Erste internationale Erfahrungen sammelte Kaveh Mousavi im Jahr 2002, als er bei den Juniorenasienmeisterschaften in Bankok mit einer Weite von 57,59 m mit dem 6-kg-Hammer den siebten Platz belegte. Zwei Jahre später erreichte er bei den Juniorenasienmeisterschaften in Ipoh mit 60,76 m Rang fünf und schied anschließend bei den Juniorenweltmeisterschaften in Grosseto mit 65,23 m in der Qualifikation aus. 2009 startete er bei der Sommer-Universiade in Guangzhou und schied dort mit 63,96 m in der Qualifikation aus, ehe er bei den Asienmeisterschaften in Guangzhou mit 68,15 m den fünften Platz belegte. Im Jahr darauf nahm er erstmals an den Asienspielen ebendort teil und gewann dort mit einem Wurf auf 68,90 m die Silbermedaille hinter dem Tadschiken Dilschod Nasarow. 2011 wurde er bei den Asienmeisterschaften in Kōbe mit 68,88 m Vierter und belegte dann bei den Studentenweltspielen in Shenzhen mit 68,80 m den achten Platz. Zudem qualifizierte er sich für die Weltmeisterschaften in Daegu, verpasste dort aber mit 68,01 m den Einzug ins Finale. Im Jahr darauf nahm er an den Olympischen Spielen in London teil, schied aber auch dort mit 72,70 m in der Qualifikation aus.