Finch erhielt seine universitäre Ausbildung an der Georgetown University. Nach seinem Abschluss im Jahr 1907 arbeitete er als Referent am Außenministerium der Vereinigten Staaten. Dort war er unter anderem für James Brown Scott tätig. Als dieser 1911 zur Carnegie-Stiftung für internationalen Frieden wechselte, um dort die Leitung der Abteilung für völkerrechtliche Fragen zu übernehmen, überzeugte er Finch ebenfalls dorthin zu wechseln. Neben seiner Tätigkeit für die Stiftung engagierte sich Finch ab diesem Zeitpunkt auch in erheblichem Maß in der Amerikanischen Gesellschaft für Internationales Recht. Bis 1940 war Finch als Stellvertreter Scotts in der Carnegie Stiftung tätig und übernahm, mit dessen Ruhesetzung, die Leitung der Abteilung für völkerrechtliche Fragen. Zugleich wurde er in das Kuratorium der Stiftung aufgenommen. Bereits zuvor hatte sich Finch einen Namen als Experte für völkerrechtliche Fragen in Zusammenhang mit dem Kriegsrecht gemacht. So war er etwa im Jahr 1918 als Berater des War Industries Board tätig. Nach Eintritt der Vereinigten Staaten in den Ersten Weltkrieg war er als Mitarbeiter des "State-Navy Neutrality Board" vor allem damit betraut, Rechtsgutachten zu verschiedenen Fragen des Kriegsrechts für den Außenminister zu erstellen. Auch auf internationaler Ebene trat er mehrfach in Erscheinung. So wurde Finch etwa nach dem Waffenstillstand von Compiègne als Rechtsberater der amerikanischen Kommission zu den Friedensverhandlungen nach Paris entsandt. 1929 war Finch Repräsentant der Carnegie Stiftung im Orient. Im Jahr 1945 nahm er als Mitglied der amerikanischen Delegation an der Konferenz von San Francisco zur Gründung der Vereinten Nationen teil. Auch beriet er weiterhin die Regierung seines Heimatlandes immer wieder. Finch war auch im akademischen Bereich tätig. So hielt er beispielsweise Vorlesungen an der Edmund A. Walsh School of Foreign Service der Georgetown University.