Matrice di trasformazione

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la matrice di trasformazione, anche detta matrice associata ad una trasformazione o matrice rappresentativa dell'operatore rispetto alle sue basi, è la matrice che rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto ad una base per ciascuno degli spazi.

Fissata una base per il dominio e una per il codominio, ogni trasformazione lineare è descrivibile tramite una matrice  nel modo seguente:

dove  è il vettore colonna delle coordinate di un punto del dominio rispetto alla base del dominio e  è il vettore colonna delle coordinate dell'immagine, mentre il prodotto  è il prodotto righe per colonne.

Definizione 
Siano  e  due spazi vettoriali su un campo  di dimensione finita, e  una applicazione lineare. Siano:

due basi rispettivamente per  e .

La matrice  associata a  nelle basi  e  è la matrice  avente nella -esima colonna le coordinate del vettore  rispetto alla base :

dove la colonna  è l'immagine  dell'-esimo vettore della base di partenza  scritta attraverso le coordinate rispetto alla base di arrivo .

Gli elementi  di  sono quindi tali che:

e si ha:

In modo equivalente si può scrivere:

Dove le parentesi quadre indicano le coordinate rispetto alla base relativa.

La corrispondenza biunivoca definita fra applicazioni lineari e matrici è un isomorfismo fra lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da  in  e lo spazio delle matrici :

Tale isomorfismo dipende dalle basi scelte per entrambi gli spazi.

Composizione di applicazioni lineari 
Nella rappresentazione di applicazioni attraverso le matrici la composizione di funzioni si traduce nell'usuale prodotto fra matrici. Si considerino le applicazioni lineari:

Siano  e  le rispettive matrici rappresentative rispetto a tre basi dei relativi spazi. Si ha:

ovvero la matrice associata alla composizione è il prodotto delle matrici associate a  e a .

Dette ,  basi rispettivamente di  e  si ha:

Endomorfismi 

In presenza di un endomorfismo  è naturale scegliere la stessa base  in partenza ed in arrivo. Sia  tale base e sia  la matrice associata a  rispetto alla base . Si ha allora:

In particolare,  è una matrice quadrata .

Molte proprietà dell'endomorfismo possono essere lette attraverso la matrice rappresentativa:

  è l'identità se e solo se  è la matrice identica.
  è la funzione costantemente nulla se e solo se  è la matrice nulla.
  è biunivoca se e solo se  è invertibile, ovvero se ha determinante  diverso da zero.
  preserva l'orientazione dello spazio se , mentre la inverte se 

Altre proprietà più complesse delle applicazioni lineari, come la diagonalizzabilità, possono essere più facilmente studiate attraverso la rappresentazione matriciale.

Matrici simili

Due matrici quadrate  e  sono simili quando esiste una matrice invertibile  tale che:

In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a se stesse.

Le matrici simili rivestono notevole importanza, dal momento che due matrici simili rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse. Se  e  sono due basi dello spazio vettoriale , dato un endomorfismo  su  si ha:

La matrice  è la matrice di cambiamento di base dalla base  alla base .

Esempi 
 Nel piano cartesiano, indicando con  un punto generico, la trasformazione lineare  viene rappresentata rispetto ad una qualsiasi base dalla matrice identità di ordine 2. Una tale trasformazione è conosciuta anche come funzione identità.
 Nel piano cartesiano, sia  la riflessione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. Le matrici associate a  usando rispettivamente la base canonica e la base  sono:

 Nel piano la rotazione di un angolo θ in senso antiorario intorno all'origine è lineare e definita da  e . In forma matriciale si esprime con:

Analogamente per una rotazione in senso orario attorno all'origine la funzione è definita da  e  ed in forma matriciale corrisponde alla trasposta della precedente matrice, ovvero:

 La funzione  dallo spazio dei polinomi di grado al più due in sé, che associa ad un polinomio  la sua derivata  è lineare. La matrice associata rispetto alla base  è:

Note

Bibliografia

Voci correlate 
Base (algebra lineare)
Coordinate di un vettore
Matrice di cambiamento di base
Similitudine fra matrici
Trasformazione lineare

Altri progetti

Collegamenti esterni
  The Matrix Page Practical examples in POV-Ray
  Reference page - Rotation of axes
 
  Transformation Applet - Generate matrices from 2D transformations and vice versa.

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