Różniczka

Różniczka – tradycyjna nazwa nieskończenie małej zmiany danej zmiennej. Przykładowo, jeśli zmienna oznaczana jest literą  to zmiana jej wartości często oznaczana jest  lub, gdy zmiana powinna być mała,  Różniczka  reprezentuje podobną zmianę, lecz nieskończenie małą. Jest to niezmiernie użyteczne intuicyjnie; istnieje przy tym wiele sposobów formalizacji tego pojęcia.

Kluczową własnością różniczki jest to, że jeśli  jest funkcją zmiennej  tj.  to różniczka  funkcji  jest związana z  wzorem
 

gdzie  oznacza pochodną  względem  Wzór ten podsumowuje intuicyjną ideę tego, że pochodna  względem  jest granicą ilorazu różnic  gdy  staje się nieskończenie małe.

Istnieje kilka możliwości formalizacji pojęcia różniczki:
 różniczki są przekształceniami liniowymi – podejście to leży u podstaw definicji pochodnej i pochodnej zewnętrznej w geometrii różniczkowej;
 różniczki jako elementy nilpotentne pierścienia przemiennego – to podejście jest popularne w geometrii algebraicznej;
 różniczki w gładkich modelach teorii mnogości – to podejście znane jest jako syntetyczna geometria różniczkowa (ang. synthetic differential geometry) bądź gładka analiza nieskończenie małych (ang. smooth infinitesimal analysis) i jest blisko związane z podejściem w geometrii algebraicznej z tym, że idee teorii toposów służą ukryciu mechanizmów wprowadzania nieskończenie małych nilpotentnych;
 różniczki jako nieskończenie małe w systemach liczb hiperrzeczywistych, które są rozszerzeniami liczb rzeczywistych zawierającymi odwracalne nieskończenie małe i nieskończenie wielkie liczby – jest to podejście spotykane w analizie niestandardowej, w którym pionierem był Abraham Robinson.

Podejścia te bardzo się od siebie różnią, jednak dzielą ze sobą wspólną ideę ilościowości, tzn. nie mówi tylko, że różniczka jest nieskończenie mała, ale mówi jak mała ona jest.

Historia i wykorzystanie 
Nieskończenie małe wartości odgrywały istotną rolę w rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego. Wykorzystywane były już przez Archimedesa, choć on sam wątpił, czy ich użycie jest ściśle poprawne. Bhāskara II opracował pojęcie różniczki reprezentującej nieskończenie małą zmianę, a Sharaf al-Dīn al-Tūsī używał ich do wyznaczania pochodnych wielomianów kwadratowych. Isaac Newton nazywał je fluksjami. Stosowaną współcześnie nazwę różniczki na oznaczenie nieskończenie małej zmiany zmiennej wprowadził Leibniz, który upowszechnił także ich oznaczenia stosowane do dziś.

W notacji Leibniza dla zmiennej wartości  jej nieskończenie małą zmianę oznacza się w postaci dx. Jeśli zatem y jest funkcją x, to pochodną y po x oznacza się często  co może być także zapisane (w notacji Newtona lub Lagrange’a) ẏ oraz  Wykorzystanie różniczek w tej formie spotkało się z dużą krytyką, czego przykładem może być pamflet The Analyst biskupa Berkeley. Mimo to notacja ta dalej jest popularna, gdyż wskazuje, że pochodną funkcji  jest nachylenie jej wykresu w tym punkcie, czyli granica stosunku  inaczej mówiąc zmiana w y do zmiany w x, gdy zmiana w x staje się nieskończenie mała. Użycie różniczek jest także zgodne z analizą wymiarową, gdzie różniczka dx ma ten sam wymiar, co zmienna x.

Różniczki stosuje się także w zapisie całek, gdyż mogą być one postrzegane jako nieskończone sumy nieskończenie małych wartości: pole obszaru pod wykresem uzyskuje się przez jego podział na nieskończenie cienkie paski, a następnie ich zsumowanie. W wyrażeniu takim jak
 

znak całki (odpowiadający w istocie ręcznie pisanemu długiemu s) oznacza sumę nieskończoną, zaś różniczka dx ma oznaczać nieskończenie małe przyrosty x.

Różniczki jako przekształcenia liniowe 
Istnieje prosty sposób formalizacji różniczek poprzez postrzeganie ich jako przekształcenia liniowe. Jednym ze sposobów wyjaśnienia tego punktu widzenia jest rozumienie zmiennej  w wyrażeniu w rodzaju  jako funkcji na prostej rzeczywistej, standardowej współrzędnej lub odwzorowania tożsamościowego, które przekształca liczbę rzeczywistą  w siebie, tzn.  wówczas  oznacza złożenie  funkcji  oraz  której wartością w punkcie  jest  Różniczka  jest wówczas funkcją określoną na prostej rzeczywistej, której wartość w  oznaczana zwykle  nie jest liczbą, lecz przekształceniem liniowym z  Ponieważ takie przekształcenia liniowe są dane za pomocą macierzy typu 1×1, to ma ona w istocie te same własności co liczba; jednak zmiana punktu widzenia pozwala na patrzenie na  jako na nieskończenie małą i porównanie jej ze standardową nieskończenie małą  która także jest przekształceniem tożsamościowym  czyli macierzą typu 1×1 o jednym elemencie. Postrzeganie odwzorowania liniowego jako nieskończenie małej może wydawać się wymyślne, jednak podejście to ma przynajmniej tę własność, iż jeśli  jest bardzo mały, to  również jest bardzo małe. Różniczka  ma tę samą własność, gdyż jest to tylko wielokrotność  którą z definicji jest pochodna  W ten sposób otrzymuje się, że  a stąd  W ten sposób zachowuje się ideę, iż  jest stosunkiem różniczek  oraz 

Byłaby to tylko sztuczka, gdyby nie fakt, iż:
 ujmuje pomysł, że pochodna  w punkcie  jest najlepszym przybliżeniem liniowym  w punkcie 
 ma wiele uogólnień.

Przykładowo, jeśli  jest funkcją  to mówi się, że jest ona różniczkowalna w punkcie  gdy istnieje takie przekształcenie liniowe  przestrzeni  w  że dla każdego  istnieje otoczenie  punktu  że dla  zachodzi
 

Można teraz zastosować tę samą metodę, co w przypadku jednowymiarowym i pomyśleć o wyrażeniu  jako o złożeniu  ze współrzędnymi standardowymi  na  tak, że  jest -tą składową  Wówczas różniczki
 

w punkcie  tworzą bazę przestrzeni liniowej przekształceń liniowych  i wtedy, jeśli  jest różniczkowalna w  można zapisać  jako kombinację liniową elementów bazowych:
 

Współczynniki  są (z definicji) pochodnymi cząstkowymi  w punkcie  względem  Stąd, jeżeli  jest różniczkowalna na całej przestrzeni  to można napisać zwięźlej:
 

W przypadku jednowymiarowym powyższa równość ma postać
 

jak wyżej.

Pomysł ten uogólnia się w jakobianie (i ogólniej pochodnej Frécheta) wprost na funkcje  Co więcej, definicja ta ma decydującą przewagę nad innymi definicjami pochodnej w tym, iż jest niezmiennicza ze względu na zmianę współrzędnych. Oznacza to, że w ten sam sposób można zdefiniować różniczkę odwzorowania gładkiego między rozmaitościami gładkimi.

 Uwaga Istnienie wszystkich pochodnych cząstkowych funkcji  w punkcie  jest warunkiem koniecznym istnienia różniczki w  nie jest to jednak warunek dostateczny; zob. kontrprzykłady w artykule pochodna Gâteaux.

Geometria algebraiczna 

W geometrii algebraicznej różniczki i inne pojęcia nieskończenie małej traktuje się dość dosłownie przyjmując, że pierścień współrzędnych lub snop struktury przestrzeni może zawierać elementy nilpotentne. Najprostszym przykładem jest pierścień liczb dualnych  gdzie 

Można to wytłumaczyć patrząc na pochodną funkcji  w następujący sposób. Należy zauważyć, że  gdzie  oznacza funkcję tożsamościową, należy do ideału  funkcji na  które znikają w  Jeśli pochodna  znika w  to  należy do kwadratu  tego ideału. Stąd pochodną  w punkcie  można ująć poprzez klasę równoważności  należącą do przestrzeni ilorazowej  zaś 1-strumień (ang. 1-jet) funkcji  (który zawiera informacje o jej wartości i pierwszej pochodnej) jest klasą równoważności  w przestrzeni wszystkich funkcji modulo  W geometrii algebraicznej wspomnianą klasę równoważności rozumie się jako zawężenie  do pogrubionej wersji punktu  którego pierścieniem współrzędnych nie jest  który jest przestrzenią ilorazową funkcji na  modulo  lecz  który jest przestrzenią ilorazową funkcji na  modulo  Wspomniany pogrubiony punkt jest prostym przykładem schematu.

Syntetyczna geometria różniczkowa 

Trzecie podejście do nieskończenie małych to metoda syntetycznej geometrii różniczkowej (ang. synthetic differential geometry) lub gładkiej analizy nieskończenie małych (ang. smooth infinitesimal analysis). Ma ono bliski związek z podejściem geometrii algebraicznych, jednak tak wprowadzone nieskończenie małe są bardziej namacalne i intuicyjne. Główną ideą tego podejścia jest zastąpienie kategorii zbiorów inną kategorią zbiorów różniących się w sposób gładki, która jest toposem. W kategorii tej można zdefiniować liczby rzeczywiste, funkcje gładkie itd., ale liczby rzeczywiste automatycznie będą zawierać nilpotentne nieskończenie małe, a więc nie muszą być wprowadzane oddzielnie jak to było w podejściu poprzez geometrię algebraiczną. Jednakże logika nowej kategorii nie jest tożsama ze znaną logiką kategorii zbiorów: w szczególności nie zachodzi prawo wyłączonego środka. Oznacza to, że rozumowania teorii zbiorów rozszerzają się na gładką analizę nieskończenie małych, gdy są konstruktywne (tzn. nie wykorzystują dowodu przez sprzeczność). Niektórzy uważają tę wadę za korzyść, gdyż zmusza ona do poszukiwania i wykorzystywania w miarę możności dowodów konstruktywnych.

Analiza niestandardowa 

Ostatnie podejście do nieskończenie małych znów polega na rozszerzeniu liczb rzeczywistych, lecz w mniej drastyczny sposób. W podejściu analizy niestandardowej nie istnieją nilpotentne, lecz tylko odwracalne nieskończenie małe, które można postrzegać jako odwrotności liczb nieskończenie dużych. Takie rozszerzenia liczb rzeczywistych można skonstruować jawnie poprzez klasy równoważności ciągów liczb wymiernych tak, by np. ciąg  oznaczał nieskończenie małą. Logika pierwszego rzędu tego nowego zbioru liczb hiperrzeczywistych jest tą samą logiką, którą wykorzystuje się dla zwykłych liczb rzeczywistych, jednak aksjomat zupełności (który wymaga logiki drugiego rzędu) nie jest spełniony. Mimo wszystko wystarcza to do zbudowania elementarnego i dość intuicyjnego podejścia do rachunku różniczkowego zawierającego nieskończenie małe.

Zapis 
W matematyce zazwyczaj znak różniczki  jest pisany kursywą, w fizyce zaś – pismem prostym. Zatem w tekście matematycznym pojawia się zazwyczaj  a w tekście fizycznym

Zobacz też 

 forma różniczkowa
 pochodna
 pochodna zupełna
 rachunek nieskończenie małych
 równanie różniczkowe
 różniczka funkcji
 różniczka zupełna

Przypisy

Bibliografia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rachunek różniczkowy i całkowy