La carriera di Kübra Akman inizia nel 2006, quando dodicenne entra a far parte del settore giovanile del Nilüfer Belediye Spor Kulübü, nel quale resta per quattro annate. Nella stagione 2010-11 inizia la carriera professionistica, venendo promossa in prima squadra ed esordendo nella Voleybol 1. Ligi; nel 2011 entra a far parte delle selezioni giovanili turche, vincendo la medaglia d'oro al campionato europeo pre-juniores ed al campionato mondiale pre-juniores. Nella stagione successiva raggiunge la finale di Coppa di Turchia; nell'estate del 2012 vince la medaglia d'oro al campionato europeo juniores, per poi esordire in nazionale maggiore alla European League.