Jarkko Hurme begann seine Karriere beim Oulun Luistinseura, für den er bis zum Jahr 2003 in der Jugend aktiv war. Im Jahr 2004 spielte Hurme seine erste Profisaison beim AC Oulu ebenfalls ein Klub aus seiner Geburtsstadt Oulu im nördlichen Finnland. Von 2005 bis 2006 stand er beim Lappischen Rovaniemi PS unter Vertrag bevor er zu Udinese Calcio nach Italien wechselte. Für den Verein aus Udine kam der Verteidiger in der Serie A allerdings nicht zum Einsatz sodass er am Saisonende diesen wieder verließ. Er unterschrieb einen neuen Kontrakt bei Hellas Verona aus der Serie C. Dort kam er in zwei Spielzeiten 10-mal zum Einsatz. Nach vier Jahren im Ausland wechselte Hurme 2009 zurück nach Finnland. Zunächst eine Spielzeit beim AC Oulu unter Vertrag, wechselte er zu Beginn der Saison 2011 zum Turku PS. Dort feierte er mit dem gewonnenen Liigacup im Jahr 2012 den ersten Titel der Karriere. Seit Anfang 2014 spielt er für den Verein Odds BK in der norwegischen Tippeligaen.