Quittet war 26 Jahre alt, als er am 27. September 1967 bei einer 1:5-Niederlage gegen die Bundesrepublik Deutschland auf dem Platz stand und damit sein Debüt im Trikot der französischen Nationalelf gab. Sein Pflichtspieldebüt folgte einen Monat darauf bei einem 1:1-Remis gegen Belgien in der Qualifikation zur Europameisterschaft 1968; sowohl dieses Turnier als auch die WM 1970 und die EM 1972 verpassten die Franzosen. Quittet wurde regelmäßig vom Nationaltrainer berücksichtigt, bevor er nach einem 0:1 gegen Norwegen im November 1968 drei Jahre lang pausieren musste und erst am 10. November 1971 bei einem 2:1 gegen Bulgarien wieder mit dabei war.