הצלחתו הראשונה של סטורואה באה, בשנת 1965, עם ביום ההצגה "המשפט של סיילם" המבוסס על ספרו של ארתור מילר, "ציד המכשפות". מאוחר יותר הוא רכב על גל ההצלחה עם ביום ההצגות מעגל הגיר הקווקזי של ברטולט ברכט (בשנת 1975), ריצ'רד השלישי (בלונדון ובאדינבורו בשנים 1979-1980) והמלך ליר (ניו יורק, 1990) בכיכובו של השחקן הקומי ראמאז צ'חיקוודזה. האינטרפרטציות שנתן למחזותיו של שייקספיר, "ריצ'רד השלישי" ו"המלך ליר", הביאו לפרסומו כמי שנותן אינטרפרטציה פרדוקסלית לתיאטרון השייקספירי. להוציא את 37 מחזותיו של שייקספיר, בייס סטורואה 17 מחזות נוספים. חמישה מהם בתיאטרון רוסתוולי. בשנת 1986 הוא ביים את "המלט" בריוורסייד סטודיוס, כאשר אלן ריקמן שיחק כהמלט. האיגוד הבינלאומי לשייקספיר שיבח את סטורואה כאחד מעשר ההפקות הטובות ביותר במשך 50 השנים האחרונות.