Dragšič kilpaili alppihiihdon maailmancupissa yhtäjaksoisesti vuosina 2002–2011. Dragšič laski uransa aikana pujottelun maailmancupissa 86 osakilpailua ja keräsi 587 pistettä. Parhaimmillaan hän laski kahdesti neljänneksi. Hän osallistui maailmanmestaruuskilpailuihin neljästi (2003, 2005, 2007 ja 2009), parhaana sijoituksena vuoden 2005 pujottelun kahdeksas sija. Hän oli mukana olympialaisissa kahdesti, vuosina 2002 ja 2010, mutta ei päässyt kertaakaan maaliin asti. Hän on voittanut pujottelun Slovenian mestaruuden vuosina 2002 ja 2006 sekä superalppiyhdistetyn mestaruuden vuonna 2009.