Tensor

Tensor – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora. Zbiór wszystkich tensorów wraz z działaniami dodawania i mnożenia przez skalar nazywa się przestrzenią tensorową. Tensory, podobnie jak wektory, mogą być swobodne i zaczepione. Rozważa się pola tensorowe (nazywane również w skrócie tensorami), czyli pola, które każdemu punktowi przestrzeni przypisują pewien tensor. Tensory, które zmieniają się przy zmianie skali, ściśle nazywa się gęstościami tensorowymi.

Obiektami podobnymi do tensorów są tensory spinorowe (np. spinory są analogami wektorów). Uogólnieniem tensorów i tensorów spinorowych jest tzw. obiekt geometryczny.

Cel 

(1) Aby opisać przestrzeń geometryczną (np. przestrzeń 3-wymiarową, czasoprzestrzeń), wprowadza się zazwyczaj układ współrzędnych, który można wybierać na wiele sposobów. Zapis praw przyrody przy ustalonym układzie nie pozwala na ogół rozstrzygnąć czy jakaś zaobserwowana właściwość danego zjawiska jest cechą praw przyrody, czy tylko narzuca ją wybór układu współrzędnych.

Tensory, obiekty matematyczne mają właściwości niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych tworzy się równania, zwane równaniami tensorowymi lub tożsamościami tensorowymi. Równania te słuszne w jednym układzie będą słuszne w każdym innym.

(2) Prawa fizyki powinny dać się zapisać za pomocą równań tensorowych, tzn. wielkości fizyczne występujące w równaniach opisujących podstawowe prawa przyrody powinny być tensorami (skalarami, wektorami, tensorami wyższych rzędów). Przy tym postuluje się za Einsteinem, iż równania tensorowe powinny być niezmiennicze względem zmiany układu współrzędnych, tzn. symbole wielkości tensorowych powinny być powiązane ze sobą w identyczny sposób po transformacji z jednego układu współrzędnych do innego. Co istotne, żąda się, by rozważane transformacje miały bardzo ogólny charakter. Np. równania szczególnej i ogólnej teorii względności (STW i OTW) są równaniami tensorowymi niezmienniczymi ze względu na transformację Lorentza.

Wybór konkretnego układu współrzędnych pozwala na rzutowanie tensorów na osie układu współrzędnych – w ten sposób dostaje się współrzędne tensorów będące liczbami (lub funkcjami zależnymi od punktów przestrzeni), co umożliwia przeprowadzenie obliczeń.

(3) Równania Newtona, będące podstawą fizyki klasycznej, mają charakter równań tensorowych – występują w nich wektory, a równania są niezmiennicze ze względu na transformację Galileusza. Np. w równaniu II zasady dynamiki Newtona występują wektor siły  i wektor pędu  (wektory są tensorami I rzędu):
 

W konkretnie wybranym układzie współrzędnych równanie to przyjmie postać układu trzech równań
 

gdzie  – współrzędne wektorów rzutowanych na osie wybranego układu współrzędnych.

(4) Transformacja Galileusza jest mniej ogólna niż transformacja Lorentza. Wprowadzenie przez Einsteina wymogu, by prawa fizyki były niezmiennicze ze względu na transformację Lorentza doprowadziło do bardziej uniwersalnego sformułowania praw przyrody, w postaci STW i OTW.

(5) Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. Także w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

Parametryzacja przestrzeni – przyjęcie układu współrzędnych 
Parametryzacja przestrzeni poprzez przyjęcie układu współrzędnych z kanonicznie zdefiniowaną bazą i kobazą wektorów stanowi niezbędny element definicji tensorów.

(1) Niech będzie dana przestrzeń Euklidesa – rozważymy tu dla prostoty przestrzeń trójwymiarową (uogólnienie na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru będzie wymagać jedynie zwiększenia zakresu sumowań w podanych wzorach).

(2) W przestrzeni Euklidesa zawsze można zdefiniować kartezjański układ współrzędnych – tzw. bazowy układ współrzędnych, tak że każdy punkt przestrzeni określony jest przez trójkę liczb  zwanych współrzędnymi tego punktu; wektor wodzący punktu ma postać
 

gdzie:
  – wektory lokalnej bazy układu współrzędnych kartezjańskich; wektory te są ortogonalne i unormowane do 1.

(3) W przestrzeni wprowadzamy drugi dowolny krzywoliniowy układ współrzędnych  zdefiniowany względem układu współrzędnych kartezjańskich  zadany za pomocą funkcji
 

lub
 

(4) Przekształcenie musi być jednoznaczne, dlatego jakobian przekształcenia musi być różny od zera w całym obszarze, gdzie chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe
 

(5) Bazę układu  tworzą wektory styczne do linii układu współrzędnych
 

Podstawiając
 

otrzymamy wyrażenie na wektory styczne do linii współrzędnych w układzie krzywoliniowym, wyrażone w bazie układu kartezjańskiego
 

przy czym należy pamiętać, że w powyższym wzorze obowiązuje sumowanie po powtarzającym się wskaźniku 

Z powyższego widać, że:
 Wektory bazy kartezjańskiej transformują się na bazę układu krzywoliniowego poprzez macierz
 
 (tj. równą macierzy transformacji nowych współrzędnych w stare).

(6) Kobazę układu współrzędnych (bazę sprężoną do ) tworzą wektory prostopadłe do płaszczyzn wyznaczonych przez pary wektorów bazowych 
 

Z powyższego widać, że:
 Wektory bazy kartezjańskiej transformują się na kobazę układu krzywoliniowego poprzez macierz 

(7) Z powyższego widać, że
 Macierze transformacji bazy kartezjańskiej w wektory bazy i kobazy są wzajemnie odwrotne, tj.
 

(8) Zależności między wektorami bazy i kobazy
 
 
 
 oraz
 
 gdzie
  – delta Kroneckera.

Definicja tensorów

Tensor 0. rzędu, czyli pole skalarne (funkcja skalarna) 
 
 nie zmienia wartości przy przejściu do innego układu współrzędnych.

Tensor 1. rzędu, czyli pole wektorowe 
Jedna z możliwych definicji tensora opiera się na obserwacji, iż współrzędne wektorów wykazują szczególne właściwości transformacyjne przy przejściu do bazy innego układu współrzędnych. Poniżej pokażemy te właściwości transformacyjne.

(1) Wektor jest obiektem geometrycznym, dlatego nie zależy od tego, w jakiej bazie jest wyrażony. Stąd prawdziwe muszą być poniższe równości
 

(2) Ponieważ  to zachodzi odwrotna zależność
 

(3) Podstawiając powyższe wyrażenie do pierwszej równości otrzyma się
 

(4) Oznacza to, że współrzędne wektora kontrawariantnego określone w układzie  przy przejściu do innego układu  transformują się w tak że:
 Nowe współrzędne wektora zależą od starych współrzędnych poprzez macierz transformacji  tj.
 

(5) Powyższą właściwość dotyczącą transformacji współrzędnych wektora uogólnia się, co stanowi podstawę jednej z możliwych definicji tensora.

Tensor 2. rzędu otrzymany z iloczynu dwóch wektorów 
Tensor 2-go rzędu można otrzymać np. z iloczynu tensorowego dwóch wektorów.

(1) Iloczyn dwóch wektorów w postaci kontrawariantnej daje tensor kontrawariantny 2. rzędu, gdyż
 
 gdzie
  – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów bazy
  – współrzędne kontrawariantne tensora.

(2) Iloczyn dwóch wektorów w postaci kowariantnej daje tensor kowariantny, gdyż
 
 gdzie
  – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów kobazy,
  – współrzędne kowariantne tensora.

(3) Iloczyn wektora w postaci kowariantnej z wektorem w postaci kontrawariantnej daje tensor mieszany, gdyż
 
 gdzie
  – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów kobazy i bazy,
  – współrzędne kowariantno-kontrawariantne tensora.

(4) Iloczyn wektora w postaci kontrawariantnej z wektorem w postaci kowariantnej daje tensor mieszany, gdyż
 
 gdzie
  – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów bazy i kobazy,
  – współrzędne kontrawariantno-kowariantne tensora.

(5) Z powyższego widać, że tensor 2. rzędu ma współrzędne różnego typu w zależności od tego, w jakiej bazie jest wyrażony. Ponieważ jednak tensor jest obiektem geometrycznym, to nie zależy od bazy, w jakiej jest wyrażany, dlatego dla dowolnego tensora słuszne są zależności

Transformacja współrzędnych tensora 2. rzędu 
(1) Dany jest tensor w bazie wektorów 
 
 gdzie
  – współrzędne tensora.

(2) Tensor ten w bazie wektorów  ma postać
 
 gdzie
  – współrzędne tensora.

Z porównania (1) (2) oraz podstawienia zależności   wynikają związki transformacyjne współrzędnych tensora,

Transformacja współrzędnych tensora dowolnego rzędu 
Podobnie otrzymuje się wzory transformacyjne dla innych tensorów, np.

Przykład: Tensor utworzony z iloczynu tensorowego wektorów 
Założenia:
  – wektory bazy przestrzeni euklidesowej  3-wymiarowej,
  – wektory bazy (tzw. kobazy) przestrzeni dualnej 
  – wektor kontrawariantny (należący do ),
  – wektor kowariantny (należący do ).

Z wektorów  można utworzyć tensor  za pomocą mnożenia tensorowego, tj.
 

gdzie:
  – iloczyny tensorowe wektorów bazowych.

Aby jawnie pokazać, co wyrażają powyższe iloczyny tensorowe przyjmijmy reprezentację (kanoniczną) wektorów bazy w postaci wektorów wierszowych, a kobazy w postaci wektorów kolumnowych
 
 

Wtedy
 

Tensor
 

jest więc kombinacją liniową wszystkich par wektorów bazowych mnożonych wektorow; tensor ten ma w podanej reprezentacji przedstawienie w postaci macierzy 3 × 3:
 

przy czym wielkości
 

nazywa się współrzędnymi  tensora; iloczyny tensorowe  które w podanej reprezentacji są macierzami 3 × 3 o jednym elemencie niezerowym, stanowią bazę przestrzeni tensorowej tensorów typu  rozpiętych nad 3-wymiarową przestrzenią euklidesową  Przestrzeń tensorowa tego typu tensorów jest więc -wymiarowa.

Uwagi:

(1) Gdyby przestrzeń euklidesowa była -wymiarowa, to tensory typu  (o dwóch indeksach) tworzyłyby przestrzeń tensorową -wymiarową.

(2) Gdyby przestrzeń euklidesowa była -wymiarowa, to tensory mające  indeksów tworzyłyby przestrzeń tensorową -wymiarową. Np. tensory  mające  indeksów na przestrzeni -wymiarowej tworzyłyby przestrzeń tensorową  wymiarową (!).

Definicja tensora za pomocą funkcji wieloliniowej 
(Uwaga: Poniższa definicja jest mało intuicyjna przy pierwszym zetknięciu się z pojęciem tensora).

Jeżeli
  jest przestrzenią liniową wymiaru N nad ciałem ,
  jest przestrzenią do niej sprzężoną,
  i  są nieujemnymi liczbami całkowitymi,
 dany jest iloczyn kartezjański,
 

to tensorem nazywamy dowolną funkcję (p+q)-liniową
 

przy tym

(1) wektory przestrzeni  utożsamia się z tensorami typu  tj. traktuje jako wektory o górnych wskaźnikach (wektory kontrawariantne),

(2) wektory przestrzeni dualnej  (tj. przestrzeni rozpiętej na bazie dualnej do bazy przestrzeni ) – to tensory typu  czyli wektory o dolnych wskaźnikach (wektory kowariantne),

(3) przyjmuje się, że tensory typu  to skalary (elementy ciała ).

Definicja rzędu, typu tensora 
Mówimy, że tensor  jest
 typu 
 rzędu 
 -krotnie kontrawariantny i -krotnie kowariantny
 kontrawariantny – jeżeli ma tylko górne wskaźniki 
 kowariantny – jeżeli ma tylko dolne wskaźniki

Przestrzeń tensorowa

Definicja dodawania tensorów i mnożenia przez liczbę 
Niech  będzie przestrzenią liniową nad ciałem 

(1) Sumą tensorów  nazywa się tensor  taki że wartość jego działania na dowolnych  wektorów przestrzeni  oraz dowolnych  wektorów przestrzeni  jest równa sumie działań każdego z tensorów  z osobna na tych wektorach, tj.
 

(2) Iloczynem tensora  przez liczbę  należącą do ciała  nazywa się tensor  taki że wartość jego działania na dowolnych  wektorów przestrzeni  oraz dowolnych  wektorów przestrzeni  jest równa iloczynowi liczby  przez wynik działania tensora  na tych wektorach, tj.
 

Uwagi:

(1) Tensor utworzony z dodawania tensorów  oznacza się symbolem  Z definicji wynika, że jest to tensor tego samego rzędu, co tensory dodawane, a więc należy do tej samej przestrzeni tensorowej nad przestrzenią 

(2) Tensor utworzony z mnożenia tensora  przez liczbę  oznacza się symbolem  Z definicji wynika, że jest to tensor tego samego rzędu, co tensor  a więc należy do tej samej przestrzeni tensorowej nad przestrzenią

Twierdzenie (o przestrzeni liniowej tensorów) 
Zbiór wszystkich tensorów typu  określonych na przestrzeni  z działaniami dodawania tensorów i mnożenia przez liczbę  należącą do ciała  tworzy przestrzeń liniową.

Definicja przestrzeni tensorowej 
Przestrzenią tensorową nazywa się przestrzeń liniową utworzoną z tensorów typu  na przestrzeni  i oznacza się symbolem

Wymiar przestrzeni tensorowej 
Przestrzeń tensorowa  tensorów o  indeksach górnych oraz  indeksach dolnych, utworzona nad przestrzenią liniową  o wymiarze  ma wymiar 

Np. Przestrzeń tensorowa  zawierająca tensory postaci  (np. ) nad przestrzenią  ma wymiar  (por. Przykład).

Baza przestrzeni tensorowej. Reprezentacja tensora w bazie 
Jeżeli
 przestrzeń  jest przestrzenią skończenie wymiarową,
  – wymiar przestrzeni 
 zbiór  baza przestrzeni 

to
 w przestrzeni sprzężonej  można utworzyć bazę sprzężoną (kobazę) do  złożoną z funkcjonałów liniowych  na przestrzeni  takich że:
    gdy 
    w przeciwnym przypadku,
 tensory utworzone za pomocą mnożenia tensorowego  wektorów bazy oraz  wektorów kobazy,
  
 są liniowo niezależne (por. Przykład), co oznacza, że zbiór tych tensorów,
  
 jest bazą przestrzeni tensorowej 
 każdy tensor na przestrzeni  można przedstawić w tej bazie w postaci,

 
 gdzie:
 
 – współrzędne (składowe) tensora w bazie.

Uwagi:

1) Tensorami często nazywa się po prostu ich współrzędne .

2) Wymiar przestrzeni tensorowej  wynosi  gdzie  – wymiar przestrzeni

Iloczyn tensorowy (zewnętrzny) tensorów

Definicja 
Iloczynem tensorowym (zewnętrznym) nazywa się działanie dwuliniowe, które dwóm tensorom o typach  oraz  przypisuje tensor o typie 
 

taki, że jest on zbiorem wszystkich iloczynów składowych przemnażanych tensorów, tj.
 

Np. tensor utworzony z iloczynu dwóch wektorów – kontrawariantnego i kowariantnego,  wyrażony bazie przestrzeni liniowej i kobazie przestrzeni dualnej ma postać sumy 9 składników:
 

(por. Przykład, gdzie pokazano dokładnie mnożenie tensorowe tensorów).

Twierdzenia 
Z definicji iloczynu tensorowego wynikają następujące twierdzenia:

Tw. 1

Jeżeli  to
 

Tw. 2

Jeżeli  to
 

Tw. 3

Jeżeli 
 

Tw. 4

Jeżeli  to
 

Tw. 5

Iloczyn tensorowy nie jest przemienny, tzn. na ogół
 .

Transformacje współrzędnych 
Gdy w przestrzeni  przechodzimy z danej bazy do, to współrzędne tensorów transformują się zgodnie z dwiema regułami:

(1) składowe kowariantne wektorów, tensorów 2-go rzędu itd. transformują poprzez macierz identyczną z macierzą transformacji bazy układu kartezjańskiego do bazy układu krzywoliniowego (mówi się, że składowe kowariantne transformują się współzmienniczo lub kowariantnie z wektorami bazy),

(2) składowe kontrawariantne wektorów, tensorów transformują się poprzez macierz odwrotną (transformują się przeciwzmienniczo lub kontrawariantnie).

Współrzędne zwykle grupuje się w wielowymiarowe tabelki (macierze).

Pojedyncze równanie tensorowe rozpisane na składowe przechodzi w układ równań wiążących współrzędne tensorów.

Pojawia się tutaj główna zaleta rachunku tensorowego: współrzędne są zależne od układu współrzędnych, jednak równania wiążące współrzędne są niezależne od układu, tj. w każdym układzie mają taką samą postać, przy założeniu, że transformacje między układami są wykonywane z ustalonymi regułami (np. transformacje Lorentza wiążą układy poruszające się względem siebie).

Definicja tensorów symetrycznych i antysymetrycznych 
Jeżeli
  jest przestrzenią liniową nad ciałem 
 
  będzie zbiorem permutacji zbioru 

to
 tensor kowariantny  nazywa się symetrycznym, gdy dla dowolnej permutacji 
 
 tensor kowariantny  nazywa się antysymetryczny, gdy dla dowolnej permutacji 
 .

Symetryzacja i antysymetryzacja tensora

Definicja symetryzacji 
Symetryzacją tensora  nazywa się odwzorowanie  dane wzorem:

Definicja antysymetryzacji 
Antysymetryzacją tensora  nazywa się odwzorowanie  dane wzorem:

Twierdzenia 
Tw. 1 Symetryzacja  tensora  jest symetrycznym tensorem -krotnie kowariantnym.

Tw. 2 Antysymetryzacja  tensora  jest antysymetrycznym tensorem -krotnie kowariantnym.

Tw. 3 Jeżeli  jest tensorem symetrycznym, to 

Tw. 4 Jeżeli  jest tensorem antysymetrycznym, to .

Tw. 5 Tensor -krotnie kowariantny jest jednocześnie symetryczny i antysymetryczny.

Dowód: Jedyną permutacją zbioru jednoelementowego jest identyczność i jej znak wynosi .

Całkowicie antysymetryczny iloczyn tensorowy 
W matematyce i fizyce szczególne znaczenie mają antysymetryczne tensory kowariantne (por. formy różniczkowe). Ponieważ wynikiem zwykłego iloczynu tensorowego tensorów antysymetrycznych może nie być tensor antysymetryczny, to wprowadza się iloczyn zewnętrzny, który jest swego rodzaju poprawionym iloczynem tensorowym.

Oznaczenie:  – zbiór wszystkich -krotnie kowariantnych tensorów antysymetrycznych na przestrzeni liniowej

Definicja 
Całkowicie antysymetrycznym iloczynem tensorowym (iloczynem zewnętrznym lub alternującym) nazywa się tensor  taki że
 
 oraz
 

Oznaczenie: Zazwyczaj pisze się

Twierdzenia o iloczynie zewnętrznym 
Słuszne są twierdzenia.

Tw. 1
 Ponieważ  jest tensorem antysymetrycznym, to  również jest tensorem antysymetrycznym.

Tw. 2

Jeżeli  to
 

Tw. 3

Jeżeli  to
 

Tw. 4

Jeżeli  to
 

Tw. 5

Jeżeli  to
 

Tw. 6

Jeżeli  to

Właściwości transformacyjne tensorów 
Tensorami nazywa się zespoły wielkości, które transformują się w ściśle określony sposób podczas przejścia do innego układu współrzędnych, przy czym w zależności np. od teorii fizycznej zakłada się, jakie rodzaje transformacji należy brać pod uwagę. Wszystkie wymagane transformacje tworzą przy tym grupy algebraiczne transformacji.

W szczególności

(1) fizyka klasyczna zakłada, że wymagane transformacje należą do grupy Galileusza,

(2) fizyka relatywistyczna, w tym szczególna i ogólna teorie względności, relatywistyczna mechanika kwantowa, zakładają, że wymagane transformacje należą do grupy Poincarégo (której podgrupę stanowi grupa Lorentza).

W ramach obu tych grup transformacji zawierają się: obrót, translacja, inwersja w przestrzeni, inwersja w czasie. Jednak transformacje relatywistyczne różnią się od klasycznej właściwą transformacja Lorentza, która miesza współrzędne czasowe z przestrzennymi, co sprawia, że radykalnie zmienia się obraz rzeczywistości: czas i przestrzeń nie są już oddzielne, ale mogą przekształcać się w siebie, geometria z euklidesowej staje się geometrią nieeuklidesową.

Składowe tensorów podczas transformacji układu współrzędnych na ogół zmieniają się. Istnieją jednak tzw. niezmienniki tensorów: są to wielkości, które nie zmieniają się mimo transformacji układu współrzędnych. Przy tym niezmienniki zależą od grupy transformacji, jakiej poddaje się tensory. To sprawia, że niezmienniki stanowią podstawę klasyfikacji tensorów.

Dany zespół wielkości może być tensorem względem jednej grupy transformacji, ale nie będzie tensorem względem innej grupy transformacji.

Oznaczenia:
  – macierz elementu grupy transformacji układu współrzędnych
  – macierz transformacji współrzędnych tensorów wyrażona za pomocą macierzy 

 Skalary, np.  – wcale się nie transformują, albo inaczej mówiąc, transformują się według reprezentacji trywialnej (macierz tej transformacji jest macierzą jednostkową )
 

 Wektory kontrawariantne, np.  – transformują się według macierzy odwrotnej do macierzy 
 

 Wektory kowariantne, jednoformy, np.  – transformują się według macierzy 
 

 Tensory drugiego rzędu podwójnie kontrawariantne, np.  – transformują się według macierzy będącej iloczynem dwóch macierzy odwrotnych do macierzy 
 

 Tensory drugiego rzędu podwójnie kowariantne, dwuformy, np.  – transformują się według macierzy będącej iloczynem dwóch macierzy 
 

 Tensory mieszane drugiego rzędu – transformują się według macierzy będącej iloczynem macierzy  i macierzy do niej odwrotnej; przy tym jeśli pierwszy jest indeks dolny, np.  to
 
 zaś
 
 jeśli pierwszy jest indeks górny, np. 

 Tensory wyższych rzędów – transformują się względem iloczynów prostych odpowiedniej liczby macierzy zgodnych i odwrotnych do macierzy , w kolejności odpowiadającej kolejności indeksów kowariantnych i kontrawariantnych, np. dla tensora  macierz transformacji współrzędnych ma postać
 

 Pseudoskalary – zachowują się jak skalary, ale zmieniają znak podczas odbicia
 
 Oznaczenia: jak skalary.

 Pseudowektory, wektory osiowe, wektory aksjalne – kowariantne / kontrawariantne – transformują się jak wektory kowariantne / kontrawariantne, ale nie zmieniają znaku podczas odbicia (zwykłe wektory zmieniają)
 
 lub
 
 Oznaczenia: jak wektory kowariantne / kontrawariantne.

 Spinory – transformują się względem reprezentacji spinorowej grupy przekształceń, czasem pomnożonej przez zwykłe reprezentacje tensorowe
 
 Oznaczenia:

Reprezentacje tensora za pomocą tablic współrzędnych 

Tensory można reprezentować jako tablice liczb, które mają wymiar równy rzędowi tensora:

(1) tensor 0-go rzędu to skalar: posiada tylko jedną składową (jest pojedynczą liczbą),

(2) tensor 1-go rzędu to wektor; reprezentuje go w układzie współrzędnych jednowymiarowa tablica; w przestrzeni 3-wymiarowej posiada trzy składowe,

(3) tensor 2-go rzędu: jego współrzędne zapisuje się w postaci macierzy kwadratowej; np. tensor pola elektromagnetycznego (w fizyce relatywistycznej reprezentowany przez macierz o 4 na 4, czyli o 16 składowych),

(4) tensor n-tego rzędu: jego współrzędne reprezentuje tablica n-wymiarowa.

Oznaczenia tensorów 
Tensory oznacza się zwykle literami (dużymi i małymi, greckimi i łacińskimi), czasem z dodatkowymi akcentami, jak kreski, kropki i gwiazdki. Przy literach tych stoją rozmaite indeksy, których ilość, pozycja i alfabet zależą od typu tensora. Skalary nie mają żadnych indeksów. Najczęściej spotyka się następujące oznaczenia:
 Indeksy kontrawariantne – małe litery greckie  itp. lub łacińskie  itp. stojące u góry, np.  (Takiego zapisu nie należy mylić z potęgowaniem).
 Indeksy kowariantne – małe litery greckie  itp. lub łacińskie  itp. stojące u dołu, np. 
 Indeksy spinorowe – małe litery łacińskie od  wzwyż (lub greckie od  wzwyż), stojące u góry lub u dołu, np. 

Jeden tensor może mieć wiele indeksów: 

Często kolejność indeksów jest nieistotna (tensor symetryczny) lub znana z kontekstu. Wtedy dla uproszczenia można zapisać: 

Tensor drugiego rzędu zamiast zapisu z indeksami  może być oznaczony daszkiem  lub podwójną strzałką  dla odróżnienia od skalarów i wektorów. Drugi zapis pozwala odróżnić je od operatorów w mechanice kwantowej.

Działania na tensorach 
Dodawanie oznacza się znakiem +; indeksy tensorów muszą się zgadzać
 

Odejmowanie oznacza się znakiem -; indeksy tensorów muszą się zgadzać
 

Mnożenie zewnętrzne (tensorowe) tensorów oznacza się znakiem  który można pominąć; indeksy tensorów nie mogą się powtarzać
 

Kontrakcja tensora – zapisuje się przez powtórzenie tego samego indeksu u góry i u dołu, co prowadzi do utworzenia nowego tensora o rzędzie pomniejszonym o 2:
  (powtórzył się symbol )
 (przy tym dokonuje się sumowania po powtarzającym się indeksie – zgodnie z konwencją sumacyjną Einsteina).

Mnożenie wewnętrzne tensorów – to kontrakcja iloczynu zewnętrznego dwóch tensorów
  (powtórzył się symbol ).

Istnieje podobieństwo zapisu kontrakcji i iloczynu wewnętrznego do konwencji sumacyjnej.

Różniczkowanie tensora oznacza się na różne sposoby: albo przez zapis „operatorowy”:
 
 

albo „indeksowy” z użyciem przecinka lub średnika
 
 

Transpozycja – przestawienie indeksów tego samego typu:

Działania na tensorach (cd.) 
 Przyrównywać do siebie można tylko tensory tego samego typu.
 Mnożenie tensora przez skalar daje tensor tego samego typu.
 Iloczyn zewnętrzny (iloczyn tensorowy) dwóch tensorów dowolnych typów daje tensor mający rząd równy sumie rzędów mnożonych tensorów.
 Iloczyn wewnętrzny (kontrakcja) to połączenie działania mnożenia zewnętrznego dwóch tensorów i kontrakcja – daje tensor innego typu.
 Pochodna kowariantna tensora daje tensor innego typu.
 Łącząc działania różniczkowania i kontrakcji na różne sposoby można zdefiniować działania dywergencji i rotacji.

Definicje działań:
 Gradient to pochodna kowariantna skalara.
 Iloczyn skalarny to iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów.
 Transponowanie tensora odpowiedniego typu daje tensor tego samego typu.
 Symetryzacja to dodawanie tensora do jego transpozycji.
 Antysymetryzacja to odejmowanie tensora od jego transpozycji.
 Obliczanie śladu to kontrakcja tensora mieszanego drugiego rzędu.

Twierdzenie o rozkładzie na sumy proste 
Tw. Każda przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych.

Zastosowania 
(1) W zastosowaniach inżynierskich zazwyczaj tensory są zdefiniowane nad euklidesową przestrzenią wektorową położeń i rozpatruje się właściwości tensora podczas zmian układu współrzędnych związanych z obrotami.

(2) Matematyka i fizyka wskazują na właściwości tensorów niezależne od układu współrzędnych, definiują specyficzne przekształcenia nad abstrakcyjnymi przestrzeniami liniowymi, np. funkcyjnymi – wtedy tensory mają bardziej skomplikowaną naturę.

Tensory w fizyce 
 skalary: temperatura, masa, energia, gęstość, liczba cząstek i wiele innych
 pseudoskalary: iloczyny skalarne wektora i pseudowektora
 wektory: wektor położenia, prędkość, przyspieszenie, siła
 pseudowektory: moment siły, moment pędu
 tensory 2-go rzędu: tensor pola elektromagnetycznego, tensor odkształcenia, tensor naprężenia w ciele stałym
 tensory 4-tego rzędu: tensor sztywności, tensor podatności.

Spinory 
Obok tensorów o całkowitym rzędzie rozważa się spinory, których właściwości transformacyjne są bardziej złożone, jednak nadal określone poprawnie w ramach rachunku tensorowego. Spinory można uważać za tensory mające ułamkowy rząd. Np. 4-składnikowa funkcja falowa fermionu Diraca poddana działaniu transformacji należącej do grupy obrotów zmienia się tak, że można ją traktować jako tensor o ułamkowym rzędzie, np. w wypadku elektronu o rzędzie 1/2.

Zobacz też 
Zagadnienia związane z pojęciem tensora
 pole tensorowe
 iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
 współrzędne kontrawariantne i kowariantne tensora

Przykłady tensorów
 tensor energii-pędu
 tensor krzywizny Riemanna
 tensor metryczny
 tensor naprężeń
 tensor odkształcenia
 tensor pola elektromagnetycznego

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
 Joseph C. Kolecki: An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering (Wprowadzenie do rachunku tensorowego dla studentów, PDF, j. angielski, 328 kB, publikacja NASA)
 Alessandra Iozzi, Multilinear Algebra and Applications (pdf)  (ETH Zürich)