Er erhielt seinen ersten Unterricht von seinem Vater und trat schon als 12jähriger in einem Orgelkonzert seines Vaters auf. In dessen Amtszeit fiel die Zerstörung der Kirche durch den Hamburger Brand 1842 und der Beginn ihres monumentalen Neubaus. In dieser Zeit trat Friedrich Gottlieb Schwencke als Pianist in eigenen und fremden Konzerten auf, die ihn bis nach Paris führten. 1851 wurde er Adjunkt bei seinem Vater und, als dieser im folgenden Jahr starb, sein Nachfolger als Organist an der Nikolaikirche. Deren Neubau wurde 1863 eingeweiht; auf eine neue Große Orgel musste Schwencke noch bis 1891 warten. Das 1891 fertiggestellte Instrument wurde durch den Orgelbaumeister Ernst Röver geschaffen. Sie war ein dreimanualiges Instrument mit 101 Registern, im System der Röhrenpneumatik gebaut, und verfügte über 5808 Pfeifen. Schwencke baute die Orgelkonzerte seines Vaters aus und etablierte so vollends „das Orgelkonzert als vollwertigen Bestandteil des Hamburger Musiklebens“.