Dasayev, với biệt danh "Lá chắn thép", là thủ môn của câu lạc bộ Nga Spartak Moskva gần như toàn bộ thập niên 1980. Ông giành được chức vô địch Liên Xô 5 lần và 6 lần được tạp chí "Ogonyok" ("Огонëк") bình chọn là "Thủ môn xuất sắc nhất Liên Xô" vào các năm 1980, 1982, 1983, 1985, 1987, 1988. Dasayev bắt đầu khoác áo đội tuyển Liên Xô tại các giải đấu lớn từ Thế vận hội Mùa hè 1980, giành được huy chương đồng. Ông tham gia 3 World Cup liên tiếp: 1982, 1986 và 1990, cùng với Euro 88 (giải này Liên Xô xếp thứ nhì). Tổng cộng, Dasayev khoác áo đội tuyển Liên Xô 91 trận từ 1979 tới 1990, là cầu thủ có số lần khoác áo nhiều thứ hai của Liên Xô.