Grier wurde im NHL Entry Draft 1993 von den St. Louis Blues in der neunten Runde an 219. Position ausgewählt. Im darauffolgenden Herbst begann er seine Collegekarriere an der Boston University. Sein bestes Jahr dort hatte er in der Meisterschaftssaison 1994/95, die ihm sowohl eine Nominierung für das All-Star-Team der Liga als auch eine Nominierung für die Junioren-Weltmeisterschaft 1995 einbrachte. Während seiner Collegezeit wurden die Rechte an Griers NHL-Engagement von den St. Louis Blues zusammen mit denen Curtis Josephs für eine Reihe hoher Draft-Wahlrechte zu den Edmonton Oilers transferiert.