Andrej Šporn prend part aux compétitions de la FIS dès la saison 1996-1997, avant des débuts en Coupe d'Europe en 1999. Sa première victoire majeure intervient lors de l'Universiade d'hiver de 2001, où il gagne le slalom. En fin d'année, il est appelé pour la première fois dans la Coupe du monde au slalom de Madonna di Campiglio. En 2003, il monte sur son premier podium en Coupe d'Europe à Obereggen. En 2004, il se revèle dans la Coupe du monde, marquant ses premiers points au slalom de Flachau (), avant de se classer sixième du combiné de Chamonix. En fin d'année 2004, il prend la huitième place du slalom de Beaver Creek, un de ses deux seuls placements dans les points en Coupe du monde cet hiver, où il court ses premiers championnats du monde. Il y abandonne sur le slalom et le combiné.