мини, описанный алгебраическими тригонометрическими уравнениями xv \times \cos , yv \times \sin , z2 \times \sin .Алгебра. М.: Высшая школа, 1978, стр. 6.  — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.Классификация:Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами. В ней постоянные и переменные обозначаются буквенными символами. Элементарная алгебра содержит правила преобразования алгебраических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра.Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где аксиоматизируются и изучаются максимально общие алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля.Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.Элементарная алгебра:Позволяет получить общее представление законов арифметики, что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.Позволяет сформулировать понятие функции. 3x - 10 , где f   — функция, и x   — число, от которого зависит функция».Линейная алгебра:Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм, теорию инвариантов, тензорное исчисление. Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств.# существует такой элемент \theta \in V , что \ bfx + \theta \ bfx  для любого \ bfx \in V , в частности V  не пусто;.Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп.Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа. Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольного кольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории.Общая алгебра:Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре.Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли.Теория групп:Непустое множество G  с заданной на нём бинарной операцией \,\colon G \times G \to G  называется группой , если выполнены следующие аксиомы:Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов. Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп.Теория колец:Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × , со следующими свойствами:# \exists 0 \in R\; \forall a \in R \left   — существование нейтрального элемента относительно сложения;.# \forall a \in R\; \exists b \in R \left   — существование противоположного элемента относительно сложения;.# \forall a, b, c \in R \left\\beginmatrix a \times a \times b + a \times c \\ \times a b \times a + c \times a \endmatrix\right.   — дистрибутивность.Универсальная алгебра:Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустое множество с заданным набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: \ frak A \langle A, F, R\rangle , F \langle f_1:A^n_1 \to A, \dots f_i:A^n_i \to A, \dots \rangle , R\langle r_1 \subseteq A^m_1, \dots r_i \subseteq A^m_i, \dots \rangle. Множество A  в этом случае называется носителем системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями \langle F, R, \langle n_1, \dots n_i, \dots \rangle, \langle m_1 \dots m_i, \dots \rangle \rangle   — её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй, а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой.В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальная алгебра \left , такая, что алгебра \left   — абелева группа, и операция +  дистрибутивна слева и справа относительно \times. Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой.Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмов \ bfEnd \ frak A , группа всех автоморфизмов \ bfAut \ frak A , решётки всех подалгебр \ bfSub \ frak A  и всех конгруэнций \ bfCon \ frak A.Исторический очерк:Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса. Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне.Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени —46. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного, второго неизвестного, третьего неизвестного, а также различных производных величин, которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами —46.После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение. Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда, который исследовал в общем виде уравнение x^3+ax+b0. Отдельные задачи решались с помощью конических сечений.Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии.За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В XIII веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя.Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского учёного Аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы». Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение».В XII веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространение получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации.Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах.Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.В России одним из популяризаторов алгебры был первый русский писатель европейского типа князь А. Д. Кантемир. Он употребил этот термин в своей первой сатире и дал ему такое определение: «Алгебра есть часть математики весьма трудная, но и преполезная, понеже служит в решении труднейших задач всея математики. Можно назвать ее генеральною арифметикою, понеже части их по большей мере между собою сходны, только что арифметика употребляет для всякого числа особливые знаки, а алгебра генеральные, которые всякому числу служат. Наука сия, сказывают, в Европу пришла от арап, которых мнят быть ея изобретательми; имя самое алгебры есть арапское, которые ее называют Алжабр Валмукабала, то есть наверстать или соравнять».