Numero triangolare

In matematica, un numero triangolare è un numero poligonale rappresentabile in forma di triangolo, ossia, preso un insieme con una cardinalità (quantità di elementi) uguale al numero in oggetto, è possibile disporre i suoi elementi su una griglia regolare, in modo da formare un triangolo equilatero o un triangolo isoscele, come nella figura sotto.

Formula di Gauss 
L'-esimo numero triangolare si può ottenere con la formula di Gauss; essa porta il nome del matematico per una mera questione di consuetudine storica, ma secondo i canoni dell'assegnazione prioritaria in uso nella matematica, data la sua semplicità e l'antichità dell'argomento, andrebbe certamente attribuita a terzi:

Da questa formula segue che nessun numero triangolare per  maggiore di 2 è primo. Osservando, poi, che ciascuna riga del triangolo è costituita da un numero di elementi uguale all'indice della riga, e contiene quindi un elemento in più della riga precedente, si verifica facilmente che la formula corrisponde a quella della somma dei primi  termini della progressione aritmetica di ragione 1:

È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica della formula: avvicinando all'-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene un rettangolo di lati  e , che è formato da  punti, il doppio di quelli del triangolo.

L'-esimo numero triangolare corrisponde al numero di possibili coppie non ordinate estratte da un insieme di  elementi.

Dimostrazione 
Dimostriamo per induzione su  Occorre verificare che la formula:

sia valida per , e per ogni successore di , ossia  Il primo caso, per , si verifica facilmente:

Per gli  successori occorre dimostrare che:

Infatti

Elenco di numeri triangolari 
I primi numeri triangolari sono:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1830, 1891, 1953, 2016, 2080, 2145, 2211, 2278, 2346, 2415, 2485, 2556, 2628, 2701, 2775, 2850, 2926, 3003, 3081, 3160, 3240 ecc.

e rappresentano la successione A000217 dell'OEIS.

Relazioni con altri numeri figurati 
 La somma di due numeri triangolari successivi è un numero quadrato:

 esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
 ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in ; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
 la somma dei primi  numeri triangolari è uguale all'-esimo numero tetraedrico;
 l'-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per ; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale;
 la differenza tra l'-esimo numero -gonale e l'-esimo numero -gonale è uguale all'-esimo numero triangolare.

Altre proprietà 
  (somma di numeri triangolari);
  (prodotto di numeri triangolari);
 tutti i numeri perfetti sono triangolari;
 i reciproci dei numeri triangolari formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2, la loro somma vale pertanto 2;
 il quadrato dell'-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi  cubi:

questo risultato è noto sotto il nome di teorema di Nicomaco.
 i numeri triangolari si susseguono sempre alternando due numeri dispari a due numeri pari.

Test per i numeri triangolari 
Per stabilire se il numero  è triangolare si può calcolare l'espressione:

Se,  è intero, allora  è l'-esimo numero triangolare, altrimenti  non è triangolare.

Tale test trova la sua legittimazione nel fatto che: 

Molto evidente e semplice anche la dimostrazione grafica, tanto da essere già nota fin dall'antichità e pertanto precedente all'introduzione dell'algebra simbolica. Tra le fonti accreditate che riportano il teorema spicca anche il nome di Plutarco, motivo per il quale talvolta l'identità è citata come identità di Plutarco.

Voci correlate 
Numero poligonale
Numero triangolare centrato
Numero tetraedrico
Numero pentatopico
Teorema di Nicomaco

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 
 I numeri triangolari in OEIS, l'enciclopedia delle successioni numeriche

Numeri figurati