Pochodna cząstkowa

Pochodna cząstkowa – dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie np. w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.

Pochodne cząstkowe funkcji  względem zmiennej  oznacza się symbolami
 

Symbol pochodnej cząstkowej ∂ ma wygląd zaokrąglonej litery „d”. Notacja ta, użyta po raz pierwszy przez Adriena-Marie Legendre’a, stała się powszechna po jej ponownym wprowadzeniu przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego; z tej przyczyny bywa określana jako „delta Jacobiego”.

Tradycyjnie mówi się, że notacja  pochodzi od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, zaś  to symbolika zaczerpnięta od Josepha Louisa Lagrange’a.

Wprowadzenie 

Niech  będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo
 

Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny  czy 

Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w  która jest równoległa do płaszczyzny  należy traktować zmienną  jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie  Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że  jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji  w punkcie  którym jest
 

W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie  wynosi  Dlatego
 

w punkcie  Innymi słowy pochodna cząstkowa  względem  w punkcie  jest równa

Definicja 
Niech  będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej  i dane będą punkt  oraz funkcja 

Jeżeli istnieje skończona granica
 

to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji  w punkcie  względem zmiennej  i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.

Związek z pochodną zupełną 
Jeżeli oznaczyć  to
 

jest po prostu pochodną  funkcji 

Na przykład dla funkcji
 

można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych x i y:

Pochodne wyższych rzędów 
Pochodne wyższych rzędów oblicza się, różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo są znane jako pochodne mieszane.

Pochodne czyste
 
 

i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)
 
 

Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ilekrotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.

Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład
 
jest pochodną rzędu 

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów zapisuje się także z użyciem notacji wielowskaźnikowej. Wtedy przez  gdzie  jest wielowskaźnikiem rozumie się
 
Rząd tej pochodnej cząstkowej wynosi oczywiście

Zobacz też 
 dywergencja, rotacja
 gradient
 macierz Jacobiego
 operator Laplace’a
 operator d’Alemberta
 pochodna kierunkowa
 pochodna zewnętrzna
 pochodna zupełna

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 

cząstkowa