Distribuzione di Cauchy

In teoria delle probabilità la distribuzione di Cauchy, nota anche come distribuzione di Lorentz, è una distribuzione di probabilità che descrive nel piano euclideo l'intersezione tra l'asse delle ascisse ed una retta passante per un punto fissato ed inclinata ad un angolo che segue la distribuzione continua uniforme.

Prende il nome sia dal matematico francese Augustin-Louis Cauchy sia dal fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz.

Questa distribuzione venne studiata nel 1824 da Siméon-Denis Poisson

Definizione 
La distribuzione di Cauchy di parametri  governa una variabile aleatoria  tale che sul piano cartesiano l'angolo  d'inclinazione delle rette per i punti  e  segua la distribuzione continua uniforme . (In altri termini,  è la distanza dall'origine a cui l'asse delle ascisse viene intersecato da una retta passante per  ed inclinata con angolo .)

La funzione di densità di probabilità della distribuzione di Cauchy di parametri  è

il cui grafico è una versiera centrata in  e con semilarghezza a metà altezza (HWHM) pari a .

Caratteristiche 
Risulta semplice calcolare i quantili di una distribuzione di Cauchy e da questi ricavare la funzione di ripartizione e la densità di probabilità della ripartizione.

Siccome per la distribuzione di Cauchy di parametri  alle rette che formano con l'asse delle ascisse un angolo inferiore a  corrispondono i valori inferiori a , i quantili possono essere espressi come
.

La funzione di ripartizione  si ricava come inversa della funzione che definisce i quantili, :
.

Da questa si può ottenere per derivazione la funzione di densità di probabilità
.

I momenti di una distribuzione di Cauchy non sono definiti poiché le funzioni  non hanno integrale finito su . In particolare non sono definite né la speranza matematica né la varianza della distribuzione.

La distribuzione di Cauchy di parametri  è simmetrica rispetto a , dove la densità di probabilità è massima. In particolare la moda e la mediana sono entrambe pari a .

La funzione caratteristica della distribuzione è
.

Proprietà 
La media  di n variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzioni di Cauchy di parametri  segue la distribuzione di Cauchy di parametri . In particolare, se  hanno gli stessi parametri, questi sono anche i parametri per la media .

Questo illustra come non tutte le distribuzioni forniscano medie sui campioni che convergono alla distribuzione normale; in particolare nel teorema del limite centrale le condizioni sulla speranza matematica e sulla varianza sono necessarie.

Casi particolari 
Il rapporto  tra due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzione normale standard  segue la distribuzione di Cauchy di parametri : il vettore aleatorio  è isotropo, quindi l'angolo segue una distribuzione uniforme.

Questa stessa distribuzione può essere considerata un caso particolare di distribuzione di Student, con un solo grado di libertà.

La distribuzione di Cauchy di parametri  può essere utilizzata per definire tutte le altre distribuzioni di Cauchy: se la variabile aleatoria  segue questa distribuzione allora la variabile aleatoria  segue la distribuzione di Cauchy di parametri .

Note

Voci correlate 
 Distribuzione continua uniforme
 Distribuzione normale
 Distribuzione t di Student
Teorema centrale del limite

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Cauchy