Ganze Zahl

Die ganzen Zahlen (auch Ganzzahlen, ) sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.

Die ganzen Zahlen umfassen alle Zahlen

 …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

und enthalten damit alle natürlichen Zahlen  sowie deren additive Inverse. Die Menge der ganzen Zahlen wird meist mit dem Buchstaben mit Doppelstrich  bezeichnet (das „Z“ steht für das deutsche Wort „Zahlen“). Das alternative Symbol  ist mittlerweile weniger verbreitet; ein Nachteil dieses Fettdruck-Symbols ist die schwierige handschriftliche Darstellbarkeit. Der Unicode des Zeichens lautet U+2124 und hat die Gestalt ℤ.

Die obige Aufzählung der ganzen Zahlen gibt auch gleichzeitig in aufsteigender Folge deren natürliche Anordnung wieder. Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt.

Die Repräsentation ganzer Zahlen im Computer erfolgt üblicherweise durch den Datentyp Integer.

Die ganzen Zahlen werden im Mathematikunterricht üblicherweise in der fünften bis siebten Klasse eingeführt.

Eigenschaften

Ring 

Die ganzen Zahlen bilden einen Ring bezüglich der Addition und der Multiplikation, d. h., sie können ohne Einschränkung addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Dabei gelten Rechenregeln wie das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz für Addition und Multiplikation, außerdem gelten die Distributivgesetze.

Durch die Existenz der Subtraktion können lineare Gleichungen der Form
 
mit natürlichen Zahlen  und  stets gelöst werden: . Beschränkt man  auf die Menge der natürlichen Zahlen, dann ist nicht jede solche Gleichung lösbar.

Abstrakt ausgedrückt heißt das, die ganzen Zahlen bilden einen kommutativen unitären Ring. Das neutrale Element der Addition ist 0, das additiv inverse Element von  ist , das neutrale Element der Multiplikation ist 1.

Anordnung 

Die Menge der ganzen Zahlen ist total geordnet, in der Reihenfolge
  .
D. h., man kann je zwei ganze Zahlen vergleichen. Man spricht von

ganzen Zahlen. Die Zahl 0 selbst ist weder positiv noch negativ. Diese Ordnung ist verträglich mit den Rechenoperationen, d. h.:
 Ist  und , dann ist .
 Ist  und , dann ist .

Mithilfe der Anordnung lassen sich die Vorzeichenfunktion
 
und die Betragsfunktion
 
definieren. Sie hängen wie folgt
 
zusammen.

Mächtigkeit 
Wie die Menge der natürlichen Zahlen ist auch die Menge der ganzen Zahlen abzählbar.

Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, denn z. B. ist die Gleichung  nicht in  lösbar. Der kleinste Körper, der  enthält, sind die rationalen Zahlen .

Euklidischer Ring 
Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist die Existenz einer Division mit Rest. Aufgrund dieser Eigenschaft gibt es für zwei ganze Zahlen stets einen größten gemeinsamen Teiler, den man mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen kann. In der Mathematik wird  als euklidischer Ring bezeichnet. Hieraus folgt auch der Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung in .

Konstruktion aus den natürlichen Zahlen 
Ist die Menge der natürlichen Zahlen gegeben, dann lassen sich die ganzen Zahlen daraus als Zahlbereichserweiterung konstruieren:

Auf der Menge  aller Paare natürlicher Zahlen wird folgende Äquivalenzrelation definiert:
 , falls 
Die Addition und Multiplikation auf  wird definiert durch:
 

 ist nun die Menge aller Äquivalenzklassen.

Die Addition und Multiplikation der Paare induzieren nun wohldefinierte Verknüpfungen auf , mit denen  zu einem Ring wird.

Die übliche Ordnung der ganzen Zahlen ist definiert als
  falls .

Jede Äquivalenzklasse  hat im Fall  einen eindeutigen Repräsentanten der Form , wobei , und im Fall  einen eindeutigen Repräsentanten der Form , wobei .

Die natürlichen Zahlen lassen sich in den Ring der ganzen Zahlen einbetten, indem die natürliche Zahl  auf die durch  repräsentierte Äquivalenzklasse abgebildet wird. Üblicherweise werden die natürlichen Zahlen mit ihren Bildern  identifiziert und die durch  repräsentierte Äquivalenzklasse wird mit  bezeichnet.

Ist  eine von  verschiedene natürliche Zahl, so wird die durch  repräsentierte Äquivalenzklasse als positive ganze Zahl und die durch  repräsentierte Äquivalenzklasse als negative ganze Zahl bezeichnet.

Diese Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen funktioniert auch dann, wenn statt  die Menge , also ohne , als Ausgangsmenge genommen wird. Dann ist die natürliche Zahl  in der Äquivalenzklasse von  und die  in der von

Verwandte Themen 
 Eine ähnliche Konstruktion wie die Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen ist allgemein für kommutative Halbgruppen möglich. In diesem Sinn ist  die Grothendieck-Gruppe von .
 Die gaußschen Zahlen und die Eisenstein-Zahlen sind zwei verschiedene Erweiterungen der ganzen Zahlen zu Mengen komplexer Zahlen.
 Die proendliche Vervollständigung der Gruppe  der ganzen Zahlen wird gebildet als (projektiver oder) inverser Limes aller endlichen Faktorgruppen von  und stellt die Gesamtheit der proendlichen ganzen Zahlen dar. Sie ist unter dem Symbol  bekannt.

Weblinks

Einzelnachweise