האלם נולד בחוות טבק במוטואקה, ניו זילנד. אביו, קלייב, קיבל את עיטור צלב ויקטוריה על השתתפותו בהקרב על כרתים בשנת 1941. האב לימד את דני לנהוג על משאית בגיל צעיר, כשהילד יושב על ברכיו. בגיל 6 כבר נהג בעצמו. בגיל 15 הוא עזב את בית הספר ועבד במוסך. בכסף שהרוויח רכש מכונית מדגם MG TF עימה התחרה במרוצי טיפוס-גבעה. בהמשך רכש לו אביו מכונית מדגם MG MGA. לאחר שצבר מספר הצלחות רכש מכוית פורמולה 2 מתוצרת קופר-קליימקס. יחד עם ג'ורג' לאווטן נבחרו השניים לייצג את ניו זילנד במרוצי פורמולה ג'וניור ופורמולה 2 ברחבי אירופה. בשנת 1960 ניצח את גרנד פרי פסקארה בקטגוריית הג'וניור. לקראת סוף אותה שנה חווה טרגדיה כשלאווטן נפגע בתאונה שאירעה במהלך מרוץ בדנמרק ומאוחר יותר מת בזרועותיו של האלם שחש לעזרתו.