Mäki Vantaa településén, Rekolában született. Amikor Finnország uralta a férfiak hosszú távú futását, Mäki 1938-ig nem ért el kiugró eredményt. Az év szeptemberében azonban megnyerte az méteres távot a párizsi Európa-bajnokságon, a svéd Henry Jonssont és a finn Kauko Pekurit megelőzve, 14:26,8-as időt elérve. 1938. szeptember 29-én, kevesebb mint négy héttel a párizsi győzelmét követően Mäki először döntötte meg a 10 000 méteres világrekordot, Ilmari Salminen régi rekordját több mint három másodperccel megjavítva, 30:02,0-es időt futva. A következő nyáron ötször állított fel új világrekordot. Június 7-én közel három másodperccel futott jobb időt Szabó Miklós világrekordjánál, 8:53,2-es idővel győzve a Helsinki Olimpiai Stadionban a mérföldes távon. Kilenc nappal később, ugyanabban a stadionban nyolc másodpercet faragott Lauri Lehtinen 5 000 méteres rekordjából. Saját világrekordjából közel 10 másodpercet faragva szeptember 17-én a 10 000 méteres távon a világon elsőként törte át a 30 másodperces határt 29:52,6-os idejével.