Distribuzione Beta

In teoria delle probabilità e in statistica la distribuzione  (Beta) è una distribuzione di probabilità continua definita da due parametri  e  sull'intervallo unitario .

Questa distribuzione trova particolare utilizzo nella inferenza bayesiana perché governa la probabilità  di un processo di Bernoulli a posteriori dell'osservazione di  "successi" e  "fallimenti", quando  è a priori distribuita uniformemente tra  e .

Definizione 
La distribuzione Beta di parametri  (entrambi positivi) è definita sull'intervallo  con funzione di densità di probabilità 
.

In altri termini la funzione di densità di probabilità è proporzionale alla funzione
,
riscalata per un fattore dato dalla funzione Beta
;
in questo modo ha probabilità totale .

La sua funzione di ripartizione è la funzione Beta incompleta regolarizzata
.

Caratteristiche 
I momenti semplici di una variabile aleatoria  con distribuzione Beta di parametri  sono
,
dove  indica il fattoriale crescente con k fattori, .
(L'ultima uguaglianza può essere dedotta dall'espressione della funzione Beta attraverso la funzione Gamma,  e dalla proprietà .)

I momenti semplici soddisfano quindi la relazione ricorsiva
.

Inoltre la distribuzione ha:
valore atteso ;
varianza ;
indice di asimmetria ;
indice di curtosi .

I parametri  e  possono essere determinati univocamente dal valore atteso e dalla varianza:
;
.
Queste formule vengono applicate nel metodo dei momenti con la media e la varianza osservate su un campione.

L'entropia è
,
dove  è la funzione digamma.

La moda della distribuzione dipende dai segni di  e , ed è unica solo se almeno uno dei due è positivo:
se  e  allora la moda è ;
se  (o ) e  allora la moda è 1;
se  (o ) e  allora la moda è 0.
(La funzione di densità di probabilità ha un asintoto in 0 se , in 1 se .)

Relazioni con altre distribuzioni 
Una distribuzione Beta può essere definita su un qualunque intervallo , prendendo .

Se  segue la distribuzione Beta di parametri  allora  segue la distribuzione Beta di parametri .

La distribuzione Beta di parametri  corrisponde alla distribuzione continua uniforme  sull'intervallo unitario.

La distribuzione di Dirichlet è una generalizzazione della distribuzione Beta e descrive i parametri di una distribuzione multinomiale a posteriori di un'osservazione. La distribuzione di Dirichlet con due parametri è esattamente la distribuzione Beta.

Per  la densità di probabilità  della distribuzione Beta descrive la metà superiore di una circonferenza: , descrive un semicerchio. La variabile aleatoria  segue una distribuzione di Wigner di parametro r.

Se  e  sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni Gamma di rispettivi parametri  e , allora la variabile aleatoria  segue la distribuzione Beta di parametri .

Se la variabile aleatoria  segue la distribuzione Beta di parametri  allora la variabile aleatoria  è descritta dalla distribuzione Beta del secondo tipo, che ha funzione di densità di probabilità

La distribuzione di Wilks  può essere interpretata come la distribuzione che governa il prodotto  di n variabili aleatorie indipendenti  con rispettivi parametri .

Se  è una variabile aleatoria con distribuzione di Kumaraswamy di parametri  allora  segue la distribuzione Beta di parametri .

Inferenza bayesiana

La distribuzione Beta e il processo di Bernoulli 
Se X è distribuita come una v.c. binomiale
con parametri n e π

e il parametro π è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

allora il parametro π è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+x e b+n-x

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di π equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri x+1 e n-x+1

che ha come valore modale p (e dunque come valore più probabile)
, che corrisponde alla stima usata in ambito frequentistico
mentre il valore che minimizza lo scarto quadratico, ovvero la media è
, che per x<n/2 è maggiore del valore modale 

Infatti, la probabilità di ottenere  successi e  fallimenti in un processo di Bernoulli di parametro p è , proporzionale alla densità  della distribuzione Beta di parametri .

Pertanto, se la variabile aleatoria  segue una distribuzione binomiale  con parametro aleatorio P distribuito a priori uniformemente sull'intervallo unitario , a posteriori dell'osservazione  il parametro P segue la distribuzione .

Più in generale, se  è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale  e il parametro P segue a priori la distribuzione , allora a posteriori dell'osservazione  il parametro P segue la distribuzione .

Il caso della distribuzione uniforme a priori è un caso particolare di quest'ultimo, essendo .

Priori coniugati e la v.c. binomiale negativa 
Se X è distribuita come una v.c. binomiale negativa
con parametri m e θ

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Beta con i parametri a e b

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Beta, ma con parametri a+m e b+x

Qualora la distribuzione a priori sia una variabile casuale rettangolare nell'intervallo [0;1] (ovvero ipotizzando a priori tutti i possibili valori di θ equiprobabili), e pertanto a=1 e b=1, allora la distribuzione a posteriori è una Beta con parametri m+1 e x+1

che ha come valore modale t (e dunque come valore più probabile)
t=m/(m+x)

Similmente, se la variabile aleatoria  segue la distribuzione di Pascal  e P segue a priori la distribuzione , allora a posteriori dell'osservazione  il parametro P segue la distribuzione .

Voci correlate
 Distribuzione binomiale
 Funzione Beta
 Processo di Bernoulli
 Statistica bayesiana

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

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