Basis (matematikk)

En basis for et rom i matematikk er en mengde objekter som kan brukes til å generere alle objekter i rommet.  Måten objektene genereres på fra objekter i basisen vil avhenge av strukturen i rommet, det vil si hvilke regler som gjelder for å kombinere objekter og på den måten danne nye objekter.

En basis er komplett i den forstand at alle objekter i rommet kan genereres ut fra basisen.  En basis er også minimal i den forstand at den er en minste mengde som trengs for å generere alle andre objekter i rommet.  Et objekt i basisen kan ikke genereres fra de andre objektene i basisen.

Et eksempel på en basis finner en i bruken av de tre primærfargene rød, grønn, blå i RGB-fargemodellen. I denne fargemodellen kombineres primærfargene ved additiv fargesyntese til å beskrive andre farger i fargespekteret.  Alle tre primærfargene er nødvendige for å kunne generere hele fargespekteret.  En basisfarge som rød kan ikke beskrives ved hjelp av de to andre fargene grønn og blå.

En basis for et vektorrom er grunnlaget for definisjonen av dimensjon og koordinater.  Ulike basis-definisjoner inngår i mange deler av matematikk, for eksempel i algebra, i funksjonalanalyse, i geometri og i topologi.

Algebraisk basis for et vektorrom 
En algebraisk basis i et vektorrom er et sett av vektorer med egenskapen at alle andre vektorer i rommet kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av vektorene i basisen.  En vilkårlig vektor  v i vektorrommet kan for eksemel skrives som lineærkombinasjonen

Vektorene vi i basisen er kalt basisvektorer.  Skalarene αi kalles koordinater til vektoren med hensyn på den valgte basisen.  En gitt basis sies å utspenne vektorrommet.

Det er ikke mulig å uttrykke en basisvektor som en lineærkombinasjon av andre basisvektorer.  Ligningen

er mulig viss og bare viss alle koordinatene er lik null.  Dette er det samme som å si at basisvektorene er lineært uavhengige.

En basis for vektorrommet R2 er for eksempel gitt ved  de to vektorene (1,0) og (0,1).  En alternativ basis er gitt ved vektorene (1,0) og (1,1).  Et vektorrom kan altså ha uendelig mange basiser, men alle basiser inneholder like mange vektorer.  Den såkalte standardbasisen for det tre-dimensjonale eukliske rommet er gitt ved de tre vektorene

Dimensjonen til et vektorrom er lik antall vektorer i den algebraiske basisen.  Dimensjonen kan være endelig eller uendelig.

Hamelbasis for et vektorrom 
Navnet Hamelbasis blir brukt for å karakterisere en basis i et vektorrom, men definisjonen og bruken kan variere.  En Hamelbasis kan være

 Det samme som en algebraisk basis. 
 En basis for vektorrommet R over kroppen av rasjonale tall.
 En ortogonal basis i et indreproduktrom.

Hamelbasis har fått navnet etter den tyske matematikeren Georg Hamel (1877-1954).

Schauderbasis for et Banachrom 
En Schauderbasis for et Banachrom er en tellbar mengde vektorer vi med egenskapen at for enhver vektor v i vektorrommet, så eksisterer det en følge av skalarer  slik at

Ikke alle Banachrom har en Schauderbasis.  En Schauderbasis vil ofte være mer velegnet enn en algebraisk basis for analyse av et uendeligdimensjonalt vektorrom.  Den polske matematikeren Juliusz Schauder arbeidet med funksjonalanalyse og har fått navnet sitt knyttet til denne basisklassen.

Ortonormert basis i indreproduktrom 
I indreproduktrom spiller ortornormerte basiser en spesiell rolle, det vil si basiser der vektorene alle har norm lik 1 og i tillegg er parvis ortogonale.  Basisvektorene vi (i=1,... ) oppfyller da ligningene

Her er < , > indreproduktet, og δij er Kronecker-delta.

Mange ortonormerte basiser har fått egne navn, spesielt knyttet til vektorrom av polynom:

 Chebyshev-polynom, oppkalt etter Pafnuty Chebyshev 
 Hermitske polynom, oppkalt etter Charles Hermite 
 Jacobi-polynom, oppkalt etter Carl Gustav Jacob Jacobi
 Laguerre-polynom, oppkalt etter Edmond Laguerre
 Legendre-polynom, oppkalt etter Adrien-Marie Legendre

Basis i en topologi 
En basis i en topologi er et sett av åpne mengder slik at en hver annen åpen mengde i topologien kan uttrykkes som en union av mengdene i basisen.  Basen er sagt å generere topologien.  En og samme topoplogi kan ha flere alternative basiser.

Referanser

Litteratur 

Lineær algebra
Topologi