После выступления советской сборной на чемпионате Европы 1988 года спрос на футболистов из СССР значительно возрос. Когда «перестройка» коснулась футбола и игрокам позволили переходить в заграничные клубы, одним из первых уехал Заваров. Рассматривались два варианта — «Барселона» и «Ювентус». Большую трансферную сумму предложили итальянцы, поэтому Заваров поехал к ним. Решение было принято компанией «Совинтерспорт», которая в 1980—1990-е годы занималась всеми делами спортсменов.. «Ювентус» заплатил за полузащитника «Динамо» $5 млн.: 2 млн направились в казну «Динамо», 2 млн. — Госкомспорту и 1 млн государству. Согласно контракту, большая часть гонорара Заварова шла в «Совинтерспорт», а самому Заварову назначили стипендию в $1,2 тыс. в месяц. Так продолжалось 3 месяца, после чего клуб помог киевлянину пересмотреть условия контракта. «Ювентус» помимо денег, подарил киевлянам три машины «Фиат» разных годов выпуска, отремонтировал за свои средства тренировочную базу «Динамо».