Durant sa carrière, Spinosi est connu pour avoir évolué dans les clubs de l'AS Roma et de la Juventus FC (avec qui il dispute sa première rencontre le lors d'un nul 1-1 contre l'Hellas Vérone en coupe). Il dispute au total avec la "Juve" 241 matchs pour 4 buts inscrits en huit saisons (dont 138 matchs et un but en Serie A), remportant en tout cinq "scudetti" (1971-72, 1972-73, 1974-75, 1976-77 et 1977-78) et une coupe.