Alba Torrens begann ihre Laufbahn als Juniorin 2001 bei "CB Sant Josep" in Palma. Im März 2004 wechselte sie nach Barcelona, in den Nachwuchs von "Segle XXI", wo sie ab der Saison 2004/05 bereits in der ersten Mannschaft spielte, die zu diesem Zeitpunkt in der zweiten Spielklasse vertreten war. Im Sommer 2006 wurde Torrens zum Erstligisten "RC Celta Indepo" aus Vigo transferiert. Mit ihrem Verein konnte die junge Spanierin zwar keine Erfolge feiern, doch selbst entwickelte sie sich zu einem der größten Talente der Liga. Am 9. April 2009 wurde sie in der WNBA Draft an 36. Stelle von den Connecticut Sun ausgewählt, entschied sich jedoch zu einem Verbleib in ihrer Heimat, wo sie zum Spitzenklub Perfumerías Avenida wechselte. Im Jahr 2009 wurde sie von der FIBA Europa mit dem Young Women’s Player Of The Year Award für die beste Spielerin des Kontinents unter 22 Jahren ausgezeichnet. Mit ihrem Klub "Perfumerías Avenida" feierte sie insbesondere in der Saison 2010/11 zahlreiche Erfolge. National holte sie sowohl die Spanische Meisterschaft als auch den Supercup und krönte die Saison mit dem Gewinn der Euroleague Women durch ein 68:59 im Finale gegen "Spartak Moskau". Sie selbst wurde für ihre herausragenden Leistungen zum MVP des Final-Four gewählt.