Ring (Algebra)

Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, wie z. B. in den ganzen Zahlen , Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind. Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt.

Namensgebung 
Das Konzept des Ringes geht auf Richard Dedekind zurück; die Bezeichnung Ring wurde allerdings von David Hilbert eingeführt. In speziellen Situationen ist neben der Bezeichnung Ring auch die Bezeichnung Bereich geläufig. So findet man in der Literatur eher den Begriff Integritätsbereich statt Integritätsring.

Definitionen 
Je nach Teilgebiet und Lehrbuch (und zum Teil je nach Kapitel) wird unter einem Ring etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Ringbegriffen um unterschiedliche Kategorien.

Ring 
Ein Ring  ist eine Menge  mit zwei zweistelligen Operationen  und , für die die folgenden Beziehungen, genannt Ringaxiome, gelten:
  ist eine abelsche Gruppe unter der Addition , deren neutrales Element als Nullelement des Rings  mit  bezeichnet wird.
  ist eine Halbgruppe unter der Multiplikation  . In der gängigen Schreibung bindet  stärker als  und wird sehr häufig sogar weggelassen.
 Es gelten die Distributivgesetze
        (linke Distributivität)
und
        (rechte Distributivität)
 für alle  .

Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, ansonsten spricht man von einem nicht-kommutativen Ring.

Ring mit Eins (unitärer Ring) 
Hat die Halbgruppe  ein (beidseitiges) neutrales Element , ist also ein Monoid, dann nennt man  einen Ring mit Eins oder unitären Ring. Ringe mit nur links- oder nur rechtsneutralem Element gelten in der Ringtheorie nicht als unitär.

Manche Autoren verstehen unter einem Ring grundsätzlich einen (kommutativen) Ring mit Eins und sprechen andernfalls von einem Pseudo-Ring, englisch auch rng (sic!) oder non-unital ring.In der Kategorie der Ringe mit Eins muss die Eins auch bei Ringhomomorphismen erhalten bleiben.

Jeder Ring lässt sich in einen unitären Ring einbetten.

Kommutativer Ring mit Eins 
In der kommutativen Algebra werden Ringe als kommutative Ringe mit Eins definiert.

Folgerungen 
 Das neutrale Element  der Addition ist absorbierendes Element der Multiplikation:

 Gespiegelt:
.
 Fällt das neutrale Element der Multiplikation mit dem der Addition zusammen, dann besteht der Ring nur aus einem einzigen Element. Ein solcher Ring wird „Nullring“ genannt. Er ist ein kommutativer Ring mit Eins.
 Ein vor das Element gestelltes "" kennzeichne das inverse Element bezüglich der Addition (bei dieser Verwendung wird das Zeichen als unäres Minus bezeichnet). Für alle  gilt aufgrund des Distributivgesetzes:
 .
 Aus der Definition des inversen Elements folgt damit
 
 sowie „Minus mal Minus ergibt Plus“:
 .

 Die Addition eines additiven Inversen  zu einem Ringelement  wird als Subtraktion bezeichnet. Das Operationszeichen dafür ist das binäre Minuszeichen:
 .

 Die Distributivgesetze gelten auch für die Subtraktion:
 ,
 .

Unter- und Oberstrukturen

Unter- und Oberring 
Eine Untermenge  eines Ringes  heißt Unterring (oder Teilring) von , wenn  zusammen mit den beiden auf  eingeschränkten Verknüpfungen von  wieder ein Ring ist.  ist genau dann ein Unterring von , wenn  eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und  abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d. h.
, wenn  und .

Auch wenn  ein Ring mit Eins ist, so muss die Eins nicht notwendigerweise in  enthalten sein.  kann auch ein Ring ohne Eins sein – etwa  – oder eine andere Eins haben. In der Kategorie der Ringe mit Eins wird von einem Unterring verlangt, dass er dasselbe Einselement enthält (dafür ist es zwar notwendig, aber nicht immer hinreichend, dass der Unterring ein auf diesen bezogen multiplikativ neutrales Element enthält).

Der Durchschnitt von Unterringen ist wieder ein Unterring, und der von  erzeugte Unterring wird definiert als der Durchschnitt aller  umfassenden Unterringe von .

Ein Ring  heißt Oberring oder Erweiterung eines Ringes , wenn  ein Unterring von  ist. Es ist auch üblich von einer Ringerweiterung zu sprechen, wenn man einen Ring mit einem Oberring betrachtet. Dies ist analog zum Begriff der Körpererweiterung.

Beispiel 1

Jeder Ring kann in einen Ring mit Einselement eingebettet werden.

Beispiel 2
Folgende Ringerweiterung findet sich in E. Sernesi: Deformations of algebraic schemes:
Sei  ein kommutativer Ring,  ein -Modul und  die direkte Summe der abelschen Gruppen. Eine Multiplikation auf  sei definiert durch

(Die Identifikation von  mit  mit einem , für das  ist, und Ausrechnen von  ergibt die genannte Formel.)  erweist sich als Ring. Man hat die exakte Sequenz

mit der Projektion . Somit ist  eine Erweiterung von  um . Eine andere bemerkenswerte Eigenschaft dieser Konstruktion ist, dass der Modul  zum Ideal eines neuen Ringes  wird. Nagata nennt diesen Vorgang Prinzip der Idealisierung.

Ideal 

Zu einem Ring  heißt eine Teilmenge  von  Linksideal (bzw. Rechtsideal), wenn gilt:
  ist eine Untergruppe von .
 Für alle  und  ist ebenfalls  (bzw. ).
Ist  sowohl Links- als auch Rechtsideal, so heißt  zweiseitiges Ideal oder auch nur Ideal.

Enthält in einem Ring mit Eins ein (Links-, Rechts-)Ideal die Eins, so umfasst es ganz . Da  auch ein Ideal ist, ist  das einzige (Links-, Rechts-)Ideal, das die Eins enthält.  und  sind die sogenannten trivialen Ideale.

Eingeschränkt auf die Teilmengen von  ist der Begriff Ideal mit dem Begriff  synonym, also auch Linksideal mit  usw.

Jedes Ideal  von  ist auch ein Unterring von , ggf. ohne Eins. In der Kategorie der Ringe mit 1 gilt  dann nicht als Unterring.

Faktorring 

Ist  ein Ideal in einem Ring , dann kann man die Menge der Nebenklassen

bilden. Die Verknüpfung  lässt sich wegen ihrer Kommutativität immer auf  fortsetzen; die Verknüpfung  jedoch nur, wenn  ein zweiseitiges Ideal in  ist. Ist dies der Fall, dann ist  mit den induzierten Verknüpfungen ein Ring. Er wird Faktorring  genannt – gesprochen:  modulo .

Der Ringhomomorphismus
,
der einem Element  seine Nebenklasse  zuordnet, hat  zum Kern.

Grundring 
In einem Ring  mit Eins wird der von  erzeugte Unterring als der Grundring bezeichnet. Hat dieser endliche Mächtigkeit  so ist  die Charakteristik von  abgekürzt:  und man sagt,  habe positive Charakteristik. Andernfalls wird  gesetzt. Damit ist im endlichen wie unendlichen Fall der unitäre Ringhomomorphismus

injektiv.
Der Grundring ist das Bild  und jedes seiner Elemente ist mit jedem Ringelement vertauschbar. Außerdem ist für jedes Ringelement 

das additive Inverse von

Polynomring 

Ist  ein kommutativer Ring mit Eins, so kann der Polynomring  gebildet werden. Dieser besteht aus Polynomen mit Koeffizienten aus  und der Variablen  zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation für Polynome. Eigenschaften von  übertragen sich zum Teil auf den Polynomring. Ist  nullteilerfrei, faktoriell oder noethersch, so trifft dies auch auf  zu.

Matrizenring 

Ist  ein Ring mit Eins, so kann zu gegebenem  der Matrizenring  gebildet werden. Dieser besteht aus den quadratischen Matrizen mit Einträgen aus  mit der üblichen Addition und Multiplikation für Matrizen. Der Matrizenring ist wiederum ein Ring mit Eins. Jedoch ist der Matrizenring für  weder kommutativ noch nullteilerfrei, selbst wenn  diese Eigenschaften hat.

Direktes Produkt 
Sind  und  Ringe, dann kann das Mengenprodukt  auf natürliche Weise mit einer Ringstruktur ausgestattet werden:
 
 
Denn die Gültigkeit des Distributivgesetzes in jeder Komponente überträgt sich unmittelbar auf das Mengenprodukt.

Sind beide Ringe  und  unitär, dann ist auch  unitär mit  als dem Einselement.

Dieselbe Konstruktion ist möglich mit einer beliebigen Familie von Ringen: Sind  Ringe über einer Indexmenge , dann ist  ein Ring, genannt das direkte Produkt der  Ein Unterring des direkten Produkts ist die direkte Summe, bei der nur endlich viele Komponenten von 0 verschieden sind.

Homomorphismus

Ringhomomorphismus 

Für zwei Ringe  und  heißt eine Abbildung

Ringhomomorphismus (kurz Homomorphismus), falls für alle  gilt:
       und

Der Kern  des Ringhomomorphismus  ist ein zweiseitiges Ideal in .

Ein Morphismus  von Ringen mit Eins muss außerdem noch die Bedingung erfüllen, dass das Einselement auf das Einselement abgebildet wird:

Isomorphismus 

Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus.
Die Ringe  und  heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von  nach  gibt. In diesem Fall ist auch die Umkehrabbildung ein Isomorphismus; die Ringe haben dann dieselbe Struktur.

Beispiel 
Ausgestattet mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ist das direkte Produkt  ein Ring. Dann ist mit  die Abbildung

ein Homomorphismus von Ringen; ein Homomorphismus von Ringen mit Eins aber nur, wenn

Spezielle Elemente in einem Ring

Teiler und Nullteiler 

Von zwei Elementen  heißt  linker Teiler (Linksteiler) von , falls ein  mit  existiert. Dann ist auch  rechtes Vielfaches von . Entsprechend definiert man rechten Teiler (Rechtsteiler) und linkes Vielfaches.

In kommutativen Ringen ist ein linker Teiler auch ein rechter und umgekehrt. Man schreibt hier auch , falls  ein Teiler von  ist.

Alle Elemente von  sind (Rechts- bzw. Links-) Teiler der Null. Der Begriff des (Rechts- bzw. Links-) Nullteilers hat eine andere Definition. Wenn  nach dieser als Nullteiler zählt, gilt der Satz: Ein Element ist genau dann (Rechts- bzw. Links-) Nullteiler, wenn es nicht (rechts- bzw. links-) kürzbar ist.

Invertierbarkeit, Einheit 

Existiert in einem Ring  mit Eins zu einem Element  ein Element , so dass  (bzw. ) gilt, so nennt man  ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von . Besitzt  sowohl Links- als auch Rechtsinverses, so nennt man  invertierbar oder Einheit des Ringes. Die Menge der Einheiten eines Ringes  mit Eins wird gewöhnlich mit  oder  bezeichnet.  bildet bezüglich der Ringmultiplikation eine Gruppe – die Einheitengruppe des Ringes. Ist , so ist  ein Schiefkörper, ist  darüber hinaus kommutativ, so ist  ein Körper.

In kommutativen Ringen mit Eins (insbesondere Integritätsringen) werden die Einheiten oft als diejenigen Elemente definiert, die die Eins teilen. Dies ist in diesem Fall zur obigen Definition äquivalent, da  genau dann die Eins teilt, wenn es ein  gibt mit .

Assoziierte Elemente 

Zwei Elemente  und  sind genau dann rechts assoziiert, wenn es eine Rechtseinheit  gibt, sodass . Links assoziiert bei  mit einer Linkseinheit .

Wenn in einem kommutativen Ring mit Eins die Elemente  in der Beziehung  und  stehen, dann sind  und  zueinander assoziiert. Die Seitigkeit (links, rechts) kann also weggelassen werden.

Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation.

Irreduzibilität 
Ein von 0 verschiedenes Element  heißt irreduzibel, wenn es weder Linkseinheit noch Rechtseinheit ist und es keine Nicht-Linkseinheit  und keine Nicht-Rechtseinheit  mit  gibt, wenn also aus der Gleichung folgt, dass  Linkseinheit oder  Rechtseinheit ist.

In einem kommutativen Ring genügt es zu fordern, dass  von 0 verschieden ist, keine Einheit ist und aus  folgt, dass  oder  eine Einheit ist.

Primelement 

Für kommutative unitäre Ringe definiert man: Ein Element  heißt prim oder Primelement, wenn es keine Einheit und ungleich 0 ist und aus  folgt  oder  (siehe auch Hauptartikel: Primelement).

In einem nullteilerfreien Ring ist jedes Primelement irreduzibel. In einem faktoriellen Ring ist umgekehrt auch jedes irreduzible Element ein Primelement.

Spezialfälle 
 Körper
 Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins, bei dem  eine Gruppe ist, also zu jedem von Null verschiedenen Element ein multiplikatives Inverses existiert.
 Einfacher Ring
 Ein Ring , der nicht der Nullring ist, wird einfach genannt, wenn die trivialen Ideale  und  die einzigen zweiseitigen Ideale sind. Ein kommutativer einfacher Ring mit Eins ist ein Körper.
 Idempotenter Ring
 Ein idempotenter Ring ist ein Ring, in dem zusätzlich das Idempotenzgesetz  für alle Elemente erfüllt ist. Jeder idempotente Ring ist kommutativ.
 Boolescher Ring
 Ein Boolescher Ring ist ein idempotenter Ring mit Eins.
 Lokaler Ring
 Ein lokaler Ring ist ein Ring, in dem es genau ein maximales Linksideal (oder Rechtsideal) gibt. Nicht wenige Autoren verlangen, dass ein lokaler, kommutativer Ring zusätzlich noethersch sein muss und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Ideal einen quasi-lokalen Ring. In der Wikipedia lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.
 Integritätsring
 Ein Integritätsring oder Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit einer Eins, die verschieden ist von der Null. Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper. Jedem Integritätsring lässt sich ein Körper zuordnen, der Quotientenkörper des Integritätsrings.
 Faktorieller Ring, ZPE-Ring
 Ein faktorieller Ring oder ZPE-Ring ist ein Integritätsring, in dem alle Elemente außer der Null eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzen.
 Hauptidealring
 Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Jeder Hauptidealring ist ein ZPE-Ring.
 Euklidischer Ring
 In einem euklidischen Ring gibt es eine Division mit Rest. Dadurch kann der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
 Noetherscher Ring
 In einem kommutativen noetherschen Ring sind alle Ideale endlich erzeugt.
 ggT-Ring
 Ein Integritätsring in dem je zwei Elemente eine einen größten gemeinsamen Teiler im Ring besitzen heißt ggT-Ring. Dies ist genau dann der Fall wenn je zwei Elemente ein kleinstes gemeinsames Vielfaches im Ring besitzen.
 Dedekindring
 Ein Dedekindring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein (eindeutiges) Produkt von Primidealen ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Ring ein noetherscher, normaler Ring ist, in dem jedes vom Nullideal verschiedene Primideal maximal ist.

Beispiele 
 Der Nullring, der nur aus einem Element besteht, ist ein kommutativer Ring mit Eins ().
 Die ganzen Zahlen  mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen euklidischen Ring.
 Die rationalen Zahlen  mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen Körper.
 Der Ring der geraden Zahlen  ist ein kommutativer Ring ohne Eins.
 Polynomringe  über einem Körper  sind euklidische Ringe.
 Ist  ein Ring mit Eins, dann ist der Matrizenring  für  ein (nicht-kommutativer) Ring mit Eins, welche durch die Einheitsmatrix dargestellt wird.
 Faktorringe liefern Beispiele für Ringe, die nicht nullteilerfrei sind. Genauer gilt für einen kommutativen Ring mit Eins, dass  genau dann ein Integritätsring ist, wenn  ein Primideal ist.
 Die Menge  der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation bildet keinen Ring, da die Addition über den natürlichen Zahlen nicht invertierbar ist.

Verallgemeinerungen 

 Halbring
 Bei einem Halbring ist  keine abelsche Gruppe, sondern nur eine Halbgruppe, die auch oft (je nach Definition) kommutativ und/oder ein Monoid  sein soll, für den nicht  für alle  gelten muss (die Definitionen sind nicht einheitlich).
 Fastring
 Bei einem Fastring wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert und die Addition muss nicht kommutativ sein.
 Alternativring
 Bei den alternativen Ringen wird auf die Assoziativität der Multiplikation verzichtet und nur die Alternativität gefordert. Das bekannteste Beispiel sind die Oktonionen, die sogar ein Alternativkörper sind.

Siehe auch 
 Algebra über einem kommutativen Ring
 Gegenring
 Körper (Algebra)

Literatur 
 Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-92811-9, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
 David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-387-94269-6.
 Serge Lang: Algebra. Revised 3rd Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X.
 Hideyuki Matsumura: Commutative Ring Theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 0-521-36764-6.
 Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Ein Handbuch für Studium und Forschung. Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

Einzelnachweise