Kaudesta 1962–63 lähtien Reunamäki kuului Leijonien vakiokalustoon. Ensimmäisen A-maaottelumaalinsa hän tehtaili Länsi-Saksaa vastaan 19. marraskuuta 1962 Helsingin jäästadionilla; Suomi voitti 6–3. Kauden sensaatio oli 5–3-voitto Ruotsin "70-prosenttisesta MM-kisajoukkueesta" Koulukadulla tammikuussa. Reunamäki onnistui maalinteossa kertaalleen, ja TK-V-kolmikkoa Reunamäki–Pulli–Nikkilä kuvailtiin jopa kaikkien aikojen parhaaksi ketjuksi maajoukkueessa. Keväällä Reunamäki valittiinkin mukaan Tukholman MM-kilpailuihin, missä Suomi sijoittui viidenneksi voitettuaan Yhdysvallat ja pelattuaan Länsi-Saksan kanssa tasan.