Originario di Bruson di Bagnes, Besse debuttò in campo internazionale in occasione dei Mondiali juniores di Bad Kleinkirchheim 1986, dove vinse la medaglia d'oro nella discesa libera, e nel 1987 in Coppa Europa vinse la classifica della specialità. In Coppa del Mondo ottenne il primo piazzamento di rilievo il 9 gennaio 1988 nella discesa libera di Val-d'Isère (7º), mentre nella stagione successiva esordì ai Campionati mondiali nella rassegna di Vail 1989, dove ottenne il 5º posto nella discesa libera.