Начал заниматься фигурным катанием в 4-летнем возрасте. В 11 лет переехал в Санкт-Петербург для занятий в тренерской школе Алексея Мишина, однако после неудачного выступления на чемпионате мира среди юниоров 2002 года (14-е место) оставил школу и вернулся в Пермь, решив прекратить профессиональные занятия спортом. Спустя несколько месяцев (по совету, как сообщалось, Алексея Ягудина, своего бывшего товарища по тренировкам у Мишина) Грязев вернулся к тренировкам уже в США под руководством Татьяны Тарасовой, в результате чего в 2004 году стал чемпионом мира среди юниоров и бронзовым призёром чемпионата России. Последнее достижение дало ему право на участие в чемпионатах мира и Европы 2004 года, где он занял 8-е и 12-е места соответственно. В 2005 году Грязеву удалось несколько улучшить эти результаты, заняв 2-е место в чемпионате России, 5-е на чемпионате Европы и 11-е на чемпионате мира.