Divisor

Der Begriff des Divisors spielt in der algebraischen Geometrie und der komplexen Analysis eine wichtige Rolle bei der Untersuchung algebraischer Varietäten bzw. komplexer Mannigfaltigkeiten und der darauf definierten Funktionen. Unterschieden werden müssen dabei der Weil-Divisor und der Cartier-Divisor, welche in bestimmten Fällen übereinstimmen.

Ursprünglich kommt dem Divisor im eindimensionalen Fall die Bedeutung zu, die Null- und Polstellenmenge einer rationalen bzw. meromorphen Funktion vorzuschreiben, und es stellt sich die Frage, für welche Divisoren eine solche Realisierung möglich ist, was eng mit der Geometrie der Varietät bzw. Mannigfaltigkeit verknüpft ist.

Eindimensionaler Fall

Funktionentheorie

Definition 
Sei  ein Gebiet oder eine riemannsche Fläche. Eine Abbildung  heißt Divisor in , falls ihr Träger  in  abgeschlossen und diskret ist. Die Menge aller Divisoren auf  bildet bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, die mit  bezeichnet wird. Auf dieser Gruppe führt man eine partielle Ordnung ein. Seien , dann setzt man , falls  für alle  gilt.

Hauptdivisor 
Zu jeder von Null verschiedenen meromorphen Funktion  kann ein Divisor  definiert werden, indem der Divisor jedem Punkt aus  die Null- beziehungsweise die Polstellenordnung zuordnet:

Ein Divisor, der gleich dem Divisor einer meromorphen Funktion ist, heißt Hauptdivisor.

Der weierstraßsche Produktsatz besagt, dass in  jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. In einer kompakten, riemannschen Fläche gilt dies jedoch nicht mehr und ist vom Geschlecht der Fläche abhängig. Dies wird im Artikel Satz von Riemann-Roch näher erläutert.

Algebraische Kurven 

Sei  eine ebene algebraische Kurve. Eine formale Summe  heißt Divisor in , falls  außer für endlich viele . Durch punktweise Addition wird die Menge aller Divisoren in  zu einer freien abelschen Gruppe.

Analog zur o. g. Definition definiert man für eine rationale Funktion den Divisor der Funktion. Ein Divisor, der gleich dem Divisor einer rationalen Funktion ist, heißt Hauptdivisor.

Im Falle  ist für einen Divisor die Abbildung  ein Divisor im Sinne der Funktionentheorie. Allerdings gibt es Divisoren im Sinne der Funktionentheorie, die nicht auf diese Weise entstehen, da dort  für unendlich viele  (die allerdings keinen Häufungspunkt haben dürfen) zugelassen ist.

Allgemeine Definition

Weil-Divisor 

Sei  ein noethersches integres separiertes Schema, regulär in Kodimension 1. Ein Primdivisor  in  ist ein abgeschlossenes ganzes Unter-Schema der Kodimension Eins. Ein Weil-Divisor (nach André Weil) ist dann ein Element der frei erzeugten abelschen Gruppe  der Primdivisoren und wird meistens als formale Summe  geschrieben, wobei nur endlich viele  von Null verschieden sind.

 Ein Weil-Divisor heißt effektiv (oder positiv), wenn  für alle  gilt.

 Ein Weil-Divisor heißt Hauptdivisor, falls er gleich dem Divisor einer von Null verschiedenen rationalen Funktion ist: Sei  eine rationale Funktion auf , von Null verschieden. Für jeden Primdivisor  in  bezeichne  die Bewertung von  im diskreten Bewertungsring, der zu einem generischen Punkt von  gehört. Die Bewertung ist von der Wahl des generischen Punktes unabhängig. Im eindimensionalen Fall entspricht die Bewertung dem Grad der Null- bzw. Polstelle von  in diesem Punkt.  heißt dann Divisor von  und definiert tatsächlich einen Weil-Divisor, die Summanden sind nur für endlich viele Primdivisoren von Null verschieden.

 Zwei Weil-Divisoren heißen linear äquivalent, falls ihre Differenz ein Hauptdivisor ist. Der Quotient von  bezüglich dieser Äquivalenz ist die Divisorenklassengruppe und wird mit  bezeichnet.

Cartier-Divisor 

Sei  eine komplexe Mannigfaltigkeit bzw. eine algebraische Varietät und  bezeichne die Garbe der holomorphen bzw. algebraischen Funktionen auf  und  bezeichne die Garbe der meromorphen bzw. rationalen Funktionen auf . Die Quotienten-Garbe  heißt Garbe der Divisoren, und ein Schnitt in  heißt Cartier-Divisor (nach Pierre Cartier), meist nur als Divisor bezeichnet. Die Menge aller Schnitte  bildet eine abelsche Gruppe.

 Ein Cartier-Divisor heißt Hauptdivisor, falls er im Bild der natürlichen Abbildung  liegt, also der Divisor einer nicht-verschwindenden meromorphen Funktion ist.

 Zwei Cartier-Divisoren heißen linear äquivalent, falls ihr Quotient ein Hauptdivisor ist. Der Quotient bezüglich dieser Äquivalenz wird mit  bezeichnet.

Beziehung zwischen Cartier- und Weil-Divisoren 

Sei  ein noethersches integres separiertes Schema, dessen lokale Ringe alle faktoriell sind. Dann ist die Gruppe  der Weil-Divisoren auf  isomorph zur Gruppe der Cartier-Divisoren . Dieser Isomorphismus erhält die Eigenschaft, Hauptdivisor zu sein und führt die Quotientengruppen  und  ineinander über.

Weblinks

Literatur 

 Joseph L. Taylor: Several Complex Variables with Connections to Algebraic Geometry and Lie Groups. American Mathematical Society 2002, ISBN 0-8218-3178-X
 William Fulton: Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry. Mathematics lecture note series, 30. Benjamin/Cummings, New York 1969, ISBN 0-201-51010-3
 Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag 1977. ISBN 0-387-90244-9
 Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3

Funktionentheorie
Algebraische Geometrie