De boomlange Tessem begon naam te maken als aanvaller van FC Lyn Oslo en Molde FK op eigen bodem. Tessem scoorde 45 doelpunten van 1994 tot 1999. In 1999 verhuisde hij naar de Engelse Premier League, waar hij voor Southampton tekende. Southampton betaalde £ 600.000,- voor hem aan Molde FK. Het hoogtepunt van de Noor bij "The Saints" was het bereiken van de finale van de FA Cup in 2003. Southampton verloor met 1–0 van Arsenal door een goal van de Fransman Robert Pirès.