La seva família era originària de la zona de Marrowbone, a Oldpark Road, al nord de Belfast, però van haver-se de traslladar quan Storey era molt jove a causa dels atacs dels lleialistes al districte, i van anar a Manor Street, una zona també del nord de Belfast. L'oncle de Storey era l'entrenador de boxa Gerry Storey i el seu pare, també anomenat Bobby, va participar en la defensa de la zona als anys setanta, quan els catòlics van ser intimidats pels lleialistesa l'inici del període conegut com "The Troubles". A la família de la seva mare Peggy hi havia precedents de militància en el republicanisme irlandès, però Storey va dir que "el que el va influir més van ser els esdeveniments que succeïren al seu voltant",com l'atemptat del bar McGurk a New Lodge, on alguns dels morts eren coneguts de la seva família, o el "Diumenge Sagnant". Així, Storey va deixar l’escola quan tenia quinze anys i va anar a treballar amb el seu pare venent fruita. Als setze anys es va convertir en membre de l'IRA.