Comenzó a patinar a la edad de cinco años. En el Campeonato Mundial Júnior de 1995 ganó el oro y en su siguiente evento, ganó el Campeonato Europeo de 1995, a los 17 años. En su debut en el Campeonato Mundial se ubicó en la novena posición. En la temporada 1997-1998 se ubicó en el primer puesto en el Trofeo NHK y segundo en el Skate Canada Internationa, clasificando a la Final del Grand Prix, donde ganó la medalla de oro. Más adelante ganó su primer título nacional en el Campeonato de Rusia. Participó en los Juegos Olímpicos de invierno de 1998, celebrados en Nagano, donde se ubicó en primer lugar en los programas corto y libre, ganó la medalla de oro a los 20 años, el patinador más joven en la historia olímpica. Sin embargo, decidió retirarse del Campeonato Mundial de 1998 por una lesión en su espalda, se retiró del patinaje competitivo y se enfocó en participar en espectáculos de patinaje artístico, como el "Stars on Ice" en Rusia, el "Ice All Stars" de 2009 y el "Festa on Ice" de 2010. En 2012 Kulik y su esposa Yekaterina Gordéyeva abrieron una pista de patinaje en Lake Forest, California.