Мёльбю начал свою карьеру в клубе «Вайле» и считался одним из самых талантливых полузащитников своего поколения. Поэтому в 1992 году сразу после триумфального Евро-92 он перешёл из средненького датского клуба сразу во французский «Нант». В новой команде он не смог адаптироваться во Франции и вскоре перешёл в «Боруссию» из Мёнхенгладбаха. Отыграв сезон в Германии, Джонни перешёл в бельгийский «Мехелен», а потом вернулся на родину, где выступал за «Ольборг» и «Орхус». В 2000 году он перешёл в клуб из своего родного города «Коллинг», где был играющим тренером до 2004 года.