Numero primo di Sophie Germain

Un numero primo di Sophie Germain è un numero primo  tale che  è anch'esso un numero primo. Il numero   è invece chiamato primo sicuro. Prendono nome dalla matematica francese Sophie Germain, che all'inizio del XIX secolo li usò per dimostrare un caso particolare dell'ultimo teorema di Fermat.

Prime proprietà 
I numeri primi di Sophie Germain minori di 104 sono:

2,    3,    5,    11,   23,   29,   41, 53,   83,   89,  113,  131, 173,  179,  191,  233,  239,  251,  281,  293,  359,  419,  431,  443, 491,  509,  593,  641,  653,  659, 683,  719,  743,  761,  809,  911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791.

A marzo 2016, il più grande primo di Sophie Germain conosciuto è , un numero di 388342 cifre decimali, scoperto nel febbraio 2016 da James Scott Brown attraverso il progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.

I numeri primi di Sophie Germain devono soddisfare diverse restrizioni modulari: ad esempio, se  è congruo ad 1 modulo 3, allora , ovvero 3 divide . Di conseguenza, ogni numero primo di Sophie Germain (ad eccezione di 3) sono congrui a 2 modulo 3. Partendo da un qualsiasi primo  al posto di 3, è possibile con lo stesso ragionamento eliminare una classe di resto modulo : ad esempio, se  è congruo a 2 modulo 5 (e diverso da 2) allora non è un primo di Sophie Germain.

I primi di Sophie Germain sono collegati con i primi di Mersenne. Eulero dimostrò che, se un primo di Sophie Germain è della forma , allora  divide , che quindi non è un numero primo.

Distribuzione 
Non è noto se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain. Usando tecniche di crivello, si può congetturare che il numero di primi di Sophie Germain minori di  sia asintotico a

dove ( varia tra i numeri primi)

è la costante dei numeri primi gemelli.

Relazione con l'ultimo teorema di Fermat 
Attorno al 1825, Sophie Germain dimostrò che, se  e  sono due numeri primi tali che
 non è una -esima potenza modulo , e
se  sono numeri interi,  implica che  divide ,  o ,
allora il "primo caso" dell'ultimo teorema di Fermat vale per , ovvero se , allora  divide almeno uno tra ,  e .

In particolare, se , allora la prima condizione è sempre soddisfatta (purché ) grazie al piccolo teorema di Fermat (in quanto  può essere congruo solo a  o a  modulo . Allo stesso modo, ,  e  sono uguali a  o a  modulo ; di conseguenza,

(per interi ) e questo può avvenire solo se . Questo argomento, inoltre, può essere usato indipendentemente dal teorema generale per dimostrare direttamente il primo caso quando  è un primo di Sophie Germain.

Varianti di questo ragionamento portarono poi Legendre a dimostrare che  verifica il primo caso dell'ultimo teorema di Fermat nel caso in cui uno tra , , ,  e  sia un numero primo.

Note

Bibliografia

Collegamenti esterni

Sophie Germain