Pierwszy wysęp na dużej imprezie międzynarodowej Roger Staub zanotował w 1956 roku, kiedy wystąpił na igrzyskach olimpijskich w Cortina d’Ampezzo. W swoim jedynym starcie, biegu zjazdowym, zajął czwarte miejsce, przegrywając walkę o medal z Austriakiem Andreasem Moltererem o 0,9 sekundy. Na rozgrywanych dwa lata później mistrzostwach świata w Bad Gastein zdobył trzy medale. Najpierw wywalczył brązowy medal w gigancie, ulegając tylko dwóm Austriakom: Toniemu Sailerowi i Josefowi Riederowi. Cztery dni później zajął drugie miejsce w zjeździe, rozdzielając na podium Sailera oraz Francuza Jeana Vuarneta. W zawodach tych Szwajcar stracił do zwycięzcy 1,9 sekundy. Trzeci medal na tej imprezie wywalczył w kombinacji, w której zajął trzecie miejsce, plasując się za Sailerem i Riederem. Największy sukces w karierze osiągnął jednak na igrzyskach olimpijskich w Squaw Valley w 1960 roku, gdzie wywalczył złoty medal w gigancie. O 0,4 sekundy wyprzedził tam Austriaka Josefa Stieglera, a o 0,8 sekundy jego rodaka, Ernsta Hinterseera. Na tych samych igrzyskach Staub był także piąty w zjeździe, a slalomu nie ukończył.