Parrott wurde nach einer erfolgreichen Amateurkarriere 1983 Profispieler und spielte schnell auf hohem Niveau, was ihm einen raschen Aufstieg in die Weltspitze einbrachte. Am Ende der 1980er-Jahre gewann er seine ersten Turniere. Im Finale der Snookerweltmeisterschaft 1989 unterlag er Steve Davis mit 3:18. Zum Anfang der 1990er-Jahre setzte er seine Siegesserie aber fort und gewann dabei die Snookerweltmeisterschaft 1991 und im selben Jahr auch die UK Championship. Auch in den folgenden Jahren gehörte Parrott als einer der beliebtesten Spieler noch zur Weltspitze, bevor er nach dem Jahrtausendwechsel sukzessive auf der Weltrangliste abrutschte. 2010 beendete er nach 27 Jahren seine Karriere als Snookerspieler, doch er hatte sich mit seiner Karriere als TV-Persönlichkeit bereits ein zweites Standbein aufgebaut. So ist er beispielsweise einer der Moderatoren bei Snooker-Übertragungen der BBC. Im Jahr 2015 wurde er in die Snooker Hall of Fame aufgenommen.