Gaspoz gewann bei der Junioreneuropameisterschaft 1979 Silber im Slalom und Bronze im Riesenslalom. Im Dezember desselben Jahres punktete er erstmals im Weltcup. In seiner bis 1989 dauernden Karriere gewann er sechs Riesenslalom- und ein Slalom-Rennen im Skiweltcup. In der &lt;a href="Alpiner%20Skiweltcup%201985/86"&gt;Saison 1985/86&lt;/a&gt; gewann er die Riesenslalomwertung und feierte damit den grössten Erfolg seiner Karriere. Im folgenden Winter wurde er Zweiter hinter Pirmin Zurbriggen; beide hatten zwar 102 Punkte erreicht, doch in der ausschlaggebenden grösseren Anzahl an Saisonsiegen hatte sein Teamkollege mit drei Siegen einen mehr. Seine beste Platzierung bei einer Weltmeisterschaft war der fünfte Rang im Slalom bei der Alpinen Skiweltmeisterschaft 1982 in Schladming. Gaspoz war bei Weltmeisterschaften nicht vom Glück begünstigt: Jeweils in Riesenslaloms lag er nach dem ersten Durchgang auf Medaillenkurs, doch fiel er 1982 in Schladming noch von Rang 2 auf 4 zurück, und 1987 in Crans-Montana lag er gar in Führung, als er drei Tore vor dem Ziel stürzte und ausschied.