Алексей Каштанов родился 12 марта 1917 года в деревне Осиновка (ныне — Аркадакский район Саратовской области). После окончания школы-семилетки заведовал свинофермой в совхозе на родине. В 1939 году Каштанов был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С начала Великой Отечественной войны — на её фронтах. Принимал участие в боях на Юго-Западном, Степном, 2-м и 1-м Украинском фронтах. Участвовал в боях под Сталинградом, освобождении Украинской и Молдавской ССР, Румынии, Польши, Чехословакии, был ранен. В 1943 году Каштанов ускоренным курсом окончил Подольское артиллерийское училище. К октябрю 1943 года гвардии младший лейтенант Алексей Каштанов командовал огневым взводом 158-го гвардейского артиллерийского полка 78-й гвардейской стрелковой дивизии 7-й гвардейской армии Степного фронта. Отличился во время битвы за Днепр.