Константин получил образование в гимназии Я. Гуревича, где проучился с 1908 по 1917 год. В 1915 году членам семьи Вагенгеймов (отец, мать и трое сыновей) высочайше было позволено именоваться Вагиновыми (искусственная переделка фамилии, связанная с антинемецкими настроениями в России). Летом 1917 года поступил на юридический факультет Петроградского университета, в 1919 году был мобилизован в Красную армию. Воевал на польском фронте и за Уралом.