Pierwszy sukces w karierze Alois Kaňkovský osiągnął w 2001 roku, kiedy zdobył trzy medale torowych mistrzostw Europy juniorów, w tym złoty w wyścigu na 1 km. W 2004 roku brał udział w igrzyskach olimpijskich w Atenach zajmując dziesiąte miejsce w wyścigu na 1 km, a w sprincie indywidualnym odpadł już w kwalifikacjach. Trzy lata później, podczas mistrzostw świata w Palma de Mallorca zdobył złoty medal w omnium, wyprzedzając bezpośrednio Argentyńczyka Waltera Péreza i Amerykanina Charlesa Huffa. Był to debiut tej konkurencji na mistrzostwach świata, więc tym samym Kaňkovský został pierwszym w historii mistrzem świata. Na tych samych mistrzostwach wspólnie z Petrem Lazarem Alois zdobył także brązowy medal w madisonie. Na igrzyskach olimpijskich w Pekinie w 2008 roku wystartował tylko w madisonie, kończąc rywalizację na trzynastej pozycji. Pojawił się również na mistrzostwach świata w Kopenhadze w 2010 roku, gdzie był jedenasty w omnium.