Po zakończeniu kariery piłkarskiej Aphesteguy został sędzią piłkarskim. W 1920 był arbitrem na Mistrzostwach Ameryki Południowej. Na turnieju w Chile sędziował mecze: Brazylia-Chile i Argentyna-Brazylia. W 1930 sędziował jako liniowy w Mistrzostwach Świata.