Transzendente Zahl

In der Mathematik heißt eine reelle oder komplexe Zahl transzendent, wenn sie nicht Nullstelle eines (vom Nullpolynom verschiedenen) Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist. Andernfalls handelt es sich um eine algebraische Zahl. Jede reelle transzendente Zahl ist überdies irrational.

Die wohl bekanntesten transzendenten Zahlen sind die Kreiszahl  und die Eulersche Zahl .

Einordnung ohne mathematisches Vorwissen 
In der Zahlentheorie (der Wissenschaft, die sich mit den ganzen Zahlen und deren Eigenschaften beschäftigt) ist die Frage von Wichtigkeit, wie natürlich eine Zahl charakterisiert werden kann. Da die ganzen Zahlen  auf besonders natürliche Weise in Erscheinung treten, weil sie unmittelbar mit dem Prozess des Zählens verbunden sind, ist es naheliegend zu fragen, inwiefern eine beliebige Zahl  mit diesen in Zusammenhang steht. Gilt zum Beispiel , so ist  einfach ein Quotient zweier ganzer Zahlen (eine „Bruchzahl“) – rein algebraisch kann  also als Lösung der ganzzahligen Gleichung

charakterisiert werden. Da in einer solchen Gleichung nur ein simples  auftritt, spricht man bei den rationalen Zahlen auch von „Zahlen von Grad 1“. Legt man die Natürlichkeit des Addierens und Multiplizierens zugrunde, ist es konsequent, die Potenzen  als natürliche (algebraische) Verwandte der ursprünglichen Zahl  zu sehen, ebenso Summen und Differenzen sowie Produkte aus diesen Zahlen. Gelingt es uns nun, aus endlich vielen solcher Zahlen die Zahl Null zu kombinieren, ist eine enge Verwandtschaft zu den ganzen Zahlen hergestellt. Beispielsweise gelangen wir mit der Quadratwurzel aus 3, nämlich , nach endlich vielen elementar algebraischen Schritten zur Null: Wir multiplizieren sie mit sich selbst, erhalten damit , und ziehen vom Ergebnis 3 ab, also . Da die Zahl  dabei zweimal multipliziert wurde, hat sie höchstens den „Grad 2“ (im Falle von  ist der Grad in der Tat gleich 2, da dies keine rationale Zahl ist).

Bei transzendenten Zahlen handelt es sich um Zahlen, die nach endlich vielen elementaren algebraischen Manipulationen niemals zur Zahl Null gemacht werden können. Daher sind sie aus Sicht der Algebra in gewisser Hinsicht „unsichtbar“. Ein wichtiges Beispiel einer transzendenten Zahl ist die Kreiszahl . Sie spielt geometrisch eine elementare Rolle, da sie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser angibt, ist jedoch aus algebraischer Sicht äußerst mysteriös. Eine Anschauung dafür liefert die Idee, dass ein Kreis „unendlich viele Ecken“ hat und sich beim Grenzübergang von sehr feinen -Ecken zum Kreis (alle mit algebraisch „sichtbarem“ Umfang) der Umfang immer weiter im Grad erhöht, um letztendlich „völlig aus der Algebra zu verschwinden“.

Obwohl transzendente Zahlen so ungreifbar sind, sind sie deutlich zahlreicher anzutreffen als algebraische Zahlen. Dies liegt daran, dass die Eigenschaft, algebraisch zu sein, eine sehr erlesene ist und mit weitreichenden Konsequenzen und strukturellen Eigenschaften einhergeht. Der Gedanke, dass andersherum algebraische Zahlen „besonders selten“ sind, liegt daher mehr auf der Hand. Ein subjektiv beobachtetes besonders häufiges Auftreten algebraischer Zahlen lässt sich damit erklären, dass viele Phänomene in Alltag und Wissenschaft auf sehr elementaren und natürlichen Prozessen beruhen. Darüber hinaus werden reelle Zahlen im alltäglichen Gebrauch durch zum Beispiel Runden stark vereinfacht, wobei algebraische Fragen wenn überhaupt nur annähernd beantwortet werden müssen. Da selbst in der algebraischen Zahlentheorie stets auf Grundlage starker Strukturen gearbeitet wird, spielen transzendente Zahlen trotz ihrer „natürlichen Häufigkeit“ in dieser Disziplin nur eine begrenzte Rolle. Fragen rund um transzendente Zahlen, zum Beispiel, ob eine bestimmte Zahl transzendent ist, und Methoden, dies zu ermitteln, sind äußerst schwierig und Gegenstand intensiver mathematischer Forschung.

Definition 
Eine komplexe Zahl  heißt transzendent, wenn sie keine algebraische Zahl ist, wenn also kein Polynom

existiert mit .

Geschichtliche Entwicklung des Transzendenzbegriffs

Entdeckung des Konzeptes 
Die Vorstellung der mathematischen Transzendenz kam im Laufe des 18. Jahrhunderts ganz allmählich in den Überlegungen großer Mathematiker wie Gottfried Wilhelm Leibniz (omnem rationem transcendunt, lat.: Sie sind jenseits aller Vernunft) und Leonhard Euler auf, die zwar keine strenge Definition dieses Begriffs besaßen, sich aber trotzdem sicher waren, dass es solche mathematisch „schwer fassbaren“ Zahlen geben müsse, von denen Euler schrieb, sie „überschreiten […] die Wirksamkeit algebraischer Methoden“.
1748 behauptete Euler in seinem Lehrbuch Introductio in Analysin Infinitorum sogar, dass bei positivem rationalem  und natürlichem , das keine Quadratzahl ist, die Zahl  nicht rational ist, aber auch „nicht mehr irrational“ sei (wobei er unter „irrationale Zahlen“ den heute algebraische Zahlen genannten Zahlenbereich verstand).
Tatsächlich wurde diese Transzendenzvermutung 1934 als Spezialfall eines Resultats des russischen Mathematikers Alexander Ossipowitsch Gelfond sowie des deutschen Mathematikers Theodor Schneider in ihrer Richtigkeit bestätigt.
Ihre Beweise unterscheiden sich in wesentlichen Punkten.

Erste Konstruktionen transzendenter Zahlen 
Joseph Liouville konnte 1844 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und mittels seiner konstruktiven Beweismethode explizite Beispiele liefern.
In seiner Arbeit konnte er zeigen, dass es für jede algebraische Zahl  vom Grad  eine Konstante  gibt, sodass für jede rationale Approximation :

gilt (Satz von Liouville). Das lässt sich so interpretieren, dass irrationale algebraische Zahlen nicht sehr gut durch rationale Zahlen approximiert werden können. Falls reelle Zahlen besser als nach diesem Satz durch rationale Zahlen approximierbar sind (Liouvillesche Zahlen), müssen sie transzendent sein. Daraus folgt zum Beispiel, dass die Liouville-Konstante

transzendent ist.

Siehe Beweis des Approximationssatz von Liouville im Beweisarchiv.

Beweis der Überabzählbarkeit durch Georg Cantor 
Im Jahr 1874 konnte Georg Cantor nicht nur abermals die Existenz von transzendenten Zahlen beweisen, sondern sogar zeigen, dass es „mehr“ transzendente als algebraische Zahlen gibt.
Im Gegensatz zu Liouville verwendete Cantors Existenzbeweis für transzendente Zahlen keine zahlentheoretischen Eigenschaften der algebraischen Zahlen, sondern ist (aus heutiger Sicht) rein mengentheoretischer Natur.
Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs ‚mehr‘ war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Cantors Arbeit, weil es das Wissen über das reelle Zahlensystem revolutionär vertiefte.
Allerdings konnten sich seine neuartigen Ideen gegen einflussreiche konservative Kritiker wie Leopold Kronecker lange Zeit nicht durchsetzen.
Cantor bewies, dass die Menge der algebraischen reellen Zahlen (in moderner Sprechweise) abzählbar ist, während die Menge aller reellen Zahlen überabzählbar (unendlich, aber nicht abzählbar) ist.
Daraus folgt auch leicht, dass die Menge aller transzendenten Zahlen gleichmächtig mit der Menge aller reellen Zahlen (insbesondere: ebenfalls überabzählbar) ist.

Überabzählbarkeit 
Die Menge  der transzendenten Zahlen ist überabzählbar. Das bedeutet, dass es nicht möglich ist, durch „Abzählen“ von transzendenten Zahlen, etwa in der Form  eine vollständige Liste anzufertigen, auch wenn diese unendlich lang ist. Ein Beweis kann indirekt über die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen (für die also eine solche Liste existiert) und die Überabzählbarkeit der Menge aller komplexen Zahlen gegeben werden.

Für die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen hilft die Vorstellung, dass sich eine zählbare Auflistung von Listen wieder als eine zählbare Liste herausstellt. Vereinigt man gedanklich also die Listen  und  usw. wird die resultierende Liste wieder eine Abzählung sein. Dies erklärt, warum es eine Abzählung aller Polynome mit ganzen Koeffizienten gibt, da diese in der Form

gegeben sind. Ist die Liste der Polynome jedoch abzählbar, so ist es auch die Liste von deren (stets höchstens endlich vielen) Lösungen.

Dieser Sachverhalt kann mengensprachlich wie folgt formuliert werden:

Wenn  die Menge der transzendenten Zahlen und  die Menge der reellen Zahlen bezeichnet, dann gilt:

Hierbei ist  das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit von ;  (sprich „Aleph null“) ist das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit einer abzählbar unendlichen Menge, insbesondere der Menge  der natürlichen Zahlen.

Six Exponentials Theorem 
Das Six Exponentials Theorem trifft die folgende Aussage: Sind  zwei über  linear unabhängige komplexe Zahlen, und  drei über  linear unabhängige komplexe Zahlen, so ist mindestens eine der sechs Zahlen  mit  und  transzendent. Es kann damit zum Beispiel gezeigt werden, dass mindestens eine der Zahlen  transzendent ist.

Der Satz stammt von Serge Lang und Kanakanahalli Ramachandra, wobei Carl Ludwig Siegel und Theodor Schneider Vorarbeiten geleistet hatten.

Vermutung von Schanuel 

Eine der weitestreichenden Vermutungen in der Theorie transzendenter Zahlen ist die sog. Vermutung von Schanuel. Diese besagt: Sind  komplexe Zahlen, die linear unabhängig über  sind, so ist der Transzendenzgrad des Körpers

mindestens . Dies bedeutet, dass es mindestens  Zahlen  in  geben müsste, sodass für ein Polynom  mit  Variablen und rationalen Koeffizienten gilt: Aus  folgt bereits, dass  die konstante Nullfunktion sein muss.

Elliptische Funktionen und Modulformen

Die Weierstraßsche ℘-Funktion 
Die -Funktion von Weierstraß über einem Gitter  ist eine elliptische (d. h. doppeltperiodische meromorphe) Funktion, also  für jedes , die der Differentialgleichung

genügt. Sind nun die zu dem Gitter zugehörigen Eisensteinreihen  (zwei komplexe Zahlen) beide algebraisch, so ist für jede algebraische Zahl  der Wert  transzendent. Dies hat wichtige Konsequenzen für die nicht-trivialen Perioden zu elliptischen Kurven: Nichtverschwindende Perioden jeder elliptischen Kurve  mit algebraischen  und  sind notwendigerweise transzendent.

Weiter kann gezeigt werden, dass, falls  und  algebraisch sind und  irgendeine komplexe Zahl ist, die kein Pol von  ist, mindestens eine der beiden Zahlen  und  transzendent ist.

Die j-Invariante 
Im Falle der -Invarianten ist durch einen Satz von Schneider bekannt, dass für algebraische Zahlen  der Funktionswert  genau dann algebraisch ist, wenn  ein sogenannter CM-Punkt ist (dabei steht CM für complex multiplication). Dies bedeutet erst einmal nur, dass  eine quadratische Gleichung  löst. Beispielsweise ist

sogar eine ganze Zahl.

Transzendenzbeweise von e und π 
Die ursprünglichen Beweise der Transzendenz von  und  stammen von Charles Hermite bzw. von Ferdinand von Lindemann. Die Beweise sind allerdings nur sehr schwer nachzuvollziehen. Im Laufe der Zeit gab es aber immer wieder Vereinfachungen dieser Beweise. Einen sehr „eleganten“ Beweis veröffentlichte der berühmte Mathematiker David Hilbert (1862–1943) im Jahre 1893 in seinem Aufsatz „Über die Transcendenz der Zahlen  und “.

Siehe Beweis der Transzendenz von  und  im Beweisarchiv.

Beispiele für transzendente Zahlen 
 
Aus der Transzendenz von , die von Carl Louis Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen wurde, folgt die Unlösbarkeit der Quadratur des Kreises mittels Zirkel und Lineal.
 ,
die Eulersche Zahl, deren Transzendenz 1873 von Charles Hermite bewiesen werden konnte.
  für algebraisches . Siehe auch Satz von Lindemann-Weierstraß.
 . Allgemeiner konnten Alexander Gelfond und Theodor Schneider 1934 unabhängig voneinander mit verschiedenen Methoden zeigen: Ist ,  algebraisch,  algebraisch und irrational, dann ist  eine transzendente Zahl. Dies ist eine Teillösung von Hilberts siebtem Problem. Für transzendente  gilt dieser Satz offensichtlich nicht, da z. B.  ist (siehe auch Satz von Gelfond-Schneider).
 Liouvillesche Zahlen, insbesondere die oben bereits erwähnte Liouvillesche Konstante:
  () 
Liouvillsche Zahlen ergeben sich durch die Konstruktionen mit besseren rationalen Approximationen an irreale Zahlen als durch den Satz von Liouville gegeben. Ebenso ergeben sich Beispiele aus der Verschärfung des Satzes von Liouville im Satz von Thue-Siegel-Roth.
 Der Sinus  einer algebraischen Zahl  (siehe wieder Satz von Lindemann-Weierstraß).
 Der Logarithmus  einer rationalen positiven Zahl .
  und  (siehe Gammafunktion)
 , . Die Klammer  ist hierbei die Gaußklammer.
 Die Champernowne-Zahl , gebildet durch Aneinanderfügen der natürlichen Zahlen im Dezimalsystem, und ähnlich gebildete Zahlen in Stellenwertsystemen auf anderer Basis als 10 (Kurt Mahler 1946).

Verallgemeinerung 
Im Kontext allgemeiner Körpererweiterungen  betrachtet man ebenfalls Elemente in , die algebraisch oder transzendent über  sind. Siehe dazu Algebraisches Element.

Siehe auch 
 Liste besonderer Zahlen

Literatur 
 Alan Baker: Transcendental number theory. Reprinted edition. Cambridge University Press, London u. a. 1990, ISBN 0-521-39791-X (ein anspruchsvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt).
 Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 4., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-64630-2 (bietet einen einführenden Überblick zum Thema „transzendente Zahlen“ an).
 Naum Iljitsch Feldman, Juri Walentinowitsch Nesterenko: Number Theory IV: Transcendental numbers. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 44, Springer, 1997, ISBN 978-3540614678.
 David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen  und . In: Mathematische Annalen. Bd. 43, Nr. 2/3, 1893, S. 216–219, .
 Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson: Abstract Algebra and Famous Impossibilities. Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-97661-2 (enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für ).
 Kurt Mahler: Lectures on transcendental numbers. Lecture notes in mathematics 566, Springer, 1976.
 M. Ram Murty, Purusottam Rath: Transcendental Numbers. Springer, New York 2014, ISBN 978-1-4939-0831-8.
 Oskar Perron: Irrationalzahlen (= Göschens Lehrbücherei. Gruppe 1: Reine Mathematik. Bd. 1, ). de Gruyter, Berlin u. a. 1921.
 Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 81, ). Springer, Berlin u. a. 1957.
 Carl Ludwig Siegel: Transcendental numbers. Annals of Mathematical Studies, Princeton UP, 1949. Deutsche Übersetzung: Transzendente Zahlen. BI Hochschultaschenbücher, 1967.
 Andrei Borissowitsch Schidlowski: Transcendental numbers (= De Gruyter Studies in Mathematics. Bd. 12). de Gruyter, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-11-011568-9 (besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert).
 Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Erweiterte 2. Auflage, Springer Verlag Heidelberg, 2019.
 Michel Waldschmidt: Transcendence Methods. Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics 52, Queen’s University, Kingston 1979.

Weblinks 

 . Beweis, dass  transzendent ist.
 Olaf Klinke: . Der Beweis von Hermite-Lindemann, dass  und  transzendent sind (PDF; 170 kB).
 Rudolf Fritsch: . Der Beweis (nach Hilbert), dass  transzendent ist (PDF; 177 kB).
 Rudolf Fritsch: . Der Beweis (nach Hilbert), dass  transzendent ist (PDF; 78,3 kB).
 
 Feldman: Algebraic and transcental numbers. Quantum, 2000 (PDF; 68,4 MB).

Einzelnachweise 

Zahl
Algebraische Zahlentheorie
Körpertheorie