Buek war der dritte Sohn des Hamburger Versicherungsmaklers Caspar Heinrich Buek. Seine Mutter war Friederike Marie Henriette, geborene Vogt. Heinrich Wilhelm Buek besuchte zunächst die Ruetesche Vorbereitungsanstalt und ab 1811 die Gelehrtenschule des Johanneums. Im selben Jahr stellte er erste botanische Studien an und erbaute ein Herbarium in Johannes Flüggés botanischem Garten an der Alster, der während der Hamburger Franzosenzeit 1813 zerstört wurde. 1814 studierte Buek zu anatomischen, physiologischen und chirurgischen Fragestellungen am allgemeinen Krankenhaus bei Johann Jacob August Ritter. 1815 assistierte er als Wundarzt während des Feldzugs gegen Napoleon.