Liczby naturalne

Liczby naturalne – termin dwuznaczny:
 moce zbiorów skończonych: 0, 1, 2...;
 moce niepustych zbiorów skończonych: 1, 2, 3...

Obiekty te opisują nie tylko liczności, ale i kolejności, przez co odpowiadają zarówno liczebnikom głównym, jak i porządkowym. Jest to najbardziej podstawowy typ liczb, rozważany przez człowieka od prehistorii i częściowo używany przez inne gatunki zwierząt, choć pojęcie zera pojawiło się później niż pozostałe elementy tego zbioru. Rozwój matematyki doprowadził do:
 efektywnego zapisu – wprowadzono systemy pozycyjne, a do dużych liczb notację wykładniczą i strzałkową;
 ścisłych definicji, opartych na teorii mnogości;
 uogólnień jak liczby całkowite, nieujemne liczby wymierne i liczby kardynalne.

Nauka o tych liczbach to arytmetyka – ta elementarna opisuje podstawowe działania na nich, a ta wyższa – czyli teoria liczb – rozważa relacje między nimi jak podzielność i własności definiujące różne odmiany. Na liczbach naturalnych skupiają się też inne obszary matematyki dyskretnej jak kombinatoryka. Na pograniczu teorii liczb i algebry znajduje się teoria równań diofantycznych; rozstrzygnięcie, czy dane równanie ma rozwiązania naturalne lub ile ich jest, bywa zadaniem trudniejszym niż opis rozwiązań w szerszych zbiorach. Zbiór liczb naturalnych jako pewną całość rozważa też algebra abstrakcyjna – rozważa się na nim cały szereg działań, które czynią z niego strukturę algebraiczną.

Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznacza się symbolem

Oznaczenia 
Dla liczb naturalnych stosuje się często zarówno oznaczenie  jak i  rzadziej inne.

W matematyce określenie „liczby naturalne” oznacza na ogół liczby całkowite dodatnie. Począwszy od wprowadzenia w teorii mnogości modelu von Neumanna liczb naturalnych niektórzy autorzy dołączają do zbioru liczb naturalnych liczbę zero, której odpowiednikiem w tym modelu był zbiór pusty .

 Naturalne bez zera: 
 Naturalne z zerem:

Historia 
Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się starożytnym Grekom: Pitagorasowi, Euklidesowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.

Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka – słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka.

Zero 
Pierwotnie zero było wykorzystywane jako pomoc w oznaczeniu „pustego miejsca”. Już w VII w. p.n.e. Babilończycy stosowali zero jako cyfrę w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie jako liczba. W cywilizacji Majów zero było znane jako liczba już w I w. p.n.e. (być może znali je już w IV wieku p.n.e. wchłonięci przez Majów Olmekowie). W kulturze zachodniej zero, jako oddzielna, pełnoprawna wartość, pojawiło się znacznie później.

W roku 130 zera używał Klaudiusz Ptolemeusz. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, pierwsze wzmianki pochodzą z roku 628. Zero stosowano niekonsekwentnie również w średniowieczu, nie miało ono jednak swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich – stosowano łacińskie słowo nullae.

Definicje

Postulaty Peana 
Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych, choć proste, zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peana), które musi spełniać dowolna konstrukcja zbioru liczb naturalnych:
 0 jest liczbą naturalną,
 Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany 
 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej,
 Różne liczby naturalne mają różne następniki: 
 Jeśli 0 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Z ostatniej własności wynika, że każda liczba naturalna jest albo zerem, albo następnikiem pewnej liczby naturalnej.

Gdyby w powyższej wersji aksjomatyki Peana zamienić 0 przez dowolny inny symbol (różny od S), to zmiana byłaby czysto formalna, nic istotnie nie zmieniłoby się. W szczególności można zamiast 0 napisać 1. Zauważmy, że aksjomaty Peana nic nie mówią o operacjach arytmetycznych takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie itd., ani też nie wspominają uporządkowania (relacji ). Definiują tylko operację następnika, S. Pozostałe pojęcia trzeba dopiero zdefiniować w terminach S. Okazuje się to możliwe. Poniżej, dwa warunki definiują dodawanie, dla którego 0 gra rolę elementu neutralnego (pierwszy warunek w definicji: ).

Dodawanie definiujemy jako operację spełniającą następujące warunki:
 
 

To wystarczy do wyliczenia sumy liczb, np. obliczając  (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))), kolejno otrzymujemy:
 
  bo 2 jest następnikiem 1,
  z definicji,
  następnik 2 oznaczamy symbolem 3,
  1 jest następnikiem 0,
  z definicji,
  następnik 3 oznaczamy symbolem 4.

Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:
 
 

W wersji liczb naturalnych wykluczającej 0, pierwszy aksjomat mnożenia  byłby zastąpiony przez warunek: 

Powyższe postulaty mówią, jakie własności mają liczby naturalne, z definicji. W ramach teorii mnogości zbiór liczb naturalnych, spełniający aksjomaty Peana, można skonstruować na wiele sposobów. Szczególnie popularna jest konstrukcja von Neumanna (patrz niżej).

Konstrukcja Fregego-Russella 
Pierwsza konstrukcja liczb naturalnych, autorstwa Gottloba Fregego i niezależnie Bertranda Russella, definiuje je po prostu jako liczności (ściślej: moce) zbiorów skończonych.

Model von Neumanna 

Jest to przykład eleganckiej konstrukcji zbioru liczb naturalnych w ramach teorii mnogości, podanej przez węgierskiego matematyka Johna von Neumanna – nie jedynej, ale jednej z ważniejszych:

Niech X – zbiór induktywny.

Niech  Przecięcie  jest zbiorem induktywnym (dowód przy aksjomacie nieskończoności), zawartym w każdym innym induktywnym:
 rzeczywiście, niech  – zbiór induktywny. To  też jest zbiorem induktywnym (jako przecięcie zbiorów induktywnych), zawartym w  a więc zawierającym  a więc równym  – co kończy dowód.

Korzystając z induktywności 
  – oznaczamy jako 0,
  – oznaczamy jako 1,
  – oznaczamy jako 2
i tak dalej.

Tak skonstruowany zbiór liczb naturalnych spełnia aksjomaty Peana.

Tak więc w modelu von Neumanna (i na ogół w teorii mnogości) za każdą liczbę naturalną uważamy zbiór składający się ze wszystkich poprzednich liczb naturalnych, np.   itd.

Podstawowe własności 

Dla dowolnych liczb naturalnych 
 
 
 
 
 
 

W zbiorze liczb naturalnych definiuje się szereg działań jak dodawanie (+), mnożenie (·), potęgowanie, największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW); przez to z perspektywy algebry abstrakcyjnej na zbiór ten można nałożyć struktury algebraiczne. Cztery z tych działań – inne niż potęgowanie – są łączne, przez co liczby naturalne tworzą z nimi półgrupy. Dodawanie, mnożenie i NWW mają wśród liczb naturalnych elementy neutralne – odpowiednio 0, 1 i 1 – przez co struktury te są nazywane monoidami. Oprócz tego liczby naturalne z dodawaniem i mnożeniem tworzą półpierścień, a z działaniami NWD i NWW – kratę.

Każda liczba naturalna:
 ma jednoznaczną faktoryzację – mówi o tym zasadnicze twierdzenie arytmetyki;
 jest sumą czterech kwadratów liczb naturalnych – mówi o tym arytmetyczne twierdzenie Lagrange’a.

Liczby naturalne to podstawowy przykład zbioru nieskończonego – jest on równoliczny z częścią swoich podzbiorów właściwych. Moc tego zbioru nazywa się alef zero i oznacza  jest to najmniejsza nieskończona liczba kardynalna. Zbiory tej mocy nazywa się przeliczalnymi, przy czym czasem to pojęcie obejmuje też zbiory skończone.

Wśród liczb całkowitych można wyróżnić podzbiór izomorficzny ze zbiorem liczb naturalnych. Innymi słowy istnieje podzbiór – z odziedziczonymi działaniami dodawania i mnożenia – spełniający aksjomaty Peana. To samo dotyczy dalszych uogólnień liczb całkowitych.

Przypisy