Surjektive Funktion

Eine surjektive Funktion ist eine mathematische Funktion, die jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert annimmt. Das heißt, jedes Element der Zielmenge hat ein nichtleeres Urbild.

Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet. Ist sie zudem auch injektiv, heißt sie bijektiv. In der Sprache der Relationen spricht man auch von rechtstotalen Funktionen.

Definition 
Es seien  und  Mengen, sowie  eine Abbildung.

Die Abbildung  heißt surjektiv, wenn es zu jedem  aus  (mindestens) ein  aus  mit  gibt. Eine solche Abbildung notiert man auch so: .

Formal:  (siehe Existenz- und Allquantor).

Grafische Veranschaulichungen

Beispiele und Gegenbeispiele 
 Die leere Funktion  in eine einelementige Menge ist das wohl einfachste Beispiel einer nichtsurjektiven Funktion.
 Die Funktion  mit  ist surjektiv, denn keine reelle Zahl  hat ein leeres Urbild. Aus der Gleichung  erhält man nämlich durch Äquivalenzumformung die Gleichung  womit sich für jedes  als Urbild die einelementige Menge  ergibt.
 Die Sinusfunktion  ist surjektiv. Jede horizontale Gerade  mit  schneidet den Graphen der Sinusfunktion mindestens einmal (sogar unendlich oft).
 Die Sinusfunktion  ist jedoch nicht surjektiv, da z. B. die Gerade  keinen Schnittpunkt mit dem Graphen hat, der Wert 2 also nicht als Funktionswert angenommen wird.
  bezeichne die Menge der komplexen Zahlen.
 ist nicht surjektiv, da z. B. das Urbild von  die leere Menge ist (keine Quadratzahl ist negativ!).
 ist surjektiv. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra ist allgemeiner jedes Polynom  surjektiv.

Eigenschaften 
 Man beachte, dass die Surjektivität einer Funktion  nicht nur vom Funktionsgraphen  sondern auch von der Zielmenge  abhängt (im Gegensatz zur Injektivität, deren Vorliegen man am Funktionsgraphen ablesen kann):
Ersetzt man bei einer Funktion  ihre Zielmenge  durch ihre Bildmenge  so entsteht mit  stets eine surjektive Funktion  während  natürlich nicht surjektiv zu sein braucht.

 Eine Funktion  ist genau dann surjektiv, wenn  gilt für alle .

 Sind die Funktionen  und  surjektiv, dann gilt dies auch für die Komposition (Verkettung) 

 Aus der Surjektivität von  folgt, dass  surjektiv ist.

 Eine Funktion  ist genau dann surjektiv, wenn  eine Rechtsinverse hat, also eine Funktion  mit  (wobei  die identische Abbildung auf  bezeichnet). Diese Aussage ist äquivalent zum Auswahlaxiom der Mengenlehre.

 Eine Funktion  ist genau dann surjektiv, wenn  rechtskürzbar ist, wenn also für beliebige Funktionen  mit  schon  folgt. (Diese Eigenschaft motiviert den in der Kategorientheorie verwendeten Begriff Epimorphismus.)

 Jede beliebige Funktion  ist darstellbar als Verkettung , wobei mit  die Funktion  surjektiv und  injektiv ist.

Mächtigkeiten von Mengen 
Für eine endliche Menge  ist die Mächtigkeit  einfach die Anzahl der Elemente von . Ist nun  eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann  höchstens so viele Elemente wie  haben, es gilt also 

Für unendliche Mengen wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert, aber auch hier gilt: Ist  surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von  nicht größer als die Mächtigkeit von  auch hier schreibt man dafür

Literatur

Weblinks 

Mathematischer Grundbegriff