Wariancja

Wariancja – miara zmienności zmiennej losowej będąca wartością oczekiwaną kwadratu różnicy wartości zmiennej losowej X i jej wartości oczekiwanej. W statystyce opisowej obliczana jest jako średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od średniej.

Wariancja zmiennej losowej  oznaczana jako  lub  zdefiniowana jest wzorem:
 

gdzie:
  jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej podanej w nawiasach kwadratowych,
  jest wartością oczekiwaną zmiennej 

Innym, często prostszym, sposobem wyznaczania wariancji jest wzór:
 

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.

Jeżeli ponadto  oraz  jest σ-ciałem zdarzeń, to wariancją warunkową nazywamy:

Statystyka opisowa 
Jako jedna z najpopularniejszych miar w statystyce opisowej służąca do opisu danego kompletnego zbioru danych, wariancja zdefiniowana jest dla zbioru obserwacji z cechą  wzorem:
 

gdzie  oznacza średnią wartość cechy, a  liczebność zbioru.

Wyrażona jest w jednostkach miary badanej cechy podniesionych do kwadratu.

Dane pogrupowane 
W przypadku obliczania wariancji dla danych pogrupowanych w postaci szereg rozdzielczego punktowego, wykorzystuje się wzory:
 

gdzie  oznacza liczbę klas szeregu punktowego,  – liczebność i-tej klasy, a  – liczebność całej zbiorowości (odpowiednik  we wzorze powyżej).

W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego za wartość  przyjmuje się środki poszczególnych przedziałów :
 

Ze względu na przyjęcie jako reprezentacji przedziałów wartości środkowych  wariancja liczona według powyższego wzoru jest przybliżeniem wariancji dla danych kompletnych.

Estymatory 
Wariancja próby losowej o wartościach  gdzie  jest następująca:
 

Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:
 

jest zgodnym, lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora:
 

W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną  w populacji, wówczas estymator
 

jest już nieobciążony i zgodny.

Własności wariancji 
Dla zmiennych losowych   i dowolnych stałych  zachodzą następujące własności:

1. 

Dowód. Korzystając z własności wartości oczekiwanej (wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej), mamy:
 

2. 

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że jeżeli zmienna losowa jest dodatnio określona prawie wszędzie to jej wartość oczekiwana jest dodatnia. Ponieważ zmienna losowa  jest dodatnio określona, mamy:
 

3. 

Dowód. Korzystając z definicji wariancji, a następnie z liniowości wartości oczekiwanej mamy:
 

4. 

Dowód. Korzystamy z własności wartości oczekiwanej mówiącej o tym, że  dla  stałej i z liniowości:
 

5.  w ogólnym przypadku; (gdzie  to kowariancja)

Dowód. Sprawdzone zostanie tylko twierdzenie dla sumy, twierdzenie dla różnicy rozwiązuje się analogicznie. Czyli mamy:
 

Korzystając z liniowości wartości oczekiwanej i definicji kowariancji, mamy:
 

Z powyższego twierdzenia łatwo wysnuć wniosek, że jeżeli zmienne  i  są niezależne, zachodzi:
 

Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.

Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony (zobacz odchylenie standardowe).

Zobacz też 

 analiza wariancji
 błąd średniokwadratowy
 kowariancja
 test dla wariancji
 wariancja fenotypowa

Przypisy

Bibliografia 
 
 

Miary zróżnicowania rozkładu
Momenty centralne