Edmund konnte im Juniorenbereich zweimal ein Grand Slam-Turnier gewinnen. Er siegte 2012 bei den US Open sowie 2013 bei den French Open, jeweils an der Seite des Portugiesen Frederico Ferreira Silva, in der Doppelkonkurrenz. Seit 2013 spielt er regelmäßig auf der ATP World Tour und gewann bei seinem zweiten Turnier sein erstes Spiel auf dieser Stufe. In Eastbourne besiegte er in seinem Auftaktspiel den Franzosen Kenny de Schepper in zwei Sätzen. In der zweiten Runde schied er gegen Gilles Simon aus. Für die Wimbledon Championships 2013 erhielt er von den Turnierverantwortlichen eine Wildcard sowohl für die Einzel- als auch für die Doppelkonkurrenz und trat somit zum ersten Mal beim Profiturnier eines Grand-Slams an. Im Einzel verlor er sein Erstrundenspiel gegen den Polen Jerzy Janowicz deutlich in drei Sätzen. Im Doppel spielte er an der Seite von Jamie Baker und schied ebenfalls in der ersten Runde deutlich in drei Sätzen aus.