Erste internationale Erfahrungen sammelte Mehmet Çelik beim Europäischen Olympischen Jugendfestival (EYOF) 2017 in Győr, bei dem er in 4:06,33 min die Goldmedaille im 1500-Meter-Lauf gewann. Im Jahr darauf belegte er dann bei den U18-Europameisterschaften ebendort in 1:49,44 min den vierten Platz über 800 m und anschließend schied er bei den U20-Weltmeisterschaften in Tampere mit 1:48,53 min im Halbfinale aus. Daraufhin wurde er bei den Balkan-Meisterschaften in Stara Sagora in 3:46,69 min Sechster über 1500 m und startete dann im Oktober bei den Olympischen Jugendspielen in Buenos Aires und gewann dort die Bronzemedaille im 800-Meter-Lauf. 2019 wurde er bei den U23-Mittelmeer-Hallenmeisterschaften in Miramas in 3:49,38 min Fünfter über 1500 m und Mitte Juli schied er bei den U20-Europameisterschaften in Borås mit 1:52,29 min im Vorlauf über 800 m aus und klassierte sich mit 3:58,86 min auf dem neunten Platz über 1500 m. Anschließend gelangte er bei den Balkan-Meisterschaften in Prawez mit 1:50,64 min auf den vierten Platz über 800 m. Im Jahr darauf gewann er bei den Balkan-Meisterschaften in Cluj-Napoca in 3:47,98 min die Bronzemedaille über 1500 m und belegte in 1:50,26 min den vierten Platz im 800-Meter-Lauf. 2021 gewann er dann bei den Balkan-Meisterschaften in Smederevo in 1:47,91 min die Silbermedaille über 800 m und kurz darauf schied er bei den U23-Europameisterschaften in Tallinn mit 1:48,70 min im Vorlauf aus.