1938 wurde Kleinau Leiter und 1939 Direktor des Staatsarchivs in Wolfenbüttel. Nach Kriegsende gelang es ihm zusammen mit seinen Mitarbeitern, das in neue Räumlichkeiten umgezogene Staatsarchiv den modernen Bedürfnissen der Nachkriegszeit an eine Behörde und Stätte der Forschung anzupassen. Vom ersten Tag des Zweiten Weltkrieges an Soldat, war Kleinau bis Kriegsende in der Wehrmacht, zuletzt als Hauptmann bei der Schlacht um Breslau im Januar 1945, an deren Anschluss er in sowjetische Kriegsgefangenschaft geriet, aus der er erst 1949 nach Wolfenbüttel zurückkehrte. 1967 wurde Kleinau in den Ruhestand verabschiedet.