Geheel getal

De gehele of hele getallen zijn alle getallen in de rij
 …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

die voortgezet wordt door er steeds 1 bij te tellen of er 1 af te trekken. De gehele getallen omvatten 0, de natuurlijke getallen, dus de getallen waarmee wordt geteld, en de tegengestelden daarvan, de negatieve gehele getallen.

Een geheel getal heet 'geheel' omdat het niet gebroken is en zonder cijfers achter de komma kan worden geschreven. De getallen 21, 4 en −121 zijn bijvoorbeeld gehele getallen, terwijl 9,75, 5½ en  geen gehele getallen zijn. De verzameling gehele getallen is een deelverzameling van de reële getallen, en wordt meestal voorgesteld door een vet gedrukte Z of het symbool  (Unicode U+2124 ℤ), wat voor Zahlen, het Duits voor getallen, staat.

De wiskundetak die zich met de studie bezighoudt naar de eigenschappen van de gehele getallen, noemt men de getaltheorie.

Definitie 

De gehele getallen kunnen worden gedefinieerd als de elementen van de kleinste verzameling  met de eigenschappen:
 
 
 

Voor de representatie van gehele getallen in de computer maakt men gebruik van het datatype integer. Het is echter belangrijk daarbij op te merken dat deze twee niet hetzelfde zijn. Het datatype integer is, aangezien een integer een beperkte hoeveelheid geheugen inneemt, een eindige verzameling, terwijl de gehele getallen een oneindige verzameling vormen.

Eigenschappen 
 De verzameling gehele getallen is gesloten onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten onder de bewerking delen: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op, bijvoorbeeld 1/2 is een rationaal getal. De gehele getallen vormen een ring.
 De elementen van  hebben een bepaalde volgorde. Strikter geformuleerd: de verzameling  wordt totaal geordend door de relatie  (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.

 Deze orde heeft de eigenschappen:
 als  en , dan is 
 als  en , dan is 
 Bij iedere twee gehele getallen  en , waarvan  is, zijn altijd twee unieke gehele getallen  en  te vinden, met , zodat:

 In bovenstaande stelling heet het getal  het quotiënt en  de rest van de deling van  door . Deze vorm van delen heet geheeltallige deling.
 Als in bovenstaande stelling , is de breuk , dus geheel. Als , is de breuk  geen geheel, maar een rationaal getal, met een geheel deel  en een gebroken of fractioneel deel .

Constructie vanuit de natuurlijke getallen 
De gehele getallen kunnen ook geconstrueerd worden met behulp van de natuurlijke getallen. Zij vormen daarvan de grothendieck-groep.

Op het cartesisch product  wordt een equivalentierelatie gedefinieerd door:
 

als
 

met de implicatie dat het paar  staat voor het gehele getal .

De gehele getallen bestaan uit de equivalentieklassen :
 ,

met als optelling:
 ,

en als vermenigvuldiging:
 

De gehele getallen zijn geordend door:
  als .

Iedere equivalentieklasse  heeft een eenduidige vertegenwoordiger met  van de vorm  als , of van de vorm  als . De 
equivalentieklasse  wordt met  geïdentificeerd en voor  als positief geheel getal aangeduid, en de equivalentieklasse  wordt met  aangegeven en negatief geheel getal genoemd.

Kardinaliteit 
De gehele getallen kunnen afgeteld worden, anders gezegd: de verzameling  is gelijkmachtig aan de verzameling  van natuurlijke getallen, dus aftelbaar oneindig. Beide verzamelingen bevatten als het ware "evenveel" elementen, hoewel de natuurlijke getallen toch maar een deel van de gehele getallen vormen. De kardinaliteit van de gehele getallen wordt aangegeven met het symbool  (aleph-null). Dat de gehele getallen kunnen worden afgeteld, kan als volgt worden aangetoond:

 

Op deze manier worden de gehele getallen door de bijectie  een-op-een op de natuurlijke getallen, zonder 0, afgebeeld met

 

De bijectie  met
 

beeldt de gehele getallen op alle natuurlijke getallen af, met 0.

Door de definitie van kardinale gelijkheid hebben de twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit.

Meer gehele getallen 
De Gauss-gehele getallen en de Eisenstein-gehele getallen zijn twee verschillende uitbreidingen van de gehele getallen naar de complexe getallen.

 
Getaltheorie