Multimenge

Multimenge ist ein Begriff, der den Mengenbegriff aus der Mengenlehre variiert. Die Besonderheit von Multimengen gegenüber dem gewöhnlichen Mengenbegriff besteht darin, dass die Elemente einer Multimenge mehrfach vorkommen können. Dementsprechend haben auch die für Multimengen verwendeten Mengenoperationen eine modifizierte Bedeutung.

In der Informatik stellen Multimengen (dort auch engl. Multiset oder Bag genannt) eine nützliche Datenstruktur dar. Beispielsweise behandelt die Datenbanksprache SQL Tabellen standardmäßig als Multimengen.

Definition 
Eine Multimenge  über einer Menge  ist eine Abbildung von  in die Menge der natürlichen Zahlen . Die Zahl  gibt an, wie oft das Element  in der Multimenge  vorkommt. Die Menge aller Multimengen über  kann als  geschrieben werden. Im Weiteren wird jedoch, um vertikalen Platz zu sparen,  verwendet.

Reduzierte Grundmenge 
Die reduzierte Grundmenge (engl. „support“) einer Multimenge  über  ist die Menge  der relevanten Elemente von , in Formeln:
.

Teilmultimenge 
Eine Multimenge  heißt Teil(multi)menge einer Multimenge , wenn jedes Element der reduzierten Grundmenge von  in  mindestens so häufig vorkommt wie in . Formal:

.

Zwei Multimengen  und  sind gleich, wenn ihre reduzierten Grundmengen gleich sind und die Vielfachheiten übereinstimmen. Sie sind dann auch in beiden Richtungen Teilmultimengen voneinander.

Bemerkung 
Obige Definition mit Zulassung des (eigentlich irrelevanten) 0-Wertes ist eine Verallgemeinerung der Indikatorfunktion bei den gewöhnlichen Mengen. Sie ermöglicht die Bereitstellung eines „Universums“ als Grundmenge, auf welches alle fraglichen Multimengen bezogen werden, und vereinfacht in der Folge Handhabung und Vergleich.

Anschauung 
Anschaulich ist eine Multimenge eine Menge, in der jedes Element beliebig oft vorkommen kann. Mengen sind in diesem Sinne ein Spezialfall von Multimengen, bei denen jeder Wert nur genau einmal vorkommt.

Notation 
Man notiert Multimengen wie Mengen explizit mit geschweiften Klammern und schreibt ein Element so oft hinein, wie es in der Multimenge vorkommt.
Um Multimengen von normalen Mengen zu unterscheiden, wird bei ihrer Aufzählung gelegentlich auch ein kleines  (für engl. bag) als Index angefügt.
Einige Autoren benutzen stattdessen modifizierte Klammern: .

Halb-abstraktes Beispiel 
Es sei  die Multimenge über  mit ,  und . Dann schreibt man also  oder  oder .

Anschauliche Beispiele 
Man nehme einen Würfel und würfele 20-mal hintereinander. Dann kann es sein, dass man
 3-mal eine 1
 2-mal eine 2
 4-mal eine 3
 5-mal eine 4
 3-mal eine 5 und
 3-mal eine 6
geworfen hat. Die Grundmenge ist dann ; die Vielfachheit der  ist 4; also . Die Multimenge listet jeden Wurf auf, wobei die Reihenfolge außer Acht gelassen wird:

Ein anderes Beispiel ist etwa die Primfaktorzerlegung von 120:

Sie lässt sich als Multimenge  interpretieren.

Anzahl der möglichen Multimengen 
Die Anzahl der -elementigen Multimengen über einer -elementigen Menge  wird (analog zu den Binomialkoeffizienten) als  bezeichnet. Dies lässt sich gut als Binomialkoeffizient ausdrücken:

solange  und . Falls , so ist die kombinatorische Größe sinnvoll definiert als . In allen anderen Fällen ist sie gleich .

Dies gibt die Anzahl der möglichen Ausgänge beim Ziehen von unterscheidbaren Kugeln aus einer Urne an, wenn die Reihenfolge nicht beachtet wird und jede gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird, nachdem sie gezogen wurde (siehe Kombination mit Wiederholung).

Beispiel 
Werden aus einer Urne mit 5 Kugeln nacheinander 10 gezogen, wobei jede gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird, so gibt es

mögliche Kombinationen, wenn die Reihenfolge der gezogenen Kugeln nicht beachtet wird.

Variante: Multimengen mit mindestens einem Vorkommen von jedem Elementtypen 
Bezeichne mit  die Anzahl der möglichen Multimengen über einer -elementigen Menge , sodass jeder Elementtyp  mindestens -mal vorkommt. Dann ist es leicht zu sehen, dass es sich, sobald die insgesamt  obligatorischen Vorkommnisse von den  Multimengenobjekten entfernt sind, um eine kombinatorische Aufzählung der ersten Art handelt. Genauer gesagt:

Gemäß der o. s. Information gilt näher

solange . Falls , so ist die kombinatorische Größe sinnvoll definiert als . In allen anderen Fällen ist sie gleich .

Variante: Multimengen mit Kapazitätsbeschränkungen 
Bezeichne mit  bzw.  die Anzahl der möglichen Multimengen über einer -elementigen Menge , so dass jeder Elementtyp  zwischen  und  Mal (bzw. zwischen  und  Mal) vorkommt. Dies wird regelmäßige Kombination genannt. Mittels kombinatorischer Argumente erhält man die geschlossenen Form:

und analog für die -Variante.
Zur Herleitung dieser kombinatorischen Größe betrachte man die Mengen

und erkennt sofort, dass  und .
Man sieht, dass , sodass . Mittels einer Bijektionskonstruktion beweist man außerdem, dass  für alle  mit . Anhand dieser Erkenntnisse sowie der Inklusion-Exlusion-Formel für die Kardinalität einer endlichen Vereinigung  lässt sich die o. s. geschlossene Form berechnen. Analog kann man die -Variante herleiten.

Kombinatorische Identitäten: Summen 
Um eine -elementige Multiset über  Elementtypen summiert man über die Möglichkeiten für die  ersten Elementtypen gegeben die möglichen Werte für die Anzahl des letzten Elemententtyps. Mathematisch ausgedrückt bedeutet dies
.
Die Summendarstellung der beschränkten kombinatorischen Größe ermöglicht nun die Berechnung ihrer kumulativen Summe:

Anhand der Mengen von Multimengen im o. s. Abschnitt, lässt sich ersehen, dass die Gesamtzahl der Multimengen über  Elementen sowie Kapazitätsbeschränkungen gegeben ist durch .
Dementsprechend kann man die komplementären Summen wie folgt bilden

Die o. s. Ergebnisse gelten analog für die -Variante.
Diese Summen sind u. a. bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten wichtig.

Beispiel 
Die beschränkte kombinatorische Größe kommt vor, wenn  Typen von Objekten vorhanden sind, davon  bis  (bzw. –) Kopien pro Typ, und man berechnen will, wie viele -Kombinationen man daraus selektieren kann (ohne Rücksicht auf die Reihenfolge). Beispielsituationen:
(1.)  Kartenfarben, davon  Karten und Anzahl der Karten. Dann ist  die Anzahl der möglichen Hände.
(2.)  Anzahl der Molekülarten mit jeweils  Teilchen und Anzahl der Teilchen, die in ein Gefäß fließen. Dann ist  die Anzahl der möglichen Mischungen.

Operationen auf Multimengen 
Eine Multimenge über Multimengen über  kann unter Beachtung der Vielfachheiten vereinigt werden. Dies leistet , mit

Eine Funktion  kann erweitert werden zu einer Funktion , wobei
 
Zusammen mit  mit
 
haben wir es mit einer Monadenstruktur zu tun.

Der Funktor  sowie  lassen sich auch auf eine andere nützliche Operation zurückführen.  erweitert eine Funktion  zu einer Funktion , und zwar durch
 
Mit Hilfe dieser Operation kann  und  gesetzt werden.

Vereinigung, Durchschnitt und Differenz 
Die (große) Vereinigung zweier Multimengen über derselben Grundmenge  kann entweder direkt als
 
oder mittels 
 
angegeben werden.

Als kleine Vereinigung zweier Multimengen wird die kleinste Multimenge
 ,
die beide umfasst, angesehen.

Der Durchschnitt zweier Multimengen über derselben Grundmenge  ist anwendungsspezifisch. Es gibt
 , sowie
 
Die zweite Definition lässt sich auf obiges  zurückführen, wenn zusätzlich eine weitere Operation eingeführt wird. Sei , dann ist  definiert durch
 .
Der Durchschnitt im zweiten Sinne ergibt sich dann als  mit
 

Für die Differenz zweier Multimengen über derselben Grundmenge  gibt es ebenfalls mindestens zwei sinnvolle Definitionen.
 
 
Für beide gilt  und . Welche die "richtige" ist, hängt vom Anwendungsfall ab.

Bemerkung:
Seien  Multimengen über den Primzahlen. Mit  und  als ausmultiplizierten Multimengen haben wir:
Die große Vereinigung entspricht dem Produkt .
Die kleine Vereinigung entspricht dem kgV, d. h. .
Die erste Version des Durchschnitts entspricht dem ggT, d. h. .
Die erste Version der Differenz entspricht .

Verallgemeinerungen 
Behält man die im vorangegangenen Abschnitt definierten Operationen bei, erhält man durch Variation der Vielfachheitenmenge verwandte Strukturen.
 Reelle Vielfachheiten im Intervall  ergeben Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Multimengen-Grundmenge wird zur Menge möglicher Ereignisse. Die -Operation rechnet Funktionen, die auf der Basis von eingetretenen Ereignissen Wahrscheinlichkeitsverteilungen anderer Ereignismengen erzeugen, in solche um, die mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Eingabe umgehen können. Vergleiche auch Fuzzymengen.
 Lässt man für die Vielfachheiten Körperelemente zu und definiert zusätzlich eine Skalierung, werden Multimengen über A zu Vektoren eines Vektorraums mit einer Basis, die durch A indiziert wird.  verkörpert dabei die Tatsache, dass es für die Festlegung einer linearen Abbildung ausreicht, die Bilder der Basisvektoren festzulegen. Auf ähnliche Weise rechnet  Funktionen auf Basisindexpaaren in bilineare Abbildungen um.

Literatur

Einzelnachweise 

Mengenlehre
Datenstruktur