Archimedisches Prinzip

Das archimedische Prinzip ist nach dem vor über 2000 Jahren lebenden griechischen Gelehrten Archimedes benannt, der als erster diesen Sachverhalt formulierte, und zwar als 16. Proposition in seinem Werk Über die schwimmenden Körper Es lautet:

 
Das archimedische Prinzip gilt in allen Fluiden, d. h. in guter Näherung in Flüssigkeiten und in Gasen. Schiffe verdrängen Wasser und erhalten dadurch Auftrieb. Da die mittlere Dichte eines Schiffes geringer als die Dichte von Wasser ist, schwimmt es an der Oberfläche. Auch Ballone und Luftschiffe machen sich diese Eigenschaft zunutze. Sie werden mit einem Gas befüllt, dessen Dichte geringer ist als die der umgebenden Luft. Diese Gase (z. B. Helium oder Wasserstoff) sind bei vielen Luftschiffen und Ballonen von Natur aus weniger dicht als Luft; in Heißluftballons und Heißluft-Luftschiffen wird die Luftfüllung mit Hilfe von Gasbrennern erwärmt, wodurch ihre Dichte abnimmt.

Erklärung des Phänomens 

In vereinfachter Sichtweise liegt die Ursache für die Auftriebskraft darin, dass der hydrostatische Druck an der Oberseite bzw. der Unterseite eines eingetauchten Körpers unterschiedlich ist. Aus diesem Druckunterschied resultieren unterschiedlich große Kräfte auf Unter- und Oberseite des eingetauchten Körpers, auf die Unterseite wirkt eine größere Kraft als auf die weiter oben befindlichen Teile der Oberfläche.

Beispielrechnung 
Im Beispiel (Bild 1) gehen wir von einem Würfel mit 20 cm Kantenlänge aus. Er ist 10 cm tief unter die Wasseroberfläche eingetaucht.

Berechnung über Druckunterschiede 
Der Druck, den 1 m Wassersäule erzeugt, beträgt . An der Oberseite des Körpers mit  Wassersäule herrscht also , an der Unterseite bei  Wassersäule ergibt sich . Der Luftdruck addiert sich zu beiden Werten und muss in der weiteren Rechnung nicht berücksichtigt werden.

Auf die untere Fläche (Bild 1)  wirkt somit die Kraft 

nach oben. Auf die obere Fläche  wirkt dagegen die Kraft

nach unten. Die Differenz der beiden Kräfte, also der Auftrieb dieses Körpers berechnet sich also zu
.

Berechnung mit Hilfe des archimedischen Prinzips 
Nach Archimedes gilt Folgendes:
.
Bezogen auf das Beispiel (Bild 1) können wir schreiben:

Dabei wurde die Dichte  des Fluids, die Beziehung  zur Masse  und zum Volumen , und der Ortsfaktor  verwendet. Wir sehen, dass beide Methoden zum selben Ergebnis führen.

Gedankenexperiment 
Folgendes Gedankenexperiment veranschaulicht die Richtigkeit des archimedischen Prinzips. Dazu stelle man sich ein ruhendes Fluid vor. Innerhalb des Fluids sei ein beliebiger Teil des Fluids markiert. Die Markierung kann man sich wie eine Art Wasserballon in einem Behälter Wasser vorstellen, nur dass die Haut dieses Wasserballons unendlich dünn und massenlos ist und eine beliebige Form annehmen kann.

Man stellt nun fest, dass der so markierte Teil des Fluids innerhalb des Fluids weder steigt noch sinkt, da sich das gesamte Fluid in Ruhe befindet – der markierte Teil schwebt sozusagen schwerelos im ihn umgebenden Fluid. Das bedeutet, dass die Auftriebskraft des markierten Fluidteils exakt sein Gewicht kompensiert. Daraus kann gefolgert werden, dass die Auftriebskraft des markierten Fluidteils genau seiner Gewichtskraft entspricht. Da die Markierung innerhalb des Fluids beliebig ist, ist somit die Richtigkeit des archimedischen Prinzips für homogene Fluide gezeigt.

Steigen, sinken, schweben 
Damit ein Körper die in der Grafik beschriebene Position beibehält, muss seine Gewichtskraft gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers (78,48 N) sein. Dann heben sich alle auf den Körper wirkenden Kräfte auf und dieser kommt zum Stillstand.
Nach der Formel  muss der Körper des Beispiels 8.000 g schwer sein. Des Weiteren hätte er nach  eine Dichte von 1 kg/dm3, also die Dichte von Wasser.

Wir können also folgende Regel formulieren:
 Wenn  ist, dann schwebt der Körper.
 Wenn  ist, dann steigt der Körper. 
 Wenn  ist, dann sinkt der Körper.
Die Körper steigen oder sinken, bis der Gewichtskraft eine betragsmäßig gleich große Kraft entgegenwirkt. Auf einen stationären Körper, der nicht auf dem Boden des Behälters aufliegt, muss daher eine Auftriebskraft einwirken, die gleich seiner eigenen Gewichtskraft ist: 

Für in der Wassersäule schwebende oder auf der Wasseroberfläche aufschwimmende Körper gilt daher:

Entdeckung des archimedischen Prinzips 

Archimedes war von König Hieron II. von Syrakus beauftragt worden, herauszufinden, ob dessen Krone wie bestellt aus reinem Gold wäre oder ob das Material durch billigeres Metall gestreckt worden sei. Diese Aufgabe stellte Archimedes zunächst vor Probleme, da die Krone natürlich nicht zerstört werden durfte.

Der Überlieferung nach hatte Archimedes schließlich den rettenden Einfall, als er zum Baden in eine bis zum Rand gefüllte Wanne stieg und dabei das Wasser überlief. Er erkannte, dass die Menge Wasser, die übergelaufen war, genau seinem Körpervolumen entsprach. Angeblich lief er dann, nackt wie er war, durch die Straßen und rief „Eureka!“ („Ich habe es gefunden“).

Um die gestellte Aufgabe zu lösen, tauchte er einmal die Krone und dann einen Goldbarren, der genauso viel wog wie die Krone, in einen bis zum Rand gefüllten Wasserbehälter und maß die Menge des überlaufenden Wassers. Da die Krone mehr Wasser verdrängte als der Goldbarren und somit bei gleichem Gewicht voluminöser war, musste sie aus einem Material geringerer Dichte, also nicht aus reinem Gold, gefertigt worden sein.

Diese Geschichte wurde vom römischen Architekten Vitruv überliefert.

Obwohl der Legende nach auf dieser Geschichte die Entdeckung des archimedischen Prinzips beruht, würde der Versuch von Archimedes auch mit jeder anderen Flüssigkeit funktionieren. Das Interessanteste am archimedischen Prinzip, nämlich die Entstehung des Auftriebs und damit die Berechnung der Dichte des Fluids, spielt in dieser Entdeckungsgeschichte gar keine Rolle.

Physikalische Herleitung 
Ein Körper wird vom Druck  belastet, welchen das umgebende Medium (Flüssigkeit oder Gas) auf seine Oberfläche ausübt. Ein betrachtetes Teilstück der Oberfläche mit dem Inhalt  sei so klein gewählt, dass es praktisch eben ist und dass in seinem Bereich der Druck  konstant ist. Der Einheitsvektor der äußeren Flächennormale der Teilfläche sei . Das Medium übt dann die Kraft
 

auf das Teilstück aus. Eine Summierung dieser Kräfte über alle Teilstücke liefert die gesamte Auftriebskraft.

Das archimedische Prinzip gilt nur genau dann streng, wenn das verdrängte Medium inkompressibel (nicht zusammendrückbar) ist. Für Flüssigkeiten wie z. B. Wasser ist dies gut erfüllt, daher soll im Folgenden von einem Körper ausgegangen werden, der in eine Flüssigkeit der (genau genommen von der Temperatur abhängigen) Dichte  eintaucht.

In der Flüssigkeit lastet auf einer waagerechten Fläche der Größe  in der Tiefe  das Gewicht einer Flüssigkeitssäule der Masse . Der Druck in dieser Tiefe ist deshalb

.

Ein entsprechender Druckverlauf gilt bei nicht zu großen Höhendifferenzen  auch in der Luft oder anderen Gasen (d. h. die Kompressibilität fällt nicht ins Gewicht; bei großen Höhenunterschieden müsste eine veränderliche Dichte berücksichtigt werden). Deshalb gelten die folgenden Überlegungen auch für realistisch große Luftschiffe oder Ballone.

Für einfache geometrische Formen kann man die Gültigkeit des archimedischen Prinzips mit einfachen Mitteln von Hand nachrechnen. Für einen Quader mit Grundfläche  und Höhe , der senkrecht in die Flüssigkeit eintaucht, erhält man beispielsweise:
 Kraft auf die obere Grundfläche mit der Flächennormalen : 

 Kraft auf die untere Grundfläche mit der Flächennormalen : 

 Kräfte auf die Seitenflächen heben sich stets gegenseitig auf.
 Die gesamte Auftriebskraft ist also 

Dabei ist  das verdrängte Volumen, also  die verdrängte Masse und  ihre Gewichtskraft. Das archimedische Prinzip ist also erfüllt. Das negative Vorzeichen entfällt, wenn die -Achse nach oben gewählt wird.

Für einen beliebig geformten Körper  erhält man die gesamte Auftriebskraft durch das Oberflächenintegral

Mit dem Integralsatz 
  
und  folgt daraus

.

Weblinks 

 Interaktives Experiment zur Größe der Auftriebskraft auf einen Körper, der in eine Flüssigkeit taucht

Einzelnachweise 

Klassische Mechanik
Archimedes