Besikowitsch wurde als viertes von sechs Kindern von Eltern geboren, die der jüdischen Religionsgemeinschaft der Karäer angehörten. Er studierte Mathematik in Sankt Petersburg bei Andrei A. Markow, wo er 1912 abschloss. Er heiratete 1916; seine Frau war konvertierte Jüdin und durfte keinen Karäer heiraten, weswegen er für die Heiratserlaubnis zur Orthodoxen Kirche übertrat. Besikowitsch wurde inmitten der Revolutionswirren 1917 Professor in Perm und 1919 in St. Petersburg. 1924 ging er ohne seine Frau (die Ehe wurde 1928 geschieden, im selben Jahr heiratete er erneut eine Russin, die er aus Perm kannte) mit einem Rockefeller-Stipendium nach Kopenhagen zu Harald Bohr, unter dessen Einfluss er sein Arbeitsgebiet von Wahrscheinlichkeitstheorie zu fastperiodischen Funktionen wechselte. 1925 besuchte er Godfrey Harold Hardy in Oxford, der ihm eine Stelle in Liverpool verschaffte. 1927 ging er nach Cambridge, wo er 1950 Nachfolger von John Edensor Littlewood als Rouse-Ball-Professor wurde. 1958 emeritierte er, hielt bis 1966 Gastvorlesungen an verschiedenen US-amerikanischen Universitäten und kehrte danach ans Trinity College in Cambridge zurück.