Reelle tal

Dei reelle tala er ei komplettering av dei rasjonelle tala. Alle reelle tal har ein desimaltalrepresentasjon som  eller , der  er eit naturleg tal og alle  er siffer i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Reelle tal omfattar rasjonelle tal som 1, 5 og 21/7, men også irrasjonelle tal som  og . Dei reelle tala er ei delmengd av dei komplekse tala.

Eit reelt tal kan ha opptil to ulike desimaltaltalrepresentasjonar. Til dømes er 0.9999... og 1.000... representasjonar av det same reelle talet. At nokre reelle tal har to representasjonar og andre berre eitt skuldast at ein desimaltalrepresentasjonen er ein konvensjon basert på titalssystemet; det er ikkje sjølve essensen til dei reelle tala. 

Cantor-Dedekinds aksiom seier at dei reelle tala er ordensisomorfe med det lineære kontinuumet i geometrien. Det vil seia at det finst ein bijeksjon mellom reelle tal og punkt på ei line. Dette er ikkje eit aksiom i ordinær forstand.

Definisjon og konstruksjon 
Dei reelle tala er den unike, komplette, ordna kroppen  som har dei rasjonelle tala  som ein underkropp:

 Dersom , så gjeld éin av ,  og .
 Dersom ,  og , så er også .
 Dersom  er ikkje-tom og bunden ovanfrå, så finst  (komplettleiksprinsippet).
  er ei abelsk gruppe med identitet 0:
 Dersom , så er .
 Dersom , så er  (kommutativitet).
 Dersom , så er  (assosiativitet).
 Det finst  slik at  for alle  (identitetselement).
 Dersom , så finst  slik at  (inverse element).
  er ei abelsk gruppe med identitet 1:
 Dersom , så er .
 Dersom , så er  (kommutativitet).
 Dersom , så er  (assosiativitet).
 Det finst  slik at  for alle  (identitetselement).
 Dersom , så finst  slik at  (inverse element).
 Multiplikasjon distribuerer over addisjon: Dersom , så er  
  er ein underkropp: 
 
 Ordenen til  samenfell med ordenen til  når brukt på rasjonelle tal.
 Addisjon i  samenfell med addisjon  når brukt på rasjonelle tal.
 Multiplikasjon i  samenfell med multiplikasjon i  når brukt på rasjonelle tal.

Denne definisjonen gjev i seg sjølv ikkje ei sikring av at dei reelle tala finst eller at dei er unikt definerte; me må følgja definisjonen opp med ein konstruksjon av dei reelle tala frå dei rasjonelle tala. Det finst i alle fall tre ulike, men på eit vis ekvivalente framgangsmåtar:

Dei reelle tala som Dedekindkutt 
Ei delmengd  er eit Dedekindkutt dersom
  og .
 Dersom ,  og , så  (E inneheld alle rasjonelle tal lågare enn p dersom p er i E).
 Dersom , så finst  slik at  (E har ingen største element). 

Dei reelle tala er mengda av Dedekindkutt;
  dersom E er ei ekte delmengd av F.
  er mengda av alle , der  og . 0* er Dedekindkuttet av negative rasjonelle tal.
 Dersom  og , så er  mengda av alle , der  og  er ikkje-negative.
 .
  for  og .
  for  og .
  for  og .
Denne konstruksjonen vart gjennomført av Dedekind i 1872.

Dei reelle tala som Cauchyfølgjer 
Ei Cauchyfølgje blant dei rasjonelle tala er ei følgje  slik at for alle omegn U om 0 finst eit naturleg tal N slik at  for alle . To Cauchyfølgjer  og  er ekvivalente dersom  i  med den vanlege topologien indusert av metrikken . Dei reelle tala er då mengda av ekvivalensklassane og er kompletteringa av dei rasjonelle tala. Ei alternativ formulering er at , der N er idealet av nullfølgjer i ringen F av cauchyfølgjer i . Denne konstruksjonen vart gjennomført av Cauchy i 1871.

Dei reelle tala som nøsta intervall 
La  vera ei følgje av lukka, avgrensa intervall i , slik at . Dersom lengda av intervalla går mot null, så er eit bestemt reelt tal det unike talet som finst i alle desse mengdene. Dette argumentet vart gjort i detalj av Bachmann i 1892 (intervallinnkapslingsmetoden).

Tarski si aksiomatisering 
Eit alternativt aksiomsystem for dei reelle tala er:
 < er ein asymmetrisk binær operasjon som er Dedekindkomplett og tett i mengda .
 + er ein assosiativ operasjon på  og for alle x og y finst z slik at x + z = y.
 Dersom , så er anten  eller  og det finst eit element 1 i  slik at 1 < 1 + 1.
Sjå Tarski si aksiomatisering av dei reelle tala.

Elementær matematikk
Reelle tal
Algebraiske strukturar
Tal