Pythagorees drietal

Een pythagorees drietal  bestaat uit drie positieve gehele getallen  waarvoor geldt . De naam komt van de stelling van Pythagoras, aangezien dergelijke getallen kunnen optreden als de zijden van een rechthoekige driehoek met  als lengte van de schuine zijde. De oppervlakte van een dergelijke rechthoekige driehoek is dan per definitie een congruent getal. Een pythagorees drietal  wordt primitief genoemd als de grootste gemene deler van  en  gelijk aan 1 is.

Op kleitabletten uit de tijd van Hammurabi komen al pythagorese drietallen voor. Op het tablet Plimpton 322 bijvoorbeeld staan 15 drietallen, waaronder (56,90,106), (119,120,169) en zelfs (12709,13500,18541). Men kende ook in India zulke getallen. In de Baudhayana-Sulbasutra uit de 6e eeuw v.Chr. staan vijf drietallen. Het eenvoudigste pythagorees drietal (3,4,5) is bekend om zijn toepassing voor het bepalen van een rechte hoek. Daartoe gebruikte men een rondlopend touw met 12 knopen op gelijke afstanden.

Behalve het drietal (3,4,5) vormen ook veelvouden hiervan, zoals (6,8,10) en (9,12,15) pythagorese drietallen. Met  is ook  voor elk positief geheel getal  een pythagorees drietal. Er zijn dus oneindig veel pythagorese drietallen, maar er zijn ook oneindig veel primitieve drietallen. In de onderstaande tabel staan de eerste drietallen. De drietallen met een grijze achtergrond zijn niet primitief.

Een heron-driehoek is een driehoek waarvan de lengten van de drie zijden rationaal zijn. Alle driehoeken met als zijden een pythagorees drietal zijn heron-driehoeken.

{| class="wikitable" ; style="text-align: right"
! a 
| 3 ||  5 || bgcolor=lightgray |  6 ||  7 ||  8 || bgcolor=lightgray |  9 ||  9 || bgcolor=lightgray | 10 || 11 || bgcolor=lightgray | 12 || 12 || 13
|-
! b
| 4 || 12 || bgcolor=lightgray |  8 || 24 || 15 || bgcolor=lightgray | 12 || 40 || bgcolor=lightgray | 24 || 60 || bgcolor=lightgray | 16 || 35 || 84
|-
! c
| 5 || 13 || bgcolor=lightgray | 10 || 25 || 17 || bgcolor=lightgray | 15 || 41 || bgcolor=lightgray | 26 || 61 || bgcolor=lightgray | 20 || 37 || 85
|}

Opsomming 
De Zweedse wiskundige Berggren toonde in 1934 aan dat alle primitieve pythagorese drietallen van het eerste drietal (3, 4, 5) kunnen worden afgeleid. Dat gaat met behulp van drie lineaire transformaties, die door de volgende matrices worden voorgesteld:

 

Van elk primitief pythagorees drietal , opgevat als kolomvector, worden door deze transformaties drie nieuwe primitieve pythagorese drietallen afgeleid. Er ontstaan geen dubbele drietallen en beginnend bij (3,4,5) worden alle primitieve pythagorese drietallen gevormd. De drietallen die op (3,4,5) volgen zijn:

  en

Primitieve drietallen 
Voor alle positieve gehele getallen  en  met  geldt dat het drietal , waarin

 
 
 

een pythagorees drietal is, want:
 

Een dergelijk drietal is dan en slechts dan primitief, als  en  relatief priem zijn en een ervan een even getal is. Zijn zowel  als  oneven, dan zijn  en  alle even, en is het drietal dus niet primitief. Niet alle drietallen kunnen op deze wijze gegenereerd worden, maar wel alle primitieve drietallen. Dit laat tevens zien dat er oneindig veel primitieve pythagorese drietallen bestaan.

Eigenschappen van primitieve pythagorese drietallen 
Tenzij anders vermeld gelden de onderstaande eigenschappen voor primitieve pythagorese drietallen. Zoals uit de eerste eigenschap blijkt, is er van de getallen  en  één even en één oneven. Als dat van belang is zal het even getal worden aangegeven met  en het oneven met . 

 een van de getallen  en  is oneven en het andere is even. Het getal  is dus oneven. 
 De som  is even, en dit geldt ook voor niet-primitieve drietallen.
 Ten hoogste een van  en  is een kwadraat.
  is steeds een kwadraatgetal. Dit geldt ook voor niet-primitieve drietallen. Deze eigenschap is nuttig om na te gaan of een bepaald drietal pythagorees is. Het is wel een noodzakelijke voorwaarde, maar niet voldoende. Zo heeft het drietal {6, 12, 18} deze eigenschap, maar is niet pythagorees.
  en  zijn beide kwadraatgetallen. Ook dit is een noodzakelijke, maar niet voldoende voorwaarde. Een tegenvoorbeeld is het drietal (1,8,9).
 Er zijn oneindig veel drietallen waarvan  een kwadraatgetal is.
 Er zijn oneindig veel drietallen waarvan  of  een kwadraatgetal is.
  is het kwadraat van een oneven getal.
  is geen kwadraatgetal en ook niet het dubbele van een kwadraatgetal.
 Precies een van de getallen  en  is deelbaar door 3.
 Precies een van de getallen  en  is deelbaar door 4.
 Precies een van de getallen  en  is deelbaar door 5.
 Precies een van de getallen  en  is deelbaar door 7.
 Precies een van de getallen  en  is deelbaar door 8.
 Precies een van de getallen  en  is deelbaar door 9.
 Precies een van de getallen  en  is deelbaar door 11.
 Precies een van de getallen  en  is deelbaar door 13.
 Het grootste getal dat voor elk pythagorees drietal deler is van  is 60.
 Elke priemfactor van  is van de vorm .
 Ieder geheel getal groter dan 2 dat niet van de vorm  is, maakt deel uit van een primitief drietal.
 Ieder geheel getal groter dan 2 maakt deel uit van een primitief drietal of van een niet primitief drietal.
 Het getal  is deelbaar door 4.
 Er zijn oneindig veel drietallen waarvoor 
 Bij ieder oneven getal  zijn er oneindig veel drietallen waarvoor .
 Er zijn oneindig veel drietallen waarvoor . Er is geen drietal waarvoor , omdat  oneven is en  even.
 Bij ieder oneven positief getal  zijn er oneindig veel drietallen waarvoor .
 Er zijn oneindig veel drietallen waarvoor . Voorbeeld: .
 Bij elke twee oneven positieve gehele getallen  en  is er precies één drietal met .
 Voor elk drietal is  met  oneven en  met  geheel.
 Bij elk natuurlijk getal  zijn er  drietallen met gelijke , maar verschillende .
 Bij elk natuurlijk getal  zijn er ten minste  drietallen met dezelfde .
 Bij elk natuurlijk getal  zijn er ten minste  drietallen met dezelfde .
 Voor ieder drietal zijn van de bijbehorende driehoek de straal van de ingeschreven cirkel en de stralen van de aangeschreven cirkels gehele getallen. De straal van de ingeschreven cirkel is , en voor de rechthoekszijden  en , en de hypotenusa  zijn de stralen van de aangeschreven cirkels respectievelijk  en .
 Als het getal  van een drietal gedeeld wordt door respectievelijk de stralen van de ingeschreven cirkel en de stralen van de aangeschreven cirkels, ontstaan vier natuurlijke getallen  waarvoor geldt dat  en  voldoen aan de cirkelvergelijking van Descartes.
 Er is geen drietal waarvan  en  (of ) deel uitmaken van en ander pythagorees drietal.
 De primitieve pythagorese drietallen vormen op een natuurlijke manier een ternaire boom.
 Er zijn oneindig veel drietallen waarvan zowel  als  een kwadraat is. Het 'kleinste' van zulke drietallen is ,  en . Er geldt:  en . Dit drietal wordt voortgebracht door de formule van Euclides met parameters  en .
 Voor ieder drietal is de verhouding van  en het kwadraat van de halve som  een uniek getal, gegeven door

Websites 
 D Klingens. Proposities I-44 tot en met I-48 (Pythagoras).
 Pythagorean Triples

Diofantische vergelijking