Bereits während seiner ersten beiden Saisons erzielte Thorburn einige gute Ergebnisse und besiegte unter anderem Dennis Taylor bei der Snookerweltmeisterschaft 1973. In den nächsten beiden Saisons konnte er seine regelmäßig guten Ergebnisse wiederholen und sich somit auf einem hohen Niveau etablieren. Bereits bei den Canadian Open 1974 gewann er sein erstes Profiturnier. Obwohl sich die Snookerweltrangliste in ihren ersten Jahren zunächst nur aus den Ergebnissen der Snookerweltmeisterschaft berechnete, belegte Thorburn bei der allerersten Aufstellung bereits Rang 10, auch wenn er sich danach auf Platz 13 verschlechterte. Erst im Rahmen der Snookerweltmeisterschaft 1977 gelang ihm ein großer Erfolg bei der Weltmeisterschaft, als er ins WM-Finale einzog. Dort verlor er allerdings gegen John Spencer. Dieser Erfolg sicherte aber dem Kanadier endgültig einen Platz in den Top 10 der Rangliste; er verbesserte sich auf Rang 6.