Давид Торосян родился 23 сентября 1950 года в Ереване. Начал заниматься боксом в 1963 году под руководством Михаила Папазяна. В 1971 году был победителем V Спартакиады народов СССР в наилегчайшем весе, а в 1973 году — чемпионом СССР в лёгком весе. На протяжении нескольких лет входил в состав сборной СССР и становился бронзовым призёром чемпионата мира в Гаване (1974) и Олимпийских игр в Монреале (1976).