Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Alexandre Pouyé pojawił się 7 marca 2010 roku w La Féclaz, gdzie w zawodach juniorskich zajął 61. miejsce w biegu na 10 km stylem dowolnym. W 2011 roku wystartował na olimpijskim festiwalu młodzieży Europy w Libercu, gdzie był między innymi trzynasty w biegu na 10 km stylem klasycznym. Na mistrzostwach świata juniorów w Libercu w 2013 roku zajął czwarte miejsce w sztafecie, szesnaste w biegu łączonym i na 10 km stylem dowolnym oraz 27. miejsce w sprincie klasykiem. Na rozgrywanych dwa lata później mistrzostwach świata młodzieżowców w Ałmaty zajął 23. miejsce w biegu łączonym i 32. miejsce w sprincie klasykiem. Brał również udział w mistrzostwach świata młodzieżowców w Râșnovie, gdzie zdobył brązowy medal w biegu na 15 km stylem dowolnym. W zawodach tych wyprzedzili go jedynie Norweg Simen Hegstad Krüger oraz kolejny reprezentant Francji, Clément Parisse. W zawodach Pucharu Świata zadebiutował 20 grudnia 2015 roku w Toblach, zajmując 49. miejsce w biegu na 15 km klasykiem. Jak dotąd nie zdobył punktów do klasyfikacji generalnej.