Pierwszy sukces w karierze Edgar Buchwalder osiągnął w 1936 roku, kiedy wspólnie z Ernstem Nievergeltem i Kurtem Ottem zdobył srebrny medal w drużynowym wyścigu ze startu wspólnego podczas igrzysk olimpijskich w Berlinie. Na tych samych igrzyskach rywalizację indywidualną zakończył na jedenastej pozycji. W 1936 roku wystąpił również na szosowych mistrzostwach świata w Bernie, gdzie zwyciężył w indywidualnym wyścigu ze startu wspólnego amatorów, wyprzedzając bezpośrednio swego rodaka Gottlieba Webera i Włocha Pierino Favallego. Ponadto wygrał dwa etapy w różnych edycjach Tour de Suisse, a w latach 1940 i 1942 zdobywał indywidualne mistrzostwo kraju. Jako zawodowiec startował w latach 1937-1947 z przerwą w latach 1944-1945.