Начиная с сезона 1982/83 в течение нескольких последующих лет выступал в добровольном спортивном обществе «Буревестник» у тренеров Юлии и Ардо Ренник — в паре с фигуристкой Юлией Быстровой, которую впоследствии взял в жёны. В 1984 году они одержали победу на чемпионате РСФСР, выиграли международный турнир «Пражские коньки» в Чехословакии, тогда как на чемпионате СССР стали шестыми. В следующем сезоне Тарасов с Быстровой стали пятыми в зачёте всесоюзного первенства, завоевали серебряные медали на зимней Универсиаде в итальянском Беллуно, получили бронзу на международном турнире в Англии — за эти выдающиеся достижения по итогам сезона Александр Тарасов удостоен почётного звания «Мастер спорта СССР международного класса». В период 1986—1988 годов Тарасов и Быстрова неизменно становились чемпионами РСФСР, находились в десятке сильнейших пар фигуристов на всесоюзных первенствах. Одно из наиболее значимых достижений в этот период — второе место на международных соревнованиях Trophée Lalique во Франции. По окончании сезона 1987/88 они приняли решение завершить карьеру спортсменов.