Teilbarkeit

Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“. So ist beispielsweise die Zahl 8 durch 4 teilbar, da 8 : 4 genau 2 ergibt; somit ist 4, aber auch 2, Teiler von 8. Dagegen ist die Zahl 9 nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 „geht“, aber ein Rest von 1 übrig bleibt.

Die Zahl 11 hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen nennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen hat viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Solche Zahlen nennt man hochzusammengesetzte Zahlen.

Die Funktion, die einer natürlichen Zahl  die Anzahl ihrer Teiler zuordnet, ist eine zahlentheoretische Funktion (die Teileranzahlfunktion). In der elementaren Zahlentheorie ist der Begriff Teilbarkeit auf natürliche Zahlen beschränkt. In der Algebra dagegen wird der Begriff Teilbarkeit auf Integritätsringe, kommutative Ringe und nicht-kommutative Ringe erweitert.

Definition
Eine ganze Zahl  teilt eine ganze Zahl  genau dann, wenn es eine ganze Zahl  gibt, so dass  ist. Man sagt dann „ ist Teiler von “, „ teilt “, „ ist teilbar durch “, oder „ ist ein Vielfaches von “. Man schreibt dafür

und nennt  die Teilerrelation. Für das Gegenteil, wenn es also keine ganze Zahl  gibt mit , schreibt man:
.
Insbesondere für Primzahlpotenzen gibt es die Sprechweise:  teilt die ganze Zahl  exakt, geschrieben

wenn  die größte Potenz der Primzahl  ist, die  teilt, in Formeln:  Beispiel:  Die exakte Teilbarkeit von  durch  hat die Teilerfremdheit von  und  zur Folge:  Die Definition der exakten Teilbarkeit ist auch auf andere Zahlen als Primzahlpotenzen anwendbar; Beispiel:

Einfache Folgerungen 
Da  für alle  gilt, ist  ein Teiler von  und, da  für jedes  von keiner anderen Zahl.

Schreibt man denselben Sachverhalt in der Form , so erkennt man, dass jede Zahl  ein Teiler von  ist.

Die  ist das neutrale Element der Multiplikation, d. h. die Multiplikation mit  ändert einen Ausgangswert nicht. Zu den Elementen  gibt es ein multiplikatives Inverses, nämlich ein Element  mit . Solche Elemente werden Einheiten des Rings genannt. Einheiten sind triviale Teiler einer jeden ganzen Zahl. Die Einheiten des Rings  der ganzen Zahlen sind gerade die Zahlen . (Die Einheiten eines Rings bilden eine multiplikative Gruppe.)

Es gelte  und . Ist  keiner der trivialen Teiler , so nennt man  einen nichttrivialen Teiler oder echten Teiler von . Eine ganze Zahl, die nicht Einheit ist und die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primelement und, wenn sie  ist, Primzahl. Ist  eine Primzahl, so heißt  Primteiler oder Primfaktor von .

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl  nennt man die „Teilermenge von “. Die Quasiordnung der Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von “.

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl  heißt entsprechend Vielfachenmenge. Bei den ganzen Zahlen  ist die Mächtigkeit dieser Menge abzählbar unendlich.

Eigenschaften der Teilbarkeit 
 Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind die Einheiten  Teiler einer jeden ganzen Zahl.
 Jede ganze Zahl ist ein (trivialer) Teiler der .
 Jede ganze Zahl teilt sich selbst (Reflexivität der Quasiordnung).
 Der kleinste positive Teiler  einer ganzen Zahl ist ein Primteiler.

Seien , ,  und  ganze Zahlen.

 Gilt , so gilt auch  und . Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken.
 Gilt  und , so folgt  (Transitivität der Quasiordnung).
 Für  gilt: .
 Gilt  und , so gilt auch .
 Gilt  und , so gilt auch  für alle ganzen Zahlen  und .
 Gilt  und  so ist  oder .

Die natürlichen Zahlen  sind mit der Teilbarkeitsrelation eine quasigeordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die  ( teilt jedes andere), das größte ist die  ( wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

Zweier-Potenzen 
 Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
 Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
 Allgemein ist eine Zahl genau dann durch  teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten  Ziffern gebildet wird, durch  teilbar ist.

Fünfer-Potenzen 
 Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
 Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist (00, 25, 50 oder 75).
 Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist.
 Allgemein ist eine Zahl genau dann durch  teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten  Ziffern gebildet wird, durch  teilbar ist.

Zehner-Potenzen 
 Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet.
 Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbar, wenn die Zahl mit 000 endet.
 Allgemein ist eine Zahl genau dann durch  teilbar, wenn ihre letzten  Ziffern jeweils 0 sind.

Produkte aus Zweier- und Fünfer-Potenzen 
 Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8) und ihre letzte Ziffer 0 ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 40 teilbar, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet.
 Allgemein ist eine Zahl genau dann durch  teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten  Ziffern gebildet wird, durch  teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen 
Will man für eine Zahl  eine Teilbarkeitsregel mit Quersummen aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder  oder  für ein beliebiges  ist. Im ersten Fall kann die Teilbarkeit mit der nichtalternierenden -Quersumme, im zweiten Fall mit der alternierenden -Quersumme überprüft werden.

Entsprechende Faktoren existieren für alle Zahlen, die mit 10 teilerfremd sind. Allerdings ist die Prüfung zum Teil schon für relativ kleine Zahlen unpraktisch (siehe zum Beispiel die unten angegebenen Regeln für Teilbarkeit durch 17 und 19).

Für die Teilbarkeit von Zahlen unter 10 kann man noch ausnutzen, dass eine Ziffer, die größer gleich der Zahl ist, um diese verringert werden kann. So ist bei der Teilbarkeit durch 7 und dem Beispiel 3815 die Ziffer 8 größer gleich 7, also kann man auch direkt 3115 prüfen. Der Grund ist hier, dass 700 natürlich auch durch 7 teilbar ist (allgemein ).

Teilbarkeitsregeln basierend auf nichtalternierenden Quersummen 
Ist  ein Vielfaches der betrachteten Zahl , dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch  teilbar, wenn ihre nichtalternierende -Quersumme durch  teilbar ist.“

Beispielsweise ist  ein Vielfaches von 3, so dass die Teilbarkeit durch 3 anhand der (1er-)Quersumme geprüft werden kann.

 Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der alternierenden Quersumme (siehe unten).
 Eine Zahl ist genau dann durch 21 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 6er-Quersumme durch 21 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 33 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 33 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 37 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 41 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 5er-Quersumme durch 41 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 333 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 333 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 999 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 999 teilbar ist.
 Allgemein ist eine Zahl genau dann durch  teilbar, wenn ihre nichtalternierende -Quersumme durch  teilbar ist.
 Allgemein ist eine Zahl genau dann durch  (Repunitzahl) teilbar, wenn ihre nichtalternierende -Quersumme durch  teilbar ist.

Die Quersumme muss nicht vollständig berechnet werden, sondern es genügt, den Rest einer Ziffer (oder Zifferngruppe) bei Division durch  zu berücksichtigen. Es kann auch nach jeder Addition der Rest bei Division durch  berechnet werden. Um z. B. zu ermitteln, ob 7654 durch 3 teilbar ist, kann man rechnen:
 Ziffer 7: Rest bei Division durch 3 ist 1: Summe 1 (Quersumme )
 Ziffer 6: Rest bei Division durch 3 ist 0: Summe 1 ändert sich nicht (Quersumme )
 Ziffer 5: diesmal ohne Bestimmung des Rests: Summe 1+5=6, Rest bei Division durch 3 ist 0 (Quersumme )
 Ziffer 4: Summe 0+4=4, Rest bei Division durch 3 ist 1 (Quersumme )
Da der im letzten Schritt berechnete Rest nicht Null ist, ist 7654 nicht durch 3 teilbar.

Herleitung: ist  die Dezimaldarstellung der Zahl , dann gilt

Dabei bezeichnet  die -Quersumme von . Diese Quersumme ist also genau dann durch  teilbar, wenn  durch  teilbar ist. Also ist diese Quersumme genau dann durch  teilbar, wenn  durch  teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln basierend auf alternierenden Quersummen 
Ist hingegen  ein Vielfaches der betrachteten Zahl , dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch  teilbar, wenn ihre alternierende -Quersumme durch  teilbar ist.“

Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass . Daraus ergibt sich dann die Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.

 Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der nichtalternierenden 2er-Quersumme (siehe oben).
 Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn ihre alternierende 8er-Quersumme durch 17 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn ihre alternierende 9er-Quersumme durch 19 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 23 teilbar, wenn ihre alternierende 11er-Quersumme durch 23 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 73 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 77 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 91 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 101 teilbar, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 137 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 137 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 143 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 143 teilbar ist.
 Eine Zahl ist genau dann durch 1001 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 1001 teilbar ist.
 Allgemein ist eine Zahl genau dann durch  teilbar, wenn ihre alternierende -Quersumme durch  teilbar ist.

Herleitung: ist  die Dezimaldarstellung der Zahl , dann gilt

Dabei bezeichnet  die alternierende -Quersumme von . Diese alternierende Quersumme ist also genau dann durch  teilbar, wenn  durch  teilbar ist. Also ist diese alternierende Quersumme genau dann durch  teilbar, wenn  durch  teilbar ist.

Teilbarkeit durch 7 
Neben der schon genannten Teilbarkeitsregel mittels der alternierenden 3er-Quersumme gibt es für die 7 weitere, teils einfachere, Teilbarkeitsregeln. Diese ergeben sich aus der Betrachtung von Vielfachen der Zahl, die nah an 10er-Potenzen liegen, also beispielsweise im nächsten Beispiel . Man zieht wiederholt 98 ab, wodurch sich die Hunderter um 1 verringern, die Einer aber um zwei erhöhten (). Im Babylonischen Talmud findet sich die Teilbarkeitsregel, bei der man letztlich nur überprüfen muss, ob eine zweistellige Zahl durch 7 teilbar ist, in folgender Form: Eine Zahl wird an der vorletzten Stelle in zwei Teile aufgespalten. Die Ziffern vor der vorletzten Stelle bilden die Zahl  und die letzten beiden Ziffern die Zahl . 3815 wird beispielsweise in die Zahlen  und  zerlegt. Nun zählt man  und das Doppelte von  zusammen. Ist die Summe durch 7 teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar. Für 3815 erhält man so . Da 91 durch 7 teilbar ist, ist auch 3815 durch 7 teilbar. Bei sehr großen Zahlen kann man dieses Verfahren solange wiederholen, bis man irgendwann eine zweistellige Zahl erhält. Um die Gültigkeit der Teilbarkeitsregel zu zeigen, betrachtet man die Gleichung

Da 98 und damit auch  durch 7 teilbar ist, ist  genau dann durch 7 teilbar, wenn  durch 7 teilbar ist.

Für eine weitere Teilbarkeitsregel spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer  und den Rest  auf. Zum Beispiel 3815 in die Zahlen  und . Dann gilt folgender Satz:
Eine Zahl  ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihr Doppeltes  durch 7 teilbar ist, weswegen man lediglich die Teilbarkeit von  prüfen muss.
Für 3815 muss man also überprüfen, ob  durch 7 teilbar ist. Dazu kann man 371 wieder in 37 und 1 zerlegen. Da  durch 7 teilbar ist, sind auch 371 und 3815 durch 7 teilbar. Die Begründung dieser Methode ist, dass 21 durch 7 teilbar ist und um die Einer am Ende der Zahl auf 0 zu bringen, für jeden Einer zwei Zehner abgezogen werden müssen. Danach teilt man die entstehende Zahl dann noch durch Zehn. Ist die Zahl durch 21 teilbar, so ist der Rest bei dieser Methode also 0.

Man kann eine Zahl  auch vor der drittletzten Ziffer spalten, so dass die letzten drei Ziffern die Zahl  und die Ziffern davor die Zahl  bilden. Dann zieht man  von  ab und prüft, ob diese Differenz durch 7 teilbar ist. Da

und  durch 7 teilbar ist, ist  genau dann durch 7 teilbar, wenn  durch 7 teilbar ist.

Man kann auch die jeweiligen Reste für die einzelnen 10er-Potenzen bestimmen und erhält so folgende Teilbarkeitsregel: Man beginne mit der ersten Ziffer der Zahl von rechts und multipliziere sie mit 1, die zweite Ziffer mit 3, die dritte mit 2, die vierte mit -1, die fünfte mit -3, die sechste mit -2 und dann die nächsten wieder von vorne mit 1, 3, 2, -1, -3, -2 und so weiter. Man berechne dann die Summe dieser Zahlen. Ist sie durch 7 teilbar, so ist es auch die Zahl. Das liegt daran, dass bei 7 noch drei zur 10 fehlen, bei 98 zwei zur 100, bei 1001 jedoch 1 zu viel ist, bei 10003 3 zu viel, bei 100002 2 zu viel und so weiter. Die Wiederholung ergibt sich aus der Überlegung, dass  und somit für 100 gilt  und somit . Das wird für die weiteren Potenzen fortgeführt (Multiplikation des Restes mit 3), wodurch sich das Muster ergibt. Für 3815 wird also beispielsweise gerechnet: . Die Zahl ist also durch 7 teilbar, da auch 21 durch 7 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 17 
Ein Verfahren, um die Teilbarkeit durch 17 festzustellen, beruht auf der Identität 17 · 6 = 102. Deswegen gilt

Man spaltet also die zu prüfende Zahl  vor der vorletzten Stelle in zwei Teile, nimmt das Doppelte des linken Teils und zieht den rechten Teil ab (oder umgekehrt). Ist das Resultat durch  teilbar, so gilt dies auch für .

Beispiel: .
Also , was durch 17 teilbar ist.

Teilbarkeit durch 19 
Um die Teilbarkeit durch 19 zu überprüfen, spaltet man eine Zahl in ihre letzte Ziffer  und den Rest  auf. Zum Beispiel 7904 in die Zahlen  und . Dann gilt folgender Satz:
Eine Zahl  ist genau dann durch 19 teilbar, wenn  durch 19 teilbar ist.

Für 7904 muss man also überprüfen, ob  durch 19 teilbar ist. Dazu kann man 798 wieder in 79 und 8 zerlegen. Da  durch 19 teilbar ist, sind auch 798 und 7904 durch 19 teilbar.

Teilbarkeit durch 37 
Bei 37 kann man interessanterweise wieder eine vergleichsweise einfache Regel anwenden: Man beginnt rechts und nimmt die ersten beiden Ziffern als Zahl und zieht 11 mal die nächste Ziffer von rechts ab. Das wiederholt man mit den weiteren Ziffern, also wieder die nächsten zwei als Zahl abtrennen und die dritte 11 mal abziehen. Ist die Summe der Ergebnisse durch 37 teilbar, so ist es auch die Zahl. Beispiel 19758: . Die Zahl ist also durch 37 teilbar.

Teilbarkeitsregeln für beliebige Primzahlen 
Für eine beliebige Primzahl  bestimmt man die Reste  für die Zehnerpotenzen . Es gilt also

Daraus ergibt sich folgende Teilbarkeitsregel: Die Dezimaldarstellung einer Zahl  sei . Man beginnt mit der ersten Ziffer  der Zahl von rechts und multipliziert sie mit , die zweite Ziffer  mit , die dritte Ziffer  mit , ..., die -te Ziffer  mit  und dann die nächsten Ziffern wieder von vorne mit  und so weiter. Man berechnet dann die Summe  dieser Zahlen. Wenn diese Summe durch  teilbar ist, dann ist auch die Zahl  durch  teilbar.

Herleitung: Es gilt

Nach dem kleinen fermatschen Satz ist , also gilt  genau dann, wenn  und  bei Division durch  denselben Rest haben. Daraus folgt, dass die Faktoren  alle durch  teilbar sind.

Die Zahl  ist also genau dann durch  teilbar, wenn die Summe  durch  teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln für beliebige Zahlen 
Um die Teilbarkeit durch eine beliebige Zahl  zu überprüfen, verwendet man deren Primfaktorzerlegung. Man überprüft dann die Teilbarkeit durch die einzelnen Primzahlpotenzen dieser Zerlegung.

Beispielsweise ist eine Zahl genau dann durch  teilbar, wenn sie durch  und 3 teilbar ist. Das heißt, ihre letzten beiden Ziffern müssen 00, 25, 50 oder 75 sein und die Quersumme durch drei teilbar sein. Bei multiplikativ zusammengesetzten Zahlen ist die Teilbarkeit eines beliebigen Teilfaktors hinreichend, so ist bspw.  durch  teilbar, wobei hier die Teilbarkeit der drei Faktoren 4-zyklisch in n ist.

Vergleiche auch Teilbarkeit für alle zu 10 teilerfremden Divisoren.

Teilbarkeitsregeln für die Zahlen von 1 bis 20 
Für die Teilbarkeit durch die Zahlen von 1 bis 20 gelten folgende Regeln:

Teilbarkeitsregeln in beliebigen Zahlensystemen 
In einem Zahlensystem zur Basis  lassen sich Teilbarkeitsregeln für Teiler  finden, die sich in eine teilerfremde Faktorenzerlegung möglichst kleiner Zahlen zerlegen lässt, die Teiler von ,  oder  sind.  sollte dabei möglichst klein sein, für Kopfrechnen sind nur Werte bis maximal 4 sinnvoll.

: Teiler 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 16, 17, 21, 31, 32, 33, 63, 64, 65, …
: Teiler 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 20, 26, 27, 28, 40, 41, 80, 81, 82, …
: siehe 
: Teiler 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 18, 24, 25, 26, 31, 39, 62, 63, 78, 124, 125, 126, 156, 312, 313, 624, 625, 626, …

Die folgenden Teilbarkeitsregeln benutzen andere Stellenwertsysteme:
 Eine Zahl ist durch eine Zahl der Form  teilbar genau dann, wenn bei der Darstellung zur Basis  die Quersumme durch  teilbar ist. Die Darstellung zur Basis  ergibt sich leicht aus der Darstellung der Zahl im Dualsystem. Dazu wird die Zahl rechts beginnend in Gruppen von  Stellen eingeteilt, der Dezimalwert der einzelnen Gruppen entspricht nun den Werten der Ziffern in der Darstellung zur Basis . Zum Beispiel ist  durch  teilbar, weil  im Oktalsystem (Basis ) die Quersumme  hat.
 Eine Zahl ist durch 27 teilbar genau dann, wenn ihre Quersumme zur Basis 1000 durch 27 teilbar ist. Diese Quersumme kann man erhalten, indem man ihre dezimale Darstellung rechts beginnend in Dreierblöcke einteilt und die Summe dieser Blöcke bildet.
 Eine Zahl ist durch  teilbar genau dann, wenn ihre Darstellung als -basische Zahl mit einer 0 endet.

Weitere Teilbarkeitseigenschaften findet man im Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Teilbarkeitsregeln basierend auf nichtalternierenden Quersummen 
Die Teilbarkeitsregel für das Dezimalsystem lässt sich für das Zahlensystem zur Basis  verallgemeinern: Ist  ein Vielfaches der betrachteten Zahl , dann ist eine Zahl genau dann durch  teilbar, wenn ihre nichtalternierende -Quersumme durch  teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln basierend auf alternierenden Quersummen 
Die Teilbarkeitsregel für das Dezimalsystem lässt sich für das Zahlensystem zur Basis  verallgemeinern: Ist  ein Vielfaches der betrachteten Zahl , dann ist eine Zahl genau dann durch  teilbar, wenn ihre alternierende -Quersumme durch  teilbar ist.

Verallgemeinerung des Teilbarkeitsbegriffs

Kommutative Ringe 
Der Teilbarkeitsbegriff wird auch wesentlich allgemeiner in kommutativen Ringen betrachtet. Die Definition von Teilbarkeit in natürlichen und ganzen Zahlen wird hier direkt übernommen:

Es sei  ein kommutativer Ring. Sind  Ringelemente, dann ist  ein Teiler von , falls ein weiteres Ringelement  mit  existiert.

In Ringen teilt  genau dann , wenn das von  erzeugte Hauptideal  das von  erzeugte umfasst, formal: .

Ein einfaches Beispiel aus den ganzen Zahlen: Das von  erzeugte Hauptideal  ist die Menge aller Vielfachen von ,  dementsprechend die Menge aller Vielfachen von . , also ist  ein Teiler von .

Die fruchtbarsten Teilbarkeitseigenschaften erhält man in Integritätsringen, das sind nullteilerfreie kommutative unitäre Ringe.

Nicht-kommutative Ringe 
Bei nicht-kommutativen Ringen  muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte oder zweiseitige) mit angeben. Dies lässt sich mit dem einfachen Teilbarkeitssymbol „“ (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht mehr ausdrücken.

Von zwei Elementen  heißt  linker Teiler von , falls ein  mit  existiert. Dann ist auch  rechtes Vielfaches von . Diese Teilbarkeit entspricht der Inklusion der Rechtsideale . Entsprechend definiert man rechten Teiler, linkes Vielfaches und, wenn für links wie rechts gültig, auch zweiseitigen Teiler, zweiseitiges Vielfaches.

Körper 
In Strukturen, in denen auch eine allgemeine Division als Umkehr der Multiplikation möglich ist (Körper und Schiefkörper), wie beispielsweise in den reellen Zahlen, ist die Theorie der Teilbarkeit trivial: Jede Zahl (bzw. jedes Körper-Element) ist durch jede andere Zahl außer  teilbar, d. h. auch: alle von 0 verschiedenen Elemente sind Einheiten.

Siehe auch 
 Modulo
 Teilersumme, Teilerbild, Teilerfremdheit
 gemeinsamer Teiler, größter gemeinsamer Teiler

Quellen 
 Fritz Reinhardt: dtv-Atlas Schulmathematik. Deutscher Taschenbuch-Verlag, München 2002, ISBN 3-423-03099-2.
 Eric W. Weisstein: Divisibility tests auf Mathworld (engl.)
 https://www.olympiade-mathematik.de/pdf/saetze/teilb.pdf
 Universität Ulm: H. Maier, H.-P. Reck: Elementare Zahlentheorie

Weblinks

Einzelnachweise 

Zahlentheorie
Division (Mathematik)