Prisma (Geometrie)

Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen Polygons entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Man spricht auch von einer Extrusion des Vielecks. Ein Prisma ist damit ein spezielles Polyeder.

Das gegebene Polygon wird als Grundfläche bezeichnet, die gegenüberliegende Seitenfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Seitenflächen heißt Mantelfläche. Die Seitenkanten des Prismas, die Grundfläche und Deckfläche verbinden, sind zueinander parallel und alle gleich lang. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander kongruent und parallel. Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche heißt Höhe  des Prismas.

Gerades und schiefes Prisma 

Erfolgt die Parallelverschiebung des Polygons senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem geraden Prisma, ansonsten von einem schiefen Prisma. Die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken, im allgemeinen Fall besteht sie aus Parallelogrammen. Ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet.

Der zu einem geraden Prisma duale Körper ist eine Doppelpyramide.

Reguläres Prisma 
Ein gerades Prisma mit einem Regelmäßigen Vieleck als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet. Alle regulären Prismen besitzen eine Umkugel, weil alle Ecken gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Der Würfel ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer Inkugel.

Formeln

Sonderfälle und Verallgemeinerung 
Besondere Formen des Prismas sind die Quader und Würfel. Bei diesen kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden.

In der Optik versteht man unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche, siehe Prisma (Optik).

Das Prisma ist in der Mathematik ein Spezialfall des allgemeinen Zylinders.

Symmetrie 
Jedes Prisma mit einer punktsymmetrischen Grundfläche ist selbst punktsymmetrisch.

Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche 
Das Volumen  eines Prismas ist gegeben durch
 ,
wobei  den Flächeninhalt der Grundfläche und  die Höhe des Prismas bezeichnet. Aus dem Prinzip von Cavalieri folgt, dass zwei Prismen (etwa ein gerades und ein schiefes Prisma) bei gleicher Grundfläche und Höhe das gleiche Volumen besitzen.

Die Mantelfläche  eines geraden Prismas ist gegeben durch
 ,
wobei  für den Umfang der Grundfläche und  für die Höhe des Prismas steht.

Die gesamte Oberfläche  eines Prismas ergibt sich aus

,

wobei  und  dem Inhalt von Grundfläche und Mantelfläche entsprechen.

Umkugel 
Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen Umkreis besitzt, haben eine Umkugel. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der Radius  der Umkugel bei gegebener Höhe  und gegebenem Umkreisradius  berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu:

Inkugel 
Sowohl gerade wie auch schiefe Prismen können eine Inkugel haben.

Bei gegebener Höhe  eines Prismas ergibt sich der Radius  der Inkugel zu:
 

Voraussetzung für die Existenz einer Inkugel:

 Es gibt eine gedachte Ebene, die senkrecht auf allen Parallelogrammen des Mantels steht. Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein Polygon.
 Das Polygon aus 1 besitzt einen Inkreis.
 Der Radius dieses Inkreises beträgt .

Kantenkugel 
Nur gerade Prismen mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine Kantenkugel. Der Mantel solcher Prismen wird also aus Quadraten gebildet. Bei gegebenem Umkreisradius  ergibt sich der Radius  der Kantenkugel zu:

Siehe auch 
 Antiprisma
 Prismatoid

Literatur 
 
 Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 21./22. Auflage. 1981, S. 196.

Weblinks 

 Prisma. mathematische-basteleien.de
 

Polyeder