Il fait see débuts dans la Coupe du monde en février 2000 au slalom géant de Todtnau, avant de prendre part à son premier championnat du monde en 2001 à Sankt Anton. Il parvient à obtenir deux résultats aux Championnats du monde sur le slalom : en 2003 à Saint-Moritz, il est et en 2005 à Bormio, il est . À partir de la saison 2004-2005, où il obtient une cinquième place en Coupe d'Europe en slalom indoor, Björgvinsson court de manière régulière dans la Coupe du monde, résultant avec de multiples abandons notamment, avant de se qualifier pour sa première seconde manche en janvier 2009, à Zagreb, où il se classe finalement du slalom. Un an plus tard jour pour jour, il revient en deuxième manche au même lieu, pour améliorer d'une place se classement.