Dwayne Norris begann 1988 mit dem professionellen Eishockey an der University of Michigan und spielte vier Jahre lang mit deren Team in der NCAA. Nachdem der Flügelstürmer während des NHL Entry Draft 1990 in der siebten Runde an insgesamt 127. Stelle von den Quebec Nordiques gezogen wurde und im selben Jahr mit der kanadischen Auswahl bei der Junioren-Weltmeisterschaft den Titel errungen hatte, versuchte er 1992 in der American Hockey League bei den Halifax Citadels Fuß zu fassen. Dort spielte er allerdings nur für ein Jahr, bevor er in der &lt;a href="NHL%201993/94"&gt;Spielzeit 1993/94&lt;/a&gt; zunächst mit Team Canada herumreiste und die Saison schließlich bei den Quebec Nordiques bzw. bei deren Farmteam beendete.