Erste Erfahrungen bei internationalen Meisterschaften sammelte Adnan Taess Akkar bei den erstmals ausgetragenen Hallenasienmeisterschaften 2004 in Teheran, bei denen er den fünften Platz über 1500 Meter und Rang elf über 3000 Meter belegte. 2005 belegte er bei den Islamic Solidarity Games in Mekka den fünften Platz über 800 Meter sowie Platz sieben über 1500 Meter. Zudem belegte er mit der irakischen 4-mal-400-Meter-Staffel den vierten Platz. Bei den Asienmeisterschaften im südkoreanischen Incheon gewann er die Silbermedaille über 1500 Meter und wurde über 800 Meter Sechster. Ein Jahr später wurde er bei den Hallenasienmeisterschaften in Pattaya Neunter über 1500 Meter. 2009 gewann er bei den Hallenasienspielen in Hanoi die Bronzemedaille im 800-Meter-Lauf und musste seinen Lauf über 1500 Meter vorzeitig abbrechen. Bei den Asienmeisterschaften in Guangzhou gewann er ebenfalls Bronze über 800 Meter und belegte Platz sieben über 1500 Meter. Zudem erreichte er mit der irakischen Stafette Platz fünf.