Após conquistar o campeonato nacional de marcha de 20 km em 1986, Plaza representou o país em Seul 1988, conseguindo apenas a 12ª colocação. No Mundial de Tóquio, em 1990, foi desclassificado depois de chegar em terceiro lugar, por passada fora das regras durante o percurso. Seu grande momento veio em Barcelona 1992, em seu país e em sua própria cidade natal, quando conquistou a medalha de ouro na prova, com o tempo de 1h 21 m 45s. Com a vitória, ele também tornou-se o primeiro campeão olímpico na história do atletismo espanhol.