מונקאצ'י נולד בשם מיכאל פון ליב (Michael von Lieb) להורים גרמנים במונקאץ' שבממלכת הונגריה (כיום מוקצ'בו שבאוקראינה). מאוחר יותר אימץ את שם העיר כשם משפחתו. לאחר שהיה שוליה של צייר נודד, עבר לפשט שם חיפש להיצמד לאמנים מבוססים. בעזרתו של אמן ציורי הנוף אנטל ליגטי (Antal Ligeti) קיבל מונקאצ'י מלגה מטעם המדינה ללמוד מחוץ להונגריה. ב-1865 למד באקדמיה של וינה אצל הצייר האוסטרי קרל ראהל (Karl Rahl). ב-1866 עבר למינכן ללמוד באקדמיה שם ואז ב-1868 לאקדמיה לאמנות בדיסלדורף ללמוד אצל הצייר הגרמני לודוויג קנאוס (Ludwig Knaus). ב-1867 נסע לפריז לראות את התערוכה העולמית. לאחר מסע זה נעשה סגנונו קל יותר, עם משיכות מכחול רחבות ופלטת צבעים טונאלית, ככל הנראה בהשפעת הציור הצרפתי המודרני שראה בתערוכה.