Największy sukces w karierze osiągnął w 2010 roku, kiedy na mistrzostwach świata w Antalyi zdobył złoty medal w wadze lekkiej (do 69 kg). Pierwotnie w zawodach triumfował Chińczyk Liao Hui przed Rumunem Ninelem Miculescu, jednak obaj zostali zdyskwalifikowani za stosowanie dopingu. Ostatecznie obu zawodnikom odebrano medale, a złoto otrzymał Binay. Pozostałe miejsca na podium zajęli Rosjanin Armen Ghazarjan oraz Triyatno z Indonezji. W tym samym roku Turek zdobył też brązowy medal podczas mistrzostw Europy w Mińsku, plasując się za Miculescu i Rosjaninem Michaiłem Gobiejewem. W 2012 roku Binay wystartował na igrzyskach olimpijskich w Londynie, gdzie zajął szóste miejsce w wadze lekkiej.