דרכו של פושקש בהונגריה, אשר לזכות נבחרתה כבש 83 שערים ב-84 משחקים, הגיעה לסופה ב-1956. ב-1956 ברית המועצות פלשה להונגריה ופושקש החליט לערוק ועבר לשחק בספרד בקבוצת אספניול. ההתאחדות לכדורגל בהונגריה השעתה אותו ל-18 חודשים, כשנגמרה ההשעיה פושקש היה בן יותר משלושים. להפתעת רבים, החליט פושקש לחתום ב-1958 בריאל מדריד. בריאל מדריד פושקש כיכב, היה מלך השערים של הליגה הספרדית ארבע פעמים וכבש 34 שערים. ב-1960 זכה איתה בגביע אירופה לאלופות. במשחק הגמר, בו ניצחה ריאל מדריד את איינטרכט פרנקפורט בתוצאה 3–7, כבש ארבעה שערים ובכך הוא השחקן שכבש הכי הרבה שערים במשחק גמר של הטורניר עד היום. פושקש סיים בעונת 1961/62 ככובש המצטיין בגביע אירופה לאלופות עם שבעה שערים, כולל שלושער בהפסד 5–3 במשחק הגמר לבנפיקה ליסבון.