Átló

A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is.

Sokszögek 

Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.

Egy n oldalú sokszögnek mindegyik csúcsából indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:

(n − 3) × n,

viszont mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így az átlók száma:

Hossza 
A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:

ahol s0 és s1 a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.

A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.

 A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:

 A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:

 Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:

Speciális esetek 
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.
 Egy a és b oldalú paralelogramma átlóinak hossza
 
és
 .

 Az a és b oldalú téglalap átlójának hossza a Pitagorasz-tétellel számítható:
 .

 Az a oldalú négyzet átlója:
 .

 Az a oldalú szabályos ötszög átlója:
 .

 Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza
 .
A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza
 .

Poliéderek 

A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját.
 Egy poliéder lapátlója a poliéder egy lapjának átlója.
 Egy poliéder testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza.

A testátlók száma 
A testátlók száma ezzel a képlettel számítható:
,
.ahol C a csúcsok száma, E az éleké, L a lapoké, és az i-edik lap éleinek száma Ni

Például a paralelepipedonokra:
 :

A poliéder átlóinak hossza 
Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható.
 Egy a, b és c élű téglatest testátlójának hossza .
 Speciális esetként adódik a kocka testátlója: .
Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.

Mátrixok 
A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.

Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:

Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:

Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.

A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.

A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.

Kapcsolódó szócikkek
 Diagonális mátrix
 Tridiagonális mátrix

Források 
 Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
 Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.

Atlo
Atlo