Erste internationale Erfahrungen sammelte Martin Kupper im Jahr 2011, als er bei den U23-Europameisterschaften in Ostrava mit einer Weite von 55,82 m in der Qualifikation ausschied. 2014 nahm er dann erstmals an den Europameisterschaften in Zürich teil und belegte dort mit 60,89 m im Finale den neunten Platz. Im Jahr darauf schied er bei den Weltmeisterschaften in Peking mit 61,59 m in der Qualifikation aus, erreichte anschließend bei den Militärweltspielen im südkoreanischen Mungyeon mit 60,92 m Rang vier. 2016 wurde er bei den Europameisterschaften in Amsterdam mit 63,55 m Siebter und qualifizierte sich damit für die Teilnahme an den Olympischen Spielen in Rio de Janeiro, bei denen er mit 66,58 m im Finale auf Rang vier landete.