Estanislao Argote joue au poste d'ailier gauche durant toute sa carrière, et est considéré comme l'un des meilleurs à ce poste dans l'histoire de l'Athletic, derrière des joueurs mythiques comme Piru Gaínza ou Txetxu Rojo. Il est considéré par ses pairs comme le meilleur passeur et centreur de l'époque. Il débute avec l'Athletic le 2 octobre 1977, juste avant ses 21 ans et reste pendant 13 saisons dans ce club. Ses plus grands succès ont lieu lors des saisons 1982-83 et 1983-84, lorsque l'Athletic remporte deux titres de Liga et une Coupe du Roi. L'équipe de Bilbao est alors emmenée par un trident d'attaque dont fait partie Argote ainsi que Dani et Sarabia, qui s'appuient sur les passes d'Argote depuis le côté gauche. Il réalise sa meilleure saison en termes de statistiques lors de la saison 1980-1981, où il inscrit 12 buts en championnat. Lors de cette même saison, Argote est appelé à deux reprises en sélection nationale. Ses débuts comme joueur international interviennent à Salamanque le , lors des éliminatoires du Championnat d'Europe de 1980 face à Chypre. La rencontre se termine sur le score de 5 à 0. Son second match a lieu quelques jours plus tard à Rome face à l'Italie, lors d'un match amical où l'Espagne s'incline 1-0. Avec l'Athletic, Argote dispute 5 matchs en Coupe d'Europe des clubs champions, et participe également à la Coupe de l'UEFA.