Wielościan foremny

Wielościan foremny a. bryła platońska – wielościan, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi oraz wszystkie kąty wielościenne są równe.

Wielościany foremne są szczególnym przypadkiem wielościanów półforemnych (archimedesowskich), w których foremne ściany nie muszą być identyczne (tj. wzajemnie przystające).

Wielościany foremne w przestrzeni trójwymiarowej 
Istnieje pięć wielościanów foremnych (z dokładnością do podobieństwa):

Dowody istnienia najwyżej pięciu wielościanów foremnych 
Pierwszy z dowodów opiera się na analizie łącznej liczby kątów wewnętrznych ścian zbiegających się przy dowolnym wierzchołku.

Drugi mniej elementarny dowód powołuje się na twierdzenie Eulera o wielościanach:
 
gdzie  oznacza liczbę wierzchołków wielościanu,  liczbę jego ścian, a  liczbę krawędzi.

Ponieważ każda ściana jest n-kątem foremnym, a każda krawędź należy do dwóch ścian, mamy
 
Z kolei z każdego wierzchołka wychodzi  krawędzi, z których każda łączy dwa wierzchołki, a zatem
 
Po wyznaczeniu z dwóch ostatnich zależności  i 
 
i po podstawieniu ich do wzoru Eulera dostaniemy
 
Przekształcając otrzymamy kolejno
 
oraz
 
Ponieważ  oraz  przez rozpatrzenie wszystkich przypadków otrzymuje się następujące możliwości:

Oczywiście znając  można wyznaczyć  korzystając ze wzoru Eulera i zależności  oraz 

Widać też dualność wielościanów przy wzajemnej zamianie  i

Historia 
Wielościany foremne nazywane są także bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej ich liczby.
Do jego czasów znano jednak jedynie cztery z nich. Sam Platon, pisząc Timajosa, nie wspomina jeszcze o dwunastościanie. Ten ostatni został odkryty dopiero przez Teajtetosa (ucznia Platona).

Bryły platońskie poruszały wyobraźnię wielu myślicieli i filozofów. Były też wykorzystywane przez nich w rozważaniach kosmologicznych.

W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył (ogień – czworościan, ziemia – sześcian, powietrze – ośmiościan, woda – dwudziestościan). Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol całego wszechświata.

Niemal 2 tysiące lat później, w XVII wieku Kepler użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim opisać następną sferę, to jej promień odpowiadać będzie promieniowi orbity Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim kolejną trzecią sferę, to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan – Mars, czworościan – Jowisz, sześcian – Saturn. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane wszakże za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. Odkryta prawidłowość utwierdziła Keplera w głębokim przekonaniu, że Bóg jest matematykiem.

Wielokomórki foremne w przestrzeni n-wymiarowej 

Pojęcie wielościanu foremnego można w naturalny sposób uogólnić definiując wielokomórkę foremną w dowolnej przestrzeni n-wymiarowej euklidesowej (oznaczanej ).

Dla n=4 udowodniono, że istnieje dokładnie 6 wielokomórek foremnych:

Dla dowolnego naturalnego  udowodniono, że w przestrzeni  istnieją dokładnie trzy wielokomórki foremne:

Można też rozpatrywać przypadki  „Wielokomórka” w przestrzeni 2-wymiarowej to wielokąt foremny; istnieje ich nieskończenie wiele, gdyż dla każdego  istnieje -kąt foremny. Z kolei „wielokomórka” w przestrzeni 1-wymiarowej zawsze ma jeden i ten sam kształt – to odcinek i można go traktować jako „foremny”.

Zobacz też 
 węglowodory platońskie

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne 
  [dostęp 2023-06-18].