Pochodna funkcji

Pochodna funkcji – nieformalnie: miara szybkości funkcji, czyli tempa zmian jej wartości względem zmian jej argumentów. Dokładna definicja pochodnej zależy od kontekstu, ponieważ pojęcie to stosuje się do funkcji różnego typu; jednak w każdym z tych przypadków pochodna to granica ilorazu różnicowego dla zerowego mianownika.

Dziedziną rozważanej funkcji może być podzbiór przestrzeni euklidesowej dowolnego wymiaru, inna rozmaitość różniczkowalna lub płaszczyzna zespolona, a zbiorem wartości mogą być oś rzeczywista, zbiór wektorów kartezjańskich lub także liczby zespolone. W niektórych przypadkach pochodna jest pojedynczą liczbą rzeczywistą lub zespoloną, a w innych – całym wektorem (kolumną); za to pochodne wyższych rzędów (iterowane) mogą być nawet macierzami i to wielowskaźnikowymi jak tensory.

Od czasu wprowadzenia w XVII w. pochodne odgrywają ogromną rolę w całej analizie matematycznej i poza nią. Są podstawowym narzędziem znajdowania ekstremów i przegięć, badania monotoniczności i wypukłości funkcji, rozwijania ich w szereg potęgowy (szereg Taylora), obliczania rozmaitych przybliżeń (metody numeryczne), a podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że przez odwrócenie operacji pochodnej – czyli znalezienie funkcji pierwotnej – można wykonać całkowanie w sensie oznaczonym, m.in. obliczając rozmaite pola powierzchni, długości krzywych, objętości, prawdopodobieństwa i inne miary. Dodatkowo pochodna formalna jest narzędziem stosowanym w algebrze wielomianów traktowanych abstrakcyjnie, w oderwaniu od zmiennych rzeczywistych czy zespolonych.

Za pomocą pochodnych definiuje się podstawowe wielkości fizyczne jak prędkość chwilowa, chwilowe przyspieszenie i wyższe pochodne położenia po czasie, natężenie prądu elektrycznego, rozmaite gradienty i inne. Przez to podstawowe równania fizyki teoretycznej są na ogół równaniami różniczkowymi – wiążącymi szukaną zależność (funkcję) z jej pochodnymi.

Pochodna funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych 

Niech  będzie funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej  określoną w otoczeniu punktu . Pochodną funkcji  w punkcie  nazywamy granicę (o ile istnieje):
 

co symbolicznie zapisuje się w jednej z postaci:
 ,

We wzorze tym:
  jest przyrostem zmiennej niezależnej 
  jest przyrostem zmiennej zależnej 
 Wyrażenie  nazywa się ilorazem różnicowym; jest on funkcją przyrostu zmiennej niezależnej.

Jeżeli przyjmie się, że  to pochodną w punkcie  można zapisać następująco:
 

Często w publikacjach przyrost  oznacza się literą  Wtedy pochodna jest równa:
 

Jeśli funkcja  ma pochodną dla każdego elementu swej dziedziny  to można rozważać odwzorowanie przypisujące każdemu argumentowi, jego pochodną dla tego elementu. Przekształcenie to nazywa się funkcją pochodną funkcji  lub krótko: pochodną  w dalszej części artykułu będzie ono oznaczane symbolem  – pozostałe oznaczenia opisano w oddzielnej sekcji – w ten sposób  oznaczać będzie pochodną funkcji  dla argumentu  w tym wypadku  również jest funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych.

Własności funkcji pochodnej 
 iloczyn pochodnej przez stałą
 
 pochodna sumy funkcji (addytywność)
 
 pochodna iloczynu funkcji (reguła Leibniza)
 
 pochodna złożenia funkcji (reguła łańcuchowa)
 
 pochodna funkcji odwrotnej
 
 pochodna odwrotności funkcji (reguła odwrotności)
 
 pochodna ilorazu funkcji (reguła ilorazu)
 

Pochodna jako operator – czyli odwzorowanie na zbiorze funkcji różniczkowalnych – ma zbiory niezmiennicze, między innymi:
 wielomiany – pochodna wielomianu jest wielomianem;
 funkcje wymierne;
 różniczkowalne funkcje okresowe.

Pochodne niektórych funkcji elementarnych 

Istnieje pewien zestaw funkcji uważanych za elementarne, które wykorzystuje się do obliczania pochodnych bardziej skomplikowanych funkcji i ich złożeń; niech  oznacza stałą, zaś  będzie liczbą naturalną, wówczas:

 funkcje stałe i funkcje potęgowe,
 
 funkcje wykładnicze i logarytmiczne
 
 funkcje trygonometryczne
 
 
 funkcje cyklometryczne,
 
 
 
 

wszędzie, gdzie powyższe wzory mają sens.

Inne przykłady pochodnych 
Pochodna o własności  istnieje i zachodzi dla funkcji  (przy sprawdzeniu korzystamy z równości  oraz ) – we wzorze tym pojawia się złoty podział.

Pochodne wyższego rzędu 
Jeżeli pochodna funkcji  istnieje w każdym punkcie przedziału otwartego  to otrzymujemy funkcję  taką że
  dla 

Funkcję tę nazywamy pierwszą pochodną funkcji  Ta funkcja może być również różniczkowalna w każdym punkcie przedziału  Różniczkując ją, otrzymujemy drugą pochodną funkcji 
  dla 

Oznaczamy to następująco:
  lub 

Ogólnie pochodną rzędu  określamy rekurencyjnie:
  lub

Przykłady 
 
  
 
 
 
 
 
 -tą pochodną iloczynu funkcji można wyrazić za pomocą pochodnych czynników oraz współczynników Newtona wzorem:

Zastosowania w fizyce

Prędkość chwilowa 
Załóżmy, że ciało porusza się wzdłuż prostej tak że  oznacza zależność współrzędnej  ustalonego punktu ciała od czasu  Droga przebyta przez to ciało w przedziale czasu  wynosi
 

Prędkością średnią na tym odcinku jest wielkość:
 

Prędkość chwilowa w momencie  jest równa:

Natężenie prądu 
Prąd elektryczny jest to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych wzdłuż przewodnika. Niech  oznacza ładunek przepływający przez ustalony przekrój przewodnika w czasie  Wówczas wielkość
 

nazywa się średnim natężeniem prądu.

Chwilowym natężeniem prądu jest wielkość:

Gęstość rozkładu masy 
Załóżmy, że mamy pręt o długości  taki że masa części tego pręta liczona od początku do punktu  dana jest funkcją  Wtedy masa zawarta w przedziale  wynosi:
 

Średnia gęstość masy na tym przedziale jest równa:
 

W granicy
 

otrzymuje się gęstość masy w punkcie .

Pojęcie gęstości masy jest używane w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Np. dla zmiennej losowej zależnej od jednej zmiennej przyjmuje się, że „masa” liczona od  do  jest równa 1 i definiuje się gęstość masy (lub gęstość prawdopodobieństwa) wzdłuż prostej.

Geometryczny sens pochodnej

Styczna do wykresu funkcji 

Elementarna definicja stycznej do okręgu jako prostej mającej dokładnie jeden (tzn. jeden i tylko jeden) punkt z nim wspólny nie jest wystarczający dla innych krzywych (patrz rysunki powyżej).

W matematyce styczną do krzywej w punkcie  (patrz rysunek obok) jest prosta, będąca granicą siecznych do krzywej przechodzących przez punkty  i  gdy  dąży do  Granica ta nie zawsze istnieje, ale jej istnienie związane jest z istnieniem pochodnej funkcji wyznaczającej tę krzywą.

Niech będzie dana funkcja ciągła  na przedziale otwartym  Jej wykres Γ (kolor czerwony na rysunku) jest nazywany krzywą ciągłą. Współczynnik kierunkowy siecznej (kolor niebieski na rysunku) przechodzącej przez punkty  i  należące do przedziału  jest równy (patrz rysunek obok):
 

Wtedy współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie  (kolor zielony na rysunku) jest równy:

Różniczka funkcji 

Różniczka funkcji  w punkcie  to funkcja liniowa  (tzn. dana wzorem ) taka, że przyrost funkcji w punkcie  da się zapisać w postaci
 

gdzie reszta  ma własność
 

Wynika z tego, że różniczka funkcji to najlepsze liniowe przybliżenie przyrostu funkcji.

Funkcję  oznacza się  lub podobnie. Różniczka funkcji jest ważnym pojęciem, ponieważ stanowi punkt wyjścia do zdefiniowania pochodnej funkcji 

Równoważnie różniczkę  można zdefiniować jako funkcję liniową  taką, że

Twierdzenie o związku pomiędzy różniczką i pochodną 
Zachodzi następujące twierdzenie:

Funkcja  jest różniczkowalna w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie różniczkę  Ponadto różniczka jest określona jednoznacznie i jest dana wzorem .

Dowód. Załóżmy, że  jest różniczkowalne w punkcie  tzn. istnieje pochodna  Definiujemy funkcję  wzorem
 

oraz funkcję  określoną w pewnym otoczeniu punktu  (tzn. dla  na tyle małych, że ) wzorem
 

Widzimy, że przyrost  da się przedstawić w postaci
 

Ponadto reszta  ma własność
 

Wynika z tego, że  dane wzorem  jest różniczką funkcji  w punkcie 

Na odwrót: załóżmy, że funkcja  ma w punkcie  różniczkę  daną wzorem
 

Wówczas
 

Czyli funkcja  jest różniczkowalna w punkcie  Ponadto  i różniczka jest dana wzorem

Postać kanoniczna różniczki 
W szczególności można badać różniczkę funkcji identycznościowej  na  tzn. funkcji  danej wzorem
 

Funkcja  jest różniczkowalna na całym  i jak wynika z treści poprzedniego podrozdziału jej różniczka jest dana wzorem
 

dla każdego 

Z tego, a także z treści poprzedniego podrozdziału wynika, że różniczkę dowolnej funkcji  różniczkowalnej w punkcie  można w tym punkcie zapisać w postaci
 

którą nazywamy postacią kanoniczną.

Oznaczając  przez  a  przez  można powyższemu wzorowi nadać klasyczną postać

Przybliżanie przyrostu funkcji za pomocą różniczki 
Z definicji i z twierdzenia o związku pomiędzy różniczką i pochodną wynika, że różniczkę można wykorzystać do przybliżania przyrostu funkcji 
 

dla dowolnego  na tyle małego, że  Przybliżenie to jest tym lepsze im mniejsze jest  co do wartości bezwzględnej.

Przykład zastosowania różniczek 
Jeśli:
 

to błąd jest w przybliżeniu równy różniczce funkcji  w punkcie  odpowiadającego przyrostowi

Badanie zmienności funkcji

Pochodna a monotoniczność funkcji, ekstrema i punkty przegięcia 
Z twierdzenia Lagrange’a wynikają następujące własności pochodnej:
 Jeżeli funkcja  jest różniczkowalna, to
 Jeśli  to  jest funkcją rosnącą na 
 Jeśli  to  jest funkcją niemalejącą na 
 Jeśli  to  jest funkcją malejącą na 
 Jeśli  to  jest funkcją nierosnącą na 
 Jeśli  to  jest funkcją stałą na 

Z własności tych wynika, że ważnymi punktami dziedziny funkcji różniczkowalnej są miejsca zerowe jej pochodnej. Ponieważ funkcja różniczkowalna jest funkcją ciągłą, więc jeśli funkcja jest określona na przedziale otwartym, to zbiory rozwiązań nierówności  i  są sumami przedziałów otwartych.

Zbiór miejsc zerowych pochodnej jest zbiorem domkniętym. Miejsca zerowe pierwszej pochodnej są bardzo ważne w badaniu funkcji. W praktyce obliczeniowej funkcje na ogół mają skończoną lub przeliczalną liczbę miejsc zerowych, które dzielą dziedzinę na przedziały otwarte, w których pochodna jest stale dodatnia lub stale ujemna. Wtedy każde miejsce zerowe albo oddziela dwa przedziały, na których pochodna przyjmuje jednakowe znaki, albo różne znaki. Stąd wynikają następujące definicje.

 Funkcja  przyjmuje w punkcie  maksimum, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu  że dla każdego  zachodzi nierówność .

Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji  jest:
 dodatnia w przedziale 
 równa zero w 
 ujemna w przedziale 

to funkcja  ma w  maksimum.

 Funkcja  przyjmuje w punkcie  minimum, jeśli istnieje takie otoczenie tego punktu  że dla każdego  zachodzi nierówność .

Dla funkcji różniczkowalnej oznacza to, że jeśli pochodna funkcji  jest:
 ujemna w przedziale 
 równa zero w 
 dodatnia w przedziale 

to funkcja  ma w  minimum.

Minima i maksima funkcji nazywamy jej ekstremami.

 Funkcja  ma w punkcie  punkt przegięcia, jeśli jej pochodna ma ścisłe ekstremum lokalne w

Schemat badania zmienności funkcji 
Przed narysowaniem wykresu funkcji  należy:
 Znaleźć dziedzinę funkcji. Znaleźć granice funkcji w punktach brzegu dziedziny.
 Znaleźć miejsca zerowe pochodnej funkcji oraz punkty, w których pochodna funkcji nie istnieje lub jest równa  Obliczyć wartości funkcji w tych punktach i stwierdzić, czy w tych punktach funkcja przyjmuje minimum lub maksimum.
 Na każdym z przedziałów wyznaczonych przez miejsca zerowe pochodnej ustalić, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.
 Zbadać istnienie punktów przegięcia funkcji.
 Rozwiązać, jeśli to możliwe, równanie  oraz ustalić przedziały, w których funkcja ma stały znak.
 Znaleźć asymptoty funkcji.

Pochodna funkcji wielu zmiennych

Pochodne cząstkowe 

W przypadku funkcji wielu zmiennych  możliwe jest ustalenie  jej argumentów i traktowanie jej jako funkcji jednej zmiennej – pochodną względem tej zmiennej nazywa się „pochodną cząstkową”. Jeśli  gdzie  to pochodną cząstkową funkcji  względem jej -tej współrzędnej  nazywa się wartość granicy
 

o ile istnieje i jest skończona. W zapisie wektorowym powyższą granicę można zapisać wzorem
 

gdzie  jest wektorem z jedynką na -tej współrzędnej i samymi zerami poza tym.

Powyższą definicję można uogólnić zastępując  dowolnym wektorem jednostkowym  Prowadzi to do definicji pochodnej kierunkowej wzdłuż  mianowicie:
 

Jeśli  jest wektorem jednostkowym, to pochodna kierunkowa funkcji  wzdłuż  jest równa

Pochodne zupełne 

Dowolną funkcję  można rozłożyć na funkcje współrzędnych  przyjmując  Jeżeli funkcje te są różniczkowalne w każdym kierunku, co jest równoważne istnieniu ich wszystkich pochodnych cząstkowych, to funkcję  nazywa się różniczkowalną w słabym sensie; przedstawieniem tej pochodnej we współrzędnych za pomocą odpowiadającej jej macierzy przekształcenia liniowego jest tzw. macierz Jacobiego.

Mogłoby się wydawać, że definicja słabej pochodnej jest w zupełności zadowalająca, jednak w przypadku funkcji wielowymiarowych należy zwrócić uwagę na zjawiska związane z większą liczbą wymiarów: istnieją przykładowo funkcje, które mają pochodne we wszystkich kierunkach (równoważnie: mają wszystkie pochodne cząstkowe, zob. ostatni ustęp poprzedniej sekcji), czyli wzdłuż prostych, lecz nie mają pochodnych wzdłuż innych krzywych – problem ten nie istnieje w przypadku funkcji zmiennej rzeczywistej, gdzie granicę można obliczać wyłącznie wzdłuż krzywych leżących na prostej.

Definicja pochodnej funkcji wielu zmiennych  stanowiącą rozwiązanie tego problemu naśladuje definicję „różniczkową” dla funkcji rzeczywistej (zob. Związek z różniczką). Pochodną w mocnym sensie funkcji  dla argumentu punktowego  nazywa się takie przekształcenie liniowe  dla którego zachodzi
 

gdzie  oznacza moduł odpowiednich wektorów; odwzorowanie  podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, nazywa się różniczką (w mocnym sensie) funkcji . Rolę funkcji pochodnej pełni tu więc odwzorowanie  przestrzeni współrzędnych w przestrzeń liniową przekształceń liniowych (por. przestrzeń funkcyjna przekształceń liniowych) dane wzorem  tj. przypisujące punktowi przekształcenie liniowe.

Istnienie pochodnej w silnym sensie pochodnej pociąga istnienie pochodnej w słabym sensie; jeżeli jednak funkcja jest różniczkowalna w słabym sensie i wszystkie jej pochodne cząstkowe (kierunkowe) są ciągłe, to funkcja jest różniczkowalna w silnym sensie w sposób ciągły (tzn. jest klasy ). Oba rodzaje pochodnych mają wiele własności pochodnej funkcji rzeczywistej, np. liniowość, czy zachodzenie reguły łańcuchowej. Bezpośrednie generalizacje pojęć pochodnych w słabym/silnym sensie, tj. pochodne Gâteaux/Frécheta, opisano w Uogólnieniach.

Przegląd stosowanych oznaczeń 

 Notacja Newtona
Notacja Isaaca Newtona wykorzystuje kropkę umieszczoną nad nazwą funkcji, która w domyśle jest funkcją argumentu czasowego, zwyczajowo oznaczanego literą  częstokroć wykorzystuje się ją do zapisu równań różniczkowych i ich zastosowaniach fizycznych, np. do opisu położenia  jako funkcji  z ukrytym parametrem czasowym 

Pierwsze dwie pochodne funkcji  (względem ) zapisuje się wtedy symbolami
 

przy czym niekiedy dodaje się kolejne kropki i choć notacja nie spełnia należycie swej roli przy pochodnych wyższych rzędu, to w praktyce przydatnych jest tylko kilka rzędów pochodnych.

 Notacja Leibniza

Jednym z najwcześniejszych sposobów zapisu jest ten pochodzący od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, w której pochodną funkcji  względem zmiennej  oznacza się za pomocą ułamka
 

Niegdyś pochodną interpretowano jako iloraz różniczek zmiennych zależnej i niezależnej: różniczki funkcji  i różniczki  choć dziś to różniczkę definiuje się za pomocą pochodnej,  w skrócie  co prowadzi bezpośrednio do powyższej notacji. Mimo wszystko operowanie różniczkami w przedstawiony sposób wymaga uwagi ze względu na możliwość wyciągnięcia błędnych wniosków w ich wyniku, dlatego dziś oznaczenia te traktuje się zwykle jako napisy formalne, nierozerwalną całość.

Wyrażenie  można uważać za operator brania pochodnej działający na funkcji  co znajduje odzwierciedlenie we drugim ze wzorów, dzięki czemu drugą pochodną można zapisać jako
 

przy czym wyrażenie  w mianowniku przyjęto traktować jako całość, dzięki czemu można pominąć nawias przy „potęgowaniu”,
 

dla pochodnej -tego rzędu.

Do powyższych napisów dodaje się często argument funkcji  czy też jej funkcji pochodnej, stąd spotyka się również napisy postaci
 

i analogicznie dla pochodnych wyższego rzędu. Notacja ta służy czasami oznaczeniu pochodnej funkcji  w punkcie  (symbol  w nawiasach zamienia się wtedy na ), jednak może on sugerować, iż  jest argumentem funkcji  Drugim sposobem oznaczania pochodnej w punkcie jest
 

i analogiczne jw. napisy z różnymi pozycjami funkcji  jej argumentu i rzędami.

Zapis Leibniza wskazuje w mianowniku zmienną różniczkowania – nabiera to znaczenia w pochodnych cząstkowych i pomaga zapamiętać regułę łańcuchową,
 

twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej,
 

czy wzór na całkowanie przez części,
 

 Notacja Eulera

Pochodząca od Leonharda Eulera notacja wykorzystuje symbol operatora różniczkowego  który zastosowany do funkcji  daje jej pierwszą pochodną  drugą oznacza się w naturalny sposób  a -tą za pomocą symbolu  Jest ona wygodna do opisu zadania i rozwiązania liniowych równań różniczkowych.

 Notacja Lagrange’a

Notacja używana w tym artykule pochodzi od Josepha Louisa Lagrange’a, wykorzystuje się w niej symbole prim »′«, bis »″« i ter »‴« (nie należy ich mylić z cudzysłowami i apostrofami) po oznaczeniu funkcji, np.
 

Czwartą pochodną oznacza się jeszcze niekiedy symbolem quater »⁗«, jednak zwykle począwszy od czwartej w miejscu poprzednich umieszcza się liczby w rzymskim systemie ich zapisywania, np.
 

bądź liczby arabskie w nawiasie,
 

co umożliwia oznaczenie -tej pochodnej jako  co ułatwia opis funkcji pochodnej (w powyższych napisach dodaje się argument funkcji po oznaczeniu pochodnej). Ta notacja jest używana do opisu szeregów nieskończonych, takich jak szeregu Taylora.

 Funkcje wielu zmiennych
W przypadku funkcji wielu zmiennych można korzystać z każdej z powyższych notacji, choć zwykle unika się sposobu zapisu pochodzącego od Newtona. Zapis pochodnych cząstkowych wymaga wskazania zmiennych różniczkowania i ich kolejności (co czyni się często, wypisując je w indeksie dolnym), np. dla funkcji  jej (mieszana) pochodna cząstkowa czwartego rzędu wzięta względem zmiennej  następnie względem  potem względem  i raz jeszcze względem  może być oznaczona symbolami
 

Popularna jest też notacja pochodząca od Adriena-Marie Legendre’a i rozpropagowaną przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego, naśladująca niejako symbolikę Leibniza, w której korzysta się z symbolu ∂ zamiast litery  co ma na celu podkreślenie innej natury tych obiektów, np.
 

Z symbolu tego korzysta się również do oznaczania macierzy Jacobiego (lub jej wyznacznika, tzw. jakobianu, jeśli jest kwadratowa); np. dla funkcji  gdzie  oraz  jest to

Uogólnienia 
Wzięcie granic jednostronnych w danym punkcie w definicji pochodnej funkcji  nazywa się pochodnymi jednostronnymi; dalsze osłabienie definicji poprzez branie granic dolnych i górnych daje tzw. pochodne Diniego.

Subpochodna i subróżniczka (podpochodna i podróżniczka) to uogólnienie pochodnej na funkcje wypukłe – opisują one wszystkie styczne w danym punkcie wykresu wspomnianych funkcji, przez to nie są one liczbami, lecz ich zbiorami.

W przypadku liczb zespolonych  definicje pochodnych dla funkcji  przenoszą się bez zmian na funkcje  pochodną takiej funkcji nazywa pochodną zespoloną. Zasadniczą różnicą między pochodnymi tych dwóch rodzajów funkcji jest fakt, iż funkcje holomorficzne, czyli funkcje zespolone mające pochodną zespoloną w pewnym zbiorze otwartym, są w nim analityczne (zob. Pochodne pochodnych). Jako przestrzenie liniowe równego wymiaru  oraz  mają tę samą strukturę (są izomorficzne nad ), jednakże  jest bogatsza o operacje mnożenia i dzielenia przez wektory (jest algebrą, a nawet ciałem). Dzięki temu pochodną zespoloną na  można traktować jako wzmocniony wariant mocnej pochodnej na  warunkiem koniecznym i dostatecznym zgodności tych pojęć są równania Cauchy’ego-Riemanna, czyli wymaganie, by pochodna w sensie rzeczywistym opisywała liczbę zespoloną (macierz Jacobiego reprezentowała liczbę zespoloną, zob. równokątność różniczki zespolonej), zaś różniczka – mnożenie przez nią, a nie tylko dowolne przekształcenie liniowe.

Pochodna Frécheta jest bezpośrednim uogólnieniem pojęcia pochodnej w silnym sensie funkcji wielu zmiennych na unormowane przestrzenie liniowe, z kolei pochodna Gâteaux uogólnia pochodną w słabym sensie na jeszcze ogólniejsze przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (przykładami obu są np. przestrzenie Banacha), w szczególności pokrywają się ona z odpowiednio pochodnymi w silnym i słabym sensie dla przestrzeni współrzędnych.

Odpowiednikiem pochodnej w silnym sensie dla funkcji między rozmaitościami różniczkowymi jest odwzorowanie styczne będące odwzorowaniem między przestrzeniami stycznymi ustalonego punktu i jego obrazu – jest to możliwe dzięki zapisaniu przestrzeni stycznych w ustalonej bazie, tzn. wyrażeniu ich za pomocą izomorficznych z nimi przestrzeni współrzędnych, gdzie zdefiniowana jest pochodna w silnym sensie. Rolę funkcji pochodnej pełni w tym wypadku odpowiednia funkcja między wiązkami stycznymi (w przypadku funkcji między unormowanymi przestrzeniami liniowymi ich przestrzenie styczne pokrywają się z tymi przestrzeniami, a wiązka styczna jest trywialna).

Kolejne pochodne nie są przekształceniami liniowymi (muszą opisywać geometrię, której nie da się opisać za pomocą struktur liniowych), nie są określone między wiązkami stycznymi (zawierają one informację o danej przestrzeni i pochodnych kierunkowych), a ponadto nie uzyskuje się ich poprzez branie pochodnej funkcji pochodnych niższego rzędu. Ich analogonem są tzw. strumienie (dżety) oraz ich wiązki. Związek między pochodną zupełną i cząstkowymi funkcji znajduje odzwierciedlenie w związku strumienia -tego rzędu funkcji z jego pochodnymi cząstkowymi rzędu nie mniejszego niż 

Dla wielomianu bądź szeregu możliwe jest zdefiniowanie pochodnej bez odwoływania się do pojęcia granicy, korzystając jedynie ze wzoru, który uzyskuje się w analizie z podanej w tym artykule definicji – nazywa się ją pochodną formalną; definicja ta umożliwia uprawianie dużej części analizy w oparciu o algebrę bez odwoływania się do topologii.

Rozszerzeniem pojęcia pochodnej na funkcje lokalnie całkowalne (a więc nawet niekoniecznie ciągłe) jest tzw. słaba pochodna, której idea opiera się na metodzie całkowania przez części – nie są one wyznaczone jednoznacznie; znajduje ona przede wszystkim zastosowanie przy poszukiwaniu tzw. słabych rozwiązywań równań różniczkowych cząstkowych.

W teorii miary rozpatruje się tzw. pochodną Radona-Nikodýma, która opisuje prędkość zmian gęstości jednej miary względem innej zupełnie analogicznie jak ma to miejsce w przypadku z wyznacznika macierzy Jacobiego dla funkcji wielowymiarowych (zob. Pochodne zupełne).

Uwagi

Przypisy

Bibliografia