Заниматься горными лыжами Юрий начал уже с трёх. Его тренером стала его мать — Наталья Данилочкина, которая в своё время участвовала в соревнованиях по горным лыжам в составе сборной СССР. Первоначально Юрий выступал за сборную России, но не попав на зимние Олимпийские игры 2010 года в Ванкувере, а также после отказа о смене своего личного тренера Юрий принял решение принять белорусское гражданство. Летом 2010 года процесс смены завершился и уже спустя несколько месяцев Данилочкин стал выступать за национальную сборную Белоруссии. На молодёжном уровне наивысшим достижением Данилочкина стало завоёванное дважды 13-е место на юниорских чемпионатах мира 2010 и 2011 годов. В феврале 2011 года Юрий впервые выступил на чемпионате мира. На мировом первенстве ему удалось добиться отличного результата в комбинации, где Юрий занял высокое 20-е место. Спустя два года на следующем мировом первенстве ему удалось улучшить этот результат, поднявшись на одну строчку вверх. В 2013 году Данилочкин принял участие в зимней Универсиаде. В скоростном спуске белорусскому горнолыжнику удалось попасть в десятку сильнейших, показав 7-е время. Свои единственные очки в рамках Кубка мира Данилочкину удалось набрать в феврале 2012 года на этапе мирового Кубка в Сочи, где в суперкомбинации белорусский горнолыжник показал 25-й результат.