Nach dem Besuch der Volksschule in Mühlhausen erlernte Heinrich Kürbis das Eisendreherhandwerk in Göttingen. 1892 wurde er Mitglied der Sozialdemokratischen Partei Deutschlands und der Gewerkschaft, in der er 1897 erste Funktionärsaufgaben übernahm. Von 1910 bis 1913 war Kürbis hauptamtlicher Bevollmächtigter des Deutschen Metallarbeiterverbandes mit Sitz in Hamburg und von 1909 bis 1919 Stadtverordneter der Stadt Altona. Am 1. November 1913 wurde er Bezirksparteisekretär der SPD für Schleswig-Holstein. Dieses Amt übte er bis 1919 aus. Während der Novemberrevolution von 1918 war Kürbis Mitglied des Kieler Arbeiter- und Soldatenrats sowie Delegierter zum Reichsrätekongress, bei dem er in den Zentralrat der Deutschen Sozialistischen Republik gewählt wurde. Zudem wurde Kürbis Beigeordneter des Oberpräsidenten für die Provinz Schleswig-Holstein.