Dreiecksungleichung

Die Dreiecksungleichung ist in der Geometrie ein Satz, der besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Das „höchstens“ schließt dabei den Sonderfall der Gleichheit ein. Die Dreiecksungleichung spielt auch in anderen Teilgebieten der Mathematik wie der Linearen Algebra oder der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle.

Formen der Dreiecksungleichung

Für allgemeine Dreiecke 

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten  und  stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite :

.

Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es alltagssprachlich auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“

Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn  und  Teilstrecken von  sind – man spricht dann auch davon, dass das Dreieck „entartet“ sei.

Da aus Symmetriegründen auch  gilt, folgt , analog erhält man , insgesamt also
.

Die linke Ungleichung  wird gelegentlich auch als umgekehrte Dreiecksungleichung bezeichnet.

Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom für abstrakte Abstandsfunktionen in metrischen Räumen gesetzt.

Für rechtwinklige Dreiecke 
Ist  die Hypotenusenlänge und sind  und  die Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, so gilt die spezielle Dreiecksungleichung .

Für reelle Zahlen 
Für reelle Zahlen  und  gilt: 

Beweis

Seien  und  reelle Zahlen. Entweder es ist   oder es ist . Für den Fall  gilt , und die Summe  lässt sich wegen  und  nach oben abschätzen durch . Insgesamt folgt somit . Für den Fall  gilt , und  lässt sich wegen  und  ebenfalls durch  nach oben abschätzen, so dass auch in diesem Fall .

Umgekehrte Dreiecksungleichung 
Wie beim Dreieck lässt sich auch eine umgekehrte Dreiecksungleichung herleiten:

Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt  Einsetzen von  gibt

Setzt man stattdessen  so ergibt sich

zusammen also (denn für beliebige reelle Zahlen  und  mit  und  gilt auch )

Ersetzt man  durch  so erhält man auch

 

Insgesamt also
  für alle

Für komplexe Zahlen 
Für komplexe Zahlen gilt:

 

Beweis

 Da alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält

 wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Streicht man identische Terme und setzt  so bleibt

 zu zeigen. Mit  erhält man

 bzw.

 was wegen  und der Monotonie der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist.

Analog zum reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch
 für alle

Von Betragsfunktionen für Körper  
Zusammen mit anderen Forderungen wird eine Betragsfunktion für einen Körper  auch durch die

etabliert. Sie hat zu gelten für alle  Sind alle Forderungen (s. Artikel Betragsfunktion) erfüllt, dann ist  eine Betragsfunktion für den Körper 

Ist  für alle ganzen , dann nennt man den Betrag nichtarchimedisch, andernfalls archimedisch.

Bei nichtarchimedischen Beträgen gilt die

Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

Für Summen und Integrale 
Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. vollständige Induktion ergibt

für reelle oder komplexe Zahlen . Diese Ungleichung gilt auch, wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden:

Ist  eine Riemann-integrierbare Funktion, dann gilt

 .

Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen , vgl. Dann existiert nämlich eine komplexe Zahl , so dass
  und .

Da

reell ist, muss  gleich Null sein. Außerdem gilt
 ,
insgesamt also
.

Für Vektoren 
Für Vektoren gilt:

 .

Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren
 ,

unter Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

 .

Auch hier folgt wie im reellen Fall

 
sowie

Für sphärische Dreiecke 

In sphärischen Dreiecken gilt die Dreiecksungleichung im Allgemeinen nicht.

Sie gilt jedoch, wenn man sich auf eulersche Dreiecke beschränkt, also solche, in denen jede Seite kürzer als ein halber Großkreis ist.

In nebenstehender Abbildung gilt zwar
 
jedoch ist .

Für normierte Räume 
In einem normierten Raum  wird die Dreiecksungleichung in der Form

als eine der Eigenschaften gefordert, die die Norm für alle erfüllen muss. Insbesondere folgt auch hier

sowie
 für alle .

Im Spezialfall der Lp-Räume wird die Dreiecksungleichung Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.

Für metrische Räume 
In einem metrischen Raum  wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form

für alle  erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch die umgekehrte Dreiecksungleichung

für alle  gilt. Außerdem gilt für beliebige  die Ungleichung
.

Siehe auch 
 Ungleichungen in Vierecken

Einzelnachweise 

Dreiecksgeometrie
Lineare Algebra
Ungleichung