Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa – twierdzenie geometrii euklidesowej o trójkątach prostokątnych. Mówi ono, że w każdym z nich suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku obok zachodzi równość:
 

Innymi słowy boki trójkąta prostokątnego spełniają równanie Pitagorasa. Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Twierdzenie to jest równoważne piątemu pewnikowi Euklidesa o prostych równoległych.

Historia 
W zachodnioeuropejskim kręgu kulturowym przypisuje się je żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, jednak odkrycia dokonali Babilończycy, którzy znali dodatkowo dwie prostsze metody, przy których błąd jest niewielki. Zapewne znali je przed Pitagorasem starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed nim znano je w starożytnych Chinach i Indiach oraz w Babilonii.

Dowody 

Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest bardzo duża – Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze. Opublikowano przynajmniej 118 geometrycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa, a Friedrichs udowodnił, że jest ich nieskończenie wiele.

Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

Układanka 

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości  i  jak na rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości  w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

Szczepan Jeleński w książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie sam Pitagoras.

Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratów jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga uprzedniego zdefiniowania pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Uwaga ta dotyczy wszystkich dowodów opartych na podobnych ideach.

Przez podobieństwo 

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: „duży” –  „różowy” –  i „niebieski” –  są podobne. Niech  i  Można napisać proporcje:
 
 

Stąd:
 
 

i po dodaniu stronami:

Z przystawania 

Następujący dowód znajduje się w Elementach Euklidesa i oparty jest na spostrzeżeniu, że pola dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego  są równe polom odpowiednich prostokątów, na jakie wysokość  dzieli kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej.

Dla dowodu zauważmy, że pole kwadratu  jest równe podwojonemu polu trójkąta  – podstawą trójkąta  jest bok  kwadratu, a wysokość trójkąta jest równa bokowi  tego kwadratu. Podobnie, pole prostokąta  jest równe podwojonemu polu trójkąta  – podstawą trójkąta  jest bok  prostokąta, a wysokość trójkąta jest równa bokowi  prostokąta. Jednak trójkąty  i  są przystające, co wynika z cechy „bok-kąt-bok” –  i kąt  jest równy kątowi  – a zatem mają równe pola, skąd wynika, że pole kwadratu  jest równe polu prostokąta 

Analogicznie, rozważając trójkąty  i  można udowodnić, że pole kwadratu  jest równe polu prostokąta  Stąd, suma pól obu kwadratów równa jest polu kwadratu

Dowód Garfielda 

Autorem innego dowodu twierdzenia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten jest równoważny dowodowi podanemu wyżej w sekcji Dowód – układanka. Pochodzi z roku 1876 i przebiega następująco: na przyprostokątnej  danego trójkąta prostokątnego  odkładamy  a następnie na prostej  równoległej do  odkładamy  Trójkąt  jest prostokątny  i równoramienny, a jego pole wynosi  pola trójkątów  i  są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie  Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez  o polu  Stąd równości:

Dowód Jasona Zimby 
Wybierzmy dowolne dwa kąty takie że 0 < y < x < 90°, wówczas korzystając z wzorów na cos i sin różnicy kątów mamy

 
 
 

Dzieląc obustronnie przez  otrzymujemy dowód jedynki trygonometrycznej, która jest jedną z postaci twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne 

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli dane są trzy dodatnie liczby  i  takie, że  to istnieje trójkąt o bokach długości  i  a kąt między bokami o długości  i  jest prosty.

Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach 3 i 4.

Dowód 
Twierdzenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.

My to udowodnimy następująco:

Weźmy dowolny trójkąt  o bokach odpowiednio:
 

spełniający warunek:
 

Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt  taki że:
 

oraz
 

Trójkąt  jest prostokątny, zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć bok 
 

Z trójkąta  mamy:
 

zatem:
 

Okazało się, że:
 

Z cechy przystawania trójkątów BBB wnioskujemy, że trójkąty
 i  są przystające. Z faktu, iż trójkąt  jest prostokątny, wynika, że trójkąt  jest prostokątny.

Uogólnienia 
Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podane już przez Euklidesa w jego Elementach: jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.

Uogólnienie na dowolną przestrzeń euklidesową 
Niech  będzie przestrzenią euklidesową oraz  Jeśli  to 

Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa w przestrzeniach euklidesowych to tożsamość Parsevala.

Uogólnienie na czworościany 
Twierdzenie Pitagorasa można uogólnić na czworościan. Jeśli w czworościanie o wierzchołkach a, b, c, d przez  oznaczymy pola ścian leżących naprzeciw wierzchołków odpowiednio a, b, c, d, oraz ściany zbiegające się w wierzchołku a są parami prostopadłe, to zachodzi szczególny przypadek twierdzenia cosinusów dla czworościanów:

Uogólnienie na prostopadłościany 
Jako uogólnienie twierdzenia Pitagorasa można uważać wzór na przekątną prostopadłościanu.

Jeśli w prostopadłościanie krawędzie mają długości  to kwadrat przekątnej prostopadłościanu jest równy:

Twierdzenie cosinusów 
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów:
 Jeśli w trójkącie o bokach długości  i  oznaczyć przez  miarę kąta leżącego naprzeciw boku  to prawdziwa jest równość:

Twierdzenie Pitagorasa a geometrie nieeuklidesowe 
Twierdzenie nie jest prawdziwe dla trójkątów prostokątnych geometrii nieeuklidesowej.

Na powierzchni kuli twierdzenie to nie jest spełnione, gdyż obowiązuje tam geometria sferyczna będąca szczególnym przypadkiem nieeuklidesowej geometrii Riemanna.

Zobacz też 

 trójki pitagorejskie
 twierdzenie Dijkstry o trójkątach
 twierdzenie Talesa

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
 Kilka dowodów twierdzenia Pitagorasa 
 
  Pythagorean theorem , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

P