Евгений Михайлович Нейко родился 7 октября 1932 года в районном центре — селе Смотрич Винницкой области Украинской ССР (ныне Дунаевецкого района Хмельницкой области Украины) в крестьянской семье. Отец его — Михаил Моисеевич Нейко, мать — Ольга Кирилловна. Детство было тяжёлым: оно пришлось на период голода на Украине 1932—1933 годов, когда ему шёл 9-й год, началась Великая Отечественная война и он с родителями оказался на оккупированной территории. После освобождения Проскуровской области (теперь — Хмельницкая) весной 1944 года Евгений принимал участие в работе в тылу в начале для нужд фронта, а после Победы — в восстановлении разрушенного народного хозяйства. Работая с лошадьми, Евгений до конца жизни любил этих животных. Уже тогда мальчик проявил большое желание учиться, много читал, и учителя советовали родителям отправить его продолжить учёбу. В 17 лет Евгений Михайлович принял решение стать врачом. Поэтому, когда в 1950 он окончил Смотрицкую среднюю школу, он решил поступить в мединститут.