Relacja (matematyka)

Relacja – dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego skończonej liczby zbiorów; definicja ta oddaje intuicję pewnego związku, czy zależności między elementami wspomnianych zbiorów (elementy wspomnianych zbiorów pozostają w związku albo łączy je pewna zależność, czy też własność lub nie). Najważniejszymi relacjami są relacje dwuargumentowe, tj. między elementami pary zbiorów (opisane w osobnym artykule, w tym funkcje i działania jednoargumentowe); relacje jednoargumentowe to po prostu podzbiory pewnego zbioru.

Pojęcie relacji uogólnia się na klasy: ma to na celu opisanie równości różnych obiektów jako relacji i ominięcie przy tym różnych paradoksów związanych z teorią mnogości (np. paradoks zbioru wszystkich zbiorów).

Wprowadzenie 
Zbiór  wszystkich obywateli Polski jest relacją (jednoargumentową) w zbiorze wszystkich żyjących ludzi  wprost z definicji.

Ponieważ każdy człowiek został narodzony, to można wprowadzić relację (dwuargumentową) w zbiorze  która obrazowałaby relację matka-dziecko: kluczowymi jej własnościami będzie to, że nikt nie może być swoją matką (przeciwzwrotność), ponadto relacja ta nie jest symetryczna – jeżeli  jest matką człowieka nazwiskiem  to nie jest tak, iż  jest matką człowieka znanego jako  jest wręcz wprost przeciwnie (przeciwsymetryczność); z pewnością relacja nie jest również przechodnia, tj. jeśli nawet  jest matką dla  a  jest matką dla  to z pewnością  nie może być matką dla  Rozszerzenie relacji bycia matką na relację bycia przodkiem zapewnia już przechodniość – w ten sposób w zbiorze żyjących ludzi wprowadzany jest pewien porządek, zwykle jednak dane dwie osoby są nieporównywalne (jest to tzw. porządek częściowy). Inną relacją tego rodzaju jest relacja starszeństwa (nie bycia młodszym), tu jednak możliwe jest porównanie wszystkich żyjących ludzi (tzw. porządek całkowity).

Podobne rozważania prowadzą do wniosku, że np. nikt nie może pozostawać ze sobą w relacji małżeństwa (brak zwrotności), jest wręcz odwrotnie (przeciwzwrotność), jednakże jest ona symetryczna: jeżeli  jest w relacji małżeństwa z  to i  pozostaje w tej relacji z  w ogólności nie jest też ona przechodnia.

W zbiorze  można wprowadzić podział na rozłączne podzbiory, np. ze względu na liczbę żyjących dziadków: każdy z ludzi będzie należał do jednego z pięciu zbiorów. Podział wprowadza pewną relację dwuargumentową na zbiorze  każdy ma tyle samo żyjących dziadków, co on sam (zwrotność), ponadto jeśli  ma tyle samo żyjących dziadków, co  to  ma tyle samo żyjących dziadków, co  (symetryczność), wreszcie jeśli  ma tyle samo żyjących dziadków, co  zaś  ma ich tyle samo, co  to i  ma tyle samo żyjących dziadków, co  (przechodniość). Takie relacje są nazywane relacjami równoważności: nie są one tylko wyznaczane przez podziały zbiorów, ale i same je wyznaczają – mówi o tym zasada abstrakcji. Inną relacją tego rodzaju jest np. relacja bycia w tym samym wieku.

Definicje 

Jeśli  jest iloczynem kartezjańskim  zbiorów  to relacją -argumentową  nazywa się podzbiór  jego elementami są -tki uporządkowanych postaci  należących do zbioru  mówi się wtedy, że elementy  są ze sobą w relacji bądź, iż zachodzi między nimi relacja  Zasadniczo każdy ze zbiorów  nazywa się dziedziną, choć w szczególnym przypadku  korzysta się dodatkowych nazw (np. dziedzina lewo- i prawostronna, czy przeciwdziedzina; również, gdy relacja jest funkcyjna). Sumę  dziedzin nazywa się polem relacji. Zbiór  wszystkich relacji n-argumentowych między zbiorami  ma moc

Przykłady 

Szczególnym przypadkiem są relacje zawarte w -tej potędze kartezjańskiej zbioru  czyli relacje 
 Pod względem formalnym interesujący jest przypadek tzw. relacji zeroargumentowych, czyli zeroczłonowych. Istnieją tylko dwie takie relacje – relacja pusta  oraz  (jednoelementowy podzbiór zawierający zbiór pusty). Pojawiają się one w rozważaniach teoretycznych dla kompletności teorii, ale nie mają one większych zastosowań jako trywialne.
 Częściej używanymi relacjami są relacje jednoargumentowe, czyli jednoczłonowe albo unarne, czyli podzbiory zbioru  Odpowiadają one wskazaniu pewnego podzbioru w zbiorze  przykładowo w zbiorze liczb rzeczywistych  takimi relacjami są: zbiór liczb wymiernych  zbiór liczb parzystych czy przedział jednostkowy  W algebrze relacje jednoargumentowe pojawiają się jako elementy wyróżnione (są to w istocie działania zeroargumentowe, również rozważane są dla kompletności teorii).
 Relacje dwuargumentowe, czyli dwuczłonowe albo binarne są zdecydowanie najpopularniejszym typem relacji; najczęściej rozważa się je określone na jednym zbiorze. Oprócz wymienionych we Wprowadzeniu relacji porządkujących czy równoważności jedną z najważniejszych relacji dwuargumentowych jest funkcja (w tym wspomniane wyżej działania algebraiczne).
 Niekiedy rozpatruje się także relacje trójargumentowe, nazywane też trójczłonowymi bądź ternarne, przykładami mogą być występujące w geometrii relacja leżenia między czy współliniowość trzech punktów; spotyka się niekiedy relacje czteroargumentowe, tzn. czteroczłonowe albo kwaternarne, np. dwustosunek czterech punktów albo relacja rozdzielania dwóch par punktów (choć czasem traktuje się je jako relacje dwuargumentowe między wektorami, tj. odcinkami skierowanymi).

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
  [dostęp 2023-06-10].