Salgaller entstammte einer jüdischen Familie. Er interessierte sich früh für Mathematik und war 1936 einer der Gewinner der ersten Leningrader Mathematikolympiade, die für Schüler ausgerichtet wurde. 1931 geriet sein Vater in Konflikt mit dem Sowjetregime und wurde wegen vermeintlicher „Propaganda für Polen“ für mehr als ein Jahrzehnt in den Gulag verbannt. Er durfte nie wieder nach Leningrad zurückkehren. Der Sohn studierte an der Universität Leningrad bei Alexander Danilowitsch Alexandrow und Leonid Kantorowitsch. Nach dem deutschen Überfall auf die Sowjetunion meldete er sich im Juli 1941 als Freiwilliger zur Roten Armee und diente vier Jahre lang in einer Artillerieeinheit. Er wurde mehrfach verwundet und erhielt mehrere militärische Auszeichnungen. Da er danach als verdienter Kriegsveteran galt, wurde ihm das akademische Fortkommen in der Sowjetunion erleichtert – trotz der Verurteilung des Vaters und trotz seiner jüdischen Herkunft.