alexandrainst/scandi-wiki huggingface dataset:
Variansanalyse

Variansanalyse (ANOVA, frå det engelske «analysis of variance») er eit fellesomgrep for ei rekkje statistiske metodar for å teste likskap mellom to eller fleire utval, der éin eller fleire faktorar gjer seg gjeldande. Variansanalyse er i dei enkle tilfella eit alternativ til Z/t-testane for å samanlikne gjennomsnitt i populasjonar.

Dei to grunnleggjande formene for variansanalyse skildrast gjerne som 'einvegs' og 'tovegs' variansanalyse. I einvegs tilfellet undersøkingar ein berre éin eigenskap som varierer mellom gruppene, i tovegstilfellet undersøkjer ein òg variasjonar innover i gruppene.

Variansanalyse med éin faktor 
Det enklaste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der ein har  grupper med like storleikar , og ønskjer å samanlikne gjennomsnitta til gruppene. Han nyttar gjerne der ein ønskjer å samanlikne skilnader i respons på forskjellige handsamingar (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen ein testar er for ei mengd populasjonar 
 
  minst to av gruppene er forskjellige.

Føresetnadene for testen er at alle observasjonane er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

Kvadratavvik og varians 
Dei fundamentale storleikane i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), mellom individ og gruppe (SSE) og mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Desse er definert ved 

Samanhengen mellom desse gjev opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE. Videre har vi at

Dette gjev opphavet til det ein kallar ein ANOVA-tabell:

Test av nullhypotesen 
For å teste nullhypotesen, brukar ein ofte ein f-test. Testobservatoren er gjeven ved

som ein reknar har ein -fordeling. Forkastingsområdet for  er  for ønskt signifikansnivå

Tukeys prosedyre 
F-testen er eit godt utgangspunkt for å samanlikne gjennomsnitta i fleire populasjonar, men han gjev ikkje svar på kva av populasjonane som er signifikant ulike kvarandre. Tukeys prosedyre nyttar ei Q-fordeling til å rekne ut kva intervall gjennomsnitta i populasjonen kan ligge i for å vere signifikant like kvarandre. For eit signifikansnivå  definerer vi  som 

Dei gjennomsnitta som har større differanse enn  vert rekna å vere signifikant ulike, med signifikansnivå

Relasjon til t-testen 
For tilfellet med to populasjonar, vil variansanalyse og ein alminneleg t-test gje same resultat for hypotesen  mot . T-testen er meir fleksibel, då ein og kan teste om eit gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn eit anna. 

For  kan ein i prinsippet òg utføre t-testar for alle kombinasjonar av grupper, men dette vil gje større sannsyn for type 1-feil.

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Variansanalyse» frå ,  den 12. september 2011. 
 oppgav desse kjeldene: 
 Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: Modern Mathematical Statistics with Applications. Thomson 2007.
 

 
Statistiske testar
Parametrisk statistikk
Vinkelhake

Ein vinkelhake er ein linjal med form som ein rettvinkla trekant, der dei spisse vinklane anten begge er 45° eller høvesvis 30° og 60°.

I handverk kan ein vinkelhake vere både fast eller stillbart, og som laga av tre eller stål. Det består av to rette stenger (eller linjalar) som dannar ein viss vinkel i høve til kvarandre. Det vert nytta i handverk for å avsette vinklar på emnar som skal handsamast.

Kjelder

Måleinstrument
Snikkarreiskapar
Innvendig og utvendig tangeringssirkel

Ein utvendig tangeringssirkel er ein av dei tre sirklane som tangerer kvar side i ein trekant og samstundes forlenginga av dei to øvrige sidene.
Ein innvendig tangeringssirkel er ein innskriven sirkel som tangerer alle dei tre sidene i ein trekant.

Senteret av ein innvendig sirkel finn ein i skjeringspunktet til dei tre indre vinkelhalveringslinjene. Sentrum av dei ytre sirklane finn ein i skjeringspunktet til dei indre vinkelhalveringslinjene og den ytre halveringslinja til dei to andre vinklane. Fordi den indre halveringslinja til ein vinkel er vinkelrett på den ytre halveringslinja, følgjer det at senteret av den indre sirkelen i lag med dei tre ytre sirkelsentera dannar eit ortosentrisk system.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Incircle and excircles of a triangle» frå ,  den 12. september 2011.  
 

be-x-old:Умежаная акружына

Sirklar
Trekantgeometri

ar:دائرة داخلية ودوائر خارجية لمثلث
ca:Incentre
cs:Kružnice vepsaná
de:Inkreis
es:Incentro
fa:دایره محاطی مثلث
ko:방심
it:Incerchio
he:מעגל חסום
nl:Ingeschreven cirkel
km:ចំនុចហ្គែរហ្គោន
pl:Okrąg wpisany
pt:Exincentro
ru:Вписанная окружность
sv:Inskriven cirkel
th:วงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกของรูปสามเหลี่ยม
vi:Đường tròn nội tiếp, bàng tiếp
uk:Вписане коло
zh:旁切圓
Typetal

Typetal eller modus, er eit sentralitetsmål som skildra den talverdien ein har flest observasjonar av. Typetal vert gjerne nytta om det er fleire av same observasjonen som går att. 

Dersom fleire verdiar opptrer like mange (og flest) gonger, må alle oppgjevast som typetal. 

I talrekka 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 er typetalet 3 fordi det er dette talet som opptrer flest gonger.

Sjå òg
Gjennomsnitt
Median

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Typetall» frå ,  den 12. september 2011.  
 

Middelverdiar
Systemdynamikk

Systemdynamikk er eit sett med konseptuelle verktøy som mogeleggjer forståing av strukturen og dynamikken i komplekse system. Døme på slike system kan vere global folkevekstsutvikling, klimaendringar, store organisasjonar, etc. Eit fokus i systemdynamikk er på feedback eller tilbakekobling i systema og korleis dette kan bryte med intuisjon til den som tar avgjerslene. Modellane blir òg gjerne brukt til å vise korleis svingingar i til dømes pris eller produktivitet, som gjerne vert tilskriven eksterne tilhøve, som børs og lønsoppgjer, eigentleg kan forklarast utor den indre dynamikken til systemet.

Systemdynamikk brukast ofte i utviklinga av formelle datamodellar for simulering av tiltak og langsiktig utvikling i komplekse system. Ut i frå dette vil systemdynamikk kunne oppfattast som eit verktøy for langsiktig læring og testing av strategiar i ein simulert, og såleis risikofri verd. Dette blir ofte omtalt som eit «management flight simulator».

Fagfeltet har opphavet sitt frå MIT i USA, der Jay Forrester vert rekna å vere grunnleggjaren til fagfeltet. Omgrep og verktøy er nærskyldt med ingeniørfaget kontrollteori, òg kalla kybernetikk.

I Noreg tilbydast det ein mastergrad i systemdynamikk ved Universitetet i Bergen.

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Systemdynamikk» frå ,  den 12. september 2011.

Bakgrunnsstoff 
Systemdynamikk-sider hos Universitetet i Bergens 

Risiko
operasjonsanalyse 
Systemteori
Vitskapleg modellering
Russells paradoks

Russells paradoks vart formulert av Bertrand Russell i 1901, og viser at den naive mengdelæra til Cantor og Frege inneheld sjølvmotseiingar. La M vere mengda av alle mengder som ikkje inneheld seg sjølv, 

Denne definisjonen fører til ei motseiing, når ein prøver å avgjere om M sjølv er eit element i M: Reknar ein at M ikkje er eit element i M, altså at M ikkje inneheld seg sjølv, så oppfyller M eigenskapen som medfører medlemskap i M, og er dermed eit element i M. Og motsett: Om ein reknar at M er eit element i M, så fører medlemskapen til at M må ha eigenskapen som definerer alle medlemmane, nemleg å ikkje innehalde seg sjølv, og dermed er ikkje M eit element i M.

Det finst mange formuleringar av Russells paradoks. Ein kjend versjon er barberaren som barberer alle som ikkje barberar seg sjølv. Barberer barberaren seg sjølv?

At det var mogeleg å formulere eit paradoks i den naive mengdelæra, gjorde at ein så det naudsynt å bygge opp mengdelæra på ein annan måte. I aksiomatisk mengdelære kan ikkje «mengda av alle mengder som ikkje inneheld seg sjølv» vere ei mengd, og paradokset blir dermed unngått.

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Russells paradoks» frå ,  den 12. september 2011.  
 

Mengdelære
Matematiske paradoks
Punkt i matematikk

Eit punkt er eit grunnleggande matematisk omgrep. 

Evklid definerte eit punkt som «det som ikkje kan delast», og i geometrien vert punktet vanlegvis oppfatta som ein minste del, slik at geometriske objekt som linjer og flater er samansett av punkt. Eit punkt definert på den geometriske måten har ikkje noko utstrekning i noko retning, og ein kan dermed sei at det er eit geometrisk objekt med dimensjon 0. 

Ein kan òg definere punkt ved hjelp av talomgrepet, sidan punkta på ei rett linje svarar til dei reelle tala, medan punkta i planet er eit punktpar (x, y), som i den analytiske geometrien.

Kjelder

Elementær geometri
Matematiske konsept
Oval

Ein oval (frå latin ovum = egg) er ein figur forma som eit egg eller ein ellipse. Ovalen kan vere todimensjonal eller tredimensjonal. Til skilnad frå kurver i matematikken er ikkje ein oval veldefinert, og kan ikkje nødvendigvis teiknast ved hjelp av formlar.

Det som kjenneteiknar todimensjonale ovalar, er at dei har jamne, konvekse kurver og er symmetriske om minst ein akse.  Tredimensjonale ovalar kan uttrykkast som lekamar danna ved rotasjon av ein todimensjonal oval om (den lengste) symmetriaksen.

Sjå òg
Cassinis oval
Ellipse
Superellipse

Fotnotar

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Oval» frå ,  den 12. september 2011.  
 

Geometriske former
Kurver
Numerisk analyse

Numerisk analyse er eit felt innan matematikken der ein utviklar numeriske (det vil sei tal-) berekningsmetodar og studerer eigenskapane til desse metodane. Det motsette er symbolsk analyse, og i numerisk rekning må alle operasjonane gjelde rasjonale tal som ein kan oppgje med ei viss mengd siffer, til dømes det som ein datamaskin er innretta for. 

Fysiske storleikar og andre tal kan ein berre oppgje tilnærma. Ein vil då kunne få avkortings- og avrundingsfeil under rekninga, sidan ein berre kan nytta dei aritmetiske operasjonane direkte, og ikkje matematiske operasjonar som omfattar grenseovergangar. Somme integral må til dømes erstattast av endelege summar, differensiallikningar med andre differensiallikningar osv. Ein må altså erstatta den eksakte, «eigentlege» løysinga til den symbolske formuleringa av problemet, med ei tilnærming. Avviket mellom den eksakte løysinga og den tilnærma løysinga vert kalla trunkeringsfeil. 

Å kjenne til trunkeringsfeilen er derfor eit viktig mål i numerisk analyse, sidan ein ikkje kan etterprøve løysinga direkte. Ustabile metodar kan føre til at feila vert forsterka eksponentielt, og dermed gje heilt feil svar. Ein ønskjer derfor trunkeringsfeil som opphevar kvarandre. Ukritisk bruk av standardprogram for numeriske analyse kan derfor føre til alvorlege feil.

Kjelder

 
Matematisk analyse
Bruksmatematikk
Fysikk
Informatikk
Målteori

Målteori er eit matematisk fagfelt som tar utgangspunkt i enkle eigenskapar knytte til omgrep som lengd, areal og volum. 

Dei mest grunnleggande av desse eigenskapane kan ein illustrere ved at ein til dømes kan finne volumet av ein lekam ved å addere voluma til enklare delar som lekamen er sett saman av. I målteorien er denne eigenskapen postulert som eit aksiom, og på grunnlag av dette vert den generelle målteorien utvikla innanfor rammene til mengdelæra.

Målteori dannar grunnlaget for ein integrasjonsteori som først vart utvikla av franskmannen Henri Léon Lebesgue. Eit av dei viktigaste bruksområda til målteorien er innan sannsynsrekning, sidan han dannar utgangspunktet for den moderne sannsynsteorien, slik denne vart utvikla av den sovjetiske matematikaren Andrej Kolmogorov.

Kjelder

Matematiske strukturar
  
Målingar

de:Maßtheorie
eo:Mezurteorio
fi:Mittateoria
Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (), vanlegvis kalla L.E.J. Brouwer, var ein nederlandsk matematikar, som vart kjend innan to heilt forskjellige område av matematikken. Han var ein av pionerande innan topologien, der namnet hans særleg er knytt til den såkalle Brouwers fikspunktsats og den topologiske invariansen av dimensjonstalet. I tillegg er han kjend for den matematiske filosofien som vert kalla intuisjonismen. 

Han var æresdoktor ved Universitetet i Oslo i 1929.

Kjelder

Nederlandske matematikarar
Nederlandske filosofar
Folk frå Rotterdam
Medlemmar av Det prøyssiske vitskapsakademiet
Medlemmar av Royal Society
Topologar
Matematikarar på 1900-talet
Kvotient

Kvotient (av latin quótus, 'som i ordninga') er resultatet av ein divisjon. Om  (b ulik 0) er c kvotienten, og vert stundom kalla «kvotienten mellom a og b» eller «forholdet mellom a og b».

Ved heiltalsdivisjon, der a, b, q og r er heiltal og  gjeld 

Her er q kvotienten og r vert kalla rest. Ein vanlegare skrivemåte i matematisk litteratur er .

Døme

 , her er kvotienten 3,5.

 eller  , her er kvotienten 3 og resten 1 (heiltalsdivisjon).

Utanfor reint matematiske samanhengar vert omgrepet mykje nytta i tydinga «del» eller «andel». Det er frå denne tydinga at ordet kvotering har kome til. I informatikken vert òg omgrepet quota nytta.

Sjå òg
 Brøk
 Indeks

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Kvotient» frå ,  den 12. september 2011.  
 

Divisjon
Reelle tal

ar:نسبة (رياضيات)
be-x-old:Дзель
ca:Raó aritmètica
de:Quotient
et:Jagatis
el:Λόγος (μαθηματικά)
es:Cociente
eo:Kvociento
fa:خارج قسمت
ko:몫
hi:अनुपात
io:Quociento
is:Kvóti (stærðfræði)
sw:hisa (hisabati)
lt:Dalmuo
nl:Quotiënt
ja:比
pl:Stosunek (matematyka)
so:Saami qumman
fi:Suhde
te:నిష్పత్తి
th:อัตราส่วน
uk:Частка
zh:商數
Richard Dedekind

Julius Wilhelm Richard Dedekind () var ein tysk matematikar som gjorde viktige oppdagingar i abstrakt algebra, algebraisk talteori og i samband med grunnlaget for dei reelle tala.

Han var professor ved den tekniske høgskulen i Zürich i 1858 og frå 1862 professor ved høgskolen i Braunschweig. Dedekind vart utnemnd til æresdoktor ved Det Kongelege Fredriks Universitet i samband med feiringa av 100-årsdagen for Niels Henrik Abels fødsel i 1902.

Bakgrunnsstoff 
 Richard Dedekind - MacTutor History of Mathematics archive

Kjelder 
Denne artikkelen bygger på «Richard Dedekind» frå ,  den 12. september 2011.  
 

Tyske matematikarar
Folk frå Braunschweig
Æresdoktorar ved Universitetet i Oslo
Tyske filosofar
Medlemmar av Det franske vitskapsakademiet
Talteoretikarar
Algebraistar
Matematikarar på 1800-talet
Matematikarar på 1900-talet
Ivan Matvejevitsj Vinogradov

Ivan Matvejevitsj Vinogradov () var ein russisk matematikar. 

Han var professor i Leningrad og er særleg kjend for arbeida sine innan analytisk talteori. Han beviste mellom anna at alle tilstrekkeleg store oddetal kan skrivast som ein sum av tre primtal. Dette var eit delvis bevis for Goldbachs førehandstru. 

Han vart utnemnd til æresdoktor ved Universitetet i Oslo i 1956.

Kjelder

Sovjetiske matematikarar
Russiske matematikarar
Medlemmar av Royal Society
Æresdoktorar ved Universitetet i Oslo
Matematikarar på 1900-talet
Høgrehandsregelen

Høgrehandsregelen er forskjellige hugsereglar for pilretningane for fysiske og geometriske vektorstorleikar ved hjelp av fingrane på høgrehanda. 

Eit rettvinkla koordinatsystem i rommet er sagt å vere høgreorientert eller å vere eit høgre(-hands-)system dersom dei bøygde fingrane på høgrehanda peikar i same retning som ein 90° rotasjon frå positiv x-retning til positiv y-retning, og tommelen peikar i positiv z-retning.

Ved utrekning av eit vektorprodukt 

er retninga til  gjeven ved at  står vinkelrett på både  og , og slik at om dei bøygde fingrane på høgrehanda peikar i same retning som ein rotasjon frå  til , så peikar tommelen i høgrehandsregelen i -retning.

Positiv omløpsretning om eit område i xy-planet er den retninga fingrande på høgrehanda peikar i når dei krummar om området og tommelen peikar i positiv z-retning (oppover).

Elektrisitetslæra
I elektrisitetslæra nyttar ein høgrehandsregelen til å finne retninga til den magnetiske kraftverknaden frå ein elektrisk straum. Legg ein høgrehanda med handflata langs ein straumførande leiar, slik at fingertuppane peikar i straumretninga, og slik at leidningen vert liggande mellom handflata og ei magnetnål, vil nordpolen til nåla slå  ut til den sida tommelfingeren peikar. 

Ei anna formulering seier at ein skal gripe om ein straumførande leidning med høgrehanda slik at tommelfingeren peikar i straumretninga. Det magnetiske feltet går då rundt leidning i den retninga dei andre fingrane krummar seg.

Kjelder

Elektromagnetisme
Mekanikk
Orientering
Vektorar
Fuzzy-logikk

Fuzzylogikk inneber at ein baserer avgjerder på 'godt nok' eller 'nær nok' vurderingar. Det finst mange former for fuzzylogikk og mange ulike algoritmar for å berekne nærleik.

Eit døme er innan namnematching. Ein person som heiter Petter Hansen kan feilaktig registrerast som Peter Hansen eller Petter Hanssen. Dermed kan dublettar i registeret oppstå, og ein får behov for å slå saman variasjonar av éit individ. No er berre namn ein svak indikasjon åleine, men om ein veit til dømes alder og adresse òg, aukar sannsynet for match.

I fuzzylogikk ville ein til dømes kunne slå saman dobbeltregistreringar på folk med same eller nesten same namn, gjeve at alder og adresse eller nesten same adresse stemmer.

Sjå òg 
 Fuzzymatching

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Fuzzylogikk» frå ,  den 12. september 2011.  
 

Logikk
Kunstig intelligens
Logikk i informatikk
Evolute

Ein evolute er i matematikk ei kurve som består av samlinga av alle krummingssenter for ein viss kurve. Ei kurve som har ei viss kurve til evolute vert kalla ein envolvent til denne.

Kjelder

Kurver
Differensiell geometri
Børge Jessen

Børge Christian Jessen () var ein dansk matematikar, mest kjend for arbeidet sitt innan analyse, særleg zetafunksjonen, og i geometri, særleg Hilberts tredje problem.  

Han tok doktorgraden i 1930 og var professor i geometri ved Danmarks Tekniske Højskole frå 1935, og professor ved Københavns Universitet frå 1942 til 1977. Han var formann i direksjonen for Carlsbergfondet frå 1955 til 1963. Han arbeidde mellom anna i lag med Harald Bohr.

Kjelder

Folk frå København
Danske matematikarar
Geometerar
Matematikarar på 1900-talet
Agnesis heks

Agnesis heks er ei tredjegrads kurve som dannar ei løkke, kalla opp etter Maria Agnesi.  

Kurva er som følgjer. Ein startar med ein fast sirkel og vel eit punkt O på sirkelen. For eit anna punkt A på sirkelen trekkjer ein sekanten OA mellom punkt O og A. Punktet M ligg diametrisk ovanfor O. Linja OA skjer tangenten til M ved punktet N. Linja parallell til OM gjennom N, og linja vinkelrett til OM gjennom A skjer kvarandre ved P. Når ein flyttar på A vil vegen P går vere heksa. 

Kurva er asymptotisk til tangen til sirkelen ved O.

Likningar

Vi tenkjer at punktet O er origo og at M er på den positive y-aksen.
Vi tenkjer at radiusen til sirkelen er a.

Kurva har då den kartesiske likninga

 .

Merk at om a=1/2, så vert likninga enklare: 

 

Parametrisk, om  er vinkelen mellom OM og OA, målt med klokka, så er kurva definert av likningane
 

Ei anna parametrisering med  som vinkelen mellom OA og x-aksen, mot klokka, er

Historie

Kurva vart studert av Pierre de Fermat i 1630, Guido Grandi i 1703, og av Maria Agnesi i 1748.

På italiensk heiter kurva la versiera di Agnesi som tyder «kurva til Agnesi». Frå tidleg av vart dette lese av professoren John Colson som «l'avversiera di Agnesi», der «avversiera» tyder «kvinne som set seg i mot Gud», som då vart identifisert som «heks», og feilomsetjinga vart hengande ved.

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Witch of Agnesi» frå ,  den 12. september 2011. 
 oppgav desse kjeldene: 

"Witch of Agnesi" at MacTutor's Famous Curves Index
"Cubique d'Agnesi" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables 

 

Kurver
Basis i matematikk

Basis  er eit omgrep i matematikk som vert nytta i fleire samanhengar, ofte i tydinga grunntal, til dømes i eit talsystem eller logaritmesystem. 

I det store og heile syner ein basis (basis-system) til dei elementa i eit matematisk system som er slik at dei øvrige kan avleiast av dei ved visse operasjonar, som basis for ei gruppe, basis for eit vektorrom osv. Til dømes er einingsvektorane i, j og k basis for det vanlege tredimensjonale rommet, sidan kvar og ein vektor i rommet kan uttrykkjast ved hjelp av desse.

I geometrien nyttast basis for å syne til ei grunnlinje (til dømes av ein trekant) eller grunnflate (til dømes av prisme, kjegle eller pyramide).

Kjelder

Algebra
Topologi
Ferdinand von Lindemann

Carl Louis Ferdinand von Lindemann () var ein tysk matematikar, kjend for beviset sitt frå 1882 at π (pi) er eit transcendent tal, altså at det ikkje er ei rot av noko polynom med rasjonale koeffisientar. Dette gav det endelege svaret på det 2000 år gamle problemet om kvadraturet til sirkelen, nemleg at det ikkje er mogeleg (med passar og linjal) å konstruere eit kvadrat som har like stort flateinnhald som ein viss sirkelflate.  

Han var professor i Königsberg frå 1883 og 1893–1923 i München. Saman med R. F. A. Clebsch gav han ut Vorlesungen über Geometrie i tre bind.

Kjelder

Tyske matematikarar
Folk frå Hannover
Talteoretikarar
Matematikarar på 1800-talet
Matematikarar på 1900-talet
David Mumford

David Bryant Mumford () er ein amerikansk matematikar.

Han er professor ved Harvard University i USA. Han fekk i 1974 Fields-medaljen for det gode arbeidet sinn innan algebraisk geometri.

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «David Mumford» frå ,  den 12. september 2011. 
 oppgav desse kjeldene:

USA-amerikanske matematikarar
Medlemmar av United States National Academy of Sciences
Fieldsmedaljen
Wolfprisen i matematikk
Medlemmar av Royal Society
Medlemmar av Det Norske Videnskaps-Akademi
Matematikarar på 1900-talet