Bergström, der für Sandviks IK startete, gewann bei den Nordischen Skiweltmeisterschaften 1929 in Zakopane die Bronzemedaille über 17 km im klassischen Stil. Drei Jahre später gewann Bergström in Östersund seinen ersten Meistertitel. Im folgenden Jahr holte er bei den Nordischen Skiweltmeisterschaften 1933 in Innsbruck gemeinsam mit Per-Erik Hedlund, Nils Englund und Sven Utterström die Goldmedaille mit der Staffel. Darüber hinaus gewann er Silber über 18 km klassisch sowie Bronze über 50 km hinter Veli Saarinen und Sven Utterström. 1936 gewann er seinen zweiten Schwedischen Meistertitel in Luleå über 50 km.