Potenz (Mathematik)

Eine Potenz (von ) ist das Ergebnis des Potenzierens (der Exponentiation), das wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation ist. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert. Dabei heißt die Zahl, die zu multiplizieren ist, Basis. Wie oft diese Basis als Faktor auftritt, wird durch den Exponenten angegeben. Man schreibt

Definition 
Man spricht   als a hoch n, n-te Potenz von a, a zur n-ten Potenz oder kurz a zur n-ten aus. Im Fall  ist auch a (zum) Quadrat üblich.

 heißt Basis (oder Grundzahl),  heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz . Das Ergebnis heißt Potenz oder Wert der Potenz.

Die Definitionsmengen sowohl auf seiten der Exponenten wie auf seiten der Basen werden im Folgenden Schritt für Schritt erweitert.

Natürliche Exponenten 
Die Potenz  wird für reelle oder komplexe Zahlen  (allgemeiner Elemente eines beliebigen multiplikativen Monoids) und natürliche Zahlen  durch
 
definiert.
Diese Definition gilt nur für  Damit die aus ihr (ebenfalls nur für ) folgende Identität  auch noch für  gilt, wird  festgelegt. (Anmerkungen zum Fall  siehe unten.)

Die folgende Modifikation erleichtert die Behandlung des Sonderfalles :

Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie der Exponent angibt“, also
 

Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, sodass man das Ergebnis 1 erhält.
 

Bei negativer Basis und geradzahligem Exponenten ist die Potenz positiv:
 

Bei negativer Basis und ungeradzahligem Exponenten ist die Potenz negativ:

Ganze negative Exponenten 
Negative Exponenten bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation (Division) durchführen soll. Also „Dividiere die Zahl 1 durch die Grundzahl so oft, wie der Betrag des Exponenten angibt“.
 

Für eine reelle Zahl  und eine natürliche Zahl  definiert man also:
 

Die analoge Definition wird auch in allgemeinerem Kontext angewandt, wann immer eine Multiplikation und inverse Elemente zur Verfügung stehen, beispielsweise bei invertierbaren Matrizen.

Rationale Exponenten 
Sei  eine rationale Zahl mit der Bruchdarstellung  mit . Für beliebige positive reelle  definiert man:

   (oder, was äquivalent ist, )

Zum Beispiel gilt:
 

Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche Bruchdarstellung man gewählt hat.

Dieselbe Definition gilt auch für . Daraus folgt, dass  für  gilt und dass  für  nicht existiert.

Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, weil die Nenner in diesem Fall gleich  sind.

Für den Fall  kann man bei Berechnungen von  alle Bruchdarstellungen  mit ungeraden  benutzen. Aber bei Benutzung von Bruchdarstellungen mit geraden  können Fehler entstehen. Zum Beispiel gilt:

Reelle Exponenten 

Ist ,  eine beliebige reelle Zahl und  eine Folge rationaler Zahlen, die gegen  konvergiert, so definiert man:

 

Diese Definition ist korrekt, d. h., der Grenzwert existiert immer und hängt nicht von der Auswahl der Folge  ab.

Zum Beispiel ist  gleich dem Grenzwert der Folge 

Die Definition lässt sich nicht auf den Fall  erweitern, da in diesem Fall der Grenzwert nicht zu existieren braucht bzw. für verschiedene Wahlen der Folge  sich verschiedene Grenzwerte ergeben.

Eine andere Definition ist über die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus möglich:
 
Dazu kann die Exponentialfunktion über ihre Reihenentwicklung definiert werden:
 

Insgesamt sind somit die Potenzen mit nichtnegativen Basen für alle reellen Exponenten definiert. Im Unterschied dazu sind die Potenzen mit negativen Basen nur für solche rationalen Exponenten definiert, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Alle Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten gehören dazu. Potenzen negativer Zahlen mit anderen reellen Exponenten lassen sich im Bereich der komplexen Zahlen definieren, sind allerdings nicht reellwertig.

Potenzgesetze 
Um die nachfolgende Tabelle nicht zu überladen, betrachten wir nur Potenzen mit reellen Basen, die ungleich  sind. Betrachtet man aber eines der unten aufgeführten Gesetze mit nur positiven Exponenten, dann ist es auch für Potenzen zur Basis  gültig. Wenn von rationalen Zahlen mit geraden oder ungeraden Nennern gesprochen wird, dann sind stets die Nenner ihrer gekürzten Bruchdarstellungen gemeint.

Ist mindestens einer der Exponenten  irrational oder sind beide rational, aber hat mindestens eine der Zahlen  oder  einen geraden Nenner, dann ist einer der Ausdrücke  oder  für  undefiniert. Ansonsten sind beide definiert und stimmen entweder überein oder unterscheiden sich nur um ihr Vorzeichen. Für beliebige , falls  ist, und für ganze , falls  ist, stimmen sie immer überein. Für  und nicht ganzzahlige, aber rationale  sind diese beiden Fälle möglich. Welcher Fall eintritt, hängt von der Anzahl der Zweien in der Primzahlzerlegung des Zählers von  und des Nenners von  ab. Um das richtige Vorzeichen auf der rechten Seite der Formel  zu erkennen, ist es hinreichend, in diese Formel  einzusetzen. Das Vorzeichen, mit dem sie dann bei  gültig ist, bleibt richtig für alle  und gegebenem . Gilt  für , dann gilt  für alle  (und auch für , falls alle Exponenten positiv sind).

Zum Beispiel gilt  und . Darum ist  für alle  und somit  für alle reellen  gültig.

Das Potenzieren ist weder kommutativ, denn beispielsweise gilt , noch assoziativ, denn beispielsweise gilt .

Die Schreibweise  ohne Klammern bedeutet , das Potenzieren ist demnach rechtsassoziativ, vgl. Operatorrangfolge.

Vertauschung von Basis und Exponent 

Wie schon erwähnt, ist das Potenzieren nicht kommutativ, was die nachfolgende Ungleichung bestätigt.

Es seien  und  sei die Eulersche Zahl. Dann gilt:

Aus der abgebildeten Figur ergibt sich folgende Implikationskette:

Analog lässt sich zeigen:

Potenzen komplexer Zahlen 
Für ganzzahlige Exponenten kann man Potenzen mit komplexen Basen wie im reellen Fall definieren. Für beliebige reelle oder komplexe Exponenten muss man jedoch anders vorgehen.

Der erste Schritt zur Definition von Potenzen mit komplexen Basen und Exponenten besteht in der stetigen Fortsetzung der Funktion  auf die Menge  der komplexen Zahlen. Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Zum Beispiel kann man die Reihe
 
benutzen, die für alle  konvergiert und für alle  die Funktion  angibt. Mithilfe von Operationen mit Reihen beweist man danach, dass
 
für beliebige  und die eulersche Formel
 
für beliebige  gelten. Daraus folgt die Formel
 ,
die man auch für die Definition von  benutzen kann. Diese Formel zeigt, dass die Wertemenge von  gleich  ist und dass diese Funktion periodisch ist mit Perioden , .

Darum ist ihre Umkehrfunktion  mehrdeutig und für alle  definiert. Sie kann mithilfe der Formel  angegeben werden, wobei  der Betrag,  die Wertemenge des Arguments von  und  der übliche reelle Logarithmus ist. Der Hauptwert  dieser Funktion ergibt sich, wenn man den Hauptwert  anstatt  benutzt. Für reelle  ist nach der üblichen Definition , deshalb stimmt diese Funktion  auf der Menge  mit dem üblichen reellen Logarithmus überein.

Für beliebige  mit  definiert man dann:
 

Das ist auch eine mehrdeutige Funktion, deren Hauptwert sich beim Einsatz von  anstatt  ergibt.

Aber für  verschwindet diese Mehrdeutigkeit und es entstehen übliche Potenzen mit ganzen Exponenten, die im ersten Abschnitt definiert wurden.
Seien  und , dann zieht die exponentielle Darstellung
 
nach sich, dass
 
gilt.

Für einen rationalen Exponenten  mit der gekürzten Bruchdarstellung , mit , hat die Potenz  genau  unterschiedliche Werte. Dies gilt insbesondere für . Ist  ungerade und , dann gibt es unter ihnen genau eine reelle Zahl, und das ist gerade die Zahl  aus dem Abschnitt 1.3.
Ist  gerade und , dann nimmt  keine reellen Werte an. Wenn aber  gerade und  ist, dann nimmt die Potenz  genau zwei reelle Werte an, die unterschiedliche Vorzeichen haben. Der positive davon ist in diesem Fall gerade gleich der Zahl  aus dem Abschnitt 1.3.

Als ein Beispiel betrachten wir die Potenz  hoch .

Aus  und
  mit 
folgt
 
Daraus ergibt sich
  mit 
Der Hauptwert entspricht  und ist gleich

Spezielle Potenzen 
Ganzzahlige Potenzen von 10 (Zehnerpotenzen) bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems. Als Potenz geschrieben, z. B. 10−9 für 0,000000001 oder 1011 für 100 Milliarden, werden sie in den Naturwissenschaften zur Darstellung sehr großer oder sehr kleiner positiver Zahlen verwendet.

In der Mathematik und Technik besonders wichtig sind weiterhin Potenzen mit der Basis , der Eulerschen Zahl.

Zweierpotenzen ergeben sich durch wiederholte Verdoppelung. Das überraschend schnelle Anwachsen der Zahlen macht Zweierpotenzen für Praxisbeispiele beliebt:
 Ein Blatt Papier üblicher Größe lässt sich nur etwa siebenmal auf die halbe Größe falten. Es hat dann 128 Lagen und nur noch ein 128-tel seiner Fläche. Wenn man es 42-mal falten könnte, was nur theoretisch geht, entspräche seine Dicke von ca. 400.000 km etwa der Entfernung von der Erde zum Mond.
 Jeder Mensch hat zwei biologische Eltern und die meisten haben vier Großeltern und acht Urgroßeltern. Ohne Ahnenverlust wären das vor 70 Generationen, zur Zeit Christi Geburt,  Ahnen, obwohl damals weniger als 109 Menschen gelebt haben.
 Die Weizenkornlegende vom Erfinder des Schachspiels, der auf jedem Feld des Schachbrettes die Anzahl der Weizenkörner verdoppelte, verdeutlicht ebenfalls das rasante Wachstum der Zweierpotenzen.

Zur digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Dualsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind daher die Zweierpotenzen, also die Potenzen zur Basis 2 (das sind 1, 2, 4, 8, 16, …). Ein Kibibyte (abgekürzt KiB) entspricht  Bytes.

Bei Schneeballsystemen, zum Beispiel sogenannten Schenkkreisen, werden zum Teil Systeme gestartet, die nicht nur eine Verdoppelung, sondern zum Beispiel eine Verachtfachung der neuen Mitglieder pro Schritt vorsehen. Solche Folgen wachsen derart schnell an, dass die Systeme bereits nach wenigen Schritten zwangsläufig kollabieren. Eine oft von den Initiatoren suggerierte Stabilität der Schneeballsysteme kann nicht bestehen. Sie sind daher aus gutem Grunde in vielen Ländern verboten.

Null hoch Null

Analysis 

Die Frage, ob und auf welche Weise dem Ausdruck  ein eindeutiger Wert zugeordnet werden kann, hat die Mathematiker spätestens seit der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts beschäftigt.

Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht in ihrer 3D-Darstellung des Graphen der Funktion , dass beliebige Werte  durch geeignete Wahl von Näherungspunkten  an den Ursprung  erreicht werden können. So ist z. B.
 ,
 ,
    mit ,  und ,
  und
 .
Die Beispiele zeigen, dass die Funktion  an der Stelle  divergiert, denn ein Grenzwert von der Art   existiert offensichtlich nicht.

Ein Ausdruck, der unter dem Zeichen des Grenzwertes steht und der sich nicht auf Grund von Grenzwertsätzen und Stetigkeitseigenschaften berechnen lässt, heißt unbestimmter Ausdruck. Beispiele sind  sowie . Letzterer Ausdruck entsteht bei Berechnungen von Potenzen, deren Basis und Exponent gleichzeitig gegen  geht, und kann nicht bestimmt werden, wenn es keine Beziehung zwischen den beiden gibt.

Als einen unter naheliegenden Umständen geeigneten Wert kann man  (das ist in der Abbildung die Gerade , weil  für beliebige  gilt) oder  (der Strahl , weil  für  gilt) ansehen. Es gibt aber auch moderne Analysislehrbücher, die die Potenz  (in dieser Form) ausdrücklich undefiniert lassen.

Bis Anfang des 19. Jahrhunderts haben Mathematiker anscheinend  gesetzt, ohne diese Festlegung genauer zu hinterfragen. Augustin-Louis Cauchy listete allerdings  gemeinsam mit anderen Ausdrücken wie  in einer Tabelle von unbestimmten Ausdrücken. 1833 veröffentlichte Guillaume Libri eine Arbeit, in der er wenig überzeugende Argumente für  präsentierte, die in der Folge kontrovers diskutiert wurden. Zur Verteidigung von Libri veröffentlichte August Ferdinand Möbius einen Beweis seines Lehrers Johann Friedrich Pfaff, der im Wesentlichen zeigte, dass   gilt, und einen angeblichen Beweis für  , falls   gelten, lieferte. Die Korrektheit dieses Beweises wurde durch das Gegenbeispiel  und  rasch widerlegt.

Donald E. Knuth erwähnte 1992 im American Mathematical Monthly die Geschichte der Kontroverse und lehnte die Schlussfolgerung entschieden ab, dass  undefiniert gelassen wird. Wenn man den Wert 1 für die Potenz  nicht voraussetzt, verlangen viele mathematische Aussagen wie zum Beispiel der binomische Satz
 
eine Sonderbehandlung für die Fälle  (am Index ) oder  (am Index ) oder  (bei 

Ebenso kommt die Potenz  in Potenzreihen wie beispielsweise für die Exponentialfunktion
 
für  am Index  oder in der Summenformel für die geometrische Reihe
 
für  am Index  vor. Auch hier hilft die Konvention .

Die angeführten Anwendungsfälle der Potenz  sind (wie außerordentlich viele ähnliche andere) Aussagen über Polynome, Multinome oder Potenzreihen, bei denen der Exponent  des Terms  konstant 0 ist und die Basis  – eher ausnahmsweise – den Wert 0 annehmen kann. In allen diesen Fällen sind die vorkommenden Terme stetige Summanden oder Faktoren, die für invertierbares  den Wert 1 haben, deren Wert dann auch für die Lücke  mühelos (und ganz im Sinn von ) als 1 stetig ergänzt werden kann.

Knuth differenziert jedoch und schreibt: “Cauchy had good reason to consider  as an undefined limiting form” (deutsch etwa: Cauchy hatte guten Grund,  als unbestimmten Limes-Ausdruck zu betrachten), wobei er unter der limiting form  Grenzprozesse der Form  versteht, bei denen sich sowohl die Basis  wie der Exponent  für ein gewisses  der 0 beliebig nähern.

Mit dieser Maßgabe von D. E. Knuth sind die einfachen Fälle der Absolutglieder in Polynomen und Potenzreihen unmittelbar und pauschal gelöst, ohne dass es zu einem Konflikt mit einer detaillierten Betrachtung komplizierterer Grenzprozesse käme.

Mengenlehre 
In der Mengenlehre wird eine Potenz  zweier Mengen als Menge aller Funktionen von  nach  definiert, das heißt als Menge von Mengen  geordneter Paare , sodass es zu jedem  genau ein  gibt mit . Bezeichnet man mit  die Mächtigkeit von , so gilt  (für endliche Mengen, aber auch darüber hinaus), was die Potenzschreibweise für Mengen rechtfertigt. Nun gibt es genau eine auf der leeren Menge  definierte Funktion, das heißt Menge von Paaren mit obiger Eigenschaft, nämlich . Daher gilt , was auch für  richtig bleibt.

Die natürlichen Zahlen werden in der Mengenlehre rekursiv wie folgt definiert (siehe von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen):
 
Demnach gilt in der Mengenlehre:

Umkehrfunktionen 
Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt, gibt es zwei Umkehrrechenarten:
 das Wurzelziehen, um Gleichungen der Bauart  nach  aufzulösen, also um die Basis zu ermitteln, wenn der Exponent bekannt ist,
 das Logarithmieren für Gleichungen des Typs , also die Bestimmung des Exponenten, wenn die Basis gegeben ist.

Verallgemeinerungen

Allgemeinere Basen 
Allgemein gibt es Potenzen mit positiven, ganzzahligen Exponenten in jeder Halbgruppe. Hat diese ein neutrales Element und wird dadurch zum Monoid , so ist auch Exponent 0 sinnvoll,  ist dann immer das neutrale Element. Es gelten für alle  die Potenzgesetze
 
 
 , falls  und  vertauschen, d. h. wenn  gilt.

Ist  ein invertierbares Element, so kann man mittels
  für 
Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten definieren. Die Rechenregeln gelten analog. Im Fall abelscher Gruppen besagen sie, dass durch die Potenzierung die Struktur eines -Moduls induziert wird.

Allgemeinere Exponenten 
Allgemeinere Exponenten wie Matrizen werden meist nur im Zusammenhang mit der Basis , also als Werte der verallgemeinerten Exponentialfunktion betrachtet.

Darüber hinaus wird die Potenzschreibweise gelegentlich auch für andere natürliche Fortsetzungen verwendet. So werden beispielsweise in der algebraischen Zahlentheorie gelegentlich Potenzen von Elementen von (topologischen) Galoisgruppen mit Exponenten in Vervollständigungen von  betrachtet; es handelt sich dann um die jeweils eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung der Abbildung
 
Für beliebige Kardinalzahlen  und  lässt sich die Potenz durch  definieren, wobei  die Menge aller Funktionen mit Urmenge  und Bildmenge  bezeichnet, diese Verallgemeinerung setzt das Potenzmengenaxiom voraus, wobei zur Handhabung der Kardinalzahlen in der Regel auch das Auswahlaxiom angenommen wird.

Mehrdeutigkeit der Exponentenschreibweise 
Die Exponentenschreibweise kann insbesondere bei Funktionen verschiedene Bedeutungen haben, je nachdem, ob die Schreibweise die Iteration der Verkettung oder der punktweisen Multiplikation wiedergeben soll. Darüber hinaus könnte auch ein oberer Index gemeint sein. In der Regel geht aus dem Kontext hervor, was gerade gemeint ist.

Verkettung 
Die Potenzschreibweise wird oft als abkürzende Schreibweise für die Verkettung von Funktionen, deren Werte wieder im Definitionsbereich liegen, verwendet, zum Beispiel für Iterationen in dynamischen Systemen.

Man definiert, wobei id die Identität auf dem Definitionsbereich bezeichnet, rekursiv:

 
für , also
 
und so weiter.

Für die Funktionswerte bedeutet dies
 
und allgemein
 

Als Erweiterung dieser Definition definiert man üblicherweise noch  als die Umkehrfunktion von . Insbesondere findet sich diese Schreibweise auch auf vielen Taschenrechnern, beispielsweise wird dort und auch sonst die Arkusfunktion  mit  bezeichnet. Oft bezeichnet  auch die Urbildfunktion.

Multiplikation 
Als abkürzende Schreibweise für die Multiplikation mehrerer Funktionswerte trigonometrischer Funktionen mit gleichen Argumenten, wie sie beispielsweise bei den Additionstheoremen für Winkelfunktionen häufig auftreten, hat sich ebenfalls die Potenzschreibweise eingebürgert, das heißt, man schreibt
 .
Dies ist nicht mit der oben vorgestellten Schreibweise für die Verkettung von Funktionen verträglich. Gleiches gilt für Polynome. Mit  meint man immer das -fache Produkt der Unbestimmten  mit sich selbst. Da die Unbestimmte als Polynomfunktion die identische Abbildung ist, wäre die Potenzschreibweise als Iteration von Funktionen hier nicht sinnvoll.

Oberer Index 
Für indizierte Größen schreibt man den Index manchmal hochgestellt, sodass in den Formeln der Eindruck einer Potenzierung entstehen könnte. Das kommt besonders in der Tensorrechnung vor, etwa bei der Bezeichnung von Vektorfeldern in Koordinatenschreibweise, oder bei der Indizierung von Größen, die ihrerseits bereits indiziert sind, etwa Folgen von Folgen.

Ableitung 
Wird der Exponent in Klammern geschrieben, so ist meist die entsprechende Ableitung gemeint,  bezeichnet dann die -te Ableitung der Funktion .

Potenzwert mit Zirkel und Lineal 
Der Wert einer Potenz kann auch – so wie die Quadratwurzel, die Multiplikation und die Division – als Konstruktion mit Zirkel und Lineal mithilfe des Strahlensatzes dargestellt werden. Die Bedingung dabei ist: Die Basis  ist eine reelle Zahl und der Exponent eine positive ganze Zahl. 

Es ist zu unterscheiden, ob die Basis  größer oder kleiner als die Zahl  ist. Im Folgenden werden beide Möglichkeiten für einen Potenzwert gleich  beschrieben. Dabei wird auch die Vorgehensweise für Potenzwerte ,  und   erkennbar.

Konstruktion für a > 1 

Zunächst zieht man durch den vorher bestimmten Punkt  den ersten Strahl und bestimmt darauf die Länge gleich . Es folgt der Halbkreis mit dem Radius  um den Punkt  die Schnittpunkte sind  und  Nun wird eine Senkrechte zu  in  errichtet, bis sie den Halbkreis in  schneidet. Das Einzeichnen des zweiten Strahls durch den Punkt  schließt sich an.

Weiter geht es mit dem Errichten einer Senkrechten auf dem zweiten Strahl im Punkt , bis sie den ersten Strahl in  schneidet. Die Strecke  entspricht dem Potenzwert  Jetzt wird eine Senkrechte auf dem ersten Strahl im Punkt  errichtet, bis sie den zweiten Strahl in  schneidet. Schließlich liefert eine letzte Senkrechte auf dem zweiten Strahl im Punkt  den Potenzwert  als Strecke .

 Die beiden gestrichelten Linien sowie die Punkte  und  werden für die Lösung des Potenzwertes  nicht benötigt. Sie dienen lediglich der Verdeutlichung wie der Potenzwert  bestimmt werden kann.

Konstruktion für a < 1 

Zuerst werden z. B. auf einer Zahlengeraden die Längen  und  als Strecken  bzw.  aufgetragen. Anschließend wird der Halbkreis über  eingezeichnet. Es folgen die Halbierung der Strecke  in  und das Ziehen des Kreisbogens mit Radius  um , bis er den Halbkreis in  schneidet. Nun wird das Lot ab  auf die Zahlengerade mit Fußpunkt  gefällt. Die Strecke  entspricht dem Potenzwert  Nach den Verbindungen der Punkte  mit  sowie  mit  ergibt sich am Scheitel  ein rechter Winkel.

Weiter geht es mit dem Ziehen einer Parallelen zur Strecke  ab , bis sie  in  schneidet. Der nun folgende Kreisbogen mit Radius  um  schneidet den Zahlenstrahl in  Die Strecke  entspricht dem Potenzwert  Eine Parallele zur Strecke  ab  schneidet  in . Abschließend wird der Kreisbogen mit Radius  um  gezogen, bis er den Zahlenstrahl in  schneidet. Die Strecke  ist der gesuchte Potenzwert

Technische Schreibweise

Darstellung 

Die Schreibweise  mit hochgestelltem Exponenten ist praktisch und gut lesbar in handgeschriebenen Formeln und im Schriftsatz, aber unpraktisch bei Schreibmaschinen und Terminals, bei denen die Zeichen einer Zeile alle auf einer Höhe stehen. Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist, verwendet man in Anlehnung an gängige Programmiersprachen oft die Schreibweise a^b oder auch a**b

Zehnerpotenzen werden in der elektronischen Datenverarbeitung oder in der Anzeige auf Taschenrechnern häufig mit e oder E dargestellt.
Häufig anzutreffende Darstellung für z. B. −299792458 = −2,99792458·108

In Programmiersprachen 
Programmiersprachen verwenden unterschiedliche Wege, um eine Potenz darzustellen:
 x ↑ y: ALGOL, Commodore BASIC
 x ^ y: BASIC, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX (und seine Ableger), TI-Basic, bc (für ganzzahlige Exponenten), Haskell (für nicht negative ganzzahlige Exponenten), Lua, ASP und die meisten Computeralgebrasysteme
 x ^^ y: Haskell (für rationale Basis und ganzzahlige Exponenten), D
 x ** y: Ada, Bash, COBOL, Fortran, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PHP, PL/I, Python, REXX, Ruby, SAS, Seed7, Tcl, ABAP, Haskell (für Gleitkomma-Exponenten), Turing, VHDL, JavaScript
 x⋆y: APL
 (expt x y): Common Lisp
 x sup y : eqn
In vielen Programmiersprachen gibt es statt eines Potenzoperators eine entsprechende Bibliotheksfunktion, beispielsweise pow(x,y) in C, Math.pow(x,y) in Java oder JavaScript und Math.Pow(x,y) in C#.

Verwandte Themen 
 Exponentialfunktion ist eine Funktion mit variablem Exponenten, die Potenzfunktion mit variabler Basis.
 Entsprechende Folgen sind die geometrische Folge und die Potenzfolge.
 Die binäre Exponentiation ist ein effizientes Verfahren zur Potenzierung mit natürlichen Exponenten.
 Als Potenzturm werden Potenzen bezeichnet, deren Basis und/oder Exponent selbst eine Potenz ist.
 Größenordnung, wissenschaftliche Notation – zur Darstellung von Zahlen mittels Potenzen.

Siehe auch 
 Perfekte Potenz

Weblinks

Einzelnachweise