Trójki pitagorejskie

Trójka pitagorejska (albo liczby pitagorejskie) – trzy liczby całkowite dodatnie  spełniające tzw. równanie Pitagorasa:
 

Ich nazwa pochodzi od twierdzenia Pitagorasa, na mocy którego boki trójkąta prostokątnego spełniają powyższą zależność. W poniższej tabeli przedstawiono kilka pierwszych (względem krótszej przyprostokątnej) trójek pitagorejskich:
 {| class="wikitable" align="center" style="text-align:right"
!  ||  || 
|-
| 3 || 4 || 5
|-
| 5 || 12 || 13
|-
| 6 || 8 || 10
|-
| 7 || 24 || 25
|-
| 8 || 15 || 17
|-
| 9 || 12 || 15
|-
| 10 || 24 || 26
|-
| 12
| 16
| 20
|}

Własności 
Jeżeli trójka  jest pitagorejska, to jest nią też  dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej  Trójkę pitagorejską nazywamy pierwotną, jeśli   i  nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Zatem z każdej trójki pitagorejskiej możemy uzyskać pierwotną przez podzielenie jej przez największy wspólny dzielnik i dowolną trójkę pitagorejską możemy otrzymać z pierwotnej przez pomnożenie jej wszystkich trzech elementów przez odpowiednią tę samą liczbę całkowitą dodatnią.

Jeśli  są liczbami całkowitymi dodatnimi, to
 
 
 

jest trójką pitagorejską. Jest ona pierwotna wtedy i tylko wtedy, gdy  i  są względnie pierwsze i ich suma jest liczbą nieparzystą. Trójki pitagorejskiej (9, 12, 15), jak również wielu innych, w ten sposób nie otrzymamy, ale każda trójka pierwotna (być może po zamianie  i ) powstaje tą drogą z jedynej pary liczb względnie pierwszych  Stąd wniosek, że istnieje nieskończenie wiele pierwotnych trójek pitagorejskich.

Trójkąt, którego długości boków stanowią trójkę pitagorejską, nazywany jest trójkątem pitagorejskim. Z kolei trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 nazywa się trójkątem egipskim.

Rozwiązanie elementarne 
Kwadrat nieparzystej liczby naturalnej przy dzieleniu przez 8 daje resztę 1. Zatem suma kwadratów dwóch dowolnych liczb nieparzystych daje resztę 2 z dzielenia przez 8. Z drugiej strony, kwadrat dowolnej liczby naturalnej daje przy dzieleniu przez 8 jedną z reszt 0, 1, 4. Zatem suma dwóch kwadratów nieparzystych liczb naturalnych nigdy nie jest kwadratem.

Niech  będą liczbami naturalnymi, spełniającymi równanie:
 

Zatem co najmniej jedna z liczb  jest parzysta. Przy założeniu, że  są względnie pierwsze, jedna z liczb  powiedzmy  jest nieparzysta, a  jest parzysta. Zatem  jest nieparzysta i względnie pierwsza zarówno z liczbą  jak i z liczbą 

Każdy wspólny dzielnik liczb naturalnych  oraz  jest też dzielnikiem ich sumy, równej  oraz ich różnicy, równej  jest więc równy 1, a liczby  oraz  są względnie pierwsze.

Równanie  ma dokładnie te same rozwiązania  co równanie:
 

Ponieważ liczby  oraz  są względnie pierwsze, to są pełnymi kwadratami pewnych liczb naturalnych  oraz 
 
 

skąd:
 
 
 

Dla każdego pierwotnego rozwiązania  równania  istnieją liczby naturalne  oraz  takie że rozwiązanie  wyraża się poprzez  oraz  jak wyżej. Aby otrzymać rozwiązanie pierwotne, należy wybrać liczby  oraz  o różnej parzystości i względnie pierwsze. Ostatnie trzy równości posłużą wtedy za definicję rozwiązania.

Wariacja 
W poprzednim fragmencie, i wciąż uznając jego założenia, zamiast równania , rozpatrzmy równanie
 

Każdy wspólny dzielnik nieparzystych liczb  oraz  jest też wspólnym dzielnikiem ich sumy, równej  oraz różnicy, równej  czyli jest równy 1 lub 2 (mówimy tylko o dodatnich liczbach całkowitych; w dalszym ciągu obowiązuje założenie z poprzedniego fragmentu o względnej pierwszości liczb  a więc i liczb ). Ale 2 nie jest podzielnikiem nieparzystych liczb  oraz  Zatem są one względem pierwsze; więc są odpowiednio kwadratami pewnych nieparzystych, dodatnich liczb całkowitych  czyli:
 
 
 

Wykazano tu, że dla każdego rozwiązania pierwotnego  istnieją nieparzyste dodatnie liczby całkowite  oraz  takie, że rozwiązanie  określone jest przez powyższe trzy równości. Tak zadane przez nieparzyste  oraz  rozwiązanie  jest pierwotne wtedy i tylko wtedy, gdy  są względnie pierwsze.

Otrzymaliśmy nową parametryzację pierwotnych trójek pitagorejskich, nieco różną od poprzedniej.

Ogólnie, gdy liczby  są tej samej parzystości, to powyższa trójka równości definiuje pewną trójkę pitagorejską, niekoniecznie pierwotną. Nie otrzyma się w ten sposób trójki pitagorejskiej (6, 8, 10) i wielu innych.

Wariacja II 
Na podstawie metody przyrostów kwadratów liczb parzystych i nieparzystych można wyprowadzić zależność:
 
 
 

W powyższej zależności  jest dzielnikiem  takim, że dla parzystego  parametr  jest również parzysty, a dla nieparzystego  jest nieparzysty. Dla wartości parametru  i  (z wyjątkiem liczb typu ) otrzymujemy trójki pierwotne. Dla pozostałych dzielników  tworzone są pozostałe i możliwe kombinacje trójek pitagorejskich dla zadanego 

Dla  i  zależność jest następująca:
 
 
 

Dla  i  zależność jest następująca:
 
 
 

co łatwo udowodnić, podstawiając za   i  ogólne wyrażenia. Nie otrzyma się w ten sposób np. trójki  i wielu innych.

Rozwiązanie zespolone z użyciem liczb Gaussa 
Niech  oznacza jedną z dwóch liczb zespolonych, których kwadrat jest równy 
 

Liczby postaci  gdzie  oraz  są liczbami całkowitymi, nazywamy liczbami Gaussa. Tworzą one pierścień Gaussa. W pierścieniu Gaussa istnieją dokładnie cztery jedności, czyli liczby multiplikatywnie odwracalne:
 

(Liczbę 1 nazywamy jedynką). Liczba sprzężona do jedności  jest jej odwrotnością 

Liczbę Gaussa nazywa się liczbą pierwszą, gdy w każdym jej rozkładzie na iloczyn dwóch liczb Gaussa jeden z czynników jest jednością. Iloczyn liczby pierwszej Gaussa przez jedność też jest liczbą pierwszą. Tak związane pary liczb pierwszych nazywamy liczbami równoważnymi. Każda różna od zera liczba Gaussa rozkłada się na skończony iloczyn liczb pierwszych Gaussa, jednoznacznie z dokładnością do równoważności i kolejności występowania w iloczynie.

Gdy liczba Gaussa  jest iloczynem liczb Gaussa  oraz  to liczby  oraz  nazywamy dzielnikami liczby  (w pierścieniu Gaussa). Gdy  jest liczbą rzeczywistą (gdy ma część urojoną równą zero), to dzielnikami są także liczby Gaussa sprzężone bowiem ogólnie:
 

gdy 

Dwie liczby Gaussa nazywamy względnie pierwszymi, gdy ich jedynymi wspólnymi podzielnikami są jedności. (Tak więc jedności i tylko jedności są względnie pierwsze z dowolną liczbą Gaussa). Dwie liczby naturalne są względnie pierwsze w klasycznym sensie (w kontekście ciała liczb wymiernych) wtedy i tylko wtedy gdy są względnie pierwsze jako liczby Gaussa (w pierścieniu liczb Gaussa).

Powróćmy teraz do równania:
 

gdzie  oznaczają względnie pierwsze, dodatnie liczby całkowite. Zapiszmy równanie  równoważnie:
 

Każdy dzielnik liczb  oraz  jest też dzielnikiem ich sumy  oraz różnicy  a więc liczby 2. Zakładając, jak we wcześniejszych fragmentach, że  jest rozwiązaniem pierwotnym, liczby  oraz  są ponadto różnej parzystości, więc  oraz  są względnie pierwsze. Skoro tak, to są one kwadratami liczb Gaussa, pomnożonymi przez jedność, to znaczy: istnieją liczby całkowite (wymierne)  oraz  oraz jedność gaussowska  (równa  lub  lub  lub ), dla których:
 
 

Drugie równanie wynika z pierwszego. Wystarczy rozpatrywać przypadki  oraz  jako że  oraz  Dla  otrzymujemy:
 
 
 

Gdy  to otrzymujemy:
 

skąd:
 
 
 

Wprowadźmy liczby  oraz  Oczywiście  Pokazaliśmy, że dla dowolnego rozwiązania pierwotnego  równania  istnieją całkowite liczby dodatnie  oraz  (wymierne), takie że odpowiednio:
  lub 
  lub

Rozwiązanie geometryczne 
Można prosto rozwiązać równanie
 

korzystając z narzędzi elementarnej geometrii algebraicznej. Z rozwiązań wymiernych  tego równania otrzymujemy rozwiązania całkowite, mnożąc liczby wymierne  przez ich wspólny mianownik. Zauważmy ponadto, że jeśli  to jedynym rozwiązaniem równania
 

jest trójka liczb (0, 0, 0). Rozwiązanie to będziemy nazywać rozwiązaniem zerowym.

Każdemu niezerowemu rozwiązaniu całkowitemu  odpowiada rozwiązanie
 

równania:
 

Jest to równanie okręgu jednostkowego o środku w początku układu współrzędnych. Również każdemu rozwiązaniu wymiernemu  równania  odpowiadają takie rozwiązania całkowite  równania Pitagorasa, że  (wystarczy, aby liczba  była podzielna przez mianowniki liczb  i ). Aby rozwiązać równanie Pitagorasa, wystarczy znaleźć punkty na okręgu jednostkowym o obu współrzędnych wymiernych. Jednym z rozwiązań jest  Przez ten punkt oraz dowolny inny wymierny punkt okręgu możemy poprowadzić prostą. Współczynnik kierunkowy  tej prostej jest liczbą wymierną. Dlatego ten drugi punkt jest rozwiązaniem układu równań  i :
 

dla pewnej liczby wymiernej  Trzeba wykazać, że dla dowolnej liczby wymiernej  rozwiązanie powyższego układu jest liczbą wymierną. Po podstawieniu  do  dla  z  wynika, że:
 
 
 

(bo ), skąd:
 

Podstawiając obliczoną wartość  do równania , otrzymujemy
 

W ten sposób wszystkie rozwiązania wymierne równania  wyrażone są za pomocą wymiernego parametru  Otrzymaliśmy tożsamość:
 

lub równoważnie:
 

Po podstawieniu  gdzie  i  są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi  i pomnożeniu równania przez 
 

Wtedy każde rozwiązanie całkowite równania  w liczbach  względnie pierwszych wyraża się wzorami:
 
 
 

Liczby całkowite  definiują rozwiązania całkowite dodatnie równania .

Konstrukcja z małego twierdzenie Fermata 
Podejrzewając, że Fermat odkrył twierdzenie małe jako lemat by w prosty sposób udowodnić twierdzenie wielkie liczby pitagorejskie można konstruować bezpośrednio z małego twierdzenia Fermata działającego w jego najprostszej formie, tzn. dla liczby pierwszej  postępując tak jak byśmy chcieli z niego udowodnić twierdzenie wielkie.

Przepiszmy równanie Pitagorasa tak abyśmy mogli go bezpośrednio zastosować
 

Używając stronami twierdzenia małego otrzymujemy warunek że  musi być podzielne przez  tzn.
 

Wstawiając równanie na  do równania Pitagorasa otrzymujemy równanie na  względem  i 
 

które generuje razem z równaniem na  trójki pitagorejskie w przypadku kiedy otrzymane  jest całkowite. Teraz możemy pozbyć się tego defektu wstawiając uzyskane tak rozwiązania do oryginalnego równania i mnożąc przez mianownik w rozwiązaniu na a  w kwadracie.

Otrzymujemy w ten sposób tożsamość
 

wyrażającą sumę kwadratów dwóch liczb w funkcji dwóch parametrów jako kwadrat liczby w funkcji tych samych parametrów, tzn. zrenormalizowane liczby pitagorejskie wyrażone względem dowolnych naturalnych liczb  i 
 
 
 

spełniające równanie
 

W odróżnieniu od wyżej opisanych wzorów Euklidesa zawierających sumę kwadratów, różnicę kwadratów oraz podwójny iloczyn dwóch liczb  i  wzory te dają wszystkie możliwe liczby pitagorejskie.

Dla   otrzymujemy np.    a dla     

Warto zauważyć, że krok z użyciem małego twierdzenia Fermata, aby wyrazić  względem  i  jako
 

dla dowolnego  prowadzi do intuicyjnego pseudoudowodnienia twierdzenia wielkiego, ponieważ prowadzi do skomplikowanego równania algebraicznego  rzędu na  względem   zawierającego na dodatek liczbę pierwszą, wykładnik  i już dla  wydaje się mało prawdopodobne, by tak uzyskane równanie kwadratowe zawierające w rozwiązaniach pierwiastek kwadratowy miało rozwiązanie naturalne, nie mówiąc już o wzorach Cardana dla równania sześciennego czy równaniach wyższych niż stopnia czwartego, których ogólne rozwiązania nie dają się nawet wyrazić przez radykały, tzn. wyrażenia zawierające jedynie pierwiastki -tego stopnia, które wszystkie na raz musiałyby być naturalne. Obecnie nawet wiadomo z istniejącego bardzo trudnego dowodu wielkiego twierdzenia Fermata, że jest to prawda, a liczby naturalne daje jedynie równanie liniowe na  dla

Zobacz też 
 małe twierdzenie Fermata
 wielkie twierdzenie Fermata

Przypisy

Linki zewnętrzne 
 
  [dostęp 2023-06-01].
  [dostęp 2023-06-01].

Równania diofantyczne