Równanie Clapeyrona (stan gazu doskonałego)

Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałego – równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujące gazy rzeczywiste. Sformułowane zostało w 1834 roku przez Benoît Clapeyrona. Prawo to można wyrazić wzorem:
 
 

gdzie:
  – ciśnienie,
  – objętość,
  – objętość molowa,
  – liczba moli gazu, będąca miarą liczby jego cząsteczek; 
  – temperatura (w kelwinach),
  – uniwersalna stała gazowa:  gdzie:  – stała Avogadra (liczba Avogadra),  – stała Boltzmanna,  = 8,314 J/(mol·K).

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:
 gaz składa się z poruszających się cząsteczek;
 cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia, w którym się znajdują;
 nie ma oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek;
 objętość (rozmiary) cząsteczek pomija się;
 zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste.

Równanie to, mimo że wyprowadzone w ramach wyidealizowanego modelu, dobrze opisuje większość substancji gazowych w obszarze ciśnień do ok. 100 atmosfer i temperatury do 300–400 °C, oraz w temperaturze trochę większej od temperatury skraplania gazu przy danym ciśnieniu.

Wyprowadzenie 
Równanie to można wyprowadzić fenomenologicznie (tj. bez odwoływania się do mikroskopowych właściwości układu). W wyniku wielu eksperymentów przeprowadzonych na gazach głównie w XVIII wieku badacze doszli do wniosku, że można w sposób satysfakcjonujący i wystarczający opisać te przemiany dla 1 mola gazu  poprzez podanie 3 zmiennych np.    Spośród tych trzech zmiennych tylko dwie są niezależne, wobec czego można traktować np. ciśnienie jako funkcję dwóch pozostałych zmiennych, tj.  Można zatem zapisać różniczkę zupełną ciśnienia  jako
 

Pierwszy człon opisuje proces, w którym gaz zamknięty w stałej objętości jest ogrzewany, czemu towarzyszy zmiana jego ciśnienia. Jako pierwszy taką przemianę opisał Jacques Alexandre Charles (prawo Charles’a) i podał jej równanie w postaci:
 

skąd wynika
 

Drugi człon to izotermiczne rozprężanie lub sprężanie gazu opisane przez Boyle’a i Mariotte’a (izotermiczna przemiana Boyle’a-Mariotte’a) wzorem
 

gdzie  to stała. Z równania tego wynika, że
 

Otrzymane pochodne cząstkowe podstawmy do wyrażenia na 
 

Dzieląc to równanie przez  można rozdzielić zmienne
 

Po wycałkowaniu
 

Stałą całkowania  można zapisać przy pomocy innej stałej 
 

wówczas, ponieważ funkcja  jest różnowartościowa, a to prowadzi do równania
 

Rozumowanie można uogólnić na dowolną liczbę moli gazu 
Równanie to stanowi fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:
  moli (taka sama liczba cząstek) gazu, przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu 
 w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej 
  moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierało na jego ścianki takie samo ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz 

Określenie równanie Clapeyrona nie jest stosowane powszechnie w odniesieniu do tego wzoru – w literaturze anglojęzycznej równanie to znane jest jedynie jako ideal gas law (prawo gazu doskonałego), podobnie jest w większości innych języków. W Rosji równanie to funkcjonuje pod nazwą równania Mendelejewa-Clapeyrona. Jako równanie Clapeyrona określana jest też zależność opisująca przemiany fazowe, m.in. ciecz-gaz. Pod tą nazwą często funkcjonuje też równanie Clausiusa-Clapeyrona.

Rozszerzeniami równania gazu doskonałego, uwzględniającymi objętość cząsteczek gazu oraz przyciąganie cząsteczek, są równanie van der Waalsa oraz wirialne równanie stanu.

Energia gazu 
Zgodnie z założeniami kinetycznej teorii gazów zakładaliśmy, że nie ma międzycząsteczkowych oddziaływań pomiędzy cząsteczkami gazu doskonałego. Innymi słowy, jego potencjalna energia wynosi zero. Stąd cała energia posiadana przez gaz jest energią kinetyczną:
 

Jest to energia kinetyczna jednego mola gazu.

Zobacz też 
 Przemiany termodynamiczne
 przemiana izobaryczna – (stałe ciśnienie )
 przemiana izotermiczna – (stała temperatura )
 przemiana izochoryczna – (stała objętość )
 przemiana adiabatyczna – (brak wymiany ciepła z otoczeniem )
 przemiana politropowa – ( gdzie  – wykładnik politropy)

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne 
 

Prawa gazowe
Clapeyrona (stan gazu doskonałego)