Mehrere von Klenz’ Vorfahren waren ebenfalls erfolgreiche Schwimmer. Seine Mutter Sabine Krauß (gesch. Klenz, geb. Herbst) war Olympiateilnehmerin und wurde viermal deutsche Meisterin, seine Großmutter Eva Herbst (geb. Wittke) war bei den Olympischen Spielen 1968 in der Lagenstaffel Fünfte, sein Großvater Jochen Herbst belegte bei den Olympischen Sommerspielen 1968 den siebten Platz mit der Freistilstaffel, sein Onkel Stefan Herbst gewann bei den Weltmeisterschaften 2001 und 2003 jeweils Bronze mit den Freistilstaffeln, sein Vater Karl-Heinz „Fiete“ Klenz war Medaillengewinner bei Deutschen Meisterschaften und Mitglied der Nationalmannschaft.