Bei den Fechtweltmeisterschaften 1971 erreichte Reichert erstmals ein großes Finale und wurde Fünfter. Mit der Mannschaft belegte er Platz 5 bei den Olympischen Spielen 1972 und Platz 2 bei den Fechtweltmeisterschaften 1973. Nach zwei vierten Plätzen mit der Mannschaft bei den Weltmeisterschaften 1974 und 1975 gewann er bei den Olympischen Spielen 1976 Mannschaftsgold. Dafür wurden er und die deutsche Fechtmannschaft am 14. Oktober 1976 mit dem Silbernen Lorbeerblatt ausgezeichnet. Ebenfalls Mannschaftsgold gewann er 1977 bei der Weltmeisterschaft in Buenos Aires.