Urodził się 16 października 1920 w Rathmines na przedmieściach Dublina jako pierwsze dziecko Thomasa i Florence Finucane. Jego matka była Angielką z Leicesteru. W 1919 poznała Thomasa Andrew Finucane’a, który brał udział w wojnie o niepodległość. W październiku 1919 przenieśli się do Drumcondra, północnej dzielnicy Dublina, gdzie Thomas znalazł posadę kasjera w banku. Mimo że praca nie była dobrze opłacana, małżeństwo dawało sobie radę. Z początkiem 1920 przeprowadzili się do Rathmines gdzie w październiku przyszedł na świat ich pierwszy syn, Brendan. Niedługo potem Brendan i jego matka omal nie zginęli w strzelaninie między Black and Tans (formacja zbrojna walcząca po stronie Wielkiej Brytanii w czasie irlandzkiej wojny o niepodległość) a Irlandzką Armią Republikańską. W 1921 urodził się brat Brendana, Raymond, a następnie siostry Clare i Monica oraz brat Kevin. W ich domu ścierały się poglądy polityczne i religijne. Ojciec był abstynentem i żarliwym katolikiem, podczas gdy matka zachęcała starszych braci do bardziej liberalnego podejścia do życia. W wieku 10 lat Brendan wykazywał duże zainteresowanie sportem, szczególnie rugby.