Bosco nació el 24 de septiembre de 1930 en Samarcanda. Su madre, Catherine (né Klimushkin) nació en Samara, su padre (cuyo nombre original era Bosc antes de que se lo extendiera a Bosco) nació en San Petersburgo. El padre de Yuri Bosco murió cuando Yuri era un niño, y su madre los trasladó a Samara (en ese momento se llamaba Kuybyshev). Con la invasión alemana de Rusia en 1941, la madre de Bosco lo envió a vivir con su hermana en Samarcanda. Allí sus primeros dibujos mostraron talento y su tía lo inscribió en la escuela de arte.