Dover ging naar de St Paul's School in Londen, waar hij zijn liefde voor het Grieks opdeed, en ging in 1938 aan Balliol College van de Universiteit van Oxford klassieke talen studeren. Tijdens de Tweede Wereldoorlog deed hij dienst bij de artillerie in het Achtste Leger en nam deel aan de woestijnoorlog in Afrika en in 1944 aan de Slag om Monte Cassino. Na de oorlog hervatte hij zijn studie in Oxford, waar hij in 1948 docent werd aan Balliol College. Hij trouwde in 1947 met Audrey Latimer, met wie hij een zoon Alan en een dochter Catherine kreeg. Zijn vrouw zou kort voor hem in 2009 overlijden.