Daniel Azro Ashley Buck war der Sohn von Daniel Buck (1753–1816), der zwischen 1795 und 1797 für den Staat Vermont im US-Repräsentantenhaus saß. Der jüngere Buck zog mit seinen Eltern nach Chelsea in Vermont. Bis 1807 besuchte er das Middlebury College. Nach einem Studium an der US-Militärakademie in West Point wurde er 1808 Leutnant im Pionierkorps der US-Armee. Im Jahr 1811 quittierte er den Militärdienst und begann ein Jurastudium, das er aber bei Ausbruch des Britisch-Amerikanischen Kriegs unterbrach, um wieder in den aktiven Militärdienst einzutreten. Zunächst wurde er Oberleutnant in einer Artillerieeinheit und im Jahr 1813 wurde er Hauptmann einer Infanterieeinheit. Zwischenzeitlich war er bei der Aufstellung eines Freiwilligenregiments aus Vermont behilflich. Offiziell blieb er bis Juni 1815 in der Armee. Nach Beendigung seines Jurastudiums begann er in Chelsea in seinem neuen Beruf zu arbeiten.