Leikjafræði

Leikjafræði er þverfagleg grein tengd stærðfræði og hagfræði sem notast við líkön til þess að spá fyrir um mögulega þróun innan lokaðs kerfis þar sem skilgreindir eru þátttakendur og tengdar breytur.
Gagnvirk ákvarðanafræði (e. interactive decision theory) er annað heiti yfir leikjafræði sem lýsir greininni ef til vill betur. Fræðin teygir sig yfir breytt svið og hefur þróast yfir í að vera einskonar regnhlíf yfir svið félagsvísindanna þar sem gert er ráð fyrir að leikmenn taki ákvarðanir byggðar á skynsemi og rökfræði. Markmiðið er að nota rökvísi og útsjónarsemi til að ná fram sem bestri útkomu í mismunandi atburðarrásum eða við mismunandi aðstæður. Þetta getur átt við aðstæður þar sem upp koma átök eða þörf er á samvinnu. Leikmennirnir geta verið allt frá fyrirtækjum og stofnunum yfir í einstaklinga og jafnvel þjóðir. Leikjafræði er aðallega notuð í hagfræði, stjórnmálafræði, sálfræði sem og rökfræði og líffræði en getur einnig verið notuð við ákvarðanatökur í daglegu lífi. Leiknum er lýst með því að greina frá reglum leiksins og hvaða útkoma hlýst af hverri samsetningu af ákvörðunum. Þannig geta leikmenn notað líkön og tól Leikjafræðinnar til að fá skýrari sýn á aðstæður með það að markmiði að bæta útkomu ákvarðanna sinna. Þegar hver leikmaður hefur valið þá leikáætlun sem er honum fyrir bestu með það í huga hvaða leikáætlun aðrir leikendur hafa valið er sú lausn kölluð Nash-jafnvægi.

Leikjafræði var fyrst rannsökuð af John von Neumann og Oskar Morgenstern árið 1944.

Eitt þekktasta dæmi leikjafræðinnar nefnist vandamál fangans. Það lýsir þeim valmöguleikum og hugsanlegum útkomum þess þegar tveir einstaklingar, A og B, eru ákærðir fyrir glæp. Þeir eru aðskildir við yfirheyrslur og þurfa að ákveða framburð sinn. Ef báðir þegja fá þeir báðir mildan dóm. Ef annar bendir á hinn og hinn þegir er þeim fyrrnefnda sleppt en sá síðarnefndi fær þungan dóm. Ef þeir benda báðir hvor á annan fá þeir báðir dóma.

Birtingarmynd leikja 
Leikjum er skipt upp í tvo flokka eftir því hvort báðir leikendur þurfa að taka ákvarðanir á sama tíma eða hvort annar fær að byrja. Samtímaleikur (e. simultaneous game) er sá leikur þar sem báðir aðilar taka ákvarðanir í einu án vitneskju um ákvörðun hvors annars. Leikmenn verða samt sem áður að vera meðvitaðir um hina leikmennina þegar þeir taka ákvarðanir. Samtímaleikjum er lýst með fylkjum sem sýna mismunandi útkomur við mismunandi samsetningar ákvarðanna. Raðleikur (e. sequential game) er þegar leikmaður 1 tekur ákvörðun fyrst og leikmaður 2 tekur ákvörðun á eftir honum og notar því vitneskjuna um ákvörðun hins til að taka sína ákvörðun. Hver leikmaður verður þá að horfa fram á við til að sjá hvaða áhrif ákvörðun hans mun hafa á ákvörðun mótspilarans og taka út frá því ákvörðun. Raðleikur hefur einnig verið kallaður leikur með fullkomna vitneskju (e. perfect information game). Raðleikir eru sýndir með svokölluðu ákvarðanatré eins og sjá má á myndinni til hliðar. Samtímaleikjum er lýst með fylkjum sem sýna mismunandi útkomur við mismunandi ákvarðanir. Hver punktur milli greina táknar þann stað þar sem ákvarðanir eru teknar og leikmaðurinn er táknaður með númeri við hvern punkt. Línurnar tákna mögulegar ákvarðanir og útkomur eru táknaðar með tölum á botni ákvarðanatrésins.

Tegundir leikja 
Núllsummuleikir (e. Zero-sum games)

Leikir með og án samvinnu (e. Cooperative or non-cooprerative games)

Samhverfir og ósamhverfir leikir (e. Symmetric and assymetric games)

Einkenni leikja 

Leikir geta haft mörg mismunandi einkenni en þau helstu eru útskýrð hér

 Fjöldi leikmanna: Þeir sem taka ákvarðanir í leikjum og hagnast svo eftir því hvaða ákvörðun þeir taka velja að taka. 
 Ákvarðanir á leikmann:  Hver leikmaður þarf að velja hvaða samsetningu af ákvörðunum hann vill nota eða með öðrum orðum hvaða áætlun hann ákveður að velja í leiknum.
 Fjöldi Nash-jafnvægja: Nash jafnvægi er besta mögulega útkoma beggja leikmanna í leik. Þegar Nash-jafnvægi er náð hefur hvorugur leikmannanna tilefni til að skipta um skoðun þar sem þetta er besta hugsanlega útkoman. Sumir leikir innihalda fleiri en eitt Nash-jafnvægi.
 Raðleikur: Leikur er raðleikur ef að leikmenn taka ákvarðanir hvor á eftir öðrum. Ef báðir taka ákvarðanir á sama tíma er leikurinn samtímaleikur. 
 Fullkomnar upplýsingar: Ef leikmaður er með fullkomnar upplýsingar um hvaða ákvarðanir leikmennirnir á undan sér tóku. 
 Núllsummuleikur:  Ef að summa allra útkomna hjá leikmönnum er sú sama hvaða ákvörðun eða leið sem er tekin í leiknum. Leikurinn getur orðið núllsummuleikur með því að draga frá fast gildi frá öllum útkomum sem breytir gerð leiksins þó ekki.

Listi af leikjum í leikjafræði 

(N í fjölda leikmanna þýðir að hvaða fjöldi sem er getur spilað leikinn)

Leikáætlanir 
Leikáætlun er einn af valkostum sem leikmaður getur valið í leik, þar sem ekki einungis hans eigin gjörðir skipta máli heldur einnig gjörðir annarra. Leikáætlun mun ákvarða hvernig leikmaður spilar.

Dæmi: Í skák þá ákveður leikmaður ákveðna leikáætlun um hvernig skákin í heild sinni skuli leikin en ekki hvern einstaka leik. Leikáætlunin þarf ekki einungis að taka mið af eigin gjörðum, hann þarf einnig að taka mið af gjörðum andstæðingsins og ákveða leikáætun sína útfrá því.

Ríkjandi leikáætlun (e. dominant strategy)  Leikáætlun er ríkjandi ef hún er ávallt betri en allar aðrar leikáætlanir fyrir einn leikmann sama hvað mótherji hans gerir. Þá er leikmaðurinn með ríkjandi leikáætlun og gjörðir mótherjans skipta engu máli. Sá sem er með ríkjandi leikáætlun ætti að nota hana ef hann vill vinna. 

Víkjandi leikáætlun (e. dominated strategy)  Leikáætlun er víkjandi ef til er að minnsta kosti ein önnur leikáætlun sem er betri.
Leikmaður á að útiloka víkjandi leikáætlun og velja ríkjandi leikáætlun. Ef báðir leikmenn hafa ríkjandi leikáætlun og velja hana þá er um  Nash-jafnvægi að ræða.

Nash-jafnvægi er í leikjafræði lausnarregla — búin til af og nefnd í höfuðið á John Forbes Nash — sem vísar til þess jafnvægis sem skapast þar sem tveir eða fleiri leikmenn eru til staðar, þegar hver leikmaður velur leikáætlun sem kemur honum best þegar hann veit hvaða áætlanir allir hinir leikmennirnir hafa valið. Nash-jafnvægi er þá til staðar þegar allir leikmenn vita hvað hinir ætla að gera, og enginn hagnast af því að breyta sinni áætlun.

Tengt efni 
 Stefnumarkandi leikir
 John Forbes Nash
 Thomas Schelling
 Robert Aumann
 John von Neumann
 Oskar Morgenstern

Tilvísanir

Tenglar 
 
 Leikjafræði - leikur eða fræði?
 Framlag Robert Aumann og Thomas Schelling til leikjafræða: Átök, erjur og samvinna: .

Heimildir 
 
 
 Avinash Dixit & Barry Nalebuff: Thinking Strategically: The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life, W.W. Norton (1991) ISBN 0-393-31035-3
 https://notendur.hi.is/~gylfimag/leikir/

Leikjafræði