Uku participou na competição musical «Eesti Laul» várias vezes. O concurso é usado para selecionar a música que irá representar a Estónia no Festival Eurovisão da Canção. No «Eesti Laul 2017» concorreu com a música «Supernatural», mas foi eliminado na primeira semi-final. Em 2019 participou com a música «Pretty Little Liar», passou a segunda semi-final e ficou em 2.º lugar na final. Em 2020, Uku competiu novamente no Eesti Laul daquele ano com sua música «What Love Is» e venceu a final nacional, tornando-se o representante da Estónia na Eurovisão 2020. Quando o festival foi cancelado devido à pandemia de COVID-19, Suviste não foi selecionado internamente como representante da Estónia para o Festival Eurovisão da Canção 2021, como aconteceu em alguns outros países, no entanto, foi-lhe oferecida uma vaga nas semifinais do Eesti Laul 2021, que ele aceitou e venceu a final, desta forma ele foi selecionado para representar a Estónia na Eurovisão 2021 com a canção «The Lucky One», que não passou da semi-final.