Reeve nació en Hammersmith y creció en el oeste de Londres. Estudió en la "Twyford Church of England High School" pero su conducta como adolescente fue problemática y no llegó a graduarse. Raramente viajaba al extranjero hasta que empezó a trabajar. Después de dejar la escuela tuvo varios empleos, en un supermercado, una joyería y una tienda de beneficencia, hasta recalar en el diario británico The Sunday Times, inicialmente repartiendo el correo y más tarde trabajando en el archivo y como ayudante de investigación. En los años siguientes realizó sus propias investigaciones sobre el Atentado del World Trade Center de 1993, fruto de las cuales publicó "Los nuevos chacales: Ramzi Yousef, Osama bin Laden y el futuro del terrorismo", éxito de ventas y posiblemente el primer libro escrito sobre Al Qaeda.