Mindaugas Kuzminskas ha iniziato a giocare a basket nel 2006, all'età di 17 anni, con la squadra della sua città, ovvero il Sakalai Vilnius. L'anno successivo, va a giocare nell'altra squadra della capitale lituana, ovvero il Perlas Vilnius. Nel 2008 cambia nuovamente squadra (arrivando così nella terza squadra al terzo anno di carriera) andando a giocare nel Šiauliai. Nel 2010 fu l'MVP dell'All-Star Game del campionato lituano. Nel Šiauliai vi rimane per 2 anni visto che nel 2010 viene ceduto allo Žalgiris Kaunas. Con la squadra di Kaunas Kuzminskas gioca le sue prime partite in Eurolega e vince i suoi primi trofei, ma soltanto a livello nazionale (3 Campionati lituani e 2 Leghe Baltiche). Alla fine della sua prima stagione allo Žalgiris Kaunas si candidò al Draft NBA 2011, ma senza venire scelto (sorte che toccò anche al fratello Saulius al Draft NBA 2002). Allo Žalgiris Kaunas vi rimane fino al 2013, anno in cui si trasferisce in Spagna all'Unicaja Málaga dopo aver giocato per 7 anni in patria.