Fakultät (Mathematik)

Die Fakultät (manchmal, besonders in Österreich, auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik diejenige Funktion, die jeder natürlichen Zahl das Produkt aller positiven natürlichen Zahlen zuordnet, die diese Zahl nicht übertreffen. Sie wird durch ein dem Funktionsargument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt. Die Fakultät ist die Einschränkung der Gaußschen Pifunktion auf . Ihre Notation mit dem Ausrufezeichen wurde erstmals 1808 von dem elsässischen Mathematiker Christian Kramp (1760–1826) verwendet, der um 1798 auch die Bezeichnung faculté = „Fähigkeit“ dafür einführte.

Definition

Diskrete Standarddefinition 
Für alle natürlichen Zahlen  ist
 
als das Produkt der natürlichen Zahlen von  bis  definiert. Da das leere Produkt stets gleich 1 ist, gilt:
 

Die Fakultät lässt sich auch rekursiv definieren:
 

Beispielhafte Berechnung der Fakultätswerte der ersten sechs natürlichen Zahlen:

Die Werte der Fakultäten bilden die .

Weierstraßsche Produktdefinition 
Fakultäten im ursprünglichen Sinne sind für negative oder nichtganze Zahlen nicht definiert. Es gibt aber eine Erweiterung der Fakultät auf solche Argumente. Sie wird als Gaußsche Pifunktion bezeichnet und ist für alle reellen Zahlen mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen definiert.

Auf  kann die Gaußsche Pifunktion beziehungsweise Fakultätsfunktion als Eulersche Gammafunktion der Nachfolgerfunktion definiert werden:
 

Das auf der rechten Seite der Gleichungskette gezeigte Produkt wird Weierstraß-Produkt genannt.

Mit  wird die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Eulersche Produktdefinition 
Eine zur genannten Weierstrassschen Definition identische Definition der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaussschen Pifunktion ist die Definition dieser Funktion nach Leonhard Euler:
 
Diese Formel tauchte insbesondere in einem Brief von Leonhard Euler an den Mathematiker Christian Goldbach am 13. Oktober 1729 auf.

Für diese Formel sollen im nun Folgenden einige Beispiele angeführt werden:

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Eines der bekanntesten Beispiele mit dieser Reihe kommt für den Abszissenwert  hervor:

 

Die nun gezeigte Produktreihe wird als Wallissches Produkt bezeichnet.

Eulersche Integraldefinition 
Eine sehr nahe Verwandtschaft mit der soeben gezeigten Produkt weist das Eulersche Integral zweiter Art auf, welches ebenso von Leonhard Euler entdeckt wurde. Das Eulersche Integral zweiter Art oder auch das Eulersche Integral zweiter Gattung definiert die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion für alle Zahlen größer als Minus Eins:

 

Im Gegensatz zu den zuvor genannten Produktformeln ist diese Formel jedoch nur für Werte  gültig. Denn wenn der Wert  ist, dann divergiert das Integral und gibt den wirklichen Fakultätswert nicht wieder. Aber im konvergenten Bereich  liefert die Integralformel für jeden Wert  exakt den zugehörigen Fakultätswert beziehungsweise Gaussschen Pifunktionswert. Auch für diese Formel soll im nun Folgenden eine Tabelle von Beispielwerten aufgestellt werden:

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Im Abschnitt zuvor wurde dieses Endresultat genannt:

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Mit dem Eulerschen Integral kann nun folgendes Resultat über das Integral der Gaussschen Glockenkurve hervorgebracht werden:
 
 
Dieses Integral liefert die Grundlage für das sogenannte Fehlerintegral und dieses findet bei der sogenannten Normalverteilung Anwendung.

Fakultätswerte von Brüchen 
Aus Übersichtlichkeitsgründen werden die Fakultäten der Brüche hier mit der Gaußschen Pifunktion dargestellt und mit Hilfe der Zentralbinomialkoeffizienten (CBC) sowie mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals erster Art ausgedrückt. Wie oben erwähnt, ist die kontinuierliche Fakultätsfunktion gleich der Gaußschen Pifunktion. Das bedeutet, dass die Gaußsche Pifunktion für natürlichzahlige Abszissenwerte mit der Fakultät nach der diskreten Standarddefinition identisch ist.
 
Für den Zentralbinomialkoeffizienten gilt: 

Das sind die Werte der Zentralbinomialkoeffizienten:
 
 
 
 
 

Mit dem Kürzel  wird die Lemniskatische Konstante ausgedrückt.

Dabei hat das vollständige elliptische Integral erster Art diese Definition:
 
 
Diese beiden nun genannten Definitionsformeln für das elliptische K-Integral stimmen miteinander überein.

Die gezeigten Werte des Zentralbinomialkoeffizienten können sehr leicht durch diese Formeln erzeugt werden:
 
 
Generell gilt dann folgende Formel für alle :

 

Im letzten Schritt wird auf folgende Weise substituiert: 

Das zuletzt genannte Integral ermöglicht die Ermittlung der CBC-Werte von Brüchen mit Hilfe einfacher elliptischer Stammfunktionen.

Die Pifunktionswerte der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen ergeben sich stets durch Multiplikation von Potenzen der Zentralbinomialkoeffizienten aus den Zweierpotenz-Vielfachen der genannten Kehrwerte:

Theoreme

Basistheorem 
Das grundlegendste Theorem über die Fakultätsfunktion ist:

Eulerscher Ergänzungssatz 
Im Jahre 1749 hat der schweizerische Mathematiker Leonhard Euler einen Ergänzungssatz entdeckt, welcher nach ihm benannt wurde. Im nun Folgenden wird der Eulersche Ergänzungssatz mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:

Legendresche Verdopplungsformel 
Im Jahre 1809 hat der französische Mathematiker Adrien Marie Legendre die Verdopplungsformel für die Fakultät entdeckt, welcher mittels Gammafunktionsausdrücken in der Sammlung Mémoires de l'Institut des Sciences et Arts aus dem Institut de France verewigt ist. Auch diese Identität wird hier mittels Gaußscher Pifunktion dargestellt:

Herleitungen über die Fakultätsfunktion

Herleitung des Eulerschen Integrals 
Gegeben ist die diskrete und ebenso ursprünglichste Definition der Fakultätsfunktion für alle natürlichen Zahlen  nach dem oben genannten Muster:
 
Diese diskret definierte Funktionsdefinition erfüllt folgendes Induktionskriterium aus folgenden zwei verknüpften Formeln:
 
 
Das Eulersche Integral zweiter Art oder zweiter Gattung wurde in einem weiter oben liegenden Absatz genannt und hat diese definierende Formel:

 

Diese Formel ist deswegen gültig, weil sie die nun genannte Induktion erfüllt:

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Aus  und  folgt  direkt.

Herleitung der Stammfunktion von H über Induktion 
Für alle reellen Zahlen  ist die harmonische Reihenfunktion nach Karl Weierstraß so definiert:

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An der Summenreihe ist das Rekursionskriterium ablesbar:
 
Für alle Zahlen  gilt dann auch diese Summe:
 
Das Integral der harmonischen Reihenfunktion führt direkt zur Definition der Mascheronischen Konstante:
 
 
Im Folgenden werden die Integralgrenzen verschoben. So ist dann für alle natürlichen Werte  die folgende Beziehung gültig:
 
 
 
 
Das Resultat dieser Gleichungskette lautet somit wie folgt:

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Aus diesem Resultat folgt durch Induktion diese Überleitung:
 
 
 
 
Denn die Summe der Logarithmen ist gleich dem Logarithmus des Produkts.

Direkt daraus entsteht dann die Ursprungsstammfunktion der harmonischen Reihenfunktion:

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Die Fakultätsfunktion beziehungsweise Gaußsche Pifunktion wird somit auf folgende Weise abgeleitet:

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Herleitung der Produktreihe nach Weierstraß 
Nach der vorherigen Herleitung gilt für alle Werte  auch diese Formel:
 

Wie beschrieben hat die harmonischen Reihenfunktion diese Definition:
 

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x folgt dann diese Gleichung:
 

Die zweite Potenzregel besagt, dass die Exponentialfunktion aus einer Summe gleich dem Produkt aus den Exponentialfunktionen ist:
 

Durch weitere Anwendung der zweiten Potenzregel entsteht folgender Ausdruck:
 

So kommt direkt die Produktreihe nach Weierstraß hervor, die für alle Zahlen  Gültigkeit hat:

Anwendungen

Permutationen 
In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil  die Anzahl der Möglichkeiten ist,  unterscheidbare Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls  eine -elementige Menge ist, so ist  auch die Anzahl der bijektiven Abbildungen  (die Anzahl der Permutationen). Dies gilt insbesondere auch für den Fall , da es genau eine Möglichkeit gibt, die leere Menge auf sich selbst abzubilden.

Beispielsweise gibt es bei einem Autorennen mit sechs Fahrern  verschiedene Möglichkeiten für die Reihenfolge beim Zieleinlauf, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen. Für den ersten Platz kommen alle sechs Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Für die Belegung des zweiten Platzes ist es maßgeblich, welcher der sechs Fahrer nicht berücksichtigt werden muss (da er bereits auf Rang 1 platziert ist). Daher muss für jede Belegungsmöglichkeit von Platz 1 gesondert gezählt werden, wie viele Belegungsmöglichkeiten für Platz 2 bestehen. Für die Belegung der Plätze 1 und 2 ergeben sich bei sechs Fahrern daher  Möglichkeiten. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den dritten Platz nur noch vier Fahrer in Frage, woraus sich für die ersten drei Plätze und sechs Fahrer  Belegungsmöglichkeiten ergeben usw. Letztlich gibt es also
 

verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Binomialkoeffizienten 
Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient
 .

Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine -elementige Teilmenge aus einer -elementigen Menge auszuwählen. Umgekehrt gilt
 .

Zum Beispiel gibt es beim Zahlenlotto 6 aus 49 insgesamt 13983816 Möglichkeiten, sich sechs verschiedene Kugeln auszusuchen:
 

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, bei dem Lottospiel 6 aus 49 zu gewinnen, nur 1/13983816 und somit weniger als ein Zehnmillionstel beträgt.

Ein anderes Beispiel ist ein Sack voller farbiger Murmeln. Die Wahrscheinlichkeit, aus insgesamt  roten,  grünen und  blauen Murmeln genau  rote,  grüne und  blaue Murmeln zu ziehen, wobei man insgesamt  Murmeln herausnehmen soll, hat folgenden Wert:
 

Wenn beispielsweise aus einem Murmelsack mit insgesamt  roten,  grünen und  blauen Murmeln genau sechs Murmeln blind herausgenommen werden sollen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den sechs herausgenommenen Murmeln genau  rote,  grüne und  blaue Murmeln befinden, exakt :

Geburtstagsproblem 
Das Geburtstagsproblem ist ein stochastisch-kombinatorisches Rätsel über die Fakultät. Bei diesem Rätsel geht es um die Wahrscheinlichkeit, mit der in einer gegebenen Gruppe von insgesamt  Personen mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben. Der Einfachheit halber geht man dabei von Nicht-Schaltjahren, also Jahren mit 365 Tagen aus. In Abhängigkeit von der Personenzahl  wird diese Wahrscheinlichkeit mit dieser Formel berechnet:
 

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass unter zehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als zehn Prozent, und die Wahrscheinlichkeit, dass unter fünfzehn Personen ein gemeinsamer Geburtstag auftaucht, mehr als fünfundzwanzig Prozent:

Taylorsche Reihen und Eulersche Zahl 
Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, sind die Taylorreihen glatter Funktionen wie zum Beispiel der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion.

Die Exponentialfunktion hat die einfachtste aller Taylorreihen mit Fakultäten in Abhängigkeit vom Index im Nenner des Summanden:
 
Die Funktionen Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus haben ebenso vorzeichengleiche Reihen, während die Funktionen Sinus und Kosinus alternierende Reihen haben:

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Die Eulersche Zahl  lässt sich als Summe der Kehrwerte der Fakultäten definieren:
 
 
Der Kehrwert der Eulerschen Zahl wird durch die alternierende Differenz desselben Musters hervorgebracht:
 
 
Wenn auf die gleiche Weise die Taylorschen Reihen mit den Quadraten der Fakultäten im Nenner in Abhängigkeit vom Index hervorgerufen werden, dann sind die zugehörigen erzeugenden Funktionen die Besselschen Funktionen aus der Gruppe der nicht elementaren Funktionen:
 
 
Die Summe der Kehrwerte der Quadrate der Fakultäten ergibt somit diesen Wert:
 
 
Und die zugehörige alternierende Differenz ergibt folgenden Wert:
 
 

Die Besselschen Funktionen spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. So tauchen sie in der Mechanik bei der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, in der Thermodynamik bei der Wärmeleitung in Stäben, in der Elektrodynamik bei der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, in der Optik bei der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern und in der Atomphysik bei der Leistungsverteilung in Kernreaktoren auf.

Numerische Berechnung und Näherung

Rekursive und iterative Berechnung 
Der numerische Wert für  kann gut rekursiv oder iterativ berechnet werden, falls  nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die von den meisten handelsüblichen Taschenrechnern berechnet werden kann, ist  da  außerhalb des üblicherweise verfügbaren Zahlenbereiches liegt. Die größte als Gleitkommazahl im Format double precision des IEEE-754-Standards darstellbare Fakultät ist .

Pythonprogramm 
Mit Bibliotheken für sehr große Ganzzahlen (keine Limitierung auf 32, 64 oder z. B. 512 Bit) benötigt zum Beispiel ein Intel Pentium 4 für die Berechnung von 10000! nur wenige Sekunden. Die Zahl hat 35660 Stellen in der Dezimaldarstellung, wobei die letzten 2499 Stellen nur aus der Ziffer Null bestehen.

# Syntax: Python 3.7
n = int(input('Fakultät von n = '))
f = 1
for i in range(1, n + 1):
    f *= i
print(f'{n}! = {f}')

Rekursive Lösung
def fak(n: int) -> int:
    return 1 if n <= 1 else n * fak(n - 1)

Näherung mit der Stirling-Formel 
Wenn  groß ist, bekommt man eine gute Näherung für  mit Hilfe der Stirling-Formel:
 

Dabei bedeutet , dass der Quotient aus linker und rechter Seite für  gegen  konvergiert.

Durch Approximation (statt Abschneiden) der Stirling-Reihe gelang Bill Gosper eine noch bessere Näherung:

Fakultät-ähnliche Funktionen 
Es gibt eine Reihe weiterer Folgen und Funktionen, die in ihrer Definition oder ihren Eigenschaften ähnlich aussehen wie die Fakultät:

Gammafunktion 

Die Gammafunktion  verallgemeinert die Fakultät und ist eine stetige Fortsetzung ihres Definitionsbereichs von den natürlichen hin zu den komplexen Zahlen:

 , 
 
 Für  kann die Gammafunktion folgendermaßen erweitert werden:

Faktorielle 
Eine kombinatorische Verallgemeinerung stellen die steigenden und fallenden Faktoriellen  und  dar, denn .

Primorial (Primfakultät) 

Die Primfakultät einer Zahl ist das Produkt der Primzahlen kleiner oder gleich der Zahl:

Subfakultät 

Die vor allem in der Kombinatorik auftretende Subfakultät
 
bezeichnet die Anzahl aller fixpunktfreien Permutationen von  Elementen.

Doppelfakultät

Definition 
Die seltener verwendete Doppelfakultät oder doppelte Fakultät ist für gerade  das Produkt aller geraden Zahlen kleiner gleich . Für ungerade  ist es das Produkt aller ungeraden Zahlen kleiner gleich .

Sie ist definiert als:

 

Oft werden anstelle der Doppelfakultät Ausdrücke mit der gewöhnlichen Fakultät verwendet. Es gilt:
      und     

Werden nicht-ganzzahlige Funktionswerte zugelassen, dann gibt es genau eine Erweiterung auf negative ungerade Zahlen, sodass  für alle ungeraden ganzen Zahlen  gilt. Man erhält die Formel  für ungerade .

Die Werte der Doppelfakultäten bilden die .

Beispiele

Anwendungsbeispiele 
 Die Anzahl  der -stelligen Kombinationen aus elementfremden Paaren gebildet aus  Elementen wird gegeben durch die Rekursion  mit Rekursionsanfang  (2 Elemente!). Auflösung der Rekursion ergibt . Sollen z. B.  Mannschaften durch Verlosung paarweise aufeinandertreffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei zwei bestimmte gegeneinander spielen, gegeben durch .
 Die Anzahl der Elemente der Hyperoktaedergruppe  ist .
 Die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von  Elementen ist .
 Das -te Moment der Standardnormalverteilung ist .
 Auch in Integraltafeln und Formeln für spezielle Funktionen tritt die Doppelfakultät auf.
 Für natürliche  gilt .

Multifakultät 
Analog zur doppelten Fakultät wird eine dreifache (), vierfache (), …, -fache Fakultät () rekursiv definiert als

Verwandte Funktionen 
 Smarandache-Funktion

Superfakultät und Hyperfakultät

Natürlicher Logarithmus der Fakultät 
Folgende Integralidentität für den Logarithmus naturalis der Fakultätsfunktion ist gültig:
 

Diese nun gezeigte Gleichung kommt auch durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich  von folgender Formel hervor:
 

Aus der gezeigten Formel kann das Element der Mascheroni-Konstante so entfernt werden:
 

Für nähere Herleitungen siehe den Artikel Euler-Mascheroni-Konstante.

Für die Debyeschen Funktionen gilt:
 
Die zuvor genannte Integralidentität für die Harmonische Reihenfunktion kann so dargestellt werden:
 
 
 
 
 
Die folgende Formel kann darauf aufgestellt werden:

Jedoch ist diese Formel nur für Werte  gültig beziehungsweise konvergent.

Im Herleitungsteil über die Produktreihe nach Weierstrass wurde neben der nun genannten Produktreihe auch eine Summenreihe gezeigt, welche die Basis der Herleitung der Produktreihe darstellt. Und auch mit dieser Summenreihe kann die jetzt gezeigte Reihe mit der Zetafunktion hergeleitet werden:
 

Die soeben genannte Formel mit der Riemannschen Zetafunktion geht dann durch Darstellung der soeben gezeigten Formel mittels Stammfunktion der geometrischen Reihe und anschließenden Einsatz der Definition der Riemannschen Zetafunktion hervor:

Superfakultät 
Der Begriff Superfakultät  wird für (wenigstens) zwei unterschiedliche Funktionen verwendet. Schwerpunktmäßig jedoch wird die Superfakultät als das Produkt der ersten  Fakultäten grundlegend definiert:
 

Dabei bezeichnet  die Barnessche G-Funktion.

Für alle natürlichen Zahlen identisch mit der soeben genannten Definition sind diese beiden Definitionen, welche die Superfakultät für alle  definieren:

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Für die Superfakultät sollen im Folgenden einige Werte genannt werden:

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Diese Werte sind in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolge unter dem Code OEIS: A000178 eingetragen.

Von anderen Mathematikern wurde der Begriff Superfakultät auch als mehrfache Potenz einer Fakultät verwendet:

Hyperfakultät 
Die Hyperfakultät  ist für natürliche  folgendermaßen definiert:
 

Sie kann durch die stochastische K-Funktion auf komplexe Zahlen verallgemeinert werden.

Es gilt hierfür folgende Formel:

Hierbei sollte diese K-Funktion keinesfalls mit dem elliptischen K-Integral verwechselt werden.

So gelten diese Definitionsformeln für die Hyperfakultät in Abhängigkeit von der Gaußschen Pifunktion beziehungsweise Eulerschen Gammafunktion:
{| class="wikitable"
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Und es gilt die folgende Definitionsformel für die Hyperfakultät dargestellt als unendliche Produktreihe:

{| class="wikitable"
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Basierend auf den genannten Definitionen gilt somit folgende Beziehung zwischen Hyperfakultät und Superfakultät:

Für die Hyperfakultät sollen im Folgenden einige Werte genannt werden:

{| class="wikitable"
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Diese Werte sind in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolge unter dem Code OEIS: A002109 eingetragen.

Dies sind die Gleichungen, die im Abschnitt Natürlicher Logarithmus der Fakultät genannt wurden:

 
 
 

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich  bei diesen Formeln entstehen nun folgenden Formeln:

Glaisher-Kinkelin-Konstante 
Die Superfakultät und die Hyperfakultät werden zur Definition der Glaisher-Kinkelin-Konstante angewendet:
 
 

Diese beiden genannten Definitionen stimmen miteinander überein. Ebenso mit diesen Definitionen übereinstimmend ist diese Abel-Plana-Integraldarstellung für die Glaisher-Kinkelin-Konstante:
 
 

Und die Glaisher-Kinkelin-Konstante findet beispielsweise bei den Riemannschen und Dirichletschen Funktionen Anwendung:

Primzahlexponenten 
Falls nicht die vollständige Zahl  gesucht ist, sondern nur der Exponent einer ihrer Primfaktoren, lässt sich dieser direkt und effizient ermitteln.

Hier steht  für den Exponenten von  in der Primfaktorzerlegung von .

Im obigen Beispiel wäre für die Anzahl der Nullen am Ende von 10.000! der Exponent der 5 zu bestimmen, der Exponent der 2 ist auf jeden Fall größer.

Literatur 
 Leonhard Euler: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. (1749), in Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 17 (1761), 1768, S. 96/97 (französisch).
 Leonhard Euler: Evolutio formulae integralis  integratione a valore x=0 ad x=1 extensa. 4. Juli 1771, in Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 16, 1772, S. 121 (lateinisch).
 Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), in Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 485 (französisch).
 Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856), in: Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: digizeitschriften.de).
 J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics 7, 1878, S. 43–47 (englisch); .

Weblinks 

 Peter Luschny: The Homepage of Factorial Algorithms. Effiziente Algorithmen und weitere Informationen (englisch).

Einzelnachweise 

Kombinatorik