סמוך לאסאב שוכנים חורבותיה של העיר העתיקה ארסינואה (Ἀρσινόη) שהוקמה על ידי תלמי השני במאה ה-3 לפנה"ס. האתר בו שוכנת העיר נרכש בשנת 1869 על ידי ג'וזפה ספטו (Giuseppe Sapeto) מחברת הספנות רובאטינו (Rubattino). ספטו רכש את השטח מידי הסולטאן המקומי תמורת 6,000 טאלר. ב-1882 עברה העיר באופן רשמי לשליטה איטלקית, אשר ייסדה במקום תחנת תדלוק פחם לספינות. מאוחר יותר הקימו האיטלקים את הנמל, וסללו כביש מהעיר אל תוך היבשת. במהלך מלחמת העולם השנייה הייתה אסאב אחד הנמלים האחרונים שנפלו לידי הבריטים במהלך המערכה במזרח אפריקה, והיא נכבשה סמוך לסיום המערכה, באמצע יוני 1941. לאחר מלחמת העולם השנייה הפכה אסאב לנמלה הראשי של אתיופיה, והסובייטים הקימו בה בית זיקוק שהיה פעיל עד שנת 1997, ונסגר מסיבות כלכליות. במלחמת העצמאות של אריתריאה ובתקופת הרעב הכבד שפקד את קרן אפריקה בשנות ה-80 של המאה ה-20, שימש נמל אסאב כעורק האספקה העיקרי למשלוחי המזון והסיוע הבינלאומי. בתחילת שנות ה-90 של המאה ה-20 הורחב הנמל והוקם בו מסוף חדש, אך יחסיהם העכורים של אתיופיה ואריתריאה והפסקת קשרי המסחר בין שתי המדינות בשנת 1998 הביאו לירידה בחשיבותו, במקביל לעלייה בחשיבותו של נמל העיר ג'יבוטי. כתוצאה מכך צנחה אוכלוסיית העיר שמנתה 39,600 בשנת 1989 כמעט בחצי.