Exponentialfunktion

In der Mathematik bezeichnet man als Exponentialfunktion eine Funktion der Form  mit einer reellen Zahl  als Basis (Grundzahl). In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten  die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe exponentielles Wachstum).

Als natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet man die Exponentialfunktion  mit der eulerschen Zahl  als Basis; gebräuchlich hierfür ist auch die Schreibweise  . Diese Funktion hat gegenüber den anderen Exponentialfunktionen besondere Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus lässt sich mit der Gleichung  jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis  zurückführen. Deshalb befasst sich dieser Artikel im Wesentlichen mit der Exponentialfunktion zur Basis .

Definition 
Die Exponentialfunktion zu der Basis  kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weisen definiert werden.

Eine Möglichkeit ist die Definition als Potenzreihe, die sogenannte Exponentialreihe
,
wobei  die Fakultät von  bezeichnet.

Eine weitere Möglichkeit ist die Definition als Grenzwert einer Folge mit :

Beide Arten sind auch zur Definition der komplexen Exponentialfunktion  auf den komplexen Zahlen geeignet (s. weiter unten).

Die reelle Exponentialfunktion  ist positiv, stetig, streng monoton wachsend und surjektiv. Dabei bezeichnet  die Menge der positiven reellen Zahlen.

Sie ist folglich bijektiv.
Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus .

Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.

Konvergenz der Reihe, Stetigkeit 

Die punktweise Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe
 
lässt sich für alle reellen und komplexen  einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbereiches analytisch sind, ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt trivialerweise auch stetig.

Rechenregeln 

Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung  erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:
 
für alle  und alle reellen oder komplexen .

Generell gilt diese Umformung von  auch für beliebige andere Werte  als neue Basis:
 

Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und „verwandeln“ Multiplikation in Addition.
Genauer zeigen das die folgenden Potenzgesetze:

 und 

Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen  und  und alle reellen  und .
Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:

Siehe auch Rechenregeln für Logarithmus.

Ableitung 

Die große Bedeutung der e-Funktion, eben die Exponentialfunktion mit Basis , beruht auf der Tatsache, dass ihre Ableitung wieder die Funktion selbst ergibt:

 

Wenn man zusätzlich

 

fordert, ist die e-Funktion sogar die einzige Funktion , die dies leistet. Somit kann man die e-Funktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung f'(x) = f(x) mit dieser Anfangsbedingung f(0) = 1 definieren.

Allgemeiner folgt für reelles  aus

 

und der Kettenregel die Ableitung beliebiger Exponentialfunktionen:

In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf „natürliche“ Weise ins Spiel.

Stammfunktion 
Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich die Stammfunktion der e-Funktion:

 .

Für beliebige Exponentialfunktionen mit  und  gilt:

 .

Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen 

Mit Hilfe der Reihendarstellung
 
lässt sich die Exponentialfunktion für komplexe Zahlen  definieren. Die Reihe konvergiert für alle  absolut.

Die Exponentialfunktion behält für alle komplexen Zahlen ,  folgende wichtige Eigenschaften:

Die Exponentialfunktion ist somit ein surjektiver, aber nicht injektiver Gruppenhomomorphismus von der abelschen Gruppe  auf die abelsche Gruppe , also von der additiven auf die multiplikative Gruppe des Körpers .

In  hat die Exponentialfunktion eine wesentliche Singularität, ansonsten ist sie holomorph, d. h., sie ist eine ganze Funktion.
Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit der komplexen Periode , es gilt also

Beschränkt man ihren Definitionsbereich auf einen Streifen

mit , dann besitzt sie eine wohldefinierte Umkehrfunktion, den komplexen Logarithmus.

Die Exponentialfunktion kann zur Definition der trigonometrischen Funktionen für komplexe Zahlen verwendet werden:

Dies ist äquivalent zur eulerschen Formel
.

Daraus abgeleitet ergibt sich speziell die Gleichung

der in Physik und Technik wichtigen komplexen Exponentialschwingung mit der Kreisfrequenz  und der Frequenz .

Ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden:

Man kann auch im Komplexen eine allgemeine Potenz definieren:
 mit .
Die Werte der Potenzfunktion sind dabei abhängig von der Wahl des Einblättrigkeitsbereichs des Logarithmus, siehe auch Riemannsche Fläche. Dessen Mehrdeutigkeit wird ja durch die Periodizität seiner Umkehrfunktion, eben der Exponentialfunktion, verursacht. Deren grundlegende Gleichung

entspringt der Periodizität der Exponentialfunktion  mit reellem Argument . Deren Periodenlänge ist genau der Kreisumfang  des Einheitskreises, den die Sinus- und Kosinusfunktionen wegen der Eulerschen Formel beschreiben. Die Exponential-, die Sinus- und die Kosinusfunktion sind nämlich nur Teile derselben (auf komplexe Zahlen verallgemeinerten) Exponentialfunktion, was im Reellen nicht offensichtlich ist.

Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren 

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren, zum Beispiel Matrix-Algebren mit einer Operatornorm, verallgemeinern. Sie ist dort ebenfalls über die Reihe
 
definiert, die für alle beschränkten Argumente aus der jeweils betrachteten Banachalgebra absolut konvergiert.

Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion
 
ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte  und , die kommutieren, also für Werte mit  (dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist).
Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen der Form  mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der -Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der jordanschen Normalform lässt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix , so dass , wobei  eine Diagonalmatrix und  eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit

Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension  der Matrix  ist.

Numerische Berechnungsmöglichkeiten 

Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Auswertung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.

Der Rest der -ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf
 bei  für alle  mit  führt.

Die einfachste Reduktion benutzt die Identität  , d. h. zu gegebenem  wird  bestimmt, wobei  nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit,  berechnet und -fach quadriert: .  wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als  zurückgegeben.

Effizientere Verfahren setzen voraus, dass , besser zusätzlich  und  (Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten
 oder 
benutzt werden, um  auf ein  aus dem Intervall  oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwändigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.

Bei Implementierung in Hardware werden für deren Belange geeignete Verfahren genutzt, zum Beispiel:
 BKM-Algorithmus
 CORDIC

Hintergründe und Beweise

Motivation 
Auf die Exponentialfunktion stößt man, wenn man versucht, das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern. Man geht dabei von der Rechenregel  aus und sucht daher eine Lösung der Funktionalgleichung  mit . Nimmt man nun zunächst einmal an, dass eine Lösung tatsächlich existiert, und berechnet deren Ableitung, so stößt man auf den Ausdruck

Was bedeutet nun ? Nennt man diesen Grenzwert , so gilt für die durch

definierte Zahl  (bzw. ,  muss dann also der Logarithmus zur Basis  sein) nach der Kettenregel formal

 erfüllt dann vermutlich

Wie kann man diese Zahl  berechnen?
Setzt man rein formal  und löst die Gleichung
, dann erhält man . Für die Zahl

ist also zu vermuten, dass

gilt.

Für  erhält man mit  auch rein formal die Darstellung

also die eine Definition der Exponentialfunktion.

Taylorreihe 
Alternativ kann man auch versuchen, die Funktion

in eine Taylorreihe zu entwickeln. Da per Induktion auch

gelten muss, also , erhält man für die Taylorreihe an der Stelle 

also genau die andere Definition der Exponentialfunktion. Im Weiteren ist dann zu zeigen, dass die so definierte Exponentialfunktion tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat. Diese Taylorreihe lässt sich auch als Kettenbruch darstellen:

Konvergenz der Folgendarstellung 
Die für die Definition der Exponentialfunktion verwendete Folge
 
ist für reelle  punktweise konvergent, da sie erstens ab einem gewissen Index monoton steigend und zweitens nach oben beschränkt ist.

Beweis der Monotonie 
Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt für 

die Folge ist daher für fast alle  monoton steigend.

Beweis der Beschränktheit 
Aus der Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel folgt für 

Für  und  ist die Folge daher für alle  beschränkt:

Für  und  gilt offensichtlich die Schranke

Funktionalgleichung 
Da  und  konvergieren, konvergiert auch deren Produkt

Ist nun , so liefert die bernoullische Ungleichung für hinreichend große 
;
für  erhält man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung  für  und ebenfalls der bernoullischen Ungleichung für hinreichend große 

die Exponentialfunktion erfüllt also tatsächlich die Funktionalgleichung .

Ungleichungen

Abschätzung nach unten 
Für reelle  lässt sich die Exponentialfunktion mit

nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition

und der Tatsache, dass  für hinreichend große . Da die Folge monoton wachsend ist, ist der Grenzwert daher echt größer Null.

Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung

verschärfen. Für  folgt sie aus , für  ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die bernoullische Ungleichung auf die Definition

anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge  sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.

Abschätzung nach oben 
Setzt man in der Abschätzung  nach unten  statt  ein und verwendet , so erhält man durch Umstellen der Ungleichung die für alle  gültige Abschätzung nach oben .

Ableitung der Exponentialfunktion 
Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:

Gemeinsam mit der Funktionalgleichung  folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen:

Wachstum der e-Funktion im Vergleich zu Polynomfunktionen 

Oft wird die Aussage benötigt, dass die Exponentialfunktion wesentlich stärker wächst als jede Potenzfunktion, d. h.

Für  ist dies klar, für  kann entweder induktiv die Regel von de L’Hospital benutzt werden, oder auch elegant abgeschätzt werden:

Zunächst gilt

Wegen  gilt

Dies konvergiert gegen  und somit der obige Grenzwert gegen 0.

Basiswechsel 
Wie bereits zuvor erwähnt, gilt
 

Beweis: Nach Definition des Logarithmus ist  äquivalent zu , woraus die Identität  folgt. Ersetzen von  durch  liefert

wobei im zweiten Schritt die Logarithmus-Rechenregel für Potenzen angewendet wurde.

Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion 
Will man die einfache Differentialgleichung:
 lösen und setzt noch  voraus, so erhält man daraus eine
Definition von .

Umkehrfunktion 
Setzt man  nicht voraus, so benutzt man die Umkehrfunktion  von

Denn , und nach den Eigenschaften der Logarithmusfunktion ist

und man kann die Umkehrfunktion bilden und erhält

Da die untere Grenze gleich 1 ist, ist  und bei der Umkehrfunktion  nach Eigenschaft der Umkehrfunktion: .

Differentialgleichung 

Erweitert man die Differentialgleichung auf  für  und
löst sie, so erhält man für  die Form

Speziell für  ist

Ist dann  eine Lösung und , dann ist

und nach Voraussetzung

Für beliebiges  führen wir

ein. Es ergibt sich

und nach Voraussetzung wieder

Man besitzt nun ein Instrument zur Beschreibung von Vorgängen in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, in denen man mittels eines Ansatzes vom Typ
 ein Ergebnis der Form  erhält, welches auf der Exponentialfunktion basiert.

Beispiele für Exponentialfunktionen

Physik 
Als Beispiele für das häufige Auftreten der Exponentialfunktion in der Physik seien genannt:

 der radioaktive Zerfall von Teilchen
 der Luftdruckverlauf in der Atmosphäre siehe barometrische Höhenformel
 zeitliche Ladungskurven eines elektrischen Kondensators
 zeitliche Energiekurve beim Einschaltvorgang einer Spule durch Selbstinduktion
 Thermodynamik und Statistik: Boltzmann-Faktor, Fermi-Dirac-Statistik, Bose-Einstein-Statistik
 die Abkühlung und Erwärmung eines Körpers

Chemie 
Als ein Beispiel in der Chemie sei hier eine einfache chemische Reaktion skizziert. Es wird angenommen, dass wir die Lösung eines Stoffes vorliegen haben, etwa Rohrzucker in Wasser. Der Rohrzucker werde nun durch einen Katalysator zu Invertzucker umgewandelt (hydrolysiert). Bei dieser einfachen chemischen Reaktion wird man das Geschwindigkeitsgesetz (unter Vernachlässigung der Rückreaktion) wie folgt formulieren:
Die Reaktionsgeschwindigkeit als Funktion der Zeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge der sich umwandelnden Substanz.
Bezeichnen wir die Menge des zur Zeit  noch nicht umgewandelten Rohrzuckers mit
, so ist die Reaktionsgeschwindigkeit , und nach dem oben formulierten Geschwindigkeitsgesetz gilt die Gleichung

mit einer reaktionsspezifischen Geschwindigkeitskonstante . Aus diesem Momentangesetz erhält man nach obiger Differentialgleichung ein Integralgesetz, welches uns die Menge  des übriggebliebenen Rohrzuckers als Funktion der Zeit liefert:

wobei die Konstante  die zur Zeit  vorhandene Menge bezeichnet.
Die chemische Reaktion nähert sich also
asymptotisch ihrem Endzustand  an, der völligen Umwandlung von Rohrzucker in Invertzucker. (Die Vernachlässigung der Rückreaktion ist hier akzeptabel, da das chemische Gleichgewicht der Rohrzucker-Hydrolyse sehr stark auf Seiten des Invertzuckers liegt).

Biologie, Epidemien 
Beschreibung des exponentiellen Wachstums in der Anfangszeit einer Population von z. B. Mikroorganismen, Ausbreitung von Infektionen im Rahmen einer Epidemie und Fortpflanzung von Lebewesen, siehe r-Strategie oder SIR-Modell.

Stochastik 
Gleiche Anzahl von Münzen und Empfängern

Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, zufällig keine, eine oder mehr Münzen zu erhalten, wenn  Münzen zufällig auf  Empfänger verteilt werden und  sehr groß ist?

Die Definitionsformel für die Exponentialfunktion
,
die daraus abgeleitete Näherungsformel

und die eulersche Zahl 
erlauben eine einfache Abschätzung.

Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Verteilung eine Münze zu erhalten, beträgt  und , keine Münze zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal keine Münze zu erhalten, beträgt: . Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, -mal erfolglos zu sein:

Die Wahrscheinlichkeit, nur einmal Erfolg zu haben, ist das Produkt aus Misserfolgen, Erfolg und der Kombinationsmöglichkeiten , wann sich der Erfolg einstellt (beim ersten Mal, oder zweiten oder dritten …):

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine Münze zu erhalten, lautet entsprechend:

Mehr Münzen als Empfänger

Wie viele Münzen  müssen es sein, um die Wahrscheinlichkeit , keine zu erhalten, zu verringern, beispielsweise auf 0,1 statt 0,37? Aus obiger Näherungsformel folgt:

Oder anders gefragt: Wie viele Münzen  müssen es mehr sein als Empfänger ?

Damit im Mittel nur 10 % der Empfänger leer ausgehen, ist die 2,3-fache Menge an Münzen erforderlich, bei 1 % fast die 5-fache Anzahl.

Wirtschaft 
 Stetige Verzinsung
 Die Stückelung folgt üblicherweise einer exponentiellen Gesetzmäßigkeit beim Anstieg des Wertes. Am Beispiel des Euro ist zu den Punkten für jede Münze oder Banknote eine Ausgleichsgerade dargestellt. Die geringen Abweichungen von dieser Geraden folgen aus der Forderung nach „runden“ Zahlen, die mit nur einer signifikanten Stelle exakt anzugeben sind (nicht zu verwechseln mit glatten Zahlen).

Verallgemeinerungen 
Wenn  eine Größe ist, deren Potenzen  für beliebiges nicht-negatives ganzzahliges  existieren, und wenn der Grenzwert existiert, ist es sinnvoll, die abstrakte Größe  durch die oben angegebene Exponentialreihe zu definieren. Ähnliches gilt für Operatoren , die, einschließlich ihrer Potenzen, eine lineare Abbildung eines
Definitionsbereichs  eines abstrakten Raumes  (mit Elementen ) in einen Wertebereich  der reellen Zahlen ergeben: Hier ist es sogar für alle reellen  sinnvoll, in ganz  (genauer: im zugehörigen Abschlussbereich) Exponentialoperatoren  durch den Ausdruck
 zu definieren, wobei die Konvergenz dieses Ausdrucks zunächst offenbleibt.

Iteration der Exponentiation führt auf die Verallgemeinerte Exponentialfunktion, die in der Gleitkomma-Arithmetik verwendet wird.

Siehe auch 
 Logarithmus
 Logarithmische Spirale
 Eulersche Zahl

Weblinks 

 Die e-Funktion für Schüler erklärt
 Interaktives Java-Applet: Vergleich verschiedener Basen a mit a>1
 Ausführliche Erklärung der Exponential- bzw. Logarithmusfunktion

Einzelnachweise 

Analytische Funktion