Bei den Olympischen Spielen 2008 in Peking bezwang Burton den Argentinier Emmanuel Lucenti und den Marokkaner Safouane Attaf jeweils durch Wertungen nach Strafen für den Gegner. Im Viertelfinale unterlag er gegen den Ukrainer Roman Hontjuk durch Waza-Ari. Nach einem Waza-Ari-Sieg gegen den Kolumbianer Mario Valles und einer Waza-Ari-Niederlage gegen den Brasilianer Tiago Camilo belegte Burton den siebten Platz. Bei den Europameisterschaften 2010 in Wien unterlag Burton im Viertelfinale Guillaume Elmont. Mit Siegen über den Moldauer Sergiu Toma und den Franzosen Antoine Jeannin erkämpfte sich Burton eine Bronzemedaille. Viereinhalb Monate später bei den Weltmeisterschaften 2010 in Tokio unterlag er im Viertelfinale dem Japaner Masahiro Takamatsu, mit Siegen über Guillaume Elmont und den Brasilianer Flávio Canto erkämpfte Burton Bronze. Bei den Olympischen Spielen 2012 in London unterlag Euan Burton in seinem Auftaktkampf dem Kanadier Antoine Valois-Fortier.