W 1960 roku brał udział w igrzyskach olimpijskich w Squaw Valley, zajmując siódme miejsce w zjeździe i gigancie. Pierwsze medale wywalczył na rozgrywanych dwa lata później mistrzostwach świata w Chamonix. Najpierw zajął czwarte miejsce w slalomie, przegrywając walkę o podium ze swym rodakiem, Gerhardem Nenningiem o 0,03 sekundy. Następnie zajął drugie miejsce w gigancie, rozdzielając na podium dwóch kolejnych Austriaków: Egona Zimmermanna i Martina Burgera. W dwóch ostatnich konkurencjach, zjeździe i kombinacji, Schranz okazał się najlepszy. Swój jedyny medal olimpijski wywalczył na igrzyskach olimpijskich w Innsbrucku w 1964 roku, gdzie był drugi w gigancie. Wyprzedził go tylko Francuz François Bonlieu, który był szybszy o 0,38 sekundy. Na tej samej imprezie był też jedenasty w zjeździe, a w slalomie zajął 24. miejsce. Kolejny medal wywalczył na mistrzostwach świata w Portillo w 1966 roku, zajmując trzecie miejsce w gigancie. W zawodach tych wyprzedzili go tylko Francuzi: Guy Périllat i Georges Mauduit.