Zijn eerste aansprekende prestatie leverde Piet Bleeker in 1955, toen hij als tweede finishte op het Nederlands kampioenschap op de 25 km achter Janus van der Zande. In 1956 liep hij, nadat hij eerder dat jaar zowel Nederlands kampioen was geworden op de 25 km als op de marathon, op 6 oktober 1956 een marathon in Zaandam, die hij in 2:34.16 won. Het bijzondere hieraan was, dat hij met deze prestatie binnen de kwalificatielimiet van 2:35.00 was gebleven voor de Olympische Spelen in Melbourne. Toch werd hij niet geselecteerd voor Melbourne, omdat de prestatie was geleverd na afloop van de periode die als kwalificatieperiode was vastgesteld. Achteraf kan Bleeker zich gelukkig prijzen dat hij niet naar Melbourne mocht afreizen, want zoals bekend werd op 7 november 1956 door het NOC besloten om de Spelen van Melbourne te boycotten in verband met de inval van de Sovjet-Unie in Hongarije en de daarop volgende bloedige strijd in de straten van Boedapest. De Nederlandse delegatie die inmiddels naar Melbourne was afgereisd, moest door deze maatregel onverrichter zake huiswaarts keren. Deze teleurstelling is Bleeker zodoende bespaard gebleven.