В системе клуба «Болтон Уондерерс» Стивенс появился в возрасте 15 лет, получив статус профессионала в 1950 году, а официально дебютировал за команду в 1953 году. Выступал на позиции инсайд-форварда (полусреднего нападающего). В 1958 году в составе «Болтона» он выиграл Кубок Англии, забив три гола в ходе розыгрыша Кубка Англии — один из этих голов принёс победу «Болтону» в четвертьфинале над «Вулверхэмптоном». Всего он сыграл 310 встреч за «Болтон» во всех турнирах и забил 101 гол. В 1962 году он перешёл в состав «Эвертона» за 35 тысяч фунтов стерлингов, что стало самым дорогим на тот момент трансфером в истории клуба. Причиной трансфера стал уход Бобби Коллинза в «Лидс Юнайтед». В составе команды он отыграл два полных сезона в Футбольной лиге, а в сезоне 1962/1963 выиграл чемпионат Англии и Суперкубок (в сезоне забил 7 раз).