Der mit 1,79 m für einen Torwart nicht sehr groß gewachsene Ivan Ćurković begann seine Laufbahn in seiner Geburtsstadt bei FK Velež Mostar, wo er im Alter von 17 Jahren in der höchsten Liga debütierte, und wechselte als 20-Jähriger zum FK Partizan Belgrad. Bei den Olympischen Spielen 1964 hütete er das Tor der jugoslawischen Auswahl, die im Viertelfinale gegen die DDR ausschied. Bei Partizan stand er anfangs allerdings im Schatten von Milutin Šoškić, gehörte aber zum Kader, als der Klub 1965 seinen einzigen jugoslawischen Meistertitel während der folgenden acht Jahre errang und in der Spielzeit 1965/66 bis ins Endspiel des Europapokals der Landesmeister vorstieß. Später wurde er zum A-Nationalspieler, wobei er während seiner internationalen Karriere allerdings nicht dauerhaft die Nr. 1 war – insbesondere Enver Marić und Ognjen Petrović stellten eine zu starke Konkurrenz für ihn dar. Bei den beiden großen Turnierendrunden, für die Jugoslawien sich in den 1970ern qualifizieren konnte (WM 1974 und EM 1976), fand Ćurković keine Berücksichtigung, wohl aber in drei Qualifikationsspielen zur WM 1970.