Nach Silber bei den Weltmeisterschaften 2009 in London hinter Zhang Hongtao blieb Berki in den folgenden Jahren bei den großen internationalen Meisterschaften an seinem Paradegerät ungeschlagen. 2009, 2011 und 2012 gewann er jeweils den Europameistertitel, 2010 und 2011 wurde er Weltmeister. Hinzu kamen bis zum Sommer 2012 sechs Weltcup-Siege. Für die Olympischen Sommerspiele 2012 in London qualifiziert, zog Berki als Fünfter mit 15,033 Punkten ins Gerätefinale am Pauschenpferd ein. Dort erturnte er eine Wertung von 16,033 Punkten und lag gleichauf mit dem Qualifikationsbesten Louis Smith aus Großbritannien. Aufgrund seiner besseren Haltungsnoten wurde ihm die Goldmedaille vor Smith zuerkannt. Es war der fünfte Olympiasieg für Ungarn an diesem Gerät nach den Erfolgen von István Pelle (1932), Zoltán Magyar (1976 und 1980) und Zsolt Borkai (1988), die Berki zu seinen Vorbildern zählte. Bei der folgenden Turn-EM 2013 in Moskau zog Berki als Qualifikationsbester ins Finale am Pauschenpferd ein, wo er sich aber dem Briten Daniel Keatings geschlagen geben musste und Silber gewann.