Arkhanguelski profita des rares possibilités de voyager hors d'Union soviétique pour se rendre à des congrès de mathématiques. Il était à une conférence à Prague lors de la tentative de coup d'État de 1991 en URSS. Rentré dans des conditions très incertaines, il commença à chercher une position académique aux États-Unis. En 1993, il accepta un poste de professeur à l'université de l'Ohio, où il fut nommé professeur distingué en 2003.