Böhm, der 1924/25 der DVP angehört hatte, war nach 1945 Mitglied der CDU. Am 1. November 1945 wurde er unter dem parteilosen Ministerpräsidenten Karl Geiler Minister für Kultus und Unterricht des Landes Hessen. Nachdem er von der amerikanischen Militärregierung von Groß-Hessen für ungeeignet erachtet wurde, eine auf Demokratisierung ausgerichtete Schulpolitik einzuleiten, wurde er am 15. Februar 1946 entlassen. Böhm gehörte dem Deutschen Bundestag von 1953 bis 1965 an. 1954 hielt er im Bundestag die Ansprache beim Staatsakt zum Gedenken an den ersten Jahrestag des 17. Juni 1953. Auf Vorschlag von Konrad Adenauer war Böhm von 1952 bis 1964 Leiter der deutschen Delegation für die Wiedergutmachungsverhandlungen zwischen dem Staat Israel, den jüdischen Weltverbänden und der Bundesrepublik (Luxemburger Abkommen). Vom 17. Februar 1955 bis 1965 war er stellvertretender Vorsitzender des Bundestagsausschusses für Wiedergutmachung.