Quadrato

Un quadrato, in geometria, è un quadrilatero regolare, cioè un poligono con quattro lati e quattro angoli congruenti.

Confronto con altre figure geometriche 
Il quadrato è un caso particolare di rombo (in quanto ha tutti e quattro i lati congruenti) e di rettangolo (in quanto ha quattro angoli congruenti) quindi è un caso particolare di parallelogramma (in quanto ha i lati a due a due paralleli).

Caratteristiche principali nella geometria euclidea 
Le diagonali di un quadrato euclideo sono congruenti e perpendicolari, il loro punto di intersezione le divide a metà e misurano come il lato moltiplicato per la radice quadrata di 2:

Questa formula si dimostra con il teorema di Pitagora. Ciascuna diagonale, infatti, divide il quadrato in due triangoli rettangoli per i quali vale che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull'ipotenusa (che è la diagonale).
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Il perimetro di un quadrato, visto che ha tutti i lati congruenti, misura:

L'area di un quadrato, visto che l'altezza e la base sono congruenti, misura:

ma si può calcolare anche come
 per il teorema di Pitagora.

Da ciò si deduce che la diagonale di un quadrato di area a è il lato del quadrato con Area 2a.

Il quadrato possiede 4 assi di simmetria: 2 passanti per una coppia di vertici opposti e 2 passanti per una coppia di punti medi dei lati.

Il punto di intersezione delle due diagonali è detto centro del quadrato ed è centro di simmetria di rotazione e di simmetria centrale per il quadrato. L'ordine della simmetria di rotazione del quadrato è 4; in altre parole, il quadrato è invariante per le rotazioni intorno al suo centro relative agli angoli ; naturalmente la rotazione di  radianti è la simmetria centrale.

Equazione di un quadrato su un piano cartesiano 
Il quadrato  di lato 2 e centro l'origine può essere descritto in vari modi. Ad esempio:

Il suo bordo è quindi

Questo può essere anche descritto come
 In matematica, questo quadrato rappresenta la palla unitaria del piano rispetto alla norma uniforme.
Più in generale, l'equazione cartesiana di un quadrato avente centro nell'origine degli assi è: 

Se si considera invece il centro del quadrato nel punto di coordinate  l'equazione diventa: 

da cui:

ovvero nella forma più generale possibile:

Il cui bordo è quindi:

Esistenza del quadrato 

Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza del quadrato è data da Euclide nella proposizione 46 del I libro degli Elementi, subito prima di usare questa figura nell'enunciare e dimostrare il teorema di Pitagora. Nella tradizione didattica moderna l'esistenza dei quadrati è invece in genere data per scontata. Bisogna notare che la dimostrazione euclidea usa indirettamente il V postulato e l'esistenza di quadrati non è garantita nelle geometrie non euclidee.

Ad esempio, in geometria iperbolica non esistono poligoni con quattro lati uguali e quattro angoli retti: la somma degli angoli interni di un quadrilatero iperbolico è infatti sempre strettamente minore di un angolo giro.

Costruzione 
Un quadrato può essere inscritto in una circonferenza con riga e compasso. Qui sotto ne è mostrata un'animazione:

Voci correlate 
 Quadrilatero
 Quadrato (algebra)
 Teorema delle intersezioni dimensionali
 Sezioni ipercubiche ortoassiali

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 

Quadrilateri