Профессиональную карьеру Мирко начал в команде «ИМ Раковица». В 1998 году футболист перешёл в «Рад», цвета которого четыре предыдущих сезона защищал его брат, перешедший на тот момент в «Црвену Звезду». Этот период был сложным для всего футбола в Сербии. Страна пережила войну в Косово, натовские бомбардировки и огромные политические потрясения. Проведя три сезона в «Раде», Буневчевич в первый раз переехал за границу, продолжив карьеру в соседней Словении. В чемпионате этой страны футболист играл два с половиной сезона. Первые два провёл в составе «Копер». Ещё пол сезона — в составе «Муры». С «Копером» в 2002 году Буневчевич принимал участие в матчах розыгрыша Кубка Интертото, где его команда была повержена в первом раунде шведским «Хельсингборгом» (0:1; 0:0).