Eulersche Zahl

Die Eulersche Zahl, mit dem Symbol  bezeichnet, ist eine Konstante, die in der gesamten Analysis und allen damit verbundenen Teilgebieten der Mathematik, besonders in der Differential- und Integralrechnung, aber auch in der Stochastik (Kombinatorik, Normalverteilung) eine zentrale Rolle spielt. Ihr numerischer Wert beträgt
 
 ist eine transzendente und somit auch irrationale reelle Zahl. Sie ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der (natürlichen) Exponentialfunktion. In der angewandten Mathematik spielt die Exponentialfunktion und somit  eine bedeutende Rolle bei der Beschreibung von Vorgängen wie dem radioaktiven Zerfall und dem natürlichen Wachstum.

Es gibt zahlreiche äquivalente Definitionen von , die bekannteste lautet:
 

Die Zahl wurde nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt, der zahlreiche Eigenschaften von  beschrieb. Gelegentlich wird sie auch nach dem schottischen Mathematiker John Napier als Napiers Konstante (oder Nepersche Konstante) bezeichnet. Sie gehört zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik.

Es gibt einen internationalen Tag der eulerschen Zahl . In Ländern, in denen wie in Deutschland beim Datum der Tag vor dem Monat (27. 1.) geschrieben wird, ist er am 27. Januar. In Ländern, in denen wie in den USA der Monat vor dem Tag geschrieben wird (2/7), am 7. Februar.

Definition 
Die Zahl  wurde von Leonhard Euler durch die folgende Reihe definiert:
 

Für  ist dabei  die Fakultät von , also im Falle  das Produkt  der natürlichen Zahlen von  bis , während  definiert ist.

Wie schon Euler bewies, erhält man die Eulersche Zahl  auch als funktionalen Grenzwert.

Die Zahl  kann auch als Grenzwert der Folge  mit  geschrieben werden:
 
Dem liegt zugrunde, dass
 
gilt,  also der Funktionswert der Exponentialfunktion (oder auch „-Funktion“) an der Stelle  ist. Die obige Reihendarstellung von  ergibt sich in diesem Zusammenhang dadurch, dass man die Taylorreihe der Exponentialfunktion um die Entwicklungsstelle  an der Stelle  auswertet.

Ein alternativer Zugang zur Definition der Eulerschen Zahl ist derjenige über Intervallschachtelungen, etwa in der Weise, wie es in Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen von Konrad Knopp dargestellt wird. Danach gilt für alle :
 

Die Entstehung der Zahl  lässt sich auch grafisch veranschaulichen. Aus der Abbildung ergibt sich folgender Zusammenhang:

 (Lösung des Integrals)
 (Multiplikation mit n)
 (Anwendung eines Logarithmengesetzes)
 (Grenzwertbildung)
 (Stetigkeit der Logarithmus-Funktion)
 (Umkehrfunktion der Exponentialfunktion)

Die Vorgeschichte vor Euler 
Die Geschichte der Eulerschen Zahl  beginnt bereits im 16. Jahrhundert mit drei Problembereichen, in denen eine Zahl auftaucht, der sich damals die Mathematiker näherten und die später  genannt wurde:

 Als Basis von Logarithmen in den Logarithmentafeln von John Napier und Jost Bürgi. Beide hatten ihre Tafeln unabhängig voneinander entwickelt, wobei sie eine Idee von Michael Stifel aufnahmen und Ergebnisse von Stifel und anderen Mathematikern des 16. Jahrhunderts benutzten. Bürgi veröffentlichte 1620 seine „Arithmetische und geometrische Progreß-Tabulen“. Als Basis seines Logarithmensystems verwendet Bürgi offenbar instinktiv eine Zahl, die nahe bei  liegt. Napier veröffentlichte 1614 seine „Mirifici logarithmorum canonis descriptio“ und benutzt dabei eine zu  proportionale Basis. Napier und Bürgi wollten mit Hilfe der Logarithmentafeln Multiplikationen auf Additionen zurückführen, um so umfangreiche Rechnungen einfacher und weniger zeitaufwändig zu gestalten.
 Als Grenzwert einer Folge in der Zinseszinsrechnung. 1669 stellte Jacob Bernoulli die Aufgabe: „Eine Summe Geldes sei auf Zinsen angelegt, dass in den einzelnen Augenblicken ein proportionaler Teil der Jahreszinsen zum Kapital geschlagen wird.“ Diesen proportionalen Zinszuschlag nennen wir heute „stetige Verzinsung“. Bernoulli fragt, ob durch Verträge, bei denen die einzelnen Augenblicke immer kürzer werden, beliebig große Vielfache der Ausgangssumme erzielt werden können, und erreicht als Lösung eine Zahl, die wir heute als Eulersche Zahl  kennen.
 Als unendliche Reihe (Fläche der Hyperbel des Apollonios von Perge). Es ging (in heutiger Sprache) um die Frage, wie weit sich eine Fläche unter der Hyperbel  von  nach rechts erstreckt, die genauso groß wie die Fläche des Einheitsquadrats ist. Der flämische Mathematiker Grégoire de Saint-Vincent (latinisiert Gregorius a Sancto Vincentino) entwickelte zur Lösung eine Funktion, die wir heute natürlichen Logarithmus nennen und mit  bezeichnen. Er entdeckte interessante Eigenschaften, darunter eine Gleichung, die wir heute Funktionalgleichung des Logarithmus nennen, die auch Napier und Bürgi zur Konstruktion und bei der Benutzung ihrer Logarithmentafeln benutzten. Es ist nicht gesichert, ob ihm bewusst war, dass die Basis dieses Logarithmus die Zahl ist, die später  genannt wurde. Aufgefallen ist dies erst nach Erscheinen seines Werkes. Spätestens sein Schüler und Co-Autor Alphonse Antonio de Sarasa stellte den Zusammenhang durch eine Logarithmusfunktion dar. In einem Aufsatz, der die Verbreitung der Ideen von Saint-Vincent durch de Sarasa behandelt, heißt es, dass „die Beziehung zwischen Logarithmen und der Hyperbel in allen Eigenschaften durch Saint-Vincent gefunden wurde, nur nicht im Namen.“ Durch Arbeiten von Newton und Euler wurde dann klar, dass  die Basis ist. Leibniz war offensichtlich der Erste, der einen Buchstaben für diese Zahl benutzte. In seiner Korrespondenz mit Christiaan Huygens von 1690/1 benutzte er den Buchstaben b als Basis einer Potenz.

Herkunft des Symbols e 
Als frühestes Dokument, das die Verwendung des Buchstabens  für diese Zahl durch Leonhard Euler aufweist, gilt ein Brief Eulers an Christian Goldbach vom 25. November 1731. Noch früher, 1727 oder 1728, begann Euler, den Buchstaben  zu benutzen, und zwar im Artikel „Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta“ über Explosivkräfte in Kanonen, der allerdings erst 1862 veröffentlicht wurde. Als nächste gesicherte Quelle für die Verwendung dieses Buchstabens gilt Eulers Werk Mechanica sive motus scientia analytice exposita, II aus dem Jahre 1736. In der im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum greift Euler diese Bezeichnung wieder auf.

Es gibt keine Hinweise darauf, dass diese Wahl des Buchstabens  in Anlehnung an seinen Namen geschah. Unklar ist auch, ob er dies in Anlehnung an die Exponentialfunktion oder aus praktischen Erwägungen der Abgrenzung zu den viel benutzten Buchstaben a, b, c oder d machte. Obwohl auch andere Bezeichnungen in Gebrauch waren, etwa c in d’Alemberts Histoire de l’Académie, hat sich  durchgesetzt.

Im Formelsatz wird  nach DIN 1338 und ISO 80000-2 nicht kursiv gesetzt, um die Zahl von einer Variablen zu unterscheiden. Allerdings ist auch die kursive Schreibweise verbreitet.

Eigenschaften 
Die Eulersche Zahl  ist eine transzendente (Beweis nach Charles Hermite, 1873) und damit irrationale Zahl (Beweis mit Kettenbrüchen für  und somit  bereits 1737 von Euler, Beweis im Beweisarchiv bzw. Artikel). Sie lässt sich also (wie auch die Kreiszahl  nach Ferdinand von Lindemann 1882) nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen (sogar nicht einmal als Lösung einer algebraischen Gleichung) darstellen und besitzt folglich eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchentwicklung. Das Irrationalitätsmaß von  ist 2 und somit so klein wie möglich für eine irrationale Zahl, insbesondere ist  nicht liouvillesch. Es ist nicht bekannt, ob  zu irgendeiner Basis normal ist.

In der Eulerschen Identität
  
werden fundamentale mathematische Konstanten in Zusammenhang gesetzt: Die ganze Zahl 1, die Eulersche Zahl , die imaginäre Einheit  der komplexen Zahlen und die Kreiszahl .

Die Eulersche Zahl tritt auch in der asymptotischen Abschätzung der Fakultät auf (siehe Stirlingformel):
 

Die Cauchy-Produktformel für die beiden (jeweils absolut konvergenten) Reihen und der binomische Lehrsatz ergeben
 
und daraus folgt sofort:

Geometrische Interpretation 
Eine geometrische Interpretation der Eulerschen Zahl liefert die Integralrechnung. Danach ist  diejenige eindeutig bestimmte Zahl , für die der Inhalt der Fläche unterhalb des Funktionsgraphen der reellen Kehrwertfunktion  im Intervall  exakt gleich  ist:

Weitere Darstellungen für die Eulersche Zahl 
Die Eulersche Zahl lässt sich auch durch
 
oder durch den Grenzwert des Quotienten aus Fakultät und Subfakultät beschreiben:
 

Eine Verbindung zur Verteilung der Primzahlen wird über die Formeln
 
 
deutlich, wobei  die Primzahlfunktion und das Symbol  das Primorial der Zahl  bedeutet.

Auch eher von exotischem Reiz als von praktischer Bedeutung ist die catalansche Darstellung

Kettenbruchentwicklungen 
Im Zusammenhang mit der Zahl  gibt es spätestens seit dem Erscheinen von Leonhard Eulers Introductio in Analysin Infinitorum im Jahre 1748 eine große Anzahl Kettenbruchentwicklungen für  und aus  ableitbare Größen.

So hat Euler die folgende klassische Identität für  gefunden:
 ()

Die Identität (1) weist offenbar ein regelmäßiges Muster auf, das sich bis ins Unendliche fortsetzt. Sie gibt einen regulären Kettenbruch wieder, der von Euler aus dem folgenden abgeleitet wurde:
 ()

Dieser Kettenbruch ist seinerseits ein Spezialfall des folgenden mit :
      

Eine andere klassische Kettenbruchentwicklung, die jedoch nicht regelmäßig ist, stammt ebenfalls von Euler:
 ()

Auf Euler und Ernesto Cesàro geht eine weitere Kettenbruchentwicklung der Eulerschen Zahl zurück, die von anderem Muster als in (1) ist:
 

Im Zusammenhang mit der Eulerschen Zahl existiert darüber hinaus eine große Anzahl von allgemeinen kettenbruchtheoretischen Funktionalgleichungen. So nennt Oskar Perron als eine von mehreren die folgende allgemeingültige Darstellung der -Funktion:
      

Ein weiteres Beispiel hierfür ist die von Johann Heinrich Lambert stammende Entwicklung des Tangens hyperbolicus, die zu den lambertschen Kettenbrüchen gerechnet wird:
      

Erst 2019 wurde mit Hilfe eines Computerprogrammes, das nach Srinivasa Ramanujan als Ramanujan-Maschine benannt wurde, letztlich basierend auf einer Trial-and-error-Methode, durch ein Team um Gal Raayoni am Technion eine weitere und bisher unbekannte Kettenbruchentwicklung für die Eulersche Zahl gefunden. Gegenüber allen bisher bekannten Kettenbruchentwicklungen, die alle von einer beliebigen ganzzahligen Zahl, die kleiner als die Eulersche Zahl ist, aufsteigen, handelt es sich hier erstmals um eine, die von der ganzen Zahl 3, einer ganzen Zahl, die größer ist als die Eulersche Zahl, absteigt. Allein die Auffindung eines (einzigen) solchen absteigenden Kettenbruchs von einer ganzen Zahl größer als die Eulersche Zahl  legt die Vermutung nahe, dass es unendlich viele solcher absteigenden Kettenbrüche von ganzen Zahlen  mit  gibt, die ebenfalls auf die Eulersche Zahl führen.

Anschauliche Interpretationen der Eulerschen Zahl

Zinseszinsrechnung 
Das folgende Beispiel macht die Berechnung der Eulerschen Zahl nicht nur anschaulicher, sondern es beschreibt auch die Geschichte der Entdeckung der Eulerschen Zahl: Ihre ersten Stellen wurden von Jakob I Bernoulli bei der Untersuchung der Zinseszinsrechnung gefunden.

Den Grenzwert der ersten Formel kann man folgendermaßen deuten: Jemand zahlt am 1. Januar einen Euro auf der Bank ein. Die Bank garantiert ihm eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz  pro Jahr. Wie groß ist sein Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres, wenn er die Zinsen zu gleichen Bedingungen anlegt?

Nach der Zinseszinsformel wird aus dem Startkapital  nach  Verzinsungen mit Zinssatz  das Kapital
 

In diesem Beispiel sind  und , wenn der Zinszuschlag jährlich erfolgt, oder , wenn der Zinszuschlag -mal im Jahr erfolgt, also bei unterjähriger Verzinsung.

Bei jährlichem Zuschlag wäre
 

Bei halbjährlichem Zuschlag hat man ,
 
also schon etwas mehr. Bei täglicher Verzinsung  erhält man
 

Wenn die Verzinsung kontinuierlich in jedem Augenblick erfolgt, wird  unendlich groß, und man bekommt die oben angegebene erste Formel für .

Wahrscheinlichkeitsrechnung 
 ist auch häufig in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzutreffen: Beispielsweise sei angenommen, dass ein Bäcker für jedes Brötchen eine Rosine in den Teig gibt und diesen gut durchknetet. Danach enthält statistisch gesehen jedes -te Brötchen keine Rosine. Die Wahrscheinlichkeit , dass bei  Brötchen keine der  Rosinen in einem fest gewählten ist, ergibt im Grenzwert für  (37-%-Regel):
 

Es werden Briefe und die zugehörigen Briefumschläge mit den Adressen unabhängig voneinander geschrieben. Dann werden ohne hinzusehen, also rein zufällig, die Briefe in die Briefumschläge gesteckt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Brief im richtigen Umschlag steckt?
Euler löste diese Aufgabe und veröffentlichte sie 1751 im Aufsatz „Calcul de la probabilité dans le jeu de rencontre.“ Bemerkenswert ist, dass sich ab einer Anzahl von 7 Briefen die Wahrscheinlichkeit fast nicht mehr ändert. Sie wird sehr gut durch  angenähert, den Grenzwert der Wahrscheinlichkeiten, wenn die Anzahl an Briefen immer größer wird.

Einem Jäger steht nur ein Schuss zur Verfügung. Er soll aus einer Schar Tauben, deren Anzahl  er kennt, die in zufälliger Reihenfolge an ihm vorbeifliegen, die größte schießen. Mit welcher Strategie sind seine Chancen maximal, die größte Taube zu treffen? Dieses Taubenproblem wurde vom amerikanischen Mathematiker Herbert Robbins (* 1915) formuliert. Dasselbe Entscheidungsproblem besteht auch bei der Anstellung des besten Mitarbeiters bei n Bewerbern (Sekretärinnenproblem) und ähnlichen Einkleidungen. Lösung: Die optimale Strategie besteht darin, erst  Tauben  vorbeifliegen zu lassen, und dann auf die nächste Taube zu schießen, die größer als alle bisher vorbeigeflogenen ist, oder auf die allerletzte, wenn bis dahin keine größere vorbeigeflogen ist. Die Wahrscheinlichkeit, die größte Taube zu erwischen, beträgt bei dieser optimalen Strategie ungefähr  unabhängig von n, das jedoch nicht zu klein sein sollte. Wenn wir  als Schätzwert für  wählen, dann folgt: . Also sollte man bei 27 Tauben erst 10 vorbeifliegen lassen. Bemerkenswert ist, dass man bei rund  aller Fälle nicht die gewünschte optimale Lösung erhält.

Bei der Poisson-, der Exponential- und der Normalverteilung wird  neben anderen Größen zur Beschreibung der Verteilung benutzt.

Bedeutung in der Mathematik 
Die Eulersche Zahl taucht an verschiedenen wichtigen Stellen in der Mathematik auf:

 Sie dient zur Definition  der Normalverteilung, einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
 Sie dient zur Definition  der Poisson-Verteilung, einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
 Sie ist in der Stirling-Formel  für die Fakultät enthalten.
 Sie ist in der Definition  der Gammafunktion enthalten.
 Sie ist in der Formel  für die Subfakultät enthalten.

Die Exponentialfunktion zur Basis der Eulerschen Zahl lautet:

Die Ableitungsfunktion lautet:

Daraus folgt, dass diese Exponentialfunktion mit ihrer Ableitungsfunktion identisch ist:

Dies bedeutet anschaulich, dass die Steigung dieser Exponentialfunktion an jeder Stelle genauso groß ist wie der Funktionswert.

Auch in der Differentialrechnung kommt die Eulersche Zahl vor. An der Stelle  liegt das Maximum der Funktion . Außerdem befindet sich an der Stelle  das Minimum der Funktion . Das kann jeweils mithilfe der Ableitungsfunktion gezeigt werden.

Charakterisierung der Eulerschen Zahl nach Steiner 
Im vierzigsten Band von Crelles Journal aus dem Jahre 1850 gibt der Schweizer Mathematiker Jakob Steiner eine Charakterisierung der Eulerschen Zahl , wonach  als Lösung einer Extremwertaufgabe verstanden werden kann. Steiner zeigte nämlich, dass die Zahl  charakterisierbar ist als diejenige eindeutig bestimmte positive reelle Zahl, die beim Wurzelziehen mit sich selbst die größte Wurzel liefert. Wörtlich schreibt Steiner: „Wird jede Zahl durch sich selbst radicirt, so gewährt die Zahl e die allergrößte Wurzel.“

Steiner behandelt hier die Frage, ob für die Funktion
 
das globale Maximum existiert und wie es zu bestimmen ist. Seine Aussage ist, dass es existiert und dass es angenommen wird in und nur in .

In seinem Buch Triumph der Mathematik gibt Heinrich Dörrie eine elementare Lösung dieser Extremwertaufgabe. Sein Ansatz geht von der folgenden wahren Aussage über die reelle Exponentialfunktion aus:
 

Nach der Substitution  folgt für alle reellen Zahlen 
 
mittels einfacher Umformungen weiter
 
und schließlich für alle positiven  durch Radizieren

Bruchnäherungen 
Für die Zahl  und daraus abgeleitete Größen gibt es verschiedene näherungsweise Darstellungen mittels Brüchen. So fand Charles Hermite die folgenden Bruchnäherungen:
 
 

Hier weicht der erstgenannte Bruch um weniger als 0,0003 Prozent von  ab.

Die optimale Bruchnäherung im dreistelligen Zahlenbereich, also die optimale Bruchnäherung  mit , ist
 .

Diese Näherung ist jedoch nicht die beste Bruchnäherung im Sinne der Forderung, dass der Nenner höchstens dreistellig sein soll. Die in diesem Sinne beste Bruchnäherung ergibt sich als 9. Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung der Eulerschen Zahl:
 

Aus den Näherungsbrüchen der zu  gehörenden Kettenbruchentwicklungen (s. o.) ergeben sich Bruchnäherungen beliebiger Genauigkeit für  und daraus abgeleitete Größen. Mit diesen findet man sehr effizient beste Bruchnäherungen der Eulerschen Zahl in beliebigen Zahlenbereichen. So erhält etwa im fünfstelligen Zahlenbereich die beste Bruchnäherung
 ,
die zeigt, dass die von Charles Hermite für die Eulersche Zahl im fünfstelligen Zahlenbereich gefundene Bruchnäherung noch nicht optimal war.

In gleicher Weise hat etwa C. D. Olds gezeigt, dass durch die Näherung
 
für die Eulersche Zahl eine weitere Verbesserung, nämlich
 ,
zu erzielen ist.

Insgesamt beginnt die Folge der besten Näherungsbrüche der Eulerschen Zahl, die sich aus ihrer regelmäßigen Kettenbruchdarstellung ergeben, folgendermaßen:

Berechnung der Nachkommastellen 
Zur Berechnung der Nachkommastellen wird meist die Reihendarstellung
 
ausgewertet, die schnell konvergiert. Wichtig bei der Implementierung ist dabei Langzahlarithmetik, damit die Rundungsfehler nicht das Ergebnis verfälschen. Ein Verfahren, das ebenfalls auf dieser Formel beruht, aber ohne aufwendige Implementierung auskommt, ist der Tröpfelalgorithmus zur Berechnung der Nachkommastellen von , den A. H. J. Sale fand.

Die Eulersche Zahl in den Medien 
In der Fernsehserie Die Simpsons und ihrer Nachfolgeserie Futurama kommen viele mathematische Bezüge vor, einige haben auch mit der eulerschen Zahl  und Euler zu tun.

1995 gewährte in der Fernsehserie Akte X – Die unheimlichen Fälle des FBI die Zahlenreihe 2-7-1-8-2-8 zwei FBI-Agenten den Zutritt zu einem geheimen Archiv. Dort war nicht von der Eulerschen Zahl, sondern von Napiers Konstante die Rede.

Literatur 
 Brian J. McCartin: e: The Master of All. Mathematical Intelligencer, Band 28, 2006, Nr. 2, S. 10–21. Der Artikel erhielt den Chauvenet-Preis. mathdl.maa.org

Weblinks 

 
 Matheguru, Die Zahl e, Verständliche Erklärung und Herleitung der Eulerschen Zahl
 e auf eine Million Stellen bei Project Gutenberg (englisch)
 Xavier Gourdon, Pascal Sebah, The constant e and its computation, Ausführliche Informationen und Angaben zu relevanter Literatur (englisch)
 The number e, MacTutor History of Mathematics

Einzelnachweise und Fußnoten 

Analysis
Besondere Zahl
Folgen und Reihen
Leonhard Euler als Namensgeber