Erste internationale Erfahrungen sammelte Elzan Bibić im Jahr 2015, als er beim Europäischen Olympischen Jugendfestival (EYOF) in Tiflis in 8:50,10 min die Goldmedaille im 3000-Meter-Lauf gewann und sich über 1500 Meter in 4:01,6 min die Silbermedaille sicherte. Im Jahr darauf siegte er bei den erstmals ausgetragenen Jugendeuropameisterschaften ebendort in 8:09,06 min und belegte über 800 Meter in 1:56,12 min Rang acht. Anschließend erreichte er bei den U20-Weltmeisterschaften in Bydgoszcz in 13:51,40 min Rang acht im 5000-Meter-Lauf und klassierte sich über 1500 Meter in 3:51,58 min auf Rang elf. 2018 erreichte er bei den Mittelmeerspielen in Tarragona im 1500-Meter-Lauf nicht das Ziel und lief über 5000 Meter in 14:32,05 min auf Rang 13 ein. Daraufhin gelangte er bei den U20-Weltmeisterschaften in Tampere in 3:44,65 min bzw. 14:15,37 min auf die Plätze sechs und acht. Im Dezember sicherte er sich dann bei den Crosslauf-Europameisterschaften in Tilburg nach 18:11 min die Bronzemedaille in der U20-Wertung hinter dem Norweger Jakob Ingebrigtsen und Ouassim Oumaiz aus Spanien. Im Jahr darauf scheiterte er bei den Halleneuropameisterschaften in Glasgow mit 3:47,94 min in der Vorrunde über 1500 Meter und anschließend gewann er bei den U23-Europameisterschaften in Gävle in 3:50,90 min die Bronzemedaille hinter dem Spanier Ignacio Fontes und Piers Copeland aus dem Vereinigten Königreich. Zudem belegte er über 5000 Meter in 14:26,40 min den achten Platz. Gegen Jahresende gewann er bei den Crosslauf-Europameisterschaften in Lissabon nach 24:25 min die Silbermedaille in der U23-Wertung hinter dem Franzosen Jimmy Gressier. 2021 siegte er in 3:52,23 min über 1500 m bei den Balkan-Meisterschaften im heimischen Smederevo und anschließend belegte er bei den U23-Europameisterschaften in Tallinn in 3:40,91 min den vierten Platz.