Thoralf Skolem

Thoralf Albert Skolem (født 23. mai 1887, død 23. mars 1963) var en norsk matematiker som var professor ved Universitetet i Oslo.

Skolem leverte viktige bidrag til matematisk logikk, mengdelære, tallteori, algebra og kombinatorikk, men han er mest kjent for sitt arbeide med matematisk logikk. Han regnes også som en av de sentrale teoretikerne innenfor metamatematikk, som er nært knyttet til matematisk logikk.

Biografi 
Skolem ble født i Sandsvær i Buskerud, hvor faren var lærer. I 1905 tok han artium, og like etterpå begynte han å studere matematikk ved Universitetet i Oslo. I 1913 fikk han sin grad i matematikk med hovedoppgaven Undersøkelser innenfor logikkens algebra. Denne avhandlingen ga ham karakteren 1.0, som var den absolutt beste karakteren på den tiden. Denne prestasjonen var så bemerkelsesverdig at den ble rapportert til kongen. 

Senere ble Skolem assistent for den kjente fysikeren Kristian Birkeland, og de første vitenskapelige publikasjonene sine skrev han sammen med Birkeland. 

Skoleåret 1915-1916 studerte Skolem ved Universitetet i Göttingen. Göttingen representerte det fremste forskningssenteret innen matematisk logikk, metamatematikk og abstrakt algebra på den tiden. Tiden i Göttingen hadde nok stor innflytelse på Skolem, og han ble selv en anerkjent teoretiker innenfor disse tre feltene. På den tiden Skolem var i Göttingen var blant andre David Hilbert professor her, og etter at Felix Klein hadde fått sving på forskningssenteret på slutten av 1800-tallet hadde flere store matematikere arbeidet der. 

Etter oppholdet i Tyskland, vendte Skolem tilbake til Universitetet i Oslo, og i 1918 fikk han en nyopprettet stilling som dosent i matematikk der. 

I studietiden hadde Skolem og Viggo Brun blitt enige om at ingen av dem skulle ta seg bryet med å ta en doktorgrad i matematikk. I 1920-årene vokste det derimot fram en ny generasjon av norske matematikere, og det var sannsynligvis som resultat av dette at Skolem fant ut at en doktorgrad likevel var bryet verd. I 1926 tok han da endelig sin doktorgrad, i en alder av 40 år. Tittelen på avhandlingen var Einige Sätze über ganzzahlige Lösungen gewisser Gleichungen und Ungleichungen. Året etter giftet han seg med Edith Wilhelmine Hasvold. 

Skolem jobbet ved Chr. Michelsens Institutt 1930–1938. Deretter var han professor ved Universitetet i Oslo mellom 1938 og 1958. Han ledet også Norsk matematisk forening, var redaktør for Norsk matematisk tidsskrift og en av grunnleggerne av tidsskriftet Mathematica Scandinavica i 1953.

I 1957 gikk han av med pensjon, men han forble aktiv helt fram til han brått døde i 1963. I de siste årene før sin død var han på flere besøk til USA, hvor han holdt forelesninger ved en rekke universiteter.

Skolems matematikk 
Skolem publiserte en rekke betydningsfulle artikler om emner som diofantiske ligninger, gruppeteori og matematisk logikk. En av de viktigste setningene i matematisk logikk, Löwenheim-Skolems setning, er oppkalt etter ham. Denne setningen retter seg mot en del av matematikkens grunnlag, og den sier noe forenklet at alle teorier som har en modell også har en tellbar modell. Setningen er sentral innenfor såkalt modellteori, hvor Skolem regnes som en av grunnleggerne. 

Skolem leverte også viktige bidrag til det teoretiske grunnlaget for mengdelæren, hvor han blant annet utvidet og forbedret Zermelos aksiomer for mengdelære. Han viste også at en konsekvens av Löwenheim-Skolems setning er det som kalles for Skolems paradoks: Hvis Zermelos aksiomer er konsistente, så må de kunne tilfredsstilles innenfor et tellbart område, selv om de beviser eksistensen av ikke-tellbare mengder. 

Læren om uendelighet er sentral i mengdelæren, og Georg Cantor viste at uendelige mengder kan ha forskjellige størrelser. Skolem hadde liten tiltro til den rådende oppfatningen av uendelighetsbegrepet, og han ble en av grunnleggerne av teorien om endelighet i matematikken. Dette er en ekstrem form for konstruktivisme, som dreier seg om at et matematisk objekt kun eksisterer hvis det kan konstrueres av de naturlige tallene i et endelig antall steg.

Utmerkelser og ettermæle
Skolem var medlem av Vitenskapsakademiet i Oslo helt fra 1918, og han mottok flere utmerkelser for sine resultater i matematikken. I 1954 ble han utnevnt til ridder av 1. klasse  av St. Olavs orden. I 1962 fikk han Gunnerusmedaljen av Det Kongelige Norske Videnskabers Selskab.

De fleste av de nærmere 200 vitenskapelige artiklene til Skolem ble publisert i norske tidsskrifter. I starten var han ikke så kjent internasjonalt, og dette har nok med at han i så stor grad publiserte på norsk. Etterhvert fikk han derimot stor internasjonal anerkjennelse, og han regnes i dag som en av de største logikerne i det 20. århundre.

Skolemforelesninger 
Ved Universitetet i Oslo har man siden 1987 holdt Skolemforelesninger (Skolem lectures) der en kjent utenlandsk logiker holder en tale.

Nøyaktig tittel er ikke angitt for alle.  Noen få av disse er publisert i Nordic Journal of Philosophical Logic som siden 1995 har vært utgit av Universitetet i Oslo.
 1987 Dag Prawitz(sv) (1936–) fra Stockholms universitet
 1988 Robin Gandy(en) (1919–95) fra Oxford University
 1989 Solomon Feferman(en) (1928–2016) fra Stanford University
 1990 Robert Boyer
 1991 Burton Dreben (1927–99) fra Harvard University
 1992 Jean-Yves Girard (1947–) fra Universitetet i Paris
 1993 Skolem and Gødel Hao Wang (1921–95) fra Rockefeller University
 1994 Thoralf Skolem and the episilon substitution method for predicate logic av Grigori Mints(en) (1939–2014) fra Stanford University
 1995 What we can do in principle av Charles Parsons (1933–) fra Harvard University
 1996 Per Martin-Löf(en) (1942–) fra Stockholms universitet
 1997 Dana Scott(en) (1932–) fra Carnegie Mellon University
 1998 Helmut Schwichtenberg(en) (1942–) fra Ludwig-Maximilians-Universität München
 1999 Peter Gärdenfors
 2000 Krister Segerberg
 2001 Saul Kripke
 2002 Paul Cohen
 2004 Timothy Williamson (1955–) fra University of Oxford
 2005 Thierry Coquand(sv) (1961–) fra Göteborgs universitet
 2006 Göran Sundholm fra Universitetet i Leiden
 2007 Stan S. Wainer fra University of Leeds
 2010 William Tait(en) (1929–) fra University of Chicago
 2011 Jan von Plato(de) (1951–) fra Helsingfors universitet
 2013 The Structure Identity Principle in Set Theory and Type Theory av Peter Aczel(en) (1941–) fra University of Manchester
 2014 Truth-conditional Content av Kit Fine(en) (1946–) fra New York University
 2015 On relating strong type theories and set theories av Michael Rathjen fra University of Leeds
 2016 Computing with numbers and other non-syntactic things: knowing which av Stewart Shapiro(en) (1951–) fra Ohio State University.
 2019 Univalence, Invariance, and Intensionality av Steve Awodey(en) (1959–) fra Carnegie Mellon University.

Skolems verker 
Her er en liste over noen av verkene til Thoralf Skolem:

 Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls und über die Produktations- und Summationsprobleme, welche gewissen Klassen von Aussagen betreffen, 1919
 Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit und Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theorem über dichte Mengen, 1920
 
 Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre, 1922-1923
 Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlicher mit unendlichem Ausdehnungsbereich, 1923
 Über einige Grundlagenfragen der Mathematik, 1929
 Über die Grundlagendiskussion in der Mathematik, 1929-1930
 Über einige Satzfunktionen in der Arithmetik, 1930-1931
 Den matematiske logikk og aritmetikken, 1931
 Über die Unmöglichkeit einer vollständigen Charakterisierung der Zahlenreihe mittels eines endlichen Axiomensystems, 1933
 Undersøkelser over potensrester og over logisk karakterisering av tallrekken, 1933
 Über die Nicht-Charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels eines endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen, 1934
 En metode til behandling av ubestemte ligninger, 1934
 Über die Erfüllbarkeit gewisser Zählausdrücke, 1935
 Über die Zurückführbarkeit einiger durch Rekursionen definierten Relationen auf 'arithmetische' , 1936-1937
 Ubestemte lineære ligninger og ligningssystemer, 1937
 Sur la porteé de Löwenheim-Skolem, 1938
 Polynomers aritmetiske egenskaper, 1938
 Einige Bemerkungen über die Induktionsschemata in der rekursiven Zahlentheorie, 1939
 Some remarks on recursive arithmetic, 1944
 
 Consideraciones sobre los fundamentos de la matematica, 1952
 Abstract set theory, 1962.  Forelesningsserie ved University of Notre Dame som Skolem holdt 1957–58
 Selected Works in Logic, 1970. Universitetsforlaget, Oslo. Dette er en nesten fullstendig antologi redigert av Jens Erik Fenstad, med en lengre innledning av Hao Wang.

Referanser

Eksterne lenker 
 MacTutor: Thoralf Skolem. (engelsk)
 Fenstad, Jens Erik (1996) «Thoralf Albert Skolem 1887-1963: A Biographical Sketch,» Nordic Journal of Philosophical Logic 1: 99-106.
 Baas, Nils A. (2000) Norsk matematikk – stolte tradisjoner. Gunnerusforelesning i Det Kongelig Norske Videnskabers Selskab. 
 

Norske matematikere
Personer tilknyttet Chr. Michelsens Institutt
Logikere
St. Olavs Orden
Gunnerusmedaljen
Personer fra Kongsberg kommune