מור ארדיאי נולד במשפחה יהודית כבנם של יאקאב גרינוולד (1835–1920) סוחר אמיד ושל מריה קורצווייל. את לימודיו החל בגימנסיה בארשקאויוואר, אך בשל התרוששות המשפחה נסע לבודפשט ללמוד צילום. בין השנים 1884 לבין 1891 בילה את שנות החניכות אצל אדה אלינגר, צלם יהודי-הונגרי בעל שם וחבר מייסד באיגוד הצלמים ההונגרים. ארדיאי פתח את הסטודיו העצמאי הראשון שלו בשנת 1891 בכיכר ארז'בט 18. דיוקנאותיו זכו להצלחה כבר מההתחלה, ולכן בשנת 1894 הוענק לו תואר "צלם חצר", ובמשך שנה צילם את בני משפחת המלוכה בעיר גדלה. במהלך חגיגות האלף שנה להונגריה (התיישבות המדיארים במרכז אירופה) בשנת 1896 הוא נכח בכל האירועים הפוליטיים והחברתיים הגדולים, וצילומיו הופיעו בעיתונים. בזכות הצלחתו, פתח את הסטודיו השני שלו בשנת 1896 בבית דירות בן חמש קומות פינת רחוב לאיוש קושוט ורחוב אויווילאג (Újvilág, כיום רחוב זמלווייס-Semmelweis). כתב העת "סלון הונגרי" פרסם מאמר על סטודיו זה כ"מכון הצילום המודרני ביותר בעיר". אשתו הייתה אנה לורד, עמה התחתן בבודפשט ב-25 ביוני 1903.