Bruce Driver begann seine Karriere als Eishockeyspieler in der Mannschaft der University of Wisconsin–Madison, für die er von 1980 bis 1983 aktiv war und er 1982 sowie 1983 jeweils die Meisterschaft der Western Collegiate Hockey Association gewann. In diesem Zeitraum wurde der Verteidiger zudem im NHL Entry Draft 1981 in der sechsten Runde als insgesamt 108. Spieler von den Colorado Rockies ausgewählt. Nach deren Umsiedlung 1982 gingen die Rechte an Driver an Colorados Nachfolgeteam New Jersey Devils über, für die er in der &lt;a href="NHL%201983/84"&gt;Saison 1983/84&lt;/a&gt; sein Debüt in der National Hockey League gab. Zudem gewann er mit New Jerseys Farmteam, den Maine Mariners aus der American Hockey League, am Saisonende den Calder Cup. Den Großteil der Spielzeit verbrachte der Linksschütze allerdings bei der kanadischen Nationalmannschaft, mit der er zur Vorbereitung auf die Olympischen Winterspiele 1984 in Sarajevo insgesamt 68 Spiele absolvierte.