Największe sukcesy w karierze Franz Pfnür osiągnął w 1934 roku, kiedy podczas mistrzostw świata w Sankt Moritz w trzech startach wywalczył trzy medale. Najpierw zajął drugie miejsce w biegu zjazdowym, w którym lepszy o 7,6 sekundy okazał się David Zogg ze Szwajcarii. Następnie zwyciężył w slalomie, wyprzedzając Zogga o 1,7 sekundy i jego rodaka, Williego Steuriego o 1,9 sekundy. Wyniki te dały mu także srebrny medal w kombinacji, w której na podium rozdzielił Davida Zogga i kolejnego Szwajcara, Heinza von Allmena. Dwa lata później Pfnür wystartował na igrzyskach olimpijskich w Garmisch-Partenkirchen. Po zjeździe do kombinacji zajmował drugie miejsce, tracąc do prowadzącego Birgera Ruuda z Norwegii 4,4 sekundy. W slalomie okazał się najlepszy i zwyciężył w kombinacji, wyprzedzając swego rodaka, Gustava Lantschnera oraz Émile’a Allaisa z Francji.