Simmetria (statistica)

In teoria delle probabilità una distribuzione di probabilità è simmetrica quando la sua funzione di probabilità P (nel caso discreto) o la sua funzione di densità di probabilità (nel caso continuo) siano simmetriche rispetto ad un particolare valore :
 oppure .

Esempi di distribuzioni simmetriche sono le distribuzioni uniformi (discreta e distribuzione continua uniforme) su insiemi simmetrici, la distribuzione normale e altre distribuzioni derivate da distribuzioni simmetriche (la distribuzione t di Student) oppure definite in maniera simmetrica (la distribuzione di Skellam con parametri uguali).

Un indice di asimmetria (in inglese skewness) di una distribuzione è un valore che cerca di fornire una misura della sua mancanza di simmetria.

Esistono diversi indici di asimmetria. Per ognuno di essi il valore 0 fornisce una condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché una distribuzione sia simmetrica. (Ogni distribuzione simmetrica ha indice 0, ma esistono anche distribuzioni non simmetriche con indice 0).

Gli indici di asimmetria comunemente utilizzati si basano su alcune proprietà delle distribuzioni simmetriche o, in particolare, della distribuzione normale. Per tutte queste
 il valore atteso, la mediana e la moda (se è unica) coincidono;
 i momenti centrali di ordine dispari sono nulli.

Indice di asimmetria 
L'indice più utilizzato, noto semplicemente come indice di asimmetria o skewness, è definito come

tramite i momenti centrali , ossia i valori attesi delle potenze della variabile aleatoria centrata 

Poiché il primo momento centrale è sempre nullo ed il secondo momento centrale (la varianza) è nullo solo per le distribuzioni concentrate su un unico valore, il terzo momento centrale  è quello di ordine più basso che può "sperare" di misurare l'asimmetria di una distribuzione. Inoltre il riscalamento per  permette all'indice  di restare invariato per trasformazioni lineari  che trasformano i momenti centrali come 

Talvolta viene utilizzato al posto di  l'indice

che tuttavia perde l'informazione sul segno dell'asimmetria.

In statistica l'indice di asimmetria calcolato su un campione osservato  di media  segue la formula

Il successivo momento centrale  viene invece utilizzato per calcolare la curtosi (che vuole "misurare" l'allontanamento della distribuzione dalla distribuzione normale).

Proprietà 
Ogni distribuzione simmetrica ha indice di asimmetria 0.

La somma  di  variabili aleatorie variabili indipendenti con la stessa distribuzione ha momenti centrali  in particolare

Una convinzione sbagliata ma diffusa (e "sostenuta" da alcuni testi che la riportano come regola indicativa) è che il segno del coefficiente  possa determinare le posizioni reciproche del valore atteso, della mediana e della moda (se questa è unica) di una distribuzione, in particolare che esse debbano coincidere se .

Indice di Pearson 
Alcuni indici di asimmetria alternativi per un campione statistico sono stati proposti da Karl Pearson; coinvolgono la media (il valore atteso), la mediana, la moda e lo scarto quadratico medio (la radice quadrata della varianza):
 l'asimmetria di moda di Pearson

 il primo coefficiente di asimmetria di Pearson

 il secondo coefficiente di asimmetria di Pearson

Poiché la media e la mediana sono uniche per ogni distribuzione e coincidono per distribuzioni simmetriche, il segno del secondo coefficiente di Pearson dà informazioni sul tipo di asimmetria. Nel caso in cui il segno sia positivo, ossia la media è maggiore della mediana, il picco della distribuzione è spostato verso destra; verso sinistra se il segno è negativo.

Esempio 
Un esempio di distribuzione non simmetrica con coefficiente di asimmetria 0 è la distribuzione discreta

che può essere visualizzata come il lancio di un dado le cui sei facce presentino i numeri "-4, -4, 1, 1, 1, 5".

Questa distribuzione è chiaramente non simmetrica, tuttavia ha valore atteso uguale a 0 (è centrata) e terzo momento centrale uguale a  pertanto ha indici di asimmetria 

Nell'esempio la moda e la mediana non coincidono con la media, ma questo si può ottenere aggiungendo altre 4 "facce" con valore 0; in questo modo anche gli indici di Pearson diventano nulli e la distribuzione resta non simmetrica.

Note

Voci correlate 
Curtosi
Momento (statistica)
Simmetria (matematica)
Valore atteso
Varianza

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Teoria della probabilità
Indici di forma