Nach der Eroberung Osmanisch-Ungarns im Großen Türkenkrieg 1683–99 kehrten einige Nachfahren der Jász und Kun zurück und traten für die Wiederherstellung ihrer alten regionalen Privilegien ein. Es gibt keine Hinweise, dass die wohl schon vorher rückläufig gebrauchte alte Sprache der Jász nach der osmanischen Zeit noch existierte, der letzte bekannte Sprecher der Turksprache der ungarischen Kumanen starb 1770. Nicht nur sprachlich, auch ethnologisch-kulturell hatten sich die Nachkommen-Familien durch Kontakte und Eheschließungen der ungarischen Umgebung angeglichen. Sie mussten jedoch ihr Land zurückkaufen, da Leopold I. dieses zwischenzeitlich an den Deutschen Orden als Königslehen verkauft hatte. Nach Sammlung und Übergabe von letztlich über 500.000 Forint (Gulden) setzte Maria Theresia die Nachkommen-Familien der Jassen und Kumanen in ihre alten regionalen Privilegien verbunden mit der Heerespflicht wieder ein, wozu am 6. Mai 1745 das „Redemptio-Diplom“ erlassen wurde (lat. "redemptio"=„Erlösung“ oder „Freikauf“). Die Jassen und Kumanen stellten bis ins 19. Jahrhundert oft gemeinsame Regimenter, die unter dem Kommando regionaler Kapitäne und jassisch-kumanischer Hauptkapitäne (ung. "Jászkun főkapitány") standen.