Osthaus war ein Sohn des aus wohlhabender Bauernfamilie stammenden Ferdinand Heinrich (Henry) Engelbert Osthaus aus Einum im Königreich Hannover, der die Engländerin Henrietta Maria Hunneman(n) geheiratet hatte. Bereits als Kind zeichnete er leidenschaftlich Tiere. Die Familie emigrierte 1864 im Zuge der Inthronisierung Maximilians I. nach Mexiko. Als dessen Kaiserreich im Verlauf der französischen Interventionskriege scheiterte, floh die Familie in die Vereinigten Staaten und kehrte zunächst wieder nach Deutschland zurück. Später wanderten die Eltern erneut in die Neue Welt aus und siedelten sich in Oshkosh (Wisconsin) an.