Formula di Grassmann

In matematica, la formula di Grassmann è una relazione che riguarda le dimensioni dei sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale o dei sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo.

La formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco Hermann Grassmann, afferma inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e  costituiscono un reticolo modulare.

Enunciato 
Sia  uno spazio vettoriale su un campo  dotato di dimensione finita, cioè dotato di una base finita. Siano  e  due sottospazi di . Indicando con  il sottospazio somma di  e  dato da:

e con  il loro sottospazio intersezione, la formula di Grassmann afferma che:

Somma diretta 

Due sottospazi  e  sono in somma diretta se . In questo caso la formula di Grassmann asserisce che:

Se inoltre , si dice che  si decompone in somma diretta di  e  e si scrive:

In questo caso il sottospazio  è un supplementare di  (e viceversa).

Ad esempio, lo spazio  delle matrici quadrate  a coefficienti in un campo  si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e delle antisimmetriche:

La formula di Grassmann porta all'uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

Dimostrazione

Struttura della dimostrazione 
La formula si dimostra individuando due basi per  e  che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base  per , e si completa ad una base  di , e ad una base  di . I vettori in:

generano lo spazio , si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per . Un conteggio degli elementi nelle tre basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

Verifica dell'indipendenza lineare 
L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in:

che viene mostrata nel modo seguente. Sia:

Si supponga l'esistenza di una combinazione lineare nulla:

In altre parole, raggruppando:

si ottiene:

Da questo segue che , e poiché sia  che  appartengono a , ne segue che anche  appartiene a . Quindi  appartiene all'intersezione , e si scrive come combinazione lineare di elementi di . D'altra parte, come elemento di , è descritto come combinazione lineare di elementi di : poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:

Si ottiene quindi . Poiché i vettori  sono una base di , sono quindi indipendenti, e ne segue che anche:

Quindi i coefficienti sono tutti nulli, e l'insieme:

è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.

Conteggio dimensioni 
Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio:

Dimostrazione alternativa
Si consideri la funzione:

che si verifica essere un'applicazione lineare. Si ha:

Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a , e l'isomorfismo è dato da:

Si ha quindi:

dove si è applicato il teorema del rango più nullità.

Dimostrazione con il teorema di isomorfismo 
La formula di Grassmann può essere vista come corollario del secondo teorema di isomorfismo:

con  e  visti come gruppi (notazione additiva), e dove con  si intende l'ordinario quoziente insiemistico. Infatti si ha:

che è la formula di Grassmann.

Esempi 
Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui  sia lo spazio vettoriale tridimensionale sui reali ; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:
 Uno dei due sottospazi  o  ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) si ha  e  e la formula si riduce a una identità.
  e  sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):
 se le rette sono distinte  contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e  è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.
 se coincidono  e ancora si ha una identità. 
 è una retta per l'origine e  un piano per l'origine:
 se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;
 se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.
 e  sono piani per l'origine:
 se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;
 se coincidono si ha un'identità che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

Note

Bibliografia

Voci correlate
 Base (algebra lineare)
 Dimensione (spazio vettoriale) 
 Somma diretta
 Sottospazio vettoriale
 Teorema della dimensione

Collegamenti esterni 
 

Algebra lineare