Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz (), auf Deutsch Vertauschungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Wenn sie gilt, können die Argumente einer Operation vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis verändert. Mathematische Operationen, die dem Kommutativgesetz unterliegen, nennt man kommutativ.

Das Kommutativgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz grundlegende Regeln der Algebra.

Formale Definition 
Es seien  und  Mengen. Eine binäre Verknüpfung  heißt kommutativ, wenn für alle  die Gleichheit  gilt.

Beispiele und Gegenbeispiele

Reelle Zahlen 

Für reelle Zahlen  gilt stets

und
,
die Operationen Addition und Multiplikation sind also kommutativ. Die erste Formel wird auch Kommutativgesetz der Addition, die zweite Kommutativgesetz der Multiplikation genannt. Die Subtraktion und die Division reeller Zahlen sind dagegen keine kommutativen Operationen. Auch die Potenzierung ist nicht kommutativ ( ist ein Gegenbeispiel).

Die älteste überlieferte Form des Kommutativgesetzes der Addition ist die sumerische Fabel vom klugen Wolf und den neun dummen Wölfen.

Skalarprodukte 
 Das Skalarprodukt in einem reellen Vektorraum ist kommutativ, es gilt also stets .
 Das Skalarprodukt in einem komplexen Vektorraum ist dagegen nicht kommutativ, es gilt vielmehr , wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bezeichnet.

Mengenoperation 
In der Mengenlehre sind die Vereinigung und der Schnitt kommutative Operationen; für Mengen  gilt also stets:
 (Vereinigung)
 (Schnitt)
Dagegen ist die Differenz nicht kommutativ.  und  sind also manchmal verschiedene Mengen, z. B. für  und , denn dann wäre  und .

Matrizenrechnung 
Die Addition von Matrizen über einem Ring oder Körper ist kommutativ. Die Matrizenmultiplikation ist dagegen nicht kommutativ: Die Faktoren sind zwar manchmal, aber nicht immer vertauschbar.

Ebenfalls kommutativ sind die Multiplikation von Matrizen mit Skalaren und die Matrizenmultiplikation im Unterring der Diagonalmatrizen.

Gruppentheorie 
Allgemein nennt man eine Gruppe, bei der die Verknüpfung von Gruppenelementen kommutativ ist, abelsch.

Aussagenlogik 

In der Aussagenlogik gilt für die Junktoren:
 („oder“) ist kommutativ.
 („und“) ist kommutativ.
 („logische Äquivalenz“) ist kommutativ.
 („wenn …, dann …“; siehe Implikation) ist nicht kommutativ.

Weitere Beispiele 
Weitere Beispiele für nichtkommutative Operationen sind das Kreuzprodukt in Vektorräumen oder die Multiplikation von Quaternionen.

Kommutativität ist außerdem eine wichtige Grundeigenschaft in der Quantenmechanik, das Kommutieren zweier Observablen bedeutet physikalisch deren gleichzeitige genaue Messbarkeit. Nicht alle Observablen kommutieren.

Antikommutativität 

In einigen Strukturen mit zwei Operationen, beispielsweise beim Kreuzprodukt  in Vektorräumen, gilt nicht das Kommutativgesetz, sondern stattdessen eine Art Gegensatz davon:
 .
Allgemeiner erfüllt das Produkt auf einer Lie-Algebra, das als  geschrieben wird, die Antikommutativität.

Anmerkungen 
 Symmetrische Relation
Die Kommutativität, die das Vertauschen von Argumenten bei einer Operation erlaubt, weist Ähnlichkeit mit der Symmetrie-Eigenschaft von Relationen auf, die das Vertauschen der verglichenen Elemente bzgl. der Relation erlaubt:  genau dann, wenn .

 Flexibilitätsgesetz
Eine alternative Möglichkeit des „Um-Klammerns“ bietet das Flexibilitätsgesetz für eine Verknüpfung :

Siehe auch 
 Symmetrische Funktion
 Kommutatives Diagramm

Literatur 
 

Algebra
Arithmetik
Mathematischer Grundbegriff