Podzbiór

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Definicja 
Niech  będą zbiorami. Jeżeli każdy element  jest jednocześnie elementem  to zbiór  nazywa się podzbiorem zbioru . W zapisie logicznym:
 

Jeżeli  jest podzbiorem  to sam zbiór  nazywa się nadzbiorem zbioru  i oznacza 

Jeżeli każdy element zbioru  należy do  i jednocześnie każdy element zbioru  należy do  czyli  oraz   to  i dla zaznaczenia tego faktu taki podzbiór  zbioru  nazywa się niewłaściwym. Zatem cały zbiór  jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc  W przeciwnym wypadku, czyli gdy  oraz  zbiór  nazywa się podzbiorem właściwym zbioru  i oznacza  Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Zapis 
Do oznaczenia podzbioru bądź nadzbioru niekiedy wykorzystuje się jedynie symbole  oraz  a bycie podzbiorem (nadzbiorem) właściwym jest wtedy zaznaczane obok. Występuje to m.in. w starszych pozycjach, np. w podręcznikach Kuratowskiego i Rasiowej. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków  i  na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych.

Część autorów przyjęła nową konwencję, inni pozostali przy dotychczasowej. W wyniku tego znaczenie symboli  i  stało się nieprecyzyjne. Z czasem wprowadzono symbole  i  na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

Zawieranie 
Dla dowolnego zbioru  prawdziwe jest zdanie:
 zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru (element najmniejszy),
 

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów  zachodzą następujące fakty:
 dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),
 ,
 zbiory będące swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe (antysymetria),
 
 podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),
 .

Relacja  jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją. Dlatego też dla danych zbiorów  pozostających z sobą w relacji  mówi się obok „ jest podzbiorem ”, że  zawiera się bądź jest zawarty w  Analogiczne wyrażenie  obok „ jest nadzbiorem ” czyta się  zawiera 

Relacja  ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściwe 
Podobnie rzecz ma się z relacjami  oraz  które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów 
 żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),
 
 podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),
 
Z tych dwóch własności wynika też trzecia:
 podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),
 

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

Przykłady 
 zbiór  jest podzbiorem (właściwym) zbioru 
 zbiór  zawiera się w 
 zbiór  nie jest podzbiorem zbioru 
 zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
 zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
 zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Zobacz też 

 teoria mnogości
 zanurzenie (matematyka)

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 
 
 
 
 
 

Teoria mnogości

ro:Mulțime#Submulțimi