Henry Paget war der älteste Sohn von Henry Paget, 4. Marquess of Anglesey (1835–1898), und Urenkel des bedeutenden Feldmarschalls Henry Paget (1768–1854), der für seinen Einsatz bei der Schlacht von Waterloo zum Marquess of Anglesey erhoben worden war. Die Mutter von Henry Paget war Blanche Mary Boyd, die zweite Ehefrau des 4. Marquess of Anglesey. Es kursierten zu dieser Zeit aber auch Gerüchte, dass der französische Schauspieler Benoît Constant Coquelin der tatsächliche Vater von Henry Paget gewesen sei. Diese Gerüchte wurden noch verstärkt, als Blanche nur zwei Jahre nach der Geburt ihres Sohnes Selbstmord beging und der kleine Henry Paget ohne nachvollziehbaren Grund in Paris blieb, wo ihn Coquelins Schwester als Kindermädchen betreute.