Алексей Баукин родился 11 октября 1906 года в семье крестьянина в деревне Обухово (ныне — Московской области). В 1917 году он окончил два класса сельской школы, после чего работал по найму плотником. С 1926 года Баукин работал на различных предприятиях в городах Озёры и Коломна. В 1929 году Баукин был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию Карабовским районным военным комиссариатом. Служил в 10-м стрелковом полку в Ленинграде. В 1930 году он поступил в Военно-теоретическую школу лётчиков в Ленинграде, которую окончил в 1932 году. В 1933 году Баукин окончил 3-ю военную школу лётчиков и летнабов в Оренбурге, после чего служил в Омске младшим лётчиком и командиром экипажа в авиационной эскадрилье. В 1936 году Баукин окончил Вторую Военную школу командиров звеньев в Борисоглебске, командовал авиационным звеном 24-й эскадрильи в Новочеркасске. С 1938 года он служил в Закавказском военном округе. В августе 1941 года Баукин принимал участие во вводе советских войск в Иран.