Fritz Steuri war der älteste Sohn des Grindelwalder Bergführers und dreifachen Schweizer Meisters im Dauerlauf Fritz Steuri senior. Nach ersten vorderen Platzierungen bei den «Grossen Skirennen der Schweiz» (Schweizer Skimeisterschaften) in Abfahrt, Slalom und Sprunglauf nahm er 1931 an der Nordischen Skiweltmeisterschaft in Oberhof teil. Im 17-km-Langlauf, im Kombinations- und Spezialsprunglauf sowie im Kombinierten Lauf belegte er mit Ergebnissen zwischen Rang 33 und 37 Platzierungen im Mittelfeld. Ausserdem wurde er Dritter im Slalom, Zehnter in der Abfahrt und Siebter in der Kombination bei den Arlberg-Kandahar-Rennen 1931 in Mürren. In den Jahren 1930 bis 1932 war Fritz Steuri Präsident des Skiclubs Grindelwald. Ein zweites Mal übte er dieses Amt in einer längeren Periode von 1942 bis 1949 aus. Von 1928 bis 1931 war er Kursekretär des Kur- und Verkehrsvereins Grindelwald.