Kegelsnede

Een kegelsnede is een vlakke lijnvormige figuur die bestaat uit de punten van een kegel (eigenlijk een dubbele kegel) die liggen in een plat vlak dat de kegel snijdt. Kegelsneden werden reeds 200 jaar v.Chr. bestudeerd door Apollonius van Perga. Afhankelijk van de manier waarop de kegel wordt gesneden, is de kegel een enkelvoudige kromme, en wel een cirkel, een ellips of een parabool, of bestaat ze, in het geval van een hyperbool, uit twee krommen. Een cirkel is een speciaal geval van een ellips, zoals een vierkant een speciaal geval is van een rechthoek. Een parabool is op te vatten als een grensgeval tussen een ellips en een hyperbool.

Cirkels, ellipsen en hyperbolen worden wel centrale kegelsneden genoemd omdat ze, in tegenstelling tot een parabool, een middelpunt hebben.

Een kegelsnede wordt vastgelegd door vijf punten waarvan er geen drie op één lijn liggen of door vijf raaklijnen aan een punt op de kegelsnede, waarvan er geen drie door één punt gaan.

Toepassingen 
Het tweelichamenprobleem op basis van de omgekeerde kwadratenwet heeft de kegelsneden (bij de hyperbolen: de takken) als oplossingen. Bij het tweelichamenprobleem op basis van gravitatie met de massa van het ene lichaam verwaarloosbaar tem opzichte van de massa van het andere lichaam kan het zware lichaam geacht worden stil te staan, en is de kegelsnede de baan van het lichte lichaam, met het zware lichaam in een brandpunt. Bij een hyperbool is de baan de nabije tak. De specifieke baanenergie is negatief bij een ellips (waaronder een cirkel), namelijk het tegengestelde van de gravitatieconstante maal de massa van het zware lichaam, gedeeld door de lange as. De specifieke baanenergie is nul bij een parabool, en positief bij een hyperbooltak, namelijk de gravitatieconstante maal de massa van het zware lichaam, gedeeld door de afstand van de betreffende hyperbooltak tot de bijbehorende andere hyperbooltak. 

Een kogelbaan is bij verwaarlozing van luchtweerstand een kegelsnede die afhangt van het gravitatiemodel. Bij een uniform gravitatieveld is het een parabool. Men spreekt alleen over een kogelbaan als de baan kort is vergeleken met de grootte van de Aarde, en dan is dit een goede benadering. Bij dit model is niet van toepassing dat de specifieke baanenergie nul is bij een parabool. Bovendien is het bij dit model praktisch om de specifieke baanenergie te relateren aan die bij stilstand op een bepaald niveau.

Als wordt uitgegaan van een bolvormige Aarde is de exacte baan een stukje van een ellips, met verticale lange as, en het verre brandpunt in het middelpunt van de Aarde. Bij vergelijking van de specifieke baanenergie in zo'n ellipsbaan met die volgens het andere model moet deze vergeleken worden met die van stilstand op hetzelfde niveau op het aardoppervlak (allebei zijn in dit model flink negatief door de potentiële energie ten opzichte van die op oneindig grote afstand van de Aarde), met eventueel het in beide gevallen buiten beschouwing laten van de draaiing van de Aarde om zijn as.

Bij verwaarlozing van de luchtweerstand resulteert het vanaf de Aarde wegschieten van een kogel in horizontale richting (kanon van Newton) in volgorde van toenemende beginsnelheid in de volgende banen (als de kogel de Aarde raakt uiteraard slechts tot daar):
ellips met verticale hoofdas en het verre brandpunt in het midden van de Aarde
cirkel met het middelpunt in het midden van de Aarde
ellips met verticale hoofdas en het nabije brandpunt in het midden van de Aarde
parabool met verticale as en het brandpunt in het midden van de Aarde
hyperbooltak met het nabije brandpunt in het midden van de Aarde

De baan doorloopt zo elk type kegelsnede, en daarvan elke vorm, de ellipsvormen tweemaal. De excentriciteit (zie hieronder) daalt daarbij van 1 naar 0, en stijgt dan van 0 naar oneindig. De excentriciteit stijgt hier namelijk met de beginsnelheid desda de kinetische specifieke beginenergie maal de totale specifieke baanenergie stijgt, dit is als de kinetische specifieke beginenergie meer dan -1/2 maal de potentiële specifieke beginenergie is.

Excentriciteit 

Vergelijk de ellips, parabool en hyperbool met elkaar. Het verschil tussen deze wordt bepaald door hun excentriciteit.

Ellips  
Gegeven zijn twee punten, de brandpunten  en , op onderlinge afstand , en een getal , dan is de ellips  de meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan .

Parabool 
Gegeven zijn een lijn , de richtlijn, en een punt , het brandpunt, niet op de lijn gelegen, dan is de parabool  de meetkundige plaats van de punten waarvoor de afstand tot de richtlijn gelijk is aan de afstand tot het brandpunt.

Hyperbool  
Gegeven zijn twee punten, de brandpunten  en , op onderlinge afstand , en een getal , dan is de hyperbool de meetkundige plaats van de punten waarvoor het verschil van de afstanden tot de twee brandpunten gelijk is aan .
.

In de ene tak is de afstand tot het ene brandpunt het kleinst, in de andere die tot het andere brandpunt.

Excentriciteit als afstand tot een punt gedeeld door afstand tot een lijn 

Het is ook mogelijk een gemeenschappelijke meetkundige definitie te geven voor een punt, een ellips (uitgezonderd de cirkel), een parabool en een hyperbool. Gegeven zijn een lijn  de richtlijn, een punt  het brandpunt, dat niet op de richtlijn ligt, en een positief getal , de excentriciteit, dan is de meetkundige plaats  van de punten  die voldoen aan:
  
een ellips indien , een parabool als  (zoals hierboven al behandeld) en een hyperbool als . Als men bij een vast punt  en een vaste richtlijn  de excentriciteit steeds kleiner maakt, wordt de ellips niet alleen meer cirkelvormig maar ook kleiner. Voor  (de excentriciteit van een cirkel) geeft dit slechts het punt . Als men bij een vast punt  een ellips steeds cirkelvormiger maakt zonder deze tot een punt samen te trekken, dan beweegt de bijbehorende richtlijn zich naar het oneindige.

Vergelijking 
In een cartesiaans assenstelsel is de vergelijking van een kegelsnede van de vorm

met niet alle coëfficiënten gelijk aan nul. Dan nog representeert dit voor sommige combinaties van waarden van de coëfficiënten geen kegelsnede in de genoemde meetkundige zin, zelfs geen ontaarde, want de vergelijking kan ook de lege verzameling representeren (dit geldt bijvoorbeeld voor de vergelijking 1 = 0, maar ook voor  en ). Als de vergelijking niet de lege verzameling representeert, representeert deze wel altijd een kegelsnede, eventueel een ontaarde (een punt, een rechte of twee snijdende rechten, zie ook onder).

Het is een kwadratische vergelijking in twee variabelen  en .
Als
 , is de vergelijking een parabool of een rechte,
 , is de vergelijking een ellips (met als bijzonder geval een punt),
 , is de vergelijking een hyperbool of twee snijdende rechten,
  en , is de vergelijking een cirkel (met als bijzonder geval een punt),
 , is het een rechthoekige hyperbool.

De cirkel heeft daarmee 3 vrijheidsgraden, de parabool 4, en de ellips en de hyperbool 5. Afgezien van de positie en de stand zijn dit er respectievelijk 1, 1, 2 en 2. Afgezien van schaling, dus qua vorm, zijn het er respectievelijk 0, 0, 1 en 1.

Een volledige kegelsnede is (behoudens uitzonderingsgevallen) de grafiek van  als functie van  in de volgende twee gevallen:
 (parabool met verticale as)
 (hyperbool waarbij een asymptoot verticaal is)

Matrixvergelijking van een kegelsnede 
De symmetrische matrix 

heet de kubische matrix van de kegelsnede bepaald door de vergelijking

Deze vergelijking kan geschreven worden als

met

Raaklijn in een punt van een kegelsnede 
De vergelijking van de raaklijn in het punt  van de kegelsnede gegeven door de kubische matrix  kan geschreven worden als
  

Voorbeeld 
De raaklijn in het punt  van de kegelsnede met vergelijking 
 
wordt gegeven door de vergelijking

Raaklijn vanuit een punt aan een kegelsnede 

De verbindingslijn van de raakpunten van de raaklijnen uit een punt  aan een kegelsnede  met matrixvergelijking  heet de raakkoorde corresponderend met punt . Als de raakkoorde bekend is, is het mogelijk de raaklijnen uit  aan de kegelsnede te berekenen.

De raakkoorde  corresponderend met het punt  heeft de vergelijking 
 

Hierin is  de kubische matrix van de kegelsnede .
Zodra die raakkoorde  bekend is, kunnen de snijpunten van  en de kegelsnede berekend worden. Die snijpunten  en  zijn de raakpunten van de raaklijnen uit het punt  aan de kegelsnede. De gevraagde raaklijnen zijn dan de lijnen  en .

Voorbeeld 
We berekenen de raaklijnen uit punt  aan de kegelsnede met vergelijking

De raakkoorde corresponderend met het punt  heeft als vergelijking  

De snijpunten  en  van die raakkoorde met de kegelsnede zijn de oplossingen van het stelsel

De oplossingen zijn  en .

De raaklijn  heeft vergelijking .

De raaklijn  heeft vergelijking .

Middelpunt van een ellips of hyperbool 
Het middelpunt van een ellips of hyperbool is het symmetriepunt van de figuur.
De coördinaten van het middelpunt van zo'n kegelsnede met vergelijking   zijn de oplossingen van het stelsel

Ontaarde kegelsneden 
Behalve deze 'standaard' kegelsneden zijn er ook nog ontaarde kegelsneden. Deze worden gevormd door het snijvlak door de top van de kegel te laten gaan. Dit geeft een punt, een rechte of twee snijdende rechten.

Een kegelsnede is ontaard als zijn vergelijking kan worden ontbonden als een product van twee lineaire vergelijkingen met reële of complexe coëfficiënten. De grafiek valt dan uiteen in twee reële of twee imaginaire rechten. Het zijn de componenten van de ontaarde kegelsnede.
Het snijpunt van die rechten heet het dubbelpunt. Wanneer de twee rechten samenvallen is ieder punt een dubbelpunt. Zo is de kegelsnede met vergelijking  ontaard in de reële rechten met vergelijking  en .
Het punt (3,0) is het dubbelpunt. De kegelsnede  ontaardt in de imaginaire rechten  en  en het reële dubbelpunt ligt in de oorsprong (0,0).

Een parabool ontaardt in een rechte en een ellips in twee toegevoegd imaginaire rechten. Een hyperbool ontaardt in twee snijdende reële rechten.

De kegelsnede met vergelijking  ontaardt enkel en alleen als 

De determinant  
heet de kubische determinant van de kegelsnede.

Op basis van de definitie van een ellips als meetkundige plaats van de punten waarvoor de som van de afstanden tot twee gegeven punten, de brandpunten, gelijk is aan een gegeven getal, is het uiterste geval dat het gegeven getal de afstand tussen de brandpunten is. Men verkrijgt dan het lijnstuk tussen de brandpunten, en zou dit een ontaarde ellips kunnen noemen. Behoudens het geval van samenvallende brandpunten, waarbij het lijnstuk ontaardt tot een punt, kan een lijnstuk echter niet verkregen worden door een vlak met een kegel te snijden, en zijn er ook geen coëfficiënten waarmee de bovengenoemde vergelijking een lijnstuk representeert.

Een steeds smallere parabool heeft als "limiet" een halfrechte, maar ook deze kan niet verkregen worden door een vlak met een kegel te snijden, en er zijn ook geen coëfficiënten waarmee de bovengenoemde vergelijking een halfrechte representeert. Op basis van de definitie van een parabool als de meetkundige plaats van de punten waarvoor de afstand tot de richtlijn gelijk is aan de afstand tot het brandpunt, is een uiterst geval dat het brandpunt op de lijn ligt. Men verkrijgt dan echter geen halfrechte, maar een hele lijn, net als bij het snijden van een vlak met een kegel, waarbij het vlak evenwijdig is met de zijkant van de kegel, en men het vlak verschuift naar die zijkant: ook hier wordt de parabool steeds smaller, maar bij een breedte nul komt er ineens een halfrechte bij die de lijn completeert.

Poolcoördinaten 
In poolcoördinaten ten opzichte van een brandpunt is de vergelijking van een kegelsnede
 
en voor de verre tak van de hyperbool
 
waarbij  gemeten wordt vanaf de richting waarin de kegelsnede het dichtst bij het brandpunt is, en  de semi-latus rectum is (de afstand van het brandpunt naar de kegelsnede in de richtingen loodrecht op de hoofdas).

Zie ook 
 Reductie (kegelsnede)

Meetkunde
Wiskundige kromme