Für Russland nahm Bobrowski an der U20-Junioren-Weltmeisterschaft 2008 teil, bei der er mit seiner Mannschaft die Bronzemedaille gewann. Daneben stand er im Kader bei den Super Series 2007. Bei der Herren-Weltmeisterschaft 2014 gewann er mit der Sbornaja die Goldmedaille und wurde als bester Torhüter ausgezeichnet. Im Jahr darauf erreichte er mit der Mannschaft erneut das Finale, scheiterte jedoch an der kanadischen Auswahl und gewann somit die Silbermedaille. Außerdem vertrat er sein Heimatland beim World Cup of Hockey 2016.