Przestrzeń topologiczna

Przestrzeń topologiczna – zbiór  wraz z wyróżnioną rodziną  podzbiorów tego zbioru spełniających odpowiednie własności zwane aksjomatami topologii. Rodzina  nazywana jest topologią na zbiorze  a jej elementy nazywane są zbiorami otwartymi w . Dopełnienia zbiorów otwartych nazywane są zbiorami domkniętymi. W niepustym zbiorze można wyróżnić wiele różnych topologii.

Przestrzeń topologiczna jest metryzowalna, gdy istnieje taka metryka  na  że każdy niepusty zbiór otwarty w  można przedstawić jako sumę pewnej rodziny kul otwartych względem metryki  Nie wszystkie przestrzenie topologiczne są jednak metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie pojęcie topologii umożliwia określenie, czy dany punkt przestrzeni  „styka się” z danym podzbiorem lub jest od niego „odizolowany”, czy leży w jego „wnętrzu” lub na „obrzeżach”.

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego). Pojęcie topologii jest podstawowym pojęciem topologii ogólnej.

Motywacja 

Wiele własności obiektów rozważanych w analizie matematycznej można scharakteryzować za pomocą zbiorów otwartych. Na przykład:

1) Ogólna definicja ciągłości funkcji wymaga odwołania się do zbiorów otwartych, np. funkcja  jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz  dowolnego otwartego zbioru  jest otwarty.

2) W przestrzeni metrycznej X kulę otwartą o środku w punkcie x i promieniu r definiuje się jako zbiór punktów odległych od punktu x o mniej niż zadana odległość r. Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy mnogościowe (możliwie nieprzeliczalne wielu) takich kul. Np. kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, np. (2, 7), zaś zbiorami otwartymi – ich sumy. Podzbiory otwarte prostej rzeczywistej mają szereg ważnych własności, m.in.
 cała prosta jest zbiorem otwartym,
 część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
 suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
 w szczególności otwarty jest też zbiór pusty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe własności zbiorów otwartych prostej  uogólniają się na dowolne przestrzenie metryczne.

Okazało się, że niekiedy użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, którą zakładano w definicji zbiorów otwartych. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu.

Niezmienniki topologiczne to własności przestrzeni topologicznych zachowywane przy przekształceniach zwanych homeomorfizmami; mówiąc nieformalnie, dwzorowania takie rozciągają, skręcają, ale nie rozrywają ani nie sklejają podzbiorów przestrzeni. Przestrzenie między którymi istnieje homeomorfizm nazywane są topologicznie równoważne lub homeomorficzne. Aby wykazać, że dwie przestrzenie są różne z punktu widzenia topologii wystarczy wskazać niezmiennik jednej z nich, którego druga nie ma. Do niezmienników topologicznych należą m.in. zwartość, ośrodkowość i spójność (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym), czy różne aksjomaty oddzielania. Są one obiektem badań topologii ogólnej.

Innym ważnym przekształceniem przestrzeni topologicznych jest słabsza od homeomorfizmu homotopia wskazująca homotopijną równoważność dwóch przestrzeni, przykładami niezmienników jest np. drogowa spójność, jednospójność, izomorficzność (singularnych) grup homologii i grup kohomologii, czy izomorficzność grup podstawowych i wyższych grup homotopii jednospójnych przestrzeni topologicznych. Ich badaniem zajmuje się przede wszystkim topologia algebraiczna.

Aksjomaty topologii 

Niech dany będzie zbiór  i niech  będzie rodziną podzbiorów zawartych w  spełniającą następujące warunki:

 (1) zbiór  oraz zbiór pusty należą do 

 
 (2) część wspólna dowolnych dwóch zbiorów należących do  także należy do 
 
 (3) suma dowolnej, nawet nieprzeliczalnej liczby zbiorów należących do  także należy do 
 

Rodzinę  nazywa się topologią na zbiorze X lub rodziną zbiorów otwartych.

Elementy rodziny  nazywa się zbiorami otwartymi, ich dopełnienia do zbioru  – zbiorami domkniętymi.

Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte, nazywa się zbiorami otwarto-domkniętymi. Takimi zbiorami są zbiór  oraz zbiór pusty.

Parę uporządkowaną ( ) składającą się ze zbioru  oraz topologii  na nim określonej nazywa się przestrzenią topologiczną.

Uwagi:

A) Warunek (2) definiujący rodzinę  implikuje, że do  należą dowolne skończone iloczyny zbiorów należących do topologii. Nie można rozszerzyć tego warunku na nieskończone iloczyny, gdyż iloczyny takie mogą dać zbiory np. jednostronnie lub dwustronnie domknięte:

B) Z drugiej strony ograniczenie warunku (3) na skończone operacje uniemożliwiłoby np. poprawne zdefiniowanie wnętrza zbioru.

C) To razem pokazuje, że skuteczność aksjomatyki rodziny zbiorów otwartych wynika z pewnej „asymetrii” aksjomatów.

Pojęcia 

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna 
Wnętrzem  zbioru  nazywa się największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w  z kolei domknięcie  zbioru  to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór  tzn.
 

oraz
 

Brzegiem  (oznaczanym też ) zbioru  nazywa się różnicę domknięcia i wnętrza tego zbioru (dopełnienie wnętrza względem domknięcia zbioru), tj.
 

Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu są idempotentne. Ponadto operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w następującym sensie:
 dopełnienie domknięcia jest wnętrzem dopełnienia,
 
 dopełnienie wnętrza jest domknięciem dopełnienia,
 
 zbiór  jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy 
 zbiór  jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy 

gdzie  oznacza dopełnienie zbioru  (względem ).

Przykłady 
W dowolnym zbiorze  można wprowadzić wiele różnych topologii, np.:
 topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń 
 topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru  są otwarte, czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru 
 niech  jest zbiorem nieskończonym, niech  oznacza moc zbioru  niech  (czyt. alef zero) oznacza najmniejszą z mocy zbiorów nieskończonych (równą mocy zbioru liczb naturalnych); podane niżej rodziny podzbiorów zbioru  są topologiami:
 topologia dopełnień skończonych, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest skończone,
 
 topologia dopełnień przeliczalnych, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne,
 
 topologia zbiorów skończonych, do których nie należy wyróżniony punkt 
 

Topologie często używane jako kontrprzykłady na stawiane przez matematyków hipotezy, np. miotełka Knastera-Kuratowskiego, płaszczyzna Niemyckiego, prosta Sorgenfreya, przestrzeń Apperta, rogata sfera Alexandera. Opis nietypowych topologii można znaleźć w monografii Steena i Seebacha.

Sposoby wprowadzania topologii 
Oprócz podanej w sekcji Aksjomaty przestrzeni topologicznej metody definiowania topologii istnieją inne, równoważne metody jej wprowadzania. Oto kilka z nich.

Rodzina zbiorów domkniętych 
Niech rodzina  podzbiorów  spełnia warunki:
 
 suma skończenie wielu zbiorów z  należy do 
 część wspólna dowolnej mnogości zbiorów z  należy do 

Istnieje wówczas jedyna topologia  zbiorów otwartych na  taka, że jej zbiory są dopełnieniami zbiorów rodziny  W związku z tym  nazywana jest rodziną zbiorów domkniętych.

 Uwaga
Elementy należące do  nazwane są tutaj zbiorami domkniętymi i są one dopełnieniami zbiorów zdefiniowanych aksjomatyką zbiorów otwartych. Aksjomatyka zbiorów domkniętych jest w gruncie rzeczy zastosowaniem praw De Morgana do aksjomatyki zbiorów otwartych, dlatego dopełnienie nieskończonej sumy zbiorów otwartych „zamienia się” w nieskończony iloczyn ich dopełnień, a dopełnienie skończonego iloczynu zbiorów otwartych „zamienia się” w skończone dodawanie ich dopełnień.

Operacja wnętrza 
Niech będzie ustalona funkcja  spełniająca dla dowolnych 
następujące warunki:
 
 
 
 

 Twierdzenie Kuratowskiego
 rodzina  jest topologią na 
  dla dowolnego 
Funkcję  nazywa się operacją wnętrza dla topologii  (lub operacją Kuratowskiego).

Operacja domknięcia 
Niech będzie ustalona funkcja  spełniająca dla dowolnych  następujące warunki:
 
 
 
 

 Twierdzenie Kuratowskiego
 rodzina  jest topologią na 
  dla dowolnego 

Funkcję  nazywa się operacją domknięcia dla topologii

Bazy topologii 
Niech rodzina  podzbiorów zbioru  spełnia warunki:
 jeśli  oraz  to można znaleźć  taki że 
 dla każdego  można znaleźć  takie że 

Istnieje wówczas (jedyna) topologia  na  taka, że rodzina  jest bazą tej topologii.

Przykładowo, jeśli  jest zbiorem wszystkich ideałów pierwszych  pierścienia  to w  można określić topologię, której bazą jest zbiór
  gdzie 

Innym przykładem może być przestrzeń topologiczna  z bazą
  gdzie

Baza otoczeń 
Niech  jest rodziną podzbiorów zbioru  taką, że:
 dla każdego   i dla każdego  mamy 
 jeśli   to istnieje  takie, że 
 dla każdych   można znaleźć  takie, że 

Niech  będzie rodziną wszystkich podzbiorów  które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny  Wówczas  jest topologią na  i  jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

Porównywanie topologii 

W danym zbiorze można określić wiele topologii; jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny)  należy również do  to mówi się, że  jest mocniejsza od  a topologia  jest słabsza od 

Rodzina  wszystkich topologii na danym zbiorze  tworzy kratę zupełną z działaniami
 
 

dla 

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Konstrukcje topologiczne 
Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej można wyposażyć w topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem.
Dla dowolnej rodziny indeksowanej przestrzeni topologicznych ich produkt może być wyposażony w topologię produktową, która jest generowana przez przeciwobrazy zbiorów otwartych czynników w przekształceniach rzutów. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest następująco: jeśli  jest przestrzenią topologiczną, zaś  jest dowolnym zbiorem, a  jest funkcją suriektywną, to topologią ilorazową na  jest rodzina podzbiorów  które mają otwarte przeciwobrazy w  Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na  w której  jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności na przestrzeni topologicznej  Wówczas przekształcenie  jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

Topologia Vietorisa na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej  nosząca nazwisko Leopolda Vietorisa, jest generowana przez następującą bazę: dla każdej -tki  zbiorów otwartych w  konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy  które mają niepuste przecięcie z każdym

Struktury algebraiczne 
Dla dowolnego obiektu algebraicznego można wprowadzić topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje często topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowo-topologiczne, pierścienie topologiczne, czy ciała lokalne.

Podobne struktury 
Następujące przestrzenie i algebry są przypadkami szczególnymi lub ogólnymi przedstawionych wyżej przestrzeni topologicznych:
 przestrzeń z bliskością dostarcza pojęcia bliskości dwóch zbiorów,
 przestrzeń metryczna daje precyzyjne pojęcie odległości między dwoma punktami,
 przestrzeń jednostajna aksjomatyzuje porządek odległości między różnymi punktami,
 przestrzeń Cauchy’ego jest aksjomatyzacją możliwości sprawdzenia, czy dany ciąg uogólniony jest Cauchy’ego; dają one możliwość badania uzupełnień,
 przestrzenie ze zbieżnością ujmują pewne cechy zbieżności filtrów,
 σ-algebra oparta na pojęciu zbioru mierzalnego.

Zobacz też 
 aksjomaty oddzielania

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.

Literatura dodatkowa 
 Ryszard Engelking: Topologia ogólna, Warszawa: PWN, 1976.
 Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.
 Handbook of set-theoretic topology. Red. Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
 Jun-iti Nagata: Modern General Topology. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985.

Linki zewnętrzne 
 F.P. Schuller, Topologia (International Winter School on Gravity and Light 2015) (Youtube, ang.)
 N.J. Wildberger, Przestrzenie topologiczne i rozmaitości (Youtube, ang.)
 B. Franzosa, Wstęp do topologii (Youtube, ang.)
  Topological space , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].