„Joschi“ Burjan spielte in seiner Geburtsstadt in der Jugendmannschaft von Honvéd Budapest im Stadtteil Kispest. Mit dem späteren 72-fachen Nationalstürmer Lajos Tichy – Tichy war einen Monat älter als Burjan – spielte er gemeinsam in der ungarischen Jugendauswahl. Burjan leistete gerade seinen Wehrdienst ab, als der ungarische Volksaufstand 1956 in seiner Heimatstadt losbrach. Er flüchtete über Wien in die Bundesrepublik Deutschland, landete in Heilbronn und schloss sich dort dem VfR an. In der Saison 1957/58 belegte er mit Heilbronn in der 1. Amateurliga Württemberg den vierten Rang. Da der Angreifer in der Oberliga sein Können unter Beweis stellen wollte, nahm er zur Runde 1958/59 das Vertragsangebot von Alemannia Aachen aus der Oberliga West an und wechselte von Württemberg in das Dreiländereck Deutschland-Belgien-Niederlande.