מגיע ממשפחה של פעילי מפלגה סובייטים ועובדי משק רוסיים. סבא רבא של אנטון, היינריך (היינריך) ויינו, היה בכיר בוועד המחוזי של המפלגה בעיר טומסק, היה משתתף פעיל במאבק להקמת הכוח הסובייטי בסיביר. בפרט, הוא השתתף בדיכוי מרד הלגיון הצ'כוסלובקי, וכן בדיכוי מרד האיכרים האנטי-סובייטי במחוז טומסק. בנו של היינריך, קרל ויינו (יליד 1923) היה בכיר במפלגה: בשנים 1978–1988 שימש כמזכיר הראשון של הוועד המרכזי של המפלגה הקומוניסטית באסטוניה, בפועל היה ראש הרפובליקה האסטונית.