Leitner pelasi ensimmäiset aikuisten liigaottelunsa kaudella 2010–2011 TSV 1860 Münchenin ja FC Augsburgin joukkueissa 2. Bundesliigassa. Ykkösbundesliigassa hän esiintyi ensimmäisen kerran kaudella 2011–2012 Borussia Dortmundin joukkueessa. Hän on sittemmin pelannut Saksan pääsarjassa myös VfB Stuttgartin ja FC Augsburgin joukkueissa. Kaikkiaan hän on pelannut 97 bundesliigaottelua ja tehnyt niissä kaksi maalia. Elokuusta 2016 tammikuuhun 2017 hän pelasi italialaisseura Laziossa mutta pääsi kentälle vain kahdessa Serie A:n ottelussa muutamaksi minuutiksi. Tammikuussa 2018 Leitner siirtyi lainalle Norwich Cityyn ja saman vuoden kesällä Norwich osti hänet pysyvästi. Hän pelasi 1,5 kauden aikana mestaruussarjassa 41 ottelua ja teki niissä kaksi maalia. Elokuussa 2019 hän pelasi Norwichin joukkueessa ensimmäiset valioliigaottelunsa.