Elliott zajął 4. miejsce w biegu na 800 metrów na mistrzostwach Europy juniorów w 1981 w Utrechcie. 30 sierpnia 1982 w Londynie ustanowił wraz z kolegami (Garry Cook, Steve Cram i Sebastian Coe) rekord świata w sztafecie 4 × 800 metrów wynikiem 7:03,89, który przetrwał do 2006 i jest aktualnym (styczeń 2021) rekordem Europy. Na halowych mistrzostwach Europy w 1983 w Budapeszcie zdobył srebrny medal w biegu na 800 metrów za Hiszpanem Colománem Trabado. Zajął 3. miejsce na tym dystansie w finale A Pucharu Europy w 1983 w Londynie. Na pierwszych mistrzostwach świata w 1983 w Helsinkach był czwarty na 800 metrów.