Нечёткое множество

Нечёткое множество (иногда размытое, туманное, пушистое) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале , в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале , а не только значения  или . Является базовым понятием нечёткой логики.

Устаревшее название: расплывчатое множество.

Определение 
Под нечётким множеством  понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов  универсального множества  и соответствующих степеней принадлежности :
 ,
причём  — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент  принадлежит нечёткому множеству .
Функция  принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве . Множество  называют множеством принадлежностей, часто в качестве  выбирается отрезок . Если  (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Основные определения 
Пусть  нечёткое множество с элементами из универсального множества  и множеством принадлежностей . Тогда:
 носителем (суппортом) нечёткого множества  называется множество ;
 величина  называется высотой нечёткого множества . Нечёткое множество  нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным;
 нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле
 ;
 нечёткое множество унимодально, если  только на одном  из ;
 элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

Сравнение нечётких множеств 
Пусть  и  — нечёткие множества, заданные на универсальном множестве .
  содержится в , если для любого элемента из  функция его принадлежности множеству  будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству :
 .
 В случае, если условие  выполняется не для всех , говорят о степени включения нечёткого множества  в , которое определяется так:
 , где .
 Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
 .
 В случае, если значения функций принадлежности  и  почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств  и , например, в виде
 , где .

Свойства нечётких множеств 
-срезом нечёткого множества , обозначаемым как , называется следующее чёткое множество:
 ,
то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):
 
Для -среза нечёткого множества истинна импликация:
 .

Нечёткое множество  является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:
 
для любых  и .

Нечёткое множество  является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:
 
для любых  и .

Операции над нечёткими множествами 
При множестве принадлежностей 
 Пересечением нечётких множеств  и  называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности  и :
 .
 Произведением нечётких множеств  и  называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
 .
 Объединением нечётких множеств  и  называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности  и :
.
 Суммой нечётких множеств  и  называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
 .
 Отрицанием множества  называется множество  с функцией принадлежности:
  для каждого .

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение 
В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:
 ,
где функция  — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

 
 
 
 
 , для

Объединение 
В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:
 ,
где функция  — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:
 
 
 
 
 , для

Связь с теорией вероятностей 
Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности  можно рассматривать как вероятность накрытия элемента  некоторым случайным множеством .

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

Примеры 
Пусть:
 множество 
 множество принадлежностей 
  и  — два нечётких подмножества 
 
 

Результаты основных операций:
 пересечение: 
 объединение:

Примечания

Литература 
 
 Орлов А. И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. — М.: Знание, 1980. — 64 с.
 
 
 
 
 Орлов А. И., Луценко Е. В. Системная нечеткая интервальная математика. — Монография (научное издание). — Краснодар, КубГАУ. 2014. — 600 с.

Теория множеств
Нечёткая логика