Subašić pelasi vuoteen 2012 saakka kotimaassaan NK Zadarissa ja Hajduk Splitissä ennen kuin hän siirtyi tammikuussa 2012 Ranskan Ligue 2:ssa tuolloin pelanneeseen ja keväällä 2013 Ligue 1:een nousseeseen AS Monacoon. Hän voitti Kroatian cupin 2010 ja Ranskan-mestaruuden 2017. Hän on pelannut Kroatian maajoukkueessa ja oli varamaalivahtina mukana joukkueen kokoonpanossa EM-kisoissa 2012ja MM-kisoissa 2014. EM-kisoissa 2016 hän oli maajoukkueen ykkösmaalivahti kuten myös MM-kilpailuissa 2018, joissa Kroatia saavutti hopeaa.