Amanpour syntyi Lontoossa 12. tammikuuta 1958. Hänen äitinsä oli brittiläinen ja hänen isänsä oli iranilainen lentoyhtiön johtaja. Amanpourin syntymän jälkeen perhe muutti Teheraniin. Amanpour palasi 11-vuotiaana Englantiin käydäkseen siellä koulua. Hänen perheensä menetti omaisuutensa Iranin vallankumouksessa ja joutui muuttamaan maasta.