Distribuzione chi quadrato

Nella teoria della probabilità la distribuzione chi quadrato (o chi-quadro, indicata con ) è la distribuzione di probabilità della somma dei quadrati di variabili aleatorie normali indipendenti.

In statistica, il test chi quadrato è un particolare test di verifica d'ipotesi che fa uso di questa distribuzione.

Definizione 
La distribuzione  è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come

dove  sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale standard . Il parametro  è detto "numero di gradi di libertà".

Storia 
Ernst Abbe (1840-1905), un ottico, fu colui che scoprì la  analizzando la sommatoria di variabili casuali normali standardizzate e indipendenti al quadrato, che produce una nuova variabile casuale, la  appunto.

Proprietà

Somma 
Per definizione, la somma di due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni  e  è una variabile aleatoria con distribuzione :

Più in generale la somma di variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni  è una variabile aleatoria con distribuzione

Caratteristiche 
Una generalizzazione della distribuzione  è la distribuzione Gamma: 

In particolare una variabile aleatoria  con distribuzione  ha
 funzione di densità di probabilità data da
  per 
dove  indica la funzione Gamma, che assume i valori
  per  dispari
  per  pari
(i simboli  e  indicano rispettivamente il fattoriale e il doppio fattoriale);
 funzione di ripartizione data da
 
dove 
 valore atteso: 
 varianza: 
 simmetria: 
 curtosi: 
 moda:

Limite centrale 
Per il teorema centrale del limite la distribuzione  converge ad una distribuzione normale  per  che tende all'infinito. Più precisamente, se  segue la distribuzione , allora la distribuzione di probabilità di

tende a quella della normale standard 

Per avere una convergenza più rapida talvolta vengono considerate  o

Generalizzazioni 
La distribuzione χ2 è un caso particolare della legge Γ e ricade nella terza famiglia di distribuzioni di Pearson.

La distribuzione χ2 non centrale è data dalla somma dei quadrati di variabili aleatorie indipendenti  aventi distribuzioni normali ridotte, ma non necessariamente centrate, :

Un'altra generalizzazione prevede di considerare una forma quadratica  sul vettore aleatorio

Utilizzo in statistica 
In statistica la distribuzione χ2 viene utilizzata per condurre il test di verifica d'ipotesi χ2 e per stimare una varianza, ed è legato alle distribuzioni di Student e di Fisher-Snedecor.

Il caso più comune è quello di variabili aleatorie indipendenti  di distribuzione normale  e media , dove lo stimatore della varianza

segue la distribuzione

Per valori di  superiori a 30 (o a 50) la distribuzione  viene approssimata con una distribuzione normale.

Tabella dei valori critici 
La seguente tabella illustra alcuni valori critici più comunemente utilizzati. In corrispondenza dei valori  sulla riga e α sulla colonna si trova il valore critico , ovvero il valore per il quale una variabile aleatoria  di distribuzione  verifica

Derivazione

Derivazione della funzione di densità per un grado di libertà 
Sia Y = X2, dove X è una variabile casuale normalmente distribuita con media nulla e varianza unitaria (X ~ N(0,1)).

Allora, se , mentre, se .
 
dove  e  sono, rispettivamente, la funzione di probabilità cumulata e la funzione di densità.

Si ha quindi: .

Derivazione della funzione di densità per due gradi di libertà 
È possibile derivare la distribuzione con 2 gradi di libertà partendo da quella con un grado.

Siano  e  due variabili casuali indipendenti tali che  e .

Dall'assunto di indipendenza segue che la loro funzione di probabilità congiunta è: 

Siano  e , abbiamo che:

o

Data la simmetria, possiamo prendere la prima coppia di soluzioni e moltiplicare il risultato per 2.

Lo jacobiano è:

Possiamo quindi passare da  a :

La distribuzione marginale di  è quindi:

Ponendo , l'equazione diventa:

da cui:

Derivazione della funzione di densità per k gradi di libertà 
Un campione di  realizzazioni  di una variabile normale standard è rappresentabile come un punto in uno spazio k-dimensionale. La distribuzione della somma dei quadrati sarà:

dove  è la funzione di densità di una distribuzione normale standard e  è una superficie -dimensionale nello spazio -dimensionale per cui vale:

Tale superficie è una sfera  dimensionale con raggio .

Poiché  è costante, può essere portato fuori dall'integrale:

L'integrale non è altro che l'area  della sfera moltiplicata per lo spessore infinitesimo della stessa, ovvero: 

Sostituendo, notando che , e semplificando otteniamo infine:

da cui:

Note

Bibliografia

Voci correlate 
 Distribuzione chi quadrato non centrale
 Distribuzione di Fisher-Snedecor
 Distribuzione normale
 Distribuzione t di Student
 Ernst Abbe
 Teoremi centrali del limite
 Test chi quadrato
 Variabili dipendenti e indipendenti
 Varianza
 Analisi delle corrispondenze

Altri progetti

Collegamenti esterni
 

Chi quadro