Distribuzione Gamma

In teoria delle probabilità la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità continua, che comprende, come casi particolari, anche le distribuzioni esponenziale e chi quadrato.

Viene utilizzata come modello generale dei tempi di attesa nella teoria delle code, soprattutto qualora siano importanti effetti che rimuovano "l'assenza di memoria" della distribuzione esponenziale. Nella statistica bayesiana è comune sia come distribuzione a priori che come distribuzione a posteriori.

Definizione 
La distribuzione Gamma è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come la somma di variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione esponenziale; la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità definita sui numeri reali positivi, . A seconda degli autori, viene parametrizzata in due modi diversi: sia tramite la coppia di numeri positivi , sia tramite la coppia di numeri positivi . Le due parametrizzazioni sono legate dalle relazioni  e . Nel seguito si farà riferimento alla parametrizzazione Gamma.

La sua funzione di densità di probabilità è
,
dove  è la funzione Gamma di Eulero.

Possiamo osservare che se  vale che 

La sua funzione di ripartizione è la funzione gamma incompleta inferiore regolarizzata
,
dove  è la funzione Gamma incompleta inferiore.

Caratteristiche 
I momenti semplici della distribuzione Gamma di parametri  sono

dove si effettua la solita sostituzione  per ottenere la rappresentazione integrale della funzione Gamma di Eulero.

In particolare la distribuzione ha:
valore atteso 
varianza 
indice di asimmetria 
indice di curtosi 

Funzione generatrice di momenti:

 che esiste per ogni valore di t tale che

Proprietà (Teorema del cambiamento di scala) 
Se  segue la distribuzione Gamma allora  segue la distribuzione Gamma.

Se  sono variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione Gamma, allora la loro somma  segue la distribuzione Gamma.

Altre distribuzioni 
La distribuzione Gamma generalizza diverse distribuzioni (è conveniente ora utilizzare la seconda delle due parametrizzazioni presentate):
 se  è un numero naturale si ottiene la distribuzione di Erlang;
  è la distribuzione esponenziale;
  è la distribuzione chi quadrato;
 se  segue una distribuzione di Maxwell-Boltzmann di parametro  allora è distribuito secondo .

Nell'inferenza bayesiana la distribuzione Gamma può descrivere sia a priori che a posteriori di un'osservazione il parametro  di diverse distribuzioni di probabilità, ad esempio della distribuzione esponenziale e della distribuzione di Poisson.

La distribuzione Gamma inversa è la distribuzione dell'inversa  di una variabile aleatoria  che segue la distribuzione Gamma.

Se  e  sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni  e , allora  segue la distribuzione Beta , mentre  segue una distribuzione Beta del secondo tipo.

Più in generale il vettore , descritto da  variabili aleatorie indipendenti  di distribuzioni , segue una distribuzione di Dirichlet di parametri .

Una generalizzazione della distribuzione Gamma è la distribuzione di Wishart, che generalizza anche la distribuzione .

Stimatori 
Calcoliamo ora degli stimatori che possano, dato un campione presumibilmente Gamma distribuito, restituirci una stima dei suoi parametri  e .

Uno stimatore corretto per  è 

Stimatore asintoticamente corretto per  è:

dove  è la funzione inversa della funzione digamma  così definita:

Le dimostrazioni adottano il metodo della massima verosimiglianza, dove la funzione di verosimiglianza dato il campione è

Dimostrazione stimatore di θ 

Il parametro  è il più semplice da stimare.

Notiamo che la funzione di verosimiglianza è ovunque positiva e nel limite degli estremi di , si annulla.

Pertanto se imponiamo la sua derivata uguale a zero, nel caso la soluzione sia unica, questa deve per forza essere un punto di massimo.

Occorre adesso eguagliare a zero tale espressione

Ed ecco il nostro stimatore di , che ricorda molto una media aritmetica, riscalata sul parametro  (che ricordiamo essere uguale a 1 nel caso particolare della distribuzione esponenziale). Si può notare facilmente che il valor atteso di questo stimatore è proprio , data la linearità dell'operatore.

Ricordiamo

Dimostrazione stimatore di k 

Prendiamo ora in esame il calcolo dello stimatore per .

Anche qui la funzione di verosimiglianza si annulla per il limite di  e , pertanto procediamo con il calcolo della derivata.

Con  indichiamo la funzione digamma così definita:

che può essere espressa mediante una relazione integrale

Eguagliando a zero la nostra funzione di verosimiglianza otteniamo il nostro punto di massimo

La funzione digamma, nei reali positivi è strettamente crescente, per cui esiste la funzione inversa

Questo stimatore ottenuto è asintoticamente corretto, ma per valori finiti andrebbe verificato il suo valore atteso che, se risultasse essere , allora sarebbe un corretto stimatore.

Calcoliamo quindi

 

dove abbiamo usato la linearità del valore atteso e scritto la sua definizione su variabile aleatoria continua.

Tutti gli integrali nella -esima variabile sono uguali tra di loro, quindi la loro somma dà  volte il singolo integrale nella generica variabile di integrazione .

e il risultato di quest'ultimo integrale è proprio  per qualunque  con parte reale positiva. Abbiamo quindi ottenuto l'identità

 

che non è sufficiente a dire che lo stimatore sia corretto (non solo asintoticamente), ma è tuttavia necessario.

In effetti dalla disuguaglianza di Jensen (secondo cui  per una qualunque variabile aleatoria X e una funzione convessa ) si ottiene un risultato più forte grazie al fatto che la funzione  è convessa su tutto il suo dominio.

Infatti usando la disuguaglianza di Jensen per  e  risulterà

Dall'uguaglianza ottenuta in precedenza il membro di sinistra si semplifica così da avere:

Voci correlate 
 Funzione Gamma
 Funzione digamma
 Funzione di verosimiglianza
 Distribuzione di Erlang

Altri progetti

Collegamenti esterni
 

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