Seine ersten Spiele nach dem Sprung in die A-Nationalmannschaft absolvierte er im Rahmen des Iswestija Cups im Dezember 1993. Anschließend wurde der Angreifer in den schwedischen Olympiakader für die Olympischen Winterspiele 1994 im norwegischen Lillehammer berufen, wo er zwar torlos blieb, jedoch mit Olympia-Gold die Heimreise antrat. Ebenso gewann er bei der Weltmeisterschaft 1994 die Bronzemedaille. Im Laufe der Jahre ließ Jönsson weitere Titel und Erfolge folgen, darunter der Gewinn der Weltmeisterschaft in den Jahren 1998 und 2006. Letzter Triumph wurde durch den Gewinn der Goldmedaille bei den Olympischen Winterspielen 2006 im italienischen Turin zusätzlich versüßt. Des Weiteren gewann Jönsson in den Jahren 1997, 2003 und 2004 jeweils die Silbermedaille und in den Jahren 1994, 1999, Weltmeisterschaft 2001 und Weltmeisterschaft 2002 jeweils die Bronzemedaille im Rahmen der Welttitelkämpfe.