Funzione di ripartizione

In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa) è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.

Nel calcolo delle probabilità 

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione, o funzione di probabilità cumulata, di una variabile casuale  a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore  la probabilità del seguente evento: "la variabile casuale  assume valori minori o uguali ad ".

In altre parole, è la funzione  con dominio la retta reale e immagine nell'intervallo  definita da

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se  è una variabile casuale discreta e  un punto del suo supporto, allora  è una funzione a gradino e dunque

(ponendo senza restrizioni di generalità ) poiché è una costante indipendente da , mentre

dunque essendo  si ha che  non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile  associa la probabilità che  cada in .

Proprietà

Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione :

Se  è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di  può essere espressa come funzione integrale:

ove  è detta funzione di densità di . Si può anche considerare la relazione inversa:

Se  è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori )

dove  è detta funzione di probabilità di .

Esempi

Se  è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha

dove con  si indica la parte intera di x.

Se  è la variabile casuale uniforme continua in  si ha
.

Funzione di sopravvivenza
In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore  (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza  (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:

Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:

e

Ogni funzione di sopravvivenza  è una funzione monotona decrescente, vale a dire  per 

Il tempo  rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.

Variabili aleatorie multivariate 
Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria  a valori in  è la funzione  con dominio  e codominio l'intervallo  definita da

dove  sono le componenti di .

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:
Per qualsiasi , 
 è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se , 
se  per semplicità, 
 dove  è la funzione di ripartizione della variabile -variata .

Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza

e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici .

In statistica descrittiva 

In statistica la funzione di ripartizione empirica, o funzione di distribuzione cumulata, viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.

La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con  e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore .

Se  sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative  la funzione di ripartizione ha espressione analitica

Le  sono dette frequenze relative cumulate.

Note

Bibliografia
 Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003

Voci correlate
 Distribuzione (statistica)
 Funzione càdlàg
 Funzione di densità di probabilità
 Funzione caratteristica (teoria della probabilità)
 Funzione di probabilità
 Integrale
 Percentile
 Quantile
 Statistica
 Teoria della probabilità
 Variabile casuale
 Histogram matching

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Statistica matematica
Teoria della probabilità