Морис Квителашвили родился в 1995 году в Москве. Фигурным катанием занимается с пяти лет. В 2013 году Морис дебютировал на юниорских этапах Гран-при. Его выступления прошли на двух этапах, в финал юниорского Гран-при он не попал даже запасным. В конце года в Италии проходила зимняя Универсиада, там Квителашвили стал пятым. На дебютном для себя российском чемпионате он выступил неудачно, однако в феврале 2014 года Морис выиграл Кубок России.