אברבך החל לשחק שחמט בגיל שבע. בשנת 1938 זכה באליפות ברית המועצות לילדי בתי הספר. הצלחה גדולה יותר הגיעה לאחר מלחמת העולם השנייה. בשנים 1949 ו- 1950 הפך אברבאך לאלוף מוסקבה ובשנת 1954 הוא הפך לאלוף ברית המועצות. הוא ניצח באליפות ברית המועצות בשחמט בשנת 1954. באליפות ברית המועצות בשחמט בשנת 1956 הוא זכה במקום השני. בשנת 1953 הוא השתתף בתחרות מועמדים שהיה חלק של אליפות העולם בשחמט 1954.