Eulenburg besuchte ab 1856 das Gymnasium in Marienwerder und wurde anschließend am 4. Mai 1859 Kadett in Berlin. Aus dem Kadettenkorps kommend wurde Eulenburg am 6. Mai 1862 als Sekondeleutnant dem Ostpreußischen Kürassier-Regiment Nr. 3 der Preußischen Armee überwiesen. Bereits im Jahr darauf folgte am 25. Oktober 1863 seine Ernennung zum Regimentsadjutant. Als solcher nahm er 1866 während des Krieges gegen Österreich am Gefecht bei Trautenau, der Schlacht bei Königgrätz sowie der Einschließung von Olmütz teil. Im Oktober 1869 folgte seine Beförderung zum Premierleutnant und seine Versetzung als Adjutant zur 2. Garde-Kavallerie-Brigade. An der Mobilmachung 1870 zu Beginn des Krieges gegen Frankreich konnte Eulenburg zunächst aufgrund einer Beinverletzung nicht teilnehmen. Erst Ende August kam er zu seiner Brigade nach Frankreich und wurde in der Schlacht bei Sedan leicht verwundet. Im weiteren Kriegsverlauf verblieb er im Brigadestab unter Albrecht von Preußen, kämpfe an der Hallue, bei Bapaume und Saint-Quentin, machte die Belagerung von Péronne mit und kam bei Pierrefitte, Gisors und Vernon zum Einsatz. Für seine Leistungen erhielt Eulenburg zwischenzeitlich am 21. Oktober 1870 das Eiserne Kreuz II. Klasse. Nach Kriegsende wurde er dann unter Belassung in seiner Stellung am 23. Februar 1873 in das 2. Garde-Ulanen-Regiment versetzt und erst am 22. September 1873 von seinem bisherigen Kommando entbunden. Nachdem Eulenburg am 14. Februar 1874 Rittmeister geworden war, wurde er am 15. Oktober 1874 zum Eskadronchef ernannt. Diesen Posten hatte er bis zum 11. Juni 1880 inne und wurde anschließend Adjutant der Garde-Kavallerie-Division. Im Jahr darauf folgte am 13. Oktober in gleicher Funktion seine Versetzung zum Generalkommando des Gardekorps. In dieser Stellung verblieb Eulenburg fast acht Jahre, wurde zwischenzeitlich am 2. Juni 1883 Major und konnte mehrfach als Beobachter an Übungen russischer Truppen teilnehmen.