Родился в музыкальной еврейской семье: отец — отставной военный музыкант и мелкий ремесленник Александр Кусевицкий, мать — пианистка Анна Барабейчик. У Сергея была сестра Анна (1866—1945), три родных брата — Адольф, Александр (?—1941) и Николай (1876—1942) — и единокровный брат Соломон (1902—?, от второго брака отца). Мать умерла от туберкулёза в 1877 году, и воспитанием детей занимался отец. Сергей обучался игре на скрипке, виолончели, фортепиано под руководством местного педагога Марии Фёдоровны Розенберг. В 1881 году семья приняла лютеранство, чтобы иметь право проживания вне пределов черты оседлости (так называемое «правожительство»). В семнадцатилетнем возрасте Кусевицкий получил стипендию московского миллионера и мецената К. К. Ушкова для продолжения учёбы в Музыкально-драматическом училище при Московском филармоническом обществе.