Spinksin suurin saavutus amatööriuralla oli raskaan keskisarjan olympiakulta 1976 Montrealin kisoista. Hän voitti tuolloin marokkolaisen A.L. Fatihin tyrmäyksellä ensimmäisessä erässä, neuvostoliittolaisen A. Klimanovin tuomaripistein 5–0, itäsaksalaisen Ottomar Sachsen pistein 5–0, puolalaisen Janusz Gortatin pistein 5–0 sekä loppuottelussa kuubalaisen Sixto Sorian kehätuomarin keskeytyksellä kolmannessa erässä. Kaksi vuotta aikaisemmin Spinks oli saavuttanut pronssia Havannan MM-kisoista. Amatööriurallaan Spinks saavutti kaikkiaan 178 voittoa ja kärsi seitsemän tappiota.