Из потомственных дворян станицы Новочеркасской области Войска Донского — родился в семье казачьего офицера Виталия Яковлевича Прянишникова, проходившего в тот момент службу в городе Вилюнь Калишской губернии в 5-м Донском казачьем полку (в начале Первой мировой войны он получил тяжёлую контузию, после чего продолжил службу в тыловых частях, а к февралю 1917 года — дослужился до полковника и был назначен командиром запасного 4-го Донского казачьего полка). Мать Бориса — Мария Николаевна — скончалась от чахотки, когда Борису было четыре года. Отец женился вновь и у Бориса появились сводные брат и сёстры — Георгий, Надежда и Мария. Дед Бориса, Яков Павлович, выпускник юридического факультета Московского университета, и его бабка, Мария Михайловна, урождённая Ушакова, владели крупным имением в семнадцати верстах от станции Чертково.