Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet. Es ist Gegenstand der analytischen Geometrie und der linearen Algebra. Historisch wurde es zuerst im euklidischen Raum eingeführt. Geometrisch berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren  und  nach der Formel
 
Dabei bezeichnen  und  jeweils die Längen (Beträge) der Vektoren. Mit  wird der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels  (Phi) bezeichnet.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen, und maximal, wenn sie die gleiche Richtung haben.

In einem kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zweier Vektoren  und  als
 
Kennt man die kartesischen Koordinaten der Vektoren, so kann man mit dieser Formel das Skalarprodukt und daraufhin mit der Formel aus dem vorhergehenden Absatz den Winkel  zwischen den beiden Vektoren ausrechnen, indem diese nach  aufgelöst wird:

In der linearen Algebra wird dieses Konzept für beliebig viele Dimensionen zu

verallgemeinert.  

Noch allgemeiner versteht man in der linearen Algebra unter einem Skalarprodukt eine Funktion, die zwei Elementen eines reellen oder komplexen Vektorraums einen Skalar zuordnet, genauer eine (positiv definite) hermitesche Sesquilinearform bzw. spezieller bei reellen Vektorräumen eine (positiv definite) symmetrische Bilinearform. Im Allgemeinen ist in einem Vektorraum von vornherein kein Skalarprodukt festgelegt. Ein Raum zusammen mit einem Skalarprodukt wird als Innenproduktraum oder Prähilbertraum bezeichnet. Diese Vektorräume verallgemeinern den euklidischen Raum und ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Im euklidischen Raum

Geometrische Definition und Notation 
Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum oder in der zweidimensionalen euklidischen Ebene kann man als Pfeile darstellen. Dabei stellen Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, denselben Vektor dar. Das Skalarprodukt  zweier Vektoren  und  ist ein Skalar, das heißt eine reelle Zahl. Geometrisch lässt es sich wie folgt definieren:

Bezeichnen  und  die Längen der Vektoren  und  und bezeichnet  den von  und  eingeschlossenen Winkel, so ist
 

Streng genommen muss hierbei  vorausgesetzt werden, da ansonsten  nicht erklärt ist. Ist  oder , so wird  gesetzt.

Wie bei der normalen Multiplikation (aber seltener als dort) wird, wenn klar ist, was gemeint ist, das Multiplikationszeichen manchmal weggelassen:

 
Statt  schreibt man in diesem Fall gelegentlich auch vereinfacht  oder 

Andere übliche Notationen sind  und

Veranschaulichung 

Um sich die Definition zu veranschaulichen, betrachtet man die orthogonale Projektion  des Vektors  auf die durch  bestimmte Richtung und setzt
 
Es gilt dann  und für das Skalarprodukt von  und  gilt:
 
Diese Beziehung wird manchmal auch zur Definition des Skalarprodukts verwendet.

Beispiele 
In allen drei Beispielen gilt  und . Die Skalarprodukte ergeben sich mithilfe der speziellen Kosinuswerte ,  und :

In kartesischen Koordinaten 
Führt man in der euklidischen Ebene bzw. im euklidischen Raum kartesische Koordinaten ein, so besitzt jeder Vektor eine Koordinatendarstellung als 2- bzw. 3-Tupel, das meist als Spalte geschrieben wird.

In der euklidischen Ebene erhält man dann für das Skalarprodukt der Vektoren
   und  
die Darstellung
 

Für die kanonischen Einheitsvektoren  und  gilt nämlich
  und .
Daraus folgt (unter Vorwegnahme der weiter unten erläuterten Eigenschaften des Skalarproduktes)

Im dreidimensionalen euklidischen Raum erhält man entsprechend für die Vektoren
  und  
die Darstellung

Beispielrechnung 
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren
  und  
berechnet sich als
.

Eigenschaften 
Aus der geometrischen Definition ergibt sich direkt:
 Sind  und  parallel und gleichorientiert (), so gilt

 Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge:

 Sind  und  parallel und entgegengesetzt orientiert (), so gilt

 Sind  und  orthogonal (), so gilt

 Ist  ein spitzer Winkel, so gilt 
 Ist  ein stumpfer Winkel, so gilt 
  (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) und  sind linear abhängig.
Als Funktion, die jedem geordneten Paar  von Vektoren die reelle Zahl  zuordnet, hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften, die man von einer Multiplikation erwartet:
 Es ist symmetrisch (Kommutativgesetz):
 für alle Vektoren  und .
 Es ist homogen in jedem Argument (gemischtes Assoziativgesetz):
 für alle Vektoren  und  und alle Skalare .
 Es ist additiv in jedem Argument (Distributivgesetz):
 und
 für alle Vektoren   und 
Die Eigenschaften 2 und 3 fasst man auch zusammen zu: Das Skalarprodukt ist bilinear.

Die Bezeichnung „gemischtes Assoziativgesetz“ für die 2. Eigenschaft verdeutlicht, dass dabei ein Skalar und zwei Vektoren so verknüpft werden, dass die Klammern wie beim Assoziativgesetz verschoben werden können.
Da das Skalarprodukt keine innere Verknüpfung ist, ist ein Skalarprodukt von drei Vektoren nicht definiert, daher stellt sich die Frage nach einer echten Assoziativität nicht. Im Ausdruck  ist nur die erste Multiplikation ein Skalarprodukt von zwei Vektoren, die zweite ist das Produkt eines Skalars mit einem Vektor (S-Multiplikation). Der Ausdruck stellt einen Vektor dar, ein Vielfaches des Vektors  Hingegen stellt der Ausdruck  ein Vielfaches von  dar. Im Allgemeinen gilt also

Weder die geometrische Definition noch die Definition in kartesischen Koordinaten ist willkürlich. Beide folgen aus der geometrisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge ist, und der algebraisch motivierten Forderung, dass das Skalarprodukt die obigen Eigenschaften 1–3 erfüllt.

Betrag von Vektoren und eingeschlossener Winkel 
Indem man die geometrische Definition mit der Koordinatendarstellung kombiniert, kann man die Länge (den Betrag) eines Vektors und den von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel aus den Koordinaten der Vektoren berechnen:

Für einen Vektor  des zweidimensionalen Raumes gilt

Man erkennt hier den Satz des Pythagoras wieder.
Im dreidimensionalen Raum gilt für  entsprechend

Zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels zwischen zwei Vektoren  stellt man die Definitionsgleichung nach um:

Die einzelnen Bestandteile  und  kann man mit den entsprechenden Formeln für die kartesischen Koordinaten berechnen. Um den Winkel  zu erhalten, muss man noch den Arkuskosinus auf das Ergebnis der Rechnung anwenden:
 .

Beispielrechnung 
Die Vektoren
  und  
haben die Länge
 und 

Der Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels berechnet sich zu

Somit ist

Orthogonalität und orthogonale Projektion 

Zwei Vektoren  und  sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist, also

Die orthogonale Projektion von  auf die durch den Vektor  gegebene Richtung ist der Vektor

Die Projektion ist der Vektor, dessen Endpunkt der Lotfußpunkt vom Endpunkt von  auf die durch  bestimmte Gerade durch den Nullpunkt ist. Der Vektor  steht senkrecht auf 

Ist  ein Einheitsvektor (d. h., ist ), so vereinfacht sich die Formel zu

Bezug zum Kreuzprodukt 
Eine andere Art und Weise, zwei Vektoren  und  im dreidimensionalen Raum multiplikativ miteinander zu verknüpfen, ist das äußere Produkt oder Kreuzprodukt  Im Gegensatz zum Skalarprodukt ist das Resultat des Kreuzprodukts kein Skalar, sondern wieder ein Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf der von den beiden Vektoren  und  aufgespannten Ebene und seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen aufgespannt wird.

Für die Verbindung von Kreuz- und Skalarprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:
 
 
 
 
Die Kombination aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt der ersten beiden Regeln nennt man auch Spatprodukt; es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren  aufgespannten Parallelepipeds.

Anwendungen

In der Geometrie 

Das Skalarprodukt ermöglicht es, komplizierte Sätze, bei denen von Winkeln die Rede ist, einfach zu beweisen.

Behauptung: (Kosinussatz)

Beweis: Mit Hilfe der eingezeichneten Vektoren folgt  (Die Richtung von  ist unerheblich.) Quadrieren des Betrags ergibt

und damit

In der Analytischen Geometrie 
Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man eine Gerade in der Ebene, eine Ebene im dreidimensionalen Raum oder allgemein eine Hyperebene in der Normalenform – also mit Hilfe eines Normalenvektors – darstellen:
, mit Stützvektor  und Normalenvektor .
Eine Gerade, Ebene bzw. Hyperebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren  die Gleichung erfüllen.
Im Gegensatz zur Punktrichtungsform handelt es sich hierbei um eine Gleichung ohne Parameter.

In der linearen Algebra 
Unter Verwendung des Skalarproduktes kann man jede der  Gleichungen eines linearen Gleichungssystems mit  Variablen

als Hyperebene deuten:
 mit
und .
Damit lässt sich die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems als Schnittmenge von Hyperebenen interpretieren. Siehe Beispiele zur Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems.

In der Physik 

In der Physik sind viele Größen durch das Skalarprodukt definiert, wie zum Beispiel die Arbeit :

mit den vektoriellen Größen Kraft  und Weg . Dabei bezeichnet  den Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges. Mit  wird die Komponente der Kraft in Richtung des Weges bezeichnet, mit  die Komponente des Weges in Richtung der Kraft.

Beispiel: Ein Wagen des Gewichts  wird über eine schiefe Ebene von  nach  transportiert. Die Hubarbeit  berechnet sich zu

In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen 
Man nimmt die obigen Eigenschaften zum Anlass, den Begriff des Skalarprodukts auf beliebige reelle und komplexe Vektorräume zu verallgemeinern. Ein Skalarprodukt ist dann eine Funktion, die zwei Vektoren ein Körperelement (Skalar) zuordnet und die genannten Eigenschaften erfüllt. Im komplexen Fall modifiziert man dabei die Bedingung der Symmetrie und der Bilinearität, um die Positivdefinitheit zu retten (die für komplexe symmetrische Bilinearformen nie erfüllt ist).

In der allgemeinen Theorie werden die Variablen für Vektoren, also Elemente eines beliebigen Vektorraums, im Allgemeinen nicht durch Pfeile gekennzeichnet. Das Skalarprodukt wird meist nicht durch einen Malpunkt, sondern durch ein Paar von spitzen Klammern bezeichnet. Für das Skalarprodukt der Vektoren  und  schreibt man also . Andere gebräuchliche Notationen sind  (vor allem in der Quantenmechanik in Form der Bra-Ket-Notation),  und .

Definition (Axiomatik) 
Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum  ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform  das heißt, für  und  gelten die folgenden Bedingungen:
 linear in jedem der beiden Argumente:

 symmetrisch: 
 positiv definit:

 genau dann, wenn 

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem komplexen Vektorraum  ist eine positiv definite hermitesche Sesquilinearform  das heißt für  und  gelten die folgenden Bedingungen:
 sesquilinear:

    (semilinear im ersten Argument)

    (linear im zweiten Argument)
 
 hermitesch: 
 positiv definit:
 (Dass  reell ist, folgt aus Bedingung 2.)
 genau dann, wenn 

Ein reeller oder komplexer Vektorraum, in dem ein Skalarprodukt definiert ist, heißt Skalarproduktraum oder Prähilbertraum. Ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wird auch euklidischer Vektorraum genannt, im komplexen Fall spricht man von einem unitären Vektorraum. Entsprechend wird das Skalarprodukt in einem euklidischen Vektorraum gelegentlich als euklidisches Skalarprodukt, das in einem unitären Vektorraum als unitäres Skalarprodukt bezeichnet. Die Bezeichnung „euklidisches Skalarprodukt“ wird aber auch speziell für das oben beschriebene geometrische Skalarprodukt oder das weiter unten beschriebene Standardskalarprodukt im  benutzt.

 Anmerkungen
 Oft wird jede symmetrische Bilinearform bzw. jede hermitesche Sesquilinearform als Skalarprodukt bezeichnet; mit diesem Sprachgebrauch beschreiben die obigen Definitionen positiv definite Skalarprodukte.
 Die beiden angegebenen Axiomensysteme sind nicht minimal. Im reellen Fall folgt aufgrund der Symmetrie die Linearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt). Analog dazu folgt im komplexen Fall aufgrund der Hermitezität die Semilinearität im ersten Argument aus der Linearität im zweiten Argument (und umgekehrt).
 Im komplexen Fall wird das Skalarprodukt manchmal alternativ, nämlich als linear im ersten und semilinear im zweiten Argument definiert. Diese Version tritt bevorzugt in der Mathematik und insbesondere in der Analysis auf, während in der Physik überwiegend die obige Version benutzt wird (siehe Bra- und Ket-Vektoren). Der Unterschied beider Versionen liegt in den Auswirkungen der Skalarmultiplikation hinsichtlich der Homogenität. Nach der Alternativversion gilt für  und     und . Die Additivität wird in beiden Versionen gleich verstanden. Ebenso sind die nach beiden Versionen aus dem Skalarprodukt gewonnenen Normen identisch.
 Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm ist, wird als Hilbertraum bezeichnet.
 Die Unterscheidung zwischen reellem und komplexem Vektorraum bei der Definition des Skalarprodukts ist nicht zwingend notwendig, da eine hermitesche Sesquilinearform im Reellen einer symmetrischen Bilinearform entspricht.

Beispiele

Standardskalarprodukt im Rn und im Cn 

Ausgehend von der Darstellung des euklidischen Skalarprodukts in kartesischen Koordinaten definiert man in der linearen Algebra das Standardskalarprodukt im -dimensionalen Koordinatenraum  für  durch

Das oben behandelte „geometrische“ Skalarprodukt im euklidischen Raum entspricht so dem Spezialfall  Im Fall des -dimensionalen komplexen Vektorraums  definiert man das Standardskalarprodukt für  durch

wobei der Überstrich die komplexe Konjugation bedeutet. In der Mathematik ist häufig auch die alternative Version gebräuchlich, bei der das zweite Argument statt des ersten konjugiert wird.

Das Standardskalarprodukt im  bzw.  lässt sich auch als Matrizenprodukt schreiben, indem man den Vektor als -Matrix (Spaltenvektor) interpretiert: Im reellen Fall gilt

wobei  der Zeilenvektor ist, der aus dem Spaltenvektor  durch Transponieren hervorgeht. Im komplexen Fall gilt (für den links semilinearen, rechts linearen Fall)

wobei  der zu  hermitesch adjungierte Zeilenvektor ist.

Allgemeine Skalarprodukte im Rn und im Cn 
Allgemeiner definiert im reellen Fall jede symmetrische und positiv definite Matrix  über

ein Skalarprodukt; ebenso wird im komplexen Fall für jede positiv definite hermitesche Matrix  über

ein Skalarprodukt definiert. Hier bezeichnen die spitzen Klammern auf der rechten Seite das Standardskalarprodukt, die spitzen Klammern mit dem Index  auf der linken Seite das durch die Matrix  definierte Skalarprodukt.

Jedes Skalarprodukt auf  bzw.  lässt sich auf diese Art durch eine positiv definite symmetrische Matrix (bzw. positiv definite hermitesche Matrix) darstellen.

L2-Skalarprodukt für Funktionen 

Auf dem unendlichdimensionalen Vektorraum  der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall  ist das -Skalarprodukt durch

für alle , definiert. Die Voraussetzung der Stetigkeit kann dabei abgeschwächt werden (siehe Lp-Raum), denn bspw. ist das L2-Skalarprodukt auch für Treppenfunktionen wohldefiniert.

Des Weiteren lässt sich auch ein Skalarprodukt (-Skalarprodukt) definieren bei dem zusätzlich Ableitungsterme hinzukommen:

für alle . Auch hier kann die Voraussetzung der Differenzierbarkeit abgeschwächt werden (siehe Sobolev-Raum).

Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen 

Auf dem Matrizenraum  der reellen -Matrizen wird für  durch

ein Skalarprodukt definiert. Entsprechend wird auf dem Raum  der komplexen -Matrizen für  durch

ein Skalarprodukt definiert. Dieses Skalarprodukt wird Frobenius-Skalarprodukt genannt und die dazugehörige Norm heißt Frobeniusnorm.

Norm, Winkel und Orthogonalität 
Der Länge eines Vektors im euklidischen Raum entspricht in allgemeinen Skalarprodukträumen die vom Skalarprodukt induzierte Norm. Man definiert diese Norm, indem man die Formel für die Länge aus dem euklidischen Raum überträgt, als die Wurzel des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst:

Dies ist möglich, da  aufgrund der positiven Definitheit nicht negativ ist. Die als Normaxiom geforderte Dreiecksungleichung folgt dabei aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

Sind  so kann diese Ungleichung zu

umgeformt werden. Daher lässt sich auch in allgemeinen reellen Vektorräumen mittels

der Winkel  zweier Vektoren definieren. Der so definierte Winkel liegt zwischen 0° und 180°, also zwischen 0 und  Für Winkel zwischen komplexen Vektoren gibt es eine Reihe unterschiedlicher Definitionen.

Auch im allgemeinen Fall nennt man Vektoren, deren Skalarprodukt gleich Null ist, orthogonal:

Matrixdarstellung 
Ist  ein -dimensionaler Vektorraum und  eine Basis von  so kann jedes Skalarprodukt  auf  durch eine ()-Matrix  die Gramsche Matrix des Skalarprodukts, beschrieben werden. Ihre Einträge sind die Skalarprodukte der Basisvektoren:
   mit      für 
Das Skalarprodukt lässt sich dann mit Hilfe der Basis darstellen:
Haben die Vektoren  bezüglich der Basis  die Darstellung
   und   
so gilt im reellen Fall

Bezeichnet man mit  die Koordinatenvektoren
   und   
so gilt also

wobei das Matrixprodukt eine -Matrix liefert, also eine reelle Zahl. Mit  wird der Zeilenvektor bezeichnet, der durch Transponieren aus dem Spaltenvektor  entsteht.

Im komplexen Fall gilt entsprechend

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bezeichnet und  der zu  adjungierte Zeilenvektor ist.

Ist  eine Orthonormalbasis, das heißt, gilt  für alle  und  für alle  so ist  die Einheitsmatrix, und es gilt

im reellen Fall und

im komplexen Fall.
Bezüglich einer Orthonormalbasis entspricht das Skalarprodukt von  und  also dem Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren  und  bzw.

Verallgemeinerung 
Als Pseudoskalarprodukt bezeichnet man eine im Allgemeinen nicht positiv definite symmetrische Bilinearform.
Ein Beispiel dafür ist der Minkowski-Vektoraum der Speziellen Relativitätstheorie (SRT), der als Tangentialraum auch in der Gravitationstheorie (Allgemeine Relativitätstheorie, ART) auftritt.

Siehe auch 
 Quaternion
 Semi-inneres Produkt
 Duale Paarung

Literatur 
 Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15. Auflage. Vieweg Verlag, ISBN 3-528-03217-0.

Weblinks 

 Informationen und Materialien zum Skalarprodukt für die gymnasiale Oberstufe Landesbildungsserver Baden-Württemberg
 Joachim Mohr: Einführung in das Skalarprodukt

Einzelnachweise 

Lineare Algebra