Björnsson esordì in campo internazionale ai Mondiali juniores di Zinal 1990 e ai Giochi olimpici invernali ad , dove si classificò 43º nel supergigante e non concluse lo slalom gigante e lo slalom speciale. Due anni dopo, a , fu 30º nello slalom gigante e non concluse nuovamente lo slalom speciale. Il 17 novembre 1995 debuttò in Coppa del Mondo nello slalom gigante di Vail/Bevaer Creek, senza terminare la gara, e nel 1997 ai Campionati mondiali: nella rassegna iridata di Sestriere non completò né lo slalom gigante né lo slalom speciale.