Nikolay Yevseyev remporte aux Championnats du monde de natation 1986 à Madrid la médaille d'argent du relais 4x100 mètres nage libre et la médaille de bronze du relais 4x100 mètres quatre nages. Il en fait de même lors des Jeux olympiques d'été de 1988 à Séoul, où il est aussi éliminé en séries du relais 4x200 mètres nage libre.