Функтор (математика)

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании .

Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа, при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию.

Определение 

  из категории  в категорию  — это отображение, которое:
 сопоставляет каждому объекту  объект 
 сопоставляет каждому морфизму  в категории  морфизм  в категории . Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
 ,
 .

Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.

Аналогичным образом,  — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму  морфизм ), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:
 .

Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории . Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из  в » говорят «функтор из  в » (или, иногда, «функтор из  в »).

Бифункторы и мультифункторы 
Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.

Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор  имеет вид .

Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на  переменных.

Примеры 
Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.

 Пусть  — подкатегория в категории . В таком случае определён функтор вложения , действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
 Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории  в фиксированный объект категории , а каждый морфизм  — в тождественный морфизм этого объекта.
 Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
 Двойственное векторное пространство: отображение, сопоставляющее каждому векторному пространству двойственное к нему, а каждому линейному отображению — двойственное (или транспонированное) отображение, является контравариантным эндофунктором на категории векторных пространств.
 Пусть  — конкретная категория, то есть категория, снабженная унивалентным функтором в категорию множеств (частный случай забывающего функтора). С помощью этого функтора объектам категории сопосталяются множества, и можно думать о морфизмах, как о функциях на этих множествах, сохраняющих дополнительную структуру (пример: категории групп, категория колец, категория множеств). Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта (пример: свободный модуль).
 Предпучки: пусть  — топологическое пространство, тогда открытые подмножества  образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое . Как и любому частично упорядоченному множеству,  можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм  тогда и только тогда, когда . Контравариантные функторы из  называются предпучками. Например, существует функтор в категорию действительных алгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
 Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству  с отмеченной точкой  можно сопоставить фундаментальную группу , элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если  — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки  можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки . Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из  в . Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
 Касательное и кокасательное расслоение: отображение, сопоставляющее гладкому многообразию его касательное расслоение, а диффеоморфизму многообразий — его дифференциал, является ковариантным функтором из категории гладких многообразий и диффеоморфизмов в категорию векторных расслоений. Аналогично, кокасательное расслоение и кодифференциал диффеоморфизма задают контравариантный функтор.
 Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.
 Тензорное произведение: если  — категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор , ковариантный по обоим аргументам.
  — произвольные контравариантные функторы из симплициальной категории в различные категории (в категорию множеств — симплициальное множество, в категорию групп —  и другие); конструкции, обобщающие понятие симплициального комплекса, играют важную роль в алгебраической топологии.
 Функтор  сопоставляет полю  его абсолютную группу Галуа , а гомоморфизму полей — соответствующий гомоморфизм групп Галуа.

Свойства 
 Функтор переводит коммутативные диаграммы в коммутативные диаграммы.
 Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
 Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.

Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».

Связь с другими категорными понятиями 
Пусть  и  — категории. Множество всех морфизмов  можно считать множеством объектов другой категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.

Функторы довольно часто задают при помощи универсальных свойств, примеры включают в себя тензорные произведения, произведения групп, множеств или векторных пространств, прямые и обратные пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару сопряжённых функторов.

Примечания

Литература 

 
  — С. 43—67.

Ссылки 
 

Теория категорий