Enkwist trat 1866 in die russische Marine ein. An der Marineschule lernte er Nikolai Iwanowitsch Nebogatow kennen. Am 17. Mai 1871 wurde er zum Seekadetten befördert. Von 1871 bis 1884 diente Enkwist in der Baltischen Flotte. Am 30. März 1874 wurde er zum Leutnant zur See befördert. Vom 15. Juni 1884 bis zum 24. Oktober 1887 diente er als Offizier auf dem Kanonenboot "Siwutsch" („“) im Fernen Osten. Am 13. April 1886 wurde er zum Kapitän 2. Ranges ernannt. Ab dem 9. April 1888 diente er auf dem Kreuzer "Pamjat Asowa" („“), mit dem er 1890/91 an der Fernostreise von Zar Nikolaus II. teilnahm. Vom 27. Mai 1891 bis zum 21. September 1893 diente er als Kommandant auf dem Kanonenboot "Bobr" („“). Am 6. Dezember 1894 wurde er zum Kapitän 1. Ranges befördert. Anschließend diente er von 1895 bis zum 7. Juni 1899 als Kommandant auf dem Ausbildungsschiff "Gerzog Edinburgski" („“). Von 1896 bis 1900 war Enkwist Kommandant unterschiedlicher Ausbildungseinheiten. Am 6. Dezember 1901 wurde er zum Konteradmiral befördert. Am 9. September 1902 wurde er zum Bürgermeister von Mykolajiw und Befehlshaber der örtlichen Marinebasis ernannt. Am 26. April 1904 wurde er mit der Unterstützung seines Cousins Fjodor Karlowitsch Awelan zum Kommandanten der Kreuzerdivision des "2. Pazifischen Geschwaders" ernannt. Während der Seeschlacht bei Tsushima setzte er seine Flagge auf den Kreuzer "Oleg". Als erkennbar wurde, dass die Schlacht verloren war, zog sich Enkwist mit den Resten der Kreuzerdivision ("Oleg", "Aurora" und "Schemtschug") nach Manila zurück. Dort wurde Enkwists Geschwader von den Amerikanern interniert; erst nach Kriegsende durften die Schiffe nach Russland zurückkehren. Im November 1907 wurde Enkwist aus der Flotte im Rang eines Vizeadmirals entlassen.