Największy sukces w karierze Heinz Läuppi osiągnął w 1962 roku, kiedy zdobył srebrny medal w wyścigu ze startu zatrzymanego amatorów podczas mistrzostw świata w Mediolanie. W zawodach tych wyprzedził go jedynie Belg Romain De Loof, a trzecie miejsce wywalczył Francuz Christian Giscos. Był to jedyny medal wywalczony przez Läuppiego na międzynarodowej imprezie tej rangi. Läuppi zdobył ponadto cztery medale torowych mistrzostw Szwajcarii, w tym złoty w swej koronnej konkurencji w 1965 roku. Nigdy jednak nie wystąpił na igrzyskach olimpijskich.