Darzi est né à Bagdad, en Irak de parents arméniens déplacés par le génocide arménien de 1915 . Sa famille a vécu à Erzurum, Empire ottoman (aujourd'hui Turquie). Ses arrière-grands-parents paternels, Tatyos et Elbiz Shiroian, ont une fille et quatre fils. Elbiz et sa fille, Arevalous (la grand-mère de Darzi), sont les seules survivantes du génocide. Ils ont fui à pied vers le nord de l'Irak avec l'aide d'un ami de Tatyos. Le père de Darzi est né à Mossoul et sa mère est née à Bagdad .