Największy sukces w karierze Regina Schöpf osiągnęła w 1956 roku, kiedy podczas igrzysk olimpijskich w Cortina d’Ampezzo wywalczyła srebrny medal w slalomie. Już po pierwszym przejeździe Austriaczka znajdowała się na drugiej pozycji, ze stratą 0,4 sekundy do Renée Colliard ze Szwajcarii. W drugim przejeździe uzyskała siódmy czas, co jednak wystarczyło do zachowania drugiej pozycji i zdobycia srebrnego medalu, o 3,1 sekundy za Colliard i o 1,3 sekundy przed Jewgieniją Sidorową z ZSRR. Na tych samych igrzyskach była również dziewiąta w gigancie. Schöpf wystąpiła także na rozgrywanych dwa lata wcześniej mistrzostwach świata w Åre, gdzie zajęła czwarte miejsce w slalomie. Walkę o podium przegrała tam ze Szwedką Sarą Thomasson o 0,05 sekundy.