Geims Eltern – Konstantin Alexejewitsch Geim (1910–1998) und Nina Nikolaijewna Bayer (* 1927) – waren beide Ingenieure. Seine Vorfahren gehörten bis auf eine jüdische Urgroßmutter der russlanddeutschen Minderheit an. Geims Großvater Nikolai Bayer war Professor für Kartographie an der Universität Charkiw in der Ukraine gewesen und hatte nach dem Ersten Weltkrieg kurzzeitig ein politisches Amt in der Ukrainischen Volksrepublik unter Petljura innegehabt. Der Vater war bis zum Zeitpunkt des deutschen Überfalls auf die Sowjetunion 1941 Lehrer für Mathematik und Physik an der Universität Saratow. Wegen ihrer politischen „Vergehen“ und ihrer ethnischen Herkunft verbrachten sowohl Vater als auch Großvater viele Jahre als Zwangsarbeiter im sibirischen Gulag.