Największy sukces w karierze Jure Franko osiągnął w 1984 roku, kiedy podczas igrzysk olimpijskich w Sarajewie wywalczył srebrny medal w slalomie gigancie. W zawodach rozdzielił na podium Szwajcara Maxa Julena oraz Andreasa Wenzela z Liechtensteinu. Po pierwszym przejeździe zajmował czwarte miejsce, tracąc do prowadzącego Julena 0,61 sekundy. W drugim przejeździe uzyskał jednak najlepszy wynik, co pozwoliło przesunąć się na drugie miejsce, o 0,23 sekundy za Szwajcarem. Był to pierwszy w historii medal zimowych igrzysk olimpijskich wywalczony przez sportowca z Jugosławii. Był to także jedyny medal wywalczony przez Franko na międzynarodowej imprezie tej rangi. Na tych samych igrzyskach wystartował także w slalomie, jednak nie zdołał ukończyć rywalizacji. Na rozgrywanych cztery lata wcześniej igrzyskach w Lake Placid był dwunasty w gigancie. W tej samej konkurencji był też między innymi jedenasty na mistrzostwach świata w Bormio w 1985 roku.