Całka niewłaściwa

Całka niewłaściwa – rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona. W obu przypadkach jest to granica pewnej funkcji zdefiniowanej przez całkę.

Ustalenia wstępne

Całka na przedziale nieograniczonym 
Niech dla każdego  funkcja
 

jest całkowalna w przedziale  Granicę
 

nazywa się całką niewłaściwą funkcji  w granicach od  do  Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówi się, że jest rozbieżna. Analogicznie określa się całkę niewłaściwą w granicach od  do  i od  do 
 
 

Można udowodnić, że ostatnie wyrażenie (jeżeli ta granica istnieje) jest równe
 

gdzie  jest dowolną liczbą rzeczywistą. Oprócz tego, istnienie obu całek z wyrażenia  powoduje istnienie granicy z  jeżeli te całki nie są równe nieskończonościom różnych znaków. Więc całkę  można zdefiniować przez wyrażenie

Całka funkcji nieograniczonej 
Niech
 

będzie funkcją, która jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale  gdzie  oraz jest nieograniczona w każdym przedziale  na lewo od punktu  (punkt taki nazywany jest punktem osobliwym funkcji ). Granicę
 

nazywa się całką niewłaściwą funkcji  w przedziale  Gdy granica ta jest skończona, to mówi się, że całka ta jest zbieżna – w przeciwnym przypadku – tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówi się, że jest ona rozbieżna. Analogicznie określa się przypadek, gdy punkt  jest punktem osobliwym.

W przypadku, gdy oba punkty  są punktami osobliwymi, metoda definiowania jest analogiczna jak w podanej wyżej definicji całki  tj. można wykorzystać granicę podwójną albo napisać, że
 

Analogicznie, z pomocą rozbicia przedziału, definiuje się całka o skończonej liczbie punktów osobliwych wewnątrz odpowiedniego przedziału. Tę samą metodę stosuje się do definiowania całki, w której i przedział jest nieskończony, i funkcja jest nieograniczona.

Warunkowa i bezwarunkowa zbieżność całki 
Niech  będzie funkcją określoną na pewnym przedziale  poza, być może, skończoną liczbą punktów osobliwych. Wtedy całkę (niewłaściwą)
 

nazywa się zbieżną bezwzględnie, jeżeli całka
 

istnieje i jest skończona. Gdy istnieje całka  ale nie istnieje całka modułu, całkę  nazywa się zbieżną warunkowo.

Dla przykładu, całka
 

jest warunkowo zbieżna. Wynika to z następującego kryterium porównywania z szeregiem, zastosowanym dla całki

Kryteria zbieżności całek niewłaściwych

Badanie zbieżności szeregu 
Całka niewłaściwa  istnieje i jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu  punktów przedziału  gdzie
 

oraz
 

szereg liczbowy
 

jest zbieżny.

Kryterium porównawcze 
Jeżeli funkcje
 

są nieujemne oraz istnieje taka liczba  że dla każdego  zachodzi nierówność  oraz całka  jest zbieżna, to również całka  jest zbieżna.

Powyższe kryterium można nieco wzmocnić i wypowiedzieć je w sposób następujący:

Kryterium asymptotyczne 
Jeżeli istnieje granica
 

to
 gdy  ze zbieżności całki  wynika zbieżność całki  (a to, przez kontrapozycję, jest równoważne temu, iż z rozbieżności drugiej całki wynika rozbieżność pierwszej),
 gdy  z rozbieżności całki  wynika rozbieżność całki  (czyli ze zbieżności drugiej wynika zbieżność pierwszej).

Ostatecznie, w przypadku, gdy  obie całki są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne.

Kryterium Abela 
Załóżmy, że funkcje  są takie, że
 1)  jest zbieżna;
 2) funkcja  jest monotoniczna i ograniczona.

Wówczas całka
 

jest zbieżna.

Kryterium Dirichleta 

Załóżmy, że funkcja  jest całkowalna w każdym przedziale  oraz
 1) istnieje taka liczba nieujemna  że dla każdego 
 
 2) funkcja  jest zbieżna monotonicznie do  przy 

Wówczas całka
 

jest zbieżna.

Obliczanie całek za pomocą metod analizy zespolonej 
Jeżeli całka jest zbieżna, to możemy ją próbować obliczyć za pomocą analizy zespolonej.

Całka funkcji wymiernej 
Wszystkie funkcje wymierne  których mianownik nie ma pierwiastków rzeczywistych, a licznik jest co najmniej o dwa stopnie niższy niż mianownik, można obliczyć metodami analizy na liczbach zespolonych.

W obliczeniach będziemy stosowali pojęcie residuum funkcji. Jeżeli wewnątrz zamkniętej krzywej całkowania  znajdą się bieguny  funkcji  i ta funkcja jest analityczna we wszystkich innych punktach obszaru ograniczonego tą krzywą, to wartość całki wyniesie:
 

gdzie  to krzywa gładka, skierowana odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Oznacza to, że całkę postaci
 

możemy rozpatrywać jako sumę całek od  do  wzdłuż osi rzeczywistej oraz po półokręgu o promieniu  przechodzącym przez punkty    i skierowanym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Kontynuując, można wykazać, że wartość tej całki będzie wynosiła:
 

przy założeniu, że wszystkie punkty  znajdują się w górnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych (ich część urojona jest większa od 0). Punkty leżące w dolnej półpłaszczyźnie liczb zespolonych ignorujemy.

Całka funkcji wymiernej z funkcjami trygonometrycznymi 

Całki funkcji postaci  bądź  liczy się podobnie do całek z funkcji niewymiernych. Niezbędne jest jednak ich inne przekształcenie na całkę zespoloną:
 

bądź

Przykłady 
Przykładem całki na przedziale nieskończonym jest całka
 

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:
 

i taka jest wartość szukanej całki.

Przykładem całki funkcji nieograniczonej jest całka
 

Obliczając całkę oznaczoną, mamy:
 

i taka jest wartość szukanej całki.

Całki występujące w definicji niektórych rozkładów prawdopodobieństwa 
  – całka Gaussa, występuje w rozkładzie Maxwella.
  – całka występująca w rozkładzie Boltzmanna.
  – całka występująca w rozkładzie Bosego-Einsteina.
  – całka występująca w rozkładzie Fermiego-Diraca.

W tych przykładach
  – dowolna dodatnia liczba rzeczywista,
  – funkcja gamma Eulera,
  – funkcja zeta Riemanna,
  – funkcja eta Dirichleta.

Przypisy

Bibliografia 
 
 

niewłaściwa