В 2005 году Максимович смог стать бронзовым призёром юниорского мирового первенства среди кадетов. В 2007 году сербский борец стал чемпионом Европы среди юниоров, одолев в финале азербайджанца Рафика Гусейнова. Спустя год он повторил своё достижение, став первым на юниорском континентальном первенстве, а также стал вторым на юниорском чемпионате мира, уступив в решающем поединке иранцу Саиду Абдвали. Самого крупного успеха в карьере Александар Максимович добился на чемпионате Европы в 2011 году, став бронзовым призёром в категории до 66 кг. На чемпионатах мира сербский борец выступал 5 раз и наилучшим результатом для Максимовича стало 5-е место на первенстве 2013 года.