Probabilità condizionata

In teoria della probabilità la probabilità condizionata di un evento  rispetto a un evento  è la probabilità che si verifichi  sapendo che  è verificato. Questa probabilità, indicata  o , esprime una "correzione" delle aspettative per  dettata dall'osservazione di 

Poiché, come si vedrà nella successiva definizione,  compare al denominatore,  ha senso solo se  ha una probabilità non nulla di verificarsi.

È utile osservare che la notazione con il simbolo "barra verticale" è comune con la definizione del connettivo logico NAND.

Esempio 
Per esempio, la probabilità di ottenere "4" con il lancio di un dado a sei facce (evento ) ha probabilità  di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento ), la probabilità di  diventa

Si consideri questo secondo esempio, la probabilità di ottenere "1" con il lancio di un comune dado (evento ) ha probabilità  di verificarsi. Sapendo però che il risultato del lancio è un numero tra "4", "5" e "6" (evento ), la probabilità di  diventa

Definizione 
La probabilità di  condizionata da  è

dove  è la probabilità congiunta dei due eventi, ovvero la probabilità che si verifichino entrambi.

In termini più rigorosi, dato uno spazio misurabile  di misura  ogni evento  eredita una struttura di spazio misurato , restringendo gli insiemi misurabili a quelli contenuti in  ed induce una nuova misura  su , con . Se  è uno spazio probabilizzato () e  non è trascurabile (), allora riscalando  a  si ottiene lo spazio probabilizzato  delle probabilità condizionate da

Proprietà 
La formula della probabilità condizionata permette di descrivere la probabilità congiunta come

Ossia, la probabilità che si verifichino sia  sia  è uguale alla probabilità che si verifichi  moltiplicata per la probabilità che si verifichi  supponendo che  sia verificato.

Due eventi  e  sono indipendenti quando vale una delle tre equazioni equivalenti:

Per trovare la probabilità dell'evento a destra negato (anche detto complementare) si può usare la seguente formula:

Casi particolari 
Se  e  sono eventi disgiunti, cioè se , le loro probabilità condizionate sono nulle: sapendo che uno dei due eventi si è verificato, è impossibile che si sia verificato anche l'altro.

Se l'evento  implica l'evento , cioè se , allora la loro intersezione è  per cui  e:
  ( implica );
  ( è necessario per ).
Nel caso di una misura di probabilità uniforme su uno spazio Ω finito, questa formula per  esprime la definizione classica di probabilità come "casi favorevoli () su casi possibili ()".

Invece, per  otteniamo il valore 1 che, per un numero finito di valori lo stesso Bayes interpretò in senso lato come la certezza che il tutto sia condizionato dalla parte.

Ulteriori definizioni 
Il valore atteso condizionato  di una variabile aleatoria  ad un evento  è il valore atteso di  calcolato sulle probabilità  (cioè condizionate da ).

La probabilità di un evento  può essere condizionata da una variabile aleatoria discreta  originando una nuova variabile aleatoria, , che per  assume il valore .

Applicazioni 
Il teorema di Bayes esprime l'uguaglianza simmetrica  del teorema della probabilità composta come

Questo teorema è alla base dell'inferenza bayesiana in statistica, dove  è detta "probabilità a priori di " e  "probabilità a posteriori di ".

Paradossi 
Molti paradossi sono legati alla probabilità condizionata e derivano sia da un'errata formulazione del problema sia dalla confusione di  con  o con 

Esempi particolari sono il paradosso delle due buste, il paradosso dei due bambini, il problema di Monty Hall e il paradosso di Simpson.

Bibliografia 
 Giuseppe Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari nella matematica vol.1, Padova, CEDAM, 1989, ISBN 88-1316794-6

Voci correlate
 Probabilità congiunta
 Indipendenza (probabilità)
 Inferenza bayesiana
 Teorema di Bayes
 Teorema della probabilità composta
 Valore atteso condizionato

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Collegamenti esterni 
 

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