Pierwszą dużą międzynarodową imprezą w karierze Heinricha Messnera były igrzyska olimpijskie w Innsbrucku w 1964 roku. Wystąpił tam tylko w biegu zjazdowym, zajmując dziesiąte miejsce. W tej samej konkurencji był też czwarty na rozgrywanych dwa lata później mistrzostwach świata w Portillo, przegrywając walkę o brązowy medal z Franzem Voglerem z RFN. Niecały rok później, 5 stycznia 1967 roku w Berchtesgaden wygrał zawody w slalomie. Były to pierwsze w historii zawody pierwszego sezonu Pucharu Świata. Został tym samym pierwszym w historii zwycięzcą zawodów Pucharu Świata i pierwszym w historii liderem klasyfikacji generalnej tego cyklu. W kolejnych zawodach jeszcze trzykrotnie stawał na podium: 15 stycznia w Wengen był drugi w slalomie, 21 stycznia w Kitzbühel był trzeci w zjeździe, a 19 marca 1967 roku w Vail był trzeci w gigancie. W klasyfikacji generalnej dało mu to drugie miejsce, wyprzedził go jedynie Francuz Jean-Claude Killy. Ponadto w klasyfikacji slalomu był trzeci, a w klasyfikacjach zjazdu i giganta był piąty.