Minagawa kilkukrotnie startował na mistrzostwach świata, najlepszy wynik osiągając podczas rozgrywanych w 2001 roku mistrzostw świata w St. Anton, gdzie w slalomie zajął dziesiąte miejsce. Był też między innymi czwarty w tej konkurencji na igrzyskach olimpijskich w Turynie. Walkę o brązowy medal przegrał tam z Austriakiem Rainerem Schönfelderem o 0,03 sekundy. Wielokrotnie zdobywał medale mistrzostw Japonii, w tym złote w slalomie w latach 1997, 2003 i 2009 oraz gigancie w latach 1998-1999. W 2014 roku zakończył karierę.