Moment pędu

Moment pędu, kręt – wektorowa wielkość fizyczna opisująca ruch ciała, zwłaszcza jego ruch obrotowy.

W mechanice klasycznej 

Moment pędu punktu materialnego o pędzie  którego położenie opisane jest wektorem wodzącym  względem wybranego punktu (zwykle początku układu współrzędnych), definiuje się jako wektor (pseudowektor) będący iloczynem wektorowym wektora położenia i pędu:
 

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że wartość bezwzględna momentu pędu jest równa:
 

gdzie  oznacza kąt między wektorami  i 

Jednostką momentu pędu w układzie SI jest 

Dla ciała o momencie bezwładności  obracającego się wokół ustalonej osi z prędkością kątową  moment pędu można wyrazić wzorem:

Zachowanie momentu pędu 

-tą składową momentu pędu można wyrazić wzorem:
 

gdzie  jest symbolem Leviego-Civity. W mechanice klasycznej składowe momentu pędu komutują ze sobą (są antyprzemienne), przy czym komutatorem jest nawias Poissona
 

Moment pędu jest stały, jeśli znika jego nawias Poissona; zasada zachowania momentu pędu jest konsekwencją symetrii obrotowej przestrzeni (zob. grupa obrotów), która zachowuje długość wektora (gdyż jest izometrią). Dzięki temu energia kinetyczna w hamiltonianie nie ulega zmianie. Stąd wynika, że potencjał  zależy wyłącznie od odległości  Siłę związaną z tym potencjałem nazywa się siłą centralną. Dla tego rodzaju sił zachodzi:
 

co jest równoważne zasadzie zachowania momentu pędu.

Stały moment pędu wyznacza pewien stały kierunek w przestrzeni. Konsekwencją zasady zachowania momentu pędu jest to, że ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu. Tak np. potencjał grawitacyjny Newtona proporcjonalny od odwrotności odległości  ma symetrię sferyczną; wynika stąd prawo zachowania momentu pędu dla ruchu planet i ich ruch w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu nazywanej płaszczyzną ekliptyki.

W mechanice kwantowej

Operator orbitalnego momentu pędu 𝑳̂ i jego składowe kartezjańskie 
W mechanice kwantowej operator orbitalnego momentu pędu definiuje się, dokonując kwantyzacji wektora momentu pędu mechaniki klasycznej, tj. zamienia się wektor momentu pędu
 

na operator, zastępując wektory operatorami:   Stąd mamy:
 

W reprezentacji położeniowej operatory  mają postać (tzw. reguły Jordana)
 
  gdzie  – operator nabla,  – stała Diraca (kwant momentu pędu).

Stąd otrzymuje się:
 

Po obliczeniu wyznacznika otrzymuje
 

Operator ten jest więc operatorem wektorowym (tj. wektorem, którego składowymi są operatory) w postaci
 

przy czym składowe  operatora  mają postać

Reguły komutacyjne dla składowych operatora 𝑳̂ 
Można sprawdzić, że składowe operatora momentu pędu spełniają reguły komutacyjne
 

Z powyższego wynika, że np.
 
 
 

ale
 
 
 

Niezerowanie się komutatorów oznacza, że nie jest możliwe jednoczesne zmierzenie wszystkich trzech składowych momentu pędu układu kwantowomechanicznego – w danym eksperymencie można zmierzyć tylko jedną z nich.

Ogólna metoda kwantowania 
Warto zauważyć, że powyższy wynik obliczania komutatorów dla operatorów składowych moment pędu jest analogiczny do wyniku obliczania nawiasów Poissona dla składowych moment pędu mechaniki klasycznej. Ta obserwacja doprowadziła do odkrycia ogólnej metody otrzymywania operatorów kwantowomechanicznych, która polega na nałożeniu warunków, iż operatory mechaniki kwantowej powinny spełniać reguły komutacyjne analogiczne do reguł, jakie spełniają ich odpowiedniki klasyczne, gdy liczy się ich nawiasy Poissona.

Kwadrat operatora momentu pędu 
Kwadrat operatora momentu pędu  definiuje się jako sumę kwadratów składowych operatora momentu pędu  tj.

Komutatory operatora momentu pędu i jego składowych 
Kwadrat operatora momentu pędu  jest przemienny ze wszystkimi składowymi operatora momentu pędu, tzn.:
 

Oznacza to, że możliwe jest jednoczesne zmierzenie wartości momentu pędu i jednej z jego składowych.

Komutatory operatora momentu pędu i jego składowych z operatorem Hamiltona 
Jeżeli komutator składowej  operatora momentu pędu z operatorem Hamiltona  zeruje się, tj.:
 

to  składowa momentu pędu jest zachowywana. Podobnie, jeżeli komutator kwadratu operatora momentu pędu z operatorem Hamiltona zeruje się, tj.
 

to całkowity momentu pędu jest zachowywany i możliwy jest jednoczesny pomiar energii i momentu pędu układu.

Wynik obliczania tych komutatorów zależy od postaci operatora Hamiltona, ta zaś zależy od rodzaju rozpatrywanego układu i pól działających na układ.

Funkcje własne i wartości własne operatora momentu pędu 
We współrzędnych sferycznych operator kwadratu momentu pędu  ma postać:
 
 gdzie:
  – operator Laplace’a w układzie sferycznym.

Z rozwiązania równania własnego operatora 
 

otrzymuje się:

(a) wartości własne  gdzie 

(b) funkcje własne  którymi są tzw. harmoniki sferyczne; harmoniki te zależą nie tylko od liczby  ale też od liczby  przy czym  przyjmuje  wartości ze zbioru 

Operator momentu pędu  ma te same funkcje własne co operator kwadratu momentu pędu  a wartości własne równe:
 

Wartości własne operatora momentu pędu  (oraz ) nie zależą od liczb  co oznacza, że tej samej wartości własnej operatora momentu pędu  odpowiada  funkcji własnych  o różnych wartościach liczby  własność ta nazywana jest w mechanice kwantowej zdegenerowaniem widma operatora momentu pędu.

Degeneracja poziomów energii i jej usunięcie 
Także wartości własne operatora energii  będą zależne od wartości liczby  a nie będą zależeć od  jeżeli energia potencjalna układu będzie sferycznie symetryczna. Wtedy też pojawi się degeneracja poziomów energii układu.

Jeżeli jednak wprowadzi się asymetrię w układzie, np. atom znajdzie się w zewnętrznym polu magnetycznym (por. np. zjawisko Zeemana), to operator Hamiltona straci symetrię sferyczną. Rozwiązując równanie Schrödingera dla takiego układu, otrzyma się w konsekwencji rozszczepienie każdego z poziomów energii atomu na  podpoziomów i degeneracja zniknie. Liczbę  nazywa się z powyżej opisanych racji magnetyczna liczbą kwantową.

Zobacz też 
 obserwabla
 operator energii całkowitej (operator Hamiltona)
 operator położenia
 operator pędu
 operator spinu
 orbitalny moment pędu światła

Przypisy

Bibliografia 
 W. Królikowski, W. Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
 L.D. Landau, E.M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa 2011.
 Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, .

Wielkości obrotowe
Mechanika kwantowa
Całki ruchu