Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna (trójka probabilistyczna) – struktura umożliwiająca opis procesu losowego (tj. procesu, którego wynik jest losowy) poprzez określenie przestrzeni zdarzeń elementarnych i określenie na jej podzbiorach funkcji prawdopodobieństwa spełniającej odpowiednie aksjomaty.

Powszechnie dziś przyjmowana aksjomatyka prawdopodobieństwa (zwana aksjomatami Kołmogorowa) została podana w 1933 roku przez Andrieja Kołmogorowa i pozwoliła ująć teorię prawdopodobieństwa w postaci nowoczesnej teorii aksjomatycznej.

Definicje 

Konstrukcja przestrzeni probabilistycznej  przebiega w trzech etapach:
 ustalenie niepustego zbioru  zwanego przestrzenią zdarzeń elementarnych,
 określenie na nim σ-ciała  zwanego przestrzenią zdarzeń losowych,
 określenie na  unormowanej miary  – miary probabilistycznej (prawdopodobieństwa).

Definicja prawdopodobieństwa 
Niech  będzie σ-ciałem określonym na danym zbiorze  Elementy σ-ciała nazywa się zdarzeniami losowymi.

Funkcję  o wartościach rzeczywistych nazywa się miarą probabilistyczną (prawdopodobieństwem), jeżeli spełnione są warunki:
 nieujemności (tj. prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia jest nieujemne):
  dla dowolnego zdarzenia 
 unormowania do jedności (tj. prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1):
 
 przeliczalnej addytywności (dla przeliczalnej rodziny zbiorów parami rozłącznych):
 

przy czym  gdy 

Warunki pierwszy i trzeci gwarantują, iż funkcja  jest miarą, podczas gdy drugi czyni z niej miarę probabilistyczną.

Definicja przestrzeni probabilistycznej 
Układ  nazywa się przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa 

Niech 

Wprost z aksjomatów Kołmogorowa wynikają następujące własności:
 prawdopodobieństwo jest miarą skończoną, tj. prawdopodobieństwa są określone liczbami skończonymi,
 prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest zerowe:
 
 skończona addytywność (dla skończonej rodziny zbiorów rozłącznych):
   dla  przy czym sumowanie dotyczy skończonej liczby zbiorów,
 prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
  przy czym  jest zdarzeniem przeciwnym do 
 ograniczenie górne prawdopodobieństwa:
 
 monotoniczność:
  dla 
 prawdopodobieństwo alternatywy dwóch zdarzeń (zob. zasada włączeń i wyłączeń):

Definicje prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna (dla zbiorów skończonych) 
 jest zbiorem skończonym, to zwykle przyjmuje się, że  jest rodziną wszystkich podzbiorów zbioru  a prawdopodobieństwo  dane jest wzorem
  dla każdego zbioru 

gdzie  oznacza liczbę elementów zbioru  Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo na tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Definicja geometryczna (dla zbiorów nieskończonych) 
Niech dany będzie zbiór  oraz zadana będzie miara  na tym zbiorze tak, że miara zbioru  jest skończona.

Wtedy zbiór  może pełnić rolę przestrzeni zdarzeń elementarnych, zaś określone na tym zbiorze σ-ciało  podzbiorów mierzalnych stanowi zbiór możliwych zdarzeń elementarnych.

Definicja: Prawdopodobieństwem zdarzenia  jest iloraz miary  podzbioru  przez miarę  przestrzeni  tj.
  dla każdego zbioru 

Np.
  jest przedziałem jednostkowym
 
  jest σ-ciałem podzbiorów przedziału  które są mierzalne w sensie Lebesgue’a, tj.
 
  jest miarą Lebesgue’a  określoną na  tj.
 

Mówimy wtedy, że przestrzeń probabilistyczna  realizuje tzw. geometryczną definicję prawdopodobieństwa.

Przykłady innych miar prawdopodobieństwa 
1) Niech  będzie pewną przestrzenią probabilistyczną (np. jedną z powyższych), zaś  niech będzie zmienną losową. Jeżeli  jest rozkładem prawdopodobieństwa (tzn. miarą obrazową)  tj.
  dla dowolnego   oznacza σ-ciało podzbiorów borelowskich na 

to  jest miarą probabilistyczną, wobec czego  również jest przestrzenią probabilistyczną.

2) Do ważnych przykładów miar probabilistycznych można zaliczyć miarę Dieudonnégo, miarę Diraca i standardową miarę Gaussa.

Zobacz też 
 definicje prawdopodobieństwa
 przestrzeń statystyczna

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 16.

Rachunek prawdopodobieństwa
Teoria miary