Salvadori cominciò la sua carriera nel 1947. Dopo aver ottenuto diversi successi con vetture sport, nel 1952 fece il suo debutto in Formula 1. Dal 1954 al 1956 guidò una Maserati 250F per il team Gilby Engineering Ltd. di Sydney Greene, ottenendo svariati successi nelle gare extra campionato. Con il passaggio alla Cooper ottenne poi i suoi primi punti mondiali con un quinto posto al Gran Premio di Gran Bretagna 1957. I migliori risultati li ottenne comunque nel 1958, quando giunse due volte sul podio e concluse al quarto posto in campionato. Si ritirò dalla Formula 1 nel 1962 e pochi anni più tardi pure dagli sport prototipi, mettendo quindi fine alla sua carriera di pilota.