Der internationale Erfolg als Schauspieler stellte sich bereits mit Følsgaards Filmdebüt ein: 2012 spielte er die Rolle des geisteskranken dänischen Königs Christian VII. in Nikolaj Arcels Historiendrama "Die Königin und der Leibarzt", das von der Beziehung zwischen Johann Friedrich Struensee (dargestellt von Mads Mikkelsen) und Königin Caroline Mathilde (Alicia Vikander) handelt. Die Kinoproduktion wurde noch im selben Jahr im Rahmen des Wettbewerbs der 62. Filmfestspiele von Berlin uraufgeführt, wo Følsgaard mit dem Silbernen Bären als bester Darsteller des Filmfestivals ausgezeichnet wurde. Dabei hatte die Wettbewerbsjury um den britischen Regisseur Mike Leigh dem 27-Jährigen den Vorzug vor so bekannten Schauspielern wie dem US-Amerikaner Robert Duvall ("Jayne Mansfield’s Car") gegeben. „Damals änderte sich mein Leben von einer Minute auf die nächste. Ich war ein gewöhnlicher Schauspielschüler, der einfach nur froh war, in einem dänischen Film mitzuspielen, und gewann plötzlich einen der wichtigsten Preise Europas“, sagte Følsgaard. Er war der erste dänische Schauspieler, der in Berlin triumphieren konnte. Ein Jahr später gewann Følsgaard mit der Bodil und dem Robert für seine Darstellung Dänemarks wichtige Filmpreise, während "Die Königin und der Leibarzt" für den Oscar als bester fremdsprachiger Film nominiert wurde.