Runar Gåsströmin vanhemmat olivat Alavetelistä vuonna 1906 Yhdysvaltoihin siirtolaiseksi muuttanut puuseppä ja rakennusmestari Viktor Gåsström ja Jenny Wilen. Hänen nuorempi veljensä Elis syntyi vuonna 1916. Perhe asui Yhdysvalloissa New Yorkissa ja Chicagossa ja he palasivat Suomeen Venäjän maaliskuun vallankumouksen jälkeen vuonna 1917. Viktor Gåsström oli ollut Yhdysvalloissa mukana sosialistien toiminnassa ja palattuaan kotiseudulleen Alaveteliin hän joutui punaisten kannattajana pidätetyksi kolme kertaa. Suomen sisällissodan aikana valkoiset surmasivat Viktor Gåsströmin veljen ja hän oli itsekin vähällä joutua teloitetuksi.