Porządek liniowy

Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli taki, w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.

Definicje 
Porządek liniowy to porządek częściowy  na danym zbiorze  spełniający warunek spójności
 

Parę uporządkowaną  nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym lub też zbiorem całkowicie uporządkowanym. Symbol  będzie oznaczał porządek ostry, tzn. relację zdefiniowaną wzorem
 

Podzbiór  zbioru  nazywa się
 gęstym, jeśli zachodzi
 
 ograniczonym z góry, jeśli
 

Mówi się, że  jest
 porządkiem bez końców, jeśli w  nie ma tak elementu najmniejszego, jak i największego, tzn. jeśli nie zachodzi
  oraz 
 porządkiem relatywnie zupełnym, jeśli każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór  ma kres górny. Wtedy także każdy niepusty podzbiór ograniczony z dołu ma kres dolny.
 porządkiem gęstym, jeśli  jest gęstym podzbiorem

Przykłady 
 Relacje niewiększości na zbiorze liczb całkowitych, wymiernych czy rzeczywistych są porządkami liniowymi.
 Szczególnym przypadkiem porządku liniowego jest dobry porządek.
 Porządek leksykograficzny  na płaszczyźnie  jest porządkiem liniowym:

Własności 
 Jeśli  jest porządkiem liniowym na zbiorze  oraz  to zawężenie  porządku  do zbioru  jest porządkiem liniowym na 
 Georg Cantor udowodnił następujące twierdzenie: każdy przeliczalny gęsty porządek liniowy bez końców jest izomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem).
 Przypuśćmy, że  jest gęstym porządkiem liniowym bez końców. Wówczas istnieje relatywnie zupełny porządek liniowy bez końców  taki że
  i zawężenie  zgadza się z  oraz  jest gęstym podzbiorem 
 Porządek  jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.

Działania

Iloczyn leksykograficzny 
Niech  będzie zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Niech  będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego  oraz niech  będzie iloczynem kartezjańskim. Iloczynem leksykograficznym porządków  nazywa się porządek liniowy w  zdefiniowany wzorem
 

gdzie  będzie pierwszym elementem w  dla którego  dla dowolnych 

Okazuje się, że iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zachowuje dobry porządek: iloczyn leksykograficzny skończonej rodziny zbiorów uporządkowanych liniowo i dobrze jest zbiorem uporządkowanym liniowo i dobrze. Natomiast iloczyn leksykograficzny nieskończonej rodziny zbiorów liniowo uporządkowanych, z których każdy jest co najmniej dwuelementowy, nigdy nie jest uporządkowany dobrze.

Ultraprodukt 

Niech  będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Niech  będzie dowolnym maksymalnym filtrem (czyli ultrafiltrem) w  o pustym przecięciu. Niech ponadto  będzie zbiorem uporządkowanym liniowo dla każdego  oraz niech  będzie ultraproduktem rodziny zbiorów  względem ultrafiltru  W ultraprodukcie  definiujemy porządek liniowy jak następuje:
 

dla dowolnych  gdzie  oznacza klasę elementu

Zastosowania 
W wielu dziedzinach matematyki rozważa się relację porządku liniowego jako „dodatek” do innych struktur albo jako „narzędzie” do konstruowania przykładów rozważanych struktur.

Przedziałowe algebry Boole’a 
Niech  będzie porządkiem liniowym, w którym istnieje element najmniejszy. Niech dla  symbol  oznacza zbiór  tzn. przedział lewostronnie domknięty w 

Niech  będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych wszystkich podzbiorów  które mogą być przedstawione w postaci  dla pewnych elementów  spełniających nierówności  gdzie  Wówczas  jest ciałem podzbiorów  Algebra Boole’a  jest nazywana algebrą przedziałową wyznaczoną przez

Topologia porządkowa 

Niech  będzie jest porządkiem liniowym. Niech dla  symbol  oznacza przedział otwarty w  tzn. zbiór postaci  Wówczas rodzina
 

pokrywa  i jest zamknięta ze względu na branie przekrojów skończonych. Dlatego też  jest bazą pewnej topologii  na  Topologię tę nazywa się topologią porządkową lub topologią przedziałową. Topologia porządkowa zawsze spełnia aksjomat Hausdorffa (T2) i jest nawet przestrzenią T5.

Struktury algebraiczne 
W algebrze rozważa się czasami struktury algebraiczne dodatkowo wyposażone w relację porządku liniowego w pewnym sensie zgodnego z operacjami algebraicznymi.
 Grupa liniowo uporządkowana to trójka  taka, że  jest grupą, a  jest porządkiem liniowym na  przy czym
 dla dowolnych  jeśli  to zarówno  jak i 
 Ciało uporządkowane to szóstka uporządkowana  gdzie  jest ciałem, a  jest porządkiem liniowym na  w którym dla dowolnych  spełnione są warunki:
 jeśli  to 
 oraz
 jeśli  i  to

Zobacz też 
 częściowy porządek
 dobry porządek
 łańcuch
 praporządek

Przypisy 

Porządki