Wzór Taylora

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji -razy różniczkowalnej za pomocą sumy wielomianu -tego stopnia, zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory.

W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

Twierdzenie Taylora 
Niech  będzie funkcją na przedziale  o wartościach rzeczywistych (bądź ogólniej, o wartościach w przestrzeni unormowanej ) różniczkowalną -razy w sposób ciągły (na końcach przedziału zakłada się różniczkowalność z lewej, bądź odpowiednio, z prawej strony). Wówczas dla każdego punktu  z przedziału  spełniony jest wzór zwany wzorem Taylora:
 

gdzie  jest pochodną k-tego rzędu funkcji  obliczoną w punkcie  przy czym  spełnia warunek
 

Funkcja  nazywana jest resztą Peana we wzorze Taylora. W przypadku gdy  wzór Taylora nazywany jest wzorem Maclaurina.

Przybliżanie funkcji za pomocą wzoru Taylora ma charakter lokalny, tzn. odnosi się jedynie do otoczenia wybranego punktu  Jeżeli w zastosowaniach pojawia się potrzeba mówienia o innych wartościach, to zakłada się o nich najczęściej, że są dostatecznie bliskie punktu  Sensowne wydaje się jednak pytanie o to, kiedy wielomian ze wzoru Taylora przybliża funkcję ze z góry zadaną dokładnością – w tym celu potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie reszty lub po prostu wyrażenie jej w sposób jawny.

Reszty we wzorze Taylora wyrażone w sposób jawny 
W przypadku gdy  przyjmuje wartości rzeczywiste, resztę we wzorze Taylora można wyrazić w sposób jawny. Oto niektóre ze znanych przedstawień reszty:

Reszta w postaci całkowej

Reszta w postaci Lagrange’a 
Istnieje takie  że
 

Lub inaczej, istnieje takie  dla  lub  dla  że
 

Uwaga: W tym przypadku założenie  nie jest istotne.

Reszta w postaci Cauchy’ego 
Istnieje takie  że

Reszta w postaci Schlömilcha-Roche’a 
Dla każdego  istnieje takie  że
 

Dla  otrzymujemy postać Cauchy’ego reszty.
Dla  otrzymujemy postać Lagrange’a reszty.

Szacowanie reszty 
Jeżeli  jest -krotnie różniczkowalna oraz istnieje takie  że
  dla 

to dla reszty  we wzorze Taylora dla  mamy oszacowanie
  dla 

Przy czym za  wystarczy obrać supremum wartości jakie -wsza pochodna funkcji  przyjmuje dla argumentów z przedziału 

Jeżeli natomiast,  jest -krotnie różniczkowalna oraz  jest taką liczbą, że
  dla 

to dla reszty  we wzorze Taylora dla  mamy oszacowanie
  dla

Konsekwencje 
Z twierdzenia Taylora wynikają warunki wystarczające istnienia ekstremów lokalnych oraz punktów przegięcia. Kryteria te pozwalają znajdować punkty tego typu za pomocą pochodnych (różniczkowania) – istotne jest, czy wiodący człon rozwinięcia Taylora jest rzędu parzystego czy nieparzystego.

Szereg Taylora 
Jeśli funkcja  gdzie  oraz  tak jak poprzednio, jest przestrzenią unormowaną, ma w punkcie  pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg
 

gdzie przyjęto  Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji  Jeżeli  to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Samą funkcję  nazywa się funkcją analityczną w punkcie  jeśli dla pewnego otoczenia tego punktu powyższy szereg jest zbieżny punktowo do funkcji  (funkcja jest równa swojemu rozwinięciu Taylora). Jeśli jest ona analityczna w każdym punkcie dziedziny, to nazywa się ją po prostu analityczną lub gładką (zob. funkcja regularna). Pojęcie funkcji analitycznej określonej w dziedzinie zespolonej pokrywa się z pojęciem funkcji holomorficznej. W dziedzinie rzeczywistej tak nie jest, każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale nie na odwrót.

Przy założeniu istnienia pochodnych dowolnego rzędu funkcji  w punkcie  warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dla danego  szereg Taylora funkcji  był zbieżny do  jest, aby ciąg  reszt we wzorze Taylora był zbieżny do zera.

Szereg (wzór) Taylora jest efektywnym narzędziem aproksymacji funkcji dostatecznie dużo razy różniczkowalnych. Często do obliczenia przybliżonej wartości funkcji (o wartościach rzeczywistych), liczy się wartość dla -tej sumy częściowej jej szeregu Taylora. Tak więc przybliżoną wartość funkcji rzeczywistej  spełniającej powyższe założenia, można znaleźć, licząc kilka pierwszych wartości:
 

przy czym błąd jest wtedy nie większy niż:

Geneza i wyprowadzenie wzoru 
Celem jest znalezienie dla dowolnej funkcji  co najmniej  razy różniczkowalnej, niebędącej skończonym wielomianem, odpowiadającego jej wielomianu  stopnia  który jest równy funkcji  tzn. dziedziny obu funkcji są takie same i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości obu funkcji dla tego argumentu są również takie same:
 

Weźmy teraz pewien argument  należący do tej dziedziny, tzn.  Równanie  jest pierwszym warunkiem równości obu tych funkcji, ale niewystarczającym. Istnieje bowiem wiele (a dokładniej nieskończenie wiele) wielomianów stopnia  które dla tego argumentu spełniają powyższą równość. Ponieważ jest to równanie funkcyjne, gdyż niewiadomą jest tutaj funkcja, a nie wartość liczbowa, jako drugi warunek równości obu funkcji może być porównanie ich pochodnych w punkcie  czyli  Mając już 2 warunki równości obu funkcji, zawężamy zbiór dopuszczalnych rozwiązań, a więc wielomianów spełniających te równania, jednak nadal jest ich dużo (nieskończenie wiele), w związku z czym dodajemy trzecie równanie analogicznie, tym razem dla pochodnych tych funkcji stopnia 2, dalej dodajemy kolejne równanie – dla pochodnych stopnia 3 itd., zawężając za każdym nowym takim warunkiem coraz bardziej zbiór dopuszczalnych rozwiązań (cały czas jest ich jednak nieskończenie wiele). Na końcu dodajemy -szy warunek porównujący pochodne -tego stopnia naszych funkcji, co uznajemy za warunek wystarczający do wyznaczenia szukanego przez nas wielomianu. Należy jednak pamiętać, że jeśli  jest liczbą skończoną, tzn. zarówno ilość warunków, jak i współczynników naszego wielomianu  jest skończona, wówczas znaleziony wielomian nie będzie dokładnym rozwiązaniem, a jedynie przybliżonym w stopniu  W rezultacie otrzymujemy poniższy układ równań.
 

Powyższy układ równań należy rozumieć jako wielomian, dla którego w punkcie  równe są sobie wartości funkcji  z  ich pochodne, ich pochodne stopnia  Wielomian  oznaczmy jako  gdzie niewiadomymi są jego współczynniki  Wówczas powyższy układ równań staje się układem  równań z  niewiadomymi współczynnikami 
 

Układ ten można rozwiązać różnymi sposobami, np. za pomocą wyznaczników macierzy, stosując wzory Cramera, ale najprościej jest zastosować metodę eliminacji Gaussa, czyli podstawień elementarnych, poczynając od ostatniego -tego równania, który zawiera tylko jedną niewiadomą, i posuwając się po kolei aż do pierwszego równania, gdyż każde równanie zawiera wszystkie niewiadome obliczone we wcześniej obliczonych równaniach plus jedną nową niewiadomą, co znacznie ułatwia rozwiązanie całego układu. Po jego rozwiązaniu, patrząc na jego rozwiązania, nietrudno zauważyć, że każde takie rozwiązanie sprowadzić można do postaci:
 

Na koniec obliczamy wartość funkcji  a więc już dla dowolnego  należącego do dziedziny, czyli  w oparciu o wielomian  w którym za kolejne jego współczynniki  podstawiamy obliczone w powyższym układzie równań wyrażenia.
 

Po podstawieniu za wszystkie współczynniki  wyrażeń obliczonych we wcześniejszym układzie równań i uproszczeniu całego wyrażenia otrzymujemy wzór Taylora.
 

Pamiętajmy, że w celu otrzymania dokładnego wielomianu  musi dążyć do nieskończoności, czyli  tzn. zarówno ilość warunków w układzie równań, jak i współczynników naszego wielomianu  musi być nieskończona.

Rozwinięcia niektórych funkcji w szereg Maclaurina 
Wszystkie poniższe rozwinięcia są poprawne także po rozszerzeniu dziedziny funkcji na liczby zespolone – domyślnie  jest więc liczbą zespoloną, chyba że zaznaczono inaczej.

Pierwiastek kwadratowy

Funkcja wykładnicza i logarytm naturalny

Szereg geometryczny

Uogólniony dwumian Newtona 
 
 gdzie

Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne 

 

 

 
gdzie  oznaczają liczby Bernoulliego.

 
gdzie  oznaczają liczby Eulera.

Funkcje hiperboliczne i area hiperboliczne

Funkcja W Lamberta

Uogólnione twierdzenie Taylora 
Prawdziwe jest także następujące uogólnienie twierdzenie Taylora, zwane również twierdzeniem Taylora.

Niech szereg potęgowy  będzie zbieżny dla  i niech  oznacza sumę tego szeregu na przedziale  Jeżeli  to funkcję  można rozwinąć w punkcie  w szereg potęgowy, który jest zbieżny dla  przy czym

Przykłady obliczania

Przykład 1 
Znaleźć sumę częściową szeregu Maclaurina funkcji
 

będącą wielomianem stopnia 6.

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu i cosinusa
 
 

podstawiamy odpowiednio, upraszczamy, pomijając jednomiany stopnia wyższego od 6:

Przykład 2 
Znaleźć postać szeregu Maclaurina funkcji
 

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu funkcji wykładniczej i cosinusa
 
 

Planujemy postać szeregu Maclaurina:
 

Mnożymy wyrażenie przez 
 

Porządkujemy odpowiednie współczynniki:
 

Porównując współczynniki, dostajemy:

Przykład zastosowania 
Obliczyć w przybliżeniu 
  jest znany, podobnie jak wartości kolejnych pochodnych funkcji  w punkcie  tak więc:

 

 

 

Przy czym błąd jest nie większy niż:

Zobacz też 
 funkcja analityczna
 kiełek funkcji gładkiej – można utożsamić z rozwinięciami Taylora tej funkcji
 przybliżenie Padégo
 szereg Laurenta
 twierdzenie o przyrostach
 wzór Eulera-Maclaurina

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne 
  [dostęp 2022-06-20].
  Taylor formula , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].

Analiza matematyczna
Szeregi