Media (statistica)

In statistica, la media è un singolo valore numerico che descrive sinteticamente un insieme di dati. Esistono diversi tipi di media che possono essere scelte per descrivere un fenomeno: quelle più comunemente impiegate sono le tre cosiddette medie pitagoriche (aritmetica, geometrica e armonica). Nel linguaggio ordinario, con il termine media si intende comunemente la media aritmetica. È l'indice di posizione più usato.

Definizione generale di Chisini 

Oscar Chisini ha formalizzato una definizione generale di media ampiamente accettata, che riflette la relatività del concetto di media rispetto al particolare fenomeno in analisi.

Dato un campione  di numerosità  e una funzione  in  variabili, la media delle  rispetto a  è definita come quell'unico numero , se esiste, tale che sostituendolo a tutte le variabili il valore della funzione rimane inalterato:

Le medie comunemente impiegate (aritmetica, geometrica, armonica, di potenza) sono casi particolari ottenibili tramite questa definizione, per una funzione  opportuna.

Media aritmetica 
La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine "media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una popolazione).

Viene calcolata sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero complessivo dei dati.

La formula della media aritmetica semplice per  elementi è:

Nel caso in cui si disponga della distribuzione di frequenze del fenomeno (carattere) misurato è possibile calcolare più agilmente la media aritmetica a partire dalle seguente formula:

dove  è il numero di modalità assunte dal carattere   rappresenta la -esima modalità di  e  la corrispondente frequenza assoluta. Essendo poi , ne deriva che:

dove  rappresenta la frequenza relativa della -esima modalità del carattere  

La media aritmetica ponderata (o media pesata) viene calcolata sommando i valori in analisi, ognuno moltiplicato per un coefficiente (detto anche peso) che ne definisce l'"importanza", e dividendo tutto per la somma dei pesi (quindi è una combinazione lineare convessa dei dati in analisi). Alla luce di questa definizione, la media aritmetica semplice è un caso particolare di media aritmetica pesata nella quale tutti i valori hanno peso unitario.

La formula generale per la media pesata è quindi:

dove  è il peso del termine -esimo.

Si dimostra facilmente che la media aritmetica è un indice di posizione, in quanto aggiungendo o moltiplicando tutti i valori per una stessa quantità la media stessa aumenta o è moltiplicata per quella stessa quantità. Come tutti gli indici di posizione, la media aritmetica fornisce l'ordine di grandezza dei valori esistenti e permette di conoscerne la somma dei valori (moltiplicando la media per il numero  di elementi).

Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche.

Nonostante la media aritmetica sia spesso usata per fare riferimento alle tendenze, non fornisce un dato statistico robusto in quanto risente notevolmente dei valori anomali (outlier). Per questo si considerano spesso anche altri indici, come la mediana, che sono più robusti rispetto ai valori anomali e si fa un'analisi comparata. Un tentativo di ridurre l'effetto dei valori estremi nel calcolo della media aritmetica è costituito dalla trimmed mean, ovvero un particolare calcolo della media nel quale si considera solo una certa percentuale dei valori più centrali, tralasciando i valori agli estremi di questi. È comune, per esempio, il calcolo della trimmed mean al 50%, che consiste nella media aritmetica del 50% dei valori più centrali, tralasciando dunque il 25% dei valori più piccoli e il 25% di quelli più grandi.

Proprietà della media aritmetica 
La media aritmetica gode delle seguenti proprietà:
 la somma degli scarti di ciascun valore di  dalla media aritmetica è nulla:   
 la somma del quadrato degli scarti di ciascun valore di  da una costante  è minima quando  è pari alla media aritmetica:   
 la media aritmetica relativa ad un collettivo di  unità suddiviso in  sottogruppi disgiunti può essere calcolata come la media ponderata delle medie dei sottogruppi, con pesi pari alla loro numerosità:    dove  ed  rappresentano rispettivamente la media aritmetica e la numerosità dell'-esimo sottogruppo;
 la media aritmetica  di un carattere  ottenuto a partire dalla trasformazione lineare  di un carattere  è uguale a , dove  è la media aritmetica del carattere .

Esempio 
Dati cinque numeri:

la loro media aritmetica è data da:

Media ponderata 
Per calcolare la media ponderata di una serie di dati di cui ogni elemento  proviene da una differente distribuzione di probabilità con una varianza  nota, una possibile scelta per i pesi è data da:

La media ponderata in questo caso è:

e la varianza della media ponderata è:

che si riduce a  quando tutti i .

Il significato di tale scelta è che questa media pesata è lo stimatore di massima verosimiglianza della media delle distribuzioni di probabilità nell'ipotesi che esse siano indipendenti e normalmente distribuite con la stessa media.

Media geometrica 
La media geometrica di  termini è la radice -esima del prodotto degli  valori:

Sfruttando le proprietà dei logaritmi, l'espressione della media geometrica può essere resa trasformando i prodotti in somme e le potenze in prodotti:

Dalla precedente scrittura si ricava anche una proprietà della media geometrica: il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi. Infatti, svolgendo il logaritmo su entrambi i lati dell'uguaglianza e ricordando che , si ottiene:
 

Nel caso si disponga della distribuzione di frequenze della variabile, è possibile calcolare più facilmente la media geometrica attraverso la seguente formula:

dove è il numero delle modalità assunte dalla variabile ,  rappresenta la -esima modalità di  e  la corrispondente frequenza assoluta. Dalla precedente si ottiene anche:

Analogamente al caso della media aritmetica, attribuendo un peso ai termini si può calcolare la media geometrica ponderata:

La media geometrica può essere vista anche come media aritmetico-armonica. Definendo infatti due successioni:

 e  convergono alla media geometrica di  e .

Infatti le successioni convergono ad un limite comune. Si può infatti osservare che:

Lo stesso ragionamento può essere applicato sostituendo le medie aritmetica e armonica con una coppia di medie generalizzate di ordine finito e opposto.

La media geometrica si applica a valori positivi. Ha un chiaro significato geometrico: ad esempio la media geometrica di due numeri è la lunghezza del lato di un quadrato equivalente ad un rettangolo che abbia i lati di modulo pari ai due numeri. Lo stesso vale in un numero di dimensioni superiore. La media geometrica trova impiego soprattutto dove i valori considerati vengono per loro natura moltiplicati tra di loro e non sommati. Esempio tipico sono i tassi di crescita, come i tassi d'interesse o i tassi d'inflazione.

Una caratteristica è che valori piccoli (rispetto alla media aritmetica) sono molto più influenti dei valori grandi. In particolare, è sufficiente la presenza di un unico valore nullo per annullare la media.

Esempio 
Dati cinque numeri:

la loro media geometrica è data da:

Media armonica 

La media armonica di  termini è definita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci:

Per praticità di calcolo si può applicare la seguente formula, ottenuta tramite le proprietà di somme e prodotti:

Se a un insieme di dati è associato un insieme di pesi , è possibile definire la media armonica ponderata come:

La media armonica semplice rappresenta un caso particolare, nel quale tutti i pesi hanno valore unitario.

La media armonica è fortemente influenzata dagli elementi di modulo minore: rispetto alla media aritmetica risente meno dell'influenza di outlier grandi, ma è influenzata notevolmente dagli outlier piccoli.

Esempio 
Dati cinque numeri:

la loro media armonica è data da:

Media di potenza 
La media di potenza (o media generalizzata o media di Hölder o media -esima) rappresenta una generalizzazione delle medie pitagoriche. È definita come la radice -esima della media aritmetica delle potenze di esponente  degli  valori considerati:

Molte altre medie sono casi particolari della media generalizzata, per opportuni valori di :
 media aritmetica, per ;
 media geometrica, per ;
 media armonica, per ;
 media quadratica, per  (usata soprattutto in presenza di numeri negativi per eliminare i segni);
 media cubica, per .

Inoltre:
 
 

Ad ogni termine può essere associato un coefficiente detto peso, in genere rappresentato dalla frequenza oppure da un valore il quale descrive l'importanza (oggettiva o soggettiva) che il singolo elemento riveste nella distribuzione. Se ai dati in esame si assegna un insieme di pesi , tali che , è possibile definire la media pesata:

Media aritmetico-geometrica 
La media aritmetico-geometrica (AGM) di due numeri reali positivi  e  è definita come limite comune di due successioni definite come segue.

Si determinano la media aritmetica  e la media geometrica  di  e 

.

Quindi si itera il procedimento, sostituendo  ad  e  a . In questo modo si ottengono due successioni:

Le due successioni sono convergenti e hanno limite comune, detto media aritmetico-geometrica di  e , indicata come  o talvolta come .

La media geometrica di due numeri è sempre minore della media aritmetica, di conseguenza  è una successione crescente,  è decrescente e si ha  (le disuguaglianze sono strette se ).

Quindi  è un numero compreso fra la media aritmetica e la media geometrica di  e .

Inoltre, dato un numero reale , vale la relazione

Esiste anche un'espressione in forma integrale di :

dove  rappresenta l'integrale ellittico completo di prima specie:

Inoltre, poiché la media aritmetico-geometrica converge piuttosto rapidamente, la formula precedente è utile anche nel calcolo degli integrali ellittici.

Il reciproco della media aritmetico-geometrica di  e  è chiamata costante di Gauss, in onore del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Media integrale 
Una generalizzazione del concetto di media a distribuzioni continue prevede l'uso di integrali.
Supponiamo di avere una funzione , integrabile. Allora si può definire la media  come:

Data inoltre una funzione  tale che , detta peso, si può definire la media integrale pesata  come:

Più in generale data una funzione  dove  è un insieme sul quale è definita una funzione di integrazione, si definisce la media  come:

Media temporale 
La media temporale, spesso usata nella trattazione di segnali, è chiamata componente continua. Si tratta della media integrale calcolata in un intervallo di tempo tendente all'infinito.

.

per:

Note

Bibliografia

Voci correlate 
 Valore atteso
 Variabile
 Varianza
 Covarianza
 Mediana
 Moda
 Momento (statistica)
 Trimmed mean
 Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica

Altri progetti

Collegamenti esterni
 
 Calcolo della media pesata  - Sito italiano che permette di eseguire online il calcolo della media, anche pesata, di una serie di dati.
 Calcolo della media ponderata - Sito che permette il calcolo della media ponderata e aritmetica con possibilità di grafici e statistiche.

Indici di posizione
Psicometria