Problem Collatza

Problem Collatza (znany też jako problem 3x+1, problem Ulama, problem Kakutaniego, problem syrakuzański) – nierozstrzygnięty dotychczas problem o wyjątkowo prostym – jak wiele innych problemów teorii liczb – sformułowaniu. Nazwa pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Lothara Collatza (1937). Zagadnienie to było również rozpatrywane przez polskiego matematyka Stanisława Ulama, a także przez Shizuo Kakutaniego.

Sformułowanie problemu Collatza 
Weźmy dowolną dodatnią liczbę naturalną  Jeśli jest ona parzysta, to niech  w przeciwnym wypadku niech  Następnie z liczbą  postępujemy podobnie jak z  i kontynuujemy ten proces. Otrzymamy w ten sposób ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie przez formułę
 

lub
 

Przedmiotem problemu jest przypuszczenie, że niezależnie od jakiej liczby  wystartujemy, w końcu dojdziemy do liczby 1.

Zdefiniowany wyżej ciąg jest ciągiem nieskończonym i łatwo zauważyć, że jeśli pewien wyraz tego ciągu jest równy 1, to następne po nim wyrazy będą równe 4, 2, 1, 4, 2, 1,... O takim ciągu mówimy, że wpada w cykl (w pętlę).

Przypuszczenie można więc sformułować inaczej: niezależnie od jakiej liczby  wystartujemy, to ciąg wpadnie w cykl (4, 2, 1).

Przykłady 

 Zaczynając od  = 11, mamy:
 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

 Zaczynając od  = 15, mamy:
 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

 Zaczynając od  = 27, mamy:
 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

tutaj cały proces wymaga aż 111 kroków z maksymalną osiągniętą wartością 9232.

Próby rozstrzygnięcia problemu Collatza 
Wykazano prawdziwość hipotezy Collatza dla liczb  mniejszych niż 20 × 258 ≈ 5.764.

Każdy ciąg nieskończony {cn} startujący od pewnej liczby naturalnej dodatniej ma następującą własność:
 ciąg {cn} jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy wpada w pewien cykl.

Rzeczywiście, jeśli ciąg wpada w jakiś cykl, to jest tylko skończona liczba początkowych wyrazów nie wchodzących do tego cyklu. Odwrotnie, jeśli ciąg jest ograniczony, to nieskończona liczba wyrazów ciągu osiąga jedynie skończoną liczbę wartości, co oznacza, że niektóre wyrazy muszą się powtarzać. A ponieważ w ciągu {cn} każdy wyraz zależy jedynie od swojego bezpośredniego poprzednika, więc wyrazy powtarzające się wyznaczają początek i koniec pewnego cyklu.

Ponadto
 jeśli ciąg {cn} jest nieograniczony, to jest rozbieżny do nieskończoności.

Rzeczywiście, przypuśćmy, że ciąg nie jest rozbieżny do nieskończoności. Stąd dla pewnej liczby naturalnej  istnieje nieskończenie wiele wyrazów ciągu {cn} mniejszych od  co oznacza, że pewne dwa z nich mają te same wartości, tym samym wyznaczają one pewien cykl. Stąd z kolei wynika, że ciąg jest ograniczony, wbrew założeniu.

Z powyższego wynika, że są tylko dwie możliwości zaprzeczenia hipotezie:
 dla jakiejś liczby początkowej {c0} otrzymany ciąg {cn} jest ograniczony i wpada w cykl inny niż (4, 2, 1);
 dla jakiejś liczby początkowej {c0} otrzymany ciąg {cn} jest nieograniczony, czyli jest rozbieżny do nieskończoności.

Paul Erdős wypowiedział o problemie Collatza słynne zdanie: „mathematics is not yet ready for such problems” – „matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy”. Niewątpliwie świadczy to o złożoności ewentualnego rozwiązania, z drugiej strony kontrast pomiędzy ową złożonością a prostotą sformułowania jest intrygujący.

Uogólnienie problemu Collatza na liczby całkowite ujemne 
Jak dotąd wykryto trzy cykle (pętle) tego typu:
 −1, −2, −1,
 −5, −14, −7, −20, −10, −5,
 −68, −34, −17, −50, −25, −74, −37, −110, −55, −164, −82, −41, −122, −61, −182, −91, −272, −136, −68.

Cykle n-tego stopnia 
W 1978 roku R. Steiner oraz w 1996 i 2002 roku J. Simons i B. de Weger (bazując na metodzie Steinera) udowodnili, że pewne rodzaje cykli nie mogą istnieć.

Aby to wyjaśnić, zdefiniujmy transformację dla liczb całkowitych dodatnich  i  oraz 
   b = T(a;A)   znaczy   b = (3*a+1)/2^A

 gdzie  to maksymalna potęga liczby  która dzieli liczbę  bez reszty
   Przykład:
   a = 15, wtedy b = T(15,A)  3*15+1 = 46, więc A = 1   b = (3*15+1)/2^1 = 23
   23 = T(15;1)

 Określmy konkatenację (rozszerzalną do dowolnej długości):
   b = T(T(a;A);B) = T(a;A,B)

   Przykład:
   b = T(15;A,B) = T(15;1,1) = ((3*15+1)/2^1*3+1)/2^B = (3*23+1)/2^B = 70/2^1 = 35
   35 = T(15;1,1)

 Zdefiniujmy transformację, dla której mamy  wykładników równych  i ostatni  większy od liczby 
   b = T(a;1,1,1,1,1,...,1,A) = T(a;(1)L,A)

 przy czym liczba  może być dowolnie duża
   Przykład:
   b = T(15;1,1,1,A) = T(15;(1)3,A) = (53*3+1)/2^A = 160/2^5 = 5
   5 = T(15;(1)3,5)

 Wówczas funkcja:
   b = T(a;(1)L,A)

gdzie  to cykl I stopnia o długości  iteracji.

Twierdzenia 
 Ray Steiner udowodnił w 1978 r., że nie istnieje cykl I stopnia. Oznacza to, że niezależnie od tego, ile iteracji  zostanie wykonanych oraz ile będzie wynosił wykładnik  zaczynając od liczby  nigdy nie otrzymamy liczby 
 w 1996 r. John Simons (opierając się na metodzie Steinera) udowodnił, iż nie istnieje cykl II stopnia: a = T(a;(1)L,A,(1)M,B), niezależnie od tego ile będzie wynosić  oraz 
 w 2002 r. John Simons oraz Benne de Weger wykazali, że nie istnieje cykl mniejszy lub równy cyklowi 68. stopnia: a = T(a;(1)L1,A1,(1)L2,A2,...,(1)L68,A68).
 w 2002 r. John Simons oraz Benne de Weger wykazali także, że nie istnieje cykl większy o kilka wartości od cyklu 68. stopnia (szacując to na podstawie poprzedniego wyniku).

Hipoteza Collatza w ujęciu diofantycznym 
Warunki hipotezy można ująć za pomocą pewnych równań diofantycznych. Aby to wyjaśnić posłużymy się pewną skróconą formułą opisującą ciąg.

Skrócona formuła rekurencyjna 
Każdą operację typu  w ciągu Collatza wykonywaną zgodnie z definicją na nieparzystym  można skrócić do postaci  gdyż liczba  jest zawsze parzysta (przy nieparzystym ), a zatem zawsze w następnej kolejności wywołuje dzielenie przez  Dlatego ciąg Collatza możemy równoważnie zdefiniować za pomocą następującej skróconej formuły:

Przykłady 
 Zaczynając od  = 7, mamy:
 7, 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1.

 Zaczynając od  = 15, mamy:
 15, 23, 35, 53, 80, 40, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1.

Ciąg Collatza w ujęciu diofantycznym 
Obserwując zachowanie się skróconego ciągu dla określonych liczb, można zauważyć, iż niektóre liczby nieparzyste wywołują kilka operacji typu  z rzędu – do momentu, gdy zostanie osiągnięta liczba parzysta, inne natomiast tylko jedną. Liczby te można zapisać przy użyciu dwóch naturalnych zmiennych  oraz  warunkujących wielkość danej liczby oraz liczba powtarzalnych operacji typu  które dana liczba determinuje za pomocą następującego wyrażenia:
 

Przy czym zmienna  jest determinantą liczby następujących po sobie operacji typu  natomiast  tylko wielkości liczby. Każda liczba postaci  generuje w ciągu Collatza po  operacjach liczbę postaci:
 

Weźmy np. liczbę 15:
  a zatem liczba, która następuje po niej po  operacjach wynosi 

jednak liczbę 15 można również zapisać następująco:
  wtedy jej następnik po  operacjach wyniesie: 

Obie konstatacje są poprawne, ale tylko gdy zapiszemy liczbę  tak, iż współczynnik  będzie nieparzysty otrzymamy ostatnią parzystą składową ciągu operacji typu  Bazując na powyższym zapisie, możemy zdefiniować ciąg jeszcze ogólniej, ujmując powtarzalne dzielenie liczb parzystych przez liczbę 2 potęgowo:

Przykłady 
 Zaczynając od  = 21, mamy:
 

 Zaczynając od  = 7, mamy:

Cykl w ujęciu diofantycznym 
Warunkiem powstania cyklu w ciągu Collatza jest zajście równości pomiędzy pierwszym a -tym wyrazem ciągu. Musi być spełnione zatem jedno z równań:
 

lub
 

lub
 

itd.

Przy czym, jeżeli na przykład:
 

to naturalnie spełnione muszą być również równania:
 

oraz
 

Ogólnie w zależności od długości cyklu rozważamy zatem układ -tego typu równań (poniżej ):
 

Każdy taki układ po uporządkowaniu daje się zapisać jako iloczyn następujących czynników:
 

Potęgi dwójek skracają się do postaci  Warunek jakiegokolwiek cyklu będzie zatem następującym równaniem diofantycznym:
 

Przy czym liczba ilorazowych czynników iloczynu może być dowolna, a wszystkie zmienne to liczby naturalne.

 Powyższy -czynnikowy iloczyn jest tożsamy z cyklem -tego stopnia. Mają tu zastosowanie zatem twierdzenia Steinera, Simonsa oraz de Wegera (o których mowa w punkcie 5.1). Hipotetycznie, gdyby istniało rozwiązanie równania dla  czynników, moglibyśmy mówić o istnieniu pętli -tego stopnia (pomijamy tu przypadek pętli trywialnej).

Przykład 
Pętla trywialna:

Problem rozbieżności do nieskończoności w ujęciu diofantycznym 
Bazując na przedstawionym zapisie diofantycznym, możemy zdefiniować również warunek rozbieżności do nieskończoności ciągu Collatza. Pewność, że ciąg dla danej liczby nie jest rozbieżny do nieskończoności, daje nam zapętlanie się tej liczby (co zostało rozważone powyżej), wpadanie liczby w pętlę lub wystąpienie w ciągu liczby 1 (po skończonej liczbie iteracji), co również jest szczególnym przypadkiem wpadania liczby w pętlę trywialną. Pomijając przypadki hipotetycznych pętli (innych niż 1, 2, 1,...), ciąg Collatza dla dowolnej nierozbieżnej do nieskończoności liczby początkowej  można zapisać jako następujący skończony iloczyn:
 

Wynika to z tego, iż wszystkie czynniki w takim iloczynie z racji relacji, jaka między nimi zachodzi, skracają się wzajemnie do postaci potęgi liczby dwa, poza licznikiem ostatniego czynnika, który sam musi być potęgą dwójki (co de facto gwarantuje wystąpienie liczby 1), aby równanie mogło być spełnione. Jeżeli dla jakiejś liczby początkowej licznik następujący po skończonej liczbie operacji nie będzie potęgą liczby 2, bo ciąg nigdy nie osiągnie liczby 1 lub osiąga ją w nieskończoności, nie jest możliwe skonstruowanie skończonego iloczynu spełniającego równanie. Próba rozstrzygnięcia problemu w tej drodze powinna zatem skutkować dowodem, że iloczyn spełniający powyższe równanie dla dowolnej liczby  będzie skończony.

Przykłady 
 Zaczynając od 9, mamy:
 

 Zaczynając od 21, mamy:

Uogólnienie równań na liczby ujemne 
Warunki hipotezy można ująć za pomocą równań diofantycznych również dla liczb ujemnych. W owych równaniach zmieniamy wtedy tylko znaki „” przed jedynkami na „+”. Warunek cyklu zapiszemy zatem jako następujące równanie:
 

Natomiast warunek rozbieżności do nieskończoności dla dowolnej liczby ujemnej przyjmie postać:

Przykłady 
Trzy znane pętle dla liczb ujemnych w ciągu Collatza reprezentują następujące równania:

 Zaczynając od liczby −1, mamy:
 

 Zaczynając od liczby −5, mamy:
 

 Zaczynając od liczby −17, mamy:

Liczby postaci 3n jako liczby, które się nie zapętlają 
Dla dowolnej liczby  która zapętla się w ciągu Collatza istnieje nieskończenie wiele jej następników oraz poprzedników. Przykładowo w cyklu trywialnym po liczbie jeden następuje nieskończenie wiele jej następników, jednak możemy wyznaczyć również równie wiele jej poprzedników. Hipotetycznie, zgodnie z zapisem diofantycznym ciągu Collatza poprzednikiem dowolnej liczby  będzie zawsze jakaś liczba:
 

Jednakże gdy liczba  jest postaci  to równanie diofantyczne:
 

Nie może być spełnione dla żadnej liczby  ponieważ prawa strona równania dzieli się przez 3 bez reszty, natomiast lewa nie. Oznacza to, iż żadna liczba postaci  nie ma poprzednika w ciągu Collatza, a zatem nie może spełniać również warunków pętli.

Generalizacja problemu 3x+1 
Ogólnie każdy ciąg zdefiniowany dowolnym skończonym ciągiem działań arytmetycznych dla liczby nieparzystej oraz redukcją liczby parzystej do liczby nieparzystej poprzez dzielenie jej przez liczbę 2 daje się zapisać za pomocą podobnych jak w ciągu Collatza równań diofantycznych. Przy czym zależność pomiędzy definicją ciągu a pojedynczym wyrażeniem diofantycznym jest następująca:

Przykłady 
 Weźmy ciąg zdefiniowany następująco:
 

Pierwszym krokiem będzie wyznaczenie wielkości  oraz  dopiero potem  jednak kolejność nie ma tu znaczenia, należy zachować tylko jedną zasadę: aby wyrażenie faktycznie opisywało ciąg wielkości  oraz  muszą być dobrane tak aby iloraz  był ułamkiem nieskracalnym:
 

Zatem:
 

Natomiast:
 

 

Nasze wyrażenie przyjmuje więc postać:
 

Możemy na tej podstawie skonstruować również warunki zapętlania się ciągu oraz rozbieżności do nieskończoności.
 Rozważmy jeszcze inny ciąg:
 

Nasze wyrażenie przyjmuje wtedy następującą postać:
 

Taki ciąg zapętla się już dla niewielkich liczb. Na przykład dla liczby 3:
 

Pętla występuje też dla liczby 39:

Związek z problemem stopu 

Algorytm sprawdzający hipotezę Collatza dla zadanej liczby naturalnej x można przedstawić w postaci pseudokodu w następujący sposób:
  procedure collatz(x);
  begin
    do
      if x mod 2 = 0 then
        x := x / 2
      else
        x := 3 * x + 1
    while x <> 1
  endProgram w C++ i standardowym wyjściem STD wypisujący wszystkie liczby z podaniem największej z nich i liczby powtórzeń#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    long long int I = 0;
    int l = 0;
    long long int x = 0;
    do{
    I = 0;
    l = 0;
    x = 0;
    cin >> I;

    while(I != 1){
        if(I % 2 == 0){
             I = I/2;
        }else{
            I = (I*3)+1;
        }
        if(x < I){
            x = I;
        }
        l++;
        cout << I << endl;
    }
    cout << "MAX: " << x << " repeats: " << l << endl;
    }while(true);
    return 0;
}Problem Collatza jest prawdopodobnie niealgorytmiczny, tzn. prawdopodobnie nie istnieje algorytm pozwalający rozstrzygnąć hipotezę. Z przypuszczalnej niealgorytmiczności problemu wynika między innymi to, iż nie wiadomo, czy przedstawiona wyżej procedura collatz zatrzyma się w skończonym czasie – pytanie o własność stopu tego programu pozostaje otwarte.

Wiele osób zaangażowanych w program BOINC uczestniczyło w projekcie 3x+1@home, którego celem było rozwiązanie tego problemu poprzez znalezienie kontrprzykładu. Obecnie na stronie tego zamkniętego projektu można znaleźć listę liczb-kandydatów użytych w projekcie, dla których długość ciągu przed osiągnięciem pętli {4, 2, 1} wyniosła 1000 iteracji.

Kontynuacją zakończonego projektu 3x+1@home jest Collatz Conjecture również wykorzystujący infrastrukturę BOINC.

 zobacz program prezentujący problem Collatza

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
 
  Syracuse problem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
 Collatz cycles? (pdf) 
 Collatz cycles 
 Problem Collatz i inne czarne dziury 
 The 3x+1 problem and its generalizations (pdf) 

Otwarte problemy teorii liczb
Hipotezy w teorii liczb