Den 23 januari 2013 gjorde Quaison sin första A-landskamp, detta som inhoppare mot Nordkorea i träningsturneringen King's Cup i Thailand. Den 26 januari gjorde han sitt första mål, som inhoppare mot Finland i samma turnering. Quaison blev den 2 juni 2015 uttagen till Sveriges trupp till U21 EM 2015. I semifinalen mot Danmark så blev Quaison inbytt i den 72:a minuten och gjorde 1–3 målet i Sveriges 1–4 vinst. Quaison spelade EM-kval mot Rumänien den 23 mars 2019 och gjorde 1-0 målet i Sveriges 2-1-vinst. Den 26 mars 2019 i samma EM-kval gjorde han två mål mot Norge i matchen som slutade 3-3.