Formuła logiczna

Formuła logiczna – określenie dozwolonego wyrażenia w wielu systemach logicznych, m.in. w rachunku kwantyfikatorów oraz w rachunku zdań.

Rachunek zdań 
Zdania rachunku zdań są formułami tegoż rachunku. Tak więc każda zmienna zdaniowa  jest formułą. Taką formułę nazywa się też formułą atomową. Formułami są także negacje formuł atomowych, tzn.  Formuły atomowe i ich negacje nazywa się też literałami. Ponadto jeżeli  są formułami i  jest binarnym spójnikiem zdaniowym (alternatywą  koniunkcją  implikacją  lub równoważnością ), to  oraz  są formułami. Żadne inne wyrażenie nie może być formułą.

Przykłady 
Wbrew definicji formalnej, w sytuacjach, gdy nie prowadzi to do nieporozumień, część nawiasów w formule opuszcza się. Przykładowo, zgodnie z definicją formalną wyrażenie:  nie jest formułą (formułą byłoby np. wyrażenie  lecz interpretacja takiej formuły jest jednoznaczna i wewnętrzne nawiasy w praktyce pomija się).

Rachunek kwantyfikatorów 
Rachunek kwantyfikatorów (rachunek predykatów pierwszego rzędu), jako uogólnienie rachunku zdań, posługuje się podobną definicją formalną formuły, rozszerzając ją o kwantyfikatory – jeżeli  jest formułą rachunku kwantyfikatorów, to  oraz  są nią również.

Formalna definicja 
Niech  będzie ustalonym alfabetem, czyli zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Niech  będzie nieskończoną listą zmiennych.

Przypomnijmy, że termy języka  to elementy najmniejszego zbioru  takiego, że:
 wszystkie stałe i zmienne należą do 
 jeśli  i  jest -arnym symbolem funkcyjnym, to 

Formuły języka  są wprowadzane przez indukcję po ich złożoności jak następuje:
 jeśli  to wyrażenie  jest formułą (tzw. formuła atomową),
 jeśli  zaś  jest -arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie  jest formułą (tzw. formuła atomową),
 jeśli  są formułami oraz  jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to  oraz  są formułami,
 jeśli  jest zmienną oraz  jest formułą, to także  i  są formułami.

Zmienne wolne w formule 
W formułach postaci  i  mówimy, że zmienna  znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana. Przez indukcję po złożoności formuł, rozszerzamy to pojęcie na wszystkie formuły w których  czy też  pojawia się jako jedna z części użytych w budowie, ale ograniczamy się do występowań zmiennej  w  (i mówimy, że konkretne wystąpienie zmiennej jest wolne lub związane). Bardziej precyzyjnie:
 każde wystąpienie zmiennej  w formule atomowej jest wolne,
 jeśli  to formuła postaci  to każde wystąpienie zmiennej  w formule  jest związane,
 jeśli  to formuły i pewne wystąpienie zmiennej  w formule  jest związane (wolne, odpowiednio), to wystąpienie to rozważane w formułach   oraz  także jest związane (wolne, odpowiednio; tutaj * jest binarnym spójnikiem zdaniowym).

Formuły w których nie ma wolnych występowań żadnych zmiennych są nazywane zdaniami (danego języka).

Domknięciem (lub domknięciem ogólnym) względem zmiennych  formuły  nazywamy formułę

Przykłady 
W praktyce, podobnie jak w rachunku zdań, gdy nie prowadzi to do niejasności, stosuje się zasadę opuszczania nawiasów.
 Przykładami formuł języka  teorii mnogości (czyli  jest binarnym symbolem relacyjnym) są:
 
 
 Przykładami formuł języka  teorii grup (czyli  jest binarnym symbolem funkcyjnym) są:

Zobacz też 
 dysjunkcyjna postać normalna
 koniunkcyjna postać normalna
 logika
 prawa De Morgana

Logika matematyczna