Михаил Елесин родился в 1918 году в селе Ельцовка (ныне — Ельцовский район Алтайского края). Получил начальное образование, после чего работал в Ельцовке в артели «Красный кустарь». В 1941 году Елесин был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. Окончил Кемеровскую школу младших командиров. С июня 1942 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Принимал участие в боях на Сталинградском, Воронежском, 1-м и 2-м Украинском фронтах. Участвовал в Сталинградской и Курской битвах, освобождении Украинской ССР. К осени 1943 года младший сержант Михаил Елесин командовал отделением 42-го стрелкового полка 180-й стрелковой дивизии 38-й армии Воронежского фронта.