Liczba przestępna

Liczba przestępna – liczba rzeczywista lub ogólniej zespolona niebędąca liczbą algebraiczną. Uogólnieniem pojęcia liczby przestępnej jest element przestępny. Istnienie liczb przestępnych wykazał francuski matematyk Joseph Liouville w 1844 roku, podając konstruktywne dowody ich istnienia.

Liczba przestępna  nie jest więc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, tzn.:
 

Każda liczba przestępna jest liczbą niewymierną, bo liczby wymierne są pierwiastkami pewnych wielomianów o współczynnikach wymiernych stopnia  Z kolei istnieją liczby niewymierne, które nie są przestępne, np.  (rozwiązanie równania ).

Niektóre własności algebraiczne 
 Jeśli  jest liczbą przestępną,  są algebraiczne, to wartość wyrażenia  jest przestępna.

 W szczególności przestępne są:  dla  algebraicznego,  dla  algebraicznego,   dla 
 Dowód
 Gdyby  był liczbą algebraiczną, to zachodzi
 
 Różnica  jest liczbą algebraiczną, stąd  jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach algebraicznych. Ponieważ ciało liczb algebraicznych jest algebraicznie domknięte, więc  byłby liczbą algebraiczną, wbrew założeniu.

 Jeśli  jest liczbą przestępną, to  gdzie  także jest przestępne.
 Dowód
 Wystarczy tu udowodnić, że  są przestępne dla Gdyby  był liczbą algebraiczną, to byłby pierwiastkiem wielomianu   stąd  byłby pierwiastkiem wielomianu  wbrew założeniu.Gbyby  był liczbą algebraiczną, to  byłby liczbą algebraiczną, bo potęga liczby algebraicznej jest liczbą algebraiczną.

 Uwaga
 Suma liczb przestępnych nie musi być przestępna. Rzeczywiście, jeśli  liczbą przestępną, przestępne są także  gdzie  jest liczbą algebraiczną. Ale  jest liczbą algebraiczną 
 Iloczyn liczb przestępnych nie musi być przestępny. Rzeczywiście, jeśli  liczbą przestępną, przestępne są także  gdzie  jest liczbą algebraiczną. Ale  jest liczbą algebraiczną

Przykłady liczb przestępnych 
  gdzie  jest liczbą algebraiczną (Hermit-Lindemann)
 e (Charles Hermite, 1873),
  (Ferdinand Lindemann, 1882) – przypuszczenie, że  jest algebraiczne oznacza, że  jest przestępne wbrew temu, że 
  dla  algebraicznego – np.  po przekształceniach  Przypuszczenie, że  jest algebraiczne oznaczałoby, że  jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach algebraicznych wbrew temu, że  jest przestępne.
  dla  algebraicznego – przypuszczenie, że  jest algebraiczne oznacza, że  jest przestępne wbrew temu, że  jest algebraiczne,

  gdzie  jest liczbą algebraiczną,  jest liczbą niewymierną algebraiczną (twierdzenie Gelfonda-Schneidera).
  – ponieważ  więc  jest jedną z wartości  przy czym w ostatniej potędze podstawa  jest liczbą algebraiczną różną od  i  z kolei wykładnik  jest liczbą niewymierną, czyli nie jest liczbą wymierną 
  – ponieważ  więc  jest wymierną potęgą liczby przestępnej
 liczby Liouville’a
  gdzie  jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, liczby tej postaci są przykładami liczb Liouville’a.

Własności mnogościowe 
Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest zbiorem mocy continuum. Dowód: zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych jest zbiorem przeliczalnym. Ponieważ każdy taki wielomian ma skończenie wiele pierwiastków, istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele liczb algebraicznych. Ale zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ma moc continuum, zatem zbiór liczb przestępnych również musi mieć moc continuum.

Zbiór liczb przestępnych rzeczywistych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych, więcej: w każdym przedziale otwartym liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych.

Przypisy 

Wielomiany
Liczby