Ensimmäisen arvokisamitalinsa Cuche saavutti Naganon 1998 olympialaisten supersuurpujottelussa, jossa sijoittui jaetulle toiselle sijalle yhdessä itävaltalaisen Hans Knaußin kanssa. Åren MM-kisoissa Cuche sijoittui pronssille suurpujottelussa. Val d'Isèren MM-kilpailuissa 2009 hän voitti supersuurpujottelun maailmanmestaruuden 0,99 sekunnin erolla Peter Fillin. Syöksyssä hän sijoittui toiseksi niin Val d'Isèressä kuin Garmisch-Partenkirchenissä 2011.