Pojęcie pierwotne

Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Terminem pojęcia pierwotnego określa się pojęcia, które uznawane są za fundamentalne, a zarazem trudne do opisania językiem teorii. Pojęć tych nie definiuje się lub definiuje co najwyżej podając definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.

W oparciu o pojęcia pierwotne oraz pojęcia określone wcześniej, definiuje się inne pojęcia matematyczne. Każde pojęcie niebędące pojęciem pierwotnym wymaga podania odrębnej definicji.

Przykłady 
 W podanej przez Euklidesa teorii geometrii euklidesowej pojęciami pierwotnymi są punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń oraz relacja punkt  leży na prostej .
 W naiwnej teorii mnogości pojęciami pierwotnymi są zbiory i relacja należenia.

Punkt widzenia współczesnej logiki matematycznej 

Termin „pojęcie pierwotne” był w powszechnym użyciu w okresie poprzedzającym formalizację logiki matematycznej, jednak we współczesnych badaniach naukowych używa się go bardzo rzadko (jeśli w ogóle). Spowodowane to jest faktem, że w ujęciu formalnym każdemu z potencjalnych pojęć pierwotnych odpowiada element pewnego alfabetu  (tzn. zbioru symboli relacyjnych, symboli funkcyjnych, symboli dla stałych itp). Zamiast mówić, że pojęciami pierwotnymi naszej teorii  są..., stwierdzamy, iż  jest teorią w języku . Na przykład o teorii mnogości ZFC mówimy, że jest to teoria w języku pierwszego rzędu  W starym podejściu powiedzielibyśmy, że  jest pojęciem pierwotnym. (Zwróćmy uwagę, że w ZFC każdy obiekt jest zbiorem, więc w alfabecie tej teorii nie ma specjalnego predykatu na  jest zbiorem.)

Warto zauważyć, że czasami jest wygodnie użyć terminu pojęcie pierwotne, szczególnie gdy używamy logik wielosortowych albo gdy rozważana teoria jest związana w pewnym sensie z inną powszechnie znaną. I tak:
 Możemy formalizować geometrię euklidesową na gruncie logiki dwusortowej i zamiast mówić, iż mamy dwa rodzaje obiektów, możemy stwierdzić, że mamy dwa pojęcia pierwotne (punkty i proste).
 Wprowadzając teorię mnogości Morse’a-Kelleya, możemy stwierdzić, że pojęcia pierwotne tej teorii to relacja należenia i klasa, podkreślając tym samym, że zbiory są tutaj obiektami wtórnymi (tzn. zdefiniowanymi). Ale, podobnie jak ZFC, jest to teoria w języku 

W kontekście logiki matematycznej należy zwrócić uwagę, że gdy podajemy modele danej teorii, to interpretujemy wszystkie symbole z alfabetu danej teorii, czyli w pewnym sensie określamy je. Absolutnie nie powinno to być rozumiane jako definiowanie pojęć pierwotnych, jest to całkowicie inna procedura. Ma ona zwykle na celu albo praktyczne wyjaśnienie pojęć (jak np. w geometrii) albo dowód niesprzeczności teorii.

Warto też zauważyć, że pojęcia pierwotne w ramach jednej teorii mogą być pojęciami definiowalnymi w innej (na innym poziomie logicznym). Na przykład prosta jest pojęciem pierwotnym w geometrii euklidesowej, ale w geometrii analitycznej jest ona definiowana jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Podobnie w teorii liczb uważamy liczby za pojęcia pierwotne, ale w teorii mnogości liczby definiuje się za pomocą zbiorów (ogólnie taka jest też „ostateczna” definicja liczby).

Zobacz też 

 geometria euklidesowa
 teoria mnogości

Przypisy 

Logika matematyczna