Dodekaeder

Das Dodekaeder [] (von griech. Zwölfflächner; dt. auch (das) Zwölfflach) ist ein Körper mit zwölf Flächen. In der Regel ist damit ein platonischer Körper gemeint, nämlich das regelmäßige Pentagondodekaeder, ein Körper mit

 12 kongruenten regelmäßigen Fünfecken
 30 gleich langen Kanten, von denen jede die Seite von zwei Fünfecken ist
 20 Ecken, in denen jeweils drei dieser Fünfecke zusammentreffen

Es gibt aber auch andere Dodekaeder von hoher Symmetrie.

Symmetrie 

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Dodekaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:
 6 fünfzählige Drehachsen  (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen)
 10 dreizählige Drehachsen  (durch gegenüberliegende Ecken)
 15 zweizählige Drehachsen  (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende und parallele Kanten)
und ist
 punktsymmetrisch (Punktspiegelung bezüglich des Dodekaedermittelpunkts)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Dodekaeders – die Dodekaedergruppe oder Ikosaedergruppe – 120 Elemente. Die 60 orientierungserhaltenden Symmetrien entsprechen der alternierenden Gruppe . Manchmal wird auch diese Untergruppe Ikosaedergruppe genannt. Die volle Symmetriegruppe ist isomorph zu dem direkten Produkt . Dass das Produkt direkt ist, sieht man daran, dass die Punktspiegelung am Mittelpunkt mit den Drehungen kommutiert.

Die Symmetrie des Dodekaeders ist durch die hier auftretenden fünfzähligen Symmetrieachsen mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (siehe Quasikristalle).

Struktur 

Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder und umgekehrt.

Mit Hilfe von Dodekaeder und Ikosaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Dodekaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
 das abgestumpfte Dodekaeder mit 12 Zehnecken und 20 Dreiecken durch Abstumpfung der Ecken eines Dodekaeders
 das Ikosidodekaeder mit 12 Fünfecken und 20 Dreiecken
 das abgestumpfte Ikosaeder (Fußballkörper) mit 12 Fünfecken und 20 Sechsecken als Durchschnitt eines Dodekaeders mit einem Ikosaeder (siehe archimedische Körper, Fullerene)
 und das Rhombentriakontaeder mit 12 + 20 = 32 Ecken und 30 Rauten als Flächen. Es entsteht durch das Aufsetzen gerader Pyramiden auf das Dodekaeder, von denen je zwei Seitenflächen einander ergänzen, d. h. in einer Ebene liegen und eine Kante gemein haben.

Aus den Kanten des Dodekaeders kann man 3 Paare gegenüberliegender Kanten so auswählen, dass diese Paare 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die restlichen 8 Ecken bilden dann die Ecken eines dem Dodekaeder einbeschriebenen Würfels. Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Dodekaeders zu genau einer solchen Position gehört und jede Ecke Eckpunkt von zwei einbeschriebenen Würfeln ist. Die Symmetriegruppe des Dodekaeders bewirkt alle 5! = 120 Permutationen dieser fünf Positionen bzw. Würfel.

Da die Kanten des einbeschriebenen Würfels Diagonalen der Fünfecke sind, entspricht das Verhältnis der Längen der Kanten des Dodekaeders und jener eines eingeschriebenen Würfels dem Goldenen Schnitt.

Konstruktion 

Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes Elemente, unter Proposition 17, die Konstruktion des Dodekaeders.

Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende sphärischen Darstellung nur die Schritte, die für das Dodekaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS). Zur besseren Übersicht sind die Kreise und Hilfskugeln zur Erzeugung der Schnittpunkte nur in den betreffenden Bildern der Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild der Konstruktionsskizze) bzw. in den animierten Bildern eingezeichnet. 

Gegeben sei eine Umkugel, z. B mit dem Radius gleich  und deren Mittelpunkt . Beim Bestimmen der  und Achsen eines kartesischen Koordinatensystems, entstehen die Punkte  und  auf der Oberfläche der Umkugel.

Um ein Dodekaeder darstellen zu können bedarf es hierzu auch der Konstruktion eines Würfels, der ebenfalls von derselben Kugel einbeschrieben ist. Vorab werden aus einem rechtwinkligen Dreieck die beiden Größen Kantenlänge des Würfels und Kantenlänge  des Dodekaeders ermittelt.

Auf der verlängerten Achse wird der Punkt  festgelegt und anschließend der Kugeldurchmesser  mit Mittelpunkt  auf einer zur Achse Parallelen projiziert. Eine Hilfskugel mit Radius  markiert  als dritten Punkt für den darauffolgenden Umkreisbogen . Das anschließend eingezeichnete rechtwinklige Dreieck  mit der Kathete  liefert als Hypotenuse  die Kantenlänge des Würfels. Ihre Teilung im Goldenen Schnitt führt zur Kantenlänge  des Dodekaeders. Zwecks besserer Übersicht wird in diesem Fall die Hypotenuse  mithilfe eines Kreises um  mit Richtung parallel zur Achse auf den Durchmesser  übertragen, der Schnittpunkt ist . Nach dem klassischen Verfahren mit innerer Teilung von Heron von Alexandria, folgt die Halbierung der Strecke  in , das Errichten der Senkrechten in , ein Kreis um   mit Richtung parallel zur Achse (Schnittpunkt ist ) und das Einzeichnen des rechtwinkligen Dreiecks . Mittels einer ersten Hilfskugel mit Radius  wird die Kathete auf die Hypotenuse  projiziert, der Schnittpunkt ist . Eine zweite Hilfskugel mit Radius  erzeugt den Schnittpunkt  auf der Hypotenuse . Die Länge  ist der größere Teil der im Goldenen Schnitt geteilten Kantenlänge  des Würfels (siehe Bild 4 der Konstruktion). Nach der Halbierung der Kathete  in , der Halbierung der Strecke  in  und dem Ziehen einer Parallele zu  mit Schnittpunkt  liefert die  Ähnlichkeit der Dreiecke  den Nachweis:  Die Länge  ist der konstruktiv benötigte größere Teil einer im goldenen Schnitt geteilten halben Kante des einbeschriebenen Würfels. 

Die eigentliche Konstruktion des Dodekaeders beginnt mit dem Einzeichnen des Inkreises des Würfels um Mittelpunkt  mit Radius  sowie Richtung  und Achse. Die Fertigstellung des Würfels , mit den zwölf Punkten aus den Halbierungen der Kanten sowie den acht Mittelpunkten der Quadratflächen, erreicht man mit Parallelen zu den drei Koordinatenachsen, wie z. B. die Kante  mit der Parallelen zur Achse durch den zuvor ermittelten Kantenmittelpunkt  (siehe Bild 6 der Konstruktion).

Weiter geht es mit der Positionierung der regelmäßigen Fünfecke. Bei jedem dieser zwölf Fünfecke liegen zwei seiner gegenüberliegenden Eckpunkte (z. B.:  und ) auf Ecken des Würfels, ein weiterer Eckpunkt (z. B.: ) hat, so wie die beiden letzten Eckpunkte (z. B.:  und ), den senkrechten Abstand  zu einer Würfelfläche. Die Beschreibung zur Positionierung der Fünfecke erfolgt nun beispielhaft an den beiden Fünfecken  und . 

Auf der Würfelfläche  wird ein Kreis mit Radius  um den Flächenmittelpunkt  mit Richtung Achse gezogen. Damit ist die Strecke  in  und die Strecke  in  im Goldenen Schnitt geteilt. Es folgt das Errichten einer Senkrechten zur Würfelfläche in . Hierzu zieht man durch  eine Parallele zur Achse und den Kreis mit Radius  um  mit Richtung parallel zur Achse, der Schnittpunkt ist . Eine Parallele zu  durch  und eine Parallele zur Achse durch  erzeugen mit  ebenfalls den Abstand  (siehe Bild 7 der Konstruktion). Nun folgt um den Flächenmittelpunkt , der Würfelfläche , ein Kreis mit Radius  mit Richtung parallel zur Achse. Die anschließende Parallele zur Achse durch  schneidet den Kreis in . Der nächste Kreis mit Radius  um  mit Richtung parallel zur Achse und die Parallele zur Achse durch  schneiden sich in  (siehe Bild 8 der Konstruktion). Das Fünfeck  wird nun durch Verbinden der soeben bestimmten Eckpunkte fertiggestellt.

Für das Beispiel Fünfeck  sind nur noch zwei Eckpunkte zu finden. Um den Flächenmittelpunkt , der Würfelfläche , wird der Kreis mit Radius  um den Flächenmittelpunkt  mit Richtung parallel zur Achse gezogen. Der Schnittpunkt  liegt auf der Achse. Ein zweiter Kreis mit gleichem Radius wird um  mit Richtung Achse eingezeichnet. Die nachfolgende Parallele zur Achse schneidet den Kreis in den Punkten  und  (siehe Bild 13 der Konstruktion). Das Fünfeck  wird nun durch Verbinden der betreffenden Eckpunkte fertiggestellt.

Formeln 
Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Dodekaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

Winkel, Punkte, Flächen, Radien, Koordinaten

Einbeschriebener Würfel 
Viele metrische Eigenschaften eines Dodekaeders lassen sich aus der im Bild gezeigten Koordinatendarstellung berechnen/ablesen. In dem Bild wird der Dodekaeder mit der Kantenlänge  aus dem Würfel mit der Kantenlänge
, der Länge der Diagonale in einer Seitenfläche (5-Eck), aufgebaut. Die Würfelpunkte sind . Sie sind 8 der 20 Dodekaeder Punkte.  ist solch ein Punkt. Beim Rechnen ist immer wieder die Gleichung  nützlich (siehe Goldener Schnitt).

 ist ein Dodekaederpunkt in der y-z-Ebene.

Um dies einzusehen, muss gezeigt werden, dass der
 Abstand  einer nicht in einer Würfelebene liegenden Kante von der Würfelebene gleich  ist.
Hierzu wird der Tangens des Winkels  (siehe Bild Berechnung v. Winkel) auf zwei Arten ausgedrückt:

Winkel 

Damit ist (siehe nebenstehendes Bild) der
 Winkel zwischen Seitenflächen 
 Winkel zwischen einer Kante und einer Seitenfläche

Punkte des Dodekaeders 
Startet man mit den oben beschriebenen – auch im Bild erkennbaren – Punkten (8 Würfelpunkte, 12 Andere) und will nachweisen, dass sie die Ecken eines regulären Dodekaeders sind, zeigt man, dass
 alle Punkte auf einer Kugel liegen (Ihr Abstand zum Nullpunkt ist gleich)
 die Punkte jedes Fünfecks in einer Ebene liegen
 benachbarte Punkte den Abstand  haben.
Denn dann liegen die Punkte eines jeden Fünfecks auf einem ebenen Schnitt mit der Kugel, also auf einem Kreis, und benachbarte Punkte haben den gleichen Abstand, d. h., das Fünfeck ist regulär.

Um/In/Kanten-Kugelradien 

Aus der Zeichnung erkennt man ferner den
 Kantenkugelradius 
 Umkugelradius 

Der Inkugelradius ist (siehe Bild Berechnung v. Winkel) der Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Punkt  mit der Steigung . Diese Gerade hat die Gleichung
.
Bestimmt man den Abstand dieser Gerade vom Nullpunkt mit Hilfe der Hesseschen Normalform, so ergibt sich der Inkugelradius . Es ist

Damit ist der
 Inkugelradius.

Oberfläche, Volumen 

Die Oberfläche des Dodekaeders ist die Summe der 12 der 5-Eckflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 5-Ecks ist
. Damit ist die
 Oberfläche des Dodekaeders: .

Das Volumen des Dodekaeders (Bild 1) ist die Summe des Würfelvolumens und den 6 über jeder Würfelseite liegendem Dach ähnlichen Teil. Das Volumen  eines solchen Dachteiles setzt sich aus dem Volumen einer Pyramide mit Grundfläche  und Höhe  (siehe Bild) und dem dreieckigen Prisma mit Grundfläche  und Länge  zusammen. Also ist

und es ist das
 Volumen des Dodekaeders: 

Eine weitere Möglichkeit der Volumenberechnung (Bild 2) ergibt sich, wenn man das Dodekaeder, als einen Zusammenbau von 12 gleich großen Pyramiden mit fünfeckiger Grundfläche ansieht. Das Volumen des Dodekaeders entspricht dann dem Volumen von 12 Pyramiden.  

Für das Volumen der Pyramide gilt allgemein . Nimmt man für  die fünfeckige Grundfläche , für  die Höhe der Pyramide gleich dem Inkugelradius  des Dodekaeders und setzt abschließend den Faktor 12, ergibt sich 

daraus folgt ebenfalls
 Volumen des Dodekaeders:

Raumwinkel in den Ecken 

Der Raumwinkel  in einer Dodekaederecke ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Dreiecks, das die Kanten einer Ecke auf der Einheitskugel an dieser Ecke ausstechen. Die Winkel dieses sphärischen Dreiecks sind alle gleich dem Winkel  (siehe oben) zwischen zwei Dreiecksebenen. Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks ist der Raumwinkel
 

Dieser Raumwinkel entspricht der Fläche eines Kugelsegments auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel

Anwendungen 
 Einige geodätische Kuppeln sind Polyeder, die vom Dodekaeder abgeleitet sind, indem die Fünfecke weiter in gleichschenkelige Dreiecke unterteilt werden.
 Es gibt dodekaederförmige Spielwürfel.
 Dodekaeder werden auch als originelle Wertstoff-Sammelbehälter eingesetzt, zum Beispiel in Paris.
 In der Bauakustik werden dodekaederförmige Lautsprecher verwendet, um eine möglichst gute Kugelcharakteristik zu erhalten.
 Statt einer Glaskugel werden kristallene Zwölfflächner zur Raumausleuchtung verwendet.
 Der Verwendungszweck des römischen Pentagondodekaeders ist bis heute unklar.

 Ein Dodekaeder kann auch als Jahres-Kalender verwendet werden: jeder Monat erhält ein eigenes Fünfeck.
 Sowohl Megaminx als auch Alexander’s Star sind Varianten des Zauberwürfels in Form eines Dodekaeders als dreidimensionales Puzzle.
 In Waldorfschulen ist der Grundstein, der traditionell am Eingangsportal einer jeden Schule platziert wird, ein kupfernes Pentagondodekaeder.

Pentagondodekaeder mit unregelmäßigen Flächen

Pyritoeder 
Das Pyritoeder hat ebenfalls 12 Flächen, 20 Ecken und 30 Kanten. Die Flächen sind aber nicht regelmäßig. Jede der 12 Flächen ist ein Fünfeck mit vier kürzeren und einer längeren Kante. Insgesamt besitzt dieses Polyeder 24 kürzere und 6 längere Kanten. Wie auch beim regelmäßigen Pentagondodekaeder bilden 8 der 20 Ecken einen einbeschriebenen Würfel (Vergl. Abschnitt 1.3.1); in der Abbildung sind sie gelb markiert. In der Natur kommt Pyrit (FeS2) manchmal in dieser Gestalt vor. Deshalb wird diese Varietät des Pentagondodekaeder in der Mineralogie auch Pyrit-Dodekaeder oder Pyritoeder genannt. Bei Kristallen sind fünfzählige Achsen unmöglich, wie das reguläre Pentagondodekaeder sie besitzt, weil es keine lückenlose periodische Flächenfüllung mit fünfzähliger Symmetrie gibt. Nur bei nicht streng periodischen „Kristallen“, also Quasikristallen, ist ein reguläres Pentagondodekaeder denkbar.

Netze des Dodekaeders 
Das Dodekaeder hat 43380 Netze. Das heißt, es gibt 43380 Möglichkeiten, ein hohles Dodekaeder durch Aufschneiden von 19 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 11 Kanten verbinden jeweils die 12 regelmäßigen Fünfecke des Netzes. Um ein Dodekaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 4 Farben.

Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen 

Das Dodekaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 20 Knoten, 30 Kanten und 12 Gebieten, der 3-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 3 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 3 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Dodekaedergraphen entsprechen den Ecken des Dodekaeders.

Die Knoten des Dodekaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Ikosaedergraph) mit 12 Knoten, 30 Kanten und 20 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Dodekaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung). Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 3 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 4 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 4 ist, sind 4 Farben für eine solche Flächenfärbung des Dodekaeders oder eine Färbung der Gebiete des Dodekaedergraphen nötig.

Die 19 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Dodekaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Dodekaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 12 Knoten und 11 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Dodekaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Dodekaedergraph besitzt 60 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.

Andere Dodekaeder 
Andere Dodekaeder sind zum Beispiel:

 Das Rhombendodekaeder besitzt 12 kongruente Rauten als Flächen, 14 Ecken und 24 Kanten. Es ist ein catalanischer Körper und dual zum Kuboktaeder. Es bildet die typische Kristallform der Granate.
 Das Trigondodekaeder besitzt 12 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flächen, 8 Ecken und 18 Kanten. Es ist ein Deltaeder und Johnson-Körper.
 Ausgehöhltes Dodekaeder
 Großes Dodekaeder
 Rhombenikosidodekaeder
 Verlängertes Rhombendodekaeder

Einige dieser Polyeder haben mehr als 12 Flächen, sind also keine echten Dodekaeder.

Weblinks 

 Euklid: Stoicheia. Buch XIII.17. Dodekaeder einer Kugel ...
 Herleitung der Formeln
 Bastelbogen für Kalender in Dodekaeder-Form
 Dodekaeder. Mathematische Basteleien
 Dodekaeder-Rechner für Kantenlänge, Oberflächeninhalt, Rauminhalt, Umkugelradius, Kantenkugelradius und Inkugelradius
 Wilfried Stevens: Das Dodekaeder Beitrag im Mystikum-Magazin, Juni 2019

Einzelnachweise 

Platonischer Körper
Planarer Graph