Całka Riemanna

Całka Riemanna – konstrukcja analizy matematycznej przedstawiona przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna w 1854 roku w jego pracy habilitacyjnej na Uniwersytecie w Getyndze pt. Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe („O reprezentowalności funkcji przez szereg trygonometryczny”) jako pierwsza ścisła definicja całki. Istnieje również całkowicie równoważna całce Riemanna konstrukcja całki Darboux, pochodząca od francuskiego matematyka Gastona Darboux, który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre („O równaniach różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy pt. Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues („Rozprawa o teorii funkcji nieciągłych”).

Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność, klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadzenia wystarczające częstokroć do większości zastosowań praktycznych; konstrukcja Darboux wymaga nieco mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowadzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla konstrukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek należy względnie mała ilość funkcji całkowalnych, czy konieczność zbieżności jednostajnej ciągu funkcji przy zamianie operatorów granicy i całki, co znacząco zawęża zakres zastosowań teoretycznych. Istnieje wiele uogólnień tego pojęcia mających na celu pokonanie różnorakich jego ograniczeń.

W swej interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie całka to operator przypisujący danej rzeczywistej funkcji ograniczonej określonej na przedziale (rzeczywistym) pewną liczbę rzeczywistą, którą można rozumieć jako pole powierzchni między jej wykresem a osią odciętych (pole zorientowane: jego znak zależy od znaku wartości funkcji) – istnienie i wartość tej liczby jest równoważne istnieniu i wartości tzw. miary Jordana wspomnianego obszaru (zob. Związek z miarą Jordana). Sama całka Riemanna, podobnie jak miara Jordana, uogólnia się wprost na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru, co opisano w osobnej sekcji.

Konstrukcje

Podział przedziału 
Podziałem  przedziału  nazywa się każdy (ściśle) rosnący ciąg skończony  elementów nazywanych punktami podziału tego przedziału, w którym pierwszy i ostatni wyraz ciągu wskazują odpowiednio początek i koniec przedziału, tzn.  W każdym z podprzedziałów podziału  można wyróżnić jeden element, nazywany punktem pośrednim: podział  z punktami pośrednimi  przedziału  można zdefiniować jako ciąg skończony  dla którego  oraz  dla  Każda para „sąsiednich” punktów podziału  wyznacza podprzedział  o długości  dla 

Podział  rozdrabnia (lub zagęszcza) podział  jeżeli podział  jest podciągiem podziału  tzn. dla każdego  można wybrać  tak, że  Podobnie definiuje się rozdrobnienie (bądź zagęszczenie) podziału  przez podział  z jedynym zastrzeżeniem, by tak stare, jak i nowe punkty pośrednie należały do nowych podprzedziałów; tzn. dla każdego  można było tak wybrać  by  oraz 

Równoważnie zamiast rozdrobnień (zagęszczeń) podziałów można rozpatrywać tzw. „ciągi normalne” podziałów. Średnicą podziału  nazywa się największą długość przedziału,  Ciąg podziałów  nazywa się normalnym, jeżeli  dla

Całka Darboux 

Niech dana będzie funkcja ograniczona  Kresy dolny i górny funkcji  w danym podprzedziale  podziału  przedziału  oznaczane będą odpowiednio symbolami
 

różnicę tych liczb
 

nazywa się oscylacją funkcji  na przedziale 

Odpowiednio sumą dolną i górną (Darboux) nazywa się liczby
 

Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie całki dolnej i górnej (Darboux) funkcji  jako odpowiednio
 

oraz
 

O funkcji  mówi się, że jest całkowalna w sensie Darboux lub krótko D-całkowalną, jeżeli  wówczas tę wspólną wartość  całki dolnej i górnej Darboux nazywa się po prostu całką Darboux.

Całka Riemanna 

Niech dana będzie funkcja ograniczona  Sumą częściową (Riemanna) nazywa się liczbę
 

Funkcję  nazywa się całkowalną w sensie Riemanna lub krótko R-całkowalną, jeśli dla dowolnego ciągu normalnego  podziałów przedziału  istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica
 

nazywana wtedy całką Riemanna tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba  że dla dowolnej liczby rzeczywistej  istnieje taka liczba rzeczywista  że dla dowolnego podziału  o średnicy  bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej  istnieje taki podział  przedziału  że dla każdego podziału  rozdrabniającego  zachodzi
 

Funkcję  nazywa się wtedy całkowalną w sensie Riemanna (R-całkowalną), a liczbę  jej całką Riemanna.

Równoważność 

Jeżeli  jest rozdrobnieniem  to  oraz  Jeżeli  są dwoma podziałami przedziału  to istnieją ich rozdrobnienia  (podział złożony z punktów  i ), mamy więc  skąd 

Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi  i odpowiadającego mu podziału  bez punktów pośrednich odcinka  zachodzi
 

więcej, są to kresy dolne i górne wartości  odpowiadającej podziałowi  z dowolnymi punktami pośrednimi.

Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn.  to istnieje również  tak więc
 

dla dowolnego podziału  pociąga całkowalność w sensie Riemanna. Nietrudno zauważyć, że istnieje podział z punktami pośrednimi, dla którego całka Riemanna ma wartość dowolnie bliską górnej i dolnej całce Darboux, co oznacza że z istnienia całki Riemanna wynika istnienie całki Darboux.

Oznaczenia 

Symbol całki  powstał z minuskuły ſ (tzw. „długiego s”) używanej przez Gottfrieda Leibniza w łacińskim słowie summa, oznaczającym sumę, które pisał on ſumma. Dla funkcji  całki Darboux górną  i dolną  oznacza się zwykle odpowiednio symbolami
 

zaś samą całkę Darboux  oraz całkę Riemanna  dodając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,
 

Ze względu na równoważność tych konstrukcji zwykle mówi się wyłącznie o całce Riemanna, przy czym zwykle pomija się oznaczenie literowe, jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień:

Własności 

Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej  gdzie  będą dane jej kresy dolny i górny oraz kres górny wartości bezwzględnej:
 

Wówczas
 

skąd też
 

zaś dla funkcji  spełniającej  dla wszystkich  zachodzi
 

Całka Riemanna jest operatorem liniowym na przestrzeni funkcji całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli  są R-całkowalne oraz  to funkcja  również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodzi

Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego 

Jeśli  jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na  dla dowolnego  a funkcja  dana wzorem
 

jest ciągła na  i różniczkowalna w każdym punkcie ciągłości funkcji

Twierdzenie Newtona-Leibniza 
Jeśli  jest ciągła, a  jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi wzór Newtona-Leibniza,

Charakteryzacja funkcji całkowalnych 

Z równoważności konstrukcji funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja  Każda funkcja ciągła  jest całkowalna; podobnie, gdy  jest monotoniczna.

Dokładnego wskazania klasy funkcji całkowalnych można dokonać za pomocą teorii miary; niemniej funkcje te można opisać, definiując pojęcie nieodwołujące się do ogólnej teorii: zbiór  nazywa się zaniedbywalnym wtedy i tylko wtedy, gdy można pokryć go (co najwyżej) przeliczalną liczbą dowolnie krótkich odcinków, tzn. dla każdego  istnieje (co najwyżej) przeliczalny ciąg przedziałów  spełniający  oraz  Przykładami takich zbiorów są np. punkt, tj. zbiór jednoelementowy, dowolne zbiory skończone lub przeliczalne; kontrprzykładami są odcinek, czyli przedział, bądź dowolny niepusty zbiór otwarty.

Twierdzenie: Funkcja ograniczona określona na przedziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawie wszędzie ciągła, tzn. zbiór jej nieciągłości jest zaniedbywalny.

Zatem jest ona tym bardziej całkowalna, gdy ma (co najwyżej) przeliczalny zbiór nieciągłości; w szczególności, gdy jest ciągła (zob. wyżej). Wprost stąd wynika, że wartość bezwzględna  funkcji całkowalnej  jest również całkowalna. Podobnie (określony punktowo) iloczyn  dwóch funkcji całkowalnych  również jest funkcją całkowalną. Jeżeli ciąg funkcji całkowalnych  jest jednostajnie zbieżny do funkcji  to jest ona całkowalna oraz

Całka wielokrotna

Związek z miarą Jordana

Uogólnienia 

Jako pierwsza formalnie zdefiniowana, całka Riemanna jest prototypem wszystkich innych całek, choć konstrukcje wielu z nich są daleko bardziej ogólne, niż przedstawione wyżej; niemniej zwykle wymaga się, by dane uogólnienie całki dawało dla funkcji całkowalnej w sensie Riemanna/Darboux ten sam wynik, co całka Riemanna/Darboux nazywana dalej po prostu całką Riemanna. Pełniejszą listę całek można znaleźć w osobnym artykule.

Całka Riemanna-Stieltjesa 

Zastąpienie w definicji całki Riemanna końców podprzedziałów danego podziału za pomocą ich obrazów w pewnej funkcji prowadzi do uogólnienia znanego jako całka Riemanna-Stieltjesa; dla dość szerokiej klasy funkcji jest ona równa całce Riemanna, jednak w ogólności może dawać ona różne od niej wyniki. Wykazuje ona duży związek z całkowaniem przez podstawienie znajdując zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa (zbudowanym w oparciu o tę całkę).

Całki Lebesgue’a, Daniella-Stone’a, Lebesgue’a-Stieltjesa 

Ważnym uogólnieniem całki Riemanna jest całka Lebesgue’a, która jest równoważna z tzw. całką Daniella-Stone’a: funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też całkowalna w sensie Lebesgue’a (Daniella-Stone’a), a ponadto wartości obu całek wtedy są równe. Przykładem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue’a (Daniella-Stone’a), a nie jest całkowalna w sensie Riemanna jest funkcja Dirichleta. Dalszym uogólnieniem, łączącym w sobie zalety całki Lebesgue’a i Riemanna-Stieltjesa, jest całka Lebesgue’a-Stieltjesa nazywana również całką Lebesgue’a-Radona lub po prostu całką Radona.

Całka niewłaściwa 

W każdej z powyższych konstrukcji problematyczne bywa całkowanie funkcji na przedziale otwartym, w szczególności gdy funkcja jest nieograniczona przy jednym z jego końców. Mówiąc o całce niewłaściwej, definiowanej jako granica całek określonych na przedziale domkniętym, którego jeden koniec dąży do końca przedziału otwartego, ma się zwykle na myśli uogólnienie całki Riemanna. Niemniej możliwe jest analogiczne uogólnienie całki Lebesgue’a. Rozpatrywanie całki niewłaściwej dla opisanej niżej całki Henstocka-Kurzweila nie ma sensu, gdyż standardowa wersja tej całki daje ten sam wynik, o czym mówi twierdzenie Hake'a. Oddzielnym zagadnieniem całki niewłaściwe są tzw. przedziały niewłaściwe, tzn. których końce nie muszą być liczbami rzeczywistymi.

Całka Henstocka-Kurzweila 

Całka Henstocka-Kurzweila znana również jako całka Denjoy, czy Perrona (albo Denjoy-Perrona) jest pewnym uogólnieniem całki Riemanna o konstrukcji znacząco od niej nieodbiegającej. W ogólności teoria Henstocka-Kurzweila umożliwia całkowanie wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a oraz funkcji całkowalnych w sposób niewłaściwy w sensie Riemanna, co uważane jest za jej główną zaletę. Istnieje drobna modyfikacja całki Henstocka-Kurzweila, znana jako całka McShane’a, która jest równoważna konstrukcji Lebesgue’a – ma ona tym samym wszystkie jej zalety, a jej definicja nie wymaga przy tym ogólnego aparatu teorii miary.

Uwagi

Linki zewnętrzne 
 

Riemanna