לפני מונדיאל 1930 שנערך באורוגוואי (כאשר היה בן 25), סטאבילה מעולם לא שיחק עבור נבחרת ארגנטינה. במשחקה הראשון של ארגנטינה במונדיאל, נגד נבחרת צרפת, הוא לא שיחק כיוון שהיה שחקן מחליף על הספסל. אולם הוא ערך את הופעת הבכורה הבינלאומית שלו במשחק שלאחר מכן כנגד נבחרת מקסיקו כיוון שהחלוץ המוביל רוברטו צ'רו לא היה כשיר למשחק בעקבות התקף חולשה. תוצאת המשחק הייתה 3–6 לטובת ארגנטינה כאשר סטאבילה מבקיע שלושער. במשך 76 שנים השלושער הזה נחשב כראשון בהיסטוריה של המונדיאלים, אולם, ב-10 בנובמבר 2006, פיפ"א הכריזה כי השלושער הראשון הובקע למעשה על ידי שחקן נבחרת ארצות הברית, ברטראנד פייטנוד, יומיים לפני שסטאבילה הבקיע שלושער. במשחק האחרון של שלב הבתים ארגנטינה התמודדה נגד נבחרת צ'ילה, וניצחה בתוצאה 1–3 כאשר סטאבילה מבקיע שני שערים. משמעות הדבר הייתה שארגנטינה העפילה לשלב חצי הגמר, למשחק נגד ארצות הברית. במשחק זה הביסה ארגנטינה את ארצות הברית בתוצאה 1-6; סטאבילה כבש שני שערים נוספים וארגנטינה העפילה למשחק הגמר של הטורניר.