W 1954 roku Charles Bozon wystartował na mistrzostwach świata w Åre, gdzie wywalczył piąte miejsce w biegu zjazdowym. Na rozgrywanych dwa lata później igrzyskach olimpijskich w Cortina d’Ampezzo był piąty w gigancie, siódmy w slalomie i ósmy w zjeździe. Igrzyska w Cortina d’Ampezzo były równocześnie mistrzostwami świata, jednak kombinację rozgrywano tylko w ramach drugiej z tych imprez. W konkurencji tej zdobył srebrny medal, plasując się za Austriakiem Tonim Sailerem, a przed Stigiem Sollanderem ze Szwecji. Wynik ten powtórzył podczas rozgrywanych cztery lata później igrzysk w Squaw Valley. Francuz rozdzielił tam na podium swego rodaka Guya Périllata i Hans-Petera Laniga ze Wspólnej Reprezentacji Niemiec. Parę dni wcześniej wywalczył brązowy medal w slalomie, ulegając tylko dwóm Austriakom: Ernstowi Hinterseerowi i Mathiasowi Leitnerowi. W Squaw Valley Bozon zajął także ósme miejsce w gigancie i dziewiąte w zjeździe. Ostatni medal zdobył na mistrzostwach świata w Chamonix w 1962 roku, gdzie zwyciężył w slalomie. W konkurencji tej dwukrotnie zwyciężył też podczas zawodów 3-Tre we włoskim Madonna di Campiglio w latach 1957 i 1959. Sześciokrotnie zostawał mistrzem Francji: w zjeździe w latach 1956 i 1957 oraz gigancie i slalomie w latach 1956 i 1961.