Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot-Menge, benannt nach Benoît Mandelbrot, ist die Menge der komplexen Zahlen  für welche die durch die iterative Vorschrift  mit dem Anfangswert  definierte Folge  endlich bleibt, d. h. beschränkt ist.

Interpretiert man die Mandelbrot-Menge (eine Teilmenge der Gaußschen Zahlenebenen) als geometrische Figur, so ergibt sie ein Fraktal, das im allgemeinen Sprachgebrauch oft Apfelmännchen genannt wird.
Bilder berechnet man, indem man jedem Pixel  eines Bildes eine komplexe Zahl zuordnet  und beginnend mit  untersucht, ob und wann die Iterationen anfangen, zu „explodieren“. Bleiben die Werte klein, wird das Pixel häufig schwarz gefärbt, kommt es zu einer „Explosion“ der Zahlenwerte, wird die Anzahl der dafür notwendigen Iterationen als Farbe kodiert.

Die ersten mit einem Computer generierten Darstellungen wurden 1978 von Robert W. Brooks und Peter Matelski vorgestellt. 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot eine Arbeit über das Thema. Später wurde sie von Adrien Douady und John Hamal Hubbard in einer Reihe grundlegender mathematischer Arbeiten systematisch untersucht. Die mathematischen Grundlagen dafür wurden bereits 1905 von dem französischen Mathematiker Pierre Fatou erarbeitet.

Definition

Definition über Rekursion 
Die Mandelbrot-Menge  ist die Menge aller komplexen Zahlen  für welche die rekursiv definierte Folge komplexer Zahlen  mit dem Anfangsglied
 
und dem Bildungsgesetz
 
beschränkt bleibt. Das heißt, eine komplexe Zahl  ist Element der Mandelbrot-Menge  wenn die Beträge der mit diesem  berechneten  nicht über jede Grenze wachsen, unabhängig davon, wie groß  wird. Dies lässt sich wie folgt schreiben:
 
Man kann leicht zeigen, dass der Betrag der  über jede Grenze wächst, sobald ein  mit  auftritt, somit ist diese Definition gleichbedeutend mit:

Definition über komplexe quadratische Polynome 
Die Mandelbrot-Menge lässt sich auch über komplexe quadratische Polynome beschreiben:
 
mit einem komplexen Parameter  Für jedes  wird die Folge
 
iterativ berechnet, wobei  die  Hintereinanderausführung der Iteration bedeutet, also
 
 
In Abhängigkeit vom Wert des Parameters  wächst diese Folge dann entweder unbeschränkt, sodass also  kein Element der Mandelbrot-Menge ist, oder sie verbleibt innerhalb eines Bereichs um den Ursprung der Zahlenebene, und  ist Element der Mandelbrot-Menge.

Die Mandelbrot-Menge ist eine Untermenge der komplexen Zahlen mit der Definition:
 
oder gleichbedeutend:
 

Zur Erläuterung werden einige Eigenschaften und Beispiele angeführt:
 Aufgrund der zuvor beschriebenen Feststellung kann  gesetzt werden. Dabei gibt der Wert  den Radius um den Ursprung an, innerhalb dessen ein Element von  liegen kann. Außerhalb dieses Kreises sind keine Elemente von  zu finden.
 Wegen der Betragsfunktion ist  symmetrisch zur reellen Achse.
 Um die Menge  grafisch darzustellen, müssen die Werte des Parameters  alle einzeln bis zu einer selbstbestimmten Anzahl von Iterationen berechnet werden.
 Für  lautet die Folge  und ist beschränkt. Daher ist  Element von 
 Für  lautet die Folge  und ist divergent. Daher ist  kein Element von

Definition über Julia-Mengen 
Die Mandelbrot-Menge  wurde von Benoît Mandelbrot ursprünglich zur Klassifizierung von Julia-Mengen eingeführt, die bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Gaston Maurice Julia und Pierre Fatou untersucht wurden. Die Julia-Menge  zu einer bestimmten komplexen Zahl  ist definiert als der Rand der Menge aller Anfangswerte  für die die obige Zahlenfolge beschränkt bleibt. Es kann bewiesen werden, dass die Mandelbrot-Menge  genau die Menge der Werte  ist, für die die zugehörige Julia-Menge  zusammenhängend ist.

Dieses Prinzip wird in vielen Resultaten über das Verhalten der Mandelbrot-Menge  vertieft. So zeigt Shishikura, dass der Rand der Mandelbrot-Menge  ebenso wie die zugehörige Julia-Menge  die Hausdorff-Dimension 2 hat. Ein unveröffentlichtes Manuskript von Jean-Christophe Yoccoz diente John Hamal Hubbard als Grundlage für seine Ergebnisse über lokal zusammenhängende Julia-Mengen  und lokal zusammenhängende Mandelbrot-Mengen

Bezug zur Chaostheorie 
Das Bildungsgesetz, das der Folge zugrunde liegt, ist die einfachste nichtlineare Gleichung, anhand deren sich der Übergang von Ordnung zu Chaos durch Variation eines Parameters provozieren lässt. Dazu genügt es, reelle Zahlenfolgen zu betrachten.

Für Werte  das heißt innerhalb der Kardioide, konvergiert die Folge. Auf der „Antenne“, die bis  reicht, verhält sich die Folge chaotisch. Der Übergang zu chaotischem Verhalten erfolgt nun über ein Zwischenstadium mit periodischen Grenzzyklen. Dabei nimmt die Periode zum chaotischen Bereich hin stufenweise um den Faktor zwei zu, ein Phänomen, das als Periodenverdopplung und Bifurkation bezeichnet wird. Jeder  zu einer bestimmten Periode entspricht dabei einer der kreisförmigen „Knospen“ auf der 

Die Periodenverdopplung beginnt mit dem „Kopf“ und setzt sich in der Folge der „Knospen“ zur „Antenne“ hin fort. Das Verhältnis der Längen aufeinander folgender Parameterintervalle und damit das der Knospendurchmesser zu unterschiedlicher Periode strebt dabei gegen die Feigenbaum-Konstante  eine fundamentale Konstante der Chaostheorie. Dieses Verhalten ist typisch für den Übergang realer Systeme zu chaotischer Dynamik. Die auffälligen Lücken im chaotischen Bereich entsprechen Inseln mit periodischem Verhalten, denen in der komplexen Ebene die Satelliten auf der „Antenne“ zugeordnet sind.

Für gewisse komplexe  stellen sich Grenzzyklen ein, die auf einer geschlossenen Kurve liegen, deren Punkte jedoch nicht periodisch, sondern chaotisch abgedeckt werden. Eine solche Kurve ist in der Chaostheorie als sogenannter seltsamer Attraktor bekannt.

Die Mandelbrot-Menge ist daher ein elementares Objekt für die Chaostheorie, an der sich fundamentale Phänomene studieren lassen. Sie wird aus diesem Grund hinsichtlich ihrer Bedeutung für die Chaostheorie gelegentlich mit der von Geraden für die euklidische Geometrie verglichen.

Geometrische und mathematische Eigenschaften 

Die Mandelbrot-Menge ist abgeschlossen (da ihr Komplement offen ist) und in der abgeschlossenen Scheibe mit dem Radius 2 um den Ursprung enthalten und somit kompakt.

Es sei  und  bezeichne die  Iteration. Ein Punkt  gehört genau dann zur Mandelbrot-Menge, falls

  für alle 

Wird der Betrag von  größer als 2, dann entkommt die Iteration ins Unendliche, der Betrag wächst über jede Grenze.  gehört dann nicht zur Mandelbrot-Menge.

Der ungeheure Formenreichtum der Mandelbrot-Menge erschließt sich aus ihrem Bezug zu Julia-Mengen. Julia-Mengen zur Iteration  sind Fraktale, außer für einige  wie  (Strecke) oder  (Kreis). Die Formen dieser fraktalen Strukturen sind innerhalb einer Julia-Menge stets die gleichen, umspannen aber für Julia-Mengen zu verschiedenem Parameter  einen enormen Formenreichtum. Es zeigt sich, dass die Strukturen der Mandelbrot-Menge in der Umgebung eines bestimmten Wertes  genau die Strukturen der zugehörigen Julia-Menge  wiedergeben. Damit enthält die Mandelbrot-Menge den kompletten Formenreichtum der unendlich vielen Julia-Mengen (s. u.).

In den fraktalen Strukturen am Rand finden sich verkleinerte ungefähre Kopien der gesamten Mandelbrot-Menge, die Satelliten. Jeder Bildausschnitt der Mandelbrot-Menge, der sowohl Punkte aus  als auch solche außerhalb von  umfasst, enthält unendlich viele dieser Satelliten. Unmittelbar am Rand eines Satelliten treten fast die gleichen Strukturen auf wie an den entsprechenden Stellen des Originals. Diese Strukturen sind jedoch nach weiter außen hin mit den Strukturen kombiniert, die für die größere Umgebung des Satelliten typisch sind.

Da jeder Satellit wiederum mit Satelliten höherer Ordnung bestückt ist, lässt sich immer eine Stelle finden, an der eine beliebige Anzahl beliebiger verschiedener Strukturen in beliebiger Reihenfolge kombiniert auftritt. Diese Strukturen sind allerdings nur bei extremer Vergrößerung erkennbar.

Die Mandelbrot-Menge ist spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. Sie ist zusammenhängend (das heißt, sie bildet keine Inseln), wie Adrien Douady und John Hamal Hubbard 1984 bewiesen, und es wird vermutet (Douady/Hubbard), dass sie lokal zusammenhängend ist (MLC-Vermutung). Dies ist eine der großen offenen Fragen in der komplexen Dynamik und bisher unbewiesen (obwohl es Teilresultate zum Beispiel von Jean-Christophe Yoccoz gibt, der lokalen Zusammenhang für bestimmte Werte von  bewies, für die endlich-renormalisierbaren Punkte). Die MLC erlaubt weitreichende Folgerungen über die Topologie der Mandelbrot-Menge. Beispielsweise würde daraus die Hyperbolizitätsvermutung folgen, dass jede offene Menge in der Mandelbrot-Menge (also das Innere der Mandelbrot-Menge) aus Punkten mit attraktiven Zyklen besteht. Die Mandelbrot-Menge ist zwar selbstähnlich, aber nicht exakt, denn keine zwei Teilstrukturen ihres Randes sind exakt gleich; aber in der Nähe vieler Randpunkte bilden sich bei fortgesetzter Ausschnittvergrößerung im Grenzfall periodische Strukturen. An speziellen Punkten hat die Mandelbrot-Menge Selbstähnlichkeit (vermutet von John Milnor und bewiesen von Mikhail Lyubich 1999).

Da die Mandelbrot-Menge Kardioid- und Kreisflächen enthält, hat sie die fraktale Dimension 2. Der Rand der Mandelbrot-Menge hat eine unendliche Länge, und seine Hausdorff-Dimension beträgt nach Arbeiten von Mitsuhiro Shishikura ebenfalls 2; das impliziert, dass die Box-Dimension den Wert 2 hat. Es ist denkbar, dass der Rand der Mandelbrot-Menge einen positiven (notwendig endlichen) Flächeninhalt hat; andernfalls wäre dieser Flächeninhalt null. Der Flächeninhalt der Mandelbrot-Menge ist nicht bekannt und beträgt nach numerischen Schätzungen etwa 1,5065918849.

Die Mandelbrot-Menge enthält deformierte Kopien aller Julia-Mengen, wie Tan Lei 1990 für die Misiurewicz-Punkte der Mandelbrot-Menge bewiesen hat, die dicht im Rand der Mandelbrot-Menge liegen. Das ist ein weiterer Beleg für die enge Verwandtschaft der Struktur von Julia- und Mandelbrot-Mengen. So wurden in den Beweisen von Yoccoz für lokalen Zusammenhang der Mandelbrot-Menge bei endlich renormalisierbaren Punkten und von Shishikura über die fraktale Dimension des Randes der Mandelbrot-Menge zuerst die entsprechenden Eigenschaften bei den zum Parameterwert gehörigen Julia-Mengen untersucht und dann auf die Mandelbrot-Menge übertragen.

Die Frage, ob die Mandelbrot-Menge entscheidbar ist, ergibt zunächst keinen Sinn, da  überabzählbar ist. Einen Ansatz, den Begriff der Entscheidbarkeit auf überabzählbare Mengen zu verallgemeinern, stellt das Blum-Shub-Smale-Modell dar. Innerhalb dessen ist die Mandelbrot-Menge nicht entscheidbar.

Bildergalerie einer Zoomfahrt 
Die folgende Bildersequenz zeigt beginnend vom Übersichtbild der Mandelbrot-Menge (Startbild) jeweils einen Ausschnitt des vorangegangenen Bildes (Ausschnitt n). Dabei wird in 16 Schritten ein Ausschnitt des vorhergehenden Bildes jeweils um einen Faktor 4 bis 8 vergrößert. Die Vergrößerung des letzten Bildes relativ zum Startbild ist etwa 60-Milliarden-fach.

Die Sequenz gibt einen Eindruck vom geometrischen Formenreichtum und erläutert gewisse typische Strukturelemente.

Verhalten der Zahlenfolge 
Die verschiedenen Strukturelemente von  stehen in engem Zusammenhang mit bestimmten Verhaltensweisen der Zahlenfolge, die  zugrunde liegt. Je nach Wert von  ergibt sich eine der folgenden vier Möglichkeiten:

     Sie konvergiert gegen einen Fixpunkt.
  Sie konvergiert gegen einen periodischen Grenzzyklus, der aus zwei oder mehr Werten besteht. Dazu zählen auch die Fälle, in denen sich die Folge von Anfang periodisch verhält.
     Sie wiederholt sich nie, bleibt aber beschränkt. Manche Werte zeigen chaotisches Verhalten mit Wechsel zwischen fast periodischen Grenzyklen und scheinbar zufälligem Verhalten.
     Sie divergiert gegen Unendlich (bestimmte Divergenz).

Alle  die nicht bestimmt divergieren, gehören zu 

Die folgende Tabelle zeigt Beispiele für diese vier Grenzverhalten der Iteration  für

Geometrische Zuordnung 
Konvergenz liegt genau für die Werte von  vor, die das Innere der Kardioide bilden, den „Körper“ von  sowie für abzählbar viele ihrer Randpunkte. Periodische Grenzzyklen finden sich in den (angenähert) kreisförmigen „Knospen“ wie im „Kopf“, in den Kardioiden der Satelliten sowie ebenfalls auf abzählbar vielen Randpunkten dieser Komponenten. Eine fundamentale Vermutung besagt, dass es für alle inneren Punkte der Mandelbrot-Menge einen Grenzzyklus gibt. Die Folge ist echt vorperiodisch für abzählbar viele Parameter, die oft Misiurewicz-Thurston-Punkte genannt werden (nach Michał Misiurewicz und William Thurston). Dazu gehören die „Antennenspitzen“ wie der Punkt  ganz links und Verzweigungspunkte der Mandelbrot-Menge.

In den überabzählbar vielen übrigen Punkten der Mandelbrot-Menge kann sich die Folge auf viele verschiedene Weisen verhalten, die jeweils sehr unterschiedliche dynamische Systeme erzeugen und die teilweise Gegenstand intensiver Forschung sind. Je nach Definition des Wortes lässt sich „chaotisches“ Verhalten finden.

Periodisches Verhalten

Die kreisförmigen Strukturen 
Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Satelliten-Kardioide zeichnet sich durch eine bestimmte Periodizität des Grenzzyklus aus, gegen den die Folge für die zugehörigen  strebt. Die Anordnung der „Knospen“ an der zugehörigen Kardioide folgt dabei den folgenden Regeln, aus denen sich unmittelbar die Periodizitäten ablesen lassen. Jede „Knospe“ berührt genau einen Basiskörper, nämlich eine größere „Knospe“ oder eine Kardioide.

Die Periodizität einer „Knospe“ ist die Summe der Periodizitäten der beiden nächsten größeren „Nachbarknospen“ in beide Richtungen am selben Basiskörper, sofern es solche gibt. Gibt es am Rand des Basiskörpers bis zur Kontaktstelle mit dessen Basiskörper oder bis zur Kerbe der Kardioide nur kleinere „Knospen“, so trägt anstelle der Periodizität einer „Nachbarknospe“ die des Basiskörpers selbst zur Summe bei. Daraus leiten sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften ab:
 Tendenziell sind die „Knospen“ oder Kardioiden umso kleiner, je größer ihre Periodizität ist.
 Die Periodizität der größten „Knospe“ an einem Basiskörper beträgt stets das Doppelte, wie der „Dutt“ mit der Periode  am „Kopf“.
 Die Periodizität einer „Knospe“ eines Satelliten ist das Produkt der Periodizität der Satelliten-Kardioide und der der korrespondierenden „Knospe“ der Hauptkardioide.
Ferner erklärt diese Regel das Auftreten bestimmter Folgen von „Knospen“ wie vom „Kopf“ zur Kardioidkerbe hin mit einer Periodizitätszunahme zur nächsten „Knospe“ hin um den Wert  oder vom „Arm“ zum „Kopf“ hin um den Wert

Ermittlung der Knospenwerte 

Es gibt eine Eigenschaft im Iterationsverlauf, der den Wert der Periodizität am jeweiligen Punkt  anzeigt. Dazu muss man im Iterationsverlauf eines Punktes das Iterationsergebnis suchen, das den kleinsten Betrag von Z hat. Im Randbereich kann die Suche auch über 100000 Iterationen liegen. Wie zu sehen ist, korreliert die Min-Count-Nr. mit der Periodizität der angrenzenden Knospen. Aus zwei benachbarten Bereichen entspringt eine dritte, deren Wert die Summe der beiden Vorherigen ist. Dadurch entsteht eine Fibonacci-Folge. Bei Bereichen die auf einer Linie stehen, verdoppelt sich dieser Wert. Dieses Prinzip gilt auch noch für den kleinsten Satelliten. Auch die Speichenanzahl hängt von dieser Zählweise ab.

Im folgenden Programmcode für einen Bildpunkt wird der Iterationsverlauf durchsucht und die Zählweise demonstriert.

Attraktive Zyklen 
Gibt es für ein  ein Folgenglied mit der Eigenschaft  so wiederholt sich die Folge von Anfang an streng periodisch und zwar mit der Periode  Da sich  durch  Anwendung der Iterationsvorschrift ergibt, wobei bei jedem Schritt quadriert wird, lässt es sich als Polynom von  vom Grad  formulieren. Die  für periodische Folgen der Periode  werden daher über die  Nullstellen dieses Polynoms erhalten. Es zeigt sich, dass jede Zahlenfolge gegen diesen Zahlenzyklus konvergiert, sofern eins ihrer Folgenglieder hinreichend nahe an diesen Zyklus gerät, die werden Attraktoren genannt. Das führt dazu, dass alle Zahlenfolgen zu einer gewissen Umgebung des  der den Attraktor repräsentiert, gegen einen stabilen Zyklus der Periode  konvergieren. Jede kreisförmige „Knospe“ und jede Kardioide eines Satelliten repräsentiert genau eine solche Umgebung. Exemplarisch seien die Gebiete mit den Perioden  bis  aufgeführt:

 Periode 1: Die Kardioide des Hauptapfelmännchens. Der Rand dieser Kardioide ist gegeben durch Punkte der Form  mit 
 Periode 2: Der „Kopf“. Die 2. Nullstelle  entspricht der Hauptkardioide, die wegen der Periode  natürlich bei der Ermittlung aller höherer Perioden als Nullstelle auftritt. Diese Überlegung zeigt, dass die Zahl der Attraktoren mit der Periode  maximal  betragen kann, und das nur dann, wenn  eine Primzahl ist. Der Kopf selbst ist eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt  d. h., der Rand dieser Kreisscheibe ist gegeben durch Punkte der Form  mit 
 Periode 3: Die „Knospen“, die den „Armen“ entsprechen und die Kardioide des größten Satelliten auf der „Kopfantenne“. Die vierte Nullstelle  entfällt wieder.

Die Anzahl der anziehenden Zyklen mit der genauen Periode  d. h.  und  ist minimal mit dieser Eigenschaft, ist die .

Galerie der Iteration 
Die folgende Galerie gibt einen Überblick über die Werte von  für einige Werte von  Dabei hängt  vom Parameter  ab, dessen Realteil sich in den Bildern von links nach rechts von −2,2 bis +1 erstreckt, und dessen Imaginärteil von −1,4 bis +1,4 reicht.

Repulsive Zyklen 
Neben attraktiven Zyklen gibt es repulsive, die sich dadurch auszeichnen, dass Zahlenfolgen in ihrer Umgebung sich zunehmend von ihnen entfernen. Sie lassen sich jedoch erreichen, da jedes  abgesehen von der Situation  wegen des Quadrats in der Iterationsvorschrift zwei potenzielle Vorgänger in der Folge hat, die sich nur durch ihr Vorzeichen unterscheiden.  für die die zugehörige Folge irgendwann über einen solchen zweiten Vorläufer eines Periodenmitgliedes in einen derartigen instabilen Zyklus mündet, sind beispielsweise die „Naben“ der rad- oder spiralförmigen Strukturen sowie die Endpunkte der weitverbreiteten antennenartigen Strukturen, die sich formal als „Naben“ von „Rädern“ oder Spiralen mit einer einzigen Speiche interpretieren lassen. Derartige  werden als Misiurewicz-Punkte bezeichnet.

Ein Misiurewicz-Punkt  hat ferner die Eigenschaft, dass  in seiner näheren Umgebung nahezu deckungsgleich mit demselben Ausschnitt der zugehörige Julia-Menge  ist. Je weiter sich dem Misiurewicz-Punkt genähert wird, umso besser wird die Übereinstimmung. Da Julia-Mengen für  innerhalb von  zusammenhängend sind und außerhalb von  Cantor-Mengen aus unendlich vielen Inseln mit der Gesamtfläche null, sind sie in der Übergangszone am Rand von  besonders filigran. Jeder Misiurewicz-Punkt ist aber gerade ein Randpunkt von  und jeder Ausschnitt der Randzone von  der sowohl Punkte in  als auch außerhalb davon enthält, enthält unendlich viele davon. Damit ist der gesamte Formenreichtum sämtlicher Julia-Mengen dieses filigranen Typs in der Umgebung der Misiurewicz-Punkte in  repräsentiert.

Satelliten 

Ein weiteres Strukturelement, das den Formenreichtum der Mandelbrot-Menge begründet, sind die verkleinerten Kopien ihrer selbst, die sich in den filigranen Strukturen ihres Randes befinden. Dabei korrespondiert das Verhalten der Zahlenfolgen innerhalb eines Satelliten in folgender Weise mit dem der Folgen im Hauptkörper. Innerhalb eines Satelliten konvergieren alle Zahlenfolgen gegen Grenzzyklen, deren Perioden sich von denen an den entsprechenden Stellen im Hauptkörper von  um einen Faktor  unterscheiden. Wird für einen bestimmten  aus dem Satelliten nur jedes  Folgenglied betrachtet, so ergibt sich eine Folge, die bis auf einen räumlichen Maßstabsfaktor nahezu identisch ist mit derjenigen, die sich für den entsprechenden  im Hauptkörper von  ergibt. Die mathematische Begründung hierfür ist tiefliegend; sie entstammt den Arbeiten von Douady und Hubbard über „polynomartige Abbildungen“.

Die zusätzlichen Strukturelemente in der unmittelbaren Umgebung eines Satelliten sind eine Folge davon, dass zwischen zweien der betrachteten Folgenglieder mit dem Indexabstand  sich eines mit dem Wert  befinden kann, das damit einen periodischen Verlauf mit der Periode  begründet. Die entsprechende Folge außerhalb des Hauptkörpers divergiert jedoch, da sie keine solchen Zwischenglieder besitzt.

Es handelt sich bei der Mandelbrot-Menge selbst um eine universelle Struktur, die bei völlig anderen nichtlinearen Systemen und Klassifizierungsregeln in Erscheinung treten kann. Grundvoraussetzung ist jedoch, dass die beteiligten Funktionen winkeltreu sind. Werden solche Systeme betrachtet, die von einem komplexen Parameter  abhängen, und klassifiziert man ihr Verhalten bezüglich einer bestimmten Eigenschaft der Dynamik in Abhängigkeit von  dann werden unter bestimmten Umständen in der Parameter-Ebene kleine Kopien der Mandelbrot-Menge gefunden. Ein Beispiel ist die Frage, für welche Polynome dritten Grades das iterative Newton-Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen mit einem bestimmten Startwert versagt und für welche nicht.

Wie im nebenstehenden Bild kann die Mandelbrot-Menge dabei verzerrt auftreten, zum Beispiel sitzen dort die Armknospen an etwas anderer Stelle. Ansonsten ist die Mandelbrot-Menge jedoch vollkommen intakt, inklusive aller Knospen, Satelliten, Filamente und Antennen. Der Grund für das Auftauchen der Mandelbrot-Menge ist, dass die betrachtete Funktionenfamilien in bestimmten Gebieten – abgesehen von Drehungen und Verschiebungen – recht gut mit der Funktionenfamilie
 
welche die Mandelbrot-Menge definiert, übereinstimmen. Dabei sind in einem gewissen Rahmen Abweichungen zulässig, und trotzdem kristallisiert sich die Mandelbrot-Menge heraus. Dieses Phänomen wird als strukturelle Stabilität bezeichnet und ist im Endeffekt verantwortlich für das Auftreten der Satelliten in der Umgebung von  weil Teilfolgen der iterierten Funktionen lokal das gleiche Verhalten zeigen wie die Gesamtfamilie.

Intermediär wechselhaftes Verhalten 

Durch die Möglichkeit der Zahlenfolge, wiederholt in die unmittelbare Umgebung eines repulsiven Zyklus zu geraten, und bei dem anschließend tendenziell divergenten oder chaotischen Verhalten wiederum beinahe in einen anderen Zyklus zu geraten, können sich intermediär sehr komplizierte Verhaltensweisen der Folge ausbilden, bis sich der endgültige Charakter der Folge zeigt, wie die beiden Abbildungen demonstrieren. Die Umgebung der zugehörigen  in  ist entsprechend strukturreich.

Die Darstellung der Folgepunkte selbst in der komplexen Ebene zeigt in diesen Fällen eine größere Komplexität. Das quasiperiodische Verhalten in der Nachbarschaft eines repulsiven Zyklus führt in diesen Fällen oft zu spiralförmigen Strukturen mit mehreren Armen, wobei die Folgepunkte das Zentrum umkreisen, während der Abstand zu ihm zunimmt. Die Anzahl der Arme entspricht daher der Periode. Die Punktanhäufungen an den Enden der Spiralarme in der obigen Abbildung sind die Folge der beiden zugehörigen Beinahe-Einfänge durch repulsive (instabile) Zyklen.

Dichteverteilung der Folgenglieder 

Das nebenstehende Bild zeigt, wie oft ein Bildpunkt von einem Zwischenergebnis aller Iterationen getroffen wird. Im Bereich von || < 2 wird jedes Pixel mindestens einmal getroffen und aufsummiert. Innerhalb der  können bei diesem Bild Werte bis zu 30000 auftreten. Bei einem Kontrast von 1:30000 kann man jedoch Feinheiten im  nicht mehr leicht erkennen. Bei Blende bis 1000 sind Strukturen zu erkennen, die am äußersten Rand der  liegen. Diese sind erzeugt durch die Zwischenergebnisse der periodischen Iterationen von Satelliten-Mengen. Diese Orte werden im Film mit einem grünen Pfeil gezeigt. Einer dieser Orte soll im nächsten Orbit-Bild näher dokumentiert werden.

Im Orbit-Bild wurden alle Iterationsergebnisse herausgefiltert, die nicht im Auswahlbereich bei Punkt 1 enthalten sind. So ist erkennbar, dass diese Orbits von einem Satelliten der Periode 3 ausgehen (Punkt S). In den nächsten Bildern sind diese vier Orbit-Aufsummierungen gezoomt gezeigt. Dieses Beispiel gilt für alle Satelliten. Für die meisten Satelliten ist jedoch ein viel höheres Iterationslimit nötig (hier nur 100). Dadurch steigt der erzeugte Kontrast erheblich, womit solche Feinheiten immer schlechter zu zeigen sind.

Grafische Darstellung 
Die grafische Darstellung der Mandelbrot-Menge und ihrer Strukturen im Randbereich ist nur mittels Computer durch sogenannte Fraktalgeneratoren möglich. Dabei entspricht jedem Bildpunkt ein Wert  der komplexen Ebene. Der Computer ermittelt für jeden Bildpunkt, ob die zugehörige Folge divergiert oder nicht. Sobald der Betrag  eines Folgengliedes den Wert  überschreitet, ist klar, dass die Folge divergiert. Die Zahl  der Iterationsschritte bis dahin kann als Maß für den Divergenzgrad dienen. Der Bildpunkt wird gemäß einer zuvor festgelegten Farbtabelle gefärbt, die jedem Wert  eine Farbe zuordnet.

Um in ästhetischer Hinsicht harmonische Grenzen zwischen aufeinanderfolgenden Farben zu erreichen, wird in der Praxis für die Grenze  nicht der kleinste mögliche Wert  gewählt, sondern ein Wert deutlich größer als  da andernfalls die Farbstreifenbreite oszilliert. Je größer dieser Wert gewählt wird, desto besser entsprechen die Farbgrenzen Äquipotentiallinien, die sich ergeben, wenn die Mandelbrot-Menge als elektrisch geladener Leiter interpretiert wird. Für kontinuierliche Farbverläufe, wie in der obigen Zoom-Bilderserie, ist eine Auswertung des Faktors erforderlich, um den  bei der ersten Überschreitung übertroffen wurde.

Da die Zahl der Iterationsschritte  nach denen erstmals die Grenze  überschritten wird, beliebig groß sein kann, muss ein Abbruchkriterium in Form einer maximalen Zahl von Iterationsschritten festgelegt werden. Werte von  deren Folgen danach die Grenze  noch nicht überschritten haben, werden zu  gerechnet. Je geringer der Abstand von  zu  ist, desto größer ist in der Regel die Zahl  nach der  überschritten wird. Je stärker die Vergrößerung ist, mit der der Rand von  dargestellt wird, desto größer muss die maximale Zahl von Iterationsschritten gewählt werden, und umso mehr Rechenzeit ist nötig. Kann man erkennen, dass die Folge für einen Startwert  konvergiert, so kann die Berechnung der Folge schon früher abgebrochen werden.

Grafisch besonders reizvoll ist die Darstellung des Randes von  mit seinem Formenreichtum. Je stärker die gewählte Vergrößerung ist, umso komplexere Strukturen lassen sich dort finden. Mit entsprechenden Computerprogrammen lässt sich dieser Rand wie mit einem Mikroskop mit beliebiger Vergrößerung darstellen. Die beiden einzigen künstlerischen Freiheiten, die dabei bestehen, sind die Wahl des Bildausschnittes sowie die Zuordnung von Farben zum Divergenzgrad.

Zur Untersuchung interessanter Strukturen sind häufig Vergrößerungen erforderlich, die mit hardwareunterstützten Datentypen aufgrund deren limitierter Genauigkeit nicht berechnet werden können. Manche Programme enthalten daher Langzahl-Arithmetik-Datentypen mit beliebig wählbarer Genauigkeit. Damit sind (fast) beliebige Vergrößerungsfaktoren möglich.

Praktische Berechnung

Iteration über alle Bildpunkte 
Das folgende Programmbeispiel geht davon aus, dass die Pixel des Ausgabegerätes durch Koordinaten x und y mit einem Wertebereich von 0 bis jeweils xpixels-1 und ypixels-1 adressierbar sind. Die Berechnung des dem Pixel zugeordneten komplexen Zahlenwerts c mit dem Realteil cre und dem Imaginärteil cim erfolgt durch lineare Interpolation zwischen (re_min, im_min) und (re_max, im_max).

Die maximale Anzahl von Iterationsschritten ist max_iter. Wird dieser Wert überschritten, so wird das entsprechende Pixel der Menge  zugeordnet. Der Wert von max_iter sollte mindestens 100 betragen. Bei stärkerer Vergrößerung sind zur korrekten Darstellung der Strukturen teilweise erheblich größere Werte erforderlich und damit deutlich längere Rechenzeiten.

PROCEDURE Apfel (re_min, im_min, re_max, im_max, max_betrag_2: double,
                 xpixels, ypixels, max_iter:                   integer)
  FOR y = 0 TO ypixels-1
    c_im = im_min + (im_max-im_min)*y/ypixels

    FOR x = 0 TO xpixels-1
      c_re = re_min + (re_max-re_min)*x/xpixels

      iterationen = Julia (c_re, c_im, c_re, c_im, max_betrag_2, max_iter)
      farb_wert   = waehle_farbe (iterationen, max_iter)
      plot (x, y, farb_wert)
    NEXT

  NEXT
END PROCEDURE

Iteration eines Bildpunktes 
Die Iteration von  nach  für einen Punkt  der komplexen Zahlenebene erfolgt durch die Iteration

 

die sich mittels der Zerlegung der komplexen Zahl  in ihren Realteil  und Imaginärteil  in zwei reelle Berechnungen

 
und
 

zerlegen lässt. Hier haben wir die folgende Identität benutzt:

 

Falls das Quadrat des Betrags der  Zahl, gegeben durch

 

den Wert max_betrag_2 (mindestens 2 · 2 = 4) überschreitet, wird die Iteration abgebrochen, und die Anzahl der bislang erfolgten Iterationsschritte für die Zuordnung eines Farbwertes verwendet. Falls das Quadrat des Betrags nach einer gegebenen maximalen Anzahl von Iterationsschritten den max_betrag_2 nicht überschritten hat, wird angenommen, dass die Iteration beschränkt bleibt, und die Iterationsschleife abgebrochen.

Die folgende Funktion führt die beschriebene Iteration durch. x und y sind die iterativ benutzten Variablen für die Iterationswerte; xx, yy, xy und remain_iter sind Hilfsvariablen.

 FUNCTION Julia (x, y, xadd, yadd, max_betrag_2: double, max_iter: integer): integer
   remain_iter = max_iter
   xx = x*x
   yy = y*y
   xy = x*y
   betrag_2 = xx + yy

   WHILE (betrag_2 <= max_betrag_2) AND (remain_iter > 0)
     remain_iter = remain_iter - 1
     x  = xx - yy + xadd
     y  = xy + xy + yadd
     xx = x*x
     yy = y*y
     xy = x*y
     betrag_2 = xx + yy
   END

   Julia = max_iter - remain_iter
 END FUNCTION
Wird ein kontinuierlicherer Farbverlauf gewünscht, so bietet sich alternativ die Formel

    Julia = max_iter - remain_iter - log(log(betrag_2) / log(4)) / log(2)

an, die keine ganzen, sondern reelle Werte liefert. Für die Folge mit c = 0 und dem Startwert z0 = 2 liefert diese Formel den Wert null. Es ergibt sich ferner eine von max_betrag_2 unabhängige Farbgebung, sofern dieser Wert groß gegen 1 ist.

Ein erheblicher Teil der Rechenzeit wird dort benötigt, wo die Zahlenfolge nicht divergiert. Moderne Programme bemühen sich, mit verschiedenen Verfahren die Rechenzeit für diese Stellen zu reduzieren. Eine Möglichkeit besteht darin, die Rechnung bereits abzubrechen, wenn die Zahlenfolge konvergiert ist oder sich in einem periodischen Zyklus gefangen hat. Andere Programme nutzen aus, dass jeder Punkt im Inneren einer geschlossenen Kurve, die nur Punkte aus  enthält, ebenfalls dazugehört.

Komplexe Matrizen und das Potential 

Das Ändern der Datenstruktur kann den Algorithmus vereinfachen und sogar die Rechenzeit etwas verkürzen. In den folgenden Programmbeispielen werden mit der NumPy-Programmbibliothek Berechnungen mit komplexen Matrizen durchgeführt, wodurch eine explizite Iteration über alle Bildpunkte entfällt.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

d, h = 800, 600  # Pixeldichte (= Bildbreite) und Bildhöhe
n, r = 100, 500  # Anzahl der Iterationen und Fluchtradius (r > 2)

x = np.linspace(0, 2, num=d+1)
y = np.linspace(0, 2 * h / d, num=h+1)

A, B = np.meshgrid(x - 1, y - h / d)
C = 2.0 * (A + B * 1j) - 0.5

Z = np.zeros_like(C)
T = np.zeros(C.shape)

for k in range(n):
    M = abs(Z) < r
    T[M] = T[M] + 1
    Z[M] = Z[M] ** 2 + C[M]

N = abs(Z) >= r  # Normalisierung der Iterationszahlen
T[N] = T[N] - np.log2(np.log(abs(Z[N])) / np.log(r))

plt.imshow(T ** 0.5, cmap=plt.cm.twilight_shifted, origin="lower")
plt.savefig("Mandelbrot_set.png", dpi=200)

Um die Normalisierung der Iterationszahlen zu verstehen, kann anstelle der eigentlichen Folge  mit Startwert  die vereinfachte Folge  mit Startwert  betrachtet werden. Die ersten Folgenglieder sind dann    und  ganz allgemein erhält man das Folgenglied  Betrachtet man die Iterationszahl  bei der die Folge den Fluchtradius  erreicht oder überschreitet, so gilt  und  Sucht man nun die Fluchtzeit  mit  und  so erhält man  Wegen  ist  und es gilt:

 

Somit erhält man die Fluchtzeit  durch eine nachträgliche Korrektur der Iterationszahl  Die äquivalente Gleichung  weist auf eine enge Beziehung zum Potential  hin.

Eine interessante Anwendung ist ein einfaches Beleuchtungsmodell mit Lichtstreuung an den Äquipotential-Isolinien. So lassen sich mit dem Gradienten des Potentials im Außenbereich der Mandelbrot-Menge Normalenvektoren zu den Äquipotentiallinien berechnen. Der Gradient selbst kann als eine komplexe Zahl aufgefasst werden und lässt sich so mithilfe der Ableitung  und der Konjugation darstellen. Mit dem natürlichen Logarithmus und  gilt:

 

Nach dem Lambertschen Gesetz lässt sich das an den Äquipotentiallinien gestreute Licht durch ein Skalarprodukt der Normalenvektoren und eines Vektors in Lichtrichtung bestimmen. Da die Länge der Vektoren dabei keine Rolle spielt, können die Normalenvektoren einfach durch den komplexen Quotienten  berechnet werden. Dabei ist die Division durch die Ableitung  im Außenbereich  immer möglich, da alle Nullstellen von  und  im Innenbereich  liegen (vgl. den Satz von Gauß-Lucas und die Verschärfung dieses Satzes von Jensen).

Logarithmische Projektion und Distanzschätzung 

Im folgenden Programmbeispiel wird eine logarithmische Projektion der Mandelbrot-Menge berechnet, die auch als Mercator-Projektion der riemannschen Zahlenkugel verstanden werden kann.
Durch die logarithmische Projektion kann die Erstellung von Zoom-Animationen der Mandelbrot-Menge extrem beschleunigt werden.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

d, h = 200, 1000  # Pixeldichte (= Bildbreite) und Bildhöhe
n, r = 800, 5000  # Anzahl der Iterationen und Fluchtradius (r > 2)

x = np.linspace(0, 2, num=d+1)
y = np.linspace(0, 2 * h / d, num=h+1)

A, B = np.meshgrid(x * np.pi, y * np.pi)
C = 4.0 * np.exp((A + B * 1j) * 1j) + (- 1.748764520194788535 + 3e-13 * 1j)

Z, dZ = np.zeros_like(C), np.zeros_like(C)
D = np.zeros(C.shape)

for k in range(n):
    M = Z.real ** 2 + Z.imag ** 2 < r ** 2
    Z[M], dZ[M] = Z[M] ** 2 + C[M], 2 * Z[M] * dZ[M] + 1

N = abs(Z) > 2  # Distanzschätzung des Außenbereichs
D[N] = np.log(abs(Z[N])) * abs(Z[N]) / abs(dZ[N])

plt.imshow(D.T ** 0.05, cmap=plt.cm.nipy_spectral, origin="lower")
plt.savefig("Mercator_Mandelbrot_map.png", dpi=200)

Auch bei der Distanzschätzung wird die Ableitung  benötigt. Die ersten Polynome sind    und  die zugehörigen Ableitung sind    und  Alle weiteren Polynome und Ableitungen ergeben sich aus der Iterationsvorschrift  und der Ableitungsregel  Die Schätzformel ergibt sich aus dem Potential  und dem Betrag des Gradienten  Mit dem natürlichen Logarithmus und  gilt:

 

Um die Formel einzusehen, können die vereinfachten Folgen  und  mit den Startwerten  und  betrachtet werden. Die ersten Polynome sind    und  die zugehörigen Ableitungen sind    und  Ganz allgemein erhält man so das Polynom  und die Ableitung  Die zugehörige Julia-Menge ist genau der Rand des Einheitskreises (vgl. das Beispiel zur Dynamik von  im Artikel zur Julia-Menge). Die Schätzformel ergibt

 

was in der Nähe des Einheitskreises eine gute Näherung für den Abstand  zum Rand ist:  ergibt  und  ergibt  Wenn also die wirkliche Entfernung zur Mandelbrot-Menge gleich  ist, so ergibt die Schätzformel den Wert

 

Es stimmt jedoch nicht, dass der Grenzwert  gegen die wirkliche Entfernung  konvergiert, tatsächlich gelten nur schwächere Ungleichungen. So findet man häufig einen Faktor 2 oder 0,5 in der Schätzformel, je nachdem, ob die Entfernungen über- oder unterschätzt werden.

Deep Zoom und Störungsrechnung 

Prozessoren unterstützen in Hardware die Berechnung mit typischerweise 32-bit- und 64-bit-Gleitkommazahlen. Dies ermöglicht es, in die Mandelbrot-Menge etwa um den Faktor 1012 bis 1013 hineinzuzoomen, bevor benachbarte Pixel keine unterschiedlichen Startwerte  mehr annehmen können (und damit Fehler durch Blockartefakte offensichtlich werden).

Ab diesem Punkt reicht die Genauigkeit der in Hardware implementierten Arithmetik nicht mehr aus. Man ist gezwungen, auf in Software implementierte Routinen für hochgenaue Arithmetik auszuweichen, was bei aktuellen Prozessoren zu einem immensen Geschwindigkeitseinbruch führt.

Man kann diesen deutlich durch Nutzen von Störungsrechnung reduzieren.

Dazu wird ein (möglichst nicht divergenter) Referenzpunkt  in hochgenauer Arithmetik durchgerechnet und die Referenzserie  wird aufgezeichnet:
 

Für in der direkten Nähe liegende Punkte  würde sich die Serie  ergeben:
 

Man will nun die Abweichungen  indirekt ermitteln, um die direkte Berechnung der Serie  zu vermeiden. Dabei gilt:
  für die Berechnung des Referenzpunktes und
  mit  und  für die Berechnung des Nachbarpunktes.

Setzt man ein, ergibt sich
 

Man betrachtet die beiden äußeren Terme
  und multipliziert aus
  und setzt 
  und löst die Klammern auf und kürzt
  und erhält
 

Wegen  und  ist auch . Mit der abgespeicherten Referenzserie  und  können die Abweichungen  der Reihe nach berechnet werden:
 
 
 
 
 
Solange diese Terme klein bleiben, verhält sich  ähnlich wie  Insbesondere bleibt die Serie  beschränkt, wenn die Referenzserie  und die Abweichungen  beschränkt sind.

Praktische Anwendung
Das Programm „Kalles Fraktaler“ benutzt diesen Ansatz.

Probleme
 Der verwendete Referenzpunkt sollte möglichst innerhalb der zu untersuchenden Iterationen nicht divergieren, da die Nachbarpunkte maximal bis zu dem Abbruch des Referenzpunktes untersucht werden können. Alle Punkte mit einer größeren Iterationszahl müssen erneut berechnet werden. Die Auswahl und das Verwerfen von sich als ungeeignet herausgestellten Referenzpunkten stellt eine Herausforderung dar.
 Für die Berechnung der Abweichungen  wird keine hohe Genauigkeit benötigt, allerdings ist der Wertebereich von 64-bit-Gleitkommazahlen arg limitiert. Ab etwa 10300 muss man leider mit eigenen Mathematikroutinen arbeiten, die zwar nur eine 52/64 bit-Mantisse benötigen, aber deutlich langsamer als hartkodierte Gleitkomma-Operationen sind (die aber wesentlich schneller als Berechnungen mit langen Mantissen sind).
 Man benötigt Speicherbandbreite für das Lesen der Referenzserie  Die erste Verlangsamung gibt es, wenn diese nicht mehr in den L2-Cache passt, sehr viel langsamer wird es, wenn der L3-Cache nicht mehr ausreicht und auf den RAM zugegriffen werden muss.
 Es gibt Abweichungen zwischen der nativen Iteration mit  und der Störungsrechnung basierend auf  Sieht man sich das ganze genauer an, ist die Berechnung basierend auf  meistens genauer, wenn die Referenzpunktberechnung hinreichend genau war (was mit Langzahlarithmetik für diesen einen Wert aber problemlos machbar ist).

Programmierung der zeichnerischen Methode 

Das zeichnerische Verfahren benutzt die Längen und Winkel von Vektoren, die sich auf den Nullpunkt(0,0i) und dem Imaginärpunkt(1,0i) (gelb markiert) beziehen. Ausgehend von diesen 2 Punkten kann man aus zwei  das Ergebnis  konstruieren, je nach Rechenmethode. Für die  braucht man nur die Quadrierung und die Addition. Oft wird argumentiert, dass das chaotische Verhalten von bestimmten Ziffernfolgen herrührt. Deshalb dieser Versuch ganz andere Ziffernfolgen zu erzeugen, womit solche Thesen zu überprüfen wären. Es würde sich dann ein mehr oder weniger geändertes Verhalten der Iterationsverläufe zeigen. Wird die  mit dem Imaginärpunkt bei (1,0i) erzeugt, so kann man keine Veränderungen erkennen. Bei der mathematischen  ist keine Variable für den Imaginärpunkt nötig, ist aber implizit als Konstante enthalten. Bei der zeichnerischen Iteration ist der Imaginärpunkt als Variable vorhanden. Jetzt kann aus Neugier und Spaß der Imaginärpunkt (x,yi) geändert werden. Mit anderen Werten dreht sich die  und/oder ändert die Größe. Bis auf diese zwei Eigenschaften kann keine weitere Veränderung erkannt werden. Das imaginäre Koordinatensystem (grün) bleibt bestehen. Tatsächlich könnte statt des Nullpunktes auch der Mittelpunkt der  als Variable eingeführt werden. Dann würde eine weitere Drehstreckung plus einer Verschiebung im Koordinatensystem möglich werden. Wenn diese zwei Werte nicht bei (0,0i) und (1,0i) liegen, dann müssen die Parameter aus Tabelle „Verhalten der Zahlenfolge“ entsprechend umgerechnet werden.

Im folgenden Programmcode für einen Bildpunkt wird die zeichnerische Konstruktion durch sinus() und cosinus() Funktionen nachgebildet.

Berechnungsgeschwindigkeit 
Berechnungen nahmen beim Stand der Technik Ende der 1980er Jahre viel Zeit in Anspruch. Vergleichsweise zeigt dies eine Aufstellung durch die Anzahl der Iterationen, die verschiedene CPUs pro Sekunde durchführen konnten.

Rezeption in der Öffentlichkeit 

Außerhalb der Fachwelt wurde die Mandelbrot-Menge vor allem durch den ästhetischen Wert der Computergrafiken bekannt, der durch künstlerische Farbgestaltung des Außenbereichs, der nicht zur Menge gehört, unterstützt wird. Sie erlangte durch Publikationen von Bildern in den Medien Ende der 1980er Jahre einen für ein mathematisches Thema dieser Art ungewöhnlich großen Bekanntheitsgrad und dürfte bis heute (Stand 2023) das populärste Fraktal sein, sowie auch eines der populärsten Objekte der zeitgenössischen Mathematik.

Die Mandelbrot-Menge wird als das formenreichste geometrische Gebilde bezeichnet. Sie hat Computerkünstler inspiriert und zu einem Aufschwung fraktaler Konzepte beigetragen. Dabei finden zahlreiche Modifikationen des Algorithmus Anwendung, welcher der Mandelbrot-Menge zugrunde liegt.

Ein weiterer Aspekt ist der extreme Kontrast zwischen diesem und der Einfachheit des zugrunde liegenden Algorithmus, der an biologische Systeme erinnert, bei denen nach naturwissenschaftlicher Sicht ebenfalls aus einer vergleichsweise geringen Zahl von Regeln äußerst komplexe Systeme entstehen können, sowie die Nähe zur Chaosforschung, die ebenfalls in der Öffentlichkeit großes Interesse geweckt hatte.

Die Bezeichnung ,Apfelmännchen‘ leitet sich von der geometrischen Grobform einer um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedrehten Mandelbrot-Menge her.

Der US-amerikanische Musiker Jonathan Coulton hat ein Lied über die Mandelbrot-Menge veröffentlicht, in dem Benoît Mandelbrot dafür gedankt wird, dass er Ordnung in das Chaos gebracht habe.

Anmerkungen

Siehe auch 
 Buddhabrot
 Mandelbulb

Literatur 
 Benoît Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. ISBN 3-7643-2646-8.
 John Briggs, F. David Peat: Die Entdeckung des Chaos. ISBN 3-446-15966-5.
 Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. ISBN 0-387-15851-0.
 Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe: The Science of Fractal Images. ISBN 0-387-96608-0.
 Karl Günter Kröber: Das Märchen vom Apfelmännchen – 1. Wege in die Unendlichkeit. ISBN 3-499-60881-2.
 Karl Günter Kröber: Das Märchen vom Apfelmännchen – 2. Reise durch das malumitische Universum. ISBN 3-499-60882-0.
 Dierk Schleicher: On Fibers and Local Connectivity of Mandelbrot and Multibrot Sets, in: M.Lapidus, M. van Frankenhuysen (eds): Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 72, American Mathematical Society (2004), 477–507, 1999, pdf

Weblinks

Einzelnachweise 

Komplexe Dynamik
Wikipedia:Artikel mit Video