Urodzony w Luque Parodi był wychowankiem klubu Sportivo Luqueño Luque, w którym w 1950 roku rozpoczął zawodową karierę piłkarską. Razem ze Sportivo Luqueño dwukrotnie zdobył mistrzostwo Paragwaju - w 1951 i 1953 roku. Jako gracz klubu Sportivo Luqueño wziął udział w turnieju Copa América 1955, gdzie Paragwaj zajął przedostatnie, piąte miejsce. Parodi zagrał w czterech meczach - z Argentyną, Urugwajem, Ekwadorem i Peru.