Distribuzione continua uniforme

In teoria delle probabilità la distribuzione continua uniforme è una distribuzione di probabilità continua che è uniforme su un insieme, ovvero che attribuisce la stessa probabilità a tutti i punti appartenenti ad un dato intervallo [a,b] contenuto nell'insieme.

Definizione 
La distribuzione continua uniforme  su un insieme misurabile S, di misura finita non nulla, è una distribuzione di probabilità che attribuisce a tutti i sottoinsiemi di S con la stessa misura la stessa probabilità di verificarsi.

La sua densità di probabilità è un multiplo della funzione indicatrice dell'insieme S,

dove  è la misura dell'insieme S.

In particolare ogni sottoinsieme misurabile A di S ha una probabilità di verificarsi proporzionale alla propria misura:
.

Su un intervallo 
La distribuzione uniforme continua viene solitamente definita su un intervallo ; in questo caso viene indicata .

La sua densità di probabilità è
 su .

Come intervallo , inoltre, viene spesso preso l'intervallo unitario , che può essere sempre ricondotto al caso precedente tramite una trasformazione lineare, ovvero considerando la variabile aleatoria  al posto di . In particolare, la variabile aleatoria 1-X segue la stessa distribuzione .

In questo caso la densità di probabilità diventa
 su ,
la funzione di ripartizione è
 su ,
e la probabilità di un intervallo  è pari alla sua lunghezza:

(nel caso generale la probabilità di un intervallo è proporzionale alla sua lunghezza).

Per il calcolo delle probabilità i singoli valori f(0) e f(1) sono ininfluenti: basta che la densità di probabilità resti invariata quasi ovunque. Talvolta vengono posti pari a 0, prendendo la funzione indicatrice dell'intervallo aperto , o a 1/2, prendendo come densità di probabilità la funzione rettangolo (in questo caso la distribuzione è anche chiamata distribuzione rettangolare).

Caratteristiche 
Se X è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme , allora  è una variabile aleatoria di distribuzione uniforme , le cui caratteristiche si ricavano facilmente da quelle di X.

Le due variabili aleatorie hanno
 speranza matematica
;
 varianza
;
 funzione caratteristica
;
 funzione generatrice dei momenti
;

Dalla funzione generatrice dei momenti si ricavano (per il più generale Y) i momenti semplici
;
siccome la variabile aleatoria centrata  segue una distribuzione uniforme su , si ricavano immediatamente i momenti centrali di Y

In particolare si trovano gli indici di asimmetria e di curtosi
.

Infine, l'entropia di Y è
.

Altre distribuzioni 
Ogni distribuzione di probabilità univariata (cioè sui numeri reali) è legata alla distribuzione uniforme . Se X segue la distribuzione uniforme su  ed F è una qualunque funzione di ripartizione, prendendo la funzione

si può definire una variabile aleatoria

che ha proprio F come funzione di ripartizione.

Ad esempio,  segue la distribuzione esponenziale .

In informatica questa proprietà viene chiamata metodo dell'inversione e viene utilizzata per trasformare un generatore "casuale" di campioni per X in un generatore di campioni per Y.

La somma  di due variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme  segue una distribuzione triangolare simmetrica (distribuzione di Simpson).

Più in generale, la distribuzione di Irwin-Hall descrive la somma  di n variabili aleatorie variabili indipendenti con la medesima distribuzione uniforme .

La distribuzione Beta  corrisponde alla distribuzione uniforme . Inoltre, se X segue questa distribuzione uniforme, allora  segue la distribuzione Beta .

Il parallelo della distribuzione continua uniforme tra le distribuzioni discrete è la distribuzione discreta uniforme, definita su un insieme finito S, che attribuisce ad ogni suo sottoinsieme una probabilità di verificarsi pari alla propria cardinalità. (In altri termini è la stessa definizione, con una diversa misura.)

Voci correlate 
 Distribuzione continua
 Distribuzione discreta uniforme
 Funzione di ripartizione
 Sigma-algebra
 Metodo dell'inversione

Altri progetti

Collegamenti esterni
 

Continua uniforme