Множество — одно из ключевых понятий математики; это математический объект, сам являющийся набором, совокупностью, собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для всех их характеристическим свойством.Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и неупорядоченным, конечным и бесконечным, бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию.История понятия:Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.С 1872 года по 1897 год Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств, включая теорию точечных множеств и теорию трансфинитных чисел. В этих работах он не только ввёл основные понятия теории множеств, но и обогатил математику рассуждениями нового типа, которые применил для доказательства теорем теории множеств, в частности впервые к бесконечным множествам. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. В частности определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством».Так как теория множеств фактически используется как основание и язык всех современных математических теорий, в 1908 году теория множеств была аксиоматизирована независимо Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. В дальнейшем многие исследователи пересматривали и изменяли обе системы, в основном сохранив их характер. До сих пор они всё ещё известны как теория типов Рассела и теория множеств Цермело. Впоследствии теорию множеств Кантора стало принято называть наивной теорией множеств, а вновь построенную — аксиоматической теорией множеств.В практике, сложившейся с середины XX века множество определяется как модель, удовлетворяющая аксиомам ZFC.При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами.Элемент множества:Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если a   — элемент множества A , то записывают a \in A. Если a  не является элементом множества A , то записывают a \notin A. В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его:Задание множества:Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество. Например, множество Y  неотрицательных чётных чисел, меньших 10 можно задать в виде списка: Y \left \ 0, 2, 4, 6, 8 \right \. Данный способ удобно применять лишь к ограниченному числу конечных множеств.Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов. Множество Y  задано, если указано условие A , которому удовлетворяют все элементы, принадлежащие множеству Y  и которому не удовлетворяют элементы, не принадлежащие множеству Y.используется для задания множества Y  ; оно означает, что множество Y  состоит из тех и только тех элементов x  множества X , для которых выполнено условие A.Некоторые виды множеств и сходных объектов:Специальные множества:Универсальное множество  — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время более узко как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».Сходные объекты:Кортеж  Вектор — элемент линейного пространства, содержащий конечное число элементов некоторого поля в качестве координат. Порядок имеет значение, элементы могут повторяться.Последовательность — функция одного натурального переменного. Представляется как бесконечный набор элементов, порядок которых имеет значение.Нечёткое множество — математический объект, подобный множеству, принадлежность которому задаётся не отношением, а функцией. Иными словами, относительно элементов нечёткого множества можно говорить «в какой мере» они в него входят, а не просто, входят они в него или нет.По иерархии:Система множеств  — множество, все элементы которого также являются множествами, обычно схожего происхождения.Отношения между множествами:A  и B  находятся в общем положении, если существует элемент, принадлежащий исключительно множеству A , элемент, принадлежащий исключительно множеству B , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:Операции над множествами:Бинарные операции:Для объяснения смысла операций часто используются диаграммы Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.Всякая система множеств, замкнутая относительно операций объединения и пересечения, образует относительно объединения и пересечения дистрибутивную решётку.Унарные операции:Операция дополнения подразумевает некоторый зафиксированный универсум, и сводится к разности множеств с этим универсумом:Система множеств с фиксированным универсумом, замкнутая относительно операций объединения, пересечения с введённым таким образом дополнением образует булеву алгебру.Булеан 2^X  порождает систему множеств с фиксированным универсумом X , замкнутую относительно операций объединения и пересечения, то есть, образует булеву алгебру.Приоритет операций:Последовательность выполнения операций над множествами, как и обычно, может быть задана скобками. При отсутствии скобок сначала выполняются унарные операции, затем — пересечения и разности, которые имеют одинаковый приоритет, затем — объединения и симметрической разности. Операции одного приоритета выполняются слева направо. При этом надо иметь в виду, что в отличие от арифметических сложения и вычитания, для которых верно, что -c a + , для аналогичных операций над множествами это неверно. Например, если A\1,3\, B\1,2\, C\2,3\,  то \setminus C\1\,  но, в то же время, A\cup\1, 3\.Мощность множества — характеристика множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества таким образом, чтобы множества, между которыми возможно установление биекции были равномощны. Обозначается  - A -   или \sharp A. Мощность пустого множества равна нулю, для конечных множеств мощность совпадает с числом элементов, для бесконечных множеств вводятся специальные кардинальные числа, соотносящиеся друг с другом по принципу включения и распространением свойства мощности булеана конечного множества:  - 2^A -  2^ - A -   на случай бесконечных множеств.Наименьшая бесконечная мощность обозначается \aleph_0 , это мощность счётного множества. Мощность континуума, биективного булеану счётного множества обозначается \ frak c  или 2^\aleph_0. Континуум-гипотеза — предположение о том, что между счётной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей.