Definitionsmenge

In der Mathematik versteht man unter Definitionsmenge oder Definitionsbereich die Menge mit genau den Elementen, unter denen (je nach Zusammenhang) die Funktion definiert bzw. die Aussage erfüllbar ist. In der Schulmathematik wird die Definitionsmenge oft mit  abgekürzt, manchmal wird das  auch mit einem Doppelstrich geschrieben.

Definitionsbereich einer Funktion 

Eine Funktion  ist eine spezielle Relation, die jedem Element der Definitionsmenge  genau ein Element der Zielmenge  zuweist. Die Definitionsmenge wird mit  bezeichnet. Hat die Funktion einen anderen Namen als  wie z. B.  oder , dann wird der Definitionsbereich entsprechend mit  oder  bezeichnet.

Die Menge

aller Funktionswerte  von  heißt Bild- oder Wertemenge  von  und ist eine Teilmenge der Zielmenge.

Die Grundmenge und die Zielmenge einer Funktion sind wesentliche Teile ihrer Definition. Häufig werden aber die Grundmenge und die Zielmenge einer Funktion nicht mit angegeben, wenn die Funktion auf der maximal möglichen Definitionsmenge gemeint ist (die dann meist eine Teilmenge der reellen Zahlen  oder komplexen Zahlen  ist).

Zwei Funktionen mit gleicher funktionaler Abhängigkeit, aber verschiedenen Grundmengen oder verschiedenen Zielmengen, sind jedoch unterschiedliche Funktionen und können unterschiedliche Eigenschaften haben.

Beispiele 

Gegeben sei die Abbildung  mit der Grundmenge  und der Zielmenge . Dann gilt:  ist eine Funktion mit  und .

 Als Funktion  (also mit Definitionsmenge  und Zielmenge ) ist  bijektiv, also sowohl surjektiv als auch injektiv.
 Als Funktion  (also mit Definitionsmenge  und Zielmenge ) ist  injektiv, aber nicht surjektiv.
 Als Funktion  (also mit Definitionsmenge  und Zielmenge ) ist  surjektiv, aber nicht injektiv.
 Als Funktion  (also mit Definitionsmenge  und Zielmenge ) ist  weder surjektiv noch injektiv.

Einschränkung und Fortsetzung einer Funktion 

Sei  eine Funktion und , . Die Funktion  heißt Einschränkung von , wenn  für alle  gilt.  heißt in dieser Situation Erweiterung oder Fortsetzung von .

Die Einschränkung  wird oft als  geschrieben. Diese Notation ist nicht völlig exakt, da die Menge  nicht mit angegeben wird; in den interessanten Fällen wird aber meist  gewählt.

Für eine Funktion  und zwei gegebene Mengen ,  gibt es höchstens eine Einschränkung  von ; diese existiert genau dann, wenn die Bildmenge von  Teilmenge von  ist.

Im Gegensatz zur Einschränkung einer Funktion ist die Fortsetzung nicht eindeutig.

Beispiel 

Gegeben sei die Funktion

Mögliche Fortsetzungen auf den Definitionsbereich , also als Funktionen , sind beispielsweise sowohl

als auch

 ist insofern eine „schönere“ Fortsetzung, als  stetig ist,  hingegen nicht. Dies ändert aber nichts daran, dass beide Funktionen korrekte Fortsetzungen sind, da eine eindeutige Fortsetzung in der Funktionsdefinition selbst nicht erhalten ist. Eindeutigkeit ergibt sich erst aus zusätzlichen Forderungen, wie eben Stetigkeit in diesem Beispiel, oder beispielsweise in der Forderung nach einer holomorphen Fortsetzung auf die komplexen Zahlen von einer Funktion, die zunächst nur auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist.

Definitionsbereich einer Relation 
Unter dem Definitionsbereich der Relation  mit 

versteht man die Projektion von  auf , also jene Teilmenge von Elementen der Quelle , die als erste Komponenten in Elementen  vorkommen:

Beispiel 

Gegeben sei die Relation  mit
.
Da für reelle  das Quadrat immer nichtnegativ (größer oder gleich null) ist und umgekehrt für jedes nichtnegative reelle  mindestens eine reelle Zahl  mit  existiert, ist für diese Relation der Definitionsbereich die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen: .

Definitionsbereich eines Terms 

Der Definitionsbereich eines Terms mit  Variablen  und den dazugehörigen Grundmengen  ist die Menge aller n-Tupel ,  für , für die der Term in sinnvolle Werte übergeht.

Beispiele 

Der Definitionsbereich des Terms  in einer Variablen mit der Grundmenge  ist , da der Bruch nur für einen von Null verschiedenen Wert des Nenners sinnvoll definiert ist.

Der Definitionsbereich des Terms  in zwei Variablen mit der Grundmenge  ist , da im reellen Fall die Wurzel nur für nichtnegative Werte sinnvoll definiert ist.

Definitionsbereich von Gleichungen und Ungleichungen 

Sind  und  Terme, so nennt man

eine Gleichung,

und

und ähnliche Ausdrücke nennt man Ungleichungen. Beim Lösen einer Gleichung bzw. Ungleichung sucht man jene Werte aus dem Grundbereich, für welche die Gleichung bzw. Ungleichung in eine wahre Aussage übergeht. Als Definitionsbereich bezeichnet man jene Teilmenge des Grundbereiches, für die alle in der Gleichung bzw. Ungleichung auftretenden Terme sinnvoll definiert sind, also die Durchschnittsmenge der Definitionsmenge von  und .

Insbesondere bei komplizierteren Gleichungen kann es vorkommen, dass beim Lösen der Ausgangsgleichung auf eine Gleichung umgeformt wird, die auch Lösungen enthält, die nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung enthalten sind. In einem solchen Fall muss also nach dem Lösen der Gleichung überprüft werden, ob die erhaltenen Lösungswerte tatsächlich im Definitionsbereich enthalten sind und gegebenenfalls einige Werte ausgeschieden werden.

Beispiel 

Es sind die reellen Lösungen der Gleichung

gesucht. Da unter der Wurzel nur nichtnegative Werte stehen dürfen, ist der Definitionsbereich der Gleichung .

Quadrieren der Gleichung liefert

bzw.
.

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, es gilt zwar , aber nicht , die umgeformte Gleichung kann also mehr Lösungen als die Ausgangsgleichung enthalten. Nochmaliges Quadrieren ergibt

bzw.

.

Diese Gleichung hat die beiden Lösungen  und . Der Wert  ist nicht im Definitionsbereich der Gleichung enthalten und ist somit keine Lösung; der Wert  ergibt in die Ausgangsgleichung eingesetzt eine wahre Aussage und ist somit die einzige Lösung der Gleichung.

Einzelnachweise 

Mathematischer Grundbegriff