Największy sukces w karierze Emzar Gelaszwili osiągnął w 1982 roku, kiedy zdobył brązowy medal w sprincie indywidualnym amatorów podczas mistrzostw świata w Leicester. W zawodach tych wyprzedzili go jedynie inny reprezentant ZSRR - Siergiej Kopyłow oraz Lutz Heßlich z NRD. Był to jedyny medal wywalczony przez Gelaszwilego na międzynarodowej imprezie tej rangi. Nigdy nie startował na igrzyskach olimpijskich.