Nasceu em Lugoj, Roménia, perto do lugar de nascimento do seu colega húngaro György Ligeti. Ambos jovens compositores esperavam estudar com Béla Bartók em Budapeste em 1945, mas Bartók morreu nos Estados Unidos da América e Kurtág começou a estudar piano, composição e música de câmara com outros professores de Academia de Música Franz Liszt em Budapeste. Entre as suas primeiras obras havia uma "Cantata coreana" que expressava a sua solidariedade com os coreanos do norte na Guerra da Coreia contra os Estados Unidos. Só quando chegou aos 33 anos começou a colocar números de opus às suas obras.