Cartesisch product

In de verzamelingenleer is het cartesische product of de productverzameling van twee verzamelingen de verzameling van alle koppels of ook geordende paren waarvan het eerste element uit de eerste verzameling en het tweede uit de tweede verzameling komt.

Definitie 
Het cartesische product van de twee verzamelingen  en  wordt genoteerd als  en is gedefinieerd als een verzameling koppels, als volgt:
 

Het cartesische product is genoemd naar de Franse filosoof en wiskundige René Descartes. Hij ontdekte dat een punt in een vlak kon worden gezien als een getallenpaar. In moderne notatie maakte hij het vlak equivalent met .

Voorbeeld 
Voor  en , is:

Eigenschappen 
 Het cartesische product van een willekeurige verzameling met de lege verzameling is de lege verzameling
 Als  en  eindige verzamelingen zijn, is het aantal elementen van  gelijk aan het product van het aantal elementen van  en het aantal elementen van : .
 Als  of  oneindig is, en de andere verzameling is niet leeg, dan is  oneindig.
 Er geldt in het algemeen niet dat . Dat is alleen het geval wanneer . Tussen beide producten bestaat wel een bijectie, namelijk de omkering van elk paar.

Herhaald cartesisch product 
Het product  is weer een verzameling, en daarmee kan dus het product met een derde verzameling  worden gevormd:

 

Anderzijds bestaat ook het product van  met de productverzameling :

 

Deze twee verzamelingen zijn volgens de definitie verschillend, maar er is wel een bijectie tussen de twee:

 

Het verschil tussen deze twee is in de meeste wiskundige theorieën waarin met het cartesische product van verzamelingen wordt gerekend van weinig belang. Men laat dan een stel haakjes vallen en noteert

 

De elementen van  heten geordende drietallen. Zo ontstaan de tupels. Een tupel met  elementen heet een -tupel. Door inductie bestaat het cartesische product van  verzamelingen uit alle geordende -tupels waarvan de -de component tot de -de verzameling behoort:

 

Het cartesische product van één verzameling is bij afspraak die verzameling zelf, dus een 1-tupel wordt geïdentificeerd met de enige component waaruit het bestaat. Het cartesische product van nul verzamelingen is het singleton met alleen het 0-tupel  als element. Dit product is dus niet de lege verzameling.

Is een cartesisch product gevormd met steeds dezelfde verzameling, dan wordt het geschreven met een exponentiële notatie:

  enzovoort

Product van willekeurig veel verzamelingen 
Een -tupel kan worden opgevat als een afbeelding van de getallenverzameling  naar de vereniging van de betrokken verzamelingen:
 ,

met als eigenschap dat:

 

De functie  wordt dan geïdentificeerd met het -tupel
 

Het herhaalde cartesische product van de  verzamelingen  is dan de verzameling van die functies.

Zij  een familie verzamelingen geïndexeerd door een verzameling , die niet noodzakelijk een getallenverzameling hoeft te zijn. Ze kan leeg zijn, of eindig en niet leeg, of oneindig en zelfs overaftelbaar.

Het cartesische product van deze familie is de verzameling van alle afbeeldingen van de indexverzameling naar de vereniging van de familie die elke index binnen het overeenkomstige element van de familie afbeelden:
 

Een bijzonder geval krijgt men, als  voor alle . Dan is de productverzameling de verzameling van alle afbeeldingen van  naar . Deze krijgt de intuïtief duidelijke notatie .

Projectie 
Met het cartesische product  van twee verzamelingen associëren we twee projecties

 

 

Met een algemeen herhaald of oneindig cartesisch product wordt een stel afbeeldingen geassocieerd die elk tupel op een vaste component van dat tupel afbeelden. De -de projectie is

 

In de cartesiaanse meetkunde op  komen deze projecties overeen met de twee meetkundige projecties  en  evenwijdig met de coördinaat-assen.

Databases 
Bij relationele databases wordt met het commando JOIN van twee tabellen het cartesische product gemaakt.

René Descartes
Verzamelingenleer