Relatief priem

Twee gehele getallen worden ten opzichte van elkaar relatief priem (ook wel copriem) of onderling ondeelbaar genoemd, wanneer er geen positief geheel getal groter dan 1 bestaat dat beide getallen deelt. Om te bepalen of twee getallen relatief priem zijn, berekent men gewoonlijk hun grootste gemene deler (ggd); twee getallen  en  zijn precies dan relatief priem, wanneer hun  gelijk is aan 1. Dit betekent ook dat deze twee getallen geen gemeenschappelijke priemfactor bezitten.

Terwijl de getallen 6 en 35 zelf geen priemgetallen zijn, zijn deze wel 'relatief priem'; 6 = 2 × 3 en 35 = 5 × 7: er is geen gemeenschappelijke priemfactor.  Het getal 1 is gedefinieerd als relatief priem ten opzichte van elk ander geheel getal. Twee verschillende priemgetallen zijn hierdoor altijd ook relatief priem; 3 = 1 × 3 en 5 = 1 × 5.

Het algoritme van Euclides is een snelle manier om te bepalen of twee gehele getallen relatief priem zijn. De Eulers totiëntfunctie (of Eulers phi-functie) van een positief getal  geeft het aantal gehele getallen tussen 1 en  die relatief priem zijn ten opzichte van .

Voor een verzameling van meer dan twee getallen kent men ook het begrip paarsgewijs relatief priem, waarbij voor elk paar getallen uit deze verzameling geldt dat ze relatief priem zijn.

Equivalente definities
Twee gehele getallen  en  zijn relatief priem als:

 er gehele getallen  en  bestaan, zodanig dat  (zie Stelling van Bachet-Bézout).
  een multiplicatieve inverse modulo  heeft: er bestaat een geheel getal  zodanig dat . In andere woorden,  is een eenheidselement in de ring  van gehele getallen modulo .

Een gevolg hiervan is dat als , de getallen  en  copriem, waaruit weer volgt dat  en  ook copriem moeten zijn.

Breuk
Een breuk kan dan en slechts dan vereenvoudigd worden als de teller en de noemer niet relatief priem zijn.

Toepassingen
Wanneer twee tandwielen tegen elkaar draaien en de aantallen tanden op de twee wielen zijn relatief priem, dan komen alle tanden elkaar bij ronddraaien tegen. Door te kiezen voor twee tandwielen, waarbij het aantal tanden ten opzichte van elkaar relatief priem zijn, voorkomt men een snelle slijtage van bepaalde tanden, terwijl andere tanden nooit worden gebruikt.

Waarschijnlijkheid dat twee getallen relatief priem zijn 
Gegeven twee willekeurig gekozen gehele getallen  en , is het redelijk om zich af te vragen hoe groot de kans is dat  en  copriem zijn. Bij het bepalen van deze waarschijnlijkheid kan men gebruik van maken van de karakterisering dat  en  dan en slechts dan copriem zijn ten opzichte van elkaar als geen enkel priemgetal noch op , noch op  deelt, de twee getallen zijn onderling ondeelbaar (zie ook de hoofdstelling van de rekenkunde).

Intuïtief gezien is de kans dat enig getal deelbaar is door een priemgetal (of elk willekeurig geheel getal),  gelijk aan . Vandaar dat de kans dat twee getallen beiden deelbaar zijn door dit priemgetal gelijk is aan 
 
en is de kans dat ten minste een van hen dat niet is gelijk aan 
. 
De kans dat twee getallen copriem zijn wordt dus gegeven door een product over alle priemgetallen,

 ≈ 0{,}607927102 ≈ 61%.

Hier refereert  aan de Riemann-zeta-functie, de identiteit, die het product over de priemgetallen aan  relateert, is een voorbeeld van een Euler-product en de evaluatie van  als  wordt het Bazel-probleem genoemd. Dit probleem werd in 1735 opgelost door Leonhard Euler. In het algemeen geldt dat de kans dat  willekeurig gekozen gehele getallen relatief priem zijn gelijk is aan 

Er bestaat soms verwarring over wat precies bedoeld wordt met een "willekeurig gekozen geheel getal". Een manier om dit te begrijpen is om te veronderstellen dat deze gehele getallen willekeurig worden gekozen uit een verzameling gehele getallen beginnend bij 1 en lopend tot . In dat geval bestaat er voor elke bovengrens  een kans
 
dat twee willekeurig gekozen gehele getallen relatief priem zijn. Dit zal nooit exact gelijk zijn aan 
, maar in de limiet naar  nadert .

Zie ook 
 Priemgetal
 Stelling van Dirichlet over rekenkundige rijen

Referenties

Getaltheorie