צור נולד בשם צבי צֶ'רטֶנקו בעיר זאסלב במחוז חמלניצקי שבאוקראינה הסובייטית, בברית המועצות, בן למשה ואסתר צ'רטנקו. ב-1925, בגיל שנתיים, עלה לארץ ישראל עם הוריו. בשנת 1936, בשיאם של "המאורעות" הצטרף כנער צעיר לארגון "ההגנה", ומילא בו תפקיד אלחוטאי.