Бернс обратил на себя внимание уверенной игрой за школьную сборную Шотландии. В 1964 году перешёл в молодёжную Академию «Манчестер Юнайтед». 2 сентября 1967 года дебютировал за основной состав «Манчестер Юнайтед» в матче против «Вест Хэма». В сезоне 1967/68 сыграл в семи матчах Кубка европейских чемпионов, в котором «Юнайтед» одержал победу (в финальном матче, однако, на позиции крайних защитников сыграли Шей Бреннан и Тони Данн, оставив Бернса вне стартового состава). Всего за «Юнайтед» Бернс провёл 156 матчей и забил 7 голов.