Seine erste internationale Medaille in der Erwachsenenklasse gewann Baschajew bei den Europameisterschaften 2018 in Tel Aviv. Dort bezwang er im Halbfinale den Georgier Guram Tuschischwili und unterlag erst im Finale dem Tschechen Lukáš Krpálek. Im November 2018 gewann er eine weitere Silbermedaille, als er den zweiten Platz bei den Militärweltmeisterschaften erreichte. 2019 siegte er beim Grand-Slam-Turnier in Jekaterinburg. Im Oktober 2020 erreichte Baschajew das Finale beim Grand-Slam-Turnier in Budapest und unterlag seinem Landsmann Inal Tassojew. Einen Monat später bezwang Baschajew im Viertelfinale der Europameisterschaften 2020 in Prag Lukáš Krpálek und im Halbfinale den Georgier Lewani Matjaschwili. Im Finale traf Baschajew wieder auf Tassojew, diesmal siegte Baschajew und wurde Europameister. Im April 2021 siegte Baschajew beim Grand Slam in Antalya und im Mai beim Grand Slam in Kasan. Bei den Weltmeisterschaften 2021 in Budapest besiegte er im Halbfinale den Georgier Gela Zaalaschwili, im Finale verlor er gegen den Japaner Kokoro Kageura. Anderthalb Monate später bei den Olympischen Spielen in Tokio besiegte er im Viertelfinale den Franzosen Teddy Riner. Nach einer Halbfinalniederlage gegen den Georgier Guram Tuschischwili gewann Baschajew den Kampf um Bronze gegen den Ukrainer Jakiw Chammo.