Vera naît dans la famille de six enfants d'Andreï Sdobnikov, un décorateur de théâtre à Saratov. Sa mère, une femme au foyer, meurt en 1918, alors que Véra n'a que onze ans. Elle est scolarisée à Saratov et fréquente à partir de 1923 un studio d'art dramatique après l'école. Après la mort du père en 1925, elle part s'installer à Léningrad chez sa sœur. Elle y suit une formation théâtrale proposée par le Proletkoult et se produit sur scène à partir de 1928. En 1933, avec une vingtaine de jeune acteurs elle participe au spectacle "L'Argent fou" (Alexandre Ostrovski) adapté par l'un des élèves de Vsevolod Meyerhold Isaak Kroll. Ce sera le début du Nouveau théâtre qui sera ensuite renommé en Théâtre Lensoviet. Kouznetsova fera partie de la troupe jusqu'en 1973. Elle joue son premier rôle au cinéma dans la "Une grande famille" de Iossif Kheifitz qui reçoit le prix d'interprétation collectif au Festival de Cannes 1955. Dix ans plus tard, elle sera honorée du prix spécial pour le rôle dans "Il était une fois un vieux et une vieille" au Festival de Cannes 1965.