Daszajev a szovjet válogatottban 1979 és 1990 között 91 mérkőzésen lépett pályára. Ezalatt a 11 év alatt 3 világbajnokságon szerepelt, ám sem 1982-ben, sem '86-ban, sem '90-ben nem sikerült kiemelkedőt nyújtania a csapattal. Ezenkívül szerepelt az 1988-as Eb-n is, ahol egészen a döntőig meneteltek, de ott a hollandok, többek között Marco van Basten góljával győztek, és megnyerték a tornát. Annak ellenére, hogy a döntőben kikaptak, Daszajevet abban az évben a világ legjobb kapusának választották. Sokak szerint a második legjobb szovjet kapus Lev Jasin mögött, és posztján a világ egyik, ha nem a legjobbja volt az 1980-as években. Pályafutása során 3 klubcsapatban játszott, Asztrahánban, a szülővárosában, valamint a Szpartak Moszkvában, majd végül karrierje utolsó 3 évére Spanyolországba, a Sevillához szerződött.