Теория категорий

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике.
Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий.
Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell. Была создана Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом.

Определение 
Категория  — это:
 класс объектов ;
 для каждой пары объектов ,  задано множество морфизмов (или стрелок) , причём каждому морфизму соответствуют единственные  и ;
 для пары морфизмов  и  определена композиция ;
 для каждого объекта  задан тождественный морфизм ;
причём выполняются две аксиомы:
 операция композиции ассоциативна:  и
 тождественный морфизм действует тривиально:  для

Малая категория 

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств.
Категория , в которой  является множеством и  (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой.
Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру.
В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий 
 Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
 Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
 VectK — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
 Категория модулей.
Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.
 Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
 Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
 Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения.

Коммутативные диаграммы 
Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы.
Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути.
Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Двойственность 
Для категории  можно определить двойственную категорию , в которой:

 объекты совпадают с объектами исходной категории;
 морфизмы получаются «обращением стрелок»: 

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится.
Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм 
Морфизм  называется изоморфизмом, если существует такой морфизм , что  и .
Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными.
В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами.
Множество эндоморфизмов  является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами.
Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов  по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм 
Мономорфизм — это морфизм  такой, что для любых  из  следует, что . Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм , что для любых  из  следует . Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно.
Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты 
Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

 Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество , терминальным — любое множество из одного элемента .
 Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов 

Произведение (пары) объектов A и B — это объект  с морфизмами  и  такими, что для любого объекта  с морфизмами  и  существует единственный морфизм  такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна.
Морфизмы  и  называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение  объектов  и .
Соответствующие морфизмы  и  называются вложениями.
Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

 Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств , а сумма — дизъюнктное объединение .
 Пример: В категории колец Ring сумма — это тензорное произведение , а произведение — прямая сумма колец .
 Пример: В категории VectK (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств .

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов .
Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные.
Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными.
Элементами бесконечного произведения  являются произвольные бесконечные последовательности элементов , в то время как элементами бесконечного копроизведения  являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы 

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру.
Точнее,

(Ковариантный) функтор  ставит в соответствие каждому объекту категории  объект категории  и каждому морфизму  морфизм  так, что
  и
 .

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из  в  (или из  в ), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму  он сопоставляет морфизм , соответственным образом обращается правило композиции: .

Естественные преобразования 

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами.
Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если  и  — ковариантные функторы из категории  в , то естественное преобразование  сопоставляет каждому объекту  категории  морфизм  таким образом, что для любого морфизма  в категории  следующая диаграмма коммутативна:

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что  — изоморфизм для любого .

Некоторые типы категорий 
 Моноидальные категории
 Абелевы категории
 Топосы

См. также 

 Категория Бэра
 Универсальное свойство
 Предел
 Сопряжённые функторы
 Монады
 Категория (философия)

Примечания

Ссылки

Литература