Open verzameling

In de metrische topologie en aanverwante gebieden van de wiskunde wordt een verzameling, , open genoemd, indien, intuïtief gesproken, vanaf elk punt  in  men een infinitesimaal kleine beweging in elke richting kan maken en in alle gevallen nog steeds deel uitmaakt van de verzameling . Met andere woorden, de afstand tussen elk punt  in  en de rand van  is altijd groter dan nul. 

Men kan dit illustreren aan de hand van het plaatje hiernaast. Intuïtief is het rode gebied zonder rand een open verzameling: rond elk punt  kan men een omgeving (gebiedje),  construeren dat helemaal om  heen ligt, maar toch in zijn geheel ook deel uitmaakt van . Een verzameling, waarvan het complement open is, heet gesloten. In ons voorbeeld is de blauwe cirkel een gesloten verzameling.

Zie het artikel over topologische ruimten voor de precieze eigenschappen, waaraan de topologie (de collectie open verzamelingen van een topologische ruimte) moet voldoen. De bekendste voorbeelden van open verzamelingen zijn de open bollen in een metrische ruimte  met metriek . Dit zijn verzamelingen van de vorm 

 
voor gegeven  en  een reëel getal groter dan 0.

Beschouw als een verder voorbeeld, het open interval, , bestaande uit alle reële getallen  met . De topologie is hier de topologie van de Euclidische ruimte op de reële getallenlijn. We kunnen dit op twee manieren bekijken. Aangezien elk punt in het interval verschilt van 0 en 1, is de afstand vanaf dat punt tot de rand altijd niet-nul. Of equivalent uitgedrukt, voor elk punt binnen het interval kunnen wij een infinitesimaal klein stukje in enige richting bewegen zonder de rand te raken, terwijl we nog steeds nog binnen het interval blijven. Het interval , bestaande uit alle getallen  met , is niet open in de topologie van de reële getallenlijn; als men start in  leidt zelfs een infinitesimale beweging in de positieve richting ertoe, dat men buiten het interval  zit.

Definities 
Er zijn verschillende definities voor een open verzameling.

Analytisch 
Een verzameling in  wordt open genoemd, als ieder punt  van de verzameling een inwendig punt is.

Euclidisch 
Een deelverzameling  van de euclidische -ruimte  wordt open genoemd als, gegeven enig punt , er een reëel getal  bestaat, zodanig dat, ieder punt  waarvan de euclidische afstand tot  kleiner is dan , ook tot  behoort.  wordt op dezelfde manier open genoemd als ieder punt in  een omgeving heeft die deel van  uitmaakt.

Metrisch 
Een deelverzameling  van de metrische ruimte wordt open genoemd als, gegeven enig punt , er een reëel getal  bestaat, zodanig dat, elk punt  met , ook tot  behoort.  is op dezelfde manier open als ieder punt in  een omgeving heeft die deel van  uitmaakt.

De euclidische en de metrische definitie van een open verzameling verschillen er dus alleen in, dat in de metrische definitie de afstandsfunctie nog niet is bepaald en dat in de euclidische definitie daar de euclidische norm voor is gekozen.

Topologisch 
In topologische ruimten wordt openheid als een fundamenteel begrip gezien. Uitgaand van een willekeurige verzameling  en een familie  van deelverzamelingen van  die bepaalde eigenschappen heeft, waaraan elke "redelijke" notie van openheid geacht wordt te voldoen, wordt  van deelverzamelingen een topologie op  genoemd. De leden van de familie worden de open verzamelingen van de topologische ruimte  genoemd. Merk op dat de doorsnede van open oneindige verzamelingen zelf niet open hoeft te zijn. De doorsnede van alle intervallen van de vorm  waar  een positief geheel getal is, is de verzameling  die op de reële getallenlijn gesloten is. Verzamelingen die kunnen worden geconstrueerd als aftelbaar veel open verzamelingen worden aangeduid als -verzamelingen. 

De topologische definitie van een open verzameling is algemener dan de definitie van een metrische ruimte: als men met een metrische ruimte begint en een open verzameling zoals aangegeven definieert, dan is de familie van alle open verzamelingen een topologie op de metrische ruimte. Iedere metrische ruimte is dan ook een topologische ruimte. Er zijn daarentegen topologische ruimten die geen metrische ruimte zijn.

Eigenschappen 
 De lege verzameling is zowel open als gesloten. 
 De vereniging van een willekeurig aantal open verzamelingen is open. 
 De doorsnede van een eindig aantal open verzamelingen is open.

Gebruik 
Open verzamelingen zijn van fundamenteel belang in de topologie. Het concept is vereist om topologische ruimten en andere topologische structuren, die te maken hebben met de begrippen van nabijheid en convergentie voor een ruimte, zoals metrische-n en uniforme ruimten zowel te definiëren als ook een zinvolle betekenis te geven. 

Elke deelverzameling  van een topologische ruimte  bevat een (mogelijk lege) open verzameling, de grootste van deze open verzamelingen wordt het inwendige van  genoemd. Zij kan worden geconstrueerd door de vereniging van alle open verzamelingen die opgesloten zijn in . 

Gegeven de topologische ruimten  en , is een functie  van  naar  continu als het inverse beeld van elke open verzameling in  ook open is in . 
De afbeelding  wordt open genoemd als de afbeelding van elke open verzameling in  open is in . 

Een open verzameling op de reële getallenlijn heeft de kenmerkende eigenschap dat het een aftelbare vereniging van disjuncte open intervallen is.

Opmerking 
Merk op dat of een bepaalde verzameling  open is afhangt van de omringende ruimte. Als  bijvoorbeeld wordt gedefinieerd als de verzameling van de rationale getallen in het interval , dan is  open voor de rationale getallen, maar niet open in de reële getallen. Dit komt doordat wanneer  in de rationale getallen is er geen irrationale getallen zijn die met de kleinst mogelijke verplaatsing kunnen worden verplaatst van het ene rationale getal naar het andere. Bovendien hoe dicht een element van  ook bij 0 of 1 is, er is altijd een ander rationaal getal dat dichter bij 0 of 1 is, dus voor elk element van  is er altijd wel een manier om een klein genoege verplaatsing te maken die je dichter bij 0 of 1 brengt terwijl men toch binnen  blijft. Maar wanneer deze verzameling in de reële getallen is, zijn er irrationale getallen tussen alle rationale getallen, en is het mogelijk zich te verplaatsen van een element van  naar een irrationaal getal (dat geen deel uitmaakt en dus geen element van  is). Dus voor enige verplaatsing van een beginelement van  naar een zekere eindelement, is er altijd een kleinere afstand vanaf het beginelement naar een irrationaal getal dat buiten  ligt. (Zelfs als dit irrationale getal tussen 0 en 1 ligt, maakt het geen deel uit van , omdat  alleen de rationale getallen bevat.)

Sommige verzamelingen zijn zowel open als gesloten. Zij worden wel clopen verzamelingen genoemd. In  en andere samenhangende ruimten zijn alleen de lege verzameling en de gehele ruimte clopen, terwijl bijvoorbeeld de verzameling van alle rationale getallen kleiner dan √2 clopen is in de rationale getallen. Andere verzamelingen zijn noch open noch gesloten, zoals het halfopen interval  in . In feite is de verzameling  de vereniging van de verzamelingen  (een open verzameling) en  (een gesloten verzameling). Een belangrijk punt is dat een open verzameling niet het tegenovergestelde is van een "gesloten verzameling"; een gesloten verzameling is gedefinieerd als het complement van een open verzameling.

topologie