Þverstæður Zenons

Þverstæður Zenons eru þverstæður sem Zenon frá Eleu samdi til stuðnings kenningu Parmenídesar kennara síns um að „allt sé eitt“ og að andstætt því sem skynreynslan kennir okkur sé trú á margbreytileika heimsins röng og að hreyfing sé ekkert annað en tálsýn.

Margar af þverstæðum Zenons eru jafngildar hver annarri. Átta eru þekktar og varðveittar í ritum Aristótelesar. Þrjár frægustu þverstæðurnar nefnast Akkilles og skjaldbakan, tvískiptingin og örin.

Þverstæður Zenons eru ef til vill elstu dæmin um óbeina sönnun eða niðursöllun í fáránleika (reductio ad absurdum). Zenon reyndi að sýna að hversdagslegar hugmyndir okkar um hreyfingu og breytingu séu fáránlegar og hljóti þess vegna að vera rangar. Þær eru einnig taldar mikilvægur forveri sókratísku aðferðarinnar.

Þverstæðurnar voru teknar alvarlega sem heimspekileg vandamál í fornöld og af miðaldaheimspekingum, sem töldu að flestar lausnir sem lagðar höfðu verið til væru ófullnægjandi. Lausnir nútímamanna sem byggjast m.a. á örsmæðareikningi hafa yfirleitt þótt nægjandi að mati stærðfræðinga. Margir heimspekingar hika þó enn við að segja að fullnægjandi svar hafi fengist við öllum þverstæðunum en benda þó gjarnan á að tilraunir til þess að svara þverstæðum Zenons hafi leitt til ýmissa uppgötvana.

Þverstæðurnar

Akkilles og skjaldbakan 
Þverstæðan er á þessa leið:
„Í kapphlaupi getur besti hlauparinn aldrei tekið fram úr þeim hægasta, vegna þess að sá sem er á eftir þarf fyrst að komast að þeim punkti þar sem sá sem er á undan hóf hlaupið. Sá hægfarari heldur því ávallt forskotinu.“ (Aristóteles, Eðlisfræðin VI:9, 239b15) 

Í þverstæðunni um Akkilles og skjaldbökuna ímyndum við okkur að gríska hetjan Akkilles etji kapphlaup við hægfara skjaldböku. Af því að Akkilles hleypur svo hratt leyfir hann skjaldbökunni að fá dálítið forskot. Þegar hlaupið hefst hleypur Akkilles hraðar en skjaldbakan og kemst á endanum þangað sem skjaldbakan hóf hlaupið. Á þeim tíma hefur skjaldbakan náð að mjakast svolítið áfram. Akkilles þarf þá að komast þangaðtil að ná henni. En þegar hann kemst þangað hefur skjaldbakan mjakast pínulítið lengra og til þess að ná henni þarf Akkilles að hlaupa enn eina vegalengdina. Alltaf þegar Akkilles kemst þangað sem skjaldbakan var, þá hefur hún náð að  mjaka sér ofurlítið lengra. Þar af leiðandi, segir Zenon, mun Akkilles aldrei ná að taka fram úr skjaldbökunni. Almenn skynsemi segir okkur að auðvitað geti sá sem hleypur hraðar tekið fram úr þeim sem hleypur hægar en samkvæmt sögunni að ofan er það ekki hægt.

Tvískiptingin 
„Það sem er á hreyfingu verður að fara hálfa leiðina áður en það getur komist á leiðarenda.“ (Aristóteles, Eðlisfræðin VI:9, 239b10) 

Ef einhver er inni í herbergi og vill komast út þarf viðkomandi fyrst að fara hálfa leiðina að dyrunum. En áður en hann kemst þangað þarf hann að fara hálfa leiðina að miðjunni milli upphafsstaðar síns og dyranna. Og áður en viðkomandi kemst þá leið þarf hann að fara helminginn af henni. Með öðrum orðum þarf maður sem vill komast frá A til B að fara fyrst hálfa leiðina, og þar áður fjórðung hennar og þar áður einn áttunda hluta leiðarinnar og svo framvegis út í hið óendanlega. Þverstæðan sýnir, gæti Zenon sagt, að maður kemst aldrei af stað.

Önnur leið til þess að setja þverstæðuna fram er á þá leið að áður en maður kemst á leiðarenda þurfi maður að fara hálfa leiðina en áður en maður kemst hinn helminginn af leiðinni þarf maður að fara helminginn honum og svo framvegis. Báðar útgáfur þverstæðunnar eru jafngildar.

Þverstæðan nefnist tvískiptingin vegna þess að hún felur í sér endurtekna tvískiptingu fjarlægðar.

Örin 
„Ef allt er kyrrt þegar það er á sama stað og það sem er á hreyfingu er ávallt á einhverjum stað á hverjum augnabliki, þá er ör á flugi hreyfingarlaus.“ (Aristóteles, Eðlisfræðin VI:9, 239b5) 

Í örinni ímyndum við okkur ör á flugi. Á sérhverju augnabliki er örin á einhverjum tilteknum stað. En ef hún er á einhverjum tilteknum stað á því augnabliki, þá er hún kyrrstæð á því augnabliki. En það sama má segja um sérhvert augnablik í flugi örvarinnar. Hún er því kyrrstæð allan tímann. Dæmið á að sýna að hreyfing sé blekking.

Fyrri þverstæðurnar tvær fela í sér skiptingu fjarlægðar en þessi þverstæða felur í sér skiptingu tímans — ekki í tímabil, heldur augnablik.

Hvernig getur maður þá komist út úr herbergi? 
Aristóteles fjallaði um þverstæður Zenons í 6. bók Eðlisfræðinnar. Þar neitar hann því að tíminn sé röð af ódeilanlegum „núum“ og bendir einnig á að rétt eins og skipta má fjarlægð í æ minni fjarlægðir má einnig skipta tímanum niður í æ minni tímabil og að til þess að ferðast minni fjarlægð þurfi minni tíma.

Ef tími er tekinn inn í fyrri tvær þverstæðunar má sjá hvernig Akkilles getur náð skjaldbökunni og maðurinn getur komist út úr herberginu. Byrjum að skoða dæmið um manninn sem vill komast út úr herberginu. Sjá má að ef maður er á leið út úr herbergi og labbar á einhverjum ákveðnum hraða, þá má sjá að tíminn sem það tekur hann að fara hverja helminguðu vegalend verður helmingi styttri í hvert skipti sem vegalengdinni er skipt. Þó að fjöldi búta úr vegalend stefni á óendananlegt þá stefnir tíminn sem það tekur að fara hvern bút á 0. Það má því segja að það sé lítið mál að ferðast óendanlega margar vegalengdi ef tíminn sem það tekur að fara yfir hvern þeirra er núll. Þótt að tíminn sem það tekur að fara yfir vegalengd verði aldrei nákvæmlega núll þá nær maðurinn engu að síður að ferðast yfir óendanlega margar vegalengdir. Á svipaðan hátt má skipta hvaða vegalend (eða stærð) sem er í óendanlega margar smærri vegalengdir (eða stærðir).

Í dæminu um Akkilles sem reynir að ná skjaldbökunni má einnig sjá að tíminn sem það tekur hann að komast á næsta punkt sem skjaldbakan hefur verið á minnkar einnig fyrir hvern punkt sem hann kemst á.

Nær allar lausnir sem lagðar hafa verið til á þverstæðum Zenons hafa verið umdeildar.

Heimildir og frekari fróðleikur
Sígilda umfjöllun um þverstæður Zenons er að finna í 6. Eðlisfræðinnar eftir Aristóteles, sem segja má að öll nútímaumfjöllun byggi á. Aðrar heimildir eru m.a.

Abraham, W.E., „The Nature of Zeno's Argument Against Plurality in DK 29 B I“, Phronesis 17 (1972): 40-52.
Barnes, Jonathan, The Presocratic Philosophers (London: Routledge, 1982).
Black, M., „Achilles and the Tortoise“, Analysis 11 (1950): 91-101.
Grünbaum, A., Modern Science and Zeno's Paradoxes )Middletown: Connecticut Wesleyan University Press, 1967).
Guthrie, W.K.C., A History of Greek Philosophy (Cambridge: Cambridge University Press, 1962-1981).
Huggett, N. (ritstj.), Space from Zeno to Einstein: Classic Readings with a Contemporary Commentary, (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1999).
Lee, H.D.P. (ritstj.), Zeno of Elea (Amsterdam: Adof Hakkert, 1967).
Kirk, G.S., Raven J.E. og Schofield M. (ritstj.), The Presocratic Philosophers: A critical History with a Selection of Texts 2. útg., (Cambridge: Cambridge University Press, 1983).
McKirahan, Richard D., Philosophy Before Socrates: An Introduction With Texts and Commentaries (Indianapolis: Hackett, 1994).
McLaughlin, W.I. og Miller, S.L., „An Epistemological Use of Nonstandard Analysis to Answer Zeno's Objections against Motion“, Synthese 92 (1992): 371-384.
McLaughlin, W.I., „Resolving Zeno's Paradoxes“, Scientific American (November 1994): 84-89.
Russell, Bertrand, Our Knowledge of the External World (New York: W.W. Norton & Co., 1929).
Russell, Bertrand, Introduction to Mathematical Philosophy (London: George Allen and Unwin, 1919).
Salmon, W.C., Zeno's Paradoxes 2. útg (Indianapolis: Hackett Publishing, 2001).
Wilbur, J.B. og Allen, H.J., The Worlds of the Early Greek Philosophers (Buffalo: Prometheus Books, 1979).

Tenglar
 
 

Fornaldarheimspeki
Forverar Sókratesar
Þverstæður