Na arenie międzynarodowej Jewgienij Koszewoj po raz pierwszy pojawił się podczas mistrzostw świata juniorów w Karpaczu w 2001 roku, gdzie w sprincie stylem dowolnym zajął 62. miejsce. dwa lata później osiągnął swój pierwszy sukces, zdobywając srebrny medal srebrny medal w biegu na 10 km techniką klasyczną na mistrzostw świata juniorów w Sollefteå. Najlepsze wyniki w tej kategorii wiekowej osiągnął jednak podczas mistrzostw świata juniorów w Stryn w 2004 roku, gdzie wspólne z kolegami z reprezentacji wywalczył złoty medal w sztafecie. Zdobył także srebrny medal w biegu na 10 km techniką dowolną, ulegając tylko Niemcowi Franzowi Göringowi.