היינריך שיחק כנער במועדוני חובבים בגרמניה המזרחית, ובשנת 1990 החל לשחק בקיקרס אמדם ששיחקה אז בליגה השלישית בגרמניה. בשנת 1994 התגלה כישרונו על ידי פרייבורג, והוא חתם בקבוצה שעלתה אל הבונדסליגה עונה קודם לכן, כאשר היה בן 25. בעונתו הראשונה בקבוצה, 1994/95, פתח היינריך בהרכב ב-33 משחקים, כולל בניצחון הגדול 5-1 על באיירן מינכן, בו הבקיע את השער החמישי. בעונה זו סיימה פרייבורג באופן מפתיע במקום השלישי, כאשר בנוסף להיינריך שיחקו בה שחקנים כרודולפו קרדוסו וינס טוט. היינריך כבש שבעה שערים בעונת שיא זו. את עונת 1995/96 פתח היינריך בפרייבורג, אך בחלון ההעברות של החורף עבר לבורוסיה דורטמונד, והשתלב מיד בקבוצה. היינריך פתח בכל אחד מהמשחקים של בורוסיה דורטמונד עד לסוף העונה, וזכה עמה באליפות הבונדסליגה, והמשיך לשחק במועדון עוד שתי עונות רצופות, בהן היה שחקן קבוע בהרכב. עם בורוסיה דורטמונד היינריך זכה בליגת האלופות בשנת 1997, לאחר ניצחון 3-1 על יובנטוס במשחק הגמר, בו שיחק 90 דקות. ניצחון זה זיכה את בורוסיה דורטמונד בכרטיס לגמר הגביע הביניבשתי בדצמבר 1997. במשחק זה דורטמונד ניצחה 2-0 את קרוזיירו הברזילאית, כשהיינריך משחק 90 דקות.