Михаил Кази происходил из семьи греческих дворян, перешедших на российскую службу в период русско-турецкой войны 1768—1774 годов. Родился в Севастополе, в семье морского офицера Ильи Андреевича Кази (1804—1886) и Александры Павловны Мавромихали (1815— ?), внучке Стефана Мавромихали, руководителя антитурецкого восстания в Морее.