Антон Ванькович женился на дворянке-католичке Анне Станиславовне Солтан (ок. 1790—1812), которая принадлежала к состоятельного и влиятельного в те времена рода Пересвет-Солтан, который находился в тесных родственных связях с магнатскими родами Великого княжества Литовского. Матерью Анны была княгиня Франциска-Теофилия Станиславовны Радзивилл (1760—1802), дочь Станислава Радзвилла (1722—1787) и Каролины Поцей (1732—1776), а отцом — Станислав Станиславович Пересвет-Солтан (1756—1836), который был надворным маршалком литовским (1791—1792), а в 1812 году возглавлял временное правительство Великого княжества Литовского, созданную 19 июня 1812 года по приказу французского императора Наполеона, орган административного управления на оккупированной французской армией территории литовско-белорусских губерний Российской империи во время Русской кампании 1812 года.