Machtsverheffen

Machtsverheffen is een wiskundige operatie, die wordt geschreven als , waarbij twee getallen, het grondtal of de factor  en de exponent , betrokken zijn. Als  een positief geheel getal is, komt machtsverheffen overeen met herhaalde vermenigvuldiging; met andere woorden, een product van  factoren van :
,

net zoals vermenigvuldiging met een positief geheel getal overeenkomt met herhaald optellen:

De uitdrukking  heet macht van ; het is de n-de macht van .

Deze uitdrukking wordt uitgesproken als:  tot de macht , of  tot de -de macht, of ook kort  tot de -de. Zo is  tot de macht , of  tot de derde: , met  als het grondtal en  als de exponent van de macht .

Machtsverheffen is een rekenkundige operatie van de derde orde.

Definitie 
Voor het natuurlijke getal  is de -de macht van het grondtal , genoteerd als , gedefinieerd als het product van  factoren .

Uit deze definitie volgt ook dat 

De gebruikelijke notatie is om de exponent , die het aantal factoren aangeeft, hoger te schrijven (superscript).

Voor  is een aparte definitie nodig. Voor  is de gebruikelijke definitie:

Met deze definitie blijft de betrekking  geldig voor .

Door de uitbreiding van de definitie met:

zijn ook negatieve exponenten mogelijk.

Een verdere uitbreiding is:

waarmee ook gebroken exponenten mogelijk zijn.

Geschiedenis
De notaties  en  als afkortingen voor  en  komen voor bij Thomas Harriot in zijn postume werk Artis analyticae praxis uit 1631. René Descartes maakt uitgebreid gebruik van die notatie voor positieve gehele exponenten. John Wallis definieert negatieve en gebroken exponenten.

Rekenen met machten 
Bij het rekenen met machten kan gebruik worden gemaakt van de onderstaande rekenregels. Daarbij is er steeds van uitgegaan dat de betrokken machten gedefinieerd zijn.

Voor  is:

De afspraak  is zo gekozen dat de genoemde rekenregels algemeen geldig zijn voor 

 voor , en ook voor  als  en  geheel zijn.
Deze rekenregel houdt bijvoorbeeld in dat .

NB. machtsverheffen is dus ook niet associatief; d.w.z dat in het algemeen niet geldt dat 
 als  geheel is of als 

Als het grondtal  is, geldt nog dat voor :

 wordt vaak niet gedefinieerd. Soms wordt ervoor gekozen  te stellen, zie onder: Nul tot de macht nul.

Met gebruikmaken van de natuurlijke logaritme en de exponentiële functie voor het positief grondtal  geldt:

Omgekeerde bewerkingen 
Daar machtsverheffen niet commutatief is,

terwijl
,

zijn er twee omkeerbewerkingen: worteltrekken en logaritme
 en 
 en

Afgeleide 
Vatten we de -de macht van  op als functie van , dus voor zekere exponent  is:
,
dan wordt de afgeleide gegeven door:

Vatten we een macht op als functie van de exponent, dus voor zeker grondtal  is:

dan wordt de afgeleide gegeven door:
,
waarin  de natuurlijke logaritme van  is.

Machten en complexe getallen 
Via wiskundige regels zijn ook machten met als exponent niet-natuurlijke en zelfs van complexe getallen gedefinieerd, zie bijvoorbeeld de formule van Euler

Reeksontwikkeling met machten 
Functies kunnen als een reeksontwikkeling met machten geschreven worden. Een voorbeeld is de reeksontwikkeling voor een exponentiële functie
Voor twee reële getallen, quaternionen of complexe getallen  en , met , geldt

Nul tot de macht nul 
In situaties waar de exponent niet continu verandert komt men de afspraak  op een aantal plaatsen tegen:
 De IEEE-standaard.
 Combinatorisch stelt  het aantal afbeeldingen voor van een verzameling van  elementen in een verzameling van  elementen. Doorredenerend is  het aantal afbeeldingen van de lege verzameling in de lege verzameling. Dat is er maar 1 (de lege functie).
 Een machtreeks als  zou anders niet gedefinieerd zijn voor , of men zou de langere formule moeten hanteren. Hetzelfde geldt voor polynoomnotatie .
 De formule voor het binomium  is niet geldig voor  zonder deze afspraak.
 De formule waarin staat dat de afgeleide functie van  voor alle  gelijk is aan  maakt, bij , impliciet de aanname dat  voor alle .
 De stelling dat men bij machtsverheffing modulo  het grondtal mag herleiden klopt alleen als .

Efficiënt berekenen van natuurlijke machten

Als de exponent  een natuurlijk getal groter dan 1 is, dan lijkt de berekening van  achtereenvolgens  vermenigvuldigingen te vereisen; het aantal bewerkingen kan echter drastisch verkleind worden door herhaalde malen te kwadrateren en met de oorspronkelijke  te vermenigvuldigen. Zo kan de twaalfdemacht van  worden uitgerekend door eerst de derdemacht op de gewone manier uit te rekenen (2 vermenigvuldigingen) en vervolgens het resultaat nog twee keer te kwadrateren (nog 2 vermenigvuldigingen, in totaal 4). Dit is vooral voordelig bij grote waarden van  zoals die in de cryptografie optreden.

Zie ook 
 Rekenen
 Herhaald machtsverheffen
 Kwadraat: de tweede macht van een getal
 Kubusgetal: de derde macht van een getal

Externe link
 What does 0^0 (zero raised to the zeroth power) equal? Why do mathematicians and high school teachers disagree?

Rekenen