Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete axiomatische Mengenlehre, die nach Ernst Zermelo und Abraham Adolf Fraenkel benannt ist. Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom wird durch ZF abgekürzt, mit Auswahlaxiom durch ZFC (wobei das C für das engl. Wort choice, also Auswahl oder Wahl steht).

Geschichte 

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine Erweiterung der Zermelo-Mengenlehre von 1907, die auf Axiomen und Anregungen von Fraenkel von 1921 beruht. Fraenkel ergänzte das Ersetzungsaxiom und plädierte für reguläre Mengen ohne zirkuläre Elementketten und für eine reine Mengenlehre, deren Objekte nur Mengen sind. Zermelo komplettierte 1930 das Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, das er selbst als ZF-System bezeichnete: Er nahm das Ersetzungsaxiom Fraenkels auf und fügte das Fundierungsaxiom hinzu, um zirkuläre Elementketten auszuschließen, wie von Fraenkel gefordert. Das originale ZF-System ist verbal und kalkuliert auch Urelemente ein, die keine Mengen sind. Auf solche Urelemente verzichten spätere formalisierte ZF-Systeme meist und setzen damit Fraenkels Ideen vollständig um. Die erste präzise prädikatenlogische Formalisierung der reinen ZF-Mengenlehre schuf Thoralf Skolem 1929 (noch ohne Fundierungsaxiom). Diese Tradition hat sich durchgesetzt, so dass heute das Kürzel ZF für die reine Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre steht. Die dem originalen ZF-System näherstehende Version mit Urelementen wird heute aber auch noch gebraucht und zur klaren Unterscheidung als ZFU bezeichnet.

Bedeutung 
Die ZFC-Mengenlehre ist ein bewährter und weithin akzeptierter Rahmen für die Mathematik, obwohl die meisten Mathematiker nicht in der Lage sind, die ZFC-Axiome aufzuzählen. Ausnahmen finden sich überall dort, wo man mit echten Klassen arbeiten muss oder will. Man benutzt dann gewisse Erweiterungen von ZFC, die Klassen oder zusätzliche sehr große Mengen zur Verfügung stellen, etwa eine Erweiterung zur ZFC-Klassenlogik oder die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre oder ein Grothendieck-Universum.

Wegen der grundlegenden Bedeutung der ZFC-Mengenlehre für die Mathematik wurde seit 1918 im Rahmen des Hilbert-Programms ein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Mengenlehre gesucht. Gödel, der sich mit wichtigen Beiträgen an diesem Programm beteiligte, konnte aber 1930 in seinem Zweiten Unvollständigkeitssatz zeigen, dass ein solcher Widerspruchsfreiheitsbeweis im Rahmen einer widerspruchsfreien ZFC-Mengenlehre unmöglich ist. Die Annahme der Widerspruchsfreiheit von ZFC bleibt daher eine durch Erfahrung gehärtete Arbeitshypothese der Mathematiker:

Die Axiome von ZF und ZFC 

ZF hat unendlich viele Axiome, da zwei Axiomenschemata (8. und 9.) verwendet werden, die zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften je ein Axiom angeben. Als logische Grundlage dient die Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Identität und dem undefinierten Elementprädikat .

1. Extensionalitätsaxiom: Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
 
 Das Axiom impliziert, dass es in ZF nur Entitäten mit Extension gibt, die üblicherweise als Mengen bezeichnet werden. Alle gebundenen Variablen beziehen sich daher in der ZF-Sprache automatisch auf Mengen.

2. Leermengenaxiom, veraltet Nullmengenaxiom: Es gibt eine Menge ohne Elemente.
 
 Aus dem Extensionalitätsaxiom folgt unmittelbar die Eindeutigkeit dieser Menge , das heißt, dass es auch nicht mehr als eine solche Menge gibt. Diese wird meist als  geschrieben und leere Menge genannt. Das bedeutet: Die leere Menge ist in ZF das einzige Urelement.

3. Paarmengenaxiom: Für alle  und  gibt es eine Menge , die genau  und  als Elemente hat.
 
 Offenbar ist auch diese Menge  eindeutig bestimmt. Sie wird geschrieben als . Die Menge  wird üblicherweise als  geschrieben.

4. Vereinigungsaxiom: Für jede Menge  gibt es eine Menge , die genau die Elemente der Elemente von  als Elemente enthält.
 
 Auch die Menge  ist eindeutig bestimmt und heißt die Vereinigung der Elemente von , geschrieben als . Zusammen mit dem Paarmengenaxiom lässt sich die Vereinigung  definieren.

5. Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge , die die leere Menge und mit jedem Element  auch die Menge  enthält (vgl. Induktive Menge).
 

 Es gibt viele derartige Mengen. Der Schnitt aller dieser Mengen ist die kleinste Menge mit diesen Eigenschaften und bildet die Menge der natürlichen Zahlen; die Bildung der Schnittmenge erfolgt durch Anwendung des Aussonderungsaxioms (s. u.). Die natürlichen Zahlen werden also dargestellt durch
 

6. Potenzmengenaxiom: Für jede Menge  gibt es eine Menge , deren Elemente genau die Teilmengen von  sind.
 
 Die Menge  ist eindeutig bestimmt. Sie heißt die Potenzmenge von  und wird mit  bezeichnet.

7. Fundierungsaxiom oder Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge  enthält ein Element , so dass  und  disjunkt sind.
 
 Das Element , welches zu  disjunkt ist, ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt.
 Das Fundierungsaxiom verhindert, dass es unendliche oder zyklische Folgen von Mengen gibt, bei denen jeweils eine in der vorangegangenen enthalten ist, , denn dann könnte man eine Menge  bilden, die dem Axiom widerspricht: Für jedes  ist , die beiden Mengen sind also nicht disjunkt. Das impliziert, dass eine Menge sich nicht selbst als Element enthalten kann.

8. Aussonderungsaxiom: Hier handelt es sich um ein Axiomenschema mit je einem Axiom zu jedem Prädikat : Zu jeder Menge  existiert eine Teilmenge  von , die genau die Elemente  von  enthält, für die  wahr ist.
 Für jedes einstellige Prädikat , in dem die Variable  nicht vorkommt,  gilt: 
 Aus dem Extensionalitätsaxiom ergibt sich sofort, dass es genau eine solche Menge gibt. Diese wird mit  notiert.

9. Ersetzungsaxiom (Fraenkel): Ist  eine Menge und wird jedes Element von  eindeutig durch eine beliebige Menge ersetzt, so geht  in eine Menge über. Die Ersetzung wird präzisiert durch zweistellige Prädikate mit ähnlichen Eigenschaften wie eine Funktion, und zwar als Axiomenschema für jedes solche Prädikat:
 Für jedes Prädikat , in dem die Variable  nicht vorkommt, gilt:
 
 Die Menge  ist eindeutig bestimmt und wird als  notiert.

In der Mathematik wird häufig auch das Auswahlaxiom benutzt, das ZF zu ZFC erweitert:

10. Auswahlaxiom: Ist  eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von  enthält. Dieses Axiom hat eine komplizierte Formel, die mit dem Eindeutigkeitsquantor  etwas vereinfacht werden kann:
 
 
 
 Eine andere übliche verbale Formulierung des Auswahlaxioms lautet: Ist  eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion  (von  in seine Vereinigung), die jedem Element  von  ein Element von  zuordnet („ein Element von  auswählt“).
 Mit den ZF-Axiomen kann man die Äquivalenz des Auswahlaxioms mit dem Wohlordnungssatz und dem Lemma von Zorn ableiten.

ZF mit Urelementen 
Zermelo formulierte das originale ZF-System für Mengen und Urelemente. Mengen definierte er als elementhaltige Dinge oder die Nullmenge. Urelemente sind dann Dinge ohne Elemente, und zwar betrachtete er die Nullmenge als ausgezeichnetes Urelement, das als gegebene Konstante  die ZF-Sprache erweitert. Mengen und Urelemente sind damit präzise definierbar:

 
 

Von der üblichen reinen ZF-Mengenlehre wird die Mengenlehre mit Urelementen unterschieden durch angehängtes U. Die Axiome von ZFU und ZFCU lauten abgesehen vom Leermengenaxiom verbal wie die Axiome von ZF oder ZFC, werden aber wegen der anderen Rahmenbedingungen anders formalisiert; ableitbare Mengenbedingungen können dabei entfallen.

ZFU 

ZFU umfasst folgende Axiome:
 Leermengenaxiom:
 

 Axiom der Bestimmtheit (abgeschwächtes Extensionalitätsaxiom):
 

 Vereinigungsaxiom:
 

 Potenzmengenaxiom:
 

 Unendlichkeitsaxiom:
 

 Fundierungsaxiom:
 

 Ersetzungsaxiom für zweistellige Prädikate :
 

Aus den ZFU-Axiomen und dem Axiom  folgen offenbar die ZF-Axiome. Denn aus dem Ersetzungsaxiom ist wie in ZF (siehe unten) das Paarmengenaxiom ableitbar und auch das Aussonderungsaxiom, letzteres hier in folgender Form für jedes einstellige Prädikat :

ZFCU 
ZFCU umfasst die Axiome von ZFU und folgendes Auswahlaxiom:

Vereinfachtes ZF-System (Redundanz) 
Das ZF-System ist redundant, das heißt, es hat entbehrliche Axiome, die aus anderen ableitbar sind. ZF bzw. ZFU wird schon vollständig beschrieben durch das Extensionalitätsaxiom, Vereinigungsaxiom, Potenzmengenaxiom, Unendlichkeitsaxiom, Fundierungsaxiom und Ersetzungsaxiom. Das gilt wegen folgender Punkte:

 Das Aussonderungsaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom (Zermelo).
 Das Leermengenaxiom folgt aus dem Aussonderungsaxiom und der Existenz irgendeiner Menge, welches sich aus dem Unendlichkeitsaxiom ergibt.
 Das Paarmengenaxiom folgt aus dem Ersetzungsaxiom und dem Potenzmengenaxiom (Zermelo).

Paarmengenaxiom, Vereinigungsaxiom und Potenzmengenaxiom können auch aus der Aussage gewonnen werden, dass jede Menge Element einer Stufe ist. Unendlichkeitsaxiom und Ersetzungsaxiom sind im Rahmen der übrigen Axiome äquivalent zum Reflexionsprinzip. Durch Kombination dieser beiden Einsichten formulierte Dana Scott ZF zum äquivalenten Scottschen Axiomensystem um.

ZF-System ohne Gleichheit 
Man kann ZF und ZFU auch auf einer Prädikatenlogik ohne Gleichheit aufbauen und die Gleichheit definieren. Die Ableitung aller Gleichheitsaxiome sichert nur die in der Logik übliche Identitätsdefinition:

Zur Definition eignet sich nicht das Extensionalitätsaxiom! Die Identitätsdefinition macht dieses Axiom nicht überflüssig, weil es aus der Definition nicht ableitbar wäre. Eine Gleichheitsdefinition per Extensionalität  wäre als Alternative in ZF nur dann möglich, wenn man das Axiom  hinzunähme, was die Ableitbarkeit der obigen Formel sichert. Diese Möglichkeit scheidet natürlich bei ZFU aus.

Nicht endliche Axiomatisierbarkeit 
Das Ersetzungsaxiom ist das einzige Axiomenschema in ZF, wenn man die Redundanzen der Axiome beseitigt und sich auf ein System unabhängiger Axiome beschränkt. Es lässt sich nicht durch endlich viele Einzelaxiome ersetzen. ZF ist also im Gegensatz zu den Theorien Neumann-Bernays-Gödel (NBG) und New Foundations (NF) nicht endlich axiomatisierbar.

Literatur

Primärquellen (chronologisch) 
 Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. 1907, In: Mathematische Annalen. 65 (1908), S. 261–281.
 Adolf Abraham Fraenkel: Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. 1921, In: Mathematische Annalen. 86 (1922), S. 230–237.
 Adolf Fraenkel: Zehn Vorlesungen über die Grundlegung der Mengenlehre. 1927. Unveränderter reprografischer Nachdruck Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt 1972.
 Thoralf Skolem: Über einige Grundlagenfragen der Mathematik. 1929, In: selected works in logic. Oslo 1970, S. 227–273.
 Ernst Zermelo: Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. In: Fundamenta Mathematicae. 16 (1930) (PDF; 1,5 MB), S. 29–47.

Sekundärliteratur 
 Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre: Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. Springer, Berlin/ Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20401-6.
 Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/ Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
 Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1928. (Neudruck: Dr. Martin Sändig oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4).
 Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
 Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publ. Co., New York 1914, 1949, 1965.
 Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschaft, Mannheim/ Leipzig/ Wien/ Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.

Einzelnachweise

Weblinks 
 
 mathematik.de: Mengenlehre

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