Am 1. August 1941 wurde Szügyi zum Kommandeur des "1. Honvéd Fallschirmjäger-Bataillons" ernannt. Am 1. Oktober 1941 erhielt das Bataillon den Ehrennamen seines ersten Kommandeurs Árpád Bertalan, der am 12. April 1941 bei einem Springunfall tödlich verunglückt war. Den nun "1. Honvéd Fallschirmjäger-Bataillon „vitez Bertalan Árpád“" genannten Verband befehligte Szügyi bis zum 14. Oktober 1942. Das Bataillon nahm bis zu diesem Zeitpunkt an keiner größeren militärischen Aktion an der Seite der deutschen Wehrmacht teil. Einzelne Soldaten wurden aber an der Ostfront eingesetzt. Am 14. Oktober 1942 gab Szügyi das Kommando des Fallschirmbataillons ab und wurde zum Kommandeur des "königlich-ungarischen 43. Honvéd Infanterie-Regiments" ernannt. Hier erfolgte auch am 1. November 1942 seine Beförderung zum Oberst. Das Regiment unterstand der ungarischen 2. Armee. Die Armee wurde wenige Monate später, im Januar 1943, in der sowjetischen Operation Ostrogoschsk-Rossosch fast vollständig zerschlagen. Am 5. Februar 1943 traf Szügyi, von den Strapazen des Rückzuges gezeichnet, in Kiew ein. Am 8. Februar 1943 gab er das Kommando über das "43. Honvéd Infanterie-Regiment" ab und wurde am 18. Februar 1944 erneut zum Kommandeur des "1. Honvéd Fallschirmjäger-Bataillons „vitez Bertalan Árpád“" ernannt.