Торнике Квитатиани родился 15 августа 1992 года в городе Сухуми в семье Гурама Вахтанговича Квитатиани и Лали Нодариевны Чемии. В этом же году они были вынуждены переехать в Москву из-за того, что начался грузино-абхазский конфликт. Там Торнике поступил в школу № 1132 (сейчас № 1371) Крылатского района и начал заниматься в клубе ЦСКА (1999).