Zwei Jahre später ebnete ihr die weibliche Hauptrolle in Luis Puenzos Kinoproduktion "Die offizielle Geschichte" (1984), neben Héctor Alterio, mit dem sie im Verlauf ihrer Karriere mehrfach zusammenarbeitete, den Durchbruch als Filmschauspielerin. In dem Drama ist sie als linientreue Geschichtslehrerin und Adoptivmutter Alicia zu sehen, die zu ahnen beginnt, dass die leiblichen Eltern ihrer Tochter zu den unter der argentinischen Militärdiktatur zahlreichen „Verschwundenen“ gehören könnte. Die eindringliche psychologische Studie, die durch Puenzos konsequente Verbindung von Privatem und Politik von der Kritik als ein Stück filmische Trauerarbeit über ein Schicksal und eine Nation zugleich gefeiert wurde, brachte seiner Hauptdarstellerin gemeinsam mit Cher ("Die Maske") den Darstellerpreis auf den Filmfestspielen von Cannes 1985 ein. Außerdem gewann "Die offizielle Geschichte" 1986 den Oscar und den Golden Globe als beste fremdsprachige Filmproduktion, während Aleandro, von der New York Times für ihre „feinsinnige“ und „strahlende“ Leistung hochgelobt, zudem mit dem italienischen David di Donatello, dem New York Film Critics Circle Award 1985 und ihren ersten von später drei Darstellerauszeichnungen der argentinischen Filmkritikervereinigung, dem "Cóndor de Plata" der Asociación de Críticos Cinematográficos de Argentina, bedacht wurde.