Püthagoraszi hangolás

A püthagoraszi hangolás következetesen kvintekből, a kvintkör szerint felépülő temperálás, amelyben a püthagoraszi kommát egyetlen nem tiszta kvint küszöböli ki, a szintonikus komma pedig a tercek nagy részénél teljesen megmarad. Előnye a tiszta hangoláshoz képest az, hogy több hangnemben is lehet elfogadhatóan játszani, a kiegyenlített hangolástól eltérően pedig tartalmaz tiszta hangközöket, így például a Gisz-Esz kvintet szűkítő változatban az alaphangnemen belül tiszta a nagyszekund, a kvart, a kvint, a kisszeptim és az oktáv. A középhangú temperálás elterjedéséig egyeduralkodó volt e hangolás az európai zenében, csak a terc konszonánssá válása és az ennek nyomán jelentkező új igények tudták a reneszánsz idején visszaszorítani más temperálásokhoz képest.

Általános hangolás

Alapszámítások 

A püthagoraszi hangsor alapjául a tiszta kvint szolgál, melynek arányszáma 3/2, az ehhez tartozó centérték pedig a következő képlettel számítható ki:

Ebből a kvintből építünk egymásra tizenkettőt, hogy megkapjuk a hangsor elemeit. Mivel azonban 12 tiszta kvint nem egyenlő 7 tiszta oktávval, vagyis

  

így a kvintkör nem záródik, és fennmarad a püthagoraszi komma, melynek értéke:

Ennek következményeként ezen hangolásban minden hangközből két különböző fajta található, egy kisebb és egy nagyobb, K (23,46 cent) eltéréssel. Szemléletesen ezt úgy magyarázhatjuk, hogy például a C-ről kiindulva az F hangot kétféleképpen kaphatjuk meg: vagy egymásra építünk fölfelé 11 kvintet, vagy pedig C-ről lépünk egy kvintet lefelé. A püthagoraszi komma létezése miatt a két kvart (C-F) nem lesz egyforma, az első esetben a centérték 521,505, a másodikban 498,045 (a különbség 23,46).

Felépítés 

A püthagoraszi hangsor kvintekből való építkezését mutatja be a következő táblázat. Az első oszlop tartalmazza a lépésszámot, a második az abszolút centértéket, a harmadik a közös oktávba transzponáltat (matematikailag ezt értelemszerűen úgy kapjuk meg, hogy vesszük az 1200-zal való osztás maradékát), a negyedik pedig a megkapott hangköz kiegészítő hangközét (például a tiszta kvintnél a tiszta kvartot stb.), ami ugyanaz, mintha lefelé kezdtünk volna el a kvintekből építkezni, és amire a következőkben lesz szükségünk a hangközök két különböző fajtájának meghatározásához.

Hangközök 

A fenti számokat sorrendbe téve meghatározhatjuk a hangközöket, és kiszámíthatjuk eltérésüket a tiszta hangolású hangsor (t) elemeitől:

k1 – k2 láthatóan minden esetben 23,46, vagyis a püthagoraszi komma. A kisterc és a nagyterc egy-egy változata (294,135 ill. 407,82) 21,506 centtel tér el a tiszta hangolás által megkövetelt értéktől: ez a különbség a szintonikus komma, ami a püthagoraszi hangolást – a terc szerepének felértékelődése miatt – a középkorban használatra alkalmatlanná teszi, és kikényszeríti a tiszta terceket tartalmazó középhangú temperálás megalkotását. Megjegyzendő, hogy a két terc másik két változata csak 1,954-del tér el a tiszta hangolástól, azonban ezen változatokból csupán 3 illetve 4 fordul elő az adott hangsorban, szemben a nem tiszta tercek 8 illetve 9 darabszámával

Hangolás szűkített Gisz-Esz kvinttel 

Ahhoz, hogy a kvintkör bezáruljon, a kvintlánc egyik helyén a szokásosnál kisebb kvintet, az ún. farkaskvintet kell használni a tiszta kvint helyett. Attól függően, hogy melyik kvintet csökkentjük, kaphatjuk meg a püthagoraszi hangolás különböző változatait. (Nem célszerű ezt a lánc végére, az F-C kvintre hagyni, mert az sok zenében előfordul, melyek így mind hamisan szólnának.) A legelterjedtebb megoldás a Gisz-Esz kvint csökkentése; a továbbiakban ennek tulajdonságait vizsgáljuk, azon megjegyzéssel, hogy az egyéb változatok is nagyon hasonlóak ehhez, csak más helyeken jelennek meg a különböző hangköztípusok.

Felépítés 

Az általános esethez hasonlóan tiszta kvintekből építjük fel a hangsorunkat, ügyelve arra, hogy a Gisz-Esz kvintben (a 9. lépésben) levonjuk a kommát. Az alábbi táblázat első oszlopa a hang nevét mutatja, a második a lépésszámot, a harmadik az általános hangolás abszolút centértékeit, a negyedik a kommát, amit az Esz-től kezdve alkalmazunk, az ötödik a kommával módosított értékeket, a hatodik pedig ezen utóbbi közös oktávba transzponált változatait vagyis a C1-hez viszonyított hangközértékeket.

Ezáltal a püthagoraszi kommát a gyakorlatban ritkán használt Gisz-Esz kvintben rejtettük el, így a C körüli hangnemek tisztán szólnak.

Hangközök 

A fenti k értékeket sorba rendezve kapjuk meg az adott hangolás alaphangra emelt hangközeit. Az alábbi táblázatban az első oszlop a hangok míg a második a hangközök neveit adja meg, a harmadik tartalmazza hangközértékeket, a negyedikből pedig az előző hangtól való eltérést olvashatjuk le.

Mint kitűnik, a kétféle kisszekund (90,225 illetve 113,685) építi fel a hangsort, más félhangtípus nem fordul elő.

A következő táblázat az összes előforduló hangközt tünteti fel, kiemelten a nagyobb (a fentiekben k1 típusú) és normál módon a kisebb (k2) hangközöket.

Értelemszerűen a bal fentről jobb alulra tartó átlók tartalmazzák az azonos típusú hangközöket. Leolvasható például az ábráról, hogy ebben a hangolásban egy darab 521,505 centértékű kvart található (nyilván az Esz-Gisz, a Gisz-Esz kvint fordítottja), a többi mind 498,045 értékű. A számokat viszonyíthatjuk a tiszta hangolású értékekhez is, ekkor kapjuk az alábbi táblát (t – k1 ill. t – k2 különbségekkel):

Mint leolvasható, a kisterc 3 helyen (Esz-Fisz, F-Gisz, B-Cisz), a nagyterc pedig 4 helyen (Cisz-F, Fisz-B, Gisz-C, H-Esz) majdnem teljesen tiszta (a különbség abszolútértékben 1,954 cent), a többi esetben azonban ennél jóval többel, a szintonikus komma 21,506 centértékével tér el a tiszta hangolás által megkövetelttől.

Skálák 

A 12-fokú hangsor minden fokára építhetünk skálát, amelyik a hangolási rendszer függvényében más lesz, mint az eredeti, az alaphangra emelt skála. A püthagoraszi hangolás esetében minél távolabb kerülünk az alaphangtól, annál hamisabb lesz a kapott hangsorunk, vagyis itt a tiszta hangolás egy változatával van dolgunk. 

A Gisz-Esz kvintet szűkítő hangolás esetén az alábbi táblázat szerint alakulnak a skálaviszonyok. Az egyes oszlopok azt mutatják, milyen centviszonyban vannak a hangok a kijelölt alaphanghoz képest; például az Esz skálában a kvint a B, az Esz-B hangköz pedig 701,955 értékű kvint (a tábla valójában a hangközöket mutató fentebbi "elforgatása" 45°-kal).

Ha az alaphangra emelt skálához viszonyítunk, vagyis azt nézzük, mennyire tér el az adott sor az eredetitől, a következő táblát kapjuk:

Az oszlopokat és sorokat a skála felépítésének megfelelően újrarendezve még világosabban láthatjuk, hogyan válnak egyre hamisabbá a hangsorok az alaphangtól távolodva, illetve azt, milyen hatása van a kvintszűkítésnek:

Jól megfigyelhetően minden egyes kvintlépés egy újabb hanggal teszi hamisabbá a teljes hangsort, egészen a farkaskvint alkalmazásáig, amikor megfordul a folyamat. A szűkítést tulajdonképpen úgy is értelmezhetjük, mint azon határt, ameddig felfelé illetve lefelé építjük a hangsort. A jelenlegi példában így a Gisz hangig haladunk felfelé, illetve az Esz-ig lefelé, a kettő pedig intervallumként farkaskvintet ad.

Összefoglalás 

A fenti konkrét példához hasonlóan el lehet végezni a más kvintet szűkítő püthagoraszi hangolások elemzését is. Mindegyik változatnál azt kapjuk eredményül, hogy 90,225 és 113,685 centértékű kisszekundok építik fel a hangsort, a skálák pedig a szűkítésig növekvő, majd onnantól csökkenő mértékben térnek el az eredetitől.

A hangolás láthatóan az alaphanghoz közeli hangnemeket preferálja, vagyis nem lehet benne minden skálát még hozzávetőlegesen sem hasonlóan eljátszani. Bár tartalmaz tiszta hangközöket, de a szintonikus komma kiküszöböletlensége miatt a reneszánsz és újkor zenéje elfordult tőle, s át kellett adnia helyét más temperálásoknak, hogy mára már pusztán kuriózumként, érdekességként szerepeljen a zenei lexikonokban és összefoglalókban.

Külső hivatkozások 

Német leírás a püthagoraszi hangolásról

Hangolás