Браунинг исполнил первый в истории соревнований успешный четверной прыжок в Будапеште на чемпионате мира 1988 года; два тройных акселя в одной короткой программе на чемпионате мира 1989 года в Париже; каскад тройной сальхов + тройной риттбергер; а также три каскада 3+3 в одной произвольной программе на чемпионате мира 1991 года в Мюнхене. Также Браунинг является единственным фигуристом, выигравшим чемпионаты мира с обязательными фигурами и без них. Несмотря на то, что Курт является четырёхкратным чемпионом мира, на зимних Олимпийских играх он ни разу не поднялся в призовую тройку.