Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz: Benoît Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru została podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915 roku.

Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się (bez boków), a wobec trzech pozostałych trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze trójkąty, usuwając środkowy (bez boków), a wobec pozostałych trójkątów czynności się powtarzają. Po każdym powtórzeniu tej operacji z figury zostają usunięte pewne punkty. Punkty, które nie zostaną usunięte, tworzą trójkąt Sierpińskiego.

Fraktal ten można także utworzyć z trójkąta Pascala, zabarwiając na czarno jego nieparzyste liczby.

Definicja formalna 
Niech  będzie trójkątem ABC.
 Dzieląc  na cztery mniejsze trójkąty  i  gdzie środki krawędzi są wierzchołkami trójkąta  traktując  jako zbiór otwarty, a trójkąty  za zbiory domknięte, otrzymuje się zbiory rozłączne:  i  Środki krawędzi leżą w dwóch małych trójkątach (np.  zawiera dokładnie jeden punkt – środek odpowiedniej krawędzi).
 Każdy trójkąt  dzieli się na cztery mniejsze trójkąty  i  w podobny sposób.
 Każdy trójkąt  dzieli się na cztery mniejsze trójkąty  i  i tak dalej.

 

Trójkąt Sierpińskiego  zawiera dokładnie te punkty trójkąta ABC, które nie są elementami zbioru
 

tj.  Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem domkniętym jako różnica zbioru domkniętego  i zbioru otwartego  Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem domkniętym, Wymiar fraktalny trójkąta Sierpińskiego wynosi

Reprezentacja cyfrowa 
1Każdy ciąg  (gdzie ) określa punkt trójkąta Sierpińskiego, a mianowicie jedyny punkt w zbiorze  Odwrotnie, dla każdego punktu  można znaleźć taki ciąg określający ten punkt, tzw. reprezentację cyfrową punktu  Podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych, nie każdy punkt trójkąta Sierpińskiego ma jednoznaczną reprezentację. Na przykład (jedyny) punkt w przekroju  ma reprezentację  i jednocześnie reprezentację

Trójkąt Sierpińskiego jako rezultat Gry w chaos 
Ciekawym algorytmem pozwalającym otrzymać trójkąt Sierpińskiego jest gra w chaos.
Narysujmy trójkąt równoboczny ABC i definiujmy D0 := punkt A.
Następnie należy wielokrotnie powtórzyć następującą operację: losowo wybieramy jeden z punktów A, B lub C, rysujemy punkt w połowie odległości między Dn i wybranym punktem. Nowo narysowany punkt oznaczamy przez Dn+1. Każdy punkt Dn będzie należeć do trójkąta Sierpińskiego, i cały trójkąt Sierpińskiego będzie prawie na pewno domknięciem zbioru {D0, D1,...}.

Jeśli wybieramy D0 nie jako punkt A, lecz jako dowolny punkt trójkąta Sierpińskiego, to znowu otrzymujemy (prawie na pewno) trójkąt Sierpińskiego. Jeśli D0 należy do trójkąta ABC, ale nie do trójkąta Sierpińskiego, to żaden punkt Dn do tego trójkąta nie należy, jednak otrzymujemy ten trójkąt (prawie na pewno) jako zbiór punktów skupienia ciągu (D0, D1,...).

Jeśli punkty A, B i C tworzą dowolny (nierównoboczny) trójkąt, to tą samą konstrukcją otrzymujemy zniekształcony trójkąt Sierpińskiego, tzn. obraz trójkąta Sierpińskiego przez przekształcenie afiniczne.

Zobacz też 

 dywan Sierpińskiego
 fraktal
 gra w chaos
 kostka Mengera
 piramida Sierpińskiego
 zbiór Cantora

Przypisy

Linki zewnętrzne 
 
 
  Wersja interaktywna wraz z kodem źródłowym (Processing)
  Dynamiczny generator fraktalu
 Grant Sanderson, Binary, Hanoi and Sierpinski, kanał 3blue1brown na YouTube, 25 listopada 2016 [dostęp 2021-03-15].

L-systemy
Polskie odkrycia matematyczne
Rodzaje trójkątów
Hasła kanonu polskiej Wikipedii