Bucknum gewann mit dem kleinen Honda-Sportwagen S600 (Nr. 15) am 3. Mai 1964 bei einem Auftaktrennen zum 2. Grand Prix in Suzuka in der Klasse bis 600 cm³ Er debütierte 1964 mit dem Honda RA271 beim Großen Preis von Deutschland am Nürburgring. Sein Debütrennen konnte er genauso wenig beenden, wie die beiden folgenden beim Großen Preis von Italien und beim Großen Preis der USA. Für die Saison 1965 verpflichtete Honda mit Richie Ginther einen Landsmann von Bucknum. Ginther, der nach seinen Jahren bei Ferrari, die letzten drei Saisonen bei B.R.M. fuhr, wurde neuer Nummer-1-Pilot.