Matrice ortogonale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa.

Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria.

Definizione
Data una matrice invertibile , indicando con  la sua trasposta si definisce  ortogonale se:

laddove  è la matrice identità, ovvero la trasposta è l'inversa.

In modo equivalente, una matrice ortogonale è una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo, oppure è una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.

Si può ricavare che il numero di parametri indipendenti in una matrice ortogonale di dimensione  è .

Proprietà

Basi ortonormali 
Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo  con l'ordinario prodotto scalare. Questa proprietà è semplicemente la rilettura della relazione . 

Rileggendo similmente la relazione , si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di .

Isometrie 
Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di  che sono anche isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.

Viceversa, se  è un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione finita dotato di un prodotto scalare definito positivo, e  è un'applicazione lineare con:

per tutti gli elementi ,  di , allora  è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di  da una matrice ortogonale.

In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.

Gruppo ortogonale 

Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.

Analogamente, il prodotto di due matrici ortogonali è una matrice ortogonale. Infatti:

Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali  forma un gruppo, il gruppo ortogonale, che è un gruppo di Lie e viene indicato con .

La sua dimensione è . Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli  numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle  uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici  che vanno da 1 a , ma l'equazione relativa a  con  equivale a quella relativa a  e quindi ci sono solo  equazioni indipendenti, e quindi  gradi di libertà.

Matrice ortogonale speciale 
Il determinante di ogni matrice ortogonale è  o . Questo si può dimostrare come segue:

Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale. 

L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali formano un sottogruppo di  di indice 2, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato .

Autovalori e decomposizioni

Autovalori 
Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto . Autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali tra loro.

Decomposizioni lungo piani 
Data una matrice ortogonale , esiste una matrice ortogonale , tale che:

dove  denotano matrici di rotazione . Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici  corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di .

Decomposizione QR 

Se  è una arbitraria matrice di tipo  di rango  (cioè ), si può sempre scrivere:

dove  è una matrice ortogonale di tipo  e  è una matrice triangolare superiore di tipo  con valori positivi sulla diagonale principale. La decomposizione QR può essere dimostrata applicando l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle colonne di .

Questa decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.

Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford 

Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alle rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Ad esempio, i vettori della base canonica di  sono  e  e un generico vettore  di questo piano cartesiano si può scrivere:

La matrice ortogonale:

rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice , poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:

La matrice ortogonale:

rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse , poiché il punto  ha come immagine :

Per i due prodotti di queste matrici si trova:

Si tratta delle due rotazioni nel piano di  e di , rotazioni opposte: quindi le due matrici  anticommutano. In formule:

Si considerino ora  ed  come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari:

sfruttando la composizione:

si trova:

Per il quadrato di una di queste entità in particolare:

Si può quindi definire come prodotto interno di  e  la precedente composizione, a meno della matrice unità . Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva.
Il prodotto interno di una entità matriciale e vettoriale con sé stessa fornisce il quadrato della sua norma.

Dato che le entità base anticommutano si vede che:

Le entità  ed  sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni: sono matrici ortogonali e rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.

Matrici ortogonali trigonometriche

Matrice ortogonale 2×2

Matrice ortogonale 3×3
 

Queste matrici sono anche matrici di rotazione di coordinate. Utilizzando le equazioni di rotazione di uno spazio n-dimensionale si possono costruire matrici ortogonali trigonometriche di dimensione .

Bibliografia
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Voci correlate 
 Algebra di Clifford
 Gruppo ortogonale
 Matrice antisimmetrica
 Matrice normale
 Matrice simplettica
 Matrice trasposta coniugata
 Matrice unitaria
 Teorema di Schur-Horn

Collegamenti esterni
 

Ortogonale