Александр Бабушкин родился 20 декабря 1920 года в деревне Красино-Убережное (ныне — село Большое Хорошево муниципального образования Иваньковское Ясногорского района Тульской области) в крестьянской семье. Окончил среднюю школу. В 1939 году был послан в Мелитопольское военно-авиационное училище лётчиков-наблюдателей и штурманов. Окончив его в 1940 году, Бабушкин был направлен в 314-й разведывательный авиаполк Белорусского военного округа. С июня 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Участвовал в боях на Западном и 3-м Белорусском фронтах. Принимал участие в Белорусской, Витебско-Оршанской, Минской, Восточно-Прусской операциях.