Klimov begon dankzij zijn moeder, die kunstschaatscoach in Sint-Petersburg was, met schaatsen. Hoewel hij in eerste instantie niet geïnteresseerd was in paarrijden, maakte hij op zijn zestiende op advies van zijn moeder toch die overstap. Klimov had twee eerdere schaatspartners gehad - onder wie Alexandra Malakhova - voor hij in de lente van 2009 gekoppeld werd aan Ksenia Stolbova. Bij hun enige twee deelnames aan de WK junioren won het paar brons (2010) en zilver (2011).