משפחת אמו של קונולי הגיעה מהחוף המערבי של סקוטלנד. סבו וסבתו מצד אמו עברו לגלאזגו בעשור הראשון של המאה העשרים. סבא רבא רבא רבא שלו, ג'ון או'בריאן, נלחם במצור על לאקנאו במסגרת המרד ההודי של 1857. במהלך המצור הוא נורה בכתף ונפצע קשה. הוא נשא לאישה נערה הודית בת 13 בשם מטילדה. לבני הזוג נולדו ארבעה ילדים ואחרי השירות הצבאי התיישבו בבנגלור.