W swojej karierze Murphy startował głównie w Stanach Zjednoczonych w mistrzostwach AAA Championship Car oraz towarzyszącym mistrzostwom słynnym wyścigu Indianapolis 500, będącym w latach 1923-1930 jednym z wyścigów Grandes Épreuves. W drugim sezonie startów, w 1920 roku w wyścigu Indianapolis 500 uplasował się na czwartej pozycji. W mistrzostwach AAA dwukrotnie stawał na podium, w tym raz na jego najwyższym stopniu. Z dorobkiem 885 punktów został sklasyfikowany na trzeciej pozycji w klasyfikacji generalnej. Dwa lata później po zwycięstwie w kwalifikacjach, pewnie odniósł zwycięstwo w Indianapolis 500. Poza tym w mistrzostwach AAA Championship Car wygrywał jeszcze sześciokrotnie, a trzynastokrotnie stawał na podium. Uzbierane 3420 punktów pozwoliło mu zdobyć tytuł mistrzowski. W sezonie 1923 w mistrzostwach AAA był drugi, odnosząc dwa zwycięstwa i pięciokrotnie stając na podium, w tym w Indianapolis 500 (3 miejsce). W 1924 roku ponownie startował do Indy 500 z pole position. Jednak nie utrzymał prowadzenia i spadł na trzecią pozycję. Jednak po raz drugi zdobył mistrzostwo AAA, wygrywając trzy wyścigi.