Distribuzione esponenziale

In teoria delle probabilità la distribuzione esponenziale è una distribuzione di probabilità continua che descrive la "durata di vita" di un fenomeno che non invecchia (ossia la distribuzione esponenziale è priva di memoria). Un esempio è la durata di vita di una particella radioattiva prima di decadere oppure la durata della richiesta di un servizio; dunque essa è in relazione al tempo di attesa del primo successo, in fenomeni aleatori con distribuzione geometrica. 

La distribuzione esponenziale (o di Laplace) può dedursi anche come la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria definita come somma dei quadrati di due variabili aleatorie normali standardizzate (ossia con valore atteso zero e varianza unitaria); dunque è banalmente riconducibile anche a un caso particolare di distribuzione del chi-quadro, essendo, quest'ultima, la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria costruita come la somma dei quadrati di n variabili aleatorie indipendenti normali e standardizzate.

Definizione 
La distribuzione esponenziale , con parametro , ha funzione di densità di probabilità:

Proprietà 

Il parametro  dev'essere positivo affinché l'integrale della funzione di densità sui reali sia

Assenza di memoria 
Una variabile aleatoria  con distribuzione esponenziale di parametro  ha funzione di ripartizione

In particolare la formula  implica la mancanza di memoria:

Viceversa, se una distribuzione di probabilità continua sui numeri reali positivi è priva di memoria, ovvero rispetta  per ogni scelta di  e di  allora vale la relazione  per ogni  razionale positivo o persino, grazie alla continuità della funzione di ripartizione, per ogni  reale positivo; in particolare prendendo  si trova proprio

Fra le distribuzioni di probabilità discrete, invece, ogni distribuzione priva di memoria è una distribuzione geometrica.

Caratteristiche 
Una variabile aleatoria con distribuzione esponenziale di parametro  ha
 valore atteso ,
 varianza ,
 funzione caratteristica 
 funzione generatrice dei momenti 
 indici di asimmetria e di curtosi  e .
 generici momenti centrali   dove  è il sub-fattoriale di .

I suoi quantili si possono ricavare invertendo la funzione di ripartizione:

;
in particolare i suoi quartili (e la mediana) sono
, , .

Distribuzioni 
Il minimo  tra  variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni esponenziali di parametri  è ancora una variabile aleatoria con distribuzione esponenziale, di parametro .

Il parallelo della distribuzione esponenziale, come distribuzione priva di memoria, tra le distribuzioni di probabilità discrete è la distribuzione geometrica.
In particolare, se  segue la distribuzione esponenziale  allora per ogni  la variabile aleatoria  (parte intera) segue la distribuzione geometrica :

La distribuzione di Poisson  descrive il numero di eventi successivi intercorsi in un intervallo di tempo, dove i tempi di attesa tra due eventi successivi sono indipendenti e regolati dalla distribuzione esponenziale di medesimo parametro .

La distribuzione esponenziale  corrisponde alla distribuzione chi quadrato con due gradi di libertà, .

La distribuzione di Laplace di parametri  governa la variabile aleatoria , dove  sono due variabili aleatorie indipendenti con la medesima distribuzione esponenziale .

La distribuzione Gamma generalizza la distribuzione esponenziale:  coincide con . In particolare, la somma  di  variabili aleatorie indipendenti di medesima legge esponenziale con parametro  segue la distribuzione Gamma . Inoltre nell'inferenza bayesiana se il parametro  di una distribuzione esponenziale segue, a priori di un'osservazione, una distribuzione Gamma, allora segue una distribuzione Gamma anche a posteriori.

Applicazioni

Radioattività 
Il tempo di decadimento di un isotopo radioattivo viene solitamente modellato in funzione della sua vita media tramite la distribuzione esponenziale .

In questo quadro il parametro  è detto costante di decadimento; la speranza di vita è proprio .

Con questo modello si possono ad esempio calcolare le probabilità che l'isotopo decada in meno della metà del tempo medio,
,
o in più del doppio di questo tempo
.
Tramite la formula per i quantili si trova ad esempio che solo con probabilità di un ventesimo l'isotopo decadrà in più di
.
Ciononostante un osservatore che non abbia ancora visto decadere l'isotopo dopo un tempo di  si ritrova nuovamente nelle condizioni iniziali, a causa dell'assenza di memoria; dovrà quindi aspettare mediamente un tempo  prima del decadimento.

In un campione con un numero di isotopi molto grande (come avviene solitamente), le probabilità di ogni singolo isotopo (indipendente dagli altri) si possono tradurre in percentuali del campione. 
Ad esempio, il tempo medio dopo il quale metà dei campioni decadono (emivita o tempo di dimezzamento) è dato dalla mediana .

Voci correlate 
 Decadimento esponenziale
 Distribuzione geometrica
 Distribuzione di Poisson
 Funzione esponenziale
 Mancanza di memoria

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Esponenziale
Statistica computazionale