Момент силы

Моме́нт си́лы (момент силы относительно точки) — векторная физическая величина, характеризующая действие силы на механический объект, которое может вызвать  его вращательное движение. Определяется как векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы  и вектора силы . Моменты сил, образующиеся в разных условиях, в технике могут иметь названия: кру́тящий момент, враща́тельный момент, вертя́щий момент, враща́ющий момент, скру́чивающий момент.

Момент силы обозначается символом  или, реже,  (тау). 

Единица измерения в СИ: Н⋅м. Величина момента силы зависит от выбора начала отсчёта радиус-векторов O. 

Понятие момента силы используется, в основном, в области задач статики и задач, связанных с вращением деталей (рычагов и др.) в технической механике. Особенно важен случай вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси — тогда O выбирают на этой оси, а вместо самого момента рассматривают его проекцию на ось ; такая проекция называется моментом силы относительно оси.

Наличие момента силы влечёт изменение момента импульса тела  относительно того же начала O со временем : имеет место соотношение . В статике равенство нулю суммы моментов всех приложенных к телу сил является одним из условий (наряду с равенством нулю суммы сил) реализации состояния покоя.

Определение, общие сведения 
В физике момент силы играет роль вращающего воздействия на тело. 

В простейшем случае, если сила  приложена к рычагу перпендикулярно ему и оси вращения, то момент силы определяется как произведение величины  на расстояние  от места приложения силы до оси вращения рычага, называемое «плечом силы»: 
 .
Например, сила в 3 ньютона, приложенная на расстоянии 2 м от оси, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон с плечом 6 м. 

Если действуют две силы, говорят о моменте пары сил (такая формулировка восходит к трудам Архимеда). При этом равновесие достигается в ситуации .

Для случаев более сложных движений и более сложных объектов определение момента как произведения  требует универсализации. 

Момент силы иногда называют вращающим или крутящим моментом. «Вращающий» момент понимается в технике как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — как внутреннее, возникающее в самом объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопромате).

Момент силы относительно точки 

В общем случае момент силы , приложенной к телу, определяется как векторное произведение
 ,
где  — радиус-вектор точки приложения силы. Вектор  перпендикулярен векторам  и . 

Начало отсчета радиус-векторов O может быть любым. Обычно O выбирают в чем-либо выделенной точке: в месте закрепления подвеса, в центре масс, на оси вращения и т.д.. Если одновременно анализируется момент импульса тела , то начало O всегда выбирается одинаковым для  и .

Если не оговорено иное, то «момент силы» — это момент силы относительно точки (O), а не некоей оси. 

В случае нескольких приложенных сосредоточенных сил их моменты векторно суммируются:
 ,
где  — радиус-вектор точки приложения -й силы . В случае силы, распределённой с плотностью ,
 .
Если  (Н/м3) — обобщённая функция, которая может содержать и дельтаобразные члены, то последней формулой охватываются и две предыдущие.

Момент силы относительно оси 
Моментом силы относительно оси называется алгебраическое значение проекции момента  на ось, то есть
 ,
где  — единичный вектор вдоль оси, а начало отсчёта O выбрано на оси. Момент силы относительно оси может быть рассчитан как 
 ,
где через  и  обозначены составляющие радиус-вектора и силы в плоскости, перпендикулярной оси.

В отличие от момента силы , величина момента силы относительно оси  не претерпевает изменения при сдвиге точки O вдоль оси. 

Для краткости символ параллельности и знак могут опускаться, а  (как и ) именоваться «моментом силы».

Единицы измерения 
Момент силы имеет размерность «сила, умноженная на расстояние» и единицу измерения ньютон-метр  в системе СИ. 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему. 

Формально, размерность  (Н·м) совпадает с размерностями энергии и механической работы.

Некоторые примеры

Формула момента рычага 

Момент силы, действующей на рычаг, равен 
 
или, если записать момент силы относительно оси,
 ,
где  — угол между направлением силы и рычагом. Плечо силы равно . Максимальное значение момента достигается при перпендикулярности рычага и силы, то есть при . При сонаправленности  и рычага момент равен нулю.

Статическое равновесие 
Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма моментов всех сил вокруг любой точки. 

Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами требование сводится к тому, чтобы нулевыми были сумма сил в двух измерениях:  и момент силы в третьем измерении: .

Движение твёрдого тела 
Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.
 

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига, так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если  — постоянная величина во времени, то
 
где  — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду (рад/с2). Пример: вращается однородный диск.

Если тензор инерции меняется со временем, то движение относительно центра масс описывается с помощью динамического уравнения Эйлера:

Связь с другими величинами

С моментом импульса 

Момент силы — производная момента импульса  относительно точки O по времени:
 ,
Аналогичную формулу можно записать для моментов относительно оси:
 .
Если момент силы  или  равен нулю, момент импульса относительно соответствующей точки или оси сохраняется.

С мощностью 
Если сила совершает действие на каком-либо расстоянии, то она совершает механическую работу и развивает мощность  (где  — скорость материальной точки). Так же и в случае момента силы: если он совершает действие через «угловое расстояние», развивается мощность
 .
В системе СИ мощность  измеряется в ваттах, угловая скорость  — в радианах в секунду.

С механической работой 
Если под действием момента силы  происходит поворот тела на угол , то совершается механическая работа
 .
Для поворота, скажем, рычага вокруг фиксированной оси на угол  получим
 .
В системе СИ работа  измеряется в джоулях, угол — в радианах.

Размерность работы (и энергии) совпадает с размерностью момента силы («ньютон-метр» и джоуль — это одни и те же единицы). Момент силы 1 Н·м, при повороте рычага или вала на 1 радиан совершает работу в 1 Дж, а при повороте на один оборот совершает механическую работу и сообщает энергию  джоуля.

Измерение момента силы 
Измерение момента силы осуществляется с помощью специальных приборов — торсиометров. Принцип их действия обычно основан на измерении угла закручивания упругого вала, передающего крутящий момент, либо на измерении деформации некоторого упругого рычага. Измерения деформации и угла закручивания производится различными датчиками деформации — тензометрическими, магнитоупругими, а также измерителями малых перемещений — оптическими, ёмкостными, индуктивными, ультразвуковыми, механическими.

Существуют специальные динамометрические ключи для измерения крутящего момента затягивания резьбовых соединений и регулируемые и нерегулируемые ограничители крутящего момента, так называемые «трещотки», применяемые в гаечных ключах, шуруповёртах, винтовых микрометрах и др.

Из истории понятия 
Для того чтобы понять, откуда появилось понятие момента сил и как к нему пришли, стоит рассмотреть действие силы на рычаг, поворачивающийся относительно неподвижной оси. Работа, совершаемая при действии силы  на рычаг , совершающий вращательное движение вокруг неподвижной оси, может быть рассчитана исходя из следующих соображений.

Пусть под действием силы конец рычага смещается на бесконечно малый отрезок , которому соответствует бесконечно малый угол . Обозначим через  вектор, который направлен вдоль бесконечно малого отрезка  и равен ему по модулю. Угол между векторами  и  равен , а угол между векторами  и  равен .

Следовательно, бесконечно малая работа , совершаемая силой  на бесконечно малом участке , равна скалярному произведению вектора  и вектора силы, то есть .

Теперь попытаемся выразить модуль вектора  через радиус-вектор , а проекцию вектора силы  на вектор  — через угол .

Так как для бесконечно малого перемещения рычага  можно считать, что траектория перемещения перпендикулярна рычагу , используя соотношения для прямоугольного треугольника, можно записать следующее равенство: , где в случае малого угла справедливо  и, следовательно, .

Для проекции вектора силы  на вектор  видно, что угол , а так как , получаем, что .

Теперь запишем бесконечно малую работу через новые равенства: , или .

Видно, что произведение  есть не что иное, как модуль векторного произведения векторов  и , то есть , которое и было принято обозначить за момент силы , или модуль вектора момента силы .

Теперь полная работа записывается просто: , или .

См. также 
 Момент инерции
 Момент импульса
 Теорема Вариньона

Сила
Векторные величины
Теоретическая механика