Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt, ist eine Verknüpfung im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum, die zwei Vektoren wieder einen Vektor zuordnet. Um es von anderen Produkten, insbesondere vom Skalarprodukt, zu unterscheiden, wird es im deutsch- und englischsprachigen Raum mit einem Malkreuz  als Multiplikationszeichen geschrieben (vgl. Abschnitt Schreibweisen). Die Bezeichnungen Kreuzprodukt und Vektorprodukt gehen auf den Physiker Josiah Willard Gibbs zurück, die Bezeichnung äußeres Produkt wurde von Hermann Graßmann geprägt.

Das Kreuzprodukt der Vektoren  und  ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht und mit ihnen ein Rechtssystem bildet. Die Länge dieses Vektors entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren  und  aufgespannt wird.

In der Physik tritt das Kreuzprodukt an vielen Stellen auf, zum Beispiel im Elektromagnetismus bei der Berechnung der Lorentzkraft oder des Poynting-Vektors. In der klassischen Mechanik wird es bei Drehgrößen wie dem Drehmoment und dem Drehimpuls oder bei Scheinkräften wie der Corioliskraft benutzt.

Geometrische Definition 

Das Kreuzprodukt  von zwei Vektoren  und  im dreidimensionalen Anschauungsraum ist ein Vektor, der orthogonal zu  und , und damit orthogonal zu der von  und  aufgespannten Ebene ist.

Dieser Vektor ist so orientiert, dass  und  in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Mathematisch heißt das, dass die drei Vektoren  und  gleich orientiert sind wie die Vektoren ,  und  der Standardbasis. Im physikalischen Raum bedeutet es, dass sie sich wie Daumen, Zeigefinger und abgespreizter Mittelfinger der rechten Hand verhalten (Rechte-Hand-Regel). Ein Drehen des ersten Vektors  in den zweiten Vektor  ergibt die positive Richtung des Vektors  über den Rechtsschraubensinn.

Der Betrag von  gibt den Flächeninhalt des von  und  aufgespannten Parallelogramms an. Ausgedrückt durch die Längen  und  der Vektoren  und  sowie den von  und  eingeschlossenen Winkel  gilt
,
wobei  den Sinus des eingeschlossenen Winkels  bezeichnet.

Streng genommen lässt sich diese Formel nur für  anwenden, da ansonsten  nicht erklärt ist.

Zusammenfassend gilt also

wobei der Vektor  derjenige zu  und   senkrechte Einheitsvektor ist, der diese zu einem Rechtssystem ergänzt.

Schreibweisen 
Je nach Land sind für das Vektorprodukt zum Teil unterschiedliche Schreibweisen gebräuchlich. Im englisch- und deutschsprachigen Raum wird für das Vektorprodukt zweier Vektoren  und  für gewöhnlich die Schreibweise  verwendet, in Frankreich und Italien wird dagegen die Schreibweise  bevorzugt. In Russland wird das Vektorprodukt oft in der Schreibweise  oder  notiert.

Die Schreibweise  und die Bezeichnung äußeres Produkt werden nicht nur für das Vektorprodukt verwendet, sondern auch für die Verknüpfung, die zwei Vektoren einen sogenannten Bivektor zuordnet, siehe Graßmann-Algebra.

Komponentenweise Berechnung 
In einem rechtshändigen kartesischen Koordinatensystem bzw. im reellen Koordinatenraum  mit dem Standardskalarprodukt und der Standardorientierung gilt für das Kreuzprodukt:
 

Ein Zahlenbeispiel:
 

Eine Merkregel für diese Formel beruht auf einer symbolischen Darstellung über die Determinante. Dabei notiert man eine -Matrix, in deren erster Spalte die Symbole ,  und  für die Standardbasis stehen. Die zweite Spalte wird von den Komponenten des Vektors  und die dritte von denen des Vektors  gebildet. Diese Determinante berechnet man nach den üblichen Regeln, zum Beispiel indem man sie nach der ersten Spalte entwickelt

oder mit Hilfe der Regel von Sarrus:

Mit dem Levi-Civita-Symbol  schreibt sich das Kreuzprodukt als

Herleitung 

Führt man im euklidischen Raum ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem mit den Basiseinheitsvektoren  ein, so erhält man direkt aus der geometrischen Definition und der Antikommutativität

Drückt man zwei Vektoren  mithilfe der Basiseinheitsvektoren aus, so liest sich deren Kreuzprodukt als

Unter Vorwegnahme der Bilinearität des Kreuzprodukts (siehe Eigenschaften) lässt sich die rechte Seite ausmultiplizieren:

Einsetzen der obigen Kreuzprodukte liefert

Durch Zusammenfassung von Termen erhält man hieraus

Eigenschaften

Bilinearität 
Das Kreuzprodukt ist bilinear, das heißt, für alle reellen Zahlen ,  und  und alle Vektoren ,  und  gilt
 
Die Bilinearität impliziert insbesondere auch das folgende Verhalten hinsichtlich der Skalarmultiplikation

Alternierende Abbildung 
Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst oder einem kollinearen Vektor ergibt den Nullvektor:
 .
Bilineare Abbildungen, für die diese Gleichung gilt, werden alternierend genannt.

Antikommutativität 

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ. Das heißt, bei Vertauschung der Argumente wechselt es das Vorzeichen:
 
Dies folgt aus der Eigenschaft, (1) alternierend und (2) bilinear zu sein, da

für alle  gilt.

Jacobi-Identität 
Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ. Stattdessen gilt die Jacobi-Identität, das heißt die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte verschwindet:

Aufgrund dieser Eigenschaft und den zuvor genannten bildet der  zusammen mit dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra.

Beziehung zur Determinante 
Für jeden Vektor  gilt
.
Dabei bezeichnet der Malpunkt das Skalarprodukt. Durch diese Bedingung ist das Kreuzprodukt eindeutig bestimmt:

Für jeden Vektor  gilt:
Sind zwei Vektoren  und  gegeben, so gibt es genau einen Vektor , so dass  für alle Vektoren  gilt. Dieser Vektor  ist .

Graßmann-Identität 
Für das wiederholte Kreuzprodukt von drei Vektoren (auch doppeltes Vektorprodukt  genannt) gilt die Graßmann-Identität (auch Graßmannscher Entwicklungssatz, nach Hermann Graßmann). Diese lautet:

bzw.

wobei die Malpunkte das Skalarprodukt bezeichnen.
In der Physik wird oft die Schreibweise

verwendet. Nach dieser Darstellung wird die Formel auch BAC-CAB-Formel genannt.
In Indexschreibweise lautet die Graßmann-Identität
.
Hierbei ist  das Levi-Civita-Symbol und  das Kronecker-Delta.

Lagrange-Identität 
Für das Skalarprodukt von zwei Kreuzprodukten gilt

Für das Quadrat der Norm erhält man hieraus
 
also gilt für den Betrag des Kreuzproduktes:
 
Da , der Winkel zwischen  und , immer zwischen 0° und 180° liegt, ist  Daraus folgt die Abschätzung
 .

Kreuzprodukt aus zwei Kreuzprodukten  
 

Sonderfälle:

Kreuzproduktmatrix 
Das Kreuzprodukt definiert für einen festen Vektor  eine lineare Abbildung, die einen Vektor  auf den Vektor  abbildet. Diese kann mit einem schiefsymmetrischen Tensor zweiter Stufe identifiziert werden. Bei Verwendung der Standardbasis  entspricht die lineare Abbildung einer Matrixoperation. Die schiefsymmetrische Matrix

    mit    

leistet das Gleiche wie das Kreuzprodukt mit , d. h. :

.
Die Matrix  heißt Kreuzproduktmatrix. Sie wird auch mit  bezeichnet. In Indexnotation gilt

mit
.

Bei gegebener schiefsymmetrischer Matrix  gilt

,
wobei  die Transponierte von  ist, und man erhält den zugehörigen Vektor aus
.

Hat  die Gestalt , so gilt für die zugehörige Kreuzproduktmatrix:
 und  für alle .
Hierbei bezeichnet „“ das dyadische Produkt.

Polare und axiale Vektoren 
Bei der Anwendung des Kreuzprodukts auf vektorielle physikalische Größen spielt die Unterscheidung in polare oder Schubvektoren (das sind solche, die sich wie Differenzen zweier Ortsvektoren verhalten, zum Beispiel Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, elektrische Feldstärke) einerseits und axiale oder Drehvektoren, auch Pseudovektoren genannt, andererseits (das sind solche, die sich wie Drehachsen verhalten, zum Beispiel Winkelgeschwindigkeit, Drehmoment, Drehimpuls, magnetische Flussdichte) eine wichtige Rolle.

Polaren oder Schubvektoren ordnet man dabei die Signatur (oder Parität) +1 zu, axialen oder Drehvektoren die Signatur −1. Bei der vektoriellen Multiplikation zweier Vektoren schließlich multiplizieren sich diese Signaturen: zwei Vektoren mit gleicher Signatur liefern ein axiales, zwei mit verschiedener Signatur ein polares Vektorprodukt. Operationell ausgedrückt: Ein Vektor überträgt seine Signatur auf des Kreuzprodukt mit einem anderen Vektor, wenn dieser axial ist; ist der andere Vektor dagegen polar, bekommt das Kreuzprodukt die entgegengesetzte Signatur.

Vom Kreuzprodukt abgeleitete Operationen

Spatprodukt 

Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist eine Zahl, die dem orientierten Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds) entspricht. Das Spatprodukt lässt sich auch als Determinante der benannten drei Vektoren darstellen

Rotation 

In der Vektoranalysis wird das Kreuzprodukt zusammen mit dem Nabla-Operator  verwendet, um den Differentialoperator „Rotation“ zu bezeichnen.
Ist  ein Vektorfeld im , so ist

wieder ein Vektorfeld, die Rotation von .

Formal wird dieses Vektorfeld also als Kreuzprodukt des Nabla-Operators und des Vektorfelds  berechnet.
Die hierbei auftretenden Ausdrücke  sind jedoch keine Produkte, sondern Anwendungen des Differentialoperators  auf die Funktion . Deshalb sind die oben angeführten Rechenregeln wie z. B. die Graßmann-Identität in diesem Fall nicht gültig. Stattdessen gelten für doppelte Kreuzprodukte mit dem Nabla-Operator besondere Rechenregeln.

Kreuzprodukt im n-dimensionalen Raum 
Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension  auf den n-dimensionalen Raum  verallgemeinern. Dabei ist das Kreuzprodukt im  kein Produkt von zwei Faktoren, sondern von  Faktoren.

Das Kreuzprodukt  der Vektoren  ist dadurch charakterisiert, dass für jeden Vektor  gilt

In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im  wie folgt berechnen.
Es sei  der zugehörige -te kanonische Einheitsvektor. Für  Vektoren
 
gilt

analog zu der oben erwähnten Berechnung mit Hilfe einer Determinante.

Der Vektor  ist orthogonal zu
. Die Orientierung ist so, dass die Vektoren
 in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden.
Der Betrag von  ist gleich dem -dimensionalen Volumen des von  aufgespannten Parallelotops.

Für  erhält man dabei kein Produkt, sondern nur eine lineare Abbildung
 ,
die Rotation um 90° im Uhrzeigersinn.

Hieran ist auch zu erkennen, dass die Komponentenvektoren des Kreuzprodukts inklusive des Ergebnisvektors in dieser Reihenfolge – anders als aus dem  gewohnt – im Allgemeinen kein Rechtssystem bilden; diese entstehen nur in reellen Vektorräumen mit ungeradem , bei geraden  bildet der Ergebnisvektor mit den Komponentenvektoren ein Linkssystem. Dies liegt wiederum daran, dass die Basis  in Räumen geradzahliger Dimension nicht dasselbe ist wie die Basis , die per Definition (siehe oben) ein Rechtssystem ist. Zwar würde eine kleine Veränderung der Definition dazu führen, dass die Vektoren in der erstgenannten Reihenfolge im  stets ein Rechtssystem bilden, nämlich wenn in der symbolischen Determinante die Spalte der Einheitsvektoren ganz nach rechts gesetzt würde, diese Definition hat sich allerdings nicht durchgesetzt.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung führt auf  die Graßmann-Algebren. Anwendung finden diese Algebren etwa in Formulierungen der Differentialgeometrie, welche die rigorose Beschreibung der klassischen Mechanik (Symplektische Mannigfaltigkeiten), der Quantengeometrie sowie in allererster Linie der Allgemeinen Relativitätstheorie erlaubt. In der Literatur wird das Kreuzprodukt im höherdimensionalen und ggf. gekrümmten Raum meist indexweise mit Levi-Civita-Symbol ausgeschrieben.

Kreuzprodukt in komplexwertigen Vektorräumen 
Behandelt man Vektoren aus komplexen Vektorräumen, z. B. in , muss das Kreuzprodukt entsprechend angepasst werden. Die konkrete Realisation hängt dabei von der gewählten Definition des komplexen Skalarprodukts ab. Wählt man das Standardskalarprodukt zweier Vektoren , bei dem der erste Vektor als komplexe Konjugation eingeht:
,
dann wird das Kreuzprodukt wie im  berechnet und das Ergebnis anschließend komplex konjugiert:

Anwendungen 
Das Kreuzprodukt findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik, unter anderem bei folgenden Themen:
 Berechnung des Drehmoments, des Drehimpulses, der Corioliskraft, der Lorentzkraft
 Abstandsformel für windschiefe Geraden

Literatur 
 Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.

Weblinks

Einzelnachweise 

Lineare Algebra