Békessy wystartował w trzech konkurencjach szermierczych rozgrywanych podczas V Letnich Igrzysk Olimpijskich w Sztokholmie w 1912 roku. W indywidualnym turnieju florecistów doszedł do finału, gdzie zajął siódme miejsce, zaliczając 20 trafień. W indywidualnym turnieju szpadzistów odpadł w fazie eliminacyjnej. W indywidualnym turnieju szablistów Węgrzy zdominowali całą konkurencję wprowadzając siedmiu zawodników do ośmioosobowego finału. Békessy zdobył tytuł wicemistrza olimpijskiego zaliczając siedemnaście trafień.