Адам родился примерно в 1307 году. После смерти отца в 1341 году он унаследовал баронский титул и семейные владения. С молодых лет Эверингем нёс военную службу на северной границе: так, в 1333 году он участвовал в осаде Берика (март—июль) и в разгроме пришедших на помощь этому городу шотландцев при Халидон-Хилле (19 июля; после этого сражения Берик капитулировал). В 1338—1339 годах Эверингем находился в свите короля Эдуарда III, который искал на континенте союзников против Франции в начинавшейся Столетней войне. В последующие годы Адам сражался с французами в морской битве при Слейсе, где англичане одержали победу (24 июня 1340), при осаде Турне (июль—сентябрь 1340), закончившейся заключением перемирия. В 1342 году он попал в плен, но вскоре был выкуплен за 200 марок золотом.