Convergenza

In matematica, la convergenza è la proprietà di una certa funzione o successione di possedere un limite finito di qualche tipo, al tendere della variabile (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'infinito. 
Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.

Limite di una funzione 

Data una funzione continua , si dice che  converge (o tende) al limite finito  per  che tende ad  se per ogni  esiste un  tale che per ogni  che soddisfa  si ha che . Ovvero:

Analogamente, si dice che  converge al limite finito  per  che tende a infinito se per ogni  esiste un  tale che per ogni  soddisfacente la condizione  si ha che . Ovvero:

Convergenza di una successione in una dimensione

La convergenza di una successione numerica  di numeri reali si verifica quando per , a partire da un certo indice in poi tutti i termini della successione si trovino nell'intorno di un punto, detto limite della successione.

Matematicamente questo si esprime dicendo che una successione  converge al numero a per , e si scrive , se  esiste un indice naturale , in generale dipendente da , tale che la  per ogni .

Questo garantisce che tutti i termini della successione, caratterizzati da , siano contenuti nell'intorno . Una successione convergente è necessariamente limitata.

Convergenza delle serie

Si consideri una successione di elementi . Si definisce serie associata ad  la somma:

.

Per ogni indice  della successione, si definisce serie delle somme parziali  associata a  la somma dei termini della successione  da  a :

Si dice che la serie  è convergente al limite  se la relativa successione delle somme parziali  converge a . Ovvero, si verifica che:

se e solo se:

Il limite sopra enunciato si dice somma della serie, ed esprime il carattere della serie.

Teorema della convergenza

Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni . Data una successione di numeri reali   che converge a un certo limite  per , si ha:

In modo equivalente, per ogni  esiste un intorno , in generale dipendente da , tale che:

qualora si verifichi:

Questo garantisce che, come i termini della successione sono contenuti nell'intorno di , allo stesso modo tutti i valori della funzione sono contenuti nell'intorno:

Ogni funzione convergente è quindi necessariamente limitata, e questo implica anche il concetto di continuità di una funzione.

Enunciato
Si supponga di avere una funzione  tale che  con α appartenente a un certo intervallo . Si può porre:

Si ha dunque:

Se esiste  tale che:

e se esiste  tale che:

allora si ha:

 Se  allora:

 
  è l'unica radice in

Dimostrazione
Premesso che:

si ha:

Oltre ad avere:

si verifica che:

Si ottiene:

Poiché  tende a zero quando i tende a infinito, la successione converge.

Si ponga per assurdo che nell'intervallo vi sia β, radice della funzione diversa da α. Si ha:
 

Il fatto che:

è assurdo, e quindi α è l'unica radice dell'intervallo.

Convergenza delle successioni e serie di funzioni

Per le successioni  vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

 La convergenza puntuale:

 La convergenza uniforme:

Per le serie di funzioni  vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

 La convergenza puntuale si verifica se la serie numerica  converge per ogni .
 La convergenza uniforme si verifica se la successione delle somme parziali converge uniformemente.
 La convergenza totale si verifica se esiste una serie numerica  convergente tale che:

per ogni  e .

Convergenza di variabili casuali

Data una successione di variabili casuali , vi sono più tipi di convergenza:

 La convergenza in distribuzione:

dove  e  sono le funzioni di ripartizione delle  e del limite  rispettivamente.
 La convergenza in probabilità:

 La convergenza quasi certa:

 La convergenza in media r-esima:

Voci correlate
 Infinito (matematica)
 Limite (matematica)
 Successione (matematica)
 Serie
 continuità 
 Integrale
 Teorema della convergenza monotona
 Teorema della convergenza dominata

Collegamenti esterni 
 

Calcolo infinitesimale