Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Wahrscheinlichkeitstheorie, auch Wahrscheinlichkeitsrechnung oder Probabilistik, ist ein Teilgebiet der Mathematik, das aus der Formalisierung, der Modellierung und der Untersuchung von Zufallsgeschehen hervorgegangen ist. Gemeinsam mit der mathematischen Statistik, die anhand von Beobachtungen zufälliger Vorgänge Aussagen über das zugrunde liegende Modell trifft, bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik.

Die zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse.

Axiomatischer Aufbau 
Wie jedes Teilgebiet der modernen Mathematik wird auch die Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch formuliert und auf axiomatischen Vorgaben aufgebaut. Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse, die als Mengen aufgefasst werden und denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind; Wahrscheinlichkeiten sind reelle Zahlen zwischen 0 und 1; die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen muss gewissen Mindestanforderungen genügen.

Diese Definitionen geben keinen Hinweis darauf, wie man die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse ermitteln kann; sie sagen auch nichts darüber aus, was Zufall und was Wahrscheinlichkeit eigentlich sind. Die mathematische Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist somit für verschiedene Interpretationen offen, ihre Ergebnisse sind dennoch exakt und vom jeweiligen Verständnis des Wahrscheinlichkeitsbegriffs unabhängig.

Definitionen 
Konzeptionell wird als Grundlage der mathematischen Betrachtung von einem Zufallsvorgang oder Zufallsexperiment ausgegangen. Alle möglichen Ergebnisse dieses Zufallsvorgangs fasst man in der Ergebnismenge  zusammen. Häufig interessiert man sich jedoch gar nicht für das genaue Ergebnis , sondern nur dafür, ob es in einer bestimmten Teilmenge der Ergebnismenge liegt, was so interpretiert werden kann, dass ein Ereignis eingetreten ist oder nicht. Ein Ereignis ist also als eine Teilmenge von  definiert. Enthält das Ereignis genau ein Element der Ergebnismenge, handelt es sich um ein Elementarereignis. Zusammengesetzte Ereignisse enthalten mehrere Ergebnisse. Das Ergebnis ist also ein Element der Ergebnismenge, das Ereignis jedoch eine Teilmenge.

Damit man den Ereignissen in sinnvoller Weise Wahrscheinlichkeiten zuordnen kann, werden sie in einem Mengensystem aufgeführt, der Ereignisalgebra oder dem Ereignissystem  über , einer Menge von Teilmengen von , für die gilt: Sie enthält  und ist ein σ-Körper, d. h., sie ist gegenüber den Mengenoperationen der Vereinigung und der Komplementbildung (relativ bzgl. ) abgeschlossen genauso wie gegenüber der unendlichen Vereinigung abzählbar vieler Mengen.
Die Wahrscheinlichkeiten sind dann Bilder einer gewissen Abbildung  des Ereignisraums in das Intervall [0,1]. Solch eine Abbildung heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Tripel  wird als Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet.

Axiome von Kolmogorow 
Die axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde in den 1930er Jahren von Andrei Kolmogorow entwickelt. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß muss demnach folgende drei Axiome erfüllen:

Beispiel: Im Rahmen einer physikalischen Modellbildung wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß zur Beschreibung des Ergebnisses eines Münzwurfes angesetzt, die möglichen Ergebnisse (Ereignisse genannt) mögen Zahl und Kopf lauten.
 Dann ist die Ergebnismenge .
 Als Ereignisraum kann die Potenzmenge  gewählt werden, also .
 Für das Wahrscheinlichkeitsmaß  steht aufgrund der Axiome fest:
 
 
 

Zusätzliche physikalische Annahmen über die Beschaffenheit der Münze können nun etwa zur Wahl  führen.

Folgerungen 
Aus den Axiomen ergeben sich unmittelbar einige Folgerungen:

1. Aus der Additivität der Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse folgt, dass komplementäre Ereignisse (Gegenereignisse) komplementäre Wahrscheinlichkeiten (Gegenwahrscheinlichkeiten) haben: .

Beweis: Es ist  sowie . Folglich nach Axiom (3):  und dann nach Axiom (2): . Umgestellt ergibt sich: .

2. Daraus folgt, dass das unmögliche Ereignis, die leere Menge, die Wahrscheinlichkeit Null hat: .

Beweis: Es ist  und , also nach Axiom (3): . Hieraus folgt .

3. Für die Vereinigung nicht notwendig disjunkter Ereignisse folgt: .

Beweis: Die für den Beweis erforderlichen Mengen sind im obigen Bild dargestellt. Die Menge  kann danach als Vereinigung von drei disjunkten Mengen dargestellt werden:

Hieraus folgt nach (3): .
Andererseits ist nach (3) sowohl
 als auch
.
Addition liefert:
.
Umstellen ergibt .

Die Siebformel von Poincaré-Sylvester verallgemeinert diese Behauptung im Falle n verschiedener (nicht notwendig disjunkter) Teilmengen.

Im Weiteren ist zwischen abzählbaren und überabzählbaren Ergebnismengen zu unterscheiden.

Abzählbare Ergebnismenge 

Bei einer abzählbaren Ergebnismenge kann jedem Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Wenn  endlich oder abzählbar unendlich ist, kann man für die σ-Algebra  die Potenzmenge von  wählen.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse aus  ist hier 1.

Überabzählbare Ergebnismenge 

Ein Prototyp einer überabzählbaren Ergebnismenge ist die Menge der reellen Zahlen.
In vielen Modellen ist es nicht möglich, allen Teilmengen der reellen Zahlen sinnvoll eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Als Ereignissystem wählt man statt der Potenzmenge der reellen Zahlen hier meist die Borelsche σ-Algebra, das ist die kleinste σ-Algebra, die alle Intervalle von reellen Zahlen als Elemente enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra nennt man Borelsche Mengen oder auch (Borel-)messbar. Wenn die Wahrscheinlichkeit  jeder Borelschen Menge  als Integral

über eine Wahrscheinlichkeitsdichte  geschrieben werden kann, wird 
absolut stetig genannt. In diesem Fall (aber nicht nur in diesem) haben alle Elementarereignisse {x} die Wahrscheinlichkeit 0. Die Wahrscheinlichkeitsdichte eines
absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßes  ist nur fast überall eindeutig bestimmt, d. h., sie kann auf einer beliebigen Lebesgue-Nullmenge, also einer Menge vom Lebesgue-Maß 0, abgeändert werden, ohne dass  verändert wird. Wenn die erste Ableitung der Verteilungsfunktion von  existiert, so ist sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte von P. Die Werte der Wahrscheinlichkeitsdichte werden jedoch nicht als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Spezielle Eigenschaften im Fall diskreter Wahrscheinlichkeitsräume

Laplace-Experimente 
Wenn man annimmt, dass nur endlich viele Elementarereignisse möglich und alle gleichberechtigt sind, d. h. mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten (wie zum Beispiel beim Werfen einer idealen Münze, wobei {Zahl} und {Kopf} jeweils die Wahrscheinlichkeit 0,5 besitzen), so spricht man von einem Laplace-Experiment. Dann lassen sich Wahrscheinlichkeiten einfach berechnen: Wir nehmen eine endliche Ergebnismenge  an, die die Mächtigkeit  besitzt, d. h., sie hat  Elemente. Dann ist die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses einfach .

Beweis: Wenn  ist, dann gibt es  Elementarereignisse . Es ist dann einerseits  und andererseits sind je zwei Elementarereignisse disjunkt (inkompatibel: wenn das eine eintritt, kann das andere nicht eintreten). Also sind die Voraussetzungen für Axiom (3) erfüllt, und es gilt:

Da nun andererseits  sein soll, ist  und daher umgestellt: , wie behauptet.

Als Konsequenz folgt, dass für Ereignisse, die sich aus mehreren Elementarereignissen zusammensetzen, die entsprechend vielfache Wahrscheinlichkeit gilt. Ist  ein Ereignis der Mächtigkeit , so ist  die Vereinigung von  Elementarereignissen. Jedes davon hat die Wahrscheinlichkeit , also ist . Man erhält also den einfachen Zusammenhang

Bei Laplace-Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich der Zahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse, dividiert durch die Zahl der insgesamt möglichen Ergebnisse.

Nachstehend ein Beispiel beim Würfeln mit einem idealen Würfel.

⚀⚁⚂⚃⚄⚅
⚄⚅

Das Ereignis  = Hohe Augenzahl (5 oder 6) hat die Wahrscheinlichkeit 1/3.

Ein typischer Laplace-Versuch ist auch das Ziehen einer Karte aus einem Spiel mit  Karten oder das Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit  Kugeln. Hier hat jedes Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit. Um die Anzahl der Elementarereignisse bei Laplace-Versuchen zu bestimmen, werden häufig Methoden der Kombinatorik verwendet.

Das Konzept der Laplace-Experimente lässt sich auf den Fall einer stetigen Gleichverteilung verallgemeinern.

Bedingte Wahrscheinlichkeit 
Unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit versteht man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses  unter der Voraussetzung, dass das Eintreten eines anderen Ereignisses  bereits bekannt ist. Natürlich muss  eintreten können, es darf also nicht das unmögliche Ereignis sein. Man schreibt dann  oder seltener  für „Wahrscheinlichkeit von  unter der Voraussetzung “, kurz „ von , vorausgesetzt “.

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, aus einem Skatblatt eine Herz-Karte zu ziehen (Ereignis ), beträgt 1/4, denn es gibt 32 Karten und darunter 8 Herz-Karten. Dann ist . Das Gegenereignis ist dann Karo, Pik oder Kreuz und hat deshalb die Wahrscheinlichkeit .

Ergebnismenge beim Ziehen einer Karte aus einem Skatspiel

Wenn nun aber bereits das Ereignis  „Die Karte ist rot“ eingetreten ist (es wurde eine Herz- oder Karo-Karte gezogen, es ist aber nicht bekannt, welche der beiden Farben), man also nur noch die Auswahl unter den 16 roten Karten hat, dann ist  die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dann um das Herz-Blatt handelt.

Diese Überlegung galt für einen Laplaceversuch. Für den allgemeinen Fall definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit von „, vorausgesetzt “ als

Dass diese Definition sinnvoll ist, zeigt sich daran, dass die so definierte Wahrscheinlichkeit den Axiomen von Kolmogorow genügt, wenn man sich auf  als neue Ergebnismenge beschränkt; d. h., dass gilt:

 
 
 Wenn  paarweise disjunkt sind, so ist 
Beweis:
  ist Quotient zweier Wahrscheinlichkeiten, für welche nach Axiom (1) gilt  und . Da  nicht das unmögliche Ereignis sein soll, ist sogar . Also gilt auch für den Quotienten . Ferner sind  und  disjunkt, und ihre Vereinigung ist . Also ist nach Axiom (3): .Da  ist, folgt  und daher .
 Es ist 
 Des Weiteren ergibt sich:

Dies war zu zeigen.

Beispiel: Es sei wie oben  das Ereignis „Ziehen einer Herz-Karte“ und  das Ereignis „Es ist eine rote Karte“. Dann ist:

und

Folglich gilt:

Aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ergeben sich folgende Konsequenzen:

Verbundwahrscheinlichkeit (Schnittmengen von Ereignissen) 
Das gleichzeitige Eintreten zweier Ereignisse  und  entspricht mengentheoretisch dem Eintreten des Verbund-Ereignisses . Die Wahrscheinlichkeit hiervon berechnet sich zur gemeinsamen Wahrscheinlichkeit oder Verbundwahrscheinlichkeit

Beweis: Nach Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist einerseits

und andererseits auch

Umstellen nach  liefert dann sofort die Behauptung.

Beispiel: Es wird eine Karte aus 32 Karten gezogen.  sei das Ereignis: „Es ist ein König“.  sei das Ereignis: „Es ist eine Herz-Karte“. Dann ist  das gleichzeitige Eintreten von  und , also das Ereignis: „Die gezogene Karte ist ein Herz-König“. Offenbar ist . Ferner ist , denn es gibt nur eine Herz-Karte unter den vier Königen. Und in der Tat ist dann  die Wahrscheinlichkeit für den Herz-König.

Satz von Bayes 
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von  unter der Bedingung  lässt sich durch die bedingte Wahrscheinlichkeit von  unter der Bedingung  durch

ausdrücken, wenn man die totalen Wahrscheinlichkeiten  und  kennt (Satz von Bayes).

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen 
Ereignisse nennt man unabhängig voneinander, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht beeinflusst. Im umgekehrten Fall nennt man sie abhängig. Man definiert:

Zwei Ereignisse  und  sind unabhängig, wenn  gilt.

Ungenau, aber einprägsam formuliert: Bei unabhängigen Ereignissen kann man die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.

Dass dies dem Begriff „Unabhängigkeit“ gerecht wird, erkennt man durch Umstellen nach :

Das bedeutet: Die totale Wahrscheinlichkeit für  ist ebenso groß wie die Wahrscheinlichkeit für , vorausgesetzt ; das Eintreten von  beeinflusst also die Wahrscheinlichkeit von  nicht.

Beispiel: Es wird eine aus 32 Karten gezogen.  sei das Ereignis „Es ist eine Herz-Karte“.  sei das Ereignis „Es ist eine Bild-Karte“. Diese Ereignisse sind unabhängig, denn das Wissen, dass man eine Bild-Karte zieht, beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Herz-Karte ist (Der Anteil der Herz-Karten unter den Bilder-Karten ist ebenso groß wie der Anteil der Herz-Karten an allen Karten). Offenbar ist  und .  ist das Ereignis „Es ist eine Herz-Bildkarte“. Da es davon drei gibt, ist . Und in der Tat stellt man fest, dass  ist.

Ein weiteres Beispiel für sehr kleine und sehr große Wahrscheinlichkeiten findet sich in Infinite-Monkey-Theorem.

Maßtheoretische Sichtweise 

Die klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet nur Wahrscheinlichkeiten auf diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen und stetige Modelle mit Dichtefunktionen. Diese beiden Ansätze lassen sich durch die moderne Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie, die auf den Konzepten und Ergebnissen der Maß- und Integrationstheorie beruht, vereinheitlichen und verallgemeinern.

Wahrscheinlichkeitsräume 

In dieser Sichtweise ist ein Wahrscheinlichkeitsraum  ein Maßraum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß . Das bedeutet, die Ergebnismenge  ist eine beliebige Menge, der Ereignisraum  ist eine σ-Algebra mit Grundmenge  und  ist ein Maß, das durch  normiert ist.

Wichtige Standardfälle von Wahrscheinlichkeitsräumen sind:
  ist eine abzählbare Menge und  ist die Potenzmenge von . Dann ist jedes Wahrscheinlichkeitsmaß  eindeutig festgelegt durch seine Werte  auf den einelementigen Teilmengen von  und für alle  gilt
.
  ist eine Teilmenge von  und  ist die Borelsche σ-Algebra auf . Ist das Wahrscheinlichkeitsmaß  absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes, dann besitzt  nach dem Satz von Radon-Nikodým eine Lebesgue-Dichte , d. h., für alle  gilt
.
Umgekehrt wird für eine nichtnegative messbare Funktion , welche die Normierungsbedingung  erfüllt, durch diese Formel ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  definiert.
  ist ein kartesisches Produkt und  ist die Produkt-σ-Algebra von σ-Algebren  auf . Sind Wahrscheinlichkeitsmaße  auf  gegeben, dann wird durch das Produktmaß  ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf  definiert, das die unabhängige Hintereinanderausführung der Einzelexperimente  modelliert.

Zufallsvariable 

Eine Zufallsvariable ist das mathematische Konzept für eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist.
Aus maßtheoretischer Sicht handelt es sich um eine messbare Funktion  auf einem Wahrscheinlichkeitsraum  in einen Messraum  bestehend aus einer Menge  und einer σ-Algebra  auf . Messbarkeit bedeutet dabei, dass für alle  das Urbild  ein Element der σ-Algebra  ist. Die Verteilung von  ist dann nichts anderes als das Bildmaß
,
das von  auf dem Messraum  induziert wird und diesen zu einem Wahrscheinlichkeitsraum  macht.

Der Erwartungswert einer reellwertigen Zufallsvariable  mittelt die möglichen Ergebnisse. Er lässt sich abstrakt definieren als Integral von  bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes :
.

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 
Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik werden zusammenfassend auch als Stochastik bezeichnet. Beide Gebiete stehen in enger wechselseitiger Beziehung:
 Statistische Verteilungen werden regelmäßig unter der Annahme modelliert, dass sie das Resultat zufälliger Prozesse sind.
 Statistische Verfahren können auf numerische Weise Anhaltspunkte für das Verhalten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen liefern.

Anwendungsgebiete 
Die Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus dem Problem der gerechten Verteilung des Einsatzes bei abgebrochenen Glücksspielen. Auch andere frühe Anwendungen stammen aus dem Bereich des Glücksspiels.

Heute ist die Wahrscheinlichkeitstheorie eine Grundlage der Statistik. Die angewandte Statistik nutzt Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie, um Umfrageergebnisse zu analysieren oder Wirtschaftsprognosen zu erstellen.

Große Bereiche der Physik wie die Thermodynamik und die Quantenmechanik nutzen die Wahrscheinlichkeitstheorie zur theoretischen Beschreibung ihrer Resultate.

Sie ist ferner die Grundlage für mathematische Disziplinen wie die Zuverlässigkeitstheorie, die Erneuerungstheorie und die Warteschlangentheorie und das Werkzeug zur Analyse in diesen Bereichen.

Auch in der Mustererkennung ist die Wahrscheinlichkeitstheorie von zentraler Bedeutung.

Wahrscheinlichkeitstheorie in der Schule 
Aufgrund ihrer vielseitigen Anwendungsbereiche und des Alltagsbezugs bereits junger Schüler wird die Wahrscheinlichkeitstheorie ab Klasse 1 in allen Schulformen im Rahmen des Mathematikunterrichts gelehrt. Geht es in der Grundschule noch darum, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenzulernen und erste Zufallsexperimente hinsichtlich ihrer Gewinnchancen zu bewerten, wird in der Sekundarstufe I zunehmend der Wahrscheinlichkeitsbegriff analytisch in seiner Vielseitigkeit betrachtet und es stehen zunehmend komplexere Zufallsexperimente im Zentrum des Interesses. In der Sekundarstufe II werden die Vorkenntnisse um spezifische Aspekte wie Bernoulliketten, bedingte Wahrscheinlichkeit und Laplace-Experimente erweitert.

Siehe auch 
 Bayesianische Erkenntnistheorie
 Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Literatur (Auswahl) 
  MR0474442
  MR2247694
 
  MR1902050
 
 
  MR1796326
 
 
  MR1932358
 
  MR0742141
 
  MR0501219
 
 
  MR1278485
 
 
  MR3244237
  MR0494348
  MR1512588
 
 
 
  MR0534143
  MR1102015
 
  MR0668875
  MR0245056
  MR0474442
  MR0967761
 
  MR3289985
 
 
  MR0286145

Weblinks

Einzelnachweise 

 W
Stochastik
Teilgebiet der Mathematik