Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Õnne Kurg pojawiła się 16 listopada 1996 roku w Kittilä podczas zawodów Pucharu Kontynentalnego. Zajęła tam 24. miejsce w biegu na 5 km techniką klasyczną. W Pucharze Świata zadebiutowała 22 listopada 1997 roku w Beitostølen, zajmując 41. miejsce w biegu na 5 km stylem klasycznym. Pierwsze punkty wywalczyła ponad pięć lat później, 7 stycznia 2006 roku w Otepää, plasując się na 30. pozycji w biegu na 10 km klasykiem. W klasyfikacji generalnej &lt;a href="Puchar%20%C5%9Awiata%20w%20biegach%20narciarskich%202005/2006"&gt;sezonu 2005/2006&lt;/a&gt; zajęła ostatecznie 126. miejsce. Były to jej jedyne punkty PŚ. W 1998 roku wzięła udział w igrzyskach olimpijskich w Nagano, gdzie w swoim najlepszym występie, biegu na 15 km stylem klasycznym zajęła 40. pozycję. Wystąpiła także na rozgrywanych rok wcześniej mistrzostwach świata w Trondheim oraz mistrzostwach świata w Ramsau w 1999 roku, na tej drugiej imprezie zajmując między innymi dziesiąte miejsce w sztafecie i 47. miejsce w biegu łączonym na 15 km. Startowała ponadto w cyklu FIS Marathon Cup, zajmując między innymi czwarte miejsce w klasyfikacji generalnej &lt;a href="FIS%20Marathon%20Cup%202002/2003"&gt;sezonu 2002/2003&lt;/a&gt;. 10 lutego 2002 roku wywalczyła swoje jedyne podium w maratonach, zajmując trzecie miejsce w estońskim Tartu Maraton. W zawodach tych wyprzedziły ją jedynie Norweżka Elin Nilsen oraz reprezentująca Szwecję Antonina Ordina. W 2006 roku Kurg zakończyła karierę.