Adam Davies war ein Erfolg versprechendes Jugendtalent und erreichte mit etwa 16 Jahren bei der U21-Juniorenweltmeisterschaft 1999 das Viertelfinale. 2002 spielte er auf der Challenge Tour, bei der man sich für die Profitour qualifizieren konnte. Er gewann aber lediglich ein Spiel in drei Turnieren. Im Jahr darauf hatte er zwar anfangs auch keinen Erfolg, aber im vierten Turnier erreichte er überraschend das Achtelfinale, wo er James McBain bezwang, und erst im Viertelfinale verlor er gegen James Leadbetter. Ohne besonderes Einzelergebnis, dafür dreimal mit dem Erreichen der Runde der Letzten 32 spielte er 2003/04. Herausragend war dagegen sein Abschneiden bei der für Amateure offenen Profiweltmeisterschaft 2004, wo er fünf Amateurrunden überstand und in die Runde der Letzten 128 einzog. Außerdem stand er in dieser Saison zum zweiten Mal in der Hauptrunde der U21-WM und erreichte das Achtelfinale.