Nacque nel 1645 a Costantinopoli, figlio di Terazici Hasan Aga. Dopo aver completato gli studi, iniziò la sua carriera nella amministrazione ottomana. Nel 1690 fu nominato impiegato nell'ufficio del reis ül-küttab. Nel 1696 fu promosso reis ül-küttab (un posto più o meno equivalente a ministro degli esteri) e tre anni dopo rappresentò l'Impero Ottomano nei colloqui di pace del Trattato di Karlowitz che pose fine alla Guerra austro-turca. L'Impero Ottomano fu sconfitto durante la guerra, ma Mehmed Rami fece del suo meglio per ridurre al minimo le perdite.