סניאבין נולד בכפר במחוז קלוגה במשפחת אצילים שהיו קשורים עם הצי הרוסי. אביו היה מושל של קרונשטאדט. בשנת 1773 הוא נרשם לבית ספר לקציני הצי בסנקט פטרבורג. בשנת 1780 קיבל דרגות קצונה והחל לשרת בצי. בשנת 1780 השתתף במערכה צבאית בחופי פורטוגל. בשנת 1783 הועבר לצי של הים השחור. לקראת תחילת המלחמה העות'מאנית-רוסית (1787–1792) היה עוזר של מפקד הצי בים השחור. במהלך מצור אוצ'קוב תמך בכוחות היבשה ופיקד על מספר פעולות צבאיות. קיבל פיקוד על מספר ספינות ובלט בקרב כף קאליאקרה.