Po raz pierwszy na biathlonowej arenie międzynarodowej Florent Claude pojawił się w 8 marca 2008 r., podczas zawodów Puchary Europy juniorów we włoskiej miejscowości Cesana Torinese, gdzie w sprincie na 10 km zajął 21. miejsce. Rok później, na olimpijskim festiwalu młodzieży Europy w Szczyrku, zdobył brązowy medal w biegu pościgowym. W swoim dorobku ma też mistrzostwo świata juniorów młodszych w sztafecie z 2009 r., oraz wicemistrzostwo z 2010 r. W Pucharze Świata w biathlonie zadebiutował 30 listopada 2011 roku w Östersund, gdzie w biegu indywidualnym na dystansie 20 km zajął 37. miejsce, jednocześnie były to też jego pierwsze punkty Pucharu Świata. Rok później, w fińskim Kontiolahti, został wicemistrzem świata juniorów w sprincie. Jest siedmiokrotnym mistrzem Francji (tytuły zdobywał w biathlonie i biegach narciarskich) oraz czterokrotnym mistrzem Belgii. Od połowy 2017 r. reprezentuje Belgię na arenie sportowej. Zmiana reprezentacji była spowodowana usunięciem Claude'a z francuskiej drużyny narodowej. W 2018 r., wziął udział w zimowych igrzyskach olimpijskich, wspólnie z Michaelem Röschem, jako pierwszy belgijski biathlonista na zimowych igrzyskach olimpijskich.