Podstawa logarytmu naturalnego

Podstawa logarytmu naturalnego, liczba , liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459, oznacza się ją literą .

Definicja 
Liczba  może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciągu 
Jako granica ciągu,  jest określana przez
 

 Dowód zbieżności
Wykażemy, że ciąg  gdzie  jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb  zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:
 

Rozważając  oraz  otrzymujemy
 

a stąd
  więc również  i 

Czyli ciąg  jest niemalejący.

Podłóżmy  i zauważmy, że 

Z nierówności  zastosowanej do  oraz  otrzymujemy, że:
 

Stąd  a więc też 

Czyli ciąg  jest niemalejący. Ponieważ  to możemy wywnioskować, że ciąg  jest nierosnący, a stąd
 

Ciąg  jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.

Suma szeregu 
Jako suma szeregu,  jest określana przez
 

gdzie  jest silnią liczby

Za pomocą całki 

Liczbę  można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:
 

(to znaczy, że liczba  to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą  od 1 do  jest równe 1).

Za pomocą funkcji 

Liczbę  można również zdefiniować jako taki argument funkcji
 

dla którego jej wartość jest największa.

Własności 
  jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”).
  jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
  jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
 pochodna funkcji 
 całka funkcji  gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
 z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie  jest odwrotną do logarytmu naturalnego:
 
 
 Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej  z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną , , jednością i zerem:

Wzory na obliczenie

Granice ciągów 
 

 

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

 
gdzie  to podsilnia, definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru –elementowego, algebraicznie zaś jako

Szeregi nieskończone

Iloczyny nieskończone 

 

 

W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór
 

gdzie n!!, to silnia podwójna.

Kultura  
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby  tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym :

„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”
 Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.

Inne interpretacje liczby  
Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć  czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy  co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy  czyli  złotych.

Dowód niewymierności  
Używamy -tego przybliżenia  które zapisujemy 
 

Szacujemy błąd
 

Z tego wynika, że  gdzie 

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:

Załóżmy, że  jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci  gdzie 

W tym wzorze bierzemy tak duże  żeby było większe od 

Wówczas:
 

Mnożąc stronami przez  dostajemy:

   więc   

   więc   

Zostały same liczby całkowite poza  która całkowita nie jest.

To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „ jest wymierne”.

Zobacz też 
 logarytm binarny
 logarytm dziesiętny
 wzór Eulera

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
 
 
  w rozwinięciu 

Stałe matematyczne
Analiza rzeczywista