Największy sukces w karierze Leszek Stępniewski osiągnął w 1985 roku, kiedy wspólnie z Andrzejem Sikorskim, Ryszardem Dawidowiczem, Marianem Turowskim wywalczył srebrny medal w drużynowym wyścigu na dochodzenie podczas mistrzostw świata w Bassano. Startował także w wyścigach szosowych, jego największym sukcesem było zwycięstwo w jednym z etapów Wyścigu Pokoju w 1986 roku. Stępniewski nigdy nie brał udziału w igrzyskach olimpijskich.