Potenzmenge

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

Man notiert die Potenzmenge einer Menge  meist als . Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“.

Definition 
Die Potenzmenge  einer Menge  ist eine neue Menge, die aus allen Teilmengen  von  besteht. Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. In Formelschreibweise lautet die Definition einer Potenzmenge
 .

Dabei ist zu beachten, dass auch die leere Menge  und die Menge  Teilmengen von  sind, also Elemente der Potenzmenge . Andere gebräuchliche Notationen für die Potenzmenge sind  und .

Beispiele

Strukturen auf der Potenzmenge

Partielle Ordnung 
Die Inklusionsrelation  ist eine Halbordnung auf  (und keine Totalordnung, wenn  mindestens zwei Elemente hat). Das kleinste Element der Ordnung ist , das größte Element ist .

Vollständiger Verband 
Die Halbordnung  ist ein vollständiger Verband. Dies bedeutet, dass es zu jeder Teilmenge von  ein Infimum und ein Supremum (in ) gibt. Konkret ist für eine Menge  das Infimum von  gleich dem Durchschnitt der Elemente von , und das Supremum von  ist gleich der Vereinigung der Elemente von , also

Das größte und das kleinste Element erhält man als Infimum bzw. Supremum der leeren Menge, also

Boolescher Verband 
Zieht man noch die Komplementabbildung  heran, ist  ein boolescher Verband, also ein distributiver und komplementärer Verband.

Kommutativer Ring 
Jeder boolesche Verband induziert eindeutig eine kommutative Ringstruktur, den sogenannten booleschen Ring. Hier auf  ist die Ringaddition gegeben durch die symmetrische Differenz von Mengen, die Ringmultiplikation ist der Durchschnitt. Die leere Menge ist neutral für die Addition und  ist neutral für die Multiplikation.

Charakteristische Funktionen 
Jeder Teilmenge  kann man die charakteristische Funktion  zuordnen, wobei gilt
 
Diese Zuordnung ist eine Bijektion zwischen  und  (wobei die Notation  für die Menge aller Funktionen von  nach  benutzt wird). Dies motiviert für  auch die Schreibweise , denn in von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist  (allgemein: ).

Die Korrespondenz  ist zunächst eine reine Bijektion, lässt sich aber leicht als Isomorphismus bezüglich jeder der oben betrachteten Strukturen auf der Potenzmenge nachweisen.

Die Größe der Potenzmenge (Kardinalität) 
 bezeichnet die Mächtigkeit einer Menge .

 Für endliche Mengen  gilt: .
 Stets gilt der Satz von Cantor: .

Der Übergang zur Potenzmenge liefert also immer eine größere Mächtigkeit. Analog zu endlichen Mengen schreibt man auch  für die Mächtigkeit  der Potenzmenge einer unendlichen Menge . Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt für unendliche Mengen , dass  die nach  nächstgrößere Mächtigkeit ist:

Beschränkung auf kleinere Teilmengen 

Mit  wird von manchen Autoren die Menge derjenigen Teilmengen von  bezeichnet, die weniger als  Elemente enthalten. Beispielsweise wäre dann : Die Menge  selbst fehlt, da sie nicht weniger als  Elemente hat.  Andere Autoren verstehen unter  jedoch auch die Menge der Teilmengen von , die genau die Mächtigkeit  haben.  In diesem Fall wäre .  Für letztere Variante ist auch die Schreibweise  gebräuchlich.

Potenzklasse 
Der Begriff der Potenzmenge lässt sich auf Klassen erweitern, wobei zu beachten ist, dass echte Klassen nicht auf der linken Seite der Enthaltenseins-Relation  stehen können. Die Potenz (Potenzklasse) einer Klasse K ist gegeben durch die Klasse aller Mengen, deren Elemente alle in K enthalten sind. Die Elemente der Potenzklasse von K sind also die Teilmengen von K. Die Potenz einer echten Klasse K ist wieder eine echte Klasse, denn sie enthält die Einermengen {x} zu allen  Elementen x von K. Sie enthält immer die Leermenge ∅, aber nicht die echte Klasse K selbst.

Ist  die Allklasse, gilt mit diesen Begrifflichkeiten ganz offenbar , und das Prinzip der Epsilon-Induktion lässt sich kompakt darstellen als die Forderung, dass  die einzige Klasse mit dieser Eigenschaft ist: Ist  eine beliebige Klasse, gilt
 .

Sonstiges 
 Die Existenz der Potenzmenge zu jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.
 Ein Mengensystem wie beispielsweise eine Topologie oder eine σ-Algebra über einer Grundmenge  ist eine Teilmenge der Potenzmenge , also ein Element von .

Literatur 
 Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks

Einzelnachweise 

Mengensystem
Mengenlehre