Pierwsze sukcesy w karierze Amy Cure osiągnęła w 2009 roku, kiedy na torowych mistrzostwach świata juniorów zdobyła złoty medal w scratchu i srebrny w indywidualnym wyścigu na dochodzenie. Na rozgrywanych rok później szosowych mistrzostwach świata juniorów zajęła trzecie miejsce w indywidualnej jeździe na czas. Pierwsze sukcesy wśród seniorek osiągnęła podczas torowych mistrzostw świata w Mińsku w 2013 roku. Wspólnie z Melissą Hoskins i Annette Edmondson zdobyła srebrny medal w drużynowym wyścigu na dochodzenie. Na tej samej imprezie indywidualnie także była druga, ulegając jedynie Amerykance