Pierwszy sukces w karierze François Bonlieu osiągnął w 1954 roku, kiedy podczas mistrzostw świata w Åre zdobył srebrny medal w gigancie. W zawodach tych rozdzielił na podium Norwega Steina Eriksena oraz Austriaka Andreasa Molterera. Na tej samej imprezie zajął także szóste miejsce w slalomie. Dwa lata później wystartował na igrzyskach olimpijskich w Cortina d’Ampezzo, zajmując dziewiąte miejsce w gigancie. Kolejny medal zdobył na mistrzostwach świata w Bad Gastein w 1958 roku, gdzie był trzeci w gigancie. Wyprzedzili go jedynie dwaj Austriacy: Toni Sailer oraz Josef Rieder. Największy sukces osiągnął jednak na igrzyskach olimpijskich w Innsbrucku w 1964 roku, gdzie zwyciężył w gigancie. Wyprzedził tam Karla Schranza i Josefa Stieglera. Na tych samych igrzyskach zajął piętnaste miejsce w zjeździe, a w slalomie nie awansował do finału.