Bösch, der immer noch für den SC Engelberg startet, hatte sein Weltcupdebüt im Februar 2013 in Silvaplana, welches er im Slopestyle auf dem dritten Platz beendete. Im selben Monat belegte er auf der Halfpipe bei den Swiss Freeski Open in Davos den dritten Rang. In der Saison 2013/14 kam er im Weltcup in Gstaad und im Big Air beim Jon Olsson Invitational in Åre auf den dritten Rang. Bei seiner ersten Olympiateilnahme 2014 in Sotschi errang er den 23. Platz im Slopestyle. Zum Beginn der Saison 2014/15 siegte er im Slopestyle beim Stubai Jam in Neustift im Stubaital. Es folgte ein zweiter Platz im Slopestyle bei der SFR Freestyle Tour in Val Thorens. Im Januar 2015 wurde er bei den Freestyle-Skiing-Weltmeisterschaften am Kreischberg Weltmeister im Slopestyle. Zum Saisonende siegte er im Big Air beim Jon Olsson Invitational in Åre.