Klimow besuchte als Elfjähriger ab 1903 eine spezielle Moskauer Schule, in der er zum Mechaniker ausgebildet wurde und die er 1910 abschloss. Anschließend wechselte er auf die Technische Hochschule, wo er begann, sich mit Verbrennungsmotoren zu beschäftigen. Sein Praktikum absolvierte er in einem Petrograder Mechanikbetrieb. 1916 schloss Klimow sein Studium mit einer Diplomarbeit über eine Flugmotor-Konstruktion ab. Anschließend wurde ihm ein Stipendium zur Fortsetzung seiner Studien angeboten, das aber durch die politischen Ereignisse nicht mehr zum Tragen kam. So arbeitete Klimow nach dem Umsturz eine Zeitlang in der Entwicklungsabteilung eines Motorenwerkes für Kraftfahrzeuge.