Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Ivan Babikov pojawił się 30 grudnia 2001 roku w Krasnogorsku, gdzie w zawodach FIS Race zajął 28. miejsce na dystansie 30 km techniką dowolną. W Pucharze Świata zadebiutował 10 grudnia 2005 roku w kanadyjskim Vernon, zajmując 14 miejsce w biegu łączonym na 20 km. Tym samym Babikov już w swoim debiucie zdobył pierwsze pucharowe punkty. Reprezentant Rosji został co prawda zgłoszony do startu w zawodach PŚ w Kawgołowie 4 stycznia 2003 roku, ale ostatecznie nie wziął w nich udziału. Jak dotąd jego najlepszym wynikiem w zawodach tego cyklu jest czwarta pozycja w biegu na 15 km stylem dowolnym, którą wywalczył 15 grudnia 2005 roku w Canmore. W klasyfikacji generalnej PŚ najlepiej wypadł w &lt;a href="Puchar%20%C5%9Awiata%20w%20biegach%20narciarskich%202009/2010"&gt;sezonie 2009/2010&lt;/a&gt;, kiedy zajął 23. miejsce. Jako reprezentant Rosji wystąpił na igrzyskach olimpijskich w Turynie w 2006 roku i rozgrywanych rok później mistrzostwach świata w Sapporo. Jego najlepszymi wynikami na tych imprezach były odpowiednio 13. miejsce w biegu łączonym oraz 45. miejsce na dystansie 50 km techniką klasyczną. W barwach Kanady był między innymi piąty w sztafecie na mistrzostwach świata w Libercu w 2009 roku, a jego najlepszym wynikiem indywidualnym na MŚ jest piętnaste miejsce w biegu łączonym na 30 km zajęte podczas mistrzostw świata w Oslo w 2011 roku. W międzyczasie wystąpił na igrzyskach w Vancouver, zajmując między innymi piątą pozycję w biegu łączonym na 30 km i ósmą w biegu na 15 km stylem dowolnym. Babikov dwukrotnie stawał na podium etapów cyklu Tour de Ski: w trzeciej edycji zwyciężył w 9 km podbiegu na Alpe Cermis, a w siódmej edycji na tej samej trasie był drugi. Siódmą edycję Tour de Ski Ivan Babikov ukończył na wysokim, siódmym miejscu.