Andres Anvelts Großvater, Jaan Anvelt (1884–1937), war einer der bekanntesten bolschewistischen Agitatoren Estlands. Er errichtete mit Hilfe der sowjetrussischen Armee 1918/1919 im Nordosten Estlands eine kommunistische Terrorherrschaft und war maßgeblich für den gescheiterten kommunistischen Putschversuch in Estland 1924 verantwortlich. 1937 fiel er in Moskau dem Großen Terror zum Opfer.