Axiomensystem

Ein Axiomensystem (auch: Axiomatisches System) ist ein System von grundlegenden Aussagen, Axiomen, die ohne Beweis angenommen und aus denen alle Sätze (Theoreme) einer Theorie logisch abgeleitet werden. Die Ableitung erfolgt dabei durch die Regeln eines formalen logischen Kalküls. Eine Theorie besteht aus einem Axiomensystem und all seinen daraus abgeleiteten Theoremen. Mathematische Theorien werden in der Regel als Elementare Sprache (auch: Sprache erster Stufe mit Symbolmenge) im Rahmen der Prädikatenlogik erster Stufe axiomatisiert.

Allgemeines 
Ein Axiomensystem als Produkt der Axiomatisierung eines Wissensgebietes dient der präzisen, ökonomischen und übersichtlichen „Darstellung der in ihm geltenden Sätze und der zwischen ihnen bestehenden Folgerungszusammenhänge“. Die Axiomatisierung zwingt zugleich zu einer eindeutigen Begrifflichkeit. Elemente eines axiomatischen Systems sind:
 ein Alphabet, aus denen die Ausdrücke nach gewissen Regeln hergestellt werden;
 eine Menge von grundlegenden Ausdrücken – den Axiomen – und
 ein System logischer Schlussregeln (Kalkül) zur Ableitung weiterer Ausdrücke, den Theoremen.

Ein Beispiel: Die Theorie der Gruppen 
Die Theorie der Gruppen formuliert man als elementare Sprache im Rahmen der Prädikatenlogik erster Stufe.

 Das Alphabet: Alle Ausdrücke der elementaren Sprache , die – zusätzlich zu den logischen Symbolen und der Gleichheit (hier mit  dargestellt) – die Symbolmenge  enthält. Dabei ist  eine Konstante (neutrales Element),  ein einstelliges Funktionssymbol (Inversion) und  ein zweistelliges Funktionssymbol (Verknüpfung von Gruppenelementen).
 Die Gruppenaxiome sind
 
 
 
 
 
 Das verwendete logische System: Der Sequenzenkalkül der Prädikatenlogik erster Stufe

Eigenschaften von Axiomensystemen 
Wir bezeichnen im Folgenden wie üblich die Ableitbarkeitsrelation des zugrundegelegten logischen Kalküls (Sequenzenkalkül, Kalkül des natürlichen Schließens) mit ; sei  die zugehörige Inferenzoperation, die also jeder Menge M von Axiomen die zugehörige Theorie  zuordnet.

Die Inferenzoperation ist ein Hüllenoperator, d. h., es gilt insbesondere  (Idempotenz des Hüllenoperators).

Deshalb sind Theorien deduktiv abgeschlossen, man kann also nichts Weiteres aus T herleiten, was nicht schon aus M beweisbar wäre. M nennt man auch eine Axiomatisierung von T.

Konsistenz 

Eine Menge  von Axiomen (und auch die dazugehörende Theorie ) wird konsistent (oder widerspruchsfrei) genannt, falls man aus diesen Axiomen keine Widersprüche ableiten kann. Das bedeutet: Es ist nicht möglich, sowohl einen Satz  als auch seine Negation  mit den Regeln des Axiomensystems aus  (bzw. ) herzuleiten.

In Worten von Tarski:

Unabhängigkeit 
Ein Ausdruck  wird unabhängig von einer Menge  von Axiomen genannt, wenn  nicht aus den Axiomen in  hergeleitet werden kann. Entsprechend ist eine Menge  von Axiomen unabhängig, wenn jedes einzelne der Axiome in  von den restlichen Axiomen unabhängig ist:
 für alle .

Prägnant zusammengefasst: „Unabhängig sind die Axiome, wenn keines von ihnen aus den anderen ableitbar ist“.

Syntaktische Vollständigkeit 

Eine Menge  von Axiomen wird syntaktisch vollständig (auch negationstreu) genannt, wenn für jeden Satz  der Sprache gilt, dass der Satz  selbst oder seine Negation  aus den Axiomen in  hergeleitet werden kann. Dazu gleichbedeutend ist, dass jede Erweiterung von  durch einen bisher nicht beweisbaren Satz widersprüchlich wird. Analoges gilt für eine Theorie. Vollständige Theorien zeichnen sich also dadurch aus, dass sie keine widerspruchsfreien Erweiterungen haben.

Vorsicht: Die syntaktische Vollständigkeit einer Theorie darf nicht mit der semantischen Vollständigkeit aus der Modelltheorie verwechselt werden.

Modelle und Beweise von Widerspruchsfreiheit, Unabhängigkeit und Vollständigkeit 
Für das Folgende nehmen wir an, dass der zugrundeliegende Kalkül korrekt ist; d. h., dass jede syntaktischen Ableitung auch die semantische Folgerung impliziert (dies ist eine Minimalforderung an ein axiomatisches System, die z. B. für den Sequenzenkalkül der Prädikatenlogik erster Stufe gilt).

Wenn es zu einem Axiomensystem ein Modell besitzt, dann ist M widerspruchsfrei. Denn angenommen, es gäbe einen Ausdruck A mit  und . Jedes Modell von M wäre dann sowohl Modell von  als auch von  – was nicht sein kann.

Die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems lässt sich also durch Angabe eines einzigen Modells zeigen. So folgt z. B. die Widerspruchsfreiheit der obigen Axiome der Gruppentheorie durch die Angabe der konkreten Menge  mit  und der Definition von  durch die Addition modulo 2 ().

Modelle kann man auch verwenden, um die Unabhängigkeit der Axiome eines Systems zu zeigen: Man konstruiert zwei Modelle für das Teilsystem, aus dem ein spezielles Axiom A entfernt wurde – ein Modell, in dem A gilt und ein anderes, in dem A nicht gilt.

Zwei Modelle heißen isomorph, wenn es eine eineindeutige Korrespondenz zwischen ihren Elementen gibt, die sowohl Relationen als auch Funktionen erhält. Ein Axiomensystem, für das alle Modelle zueinander isomorph sind, heißt kategorisch. Ein kategorisches Axiomensystem ist vollständig. Denn sei das Axiomensystem nicht vollständig; d. h., es gebe einen Ausdruck A, für den weder A noch  aus dem System herleitbar ist. Dann gibt es sowohl ein Modell für  als auch eines für . Diese beiden Modelle, die natürlich auch Modelle für  sind, sind aber nicht isomorph.

Axiomensysteme in einzelnen Bereichen

Logik 
Für die elementare Aussagenlogik, die Prädikatenlogik erster Stufe und verschiedene Modallogiken gibt es axiomatische Systeme, die die genannten Anforderungen erfüllen.

Für die Prädikatenlogiken höherer Stufen lassen sich nur widerspruchsfreie, aber nicht vollständige axiomatische Systeme entwickeln. Das Entscheidungsproblem ist in ihnen nicht lösbar.

Arithmetik 
Für die Arithmetik gilt der Gödelsche Unvollständigkeitssatz. Dies wird weiter unten diskutiert.

Geometrie 
David Hilbert gelang es 1899, die euklidische Geometrie zu axiomatisieren.

(Sonstige) Axiomensysteme aus dem Bereich der Mathematik 
 Huntingtonsches Axiomensystem
 Peano-Dedekindsches Axiomensystem der Arithmetik
 Wahrscheinlichkeitstheorie
 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Physik 
Günther Ludwig legte in den 1980er Jahren eine Axiomatisierung der Quantenmechanik vor

Sprachwissenschaft 
Karl Bühler versuchte 1933, eine Axiomatik der Sprachwissenschaft zu entwickeln.

Wirtschaftstheorie 
Arnis Vilks schlug 1991 ein Axiomensystem für die neoklassische Wirtschaftstheorie vor.

Axiomatisches System und Gödelscher Unvollständigkeitssatz 

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze von 1931 sprechen über höchstens rekursiv aufzählbar axiomatisierte Theorien, die in der Logik erster Stufe formuliert sind. Es wird ein vollständiger und korrekter Beweiskalkül vorausgesetzt. Der erste Satz sagt aus: Falls die Axiome der Arithmetik widerspruchsfrei sind, dann ist die Arithmetik unvollständig. Es gibt also mindestens einen Satz , so dass weder  noch seine Negation ¬ in der Arithmetik beweis­bar sind. Des Weiteren lässt sich zeigen, dass jede Erweiterung der Axiome, die rekursiv aufzählbar bleibt, ebenfalls unvollständig ist. Damit ist die Unvollständigkeit der Arithmetik ein systematisches Phänomen und lässt sich nicht durch eine einfache Erweiterung der Axiome beheben. Der zweite Unvollständigkeitssatz sagt aus, dass sich insbesondere die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht im axiomatischen System der Arithmetik beweisen lässt.

Siehe auch 
 Logische Aussage
 Axiomenschema
 Begriffssystem
 Euklid
 Formales System

Quellen 

Logik