Palmer fece il suo primo assaggio di Formula 1 nel 1982, quando Frank Williams gli offrì di testare una delle sue vetture, impressionato dai buoni risultati che il giovane stava ottenendo nelle categorie inferiori. L'anno seguente lo stesso Williams gli mise a disposizione una terza vettura per disputare il Gran Premio d'Europa; per l'occasione si qualificò venticinquesimo (facendo meglio del compagno di squadra Laffite che mancò la qualificazione) e chiuse la corsa tredicesimo.