Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz, genauer die Assoziativität ( „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfbarkeit, ist in der Mathematik eine Eigenschaft mancher (meist zweistelligen) Verknüpfungen. Eine Verknüpfung ist assoziativ, wenn alle Reihenfolgen der Ausführung dasselbe Ergebnis haben. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig.

Neben dem Assoziativgesetz sind Kommutativgesetz und Distributivgesetz von elementarer Bedeutung in der Algebra.

Definition 
Eine binäre Verknüpfung  auf einer Menge  heißt assoziativ, wenn für alle  das Assoziativgesetz

gilt. Die Klammern können dann weggelassen werden. Das gilt auch für mehr als drei Operanden.

Beispiele und Gegenbeispiele 

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ. So gilt zum Beispiel

und

Reelle Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ, denn es ist

und

Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da

gilt.
Bei (divergenten) unendlichen Summen kann es auf die Klammersetzung ankommen. So verliert die Addition die Assoziativität bei:
 
aber
 

In endlichen Realisierungen wie dem Computer sind die Darstellungen der Zahlen in ihrer Größe begrenzt. Somit können weder Addition noch Multiplikation beliebig korrekt sein. Addition und Multiplikation von Festkommazahlen kann man bei vielen Maschinen so einstellen, dass diese anzeigen, wenn das Ergebnis inkorrekt wird, und innerhalb eines so definierten Gültigkeitsbereiches sind die Operationen assoziativ. Außerhalb dieses Gültigkeitsbereiches können die Operationen zwar assoziativ sein, was aber angesichts des falschen Ergebnisses keine Bedeutung hat. Bei Gleitkommazahlen werden nicht alle sog. Rundungsfehler angezeigt, so dass die Assoziativgesetze nicht wirklich gelten, wie das folgende Beispiel für die Addition mit 4-Bit-Mantissen zeigt:
(1.0002×20 + 1.0002×20) + 1.0002×24 = 1.0002×21 + 1.0002×24 = 1.0012×24
1.0002×20 + (1.0002×20 + 1.0002×24) = 1.0002×20 + 1.0002×24 = 1.0002×24
Solche Fehler können manchmal durch Ausschalten der Normalisierung verringert werden.Darüber hinaus kann das Laufzeitverhalten von der Reihenfolge der Ausführung zweier Operationen stark abhängen.

Einordnung 
Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Seitigkeit 

Insbesondere bei nicht-assoziativen Verknüpfungen gibt es Konventionen einer seitigen Assoziativität.

Eine binäre Verknüpfung  gilt als links-assoziativ, wenn
 
aufzufassen ist.
 Die nicht-assoziativen Operationen Subtraktion und Division werden gemeinhin links-assoziativ verstanden:

 Anwendung von Funktionen  im Verfahren des Currying.

Eine binäre Verknüpfung  heißt rechts-assoziativ, wenn gilt:
 
Beispiel für eine rechts-assoziative Operation:
 Exponenzieren reeller Zahlen in Exponentenschreibweise:

Aber auch assoziative Operationen können Seitigkeit haben, wenn sie ins Unendliche zu iterieren sind.
 Die dezimale Notation rechts vom Dezimalkomma  ist eine links-assoziative Verkettung der Dezimalziffern, weil die Auswertung(sschleife) nicht rechts bei den Auslassungspunkten  beginnen kann, sondern links beginnen muss.
 Die -adische Schreibweise  enthält mit der Juxtaposition eine rechts-assoziative Verkettungsoperation, weil die Auswertung rechts beginnen muss.

Schwächere Formen des Assoziativgesetzes 
Folgende Abschwächungen des Assoziativgesetzes werden an anderer Stelle genannt/definiert:
 Potenz-Assoziativität:
 i-Potenz-Assoziativität:
 Idemassoziativität:
 Alternativität:
 Linksalternativität:
 Rechtsalternativität:
 Flexibilitätsgesetz:
 Moufang-Identitäten:
 Bol-Identitäten:
 linke Bol-Identität:
 rechte Bol-Identität:
 Jordan-Identität:

Siehe auch 
 Algebra
 Operatorassoziativität

Literatur

Einzelnachweise 

Algebra
Arithmetik
Mathematischer Grundbegriff