Генри Норрис принадлежал к старинному рыцарскому роду. Его предок, Ричард де Норрис из Спика в Ланкашире, был поваром королевы Элеоноры Прованской, жены Генриха III, и в 1267 году получил от неё поместье Окхолт в Беркшире, приносившее годовой доход в сорок фунтов. В конце XIV века один из младших членов семьи обосновался в Окхолте. Его правнук, Джон Норрис (умер в 1467 году), был приближённым Генриха VI и Эдуарда IV, шерифом Беркшира и Оксфордшира; второй сын Джона, Уильям, тоже занимал эту должность, участвовал в мятеже герцога Бекингема в 1483 году, позже примкнул к Генриху Тюдору и помог ему захватить корону. Первым браком Уильям был женат на Изабель Ингольдесторп, вдове Джона Невилла, 1-го маркиза Монтегю. Второй его женой стала дочь Джона де Вера, 12-го графа Оксфорд, родившая сыновей Эдуарда и Ричарда. Долгое время было принято считать Генри Норриса сыном Эдуарда от брака с Фридесвидой Ловел, дочерью Джона Ловела, 8-го барона Ловела из Тичмарша, и сестрой Фрэнсиса, 1-го виконта Ловела; последний в 1487 году поддержал самозванца Ламберта Симнела, но потерпел поражение при Стоук-Филд, причём Уильям Норрис тоже там сражался, но на стороне Тюдоров. Однако современные историки считают, что скорее всего отцом Генри был второй сын Уильяма, Ричард, женатый на неизвестной женщине.