Erste internationale Erfahrungen sammelte Kaur Kivistik im Jahr 2010, als er bei den Juniorenweltmeisterschaften in Moncton im Hindernislauf mit 9:16,87 min im Vorlauf ausschied, wie auch bei den U23-Europameisterschaften im Jahr darauf in Ostrava mit 8:53,15 min. 2012 erreichte er bei den Europameisterschaften in Helsinki das Finale und belegte dort in 8:58,02 min den 14. Platz. Bei den U23-Europameisterschaften 2013 in Tampere wurde er in 8:42,98 min Fünfter und 2015 gewann er bei der Sommer-Universiade in Gwangju in 8:32,23 min die Silbermedaille hinter dem Deutschen Martin Grau. Er qualifizierte sich damit erstmals für die Weltmeisterschaften in Peking, erreichte dort in 8:56,36 min aber nicht das Finale. 2016 erreichte er bei den Europameisterschaften in Amsterdam in 8:33,75 min den sechsten Platz und nahm anschließend an den Olympischen Spielen in Rio de Janeiro teil, bei denen er mit 8:44,25 min im Vorlauf ausschied.