בורגניק שיחק באינטר בעיקר בעמדות הבלם האחורי והמגן הימני, וערך 467 הופעות במדי הקבוצה בכל המסגרות. לסגנון משחקו האגרסיבי והנחוש היה חלק חשוב בשיטת ה"קטנאצ'ו" שהונהגה בקבוצה בהצלחה על ידי המאמן הלניו הררה, בהיותו אחד מהשחקנים הבולטים בהגנת הקבוצה לצד ג'אצ'ינטו פאקטי. בורגניק היה שותף לזכיית הקבוצה בחמש אליפויות הסרייה א', שני גביעי אירופה לאלופות בשנים 1964 ו-1965 (לאחר ניצחונות במשחקי הגמר על ריאל מדריד ובנפיקה ליסבון בהתאמה), שתי העפלות נוספות לגמר הטורניר ב-1967 וב-1972, ושני גביעים ביניבשתיים. באותה תקופה זכתה אינטר לכינוי "לה גרנדה אינטר" וזכורה עד היום כאחת הקבוצות הגדולות בתולדות הכדורגל האירופי. הוא שיחק באינטר עד 1974, עת חזר לנאפולי, במדיה שיחק שלוש שנים בטרם פרש.