Körper (Algebra)

Ein Körper ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur, in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auf eine bestimmte Weise durchgeführt werden können.

Die Bezeichnung „Körper“ wurde im 19. Jahrhundert von Richard Dedekind eingeführt.

Die wichtigsten Körper, die in fast allen Gebieten der Mathematik benutzt werden, sind der Körper  der rationalen Zahlen, der Körper  der reellen Zahlen und der Körper  der komplexen Zahlen.

Formale Definition

Allgemeine Definition 
Ein Körper ist eine Menge , versehen mit zwei inneren zweistelligen Verknüpfungen „“ und „“ (die Addition und Multiplikation genannt werden), für die folgende Bedingungen erfüllt sind:
  ist eine abelsche Gruppe (neutrales Element 0).
  ist eine abelsche Gruppe (neutrales Element 1).
 Distributivgesetz:
 und  für alle .

Einzelaufzählung der benötigten Axiome 
Ein Körper muss also folgende Einzelaxiome erfüllen:
 Additive Eigenschaften:
  für alle  (Assoziativgesetz)
  für alle  (Kommutativgesetz)
 Es gibt ein Element , sodass  für alle  (neutrales Element).
 Zu jedem  existiert ein additives Inverses  mit .
 Multiplikative Eigenschaften:
  für alle  (Assoziativgesetz)
  für alle  (Kommutativgesetz)
 Es gibt ein Element , sodass  für alle  (neutrales Element).
 Zu jedem  existiert ein multiplikatives Inverses  mit .
 Zusammenspiel von additiver und multiplikativer Struktur:
  für alle  (Links-Distributivgesetz)
  für alle  (Rechts-Distributivgesetz)
Aufgrund der multiplikativen Kommutativität in einem Körper würde es ausreichen, nur ein Distributivgesetz anzugeben.

Definition als spezieller Ring 
Ein kommutativer unitärer Ring, der nicht der Nullring ist, ist ein Körper, wenn in ihm jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt.

Anders formuliert, ist ein Körper ein kommutativer unitärer Ring , in dem die Einheitengruppe  gleich  ist.

Bemerkungen 
Die Definition sorgt dafür, dass in einem Körper in der „gewohnten“ Weise Addition, Subtraktion und Multiplikation funktionieren sowie die Division mit Ausnahme der nicht lösbaren Division durch 0:
 Das Inverse von  bezüglich der Addition ist  und wird meist das additiv Inverse zu  oder auch das Negative von  genannt.
 Das Inverse von  bezüglich der Multiplikation ist  und wird das (multiplikativ) Inverse zu oder der Kehrwert von  genannt.
  ist das einzige Element des Körpers, das keinen Kehrwert hat, die multiplikative Gruppe eines Körpers ist also . Jegliche Lösung  jeder Gleichung  verletzt die Ringaxiome.

Anmerkung: Die Bildung des Negativen eines Elementes hat nichts mit der Frage zu tun, ob das Element selbst negativ ist; beispielsweise ist das Negative der reellen Zahl  die positive Zahl . Allgemein gibt es in einem Körper keinen Begriff von negativen oder positiven Elementen. (Siehe auch geordneter Körper.)

Verallgemeinerungen: Schiefkörper und Koordinatenkörper 

Verzichtet man auf die Bedingung, dass die Multiplikation kommutativ ist, so gelangt man zur Struktur des Schiefkörpers. Es gibt jedoch auch Autoren, die bei einem Schiefkörper explizit voraussetzen, dass die Multiplikation nicht kommutativ ist. In diesem Fall sind die Begriffe Körper und Schiefkörper disjunkt – und nicht hierarchisch zueinander, wie sie es bei Bourbaki sind, der Schiefkörper als Körper und die hier besprochenen Körper als kommutative Körper bezeichnen.  Ein Beispiel für einen echten Schiefkörper sind die Quaternionen.

In der analytischen Geometrie werden Körper zur Koordinatendarstellung von Punkten in affinen und projektiven Räumen verwendet, siehe Affine Koordinaten, Projektives Koordinatensystem. In der synthetischen Geometrie, in der auch Räume (insbesondere Ebenen) mit schwächeren Eigenschaften untersucht werden, benutzt man als Koordinatenbereiche („Koordinatenkörper“) auch Verallgemeinerungen der Schiefkörper, nämlich Alternativkörper, Quasikörper und Ternärkörper.

Eigenschaften und Begriffe 
 Es gibt genau eine „0“ (Null-Element, neutrales Element bzgl. der Körper-Addition) und eine „1“ (Eins-Element, neutrales Element bzgl. der Körper-Multiplikation) in einem Körper.
 Jeder Körper ist ein Ring. Die Eigenschaften der multiplikativen Gruppe heben den Körper aus den Ringen heraus. Wenn die Kommutativität der multiplikativen Gruppe nicht gefordert wird, erhält man den Begriff des Schiefkörpers.
 Jeder Körper ist nullteilerfrei: Ein Produkt zweier Elemente des Körpers ist genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
 Jedem Körper lässt sich eine Charakteristik zuordnen, die entweder 0 oder eine Primzahl ist.
 Die kleinste Teilmenge eines Körpers, die selbst noch alle Körperaxiome erfüllt, ist sein Primkörper. Der Primkörper ist entweder isomorph zum Körper  der rationalen Zahlen (bei Körpern der Charakteristik 0) oder ein endlicher Restklassenkörper  (bei Körpern der Charakteristik , speziell bei allen endlichen Körpern, s. u.).
 Ein Körper ist ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst als zugrundeliegendem Skalarkörper. Darüber hinaus existieren über allen Körpern Vektorräume beliebiger Dimension (siehe Hauptartikel Vektorraum).
 Ein wichtiges Mittel, um einen Körper  algebraisch zu untersuchen, ist der Polynomring  der Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten aus .
 Man nennt einen Körper  algebraisch abgeschlossen, wenn sich jedes nichtkonstante Polynom aus  in Linearfaktoren aus  zerlegen lässt.
 Man nennt einen Körper  vollkommen, wenn kein irreduzibles nichtkonstantes Polynom aus  in irgendeiner Körpererweiterung mehrfache Nullstellen hat. Algebraische Abgeschlossenheit impliziert Vollkommenheit, aber nicht umgekehrt.
 Wenn in einem Körper eine Totalordnung definiert ist, die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist, spricht man von einem geordneten Körper und nennt die Totalordnung auch Anordnung des Körpers. In solchen Körpern kann man von negativen und positiven Zahlen sprechen.
 Wenn in dieser Anordnung jedes Körperelement  durch eine endliche Summe des Einselementes übertroffen werden kann (), sagt man, der Körper erfüllt das archimedische Axiom, oder auch, er ist archimedisch geordnet.
 In der Bewertungstheorie werden bestimmte Körper mit Hilfe einer Bewertungsfunktion untersucht. Man nennt sie dann bewertete Körper.
 Ein Körper  besitzt als Ring nur die trivialen Ideale  und .
 Jeder nicht-konstante Homomorphismus von einem Körper in einen Ring ist injektiv.

Körpererweiterung 

Eine Teilmenge  eines Körpers , die selbst mit dessen Operationen wieder einen Körper bildet, wird Unter- oder Teilkörper genannt. Das Paar  und  heißt Körpererweiterung ,  oder . Beispielsweise ist der Körper der rationalen Zahlen  ein Teilkörper der reellen Zahlen .

Eine Teilmenge  eines Körpers  ist ein Teilkörper, wenn sie folgende Eigenschaften hat:
 , 
  (Abgeschlossenheit bezüglich Addition und Multiplikation)
  (Zu jedem Element aus  ist auch das additive Inverse in .)
  (Zu jedem Element aus  mit Ausnahme der Null ist auch das multiplikativ Inverse in .)

Das algebraische Teilgebiet, das sich mit der Untersuchung von Körpererweiterungen beschäftigt, ist die Galoistheorie.

Beispiele 
 Bekannte Beispiele für Körper sind
 der Körper der rationalen Zahlen , d. h. die Menge der rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation
 der Körper der reellen Zahlen , d. h. die Menge der reellen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation, und
 der Körper der komplexen Zahlen  d. h. die Menge der komplexen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation.

 Körper können durch Adjunktion erweitert werden. Ein wichtiger Spezialfall – insbesondere in der Galoistheorie – sind algebraische Körpererweiterungen des Körpers . Der Erweiterungskörper kann dabei als Vektorraum über  aufgefasst werden.
  ist ein Körper. Es genügt zu zeigen, dass das Inverse von  auch von der angegebenen Form ist:       Eine mögliche Basis von  ist {}.
  ist ein Körper mit Basis .

 Weitere Beispiele liefern die Restklassenkörper  mit  Primzahl und
 deren endliche Körpererweiterungen, die endlichen Körper,
 allgemeiner deren algebraische Körpererweiterungen, die Frobeniuskörper, und
 noch allgemeiner deren beliebige Körpererweiterungen, die Körper mit Primzahlcharakteristik.
 Zu jeder Primzahl  der Körper  der p-adischen Zahlen.
 Die Menge der ganzen Zahlen  mit den üblichen Verknüpfungen ist kein Körper: Zwar ist  eine Gruppe mit neutralem Element  und jedes  besitzt das additive Inverse , aber  ist keine Gruppe. Immerhin ist  das neutrale Element, aber außer zu  und  gibt es keine multiplikativen Inversen (zum Beispiel ist  keine ganze, sondern eine echt rationale Zahl):
 Die ganzen Zahlen bilden lediglich einen Integritätsring, dessen Quotientenkörper die rationalen Zahlen sind.
 Das Konzept, mit dem sich der Integritätsring der ganzen Zahlen zum Körper der rationalen Zahlen erweitern und in diesen einbetten lässt, kann auf beliebige Integritätsringe verallgemeinert werden:
 So entsteht in der Funktionentheorie aus dem Integritätsring der auf einem Gebiet der komplexen Zahlenebene holomorphen Funktionen der Körper der auf demselben Gebiet meromorphen Funktionen, und abstrakter
 aus dem Integritätsring der formalen Potenzreihen  über einem Körper  dessen Quotientenkörper, analog aus dem Integritätsring der formalen Dirichletreihen,
 aus dem Ring der Polynome in  Variablen, , dessen Quotientenkörper, der Körper der rationalen Funktionen  in ebenso vielen Variablen.

Endliche Körper 

Ein Körper ist ein endlicher Körper, wenn seine Grundmenge  endlich ist. Die endlichen Körper sind in folgendem Sinne vollständig klassifiziert: Jeder endliche Körper hat genau  Elemente mit einer Primzahl  und einer positiven natürlichen Zahl . Bis auf Isomorphie gibt es zu jedem solchen  genau einen endlichen Körper, der mit  bezeichnet wird. Jeder Körper  hat die Charakteristik .
Im Artikel Endlicher Körper werden die Additions- und Multiplikationstafeln des  gezeigt bei farbiger Hervorhebung von dessen Unterkörper .

Im Spezialfall  erhalten wir zu jeder Primzahl  den Körper , der isomorph ist zum Restklassenkörper  und Primkörper der (Primzahl)charakteristik  genannt wird. Für  ist  niemals isomorph zu ; stattdessen ist  isomorph zu
,
wobei  den Ring der Polynome mit Koeffizienten in  darstellt (hier ist ) und  ein irreduzibles Polynom vom Grad  ist. In  ist ein Polynom irreduzibel, wenn aus  folgt, dass  oder  ein Element von  ist, also ein konstantes Polynom. Hier bedeutet  das von  erzeugte Ideal.

Geschichte 
Wesentliche Ergebnisse der Körpertheorie sind Évariste Galois und Ernst Steinitz zu verdanken. Weitere Einzelheiten zur Genese des Begriffes liefert Wulf-Dieter Geyer in Kapitel 2 seines Beitrages, in dem er u. a. auf die Rolle Richard Dedekinds hinweist (siehe Literatur).

Siehe auch 

 Algebraischer Zahlkörper
 Ring (Algebra)

Literatur 
 Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
 Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9.
  siehe insbesondere Kapitel 2 („Historical remarks about the concept of field“), Seite 29.

Weblinks

Einzelnachweise