Granica ciągu

Granica ciągu – wartość, w której dowolnym otoczeniu znajdują się prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza co najwyżej skończenie wieloma) wyrazy danego ciągu. Inaczej – wartość, dowolnie blisko której leżą wszystkie wyrazy ciągu o dostatecznie dużych wskaźnikach.

Dodatnia liczba całkowita  staje się coraz większa, wartość  staje się coraz bliższa  Mówimy, że granica ciągu  jest równa

Granica (właściwa) i zbieżność 
Niech  będzie nieskończonym ciągiem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę  nazywa się granicą ciągu  jeżeli:
 

gdzie symbol  oznacza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej, bądź moduł liczby zespolonej.

W interpretacji geometrycznej powyższa nierówność dla liczb zespolonych oznacza w istocie, że wybrane jw. wyrazy  leżą w kole  z kolei dla liczb rzeczywistych oznacza ona, że leżą one w przedziale  który jest odpowiednikiem koła dla osi liczbowej.

Powyższy formalny warunek można więc wysłowić następująco:
 dla dowolnej dodatniej liczby  istnieje taki wskaźnik  że dla wszystkich wskaźników  większych od  wyrazy  leżą w kole o środku  i promieniu 

Granicę ciągu  oznacza się  i czyta się: „limes  przy  dążącym do nieskończoności” lub po prostu  i czyta się: „limes ”, a fakt, że  jest granicą ciągu  niekiedy oznacza się  lub  i czyta się: „ciąg  dąży do ” lub „ciąg  jest zbieżny do ” (można dodać: „przy  dążącym do nieskończoności”).

Ciągi mające granice nazywa się zbieżnymi, a pozostałe – rozbieżnymi. Do badania ciągów rozbieżnych stosuje się pojęcie granicy górnej i dolnej, czyli największej i najmniejszej spośród wszystkich granic jego podciągów zbieżnych. Ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego granice górna i dolna są sobie równe. Przydatne jest też pojęcie punktu skupienia. Jest ono uogólnieniem pojęcia granicy, bowiem każda granica jest punktem skupienia, ale nie na odwrót.

Niekiedy, dla odróżnienia od granicy niewłaściwej opisanej w kolejnej sekcji, granicę ciągu zbieżnego do pewnej liczby rzeczywistej lub zespolonej (nazywanej wtedy „skończoną”, w przeciwieństwie do dwóch lub jednej „liczb nieskończonych”) nazywa się granicą właściwą.

Granice niewłaściwe 
Dla niektórych rozbieżnych ciągów nieskończonych wprowadza się pojęcie granicy niewłaściwej. Chodzi o ciągi, których wyrazy rosną lub maleją nieograniczenie; o takich ciągach mówi się także, że dążą one do nieskończoności.

 Liczby rzeczywiste

Jeżeli  jest ciągiem liczb rzeczywistych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego  są większe od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w  bądź że jest rozbieżny do 

Jeżeli zaś są mniejsze od dowolnej z góry wybranej liczby, to mówi się, że ma on granicę niewłaściwą w  lub że jest rozbieżny do 

Formalnie można to zapisać tak:
 ciąg  o wyrazach rzeczywistych ma
 granicę niewłaściwą w , jeżeli 
 granicę niewłaściwą w , jeżeli 

 Liczby zespolone

Jeżeli  jest ciągiem liczb zespolonych i wszystkie jego wyrazy o indeksach większych od odpowiednio dużego  są większe co do modułu od dowolnej z góry wybranej liczby rzeczywistej, to mówi się, że ciąg ma granicę niewłaściwą w  bądź że jest rozbieżny do 

Formalnie:
 ciąg  o wyrazach zespolonych ma
 granicę niewłaściwą w , jeżeli  Tutaj  oznacza moduł liczb zespolonych.

Geometrycznie można to ująć w następujący sposób:
 ciąg  ma granicę niewłaściwą, jeśli dla dowolnie dużego koła o środku w  prawie wszystkie wyrazy ciągu  leżą na zewnątrz tego koła.

Wprowadzoną powyżej definicję rozbieżności ciągów zespolonych można bez zmian zastosować dla ciągów rzeczywistych, zastępując jedynie moduł liczby zespolonej  wartością bezwzględną liczby rzeczywistej. W praktyce jednak tej definicji nie stosuje się, bowiem traci się wówczas możliwość rozróżniania kierunku (zwrotu) rozbieżności ciągu.

Przykłady 

 Granicą ciągu  jest liczba  W ogólności granicą ciągu skończonego jest jego ostatni wyraz.
 Granicą ciągu  jest 
 Dla dowolnego  wystarczy za  wziąć dowolną liczbę naturalną większą od  Wówczas dla dowolnego wskaźnika  otrzymuje się  czyli 
 Przykładowo dla  wszystkie wyrazy ciągu  oddalone są od zera o nie więcej niż 
 Granicą ciągu  jest 
 Dla dowolnego  wystarczy za  wziąć dowolną liczbę naturalną większą od  Wtedy dla dowolnego indeksu  zachodzi  czyli  skąd 
 Przykładowo dla  wszystkie wyrazy ciągu  są oddalone od jedynki nie więcej niż o 
 Ciąg  jest rozbieżny, ale ma granicę niewłaściwą 
 Ciąg  jest rozbieżny i nie ma granicy niewłaściwej  ani  ale traktowany jako ciąg liczb zespolonych ma granicę niewłaściwą  (w sensie definicji dla ciągów zespolonych); podciąg  jest zbieżny do  natomiast podciąg  jest zbieżny do 
 Ciągi  oraz  są rozbieżne i nie mają żadnej granicy – ani właściwej, ani niewłaściwej, przy czym ich granicami dolną i górną są odpowiednio  oraz  w obu przypadkach liczby te są punktami skupienia tych ciągów.
 Ciąg  gdzie  oznacza część ułamkową liczby, ma granicę dolną  i górną  każdy punkt przedziału  jest punktem skupienia.
 Ciąg liczb zespolonych  nie ma granicy (ani właściwej ani niewłaściwej), ma jednak 4 punkty skupienia.
 Ciąg liczb zespolonych  ma granicę niewłaściwą

Własności 
 Ciąg ma najwyżej jedną granicę (właściwą).
 Jeśli ciąg ma granicę właściwą, to jest on ograniczony. Jeśli ciąg liczb rzeczywistych bądź zespolonych ma granicę niewłaściwą, to jest nieograniczony.
 Dowolny nieskończony podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy.
 Jeśli ciągi  i  są zbieżne oraz  dla każdego naturalnego  to 
 Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli ciągi  i  są zbieżne do wspólnej granicy  przy czym  dla każdego naturalnego  to ciąg  również jest zbieżny i to do granicy 
 Jeśli ciągi  są ciągami zbieżnymi odpowiednio do  oraz do  to wykonalne są działania:
 
 
 
  o ile tylko  oraz  dla każdego 
 Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: z każdego rzeczywistego lub zespolonego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny.
 Każdy ciąg liczb rzeczywistych monotoniczny i ograniczony ma granicę.

 Ciąg liczbowy rzeczywisty lub zespolony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy’ego.

Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 
Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej. Wystarczy w definicji granicy zastąpić wartość bezwzględną (moduł) różnicy dwóch liczb odległością według metryki danej przestrzeni. Niech  będzie przestrzenią metryczną. Ciąg  elementów tej przestrzeni jest zbieżny do  jeśli:
 

Warunkiem równoważnym zbieżności ciągu  jest żądanie, by ciąg  gdzie  był zbieżny do zera.

Zbieżność w przestrzeni metrycznej można wyrazić:
 ciąg  jest zbieżny do  jeśli w dowolnej kuli o środku w  mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu 

Jeśli ciąg (w przestrzeni metrycznej) jest zbieżny, to jest ciągiem Cauchy’ego (w przypadku ciągów liczbowych rzeczywistych lub zespolonych zachodzi również twierdzenie odwrotne, to znaczy powyższe warunki są równoważne).

Przykłady
 Zbiór  jako przestrzeń metryczna z metryką  Podobnie ze zbiorem 
 Zbiór  liczb wymiernych jako przestrzeń metryczna z metryką  W tej przestrzeni np. ciąg  nie jest zbieżny, chociaż jest rosnący i ograniczony.
 Przestrzeniach liniowa z normą  jeśli przyjąć jako metrykę 
 Przestrzeń, której elementami są punkty płaszczyzny o współrzędnych całkowitych, z odległością naturalną. W tej przestrzeni metrycznej ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy od pewnego wskaźnika począwszy jest stały.

Zbieżność w przestrzeniach topologicznych 
Pojęcie granicy ciągu można wprowadzić w jeszcze ogólniejszych przestrzeniach topologicznych przez zastąpienie kul otoczeniami.

Niech  będzie przestrzenią topologiczną. Ciąg  elementów tej przestrzeni jest zbieżny do  jeśli
 

co można wyrazić:
 dla dowolnego otoczenia  punktu  istnieje taki wskaźnik  że dla wszystkich wskaźników  wyrazy  leżą w otoczeniu 

lub inaczej:
 w dowolnym otoczeniu  punktu  mieszczą się prawie wszystkie wyrazy ciągu 

W przestrzeniach Hausdorffa (którymi są m.in. przestrzenie liczb rzeczywistych lub zespolonych) każdy ciąg może być zbieżny do najwyżej jednego punktu.

Przykłady
 Zbiór  z topologią, w której bazą jest zbiór przedziałów otwartych  Podobnie ze zbiorem  tutaj bazą może być zbiór kół otwartych postaci  lub prostokątów postaci 
 Dowolna przestrzeń z topologią antydyskretną. Tutaj każdy ciąg jest ciągiem zbieżnym.
 (Uzwarcenie prostej. 1 sposób) Przestrzeń topologiczna  uzupełniona o dwa elementy  z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci  oraz  Są to otoczenia otwarte punktów odpowiednio  i  Wówczas zbieżność ciągu do punktu  w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej  Analogicznie dla zbieżności do punktu  W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej  do  powstaje przestrzeń homeomorficzna z odcinkiem domkniętym oznaczana zazwyczaj 
 (Uzwarcenie płaszczyzny) Przestrzeń topologiczna  uzupełniona o element  z bazą otoczeń w postaci kół uzupełnioną o zbiory postaci  (zewnętrza kół) lub z bazą w postaci prostokątów uzupełnioną o zbiory postaci  (zewnętrza prostokątów). Są to otoczenia otwarte punktu  Wówczas zbieżność ciągu zespolonego do punktu  w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej  W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej  do  powstaje przestrzeń homeomorficzna ze sferą oznaczana zazwyczaj  lub 
 (Uzwarcenie prostej. 2 sposób) Przestrzeń topologiczna  uzupełniona element  z bazą otoczeń uzupełnioną o zbiory postaci   Są to otoczenia otwarte punktu  Wówczas zbieżność ciągu do punktu  w sensie definicji topologicznej odpowiada rozbieżności ciągu do granicy niewłaściwej  W wyniku rozbudowy przestrzeni topolicznej  do  powstaje przestrzeń homeomorficzna z okręgiem oznaczana zazwyczaj  lub

Historia 
Zenon z Elei znany jest ze sformułowania paradoksów, które wykorzystują przejścia graniczne. Leucyp z Miletu, Demokryt z Abdery, Antyfont z Ramnus, Eudoksos z Knidos i Archimedes z Syrakuz wynaleźli metodę wyczerpywania, która wykorzystuje ciąg przybliżeń umożliwiający wyznaczenie powierzchni bądź objętości; ostatniemu z nich znane było również sumowanie, które dziś nazywane jest szeregiem geometrycznym.

Isaac Newton zajmował się szeregami w swoich dziełach dotyczących analizy szeregów nieskończonych (Analysis with infinite series, napisane w 1669 roku, najpierw krążyło jako manuskrypt, opublikowano w 1711 roku), metodzie fluksji i szeregach nieskończonych (Method of fluxions and infinite series, napisane w 1671 roku, wydane w tłumaczeniu angielskim w 1736 roku; oryginał łaciński wydano znacznie później) i traktacie o krzywych kwadratowych (Tractatus de Quadratura Curvarum, napisane w 1693 roku, a opublikowane w 1704 roku jako dodatek do jego Optiks), później rozważał on rozwinięcie dwumienne  które linearyzuje, biorąc granice, tzn. przyjmując 

Osiemnastowiecznym matematykom, takim jak Leonhard Euler, udawało się zsumować pewne szeregi rozbieżne dzięki „zatrzymaniu się w odpowiednim momencie”; nie interesowali się oni nadto tym, czy granica istnieje, o ile tylko mogła być ona obliczona. Pod koniec XVIII wieku Joseph Louis Lagrange w swojej pracy Théorie des fonctions analytiques (1797) stwierdził, że brak rygoru przeszkadza w rozwoju analizy. Carl Friedrich Gauss w dziele o szeregach hipergeometrycznych (1813) po raz pierwszy zbadał w sposób rygorystyczny pod jakimi warunkami szereg zbiega do granicy.

Współczesną definicję granicy (dla każdego  istnieje taki wskaźnik  że…) niezależnie podali:
 Bernard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Praga 1816, wówczas niezauważona);
 Augustin Louis Cauchy w jego Cours d’analyse (1821).

Zobacz też 
 granica ciągów uogólnionych
 granica funkcji

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne 
 

Ciągu
Przestrzenie metryczne
Analiza matematyczna