Induktans

Induktans eller induktivitet er en egenskap med elektrisk ledere som innebærer at det dannes en indusert elektromotorisk spenning (EMS) i dem, og i andre nærliggende ledere, når de utsettes for en varierende elektrisk strøm. Når dette skjer i lederen selv kalles det induktans, eller selvinduksjon, og om det også skjer i en nærliggende leder kalles det gjensidig induktans eller gjensidig induksjon. Induktans har måleenheten henry og er et fenomen nært knyttet til elektromagnetisk induksjon.

I alle elektriske ledere vil det oppstå induktans, men styrken av induktansen kan betraktelig økes om en leder vikles opp som en spole, også kalt solenoide. I en spole ligger vindingene (omdreiningene) tett inn mot hverandre og er elektrisk isolert fra hverandre. Ofte lages spoler med koppertråd med et isolasjonsmateriale (lakk) rund. Desto flere vindinger i en spole desto mer øker induktansen. Om spolen lages rundt et jernstykke vil induktansen kunne økes ytterligere. Ofte kalles dette for en jernkjerne, men også andre metaller eller legeringer benyttes. Alle elektriske ledere har som nevnt induktans, og alle elektriske ledere som kommer i nærheten av en annen elektrisk leder vil påvirkes via gjensidig induktans. Denne påvirkningen kan forsterkes med spoler, og spesielt om to eller flere spoler har en felles jernkjerne blir den gjensidige påvirkningen meget  stor.

I kraftsystemer for vekselstrøm utnyttes denne gjensidige induktansen mellom spoler (også kalt viklinger) i transformatorer. Med vekselspenning og -strøm skjer det en kontinuerlig endring av strømstyrken, noe som også gir en kontinuerlig induksjon av spenning. Dermed kan en transformator overføre effekt fra en spole til en annen med jevn flyt av energi. Ved at viklingene har forskjellige vindingstall kan spenningene og strømmene endres. Dette er gunstig fordi en ønsker mye høyere spenning for en kraftlinje enn for elektriske apparater som skal tilknyttes for eksempel i en husholdning. Induktans utnyttes i svært mange elektriske og elektroniske apparater og systemer. Det er imidlertid også en ulempe i flere sammenhenger.

I vekselstrømkretser gir induktans det som kalles for reaktans, eller vekselstrømsmotstand. Denne motstanden kommer i tillegg til den ohmske motstanden (resistansen). Størrelsen av reaktansen er bestemt av frekvensen i kraftsystemet (ofte 50 eller 60 Hz) og induktansen. Reaktans fører på samme måte som ohmsk motstand til spenningsfall i en elektrisk krets, kjent som impedans.

Fenomener og matematisk beskrivelse

Selvinduktans

Ørsteds lov sier at enhver elektrisk leder som fører en elektrisk strøm vil omgi seg med et magnetfelt. Enkelt sakt vil magnetfeltets flukstetthet være proporsjonalt med strømstryken i lederen. For en spole har en denne sammenhengen:

der  er magnetisk fluks,  er permeansen til rommet rundt spolen, N er antallet vindinger i spolen og i er strømmen. Her benyttes liten bokstav for strømmen for å indikere at den kan være varierende med tiden. Permeansen er en størrelse som både er avhengig av de fysiske dimensjoner av spolen og permeabiliteten. Denne er avhengig av stoffet i spolen, og for luft og de aller fleste stoffer vil det være et lineært forhold mellom fluks og strøm. Derimot for jern, nikkel og kobolt vil permeabiliteten være avhengig av fluksen, med andre orde er det ikke en lineær sammenheng.

Om strømmen i en leder endrer størrelse vil magnetfeltet endres. Når strømmen øker, minker eller skifter retning, vil magnetfeltet gjøre det samme. Når et magnetfelt endrer styrke blir det i henholdt til Faradays induksjonslov indusert en spenning.  Ved en slik induksjon kalles denne er  elektromotorisk spenning (EMS). I en strømførende leder vil det fra før være et spenningsfall på grunn av motstanden som er gitt av Ohms lov, men om strømmen endres vil det altså oppstå en spenning i tillegg til denne. Siden denne oppstår inne i lederen, kalles den selvinduksjon.

Den selvinduserte spenningen (EMS) vil i henhold til Lenz' lov ha en retning slik at den motvirker sin årsak, altså endring av strømmen i lederen. Om strømmen i lederen øker vil det oppstå en økt magnetisk fluks som induserer en EMS som driver en strøm i motsatt retning av den opprinnelige strømmen. Motsatt vil det om strømmen reduseres bli en reduksjon av magnetfeltet, dette fører til induksjon av en EMS som har en retning slik at den induserte strømmen forsøker å forhindre den opprinnelige strømreduksjonen. Induksjon er altså et fenomen som i sin natur forsøker å opprettholde status quo.

Alle elektriske ledere har induktans, men en spole forsterker induktansen betraktelig. En spole er en solenoide der en elektrisk leder er viklet opp slik at den får form av en sylinder. Ofte kan det være mange lag med vindinger, i motsetning til spolen på bildet som bare har ett lag. 

Har spolen N vindinger som hver omslutter en magnetisk fluks , sier Faradays induksjonslov at det induseres en elektromotorisk spenninge (EMS) i spolen med størrelse

 

når fluksen varierer med tiden. Det skyldes at spolen fører en strøm i = i(t)  som varierer med tiden. Da magnetfeltet er proporsjonalt med strømmen, kan derfor den induserte spenningen i spolen skrives som

der L er spolens selvinduktans, ofte bare omtalt som induktansen. Minustegnet har sammenheng med Lenz' lov som altså sier at den induserte spenningen vil ha en slik retning at den motvirker sin årsak. Ved sammenligning av disse to uttrykkene ser man at induktansen til spolen er gitt som

I SI-systemet måles den i enheter av henry. Definisjonen av enheten forklarer fenomenet og dets konsekvens: Om det i en leder er en induktans på 1 henry, vil en endring av strømmen i den på 1 Ampere i løpet av 1 sekund føre til at det blir indusert en spenning på 1 Volt. Uttrykket over er den matematiske måten for å si nettopp dette. Om en har en spole med ukjent induktans kan en enkelt måle denne ved å la det gå en kjent strøm gjennom den. En endres strømmen med en kjent hastighet, for eksempel med 1 Amper i løpet av 1 sekund samtidig som en måler spenningen som oppstår over spolen. Ved å bruke formelen over kan en finne induktansen i henry.

Induktans for en spole
En spole som vist i bildet til høyre, sies å være ideell når den er mye lengre enn dens diameter. Når den fører strømmen i og har N vindinger, er magnetfeltet inni den gitt som 

 

der μ er permeabiliteten til materialet i spolens indre og  er dens lengde. Fluksen gjennom en vinding er dermed ΦB = BA der A er spolens tverrsnittsareal. Ut fra definisjonen har den derfor induktansen

 

som tilnærmelsesvis også kan brukes for andre spoler. Ut fra definisjonen  er alle størrelsene unntatt N i uttrykket del av permeansen til spolen. Som en ser skal antallet vindinger kvadreres i formelen, dermed er det ikke mange vindinger som skal til før induktansen økes betraktelig. 

I litteraturen er det vanlig å analysere spoler spesielt og betrakte disse som et selvstendig kretselement, selv om alle ledere har induktans. Årsaken er at i kretsanalyse vil spolene representere en mye større induktans enn lederne ellers i kretsen. Å ignorere ledernes induktans betyr derfor lite.

Energi i en spole
Det magnetiske feltet i en spole inneholder en viss energi U. Si at en ideell spole, altså en spole uten motstand, fra før ikke leder strøm og at en vil finne energien når strømmen øker fra null til en endelig verdi I. I en hver elektrisk krets er effekt gitt av produktet av strøm og spenning, for en spole med terminaler a og b får en da den enkle sammenhengen P = Vabi. På et gitt tidspunkt når strømmen stiger fra null blir da energien lagret i magnetfeltet:

Energien dU som er lagret i et lite tidsintervall dt, er dU = Pdt slik at uttrykket over kan endres til

Dermed fås uttrykket for energien lagret i en spoles magnetfelt når den strømmen gjennom den øker fra i = 0 til i = I,

Slik denne formelen er utledet, ser man at den er gyldig for alle spoler.  For en ideell spole kan man sette inn uttrykket for induktansen L. Det gir

 

når man samtidig benytter resultatet for B-feltet uttrykt ved strømmen I.  Denne energien er lagret i magnetfeltet. Nå er   lik med volumet til spolen. Det betyr at energien per volumenhet er

 

Dette er den magnetiske feltenergitettheten. Resultatet er generelt gyldig og ikke avhengig av denne spesielle utledningen basert på strømmen gjennom en spole. Denne feltenergien opptrer i mange sammenhenger og er en direkte konsekvens av Poyntings teorem som igjen følger fra Maxwells ligninger.

Når strømmen har nådd sin endelige verdi I, blir derivatet di/dt = 0 og det blir ikke lagret mer energi i spolen. Om strømmen så reduseres blir energien i magnetfeltet gitt tilbake til den eksterne kretsen. Dette er en viktig egenskap som spoler i en elektrisk krets har, at de tar opp energi, men gir denne tilbake straks strømmen reduseres. Ved null strøm er det heller ingen lagret energi i en spole. Dette i kontrast til en motstand som utvikler energi og gir denne til sine omgivelser, altså konverterer elektrisk energi til varmeenergi. 

En kondensator er et annet kretselement som oppfører seg på lignende måte ved at energi blir lagret, men da som et elektrisk felt. Energien i en kondensator blir derimot ikke frigjort om den eksterne kretsen plutselig brytes, energien ligger fortsatt i den. I elektriske kretser kan spoler og kondensatorer utveksle energi, men uten at denne blir avgitt til omgivelsene.

Gjensidig induktans

Ikke bare vil induktans oppstå i lederen selv, men også om to eller flere ledere er i nærheten av hverandre. Om en ser på tilfellet med to spoler viklet rundt en jernring slik som figuren til høyre viser, kan denne brukes for å illustrere fenomenet gjensidig induksjon. Om det går en strøm i spolen til venstre når batteriet kobles til med bryteren vil det oppstå en magnetfelt fluks rundt den. En stor del av denne fluksen vil gå gjennom jernringen, dermed vil også spolen til høyre gjennomløpes av mye av den samme fluksen. Fluksen som spolen til høyre gjennomløpes av vil plutselig øke fra null når bryteren legges inn. Som i tilfellet med selvinduksjon vil det også oppstå en indusert EMS i spolen til høyre i henholdt til Faradays lov. Denne EMS blir målt som en spenningen i galvanometret som er tilknyttet. På grunn av at galvanometret har en meget stor motstand, i prinsippet uendelig stor, vil det gå en forsvinnende liten strøm i spolen til høyre.

Når bryteren har ligget inne en kort stund vil magnetfeltet bli stasjonært, dermed induseres ikke det noen strøm. Derimot vil det oppstå et avtagende magnetfelt når kontakten bryter kretsen, dette induserer igjen en EMS i den venstre spolen som gir et utslag på galvanometret. Denne gangen vil spenningen ha motsatt retning.

Tegningen til venstre viser to magnetisk koblede kretser med symboler som er i vanlig bruk. Her er spolen til venstre og tilhørende størrelser betegnet med 1, mens den til høyre betegnes 2. I denne tegningen kan det også gå en strøm i spole 2. En strøm som varierer med tiden i spole 1 kalles i1 og magnetisk fluks som denne strømmen forårsaker i spole 2 kalles Φ21. (Altså betyr notasjonen: «Magnetisk fluks i spole 2 forårsaket av strøm i spole 1»). Om det går en tidsvarierende strøm i spole 1 vil det induseres en EMS i spole 2 gitt av:

der  er den indusert EMS i spole 2 og N2 er antallet vindinger i spole 2. Minustegnet har igjen sammenheng med Lenz' lov. Den gjensidige induktansen kalt M kan skrives slik:

som sier at fluksen gjennom viklingene i spole 2 er lik strømmen i spole 1 multiplisert med M. En kan se på denne induktansen som en koblingsfaktor (eller en proporsjonalitetskonstant) mellom spole 1 og 2. På samme måte som i avsnittet om selvinduktans omformes uttrykkene over med hensyn på den deriverte av strømmen og fluksen med hensyn på tiden:

Leddet til høyre gjenkjennes som Faradays lov, dermed kan en sette:

som sier at den induserte EMS i spole 2 er direkte proporsjonal med endringshastigheten av strømmen i spole 1 og med størrelsen av gjensidig induktans. M er en konstant som bare er avhengig av to forhold, nemlig geometriske forhold til spolene og materialet mellom dem. Altså det som ovenfor ble kalt for permeans. Her vil geometriske forhold ikke bare bety størrelse, form, antall vindinger, men også orienteringen mellom de to spolene, avstanden mellom dem og materialet mellom dem. For å få ekstra god magnetisk kobling mellom spolene brukes en jernkjerne.

Størrelsen gjensidig induktans M gjelder mellom begge spolene, den er dermed like stor for koblinger mellom magnetisk fluks i den ene spolen og strøm i den andre. Imidlertid gjelder dette bare for såkalte lineære koblede magnetiske kretser, altså spoler uten ferromagnetisk materiale mellom. Dermed kan en sette

der den gjensidige induktansen er gitt av:

I forbindelse med magnetisk koblede kretser er det brukt betegnelsen  N1:N2 for å vise vindingsforholdet. Vindingsforholdet eller omsetningen sier noe om hvilke strømmer og spenninger som kan oppstå. Gjensidig induktans har også denne sammenhengen uttrykt med parametrene i tegningen:

med de samme definisjoner for uttrykkene som brukt tidligere. Det er vanlig å introdusere den såkalte koblingsfaktoren for to magnetisk koblede kretser. Dermed kan den gjensidige impedansen uttrykkes slik:

der L1 og L2 er induktansen (selvinduktansen) til henholdsvis spole 1 og 2 og k er koblingsfaktoren. Disse induktansene er assosiert med magnetisk fluks som bare går gjennom henholdsvis spole 1 og 2, se tegningen til venstre. For øvrig er k et tall mellom 0 og 1. Dermed sier ligningen at den gjensidige induktansen mellom to magnetiske koblede kretser aldri kan bli større enn kvadratroten av produktet til selvinduktansene til kretsene. Det er nemlig ikke alle flukslinjer som gjennomløper begge spolene, og i tegningen til venstre er dette illustrert med en magnetisk koblet krets som er lineær altså uten ferromagnetisk materiale mellom spolene. Her går det en strøm I1 i spolen 1 som setter opp en magnetisk fluks Φ11 som bare går gjennom spolen til venstre og en fluks Φ21 forårsaket av strømmen i spole 1 som går gjennom spole 2. Φ11 kalles ofte for lekkfluks eller lekkfelter. Den totale fluksen som går gjennom spole 1 er gitt av Φ1 = Φ11 +Φ21. Induktansen L1 er assosiert med Φ11 mens M er assosiert med Φ21. For at det skal bli indusert en spenning i spolene må strømmen variere, men fluksen og forholdene mellom dem vil være som forklart her også om strømmen er konstant.

Energi i magnetisk kolede kretser
For å utlede sammenhengen for lagret energi i to sammenkoblede spoler betraktes figuren over der det i utgangspunktet forutsettes at det ikke går noen strøm i noen av spolene. Det er heller ingen lagret energi i spolene. Så lar en strømmen i1 i spole 1 øke fra null til en gitt verdi I1. Strømmen i2 i spol 2 er null, og effekten som strømmen gir inn i spolene er gitt av u1i1, og den lagrede energien er:

som gir den samme formelen som ble utledet for energi i én enkelt spole:

Så holdes strømmen i1 konstant, samtidig som strømmen i den andre spolen i2 økes fra null til en konstant verdi I2. Når dette skjer vil strømmen i2 indusere en spenning i spole 1 gitt av M di/dt, dette forårsaker at det tilføres effekt både til spole 1 og 2 som er gitt av:

Den totale energien som blir lagret inntil det øyeblikk at i2 = I2 kan uttrykkes med følgende integral:

som etter å utføre integrasjonene gir:

Ligningen gjelder også om det var spole 2 som ble tilført strøm først, og en viktig forutsetning er at den brukes kun for magnetisk koblede kretser der medium mellom dem er lineært. Det vil si ikke-magnetisk.

Spole som kretselement

Spole alene i en krets
Fra elektrostatikken er det kjent at et elektrisk felt oppstår mellom ladninger, for eksempel mellom to poler med motsatt polaritet (pluss- og minusladninger). I et slikt elektrisk felt er potensialforskjellen mellom to punkter (a og b) langs en rett kurve i et homogent elektrostatisk felt gitt av:

Den induserte spenningsdifferansen over en spole, eller en hvilken som helst leder, er lik den induserte EMS med symbolet . Altså at . Der a og b kan være terminalene til en spole, dermed kan en sette:

Denne ligningen sier at det oppstår en spenning over en spole som er proporsjonal med endringen av strømmen. Om strømmen er konstant, som ved likestrøm, vil en spole være som en kortslutning. Det kan heller ikke skje en plutselig strømendring gjennom en spole, i så fall ville det oppstå en uendelig stor spenning over den, noe som er umulig. Tidligere hadde en minustegn foran uttrykket for , men her gjelder en fortegnskonvensjon. Nemlig at om strømmen er i samme retning som spenningsfallet over spolen skal det være pluss. Dette er den vanligste måten å sette opp ligningen på i forbindelse med kretsanalyse.

I kretsanalyse kan det også være nødvendig å ha et uttrykk for strømmen gjennom spolen som funksjon av spenningen. For å utlede en formel for dette tar en utgangspunkt i ligningen over og multipliserer med tidsderivatet dt på begge sider:

begge sider integreres for å finne i som funksjon av u over tiden fra null til t:

Med dette fås uttrykket for strøm fra tiden null til et annet tidspunkt:

der i(0) er strømmen som gikk gjennom spolen ved tiden null. Dette kalles for en initialbetingelse,  altså er det nødvendig å kjenne tilstanden før det skjer en endring.

Parallell og seriekobling av induktans

Illustrasjonen til venstre viser n seriekoblede spoler. I kretsanalyse vil det være mer praktisk om disse kan ekvivaleres med én enkelt spole med samme induktans som alle representerer. Over hver av spolene vil spenningen være 

  

for k = 1, 2, .. ,n da det er den samme strømmen som går gjennom hver av dem.  I henhold til Kirkhoffs spenningslov vil  de seriekoblede spolene da gi opphav til en total spenning

Den totale eller ekvivalente  induktansen er derfor summen 

For en parallellkobling av spoler kan utledningen av sammenhengen for strømmen som funksjon av spenningen i avsnittet over benyttes. For de n spolene er spenningen over hver av dem den samme slik at strømmen gjennom nr. k er 

hvor ik(0) er strømmen gjennom den ved tiden t = 0. Strømmen inn ved terminalene til venstre må i henhold til Kirchhoffs strømlov være summen av strømmen i hver av spolene, i = i1 + i2 + … + in. Dermed fås uttrykket

Den inverse summen av induktansen til de n parallelkoblede spolene kan uttrykkes summen av den inverse verdien av hver av dem, altså

Eksempel: Spole i en enkel likestrømskrets

Analyse av motstander, kondensatorer, spoler, strøm- og spenningskilder, brytere og andre kretselementer er en omfattende del av kretsanalyse innenfor elektronikk og generelt innenfor elektroteknikken. Slike elementer kan være koblet i både serie og parallell, samt flere andre kombinasjoner, dermed blir slike analyser komplekse og krever til dels avansert matematisk behandling.

Her vil en kun se på et eksempel for en såkalt RL-krets som vist i figuren til høyre. Spenningskilden er på 5 Volt, motstanden er på 100 Ω og spolen har en induktans på 100 H.  Bryteren legges i posisjon 1 ved tiden t =0 og det oppstår en plutselig drivende spenning i kretsen. Ved tiden t = 6 sekunder kobles bryteren over i posisjon 2. Hva blir spenningen og strømmen i spolen som funksjon av tiden?

Et slikt oppsett og kretsens reaksjon på endringen kalles for sprangrespons. Med bare en resistans og en spole sier en at dette er en første ordens krets. Hadde det vært både en spole, en kondensator og en motstand ville det vært en andre ordens krets.

Etter at bryteren er lukket kan Kirchhoffs spenningslov brukes for å finne et uttrykk for spenningen over hvert av elementene:

Denne første ordens differensialligningen manipuleres slik at det er mulig å finne et uttrykk for strømmen gjennom kretsen. Målet er å få separert i og t og integrere (motsatt av derivasjon). Første steg er å få derivatet di/dt på en side av likhetstegnet:

så multipliseres begge sider med dt:

som er det samme som:

Nå kan en få separert variablene i og t og en får da:

så integreres begge sider for å løst opp derivatet for strømmen i:

her er I0 innført for å ta med eventuell strøm som gikk i kretsen før endringen inntreffer ved t = 0. Videre er i(t) strømmen som funksjon av tiden etter t = 0. Ved å integrere på begge sider fås:

der ln er den naturlig logaritmen. For å få separert ut funksjonen for strømmen i(t) opphøyes begge sidene i grunntallet for den naturlige logaritmen, nemlig e:

som ordnet gir:

og om strømmen initialt (før t = 0) er lik null (som i dette eksemplet) forenkles uttrykket, dessuten er det vanlig å innføre tidskonstanten τ = L/R. Uttrykket kan da skrives:

som med innsatte verdier gir:

dette uttrykket gjelder mellom 0 og 6 sekunder.

Så uttrykket for spenningen over spolen. En har at L di/dt og fra ligningen over der I0 fortsatt er med fås:

som kan gjøres til et enda enklere uttrykk om strømmen ved tiden t = 0 er lik null (som i dette eksemplet) og ved å innføre tidskonstanten definert over:

Med innsatte tall fås:

Også dette uttrykket gjelder bare for tidsintervallet fra 0 til 6 sekunder.

Spenningen over spolen var null før bryteren ble lagt inn i posisjon 1. Uttrykket sier at spenningen over spolen vil bli lik spenningen til spenningskilden i det samme bryteren legges inn. Deretter vil spenningen falle eksponentielt til null. Tiden dette tar er bestemt av forholdet mellom R og L i kretsen. Etter at spenningen over spolen er null vil spenningsfallet i kretsen ligge over motstanden R, slik at spenningen over R er lik spenningen til spenningskilden. Strømmen derimot vil øke eksponentielt fra null og få en stasjonær verdi etter en tid som også er bestemt av forholdet mellom R og L. I figuren lenger opp er strøm og spenning vist. Den røde kurven viser at strømmen gjennom kretsen øker eksponentielt fra null til en stasjonær verdi som oppnås etter rundt 5 sekunder. Den blå kurven sier spenningen over spolen som ved t = 0, altså tidspunktet der bryteren legges inn i posisjon 1, øyeblikkelig blir - 5 Volt.

Etter at bryteren går over til posisjon 2 vil den magnetiske energien som er lagret i spolen frigjøres til motstanden. Strømmen går over til denne og følger et forløp illustrert med den røde kurven ved t = 6 sekunder. Med det samme bryteren går i posisjon 2 blir spenningen i spolen plutselig 5 Volt, altså like stor som spenningskilden, men faller eksponentielt ned mot null Volt. Strøm og spenning blir:

Og spenningen:

Altså faller spenningen over spolen brått fra 0 V til – 5 V (polariteten skifter) for deretter å reduseres til null. Det samme skjer med strømmen, noe som vil si at all energien som var lagret i spolen avgis til omgivelsene som varmeutvikling i motstanden.

Magnetisk koblede spoler som kretselementer
På samme måte som med spoler som tilknyttes en elektrisk krets, er det for magnetisk koblede kretser mest interessant å betrakte spenningsfallet som forårsakes av en endring av strømmen. Altså å se på den som et kretselement som det kan oppstå en spenning over, fremfor å se på EMS.

For en enkel magnetisk koblede kretsen kan en finne spenningen u1 over spole 1 med hensyn på strømmen som går i spole 1 og 2 slik:

og omvendt for spole 2:

Her er det negative fortegnet bestemt av de retninger som er angitt for strømmene og den såkalte punktkonvensjonen (fra engelsk «The dot convention»). Denne sier at at når en strøm har fått definert retning inn ved en punktmerket terminal til en spole, vil polariteten til spenningen som blir indusert i den andre spolen være positiv ved terminalen med punktmerke. Av disse to uttrykkene ser en at spenningene over hver av spolene er avhengig både av endringshastigheten av strømmen i begge spolene og av de tre induktansene. Det vil også innebære at den første spolen som induserer en spenning i den andre spolen som fører til en strøm, som også varierer, vil den andre spolen påvirke den første spolen med en induksjon også i denne.

Det er ikke uvanlig at flere magnetiske koblede spoler som ligger så nært hverandre at alle påvirker hverandre. For eksempel vil det i en transformator for trefase være seks koblede viklinger. Si at en har tre spoler, da kan en uttrykke sammenhengen mellom deres individuelle påvirkning når det gjelder indusert spenning i hver av dem:

I dette uttrykket er det tatt hensyn til at den gjensidige induktansen mellom de tre spolene ikke lenger vil være like, altså de den ikke kan uttrykkes med én og samme induktans M. Imidlertid er den gjensidige induktansen lik mellom to spoler slik at M12 =  M21, M23 =  M32 og M31 =  M13. Her vil fortegnene igjen være bestemt av koblingen mellom dem, altså sammenhengen mellom fortegn for strøm, spenning og plassering av punktene ved terminalene (retningen spolene er viklet). For å få et mer kompakt uttrykk er det vanlig å omforme dette til en matrise slik:

som gjelder for n antall gjensidig koblede spoler.

Spole i en vekselstrømskrets

En vekselstrømskrets er kjennetegnet med at strømmer og spenninger er sinusformede. Det er spennings- og strømkildene som gir ut henholdsvis sinusformede spenninger og strømmer, og dermed sørger for at strøm og spenning overalt ellers i kretsen får samme form. En sinusformet spenning og strøm beskrives med denne matematiske funksjonen:

der
 = momentanverdien spenningen i tidspunktet t [V]
 = maksimumsverdi for strømmen, også kalt amplitude [A]
 = maksimumsverdi for spenningen (amplitude) [V]
 = vinkelfrekvens i radianer [s-1]
 = tiden [s]
 = fasevinkel, faseforskyvning [rad]

Antall perioder per sekund, frekvensen eller periodetallet er:

Vinkelfrekvensen som er brukt i funksjonene over er gitt av følgende sammenheng med frekvensen:

Enheten for frekvens er Hz og for vinkelfrekvensen [rad/s]. En sinusformet strøm beskrives på samme måte.

En viktig størrelse som innføres for vekselstrømkretser er effektivverdier (RMS). Sammenhengen mellom toppverdien og effektivverdien gitt av:

Dette kalles effektivverdien eller rms av en sinusformet vekselstrøm. Som nevnt er formelen og utledningen for en vekselstrøm identisk:

 
Siden strømmer og spenninger vil være sinusformede overalt i en krets (så lenge den består av motstand, spoler og kondensatorer gjelder dette uten unntak), er det unødvendig å betrakte størrelsene som tidsvariable trigonometriske funksjoner. Dermed innføres fasevektorer som defineres slik for en spenning:

Der U er effektivverdien av spenningen, j er den komplekse operatoren .  er symbolet for at fasevinkeltransformasjon foretas. De andre størrelsene som definert tidligere. En sier at fasevektortransformasjonen overfører sinusfunksjonen fra å være en tidsavhengig størrelse til å være en viser, eller en slags vektor, i kompleksplanet. Den beskrives da av sin absoluttverdi og vinkel relativt til andre størrelser, som for eksempel strømmen.

I elektroteknikken innføres notasjonen

som er enklere å skrive. Som et eksempel på bruken av dette kan en se på spenningen som er vanlig i stikkontakter i husholdninger. Denne spenningen er på 230 V som transformeres over til:

Her betyr vinkelen 0° at spenningen defineres til å være referanse, og den ligger da langs den såkalte realaksen i det komplekse koordinatsystemet.

Formen over kalles for polarform eller polare koordinater, men kartesisk form er like vanlig, da får uttrykket over denne formen:

Reaktiv impedans

Elementet merket XL i kretsen til høyre er en spole, også kalt reaktor i sammenheng med vekselstrøm. Denne forutsettes å være ideell, altså at den er uten ohmsk motstand. Tidligere er denne sammenhengen brukt for spenningen over en spole om strømmen endres:

Når spolen tilknyttes en sinusformet spenning vil det gå en sinusformet strøm i kretsen, og spolen vil reagere med å sette opp en spenning som er motsatt rettet av strømretningen gjennom den. Matematisk kan dette utledes slik:

En kan bruke identiteten  og dermed omskrive uttrykket slik:

Det vil oppstå en motindusert spenning i spolen ved økende strøm som er proporsjonal med endringshastigheten av strømmen. Der strømmen har sin største endringshastighet, altså der sinuskurven er brattest, vil størst spenning oppstå. Likeledes vil strømmen ha sin laveste endringshastighet ved maksimum- og minimumspunktet på sinuskurven, og her vil spenningen over spolen være null.

I likningen over er vinkelen 90º et uttrykk for at strømmen er etter spenningen. Det er alltid vanlig å bruke spenningen som referanse.

Brukes effektivverdier for strøm og spenning kan uttrykket over skrives uten tilknytning til den trigonometriske funksjonen, slik at spenningsfallet over en spole skrives:

Der j igjen er den komplekse operatoren. Begrepet induktiv reaktans defineres som XL = jωL og da kan spenningsfallet skrives slik:

Enheten for reaktans er Ohm (Ω), det samme som for ohmsk motstand. Reaktans er en egenskap som i praksis oppstår i alle ledere og kretselementer som fører vekselstrøm. Over sa en at spenningen i en stikkontakt hadde en vinkel på 0º og altså ligger langs realaksen. Motsatt er det med   reaktansen. Denne størrelse som har j foran seg i uttrykket over, noe som betyr at overført til kompleks form ligger dennes fasevektor langs imaginæraksen. Strøm og spenning vil være nøyaktig   90º ute av fase med hverandre i en rent induktiv vekselstrømskrets: Strømmen vil ligge 90º etter spenningen.

I en kraftledning fører reaktansen til spenningsfall og er en størrelse en derfor prøver å redusere, men siden den er avhengig av avstanden mellom faselederne er det umulig å gjøre den så liten at den blir uten betydning. Størrelsen av reaktansen er direkte proporsjonal med frekvensen, noe som er en egenskap som kan utnyttes. For eksempel har jernbanen i Tyskland, Sveits, Østerrike, Sverige og Norge en frekvens på 16,7 Hz som altså er 1/3 av frekvensen i det øvrige elektriske kraftsystemet. Dette gjør at reaktansen i jernbanens  kontaktledningsnett bare er 1/3 så stor som den ellers ville vært. Med såkalt HVDC-overføring (fra engelsk High Voltage Direct Current transmission) er frekvensen null, og dermed ser en av uttrykk over at det heller ikke blir noen reaktans. Dette er en av fordelene med denne typen overføringer.

Impedans er en fellesbetegnelse på resistans og reaktans. Forholdet mellom disse tre størrelsene uttrykkes slik:

Når reaktansen er forårsaket av induktans kalles den for induktiv reaktans. Effekten som utvikles i reaktanser kalles for reaktiv effekt. Reaktans oppstår også for kondensatorer, dette betegnes kapasitiv reaktans.

Den inverse verdien av impedans Z kalles for admittans og gis symbolet Y. Denne er sammensatt av to størrelser slik:

der G er konduktans, den inverse av motstanden, og B er susceptans, den inverse av reaktans. Måleenheten for admitans, konduktans og susceptans er Siemens med symbol S.

Eksempel: Reaktans i en vekselspenningskrets
En spole med induktans 80 mH tilknyttes en spenningskilde på 230 V effektivverdi og 50 Hz. Hvor stor strøm går det i denne kretsen? Tegningen over viser situasjonen, og spenningskilden kan for eksempel være en stikkontakt. Først må en finne reaktansen i spolen:

og ved hjelp av Ohms lov finner en strømmen slik:

Altså går det en strøm på 9,15 A i kretsen som er 90º etter spenningen.

Transformator

I det foregånede ble magnetisk koblede kretser presentert. Om en slik kobling ikke har forbindelse til noe ferromagnetisk materialle, og tilknyttes vekselspenning, kommer den i kattegorien lieær transformator. Navnet henspiller på at det er en lineær sammenheng mellom magnetisk fluks og strømmen i vindingene. Mer vanlig er det imidlertid at en transformator har viklinger som har en felles kjerne av jern (som er ferromagnetisk). Jernkjernen fører til at koblingen mellom vindingene blir veldig god. Kjernen får veldig høy permaenans, noe som i neste omgang fører til at bare en liten del av den magnetiske fluksen går utenom viklingene. Dette fører også til veldig høy gjennsidig induktans for vindingene.

En transformator har to (eventuelt flere) magnetisk koblede viklinger og tilføres vekselstrøm (sinusformet). Den brukes blant annet til å heve eller senke spenningsnivået i elektriske kretser eller kraftsystemer. En ideell transformator kan tegnes som i figuren til høyre og kjennetegnes ved å ha disse tre egenskapene:

 De to viklingene er tett koblet slik at all fluks går mellom spolene. Dette er det samme som å si at koblingsfaktoren er k=1
 Permabiliteten til kjernen er uendelig høy.
 Det er ikke elektrisk motstand (og heller ikke ohmske tap) i viklingene, altså er R1 = R2 = 0. Det er heller ikke andre tap i transformatoren.

En konsekvens av dette er at om det kobles en spenning til primærsiden og det ikke er noen impedans tilknyttet sekundærsiden, vil spenningskilden se transformatoren som en uendelig stor impedans. Og motsatt om sekundærsiden kortsluttes vil transformatoren representere null impedans sett fra primærsiden.

En sinusformet spenning påtrykt på primærsiden gir en magnetisk fluks mellom begge spolene og en indusert EMS:

der og på sekundærsiden oppstår også en indusert spenning:

Disse ligningene er vist lenger opp, men gjentas her for å understreke at i en ideell transformator er den ytre påtrykte spenningen u1 lik den induseres EMS. På samme måte er den induserte EMS på sekundærsiden lik den spenningen som oppstår på terminalene u2. Et annet forhold som må legges merke til er at fluksen som går gjennom vikling 1, altså Φ1 er den samme som går gjennom spole 2 som betegnes Φ21. Nå forutsettes det at det også går en strøm på sekundærsiden, fra de to ligningene over kan en sette at:

der U1 og U2 er spenningene på henholdsvis primær- og sekundærsiden, I1 og I2 er de tilsvarende strømmene mens N1 og N2 er vindingstallet for viklingene på henholdsvis primær- og sekundærsiden. Her betyr de uthevede bokstavene at det er innført fasevektorer på grunn av den sinusformede spenningen som påtrykkes.

Av den siste ligningen kan en sette:

Produktet av N1 I1 og N2 I2 er lik den såkalte elektromagnetiske spenningen som oppstår i jernkjernen ved henholdsvis vikling 1 og 2. Denne forkortes MMS og denne spenningen sies å drive den magnetiske fluksen rundt i kjernen. Som nevne er permeabiliteten i en ideell transformator uendelig stor, dermed må MMS assosiert  med vinding 1 og 2 være like stor. På samme måte som Kirkhoffs spenningslov i en  krets sier at summen av spenningene er lik null, må også summen av de to MMS i den magnetiske kretsen være lik null. Det betyr igjen at de er motsatt rettet av hverandre. Dermed sier den enkle formelen over at om strømmen på sekundærsiden blir større, vil MMS på sekundærsiden også bli større, primærsiden reagerer med større MMS som er det samme som en større strøm. Den magnetiske koblingen sørger altså for at primærsiden «kjenner til» strømmen som går på sekundærsiden. Imidlertid vil ikke magnetfeltet i kjernen øke med økende strøm, det er nemlig bestemt av spenningen som er påtrykket primærsiden. Her må det forutsettes en ideell spenningskilde som holder konstant spenning, samme hvor stor eller liten strømmen er. På norsk kalles ofte MMS, som altså er lik produktet IN, for ampervindinger. Dermed sier en at uttrykket over stadfester at i en transformator må det være ampervindingsbalanse.

Impedansen på sekundærsiden sett fra spenningskilden kanne uttrykkes slik:

og siden V2/I2 er lik impedansen på sekundærsiden Z2 kan en sette:

Dette betyr at størrelsen av en impedans, sett fra en spenningskilde, kan økes eller minkes ved å sette inn en transformator med ønsket omsetningsforhold. Eller sakt på en annen måte: Hele kretsen med en ideell transformator og en last kan erstattes av bare en impedans, og ligningen over forteller hvor stor denne impedansen må være.

En virkelig transformator skiller seg ikke mye fra den ideelle transformatoren, og et mål er å lage den så lik denne som mulig. En virkelig transformator oppfyller ingen av de tre betingelsene over, men avviket er allikevel ikke veldig stort. Det oppstår selvinduksjon, som altså kalles lekreaktans, kjernen har ikke uendelig høy permeabilitet, og det er både tap som er avhengig av belastning (koppertap) og spenningen (tomgangstap).

Filter
I elektriske og elektroniske kretser er det ofte spenninger og strømmer med forskjellige frekvenser. En spole kan tilpasses for å slippe gjennom noen og stanse andre frekvenser: Et lavtpassfilter slipper gjennom lave frekvenser, men blokkerer for høye. Dette er tilfelle for en basshøytaler der det er ønskelig at bare de lave frekvensene skal slippe inn. En transformator som beskrevet over vil slippe gjennom sinusformede signaler, men stoppe likespenning.

Noen flere bruksområder for spoler og gjensidig koblede spoler

Spoler eller andre kretselementer som gir induktans brukes i en rekke sammenhenger. Her er noen få eksempel:

 Som reaktor (eller ballast) for lysstoffrør og andre fluoriserende lamper. Den ioniserte gassen i slike lamper er en såkalt ikke-ohms last, det vil si at forholdet mellom spenning og strøm ikke følger Ohms lov. Desto høyere strøm desto mer ioniseres gassen og motstanden reduseres. For at strøm og spenning skal holdes under kontroll settes det derfor inn en reaktor i serie med lysstoffrøret som gir et definert spenningsfall. Denne reaktoren er som regel en spole med jernkjerne.
 Reaktorer brukes i kraftsystemer i en viss utstrekning for å redusere kortslutningsstrømmen. Kortslutninger er skadelige blant annet på grunn av oppvarming, derfor må strømtilførselen kobles svært hurtig vekk. Selv om dette skjer automatisk og i løpet av brøkdeler av sekunder, kan spesielt gamle kabler skades. Med en reaktor i serie kan dette problemet unngås.
 Induktive sensorer i veibanen brukes for å styre trafikklys. Fordi biler består av mye stål vil en slik induktiv sløyfe i veibanen få en merkbart endret induktans når en bil kjører over. Om sløyfen er tilknyttet et vekselspenningskilde vil strømmen han en konstant verdi når ingen biler er i nærheten. Men når en bil kjører over reduseres strømmen brått. Dette kan måles og brukes som et kriterium for å skifte fra rød til grønt lys for en gate der det kommer trafikk.
 I en bil med bensinmotor brukes en spesiell type transformator der spenningen fra bilbatteriet meget kortvarig tilknyttes primærviklingen. Sekunderviklingen har svært mange flere viklinger en primærviklingen, og det blir indusert en svært høy spenning. Denne høye spenningen får det til å gå en liten lysbue over tennpluggens elektroder, dermed antennes bensinen i sylinderen. Ofte kalles denne tennspole eller coil fra det engelske ordet for spole. Et elektrisk gjerde virker på samme måte, se illustrasjon til venstre.
 I generatorer og elektriske motorer er det flere vindinger som har magnetisk kobling. I en motor er det krefter mellom ledere som fører elektrisk strøm som blir aktivt utnyttet. I en generator er det induksjon som er det grunnlegende prinsipp for virkemåten.

Se også
 Elektrisitet
 Magnetisme
 Teslaspole
 Virvelstrøm
 Elektromagnet
 Maxwells likninger

Referanser

Litteraturliste

Eksterne lenker
 Forelesning på norsk om induktans
  Forelesning på norsk om gjensidig induktans
 Demonstrasjon av grunnlegende egenskaper til spoler og transformatorer
  Demonstrasjon av grunnlegende egenskaper til spoler og transformatorer
 Nettside med en kalkulator for å beregne induktans i spoler
 Avansert nettside som viser hvordan spoler, kondensatorer og motstander oppfører seg i elektriske kretser
 Nettside som forklarer hvordan spoler og transformatorer virker og brukes

Elektriske komponenter
Magnetisme
Elektrisitet
Elektronikk
Fysiske størrelser