E i matematikk

er ein matematisk konstant og eit unikt reelt tal definert slik at arealet over -aksen og under kurva  for  er nøyaktig lik 1. Det viser seg at arealet for  er . Altså har funksjonen  same verdi som hellinga til tangentlinja for alle verdiar av . Meir generelt kan ein seie at berre funksjonar lik sin eigen derivert er på forma , kor  er ein konstant. Funksjonen  definert slik vert kalla eksponentialfunksjonen og er den inverse til den naturlege logaritmen, eller logaritmen til grunntalet . Talet  er ofte definert som grunntalet til den naturlege logartimen (i dette tilfellet vert logartimen definert ved hjelp av eit integral), som grensa til ei viss følgje, eller som summen av visse rekkjer. 

Talet  er eit av dei viktigaste tala i matematikken, i lag med dei additive og multiplikative identitetane 0 og 1, konstanten π og den imaginære einingane . Desse fem konstantane utgjer Euleridentiteten.

Talet  vert stundom kalla eulertalet etter den sveitsiske matematikaren Leonhard Euler. ( må ikkje forvekslast med —Euler–Mascheroni-konstanten, som stundom vert berre vert kalla Eulerkonstanten.)

Talet  er irrasjonalt; det er ikkje eit forhold mellom heiltal, og heller ikkje transcendentalt eller rota av eit polynom med heiltal som koeffisientar. Den numeriske verdien til  med tjue desimalar er

Historie 
Konstanten vart først nemnd i skriftlege kjelder i 1618 i ein tabell i tilleggsnotatet til eit verk om logaritmar av John Napier. Verket inneheldt ikkje sjølve konstanten, men berre ei liste over naturlege logaritmar som vart rekna ut frå konstanten. Ein reknar med at tabellen vart skriven av William Oughtred. «Oppdaginga» av sjølve konstanten er tilskriven Jacob Bernoulli, som prøvde å finne verdien av uttrykket (som i røynda er ):

 

Første gongen konstanten vart brukt, då som bokstaven , var i brev frå Gottfried Leibniz til Christiaan Huygens i 1690 og 1691. Leonhard Euler starta å nytte bokstaven  for konstanten i 1727, og den første publikasjonen med  var Euler sin eigen Mechanica (1736). Dei neste åra nytta enkelte forskarar bokstaven , men etter kvart vart  meir vanleg og til slutt standarden. 

Den eksakte årsaka til at ein nytta bokstaven  er ikkje kjend, men det kan ha vore fordi det er første bokstaven i ordet eksponential. Ei anna mogeleg årsak er at Euler nytta  fordi det var den første vokalen etter  som han alt nytta for eit anna tal.

Definisjonar 

Talet  kan representerast på mange forskjellige måtar, som ei uendeleg rekkje, eit uendeleg produkt, ein kjedebrøk eller som grenseverdien til ei rekkje.

Grenseverdi 

Som ein grenseverdi vert  definert

 .

Dette er den vanlegaste måten å representere konstanten på.

Uendeleg rekke 
Ein kan òg definere  som summen av følgjande uendelege rekkjer

 

der  er fakultetet av .

Løysinga av integrallikning 

 kan òg definerast som det unike talet  slik at

 .

Desse forskjellige definisjonane har vorte bevist å vere ekvivalente.

Kjedebrøk 
Ein ikkje så vanleg måte å representere  på er som kjedebrøken

som kan skildrast på den meir kompakte forma:

Uendeleg produkt 

Denne måten å representere  på inkluderer Pippengerproduktet

og Guilleraproduktet 

kor den te faktoren er te-rota av produktet

Eigenskapar 

 er grunntalet for den naturlege logaritmen:
.

Vidare er  irrasjonalt, og transcendentalt ifølgje Lindermann-Weierstrass-teoremet. Dette vart først bevist av Charles Hermite i 1873.

Lenkje til komplekse tal 
Med omsyn til Eulerformelen er
.

Spesialtilfellet kor  er kjend som eulerlikskapen:

Dei harmoniske funksjonane kan berre representerast ved eksponensialfunksjonar.

Løysinga av differensiallikningar 
Mange vekst- og nedbrytingsprosesser kan modellerast gjennom eksponentialfunksjonar. Eksponentialfunksjonen  er viktig fordi det er den unike funksjonen som 
løyser differensiallikninga

 er lik sin egen deriverte. Den mest generelle funksjonen som er sin egen deriverte er , kor  er ein konstant.

Ein kuriositet 
For  oppnår ein maksimum for funksjonen 

Meir generelt gjev verdien  maksimum for funksjonen

Kjelder 
 Denne artikkelen bygger på «E (mathematical constant)» frå , den 19. juli 2009. 
  oppgav desse kjeldene: 
 Maor, Eli; e: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7

Bakgrunnsstoff 
 Talet  med ein million desimalar og 2 og 5 millionar desimalar
 Tidlegaste bruk av symbol for konstantar
 e - det magiske talet for vekst  - Keith Tognetti, University of Wollongong, NSW, Australia
 Ein intuitiv guide til eksponentialfunksjonar og e på BetterExplained.com

Matematiske konstantar
Eksponential
Logaritmar
Transcendente tal