Adam Bezák je odchovancom tímu HC Slovan Bratislava. Zaň nastupoval v dorasteneckých a juniorských súťažiach. Pred začiatkom sezóny 2007/2008 odišiel do kanadskej juniorky QMJHL, kde nastupoval za Moncton Wildcats. V Monctone odohral 65 zápasov, počas ktorých získal 23 bodov. Po sezóne sa však vrátil do Slovana, kde natrvalo začal hrať v seniorskom tíme. Odohral 14 zápasov až do októbra 2008, kedy na svoju žiadosť a žiadosť aj tímu odišiel do tímu HK Orange 20. Po majstrovstvách sveta hráčov do 20 rokov v roku 2009 sa rozhodol Adam Bezák vrátiť späť do QMJHL, kde hral jednu sezónu opäť za tím Moncton Wildcats. Po troch rokoch pôsobenia v tretej švédskej lige sa v roku 2014 vrátil do slovenskej extraligy, kde nastupuje za Duklu Trenčín.