Kvaša pelasi myös 18-vuotiaiden EM-kilpailuissa vuonna 1996, jolloin Kvaša voitti Euroopan-mestaruuden. Hän pelasi myös alle 20-vuotiaiden MM-kilpailuissa vuosina 1997 ja 1998. Vuoden 1997 turnaus päättyi pronssiin ja vuoden 1998 turnaus hopeaan. Jälkimmäisessä turnauksessa Kvaša jakoi myös neljällä osumallaan Venäjän sisäisen maalipörssin voiton Aleksei Krovopuškovin ja Dmitri Vlasenkovin kanssa. Hänet valittiin turnauksen toiseen tähdistökentälliseen.