Funkcja falowa

Funkcja falowa  – w mechanice kwantowej funkcja położenia  układu  cząstek w przestrzeni konfiguracyjnej i czasu  o wartościach zespolonych, będąca rozwiązaniem ogólnego równania Schrödingera, przy czym dla układu  cząstek mamy
 

gdzie  – wektor położenia -tej cząstki.

Jeżeli funkcja ta opisuje stan kwantowy układu cząstek bez spinu, to jest to funkcja skalarna (ma pojedyncze wartości). Dla cząstek ze spinem funkcja falowa jest wielowartościowa – jej wartości przedstawia się zwykle w postaci kolumny i nazywa spinorem.

Funkcja falowa może być charakteryzowana dodatkowo przez inne liczby kwantowe, np. izospin, zapach itd.

Wartości funkcji falowej dla danych wielkości  nazywa się amplitudami prawdopodobieństwa znalezienia układu w chwili  w położeniu  w danym stanie spinowym  itd.

Jednostką funkcji falowej w trójwymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych jest m−3/2. Dopuszczalne jest również używanie układu współrzędnych sferycznych, gdzie funkcja falowa jest bezwymiarowa.

Postulat Borna 
Funkcje falowe nie są bezpośrednio mierzalne. Ich sens fizyczny określa postulat Borna:

(1) W przypadku pojedynczej cząstki bez spinu poruszającej się w przestrzeni  funkcja falowa przypisuje położeniu cząstki  w chwili  liczbę zespoloną  taką że:

Kwadrat modułu  jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w punkcie  w chwili  przy czym funkcja falowa musi być unormowana do 1, tzn.
 

(2) W wypadku dla układu  cząstek bez spinu kwadrat modułu  jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia układu w punkcie  przestrzeni konfiguracyjnej w chwili  przy czym konfigurację określa wektor  gdzie  jest wektorem położenia -tej cząstki w przestrzeni fizycznej  w chwili 

(3) W przypadku pojedynczej cząstki poruszającej się w przestrzeni  posiadającej dodatkowo spin 1/2 (np. elektron), funkcję falową można zapisać w postaci wektora (ściśle – spinora) o dwóch składowych, reprezentujących amplitudy prawdopodobieństw ustawieniu spinu zgodnie z zewnętrznym polem magnetycznym i przeciwnie do niego
 

przy czym:
  – gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili  w punkcie  ze spinem skierowanym zgodnie z wektorem pola magnetycznego,
  – gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili  w punkcie  ze spinem skierowanym przeciwnie do pola.

(4) W przypadku dwóch cząstek poruszających się w przestrzeni  o spinie 1/2 (np. 2 elektrony), funkcję falową można zapisać w postaci
 

przy czym:
  – wektor położenia 2 cząstek w przestrzeni konfiguracyjnej,
  – gęstość prawdopodobieństwa znalezienia w chwili 
 pierwszej cząstki w punkcie  ze spinem 
 drugiej cząstki w punkcie  ze spinem 
  – gęstość prawdopodobieństwa znalezienia w chwili 
 pierwszej cząstki w punkcie  ze spinem 
 drugiej cząstki w punkcie  ze spinami  itd.

(5) Ogólnie, dla układu  cząstek o spinie  funkcja falowe będzie miała  składowych zespolonych, mających wszystkie różne zestawienia wartości przyjmowanych przez liczby spinowe poszczególnych cząstek, przy czym każda z cząstek może mieć tych liczb

Faza funkcji falowej 
Funkcja falowa jest funkcją o wartościach zespolonych, dlatego może być przedstawiona w postaci iloczynu modułu i fazy
 

Faza funkcji falowej nie ma znaczenia fizycznego.

Możliwy jest jednak pomiar różnic wartości faz poszczególnych części funkcji falowej (porównaj efekt Aharonova-Bohma, gdzie faza funkcji składowej falowej zależy od drogi, jaką dana składowa przemieszczała się w polu magnetycznym).

Wektor stanu w przestrzeni Hilberta 
Bardziej abstrakcyjny sens matematyczny funkcji falowej wymaga odwołania się do przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń Hilberta jest przestrzenią wektorową określoną nad ciałem liczb zespolonych, z iloczynem skalarnym zdefiniowanym jako iloczyn wektora z jego sprzężeniem zespolonym; w notacji Diraca iloczyn ten ma postać
 

gdzie  – wektor (tzw. ket),  – sprzężenie zespolone wektora (tzw. bra); iloczyn skalarny – to bra-ket, czyli z j. angielskiego nawias; w ten sposób notacja Diraca jest łatwa do zapamiętania.

Wymiar przestrzeni Hilberta zależy od rodzaju układu kwantowego. Stan układu fizycznego określony jest za pomocą wektora w tej przestrzeni.

Bazę przestrzeni Hilberta można wybrać na wiele sposobów. Jedną z możliwych baz stanowi baza położeniowa, określająca możliwe położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej. Inną bazą jest baza określająca możliwe pędy układu.

Wektor w przestrzeni Hilberta – reprezentujący stan układu kwantowego – można przedstawić jako kombinacje liniową wektorów bazowych, wprowadzając tym samym współrzędne wektora. Transformacje pomiędzy różnymi bazami odpowiadają zmianie reprezentacji, jak np. zmianie reprezentacji położeniowej na reprezentację pędów. Rozkład wektora w danej bazie pozwala przewidywać wyniki pomiaru odpowiedniej wielkości fizycznej

Mianowicie, dla operatora pomiaru (tzw. obserwabli) odpowiadającego pomiarowi pewnej wielkości fizycznej na układzie kwantowym (np. położenia lub pędu) szczególną rolę odgrywają unormowane do 1 wektory przestrzeni Hilberta, które są wektorami własnymi operatora pomiaru. Kwadrat modułu rzutu wektora stanu na wektor własny takiego operatora (obliczany przy użyciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego), jest równy prawdopodobieństwu zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym po akcie pomiaru wielkości fizycznej odpowiadającej temu operatorowi.

Funkcję falową otrzymujemy w szczególnym przypadku, gdy operatorem pomiaru jest operator położenia, określający położenie układu w przestrzeni: współrzędne wektora stanu wyrażonego w bazie stanów własnych operatora położenia nazywa się wartościami funkcji falowej, obliczonej w odpowiednich położeniach.

Aby zilustrować powyżej omówiony formalizm rozważmy przypadek, gdy wielkości mierzone są dyskretne. Wtedy wektor stanu zapisuje się następująco (w notacji Diraca)
 

gdzie  są wektorami własnymi wybranego operatora pomiaru  tj.
 

zaś  są wartościami, jakie można uzyskać. Wielkości  określają prawdopodobieństwa otrzymania wartości  w pomiarze.

Jeżeli operator  jest operatorem położenia  to zamiast sumy w powyższym wzorze jest całka; wektory własne operatora położenia oznacza się jako  wielkościami mierzonymi są położenia  wartości funkcji falowej są równe iloczynom skalarnym wektora stanu z wektorem 
 

zaś prawdopodobieństwo otrzymania układu w położeniu  wynosi

Interpretacje znaczenia funkcji falowej 
Według interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje często zakładają realne istnienie funkcji falowej.

Zobacz też 
Operatory:
 operator (fizyka)
 operator Hamiltona
 operator unitarny
Równania:
 równanie de Broglie’a-Bohma
 równanie Diraca
 równanie Pauliego
 równanie Schrödingera

Przypisy

Bibliografia 
 Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Quantum Mechanics, Hermann, New York 1977, tom I.

Linki zewnętrzne 
 

Mechanika kwantowa