Numero di Fermat

Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un numero intero esprimibile come:

con  intero non negativo.

Numeri primi di Fermat 
Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è vero per i primi cinque:

Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F5:

Nel 1770 dimostrò anche che ogni eventuale divisore di Fn è della forma , risultato che venne migliorato da Lucas nel 1878 con la considerazione che tali divisori devono anche essere del tipo , per gli  con , dove  e  sono interi positivi.

Nel caso di , per  troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641;
di questi, solo 257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide .

Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero finito.

A febbraio 2015, le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat sono le seguenti:

 (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880)
 (Morrison e Brillhart, 1970)
 (Brent e Pollard, 1980)
 (Western, 1903 / Lenstra, Manasse e altri, 1990)
 (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 / Brent, 1995)
 (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988)

dove  indica un fattore primo di  cifre.

Si può comunque dimostrare (in base al test di primalità noto come test di Pépin) che  è primo se e solo se 

I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente non correlati. Ad esempio, Gauss dimostrò che si possono fare le costruzioni con riga e compasso dei poligoni regolari con  lati se e solo se  è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.

Nel luglio 2014 Raymond Ottusch ha trovato un divisore primo di . Questo numero primo possiede ben 1002367 cifre, ed è 

Al momento della dimostrazione,  diventava quindi il più grande numero di Fermat di cui fosse conosciuto almeno un fattore primo e di conseguenza la non primalità.

Il 18 luglio 2009 il GIMPS ha annunciato la scoperta di un divisore di :
 divide .

Il 13 febbraio 2015 PrimeGrid ha annunciato di aver scoperto un divisore primo di :

In un sistema numerico binario, tutti i numeri di Fermat sono palindromi (3=11; 5=101; 17=10001; 65537=10000000000000001), e tutti i primi di Fermat sono quindi palindromi primi.

Proprietà 

 I numeri di Fermat soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza valide per n≥2, che possono essere provate tramite induzione:

Dall'ultima relazione si deduce il cosiddetto teorema di Goldbach: ogni coppia di numeri di Fermat è coprima, ovvero nessun numero primo divide due numeri di Fermat diversi. Infatti, se  e  (con ) avessero un fattore comune , questo dividerebbe sia

che

e quindi  dividerebbe 2, ossia , il che è impossibile perché tutti i numeri di Fermat sono dispari. Quindi due numeri di Fermat sono sempre coprimi.

Da questo si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi: poiché esistono infiniti numeri di Fermat, e ogni numero primo ne divide al più 1, devono esistere infiniti primi.

 Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi, ad eccezione di ; questo può essere dimostrato osservando che, essendo  sempre dispari, per essere somma di due primi dovrebbe essere primo il numero , che però è sempre divisibile per 3.
 Nessun numero di Fermat può essere espresso come differenza di due potenze -esime, dove  è un primo dispari.
 La somma dei reciproci di tutti i numeri di Fermat è irrazionale. (Solomon W. Golomb, 1963)

Note 
4.^ Per la 4° relazione di ricorrenza riportata sopra,  è sempre divisibile non soltanto per 3 ma per  e quindi per ogni  con .

Voci correlate 
 Fermat Search - Progetto di ricerca dei divisori dei Numeri di Fermat per trovare un numero primo più grande.
 Numero primo di Mersenne
 Costruzione di poligoni regolari
 The Prime Pages

Collegamenti esterni 
 

Teoria dei numeri