In der Jugend spielte Artur Pikk bei zahlreichen Vereinen. Sein erster Fußballverein war der FC Velldoris es folgten der FC Valga Warrior und FC Flora Rakvere. Vom Verein aus Rakvere wechselte Pikk 2009 zum FC Levadia Tallinn wovon er zum FC HaServ Tartu verliehen wurde. Von 2011 bis 2012 beim JK Tammeka Tartu unter Vertrag kam er zu seinem Profidebüt in der Meistriliiga gegen Trans Narva. Im Trikot von Tammeka konnte er zugleich erstmals einen Treffer in der Meistriliiga erzielen, im Spiel gegen Nõmme Kalju im August 2011. Nach der U-19-Fußball-Europameisterschaft 2012 wechselte er zum FC Levadia Tallinn. Sein Debüt für Levadia gab er im Saisonspiel gegen den Aufsteiger Tallinna Kalev, welches 6:0 gewonnen wurde. Im Februar 2016 wechselte er nach Weißrussland zu BATE Baryssau. Anderthalb Jahre später schloss er sich dem ungarischen Verein MFK Ružomberok an und seit 2018 spielt er für Miedź Legnica in Polen.