Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
 
где  — биномиальные коэффициенты,  — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд.

Примеры:
 
Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля.

Доказательство 
Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени  нужно из  скобок выбрать , а из оставшихся  выбрать . Вариантов выбрать  в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть . Затем, соответственно, , и так далее до  на -м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых . Нормируя, получаем в точности . Ниже приводится доказательство по индукции.

Обобщения 
Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции  в ряд Тейлора:
 
где  может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле
 

При этом ряд
 
сходится при .

В частности, при  и  получается тождество
 

Переходя к пределу при  и используя второй замечательный предел , выводим тождество
 
которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема 

Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:
 
где
 
суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам , сумма которых равна  (то есть по всем композициям числа  длины ). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения , даже если .

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по , либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При , выражая , получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла 
Пусть  и , тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

История 
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке.
Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе 
В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

См. также 
 Биномиальное распределение
 Биномиальный коэффициент
 Треугольник Паскаля
 Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона

Примечания

Литература

Ссылки 
 

Многочлены