Hän osallistui urallaan kolme kertaa olympialaisiin eli vuoden 1956 Melbournen kesäolympialaisissa eteni loppukilpailuun, jossa ei kuitenkaan saanut tulosta. Vuoden 1958 EM-kisoissa Tukholmassa hän oli 6. Puolan Tadeusz Rutin voittaessa. Vuodet 1959-1961 olivat Asplundin uran parhaat, sillä hän oli kyseisinä kolmena vuotena maailmantilsaton 10 parhaan joukossa, joista vuoden 1959 maailmantilaston kolmas. Vuoden 1960 Rooman kesäolympialaisten piti olla Asplundin huippuhetki, sillä hän oli ollut varmassa 65 metrin kunnossa. Roomassa hän kuitenkin epäonnistui karsiutumalla tuloksella 57,27 eli lähes kahdeksan metriä hänen heittotasostaan., Asplund jatkoi heittouraansa ja oli mukana vuoden 1962 EM-kisoissa Belgradissa. Niissä hän kuitenkin karsiutui ennen loppukilpailua. Vuoden 1964 Tokion kesäolympialaiset olivat Asplundin uran kolmannet. Niissä hän jäi alkukarsintoihin tuloksella 61,15. Ura jatkui vielä vuoteen 1970, jolloin hän heitti yli 40-vuotiaana tuloksen 64,70, joka oli ikäluokkansa ennätys. Tämän tuloksen rikkoi olympiavoittaja Harold Connolly pari vuotta myöhemmin.