Przestrzeń metryczna

Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice’a Frécheta.

Definicja metryki 
Niech  oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze  nazywa się funkcję
 

która dla dowolnych elementów  tego zbioru spełnia warunki:
 identyczność nierozróżnialnych
 
 symetria
 
 nierówność trójkąta
 

Gdy  jest metryką w zbiorze  to parę  nazywa się przestrzenią metryczną,
 elementy zbioru  nazywa się punktami,
 liczbę  nazywa się odległością punktu  od punktu

Uwaga 1. 
Niekiedy pomija się warunek nieujemności  przyjmując  zamiast 

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

Uwaga 2. 
Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:
 

Dowód:

1) Przyjmując w powyższym warunku  dostaniemy:
 
2) Zamieniając w powyższym warunku  i  oraz przyjmując  dostaniemy:
 
3) Z powyższych dwóch nierówności wynika:  c.n.d.

Metryki w przestrzeni liniowej 
W przestrzeni liniowej (np. euklidesowej, unormowanej, unitarnej) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach  oraz  oznaczają elementy przestrzeni

Metryka euklidesowa 
Metrykę euklidesową w przestrzeni  definiuje się wzorem
 

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:
 

W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów  oraz

Metryka generowana przez normę 
Jeżeli  jest przestrzenią unormowaną, to jako odległość (metrykę) punktów  można przyjąć długość (normę) wektora, będącego różnicą wektorów  tj.
  dla 

Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np. metrykami są funkcje postaci
 

gdzie  Metryka  jest metryką euklidesową i oznacza się ją symbolem 

Metrykę, którą definiuje się w oparciu o normę przestrzeni, nazywa się metryką generowaną przez normę.

Metryka maksimum 

Metryka maksimum zwana także metryką nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachową jest określona w przestrzeni  za pomocą wzoru
 

– odległość ta jest de facto metryką generowaną przez normę maksimum zadaną wzorem
 

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Łatwo sprawdzić, że w grze w szachy minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).

Metryka węzła kolejowego 

Metryka węzła kolejowego zwana także metryką centrum, kolejową, metra paryskiego może być zdefiniowana na płaszczyźnie.

Niech  będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów  w tej metryce wyznacza się następująco:
 Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt  to
 
 w przeciwnym wypadku
 

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń  w której ustalono pewien jej punkt 

Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu  Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.

Metryka rzeka 

Niech  będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość  punktów  w metryce rzece wyznacza się następująco:
 Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej  to
 
 w przeciwnym wypadku
 
 gdzie  są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio  na prostą 

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń  w której ustalono pewną jej prostą 

Metrykę tą można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).

Uogólniona metryka rzeka 
Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w  można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową  wymiaru a spełniającego  Niech ponadto  przy czym 
 Jeżeli punkty  leżą na pewnej rozmaitości wymiaru  prostopadłej do rozmaitości  to
 
 w przeciwnym wypadku
 
 gdzie  są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio  na prostą 

Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego.

Metryka dyskretna 
Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość  punktów  oraz  zbioru  określa wzór
 

Parę  z metryką  nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Porównanie metryk przytoczonych w przykładach 
Dla  metryki euklidesowa, Manhattan, szachowa pokrywają się. Jeżeli  to metryki szachowa i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskich 
Powierzchnia sfery, elipsoidy obrotowej, hiperboloidy obrotowej, czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości riemannowskie i najogólniejsze – rozmaitości pseudoriemannowskie.

Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. w przestrzeni euklidesowej. Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.

Niech  będzie rozmaitością wymiaru  i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe

Odległość infinitezymalna 
Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora  łączącego punkt  z infinitezymalnie odległym punktem  zadana jest wzorem
 

gdzie:
 

– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia )

Odległość dowolnych punktów 
Dla punktów  rozmaitości  dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych  ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty  czyli
 

gdzie:
  = infimum = kres dolny zbioru
  – długość krzywej 

przy czym krzywa  dana jest przez  równań parametrycznych
  

oraz
 

Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.

Topologia przestrzeni metrycznej 
Przestrzeń metryczną  łatwo jest przekształcić w przestrzeń topologiczną, definiując następująco topologię:

a) bazę topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci
 

gdzie  – dowolny elementem przestrzeni   – promień kuli 

b) podzbiór  przestrzeni  należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.

Taką topologię nazywa się topologią generowaną na zbiorze  przez metrykę

Metryzowalna przestrzeń topologiczna 
Przestrzeń topologiczną  nazywamy przestrzenią metryzowalną, jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są:
 twierdzenie Nagaty-Smirnowa,
 twierdzenie Binga.

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych).

Własności przestrzeni metrycznych 
Tw. 1 Każda przestrzeń metryczna jest
 parazwarta,
 doskonale normalna,
 Hausdorffa,
 spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Tw. 2 Poniższe niezmienniki topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:
 drugi aksjomat przeliczalności, ośrodkowość, własność Lindelöfa,
 zwartość, ciągowa zwartość, przeliczalna zwartość.

Definicja odległości punktu od zbioru 

Odległością (odstępem) punktu  od zbioru  nazywa się funkcję

Równoważność metryk

Definicja 
Niech  będą przestrzeniami metrycznymi.

Df. 1 Metryki  nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczne.

Df. 2 Metryki  nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe  takie że dla każdego  spełniony jest warunek

Twierdzenia o metrykach równoważnych 
Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru  jest zbieżny w sensie metryki  to jest także zbieżny w sensie metryki 

Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.

Tw. 3 Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Metryka niezmiennicza na przesunięcia 
Metrykę  nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej  określone jest działanie dodawania  i dla dowolnych punktów  zachodzi warunek

Uogólnienia 
Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów:
 zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym
 
 uzyskuje się tzw. pseudometrykę.
 rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się quasi-metrykę
 zastępując warunek trójkąta aksjomatem

  uzyskuje się funkcję nazywaną ultrametryką.

Zobacz też 
Inne typy metryk:
 metryka euklidesowa
 metryka pomiarowa
 metryka probabilistyczna
 metryka riemannowska
 metryka Czebyszewa
 metryka Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera
 metryka Hausdorffa
 metryka Mahalanobisa
 metryka Minkowskiego
 metryka Schwarzschilda
Pseudometryki:
 pseudometryka pseudoriemannowska
Przestrzenie metryzowalne:
 przestrzeń topologiczna
 przestrzeń unormowana
 przestrzeń pseudometryczna

Przypisy

Bibliografia 
 Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Literatura dodatkowa 
Polskojęzyczna

 
 
 

Anglojęzyczna

 Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, .

Linki zewnętrzne 
 
  [dostęp 2023-10-10].
  Metric space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].