Teorema de Taylor

En cálculo diferencial, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico, Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en el que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Caso de una variable

Enunciado del teorema 
La versión más básica del teorema es como sigue:

El polinomio que aparece en el teorema de Taylor, 

se denomina polinomio de Taylor de orden  de la función  en el punto . El polinomio de Taylor es el único polinomio que «mejor aproxima la función en forma asintótica», en el sentido de que si existe una función  y un polinomio  de orden  tal que

entonces . El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del término del resto

el cual es el error de aproximación cuando se aproxima f con su polinomio de Taylor. Utilizando la notación o el teorema de Taylor se puede expresar de la siguiente forma:

Fórmulas explícitas para el resto 

Existen diferentes formas de expresar  que se mencionan a continuación:

Usualmente, esta refinación del teorema de Taylor, se demuestra con el teorema del valor medio, de ahí su nombre. También se pueden hallar expresiones similares. Por ejemplo, si  es continua en el intervalo cerrado y diferenciable con derivadas no nulas en el intervalo abierto entre  y , entonces

para algún número  entre  y . Esta versión generaliza las formas de Lagrange y Cauchy del resto, que son tomadas como casos especiales, y se demuestran usando el teorema del valor medio de Cauchy.

En el caso de la forma integral del resto, se requieren conceptos de la teoría integral de Lebesgue para una generalidad completa. Sin embargo, se mantiene el concepto que provee la integral de Riemann donde la derivada -ésima de  es continua en el intervalo cerrado .

Debido a la continuidad absoluta de  en el intervalo cerrado entre  y  su derivada  existe como una función , y el resultado puede probarse con un cálculo formal usando el teorema fundamental del cálculo e integración por partes.

Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando  se acerca al infinito; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto  y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con  expresado de la segunda forma es también válido si la función  tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Acotación del resto 

Suele ser muy útil en la práctica acotar el término del resto de la aproximación de Taylor, en lugar de tener la fórmula exacta de este. Suponiendo que  es continuamente diferenciable  veces en un intervalo  que contiene a . Suponemos que hay constantes  y  tal que

en el intervalo . Entonces el término del resto satisface la desigualdad

Si , y similarmente si . Esta es una consecuencia simple de la forma de Lagrange del resto. En particular, si

sobre un intervalo  con algún  , entonces

para todo . A la segunda desigualdad se la llama acotación uniforme, porque permanece uniformemente para todo x sobre el intervalo .

Ejemplo 

Suponiendo que se desea aproximar la función  en el intervalo  con un error no mayor a . Este ejemplo necesita que se conozcan las siguientes propiedades de la función exponencial:

De estas propiedades se tiene que  para todo , y en particular, . Entonces el polinomio de Taylor de orden  de  en  y su resto bajo la forma de Lagrange son:

donde  es algún número entre  y . Ya que  es creciente , podemos usar simplemente que  para  para acotar el resto sobre el subintervalo . Para obtener una cota superior para el resto en , usamos la propiedad  para  para acotar

usando la expansión de Taylor de segundo orden. Entonces resolvemos  para deducir que

simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador. Combinando estas acotaciones para  vemos que

así se alcanza la precisión requerida, donde

(ver factorial o calcular manualmente los valores 9!=362 880 y 10!=3 628 800). Como conclusión, el teorema de Taylor permite la aproximación

Luego, esta aproximación nos da la expresión decimal e ≈ 2,71828, correcta hasta cinco dígitos decimales.

Demostración 
Sea

donde, como dice en el enunciado del teorema de Taylor,

Es suficiente mostrar que

La demostración de  se basa en la aplicación repetida de la regla de L'Hôpital. Se observa que, para cada , . De aquí que cada una de los primeras  derivadas del numerador en  se anula en , y lo mismo sucede con el denominador. También, ya que la condición de que la función  sea  veces diferenciable en un punto requiere diferenciabilidad de orden  en un entorno de dicho punto (esto es así, porque la diferenciabilidad requiere una función definida en un entorno del punto), el numerador y sus  derivadas son diferenciables en un entorno de . Claramente, el denominador también satisface dicha condición, y adicionalmente, no se anula a menos que , por lo tanto se satisfacen todas las condiciones para la regla de L'Hôpital, y así se justifica su utilización. Por lo tanto,

donde queda la anteúltima igualdad por la definición de la derivada en .

Obtención de la forma de valor medio del resto 

Sea  una función real, continua sobre un intervalo cerrado entre  y  y diferenciable con derivadas no nulas sobre el intervalo abierto entre  y , y la función que se define como

Entonces, por el teorema del valor medio de Cauchy,

para algún  sobre el intervalo abierto entre  y . Se observa que el numerador  es exactamente el resto del polinomio de Taylor para . Calculando

reemplazando en  y reorganizando los términos para hallar que

Esta es la forma del término que mencionamos como «resto», después enunciamos el teorema de Taylor con el resto bajo la forma del valor medio. La forma de Lagrange del resto puede obtenerse haciendo  y la forma de Cauchy haciendo .

Observación. Usando este método también se puede recurrir a la forma integral del resto haciendo

pero los requerimientos de  necesitados para usar el teorema del valor medio son más fuertes, si se tiene el objetivo de probar el caso en que  es únicamente continua absolutamente. Sin embargo, si se usa la integral de Riemann en vez de la integral de Lebesgue, los requerimientos no pueden ser tan débiles.

Obtención de la forma integral del resto 
Debido a la continuidad absoluta de  sobre el intervalo cerrado entre  y  su derivada  existe como una función , y se usa el teorema fundamental del cálculo y la integración por partes. Esta misma demostración se aplica para la integral de Riemann teniendo en cuenta que  es continua sobre el intervalo cerrado y diferenciable sobre el intervalo abierto entre  y , y esto permite llegar al mismo resultado que cuando se utilizó el teorema del valor medio.

El teorema fundamental del cálculo dice que

A partir de aquí se usa la integración por partes y se usa una vez más el teorema fundamental del cálculo para ver que

que es exactamente el teorema de Taylor con resto en la forma integral para el caso .
La enunciación general se demuestra usando la inducción. Suponiendo que 

Integrando el término del resto por partes se llega a que

Substituyendo esto en la fórmula  se muestra que si se tiene para el valor , debe obtenerse también para el valor .
Por lo tanto, ya que se tiene para , se tiene para cualquier valor entero positivo .

Caso de varias variables 
El teorema de Taylor anterior  puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea  una bola en  centrada en , y  una función real definida sobre la clausura  cuyas derivadas parciales hasta de orden  son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :

donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:

para todo  con . Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).

Demostración 
Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese un función  o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase . Sea  una función vectorial que va de , y definámosla como  (de ahora en adelante, se omitirán las flechas de los vectores). Pongamos  Ahora hagamos  y recordemos que . Notemos ahora que:

Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:

donde el producto escalar del vector  con el gradiente 

representa la derivada direccional, y el exponente  sobre ella es entendido como las sucesivas veces que la hacemos sobre la función; es decir, hacemos la derivada direccional   veces. 
Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos  en su serie de McLaurin:

y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada se evidencia que:

Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómoda y compacta. La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice.

Referencias

Bibliografía 
 

Teoremas de cálculo
Taylor