Spin (fizyka)

Spin – moment pędu (kręt) cząstki wynikający z jej natury kwantowej. W klasycznej fizyce moment pędu wynika z ruchu ciał w przestrzeni, spin zaś jest wewnętrzną właściwością cząstki, taką jak na przykład ładunek elektryczny. Spin nie wynika z ruchu obrotowego cząstek, lecz z symetrii ich funkcji falowej względem odpowiedniej grupy obrotów.

Każdy rodzaj cząstek elementarnych ma właściwy sobie spin. Cząstki złożone (np. jądra atomów) mają spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych.

Moment pędu w fizyce klasycznej 
W fizyce klasycznej moment pędu ciała wynika z jego ruchu względem innych ciał lub rotacji wokół własnej osi. Np. Ziemia, obracając się wokół Słońca, ma związany z tym moment pędu. Podobnie, z ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi wynika istnienie momentu pędu. Początkowo w ten sam sposób wyobrażano sobie spin cząstek. Według klasycznej fizyki, jeżeli cząstka spoczywa i nie obraca się, to powinna mieć zerowy moment pędu.

Moment pędu w fizyce kwantowej 
Dzięki mechanice kwantowej odkryto, że cząstkom elementarnym trzeba przypisać oprócz zwykłego momentu pędu, znanego w fizyce klasycznej, również inny rodzaj momentu pędu, który jest związany z obrotem w abstrakcyjnej przestrzeni spinowej. Cząstki mające spin mogą więc być w spoczynku i nie obracać się, a jednak zawsze mają spin.

Spin całkowity i połówkowy 
Spin jest opisywany liczbowo za pomocą kwantowych liczb spinowych. Mogą one przyjmować wartości z zakresu  itd. Cząstki o liczbie spinowej z zakresu 0, 1, 2 itd. przyjęto nazywać cząstkami o spinie całkowitym lub bozonami. Cząstki o liczbie spinowej  1 2 itd. przyjęto nazywać cząstkami o spinie połówkowym lub fermionami. Termin „cząstka o spinie ” jest skrótem myślowym oznaczającym „cząstkę o liczbie spinowej ”.

Bozonami są np. bozony W+ i W−, bozony Z0 i fotony. Fermionami są np. elektrony, protony, neutrony, neutrina i miony.

Związek spinu ze statystyką 
W dużym zbiorze cząstek tego samego rodzaju wykazują one ciekawe własności statystyczne, wynikające z identyczności cząstek kwantowych. Własności te zależą od spinu.

Np. gaz złożony z bozonów tego samego rodzaju (np. fotony promieniowania we wnęce pieca) podlega statystyce Bosego-Einsteina. Cząsteczki gazu złożonego z fermionów podlegają statystyce Fermiego-Diraca. Związek ten jest szczególnym przypadkiem ogólnego związku spinu ze statystyką.

W ciele stałym lub cieczy (tj. w fazie skondensowanej) oddziaływanie spinów może prowadzić do zjawiska ferromagnetyzmu. Jest tak dlatego, że cząsteczki mające spin mają jednocześnie różny od zera moment magnetyczny, co oznacza że wytwarzają wokół siebie słabe pole magnetyczne, za pomocą którego oddziałują ze sobą.

Spin fotonu 
Foton jest kwantem energii fali elektromagnetycznej. Z optyki klasycznej wynika, że fale te wykazują zjawisko polaryzacji. W opisie mechaniki kwantowej polaryzacja jest wynikiem spinu fotonu. Wartość liczby spinowej dla fotonu wynosi  Rzut wektora spinu fotonu na kierunek jego propagacji jest równy zeru. Oznacza to, że wektor ten leży w płaszczyźnie prostopadłej do wektora falowego  propagacji fali elektromagnetycznej. Taka własność spinu tłumaczy, dlaczego fale elektromagnetyczne są falami poprzecznymi.

Opis matematyczny spinu ½ 

Matematycznie spin jest wielkością tensorową wprowadzoną przez mechanikę kwantową. Istnienie spinu wynika z symetrii funkcji falowej danej cząstki względem grupy obrotów. Np. funkcja falowa pionów jest skalarem (ma tylko jedną składową), funkcja falowa elektronów jest spinorem o rzędzie  (zapisuje się ją w postaci wektora o dwóch składowych), zaś funkcja falowa hipotetycznych grawitonów jest tensorem drugiego rzędu (zapisuje się go w postaci macierzy 3×3, ma 9 składowych).

Poniżej omówiony jest przypadek spinu

Doświadczalny dowód kwantowania spinu 
Z doświadczeń (analogicznych do doświadczenia Sterna-Gerlacha) wykonanych dla elektronu, protonu czy neutronu otrzymuje się zawsze dwa możliwe stany spinowe – zgodne ze zwrotem pola magnetycznego (stan „w górę”) lub przeciwnie (stan „w dół”) (zobacz rysunek obok). Wynik ten jest zawsze taki sam, niezależnie od ustawienia kierunku pola magnetycznego. Według przewidywań klasycznej fizyki w doświadczeniu tego typu powinno się otrzymać na wyjściu z urządzenia pomiarowego rozmytą w miarę jednorodnie plamę, odpowiadającą continuum możliwych ustawień wektora spinu względem pola magnetycznego.

Operatory pomiaru spinu w kierunkach x, y, z 
Aby uzasadnić teoretycznie powyżej omówione wyniki eksperymentu Pauli wprowadził operatory spinu  odpowiadające pomiarom spinu wzdłuż osi  wybranego układu współrzędnych
 

gdzie  są macierzami Pauliego, czyli:
   

Zgodnie z formalizmem matematycznym mechaniki kwantowej możliwe wyniki pomiaru oblicza się jako wartości własne operatora, odpowiadającego danemu pomiarowi, działającego na funkcję falową mierzonego układu.

W przypadku pomiaru spinu wynik pomiaru wzdłuż osi  jest jedną z możliwych wartości własnych, obliczoną z działania operatora  na spinową funkcję falową  (jest to tzw. równanie na wartości własne operatora spinu)
 

gdzie  – szukana wartość rzutu spinu na oś 

Równanie to ma dwa rozwiązania  oraz  co oznacza, że rzut wektora spinu na oś  może przyjmować tylko dwie wartości – w górę osi  oraz w dół osi  Ustawienia wektora spinu odpowiadające powyższym rzutom nazywa się w skrócie stanami „w dół” oraz „w górę”, mimo że sam wektor spinu nigdy nie ma ustalonego kierunku, lecz leży na stożku (patrz rysunek obok).

Identyczne wyniki pomiaru spinu uzyska się dla operatorów  odpowiadających pomiarom wzdłuż osi  oraz  Wartość bezwzględna współczynnika stojąca przy wartości  wynosi  Dlatego cząstki mające własność, że w oddziaływaniu z polem magnetycznym zachowują się jak wyżej opisano, są określane jako cząstki o spinie  Liczba  nosi nazwę spinowej liczby kwantowej.

Operatory  spełniają reguły komutacyjne (analogicznie jak operatory momentu pędu  mierzące składowe momentu pędu w przestrzeni fizycznej lub generatory grupy obrotów)
 
 
 

Operatory te nie komutują ze sobą (tzn. komutatory są ), co oznacza, że jest możliwe jednoczesne określenie jedynie jednej z tych składowych. Wynik ten jest zgodny z tym, co obserwuje się w doświadczeniach.

Wektorowy operator spinu 
Operator postaci
 

jest wektorowym operatorem spinu; jego współrzędnymi są operatory pomiaru spinu w kierunkach    operator ten można zapisać w postaci
 

gdzie:
  jest wektorem złożonym z macierzy Pauliego.

Operator pomiaru spinu wzdłuż dowolnego kierunku 
Pauli zdefiniował też operator pomiaru spinu wzdłuż dowolnego kierunku, związanego z dowolnym ustawieniem wektora indukcji pola magnetycznego  Niech  oznacza wektor jednostkowy zgodny z wektorem  Wtedy operator pomiaru spinu ma postać:
 

Jeżeli zapisze się wektor  za pomocą współrzędnych sferycznych  to operator ten przyjmie postać macierzy 

 

analogicznie jak operatory  Operator ten ma także dwie wartości własne:
  oraz 

Powyżej przedstawiony formalizm matematyczny, w którym wielkościom obserwowanym przypisuje się odpowiednie operatory, daje przewidywania teoretyczne zgodne z doświadczeniem, gdyż:

Wykonując pomiary w dowolnym kierunku  (który jest kierunkiem pola magnetycznego), zawsze otrzymuje się tylko dwa różne rzuty spinu na mierzony kierunek. Ten sam wynik przewiduje teoria kwantowa.

Operator wartości spinu 
Oprócz wyżej zdefiniowanych operatorów, można zdefiniować operator kwadratu całkowitego wektora spinu:
 

Podstawiając wyrażenia na operatory  otrzymuje się:
 

Na podstawie tego operatora wyznacza się wartość mierzonego spinu – określa ją pierwiastek ze średniej wartości operatora  obliczonej dla pomiaru na dowolnym stanie kwantowym:
 

Powyższy wynik jest zgodny z ogólnym wzorem na długość wektora spinu

wektora spisu o liczbie spinowej 
 

Podstawiając  otrzymuje się wcześniej podany wynik.

Wielkości jednocześnie mierzalne 
Ponieważ operator  wyraża się przez macierz jednostkową, to komutuje z dowolną ze składowych spinu, np.
 

Oznacza to, że możliwe jest w tym samym pomiarze zmierzenie długość wektora spinu cząstki wraz z długością jego rzutu na dowolny kierunek; jednak pozostałych dwóch składowych nie można wyznaczyć, gdyż składowe te nie komutują ze sobą. Wynik ten jest wyrazem nieoznaczoności kwantowej, jaka towarzyszy każdemu pomiarowi. W przypadku spinu pomiar pozwala jedynie na określenie stożka, na którym usytuowany jest wektor spinu. Oś tego stożka wyznacza kierunek zewnętrznego pola magnetycznego, a wysokość jest równa wielkości rzutu wektora spinu na kierunek pola.

Składowe operatora spinu  komutują ze składowymi operatora pędu  Ponieważ składowe operatora pędu nie komutują ze sobą, podobnie jak składowe spinu, to powyższa własność oznacza, że można zmierzyć jednocześnie tylko jedną ze składowych wektora spinu wraz z jedną ze składowych wektora pędu.

Własny moment magnetyczny elektronu 
Istnienie własnego momentu pędu elektronu (spinu) wiąże się z istnieniem własnego momentu magnetycznego elektronu, który jest proporcjonalny do wektora spinu i przeciwnie skierowany
 

gdzie:
  – ładunek elektronu,
  – masa elektronu.

To właśnie wewnętrzny moment magnetyczny elektronu jest odpowiedzialny za oddziaływanie z zewnętrznym polem magnetycznym, w wyniku czego następuje kwantowanie spinu.

Operator wypadkowego momentu pędu 
Każdy elektron w atomie ma dwa momenty magnetyczne: orbitalny  i spinowy  Wektory te dodają się, tworząc wypadkowy moment pędu  Rzuty każdego z tych wektorów na odpowiednie osie są skwantowane.

Kwadrat operatora spinu  nie jest niezmiennikiem relatywistycznym. Właściwym operatorem Casimira dla grupy Poincarégo jest kwadrat pseudowektora Pauliego-Lubańskiego, który jest związany z operatorem kwadratu całkowitego momentu pędu  Zaś operator kwadratu spinu  jest przykładem operatora Casimira w teorii algebr Liego, które są związane z grupą obrotów.

Operator dowolnego spinu

Ogólna definicja spinu 
W ogólnym wypadku operatory pomiaru spinu w kierunkach x, y, z są zdefiniowane za pomocą reguł komutacyjnych identycznych jak dla spinu  (i także identycznych jak reguły spełniane przez operatory pomiaru orbitalnego momentu pędu):
 

gdzie  – symbol Leviego-Civity oraz wyrażenie jest sumowane po indeksie

Operatory  
Równania własne operatorów kwadratu spinu oraz rzutu spinu na oś  mają postać:
 

gdzie  – wektor własny tych operatorów.

Spin całkowity oraz jego rzut na oś z są skwantowane, ich wartości wyrażają się w wielokrotnościach stałej Planka 

Funkcje falowe o różnych wartościach rzutu spinu na wybrany kierunek oznacza się z dodatkowym indeksem oznaczającym spin, np.  gdzie  przyjmuje jedną z  dyskretnych wartości takich że

Operatory podnoszący i opuszczający 
 

Wektory własne  nie są harmonikami sferycznymi (jak to jest dla operatora orbitalnego momentu pędu) i nie zależą od  oraz  Operatory te dopuszczają całkowite i połówkowe wartości na liczby spinowe  oraz

Wyższe liczby spinowe 
Macierze operatora spinu dla  tworzą reprezentacją fundamentalną algebry Liego  która jest reprezentacją nakrywającą grupy obrotów SO(3) w przestrzeni  Macierze operatorów spinu dla liczb  oblicza się w analogiczny sposób jak dla  Macierze tych operatorów oraz ich wektory własne są następujące:

(1) spin 
 

(2) spin 
 

(3) spin 
 

(4) spin 
 

(5) dla dowolnej liczby spinowej s

– elementy nacierzowe operatorów oblicza się ze wzorów (m.in. można łatwo obliczyć macierze powyżej przedstawione):

gdzie indeksy   są nie większe niż  tj.

Zobacz też 

 linia wodoru 21 cm
 magnetyczna spinowa liczba kwantowa
 obserwabla
 operator energii całkowitej (operator Hamiltona)
 operator momentu pędu
 operator pędu
 operator położenia
 orbitalny moment pędu światła
 spin w teorii de Broglie’a-Bohma

Przypisy

Bibliografia 
 
 

Mechanika kwantowa
Wielkości dynamiczne