Funktion (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Funktion () oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, -Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, -Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr.

Begriffsgeschichte 
Erste Ansätze zu einer impliziten Verwendung des Funktionsbegriffs in Tabellenform (Schattenlänge abhängig von der Tageszeit, Sehnenlängen abhängig vom Zentriwinkel etc.) sind bereits in der Antike zu erkennen. Den ersten Beleg einer expliziten Definition des Funktionsbegriffs findet man bei Nikolaus von Oresme, der im 14. Jahrhundert Abhängigkeiten sich ändernder Größen (Wärme, Bewegung etc.) graphisch durch senkrecht aufeinander stehende Strecken (longitudo, latitudo) darstellte. Am Beginn des Prozesses zur Entwicklung des Funktionsbegriffs stehen Descartes und Fermat, die mit Hilfe der von Vieta eingeführten Variablen die analytische Methode der Einführung von Funktionen entwickelten. Funktionale Abhängigkeiten sollten durch Gleichungen wie zum Beispiel  dargestellt werden. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Die erste Umschreibung des Funktionsbegriffs nach dieser Idee stammt von Gregory in seinem 1667 erschienenen Buch Vera circuli et hyperbolae quadratura. Der Begriff Funktion kommt wohl erstmals 1673 in einem Manuskript von Leibniz vor, der in seiner Abhandlung von 1692 De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis auch die Begriffe „Konstante“, „Variable“, „Ordinate“ und „Abszisse“ benutzt. Im Schriftwechsel zwischen Leibniz und Johann I Bernoulli wird der Funktionsbegriff von der Geometrie losgelöst und in die Algebra übertragen. In Beiträgen von 1706, 1708 und 1718 stellt Bernoulli diese Entwicklung dar. 1748 präzisiert Leonhard Euler, ein Schüler Johann Bernoullis, in seinem Buch Introductio in analysin infinitorum den Funktionsbegriff weiter.

Bei Euler findet man zwei verschiedene Erklärungen des Funktionsbegriffs: Zum einen stellt jeder „analytische Ausdruck“ in  eine Funktion dar, zum anderen wird  im Koordinatensystem durch eine freihändig gezeichnete Kurve definiert. 1755 formuliert er diese Vorstellungen ohne Verwendung des Terminus „analytischer Ausdruck“ um. Außerdem führte er bereits 1734 die Schreibweise  ein. Er unterscheidet zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen. Bei Euler ist damit auch die Umkehrung der Normalparabel, bei der jeder nicht-negativen reellen Zahl sowohl ihre positive als auch ihre negative Wurzel zugeordnet wird, als Funktion zugelassen. Für Lagrange sind nur Funktionen zulässig, die durch Potenzreihen definiert sind, wie er 1797 in seiner Théorie des fonctions analytiques festlegt. Eine fruchtbare Auseinandersetzung über das Bewegungsgesetz einer schwingenden Saite, zu dem d’Alembert 1747, Euler 1748 und Daniel Bernoulli 1753 unterschiedliche Lösungen vorstellten, führte zur Entdeckung der Definitionsmenge und einem weiter präzisierten Funktionsbegriff, in dem schon so etwas wie eindeutige Zuordnung umschrieben wird, durch Fourier in seinem 1822 erschienenen Buch Théorie analytique de la chaleur. Ähnliches formuliert Cauchy 1823 in Résumé des leçons … sur le calcul infinitésimal.

Als die Analysis im 19. Jahrhundert mit einem exakten Grenzwertbegriff auf eine neue Grundlage gestellt wurde, wurden Eigenschaften, die bisher als für Funktionen konstituierend aufgefasst wurden, in einem Exaktifizierungsprozess als selbständige Begriffe eingeführt und vom Funktionsbegriff losgelöst. Dirichlet, ein Schüler Fouriers, formulierte diese neue Sicht: „Ideen an die Stelle von Rechnungen“ und stellte 1837 seine Ideen dar. Stokes führte in Arbeiten 1848 und 1849 ähnliche Ansichten aus. So verfuhr Riemann, Schüler von Dirichlet, 1851 in Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe mit der Stetigkeit, später folgten Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit. Eine Zusammenfassung dieser Entwicklung macht Hankel 1870 in Untersuchungen über die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Functionen. Auch hier wird noch nicht zwischen der Funktion  und dem Funktionswert  an der Stelle  unterschieden.

Weierstraß, Dedekind und andere entdeckten, dass Grenzwerte unendlicher Folgen „klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln, d. h. mit endlich vielen Rechenoperationen, ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit Transformation auch die Begriffe Bewegung und Abbildung gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Mengenlehre formuliert wurden, stellten sich die mathematischen Begriffe Funktion und Abbildung als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen Zahlenkörper ( bzw. ) oder auch Potenzen davon ( bzw. ), andererseits ist es in der Booleschen Algebra gebräuchlich, von Booleschen Funktionen zu sprechen.

Weitere Synonyme für Funktion in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem Operator in der Analysis, Operation, Verknüpfung und (etwas verallgemeinert) Morphismus in der Algebra.

Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff (genauso wie den Relationsbegriff) nicht unbedingt als auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält, als Funktion gelten. Mengentheoretisch ausgedrückt werden Funktionen also als rechtseindeutige Relationen definiert.

Definition

Grundidee 
Eine Funktion  ordnet jedem Element  einer Definitionsmenge  genau ein Element  einer Zielmenge  zu.

Schreibweise:
 oder äquivalent auch 

Für das dem Element  zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen .

Anmerkungen:
 Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann genau einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein, in letzterem Fall gehört es nicht zur Bildmenge.Beispiel: Die Betragsfunktion  ordnet den Zahlen +1 und −1 der Definitionsmenge die Zahl +1 der Zielmenge zu. Der Zahl +1 der Zielmenge sind also zwei Zahlen der Definitionsmenge zugeordnet. Andererseits ist der Zahl −2 keine Zahl der Definitionsmenge zugeordnet.
 Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge  gegeben. Wenn  als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge , indem man von  diejenigen Elemente ausschließt, für die  nicht definiert ist. Siehe auch Abschnitt „Partielle Funktionen“.

Mengentheoretische Definition 
Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle Relation:

 Eine Funktion von der Menge  in die Menge  ist eine Menge , die die folgenden Eigenschaften hat:
  ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts  von  und , d. h.,  ist eine Relation zwischen  und .
 Für jedes Element  aus  existiert mindestens ein Element  in , sodass das geordnete Paar  Element der Relation  ist.  ist also linkstotal.
 Zu jedem Element  von  gibt es höchstens ein Element  von , sodass das Paar  in  liegt.  ist damit rechtseindeutig oder funktional.

Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen:
 Zu jedem Element  von  gibt es genau ein Element  von , sodass das Paar  Element der Relation  ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen, zum Beispiel um Aussagen zur Surjektivität (als eine Eigenschaft der betrachteten Funktion selbst) anstellen zu können:

 Ein Paar , bestehend aus einer Menge  und einer Menge von Paaren  mit einer weiteren Menge , heißt Funktion von der Menge  nach , wenn gilt: Zu jedem Element  von  gibt es genau ein Element  von  (geschrieben ), sodass das Paar  Element von  ist.

 wird dann auch der Graph der Funktion  genannt. Die Definitionsmenge  der Funktion ist dabei durch ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich. Insbesondere ist jede Funktion  im Wesentlichen gleich mit der surjektiven Funktion  mit der Bildmenge .

Oft empfiehlt es sich, auch noch die Definitionsmenge hinzuzunehmen und eine Funktion entsprechend als ein Tripel  zu definieren. Diese Definition stimmt dann überein mit der entsprechenden ausführlichen Definition bei Relationen, sodass auch Multifunktionen und partielle Funktionen auf gleiche Weise erfasst sind.

Notation

Schreibweisen 
Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

 Funktionsgleichung mit Definitionsmenge
 
 Eindeutige Zuordnungsvorschrift (englisch: maplet) mit Definitionsmenge
 
 Eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge
  oder äquivalent 
 Familienschreibweise (mit der Bezeichnung Indexmenge für die Definitionsmenge)
 
 Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsmengen)
{| cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:right; margin-left:2em;"
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|style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 1
|style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 2
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|style="width:2ex; border-bottom:1px solid black" | …
|-
|style="border-right:1px double black;" | 
|style="border-right:1px solid black" | 1
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|style="border-right:1px solid black" | 25
|style="border-right:1px solid black" | 36
|style="border-right:1px solid black" | 49
| …
|}
 Relation, insbesondere auch als beschrieben oder aufgezählt dargestellte Menge
 
 Ergebnis von Verknüpfungen und Operationen (zum Beispiel Komposition, Bildung der Umkehrfunktion, Ableitung u. Ä.), die auf andere Funktionen angewendet werden

Sprechweisen 
Für die Zuordnung eines Funktionswertes  zu einem Argument  gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:
  wird abgebildet auf  von .
  von  wird  eindeutig zugeordnet (vornehmlich, wenn das -Symbol in der Symbolik steht).
  gleich  von  (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht).
  ist das Bild von  unter der Abbildung .

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: „ ist eine Funktion von “, die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen  von einer anderen Variablen , im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen  und  (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, zunächst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen  und , zuzuordnen und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht beispielsweise  für die Raumtemperatur und  für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ oder stellvertretend „ eine Funktion von  ist.“

Statt Definitionsmenge  wird auch Definitionsbereich, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Die Elemente von  heißen Funktionsargumente, Funktionsstellen oder Urbilder, salopp auch -Werte. Die Elemente der Zielmenge  heißen Zielwerte oder Zielelemente, salopp auch -Werte. Diejenigen Elemente von , die tatsächlich auch als Bild eines Arguments auftreten, heißen Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder. Sie bilden die Wertemenge oder den Wertebereich, der oft nur eine echte Teilmenge von  ist.

Darstellung 
Eine Funktion , kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion  kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Elementepaare , für die  ist. Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine zusammenhängende Kurve (genauer: Die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes  ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen  und  visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist  stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist  stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computeralgebrasystemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar. Es gibt auch Web-gestützte Angebote, die nur einen aktuellen Browser benötigen.

Grundeigenschaften

Bild und Urbild 

Das Bild eines Elements  der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert . Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge , also

.

Das Bild einer Funktion ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge und wird Bild- oder Wertemenge genannt. Ist allgemeiner  eine Teilmenge von , dann ist

das Bild von  unter der Funktion .

Das Urbild eines Elements  der Zielmenge  ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild  ist. Es ist

,

( ist im Allgemeinen keine eindeutige Funktion, sondern eine Multifunktion, zur Schreibweise  siehe dort sowie bei Relation (Mathematik)#Relationen und Funktionen und Korrespondenz (Mathematik)).

Oft werden diese Fasern einfach mit  bezeichnet, was aber im Fall (eindeutig) umkehrbarer Funktionen einerseits x, andererseits {x} bezeichnet.

Das Urbild einer Teilmenge  der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist:

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität 

 Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Aus  folgt 
 Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat – d. h., wenn gilt: Zu jedem  gibt es ein , sodass 
 Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.

Stelligkeit 

Eine Funktion , deren Definitionsmenge  eine Produktmenge  ist, heißt oft zweistellig. Den Wert von , der bei Anwendung von  auf das Paar  erhalten wird, schreibt man (unter Weglassung eines Klammernpaares) als .

Analoges gilt für höhere Stelligkeiten. Eine Funktion  bezeichnet man üblicherweise als dreistellig. Eine Funktion, deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist (oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt), bezeichnet man als einstellig. Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion, deren Definitionsmenge das leere Produkt  ist, bei einem beliebigen Funktionswert. Daher können nullstellige Funktionen als Konstanten aufgefasst werden, was bei algebraischen Strukturen (wie auch bei heterogenen Algebren) Anwendung findet.

Statt nullstellig, einstellig, zweistellig, dreistellig sagt man auch oft unär, binär, ternär; Stelligkeit wird daher auch als „Arität“ (englisch: arity) bezeichnet.

Menge der Funktionen 
Mit  oder  wird die Menge aller Abbildungen von  nach  bezeichnet:

Für die Mächtigkeit gilt:

Operationen

Einschränkung 

Die Einschränkung einer Funktion  auf eine Teilmenge  der Definitionsmenge  ist die Funktion , deren Graph durch

gegeben ist.

Umkehrfunktion 

Zu jeder bijektiven Funktion  gibt es eine Umkehrfunktion

,

sodass  das eindeutig bestimmte Element  ist, für das  gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt damit für alle 

.

Bijektive Funktionen werden daher auch als eindeutig umkehrbare Funktionen bezeichnet.

Verkettung 

Zwei Funktionen  und , bei denen der Wertebereich der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion übereinstimmt (oder als Teilmenge enthalten ist), können verkettet werden. Die Verkettung oder Hintereinanderausführung dieser beiden Funktionen ist dann eine neue Funktion, die durch

gegeben ist. In dieser Notation steht meist die zuerst angewandte Abbildung rechts, das heißt, bei  wird zuerst die Funktion  angewandt und dann die Funktion  („g nach f“). Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und  geschrieben („g vor f“).

Verknüpfung 

Ist auf der Zielmenge  eine innere zweistellige Verknüpfung  gegeben, so lässt sich auch für Funktionen  eine innere zweistellige Verknüpfung definieren:

.

Beispiele hierfür sind die punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen. Weiter lässt sich mit Hilfe einer äußeren zweistelligen Verknüpfung der Form  auch die Verknüpfung einer Funktion mit einem Element aus  definieren:

Beispiel hierfür ist die punktweise Multiplikation einer Funktion mit einem Skalar. Analog lässt sich so auch eine äußere Verknüpfung der Form  definieren. Sind Verknüpfungen der gleichen Art sowohl auf der Definitionsmenge als auch auf der Zielmenge gegeben, dann heißt eine Funktion verträglich mit diesen Verknüpfungen, wenn sich die Bilder bezüglich der einen Verknüpfung genauso verhalten wie die Urbilder bezüglich der anderen Verknüpfung.

Weitere Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften 
 Eine Funktion ist idempotent, wenn  – d. h., wenn  für alle Elemente  der Definitionsmenge gilt.
 Sie ist eine Involution, wenn  – d. h., wenn  für alle Elemente  der Definitionsmenge gilt.
 Die Identität  erfüllt natürlich diese Bedingung, wird aber in seltenen Fällen dennoch nicht als Involution angesehen.
 Ein Fixpunkt ist ein Element  der Definitionsmenge von , für das  gilt.

Analytische Eigenschaften 
 Beschränktheit
 Periodizität
 Monotonie
 Symmetrie
 Stetigkeit
 Differenzierbarkeit
 Glattheit
 Holomorphie
 Homogenität
 Messbarkeit
 Integrierbarkeit
 Konvexität

Spezielle Funktionen 
 Reellwertige Funktion, die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge innerhalb der reellen Zahlen liegt
 Komplexwertige Funktion, die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge innerhalb der komplexen Zahlen liegt
 Homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
 Allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allgemein beschrieben durch ; siehe auch affine Abbildung
 Quadratische Funktion: allgemein beschrieben durch  (s. Quadratische Gleichung)
 Potenzfunktion
 Polynomfunktion, auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch  oder 
 Rationale Funktion, insbesondere gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynomfunktionen, 
 Wurzelfunktion: Umkehrung der Potenzfunktionen und selbst Potenzfunktion
 Exponentialfunktion
 Logarithmus
 Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
 Betragsfunktion
 Maximumsfunktion und Minimumsfunktion
 Gaußsche Ganzzahlfunktion

Funktionale 
Vor allem in der Funktionalanalysis finden Funktionale große Anwendung. Als Funktional bezeichnet man eine Funktion, deren Definitionsmenge als Teilmenge in einem Vektorraum  enthalten ist, während ihre Zielmenge in dem zugehörigen  Skalarkörper liegt. 

Sei  ein -Vektorraum mit . Ein Funktional  ist eine Abbildung  Funktionale können somit als Argumente selbst Funktionen haben. 

Ein lineares Funktional auf dem Vektorraum , der Funktionen auf der reellen Achse, ist bspw. das Auswertungsfunktional an der Stelle Null

Dieses Funktional heißt Delta-Distribution oder Dirac-Delta.

Ein anderes Beispiel ist das Funktional 
,
das jeder quadratintegrierbaren Funktion  den Wert  zuordnet.

Verwendung 
Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen Strukturen dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazugehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengenlehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch-philosophische Fragestellungen hinausgehen.

Mengen können beispielsweise durch sogenannte Verknüpfungen strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die innere zweistellige Verknüpfung, dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form . Beispiele für innere zweistellige Verknüpfungen sind Rechenoperationen wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild  eines Paares  unter einer Verknüpfung  üblicherweise in der Form  geschrieben.

Weitere wichtige Beispiele solcher Strukturen sind algebraische, geometrische und topologische Strukturen, wie beispielsweise Skalarprodukte, Normen und Metriken.

Verallgemeinerungen

Multifunktionen 
Eine Multifunktion (auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt) ist eine linkstotale Relation. Das heißt, die Elemente der Definitionsmenge  können auf mehrere Elemente der Zielmenge  abgebildet werden. Man schreibt auch .

Wenn  eine Menge ist, dann kann man jede Multifunktion  auch als eine Funktion  darstellen, die in die Potenzmenge von  geht:
 

Im Fall  stellt eine mehrwertige Funktion  eine Transitionsrelation dar, und  ist die zugehörige Transitionsfunktion.

Die Verkettung von Multifunktionen lässt sich genauso definieren wie für (eindeutige) Funktionen, mengentheoretisch ist dies äquivalent einer Verkettung zweier zweistelliger Relationen.

Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen 
Ein Beispiel für Multifunktionen sind die Umkehrfunktionen (Umkehrungen) von nicht injektiven Funktionen. Wenn  surjektiv ist, gilt automatisch:  ist eine Multifunktion. Die Darstellung der Umkehrfunktion in die Potenzmenge von  liefert mit  die Fasern von  (siehe oben).

Die Verkettung einer Funktion mit ihrer (im Allgemeinen nicht eindeutigen) Umkehrung in der Form  ist eine Äquivalenzrelation, die durch  induzierte Äquivalenzrelation. Zwei Elemente aus dem Definitionsbereich sind genau dann äquivalent, wenn sie denselben Funktionswert haben.

Partielle Funktionen 

Wohl zu unterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der partiellen Funktion, man spricht auch von einer „nicht überall definierten Funktion“ oder „funktionalen Relation“. Hier darf es Elemente der Quellmenge (-Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge (kein -Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen -Wert nicht mehr als einen -Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man Letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen.

Die Menge  der partiellen Abbildungen von  nach  ist die Vereinigung der totalen Abbildungen von Teilmengen von  nach :

Sind die Mengen endlich, so gilt für ihre Kardinalzahlen
,
schließlich kann man jede partielle Abbildung auf D umkehrbar eindeutig zu einer totalen Abbildung fortsetzen, indem man einen beliebigen festen Funktionswert  festschreibt, der nicht in  enthalten ist; und diese Operation stellt eine bijektive Abbildung auf  dar.

Jede partielle Funktion  ist im Wesentlichen gleich mit der (totalen) Funktion  mit der Urbildmenge .

Funktionen mit Werten in einer echten Klasse 
Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer echten Klasse, beispielsweise sind Mengenfolgen „Funktionen“ mit Definitionsmenge  und Werten in der Allklasse. Um die mengentheoretischen Probleme, die sich daraus ergeben, zu vermeiden, betrachtet man nur noch den Graph der entsprechenden Funktion, genauer: Ein funktionsartiger Graph ist eine Menge  von Paaren , sodass keine zwei Paare im ersten Eintrag übereinstimmen:
 
Definitions- und Wertemenge sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf eine Zielmenge festzulegen, solange die Funktionen im Wesentlichen gleich sind.

Bei partiellen Funktionen gilt Gleiches für den Ziel- und Quellbereich. Beide können einzeln oder zusammen echte Klassen sein; mengentheoretische Probleme entstehen nicht, solange der Graph eine Menge bleibt.

Symbolik 
Für Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im Folgenden werden einige wichtige genannt.

Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden.

Literatur 
 Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
 Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Bd. 6). Übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
 Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.
 Adolf P. Youschkevitch: The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. In: Archive of the History of Exact Sciences. 16 Springer Verlag, Berlin 1976.

Weblinks

Einzelnachweise und Anmerkungen 

 
Mengenlehre
Mathematischer Grundbegriff