Султан Бикеев родился 25 декабря 1916 года в деревне Абдрашитово (ныне — Альшеевский район Башкирии). Башкир. В 1936 году окончил Аксёновский сельскохозяйственный техникум, после чего работал младшим зоотехником в Наркомате земледелия Башкирской АССР в Уфе. В 1936 году был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию Фёдоровским районным военным комиссариатом Башкирской АССР. Принимал участие в Хасанских боях, будучи заместителем политрука батальона 32-й стрелковой дивизии 39-го стрелкового корпуса. Также, будучи командиром отделения пулемётчиков, участвовал в советско-финской войне, принимал участие в прорыве «Линии Маннергейма». В 1939 году вступил в ВКП(б). В 1940 году окончил Свердловское военно-политическое училище. До начала Великой Отечественной войны служил на должностях политрука и помощника начальника политотдела дивизии.