Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Aljaž Dvornik pojawił się 25 listopada 2010 roku w Livigno, gdzie w zawodach juniorskich zajął 38. miejsce w slalomie. W 2013 roku wystartował na olimpijskim festiwalu młodzieży Europy w Braszowie, gdzie zdobył srebrny medal w tej samej konkurencji. Rok później wystąpił na mistrzostwach świata juniorów w Jasnej, gdzie jego najlepszym wynikiem było 32. miejsce w superkombinacji. Jeszcze dwukrotnie startował na imprezach tego cyklu, najlepszy wynik osiągając podczas mistrzostw świata juniorów w Soczi w 2016 roku, gdzie wraz z drużyną zdobył złoty medal. Na tej samej imprezie był też między innymi dziesiąty w gigancie. W Pucharze Świata zadebiutował 9 marca 2014 roku w Kranjskiej Gorze, gdzie nie zakwalifikował się do drugiego przejazdu slalomu. Jak dotąd nie zdobył pucharowych punktów.