אבינועם נולד בשם ראובן גרוסמן בשנת 1905 בעיר שיקגו שבאילינוי, ארצות הברית, בנם של מרים לבית גֶרנשטיין ואהרן ליב גרוסמן (1874–1945), סופר ומורה עברי יליד קישינב, שהיגר לארצות הברית מרוסיה ב-1904, לאחר הפרעות בעיר. אביו ניסה פעמיים לעלות לארץ ישראל כדי שבנו יתחנך כאן, ב-1909 וב-1912, אך ניסיונותיו נכשלו מבחינה כלכלית ולכן שב לאמריקה. לאחר שכשלה העלייה בפעם השנייה, עברה המשפחה לניו יורק, וביתו היה לבית ועד לסופרים ומורים עברים.