גלעד שר נולד בקיבוץ מחניים בגליל העליון. מצד אמו הוא צאצא למשפחה ירושלמית ותיקה - משפחת ברוך מזרחי, שהגיעה מספרד לירושלים ב-1620. סבו מצד אביו, אברהם שר, עלה ארצה מרוסיה כחלוץ צעיר בשלהי מלחמת העולם הראשונה, נפצע בהגנה על תל-חי לצד יוסף טרומפלדור, ונפל כלוחם ההגנה סמוך לקסטל בתחילת המערכה על ירושלים במלחמת העצמאות. אביו הוא יואל שר, שגריר ישראל וחבר הנהלת משרד החוץ לשעבר. אחיו הוא איל שר, מנכ"ל פסטיבל ישראל. שר גדל והתחנך בקיבוץ, בפריז ובירושלים, וסיים את לימודיו בשנת 1971 בגימנסיה העברית רחביה. שר הוא בוגר האוניברסיטה העברית בירושלים במשפטים.