Dystrybuanta

Dystrybuanta (fr. distribuer „rozdzielać, rozdawać” z łac. distribuo zob. dystrybucja) – funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa, ponieważ są obiektami prostszymi niż rozkłady prawdopodobieństwa. W statystyce dystrybuanta rozkładu próby zwana jest dystrybuantą empiryczną i jest blisko związana z pojęciem rangi.

Definicja formalna 
Niech  będzie rozkładem prawdopodobieństwa na prostej. Funkcję  daną wzorem
 

nazywamy dystrybuantą rozkładu

Własności 
Funkcja  jest dystrybuantą (pewnego rozkładu prawdopodobieństwa) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona niemalejąca, prawostronnie ciągła oraz
 
 

 Uwaga 1 Powyższa charakteryzacja dostarcza warunek konieczny i wystarczający na to, by funkcja dana funkcja  była dystrybuantą pewnego rozkładu, dlatego czasami to właśnie je przyjmuje się jako definicję. Podejście takie może być korzystniejsze z tego względu, że nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu pochodzącego z teorii miary. Wówczas taka definicja zawiera ciche założenie, że istnieje rozkład, którego ta funkcja jest dystrybuantą.

 Uwaga 2Dystrybuanta  wyznacza pewien rozkład  jednoznacznie i na odwrót, więc gdy zachodzi potrzeba całkowania pewnej funkcji borelowskiej  względem rozkładu  to można mówić, że całkujemy ją względem dystrybuanty  co zapisuje się:
 

 Uwaga 3 Niekiedy w definicji dystrybuanty stosuje się przedział otwarty:
 

 Dystrybuanta jest wówczas funkcją lewostronnie ciągłą (w przeciwieństwie do przypadku gdy w definicji stosuje się przedział prawostronnie domknięty i dystrybuanta jest funkcją prawostronnie ciągłą).

Punkty skokowe 
Punkt skokowy dystrybuanty to punkt  dla którego dystrybuanta  spełnia warunek:
 

tzn. jest to jej punkt nieciągłości.

W przypadku dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa punkty skokowe występują dla każdej wartości zmiennej losowej, dla której ma ona dodatnie prawdopodobieństwo i tylko tam. W przypadku bezwzględnie ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa nie ma punktów skokowych dystrybuanty. Zbiór punktów skokowych dystrybuanty jest co najwyżej zbiorem przeliczalnym.

Przykłady 

 Dystrybuanta rozkładu jednostajnego na przedziale 
 
 Dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach  i 
 
 Dystrybuanta rozkładu wykładniczego o parametrze

Gęstość 

Mierzalną w sensie Lebesgue’a funkcję  nazywamy gęstością dystrybuanty  wtedy i tylko wtedy, gdy:

Własności 
 Jeżeli  jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z  po całej prostej wynosi 
 Jeżeli  i  są gęstościami pewnej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie.
 Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą.
 Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna.
 Jeśli dystrybuanta  ma gęstość, to dla 
 

Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: jeśli  jest dystrybuantą rozkładu  to często zachodzi konieczność całkowania względem miary  Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli  jest gęstością dystrybuanty  to
 

dla każdego zbioru borelowskiego  i dla każdej funkcji borelowskiej  przyjmującej wartości w  dla pewnej liczby naturalnej

Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości 
Istnieją ciągłe dystrybuanty niemające gęstości. Klasycznym przykładem jest:
 

gdzie  oznacza funkcję Cantora.  jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału  Dystrybuanta  nie może mieć zatem gęstości ponieważ  prawie wszędzie.

Funkcja charakterystyczna 

Jeżeli  jest dystrybuantą, to funkcję  określoną wzorem
 

nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty 

Jeżeli  jest funkcją charakterystyczną pewnej dystrybuanty, to jest ona funkcją jednostajnie ciągłą oraz
 
  dla 
  dla 

Jednym z praktycznych zastosowań funkcji charakterystycznej jest tzw. wzór na odwrócenie, dokładniej, jeśli  jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty  a  są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to
 

Dowód tego faktu przeprowadza się w oparciu o twierdzenie Fubiniego.

Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe. Funkcje charakterystyczne mówią także o własnościach dystrybuanty, związanych z gładkością – dokładniej, jeśli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy

Zbieżność a ciągłość

Słaba zbieżność 
Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Ciąg dystrybuant  jest słabo zbieżny do dystrybuanty  wtedy i tylko wtedy, gdy
 

dla każdego  będącego punktem ciągłości dystrybuanty 

 W powyższej definicji istotne jest założenie „do dystrybuanty”. Jest tak, ponieważ ciąg dystrybuant może być zbieżny do funkcji, która nie jest dystrybuantą.

 Przykład
 Niech dany będzie ciąg dystrybuant:
 
 Wówczas dla każdego   ale funkcja  nie jest dystrybuantą.

 Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny do dystrybuanty, to do dokładnie jednej dystrybuanty. Ważnym twierdzeniem dotyczącym słabej zbieżności jest poniższe twierdzenie Helly’ego.

Twierdzenie Helly’ego 
Jeżeli ciąg dystrybuant  jest słabo zbieżny do dystrybuanty  a  jest ograniczoną funkcją ciągłą, to
 

Wnioskiem z twierdzenia Helly’ego jest fakt, że jeśli  jest ciągiem dystrybuant, a  ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych oraz  jest punktowo zbieżny do dystrybuanty  to ciąg  jest punktowo zbieżny do funkcji charakterystycznej funkcji

Twierdzenie Lévy’ego-Craméra 

Niech  będzie ciągiem dystrybuant, a  będzie ciągiem odpowiadających im funkcji charakterystycznych. Ciąg  jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji  wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg  jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty   jest wówczas funkcją charakterystyczną dystrybuanty 

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant  jest słabo zbieżny do dystrybuanty  wtedy i tylko wtedy, gdy
 

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej

Zbieżność jednostajna 
Każdy ciąg dystrybuant zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej jest zbieżny do niej jednostajnie. Fakt ten można udowodnić, korzystając z jednostajnej ciągłości dystrybuanty ciągłej.

Dystrybuanta zmiennej i wektora losowego 
Niech  będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną.

Jeśli  jest zmienną losową, to funkcja  dana wzorem:
 , 

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą zmiennej 

 

jest dystrybuantą, którą nazywamy dystrybuantą wektora 

Każda zmienna losowa (wektor losowy) wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej (wektora losowego).

Przypisy

Bibliografia 
 
 
  
 

Rachunek prawdopodobieństwa