Meskhi kwam gedurende zijn carrière uit voor Dinamo Tbilisi (1954-1969) en Lokomotiv Tbilisi (1970). Hij speelde 35 interlands (vier doelpunten) voor de Sovjet-Unie. Meskhi maakte deel uit van de Sovjet-selectie bij het WK voetbal 1962 in Chili. Met de nationale ploeg won hij in 1960 de eerste editie van het EK voetbal.