Discesista puro, Vesti ottenne il suo primo risultato di rilievo in Coppa del Mondo il 24 gennaio 1974 a Kitzbühel in Austria giungendo 6º sulla Streif; nello stesso anno partecipò ai Mondiali disputati sulle nevi di casa di Sankt Moritz classificandosi 9º. Il 1º febbraio 1975 a Megève in Francia conquistò l'unico successo di carriera in Coppa del Mondo, davanti a due compagni di squadra: René Berthod e Philippe Roux. Il 20 gennaio 1978 si piazzò 2º sulla Streif di Kitzbühel dietro allo sciatore di casa Josef Walcher e nella stessa stagione venne convocato per i Mondiali di Garmisch-Partenkirchen, in Germania Ovest, dove ottenne l'8º posto.