자이치는 1964년 17세 때부터 유고슬라비아 축구 국가대표팀의 일원으로서 활약하기 시작했는데, 루마니아와의 경기에서 데뷔를 했다. 특히 그는 UEFA 유로 1968 잉글랜드와의 경기에서 87분 골키퍼 고든 뱅크스 너머로 쏜 로빙슛으로 1-0 승리를 이끌었고, 많은 인기를 끌었다. 영국 언론은 그를 '매직 드라간'이라 별명을 붙였다. 펠레 또한 그를 '발칸 반도의 마법사'라 칭했다.