Dzielnik

Dzielnik – dwuznaczne pojęcie arytmetyczne:

 drugi, prawy argument dzielenia – jeśli  to  nazywa się dzielną,  – dzielnikiem, a  – ilorazem. Tak rozumiany dzielnik odpowiada mianownikowi ułamka;

 liczba całkowita, która dzieli bez reszty daną liczbę całkowitą. To, że liczba  dzieli liczbę  oznacza, że iloraz  jest całkowity; zapisuje się to:  Formalnie:
 

Innymi słowy druga z tych liczb jest iloczynem tej pierwszej i jakiejś innej całkowitej:
 

Dzielnik liczby to każda liczba, której wielokrotnością jest ta zadana; relacja bycia dzielnikiem – czyli podzielność – to relacja odwrotna do bycia wielokrotnością. Ta definicja jest nieco szersza – dzielenie przez zero nie jest określone, przez co zero nie może być dzielnikiem w pierwszym znaczeniu; z drugiej strony zero ma wielokrotność – równą jemu samemu, przez co w dalszej części artykułu przyjęto, że zero dzieli samo siebie 

Relacja podzielności to jeden z fundamentów arytmetyki, zarówno elementarnej, jak i teoretycznej (teorii liczb). Przez podzielność definiuje się podstawowe typy liczb naturalnych jak liczba parzysta, pierwsza czy złożona, działania jak największy wspólny dzielnik (NWD) oraz inne relacje jak względna pierwszość i przystawanie (kongruencja). O podzielności liczb mówią niektóre twierdzenia jak lemat Euklidesa.

Pojęcie dzielnika wprowadza się też w bardziej ogólnych strukturach algebraicznych jak półgrupy, zwłaszcza pierścienie.

Przykłady i odmiany 

Liczba  dzieli liczbę  ponieważ  Poniższa tabela przedstawia podzielność jednocyfrowych liczb naturalnych – wypełnienie komórki oznacza, że liczba z początku wiersza (po lewej) dzieli liczbę z początku kolumny (na górze):

Każda liczba całkowita dzieli się przez samą siebie, liczbę do niej przeciwną, jedynkę i minus jedynkę. Te dzielniki są znane jako trywialne, a pozostałe jako nietrywialne. Liczba  ma osiem dzielników:  przy czym cztery z nich  są trywialne. Jedynka i liczby pierwsze mają wyłącznie trywialne dzielniki, za to zero i liczby złożone mają też inne (nietrywialne).

Liczbę wszystkich dzielników dodatnich liczby określa funkcja tau  przykładowo 

Dzielnik właściwy liczby to każdy dodatni różny od niej samej; liczba  ma trzy dzielniki właściwe  Liczby pierwsze można zdefiniować jako takie, które mają dokładnie jeden dzielnik właściwy: jedynkę.

Dalsze własności 

 Wspomniany fakt, że każda liczba dzieli siebie samą, nazywa się zwrotnością podzielności.
 Podzielność jest przechodnia: 
 Relacje o tych dwóch cechach – zwrotne i przechodnie – nazywa się praporządkami.
 Liczby wzajemnie podzielne mają równy moduł (wartość bezwzględną) – są sobie równe lub przeciwne: 
 W szczególności oznacza to, że wzajemnie podzielne liczby naturalne są sobie równe; relacje o tej własności nazywa się antysymetrycznymi.
 Antysymetryczne praporządki są znane jako porządek częściowy; parę  zalicza się do struktur zwanych posetami. Ten konkretny należy do krat, ponieważ dla każdej pary liczb naturalnych istnieją największy wspólny dzielnik (NWD) oraz najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW), pełniące role kresów – odpowiednio dolnego (infimum) i górnego (supremum).
 Zbiór dodatnich dzielników danej liczby też tworzy kratę.
 Dzielnik dwóch liczb jest też dzielnikiem ich sumy:  Co więcej,  dla dowolnych liczb całkowitych  oraz . Twierdzenie odwrotne nie zachodzi:  ale dwójka nie dzieli żadnego z tych składników.
 Istnieją sposoby, żeby sprawdzić podzielność dwóch liczb bez całej procedury dzielenia z resztą. Metody te opierają się na cechach podzielności – warunkach równoważnych tej własności; przykładowo dla sprawdzenia podzielności przez 3 i 9 wystarczy znać sumę cyfr liczby w zapisie dziesiętnym.

Uogólnienia 
Podwielokrotnością liczby  nazywa się każdą taką liczbę  dla której  jest liczbą naturalną, w ten sposób  jest wielokrotnością  W przeciwieństwie do podwielokrotności, od dzielnika wymaga się zwykle, by był on liczbą naturalną.

Ogólnie definicję precyzuje się niekiedy dodatkowymi warunkami, np.:
 iloraz powinien być określony jednoznacznie (czego wymaga się zwykle w teorii pierścieni), z tego powodu przyjmuje się  (zob. dzielenie przez zero). Wtedy dzielnik jest synonimem podwielokrotności będącej liczbą całkowitą. W ten sposób w dowolnym ciele (np. liczb wymiernych; jest to prawdą w pierścieniu bez dzielników zera) jedynym dzielnikiem zera jest zero.
 dla uproszczenia rozważa się niekiedy wyłącznie dzielniki dodatnie, dodaje się wtedy warunek  dzięki czemu można przykładowo założyć, że liczba pierwsza jest liczbą o dokładnie dwóch dzielnikach (zob. uogólnienia).

Definicję dzielnika można rozszerzyć na dziedziny całkowitości; dział teorii pierścieni zajmujący się badaniem podzielności w pierścieniach nazywa się teorią podzielności. Jeżeli  i  to elementy  oraz  nazywa się stowarzyszonymi. Relacja stowarzyszenia zdefiniowana wzorem
 
jest relacją równoważności. Można to wyrazić również następująco:
 
gdzie  jest elementem odwracalnym (jednością; w istocie są to dzielniki jedynki), tzn. intuicyjnie: elementy stowarzyszone „różnią się” o czynnik odwracalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, iż jeżeli  to dla dowolnej liczby  takiej, że  zachodzi również  Jest to powód dla którego wyróżnia się tradycyjnie w zbiorze dzielników pewne elementy (np. liczby dodatnie wśród liczb całkowitych): wtedy jeden z dzielników reprezentuje inne z nim stowarzyszone (w liczbach całkowitych odwracalne są wyłącznie  oraz ). W ten sposób dzielniki właściwe można opisać jako dzielniki, które nie stowarzyszone z daną liczbą i niebędące przy tym jednościami. Dzielniki nierozkładalne to dzielniki niebędące jednością, który nie ma dzielników właściwych.

Największy dzielnik elementu  który jest równocześnie dzielnikiem  nazywa się największym wspólnym dzielnikiem tych elementów, przy czym jest on określony z dokładnością do stowarzyszenia.

Relację podzielności można zdefiniować w dowolnej półgrupie. Jeżeli ma ona element zerowy, to każdy element jest dzielnikiem zera (w szczególności w liczbach całkowitych  jest wielokrotnością dowolnej liczby i każda liczba jest jej dzielnikiem).

Zobacz też 

 czynnik pierwszy
 liczba doskonała

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa 
 
 

Arytmetyka
Teoria liczb
Teoria pierścieni