O primeiro sucesso olímpico de Alexander deu-se no ano seguinte, nos Jogos Olímpicos de Montreal, no qual conquistou duas medalhas de prata – nas argolas e na competição por equipes. Anteriormente, venceu a prova do cavalo com alças, no Nacional Soviético. Em 1977, foi o segundo colocado na prova do salto dos Jogos Universitários. Um ano mais tarde, disputou o Mundial de Estrasburgo - o primeiro da carreira - do qual despediu-se com quatro medalhas: prata por equipes e nas argolas e bronze no individual geral e nos exercícios de solo. Em 1979, conquistou o ouro do concurso geral e nas argolas, no Campeonato Nacional, além de outras cinco medalhas, uma para cada evento disputado. Internacionalmente, o ginasta participou do Campeonato Europeu e do Mundial de Ft. Worth. No Europeu, somou às conquistas mais três medalhas - ouro no cavalo com alças e nas argolas e prata nas barras paralelas - e no Mundial, mais cinco - ouro por equipes, no individual geral, no salto e nas argolas, e bronze na barra fixa.