Retta

La retta o linea retta è uno dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come un concetto primitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti è un modello materiale che ci può aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometrico immateriale senza spessore e con una sola dimensione.

La retta è illimitata in entrambe le direzioni, e inoltre contiene infiniti punti, cioè è infinita. Viene generalmente contrassegnata con una lettera minuscola dell'alfabeto latino (solitamente con la r).

Definizione geometrica 
La retta è il secondo ente fondamentale della geometria; geometricamente priva di alcuno spessore ha una sola dimensione: la lunghezza.

Una retta può giacere (cioè essere contenuta) nel piano o nello spazio tridimensionale.

Due rette nel piano possono essere:
 Incidenti se hanno un unico punto in comune. 
 Un caso particolare di rette incidenti si ha quando le due rette formano nel punto di intersezione quattro angoli retti, in tal caso sono dette perpendicolari
 Parallele se non si intersecano o se hanno tutti i punti in comune; in questo caso sono coincidenti. Due rette parallele nel piano mantengono sempre la stessa distanza tra di loro (questa caratteristica, tipica della geometria euclidea, non è verificata per esempio nella geometria iperbolica, dove due rette parallele possono divergere).

Due rette nello spazio possono essere:
 Complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti. 
 Sghembe se non sono contenute in un piano comune, e di conseguenza non hanno punti in comune né sono parallele.

Date due rette sghembe, per ognuna di esse passa un unico piano parallelo all'altra retta. La distanza tra questi due piani equivale alla distanza tra le due rette.

Retta nel piano cartesiano 

Una retta nel piano cartesiano è descritta da un'equazione lineare

 

dove i coefficienti ,  e  sono dei numeri reali fissati, con  e  non contemporaneamente nulli.

Se  oppure , è possibile descrivere la stessa retta in forma esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:

  oppure 

dove  si chiama coefficiente angolare e quantifica la pendenza della retta. Nella prima delle equazioni di cui sopra il termine noto  rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle  (ordinata all'origine o intercetta), nella seconda il termine noto  rappresenta l'ascissa del punto di intersezione della retta con l'asse delle .

Retta nello spazio euclideo tridimensionale 
Nello spazio euclideo tridimensionale, una retta può essere descritta tramite equazioni cartesiane come luogo di intersezione di due piani non paralleli:

In questo caso le soluzioni del sistema dipendono da un solo parametro  ed è sempre possibile ricavare un insieme di equazioni parametriche per la retta:

dove il vettore  è un vettore parallelo alla retta e il punto  è un punto appartenente alla retta.
Se  sono tutti diversi da zero è possibile ricavare le cosiddette equazioni simmetriche della retta:

Sia le equazioni cartesiane che le equazioni parametriche della retta non sono univocamente determinate, e sono in effetti infinite.

Retta in uno spazio euclideo n-dimensionale 
Nello spazio euclideo -dimensionale , una retta è un insieme dei punti del tipo

dove  e  sono due vettori fissati in  con  diverso da zero. Il vettore  descrive la direzione della retta, mentre  è un qualsiasi punto della retta. Scelte differenti dei vettori  e  possono descrivere la stessa retta.

Questa definizione di retta nello spazio di dimensione  è una estensione della rappresentazione in forma esplicita nel piano descritta sopra. Descrivere invece una retta in forma implicita come insieme di vettori che soddisfano delle equazioni lineari è più complicato, perché per il teorema di Rouché-Capelli sono necessarie  equazioni.

Distanza tra rette 
Si definisce come distanza tra due rette  e  la distanza minima tra due punti   e  .

Tale distanza è ovviamente nulla nel caso di due rette che si intersecano. Per esaminare i restanti due casi (rette parallele e sghembe) verrà utilizzata la rappresentazione parametrica, che permette una trattazione unitaria per tutte le dimensioni. Siano dunque date due rette  e  di equazioni parametriche rispettivamente:

dove  e  sono i loro vettori direzionali e  e  i vettori associati al punto  della retta  e al punto  della retta , relativamente alla terna cartesiana .

Distanza tra rette parallele 
Dato che le rette sono parallele possiamo misurare la distanza a partire da un punto qualsiasi della prima retta. Scegliamo il punto di  segnato dal vettore . Ogni punto della retta  può essere espresso nella forma . Se chiamo  il vettore ortogonale a  che segna la distanza dall'altra retta, allora per le proprietà del prodotto scalare

Ottenuto  risolvendo la precedente equazione (incognita in ) è sufficiente calcolare la norma di  quindi con riferimento all'equazione parametrica la distanza  fra due rette parallele  e  si può scrivere come:

dove il vettore  è un vettore parallelo alle rette e il vettore  è il vettore che congiunge un punto  della retta  e un punto  della retta  ovvero la distanza fra due rette parallele è data dalla proiezione del vettore  nel verso ortogonale alle stesse.

Dimostrazione: dalle formule del prodotto vettoriale, i moduli dei versori sono unitari, resta:

Distanza tra rette sghembe 
Se definiamo  come il vettore ortogonale a , la cui norma è la distanza tra le due rette, il nostro problema si riduce a trovare la norma di . I tre vettori ,  e  sono una base, e possiamo quindi facilmente scomporre il vettore  lungo le tre componenti. Quindi

Molto semplicemente si ricava che

con riferimento all'equazione parametrica la distanza  fra due rette sghembe  e  si può scrivere come:

dove il vettore  è il vettore che congiunge un punto  della retta  che ha vettore parallelo  e un punto  della retta  che ha vettore parallelo , il vettore  è il vettore ortogonale  ovvero la distanza fra due rette sghembe è data dalla proiezione del vettore  nel verso del vettore .

Dimostrazione: dalle formule del prodotto scalare il modulo del versore è unitario, resta :

Note

Voci correlate 
 Semiretta
 Piano (geometria)
 Perpendicolarità
 Parallelismo (geometria)
 Retta proiettiva
Segmento

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Geometria euclidea
Geometria analitica