Behan est né à Dublin même dans une famille ouvrière et instruite. La maison dans laquelle vivaient les Behan appartenait à Christine English, la grand-mère de Dominic, qui avait plusieurs propriétés foncières dans le quartier. Son père, Stephen Behan, était membre de l'IRA et a fait partie des "Douze apôtres" de Michael Collins, responsables de l'assassinat d'officiers de l'Armée Britannique durant la Guerre Anglo-Irlandaise. Il a été exclu du corps professoral pour avoir refusé de jurer fidélité à l'Irish Free State après la Guerre civile irlandaise, ce qui a rendu sa vie plus difficile que prévu.