20 июля 2016 года заключил долгосрочный контракт с «красными» на 3+1 года. Сумма трансфера составила 4.2 миллиона фунтов (почти пять миллионов евро). После заключения контракта Клаван стал самым дорогим футболистом по трансферной стоимости в истории эстонского футбола. Первую игру за новую команду Клаван провел против «Челси», в которой «Ливерпуль» проиграл со счётом 0:1. Первый гол за «Ливерпуль» Клаван забил в рамках игры третьего раунда Кубка Англии против «Дерби Каунти», встреча закончилась со счётом 3:0. Сезон команда закончила на четвёртом месте, а Клаван провел за клуб 20 игр в чемпионате и 5 игр в Кубке, где один раз забил гол. В составе английской команды Клаван стал первым игроком в истории эстонского футбола, который сыграл в групповом этапе Лиги Чемпионов. 1 января 2018 года Клаван забил решающий гол на последней минуте матча «Ливерпуль» — «Бернли», принеся победу Ливерпулю со счетом 2:1. Клаван стал первым эстонским футболистом, когда-либо забивавшим в АПЛ. 26 мая того же года стал первым эстонским футболистом, который с командой играл в финале Лиги Чемпионов. В финале Клаван на поле так и не вышел.