Отец Яна, Ян Кубиста-старший, в 1983 году бежал в финале чемпионата мира на дистанции 1500 метров и долгие годы был рекордсменом Чехии в этой дисциплине (3.34,87). Его старший сын долгое время занимался баскетболом и футболом, однако по совету своего школьного тренера в 17 лет стал уделять внимание и бегу. Окончательный выбор в пользу лёгкой атлетики был сделан после победы на юниорском чемпионате страны 2009 года.