Иван Букин родился в Москве в семье прославленного советского фигуриста Андрея Букина и с пяти лет занимается фигурным катанием. С 2006 года в группе танцев на льду тренеров Свинина и Жук. Сначала его партнёршей была Елена Ильиных. В 2008 году встал в пару с Александрой Степановой. Член сборной России с 2009 года. Пара дважды участвовала в чемпионатах мира среди юниоров и наивысшим их достижением на этом турнире стало 1-е место в 2013 году. На предыдущем чемпионате пара финишировала второй, уступив золотую медаль другой российской паре.