איינשטיין נולד, גדל והתחנך בתל אביב בשם אריה לייב איינשטיין. בן יחיד לדבורה ולשחקן תיאטרון ה"אהל" יעקב איינשטיין. הוריו התגוררו תחילה ברחוב גורדון בעיר כדיירי משנה בדירת מגורים. בילדותו למד בבית החינוך ע"ש א"ד גורדון (ששמו היה אז "בית החינוך בצפון") ובנעוריו למד בבית הספר תיכון עירוני ד' בתל אביב. בנעוריו היה גם חניך בתנועת "השומר הצעיר" וספורטאי באגודת הפועל תל אביב. איינשטיין היה אלוף ישראל לנוער בהדיפת כדור ברזל ובקפיצה לגובה ובשנת 1956 זכה גם באליפות ישראל לבוגרים בקפיצה לגובה (1.80 מטר). הוא החזיק בשיא הישראלי לנוער בקפיצה לגובה (1.84 מטר) במשך כ-10 שנים. במכביה החמישית שנערכה בשנת 1957 זכה במדליית ארד בקפיצה לגובה בתוצאה של 1.75 מטר. כמו כן, היה כדורסלן בקבוצת הנוער של הפועל תל אביב ובשל יכולתו הטכנית הגבוהה כונה "אריות". בשנת 1955 שיחק במדי קבוצת הבוגרים של הפועל תל אביב.