Kelleher speelde sinds 2015 in de jeugdopleiding van Liverpool FC. Sinds 2019 is hij reservedoelman bij het eerste team. Hij zat op de bank bij de gewonnen finale om de UEFA Champions League 2019 en de UEFA Super Cup 2019. Kelleher debuteerde op 25 september 2019 in de EFL Cup tegen Milton Keynes Dons FC. In het seizoen 2019/20 speelde hij driemaal in de EFL Cup en eenmaal in de FA Cup.