Logarytm

Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb  liczba oznaczana  będąca rozwiązaniem równania  Liczba  nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba  liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę  aby otrzymać liczbę logarytmowaną .

Przykłady
  gdyż 
  gdyż 

Logarytmy po raz pierwszy opisali w XVI wieku matematycy brytyjscy: Szkot John Napier i Anglik Henry Briggs. Były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem.

Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.

Logarytm przy ustalonej podstawie  pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną  następująco:

Definicja formalna 

Logarytm jest działaniem zewnętrznym:  zdefiniowanym równoważnością:
 

(zamiast  stosuje się symbolikę ).

Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn. 
dla każdych  istnieje liczba rzeczywista 

Jest też odwrotnie: 
dla dowolnej liczby  i dowolnej liczby  istnieje dokładnie jedna liczba  taka, że  
dla dowolnej liczby  i dowolnej liczby  istnieje dokładnie jedna liczba  taka, że  
Oznacza to, że przy ustalonym  lub ustalonym  działanie  jest różnowartościową suriekcją na zbiór

Logarytm naturalny 

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą  równą w przybliżeniu  Zwyczajowo zamiast  pisze się  Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej  dla której  postaci
 

wtedy jej pochodna (również formalna)  co oznacza, że  zamiast  ponieważ  W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego  jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny 

Zapis bez indeksu  albo  oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:
 

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności  oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania:
Dla dowolnej liczby  jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym  np.
 

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:
 

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie  należy użyć logarytmu o podstawie

Własności 
Znaki liczby  w zależności od wartości 

Wprost z definicji logarytmu wynika:
 

Z własności potęgi wynikają następujące równości:
 
 
 
 

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość nazywana wzorem na zmianę podstawy logarytmu:
  albo 

stąd przyjmując 
  albo  w szczególności 

Z powyższych własności można wykazać m.in. równości

Dowody niektórych własności 
Wzór : Niech  Stąd, zgodnie z definicją,  Mnożąc stronami obie równości  Ponieważ  więc  Czyli  Stąd teza.

Wzór : Niech  Stąd, zgodnie z definicją,  Podnosząc obie strony do potęgi  Ponieważ  więc  Czyli  Stąd teza.

Pozostałe wzory tej sekcji łatwo wynikają z dwóch udowodnionych tu równości.

Logarytm liczby zespolonej 
Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych.
Niech  będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:
 

gdzie:
  jest dowolną liczbą całkowitą,
  jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby  (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
  to argument liczby zespolonej 
  to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:
 
 
 

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych  Przyjmując  otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą:  Inni przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:
 

gdzie:
  i  są liczbami zespolonymi, 
  i  są dane wzorem .

Oczywiście zbiór wartości  jest podwójnie indeksowany.

Kologarytm 
Liczbę przeciwną do logarytmu z  nazywało się niegdyś kologarytmem  i oznaczało  lub  Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu  Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny 

Logarytm dyskretny elementu  (przy podstawie ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita  że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

Przykłady i zastosowania

Matematyka 
 Skala logarytmiczna na wykresach – czasami rozpiętość przedstawianych wielkości jest tak duża, że nie wystarczy podziałka liniowa; por. Diagram HR w astronomii.
 Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy rozpad promieniotwórczy doprowadzi do danego stężenia pierwiastka.
 Regresja liniowa: jeśli oczekiwana zależność między danymi jest potęgowa lub wykładnicza, to analizuje się liniową zależność między ich logarytmami.
 Prawo iterowanego logarytmu w probabilistyce,
 Wymiar Hausdorffa fraktali w topologii i teorii miary,
 Asymptotyczne wzrost funkcji pi w teorii liczb,
 W teorii informacji Claude Shannon wyraził entropię informacji przez logarytmy odpowiednich prawdopodobieństw.
 Algorytmika: wiele procedur ma złożoność logarytmiczną (np. wyszukiwanie binarne) lub liniowo-logarytmiczną, np. wiele algorytmów sortowania,
 Opis spirali logarytmicznej występującej w naturze,

Inne dziedziny 
 Skala pH w chemii,
 skala Richtera w sejsmologii,
 Poziom natężenia dźwięku jest logarytmiczną funkcją natężenia dźwięku,
 Wysokość dźwięku jest logarytmiczną funkcją jego częstotliwości,
 Prawo Webera-Fechnera w psychologii i fizjologii percepcji,
 Prawo Fittsa w ergonomii,
 Jasność absolutna w astronomii,
 Logarytmiczny dekrement tłumienia w fizyce, np. w akustyce oraz w elektrotechnice,
 W fizyce statystycznej Ludwig Boltzmann wyraził entropię przez logarytm objętości w przestrzeni fazowej. Uogólnił w ten sposób makroskopową definicję entropii Clausiusa.
 Rozkład Benforda w statystyce i ekonomii,
 Wzór Ciołkowskiego opisujący ruch rakiety,

Zobacz też 

 logarytm całkowy
 logarytm dyskretny
 neper

Uwagi

Przypisy 

Funkcje elementarne
Działania na liczbach