Heildun

Heildun (einnig þekkt sem tegrun úr ensku og flest öllum öðrum tungumálum orðinu integration, sjá samheiti innan stærðfræðinnar) er sú stærðfræðilega aðgerð sem notuð er í örsmæðareikningi til þess að finna markgildi allra yfir- og undirsumma falls á tilteknu bili. Þetta þýðir, í stuttu máli, að verið er að reikna flatarmál svæðisins á milli ferils fallsins og x-ássins (á tilteknu bili). 

Heildun, í sínu einfaldasta formi, gengur út á að reikna ákveðið heildi á tilteknu bili með því að finna fyrst stofnfall fallsins sem heilda skal og taka síðan mismun stofnfallsins í endapunktum bilsins.

Dæmi: Fallið, sem heilda skal,: , á sér stofnfall,

, þar sem c er óskilgreindur fasti. 

(Athuga ber að ekki er unnt að finna stofnfall nema í undantekningartilvikum.)

Heildunartáknið er í rauninni stílfært S og stendur fyrir latneska orðið ‚summa‘ en Leibniz skóp þetta tákn.

Andhverfa heildunar nefnist deildun.

Skilgreining á óákveðnu heildi 
Að leysa óákveðin heildi snýst um að finna stofnföll falls. Hér reynum við að gefa greinagóða skilgreiningu á óákveðnu heildi með því að kynna fyrst til sögunnar skilgreiningu á stofnfalli. Næst bendum við á mikilvægan eiginleika stofnfalla að þau halda áfram að vera stofnföll þótt fastar séu lagðir við þau. Í lokin skilgreinum við óákveðin heildi með tveimur mismunandi skilgreiningum, sem mengi, og sem fall, þar sem síðari skilgreiningin er meira notuð.

Skilgreining á stofnfalli 
Látum  vera raungilt fall af einni raunbreytistærð.  hefur stofnfall  ef  fyrir öll  þar sem  táknar formengi .

Tilvist margra stofnfalla 
Ef  er stofnfall , þá er  líka stofnfall  þar sem  er einhver rauntölufasti.

Mengi allra stofnfalla falls 
Ef  er stofnfall , þá er hægt að rita öll stofnföll  á form  þar sem  er einhver rauntölufasti.

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem mengi] 
Látum  vera raungilt fall af einni raunbreytistærð með stofnföll. Þá er óákveðna heildi  skilgreint sem mengi allra stofnfalla  og mengið er táknað á eftirfarandi máta:

Skilgreining á óákveðnu heildi [sem fall] 
Látum  vera raungilt fall af einni raunbreytistærð með stofnfall . Þá er óákveðna heildi  skilgreint á eftirfarandi máta:

þar sem  er einhver rauntölufasti.

Munurinn á mengja- og fallaskilgreiningunum 
Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu er oftast notuð ef átt er við óákveðið heildi. Fallaskilgreiningin á óákveðnu heildinu tengist mengjaskilgreiningunni á óákveðnu heildinu á þann hátt að það er hægt er að stika öll stofnföll falls með framsetningunni í fallaskilgreiningunni. Þ.e.a.s. mengjaframsetningin á óákveðnu heildinu af fallinu  með eitthvað stofnfall  er:

en fallaframsetningin á óákveðnu heildinu er:

.

Skilgreiningar á ákveðin heildi 
Það eru til margar skilgreiningar á ákveðnum heildum. Hins vegar eru ekki allar skilgreiningarnar jafngildar.

Algengustu skilgreiningarnar eru Riemann heildi og Lebesgue heildi.

Riemann heildi

Hjálparskilgreining [Möskvastærð á skiptingu] 
Látum  vera skipting á .

Möskvastærð  er skilgreind sem .

Uppsetning 
Látum  vera takmarkað raungilt fall á , þ.e.a.s. það er til  þ.a.  fyrir öll .

Látum  vera skipting á .

Látum  vera mengi allra Riemann summa fyrir fall  og skiptingu .

Skilgreiningin 
Fallið  er Riemann-heildanlegt á  ef það er til  þ.a. fyrir öll  það er til  þ.a.  fyrir allar Riemann summur  með .

Ef talan  er til, þá kallast hún Riemann heildi  yfir  og er táknuð sem .

Darboux heildi
Skilgreiningin á Darboux heildi er jafngild skilgreiningunni á Riemann heildi og sambærileg skilgreining er notuð í kúrsinum Stærðfræðigreining I sem er kennd í HÍ.

Uppsetning 
Látum  vera takmarkað raungilt fall á , þ.e.a.s. það er til  þ.a.  fyrir öll .

Látum  vera skipting á .

Neðri og efri Darboux summur 
Skilgreinum neðri Darboux summu  m.t.t.  sem .

Skilgreinum efri Darboux summu  m.t.t.  sem .

Neðri og efri Darboux heildi 
Skilgreinum neðra Darboux heildi  sem .

Skilgreinum efra Darboux heildi  sem .

Skilgreiningin 
 er Darboux heildanlegt á bili  ef neðri og efri Darboux heildi  eru til og . Ef  er Darboux heildanlegt á bili , þá kallast talan  Darboux heildi  yfir  og er táknuð sem .

Samband milli óákveðin og ákveðin heildi 
Óákveðin og ákveðin heildi eru skilgreind á mismunandi máta. Hins vegar gefa heiti þeirra til kynna að þessi hugtök tengjast. Athugið að hér notumst við við fallaskilgreininguna á óákveðnum heildum til að lýsa tengslin milli óákveðin og ákveðin heildi. Meginmunur óákveðna og ákveðinna heilda er að óákveðin heildi eru föll en ákveðin heildi eru tölur. Þessi hugtök tengjast þó í gegnum undirstöðusetningu örsmæðareiknings.

Lausn óákveðins heildis með ákveðnu heildi 
Í gegnum fyrri undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota ákveðin heildi til að leysa óákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fall  sem er samfellt á bilinu . Þá segir fyrri undirstöðusetningin að eftirfarandi ákveðna heildi er eitt af stofnföllum :

Þá getum við leyst þetta ákveðna heildi og stungið inn í óákveðna heildið, þ.e.a.s.

þar sem  er einhver rauntölufasti.

Lausn ákveðins heildis með óákveðnu heildi 
Í gegnum seinni undirstöðusetningu örsmæðareiknings er hægt að nota óákveðin heildi til að leysa ákveðin heildi. Þ.e.a.s. segjum að við höfum raungilt fall  sem er Riemann-heildanlegt á bilinu  og við viljum heilda fallið yfir þetta bil. Við getum leyst ákveðna heildið  með því að finna stofnfall fallsins með óákveðnu heildi og notað svo seinni unfirstöðusetninguna til að reikna ákveðna heildið með því að nota aðeins stofnfallið.

Þ.e.a.s. með eftirfarandi skrefum:

 Finna stofnfall með óákveðinni heildun: .
 Reikna ákveðna heildið með seinni undirstöðusetningunni: .

Heildunarreglur 
 Náttúrlega vísisfallið breytist ekki þegar að það er heildað:
 
 Náttúrulegur logri heildast þannig:
 
 Hlutheildun er þannig:
 
 Rúmmál snúðs fallsins  um X-ás er fundið með reglunni:

Dæmi 
Heildum fallið  með tilliti til x. Það er ritað þannig:

Vegna þess að það er óþægilegt að heilda fallið á þessu formi skal umrita það þannig:

Þá getum við heildað skv reglunni:

þannig að:

svo niðurstaðan er:

Heildunaraðferðir 

 Hlutheildun
 Heildun með innsetningu
 Óeiginlegt heildi
 Trapisuregla
 Simpsonsreglan
 Rúmmál snúða

Tilvísanir 
Örsmæðareikningur