Iouri Malikov joue tout d'abord dans un orchestre de musique de chambre tout en étudiant les techniques industrielles dans la banlieue de Moscou. En 1961, il entre dans la troupe "Mosconcert" et collabore à plusieurs ensembles musicaux de la capitale russe, notamment de jazz. Il poursuit ses études au Conservatoire Tchaïkovski de Moscou, dans la classe de violoncelle de 1965 à 1969. Avec des musiciens comme Igor Bril et Guerman Lukyanov, il est récompensé en devenant le lauréat du premier festival de jazz de Moscou. Il fait partie de la délégation soviétique à l'Exposition universelle de 1970 au Japon.