Binomische Formeln

Die binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern, zum anderen erlauben sie die Faktorisierung von Termen, also die Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte, was bei der Vereinfachung von Bruchtermen, beim Radizieren von Wurzeltermen sowie Logarithmenausdrücken sehr oft die einzige Lösungsstrategie darstellt. Im Grunde sind sie Spezialfälle des Distributivgesetzes für algebraische Summen (jedes Glied der einen wird mit jedem der anderen Summe multipliziert)

 

mit ,  und den entsprechenden Vorzeichenvarianten.

Das Adjektiv binomisch leitet sich vom Substantiv Binom, also von bi (zwei) und Nomen (Namen) ab.
Die binomischen Formeln gelten in allen kommutativen Ringen.

Formeln 
Als binomische Formeln werden üblicherweise die folgenden drei Umformungen mit dem Exponenten 2 bezeichnet:

Die Gültigkeit der Formeln ist durch Ausmultiplizieren einzusehen:
 
 
 

Die binomischen Formeln hoch 3 lauten wie folgt:

Geometrische Veranschaulichung 

Eine weitere Veranschaulichung der dritten binomischen Formel erhält man durch folgende Zerlegung:

Bedeutung und Anwendungen

Tricks zum Kopfrechnen 

Diese Formeln, die häufig in der Mathematik benutzt werden, bieten auch eine Hilfe beim Kopfrechnen.
Das Quadrat einer beliebigen Zahl zwischen 10 und 100 lässt sich oft einfach mit der binomischen Formel bestimmen, indem man die Berechnung auf Quadrate von einfacheren Zahlen (Vielfache von 10 oder einstellige Zahlen) zurückführt.
Beispielsweise ist
 
oder
 .

Bei Kenntnis der Quadratzahlen bis 20 lassen sich auch viele Multiplikationen auf die dritte binomische Formel zurückführen.
Beispielsweise ist
 .

Mit Hilfe der binomischen Formeln lassen sich Multiplikation und Division auf die einfacheren Rechenarten Quadrieren, Addieren, Subtrahieren, Halbieren und Verdoppeln zurückführen:

Die erste und zweite binomische Formel liefern für das Produkt zweier Zahlen  und :

 

Wer an Stelle des Einmaleins die ersten hundert Quadratzahlen kennt, kann so das allgemeine Produkt zweier Zahlen leicht berechnen. In Ermangelung eines Ziffernsystems mit Null haben nachweislich die Babylonier so gerechnet und in der ganzen Antike und im Mittelalter wird man so gerechnet haben. Die angebliche Umständlichkeit der antiken Zahlsysteme wird damit relativiert, da man mit diesen Zahlsystemen sehr gut addieren und subtrahieren konnte.

Addition und Subtraktion von Wurzeln 

Die erste und zweite binomische Formel liefern auch ein Rechenverfahren zur Addition bzw. Subtraktion von Wurzeln. Da  bzw.  nicht direkt berechenbar sind, quadriert man die Summe bzw. Differenz und zieht anschließend aus dem Quadrat die Wurzel. Das Verfahren führt aber zu Schachtelwurzeln, die nicht unbedingt einfacher sind als die ursprünglichen Ausdrücke.

 

 

Da Wurzeln als nichtnegativ definiert und Quadrate von sich aus nie negativ sind, ist bei Differenzen von Wurzeln eine Fallunterscheidung nötig:

  für 

  für

Potenzen von komplexen Zahlen (in arithmetischer Darstellung) 

Die binomischen Formeln dienen auch zur Berechnung von Potenzen von komplexen Zahlen, wobei  für den Realteil,  für den Imaginärteil steht:

 

 

 

Aus der dritten binomischen Formel lässt sich auch eine Faktorisierung von  herleiten, indem man die Summe von Quadraten als Differenz schreibt:

 .

Die dritte binomische Formel ist nicht nur ein Kopfrechenkniff, sondern liefert auch ein Verfahren, die Division auf die Multiplikation und eine einfachere Division zurückzuführen. Beispielsweise wird durch die Erweiterung eines Bruches mit Nenner  mit dem so genannten konjugierten  der Nenner rational gemacht. Analog kann die Division durch komplexe (und hyperkomplexe) Zahlen in eine Division durch reelle Zahlen umgeformt werden (siehe Rationalisierung (Bruchrechnung)).

Erweiterte Formeln 2. Grades 

Aus den binomischen Formeln leiten sich einige spezielle Formeln ab, die auch für die Zahlentheorie eine gewisse Bedeutung haben:

 Babylonische Multiplikationsformel:  (s. o.)
 Formel für Pythagoräische Tripel:  Beispiel:  liefert .
 Identität von Diophantos:  Beispiel:  liefert .
 Brahmagupta-Identität:

Höhere Potenzen und Faktorisierungen von Potenzsummen 

Binomische Formeln lassen sich auch für höhere Potenzen angeben, diese Verallgemeinerung ist der binomische Lehrsatz:
 
Dabei bezeichnen  die Binomialkoeffizienten, die beispielsweise mittels des Pascalschen Dreiecks leicht zu bestimmen sind.
Die erste und die zweite binomische Formel sind Spezialfälle des binomischen Lehrsatzes für :
 
 
Für  ergibt sich z. B.
 .

Eine Verallgemeinerung auf nicht notwendig natürliche Exponenten führt auf eine Potenzreihenentwicklung, die durch die binomische Reihe gegeben ist.

Auch zur dritten binomischen Formel gibt es eine Verallgemeinerung, die die Faktorisierung von  ermöglicht:
 
 
oder allgemein für höhere natürliche Potenzen
 
Aus einem Ausdruck  lässt sich immer  abspalten; als Restpolynom erhält man eine Summe. Ist  eine Primzahl, ist dieses Restpolynom irreduzibel; weitere Zerlegungen sind nur noch über die komplexen Zahlen möglich.
Andernfalls lässt sich die Summe weiter zerlegen und ist  ein Produkt von 3 oder mehr verschiedenen ungeraden Primzahlen, entstehen auch Polynome mit Koeffizienten ungleich 0, −1, +1. So entsteht bei der Zerlegung von  ein Polynom, beginnend mit

 

Mit  erhält man als Restpolynome die sog. Kreisteilungspolynome.

Bei geradem  lässt sich sogar stets  und damit auch  abspalten; bei der Division entsteht als Restpolynom eine alternierende Summe:

  für 

Eine Faktorisierung von  ist ebenfalls möglich, wenn  ungerade ist. Auch hierbei entsteht eine alternierende Summe, diesmal mit einem geraden Exponenten als höchstem und einem positiven Glied am Schluss, z. B.:
 
 

Für gerade  ist eine Faktorisierung von  über die komplexen Zahlen möglich, aber nur für  unumgänglich:
  (s. o.)

Bereits  lässt sich mithilfe der Sophie-Germain-Identität in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten aufspalten:
 . Ebenso
 

Damit ist bei allen höheren geraden  eine Faktorisierung in Faktoren höherer Ordnung möglich, z. B.:
 

Nur bei einer weiteren Zerlegung beider irreduzibler Faktoren, etwa in Linearfaktoren, entstehen komplexe Koeffizienten.

Bemerkenswert ist auch die Faktorisierung von
 
bzw.
 

Die gar nicht triviale Zerlegung des Restpolynoms 4. Grades in zwei quadratische Polynome findet ihre Anwendung bei der Lösung von Gleichungen 4. Grades. Die anderen Restpolynome  (s. o.) bzw.  sind dagegen irreduzibel.

Eine Division von  durch  ist grundsätzlich nicht ohne Rest möglich.

Erweiterungen auf mehrgliedrige Ausdrücke 

Eine Verallgemeinerung der binomischen Formeln auf Potenzen von Polynomen, also von Summen mit mehr als zwei Gliedern, führt auf das Multinomialtheorem. Beispielsweise gilt für das Quadrat eines Trinoms

 .

Die Koeffizienten sind in der Pascalschen Pyramide enthalten. So ist

Beispielanwendung

Trivia 
Im Gegensatz zu Adjektiven wie abelsch leitet sich binomisch nicht vom Namen eines Mathematikers ab. Im Sinne des wissenschaftlichen Witzes wird die Bezeichnung binomisch scherzhaft auf einen fiktiven Mathematiker namens Alessandro (oder Francesco) Binomi zurückgeführt, der wahlweise auch in einigen Schul- und Lehrbüchern als deren Urheber auftaucht.

Literatur 
 Harald Ludwig, Christian Fischer, Reinhard Fischer (Hrsg.): Verstehendes Lernen in der Montessori-Pädagogik. Erziehung und Bildung angesichts der Herausforderungen der Pisa-Studie (= Impulse der Reformpädagogik. Band 8). Lit-Verlag, Münster 2003, ISBN 3-8258-7063-4, S. 100–101 ().
 Albrecht Beutelspacher: Albrecht Beutelspachers Kleines Mathematikum. Die 101 wichtigsten Fragen und Antworten zur Mathematik. C. H. Beck, München 2011, ISBN 978-3-406-61658-7, Kapitel 50: Wozu sind die binomischen Formeln gut?

Weblinks 

 Binomische Formeln Rechner – Online Rechner mit Variablen. In: schule-verstehen.de (mit Rechenweg und Variablen)
 Binomische Formeln – Multiple Choice Test. In: mathe-online.at
 
 Binomische Formel hoch 3. In: nachhilfe-team.net

Einzelnachweise 

Elementare Algebra