Crivello di Eratostene

Il crivello di Eratostene è un antico algoritmo per il calcolo delle tabelle di numeri primi fino a un certo numero prefissato. Questo principio deve il proprio nome al matematico Eratostene di Cirene, che ne fu l'ideatore. È ancora utilizzato come algoritmo di calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer, per via della sua semplicità. Pur non essendo del tutto efficiente, infatti, è in compenso piuttosto semplice da tradurre in un qualsiasi linguaggio di programmazione.

Algoritmo 

Il procedimento è il seguente: si scrivono tutti i numeri naturali a partire da  fino  in un elenco detto setaccio. Poi si cancellano (setacciano) tutti i multipli del primo numero del setaccio (escluso lui stesso). Si prende poi il primo numero non cancellato maggiore di  e si ripete l'operazione con i numeri che seguono, proseguendo fino a che non si applica l'operazione all'ultimo numero per il quale c'è ancora almeno un suo multiplo. I numeri che restano sono i numeri primi minori o uguali a .

È come se si utilizzassero dei setacci a maglie via via più larghe: il primo lascia passare solo i numeri non multipli di , il secondo solo i non multipli di , e così via.

Nel caso , ad esempio, il procedimento di setacciatura si conclude con il numero  perché  è il massimo primo il cui quadrato non supera  e si può provare che il procedimento di setacciatura per ricercare i primi fino a un certo numero  cessa sempre quando si supera la radice quadrata di . Infatti ogni numero  del setaccio iniziale, contenente tutti i numeri naturali non superiori a un dato , cade dal setaccio che corrisponde al più piccolo dei suoi divisori primi.

Se indichiamo con  il più piccolo divisore primo di  si ha:

Se ne deduce che , da cui  è sempre minore o uguale alla radice quadrata di .

Una implementazione dell'algoritmo di Eratostene in Haskell che calcola l'n-esimo numero primo:
-- Una lista infinita di numeri primi prodotta
-- attraverso il metodo del crivello di Eratostene.
crivello :: [Int]
crivello = crivello' [2..]
  where
    crivello' :: [Int] -> [Int]
    crivello' (p:ps) = p : crivello' [i | i <- ps, mod i p /= 0]
    crivello' _ = undefined

-- Estrai il n-esimo numero primo.
eratostene :: Int -> Int
eratostene n = crivello !! n

Esempio 

Per trovare tutti i numeri primi minori di , si può procedere come segue:

 Scrivere la lista di tutti i numeri interi da  a :
  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
 Cancellare dalla lista i multipli di :
  2  3     5     7     9    11    13    15    17    19    21    23    25    27    29
 Il primo numero della lista dopo il  è il ; cancellare dalla lista i multipli di :
  2  3     5     7          11    13          17    19          23    25          29
 Il primo numero della lista dopo il  è il ; cancellare dalla lista i rimanenti multipli di :
  2  3     5     7          11    13          17    19          23                29
Il primo numero della lista dopo il  è il : non essendoci più suoi multipli, i numeri restanti sono i numeri primi che cercavamo.

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Algoritmi per la matematica
Scienza ellenistica
Numeri primi