Maksim Tarasov fait ses débuts sur la scène internationale à l'occasion des Championnats du monde junior 1988 disputés à Grand Sudbury en remportant la médaille d'argent du saut à la perche avec 5,60 m, derrière le Hongrois István Bagyula. L'année suivante, le soviétique améliore à trois reprises le record du monde junior de la discipline, établissant notamment 5,80 m à Briansk le , performance égalée une seule fois seulement, par l'Allemand Raphael Holzdeppe en 2008. Dominateur tout au long de l'année 1989, Tarasov remporte les Championnats d'Europe junior de Varaždin. Sa première médaille en catégorie sénior est obtenue lors des Championnats du monde 1991 de Tokyo, compétition dans laquelle il termine troisième de la finale de la perche derrière Sergueï Bubka et István Bagyula, égalant son record personnel à 5,85 m.