Мартин Затёвич родился 25 января 1985 года в чешском городе Пршерове. Воспитанник хоккейного клуба «Карловы Вары». В чешской Экстралиге дебютировал в сезоне 2004/05, сыграв 1 игру. Начиная с сезона 2006/07 стал играть за основной состав «Карловы Вары». В 2008 году стал серебряным призёром чешского чемпионата. В 2009 году вместе с родной командой стал чемпионом Чехии. С 2014 года выступает в чешской сборной. В том же году подписал контракт с клубом КХЛ «Лада». Участник чемпионатов мира 2014-го, 2015-го и 2016-го годов. Летом 2016 года вернулся в Чехию, играет за команду «Комета Брно». Завоевал золотые медали чемпионата Чехии в 2017 и 2018 годах.