Oktaeder

Oktaeder bedeutet Achtflächner und bezeichnet in umfassender Bedeutung jedes Polyeder mit acht Seiten. Dazu zählen neben weitgehend unregelmäßigen Polyedern auch:
 (regelmäßige) Siebeneck-Pyramide
 (regelmäßiger) Sechseck-Pyramidenstumpf
 (regelmäßiges) Sechseckiges Prisma
 (regelmäßiger) Tetraederstumpf
 Viereck-Doppelpyramide

Ist das Viereck der Viereck-Doppelpyramide ein Quadrat und sind die Kanten zu den beiden anderen Ecken   genauso lang wie die Seiten des Vierecks, so ergibt sich ein regelmäßiger Achtflächner aus kongruenten Seiten, gleichlangen Kanten und gleichen Winkeln in allen Ecken.
Im allgemeinen Sprachgebrauch wird mit Oktaeder nur dieser regelmäßige Polyeder bezeichnet.

Dieser Artikel handelt im Folgenden vom Oktaeder als regelmäßiger Achtflächner.

Das (auch, v. a. österr.: der) regelmäßige Oktaeder [] (von ) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit
 8 kongruenten gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen
 12 gleich langen Kanten und
 6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen

Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßige Kreuzpolytop der dritten Dimension – als auch ein gleichseitiges Antiprisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche.

Symmetrie 

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:
 3 vierzählige Drehachsen  (durch gegenüberliegende Ecken)
 4 dreizählige Drehachsen  (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen)
 6 zweizählige Drehachsen  (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
 9 Symmetrieebenen (3 Ebenen durch je vier Ecken (z. B. rot), 6 Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte (z. B. grün))
 14 Drehspiegelungen (6 um 90° mit den Ebenen durch je vier Ecken und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist
 punktsymmetrisch zum Mittelpunkt.
Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders – die Oktaedergruppe oder Würfelgruppe – 48 Elemente.

Konstruktion 

Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes Elemente, unter Proposition 14, die Konstruktion des Oktaeders.

Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende sphärischen Darstellung nur die Schritte, die für das Oktaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS).

Gegeben sei eine Umkugel, z. B mit dem Radius gleich  und deren Mittelpunkt . Beim Bestimmen der  und Achsen eines kartesischen Koordinatensystems ergeben sich die Punkte  und  auf der Oberfläche der Umkugel.

Vorab ist die Kantenlänge  des Oktaeders als Verbindung des Punktes  mit , sprich , festzulegen.

Für die eigentliche Konstruktion reichen vier Hauptschritte aus. Es beginnt mit dem Ziehen des ersten Kreises mit Richtung Achse um Mittelpunkt  und Radius . Anschließend wird der erste Eckpunkt  beliebig auf dem Kreis positioniert. Der darauffolgende zweite (nicht eingezeichnete) Kreis mit Richtung parallel zur Achse und Radius gleich der Kantenlänge  um , erzeugt die Eckpunkte  und . Der dritte und letzte Kreis mit gleichem Radius und gleicher Richtung um   liefert den noch offenen Eckpunkt . Nach dem abschließenden Verbinden der betreffenden Eckpunkte ist das Oktaeder  fertiggestellt.

Beziehungen zu anderen Polyedern 

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (Bild 1) und umgekehrt.

Zwei regelmäßige Tetraeder (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einem Würfel so einbeschrieben werden, dass die Ecken zugleich Würfelecken und die Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind. Die Vereinigungsmenge ist ein Sterntetraeder.

Die dreidimensionale Schnittmenge der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8 Seitenflächen des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.

Wird ein Oktaeder von einem regelmäßigen Tetraeder umschrieben (Bild 4), sind die 6 Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in den Seitenflächen eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Oktaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

 das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
 das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
 den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

 das Rhombendodekaeder mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 Rauten als Flächen

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

Formeln 
Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Oktaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten

Punkte des Oktaeders 

Ein Oktaeder mit der Kantenlänge  kann man sich aus zwei quadratischen Pyramiden mit der Quadratlänge und der Seitenkantenlänge gleich  zusammengesetzt denken. Wendet man den Satz von Pythagoras auf die Höhe , eine halbe Diagonale der Grundfläche und eine Seitenkante an, ergibt sich
.
Damit lassen sich die Punkte eines regulären Oktaeders mit der Kantenlänge  in einem kartesischen Koordinatensystem so beschreiben:

Winkel 
Aus der Zeichnung erkennt man, dass für den Winkel  zwischen einer Seitenfläche und einer Kante  gilt. Also ist der

 Winkel zwischen einer Kante und einer Seitenfläche gleich

und der
 Winkel zwischen zwei Seitenflächen ist

Um-, In- und Kanten-Kugelradien 
Die Kugel, die die Kanten des Oktaeders berührt, berührt das Basisquadrat der Pyramide von innen. Also ist der
 Kantenkugelradius 
Die Umkugel geht durch alle Oktaederpunkte und es ist der
 Umkugelradius 

Der Inkugelradius ist (im Bild) der Abstand des Nullpunktes zur Gerade in der y-z-Ebene durch die Punkte  . Sie hat die Gleichung . Berechnet man den Abstand mit Hilfe der Hessesche Normalform ergibt sich der
 Innenkugelradius

Oberfläche, Volumen 
Die Oberfläche des Oktaeders ist die Summe der 8 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist
. Damit ist die
 Oberfläche des Oktaeders: .

Das Volumen des Oktaeders ist die Summe der Volumina der 2 quadratischen Pyramiden.
Das Volumen einer Pyramide ist  und das
 Volumen des Oktaeders ist .

Raumwinkel in den Ecken 

Der Raumwinkel  ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Vierecks der Einheitskugel in der Oktaederecke. Betrachtet man nur die obere Hälfte (Pyramide) des Oktaeders, so erhält man ein shärisches Dreieck, dessen Winkel in den unteren Punkten jeweils gleich dem halben Winkel  zwischen Seitenflächen des Okteders ist (siehe Bild oben). Der Winkel im oberen Punkt ist gleich dem Winkel . Damit hat das sphärische Dreieck den Flächeninhalt
.
Der Raumwinkel  ist der Flächeninhalt des sphärischen Vierecks:

 .
Der Raumwinkel entspricht der Fläche eines Kugelsegments auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel .

Definition als Menge von Punkten 
Das Oktaeder kann als Menge von Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert werden, wo die Summe der absoluten Beträge der 3 Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem höchstens so groß ist wie der Umkugelradius . Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als

Dabei ist  die Betragssummennorm oder 1-Norm des Vektors . Für das Innere des Oktaeders gilt  und für die Oberfläche gilt . Nach dieser Definition ist der Mittelpunkt des Oktaeders der Koordinatenursprung und seine Ecken , , , , ,  liegen auf den 3 Achsen des kartesischen Koordinatensystems.

Allgemeiner kann ein Oktaeder, das eine beliebige Lage im dreidimensionalen euklidischen Raum hat, mithilfe von Vektoren definiert werden. Ist  der Ortsvektor des Mittelpunkts und sind , ,  orthogonale Richtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Oktaeders mit 3 Ecken verbinden, also ein Orthogonalsystem des dreidimensionalen Vektorraums , dann lässt sich die Menge der Punkte des Oktaeders definieren als die Menge der Vektoren

Verallgemeinerung 
Die Analoga des Oktaeders in beliebiger Dimension  werden als -dimensionale Kreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Das -dimensionale Kreuzpolytop hat  Ecken und wird von  -dimensionalen Simplexen (als Facetten) begrenzt. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten. Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale Kreuzpolytop ist das Quadrat, das dreidimensionale Kreuzpolytop ist das Oktaeder.

Ein Modell für das -dimensionale Kreuzpolytop ist die Einheitskugel bezüglich der Summennorm
  für 
im Vektorraum . Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher
 die Menge
 .
 die konvexe Hülle der  Eckpunkte , wobei  die Einheitsvektoren sind.
 der Durchschnitt der  Halbräume, die durch die Hyperebenen der Form
 
 bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

Das Volumen des -dimensionalen Kreuzpolytops beträgt , wobei  der Radius der Kugel um den Koordinatenursprung bezüglich der Summennorm ist. Die Beziehung lässt sich mittels Rekursion und dem Satz von Fubini beweisen.

Netze des Oktaeders 
Das Oktaeder hat elf Netze. Das heißt, es gibt elf Möglichkeiten, ein hohles Oktaeder durch Aufschneiden von 5 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 7 Kanten verbinden jeweils die 8 gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Um ein Oktaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 2 Farben.

Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen 

Das Oktaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 6 Knoten, 12 Kanten und 8 Gebieten, der 4-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 4 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 4 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Oktaedergraphen entsprechen den Ecken des Würfel.

Die Knoten des Oktaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist. Außerdem können die Kanten mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 3 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 4 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Würfelgraph) mit 8 Knoten, 12 Kanten und 6 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Oktaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des Würfelgraphen können mit 2 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, sodass die chromatische Zahl des Würfelgraphen gleich 2 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 2 ist, sind 2 Farben für eine solche Flächenfärbung des Oktaeders oder eine Färbung der Gebiete des Oktaedergraphen nötig.

Die 5 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Oktaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Oktaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 8 Knoten und 7 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Oktaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Oktaedergraph besitzt 32 Hamiltonkreise und 1488 Eulerkreise.

Raumfüllungen mit Oktaedern 
Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Oktaeder:

Anwendungen 

In der Chemie können sich bei der Vorhersage von Molekülgeometrien nach dem VSEPR-Modell oktaedrische Moleküle ergeben. Auch in Kristallstrukturen, wie der kubisch flächenzentrierten Natriumchlorid-Struktur (Koordinationszahl 6), taucht das Oktaeder in der Elementarzelle auf, genauso in der Komplexchemie, falls sich 6 Liganden um ein Zentralatom lagern.

Einige in der Natur vorkommende Minerale, z. B. das Alaun, kristallisieren in oktaedrischer Form aus.

In Rollenspielen werden oktaedrische Spielewürfel verwendet und dort als „W8“, also als Würfel mit 8 Flächen, bezeichnet.

Siehe auch 

 Oktaederzahlen
 Diederwinkel
 Polyeder
 Platonischer Körper

Weblinks 

 Euklid: Stoicheia. Buch XIII.14. Oktaeder einer Kugel ...
 Oktaeder. – Mathematische Basteleien

Einzelnachweise 

Platonischer Körper