Erste internationale Erfahrungen sammelte Jan Kubista vermutlich im Jahr 1979, als er bei den Junioreneuropameisterschaften in Bydgoszcz im 800-Meter-Lauf mit 1:52,69 min in der ersten Runde ausschied. 1983 gelangte er bei den erstmals ausgetragenen Weltmeisterschaften in Helsinki über 1500 Meter bis ins Finale und belegte dort in 3:44,30 min den zehnten Platz. Im Jahr darauf stellte er in Los Angeles mit 4:01,3 min einen neuen Landesrekord in der Halle über die Meile auf. 1988 nahm er für die Tschechoslowakei an den Olympischen Spielen in Seoul teil, schied dort aber mit 3:46,41 min im Vorlauf über 1500 Meter aus.