ปุชกาชเป็นลูกชายของแฟแร็นตส์ ปุชกาช ซีเนียร์ ซึ่งเป็นอดีตนักฟุตบอล เขาเริ่มต้นอาชีพฟุตบอลในฮังการีโดยเล่นให้กับสโมสร Kispest และ Budapest Honvéd เขาเป็นผู้ทำประตูสูงสุดในลีกฮังการีถึง 4 ครั้ง และใน ค.ศ. 1948 เขาเป็นผู้ทำประตูสูงสุดของยุโรป ระหว่างทศวรรษ 1950 เขาเป็นทั้งกัปตันและผู้เล่นที่มีชื่อเสียงของทีมชาติฮังการี ซึ่งในตอนนั้นรู้จักกันในฉายา "ไมจ์ตี แมกยาร์" หรือ "โกลเดนทีม" ค.ศ. 1958 ซึ่งเป็นสองปีหลังการปฏิวัติฮังการี เขาอพยพไปสเปนและได้เล่นให้กับเรอัลมาดริด โดยในช่วงที่เล่นให้กับมาดริดนั้น เขาเป็นผู้ทำประตูสูงสุดในลาลิกาถึงสี่ครั้ง และยิงถึง 7 ประตูจากการลงเล่นในนัดชิงชนะเลิศยูโรเปียนแชมเปียนส์คัพเพียง 2 ครั้ง