Boehms Eltern waren deutscher Abstammung. Sein Vater Joseph Daniel Böhm war Direktor der Graveurakademie am Hauptmünzamt in Wien und ebenfalls Medailleur. Schon als Junge bereiste er mit diesem Italien und erhielt seine Ausbildung in Großbritannien und Italien. Er arbeitete nur wenige Jahre in Wien, vor allem im Medaillen- und Münzfach; 1853 erhielt er den Kaiserpreis für diese Medaillen und 1856 für seine Skulpturen. Auf der dritten Weltausstellung in London 1862 waren seine Skulpturen so erfolgreich, dass seine Arbeit mit Medaillen und Münzen in den Hintergrund trat. Seine Skulpturen galten zwar häufig als zu malerisch, fanden aber großen Anklang am Hof von Königin Victoria. Zu seinen ersten bekannten Werken zählt die kolossale Marmorstatue von Königin Victoria, die 1869 in Windsor Castle ausgeführt wurde, und das Denkmal für den Vater der Königin, Edward Augustus, Duke of Kent and Strathearn, in der St George’s Chapel in Windsor.