Wurzel (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten  in der Potenz
 
Hierbei ist  eine natürliche Zahl (meist größer als 1) und  ein Element aus einem Körper (häufig eine nichtnegative reelle Zahl).
Das Ergebnis des Wurzelziehens bezeichnet man als Wurzel oder Radikal (von lat. radix „Wurzel“). Das Radizieren ist eine Umkehrung des Potenzierens.
Im Fall  spricht man von Quadratwurzeln, bei  von Kubikwurzeln. Wurzeln werden mit Hilfe des Wurzelzeichens notiert, im Beispiel ist  die Wurzel bzw. das Radikal.

Definition, Sprech- und Schreibweisen 
Es sei  eine natürliche Zahl. Ist  eine nichtnegative reelle Zahl, so besitzt die Gleichung
 
genau eine nichtnegative reelle Lösung. Diese wird als -te Wurzel aus  bezeichnet. Man schreibt dafür:
 
Hierbei bezeichnet man
  als Wurzel, Radikal oder Radix,
  als Wurzelzeichen,
  als Wurzelexponent,
  als Radikand.

Im Spezialfall  erhält man .

Quadrat- und Kubikwurzel 

Üblicherweise wird die zweite Wurzel als Quadratwurzel oder einfach nur als die Wurzel bezeichnet und der Wurzelexponent weggelassen:
 

Die Wurzel mit dem Wurzelexponenten 3 (dritte Wurzel) bezeichnet man auch als Kubikwurzel.

Beispiel:
 
(Sprich: Die dritte Wurzel aus 8 ist 2.oder: Die Kubikwurzel aus 8 ist 2.)

Mathematische Grundlagen 
Die folgende Beschreibung des Radizierens als einer rechtseindeutigen Wurzelfunktion bezieht sich auf den angeordneten Körper  der reellen Zahlen, also gewissermaßen auf die Schulmathematik. Ein allgemeinerer Wurzelbegriff, der den hier beschriebenen umfasst, wird im Artikel Adjunktion (Algebra) behandelt.

Zusammenhang mit Potenzen 
Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten  und das Potenzieren mit dem Exponenten  heben sich gegenseitig auf. 
Gemäß obenstehender Definition der Wurzel gilt für alle reellen Zahlen  und für alle natürlichen Zahlen  :
  .

Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten  wirkt wie das Potenzieren mit dem Exponenten .Nach den Rechenregeln für Potenzen gilt nämlich:
  .

Daher kann das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n auch als Potenzieren mit dem Exponenten 1/n interpretiert werden:
  .

Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven Zahlen 

Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen  grundsätzlich für die positive Lösung. Beispielsweise hat die Gleichung  die beiden Lösungen   und  . Der Term  hat jedoch den Wert +2 und nicht den Wert −2. Allgemein gilt daher für geradzahlige Wurzelexponenten
 , insbesondere .

Wurzeln aus negativen Zahlen 

Die Behandlung von Wurzeln aus negativen Zahlen ist nicht einheitlich. Es gilt beispielsweise
 
und  ist die einzige reelle Zahl, deren dritte Potenz  ist. Allgemein ergeben sich für ungerade Potenzen negativer Zahlen wieder negative Zahlen.

Bezüglich der ungeraden Wurzeln aus negativen Zahlen werden folgende Positionen vertreten:
 Wurzeln aus negativen Zahlen sind generell nicht definiert. Beispielsweise ist  also undefiniert. Die Lösung der Gleichung  wird geschrieben als .
 Wurzeln aus negativen Zahlen sind definiert, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist (3, 5, 7, …). Für ungerade Zahlen  gilt generell
 .
 Diese Festlegung ist mit manchen Eigenschaften der Wurzeln, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar. Beispielsweise ist
 
 Auch funktioniert diese Festlegung nicht mit der Gleichung , da der (natürliche) Logarithmus von negativen Zahlen nicht definiert ist ( darf also nicht negativ sein).

Wurzeln zu geraden Exponenten aus negativen Zahlen können keine reellen Zahlen sein, weil gerade Potenzen reeller Zahlen nie negativ sind. Es gibt keine reelle Zahl , sodass , somit kann man auch keine Wurzel  finden, die in den reellen Zahlen liegt. Der Bedarf für Wurzeln aus negativen Zahlen führte zur Einführung der komplexen Zahlen; allerdings gibt es beim Wurzelbegriff im Bereich der komplexen Zahlen gewisse Schwierigkeiten mit der eindeutigen Auszeichnung einer der Wurzeln, siehe unten.

Irrationale Wurzeln aus ganzen Zahlen 

Ist  eine nichtnegative ganze Zahl und  eine positive ganze Zahl, so ist  entweder eine ganze oder eine irrationale Zahl. Das beweist man durch Anwendung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Ist , so ist , also eine ganze Zahl. Sonst gibt es eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Primfaktorzerlegung  mit paarweise verschiedenen Primzahlen  und positiven ganzen Exponenten . Sind alle  für  durch  teilbar, so ist , also eine ganze Zahl.

Zu zeigen ist jetzt noch: Gibt es mindestens ein  mit , so dass  nicht durch  teilbar ist, so ist  irrational. Der Beweis für die Irrationalität erfolgt indirekt, also durch Widerlegen der gegenteiligen Annahme wie beim Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid, der im Wesentlichen der Spezialfall  dieses Beweises ist.

Angenommen,  wäre rational. Dann könnte man die Zahl als Bruch zweier natürlicher Zahlen  und  schreiben:
 .
Durch Potenzieren der Gleichung erhält man
 
und daraus folgt
 .

Der Primfaktor  kommt in  bzw.  jeweils -mal so oft vor wie in  bzw. , jedenfalls in einer durch  teilbaren Vielfachheit, wobei natürlich auch das 0-malige Auftreten zugelassen ist. In  kommt er voraussetzungsgemäß in der nicht durch  teilbaren Vielfachheit  vor. Also kommt er auf der linken Seite dieser Gleichung nicht in einer durch  teilbaren Vielfachheit vor, auf der rechten hingegen schon, und wir erhalten einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Daher ist  irrational.

Die Wurzelgesetze 

Die Rechenregeln für Wurzeln ergeben sich aus jenen für Potenzen.

Für positive Zahlen  und  und  gelten die folgenden Rechengesetze:
 Produktregel: 
 Quotientenregel: 
 „Verschachtelungsregel“ oder Iterationsregel: 
 Definition für gebrochenen Exponenten: 
 Definition für negativen Exponenten: 
 Bei gleichem Radikand gilt: 

Bei negativen Zahlen  und  dürfen diese Rechengesetze nur angewendet werden, wenn  und  ungerade Zahlen sind. Bei komplexen Zahlen sind sie gänzlich zu vermeiden,
bzw. gilt die Gleichheit nur bei geeigneter Wahl der Nebenwerte. Anders gesagt: werden in einem Beispiel auf der linken Seite irgendwelche Wurzeln (bspw. nur Hauptwerte) ausgewählt, so gibt es für die rechte Seite geeignete Nebenwerte, die die Gleichheit erfüllen – linke und rechte Seite unterscheiden sich um eine Einheitswurzel.

Grenzwerte 
Es gelten die folgenden Grenzwerte:

  für 
 

 Dies folgt aus der Ungleichung , die man mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zeigen kann.

 , wobei  eine beliebige, aber feste natürliche Zahl ist.
 ,
 wie aus der Exponentialdarstellung von  hervorgeht.

Abschätzungen 
Für alle  mit  gilt
.
In der rechten Ungleichung gilt Gleichheit genau dann, wenn .

Beweis:

Zunächst sei . Dann ist zu zeigen:
,
was gleichbedeutend ist mit
 oder .
Der Beweis wird mit vollständiger Induktion geführt.

Offenbar gilt die Behauptung für .

Annahme, für  gelte . Dann gilt
.
Damit gilt für alle 
.
Für  folgt hieraus wegen der strengen Monotonieeigenschaften der Potenzfunktionen
.

Wurzelfunktionen 
Funktionen der Form
  oder allgemeiner 
heißen Wurzelfunktionen. Sie sind Umkehrungen der Potenzfunktionen und selbst Potenzfunktionen, denn es gilt .

Berechnung 

Wurzeln können durch schriftliches Wurzelziehen bestimmt werden. Dieses Verfahren ähnelt der schriftlichen Division und basiert auf den binomischen Formeln. Es wurde bis in die 1960er Jahre am Gymnasium noch gelehrt, ist heute jedoch von geringer praktischer Bedeutung.

Rückführung auf andere Funktionen 

Höhere Wurzeln aus positiven Zahlen  kann man wie jede Potenz durch Exponentialfunktion und Logarithmus
ausdrücken:

Numerische Berechnung 

Um einen Näherungswert für eine Wurzel zu erhalten, kann man mehrere Verfahren anwenden. Dazu gehört vor allem das Newtonverfahren, mit dem man iterativ zu einer gegebenen stetig differenzierbaren Funktion  Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung  findet. Dazu wird beginnend mit einem Startwert  die Folge

gebildet, die unter bestimmten Voraussetzungen gegen eine Nullstelle von  konvergiert. Nun ist  eine Nullstelle der Funktion , so dass der Iterationsschritt die Gestalt

bekommt. Der Teilausdruck  ist dabei die absolute Änderung der Näherung bei diesem Iterationsschritt,  die relative. Diese Werte werden am Ende des Schrittes mit der absoluten (bei Festkommarechnung) bzw. relativen (bei Gleitkommarechnung) Fehlerschranke verglichen, um zu entscheiden, ob die benötigte Genauigkeit schon erreicht wurde.

In den Spezialfällen  (Quadratwurzel) und  (Kubikwurzel) lauten diese Formeln dann:

 für   und   für .

Das Verfahren konvergiert für alle Startwerte , wobei Startwerte, die Größenordnungen unter der Wurzel liegen, vermieden werden sollten. Liegt  als Gleitkommazahl vor, kann man einfach den Gleitkommaexponenten  durch  ersetzen.

Das Newtonverfahren zur numerischen Approximation der Wurzel erweitert das Heron-Verfahren auf höhere Grade und lässt sich wie folgt geometrisch interpretieren. Beim Heron-Verfahren wird von einem Schätzwert für den Wert der gesuchten Quadratwurzel als erster Rechteckseite ausgegangen und daraus eine zweite Seite ermittelt, die ein zum Radikanden flächengleiches Rechteck liefert. Als nächster Schätzwert wird dann iterativ der Mittelwert der beiden Seiten genommen, der näher am Ergebnis liegt. Für die Übertragung auf allgemeine Grade  kann man den nächsten Iterationswert
 
als gewichteten Mittelwert von  und  auffassen mit  als der „Höhe“ des  senkrechten Prismas des Volumens  über dem  Kubus . Der Iterationswert ist somit der arithmetische Mittelwert aller n orthogonalen (davon n-1 gleich langen) Kanten des Prismas.

Methode der „Rechenkünstler“ 

Man kann, wie es Rechenkünstler machen, eine Wurzel auch durch Abschätzung und Anwendung elementarer Zahlentheorie bestimmen, sofern bekannt ist, dass die Wurzel eine natürliche Zahl ist. Das lässt sich besonders gut am Beispiel der dritten Wurzel zeigen. Dazu muss man zwei Dinge wissen, nämlich die Größenordnung der Kubikzahlen, und die letzte Ziffer der Zahl:

Beispiele:

 Die dritte Wurzel von 103.823: Die Zahl liegt zwischen 64.000 und 125.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 4 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 3, demnach ist die dritte Wurzel von 103.823 abgeschätzt 47.
 Die dritte Wurzel von 12.167: Die Zahl liegt zwischen 8.000 und 27.000, deshalb muss die Zehnerstelle der dritten Wurzel 2 sein. Die letzte Ziffer der Zahl ist eine 7, demnach ist die dritte Wurzel von 12.167 abgeschätzt 23.

Das Ganze funktioniert aber nur dann, wenn sichergestellt ist, dass es sich bei der vorgegebenen Zahl um die dritte Potenz einer natürlichen Zahl handelt.

Bei den Aufgaben der Rechenkünstler geht es natürlich um viel höhere Potenzen mehrstelliger Zahlen – zum Beispiel die Berechnung der 25. Wurzel aus 880.794.982.218.444.893.023.439.794.626.120.190.780.624.990.275.329.063.400.179.824.681.489.784.873.773.249 (Lösung: 1729) und extremere Aufgaben.

Wurzeln aus komplexen Zahlen 

Die komplexen Zahlen  werden definiert durch die Adjunktion  der Lösung (Wurzel)  der Gleichung  zu den reellen Zahlen . Fasst man die komplexen Zahlen als Ebene  auf, in der die reellen Zahlen als eine ausgezeichnete Gerade  die Ebene in zwei Halbebenen teilt und die positiven Zahlen sich rechts befinden, dann wird die Zahl  in die obere und  in die untere Halbebene platziert. Gleichzeitig mit dieser Orientierung wird der Nullpunkt  durch die Funktion  für wachsendes reelles  im mathematisch positiven Sinn (also entgegen dem Uhrzeigersinn) umlaufen, so dass  ist. Mit dieser Maßgabe lassen sich inhärent mehrdeutige Wurzeln im Komplexen auf eindeutige Real- und Imaginärteile (Hauptwerte) festlegen.
Gleichwohl ist bei der Anwendung der Wurzelgesetze die dort erwähnte Sorgfalt zu beachten.

Als die -ten Wurzeln einer komplexen Zahl  bezeichnet man die Lösungen der Gleichung

 .

Ist  in der Exponentialform  dargestellt, so sind die -ten Wurzeln aus  genau die  komplexen Zahlen

 

Der Sonderfall  wird als  Kreisteilungsgleichung bezeichnet, die Lösungen als  Einheitswurzeln. Die Bezeichnung „Kreisteilungsgleichung“ erklärt sich, wenn man ihre Lösungen in der Gaußschen Ebene betrachtet: die  Einheitswurzeln teilen den Kreis mit dem Radius  und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt in  gleiche Teile, sie bilden die Eckpunkte eines in den Kreis einbeschriebenen regulären 

Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als die Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine (holomorphe)  Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren:
 
Die so ausgezeichnete Wurzel bezeichnet man auch als Hauptwert, die anderen als Nebenwerte.

Man kann den Logarithmus auch (unstetig) auf die negative reelle Achse fortsetzen, es gilt dann aber mit der so definierten Wurzelfunktion beispielsweise  und nicht .

Dies lässt sich vermeiden mit der Auszeichnung derjenigen Wurzel unter allen, deren Argument  modulo  den absolut kleinsten Rest liefert. Bei Gleichheit zweier Werte ist dann der in der rechten (positiver Realteil) und der in der oberen Halbebene (positiver Imaginärteil) auszuwählen. Diese Regel ist mit den oben aufgestellten Regeln für reelle Radikanden voll kompatibel. Einige Beispiele:
 
Als weiteres Beispiel sei  angegeben:
{| style="text-align:center"
|-
|style="text-align:left"| Obwohl ||||  || und ||  || und || 
|-
|style="text-align:left"| ist ||||  ||  ||  ||  ||  || mit den absoluten Resten 
|-
|style="text-align:left;width:7em"| des Arguments ||style="width:1em"| ||  ||style="width:3em"|  ||  ||style="width:3em"|  || 
|}weil die mittlere Wurzel  bei dem gleichen absoluten Rest  einen positiven Realteil hat.

Außerdem bleiben bei dieser Definition die Wurzelgesetze für viele Wurzelexponenten auch bei komplexen Radikanden erhalten, solange für die so ausgewählten Wurzeln die Summen der Reste modulo  der Argumentwerte absolut unterhalb  bleiben.

Literatur 
 Hans Kreul, Harald Ziebarth: Mathematik leicht gemacht. 8. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, 2016, ISBN 978-3-8085-5609-2. Kapitel zur Wurzelrechnung mit Erklärungen, Beispielen und Aufgaben (PDF; 2077 kB).

Siehe auch 
 Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal
 Würfelverdoppelung, Iterative Näherungskonstruktion der Kubikwurzel aus 2
 Kettenwurzel

Weblinks

Einzelnachweise