Klinke studierte an der Schlesischen Friedrich-Wilhelms-Universität Ingenieurwissenschaften. 1927 wurde er mit dem späteren Ritterkreuzträger Günther Ramser Mitglied des Corps Marcomannia Breslau. An der Technischen Hochschule Berlin wurde Albert Speer zum Studienfreund. Als Diplom-Ingenieur war Klinke ab 1932 Speers erster Mitarbeiter in seinem Berliner Büro. Bekannt wurde er durch die Neue Reichskanzlei, für die er die Bauausführung nach Entwürfen von Hitler und Speer übernahm. Nach einem Streit mit Speer, von dem er sich betrogen fühlte, meldete er sich 1942 zur Leibstandarte SS Adolf Hitler. Mit ihr zog er in den Deutsch-Sowjetischen Krieg. In der Schlacht bei Charkow (1943) erlitt er schwere Verwundungen. Er kam in das Lazarett Reinickendorf, wo er auf Vorschlag Speers von Hitler am 20. April 1943 zum Professor ernannt wurde. Wenig später starb er kurz vor seinem 35. Geburtstag. Speer selbst plante die große Trauerfeier am Pariser Platz.