In der &lt;a href="Snooker-Saison%201994/95"&gt;Saison 1994/95&lt;/a&gt; kam der Durchbruch dann auch in den Ranglistenturnieren. Nach einem guten Saisonstart erreichte er bei den European Open und gleich anschließend bei den Welsh Open das Hauptturnier der Letzten 64 und besiegte dabei Spieler wie Alex Higgins und Jonathan Birch. Daneben gab es weitere gute Ergebnisse, aber auch einige frühe Niederlagen. Höhepunkt der Spielzeit war aber die Weltmeisterschaft, wo er mit zwei 10:9-Siegen zum dritten Mal unter die Letzten 64 kam, dann Nick Terry mit 10:8 besiegte und danach auch noch mit Neal Foulds erstmals gegen einen Top-32-Spieler gewann. Das Ergebnis lautete 10:9 und damit zog er ins Hauptturnier der Letzten 32 ein. Im Crucible Theatre von Sheffield spielte er allerdings keine gute Partie und lag gegen Tony Drago in der ersten Session schon 0:8 zurück. Die Zu-Null-Niederlage konnte er zwar verhindern, aber das 2:10 war eine klare Niederlage. Aber am Ende gehörte Cavney zu den Top 128 der Welt. Das Niveau konnte er im Jahr darauf nicht ganz halten, die Runde der Letzten 64 bei den European Open waren sein einziges Topergebnis, aber immerhin etablierte er sich unter den Top 96 und erreichte 1996 mit Platz 94 seine höchste Weltranglistenplatzierung.