Lineare Abbildung

Eine lineare Abbildung (auch lineare Transformation oder Vektorraumhomomorphismus genannt) ist in der linearen Algebra ein wichtiger Typ von Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper. Bei einer linearen Abbildung ist es unerheblich, ob man zwei Vektoren zuerst addiert und dann deren Summe abbildet oder zuerst die Vektoren abbildet und dann die Summe der Bilder bildet. Gleiches gilt für die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundkörper.

Das abgebildete Beispiel einer Spiegelung an der Y-Achse verdeutlicht dies. Der Vektor  ist die Summe der Vektoren  und  und sein Bild ist der Vektor . Man erhält  aber auch, wenn man die Bilder  und  der Vektoren  und  addiert.

Man sagt dann, dass eine lineare Abbildung mit den Verknüpfungen Vektoraddition und skalarer Multiplikation verträglich ist. Es handelt sich somit bei der linearen Abbildung um einen Homomorphismus (strukturerhaltende Abbildung) zwischen Vektorräumen.

In der Funktionalanalysis, bei der Betrachtung unendlichdimensionaler Vektorräume, die eine Topologie tragen, spricht man meist von linearen Operatoren statt von linearen Abbildungen. Formal gesehen sind die Begriffe gleichbedeutend. Bei unendlichdimensionalen Vektorräumen ist jedoch die Frage der Stetigkeit bedeutsam, während Stetigkeit immer vorliegt bei linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen (jeweils mit der euklidischen Norm) oder allgemeiner zwischen endlichdimensionalen hausdorffschen topologischen Vektorräumen.

Definition 
Seien  und  Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper .
Eine Abbildung  heißt lineare Abbildung, wenn für alle  und  die folgenden Bedingungen gelten:
  ist homogen:
 
  ist additiv:
 

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:

Für  geht diese in die Bedingung für die Homogenität und für  in diejenige für die Additivität über. Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung  ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume  und  ist.

Erklärung 
Eine Abbildung ist linear, wenn sie verträglich mit der Vektorraumstruktur ist. Sprich: Lineare Abbildungen vertragen sich sowohl mit der zugrundeliegenden Addition als auch mit der skalaren Multiplikation des Definitions- und Wertebereichs. Die Verträglichkeit mit der Addition bedeutet, dass die lineare Abbildung  Summen erhält. Wenn wir im Definitionsbereich eine Summe  mit  haben, so gilt  und damit bleibt diese Summe nach der Abbildung im Wertebereich erhalten:

Diese Implikation kann verkürzt werden, indem die Prämisse  in  eingesetzt wird. So erhält man die Forderung . Analog kann die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beschrieben werden. Diese ist erfüllt, wenn aus dem Zusammenhang  mit dem Skalar  und  im Definitionsbereich folgt, dass auch  im Wertebereich gilt:

Nach Einsetzen der Prämisse  in die Konklusion  erhält man die Forderung .

Beispiele 
Für  hat jede lineare Abbildung die Gestalt  mit .
Es sei  und . Dann wird für jede -Matrix  mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung  durch

definiert. Jede lineare Abbildung von  nach  kann so dargestellt werden.
Ist  ein offenes Intervall,  der -Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf   und  der -Vektorraum der stetigen Funktionen auf , so ist die Abbildung , ,die jeder Funktion  ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere lineare Differentialoperatoren.

Bild und Kern 
Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung .

 Das Bild  der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter , also die Menge aller  mit  aus . Die Bildmenge wird daher auch durch  notiert. Das Bild ist ein Untervektorraum von .

 Der Kern  der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus , die durch  auf den Nullvektor von  abgebildet werden. Er ist ein Untervektorraum von . Die Abbildung  ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.

Eigenschaften 
 Eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen  und  bildet den Nullvektor von  auf den Nullvektor von  ab:, denn 
 Eine Beziehung zwischen Kern und Bild einer linearen Abbildung  beschreibt der Homomorphiesatz: Der Faktorraum  ist isomorph zum Bild .

Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen

Basis 

Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist durch die Bilder der Vektoren einer Basis eindeutig bestimmt. Bilden die Vektoren  eine Basis des Vektorraums  und sind  Vektoren in , so gibt es genau eine lineare Abbildung , die  auf ,  auf , …,  auf  abbildet. Ist  ein beliebiger Vektor aus , so lässt er sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:

Hierbei sind  die Koordinaten des Vektors  bezüglich der Basis . Sein Bild  ist gegeben durch

Die Abbildung  ist genau dann injektiv, wenn die Bildvektoren  der Basis linear unabhängig sind.
Sie ist genau dann surjektiv, wenn  den Zielraum  aufspannen.

Ordnet man jedem Element  einer Basis von  einen Vektor  aus  beliebig zu, so kann man mit obiger Formel diese Zuordnung eindeutig zu einer linearen Abbildung  fortsetzen.

Stellt man die Bildvektoren  bezüglich einer Basis von  dar, so führt dies zur Matrixdarstellung der linearen Abbildung.

Abbildungsmatrix 

Sind  und  endlichdimensional, , , und sind Basen  von  und  von  gegeben, so kann jede lineare Abbildung  durch eine -Matrix  dargestellt werden.
Diese erhält man wie folgt:
Für jeden Basisvektor  aus  lässt sich der Bildvektor  als Linearkombination der Basisvektoren  darstellen:
 
Die , ,  bilden die Einträge der Matrix :
 
In der -ten Spalte stehen also die Koordinaten von  bezüglich der Basis .

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor  jedes Vektors 
 berechnen:

Für die Koordinaten  von  bezüglich  gilt also
.

Dies kann man mit Hilfe der Matrizenmultiplikation ausdrücken:

Die Matrix  heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von . Andere Schreibweisen für  sind  und  .

Dimensionsformel 

Bild und Kern stehen über den Dimensionssatz in Beziehung. Dieser sagt aus, dass die Dimension von  gleich der Summe der Dimensionen des Bildes und des Kerns ist:

Lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen 

Insbesondere in der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen. In diesem Kontext nennt man die linearen Abbildungen meist lineare Operatoren. Die betrachteten Vektorräume tragen meist noch die zusätzliche Struktur eines normierten vollständigen Vektorraums. Solche Vektorräume heißen Banachräume. Im Gegensatz zum endlichdimensionalen Fall reicht es nicht, lineare Operatoren nur auf einer Basis zu untersuchen. Nach dem baireschen Kategoriensatz hat nämlich eine Basis eines unendlichdimensionalen Banachraums überabzählbar viele Elemente und die Existenz einer solchen Basis lässt sich nicht konstruktiv begründen, das heißt nur unter Verwendung des Auswahlaxioms. Man verwendet daher einen anderen Basisbegriff, etwa Orthonormalbasen oder allgemeiner Schauderbasen. Damit können gewisse Operatoren wie zum Beispiel Hilbert-Schmidt-Operatoren mithilfe „unendlich großer Matrizen“ dargestellt werden, wobei dann auch unendliche Linearkombinationen zugelassen werden müssen.

Besondere lineare Abbildungen 
Monomorphismus Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung , die injektiv ist.  Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.
Epimorphismus Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung , die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von  ist.
Isomorphismus Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung , die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume  und  bezeichnet man dann als isomorph.
Endomorphismus Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume  und  gleich sind: . Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.
Automorphismus Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume  und  gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

Vektorraum der linearen Abbildungen 

Die Menge der linearen Abbildungen von einem -Vektorraum  in einen -Vektorraum  -manchmal auch als  geschrieben- ist ein Vektorraum über , genauer: ein Untervektorraum des -Vektorraums aller Abbildungen von  nach .
Das bedeutet, dass die Summe zweier linearer Abbildungen  und , komponentenweise definiert durch
 
wieder eine lineare Abbildung ist und dass
das Produkt
 
einer linearen Abbildung mit einem Skalar  auch wieder eine lineare Abbildung ist.

Hat  die Dimension  und  die Dimension , und sind in  eine Basis  und in  eine Basis  gegeben, so ist die Abbildung

in den Matrizenraum  ein Isomorphismus. Der Vektorraum  hat also die Dimension .

Betrachtet man die Menge der linearen Selbstabbildungen eines Vektorraums, also den Spezialfall , so bilden diese nicht nur einen Vektorraum, sondern mit der Verkettung von Abbildungen als Multiplikation eine assoziative Algebra, die kurz mit  bezeichnet wird.

Verallgemeinerung 
Eine lineare Abbildung ist ein Spezialfall einer affinen Abbildung.

Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen den Körper durch einen Ring, erhält man einen Modulhomomorphismus.

Literatur 
 Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 6., durchgesehene und ergänzte Auflage. Vieweg Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-56508-X, S. 124–143.
 Günter Gramlich: Lineare Algebra. Eine Einführung für Ingenieure. Fachbuchverlag Leipzig im Carl-Hanser-Verlag, München 2003, ISBN 3-446-22122-0.
 Detlef Wille: Repetitorium der Linearen Algebra. Band 1. 4. Auflage, Nachdruck. Binomi, Springe 2003, ISBN 3-923923-40-6.

Weblinks 

 
Lineare Algebra