В 1938 году окончил колледж в городе Монтгомери (ныне Сахивал, Пакистан), после чего вступил в ряды военно-воздушных сил Британской Индии. В 1944 году принимал участие в Бирманской кампании, за проявленную храбрость в бою против Японской империи был награждён Крестом «За выдающиеся лётные заслуги». В 1965 году командовал лётными подразделениями индийских вооружённых сил во время войны против Пакистана, был награждён одной из высших наград Республики Индия — Падма Вибхушан. В августе 1969 года уволился с военной службы, приняв предложение стать послом Индии в Швейцарии. В январе 2002 года правительство Индии присвоило Арджану Сингху звание Маршала Индийских ВВС в знак уважения к его боевым заслугам. Он является единственным военачальником, которому присваивалось это воинское звание до настоящего времени. После смерти в июне 2007 года фельдмаршала Сэма Манекшоу Арджан Сингх оставался последним живущим индийцем, которым присваивались высшие воинские звания.