Kelekian erhielt seine Ausbildung an armenischen Schulen in Istanbul und daran anschließend in Marseille. In Istanbul arbeitete er für diverse türkische Zeitungen. Kelekian war als Sekretär (Geschäftsführer) des armenischen Patriarchats von Konstantinopel tätig. In den letzten Jahren der Regentschaft Sultan Abdülhamids II. musste Kelekian nach London fliehen, wo er für britischen Zeitungen schrieb. Nach der jungtürkischen Revolution von 1908 wurde er Chefredakteur der Tageszeitung „Sabah“ und Präsident des Istanbuler Pressevereins. Friedrich Schrader, der von 1891 bis 1918 in Istanbul lebte und selber eine Istanbuler Tageszeitung, den deutsch- und französischsprachigen „Osmanischen Lloyd“ gegründet und als stellv. Chefredakteur geleitet hatte, schrieb 1919 in der SPD-Theoriezeitschrift „Die Neue Zeit“ über seinen Freund Diran Kelekian und die „Sabah“: Als Professor an der Universität Istanbul war er der akademische Lehrer zahlreicher führender Persönlichkeiten der jungtürkischen Bewegung und der späteren türkischen Republik. Trotzdem wurde Kelekian wie alle führenden Persönlichkeiten der armenischen Gemeinde Istanbul Opfer der Verhaftungswelle vom 24. und 25. April 1915, nach Çankırı in Zentralanatolien deportiert, und am 20. Oktober 1915 zwischen Yozgat und Kayseri auf der Höhe der Brücke Cokgöz über dem Kızılırmak umgebracht.