Silnia

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż . Zapis   itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Zastosowania 
Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać ) przez geometrię -wymiarową (np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy ), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa ).

Definicja formalna 
Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera
 

Silnia liczby naturalnej n jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n
 

Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników
 

Wartość 0! określa się osobno:
 

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

Przykłady

Historia 
Oznaczenie  dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Obliczanie 
Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Dla liczb całkowitych wystąpi to już dla 13!
n = 1 n! = 1
n = 2 n! = 2
n = 3 n! = 6
n = 4 n! = 24
n = 5 n! = 120
n = 6 n! = 720
n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Przybliżona wartość 
Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:
 

Wynika z niego także postać logarytmu silni:
 

Przydatne jest również oszacowanie:
 

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:
 

gdzie:

Właściwości

Wzrost 

Wzrost funkcja silnia jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż . Tempo wzrostu jest podobne do  ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat 
Jeżeli liczba  rozkłada się na czynniki pierwsze:
 

to
 

tzn. liczba pierwsza  pojawia się z wykładnikiem:
 

gdzie  oznacza część całkowitą liczby

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni 
Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym  przy czym  jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru
 

gdzie  musi spełniać warunek
 

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się
  zerami.

Jeżeli  nierówności są spełnione przez  w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Powiązane funkcje i sekwencje

Factorion 
Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585.

Funkcja gamma 

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia
 

Ponieważ  więc z powyższego wynika
 

dla wszystkich liczb naturalnych 

Funkcja  jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia wielokrotna 
Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną  oraz ogólnie silnie -tą, którą oznaczamy jako  Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

Silnia podwójna 
Silnią podwójną liczby naturalnej  określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do  Silnię podwójną oznacza się 

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:
 

Przykład:
 
 

Własności podwójnej silni:
 
 
 

zależność od funkcji gamma:
  więc:

Przypisy

Bibliografia 
 Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne 

 
 
 http://factorielle.free.fr 

Działania na liczbach