Kurz nació en Viena, el único hijo de los católicos Josef y Elisabeth Kurz. Su padre es ingeniero y su madre es maestra de una escuela secundaria. Su abuela materna, Magdalena Müller, nacida en 1928, Temerin (Reino de los Serbios, Croatas y Eslovenos, actualmente Voivodina, Serbia), es una suaba del Danubio que tuvo que huir de su tierra natal durante la Segunda Guerra Mundial, ya que los partisanos yugoslavos y el Ejército Rojo comenzaron a ocupar el territorio que entonces formaba parte del Reino de Hungría, y se estableció en Zogelsdorf (Baja Austria, entonces parte del Tercer Reich).