Spazio proiettivo

In geometria, lo spazio proiettivo è lo spazio ottenuto da uno spazio euclideo (ad esempio, la retta o il piano) aggiungendo i "punti all'infinito". A seconda della dimensione, si parla quindi di retta proiettiva, piano proiettivo, ecc.

Lo spazio proiettivo è stato introdotto nel XVI secolo per modellizzare lo spazio visto dall'occhio umano, negli studi sulla prospettiva. Dal punto di vista geometrico, è uno spazio che presenta numerosi vantaggi rispetto a quello euclideo o affine: nello spazio proiettivo ci sono meno "casi particolari" da considerare (ad esempio, nel piano due rette si intersecano sempre), e molti concetti profondi vengono espressi in modo più sintetico ed elegante.

Definizioni

Punti all'infinito 
Sia  lo spazio euclideo -dimensionale. Ad esempio, per  questo è semplicemente il piano cartesiano. Un "punto all'infinito" è la direzione indicata da una retta nello spazio, e da tutte le rette parallele ad essa. Quindi due rette definiscono lo stesso punto all'infinito se e solo se sono parallele.

Lo spazio proiettivo -dimensionale è l'unione di  e di tutti i suoi "punti all'infinito".

A questo punto si possono estendere allo spazio proiettivo molti concetti geometrici usuali. Ne risulterà, ad esempio, che due rette di uno stesso piano si intersecano sempre: se hanno la stessa direzione (cioè erano parallele prima dell'ampliamento), il loro punto di intersezione è quello all'infinito.

Rette passanti per l'origine 

Una definizione come quella appena data ha però il difetto di trattare i punti all'infinito come "punti speciali", mentre la filosofia della geometria proiettiva è quella di non distinguere questi punti dagli altri in nessun modo. In effetti si può parlare sia di ampliamento proiettivo di uno spazio affine (si ottiene lo spazio proiettivo aggiungendo i punti all'infinito), oppure più facilmente si usa la seguente definizione.

Lo spazio proiettivo -dimensionale è definito come l'insieme delle rette in  passanti per l'origine.

Intuitivamente, è lo spazio che vede un occhio posizionato nell'origine. Questa definizione descrive chiaramente le relazioni con la prospettiva.

Campo arbitrario 
Le definizioni appena date possono essere estese al caso in cui lo spazio di partenza sia uno spazio vettoriale su un campo  arbitrario, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi. Questa estensione è utile, perché molti teoremi di geometria proiettiva sono più potenti ed eleganti se il campo base è algebricamente chiuso come i complessi.

Lo spazio proiettivo -dimensionale su  è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in . Cioè,

dove  è la relazione d'equivalenza che identifica due punti se e solo se stanno sulla stessa retta passante per l'origine, cioè se e solo se sono multipli:
 per qualche .

Ad esempio,  e  sono multipli e danno quindi luogo allo stesso punto.

Nel resto di questa voce lo spazio proiettivo è supposto definito in questo modo, dipendente da un campo .

Invarianti 

Le omografie sono il gruppo fondamentale della geometria proiettiva.

Sono proprietà proiettive:
 essere sottospazi lineari aventi una certa dimensione,
 le proprietà di incidenza,
 il birapporto di quattro punti.

L'assoluto è il cerchio immaginario all'infinito, in coordinate omogenee , cioè il luogo dei punti ciclici per cui passano tutte e sole le sfere (superfici quadriche sferiche) dello spazio proiettivo.

Sottospazi

Definizione 
Poiché uno spazio proiettivo è l'immagine di uno spazio vettoriale tramite la proiezione

indotta dalla relazione di equivalenza, molte nozioni degli spazi vettoriali si trasferiscono senza problemi sullo spazio proiettivo.

Un sottospazio proiettivo di  è definito come l'immagine  di un sottospazio vettoriale  di  tramite .

La dimensione del sottospazio proiettivo  è definita come 

In geometria, la codimensione di un sottospazio è generalmente definita come la dimensione dello spazio che lo contiene meno quella del sottospazio: ne segue che  e  hanno la stessa codimensione

Un iperpiano proiettivo è un sottospazio di codimensione uno.

Dati due sottospazi  e , è possibile definire i sottospazi intersezione e somma in modo analogo, come immagini tramite  dei sottospazi intersezione e somma in .

Formula di Grassmann 
Una delle proprietà basilari valide in uno spazio proiettivo, ereditata dagli spazi vettoriali, ma che non è valida in uno spazio affine, è la formula di Grassmann per i sottospazi. Dati due sottospazi  e , vale cioè l'uguaglianza

dove si intende che il punto ha dimensione 0 (come sempre) e l'insieme vuoto ha dimensione .

Rette parallele 
Come conseguenza della formula di Grassmann, due rette nel piano si intersecano sempre. Infatti

poiché  ha dimensione al più 2 (ogni sottospazio del piano ha dimensione al massimo 2, e 2 solo se è tutto il piano).

Coordinate omogenee e carte affini

Coordinate omogenee 

Ogni punto dello spazio proiettivo è una classe di equivalenza di punti in . Come è usuale in matematica, una classe di equivalenza viene descritta tra parentesi quadre: in questo modo,

definisce la classe a cui appartiene il vettore . Per brevità, tale classe si indica con
 
Questa espressione fra parentesi quadre definisce le coordinate omogenee del punto. Due vettori di coordinate determinano la stessa classe (cioè lo stesso punto)

se e solo se sono uno multipli dell'altro, cioè se esiste un  in  tale che  per ogni .

Punti impropri 
Con le coordinate omogenee è possibile recuperare la definizione originaria di spazio proiettivo come spazio affine a cui si aggiungono dei punti. Basta definire  come il sottoinsieme formato dai punti   tali che . Ogni punto in  si scrive come

in modo univoco, e quindi tramite la funzione

definiamo una corrispondenza biunivoca tra  e lo spazio affine . I punti dello spazio proiettivo che non sono in  hanno in questo contesto il ruolo dei "punti all'infinito". Ciascuno di questi punti è del tipo

e la funzione

definisce una corrispondenza biunivoca tra i punti all'infinito e lo spazio proiettivo  di dimensione più piccola di uno. Quindi i "punti all'infinito" ad esempio del piano proiettivo formano una retta proiettiva, detta retta all'infinito o retta impropria. In dimensione arbitraria, si parla di iperpiano improprio.

Carte e atlante 
La stessa descrizione è fattibile per ogni  definendo  come l'insieme dei punti la cui -esima coordinata è non nulla. Per ogni  si ottiene quindi un differente iperpiano improprio, e una differente carta affine .

Il nome "carta" deriva dalla proprietà seguente: l'unione degli  è tutto lo spazio, quindi le carte "ricoprono" tutto lo spazio proiettivo, mentre ciascuna di esse ne descrive solo una parte, proprio come le carte geografiche.

Agli  possono essere associate le mappe , che rendono  una varietà differenziabile. L'insieme delle coppie

è detto atlante affine.

Le mappe  sono, banalmente, le affinizzazioni degli : ad esempio, il punto , viene mandato tramite   in

Definizione più astratta 
Lo spazio proiettivo può essere definito in modo analogo a partire da un qualsiasi spazio vettoriale  su un campo :

Lo spazio proiettivo associato a  è definito come l'insieme delle rette passanti per l'origine in . Cioè,

dove 
 per qualche .

In questo contesto, la definizione data precedentemente corrisponde al caso in cui . In generale, lo spazio  può avere anche dimensione infinita.

Esiste uno strumento simile alle basi che permette di assegnare ad ogni punto di  delle coordinate omogenee, nel caso in cui  abbia dimensione finita . Come per gli spazi vettoriali, non esiste un modo univoco di assegnare tali coordinate: queste dipendono dalla scelta di un riferimento proiettivo, l'analogo proiettivo delle basi.

Note

Voci correlate 
 Geometria proiettiva
 Coordinate omogenee
 Retta proiettiva
 Piano proiettivo
 Prospettiva
 Sfera di Riemann
 Grassmanniana

Collegamenti esterni
 

Geometria proiettiva