Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Das Gram-Schmidt’sche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren aus einem Prähilbertraum (einem Vektorraum mit Skalarprodukt) ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidt’sche Orthonormalisierungsverfahren dar: Statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Verwendet man ein System von Basisvektoren als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis.

Die beiden Verfahren sind nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin-Louis Cauchy verwendet.

Für die numerische Berechnung durch einen Computer mit Gleitpunktarithmetik sind die Gram-Schmidt-Verfahren schlecht geeignet. Durch akkumulierte Rundungsfehler sind die berechneten Vektoren nicht mehr orthogonal. Es existieren aber Modifikationen des Verfahrens, die diesen Nachteil nicht haben. Andere Orthogonalisierungsverfahren basieren auf Householdertransformationen oder Givens-Rotationen.

Vorbemerkung 
Im Folgenden werden Elemente des betrachteten Vektorraums (Vektoren) mit einfachen lateinischen Buchstaben wie  und  bezeichnet, gegebenenfalls mit Indizes wie  und . Es wird sowohl auf übergesetzte Pfeile als auch auf Fettdruck verzichtet. 
Das Skalarprodukt wird durch spitze Klammern dargestellt: . Im komplexen Fall wird dabei die Konvention verwendet, dass das Skalarprodukt im ersten Argument semilinear, im zweiten Argument linear ist, das heißt

für alle Vektoren ,  und alle . Im komplexen Fall kommt es deshalb bei den unten dargestellten Formeln auf die Reihenfolge der Faktoren im Skalarprodukt an, im reellen Fall jedoch nicht.

Zudem bezeichnet  die Norm des Vektors .

Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens 

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren  ein Orthogonalsystem von  paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt.

Die einzelnen Vektoren  des Orthogonalsystems berechnen sich wie folgt:

Anders gesagt werden die  für  also rekursiv durch 

definiert.

Beispiel 
Im  versehen mit dem Standardskalarprodukt  seien zwei linear unabhängige Vektoren vorgegeben, die einen Untervektorraum erzeugen:

Es werden nun zwei orthogonale Vektoren  und  berechnet, die denselben Untervektorraum erzeugen:

Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens 

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren  ein Orthonormalsystem von  normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt. Er ist identisch mit einer Normierung der orthogonalen Vektoren, welche durch den obigen Algorithmus bestimmt wurden.

Die einzelnen Vektoren  des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird:
 (Normalisieren des ersten Vektors )
 (Orthogonalisieren des zweiten Vektors )
 (Normalisieren des Vektors )
 (Orthogonalisieren des dritten Vektors )
 (Normalisieren des Vektors )

 (Orthogonalisieren des -ten Vektors )
 (Normalisieren des Vektors )

Anders gesagt werden die  und  für  also rekursiv durch 
 und  definiert.

Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im  muss z. B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten.

Beispiel 

Im  versehen mit dem Standardskalarprodukt  seien zwei Basisvektoren gegeben:

Es werden nun zwei Vektoren  und  berechnet, die eine Orthonormalbasis des  bilden.

Anmerkungen 

Eine besondere Eigenschaft der beiden Verfahren ist, dass nach jedem Zwischenschritt die bisher berechneten Vektoren  den gleichen Vektorraum erzeugen wie die Vektoren . Die Vektoren  bilden also eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis der entsprechenden Untervektorräume. Anders ausgedrückt ist die Transformationsmatrix, die die Koordinaten des einen Systems im anderen ausdrückt, eine rechtsobere Dreiecksmatrix. Diese hat außerdem eine positive Determinante, daher hat die resultierende Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis die gleiche Orientierung wie die Ausgangsbasis.  Fasst man die orthonormalen Vektoren  als Spalten einer Matrix Q zusammen, ebenso die Vektoren des Ausgangssystems  zu einer Matrix A, so gibt es eine Dreiecksmatrix R mit A=QR, es wird also eine QR-Zerlegung bestimmt. Dementsprechend kann das Ergebnis der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung auch mit anderen Methoden zur QR-Zerlegung bestimmt werden, die mit Givens-Rotationen oder Householder-Spiegelungen arbeiten.

Berechnet man ein Orthonormalsystem von Hand, ist es oftmals einfacher, zunächst ein Orthogonalsystem auszurechnen und dann die einzelnen Vektoren zu normieren. Dadurch erspart man sich das zweifache Normieren und kann oftmals mit einfacheren Werten rechnen. Gegebenenfalls lohnt es sich, vor dem Erstellen des Orthogonalsystems/Orthonormalsystems das Gauß’sche Eliminationsverfahren durchzuführen.

Prinzip des Verfahrens 

Sind die orthogonalen Vektoren  bereits bestimmt, versuchen wir, von  eine passende Linearkombination der Vektoren  abzuziehen,
sodass der Differenzvektor

zu allen Vektoren  orthogonal wird. Dies ist gleichbedeutend damit, dass das Skalarprodukt

für alle  den Wert 0 ergibt. Eine solche Linearkombination ergibt sich, wenn für jedes  der Ausdruck

gewählt wird. Eine Kontrollrechnung zeigt, dass dadurch alle Skalarprodukte  mit  den Wert 0 annehmen:

Orthonormalisierung unendlicher Systeme von Vektoren 
In einem beliebigen Hilbertraum  lässt sich das Verfahren auch auf unendliche Systeme unabhängiger Vektoren anwenden, wobei die Unabhängigkeit in dem Sinne zu verstehen ist, dass kein Element im Abschluss der linearen Hülle der übrigen Vektoren liegt. Den Fall eines abzählbaren Systems (d. h.  ist ein  separabler Hilbertraum) kann direkt auf den oben dargestellten endlichen Fall zurückgeführt werden: Gegeben sei eine unabhängige Folge , so erhält man eine entsprechende orthonormale Folge , indem man für jedes  das obige Verfahren anwendet und  erhält. Allgemeiner kann jedes unabhängige System nach dem Wohlordnungssatz als Folge  für eine Kardinalzahl  und Ordinalzahlen  angesehen werden (im Falle einer dichten linearen Hülle des unabhängigen Systems ist  gerade die Dimension von ). Bezeichne nun  die orthogonale Projektion auf einen abgeschlossenen Teilraum , die aufgrund der Vollständigkeit des Raumes stets existiert, und  bezeichne die Normierung . So ergibt sich ein Orthonormalsystem  durch

.

Per transfiniter Induktion lässt sich dann zeigen, dass , sogar für . Expliziter lässt sich das Verfahren per transfiniter Rekursion wie folgt schreiben:

Hierbei ist die Summe aufgrund der besselschen Ungleichung wohldefiniert (insbesondere sind stets nur abzählbar viele Summanden ungleich Null).

Literatur 
 K. Kirchgessner, M. Schreck: Vektoranalysis für Dummies. Das Pocketbuch Paperback . Wiley-VCH, 2012. ISBN 978-3-527-70742-3

Lineare Algebra