In seiner Jugend war Twomey ein begeisterter Radfahrer. Nach einem Fahrradunfall 1970, bei dem er sich eine T3-Verletzung zuzog, war er auf einen Rollstuhl angewiesen und wandte sich nun nach seiner Genesung dem Behindertensport zu. Twomey nahm erstmals 1976 als Diskuswerfer an den Paralympischen Spielen in Toronto teil. Bei seiner dritten paralympischen Teilnahme 1984 in England gelang es ihm, eine Bronzemedaille zu gewinnen. Auch vier Jahre später in Seoul konnte Twomey eine Medaille gewinnen, diesmal jedoch Gold.