Asatiani jugó durante toda su carrera para el FC Dinamo Tbilisi (1965-1975) y fue internacional en 16 partidos para el equipo nacional de fútbol de la , con quien participó en la Eurocopa 1968 y la Copa Mundial de la FIFA 1970. Entró al FC Dinamo Tbilisi entre 1978 y 1982 como director deportivo y se convirtió en entrenador del club en 1987. En la década de 1990 fue brevemente el presidente del Departamento de Deportes de Georgia. Posteriormente, participó en negocios privados y se convirtió en Vicepresidente de la aerolínea Airzena.