Pierwszy sukces w karierze Jens Veggerby osiągnął w 1980 roku, kiedy wraz z kolegami zdobył złoty medal w drużynowej jeździe na czas na mistrzostwach krajów nordyckich. W latach 80' startował głównie na szosie, zdobywając w 1983 roku wicemistrzostwo kraju, w 1985 roku był trzeci w Giro di Toscana, a rok później zajął trzecie miejsce w Giro dell'Appennino. Jego największym osiągnięciem jest jednak zdobycie złotego medalu w wyścigu ze startu zatrzymanego na torowych mistrzostwach świata w Hamar w 1993 roku. Ponadto w tej samej konkurencji Duńczyk zajął drugie miejsce na rozgrywanych w 1992 roku mistrzostwach świata w Walencji, ulegając jedynie Szwajcarowi Peterowi Steigerowi. Dwukrotnie zdobywał medale krajowych mistrzostw w kolarstwie torowym, ale nigdy nie brał udziału w igrzyskach olimpijskich.