Twierdzenie Ptolemeusza

Twierdzenie Ptolemeusza – twierdzenie planimetrii wiążące boki i przekątne czworokąta wpisanego w okrąg. Jego pierwsze sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi; pojawia się ono w jego dziele Almagest.

Twierdzenie 
 W dowolnym czworokącie  wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków:
 

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do niego:
 Jeśli w czworokącie iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków, to czworokąt ten można wpisać w okrąg.

Dowody

Dowód geometryczny 

Niech dany będzie czworokąt  wpisany w okrąg oraz punkt  leżący na przekątnej  tak, by półprosta  przecinała przekątną  przy zachowaniu równości kątów  Wówczas otrzymuje się trójkąty  i 

Z konstrukcji wynika, że  oraz  ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty  i  są więc podobne, dzięki czemu
 

skąd
 

Trójkąty  i  są podobne, gdyż mają równe kąty  i  oraz kąty  i  (kąty wpisane oparte na tym samym łuku). Odpowiednie boki są więc proporcjonalne:
 

a zatem
 

Po zsumowaniu stronami równości  oraz  otrzymuje się
 

co w konsekwencji daje
 

i ostatecznie
 

co należało wykazać.

 Dowód twierdzenia odwrotnego
Dowód twierdzenia odwrotnego przebiega podobnie. Niech w czworokącie  zachodzi . Należy znaleźć taki punkt  który spełnia warunki
  oraz 

Mając go można wnioskować o podobieństwie trójkątów  oraz  przy czym
 

Z drugiej strony, ponieważ  oraz
 

trójkąty  i  są podobne.

Stąd zachodzą  oraz , dając
 

Z założenia wynika jednak, że  co oznacza, że punkt  leży na odcinku  Ale wtedy
 

czyli wierzchołki  i  leżą na tym samym okręgu, co  i

Dowód trygonometryczny 
Dowód wystarczy przeprowadzić, gdy okrąg w twierdzeniu będzie okręgiem jednostkowym. Dowolny inny przypadek można sprowadzić do niego poprzez odpowiednie przekształcenia: przesunięcie równoległe i jednokładność (ogólnie: podobieństwo). Dzięki tej obserwacji możliwe jest przedstawienie każdego z wierzchołków  czworokąta jako
 

przy czym  oznacza kąt pomiędzy dodatnią półosią OX oraz promieniem wodzącym łączącym początek układu współrzędnych z punktem  Można również założyć, że (po ewentualnym przenumerowaniu) wierzchołki ponumerowane są przeciwnie do kierunku wskazówek zegara, tzn. jest
 

Jeśli dane są dwa punkty na okręgu jednostkowym o współrzędnych  i  to ich odległość euklidesowa
 

Jeśli  dla  jest uporządkowaną parą wierzchołków danego czworokąta, to powyższy wzór można przedstawić jako
 

Wzór w tezie twierdzenia Ptolemeusza
 

przyjmie wtedy postać
 

Jego prawdziwość udowodnić można przy użyciu wzoru na iloczyn sinusów
 

Po jej zastosowaniu do każdej ze stron sześć wyrazów zniesie się parami, co kończy dowód.

Dowód inwersyjny 

Niech dany będzie czworokąt  wpisany w okrąg . Niech dane będą również punkty  oraz  będące obrazami inwersyjnymi punktów  względem nowego okręgu  o środku w punkcie  i pewnym promieniu  Ponieważ punkty  leżą na okręgu  który przechodzi przez środek okręgu  to ich obrazy  i  będą współliniowe. Wynika stąd, że
 

Dla każdych dwóch punktów  i  przekształcanych przez inwersję względem okręgu o promieniu  zachodzić będzie
 

Po zastosowaniu tej zależności do odcinków   i  otrzymuje się
 

Po wstawieniu tych równości do wzoru  jest
 

skąd (po sprowadzeniu do wspólnego mianownika) wynika teza.

 Dowód twierdzenia odwrotnego
Powyższe rozumowanie daje niemal natychmiastowy dowód twierdzenia odwrotnego: jeśli założyć, że w czworokącie  zachodzi zależność  i zbada inwersję punktów  i  względem pewnego okręgu o środku w  to otrzyma się równość , z której wynika, że punkty  i  są współliniowe. Ale to oznacza, że wyjściowe punkty  i  będą leżały na pewnym okręgu przechodzącym przez  co czyni je współokręgowymi.

Uogólnienia i wnioski

Nierówność Ptolemeusza 

Twierdzenie Ptolemeusza jest szczególnym przypadkiem nierówności zachodzącej w dowolnym czworokącie:
 Jeśli  jest czworokątem, to prawdziwa jest nierówność
 
 przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt  jest wpisany w okrąg.

Dowód powyższej nierówności opiera się na własnościach inwersji i jest podobny do analogicznego dowodu twierdzenia Ptolemeusza. Jako że punkty  i  nie muszą teraz leżeć na okręgu, ich obrazami będą trzy (niekoniecznie współliniowe) punkty  i  które spełniają nierówność trójkąta
 

Równość pojawia się, gdy wpomniane punkty są współliniowe (w przeciwnym razie utworzą trójkąt). Po ponownym zastosowaniu wzorów  i analogicznych przekształceniach dostaje się nierówność .

Zarówno wyjściowe twierdzenie, jak i nierówność z nim związana są przypadkami ogólnego wzoru, prawdziwego dla dowolnego czworokąta :
 

Gdy czworokąt  jest wpisany w okrąg, suma miar przeciwległych kątów jest równa mierze kąta półpełnego więc:
 

i ostatecznie 

Innym uogólnieniem twierdzenia Ptolemeusza jest twierdzenie Caseya.

Przypisy

Bibliografia 
 
 
 
 
 , księga I, rozdział X

Linki zewnętrzne 
 
 

Skany i tłumaczenia Almagestu Ptolemeusza:
  – łacińskie tłumaczenie z 1515 roku
  – niemieckie tłumaczenie 1912 roku

P