Mike Curran spielte zu Beginn der 1960er-Jahre zunächst in seiner Geburtsstadt International Falls an der High School auf der Position des Torwarts für die "International Falls Broncos", mit denen er mehrmals die High-School-Meisterschaft des Bundesstaates Minnesota gewann. 1961 stellte er hierbei mit einem Gegentorschnitt von 0,78 einen noch heute bestehenden Rekord auf. Ab 1962 spielte Curran für die Green Bay Bobcats aus der United States Hockey League unter Spielertrainer John Mayasich. Nachdem er dort drei Saisonen verweilt hatte, begann der US-Amerikaner ein Studium an der University of North Dakota und ging für deren Eishockeymannschaft, die "North Dakota Fighting Sioux", in der Western Collegiate Hockey Association aufs Eis. Curran führte das Team zweimal ins Finalspiel der National Collegiate Athletic Association. 1967 verlor die Mannschaft die Partie gegen die Cornell University um den späteren NHL-Star Ken Dryden und ein Jahr später unterlag das Team gegen die Auswahlmannschaft der University of Denver. Die folgenden zwei Spielzeiten verbrachte der Torwart erneut bei den Green Bay Bobcats aus der USHL. Während dieser Zeit wurde er erstmals in den Kader der US-amerikanischen Nationalmannschaft berufen und vertrat diese zum ersten Mal bei der Weltmeisterschaft 1969.