Prędkość

Prędkość – wielkość fizyczna opisująca szybkość zmiany położenia ciała względem układu odniesienia. Prędkość jest podstawową koncepcją kinematyki, gałęzi mechaniki klasycznej opisującej ruch ciał.

Prędkość może określać:
 wektorową wielkość fizyczną wyrażająca zmianę wektora położenia w jednostce czasu,
 skalarną wielkość oznaczającą przebytą drogę w jednostce czasu zwaną szybkością.

Jednostką prędkości w układzie SI jest metr na sekundę (m/s).

Definicje prędkości

Prędkość w ruchu prostoliniowym 
Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako pochodną przesunięcia po czasie, czyli granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla nieskończenie małego przyrostu czasu:
 

Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej dla dłuższego odcinka.

Prędkość wektorowa 

Prędkość wektorowa średnia określana jest jako iloraz zmiany wektora położenia do czasu, w jakim ta zmiana nastąpiła, co można określić wzorem:
 
 

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:
 

Gdy odstęp czasu, w którym wyznacza się prędkość średnią, zmniejsza się, iloraz wektora zmiany położenia do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, dąży do pewnego wektora granicznego zwanego prędkością ciała w danym punkcie lub prędkością chwilową. Definicję tę można wyrazić wzorem:
 

Prędkość jest pochodną wektora położenia względem czasu i jest wielkością wektorową, może być rozłożona na składowe, mające kierunek osi współrzędnych, podobnie wektor elementarnej zmiany położenia może być rozłożony na współrzędne
 

Wektor prędkości chwilowej jest równoległy do wektora zmiany położenia, przez co wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru ruchu ciała.

Prędkość jako wielkość niewektorowa 
W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych
 

Przy czym droga  jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu. Jeżeli prędkość zmienia się, to droga jest równa sumie małych odcinków drogi, na których uznaje się, że prędkość jest stała i jest określana jako prędkość chwilowa:
 

Droga przebyta w niewielkim odcinku czasu, w którym prędkość nie zmienia się, jest proporcjonalna do prędkości i czasu. Droga przebyta gdy zmienia się prędkość może być obliczona jako suma, a w granicy jako całka, dróg na odcinkach, na których prędkość nie zmienia się:
 

Stąd też prędkość średnia:
 

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej
 

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy tor jest prostoliniowy

Prędkość w różnych układach współrzędnych

Układ współrzędnych kartezjańskich 
W układzie współrzędnych kartezjańskich trzy składowe prędkości (w przestrzeni) albo dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi:
 

Prędkość można zapisać jako współrzędne wektora
 

lub z użyciem wersorów osi
 

Wartość prędkości dana jest wzorem:

Układ współrzędnych biegunowych 
Układ współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie są dwie współrzędne, promień wodzący  i amplituda punktu  będąca kątem między wybranym kierunkiem a danym.

W układzie tym prędkość można określić poprzez transformację do kartezjańskiego układu współrzędnych o początku będącym początkiem układu biegunowego i zorientowanego względem zerowej amplitudy albo przez wyznaczenie kartezjańskiego układu współrzędnych o kierunku zgodnym z promieniem wodzącym. Transformacje określają wzory:
 prędkość radialna – prędkość zmiany długości promienia wodzącego
 
 prędkość transwersalna – prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego
 
Co można wyrazić przez prędkość kątową
 
 

gdzie  jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita:
 

Wartość prędkości całkowitej:

Układ współrzędnych walcowych 
Układ współrzędnych walcowych, jest uogólnieniem układu biegunowego na przestrzeń trójwymiarową poprzez dodanie do współrzędnych biegunowych współrzędnej w kierunku osi z. Współrzędna z jest liniowa, odpowiadająca jej składowa prędkości jest równa:
 

Transformacja do kartezjańskich współrzędnych prędkości określa wzór:
 

Wartość prędkości:

Układ współrzędnych sferycznych 
W układzie współrzędnych sferycznych położenie w przestrzeni opisane jest przez współrzędne: promień wodzący, długość azymutalna i odległość zenitalna  Wprowadzając układ kartezjański o kierunkach osi zgodnych ze zmianami współrzędnych sferycznych, transformacja współrzędnych prędkości wyraża się wzorami:
 
 
 

gdzie:
  jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku, np. od osi (OZ),
  jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (OZ). Tym kierunkiem może być oś OX.

Współrzędne prędkości w wyżej opisanym kartezjańskim układzie współrzędnych:
 

Moduł (wartość) prędkości:

Dowolne współrzędne krzywoliniowe 
Z definicji prędkość  jest równa pochodnej promienia wodzącego  względem czasu:  Aby wyrazić prędkość we współrzędnych krzywoliniowych, obliczamy tę pochodną według reguły różniczkowania funkcji złożonej, mając na uwadze, że promień wodzący  poruszającego się punktu można uważać za funkcję współrzędnych krzywoliniowych  tego punktu, które z kolei są pewnymi funkcjami czasu t:

Stąd

oraz

gdzie wskaźniki  i  przebiegają niezależnie od siebie wszystkie wartości od 1 do 3. W przypadku układu ortogonalnego jest
  dla 

i dzięki temu

Jeżeli promień wodzący  przedstawiony jest jako funkcja zmiennych  to wzory na prędkość  przybiorą postać

Definicja wersorów:  osi  wzorem

Prędkość można teraz zapisać w postaci

w której  jest składową prędkości  wzdłuż osi 

Prostopadły rzut prędkości  na oś  jest równy

Ze wzoru (3) wynika równość
 

skąd wynika, że
 

Rzut prostopadły prędkości określa wzór

Związek z przyspieszeniem 

Szybkość zmiany prędkości to przyspieszenie:
 

Z zależności tej wynika wyrażenie na prędkość w zależności od przyspieszenia:
 

W ruchu prostoliniowym:
 

Na wykresie zależności prędkości od czasu chwilowe przyspieszenie ciała w danym momencie jest równe nachyleniu linii stycznej do krzywej w tym punkcie.

Prędkość kątowa 

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa
 

gdzie  jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując  jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej
 

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchów 
Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowym 
Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna  Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty układu współrzędnych, sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:
 

 

gdzie:
  – wektor położenia jako funkcja czasu 
  – przebyta droga,
  – czas trwania ruchu,
  – funkcja położenia (skalar) od czasu.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonym 
Przyspieszenie  jest stałe i niezerowe, więc prędkość  zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.
 

 

gdzie:
  – całkowity czas ruchu,
  – wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasem (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego – ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia  jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości

Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa) 
W tym ruchu wektor prędkości kątowej  jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:
 

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem
 

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

Zobacz też 
 prędkość
prędkość dźwięku
prędkość kosmiczna
prędkość maksymalna
prędkość światła
prędkość ucieczki
 przyspieszenie

Przypisy

Bibliografia