Venu au biathlon avec sa pratique de la patrouille dans l'armée soviétique, Aleksandr Privalov n'est pas un skieur très rapide, mais est adroit au tir. Après des débuts internationaux effectués en 1959, c'est aux Jeux olympiques d'hiver de 1960 qu'il obtient ses premiers résultats d'ampleur, remportant la médaille de bronze à l'individuel, où il manque trois cibles sur la dernière session de tirs. Un an plus tard, il gagne cette fois-ci la médaille d'argent dans cette discipline, aux Championnats du monde, battu seulement par Kalevi Huuskonen, ainsi que par équipes.