Иван Квасов родился 26 сентября 1922 года в селе Азовка (ныне — район города Боброва Воронежской области). После окончания школы-семилетки и школу фабрично-заводского ученичества при Воронежском авиазаводе работал в городе Боброве на заводе. В 1941 году Квасов был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. В 1943 году он окончил Харьковское танковое училище. Принимал участие в боях на Западном, Брянском, Южном, 1-м Украинском и 1-м Белорусском фронтах. К январю 1945 года капитан Иван Квасов командовал танковой ротой 3-го танкового батальона 65-й танковой бригады, (11-го танкового корпуса, 69-й армии, 1-го Белорусского фронта). Принимал участие в освобождении и взятии городов Радом, Зволено, Томашув, Лодзь, Шримм, Грец. Отличился во время Висло-Одерской операции.