Ο Μπαμίχας γεννήθηκε στο Δέλβινο στη σύγχρονη νότια Αλβανία (Βόρεια Ήπειρος) της τότε Οθωμανικής Αυτοκρατορίας. Μετά την ολοκλήρωση των βασικών σπουδών του στο Δέλβινο, πήγε στη Γενεύη, όπου σπούδασε νομικά. Πίσω στο Δέλβινο, συμμετείχε σε διάφορες πατριωτικές πρωτοβουλίες και το 1914 μετακόμισε στη κοντινή Κέρκυρα. Ωστόσο, την ίδια χρονιά επέστρεψε και συμμετείχε στον αγώνα για την ίδρυση της Αυτόνομης Δημοκρατίας της Βορείου Ηπείρου. Στις εκλογές του 1915, ενώ η Βόρεια Ήπειρος βρισκόταν προσωρινά υπό ελληνικό έλεγχο, εξελέγη μέλος του ελληνικού Κοινοβουλίου. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου συνεργάστηκε στενά με τον αντιβενιζελιστή Ίωνα Δραγούμη. Το 1919 ταξίδεψε στη Σύνοδο Ειρήνη του Παρισιού, ως μέρος της Βορειοηπειρώτικης αντιπροσωπείας υπό τον Αλέξανδρο Καραπάνο. Ο Μπαμίχας έζησε το υπόλοιπο της ζωής του στην Κέρκυρα.