Mee pelasi Manchester Cityn junioreissa mutta aloitti liigauransa mestaruussarjassa kevätkaudella 2011 Leicester Cityssä ja kaudella 2011–2012 Burnleyssa, jonka omistukseen hän siirtyi tammikuussa 2012. Burnleyn pelatessa Valioliigassa kaudella 2014–2015 Mee pelasi 33 ottelua ja teki kaksi maalia. Kauden päätteeksi Burnley putosi mestaruussarjaan mutta nousi keväällä 2016 takaisin Valioliigaan. Kaudella 2016–2017 Mee pelasi 34 liigaottelua ja teki yhden maalin. Seuraavalla kaudella hän pelasi 29 liigaottelua loukkaantumisen pilattua hänen loppukautensa, ja kaudella 2018–2019 hän pelasi joukkueensa kaikki 38 liigaottelua alusta loppuun. Kaudella 2019–2020 Mee pelasi joukkueensa 32 ensimmäistä liigaottelua alusta loppuun ja teki viimeisessä niistä maalin Crystal Palacea vastaan mutta oli vammojen vuoksi poissa kuudesta viimeisestä ottelusta. Hän on pelannut Burnleyssä tasan 300 ottelua, joista Valioliigassa 166 ja mestaruussarjassa 134. Heinäkuussa 2020 hän jatkoi voimassa ollutta sopimustaan Burnleyn kanssa vuodella, kesäkuuhun 2022 saakka.