# نظریه تجدید
نظریه تجدید، شاخه‌ای از نظریه احتمال است که فرایندهای پواسون را به زمان‌های نگهداری اختیاری عمومیت می‌دهد. کاربردهایی شامل محاسبه زمان انتظار برای میمونی که به صورت تصادفی به صفحه کلید ضربه می‌زند تا کلمه مک بت را تایپ کند و به محاسبه مزایای دراز مدت از سیاست‌های تضمینی مختلف بپردازد.

## مقدمه
فرایند تجدید، تعمیم یافتهٔ فرایند پواسون است. فرایند پواسون ذاتاً یک فرایند پیوسته مارکوف می‌باشد که توزیع مستقل یکسان از زمان‌های نگهداری شده از هر عدد صحیح {\displaystyle i} با توزیع نمایی قبل از رسیدن به عدد صحیح بعدی {\displaystyle i+1} با احتمال یک است.
در رویه غیررسمی ممکن است نظریه تجدید را به همین صورت تعریف کنیم به جز اینکه زمان‌های نگهداری شده از توزیع عمومی تری گرفته شده‌اند. (توجه داشته باشید که مشخصات توزیع‌های مستقل ویکسان(متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان)از زمان‌های نگهداری شده حفظ می‌شوند.)

## تعریف ریاضی
فرض کنید {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},S_{5},\ldots } دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی مستقل وتوزیع شده یکسان باشد مثل:{\displaystyle 0<\mathbb {E} [S_{i}]<\infty .}
فرض می‌کنیم متغیر تصادفی {\displaystyle S_{i}} به عنوان {\displaystyle i}امین زمان ثبت شده باشد که برای هر ۰<"n" به صورت زیر تعریف می‌کنیم؛
{\displaystyle J_{n}=\sum _{i=1}^{n}S_{i},}
هر{\displaystyle J_{n}}مربوط به {\displaystyle n}امین پرش زمانی است وبازه{\displaystyle [J_{n},J_{n+1}]} به عنوان بازهٔ تجدید شناخته می‌شود
پس متغیر تصادفی {\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}} به صورت زیر داده می‌شود.
{\displaystyle X_{t}=\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {I} _{\{J_{n}\leq t\}}=\sup \left\{\,n:J_{n}\leq t\,\right\}}
به‌طوری‌که {\displaystyle \mathbb {I} } تابع شاخص مطرح است بیان‌کننده تعداد پرش است که در زمان t رخ داده است و به عنوان فرایند تجدید خوانده می‌شود.

## شرح و تفسیر
ممکن است شخصی فکر کند زمان‌های نگهداری شده {\displaystyle \{S_{i}:i\geq 1\}} به عنوان زمان طی شده قبل از یک خرابی ماشین را در {\displaystyle i}مین بار، در زمان آخرین خرابی باشد. به این فرض توجه کنید که ممکن است ماشین فوراً درست شده باشدوما کلاک را فوراً ریست می‌کنیم).
در این تفسیر زمان‌های پرش{\displaystyle \{J_{n}:n\geq 1\}}، زمان‌های موفقیت را ثبت می‌کنند که در کد یک از آن‌ها ماشین خراب شده و فرایند تجدید {\displaystyle X_{t}}، تعداد زمانهایی که تا این جا در زمان داده شده {\displaystyle t} باید تعمیر شده باشد را ثبت می‌کند.
اگر چه این مطلب برای فهم فرایند تجدید با وجود شکل مختصر خود، مؤثر است چون ممکن است برای مدل کردن تعداد زیادی از موقعیت‌های عملی وابسته استفاده شود ارتباط خیلی نزدیکی با عملکرد ماشین نداشته باشد.

## فرایندهای تجدید-پاداش
فرض کنید {\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots } دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی (پاداش)،IID باشد که در رابطه
{\displaystyle \mathbb {E} |W_{i}|<\infty .\,} صدق کند. سپس به متغیر تصادفی {\displaystyle Y_{t}=\sum _{i=1}^{X_{t}}W_{i}}، فرایند تجدید-پاداش گفته می‌شود. توجه کنید که بر خلاف {\displaystyle S_{i}}، هر{\displaystyle W_{i}} ممکن است مقدار منفی را همانند مقادیر مثبت بگیرد. متغیر تصادفی {\displaystyle Y_{t}}، به دو دنباله وابسته است: زمان‌های نگهداری شده {\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots } وپاداشهای{\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots }، نیازی نیست که این دو دنباله مستقل از هم باشند. اصولاً{\displaystyle W_{i}} تابعی از{\displaystyle S_{i}}است.

### تفسیر
در فهم تفسیر بالا از زمان‌های نگهداری شده، به عنوان زمان بین خرابی‌های متوالی یک ماشین، پاداش های{\displaystyle W_{1},W_{2},\ldots } (که در این مورد به عنوان منفی بودن اتفاق افتاده است) به عنوان هزینه تعمیر متوالی و به عنوان نتایج خرابی‌های متوالی می‌باشد، بیان می‌شود.
یک مقایسه جایگزین این است که، یک غاز جادویی داشته باشیم که بر روی تخم‌ها در بازه‌های توزیع شده مثل{\displaystyle S_{i}} (زمان‌های نگهداری شده) می‌خوابد، بعضی وقت‌ها بر روی تخم‌های طلایی با وزنهای تصادفی می‌خوابد و گاهی اوقات بر روی تخمهای سمی می‌خوابد (باوزن‌های تصادفی) که نیازمند درد معرض دید بودن (هزینه بربودن) می‌باشد. پاداشهای {\displaystyle W_{i}}، سودها یا ضررهای مالی ناشی از تخمهای متوالی می‌باشد و {\displaystyle Y_{t}}، مجموع مالی از پاداش‌ها در زمان {\displaystyle t} را ثبت می‌کند.

## مشخصات فرایندهای تجدید و فرایندهای پاداش–تجدید
تابع تجدید را به این صورت تعریف می‌کنیم؛ {\displaystyle m(t)=\mathbb {E} [X_{t}].\,}

### قضیه اولیه تجدید
تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}m(t)=1/\mathbb {E} [S_{1}].}

#### برهان
در زیر شما متوجه می‌شوید که قانون قوی تعداد زیاد برای فرایندهای تجدید به ما می‌گویند که
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {X_{t}}{t}}={\frac {1}{\mathbb {E} [S_{1}]}}.} برای اثبات قضیه اولیه تجدید، سخت است که نشان دهیم {\displaystyle \left\{{\frac {X_{t}}{t}};t\geq 0\right\}} به یک شکل قابل انتگرال‌گیری هستند.
برای انجام این، تعدادی از فرایندهای کوتاه شدهٔ تجدید را در نظر بگیرید که زمان‌های نگهداری شده بوسیله
{\displaystyle {\overline {S_{n}}}=a\mathbb {I} \{S_{n}>a\}}تعریف می‌شود که {\displaystyle a} نقطه‌ای است که
{\displaystyle 0<F(a)=p<1}که برای هر فرایند تجدید تا معین، وجود دارد {\displaystyle {\overline {X_{t}}}} یک حد بالایی روی {\displaystyle X_{t}} است و تجدیدهای آن فقط در شبکه {\displaystyle \{na;n\in \mathbb {N} \}} اتفاق می‌افتد. علاوه بر این، تعداد تجدیدها در هر زمان تصاعد هندسی با پارامتر {\displaystyle p} است، بنابراین داریم:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X_{t}}}&\leq \sum _{i=1}^{[at]}\mathrm {Geometric} (p)\\\mathbb {E} \left[\,{\overline {X_{t}}}\,\right]^{2}&\leq C_{1}t+C_{2}t^{2}\\P\left({\frac {X_{t}}{t}}>x\right)&\leq {\frac {E\left[X_{t}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {E\left[{\overline {X_{t}}}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {C}{x^{2}}}.\end{aligned}}}

### قضیه پایه‌ای تجدید برای فرایندهای تجدید-پاداش
تابع پاداش را به صورت زیر تعریف کرده‌ایم: {\displaystyle g(t)=\mathbb {E} [Y_{t}].\,}
تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}g(t)={\frac {\mathbb {E} [W_{1}]}{\mathbb {E} [S_{1}]}}.}

### معادله تجدید
تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:{\displaystyle m(t)=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds}
به‌طوری‌که {\displaystyle F_{S}} تابع توزیع عمومی {\displaystyle S_{1}} است و {\displaystyle f_{S}} تابع چگالی احتمال متناظر است.

#### برهان معادله تجدید
ممکن است مجدداً انتظار اولین زمان نگهداری شده را بازگو کنیم:
{\displaystyle m(t)=\mathbb {E} [X_{t}]=\mathbb {E} [\mathbb {E} (X_{t}\mid S_{1})].\,}
ولی به وسیلهٔ مشخصه مارکوف داریم:
{\displaystyle \mathbb {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)=\mathbb {I} _{\{t\geq s\}}\left(1+\mathbb {E} [X_{t-s}]\right).\,}
بنابراین
{\displaystyle {\begin{aligned}m(t)&{}=\mathbb {E} [X_{t}]\\[12pt]&{}=\mathbb {E} [\mathbb {E} (X_{t}\mid S_{1})]\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\mathbb {E} (X_{t}\mid S_{1}=s)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{\infty }\mathbb {I} _{\{t\geq s\}}\left(1+\mathbb {E} [X_{t-s}]\right)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int _{0}^{t}\left(1+m(t-s)\right)f_{S}(s)\,ds\\[12pt]&{}=F_{S}(t)+\int _{0}^{t}m(t-s)f_{S}(s)\,ds,\end{aligned}}}

### مشخصه‌های مجانبی
مشخصه‌های مجانبی {\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}} و {\displaystyle (Y_{t})_{t\geq 0}}
در رابطه زیر صدق می‌کند:
(قانون قوی تعداد فراوان برای فرایندهای تجدید){\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}X_{t}={\frac {1}{\mathbb {E} S_{1}}}}
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}Y_{t}={\frac {1}{\mathbb {E} S_{1}}}\mathbb {E} W_{1}}
(قانون قوی تعداد فراوان برای فرایندهای تجدید)

#### برهان
ابتدا در نظر بگیرید {\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}، با تعریفی که ما داریم:
{\displaystyle J_{X_{t}}\leq t\leq J_{X_{t}+1}}
برای همه {\displaystyle t\geq 0} داریم
{\displaystyle {\frac {J_{X_{t}}}{X_{t}}}\leq {\frac {t}{X_{t}}}\leq {\frac {J_{X_{t}+1}}{X_{t}}}}
و همچنین چون {\displaystyle 0<\mathbb {E} S_{i}<\infty }، داریم:
{\displaystyle X_{t}\to \infty }

### بررسی قیاس ضد و نقیض
ویژگی عجیب فرایندهای تجدید این است که ما در بعضی از زمان‌های از قبل مشخص شده t صبر می‌کنیم و سپس مشاهده می‌کنیم که بازه تجدید شامل t چه اندازه است، ما باید انتظار داشته باشیم که بزرگتر از سایز بازه میانگین باشد.
قیاس ضد و نقیض به صورت ریاضی این‌گونه بیان می‌شود: برای هر t>0، بازه تجدید شامل t، به صورت اتفاقی بزرگتر از بازه تجدید اولیه است؛ که برای همه x>0 و همه t>0:
{\displaystyle \mathbb {P} (S_{X_{t}+1}>x)\geq \mathbb {P} (S_{1}>x)=1-F_{S}(x)}
که FS تابع توزیع عمومی IID از زمان‌های نگهداری شده Si است.

### اصل برهم نهی
روی هم قرار دادن فرایندهای تجدید مستقل، عموماً یک فرایند تجدید نیست، تابع توزیع عمومی از رخدادهای داخلی زمان در فرایند برهم نهی به وسیله فرمول زیر داده می‌شود:
{\displaystyle >R(t)=\sum _{k=1}^{K}{\frac {\alpha _{K}}{\sum _{k=1}^{K}\alpha _{K}}}R_{k}(t)\prod _{j=1,j\neq k}^{K}\alpha _{j}\int _{t}^{\infty }R_{j}(u){\text{d}}u}
به‌طوری کهR وCDF رخدادهای داخلی زمان هستند و نرخ ورودی فرایندها Kاست.