Поверхность в геометрии и топологии — двумерное топологическое многообразие. Наиболее известными примерами поверхностей являются границы геометрических тел в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, существуют поверхности, которые нельзя вложить в трёхмерное евклидово пространство без привлечения сингулярности или самопересечения.«Двумерность» поверхности подразумевает возможность реализовать на ней метод координат, хотя и необязательно для всех точек. Так, поверхность Земли представляет собой двумерную сферу, широта и долгота каждой точки которой являются её координатами.Концепция поверхности применяется в физике, инженерном деле, компьютерной графике и прочих областях при изучении физических объектов. Например, анализ аэродинамических качеств самолёта базируется на обтекании потоком воздуха его поверхности.Способы задания:Поверхность определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:Если функция F  непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением, будет правильной поверхностью.Помимо указанного выше неявного способа задания, поверхность может быть определена явно, если одну из переменных, например, z, можно выразить через остальные:Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:Понятие о простой поверхности:Интуитивно простую поверхность можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям.Более строго, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения внутренности единичного квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение.Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат, координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 u 1, 0 v 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х x, у y, z z. При этом от функций x, y и z требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек и были различными соответствующие точки.Примером простой поверхности является полусфера. Вся же сфера не является простой поверхностью. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности.Подмножество пространства, у каждой точки которого есть окрестность, являющаяся простой поверхностью, называется правильной поверхностью.Поверхность в дифференциальной геометрии:В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие регулярности.Случай неявного задания. Поверхность, заданная уравнением F0,\; F:\Omega\to\ bbR^3 , является гладкой регулярной поверхностью, если \exist P_0:\;F0 , функция F  непрерывно дифференцируема в своей области определения \Omega , а её частные производные одновременно не обращаются в нуль на всём множестве \Omega :Случай параметрического задания. Зададим поверхность векторным уравнением \ bfr \ bfr , или, что то же самое, тремя уравнениями в координатах:Геометрически последнее условие означает, что векторы \frac\partial\ bfr \partial u, \frac\partial\ bfr \partial v  нигде не параллельны.Параметры u, v можно рассматривать как внутренние координаты точек поверхности. Фиксируя одну из координат, мы получаем два семейства координатных кривых, покрывающих поверхность координатной сеткой.Случай явного задания. Поверхность S  может быть определена как график функции zf  ; тогда S  является гладкой регулярной поверхностью, если функция f  дифференцируема. Этот вариант можно рассматривать как частный случай параметрического задания: xu;\ yv;\ zf.Касательная плоскость:Касательная плоскость в точке гладкой поверхности — это плоскость, имеющая максимальный порядок соприкосновения с поверхностью в этой точке. Эквивалентный вариант определения: касательная плоскость есть плоскость, содержащая касательные ко всем гладким кривым, проходящим через эту точку.Отсюда видно, что все касательные ко всем кривым в данной точке лежат в одной плоскости, содержащей векторы \frac\partial\ bfr \partial u, \frac\partial\ bfr \partial v , которые мы выше предположили независимыми.В координатах уравнения касательной плоскости для разных способов задания поверхности приведены в таблице:Метрика и внутренняя геометрия:Эта квадратичная форма называется первой квадратичной формой и представляет собой двумерный вариант метрики поверхности. Для регулярной поверхности её дискриминант EG-F^2 0  во всех точках. Коэффициент F0  в точке поверхности тогда и только тогда, когда в этой точке координатные кривые ортогональны. В частности, на плоскости с декартовыми координатами u,\ v  получается метрика ds^2 du^2 + dv^2.Метрика не определяет однозначно форму поверхности. Например, метрики геликоида и катеноида, параметризованных соответствующим образом, совпадают, то есть между их областями существует соответствие, сохраняющее все длины  Метрические коэффициенты E,\ F,\ G  определяют не только длины всех кривых, но и вообще результаты всех измерений внутри поверхности. Поэтому всё, что зависит только от метрики, относится к внутренней геометрии.Нормаль и нормальное сечение:Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в заданной точке:Сечение поверхности плоскостью, содержащей нормаль поверхности в заданной точке, образует некоторую кривую, которая называется нормальным сечением поверхности. Главная нормаль для нормального сечения совпадает с нормалью к поверхности.Если же кривая на поверхности не является нормальным сечением, то её главная нормаль образует с нормалью поверхности некоторый угол \theta. Тогда кривизна k  кривой связана с кривизной k_n  нормального сечения формулой Мёнье:Здесь \fracD D\beginvmatrixy'_u  y'_v \\ z'_u  z'_v \endvmatrix,\quad\fracD D\beginvmatrix z'_u  z'_v\\ x'_u  x'_v \endvmatrix,\quad\fracD D\beginvmatrixx'_u  x'_v \\ y'_u  y'_v \endvmatrix.Кривизна:Для разных направлений в заданной точке поверхности получается разная кривизна нормального сечения, которая называется нормальной кривизной; ей приписывается знак плюс, если главная нормаль кривой идёт в том же направлении, что и нормаль к поверхности, или минус, если направления нормалей противоположны.Вообще говоря, в каждой точке поверхности существуют два перпендикулярных направления e_1  и e_2 , в которых нормальная кривизна принимает минимальное и максимальное значения; эти направления называются главными. Исключение составляет случай, когда нормальная кривизна по всем направлениям одинакова, тогда все направления в точке — главные.Нормальные кривизны в главных направлениях называются главными кривизнами; обозначим их \kappa_1  и \kappa_2. Величина:называется гауссовой кривизной, полной кривизной или просто кривизной поверхности. Встречается также термин скаляр кривизны, который подразумевает результат свёртки тензора кривизны; при этом скаляр кривизны вдвое больше, чем гауссова кривизна.Гауссова кривизна может быть вычислена через метрику, и поэтому она является объектом внутренней геометрии поверхностей. По знаку кривизны можно классифицировать точки поверхности. Кривизна плоскости равна нулю. Кривизна сферы радиуса R всюду равна \frac1R^2. Существует и поверхность постоянной отрицательной кривизны — псевдосфера.Геодезические линии, геодезическая кривизна:Кривая на поверхности называется геодезической линией, или просто геодезической, если во всех её точках главная нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности. Пример: на плоскости геодезическими будут прямые и отрезки прямых, на сфере — большие круги и их отрезки.Эквивалентное определение: у геодезической линии проекция её главной нормали на касательную плоскость есть нулевой вектор. Если кривая не является геодезической, то указанная проекция ненулевая; её длина называется геодезической кривизной k_g  кривой на поверхности. Имеет место соотношение:где k   — кривизна данной кривой, k_n   — кривизна нормального сечения поверхности с той же касательной.На достаточно малом участке поверхности две точки всегда можно соединить геодезической, и притом только одной. Пояснение: на сфере противоположные полюса соединяет бесконечное количество меридианов, а две близкие точки можно соединить не только отрезком большого круга, но и его дополнением до полной окружности, так что однозначность соблюдается только в малом.Геодезическая является кратчайшей. Более строго: на малом куске поверхности кратчайший путь между заданными точками лежит по геодезической.Площадь:Здесь \ bfr'_u\left\\frac\partial x\partial u,\,\frac\partial y\partial u,\,\frac\partial z\partial u\right\,\ \ bfr'_v\left\\frac\partial x\partial v,\,\frac\partial y\partial v,\,\frac\partial z\partial v\right\.Поверхность в топологии:Ориентация:Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным вектором нормали. В противном случае поверхность называют односторонней.Примерами односторонних и, следовательно, неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лист Мёбиуса.Типы поверхностей:Открытая поверхность — полная некомпактная поверхность без границы; в случае вложенной поверхности дополнительно предполагается, что она образует замкнутое множество в объемлющем пространстве.Обобщение:Литература: