Aslan Raïssov a six ans lorsque sa famille décide de quitter la Tchétchénie pour s'installer à Moscou en raison de la Première guerre de Tchétchénie. Il apprend à patiner avant de rejoindre un club de hockey sur glace à l'âge de dix ans. Sa candidature est refusée par les Krylia Sovetov, avant de trouver un poste au Pinguin Moscou. Il a quatorze ans lorsqu'il part chez son oncle à Kazan. Il s'aligne dans les équipes de jeunes des Ak Bars Kazan. En 2007, il passe professionnel avec le Neftianik Leninogorsk dans la Vyschaïa Liga, le deuxième échelon russe. Il devient le premier joueur professionnel d'origine tchétchène. Le , il devient le premier joueur tchétchène de la Ligue continentale de hockey sous les couleurs du HK Dinamo Moscou.