Il 12 settembre 1935, in quanto caporale maggiore della fanteria della "Gran Sasso", era a bordo della nave Saturnia a Napoli, impegnata a portare le truppe per la guerra d'Etiopia; per ordine del gerarca aquilano Adelchi Serena venne fatto sbarcare e passò a L'Aquila, di cui Serena era stato presidente, con l'intento di far ottenere la promozione in massima serie agli abruzzesi. Frossi siglò nove reti in 34 gare. Dopo aver sostenuto un provino con la Lucchese, venne in seguito acquistato per 50.000 lire dall'Associazione Sportiva Ambrosiana-Inter, squadra nella quale giocò dal 1936 al 1942 vincendo due scudetti (nel 1937-1938 e nel 1939-1940) ed una Coppa Italia nel 1938-1939. In tutto, con la maglia dell'Inter, Frossi segnò 49 gol in 147 partite, di cui 40 in campionato in 125 gare. Dopo una stagione alla Pro Patria (1942-1943) durante la seconda guerra mondiale, chiuse la sua carriera di calciatore nel 1945 all'età di 34 anni, vincendo il Torneo Lombardo con il , nel quale disputò 5 gare mettendo a segno due reti