Felix Klein

Felix Christian Klein () var ein tysk matematikar. Klein var mest kjend for arbeida sine i gruppeteori, funksjonslære, ikkje-euklidsk geometri og samanhengane mellom geometri og gruppeteori. Det såkalla Erlangen-programmet hans frå 1872 klassifiserte geometriane ved deira underliggande grupper, og dette programmet har hatt stor innverknad på dagens matematikk. Han var òg ein av pionerane innanfor matematikkdidaktikken, og då den internasjonale kommisjonen for matematikkundervisning (ICMI) vart danna i 1908, vart Klein vald til den første presidenten.

Kleins liv
Foreldra til Klein var frå Preussen, og han gjekk på gymnaset i Düsseldorf. Seinare studerte han matematikk og fysikk ved Universitetet i Bonn frå 1865 til 1866, og meininga var då at han skulle bli fysikar. I 1868 tok Klein doktorgraden under rettleiing av Julius Plücker, som var professor i matematikk og eksperimentell fysikk. Den store interessa til Plücker på den tida var geometri, og då han døydde i 1868 utan å ha fullført den andre delen av boka si Neue Geometrie des Raumes, var Klein den naturlege arvtakaren.

I 1872 vart Klein professor i Erlangen i delstaten Bayern. Det var ikkje så mange studentar i Erlangen på denne tida, så det var med stor glede Klein tok imot eit professorat ved den tekniske høgskulen i München i 1875. Det same året gifta han seg med Anne Hegel, barneborn av den kjende filosofen Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Etter fem år i München vart Klein professor i geometri ved Universitetet i Leipzig. I 1882 opplevde han ein fysisk kollaps, og i eit par år etter dette var han sterkt plaga av depresjonar. I 1886 tok han imot eit professorat ved Universitetet i Göttingen. Her underviste han heilt fram til han gjekk av med pensjon i 1913.

I Göttingen etablerte Klein eit forskingssenter, og i 1894 vart det oppretta eit professorat i didaktikk for dei matematiske vitskapar. Etter kvart vart dette forskingssenteret eit svært tonegivande senter som fungerte som modell for mange av dei beste forskingssentera rundt om i verda. Klein introduserte vekentlege diskusjonsmøte, og han oppretta ein matematisk lesesal og eit bibliotek. I 1895 sørgde Klein for at han kjende matematikaren David Hilbert vart knytt til forskingssenteret i Göttingen.

Under leiinga til Klein vart tidsskriftet Matematische Annalen éit av dei aller beste matematiske tidsskrifta i verda. Tidsskriftet vart grunnlagt av Clebsch, men det var først då Klein tok over at det vart verkeleg utvikling. Han organiserte ei lita gruppe av redaktørar som møttest regelmessig og tok demokratiske avgjersler. Spesialområda til tidsskriftet var blant anna kompleks analyse og algebraisk geometri, men det vart òg viktig for utviklinga av reell analyse og den nye gruppeteorien.

Omkring år 1900 byrja Klein å interessere seg særleg for matematikkundervisning i skulane, og i 1908 vart han vald til president i det nystarta International Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Under leiinga til Klein publiserte den tyske greina av ICMI mange bøker om undervising i matematikk på alle nivå.

I 1893 fekk Klein De Morgan-medaljen av London Mathematical Society. I 1885 vart han utnemnd til medlem av Royal Society, og i 1912 fekk han Copley medaljen ved Royal Society. Året etter trekte han seg tilbake på grunn av dårleg helse, men han fortsette å undervise i matematikk frå heimen sin i endå nokre år.

Arbeidet til Klein

Den første viktige matematiske oppdaginga til Klein vart gjort i 1870. I samarbeid med den norske matematikaren Sophus Lie oppdaga han dei grunnleggjande eigenskapane til asymptotiske linjer i såkalla Kummer-flater. Dei fortsette å undersøkja W-kurvar, som er ein type kurver som er som er invariante under ei gruppe av projektive transformasjonar. Det var Lie som introduserte Klein for gruppeomgrepet, som skulle spele ei viktig rolle i hans vidare liv som matematikar.

Klein laga òg den såkalla Klein-flaska, som er ei lukka flate med berre éi side. Dette er ein figur som ikkje kan konstruerast innanfor det euklidske romomgrepet, og det kan best skildrast som ein sylinder som går i loop tilbake gjennom seg sjølv, for så å koplast saman med sin eigen ende. Ei Klein-flaske er berre mogleg å konstruere i eit ikkje-euklidsk rom, og det vil då vere ein figur heilt utan kantar. Viss ein maur byrjar å gå langs overflata på ein slik flaske vil han aldri falle utfor noko kant, og han vil alltid kome tilbake til same stad på einkvan måte.

I 1890-åra vende Klein tilbake til den matematiske fysikken, eit emne som han aldri heilt hadde forlate, og saman med Arnold Sommerfeld skreiv han om gyroskopet. På denne tida var han òg med og redigerte dei fire binda om mekanikk i Encyklopedie der Mathematischen Wissenschaften.

Erlangen-programmet
I 1871, medan han var i Göttingen, gjorde Klein nokre viktige oppdagingar i geometri. Han publiserte to artiklar som viste at både euklidske og ikkje-euklidske geometriar kunne oppfattast som spesialtilfelle av ei projektiv flate med eit spesifikt tilhøyrande kjeglesnitt. Ei viktig setning som vart utleia ut frå dette arbeidet var at ikkje-euklidsk geometri var konsistent viss og berre viss euklidsk geometri var det.

Syntesen til Klein av geometri som studiet av eigenskapar ved eit rom som er uforandra under ei gjeven transformasjonsgruppe vart kjend som Erlangen-programmet, og dette hadde stor tyding for den vidare utviklinga av matematikken. Dette programmet foreslo ei tilnærming til geometrien som stadig er det aksepterte synet blant matematikarar.

Funksjonsteori
Klein sjølv så på arbeidet med funksjonsteori som hovudbidraget sitt til matematikken, blant anna arbeida om:

 Vidareutviklinga av nokre av Riemann sine idear
 Talteori og abstrakt algebra
 Gruppeteori
 Fleirdimensjonale geometriar og differensiallikningar

Klein arbeidde blant anna med likningar av høgare enn 4. grad, og han var spesielt interessert i nytta av transcendentale metodar for å løyse ei generell femtegradslikning. Som ei vidareutvikling av metodane til Hermite og Kronecker produserte han liknande resultat som dei Brioschi hadde kome til, og han fortsette med å gje ei fullstendig løysing av problemet ved hjelp av ei såkalla icosaeder-gruppe. Ut frå dette arbeidet skreiv han ei rekkje artiklar om elliptiske modulære funksjonar.

I boka si om icosaederet frå 1884 framstilte Klein ein teori om automorfe funksjonar, som knytte saman algebra og geometri. Sidan Henri Poincaré publiserte eit utdrag av teorien sin om automorfe funksjonar alt i 1881, vart det ei vennskapeleg rivalisering mellom dei to om desse teoriane. Begge freista å formulere og bevise ei hovudsetning for desse nye teoriane, men undervegs i dette arbeidde opplevde altså Klein at helsa svikta, og han vart tvinga til å oppgje karrièren sin som matematisk forskar.

Prisar og utmerkingar 
 1893: De Morgan-medaljen frå London Mathematical Society
 1885: Utnemnd til medlem av Royal Society
1912: Copleymedaljen

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Felix Klein» frå ,  den 12. november 2011.

Bakgrunnsstoff
 Biography of Felix Klein
 Kleins websider
 

Tyske matematikarar
Geometerar
Folk frå Düsseldorf
Bayerischer Maximiliansorden für Wissenschaft und Kunst
Tyskarar i den fransk-prøyssiske krigen
Copleymedaljen
Matematikarar på 1800-talet
Matematikarar på 1900-talet