Kelleher a Ringmahon Rangers akadémiájáról 2015 nyarán érkezett Liverpoolba. A 2018-19-es előszezonban sokszor pályára léphetett, és tagja volt annak a keretnek, amely Amerikába utazott edzőtáborozni. Jó teljesítményének köszönhetően 2018 augusztusában új szerződést írt alá a klubbal. A 2019-es Bajnokok Ligája-döntőben a kispadon kapott helyet, a győzelemmel ő lett a 12. ír játékos, aki megnyerte a BL-t. A 2019-es UEFA Szuperkupa-döntőben csuklósérülése miatt szintén nem lépett pályára. Első tétmérkőzését 2019. szeptember 25-én játszotta, a Ligakupa harmadik fordulójában az MK Dons csapata ellen állt a kapuba.