Räty voitti kultaa Rooman MM-kisoissa 1987, vaikka kaatui ensimmäisessä heitossaan. Tokiossa 1991 Räty heitti MM-hopeaa Kimmo Kinnusen jälkeen. Räty epäonnistui Stuttgartin MM-kisoissa 1993 ja hän jäi karsintaan. Sen jälkeen hän sanoi haastattelussa: "Saksa on paska maa". Räty onkin tullut tunnetuksi suorapuheisuudestaan.