Han fikk sitt gjennombrudd i 2009 da han vant gull på sprinten i Junior-VM (JWOC) i italienske San Martino. Han har i ettertid vunnet totalt 17 verdenscupseiere og verdenscupen sammenlagt i 2012, 2013 og 2016. Han ble nummer tre sammenlagt i 2014 og nummer to i 2015. På hjemmebane i Lausanne i 2012 vant han stafett-gull i VM og ble verdenmester individuelt med sprint-gull i VM. Stafettgull ble det også i EM samme år ettersom Sveits 2 med Kyburz på laget gikk til topps i Falun. Han blir sett på som en av de mest talentfulle utøvere i orienteringsverden. I skotske Inverness i 2015 var Kyburz en del av Sveits sine gull-lag både på stafett og sprintstafett. I mai 2016 ble Kyburz kronet til EM-konge etter sine to gullmedaljer under mesterskapet i tsjekkiske Jeseník. Han tok gullmedaljene på sprint og mellomdistanse. Sveitseren hadde også et meget sterkt VM i 2016, der han innledet mesterskapet med sølvmedalje på sprinten. På mellomdistansen gikk han helt til topps og vant VM-gull 14 sekunder foran nordmannen Olav Lundanes. Sammen med Fabian Hertner og Daniel Hubmann tok Kyburz sølvmedalje for Sveits, kun slått av Norge.