Pierwszy sukces w karierze Henri Oreiller osiągnął w 1947 roku, kiedy został mistrzem Francji w slalomie. Rok później wystąpił na igrzyskach olimpijskich w Sankt Moritz, gdzie już w swoim pierwszym starcie, biegu zjazdowym, zdobył złoty medal. Zjazd rozgrywano na igrzyskach po raz pierwszy w historii, Oreiller został tym samym pierwszym mistrzem olimpijskim w tej konkurencji. W zawodach tych wyprzedził bezpośrednio Austriaka Franza Gabla oraz Szwajcarów: Karla Molitora i Rolfa Olingera, którzy ex aequo zajęli trzecie miejsce. Dwa dni później zwyciężył także w kombinacji, wyprzedzając Molitora oraz swego rodaka, Jamesa Coutteta. Na tych samych igrzyskach wywalczył również brązowy medal w slalomie, w którym lepsi byli jedynie Edy Reinalter ze Szwajcarii i James Couttet. Na rozgrywanych dwa lata później mistrzostwach świata w Aspen był czwarty w gigancie, przegrywając walkę o medal ze swym rodakiem, Jamesem Couttetem o 0,5 sekundy. Brał również udział w igrzyskach olimpijskich w Oslo w 1952 roku, jednak ani razu nie znalazł się w czołowej dziesiątce. W zjeździe był czternasty, a rywalizację w gigancie zakończył na szesnastej pozycji. Po tym zakończył karierę narciarską.