Dwójkowy system liczbowy

Dwójkowy system liczbowy lub też system binarny (NKB – naturalny kod binarny) – pozycyjny system liczbowy, którego podstawą jest liczba 2, a do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Historia 
Używał go już John Napier w XVI wieku, przy czym 0 i 1 zapisywał jako a i b. Ojcem nowoczesnego systemu binarnego nazywany jest Gottfried Wilhelm Leibniz, autor opublikowanego w 1703 roku artykułu Explication de l’Arithmétique Binaire.

Zastosowanie 
Jest używany w matematyce, informatyce i elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja liczby stanów do dwóch, pozwala na prostą implementację sprzętową odpowiadającą zazwyczaj stanom wyłączony i włączony oraz zminimalizowanie przekłamań danych.

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożną kolejnej potęgi podstawy systemu.

Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:
 

Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks, np.
 

W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład liczby dziesiętne o podstawie 2 można zapisać jako:
 
 
 

ułamek zwykły:
 

(nawiasem oznaczono okres ułamka).

Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe w każdym systemie pozycyjnym:

Zamiany systemu 
Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny:
 

Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji – na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8 itd.

Ponieważ  oraz  aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli:
 

Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład
 

Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2:

  reszty 0 – 0 to cyfra jedności,

  reszty 1 – 1 to cyfra drugiego rzędu,

  reszty 1,

  reszty 1,

  reszty 1.

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby, przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc

Działania na liczbach w systemie dwójkowym 

Działania na liczbach w systemie dwójkowym są odpowiednikiem działań w systemie dziesiętnym i opierają się na elementarnych działaniach:
 
 
 
 
 

Przykład dodawania w systemie dwójkowym.

                   111111
                   1111111
               +     10011
                  10010010

Przykład odejmowania w systemie dwójkowym:

                   1111111
               -     10011
                   1101100

A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:
                     11101
                -    10110
                     00111
(zera z lewej strony można wykreślić).

Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym.

Zobacz też 
 skośny system dwójkowy
 zegar binarny
 ósemkowy system liczbowy
 szesnastkowy system liczbowy
 dziesiętny system liczbowy
Pochodne kodowania liczb całkowitych:
 kod uzupełnieniowy
 kod uzupełnień do jedności
 kod uzupełnień do dwóch
 kod znak-moduł

Przypisy 

Pozycyjne systemy liczbowe
Komputerowe reprezentacje danych
Elektronika cyfrowa