In Nederland werd Dasajev voornamelijk bekend door zijn rol als keeper van het nationale voetbalelftal van de Sovjet-Unie tijdens het Europees kampioenschap voetbal 1988. In de eerste wedstrijd van dat toernooi wist hij de vele doelpogingen, van met name Ronald Koeman, te pareren waardoor hij de 1-0-voorsprong voor zijn ploeg wist te behouden. Vervolgens kreeg hij slechts twee tegendoelpunten te incasseren. In de EK-finale trof Rusland Nederland wederom maar was Dasajev volkomen kansloos op de magistrale volley van Marco van Basten en een doelpunt met het hoofd van Ruud Gullit. Dasajev had het toernooi ijzersterk gekeept en werd uitgeroepen tot keeper van het Europees kampioenschap voetbal 1988.