Murray Maxwell nació en 1775, hijo de James y Elizabeth Maxwell. Su padre fue oficial del Ejército Británico en el 42° Regimiento de infantería, mientras que su abuelo fue Sir Alexander Maxwell, segundo de los Baronetes de Maxwell en Monteith. La familia de Murray Maxwell vivía en Penninghame, Wigtownshire, Escocia. Desde temprana edad Murray ya estaba destinado a servir en las fuerzas armadas, seis de los ocho hermanos Maxwell también se unirían al Ejército o la Marina. En 1790, a la edad de catorce años, fue embarcado en el HMS "Juno", entonces al mando de Samuel Hood. Tres años después estallaron las Guerras Revolucionarias Francesas, y Maxwell estaba a bordo de la fragata cuando la embarcación se vio obligada a hacer una huida desesperada del puerto de Tolón bajo intenso fuego de las baterías francesas, durante el asedio de la ciudad. Más tarde ese mismo año, estuvo involucrado en la invasión de Córcega y el asedio de Bastia, generando una impresión tan favorable, que cuando Hood fue trasladado al HMS "Aigle" en 1794, pidió que lo acompañara Maxwell. El joven marino fue trasladado nuevamente en 1794 a la pequeña fragata HMS "Nemesis", esta vez bajo el mando del capitán Samuel Hood Linzee.