באליפות העולם בשחייה שנערכה במדריד, ספרד בשנת 1986 זכה דייוויס בשתי מדליות. מדליית זהב במשחה ל-100 מטר חזה בתוצאה של 1:02.71 דקות, לפני ג'אני מינרביני מאיטליה (1:03.00 דקות) ודימיטרי וולקוב מברית המועצות (1:03.30 דקות). מדליית כסף במשחה ל-200 מטר חזה בתוצאה של 2:14.93 דקות, אחרי המנצח מהונגריה יוזף סאבו (1:14.27 דקות) ולפני סטיב בנטלי מארצות הברית (2:16.51 דקות).