Budapestilainen Zsivótzky toimi siviiliammatissaan liikunnanopettajana. Vuonna 1954 hän heitti tuloksen 51,12, ja ensimmäinen kansainvälisen tason huippumenestys tuli vuonna 1958 EM-kisoista Tukholmasta, jolloin hän tuloksella saavutti pronssimitalin. Rooman olympialaisissa 1960 hän voitti hopeaa tuloksella Vasili Rudenkovin voittaessa. Kaksi vuotta myöhemmin EM-kisoissa 1962 Belgradissa Zsivótzky voitti Euroopan mestaruuden tuloksella .