Александр Лебзяк родился 15 апреля 1969 года в Донецке. Через год его семья переехала в посёлок Буркандья Магаданской области, где он начал заниматься боксом под руководством Василия Денисенко. В 1985 году продолжил занятия боксом в ДЮСШ Магадана, где его стал тренировать Геннадий Рыжиков. В 1987 году получил приглашение в юниорскую сборную СССР и выиграл чемпионат мира среди юниоров. В 1988 году вошел в состав национальной сборной СССР, участвовал в предолимпийском турнире, в 1990 году становится чемпионом СССР, призёром чемпионата Европы и чемпионата мира, в 1991 году выиграл Спартакиаду народов СССР, Кубок СССР. В 1992 году в составе Объединённой команды принимал участие в Олимпийских играх в Барселоне. За несколько недель до Олимпиады из-за интенсивной сгонки веса у него лопнуло лёгкое. Тогда он смог быстро восстановиться, но дальше второго круга ему пройти не удалось. Подобноe повторилось и на Олимпийских играх в Атланте (1996), когда во время первого боя у него случился рецидив.