Identità trigonometrica

Un'identità trigonometrica è un'identità matematica che coinvolge le funzioni trigonometriche.

Le identità trigonometriche sono utilizzate per semplificare molte espressioni contenenti funzioni trigonometriche (come, ad esempio, nella risoluzione di equazioni trigonometriche) e per il calcolo di molti integrali; talvolta, anche integrali di funzioni non trigonometriche possono essere calcolati mediante opportuni cambiamenti di variabile che utilizzano una funzione trigonometrica per portare a decisive semplificazioni.

Notazioni: Per denotare la funzione inversa del seno talora si usa ; qui preferiamo usare  e scrivere  per denotare la inversa moltiplicativa della funzione seno.

Definizioni 
Si definiscono le seguenti funzioni trigonometriche:

Periodicità, simmetria e traslazioni 
Queste formule si ricavano facilmente dalle definizioni sulla circonferenza trigonometrica.

Molti modelli fisici si basano sul fatto che qualsiasi combinazione lineare d'onde sinusoidali con lo stesso periodo ma di differenti fasi è ancora un'onda sinusoidale dello stesso periodo, ma con una nuova fase. Precisamente:

dove

Conseguenze del teorema di Pitagora

Formule di addizione e sottrazione 
La scoperta delle prime due identità (dalle quali seguono anche le altre) risale a Tolomeo ma per fornire una dimostrazione più veloce è possibile utilizzare le formule di Eulero attraverso la funzione . Una dimostrazione geometrica dell'identità per  è data alla fine di questa voce.

dove

Formula di duplicazione 

Queste possono essere ottenute sostituendo  nei teoremi di addizione, e utilizzando il teorema di Pitagora per le ultime due. Ancor meglio utilizzare la formula di De Moivre con .

Formule per gli angoli multipli 
Se denotiamo  l'-esimo polinomio di Chebyshev, allora

Formula di De Moivre:

Il nucleo di Dirichlet  è la funzione che si trova da entrambe le parti della seguente identità:

La convoluzione di ogni funzione quadrato sommabile periodica di periodo  con il nucleo di Dirichlet coincide con la somma troncata di ordine  della sua serie di Fourier.

Formule di riduzione della potenza 
Dalla formula di duplicazione del coseno e dalla formula trigonometrica di Pitagora si ottiene

Formule di bisezione 
Sostituendo  al posto di  nelle formule di riduzione della potenza, e calcolando  e  si ottiene.

Da queste ultime due identità, dividendo membro a membro la seconda per la prima, si ottiene:

Tuttavia, è possibile giungere a due espressioni per  senza il valore assoluto, che sono le seguenti:

Posto , seguono le cosiddette formule parametriche:

La sostituzione di  per , con il conseguente cambiamento di  con  e di  con  è spesso in grado di convertire funzioni razionali in  e  da integrare in funzioni di  integrabili (si veda anche il successivo "punto di vista astratto").

Prodotti espressi mediante somme 
Queste formule possono essere provate sviluppando la loro parte destra e semplificando con le formule di addizione. Sono anche dette formule di Werner.

Somme espresse mediante prodotti 
Basta rimpiazzare  con  e  con  nelle espressioni dei prodotti mediante somme. Sono anche dette formule di prostaferesi.

Funzioni trigonometriche inverse

Funzione gudermanniana 
La funzione gudermanniana è definita nel seguente modo:

Questa funzione stabilisce un collegamento tra le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi (si veda la voce relativa per i dettagli).

Identità per angoli costanti 
La seguente curiosa identità è stata appresa da Richard Feynman quando era ragazzino:

Si tratta di un caso particolare della seguente identità in cui compare una variabile:

Altre identità senza variabili:

La misura in gradi degli angoli risulta meno vantaggiosa di quella in radianti per una  con  al denominatore:

I fattori  inducono a pensare agli interi inferiori a  primi con . Gli ultimi esempi sono le conseguenze di un risultato di base sui polinomi ciclotomici irribucibili: i coseni sono le parti reali delle radici di questi polinomi; la somma degli zeri dà il valore della funzione di Möbius valutata in ; solo la metà delle radici sono presentate nella relazione precedente. Le due identità che precedono quest'ultima nascono nello stesso modo relativamente ai casi  e , rispettivamente.

La seguente identità senza variabili può essere utilizzata per calcolare  efficientemente:

oppure usando la formula di Eulero:

Calcolo infinitesimale 
Nel calcolo infinitesimale è essenziale che gli angoli argomenti di funzioni trigonometriche siano misurati in radianti; se sono misurati in gradi o in altre
unità di misura, allora le relazioni riportate qui sotto risultano false. A partire dalle definizioni geometriche delle funzioni trigonometriche si ricavano le loro derivate dopo aver stabiliti i due limiti che seguono.

(si verifica osservando la circonferenza trigonometrica e il teorema del confronto). Osserviamo che se usassimo la regola di de L'Hôpital per stabilire questo limite creeremmo un circolo vizioso sul piano logico, in quanto da questo limite si ricavano le derivate di seno e coseno necessarie per applicare la suddetta regola.

(Si verifica usando l'identità .)

Avendo stabilito questi due limiti, si stabilisce che  e . riconducendo la derivazione alla sua definizione come limite di rapporto incrementale.

Se le funzioni seno e coseno sono definite dalle loro serie di Taylor, le loro derivate possono essere ottenute derivando le serie di potenze termine a termine.

Le derivate delle altre funzioni trigonometriche sono ricavate dalle precedenti con le regole di derivazione. Abbiamo quindi:

Le identità integrali possono essere trovate nella tavole di integrali.

Dimostrazioni usando un'equazione differenziale 
Si consideri l'equazione differenziale:

Utilizzando la formula di Eulero e il metodo di risoluzione delle equazioni differenziali lineari, insieme al teorema di unicità e al teorema di esistenza possiamo definire seno e coseno nei modi seguenti

 è l'unica soluzione della equazione

 soggetta alle condizioni iniziali  e 

 è l'unica soluzione della equazione

 sotto le conditioni iniziali  e 

Dimostriamo che

Introduciamo  e troviamo le sue derivate prima e seconda:

 allora  è una soluzione di  possiamo dire che ; perciò 

Quindi

Dunque possiamo dire che

Utilizziamo ancora le tecniche di risoluzione delle equazioni differenziali lineari e la formula di Eulero la soluzione di  deve essere una combinazione lineare di  e , quindi

Si trova  ponendo  al posto di 

Per le condizioni iniziali , quindi

Risolvendo per  abbiamo la derivata di  e ponendo  al posto di 

Utilizzando le condizioni iniziali e dato che 

Sostituendo  e  nell'equazione originale di  abbiamo

ma dato che  è definita come  abbiamo

o

Usando queste definizioni di seno e coseno, si possono provare tutte le altre proprietà di seno e coseno utilizzando le stesse tecniche.

Dimostrazioni geometriche

Formula di addizione del seno 

Come mostrato in figura si costruisce il segmento  perpendicolare ad  ed il segmento  parallelo ad .
 = Angolo  = Angolo  = Angolo .
 = .

Allora

Formula di addizione del coseno 
Osservando la figura precedente:

Punti di vista astratti 
Dato che la circonferenza è una curva algebrica di genere , ci si aspetta che le funzioni circolari possano essere riducibili a funzioni razionali. In effetti è noto classicamente che usando sistematicamente le formule di bisezione per la tangente si possono esprimere le funzioni seno e coseno in termini di una nuova variabile .

Note

Voci correlate 
 Trigonometria
 Seno (matematica)
 Coseno

Altri progetti 

Trigonometria
trigonometriche
Formule matematiche