Greste és d'ascendència letona i comparteix ciutadania letona i australiana. El 1995 es va establir a Kabul, on va ser corresponsal de la BBC i Reuters, i posteriorment a Belgrad, durant un any per Reuters. Llavors va retornar a Londres, on va treballar per BBC News 24. Seguidament va treballar a Mèxic i a Santiago de Xile com a corresponsal per la BBC. Va retornar a Afganistan el 2001 per cobrir l'inici de la guerra. Després de l'Afganistan, va treballar arreu de l'Orient Mitjà i Amèrica del Sud. Des de 2004 va treballar a Mombasa (Kenya) i llavors a Johannesburg (Sud-àfrica), seguit per Nairobi (Kenya), on va viure a partir de 2009. El 2011 va guanyar un Premi Peabody per un documental sobre Somàlia.