Kauteen 2019–2020 Annunen lähti Kärppien toisena maalivahtina Patrik Rybárin aisaparina. Syyskuussa 2019 hän teki joukkueen kanssa kaksivuotisen jatkosopimuksen kevääseen 2022 saakka. Annunen torjui liigauransa ensimmäisen nollapelin uransa kuudennessa ottelussaan 28. syyskuuta 2019 Tampereen Ilvestä vastaan. Hän torjui Kärppien 5–0-voittoon päättyneessä 23 kertaa. Annunen torjui nollapelin myös kolmessa seuraavassa ottelussaan. 23. lokakuuta 2019 Pelicansia vastaan pelattuun otteluun asti hän ehti pitää maalinsa yhtäjaksoisesti puhtaana 302.05 minuutin ajan, mistä tuli SM-liigan kaikkien aikojen nollaputkiennätys. Annusen putken katkaisi lopulta Juhamatti Aaltonen maalillaan ajassa 45.37. Ennätyksen edellisen haltijan, Kimmo Lecklinin ennätys kaudelta 1997–1998 kesti 259.28 minuutin ajan. Tosin Annunen ei pelannut otteluitaan putkeen, vaan Patrik Rybár pelasi välissä kolme Kärppien ottelua, kun taas Lecklin pelasi joukkueensa TPS:n peräkkäiset ottelut. Marraskuussa Annunen joutui loukkaantumisen vuoksi sivuun alle 20-vuotiaiden MM-kilpailuihin saakka, jonka jälkeen hän oli sivussa maalinsuulta tammikuun puoleen väliin. Helmikuussa Annunen joutui loukkaantumisen vuoksi jälleen pariksi viikoksi sivuun. Kuntouduttuaan maaliskuussa Annunen pelasi kauden kaksi viimeistä runkosarjaottelua.