Andrzej Laszczak nimmt seit 1991 an Wettkämpfen im Naturbahnrodeln teil und feierte 1993 einen ersten Erfolg, als er zusammen mit Jerzy Sidoruk Polnischer Meister im Doppelsitzer wurde. Im Weltcup startet Laszczak sowohl im Doppelsitzer als auch im Einsitzer. Während er im Einsitzer zwar zur nationalen Spitze zählt und mehrere Podestplätze bei den Polnischen Meisterschaften erzielte, erreicht er im Weltcup in dieser Disziplin zumeist nur Platzierungen zwischen Rang 20 und Rang 30, seltener auch unter den besten 20, und im Gesamtweltcup meist ebenfalls Platzierungen zwischen Rang 20 und 30. Im Doppelsitzer hingegen zählt Andrzej Laszczak zur Weltspitze. In der zweiten Hälfte der 1990er-Jahre gelangen ihm zusammen mit Marcin Pawlus die ersten guten Resultate im Weltcup. Zwar fuhr das Duo in keinem Rennen auf das Podest, erreichte aber in den Saisonen &lt;a href="Naturbahnrodel-Weltcup%201995/1996"&gt;1995/1996&lt;/a&gt; und &lt;a href="Naturbahnrodel-Weltcup%201997/1998"&gt;1997/1998&lt;/a&gt; den sechsten sowie in der &lt;a href="Naturbahnrodel-Weltcup%201996/1997"&gt;Saison 1996/1997&lt;/a&gt; den fünften Gesamtrang im Doppelsitzer-Weltcup. Bei der Weltmeisterschaft 1996 und der Europameisterschaft 1997 erzielte das Duo Pawlus/Laszczak jeweils den siebenten Platz im Doppelsitzer, während Andrzej Laszczak im Einsitzer nur auf die Plätze 30 und 33 kam. In der Saison 1998/1999 bestritt Andrzej Laszczak keine Weltcuprennen, startete aber bei der Europameisterschaft 1999 in seinem Heimatort Szczyrk, wo er den 16. Platz im Einsitzer und mit Pawlus den vierten Platz im Doppelsitzer erreichte. Zudem wurden Marcin Pawlus und Andrzej Laszczak 1999 Polnische Meister im Doppelsitzer.