Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne – twierdzenie probabilistyki o zbieżności pewnych ciągów zmiennych losowych do rozkładu normalnego. Wyjaśnia ono powszechność w przyrodzie zbliżonych do niego rozkładów prawdopodobieństwa.

Wersje

Sformułowanie szczególne 
Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli  są niezależnymi zmiennymi losowymi pochodzącymi z tej samej populacji o wartości oczekiwanej  oraz dodatniej i skończonej wariancji  to ciąg zmiennych losowych, w postaci znormalizowanych wartości oczekiwanych 
 

zbieżny jest według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego, gdy 

Tzn.

Sformułowanie ogólne 
Centralne twierdzenie graniczne znane też pod nazwą twierdzenia Lindeberga-Lévy’ego mówi:

Niech  będzie schematem serii, w którym  dla  i dla każdego  mamy  Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego  zachodzi  to

Dowód 
Dowodów centralnego twierdzenia granicznego w wersji ogólnej jest kilka. Wszystkie są dość skomplikowane i wymagają korzystania z wielu zaawansowanych narzędzi matematycznych. Poniżej znajduje się jeden z prostszych dowodów, nie dający jednak oszacowania wartości błędu.

Pierwszym krokiem dowodu jest sformułowanie i udowodnienie użytecznych lematów.

Lemat 1

Niech  będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że  zachodzi  oraz  Wówczas: 
 a) 
 b) 

Dowód

Oznaczmy  Wówczas 

Ustalmy dowolne  Wówczas zgodnie z twierdzeniem Cauchy’ego istnieją takie  że:
 

Na tej samej zasadzie:
  

Lemat 2

Jeżeli  to
 

Dowód
 

Dokonujemy podstawienia 
 

Teraz całkujemy przez części:
  

Drugi krok polega na oszacowaniu pewnej wartości:

Niech  będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że  oraz 

Rozważamy niezależne zmienne  o rozkładzie normalnym takie, że  oraz 

Wówczas:
 
 
 
 

Przy czym ostatnia nierówność to nierówność trójkąta.

Drugi ze składników daje się na podstawie Lematu 1 oszacować w sposób następujący:
 

Tymczasem  gdzie  W związku z tym (korzystając z Lematu 2):
 

Wobec tego
 

Pierwszy ze składników można natomiast oszacować w sposób następujący:
 

Z kolei szacujemy:
 

oraz
 

Ostatnia nierówność wynika z Lematu 1.

Zatem  mamy następujące oszacowanie:
 

Trzeci krok polega na wielokrotnym zastosowaniu oszacowania uzyskanego powyżej.
 

Rozpatrzmy -ty z powyższych wyrazów.

Podstawiamy
 

Zmienna  jest niezależna od  i  Wobec tego:
 

Zatem:
 

Pierwszy i ostatni składnik z warunku Lindeberga zbiegają do zera, gdy  dąży do nieskończoności. W związku z tym:
 

Oznacza to, że:
  gdzie 

Czwarty krok polega na wyliczenie dystrybuanty granicznej na podstawie powyższych oszacowań.

Weźmy funkcję  spełniającą warunek  dla pewnych 

Wówczas:
 

Ale:
 

oraz
 

W związku z tym:
 

oraz podobnie
 

Otrzymujemy więc
 

Ale z ciągłości dystrybuanty rozkładu normalnego wnioskujemy, że
 

Ponieważ punktowa zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości dystrybuanty granicznej jest równoważna zbieżności według rozkładu, więc ostatecznie:

Częste nieporozumienia 
 Centralne twierdzenie graniczne nie sprawi, by przy dostatecznie dużej próbie rozkład stał się normalny. Jedynie rozkład średniej z tej próby upodabnia się do normalnego.
 Centralne twierdzenie graniczne jest prawdziwe tylko dla rozkładów o skończonej wariancji. Zobacz stabilność struktury.

Zobacz też 
 prawo wielkich liczb
 twierdzenie Berry-Essena

Przypisy 

Rozkłady prawdopodobieństwa
Twierdzenia probabilistyki