David Quinn besuchte in seiner Jugend die Kent School in Kent im Bundesstaat Connecticut und lief für deren Eishockeyteam in einer regionalen High-School-Liga auf. Bereits zu diesem Zeitpunkt galt er als talentierter Verteidiger, sodass er im NHL Entry Draft 1984 an 13. Position von den Minnesota North Stars berücksichtigt wurde. Zur Saison 1984/85 wechselte er an die Boston University und wurde dort 1986 ins "First All-Star Team" der Hockey East berufen, einer Liga im Spielbetrieb der National Collegiate Athletic Association (NCAA). Darüber hinaus vertrat er die U20-Nationalmannschaft seines Heimatlandes bei der Junioren-Weltmeisterschaft 1986 und gewann dort mit dem Team die Bronzemedaille.