Наивысших достижений в своей спортивной карьере Алла Багиянц добивалась в конце 1960-х годов. В 1968 году после победы на отборочном турнире «Матч городов» была включена в состав сборной СССР на чемпионате мира в Риме. На этих соревнованиях в борьбе с другой советской велогонщицей Ириной Кириченко Алла Багиянц смогла завоевать звание чемпионки мира в спринте. В 1969 году становилась чемпионкой СССР в командной гонке на 3 км.