Symbol funkcyjny

Symbol funkcyjny – symbol używany w logice matematycznej i pokrewnych dziedzinach matematyki (np. algebrze abstrakcyjnej). Symbole funkcyjne są elementami alfabetów języków pierwszego rzędu (a także innych logik) i charakteryzują się tym, że zastosowane do obiektów zwanych termami produkują nowe termy.

W potocznym języku matematyki, symbole funkcyjne w wyrażeniach matematycznych oznaczają funkcje, np.: w wyrażeniu  symbolem funkcyjnym jest  w  jest nim +, w  są nimi  oraz

Symbole funkcyjne i termy w logikach pierwszego rzędu 
Wprowadzając język pierwszego rzędu najpierw określamy jego alfabet  czyli zbiór symboli funkcyjnych, symboli relacyjnych i stałych. Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny, czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalmy też nieskończoną listę zmiennych (zwykle ).

Definiujemy termy języka  przez indukcję po ich złożoności w następujący sposób:
 wszystkie stałe i zmienne są termami,
 jeśli  są termami, i  jest -arnym symbolem funkcyjnym, to  jest termem.

Różne ujęcia i oznaczenia 
 W niektórych ujęciach rachunku kwantyfikatorów, stałe języka są traktowane jako 0-argumentowe symbole funkcyjne. Wówczas alfabet języka składa się jedynie z symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych, ale arność tych pierwszych może wynosić zero.
 W teorii modeli czasami jest wygodniej zakładać, że alfabet rozważanego języka nie zawiera żadnych symboli funkcyjnych. Nie wprowadza to żadnego istotnego ograniczenia, bowiem każdy -arny symbol funkcyjny  może być zastąpiony przez -argumentową relację  tak że intuicyjny związek między nimi jest wyrażony przez
  wtedy i tylko wtedy, gdy 
 (Wymaga to dodania do rozważanych teorii zdania wyrażającego własność predykatu  że „pochodzi” on od pewnej funkcji.)
 W algebrze, dwuczłonowe symbole funkcyjne są zapisywane pomiędzy termami. Tradycyjnie piszemy więc  (a nie ) itd.

Przykłady 
 Język teorii grup to  gdzie  jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykładowe termy w tym języku to:
 
 
 Język ciał uporządkowanych to  gdzie  są binarnymi symbolami funkcyjnymi, a  jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy w tym języku to:

Interpretacje termów w modelu 
Niech  będzie alfabetem jakiegoś języka pierwszego rzędu i niech  będzie zbiorem stałych tego alfabetu,  będzie zbiorem symboli funkcyjnych, a  będzie zbiorem symboli relacyjnych. modelem języka  nazywamy układ
 

gdzie:
  jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną lub uniwersum modelu  (często uniwersum modelu  oznacza się przez ),
 dla -arnego symbolu relacyjnego   jest -argumentową relacją na zbiorze  tzn. 
 dla -arnego symbolu funkcyjnego   jest -argumentowym działaniem na zbiorze  tzn. 
 dla stałej   jest elementem zbioru 

Tak więc w modelach danego języka symbole funkcyjne są interpretowane jako funkcje. Przez indukcję po złożoności termów definiujemy też interpretację termu w modelu . Dla termu  o zmiennych wolnych zawartych wśród  i dla elementów  definiujemy  następująco:
 Jeśli  jest stałą  alfabetu  to 
 Jeśli  jest zmienną  to 
 Jeśli  są termami i  jest -arnym symbolem funkcyjnym, to

Zobacz też 
 funkcja zdaniowa
 język (logika)
 skolemizacja

Logika matematyczna