Norm (matematikk)

En norm er i matematikk  en funksjon som tilordner en lengde til enhver vektor i et vektorrom.  Lengden er en reell skalar og vil være positiv for alle vektorer, bortsett fra for nullvektoren, som har lengde lik null.  

Et vektorrom er en spesiell type metrisk rom, der en i tillegg til avstandsmålet i et metrisk rom også har formalisert begrepet lengde av individuelle elementer i rommet.  I og med at normen introduserer et avstandsmål i rommet, vil normen også introdusere en topologi i rommet.  

Et vektorrom der det er definert en norm kalles et normert rom eller et normert vektorrom.  Et gitt vektorrom kan være utgangspunkt for en rekke forskjellige normerte rom, alt etter hvilken norm som defineres i rommet.  

Dersom alle Cauchyfølger i rommet konvergerer mot en grense som også ligger i rommet, sies vektorrommet å være komplett.  Et komplett normert vektorrom kalles et Banachrom.

Formell definisjon 
En norm definert i et vektorrom V er en funksjon f: V → R+, der R+ er mengden av reelle ikke-negative tall.  For alle vektorer x og y i vektrorrommet og for alle skalarer  skal funksjonen oppfylle de følgende egenskapene:

 

 

 

Den siste ulikheten kalles trekantulikheten.

Normen til en vektor x skrives vanligvis ||x|| istedenfor funksjonforma f(x).

Egenskaper 
En vilkårlig norm vil alltid oppfylle relasjonen

To normer || ||1 og || ||2 definert i samme vektorrom sies å være ekvivalente dersom det eksisterer konstanter m og M slik at

Den euklidske normen 
En velkjent norm for vektorrommene R2 og R3 er den såkalte euklidske normen.  Definisjonen av denne normen samsvarer med det man normalt vil forbinde med lengden av en vektor eller et linjestykke.  

For en vektor v = (x, y) i planet R2 er den euklidske normen definert ved

.

For en vektor v = (x, y, z) i det tre-dimensjonale rommet R3 er den euklidske normen definert ved

.

Mer generelt kan en definere en euklidsk norm som en norm avledet fra et indreprodukt:

. 

Det euklidske rommet er utstyrt med en euklidsk norm, sammen med et indreprodukt.

p-normer i koordinatrom 

For vektorrommet Rk, der k er et vilkårlig positivt heltall, vil en vektor kunne skrives på forma

 , 

der xi er koordinatene i rommet.  For et slikt koordinatrom kan en definere en familie av normer kalt p-normer eller også Hölder-normer:

 .

Den euklidske normen er identisk med 2-normen.  Den følgende normen regnes som et spesilatilfelle i familien, ved å la p gå mot uendelig:

 

Figuren til høyre viser området i R2 definert av enhetssirkelen  for ulike verdier av n. 

Trekantulikheten for disse normene er et spesialtilfelle av Minkowskis ulikhet:

p-normer i funksjonsrom 
Vektorrommet av funksjoner f (t ) definert på intervallet mellom 0 og 1, og med egenskapen 

kan utstyres med normen

Det normerte rommet som defineres på denne måten betegnes ofte med Lp[0,1].

Normen til en lineær transformasjon 
En lineær transformasjon fra et normert vektorrom V inn i et normert vektorrom U sies å være begrenset dersom det eksisterer konstanter K slik at

 
Den minste verdien for K definerer en norm for operatoren T.  Fra definisjonen følger det at

.

Formelt kan begge de to følgende ekvivalente definisjonene brukes for normen:

Matrisenormer 
Siden en matrise representerer en linær transformasjon mellom endelig-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av en norm for generelle lineære transformasjoner også for en matrise.  Basert på denne generelle definisjonen kan en lage en rekke ulike normer for matriser, og noen av disse opptrer under flere alternative navn.  Et velkjent eksempel er 2-normen, også kalt euklidsk norm, Froebenius-norm,  Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:

Se også 
 Euklidsk geometri
 Ikke-euklidsk geometri

Referanser

Litteratur 

Matematisk analyse
Metrisk geometri