Tilstandsromrepresentasjon

Tilstandsrom er ein matematisk representasjon av lineære system. Tilstandane til systemet vert representert med tilstandsvariablar som relater inngangs- og utgangs-signala med fyrste ordens differensiallignangar. For å forenkla notasjonen vert tilstandsvariablane og inngangs- og utgang-signala uttrykte med matrise-vektor notasjon. Dette fører til ein kompakt of oversiktleg representasjon, som er uavhengig av antal inn- og ut-gangar. 

Tilstandsrom-representasjon kan nyttast både for lineære og ulineære system, med vilkårlege starttilstandar. Omgrepet «tilstandsrom» viser til ein vektorrom, der tilstandsvariablane til systemet er representert ved aksane til rommet.

Tilstandsvariablar 

Når eit fysisk system vert representert på tilstandsvariaberform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande element i det fysiske systmet. Når elektriske system vert representeret på tilstandsromform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande element (spolar og kondensatorar) i det elektriske systemet. Tilsvarande, når eit mekanisk system er representert på tilstandsromform er antal tilstandsvariablar lik med antal energilagrande massar og fjører. 

Tilsrandsvariablane må vera lineært uavhengige (ein tilstadsvariabel kan ikkje vera ein lineær kombinasjon av andre tilstandsvariablar). Det minste antal tilstandsvariablar, N, som skal til for å representera eit system er som oftast lik orden til differensiallikninga som definerer systemet, eller til orden til nemnarpolynomet når systemet er representert på transferfunksjon-form, redusert til ein ekte brøk.

Lineære system 
Den generelle representasjonen av lineære system, men  inngangar,  utgangar og  tilstandsvariablar kan skrivast på forma:
 
 
der
, 
, 
, 
, 
,
, 
, 

 er tilstandsvektoren, 
 er inngangsvektoren (eller kontrollvektoren),
 er utgangsvektoren (eller observasjonsvektoren)
 er systemmatrisa (òg kalla tilstandsoppdateringsmatrisa),
 er inngangsmatrisa,
 er utgangsmatrisa og
 er direktekoplingsmatrisa. 

I praksis er  ofte ei nullmatrise og systemet har ikkje noko direkte kopling frå inngang til utgang. 

I denne generelle representasjonen er alle matrisene tidsvarierande. Tidsvariabelen  kan vera tids-kontinuerleg, , eller tids-diskret, . I det siste tilfellet er , der  er sampelintervalet.

Systemtypar 
Ulike system kan representerast på tilstandsromform:

I dei to siste tilfella har ein gått ut frå at starttilstanden til systemet er null: .

Kontrolerbarheit og observerbarheit 
Ein tidskontinuerleg tidsinvariant tilstandsrommodell er kontrollerbar om og berre om 

Ein tidskontinuerleg tidsinvariant tilstandsrommodell er observerbar om og berre om

Transferfunksjon-representasjon 
Transferfunksjonen til eit tidskontinuerleg tidsinvariant system 

 

kan finnast ved å Laplace-transformasjoon

Ein sett så uttrykket for  inn i utgangslikninga (eller opservasjonslikninga):

som gjev transferfunksjonen

Denne MIMO-transferfunksjonen har dimensjon  og inneheld  SISO-transferfunskjonar, mellom dei  inngangane og dei  utgangane.

Stabilitet 
Når ein studerer stabiliteten til eit tidskontinuerleg, tidsinvariant system, er det enklast å representera det som ein faktorisert transferfunksjon:

Nemaren til tranferfunksjonen  er lik det karakteristiske polynomet til tilstandsmatrisa
 .
Røtene til dette polynomet (eigenverdiane) er polane til systemet. Om desse ligg på innsida av einingssirkelen i z-planet er systemet stabilt og om dei ligg på einingssirkelen er det marginalt stabilt. Om minst ein pol ligg på utsida av einingssirkelen er systemet ustabilt. Ein alternativ måte for å avgjera om systemet er stabilt er å nytta Lyapunov sitt stabilitetsteorem. 

Nullpunkta til systemet (røtene til tellarpolynomet i transferfunksjonen) avgjer om systemet har minium-, maksimum-, eller blanda-fase, men nullpunkta påverkar ikkje stabiliteten til systemet. 

Om det førekjem pol-nullpunkt-kanselleringar kan eit lineært system vera BIBO stabilt (Bounded Input Bounded Output) sjølv om det ikkje er internt stabilt.

Bibliografi 
 Chu, C.K. og Chen, G., Signal processing and systems theory: Selected topics, Springer-Verlag, 1992.
 Kailath, T., Linear systems, Prentics-Hall, 1980.
 Kuo, B,C,, Automatic contol systems, Prentice-Hall, 6. utg., 1991.
 Ogata, K, Discrete control systems, Prentice-Hall, 1987.

Sjå òg 
 Lineære system
 Ulineære system
 Dynamiske system

Lineære system
Reguleringsteknikk
Signalhandsaming
Kontrollteori
Ikkje-lineære system