Первую медаль на международной арене Крикун завоевал в 1987 году, заняв второе место на юношеском чемпионате Европы в родном Лейпциге. В 1995 году он стал серебряным призёром Универсиады в Токио. Бронзовую олимпийскую медаль он завоевал на Олимпиаде 1996 года в Атланте в метании молота с результатом 80 м 2 см. В процессе подготовки к следующим Олимпийским играм 2000 Александр перенёс операцию на позвоночнике, поэтому только за восемь месяцев до Олимпиады начал полноценно тренироваться. Его выступление на XXVII Олимпийских играх было неудачным (20-е место). Его личный рекорд в этой дисциплине — 81 м 66 см, установлен в 2004 году в отборе на Олимпиаду. Однако на самих Играх Крикун показал лишь 18-й результат. После Олимпиады спортсмен завершил карьеру.