Il était l'aîné des deux fils du politicien du Comté de Clare et de son épouse Mary Conyngham. Son grand-père paternel, également nommé Francis Burton (1640-1714), siégea au parlement irlandais pour Ennis de 1691 à 1714 . À l'origine une branche des Musards, Lords of Stavely, la famille Burton s'est installée à Richmond, dans le Yorkshire après la conquête normande. Sir Edward Burton (1442-1524), fait chevalier par Édouard IV en 1460 après la Seconde bataille de St Albans, s’établit à Longnor, dans le Shropshire. Son descendant Thomas Burton est arrivé en Irlande en 1610 .