Tensore energia impulso

Il  tensore energia-impulso, anche detto tensore energia-quantità di moto, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate a un campo.

Definizione
Il tensore energia impulso è il tensore  del secondo ordine che fornisce il flusso della componente -esima della quantità di moto attraverso una ipersuperficie  con coordinate  costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso , e dunque:

dove  è un termine costante. Eseguendo l'integrale sull'iperpiano  si ha l'impulso in tre dimensioni:

con  l'elemento di spazio tridimensionale e  il volume contenuto in .

Le componenti spaziali del tensore sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce: esso rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.

Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità:

Infatti, esso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo, e in relatività generale questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo curvo l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo significa che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.

Il tensore è inoltre simmetrico:

e la componente temporale è la densità di massa relativistica , cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie  è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:

Le componenti spaziali di  rappresentano dunque il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie . In particolare,  rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre  rappresenta lo sforzo di taglio.

Derivazione

Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:

dove  è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume , funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero , e quindi:

Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:

dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:

si ottiene:

Dato che , si definisce il tensore energia impulso come:

in modo che l'espressione assume la forma:

Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:

dove  è il quadrimpulso del sistema e  un termine costante che si pone solitamente pari a : la relazione stabilisce che  si conserva.

Conservazione dell'energia
Scrivendo in modo esplicito le derivate dell'equazione di continuità  si hanno le espressioni:

Integrando l'equazione a sinistra sul volume  e utilizzando il teorema della divergenza si ottiene:

Il primo termine è la variazione dell'energia contenuta nel volume , il terzo rappresenta quindi la quantità di energia che fuoriesce dalla superficie che delimita il volume, quantificata come l'integrale su tutta la superficie del flusso infinitesimo attraverso l'elemento di superficie . In elettrodinamica, la densità del flusso dell'energia associata al campo elettromagnetico è data dal vettore di Poynting.

Applicando il medesimo procedimento alle componenti spaziali del tensore si ottiene l'analoga equazione di continuità per l'impulso: per tale motivo le componenti spaziali del tensore energia-impulso costituiscono il tensore degli sforzi.

Il tensore energia impulso del campo elettromagnetico

Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico in un punto-universo privo di carica, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo di Minkowski piatto (ossia nell'approssimazione di campo (elettromagnetico e di altra natura) di debole intensità) come:

dove  è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita (tensore simmetrico) è:

dove  è il vettore di Poynting,  il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

e  il tensore degli sforzi di Maxwell:

Si noti che  dove c è la velocità della luce.

Il tensore energia-impulso associato al campo elettromagnetico puro in un punto-universo privo di carica in relatività generale entra nell'equazione di campo di Einstein nella quale il tensore energia-impulso deve contenere anche tutte le influenze dovute alla massa e agli altri campi presenti nell'universo.

Note

Bibliografia 
 
 
 Leonardo Ricci, "History of science:  Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005.
 Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007.
 Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925.

Voci correlate 
 Azione (fisica)
 Campo elettromagnetico
 Equazione di continuità
 Principio variazionale di Hamilton
 Quadrimpulso
 Tensore degli sforzi elettromagnetico
 Teorema di Noether
 Vettore di Poynting

Collegamenti esterni 
 
 
 
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Tensori nella relatività generale