Høgh bronił dalej w OB. Drużyna ta zdobyła tytuł mistrzowski w roku 1989, a Puchar Danii w latach 1991 i 1993. W latach 1989 oraz 1992 - 1994 zdobywał nagrodę Det Gyldne Bur, dzięki czemu ustanowił niepobity do dziś rekord pięciu trofeów Det Gyldne Bur (najbliżej wyrównania tego rekordu byli Peter Schmeichel, Karim Zaza i Jesper Christiansen, którzy tę nagrodę zdobyli trzykrotnie). Pod nieobecność Schmeichela był wyznaczony podstawowym bramkarzem reprezentacji podczas Pucharu Konfederacji w 1995 roku. W meczu z Meksykiem odniósł kontuzję i został zastąpiony przez Mogensa Krogha. Ostatecznie Dania wygrała ten turniej.