A gimnáziumi tanulmányai alatt az FK Novi Beograd korosztályos csapatában kezdte a labdarúgást. 1954-ben itt figyelt fel rá Florijan Matekalo az FK Partizan ifjúsági csapatának az edzője és leigazolta. Így lett a korosztályos csapatokban később csapattársa Fahrudin Jusufi, Vladica Kovačević, Branko Pejović, Srđan és Zvezdan Čebinac. 1958 júniusában lett az első csapat keretének a tagja. 1961 és 1963 között sorozatban három bajnoki címet nyert a csapattal. 1963 nyarán Vasović szerződése lejárt, de nem megfelelő ajánlatot kapott, ezért megkereste a városi riválist, a Crvena zvezdát, akikkel meg tudott egyezni, így ősszel már a Crvena színeiben lépett pályára. Közben a Partizan vezetői is mindent megtettek, hogy visszacsábítsák. Tavasszal már régi csapatával edzett, de egyik együttesben sem játszott. A helyzet odáig fajult, hogy Aleksandar Ranković belügyminiszterrel kellett magánbeszélgetésen megegyeznie a megoldásról. 1964 őszétől ismét Partizan játékos lett, Zvezdan Čebinac cserébe a Crvenához szerződött. Az 1964–65-ös idényben ismét bajnokok lettek és a következő idényben a bajnokcsapatok Európa-kupájában indultak. Vasović az együttes csapatkapitánya volt és egészen a döntőig jutottak a BEK-ben. 1966. május 11-én a brüsszeli döntőben a Real Madrid ellen játszottak. Vasović az 55. percben még vezetést szerzett a csapatnak, de a következő húsz percben a Real fordítani tudott.