Division (Mathematik)

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Ein Dividend wird durch einen Divisor geteilt, das Resultat wird Quotient genannt. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Mathematikunterricht der Grundschule gelehrt. Als Rechenzeichen für die Division werden
der Doppelpunkt  (Rechnen mit Zahlen, in der Mathematik wird das Zeichen in anderer Bedeutung verwendet), das Obelus-Zeichen  (Taschenrechner, Tastaturen), der Schrägstrich  (häufig mit Hochstellung des Dividenden und Tiefstellung des Divisors wie in ½) und die Bruchstrich-Schreibweise  verwendet (Vorzugsschreibweise bei komplexeren Ausdrücken, siehe auch Geteiltzeichen).

Definition 
Um die Division als die bekannte arithmetische Grundrechenart besprechen zu können, benötigt man eine mathematische Struktur, die zwei Verknüpfungen (Rechenoperationen) kennt, genannt Addition und Multiplikation.
Die beiden Verknüpfungen interagieren miteinander nach den Regeln des mathematischen Ringes.
Die Multiplikation definiert die Division als die ihr zugehörige Umkehroperation.
Als zusätzliche Grundrechenart ist die Addition vorausgesetzt, denn sie definiert bspw. die Null (0) als das ihr zugehörige neutrale Element.
 Bemerkung
 Bei den aus der Schule bekannten mathematischen Strukturen der ganzen Zahlen , der rationalen Zahlen , der reellen Zahlen  sowie der komplexen Zahlen  handelt es sich um mathematische Ringe.

Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl  (dem bekannten Faktor) eine passende Zahl  (den unbekannten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt  ergibt: Finde zu gegebenem  und  ein , sodass !

Beschränkt man sich auf ganze Zahlen , so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen  oder in den Körpern der reelle Zahlen  sowie der komplexen Zahlen , gilt dagegen:

 Für jede Zahl  und für jede von null verschiedene Zahl  existiert genau eine Zahl , die die Gleichung  erfüllt.

Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses . Man schreibt

   (gelesen:  gleich  geteilt durch  oder kurz  gleich  durch  oder auch  gleich  dividiert durch ).

Dabei heißen:
 Die Zahl , die geteilt wird, Dividend (lateinisch „die zu Teilende“ (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch Zähler.
 Die Zahl , durch die geteilt wird, Teiler oder Divisor (lateinisch „der, der teilt“), in der Bruchrechnung auch Nenner.
 Der Term  Quotient.
 Das Ergebnis der Division Wert des Quotienten oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Merkhilfen:
 Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
 Dividend : Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)

Die Bruchzahlen können also als Paare  von ganzen Zahlen aufgefasst werden.

Beim Kürzen wird ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner eines Bruches entfernt, wobei sich der Wert des Bruches nicht ändert, z. B. ist . Kürzt man mit dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, entsteht ein Bruch, der nicht weiter kürzbar ist. Zum Beispiel ist , also
 

Ein Bruch mit Zähler  und Nenner , bei dem  ist, ist nicht weiter kürzbar. Er wird voll gekürzt oder auch vollständig oder maximal gekürzter Bruch genannt. Die Komponenten des Paares  werden eindeutig durch die zusätzliche Festlegung des Vorzeichens des Nenners, also insgesamt durch die Maßgaben:
  und ,
 .
Eine derartige Wahl von Zähler und Nenner wird als Standarddarstellung des Bruches angesehen.

Die Umkehrung des Kürzens ist das Erweitern der Bruchzahl, also die Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben von 0 verschiedenen ganzen Zahl. Dabei wird der Wert der Bruchzahl genauso wenig geändert wie beim Kürzen.

Eigenschaften 
Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt
 .

Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben, da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt
  und .

Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.

Eine arithmetische Division durch null ist nicht möglich

Beispiel 
Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?

Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der den Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.

Mathematischer Beweis 
Sei  ein Ring mit Nullelement . Bei der „Division durch null“ ist der bekannte Faktor (Divisor) , also wird gefragt:
 Gibt es zu einem Element  eine Lösung  der Gleichung ?
Ist  der Nullring, besteht  also aus dem einzigen Element 0, dann hat die Gleichung die Lösung , denn es ist, weil es nichts anderes gibt, , und damit , wie gefordert. Überdies ist  die einzige Lösung.

Im Folgenden ist generell angenommen, dass  mindestens 2 verschiedene Elemente hat, was bspw. bei einem Körper definitionsgemäß der Fall ist.

Gesucht sind zu einem Ringelement  Lösungen  der Gleichung .
 1. Fall: :
 Für ein Ringelement  ist die Gleichung  nicht in  und auch nicht in einem Erweiterungsring . Denn, wie im Artikel Ring (Algebra) gezeigt, folgt aus den Ringaxiomen, maßgeblich dem Distributivgesetz:
 Das neutrale Element  der Addition eines Ringes  ist Annullator mit  für jedes Ringelement .
 2. Fall: :
 Obwohl die obige Gleichung im Fall  jedes Ringelement  zur Lösung hat, würde die Festlegung auf ein spezielles unter ihnen (das „Eindeutigmachen“ der Division) zu Problemen führen. Bei der Setzung  bspw. wähle man ein Ringelement . (Das ist möglich, denn  hat mindestens 2 Elemente.) Das Assoziativgesetz der Multiplikation ergäbe:
,
 was der Wahl  widerspräche.

Das bedeutet im Ergebnis, dass Mengen , die bei vorhandener Addition und Multiplikation eine „Division durch null“ in irgendeiner Form (Unendlich, Undefiniert, NaN oder sonst was aus ) kennen, weder Ringe (geschweige denn Körper) sein können, weil die Ringeigenschaften nicht für die Quotienten mit Divisor null – und damit nicht für alle Elemente aus  – gelten.

Bemerkungen
 Hat der Ring Nullteiler, wie z. B. der Ring  der Restklassen modulo 6 die Reste , dann
 lässt sich die Gleichung  nicht für jedes  lösen. Beispiel:  hat keine Lösung in , weil  den Rest  nicht enthält.
 kann eine Gleichung  mit  mehrere Lösungen haben. Beispiel:  hat die drei Lösungen .
 In der wissenschaftlichen mathematischen Literatur wird die Division durch null nur dann erwähnt, wenn diese selbst das Thema des Kapitels ist.

Division durch null im Computer 
Insbesondere beim spontanen Gebrauch eines Rechengerätes kann es vorkommen, dass durch null dividiert wird – genauer: dass null als (rechter) Operand des Divisionszeichens eingetippt wird.
Das Ziel der Implementierungen ist dann,
 den Benutzer/Programmierer auf das Ereignis aufmerksam zu machen und
 ein (Zwischen-)Ergebnis abzuliefern, mit dem das aussichtsreichste Weiterrechnen erwartet werden kann.

Festkomma 
Eine Division durch null mit Festkommazahlen löst auf praktisch allen elektronischen Rechensystemen einen Laufzeitfehler (eine Ausnahme) vom Typ Division durch null (engl. zero-divide-exception) aus. Eine zugehörige Behandlung dieser Ausnahme wird für gewöhnlich von der Laufzeitumgebung der verwendeten Programmiersprache vorgegeben und geleistet, kann aber auch durch den Benutzer zusätzlich, bspw. durch eine catch-Anweisung, näher spezifiziert werden. In einigen Laufzeitumgebungen löst eine Division durch null undefiniertes Verhalten aus.

Da der Kernel (in Zusammenarbeit mit der Laufzeitumgebung der Programmiersprache) die fehlerbehandelnde Laufzeitumgebung zur Verfügung stellt, kann eine Division durch null im Kernel selbst ggf. den gesamten Rechner zum Absturz bringen.

Gleitkomma 
Geschieht bei einer Gleitkommaoperation ein „Überlauf“, d. h., das Ergebnis ist betragsmäßig zu groß, um dargestellt zu werden, wird es auf eine betragsmäßig sehr große Gleitkommazahl mit der Bedeutung „Unendlich“ bzw. „Minus Unendlich“ gesetzt.
Auch eine Gleitkommadivision durch null wird vielfach derart behandelt, so z. B. von der sehr verbreiteten Norm IEEE 754. Dabei wird zusätzlich ein Flag gesetzt, sodass die Programmierung einer Ausnahmebehandlung möglich ist. (Der Artikel Permanenzprinzip erörtert verschiedene Konzepte, wie unter geringstmöglichem Verzicht auf Rechenregeln – bspw. auf Ringaxiome und Ordnungsrelationen – eine „Division durch null“ definiert werden könnte.)

Ist 1 : 0 = ∞? 
 Einige Menschen meinen, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Aber
 Durch die Einführung eines „Wertes“  wird die Ringstruktur und ihre Arithmetik – wie oben gezeigt – aufgegeben. Weiterreichende Konsequenzen sind die nunmehr auftauchenden unbestimmten Ausdrücke, (zu denen die Ausdrücke vom Typ  eigentlich schon gehören und) die allesamt einer Spezialbehandlung bedürfen.
 Durch die Methode der Grenzwertbildung kommt ein neues (über die Arithmetik hinausgehendes, nämlich ein topologisches) mathematisches Konzept zum Tragen, mit dem in einigen Fällen ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man aber diese Methode auf das Beispiel  an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich, allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert, also

Nähert man sich der Null hingegen aus Richtung der negativen Zahlen an, so strebt der Wert der Funktion gegen , also

Somit strebt die Funktion an der Stelle  sowohl gegen  als auch gegen , hat also keinen eindeutigen Grenzwert, sofern man  und  unterscheidet. Wie das Beispiel zeigt, kommen zusätzliche Probleme betreffend die bei den Strukturen  und  wichtige Ordnungsrelation hinzu. Wenn man der Division unbedingt immer (auch der Division durch null) einen Wert zuweisen möchte, dann muss dieser auch die bei der Division sonst übliche Eindeutigkeit besitzen, eine Festlegung auf einen solchen ist bei jeder Wahl unbefriedigend und die Zuweisung einer Lösungsmenge  ebenso.

Resümee
 Die Komplikationen, die mit einer Einführung eines „Wertes“ für  einhergehen, sind in jeder Hinsicht (insbesondere Einschränkung der Gültigkeit der Arithmetik, daraus resultierende Aufblähung der erforderlichen Rechenregeln, Mehrdeutigkeit) wesentlich nachteiliger als die einfache Anerkenntnis der einfachen Tatsache, dass Gleichungen vom Typ  keine Lösung haben. Vielmehr ergeben sich viele neue Probleme, die mit einem derartigen Kalkül nicht sachgerecht behandelt werden können.
 Abhängig vom gegebenen Fall gelingt es häufig, mit Methoden der Analysis (Regel von de L’Hospital) unter Hinzunahme zusätzlicher Informationen – bspw. Monotonie und Stetigkeit – zu einer fundierten Lösung zu kommen, die nur noch ganz entfernt an eine „Division durch null“ erinnert.

Division mit Rest 

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, ein Rest bleibt übrig.

Gesetzmäßigkeiten der Division

Teilbarkeitsregeln durch 0 bis 12 im Dezimalsystem 

Mit den nachfolgenden Teilbarkeitsregeln für Teiler von  bis  (formuliert für Dezimaldarstellungen) erhält man ganzzahlige Ergebnisse.
 Durch  darf man nicht teilen. Auch der Nenner eines Bruches, auch wenn er Variablen enthält, wie z. B. in der Gleichung , darf nicht  ergeben. Dividiert man  durch eine beliebige Zahl (), so ist das Ergebnis wieder . Für die Division  ist kein Ergebnis definiert.
 Eine beliebige Zahl außer der  durch sich selbst geteilt ergibt .
 Ungerade Zahlen (die letzte Ziffer ist eine  oder ) sind ohne Rest nur durch andere ungerade Zahlen teilbar.
 Primzahlen sind nur durch sich selbst (ergibt ) oder durch  teilbar (ergibt die Ausgangszahl).
 Jede Zahl ist durch  teilbar. Ihr Wert ändert sich durch diese Division nicht .
 Jede gerade Zahl (die letzte Ziffer ist eine  oder ) ist durch  teilbar.
 Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn ihre Quersumme durch  teilbar ist.
 Die wiederholte Anwendung des Kriteriums führt schlussendlich auf eine einstellige Zahl, wobei nur  und  durch  teilbar sind.
 Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn ihre letzten zwei Ziffern durch  teilbar sind.
 Das ist genau dann der Fall, wenn gilt: Ist die vorletzte Ziffer gerade, muss die letzte Ziffer ,  oder  sein; ist die vorletzte Ziffer ungerade, muss die letzte Ziffer  oder  sein.
 Ebenfalls möglich: Seien  und  die letzten beiden Ziffern der Zahl; dann ist sie durch  teilbar, wenn  durch  teilbar ist.
 Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine  oder eine  ist.
 Eine Zahl ist durch  teilbar, durch  und  teilbar ist (Primfaktorzerlegung).
 Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn ihre alternierende er-Quersumme durch  teilbar ist.
 Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn ihre letzten drei Ziffern durch  teilbar sind.
 Konkret: Seien  und  die letzten drei Ziffern der Zahl; dann ist sie durch  teilbar, wenn  durch  teilbar ist.
 Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn ihre Quersumme durch  teilbar ist.
 Die wiederholte Anwendung des Kriteriums führt schlussendlich auf eine einstellige Zahl, wobei nur  und  durch  teilbar sind.
 Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine  ist.
 Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch  teilbar ist.
 Eine Zahl ist durch  teilbar, wenn sie sowohl durch  als auch durch  teilbar ist.

Vorzeichen 
 Haben Dividend und Divisor dasselbe Vorzeichen, so ist der Quotient positiv.
 Haben Dividend und Divisor unterschiedliche Vorzeichen, so ist der Quotient negativ.

Diese beiden Regeln gelten sinngemäß auch für die Multiplikation.

Rechenoperationen 
 Bei der Berechnung eines komplexen Terms gilt die Regel Klammer vor Punkt vor Strich.
 Bei Rechnungen mit Brüchen gelten immer zwei Grundregeln: Der Nenner eines Bruches darf nicht 0 ergeben, auch nicht, wenn er Variablen enthält, und das Endergebnis ist gegebenenfalls zu kürzen.
 Zwei Brüche werden durch einander dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert:
 
 Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man den Zähler des ersten Bruches mit dem Zähler des zweiten Bruches zum neuen Zähler und den Nenner des ersten Bruches mit dem Nenner des zweiten Bruches zum neuen Nenner multipliziert:
 
 Für Addition und Subtraktion zweier Brüche mit unterschiedlichen Nennern muss man die beiden Brüche zuerst gleichnamig machen, d. h. durch Erweiterung auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Ist der Nenner beider Brüche gleich, bleibt er bei der Rechnung unverändert, und nur die Zähler werden addiert oder subtrahiert.
 Sind bei einem Bruch Zähler und Nenner identisch, ist der Wert des Bruches 1 (x/x = 1).
 Eine ganze Zahl ist als Bruch darstellbar, indem man sie durch 1 teilt (x = x/1).

 In Ungleichungen drehen sich die Ungleichheitszeichen  um, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert (oder dividiert) wird, z. B.

 Einige Dezimal-Äquivalente

Schreibweisen 
Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division:
 oder  oder  oder  oder  .

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die Schreibweise  heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

Bei mehreren aufeinanderfolgenden Doppelpunkten in einer Zeile wird in der Regel implizite Linksklammerung angenommen; der Infix-Doppelpunktoperator ist daher 
   und
 .
Dies entspricht auch der Interpretation in den meisten Programmiersprachen.

Schrägstriche haben Vorrang vor horizontalen Bruchstrichen.
  und .

Bei geschachtelter Bruchdarstellung haben die kürzeren Bruchstriche Vorrang vor den längeren:

und
.
Wie man sieht, ist diese Schreibweise mit Vorsicht zu verwenden und ggf. ist auf ,  auszuweichen oder fakultative Klammern sind zu verwenden , .

In der Geometrie ist weiterhin noch eine Schreibweise üblich: a : b : c = sin α: sin β: sin γ = d: e: f. Es handelt sich hierbei nicht um eine Kettendivision, sondern um eine Kurzschreibweise für
  und  .

Typografie 

Unicode:
Zur Verfügung stehen die Unicodezeichen Doppelpunkt U+003A (a : b), Schrägstrich/Solidus U+002F (a / b), Divisionszeichen U+00F7 (a ÷ b) und Divisionsstrich U+2215 (a ∕ b). Siehe auch Geteiltzeichen.

Das kaufmännische Minus ist U+2052 (a ⁒ b) und ist nicht mit dem Divisionszeichen U+00F7 (a ÷ b) zu verwechseln.

Verallgemeinerung 
In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Division mit Zirkel und Lineal 

Die Division kann auch – so wie die Multiplikation, die Potenz und die Quadratwurzel – als Konstruktion mit Zirkel und Lineal dargestellt werden. Im Folgenden werden zwei unterschiedliche Vorgehensweisen beschrieben.

Die beiden nebenstehenden Bilder zeigen jeweils eine kompakte Lösung, die sowohl für  als auch für den Kehrwert  gilt. Die gestrichelten Linien im Bild 2 (Kreisbogen, Kreise) werden zur Lösung nicht benötigt, sie dienen lediglich dazu, den Nachweis mithilfe des Sehnensatzes zu verdeutlichen. Die Bezeichnungen der Punkte wurden, zwecks Vergleichbarkeit, analog dem Einleitungsbild im Sehnensatz gewählt.

Es folgt die Konstruktionsbeschreibung für  (Bild 2). Die geringfügigen Unterschiede der Konstruktion für  sind in Bild 1 ersichtlich.

Zuerst werden z. B. auf einer Zahlengeraden die Längen  und  als Strecken  bzw.  aufgetragen. Es folgen eine  Senkrechte auf  durch  sowie eine Parallele zur Strecke  mit einem Abstand gleich , dabei ergibt sich der Schnittpunkt . Um den Mittelpunkt  des Kreisbogens  durch   zu erhalten, bedarf es zweier (nicht eingezeichneter) Mittelsenkrechten der Sehnen  und .

Nun kann der Kreisbogen  eingezeichnet werden, dabei ergibt sich der Schnittpunkt . Jetzt noch die Verbindung des Punktes  mit , bei der  die Senkrechte schneidet, und eine Halbgerade ab  durch , bis sie die Senkrechte in   schneidet. Im Grunde genommen ist nun die Konstruktion fertiggestellt. Um eine Überdeckung der Strecke  zu vermeiden ist  separat dargestellt.

Nachweis (siehe hierzu Bild 2)

Nach dem Sehnensatz im Kreis  mit Mittelpunkt  gilt:

Nach dem Sehnensatz im Kreis  mit Mittelpunkt  gilt:

Eine weitere Möglichkeit für die Division  mit Zirkel und Lineal (siehe Bild 3) bietet der Strahlensatz.

Zunächst zieht man ab dem Punkt  den ersten Strahl. Auf diesem Strahl wird, beginnend ab , zuerst die Länge gleich , als Strecke  und anschließend die Länge , als Strecke  bestimmt. Es folgt das Einzeichnen der Länge  ab dem Punkt , als Strecke  unter einem beliebigen Winkel  zu . Nun wird der zweite Strahl ab  durch  gezogen. Die abschließende Parallele zu  ab dem Punkt  liefert den gesuchten Wert des Quotienten  als Strecke .

Landesspezifisches 
In Österreich wird gelegentlich zwischen Messen (wie oft geht es in …?) und Teilen (wie viel ergibt es geteilt durch …?) unterschieden.

Bis in die 1970er wurde auch in deutschen Grundschulen gelegentlich zwischen Aufteilen (in Gruppen) (österr. Messen) und Verteilen unterschieden.

Siehe auch 
 Gruppentheorie
 Ringtheorie
 Schiefkörper
 Divisionsalgebra
 Polynomdivision
 Rationale Funktion – Division von Funktionen
 Vedische Mathematik – Vereinfachte Methode zum Dividieren
 Quasigruppe
 Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise