Moskvina, geboren als Tamara Bratoes, begon op tienjarige leeftijd met kunstschaatsen. In 1957 werd Igor Moskvin haar coach. Ze kregen later een relatie en huwden in 1964. Moskvina was van 1962 tot en met 1966 nationaal kampioen bij de vrouwen. Haar beste resultaat bij de EK was een veertiende plek. Haar man stelde voor om het paarrijden te proberen, waarna ze een seizoen schaatste met Aleksandr Gavrilov. Moskvina en Gavrilov werden meteen Sovjetkampioen. Daarna ging ze een samenwerking aan met Aleksej Misjin. Moskvina en Misjin namen deel aan de Olympische Winterspelen in Grenoble, waar ze vijfde werden. Ze veroverden in 1968 en 1969 zilver en brons bij de EK en wonnen in 1969 ook brons op de WK. Moskvina beëindigde hierna haar sportieve carrière.