Ikkje-lineært system

Eit ikkje-lineært system er i matematikk eit system som ikkje er lineært, altså eit system som ikkje oppfyller superponeringsprinsippet, eller eit system der utdata ikkje er proporsjonal med inndata. Mindre teknisk sagt er eit ikkje-lineært system problemstillingar der variabelen eller variablane som skal løysast ikkje kan skrivast som ein lineær kombinasjon av sjølvstendige komponentar. Eit ikkje-homogent system, som er lineært bortsett frå at ein har ein funkasjon av sjølvstendige variablar, er ikkje-lineært i følgje den strenge definisjonen, men slike system vert vanlegvis studert i lag med lineære system, sidan dei kan transformerast til lineære system med fleire variablar. 

Ikkje-lineære problemstillingar er til interesse for fysikarar og matematikarar, sidan dei fleste fysiske system i seg sjølv er ikkje-lineære. Ikkje-lineære likningar er vanskelege å løyse og er opphav til interessante fenomen som kaos. Vêret er kjend for å vere ikkje-lineært, og berre små endringar i ein liten del av systemet kan skape kompliserte effektar gjennom heile systemet.

Definisjon 

I matematikk er ein lineær funksjon  ein som oppfyller følgjande krav: 
 additivitet, 
 homogeneitet,  
(Additivitet impliserer homgenitet for alle rasjonale α, og for kontinuerlege funksjonar for alle reelle α. For eit komplekst α følgjer ikkje homgenitet direkte av addivitet.

Ei likning skrive som 

vert kalla lineær om  er ein lineær funksjon (som definert over) og ikkje-lineær elles. Likninga vert kalla homogen om .

Definisjonen  er særs generell sidan  kan vere kva matematisk objekt som helst (tal, vektor, funksjon osv.) og funksjonen  kan bokstavleg talt vere alle typar funksjonar, inkludert integrasjon eller differensiering med tilknytte vilkår (som til dømes grensevilkår). Om  inneheld differensiering av , vil resultatet bli ei differensiallikning.

Ikkje-lineære algebraiske likningar 

Generelt kan ikkje-lineære algebraiske problem ofte løysast nøyaktig, og om dei ikkje kan det, så kan dei likevel ofte bli godt forstått gjennom kvalitative eller numeriske analysar. Ta til dømes likninga

som kan skrivast som 

og er ikkje-lineær fordi  ikkje oppfyller kravet om additivitet eller homogenitet. (ikkje-lineariteten kjem av ). Sjølv om han er ikkje-lineær, kan denne likninga løysast nøyaktig (med hjelp av andregradslikning) og er godt forstått. På den andre sida har ikkje den ikkje-lineære likninga

eit nøyaktig svar (sjå kvintisk likning), men kan analyserast kvalitativt og er godt forstått, til dømes gjennom å lage ein grav og undersøke røtene til .

Ikkje-lineær rekursjonsforhold 
Eit ikkje-lineært rekursjonsforhold definerer ledd som følgjer etter kvarandre i ein sekvens som ein ikkje-lineær funksjon av dei føregåande ledda. Døme på slike er logistisk likning og forhold som definerer forskjellige Hofstadtersekvensar.

Ikkje-lineære differnesiallikningar 

Eit system av differensiallikningar er sagt å vere ikkje-lineært om det er ikkje er eit lineært system. Problemstillingar som omfattar ikkje-lineære differensiallikningar er særs varierte og metodane og analysane for å løyse dei er avhengige av problemet som skal løysast. Døme på slike likingar er Navier–Stokes-likningane i væskedynamikk, Lotka–Volterra-likingar i biologi og Black–Scholes-likningane i finans.

Ein av dei største vanskane med ikkje-lineære problem er at det genrelt ikkje er mogeleg å kombinere kjende løysingar inn i nye løysingar. I lineære problem, som tildømes ei gruppe lineært sjølvstendige løysingar, kan løysingane nyttast til å skape generelle løysingar ved hjelp av superponeringsprinsippet. Eit godt døme på dette er den ein-dimensjonale varmetransporte med Dirichlet sine grensevilkår, der løysinga kan skrivast som ein tidsavhengig lineær kombinasjon av sinuskurvar med forskjellige frekvensar. Dette gjer løysinga særs fleksibel. Det er ofte mogeleg å finne fleire særs spefikke løysingar til ikkje-lineære likningar, men sidan superponeringsprinsippet ikkje kan nyttast, kan ein ikkje finne nye løysingar.

Former for ikkje-lineær oppførsel 

 Ubestemtheit - ein kan ikkje føresjå oppførselen til systemet
 Multistabilitet - systemet skiftar mellom to eller fleire spesielle tilstandar. 
 Aperiodiske svingingar - funksjonar som ikkje repeterer verdiar etter ein periode (òg kjend som kaotiske svingningar eller kaos)

Døme på ikkje-lineære likningar 
 Vekselstraummodell
 Bellman-likninga for optimal politikk
 Boltzmann transportlikning
 Generell relativitet
 Ginzburg-Landau-likninga
 Navier-Stokes-likningane i væskedynamikk
 Korteweg–de Vries-likninga
 ikkje-lineær optikk
 ikkje-lineær Schröder-likning
 Richards-likninga for umetta vasstraum
 Sine-Gordon-likninga
 Landau-Lifshitz-likninga
 Ishimori-likninga
 Van der Pol-likninga
 Liénard-likninga
 Vlasov-likninga

Kjelder 
 Denne artikkelen bygger på «Nonlinear system» frå , den 30. juni 2009.

Bakgrunnsstoff 
 Ei samling ikkje-lineære modellar og demoverktøy 
 Command and Control Research Program (CCRP)
 New England Complex Systems Institute: Konsept i komplekse system
 Ikkje-lineær dynamikk I: Kaos på MIT's OpenCourseWare
 Ikkje-lineære modellar (MATLAB)
 The Center for Nonlinear Studies i Los Alamos National Laboratory
 FyDiK Programvare for å simulere ikkje-lineære dynamiske system

 
Dynamiske system
Grunnleggjande fysikk