באולימפיאדת הנכים טוקיו (1964) זכתה משעני ב-5 מדליות, מהן 2 זהב, 1 כסף ו-2 ארד. 2 מדליות זהב בהטלת כידון בשיא עולם חדש של 15.50 מטר, במדליית ארד זכתה צפורה רוזנבאום מישראל (13.28 מטר) ובמשחה ל-50 מטר חופשי בתוצאה של 1:07.8 דקות, לפני רוזנבאום (1:25.2 דקות). מדליית כסף בטניס שולחן ביחידות ושתי מדליות ארד בהדיפת כדור ברזל (4.64 מטר) ראשונה הייתה רוזנבאום בשיא עולם חדש של 5.16 מטר ובטניס שולחן בזוגות עם רוזנבאום. נוסף לכך היא סיימה במקום רביעי בזריקת אלה (22.19 מטר).