Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment, auch Massenträgheitsmoment oder Inertialmoment, gibt die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit bei der Drehung um eine gegebene Achse an (Drehmoment geteilt durch Winkelbeschleunigung). Damit spielt es die gleiche Rolle wie die Masse im Verhältnis von Kraft und Beschleunigung; deswegen ist in der älteren Literatur auch die Bezeichnung Drehmasse gebräuchlich. Als physikalische Größe kommt es erstmals 1749 im Werk  von Leonhard Euler vor.

Das Trägheitsmoment hängt von der Massenverteilung in Bezug auf die Drehachse ab. Je weiter ein Massenelement von der Drehachse entfernt ist, desto mehr trägt es zum Trägheitsmoment bei; der Abstand geht quadratisch ein. Nimmt die Dichte des Körpers zur Drehachse hin zu, ist sein Trägheitsmoment kleiner, als wenn seine Masse im selben Volumen homogen verteilt wäre. Bei rasch rotierenden Planeten lässt sich deshalb aus der Abplattung auf den Dichteverlauf schließen.

Ist die Drehachse nicht fest vorgegeben, so reicht zur Beschreibung des Trägheitsverhaltens eine einzelne Zahl nicht aus. Aus dem Trägheitstensor kann das Trägheitsmoment für jede beliebige Achse durch den Schwerpunkt berechnet werden.

Anschauliche Beispiele

Balancierhilfe 

Beim Seiltanz werden als Balancierhilfe bevorzugt lange Stangen verwendet. Im Vergleich zu einem gleich schweren kompakten Körper, etwa einem Sandsack, hat so eine Stange ein sehr großes Trägheitsmoment. Ein Zur-Seite-Kippen wird dadurch nicht verhindert, aber so verlangsamt, dass der Artist genug Zeit für eine ausgleichende Bewegung hat.

Den Effekt kann man leicht selbst ausprobieren: Ein 30-cm-Lineal (kürzer ist schwieriger) lässt sich hochkant auf der Handfläche balancieren. Quer jedoch, auf eine seiner langen Kanten gestellt, fällt es komplett um, bevor man reagieren kann. Die Drehachse ist in beiden Fällen die aufliegende Kante, während das mittlere Abstandsquadrat von dieser Achse mit über 900 cm2 bzw. rund 16 cm2 stark verschieden ist.

Dass der Abstand quadratisch in das Trägheitsmoment eingeht, lässt sich leicht einsehen: Eine gegebene Winkelbeschleunigung bedeutet für ein Massenelement in doppeltem Abstand eine doppelt so große tangentiale Beschleunigung und damit eine doppelt so große Trägheitskraft. Das Drehmoment, doppelte Kraft × doppelter Hebelarm, ist damit vierfach so groß.

Drehstuhl und Pirouette 

Mit einem weiteren einfachen Experiment kann man eine Änderung des Trägheitsmoments veranschaulichen. Man setzt sich möglichst mittig auf einen drehbaren Bürostuhl und lässt sich mit gestreckten Armen und Beinen in Drehung versetzen. Wenn man dann die Arme und Beine an den Körper heranzieht, nimmt das Trägheitsmoment ab. Das führt dazu, dass die Drehbewegung schneller wird, weil der Drehimpuls erhalten bleibt (siehe Drehimpulserhaltung). Erneutes Ausstrecken verlangsamt die Bewegung wieder. Um den Effekt zu verstärken, kann man in jede Hand schwere Gegenstände nehmen, etwa Hanteln. Je größer deren Masse, desto deutlicher wird der Effekt.

Ein ähnliches Beispiel ist der Pirouetteneffekt, der aus dem Eiskunstlaufen bekannt ist. Die Kontrolle der Drehgeschwindigkeit kann allein aus der Verlagerung der Körpermasse relativ zur Drehachse erfolgen. Zieht der Eiskunstläufer die Arme an oder richtet sich aus einer Hockstellung gerade auf, so dreht er sich schneller – ein erneutes Schwungholen ist nicht nötig.

Formelzeichen und Einheit 
Die geläufigsten Formelzeichen für das Trägheitsmoment sind  und , zurückgehend auf das lateinische Wort , das untätig und träge bedeutet. Da beide Symbole aber auch in der Elektrotechnik Verwendung finden, ist weiterhin ein  (großes Theta) gebräuchlich. In diesem Artikel wird durchgehend  verwendet.

Die SI-Einheit des Trägheitsmoments ist kg·m2.

Vergleich mit der Masse bei linearer Bewegung 
Das Trägheitsmoment  bei einer rotierenden Bewegung ist vergleichbar mit der Masse  einer linearen (geradlinigen) Bewegung (ausführlich siehe Rotation (Physik)#Vergleich mit der Translationsbewegung). Man vergleiche folgende Gleichungen:
     Rotationsbewegung: Drehmoment = Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung,
     Translationsbewegung: Kraft = Masse mal Beschleunigung (Zweites Newtonsches Gesetz).

Allgemeine Definition 
Das Massenträgheitsmoment  lässt sich bei bekannter Dichte  eines Körpers aus folgendem Volumenintegral berechnen:
 .
Dabei ist  der zur Rotationsachse  (Winkelgeschwindigkeit) senkrechte Vektor von der Achse zum Volumenelement (siehe untenstehende Abbildung).

Motivation der Definition

Starrer Körper bestehend aus Massenpunkten 

Die gesamte kinetische Energie eines starren Körpers, der aus  Massenpunkten besteht, ergibt sich aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Massenpunkte:
.
Dabei ist  die Bahngeschwindigkeit des -ten Massenpunktes. Nun soll der gesamte Körper um die Achse  rotieren. Jeder einzelne Massenpunkt beschreibt daher eine Kreisbahn. Die Bahngeschwindigkeit  eines Teilchens, das auf einer Kreisbahn mit Radius  mit der Winkelgeschwindigkeit  rotiert, beträgt . Daher folgt:
.
Analog zur Definition der Bewegungsenergie

eines linear bewegten starren Körpers aus  Massenpunkten mit der Gesamtmasse , definiert man das Trägheitsmoment eines rotierenden starren Körpers aus  Massenpunkten als
 .
Damit gilt
.
Durch diese Definition kann man folgende Größen rotierender Massenpunkte mit den Größen linear bewegter Massenpunkte identifizieren:
 Die Masse eines rotierenden Körpers entspricht dem Trägheitsmoment .
 Die Geschwindigkeit eines rotierenden Körpers entspricht der Winkelgeschwindigkeit .
Oftmals beschreibt man den Körper in Kartesischen Koordinaten und legt die -Achse des Koordinatensystems in Richtung der Rotationsachse. Sind  die Koordinaten des -ten Massenpunktes, so gilt   und man erhält die Formel
.
Der Index „“ ist wichtig, da das Trägheitsmoment eines Körpers immer auf eine Rotationsachse (hier die -Achse) bezogen ist. Aus der Gleichung ist auch ersichtlich, dass das Trägheitsmoment nicht von den -Koordinaten der einzelnen Massenpunkte abhängt.

Starrer Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung 
Die Formel für das Massenträgheitsmoment eines Körpers  mit einer kontinuierlichen Massenverteilung erhält man, indem man den Körper gedanklich in viele kleine Teilvolumina zerlegt. Ist  die Masse des -ten Teilvolumens und  der Abstand eines Punktes im -ten Teilvolumens zur Drehachse, so beträgt die Rotationsenergie näherungsweise

.
Wählt man nun eine immer feinere Zerlegung und lässt schließlich die Größe der Teilvolumina gegen null und damit einhergehend deren Anzahl gegen unendlich gehen , so geht auch jeweils die Masse in jedem der Teilvolumina gegen null , und die Gleichung wird exakt: 
.
Wenn man die Massen  durch die Größe  des Volumenelements am Ort  und die dort herrschende Massendichte  ausdrückt, folgt:

Die eingeklammerte Summe ist das Volumenintegral der Funktion  über das Volumen  des aus den infinitesimalen Massenelementen  zusammengesetzten Körpers.

Hieraus ergibt sich die oben angegebene allgemeine Definition des Trägheitsmomentes. Im Falle eines homogenen Körpers, also einer räumlich konstanten Dichte , vereinfacht sich das zu
.

Zusammenhang zwischen Trägheitsmoment und Drehimpuls 
Der Gesamtdrehimpuls  des starren Körpers zeigt i. d. R. nicht in dieselbe Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit . Die achsenparallele Komponente  jedoch ist durch  gegeben. Dies lässt sich wie folgt einsehen. Der Ortsvektor eines einzelnen Massenelementes  wird nach  in einen zu  parallelen und einen dazu senkrechten Anteil aufgeteilt.
Zur achsenparallelen Komponente des Drehimpulses dieses Massenelements  trägt der parallele Anteil des Ortsvektors nichts bei, es bleibt:
.
Die achsenparallele Komponente des Gesamtdrehimpulses ergibt sich dann zu
.
Außerdem folgt daraus sofort
.

Formeln für wichtige Spezialfälle

Trägheitsmoment eines homogenen rotationssymmetrischen Körpers 
Das Trägheitsmoment eines rotationssymmetrischen Körpers, der um seine Symmetrieachse (-Achse) rotiert, kann mit Hilfe von Zylinderkoordinaten berechnet werden.

Ist  der Radius des Körpers bei der Höhe , dann ist das Volumenelement durch eine Kreisscheibe der Dicke  gegeben:
. Daher gilt für einen Körper, der von  bis  reicht:
.

Ist die Oberfläche des Körpers stattdessen (wie z. B. bei einem Kegel möglich) durch die beim Radius  erreichte Höhe  gegeben, kann man das Volumenelement als Mantel eines Zylinders mit Radius  so wählen: . Zu integrieren ist dann über alle Radien von  bis zum maximalen Radius 

.

Trägheitsmomente für zwei zueinander parallele Achsen (Steinerscher Satz) 

Ist das Trägheitsmoment  für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so ist das Trägheitsmoment  für eine beliebige parallel verschobene Drehachse
.
Dabei gibt  den Abstand des Schwerpunkts von der parallel verschobenen Drehachse an.

Man kann den Steinerschen Satz für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu muss der Satz zweimal hintereinander angewendet werden: Zunächst verschiebe man die Drehachse so, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht, danach auf den gewünschten Zielort.
.

Satz über zueinander senkrechte Achsen 

Der Satz über senkrechte Achsen behandelt den Sonderfall einer beliebig geformten Scheibe, deren Dicke im Vergleich zu ihrer Ausdehnung vernachlässigt werden kann. Dann ist das Trägheitsmoment um eine beliebige Drehachse senkrecht zur Scheibenebene gleich der Summe der Trägheitsmomente um zwei beliebige Drehachsen in der Scheibenebene, die zueinander senkrecht sind und deren Schnittpunkt auf der erstgenannten Drehachse liegt. Für einen Körper in der xy-Ebene bei  wie im Bild heißt das:

.

Denn dann berechnet sich

.

Verallgemeinerung durch Trägheitstensor 

Der Trägheitstensor  mit Komponenten  eines Körpers ist eine Verallgemeinerung des Trägheitsmomentes. In einem kartesischen Koordinatensystem lässt sich der Trägheitstensor als Matrix darstellen, die sich aus den Trägheitsmomenten bezüglich der drei Koordinatenachsen und den Deviationsmomenten zusammensetzt. Die drei Trägheitsmomente bilden die Hauptdiagonale der Matrix, die Deviationsmomente sind die Nebendiagonalelemente. Mit Hilfe des Trägheitstensors lässt sich z. B. das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen durch den Schwerpunkt gehenden Achse berechnen. Wenn ein starrer Körper um eine solche Achse mit der Winkelgeschwindigkeit  rotiert, so ergibt sich das Trägheitsmoment zu

oder in Matrixschreibweise
.

Drehung des Koordinatensystems 

Eine Achse in beliebiger Raumrichtung wird beschrieben durch den Einheitsvektor . Man kann diesen z. B. dadurch erhalten, dass man den Einheitsvektor in z-Richtung mittels einer Drehmatrix R dreht:

Mit

erhält man
.

Mit Hilfe dieser Drehmatrix kann nun der Trägheitstensor in ein Koordinatensystem transformiert werden, in dem die z-Achse in Richtung der Rotationsachse zeigt:
.
Das Trägheitsmoment für die neue z-Achse ist jetzt einfach das 3. Diagonalelement des Tensors in der neuen Darstellung. Nach Ausführung der Matrizenmultiplikation und trigonometrischen Umformungen ergibt sich
.

Beispielrechnung: Rotationssymmetrischer Körper 
Wir betrachten als Beispiel dazu den Trägheitstensor eines rotationssymmetrischen Körpers. Wenn eine der Koordinatenachsen (hier die z-Achse) mit der Symmetrieachse zusammenfällt, dann ist dieser Tensor diagonal. Die Trägheitsmomente für Rotation um die x-Achse und die y-Achse sind gleich (). Für die z-Achse kann das Trägheitsmoment verschieden sein (). Der Trägheitstensor hat damit folgende Gestalt:

.

Transformiert man diesen Tensor wie oben beschrieben in ein Koordinatensystem, das um den Winkel  um die y-Achse gedreht ist, so erhält man:

.

Daraus ergibt sich:
 Für  sind die Trägheitsmomente für die x- und z-Achse von  abhängig.
 Für  ist der Trägheitstensor nicht mehr diagonal, es treten Deviationsmomente auf.
 Das Trägheitsmoment für die neue z-Achse ist: .
 Für  hängt wegen  das Trägheitsmoment nicht von der Richtung der Drehachse ab.

Besondere Trägheitsmomente

Hauptträgheitsmoment 

Betrachtet man einen beliebig geformten Körper, der um eine Achse durch seinen Massenmittelpunkt rotiert, so variiert dessen Trägheitsmoment je nach Lage dieser Drehachse. Dabei gibt es – im Allgemeinen – eine Achse, bezüglich der das Trägheitsmoment des Körpers maximal anliegt, und eine, für das es minimal anliegt. Diese beiden Achsen stehen immer senkrecht zueinander und bilden zusammen mit einer dritten, wiederum senkrecht auf den beiden anderen stehenden Achse, die Hauptträgheitsachsen oder kurz Hauptachsen des Körpers.

In einem von den Hauptträgheitsachsen aufgespannten Koordinatensystem (Hauptträgheitssystem oder Hauptachsensystem genannt) ist der Trägheitstensor diagonal. Die zu den Hauptträgheitsachsen gehörenden Trägheitsmomente sind also die Eigenwerte des Trägheitstensors, sie heißen Hauptträgheitsmomente.

Ist wie im Bild ein kartesisches Koordinatensystem im Massenmittelpunkt parallel zum Hauptträgheitssystem ausgerichtet, dann berechnen sich die Hauptträgheitsmomente zu:

wenn, wie üblich, die Koordinaten nach dem Schema x→x1, y→x2 und z→x3 nummeriert werden.

Mit dem Binet’schen Trägheitsmoment (nach Jacques Philippe Marie Binet)

sind die Hauptträgheitsmomente auch darstellbar als:

Daraus ergibt sich:

Die Summe zweier Hauptträgheitsmomente ist immer größer als das dritte; sie erfüllen die Dreiecksungleichungen.

Die Hauptträgheitsachsen fallen bei homogener Massenverteilung mit eventuell vorhandenen Symmetrieachsen des Körpers zusammen.

Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich groß, so wird der starre Körper symmetrischer Kreisel genannt. Alle Drehachsen in der Äquatorebene, die von den zugehörigen Hauptträgheitsachsen aufgespannt wird, sind ebenfalls Hauptträgheitsachsen mit dem gleichen Trägheitsmoment. Das ist bei zylindersymmetrischen Körpern unmittelbar klar, gilt aber z. B. ebenso für einen Stab mit quadratischer oder hexagonaler Grundfläche.

Für den Fall, dass alle drei Hauptträgheitsmomente identisch sind, ist, wie oben gezeigt wurde, jede Drehachse durch den Massenmittelpunkt eine Hauptträgheitsachse mit dem gleichen Trägheitsmoment. Dies gilt für alle regelmäßigen Körper wie Kugel, gleichseitiges Tetraeder, Würfel usw., siehe Kugelkreisel.

Zwei Hauptachsen spannen eine Hauptebene auf.

Trägheitsmoment zur eingespannten Achse 
Wenn ein starrer Körper um eine fest eingespannte Achse mit der Winkelgeschwindigkeit  rotiert (die Richtung des Vektors  ist die Richtung der Drehachse), so lässt sich der Drehimpuls  aus der allgemeinen Formel  berechnen. Dabei ist  im Gegensatz zur oben angegebenen Formel nicht das Trägheitsmoment, sondern der Trägheitstensor. Im Allgemeinen hat der Drehimpuls  jetzt nicht die Richtung der Drehachse  und ist zeitlich nicht konstant, so dass die Lager ständig Drehmomente aufbringen müssen (dynamische Unwucht). Nur bei Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen ist .

Für die Drehimpulskomponente  entlang der Drehachse gilt , dabei ist  die Winkelgeschwindigkeit und  das Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse . Die kinetische Energie der Rotation, auch kurz als Rotationsenergie bezeichnet, kann durch

ausgedrückt werden. Diese Formeln zeigen die Analogie zu den entsprechenden Formeln für Impuls und kinetische Energie der Translationsbewegung.

Beispiele

Trägheitsmomente von Himmelskörpern 

Fast alle größeren Körper im Weltall (Sterne, Planeten) sind annähernd kugelförmig und rotieren mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ist immer das größte des jeweiligen Himmelskörpers.

Die Differenz dieses „polaren“ und des äquatorialen Trägheitmoments hängt mit der Abplattung des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die Fliehkraft der Rotation. Bei der Erde liegt die Differenz dieser zwei Hauptträgheitsmomente bei 0,3 Prozent, entspricht also etwa der Erdabplattung von 1:298,24. Beim rasch rotierenden Jupiter ist die Differenz und die Abplattung rund 20-mal größer.

Hauptträgheitsmomente einfacher geometrischer Körper mit konstanter Dichte 

Wenn nicht ausdrücklich anders angegeben, liegt der Schwerpunkt der geometrischen Körper auf der Drehachse, auf die sich das Trägheitsmoment bezieht.  ist die Masse des rotierenden Körpers. Das Trägheitsmoment für Drehungen um andere Achsen kann man dann mit Hilfe des Satzes von Steiner berechnen. Für Drehungen um beliebige Achsen kann man die Liste von Trägheitstensoren heran ziehen.

Beispielrechnung: Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel 
 Zum Verständnis dieses Abschnittes sind grundlegende Kenntnisse der Integralrechnung und Koordinatentransformation hilfreich.

Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer Drehachse durch den Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt „Berechnung“ angegebene Integral verwendet. Der Einfachheit halber soll der Kugelmittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Drehachse entlang der -Achse verlaufen. Um das Integral

auszuwerten, empfiehlt es sich, Kugelkoordinaten anstatt kartesischer Koordinaten zu verwenden. Beim Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten  und das Volumenelement  durch die Kugelkoordinaten  ausgedrückt werden. Das geschieht mithilfe der Ersetzungsregeln

und der Funktionaldeterminanten
.
Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert
 .
Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen nicht voneinander ab. Die beiden Integrationen über  und  lassen sich daher elementar ausführen. Das verbleibende Integral in
 
kann durch Substitution  gelöst werden:
 .
Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:
 .

Messung 
Zur Messung eines Trägheitsmoments eines Körpers verwendet man einen Drehtisch. Dieser besteht aus einer Kreisscheibe, die um ihre Symmetrieachse drehbar ist und einer Schneckenfeder (Spiralfeder). Sie bewirkt bei einer Drehung der Scheibe ein rücktreibendes Drehmoment , das direkt proportional zum Auslenkwinkel  ist: . Die Proportionalitätskonstante  nennt man Direktionsmoment oder Richtmoment. Ihr Wert hängt von der Stärke der Feder ab. Die Scheibe führt nun harmonische Schwingungen mit der Schwingungsdauer
,
aus, wobei  das Trägheitsmoment der Scheibe ist. Legt man nun zusätzlich einen Körper mit bekanntem Trägheitsmoment  auf die Scheibe, so ändert sich die Schwingungsdauer zu
.
Aus der Differenz der Quadrate der jeweiligen Schwingungsdauer

lässt sich das Direktionsmoment  des Drehtisches bestimmen und aus obiger Formel für  erhält man dann das Trägheitsmoment  des Drehtisches. Legt man nun einen beliebigen Körper auf den Drehtisch, so kann man sein Trägheitsmoment  bezüglich der Rotationsachse aus der gemessenen Schwingungsdauer

berechnen.

Moment (Integration) 
Momente sind in Naturwissenschaften und Technik Kenngrößen einer Verteilung, welche die Lage und Form dieser Verteilung beschreiben. Sie werden durch Integration über die mit einem potenzierten Abstand gewichtete Verteilung berechnet. In diesem Sinne ist das Massenträgheitsmoment mit dem Flächenträgheitsmoment verwandt.

Weblinks 

 Trägheitsmomente geometrischer Körper bei Matroids Matheplanet – Anleitungen zum Berechnen diverser Trägheitsmomente mit Beispielen.
 Online-Rechner für Trägheitsmomente

Einzelnachweise

Literatur 
 Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage 1994, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 2000, ISBN 3-86025-122-8.
 Ernst W. Otten: Repetitorium Experimentalphysik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1998, ISBN 3-540-62987-4.
 Torsten Fließbach: Mechanik. 3. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999, ISBN 3-8274-0546-7.
 Herbert Goldstein, Charles Poole, John Safko: Classical mechanics. International Edition, 3. Auflage, Pearson/Addison-Wesley, Upper Saddle River, N.J., 2002, ISBN 0-321-18897-7.
 Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. 5. neu bearbeitete und aktualisierte Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008, ISBN 978-3-540-79294-9.

Physikalische Größenart
Technische Dynamik
Wikipedia:Artikel mit Video