Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Aleksandr Bolszunow pojawił się w 20 listopada 2012 roku, podczas "Eastern Europe Cup" w rosyjskiej miejscowości Wierszyna Tioi, gdzie zajął 188. miejsce na dystansie 10 km stylem dowolnym. W 2015 roku wystąpił na mistrzostwach świata juniorów w Ałmaty, gdzie zajął 11. miejsce w sprincie klasycznym. Na rozgrywanych rok później mistrzostwach świata juniorów w Râșnovie był między innymi drugi w sztafecie i ósmy w biegu na 15 km stylem dowolnym. Ponadto podczas mistrzostw świata młodzieżowców w Park City w 2017 roku zwyciężył w biegu na 15 km stylem dowolnym i biegu łączonym, a w sprincie techniką klasyczną był drugi.