Przedział (matematyka)

Przedział – typ podzbioru w zbiorze częściowo uporządkowanym, zdefiniowany odpowiednimi nierównościami; elementy przedziału są zawarte między dwoma ustalonymi elementami, nazywanymi początkiem i końcem przedziału. Podstawowe przykłady to przedziały liczbowe – podzbiory liczb rzeczywistych wyposażonych w standardowy porządek. Wyróżnia się różne typy przedziałów – ograniczone lub nie, a także otwarte, domknięte lub otwarte jednostronnie, zwane też jednostronnie domkniętymi, półotwartymi lub półdomkniętymi.

Niektóre przedziały liczbowe można utożsamiać z podstawowymi, jednowymiarowymi figurami geometrycznymi:
 zbiór wszystkich liczb rzeczywistych to prosta;
 przedziały nieograniczone domknięte (jednostronnie) to półproste;
 przedziały ograniczone domknięte (obustronnie) to odcinki.

Przedziały są używane w różnych działach matematyki i innych naukach:
 za pomocą przedziałów i działania sumy zbiorów można opisać zbiory rozwiązań przynajmniej części równań i nierówności liczbowych, a także dziedziny często używanych funkcji zmiennej rzeczywistej, np. tych elementarnych;
 badanie przebiegu zmienności funkcji polega m.in. na wskazaniu przedziałów o określonym znaku wartości oraz o określonej monotoniczności i wypukłości lub wklęsłości;
 za pomocą przedziałów można zdefiniować pewne pojęcia analizy matematycznej jak własność Darboux czy całka Riemanna;
 przedziały są też jednym z fundamentów topologii; dostarczają podstawowych przykładów różnych typów zbiorów wyróżnianych przez tę naukę – otwartych, domkniętych, otwarto-domkniętych, spójnych, obszarów i continuów;
 zbiory przedziałów tworzą różne struktury algebraiczne, przykładowo z działaniem przekroju zbiorów, a w przypadku przedziałów liczbowych – z dodawaniem Minkowskiego i iloczynem kompleksowym;
 pojęcie przedziału pojawia się też w definicji prawdopodobieństwa jako miary o wartościach w przedziale jednostkowym;
 analiza numeryczna celuje m.in. w znajdowanie przedziałów, w których znajdują się rozwiązania pewnych równań liczbowych;
 przedziały liczb wymiernych pojawiają się też w jednej z definicji konstrukcyjnych liczb rzeczywistych – przez przekroje Dedekinda;
 nauki empiryczne jak fizyka, astronomia i geodezja posługują się przedziałami liczbowymi, ponieważ to one – a nie pojedyncze liczby – są wynikami pomiarów, zawsze ograniczonych niepewnością.

Za pomocą przedziałów liczbowych i iloczynu kartezjańskiego można zdefiniować prostokąt, prostopadłościan i ich uogólnienia zwane przedziałami wielowymiarowymi. W topologii rozważa się też ich odpowiedniki oparte na nieskończonych iloczynach kartezjańskich, znane jako kostki Tichonowa. Inne odpowiedniki przedziałów w wyższych wymiarach to koła i kule – te ostatnie definiuje się w dowolnych przestrzeniach metrycznych.

Definicje formalne 

Niech  będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech  oraz 

Przedziałem wyznaczonym przez  jest jeden z następujących zbiorów:
  – przedział (obustronnie) otwarty,
  –  przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
  – przedział (obustronnie) domknięty,
  – przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto
  – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
  – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
  –  przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
  – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym  istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:
  – przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór 
  – przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np.

Oznaczenia 
Niektórzy autorzy używają oznaczeń   itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast  stosuje się oznaczenie  i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno  jak i  do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń  dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń 

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady 
 Przedziały liczbowe:
  – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż 
  – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych  ale mniejszych niż 
 przedział nieskończony  złożony z wszystkich liczb większych niż 
  – przedziały puste,
  – przedział jednopunktowy 

 Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane:  jest zbiorem skończonym (jest to ), ale  jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział  pomiędzy liczbami rzeczywistymi  oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn.  podobnie dla innych przedziałów.

 Rozważmy płaszczyznę  z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez  i  gdzie relacja  jest naturalnym porządkiem na prostej  Wówczas przedział domknięty  jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w  tzn. zbiorem

Własności 
Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech  będzie porządkiem liniowym.
 Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
 Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów.
 Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
 Otwarte przedziały w  tworzą bazę pewnej topologii na  – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na  albo topologią porządkową na .
 Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na  Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Każdy przedział liczbowy otwarty jest jednocześnie zbiorem otwartym w sensie topologii; podobnie przedziały domknięte należą do zbiorów domkniętych. Zbiór pusty oraz cała oś rzeczywista można zaliczyć do przedziałów otwartych lub półotwartych i są one zbiorami zbiorami otwarto-domkniętymi. Inne przedziały półotwarte nie są ani zbiorami otwartymi, ani domkniętymi. Przedziały liczbowe są tym samym, co zbiory spójne na osi rzeczywistej.

Zobacz też 

 zakres (programowanie)
 zbiór borelowski
 analiza przedziałowa

Przypisy

Linki zewnętrzne 
  [dostęp 2023-08-19].
  Interval and segment , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-19].

Analiza rzeczywista
Porządki