Acosta commence sa carrière au poste de milieu défensif au sein du club de Huracán Buceo, qui évolue en première division uruguayenne. En 1972, il est transféré au Peñarol avec qui il ouvre son palmarès en étant sacré champion d'Uruguay trois saisons consécutives (1973, 1974 et 1975). Il quitte l'Uruguay en 1977 pour ce qui va devenir son pays d'adoption, le Chili, évoluant toujours dans des formations de première division (CD Viña del Mar, Club Deportivo O'Higgins, CD Arturo Fernández Vial) sans parvenir à remporter de nouveaux titres. Il raccroche les crampons à 40 ans après quelques matchs joués avec l'équipe du CD Lota Schwager en deuxième division chilienne. Durant sa période à Peñarol, il porte à cinq reprises le maillot de la "Celeste", notamment lors de la Copa América 1975.