László nació en Budapest como Laub Fülöp Elek (estilo húngaro de su apellido), hijo de un sastre judío. La familia cambió su apellido a László en 1891. Cuando era joven, László se hizo aprendiz de fotógrafo, mientras estudiaba arte, obteniendo un puesto en la Academia Nacional de Arte, donde estudió bajo la dirección de Bertalan Székely y Károly Lotz. A esto le siguieron sus estudios en Munich y París. László retrató al papa León XIII, por lo que ganó la "Grand Gold Medal" en la Exposición Universal de París de 1900. En 1903, László se trasladó de Budapest a Viena. En 1907 se trasladó a Inglaterra. Se estableció en Londres durante el resto de su vida, mientras viajó por el mundo para cumplir comisiones.