Robinson fu scelto dai Dallas Texans (ridenominati Kansas City Chiefs nel 1963) nel primo giro del Draft AFL 1960. Fu anche scelto come terzo assoluto dai Detroit Lions nel Draft NFL 1960. Fu membro dei Texans nella loro vittoria del 1962 per 20–17 con un doppio tempo supplementare sui bicampioni AFL in carica degli Houston Oilers nella più lunga partita del football professionistico mai disputata. Disputò anche il Super Bowl I nel 1967 e il Super Bowl IV, dove gli sfavoriti Chiefs batterono i Minnesota Vikings, 23–7. Sul finire del primo tempo, Robinson recuperò un fumble di Minnesota e fece registrare un intercetto nel secondo tempo sigillando la vittoria di Kansas City.