Bobrin hatte erst recht spät in seiner Karriere internationalen Erfolg. In den 1970er Jahren stand er zumeist im Schatten seiner starken Landsmänner Sergei Tschetweruchin, Sergei Wolkow, Wladimir Kowaljow und Juri Owtschinnikow. Nach dessen Rücktritten wurde er Anfang der 1980er Jahre die Nummer Eins im sowjetischen Eiskunstlauf. Viermal wurde er insgesamt sowjetischer Meister. Sein größter Erfolg war der Gewinn des Europameistertitels im Jahr 1981. Im gleichen Jahr gewann er mit Bronze auch seine einzige Medaille bei Weltmeisterschaften. 1982 errang er im hohen Eiskunstlaufalter von 28 Jahren mit Bronze bei der Europameisterschaft seine letzte internationale Medaille.