Homeomorfizm

Homeomorfizm, izomorfizm topologiczny – bijekcja pomiędzy przestrzeniami topologicznymi, która jest ciągła oraz której funkcja odwrotna również jest ciągła. O przestrzeniach, pomiędzy którymi istnieje homeomorfizm, mówi się, że są homeomorficzne. Z punktu widzenia topologii, przestrzenie takie są nierozróżnialne.

Homeomorfizmy są izomorfizmami w kategorii przestrzeni topologicznych.

Nazwę tę wprowadził najpóźniej Henri Poincaré w 1892 roku, w pracy Analysis Situs, jednak używał węższego znaczenia. Powyższa definicja ugruntowała się i rozpowszechniła w latach 30. XX wieku.

Definicja homeomorfizmu 
Niech  oraz  będą dwiema przestrzeniami topologicznymi. Funkcję
 

nazywa się homeomorfizmem, gdy:
  jest funkcją różnowartościową,
  czyli  jest funkcją „na”,
  jest funkcją ciągłą,
  jest funkcją ciągłą.

Uwaga 
Założenie ciągłości funkcji odwrotnej w powyższej definicji jest konieczne, ponieważ istnieją nieciągłe funkcje odwrotne do ciągłych bijekcji.

Niech  będzie okręgiem jednostkowym z topologią dziedziczoną z płaszczyzny oraz niech
 

będzie funkcją daną wzorem
 

Funkcja  jest ciągła i bijektywna. Jednak jej funkcja odwrotna nie jest ciągła w punkcie (1,0), gdyż  ale obraz żadnego otwartego łuku otaczającego punkt (1,0) nie jest zawarty w otoczeniu  punktu .

Homeomorfizm a dyfeomorfizm 
Szczególnym przypadkiem homeomorfizmu jest dyfeomorfizm, który można rozpatrywać jeśli dziedzina i przeciwdziedzina są rozmaitościami różniczkowymi. Dyfeomorfizm jest homeomorfizmem klasy  którego odwrotność również jest funkcją klasy  W szczególności istnieją rozmaitości, które są homeomorficzne, ale nie dyfeomorficzne.

Homeomorfizm a izometria 
Homeomorfizm w ogólności nie zachowuje odległości między punktami (gdyż dopuszcza dowolne rozciąganie i ściskanie), w odróżnieniu od izometrii. Izometria jest więc szczególnym przypadkiem homeomorfizmu.

Przykłady:

1) Przekształcenie płaskiej kartki w rulon jest homeomorfizmem. Jednocześnie jest to izometria, gdyż odległości między punktami rulona – mierzone wzdłuż linii leżących na rulonie – są identyczne jak w rozwiniętej kartce.

2) Wgniecenie płaskiej membrany bębna jest homeomorfizmem, ale nie jest izometrią.

Twierdzenia o homeomorfizmach 
Wprost z definicji homeomorfizmu wynikają twierdzenia:
 Złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem.
 Funkcja odwrotna do homeomorfizmu jest homeomorfizmem.
 Każda funkcja tożsamościowa jest homeomorfizmem, o ile na dziedzinie i przeciwdziedzinie rozważana jest ta sama topologia.

Niezmienniki topologiczne 
Niezmienniki topologiczne to własności przestrzeni topologicznych, które są zachowywane przy przekształceniach homeomorficznych.

Do niezmienników należą m.in. domkniętość, otwartość, zwartość, ośrodkowość, spójność, charakterystyka Eulera.

Niezmienniki służą jako narzędzie do badania rozmaitości topologicznych. Np.
 jeżeli rozmaitości mają różne charakterystyki Eulera, to są topologicznie różne,
 jeżeli rozmaitości mają taką samą charakterystykę Eulera, to nie przesądza, czy są homeomorficzne czy nie (np. butelka Kleina i wstęga Möbiusa mają charakterystykę Eulera równą 0, ale nie są równoważne topologicznie).

Przykłady 
 Okrąg jest homeomorficzny z dowolną łamaną zamkniętą zwyczajną. Koło jest homeomorficzne z dowolnym wielokątem.
 Okrąg nie jest homeomorficzny z żadnym odcinkiem (przedziałem domkniętym).
 Dowód. Jeżeli  jest homeomorfizmem pomiędzy odcinkiem  a okręgiem  to restrykcja
 
 jest funkcją ciągłą. Przedział  jest spójny, więc z ciągłości obraz zbioru  poprzez  jest również spójny. Funkcja  jest różnowartościowa, więc  a okrąg po usunięciu dwóch punktów przestaje być przestrzenią spójną, sprzeczność.
 Dowolne dwa odcinki otwarte są homeomorficzne ze sobą.
 Przedział  jest homeomorficzny z całą prostą rzeczywistą. Z powyższego wynika zatem, każdy przedział otwarty jest homeomorficzny z całą prostą.
 Dowód. Funkcja dana wzorem
 
 jest ciągłą bijekcją, której funkcja odwrotna jest również ciągła.
 Sfera (powierzchnia trójwymiarowej kuli) jest homeomorficzna z powierzchnią dowolnego wielościanu.
 Żadne dwie powierzchnie spośród następujących nie są homeomorficzne: koło, sfera, pierścień kołowy, powierzchnia torusa.
 Żaden przedział jednostronnie domknięty nie jest homeomorficzny z żadnym przedziałem obustronnie otwartym ani obustronnie domkniętym.
 Dowód. Przedział domknięty jest zwarty. Gdy przedział nie zawiera jednego ze swoich końców nie jest on zwarty, a więc nie może być homeomorficzny ze zbiorem zwartym, jakim jest przedział domknięty.

Uwaga:

Intuicyjnie można sprawdzić, czy dwie przestrzenie są homeomorficzne, próbując (lub wyobrażając sobie) deformować jedną figurę tak, by otrzymać drugą. Deformacje zachowują niezmienniki topologiczne, dlatego istnienie takiej deformacji jest jednoznaczne z istnieniem homeomorfizmu, a jej brak – z brakiem homeomorfizmu (zobacz animację u góry strony). Sferę można zdeformować w wielościan. Ale nie da się sfery zdeformować w torus.

Zanurzenie homeomorficzne 
Zanurzeniem homeomorficznym przestrzeni  w przestrzeń  nazywa się homeomorfizm  przestrzeni  z podprzestrzenią  przestrzeni 

Jeśli istnieje zanurzenie homeomorficzne przestrzeni  w  to mówi się, że  jest ' w 

Przykład:

Okrąg  (lub inną krzywą zamkniętą) można „zanurzyć” w dowolną powierzchnię 2-wymiarową poprzez rzutowanie go tak, by rzut był krzywą  zamkniętą w postaci pojedynczej „pętli”. Taki rzut jest homeomorfizmem

Sprzężenie topologiczne homeomorfizmów 
Dwa homeomorfizmy  nazywane są topologicznie sprzężonymi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki homeomorfizm  że

Przykład – typy topologiczne 
Zbiór liter i cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F, G, H, I, J, K, L, Ł, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z) stanowi rodzinę przestrzeni topologicznych; każda litera stanowi inną przestrzeń topologiczną. Zbiór ten można podzielić na podzbiory – typy topologiczne:
 1, 2, 3, 5, 7, I, C, G, J, L, M, N, S, U, V, W, Z – 1 gałąź,
 E, F, T, Y – 3 gałęzie,
 Ł, X – 4 gałęzie,
 H – 5 gałęzi,
 O, D – 0 gałęzi, 1 pętla,
 8 – 0 gałęzi, 2 pętle, 1 wierzchołek,
 B – 0 gałęzi, 2 pętle, 2 wierzchołki,
 P, Q, 6, 9 – 1 gałąź, 1 pętla,
 4 – 2 gałęzie, 1 pętla, 1 wierzchołek,
 A, R – 2 gałęzie, 1 pętla, 2 wierzchołki.

Każdą z liter danego typu można przekształcić w inną literę tego samego typu przez odpowiednie wyginanie i wyciąganie, np. wyginając I uzyskamy C, G, J itd. Natomiast nie da się za pomocą takiego przekształcenia dokonać przejścia od I do E itd. Każda z operacji przekształcania jednej litery w inną w danym typie jest homeomorfizmem. Homeomorfizmy zachowują niezmienniki topologiczne – dlatego za ich pomocą otrzymuje się litery tego samego typu.

Uwaga: Litery i cyfry traktujemy tu jako krzywe jednowymiarowe – grafy. Gdyby traktować je jako wycinki powierzchni (np. wykonane z elastycznego materiału), to podział byłby inny, np. I dałoby się przekształcić w E przez odpowiednie rozciąganie. Wtedy mielibyśmy 3 typy topologiczne: litery mające 0 pętli, 1 lub 2 pętle.

Zobacz też 
Inne rodzaje odwzorowań:
 dyfeomorfizm
 hipoteza Poincarégo
 homotopia
 izomorfizm
 morfizm
Na temat niezmienników topologicznych:
 charakterystyka Eulera
 niezmiennik topologiczny
 rozmaitość

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa 
 Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii (wraz z dodatkiem Ryszarda Engelkinga Elementy topologii algebraicznej), wyd. siódme rozszerzone, Biblioteka Matematyczna. Tom 9. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.
 Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Biblioteka Matematyczna. Tom 47. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975.
 W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne 
 

Morfizmy
Funkcje ciągłe