Największy sukces w karierze Edmund Bruggmann osiągnął w 1972 roku, kiedy podczas igrzysk olimpijskich w Sapporo wywalczył srebrny medal w slalomie gigancie. W zawodach tych rozdzielił na podium Włocha Gustava Thöniego oraz swego rodaka, Wernera Mattle. Następnego dnia zajął także ósme miejsce w slalomie. Na rozgrywanych cztery lata wcześniej igrzyskach w Grenoble jego najlepszym wynikiem było dziesiąte miejsce w zjeździe. Był też między inni piąty w kombinacji podczas mistrzostw świata w Val Gardena w 1970 roku.