Erste internationale Erfahrungen sammelte Līna Mūze 2009 bei den Jugendweltmeisterschaften in Brixen, bei denen sie mit einer Weite von 50,36 m im Finale den sechsten Platz belegte. Im Jahr darauf nahm sie an den Juniorenweltmeisterschaften im kanadischen Moncton teil und gewann dort mit 56,64 m die Silbermedaille, wie auch bei den Junioreneuropameisterschaften 2011 in Tallinn mit 55,83 m. 2012 gelangte sie bei ihren ersten Europameisterschaften in Helsinki bis in das Finale und belegte dort mit 55,60 m Rang zehn. Damit qualifizierte sie sich auch für die Olympischen Spiele in London, bei denen sie mit 59,91 m aber nicht bis in das Finale. 2013 siegte sie bei den U23-Europameisterschaften in Tampere mit 58,61 m und schied bei den Weltmeisterschaften in Moskau mit 60,29 m in der Qualifikation aus, wie auch bei den Europameisterschaften 2014 in Zürich mit 53,42 m.