Satz von Bayes

Der Satz von Bayes (IPA: [], ) ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, der die Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beschreibt. Er ist nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes benannt, der ihn erstmals in einem Spezialfall in der 1763 posthum veröffentlichten Abhandlung An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances beschrieb. Er wird auch Formel von Bayes oder (als Lehnübersetzung) Bayes-Theorem genannt.

Formel 
Für zwei Ereignisse  und  mit  lässt sich die Wahrscheinlichkeit von
 unter der Bedingung, dass  eingetreten ist, durch die Wahrscheinlichkeit von
 unter der Bedingung, dass  eingetreten ist, errechnen:
 .

Hierbei ist
  die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses  unter der Bedingung, dass  eingetreten ist,
  die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses  unter der Bedingung, dass  eingetreten ist,
  die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses  und
  die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses .

Bei endlich vielen Ereignissen lautet der Satz von Bayes:

Wenn  eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit 
 .
Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.

Da ein Ereignis  und sein Komplement  stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere
 .

Des Weiteren gilt der Satz auch für eine Zerlegung des Grundraumes  in abzählbar viele paarweise disjunkte Ereignisse.

Beweis 

Der Satz folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:
 .

Die Beziehung
 
ist eine Anwendung des Gesetzes der totalen Wahrscheinlichkeit.

Interpretation 

Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen: Man geht von einem bekannten Wert  aus, ist aber eigentlich an dem Wert  interessiert. Beispielsweise ist es von Interesse, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand eine bestimmte Krankheit hat, wenn ein dafür entwickelter Schnelltest ein positives Ergebnis zeigt. Aus empirischen Studien kennt man in der Regel die Wahrscheinlichkeit dafür, mit der der Test bei einer von dieser Krankheit befallenen Person zu einem positiven Ergebnis führt. Die gewünschte Umrechnung ist nur dann möglich, wenn man die Prävalenz der Krankheit kennt, das heißt die (absolute) Wahrscheinlichkeit, mit der die betreffende Krankheit in der Gesamtpopulation auftritt (siehe Rechenbeispiel 2).

Für das Verständnis kann ein Entscheidungsbaum oder eine Vierfeldertafel helfen. Das Verfahren ist auch als Rückwärtsinduktion bekannt.

Mitunter begegnet man dem Fehlschluss, direkt von  auf  schließen zu wollen, ohne die A-priori-Wahrscheinlichkeit  zu berücksichtigen, beispielsweise indem angenommen wird, die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten müssten ungefähr gleich groß sein (siehe Prävalenzfehler). Wie der Satz von Bayes zeigt, ist das aber nur dann der Fall, wenn auch  und  ungefähr gleich groß sind.

Ebenso ist zu beachten, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten für sich allein nicht dazu geeignet sind, eine bestimmte Kausalbeziehung nachzuweisen.

Anwendungsgebiete 
 Statistik: Alle Fragen des Lernens aus Erfahrung, bei denen eine A-priori-Wahrscheinlichkeitseinschätzung aufgrund von Erfahrungen verändert und in eine A-posteriori-Verteilung überführt wird (vgl. Bayessche Statistik).
 Data-Mining: Bayes-Klassifikatoren sind theoretische Entscheidungsregeln mit beweisbar minimaler Fehlerrate.
 Spamerkennung: Von charakteristischen Wörtern in einer E-Mail (Ereignis A) wird auf die Eigenschaft Spam (Ereignis B) zu sein geschlossen.
 Künstliche Intelligenz: Hier wird der Satz von Bayes verwendet, um auch in Domänen mit „unsicherem“ Wissen Schlussfolgerungen ziehen zu können. Diese sind dann nicht deduktiv und somit auch nicht immer korrekt, sondern eher abduktiver Natur, haben sich aber zur Hypothesenbildung und zum Lernen in solchen Systemen als durchaus nützlich erwiesen.
 Qualitätsmanagement: Beurteilung der Aussagekraft von Testreihen.
 Entscheidungstheorie/Informationsökonomik: Bestimmung des erwarteten Wertes von zusätzlichen Informationen.
 Grundmodell der Verkehrsverteilung.
 Bioinformatik: Bestimmung funktioneller Ähnlichkeit von Sequenzen.
 Kommunikationstheorie: Lösung von Detektions- und Dekodierproblemen.
 Ökonometrie: Bayessche Ökonometrie
 Neurowissenschaften: Modelle der Wahrnehmung und des Lernens.

Rechenbeispiel 1 

In den beiden Urnen  und  befinden sich jeweils zehn Kugeln. In  sind sieben rote und drei weiße Kugeln, in  eine rote und neun weiße. Es wird nun eine beliebige Kugel aus einer zufällig gewählten Urne gezogen. Anders ausgedrückt: Ob aus Urne  oder  gezogen wird, ist a priori gleich wahrscheinlich. Das Ergebnis der Ziehung ist: Die Kugel ist rot. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese rote Kugel aus Urne  stammt.

Es sei:
  das Ereignis „Die Kugel stammt aus Urne “,
  das Ereignis „Die Kugel stammt aus Urne “ und
  das Ereignis „Die Kugel ist rot“.

Dann gilt:
  (beide Urnen sind a priori gleich wahrscheinlich)

  (in Urne A sind 10 Kugeln, davon 7 rote)

  (in Urne B sind 10 Kugeln, davon 1 rote)

  (totale Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen)

Damit ist  .

Die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene rote Kugel aus der Urne  gezogen wurde, beträgt also .

Das Ergebnis der Bayes-Formel in diesem einfachen Beispiel kann leicht anschaulich eingesehen werden: Da beide Urnen a priori mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden und sich in beiden Urnen gleich viele Kugeln befinden, haben alle Kugeln – und damit auch alle acht roten Kugeln – die gleiche Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden. Wenn man wiederholt eine Kugel aus einer zufälligen Urne zieht und wieder in dieselbe Urne zurücklegt, wird man im Durchschnitt in acht von 20 Fällen eine rote und in zwölf von 20 Fällen eine weiße Kugel ziehen (deshalb ist auch die totale Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, gleich ). Von diesen acht roten Kugeln kommen im Mittel sieben aus Urne  und eine aus Urne . Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene rote Kugel aus Urne  stammt, ist daher gleich .

Rechenbeispiel 2 
Eine bestimmte Krankheit tritt mit einer Prävalenz von 20 pro 100 000 Personen auf. Der Sachverhalt , dass ein Mensch diese Krankheit in sich trägt, hat also die Wahrscheinlichkeit .

Ist ein Screening der Gesamtbevölkerung ohne Rücksicht auf Risikofaktoren oder Symptome geeignet, Träger dieser Krankheit zu ermitteln? Es würden dabei weit überwiegend Personen aus dem Komplement  von  getestet, also Personen, die diese Krankheit nicht in sich tragen: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zu testende Person nicht Träger der Krankheit ist, beträgt .

 bezeichne die Tatsache, dass der Test bei einer Person „positiv“ ausgefallen ist, also die Krankheit anzeigt. Es sei bekannt, dass der Test  mit 95 % Wahrscheinlichkeit anzeigt (Sensitivität ), aber manchmal auch bei Gesunden anspricht, d. h. ein falsch positives Testergebnis liefert, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von  (Spezifität ).

Nicht nur für die Eingangsfrage, sondern in jedem Einzelfall , insbesondere vor dem Ergebnis weiterer Untersuchungen, interessiert die positiver prädiktiver Wert genannte bedingte Wahrscheinlichkeit , dass positiv Getestete tatsächlich Träger der Krankheit sind.

Berechnung mit dem Satz von Bayes 
.

Berechnung mittels Baumdiagramm 

Probleme mit wenigen Klassen und einfachen Verteilungen lassen sich übersichtlich im Baumdiagramm für die Aufteilung der Häufigkeiten darstellen. Geht man von den Häufigkeiten über auf relative Häufigkeiten bzw. auf (bedingte) Wahrscheinlichkeiten, wird aus dem Baumdiagramm ein Ereignisbaum, ein Sonderfall des Entscheidungsbaums.

Den obigen Angaben folgend ergeben sich als absolute Häufigkeit bei 100 000 Personen 20 tatsächlich erkrankte Personen, 99 980 Personen sind gesund. Der Test diagnostiziert bei den 20 kranken Personen in 19 Fällen (95 Prozent Sensitivität) korrekt die Erkrankung; aber in einem Fall versagt der Test und zeigt die vorliegende Krankheit nicht an (falsch negativ). Bei 99 Prozent der 99 980 gesunden Personen (99 Prozent Spezifität) diagnostiziert der Test korrekt; aber bei 1 Prozent, also etwa 1000 der 99 980 gesunden Personen zeigt der Test fälschlicherweise eine Erkrankung an. Von den insgesamt etwa 1019 positiv getesteten Personen sind also nur 19 tatsächlich krank (denn ).

Bedeutung des Ergebnisses 
Der Preis, 19 Träger der Krankheit zu finden, möglicherweise rechtzeitig genug für eine Behandlung oder Isolation, besteht nicht nur in den Kosten für 100 000 Tests, sondern auch in den unnötigen Ängsten und womöglich Behandlungen von 1000 falsch positiv Getesteten. Die Ausgangsfrage, ob bei diesen Zahlenwerten ein Massenscreening sinnvoll ist, ist daher wohl zu verneinen.

Die intuitive Annahme, dass eine – auf den ersten Blick beeindruckende – Sensitivität von 95 % bedeutet, dass eine positiv getestete Person auch tatsächlich mit hoher Wahrscheinlichkeit krank ist, ist also falsch. Dieses Problem tritt immer dann auf, wenn die tatsächliche Rate, mit der ein Merkmal in der untersuchten Gesamtmenge vorkommt, klein ist gegenüber der Rate der falsch positiven Ergebnisse.

Ohne Training in der Interpretation statistischer Aussagen werden Risiken oft falsch eingeschätzt oder vermittelt. Der Psychologe Gerd Gigerenzer spricht von Zahlenanalphabetismus im Umgang mit Unsicherheit und plädiert für eine breit angelegte didaktische Offensive.

Bayessche Statistik 

Die Bayessche Statistik verwendet den Satz von Bayes im Rahmen der induktiven Statistik zur Schätzung von Parametern und zum Testen von Hypothesen.

Problemstellung 
Folgende Situation sei gegeben:  ist ein unbekannter Umweltzustand (z. B. ein Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung), der auf der Basis einer Beobachtung  einer Zufallsvariable  geschätzt werden soll. Weiterhin ist Vorwissen in Form einer A-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung des unbekannten Parameters  gegeben. Diese A-priori-Verteilung enthält die gesamte Information über den Umweltzustand , die vor der Beobachtung der Stichprobe gegeben ist.

Je nach Kontext und philosophischer Schule wird die A-priori-Verteilung verstanden
 als mathematische Modellierung des subjektiven degrees of belief (subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff),
 als adäquate Darstellung des allgemeinen Vorwissens (wobei Wahrscheinlichkeiten als natürliche Erweiterung der aristotelischen Logik in Bezug auf Unsicherheit verstanden werden – Cox’ Postulate),
 als aus Voruntersuchungen bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung eines tatsächlich zufälligen Parameters oder
 als eine spezifisch gewählte Verteilung, die auf ideale Weise mit Unwissen über den Parameter korrespondiert (objektive A-priori-Verteilungen, zum Beispiel mithilfe der Maximum-Entropie-Methode).

Die bedingte Verteilung von  unter der Bedingung, dass  den Wert  annimmt, wird im Folgenden mit  bezeichnet. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung kann nach Beobachtung der Stichprobe bestimmt werden und wird auch als Likelihood des Parameterwerts  bezeichnet.

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit  kann mit Hilfe des Satzes von Bayes berechnet werden. Im Spezialfall einer diskreten A-priori-Verteilung erhält man:

 

Falls die Menge aller möglichen Umweltzustände endlich ist, lässt sich die A-posteriori-Verteilung im Wert  als die Wahrscheinlichkeit interpretieren, mit der man nach Beobachtung der Stichprobe und unter Einbeziehung des Vorwissens den Umweltzustand  erwartet.

Als Schätzwert verwendet ein Anhänger der subjektivistischen Schule der Statistik in der Regel den Erwartungswert der A-posteriori-Verteilung, in manchen Fällen auch den Modalwert.

Beispiel 
Ähnlich wie oben werde wieder eine Urne betrachtet, die mit zehn Kugeln gefüllt ist, aber nun sei unbekannt, wie viele davon rot sind. Die Anzahl  der roten Kugeln ist hier der unbekannte Umweltzustand und als dessen A-priori-Verteilung soll angenommen werden, dass alle möglichen Werte von null bis zehn gleich wahrscheinlich sein sollen, d. h., es gilt  für alle .

Nun werde fünfmal mit Zurücklegen eine Kugel aus der Urne gezogen und  bezeichne die Zufallsvariable, die angibt, wie viele davon rot sind. Unter der Annahme  ist dann  binomialverteilt mit den Parametern  und , es gilt also

 

für .

Beispielsweise für , d. h., zwei der fünf gezogenen Kugeln waren rot, ergeben sich die folgenden Werte (auf drei Nachkommastellen gerundet)

Man sieht, dass im Gegensatz zur A-priori-Verteilung in der zweiten Zeile, in der alle Werte von  als gleich wahrscheinlich angenommen wurden, unter der A-posteriori-Verteilung in der dritten Zeile  die größte Wahrscheinlichkeit besitzt, das heißt, der A-posteriori-Modus ist .

Als Erwartungswert der A-posteriori-Verteilung ergibt sich hier:

 .

Erweiterung 
Um bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten zu definieren kann auf die Reguläre bedingte Verteilung zurückgegriffen werden. Dann ist die reguläre bedingte Verteilung von  gegeben  gegeben durch die Dichte
.

Siehe auch 
 Bayesianische Erkenntnistheorie
 Entscheidung unter Risiko
 Confusion of the Inverse

Literatur 
 Alan F. Chalmers: Wege der Wissenschaft: Einführung in die Wissenschaftstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin [u. a.], 2007, ISBN 3-540-49490-1, S. 141–154,  (Einführung in wissenschaftsgeschichtlicher Perspektive).
 Sharon Bertsch McGrayne: Die Theorie, die nicht sterben wollte. Wie der englische Pastor Thomas Bayes eine Regel entdeckte, die nach 150 Jahren voller Kontroversen heute aus Wissenschaft, Technik und Gesellschaft nicht mehr wegzudenken ist. Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37769-3, doi:10.1007/978-3-642-37770-9
 F. Thomas Bruss: 250 years of ’An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chance. By the late Rev. Mr. Bayes, communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, A. M. F. R. S.‘ . In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Vol. 115, Issue 3–4, 2013, S. 129–133, doi:10.1365/s13291-013-0069-z.
 Wolfgang Tschirk: Statistik: Klassisch oder Bayes. Zwei Wege im Vergleich. Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-642-54384-5, doi:10.1007/978-3-642-54385-2.

Weblinks 

 
 Rudolf Sponsel: Das Bayes’sche Theorem
 Der Bayessche Satz der Wahrscheinlichkeit
 Ian Stewart: The Interrogator’s Fallacy – ein Anwendungsbeispiel aus der Kriminalistik (englisch)
 Christoph Wassner, Stefan Krauss, Laura Martignon: Muss der Satz von Bayes schwer verständlich sein? (ein Artikel zur Mathematikdidaktik)
 Gerechnete Übungsbeispiele
 Sammlung der Denkfallen und Paradoxa von Timm Grams
 Ulrich Leuthäusser: Bayes und GAUs: Wahrscheinlichkeitsaussagen zu künftigen Unfällen in AKWs nach Fukushima, Tschernobyl, Three Mile Island. (PDF; 85 kB) 2011

Einzelnachweise 

Bayessche Statistik
Bayes, Satz von
Wahrscheinlichkeitsrechnung