Einheit (Mathematik)

In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, wird ein invertierbares Element eines Monoids als Einheit bezeichnet. Einheiten werden vor allem in unitären Ringen betrachtet.

Definition 
Sei  ein Monoid, wobei mit  das neutrale Element bezeichnet wird. 
Dann heißt ein Element  eine Einheit, wenn es invertierbar ist, also wenn es ein  gibt mit
.
Das Element  mit dieser Eigenschaft ist eindeutig bestimmt und wird als das inverse Element von  bezeichnet und oft als  notiert.

Elemente, die keine Einheiten sind, werden oft als Nichteinheiten bezeichnet.

Die Menge  aller Einheiten eines Monoids, also

bildet eine Gruppe, die Einheitengruppe von . Eine weitere übliche Bezeichnung für die Einheitengruppe ist .

Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen 
Sei  ein unitärer Ring, also ein Ring mit einem neutralen Element bezüglich der Multiplikation, das mit  bezeichnet wird. Dann ist  ein Monoid und damit ist der Begriff der Einheit für einen unitären Ring definiert und ist gerade die Menge der invertierbaren Elemente.

Beispiele 
  ist immer eine Einheit, denn .
  ist in einem Ring genau dann eine Einheit, wenn der Ring der Nullring ist.
 In einem Körper  ist . Das heißt, in einem Körper ist außer 0 jedes Element eine Einheit. Allgemein werden vom Nullring verschiedene Ringe, in denen außer  alle Elemente Einheiten sind, als Schiefkörper bezeichnet.
 Im Polynomring über einem Integritätsring  gilt . Insbesondere erhält man  für einen Körper . Die Einheiten entsprechen hier genau den Polynomen mit Grad null.
 Die Einheiten im Ring der formalen Potenzreihen  über einem kommutativen Ring  sind genau die Potenzreihen, deren Absolutglied  eine Einheit in  ist.
 Für einen unitären Ring  ist die Einheitengruppe im Matrizenring  die allgemeine lineare Gruppe  bestehend aus den regulären Matrizen.
 Im Ring  der ganzen Zahlen gibt es nur die Einheiten  und .
 Im Ring  der ganzen gaußschen Zahlen gibt es die vier Einheiten .
 Im Ring  gibt es unendlich viele Einheiten. Es ist  und damit sind auch alle  für  Einheiten.
 Die letzten beiden Ringe sind Beispiele für Ganzheitsringe quadratischer Zahlkörper. Bei diesen sind die Erzeuger der Einheitengruppe bekannt. Über allgemeineren Zahlkörpern trifft der dirichletsche Einheitensatz eine schwächere Aussage über die Struktur der Einheiten.

Eigenschaften 
 Einheiten in unitären Ringen sind nie Nullteiler.
 Sind  Einheiten, dann sind auch  und  Einheiten. Daraus folgt, dass die Einheitengruppe tatsächlich eine Gruppe ist.
 Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Integritätsrings sind stets zyklisch.
 Jede Nichteinheit eines kommutativen unitären Rings liegt in einem maximalen Ideal. Insbesondere ist die Einheitengruppe gerade das Komplement der Vereinigung aller maximaler Ideale und ein Ring hat genau dann nur ein maximales Ideal, ist also ein lokaler Ring, wenn die Nichteinheiten ein Ideal bilden.

Verallgemeinerung: Links- und Rechtseinheiten 
Ist das Monoid  nicht kommutativ, so können auch einseitige Einheiten betrachtet werden
 Ein Element , das die Bedingung  für ein Element  erfüllt, heißt Linkseinheit.
 Ein Element , das die Bedingung  für ein Element  erfüllt, heißt Rechtseinheit.
Ein Element  ist genau dann eine Einheit, wenn es gleichzeitig eine Linkseinheit und eine Rechtseinheit ist. In einem kommutativen Monoid stimmen die drei Begriffe überein.  bleibt auch im nicht-kommutativen Fall eine beidseitige Einheit.

Beispiel 
Der folgende Ring  enthält eine Linkseinheit , die ein Rechtsnullteiler ist, und eine Rechtseinheit , die ein Linksnullteiler ist; damit ist  keine Rechtseinheit und  keine Linkseinheit.

Mit  bezeichnen wir die Matrizen der Größe „abzählbar mal abzählbar“ mit Komponenten in den reellen Zahlen. Sei  genau jene Teilmenge von , bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nichtnulleinträge stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nichtnulleinträge enthalten sein).  ist ein Ring mit der gewöhnlichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation. (Die Multiplikation ist wohldefiniert, gerade weil durch die Bedingung an die Zeilen und Spalten die im Prinzip unendliche Summe für den --Eintrag  des Produkts in tatsächlich endlich ist.) Die Einheitsmatrix  hat Einsen auf der Hauptdiagonalen und enthält sonst Nullen, sie ist das Einselement von  (das neutrale Element der Multiplikation).

Sei  die Matrix in , die in der ersten oberen Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen und , die Transponierte von , d. h. die Matrix, die in der ersten unteren Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen:

Es gilt , somit ist  eine Linkseinheit und  eine Rechtseinheit.
Für jedes Element  hat aber das Produkt  in der ersten Spalte ausschließlich Nullen und das Produkt  in der ersten Zeile ausschließlich Nullen. Damit kann  keine Rechtseinheit und  keine Linkseinheit sein: Konkret, mit der Matrix , die die Komponente  und sonst nur Nullen enthält, gilt  und , also ist  ein Linksnullteiler und  ein Rechtsnullteiler.

Eine funktionalanalytische Variante dieses Beispiels ist der unilaterale Shiftoperator.

Literatur 
 Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6.
 Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. 3. Auflage. Springer, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02220-4, S. 147.
 Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40532-7, III, §2.
 Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-8274-3011-3.

Einzelnachweise 

Algebra