Functie (wiskunde)

In de wiskunde drukt een functie een afhankelijkheid uit van één element van een ander. Meestal wordt het begrip gebruikt in de traditionele context waarin deze elementen getallen zijn. Een functie  is dan een afbeelding van getallen die een argument  afbeeldt op zijn beeld . Men zegt ook dat de functie  een voorschrift is dat voorschrijft wat de functiewaarde  is van het argument . De functie  met functiewaarde  bijvoorbeeld, bepaalt van elk reëel getal  als functiewaarde  het dubbele van dit getal.

Het wiskundige begrip 'functie' heeft in het Nederlandse taalgebied de betekenis, dat het een relatie is die voor ieder 'origineel' maximaal één 'beeld' heeft. Er is verschil tussen een volledige en een partiële functie, waar bij een volledige functie aan ieder element van de bronverzameling een beeld wordt verbonden, terwijl dit bij een partiële functie niet noodzakelijk het geval is.

Behalve elementaire functies op getallen kan een functie ook een afbeelding zijn tussen andere wiskundige structuren zoals groepen, of tussen meetkundige objecten, zoals variëteiten. In de abstracte benadering volgens de verzamelingenleer is een functie een tweeplaatsige relatie tussen twee verzamelingen, het domein en het codomein, die elk element in het domein associeert met precies één element in het codomein. Een voorbeeld van een functie met domein  en codomein  associeert  met ,  met  en  met . Ook de relatie die  met ,  met  en  ook met  associeert, is een functie

Overzicht 
Omdat functies zo veel worden gebruikt, zijn er vele tradities ontstaan rondom het gebruik ervan. Een origineel van een functie wordt vaak de onafhankelijke variabele of het argument of de input genoemd en weergegeven door de letter  of, als de input voor een bepaalde tijd staat, door de letter . De bijbehorende output wordt de afhankelijke variabele of functiewaarde of output genoemd en weergegeven door de letter . De functie zelf wordt heel algemeen  genoemd, en dus geeft de notatie  aan dat een functie met de naam  aan het argument  de functiewaarde  toekent.

De verzameling van alle toegestane argumenten voor een gegeven functie wordt het definitiegebied of domein van de functie genoemd. De verzameling van alle daaruit resulterende functiewaarden is het beeld van dit domein door de functie, en wordt het bereik van de functie genoemd. Het bereik is in veel gevallen een deelverzameling van een grotere verzameling, die het codomein van de functie wordt genoemd. Zo zou de functie  bijvoorbeeld als domein de verzameling van alle reële getallen kunnen hebben, als haar beeld de verzameling van alle niet-negatieve reële getallen, en als haar codomein de verzameling van alle reële getallen. In dat geval kan  beschreven worden als een reëelwaardige functie van een reële veranderlijke. Vooral in de wereld van de informatica verwijst de term "bereik" soms naar het codomein in plaats van naar het beeld. Gezien de veranderlijke betekenis van de begrippen naargelang de context, dient men de begrippen met zorg te gebruiken.

Definitie 
Een functie  is een relatie tussen twee verzamelingen  en , met de eigenschap dat aan ieder element  uit  precies één element  uit  is gekoppeld.

Men noteert de functie als , soms ook als , en het unieke element  dat door  aan het element  wordt toegevoegd als . Het element  wordt een origineel genoemd en het element  de functiewaarde van . De verzameling  heet het domein  (of definitiegebied) van ; de verzameling  wordt wel het codomein  van  genoemd. Met het bereik  van  wordt de deelverzameling van  aangeduid die bestaat uit de beelden van de elementen van .

Een volgens de verzamelingenleer precieze definitie van een functie is dat deze bestaat uit een geordend drietal verzamelingen, dat kan worden geschreven als  Daarin is  het domein van de functie ,  het codomein, en  een deelverzameling van het cartesisch product , dus bestaande uit geordende paren. Van elk van deze geordende paren  is het eerste element  in het domein  van , het tweede element  in het codomein en is elk element  in het domein het eerste element van precies één geordend paar, genoteerd als . De verzameling van alle functiewaarden  staat bekend als het bereik van . Overigens wordt een zo gedefinieerde functie ook wel geschreven als , met een andere volgorde van het drietal.

In de meeste praktische situaties kan men het uit de context begrijpen wat het domein en het codomein zijn, en wordt alleen de relatie tussen origineel en functiewaarde gegeven. Zo wordt

meestal geschreven als

of simpelweg als

Grafiek
De grafiek van een functie is haar verzameling van geordende paren.

Een dergelijke verzameling (grafiek) kan in een cartesisch coördinatenstelsel met twee coördinaatassen: de horizontale as bevat meestal de elementen van het domein  en de verticale as bevat de elementen van het bereik .

Voorbeelden
Twee voorbeelden van functies zijn
 Het benzineverbruik van een auto hangt af van de snelheid waarmee gereden wordt. Voor een bepaald type auto is onder standaardcondities van weg en weersomstandigheden, het benzineverbruik een (partiële) functie van de snelheid. Omdat niet gespecificeerd is welke waarden van de snelheid beschouwd worden, weten we niet of het benzineverbruik voor al deze waarden bekend is. Mogelijk kan de auto sommige snelheden niet eens bereiken.
 De functie , gegeven door het voorschrift  verbindt ieder reëel getal ongelijk aan 0 met de absolute waarde van zijn inverse. Het domein wordt hier gevormd door alle reële getallen behalve 0, het codomein door alle reële getallen en het bereik is gelijk aan alle reële getallen die groter dan 0 zijn.

Definitie als partiële functie 

Een (partiële) functie  is een relatie tussen twee verzamelingen  en  met de eigenschap dat aan ieder element  hoogstens één element uit  wordt gekoppeld.

Opmerking: een dergelijke relatie wordt ook wel een 'functionele relatie' genoemd.

Het is voor een partiële functie dus mogelijk dat elementen van de verzameling  geen functiewaarde hebben. Dat is in het algemeen slechts van geringe, formele betekenis, aangezien men in praktische gevallen voornamelijk geïnteresseerd is in de argumenten waarvoor wel een functiewaarde bestaat. Men moet echter goed opletten niet een functiewaarde te willen berekenen voor een argument waarvoor de functie niet gedefinieerd is.

Grafiek 
De grafiek van een functie  is de verzameling van alle geordende paren , voor  in het domein . Als zowel  als  een deelverzameling is van de reële getallen , valt deze definitie samen met de vertrouwde voorstelling van "grafiek" van de functie.

Afbeelding 
Een functie heet ook afbeelding. Sommige auteurs gebruiken de termen "functie" en "afbeelding" om naar verschillende soorten functies te verwijzen. Andere specifieke soorten functies zijn de functionalen en de operatoren.

Geschiedenis

Functiebegrip vóór Leibniz 
 In de geschiedenis zijn sommige wiskundigen dicht in de buurt gekomen van een moderne formulering van het concept van een functie. Onder hen is Oresme (1323-1382). . . In zijn theorie lijken een aantal algemene ideeën over onafhankelijke en afhankelijke variabele grootheden aanwezig te zijn.

Ponte merkt verder op dat "De opkomst van een notie van de functie als een geïndividualiseerde wiskundige entiteit getraceerd kan worden tot het begin van de infinitesimaalrekening".

Leibniz 
Het woord ‘functio’ werd voor het eerst gebruikt door Leibniz in 1673 in zijn manuscript “Methodus tangentium inversa, seu de functionibus” en is etymologisch afgeleid van het Latijnse werkwoord fungor (ik voer een taak uit). Leibniz beschouwde een functie als een grootheid verbonden met een kromme, die ten opzichte van de kromme een bepaalde taak uitvoert, ofwel, een ‘wiskundige taak’.

Bernoulli 
In 1718 definieerde de van oorsprong Zwitserse wiskundige Johann Bernoulli een functie als

en maakte hij gebruik van een notatie voor een functie waarbij hij  schreef voor een grootheid die van  afhankelijk is, en daarnaast nog een getal boven de , indien er sprake was van meer variabelen die van  afhankelijk zijn.

Euler 
De definitie van Euler uit 1748 stelde:

Deze definitie verschilt dus niet wezenlijk van die van Bernoulli uit 1718. Echter, de definitie die Euler in 1755 aan het begrip functie gaf, verschilde vrijwel compleet. Hij schreef:

Dirichlet 
De moderne, formele definitie van een functie, die dateert uit de 19e eeuw, is van de hand van Johann Dirichlet.

Soorten functies 
Net als bij afbeeldingen zijn er injectieve, surjectieve en bijectieve functies en bestaat er voor een bijectieve functie een inverse.

Identieke functie 

De unieke functie over een verzameling , die elk element op zichzelf afbeeldt, wordt wel de identieke functie voor  genoemd. De identieke functie wordt meestal aangeduid met . Voor alle  geldt dus  Elke verzameling heeft haar eigen identieke functie, zodat het onderschrift niet kan worden weggelaten, tenzij de verzameling waar het om gaat uit de context kan worden afgeleid. Onder functiecompositie is een identieke functie "neutraal": indien  een functie van  naar  is, geldt

Inverse functie 

Als  een functie van  naar  is, dan is een inverse functie van , aangeduid met , een functie in de tegengestelde richting, dus van  naar , met de eigenschap dat bij functiecompositie met  elk element weer op zichzelf wordt afgebeeld. Niet elke functie heeft een inverse; functies die dat wel hebben worden inverteerbaar genoemd. De inverse functie bestaat dan en slechts dan als  een bijectie is. Als  een inverse heeft, geldt dus:
 en 

 Voorbeeld
Zij  de functie die een temperatuur in graden Celsius  omrekent in het aantal graden Fahrenheit :

De inverse functie die het aantal graden Fahrenheit weer omzet naar graden Celsius is dan

Zie ook

Voetnoten