Nach dem Studium der Geschichte, der deutschen und englischen Philologie und der Philosophie an der Universität Halle promovierte er 1938 bei Hans Herzfeld über die britische Vorkriegspolitik in Vorgeschichte und Verlauf der Balkankrise 1912. Anschließend habilitierte er sich bei Georg Baesecke mit einer Arbeit zur althochdeutschen Glossenforschung; kriegsbedingt gab es jedoch eine Unterbrechung von mehreren Jahren im Habilitationsverfahren. Zum Zweiten Weltkrieg wurde Schröder von der Wehrmacht eingezogen und geriet schließlich in jugoslawische Kriegsgefangenschaft. Von 1948 bis 1953 arbeitete Schröder als Archivar am Landeshauptarchiv von Sachsen-Anhalt in Magdeburg, dann wurde ihm die Venia Legendi als Dozent für deutsche Philologie verliehen. 1959 nutzte er einen Ruf an die Universität Marburg, um die DDR zu verlassen. In Marburg übernahm er den Lehrstuhl von Ludwig Wolff. Rufe an andere Universitäten in den Folgejahren (Göttingen 1964, Graz 1969) lehnte er ab, 1982 wurde er emeritiert. Schröder war Mitglied in mehreren wissenschaftlichen Gesellschaften, unter anderem der Akademie der Wissenschaften und der Literatur Mainz und der Wissenschaftlichen Gesellschaft an der Universität Frankfurt/ Main. In Lehre und Forschung beschäftigte er sich viel mit den klassischen Werken der mittelhochdeutschen Epik, speziell mit Wolfram von Eschenbach, sowie mit editionsphilologischen Fragen.