Funkcja odwrotna

Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Definicja 

Funkcję  nazywamy odwracalną w  gdy istnieje funkcja  taka, że:
  dla każdego 
  dla każdego 

Innymi słowy  jest taką funkcją, że złożenia  oraz  są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze  i  Funkcję  nazywamy funkcją odwrotną do  i oznaczamy symbolem 

Bezpośrednio z definicji wynika, że  jest funkcją odwracalną w  wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

Oznaczenia  nie należy mylić z symbolem

Istnienie 
Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie
 Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczanie 
Wyznaczenie funkcji odwrotnej  do danej  polega na rozwiązaniu równania
 

względem niewiadomej  Rozwiązanie, czyli
 

to poszukiwana funkcja odwrotna.

Przykłady 

 Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL)
 Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
 Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem  jest funkcja 
 Funkcja  nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że  (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem  dla  nie jest funkcją odwrotną do funkcji 
 Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem  dla  jest ona sama, tzn.  (zob. Inwolucje).

Własności

Jednoznaczność 
Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Symetria 
Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do  jest  to odwrotną do  jest funkcja  Symbolicznie:
 

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

Odwrotność złożenia 

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem
 

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku  i  aby odwrócić działanie  następującego po  należy najpierw odwrócić  a następnie odwrócić

Inwolucje 
Jeżeli  jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na  jest swoją własną odwrotnością:
 

Ogólniej, jeżeli funkcja  jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie  jest równe  Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

Zachowywane własności 
 Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca.
 Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej  jest ciągła.
 Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej  jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których  w szczególności 
 Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej  jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych  (o równaniu ) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu ) względem prostej .

Przypisy

Linki zewnętrzne 
  [dostęp 2023-10-10].
  Inverse function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].

Odwrotna