Džumhur s-a născut pe 20 mai 1992, la Sarajevo, ca primul copil al tatălui Nerfid și al Žanetei. Nașterea sa a venit la scurt timp după izbucnirea războiului bosniac, într-o maternitate situată în apropierea Sălii Olimpice Zetra. În acea perioadă arena a fost distrusă, Damir începând să practice tenisul în zona amenajată în locul ei.