Родился 2 апреля 1970 года в Абакане в семье железнодорожников Михаила Алексеевича Клешко и Екатерины Серафимовны Буга. Подростком Михаил оказался среди тех людей, кого немецкие оккупационными власти отправляли на принудительные работы в Германию, но сумел выжить и после окончания Великой Отечественной войны вернулся на Украину и став железнодорожником поехал в Сибирь на строительство знаменитой «трассы мужества» — железнодорожной линии «Абакан-Тайшет». Дедушка и бабушка по линии матери — Татьяна Александровна Вернер (выпускница педагогического техникума, работала педагогом в Забайкалье) и Серафим Васильевич Воскресенский (ум. 1969; происходил из семьи потомственных священников, закончил сельскохозяйственный техникум, работал агрономом, ветеран Великой Отечественной войны, был репрессирован, однако потом полностью реабилитирован, включая восстановление членства в КПСС). Прадед — Василий Воскресенский, был уважаемым прихожанами настоятелем храма при кладбище в Орле, которого впоследствии арестовали и расстреляли. Дедушка по линии отца — Алексей Михайлович Клешко (по словам Клешко «меня назвали в его честь»), был крестьянином-середняком на Украине, которого трижды раскулачивали, а затем расстреляли. У Клешко есть старший брат — поэт Александр Буга.