Teorema fondamentale dell'algebra

Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce che ogni polinomio in una variabile di grado  (cioè non costante) con coefficienti complessi, del tipo

ammette almeno una radice complessa (o zero).

Equivalentemente (per definizione) il teorema asserisce che il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso.

Dal teorema segue che un polinomio a coefficienti complessi ammette esattamente  radici complesse (contate con la giusta molteplicità), mentre un polinomio a coefficienti reali ammette al più  radici reali.

Storia 
Un'enunciazione del teorema in una pubblicazione fu opera del matematico di origine fiamminga Albert Girard nel 1629 nel libro L'invention en algebre, per quanto anticipata da una formulazione debole da parte di Peter Roth, riportata nei suoi Arithmetica Philosophica (1608). Non vi era comunque alcuna dimostrazione. Nel 1702 Leibniz sostenne di aver trovato un controesempio con il polinomio . Nel 1742 Nicolas Bernoulli e Christian Goldbach in una lettera inviata allo stesso Leibniz dimostrarono l'esistenza di radici complesse del polinomio.

Il primo tentativo serio di dimostrazione del teorema fu operato da d'Alembert nel 1746, il quale però utilizzò un teorema non ancora dimostrato (la dimostrazione fu fatta da Puiseux nel 1751 utilizzando lo stesso teorema fondamentale dell'algebra). Altri tentativi di dimostrazione furono portati avanti nel 1749 da Eulero, Lagrange nel 1772, Laplace nel 1795.

Finalmente nel 1799 Gauss riuscì nell'intento sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.

Esempi

Polinomi a coefficienti reali 
Un numero reale è un particolare numero complesso: il teorema è quindi valido per ogni polinomio a coefficienti reali. Ad esempio, si consideri il polinomio

Questo polinomio non ammette nessuna radice reale: i numeri reali non formano un campo algebricamente chiuso. Per il teorema fondamentale dell'algebra, il polinomio ha però almeno una radice complessa: questa è l'unità immaginaria . Infatti:

Questa non è tuttavia l'unica radice. Il polinomio ha grado due e ha due radici complesse:  e .

Dimostrazioni 
Esistono numerose dimostrazioni del teorema fondamentale dell'algebra, che coinvolgono settori molto diversi della matematica, come la topologia, l'analisi complessa e l'algebra.

Dimostrazione basata sullo sviluppo in serie di Taylor 
Sia  un polinomio a coefficienti complessi di grado . 

Abbiamo , quindi esiste  tale che 

 per ogni  tale che 

Il disco chiuso  è compatto, dunque per il teorema di Weierstrass esiste un punto  in cui  assume il suo minimo valore assoluto in .

Dimostriamo che , ovvero che .

Sviluppando  in serie di Taylor intorno a  abbiamo

dove ,  è intero e  con 

Si noti che la serie di Taylor è finita, poiché  per ogni intero  essendo  un polinomio di grado . Quindi:

 

dove  per .

Per ogni  possiamo scegliere  dipendente da  in modo che . Se , di conseguenza  e quando  allora . Tenendo conto che , per  sufficientemente piccolo avremo 

Pertanto, in virtù della disuguaglianza triangolare, sarà: 

ossia si è trovato un assurdo, in quanto  è un punto di minimo assoluto. Quindi  e si arriva all'enunciato.

Dimostrazione basata sull'analisi complessa 
Sia  un polinomio complesso, tale che  per ogni  complesso. Allora la funzione 

è una funzione intera, cioè è una funzione olomorfa su tutto . D'altra parte

implica

e quindi la funzione  è limitata. Per il teorema di Liouville  è costante, da cui segue che anche  è costante.

Quindi gli unici polinomi senza zeri sono i polinomi costanti.

Dimostrazione topologica 
Consideriamo un polinomio a coefficienti complessi non costante

Si vuole dimostrare che esiste un punto  tale che . A tale scopo possiamo considerare il caso in cui .

Supponiamo per assurdo che  non ammetta radici, cioè che l'origine non sia nella sua immagine. Consideriamo sul piano complesso la circonferenza di centro l'origine e raggio  parametrizzata da

Il polinomio  rappresenta una funzione continua del piano complesso in sé stesso e come tale manderà la circonferenza  in una curva piana parametrizzata . La curva così ottenuta non passerà per l'origine dal momento che abbiamo assunto che 0 non è nell'immagine di , e questo qualunque sia il raggio . Quindi possiamo considerare l'indice di avvolgimento di  rispetto all'origine 

Poniamo

Poiché l'indice di avvolgimento non varia per deformazioni della curva tali che questa non tocchi mai l'origine (è un invariante omotopico) la funzione  sarà continua e poiché l'indice assume solo valori interi dovrà anche essere una funzione costante.

Ora consideriamo il valore di  per due differenti valori di :

 per  la curva  è costituita da un unico punto (l'origine) e la sua immagine sarà quindi anch'essa un unico punto che non può essere l'origine. In questo caso evidentemente si ha che .
 per  abbastanza grandi affinché si abbia 
 
 abbiamo che la curva  può essere deformata con continuità nella curva  definita da
 
immagine di  mediante la funzione polinomiale . Poiché l'indice di questa curva rispetto all'origine è  e per l'invarianza omotopica possiamo dedurre che .

Per dimostrare questo osserviamo che finché  si trova nella circonferenza  vale la seguente catena di disuguaglianze:

Questo significa che fintanto che  si trova sulla circonferenza di raggio  la distanza che separa il punto  della curva immagine dal punto  è minore di quella che separa il punto  dall'origine, dunque il segmento che congiunge  a  non tocca l'origine per ogni  in  e questo permette di definire una deformazione continua di  in  che non faccia passare la curva per l'origine.

Il fatto che  assuma valori differenti per differenti raggi contraddice il fatto che deve essere una funzione costante, e siamo quindi giunti a un assurdo da cui concludiamo che l'ipotesi che  non avesse nessuna radice è impossibile.

Campi algebricamente chiusi 

Si dice che il campo complesso  è un campo algebricamente chiuso per indicare il fatto che ogni polinomio di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti complessi, ha almeno una radice in , come stabilisce il teorema qui esposto. Tale proprietà non è condivisa dai sottocampi  e  come si può vedere subito considerando i polinomi 
 
che non ha radici nel campo  dei razionali, e
 
che non ha radici nel campo  dei reali.

Note

Voci correlate 
 Teoria di Galois

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

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