Bijectie

In de wiskunde is een bijectie, bijectieve afbeelding of een-op-een-correspondentie een afbeelding of functie, die zowel injectief als surjectief is, dus alle elementen van twee verzamelingen een-op-een aan elkaar koppelt. Bijectief wil dus zeggen dat ieder element uit het domein  gekoppeld is aan precies één element uit het codomein  en dat omgekeerd ook ieder element van  gekoppeld is aan precies één element uit . Een correspondentie is een tweeplaatsige relatie, die zowel links- als rechtsvolledig is.

Voor elke bijectie van een verzameling  op een verzameling  bestaat er een inverse functie van  naar , die zelf ook een bijectie is.

Een bijectie van een verzameling op zichzelf wordt wel een permutatie genoemd. Bijecties zijn essentieel voor veel deelgebieden binnen de wiskunde, voor onder meer de definities van permutatiegroep, isomorfisme, homeomorfisme en diffeomorfisme. De aanduiding 'bijectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie 
Een bijectie tussen twee verzamelingen  en , niet noodzakelijk verschillend, is een functie of afbeelding:

die injectief is en surjectief is. Daarbij is 
 injectief als uit  volgt dat  en
 surjectief als er voor alle  een  is met .

Gelijkmachtigheid 
Als  en  eindige verzamelingen zijn is het makkelijk in te zien dat het bestaan van een bijectie betekent dat beide verzamelingen hetzelfde aantal elementen hebben. Algemeen zegt men dat als er een bijectie tussen twee (eindige of oneindige) verzamelingen bestaat, deze verzamelingen dezelfde kardinaliteit hebben. Georg Cantor was de eerste die verzamelingen op deze manier met elkaar vergeleek. Twee verzamelingen waartussen een bijectie bestaat, worden gelijkmachtig genoemd. 

Zo worden de verzamelingen  en  gelijkmachtig genoemd, omdat de afbeelding  met , bijectief is.

Ook zijn de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig, want het is mogelijk een bijectie tussen beiden te vinden. Neem de volgende afbeelding van  naar :
 0 wordt op 0 afgebeeld
 een even natuurlijk getal wordt op zijn helft afgebeeld: bijvoorbeeld: 4 wordt afgebeeld op 2
 bij een oneven natuurlijk getal wordt eerst 1 opgeteld, en wordt dit resultaat gedeeld door -2: bijvoorbeeld: 5 wordt afgebeeld op -3

Meer algemeen:
 en 

Dit is een bijectie want elk natuurlijk getal heeft een eenduidig beeld, en elk geheel getal wordt precies een keer bereikt. De verzameling van rationale getallen  is wel gelijkmachtig met deze twee, maar de verzameling van reële getallen  is niet gelijkmachtig met de drie vorige, maar wel met  voor elke gehele waarde van  groter dan 0.

Stelling van Cantor-Bernstein-Schröder 
Als er tussen twee verzamelingen beide kanten op een injectie is, bestaat er volgens de stelling van Cantor-Bernstein-Schröder een bijectie tussen de twee verzamelingen. Die zijn in dat geval dus gelijkmachtig.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Voorbeeld 1 

, met 
Geen enkel element uit  wordt door  aan 2 elementen uit  gekoppeld, dus is  injectief en  laat geen enkel element uit  over, dus is  surjectief. Dat betekent samen dat  bijectief is.

Voorbeeld 2 

, met 
Deze functie  is ook een bijectie. Een andere bijectieve afbeelding tussen deze verzamelingen  en  is:

Tegenvoorbeeld 1 

, met 

 is geen bijectie, enerzijds omdat -7 niet gekoppeld wordt, dus niet surjectief is, en anderzijds omdat 3 aan zowel 1 als 2 gekoppeld wordt, dus niet injectief is.

Tegenvoorbeeld 2 

, met 

Dit is geen bijectie. Het is wel zo dat elk element van  gekoppeld wordt aan een element van , maar sommige elementen van  worden aan twee verschillende elementen van  gekoppeld. Zo is bijvoorbeeld .

Tegenvoorbeeld 3 

, met 

Dit is geen bijectie, want  is niet surjectief omdat niet alle elementen uit  worden gekoppeld aan een element uit . Het element 0 in  bijvoorbeeld is van geen enkel element uit  het beeld. De functie  is wel injectief, want geen twee elementen uit  worden gekoppeld aan hetzelfde element van .

Relaties op verzamelingen