Первым тренером Авербуха была Жанна Громова, а впоследствии — Наталья Линичук и Геннадий Карпоносов. Илья Авербух в паре с Мариной Анисиной стал двукратным чемпионом мира среди юниоров (в 1990 и 1992 годах), но затем влюбился в Ирину Лобачёву, которая каталась с ним в одной группе, но с другим партнёром. Они начали кататься вместе в 1992 году и поженились в 1995 году. В 1995 году они переехали в США, где жили и тренировались вплоть до Олимпиады 2002 года. В 1998 году удачно дебютировали на зимних Олимпийских играх. В сезоне 2001—2002 пара пропустила все этапы серии Гран-при по причине травмы колена Ирины, которую она получила во время тренировок в сентябре 2001 года.