Liczba pierwsza

Liczba pierwsza – liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą. Nie istnieje powszechnie przyjęty symbol zbioru wszystkich liczb pierwszych, czasami oznacza się ten zbiór symbolem 

Wykaz początkowych liczb pierwszych:
 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 itd. .

W wykazie brak np. liczby 4, bowiem ma ona 3 dzielniki: 1, 2 i 4. Podobnie z liczbą 6, która ma 4 dzielniki: 1, 2, 3 i 6.

Liczby naturalne większe od 1, które nie są pierwsze, nazywa się liczbami złożonymi. Liczby 4 i 6 są więc przykładami liczb złożonych.

Z podanych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Podstawowe własności 
 Najmniejszy różny od jedynki dzielnik naturalny liczby naturalnej, większej od jedności, jest liczbą pierwszą.
 Euklides pokazał, że żaden skończony zbiór nie zawiera wszystkich liczb pierwszych:
 Niech  będzie skończonym zbiorem liczb pierwszych. Niech  będzie iloczynem wszystkich liczb występujących w  (gdy  jest puste, to ). Jedynym wspólnym dzielnikiem liczb  oraz  jest 1. Zatem żadna liczba pierwsza, występująca w  nie jest dzielnikiem liczby  Ale  Więc  ma dzielnik  który jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza  nie należy do  (bo jest dzielnikiem liczby ).
 Każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu pewnych liczb pierwszych. Twierdzenie to był w stanie udowodnić już Euklides (stworzył niezbędne narzędzia), ale uczynił to dopiero Gauss. Twierdzenie to oznacza, że liczby pierwsze są w pewnym sensie atomami, z których przy pomocy mnożenia zbudowane są pozostałe liczby.

Wyznaczanie 
Aby znaleźć wszystkie liczby pierwsze w zadanym przedziale liczbowym, można posłużyć się algorytmem zwanym sitem Eratostenesa: jeśli liczba naturalna  większa od 1 nie jest podzielna przez żadną z liczb pierwszych nie większych od pierwiastka z  to  jest liczbą pierwszą.

Metoda dająca odpowiedź na pytanie, czy dana liczba naturalna jest pierwsza, czy nie, nosi nazwę testu pierwszości. Wśród takich metod praktyczne zastosowanie mają testy probabilistyczne, to znaczy takie, które pozwalają określić pierwszość liczby z dostatecznie dużym prawdopodobieństwem, np.: test pierwszości Millera-Rabina, test pierwszości Solovaya-Strassena.

Rozkład 𝑛! na czynniki pierwsze 
Niech  oznacza wykładnik, z którym liczba pierwsza  występuje w rozkładzie liczby naturalnej  (waluacja p-adyczna). Wtedy:
  (wzór Legendre’a),

gdzie  jest jedyną liczbą całkowitą, spełniającą nierówność
 

dla dowolnego rzeczywistego  Liczbę  nazywamy częścią całkowitą liczby rzeczywistej  Powyższa suma jest skończona, gdyż tylko skończona liczba jej składników jest różna od 0 – mianowicie pierwsze  wyrazów.

Literatura: na przykład – rozdział 7.0; – rozdział 6.3, Twierdzenie 6.9.

Rozkład środkowego współczynnika dwumianowego 
Zbadajmy   gdy liczba pierwsza  należy do przedziału  Ogólnie:
 

Ponieważ
 

dla dowolnej liczby rzeczywistej  to ze wzoru na  z poprzedniego fragmentu, wynika, że
 

Równość  pozwala powyższą nierówność wyrazić równoważnie jako
 

czyli:

Twierdzenie. Jeżeli  to 

Prawdziwe jest także twierdzenie:

Twierdzenie. Jeżeli  jest liczbą naturalną, oraz  – liczbą pierwszą z przedziału  to  nie jest dzielnikiem współczynnika

Rozmieszczenie 

Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne prawidłowości statystyczne, ale nie jest znany żaden wzór, który pozwalałby wyznaczać liczby pierwsze w sposób bardziej efektywny niż metoda Eratostenesa.

Kilka poniższych twierdzeń przybliża zagadnienia związane z badaniem rozmieszczenia liczb pierwszych na osi liczbowej.

Szereg odwrotności wszystkich liczb pierwszych 
Niech  oznacza zbiór liczb pierwszych. Leonhard Euler udowodnił, że szereg liczbowy  odwrotności wszystkich liczb pierwszych jest rozbieżny. Sugeruje to, że liczby pierwsze nie mogą być rozłożone zbyt „rzadko” na osi liczbowej. Rozbieżność tego szeregu daje też nowy dowód na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych.

Dowód twierdzenia Eulera 

Niech
 
 

Ponieważ
 

to
 

dla dowolnego naturalnego  Wystarczy zatem dowieść, że  może być dowolnie wielkie.

Szereg geometryczny:
 

oraz rozkładalność liczb naturalnych na iloczyny liczb pierwszych, daje nierówność
 

Ale  a więc:
 

zatem
 

gdy  Koniec dowodu.

Franz Mertens uzyskał podobne oszacowanie  także od góry.

Oszacowania iloczynu odcinka liczb pierwszych 
Jasnym jest, że zachodzi podzielność
  oraz równość 

Więc dla n > 1 otrzymujemy:
  Wiemy także, że 

Powyższe współczynniki dwumianowe są składnikami sumy ze wzoru Newtona na  Są więc one mniejsze od  (ostro, bo w sumie Newtona występują też inne składniki). Tak więc mamy nasze pierwsze oszacowanie (od góry) iloczynu odcinka liczb pierwszych:
 

dla  a nawet dla każdego  Bardziej atrakcyjne byłoby oszacowanie iloczynu początkowego odcinka liczb pierwszych
 

Ale przynajmniej możemy powyższą nierówność przepisać w postaci:
 

dla każdego 
 

dla każdego naturalnego 

 Twierdzenie
 
 dla każdej liczby całkowitej 
 Dowód Można sprawdzić bezpośrednio, że twierdzenie zachodzi dla 
Rozpatrzmy parzyste  Wtedy  Możemy więc indukcyjnie założyć, że twierdzenie zachodzi dla  Zatem korzystając ze wcześniejszego oszacowania iloczynu odcinka (niepoczątkowego), które zachodziło dla każdego  otrzymujemy:
 

Więc indukcja zachodzi dla parzystego przypadku. Dla nieparzystego  mamy  co pozwala nam stosować założenie indukcyjne dla  (oraz znowu wcześniejsze oszacowanie):
 

Koniec dowodu

Uwaga. Twierdzenie zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej  a nie tylko dla całkowitych.

Postulat Bertranda – twierdzenie Czebyszewa 

Czebyszew udowodnił następujące twierdzenie (patrz – rozdział 9, – rozdział 6.9):
 Twierdzenie
Dla dowolnej liczby naturalnej  większej od 1, między liczbami  a  istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza.

 Dowód
Wyżej zdefiniowaliśmy  i odnotowaliśmy następujące trzy twierdzenia:
 Jeżeli  to  albo krótko: 
 Jeżeli  jest liczbą naturalną, oraz  – liczbą pierwszą z przedziału  to  nie jest dzielnikiem współczynnika 
  dla każdego rzeczywistego 

Zdefiniujmy:
 

Twierdzenia dowiedziemy, pokazując, że 

Otóż  gdzie:
 
 

Dla  liczba liczb pierwszych nie większych od  jest mniejsza od  Zatem gdy   ma nie więcej, niż  czynników, z których każdy jest ograniczony od góry przez  Zatem:
 

oraz
 

Z drugiej strony  jest największym z  składników sumy Newtona przedstawiającej  przy czym dwa składniki równe są 1, więc:
 

Przy tym nierówność jest ostra dla  a co dopiero dla  Dla takich  nierówność  po obustronnym pomnożeniu przez  wyniknie z
 

czyli
 

czyli, po zlogarytmowaniu:
 

Z tego, że dla  zachodzi  otrzymujemy dla  że:
 

Wystarczy zatem dowieść
 

czyli
 

Ponieważ  to wystarczy dowieść, że:
 

co dla  jest równoważne z:
 

Nierówność ta zachodzi dla każdego  Więc twierdzenie zachodzi dla każdego  Dla  twierdzenie zachodzi, gdyż kolejne liczby pierwsze w następującym ciągu są mniejsze od podwojonego poprzednika:
 

Koniec dowodu.

Dla dowolnej, nieujemnej liczby całkowitej  bez większego trudu można by dowieść nierówności:
 

lub słabszej
 

dla wszystkich  gdzie stała C zależałaby od  Nierówność ta zapewniłaby  liczb pierwszych pomiędzy  i  dla wszystkich, dostatecznie dużych  (dla ).

Metoda Czebyszewa 
Czebyszew wprowadził iloczyny odcinków kolejnych liczb naturalnych, i ich kombinacje iloczynowo-ilorazowe. Z jednej strony takie iloczyny dają się dokładnie szacować, a z drugiej, dobierając starannie ich kombinacje, uzyskuje się iloczyny w których gęsto jest od kolejnych liczb pierwszych w potędze 1.

Metodę Czebyszewa uprościł Srinivasa Ramanujan (patrz: Lew Sznirelman), który skupił się na środkowym współczynniku dwumianowym, czyli na  podzielonym dwukrotnie przez  Działa to dobrze w przypadku postulatu Bertranda, ze względu na odcinek pomiędzy daną liczbą naturalną i dwukrotnie większą. Jednak Czebyszew uzyskał mocniejszy wynik, gdyż zamiast proporcji 2 wystarczyła mu dowolnie ustalona powyżej 6/5 (patrz). Udowodnione po Czebyszewie twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych natychmiast daje podobny wynik dla wszelkich proporcji ustalonych powyżej 1.

Wariacja Erdősa 
Paul Erdős wzmocnił twierdzenie Czebyszewa dowodząc
 Twierdzenie
Dla dowolnej liczby naturalnej  między liczbami  a  znajdują się co najmniej dwie liczby pierwsze – co najmniej jedna postaci  oraz co najmniej jedna postaci

Twierdzenie Dirichleta 
Poniższe twierdzenie zostało udowodnione przez Dirichleta
 Twierdzenie
W dowolnym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych:     takim, że  i  są względnie pierwsze, występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. (Przy ustalonym  ilość liczb pierwszych dla różnych a, względnie pierwszych z liczbą  jest w pewnym asymptotycznym sensie taka sama).

Przypadki szczególne 
 Ciąg arytmetyczny  liczb naturalnych 
 Niech  będzie niepustym zbiorem skończonym liczb naszego ciągu. Niech  będzie ich iloczynem. Wtedy  nie może mieć wyłącznie dzielników pierwszych dających resztę  z dzielenia przez  (ich iloczyn dałby resztę ). Zatem istnieje taki dzielnik pierwszy  że  Dzielnik ten nie należy do  czyli żaden taki zbiór skończony nie zawiera wszystkich liczb pierwszych z naszego ciągu arytmetycznego, a więc takich liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

Uwaga. Ciąg arytmetyczny  liczb naturalnych  zawiera powyższy, ale ma tylko jedną więcej liczbę pierwszą, mianowicie 

 Ciąg arytmetyczny  liczb naturalnych 
 Dowód, że ten ciąg zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych podobny jest do wcześniejszego, powyżej, dla przypadku mod 6. Taki prosty dowód działa tylko dla reszty -1, i tylko mod n: =3 lub 4 lub 6, kiedy to jedynymi resztami mod n, względnie pierwszymi z n, są liczby -1 oraz 1 (mod n).

 Ciąg arytmetyczny  liczb naturalnych 
 Euler pokazał, że nieparzysty dzielnik pierwszy liczby naturalnej postaci  musi dać resztę 1 z dzielenia przez 4. Niech więc  będzie niepustym zbiorem skończonym liczb naszego ciągu. Niech  będzie ich iloczynem. Wtedy  musi mieć dzielnik pierwszy z naszego ciągu. Ale dzielnik taki nie może należeć do  co oznacza, że zbiór wszystkich liczb pierwszych w naszym ciągu jest nieskończony.

Twierdzenie o liczbach pierwszych 
Podstawowe twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych wśród liczb naturalnych sformułował Gauss, który na podstawie badań empirycznych zasugerował, że liczba π(n) liczb pierwszych w przedziale  opisana jest zależnością:
 

gdzie symbol  oznacza resztę logarytmu całkowego, a „~” oznacza równość asymptotyczną rozumianą jako
 

Rozwinięcie logarytmu całkowego w szereg daje oszacowanie:
 

Gauss nie udowodnił tego twierdzenia – dopiero pod koniec XIX wieku zostało ono udowodnione przez Hadamarda i de la Vallee Poussina.

Najprostszą postacią przybliżenia funkcji π jest pierwszy element tego szeregu:
 

W tym wypadku także zachodzi asymptotyczna równość:

Hipoteza Riemanna 

Rozmieszczenie liczb pierwszych na osi jest też związane bezpośrednio z hipotezą Riemanna. Mianowicie, jest ona równoważna stwierdzeniu, że liczba π(n) liczb pierwszych w przedziale  wyraża się wzorem:
 

gdzie użyto notacji dużego O.

Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych 

Według tej teorii liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele.

Szczególne rodzaje liczb pierwszych

Liczby pierwsze bliźniacze 
Dwie liczby pierwsze są bliźniacze, jeśli ich różnica jest równa  Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73...

5 jest bliźniacza zarówno z 3, jak i z 7.

Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych liczb pierwszych.

Największa znana para liczb pierwszych bliźniaczych (stan na luty 2019) to  Liczby te, znalezione w 2016 roku, mają 388342 cyfry w zapisie dziesiętnym.

Liczby pierwsze czworacze 
Cztery liczby pierwsze są czworacze, jeśli są postaci  np. 5, 7, 11 i 13 lub 101, 103, 107 i 109. Są to dwie pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie. Największe znane liczby czworacze to:
    oraz 
 Liczby te, znalezione w 2019 roku, mają po 10132 cyfry w zapisie dziesiętnym.

Liczby pierwsze izolowane 
Liczba pierwsza  jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od  co najmniej o 4. Przykłady: 23, 89, 157, 173.

Liczby pierwsze Mersenne’a 
Liczbę
 

nazywamy -tą liczbą Mersenne’a (dla ). Tak otrzymana funkcja  jest homomorfizmem ze względu na największy wspólny dzielnik NWD:
 

Liczby pierwsze Mersenna są to liczby pierwsze, będące jednocześnie liczbami Mersenne’a. Przykłady: 3, 7, 31, 127, 8191...

Warunkiem koniecznym, żeby liczba Mersenne’a  była pierwsza jest pierwszość liczby  Jednak nie dla każdej liczby pierwszej  liczba  jest pierwsza; na przykład:
 

Dlatego bada się także dzielniki Mersenne’a, a mianowicie dzielniki liczb Mersenne’a  dla  pierwszego, zwłaszcza dzielniki pierwsze.

W sierpniu 2008 roku największą znaną liczbą pierwszą była liczba Mersenne’a  – do jej zapisania w układzie dziesiętnym trzeba użyć 12978189 cyfr. Wygrano w ten sposób 100 tysięcy dolarów ufundowane przez Electronic Frontier Foundation dla odkrywcy liczby pierwszej o co najmniej 10 milionach cyfr. Obecnie największą znaną, 51. liczbą pierwszą Mersenne’a jest  która w zapisie dziesiętnym ma 24 862 048 cyfr. Została ona odkryta 7 grudnia 2018 roku przez Patricka Laroche’a w ramach projektu GIMPS.

Największymi znanymi liczbami pierwszymi są na ogół liczby Mersenne’a, gdyż istnieje dla nich efektywna metoda sprawdzenia, czy są pierwszymi, tak zwany test Lucasa-Lehmera.

Liczby złożone Mersenne’a 
Liczby złożone Mersenne’a to liczby Mersenne’a  które są złożone, gdy liczba  jest pierwsza (gdy  jest złożone, to  jest zawsze złożone).

 Stwierdzenie
Niech  oraz  będą liczbami pierwszymi, przy czym 2 jest resztą kwadratową  (tzn.  dla pewnej liczby całkowitej ). Wtedy  więc liczba Mersenne’a  jest wtedy złożona dla 
 Dowód
Przy założeniach twierdzenia, niech  dla pewnej liczby całkowitej  Wtedy na mocy małego twierdzenia Fermata:
 

czyli  Ponieważ dla  zachodzi  to  jest dzielnikiem właściwym, więc  jest złożone dla  (przy pozostałych założeniach).
 Koniec dowodu.

Przykłady: 2 jest resztą kwadratową nieparzystej liczby pierwszej  wtedy i tylko wtedy, gdy  daje resztę -1 lub 1 z dzielenia przez 8. Ponadto chcemy, żeby  było liczbą pierwszą. Zatem przykładów  ilustrujących powyższe twierdzenie, należy szukać wyłącznie wśród  dających resztę -1 z dzielenia przez 8, czyli wśród liczb postaci:  Wtedy  Więc  nie powinno dawać reszty 1 z dzielenia przez 3, by uniknąć podzielności  oraz nie powinno dawać reszty -1, by uniknąć  Zatem należy ograniczyć się do  podzielnych przez 3, czyli do
 

Stąd najmniejszym przykładem, ilustrującym powyższe twierdzenie jest  Otrzymujemy podzielność  Następnym jest  czyli podzielność

Liczby pierwsze Fermata 
Są to liczby pierwsze postaci  Jak dotąd znanych jest pięć liczb Fermata, które są pierwsze: 3, 5, 17, 257 i 65537.

A oto przykładowe faktoryzacje liczb Fermata
 
 

Skoro liczby Fermata nie muszą być pierwsze, to bada się dzielniki Fermata, czyli dzielniki liczb Fermata, zwłaszcza dzielniki pierwsze.

Liczby pierwsze Germain 

Liczbę pierwszą  nazywamy liczbą pierwszą Sophie Germain jeżeli liczba  również jest pierwsza. Oto kilka liczb tego rodzaju: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83... Liczby pierwsze Germain związane są ze szczególnymi przypadkami wielkiego twierdzenia Fermata. Liczby pierwsze Germain są związane z liczbami złożonymi Mersenne’a.

Liczby pomiędzy pierwsze 
Liczby będące średnią kolejnych dwóch liczb pierwszych większych od 2 (ang. interprime numbers). Początkowe liczby pomiędzy pierwsze to: 4, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 26, 30, 34,…

Liczby te są liczbami złożonymi, ponieważ analizie poddajemy kolejne liczby pierwsze.

Liczby pseudopierwsze 
Liczby złożone  które spełniają warunek:
 

Istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych parzystych, jak i nieparzystych. Co więcej, dla każdej liczby pierwszej  istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych podzielnych przez  Liczbami pseudopierwszymi dla danego testu pierwszości nazywamy liczby złożone, których ten test nie rozpoznaje (powyższy przykład to liczby pseudopierwsze dla testu Fermata przy  równym 2).

Liczby lustrzane pierwsze 
To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności.
Przykłady: 13 i 31, 17 i 71, 37 i 73, 79 i 97, 107 i 701,...

Liczby palindromiczne pierwsze 
To liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry dziesiętne zapiszemy w odwrotnej kolejności.
Przykłady: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 929.

Problemy 
Zagadnienia dotyczące liczb pierwszych należą do teorii liczb. Istnieją w niej dotąd nierozstrzygnięte problemy:
 hipoteza Goldbacha: czy każda liczba parzysta większa od 2 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych?
 czy ciąg Fibonacciego zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych?
 czy liczb pierwszych Fermata jest nieskończenie wiele?
 czy liczb pierwszych bliźniaczych jest nieskończenie wiele?
 czy liczb pierwszych Mersenne’a jest nieskończenie wiele?
 czy liczb pierwszych Germain jest nieskończenie wiele?
 czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci ?
 czy dla dowolnego  pomiędzy liczbami  i  istnieje liczba pierwsza?

Największe znane liczby pierwsze 
Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 51. (znana) liczba pierwsza Mersenne’a:  i liczy sobie 24 862 048 cyfr w zapisie dziesiętnym.

W grudniu 2018 roku osiem największych znanych liczb pierwszych to liczby pierwsze Mersenne’a. Największą znaną liczbą pierwszą, która nie jest liczbą Mersenne’a, jest:
 

która w zapisie dziesiętnym liczy 9 383 761 cyfr. Liczba ta jest dziewiątą co do wielkości znaną liczbą pierwszą i została odkryta 31 października 2016 roku w ramach projektu PrimeGrid.

Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera:
 

znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora.

Odpowiedniki w innych strukturach algebraicznych 
Najbliższym odpowiednikiem liczb pierwszych w pierścieniach są elementy pierwsze. Liczby pierwsze nie są jednak tym samym, co elementy pierwsze pierścienia liczb całkowitych – elementami pierwszymi są także liczby ujemne  a według niektórych źródeł także zero, które zostały z definicji wykluczone ze zbioru liczb pierwszych.

W pierścieniach bez jednoznaczności rozkładu pierwszość elementu nie jest równoważna jego nierozkładalności na czynniki (istnieją elementy nierozkładalne, które nie są pierwsze). Również pojęcie ideału pierwszego nawiązuje do tych intuicji.

Zastosowanie 
Liczby pierwsze są stosowane w niektórych znanych algorytmach kryptograficznych; jednym z nich jest RSA. Rozwój tych algorytmów zapewnia ewolucję projektów wyszukiwania ogromnych liczb pierwszych, takich jak GIMPS.

Zobacz też 

 czynnik pierwszy
 element pierwszy
 faktoryzacja
 liczba pierwsza Ferriera
 liczby półpierwsze
 liczby Sierpińskiego
 liczby względnie pierwsze
 liczby zaprzyjaźnione
 liczby złożone
 sito Eratostenesa

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
Istnieje bardzo wiele książek o teorii liczb i liczbach pierwszych; między innymi:
 Lew G. Sznirelman, Liczby pierwsze, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1954.
 William J. LeVeque © 1977, Fundamentals of Number Theory, Dover Publications 1996, .
 Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag © 1973, , .

Linki zewnętrzne 
Polskojęzyczne
 Dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą w FAQ grupy pl.sci.matematyka
 Liczby pierwsze z dowolnego zakresu

Anglojęzyczne
 
 Sprawdzanie czy dana liczba jest liczbą pierwszą 
 Projekt GIMPS poszukiwania największych liczb pierwszych 
 Największe znane liczby pierwsze 
 PrimeGrid – projekt tworzący publicznie dostępne listy liczb pierwszych  (bazuje na platformie BOINC)
 Kalkulator sprawdzający czy dana liczba jest pierwsza