Bereits mit 18 Jahren schaffte er den Aufstieg in die höchste dänische Amateurklasse. Baunsøe, der für den Verein ABC Kopenhagen startete, gewann dreimal Titel bei den nordischen Meisterschaften im Radsport; 1957 gewann er das Straßenrennen der Junioren vor seinem Landsmann Svend Pedersen, 1957 und 1959 siegte er mit dem dänischen Vierer im Mannschaftszeitfahren. Zudem wurde er 1957 Vize-Meister im Straßenrennen der dänischen Amateure hinter Eluf Daalgard. 1959 gewann er das "Sachsenring-Rennen" in der DDR, das als Generalprobe für die UCI-Straßen-Weltmeisterschaften 1960 galt. Auf der Bahn wurde er Zweiter in der Meisterschaft um die Einerverfolgung, 1960 und 1961 gewann er dabei jeweils die Bronzemedaille. Baunsøe startete mehrfach bei den UCI-Straßen-Weltmeisterschaften. Er war Mitglied des Straßenvierers bei den Olympischen Sommerspielen 1960 in Rom, als sein Teamkollege Knud Enemark Jensen auf der Strecke zusammenbrach und kurz darauf starb. Auf seine vorgesehenen Starts in den olympischen Bahnwettbewerben verzichtete er daraufhin.