Прямая — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных понятий, их свойства и связь с другими понятиями  - точки и плоскости определяются аксиомами геометрии.Прямая, наряду с окружностью, относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки. Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках».Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии, которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов.Свойства прямой в евклидовой геометрии:Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени.Уравнения прямой на плоскости:Общее уравнение прямой:Уравнение прямой с угловым коэффициентом:Уравнение прямой линии, пересекающей ось Oy  в точке  и образующей угол \varphi  с положительным направлением оси Ox :Уравнение прямой в отрезках:Нормальное уравнение прямой:где p   — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а \theta   — угол между положительным направлением оси Ox  и направлением этого перпендикуляра. Если p0 , то прямая проходит через начало координат, а угол \theta\varphi+\frac\pi2  задаёт угол наклона прямой.Пусть дана прямая L.  Тогда OP \perp L  и  - \overrightarrowOP -  p.  Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт \overrightarrowe_p,  - \overrightarrowe_p - 1.  Допустим, что угол между  - \overrightarrowe_p -   и осью Ox  равен \theta.  Так как \sin^2\theta + \cos^2\theta 1,  то можно записать: \overrightarrowe_p.  Теперь рассмотрим произвольную точку M.  Проведём радиус-вектор \overrightarrowOM.  Теперь найдём проекцию \overrightarrowOM  на вектор \overrightarrowe_p. x\cos\theta+y\sin\thetap.  Следовательно, x\cos\theta+y\sin\theta-p0.  Это и есть нормальное уравнение прямой.Если прямая задана общим уравнением Ax+By+C0,  то отрезки a  и b,  отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент k,  расстояние прямой от начала координат p,  \cos\theta  и \sin\theta  выражаются через коэффициенты A , B  и C  следующим образом:Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие p 0.  В этом случае \cos\theta  и \sin\theta  являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если C0,  то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки:Если заданы две несовпадающие точки с координатами  и , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением.Векторное параметрическое уравнение прямой:Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором \vecr_0,  конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой \vecu.  Параметр t  пробегает все действительные значения.Параметрические уравнения прямой:где t   — произвольный параметр, a_x,\; a_y   — координаты x  и y  направляющего вектора прямой. При этом.Каноническое уравнение прямой:где a_x, a_y   — координаты x  и y  направляющего вектора прямой, x_0  и y_0  координаты точки, принадлежащей прямой.Уравнение прямой в полярных координатах:Тангенциальное уравнение прямой:Уравнения прямой в пространстве:где \vecr_0   — радиус-вектор некоторой фиксированной точки M_0,  лежащей на прямой, \vec a   — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, \vec r   — радиус-вектор произвольной точки прямой.некоторой фиксированной точки M_0,  лежащей на прямой;   — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.некоторой фиксированной точки M_0,  лежащей на прямой;   — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.где фиксированный вектор \vec M , ортогональный вектору \vec a , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.Взаимное расположение точек и прямых на плоскости:где знак перед радикалом противоположен знаку C.  Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t  этой точки может быть найден по формуле.Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости:При этом под \gamma_12  понимается угол, на который надо повернуть первую прямую вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.Эти прямые параллельны, если A_1B_2-A_2B_10  или k_1k_2 , и перпендикулярны, если A_1A_2+B_1B_20  или k_1-\frac1k_2.Любую прямую, параллельную прямой с уравнением A_1x+B_1y+C_10,  можно выразить уравнением A_1x+B_1y+C0.  При этом расстояние между этими прямыми будет равно.Если же уравнение прямой задано как y_1kx_1+b_1 , а уравнение прямой параллельной ей ykx+b , то расстояние можно вычислить, как.Если знак перед радикалом противоположен C_1,  то \delta  будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие.Некоторые специальные типы прямых: