Koniunkcja (logika)

Koniunkcja – zdanie złożone mające postać p i q, gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako:  Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać  i... i  Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych, które zdaniom p, q  przyporządkowuje zdanie p i q. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są zdaniami prawdziwymi. Niekiedy słowo koniunkcja odnosi się również do spójnika.

Definicja 
Niech  będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych:  Koniunkcja  jest funkcją dwuargumentową ze zbioru  w zbiór , określoną następująco:
 

lub równoważnie
 .

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem iloczynu zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane iloczynem logicznym, a jego zdania składowe nazywane są czynnikami koniunkcji. Koniunkcja dwóch zdań p i q jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej czynniki p, q są zdaniami prawdziwymi.

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe, 0 – fałszywe

Oznaczenia 
Zestawienie symboli koniunkcji, stosowanych przez różnych autorów:

Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik AND (symbol funkcji boolowskiej).

Własności 

Koniunkcja jest operacją dwuargumentową i charakteryzuje się następującymi cechami:
 przemienność
 
 łączność
 
 idempotentność
 
 rozdzielność względem alternatywy
 
 
 prawa De Morgana
 
 
 Negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji, natomiast negacja alternatywy – koniunkcji negacji.

Przykłady 
 Koniunkcja  jest fałszywa, gdyż wartość logiczna zdania drugiego to 0 (fałsz), a jak wynika z tablicy prawdy koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba warunki są spełnione (to znaczy oba zdania składowe posiadają wartość logiczną równą 1, czyli „prawda”).
 Koniunkcja  jest prawdziwa, gdyż oba zdania mają wartość logiczną równą 1 (prawda).
 „Krzyś lubi pomarańcze”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (prawda)
 „Krzyś NIE lubi pomarańczy”; „Krzyś lubi jabłka” – Koniunkcja „Krzyś lubi pomarańcze i jabłka” (fałsz)

Koniunkcja binarna 

W informatyce operację koniunkcji binarnej (ang. bitwise AND) stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Wynik zawiera jedynki na tych pozycjach, na których w obydwu ciągach występowała jedynka, na przykład:
 {|
| || 14 & 4
|-
| = || 0001110 & 0000100   || (liczby w systemie binarnym)
|-
| = || 0000100 || (efekt operacji na kolejnych cyfrach)
|-
| = || 4 || (wynik w postaci dziesiętnej)
|}

W fizycznych układach logicznych funkcji koniunkcji odpowiada bramka logiczna AND (iloczyn bitowy).

Koniunkcja a język naturalny 
Symbol  odpowiada zasadniczo spójnikowi i (a także jego synonimom: oraz i tudzież). Słowo i może jednak posiadać dodatkowe odcienie znaczeniowe, których koniunkcja logiczna nie uwzględnia.

Spójnik i może sugerować wzajemność: Alicja i Bob rozmawiali przez telefon nie oznacza dokładnie tego samego, co Alicja rozmawiała przez telefon i Bob rozmawiał przez telefon.

Słowo i może także oznaczać następstwo czasowe (i następnie) lub związek przyczynowo-skutkowy (i w wyniku tego). Zdanie Mary wyszła za mąż i urodziła dziecko opisuje inną sytuację, niż Mary urodziła dziecko i wyszła za mąż. Podobnie różnią się znaczeniem zdania Tom wziął się do roboty i znalazł wreszcie pracę oraz Tom znalazł wreszcie pracę i wziął się do roboty.

Zobacz też 

 alternatywa
 binegacja

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 
 
 
 
 

Funkcje boolowskie
Spójniki logiczne
Rachunek zdań