Vektorrum

Inden for matematik er et vektorrum en abstrakt algebraisk struktur. Definitionen af et vektorrum er inspireret af de sædvanlige geometriske vektorer, og den sikrer at der er to regneoperationer, nemlig addition af vektorer med vektorer og multiplikation af en vektor med en skalar (se afsnittet Definition), som er stabile i den betydning at resultatet altid også er en vektor som ved almindelige geometriske vektorer (disse er således et specialtilfælde af vektorer).

Definition 
Ved et vektorrum over legemet  (også kaldet et -vektorrum) forstås en mængde  udstyret med to operationer
 
og
 
som opfylder følgende betingelser (aksiomer):
 Additionen gør  til en abelsk (dvs. kommutativ) gruppe. Det betyder at
  for alle  (associativitet)
 Der eksisterer et neutralt element  kaldet nulvektoren som opfylder at  for alle 
 Enhvert element  har et inverst element (en modsat vektor) kaldet  som opfylder at 
  for alle  (kommutativitet)
 Multiplikationen opfylder betingelserne (gangetegnet  udelades normalt)
  for alle  og  (en slags associativitet)
  for alle  og  (distributivitet over additionen i )
  for alle  og  (distributivitet over additionen i legemet )
  for alle  hvor  betegner ét-elementet (det multiplikative neutralelement) i legemet, 
Elementerne i  kaldes da vektorer, mens elementerne i  kaldes skalarer.

Bemærk at der skal foreligge et legeme med alt hvad det indebærer, før man kan indføre et vektorrum. Meget ofte er legemet  simpelthen , de reelle tal, eller , de komplekse tal, men vektorrum over andre legemer betragtes også. Hvis man i det ovenstående udskifter legemet  med en generel ring, omtaler man ikke  som et vektorrum, men som en modul (eller et modul).

Vektorrum er centrale inden for disciplinen lineær algebra, men de forekommer også inden for (stort set alle) mere avancerede matematiske områder.

Tilknyttede begreber

Underrum 
En ikke-tom delmængde  kaldes et underrum af vektorrummet, hvis det er lukket under addition af vektorer og multiplikation med skalar, altså hvis  er indeholdt i  for alle  og  er indeholdt i  for alle vektorer  og skalarer . Et underrum af et vektorrum  er i sig selv et vektorrum (over samme legeme), med de samme (men restringerede) regneoperationer.

Indre produkt rum 
Et vektorrum over legemet  eller  kaldes et indre produkt rum hvis det har tilknyttet et indre produkt. Et indre produkt rum giver anledning til at tale begreber som længde eller ortogonalitet mellem elementer i vektorrummet. Man kan da anvende analytiske redskeber som Pythagoras' sætning, Cauchy-Schwarz' uligheden og Polariseringsidentiteten. Et typisk eksempel kan være det reelle euklidiske vektorrum  udstyret med skalarproduktet.

Linearkombination, basis og dimension 
En mængde  af vektorer fra  kaldes en basis for vektorrummet hvis det gælder at ethvert element  på én og kun én måde kan opskrives som et udtryk af typen
 
hvor alle  og alle . En sum af denne type kaldes i øvrigt en linearkombination.

Alle baser for et bestemt vektorrum består af lige mange elementer. Dette antal (der eventuelt kan være et transfinit kardinaltal) kaldes vektorrummets dimension.

Hvis dimensionen er endelig, kan et valg af en fast basis bruges til at koordinatisere vektorrummet.

Hvis  er et endeligt legeme med  elementer, og  er et -dimensionalt vektorrum over , så indeholder  præcis  vektorer.

Eksempler 
Standardeksemplet på et vektorrum (over ) er , planen. Vektorerne er da talpar  som kan repræsenteres ved pile. Sådanne vektorer kendes fra gymnasiet. Generalisationen til , talsæt af typen , er ligetil.

Mængden af alle "formelle" polynomier (med reelle koefficienter) i en (abstrakt) variabel  er et vektorrum. To polynomier kan nemlig adderes hvorved man får et nyt polynomium, man kan gange et polynomium med et tal, og alle ovenstående aksiomer (krav) er opfyldt.

Mængden af sådan polynomier af grad højst 2 er et underrum heraf. Dette underrum har dimension 3 da en basis for det fx er .

Lad  være en vilkårlig (definitions)mængde. Så er mængden af alle afbildninger  et vektorrum. Addition og multiplikation er de oplagte
 
 
For eksempel er mængden af alle funktioner  et vektorrum over .

Mængden af integrable (se integralregning) reelle funktioner på  er ligeledes et vektorrum, og underrum af ovennævnte. Et underrum heraf igen kunne være , mængden af vilkårligt ofte differentiable funktioner på .

En etpunktsmængde  er et trivielt vektorrum (addition og multiplikation kan kun defineres på én måde). Basis for dette vektorrum er den tomme mængde, ; derfor er dimensionen af det trivielle vektorrum 0.

Algebra
Matematiske strukturer