Linearisering

Linearisering er ein metode i matematikk for å finne ei lineær tilnærming til ein funksjon ved eit visst punkt. I studiet av dynamiske system er linearisering ein metode for å undersøkje stabiliteten til eit likevektspunkt i eit system av ikkje-lineære differensiallikningar eller diskrete dynamiske system.. Denne metoden vert nytta i felt som ingeniørvitskap, fysikk, økonomi og økologi.

Linearisering av ein funksjon 
Lineariseringar av ein funksjon er linjer som ein vanlegvis nyttar for utrekning. Linearisering er ein effektiv metode for å tilnærme resultatet av ein funksjon  ved alle  basert på verdien og hellinga til funksjonen ved , om f(x) er kontinuerleg på  (eller ) og at  er nær . Kort sagt, linariseringa tilnærmar resultatet til ein funksjon nær . 

Til dømes veit du kanskje at . Men utan ein kalkulator, kva vil vere ei god tilnærming av ?

For alle funksjonar , kan  tilnærmast om han ligg nær eit kjent kontinuerleg punkt. Det mest grunnleggande kravet er at der  er lineariseringa av f(x) at x = a er . Punkt-hellings-forma av ei likning dannar ei likning for ei linje, om ein har punktet  og hellinga . Den generelle forma for denne likninga er: .

Ved å nytte punktet , vert  til . Fordi kontinuerlege funksjonar er lokalt lineære, er den beste hellinga å erstatte hellinga til linjetangenten til  ved .

Sidan lokal linearitet gjeld for dei fleste punkta vilkårleg nær til , vil dei som ligg relativt nær fungere bra for lineære tilnærmingar. Trass alt bør hellinga  vere i det mest nøyaktige tilfellet lik hellinga til tangentlinja ved .

Visuelt syner figuren tangentlinja til  ved x. Ved , der  er ein liten positiv eller negativ verdi, er f(x+h) særs nær verdien til tangentlinja i punktet .

Den siste likninga for lineariseringa av ein funksjon ved  er:

For  er . Den deriverte til  er  og hellinga til  ved  er .

Døme 
For å finne  kan vi nytte det vi veit, . Lineariseringa til  ved  er , sidan funksjonen  definerer hellinga til funksjonen  ved . Ved å setje inn , vert lineariseringa til 4 . I dette tilfellet er , så  er tilnærma . Den verkelege verdien er nær 2.00024998, så lineariseringa har ein relativ feil på mindre enn ein milliondel av ein prosent.

Linearisering av ein multivariabel funksjon 
Likninga for lineariseringa av ein funksjon  i eit punkt  er: 

Den generelle likninga for lineariseringa av ein multivariabel funksjon  i eit punkt  er:

der  er vektoren av variablar og  er lineariseringa til punktet ein undersøker..

Bruk av linearisering 

Linearisering gjer det mogeleg å nytte metodar for å studere lineære system til å analysere korleis ikkje-lineære funksjonar oppfører seg nær eit visst punkt. Lineariseringa til ein funksjon er det førsteordens leddet til taylorutvidinga rundt punktet ein undersøker. For eit system definert av likninga 

,

kan det lineariserte systemet skrivast 

der  er punktet ein undersøker og  er den jacobiske til  ved .

Stabilitetsanalyse 
I stabilitetsanalyse kan ein nytte eigenverdiane til jacobimatrisa i eit likevektspunkt for å avgjere eigenskapane til likevekta. Om alle eigenverdiane er positive er likevekta ustabil og om alle er negative er likevekta stabil. Om verdiane er både positive og negative er likevekta eit sadelpunkt. Alle komplekse eigenverdiar vil dukke opp i kompleks-konjugerte par og indikere ein spiral.

Sjå òg 
 Stabilitetsderivat
 Lineariseringsteorem
 Taylortilnærming

Kjelder 

 Denne artikkelen bygger på «Linearization» frå ,  den 10. mars 2010. 
  oppgav desse kjeldene:

Differensialrekning
Dynamiske system