Общие сведения:Плоскость, содержащая обе стороны угла, делится углом на две области. Каждая из этих областей, объединённая со сторонами угла, называется плоским углом. Один из плоских углов иногда условно называют внутренним, а другой — внешним. Точки плоского угла, не принадлежащие его сторонам, образуют внутреннюю область плоского угла.В другом, эквивалентном варианте определения плоским углом называется часть плоскости, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки и пересекающих некоторую лежащую в этой плоскости линию.Кроме наиболее часто встречающихся плоских углов, в качестве углов могут рассматриваться и более общие объекты — фигуры, образованные пересекающимися дугами, полуплоскостями и другими фигурами как в евклидовой, так и в других типах геометрии в метрических пространствах различной размерности.Обозначение углов:Для обозначения угла имеется общепринятый символ: \angle,  предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном.В математических выражениях углы часто обозначают строчными греческими буквами: и др. Как правило, данные обозначения также наносятся на чертёж для устранения неоднозначности в выборе внутренней области угла. Чтобы избежать путаницы с числом пи, символ, как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов часто применяют буквы.Также часто угол обозначают тремя символами точек, например \angle ABC.  В такой записи B   — вершина, а A  и C   — точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться.Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, \angle   — здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника \angle BAC , , который надо было бы обозначить \angle.На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.Угловая мера:Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными  угловая мера угла равна сумме угловых мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла используют обозначение \angle ABC,  а для величины меры измерения этого угла — обозначение \widehat ABC.Наиболее распространённая градусная мера — градус, минута, секунда, в которой за 1° принимается 1180 от развёрнутого угла, одна минута 1'1^\circ60 , и одна секунда 11'60. Градусная мера применяется в элементарной геометрии, в геодезии по карте и на местности  - универсалтеодолит.Радианная мера угла — отношение длины стягивающей дуги к её радиусу. Радианная мера используется в математическом анализе значений обратных аркфункций, в планиметрии и механике.Углы можно измерять также в оборотах. Один оборот — это полный угол. Про произвольный угол говорят, что он составляет оборотов, если  — отношение длины дуги, стягивающей угол, к длине окружности, содержащей эту дугу.Градовая мера измерения углов была предложена к применению исторически, в настоящее время почти нигде не используется, поскольку не вытеснила более распространённую шестидесятеричную градусную.Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону, где использовалась шестидесятеричная система счисления, следы которой сохранились у нас в делении времени и углов.В морской терминологии углы измеряются в румбах. 1 румб равен от полной окружности компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.В астрономии угол прямого восхождения и часовой угол в экваториальной системе координат измеряются в часах, минутах и секундах ; это связано с угловой скоростью осевого вращения Земли, составляющей приблизительно 1 оборот за 24 часа. Таким образом, за один час времени небесная сфера «поворачивается» примерно на 1 час в угловой мере. Остальные угловые величины в астрономии выражаются обычно в градусах, минутах и секундах дуги. Следует отметить во избежание путаницы, что одна секунда прямого восхождения равна 15 секундам дуги.В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015°. В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения, к ним относятся:Иногда углы  - уклона поверхности измеряют не собственно угловой мерой, а её тангенсом, то есть отношением подъёма по наклонной плоскости к проекции на горизонталь пройденного по ней пути. Для обычного случая малых углов уклона это отношение примерно равно углу, выраженному в радианах. При этом отношение выражается обычно в процентах или промилле. Например, уклон дороги в 10 % означает, что на каждые 100 метров пути дорога поднимается на 10 м; угол к горизонту равен arctg ≈ 5,71° ≈ 0,1 радиана.Такой способ измерения углов не является, строго говоря, угловой мерой, так как не обладает свойством аддитивности.Направление отсчёта углов:В математике и физике, обычно, положительным направлением отсчёта углов считается направление против часовой стрелки. Обычно, угол начинают измерять от луча, начало которого совпадает с центром системы координат, а направление совпадает с положительным направлением оси абсцисс.В географии и геодезии за начало отсчёта углов по азимуту принято направление «на север»; угол отсчитывается по часовой стрелке.Таким образом, направлению «на восток» соответствует азимутальный угол 90°, «на юг» — 180°, «на запад» — 270°. В артиллерии предпочитают направление полярной оси «на юг» и соответствующий полярный угол называют также азимутом.Типы углов:Развёрнутый угол ; сторонами развёрнутого угла являются две полупрямые одной прямой, то есть два луча, направленных в противоположные стороны.Биссектриса:Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и проходящий через его внутреннюю область, который образует с его сторонами два равных угла. Расстояние любой точки биссектрисы от сторон угла одинаково.Плоские углы:Термин плоский угол употребляется как синоним термина угол, определённого в начале статьи, для отличия его от употребляемого в стереометрии понятия телесного угла.Под свойствами плоских углов нередко понимают соотношения величин углов в случае, когда углы лежат в одной плоскости.Вертикальные и прилежащие углы:Файл:Consecutive angles.svg - Прилежащие углы. Величина угла, образованного внешними их сторонами, равна сумме величин их самих.Файл:Supplementary angles.png - Смежные углы — на этом рисунке острый и тупой  — образуют развёрнутый угол.Файл:Explementary angles.png - Сопряжённые углы — образуют полный угол ; на этом рисунке частный пример: 150° + 210° 360°.Вертикальные углы — два угла, которые образуются при пересечении двух прямых, эти углы не имеют общих сторон. Другими словами — два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Их основное свойство: вертикальные углы равны.Прилежащие углы — два угла, имеющие общую вершину и одну из сторон, но не пересекающиеся внутренними областями, лежащими в одной плоскости. Величина угла, образованного внешними сторонами прилежащих углов равна сумме величин самих прилежащих углов.Плоские углы с параллельными сторонами:Углы, стороны которых попарно параллельны и сонаправлены, равны друг другу. Пара углов, у которых одна пара сторон параллельна и сонаправлена друг другу, а вторая пара сторон параллельна и противоположно направлена, составляют в сумме по величине развёрнутый угол, то 180°  — поскольку их можно параллельным переносом превратить в смежные углы.Углы со взаимно перпендикулярными сторонами:Внешний угол треугольника:Теорема о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с внешним углом.Углы многоугольника:Сумма внутренних углов i  произвольного -угольника без самопересечений равна \sum_i1^n \alpha_i \cdot 180^\circ.Следствие:Назовём внешним углом угол, дополняющий внутренний угол i  до полного угла: 360° − α i.Сумма внешних углов произвольного -угольника без самопересечений равна \sum_i1^n \beta_i n\cdot 360^\circ - \sum_i1^n \alpha_i \cdot 180^\circ.Центральный и вписанный угол:Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, заключённой между сторонами этого угла.Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, ограниченной его сторонами. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося у основания на окружности на ту же самую дугу.Вариации и обобщения:Величиной ориентированного угла между прямыми AB  и CD    называют величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB  так, чтобы она стала параллельна прямой CD.  При этом углы, отличающиеся на ·180°, считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD  и AB  не равен ориентированному углу между прямыми AB  и CD. Ориентированные углы обладают следующими свойствами: а \angle-\angle ;  б \angle +\angle\angle ;  в точки A,B,C,D,  не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда \angle\angle.Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О до заданного положения. В этом случае угол является мерой поворота луча. Такое определение позволяет обобщить понятие угла, расширив его область определения на всю числовую прямую : вводятся углы, большие 360°, в зависимости от направления вращения различают положительные и отрицательные углы. В тригонометрии такое рассмотрение позволяет изучать тригонометрические функции для любых значений аргумента.Телесный угол:Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки и пересекающих некоторую поверхность.Телесные углы измеряются в стерадианах, а также во внесистемных единицах — в частях полной сферы, в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.многогранный угол — часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке.Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом, так и телесным углом. Если линейный угол двугранного угла равен, то его телесный угол равен 2.Угол между кривыми:Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.Угол и скалярное произведение:Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы, на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение  между двумя элементами пространства x  и y.  Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму элемента как квадратный корень произведения элемента на себя  -  - x -  - \sqrt.  Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши — Буняковского для скалярного произведения:  -   - \leqslant  -  - x -  - \cdot -  - y -  - ,  откуда следует, что величина \frac  -  - x -  - \cdot  -  - y -  -   принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда, когда элементы пропорциональны друг другу. Это позволяет интерпретировать отношение \frac  -  - x -  - \cdot  -  - y -  -   как косинус угла между элементами x  и y.  В частности, элементы называют ортогональными, если скалярное произведение равно нулю.В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале a,b  функциями, если ввести стандартное скалярное произведение\int^b_a f g dx,  тогда нормы функций определяются как  -  - f -  - ^2\int^b_a f^2 dx.  Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора g_ij.  Скалярное произведение касательных векторов u  и v  в тензорной записи будет иметь вид:g_iju^iv^j,  соответственно нормы векторов —  -  - u -  - \sqrt - g_iju^iu^j -   и  -  - v -  - \sqrt - g_ijv^iv^j -.  Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: \cos \theta \frac  -  - u -  - \cdot  -  - v -  -  \frac g_iju^iv^j \sqrt - g_iju^iu^j - \cdot  - g_ijv^iv^j -.Угол в метрическом пространстве:Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y  и z  с вершиной в точке x   как неотрицательное число \widehatyxz , которое удовлетворяет трём аксиомам:Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y-x  и z-x  в смысле евклидова пространства.Измерение углов:Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир ; как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:Угловым расстоянием между двумя объектами для наблюдателя называется мера угла, в вершине которого находится наблюдатель, а объекты лежат на сторонах. Для грубой оценки углов между двумя удалёнными предметами можно использовать кисть руки. На расстоянии вытянутой руки угловому расстоянию в 1 градус соответствует ширина мизинца, углу в 10 градусов — ширина сжатого кулака, расположенного горизонтально, углу в 20 градусов  — расстояние между кончиками разведённых большого и указательного пальца, а угловое расстояние от конца мизинца до конца большого пальца равно примерно четверти прямого угла. Это усреднённые данные. Рекомендуется уточнить их для своей собственной руки.Различные методы и устройства для измерения углов характеризуются угловым разрешением, то есть минимальным углом, который может быть измерен с помощью данного метода. Наилучшим угловым разрешением обладают различные интерферометрические методы, позволяющие измерить в некоторых случаях углы в несколько микросекунд дуги.Примеры практических тригонометрических измерений:Как измерить угол с помощью сторон треугольника и отсутствии ПК для вычисления cos и подручными средствами — линейки с миллиметровыми делениями?.По сторонам угла отложите отрезки по 60 мм и концы соедините прямой линией. Длина этой линии в миллиметрах покажет примерно величину угла в градусах. Таким способом можно с достаточной точностью измерять острые углы до 60°. Если угол больше 60°, измеряют его дополнение до 90°, 180, 270° или 360°. Для измерения дополнения до 90° или 270° из вершины угла строится с помощью треугольника перпендикуляр к одной из сторон.Поместите линейку с миллиметровыми делениями перед собой на расстоянии 57 см от глаза. В этом случае деление, равное 1 см, будет соответствовать углу визирования в 1°. В справедливости данного способа вы легко убедитесь, если помните, что дуга центрального угла в 1° составляет примерно 157 часть радиуса. Точность измерения углов с помощью линейки зависит от точности положения линейки на необходимом расстоянии от глаза. В этом можно быстро натренироваться с помощью нитки, длина которой соответствует расстоянию от глаза до пальцев вытянутой руки.Наиболее просто это можно сделать сравнением измеряемого угла с прямым. Прямой угол вы можете отложить направлениями рук, одна из которых вытянута вдоль плеч, а вторая с поднятым большим пальцем направлена так, чтобы палец правой руки был перед правым глазом. Прямой угол можно глазомерно поделить на две или три равные части, каждая из которых будет соответствовать 45° или 30°.Меньшие значения углов можно отложить или измерить на местности следующим приёмом. Прежде всего измерьте линейкой ширину трёх сомкнутых пальцев своей руки: указательного, среднего и безымянного. Если она у вас будет равна 6 см, то при вытянутой на 60 см руке угол визирования на них составит примерно 6°. Соответственно угол визирования на каждый из этих трёх пальцев будет равен в среднем 2°. Если же ширина трёх пальцев получится у вас, например, 5 см, то, чтобы углы визирования были такими же, руку надо вытягивать на 50 см.При вытянутой руке угол визирования на большой и указательный пальцы, раздвинутые под прямым углом, составляет примерно 15°. Как это проверить и уточнить?.Прежде всего заметьте на местности ориентир и от него отложите угол 90°. Это можно сделать приёмом, описанным в предыдущей задаче. Затем от ориентира отложите шесть углов по 15° визированием на большой и указательный пальцы, раздвинутые под прямым углом. Последнее отложение угла должно составить на местности прямой угол. Если этого точно не получилось, нужно повторить отложения, держа вытянутую руку немного ближе или дальше от глаза. Этим самым вы определите расстояние, на которое нужно вытягивать руку для отложения угла 15°.Углы также можно вычислить с помощью различных измерительных приборов и приспособлений — посредством тригонометрии на счётной линейке, инженерном калькуляторе , с помощью функций таблицы MS Office Excel: cos, затем arccos, и перевести, также функциями, значение радианов в градусы ;.Существуют также специальные тригонометрические таблицы: sin, cos, а также arccos, arcsin, последние, кстати, могут быть с перерасчётом в градусы.В аналитической геометрии угол между прямыми в координатной плоскости, например, задаётся уравнением: