Иван Глинка вырос в спортивной семье. Его отец, спортсмен-любитель, хорошо играл в футбол и хоккей. С 16 лет Иван выступал за хоккейный клуб Литвинова, где он проживал с детства. В 20 лет он стал капитаном клуба, к этому моменту уже начав выступления за национальную сборную Чехословакии. Хотя его клуб долго не попадал в призёры чемпионата страны, в составе сборной Глинка добился значительных успехов, с 1970 по 1979 год постоянно попадая в число призёров мировых и европейских первенств и Олимпийских игр, а также Кубка Канады 1976 года. Трижды за это время он был в числе тех, кто приводил сборную Чехословакии к чемпионскому званию, в том числе в 1972 году на своей площадке, в Праге.