Streiff debütierte in der Formel 1 beim Großen Preis von Portugal 1984 auf einem Renault, kam aber wegen einer defekten Antriebswelle nicht ins Ziel. 1985 fuhr er vier Rennen für Ligier und wurde am Ende der Saison von Tyrrell als Ersatz für den tödlich verunglückten Stefan Bellof verpflichtet. Streiff fuhr bis 1987 für den Rennstall von Ken Tyrrell. 1988 fuhr er für den französischen Rennstall AGS. Kurz vor Beginn der Saison 1989 verunglückte er bei Trainingsfahrten in Brasilien schwer und ist seitdem vom Hals abwärts querschnittgelähmt.