Стал заниматься в группе тренера Марины Войцеховской. В апреле 2007 года выиграл свои первые крупные соревнования «Хрустальный конек-2007» среди мальчиков старшего возраста, а в 2009 году — первый этап Кубка России в Перми (среди юношей). К 2010 году Максим освоил прыжок тройной аксель и в феврале 2011 года стал вторым на Европейском юношеском Олимпийском фестивале. Весной 2011 года переехал из Екатеринбурга в Москву иначал тренироваться под руководством Марины Войцеховской и Николая Морозова, включая в свои программы прыжок четверной тулуп. В сентябре 2011 года выиграл свой первый этап юниорского Гран-При в Брашове, был вторым на этапе в Таллине, благодаря чему попал в финал, где занял четвёртое место. В апреле 2012 года Ковтун выступил в составе российской сборной на Командном чемпионате мира в Токио.