Когда Рону было 6 лет, его семья переехала в Дублин, где он и начал заниматься бегом в местном клубе "Crusaders Athletics Club" под руководством Джека Суини. Затем Делэйни учился в американском университете Вилланова в пригороде Филадельфии, где тренировался под руководством известного тренера Джамбо Эллиотта, воспитавшего несколько олимпийских чемпионов. Первым успехом юного Рона стало попадание в финал чемпионата Европы 1954 года в Берне на дистанции 800 м.