Alec Issigonis nacque a Smirne, allora parte dell'Impero Ottomano. Il nonno paterno, Demosthenis Issigonis, era originario dell'isola greca di Paro ed aveva acquisito la cittadinanza britannica lavorando alla costruzione di ferrovie in Turchia per conto di società britanniche. Il padre Constantine, dopo aver studiato in Inghilterra, aveva fatto ritorno a Smirne impiantando un'impresa di costruzioni navali. La madre, Hulda Prokopp, era invece di origine tedesca.In seguito alla sconfitta greca nella guerra con la Turchia, nel settembre 1922 i greci vennero espulsi dalla Turchia e la famiglia Issigonis riparò a Malta, abbandonando a Smirne le loro proprietà. Nel 1923, alla morte del padre, Alec si trasferì con la madre a Londra e seguì corsi di ingegneria al Politecnico di Battersea. Non arrivò a laurearsi, ma conseguì il diploma in ingegneria navale.