Profesyonel kariyerine 1978 yılında başladıktan sonra İtalya'nın alt liglerinde 3 yıl geçiren Zenga (Salernitana, Savona ve Sambenedettese) 1982 yılında Internazionale takımına katıldı. 1982-83 sezonunda döneminin en iyi kalecilerinden olan Ivano Bordon'un yediği olarak bekledi. Bununla beraber, Coppa Italia'da başarılı maçlar çıkaran Zenga'nın kupa performansı kulüp yönetimini tatmin etti. 1983 yazında Sampdoria'ya katılmak üzere takımdan ayılmaya karar veren Ivano Bordon'un yerine yeni bir kaleci alınmasına gerek duymayan yönetimin bu kararında Coppa Italia'da başarılı maçlar çıkaran Zenga'nın performansı etkili oldu. 1983-84 sezonunda Inter'in birinci kaleci olan Zenga, o sezon kalesinde 23 gol görerek sezonun en az gol yiyen kalecisi oldu.