Międzynarodową karierę zaczynał w 2002 roku od występu w finale mistrzostw świata juniorów. Dwunasty zawodnik igrzysk olimpijskich w Pekinie (2008). W 2009 odpadł w eliminacjach mistrzostw świata. Zajął dziewiąte miejsce w mistrzostwach Europy w Barcelonie (2010). Tuż za podium – na czwartym miejscu – zakończył rywalizację w 2011 na mistrzostwach świata. W 2012 został mistrzem Europy oraz zajął pierwotnie czwarte miejsce na igrzyskach olimpijskich (w eliminacjach, które wygrał rezultatem 88,34 ustanowił najlepszy w sezonie 2012 wynik na świecie). Jednakże w 2016 roku ujawniono, iż zdobywca srebrnego medalu – Ołeksandr Pjatnycia stosował niedozwolone środki. W rezultacie zawodnika z Ukrainy zdyskwalifikowano, co przełożyło się na fakt, iż Veselý został brązowym medalistą olimpijskim. Zwycięzca łącznej punktacji Diamentowej Ligi 2012 w rzucie oszczepem. Został wybrany niespodzianką roku 2012 w czeskiej lekkoatletyce. W 2013 roku wywalczył złoty medal mistrzostw świata i został drugim w historii – po Norwegu Andreasie Thorkildsenie – oszczepnikiem, który zdobył złote medale mistrzostw świata oraz Europy. Zwycięzca łącznej punktacji Diamentowej Ligi 2013 w rzucie oszczepem. W Zurychu został wicemistrzem Europy (2014), a wyczyn ten powtórzył podczas kolejnych mistrzostw w Amsterdamie (2016). W 2021 roku w Tokio zdobył drugi w swojej karierze brązowy medal igrzysk olimpijskich.