Професійну кар'єру Мирко почав у команді «ІМ Раковиця». У 1998 році футболіст перейшов у «Рад», кольори якого чотири попередні сезони захищав його брат, який перейшов на той момент в «Црвену Звезду». Цей період був складним для всього футболу в Сербії. Країна пережила війну в Косово, натовські бомбардування та величезні політичні потрясіння. Провівши три сезони в «Раді», Буневчевіч в перший раз переїхав за кордон, продовживши кар'єру в сусідній Словенії. У чемпіонаті цієї країни футболіст грав два з половиною сезони. Перші два провів у складі «Копера». Ще півсезону — у складі «Мури». З «Копером» у 2002 році Буньєвчевич брав участі в матчах розіграші Кубку Інтертото, де його команда зазнала поразки в першому раунді від шведського «Гельсінгборга» (0:1; 0:0).