Kontinuerleg funksjon

Ein kontinuerleg funksjon er ein matematisk funksjon som er slik at om ein gjer små endringar i det ein set inn i funksjonen, så vil det medføre små endringar i det som kjem ut av funksjonen. Elles vil ein funksjon vere diskontinuerleg. Sagt på ein meir upresis måte så er ein kontinuerleg funksjon ein funksjon ein kan teikne som ein graf på eit papir utan å løfte blyanten. Ein kontinuerleg funksjon med ein kontinuerleg invers funksjon vert kalla bikontinuerleg. 

Kontinuiteten til funksjonar er eit av dei viktigaste omgrepa i topologi. 

Eit døme på ein kontinuerleg funksjon er funksjonen h(t) som kan skildre høgda til veksande gras med tida t. Denne funksjonen er kontinuerleg. I klassisk fysikk seier ein at i naturen er alt kontinuerleg. Eit døme på ein diskontinuerleg funksjon er P(t) som kan seie kor mykje pengar som står på ein bankkonto. Om ein ved eit tidspunkt tek pengar ut av kontoen, vil funksjonen gjere eit hopp. Han er altså diskontinuerleg. 

Dei viktigaste resultata for kontinuerlege reelle funksjonar er skjeringssetninga og ekstremalverdisetninga.

Kontinuitet for reelle funksjoner av ein reell variabel 
Vi ser her på funksjonar  der definisjonsmengda og verdimengda er delmengder av reelle tal. 
Ofte er slike funksjoner gjevne ved formeluttrykk. Vi har følgjande tre ekvivalente definisjonar:

Epsilon-delta-definisjon 
La  vere eit punkt i definisjonsmengda til . Vi seier at  er kontinuerleg i  dersom det for kvar  finst ein  slik at
 når  og  ligg i definisjonsmengda til .
Funksjonen  vert kalla kontinuerleg dersom  er kontinuerleg i alle punkt i definisjonsmengda.

Ved grenseverdiar 
La  vere eit punkt i definisjonsmengda til . Vi seier at  er kontinuerleg i  dersom  er eit isolert punkt i definisjonsmengda eller grenseverdien  eksisterer og er lik . Funksjonen  vert kalla kontinuerleg dersom  er kontinuerleg i alle punkt i definisjonsmengda.

Ved sekvensielle grenseverdiar 
La  vere eit punkt i definisjonsmengda til . Vi seier at  er kontinuerleg i  dersom for kvar følgje  av punkt i definisjonsmengda med , så eksisterer grenseverdien  og er lik . Funksjonen  vert kalla kontinuerleg dersom  er kontinuerleg i alle punkt i definisjonsmengda.

Døme 
Følgjande funksjonar er kontinuerlege:
 , hvor  er ein konstant.
 
 Absoluttverdien 
 n-te potensar 
 n-te røter 
 Dei trigonometriske funksjonane , ,  og 
 Eksponentialfunksjonen 
 Logaritmefunksjonen 
 Arcusfunksjonane ,  og 
 Dei hyperbolske funksjonanen , ,  og 

Funksjonen  er ikkje kontinuerleg i .

Funksjonen  er ikkje kontinuerleg i noko punkt.

Å avgjere kontinuitet 
Dersom ein reell funksjon  er gjeven ved ein formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjere om  er kontinuerleg. I staden nyttar ein teoremet som seier at dersom funksjonen  er bygd opp av kontinuerlege funksjonar ved operasjonane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og samansetting, så er òg  kontinuerleg i hele definisjonsmengda si. 

Døme:
  kontinuerleg sidan  er summen av dei kontinuerlege funksjonane  og .
  er kontinuerleg sidan  er samansetninga av  med produktet .
  er kontinuerleg sidan  er den kontinuerlege funksjonen  delt på den kontinuerlege funksjonen . Merk at  ikkje er diskontinuerleg i , men berre udefinert i dette punktet. Vidare er det umogeleg å utvide definisjonsområdet til  slik at  vert kontinuerleg i .

Viktige resultat 

Skjeringssetninga: Tenk at  er ein kontinuerleg funksjon der 
 og  har motsette fortegn. Då finst eit tal  mellom  og  slik at .

Ekstremalverdisetninga: La  vere ein kontinuerleg funksjon definert på eit lukka, avgrensa intervall. Då eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for .

Kontinuitet for komplekse funksjonar av ein kompleks variabel 
Kontinuitet for ein kompleks funksjon  av ein kompleks variabel  vert definert på same måte som kontinuitet for reelle funksjonar av ein reell variabel.

Kontinuitet for funksjonar av fleire variable 
Kontinuitet for ein funksjon  av fleire variable  vert definert på same måte som kontinuitet for reelle funksjonar av ein reell variabel.

Følgjande døme syner at ein må vere litt forsiktig når ein ser på kontinuitet til funksjonar av fleire variable:
La  Selv om  og  begge er kontinuerlege i , så er ikkje  kontinuerleg i .

Kontinuerlege funksjonar mellom metriske rom

Epsilon-delta-definisjon 
La  og  vere metriske rom med metrikkane  og . Ein funksjon  er kontinuerleg i punktet  dersom det for alle  finst ein  slik at
  for alle  med .
Ein funksjon er kontinuerleg dersom funksjonen er kontinuerleg i alle punkt  i .

Ved grenseverdiar 
La  vere ein funksjon mellom metriske rom og la  vere eit punkt i . Vi seier at  er kontinuerleg i  dersom  er eit isolert punkt i  eller grenseverdien  eksisterer og er lik . Funksjonen  vert kalla kontinuerleg dersom  er kontinuerleg i alle punkt i .

Ved sekvensielle grenseverdiar 
La  vere ein funksjon mellom metriske rom og la  vere eit punkt i definisjonsmengda til . Vi seier at  er kontinuerleg i  dersom for kvar følgje  av punkt i  med , så eksisterer grenseverdien  og er lik .
Funksjonen  vert kalla kontinuerleg dersom  er kontinuerleg i alle punkt i .

Kontinuerlege funksjonar mellom topologiske rom

Definisjon 
Ein funksjon  mellom topologiske rom er kontinuerleg dersom
 er ei open mengd i  for kvar opne mengd  i .

Ein kan òg gje ein ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturar. Ein slik definisjon viser at kontinuitet er ein lokal eigenskap.

Merk at samansetninga av to kontinuerlege funksjonar er kontinuerleg.

Viktige resultat 
Følgjande to resultater generaliserer skjeringssetninga og ekstremalverdisetninga:

 Biletet av ei samanhengande mengd under ein kontinuerleg funksjon er samanhengande.
 Biletet av ei kompakt mengd under ein kontinuerleg funksjon er kompakt.

Kjelder 
 Denne artikkelen bygger på «Kontinuerleg funksjon» frå , og «Continuous function» frå  den 21. juli 2009. 
 

 
Funksjonar
Matematisk analyse