Największy sukces w karierze Juan Alves osiągnął w 1968 roku, kiedy wspólnie z Carlosem Álvarezem, Juanem Alberto Merlosem i Ernesto Contrerasem zdobył brązowy w drużynowym wyścigu na dochodzenie podczas torowych mistrzostw świata w Montevideo. W tym samym roku brał także udział w igrzyskach olimpijskich w Meksyku, gdzie wystartował w szosowym wyścigu ze startu wspólnego, ale nie ukończył rywalizacji.