Talteori

Talteori er ei grein av rein matematikk, og kan skildrast som læra om dei naturlege tala (1, 2, 3, 4, 5, ...). Når vi snakkar om tal i talteori er det altså dei naturlege tala vi meiner. Opp gjennom historia har menneske late seg fascinere av tala og dei ulike eigenskapane og samanhengane mellom tala. Mange av dei eigenskapane ved talene som ein studerer i moderne talteori går heilt tilbake til dei greske matematikarane i Hellas i antikken.

Historia til talteorien 
Grekarane gjorde store oppdagingar innanfor geometrien, men dei leverte òg viktige bidrag til talteorien. Element av Euklid omhandlar i første rekkja geometri, men bok 7, 8 og 9 (av totalt 13) handlar om talteori. Her finn vi blant anna Euklids algoritme, som blir brukt for å finne den største felles faktoren til to tal. Dette blir rekna som ein av dei viktigaste grunnleggjande teorema i talteori. Her finn vi òg eit bevis for at det finst uendeleg mange primtal, og Euklid presenterer òg ein variant av aritmetikken sitt fundamentalteorem.

Den store talteoretikaren i det gamle Hellas var utvilsamt Diofant. Vi veit veldig lite om livet hans, men han levde truleg i Alexandria omkring år 250 evt. Hovudverket var hans Arithmetika, som er nesten fullt bevart (10 av 13 bøker er kjent).

I India finn vi ein av dei store talteoretikarane i mellomalderen, Bhaskara II (1114-1185). Slik tradisjonen var i India, vart alle bøkene hans utgjeve i poetisk form, og ei av dei viktigaste bøkene hans var tileigna til dottera Lilavati i form av eit matematisk problem.

Kinesisk matematikk var òg på høgda i mellomalderen, og her finn vi viktige talteoretiske resultat. Kinesiske matematikarar stod blant anna for klassifiseringa av alle pythagoreiske triplar. Kongruensproblem var òg viktige i den kinesiske matematikken. Pascal-trekanten blir brukt innanfor ulike område av matematikken, og kinesarane var blant dei aller første som oppdaga denne. Kinesarane brukte blant anna trekanten i likningsteoriane sine. Òg arabarane var tidleg ute med studium av Pascals trekant, og dei var òg blant dei første som brukte induksjon. Elles var ikkje arabiske matematikarar så oppteke av talteori.

På 1600-talet møter vi Pierre de Fermat, og arbeida hans markerer starten på den moderne talteorien. Han var jurist av yrke, men likevel blir han rekna som ein dei største matematikarane gjennom tidene. Han leverte viktige bidrag til fleire greiner av matematikken, og han blir rekna blant anna som ein av opphavsmennene til analytisk geometri og sannsynsrekning. Likevel var det først og fremst innanfor talteorien han leverte dei viktigaste bidraga sine. Dagens talteoretikarar arbeider stadig med dei ideane og problema han etterlét seg. Til dømes vart det såkalla Fermats siste teorem først endeleg bevist av matematikaren Andrew Wiles i 1994.

Elementær talteori

Faktorisering 
Alle naturlege tal som ikkje er primtal kan faktoriserast i to eller fleire faktorar. Til dømes så er 12 = 2 x 6 = 3 x 4 = 2 x 2 x 3. Dersom eit tal  kan skrivast som eit produkt av to tal  og  slik: , så seier vi at  og  er faktorer i talet .

Dette kan òg seiast på andre måtar: 

 b går opp i a
 b er en divisor i a
 a er deleleg med b
 a er eit multiplum av b

Vi kan òg skrive dette heilt kort,

Primtal 
Når eit tal ikkje har andre faktorar enn 1 og seg sjølv, seier vi at talet er eit primtal. Desse tala har fascinert matematikarar i hundreår. Dei ti første primtala er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Det kan vere krevjande å finne ut om eit stort tal er primtal eller ikkje, og dette er noko av årsaka til at primtal i tida vår har vorte viktig innanfor kryptering.

Primtala følgjer ikkje etter kvarandre i noko føreseieleg mønster slik som partal og oddetal gjer. Eit av matematikken sine uløyste problem er nettopp å finne noko mønster for når primtala dukkar opp i talrekka. Det er ein stadig pågåande konkurranse i å finne det største primtalet, og dette er ein aktivitet som aldri vil ta slutt. Ein av setningane i talteorien seier nemleg at det er uendeleg mange primtal.

Andre eigenskapar ved tala 
Det er mange eigenskapar ved tala som talteoretikarar studerer, og mange av desse dreiar seg om faktorane til eit tal. Dersom vi summerer faktorane til eit tal (til dømes , der ,  og  er faktorar i talet ), og denne summen blir mindre enn talet sjølv, så seier vi at dette er eit fattig tal. Dersom summen av faktorane blir større enn talet sjølv, så seier vi at talet er eit rikt tal. Eit tal der summen av faktorane er lik talet sjølv - slik som for talet  - vert kalla eit perfekt tal.

Analytisk talteori 
Analytisk talteori tek i bruk metodar frå analysen for å handsame problem som gjeld tal. Primtalsteoremet og den relaterte Riemann-hypotesen er døme på dette. Warings problem (representere eit gjeve tal som ein sum av potensar), hypotesen om tvilling-primtal (finne uendeleg mange par av primtal med differanse 2) og Goldbachs hypotese (skrive partal som sum av to primtal) er døme på problem innanfor talteorien kor ein òg har brukt analytiske metodar for å kome nærare ei løysing.

Algebraisk talteori 
I algebraisk talteori blir talomgrepet utvida til algebraiske tal (tal som er røter av polynom med rasjonale koeffisientar). I ein slik setting er ikkje naudsynleg dei kjende eigenskapane til tala lenger gyldige. Ein brukar her metodar frå algebraen (Galois-teori, teoriar om grupperepresentasjonar og L-funksjonar osb) for å kome nærare ei løysing

Mange problem frå talteorien blir freista løyst ved å studere dei modulo  for alle primtal . Dette vert kalla lokalisering eller lokal analyse, og er eit felt som går ut frå den algebraiske talteorien.

Kjelder
Denne artikkelen bygger på «Tallteori» frå ,  den 15. september 2011.

Bakgrunnsstoff 
Nettstader
 Number Theory Web
 Math Archives - Number theory 
 Algebraic number theory archives 

Bøker