Bedford wurde 1995 Snookerprofi und zog beim ersten Ranglistenturnier der Saison – dem Thailand Masters – in die viertletzte von neun Qualifikationsrunden ein, wo er gegen Ian Graham ausschied. Nach einer Auftaktniederlagen beim Benson &amp; Hedges Championship erreichte er beim Grand Prix die sechste Qualifikationsrunde. Nach einer Drittrundenteilnahme in der Qualifikation für den UK Championship erreichte Bedford bei den Welsh Open und International Open die vierte Qualifikationsrunde. Nach zwei frühen Niederlagen zog er bei den British Open in die sechste Qualifikationsrunde ein, wo er gegen John Giles verlor. In der WM-Qualifikation schied er in der zweiten Runde aus. Auf der Weltrangliste platzierte er sich auf Platz 323.