מונטגומרי כבש את אליפות העולם בשחייה שנערכה בבלגרד, יוגוסלביה בשנת 1973 בגיל 18. הוא זכה ב-5 מדליות זהב במשחים היוקרתיים ביותר. במשחה ל-100 מטר חופשי ניצח בתוצאה של 51.70 שניות לפני מישל רוסו מצרפת (52.08 שניות) ומייקל ונדן מאוסטרליה (52.22 שניות), במשחה ל-200 מטר חופשי בתוצאה של 1:53.02 דקות, לפני קורט קראמפולץ בן ארצו (1:53.61 דקות) ורוג'ר פיטל ממערב גרמניה (1:53.97 דקות). במשחי השליחים 4x100 מטר חופשי בתוצאה של 3:27.18 דקות, לפני ברית המועצות (3:31.36 דקות) ומזרח גרמניה (3:32.03 דקות,) במשחה שליחים 4x200 מטר חופשי בשיא עולם חדש של 7:33.22 דקות, לפני אוסטרליה (7:43.65 דקות) ומערב גרמניה (7:43.68 דקות) במשחה ל-4x100 מטר מעורב בתוצאה של 3:49.49 דקות, לפני מזרח גרמניה (3:53.24 דקות) וקנדה (3:56.37 דקות).