2016 wurde Bábek Europameister im Keirin, wenige Wochen später gewann er die Keirin-Wettbewerbe bei den Läufen des Bahnrad-Weltcups in Glasgow und in Apeldoorn. Im April 2017 errang er bei den Bahnweltmeisterschaften in Hongkong die Bronzemedaille im Keirin sowie gemeinsam mit Quentin Lafargue Silber im Zeitfahren, da beide Fahrer zeitgleich ins Ziel gekommen waren.