Beklemischew stammte aus einer alten russischen Adelsfamilie. Sein Vater war der ehemalige Husaren-Oberst Alexander Beklemischew, der lange in Rom lebte, dort den Familiennamen Redgio annahm und nach seiner Rückkehr nach Russland als Direktor und Dekorateur von Provinz-Operntheatern und als Aquarellist arbeitete. Verwandtschaftliche Beziehungen bestanden zu dem Fürsten Dmitri Poscharski der Zeit der Wirren und dem General Michail Kutusow des Russlandfeldzuges 1812.