1848 begann Mitgau am "Collegium Carolinum", dem Vorläufer der heutigen Technischen Universität Braunschweig, ein Studium der technischen Wissenschaften und des Maschinenbaus. Nach Abschluss seines Studiums arbeitete er unter anderem bei der Herzoglich Braunschweigischen Staatseisenbahn sowie in der Maschinenfabrik des Hüttenwerks Zorge. Im Herbst 1854 ging er auf Veranlassung der Braunschweigischen Regierung nach Berlin, um in der Hoppeschen Maschinenfabrik eine weitere Ausbildung zu durchlaufen, 1862 gefolgt von der Entsendung zur Weltausstellung nach London.