Funkcja

Funkcja ( „odbywanie, wykonywanie, czynność”) – dla danych dwóch zbiorów  i  przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru  dokładnie jednego elementu zbioru . Oznacza się ją na ogół  itd.

Jeśli funkcja  przyporządkowuje elementom zbioru  elementy zbioru  to zapisujemy to następująco:
 

Zbiór  nazywa się dziedziną, a zbiór  – przeciwdziedziną funkcji  Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru  do zbioru  oznacza się często .
Ponadto:
 dziedzinę czasami nazywa się zbiorem argumentów funkcji f,
 przeciwdziedzinę nazywa się czasem zbiorem wartości funkcji, chociaż właściwszym stwierdzeniem jest: przeciwdziedzina zawiera w sobie zbiór wartości funkcji,
 każdy element  zbioru  nazywa się argumentem funkcji,
 każdy element  nazywa się wartością funkcji,
 mówi się także, że  jest przekształceniem lub odwzorowaniem zbioru  w zbiór ,
 zbiór  jest obrazem podzbioru  zbioru  w przekształceniu ,
 dla każdego elementu  przeciwobrazem elementu  (dokładniej pełnym przeciwobrazem) nazywamy zbiór  jeśli  to ,
 przeciwobrazem podzbioru  nazywamy zbiór  jeżeli  to .

Wykres funkcji 

Wykresem funkcji  nazywa się zbiór  Z definicji funkcji wynika, że dla każdego  istnieje dokładnie jeden taki  że  Jeśli  jest funkcją ciągłą, to jej wykres jest krzywą w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

Wykres funkcji jednoznacznie ją określa. Jeśli  to  przy czym  jest jedynym takim elementem.

Definicja Peana funkcji (za pomocą wykresu) 
W teorii mnogości często stosuje się następującą definicję funkcji, pochodzącą od Peana:
 Relacja  jest funkcją, jeśli:
 ,
 

Faktycznie utożsamia się w niej funkcję z jej wykresem. Jest użyteczna w tworzeniu systemów aksjomatycznych pewnych teorii, bowiem funkcja jest wtedy pojęciem pochodnym względem aksjomatyki teorii mnogości.

Funkcje liczbowe 
Ważną klasą funkcji są funkcje
  (zbiór  jest zbiorem liczb zespolonych)

nazywane funkcjami o wartościach liczbowych.

W zbiorze funkcji liczbowych określonych na ustalonym zbiorze  można zdefiniować działania arytmetyczne:
 Dla  funkcja  przyjmuje dla każdego  wartość 
 Dla  funkcja  przyjmuje dla każdego  wartość 
 Dla  funkcja  przyjmuje dla każdego  wartość 
 Dla  i  funkcja  przyjmuje dla każdego  wartość 
 Dla  i  funkcja  przyjmuje dla każdego  wartość 

Funkcja  jest ograniczona, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia  że dla każdego  spełniona jest nierówność 

Jeśli funkcja liczbowa  przyjmuje jedynie wartości rzeczywiste
 

to nazywa się ją funkcją o wartościach rzeczywistych.

Dla funkcji o wartościach rzeczywistych wyniki powyżej zdefiniowanych czterech działań arytmetycznych są funkcjami o wartościach rzeczywistych. Wyjątkiem jest mnożenie przez stałą, która powinna być rzeczywista, aby w wyniku mnożenia funkcji o wartościach rzeczywistych przez tę stałą uzyskać funkcję o wartościach rzeczywistych.

Funkcjami liczbowymi nazywamy:
  gdzie  (jest to funkcja zespolona)
  gdzie  (jest to funkcja rzeczywista)

Można także mówić o funkcjach liczbowych wielu zmiennych (rzeczywistych lub zespolonych):
  gdzie 
  gdzie 

których dziedzina jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego zbioru liczb rzeczywistych lub zbioru liczb zespolonych, które zapisuje się:
  gdzie  są współrzędnymi punktu w  lub odpowiednio w

Rodzaje funkcji liczbowych 

 funkcja rosnąca;
 funkcja malejąca;
 funkcja nierosnąca;
 funkcja niemalejąca;
 funkcja monotoniczna – funkcja rosnąca lub funkcja malejąca, lub funkcja nierosnąca, lub funkcja niemalejąca;
 funkcje ograniczone – funkcja, której zbiór wartości jest ograniczony;
 funkcja parzysta – wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych;
 funkcja nieparzysta – wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;
 funkcja okresowa;
 funkcja ciągła;
 funkcja różniczkowalna – funkcja, dla której istnieje pochodna w każdym punkcie jej dziedziny.

Sposoby określania funkcji 

Jeżeli dziedzina  jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary (argument, wartość). Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Funkcje liczbowe można definiować za pomocą wzorów. Jest to sposób analityczny. W tym celu wykorzystuje się pewien zasób funkcji (wielomiany, funkcje elementarne itp.), działania algebraiczne, złożenie funkcji i operację przejścia do granicy (w tym operacje analizy matematycznej, takie jak różniczkowanie, całkowanie i sumowanie szeregów).

Klasa funkcji, które można przedstawić za pomocą szeregu (potęgowego, trygonometrycznego itp.) jest bardzo szeroka. Każdą funkcję elementarną można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego zwanego szeregiem Taylora.

Przedstawić analitycznie funkcję można w sposób jawny, tzn. jako  lub jako tak zwaną funkcję uwikłaną, tzn. za pomocą równania .

Czasem funkcja jest dana kilkoma wzorami, na przykład:
 

Do określenia funkcji można też stosować metodę opisową. Na przykład funkcja Dirichleta jest funkcją, która dla argumentów wymiernych przyjmuje wartość 1, a dla argumentów niewymiernych 0.

Funkcja może na ogół być określona na wiele sposobów. Na przykład funkcję sgn (x) można określić w taki sposób:
 

albo w taki:
 

Dla funkcji rzeczywistych o wartościach rzeczywistych stosowano tabelaryczny sposób określania funkcji. Obecnie w dobie kalkulatorów i arkuszy kalkulacyjnych tabele wartości funkcji logarytmicznych i trygonometrycznych i innych nie są już niezbędne, ale bywają wykorzystywane.

Ważnym sposobem przedstawiania i badania funkcji jest jej wykres, który dla funkcji  w przypadku funkcji ciągłej jest krzywą na płaszczyźnie.

Przykłady funkcji liczbowych określonych za pomocą wzoru 
  – funkcja liniowa
  – funkcja kwadratowa
  – funkcja wielomianowa
 
 
 
 
  – funkcja jawna zapisana jako uwikłana
  – funkcja uwikłana (równanie okręgu)

Funkcja jako związek między zmiennymi 
Zamiast mówić o funkcji jako o relacji między zbiorami, można też mówić o zależności (związku) między dwiema zmiennymi  i  gdzie pierwsza z nich przyjmuje wartości ze zbioru  a druga przyjmuje wartości ze zbioru  wtedy  nazywa się zmienną niezależną, a  – zmienną zależną. Taka interpretacja funkcji jest często używana w analizie matematycznej i zastosowaniach matematyki w innych naukach. W tym wypadku niezależność zmiennej  oznacza, że może się ona zmieniać w dowolny sposób, a zależność zmiennej  oznacza, że jej zmiany są zależne od zmian zmiennej  Na przykład droga  w ruchu jednostajnym o prędkości  jest zależna od czasu  ruchu i wyraża się wzorem:
 

W praktyce często się zdarza, że zbiór  jest opisywany przez kilka zmiennych niezależnych  Mówimy wtedy, że zmienna  jest funkcją zmiennych  Na przykład siła  działająca na ciało jest zależna od masy  ciała i jego przyspieszenia

Przykłady funkcji

W matematyce 
Definicję funkcji spełniają na przykład:
 działania arytmetyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Można je traktować jako funkcje liczbowe dwóch lub większej liczby zmiennych.
 Jednoargumentowe działania na liczbach: zaokrąglanie, podłoga i sufit oraz część ułamkowa, wartość bezwzględna, liczba przeciwna (przykład funkcji liniowej), liczba odwrotna (przykład funkcji wymiernej),
 średnie: arytmetyczna, geometryczna i inne. To funkcje dwóch lub dowolnej liczby zmiennych. Można je traktować jako funkcje na ciągach lub multizborach liczb.
 inne funkcje statystyczne, np. mediana, moda, minimum i maksimum,
 funkcje teorioliczbowe: największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb całkowitych,
 przekształcenia geometryczne: odbicie względem prostej lub punktu i inne symetrie, obrót względem punktu lub osi, jednokładność, dylatacja, inwersja i wiele innych,
 odległość między punktami (w ogólności metryka), długość wektora (w ogólności norma),
 Średnica zbioru – funkcja ze zbioru potęgowego dowolnej przestrzeni metrycznej,
 długość linii (łamanej lub ogólnie krzywej), w szczególności obwód dla krzywych zamkniętych,
 pole powierzchni, objętość, prawdopodobieństwo i inne przykłady miary.
 działania na zdaniach lub formułach: negacja, implikacja, alternatywa, alternatywa rozłączna, koniunkcja, dysjunkcja, równoważność,
 same formuły zdaniowe: przyporządkowanie termom zdania,
 wartość logiczna,
 działania na zbiorach,
 działania na ciągach skończonych, jak permutacja (np. inwersja) oraz konkatenacja,
 układ współrzędnych to funkcja z przestrzeni geometrycznej (zwłaszcza rozmaitości) w przestrzeń kartezjańską.

W fizyce 

Wszystkie wielkości fizyczne rozpatruje się jako funkcje innych zmiennych:
 Jednostki fizyczne są często funkcjami liniowymi innych jednostek, np. temperatura w skali Fahrenehita jest liniową funkcją tej Celsjusza.
 Czasami jednostki są logarytmicznymi funkcjami innych jednostek, np. poziom natężenia dźwięku, wysokość dźwięku, jasność absolutna,
 W statyce: przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego masy oraz środka masy. Zgodnie z prawem Hooke’a siła nacisku lub naciągu jest proporcjonalna do odkształcenia ciała (dla odpowiednio małych wartości tych parametrów). To funkcje liniowe siebie nawzajem. Ich zależność opisują współczynnik sprężystości, moduł Younga i inne. Tarcie jest liniową funkcją siły nacisku.
 W kinematyce: ruch ciał fizycznych opisywany jest przez wektor położenia lub przemieszczenia  oraz skalary odległości lub drogi s. Wszystkie są funkcjami czasu. Ta pierwsza to tzw. trajektoria lub linia świata. Na ich podstawie są oparte inne funkcje czasu: prędkość i przyspieszenie.
 W dynamice: pęd jest funkcją dwóch zmiennych: masy i prędkości, przy czym obydwie mogą być funkcjami czasu. Siła okazuje się pochodną pędu po czasie (II zasada dynamiki). Praca jest funkcją siły i przesunięcia ciała, a energia może być zależna od różnych wielkości. Energia kinetyczna ruchu ciała jest zależna od masy ciała i jego prędkości; energia potencjalna grawitacji jest (w przypadku grawitacji ziemskiej) zależna od masy ciała i jego odległości h od powierzchni Ziemi; przyrost energii cieplnej cieczy jest funkcją masy cieczy i przyrostu jej temperatury T
 W bardziej zaawansowanej mechanice definiuje się też inne wielkości dynamiczne: lagranżjan, działanie i hamiltonian, które też są funkcjami mas, położeń i prędkości.
 Liczne pola fizyczne: funkcje z przestrzeni lub czasoprzestrzeni w zbiór skalarów, wektorów, tensorów itp.
 prąd jest funkcją napięcia – w prostych wypadkach opisywaną przez prawo Ohma.
 W termodynamice: objętość ciał oraz ich gęstość jest funkcją temperatury – rozszerzalność cieplna
 W mechanice kwantowej wektor stanu bywa funkcją, a konkretniej zespolonym polem skalarnym – tzw. funkcja falowa.
 Tensory: formy wieloliniowe, czyli funkcje wielu wektorów i kowektorów. Są używane w statyce (wytrzymałość materiałów), w optyce (dwójłomność) oraz w ogólnej teorii względności Einsteina.

W innych dziedzinach 
Funkcja może wyrażać własność pewnego obiektu, dlatego obejmuje bardzo wiele pojęć z nauk empirycznych. Jako funkcję można też traktować każdą relację równoważności zachodzącą między dokładnie dwoma obiektami – jest to tzw. inwolucja.

Astronomia:
 położenie ciał niebieskich na niebie (współrzędne astronomiczne) jest funkcją czasu oraz współrzędnych geograficznych,
 okres obiegu planety wokół Słońca jest malejącą funkcją promienia jej orbity, zgodnie z III prawem Keplera,
 jasność obserwowana gwiazdy jest funkcją jej jasności absolutnej i odległości od obserwatora,
 krzywa rotacji galaktyki – prędkość gwiazdy względem galaktyki jest funkcją odległości od jej środka,
 przesunięcie ku czerwieni widm odległych galaktyk jest funkcją ich odległości od Ziemi – zgodnie z prawem Hubble’a,
 Diagram HR opisuje moc promieniowania i temperaturę gwiazdy w funkcji czasu.

Chemia:
 Przykładowo liczba atomowa, blok, grupa i okres w UOP albo liczba elektronów walencyjnych to funkcje na zbiorze pierwiastków chemicznych. Ta pierwsza jest różnowartościowa, a pozostałe – nie.
 liczba masowa i liczba neutronowa to funkcje na zbiorze nuklidów (wszystkie izotopy wszystkich pierwiastków),
 masa cząsteczkowa – funkcja na zbiorze molekuł albo związków,
 jądro lustrzane – bijekcja w zbiorze nuklidów,
 odbicie lustrzane – bijekcja w zbiorze cząsteczek chiralnych,
 własności makroskopowe subtancji jak temperatura wrzenia, temperatura topnienia itp.,
 skala pH jest logarytmiczną funkcją altywności jonów hydroniowych.

Biologia:
 Przykładem nieliczbowej funkcji jest kod genetyczny. Zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta nie może być funkcją różnowartościową, czyli innymi słowy jest zdegenerowany.
 mutacje genowe – zmiana sekwencji nukleotydów, np. substytucja, delecja, insercja,
 komplementarny nukleotyd lub cała nić DNA,
 krzywa wzrostu i inne parametry populacji.

Medycyna i fizjologia:
 BMI – funkcja dwóch zmiennych: wzrostu i wagi
 EKG i EEG – funkcje napięcia między elektrodami od czasu,

Geografia fizyczna, geodezja i inne nauki o Ziemi:
 wysokość bezwzględna, temperatura, ciśnienie atmosferyczne, a dla zbiorków wodnych zasolenie – funkcje współrzędnych geograficznych. To przykłady funkcji wielu zmiennych – konkretniej pól skalarnych.
 Temperatura i ciśnienie są też funkcją współrzędnych geograficznych i wysokości bezwzględnej,
 średnia temperatura atmosfery ziemskiej jest od XX w. funkcją rosnącą – globalne ocieplenie.

Geografia społeczna, demografia i socjologia:
 piramida wieku danemu wiekowi lub przedziałowi wieku przyporządkowuje odsetek osób w tym wieku. Dla społeczeństw młodych jest to funkcja malejąca. Niże i echa niżów demograficznych to lokalne minima tej funkcji.
 opinia publiczna, np. procentowe poparcie dla danej opcji politycznej albo decyzji jest funkcją czasu, a także wieku, płci i regionu.

Ekonomia:
 funkcje podaży i popytu,
 cena, np. kurs walutowy,
 rozmaite parametry gospodarki: PKB, inflacja, dług publiczny, HDI itd. Można je traktować jako funkcje na zbiorze państw, a dla danego państwa: funkcje od czasu.
 Liczne krzywe ekonomiczne, np. Laffera i Phillipsa

Psychologia:
 wyniki testów IQ są rosnącą funkcją czasu – efekt Flynna,
 funkcja komfortu psychicznego obserwatora od podobieństwa androida do człowieka ma lokalne minimum – to tzw. dolina niesamowitości,
 wiele wyników testów psychometrycznych w populacji, np. IQ i EQ jest opisanych funkcją rozkładu normalnego.

Pojęcia

Złożenie. Iteracja 

Mając dwie funkcje  i  można utworzyć funkcję złożoną  określoną wzorem 

Wielokrotne złożenie funkcji  nosi nazwę iteracji. Ściśle: -tą iteracją funkcji  nazywa się funkcję

Funkcja różnowartościowa 

Funkcję  nazywa się funkcją różnowartościową lub iniekcją, gdy dla każdych dwóch różnych argumentów przyjmuje różne wartości, tzn. dla dowolnych dwóch  zachodzi warunek
  lub równoważnie 

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem

Funkcja „na” 

Funkcję  nazywa się funkcją „na” lub suriekcją, jeżeli jej przeciwdziedzina  jest równocześnie jej zbiorem wartości funkcji. Oznacza to, że dla każdego  istnieje co najmniej jeden taki  że

Funkcja wzajemnie jednoznaczna 

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i „na” nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją. Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu  dokładnie jedno  (i na odwrót). Bijekcja  może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory  i  mają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję  nazywa się permutacją.

Funkcja odwrotna 

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję  taką, że  którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

Zawężenie i przedłużenie 

Dla funkcji  można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru  Jest to funkcja  taka, że  dla każdego  Nazywa się ją też funkcją częściową dla funkcji f.

Jeżeli  jest funkcją, a  jest jej zawężeniem do zbioru  to dla dowolnego zbioru  mamy 

Z drugiej strony, dla  można przedłużyć funkcję  zachowawszy często pewną regułę, otrzymując w ten sposób funkcję  Można np. wymagać, by przedłużenie  funkcji  było ciągłe, różniczkowalne lub okresowe.

Rys historyczny 
Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, którzy badali dość szeroki krąg zależności funkcyjnych. Pojęcie funkcji w postaci początkowej pojawiało się w średniowieczu, lecz dopiero w pracach matematyków XVII wieku, Fermata, Kartezjusza, Newtona i Leibniza, zaczęło być traktowane jako obiekt badań. Newton używał terminu fluenta. Terminu funkcja użył po raz pierwszy Leibniz w pracy Odwrotna metoda stycznych lub o funkcjach. Po raz drugi Leibniz użył tego terminu w dość wąskim znaczeniu w pracy opublikowanej w czasopiśmie „Acta Eruditorum” w 1692 roku i dwa lata później w „Journal des Sçavans”. Następnie w tym samym 1694 roku Johann Bernoulli w „Acta Eruditorum”, nie używając co prawda słowa funkcja, oznaczył mimochodem literą n „dowolną wielkość utworzoną z nieoznaczonych i stałych”. Po trzech latach, w tym samym piśmie, Bernoulli wielkości te oznaczał przez X i  a w liście do Leibniza z 26 kwietnia 1698 roku stwierdził, że symbole te są lepsze, bo „od razu jest widoczne, od jakiej zmiennej jest funkcja”. Jeszcze w 1698 roku w korespondencji między oboma uczonymi funkcja była rozumiana jako wyrażenie analityczne i weszły do użytku terminy wielkość zmienna i wielkość stała.

Określenie funkcji jako wyrażenia analitycznego było po raz pierwszy sformułowane w druku w artykule Johanna Bernoulli opublikowanym w 1718 roku. Napisał on:

W tym samym artykule zaproponował on jako „charakterystykę” funkcji grecką literę  zapisując argument jeszcze bez nawiasów  Zarówno nawiasy, jak literę f wprowadził Leonhard Euler w 1734 roku.

Zobacz też 

 funkcja kardynalna
 funkcja zdaniowa
 rachunek lambda
 symbol funkcyjny

Uwagi

Przypisy

Bibliografia