אצ'ווריה נולד במקסיקו סיטי. הוא היה חבר המפלגה המוסדית המהפכנית (PRI) כבר משנת 1940. במשך השנים השתלב בפוליטיקה המקסיקנית ומילא תפקידים שונים. הוא היה שר הפנים בממשלתו של גוסטבו דיאס אורדס, בין השנים 1964 ל-1970. ב-1968, ימים ספורים לפני פתיחת אולימפיאדת מקסיקו סיטי, נערכו בבירה הפגנות גדולות בקרב סטודנטים פעילי שמאל. ההפגנות דוכאו על ידי המשטרה והצבא בהוראת אצ'ווריה, ונהרגו בהם עשרות מפגינים, במה שנודע כטבח טלטלולקו.