Zbiór otwarty

W matematyce zbiór otwarty jest uogólnieniem przedziału otwartego. Poglądowo zbiór jest otwarty, gdy jego elementy są otoczone tylko elementami tego zbioru, innymi słowy, gdy żaden element zbioru nie leży na jego brzegu. Zbiór komplementarny zbioru otwartego nazywany jest zbiorem domkniętym. Zbiory te charakteryzują się tym, że zawierają wszystkie swoje punkty skupienia.

Prostym przykładem zbioru otwartego jest przedział przedział  liczb rzeczywistych. Dowolna liczba rzeczywista  o właściwości  jest otoczona wyłącznie liczbami o tej samej własności tzn: dla dowolnego  można wybrać taki otoczenie np zbiór , którego elementy to też liczby spełniające tę własności, czyli z przedziału od   do . Dlatego przedział  nazywany jest interwałem otwartym. Z drugiej strony, przedział  nie jest otwarty, ponieważ "na prawo" od jego elementu  w jego otoczeniu nie ma już choćby jednego elementu o tej samej własności: z przedziału .

To, czy zbiór jest otwarty, czy nie, zależy także od własności przestrzeni, na której jest zbudowany. Np. liczby wymierne:    tworzą zbiór otwarty w przestrzeni liczbach wymiernych, ale nie w przestrzeni liczbach rzeczywistych, ponieważ każdy przedział liczb rzeczywistych z więcej niż jednym elementem zawiera również liczby niewymierne.

Zbiór otwarty – w danej przestrzeni topologicznej  to zbiór dowolnych elementów rodziny , jego dopełnienie jest zbiorem domkniętym. Istnieją zbiory, które są jednocześnie i otwarte i domknięte (tzw. zbiory domknięto-otwarte), np. zbiór pusty i cała przestrzeń 

W topologii ogólnej funkcje, które zachowują otwartość zbioru poprzez przeciwobrazy, nazywane są funkcjami ciągłymi, natomiast funkcje które zachowują otwartość poprzez obrazy, nazywane są odwzorowaniami otwartymi.

Własności zbiorów otwartych 
Poniższe trzy własności zbiorów otwartych są powtórzeniem aksjomatów przestrzeni topologicznej :
 Zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otwartymi (tj. należą do ).
 Suma mnogościowa dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym (tj. należy do ).
 Część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym (tj. należy do ).

Nieskończony iloczyn zbiorów otwartych może nie być zbiorem otwartym. Np. na prostej rzeczywistej z topologią standardową jako zbiory otwarte przyjmuje się przedziały otwarte. Iloczyn nieskończony przedziałów otwartych może być przedziałem domkniętym: 

W klasie przestrzeni metrycznych zbiory otwarte można scharakteryzować jako te i tylko te, które wraz z każdym swoim punktem zawierają pewną kulę otwartą o środku w tym punkcie.

Niech  Jeśli dla każdego punktu  istnieje zbiór otwarty  spełniający  to  też jest otwarty.

Baza i podbaza topologii 
Rodzina wszystkich zbiorów otwartych tworzy topologię przestrzeni, często jednak w tej rodzinie wyróżnia podrodziny:
 baza przestrzeni topologicznej – podrodzina topologii, z której za pomocą sumowania mnogościowego elementów bazy można otrzymać dowolny zbiór otwarty,
 Podbaza przestrzeni topologicznej – podrodzina bazy, z której za pomocą skończnego mnożenia mnogościowego elementów podbazy można otrzymać dowolny zbiór z bazy.

Przykłady 

 Na prostej  ze standardową topologią zbiorami otwartymi są przedziały otwarte.Np. przedział  jest otwarty, gdyż dla każdego punktu  istnieje „kula otwarta”  o środku w  zawarta w  np. możemy przyjąć  równe połowie mniejszej z odległości danego punktu od brzegów przedziału,  Z drugiej strony przedział  nie jest zbiorem otwartym, bo dla punktów brzegowych  każde ich otoczenie zawiera punkty spoza przedziału Zgodnie z aksjomatami suma dowolnej rodziny przedziałów otwartych jest zbiorem otwartym. Jest też odwrotnie – każdy zbiór otwarty na prostej jest sumą pewnych przedziałów otwartych, co oznacza, że rodzina przedziałów otwartych jest bazą tej przestrzeni.
 Na płaszczyźnie euklidesowej zbiorem otwartym jest np. prostokąt bez brzegu
 
 zaś prostokąt
 
 nie jest otwarty w  gdyż dla punktów brzegowych prostokąta nie istnieją zbiory otwarte w nim zawarte (prostokąt ten jest de facto domknięty, zaś jego dopełnienie jest zbiorem otwartym).
 Na prostej z topologią strzałki zbiorami otwartymi są przedziały postaci

Przypisy

Bibliografia 
 Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne 
  [dostęp 2022-10-09].

Topologiczne własności zbiorów