В детстве семья Анатолия Чепиги переехала в село Берёзовку Ивановского района Амурской области, где потом долгое время жила. В 1996 году Анатолий Чепига окончил Берёзовскую среднюю школу и в 18 лет поступил в Дальневосточное высшее общевойсковое командное училище имени маршала Советского Союза К. К. Рокоссовского (ДВОКУ), которое окончил в 2001 году с отличием. После получения образования, по данным The Insider, направлен на службу в 14-ю бригаду спецназа ГУ ГШ ВС России, в дальнейшем принявшую участие во Второй чеченской войне. Всего в командировках в Чечне был трижды.