Åslin begyndte sin internationale karriere ved at være med til at vinde U20-VM'et i 1981, hvilket i øvrigt var Sveriges eneste ungdomsguld i 31 år indtil Calgary i 2012. Åslin var med til at vinde tre mesterskber i Elitserien; to med Stockholmsklubben AIK i 1982 og 1984, og et med Jönköpingklubben HV71 i 1995. Han var med til at modtage medaljer i hvert af de fire VM i ishockey han deltog i: en guldmedalje i 1992 i Prag og tre sølvmedaljer; i 1986, 190 og 1993. Åslin vandt en olympisk bronzemedalje i Calgary i 1988.