Vasiljev was als kind ziekelijk en had meermalen een longontsteking gehad. De dokter raadde zijn ouders aan om hun zoon een buitensport te laten doen, waarna Vasiljev op vijfjarige leeftijd begon met kunstschaatsen. Na aandringen van zijn coach Tamara Moskvina stapte hij op zijn achttiende over naar het paarrijden. De samenwerking met zijn eerste partner, Larisa Seleznova, was geen succes en het paar stopte na drie maanden met trainen. Moskvina koppelde hem vervolgens aan Jelena Valova. Het seizoen 1982/83 betekende de doorbraak voor het paar. Valova en Vasiljev veroverden toen de zilveren medaille bij de EK en werden voor het eerst wereldkampioen. In 1984, tevens het jaar dat ze huwden, wonnen ze de gouden olympische medaille bij de Olympische Winterspelen in Sarajevo.