Ihr erstes internationales Turnier bestritt Liveta Jasiūnaitė bei den Jugendweltmeisterschaften 2011 nahe Lille, bei denen sie aber mit 46,32 m in der Qualifikation ausschied. Anschließend gewann sie beim Europäischen Olympischen Jugendfestival in Trabzon mit 52,00 m die Silbermedaille. Im Jahr darauf nahm sie an den Juniorenweltmeisterschaften in Barcelona teil und wurde dort mit 53,00 m im Finale Achte. 2013 folgte ein neunter Platz bei den Junioreneuropameisterschaften in Rieti. Zwei Jahre später gewann sie bei den U23-Europameisterschaften in Tallinn mit 55,77 m die Bronzemedaille hinter der Deutschen Christin Hussong und Kateryna Derun aus der Ukraine.