Morris speelde voor drie clubs gedurende zijn carrière: Sheffield Wednesday, Celtic Glasgow en Middlesbrough. Hij veroverde het Schots landskampioenschap met Celtic in 1988 en won voorts twee keer op rij de Scottish Cup. In 1992 tekende Morris een contract bij Middlesbrough, waar hij nog behoorde tot een selectie die twee bekerfinales verloor: de finale van de League Cup (1997) en de finale van de FA Cup (1997). In 1995 promoveerde Morris met "Boro" naar de Premier League.