Am 9. Januar 1955 stand Juri Kopylow in einem Spiel gegen Schweden zum ersten Mal für die sowjetische Nationalmannschaft auf dem Eis. Seine internationale Karriere wurde mit der Silbermedaille bei der Weltmeisterschaft 1958 gekrönt. Für die Nationalmannschaft erzielte er insgesamt 13 Tore in 23 Länderspielen.