Największy sukces osiągnął w 1994 roku, kiedy podczas igrzysk olimpijskich w Lillehammer wywalczył brązowy medal w slalomie. Po pierwszym przejeździe zajmował ósmą pozycję, tracąc do prowadzącego Stangassingera 1,55 sekundy. W drugim przejeździe osiągnął trzeci wynik i awansował na najniższy stopnień podium. Ostatecznie do Stangassingera, który zajął pierwsze miejsce Słoweniec stracił 0,51 sekundy, a do drugiego na podium Tomby stracił 0,36 sekundy. Był to pierwszy w historii medal olimpijski dla Słowenii w tej konkurencji w rywalizacji mężczyzn (na tych samych igrzyskach brązowe medale wywalczyły Katja Koren w slalomie i Alenka Dovžan w kombinacji). Był to jednocześnie jedyny medal wywalczony przez Košira na międzynarodowej imprezie tej rangi. Był też między innymi piąty w gigancie na igrzyskach olimpijskich w Nagano w 1998 roku i ósmy w slalomie podczas rozgrywanych cztery lata później igrzysk w Salt Lake City. Nigdy nie zdobył medalu na mistrzostwach świata, jego najlepszym wynikiem było ósme miejsce w gigancie na mistrzostwach świata w Sierra Nevada w 1996 roku i ta sama pozycja w slalomie podczas mistrzostw świata w Sankt Anton w 2001 roku. W 2006 roku zakończył karierę.