Алан происходил из англонормандского рода Бассетов, представители которого в XII—XIII веках верно служили королям Англии. Его отец, Томас Бассет I, находился на королевской службе с 1163 года и занимал при дворе Генриха II Плантагенета разные административные и судебные посты. В 1163—1181 годах он был одним из баронов казначейства, а также был одним из королевских юстициариев, который проводил выездные сессии королевского суда на юге и западе Англии. Его жена, Аделиза, происходила из англонормандского рода Данстанвилей, имевшего владения в Уилтшире, Шропшире, Сассексе, Корнуолле и Оксфордшире. Её отец Алан I де Данстанвиль и его брат Роберт во время гражданской войны в Англии были сторонниками императрицы Матильды, благодаря чему оказались сначала при её дворе, а потом при дворе её сына, будущего короля Генриха II Плантагенета. От брака Томаса и Аделизы родилось 3 сына и дочь.