Grupa przemienna

Grupa przemienna a. abelowa – grupa z działaniem przemiennym.

Określenie „abelowa” pochodzi od nazwiska Nielsa Abela (1802–1829), który podał warunki rozwiązywalności równań wielomianowych w postaci równań nazywanych jego nazwiskiem (za Jordanem i Kroneckerem). W późniejszych pracach innych autorów, operujących innymi, nowocześniejszymi narzędziami, okazało się, że wspomniane warunki były równoważne przemienności odpowiedniej grupy przekształceń pierwiastków wielomianu (tzw. grupy Galois, od nazwiska prekursora teorii grup, Évariste’a Galois, 1811–1832). Jako pierwszy nazwy „grupa abelowa” na określenie grup przemiennych użył Weber.

Definicja formalna 
Grupę  nazywa się przemienną albo abelową, gdy działanie  w niej określone jest przemienne, tj.
 dla dowolnych  zachodzi 

Dla grup przemiennych zwyczajowo stosuje się zapis addytywny, w tym zapisie aksjomat przemienności ma postać 

Grupę, która nie jest przemienna, nazywa się nieprzemienną lub nieabelową.

Przykłady 
 Każda grupa cykliczna jest abelowa, ponieważ dla  zachodzi  Dlatego przemienne są liczby całkowite  z dodawaniem, podobnie jak liczby całkowite modulo n  (tzw. addytywna grupa klas reszt).
 Każdy pierścień jest z definicji grupą abelową ze względu na działanie dodawania. W pierścieniu przemiennym elementy odwracalne są multiplikatywną grupą abelową. W szczególności grupa addytywna liczb rzeczywistych (tzn. liczby rzeczywiste z dodawaniem) jest grupą abelową, podobnie multiplikatywna (tzn. niezerowe liczby rzeczywiste z mnożeniem) jest abelowa.
 Grupa symetryczna  dla  jest przemienna, co nie zachodzi już dla 
 Grupa addytywna macierzy ustalonego wymiaru nad danym ciałem jest przemienna, jednakże macierze, nawet odwracalne, z mnożeniem nie są grupą abelową, ponieważ mnożenie macierzy nie jest w ogólności przemienne.
 Grupa czwórkowa Kleina będąca najmniejszą niecykliczną grupą abelową.

Własności 
 Jeżeli  jest przemienna, to dla każdego  oraz  zachodzi
 
 Każda podgrupa grupy abelowej jest normalna, dlatego z każdej z nich można utworzyć grupę ilorazową. Podgrupy, ilorazy i iloczyny proste grup przemiennych są przemienne.
 Jeżeli  jest liczbą naturalną, a  elementem grupy abelowej  w zapisie addytywnym, to  można zdefiniować jako  (n czynników) oraz  W ten sposób  staje się modułem nad pierścieniem liczb całkowitych  W rzeczywistości, moduły nad  mogą być utożsamiane z grupami abelowymi.
 Twierdzenia o grupach abelowych (które są modułami nad dziedziną ideałów głównych ) mogą być częstokroć uogólnione do twierdzeń o modułach nad dowolnymi dziedzinami ideałów głównych. Typowym przykładem jest klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych.
 Jeżeli  są homomorfizmami między grupami abelowymi, to ich suma  określona „punktowo” wzorem  również jest homomorfizmem. (Nie jest to prawdą, jeśli  nie jest abelowa). Zbiór  wszystkich homomorfizmów grupowych z  w  sam staje się grupą przemienną.
 Podobnie do wymiaru przestrzeni liniowych, każda grupa przemienna ma rangę. Jest ona zdefiniowana jako liczba kardynalna największego zbioru liniowo niezależnych elementów grupy. Liczby całkowite i liczby wymierne, jak również każda podgrupa liczb wymiernych, mają rangę równą jeden.
 Jeżeli dla każdego  zachodzi  (rząd każdego elementu jest co najwyżej 2), to  jest przemienna. Jeżeli dla każdego  zachodzi  i  to  nie musi być abelowa (przykład to grupa macierzy kwadratowych  trójkątnych górnych, które na głównej przekątnej mają same jedynki, a nad główną przekątną mają elementy z ciała  gdzie  jest liczbą pierwszą dzielącą ).

Skończone grupy przemienne 
Twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych mówi, że każda skończona grupa przemienna może być wyrażona jako suma prosta podgrup cyklicznych rzędu będącego potęgą liczby pierwszej. Jest to przypadek szczególny twierdzenia o klasyfikacji skończenie generowanych grup przemiennych w przypadku, gdy rozważana grupa ma beztorsyjną rangę równą zeru.

Grupa  jest izomorficzna z iloczynem prostym  przez  wtedy i tylko wtedy, gdy  i  są względnie pierwsze.

Dlatego można zapisać dowolną skończoną grupę abelową  jako iloczyn prosty postaci
 

na dwa różne sposoby:
 gdzie liczby  są potęgami liczb pierwszych,
 gdzie  dzieli  które dzieli  i tak dalej, aż do 

Na przykład  może być wyrażona jako suma prosta dwóch podgrup cyklicznych rzędów odpowiednio 3 i 5:  To samo można powiedzieć o dowolnej grupie przemiennej rzędu 15, co prowadzi do ciekawego wniosku, iż wszystkie grupy przemienne rzędu 15 są izomorficzne.

Innym przykładem jest fakt, że każda grupa abelowa rzędu 8 jest izomorficzna z  (liczby całkowite od 0 do 7 z dodawaniem modulo 8),  (nieparzyste liczby całkowite od 1 do 15 z mnożeniem modulo 16) bądź 

Zobacz też listę małych grup zawierającą skończone grupy przemienne rzędu 16 lub mniejszego.

Automorfizmy skończonych grup przemiennych 
Twierdzenie klasyfikacji można zastosować do zliczania (czasami również wyznaczenia) automorfizmów danej skończonej grupy przemiennej  Aby tego dokonać, należy skorzystać z faktu (który nie zostanie tu udowodniony), że jeżeli  rozkłada się na sumę prostą  podgrup o względnie pierwszych rzędach, to 

Wtedy twierdzenie o klasyfikacji mówi, że aby wyznaczyć grupę automorfizmów grupy  wystarczy wyznaczyć grupy automorfizmów p-podgrup Sylowa (tj. wszystkich sum prostych podgrup cyklicznych, z których rząd każdej jest potęgą ). Dalej  jest ustalone i założono, że wykładniki  czynników cyklicznych p-podgrup Sylowa są ułożone w porządku rosnącym:
 

dla pewnego  Szukane są automorfizmy grupy
 

Przypadek szczególny, dla  czyli taki w którym istnieje tylko jeden cykliczny czynnik mający potęgę będącą liczbą pierwszą w p-podgrupie Sylowa  Wtedy można skorzystać z teorii automorfizmów skończonych grup cyklicznych. Kolejny przypadek szczególny obejmuje dowolne  ale  dla  Tutaj  jest postaci
 

tak więc elementy tej podgrupy można postrzegać jako składające się na n-wymiarową przestrzeń liniową nad skończonym ciałem o  elementach  Automorfizmami tej grupy są więc odwracalne przekształcenia liniowe, dlatego
 

o których łatwo pokazuje się, że mają rząd
 

W najogólniejszym przypadku, gdzie tak  jak i  są dowolne, wyznaczenie grupy automorfizmów jest trudniejsze. Wiadomo jednak, że zdefiniowanie
 

oraz
 

daje w szczególności   oraz
 

Można sprawdzić, że wzór ten uogólnia rzędy z poprzednich przykładów (zob. [Hillar, Rhea]).

Związki z innymi działami matematyki 
Zbiór wszystkich grup abelowych wraz z homomorfizmem między nimi stanowi kategorię  prototyp kategorii abelowej.

Prawie wszystkie dobrze znane struktury algebraiczne różne od algebr Boole’a są nierozstrzygalne. Dlatego zaskakującym jest, że studentka Alfreda Tarskiego, Wanda Szmielew, udowodniła (1955), że teoria pierwszego rzędu grup abelowych, w przeciwieństwie do nieabelowych, jest rozstrzygalna. Rozstrzygalność ta, wraz z podstawowym twierdzeniem skończonych grup przemiennych opisanych wyżej, podkreślają pewne sukcesy teorii grup abelowych, jednakże nadal istnieje wiele obszarów, w których prowadzi się badania:
 wśród beztorsyjnych grupa abelowych skończonego rzędu, dobrze zrozumiane są tylko przypadki grup skończenie generowanych oraz rangi 1;
 istnieje wiele nierozwiązalnych problemów w teorii beztorsyjnych grup abelowych nieskończonej rangi;
 choć przeliczalne torsyjne grupy abelowe są dobrze rozumiane dzięki prostym przedstawieniom i niezmiennikom Ulma, to badania nad przeliczalnymi grupami mieszanymi są o wiele mniej zaawansowane;
 o wielu łagodnych rozszerzeniach teorii pierwszego rzędu grup abelowych wiadomo jest, iż są nierozstrzygalne;
 skończone grupy przemienne są przedmiotem badań obliczeniowej teorii grup.

Co więcej, grupy abelowe nieskończonego rzędu prowadzą, całkiem zaskakująco, do poważnych pytań dotyczących teorii mnogości, o której powszechnie uważa się, że jest podstawą całej matematyki. Przykładem może być problem Whiteheada: czy wszystkie grupy Whiteheada nieskończonego rzędu są także grupami abelowymi wolnymi? W latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku Saharon Szelach udowodnił, że problem Whiteheada jest:
 nierozstrzygalny w ZFC, tradycyjnej aksjomatycznej teorii zbiorów, z której wyprowadzona może być prawie cała współczesna matematyka,
 nierozstrzygalny również, jeżeli ZFC rozszerzy się przez przyjęcie uogólnionej hipotezy continuum jako aksjomat,
 rozstrzygalny, jeśli ZFC rozszerzy się o aksjomat konstruowalności.

Unormowane grupy abelowe 

Pojęcie normy określanych na przestrzeniach liniowych można przenieść na grunt teorii grup abelowych. Odmienność struktury przestrzeni liniowej oraz grupy abelowej wymaga modyfikacji drugiego aksjomatu normy, jednak obydwa odwzorowania – normy przestrzeni liniowej i normy grupy abelowej – mają wiele korespondujących ze sobą własności i dlatego są ciekawe z punktu widzenia matematyki.

Niech  będzie grupą abelową. Odwzorowanie  które dla dowolnych  spełnia warunki:
 
 
 

nazywa się normą grupy abelowej  Parę  nazywa się unormowaną grupą abelową.

Zobacz też 

 abelianizacja
 komutant
 skończenie generowana grupa przemienna

Bibliografia 
 Fuchs, László (1970) Infinite abelian groups, Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. New York-London: Academic Press, s. xi+290.
 Fuchs, László (1973) Infinite abelian groups, Vol. II. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II. New York-London: Academic Press, s. ix+363.
 Hillar, Christopher oraz Rhea, Darren, Automorphisms of Finite Abelian Groups (Automorfizmy skończonych grup abelowych).
 Szmielew, Wanda, Elementary properties of abelian groups (Podstawowe własności grup abelowych), „Fundamenta Mathematica” 41/1955, s. 203–271.

 
P