Menzies ist seit dem Jahr 2000 regelmäßig in Filmen präsent. Anfangs wirkte er in Fernsehfilmen mit, wie etwa 2002 in "I Saw You", trat bald jedoch auch im Kino auf. Sein bislang bekanntester Film ist "", in dem er eine Nebenrolle übernahm. Zeit seiner Laufbahn trat er in diversen Fernsehserien auf, darunter in den HBO-Produktionen "Rom" (2005 bis 2007, als Brutus) und "Game of Thrones" (2013, als "Edmure Tully"). Seit 2014 bekleidet er in der Serie "Outlander" eine Doppelrolle als "Frank Randall" und "Jonathan Randall". Seit 2018 steht er für die Netflix-Serie "The Crown" als Prinz Philip vor der Kamera. Für diese Rolle erhielt er bei den Golden Globe Awards 2020 im Dezember 2019 eine Nominierung in der Kategorie "Bester Serien-Hauptdarsteller – Drama".