Graziani naît à Subiaco dans la Province de Rome. Il commence sa carrière comme attaquant dans le club d'Arezzo. Ayant rejoint le Torino en 1973, il s'impose rapidement et fait partie de la fameuse équipe qui remporte le septième scudetto de l'histoire du club au cours de la saison 1975-1976. À la fin de la saison 1976-1977 et alors que son club termine à la seconde place derrière la Juventus, il finit meilleur buteur du championnat avec 21 réalisations.