Thorburn wurde 1948 in Victoria (British Columbia) geboren. Nach einer recht schweren Kindheit und einer Zeit als herumziehender Poolbillardspieler ("hustler") wurde er Anfang der 1970er-Jahre Kanadas führender Snookerspieler. Nach einigen Erfolgen in Nordamerika wurde er 1972 Profispieler, gewann aber in den folgenden Jahren mehrfach die kanadische Snooker-Meisterschaft. Als Profi stieg er binnen weniger Jahre in die Weltspitze auf und wurde bereits im Rahmen der Snookerweltmeisterschaft 1977 Vize-Weltmeister. Erfolge feierte er auch bei den Canadian Open sowie beim Masters 1978, wo er das Finale erreichen konnte. Ab 1979 gelangen ihm diese Erfolge regelmäßig und er schied nur selten vor dem Viertelfinale eines Turnieres aus. Bei der Snookerweltmeisterschaft 1980 feierte er den größten Erfolg seiner Karriere, als er gegen Alex Higgins mit 18:16 im Endspiel siegte und Snooker-Weltmeister wurde. Eine Saison später stand er auf Platz 1 der Snookerweltrangliste.