Liczby porządkowe

Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków. Są też definiowane jako typy porządkowe dobrych porządków.

Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Zostały one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 roku (jako typy porządkowe dobrych porządków).

Definicja formalna 
Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.

Liczbą porządkową nazywa się każdy zbiór tranzytywny (przechodni), który jest liniowo uporządkowany przez relację  tj. bycia podzbiorem. Dokładniej, zbiór  jest liczbą porządkową, gdy:
 (i) każdy element  jest podzbiorem  tzn.
 
 (ii) każde dwa różne elementy zbioru  są porównywalne w relacji  tzn.
 

Z aksjomatu regularności wynika, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez relację bycia podzbiorem. W pewnych sytuacjach jednak rozważa się teorię mnogości bez tego aksjomatu (np. ZFC0) i wówczas do definicji liczby porządkowej należy dodać postulat ufundowania:
 (iii) każdy niepusty podzbiór zbioru  zawiera element -minimalny:
 

Dla liczb porządkowych  i  pisze się  gdy

Własności i przykłady 
 Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  to zbiór wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych i zarazem najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa
 

 Jeśli   i  są liczbami porządkowymi to:
 (a)  lub  lub 
 (b) jeśli  i  to 
 (c)  wtedy i tylko wtedy, gdy 
 (d) każdy element  jest liczbą porządkową,
 (e)  jest liczbą porządkową. Liczbę tę oznacza się symbolem 

 Jeśli  jest zbiorem liczb porządkowych, to  jest liczbą porządkową.
 Jeśli  jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna taka liczba porządkowa  że (silne) porządki  i  są izomorficzne.
 Jeśli  jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje taki  że  lub  dla wszystkich 

Jeżeli liczba porządkowa  jest postaci  dla pewnej liczby  to nazywana jest ona liczbą następnikową. Liczba, która nie jest następnikowa, nazywana jest liczbą graniczną. Liczby  i  są graniczne, a liczby  i  są następnikowe.

Paradoks Buralego-Fortiego orzeka, że nie istnieje zbiór zawierający wszystkie liczby porządkowe (sam wówczas musiałby być liczbą porządkową). W szczególności, nie istnieje największa liczba porządkowa oraz dla dowolnego zbioru istnieją liczby porządkowe do niego nie należące.
Wnioskiem z tej obserwacji jest także fakt, że (por. twierdzenie Hartogsa) istnieją liczby porządkowe dowolnie dużej mocy (liczbie kardynalnej).

Liczby porządkowe jako przestrzenie topologiczne 
Każda liczba porządkowa jest przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą Hausdorffa z topologią porządkową.

Liczba porządkowa jako przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest następnikowa; w szczególności liczby  i  są zwarte.

Zobacz też 

 arytmetyka liczb porządkowych
 graniczna liczba porządkowa
 indukcja pozaskończona
 liczba kardynalna
 następnik liczby porządkowej

Przypisy

Bibliografia 
 
  .

Literatura dodatkowa

Linki zewnętrzne 
  Tomasz Miller, Liczby porządkowe kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych na YouTube, 21 grudnia 2021 [dostęp 2022-03-17] – wykład popularny.