Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Laura Mononen zaprezentowała się 18 stycznia 2004 roku podczas zawodów Pucharu Kontynentalnego w Valkeakoski, zajmując 29. miejsce w biegu na 5 km techniką dowolną. Miesiąc później wystartowała na mistrzostwach świata juniorów w Stryn, gdzie zajęła 39. miejsce na dystansie 15 km stylem klasycznym. Był to jej jedyny występ w zawodach tego cyklu.