Мюррей Максвелл родился в 1775 году в Пеннингхейме, Уигтауншир, Шотландия, в семье Джеймса и Элизабет Максвеллов. Максвелл-старший служил офицером в 42-м пехотном полку британской армии (известном как "Black Watch", «Чёрный дозор»). Дед — сэр Александр Максвелл, второй баронет Монрит. Мюррея с раннего детства готовили к военной карьере. Шестеро из восьми его братьев также поступили на военную службу. В 1790 году в возрасте 14 лет Максвелл был отправлен в море на борту HMS Juno, которым командовал Сэмьюэл Худ. Через три года после вступления Максвелла на борт "Juno" во Франции вспыхнули революционные войны. Максвелл был на корабле во время осады Тулона, когда "Juno" был вынужден спешно ретироваться из гавани под ураганным огнём французских батарей. В том же году Максвелл принял участие во вторжении на Корсику и осаде Бастии. В ходе этих боёв Максвелл произвёл такое благоприятное впечатление на Худа, что тот решил взять его на свой новый корабль — HMS Aigle. Максвелл был переведен вновь в 1794 году, в этот раз на небольшой фрегат HMS "Nemesis", которым командовал родственник Худа Сэмьюэл Худ Линзи.