Стал профессионалом в 1969 году после относительно неудачной любительской карьеры. Его первым большим достижением был выход в финал чемпионата мира 1974 года. Тогда он уступил Рэю Риардону, 12:22. В 1974 году Грэм принял участие в турнире Pot Black Cup и выиграл его, хотя Майлса пригласили играть из-за отказа Фреда Дэвиса. На следующий год он отстоял свой титул, а в 1976 году появился в финале турнира Мастерс, где во второй раз проиграл Риардону, 3:7. На чемпионате Великобритании 1978 года Грэм сделал рекордную для себя серию в 139 очков, а спустя год сыграл в финале нерейтингового World Team Cup, но его команда проиграла сборной Уэльса.