Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Konstantin Gławatskich pojawił się 27 grudnia 2004 roku w zawodach FIS Race w Rybińsku, gdzie zajął 48. miejsce w biegu łączonym na 30 km. W 2005 roku wystąpił na mistrzostwach świata juniorów w Rovaniemi, zajmując 14. miejsce w biegu łączonym na 20 km. Dwa lata później, podczas mistrzostw świata młodzieżowców w Tarvisio był dziewiętnasty w biegu na 15 km stylem dowolnym oraz szesnasty w biegu łączonym na 30 km.