Pierwszy sukces w karierze Łeonid Kołumbet osiągnął w 1953 roku, kiedy został mistrzem ZSRR w szosowym wyścigu ze startu wspólnego; wyczyn ten powtórzył rok później. W 1960 roku wystąpił na igrzyskach olimpijskich w Rzymie, gdzie wspólnie ze Wiktorem Romanowem, Stanisławem Moskwinem i Arnoldem Belgardtem zdobył brązowy medal w drużynowym wyścigu na dochodzenie. W tym samym składzie radziecka drużyna zajęła ponownie trzecie miejsce na mistrzostwach świata w Mediolanie w 1962 roku. Ponadto wraz z Belgardtem, Moskwinem i Siergiejem Tereszczenkowem zdobył także brązowy medal na rozgrywanych w 1964 roku mistrzostwach świata w Paryżu. W tym samym roku wystartował także na igrzyskach olimpijskich w Tokio, ale reprezentanci ZSRR zajęli tam piąta pozycję. W 1956 roku Kołumbet zajął trzecie miejsce w klasyfikacji generalnej Wyścigu Pokoju, wygrywając jeden z dwunastu etapów.