Distribuzione t di Student

Nella teoria delle probabilità la distribuzione di Student, o t di Student, è una distribuzione di probabilità continua che governa il rapporto tra due variabili aleatorie, la prima con distribuzione normale e la seconda, al quadrato, segue una distribuzione chi quadrato.

Questa distribuzione interviene nella stima della media di una popolazione che segue la distribuzione normale, e viene utilizzata negli omonimi test t di Student per la significatività e per ogni intervallo di confidenza della differenza tra due medie.

Storia 
La distribuzione venne descritta nel 1908 da William Sealy Gosset, che pubblicò il suo risultato sotto lo pseudonimo "Student" perché la fabbrica di birra Guinness presso la quale era impiegato vietava ai propri dipendenti di pubblicare articoli affinché questi non divulgassero segreti di produzione. Il nome distribuzione di Student venne successivamente introdotto da Ronald Fisher.

Definizione 
La distribuzione di Student con parametro  (gradi di libertà) governa la variabile aleatoria

dove  e  sono due variabili aleatorie indipendenti che seguono rispettivamente la distribuzione normale standard  e la distribuzione chi quadro  con  gradi di libertà.

Stimatori 
La media  e la varianza  di una popolazione  possono essere stimate tramite un suo campione di  elementi,  con gli stimatori

Supponiamo che le variabili aleatorie  che compongono il campione siano indipendenti e distribuite normalmente, allora  è una variabile normale  con valore atteso  e varianza . Pertanto la variabile  così definita

seguirà una distribuzione normale standard, . Il problema è che spesso non si conosce , pertanto dovremo avere a che fare con uno stimatore della varianza come .

Dimostreremo che la seguente variabile aleatoria

segue una distribuzione chi-quadro con  gradi di libertà, .

Le due variabili aleatorie  e  sono indipendenti, per il teorema di Cochran.

Pertanto si definisce la variabile aleatoria

Tale variabile aleatoria segue una distribuzione di probabilità detta "t di Student".

Ricavare la distribuzione di t 
Cominciamo con il dimostrare che  è una variabile aleatoria di tipo chi-quadro. Ricordiamo che una distribuzione  è una particolare variabile di tipo gamma definita come segue

dove  è la funzione Gamma di Eulero definita come

 con  per ogni 

Una variabile chi-quadro con  gradi di libertà si ottiene sommando  variabili normali standard  elevate al quadrato. Detto ciò partiamo dalla definizione della varianza campionaria e aggiungiamo e sottraiamo nell'argomento della sommatoria , il valore aspettato della variabile aleatoria  che coincide con quello della variabile aleatoria .

Definiamo i parametri  e  come  e riscriviamo la formula precedente

Ora possiamo esplicitare fuori dalle sommatorie tutti i termini che non dipendono da , ossia  e 

sapendo che la somma su tutti gli  è uguale a . Dividendo ora a destra e a sinistra per  otteniamo a destra delle variabili normali

Abbiamo quindi ottenuto a sinistra una variabile che precedentemente avevamo indicato con , mentre a destra abbiamo somme di variabili normali standard al quadrato, coincidenti con una variabile chi quadro con  gradi di libertà e un'altra variabile normale anch'essa standard elevata al quadrato, ossia una variabile chi-quadro ad un solo grado di libertà. Sapendo che somme di variabili di tipo chi-quadro con  e  gradi di libertà corrispondono ancora ad una variabile chi-quadro con  gradi di libertà otteniamo che la funzione di densità di probabilità di  è di tipo chi-quadro con  gradi di libertà.

Pertanto ora iniziamo a dire che

dove  è il numero di gradi di libertà, e che

 

Conosciuta la variabile aleatoria , essa si riduce difatti ad un parametro moltiplicativo per la normale. Dalla definizione di probabilità condizionata si ha

dove

è una distribuzione chi-quadro con  gradi di libertà. Quindi

Notiamo che la funzione di distribuzione cercata non è altro che una funzione marginale di , pertanto si ha

Ponendo una sostituzione con l'argomento dell'esponenziale, mantenendolo però negativo

otteniamo

l'integrale definito ha come risultato la funzione Gamma di Eulero stessa

Pertanto otteniamo al fine il nostro risultato

Notiamo che il limite di questa successione di funzioni per  è

Sapendo che il primo limite ha come risultato  e il secondo tende a .

In pratica, prendendo una popolazione di numerosità  molto grande, la variabile aleatoria t tende ad essere una normale standard.

Caratteristiche 
La distribuzione di Student con  gradi di libertà è simmetrica, perché lo è la distribuzione normale standard mentre la distribuzione chi quadrato che funge da "parametro casuale di scala" non produce effetti di distorsione di tale simmetria.

La sua funzione di densità di probabilità è

dove  la funzione beta.

La sua funzione di ripartizione è

dove  è la funzione beta incompleta regolarizzata con

Per  i momenti (semplici o centrali, in quanto coincidono per una PDF simmetrica) di ordine  della distribuzione sono

In particolare, oltre alla speranza matematica  e all'indice di asimmetria  (per ) predetti dalla simmetria della distribuzione, si trovano:
 la varianza  per 
 l'indice di curtosi  per 
Consideriamo infine un ultimo parametro: la larghezza a metà altezza. Per una variabile  di Student abbiamo che il picco della funzione è nel suo valore atteso, ossia in , dove la distribuzione ha valore massimo 

Per cui troviamo i valori di  per i quali  assume altezza uguale a metà della massima assoluta.

Per cui

dove  ha due soluzioni, come ci aspettavamo dalla simmetria della funzione, coincidenti a 

Per cui la larghezza a mezza altezza della funzione è data da 

Eseguendo il limite per  troviamo un'espressione convergente a

che è l'equivalente della larghezza a metà altezza (FWHM) della normale standard. Viceversa per  otteniamo un FWHM = 2. Difatti per  la distribuzione t di Student coincide con una distribuzione di Lorentz-Cauchy di parametri  dove la FWHM è per l'appunto uguale a .

Statistica

Intervallo di confidenza 
La distribuzione di Student viene utilizzata per definire degli intervalli di confidenza per la media di una popolazione, sulla base degli stimatori puntuali  e  della sua media e della sua varianza. Dall'equazione

si ha infatti

Scegliendo quindi dei quantili  per la distribuzione di Student con  gradi di libertà, si ha

cioè un intervallo di confidenza per la media  con livello di confidenza  è:

.

Qualora si considerino intervalli simmetrici si può utilizzare l'indice  definito da

ossia

e si ottiene l'intervallo di confidenza per  con livello di confidenza

Altre distribuzioni 
La distribuzione di Student con parametro  corrisponde alla distribuzione di Cauchy di parametri : entrambe regolano il rapporto  tra due variabili aleatorie indipendenti aventi distribuzione normale standard.

Al tendere di  a infinito la distribuzione di Student con  gradi di libertà converge alla distribuzione normale standard .

Se  è una variabile aleatoria con distribuzione t di Student di parametro , allora  segue la distribuzione di Fisher-Snedecor di parametri .

Tabella dei quantili 
La seguente tabella esprime, in funzione del parametro  (riga) e di particolari valori di  (colonna), i quantili  per la distribuzione di Student di parametro :

L'ultima riga, indicata con "∞", si riferisce a una distribuzione normale standard.

Note

Voci correlate 
 Distribuzione chi quadrato
 Distribuzione normale
 Test di verifica d'ipotesi
 Test t
 William Sealy Gosset
 T di Student multivariata

Altri progetti

Collegamenti esterni 
 
 Probability, Statistics and Estimation in inglese. I primi Studentes a pagina 112.
 Il test di Student di F. Scotti.

Student