Insieme

In matematica, una collezione di elementi rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque elemento fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.
Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati.

Generalità 
Il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo: primitivo perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; intuitivo perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'esperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana.

Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto  un elemento dell'insieme , si dice che  appartiene ad  o in simboli . Un insieme  è sottoinsieme di un altro insieme  quando tutti gli elementi di  appartengono anche a .

Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:

 Un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di mezzo (come accade invece per gli insiemi sfocati);
 Un elemento non può comparire più di una volta in un insieme (mentre può comparire più volte in un multiinsieme);
 Gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione (come invece accade alle componenti di un vettore o di una ennupla);
 Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.

Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn.

Descrizioni di insiemi 
Solitamente un insieme viene indicato con le lettere maiuscole dell'alfabeto: , , , ,  ... e si chiede che sia univocamente determinato: se ad esempio diciamo che  è linsieme degli  tali che  è un mammifero marino, allora supponiamo che si sappia sempre decidere se un qualsiasi animale possibile ed immaginabile abbia o meno le caratteristiche necessarie per rientrare in . Se un oggetto  appartiene ad un insieme  viene detto elemento di  e la relazione si denota nella forma . Viceversa, la relazione di non appartenenza a un insieme si denota nella forma .

Un insieme può essere definito nei seguenti modi:

 Per elencazione o in estensione: sono elencati gli elementi, in tal caso per convenzione si scrivono gli elementi tra parentesi graffe separati da virgole, ad esempio:
 
 Questa definizione si utilizza per gli insiemi finiti; per gli insiemi infiniti talvolta si usano puntini di sospensione laddove si ritiene che sia evidente il criterio secondo cui si individuano gli elementi non indicati; ad esempio:
 .
 Per proprietà caratteristica o in comprensione: come l'insieme degli oggetti che verificano una determinata proprietà . In tal caso si usa la scrittura  dove al posto di  può comparire la descrizione d'una proprietà. Es. :  ( è definito come l'insieme degli  tali che  è un fiore), .

Cardinalità 

La cardinalità di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme  ha tre elementi (considerando distinte le tre lettere), quindi cardinalità 3; l'insieme dei numeri naturali  ha invece cardinalità , il primo cardinale infinito.

Un insieme si dice finito se ha un numero finito di elementi, infinito se contiene infiniti elementi.

Operazioni tra insiemi 

Le principali operazioni tra insiemi sono:

 Lunione di due insiemi  e : si indica con  ed è l'insieme formato da tutti gli elementi di  o di  o di entrambi;

 Lintersezione di due insiemi  e : si indica con  ed è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono sia all'insieme  che all'insieme ;

 La differenza tra  e  si indica con  o con  oppure ancora con  ed è data dall'insieme formato dai soli elementi di  che non appartengono ad .  viene anche detto insieme complementare di  in ;

 La differenza simmetrica tra due insiemi è l'insieme degli elementi che appartengono ad  e non a  oppure che appartengono a  e non ad . Si indica con ;

 Il prodotto cartesiano di due insiemi  e  è l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate  con  e .

Relazioni tra insiemi 

Due insiemi  e  si dicono inoltre:

 Coincidenti, se sono lo stesso insieme: questo si verifica se e solo se hanno gli stessi elementi;
 Disgiunti, se non hanno nessun elemento in comune.

 è sottoinsieme di  se  contiene gli elementi di . Secondo la definizione ogni insieme è contenuto in sé stesso. Per esprimere questo si usa la notazione:

Se si vuole escludere che  coincida con , cioè prevedere che esistono elementi di  non contenuti in , si usa la notazione:

che si legge: " è un sottoinsieme proprio di " oppure " è incluso propriamente in " oppure " è contenuto propriamente in ". Alcuni autori utilizzano solo la seconda notazione, indipendentemente dal tipo di inclusione.

La relazione binaria di inclusione tra insiemi rende una qualsiasi classe di insiemi un insieme parzialmente ordinato.

L'insieme vuoto 

Insieme vuoto è l'insieme che non contiene nessun elemento. Si indica con i simboli ,  o con due parentesi graffe, la prima aperta e l'altra chiusa .

L'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso sé stesso).

L'insieme delle parti 

Per qualunque insieme  si definisce insieme delle parti o "insieme potenza" di  e si indica con  o  l'insieme che ha come elementi tutti e soli i sottoinsiemi di . Ad esempio, se  allora il suo insieme delle parti è costituito da .

L'insieme delle parti ha cardinalità strettamente maggiore di quella dell'insieme di partenza. Se  è finito ed ha  elementi, il numero degli elementi di  è dato da  (in simboli, ).

L'insieme delle parti di qualsiasi insieme, considerato congiuntamente all'operazione di differenza simmetrica, forma un gruppo abeliano. Se vengono considerate insieme unione, intersezione e complementazione la struttura generata è un'algebra di Boole.

La partizione di un insieme 
Si chiama partizione dell'insieme  un insieme di sottoinsiemi di  che ha queste caratteristiche:

 ogni sottoinsieme non è vuoto;
 tutti i sottoinsiemi sono disgiunti tra loro;
 l'unione di tutti i sottoinsiemi è

L'insieme complementare di un insieme 
Dati gli insiemi  e  con , l'insieme complementare di  rispetto ad  è  Lo indichiamo con

Insiemi numerici 

Alcuni insiemi, detti numerici, hanno un ruolo particolarmente importante e pervasivo in tutte le branche della matematica:

 L'insieme  dei numeri naturali.
 L'insieme  dei numeri interi.
 L'insieme  dei numeri razionali.
 L'insieme  dei numeri reali.
 L'insieme  dei numeri complessi.
 L'insieme  dei quaternioni.

Questi insiemi si possono vedere intuitivamente come contenuti uno nell'altro:

Più propriamente si dovrebbe parlare di immersione di ogni insieme nel seguente, poiché secondo la corrente assiomatizzazione i vari insiemi sono definiti in modi radicalmente diversi l'uno dall'altro. Dunque non si può dire che   sia contenuto in , ma che vi sia una funzione iniettiva da  a .

Note

Bibliografia 
 
 
 Paul Halmos (1960): Naive set theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.
 Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.

Voci correlate 
 Teoria degli insiemi
 Teoria ingenua degli insiemi
 Teoria assiomatica degli insiemi
 Set (informatica)

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Teoria degli insiemi
Matematica di base