Der Flügelstürmer begann mit dem Eishockey in der Jugend der Kölner Haie, wo bereits sein Vater Wim Hospelt von 1972 bis 1978 spielte und 1977 deutscher Meister wurde. In der Saison 2000/01 kam Kai Hospelt erstmals zu Einsätzen in der Junioren-Mannschaft des KEC in der Deutschen Nachwuchsliga, wo er auf Anhieb zum Stammspieler aufstieg. Bereits in seiner zweiten Saison überzeugte der Linksschütze durch 106 Scorerpunkte in 40 Spielen. Dank dieser Leistung wurde er auch für die U18-Junioren-Weltmeisterschaft 2002 in die DEB-Auswahl berufen. Ein Jahr später wurde der Angreifer erneut Topscorer der DNL, obwohl er an einigen Spielen nicht teilnehmen konnte, da er zu ersten Einsätzen in der Profimannschaft der Haie kam. So konnte Hospelt am Ende der &lt;a href="DEL%202002/03"&gt;Saison 2002/03&lt;/a&gt; auch die Vizemeisterschaft in der Deutschen Eishockeyliga mit den Haien feiern. Im Jahr 2003 spielte der Stürmer erneut für die Junioren-Nationalmannschaft – sowohl bei der U18-WM als auch bei der U20-Junioren-WM trug er das DEB-Trikot. Im Sommer wurde Hospelt schließlich von den San Jose Sharks im NHL Entry Draft 2003 an 216. Stelle ausgewählt.