Laplace-operator

Ein laplace-operator er i matematikk og fysikk ein differensialoperator, kalla opp etter Pierre-Simon de Laplace, som er eit særleg viktig tilfelle av ein elliptisk operator som kan nyttast på mange område. Han vert skrive Δ, ∇2 eller ∇·∇. I fysikk vert han nytta i modellering av bølgjeforplanting, varmestraum og væskemekanikk. Han er sentral i elektrostatikk der han representerer ladinga til eit visst potensial. Han er ein viktig del av laplacelikninga for å bevare potensial, poissonlikninga for tyngdepontensialet tilknytt ein viss masse, og i helmholtzlikninga for vibrasjonane til ein sylinder. I kvantemekanikk representerer han den kinetiske energileddet i schrödingerlikninga. I matematikk vert funksjonar som inneheld forsvinnande laplaceoperatorar kalla harmoniske funksjonar. Laplaceoperatorane er kjernen i hodgeteori og resultatet av de Rham-kohomologi.

Definisjon
Laplaceoperatoren er ein andreordens differensialoperator i n-dimensjonalt euklidsk rom, definert som divergensen () til gradienten (). Så om f er ein dobbelderiverbar funksjon med reell verdi, så er laplaceoperatoren f definert som 

   (1)

Tilsvarande er laplaceoperatoren f summen av alle dei ublanda andregrads partiellderiverte i kartesiske koordinatar :

   (2)

Som ein andreordens differnsialoperator mappar laplaceoperatoren Ck-funksjonar til Ck−2-funksjonar for k ≥ 2. Uttrykket (1) (er tilsvarande for (2)) definerer ein operator Δ : Ck(Rn) → Ck−2(Rn), eller meir generelt ein operator Δ : Ck(Ω) → Ck−2(Ω) for alle opne sett Ω.

Laplaceoperatoren til ein funksjon er òg sporet til hessematrisa til funksjonen:

Motivasjon

Diffusjon 
Innan diffusjon oppstår laplaceoperatoren (via laplacelikninga) naturleg i den matematiske skildringar av likevekt. Meir spesifikt, om u er tettleiken ved likevekt av ein storleik som ein kjemisk konsentrasjon, så er nettofluksen til u gjennom grensa til ein glatt region V lik null, om det ikkje finst kjelder eller sluk i V:

der n er utoverretta einingsnormal til grensa til V.  Med divergensteoremet,

Sidan dette gjeld for alle glatte regionar V, kan det visast at dette impliserer
 
Venstrehandssida av likninga i laplaceoperatoren. Sjølve laplaceoperatoren har ei fysisk tolking for ikkje-likevektsdiffusjon som graden eit punkt representerer ei kjelde eller eit sluk av ein kjemisk konsentrasjon, gjort presist av diffusjonslikninga.

Tettleik tilknytt eit potensial 
Om φ er elektrostatisk potensial tilknytt til ei ladingsfordeling q, så er ladingsfordelinga sjølv gjeven av laplaceoperatoren φ:

Dette er ei følgje av gausslova. Så om V er eit glatt område, så får ein av gausslova at fluksen til det elektrostatiske feltet E er lik ladinga i feltet (medhøvande einingar):

der den første likskapen nyttar faktumet at det elektrostatiske feltet er gradienten til det elektrostatiske potensialet. Divergensteoremet gjev no at 

og sidan dette gjeld for alle område V, følgjer ().

Den same tilnærmingsmåten gjev at laplaceoperatoren til eit tyngdepotensial er massefordelinga. Ofte er ladingsfordelinga (eller massefordelinga) gjeven, og det tilknytte potensialet ukjent. Å finne potensialfunksjonen som høver til passande grenseviklåer er det same som å løyse poissonlikninga.

Energiredusering 
Ein annan motivasjon for laplaceoperatoren i fysikk er at løysinga til  i eit område U er funksjonar som gjev dirichletenergi funksjonell stasjonært:
 

For å sjå dette må ein tenkje seg at
 er ein funksjon, og 
 er ein funksjon som forsvinn på grensa til U. Då har ein
 
der den siste likskapen følgjer av den første greenidentiteten.
Denne utrekninga syner at om , så er 
E stasjonær rundt f. Motsett, om E er stasjonær rundt f, så er  av den grunnleggjande hjelpesetninga av variasjonsutrekning.

Koordinatuttrykk

To dimensjonar 
Laplaceoperatoren i to dimensjonar er gjeven som

der x og y står for dei vanlege kartesiske koordinatane i xy-planet.

I polarkoordinatar,

Tre dimensjonar 
I tre dimensjonar er det vanleg å arbeide med laplaceoperatorar i fleire forskjellige koordinatsystem. 

I kartesiske koordinatar,

I sylindriske koordinatar

I sfæriske koordinatar

(her representerer φ asimutvinkelen og θ polarvinkelen).

N dimensjonar 
I sfæriske koordinatar i N dimensjonar, med parametriseringa x = rθ ∈ RN med r som ein positiv reell radius og θ som eit element av einingssfæreen SN−1,

der  er Laplace–Beltrami-operatoren på ein (N−1)-sfære, òg kalla ein sfærisk laplaceoperator. Dei to radielle uttrykka kan skrivast om som

Som følgje av dette er den sfæriske laplaceoperatoren ein funksjon definert som SN−1 ⊂ RN og kan reknast ut som den ordinære laplaceoperatoren til ein funksjon utvida til RN\{0} slik at han er konstant langs stråler, t.d. , homogen i nulte grad.

Generaliseringar 
Laplaceoperatoren kan generaliserast på to måtar for ikkje-euklidske rom, der han kan vere elliptisk, hyperbolsk eller ultrahyperbolsk. 

I minkowskirom vert laplaceoperatoren d'Alembert-operatoren:

D'Alembert-operatoren vert òg kalla bølgjeoperatoren, fordi han er den differensialoperatoren som dukkar opp i den firdimensjonale bølgjelikninga. Han er òg ein vesentleg del av Klein–Gordon-likninga. Forteiknet føre dei romleg deriverte er negative, medan dei ville ha vore positive i eit euklidsk rom. Tilleggsfaktoren c må ein ha om rom og tid er målt i forskjellige einingar.

Laplace–Beltrami-operator 
Laplaceoperatoren kan òg generaliserast til ein elliptisk operator kalla Laplace–Beltrami-operatoren definert på ein riemannsk manifold.  D'Alembert-operatoren vert generalisert til ein hyperbolsk operator på pseudo-riemannsk manifold.  Laplace–Beltrami-operatoren kan òg generaliserast til ein operator som opererer på tensorfelt.

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Laplace operator» frå ,  den 25. november 2009. 
 oppgav desse kjeldene: 
.
 .
 .
 .
.

Bakgrunnsstoff
 Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates av Swapnil Sunil Jain

Differensialoperatorar
Partielle differensiallikningar
Fourieranalyse
Harmoniske funksjonar
Multivariat analyse