Bartošák edusti Tšekkiä Pyeongchangin olympiakisoissa 2018, jolloin hän toimi kuitenkin joukkueensa kolmosmaalivahtina, eikä pukenut yhteenkään otteluun. Bartošák pelasi myös MM-kilpailuissa vuonna 2019, jolloin hän pelasi suurimman osan Tšekin otteluista saaden tililleen kuusi ottelua. Valmennus valitsi Bartošákin Tšekin turnauksen yhdeksi kolmesta parhaasta pelaajasta. Yhteensä hän on pelannut 18 A-maaottelua. Bartošák sai ensimmäisen kerran tuntumaa Tšekin A-maajoukkueeseen jo kaudella 2016–2017, mutta hän pelasi ensimmäisen A-maaottelunsa kuitenkin seuraavalla kaudella 23. elokuuta 2017 Třinecissä pelatussa harjoitusottelussa Slovakiaa vastaan. Bartošák torjui Tšekin 0–2-tappioon päättyneessä ottelussa 19 kertaa ja hän päästi yhden maalin. Ensimmäisen nollapelinsä A-maajoukkueessa hän torjui Euro Hockey Challengessa 27. huhtikuuta 2019 Nitrassa Slovakiaa vastaan. Bartošák torjui Tšekin 0–2-voittoon päättyneessä ottelussa 27 kertaa.