Im Alter von acht Jahren begann Bäumler mit dem Eiskunstlaufen. Er trat dem SC Riessersee in Garmisch-Partenkirchen bei und wurde ab den frühen 1950er Jahren von Erich Zeller trainiert. 1954 gewann Bäumler seinen ersten nationalen Titel als deutscher Juniorenmeister, ein Jahr später schlug er mit 13 Jahren den etwas jüngeren Manfred Schnelldorfer bei der bayerischen Meisterschaft. Schnelldorfer entwickelte sich in der zweiten Hälfte der 1950er Jahre zum führenden deutschen Einzelläufer und errang bis 1964 insgesamt acht deutsche Meistertitel. Bäumler gewann von 1956 bis 1959 vier Medaillen bei nationalen Meisterschaften, neben Schnelldorfer platzierte sich Tilo Gutzeit regelmäßig vor ihm. Bei den internationalen Großereignissen blieb Bäumler als Einzelläufer ohne Medaille: Sein bestes Ergebnis erzielte er bei den Europameisterschaften 1957, bei denen er als bester Deutscher den sechsten Rang belegte.