Murray estudou na Universidade de Washington antes de se inscrever para o draft da NBA de 2016. Escolhido pelo San Antonio Spurs, disputou 38 partidas na sua primeira temporada regular. Foi titular pela primeira vez num jogo de playoff contra o Houston Rockets, substituindo Tony Parker, que naquela altura estava lesionado. Na mesma série, anotou 11 pontos e 10 rebotes na terceira partida, tornando-se apenas o quarto calouro na história da franquia a registrar um duplo-duplo em um jogo de playoff, se juntando a David Robinson, Tim Duncan e Kawhi Leonard.