Horst Schönau begann seine Karriere 1965 auf der Friedrichrodaer Spießbergbahn als Rennrodler. Er war dort mit einem Wettkampfgewicht von 75 Kilogramm einer der leichtesten Einsitzer. Bei den Rennrodel-Weltmeisterschaften 1973 in Oberhof belegte er im Einsitzer den achten Platz. Danach wechselte Schönau zum Bobsport und zum ASK Vorwärts Oberhof. Er fuhr zuerst mit Horst Bernhardt zusammen, später mit Raimund Bethge. Bei den Olympischen Spielen 1976 in Innsbruck belegte er zusammen mit Bethge im Zweierbob den siebten Platz. Im Viererbob fuhren Schönau, Bernhardt, Harald Seifert und Bethge auf den vierten Platz. Bethge wechselte dann in den Bob von Meinhard Nehmer und für ihn kam Bogdan Musiol in Schönaus Bob. Bei der Bobweltmeisterschaft 1978 in Lake Placid gewannen Schönau, Bernhardt, Seifert und Musiol den Titel, nachdem Schönau und Seifert zuvor im Zweierbob Europameister geworden waren. Im Viererbob belegte Schönau 1978 und 1979 jeweils den dritten Platz bei der Europameisterschaft.