Полукольцо — общеалгебраическая структура, похожая на кольцо, но без требования существования противоположного по сложению элемента.Определения:Множество S , с заданными на нем бинарными операциями +  и \cdot , называется полукольцом, если для любых элементов a,b,c  выполняются следующие условия:Для кольца последнее соотношение не требуется, поскольку оно следует из других, для полукольца оно необходимо. Отличие полукольца от кольца состоит только в том, что по сложению полукольцо образует не коммутативную группу, а только коммутативный моноид.Полукольцо называется коммутативным, если операция умножения в нём коммутативна: a \cdot b b \cdot a \; \forall a,b \in S.Полукольцо называется полукольцом с единицей, если в нём существует нейтральный элемент по умножению: a \cdot 1 1 \cdot a a \; \forall a \in S.Полукольцо называется мультипликативно сократимым, если \; \forall a,b,c \in S  из равенства a \cdot c b \cdot c  следует, что a b.Примеры полуколец:Двухэлементные полукольца: \langle \Z_2, +, \cdot \rangle , \langle \ bb B, \oplus, \vee \rangle , где \vee  обозначает дизъюнкцию, а \oplus   — логическую операцию «исключающее или» на множестве \ bb B \lbrace 0, 1 \rbrace.Квадратные n \times n  матрицы с элементами из полукольца натуральных чисел с нулем \ bbN_0  и операциями матричного сложения и умножения. Также полукольцо образуют квадратные матрицы с элементами из любого полукольца.Если A   — коммутативный моноид, то множество \operator.\Nx   — многочлены с натуральными коэффициентами — образуют коммутативное полукольцо; это свободное коммутативное полукольцо с единственным генератором \x\.Вероятностное полукольцо — неотрицательные действительные числа с обычными операциями сложения и умножения. и   — полукольца вещественных чисел, в которых сложение определено как взятие максимума, а умножение — как обычное сложение вещественных чисел.Приложения:Идемпотентные кольца, особенно  и , часто используются в методах оценки персонала. Вещественные числа здесь обозначают «время прибытия» или «затраты», операция \max  обозначает необходимость ожидать выполнения всех предпосылок для совершения действия и + обозначает сложение времени при прохождении одного и того же пути.Алгоритм Флойда — Уоршелла поиска кратчайших путей может быть переформулирован для вычислений над  -алгеброй. Также и алгоритм Витерби поиска наиболее вероятной последовательности состояний в скрытой марковской модели может быть переформулирован для вычислений над  -алгеброй вероятностей. Эти алгоритмы динамического программирования используют дистрибутивность соответствующих полуколец для расчета свойств при использовании большого числа переменных более эффективно, чем перечисляя каждую из них.Полукольцо множеств:Таким образом, полукольцо множеств содержит в себе пустое множество, замкнуто относительно пересечения и любая разность множеств из полукольца множеств представима в виде конечного объединения дизъюнктных множеств, принадлежащих этому полукольцу множеств. Такие полукольца часто используются в теории меры.Полукольцом множеств с единицей называют полукольцо множеств с таким элементом E , что его пересечение с любым элементом A  полукольца множеств равно A. Применяя метод математической индукции, можно расширить последний пункт определения: если множества A_1, \dots, A_n  являются элементами полукольца множеств и подмножествами элемента A , то их можно дополнить непересекающимися элементами A_n+1, \dots, A_m  до A. Любое кольцо множеств является полукольцом множеств. Прямое произведение полуколец множеств также является полукольцом множеств.