V silniční cyklistice reprezentoval Československo a posléze i Českou republiku. V roce 1986 vyhrál první etapu Závodu míru v Kyjevě. Ve žlutém trikotu vedoucího jezdce pak absolvoval devět etap, celkově skončil sedmý se ztrátou minuty a 57 sekund na vítězného Olafa Ludwiga. Kyjevské etapy se jely těsně po černobylské havárii, k níž došlo pouhých 100 km od města. Radioaktivnímu spadu Regec připisuje své následné zdravotní problémy, kdy mu v roce 2005 byla odňata ledvina zasažená nádorem. Etapové vítězství na Závodě míru vybojoval také v roce 1988. Na mistrovství světa v silniční cyklistice v roce 1987 skončil v amatérském závodě jednotlivců na desátém místě. Na olympiádě 1988 byl desátý mezi jednotlivci (dosud nejlepší výsledek českého nebo slovenského jezdce) a osmý v časovce družstev.