Yuri Norshtéin nació en el pueblecito de Andréyevka, al oeste de Moscú, cuando sus padres, de origen bielorruso, huían de la invasión alemana durante la Segunda Guerra Mundial. Creció en el suburbio moscovita de Máryina Roscha. Más adelante, calificaría su infancia de "feliz pero dramática". Antes de estudiar animación en la productora Soyuzmultfilm, trabajó en una fábrica de muebles. Cuando terminó el curso, pasó a formar parte de la productora, en 1961. Trabajó como director artístico de varias películas, como "¿Quién dijo miau?" (1962), "El cocodrilo verde" y "El zurdo".