В 2010 году Чайковски дебютировал на чемпионате мира среди юниоров за сборную Словакии (6 игр, 0 очков). В 2012 году выступал за команду на молодёжном чемпионате мира (6 игр, 0 очков). В 2017 году дебютировал за основную сборную Словакии на чемпионате мира. Участвовал в трёх чемпионатах мира (21 игра, 3 гола, 2 голевые передачи) и вызывался на зимние Олимпийские игры в Пхёнчхане (4 игры, 1 голевая передача). С 31 штрафной минутой стал самым недисциплинированным хоккеистом Олимпийских игр 2018.