Begović s-a născut în Trebinje, Bosnia și Herțegovina, care atunci făcea parte din Iugoslavia, într-o familie bosniacă. Tatăl său, Amir, a jucat de asemenea pe postul de portar pentru Leotar și Iskra Bugojno, în timp ce mama sa, Ajnija, provine din Stolac. Familia Begović a fugit din țară din cauza Războiului Bosniac stabilindu-se în Germania când Asmir avea patru ani, unde a început sa joace fotbal organizat la clubul local de tineret FC Kirchhausen din Heilbronn. Când avea 10 ani, familia sa s-a mutat în Edmonton, Canada.