Logaritme

De logaritme van een getal is de exponent waartoe een vast getal, het zogenaamde grondtal, moet worden verheven om dat eerste getal als resultaat te verkrijgen. Voor het grondtal 10 is de logaritme van 1000 bijvoorbeeld gelijk aan 3, omdat 1000 gelijk is aan 10 tot de macht 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Meer in het algemeen geldt dat als , het getal  de logaritme van  is voor het grondtal . Dit wordt geschreven als  of, minder gangbaar, als  . Zo is bijvoorbeeld . De logaritme is rond 1600 bedacht om makkelijk getallen te vermenigvuldigen en te delen. Met behulp van logaritmen kan vermenigvuldiging vervangen worden door optelling, wat eenvoudiger en minder foutgevoelig is.

Definitie 
De logaritme voor het grondtal  van een getal  is de macht waartoe men het grondtal  moet verheffen om  als uitkomst te krijgen, dus:

Zowel het grondtal  als het argument  moeten groter zijn dan 0; bovendien mag het grondtal  niet gelijk zijn aan 1.

Bestaan van de logaritme
Als  dan heeft de exponentiële functie

een horizontale asymptoot bij  en bereikt ze willekeurig grote waarden aan de rechterkant van haar domein:

Bovendien is  continu, zodat ze alle positieve reële waarden bereikt. Daaruit volgt dat iedere  een logaritme  heeft volgens bovenstaande definitie. Dat er precies één zulke waarde  bestaat, volgt uit het feit dat de functie  strikt stijgend is.

Voor  geldt een gelijkaardige redenering, behalve dat de willekeurig grote waarden aan de linkerkant worden bereikt:

en dat de functie  strikt dalend is in plaats van stijgend.

De logaritme van 0 met welk grondtal dan ook is niet gedefinieerd, omdat er geen macht bestaat met welk grondtal dan ook die resulteert in nul. Daarom heeft elke grafiek van de logaritme geen beeld in nul. Er is steeds een verticale asymptoot bij .

Grondtal 
Voor de logaritmefunctie (en haar inverse) is een vast grondtal vereist. Elk getal groter dan 1 is hiervoor geschikt, en bij uitbreiding ook elk getal tussen 0 en 1. Maar vooral de volgende drie grondtallen worden veel gebruikt:

 Logaritmen met het grondtal . Men spreekt van natuurlijke logaritme, of neperiaanse of neperse logaritme, naar de bedenker ervan, John Napier. De natuurlijke logaritme wordt genoteerd als , maar historisch werd ook  gebruikt in vakgebieden waarbij het vanzelfsprekend was dat de natuurlijke logaritme werd bedoeld. Bijvoorbeeld:

 Logaritmen met het grondtal 10. Men spreekt van de briggse logaritme en noteert deze als  of ; bijvoorbeeld:

 Logaritmen met het grondtal 2. Dit type logaritmen komt voor in onder andere de informatica en vooral de informatietheorie. Deze logaritme wordt genoteerd als  of ; bijvoorbeeld:

Omzetting tussen verschillende grondtallen 
Logaritmen laten zich gemakkelijk omzetten naar een ander grondtal; zij verhouden zich als een constante factor. Uit

,

volgt namelijk dat

Overigens ziet deze betrekking er fraaier uit in de andere notatie voor logaritmen (het treintje):

Voorbeelden
 Praktisch voorbeeld met een rekenmachine die toelaat  of  te berekenen, maar niet rechtstreeks :

, dus

 of ook .

Omrekening van  naar 
.

Notatie 
De logaritme is een wiskundige functie die wordt genoteerd als  met het grondtal  als benedenindex: , of als vooraangeplaatst superscript: . Vaak wordt in een tekst met logaritmen steeds hetzelfde grondtal gebruikt. Men schrijft dan in de formules gewoon telkens . Het grondtal wordt dan eventueel eenmalig vermeld.

De ISO-standaard voor wiskundige tekens en symbolen in de natuurwetenschappen en technologie is ISO 80000-2. Voor logaritmen vermeldt de standaard de volgende notaties:

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Grondtal
! Symbool
|-
|  || 
|-
|  || 
|-
| 10 || 
|-
| 2 || 
|}

De standaard specificeert ook dat de notatie  (dus met weglating van het grondtal ) niet mag gebruikt worden voor de grondtallen , 10 of 2.

Algebraïsche eigenschappen

Rekenen met logaritmen 
Bij het werken met logaritmen kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande regels:
 , per definitie
 
 , als  en 
 
 volgt uit: 
 
 volgt uit: 
 
  voor 
 , soms ook geschreven als 
 
 
  voor  en 
 volgt uit:

Inverse

Inverse bewerking 
De logaritme kan worden gezien als een bewerking die met twee getallen  en  een nieuw getal  associeert, ongeveer zoals de optelling met twee getallen hun som associeert.

De omgekeerde bewerking van de optelling is de aftrekking, want de uitspraak  is gelijkwaardig met  en ook met  De omgekeerde bewerking van de vermenigvuldiging is de deling, omdat  gelijkwaardig is met  en met .

Voor de machtsverheffing zijn er evenwel twee verschillende omgekeerde bewerkingen, omdat bij de machtsverheffing het resultaat afhangt van de volgorde der operanda:  is meestal niet hetzelfde als . Naargelang of we de vergelijking  willen oplossen naar  of naar  is de omgekeerde bewerking de worteltrekking respectievelijk de logaritme:  en .

Inverse functie 
De logaritme met een vast grondtal  kan worden gezien als een functie die met één getal  een nieuw getal  associeert. De logaritmische functie is de inverse van de exponentiële functie, in de betekenis van "inverse voor de samenstelling van functies", niet in de betekenis van "inverse voor de vermenigvuldiging". In opeenvolging maken zij elkaar dus ongedaan.

Gevolg: machtsverheffen en dan logaritme nemen – beide met hetzelfde grondtal – heeft geen effect.

En logaritme nemen en dan machtsverheffen evenmin.

De logaritme voor het grondtal  is dus de inverse van de exponentiële functie met  als grondtal. Wanneer men de grafiek van de logaritme voor het grondtal  spiegelt ten opzichte van de lijn , krijgt men zoals altijd de grafiek van de inverse functie, hier dus .

Groepsisomorfisme en commutatief diagram 
Logaritmen vormen de brug van de wereld van vermenigvuldigen (van strikt positieve reële getallen) naar de wereld van optellen (van alle reële getallen). De omgekeerde weg is zoals gezegd de exponentiële functie. Deze weg heen en terug heet een groepsisomorfisme omdat de mooie groepseigenschappen van de ene wereld erdoor automatisch worden overgedragen op de andere. Optellen en vermenigvuldigen blijken zich in zekere zin identiek te gedragen. 

Commutativiteit betekent dat wanneer men eerst het ene doet en dan het andere, men hetzelfde uitkomt als omgekeerd. Er is een interessant commutatief diagram te tekenen. Als men een vierkant pad tekent en linksboven begint, dan leidt eerst naar rechts gaan en dan naar beneden tot rechtsonder. Maar eerst naar beneden gaan en dan naar rechts ook. Naar beneden gaan commuteert dus met horizontaal van kant wisselen. Laat nu links de wereld van vermenigvuldigen zijn, rechts die van optellen. Dan is naar rechts gaan logaritme nemen, en naar links gaan de exponentiële nemen. Naar beneden gaan is de bewerking doen (vermenigvuldigen of optellen). Door in dit vierkant van boven naar beneden te wandelen, komt men een aantal van de belangrijkste formules verderop uit. Bijvoorbeeld dat de logaritme van een product gelijk is aan de som van de logaritmen.

Rationaliteit 
Zijn  en  natuurlijke getallen, dan is  over het algemeen een irrationaal getal. Alleen als er gehele getallen  en  zijn zodat  is de logaritme rationaal, want gelijk aan .

Verklaring 
Uit  volgt  en dus .

Links en rechts logaritme nemen levert 

Bijvoorbeeld, voor  en  geldt , dus:

Geschiedenis 

De Zwitserse klokkenmaker Jost Bürgi, in dienst van de landgraaf van Hessen-Kassel, was de eerste die het begrip logaritme ontwikkelde.

De natuurlijke logaritme werd voor het eerst in 1614 door John Napier genoemd, die beschouwd wordt als de uitvinder van de logaritme. Hij schreef erover in zijn boek Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Aanvankelijk gebruikte Napier het getal 1/e als grondtal. Hij noemde logaritmen "artificial numbers", kunstmatige getallen. Later bedacht hij de term "logaritme", om aan te geven dat het zowel om een verhouding als om een getal ging, van het Oudgrieks: λόγος, logos, in de betekenis van verhouding en άριθμός, arithmos, getal.

Het gebruik van logaritmen droeg door de vereenvoudiging van ingewikkelde berekeningen bij aan de vooruitgang van de wetenschap, speciaal aan de sterrenkunde. De logaritmen verdrongen de ingewikkelder prosthaphaeresis, gebaseerd op goniometrische vergelijkingen, als snelle methode om te vermenigvuldigen. Voorafgaand aan de komst van rekenmachines en computers werden logaritmen veel gebruikt voor berekeningen, o.a. in de navigatie en de technische wetenschappen.

De Briggse logaritme is genoemd naar de Engelse wiskundige Henry Briggs. De logaritmetafels met het grondtal  waren zeer moeilijk op te stellen. Ze waren daardoor onnauwkeurig. Briggs stelde voor het grondtal 10 toe te passen. Dit rekende gemakkelijker. Na een bezoek aan Napier in 1615 schreef Briggs zijn eerste werk, Logarithmorum Chilias Prima, Inleiding in de logaritmen, dat in 1617 verscheen. Hij schreef in 1624 nog een wiskundige verhandeling onder de titel Arithmetica Logarithmica. Dit werk bevatte de logaritmen van de natuurlijke getallen van 1 tot 20.000 en van 90.000 tot 100.000 berekend tot op 14 decimale cijfers. Hij stelde die tafels op door met pen en papier de eerste 27 opeenvolgende vierkantswortels uit 10 te trekken met 16 cijfers na de komma. De 27 volgende wortels bepaalde hij met een benaderingsformule. In hetzelfde werk vinden we ook tafels voor de sinus tot 15 decimale cijfers en van de tangens en secans tot op 10 decimale cijfers.

De nog aanwezige leemte in de logaritmetafel, 70%, tussen 20.000 en 90.000 was nog niet berekend, werd in Gouda door de landmeter Ezechiel de Decker opgevuld in twee afzonderlijke uitgaven. In 1626 verscheen zijn Eerste deel der nieuwe telkonst en in 1627 samen met Adriaen Vlacq het Tweede deel van de nieuwe telkonst. De volledige tafels werden in 1628 in Vlacqs Arithematica Logarithmica voor het eerst gepubliceerd.

De uiteindelijke complete tabellen van Briggs werden in 1631 in Gouda gedrukt en in 1633 onder de titel van Trigonometria Britannica gepubliceerd. Dit werk was de opvolger van Briggs' in 1617 gepubliceerde Logarithmorum Chilias Prima. Dit was het eerste rekensysteem dat goed werkte.

Toepassingen

Herleiden van bewerkingen 

Met behulp van logaritmen kunnen de volgende bewerkingen worden herleid tot optellingen en aftrekkingen.
Vermenigvuldigen

Al eeuwen geleden was de logaritme belangrijk voor mensen die veel moesten rekenen. Een eigenschap van logaritmen is namelijk dat een vermenigvuldiging omgezet kan worden naar een optelling:

Om het product van  en  te berekenen, worden de logaritmen van  en van  bij elkaar opgeteld. Daarna wordt het getal gezocht waarvan dit resultaat de logaritme is. De logaritmen worden niet berekend, maar over en weer opgezocht in tabellen. Deze logaritmetafels (tabellen van getallen met hun logaritme) zijn al eeuwen geleden uitgerekend en gepubliceerd. Ze werden gebruikt door zeelieden bij de plaatsbepaling op zee (navigatie), door ingenieurs etc.
Delen
Door logaritmen van elkaar af te trekken kunnen ook delingen uitgevoerd worden.

Machtsverheffen
Neemt men tweemaal achter elkaar de logaritme, dan kan men door op te tellen een getal verheffen tot een willekeurige macht.

Worteltrekken
Neemt men tweemaal achter elkaar de logaritme, dan kan men door af te trekken een willekeurige wortel trekken.

Ook de rekenliniaal is op het principe van logaritmen gebaseerd: de schalen zijn zo ingedeeld dat de logaritmen van de weergegeven getallen lineair verlopen: het lijnstuk tussen 1 en 2 is even lang als het lijnstuk tussen 2 en 4. Door het optellen van twee lijnstukken ter lengte van de logaritme van de getallen leest men bij de uitkomst het resultaat van de vermenigvuldiging ervan af. Door de opkomst van de rekenmachine zijn zowel logaritmetafels als rekenlinialen in onbruik geraakt.

De logaritme is een rekenkundige bewerking van de derde orde.

Logaritmische schalen 

De logaritme komt goed van pas wanneer iets zo'n enorm bereik heeft, dat het verschil tussen de allerlaagste en allerhoogste waarde ons ook niet zo veel meer zegt. De wet van Weber zegt dat de menselijke zintuigen een logaritmische indruk opdoen van de intensiteit van de prikkel.

Bekende logaritmische schalen zijn:
 geluidssterkte: de decibel
 toonhoogte: de cent, maar ook in zekere zin de toonladder zelf (chromatische toonladder in gelijkzwevende stemming)
 zuurgraad: de pH
 zelfinformatie: de bit
 kracht van aardbevingen: de schaal van Richter
 helderheid van een ster: magnitude
 de neper voor toe- en afnames van toestandsgrootheden

Grootte-ordes en logaritmen 
De logaritme van een getal  geeft de grootte-orde van  aan. Als we 10 als grondtal nemen is dat goed te zien:
 logaritme van 1 is 0, want 100= 1
 logaritme van 10 is 1, want 101= 10
 logaritme van 100 is 2
 logaritme van 1000 is 3

De orde van grootte van 3269 is ; de wetenschappelijke notatie is dan 3269 = 3,269·103.

Het werkt ook voor negatieve machten. De orde van grootte van 0,03269 is ; de wetenschappelijke notatie is: 0,03269=3,269·10−2.

In een -tallig talstelsel is het mogelijk om op onderstaande wijze het aantal cijfers  voor de komma van een willekeurig getal  te bepalen.

Het aantal cijfers van een getal in het tientallige stelsel wordt dus bepaald door .

Berekeningen met grote getallen 
Logaritmen zijn een hulp bij berekeningen met grote getallen, geschreven als een macht, die met een grafische rekenmachine onmogelijk zijn uit te rekenen (zonder herschrijven).

Voorbeeld 
De berekening

is onmogelijk met een rekenmachine te doen. Met logaritmen gaat dit wel:

Nu is de logaritme van het gezochte antwoord berekend. Voor het antwoord moet deze macht van 10 berekend worden:

Analytische definitie en eigenschappen
Logaritmische functies zijn de inversen van exponentiële functies en zijn daarom op hun hele domein  continu en onbeperkt afleidbaar.

Analytische definitie
De natuurlijke logaritme van een positief reëel getal  kan ook worden gedefinieerd als een bepaalde integraal, namelijk de oppervlakte van een figuur begrensd door de grafiek van de functie :

Men verifieert dat deze functie voldoet aan de rekenregel  en daaruit volgt dat ze de logaritme is in een bepaalde basis. Die basis,  genaamd, wordt uniek bepaald door de voorwaarde dat haar natuurlijke logaritme 1 moet zijn:

Limieten 
Voor logaritmen gelden de onderstaande limieten.

Voor  geldt:

Voor  geldt:

Grafiek 
In de onderstaande figuur zijn de waarden van de Briggse logaritme met grondtal 10 af te lezen. Omdat de functie naar de limiet  gaat als  (langs de rechterkant) nul nadert, heeft de grafiek een verticale asymptoot aan de linkerrand van het domein: de rechte . Aan de rechterkant is er geen asymptoot: de functie bereikt willekeurig hoge waarden en de afgeleide blijft positief maar wordt willekeurig klein.

Afgeleide 
Een bijzondere eigenschap van de natuurlijke logaritme is de eenvoudige vorm van z'n eerste afgeleide, namelijk:
.

Uit de kettingregel volgt namelijk:
,

waaruit het gestelde volgt.

Door gebruik te maken van de natuurlijke logaritme en zijn afgeleide, is het mogelijk om de afgeleiden van andere logaritmen te bepalen.

Aangezien  altijd positief is, en  is voor  en  is voor , is  een strikt stijgende functie als  en een strikt dalende functie als .

De partiële afgeleide van  naar het grondtal  is

Onbepaalde integraal 
Een primitieve functie voor de natuurlijke logaritmische functie wordt gegeven door

Dit kan rechtstreeks geverifieerd worden door afleiding van het rechterlid, maar het resultaat kan ook worden teruggevonden door partiële integratie.

Logaritmen in andere getallenverzamelingen

Logaritmen van complexe getallen

Hierboven was het argument , het getal waarvan we een logaritme nemen, steeds een positief reëel getal. Het is echter mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar de complexe getallen verschillend van 0 en daarmee ook naar de negatieve getallen. De logaritme van de complexe getallen kan niet voor verschillende grondtallen worden genomen, maar de complexe logaritme van een positief getal  komt met de natuurlijke logaritme  van  overeen.

Het complexe getal  heet een logaritme van , dus , als . Men spreekt van een logaritme omdat er in het algemeen bij  oneindig veel getallen  zijn die als logaritme optreden. Vanwege de identiteit van Euler, , verschillen de diverse logaritmen van een complex getal een geheel veelvoud van  van elkaar. Schrijft men het complexe getal in poolcoördinaten:
,

met absolute waarde  en argument , dan voor ieder geheel getal  het complexe getal

een logaritme van . De logaritme voor complexe getallen  is een meerwaardige functie:

Het is gebruikelijk het argument  zo te definiëren dat . Deze waarde van de logaritme, dus met , heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Negatieve getallen zijn complexe getallen. Bijvoorbeeld  is een complex getal op de eenheidscirkel met argument . De logaritme van −1 heeft daarom een hoofdwaarde van .

Uit deze definitie van de logaritme van een complex getal volgen ook de identiteiten voor het reële en het imaginaire deel (van de hoofdwaarde) afzonderlijk:

Logaritmen van quaternionen 
Het is mogelijk de definitie van de logaritme uit te breiden naar quaternionen.

Een quaternion  heet een logaritme van , , als .

Men spreekt van een logaritme omdat er bij  oneindig veel getallen  zijn die als logaritme optreden. Zij verschillen onderling een geheel veelvoud van , waarin  de eenheidsvector is die overeenkomt met , zodanig dat  en
.

Dit komt doordat .

Schrijft men  als:

,

met absolute waarde , argument  en eenheidsvector , dan is elk van de getallen

een logaritme van . De logaritme voor quaternionen  is een meerwaardige functie:

N.B. Het is gebruikelijk het argument  zo te definiëren dat .

De waarde van de logaritme voor  heet de hoofdwaarde van de logaritme.

Voor twee quaternionen  en  geldt:

Dit is opnieuw een meerwaardige functie die afhangt van twee gehele getallen  (behorend bij ) en  (behorend bij ). Stelt men nu , dan krijgt men de hoofdwaarde van .

Discrete logaritme

Bij het modulair rekenen met als modulus een priemgetal vormen de restklassen verschillend van de nulklasse een cyclische groep voor de vermenigvuldiging. Zo is bijvoorbeeld de groep van inverteerbare restklassen modulo 11

een cyclische groep met generator 2.

De discrete logaritme (met basis 2) is de functie die ieder element van die groep afbeeldt op de bijhorende exponent van 2:

Algemener, als  een generator is van een cyclische groep  dan wordt de discrete logaritme met basis  gedefinieerd door

Het natuurlijke getal  is slechts bepaald op een veelvoud van de orde van de groep  na, en kan dus worden opgevat als een restklasse module . De discrete logaritme is een groepsisomorfisme tussen  en de optelgroep van restklassen modulo . Voor alle  is:

Voor grote priemgetallen  is de discrete logaritme van een restklasse (in de vermenigvuldigingsgroep modulo  een cyclische groep van orde ) een moeilijk probleem voor een computer. Het Elgamal-encryptiesysteem steunt op deze moeilijkheid. De communicerende partners delen in het openbaar het priemgetal  de generator  en de machten  en  maar houden  en  geheim. Beiden zijn in staat de encryptiesleutel  en de decryptiesleutel  te berekenen.

Reeksontwikkeling 

Logaritmen zijn analytische functies en kunnen dus worden benaderd door machtreeksen, evenwel niet door een reeks in machten van  (d.w.z. gecentreerd rond 0, ook wel maclaurin-reeks genoemd) omdat 0 niet tot het domein van de logaritme behoort. Het punt 0 is ook geen geïsoleerde singulariteit, zodat een laurentreeks (reeksontwikkeling met inbegrip van negatieve machten) evenmin bestaat.

De reeksontwikkeling van de natuurlijke logaritme rond  wordt gegeven door

,

vaak geschreven als

Deze reeks bevat geen nulde-ordeterm (constante) omdat de logaritme van 1 reeds 0 is. Haar convergentiestraal is 1, dat wil zeggen dat ze absoluut convergeert voor alle complexe getallen  waarvoor  en divergeert als .

Voor  wordt dit de alternerende harmonische reeks, die convergeert (maar niet absoluut convergeert) naar 

Bovenstaande formule volgt bijvoorbeeld uit integratie term per term van de meetkundige reeks

Voor een algemeen grondtal  is de logaritme een constant veelvoud van de natuurlijke logaritme, dus haar reeks bestaat uit dezelfde termen, gedeeld door de natuurlijke logaritme van :

Voor getallen buiten het convergentiegebied  kan in principe analytische voortzetting worden gebruikt; voor reële  is het evenwel eenvoudiger de oorspronkelijke reeks toe te passen op  gedeeld door een voldoende groot getal waarvan de natuurlijke logaritme bekend wordt verondersteld, bijvoorbeeld een macht van twee. Stel  met een natuurlijk getal  zo gekozen dat , dan is

Dit is dan de taylorreeks van  rond ; ze heeft convergentiestraal .

Logaritme van vierkante matrices 
In deze paragraaf beschouwen we matrices waarvan de elementen reële getallen zijn; de begrippen en redeneringen gaan evenwel net zo goed op voor complexe matrices.

De verzameling der vierkante -matrices vormt een algebra, dat wil zeggen dat matrices niet alleen kunnen worden vermenigvuldigd met een reëel getal en bij elkaar worden opgeteld, maar dat matrices ook onderling met elkaar kunnen worden vermenigvuldigd. Daardoor kan een vierkante matrix  ook tot de -de macht worden verheven voor ieder willekeurig natuurlijk getal  en dit geeft op zijn beurt een betekenis aan de afzonderlijke termen van de taylorreeks

waar  de eenheidsmatrix van dezelfde afmetingen als  is.

Om over convergentie en limieten van dergelijke reeksen te kunnen spreken, hebben we een convergentiebegrip voor vierkante matrices nodig; vaak wordt daarvoor de operatornorm gebruikt:

De taylorreeks hierboven convergeert als  en definieert dus (althans voor matrices die "dicht" bij de eenheidsmatrix liggen) de natuurlijke logaritme van een vierkante matrix. Ook hier is de logaritme de inverse van de exponentiële functie, op voorwaarde dat we de exponentiële functie ook via haar taylorreeks definiëren. De logaritme van de eenheidsmatrix is de nulmatrix. De rekenregel  geldt evenwel alleen als  en  commuterende matrices zijn, dat wil zeggen als 

Wiskundige functie