Przestrzeń liniowa

Przestrzeń liniowa, przestrzeń wektorowa – rodzaj struktury algebraicznej złożonej z dwóch zbiorów oraz dwóch działań: wewnętrznego i zewnętrznego. Elementy tych zbiorów są nazywane wektorami i skalarami, a działania to dodawanie wektorów i skalowanie ich, czyli mnożenie przez skalary. Działania te muszą przy tym spełniać pewne aksjomaty, wymienione niżej (patrz Definicja). Formalnie przestrzeń liniowa to krotka opisująca moduł nad ciałem, zwykle liczbowym, przez co jest to rodzaj grupy przemiennej wzbogaconej o dodatkowy zbiór skalarów i działanie mnożenia przez te elementy. Przestrzenie wektorowe to podstawowy obiekt badań algebry liniowej, definiujący tę dziedzinę.

Struktura ta jest dalekim uogólnieniem przestrzeni euklidesowych lub ściślej: kartezjańskich, znanych z geometrii; właściwości wektorów dwu- i trójwymiarowych stanowią intuicyjny model bardziej abstrakcyjnych odpowiedników. Aksjomatyczną definicję przestrzeni wektorowej spełniają nie tylko skończone ciągi liczb rzeczywistych, ale też odpowiadające im wielomiany ustalonego stopnia o współczynnikach rzeczywistych, macierze ustalonego wymiaru, ciągi nieskończone, funkcje rzeczywiste, operatory różniczkowe i inne obiekty, w tym różne zbiory liczbowe.

Przestrzenie liniowe są przez to wspólnym językiem różnych dziedzin matematyki jak teoria liczb, geometria, algebra i analiza; są m.in. fundamentem analizy funkcjonalnej, a przez to narzędziem XX-wiecznej teorii równań różniczkowych, rachunku wariacyjnego, analizy harmonicznej i fizyki matematycznej. Znajdują zastosowanie w różnych naukach ścisłych i technicznych, w tym mechanice kwantowej i kryptologii. Sformalizowano je na przełomie XIX i XX wieku, w czym mieli udział Hermann Grassmann, Giuseppe Peano, Hermann Weyl i inni.

Definicja 
Niech  będzie ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych  lub liczb zespolonych ).

Ciało to nazywa się ciałem skalarów, elementy ciała nazywa się skalarami.

Definicja:

Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem  nazywa się zbiór  z określonymi w nim dwoma działaniami dwuargumentowymi:

(1) dodawanie wektorów: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru  na zbiór   które dowolnym wektorom  przyporządkowuje pewien wektor  nazywany sumą wektorów  co symbolicznie zapisuje się w postaci
 

(2) mnożenie przez skalar: działanie z iloczynu kartezjańskiego zbioru  i ciała   które dowolnemu wektorowi  i dowolnej liczbie  przyporządkowuje pewien wektor  co symbolicznie zapisuje się w postaci
 

przy czym działania te spełniają poniższe aksjomaty:
 Dodawanie wektorów jest łączne, tj. dla dowolnych  jest

 
 Dodawanie wektorów jest przemienne, tj. dla dowolnych  jest

 
 Dodawanie wektorów ma element neutralny, tj. istnieje taki element  nazywany wektorem zerowym, że dla dowolnego  jest

 
 Dodawanie wektorów ma elementy przeciwne, tj. dla każdego  istnieje element  nazywany wektorem przeciwnym do  taki że

 
 Mnożenie przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorów, tj. dla każdego  oraz  jest

 
 Mnożenie przez wektor jest rozdzielne względem dodawania skalarów:, tj. dla każdych  oraz  zachodzi

 
 Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów, tj. dla dowolnych  oraz  jest

 
 Jeśli 1 jest jedynką ciała  to dla dowolnego 

 

Uwaga:

Pierwsze cztery warunki czynią z wektorów grupę abelową ze względu na dodawanie, kolejne dwa są prawami rozdzielności.

Przestrzeń liniowa rzeczywista i zespolona 
Def. Przestrzenią liniową rzeczywistą nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb rzeczywistych, 

Def. Przestrzenią liniową zespoloną nazywa się przestrzeń liniową określoną nad ciałem liczb zespolonych

Informacje uzupełniające 
(1) Formalnie przestrzeń liniowa nad ciałem  jest strukturą matematyczną  w której:
  jest grupą abelową (aksjomaty 1–4),
  jest ciałem,
wyposażoną w działanie  (wyżej nieoznaczane) spełniające aksjomaty 5–8.

Wyżej przedstawione aksjomaty stanowią definicję modułu (nad pierścieniem ). W ten sposób przestrzeń liniową można zwięźle zdefiniować jako moduł nad ciałem (gdyż każde ciało jest pierścieniem; co więcej, wspomniany moduł jest wolny).

(2) Siódmy aksjomat nie opisuje łączności, gdyż obecne są w nim dwa różne działania: mnożenie przez skalar,  oraz mnożenie skalarów (z ciała), 

(3) Niektóre źródła zawierają również dodatkowe dwa aksjomaty domkniętości:

 Przestrzeń  jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
 jeżeli  to 
 Przestrzeń  jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
 jeżeli  to 

Jednak zwykle działanie definiuje się jako odwzorowanie o przeciwdziedzinie  co pociąga za sobą powyższe stwierdzenia i eliminuje potrzebę ich dodawania jako niezależnych aksjomatów.

(4) Aksjomaty domkniętości są zaś niezbędne do określenia, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzenią.

(5) Wyrażenia postaci „”, gdzie  oraz  ściśle rzecz ujmując, są nieokreślone. Jednakże z powodu przemienności w ciele skalarów wyrażenia „” oraz „” traktuje się jako tożsame. Jeżeli przestrzeń liniowa  jest algebrą nad ciałem  to dla  oraz  zachodzi  co usprawiedliwia traktowanie wyrażeń „” i „” jako reprezentacji tego samego wektora.

(6) Symbol  pomija się często dla działania mnożenia w ciele, rezerwując go dla iloczynu skalarnego lub rezygnuje się z niego całkowicie, gdyż rodzaj mnożenia można zwykle jednoznacznie określić na podstawie rodzaju czynników.

Podstawowe twierdzenia 

Następujące twierdzenia można wyprowadzić wprost z aksjomatów przestrzeni liniowych:

Tw. 1: Wektor zerowy  jest wyznaczony jednoznacznie, tj. jeżeli
  oraz 
 to:
 

Tw. 2: Mnożenie wektora zerowego przez skalar daje wektor zerowy, tj. dla dowolnego  jest:
 

Tw. 3: Mnożenie skalarne wektora przez zero daje wektor zerowy, tj. dla każdego  zachodzi
 

gdzie  – element neutralny dodawania w 

Tw. 4: Żadne inne mnożenie przez skalar nie daje zera, tj.
 
 wtedy i tylko wtedy, gdy
  lub 

Tw. 5: Wektor  odwrotny względem dodawania do  jest wyznaczony jednoznacznie, tzn. jeżeli
  są odwrotnościami  takimi, że
  oraz 
 to
 

Wektor  nazywa się wektorem przeciwnym do 

Definicja (różnicy wektorów):
 Różnicą wektora  i wektora  nazywa się wektor, który jest sumę wektora  i wektora przeciwnego do wektora  tj.
 

Tw. 6: Mnożenie skalarne przez jednostkę ujemną daje wektor przeciwny, tj. dla każdego  mamy
 

gdzie  oznacza element odwrotny względem mnożenia w 

Tw. 7: Ujemność jest całkowicie przemienna, tj. dla każdego  oraz  zachodzi

Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Definicja powłoki liniowej 
 Część wspólna wszystkich podprzestrzeni zawierających dany zbiór wektorów  nazywa się jego powłoką (liniową) lub otoczką (liniową).

Definicja rozpinania przestrzeni przez zbiór wektorów 
 Mówi się, że dany zbiór wektorów  rozpina przestrzeń liniową, jeżeli wszystkie inne wektory tej przestrzeni można otrzymać w wyniku dodawania i mnożenia przez skalar wektorów tego zbioru.

Definicja liniowej niezależności wektorów 
 Jeżeli spośród wektorów  rozpinających daną przestrzeń usunięcie któregokolwiek z nich powodowałoby, że z pozostałych nie dałoby się rozpiąć tej podprzestrzeni, to mówi się, że zbiór wektorów jest liniowo niezależny.

Definicja bazy przestrzeni liniowej 
 Bazą przestrzeni  nazywa się liniowo niezależny zbiór wektorów  który rozpina przestrzeń

Twierdzenie o istnieniu bazy 
 Każda przestrzeń liniowa ma bazę.

Dowód:

Niech  będzie rodziną liniowo niezależnych podzbiorów zbioru  Rodzina ta jest uporządkowana relację inkluzji. Na mocy twierdzenia Hausdorffa w rodzinie  istnieje nieprzedłużalny łańcuch  Suma  tego łańcucha jest zbiorem liniowo niezależnym. Gdyby  nie była bazą, istniałby wektor  dla którego  byłby liniowo niezależny. Wtedy jednak  byłby właściwym przedłużeniem łańcucha  co przeczyłoby jego maksymalności.

Twierdzenie o równoliczności baz 
 Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne.

Dowód: Wynika to ze słabszego od aksjomatu wyboru lematu o istnieniu ultrafiltrów w algebrach Boole’a (BPI).

Definicja wymiaru przestrzeni liniowej 
 Jeśli  jest przestrzenią liniową, to moc jej bazy nazywa się wymiarem przestrzeni 

Wymiar przestrzeni oznacza się symbolem 

Np. Wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej  czyli  wynosi trzy, gdyż każdy element tej przestrzeni daje się przedstawić jako kombinacja wektorów należących np. do zbioru .

Uwaga:

Istnieją przestrzenie liniowe, dla których nie można wskazać żadnej bazy, ale przy założeniu aksjomatu wyboru wiadomo, że ona istnieje.

Twierdzenie Andreasa Blassa (1984 r.) 
 Istnienie bazy każdej przestrzeni liniowej jest równoważne z aksjomatem wyboru.

Definicja podprzestrzeni 
Definicja 1:
 Niepusty podzbiór  przestrzeni liniowej  zamknięty ze względu na dodawanie i mnożenie skalarne nazywa się podprzestrzenią tej przestrzeni, przy czym:
 przestrzeń  jest zamknięta ze względu na dodawanie wektorów,
 jeżeli  to 
 przestrzeń  jest zamknięta ze względu na mnożenie przez skalar,
 jeżeli  to 

Definicja 2 (równoważna)
 Podzbiory przestrzeni, które same są przestrzeniami liniowymi nazywa się podprzestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem).

Wynika stąd, że:
 Baza podprzestrzeni i jej wymiar są zadane przez bazę i wymiar tego zbioru, traktowanego jako niezależna przestrzeń liniowa.

Przekształcenia liniowe 

Dla danych dwóch przestrzeni liniowych  oraz  nad tym samym ciałem  można zdefiniować przekształcenia liniowe lub odwzorowania liniowe z  do  Są to funkcje  zachowujące ich struktury, tzn. zachowujące sumy wektorów i iloczyny wektorów przez skalary. Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z  do  oznaczany  sam stanowi przestrzeń liniową nad  Jeżeli dane są bazy  i  przekształcenia liniowe można wyrazić w pojęciach składowych za pomocą macierzy nazywanych macierzami przekształceń liniowych.

Izomorfizm to przekształcenie liniowe  które jest jednocześnie bijekcją przestrzeni  na przestrzeń  Jeśli istnieje izomorfizm między  a  to mówi się, że przestrzenie te są izomorficzne, jako że przestrzenie liniowe mają tę samą strukturę.

Jak wspomniano wcześniej, wymiar przestrzeni jest niezmiennikiem izomorfizmu: otóż jeśli  jest bazą przestrzeni  to  jest bazą przestrzeni  Okazuje się, że nie ma innych niezmienników izomorfizmów. Wszystkie przestrzenie -wymiarowe nad ciałem  są izomorficzne, tj. izomorficzne z przestrzenią współrzędnych  Konsekwencją tego twierdzenia jest możliwość badania przestrzeni liniowych skończonego wymiaru za pomocą metod właściwych przestrzeniom współrzędnych, znajdując uprzednio izomorfizm między tymi przestrzeniami.

Izomorfizmy między dowolnymi przestrzeniami liniowymi wyznaczone jednoznacznie są tylko w dwóch przypadkach szczególnych: gdy  lub gdy  są jednowymiarowymi przestrzeniami nad ciałem dwuelementowym. Niekiedy między przestrzeniami liniowymi istnieją izomorfizmy niezależne od jakichkolwiek wyborów (np. wyborów baz). O takich izomorfizmach mówi się, że są kanoniczne bądź naturalne. Przykładem izomorfizmu kanonicznego przestrzeni będących iloczynami tensorowymi przestrzeni, odpowiednio  i  oraz  i  jest odwzorowanie  dla 

Przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem  wraz z przekształceniami liniowymi są kategorią abelową.

Iloczyn przestrzeni liniowych 
Jeśli  są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem  to w iloczynie kartezjańskim  można wprowadzić strukturę przestrzeni liniowej, definiując działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez skalar w następujący sposób:
 
 

dla 

Analogicznie określa się iloczyn przestrzeni

Dodatkowe struktury 
Przestrzeń liniowa jest wzbogacana o dodatkowe struktury.

Przestrzeń liniowa z topologią 
Definiuje się dodatkowo topologię w przestrzeni liniowej. W szczególności otrzyma się przestrzeń liniowo-topologiczną, jeśli działania dodawania wektorów i mnożenie przez skalar są ciągłe. Topologia określona na przestrzeni liniowej umożliwia wprowadzenie struktury jednostajnej. Jeśli przestrzeń ma nieskończony wymiar, to można na niej określić więcej niż jedną nierównoważną normę.

Przestrzeń unormowana 
Przestrzeń unormowana to przestrzeń liniowa nad ciałem  lub  z dodatkowo zdefiniowaną normą, która określa długość wektorów.

Przestrzeń unitarna 
Przestrzeń unitarna (prehilbertowska) to przestrzeń liniowa z dodatkowo zdefiniowanym iloczynem skalarnym dla wektorów.

Przestrzeń Banacha / przestrzeń Hilberta 
Przestrzeń unormowana / unitarna, zupełna ze względu na metrykę generowaną przez normę/normę pochodzącą od iloczynu skalarnego to przestrzeń Banacha/przestrzeń Hilberta.
Np. w mechanice kwantowej wektor stanu układu fizycznego definiuje się jako wektor w przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie liniowo-topologiczne 
Wszystkie powyższe przestrzenie są szczególnymi rodzajami przestrzeni liniowo-topologicznych, to znaczy przestrzeni liniowych (ciałem liczb R lub C) wyposażonych w topologię zgodną z jej strukturą liniową, czyli taką, w której dodawanie i mnożenie przez skalar są ciągłe.

Szerszą klasyfikację tych przestrzeni omówiono w artykule przestrzenie liniowo-topologiczne. W przestrzeniach tych wprowadza się pojęcie zbieżności (za pomocą topologii, metryki, normy), oraz rozważa się sumę nieskończonej liczby wektorów (tzw. szeregi).

Algebra nad ciałem 
Algebra nad ciałem to przestrzeń liniowa z dodatkowym działaniem dwuliniowym określającym mnożenie dwóch wektorów.

Uporządkowana przestrzeń liniowa 
Uporządkowana przestrzeń liniowa to przestrzeń liniowa z wprowadzonym w sposób zgodny ze strukturą przestrzeni porządkiem częściowym wektorów.

Uogólnienia 
Z abstrakcyjnego punktu widzenia przestrzenie liniowe są modułami nad ustalonym ciałem  Dużą część algebry liniowej można uprawiać, opierając się wyłącznie na tej strukturze. Częsta praktyka utożsamiania  oraz  w przestrzeniach liniowych prowadzi do pojęcia  bimodułu. W ogólności moduły nie muszą mieć baz; te, które je mają (włączając w to wszystkie przestrzenie liniowe), nazywa się modułami wolnymi.

Rodzina przestrzeni liniowych sparametryzowana w sposób ciągły za pomocą związanej z nią przestrzeni topologicznej nazywa się wiązką wektorową.

Przestrzeń afiniczna jest zbiorem z przechodnim działaniem przestrzeni liniowej na sobie. Warto zauważyć, że przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną nad sobą przez odwzorowanie strukturalne

Alternatywny zestaw aksjomatów 
Aksjomaty 3. i 4. można zastąpić następującym aksjomatem 9.:
 Dla dowolnych  zachodzi 

Poniższy dowód równoważności pochodzi z A Note on the Independence of the Axioms for a Vector Space A. J. van der Poortena.

Przy założeniu aksjomatów 1. i 2. oraz 5.–9. mamy
  oraz
 

skąd wynika, że  jest elementem neutralnym i  jest elementem przeciwnym do 

Natomiast przy założeniu aksjomatów 1.–8. jest
 

A więc w szczególności  dla dowolnego  a zatem zachodzi 9.

Zobacz też 
 kombinacja liniowa wektorów
 liniowa niezależność wektorów
 pole wektorowe
 przykłady przestrzeni liniowych

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
 W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne 
  [dostęp 2022-10-06].
  Vector space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

 
Analiza funkcjonalna