Kreiszahl

Die Kreiszahl, auch Ludolphsche (Ludolfsche) Zahl oder Archimedes-Konstante, oder einfach Pi, abgekürzt mit dem griechischen Kleinbuchstaben  (Pi), ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Dieses Verhältnis ist für alle Kreise gleich, unabhängig von ihrer Größe.
Die dezimale Darstellung der Kreiszahl beträgt
 
wobei in der Praxis oft nur zwei Nachkommastellen verwendet werden (3,14), deren Genauigkeit für einfache Anwendungen ausreicht.  ist eine irrationale Zahl, kann also nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden. Eine Konsequenz ist, dass es nicht möglich ist,  durch die Angabe eines einfachen Musters der Nachkommastellen geschlossen anzugeben. Es ist lediglich eine zunehmend bessere Annäherung durch Berechnung weiterer Nachkommastellen möglich. Seit dem 8. Juni 2022 sind 100 Billionen Nachkommastellen der Kreiszahl bekannt.

Die Erforschung der Kreiszahl hat eine sehr lange mathematische Tradition. Der Mathematiker Archimedes konnte um das Jahr 250 v. Chr. Pi bis auf zwei Nachkommastellen berechnen. Obwohl die Chinesen Liu Hui bzw. Zu Chongzhi im Zeitraum 300 bis 500 schon 6 bis 7 Nachkommastellen kannten, verblieben die Berechnungen des Archimedes in den westlichen Kulturen lange der Status quo. Ab dem 16. Jahrhundert wurden in Europa die Forschungen zur Kreiszahl erneut aufgenommen, wobei sich seit dieser Zeit ein gewisser Wettlauf hinsichtlich der Berechnungsgenauigkeit einstellte. Geometrische Verfahren, die auf der Annäherung des Kreises durch Vielecke basierten, wurden zunehmend durch Methoden der Analysis ersetzt, vornehmlich Berechnungen über unendliche Reihen, die seit Begründung einer rigorosen Trigonometrie zur Verfügung standen. Für heutige Berechnungen ist die Anwendung des Chudnovsky-Algorithmus gängige Praxis.

Im Zeitraum 1761 bis 1767 konnte Johann Heinrich Lambert den mathematischen Beweis erbringen, dass  eine irrationale Zahl ist. Dieses Ergebnis wurde 1882 von Ferdinand von Lindemann durch den Beweis, dass  eine transzendente Zahl ist, verschärft. Damit grenzt sich die Kreiszahl auch von irrationalen Zahlen ab, die als Lösungen einfacher Gleichungen „sichtbar“ werden. Damit sind Gleichungen gemeint, die nur aus ganzen Zahlen und einer endlichen Abfolge der vier Grundrechenarten aufgebaut sind (triviale Beispiele wie  ausgenommen): Beispielsweise ist  zwar irrational, aber nicht transzendent, da es Lösung der Gleichung  ist. Allerdings verbleiben viele Fragen weiterhin offen. Es wird zum Beispiel vermutet, dass  eine normale Zahl ist, seine Dezimalentwicklung also einem pseudozufälligen Verhalten unterworfen ist.

Die Kreiszahl tritt nicht nur bei Kreisberechnungen in der Geometrie auf, sondern hat auch in anderen mathematischen Teilgebieten und Theorien enorm an Bedeutung gewonnen. Sie tritt flächendeckend in den Feldern der Analysis, Kombinatorik, Topologie, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie und Physik auf.

Geschichte der Bezeichnung 
Die Bezeichnung mit dem griechischen Buchstaben Pi  erfolgt nach dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes  – , „Umfang“ oder  – zu lateinisch , „Randbereich“. Das Pi () wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio verwendet. Darin drückte er mit  das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) aus, d. h. . Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. Im Jahr 1697 nahm David Gregory  für das Verhältnis von Umfang zu Radius.

59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos als Erster den griechischen Kleinbuchstaben  ein, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken. Erst im 18. Jahrhundert wurde  durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals  für die Kreiszahl, nachdem er zuvor  verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Definition 
Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl  zu definieren.
 Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie beruht auf der Proportionalität von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als das Verhältnis von Umfang  zum Durchmesser  des Kreises. Die Kreiszahl entspricht demnach dem Quotienten und Proportionalitätsfaktor .
 Der zweite geometrische Ansatz (siehe Bild) fußt auf dem Vergleich des Flächeninhalts  eines Kreises mit dem Flächeninhalt des Quadrats über seinem Kreisradius (auch: Halbmesser) , also seinem halben Durchmesser. Aus Gründen der Ähnlichkeit sind diese beiden Flächeninhalte ebenfalls proportional. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl  definieren als der Quotient bzw. der Proportionalitätsfaktor . Man fasst diese zweite Definition in den Merksatz, dass sich eine Kreisfläche zur umgebenden Quadratfläche wie  verhält.

 In der Analysis geht man (nach Edmund Landau) oft so vor, zunächst die reelle Kosinusfunktion  über ihre Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festzulegen.
 Weitere analytische Ansätze gehen auf John Wallis und Leonhard Euler zurück.

Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus, vergleiche Kreisfläche. Der Umfang eines Kreises verhält sich also zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, sprich . Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahl .

Eigenschaften

Irrationalität und Transzendenz 

Die Zahl  ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen  also nicht als Bruch , dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.

Tatsächlich ist die Zahl  sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das  zur Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzem Zahlen aus  erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen.

Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist,  nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen 
Da  eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch.
Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung

 

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).

Darstellung zu anderen Zahlenbasen 
Im Binärsystem ausgedrückt ist

 (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004601).

In OEIS sind auch die Zahlen der Darstellungen zu den Basen 3 bis 16 und 60 angegeben.

Kettenbruchentwicklung 
Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da  irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch.
Der reguläre Kettenbruch der Kreiszahl beginnt so:
 

Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von  ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch ():
 

Anders als bei der Eulerschen Zahl  konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von  keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.

Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von , bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:

Näherungsbrüche der Kreiszahl 
Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler  bzw. Nenner ) die folgenden:

Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung  stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl  überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden Kilometer Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.

Sphärische Geometrie 

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein, bei größeren Kreisen oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.

Normalität 
Es ist noch ungeklärt, ob  eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.

Wenn  eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von  zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.

Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von  auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl  entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl  tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als  ab.

Feynman-Punkt 
Die auffälligste und bekannteste „Unzufälligkeit“ in den ersten 1000 Dezimalstellen ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762-sten Stelle. Das wirkt deshalb erstaunlich, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt bei der 193.034-sten Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen.

Entwicklung von Berechnungsverfahren 
Die Notwendigkeit, den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu ermitteln oder umgekehrt, stellt sich im ganz praktischen Alltag: Man braucht solche Berechnungen zum Beschlagen eines Rades, zum Einzäunen runder Gehege, zum Berechnen der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers. Daher suchten Buchhalter und Wissenschaftler, vor allem Mathematiker und Astronomen, seit der Antike nach immer genaueren Näherungswerten für die Kreiszahl. Wesentliche Beiträge lieferten etwa ägyptische, babylonische und griechische Wissenschaftler, im Mittelalter vor allem chinesische und persische Wissenschaftler, in der Neuzeit französische, englische, schottische, deutsche und schweizerische Wissenschaftler. In der jüngeren Geschichte gerieten die Bestrebungen zur größtmöglichen Annäherung an  phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Erste Näherungen

Berechnungen und Schätzungen in den vorchristlichen Kulturen 

Die Kreiszahl und einige ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, der altägyptische Papyrus Rhind aus der Mitte der 16. Jahrhundert v. Chr., nennt den Wert  ,, was vom tatsächlichen Wert nur um rund 0,60 % abweicht. Dieser Wert wurde gefunden (siehe Bild), als die Annäherung des Flächeninhalts eines Kreises über ein unregelmäßiges Achteck zu einem Quadrat (rot) mit nahezu gleichem Flächeninhalt führte. Bei einem Kreis mit Durchmesser  ist der Flächeninhalt dieses Quadrats  

Die Babylonier benutzten als Näherung für   oder einfach nur 3, solange dessen Abweichung von gut 4,5 % nicht ins Gewicht fiel. Den Wert 3 nutzte man auch im alten China, und er findet sich auch in der biblischen Beschreibung des Wasserbeckens, das für den Jerusalemer Tempel geschaffen wurde:

In Indien nahm man für die Kreiszahl in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert  und wenige Jahrhunderte v. Chr. in der Astronomie den Näherungswert .

Näherungen für den praktischen Alltag 
Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung  und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber  beträgt etwa 0,04 %. In den meisten Fällen liegt das innerhalb der möglichen Fertigungsgenauigkeit und ist damit völlig ausreichend.

Eine andere oft genutzte Näherung ist der Bruch  immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für  ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von  entsprechen, z. B.:

Archimedes von Syrakus

Die Frage, ob die Kreiszahl rational ist 

Für den griechischen Mathematiker Archimedes und viele nach ihm war unklar, ob die Berechnung von  nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob  also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von  die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sich als rationale Zahl darstellen lassen, sogar von Kreisteilen eingeschlossene wie die Möndchen des Hippokrates.

Annäherung durch Vielecke 

Archimedes gelang es um 250 v. Chr., die Kreiszahl mathematisch einzugrenzen, d. h. eine Ober- und Unterschranke anzugeben. Hierzu näherte er sich wie auch andere Mathematiker mit regelmäßigen Vielecken dem Kreis an, um Näherungswerte für  zu gewinnen. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken, beginnend bei Sechsecken, durch wiederholtes Verdoppeln der Eckenzahl bis zu 96-Ecken, berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als  sein müsse, jedoch größer als 
 
Laut Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:
 
Wilbur Knorr korrigierte zu:
 

In den westlichen Kulturen stellten diese Berechnungen von Archimedes über eine sehr lange Zeit – wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen auch – den Status quo in Bezug auf die Genauigkeit der Kenntnis von  dar. Erst im 16. Jahrhundert erwachte das Interesse wieder.

3. bis 15. Jahrhundert 
Fortschritte in der Annäherung an  erzielten in der Zeit des 3. bis 15. Jahrhunderts vor allem chinesische und persische Wissenschaftler:

Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704 sowie später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,1416.

Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (429–500) für die Kreiszahl  also die ersten 7 Dezimalstellen. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch  (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von  der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde (Adriaan Metius, deshalb auch Metius-Wert genannt). Im 14. Jahrhundert berechnete Zhao Youqin die Kreiszahl über ein 16384-Eck auf sechs Dezimalstellen genau.

Der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata gibt im Jahre 498 das Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser mit  an, was nur um rund 0,00023 % zu hoch liegt.

In seinem 1424 abgeschlossenen Werk Abhandlung über den Kreis berechnete der persische Wissenschaftler Dschamschid Masʿud al-Kaschi mit einem 3×228-Eck  bereits auf 16 Stellen genau.

16. bis 19. Jahrhundert

Allgemeiner Verlauf 

In Europa gelang es Ludolph van Ceulen 1596, die ersten 35 Dezimalstellen von  zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setzte Ludolph die Rechnungen bis zum einbeschriebenen  fort.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener  annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für  in Form eines unendlichen Produktes ab:
 

 

Der englische Mathematiker John Wallis, der 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt entwickelte, zeigte im gleichen Jahr die Viète-Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

 

Gottfried Wilhelm Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

 
Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen  auch ein Spezialfall  der Reihenentwicklung des Arkustangens, die der indische Mathematiker Madhava um ca. 1400 fand und auf die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670er Jahren zurückkam:

 

Sie war in der Folgezeit Grundlage vieler Approximationen von , die alle lineare Konvergenzgeschwindigkeit haben.

Im Jahr 1706 beschrieb William Jones in seinem Werk Synopsis palmariorum matheseos die von ihm entwickelte Reihe, mit der er 100 Nachkommastellen von  bestimmte.

„Let . […] Then 

Im selben Jahr 1706 berechnete John Machin mit seiner Formel
 
gleichfalls die ersten 100 Dezimalstellen von  Die Formel ist über das Additionstheorem des Arkustangens zu gewinnen – oder gleichwertig durch Betrachtung der komplexen Zahl, bestehend aus Potenzen ganzzahliger, so genannter Gaußscher Zahlen, mit ganzzahligen Exponenten
 
und dem Argumentwert; 

Im Laufe der Zeit wurden viele Formeln dieser Art gefunden. Eine Formel mit sehr guter Konvergenz der taylorschen Reihen stammt von Carl Størmer (1896):
 ,
welche gleichbedeutend damit ist, dass Real- und Imaginärteil der Gaußschen Zahl
  mit 
gleich sind.

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande  bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):

Irrationalität 

Johann Heinrich Lambert bewies 1761/1767 die Irrationalität der Kreiszahl. Damit stand erstmalig fest, dass eine exakte oder abschließende Berechnung nicht möglich ist.

1770 publizierte Lambert einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

 

geschrieben wird. Bei der Berechnung der Kreiszahl liefert er pro Schritt im Mittel etwa 0,76555 Dezimalstellen, im Vergleich zu anderen Kettenbrüchen relativ viel.

Numerische Verfahren ab dem 20. Jahrhundert

Neue Algorithmen 
Im 20. Jahrhundert wurden Iterationsverfahren entwickelt, die eine deutlich effizientere Berechnung „neuer“ Nachkommastellen von  gestatten.

1914 fand der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan bei Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen die folgende Formel:

 

Die ersten Iterationen dieses Verfahrens liefern folgende Ergebnisse:

Es wird also die Quadratwurzel aus 2 mit immer „längeren“ Näherungsbrüchen multipliziert. Pro Iteration liefert dieses Verfahren etwa 8 weitere korrekte Nachkommastellen.

Diese hocheffizienten Verfahren wurden erst mit der Entwicklung von Computern mit Langzahlarithmetik interessant, durch die der reine Rechenaufwand immer weniger ins Gewicht fiel, so dass komplizierte Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz praktisch durchführbar wurden.

Chudnovsky-Algorithmus 

Der 1988 veröffentlichte Chudnovsky-Algorithmus wurde in allen aktuellen Rekordberechnungen eingesetzt. Er wurde aus dem Ramanujan-Ansatz entwickelt, arbeitet jedoch etwa 50 Prozent schneller, und basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:

Eine technische Implementation beider Iterationsverfahren (Ramanujan und Chudnovsky) bietet die Software y-cruncher.

BBP-Reihen 

1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey eine neuartige Reihendarstellung für :

 

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) ermöglicht es, die -te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von  zu berechnen, ohne dass zuvor die  vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Später wurden für  weitere BBP-Reihen gefunden:

Tröpfelalgorithmus 

Eng verwandt mit den Verfahren zur Ziffernextraktion sind Tröpfelalgorithmen, bei denen die Ziffern eine nach der anderen berechnet werden. Den ersten solchen Algorithmus zur Berechnung von  fand Stanley Rabinowitz. Seitdem sind weitere Tröpfelalgorithmen zur Berechnung von  gefunden worden.

Methode von Gauß, Brent und Salamin 
Die Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate über elliptische Integrale und deren Approximation über das Arithmetisch-geometrische Mittel nach Gauß liefert das schnell konvergierende Verfahren von Salamin und Brent zur numerischen Berechnung. Grundlage hierfür ist die folgende zuerst von Gauß vermutete Darstellung von :

Letzteres Integral ist auch als lemniskatische Konstante bekannt. Es gilt dann
,
wobei sich das arithmetisch-geometrische Mittel über die Iteration

mit zwei initialen Argumenten  berechnet und  gesetzt wird.

Nichtnumerische Berechnungsverfahren

Berechnung mittels Flächenformel 

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass  in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius  lautet
 ,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge  errechnet sich als
 .

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also
 .
Damit lässt sich  als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben:
 .

Programm 

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der  näherungsweise berechnet werden kann.

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von  hängt von der Gitterweite ab und wird mittels  kontrolliert. Mit  erhält man z. B. 3,16 und mit  bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon  zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

 r = 10000
 kreistreffer = 0
 quadrattreffer = r ^ 2
 for i = 0 to r - 1
   x = i + 0.5
   for j = 0 to r - 1
     y = j + 0.5
     if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
       kreistreffer = kreistreffer + 1
 return 4 * kreistreffer / quadrattreffer

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes  marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Alternatives Programm 

Dieses Programm summiert die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen. Es verwendet die Gleichungen und  sowie .
n := 1000000 // Halbe Anzahl der Streifen
s := 0       // Summe der Flächeninhalte

for x := -1 to +1 step 1/n:
    // Flächeninhalt des Streifens an der Stelle x hinzuaddieren.
    // Die Höhe des Streifens wird exakt in der Mitte des Streifens gemessen.
    // Die 2 steht für die obere plus die untere Hälfte.
    // Der Faktor 1/n ist die Breite des Streifens.
    s += 2 * sqrt(1 - x*x) * 1/n

pi := s

Die x-Koordinaten der untersuchten Fläche gehen von  bis .
Da Kreise rund sind und dieser Kreis sein Zentrum auf den Koordinaten  hat, liegen die y-Koordinaten ebenfalls im Bereich von  bis .
Das Programm teilt die zu untersuchende Fläche in 2 Millionen schmale Streifen auf.
Jeder dieser Streifen hat dieselbe Breite, nämlich .
Die Oberkante eines jeden Streifens ist jedoch unterschiedlich und ergibt sich aus der obigen Formel zu , im Code wird das als sqrt(1 - x*x) geschrieben.
Die Höhe eines jeden Streifens geht von der Oberkante bis zur Unterkante. Da die beiden Kanten bei Kreisen gleich weit von der Mittellinie entfernt sind, ist die Höhe genau das Doppelte der Kantenlänge, daher die 2 im Code.

Nach dem Durchlaufen der for-Schleife befindet sich in der Variablen s der Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1.
Um aus dieser Zahl den Wert von Pi zu ermitteln, muss diese Zahl gemäß der Formel  noch durch  geteilt werden.
In diesem Beispiel ist , daher ist das im Programmcode weggelassen.

Statistische Bestimmung

Berechnung mit einem Monte-Carlo-Algorithmus 

Eine Methode zur Bestimmung von  ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines einbeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist approximiert .

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von  lässt sich daher nur mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der Algorithmus für diese Bestimmung ist:

function approximiere_pi(tropfenzahl)

    innerhalb := 0   // Zählt die Tropfen innerhalb des Kreises

    // So oft wiederholen, wie es Tropfen gibt:
    for i := 1 to tropfenzahl do

        // Zufälligen Tropfen im Quadrat [0,0] bis (1,1) erzeugen
        x := random(0.0 ..< 1.0)
        y := random(0.0 ..< 1.0)

        // Wenn der Tropfen innerhalb des Kreises liegt …
        if x * x + y * y <= 1.0
            innerhalb++   // Zähler erhöhen

    return 4.0 * innerhalb / tropfenzahl

Die 4.0 im Code ergibt sich daraus, dass in der Tröpfchensimulation nur die Anzahl für einen Viertelkreis berechnet wurde.
Um daraus die (hochgerechnete) Anzahl für einen ganzen Kreis zu bekommen, muss die berechnete Anzahl noch mit 4 multipliziert werden.
Da die Zahl Pi das Verhältnis zwischen der Kreisfläche und dem Quadrat des Radius ist, muss die so erhaltene Zahl noch durch das Quadrat des Radius geteilt werden. Der Radius ist in diesem Fall 1, daher kann das Teilen weggelassen werden.

Buffonsches Nadelproblem 

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem, von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1733 vorgetragen, 1777 veröffentlicht). Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen, aber konstanten Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Es kommt nicht darauf an, wie man das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt. Die Division der Gesamtzahl  der Nadelwürfe durch die Zahl  der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, nähert sich (stochastisch) mit zunehmender Zahl der Würfe an die Formel
 
an, wobei  die Länge der Nadeln und  den Abstand der Linien auf dem Papier bezeichnet. Daraus ergibt sich leicht eine Näherung für 
Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von .

Rekorde der Berechnung von π

Geometrische Konstruktionen 
Aufgrund der Transzendenz von  ist es nicht möglich, durch eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine Strecke mit der exakten Länge von  Längeneinheiten zu erstellen. Es existieren jedoch sowohl eine Reihe von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen, die sehr gute Näherungen liefern, als auch Konstruktionen, die dank eines weiteren Hilfsmittels – zusätzlich zu Zirkel und Lineal – eine exakte Konstruktion ermöglichen. Als ein solches weiteres Hilfsmittel kommen dabei insbesondere als Quadratrizes bezeichnete Kurven zum Einsatz, die z. B. mit Hilfe einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS) erzeugt und als Ausdruck u. a. auf Papier Verwendung finden. Zudem gibt es einige spezielle mechanische Zeichengeräte und eventuell eigens angefertigte Kurvenlineale, mit denen sich solche Kurven zeichnen lassen.

Ohne direkten praktischen Nutzen, doch geometrisch anschaulich, lässt sich  als Flächeninhalt eines angepassten Sierpinski-Teppiches konstruieren.

Näherungskonstruktionen 
Zur geometrischen Konstruktion der Zahl  gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański aus dem Jahr 1685, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Es handelt sich also um eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

143 Jahre später, nämlich 1828, veröffentlichte C. G. Specht seine Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges im Journal für die reine und angewandte Mathematik. Für die Annäherung fand er den Wert
 

Halbiert man diesen Wert, ergibt sich eine Dezimalzahl, bei der sieben Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl  übereinstimmen:

 

Bei einem Kreis mit Radius  ist dieser Wert auch gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks , mit anderen Worten, der Flächeninhalt des Dreiecks ist nahezu gleich dem des Kreises.

Beachtenswert ist, erst im Jahr 1914, d. h. 86 Jahre später, verbesserte Srinivasa Ramanujan – in seiner zweiten Quadratur des Kreises – die Genauigkeit des nahezu flächengleichen Quadrats um eine auf acht gemeinsame Nachkommastellen mit der Kreiszahl .

Eine zeichnerische Darstellung wird in dem oben angeführten Journal nicht erfasst; hierzu die Anmerkung des Herausgebers:

Die nachfolgende Beschreibung der nebenstehenden Konstruktion ist eine Anlehnung an das Original der Konstruktionsbeschreibung.

Zeichne zuerst den Einheitskreis um den Punkt  und dann ab  eine gerade Linie; dabei ergibt sich . Anschließend wird in  eine Senkrechte zur Geraden errichtet; sie erzeugt . Es folgen auf der Geraden ab  hintereinander vier Halbkreise mit dem Radius  jeweils um den sich neu ergebenden Schnittpunkt, dabei entstehen die Punkte  und . Nach der Dreiteilung der Strecken  in  und  sowie  in  und , wird nun der Punkt  mit  verbunden. Die dabei entstandene Strecke  auf die Senkrechte ab  abgetragen ergibt . Verbinde auch den Punkt  mit  und übertrage die neue Strecke  ab  auf die Senkrechte; es ergibt sich . Es geht weiter mit den Verbindungen der Punkte  mit  sowie  mit . Beim Übertragen der Strecke  auf die Strecke  ab  ergibt sich . Abschließend zeichne ab  eine Parallele zur Strecke , die  in  schneidet. Die somit entstandene Strecke  entspricht annähernd dem Wert .

Die Annäherung an die Kreiszahl  kann z. B. auf folgende Art und Weise verdeutlicht werden:

Wäre der Durchmesser  eines Kreises , würde sein angenäherter Umfang  nur um ca.  kürzer als sein theoretischer Wert sein.

Mithilfe der Quadratrix des Hippias 

Die nebenstehende Darstellung zeigt die Kreiszahl  als Strecke, erstellt mit Hilfe der Quadratrix des Hippias.

Es beginnt mit einer Geraden ab dem Punkt  und einer Senkrechten auf diese Gerade durch . Anschließend wird der Halbkreis mit dem Radius  um  gezogen; dabei ergeben sich die Schnittpunkte  und . Nun konstruiert man das Quadrat  mit der Seitenlänge 1. Es folgt die Festlegung der Quadratrix, ohne „Lücke“ auf der -Achse. Hierfür wird der Bezug der Kurve nicht auf die -Achse, sondern auf die -Achse gewählt. Die Quadratrix (rot) verläuft somit durch  und . Für diese Lage der Quadratrix () gilt die kartesische Gleichung:

Die Quadratrix schneidet nach dem Satz des Dinostratos die Seite  ihres zugehörigen Quadrates im Punkt  und generiert damit auf der Geraden, nun als Zahlengerade genutzt, den Wert . Das Errichten der Senkrechten auf die Strecke  ab  bis zum Halbkreis ergibt den Schnittpunkt . Nach der Verlängerung der Strecke  über  hinaus und dem Zeichnen einer geraden Linie ab  durch  bis zur Verlängerung ergibt sich der Schnittpunkt . Eine Möglichkeit u. a. ist nun, die Länge der Strecke  mit Hilfe des Strahlensatzes zu bestimmen. In der Zeichnung ist ersichtlich, dass  der Strecke  entspricht. Infolgedessen sind nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte
 ,
umgeformt und die entsprechenden Werte eingesetzt ergibt sich
 .

Nun wird der Kreisbogen mit dem Radius  um  bis auf die Zahlengerade gezogen; es entsteht der Schnittpunkt . Der abschließende Thaleskreis über  ab dem Punkt  ergibt somit exakt die Kreiszahl .

Mithilfe der archimedischen Spirale 
Eine sehr einfache Konstruktion der Kreiszahl  zeigt das folgende Bild, erzeugt mithilfe der archimedischen Spirale.

Wird als Windungsabstand (mit )  gewählt, so schneidet der Graph der Spirale die -Achse in  und liefert somit bereits nach einer Vierteldrehung 

Der auf die -Achse projizierte Halbkreis mit Radius  sowie die Strecke  (grüne Linien) dienen lediglich der Verdeutlichung des Ergebnisses.

Mithilfe der Sinuslinie 
Die Konstruktion der Kreiszahl  mithilfe des Graphen der Sinusfunktion , auch als Sinuslinie bezeichnet, ist eine der einfachsten ihrer Art. Die Sinuskurve wird mittels Schablone oder einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS) auf einer Zahlengeraden eingezeichnet. Sie durchläuft zuerst den Punkt  und liefert schließlich beim zweiten Überqueren der Zahlengerade (Winkel ) die Kreiszahl  als Länge, d. h. den halben Umfang des Einheitskreises.

Experimentelle Konstruktion 

Die folgende Methode nutzt die in der Kreisfläche „versteckte“ Kreiszahl , um mit Hilfe experimenteller Physik den Wert von  als messbare Größe darzustellen.

Ein Zylinder mit dem Radius  und der Gefäßhöhe  wird bis auf die Höhe  mit Wasser gefüllt. Die so bestimmte Wassermenge wird nun vom Zylinder in einen Quader umgefüllt, der eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge  und eine Gefäßhöhe von  aufweist.

Wassermenge im Zylinder  in Volumeneinheiten [VE]:
 

Wasserstand im Quader  in Längeneinheiten [LE]:
 , daraus 
 

Das Ergebnis zeigt: Eine Wassermenge, die in einem Zylinder mit dem Radius  den Wasserstand  hat, liefert – umgefüllt in den Quader  – den Wasserstand .

Formeln und Anwendungen

Formeln, die π enthalten

Formeln der Geometrie 
In der Geometrie treten die Eigenschaften von  als Kreiszahl unmittelbar hervor.
 Umfang eines Kreises mit Radius : 
 Fläche eines Kreises mit Radius : 
 Volumen einer Kugel mit Radius : 
 Oberfläche einer Kugel mit Radius : 
 Volumen eines Zylinders mit Radius  und Höhe : 
 Volumen eines durch die Rotation des Graphen  um die -Achse definierten Rotationskörpers mit den Grenzen  und

Formeln der Analysis 
Im Bereich der Analysis spielt  ebenfalls in vielen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei
 der Integraldarstellung , die Karl Weierstraß 1841 nutzte, um  zu definieren,
 der unendlichen Reihe:  (Euler, siehe Basler Problem und auch Riemannsche Zetafunktion),
 der gaußschen Normalverteilung:  oder in anderer Darstellung: ,
 der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große : ,
 der Fourier-Transformation: .
 den Formeln der Funktionentheorie: Wie für alle Teilgebiete der Analysis ist auch für die Funktionentheorie (und darüber hinaus für die gesamte komplexe Analysis) die Kreiszahl von grundlegender Bedeutung. Als herausragende Beispiele sind hier
 die Euler-Identität  zu nennen sowie
 die Integralformel von Cauchy .

Darüber hinaus wird die Bedeutung der Kreiszahl ebenfalls augenfällig in den Formeln zur Partialbruchzerlegung der komplexwertigen trigonometrischen Funktionen, die im Zusammenhang mit dem Satz von Mittag-Leffler stehen. Hier sind vor allem

 die Partialbruchzerlegung des Kotangens:
 

zu erwähnen sowie die daraus – neben weiteren! – zu gewinnenden

 Partialbruchzerlegungen zu Sinus und Kosinus:
 

Die obige Partialbruchreihe zum Sinus liefert dann durch Einsetzen von  die bekannte Reihendarstellung

 ,
die ihrerseits direkt zu der eulerschen Reihendarstellung

 

führt, siehe Basler Problem.

Neben diesen von den Partialbruchreihen herrührenden π-Formeln kennt die Funktionentheorie noch eine große Anzahl weiterer davon, die statt der Darstellung mit unendlichen Reihen eine Darstellung mittels unendlicher Produkte aufweisen. Viele von ihnen gehen auf das Werk von Leonhard Euler zurück (s. u.).

Formeln der Zahlentheorie 
 Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke  liegen, teilerfremd sind, strebt mit  gegen  (Satz von Ernesto Cesàro, 1881).
 Nimmt man eine ganze Zahl z, deren Dezimaldarstellung aus  Fünfen besteht, und berechnet das -Fache des Sinus des z-ten Teils eines Grades, dann strebt das Resultat mit wachsendem  gegen π:

Formeln der Physik 
In der Physik spielt  neben
 der Kreisbewegung:  (Winkelgeschwindigkeit gleich  mal Umlauffrequenz)
vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort  über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht; somit also zum Beispiel
 in der Quantenmechanik:  (Heisenbergsche Unschärferelation),
außerdem
 in der Berechnung der Knicklast 
 und bei der Reibung von Partikeln in Flüssigkeiten (Gesetz von Stokes) .

Produktformeln von Leonhard Euler 
 Wird die Folge der Primzahlen mit  bezeichnet, so gilt:
{| class="wikitable"
! colspan="4"| unendliches Produkt !!colspan="2"| endliche Approximation (3 Faktoren) !!colspan="2"| Abweichung von 
|-
|style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid none solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid none;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"| 
|-
|style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid none solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid none;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"| 
|-
|style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid none solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid none;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"| 
|-
|style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid none solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid none;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"|  ||style="border-style: solid none solid solid;"|  ||style="border-style: solid solid solid none;"| 
|-
|style="border-style: solid none solid solid;"| ||style="border-style: solid none solid none; text-align:right"|    ||style="border-style: solid none solid none;"| ||style="border-style: solid solid solid none;"| ||style="border-style: solid none solid solid;"| ||style="border-style: solid solid solid none; text-align:right"|  ||style="border-style: solid none solid solid;"| ||style="border-style: solid solid solid none; text-align:right"| 
|}
 Siehe dazu auch die Artikel über die Zeta-Funktion  und insbesondere den Abschnitt Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen.

 Auf Euler gehen auch die folgenden Produktformeln zurück, welche die Kreiszahl mit der komplexen Gammafunktion und dem komplexen Sinus und Kosinus verbinden:
 Die erste der drei folgenden Formeln bezeichnet man auch als eulerschen Ergänzungssatz. Bei den beiden anschließenden Produktformeln für Sinus und Kosinus handelt es sich um absolut konvergente Produkte. Beide Produktformeln ergeben sich aus dem Ergänzungssatz, wobei die Produktformel des Kosinus ihrerseits wegen  eine direkte Anwendung der Produktformel des Sinus ist.

 

 Die Produktformel des Sinus führt dann mit  zu dieser interessanten Beziehung ():

Rezeption

Kuriositäten 

 Freunde der Zahl  feiern am 14. März (in US-amerikanischer Notation 3/14) den Pi-Tag und am 22. Juli (in US-amerikanischer Notation 7/22) den Pi Approximation Day.
 Im Jahr 1897 sollte im US-Bundesstaat Indiana mit dem Indiana Pi Bill die Kreiszahl gesetzlich auf einen der von Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin gefundenen Werte festgelegt werden, der sich auf übernatürliche Eingebungen berief. Aus seinen Arbeiten lassen sich unterschiedliche Werte für die Kreiszahl ableiten, unter anderem 4 oder . Nachdem er eine gebührenfreie Nutzung seiner Entdeckungen anbot, verabschiedete das Repräsentantenhaus diesen Gesetzentwurf einstimmig. Als Clarence A. Waldo, Mathematikprofessor der Purdue University, davon zufällig bei einem Besuch des Parlaments erfuhr und Einspruch erhob, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den Entwurf auf unbestimmte Zeit.
 Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl ins Weltall. Sie sind der Meinung, dass andere Zivilisationen diese Zahl kennen müssen, wenn sie das Signal auffangen können.
 Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Organisiert wurde der Weltrekord vom Mathematikum in Gießen.

Film, Musik, Kultur und Literatur 

 Im Roman Der Zauberberg von Thomas Mann schildert der Erzähler im Kapitel Der große Stumpfsinn auf mitleidig-belächelnde Weise, wie die Nebenfigur des Staatsanwalts Paravant den „verzweifelten Bruch“ Pi zu enträtseln versucht. Paravant glaubt, dass die „planende Vorsehung“ ihn dazu bestimmt habe, „das transzendente Ziel in den Bereich irdisch genauer Erfüllung zu reißen“. Er bemüht sich, in seiner Umgebung eine „humane Empfindlichkeit zu wecken für die Schande der Verunreinigung des Menschengeistes durch die heillose Irrationalität dieses mystischen Verhältnisses“, und fragt sich, „ob nicht die Menschheit sich die Lösung des Problems seit Archimedes’ Tagen viel zu schwer gemacht habe, und ob diese Lösung nicht in Wahrheit die kindlich einfachste sei.“ In diesem Zusammenhang erwähnt der Erzähler den historischen Zacharias Dase, der Pi bis auf zweihundert Stellen nach dem Komma berechnet hat.
 In der Science-Fiction-Serie Raumschiff Enterprise bemächtigt sich in Folge 43, Der Wolf im Schafspelz (orig. Titel Wolf in the Fold), ein fremdes Wesen des Bordcomputers. Der 1. Offizier Spock befiehlt darauf dem Computer, die Zahl Pi bis auf die letzte Nachkommastelle zu berechnen. Durch diese Aufgabe wird der Computer so überfordert, dass das Wesen den Computer wieder verlässt.
 1981 wurde Carl Sagans Buch Contact veröffentlicht. Das Buch beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl  spielt für die im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle.
 1988 initiierte Larry Shaw den Pi-Tag am 14. März im Exploratorium.
 1998 veröffentlichte Darren Aronofsky (Requiem for a Dream) den Film Pi, in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als ‚Maximilian Cohen‘) die Weltformel aus  herausfiltern möchte.
 Auf dem 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial von Kate Bush ist ein Lied der Zahl Pi gewidmet.
 Die im November 2006 eröffnete Medieninstallation Pi in der Wiener Opernpassage widmet sich unter anderem der Kreiszahl.
 Im Film Nachts im Museum 2 (2009) ist die Kreiszahl die Kombination für die Tafel des Ahkmenrah. Die Kombination wird mit Hilfe von Wackelkopf-Einsteins gelöst und öffnet in dem Film das Tor zur Unterwelt.
 Die progressive Deathcore-Band After the Burial hat auf ihrem Debütalbum Forging a Future Self das Lied Pi (The Mercury God of Infinity) veröffentlicht. Es besteht aus einem Akustikgitarrensolo, auf das ein Breakdown folgt, dessen Rhythmus an die ersten 110 Stellen der Kreiszahl angelehnt ist.
 In der Folge 28 (2x06) Rückkehr des Thor der Fernsehserie Stargate – Kommando SG-1 ist die Zahl 3,14159 die Lösung eines Rätsels zur Kontaktaufnahme mit freundlichen Aliens.

Pi-Sport 

Das Memorieren der Zahl Pi ist die beliebteste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. So ist aus dem Lernen von Pi ein Sport geworden. Der Inder Rajveer Meena ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 70.000 Nachkommastellen, die er am 21. März 2015 fehlerfrei in einer Zeit von 10 Stunden aufsagte. Er wird im Guinness Book of Records als Rekordhalter geführt.

Der inoffizielle Weltrekord lag im Oktober 2006 bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Den deutschen Rekord hält seit dem 10. März 2023 die Frankfurter Gedächtniskünstlerin Susanne Hipp mit 15.637 Nachkommastellen.

Für das Memorieren von Pi werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach den Vorlieben und Begabungen des Gedächtniskünstlers sowie der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen. Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es einfache Merksysteme, dazu Pi-Sport-Merkregeln.

Alternative Kreiszahl τ 
Der amerikanische Mathematiker Robert Palais schlug 2001 in einer Ausgabe des Mathematik-Magazins The Mathematical Intelligencer vor, für  statt wie bisher den Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises, in Zukunft den Quotienten aus Umfang und Radius (entsprechend  als grundlegende Konstante zu verwenden. Seine Argumentation beruht darauf, dass in vielen mathematischen Formeln der Faktor  vor der Kreiszahl auftauche. Ein weiteres Argument ist die Tatsache, dass die neue Konstante im Bogenmaß einen Vollwinkel darstellt, statt wie  einen halben Winkel, und so weniger willkürlich wirkt. Die neu normierte Kreiszahl, für deren Notation Michael Hartl und Peter Harremoës den griechischen Buchstaben  (Tau) vorschlugen, würde diese Formeln verkürzen. Nach dieser Konvention gilt dann  also

Literatur 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 145–146 ()

Weblinks 

 Beweis der Irrationalität von  in der Formelsammlung Mathematik
 Beweis der Transzendenz von  und  im Beweisarchiv.
 Albrecht Beutelspacher (Mathematikum Gießen): Mathematik zum Anfassen – Die Zahl . Bayern α.
 Werner Scholz: Die Geschichte der Approximationen der Zahl. TU Wien, 3. November 2001.
 Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl.
 The -Search Page. Ziffernfolgen innerhalb von  suchen.
 Pibel.de. Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit.
 Aktuelle Weltrangliste der -Auswendiglerner. Englisch.
 Monte-Carlo-Methode zur Approximation von π.
 Don Zagier: Zahlentheorie und die Kreiszahl Pi. Gaußvorlesung 2003 in Freiburg (Podcast).

Anmerkungen

Einzelnachweise 

Besondere Zahl