Mo'unga iniziò a praticare il rugby in giovane età e, nel 2009, vinse una borsa di studio sportiva per il St. Andrew's College, prestigioso liceo nel quale giocò un anno nelle giovanili e i successivi tre in prima squadra. Una volta diplomatosi, si trasferì nel Linwood Rugby Club, ma la sua esperienza nel club locale di Christchurch fu breve, perché venne ben presto chiamato dal per sopperire ad un'emergenza infortuni occorsa durante la stagione 2013 dell'ITM Cup; nonostante fosse il primo confronto con il rugby professionistico, Mo'unga disputò otto partite, tra cui la semifinale del torneo vinta contro , e si laureò campione provinciale della Nuova Zelanda a soli 19 anni. Le sue prestazioni convinsero l'allenatore di Canterbury Scott Robertson a confermarlo in squadra anche per l'annata 2014, nella quale giocò tutte le partite alternandosi tra i ruoli di mediano di apertura e di estremo. Successivamente Todd Blackadder lo inserì nella squadra estesa dei per il Super Rugby 2015, ma non scese mai in campo. L'anno seguente, dopo aver vinto l'ITM Cup 2015, esordì nel Super Rugby 2016 dove, complici le simultanee partenze di Dan Carter, Colin Slade e Tom Taylor, disputò tutti gli incontri dei Crusaders come mediano di apertura titolare. Nelle due stagioni successive centrò due volte di seguito l'accoppiata ITM Cup e Super Rugby sempre in cabina di regia di Canterbury e dei Crusaders.