Анхель Эспиноса родился 2 октября 1966 года. В подростковом возрасте начал активно заниматься боксом, в шестнадцать лет уже стал чемпионом Кубы среди спортсменов полусреднего веса — впоследствии удерживал этот титул в течение девяти лет. Первого серьёзного международного успеха на ринге добился в 1983 году, когда одержал победу на молодёжном чемпионате мира, победив в финале крепкого американца Мелдрика Тейлора. Должен был представлять страну на летних Олимпийских играх в Лос-Анджелесе, однако Куба бойкотировала эти соревнования, и вместо этого Эспиноса принял участие в турнире стран социалистического лагеря «Дружба-84», где завоевал золотую медаль.