Sein Vater Hynek Klimek lebte bei Mährisch Schönberg im damaligen Österreich-Ungarn und war ein aktiver, katholischer Christdemokrat. Adolf Klimek absolvierte das Gymnasium in Hohenstadt und studierte dann Rechtswissenschaften an der Karls-Universität Prag. Während des Ersten Weltkriegs war er Offizier der Österreichisch-Ungarischen Armee und nahm im Jahr 1919 an dem tschechoslowakischen Feldzug gegen Ungarn und in der Slowakei teil (Ungarisch-Rumänischer Krieg). Im Jahr 1921 promovierte er in der Tschechoslowakei "(ČSR)" zum Doktor der Rechte "(Dr. iur.)". Er wurde zuerst als Musiklehrer angestellt, dann beteiligte er sich an dem Aufbau der Schulverwaltung in der Karpatenukraine. In den Jahren 1929–1940 war er Leiter der Abteilung für Rechts- und Haushaltsfragen am Ministerium für Bildungswesen in Prag.