Sistema dinamico lineare

Nell'analisi dei sistemi dinamici, un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata da un'equazione lineare, e che quindi soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti. Le equazioni differenziali che descrivono tale classe di sistemi dinamici sono particolarmente semplici, e possono essere frequentemente risolte in modo esatto.

Un sistema dinamico è un concetto astratto che si utilizza per rappresentare il comportamento di un processo fisico nello spazio e nel tempo. Viene modellizzato con una funzione  che, nel dominio del tempo, ad una sollecitazione  fornisce una risposta :

I sistemi lineari sono soggetti al principio di sovrapposizione, ovvero un sistema è lineare se valgono le seguenti proprietà:

Una classe particolarmente importante di sistemi dinamici lineari è quella dei sistemi tempo-invarianti.

Descrizione
Un sistema dinamico è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato  e dalle variabili di ingresso . Viene descritto dalla variazione del vettore colonna di stato , ambientato in uno spazio vettoriale di dimensione  detto spazio delle fasi, secondo le equazioni matriciali: 

dove  è l'uscita o evoluzione. Lo stato  è un vettore di dimensione , l'ingresso  ha dimensione , mentre  ha dimensione ; sono moltiplicati per le matrici  matrice di dimensione ,  matrice di dimensione ,  matrice di dimensione  e  matrice di dimensione .

Nel caso di un sistema dinamico a tempo discreto l'equazione ha la forma:

 

con .

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) 

Un sistema stazionario (o tempo invariante) è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo. Viene descritto da un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti:

Si tratta di una classe di problemi particolarmente studiata e della quale sono state sviluppate molte tecniche di analisi; molte sono ad esempio basate sulla funzione di trasferimento e sul formalismo della rappresentazione spettrale dei segnali e in spazio di stato.

Scomposizione del problema differenziale
Talvolta si sceglie di rappresentare il sistema soltanto attraverso la variazione del suo stato a partire da uno stato iniziale , ovvero con una relazione del tipo:

Se il vettore iniziale  è allineato con un autovettore destro  di , allora:

con  l'autovalore corrispondente. La soluzione è:

come si verifica per sostituzione.

Se  è diagonalizzabile, ogni vettore  in  può essere scritto come combinazione lineare di autovettori destro  e sinistro  di :

dove  è il prodotto scalare che fornisce i coefficienti. Dunque, la soluzione generale  è la combinazione lineare:

In due dimensioni 
Dato il sistema in due dimensioni:

il polinomio caratteristico ha la forma:

con  la traccia e  il determinante di . Le radici  sono gli autovalori di , ed hanno la forma:

Si nota che  e , sicché se  gli autovalori hanno segno opposto ed il punto fisso è un punto di sella. Se invece  gli autovalori hanno lo stesso segno, e quindi se  sono entrambi positivi (ed il punto è instabile) mentre se  sono entrambi negativi (ed il punto è stabile).

Esempio
Un circuito RC è formato da un generatore di tensione che fornisce un segnale di ingresso  e da un resistore  in serie ad un condensatore di capacità . La legge di Kirchhoff delle tensioni per la maglia è:

Usando la relazione caratteristica del condensatore la corrente che scorre nel circuito è:

si ha sostituendo:

Si tratta di un'equazione differenziale di ordine 1 con costante di tempo .

Bibliografia 
 
 
 E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
 A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.

Voci correlate 
 Controllabilità
 Controllo automatico
 Delta di Dirac
 Ergodicità
 Funzione di trasferimento
 Osservabilità
 Punto di equilibrio
 Sistema dinamico
 Sistema dinamico lineare stazionario
 Sistema dinamico lineare stazionario discreto

Teoria dei sistemi dinamici