עשת נולד בקיבוץ אורים. הוריו, שושנה אסא ושמואל אלקלעי, עלו מבולגריה בנערותם, כחברי תנועות נוער חלוציות (שושנה עלתה ב-1941 ושמואל ב-1944). הם היו בין מייסדי הקיבוץ בשנת 1946. בילדותו, הם עברו לכפר בילו. עשת למד בתיכון מאוחד רחובות (תמ"ר. כיום קריית חינוך על שם עמוס דה שליט), והיה חבר בתנועת השומר הצעיר ברחובות. את שירותו הצבאי עשה בגדוד 50 של הנח"ל המוצנח. לאחר שהשתחרר מהשירות, עבר עם אשתו ובנם להתגורר בבית ספר שדה חצבה, בו עבד כמדריך. במלחמת יום הכיפורים היה בכוח הצנחנים במילואים שצלח את תעלת סואץ בסירות גומי (מבצע אבירי הלב). ביומה ה-12 של המלחמה נפצע קשה מאוד בראשו במבואות איסמעיליה, על שפת תעלת המים המתוקים.