Луций Апроний происходил из сословия всадников; известно, что его отец и дед носили один и тот же преномен — "Гай". Предположительно, какие-то родственные связи имелись между ближайшими предками Луция и неким "Марком Апронием", помпеянцем времён гражданской войны 49—45 годов до н. э. и соратником Тита Квинкция Скапулы, который принимал участие в сражении близ Мунды.