Divisionsalgebra

Divisionsalgebra ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der abstrakten Algebra. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.

Definition und Beispiel 
Eine Divisionsalgebra ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra , in der zu je zwei Elementen  die Gleichungen  und  stets eindeutige Lösungen  besitzen. Dabei bezeichnet  die Vektormultiplikation in der Algebra. Das ist gleichbedeutend damit, dass die Algebra frei von Nullteilern ist.

Enthält die Divisionsalgebra ein Einselement, so dass für alle  gilt, dass , so spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.

Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten  und , die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können:

Sätze über reelle Divisionsalgebren 
Eine endlichdimensionale Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 mit topologischen Methoden von John Milnor und Michel Kervaire bewiesen.

Die vier reellen, normierten, Divisionsalgebren mit Eins sind (bis auf Isomorphie):
 die reellen Zahlen selbst
 die komplexen Zahlen
 die Quaternionen
 die Oktaven auch Oktonionen oder Cayley-Zahlen.
Dieses Resultat ist als Satz von Hurwitz (1898) bekannt. Alle außer den Oktaven erfüllen das Assoziativgesetz der Multiplikation.

Jede reelle, endlichdimensionale und assoziative Divisionsalgebra ist isomorph zu den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen oder zu den Quaternionen; dies ist der Satz von Frobenius (1877).

Jede reelle, endlichdimensionale kommutative Divisionsalgebra hat maximal die Dimension 2 als Vektorraum über den reellen Zahlen (Satz von Hopf, Heinz Hopf 1940). Dabei wird Assoziativität nicht vorausgesetzt.

Topologische Beweise der Existenz von Divisionsalgebren über den reellen Zahlen 
Heinz Hopf zeigte 1940, dass die Dimension einer Divisionsalgebra eine Potenz von 2 sein muss. 1958 zeigten dann Michel Kervaire und John Milnor unabhängig voneinander unter Benutzung des Periodizitätssatzes von Raoul Bott über Homotopiegruppen der unitären und orthogonalen Gruppen, dass die Dimensionen , ,  oder  sein müssen (entsprechend den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen, den Quaternionen und Oktonionen). Letztere Aussage konnte bisher nicht rein algebraisch bewiesen werden. Der Beweis wurde von Michael Atiyah und Friedrich Hirzebruch auch mit Hilfe der K-Theorie formuliert.

Dazu betrachtet man nach Hopf die Multiplikation einer Divisionsalgebra der Dimension  über den reellen Zahlen als stetige Abbildung  oder eingeschränkt auf Elemente der Länge  (man teile durch die Norm der Elemente, diese ist ungleich null für Elemente ungleich null da eine Divisionsalgebra nullteilerfrei ist) als Abbildung . Hopf bewies, dass es eine solche ungerade Abbildung (das heißt ) nur gibt, wenn  eine Potenz von  ist. Dazu benutzte er die Homologiegruppen des projektiven Raums. Es gibt weitere äquivalente Formulierungen zur Existenz von Divisionsalgebren der Dimension :

Die Sphäre  (oder der projektive Raum ) ist parallelisierbar (das heißt, es gibt zu jedem Punkt  von  (n-1) linear unabhängige Vektoren, die stetig von  abhängen und senkrecht auf  stehen).
Es gibt Vektorraumbündel  über  mit Stiefel-Whitney Kohomologieklasse  ungleich null.
Es gibt eine Abbildung  mit ungerader Hopf-Invariante (siehe Hopf-Verschlingung). Frank Adams zeigte, dass solche Abbildungen nur für  existieren.

Anwendung 
 Divisionsalgebren mit Einselement sind Quasikörper (nicht unbedingt umgekehrt). Daher liefert jedes Beispiel einer Divisionsalgebra  in der synthetischen Geometrie ein Beispiel für eine Affine Translationsebene .

Siehe auch 
 Hyperkomplexe Zahl

Literatur 
 Ebbinghaus et al.: Zahlen. Berlin: Springer, 1992, ISBN 3-540-55654-0
 Stefaan Caenepeel, A. Verschoren Rings, Hopf Algebras, and Brauer Groups, CRC Press, 1998, ISBN 0-82470-153-4

Einzelnachweise 

Algebra