Stjepan Božić war Bronzemedaillengewinner der Junioren-Weltmeisterschaften 1992 in Kanada und Silbermedaillengewinner der Junioren-Europameisterschaften 1993 in Griechenland. Beide Erfolge erzielte er im Halbmittelgewicht. Anschließend boxte er im Mittelgewicht. Bei den Weltmeisterschaften 1995 in Deutschland schied er in der Vorrunde gegen Alberth Papilaya und bei den Weltmeisterschaften 1997 in Ungarn im Achtelfinale gegen Jean-Paul Mendy aus.