Народився в Чечні, але в п'ять років через війну переїхав до Санкт-Петербурга, де й почав займатися боротьбою. Після десятого класу Анзор пішов зі спорту, вирішивши зосередитись на навчанні. Закінчив медичну академію за спеціальністю хірургії. Його батько та молодші брати теж борці. Повернутися у боротьбу спонукав брат Зелімхан, який молодший за Анзора на п'ять років. Зелімхан виступає у тій же ваговій категорії, що й старший брат. Через це братам іноді доводиться боротися на змаганнях один проти одного. Зелімхан — володар Кубку світу в команді, бронзовий призер чемпіонату Росії та бронзовий призер чемпіонату Європи серед юніорів.