Бьяджини родился в небольшом аргентинском городе Арройо-Секо, там в 1993 году (в возрасте 16 лет) он начал свою футбольную карьеру в местном клубе «Ньюэллс Олд Бойз». В 1995 году Леонардо Бьяджини был одним из ключевых игроков сборной Аргентины (до 20 лет) на молодежном чемпионате мира в Катаре.