Altınsoy studierte an der Universität Ankara Rechtswissenschaften und ließ sich nach dem Studium als Rechtsanwalt nieder. Nach dem Militärputsch 1960 begann er, sich politisch zu engagieren. Als nationalkonservativer Politiker war er Mitglied der Cumhuriyetçi Köylü Millet Partisi (1961–1969), der Demokratik Parti (1973–1977), der Anavatan Partisi (1984–1989), der Refah Partisi (1995–1998) und der Fazilet Partisi (1998–1999).