Rozkład Poissona

Rozkład Poissona (czytaj [], także prawo Poissona małych liczb) – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, wyrażający prawdopodobieństwo szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie, gdy te wydarzenia występują ze znaną średnią częstotliwością i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia. Rozkład Poissona można również stosować w odniesieniu do liczby zdarzeń w innych określonych przedziałach, takich jak odległość, powierzchnia lub objętość.

Rozkład został wprowadzony i opublikowany przez Siméona-Denisa Poissona (1781–1840) wraz z jego teorią prawdopodobieństwa, w 1838 roku w jego pracy Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile („Badania nad prawdopodobieństwem orzeczeń sądowych w sprawach cywilnych i karnych”). Praca skupiała się na niektórych zmiennych losowych  wyrażających, między innymi, liczbę dyskretnych zdarzeń, które odbywają się w przedziale czasu, o określonej długości.

Jeśli oczekiwaną liczbą zdarzeń w tym przedziale jest  to prawdopodobieństwo, że jest dokładnie  wystąpień, gdzie  jest nieujemną liczbą całkowitą,  jest równe
 

gdzie:
  – podstawa logarytmu naturalnego 
  – liczba wystąpień zdarzenia, prawdopodobieństwo dane funkcją,
  – silnia 
  – dodatnia liczba rzeczywista, równa oczekiwanej liczbie zdarzeń w danym przedziale czasu. Na przykład jeżeli zdarzenia występują średnio 4 razy na minutę, a ktoś jest zainteresowany prawdopodobieństwem zdarzenia  razy występującego w 10 minut, może użyć rozkładu Poissona jako model z 

Jako funkcja  jest to funkcja masy prawdopodobieństwa. Rozkład Poissona można wyprowadzić jako graniczny przypadek rozkładu dwumianowego.

Rozkład Poissona może być stosowany do systemów z dużą liczbą możliwych zdarzeń, z których każde jest bardzo rzadkie. Klasycznym przykładem jest rozpad jąder atomowych.

Rozkład Poissona jest czasami nazywany „poissonianem”.

Charakterystyka szumu Poissona i małych zdarzeń 
Parametr  jest nie tylko średnią liczbą wystąpień  ale także ich wariancją  (patrz tabela). Tym samym liczba zaobserwowanych zdarzeń oscyluje wokół średniej  z odchyleniem standardowym  Wahania te są oznaczone jako szum Poissona lub (zwłaszcza w elektronice) jako szum śrutowy.

Korelacja średniej i odchylenie standardowe w liczeniu niezależnych zdarzeń dyskretnych jest przydatna naukowo. Dzięki monitorowaniu jak wahania różnią się od średniej sygnału, można oszacować wkład jednego zdarzenia, nawet jeśli ten wkład jest zbyt mały do wykrycia bezpośrednio. Na przykład ładunek e elektronu może być określony poprzez skorelowanie wielkości prądu elektrycznego z jego szumem śrutowym. Jeżeli przez punkt przechodzi w czasie  średnio  elektronów, średni prąd jest równy  ponieważ wahania prądu powinny być rzędu  (tj. standardowe odchylenie procesu Poissona), ładunek  może być oszacowany ze współczynnika  Codziennym przykładem jest ziarnistość, która pojawia się przy powiększeniach fotografii, ziarnistość ta pojawia się w związku z wahaniami Poissona w ograniczonej liczbie ziaren srebra, a nie w związku z pojedynczymi ziarnami. Korelując ziarnistość ze stopniem powiększenia, można oszacować udział indywidualnych ziaren (które są zbyt małe, aby je inaczej postrzegać samodzielnie). Opracowano wiele innych zastosowań molekularnych szumu Poissona, np. szacowanie gęstości liczby cząsteczek receptora w błonie komórkowej

Rozkłady powiązane 
 Jeśli  i  to różnica  ma rozkład Skellama.
 Jeśli  i  są niezależne, a  to rozkład  pod warunkiem  jest dwumianowy. W szczególności,  Ogólnie rzecz biorąc, jeśli  są niezależnymi zmiennymi losowymi Poissona z parametrami  wtedy
 
 Rozkład Poissona może zostać wyprowadzony jako graniczny przypadek rozkładu dwumianowego gdy liczba prób dąży do nieskończoności a oczekiwana liczba sukcesów jest stała – patrz prawo rzadkich zdarzeń poniżej. Może być on zatem stosowany jako przybliżenie rozkład dwumianowego gdy liczba  jest wystarczająco duża i  jest dostatecznie małe. Istnieje praktyczna reguła, stwierdzająca, że rozkład Poissona jest dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego, jeśli  jest co najmniej 20 i  jest mniejsza lub równa 0,05, oraz bardzo dobrym przybliżeniem, jeśli  i .
 Dla dostatecznie dużych wartości  (powiedzmy ), rozkład normalny ze średnią  i wariancją  (odchylenie standardowe ), jest znakomitym przybliżeniem rozkładu Poissona. Jeśli  jest większe niż około 10 wtedy rozkład normalny jest dobrym przybliżeniem, jeżeli są wykonywane odpowiednie korekty ciągłości, tj.  gdzie (małą literą)  jest liczbą całkowitą nieujemną, otrzymuje 
 
 Transformacja stabilizująca wariancję: gdy zmienna ma rozkład Poissona, jej pierwiastek kwadratowy ma w przybliżeniu rozkład normalny z wartością oczekiwaną około  i wariancją około 1/4. W ramach tej transformacji, zbieżność do normalności jest znacznie szybsza niż zmiennej przed transformacją. Są dostępne inne, nieco bardziej skomplikowane transformacje stabilizujące wariancję z których jedna jest transformacja Anscombe'a. Zobacz transformacja danych (statystyka) do bardziej ogólnego zastosowania przekształceń.
 Jeśli liczba zajść zdarzenia w danym przedziale czasu  jest zgodna z rozkładem Poissona, ze średnią  wtedy długość okresu oczekiwania pomiędzy zajściami zdarzenia ma rozkład wykładniczy ze średnią

Występowanie 
Rozkład Poissona powstaje w związku z procesami Poissona. Ma on zastosowanie do różnych zjawisk dyskretnych właściwości (czyli tych, które mogą się zdarzyć  razy w danym przedziale czasu lub w danym obszarze), gdy prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska jest stałe w czasie lub przestrzeni. Przykłady zdarzeń, które mogą być modelowane rozkładem Poissona to:
 Liczba zabitych przez kopnięcie konia każdego roku w korpusie kawalerii w Prusach. Ten przykład zasłynął z książki Władysława Józefowicza Bortkiewicza (1868–1931).
 Liczba połączeń telefonów przychodzących do centrali na minutę.
 Przy założeniu jednorodności, ile razy serwer jest dostępny na minutę.
 Liczba mutacji w danym odcinku DNA po ekspozycji na pewną dawkę promieniowania.
 Odsetek komórek, które zostaną zakażone dla danej liczności zakażeń.

W jaki sposób powstają takie rozkłady? – Prawo rzadkich zdarzeń 

W kilku z powyższych przykładów – takich jak liczba mutacji w danej sekwencji DNA – zdarzenia które są liczone są w wynikami pojedynczych prób, a dokładniej są modelowane przy użyciu rozkładu dwumianowego, to jest
 

W takich przypadkach  jest bardzo duże, a  jest bardzo małe (i tak oczekiwane  jest pośrednich rozmiarów). Rozkład może być wtedy przybliżany przez mniej uciążliwy rachunkowo rozkład Poissona
 

To jest znane jako prawo rzadkich zdarzeń, gdyż każde z poszczególnych zdarzeń Bernoulliego  rzadko występuje. Nazwa może być myląca, ponieważ całkowita liczba zajścia sukcesu w procesie Poissona nie musi być mała, jeśli parametr  nie jest mały. Na przykład liczba telefonów do zajętej centrali w ciągu jednej godziny stosuje się do rozkładu Poissona ze zdarzeniami pojawiającymi się często u operatora, ale są one rzadkie z punktu widzenia przeciętnego członka społeczeństwa, u którego jest bardzo mało prawdopodobne, by dzwonił do centrali w tej godzinie.

Dowód 
Będziemy dowodzić, że dla stałych  jeśli
 

to dla każdego ustalonego k
 

Aby zobaczyć związek z powyższym uzasadnieniem, dla każdej zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym z dużych  i małych  ustalmy  Należy zauważyć, że wartość oczekiwania  jest stała względem 

Po pierwsze, przypomnijmy, że
 

wtedy ponieważ  w tym przypadku mamy
 

Dalej, należy pamiętać, że
 

gdzie rozpatrujemy granicę każdego z członów niezależnie, co można zrobić, ponieważ liczba członów zależnych od  jest stała (jest ich ). W związku z tym, musimy wykazać, że

Uogólnienie 
Wykazaliśmy, że jeżeli
 

gdzie  a następnie  w rozkładzie. Odnosi się to w bardziej ogólnej sytuacji, że  jest dowolny ciąg taki, że

2-wymiarowy proces Poissona 

 

gdzie:
  – podstawa logarytmu naturalnego 
  – liczba wystąpień zdarzenia – prawdopodobieństwo, dane funkcją,
  – silnia 
  – 2-wymiarowy obszar,
  – pole obszaru,
  – liczba punktów w procesie rozwoju w obszarze.

Własności 
 Wartość oczekiwana rozkładu Poissona zmiennej losowej jest równa  i jest też ona równa jego wariancji. Wyższe momenty rozkładu Poissona są wielomianami Toucharda z parametrem  których współczynniki mają kombinatoryczne znaczenie. W rzeczywistości, gdy wartość oczekiwana rozkładu Poissona jest 1, to wzór Dobińskiego mówi, że -ty moment jest równy liczbie podziałów zbioru -elementowego.
 Dominanta zmiennej losowej o rozkładzie Poissona z niecałkowitą  jest równa  która jest największą liczbę całkowitą mniejszą lub równą  To jest również zapisane jako podłoga  Gdy  jest liczbą całkowitą, mody są równe  i 
 Sumy zmiennych losowych o rozkładach Poissona:
 Jeśli  mają rozkład Poissona z parametrem  i  są niezależne, to
 
 również ma rozkład Poissona o parametrze będącym sumą parametrów składowych. Odwrotne jest twierdzenie Rajkowa, które mówi, że jeśli suma dwóch niezależnych zmiennych losowych ma rozkład Poissona, to ma go również każda z tych dwóch niezależnych zmiennych losowych.
 Suma znormalizowanych odchyleń kwadratowych ma w przybliżeniu rozkład chi kwadrat, jeśli średnia jest umiarkowanej wielkości (zalecana jest ). Jeśli  są obserwacjami z niezależnych rozkładów Poissona ze średnimi  wtedy 
 Funkcją generującą momenty rozkładu Poissona z oczekiwaną wartość  jest
 
 Wszystkie kumulanty rozkładu Poissona są równe wartości oczekiwanej  -ty moment silni rozkładu Poissona jest równy 
 Rozkład Poissona jest nieskończenie podzielnym rozkładem prawdopodobieństwa.
 Bezpośrednia dywergencja Kullbacka-Leiblera pomiędzy POI  i POI  jest dana przez
 
 Wartość oczekiwana policzona z definicji:

Ocena rozkładu Poissona 
Chociaż rozkład Poissona jest ograniczony przez  licznik i mianownik  może osiągnąć
skrajne wartości dla dużych wartości  lub 

Jeżeli rozkład Poissona jest szacowany na komputerze z ograniczoną dokładnością, najpierw wyliczając jego licznik i mianownik, a następnie dzieląc je, to może wystąpić znaczna utrata precyzji.

Na przykład dla typowej podwójnej precyzji zdarzy się całkowita utrata dokładności jeśli  jest obliczana w ten sposób.

Pewniejszą metodą liczenia jest:

Generowanie zmiennych losowych o rozkładzie Poissona 
Prosty sposób na generowanie losowych liczb o rozkładzie Poissona, jest podany przez Knutha, zobacz odniesienia poniżej.

 algorytm poisson random number (Knuth):
  init:
   Let L ← e^-λ, k ← 0 i p ← 1.
  do:
   k ← k + 1.
   Wygeneruj losową liczbę u z przedziału [0,1] i przypisz p ← p × u.
  while p > L.
  return k – 1.

Podczas gdy jest prosty, złożoność jest liniowa względem  Istnieje wiele innych algorytmów na przezwyciężenie tego. Niektóre z nich są podane w Ahrens & Dieter, patrz odniesienia poniżej. Ponadto dla dużych wartości  mogą być problemy ze stabilnością numeryczną ze względu na człon  Jednym z rozwiązań dla dużych wartości  jest Pobieranie z odrzuceniem, innym jest wykorzystanie przybliżenia Poissona przez Gaussa.

Metoda odwrotnej transformacji jest prosta i skuteczna dla małych wartości  i wymaga tylko jednej jednolitej losowej liczby  na próbkę. Skumulowane prawdopodobieństwa badane są z kolei, aż jedno przekracza

Estymacja parametrów

Największa wiarygodność 
Dana jest próbka  mierzonych wartości  i chcemy oszacować wartość parametru  populacji Poissona z której próbka została zaczerpnięta. Aby obliczyć wartość największej wiarygodności, tworzymy funkcję log-prawdopodobieństwo

 

Weź pochodną  względem  i przyrównaj ją do zera:
 

Rozwiązanie dla  daje punkt stacjonarny, który, jeśli druga pochodna jest ujemna, jest oszacowaniem maksymalnego prawdopodobieństwa 
 

Sprawdzając drugą pochodną, okazuje się, że jest ujemna dla wszystkich  i  większych od zera, dlatego ten stacjonarny punkt jest rzeczywiście maksimum początkowej funkcji prawdopodobieństwa:
 

Ponieważ każda obserwacja ma oczekiwane  więc tak samo średnią tej próbki. Dlatego jest nieobciążonym estymatorem  Jest to również efektywny estymator, tj. jego oszacowanie wariancji osiąga dolne ograniczenie nierówności Rao-Craméra. Stąd MVUE – estymator nieobciążony o minimalnej wariancji. Ponadto można udowodnić, że średnia próbki jest kompletna i wystarczająca statystycznie dla

Statystyka bayesowska 
W statystyce bayesowskiej, sprzężony rozkład a priori dla parametru skali  rozkładu Poissona jest rozkładem gamma. Niech
 

oznacza, że  ma rozkład zgodnie z gęstością Gamma  parametryzowaną ze względu na parametr kształtu  i odwrotny parametrem skali: 
 

Następnie biorąc tę samą próbkę  zmierzonych wartości  jak poprzednio, i a priori Gamma  rozkład a posteriori jest
 

Średnia a posteriori  zbliża się do oszacowania maksymalnego prawdopodobieństwa  w granicy, jako 

Przewidujący rozkład a posteriori dodatkowych danych jest rozkładem Gamma-Poissona (tj. ujemnym dwumianowym).

Przedział ufności 
Prosta i szybka metoda obliczania przybliżonego przedziału ufności dla oszacowania  jest zaproponowana w Guerriero et al. (2009). Metoda ta zapewnia dobre przybliżenie granic przedziału ufności dla próbek zawierających co najmniej 15–20 elementów. Oznaczając przez  liczbę próbkowanych punktów lub zdarzeń, a przez  długość linii próbek (lub przedział czasowy), górna i dolna granica 95% przedziału ufności dane są przez:

Prawo małych liczb 
Słowo prawo jest czasami używane jako synonim rozkładu prawdopodobieństwa i konwergencja tu oznacza konwergencję w rozkładzie. W związku z tym rozkład Poissona jest czasami nazywany prawem małych liczb, ponieważ jest to rozkład prawdopodobieństwa ilości wystąpień zdarzenia, które zdarza się rzadko, ale ma bardzo wiele możliwości, aby się zdarzyć. Prawo małych liczb to książka Władysława Bortkiewicza o rozkładzie Poissona opublikowana w 1898 roku. Niektórzy historycy matematyki twierdzili, że rozkład Poissona powinien być nazywany rozkładem Bortkiewicza.

Zobacz też 
 lemat Robbinsa
 losowanie Poissona
 niekompletna funkcja gamma
 proces Poissona
 regresja Poissona
 rozkład Conwaya-Maxwella-Poissona
 rozkład Erlanga
 rozkład Skellama
 rozkład Tweedie'go
 teoria kolejek
 teoria odnowy
 współczynnik zmienności
 wzór Dobińskiego
 złożony proces Poissona

Przypisy

Bibliografia 
 Rozkład po raz pierwszy tak nazwany w pracy:

Referencje

Linki zewnętrzne 
 POISSON () w najbardziej popularnych arkuszach kalkulacyjnych
 Kalkulator online – Rozkład Poissona

Rozkłady dyskretne