Theodor Christian Eulner war der Sohn des Landwegekommissars und Brückeningenieurs Carl August Eulner (1728–1804) und seiner Frau Maria Carolina Stahl (1733–1804). Eulner begann 1781 eine Apothekerlehre in Marburg, die er 1785 abschloss. 1786 studierte er in Hamburg Chirurgie und begab sich 1788 in Dienste der dänisch-norwegischen Armee, wo er als Kompaniechirurg im Preiselbeerkrieg gegen Schweden diente. Von 1791 bis 1793 studierte er an der Chirurgischen Akademie in Kopenhagen.