Nach einer Lehre als Ziseleur in einer Bronzegießerei in Berlin war er bei der Königlichen Porzellan-Manufaktur in Charlottenburg tätig. Von 1891 bis 1897 war er Schüler von Joseph Kowarzik am Städel-Institut in Frankfurt am Main. Danach ging er nach Paris an die Académie Julian. Ab 1899 arbeitete er als Gründungsmitglied in der Darmstädter Künstlerkolonie. Auf Empfehlung von Peter Behrens unterrichtete er ab 1904 an der Kunstgewerbeschule Düsseldorf. Zur Weltausstellung in Brüssel 1910 gestaltete er eine vielbeachtete Ausstellung seiner Medaillen und Plaketten. 1911 übernahm er als Direktor die Leitung der Kunstgewerbe- und Handwerkerschule Magdeburg, deren Lehrprogramm er im Sinne des Deutschen Werkbunds umgestaltete. Nach Kritik von Bruno Taut an diesem Lehrprogramm verließ Bosselt Magdeburg und übernahm von 1928 bis 1931 die Leitung der Kunstgewerbeschule in Braunschweig. Im September 1931 ging er nach Berlin zurück, um Nachfolger von Otto Marcus als Generalsekretär des "Reichsverbands bildender Künstler Deutschlands" zu werden. Nach Ablösung aus diesem Amt oblag ihm die Leitung der Zeitschrift "Kunst und Wissenschaft". 1932 vertrat er bei den Olympischen Spielen Deutschland mit der „Verfassungsplakette 1931“ bei den Kunstwettbewerben. Nach der Machtübergabe an die Nationalsozialisten wollte er „der neuen Bewegung als Morgengabe die Bereitschaft der deutschen Künstler, sich in des Volkes Dienst zu stellen“, bringen.