Ciąg Cauchy’ego

Ciąg Cauchy’ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (np. zbioru liczb rzeczywistych), którego dwa dowolne elementy, jeśli mają dostatecznie wysokie indeksy, są dowolnie blisko siebie. O ciągu, który jest ciągiem Cauchy’ego, mówi się też, że spełnia warunek Cauchy’ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Augustina Cauchy’ego.

Skoro definicja ciągu Cauchy’ego korzysta z pojęcia odległości (metryki), to pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w przestrzeniach metrycznych. Uogólnia się je jednak na inne struktury matematyczne, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie jednostajne, czy też grupy.

Użyteczność ciągów Cauchy’ego polega przede wszystkim na tym, że dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się np. w algorytmach, by wykazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie, iż kolejne wyrazy iteracji tworzą ciąg Cauchy’ego.

Ciągi Cauchy’ego liczb wymiernych zwane ciągami podstawowymi posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych.

Definicje formalne 
Niech  będzie ciągiem liczbowym, tj.  Ciąg  jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli
 

Oznacza to, że wybierając dowolnie małą dodatnią liczbę rzeczywistą  można ustalić odpowiednio duży wskaźnik  taki, że dowolne dwa wyrazy o wyższych wskaźnikach są odległe od siebie o mniej niż 

Pojęcie to można przenieść na dowolne przestrzenie metryczne.

Niech  będzie przestrzenią metryczną i niech  będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Ciąg  jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli
 

Definicję ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej można wyrazić również za pomocą średnicy zbioru.

Niech  będzie ciągiem elementów tej przestrzeni metrycznej i  Ciąg  jest ciągiem Cauchy’ego, gdy

Przykłady 
 Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym  jest ciągiem Cauchy’ego. Rzeczywiście, dla dowolnego  wystarczy przyjąć  Wówczas dla  zachodzi:
 
 Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym  nie jest ciągiem Cauchy’ego. Niech np.  wówczas dla dowolnego  dwa wyrazy ciągu  spełniają

Własności 
W dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwe są zdania:
 jeżeli ciąg jest zbieżny, to spełnia warunek Cauchy’ego (ale niekoniecznie odwrotnie, czego przykładem jest ciąg Cauchy’ego  choć zawarty na przestrzeni  to niezbieżny w niej),
 każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony,
 ciąg Cauchy’ego  mający punkt skupienia  (zawierający podciąg zbieżny do ) jest zbieżny do .

W przestrzeniach euklidesowych  (w szczególności w przestrzeni liczb rzeczywistych ) dodatkowo zachodzą własności:

 ciąg punktów  jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów  jest ciągiem Cauchy’ego,
 ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego.

Ciąg podstawowy 
Ciąg liczb wymiernych spełniający warunek Cauchy’ego nazywa się ciągiem podstawowym. Oczywiście każdy ciąg podstawowy jest ciągiem zbieżnym w 

Ciąg podstawowy może mieć granicę wymierną  np.:
 

może mieć granicę niewymierną, np.:
  gdzie  oznacza część całkowitą liczby 

Jest to ciąg kolejnych przybliżeń dziesiętnych z dołu liczby π  i jego granicą jest oczywiście liczba niewymierna.

Innym przykładem może być ciąg zdefiniowany rekurencyjnie:
 
ciąg ten jest zbieżny do niewymiernej liczby  postać rekurencyjna wynika z rozwinięcia  w ułamek łańcuchowy  Zaletą definicji tego ciągu w porównaniu z definicją poprzedniego jest to, że tu do wyznaczenia wartości kolejnych wyrazów ciągu nie jest wymagana znajomość granicy ciągu.

Zbiór ciągów podstawowych jest zamknięty ze względu na sumy, różnice, iloczyny oraz ilorazy.

Kluczowe znaczenie ciągów podstawowych jest takie, że każda liczba rzeczywista jest granicą pewnego ciągu podstawowego. Wynika to z faktu, że zbiór liczb wymiernych  jest zbiorem gęstym w zbiorze liczb rzeczywistych 

Wprowadzając w zbiorze ciągów podstawowych relację równoważności 
 ciągi  są w relacji  jeśli ciąg  jest zbieżny do 
można utożsamić ciągi podstawowe, których granicami jest ta sama liczba rzeczywista. Wówczas każda liczba rzeczywista jest pewną klasą abstrakcji w zbiorze ciągów podstawowych.

Jest to jedna z możliwych konstrukcji liczb rzeczywistych w oparciu o liczby wymierne.

Zupełność 

 Przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny, nazywa się przestrzenią zupełną.
 Przestrzeń unormowaną, która jest zupełna (w sensie metryki generowanej przez normę), nazywa się przestrzenią Banacha.
 Przestrzeń unitarną zupełną nazywa się przestrzenią Hilberta.

W szczególności przestrzeń  (z wartością bezwzględną) i przestrzeń  (z metryką euklidesową) są zupełne.

Inne postacie

Szeregi 
Ponieważ szeregi z definicji są ciągami sum częściowych, można rozważać warunek Cauchy’ego również dla nich.

Niech  będzie przestrzenią Banacha, a  ciągiem jej elementów. Szereg  spełnia warunek Cauchy’ego, jeżeli
 

Szereg  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego. W szczególności powyższa definicja obowiązuje dla  Przyjęcie w powyższym warunku  daje definicję granicy ciągu  do zera; tak osłabiony warunek Cauchy’ego nie pociąga zbieżności szeregu, lecz mimo wszystko pozostaje on prawdziwy, gdy ciąg jest zbieżny, dlatego nazywa się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu (zob. warunek konieczny).

Przestrzenie liniowo-topologiczne 

W przestrzeniach liniowo-topologicznych ciąg Cauchy’ego można zdefiniować w naturalny sposób bez uciekania się do pojęcia metryki.

Ciąg  punktów przestrzeni liniowo-topologicznej  nazywa się ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera  istnieje taka liczba naturalna  że dla  jest
 

W przestrzeni liniowo-topologicznej spełnione są własności obowiązujące w przestrzeniach metrycznych. Jeżeli topologia przestrzeni  jest wyznaczona przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę  to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego względem tej metryki.

W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną bazę lokalną i każdy ciąg Cauchy’ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.

Funkcje mierzalne

Zobacz też 
 twierdzenie Baire’a

Uwagi

Bibliografia 
 Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
 Leja Franciszek, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1976.
 Maurin Krzysztof, Analiza. Część I. Elementy, PWN, Warszawa 1976.
 Musielak Helena, Musielak Julian, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2000.
 

Analiza matematyczna
Geometria metryczna
Cauchy’ego
Topologiczne własności funkcji