Narodil se do rodiny důstojníka válečného námořnictva. Jeho otec Michail Alexandrovič Voroncov se stal roku 1939 námořním atašé v Německu, mladý Julij i s matkou odcestoval k němu do Berlína následujícího roku. Pouhý měsíc před německým útokem na Sovětský svaz jej otec poslal zpět domů, jelikož znal německé úmysly. Za války studoval na námořnickém učilišti v Baku, kde se seznámil s pozdějším ruským premiérem Jevgenijem Primakovem. Po odmaturování nastoupil na Státní institut mezinárodních vztahů v Moskvě, který absolvoval roku 1952. Poté pracoval na Ministerstvu zahraničních věcí SSSR.