Rachunek wariacyjny

Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.

Uwagi ogólne 
Podstawowym zadaniem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie ekstremalnych wartości funkcjonałów o postaci całek oznaczonych, reprezentujących określone wielkości fizyczne takie jak czas, długość, powierzchnia, ciężar, sztywność itp. Zadanie to jest analogiczne do zadania rachunku różniczkowego, poszukiwania ekstremum funkcji  Jest ono osiągane w punkcie  mającym tę własność, że  w przypadku maksimum i  w przypadku minimum, gdzie  jest małą wariacją zmiennej 

W rachunku wariacyjnym poszukujemy takiej funkcji  dla której funkcjonał  ma tę własność, że  w przypadku maksimum i  w przypadku minimum, gdzie  jest małą wariacją funkcji 

Poszukiwanie ekstremum funkcji (o ciągłej pochodnej) w rachunku różniczkowym wymaga rozwiązania równania  które jest warunkiem koniecznym istnienia tego ekstremum. Podobnie w rachunku wariacyjnym poszukiwanie ekstremum funkcjonału  wymaga spełnienia określonego warunku koniecznego dla jego istnienia, którym okazuje się zwykle pewne równanie różniczkowe dla funkcji

Przykładowe zagadnienia

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty 

Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki przestrzeni taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej ( z metryką euklidesową), krzywa łącząca punkty  i  dana jest funkcją  taką, że  i  gdzie 

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)
  gdzie  to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:
 

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką.
W tym przypadku krzywa ta dana jest równaniem:

Najkrótszy czas przejazdu 
Pomiędzy miejscowościami  i  porusza się pojazd w terenie o tak zróżnicowanej nawierzchni, że w danym jej punkcie  musi zachować prędkość o wartości  Zakładając, że element trasy  pojazd przebywa w czasie  możemy czas  przejazdu z A do B po trasie  obliczyć za pomocą całki
 

której wartość zależy od wyboru trasy  i osiąga minimum dla trasy optymalnej

Zasada Fermata 

Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania.
Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej  dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę  wynosi  gdzie  jest prędkością światła w ośrodku,  to prędkość światła w próżni, a  to bezwzględny współczynnik załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:
 

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:
 

gdzie  to krzywa, po której porusza się promień, taka, że  i

Metody rachunku wariacyjnego

Równania Eulera-Lagrange’a 

Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego, służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać
 

to równania E-L mają postać
 

gdzie  może być liczbą rzeczywistą albo wektorem – w drugim przypadku dostajemy układ równań
 

gdzie  jest -tą współrzędną wektora 

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

Przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne 
  [dostęp 2023-06-01].
  Variational calculus , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].