オーストリア＝ハンガリー帝国軍人の家系の長男として、ブドワイス（現チェコ領）に生まれた。父が研究した日露戦争関係の文献を通じて、日本や日本人に対する興味を持つようになり、12歳頃から独力で日本語を学び始める。第一次世界大戦中には下オーストリア州クレムス市の高等学校に通いながら、古事記の原文を読み、日本語とアルタイ語の比較を試みるほどになる。1918年、オーストリアが敗戦するとともに、父は田舎町の駐屯軍司令官へと左遷され、アレクサンダーは大学進学をあきらめさせられ、機械工の見習をしつつウィーンの商業専門学校に通うこととなる。1924年から1931年までシーメンスの子会社でサラリーマンとして生計を立てながらウィーン大学でトルコ語・モンゴル語の研究を経て、A・フォン・ロストホルン教授の指導の下で中国研究を進める。ウィーンに留学した上原専禄、斎藤茂吉や岡正雄と知り合い、特に岡とは日本民族の起源を探求する同志として親交を深めた。1938年に三井高陽男爵の支援のもと、ウィーン大学民族学研究所に所属する研究機関として設置され、オーストリアがドイツに併合された翌1939年には東洋文化研究所に合併されるに至る日本研究所（)の助手兼講師となる。しかし、独ソ開戦によりスラヴィクはドイツ陸軍に通訳として召集され、ベルリンで敗戦をむかえる。ウィーン大学に戻り、閉鎖されてしまった日本研究所の代わりに民族学研究所の中で日本研究を再建する許可を得て、1953年にアイヌ文化に関する論文を提出し教授資格を得る。来日した岡正雄や石田英一郎を通じて日本の学会と連絡を保ち、民族学研究所に日本学科（Japan-Abteilung）を設立することに成功する。1957年にユネスコの招待で初来日。日本からも大林太良・住谷一彦・安斎伸・白鳥芳郎が留学し、日本語講師としてウィーンに滞在した松野義明とともにスラヴィクの日本研究に加わった。他にスラヴィクの生徒としては金子えりか、ヘルベルト・メリハール（ウィーン国立科学博物館）、ゼップ・リンハルト（ウィーン大学）、エーリッヒ・パウアー（マールブルク大学）、ペーター・パンツァー（ボン大学）、エーリッヒ・ホルボウスキー、ヨーゼフ・クライナーが数えられる。1964年には瑞宝章を受章。