In der Allgemeinen Klasse startet Blasbichler fast ausschließlich im Einsitzer. Nachdem er bei der Europameisterschaft 1991 als Sechster und der Weltmeisterschaft 1992 als Vierter noch ohne Medaille blieb, wurde er 1993 in Stein an der Enns Europameister. Im selben Winter belegte er mit einem zweiten Platz in Welschnofen als bestes Rennergebnis den fünften Gesamtrang im erstmals ausgetragenen Weltcup. Den ersten Weltcupsieg feierte Blasbichler am 27. Februar 1994 in Moskau, womit er im Gesamtweltcup der &lt;a href="Naturbahnrodel-Weltcup%201993/1994"&gt;Saison 1993/1994&lt;/a&gt; den dritten Platz erreichte. Die &lt;a href="Naturbahnrodel-Weltcup%201994/1995"&gt;Saison 1994/1995&lt;/a&gt; beendete er ebenfalls mit einem Sieg an vierter Position. Bei den Titelkämpfen erreichte er in den Jahren 1994 und 1995 allerdings keine vorderen Platzierungen: Bei der Weltmeisterschaft 1994 in Gsies wurde er Achter und bei der Europameisterschaft 1995 in Kandalakscha Zehnter. In der &lt;a href="Naturbahnrodel-Weltcup%201995/1996"&gt;Saison 1995/1996&lt;/a&gt; sicherte sich Blasbichler mit drei Rennsiegen und weiteren zwei Podestplätzen zum ersten Mal den Gesamtweltcupsieg, vor dem Österreicher Gerhard Pilz, der ebenfalls drei Rennen gewann. In der &lt;a href="Naturbahnrodel-Weltcup%201996/1997"&gt;Saison 1996/1997&lt;/a&gt; gewann Blasbichler wieder drei Rennen und damit zum zweiten Mal den Gesamtweltcup, diesmal vor seinem Landsmann Martin Gruber. In diesem Winter bestritt er mit Martin Psenner auch mehrere Weltcuprennen im Doppelsitzer und erreichte mit ihm zwei Podestplätze. Bei der Weltmeisterschaft 1996 in Oberperfuss und bei der Weltmeisterschaft 1998 in Rautavaara gewann er die Silbermedaille, 1998 zeitgleich mit Martin Gruber. Bei der Europameisterschaft 1997 wurde er Vierter.