Площадь — в узком смысле, площадь фигуры — численная характеристика, вводимая для определённого класса плоских геометрических фигур и обладающая свойствами площади. Интуитивно, из этих свойств следует, что большая площадь фигуры соответствует её «большему размеру», a оценить площадь фигуры можно с помощью наложения на её рисунок сетки из линий, образующих одинаковые квадратики  - единицы площади и подсчитав число квадратиков и их долей, попавших внутрь фигуры. В широком смысле понятие площади обобщается. enc  на k-мерные поверхности в n-мерном пространстве, в частности, на двумерную поверхность в трёхмерном пространстве.Исторически вычисление площади называлось квадратурой. Конкретное значение площади для простых фигур однозначно вытекает из предъявляемых к этому понятию практически важных требований. Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.Общий метод вычисления площади геометрических фигур предоставило интегральное исчисление. Обобщением понятия площади стала теория меры множества, пригодная для более широкого класса геометрических объектов.Для приближённого вычисления площади на практике используют палетку или специальный измерительный прибор — планиметр.Определение понятия площади:Свойства:Аддитивность, то есть площадь фигуры равна сумме площадей составляющих её фигур без общих внутренних точек;.Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры.Квадрируемые фигуры:Первоначально определение площади было сформулировано для многоугольников, затем оно было расширено на квадрируемые фигуры. Квадрируемой называется такая фигура, которую можно вписать в многоугольник и в которую можно вписать многоугольник, причём площади обоих многоугольников отличаются на произвольно малую величину. Такие фигуры называются также измеримыми по Жордану. Существуют неквадрируемые плоские фигуры.Площадь квадрируемой плоской фигуры существует и единственна. Понятие площади, распространённое на более общие множества, привело к определению множеств, измеримых по Лебегу, которыми занимается теория меры. В дальнейшем возникают более общие классы, для которых свойства площади не гарантируют её единственность. enc.Общий метод определения площади:Площадь плоской фигуры:На практике чаще всего требуется определить площадь ограниченной фигуры с кусочно-гладкой границей. Математический анализ предлагает универсальный метод решения подобных задач.Декартовы координаты:Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале a, b  и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций f ,\, g  на интервале a, b  находится как разность определённых интегралов от этих функций:Полярные координаты:В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции rr  и лучами \theta \theta_1, \theta \theta_2, \theta_1 \theta_2  вычисляется по формуле:Параметрическая форма:Тогда, если фунцкия x\varphi \left  имеет дифференцируемую обратную, то наша функция представима в виде f\psi \left  Площадь поверхности:Для определения площади кусочно гладкой поверхности в трёхмерном пространстве используют ортогональные проекции к касательным плоскостям в каждой точке, после чего выполняют предельный переход. В результате, площадь искривлённой поверхности A, заданной вектор-функцией \ bfr\ bfr, , даётся двойным интегралом. enc :Здесь \fracD D\beginvmatrixy'_u  y'_v \\ z'_u  z'_v \endvmatrix,\quad\fracD D\beginvmatrix z'_u  z'_v\\ x'_u  x'_v \endvmatrix,\quad\fracD D\beginvmatrixx'_u  x'_v \\ y'_u  y'_v \endvmatrix.Теория площадей:Теория площадей занимается изучением обобщений, связанных с распространением определения k-мерной площади с кусочно-гладкого погружения на более общие пространства. Для кусочно-гладкого погружения f площадь определяют способом, аналогичным указанному выше, при этом у площади сохраняются такие свойства как положительность, аддитивность, нормированность, а также ряд новых.Единицы измерения площади:Метрические единицы:Русские устаревшие:Мерами земли при налоговых расчётах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли: коробья, верёвка, жеребья и др.Античные:Другие:Формулы вычисления площадей простейших фигур:Многоугольники:Площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур:Площади поверхностей тел в пространстве:Исторический очерк:Площадь плоских фигур:Многие годы площадь считалась первичным понятием, не требующим определения. Основной задачей математиков являлось вычисление площади, при этом были известны основные свойства площади. В Древнем Египте использовались точные правила вычисления площади прямоугольников, прямоугольных треугольников и трапеций, площадь произвольного четырёхугольника определялась приближённо как произведение полусумм пар противоположных сторон. Применение такой приближённой формулы связано с тем, что участки, площадь которых надо было померить, были в основном близки к прямоугольным и погрешность в таком случае оставалась небольшой. Историк математики А. П. Юшкевич предполагает, что египтяне могли и не знать, что пользуются приближённой формулой. В задаче 50 папируса Ринда содержится формула вычисления площади круга, которая считалась равной площади квадрата со стороной 89 диаметра круга. Такими же формулами пользовались и в Вавилоне, однако для площади круга приближение было менее точным. Кроме того, вавилоняне могли приближённо посчитать площади правильных пяти-, шести- и семиугольника со стороной равной единице. В шестидесятиричной системе им соответствовали 1,40, 2,37,20 и 3,41, соответственно.Основным приёмом вычисления площади при этом являлось построение квадрата, площадь которого равна площади заданной многоугольной фигуры, в частности в книге I «Начал» Евклида, которая посвящена планиметрии прямолинейных фигур, доказывается, что треугольник равновелик половине прямоугольника, имеющего с ним равные основания и высоту. Метод разложения, основанный на том, что две равносоставленные фигуры равновелики, позволял также вычислить площади параллелограммов и любых многоугольников.Следующим шагом было вычисление площадей круга, кругового сектора, лунок и других фигур. Основу вычислений при этом составлял метод исчерпывания многоугольниками. Труд Архимеда «О спиралях» включает много утверждений, касающихся площадей различных витков спирали и их отношений. Архимеду принадлежит идея использования площадей или объёмов как вписанных, так и описанных фигур для определения требуемой площади или объёма.Индийцы поначалу пользовались той же формулой для вычисления четырёхугольников, что египтяне и греки. Брахмагупта пользовался формулой для площади четырёхугольников, выраженной через его полупериметр, которая верна для вписанного в окружность четырёхугольника. Формулы вычисления площади обычно не доказывались, но демонстрировались с наглядными рисунками. Формула Брахмагупты представляет собой аналог формулы Герона для площади треугольника, которую тот привёл в своей «Метрике».Развитие и обобщение метода исчерпывания произошло только в XVII веке. В 1604 году в работе «Три книги о центре тяжести тел» Валерио широко использует теорему, по которой разность между площадями вписанной и описанной фигур, составленных из параллелограммов можно сделать меньше любой данной площади. Настоящий прорыв был сделан Кеплером, которому для астрономических расчётов нужно было уметь вычислять площадь эллипса. Кеплер рассматривал площадь как «сумму линий» и, разлиновывая эллипс с шагом в один градус, показал, что \int\limits_0^\varphi \sin x dx 1 - \cos \varphi. Кавальери, обосновывая подобный метод, названный «методом неделимых», сравнивал площади плоских фигур, используя сечение фигур параллельными прямыми. Применение первообразной для нахождения площади плоской фигуры является наиболее универсальным методом. С помощью первообразной доказывается принцип Кавальери, по которому две плоские фигуры имеют равную площадь, если при пересечении каждой из них прямой, параллельной фиксированной, получаются отрезки одинаковой длины. Принцип был известен задолго до формирования интегрального исчисления. enc.Площадь поверхности:Вычислением площадей кривых поверхностей занимался Архимед, определив, в частности, площадь поверхности шара. В общем случае для определения площади поверхности нельзя пользоваться ни развёрткой, ни приближением многогранными поверхностями, то есть аналогом метода исчерпывания. Последнее показал Шварц, построив для боковой последовательности цилиндра последовательности, которые приводят к разным результатам.Общий приём вычисления площади поверхности на рубеже XIX—XX веков предложил Минковский, который для каждой поверхности строил «окутывающий слой» малой постоянной толщины, тогда площадь поверхности будет приближённо равна объёму этого слоя, делённому на его толщину. Предельный переход при толщине, стремящейся к нулю даёт точное значение площади. Однако, для площади по Минковскому не всегда выполняется свойство аддитивности. Обобщение данного определения приводит к понятию линии по Минковскому и другим.