Viereck

Ein Viereck (auch Tetragon, Quadrangel oder Quadrilateral) ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. Analog zu Dreiecken ist auch eine Verallgemeinerung des Vierecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien (gekrümmte Vierecke) möglich. In der projektiven Geometrie spielen vollständige Vierecke und die dazu dualen vollständigen Vierseite eine wichtige Rolle. In der endlichen Geometrie werden Inzidenzeigenschaften des Vierecks zur Definition des Begriffs „Verallgemeinertes Viereck“ verwendet.

Einteilung 

Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex, liegt genau eine Diagonale außerhalb, so nennt man das Viereck konkav. Das Viereck ist das einfachste Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks, zum Beispiel beim verschränkten Trapez. Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.

Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360°, weil sich jedes Viereck in zwei Dreiecke zerlegen lässt.

Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große Innenwinkel von 90°, also rechte Winkel, hat, ist ein Rechteck. Ein Rechteck, das vier gleich lange Seiten hat, ist ein Quadrat. Das Quadrat ist das regelmäßige Viereck.

Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer Raute (Rhombus). Ein Quadrat ist eine Raute mit vier gleich großen Innenwinkeln.

Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten Mengenrelationen, insbesondere die in der Abbildung dargestellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel

 Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke

Die Quadrate sind eine Teilmenge der Rechtecke, die Rechtecke sind eine Teilmenge der Parallelogramme usw.

Ferner gelten auch noch folgende Beziehungen für Schnittmengen:

 Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten
 Quadrate = Drachenvierecke ∩ gleichschenklige Trapeze
 Rechtecke = Sehnenvierecke ∩ Parallelogramme
 Rauten = Drachenvierecke ∩ Trapeze
 Rauten = Tangentenvierecke ∩ Parallelogramme
 Gleichschenklige Trapeze = Sehnenvierecke ∩ Trapeze

Die ebenen Vierecke werden wie folgt nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt.

 Eigenschaften des Inneren:
 konvex
 konkav

 Symmetrie-Eigenschaften:
 Achsensymmetrie
 eine Diagonale ist Symmetrieachse: Drachenviereck
 beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Raute
 die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkliges Trapez
 die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
 vier Symmetrieachsen: Quadrat
 Drehsymmetrie
 zweizählige Drehsymmetrie (Punktsymmetrie): Parallelogramm
 vierzählige Drehsymmetrie: Quadrat

 Seiteneigenschaften:
 Länge:
 zwei Paare gleich langer gegenüber liegender Seiten: Parallelogramm
 zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Drachenviereck
 gleichseitiges Viereck: Raute
 die Summe der Längen gegenüber liegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck
 Lage:
 die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck
 Orientierung:
 mindestens ein Paar paralleler Seiten: Trapez
 zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm

 Diagonaleneigenschaften
 Länge:
 beide Diagonalen sind gleich lang: notwendige Eigenschaft für gleichschenklige Trapeze
 Lage:
 Schnitt / Berührung: die beiden Diagonalen schneiden sich nicht (und berühren sich deshalb auch nicht): hinreichende Eigenschaft für konkave Vierecke
 Lage des Schnittpunkts:
 eine Diagonale wird durch die andere mittig geschnitten: notwendige Eigenschaft für konvexes Drachenviereck
 beide Diagonalen schneiden sich in ihrer Mitte: hinreichende Eigenschaft für ein Parallelogramm
 Orientierung:
 Größe des Orientierungswinkels: die Diagonalen stehen im rechten Winkel aufeinander: notwendige Eigenschaft für Drachenviereck

 Größe der Winkel:
 zwei Paare gleich großer gegenüber liegender Winkel: Parallelogramm
 zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkliges Trapez
 gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
 die Summe gegenüber liegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck

 Lage der Ecken:
 die Ecken liegen auf demselben Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck

 Eigenschaften dazugehöriger Ellipsen (und Kreise):
 kleinster umschließender Kreis:
 Eigenschaften der Kreislinie:
 der kleinste umschließende Kreis schneidet alle Eckpunkte des Vierecks – dann ist er zugleich ein Sehnenkreis (=Umkreis): notwendige Eigenschaft für eine Raute
 Lage (des Mittelpunkts):
 der Mittelpunkt des umschließenden Kreises liegt in der Mitte einer Diagonalen: notwendige Eigenschaft für ein Rechteck
 der Mittelpunkt liegt außerhalb des Vierecks: hinreichende Eigenschaft für ein konkaves Viereck
 minimal exzentrische Umellipse (nicht zu verwechseln mit der Steiner-Umellipse)
 Existenz:
 mindestens ein Umellipse existiert: hinreichende und notwendige Eigenschaft für die Konvexität eines Vierecks
 Exzentrizität:
 (lineare oder numerische) Exzentrizität = 0: hinreichende und notwendige Eigenschaft für das Vorliegen eines Sehenvierecks. Diese Ellipse ist dann ein Kreis. Dieser wird Sehnenkreis oder Umkreis genannt.
 Größe der Halbachsen:
 (Länge der ersten Halbachse = Länge der zweiten Halbachse = ) Radius des Umkreises ist  mal so groß wie der Radius des Inkreises: notwendige Eigenschaft für ein Quadrat
 größter innen liegender Kreis:
 Eigenschaften der Kreislinie:
 der Kreis berührt alle Seiten (evtl. auch nur ihre Eckpunkte): notwendige Eigenschaft für ein Deltoid
 der Kreis berührt alle Seiten im flachen Winkel – dann wird dieser Tangentenkreises (=Inkreis) genannt: notwendige Eigenschaft für ein konvexes Deltoid
 der Kreis berührt nicht alle Seiten: notwendige Eigenschaft für ein konkaves Viereck

Die wichtigsten Eigenschaften der besonderen Vierecke sind in folgender Tabelle dargestellt:

Formeln 

Ein konvexes Viereck kann durch fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke wie

 Länge der Seiten
 Länge der Diagonalen
 Umfang
 Innenwinkel
 Flächeninhalt

beschrieben werden. Ein Beispiel nicht unabhängiger Größen sind die vier Innenwinkel, weil sich der vierte Innenwinkel aus den drei anderen und der Innenwinkelsumme von 360° berechnen lässt. Sind auch nichtkonvexe Vierecke zugelassen, gibt es mehrdeutige Kombinationen, z. B. vier Seiten und ein Innenwinkel, da die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Ecke konvex oder konkav sein kann.

Wenn ein spezielles Viereck vorliegt, reichen weniger Größen aus, um seine Form zu beschreiben:
 vier bei einem Tangentenviereck, Sehnenviereck oder Trapez
 drei bei einem Parallelogramm, Drachenviereck, rechtwinkligen Trapez oder gleichschenkligen Trapez
 zwei bei einer Raute oder einem Rechteck
 eine bei einem Quadrat

Ungleichungen 
Für ein konvexes Viereck mit den Seitenlängen , , , , den Diagonalen ,  und dem Flächeninhalt  gelten folgende Ungleichungen:
 mit Gleichheit nur für Rechtecke
 mit Gleichheit nur für Quadrate
 mit Gleichheit nur für Quadrate
 mit Gleichheit nur für Rechtecke
 mit Gleichheit nur dann, wenn die Diagonalen orthogonal sind
 mit Gleichheit nur dann, wenn die Diagonalen orthogonal und gleich lang sind
Aus der Formel von Bretschneider folgt mit  die Ungleichung
 mit Gleichheit nur für Sehnenvierecke

Schwerpunkt 

Bei punktsymmetrischen Vierecken, den Parallelogrammen, ist der Schwerpunkt das Symmetriezentrum, also der Diagonalenschnittpunkt.

Im Allgemeinen muss man unterscheiden zwischen dem Eckenschwerpunkt (alle Masse sitzt in den Ecken, jede Ecke hat die gleiche Masse) und dem Flächenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig über die Fläche des Vierecks verteilt). Beim Dreieck stimmen diese beiden Schwerpunkte überein. Daneben gibt es noch den Kantenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig auf die Kanten verteilt, die Masse jeder Kante ist proportional zu ihrer Länge). Der Kantenschwerpunkt wird jedoch selten betrachtet. Er stimmt auch beim Dreieck nicht mit dem Flächen- und Eckenschwerpunkt überein, sondern entspricht dort dem Inkreismittelpunkt des Mittendreiecks.

Den Flächenschwerpunkt eines unregelmäßigen Vierecks kann man wie folgt konstruieren: Man zerlegt das Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke und bestimmt jeweils deren Schwerpunkt als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Diese beiden Punkte verbindet man durch eine Gerade. Dasselbe wiederholt man, indem man das Viereck durch die andere Diagonale teilt. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungsgeraden ist der Schwerpunkt des Vierecks.

Die Gerade durch die beiden Dreiecksschwerpunkte ist eine Schwerlinie beider Dreiecke und damit auch des Vierecks. Also muss der Schwerpunkt auf dieser Geraden liegen.

Den Eckenschwerpunkt erhält man, indem man die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungslinien ist der Eckenschwerpunkt. Ist ein kartesisches Koordinatensystem gegeben, so kann man die Koordinaten des Eckenschwerpunkts  aus den Koordinaten der Ecken  berechnen:

Die nebenstehende Darstellung, konstruiert ähnlich wie oben beschrieben, beinhaltet auch eine alternative Vorgehensweise. Dazu sind in zwei sich kreuzenden Dreiecken deren Schwerpunkte  und  zu ermitteln. Abschließend wird eine Halbgerade ab  parallel zur Diagonale  und eine Halbgerade ab  parallel zur Diagonale  gezogen. Somit ist der Schnittpunkt der beiden Halbgeraden der Flächenschwerpunkt  des Vierecks. Dies bedeutet, die gepunkteten Linien, der Punkt   und die Schwerpunkte  und  sind für die alternative Vorgehensweise nicht erforderlich.
 Einen möglicher elementarer geometrischer Beweis für die Korrektheit der Konstruktion ist in Unregelmäßiges Viereck enthalten.

Siehe auch 
 Ungleichungen in Vierecken
 Zu den Begriffen vollständiges Viereck und vollständiges Vierseit in der projektiven Geometrie siehe deren Definition im Artikel Fano-Axiom

Weblinks 

 Online-Berechnung von ebenen Vierecken mit graphischer Ausgabe

Einzelnachweise 

 
Vierecksgeometrie