Pierwszy sukces w karierze Connie Paraskevin osiągnęła w 1982 roku, kiedy zdobyła złoty medal w sprincie indywidualnym na mistrzostwach świata w Leicester. W tej samej konkurencji zwyciężała również na mistrzostwach w Zurychu w 1983 roku, mistrzostwach w Barcelonie w 1984 roku i mistrzostwach w Maebashi w 1990 roku. Podczas mistrzostw w Bassano w 1985 roku była druga za Francuzką Isabelle Nicoloso, a na mistrzostwach w Colorado Springs w 1986 roku, mistrzostwach w Wiedniu rozgrywanych rok później oraz mistrzostwach w Stuttgarcie w 1991 roku zajmowała trzecie miejsce. Na igrzyskach olimpijskich w Seulu w 1988 roku dobyła brązowy medal w swej koronnej konkurencji, wyprzedziły ją jedynie Erika Salumäe z ZSRR i Christa Rothenburger z NRD. W konkurencji tej startowała również na igrzyskach w Barcelonie i igrzyskach w Atlancie, ale w obu przypadkach odpadła w eliminacjach.