Haar eerste succes behaalde Tamara Press in 1958 door in Stockholm Europees kampioene te worden op het discuswerpen. Met 53,32 m versloeg ze de Tsjechische Štepánka Mertová (zilver) en de West-Duitse Kriemhild Hausmann. Tevens veroverde zij op dit kampioenschap een bronzen medaille op het onderdeel kogelstoten.