Landés g-faktor

Landés g-faktor er en numerisk størrelse som benyttes i atomfysikk til å angi størrelsen av det magnetiske momentet til et atom i forhold til dets kvantemekaniske spinn. Da et atomet kan befinne seg i forskjellige kvantetilstander, vil g-faktoren i alminnelighet avhenge av kvantetallene til den tilsvarende tilstanden. Man kan også på analogt vis tilordne forskjellige atomkjerner og elementærpartikler en slik faktor.

For et atom i en gitt tilstand med magnetisk moment μ  og totalt spinn J, defineres Landés g-faktor ved sammenhengen

 

hvor -e er elektrons elektriske ladning og me  dets masse. Den er derfor et dimensjonsløst tall. På grunn av minustegnet peker de to vektorene  μ  og J i motsatt retning.

Et nukleon eller atomkjerne har et magnetisk moment som kan skrives på tilsvarende måte. Men i definisjonen må da elektronets ladning -e erstattes med protonets ladning +e og  me  med protonets masse  mp. Selv om nøytronet har null elektrisk ladning, har det likevel et magnetisk moment og en g-faktor definert på denne måten. For begge nukleonene skyldes deres ikke-trivielle g-faktorer bevegelsen til kvarkene inni dem.

I klassisk fysikk vil et magnetiske moment som skyldes bevegelsen til en ladning i en lukket bane med en gitt dreieimpuls, alltid medføre at g = 1. Det tilsvarer at det magnetiske momentet vil presessere med Larmor-frekvensen i et ytre magnetfelt. Men i kvantemekanikken vil elektronets egenspin s = 1/2  medføre at det har en g-faktor som er meget nær lik 2. Dette har som konsekvens at de magnetiske momentene til atomene som kan observeres i den anomale Zeeman-effekten, i lang tid var vanskelig å forstå. Dette ble først oppklart rundt 1922 av den tyske fysiker Alfred Landé som innførte g-faktoren og har fått sitt navn knyttet til den. Hans bidrag var dermed også avgjørende for den fundamentale oppdagelsen av elektronets spinn.

Spinn i magnetfelt

Når man beskriver  et elektron i et atom ved bruk av kvantemekanikk,  har det et orbitalt spinn eller dreieimpuls L med en størrelse gitt ved det heltallige kvantetallet  ℓ = 0, 1, 2, ... og et intrinsikt spinn S gitt ved spinnkvantetallet s = 1/2. Det totale spinnet til elektronet er derfor gitt ved summen

 

som også er et kvantisert spinn karakterisert ved kvantetall j = ℓ ± 1/2. Det tar derfor halvtallige verdier. Hvis atomet befinner seg i et ytre magnetfelt B i z-retning, har det totale spinnet J en komponent Jz  i denne retningen gitt ved det magnetiske kvantetallet m. Det kan ta 2j + 1 ekvidistante verdier fra -j  til +j . Denne fremstillingen av spinnet er et resultat av å betrakte de to vektorene L og S som kvantemekaniske operatorer. Dermed vil også J være en slik spinnoperator. 

Klassisk forestiller man seg en slik addisjon av spinn ved at de to vektorene  L og S presesserer rundt en akse gitt ved resultanten J. Det tilsvarer at det er kun kvantetallene mℓ  og  ms  for komponentene Lz  og Sz  med m = mℓ + ms  som kan spesifiseres.

I et ytre magnetfelt B vil elektronet i atomet få en tilleggsenergi

 

som er proporsjonal med Lz + 2Sz  når magnetfeltet er langs z-aksen. Tallet ge = 2 foran spinnvektoren S er g-faktoren til elektronet og er i virkeligheten en relativistisk effekt som kommer fra Dirac-ligningen. Det er denne fundamentale egenskapen ved elektronet som gjør de magnetiske egenskapene til atomet så kompliserte.

Klassisk vektormodell

Hvis elektronet i atomet er i en tilstand som kan spesifiseres med de to kvantetallene j  og m for det totale spinnet J,  har ikke komponentene Lz  og Sz  fikserte verdier. Men benytter man en klassisk beskrivelse, kan de finnes fra projeksjonene av vektorene S og L på resultantvektoren J. Det gir

 

Ved å benytte at   J⋅L = J2 - J⋅S, finner man dermed at 

 

Dette kan videre forenkles ved å bruke L2  =  J2  - 2J⋅S + S2 som gir

 

Sammenligner man dette resultatet med det klassisk uttrykket 

 

for energien til et magnetisk moment μ i et ytre magnetfelt B, er det naturlig å skrive dette som

 

hvor den klassiske g-faktoren er

 

Formen til dette resultatet viser seg å beholdes når man forlater denne klassiske vektormodellen og gjør bruk av en mer korrekt, kvantemekanisk beskrivelse.

Kvantemekanikk
Den klassiske formen til uttrykket for g-faktoren vil bli bevart ved overgang til kvantemekanikk da det er basert på den lineære sammenhengen mellom vektoroperatorene L, S og J. Men størrelsen av dem vil være bestemt ved de tilsvarende kvantetallene. For en tilstand spesifisert ved kvantetallene j  og m, vil J2 være gitt som  hvor ħ er den reduserte Planck-konstanten, mens Jz  tar verdiene mħ. Tilsvarende gjelder for  L2 og  S2 uttrykt ved sine kvantetall ℓ og s, det vil si   og . Derimot har komponentene  Lz  og Sz  ingen bestemte verdier i en slik tilstand spesifisert med kvantetallene  j  og m.

Det kvantemekaniske uttrykket for g-faktoren blir dermed

 

For et elektron er s = 1/2 slik at  s(s + 1) = 3/4. De to tilstandene med j = ℓ ± 1/2 har derfor g-faktorer som i begge tilfellene kan skrives som

 

Som et enkelt eksempel, kan man betrakte p-tilstander som er karakterisert ved orbitalt spinn ℓ = 1. Tilstanden P1/2 med j = 1/2, har derfor , mens tilstanden   med  har .

Clebsch-Gordan-koeffisienter

Egentilstandene for spinnoperatoren J kan uttrykkes ved egentilstandene for operatorene L og S ved bruk av Clebsch-Gordan-koeffisienter. Mens de første kan betegnes ved  der

 ,

kan de andre skrives som  med tilsvarende egenverdier for  L2, S2, Lz  og Sz som tar verdiene ms = ±1/2 for elektronspinn s = 1/2. Egentilstandene for gitt totalspinn j = ℓ ± 1/2 er da

 

Den magnetiske energien til elektronet er gitt ved matriseelementet av operatoren   i disse to tilstandene. Mens Jz  ganske enkelt gir mħ, kan matriselementet av Sz nå  også regnes nøyaktig ut,

 

De forskjellige projeksjonene av spinnvektorene i den klassiske beskrivelsen erstattes derfor med kombinasjoner av kvadrerte Clebsch-Gordan-koeffisienter når man bruker kvantemekanikk. Men resultatet for g-faktoren

 

er det samme for denne med bare et elektron som kobler til magnetfeltet.

Atom med mange elektroner

På grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp vil lukkete skall med elektroner i et atom ikke bidra til dets totale spinn. Det skyldes bare elektroner i ikke-fulle skall og da ofte valenselektronene. Hvert slikt elektron vil ha en dreieimpuls Li  og et indre spinn  Si. Mellom elektronene virker ikke-sentrale Coulomb-krefter som resulterer i koblinger mellom alle disse spinnene. Også spinn-banekoblingen har sin opprinnelse her. Resultatet er at de individuelle spinnene til de enkelte elektroner generelt ikke er bevarte. Men for de atomene hvor spinn-bane-koblingen er liten i forhold til de andre effektene, vil den totale dreieimpulsen  og det totale, intrinsikke spinnet   til elektronene være konstante og benyttes til å klassifisere egentilstandene til atomet. Dette gjelder for de atomer hvor ladningstallet Z  < 40. Vekselvirkning mellom elektronene sies da å være beskrevet ved en Russell-Saunders-kobling eller «LS-kobling». Det totale spinnet til atomet er da

 

med tilstander  der kvantetallet J  angir egenverdien  for J2 og Mħ er egenverdien for Jz. Disse kan konstrueres ved hjelp av Clebsch-Gordan-koeffisienter fra egentilstandene  med tilsvarende egenverdier for  L2, S2, Lz  og Sz  på helt analogt vis med det tidligere tilfellet for et elektron der S = 1/2. For et odde antall elektroner er S alltid halvtallig, mens dette kvantetallet er heltallig for et like antall elektroner. Når L > S, vil J  ta 2S + 1  ekvidistante verdier fra  til , mens for S > L vil man ha tilsvarende 2L + 1  verdier fra  til .

Det magnetiske momentet til et slikt atom er gitt som matriseelementet av operatoren

 

som er definert til å være proporsjonalt med g J.  Dermed kan g-faktoren nå beregnes på tilsvarende måte som for S = 1/2. Mest direkte følger resultatet ved å multiplisere begge sider av definisjonen  med operatoren  J. Det gir 

 

der igjen 2J⋅S =  J2  + S2 - L2. Dermed har man det generelle resultat for Landés g-faktor

 

for et atomet hvor elektronene er LS-koblet til et totalt spinn gitt ved kvantetallet J.

For spinn-dubletten S = 1/2, kan formelen forenkles. Det skjer også for spinn-tripletter S = 1 der J = L + 1, L og L - 1. Da gir den

 

For D-tilstander som har L = 2, er derfor verdiene g3 = 4/3, g2  = 7/6 og g1  = 1/2. Summen av dem er lik med 3 = 2S + 1. Dette viser seg å være tilfelle også for andre verdier av S og L så lenge som S < L. Dette er et eksempel på en mer generell «summeregel».

Landés utledning av g-faktoren

Før Landé begynte å interessere seg for den anomale Zeeman-effekten i 1920, var det etablert med sikkerhet at de eksperimentelle resultatene for frekvensoppsplittingen Δω av en spektrallinje i et ytre magnetfelt B alltid kunne skrives som

 

hvor ωL = eB/2me  er Larmor-frekvensen til elektronet og s og r er hele tall. Dette er Runges lov. Mye av det eksperimentelle og teoretiske arbeidet hadde dreidd seg om å bestemme disse tallene og finne lovmessigheter for dem i forskjellige spektralserier og multipletter.

Samme år hadde Sommerfeld publisert et større arbeid om disse spørsmålene. Der foreslo han at da en spektrallinje i Bohrs atommodell oppstår ved en overgang mellom to energitilstander E1 og E2  til atomet, må dette gjelde også for den anomale Zeeman-effekten. Derfor må det forventes at Runges lov må ha den mer spesielle formen

 

Runge-nevneren r er derfor et produkt mellom to andre, heltallige nevnere r1 og r2  som karakteriserer begynnelsestilstanden og sluttilstanden til atomet ved denne overgangen.

Fenomenologisk etablering

Ut fra grundig kjennskap til målte verdiene av heltallene som inngikk i Runges lov, gikk Landé i gang med å knytte disse til de kjente kvantetallene for atomets ulike tilstander. Våren 1921 kunne han vise når den magnetiske forskyvningen av et energinivå i atomet skrives som

 

hvor m er det magnetiske kvantetallet for tilstanden og g en ny faktor avhengig av de andre kvantetallene, kunne alle egenskaper ved den anomale Zeeman-effekten forklares. En overgang mellom nivåene E1 og E2  gir da en spektrallinje med forskyvningen

 

som nå erstatter Runges lov. 

I sitt arbeid kunne Landé gi analytiske uttrykk for g-faktoren både for dubletter og tripletter med energinivå. Oftest er den et rasjonalt tall. Men det som ble kontroversielt med denne fremstillingen, var at det magnetiske kvantetallet m måtte også kunne ta halvtallige verdier. Og det var helt i motstrid med både Bohrs atommodell og den mer moderne Bohr-Sommerfeld-kvantiseringen.

Heisenbergs Rumpf-modell

Werner Heisenberg var fremdeles student da han tidlig i 1922 publiserte en radikal forklaring av hvordan halvtallige spinnkvantetall kunne oppstå.Han tenkte seg et atom med et valenselektron som beveget seg utenfor en indre, spinnløs del eller «atomrest» som han på tysk kalte for Rumpf. Den orbitale dreieimpulsen til valenselektronet var i utgangspunktet gitt ved Bohr-Sommerfeld-kvantetallet k. På et eller annet mekanisk vis vil nå dette ene elektronet avgi en dreieimpuls ħ/2 til den sentrale atomresten og gi den et magnetisk moment. Det opprinnelige elektronet sitter igjen med det orbitale kvantetallet k - 1/2 for en banebevegelse som vil generere et indre magnetfelt som virker på atomresten. Denne vekselvirkningen gir igjen en spinn-banekobling slik at atomet får en total dreieimpuls som er summen av de to spinnene i atomet. Den er beskrevet ved et nytt kvantetall j  som da kan ta de to verdiene k og k - 1. Det tilsvarer Sommerfelds indre kvantetall som karakteriserer de to energinivåene til dublettilstanden. Men for å ha overenstemmelse med Landés formel for energisplittingen i et ytre magnetfelt, må det magnetiske kvantetallet m i dette tilfellet ta halvtallige verdier med en maksimalverdi lik med .

For atomer med to valenselektroner postulerte Heisenberg på samme måte at hver av dem kunne avgi en dreieimpuls ħ/2 til restatomet. Denne fikk dermed et totalt spinn som kunne være 0 eller 1 målt i enheter av ħ. Det gir igjen opphav til singletter og tripletter med et indre kvantetall for hele atomet som kan ta verdiene j = k, k - 1 eller k - 2. Maksimalverdien til det magnetiske kvantetallet skal i dette tilfellet være j.

Selv om denne modellen til Heisenberg var i overensstemmelse med det meste, var den basert på antagelser som ikke hadde noen god begrunnelse i den kvanteteori som på den tiden var kjent. Også Landé var meget kritisk, men kunne ikke benekte at den foreslåtte fordelingen av spinn i atomet kunne ha noe for seg.

Landés vektormodell
Gjennom året som fulgte lyktes Landé med å formulere en vektormodell som inneholdt noen av Heisenbergs idéer og som var mer i overensstemmelse med hans egen forståelse av g-faktoren for den anomale Zeeman-effekten. I denne beskrivelsen består atomet fremdeles av en rumpf eller atomrest omgitt av ett eller flere valenselektron. De har en total, orbital dreieimpuls K som er gitt ved et halvtallig kvantetall K. Atomresten har et spinn R gitt ved kvantetallet R. Dette satte han lik med halvparten av antall komponenter i den spinnmultipletten som oppstår ved spinn-banekoblingen mellom K og R. Det vil si at R = 1 for dubletter, R = 3/2 for tripletter og derfor lik med 1/2 for singletter. Totalspinnet for atomet er da gitt ved vektorsummen  med det tilsvarende kvantetallet J som dermed opptrer som Sommerfelds indre kvantetall. 

Det magnetiske kvantetallet M er gitt ved z-komponenten til J. Ved å projisere de to andre dreieimpulsene inn på denne spinnvektoren, hadde han da for g-faktorene

 

Men når denne så uttrykkes ved hans tre kvantetall K, R og J, fikk han kun overensstemmelse med sine tidligere resultat ved å måtte skrive

 

Dermed hadde han i 1923 den generelle formelen som var gyldig for alle verdier av spinnet til atomresten. Og det er denne som er blitt stående frem til i dag selv om den har fått et nytt innhold. For det første viste Wolfgang Pauli året etterpå at det ikke stemte med observasjoner å tillegge de indre elektronene eller atomresten et spinn R.  Dette måtte derfor også være en egenskap ved valenselektronene på samme måte som det orbitale spinnet K. Det siste skrittet ble tatt av  Samuel Goudsmit og George Uhlenbeck da  de i 1925 viste at spinnet R skyldes at hvert elektron har et egenspinn ħ/2 slik at R ikke er noe annet en summen av disse og betegnes med S i dag. 

Da dette ble klart, innså man at kvantetallene som Landé hadde brukt, måtte alle skiftes med 1/2. Dette var også i overensstemmelse med den nye kvantemekanikken som ble utviklet på samme tid. I formelen kan man da skrive nevneren  som J(J + 1)  ved å la . Telleren  kan omskrives på samme måte ved å la  og  Dermed fikk Landés formel for g-faktoren den form og innhold den har i dag.

Summeregler

Landés g-faktor kan skrives som 

 

I det spesielle tilfellet at S = L, er derfor gJ = 3/2 uavhengig av kvantetallet J. Når det ikke er tilfelle, oppfyller faktorene likevel enkle lovmessigheter i form av summeregler. Det følger fra omskrivningen . Hvis nå L > S, kan man summere alle faktorene over de 2S + 1 forskjellige verdiene av J  fra  til  I summen vil da bare første og siste ledd overleve slik at

 

Tilsvarenede, når  L < S vil der være  2L + 1 ledd i summen fra  til  med det resultat at 

 

Dette resultatet er ekvivalent med å si at gjennomsnittsverdien av g-faktorene i dette tilfellet er g = 2, mens det i det første tilfellet med L  > S var  g = 1.

Paulis permanenssetning

I sitt arbeid med å forstå den anomale Zeeman-effekten, oppdaget Pauli en direkte forbindelse mellom denne og Paschen-Back-effekten ved sterkere magnetfelt. Den magnetiske vekselvirkningen i disse to situasjonene er forbundet ved den formelle operatorrelasjonen  Tar man nå matriseelementet av denne for tilstanden , får man på venstre side ganske enkelt M gJ. På høyre side kan man uttrykke egentilstanden for Jz som en lineærkombinasjon av egentilstandene    for  Lz  og Sz  ved bruk av Clebsch-Gordan-koeffisienter. Betegnes de her ved CJ (M;ML,MS), vil

 

Dermed får man sammenhengen 
 

mellom matriseelementene på de to sidene. Nå har Clebsch-Gordan-koeffisientene alltid egenskapen at

 

uavhengig av verdiene til ML  og MS. Summerer man nå uttrykket for gJ  på begge sider over J  og bytter om på de to summasjonene på høyresiden, fremkommer resultatet

 

Dette er «Paulis permanenssetning». Venstre side angir summen av den magnetisk vekselvirkningsenergien ved svake felt, mens høyre side viser hvordan den fordeler seg over de forskjellige tilstandene som opptrer i Paschen-Back-effekten.

Eksempel
Pauli påpekte at denne sammenhengen kunne også benyttes til å beregne g-faktorene på en enkel måte. Det kan illustreres ved igjen å  betrakte en tilstand med S = 1 og L = 2 som gir termen 3D.  Den inneholder tilstander med  J = 3, 2 og 1 som splittes av spinn-banekoblingen i svake magnetfelt. Den maksimale verdien av Jz  er M = 3 tilhørende den ene tilstanden J = 3. I sterke magnetfelt tilsvarer den den ene Paschen-Back-tilstanden  som har   og  . Paulis setning gir derfor 3⋅g3 = (2 + 2⋅1) = 4 som betyr at . 

Når , vil de to Paschen-Back-tilstandene  og  bidra, mens for  vil tre slike tilstander opptre. Setningen til Pauli gir dermed i disse to tilfellene ligningene

 

Med verdien  i første ligning  finner man g2 = 7/6 som igjen gir g1 = 1/2 fra siste ligning. Omvendt kan setningen benyttes til å finne hvilke tilstander vil opptre i Paschen-Back-effekten fra de observerte g-faktorene i den anomale Zeeman-effekten.

Elementærpartikler

Ved utledning av g-faktoren for et atom antas vanligvis at hvert elektron har ge = 2 som følger fra Dirac-ligningen. Men ved mer nøyaktige beregninger kommer små korreksjoner inn som skyldes kvanteelektrodynamikk og andre effekter fra standardmodellen for elementærpartikler. Denne faktoren er på vanlig måte definert ved det magnetiske momentet

 

der S er spinnvektoren til elektronet. En mer presis beregning av g-faktoren gir

 

der α er finstrukturkonstanten med en tilnærmet verdi 1/137. Til nå er slike korreksjoner regnet ut til orden  α 5 og gir

 

hvor parentesen angir usikkerheten i de to siste sifferene. Dette er I full overensstemmelse med målte verdier og en av de mest presise størrelser som er kjent i moderne fysikk.

På samme måte har myonet en g-faktor med en størrelse

 

Den er ikke like så nøyaktig bestemt som g-faktoren for elektronet da myonet kobler til andre elementærpartikler på en litt annen måte. Eksperimentelle undersøkelser vil derfor muligens si noe om hva slags partikler dette kan være.

Nukleoner

De to nukleonene proton og nøytron regnes også med som elementærpartikler i forskjellige sammenhenger. De er begge fermioner med spinn  som elektronet og myonet. Men likevel er deres g-faktorer vidt forskjellig fra den spesielle verdien g = 2 som karakteriserer Dirac-partikler. Det skyldes at de består av kvarker som alle har denne kanoniske verdien og som derfor er å betrakte som enda mer elementære.

For begge disse nukleonene defineres g-faktoren relativ til protonets masse mp  som skiller seg litt fra nøytronmassen mn. Det magnetiske momentet for disse sammensatte partiklene skrives derfor som

 

De eksperimentelt bestemte verdiene er  

 

og 

 

Nøytronet har derfor et magnetisk moment selv om det ikke har noen netto, elektrisk ladning. Dette skyldes at det inneholder kvarker som alle har en slik ladning. 

I den enkle kvarkmodellen kan man beregne disse g-faktorene med en viss nøyaktighet under antagelser som ikke var så lett å begrunne før kvantekromodynamikken ga en teoretisk forklaring. Men hva som er bemerkelsesverdig, er at forholdet gn /gp  er veldig nær -2/3 som følger fra de enkleste antagelser om kvarkenes dynamikk.

Atomkjerner

Nukleonene i en atomkjerne har sterke vekselvirkninger og kan derfor ikke så lett beskrives som elektronene i et atom. Men i mange tilfeller kan man med en viss nøyaktighet anta at nukleonene beveger seg uavhengig av hverandre i et felles potensial som gir opphav til tilstander med gitte kvantetall. Dermed kan hvert nukleon tilordnes en viss orbital dreieimpuls L og spinn S med tilsvarende kvantetall ℓ og s = 1/2. Kjernens totale spinn er dermed gitt som  med en størrelse som er gitt ved kvantetallet . På den måten kan mange av metodene fra atomfysikken også benyttes i kjernefysikken.

Det magnetiske momentet til atomkjernen i en slik modell skyldes bidraget fra de nukleonene som ikke er «parret» med andre. I de enkleste tilfellene vil det være et slikt «fritt» proton eller nøytron som bidrar. På tilsvarende måte som ved beregningen av det magnetiske momentet for et atom basert på bidraget fra et elektron,  kan man derfor med disse antagelsene definere g-faktoren for atomkjernen som

 

hvor gℓ = 1 for protonet og lik null for nøytronet da det ikke har noen elektrisk ladning. I tillegg representerer gs  den magnetiske koblingen gitt ved de vanlige  g-faktorene for de samme partiklene. Ved å multiplisere denne ligningen med det totale kjernespinnet I fremkommer sammenhengen

 

Her kan de forskjellige, kvadrerte spinnoperatorne uttrykkes ved deres kvantetall slik at

 

Dette kan forenkles og tar da formen 

 

for de to tilfellene med totalt spinn . 

Når det ekstra nukleonet er et nøytron, forenkles dette uttrykket ytterligere. Da er  og  slik at den totale g-faktoren blir  for  og  for .

Referanser

Litteratur
 D.J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson International Edition, New Jersey (2005). ISBN 0-13-191175-9.
 H. Haken and H.C. Wolf, Atomic and Quantum Physics, Springer-Verlag, Berlin (1987). ISBN 0-387-17702-7.

Eksterne lenker

 HyperPhysics, Magnetic Interactions and the Landé g-Factor
 F. Ravndal, Notes on Quantum Mechanics, forelesninger ved Universitetet i Oslo (2006).
 H.E. White, Introduction to Atomic Spectra, McGraw-Hill Book Company, New York (1934). Web Archive. 

Atomfysikk
 Magnetisme