Varianza

In statistica e in  teoria della probabilità la varianza di una variabile statistica o di una variabile aleatoria  è una funzione, indicata con  o con  (o semplicemente con  se la variabile è sottintesa), che fornisce una misura della variabilità dei valori assunti dalla variabile stessa; nello specifico, la misura di quanto essi si discostino quadraticamente rispettivamente dalla media aritmetica o dal valore atteso .

Il termine di "varianza" venne introdotto nel 1918 da Ronald Fisher e sostituì nel tempo la denominazione di "deviazione standard quadratica" utilizzata da Karl Pearson.

Probabilità

Definizione 
La varianza della variabile aleatoria  è definita come il valore atteso del quadrato della variabile aleatoria centrata 

Un esempio di "misura" dello scostamento di una variabile aleatoria dalla media è dato dalla disuguaglianza di Čebyšëv che controlla questo scostamento in termini dello scarto tipo:

dove

Proprietà

Segno della varianza 
La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume quasi certamente un solo valore , cioè se .

Massimo e minimo della varianza fissati i valori estremi della distribuzione 
Dato un insieme di  unità statistiche, dove  e  sono i valori  minimo e massimo tra le unità, il massimo valore che può assumere la varianza è uguale a

Se delle osservazioni si conosce soltanto la media , il valore è uguale a

Espressione della varianza come differenza tra il momento di ordine 2 e il quadrato del valore atteso 

Una formula alternativa per la varianza è

Questa formula è più pratica per calcolare la varianza.

Invarianza per traslazione 
La varianza è invariante per traslazione, che lascia fisse le distanze dalla media, e cambia quadraticamente per riscalamento:

Varianza della somma di due variabili indipendenti 
La varianza della somma di due variabili indipendenti o anche solo incorrelate è pari alla somma delle loro varianze

Varianza della differenza di due variabili indipendenti 
Usando le due precedenti affermazioni, possiamo dire che la varianza della differenza di due variabili indipendenti è pari alla somma delle loro varianze

Varianza della somma di due variabili non indipendenti 
Se  e  non sono indipendenti, la formula viene corretta dalla loro covarianza,

dove

Varianza della media aritmetica di variabili indipendenti 
In particolare, la media aritmetica  di  variabili aleatorie indipendenti aventi la medesima distribuzione, ha varianza aritmetica

Variabili aleatorie discrete e continue 
La varianza di una variabile aleatoria discreta  a valori in un insieme  si calcola attraverso la sua funzione di probabilità:

La varianza di una variabile aleatoria continua  a valori in un insieme  si calcola attraverso la sua densità di probabilità:

Esempio 
Una variabile aleatoria di Bernoulli , cioè che ha probabilità  di fornire "1" e probabilità  di fornire "0", ha valore atteso

e la sua varianza può essere calcolata come

oppure come

Statistica 
In statistica la varianza è un indice di variabilità. Data una distribuzione di un carattere quantitativo  su una popolazione di  elementi, la varianza è la media aritmetica del quadrato delle distanze dei valori dalla loro media

dove  è la media aritmetica di .

Nel caso si disponga della distribuzione di frequenze di un carattere, è possibile calcolare più facilmente la varianza attraverso la seguente formula:

dove rappresenta il numero di modalità in cui si presenta il carattere x, mentre  e  sono rispettivamente la j-esima modalità di x e la relativa frequenza assoluta.

A partire dalla precedente formula, ricordando che , si ricava anche:

dove  è la frequenza relativa della j-esima modalità.

Esiste, infine, una formula semplificata per il calcolo della varianza:

Le formule corrispondenti alla precedente che fanno uso della frequenza assoluta e di quella relativa sono:

Il difetto della varianza è quello di non avere la stessa unità di misura dei valori analizzati (se, per esempio, questi sono in cm, la varianza sarà in cm2), perciò in statistica viene molto spesso utilizzata anche la radice quadrata della varianza, vale a dire lo scarto quadratico medio (o deviazione standard o scarto tipo) . Con riferimento a questa notazione la varianza si trova quindi anche indicata come .

Stimatori 
In statistica si utilizzano solitamente due stimatori per la varianza su un campione di cardinalità :
 e 

dove  è la media campionaria. Il primo è detto varianza campionaria, mentre il secondo è detto varianza campionaria corretta a causa della sua proprietà di correttezza. Infatti lo stimatore  è privo di distorsione, cioè il suo valore atteso è proprio la varianza:

.

Al contrario, lo stimatore  ha un valore atteso diverso dalla varianza, .

Una spiegazione del termine  è data dalla necessità di stimare anche la media che per il teorema del limite centrale ha varianza 1/n. Se la media è nota, lo stimatore  diventa corretto. Questa è detta "correzione di Bessel".

Se le  sono variabili aleatorie normali , lo stimatore  è una variabile aleatoria con distribuzione .

Esempio 
Il campione di  elementi  ha media campionaria pari a:

e gli stimatori della varianza valgono rispettivamente

e

Voci correlate 
 Covarianza (probabilità)
 Legge della varianza totale
 Deviazione standard
 Valore atteso
 Variabili dipendenti e indipendenti
 Formula computazionale per la varianza
 Algoritmi per il calcolo della varianza

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 
 

Indici di dispersione
Psicometria