Behan va néixer a Dublín en una família de classe obrera culturitzada. El seu pare, Stephen Behan, va lluitar per l'Exèrcit Republicà Irlandès (IRA) a la Guerra angloirlandesa. Dominic era el germà del també escriptor Brendan Behan. La seva mare, Kathleen, una col·leccionista de cançons i històries, va portar els nois a les gires literàries de la ciutat. L'oncle matern de Behan, Peadar Kearney, va escriure "La cançó d'un soldat", la cançó en la qual es va basar en l'himne nacional irlandès. Un altre germà, Brian, també va ser dramaturg i escriptor.