Родился в многодетной чеченской крестьянской семье. Выходец из тайпа Гендергеной. Его мать принадлежала к тайпу Беной. 23 февраля 1944 года семья Завгаевых со всеми другими чеченцами была депортирована в Среднюю Азию и попала в посёлок Токаревка Тельманского района Карагандинской области.