Године 1978. менаџер Џок Стин довео га је у Селтик из Глазгова. Бонер је у клубу остао целу каријеру све до 1998. године и освојио четири титуле првака (1981, 1982, 1986 и 1988). За Селтик је бранио на укупно 641 утакмици, од тога чак 483 у првенству. Са репрезентацијом Ирске учествовао је као први голман једном на Европском првенству 1988. у Западној Немачкој, на два Светска првенства 1990. у Италији и 1994. године у САД. Национални херој је постао током извођења једанаестераца у осмини финала Светског првенства 1990. против Румуније, када је одбранио пенал Данијела Тимофтеа и помогао свом тиму да учествује у историјском четвртфиналу Светског првенства.