Teljanlegt mengi

Teljanlegt mengi er mengi , sem er þannig búið að mögulegt er að setja fram gagntæka vörpun frá því á hlutmengi  náttúrulegu talnanna. Ef  inniheldur óendanlega mörg stök (t.d. ef  er mengi frumtalnanna eða sléttu talnanna) er  ennfremur teljanlega óendanlegt. Sé mengi ekki teljanlegt er það kallað óteljanlegt.

Óformleg útskýring
Vissulega er ógjörningur að telja að fullu upp óendanleg mengi, teljanleg eða óteljanleg, í raunveruleikanum. Hvortveggja innihalda jú óendanlega mörg stök og gætu því í fljótu bragði virst jafn"óteljanleg" fyrir vikið. En það sem greinir að óendanleg mengi sem eru teljanleg og þau sem eru óteljanleg er að ef S er teljanlegt mengi er alltaf til upptalning á S (þ.e. runa af stökum úr S) sem kemur að hvaða staki a ∈ S sem er fyrr eða síðar ef haldið er áfram nógu lengi.

Ef S er óteljanlegt er ekki svo, þ.e. sama hvernig reynt er að telja S upp er alltaf til stak a ∈ S sem aldrei verður talið upp, sama hversu lengi er talið.

Dæmi
Sérhvert endanlegt mengi er teljanlegt þar sem unnt er að ganga á röðina af stökunum (röðin skiptir ekki máli) og úthluta hverju staki næstu náttúrulegu tölu, þar sem við byrjum á 1. Þessi aðgerð tekur enda því mengið er endanlegt, svo vörpunin er einfaldlega milli mengisins og fyrstu n náttúrulegu talnanna (sem er hlutmengi í ) og er augljóslega gagntæk.
Mengi sléttra talna S er teljanlega óendanlegt. Þetta fæst beint út úr skilgreiningunni, þar sem S er jú hlutmengi í . Hins vegar getum við sýnt að hægt sé að varpa S beint á mengi náttúrulegra talna. Smíðum vörpun  þannig að  fyrir sérhvert náttúrulegt k. Með öðrum orðum deilir  sléttri tölu með tveimur til að finna samsvarandi náttúrulega tölu. Þessi vörpun er eintækt fall: ef  fyrir einhver i,j í S þá er  og því . Hún er ennfremur átæk: töluna  má rita sem , svo  er gagntæk. Því er S teljanlegt. Við höfum í raun sýnt hvernig beri að sanna jafngildi skilgreiningunnar við þá sem krefst þess að gagntæka vörpunin sé yfir á allt  (svo fremi sem mengið sé ekki endanlegt).
 Mengi ræðra talna er teljanlegt (sjá hlekk), eins og Georg Cantor sýndi fram á með dúfustélsaðferð sinni. Þetta hefur þá afleiðingu að tvívíð hnit, og almennara  í hærri víddum, eru teljanleg mengi þar sem hægt er að ímynda sér að ræða talan  sé nákvæmlega talnatvenndin .
 Mengi óræðra talna er hins vegar óteljanlegt, eins og Cantor sýndi einnig fram á.
 Látum S vera mengi allra endanlegra strengja á endanlegu stafrófi Σ. S inniheldur þannig tóma strenginn, alla 1-stafs strengi, alla 2-stafa strengi o.s.frv. Almennt inniheldur S alla k-stafa strengi þar sem  og er því óendanlegt þar sem ekkert þak er á því hversu stórt k getur orðið. S er ennfremur teljanlegt einfaldlega með því að telja fyrst upp tóma strenginn, því næst alla 1-stafs strengi, þá alla 2-stafa strengi, alla 3-stafa strengi o.s.frv. út í hið óendanlega. Þetta er alltaf hægt þar sem strengir af lengd k á endanlegu stafrófi eru endanlega margir ( ef N er fjöldi stafa í Σ). Sérhver endanlegur strengur á Σ, og þar með í S, kemur fyrr eða síðar upp í þessari upptalningu.
 Látum nú S vera mengi allra óendanlegra strengja á endanlegu stafrófi Σ. Með því að nota skálínuaðferð Cantors má sýna að S er óteljanlegt, þ.e. sama hvernig talið er upp, alltaf má finna óendanlegan streng á Σ, og þar með í S, sem er ekki með í þeirri upptalningu.

Mengjafræði