Dragoumis entstammte einer angesehenen Familie. Sein Großvater Markos Dragoumis war ein Anführer der griechischen Befreiungskämpfe. Ion Dragoumis war eines von elf Kindern von Stephanos Dragoumis, der als Außen-, Innen- und Finanzminister und 1910 als Ministerpräsident zahlreichen Regierungen angehörte.