Albrecht Kostka byl synem Viléma Kostky, významného představitele kališnické nižší šlechty, a Elišky z Liblic. Prvně je zmiňován v roce 1454 jako bojovník v polském vojsku v třináctileté válce mezi polským králem Kazimírem IV. Jagellonským a Řádem německých rytířů. Po bitvě u Chojnice se dostal do zajetí a byl vězněn na hradě Marienburgu. V roce 1458 už byl ve službách krále Jiřího z Poděbrad a podobně jako jeho bratr Zdeněk začal být pověřován různými diplomatickými úkoly. Byl členem poselstva ke králi Kazimírovi IV., v roce 1459 doprovázel Jiříka na jednáních se saským vévodou Vilémem III. Udatným v Chebu. Spolu s bratrem byl kolem roku 1462 povýšen do panského stavu. V letech 1462–1466 zastával úřad fojta v Dolní Lužici.