Schönmetzler begann im Alter von vier Jahren mit dem Eiskunstlaufen. Er startete für den SC Rießersee und wurde von seinem Vater, dem Diplom-Turn- und Sportlehrer Josef Schönmetzler, trainiert. Er wurde im Jahr 1962 und 1965 deutscher Meister im Eiskunstlauf der Herren. Von 1961 bis 1965 nahm er an Europameisterschaften teil. Er beendete sie nie schlechter als Achter. Seine beste Platzierung war der vierte Platz bei seiner letzten Europameisterschaft 1965. An Weltmeisterschaften nahm er von 1962 bis 1965 teil, dort war sein bestes Ergebnis der siebte Platz 1963. Bei seinen einzigen Olympischen Spielen wurde Schönmetzler 1964, beim Sieg seines Landsmanns Manfred Schnelldorfer, Zwölfter. Nach dem Ende seiner Amateurkarriere im Jahr 1965 wurde er Profi und ging für zwei Jahre zur Eisrevue-Ice Capades.