Квадрат

Квадратът ( – „четириъгълник“) представлява равнинна геометрична фигура, правилен четириъгълник. Има четири равни страни и четири равни ъгли.

Определение 
Квадратът е правилен многоъгълник с четири страни и ъгли, но може да се дефинира и посредством други геометрични фигури като:
 четириъгълник, успоредник или трапец с равни страни и равни/прави ъгли;
 правоъгълник с равни страни;
 ромб с перпендикулярни страни.

Свойства 

За квадрата са валидни следните твърдения:
 Четирите му страни са равни.
 Четирите вътрешни ъгли са еднакви и сборът им е 360° (2π), затова всичките са прави (по 90°).
 Има четири оси на симетрия – двата диагонала и двете симетрали на страните.
 Има център на симетрия – пресечната точка на диагоналите.
 Двата диагонала са равни, разполовяват се и са взаимно перпендикулярни.
 Диагоналите разполовяват ъглите на квадрата.
 Пресечната точка на диагоналите му е център на вписаната и на описаната окръжност.
 Всеки квадрат е подобен на всеки друг квадрат.
 Квадратът е правилен четириъгълник с централен ъгъл π /2 и , където R е радиусът на описаната около квадрата окръжност.

За да начертаем квадрат, е достатъчно да знаем дължината на страната му или дължината на диагонала му.

Формули 
{|border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="center"
|-
! bgcolor="#c0c0ff" colspan="3" align="center"|Формули за квадрат
|-
|Дължина на страната
|
|-
|Дължина на диагонала
|
|-
|Периметър
|
|-
|Лице
|
|-
|Радиус на описаната окръжност
|
|-
|Радиус на вписаната окръжност
|
|}

Построение 
Тъй като 4 е степен на 2, квадрат може да бъде построен с линийка и пергел:

Квадратът в неевклидовата геометрия 

В неевклидовата геометрия квадратите са по-общи многоъгълници с четири равни страни и равни ъгли.

В сферичната геометрия квадратът е многоъгълник, чиито ръбове са дъги от големи окръжности на равни разстояния, които се пресичат в равните ъгли. За разлика от квадрата в равнинната геометрия ъглите на сферичния квадрат са по-големи от правия ъгъл.

В хиперболичната геометрия не съществуват квадрати с прави ъгли. Там квадратите имат остри ъгли.

Кръстосан квадрат 

Кръстосаният квадрат е диагонално сечение на квадрата, самопресичащ се многоъгълник, създаден чрез премахване на два срещуположни ръба на квадрат и повторно свързване чрез двата му диагонала. Той има половината от симетрията на квадрата, Dih2, ред 4. Има същото разположение на върховете като квадрата и е транзитивен по върховете. Изглежда като два равнобедрени правоъгълни триъгълника с общ връх на правите ъгъл, но геометричното пресичане не се счита за връх.

Кръстосаният квадрат понякога се оприличава на папийонка или пеперуда. Кръстосаният правоъгълник се получава чрез сечение на правоъгълника и двата специални случая на кръстосани четириъгълници. 

Вътрешността на пресечен квадрат може да има многоъгълна плътност ±1 във всеки триъгълник, в зависимост от ориентацията на навиването по посока на часовниковата стрелка или обратно на часовниковата стрелка.

Квадратът и кръстосаният квадрат имат следните общи свойства:

 Противоположните страни са равни по дължина.
 Двата диагонала са еднакви по дължина.
 Има две линии на отражателна симетрия и ротационна симетрия от порядък 2 (през 180°).

Съществува в конфигурацията на върха на еднакви звездни многостени, тетрахемихексахедър.

Вижте също 
 Четириъгълник
 Успоредник
 Правоъгълник
 Ромб
 Трапец

Източници 

Четириъгълници