Moduł (matematyka)

Moduł – struktura algebraiczna będąca uogólnieniem przestrzeni liniowej. Ponieważ grupy abelowe można postrzegać jako moduły nad pierścieniem liczb całkowitych, to teoria modułów znajduje zastosowanie w wielu działach algebry i innych dziedzinach matematyki.

Motywacja 

Kronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; wynikało to z następujących dwóch obserwacji, które doprowadziły ostatecznie do przyjęcia współcześnie stosowanej definicji:
 Dowolną grupę abelową  można przekształcić w pierścień przemienny przyjmując  dla wszystkich  ten pierścień zerowy (jak każdy pierścień tego rodzaju) nie ma jedynki. W ten sposób każda podgrupa grupy  jest ideałem pierścienia 
 Niech  będzie pierścieniem przemiennym,  jego podpierścieniem. Niepusty podzbiór  zbioru  o własnościach: (a) jeśli  to  (b) jeśli  oraz  to  nazywa się -modułem w  Dowolny ideał w  jest -modułem; w szczególności ideały  są dokładnie tymi podzbiorami  które są -modułami (zob. Przykłady).

O ile chodzi tylko o elementy  w tak zdefiniowanym pojęciu modułu wykorzystywane jest jedynie dodawanie; mnożenie ma miejsce tylko między elementami  oraz

Definicja 
Niech  będzie pierścieniem z jedynką. Modułem (lewostronnym) nad  nazywa się taką strukturę algebraiczną  że
  jest grupą abelową,
 funkcja  spełnia dla wszystkich  oraz  następujące warunki:

 przy czym  oznacza jedynkę pierścienia

Działanie pierścienia na grupie 
Jeżeli przyjąć  oraz rozpatrywać funkcję  to pierwszy aksjomat mówi w istocie, że odwzorowania  są homomorfizmami grupowymi  zaś trzy pozostałe zapewniają, że  jest homomorfizmem pierścienia  w pierścień endomorfizmów  Stąd moduł może być traktowany jako działanie pierścienia na grupie abelowej (por. działanie grupy). W tym sensie teoria modułów uogólnia teorię reprezentacji, która zajmuje się badaniem działań grupy na przestrzeniach liniowych lub, równoważnie, pierścieniami grupowymi.

Rodzaje 
Zwykle pisze się po prostu lewostronny R-moduł M lub  Prawostronny -moduł  lub  definiuje się podobnie z tą różnicą, że pierścień działa prawostronnie, tzn. mnożenie przez skalar jest odwzorowaniem  z powyższymi aksjomatami zapisanymi ze skalarami  po prawej stronie elementów  Tę samą strukturę można otrzymać, zapisując mnożenie przez skalar po lewej stronie, ale zastępując warunek  przez
 

W ogólnym przypadku nie ma potrzeby tworzenia oddzielnych teorii modułów lewo- i prawostronnych – jeśli  jest modułem lewostronnym (prawostronnym) nad  to można go utożsamiać z modułem prawostronnym (lewostronnym) nad  gdzie symbol  oznacza pierścień przeciwny do  tzn. zbiory  i  są równe, działania dodawania i elementy wyróżnione w obu pierścieniach pokrywają się, natomiast jeśli  jest działaniem mnożenia dla  to  określa mnożenie w  W dalszej części artykułu moduły lewostronne będą nazywane krótko modułami.

Autorzy, którzy nie wymagają, aby pierścienie miały jedynkę (były unitarne), pomijają czwarty aksjomat powyższej definicji, a struktury powyższego rodzaju nazywają „unitarnymi modułami lewostronnymi” (bądź modułami lewostronnymi z jedynką). W tym artykule jednak, przyjmuje się, że wszystkie pierścienie i moduły mają jedynkę (są unitarne).

Gdy  jest pierścieniem przemiennym, to warunki  i  są równoważne – wówczas mówi się po prostu o module nad  Moduł zarazem lewostronny i prawostronny, w którym oba mnożenia są ze sobą zgodne nazywa się bimodułem.

Podmoduły i homomorfizmy 

Niech  będzie lewostronnym -modułem, a  podgrupą w  Wtedy  jest podmodułem (lub dokładniej: -podmodułem), jeżeli
 

dla wszystkich  oraz 

Zbiór podmodułów danego modułu  wraz z dwoma działaniami dwuargumentowymi: dodawaniem kompleksowym  oraz przekrojem zbiorów  jest kratą spełniające następujące prawo modularności:
 dla danych podmodułów  modułu  takich, że  zachodzi równość podmodułów: 

Niech  i  będą lewostronnymi -modułami. Przekształcenie  jest homomorfizmem -modułów, jeżeli dla dowolnych  oraz  zachodzi
 

Tak jak jakikolwiek inny homomorfizm struktury algebraicznej, przekształcenie to zachowuje strukturę obiektów. Bijektywny homomorfizm modułów jest ich izomorfizmem, które nazywane są przy tym przekształceniu izomorficznymi. Dwa izomorficzne moduły są uważane za identyczne we wszystkich zastosowaniach różniąc się jedynie sposobem zapisu elementów.

Jądro homomorfizmu modułów  jest podmodułem  składającym się ze wszystkich elementów przekształcanych przez  na zero. Twierdzenie o izomorfizmie znane z teorii grup i przestrzeni liniowych zachodzi również dla -modułów.

Lewostronne -moduły z ich homomorfizmami tworzą kategorię oznaczaną  Jest to kategoria abelowa.

Przykłady 
 Grupa abelowa Jeśli  jest grupą abelową (w zapisie addytywnym), to  jest modułem nad pierścieniem liczb całkowitych  Iloczyn (lewostronny) elementu  przez skalar  zdefiniowany jest jako
 
 Podmoduły modułów tego rodzaju są podgrupami grupy 

 Przestrzeń liniowa Jeśli  jest przestrzenią liniową nad ciałem  to  jest modułem nad  z odwzorowaniem strukturalnym  gdzie  Odwrotnie, każdy moduł nad ciałem  jest przestrzenią liniową nad  Podmodułami przestrzeni liniowych są podprzestrzenie liniowe.

 Ideał Jeśli  jest (lewostronnym) ideałem pierścienia  to  jest także modułem (lewostronnym) nad  (gdzie mnożenie przez skalary jest mnożeniem w pierścieniu ).

 Moduł nad pierścieniem wielomianów Niech  oznacza przestrzeń liniową nad ciałem  zaś  będzie przekształceniem liniowym. Wtedy  jest modułem nad pierścieniem wielomianów  z działaniem  moduł ten oznacza się czasem symbolem  Podmoduły w  to podprzestrzenie niezmiennicze względem 

 Moduł nad pierścieniem endomorfizmów Przestrzeń liniowa  nad ciałem  jest modułem nad swoim pierścieniem endomorfizmów  z działaniem mnożenia danym jako ewaluacja endomorfizmu  na wektorze  tzn. zdefiniowanym wzorem

Moduł półprosty 
Sumę minimalnych nietrywialnych podmodułów modułu  nad pierścieniem  oznacza się  (od ang. socle, dosł. cokół), bądź krócej 

W szczególności moduł jest półprosty (całkowicie przywiedlny) wtedy i tylko wtedy, gdy  Składa się on dokładnie z tych elementów, które są anihiliowane przez radykał

Zobacz też 
 moduł dualny
 moduł ilorazowy

Przypisy

Bibliografia 
 
 
 
 

Teoria modułów
Przestrzenie liniowe