1810 wurde er während eines Aufenthalts in Rostock als Spion verhaftet, konnte aber dank seiner hervorragenden Verbindungen entfliehen und ging in die Schweiz ins Exil, wo er 1812 auf Vermittlung von Johann Heinrich Pestalozzi eine Anstellung als Lehrer am Fellenberg´schen Institut in Hofwyl (Hofwil) fand. 1813/14 nahm er als freiwilliger preußischer Jäger an Befreiungskriegen teil und war bei der Besetzung von Paris. 1817 wechselte er an die Kantonsschule in Aarau. 1818 hielt er sich zu Privatstudien in Wien auf. 1819 erhielt er eine Stelle als Lehrer für Geschichte am neu gegründeten Gymnasium in Neuwied. Bereits ein Jahr später kehrte er in die Schweiz zurück und folgte einem Ruf als Privatdozent nach Basel, wo er mit einer kurzen Unterbrechung (1822–1826 in Hofwyl) bis 1838 wirkte. 1838 wurde Kortüm als ordentlicher Professor an die Universität Bern berufen, wo ein Lehrstuhl für das Fach Geschichte aus der bisherigen Zuständigkeit der Rechtswissenschaften herausgelöst und neu eingerichtet worden war. Zum 16. Juni 1840 erhielt er einen Ruf an die Universität Heidelberg, wo er bis zu seinem Tod 1858 lehrte.