Derivasjon

Derivasjon er i matematikken eitt av to sentrale emne innan differensialrekning. Det andre er integrasjon.

Den deriverte gjev den momentane endringa til ein funksjon. For reelle funksjonar av ein variabel vert denne verdien kalla for funksjonen sitt stigningstal. Stigningstalet er definert som stigninga til tangenten til funksjonen i punktet og kan estimerast ved hjelp av sekantar. Ikkje alle funksjonar er deriverbare overalt. Til dømes for ein funksjon funksjon som er diskontinuerleg eller har ein loddrett tangent i eit punkt, vil den deriverte vere udefinert for dette punktet.

Terminologi 
Diskontinuerleg; ein funksjon som har eitt eller fleire verdiar der han ikkje er definert. 
Kritisk punkt; eit punkt der den deriverte er lik 0. 
Lokalt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane innanfor eit avgrensa definisjonsområde. 
Absolutt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane, for alle definerbare verdiar. Absolutte maks/min punkt kan i mange tilfelle ikkje eksistere i det heile tatt t.d.:

Notasjon

Lagrange sin notasjon 
For ein reell funksjon av ein variabel, , er det vanleg å skrive , ,
 og , , for respektive første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte.

Leibniz sin notasjon 
I Leibniz sin notasjon vert symbolet  nytta for derivasjon med omsyn på . Vi skriv då  eller  for den deriverte til . Dei høgare ordens deriverte vert skrive  eller . Ideen bak denne notasjonen er at differensiala  og  representerer «infinitesimale endringar» i verdiane til respektive  og .

Newton sin notasjon 

Newton sin notasjon vert nytta innan fysikk og mekanikk, og spesielt når variabelen omhandlar tid. I denne notasjonen vert derivasjon skrive ved å sette prikkar over funksjonen. Til dømes om  er ein funksjon av , så er  og  respektive den første- og andre-deriverte av .

Euler sin notasjon 
I Euler sin notasjon er ideen å tenke på derivasjon som ein operator som verkar på funksjonar. Derivasjonsoperatoren vert skrive som , og vi skriv , ,  og  for første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte. Dersom ein ønskjer å presisere at derivasjonen vert teke med omsyn på variabelen , kan ein skrive .

Å finne den deriverte 
Ofte vil ein funksjon  vere gjeve ved ein formel, bygd opp frå kjende funksjonar ved operasjonane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og samansetting. Derivasjonsreglane viser oss samanhengane mellom den deriverte til formelen og dei deriverte til bestanddelane. Så søker ein i lista over derivasjonsformlar for å finne dei deriverte til bestanddelane (dei kjende funksjonane som inngår i formelen).

Derivasjonsreglar 
Tenk at funksjonane  og  er deriverbare i punktet  og at  er ein konstant. Då er òg , , ,  og  (føresett at ) òg deriverbare i , og den deriverte er gjeve ved:
 
 
 
 Produktregelen: 
 Kvotientregelen: 

Kjerneregelen: Tenk at  er deriverbar i  og  er deriverbar i . Då er den samansette funksjonen  gitt ved  òg deriverbar i  og den deriverte er gjeve ved:
 

Den deriverte til den omvendte funksjonen: Tenk at  er ein kontinuerleg, strengt monoton funksjon, som er deriverbar i punktet  med . Då er den omvendte funksjonen  deriverbar i  og vi har
 .

Liste over derivasjonsformlar 
 Generelle tilfelle
 For ein konstant  er .
 
 
 
 
 
 
 For eksponentielle funksjonar
  der  er Eulertalet.
  der .
 For logaritmiske funksjonar 
  for , her er  den naturlege logaritmen.
  for .
 For trigonometriske funksjonar
 
 
 
 
 
 
 For omvendte trigonometriske funksjonar
 
 
 
 For hyperbolske funksjonar
 
 
 
 
 For omvendte hyperbolske funksjonar

Døme 

Døme 1
La . Vi finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglane for sum og differanse:

Døme 2
La . Her må vi bruke produktregelen og kjerneregelen:

Bruk av derivasjon i grafteikning 
Derivasjon kan nyttast når ein skal teikne grafar for funksjoner, ved at det kan nyttast til å finne tangentar, ekstrempunkt og vendepunkt.

Å finne tangenten til  i eit punkt 
Om  er deriverbar i , så er likninga for tangenten til  i  gjeve ved:
 .

Ekstremalpunkt 
Kandidatar til minimums- og maksimumspunkt er dei  der .

Vendepunkt 
Kandidatar til vendepunkt er dei  der .

Krumming 
Grafen til  krummar oppover når , og grafen krummar nedover når .

Teori for derivasjon

Definisjon 

Hovudideen bak definisjonen av den deriverte er at  er stigningstalet til tangenten til grafen av  i punktet , og at sekanten gjennom punkta  og  er ei god tilnærming til denne tangenten når  går mot . Stigningstallet til sekanten er gjeve ved:
 
og vi definerer den deriverte av  i  til å vere grenseverdien
 
dersom denne grenseverdien eksisterer, og vi skriv då  for dette talet. Om grenseverdien ikkje eksisterer er funksjonen  ikkje deriverbar i .

Deriverbar funksjon 

Ein funksjon  vert kalla deriverbar i punktet  dersom  eksisterer. Ein funksjon vert kalla deriverbar dersom han er deriverbar i alle punkt i definisjonsmengden. Ein funksjon  vert kalla  dersom den deriverte  er ein kontinuerleg funksjon.

Middelverdisetninga 
Dersom  er ein kontinuerleg funksjon, og deriverbar på det opne intervallet , så finst eit punkt  mellom  og  slik at:
.

Bakgrunnsstoff 
 Funksjonskalkulator
 Derivasjon av funksjonar av fleire variable

Kjelder 
 Denne artikkelen bygger på «Derivasjon» frå , den 9. mai 2008. 
 

Matematisk analyse
Differensialrekning
Funksjonar