Der 1964 in Liverpool geborene Parrott gewann zu Beginn der 1980er-Jahre mehrere Amateurturniere und erreichte 1983 das Finale der English Amateur Championship. Im selben Jahr wurde er Profispieler und konnte Ende der 1980er Jahre erste Erfolge feiern. 1989 gewann er mit den European Open sein erstes Ranglistenturnier. Im selben Jahr verlor er im Endspiel der Snookerweltmeisterschaft gegen Steve Davis mit einem Punktestand von 3:18, der bislang höchsten Finalniederlage der Turniergeschichte. Zwei Jahre später konnte Parrott den Titel erringen und auch die UK Championship gewinnen. 1989, 1990 und 1992 erreichte er das Endspiel des Masters, 1992 erneut das Endspiel der UK Championship.