Sinus und Kosinus

Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind elementare mathematische Funktionen.
Vor Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans sind sie die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der Analysis sind sie wichtig.

Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als Zusammensetzung aus Sinus- und Kosinuswellen beschreiben, sodass die Funktionen auch in der Physik als harmonische Schwingungen allgegenwärtig sind.

Herkunft des Namens 
Die lateinische Bezeichnung Sinus „Bogen, Krümmung, Busen“ für diesen mathematischen Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175 als Übersetzung der arabischen Bezeichnung dschaib oder , selbst entlehnt von Sanskrit jiva „Bogensehne“ indischer Mathematiker.

Die Bezeichnung „Cosinus“ ergibt sich aus complementi sinus, also Sinus des Komplementärwinkels. Diese Bezeichnung wurde zuerst in den umfangreichen trigonometrischen Tabellen verwendet, die von Georg von Peuerbach und seinem Schüler Regiomontanus erstellt wurden.

Geometrische Definition

Definition am rechtwinkligen Dreieck 

Alle ebenen, zueinander ähnlichen Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche Längenverhältnisse der Seiten.

Diese Eigenschaft wird benutzt, um Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen. Sind nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bekannt, lassen sich die Maße von Winkeln und die Längen von Seiten berechnen. Deshalb haben die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck auch besondere Namen.

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß eines der beiden spitzen Winkel abhängig. Denn die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Und weil im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel, nämlich der rechte Winkel, mit 90° bekannt ist, müssen die beiden anderen Winkel in der Summe ebenfalls 90° ergeben. Deswegen wird das Maß eines dieser Winkel durch das Maß des anderen Winkels bereits festgelegt. Aufgrund der Kongruenzsätze (z. B. WSW) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Deshalb werden die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel wie folgt definiert:

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen (siehe Abbildung) gilt hier:

Da die Hypotenuse die längste Seite eines Dreiecks ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten die Ungleichungen  und .

Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β, die Gegenkathete von α bildet nun die Ankathete von β und es gilt:

Da im rechtwinkligen Dreieck  gilt, folgt:

und

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus als Sinus des Komplementärwinkels.

Aus dem Satz des Pythagoras lässt sich die Beziehung („trigonometrischer Pythagoras“) ableiten:

Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definiert. Für beliebige Winkel wird der Wert der Kosinusfunktion als -Koordinate und der Wert der Sinusfunktion als -Koordinate eines Punktes am Einheitskreis (siehe unten) definiert. Hier ist es üblich, den Wert, auf den die Funktion angewendet wird (hier: den Winkel), als Argument zu bezeichnen. Dies betrifft insbesondere die Winkelfunktionen und die komplexe Exponentialfunktion (siehe unten).

Definition am Einheitskreis 

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete nur für Werte von 0 bis 90 Grad definiert. Für eine allgemeine Definition wird ein Punkt  mit den Koordinaten  auf dem Einheitskreis betrachtet, hier gilt . Die positive -Achse schließt mit dem Ortsvektor von  einen Winkel  ein.
Der Koordinatenursprung , der Punkt  auf der -Achse und der Punkt  bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt . Die Ankathete des Winkels  ist die Strecke zwischen  und  und hat die Länge . Es gilt:

Die Gegenkathete des Winkels  ist die Strecke zwischen  und  und hat die Länge . Somit gilt:

Wegen des Strahlensatzes ist die folgende Definition des Tangens wohldefiniert:

Die -Koordinate eines Punktes im ersten Quadranten des Einheitskreises ist also der Kosinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektor und der -Achse, während die -Koordinate der Sinus dieses Winkels ist. Die Fortsetzung über den ersten Quadranten hinaus ergibt eine Definition von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel.

Die Umkehrungen der Sinus- und Kosinusfunktion sind nicht eindeutig. Zu jeder Zahl  zwischen −1 und 1 () gibt es schon zwischen 0° und 360° () immer genau zwei Winkel. Symmetrien der Winkelfunktionen erkennt man an folgenden Beziehungen:

Punktsymmetrien:

Achsensymmetrien:

Der Sinus ist also eine ungerade Funktion, der Kosinus eine gerade.

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen mit der Periode 360 Grad. (Man kann einen Winkel von beispielsweise 365° nicht von einem Winkel von 5° unterscheiden. Aber der eine beschreibt eine Drehbewegung von reichlich einer Umdrehung, der andere eine sehr kleine Drehbewegung ‒ nur eine zweiundsiebzigstel Umdrehung.) Also gilt auch

sowie
,
wobei  eine beliebige ganze Zahl ist. Es gibt also nicht nur die Symmetrien zu  (cos) bzw.  (sin) und zu  (sin) bzw.  (cos), sondern unendlich viele Symmetrieachsen und Symmetriezentren für beide Funktionen.

Die Entstehung der Sinus- und Kosinusfunktion aus der Drehbewegung eines Winkelschenkels beginnend bei der -Achse veranschaulicht folgende Animation. Der Winkel wird im Bogenmaß gemessen. Ein Winkel von  entspricht einem Bogenmaß von .

Analytische Definition 

Sinus und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden; dieser formalere Zugang spielt auch in der Analysis eine Rolle. Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion aufgefasst sind holomorph und surjektiv.

Motivation durch Taylorreihen 

Sinus und Kosinus sind als Funktionen von  nach  erklärt. Sie sind beliebig oft differenzierbar. Für die Ableitungen im Nullpunkt gilt:

Die sich daraus ergebenden Taylorreihen stellen die Funktionen  und  dar, das heißt:

Reihenentwicklung in der Analysis 
In der Analysis geht man umgekehrt von den Reihenentwicklungen aus und leitet daraus alles her, indem die Funktionen sin und cos durch die oben angegebenen Potenzreihen erklärt werden.
Mit dem Quotientenkriterium lässt sich zeigen, dass diese Potenzreihen für jede komplexe Zahl  absolut und in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßig konvergieren. Diese unendlichen Reihen verallgemeinern die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. Auch  wird dort üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über die cos-Reihe und die Beziehung  als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion definiert. Damit ist eine präzise analytische Definition von  gegeben.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischen Berechnung lassen sich daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und der -Wert bis auf den Bereich  bis  reduzieren. Danach sind je nach geforderter Genauigkeit nur noch relativ wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z. B. hat im Intervall  einen relativen Fehler von unter 0,05 %. Im Artikel Taylor-Formel sind einige dieser Taylorpolynome grafisch dargestellt und man findet eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; beispielsweise in Abramowitz-Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.

Beziehung zur Exponentialfunktion 

Die trigonometrischen Funktionen sind eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie folgende Rechnung zeigt:

Dabei wurde verwendet:

Somit ergibt sich die sogenannte Eulerformel:

Für eine reelle Zahl  ist also  der Realteil und  der Imaginärteil der komplexen Zahl .

Durch Ersetzung von  durch  ergibt sich:

Diese und die vorangegangenen Gleichungen lassen sich nach den trigonometrischen Funktionen auflösen. Es folgt:

Diese Gleichungen gelten nicht nur für reelle Argumente, sondern für beliebige komplexe Zahlen. Somit ergibt sich eine alternative Definition für die Sinus- und Kosinusfunktion. Durch Einsetzen der Exponentialreihe leiten sich die oben vorgestellten Potenzreihen ab.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich viele Eigenschaften, wie zum Beispiel die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus, nachweisen.

Definition über das Integral 
Der Sinus ist die Umkehrfunktion des Integrals zur Berechnung der Bogenlänge 

also  und  (siehe unten).

Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge 
Die Definition des Sinus und Kosinus als Potenzreihe liefert einen sehr bequemen Zugang, da die Differenzierbarkeit durch die Definition als konvergente Potenzreihe automatisch gegeben ist. Die Eulerformel ist ebenfalls eine einfache Konsequenz aus den Reihendefinitionen, da sich die Reihen für  und  ganz offenbar zur Exponentialfunktion zusammenfügen, wie oben gezeigt wurde. Durch Betrachtung der Funktion , die das Intervall  auf die Kreislinie abbildet, ergibt sich die Beziehung zur Geometrie, denn  und  sind nichts weiter als der Real- bzw. Imaginärteil von , das heißt die Projektionen dieses Punktes auf die Koordinatenachsen.

Neben  gibt es auch andere sinnvolle Parametrisierungen des Einheitskreises, etwa

Geht man von dieser Formel aus, erhält man einen alternativen Zugang. Die Länge dieser Kurve wird auch als Bogenlänge bezeichnet und berechnet sich zu
 
Wie leicht zu zeigen ist, ist  ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von  gleich  ist;  wird bei dieser Vorgangsweise analytisch als Supremum von  definiert.

Die Funktion

ist auch differenzierbar:

Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion

gilt:

Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion  lassen sich nun Sinus und Kosinus als - und -Komponente von  analytisch definieren:

Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung 
Ein anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichung zu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetiger Funktionen , das für alle  die Gleichungen

erfüllt. Die Lösung  definiert dann den Sinus, die Lösung  den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass
 eine ungerade Funktion,
 eine gerade Funktion,
 und

ist. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeit des Sinus an der Stelle 0 vorausgesetzt;  wird in weiterer Folge analytisch als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den Zugang von Leopold Vietoris und berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger,  auf geeignete Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis eingeschriebenen -Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise:
,
 und
 für alle .

Unter den gewählten Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise durch die Taylorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung nachweisen und tatsächlich lösen.

Produktentwicklung

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus 
 (Gradmaß)
 (Bogenmaß)
 („trigonometrischer Pythagoras“)

Insbesondere folgt daraus  und . Diese Ungleichungen gelten aber nur für reelle Argumente ; für komplexe Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

Verlauf des Sinus in den vier Quadranten 
In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches ergibt sich der Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) ist, d. h. . Außerdem gilt ,  ,  etc.

Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten 
Der Kosinus stellt einen um 90° (bzw. π/2 rad) phasenverschobenen Sinus dar und es gilt .

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches lässt sich der Wert des Kosinus – so wie der des Sinus – periodisch mit der Periode 360° (bzw. 2π rad) bestimmen, d. h. . Außerdem gilt .

Komplexes Argument 

Für komplexe Argumente kann man Sinus und Kosinus entweder über die Reihenentwicklung oder über die Formeln

definieren.

Für komplexe Argumente  gilt

und
 ,
was aus den Additionstheoremen und den Zusammenhängen  sowie  hergeleitet werden kann, wobei  und  die Hyperbelfunktionen Sinus und Cosinus hyperbolicus bezeichnen.

Sinus und Kosinus sind für reelle Argumente auf Werte aus dem Intervall  beschränkt; im Definitionsbereich der komplexen Zahlen  sind sie dagegen unbeschränkt, was aus dem Satz von Liouville folgt. Sinus und Kosinus können für komplexe Argumente sogar beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen.

Zum Beispiel gilt:

Für reelle  nimmt  diesen Wert aber nie an.

In den Bildern auf der rechten Seite gibt die Farbe den Winkel des Arguments an, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. Die genaue Zuordnung ergibt sich aus nebenstehendem Bild, das jeder komplexen Zahl eine Farbe und eine Intensität zuordnet. An den Bildern zu Sinus und Kosinus ist erkennbar, dass auch im Komplexen Periodizität in -Richtung vorliegt (nicht aber in -Richtung) und dass Sinus und Kosinus durch eine Verschiebung um  auseinander hervorgehen.

Wichtige Funktionswerte 
Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen mit der Periode  (entspricht im Gradmaß ) sind, reicht es, die Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen für den Bereich  (entspricht dem Bereich  bis ) zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog:

Hierbei bezeichnet  eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.

Weitere wichtige Werte sind:

Beweisskizzen:
 , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt .
 , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der -Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1) und somit die Gegenkathete (Sinus) die halbe Seitenlänge beträgt.
 , weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen  für den Cosinus nach Pythagoras gilt .
 , weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
 , weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
  und  lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.

Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte 
Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichung ergibt sich:

Mit Hilfe der Additionstheoreme lassen sich viele weitere solche Ausdrücke berechnen wie beispielsweise die Seitenlänge eines regulären Fünfecks über

und  aus

.

Aus  und  lassen sich dann z. B.  und rekursiv weiter auch alle ,  ermitteln.

Generell gilt, dass  und  genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel  mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also, wenn  von der Gestalt

ist, wobei ,  und die  für  paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen sind. In obigem Beispiel von  ist  und der Nenner gleich .

Multiplikationsformeln 
Die folgenden Ausdrücke gelten für alle  und komplexen Argumente :

Fixpunkte 

Die Fixpunktgleichung  besitzt

als einzige reelle Lösung.

Die Gleichung  hat als einzige reelle Lösung

   ().

Die Lösung dieser Fixpunktgleichung wurde bereits 1748 von Leonhard Euler untersucht. Sie ist ein einfaches Beispiel für einen nichttrivialen global attraktiven Fixpunkt. Das heißt, die Fixpunktiteration  konvergiert für jeden Startwert  gegen die Lösung. Mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß kann nachgewiesen werden, dass es sich dabei um eine transzendente Zahl handelt. Diese mathematische Konstante wird im englischen Sprachraum auch als Dottie number bezeichnet und mit dem armenischen Buchstaben ա (Ayb) abgekürzt.

Berechnung 
Zur Berechnung von Sinus und Cosinus gibt es mehrere Verfahren. Die Wahl des Berechnungsverfahrens richtet sich nach Kriterien wie Genauigkeit, Geschwindigkeit der Berechnung und Leistungsfähigkeit der verwendeten Hardware wie zum Beispiel Mikrocontroller:

 Tabellierung aller benötigten Funktionswerte
 Tabellierung von Funktionswerten zusammen mit Interpolationsverfahren
 Berechnung mit dem CORDIC-Algorithmus
 Verwendung der Taylor-Reihe
 schnelle, aber grob genäherte Abschätzung mit Hilfe der Zwölftel-Regel

Die Tabellierung aller Werte ist angezeigt bei geschwindigkeitskritischen Echtzeitsystemen, wenn diese nur eine recht kleine Winkelauflösung benötigen. CORDIC ist i. d. R. effizienter umsetzbar als die Taylor-Reihe und zudem besser konditioniert.

Umkehrfunktion 

Da sich zu einem gegebenen Wert  ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert  ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen

Umkehrfunktionen besitzen. Die Umkehrfunktionen

werden Arkussinus bzw. Arkuskosinus genannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als Länge eines Kreisbogens (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt.

In der Analysis ist die Verwendung des Bogenmaßes praktisch, weil andernfalls (beim Gradmaß) oft die Identität  zu berücksichtigen wäre.
Die Sinusfunktion

und die Kosinusfunktion

sind auf den angegebenen Definitionsbereichen streng monoton, surjektiv und daher invertierbar.
Die Umkehrfunktionen sind

Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Kreissektors am Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die Analogie zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionen nützlich.

Zusammenhang mit dem Skalarprodukt 
Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem Skalarprodukt zweier zwei- oder dreidimensionaler Vektoren  und :

Das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In abstrakten Skalarprodukträumen wird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt 

Der Sinus steht in enger Beziehung mit dem Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren  und :

Additionstheoreme 

Die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus lauten:

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel

Orthogonale Zerlegung 
Die harmonische Schwingung

wird durch

in orthogonale Komponenten zur Basis der harmonischen Schwingung

zerlegt.
 und  sind Effektivwerte,  und  Nullphasenwinkel. Ihre Differenz

heißt Phasenverschiebungswinkel. Die Ableitung der Basisfunktion

läuft  um eine Viertelperiode voraus. Die in den Zerlegungskoeffizienten enthaltenen Gleichwerte folgen aus einer modifizierten Fourier-Analyse, bei der nicht die Sinus- und Kosinusfunktion, sondern  und  als Basis dienen. Durch Einsetzen der harmonischen Ansätze ergibt sich schließlich:

Die Zerlegung gilt auch bei Ansatz von  und  mit der Kosinusfunktion.

Ableitung, Integration und Krümmung von Sinus und Kosinus

Ableitung 
Für die Ableitung der Sinusfunktion gilt:

Aus  und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

und daraus schließlich auch alle höheren Ableitungen von Sinus und Kosinus

Dabei ist es wegen  (also ) egal, ob der Winkel  im Grad- oder im Bogenmaß gemessen wird, denn für  gilt nicht nur  sondern auch  Nur für die Ableitung  des Sinus eines Winkels  nach seiner Gradzahl  käme ein störender Faktor  hinzu:

Um dies zu vermeiden, wird üblicherweise in der Analysis der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben.

Stammfunktion 
Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktion von Sinus und Kosinus:

Krümmung 
Die Krümmung des Graphen wird mit Hilfe der Formel

berechnet. Für  erhält man damit die Krümmungsfunktion

und für  entsprechend

.

An den Wendepunkten ist die Krümmung gleich null. Dort hat die Krümmungsfunktion einen Vorzeichenwechsel. An der Stelle des Maximums ist die Krümmung gleich −1 und an der Stelle des Minimums gleich 1. Der Krümmungskreis hat an den Extrempunktem also jeweils den Radius 1.

Anwendungen

Allgemeines Dreieck 

Mit der Sinusfunktion können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von  im Dreieck ABC bei gegebener Länge  und Winkel :

Andere wichtige Anwendungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz.

Sektrix 

Die Sinuskurve ist eine der bekanntesten Funktionsgraphen. Trotz alledem ist nahezu nichts über ihre Eigenschaft bekannt, einen Winkel in  gleich große Teile zu zerlegen. Das nebenstehende Bild zeigt exemplarisch die Teilung des Winkels  in sechs gleich große Winkelweiten.

Konstruktion 
Zuerst wird ein Viertelkreis mit Radius gleich  um  gezogen und anschließend der Radius  über  hinaus verlängert. Der Graph der Funktion , sprich die Sinuskurve, wird nun z. B. mittels einer Schablone oder einer sogenannten Dynamischen-Geometrie-Software (DGS) eingetragen. Dabei schneidet die Sinuskurve die Verlängerung des Radius  und liefert so die Kreiszahl  auf der -Achse.

In den nächsten Schritten werden vier Werte des Bogenmaßes für den 2. Quadranten der Sinuskurve auf der -Achse bestimmt mit jeweils gleichem Abstand zueinander. Es ist in diesem Fall für die Plausibilität von Vorteil, die Bogenmaße mit dem gemeinsamen Nenner  zu bezeichnen. Durch Halbieren des Abstandes  ergibt sich das Bogenmaß . Mittels einer Senkrechten und einer Parallelen – jeweils zur -Achse – wird  auf den Viertelkreis übertragen; dabei trifft  den Punkt .

Die darauf folgende Dreiteilung des Abstandes  liefert, unter Verwendung des ersten Strahlensatzes, die Bogenmaße ,  und  sowie die Schnittpunkte  und . Das Übertragen dieser Punkte auf die Sinuskurve erfolgt mithilfe von Senkrechten zur -Achse; nun bezeichnet mit  und . Anschließend werden diese Punkte mittels Parallelen zur -Achse auf den Viertelkreisbogen projiziert, nun bezeichnet mit  und . Da die Bogenmaße quasi vom 2. Quadranten der Sinuskurve zum 1. Quadranten des Kreises wechseln, werden sie zu Pendants mit den Bezeichnungen  und .

Auf die gleiche Art und Weise werden die Punkte  und  bestimmt und schließlich auf den Viertelkreisbogen, nun mit den Bezeichnungen  und , übertragen. Im dargestellten Beispiel ist der Winkel  der sechste Teil des Winkels .

Nachweis 
Für die betreffenden Funktionswerte der Sinuskurve gilt: Der Winkel (Grad) entspricht dem Bogenmaß (Teil von  bzw. ).
 ;    ;    ;    ;    ,
daraus folgt:
 Der Winkel und das Bogenmaß sind zueinander direkt proportional, z. B.: 
Dies bedeutet:
 Der n-te Teil des Abstandes  (z. B.: ) und der n-te Teil des Viertelkreisbogens (z. B.: ) sind gleich lang.

Fourierreihen 
Im Hilbertraum  der auf dem Intervall  bezüglich des Lebesgue-Maßes quadratisch integrierbaren Funktionen bilden die Funktionen

ein vollständiges Orthogonalsystem, das sogenannte trigonometrische System. Daher lassen sich alle Funktionen  als Fourierreihe

darstellen, wobei die Funktionenfolge  in der L2-Norm gegen  konvergiert.

Informatik 
In der Informatik wird zur Erstellung von Audiodateien (zum Beispiel im Audioformat MP3), digitalen Bildern im Grafikformat JPEG, Videodateien (zum Beispiel im Containerformat MP4 oder WebM) die diskrete Kosinustransformation oder die modifizierte diskrete Kosinustransformation verwendet. Zum Abspielen oder Anzeigen solcher Dateien wird die inverse diskrete Kosinustransformation, also die Umkehrfunktion verwendet. Bei der digitalen Verarbeitung von akustischen und optischen Signalen wird unter anderem die Schnelle Fourier-Transformation verwendet.

Physik 
In der Physik werden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungen verwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten Fourierreihen beliebige periodische Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe Fourieranalyse.

Elektrotechnik 

In der Elektrotechnik sind häufig elektrische Stromstärke  und Spannung  sinusförmig. Wenn sie sich um einen Phasenverschiebungswinkel  unterscheiden, dann unterscheidet sich die aus Stromstärke und Spannung gebildete Scheinleistung  von der Wirkleistung :

Bei nicht sinusförmigen Größen (z. B. bei einem Netzteil mit herkömmlichem Brückengleichrichter am Eingang) entstehen Oberschwingungen, bei denen sich kein einheitlicher Phasenverschiebungswinkel angeben lässt. Dann lässt sich zwar noch ein Leistungsfaktor

angeben, dieser Leistungsfaktor  darf aber mit  nicht verwechselt werden.

Siehe auch 
 Trigonometrische Funktion
 Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus
 Formelsammlung Trigonometrie
 Sinuston

Literatur 
 I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.
 Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989.
 Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1. 6. Auflage. Teubner, 1989.

Weblinks

Einzelnachweise 

Trigonometrische Funktion