Zavjalov saavutti pronssia 50 kilometrin kilpailussa Lake Placidin olympialaisissa 1980 Nikolai Zimjatovin ja Juha Miedon jälkeen. Oslon MM-kilpailuissa 1982 hän sijoittui 15 kilometrillä toiseksi 9,6 sekuntia Oddvar Brålle hävinneenä. Samoissa kilpailuissa hän hiihti ankkuriosuuden Neuvostoliiton joukkueessa, joka jakoi voiton Norjan kanssa sekä sijoittui kuudenneksi 30 ja 50 kilometrillä.