Injektive Funktion

Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Relation, also insbesondere auch einer Funktion (wofür man meist gleichwertig auch „Abbildung“ sagt): Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation, namentlich der, bei dem die Relation auch rechtseindeutig und linkstotal ist.

Definition 
Eine Funktion  ist injektiv, wenn es zu jedem Element  der Zielmenge  höchstens ein (also eventuell gar kein) Element  der Ausgangs- oder Definitionsmenge  gibt, das darauf zielt, wenn also nie zwei oder mehr verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden:

Das ist äquivalent zu

Die Zielmenge kann daher nicht weniger mächtig als die Definitionsmenge sein, d. h., sie kann nicht weniger Elemente enthalten.

Die Bildmenge  darf eine echte Teilmenge der Zielmenge  sein, d. h., es kann Elemente  geben, die keine Bildelemente  sind, wie es in der abgebildeten Grafik rechts der Fall ist. Dies macht den Unterschied zu einer bijektiven Abbildung aus, von der außer Injektivität noch verlangt wird, dass jedes Element der Zielmenge als Bildelement  auftritt, dass also  surjektiv ist.

Dass eine Abbildung  injektiv ist, wird gelegentlich durch  ausgedrückt, mit einem aus  und  zusammengesetzten Zeichen. Es erinnert an die Einbettung einer Menge  in eine Obermenge  durch eine Funktion  die jedes Element von  auf sich selbst abbildet.

Beispiele und Gegenbeispiele 

 Außermathematisches Beispiel: Die Funktion, die jedem Bürger der Bundesrepublik Deutschland mit Personalausweis die Nummer seines aktuellen Personalausweises zuordnet, ist injektiv, wobei als Zielmenge die Menge aller möglichen Personalausweisnummern angenommen wird (denn Personalausweisnummern werden nur einmal vergeben).
  bezeichne die Menge der natürlichen und  die Menge der ganzen Zahlen.
 ist injektiv.
 ist injektiv.
 ist injektiv.
 ist nicht injektiv, da z. B.  gilt.
 Jede Funktion  von einer zweielementigen Menge  in eine einelementige Menge  ist nicht injektiv, weil notwendigerweise beide Elemente von  auf das einzige Element  abgebildet werden:
 trotz

Eigenschaften 
 Man beachte, dass die Injektivität einer Funktion  nur vom Funktionsgraphen  abhängt (im Gegensatz zur Surjektivität, die auch von der Zielmenge  abhängt, die man am Funktionsgraphen nicht ablesen kann).
 Eine Funktion  ist genau dann injektiv, wenn für alle Teilmengen  gilt: 
 Eine Funktion  ist genau dann injektiv, wenn  für alle  gilt (wobei  die Urbildfunktion bezeichnet).
 Sind die Funktionen  und  injektiv, dann ist auch die Komposition (Verkettung)  injektiv.
 Aus der Injektivität von  folgt, dass  injektiv ist.
 Eine Funktion  mit nichtleerer Definitionsmenge  ist genau dann injektiv, wenn  eine Linksinverse hat, das ist eine Funktion  mit  (wobei  die identische Abbildung auf  bezeichnet).
 Eine Funktion  ist genau dann injektiv, wenn sie linkskürzbar ist, wenn also für beliebige Funktionen  aus  die Gleichheit  folgt. (Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Monomorphismus, jedoch sind bei allgemeinen Morphismen injektiv und linkskürzbar nicht mehr äquivalent.)
 Jede beliebige Funktion  ist als Verkettung  darstellbar, wobei  surjektiv und  injektiv (nämlich eine Inklusionsabbildung) ist.
 Eine stetige reellwertige Funktion auf einem reellen Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem ganzen Definitionsbereich streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist, d. h., wenn für zwei beliebige Zahlen  und  aus dem Definitionsbereich gilt: Aus  folgt  (steigend), bzw. aus  folgt  (fallend).

 Ein Gruppen- oder Vektorraumhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern trivial ist, d. h. nur aus dem neutralen Element bzw. dem Nullvektor besteht.

Mächtigkeiten von Mengen 
Eine wichtige Rolle spielt der Begriff der Injektion in der Mengenlehre bei Definition und Vergleich von Mächtigkeiten, einem Begriff, der die Elementeanzahl von endlichen Mengen auf beliebige Mengen verallgemeinert. Zwei Mengen  heißen „von gleicher Mächtigkeit“, wenn es sowohl eine Injektion von  nach  als auch eine solche von  nach  gibt. (In diesem Fall existieren auch Bijektionen von der einen auf die andere Menge.) Dagegen heißt  von kleinerer Mächtigkeit als , wenn es zwar eine Injektion von  nach , aber keine von  nach  gibt.

Schubfachschluss 
Ein in Beweisen insbesondere der Zahlentheorie häufiges Schlussschema benutzt die Feststellung, dass eine Abbildung  einer endlichen Menge  in eine Menge  mit weniger Elementen nicht injektiv sein kann, dass es also Elemente  mit  und gleichem Bild  gibt. Wegen der Vorstellung von vielen Objekten in weniger Schubfächern heißt das „Schubfachschluss“.

Anzahl injektiver Abbildungen 
Die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer Definitionsmenge  in eine gegebene endliche Zielmenge  mit der Eigenschaft  ist gegeben durch:

Dies entspricht in der Kombinatorik einer Variation ohne Wiederholung.

Geschichte 
Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf.

Im Englischen lässt sich das Substantiv injection 1945 belegen. Das englische Adjektiv injective wurde 1952 in den Foundations of algebraic topology von S. Eilenberg und N. Steenrod verwendet, allerdings eher im Sinne von injektiven Objekten. Injektiv im Kontext mit den Fachwörtern surjektiv und bijektiv wurde 1954 von der Autorengruppe Nicolas Bourbaki in dem Buch Théorie des ensembles, Éléments de mathématique Première Partie eingeführt.

Es herrscht stellenweise große Verwirrung bezüglich der Zuordnung zwischen den Begriffen „eineindeutig“ einerseits und „injektiv“ bzw. „bijektiv“ andererseits. Quellen (Lehrbücher) aus der reinen Mathematik favorisieren „injektiv“, fachfremde Quellen favorisieren teilweise eher „bijektiv“.

Weblinks

Einzelnachweise 

Mathematischer Grundbegriff