Laplacetransformatie

De laplacetransformatie, genoemd naar Pierre-Simon Laplace, is een wiskundige techniek die wordt gebruikt voor het oplossen van lineaire integraal- en differentiaalvergelijkingen. In de elektrotechniek en regeltechniek is de laplacetransformatie een zeer nuttig gereedschap bij het doorrekenen van in- en uitschakelverschijnselen, oftewel niet-stationaire verschijnselen. De laplacetransformatie is een belangrijk voorbeeld van een integraaltransformatie.

Definitie
Stel  is een complexwaardige functie van de reële variabele , gedefinieerd voor . Onder de laplacegetransformeerde van  verstaat men de functie , gedefinieerd voor complexe  door:
,
mits de integraal bestaat.

Omdat  in veel toepassingen een functie van de tijd is, wordt  wel de tijdfunctie genoemd. De laplacegetransformeerde  heet wel de beeldfunctie.

Notatie
Voor de eenvoud van notatie schrijft men hier en in het vervolg soms:
 in plaats van 
om duidelijk te kunnen aangeven welke functie  bedoeld wordt.

Causale functies
De integratie wordt soms ook gerekend vanaf  in plaats van 0. Er wordt dan stilzwijgend aangenomen dat  causaal is, wat inhoudt dat  voor .  kan dan worden opgevat als een tijdsafhankelijke respons op een excitatie-functie die ook gelijk is aan nul voor .

Convergentie
De laplacegetransformeerde is niet altijd convergent (en dus niet altijd gedefinieerd): de laplacegetransformeerde van  bestaat voor een bepaalde waarde van het complexe getal  als bovenstaande integraal convergeert voor deze waarde. Als de integraal convergeert voor een reëel getal , convergeert hij voor alle complexe getallen  met . Het kleinste reële getal  waarvoor de integraal convergeert voor alle  met  (indien dit bestaat) heet de convergentieabscis.

De laplacegetransformeerden van  en zijn reële deel  zijn bijvoorbeeld niet convergent voor zuiver imaginaire .

Voor de bruikbaarheid van de laplacetransformatie hoeft deze niet voor alle  te bestaan. De inverse transformatie biedt bijvoorbeeld keuzemogelijkheden wat betreft het integratiepad, zie hieronder.

De onderstaande formule

geldt bijvoorbeeld voor .

Inverse
De inverse laplacetransformatie kan via een complexe integraal gevonden worden. Voor  is
,
mits in het oneindig  naar 0 gaat ten minste zo snel als .  is het grootste reële deel van de singulariteiten van , zodat het integratiepad binnen het convergentiegebied van  ligt, en de integraal voor  niet van  afhangt.

Vaak echter wordt de laplacegetransformeerde geschreven als een lineaire combinatie van laplacegetransformeerden van bekende functies. De oorspronkelijke functie is dan dezelfde lineaire combinatie van de betrokken bekende functies.

Als de laplacegetransformeerde een rationele functie is, kan deze door breuksplitsen geschreven worden als een som van bekende laplacegetransformeerden. Het eenvoudigste geval is dat waarbij de noemer geen complexe of meervoudige nulpunten heeft. De getransformeerde kan dan, met  de reële nulpunten van de noemer,  geschreven worden als:
,

zodat de gezochte inverse functie  gevonden wordt als:

Voorbeeld
De getransformeerde van de functie  is gelijk aan

De nulpunten van de noemer zijn verschillend en reëel; breuksplitsing levert:

De originele functie is dus:
, voor

Eigenschappen
De volgende eigenschappen kunnen aangetoond worden (na substituties, merk op dat hierbij de integratiegrenzen niet aangepast dienen te worden):

Lineariteit

Verschuiving in het tijd-domein

waarbij indien ,   voor  op 0 gesteld wordt, en bij  voorwaarde is dat  voor  (het verschuiven voegt niet binnen het domein vanaf 0 een stuk functie dat niet nul is toe, en laat ook niet een stuk functie dat niet nul is daaruit verdwijnen)

Verschuiving in het laplace-domein

Schaling in het tijd-domein

Getransformeerde van de afgeleide

Indien  niet continu is in , dan is

Als  niet continu is in , is

Algemeen voor hogere afgeleiden

Getransformeerde van de primitieve

Getransformeerde van 

Getransformeerde van 

Periodieke functies ()

Beginwaardestelling

Eindwaardestelling

Gedrag voor  naar oneindig

Convolutiestelling (de Formule van Borel)

Verband met andere transformaties

Fouriertransformatie
De continue fouriertransformatie is equivalent met de tweezijdige laplace-integraal, indien als argument  genomen wordt:

Met Z-transformatie

Laplacegetransformeerden van enkele functies

 waarbij Γ staat voor de gammafunctie
 waarbij 

 waarbij  staat voor de constante van Euler.

Laplacegetransformeerden van speciale functies
 Besselfuncties:

 Errorfuncties:

 Sinus-, cosinus- en exponentiële integraal:

 Stapfunctie:

 Dirac-deltafunctie:

 Entierfunctie:

met  de entierfunctie, dus het grootste gehele getal dat kleiner of gelijk is aan .

Verband met differentiaalvergelijkingen
Nemen we de volgende lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten als voorbeeld ( is een bekende functie):
,
we transformeren de beide leden, waarbij alle beginvoorwaarden nul worden gekozen (de zogenaamde nultoestand, of zero state):
,

waaruit volgt: 

hierbij is  de overdrachtsfunctie. Aangezien  een bekende functie is, is ook zijn laplacegetransformeerde bekend, en daarmee ook de getransformeerde van , . We berekenen de inverse van , en vinden de gezochte oplossing .

Maar ook indien de beginvoorwaarden niet nul zijn kan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten via de laplacetransformatie worden opgelost. Voorbeeld:

met als beginvoorwaarde: .

De laplacetransformatie levert:

Door hieruit  af te zonderen, en vervolgens de inverse laplacetransformatie te nemen vindt men de oplossing :

Zie ook
Inverse laplacetransformatie
Fouriertransformatie

Functionaalanalyse