Weg (Graphentheorie)

In der Graphentheorie wird eine Folge von Knoten, in welcher jeweils zwei aufeinanderfolgende Knoten durch eine Kante verbunden sind, als Weg (manchmal auch als Pfad) bezeichnet. Eine Folge von Kanten, in welcher jeweils zwei aufeinanderfolgende Kanten einen gemeinsamen Knoten haben, wird als Kantenzug (manchmal auch als Kantenfolge) bezeichnet.

Definitionen

Weg 
Ein nichtleerer Graph  mit der Knotenmenge  und der Kantenmenge  mit  heißt Weg, wenn die Knoten  mit  paarweise verschieden sind. Auch ein Graph mit einer Knotenmenge  (d. h. mit einem Knoten) und einer leeren Kantenmenge wird meistens als Weg (der Länge 0) bezeichnet.

Oft wird, vor allem im Falle von schlichten Graphen, ein Weg der Einfachheit halber durch die Folge seiner benachbarten Knoten  angegeben. Hierbei gilt es, zu beachten, dass auch die gespiegelte Folge  diesen Weg darstellt. Nach dieser Definition besitzen Wege keine ausgezeichnete Richtung.

Die Knoten  und  nennt man die Endknoten des Weges, wobei  als Anfangsknoten und  als Endeknoten bezeichnet wird. Knoten, die keine Endknoten sind, nennt man auch innere Knoten. Durch die Anordnung der Knoten eines Weges in Form einer Folge können auch seine Kanten eindeutig als Folge  angeordnet werden.

Im sprachlichen Gebrauch sagt man oft, ein Graph enthalte einen Weg oder eine Folge  von benachbarten Knoten eines Graphes sei ein Weg des Graphen. Das soll bedeuten, dass dieser Weg ein Teilgraph des Graphen ist.

Je nach Kontext kann man den Begriff Weg anpassen. Bei gerichteten Graphen müssen zum Beispiel alle aufeinanderfolgenden Knoten  und  durch eine gerichtete Kante  verbunden sein, sodass der Weg auch eine Richtung angibt.

Der Begriff des Weges wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Die angegebene Definition folgt im Wesentlichen den Büchern von Diestel und Lovász.
Die Beschreibung eines Weges über die Folge der benachbarten Knoten erfolgt bei Aigner und Kőnig.
Gelegentlich wird auch der Begriff Pfad für einen Weg verwendet (Steger), wohl deshalb, weil in der englischsprachigen Literatur Weg als
path, teilweise aber auch als simple path bezeichnet wird.

Kantenzug 
In einem (ungerichteten) Graphen nennt man eine Folge , in der sich Knoten und Kanten des Graphen abwechseln und für die gilt, dass für  die Kante  die Knoten  und  verbindet, einen Kantenzug des Graphen. Diese Definition ist sowohl für Multigraphen als auch für Hypergraphen anwendbar. Für einfache Graphen kann man dagegen fordern, dass die Kanten  die Form  haben müssen. Im Allgemeinen können sich Kanten und Knoten innerhalb eines Kantenzuges wiederholen. Wie bei einem Weg nennt man die Knoten  und  die Endknoten des Kantenzuges, wobei  als Anfangsknoten und  als Endeknoten bezeichnet wird, und die Knoten, die keine Endknoten sind, innere Knoten.

Jeder Weg bildet auch einen Kantenzug, indem seine Knoten- und Kantenfolgen alternierend zusammengefügt werden. Umgekehrt impliziert ein Kantenzug von  nach  die Existenz eines Weges mit den Endknoten  und . Diesen Weg enthält man, indem Zyklen im Kantenzug sukzessive eliminiert werden. Für einen Kantenzug oder sogar Weg in einem Multigraphen bzw. Hypergraphen reicht es nicht aus, die Knoten des Kantenzuges/Weges anzugeben (es kann mehr als eine Kante zwischen zwei Knoten geben bzw. zwei Knoten können jeweils mit weiteren Knoten durch verschiedene Hyperkanten verbunden sein). In diesem Fall ist ein Weg auch nur durch den entsprechenden Kantenzug eindeutig festgelegt. Umgekehrt ist in jedem Multigraphen (jedoch nicht in jedem Hypergraphen!) ein Kantenzug bereits durch seine Kantenfolge  eindeutig definiert (zwei benachbarte Kanten haben genau einen gemeinsamen Knoten).

Auch der Begriff des Kantenzuges wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Die hier angegebene Definition orientiert sich an den Büchern von Diestel und Lovász u. a. Aigner und Kőnig sprechen in ihren Büchern hingegen von Kantenfolgen. Kőnig benutzt den Begriff Kantenzug, um deutlich zu machen, dass sich keine Kanten wiederholen (engl. trail).  Mitunter wird auch der Begriff Weg für Kantenzug benutzt (Steger). Auch in der englischsprachigen Literatur wird der Begriff nicht einheitlich benutzt, er wird jedoch meistens mit walk bezeichnet, mitunter aber auch als path.

Bei Rudolf Halin wird für gerichtete Graphen eine Kantenfolge (im hiesigen Sinne), bei der kein Knoten und keine Kante mehr als einmal auftreten, auch als Kantenzug oder kürzer als Bahn bezeichnet. Horst Sachs dagegen nennt eine solche eine elementare Bahn.

Zyklus, Kreis, Eulerzug 

Kantenzüge, bei denen die Endknoten identisch sind (d. h. der erste und der letzte Knoten übereinstimmen), heißen geschlossen. Einen geschlossenen Kantenzug, in dem keine Kante mehrfach vorkommt, nennt man Zyklus (eng. circuit). Wenn die Endknoten die einzigen mehrfach in der Knotenfolge des Kantenzuges enthaltenen Knoten sind, heißt dieser Kantenzug Kreis (engl. cycle). Einen Kreis erhält man auch, indem die Endknoten eines Weges durch eine zusätzliche Kante verbunden werden.

Ein besonderes Interesse gilt solchen geschlossenen Kantenzügen, in denen jede Kante des Graphen genau einmal auftritt. Einen solchen Kantenzug bzw. Zyklus nennt man nach Leonhard Euler eulersch oder einfach einen Eulerzug oder auch eine eulersche Linie. Die Existenz solcher wurde von Euler im Zusammenhang mit der Lösung des Königsberger Brückenproblems (1736) untersucht, welches als eines der Initialprobleme der Graphentheorie gilt.

A-B-Weg, v-w-Weg, a-B-Fächer 
Sind  und  Teilmengen von der Knotenmenge  eines Graphen, so bezeichnet man einen Weg als --Weg, falls einer seiner Endknoten in  und der andere in  liegt. Statt von einem --Weg spricht man auch von einem --Weg. Eine Menge von --Wegen nennt man einen --Fächer, wenn die Wege paarweise nur den Knoten  gemeinsam haben.

Disjunkte Wege 
Zwei Wege  und  in einem Graphen heißen kreuzungsfrei, knotendisjunkt oder einfach nur disjunkt, wenn es kein Paar  mit  aus  und  aus  gibt, für das  ist, sie also keine inneren Knoten gemeinsam haben.

Eine Menge von Wegen nennt man kreuzungsfrei, knotendisjunkt oder disjunkt, wenn die Wege paarweise disjunkt sind.

Eine Menge disjunkter Wege in einem Graphen mit der Eigenschaft, dass jeder Knoten des Graphen auf einem dieser Wege liegt, heißt Wegüberdeckung des Graphen.

Länge und Abstand 
In Graphen ohne Gewichte auf den Kanten bezeichnet man mit der Länge eines Weges oder Kantenzuges die Anzahl seiner Kanten.
In kantengewichteten Graphen bezeichnet man als Länge eines Weges die Summe der Kantengewichte aller zugehörigen Kanten.
Die Länge des längsten Weges in einem Graphen nennt man Umfang des Graphen.

Als einen kürzesten Weg von einem Knoten  zu einem Knoten  in einem Graphen bezeichnet man einen Weg von  nach , dessen Länge minimal ist. Die Länge eines kürzesten Weges nennt man dann Abstand oder Distanz von  nach . Die Exzentrizität eines Knotens  ist der maximale Abstand zu allen anderen Knoten  des Graphen. Der Rand eines Graphens ist die Menge der Knoten mit maximaler Exzentrizität. Man beachte, dass in gerichteten Graphen der Abstand von der Richtung des Weges abhängt. Insbesondere kann es sein, dass nur in eine Richtung ein gerichteter Weg existiert.

Den größten Abstand zwischen zwei Knoten in einem Graphen  nennt man den Durchmesser  des Graphen. Der Durchmesser ist damit das Maximum aller Exzentrizitäten der Knoten in . Der Radius  eines Graphen ist das Minimum der Exzentrizitäten seiner Knoten. Für alle Graphen  gilt

 .

Die Knoten, deren Exzentrizität dem Radius entsprechen, bilden das Zentrum des Graphen.

Distanzgraph 
Der Distanzgraph zu einem Graphen  bezeichnet den vollständigen (das heißt, je zwei Knoten sind durch eine Kante verbunden, ggf. in gerichteten Graphen in beide Richtungen, wobei es aber keine Schleifen gibt) kantengewichteten Graphen auf der Knotenmenge , der jeder Kante als Kantengewicht den Abstand zwischen den beiden Knoten in  zuordnet.

Literatur

Einzelnachweise 

Grundbegriff (Graphentheorie)