2006 nahm Alena Kopez erstmals an einer internationalen Großveranstaltung, den Juniorenweltmeisterschaften in Peking teil. Dort schied sie aber sowohl mit dem Diskus, als auch mit der Kugel in der Qualifikation aus. 2007 gewann sie im Kugelstoßen die Silbermedaille bei den Junioreneuropameisterschaften in Hengelo und belegte im Diskuswurf den 14. Platz. Zudem erreichte sie in diesem Jahr den fünften Platz bei den Militärweltspielen in Hyderabad. 2008 und 2009 gewann sie jeweils die Silbermedaille beim europäischen Winterwerfercup in der U23-Altersklasse. 2009 gewann sie bei den Weltstudentenspielen in Belgrad die Bronzemedaille im Kugelstoßen, wie auch bei den U23-Europameisterschaften in Kaunas wenige Wochen später.