Mit dem 1. FC Kaiserslautern wurde er 1990 DFB-Pokalsieger und 1991 Deutscher Meister. In den Saisons 1985/86 und 1993/94 wurde er in der Bundesliga Torschützenkönig, 1987/88 und 1989/90 auch im DFB-Pokal. Von 1993 bis 1997 war Kuntz A-Nationalspieler des DFB und wurde Europameister 1996. Im Jahre 1991 wurde er zu Deutschlands erstem Fußballer des Jahres gewählt, der bis dahin noch nicht in der Nationalmannschaft gespielt hatte.