Tetraedro

In geometria, un tetraedro è un poliedro con quattro facce. Un tetraedro è necessariamente convesso, le sue facce sono triangolari, ha 4 vertici e 6 spigoli.

Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici.

Il tetraedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, cioè uno dei poliedri regolari e le sue facce sono triangoli equilateri. Esso presenta un angolo diedro di circa 70° 31′ 43,606″ o più precisamente di angolo diedro .

Parametri metrici 
Alcuni parametri metrici del tetraedro regolare con spigoli di lunghezza  sono i seguenti:

La costruzione di Euclide 

Nel libro XIII dei suoi Elementi, Euclide descrive il metodo per inscrivere un tetraedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:

Sia  (vedi Fig. 1) un diametro della sfera data; lo si divida nel punto  in modo che  sia il doppio di . Su questo diametro si costruisca un semicerchio, si alzi la perpendicolare da  e si denoti con  il punto di intersezione tra tale perpendicolare e la circonferenza. Infine, si congiungano i punti .

Si replichi la stessa costruzione su due piani passanti per , con angolo diedro di 120° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti ,  ed .

È chiaro che i vertici , ,  e  si trovano sugli archi di cerchio costruiti sul diametro , quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli ,  ed  sono uguali fra loro, così come lo sono gli spigoli ,  ed  (questi ultimi determinano il triangolo equilatero alla base del tetraedro). Rimane da verificare che questi due gruppi di spigoli abbiano la stessa lunghezza.

Nella parte alta della figura di sinistra è replicata la costruzione iniziale: per il secondo teorema di Euclide, il segmento  è medio proporzionale fra i segmenti  e . Supponendo (senza perdita di generalità) che il diametro del cerchio sia unitario, risulta che tali segmenti hanno le lunghezze indicate in figura, quindi:

Grazie al teorema di Pitagora si può ora calcolare la lunghezza del segmento  o, per praticità, il suo quadrato:

La parte inferiore del disegno raffigura la base del tetraedro. Il segmento  è cateto del triangolo  rettangolo in , quindi:

Di conseguenza, i tre spigoli alla base del tetraedro e i tre spigoli che fanno capo al vertice , hanno tutti la stessa lunghezza  e quindi il poliedro costruito è effettivamente inscritto nella sfera data. Si noti inoltre come da questi calcoli segua anche che il quadrato di un qualsiasi spigolo del tetraedro è pari a  del quadrato del diametro .

Poliedro duale 

Il poliedro duale del tetraedro è ancora un tetraedro. Il tetraedro regolare è l'unico dei cinque solidi platonici che è duale di sé stesso: gli altri quattro sono accoppiati dalla relazione di dualità.

Simmetrie 

Il tetraedro ha  simmetrie: ogni permutazione dei quattro vertici è infatti realizzata da un'unica simmetria. Il gruppo di simmetria è quindi il gruppo  di permutazioni di  elementi, di cardinalità . Tra queste,  sono rotazioni intorno ad alcuni assi, mentre le altre  invertono l'orientazione dello spazio.

Le  simmetrie rotatorie (inclusa l'identità) formano un sottogruppo, isomorfo al gruppo alternante . L'asse di rotazione di una simmetria può collegare il centro di una faccia con un vertice opposto ( possibilità), oppure i punti medi di due spigoli opposti ( possibilità). Intorno ad un asse del primo tipo possono essere effettuate rotazioni di 120° o 240°, mentre intorno ad un asse del secondo tipo la rotazione è di 180°. In totale, si ottengono quindi  rotazioni, cui va aggiunta l'identità per ottenere tutte le  simmetrie rotatorie.

Numerando i vertici del tetraedro con , ,  e , le rotazioni di 120° e 240° corrispondono alle permutazioni

ovvero ai cicli di ordine . Le rotazioni di 180° invece corrispondono alle permutazioni

ottenute come prodotto di -cicli indipendenti.

Delle  simmetrie che non preservano l'orientazione,  sono riflessioni lungo piani: ciascun piano contiene uno spigolo e il punto medio dello spigolo opposto (come nella figura a destra). Queste corrispondono ai cicli di ordine 

Infine, le altre  simmetrie sono composizioni di riflessioni lungo piani e rotazioni, e corrispondono ai cicli di ordine

Generalizzazioni 

Il simplesso è un oggetto che generalizza la nozione di tetraedro in dimensione arbitraria. Si tratta dell'unico politopo -dimensionale avente  vertici, mentre ogni altro politopo ne ha una quantità maggiore. Per  il simplesso è rispettivamente un segmento, un triangolo e un tetraedro.

Einstein e il tetraedro 

Esiste un curioso aneddoto riguardo Albert Einstein: ad un convegno di fisici, subissato dalle critiche per la sua balzana concezione di uno spaziotempo a quattro dimensioni, egli propose il seguente problema:
Dati sei stuzzicadenti, costruire quattro triangoli equilateri.
Nessuno dei presenti riuscì a posizionare su un piano gli stuzzicadenti per formare i triangoli richiesti, il che è infatti impossibile, al che Einstein compose un tetraedro coi sei stuzzicadenti e disse:
Se non sapete usare la terza dimensione, che sperimentate tutti i giorni, come sperate di capire la quarta?

Note

Voci correlate 
 Solido platonico
 Tetraedrite
 Teorema del tetraedro di Cauchy

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 
 
 
 

Solidi platonici