Алексей Данилович Басманов был единственным сыном Данилы Андреевича Плещеева по прозванию Басман. Он принадлежал к старшей ветви одного из древнейших боярских родов, о которым шведам во время переговоров было заявлено «"и то извечные государские бояре родов за тридцать и более"». Отец будущего воеводы, постельничий Ивана III, попал в плен в сражении под Оршей в 1514 году и умер в плену в Литве.