Родился в семье приват-доцента Гейдельбергского университета. С юных лет самостоятельно изучал естественные науки, высшее образование получил в университетах Лейпцига и Вены, где специализировался на конституционном праве и экономике, хотя при этом посещал лекции и по множеству других наук, в том числе по математике, анатомии и географии. В 1867 году получил степень доктора права, с 1866 года в качестве художественного критика писал статьи для газеты «Hamburgischer Correspondent», с 1871 года стал редактором политических статей в том же издании, в 1873 году был направлен в качестве корреспондента на всемирную выставку в Вене; впоследствии был в числе судей на всемирных выставках 1885 и 1900 годов. В 1898 году стал одним из основателей Музейной ассоциации — организации, целью которой являлась борьба с подделками и нелегальной торговлей произведениями искусства. За свою жизнь был трижды женат; его первая супруга умерла через два года после свадьбы, и Бринкман почти сразу же женился на её сестре. В трёх браках стал отцом двенадцати детей.