Sworykinas Vater, ein Schiffbauingenieur, wurde im Gulag auf den Solowezki-Inseln inhaftiert, sodass ihre Mutter, eine Deutschlehrerin, die später als Wäscherin arbeitete, sieben Kinder alleine großziehen musste. Der Ingenieur, Physiker und Erfinder Vladimir Zworykin war der Bruder von Sworykinas Vater. Sworykina wuchs in Leningrad auf und verbrachte später den Großteil ihres Lebens in Minsk. Kurz vor ihrem 80. Geburtstag zog sie nach Moskau. In Leningrad wurde Sworykina vor dem Krieg von Pjotr Romanowski trainiert, nach dem Krieg arbeitete sie mit Semjon Furman zusammen. In Minsk wurde sie zwanzig Jahre lang von Issaak Boleslawski trainiert. Zusammen mit Olga Rubzowa gewann Sworykina 1957 in Emmen die erste Schacholympiade der Frauen. Dabei wies Sworykina die beste individuelle Bilanz am zweiten Brett auf. Bei der zweiten Frauenolympiade 1963 nahm sie als Ersatzspielerin teil und wurde erneut mit der Sowjetunion Siegerin. Sie nahm 20-mal an der UdSSR-Meisterschaft der Frauen teil und gewann diese dreimal (1951, 1953, 1956). Sworykina spielte fünfmal im Kandidatenturnier der Frauen und konnte es 1959 gewinnen, sodass sie bei der Schachweltmeisterschaft der Frauen 1959 gegen Jelisaweta Bykowa antreten durfte. Sworykina unterlag mit 4,5:8,5.