אליסקסיס למד בקולג' באינסברוק ולאחר מכן בווינה והתמקד בלימוד מינהל עסקים. השחמט הצית את דמיונו והיו לו תוצאות יוצאות מהכלל באולימפיאדות של 1930, 1933 ו-1935. לאחר כיבוש אוסטריה על ידי גרמניה, ניצח אליסקסיס פעמיים באליפות הלאומית בשנים 1938 ו-1939. הוא ייצג את גרמניה באולימפיאדה של 1939 שהתקיימה בבואנוס איירס, סמוך לפרוץ מלחמת העולם השנייה, והחליט, כמו שחקנים רבים אחרים, להישאר בארגנטינה (ולתקופת מה בברזיל) ולא לחזור לזירת המלחמה. מובן שהמפלגה הנאצית הביעה את אי שביעות רצונה מכך. לאחר מספר שנים בהן התקשה להתפרנס, הפך אליסקסיס לאזרח ארגנטינאי וייצג את ארצו החדשה באולימפיאדות של 1952, 1958, 1960 ו-1964.