Bijektive Funktion

Bijektivität (zum Adjektiv bijektiv, welches etwa ‚umkehrbar eindeutig auf‘ bedeutet – daher auch der Begriff eineindeutig bzw. substantivisch entsprechend Eineindeutigkeit) ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre. Er bezeichnet eine spezielle Eigenschaft von Abbildungen und Funktionen. Bijektive Abbildungen und Funktionen nennt man auch Bijektionen. Die zu einer mathematischen Struktur auftretenden Bijektionen haben oft eigene Namen wie Isomorphismus, Diffeomorphismus, Homöomorphismus, Spiegelung oder Ähnliches. Hier sind dann in der Regel noch zusätzliche Forderungen in Hinblick auf die Erhaltung der jeweils betrachteten Struktur zu erfüllen.

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmengen und Zielmengen stattfindet. Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge dieselbe Mächtigkeit, im Falle endlicher Mengen also gleich viele Elemente.

Die Bijektion einer Menge auf sich selbst heißt auch Permutation. Auch hier gibt es in mathematischen Strukturen vielfach eigene Namen. Hat die Bijektion darüber hinausgehend strukturerhaltende Eigenschaften, spricht man von einem Automorphismus.

Eine Bijektion zwischen zwei Mengen wird manchmal auch eine bijektive Korrespondenz genannt.

Definition 
Seien  und  Mengen und sei  eine Abbildung oder eine Funktion, die von  nach  abbildet, also . Dann heißt  bijektiv, wenn für alle  genau ein  mit  existiert, formal: .

Das bedeutet:
 ist bijektiv dann und nur dann, wenn  sowohl
(1) injektiv ist:
Kein Wert der Zielmenge  wird mehrfach angenommen. Mit anderen Worten: Das Urbild jedes Elements der Zielmenge  besteht aus höchstens einem Element von . Aus  folgt daher immer .
als auch
(2) surjektiv ist:
Jedes Element der Zielmenge  wird angenommen. Mit anderen Worten: Die Zielmenge  und die Bildmenge  stimmen überein, also . Für jedes  aus  existiert daher (mindestens) ein  aus  mit .

Grafische Veranschaulichungen

Beispiele und Gegenbeispiele 
Die Menge der reellen Zahlen wird hier mit  bezeichnet, die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit .

 Die Funktion  ist bijektiv mit der Umkehrfunktion .
 Ebenso ist für  die Funktion  bijektiv mit der Umkehrfunktion .
 Beispiel: Ordnet man jedem (monogam) verheirateten Menschen seinen Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zu, ist dies eine Bijektion der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst. Dies ist sogar ein Beispiel für eine selbstinverse Abbildung.

 Die folgenden vier Quadratfunktionen unterscheiden sich nur in ihren Definitions- bzw. Wertemengen:

Mit diesen Definitionen ist
 nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
 injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
 nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv
 injektiv, surjektiv, bijektiv

Eigenschaften 
 Sind  und  endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und ist  eine Funktion, dann gilt:
 Ist  injektiv, dann ist  bereits bijektiv.
 Ist  surjektiv, dann ist  bereits bijektiv.

 Insbesondere gilt also für Funktionen  von einer endlichen Menge  in sich selbst:
  ist injektiv ⇔  ist surjektiv ⇔  ist bijektiv.
 Für unendliche Mengen ist das im Allgemeinen falsch. Diese können injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge auf sich selbst, die keine Bijektionen sind. Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben, siehe dazu auch Dedekind-Unendlichkeit.

 Sind die Funktionen  und  bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung . Die Umkehrfunktion von  ist dann .

 Ist  bijektiv, dann ist  injektiv und  surjektiv.

 Ist  eine Funktion und gibt es eine Funktion , die die beiden Gleichungen
 ( = Identität auf der Menge )
 ( = Identität auf der Menge )
erfüllt, dann ist  bijektiv, und  ist die Umkehrfunktion von , also .
 Die Menge der Permutationen einer gegebenen Grundmenge  bildet zusammen mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe, die sogenannte symmetrische Gruppe von .

Geschichte des Begriffs 
Nachdem man lange mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam schließlich Mitte des 20. Jahrhunderts im Zuge der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Die Begriffe bijektiv, injektiv und surjektiv wurden in den 1950ern von der Autorengruppe Nicolas Bourbaki geprägt.

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise 

Mathematischer Grundbegriff