אלייניקוב התחנך בפנימייה לכדורגל במינסק. בשנת 1981 צורף לסגל של קבוצת דינמו מינסק. בשנת 1982 זכה יחד עם קבוצתו באליפות ברית המועצות. בשנת 1984 זומן לראשונה לנבחרת ברית המועצות. בנבחרת שיחק אלייניקוב 73 משחקים והבקיע 6 שערים. השתתף בשני מונדיאלים - 1986 ו1990. השתתף גם באליפות אירופה ב-1988, בה הבקיע את השער המהיר ביותר בתחרות - בדקה ה-3 במשחק מול נבחרת אנגליה. לאחר התפרקות ברית המועצות שיחק אלייניקוב בנבחרת חבר המדינות. השתתף ביורו 1992, בה נטל חלק בשניים מתוך שלושת משחקי הנבחרת בתחרות.