Юрий Быков родился в 1923 году в кишлаке Каракуль (ныне — город в Бухарской области Узбекистана) в крестьянской семье. Получил неполное среднее образование. В 1941 году Быков был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию Марыйским районным военным комиссариатом. С июня 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. В 1943 году Быков вступил в ВКП(б). К ноябрю 1943 года сержант Юрий Быков командовал пулемётным расчётом 691-го стрелкового полка 383-й стрелковой дивизии Отдельной Приморской армии. Отличился во время Керченско-Эльтигенской операции.