Quaternion

Die Quaternionen (Singular die Quaternion, von  f. „Vierheit“) sind ein Zahlenbereich, der den Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von Sir William Rowan Hamilton; sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton. Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit  bezeichnet.

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der Reihenfolge der Faktoren abhängt, also nicht kommutativ ist. Das heißt, es gibt Quaternionen  und , bei denen
 
ist.
Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten Assoziativ- und Distributivgesetz sowie multiplikative Invertierbarkeit, d. h. die Existenz des Inversen  zu jedem .

Die Quaternionen waren der erste derartige Gegenstand in der Geschichte der Mathematik.

Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung kristallographischer Texturen. Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes.

Konstruktion 
Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen (Adjunktion) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen ,  und  gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch ein Vektorraum) mit einem Realteil, der aus einer reellen Komponente besteht, und einem Imaginärteil aus drei Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird.

Jede Quaternion lässt sich eindeutig in der Form
 
mit reellen Zahlen , , ,  schreiben. Damit bilden die Elemente  eine Basis, die Standardbasis der Quaternionen über . Die Addition ist komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen , ,  gemäß den Hamilton-Regeln

 
verknüpft. Die Skalarmultiplikation , die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem Rechtsdistributivgesetz und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar  als  in  eingebettet wird, kann  als Unterring von  aufgefasst werden.

Die so definierte Multiplikation ist assoziativ, erfüllt die beiden Distributivgesetze und macht so die Quaternionen zu einem Ring. Sie ist allerdings nicht kommutativ, d. h., für zwei Quaternionen  und  sind die beiden Produkte  und  im Allgemeinen verschieden (s. u.). Das Zentrum von , also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von , die mit allen Elementen kommutieren, ist .

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion  eine inverse Quaternion  gibt mit
  .
Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z. B. , vermieden.

Des Weiteren sind die Quaternionen eine vierdimensionale Divisionsalgebra über  – und bis auf Isomorphie die einzige.

Schreibweise 
Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt:

Ist  eine Quaternion, dann werden ihre reellen Komponenten mit  bezeichnet, und diese sind der Basis  folgendermaßen zugeordnet:
 
Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten  zu einem 3-dimensionalen Vektor  zusammengefasst, so dass man  mit dem 4-dimensionalen Vektor  identifizieren kann.

Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie  etc. gelten.

In mancher älteren Literatur wurden Quaternionen mit großen Frakturbuchstaben und die imaginären Einheiten als Einheitsvektoren mit kleinen  in Fraktur bezeichnet, z. B. so:
 
mit .

Komplexe Zahlen tragen meist den Namen  und haben die reellen Komponenten , .

Grundrechenarten 
Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern derer drei, die mit ,  und  bezeichnet werden.

Die Linearkombinationen
 
über der Basis  spannen mit reellen Komponenten  den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen  auf. Als Vektorraum ist  isomorph zu . Das Basiselement , das die reellen Zahlen injektiv einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise.

Vom Vektorraum wird auch die Skalarmultiplikation übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine Einschränkung der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz  definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge
 
geschieht nach den Hamilton-Regeln

Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von  mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als assoziativ erweist und  zu einer Gruppe macht – der Quaternionengruppe.

Unter Voraussetzung der Regel  (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus  und , in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel

Diese Einzelregel  könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln , ,
,  oder  ersetzt werden.

Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, des Assoziativgesetzes und (linken sowie rechten) Distributivgesetzes lässt sich die Multiplikation auf ganz  fortsetzen. Die  kann man wie anti-kommutierende Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen.

Die ausgearbeiteten Formeln für die zwei Verknüpfungen von zwei Quaternionen
    und   
lauten

  Herleitung:
{|style="text-align:left"
|-
| ||colspan="3"| 
|-
| ||  || ||  || ||  || || 
|-
| ||  || ||  || ||  || || 
|}

Damit sind die für einen Ring erforderlichen zwei Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind.

Das additive Inverse ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar −1. Die Subtraktion ist die Addition dieses Inversen.

Die für einen Schiefkörper erforderliche Division muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe Inverses und Division).

Gegenring 
Ist  ein nicht-kommutativer Ring, dann lässt sich mit der Multiplikation

ein anderer Ring, der Gegenring genannte Ring , erzeugen. Hier folgen alle Ringgesetze, das heißt das Assoziativgesetz sowie beide Distributivgesetze, aus den ursprünglichen Gesetzen. In diesem Ring gelten alle unter Grundrechenarten angeführten Rechenregeln bis auf die Multiplikation, bei der die Vorzeichen der Terme, die nur Koeffizienten  mit  und  haben, invertiert sind. Ferner gilt die Kurzform
 .

Im Übrigen hat Gauß laut Lam die Quaternionenmultiplikation im Jahr 1819 genau so definiert.

Des Weiteren ist die Orientierung des Dreibeins  in  gespiegelt. Die Identität auf der Grundmenge  ist ein Antiisomorphismus und die Konjugation ein Isomorphismus
 .

Die Nichtkommutativität ist gleichbedeutend mit der Verschiedenheit von  und . Da beide Ringe die Ringaxiome der Quaternionen erfüllen, muss dieses Axiomensystem „unvollständig“ sein im Sinne Hölders. In diesem Sinn vollständig sind die Axiomensysteme der rationalen, reellen oder komplexen Zahlen.

Grundlegende Begriffe

Skalarteil und Vektorteil 

Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente  einer Quaternion
 
bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als Realteil oder Skalarteil
  ,
während die Komponenten  zusammen den Imaginärteil oder Vektorteil
 
bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor .

Konjugation 
Zu jeder Quaternion
 
ist die konjugierte Quaternion definiert als
  .
Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen
 
und
  ,
aus denen sich unmittelbar
 
und
 
ausrechnet.

Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d. h., der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine reine Quaternion, d. h., der Skalarteil ist null.

Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind:

Skalarprodukt 
Das Skalarprodukt  zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im , ist definiert durch
  .
Es gilt
  .
Es ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform, über die sich Norm und Betrag definieren lassen und mit der Winkel und Orthogonalität bestimmt werden können.

Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren:
  .

Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem Mittepunkt  zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist.

Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention:
 Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert.
 Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt  notiert.

Kreuzprodukt 
Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen  ist das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor 2 ihr Kommutator. Ist  und , so ist

Quaternionenmultiplikation als Skalar- und Kreuzprodukt 
Identifiziert man Quaternionen

mit Paaren aus einem Skalar  und einem Vektor 

so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) Skalarprodukts und Kreuzprodukts beschreiben:
  .

Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander vertauschbar, wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s. a. Einbettung der komplexen Zahlen).

Norm und Betrag 
Das Skalarprodukt einer Quaternion  mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird Norm genannt:
  
Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ.

Die Quadratwurzel daraus
 
wird Betrag oder Länge der Quaternion  genannt und stimmt überein mit Betrag oder euklidischer Länge des Vektors . Er erfüllt die wichtige Eigenschaft
  ,
die Multiplikativität des Betrags.
Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen Banachalgebra.

Inverses und Division 
Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen

unterscheiden. Wenn das Inverse  existiert, dann sind

respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn  und  kommutieren, insbesondere wenn der Divisor  reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise  verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig.

Wenn zusätzlich  existiert, gilt die Formel
 ,
denn
       und      .

Für
 
ist die Norm
 
reell und positiv. Die Quaternion
 
erfüllt dann die Bedingungen des Rechts-
 
und des Links-Inversen
 
und kann deshalb als das Inverse schlechthin von  bezeichnet werden.

Reine Quaternion 
Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert.

Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent, deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man rein, rein imaginär oder vektoriell. Die Menge der reinen Quaternionen wird als  oder  notiert. Sie ist ein dreidimensionaler reeller Vektorraum mit Basis . Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an:
  .

Einheitsquaternion 
Eine Einheitsquaternion (auch normierte Quaternion, Quaternion der Länge 1) ist eine Quaternion, deren Betrag gleich 1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen)
 .
Für eine beliebige Quaternion  ist
 
eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das Signum oder den Versor von  bezeichnet.

Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe.

Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die Einheits-3-Sphäre  im vierdimensionalen euklidischen Raum und damit als Lie-Gruppe interpretieren, mit dem Raum der reinen Quaternionen als zugehöriger Lie-Algebra. Die Darstellung als komplexe Matrizen verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der speziellen unitären Gruppe .

Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind . Sie machen auch das Zentrum von  aus.

Reine Einheitsquaternion 
Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate  ergeben:
 .

Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre  und machen die Einheits-2-Sphäre  des dreidimensionalen Raums  aus.

Einbettung der komplexen Zahlen 
Jede Quaternion  mit Quadrat  definiert einen Einbettungsisomorphismus  der komplexen Zahlen in die Quaternionen
 
mit  und  als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die Bildmengen der  und  entsprechenden Einbettungen identisch: .

Eine jede solche Quaternion darf  genannt werden, eine senkrechte dazu  und ihr Produkt . 
Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von  . Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt.

Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt.

So betrachtet, sind die Quaternionen eine Vereinigung komplexer Ebenen.

Polardarstellung 
Jede Einheitsquaternion  kann auf eindeutige Weise in der Form
 
 mit dem Polarwinkel von 
 
 und der reinen Einheitsquaternion
 
dargestellt werden.

Mit der verallgemeinerten Exponentialfunktion lässt sich das wegen  auch schreiben als
 
mit der reinen Quaternion . Will man also eine reine Quaternion  exponentiieren, so ist ihr Betrag  und die reine Einheitsquaternion  zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion
 .
Der Fall      lässt sich stetig ergänzen.
Damit ist die Exponentialabbildung  surjektiv.
Nun ist  für alle  mit , und das sind unendlich viele.
Gleichwohl ist die Einschränkung  bijektiv.
Sie ist stetig, wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein Homomorphismus.

Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form
 
 mit dem Polarwinkel von 
 
 und der reinen Einheitsquaternion (der reinen und normierten Quaternion von )
 
schreiben. Durch die Festlegung  ist , so dass  in dieselbe Richtung wie der Vektorteil  zeigt.

Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als
 
mit einer reinen Quaternion  mit   .

Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen
 
(mit  als imaginärer Einheit) analog. Für die Funktionalgleichung
 
müssen  allerdings kommutieren.

Funktionentheorie

Exponentialfunktion, Logarithmus 
Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion  ist:
 
mit  .

Der (natürliche) Logarithmus einer nicht-reellen Quaternion  ist:
  

Für nicht-reelles  sind sie Umkehrfunktionen voneinander
 
und, falls ,
  .
Für nicht-reelles, mit  kommutierendes  gelten die Funktionalgleichungen
 
und
  ,
letzteres für  mit hinreichend kleinem Imaginärteil.

Fortsetzungen komplexer Funktionen 

Da  als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt #Einbettung der komplexen Zahlen), kann man versuchen, Funktionen  mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen  vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen  mit  bei Überschneidungen der Definitionsbereiche dasselbe Ergebnis liefern, so dass die vereinigte Funktion  auf der Vereinigungsmenge  vermöge  als  in wohldefinierter Weise gebildet werden kann.

Sei  eine komplexwertige Funktion  einer komplexen Variablen  mit reellen  und reellen 
Einbettbarkeit:  ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn  eine gerade und  eine ungerade Funktion des jeweils zweiten Arguments  ist.

Die eingebettete Funktion  stimmt auf allen Teilmengen  mit  überein, kann also als Fortsetzung von  angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten.

Ist  eine einbettbare Funktion, so ist  wegen der Ungeradheit von  in der zweiten Variablen, also  und  für . Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die Einschränkung aufs Reelle reell ist. Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle Laurent-Reihen  mit reellen Koeffizienten , so die Exponential- und Logarithmusfunktion.

Analysis 
Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder Integralrechnung aufzustellen.
Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des Differenzenquotienten , der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke und rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der komplexen Differenzierbarkeit an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar  links und  rechts, differenzierbar sind. Immer definieren lässt sich aber eine Richtungsableitung und das Gâteaux-Differential.

Ausgehend von den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und dem Satz von Morera wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle , wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen  umschließenden Hyperfläche verschwindet.

Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von Quaternionen

Minkowski-Skalarprodukt 
Das Minkowski-Skalarprodukt zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von :

Vektoranalysis 

Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum  mit reinen Quaternionen , also die üblichen -Koordinaten mit den -Komponenten identifiziert. Definiert man den Nabla-Operator (wie Hamilton) als
 
und wendet ihn auf eine skalare Funktion  als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den Gradienten
 
Die Anwendung auf ein Vektorfeld
 
als (formales) Skalarprodukt ergibt die Divergenz
  .

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die Rotation
  .

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier reiner Quaternionen ergibt
 
mit  als Skalarteil und  als Vektorteil der Quaternion.

Zweimalige Anwendung auf eine Funktion  ergibt den Laplace-Operator 
 
d. h.,  wirkt wie ein Dirac-Operator als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators.

Drehungen im dreidimensionalen Raum 
Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von Drehungen im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion  ist die Abbildung
    bzw.   
auf  eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d. h., deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.)

Die Polardarstellung stellt die Einheitsquaternion  durch einen Winkel  und eine reine Einheitsquaternion  eindeutig dar als
  .
Dann ist  eine Drehung des  um die Achse  mit Drehwinkel .

Für jede Einheitsquaternion  definieren  und  dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen  und  beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel 0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch orthogonale Matrizen handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung  gibt es genau zwei Einheitsquaternionen  mit .

Die Hintereinanderausführung von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d. h.
 
Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen:
 

Damit ist die Abbildung
 
ein Homomorphismus der Gruppe  der Einheitsquaternionen in die Drehgruppe . Sie ist eine Überlagerung der , und da ein Bildelement  genau die zwei Urbilder  hat, zweiblättrig, weshalb der Homomorphismus auch 2:1-Überlagerung(shomomorphismus) genannt wird. Ferner ist sie universell, da  einfach zusammenhängend ist.

Bezug zu orthogonalen Matrizen 
Explizit entspricht der Einheitsquaternion ,
 
mit  und ,
die Drehmatrix
 
diese Formel ist auch als Euler-Rodrigues-Formel bekannt.
Sie bildet eine reine Quaternion  auf  ab.

Ist umgekehrt die Drehmatrix
 
gegeben und ist die Spur
  mit  ,
dann bewerkstelligt die Quaternion
 
die Drehung , denn es ist  für jede reine Quaternion  .

Wenn man die homogen formulierte Version von  als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit  die Quaternion . Wegen  kann die Homogenität in den  durch die Setzung  aufrechterhalten werden.

Die  hat wie die  über  die Dimension 3. Die neun Komponenten von  können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix  eine Quaternion  entspricht, decken die Drehmatrizen  die ganze  ab. Bei  ist . Falls also wirklich , ist auch  die Einheitsquaternion zu .

Überlegungen zur numerischen Stabilität des Problems finden sich in :en:Rotation matrix#Conversions.

Bezug zu Eulerwinkeln 
Für Eulerwinkel gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die -Achse um den Winkel , dann um die neue -Achse um den Winkel  und schließlich um die neue -Achse um den Winkel  dreht, d. i. die sog. „x-Konvention“ (z, x’, z’’) mit allen Winkeln doppelt. Die Einzeldrehungen entsprechen den Einheitsquaternionen
 
und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also
 
 
 
 
 
Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln.

Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen Drehmatrix ablesen.

Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe 
Wie im Abschnitt Einheitsquaternionen gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten Isomorphismus zwischen der Gruppe  der Einheitsquaternionen und der speziellen unitären Gruppe . Diese beiden Gruppen sind isomorph zur Spingruppe  (zur Physik: siehe Spin).

Die 2:1-Überlagerung liefert also einen Homomorphismus der Spingruppe  in die Drehgruppe . Diese Überlagerung ist zweiblättrig und universell, da  im Gegensatz zur  einfach zusammenhängend ist. Die natürliche Operation von  auf  ist eine sog. Spinordarstellung.

Die aus der Quantenmechanik bekannten sog. Pauli-Matrizen  stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden  der . Das wird besonders deutlich in der Darstellung als komplexe Matrizen:
  ,
dabei ist  die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.

Die Pauli-Matrizen haben −1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind spurfrei und hermitesch und kommen daher in der Quantenmechanik als messbare Größen in Frage, was sich für die Anwendungen (s. mathematische Struktur der Quantenmechanik) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel SU(2) dargestellt.

Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes 

Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von  in sich selbst in der Form
 
für Einheitsquaternionen  beschreiben. Es gilt
 
Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung
 
mit Kern .

Die endlichen Untergruppen 
Der 2:1-Überlagerungshomomorphismus
 ,
der einer Einheitsquaternion  die 3D-Drehung
 
zuordnet, muss eine endliche Gruppe  von Quaternionen in eine endliche Gruppe  überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im  ist. Man findet zyklische Gruppen  und Polyedergruppen, also die Diedergruppen  (Zählweise der n-Ecke), die Tetraedergruppe , die Oktaedergruppe  und die Ikosaedergruppe .

Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind Einbettungen von Einheitswurzeln . Die Urbilder der , , ,  unter  werden mit , , ,  bezeichnet und heißen binäre Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe  ist also .

Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach  :

mit
  ,    ,    ,    .

Die zyklischen Gruppen  sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die Quaternionengruppe  =  ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe .
Die Automorphismengruppe von  ist isomorph zur Oktaedergruppe  (Symmetrische Gruppe). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von , ,  und .

Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle , bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) 4-Polytope und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die Einheits-3-Sphäre  als Um-3-Sphäre. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von Tetraedern – bis auf den Fall , bei dem es Oktaeder sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine In-3-Sphäre gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich  und , spannen sog. perfekte 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen tetragonale Disphenoide, welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden.

Automorphismen 

Ein jeder Ring-Automorphismus  von  ist ein innerer, d. h., es gibt eine Quaternion , so dass  für alle . Daraus folgt:
 Das Zentrum  bleibt fest, d. h.  für alle .
 Man kann sich auf die Einheitsquaternionen  beschränken.
 Ein Automorphismus ändert nicht das Skalarprodukt, d. h. .
 Die Automorphismen sind genau die winkel- und längentreuen Drehungen von  aus dem Abschnitt Drehungen im dreidimensionalen Raum.
 Wegen der Längentreue sind die Automorphismen stetig, somit zusätzlich topologisch.
  hat das Zentrum . Folglich ist die Automorphismengruppe .

Die Konjugation als Spiegelung an der reellen Achse ist antihomomorph in der Multiplikation, d. h. , und wird als involutiver Antiautomorphismus bezeichnet, weil sie zudem eine Involution ist.

Andere Konstruktionen

Matrixdarstellungen

Komplexe Matrizen 
Im Ring  der komplexen 2×2-Matrizen bildet man den von den Elementen
 
erzeugten Unterring , wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als  kenntlich gemacht ist.
Eine Matrix
 
mit reellen  und komplexen  hat die Determinante , die nur dann 0 ist, wenn . Somit sind alle von der Nullmatrix verschiedenen Matrizen invertierbar – und der Ring  ist ein Schiefkörper.

Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als isomorph zu den Quaternionen. Denn die Abbildung  mit den Zuordnungen
 
ist homomorph in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der Matrizenmultiplikation zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die adjungierte Matrix und die Norm auf die Determinante. Darüber hinaus ist die Abbildung injektiv und stetig, also topologisch.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung , die alle zueinander konjugiert und homöomorph sind.

Reelle Matrizen 
Ganz analog kann man die Quaternion  auch als reelle 4×4-Matrix
 
 
schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der Transposition der Matrix und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante.

Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für lineare Algebra mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat.

Quotientenalgebra 
Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den Quotienten des nichtkommutativen Polynomrings in drei Unbestimmten dar, deren Bilder  sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus.

Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als Clifford-Algebra der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern . Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit  identifiziert.

Die Quaternionen als Algebra 
Es gibt bis auf Isomorphie genau vier endlichdimensionale -Algebren, deren Multiplikation ohne Nullteiler ist, nämlich den Körper  der reellen Zahlen selbst, den Körper  der komplexen Zahlen, den Schiefkörper  der Quaternionen und den Alternativkörper  der Cayleyschen Oktaven.

Das Zentrum von  ist ; die Quaternionen sind also eine zentraleinfache Algebra über . Reduzierte Norm und Spur sind durch
       bzw.      
gegeben.

Beim Basiswechsel von  zum algebraischen Abschluss  werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra:
 
Die komplexe Konjugation auf dem Faktor  des Tensorproduktes entspricht einer Involution  der Matrizenalgebra. Die Invarianten von , d. s. die von  fix gelassenen Elemente  mit , bilden eine zu  isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als komplexe Matrizen passt die Involution
    mit    .

Die Tatsache, dass die Brauergruppe von  nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass
 
ist.

Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale zentraleinfache Algebra über einem Körper als eine Quaternionenalgebra.

Die Quaternionen sind die Clifford-Algebra zum Raum  mit einer negativ-definiten symmetrischen Bilinearform.

Andere Grundkörper

Quaternionen über den rationalen Zahlen 
Bei allen obigen Arten der Konstruktion spielt die Vollständigkeit des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den reellen Zahlen  über  zu ) auch von anderen Grundkörpern, z. B. den rationalen Zahlen , ausgehen, um via gaußscher Zahlen  bei den Quaternionen mit rationalen Koeffizienten
 
anzukommen mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die Vervollständigung für die Betragsmetrik durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu .

Insofern können bei vielen Aussagen  durch ,  durch  und  durch  ersetzt werden.

Da es nach dem Satz von Wedderburn keinen endlichen Schiefkörper mit nicht-kommutativer Multiplikation gibt und die Dimension des Vektorraums  über seinem Primkörper und Zentrum  mit  minimal ist, gehört  als abzählbare Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation – auf jeden Fall enthält  keinen kleineren.

Der Schiefkörper  besitzt einen sogenannten Ganzheitsring, d. h. eine Untermenge von Zahlen, genannt Hurwitzquaternionen, die einen Ring bilden und  zum Quotientenkörper haben, ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen  und ihrem Quotientenkörper  verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. Approximationsfragen, Teilbarkeitsfragen u. Ä. untersuchen.

Weitere Grundkörper 
Auch Körper  eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in  die Summe aus vier Quadraten  nur für  verschwindet. Dann gibt es auch kein  mit  und  ist eine echte quadratische Erweiterung, die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z. B. bei allen formal reellen Körpern erfüllt.

Aber auch bei Körpern, die nicht angeordnet werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus vier Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper  der 2-adischen Zahlen. Der so über  gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers  der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung  , dem 2-Exponenten der Norm,
 
mit  .
Die Primzahl  ist die einzige, für die die Quaternionen-Algebra über  nullteilerfrei und ein Schiefkörper ist.

Anwendungen

Eulerscher Vier-Quadrate-Satz 
Die Identität, die aus dem Produkt zweier Summen von vier Quadraten
 

wieder eine Summe von vier Quadraten macht, gilt universell – einschließlich aller Varianten, die durch Vorzeichenspiel und Permutation entstehen – in jedem Polynomring  über einem kommutativen unitären Ring  und kann im Nachhinein als „Abfallprodukt“ der Multiplikativität des quaternionischen Betrags angesehen werden. Ihre Entdeckung 1748, also lange vor der Quaternionenzeit, geht jedoch auf Leonhard Euler zurück, der mit ihrer Hilfe den 1770 erstmals erbrachten Beweis von Joseph-Louis Lagrange für den lange vermuteten Vier-Quadrate-Satz wesentlich vereinfachen konnte. (Anmerkung: Die algebraisch beweisbaren bilinearen 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten sind die Grundlagen der Kompositionsalgebren, nämlich der komplexen Zahlen, der Quaternionen, und der Oktonionen. Diese letzteren sind sozusagen die „Quadratwurzeln“ aus den ersteren. Alles, was somit korrekt mit Quaternionen berechnet wird, steht bocksteif auf elementaren algebraischen Identitäten. Wie Adolf Hurwitz 1898 bewies, gibt es außer den erwähnten 2-, 4- und 8-Quadrate-Identitäten keine weiteren bilinearen n-Quadrate-Identitäten mehr.)

Informatik und Ingenieurwissenschaften 
Die Darstellung von Drehungen mithilfe von Quaternionen wird im Bereich der interaktiven Computergrafik genutzt, insbesondere bei Computerspielen, sowie bei der Steuerung von Satelliten. Bei Verwendung von Quaternionen an Stelle von Drehmatrizen werden etwas weniger Rechenoperationen benötigt. Insbesondere wenn viele Drehungen miteinander kombiniert (multipliziert) werden, steigt die Verarbeitungsgeschwindigkeit.
Des Weiteren werden Quaternionen, neben den Eulerwinkeln, zur Programmierung von Industrierobotern (z. B. ABB) genutzt.

Geschichte 

William Rowan Hamilton hatte 1835 die Konstruktion der komplexen Zahlen als Zahlenpaare angegeben. Dadurch motiviert, suchte er lange nach einer entsprechenden Struktur auf dem Raum  der Zahlentripel; heute weiß man, dass keine derartige Struktur existiert. 1843 schließlich gelangte er zu der Erkenntnis, dass es möglich ist, eine Multiplikation auf der Menge der 4-Tupel zu konstruieren, wenn man dazu bereit ist, die Kommutativität aufzugeben. In einem Brief an seinen Sohn gibt er als Datum den 16. Oktober 1843 an und berichtet, er habe sich spontan dazu hinreißen lassen, die Multiplikationsregeln in einen Stein an der Brougham Bridge (heute Broombridge Road) in Dublin zu ritzen; später wurde dort eine Gedenktafel angebracht.
Die Rechenregeln für Quaternionen waren in Ansätzen schon früher bekannt, so findet sich die Formel für den Vier-Quadrate-Satz bereits bei Leonhard Euler (1748). Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von Hermann Graßmann untersucht (1855).

Schon kurz nach der Entdeckung der Quaternionen fand Hamilton die Darstellung von Drehungen des Raumes mithilfe von Quaternionen und damit eine erste Bestätigung der Bedeutung der neuen Struktur; Arthur Cayley entdeckte 1855 die entsprechenden Aussagen über orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen Raumes. Die bloße Parametrisierung der -Drehmatrizen war hingegen schon Euler bekannt. Cayley gab 1858 in der Arbeit, in der er Matrizen einführte, auch die Möglichkeit der Darstellung von Quaternionen durch komplexe -Matrizen an.

Hamilton widmete sich fortan ausschließlich dem Studium der Quaternionen; sie wurden in Dublin ein eigenes Examensfach. In seiner Nachfolge wurde 1895 sogar ein „Weltbund zur Förderung der Quaternionen“ gegründet. Der deutsche Mathematiker Felix Klein schreibt rückblickend über diese anfängliche Euphorie:

Verwandte Themen 
Ähnliche Konstruktionen wie die Quaternionen werden manchmal unter dem Begriff „hyperkomplexe Zahlen“ zusammengefasst. Beispielsweise sind die Cayley-Zahlen oder Oktaven ein achtdimensionales Analogon zu den Quaternionen; ihre Multiplikation ist allerdings weder kommutativ noch assoziativ.

Literatur 
 Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, doi:10.1007/3-540-29287-X
 Serge Lang: Algebra. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X
 Max Koecher, Reinhold Remmert: Hamiltonsche Quaternionen. In: H.-D. Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X
  John H. Conway, Derek A. Smith: On Quaternions and Octonions. A K Peters, 2003, ISBN 1-56881-134-9 (englisch)
 Jack B. Kuipers: Quaternions and Rotation Sequences. Princeton University Press, 2002, ISBN 0-691-10298-8 (englisch)
 W. Bolton: Complex Numbers (Mathematics for Engineers). Addison-Wesley, 1996, ISBN 0-582-23741-6 (englisch)
 Andrew J. Hanson: Visualizing Quaternions. Morgan Kaufmann Publishers, 2006, ISBN 0-12-088400-3 (englisch)
  Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Verallgemeinerungen der Zahlen. Verlag Harri Deutsch, 1995
  S. Eilenberg, I. Niven: The „fundamental theorem of algebra“ for quaternions. In: Bull. Amer. Soc., 50, 1944, S. 246–248
  Hölder: Bemerkung zur Quaternionentheorie (Wikisource)

Weblinks 
 Doing Physics with Quaternions (PDF; 563 kB)
  Tsit Yuen Lam (Berkeley): Hamilton’s Quaternions (PostScript, englisch). Abgerufen am 30. August 2009
 Quaternionen in der Computeranimation
 Der Ort der Entdeckung der Quaternionen (mit Bildern)
 
 
  von Edmund Weitz

Einzelnachweise und Anmerkungen 

Zahl
Verallgemeinerter Körper
Ringtheorie