Pirâmide

Uma pirâmide é um sólido geométrico formado pela reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo  e outra num polígono dado sobre um plano fixo  que não contém . Como exemplos das pirâmides da geometria espacial temos as pirâmides do Egito, uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Definição 

Uma pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo  (vértice) e outra sobre um polígono (base) pertencente a um plano que não contém . Equivalentemente, é um poliedro com uma face poligonal (base) e demais faces triangulares (faces laterais), as quais tem exatamente um ponto em comum (vértice).

Em alguns textos, o termo pirâmide é usado de forma mais abrangente, significando a reunião de todas as semirretas que tem origem em um ponto fixo  e que passam por uma região poligonal que não contém . Isto é, também, conhecido como pirâmide ilimitada. Quando a região poligonal é convexa, também usamos os termos ângulo poliédrico ou ângulo sólido.

Classificação 
Uma pirâmide é dita ser convexa quando sua base é um polígono convexo. É dita ser reta quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano que contém sua base é o centro da base. Adicionalmente, uma pirâmide é dita ser regular quando é reta e o polígono da base é regular. Uma pirâmide que não é reta é dita ser oblíqua.

Pirâmides também são classificadas quanto a sua natureza. Uma pirâmide de base triangular é chamada de pirâmide triangular (ou tetraedro). Caso a base seja um quadrilátero, a pirâmide é dita ser quadrangular. Analogamente, definimos as pirâmides pentagonal, hexagonal, etc.

Elementos 

Os seguintes elementos são comumente identificados em uma pirâmide:
 base - região poligonal que contém as extremidades opostas de todos os segmentos de reta que partem do vértice e pertencem a pirâmide.
 face lateral - qualquer triângulo de vértices  e dois vértices consecutivos da base.
 aresta lateral - qualquer segmento de reta com uma extremidade em  e outro em um vértice da base.
 aresta da base - qualquer lado do polígono da base.
 diedros - reunião de duas faces laterais consecutivas.
 vértices -  ou qualquer vértice da base.
 triedros - reunião de duas faces laterais consecutivas com a base.

Altura e Apótema 
A altura de uma pirâmide é a distância  entre o vértice e o plano da base. Se a pirâmide for reta, então  é igual à distância do centro da base ao vértice da pirâmide.

No caso de uma pirâmide regular, chama-se de apótema lateral a altura de qualquer de uma de suas faces laterais. Apótema da base é a apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide.

Área da superfície 
A superfície (ou superfície total) de uma pirâmide é a união de todas as suas faces. A união somente das faces laterais é chamada de superfície lateral. Desta forma, a área da superfície lateral é a soma das áreas dos triângulos que a formam. A área da superfície total é a área da superfície lateral somada a área da base da pirâmide.

No caso de uma pirâmide regular, podemos verificar diretamente que a área da superfície lateral é dada por:onde,  é o número de arestas do polígono da base,  é o comprimento de uma aresta da base e  é o comprimento da apótema lateral da pirâmide. Segue que a área da superfície total da pirâmide é dada por:,onde,  é a área de sua base.

Volume

Volume de um tetraedro 

O volume de um tetraedro é dado por:onde,  é a área de sua base e  é sua altura.

Com efeito, todo tetraedro pode ser unido a dois tetraedros congruentes formando um prisma de área da base  e altura . Ou seja, o volume do tetraedro é um terço do volume do prisma formado.

Volume de uma pirâmide 
O volume de uma pirâmide qualquer é dado por:onde,  é a área de sua base e  é sua altura. De fato, toda pirâmide pode ser particionada em um conjunto finito de tetraedros de vértice igual ao da pirâmide e cujas bases pertencem à base da mesma.

Ver também 
Pirâmides egípcias
Pirâmides núbias
Pirâmides chinesas
Pirâmides mesoamericanas
 Número piramidal
 Poliedro
 Polígono
 Sólido

Ligações externas 

 Brasil Escola - Pirâmides
 eGuia do Estudante - Pirâmides - Geometria Espacial
 InfoEscola - Pirâmide
 Matemática Essencial - Geometria Espacial - Pirâmide
 Só Matemática - Geometria Espacial - Pirâmide

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