Rząd macierzy

Rząd – w algebrze liniowej dla danego przekształcenia liniowego  między przestrzeniami liniowymi  nad ciałem  wymiar obrazu  tego przekształcenia, tzn. liczba wektorów bazowych podprzestrzeni liniowej  przestrzeni  w literaturze polskojęzycznej oznacza się go m.in. symbolami  lub  w literaturze anglojęzycznej można spotkać oznaczenia  czy .

Wszystkie opisane niżej własności dotyczące skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych nad ciałami przenoszą się wprost na skończeniegenerowane moduły wolne nad pierścieniami przemiennymi (które można opisywać za pomocą macierzy nad tymi pierścieniami), dla których istnieje izomorfizm między danym modułem a modułem dualnym do niego; w ogólności może się zdarzyć, że rzędy tych przekształceń będą różne albo nawet nie możliwe do poprawnego zdefiniowania. W analizie funkcjonalnej, gdzie bada się przekształcenia liniowe między nieskończeniewymiarowymi przestrzeniami liniowymi (z dodatkowymi strukturami), przekształcenia mające skończony rząd nazywa się operatorami skończonego rzędu.

Macierze 

Jeżeli  są skończonego wymiaru odpowiednio  to rząd  również jest skończony i jest nie większy niż  (gdyż wymiar dowolnej podprzestrzeni skończonego wymiaru jest skończony). Wybierając w  i  bazy, odpowiednio  oraz  wprowadza się izomorfizmy  i  W ten sposób przekształcenie  można zapisać we współrzędnych (w bazach ) w postaci przekształcenia  korzystając z przestrzeni współrzędnych macierzowych zapisuje się je zwykle w postaci macierzy  typu  nazywanej macierzą przekształcenia liniowego  w bazach  Jeśli dana własność będzie odnosić się tak do przekształcenia  jak i jego macierzy  to obiekty te zbiorczo będą oznaczane  

 Przekształcenia liniowe i ich macierze

Ponieważ kolumny macierzy  są obrazami wektorów bazy  w przekształceniu  to rozpinają one w  podprzestrzeń izomorficzną z obrazem  dlatego rząd macierzy  można definiować jako rząd tego przekształcenia liniowego, zwykle jednak czyni się na odwrót: definiuje się rząd macierzy i dowodzi, iż rzędy macierzy podobnych są równe, tzn. że rząd przekształcenia opisanego we współrzędnych nie zależy od ich wyboru (zob. Własności). W szczególności operacje elementarne zachowują rząd, co oznacza, że do jego obliczenia można wykorzystać metodę eliminacji Gaussa (lub metodę eliminacji Gaussa-Jordana): wówczas rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy macierzy wynikowej mającej postać schodkową (zwykłą lub zredukowaną).

 Przekształcenia dualne i macierze transponowane

Jeśli  są skończeniewymiarowe, to istnieje wtedy izomorfizm między tymi przestrzeniami a przestrzeniami dualnymi  przekształceniu  odpowiada wtedy przekształcenie dualne  któremu odpowiada z kolei macierz transponowana  W związku z tym, że dualizacja jest izomorfizmem, przekształcenie  ma rząd równy rzędowi  a rząd macierzy  jest równy rzędowi macierzy  Wprost stąd wynika, że rząd  nie może również przekraczać  w połączeniu z obserwacją z pierwszego akapitu oznacza to więc, iż rzędy te są nie większe niż mniejsza z liczb 

Ponieważ transpozycja macierzy zamienia rolami jej wiersze i kolumny, to rząd macierzy  zwykło nazywać się rzędem kolumnowym, a z kolei rząd macierzy  – rzędem wierszowym macierzy  Tłumaczy to, dlaczego zazwyczaj pojęcia te definiuje się odpowiednio jako maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy bądź inaczej: wymiar powłoki liniowej rozpiętej na wektorach będących kolumnami lub wierszami danej macierzy.

 Wyznacznik

Ponieważ do określenia liniowej niezależności wektorów, kolumnowych bądź wierszowych, macierzy można wykorzystać wyznacznik, to rząd macierzy można wyznaczyć jako największy stopniem niezerowy minor tej macierzy; czasami własność ta wykorzystywana jest jako definicja tzw. rzędu wyznacznikowego macierzy. W interpretacji geometrycznej oznacza to, że rząd układu wektorów kolumnowych bądź wierszowych danej macierzy jest równy największemu wymiarowi wielowymiarowego równoległościanu rozpinanego przez te wektory.

 Własności
Rząd  jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie jest trywialne (tzn. odwzorowujące wszystkie wektory w wektor zerowy), bądź macierz jest zerowa. Przekształcenie  jest różnowartościowe (monomorifzmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd  tzn. ma „pełny rząd kolumnowy”, oraz na (epimorfizmem) wtedy i tylko wtedy, gdy rząd  tzn. ma „pełny rząd wierszowy”. Ponadto jeśli  z macierzą  typu  to rząd  rząd  rząd  Jeśli zaś  są przestrzeniami liniowymi nad  odpowiednio wymiaru  i dane są przekształcenia  z macierzą  typu  rzędu  oraz  z macierzą  typu  rzędu  to rzędy  oraz  są równe rzędowi 

Niech  będą endomorfizmami, a  oznaczają ich kwadratowe macierze stopnia  Wówczas z połączenia powyższych stwierdzeń o różnowartościowości i byciu „na” wynika, że endomorfizm  jest odwracalny (izomorfizmem) bądź jego macierz  jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy rząd  tzn. ma „pełny rząd”. Zachodzi również tzw. nierówność Sylvestera o rzędzie: rząd  rząd  rząd

Uwagi

Przypisy

Bibliografia 
 
 
 

Obiekty określone dla macierzy