Snelliussches Brechungsgesetz

Das Brechungsgesetz, auch Snelliussches Brechungsgesetz, Snelliussches Gesetz oder Snellius-Gesetz beschreibt die Richtungsänderung der Ausbreitungsrichtung einer ebenen Welle beim Übergang in ein anderes Medium. Ursache der Brechung genannten Richtungsänderung ist die Änderung der materialabhängigen Phasengeschwindigkeit, die als Brechungsindex in das  Brechungsgesetz eingeht. Das bekannteste Phänomen, welches durch das Brechungsgesetz beschrieben wird, ist die Richtungsablenkung eines Lichtstrahls beim Durchgang einer Mediengrenze. Das Gesetz ist aber nicht auf optische Phänomene begrenzt, sondern gültig für beliebige Wellen, insbesondere Ultraschallwellen.

Das Brechungsgesetz ist nach dem niederländischen Astronomen und Mathematiker Willebrord van Roijen Snell benannt, in einigen Sprachen nach der latinisierten Form „Snellius“, der es 1621 zwar nicht als Erster fand, aber als Erster veröffentlichte.

Das Gesetz 

Die Richtung des einfallenden Strahls und das Lot auf die Grenzfläche bestimmen die Einfallsebene. In dieser Ebene liegen auch der gebrochene und der reflektierte Strahl. Die Winkel werden zum Lot hin gemessen. Das Brechungsgesetz ist folgende Beziehung zwischen dem Einfallswinkel  und dem Winkel  des gebrochenen Strahls:
.
Darin sind  und  die Brechungsindizes der jeweiligen Medien. Luft hat einen Brechungsindex, der sehr nahe an  liegt. Beim Übergang von Luft zu Glas kann daher das Brechungsgesetz genähert werden als:
.

Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist im Allgemeinen abhängig von der Wellenlänge. Diese Dispersion geht in das Brechungsgesetz ein. Unterschiedliche Wellenlängen werden unterschiedlich stark gebrochen. Dies wird bei Dispersionsprismen zur Auftrennung des Lichts nach Farben ausgenutzt.

Das Brechungsgesetz gilt nur für schwach absorbierende Medien.

Geschichte 

Brechung wurde von Ptolemäus in seinem Werk „Optik“ beschrieben. Sein lineares Gesetz gilt aber nur für kleine Winkel. Korrekt angegeben wurde das Brechungsgesetz zum ersten Mal im 10. Jahrhundert von Ibn Sahl. Das Gesetz wurde 1601 durch Thomas Harriot und um 1621 durch Willebrord van Roijen Snell wiederentdeckt, aber nicht veröffentlicht. Während Harriots Entdeckung erst 350 Jahre später publik wurde, wurde Snellius' Beitrag 1632 durch Jacob Golius bekannt gemacht. Fast zur gleichen Zeit und vermutlich unabhängig von Snellius veröffentlichte René Descartes 1637 in seiner Dioptrique einen ähnlichen Zusammenhang. Seine Ableitung war allerdings falsch, da er von einer höheren Lichtgeschwindigkeit im optisch dichteren Medium ausging (korrekt leitete es erst Pierre de Fermat ab).

Herleitung 

Der Brechungsindex  eines Mediums gibt an, um wie viel dort die Phasengeschwindigkeit  und die Wellenlänge  geringer bzw. kürzer sind als im Vakuum:

Von einem Medium in ein anderes ändert sich die Wellenlänge um den Faktor , beim rechts dargestellten Übergang in ein optisch dichteres Medium () wird die Welle also gestaucht. Diese Stauchung führt zur Ablenkung.

Im 2. Bild ist der gleiche Vorgang schematisch dargestellt. Zwischen zwei parallel verlaufenden Strahlen ist an zwei besonderen Stellen eine Wellenfront eingezeichnet: Die Wellenfront hat auf dem einen Strahl die Grenzfläche gerade erreicht (A) und muss auf dem anderen Strahl noch die Strecke L1 (= |BB'|) im Medium 1 zurücklegen, bis sie die Grenzfläche (bei B') berührt. Dazu benötigt der zweite Strahl im Medium 1 die Zeit :

Analog dazu durchläuft in dieser Zeit der erste Strahl die Strecke L2 (= |AA'|) im Medium 2. Durch Umstellung und Gleichsetzung nach c ergibt sich, dass die Strecke  um obigen Stauchungsfaktor  kürzer ist als .

Zwischen der Grenzfläche und den beiden Wellenfronten treten die gleichen Winkel  und  auf, wie zwischen dem Lot und den einfallenden bzw. gebrochenen Strahlen. Die Gegenkatheten dieser Winkel sind L1 bzw. L2, die in der Grenzfläche liegende Hypotenuse der Länge |AB'| haben sie gemeinsam. Folglich gilt

und
.

Durch Umstellung und Gleichsetzung nach |AB'| ergibt sich daraus

bzw. mit der oben genannten Beziehung zwischen Brechungsindex und den Strecken  und 

was zum Brechungsgesetz äquivalent ist.

Reflexion und Brechung von ebenen Wellen an Grenzflächen

Ausbreitung der ebenen elektromagnetischen Welle in einem Medium 
Eine ebene elektromagnetische Welle mit der Frequenz , der Ortsabhängigkeit , dem räumlich konstanten Wellenvektor  und dem elektrischen Feldstärkevektor 

erfüllt die Maxwell-Gleichungen
 
ohne freie Ladungen und Ströme in einem nichtleitenden isotropen Medium mit räumlich konstanter magnetischer Permeabilität  und elektrischer Permittivität . Dabei beträgt die magnetische Feldkonstante  und  ist  der Wert der elektrischen Feldkonstante.  heißt die Permeabilitätszahl und  die Permittivitätszahl.

Die ebene Welle  löst die Wellengleichung

Die Lichtgeschwindigkeit  von ebenen elektromagnetischen Wellen im Vakuum ist gemäß den Maxwell-Gleichungen der Kehrwert der Wurzel des Produkts der elektrischen Feldkonstanten  und der magnetischen Feldkonstanten 

Aus der Phasengeschwindigkeit 

folgt der Brechungsindex  des Mediums mittels der Wellengleichung  nach Gleichung (1).

Die verschwindende Divergenz  fordert  und erzwingt damit, dass das elektrische Feld  senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung steht, die durch den Wellenvektor  gegeben ist. Das elektrische Feld  kann somit in Komponenten parallel  und senkrecht  zur Einfallsebene zerlegt werden.

Für das Betragsquadrat  des Wellenvektors gilt gemäß der Wellengleichung (1) in einem Medium mit Brechungsindex :

Reflexion und Brechung an einer dielektrischen Grenzfläche 

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei die -Ebene die Grenzfläche. Im so gewählten Koordinatensystem zeigt die -Richtung waagrecht nach rechts und die -Richtung in der Grenzfläche nach oben. Die -Richtung in der -Ebene steht senkrecht auf die Einfallsebene. Fällt eine ebene Welle mit dem elektrisches Feld

der Frequenz  und dem Wellenvektor  in Ausbreitungsrichtung auf die Grenzfläche zweier Medien unterschiedlicher konstanter Brechungsindizes  und , so entsteht ein reflektiertes elektrisches Feld

in Richtung  mit  und ein eindringendes elektrisches Feld

in Richtung  mit .

Die -Komponente des elektrischen Feldes muss stetig an der Grenzfläche bei  sein:

Aus der Zeitabhängigkeit folgt sofort:

Der -Term erzwingt

Damit bleibt bei einer ebenen Grenzfläche die reflektierte und die transmittierte Welle in der Einfallsebene. Die -Komponente des Wellenvektors und damit der Ausbreitungsrichtung im Medium mit Brechungsindex  fordert mit

einen gleichen Einfalls- und Ausfallswinkel. Die Gleichheit der -Komponente der Ausbreitungsrichtung der einfallenden Welle im Medium mit Brechungsindex  und der transmittierten Welle im Medium mit Brechungsindex  erzwingt

Das ist das Snelliussche Brechungsgesetz. Zusammenfassend gilt für die elektrischen Felder der ebenen elektromagnetischen Wellen an dielektrischen Grenzflächen:

Die Fresnelschen Formeln beschreiben quantitativ die Amplituden der elektrischen Felder  der Reflexion und  der Transmission in Abhängigkeit der Amplitude der auf die ebene Grenzfläche einfallenden, ebenen, elektromagnetischen Welle .

Beziehung zum fermatschen Prinzip 

Das Brechungsgesetz kann auch aus dem fermatschen Prinzip gefolgert werden, das besagt, dass kleine Änderungen des Weges, den das Licht zwischen zwei Punkten P und Q nimmt, die optische Weglänge nicht ändern. Im Fall der Brechung wäre eine systematische Variation die Verschiebung des Knickpunktes innerhalb der Grenzfläche, etwa von A nach B' im vorstehenden Bild. Bei der Verschiebung, die so klein ist im Vergleich zur Entfernung zu den Punkten P und Q, dass sich dabei die Winkel nicht ändern, vergrößert sich der geometrische Weg im Medium 1 um  L1, während im Medium 2  L2 hinzukommt. Wegen der verschiedenen Phasengeschwindigkeit ändert sich insgesamt die Phase nicht.

Totalreflexion 

Für  und genügend große  ist

und damit durch kein (reelles)  erfüllbar. Die transmittierte Welle  schreibt sich mit dem imaginären Kosinus  nach Gleichung (2) mit dem Snelliussche Brechungsgesetz  zu

Es tritt Totalreflexion auf. Der Term  der transmittierten Welle zeigt, dass sich diese längs der Grenzfläche in negativer -Richtung ausbreitet. Zusätzlich beschreibt der andere Term  ein exponentielles Abklingen der transmittierten Welle in Richtung des optisch dünneren Mediums bei .

Aus der Gleichung (3) liest man die Eindringtiefe  ab, die mittels Snellius-Gesetz  umgewandelt werden kann in:

mit dem Grenzwinkel der Totalreflexion :

Die Eindringtiefe  ist im Bereich einiger Wellenlängen , falls das einfallende elektrische Feld mit seiner Ausbreitungsrichtung nicht zu nahe an den Grenzwinkel der Totalreflexion herankommt.

Dringt ein schmales Bündel einer ebenen Welle unter dem kritischen Winkel  der Totalreflexion in das optisch dünnere Medium ein, so erfährt der Lichtstrahl einen longitudinalen Versatz in der Einfallsebene. Nach dem Goos-Hänchen-Effekt wird die Welle nicht an der Grenzfläche reflektiert, sondern klingt an einer virtuellen dazu parallelen Ebene im optisch dünneren Medium  exponentiell ab.

Totalreflexion wird zum Beispiel in Umkehrprismen von Ferngläsern genutzt.

Totalreflexion für Röntgenstrahlen 

Für Röntgenstrahlung ist der Brechungsindex von Festkörpern oder Flüssigkeiten  mit . Damit ist es möglich, im streifenden Einfall ( gegen 90°) eine äußere Totalreflexion beim Übergang vom Vakuum mit  zu Materie (also von „optisch“ dichteren zum „optisch“ dünneren Medium) zu erreichen.

Somit kann für Röntgenstrahlung der Fall auftreten, dass für genügend hohe Winkel  nahe 90° der Winkel  imaginär wird:

Strahlt man also Röntgenlicht unter dem kleinen Winkel  vom optisch dichteren Medium  gegen die Grenzfläche zum optisch dünneren Medium  streifend ein, so erhält man Totalreflexion für Einfallswinkel , die geringer sind als der Grenzwinkel  sind.

Die transmittierte Welle  wird nach Gleichung (3) oben:

mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz  und , bzw. .

Es tritt Totalreflexion auf, bei der die Röntgenstrahlung vollständig reflektiert wird. Der zweite Faktor  der transmittierten Welle zeigt, dass sich diese längs der Grenzfläche in negativer -Richtung ausbreitet. Außerdem klingt die transmittierte Welle  als erster Faktor in Richtung des optisch dünneren Mediums bei  exponentiell ab.

Die Eindringtiefe  lautet:

Für Einfallswinkel  kann eine minimale Eindringtiefe erreicht werden. Diese Oberflächenempfindlichkeit bildet die Grundlage für die Diffraktometrie unter streifendem Einfall.

Werte von  , dem Grenzwinkel  und der Eindringtiefe  für Röntgenstrahlung in Silizium findet man auf den Wikipedia-Seiten Brechungsindex und Totalreflexion.

Mit  und  werden die einfallende Welle  und die reflektierte Welle  nach Gleichung (2) oben:

Optische Hebung  

Betrachtet man von außerhalb des Wassers Gegenstände, die sich unter Wasser befinden, so erscheinen sie in senkrechter Richtung gestaucht. Der Boden des Gefäßes erscheint höher als bei einem Bild derselben Szene ohne Wasser. Diese Erscheinung wird daher auch optische Hebung genannt. An einem geraden Stab, der schräg ins Wasser eintaucht, sieht man einen Knick an der Wasseroberfläche. Aufgrund unterschiedlicher Brechungsindizes von Wasser und Luft entsteht ein anderer Brechungswinkel der vom Stab ins Auge kommenden Lichtstrahlen über und unter der Wasseroberfläche an der Grenzfläche zum Glas. Das menschliche Gehirn berücksichtigt diese unterschiedlichen Brechungswinkel nicht und verlängert die Strahlen geradlinig nach hinten, so dass der Stab unter Wasser flacher erscheint als der Stab über Wasser.

Akustik 

Auch für mechanische Wellen, das heißt Druck- oder Scherwellen, gilt das Brechungsgesetz. Im Rahmen der Akustik bzw. Ultraschalltechnik wird das Snelliussche Brechungsgesetz aber ohne Brechungsindizes formuliert, sondern mit Hilfe der Wellenzahl  . Es gilt (siehe nebenstehendes Bild für die Winkelbezeichnungen):

Mit der Definition  mit  erhält man das Brechungsgesetz in der Formulierung mit den Phasengeschwindigkeiten der betreffenden Wellentypen im betreffenden Medium und somit die gleiche Formulierung wie in der Optik (falls man dort die Vakuumlichtgeschwindigkeit herauskürzen würde). Die Herleitung des Gesetzes in der Akustik geschieht über die Forderung nach der Erfüllung der Kontinuitätsgleichung für mechanische Spannungen und Verschiebungen an der Mediengrenze. Das nebenstehende Bild zeigt eine einfallende Longitudinalwelle in einem Festkörper, die an einer Grenzfläche zu einem zweiten Festkörper teilweise reflektiert und transmittiert wird. Im Allgemeinen entstehen an der Grenzfläche aus der einfallenden Longitudinalwelle (P-Welle) neue Wellentypen, so dass zwei verschiedene Wellentypen reflektiert und transmittiert werden: P-Wellen und S-Wellen (Scherwelle). Beide Wellentypen breiten sich mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten in den beiden Medien aus, daher werden sie auch unter unterschiedlichen Winkeln gebrochen. Diese Winkel können mit obigem Gesetz berechnet werden, falls die einzelnen Phasengeschwindigkeiten  sowie der Einfallswinkel der Primärwelle  bekannt sind. Im Falle von schubspannungsfreien Medien (Flüssigkeiten und Gase) treten keine Scherwellen auf, so dass die einfallende P-Welle nur eine reflektierte und eine transmittierte P-Welle erzeugen würde.

Siehe auch 
 Huygenssches Prinzip

Literatur 
 
 Klaus Hentschel: Das Brechungsgesetz in der Fassung von Snellius. Rekonstruktion seines Entdeckungspfades und eine Übersetzung seines lateinischen Manuskriptes sowie ergänzender Dokumente, Archive for History of Exact Sciences 55,4 (2001): 297-344.

Einzelnachweise 

Geometrische Optik
Wellenlehre
1618