Гавриил Елецких родился 8 апреля 1919 года в деревне Петровские Круги (ныне — Елецкий район Липецкой области). После окончания педагогического училища работал учителем физики и математики в средней школе. В 1939 году Елецких был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. В 1940 году он окончил Харьковское военное авиационное училище. С июня 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Принимал участие в боях на Юго-Западном, Сталинградском, Южном, 4-м и 1-м Украинских фронтах. Летал на самолётах «СБ», «Пе-2», «Пе-3». Участвовал в боях под Харьковом, был подбит, сумел сесть и покинуть самолёт до взрыва.