Ciało (matematyka)

Ciało – typ struktury algebraicznej z dwoma działaniami; krótko definiowany jako przemienny pierścień z dzieleniem lub dziedzina całkowitości z odwracalnością elementów.

Ciała formalizują własności algebraiczne liczb wymiernych czy rzeczywistych znanych od starożytności, jednak samodzielna teoria ciał pojawiła się w XIX wieku. Pomogła rozwiązać takie problemy jak:
 rozwiązalność równań wielomianowych (jednej zmiennej) przez pierwiastniki (działania obowiązujące w ciałach i wyciąganie pierwiastków); zajmuje się tym teoria Galois badająca ciała przez ich grupy automorfizmów;
 wykonalność pewnych konstrukcji klasycznych (konstrukcji geometrycznych, w których dozwolone jest korzystanie z wyidealizowanych cyrkla i linijki).

Oprócz tego pojęcie ciała pojawia się w ogólnej definicji przestrzeni liniowej; przez to ciała definiują najogólniejsze pojęcia skalara.

Definicja

Aksjomaty 
Ciało  to struktura  z działaniami  i  – nazywanymi odpowiednio dodawaniem i mnożeniem – o kilku własnościach:
 oba działania są łączne, przemienne i mają elementy neutralne;
 każdy element ma swój element odwrotny względem dodawania, a każdy element niezerowy – także element odwrotny względem mnożenia;
 mnożenie jest rozdzielne względem dodawania.

Element neutralny dodawania oznacza się przez 0, a element neutralny mnożenia oznacza się przez 1 i nazywa jedynką lub jednością. Czasem zakłada się, że 0 ≠ 1, czyli że ciało ma co najmniej dwa elementy.

Formalnie zapisuje się to przez 9 aksjomatów:

Mówiąc krótko, ciałem nazywa się:
 pierścień przemienny z jedynką, w którym każdy niezerowy element jest odwracalny;
 grupę przemienną oznaczaną addytywnie, która po usunięciu zera tworzy grupę przemienną z innym działaniem (mnożeniem), rozdzielnym względem dodawania.

Aksjomat rozdzielności mnożenia względem dodawania pozwala rozróżniać działania mnożenia i dodawania – nie ma rozdzielności w „drugą stronę”. Dlatego wyrażenia postaci  można zapisać prościej jako  Oznacza to, że mnożenie wiąże argumenty silniej niż dodawanie.

Rozbieżności nazewnicze 
W literaturze rosyjskiej i francuskiej ciała określa się terminami, które można dosłownie przetłumaczyć jako pole (, ) lub ciało przemienne (fr. corps commutatif). Ogólne pierścienie z dzieleniem – niewymagające przemienności mnożenia – określa się słowami, które w innych kontekstach tłumaczy się jako ciało:  (), .

Pojęcie ciała jako struktury nieprzemiennej można także spotkać w niektórych tłumaczeniach książek naukowych na język polski. Można wtedy mówić na przykład o ciele kwaternionów. Rosjanie twierdzenie Wedderburna wypowiadają prosto: Każde ciało skończone jest polem.

Przykłady 
Ciałami są między innymi niektóre rodzaje liczb:
 liczby wymierne;
 ich niektóre rozszerzenia: liczby konstruowalne, algebraiczne, rzeczywiste i p-adyczne 
 niektóre rozszerzenia liczb rzeczywistych jak liczby zespolone czy hiperrzeczywiste.

Oprócz tego:
 funkcje wymierne o współczynnikach z dowolnego ciała również są ciałem;
 istnieją ciała skończone jak ciało Zp.

Ciało funkcji wymiernych  wyróżnia się nieskończoną mocą przy dodatniej charakterystyce.

Algebraiczne własności ciała mają też liczby nadrzeczywiste, jednak nie tworzą one zbioru – są klasą właściwą.

Dzieje pojęcia 
Pojęcia ciała – bez nadawania mu nazwy – używał Évariste Galois, który sklasyfikował ciała skończone. Później Bernhard Riemann w 1857 badał ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności.

Nazwa ciało () pojawiła się po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, oznaczając zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało.

Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps (ozn. ciało). Używane teraz w języku angielskim słowo field (dosł. pole) wprowadzili zapewne amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm (dosł. dziedzina, królestwo).

Własności 
 Z definicji ciała wynika, że nie zawiera ono właściwych dzielników zera. Innymi słowy jest ono dziedziną całkowitości.
 W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy  i całe ciało  Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia, a więc jest równy 
 Ciała skończone można sklasyfikować: każde z nich ma  elementów, gdzie  jest pewną liczbą pierwszą, a  jest liczbą naturalną. Co więcej, ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne, czyli z punktu widzenia algebry mogą być uważane za jednakowe.

Podciała i rozszerzenia 

Podciałem ciała  nazywa się taki podzbiór  ciała  który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z ). Dowolny homomorfizm ciał  jest zanurzeniem, gdyż
 

a więc  dla każdego 

Dla każdego ciała  zawsze istnieje homomorfizm pierścieni  jeżeli  jest zanurzeniem, to najmniejsze podciało ciała  zawierające pierścień  jest izomorficzne z  a o  mówi się, że jest charakterystyki zero; w przeciwnym wypadku istnieje najmniejsza liczba naturalna  taka, że  i jest ona liczbą pierwszą; wówczas pierścień  jest izomorficzny z ciałem reszt  i mówi się, że  ma charakterystykę równą 

Jeżeli  jest podciałem ciała  to ciało  nazywa się wtedy rozszerzeniem ciała  i tę relację między ciałami oznacza się  Charakterystyka  jest równa charakterystyce  i  jest przestrzenią liniową nad  Stopniem  rozszerzenia  nazywa się wymiar tej przestrzeni liniowej. Rozszerzenie  nazywa się rozszerzeniem skończonym, gdy jego stopień jest skończony, i rozszerzeniem nieskończonym, gdy jego stopień jest nieskończony.

Część wspólna dowolnej rodziny podciał ciała  jest jego podciałem; w szczególności dla każdego podzbioru  istnieje najmniejsze podciało ciała  Jeśli  jest podciałem ciała  a  – podzbiorem, to najmniejsze podciało ciała  zawierające  i  oznacza się 

Część wspólna wszystkich podciał ciała  nazywana jest podciałem prostym ciała  Podciało proste jest ciałem prostym.

Konstrukcje 
 Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
  jest ideałem maksymalnym pierścienia  wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy  jest ciałem.
 Rozszerzenie  ciała  o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego  to pierścień ilorazowy 
 Rozszerzenie  ciała  o element przestępny  (ciało funkcji wymiernych zmiennej  nad ciałem ) to ciało ułamków pierścienia wielomianów 
 Jeśli ciało  jest podciałem ciała  natomiast  jest podzbiorem  to istnieje najmniejsze podciało  ciała  zawierające  i  jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała  zawierających  i  Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała  razy iloczyn elementów zbioru 
 Ultraprodukt ciał jest ciałem.

Przypisy

Bibliografia

Literatura dodatkowa 
 Jerzy Browkin, Teoria ciał, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.

Linki zewnętrzne 
  Field , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].

 
Struktury dwóch działań wewnętrznych