Primzahl

Eine Primzahl (von ) ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat (und somit größer als 1 ist). Dabei bedeutet  speziell „Anfang, das Erste (der Dinge)“, sodass eine „Anfangszahl“ gemeint ist, die aus keiner anderen natürlichen Zahl multiplikativ konstruiert werden kann.

Die Menge der Primzahlen wird in der Regel mit dem Symbol  bezeichnet. Man weiß durch den Satz des Euklid seit der Antike, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Mit  verknüpft ist die Folge  der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen, die man auch Primzahlfolge nennt.

Die Primzahlen lassen sich unter anderem mit Hilfe der Teileranzahlfunktion  definieren
 

Es ist demnach

 

mit

  ().

Die Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf drei Folgerungen aus ihrer Definition:
 Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl, die größer als 1 und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Zum Beweis dient das
 Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist mindestens einer der Faktoren durch sie teilbar.
 Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen.

Diese Eigenschaften werden in der Algebra für Verallgemeinerungen des Primzahlbegriffs genutzt.

Eine Zahl, die das Produkt von zwei oder mehr Primfaktoren ist, nennt man zusammengesetzt. Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. Alle anderen natürlichen Zahlen sind eines von beiden, entweder prim (also Primzahl) oder zusammengesetzt.

Schon im antiken Griechenland interessierte man sich für die Primzahlen und entdeckte einige ihrer Eigenschaften. Obwohl Primzahlen seit damals stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind viele die Primzahlen betreffenden Fragen bis heute ungeklärt, darunter solche, die mehr als hundert Jahre alt und leicht verständlich formulierbar sind. Dazu gehören die Goldbachsche Vermutung, wonach außer 2 jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, und die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist).

Primzahlen und ihre Eigenschaften spielen in der Kryptographie eine große Rolle, weil Primfaktoren auch mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen nicht effizient gefunden werden können.
Andererseits ermöglichen diese Maschinen eine effiziente Verschlüsselung sowie, wenn man den Schlüssel kennt, Entschlüsselung auch langer Texte.

Eigenschaften von Primzahlen 

Die Primzahlen sind innerhalb der Menge  der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert, dass jede von ihnen genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.

Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen  ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich außer durch sich selbst und 1 auch noch (mindestens) durch 2 teilen. Damit hat jede Primzahl außer 2 die Form  mit einer natürlichen Zahl .

Jede Primzahl  lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form “ oder „Primzahl der Form “ zuordnen, wobei  eine natürliche Zahl ist. Von den ersten  Primzahlen  haben  die Form  und  die Form . Setzt man die Primzahlfolge fort, so nähern sich die Anteile beider Formen dem Wert .

Jede Primzahl  lässt sich zudem einer der beiden Klassen „Primzahl der Form “ oder „Primzahl der Form “ zuordnen, wobei  eine natürliche Zahl ist.

Darüber hinaus hat jede Primzahl  die Form  oder , wobei  eine natürliche Zahl ist. Ferner endet jede Primzahl  auf eine der vier Dezimalziffern  oder . Nach dem Dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser Klassen unendlich viele Primzahlen.

Jede natürliche Zahl der Form  mit einer nichtnegativen ganzen Zahl  enthält mindestens einen Primfaktor der Form . Eine entsprechende Aussage über Zahlen der Form  oder Primfaktoren der Form  ist nicht möglich.

Eine Primzahl  lässt sich genau dann in der Form  mit ganzen Zahlen  schreiben, wenn  die Form  hat (Zwei-Quadrate-Satz). In diesem Fall ist die Darstellung im Wesentlichen eindeutig, d. h. bis auf Reihenfolge und Vorzeichen von . Diese Darstellung entspricht der Primfaktorzerlegung
 
im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen.

Die Zahl −1 ist quadratischer Rest modulo jeder Primzahl der Form  und quadratischer Nichtrest modulo jeder Primzahl der Form .

Eine Primzahl  lässt sich zudem genau dann eindeutig in der Form  mit ganzen Zahlen  schreiben, wenn  die Form  hat.

Ist eine Zahl  durch keine Primzahl  teilbar, so ist  eine Primzahl (siehe Abschnitt Primzahltests und Artikel Probedivision).

Der kleine Satz von Fermat 

Es sei  eine Primzahl. Für jede ganze Zahl , die nicht durch  teilbar ist, gilt (für die Notation siehe Kongruenz):

 

Für nicht durch  teilbare Zahlen  ist die folgende Formulierung äquivalent:

 

Es gibt Zahlen , die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch zu einer Basis  wie Primzahlen verhalten, d. h., es ist . Solche  nennt man Fermatsche Pseudoprimzahlen zur Basis . Ein , das Fermatsche Pseudoprimzahl bezüglich aller zu ihm teilerfremden Basen  ist, nennt man Carmichael-Zahl.

In diesem Zusammenhang zeigt sich die Problematik Fermatscher Pseudoprimzahlen: Sie werden von einem Primzahltest, der den kleinen Satz von Fermat nutzt (Fermatscher Primzahltest), fälschlicherweise für Primzahlen gehalten. Wenn allerdings ein Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine zusammengesetzte Zahl statt einer Primzahl verwendet, ist die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb müssen bei solchen Verfahren bessere Primzahltests verwendet werden.

Euler und das Legendre-Symbol 

Eine einfache Folge aus dem kleinen Satz von Fermat ist: Für jede ungerade Primzahl  und jede ganze Zahl , die nicht durch  teilbar ist, gilt entweder

 

oder

 

Man kann zeigen, dass der erste Fall genau dann eintritt, wenn es eine Quadratzahl gibt, die kongruent zu  modulo  ist, siehe Legendre-Symbol.

Binomialkoeffizient 

Für Primzahlen  und  gilt

 

Zusammen mit dem binomischen Satz folgt daraus

 

Für ganze Zahlen  folgt diese Aussage auch direkt aus dem kleinen Fermatschen Satz, aber sie ist beispielsweise auch für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten anwendbar; im allgemeinen Kontext entspricht sie der Tatsache, dass die Abbildung  in Ringen der Charakteristik  ein Homomorphismus ist, der sogenannte Frobenius-Homomorphismus.

Aus dem Satz von Wilson ( ist genau dann eine Primzahl, wenn  ist) folgt, dass für jede Primzahl  und jede natürliche Zahl  die Kongruenz

 

erfüllt ist.

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl  diese Kongruenz gilt:

 

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829–1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl  die folgende Kongruenz gilt:

Giuga 

Aus dem kleinen Satz von Fermat folgt, dass für eine Primzahl  gilt:

 

Beispiel :

 

Giuseppe Giuga vermutete, dass auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt, dass also eine Zahl mit dieser Eigenschaft stets prim ist. Es ist nicht geklärt, ob diese Vermutung richtig ist. Bekannt ist aber, dass ein Gegenbeispiel mehr als 10.000 Dezimalstellen haben müsste. Im Zusammenhang mit Giugas Vermutung werden die Giuga-Zahlen untersucht.

Lineare Rekursionen 

Den kleinen Fermatschen Satz kann man auch in der Form lesen: In der Folge  ist für eine Primzahl  das -te Folgenglied stets durch  teilbar. Ähnliche Eigenschaften besitzen auch andere Folgen von exponentiellem Charakter, wie die Lucas-Folge () und die Perrin-Folge (). Für andere lineare Rekursionen gelten analoge, aber kompliziertere Aussagen, beispielsweise für die Fibonacci-Folge : Ist  eine Primzahl, so ist  durch  teilbar. Dabei ist

 

das Legendre-Symbol.

Divergenz der Summe der Kehrwerte 

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent. Somit gilt:

 

Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die durch  definierte Folge keinen endlichen Grenzwert besitzt, was wiederum bedeutet, dass  jede reelle Zahl übertreffen kann, indem man  groß genug wählt. Dies ist zunächst einmal verblüffend, da die Primzahllücken im Schnitt immer weiter zunehmen. Der Satz von Mertens trifft eine Aussage über das genaue Wachstumsverhalten dieser divergenten Reihe.

Primzahltests 

Ob eine beliebige natürliche Zahl prim ist, kann mit einem Primzahltest herausgefunden werden. Es gibt mehrere solcher Verfahren, die sich auf besondere Eigenschaften von Primzahlen stützen. In der Praxis wird der Miller-Rabin-Test am häufigsten verwendet, der eine extrem kurze Laufzeit hat, allerdings mit kleiner Wahrscheinlichkeit falsch-positive Ergebnisse liefert. Mit dem AKS-Primzahltest ist es möglich, über die Primalität ohne Gefahr eines Irrtums in polynomieller Laufzeit zu entscheiden. Allerdings ist er in der Praxis deutlich langsamer als der Miller-Rabin-Test.

Primzahlzertifikat 

Herauszufinden, ob eine natürliche Zahl prim ist oder nicht, kann sehr aufwändig sein. Zu jeder Primzahl lässt sich aber eine Kette von Behauptungen angeben, die alle unmittelbar nachvollziehbar sind, zusammen die Primalität belegen und deren Gesamtlänge höchstens proportional ist zum Quadrat der Länge der Primzahl. Ein solcher Beleg wird Zertifikat () genannt.

Bei der Zusammengesetztheit (Nichtprimalität) einer Zahl ist der Unterschied zwischen Beleg und Finden eines Belegs noch augenfälliger: Als Beleg genügen zwei Faktoren, deren Produkt die zusammengesetzte Zahl ergibt; das Finden eines echten Teilers kann aber sehr viel Aufwand bedeuten.

Größte bekannte Primzahl 

Der Grieche Euklid hat im vierten Jahrhundert vor Christus logisch geschlussfolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese Aussage wird als Satz von Euklid bezeichnet. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes (Elemente, Buch IX, § 20): Ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, lässt sich eine weitere Zahl konstruieren, die eine bisher nicht bekannte Primzahl als Teiler hat oder selbst eine Primzahl ist, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt. Somit kann eine endliche Menge niemals alle Primzahlen enthalten, also gibt es unendlich viele. Heute kennt man eine ganze Reihe von Beweisen für den Satz von Euklid.

Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen generiert – deshalb gab es stets eine jeweils größte bekannte Primzahl, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen. Derzeit (Stand: Dezember 2018) ist es  eine Zahl mit 24.862.048 (dezimalen) Stellen, die am 7. Dezember 2018 berechnet wurde. Für den Entdecker Patrick Laroche gab es für den Fund 3.000 US-Dollar vom Projekt Great Internet Mersenne Prime Search, das Mersenne-Primzahlen mittels verteiltem Rechnen sucht.

Die größte bekannte Primzahl war fast immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form  da in diesem Spezialfall der Lucas-Lehmer-Test angewendet werden kann, ein im Vergleich zur allgemeinen Situation sehr schneller Primzahltest. Bei der Suche nach großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen dieses oder eines ähnlich geeigneten Typs auf Primalität untersucht.

Liste der Rekordprimzahlen nach Jahren

Verteilung und Wachstum

Pi-Funktion und Primzahlsatz 

Zur Untersuchung der Verteilung der Primzahlen betrachtet man unter anderem die Funktion

 ,

die die Anzahl der Primzahlen  angibt und auch Primzahlzählfunktion genannt wird.
Zum Beispiel ist

 .

Diese Funktion und ihr Wachstumsverhalten ist ein beliebter Forschungsgegenstand in der Zahlentheorie. Mit der Zeit wurden einige Näherungsformeln entwickelt und verbessert.

Der Primzahlsatz besagt, dass

 

gilt, das heißt, dass der Quotient von linker und rechter Seite für  gegen 1 strebt:

  (siehe Asymptotische Analyse)

Der Dirichletsche Primzahlsatz dagegen schränkt die Betrachtung auf Restklassen ein: Es sei  eine natürliche Zahl. Ist  eine ganze Zahl, die zu  nicht teilerfremd ist, so kann die arithmetische Folge

 

höchstens eine Primzahl enthalten, weil alle Folgenglieder durch den größten gemeinsamen Teiler von  und  teilbar sind. Ist  aber teilerfremd zu , so besagt der Dirichletsche Primzahlsatz, dass die Folge unendlich viele Primzahlen enthält. Beispielsweise gibt es unendlich viele Primzahlen der Form  und unendlich viele der Form  ( durchläuft jeweils die nichtnegativen natürlichen Zahlen).

Diese Aussage kann noch in der folgenden Form präzisiert werden: Es gilt:

 

Dabei ist  die Eulersche Phi-Funktion. In diesem Sinne liegen also für ein festes  in den Restklassen  mit  jeweils „gleich viele“ Primzahlen.

Schranken 

Die (bewiesene) Bonsesche Ungleichung garantiert, dass das Quadrat einer Primzahl kleiner ist als das Produkt aller kleineren Primzahlen (ab der fünften Primzahl).

Nach der (unbewiesenen) Andricaschen Vermutung ist die Differenz der Wurzeln der -ten und der -ten Primzahl kleiner als 1.

Abschätzungen zu Primzahlen und Folgerungen aus dem Primzahlsatz 

Im Folgenden sei die Folge der Primzahlen mit  bezeichnet.

Abschätzungen 

Für Indizes  gelten folgende Abschätzungen:
 (1a)
 
 (1b)
  für 
 (1c)
  für 
 (1d)
 
 (1e)
  für

Folgerungen aus dem Primzahlsatz 

Mit dem Primzahlsatz ergeben sich folgende Resultate:

 (2a)
 
 (2b)
  für 
 (2c)
Für jede positive reelle Zahl  existiert eine Folge  von Primzahlen mit
 .
 (2d)
Die Menge der aus allen Primzahlen gebildeten Quotienten ist eine dichte Teilmenge der Menge aller positiven reellen Zahlen. D. h.: Für beliebige positive reelle Zahlen  mit  existieren stets Primzahlen , sodass
 

erfüllt ist.

Primzahllücken 

Die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen heißt Primzahllücke. Diese Differenz schwankt, und es gibt Primzahllücken beliebiger Größe. Es gibt aber auch Beschränkungen für die Lückengröße in Abhängigkeit von ihrer Lage.

Weitere Aussagen über Primzahl-Verteilungen 

 Der Satz von Bertrand sichert die Existenz einer Primzahl zwischen jeder natürlichen Zahl  und ihrem Doppelten .

 Nach der (unbewiesenen) Legendreschen Vermutung gibt es stets mindestens eine Primzahl zwischen  und .

Die Legendresche Vermutung stellt eine notwendige Bedingung für die nachfolgende (ebenfalls unbewiesene) Vermutung dar:

 Gegeben sei eine Primzahl . Die natürlichen Zahlen  bis  seien zeilenweise aufsteigend quadratisch angeordnet wie in der Abbildung für die ersten fünf Primzahlen  und  dargestellt.

 Dann gibt es zu jeder solchen quadratischen Anordnung eine Auswahl von  Primzahlen, so dass sich in jeder Zeile und jeder Spalte genau eine Primzahl befindet.

 Daraus, dass sich in der letzten Zeile einer jeden quadratischen Anordnung mindestens eine Primzahl befinden muss, lässt sich die Legendresche Vermutung folgern.

Generierung von Primzahlen 

Einer der ältesten Algorithmen zur Bestimmung von Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes. Bis heute ist kein effizienter Primzahlgenerator bekannt. Es gibt allerdings Formeln, bei denen eine gewisse Wahrscheinlichkeit besteht, dass die erzeugten Zahlen prim sind. Solche Zahlen müssen nachträglich noch auf ihre Primalität getestet werden.

Spezielle Primzahlen und Primzahlkonstellationen 

 Primzahltupel
 Ulam-Spirale

Weitere spezielle Arten von Primzahlen finden sich in der :Kategorie:Primzahl.

Verallgemeinerung 

In der Ringtheorie wird das Konzept der Primzahl auf gewisse Elemente eines beliebigen kommutativen unitären Rings verallgemeinert. Die entsprechenden Begriffe sind Primelement und irreduzibles Element.

Die Primzahlen und deren Negative sind dann genau die Primelemente und auch genau die irreduziblen Elemente des Rings der ganzen Zahlen. In faktoriellen Ringen, das sind Ringe mit eindeutiger Primfaktorisierung, fallen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element zusammen; im Allgemeinen ist die Menge der Primelemente jedoch nur eine Teilmenge der Menge der irreduziblen Elemente.

Insbesondere im zahlentheoretisch bedeutsamen Fall der Dedekindringe übernehmen Primideale die Rolle der Primzahlen.

Primfaktorzerlegung 

Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede ganze Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Man nennt sie die Primfaktoren der Zahl.

Weil sich jede natürliche Zahl größer als 0 durch Multiplikation von Primzahlen darstellen lässt, nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein, sie „erzeugen“ gewissermaßen alle anderen natürlichen Zahlen – die Eins als leeres Produkt. Alexander K. Dewdney bezeichnete sie als den Elementen der Chemie weitgehend ähnlich.

Daraus wird auch klar, warum es unzweckmäßig ist, die Eins als Primzahl zu definieren: Sie ist das neutrale Element der Multiplikation und kann somit multiplikativ keine weiteren Zahlen erzeugen. Sie wird für die Darstellung der Zahlen als Produkt von Primfaktoren nicht benötigt. Würde man die 1 zu den Primzahlen zählen, verlöre sich darüber hinaus die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, weil man an jede Zerlegung beliebig viele Einsen anhängen kann, ohne den Wert der Zahl zu ändern.

Man hat eine Reihe von Faktorisierungsverfahren entwickelt, um die Primfaktoren von allgemeinen Zahlen oder auch solchen von spezieller Form möglichst schnell zu bestimmen. Man kennt aber bisher keine Methode, um beliebige Zahlen effizient zu faktorisieren, d. h. in einer Zeit, die höchstens polynomiell mit der Länge der gegebenen Zahl wächst. Die Faktorisierungsannahme besagt, dass es eine solche Methode auch nicht gibt.

Anwendung und Auftreten von Primzahlen

Primzahlen in der Natur 

Manche Tier- und Pflanzenarten (z. B. bestimmte Zikaden oder Fichten) vermehren sich in Zyklen von Primzahlen (etwa alle 11, 13 oder 17 Jahre) besonders stark, um es Fressfeinden zu erschweren, sich auf das massenhafte Auftreten einzustellen.

Primzahlen in der Informatik 

Bei der Informationssicherheit und insbesondere bei der Verschlüsselung von Nachrichten (siehe Kryptographie) spielen Primzahlen eine wichtige Rolle. Sie werden oft in asymmetrischen Kryptosystemen wie etwa Public-Key-Verschlüsselungsverfahren eingesetzt. Wichtige Beispiele sind der Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch, das RSA-Kryptosystem, das unter anderem bei OpenPGP zum Einsatz kommt, das Elgamal-Kryptosystem und das Rabin-Kryptosystem. Dabei werden die Schlüssel aus großen, zufällig erzeugten Primzahlen berechnet, die geheim bleiben müssen.

Solche Algorithmen basieren auf Einwegfunktionen, die schnell ausführbar sind, deren Umkehrung aber mit der aktuell bekannten Technologie praktisch unmöglich zu berechnen ist. Neue Informationstechnologien, zum Beispiel Quantencomputer, könnten das aber ändern. Das ungelöste P-NP-Problem steht damit in Zusammenhang.

Warum 1 keine Primzahl ist 

Seit hunderten von Jahren diskutieren Mathematiker, ob die Zahl 1 als Primzahl anzusehen ist. Bei dieser Frage handelt es sich nicht um eine mathematische Aussage oder Feststellung, sondern um eine Definition. Definitionen werden intuitiv und/oder pragmatisch begründet; sie sind subjektiv, können aber hinsichtlich ihrer Nützlichkeit durchaus objektiv bewertet werden. Eine gute Definition ist an sich leicht und intuitiv verständlich (d. h. naheliegend) und macht auch die Formulierung von Theoremen leicht und intuitiv verständlich (d. h., sie ist nützlich).

Die Frage, ob 1 eine Primzahl ist, hängt also davon ab, was wir unter dem Begriff Primzahl intuitiv verstehen wollen und wie nützlich die Definition des Begriffs dann für die Formulierung von Theoremen ist.

Der bedeutende Mathematiker Godfrey Harold Hardy bezeichnete zum Beispiel noch im Jahr 1908 die Zahl 1 als Primzahl, aber spätestens im Jahr 1929 nicht mehr. Generell gilt seit dem 20. Jahrhundert unter den allermeisten Mathematikern die Übereinkunft, die Zahl 1 nicht zu den Primzahlen zu zählen.

Das Argument, dass 1 in der Tat eine Primzahl sein sollte, ist:
 Jede Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.Anders formuliert: Jede Primzahl hat höchstens zwei Teiler; konkret einen einzigen Teiler für den Fall, dass die Zahl 1 ist, und zwei verschiedene Teiler für den Fall, dass es sich um eine andere Primzahl handelt.

Argumente dagegen, dass also 1 keine Primzahl ist, sind:
 Jede Primzahl hat genau zwei Teiler (die Zahl 1 und sich selbst), wobei genau zwei konkret bedeutet, dass die Teiler wirklich unterschiedlich sind. Hieran erkennt man, dass das obige Dafür-Argument vielmehr eine unsaubere Wiedergabe dieser Idee entspricht.
 Ein besonders wichtiger Satz in der Mathematik ist die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Wäre  eine Primzahl, so hätte zum Beispiel die zusammengesetzte Zahl  viele verschiedene Primfaktorzerlegungen, zum Beispiel .
 Damit hätte plötzlich jede Zahl unendlich viele verschiedene Primfaktorzerlegungen und man müsste die Voraussetzungen für diesen wichtigen Satz anders formulieren, damit die Eindeutigkeit wieder gegeben ist. Die Vieldeutigkeit ergibt sich speziell in diesem Zusammenhang daraus, dass die Zahl 1 das neutrale Element der Multiplikation ist, wodurch ihre Nutzung deswegen hierbei unsinnig wird.
 Wenn man zwei Primzahlen miteinander multipliziert, erhält man stets eine zusammengesetzte Zahl, also eine Zahl, die aus mindestens zwei Primfaktoren besteht. Wäre 1 eine Primzahl, könnte man sie zum Beispiel mit einer Primzahl multiplizieren und würde als Produkt wieder eine Primzahl und keine zusammengesetzte Zahl erhalten. Man müsste also die Definition der zusammengesetzten Zahl wesentlich umständlicher fassen.
 Das Sieb des Eratosthenes braucht eine Sonderbehandlung für 1, da man andernfalls als ersten Schritt alle Vielfachen von 1 streichen würde, womit keine einzige andere Zahl mehr übrig bleiben würde außer der 1.
 Für alle Primzahlen  ist die Eulersche Phi-Funktion . Für  gilt aber . Der Satz müsste also umformuliert werden und 1 zur Ausnahme machen.
 Für alle Primzahlen  gilt für die Teilerfunktion . Für  ist aber . Es gilt auch . Für  ist aber . Es wäre also die Zahl 1 auch für diese Funktion(en) eine große Ausnahme.
 Die Definition von Primelementen müsste man umformulieren, wenn 1 eine Primzahl wäre. Die neue Definition wäre komplizierter.
 Es gibt zu jeder Primpotenz einen endlichen Körper, der genau so viele Elemente hat. Wäre 1 eine Primzahl, dann müsste gemäß dieser Aussage der Nullring als Körper aufgefasst werden.
 Die vielfältigen Besonderheiten, die dem Nullring zu eigen sind (z. B. dass er keine echte algebraische Erweiterung zulässt), sind leichter zu würdigen, indem man ihm die Sonderrolle unter den Ringen, die er wirklich einnimmt, auch zuspricht, den Begriff des „Nullkörpers“ nicht bildet und von einem Körper fordert, dass er mindestens zwei Elemente hat, m. a. W., dass sich die neutralen Elemente der beiden Ringoperationen Addition und Multiplikation unterscheiden.

Die Beispiele zeigen gute Gründe, dass man die Zahl 1 aus der Menge der Primzahlen ausschließen sollte.

Siehe auch 

 Fastprimzahlen
 Frobeniushomomorphismus
 Gilbreaths Vermutung
 Illegale Primzahl
 Permutierbare Primzahl
 Primzahlzwillinge
 Relativ prim

Anmerkungen

Literatur 

 Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.
 Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. Beck, München 2004, ISBN 3-406-52320-X.
 Władysław Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory. From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66289-8.
 Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer, New York 1996, ISBN 0-387-94457-5.
 
 
 
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Weblinks 

 The Prime Pages (englisch)
 Die Primzahlenseite
 
 Gesammelte Sätze und interessante Eigenschaften über Primzahlen. (PDF; 162 Seiten) Mathematik alpha (deutsch).

Einzelnachweise 

 
Zahlentheorie