Kinetische Energie

Die kinetische Energie (von ) oder auch Bewegungsenergie oder selten Geschwindigkeitsenergie ist die Energie, die ein Objekt aufgrund seiner Bewegung enthält. Sie entspricht der Arbeit, die aufgewendet werden muss, um das Objekt aus der Ruhe in die momentane Bewegung zu versetzen.
Sie hängt von der Masse und der Geschwindigkeit des bewegten Körpers ab.

Als Formelzeichen für die kinetische Energie wird häufig  oder  verwendet. Die SI-Maßeinheit der kinetischen Energie ist das Joule.

Das Konzept der kinetischen Energie als eine Größe, die bei elastischen Stößen und vielen anderen mechanischen Vorgängen erhalten bleibt, wurde als vis viva (‚Lebendige Kraft‘) von Gottfried Wilhelm Leibniz eingeführt, der darin in Streit mit den Anhängern von René Descartes die korrekte Erhaltungsgröße in der Mechanik sah (1686). Diese Größe war allerdings um den Faktor 2 größer als die heute gültige kinetische Energie. Der Faktor  in der Formel für die kinetische Energie findet sich schon 1726 bei Daniel Bernoulli. Das eigentliche Energiekonzept bildete sich aber erst im 19. Jahrhundert heraus, insbesondere in der Schule der angewandten Mathematik in Frankreich und mit dem Aufkommen der Thermodynamik. In der Mechanik des 18. Jahrhunderts, deren Hauptuntersuchungsgegenstand die Himmelsmechanik war, spielte es noch keine große Rolle.
Die Ausdrücke „kinetische Energie“ und „potentielle Energie“ wurden 1859 von dem schottischen Ingenieur William J. M. Rankine geprägt.

Kinetische Energie in der klassischen Mechanik

Massenpunkt 
In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie  eines Massenpunktes proportional zu seiner Masse  und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit 
.

Fährt beispielsweise ein Auto der Masse  mit einer Geschwindigkeit von , hat es demzufolge eine kinetische Energie von  (das Joule, , ist die SI-Einheit der Energie).

Wenn man den Bewegungszustand des Körpers nicht durch seine Geschwindigkeit , sondern durch seinen Impuls  beschreibt, wie das u. a. in der Hamiltonschen Mechanik üblich ist, so gilt für die kinetische Energie (wegen )
.

Einfache Herleitung 
Wird ein Körper der Masse  aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit  beschleunigt, so muss man dafür die Beschleunigungsarbeit  zufügen. Bei konstanter Kraft gilt
,
wobei  die in Richtung der Kraft zurückgelegte Strecke ist.
Die Kraft erteilt dem Körper eine gleichmäßige Beschleunigung , nach der Grundgleichung der Mechanik ist . Nach einer Zeit  ist die Geschwindigkeit  erreicht, und es wurde die Strecke  zurückgelegt. Alles oben eingesetzt, ergibt die Beschleunigungsarbeit
.
Da die kinetische Energie in Ruhe den Wert Null hat, erreicht sie nach dem Beschleunigungsvorgang genau diesen Wert . Folglich beträgt die kinetische Energie eines Körpers der Masse , der sich mit der Geschwindigkeit  bewegt
.

Bewegung in einem Koordinatensystem 
Beschreibt man die Bewegung eines Körpers in einem Koordinatensystem, so lässt sich die kinetische Energie je nach Wahl des Koordinatensystems wie folgt berechnen:
 Kartesische Koordinaten :

 Ebene Polarkoordinaten ():

 Kugelkoordinaten ():

 Zylinderkoordinaten ():

Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit. Die Formeln berücksichtigen nicht die Energie, die möglicherweise in der Eigenrotation des Körpers steckt.

Starre Körper 
Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse  und der Geschwindigkeit  seines Schwerpunktes ist die Summe der Energie aus der Bewegung des Schwerpunkts (Translationsenergie) und der Rotationsenergie aus der Drehung um den Schwerpunkt:

Hier ist  das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und  die Winkelgeschwindigkeit der Drehung.

Mit dem Trägheitstensor  wird dies allgemein geschrieben als:

Hydrodynamik 
In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meistens durch ein kleines  oder  ausgedrückt:

Hierbei bezeichnet  die Dichte und  das Volumen.

Kinetische Energie in der relativistischen Mechanik 

In der relativistischen Physik gilt die oben angegebene Abhängigkeit der kinetischen Energie von der Geschwindigkeit nur näherungsweise für Geschwindigkeiten deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. Aus dem Ansatz, dass die kinetische Energie  die Differenz aus Gesamtenergie und Ruheenergie ist, folgt:

Dabei ist  die Lichtgeschwindigkeit,  die Masse und  der Lorentzfaktor

Aus der Taylor-Entwicklung nach  erhält man

,

also für  wieder die kinetische Energie der klassischen Mechanik.

Da die Energie über alle Grenzen wachsen müsste, wenn die Geschwindigkeit gegen die Lichtgeschwindigkeit geht,  ist es nicht möglich, einen massebehafteten Körper auf Lichtgeschwindigkeit zu beschleunigen.

Das Diagramm rechts zeigt die relativistische kinetische Energie und die nach der klassischen Mechanik als Funktion der Geschwindigkeit (gemessen in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit) für einen Körper mit der Masse von .

Da die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers vom Bezugssystem abhängt, gilt dies auch für dessen kinetische Energie. Das gilt in klassischer und in relativistischer Physik.

Anwendungsbeispiele

Im elektrischen Feld nimmt die Energie eines Elektrons der Ladung  und der Masse  linear mit der durchlaufenen Beschleunigungsspannung  zu. Die kinetische Energie ist nun die Differenz der relativistischen Gesamtenergie  und der Ruheenergie 0.
Die kinetische Energie  ist also:

Beachtet man, dass für die Gesamtenergie

gilt (: relativistischer Impuls) und zwischen Impuls und Gesamtenergie der Zusammenhang

besteht, folgt für die Gesamtenergie aus  also:

Berechnet man nun die Differenz aus  und , setzt den Ausdruck gleich  und löst nach  auf, erhält man abschließend:
 mit der Ruheenergie eines Elektrons 
Bei Beschleunigungsspannungen unterhalb 1 kV lässt sich die Geschwindigkeit aus dem klassischen Ansatz für die kinetische Energie abschätzen, bei höheren Energien muss relativistisch gerechnet werden. Bereits bei einer Spannung von 10 kV erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von fast 20 % der Lichtgeschwindigkeit, bei 1 MV 94 %.

Der Large Hadron Collider führt Protonen eine kinetische Energie von 6,5 TeV zu. Diese Energie ist etwa achttausend Mal größer als die Ruheenergie eines Protons. Bei einer Kollision zwischen entgegengesetzt beschleunigten Protonen können Teilchen mit einer entsprechend hohen Ruheenergie entstehen.

Kinetische Energie in der Quantenmechanik 
In der Quantenmechanik ist der Erwartungswert  der kinetischen Energie eines Teilchens der Masse , welches durch die Wellenfunktion  beschrieben wird, gegeben durch
,

wobei  das Quadrat des Impulsoperators des Teilchens ist.

Im Formalismus der Dichtefunktionaltheorie ist nur vorausgesetzt, dass die Elektronendichte bekannt ist, das heißt, dass die Wellenfunktion formal nicht bekannt sein muss. Mit der Elektronendichte  ist das exakte Funktional der kinetischen Energie für  Elektronen unbekannt; falls jedoch im Fall  ein einzelnes Elektron betrachtet wird, so kann die kinetische Energie als

geschrieben werden, wobei  das Weizsäcker-Funktional der kinetischen Energie ist.

Siehe auch 
 Potentielle Energie
 Energieerhaltungssatz
 Schleppkraft (Kinetische Energie in der Geographie)

Literatur 
 Wolfgang Nolting: Klassische Mechanik. In: Grundkurs Theoretische Physik. Bd. 1, 8. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-34832-0.
 Richard P. Feynman: Feynman-Vorlesungen über Physik. Mechanik, Strahlung, Wärme 5., verbesserte Auflage, definitive Edition. Oldenbourg, München / Wien 2007, ISBN 978-3-486-58444-8 (= The Feynman Lectures on Physics, Band 1).
 Paul A. Tipler: Physik. 3. korrigierter Nachdruck der 1. Auflage. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2000, ISBN 3-86025-122-8.
 Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Mechanik – Akustik – Wärme. In: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd. 1, 12. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2008, ISBN 978-3-11-019311-4.

Weblinks

Einzelnachweise 

Klassische Mechanik
Spezielle Relativitätstheorie
Energieform