Eigenwerte und Eigenvektoren

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur skaliert und man bezeichnet den Skalierungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die Verwendung des Präfixes „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von David Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen und wird als Germanismus auch in einigen weiteren Sprachen, darunter dem Englischen, verwendet.

Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich selbst (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden.

Hierbei stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist.

Definition 
Ist  ein Vektorraum über einem Körper  (in Anwendungen meist der Körper  der reellen Zahlen oder der Körper  der komplexen Zahlen) und  eine lineare Abbildung von  in sich selbst (Endomorphismus), so bezeichnet man als Eigenvektor einen Vektor , der durch  auf ein Vielfaches  von sich selbst mit  abgebildet wird:
 
Den Faktor  nennt man dann den zugehörigen Eigenwert.

Anders formuliert: Hat für ein  die Gleichung
 
eine Lösung  (der Nullvektor ist natürlich immer eine Lösung), so heißt  Eigenwert von  Jede Lösung  heißt Eigenvektor von  zum Eigenwert 

Hat der Vektorraum eine endliche Dimension  so kann jeder Endomorphismus  durch eine quadratische -Matrix  beschrieben werden. Die obige Gleichung lässt sich dann als Matrizengleichung
 
schreiben, wobei  hier einen Spaltenvektor bezeichnet. Man nennt in diesem Fall eine Lösung  Eigenvektor und  Eigenwert der Matrix 

Diese Gleichung kann man auch in der Form
 
schreiben, wobei  die Einheitsmatrix bezeichnet, und äquivalent zu
 
oder
 
umformen.

Berechnung der Eigenwerte 
Bei kleinen Matrizen können die Eigenwerte symbolisch (exakt) berechnet werden. Bei großen Matrizen ist dies oft nicht möglich, sodass hier Verfahren der numerischen Mathematik zum Einsatz kommen.

Symbolische Berechnung 
Die Gleichung
 
definiert die Eigenwerte und stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar.
Da  vorausgesetzt wird, ist dieses genau dann lösbar, wenn
 
gilt. Diese Determinante heißt „charakteristisches Polynom“. Es handelt sich um ein normiertes Polynom -ten Grades in  Seine Nullstellen, also die Lösungen der Gleichung
 
über , sind die Eigenwerte. Da ein Polynom vom Grad  höchstens  Nullstellen hat, gibt es auch höchstens  Eigenwerte. Zerfällt das Polynom vollständig in Linearfaktoren, so gibt es genau  Nullstellen, wobei mehrfache Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden. Ist der Grad  eine ungerade Zahl und gilt , dann ist mindestens einer der Eigenwerte reell.

Eigenraum zum Eigenwert 
Ist  ein Eigenwert der linearen Abbildung , dann nennt man die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert vereinigt mit dem Nullvektor den Eigenraum zum Eigenwert . Der Eigenraum ist durch
 
definiert. Falls die Dimension des Eigenraums größer als 1 ist, wenn es also mehr als einen linear unabhängigen Eigenvektor zum Eigenwert  gibt, so nennt man den zum Eigenraum zugehörigen Eigenwert entartet. Die Dimension des Eigenraums  wird als geometrische Vielfachheit von  bezeichnet.

Eine Verallgemeinerung des Eigenraums ist der Hauptraum.

Spektrum und Vielfachheiten 
Für den Rest dieses Abschnittes sei  Dann besitzt jede  genau  Eigenwerte, wenn man diese mit ihren Vielfachheiten zählt. Mehrfaches Vorkommen eines bestimmten Eigenwertes fasst man zusammen und erhält so nach Umbenennung die Aufzählung  der verschiedenen Eigenwerte mit ihren Vielfachheiten  Dabei ist  und 

Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als algebraische Vielfachheit. Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit  werden als einfacher Eigenwert bezeichnet.

Die Menge der Eigenwerte wird Spektrum genannt und  geschrieben, sodass also
 
gilt. Als Spektralradius bezeichnet man den größten Betrag aller Eigenwerte.

Gilt für einen Eigenwert, dass seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geometrischen Vielfachheit ist, so spricht man von einem halbeinfachen Eigenwert (aus dem englischen ‚semisimple‘). Dies entspricht genau der Diagonalisierbarkeit der Blockmatrix zum gegebenen Eigenwert.

Kennt man die Eigenwerte sowie ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (siehe unten), kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

Beispiel 
Es sei die quadratische Matrix
 
gegeben. Subtraktion der mit  multiplizierten Einheitsmatrix von  ergibt:
 
Ausrechnen der Determinante dieser Matrix (mit Hilfe der Regel von Sarrus) liefert:
 
Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms, man erhält:
 
Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit 2, weil er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Numerische Berechnung 
Während die exakte Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon für dreireihige Matrizen nicht so einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass man sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt. Hierzu werden Verfahren bevorzugt, die sich durch numerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen. Dazu gehören Methoden für dichtbesetzte kleine bis mittlere Matrizen, wie
 der QR-Algorithmus,
 der QZ-Algorithmus,
 der QS-Algorithmus und
 die Deflation
sowie spezielle Methoden für symmetrische Matrizen als auch Methoden für dünnbesetzte große Matrizen wie
 die Potenzmethode,
 die inverse Iteration,
 das Lanczos-Verfahren,
 die Unterraumiteration,
 das Arnoldi-Verfahren,
 das Jacobi-Verfahren und
 das Jacobi-Davidson-Verfahren.
Des Weiteren gibt es noch Methoden zur Abschätzung, z. B. mithilfe
 der Matrixnorm und
 der Gerschgorin-Kreise,
die immer eine grobe Abschätzung (unter gewissen Bedingungen sogar genaue Bestimmung) zulassen.
 Die Folded Spectrum Method liefert mit jedem Durchlauf einen Eigenvektor, der jedoch auch aus der Mitte des Spektrums stammen kann.

Berechnung der Eigenvektoren

Algorithmus 
Für einen Eigenwert  lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung
 
bestimmen. Die Eigenvektoren spannen den Eigenraum auf, dessen Dimension als geometrische Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnet wird. Für einen Eigenwert  der geometrischen Vielfachheit  lassen sich also  linear unabhängige Eigenvektoren  finden, sodass die Menge aller Eigenvektoren zu  gleich der Menge der Linearkombinationen von  ist. Die Menge  heißt dann eine Basis aus Eigenvektoren des zum Eigenwert  gehörenden Eigenraumes.

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann man also auch als die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert definieren.

Die geometrische Vielfachheit ist höchstens gleich der algebraischen Vielfachheit.

Beispiel 
Gegeben ist wie in obigem Beispiel die quadratische Matrix
 
Die Eigenwerte  wurden oben schon berechnet. Zunächst werden hier die Eigenvektoren (und der durch die Eigenvektoren aufgespannte Eigenraum) zum Eigenwert  berechnet:
 
Man muss also das folgende lineare Gleichungssystem lösen:
 
Bringt man die Matrix auf obere Dreiecksform, so erhält man:
 
Die gesuchten Eigenvektoren sind alle Vielfachen des Vektors  (jedoch nicht das Nullfache des Vektors, da der Nullvektor niemals ein Eigenvektor ist).

Obwohl der Eigenwert  eine algebraische Vielfachheit von 2 hat, existiert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor (der Eigenraum zu dem Eigenwert ist eindimensional); also hat dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1. Das hat eine wichtige Konsequenz: Die Matrix ist nicht diagonalisierbar. Man kann nun versuchen, die Matrix stattdessen in die Jordansche Normalform überzuführen. Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert „erzwungen“ werden. Solche Eigenvektoren nennt man generalisierte Eigenvektoren oder Hauptvektoren.

Für den Eigenwert  geht man genauso vor:
 
Wieder bringt man die Matrix auf Dreiecksform:
 
Hier ist die Lösung der Vektor  wieder mit allen seinen vom Nullvektor verschiedenen Vielfachen.

Eigenschaften 
 Die Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt. Wenn  ein Eigenvektor ist, dann ist auch  mit beliebigem  Eigenvektor.
 Ist  ein Eigenwert der invertierbaren Matrix  zum Eigenvektor  so ist  Eigenwert der inversen Matrix von  zum Eigenvektor 
 Sind  die Eigenwerte der Matrix  so gilt

 wobei bei mehrfachen Eigenwerten die Vielfachheit zu beachten ist. Hier bezeichnet  die Spur der Matrix .
 Das Spektrum einer Matrix  ist gleich dem Spektrum der transponierten Matrix, also:

 Analog gilt

 Jede quadratische Matrix  über dem Körper  der komplexen Zahlen ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix  Die Eigenwerte von  sind genau die Diagonaleinträge der Matrix 
 Eigenvektoren zum Eigenwert  sind Fixpunkte in der Abbildungsgeometrie. Nach dem Satz vom Fußball gibt es beispielsweise zwei Punkte auf einem Fußball, die sich vor dem Anstoß zur ersten und zur zweiten Halbzeit am jeweils gleichen Punkt des Raumes befinden.

Speziell für reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Matrizen gilt:

 Alle Eigenwerte sind stets reell. Im Rahmen der Hauptachsentransformation werden die Eigenwerte auch Hauptwerte genannt. Ist die Matrix zudem positiv definit, so sind auch ihre Eigenwerte echt positiv.
 Es lässt sich immer eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren angeben. Dies ist eine direkte Folgerung aus dem Spektralsatz. Insbesondere sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten zueinander orthogonal.
 Die aus den Vorzeichen der Eigenwerte ermittelte Signatur der Matrix bleibt nach dem Trägheitssatz von Sylvester unter Kongruenztransformationen erhalten.
 Über den Rayleigh-Quotient lässt sich zu jedem Eigenvektor der zugehörige Eigenwert ermitteln. Mit dem Satz von Courant-Fischer lässt sich jeder Eigenwert als minimaler beziehungsweise maximaler Rayleigh-Quotient darstellen.
 Für das Betragsquadrat der Komponenten  der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren  der Matrix  gilt mit deren Eigenwerten  und den Eigenwerten  der Hauptuntermatrizen  von :

Eigenvektoren kommutierender Matrizen 
Für kommutierende diagonalisierbare (insbesondere symmetrische) Matrizen ist es möglich, ein System gemeinsamer Eigenvektoren zu finden:

Kommutieren zwei Matrizen  und  (gilt also ) und ist  ein nichtentarteter Eigenwert (d. h., der zugehörige Eigenraum ist eindimensional) von  mit Eigenvektor  so gilt
 
Auch  ist also ein Eigenvektor von  zum Eigenwert  Da dieser Eigenwert nicht entartet ist, muss  ein Vielfaches von  sein. Das bedeutet, dass  auch ein Eigenvektor der Matrix  ist.

Aus diesem einfachen Beweis geht hervor, dass die Eigenvektoren zu nichtentarteten Eigenwerten mehrerer paarweise kommutierender Matrizen Eigenvektoren aller dieser Matrizen sind.

Allgemein können auch für kommutierende diagonalisierbare Matrizen mit entarteten Eigenwerten gemeinsame Eigenvektoren gefunden werden. Aus diesem Grund können mehrere paarweise kommutierende diagonalisierbare Matrizen auch simultan (d. h. mit einer Basistransformation für alle Matrizen) diagonalisiert werden.

Linkseigenvektoren und verallgemeinertes Eigenwertproblem 
Manchmal bezeichnet man einen so definierten Eigenvektor auch als Rechtseigenvektor und definiert dann entsprechend den Begriff des Linkseigenvektors durch die Gleichung
 
Linkseigenvektoren finden sich z. B. in der Stochastik bei der Berechnung von stationären Verteilungen von Markow-Ketten mittels einer Übergangsmatrix.

Wegen  sind die Linkseigenvektoren von  gerade die Rechtseigenvektoren der adjungierten Matrix 
Bei normalen Matrizen fallen Links- und Rechtseigenvektoren zusammen.

Allgemeiner kann man auch quadratische Matrizen  und  und die Gleichung
 
untersuchen. Dieses verallgemeinerte Eigenwertproblem wird hier jedoch nicht weiter betrachtet.

Spektraltheorie in der Funktionalanalysis

Eigenwerte und Eigenfunktionen 
In der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen linearen Funktionenräumen (also lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen). Meistens spricht man von linearen Operatoren anstatt von linearen Abbildungen. Sei  ein Vektorraum über einem Körper  mit  und  ein linearer Operator. In der Funktionalanalysis ordnet man  ein Spektrum zu. Dieses besteht aus allen  für die der Operator  nicht invertierbar ist. Dieses Spektrum muss jedoch nicht – wie bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen – diskret sein. Denn im Gegensatz zu den linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, die nur  verschiedene Eigenwerte haben, haben lineare Operatoren im Allgemeinen unendlich viele Elemente im Spektrum. Daher ist es zum Beispiel möglich, dass das Spektrum von linearen Operatoren Häufungspunkte besitzt. Um die Untersuchung des Operators und des Spektrums zu vereinfachen, unterteilt man das Spektrum in unterschiedliche Teilspektren. Elemente, die die Gleichung  für ein  lösen, nennt man wie in der linearen Algebra Eigenwerte. Die Gesamtheit der Eigenwerte nennt man das Punktspektrum von  Wie in der linearen Algebra wird jedem Eigenwert ein Raum von Eigenvektoren zugeordnet. Da die Eigenvektoren meist als Funktionen aufgefasst werden, spricht man auch von Eigenfunktionen.

Beispiel 
Sei  offen. Dann besitzt der Ableitungsoperator  ein nichtleeres Punktspektrum. Betrachtet man nämlich für alle  die Gleichung
 
und wählt  dann sieht man, dass die Gleichung  für alle  erfüllt ist. Also ist jedes  ein Eigenwert mit zugehöriger Eigenfunktion

Praktische Beispiele 
Durch Lösung eines Eigenwertproblems berechnet man
 Eigenfrequenzen, Eigenformen und gegebenenfalls auch die Dämpfungscharakteristik eines schwingungsfähigen Systems,
 die Knicklast eines Knickstabs (siehe Balkentheorie),
 das Beulversagen (eine Art des Materialversagens durch unzureichende Steifigkeit) eines leeren Rohres unter Außendruck,
 die Hauptkomponenten einer Punktmenge (z. B. zur Kompression von Bildern oder zur Bestimmung von Faktoren in der Psychologie: Hauptkomponentenanalyse),
 die Hauptspannungen in der Festigkeitslehre (Umrechnung der Spannungen in ein Koordinatensystem, in dem es keine Schubspannungen gibt),
 die Hauptstreckungen in der Festigkeitslehre als Eigenwerte der Deformationstensoren,
 die Hauptträgheitsachsen eines asymmetrischen Querschnitts (um einen Balken – Träger oder Ähnliches – in diesen beiden Richtungen unabhängig voneinander zu berechnen),
 vielfältige andere technische Problemstellungen, die mit der jeweils spezifisch definierten Stabilität eines Systems zu tun haben,
 den PageRank einer Homepage als Eigenvektor der Google-Matrix, dort gewertet als ein Maß für die relative Wichtigkeit einer Homepage im Internet,
 die Grenzverteilungen von Markow-Ketten mit diskretem Zustandsraum und diskreten Zeitschritten, die durch eine stochastische Matrix beschrieben werden (die Linkseigenvektoren zum Eigenwert 1 sind die stationären Verteilungen, die Rechtseigenvektoren zum Eigenwert 1 sind die Absorptionswahrscheinlichkeiten),
 die Drehachse und damit die Fixpunkte, von denen der Satz vom Fußball spricht.
 die Eigengesichter in der automatisierten Gesichtserkennung.
 das Spektrum eines Graphens (Spektrale Graphentheorie)
Eigenwerte spielen in der Quantenmechanik eine besondere Rolle. Physikalische Größen wie z. B. der Drehimpuls werden hier durch Operatoren repräsentiert. Messbar sind nur die Eigenwerte der Operatoren. Hat z. B. der Hamiltonoperator, der die Energie eines quantenmechanischen Systems repräsentiert, ein diskretes Spektrum, so kann die Energie nur diskrete Werte annehmen, was z. B. für die Energieniveaus in einem Atom typisch ist. So stellen bei den Lösungen der bekannten Schrödingergleichung (im Jahr 1926 durch den Physiker Erwin Schrödinger aufgestellt) die Eigenwerte die erlaubten Energiewerte der Elektronen und die Eigenfunktionen die zugehörigen Wellenfunktionen der Elektronen dar.

Auch die Unmöglichkeit der gleichzeitigen präzisen Messung gewisser Größen (z. B. von Ort und Impuls), wie von der Heisenbergschen Unschärferelation ausgedrückt, ist letztlich darauf zurückzuführen, dass für die jeweiligen Operatoren kein gemeinsames System von Eigenvektoren existiert.

Literatur 
 Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
 Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. Gruyter, ISBN 3-11-017963-6.
 Dietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer, ISBN 3-540-72364-1.
 Gilbert Strang: Introduction to Linear Algebra. Cambridge University Press, ISBN 0-9802327-1-6.
 Günter Gramlich: Lineare Algebra. Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag, ISBN 3-446-22122-0.

Weblinks 
  Von Joachim Weickert (Universität des Saarlandes): Mathematical Image Analysis Group. (PDF; 66 kB).
 MIT OpenCourseWare: Eigenvectors and Eigenvalues. Video der Vorlesung „Lineare Algebra“ von Gilbert Strang, MIT, 2000.
 Z. Bai, J. Demmel, J. Dongarra, A. Ruhe, H. van der Vorst: Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: a Practical Guide. SIAM, Philadelphia, 2000. Sehr umfangreiches englisches Werk.
 Interaktive Applets – von der Uni Stuttgart. Spiegelung, Projektion, Scherung, Drehung.

Einzelnachweise 

Lineare Algebra