Алексей Дерябин родился 17 ноября 1915 года в селе Атемар (ныне — Лямбирский район Мордовии) в семье крестьянина. Окончил школу фабрично-заводского ученичества и аэроклуб в Саранске, после чего работал мотористом в аэроклубе, позднее стал лётчиком-инструктором. В 1939 году Дерябин был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию и направлен в батальон аэродромного обслуживания. В 1942 году окончил Чкаловскую военную авиационную школу пилотов, после чего остался в ней лётчиком-инструктором. Освоил штурмовик «Ил-2». С июля 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Принимал участие в боях на Ленинградском и 3-м Белорусском фронтах. Участвовал в боях под Ленинградом, Выборгской, Нарвской, Таллинской, Моонзундской, Восточно-Прусской операциях.