1985 wurde Artūras Kasputis in Stuttgart Junioren-Weltmeister in der Einerverfolgung; in der Mannschaftsverfolgung belegte das sowjetische Team mit Kasputis Rang drei. 1986 gewann er die Ägypten- und 1987 die Marokko-Rundfahrt. In der Einerverfolgung der Amateure bei den UCI-Bahn-Weltmeisterschaften 1987 in Wien wurde er Dritter. Bei den Olympischen Spielen in Seoul errang Kasputis gemeinsam mit Gintautas Umaras, Wjatscheslaw Jekimow, Mindaugas Umaras und Dmitri Neljubin die Goldmedaille in der die Mannschaftsverfolgung. Einen sowjetischen Meistertitel gewann er 1988 mit dem Team von Klaipėda in der Mannschaftsverfolgung (u. a. mit Gintautas Umaras und Remigijus Lupeikis). 1990 wurde er Zweiter bei Rund um Berlin. 1991 gewann er den Circuit du Port de Dunkerque und den Circuito Montañés.