Braumüller wurde im elterlichen Hause erzogen und absolvierte das Friedrich-Wilhelm-Gymnasium in seiner Heimatstadt. Anschließend besuchte er die Kadettenanstalten in Potsdam und Berlin. Am 2. Mai 1863 trat Braumüller als charakterisierter Portepeefähnrich in das 4. Garde-Grenadier-Regiment Königin der Preußischen Armee ein. Mit diesem Regiment nahm er 1864 während des Feldzuges gegen Dänemark am Sturm auf die Düppeler Schanzen, der Einschließung von Fredericia und dem Gefecht bei Klein-Rheida teil. Er bewährte sich dabei so sehr, das Braumüller am 10. März 1864 mit dem Militär-Ehrenzeichen II. Klasse ausgezeichnet wurde. Im gleichen Jahr folgte am 22. Mai seine Beförderung zum Sekondeleutnant. Braumüller nahm 1866 auch am Krieg gegen Österreich teil. Für die Dauer des mobilen Verhältnisses war er zum 2. Garde-Grenadier-Landwehr-Regiment nach Düsseldorf kommandiert und kam mit dem III. Bataillon in den Schlachten bei Münchengrätz und Königgrätz zum Einsatz. Vom 1. Mai 1868 bis 30. April 1869 war er als Erzieher am Kadettenhaus Plön tätig. Braumüller kehrte anschließend wieder zu seinem Stammregiment zurück und wurde zu Beginn des Krieges gegen Frankreich wieder zum mobilen III. Bataillon des 2. Garde-Grenadier-Landwehr-Regiments kommandiert. Er machte die Belagerungen von Straßburg sowie von Paris mit und wurde am 15. November 1870 zum Premierleutnant befördert. Als solcher kämpfte Braumüller Ende Oktober bei Le Bourget und fungierte vom 11. Dezember 1870 bis 4. April 1871 als Kompanieführer. Nach dem Frieden von Frankfurt erhielt Braumüller für seine Leistungen während des Krieges das Eiserne Kreuz II. Klasse.