Teorema fundamental da aritmética

O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.

As proposições do Livro XII de Os Elementos de Euclides praticamente demonstraram este teorema que também foi exposto no Livro IX. O teorema só foi demonstrado e proposto por Carl Friedrich Gauss em 1796.

Livro VII de Os Elementos de Euclides 
O Livro VII, com 39 proposições, é totalmente aritmético e estuda as propriedades dos números naturais e suas relações. Ele apresenta três proposições que motivaram o Teorema Fundamental da Aritmética:

Proposição VII-30: 
"Caso dois números, sendo multiplicados entre si, façam algum, e algum número primo meça o produzido deles, medirá também um dos do princípio."

Demonstração de "Os Elementos" 

"Façam, pois, dos dois números A, B, sendo multiplicados entre si, o C, e algum número primo, o D, meça o C; diga que o D mede um dos A, B. Não meça, pois, o A; e o D é primo, portanto, os A, D são primos entre si. E tantas vezes o D mede o C, quantas unidades no E, portanto o D, tendo multiplicado o E, fez o C. Mas, certamente, também o A, tendo multiplicado o B, fez o C; portanto, os dois D, E é igual aos dois A, B. Portanto, como D está para A, assim o B para o E. E os D, A são primos, e os primos são também os menores, e os menores medem os que têm as a mesma razão, o mesmo número de vezes, tanto o maior, o maior quanto o menos, o menos, isto é, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente; portanto, o D mede o B. Do mesmo modo, então, provaremos que também, caso não meça o B, medirá o A. Portanto, o D mede um dos A, B; o que era preciso prova."

Proposição VII-31 
"Todo número composto é medido por algum número primo."

Demonstração de "Os Elementos" 
"Seja o número composto A; digo que o A é medido por algum número primo. Pois, como o A é composto, algum número o medirá. Meça, e seja o B. E se, por um lado, o B é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado, é composto, algum número o medirá. Meça, e seja o C. E como o C mede o B, e o B mede o A, portanto também o C mede o A. E se, por um lado, o C é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado é composto, outro número o medirá. Sendo então produzida uma investigação como essa, algum número primo será tomado, que medirá. Pois, se não for tomado, ilimitados números medirão o A, cada um dos quais é menor do que o outro; o que é impossível nos números. Portanto, algum número primo será tomado, que medirá o antes dele mesmo, que também medirá o A. Portanto, todo número composto é medido por algum número primo o que era preciso prova."

Proposição VII-32 
"Todo número ou é primo ou é medido por algum primo."

Demonstração de "Os  Elementos" 
"Seja o número A; digo que o A ou é primo ou é medido por algum número primo. Se, por um lado, o A é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado, é composto, algum número primo o medirá. Portanto, todo número ou é primo ou é medido por algum número primo; o que era preciso prova."

Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética

Teorema 
Seja  um inteiro positivo. Então, existem primos positivos  tais que  e essa decomposição é única.

Demonstração:

Existência de uma decomposição

Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.

Para  existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro  Mostraremos que também vale para 

Se  é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário,  admite um divisor positivo  tal que  Isto é,  e temos também  Pela hipótese de indução,  e  podem ser escritos como produtos de primos, na forma  

Substituindo, temos  e o resultado também vale para 

Unicidade da decomposição

Dado um inteiro  ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.

A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de 

Suponhamos que  admita uma decomposição do tipo  onde  é primo, e que vale

em que  são primos positivos. Como  divide   também divide  que é primo. Então, devemos ter  Cancelando, vem  Se  teríamos que o primo  seria invertível, uma contradição. Assim,  e, como já provamos que  o primeiro passo de indução está verificado.

Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento  e seja  um inteiro com uma decomposição  de comprimento  Se  admitisse outra decomposição, temos

em que  são primos positivos.

Como na primeira parte,  divide  e temos que  divide  para algum  (Lema de Euclides). Como  é primo, devemos ter novamente que  Em particular, 

De forma análoga, pode-se obter que  para algum j. Logo,  De ambas as desigualdades, vem que  Finalmente, cancelando em  temos que

Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento  logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos  donde  e  para  Como já provamos que  ambas as expressões de  coincidem.

Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de  podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.

Teorema Fundamental da Aritmética 
Seja  um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos  e inteiros positivos  tais que  Além disso, essa decomposição é única.

Demonstração:

Temos que  conforme  seja positivo ou negativo. Como  é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos  tais que

Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever

A unicidade segue diretamente do teorema anterior.

Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.

Ver também 
 Teoria dos números
 Número primo

Notas

Referências
 Milies, Francisco César Polcino. Números: Uma Introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da USP, 2003.
Garbi, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pela maravilhoso mundo da matemática. 3 ed. rev e ampl. São Paulo: Editora  Livraria da Física, 2009.
Euclides. Os Elementos. 1 ed. São Paulo: Editora Unesp,2009.

Fundamental Aritmetica
Teoria dos números

de:Primfaktorzerlegung#Fundamentalsatz der Arithmetik