Tangens und Kotangens

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels  wird mit  bezeichnet, der Kotangens des Winkels  mit . In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen  für den Tangens und  für den Kotangens.

Definition

Historisch/geometrisch 

Ersten Gebrauch der Tangensfunktion machte der persische Mathematiker Abu al-Wafa (940–998). Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte. Die Bezeichnung „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels.

Die Wahl des Namens Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:
 

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels  das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:
 

Daraus folgt unmittelbar:
  (siehe auch Sekans und Kosekans)

sowie

Analytische Definition 
Sinus und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden, weshalb für den Tangens und Kotangens das Gleiche gilt. Komplexe Argumente werden durch analytische Definition erlaubt. Dabei gilt eine Surjektivität von Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion. Daraus resultierend sind Tangens und Kotangens als komplexwertige Funktion ebenso surjektiv.

Beziehung zu Taylorreihen 
Tangens und Kotangens können als Quotienten von je zwei Taylorreihen dargestellt werden. Beruhend auf diesen Reihen lassen sich auch Arkustangens und Arkuskotangens als Quotienten von je zwei Taylorreihen darstellen (siehe Reihenentwicklung).

Beziehung zur Exponentialfunktion 
Tangens und Kotangens sind als Trigonometrische Funktionen eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie auch der Sinus, Kosinus, Sekans und Kosekans, wobei aus
 

für den Tangens mit  und Kotangens mit 
 

resultiert.

Formal – mit Definitions- und Wertebereich 
Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus- und Kosinusfunktionen durch
  mit 

definiert werden, wobei der Wertebereich  je nach Anwendung die reellen Zahlen  oder die komplexen Zahlen  sind. Um zu verhindern, dass der Nenner  Null wird, werden beim Definitionsbereich  die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:
 
im Reellen bzw.

 
im Komplexen.

Der Kotangens kann analog dazu durch
  mit 

definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich
 

im Reellen bzw.

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner  ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von  und 
 

gilt

Eigenschaften

Periodizität 
Der Tangens und der Kotangens sind periodische Funktionen mit der Periode , es gilt also .

Monotonie 
Der Tangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton steigend.
Der Kotangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton fallend.

Symmetrien 
Tangens und Kotangens sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

Nullstellen

Polstellen

Wendestellen 

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber weder Sprungstellen noch Extrema.

Differenzierbarkeit 
Tangens und Kotangens sind beliebig oft differenzierbar.

Wichtige Funktionswerte

Umkehrfunktionen 
Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man folgende Bijektionen:

 Tangens
 

Die Umkehrfunktion
 

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

 Kotangens
 

Die Umkehrfunktion
 

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Asymptoten 
Aus den einseitigen Grenzwerten
    und 

resp.
    und   

leiten sich die Grenzwerte
    und 

resp.
    und   

her. Somit kann man nach der Einschränkung auf die Intervalle    resp.    die Definitionsbereiche wenigstens um die Endpunkte  resp.  der Intervalle wieder erweitern und unter Anpassung der Wertebereiche die beiden Funktionen stetig fortsetzen zu
 

resp.
 

mit  als den erweiterten reellen Zahlen.

Die so erweiterten Funktionen sind ebenfalls stetig umkehrbar.

Reihenentwicklung

Summenreihen 
 Tangens
Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt  (Maclaurinsche Reihe) lautet für 
 

Dabei sind mit  die Bernoulli-Zahlen und mit  die Dirichletsche Lambda-Funktion bezeichnet.

Aus der Reihendarstellung folgt für :
  und
  ist streng monoton steigend mit .

Ersetzt man in der Reihendarstellung  durch , ergibt sich für :
  ist streng monoton fallend und .

 Kotangens
Die Laurent-Reihe lautet für 
 

Damit hat man für  im Konvergenzbereich  die Taylor-Reihe
 ,

wobei  die Langevin-Funktion bezeichnet. Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für 

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens stammt von Leonhard Euler (Introductio in Analysin Infinitorum, 1748, Paragraph 178) und wurde als eines seiner schönsten Resultate bezeichnet. Ein einfacher Beweis benutzt den Herglotz-Trick. Eine Folgerung aus der Formel ist die Ableitung der Werte der Riemannschen Zetafunktion an den geraden natürlichen Zahlen.

Zentralbinomialkoeffizient und Produktreihen 
Die Tangensfunktion lässt sich für alle komplexen Zahlen  durch den Zentralbinomialkoeffizienten  ausdrücken
 ,
und die Kotangensfunktion durch
 .

Der Zentralbinomialkoeffizient hat folgende gleichwertige Definitionen:
 .

Die Fakultätsfunktion (auch Gaußsche Pifunktion genannt) ist definiert durch die Produktreihe:
 
mit  als der Euler-Mascheroni-Konstanten.

Ableitung 
Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:
 
 

Die -ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrücken:

Stammfunktionen 
 Tangens
     mit      

Mithilfe der Logarithmengesetze lässt sich die Stammfunktion  wie folgt darstellen:
 

Dabei bezeichnet  den Sekans.

 Kotangens
     mit

Komplexes Argument 
    mit 
    mit

Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des (Ko-)Tangens 
Die Auflösung der bereits aus dem obigen Abschnitt Ableitung bekannten Identitäten
 
 

nach  bzw.  ergibt bei Beschränkung auf den ersten Quadranten zunächst einmal Einfaches:
 für 
 für 

Die etwas komplizierteren Erweiterungen auf ganz  lassen sich entweder kompakt als Grenzwert mit Hilfe der Floor-Funktion  oder elementarer mittels abschnittsweise definierter Funktionen darstellen:

Rationale Parametrisierung 
Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist , so ist
 

Insbesondere ist
 

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes  (der dem Parameter  entspricht). Einem Parameterwert  entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von  und  mit dem Einheitskreis (s. a. Einheitskreis#Rationale Parametrisierung).

Additionstheoreme 
Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten:
 

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel:

Tangenssummen und Tangensdifferenzen

Definitionen der Tangensoperatoren 
Zum Zwecke der vereinfachten Schreibweise und für eine vielseitige Anwendung wurden die Tangenssumme und die Tangensdifferenz eingeführt:
 
 
Hierbei stehen die einzelnen Buchstaben für die Tangenswerte.

Mit der Verkettung der Theoreme kann diese Fortsetzung für drei Tangenssummanden durchgeführt werden:
 
Und für vier Tangenssummanden sieht die Tangenssumme so aus:
 
Über diese Muster kann ebenso erklärt werden, warum die Vervielfachungstheoreme des Tangens die Binomialkoeffizienten in den Zählern und Nennern der Bruchausdrücke enthalten:
 {| class = "wikitable"
|

|}
Ein paar sehr bekannte Rechenbeispiele sollen für die Tangensaddition und die Tangenssubtraktion angeführt werden:

Tangentielle Gegenstücke mit einander tangensaddiert ergeben Eins:
 
 
 
Tangentielle Gegenstücke haben die Eigenschaft, dass ihre Nachfolger miteinander multipliziert stets den Wert Zwei ergeben!

Kehrwerte von zueinander benachbarten Fibonacci-Zahlen stehen über Tangensdifferenzen miteinander in Beziehung: 

 {| class = "wikitable" 
|
|
|
|}

Auch sehr bekannt ist die folgende Formel, mit welcher eine sehr scharf konvergierende Reihe für die Kreiszahl erstellt werden kann:

Anwendung bei elliptischen Funktionen 
Sehr viele Zusammenhänge bei elliptischen Funktionen können stark vereinfacht über die Tangenssumme und die Tangensdifferenz dargestellt werden. Im Folgenden sollen ein paar Beispiele für diese vereinfachten Darstellungen exemplarisch beschrieben beziehungsweise genannt werden:

Theoreme der Lemniskatischen Funktionen sl und cl sind Tangensbilanzen aus Produkten von jeweils zwei dieser lemniskatischen Funktionen:

 {| class = "wikitable"
| 
| 
|-
| 
| 
|}

Bezüglich der Elliptisch numerischen Exzentrizität k verallgemeinert gelten für die Jacobische elliptische Funktion sc diese Darstellung des Additionstheorems mittels Tangenssumme beziehungsweise Tangensdifferenz und mit Hilfe des Delta Amiplitudinis:

Diese Identitäten zwischen den Jacobischen Thetafunktionen und den Rogers-Ramanujan-Kettenbrüchen R und S dargestellt über Tangensbilanzen sind für alle Elliptischen Nomina mit dem Kriterium  gültig:

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel 

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion
 

besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels  zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung  der Geraden, d. h. . Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Steigungswinkels. Das Beispiel im Bild rechts zeigt eine Steigung von 10 % entsprechend einem Steigungswinkel von etwa 5,7° mit dem Tangens von 0,1.

Anwendung in der Physik 
Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand der Luft eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form  mit der Schwerebeschleunigung  und einer Konstanten . Dann ergibt sich:
 ,

wobei  die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:
 

Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn  ist, das heißt für ), daran anschließend muss man den Tangens hyperbolicus verwenden, um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben.

Differentialgleichung 
Der Tangens ist eine Lösung der Riccati-Gleichung
.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

mit der imaginären Einheit . Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte , : Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen  und  Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.

Siehe auch 
 Sinus und Kosinus
 Sekans und Kosekans
 Formelsammlung Trigonometrie

Weblinks

Einzelnachweise 

Trigonometrische Funktion