Norm i matematikk

Ei norm er i matematikk ein funksjon som tilordnar ei lengd til einkvar vektor i eit vektorrom. Lengda er ein reell skalar og vil vere positiv for alle vektorar, bortsett frå for nullvektoren, som har lengd lik null.

Eit vektorrom er ein spesiell type metrisk rom, der ein i tillegg til avstandsmålet i eit metrisk rom òg har formalisert omgrepet lengd av individuelle element i rommet. I og med at norma introduserer eit avstandsmål i rommet, vil norma òg introdusere ein topologi i rommet.

Eit vektorrom der det er definert ei norm vert kalla eit normert rom eller eit normert vektorrom. Eit gjeve vektorrom kan vere utgangspunkt for ei rekkje ulike normerte rom, alt etter kva for ei norm som blir definert i rommet.

Dersom alle cauchyfølgjer i rommet konvergerer mot ei grense som òg ligg i rommet seiast vektorrommet å vere komplett. Eit komplett normert vektorrom kallast eit banachrom.

Formell definisjon 
Ei norm definert i eit vektorrom  er ein funksjon , kor  er mengda av reelle ikkje-negative tal. For alle vektorar  og  i vektrorrommet og for alle skalarar  skal funksjonen oppfylle følgjande eigenskapar:

 

 

 

Den siste uliskapen vert kalla trekantulikskapen.

Norma til ein vektor  vert vanlegvis skriven  i staden for funksjonforma .

Eigenskapar 
Ei vilkårleg norm vil alltid oppfylle relasjonen

To normer  og  definert i same vektorrom vert sagt å vere ekvivalente dersom det eksisterer konstantar m og M slik at

Den euklidske norma 
Ei velkjend norm for vektorromma  og  er den såkalla euklidske norma. Definisjonen av denne norma samsvarer med det ein normalt vil forbinde med lengda av ein vektor eller eit linjestykke.  

For ein vektor  i planet  er den euklidske norma definert ved

.

For ein vektor  i det tre-dimensjonale rommet  er den euklidske norma definert ved

.

Meir generelt kan ein definere ei euklidsk norm som ei norm avleidd frå eit indreprodukt:

. 

Det euklidske rommet er utstyrt med ei euklidsk norm, saman med eit indreprodukt.

-normer i koordinatrom 

For vektorrommet  kor  er eit vilkårleg positivt heiltal, vil ein vektor kunne skrivast på forma

 , 

der  er koordinatane i rommet.  For eit slikt koordinatrom kan ein definere ein familie av normer kalla -normer eller også Hölder-normer:

 .

Den euklidske norma er identisk med 2-norma. Den følgjande norma vert rekna som eit spesialtilfelle i familien, ved å la  gå mot uendeleg:

 

Figuren til høgre viser området i  definert av einingssirkelen  for ulike verdiar av . 

Trekantulikskapen for desse normene er eit spesialtilfelle av minkowskiulikskapen:

-normer i funksjonsrom 
Vektorrommet av funksjoner  definert på , og med eigenskapen

kan utstyrast med norma

Det normerte rommet som definerast på denne måten vert ofte skriven med .

Norma til ein lineær transformasjon 
Ein lineær transformasjon frå eit normert vektorrom  inn i eit normert vektorrom  vert sagt å vere avgrensa dersom det eksisterer konstantar  slik at

Den minste verdien for  definerer ei norm for operatoren . Frå definisjonen følgjer det at

.

Formelt kan begge dei to følgjande ekvivalente definisjonane nyttast for norma:

Matrisenormer 
Ei matrisenorm er ei vektornorm i eit vektorrom der elementa i rommet (vektorane) er matriser. Ho måler altså storleiken på ei matrise i kontekst av eit vektorrom der elementa i rommet er matriser.

Sidan ei matrise representerer ein linær transformasjon mellom endeleg-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av ei norm for generelle lineære transformasjonar òg for ei matrise.  Basert på denne generelle definisjonen kan ein lage ei rekkje ulike normer for matriser, og nokre av desse opptrer under fleire alternative namn. Eit velkjent døme er 2-norma, òg kalla euklidsk norm, Froebenius-norm,  Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:

Operatornorm 
Alle lineære operatorar har ei tilsvarande operatornorm som måler storleiken til den lineære operatoren. Ein mogleg definisjon på ei matrisenorm kan vera å definera ho som ei operatornorm.

La  vera ein vektor frå domenet  til lineæravbildinga representert ved matrisa A. Då vil matrisenorma for A vera definert som den maksimale norma ein kan få av resultatvektoren som oppstår ved å gjera ei avbilding med matrisa A:

Dette kan generaliserast for alle p-vektornormer:

Sjå òg 
 Euklidisk geometri
 Ikkje-euklidsk geometri

Kjelder 
Denne artikkelen bygger på «Norm (matematikk)» frå ,  den 20. september 2011.  

Lineær algebra
Matematisk analyse
Metrisk geometri