Struktura matematyczna

Struktura matematyczna – pojęcie fundamentalne dla matematyki, definiowane jednak w rozmaity sposób, zależnie od teorii i kontekstu. Najczęściej mówi się o strukturze na danym zbiorze X, który zwany jest nośnikiem lub podkładem tej struktury. Rozpatruje się też struktury matematyczne w ramach teorii modeli.

Wyróżnić można następujące typy struktur matematycznych:
 Struktury algebraiczne, zawierające tylko symbole funkcji i stałych (bez relacji innych niż funkcje), rozpatrywane też w ramach algebry uniwersalnej. Struktury takie zwykle rozumie się jako abstrakcyjne działania na danym zbiorze. Można to objaśnić na przykładzie struktury grupy na zbiorze G. Tutaj strukturą jest działanie grupowe  interpretowane jako podzbiór zbioru  spełniające aksjomaty grupy. Zbiór G jest nośnikiem tej struktury, ale sam ten zbiór nie jest grupą; grupą jest ten zbiór wraz z działaniem grupowym. Można też jako strukturę grupy na zbiorze G przyjąć uporządkowaną trójkę: dwuargumentowe działanie grupowe, jednoargumentowe działanie  brania elementu odwrotnego  oraz element neutralny e, traktowany jako działanie zeroargumentowe, czyli jako funkcja stała  ze zbioru jednoelementowego  przyporządkowująca jedynemu elementowi  element e. Ważną klasę struktur algebraicznych stanowią te, które są zdefiniowane równościowo, tzn. za pomocą skończonej lub nieskończonej liczby aksjomatów mających postać równości, bez kwantyfikatora szczegółowego . Strukturami algebraicznymi równościowo definiowalnymi są m.in.: struktura grupy (bierze się wtedy nie jedno działanie, lecz wymienione wyżej trzy, a aksjomaty zapisuje się w postaci równości), struktura grupy abelowej, struktura ciała, struktura pierścienia, struktura kraty.
 Struktury porządkowe, tworzone przez relacje uporządkowania, takie jak częściowy porządek. Jeśli  jest zbiorem częściowo uporządkowanym, to relacja  (jako podzbiór zbioru ) jest strukturą, a X jest nośnikiem tej struktury. Struktura kraty może być również uważana za strukturę porządkową  w której każda para x,y ma kres dolny inf(x,y) i kres górny sup(x,y).
 Struktury topologiczne, których typowym przykładem jest przestrzeń topologiczna, tzn. zbiór X, na których strukturą jest topologia określona jako rodzina zbiorów otwartych w X. Do struktur topologicznych należy też struktura przestrzeni jednostajnej.
 Struktury mieszane. Są one dwojakiego rodzaju. 1) Struktury będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, ciało uporządkowane. Istotne tu jest to, że wszystkie elementy danej struktury na zbiorze X są utworzone z elementów tego zbioru (a także z jego podzbiorów itd.) z użyciem skończonej lub nieskończonej liczby konstrukcji w języku teorii mnogości. 2) Struktury, w których występują elementy nie dające się utworzyć w taki sposób, tzn. elementy spoza uniwersum generowanego przez X. Przykładami są tu: struktura przestrzeni metrycznej na X, w której pojawia się zbiór liczb rzeczywistych  struktura przestrzeni liniowej nad ciałem  struktura przestrzeni liniowo-topologicznej, struktura modułu nad pierścieniem R, struktura algebry nad ciałem K.

Rygorystyczną definicję struktury, rodzaju struktury i izomorfizmu struktur podał Bourbaki. Definicja ta jednak, zawiła i długa (łącznie kilka stron), okazała się nieprzydatna i sam Bourbaki nie korzysta z niej później w dalszej części swego dzieła. Stosując tę definicję, nie można np. w ogólny sposób rozstrzygnąć, czy dwie różne definicje dają tę samą w istocie strukturę, np. czy definicja topologii na zbiorze X jako rodziny zbiorów otwartych spełniających zwykłe aksjomaty daje w istocie tę samą strukturę co operacja domknięcia Kuratowskiego (równoważności tej dowodzi się w kursie topologii, ale nie widać, jak miałaby to wynikać z analizy samego typu definicji tych struktur).

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 Zbigniew Semadeni, Struktury w sensie Bourbakiego i kategorie, „Roczniki Polskiego Towarzystwa Matematycznego, seria I. Prace Matematyczne” 10, s. 37–50, 1966.
 P. van Hiele, Structure and Insight, Orlando et al, Academic Press, 1986. .

Matematyka