Rasmussen osallistui olympialaisiin ensimmäistä kertaa Los Angelesissa 1984. Hän oli tuolloin maratonilla kolmastoista juostuaan matkan aikaan 2.33.40. Rasmussen oli vuoden 1986 EM-kisoissa kahdeksastoista 10 000 metrillä ja putosi samalla matkalla alkuerissä olympialaisissa 1988. Hän osallistui maratonille vuosien 1991 ja 1995 maailmanmestaruuskilpailuissa, mutta joutui keskeyttämään molemmilla kerroilla.