Nach dem Studium trat von Finckh 1827 in den Staatsdienst des Großherzogtums Oldenburg ein und war zunächst als Amtsauditor in Löningen und Rodenkirchen tätig. 1831 wurde er Sekretär bei der Regierung des Fürstentums Lübeck, einer Exklave des Großherzogtums. Sein Amtssitz war in Eutin. 1836 kam er als Assessor zur Regierung in Birkenfeld, einer weiteren Exklave Oldenburgs, und wurde dort 1841 zum Regierungsrat und Hofrat ernannt. Nach dem Ausbruch der Deutschen Revolution von 1848 übernahm er im März 1848 die provisorische Leitung der Regierung und bemühte sich, durch eine ausgleichende und konziliante Politik die revolutionäre und teilweise separatistische Bewegung aufzufangen. 1853 wurde er dann auch offiziell auf den seit 1848 vakanten Posten des Regierungspräsidenten des Fürstentums Birkenfeld berufen, den er bis zum 1. Oktober 1881 innehatte. Als Auszeichnung erhielt er die Ernennung zum Wirklichen Geheimen Rat. Zuletzt lebte er bis zu seinem Tod in Oldenburg.