בשנות השמונים היה פעיל בקבוצת קמפו"ס (קבוצת סטודנטים שמאליים יהודית-ערבית), נגד מלחמת לבנון הראשונה ובמסגרת הליגה לזכויות האדם. בשנת 2000 נמנה עם מייסדי ארגון תעאיוש – שותפות ערבית-יהודית, שיזם פעולות סיוע ומחאה ישראליות פלסטיניות משותפות במהלך האינתיפאדה השנייה. כפעיל חברתי ופוליטי היה מעורב במאבקים נגד הפרטת שירותים חברתיים ובמיוחד נגד הפרטת ההשכלה הגבוהה, נגד הריסות בתים (ביפו, בכפר שלם ובוואדי עארה), במחאה נגד מלחמת לבנון הראשונה, השנייה ובעזה, בתמיכה בהתאגדויות עובדים, בקהילות פלסטיניות בגדה המערבית, ונגד גדר ההפרדה. מתוך פעילותו כתב את מאמרו "מטריקס בבילעין", שפתח דיון ער בשאלת היחס בין אי-שוויון והפרטה בישראל לבין התרחבות ההתנחלויות בשטחים ובניית גדר ההפרדה. פעיל בארגון תראבוט. אלגזי פעיל גם למען ההכרה ביישובים הבדואים הבלתי מוכרים בנגב והוא נעצר כמה פעמים בכפר אל עראקיב.