Energia potencjalna

Energia potencjalna – energia, jaką ma ciało lub układ ciał w zależności od położenia ciała (układu ciał) w przestrzeni. Pojęcie energii potencjalnej można wprowadzić jedynie wtedy, gdy ciało (układ ciał) oddziałuje z niezależnym od czasu polem sił potencjalnych.

Energia potencjalna występuje w różnego typu oddziaływaniach: grawitacyjnych, elektrycznych, sprężystych. Zgromadzoną w ciałach energię potencjalną wykorzystuje się w rozmaity sposób. Od czasów prehistorycznych wykorzystuje się energię potencjalną sprężystości zgromadzoną w napiętym łuku – dzięki tej energii możliwe jest wyrzucenie strzały na dużą odległość. Współczesne elektrownie wodne zamieniają energię potencjalną spiętrzonej wody w energię elektryczną. Dokładne obliczenia energii potencjalnej pozwalają planować ilość paliwa potrzebnego do umieszczenia satelity na orbicie, czy do podróży na Marsa.

Definicja energii potencjalnej 
W przypadku pojedynczego ciała energia potencjalna  jest równa pracy, jaką trzeba by wykonać, przemieszczając ciało z ustalonego położenia  do położenia  Ponieważ w ogólności siła zależy od położenia ciała w przestrzeni, to pracę tę trzeba wyrazić jako całkę po krzywej, po której dokonuje się przemieszczenia ciała
 

gdzie  jest siłą zewnętrzną równoważącą siłę pola w położeniu 

Z powyższej całki wynika, że wartość energii potencjalnej w ustalonym położeniu  została ustalona jako wartość zerowa.

W przypadku układu  ciał energia potencjalna  jest równa pracy, jaką trzeba wykonać, przemieszczając ciała z ustalonych położeń  do położeń ; energia potencjalna w ustalonej konfiguracji  ma wartość zerową.

Jeżeli układ ciał posiada stan równowagi trwałej w pewnej konfiguracji, to dla tej konfiguracji energia potencjalna układu ma minimum. Często ustala się zerową wartość energii potencjalna w tej konfiguracji.

Energia potencjalna grawitacji 
Źródłami pola grawitacyjnego są ciała posiadające masę. Najdokładniejszy opis pola grawitacyjnego podaje ogólna teoria względności. Poniżej omówiono energię potencjalną pola wytwarzanego przez pojedyncze ciało kuliste, na przykład Ziemię.

W jednorodnym polu grawitacyjnym 
Dla niezbyt dużych wysokości i niezbyt dużych odległości (znacznie mniejszych od promienia Ziemi) można przyjąć, że pole grawitacyjne Ziemi w rozpatrywanym obszarze jest jednorodnym polem o kierunku pionowym i zwrocie w dół. Za poziom odniesienia można przyjąć dowolny punkt. Wtedy wszystkie punkty na poziomie odniesienia mają zerową energię potencjalną.

Energia potencjalna ciała o masie  umieszczonego na wysokość  nad poziomem odniesienia jest równa pracy wykonanej przy podnoszeniu ciała z poziomu odniesienia na tę wysokość
 

gdyż siła  jest stała, równa co do wartości ciężarowi ciała, czyli iloczynowi masy  i przyspieszenia ziemskiego.

W centralnym polu grawitacyjnym 
W zagadnieniach, w których siła grawitacji nie jest stała podczas ruchu (np. w trakcie lotów kosmicznych na duże odległości, w oddziaływaniach między planetami, które znacznie zmieniają wzajemne odległości podczas ruchu wokół Słońca), trzeba uwzględnić niejednorodność pola grawitacyjnego.

Energia potencjalna na zewnątrz jednorodnej kuli 
Siła zewnętrzna potrzebna do przemieszczenia ciała o masie  w polu grawitacyjnym ciała o znacznie większej masie  (będącej źródłem pola grawitacyjnego) ma postać:
 

gdzie:
  – wektor położenia ciała o masie  zaczepiony w środku ciała o masie 
  – odległość między środkiem ciała o masie  a ciałem o masie  (długość wektora ),
  – stała grawitacyjna [N·m²·kg−2],
  – masa źródła pola grawitacyjnego [kg],
  – masa przenoszonego ciała [kg].

We wzorze na siłę  jest znak  gdyż siła zewnętrzna równoważąca siłę grawitacji jest skierowana zgodnie z wektorem  (na zewnątrz od źródła pola).

Jako położenie  dla którego energia z założenia ma wartość 0, najwygodniej jest przyjąć nieskończoność (tam siła grawitacji wynosi 0). Zgodnie z definicją energia potencjalna ciała w położeniu  jest równa pracy potrzebnej do przeniesienia ciała z ustalonego punktu  (w nieskończoności) do położenia 
 

Zamieniamy granice całkowania, tak by dolna granica była mniejsza niż górna, co jest warunkiem poprawnego obliczenia całki oznaczonej (!)
 

Teraz wektor przemieszczenia ma postać  gdzie  – przyrost wektora  stąd mamy:
 

i otrzymamy:
 

czyli
 

Powyższy wzór jest słuszny dla  oraz przy założeniu, że źródłem pola grawitacyjnego jest masa punktowa. Jeżeli źródłem pola grawitacyjnego jest kula o promieniu  to powyżej przeprowadzone całkowanie jest słuszne na zewnątrz kuli.

Energia potencjalna wewnątrz jednorodnej kuli 
Obliczając potencjał wewnątrz kuli skorzystamy z faktu, że siła grawitacyjna działająca na ciało umieszczone wewnątrz jednorodnej kuli pochodzi od masy tej części kuli, która jest bliżej środka niż miejsce, w którym wyznaczamy energię, czyli:

Wykonując do końca całkowanie otrzymuje się energię potencjalną wewnątrz kuli o masie  i promieniu 
 

Energia ma najmniejszą wartość w pobliżu środka kuli, osiągając w granicy  i rośnie proporcjonalnie do  osiągając wartość  na powierzchni kuli.

Energia potencjalna sprężystości 
Energia potencjalna sprężystości jest energią układu poddanego działaniu siły sprężystości. Układem tym może być układ makroskopowy, np. ciało zawieszone na sprężynie albo układ mikroskopowy, np. drgająca cząsteczka, wykonująca niewielkie drgania od położenia równowagi, tak że siła powodująca ruch jest siłą sprężystą.

Dla małych wartości przemieszczenia  wartość siły sprężystości  wyraża się wzorem
 

gdzie:
  – współczynnik sprężystości [N/m],
  – przemieszczenie od położenia równowagi [m],

przy czym znak „minus” jest dlatego, że siła sprężystości jest zawsze skierowana przeciwnie do przemieszczenia od położenia równowagi.

Zgodnie z definicją energia potencjalna sprężystości jest równa pracy, jaką wykonuje siła zewnętrzna przeciwko sile sprężystości przy odkształcaniu układu od ustalonego stanu. Siła zewnętrzna jest skierowana przeciwnie do siły sprężystości i ma równą jej wartość, czyli  Przyjmując, że ustalonym stanem układu jest jego stan równowagi (wtedy ), energię potencjalną wyraża wzór
 

Energia potencjalna sprężystości jest więc proporcjonalna do kwadratu odkształcenia x układu od położenia równowagi. Układ wytrącony od położenia równowagi i pozostawiony działaniu sił sprężystych będzie wykonywał drgania oscylacyjne: zmieniające się w czasie odkształcenie  będzie oznaczać zmieniającą się w czasie jego energię potencjalną sprężystości.

Energia potencjalna a siła 
Jeżeli znany jest rozkład przestrzenny energii potencjalnej  danego układu ciał, to można wyznaczyć siłę działającą na to ciało (układ ciał) obliczając gradient energii potencjalnej

Punkty równowagi układu 
Jeżeli dla pewnego położenia  układu w przestrzeni (lub dla pewnej konfiguracji ) energia potencjalna osiąga lokalne ekstremum, to gradient energii potencjalnej zeruje się
 

czyli znikają siły działające na ciało. Położenie  jest więc położeniem równowagi układu. Jeśli jest to minimum energii potencjalnej – równowaga jest trwała, gdyż nawet niewielkie odejście od  powoduje pojawienie się siły, sprowadzającej układ do stanu równowagi; gdy energia potencjalna ma maksimum w  to równowaga jest nietrwała. Gdy energia potencjalna ma kilka lokalnych ekstremów, to oznacza, że układ może być w równowadze w więcej niż w jednym punkcie.

Przykład: Jak omówiono wyżej (por. Energia potencjalna sprężystości) układ poddany działaniu siły sprężystej ma energię potencjalną
 

Pochodna energii względem x wynosi
 

Pochodna zeruje się dla  w punkcie tym pochodna ma minimum absolutne. Wynika stąd, że układ drgający pod wpływem siły sprężystej ma dla  położenie równowagi trwałej. Rezultat ten jest zgodny z rzeczywistością – np. ciało na sprężynie wychylone od położenia równowagi zacznie wykonywać drgania; po pewnym czasie, zależnym od tłumienia, zatrzyma się w położeniu równowagi. Z przykładu tego widać, że warunek na minimum energii potencjalnej pozwala łatwo znaleźć punkty równowagi. Np. w przypadku oscylatora harmonicznego tłumionego bezpośrednie znalezienie punktu równowagi z równania ruchu układu wymagałoby rozwiązania złożonego równania różniczkowego (por. Ruch harmoniczny tłumiony).

Praca a energia potencjalna 
Pracę potrzebną do przemieszczenia ciała od punktu  do punktu  można obliczyć jako różnicę energii potencjalnych tego ciała w punktach  i 
 

Jeżeli praca ta jest dodatnia, to ciała zyskuje energię potencjalną kosztem innej formy energii. W ten sposób można obliczyć np. energię potrzebną do przeniesienia satelity z powierzchni Ziemi do nieskończoności:
 

gdzie  – promień Ziemi.

Przybliżenie wzoru na pracę w polu grawitacyjnym 
Wzór na energię pola grawitacyjnego w postaci  (por. wyżej) jest przybliżeniem wzoru ogólnego na pracę w polu grawitacyjnym. Mianowicie, energia potencjalna na wysokości  jest równa pracy, potrzebnej do podniesienia ciała z poziomu odniesienia na wysokość  Jako poziom odniesienia przyjmiemy promień Ziemi Rz:
 

Po dodaniu ułamków otrzyma się:
 

przy czym wykonane tu przybliżenie jest słuszne, gdy przesunięcie  ciała jest niewielkie wobec promienia Ziemi ( ≈ 6400 km, np. dla  = 100 km popełniany błąd względny przybliżenia będzie wynosił 1,6%). Z prawa grawitacji Newtona wynika, że przyspieszenie, jakiego doznaje ciało o masie  pod wpływem siły grawitacji wynosi
 

Uwzględniając to otrzyma się
 

czyli wzór na energię potencjalną dla jednorodnego pola grawitacyjnego.

Zobacz też 
 energia kinetyczna
 siła zachowawcza
 zasada zachowania energii

Przypisy

Bibliografia 
 C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, PWN, Warszawa 1973.
 Wojciech Królikowski, Wojciech Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
 Robert Resnick, David Halliday, Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych T. 1, PWN, Warszawa 1980, .
 Andrzej Kajetan Wróblewski, Janusz Zakrzewski, Wstęp do fizyki, PWN, Warszawa 1984.

Dynamika
Teoria pola
Energia