2015 wurde Amy Cure mit Annette Edmondson, Ashlee Ankudinoff und Melissa Hoskins Weltmeisterin in der Mannschaftsverfolgung. Im Jahr darauf wurde sie für die Teilnahme an den Olympischen Spielen in Rio de Janeiro nominiert. Sie startete in der Mannschaftsverfolgung und belegte mit dem australischen Frauen-Vierer Rang fünf. Bei den UCI-Bahn-Weltmeisterschaften 2017 errang sie gemeinsam mit Ashlee Ankudinoff, Alexandra Manly und Rebecca Wiasak die Silbermedaille in der Mannschaftsverfolgung. Bei den Commonwealth Games 2018 gewann sie zwei Goldmedaillen, in der Mannschaftsverfolgung und im Scratch. Im Jahr darauf wurde der der australische Frauen-Vierer mit Cure in seinen Reihen erneut Weltmeister, Cure gewann zudem mit Georgia Baker Silber im Zweier-Mannschaftsfahren. Bei den Ozeanienmeisterschaften 2019/20 siegte sie im Punktefahren, im Omnium und mit Manly im Zweier-Mannschaftsfahren.