Otoczenie (matematyka)

Otoczenie punktu – dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Definicja otoczenia punktu 

Niech  będzie elementem przestrzeni topologicznej  Zbiór  jest otoczeniem punktu  gdy istnieje zbiór otwarty  dla którego
 

Innymi słowy, zbiór  jest otoczeniem punktu  jeśli  gdzie  oznacza wnętrze zbioru .

Uwaga 1: Otoczenie punktu nie musi być zbiorem otwartym – wystarczy, że zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym itd. Otoczenia takie nazywamy odpowiednio otoczeniem otwartym, domkniętym, zwartym itp.

Uwaga 2: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy z nich za otoczenia punktu przyjmują wyłącznie zbiory otwarte zawierające dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenia takie nazywamy otoczeniami otwartymi.

Definicja otoczenia zbioru 
Niech  jest podzbiorem  Otoczeniem zbioru  jest zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera  W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru

Inaczej mówiąc suma otoczeń wszystkich punktów zbioru jest jego otoczeniem.

Otoczenia w przestrzeniach metrycznych 
W przestrzeni metrycznej  z metryką  otoczenie punktu można określić za pomocą kul otwartych.

Definicja otoczenia punktu 
 jest otoczeniem punktu  jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie  i promieniu  tj.
 

która jest zawarta w zbiorze

Definicja otoczenia jednostajnego zbioru 

Otoczeniem jednostajnym zbioru  w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór  o tej własności, że istnieje taka liczba  że dla każdego  kula otwarta o środku w punkcie  i promieniu  tj.
 

jest zawarta w zbiorze 

Innymi słowy, zbiór  jest sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru

System otoczeń a topologia 
Jeżeli dla każdego punktu  zbioru  dana jest pewna rodzina  podzbiorów  zbioru  spełniająca warunki:
 dla każdego  mamy, że 
 dla dowolnego  istnieje takie  że  dla wszelkich 
to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze  zbiór otwarty definiuje się jako zbiór, który wraz z każdym swoim punktem  zawiera również pewien zbiór z rodziny

Otoczenie jako pojęcie pierwotne aksjomatyki 
Pierwsza aksjomatyka przestrzeni topologicznej, podana przez Hausdorffa, była oparta na pojęciu otoczenia.

Definicja. Przestrzenią topologiczną nazywamy parę  złożoną ze zbioru  oraz rodziny
 

zbiorów  których elementami są podzbiory (zwane otoczeniami elementu ) zbioru  spełniające następujące aksjomaty:
 Każde otoczenie  zawiera  oraz zbiór  jest otoczeniem każdego swojego punktu.
 Każdy zbiór zawierający jakieś otoczenie  jest także otoczeniem 
 Przecięcie dowolnej pary otoczeń  jest także otoczeniem 
 W każdym otoczeniu  zawarte jest takie otoczenie  które jest zarazem otoczeniem każdego swojego punktu.

Otoczenie a sąsiedztwo 
W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem jeżeli  jest otoczeniem punktu  to zbiór
 

jest sąsiedztwem punktu

Przykłady otoczeń otwartych 
 Na prostej rzeczywistej  z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu  jest np. dowolny przedział otwarty  zawierający ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), tj.  Sąsiedztwem punktu  jest ten przedział bez punktu  tj. 

 Na płaszczyźnie euklidesowej  otoczeniem otwartym punktu  jest np. dowolne koło bez brzegu zawierające ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku koła), zaś jego sąsiedztwem jest to koło bez tego punktu.
 W przestrzeni euklidesowej  otoczeniem otwartym punktu  jest np. dowolna kula bez brzegu zawierająca ten punkt (niekoniecznie umieszczony w środku kuli), zaś jego sąsiedztwem jest kula bez tego punktu.

Przypisy 

Relacje topologiczne
Geometria