Nach einigen Amateurerfolgen und einem Umzug aus Nordirland ins englische Blackburn wurde Taylor 1972 Profispieler und erreichte bereits 1974 bei den Canadian Open sowie 1975 beim Pot Black seine ersten Endspiele. In den folgenden Jahren stieg Taylor nach und nach zu einem Spieler der Weltspitze auf, sodass er bei der Einführung der Weltrangliste 1976 bereits in den ersten zehn Plätzen rangierte. Im Jahr 1979 folgte sein erster Karrierehöhepunkt, als er das Finale der Snookerweltmeisterschaft erreichte und in diesem dem Debütanten Terry Griffiths unterlag.