W 1645 poślubił Annę Iljiniczną Miłosławską siostrę carycy Marii Miłosławskiej. W czasie swojej długiej kariery na Kremlu, Morozow nadzorował liczne ministerstwa, zwane prikazami - Skarbu, Strzelców czy Płac. Licząc na wzrost dochodów skarbu Morozow zdecydował się na obniżenie płac pracownikom państwowym i wprowadzenie wysokich podatków od soli. Wywołało ty wybuch społecznego niezadowolenia, który znalazł ujście w buncie solnym w 1648 roku. Buntownicy żądali wydania im Morozowa, chcąc go osądzić i najprawdopodobniej zabić, ale car Aleksy najpierw ukrywał go w pałacu a następnie odesłał do monasteru Cyrylo-Biełozierskiego. Po wygaśnięciu buntu i uporaniu się z jego przywódcami, po czterech miesiącach nieobecności, Morozow powrócił do Moskwy.