Anton Konowalow nahm ab Januar 2001 an FIS-Rennen teil und erreichte im Dezember desselben Jahres als Zweiter des Slaloms von Absakowo seinen ersten von insgesamt sieben Podestplätzen. Auch außerhalb seines Heimatlandes erzielte er gute Resultate, unter anderem mit einem dritten Platz im Slalom von Oberjoch im Januar 2004. Nach weiteren Top-10-Ergebnissen in FIS-Rennen sowie bei den russischen Meisterschaften wurde Konowalow für die Weltmeisterschaft 2003 in St. Moritz nominiert. Dort startete er im Slalom, im Riesenslalom und im Super-G, kam aber nur im Riesenslalom als 44. ins Ziel. Bei seiner zweiten WM-Teilnahme 2005 in Bormio bestritt er den Slalom, wo er 25. wurde, und den Riesenslalom, in dem er jedoch ausfiel. Bei den Juniorenweltmeisterschaften, an denen er von 2002 bis 2005 teilnahm, waren seine besten Ergebnisse der 19. Platz im Slalom 2004 und der 26. Platz im Slalom 2005. Bessere Resultate gelangen ihm bei den Universiaden, an denen er dreimal teilnahm. War 2003 in Tarvis noch ein 20. Platz im Riesenslalom sein bestes Ergebnis gewesen, gewann er zwei Jahre später bei der Universiade 2005 in Innsbruck die Bronzemedaille im Super-G und wurde zudem Zehnter in der Abfahrt. Ein weiteres Top-10-Ergebnis gelang ihm mit Platz acht im Super-G bei der Universiade 2007 in Bardonecchia.