Polygon

Ein Polygon (von  ‚Vieleck‘; aus  ‚viel‘ und  gōnía ‚Winkel‘) oder auch Vieleck ist in der elementaren Geometrie eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet wird.

Ein Polygon ist ein zweidimensionales Polytop.

Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte durch Strecken miteinander verbunden werden. Dabei entsteht ein geschlossener Streckenzug (Polygonzug) mit ebenso vielen Ecken, beispielsweise ein Dreieck (3 Punkte, 3 Strecken) oder ein Viereck (4 Punkte, 4 Strecken).

Die umschlossene Fläche wird oft auch als Polygon bezeichnet, so in der Planimetrie.

Definition und Bezeichnungen 
Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel

von  verschiedenen Punkten definiert ist.

 Die  Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit  Ecken heißt  oder (insbesondere in der englischen Literatur) auch 
 Die Strecken  und  bezeichnet man als Seiten des Polygons.
 Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die keine Seiten sind, nennt man Diagonalen.
Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal nicht notwendig sind:
 Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein „Zweieck“ aus.
 Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch , ,  und , ,  gelten dabei als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.

Klassifikation

Nach Anzahl der Ecken 
Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt.

Regelmäßiges Polygon 
Hat ein Polygon gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.
Viele regelmäßige Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren (Konstruierbares Polygon).

Weitere Typen 

 Überschlagenes Polygon
  Bei einfachen Polygonen berühren sich die Kanten nur in den Eckpunkten; bei überschlagenen Polygonen haben die Kanten zusätzliche Schnittpunkte durch Überschneidung.

 Nicht-überschlagenes Polygon
  Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.

 Planares Polygon
 In der Ebene liegendes (planares) Polygon.

 Nicht-planares Polygon
 Im Raum liegendes (nicht-planares) Polygon.

Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein:

 Regelmäßiges Polygon
 Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.

 Sternpolygon
 Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.

 Orthogonales Polygon
 Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).

Eigenschaften

Winkel 
In einem nicht überschlagenen, ebenen -Eck ist die Summe der Innenwinkel
 .
Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken
 .
Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert
    bzw.   .

Diagonalen 
Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

 Jede der  Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
 Die Verbindung von Ecke  zur Ecke  ist mit der Verbindung von  nach  identisch.
 Genau  Verbindungen sind Seiten des Polygons.
Also hat ein nicht überschlagenes -Eck genau  Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

Umfang 
Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten  gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen bestimmt werden:

Fläche 
Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen positiv orientierten Polygons durch kartesische Koordinaten  gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel und deren Variationen berechnet werden:

 

In den Formeln gilt:  . 

Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.

Algorithmen

Flächeninhalt 
Insbesondere für die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaußschen Trapezformel besonders geeignet, da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten, die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo-Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann. Die Modulo-Funktion ist hier nötig, um sogenannte Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung auszuschließen. Dabei sind , , , die Koordinaten der  Eckpunkte des Polygons.

Konvexe Hülle 

Algorithmen für die Ermittlung der konvexen Hülle von  Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von . Der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von  Zahlen (siehe Sortierverfahren). Liegen nur  der  Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei .

Es gibt mehrere Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hülle:

 Graham-Scan-Algorithmus
 Gift-Wrapping-Algorithmus
 QuickHull
 Inkrementeller Algorithmus
 Chans Algorithmus

Punkt im Polygon 

Es gibt einen einfachen Algorithmus, mit dem geprüft werden kann, ob sich ein Punkt innerhalb eines Polygons in der Ebene befindet:

Es wird eine horizontaler Strahl durch den untersuchten Punkt gelegt und untersucht, wie oft sich der Strahl mit den Kanten des Polygons schneidet. Der Punkt befindet sich innerhalb des Polygons, wenn die Anzahl der Schnittpunkte rechts vom Punkt ungerade ist. Wenn die Anzahl gerade ist, befindet sich der Punkt außerhalb.

Verwendung 
In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

In der Architektur werden regelmäßige Polygone oft als Grundriss verwendet. Bekannte Beispiele:
 5-Eck: Pentagon in Arlington, Virginia
 8-Eck: Castel del Monte in Apulien, Italien
 10-Eck: St. Gereon (Köln), Nordrhein-Westfalen
 12-Eck: Saarpolygon, Steinkohlebergbau-Gedenkmonument in Ensdorf (Saar), Saarland
 16-Eck: Leuchtturm Huisduinen bei Den Helder, Niederlande
 18-Eck: Befreiungshalle in Kelheim, Bayern
 30-Eck: Wiener Riesenrad in Wien, Österreich

Beispiele für Polygone im Maschinenbau 
Weiterhin wird der Begriff Polygon auch analog für die Verwendung als formschlüssige polygonale Welle-Nabe-Verbindung im Maschinenbau genutzt. Hierbei sind beliebige Polygonprofile denkbar.

Beispiele für Polygone in der Geographie 

Die Grenzen der US-Bundesstaaten Colorado und Wyoming umranden näherungsweise jeweils ein Rechteck und damit ein konvexes Polygon.

Die Staaten New Mexico und Utah haben jeweils die Form eines konkaven Polygons.

Siehe auch 
 Konstruierbares Polygon
 Polyeder

Weblinks 

 
 Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone
 Online-Berechnung von ebenen Polygonen mit grafischer Ausgabe

Einzelnachweise