Norton spielte zunächst drei Jahre von 1984 bis 1987 an der University of Michigan in der Central Collegiate Hockey Association, einer Division im Spielbetrieb der National Collegiate Athletic Association. Während dieser Zeit war er bereits im NHL Entry Draft 1984 in der dritten Runde an 62. Position von den New York Islanders aus der National Hockey League ausgewählt worden. Sein hervorragendes letztes Jahr am College bescherte ihm – neben der Nominierung für das CCHA Second All-Star Team – eine Einladung für die US-amerikanische Nationalmannschaft, die sich die gesamte Saison 1987/88 auf die bevorstehenden Olympischen Winterspiele in Calgary vorbereiten sollte. Norton schaffte letztendlich den Sprung in den Teamkader und nahm somit am Olympischen Eishockeyturnier teil.