Aleksey Kobelev commence sa carrière au niveau international en 1992 à la Coupe du monde, arrivant dixième de sa première course à Pokljuka, où il monte sur son premier podium en relais. Un an plus tard, il obtient la première de ses quatre médailles aux Championnats du monde, gra^ce à une deuxième place sur la course par équipes. Durant la saison 1994-1995, il signe ses deux premiers podiums individuels, dont une victoire au sprint d'Oberhof. Lors de la saison suivante, il enregistre son meilleur classement général dans la Coupe du monde, sans parvenir à monter sur un podium individuel, mais réussit ses championnats du monde avec une cinquième place sur l'individuel et le titre sur le relais en compagnie de Viktor Maygurov, Vladimir Dratchev et Sergey Tarasov.