Abraham on Chelsean kasvatti. Hän on voittanut seuran nuorten joukkueen kanssa UEFA Youth Leaguen ja FA Youth Cupin kausilla 2014–2015 ja 2015–2016. Chelsean edustusjoukkueessa Englannin valioliigassa Abraham debytoi toukokuussa 2016 Liverpoolia vastaan. Seuraavat kaudet hän pelasi lainasopimuksilla muissa seuroissa: Bristol Cityssä kauden 2016–2017, Swansea Cityssä kauden 2017–2018 ja Aston Villassa kauden 2018–2019. Swanseassa hän pelasi Valioliigaa ja teki 31 ottelussa viisi maalia. Kaudella 2019–2020 hän pääsi Chelsean edustusjoukkueeseen ja teki Valioliigassa kauden kolmannessa ottelussaan kaksi maalia, neljännessä samoin kaksi maalia ja viidennessä Wolverhampton Wanderersia vastaan kolme maalia eli hattutempun. Kaikkiaan hän teki kauden 34 liigaottelussaan 15 maalia ja oli joukkueensa paras maalintekijä. Seuraavalla kaudella hän pelasi 22 valioliigaottelussa, joista 12 avauskokoonpanossa ja teki kuusi maalia. Mestarien liigan voittajajoukkueessa hän pelasi viidessä alkulohko-ottelussa ja teki yhden maalin.