Galindo gewann 1987 die Juniorenweltmeisterschaft der Herren. Danach gab er den Einzellauf kurzzeitig auf um mit Kristi Yamaguchi im Paarlauf zu starten. Mit ihr gewann er 1988 auch die Juniorenweltmeisterschaft im Eiskunstlauf der Sportpaare sowie die US-Meisterschaften der Sportpaare 1989 und 1990. Die Weltmeisterschaften 1989 und 1990 beendeten sie jeweils auf dem fünften Platz. Seine Paarlaufkarriere endete mit der Trennung von Kristi Yamaguchi 1990. Daraufhin konzentrierte er sich wieder auf den Einzellauf. 1996 wurde Rudy Galindo vor heimischem Publikum in der San Jose Arena US-Meister, der älteste in den letzten 50 Jahren. Bei der Weltmeisterschaft im gleichen Jahr feierte er mit dem Gewinn der Bronzemedaille hinter Todd Eldredge und Ilja Kulik seinen größten Erfolg.