McBurnie aloitti liigauransa Englannin ykkösliigassa Bradford Cityn joukkueessa kaudella 2013–2014. Hän pelasi myös lainalla Chesterissä. Kaudet 2015–2019 hän kuului Swansea Cityn omistukseen mutta pelasi myös lainalla Newport Countyssa, Bristol Roversissa ja Barnsleyssa. Swanseassa hän pelasi Valioliigaa viisi ottelua kaudella 2016–2017 ja 11 ottelua kaudella 2017–2018. Elokuussa 2019 McBurnie siirtyi Valioliigaan nousseeseen Sheffield Unitediin. Hän teki ensimmäiset valioliigamaalinsa elokuussa 2019 Leicester Cityä ja marraskuussa 2019 Manchester Unitedia vastaan. Ennen joulua hän teki maalin Brightonia ja tammikuussa 2020 West Hamia vastaan. Koronaviruspandemian aiheuttaman ottelutauon jälkeen hän teki heinäkuussa maalin voitto-otteluissa Tottenham Hotspuria ja Chelseaa vastaan, joten hänen koko kauden liigamaalimääräkseen tuli kuusi, millä hän oli Lys Moussetin kanssa joukkueensa paras maalintekijä. Hän pelasi kaudella 2019–2020 Valioliigassa 36 ottelua, joista 24 ottelua avauskokoonpanossa.