Он был вторым сыном (и третьим ребёнком) Бенджамина Раша, одного из депутатов, подписавших Декларацию независимости, и Джулии (Стоктон) Раш. Ричард Раш поступил в Колледж Нью-Джерси (теперь известный как Принстонский университет) в возрасте 14 лет и получил высшее образование в 1797 году, будучи самым молодым членом класса. Получил разрешение на адвокатскую практику в 1800 году, когда ему было только 20 лет. Он женился на Кэтрин Элизе Марри 29 августа 1809 года, в браке у них родилось десять детей, из которых три сына и две дочери пережили его.