Tomáš Veszelka startete erstmals im Jahr 2010 in Wettkämpfen in der Leichtathletik. Damals trat er zunächst, neben dem Weitsprung, im Hochsprung und im Sprint an. Bereits ein Jahr später konzentrierte er sich vor allem nur noch auf den Weitsprung und neuerdings auch den Dreisprung. In letztgenannter Disziplin ging er im Juli bei den U18-Weltmeisterschaften in Lille an den Start. Dabei zog er in das Finale ein, in dem 14,98 m den neunten Platz belegte. Neben dem Dreisprung nahm er Ende desselben Monats auch im Weitsprung am Europäischen Olympischen Sommer-Jugendfestival in Trabzon teil, bei dem er in beiden Disziplinen jeweils Sechster wurde. Dabei verbesserte er sich im Dreisprung bis auf 15,26 m. 2012 verbesserte er sich auf 15,45 m. 2013 ging Veszelka bei den U20-Europameisterschaften in Rieti an den Start. Dabei sprang er in der Qualifikation mit 15,91 m Bestleistung und zog damit in das Finale ein. Im Finale blieb er dann allerdings fast einen halben Meter hinter seiner Qualiweite zurück und belegte damit den achten Platz. Ein Jahr darauf schied er bei den U20-Weltmeisterschaften in den USA nach der Qualifikation aus. Insgesamt landete er auf dem 14. Platz.