Coefficiente binomiale

In matematica, il coefficiente binomiale  (che si legge " su ") è un numero intero non negativo definito dalla seguente formula

dove  è il fattoriale di . Può essere calcolato anche facendo ricorso al triangolo di Tartaglia. Esso fornisce il numero delle combinazioni semplici di  elementi di classe .

Per esempio:

è il numero di combinazioni di  elementi presi  alla volta, evitando ripetizioni ma indipendentemente dall'ordine di estrazione.

Proprietà 
Il coefficiente binomiale ha le seguenti proprietà:
 

Dimostrazione formale:

Dimostrazione combinatoria: le combinazioni di  elementi di lunghezza  o  sono evidentemente una sola: rispettivamente l'insieme vuoto o l'intero insieme di  elementi.

 

Dimostrazione formale:

Dimostrazione combinatoria: vi sono evidentemente  modi per scegliere un elemento tra  o per tralasciarne uno.

 

Dimostrazione formale:

Dimostrazione combinatoria: le scelte di  elementi sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi degli  elementi tralasciati.

 , ovvero: 

(proprietà che permette di costruire i coefficienti binomiali con il triangolo di Tartaglia. Inoltre, tale proprietà può essere utile per dimostrare che  è un numero intero non negativo usando il principio d'induzione  su , con l'ipotesi per cui  appartiene ai numeri interi non negativi per ogni  tale che , e come tesi che lo stesso valga per ; per  abbiamo che ).

Dimostrazione formale:

considerando il fatto che 
, ed allo stesso modo 

si ha

e quindi

ovvero la tesi.

Dimostrazione combinatoria: Per calcolare il numero di combinazioni semplici di  elementi di lunghezza , scegliamo uno degli  elementi, che chiameremo Pippo, e dividiamo le combinazioni in due classi: quelle che non contengono Pippo e quelle che lo contengono. Le cardinalità delle due classi sono evidentemente date dai due termini del secondo membro della formula che volevamo dimostrare.

 

Dimostrazione formale:
partendo dal teorema binomiale abbiamo:

ovvero la tesi.

Dimostrazione combinatoria:

 è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di  elementi. Possiamo dividere tali sottoinsiemi in classi, ponendo in ogni classe quelli di una data cardinalità. Poiché i sottoinsiemi di cardinalità  sono proprio , si ottiene subito la tesi.

Applicazioni 
 Il teorema binomiale, o binomio di Newton, utilizza il coefficiente binomiale per esprimere lo sviluppo di una potenza -esima di un binomio qualsiasi secondo la seguente formula: 

 Il numero di diagonali di un poligono convesso di  lati può essere espresso secondo la seguente formula: 
 Dato un insieme , tale che , si utilizza il coefficiente binomiale per calcolare la cardinalità dell'insieme delle parti di , : 

La potenza -esima di un numero intero  può essere espressa con la sommatoria di tutte le possibili produttorie di  coefficienti binomiali , con . Esempio:

Estensioni 
Si può estendere il coefficiente binomiale al caso che  sia negativo, oppure maggiore di , ponendo:
 oppure 
Si può anche estendere il coefficiente ai numeri reali. A tale scopo, può convenire iniziare con l'osservazione che il coefficiente binomiale è anche il rapporto tra il numero delle funzioni iniettive da un insieme di cardinalità  in uno di cardinalità  (ovvero il numero delle disposizioni semplici di  oggetti di classe ) ed il numero delle permutazioni di  oggetti:

Si può porre:

ad esempio,

Con tale convenzione, si ha:

ad esempio:

Caso particolare 
Si può notare che per  il coefficiente binomiale equivale alla somma dei primi  numeri naturali:

Bibliografia 
 
 
 
 Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, Milano, Mursia 1998

Voci correlate 
 Coefficiente multinomiale
 Coefficiente binomiale simmetrico
 Teorema binomiale 	 
 Fattoriale 	 
 Calcolo combinatorio, Combinazione, Permutazione 	 
 Probabilità 	 
 Variabile casuale binomiale 	 
 Statistica
 Triangolo di Tartaglia

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Combinatoria
Polinomi
Funzioni speciali
Successioni a due indici