Inwendig product

Het inwendig product, ook wel inproduct of scalair product genoemd, van twee vectoren is een scalair, dus het levert een getal op. Het is een begrip uit de lineaire algebra, maar ook in andere takken van de wiskunde wordt hier veel gebruik van gemaakt. De bekendste vorm komt uit de euclidische meetkunde en is voor de vectoren  en  gedefinieerd als: 

waarin  de hoek tussen de vectoren is en  en  respectievelijk de normen van de vectoren  en  zijn.

Men noteert het inproduct ook als:

Voor de bovenstaande definitie is het nodig de hoek tussen de beide vectoren te kennen, of meer nog dat in de gebruikte meetkunde al een begrip hoek bestaat.

Als de vectoren  en  elementen zijn van de , de -dimensionale vectorruimte over de reële getallen, en:

en

dan kan het inwendig product vastgelegd worden als:

Deze vorm van het inwendig product heet het standaardinproduct, het is de gebruikelijke vorm van inwendig product in een euclidische ruimte.

Daarna kan dan de hoek tussen de beide vectoren gedefinieerd worden met behulp van dit inproduct en de norm van de vectoren.

Eigenschappen 
 De vectoren  en   staan loodrecht op elkaar, dan en slechts dan als hun inproduct gelijk is aan 0. Afhankelijk van de vectorruimte en context kan dit ook dienen als definitie van "loodrecht".
 Het inwendig product van vectoren uit een reële vectorruimte is commutatief: 
 Het inwendig product van twee vectoren in een hogerdimensionale ruimte is gelijk aan dat in het vlak door de vectoren.

Het begrip inwendig product is ook gegeneraliseerd. Daarbij spreekt men naar analogie van het bovenstaande van "loodrecht" of "orthogonaal" als het inproduct gelijk is aan 0. Het gegeneraliseerde inproduct is echter alleen bij een reële vectorruimte commutatief.

Algemene definitie 
Een inwendig product op een reële vectorruimte  is een positief-definiete symmetrische bilineaire vorm . Dat wil zeggen dat voor  en  aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:
 bilineariteit:

 symmetrisch (commutatief): 
 positief definiet:  voor  alle  en 

Een inwendig product of inproduct op een  complexe vectorruimte  is een hermitische positief definiete sesquilineaire vorm . Dat wil zeggen dat voor  en  aan de volgende voorwaarden moet zijn voldaan:
 sesquilineair:

 hermitisch: 
 positief definiet:  (en dus reëel) voor  alle  en 
Hier is  de complex geconjugeerde van .

Een vectorruimte met inwendig product is een inwendig-productruimte.

Eindigdimensionale reële vectorruimte 
Voor vectoren  is
,

waarin

Vanwege de eigenschappen van het inwendige product is de matrix  positief-definiet en symmetrisch.

Als  de kolomvector is met als elementen de coördinaten van , kan men schrijven:

Vaak schrijft men gewoon
,

waarin stilzwijgend met  en  zowel de vectoren als de overeenkomstige kolomvectoren aangeduid worden.

Omgekeerd induceert elke positief-definiete, symmetrische matrix  een inproduct via de relatie

Omdat iedere positief-definiete, symmetrische  matrix geschreven kan worden als  met  een inverteerbare matrix, en omgekeerd voor een willekeurige inverteerbare matrix  de matrix  positief definiet en symmetrisch is, geldt ook: 

De matrix  is voor een gegeven  niet uniek bepaald, want de matrix  met  een orthogonale matrix geeft dezelfde .

Er geldt dus ook met de gewone norm:

Voor een willekeurige -dimensionale vectorruimte  over de reële getallen met basis  en inproduct  is het inproduct van twee vectoren 
 en :

Bij een orthonormale basis geldt dus . Deze uitdrukking wordt het standaardinproduct genoemd.

Eindigdimensionale complexe vectorruimte 
Voor een willekeurige n-dimensionale vectorruimte  over de complexe getallen met basis  en inproduct  is het inproduct van twee vectoren 
 en :
.

Bij een orthonormale basis geldt dus . Deze uitdrukking is een van de versies  van het complexe standaardinproduct.

Voorbeelden 
De volgende bewerkingen zijn inwendige producten:
 in :
 
 waarin  een vector van positieve gewichtsfactoren is;
 in :
 
 waarin  staat voor de complex geconjugeerde;
 van matrices:

 waarbij tr staat voor het spoor van een matrix, en  staat voor de complex geconjugeerde van de getransponeerde van een matrix, de hermitisch toegevoegde.

Norm 
Bij een inproduct op een willekeurige reële of complexe vectorruimte hoort op natuurlijke wijze een norm

Een genormeerde vectorruimte waarvan de norm op dergelijke wijze afkomstig is van een inproduct, heet een prehilbertruimte, omdat haar metrische vervollediging een hilbertruimte is.

Het inproduct kan steeds uit de norm worden gereconstrueerd. In een reële prehilbertruimte geldt:

of

en ook

In een complexe prehilbertruimte daarentegen geldt:

Eindigdimensionale geval 
In  bepaalt een willekeurig inwendig product een norm via de relatie

met  een inverteerbare matrix (zie ook boven).

In  zijn er overigens ook nog andere normen, zoals

voor andere reële waarden van .

Voor  moet de norm onderscheiden worden van de absolute waarde:

(of de eendimensionale vector van de scalar).

Hoek 
De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz begrenst het inproduct van twee willekeurige vectoren  door het product van hun normen:

De hoek  tussen  en  wordt gegeven door

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz garandeert dat het rechterlid tussen −1 en 1 ligt.

Equivalentie van de beide definities 

In twee dimensies laat het volgende bewijs zien dat de definities

en

equivalent zijn. Stel gegeven twee vectoren  en  in het vlak. Te bewijzen:

Voor de lengte  van het blauwe lijnstuk in de figuur geldt volgens de stelling van Pythagoras:

Anderzijds volgt uit de cosinusregel:

Gelijkstellen van de beide uitdrukkingen levert:

waaruit volgt:

Het bewijs kan heel gemakkelijk doorgetrokken worden naar hogere dimensies.

Equivalentie van de beide definities door rotatie ten opzichte van het referentieassenstelsel 

Indien we bèta als hoek tussen vector v en de horizontale as in beschouwing  nemen en gebruik maken van de hoeksom- en hoekverschil-identiteiten:

Waaruit ook volgt dat:

En bijgevolg equivalent is aan:

Merk ook op dat deze formule aan rechterzijde niet afhankelijk is van de hoek bèta ten opzichte van het orthogonale referentieassenstelsel, noch van de oorsprong van dit assenstelsel en aan linkerzijde wel van de oorsprong van het assenstelsel.

Dus ook al zouden we ons referentieassenstelsel over een willekeurige hoek (bèta) draaien, dan blijft het inwendig product even groot:

'Vrije' vectoren hebben slechts een 'grootte' (En.: 'scalar') en een 'richting' (eventueel een 'zin'), en geen bepaald aangrijpingspunt (in tegenstelling tot 'gebonden' vectoren), vandaar dat we ze steeds naar de oorsprong van het orthogonaal assenstelsel kunnen verplaatsen.

Bij een verplaatsing van de oorsprong van het orthogonale assenstelsel zou deze formule immers niet gelden.

Bovendien maakt het niet uit of je de grootte van de ene vector via de hoek alpha projecteert op de andere vector of omgekeerd:

    (Gezien: )

Om dan vervolgens hun groottes met elkaar te vermenigvuldigen om het inwendig product te bekomen:

Wat maakt dat deze bewerking commutatief is in een reële vectorruimte:

Functieruimten 
De functieruimten van reëel- of complexwaardige integreerbare functies op het interval  zijn voorbeelden van vectorruimten met als mogelijk inwendig product:

of met schaalfactor 
,

waarin  staat voor de complex geconjugeerde van .

Afhankelijk van de keuze van de functieruimte, is het positief definiete karakter van dit inproduct niet altijd gegarandeerd; soms moeten equivalentieklassen beschouwd worden van functies die bijna overal aan elkaar gelijk zijn - zie ook Lp-ruimte.

Het inwendig product heeft bijvoorbeeld in het eerste geval de bijbehorende norm

en is nuttig als deze norm, toegepast op het verschil van twee functies, een redelijke maat wordt geacht voor de mate waarin de twee functies van elkaar verschillen. Dit kan bijvoorbeeld aan de orde zijn bij de benadering van een functie door een polynoom.

Voorbeeld van een tweedimensionale functieruimte 
Een eenvoudig specifiek voorbeeld is een tweedimensionale reële vectorruimte van lineaire functies  op het interval [0,1]:
;
,  geeft:

Met de voor de hand liggende basis , , en dus de coördinaten  en , is het inproduct dus niet het standaardinproduct; met betrekking tot het inproduct is deze basis niet orthonormaal. Dit heeft als consequentie dat als een lineaire functie  wordt weergegeven als een punt in een cartesisch coördinatenstelsel met op de horizontale as  en op de verticale as , de afstand tussen twee punten niet correspondeert met de norm van het verschil van de twee functies, of daarmee equivalent: dat de afstand van een punt tot de oorsprong niet correspondeert met de norm van de functie. Bij een scheef assenstelsel, waarbij de basisvectoren een lengte hebben overeenkomstig hun norm (1 en ), en onder een hoek zoals boven gedefinieerd (wat uitkomt op 30°), correspondeert de afstand van een punt tot de oorsprong wel met de norm van de functie.

Hetzelfde wordt bereikt als de basis orthonormaal wordt gemaakt, met  en . De coördinaten van de functies veranderen dan (er wordt een coördinatentransformatie, meer specifiek een basistransformatie toegepast), maar de punten blijven op dezelfde plaats liggen als in het scheve assenstelsel, nu in een cartesisch coördinatenstelsel. De nieuwe coördinaten zijn  en :

Een functie  heeft dus de orthogonale componenten
,

waarvoor geldt

en
,

waarvoor geldt:

Voor  geldt met toepassing van de stelling van Pythagoras:

Inwendig product in de natuurkunde 
In de natuurkunde is ook het inwendig product van twee vectoriële grootheden van verschillende soort van belang. Aangezien deze niet bij elkaar opgeteld kunnen worden, kunnen ze niet tot dezelfde vectorruimte behoren. Wel is de hoek tussen de twee vectoren een zinvol begrip; de twee vectorruimten hebben een gemeenschappelijke verzameling richtingen, of gelijkwaardig daarmee: een gemeenschappelijk stel gerichte coördinaatassen, exclusief de "maatverdeling" / schaal.

 Voorbeeld
De door een krachtbron bij verplaatsing van een massa geleverde arbeid  is het inwendig product van de uitgeoefende kracht  en de verplaatsingsvector :
,
of algemener de lijnintegraal over een kromme van A naar B:

Kruisproduct 
Het kruisproduct is net als het inwendig product een functie van twee vectoren, maar in tegenstelling tot het inwendig product geeft het kruisproduct geen getal als uitkomst, maar een nieuwe vector. Het kruisproduct van twee vectoren in drie dimensies is de vector die loodrecht op beide vectoren staat, waarvan de grootte gelijk is aan het product van de groottes van de beide vectoren en de sinus van de hoek tussen de twee vectoren en waarvan de richting door de rechterhandregel wordt vastgelegd.

Lineaire algebra
Vector