メスヒはディナモ・トビリシ（1954年-1969年）でプレーした後、ロコモティフ・トビリシ（1970年）でプレーした。メスヒはサッカーソビエト連邦代表にも選出され、35試合に出場、1962 FIFAワールドカップにも出場した。1960 欧州ネイションズカップにも出場、ソビエト連邦の初優勝に貢献した。