En 1993, aux Championnats du monde de Stuttgart, il remporte la médaille de bronze du relais 4 × 100 mètres avec l'équipe du Canada composée de Glenroy Gilbert, Bruny Surin et Atlee Mahorn. L'année suivante, il décroche le titre des Jeux du Commonwealth de Victoria. En 1995, il se classe troisième de la finale du 60 mètres des Championnats du monde en salle de Barcelone, et remporte en août la finale du relais 4 × 100 m des Championnats du monde de Göteborg, associé à Donovan Bailey, Glenroy Gilbert et Bruny Surin. Avec le temps de 38 s 31, l'équipe canadienne devance l'Australie et l'Italie. L'année suivante, le Canada s'adjuge le titre du relais 4 × 100 m des Jeux olympiques de 1996 d'Atlanta (37 s 69), battant les États-Unis de près d'une demi-seconde. Robert Esmie est membre du relais victorieux, au même titre que Gilbert, Surin et Bailey, mais n'a pas participé aux séries (Carlton Chambers lui étant alors préféré). Considérée comme la meilleure équipe de relais au monde, le Canada obtient un nouveau titre mondial en 1997 lors des Championnats du monde d'Athènes. Esmie, Surin, Gilbert et Bailey devancent, avec le temps de 37 s 86, le Nigeria et le Royaume-Uni.