Квинт Бебий принадлежал к незнатному плебейскому роду, который вошёл в состав римского нобилитета в конце III века до н. э. В 175 году до н. э. он занимал должность претора. В 173 году до н. э. Сулка вошёл в состав посольства, направившегося в Македонию, чтобы изучить обстановку накануне очередной войны. Выполнив эту миссию, послы посетили Александрию, где был подтверждён союз между Римом и Египтом.