Przestrzeń zwarta

Przestrzeń zwarta – przestrzeń topologiczna o tej własności, że z dowolnego jej pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone (tj. pewna skończona liczba zbiorów pokrycia tworzy pokrycie).

Zbiorem zwartym nazywa się podzbiór przestrzeni topologicznej, który traktowany jako podprzestrzeń (z topologią podprzestrzeni) jest przestrzenią zwartą.

W niektórych źródłach (np. ) w definicji zwartości dodatkowo wymaga się, aby przestrzeń zwarta była przestrzenią Hausdorffa, a przestrzenie zdefiniowane z pominięciem tego warunku nazywa się przestrzeniami quasi-zwartymi.

Idea zwartości 
Z punktu widzenia topologii przestrzenie zwarte mają pewne pożądane własności, np.
 funkcja ciągła rzeczywista określona na przestrzeni zwartej jest ograniczona i osiąga swoje kresy,
 funkcja ciągła rzeczywista lub zespolona na przestrzeni metrycznej zwartej jest jednostajnie ciągła,
 każda przestrzeń metryczna zwarta jest zupełna,
 w przestrzeni zwartej własność  spełniana lokalnie jest też spełniana globalnie, tzn. jeżeli jakiekolwiek zbiory otwarte  mają własność  to również ich suma  ma tę własność.

Zwartość jest jednym z podstawowych pojęć topologicznych.

Przykłady zbiorów zwartych i niezwartych 
(1) Tw. 1. Przedział  nie jest zbiorem zwartym.

 Dowód: Rodzina zbiorów otwartych
 
 jest pokryciem tego przedziału (każdy punkt odcinka należy do któregoś ze zbiorów tej postaci), ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby cały przedział 

(2) Tw. 2. Przedział  nie jest zbiorem zwartym.

 Dowód: Rodzina zbiorów otwartych
 
 jest pokryciem zbioru  ale nie da się wybrać z niej skończonej liczby zbiorów, które pokryłyby 

(3) Tw. 3. Przedział  jest zwarty.

 Dowód: Niech  będzie pokryciem odcinka  Zdefiniujmy zbiór
  i odcinek  można pokryć skończoną podrodziną rodziny 
 Oczywiście  bo przedział  jest pokryty pewnym elementem rodziny  Zbiór  jest więc niepusty i ograniczony z góry. Ma więc kres górny   i   
 Zauważmy, że  bo biorąc jakieś otoczenie  punktu  znajdziemy pewien przedział  a stąd  czyli 
 Przypuśćmy, że  i niech  dla pewnego przedziału otwartego  istnieje wówczas przedział  Ponieważ  jest kresem górnym zbioru  więc w przedziale  istnieje punkt  Istnieje więc skończona podrodzina  pokrywająca przedział  A stąd przedział  jest pokryty przez skończoną rodzinę  Oznacza to, że  i  nie jest kresem górnym zbioru  Sprzeczność ta pokazuje, że 
 Niech  dla pewnego zbioru otwartego  i rozważmy przedział  Podobnie jak wyżej,  jest kresem górnym zbioru  więc w przedziale  istnieje punkt  Istnieje więc skończona podrodzina  pokrywająca przedział  A stąd przedział  jest pokryty przez skończoną rodzinę  cnd.

Własności 
Tw. 4. Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.
 Dowód: Niech  będzie przestrzenią zwartą, a  odwzorowaniem ciągłym. Udowodnimy, że obraz  jest zwarty. W tym celu weźmy dowolne otwarte pokrycie  zbioru  Wtedy  jest otwartym pokryciem  Istotnie, otwartość elementów rodziny  od razu wynika z ciągłości  Ponadto dla dowolnego  istnieje zbiór  taki że  Dlatego też  Na mocy zwartości  istnieje skończona rodzina zbiorów  będąca pokryciem  Zatem rodzina  jest otwartym, skończonym pokryciem  Oznacza to, że z dowolnego otwartego pokrycia  można wybrać skończone podpokrycie, co oznacza, że zbiór  jest zwarty, cnd.

Tw. 5. (Twierdzenie Weierstrassa)

Funkcja ciągła na przestrzeni zwartej o wartościach w  jest ograniczona i przyjmuje swoje kresy.

 Dowód: Niech  będzie ciągłą funkcją na przestrzeni zwartej  Wówczas  jest zwarty jako ciągły obraz przestrzeni zwartej. Na mocy Tw. Heinego-Borela  jest domknięty i ograniczony. Ograniczoność  oznacza, że  jest ograniczona. Z definicji supremum i infimum, na mocy domkniętości  wynika że  oraz  Zatem  przyjmuje swoje kresy, cnd.

Tw. 6. (Twierdzenie Tichonowa)

(a) Iloczyn kartezjański przestrzeni zwartych (z topologią produktową) jest zwarty.

(b) Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa jest domknięty.

  Dowód: Niech  będzie przestrzenią Hausdorffa, a  jej zwartym podzbiorem. Aby udowodnić, że  jest domknięty uzasadnimy, że  jest otwarty. Wystarczy zatem udowodnić, że dla dowolnego  istnieje otoczenie, które nie zawiera punktów ze zbioru Niech   Wówczas na mocy aksjomatu Hausdorffa istnieją otoczenie  punktu  oraz otoczenie  punktu  takie że Rodzina  stanowi otwarte pokrycie  Na mocy zwartości  istnieje skończone podpokrycie  Każdy zbiór  jest rozłączny z odpowiednim zbiorem  Zatem przekrój  jest rozłączny z każdym ze zbiorów  Więc  jest otoczeniem  które jest rozłączne z  Z dowolności  wynika, że zbiór  jest domknięty, cnd.

Tw. 7. Ciągła bijekcja zwartej przestrzeni  na przestrzeń Hausdorffa  jest homeomorfizmem.

 Dowód: Wystarczy wykazać, że obrazami zbiorów domkniętych są zbiory domknięte. Niech  będzie domknięty i niech  będzie ciągłą bijekcją zwartej przestrzeni  w przestrzeń Hausdorffa  Wówczas  jest zwarty jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej. Stąd  jest zwarty jako ciągły obraz zbioru zwartego. Więc  jest domknięty jako zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa, cnd.

Tw. 8. Każdy domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty.

 Dowód: Niech  będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni zwartej  Weźmy dowolne otwarte pokrycie  zbioru  Ponieważ  jest domknięty, to jego dopełnienie jest otwarte i razem z  stanowi otwarte pokrycie przestrzeni  Ponieważ przestrzeń  jest zwarta, więc z jej pokrycia  możemy wybrać skończone podpokrycie  przestrzeni  Ale  więc  jest zarazem pokryciem zbioru  Zatem  jest zwarty, cnd.

Tw. 9. Zwarta przestrzeń Hausdorffa jest normalna.

Zwartość w przestrzeniach metrycznych 

Tw. 10. Niech  będzie przestrzenią metryczną. Następujące warunki są równoważne:

 przestrzeń  jest zwarta,
 każdy ciąg  w tej przestrzeni zawiera podciąg  zbieżny do punktu należącego do tej przestrzeni (tzn.  jest ciągowo zwarta),
 z każdego przeliczalnego pokrycia można wybrać podpokrycie skończone, tzn.  jest przeliczalnie zwarta,
 dla każdej funkcji ciągłej  obraz  jest ograniczony, tzn.  jest pseudozwarta.

Tw. 11. Zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest ograniczony.

 Dowód: Niech  będzie zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej Należy udowodnić, że Wykorzystamy fakt, że metryka  jest ciągła. Obcięcie  jest ciągłe. Na mocy tw. Weierstrassa funkcja  jest ograniczona. Zatem  Czyli  Wykazaliśmy, że zbiór  jest ograniczony, cnd.

(twierdzenie Heinego-Borela) Podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

Przykłady 
Stosując powyższe twierdzenia, można łatwo stwierdzić, które poniższe przestrzenie są zwarte, a które nie:
 zwarty jest odcinek  bo jest domknięty i ograniczony,
 odcinek  nie jest zwarty, bo nie jest domknięty,
 zwarta nie jest również cała prosta liczbowa  bo jest zbiorem nieograniczonym,
 zwarty jest zbiór Cantora.

Pseudozwartość 
Przestrzeń topologiczną nazywamy pseudozwartą jeśli jest przestrzenią Tichonowa i każda ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych jest ograniczona. Każda przestrzeń zwarta jest pseudozwarta, jednak istnieją przestrzenie pseudozwarte, które nie są zwarte. Na przykład liczba porządkowa  z topologią porządkową jest pseudozwarta, ale nie jest zwarta.

Zwartość a ciągowa zwartość 

Przestrzeń topologiczną  nazywamy ciągowo zwartą jeśli każdy ciąg  w tej przestrzeni zawiera podciąg  zbieżny, tzn. istnieje element  taki, że każde otwarte otoczenie  punktu  zawiera wszystkie elementy ciągu  poza co najwyżej skończoną ich liczbą. W klasie przestrzeni metryzowalnych pojęcia zwartości i ciągowej zwartości pokrywają się. Istnieją jednak przestrzenie zwarte, które nie są ciągowo zwarte oraz przestrzenie ciągowo zwarte, które nie są zwarte (na przykład, liczba porządkowa  z topologią porządkową).

Pojęcia pokrewne 
 przestrzeń Lindelöfa
 przestrzeń parazwarta
 przestrzeń przeliczalnie zwarta

Zobacz też 
 kompaktyfikacja przestrzeni
 przestrzeń lokalnie zwarta
 przestrzeń spójna
 topologia Tichonowa

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
  [dostęp 2022-10-09].

Własności przestrzeni topologicznych