Родился в 1929 году в Иерусалиме в семье иммигрантов из Польши. Учился в гимназии «Рехавия». Присоединился к подпольной организации Хагана. Прошёл повышение квалификации в организации Шай, служил в разведке третьего батальона Пальмаха, принимал участие в войне за независимость Израиля. После провозглашения независимости Государства Израиль ушёл в запас в чине старшего лейтенанта. В 1949 году уехал в США, где изучал международные отношения в университете Беркли. Во время учёбы подрабатывал в еврейской воскресной школе, синагоге и на фабрике, занимающейся пошивом обмундирования для американской армии. В 1954 году вернулся в Израиль и поступил в спецшколу Моссада. Адмони прошёл в Моссаде все ступени служебной лестницы, проведя 28 лет на оперативной работе в зарубежных резидентурах. Его первая командировка была в Эфиопию. С середины 60-х годов работал в Париже, а в 70-х годах находился в качестве офицера связи в Вашингтон, где участвовал совместных с ЦРУ операциях. В центральном аппарате Моссада был экспертом по альтернативной дипломатии и в 1976 году стал заместителем директора. В 1982 году правительство Израиля решило назначить на должность директора Моссада генерал-майора ЦАХАЛа Адама Йекутиэля, однако он погиб во время посещения в зоны боевых действий в Ливане. Вместо него, на эту должность был назначен Нахум Адмони.