Hague studierte an der Ingenieurschule der Harvard University ("Lawrence Scientific School", Abschluss 1855) und anschließend an der Georg-August-Universität Göttingen und an der Königlichen Bergakademie Freiberg. 1859 bis 1861 unternahm er im Auftrag von William Henry Webb Reisen auf die Koralleninseln des Pazifischen Ozeans, insbesondere untersuchte er auf Jarvis und Baker die Phosphatlagerstätten. 1862 und 1863 war er Militärjurist in den Verhandlungen über die Atlantic Blockading Squadron im Amerikanischen Bürgerkrieg. Anschließend arbeitete Hague einige Jahre für Edwin J. Hulbert bei der Entwicklung von Kupferbergwerken in der Region des Oberen Sees (in Calumet, Michigan), bevor er 1867 zweiter Geologe unter Clarence King bei den staatlichen Vermessungsarbeiten entlang des 40. Breitengrades wurde. Ab 1871 war er selbstständiger Geologe und Bergbauingenieur in Kalifornien, wo er unter anderem die "North Star Mine" in Lafayette Hill entwickelte. 1878 gehörte er zu der US-amerikanischen Delegation auf der Weltausstellung in Paris, bevor er 1879 dauerhaft nach New York City übersiedelte.