Morse debuteerde in 1949 in het theater. In 1955 debuteerde hij op Broadway met het stuk "The Matchmaker". Andere theaterstukken waarin hij meespeelde zijn onder meer "Say, Darling", "Take Me Along", "How to Succeed in Business Without Really Trying", "Sugar", "So Long, 174th Street" en "Tru". In 1954 debuteerde hij op televisie in de serie "The Secret Storm". Hij won in in 1993 tijdens de 45e Primetime Emmy Awards de prijs voor beste mannelijke hoofdrol in een miniserie voor zijn rol in "American Playhouse". Sinds 2007 speelt hij de rol van "Bert Cooper" in "Mad Men" waarvoor hij in 2008, 2010, 2011 en 2013 genomineerd werd voor een Emmy Award in de categorie beste mannelijke gastrol in een dramaserie.