Funkcja wykładnicza

Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna – w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci:
  gdzie 

Liczba  – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej.

Niektórzy autorzy nakładają dodatkowy warunek  ponieważ dla  funkcja ta jest stała.

Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista lub płaszczyzna zespolona. W pierwszym wypadku:
 zbiorem wartości jest półoś wszystkich liczb dodatnich  – funkcja ta jest ograniczona z dołu, ale nie z góry;
 funkcje te są monotoniczne w całej dziedzinie: dla  są rosnące, a dla  – malejące;
 w związku z powyższymi faktami – granicą takich funkcji w jednej z nieskończoności jest zero; oś pozioma jest dla nich asymptotą jednostronną – lewostronną dla funkcji rosnących i prawostronną dla malejących. Z kolei granica w drugiej nieskończoności jest niewłaściwa;
 funkcje te są ciągłe, a do tego gładkie i analityczne; ich rozwinięcie w szereg podano w dalszej sekcji.

Funkcje wykładnicze są zaliczane do elementarnych i definiują niektóre inne z tej rodziny, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne czy pośrednio polowe. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych.

Własności 
 
 

 Pochodna funkcji wykładniczej to:
 

(patrz dowód w logarytm naturalny)

Czyli w szczególności dla  mamy
 

 Funkcja wykładnicza o podstawie  jest (przy argumencie dążącym do ) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

Funkcja eksponencjalna 
Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest funkcja eksponencjalna, czyli funkcja wykładnicza o podstawie równej  (czyli podstawie logarytmu naturalnego). Innym oznaczeniem takiej funkcji jest  (nazywane skrótowo eksponentą).

Cechą funkcji  jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego
 

przy warunku początkowym
 

daje wzór na funkcję eksponencjalną:
 

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy:

Płaszczyzna zespolona 

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:
 

Jest to funkcja okresowa z okresem  i można ją zapisać jako:
 

gdzie  i  to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności
 
 
 
 
 

dla wszystkich  i 

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania

Matematyka 
 Notacja wykładnicza do zapisywania dużych liczb. Nazwy dużych liczb (większych niż miliard) są niewygodne w użyciu i różnią się między krajami, prowadząc do potencjalnych nieporozumień.
 Funkcja wykładnicza razem z odpowiednim logarytmem pozwala sprowadzać mnożenie i dzielenie do dodawania i odejmowania. To miało znaczenie w czasach tablic i suwaków logarytmicznych, używanych przed rozpowszechnieniem się kalkulatorów.
 Ciąg geometryczny oraz suma szeregu geometrycznego, por. procent składany.
 Ciąg Fibonacciego jest opisany wzorem Bineta zawierającym funkcję wykładniczą. Podobnie jest z każdym ciągiem rekurencyjnym.
 Kombinatoryka: liczba wariacji z powtórzeniami jest wykładniczą funkcją długości ciągu. Przykładowo liczba możliwych haseł jest wykładniczą funkcją jego długości.
 Rozkład normalny jest opisany przez złożenie funkcji wykładniczej z kwadratową.
 Rozkład Poissona zawiera funkcję wykładniczą.
 Rozkład dwumianowy także zawiera tę funkcję, gdzie podstawą jest prawdopodobieństwo pojedynczego sukcesu.
 Funkcje hiperboliczne są zdefiniowane przez funkcję wykładniczą.
 Algorytmika: niektóre problemy mają złożoność wykładniczą.

Inne dziedziny 
 Liczebność populacji w idealnych warunkach rośnie wykładniczo.
 Prawo Moore’a w elektronice i informatyce.
 Zależność prędkości od czasu w ruchu z oporem ośrodka jest opisana funkcją wykładniczą: zarówno przy liniowej zależności siły oporu od prędkości (prawo Stokesa), jak i przy zależności kwadratowej.
 Ładowanie i rozładowywanie kondensatora jest opisane wykładniczą funkcją czasu. Analogicznie jest z napięciem i natężeniem prądu w obwodzie prądu stałego z cewką.
 Tłumienie silne oraz krytyczne drgań sprawia, że zmiany są opisane funkcją wykładniczą.
 Rozkład Maxwella w fizyce statystycznej.
 Funkcja wykładnicza pojawia się w rozkładzie Plancka opisującym promieniowanie cieplne ciał.
 Odkryty przez Rutherforda czas połowicznego rozpadu pozwala modelować radioaktywność przez funkcję wykładniczą.

Przypisy 

Analiza zespolona
Wykładnicza