Nelson on Arsenalin kasvatti. Hän teki debyyttinsä Arsenalin edustusjoukkueessa voittoisassa Community Shield -ottelussa Chelseaa vastaan 6. elokuuta 2017. Euroopan debyyttinsä hän teki Eurooppa-liigassa Kölniä vastaan syyskuussa 2017. Ensimmäisen valioliigaottelunsa hän pelasi Crystal Palacea vastaan tammikuussa 2018. Kauden 2018–2019 hän pelasi lainalla Saksan Bundesliigassa Hoffenheimin joukkueessa, jossa teki 23 liigaottelussa seitsemän maalia. Mestarien liigassa hän pelasi Hoffenheimissa viisi ottelua. Kaudella 2019–2020 hän pelasi 17 valioliigaottelua ja teki yhden maalin. Arsenalin voittamassa FA Cupissa hän viimeisteli kahdessa ottelussa yhden maalin. Kaudella 2020–2020 hän pelasi kahdessa valioliigaottelussa ja neljässä Eurooppa-liigan ottelussa sekä oli voittamassa Community Shieldiä.