Tärnström voitti myös alle 20-vuotiaiden MM-hopeaa vuonna 1994 ja pronssia vuonna 1995. Hän oli ensimmäisenä mainitussa turnauksessa pelipaikastaan huolimatta Ruotsin paras maalintekijä Mats Lindgrenin kanssa. Tärnström voitti myös alle 18-vuotiaiden Euroopan mestaruuden vuonna 1993.