Энрике Горостьета был третьим ребёнком в семье известного писателя и политика Антонио Марии Энрике Педро Горостьета и Марии Веларде Вальдес-Льяно. Получив начальное и среднее образование в престижном колледже Мигеля Идальго, в декабре 1906 года был зачислен в военное училище, а 6 мая 1911 года получил звание лейтенанта. Ещё не закончив обучение, Энрике поступил добровольцем в армию, и участвовал в сражениях Мексиканской революции. В апреле 1914 года, уже в звании полковника, был в рядах солдат, оборонявших Веракрус от американских войск. За свои военные заслуги Энрике Горостьета всего в возрасте 24 лёт был произведён в звание бригадного генерала.