В 2011 году Константин впервые поднялся на пьедестал чемпионата России, сразу на первую ступеньку. Чуть раньше, в этом же сезоне, Меньшов дебютировал на домашнем этапе Гран-при, где занял 10-е место, а также принял участие в нескольких второстепенных международных турнирах и завоевал 2 серебряные медали (Nebelhorn Trophy 2010 и Coupe de Nice 2010). Благодаря первому месту национального первенства Константин был отправлен на чемпионат Европы 2011, где стал 7-м. Другой российский одиночник Артур Гачинский (серебряная медаль чемпионата России 2011) стал там же 5-м, поэтому на чемпионат мира 2011 года, где у России было только одно место в мужском одиночном катании, был отправлен Гачинский. На чемпионате России 2014 Константин занял 4 место, но в связи с отказом Евгения Плющенко от участия в чемпионате Европы был включён в состав сборной. После исполнения короткой программы занимал лишь 11 место, однако, безошибочно исполнив произвольную программу, сенсационно занял итоговое 3 место, что является лучшим достижением в его спортивной карьере.