Funkcja ciągła

Funkcja ciągła – funkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako:
 funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko,
 funkcję rzeczywistą (określoną na zbiorze  lub jego podprzedziale), której wykresem jest ciągła linia, tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru.

Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych. To ujęcie jest jednocześnie bardzo proste i pozwala jednolicie potraktować przypadki nieskończoności (bardzo potrzebne przy pojęciu granicy funkcji i granicy ciągu):

Zbiór  staje się przestrzenią topologiczną, gdy dla każdego jego elementu określimy rodzinę otoczeń tego elementu – podzbiorów  Musi ona spełniać pewne warunki.

Najczęściej spotykamy się z takimi przestrzeniami topologicznymi, których topologia jest wyznaczona przez metrykę, czyli sposób określania odległości  punktów tej przestrzeni. Wtedy za otoczenia punktu przyjmuje się kule o środku w tym punkcie i dodatnim promieniu. Standardowo przyjmuje się kule otwarte, ale użycie kul domkniętych prowadzi do tej samej topologii. Natomiast gdyby dopuścić kule domknięte o promieniu 0, otrzymalibyśmy tzw. topologię dyskretną, na ogół inną od wprowadzonej przez metrykę.

Inaczej jest z nieskończonościami – tu nie określamy otoczeń przez metrykę: otoczeniami elementu  w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych są przedziały  dla dowolnych  otoczeniami elementu  są przedziały  dla dowolnych  (ciekawe są otoczenia  dla ).

Niech będą dane zbiory  i  zawarte w przestrzeniach topologicznych, i funkcja 

Definicja (topologiczna): Funkcja  jest ciągła w punkcie  jeśli
 
symbole  i  to kwantyfikatory.

Definicja: Funkcja jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny, czyli w zbiorze  Funkcja jest ciągła w zbiorze  zawartym w jej dziedzinie jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

W dalszym ciągu podajemy bardziej tradycyjne ujęcia i pokazujemy, że definicje Cauchy’ego są równoważne powyższym.

Ciągłość funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej 
Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości:
 Cauchy’ego – podana przez Augustina Louisa Cauchy’ego, nazywana też epsilonowo-deltową z racji używania liter  oraz  w definicji;
 Heinego – podana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową.

Niech  oraz

Definicje

Definicja Cauchy’ego 
Funkcja  jest ciągła w punkcie  wtedy i tylko wtedy gdy:
 

Definicja ta jest równoważna topologicznej: warunek  oznacza, że  należy do kuli otwartej o środku  i promieniu  (czyli do otoczenia ). Warunek  oznacza, że  należy do kuli otwartej o środku  i promieniu  (czyli do otoczenia ). Tak więc zapis  oznacza wybranie otoczenia  a zapis  oznacza dobranie do niego otoczenia  (zamiast pisać  Cauchy pisze  ( pełni rolę ), a warunek przynależności do  przenosi do poprzednika implikacji).

Definicja Heinego 
Funkcja jest ciągła w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu  liczb z  który jest zbieżny do  ciąg wartości  jest zbieżny do  czyli
 

Jeżeli funkcja  spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego  to jest ona ciągła na zbiorze  odpowiednio w sensie Cauchy’ego lub w sensie Heinego.

Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeżeli jest ciągła na całej swojej dziedzinie.

Uwagi do definicji 
Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.

Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja  jest ciągła w punkcie izolowanym, tj. nie będącym punktem skupienia zbioru 

Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy’ego dwóch zmiennych z danego zbioru
 

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej.

Obie definicje (Cauchy’ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronna 
Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy’ego należy dodać warunek dla  mianowicie  aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do  wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

Przykłady 
Rozpatrujemy funkcje 
 Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji ).
 Funkcja dana wzorem
 
 jest ciągła.
 Funkcja skokowa Heaviside’a jest ciągła prawie wszędzie – we wszystkich punktach dziedziny poza zerem: 
 Funkcja Dirichleta  jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).
 Funkcja  jest ciągła wyłącznie w punkcie 
 Funkcja  jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.
 Funkcja Riemanna  jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

Własności 
 Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
 Jeżeli funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty, jest ciągła,  to na dziedzinie:
 jest jednostajnie ciągła,
 przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa),
 ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych i unormowanych

Definicje 
W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy’ego, zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych  oraz  funkcja  jest ciągła w punkcie  jeśli prawdziwe jest zdanie
 

Powyższą implikację można zapisać również w postaci
  albo 

gdzie  oznaczają kule otwarte odpowiednio w  oraz   oznaczają środek i promień kuli  (analogicznie jest dla kuli ).

Odpowiednikiem definicji ciągłości funkcji  w sensie Heinego jest:

Przykłady 
 Dwuargumentowe działania algebraiczne  zdefiniowane  dla Zbiór liczb zespolonych  jest przestrzenią metryczną w metryką zbiór par liczb zespolonych  jest przestrzenią metryczną w metryką gdzie  oznacza moduł liczby zespolonej.
 Jednoargumentowe działanie algebraiczne  zdefiniowane  dla 
 Jednoargumentowe działanie  zdefiniowane  dla 
 Metryka naturalna  na sferze  zdefiniowana formalnie jako  czyli jako kąt między niezerowymi wektorami

Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych

Definicja 

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii.

Niech  oraz  będą przestrzeniami topologicznymi.

Mówimy, że funkcja  jest ciągła w punkcie  jeżeli dla każdego otoczenia  punktu  istnieje otoczenie  punktu  takie, że jego obraz  zawiera się w  (patrz rysunek obok).

Jeśli przestrzenie  są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy’ego podaną wyżej.

Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi 
W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech  i  będą przestrzeniami topologicznymi oraz 

Aby sprawdzić ciągłość funkcji  nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni.
 Można zbadać dla pewnej bazy  tej przestrzeni: funkcja  jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego  jest otwarty, tj. należy do topologii 
 Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja  jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:
 przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w  jest domknięty w 
 dla każdego zbioru  spełniony jest warunekgdzie  oznacza domknięcie zbioru 
 dla każdego zbioru  spełniony jest warunek
 

Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli  jest funkcją ciągłą oraz  ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz 
 zwartość,
 ośrodkowość,
 spójność.

Jeśli zbiór  jest gęsty w  a  są ciągłe oraz  dla każdego  to

Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi 
Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej  w inną przestrzeń  jest oznaczana symbolem  Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień  o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z  w  i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni 

Na przestrzeni  rozważa się także strukturę topologiczną, wprowadzając topologie:
 zbieżności punktowej zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie 
 zbieżności jednostajnej w której bazą otoczeń punktu  jest  gdzie

Ciągłość funkcji w terminach teoriomnogościowych 
Niech  oraz  będą porządkami zupełnymi.

Funkcja  jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn. dla dowolnego podzbioru skierowanego  zachodzi

Zobacz też 
 funkcja jednostajnie ciągła
 funkcja różniczkowalna
 punkt odosobniony
 warunek Höldera
 warunek Lipschitza

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa 
 Ryszard Engelking: Topologia ogólna, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
 Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
 Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.

Linki zewnętrzne 
 
  [dostęp 2023-02-07].
  Continuous function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-07].
  William L. Hosch, continuity , Britannica Online, 18 stycznia 2023 [dostęp 2023-02-07].