אלמשאן נולד בבארדיזאג (כיום בחצ'ג'יק) סמוך לאיזמיר, טורקיה. הוא החל את לימודיו בעיר הולדתו, אבל עקב רצח העם הארמני ב-1915 שלחו אותו הוריו לאיטליה, שם המשיך בלימודים בבית הספר הארמני מוראט-רפאליאן בוונציה. ב-1923, כשמוריו עמדו על כשרונותיו המוזיקליים המרשימים, רשמו אותו ללימודי מוזיקה בקונסרבטוריון של מילאנו.