Rachunek różniczkowy i całkowy

Rachunek różniczkowy i całkowy – podstawowy dział analizy matematycznej, badający pochodne i całki funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej.

Rachunek różniczkowy jest jednym z podstawowych narzędzi matematycznych fizyki i techniki.

Historia

Przed XVII wiekiem 
Niektóre idee i metody rachunku całkowego znane były już w starożytności. Na przykład Archimedes (III wiek p.n.e.) obliczał objętości i pola powierzchni różnych brył, stosując w istocie metody całkowe.

Rachunek różniczkowy i całkowy został również, niezależnie od Europy, rozwinięty w Indiach. W XII wieku Bhaskaraćarja pierwszy rozważał rachunek różnicowy, a także ideę pochodnej funkcji. Sformułował też twierdzenie Rolle’a (szczególny przypadek twierdzenia Lagrange’a). W XIV wieku i później Madhawa z Sangamagramy i inni matematycy ze szkoły Kerala rozwinęli jego idee. Stworzyli koncepcje analizy matematycznej, liczby zmiennoprzecinkowej, a także fundamentalne idee rachunku różniczkowego, włącznie z twierdzeniem Lagrange’a, całkowaniem wyraz po wyrazie, związkiem pomiędzy polem powierzchni pod wykresem funkcji a funkcją pierwotną (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego), kryterium całkowym oraz iteracyjnymi metodami rozwiązywania równań nieliniowych. W XVI wieku Jyeshtadeva zebrał wiele osiągnięć i twierdzeń szkoły Kerala w Yuktibhasa, pierwszym w historii opracowaniu rachunku różnicowego, w którym wprowadził także idee rachunku całkowego.

XVII wiek 
Właściwy rozwój tych metod nastąpił w XVII wieku. Ukoronowaniem tego rozwoju są prace angielskiego fizyka i matematyka Newtona oraz, niezależnie, niemieckiego matematyka i filozofa Leibniza, które zawierają systematyczny wykład teorii i metod związanych z pojęciem całki oraz wprowadzają terminologię i oznaczenia zbliżone do współczesnych. Ukazują one również związek rachunku całkowego z rachunkiem różniczkowym oraz praktyczne metody całkowania prostych typów funkcji. Dlatego też Newtona i Leibniza uważa się za twórców rachunku całkowego. Newton był pierwszy, który opracował metody rachunku całkowego, ale zwlekał z opublikowaniem swoich badań. Trzymanie rozwiązań problemów matematycznych dla siebie było powszechne w XVII wieku. Newton opublikował swoją pracę dopiero w 1704, natomiast Leibnitz publikował swoje prace w latach 1672–1678, mimo to Newton oraz Royal Society oskarżyły Leibniza o plagiat. Natomiast pierwszą książkę na temat rachunku różniczkowego i całkowego opublikowała włoska matematyczka Maria Gaetana Agnesi.

Polski termin całka wprowadził Jan Śniadecki jako odpowiednik terminu integral wprowadzonego przez ucznia i współpracownika Leibniza, Jana Bernoulliego. Leibniz mówił początkowo summa, stąd przyjął się symbol stylizowanej litery S –  który zaproponował w jednej ze swoich prac.

Od XIX wieku 
Uściślenie teorii całek i oparcie jej na pojęciu granicy jest zasługą francuskiego matematyka i fizyka Augustina Cauchy’ego. Bernhard Riemann jako pierwszy dostrzegł potrzebę wyraźnego określenia klasy funkcji całkowalnych, wprowadzając definicję całki i całkowalności – dość prostą, a jednocześnie obejmującą wiele funkcji, w tym pewne funkcje nieciągłe. Matematyk francuski Henri Lebesgue – opierając się na pojęciu miary – znacznie rozszerzył definicję całki i całkowalności, obejmując nią bardzo obszerną klasę funkcji (zob. całka Lebesgue’a). Nawet pojęcie całki Lebesgue’a było poddawane uogólnieniom (całka na rozmaitości, całka Haara, całka względem miary wektorowej). Percy John Daniell zbudował teorię całki (zob. całka Daniella-Stone’a) bez odwoływania się do aparatu teorii miary, opierając ją o pewne szczególne funkcjonały.

Pierwszą szczegółową, dwutomową pracę naukową na temat tych rachunków w języku polskim pt. Zasady rachunku różniczkowego i całkowego z zastosowaniami opublikował w 1870 roku polski inżynier i matematyk Władysław Folkierski. Książka po latach została uznana w prasowym plebiscycie za najlepszą polską książkę naukową XIX wieku.

Zobacz też 

 historia matematyki

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 

 Grant Sanderson, Essence of calculus, kanał 3blue1brown na YouTube, 23 listopada 2018 [dostęp 2021-03-15] – krótki, animowany kurs różniczkowania i całkowania.
  [dostęp 2023-06-01].