Erste internationale Erfahrungen sammelte Martin Kučera im Jahr 2012, als er bei den Europameisterschaften in Helsinki im 400-Meter-Hürdenlauf mit 51,50 s in der ersten Runde ausschied. Im Jahr darauf nahm er an der Sommer-Universiade im russischen Kasan teil und siegte dort mit neuer persönlicher Bestleistung von 49,79 s. 2015 gewann er bei den erstmals ausgetragenen Europaspielen in Baku die Silbermedaille in der Leichtathletikgesamtwertung. Im Zuge der Europaspiele wurde auch die 3. Liga der Team-Europameisterschaft ausgetragen und Kučera siegte dort in 50,70 s im Hürdensprint und in 3:08,80 min auch mit der slowakischen 4-mal-400-Meter-Staffel. 2016 gelangte er dann bei den Europameisterschaften in Amsterdam im Hürdenlauf bis ins Finale und belegte dort in 49,82 s den siebten Platz. Anschließend nahm er an den Olympischen Spielen in Rio de Janeiro teil, kam dort aber mit 51,47 s nicht über die erste Runde hinaus. 2018 erreichte er bei den Europameisterschaften in Berlin das Halbfinale über 400 m Hürden und schied dort mit 50,30 s aus. 2021 startete er dann im 400-Meter-Lauf bei den Halleneuropameisterschaften in Toruń und schied dort mit 48,44 s in der Vorrunde aus.