Ikkje-evklidsk geometri

I ikkje-evklidsk geometri gjeld ikkje Euklids femte aksiom, det såkalla parallellaksiomet (vel ein å godta parallellaksiomet får ein euklidsk geometri). Nemninga blir brukt generelt om geometri som byggjer på andre aksiom enn den euklidske.

Meir spesielt brukast nemninga om dei geometriane kor parallellaksiomet i den euklidske geometrien er erstatta med eit anna aksiom (som ikkje står i strid med dei øvrige euklidske aksiom). Av desse ikkje-euklidske geometriane finst det to typar; den hyperbolske geometrien, der det gjennom kvart punkt utanfor ei rett linje kan trekkjast uendeleg mange parallellar til den gjevne linja, og den elliptiske geometri, der det ikkje finst nokon parallell i det heile. Førstnemnde geometritype stammar frå Carl Friedrich Gauss, János Bolyai og Nikolaj Lobatsjevskij frå første tredjedel av 1800-talet. Den andre typen vart konstruert av Bernhard Riemann noko seinare.

Skilnadene mellom desse geometritypane kan òg skildrast på ein annan måte: sjå på dei to linjene i eit plan som begge står vinkelrett på ei tredje linje. I euklidsk og hyperbolsk geometri er då dei to linjene parallelle. I euklidsk geometri blir likevel dei to linjene verande i ein fast avstand, medan i hyperbolsk geometri «bøyer dei av» frå kvarandre med aukande avstand i takt med at avstanden frå skjeringspunktet med den felles vinkelrette linja aukar. I elliptisk geometri «bøyer» linjene mot kvarandre, og til slutt skjer dei kvarandre; såleis eksisterer ingen parallelle linjer i elliptisk geometri.

I den euklidske geometrien (av og til kalla parabolsk geometri) finst det alltid éin, og berre éin, parallell. Dei ikkje-euklidske geometriane representerer ein viktig milepåle i matematikkhistorie, idet dei illustrerer at det finst logisk konsistente geometriske system som tilsynelatande står i strid med dei geometriske førestillingane vi får gjennom sanseerfaringar.

Historie 
Medan euklidsk geometri (fått namnet sitt etter han greske matematikaren Euklid) inkluderer nokre av dei eldste kjende matematiske teorema, så drygde det fram til 1800-talet då den ikkje-euklidske legitimiteten til geometrien vart allment akseptert. Debatten som til slutt leia fram til oppdaginga av ikkje-euklidske geometriar byrja nesten så snart Euklids verk Elementa var klårt. I Elementa freistar Euklid å etablere eit fullstendig logisk grunnlag for matematikken kjent ved hans ære. Arbeida hans byrja med eit avgrensa mengd førehandstruer (kalla aksiom og postulat) og han freista å bevise alle andre resultat (teoremer) i arbeida sine. Det mest velkjende postulatet blir ofte kalla Euklids femte postulatet, eller berre «parallellpostulatet», som i hans originalformulering er:

Enklare formuleringar av dette postulatet har vorte skrive (sjå artikkelen om parallellpostulat for nokre døme på ekvivalente påstandar). Uansett korleis det blir formulert, vert det femte postulatet alltid rekna for å vere meir komplisert enn Euklids øvrige postulat (som t.d. inkluderer «Mellom to valfrie punkt kan ein trekkje ei rett linje»).

I fleire hundreår var geometrikarar uroa over den spesielle kompleksiteten til det femte postulatet, og dei trudde at det kunne bevisast som eit teorem ut av dei øvrige fire. Mange freista å finne eit bevis gjennom sjølvmotseeing, blant andre italienaren Giovanni Gerolamo Saccheri. I eit verk med tittelen Euclides ab Omnio Naevo Vindicatus (Euklid frigjort frå alle bristar), publisert i 1733, forkasta han raskt elliptisk geometri som eit høve (nokre andre av Euklids aksiom må modifiserast for at elliptisk geometri skal fungere) og sette i gang å bevise mange resultat i hyperbolsk geometri. Til slutt nådde han eit punkt der han trudde at resultata hans viste motseiingar i systemet, og dermed beviste at hyperbolsk geometri er ulogisk. Argumentasjonen hans om motseiing bygde mest truleg på euklidske førehandstruer, og difor fanst ikkje nokre motseiingar i hans eige verk.

Om lag hundre år seinare, i 1829, publiserte den russiske matematikaren Nikolaj Lobatjevskij ei avhandling om hyperbolsk geometri. Difor blir hyperbolsk geometri nokre gonger kalla Lobatjevskijsk geometri. Rundt same tidspunkt skreiv òg ungararen Janos Bolyai ei avhandling om hyperbolsk geometri. Denne vart publisert i 1832 som eit frittståande tillegg til eit av verka til faren hans. Den store matematikaren Carl Friedrich Gauss las tillegget og avslørte for Bolyai at han sjølv hadde utarbeidd same resultat einkvan gong tidlegare. Den grunnleggjande skilnaden mellom desse og tidlegare arbeid, som Saccheri sitt, er at dei var dei første som offentleg hadde påpekt at euklidsk geometri ikkje var den endelege geometrien, og heller ikkje var den unike moglege geometriske strukturen for universet. Likevel gjenstod enno høvet for at aksiomet for hyperbolsk geometri var logisk sjølvmotseiande.

Det trengde enno meir arbeid får å etablere elliptisk geometri. Bernhard Riemann grunnla under ei kjend forelesning i 1854 feltet riemanngeometri, som spesielt diskuterte ideane som no blir kalla mangfald, riemannmetrikk og bøying. Han konstruerte ein uendeleg familie av ikkje-euklidske geometriar gjennom å gje ein formel for ein familie av riemannmetrikkar på einingskula (mengda av punkt som har ein avstand til origo mindre enn 1) i euklidske rom. Iblant blir delar av oppdagingane hans oversett, men konstruksjonane hans viser at arbeida hans var langtgåande, teorema hans er gjeldande for alle geometriar.

Euklidsk geometri blir modellert gjennom omgrepet vårt om eit «flatt plan». Den enklaste modellen for elliptisk geometri er ein sfære, der linjer er «storsirklar» (som ekvator eller meridianar på ein globus). Sjølv etter Lobatjevskijs, Gauss og Bolyais arbeid gjenstod spurnaden: eksisterer det ein slik modell for hyperbolsk geometri? Dette spørsmålet vart svart på av Eugenio Beltrami i 1864. Han beviste at eit ei overflate kalla pseudosfære har den passande krumninga for å modellere hyperbolsk geometri. Arbeida hans bygde direkte på Riemanns. Tydinga av Beltramis arbeid ligg i at han viste at hyperbolsk geometri er logisk motseiingsfri dersom euklidsk geometri er det.

Utviklinga av ikkje-euklidsk geometri viste seg å vere særs viktig for fysikken på 1900-talet. Albert Einstein sin relativitetsteori skildrar rommet som allment flatt (dvs. euklidsk), men krumma (dvs. ikkje-euklidsk) i regionar nærare materie. Denne typen av geometri, der krumminga blir endra frå punkt til punkt, blir kalla pseudo-euklidsk geometri.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Ikke-euklidsk geometri» frå ,  den 12. september 2011. 
 oppgav desse kjeldene:
Ian Stewart, Flatterland, Perseus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X (softcover, 2001)

Bakgrunnsstoff 
MacTutors arkiverte artikkel om ikkje-euklidsk geometri (engelsk)

Sjå òg 
Projektiv geometri
Sfærisk geometri

Geometri
Ikkje-euklidsk geometri
Hyperbolsk geometri