Alexander Baschenow gab sein internationales Debüt im Rahmen des FIS-Cup am 12. Dezember 2013 in Notodden. Als Siebenter sprang er dabei auf Anhieb unter die besten zehn. Nach zwei fünften Plätzen im rumänischen Râșnov im Februar 2014 reiste er mit dem russischen B-Kader zum Skisprung-Continental-Cup (COC) nach Falun. Sein Debüt in dieser Serie gab er am 1. März 2014 mit einem 49. Platz von der Normalschanze. Am 14. März sammelte er mit Rang 27 in Nischni Tagil seine ersten vier Punkte, mit welchen er Rang 170 in der Gesamtwertung des Continental Cup erreichte. Ab September 2014 kam Basschenow erneut im FIS-Cup zum Einsatz, wo er jedoch nur schwer zu den Leistungen des Vorjahres fand. Trotz magerer Punkteausbeute startete er im Januar 2015 wieder im Continental Cup. Im japanischen Sapporo sprang er im ersten von drei Springen erneut in die Punkteränge. Bei den folgenden Nordischen Junioren-Skiweltmeisterschaften 2015 in Almaty sprang er im Einzel auf Rang 35, bevor er mit der Mannschaft im Teamspringen Platz 11 belegte. In Nischni Tagil sammelte Baschenow zum Saisonende erneut COC-Punkte. An gleicher Stelle gab er schließlich am 11. Dezember 2015 sein Debüt im Skisprung-Weltcup, blieb aber in beiden Springen ohne Punkte. In der Folge verblieb er weiter im Continental Cup, konnte dort jedoch keine weiteren Erfolge feiern. Im Januar nahm er an der Qualifikation zum Weltcup in Sapporo teil, scheiterte aber als 45 bereits vor dem Wettbewerb.