Curcic kam als einjähriges Kind mit ihren Eltern nach Dänemark. Sie besuchte das Sankt Annæ Gymnasium in Kopenhagen und begann danach zu studieren, zunächst Film- und Medienwissenschaft an der Universität Kopenhagen, wo sie mit einem Bachelor abschloss. Sie verbrachte anschließend ein Jahr an einer Schauspielschule in Kalifornien und absolvierte dann von 2008 bis 2012 an der Statens Teaterskole eine Schauspielausbildung. 2011 hatte sie ihr Filmdebüt in der dänischen Serie "Nordlicht – Mörder ohne Reue". Curcic wirkte danach als Schauspielerin in vielen dänischen Filmen und Serien mit. So war sie 2013 in fünf Folgen von Die Brücke – Transit in den Tod zu sehen. 2014 wurde sie auf der Berlinale mit dem Shooting Star Award ausgezeichnet. Sie wirkte unter anderem mit in Filmen wie "Schändung" in der Rolle als Kimmie, in "Silent Heart – Mein Leben gehört mir" als Sanne, in "Lev stærkt" als Signe und in "Lang historie kort". Im Dezember 2014 wurde sie für ihre schauspielerischen Leistungen mit dem Ove-Sprogøe-Preis ausgezeichnet. Im Zusammenhang mit der Flüchtlingskrise in Europa 2015 sammelte sie gemeinsam mit Christian Strasse Bjerrum mehr als 80.000 Kronen durch Benefiz-Aufführungen im Betty Nansen Teatret in Kopenhagen ein. 2015 wurde sie mit dem Bodil in der Kategorie Beste Hauptdarstellerin für ihre Rolle in Bille August's Film "Stille hjerte" ausgezeichnet und ebenfalls mit dem Nordisk Filmpreis bedacht.