На Олимпиаде в Мехико Норман выступал только в беге на 200 метров. Он выиграл с олимпийским рекордом свой предварительный забег, также первенствовал в четвертьфинале. В полуфинальном забеге он стал вторым, проиграв американскому спринтеру Джону Карлосу, который обновил олимпийский рекорд Нормана. В финальном забеге главными соперниками австралийского бегуна стали темнокожие американцы Джон Карлос и Томми Смит. Смит пробежал дистанцию за 19,83 установив мировой рекорд. На финише Норман обошёл Карлоса и с личным рекордом 20,06 завоевал серебряную медаль.