Największy wspólny dzielnik

Największy wspólny dzielnik, największy wspólny podzielnik – dla danych dwóch (lub więcej) liczb całkowitych największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich. Pojęcie to ma wiele uogólnień, które przedstawiono w dalszej części artykułu.

Największy wspólny dzielnik liczb  i  zapisuje się zwykle  lub  czasem po prostu  Np.  oraz 

Dwie liczby nazywa się względnie pierwszymi, jeżeli ich największym wspólnym dzielnikiem jest  – na przykład względnie pierwsze są  i 

Pojęcie największego wspólnego dzielnika wykorzystuje się podczas redukcji ułamków do postaci nieskracalnej (to znaczy takiej, w której licznik i mianownik są względnie pierwsze). Przykładowo największym wspólnym dzielnikiem liczb  oraz  jest  stąd

Definicje 

Jeśli nie zaznaczono inaczej, słowo „liczba” będzie oznaczać dalej liczbę całkowitą. Przedstawiona we wstępie definicja wymaga formalizacji: w szczególności należy wytłumaczyć, czym jest dzielnik liczby, co oznacza, że jest on wspólny dla danych liczb, i w jaki sposób wskazać największy z nich.

Otóż liczba  jest dzielnikiem liczby  jeśli istnieje taka liczba  dla której zachodzi  fakt ten zapisuje się . Liczbę  nazywa się wspólnym dzielnikiem liczb  oraz  jeśli dzieli ona obie z nich.

Największym wspólnym dzielnikiem liczb  nazywa się taką nieujemną liczbę  oznaczaną  która jest wspólnym dzielnikiem  oraz  a przy tym każdy wspólny dzielnik  i  dzieli  Symbolicznie można to wyrazić następująco:  gdy
  i  oraz
 jeśli  i  to  dla dowolnej liczby 

Największy wspólny dzielnik  liczb  i  może być równoważnie zdefiniowany jako najmniejsza nieujemna liczba  którą można przedstawić w postaci tożsamości Bézouta:
 

dla pewnych liczb całkowitych  i  – liczby te można wyznaczyć za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa.

Definicję największego wspólnego dzielnika można rozszerzyć na dowolną, skończoną liczbę argumentów za pomocą indukcji matematycznej; można go traktować jako przypadek szczególny rozszerzenia tego pojęcia na nieskończoną liczbę argumentów: największym wspólnym dzielnikiem  dowolnego zbioru  liczb całkowitych nazywa się taką nieujemną liczbę  dla której spełnione są warunki
  dla każdego 
 jeżeli  dla każdego  to  dla każdej liczby 

Wówczas jeżeli  jest zbiorem skończonym składającym się z elementów  to największy wspólny dzielnik zbioru  oznacza się symbolem

Przykłady 
 Największym wspólnym dzielnikiem zbioru wszystkich liczb pierwszych jest 1.
 Największy wspólny dzielnik zbioru liczb całkowitych nie istnieje.
 Największym wspólnym dzielnikiem zbioru wszystkich tych liczb całkowitych, które w zapisie w systemie dziesiętnym jako ostatnią mają cyfrę 0, jest 10.
 Największym wspólnym dzielnikiem zbioru pustego jest  Ten przypadek szczególny bywa istotny ze względu na przejrzystość dowodów, w których unika się osobnego rozważania przypadków, gdy dany zbiór elementów jest pusty albo nie.

Obliczanie

Poprzez rozkład na czynniki pierwsze 

Największe wspólne dzielniki można z zasady obliczać poprzez wyznaczenie rozkładu na czynniki pierwsze dwóch liczb i porównanie ich czynników, jak ma to miejsce w następującym przykładzie: aby obliczyć  szuka się rozkładu na czynniki pierwsze liczb  oraz  i wyodrębnia „pokrywające się” części dwóch wyrażeń,  stąd  W praktyce metoda ta jest użyteczna dla małych liczb (np. za pomocą stosowanego w szkole zapisu „w słupku”), gdyż wyznaczanie rozkładu na czynniki pierwsze jest bardzo czasochłonne.

W następującym przykładzie, w którym poszukuje się największego wspólnego dzielnika liczb  oraz  do zobrazowania istoty problemu wykorzystany zostanie diagram Venna. Rozkładami tych liczb na czynniki pierwsze są:
 
 

Wspólną częścią rozkładu są dwie  i 
 
 Najmniejsza wspólna wielokrotność = 
 Największy wspólny dzielnik =

Metoda szkolna 
Dokonujemy w słupku rozkładu liczb, dla których szukamy NWD, na czynniki pierwsze rozpoczynając od czynnika 2 przez sprawdzenie, czy dana liczba dzieli się na konkretny czynnik bez reszty. Jeśli dzieli się, to pod daną liczbą wpisujemy iloraz, jeśli nie, to sprawdzamy kolejne czynniki pierwsze jako dzielniki. Dalej postępujemy analogicznie dopóki nie otrzymamy ilorazu równego 1. Następnie wyliczamy iloczyn liczby 1 i tych czynników, które występują w obu rozkładach, ale tak, że dany czynnik pierwszy w iloczynie występuje tyle razy ile razy występował w rozkładzie, w którym pojawił się mniejszą liczbę razy. Wynika z tego, że NWD dwóch liczb pierwszych jest liczba 1.

 Wyznaczenie NWD liczb 42 i 56

 

 

Czynnik 2 wystąpił w obu rozkładach (raz w pierwszym rozkładzie i trzy razy w drugim), więc w iloczynie występuje tylko raz, czynnik 3 wystąpił raz w pierwszym rozkładzie i zero razy w drugim, więc w iloczynie nie występuje, natomiast czynnik 7 wystąpił również w obu rozkładach (po jednym razie w pierwszym i drugim), więc w iloczynie występuje też raz.

 Wyznaczenie NWD liczb 192 i 348

Za pomocą algorytmu Euklidesa 

Znacznie bardziej efektywnym sposobem jest pochodzący ze słynnych Elementów algorytm Euklidesa, który opiera się na twierdzeniu o dzieleniu z resztą oraz obserwacji, iż  dwóch liczb dzieli również ich różnicę. Przykładowo dzielenie  przez  daje iloraz równy  i resztę  Podzielenie  przez  daje iloraz  i resztę równą  Ostatecznie podzielenie  przez  daje zerową resztę, co oznacza, że  jest  Formalnie można to opisać w następujący sposób:
 
 

Ciąg ilorazów powstały podczas algorytmu Euklidesa tworzy ułamek łańcuchowy.

Inne metody 
Jeśli  są niezerowe, to największy wspólny dzielnik  i  można obliczyć za pomocą najmniejszej wspólnej wielokrotności  tych liczb:
 

Keith Slavin pokazał, że dla nieparzystych  równość
 

definiuje funkcję zmiennej zespolonej  zaś Wolfgang Schramm udowodnił, że
 

jest funkcją całkowitą zmiennej  dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych  gdzie  oznacza sumę Ramanujana. Z kolei Marcelo Polezzi wykazał, iż
 

dla dodatnich liczb całkowitych  Donald Knuth dowiódł następującej redukcji:
 

dla nieujemnych liczb całkowitych  z których co najwyżej jedna może być zerem.

Własności 
 Z definicji zmiana kolejności argumentów  nie zmienia jego wartości.
 Każdy wspólny dzielnik liczb  i  jest dzielnikiem 
 Dla dowolnego  zachodzi  ponieważ każda liczba dzieli zero (jest dzielnikiem zera), zaś największym dzielnikiem  jest  Własność ta jest punktem wyjścia dla algorytmu Euklidesa.
 Jeżeli  oraz  to 
 Jeżeli  jest nieujemną liczbą całkowitą, to 
 Jeżeli  jest dowolną liczbą całkowitą, to 
 Jeżeli  jest niezerowym wspólnym dzielnikiem  oraz  to 
 Jako funkcja,  jest
 multiplikatywna w następującym sensie: jeżeli  i  są względnie pierwsze, to 
 przemienna: 
 łączna: 
 Największy wspólny dzielnik trzech liczb może być obliczony jako  lub w inny sposób na mocy przemienności i łączności. Definicję tę można rozszerzyć na dowolną, skończoną liczbę argumentów.
 Liczba  jest blisko związana z najmniejszą wspólną wielokrotnością  otóż
 
 Równość ta nie jest prawdziwa dla większej liczby argumentów. Wzór ten wykorzystuje się często do obliczania najmniejszych wspólnych wielokrotności: najpierw wyznacza się  z algorytmu Euklidesa, a następnie dzieli się iloczyn danych liczb przez ich  Zachodzi następująca wersja rozdzielności:
 
 
 Zdefiniowanie  oraz  czyni z liczb naturalnych kratę zupełną rozdzielną z  oraz  odpowiednio jako supremum i infimum. To rozszerzenie definicji jest zgodne z uogólnieniem na pierścienie przemienne opisanym niżej.
 W kartezjańskim układzie współrzędnych  można interpretować jako liczbę punktów o współrzędnych całkowitych leżących na odcinku łączącym punkty  oraz  z wyłączeniem końca 

Niech litery  oraz  oznaczają dowolne podzbiory liczb całkowitych. Prawdziwe są zależności:

Uogólnienia 
Prawdziwy jest następujący diagram zawierania się klas pierścieni z jedynką:
 pierścienie przemienne ⊃ dziedziny całkowitości ⊃ dziedziny z jednoznacznością rozkładu ⊃ dziedziny ideałów głównych ⊃ dziedziny euklidesowe ⊃ ciała

W kontekście uogólnień największego wspólnego dzielnika poglądowo można go podsumować w następujący sposób:
 pierścień przemienny to zbiór elementów, które można dodawać, odejmować i mnożyć według znanych reguł arytmetyki (nie zawsze istnieje iloraz dwóch elementów); w każdym pierścieniu przemiennym możliwe jest zdefiniowanie podzielności oraz 
 dziedzina całkowitości to pierścień przemienny, w którym brak właściwych dzielników zera sprawia, iż struktury te są naturalnym środowiskiem do badania podzielności, a  jest wyznaczony z dokładnością do stowarzyszenia (tzn. z dokładnością do elementu odwracalnego).
 dziedzina z jednoznacznością rozkładu to dziedzina całkowitości, w której zachodzi uogólnienie podstawowego twierdzenia arytmetyki, co sprawia, że dla dowolnych dwóch elementów istnieje ich  przy czym można go wyznaczyć za pomocą rozkładu elementu na elementy nierozkładalne (pierwsze);
 dziedzina ideałów głównych to dziedzina z jednoznacznością rozkładu, w której dla każdych dwóch elementów  i  spełniona jest tzw. tożsamość Bézouta, tzn. istnieją takie elementy  i  że 
 dziedzina euklidesowa to dziedzina ideałów głównych, w której poprawne zdefiniowane jest dzielenie z resztą, a  można znaleźć za pomocą uogólnienia algorytmu Euklidesa.

W szczególności dziedzinami euklidesowymi są pierścień liczb całkowitych (którego największy wspólny dzielnik został opisany w zasadniczej części artykułu) oraz pierścienie wielomianów o współczynnikach z ciała, w których największym wspólnym dzielnikiem wielomianów  oraz  nazywa się wielomian unormowany (o ile jest on różny od wielomianu zerowego; powód wyjaśniono dalej) najwyższego stopnia, który dzieli (bez reszty)  oraz 

W ciałach pojęcie największego wspólnego dzielnika (jak i największej wspólnej wielokrotności) traci sens: ponieważ każdy niezerowy element jest odwracalny, to największym wspólnym dzielnikiem dwóch niezerowych elementów jest jedynka, zatem są one względnie pierwsze; jeżeli choć jedna z nich jest zerem, to ich największym wspólnym dzielnikiem również jest zero.

Z kolei w pierścieniach nieprzemiennych sytuacja jest bardziej złożona: dla danego elementu można wyróżnić jego dzielniki lewo- i prawostronne. Można więc zdefiniować największy wspólny dzielnik lewo- i prawostronny, przy czym istnienie jednego nie pociąga za sobą istnienia drugiego, czy też ich równości w przypadku istnienia obu.

Pierścienie przemienne 

Definicja korzystająca z podzielności (jak również i rozszerzona), podana w sekcji Definicje, przenosi się wprost na pierścienie przemienne. Niech  będzie pierścieniem przemiennym oraz  Element  nazywa się największym wspólnym dzielnikiem elementów  jeżeli
  oraz  oraz
 jeśli  oraz  to  dla dowolnej liczby 

Jedyną różnicą jest fakt, iż nie ma gwarancji istnienia największego wspólnego dzielnika oraz tego, że jeśli nawet istnieje, to jest on wyznaczony jednoznacznie (dla danych elementów może być ich kilka; w szczególności nie zakłada się jego „nieujemności”).

Dziedziny całkowitości 

W dziedzinie całkowitości  największy wspólny dzielnik dwóch elementów również może nie istnieć, lecz jeśli istnieje ich kilka, to muszą być one ze sobą stowarzyszone: jeśli  jest  dla  to jest nim dowolny inny element stowarzyszony z  fakt ten zapisuje się symbolicznie  Przykładowo w pierścieniu  największymi wspólnymi dzielnikami  liczb są  tzn. 

To właśnie stowarzyszenie jest powodem, dla którego największy wspólny dzielnik liczb całkowitych definiowany jest jako liczba nieujemna (w dziedzinie liczb całkowitych liczby przeciwne są ze sobą stowarzyszone, gdyż jedynymi elementami odwracalnymi są jedynka i minus jedynka), co przy tej definicji pozwala stosować znak równości  zamiast znaku  relacji stowarzyszenia. Podobnie ma się rzecz z wielomianami, gdzie jednoznaczność gwarantuje unormowanie największego wspólnego dzielnika (w pierścieniu wielomianów odwracalne są wyłącznie niezerowe elementy z ciała).

Oto przykład dziedziny całkowitości, w której dwa elementy nie mają 
 

Elementy  oraz  są dwoma „maksymalnymi wspólnymi dzielnikami” (tzn. żaden wspólny dzielnik będący wielokrotnością  nie jest stowarzyszony z ), podobnie ma się rzecz z  lecz nie są one stowarzyszone, a więc największy wspólny dzielnik  oraz  nie istnieje.

Dziedziny z jednoznacznością rozkładu 

Niech  będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu, zaś  oznacza zbiór zawierający wyłącznie elementy pierwsze – lub równoważnie: elementy nierozkładalne – tego pierścienia. Wówczas dowolne dwa elementy  można zapisać w postaci skończonych iloczynów
 

oraz
 

gdzie  oraz  pewnymi ciągami liczb całkowitych, przy czym iloczyny w przedstawieniu są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do permutacji czynników, zaś symbol tyldy oznacza relację stowarzyszenia.

Wówczas największy wspólny dzielnik elementów  można zdefiniować wzorem
 

co odpowiada metodzie rozkładu na czynniki proste. Skrótowo można to zapisać:
 

Najogólniejszą strukturą, w której dowolne dwa elementy mają największy wspólny dzielnik jest dziedzina z największym wspólnym dzielnikiem (ang. greatest common divisor domain) będąca dziedziną z jednoznacznością rozkładu.

Dziedziny ideałów głównych 

Opierając się na tożsamości Bézouta w dowolnym pierścieniu przemiennym można rozważać zbiory elementów postaci  gdzie  przebiegają cały pierścień. Zbiór ten jest ideałem generowanym przez  oraz  który oznacza się  W pierścieniu, w którym wszystkie ideały są główne (tzn. pierścieniu ideałów głównych), ideał ten pokrywałby się ze zbiorem wielokrotności pewnego elementu  pierścienia; ten właśnie element nazywa się największym wspólnym dzielnikiem  oraz  Tożsamość Bézouta charakteryzuje dziedziny ideałów głównych wśród klasy pierścieni noetherowskich.

Ideały 

Ideał  może być jednak przydatny nawet wtedy, gdy największy wspólny dzielnik  i  nie istnieje (rzeczywiście, Ernst Kummer wykorzystał ten ideał zamiast  podczas swoich badań nad wielkim twierdzeniem Fermata, choć widział go raczej jako zbiór pewnych hipotetycznych, czy też idealnych, elementów  pierścienia, skąd właśnie nazwę wziął powyższy termin teorii pierścieni) – można go traktować jako najszersze uogólnienie pojęcia największego wspólnego dzielnika.

W związku z powyższym największy wspólny dzielnik ideałów  pierścienia  definiuje się jako ideał
 

zaś ich najmniejszą wspólną wielokrotność jako ideał

Uwagi

Przypisy 

Działania na liczbach
Teoria liczb
Teoria pierścieni