Родился в Смоленске в бедной семье. В самом детстве быт семьи был разрушен войной 1812 года. Родители при их бедности и малограмотности, желая дать старшему из двух сыновей начальное образование (умение читать и писать, а также знать Священное Писание), отдали его в обучение грамоте дьякону местной церкви, который за два года не смог обучить ученика даже чтению и объявил его неспособным. Тогда родители отдали сына в 1-й класс Смоленского уездного училища, где его за два месяца научили хорошему чтению и письму и он окончил курс с отличием. Не раз вспоминал С. Клименков слова отца, сказанные при нём одному близкому знакомому: «Я знаю, мой сын заплатит нам за любовь нашу, он будет доктором и опорою нашей». Эти слова глубоко врезались в сердце и мысль отца, как будто указала сыну прямое его призвание. Но для достижения его необходимо было преодолеть серьёзное препятствие — изучить латинский язык, и за это он весьма поздно принялся в Смоленской гимназии. Потому всё время каникул после сдачи годичного экзамена и последующие 2 месяца он посвятил изучению латинского языка и русской словесности. За это время прошёл всю латинскую грамматику, выучил до 4 тысяч латинских слов и испытав себя в переводах пришёл в гимназию в класс латинского языка, проходя занятия наравне с другими. Постоянное присутствие его в классе обратило на себя внимание учителя. Проверка знаний: перевод нескольких строчек из Корнелия Непота и правильный грамматический разбор, произвели такое впечатление на учителя, что Клименков был переведён из 2-го класса в 4-й, а к концу года сделался первым латинистом 2-го курса гимназии и авдитором в 4-м классе.