Zbiór Cantora

Zbiór Cantora – podzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883 przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 Henry John Stephen Smith.

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi ).

Definicje

Podstawowa konstrukcja 
Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego  liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych  takich że
    zbiór  jest sumą  rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że
 zbiór  to odcinek 

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

 Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór  tak, że jest sumą  rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia ). Każdy z  odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru  wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc  (gdzie  to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór  jest sumą  rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek  jest spełniony).

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg  jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

Alternatywna definicja 
Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:
 

gdzie  Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału  dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcji 

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory  tak że każdy z nich jest sumą  rozłącznych odcinków domkniętych długości  Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory  wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na  ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych  tak, że każdy zbiór  jest sumą  rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia
 

Następnie, przypuśćmy, że zbiór  jest już wyznaczony i jest on sumą  rozłącznych odcinków domkniętych,  W centrum każdego z odcinków  wybieramy otwarty pododcinek  długości  Kładziemy 

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

Podstawowe właściwości 
Trójkowy zbiór Cantora 
 ma moc continuum
 jest zwartym zbiorem doskonałym (tzn. nie ma punktów izolowanych),
 jest nigdziegęstym podzbiorem odcinka 
 jest zbiorem miary zero (w sensie Lebesgue’a),
 jako podprzestrzeń prostej ma bazę złożoną ze zbiorów  domknięto-otwartych i takich, że  W szczególności jest on przestrzenią zerowymiarową. Jest on homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu kopii przestrzeni dyskretnych 

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi
 

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału  Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora  ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy

Zbiór Cantora w szerszym sensie 
Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora 
Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

Zobacz też 
 dywan Sierpińskiego
 funkcja Cantora
 kostka Cantora
 kostka Mengera

Przypisy 

Przykłady przestrzeni topologicznych
L-systemy