В 2004 году Александр дебютировал на летних Олимпийских играх. Блинов принял участие в соревнованиях по стрельбе по движущейся мишени. После квалификации Александр занимал четвёртое место, но великолепно проведя финальный раунд, набрав там 100 очков, Блинов завоевал серебряную медаль Олимпийских игр, уступив только немцу Манфреду Курцеру. В 2006 году Блинов завоевал свою первую медаль на мировых первенствах. На чемпионате мира в Загребе Александр выиграл серебряную медаль.