Під час азербайджано-вірменського збройного конфлікту брав участь у бойових діях із захисту суверенітету та територіальної цілісності Азербайджану. 9 червня 1992 року в Агдамському районі йшли кровопролитні бої. У цих боях майор азербайджанської армії, умілий і мужній командир А. Давидович був прикладом для своїх підлеглих, завдаючи противнику удар за ударом. Збройні формування ворога зазнали відчутних втрат від військ під командуванням майора А. Давидовича. Анатолій виявив винятковий героїзм у боях, коли азербайджанська армія перейшла в наступ в Агдамському напрямку. Біля села Нахіджеванік молодий майор особисто знищив кілька одиниць ворожої бойової техніки, запекло боровся з супротивником.