Norberto Téllez se révèle durant la saison 1990 en remportant la médaille de bronze du 800 m des Championnats du monde junior de Plovdiv avec le temps d' 1 min 47 s 33. Sélectionné pour les Jeux olympiques de Barcelone en 1992, il se classe deuxième de la finale du relais 4 × 400 m aux côtés de Lazaro Martínez, Héctor Herrera et Roberto Hernández. Quatre ans plus tard, il termine quatrième des Jeux d'Atlanta en 1 min 42 s 85, améliorant le record national cubain détenu par Alberto Juantorena. En 1997, il obtient l'un des meilleurs résultats de sa carrière en individuel en remportant la médaille d'argent du 800 m des mondiaux d'Athènes en 1 min 44 s 00, devancé par le Danois Wilson Kipketer. Norberto Téllez est également double vainqueur des Universiades d'été (1997 et 1999).