אבנר נולד בשם לורנס האפנר (Lawrence Hafner) במנצ'סטר שבאנגליה, שם היה חבר בתנועת בני עקיבא. בנובמבר 1947 עלה לארץ ישראל ונלחם במערכה על ירושלים במלחמת העצמאות. היה ממקימי קיבוץ לביא בגליל התחתון. נישא למימי, אחותה של , שנהרגה כשלחמה ברובע היהודי בירושלים, בעת מלחמת העצמאות. היה אב לארבעה ילדים. בראשית שנות ה-50 שימש שליח של בני עקיבא באנגליה.