במאי 1938, לאחר סיפוח אוסטריה לגרמניה הנאצית, נעצר שטורם ונשלח למחנה הריכוז דכאו. באוגוסט הועבר למחנה הריכוז בוכנוואלד, שם הוחזק בצריף יחד עם אמן הקברט המפורסם פריץ גרינבאום, וזכרונותיו הם המקור היחיד על ימיו האחרונים של הלה. הוא תויג כאסיר פוליטי אוסטרי. באפריל 1939 שוחרר מבוכנוואלד והורשה לצאת מגרמניה. הוא היגר לאיטליה, שם שהה שלושה חודשים במילאנו. בהמשך חצה באופן בלתי חוקי את הגבול לצרפת והתיישב במרסיי. לאחר פרוץ מלחמת העולם השנייה בחודש ספטמבר נכלא במחנה ריכוז קטן בצרפת – מחנה דה מיל. ב-27 ביוני 1941, זמן קצר לאחר שצרפת נכנעה לגרמניה הנאצית, אסירי המחנה פונו לעיר באיון ברכבת, ושטורם הצליח להימלט. הוא חי במרסיי עד אוגוסט 1942, אז גורש למחנה הריכוז דראנסי ובהמשך למחנה ההשמדה אושוויץ. הוא הוצב במחנה העבודה בלכהמר שבאושוויץ, שם אולץ לעבוד כספר. לעיתים נדירות, כאשר השומרים אפשרו זאת, השתתף בערבי תיאטרון. בינואר 1945 אסירי המחנה הוצעדו בצעדת המוות לבוכנוואלד. שטורם שרד את הצעדה וכתב על כך זמן קצר לאחר הגיעו לבוכנוואלד. הוא חבר לארגון הקומוניסטי המחתרתי של המחנה. בעודו במקום היה חלק מפלוגת הבינוי שבראשה עמד רוברט זיוורט. במהלך השואה, אמו נרצחה באושוויץ. המחנה שוחרר ב-11 באפריל 1945.