Ο Τζέκο γεννήθηκε το 1986 στη συνοικία Μπριγέσκε (βοσν: "Brijesce") του Σαραγέβο, το οποίο τότε ανήκε στη ΣΟΔ Γιουγκοσλαβίας και γονείς του είναι οι Μιδάτ και Μπέλμα Τζέκο. Κατά την πολιορκία της πόλης στη διάρκεια του πολέμου της Βοσνίας, η περιοχή που έμενε κατελήφθη από τον σερβοβοσνιακό στρατό, ενώ το σπίτι του καταστράφηκε με αποτέλεσμα να καταφύγει μαζί με την υπόλοιπη οικογένειά του στην οικία της γιαγιάς του που βρισκόταν στην - υπό βοσνιακό έλεγχο - πλευρά της πρωτεύουσας. Αυτά τα γεγονότα, σε συνδυασμό με την απώλεια συγγενικών και φιλικών του προσώπων, οδήγησαν τον Τζέκο να παραδεχτεί πως έζησε μια θλιβερή παιδική ηλικία.