Du Moulin Eckart wurde als drittes Kind und einziger Sohn des Geschichtsprofessors Richard Graf Du Moulin Eckart (1864–1938) und seiner Frau Bertha (* 18. Juli 1866 in Coburg; † 5. März 1949 in Bertoldsheim; geb. Berger) geboren. Nach der Teilnahme am Ersten Weltkrieg gehörte er zeitweise dem Freikorps Epp an, bei dem er Ernst Röhm kennenlernte. Von Februar bis Oktober 1923 arbeitete Du Moulin als Fahrdienstleiter bei der Firma Faber. Im November 1923 nahm er am Hitlerputsch in München teil. Zusammen mit Röhm, Heinrich Himmler und einigen anderen besetzte er an diesem Tag das ehemalige bayerische Kriegsministerium. Außerdem versah Du Moulin Kurierdienste während des Putsches, indem er als Ordonnanz Verbindung zwischen den verschiedenen Abteilungen der Putschisten hielt.