan die vergelijking,  op die hyperbool ligt.

Dus is  de vergelijking van een hyperbool.

Referenties

Vlakke figuur
Wiskundige kromme