W 1653 trumnę z ciałem Kuncewicza wywieziono z Połocka w związku z wojną polsko-rosyjską. Była przechowywana w różnych miejscowościach Litwy, Korony i Rusi, m.in. w bazyliańskim klasztorze w Żyrowicach, z którego w 1666 została ponownie przeniesiona do Połocka w uroczystej procesji. Jednak w 1705 roku Piotr I zajął miasto. Po nieudanej profanacji relikwii, zakończonej mordem bazylianów, przewieziono ją potajemnie do Białej Podlaskiej do dóbr Radziwiłów. Do 1765 znajdowała się w zamku, następnie – w klasztorze bazylianów. Sanktuarium w Białej Podlaskiej było ważnym ośrodkiem kultu dla ludności unickiej na Podlasiu i Chełmszczyźnie. Po kasacji bazylianów w Białej Podlaskiej w 1864 roku na rozkaz gubernatora Stiepana Gromieki trumna została zniesiona do podziemia klasztornego, zasypana piaskiem i śmieciami, a wejście zamurowano. Ciało Jozafata zostało odnalezione dzięki pomocy Emiliana Radomińskiego w 1916 i przewiezione do Wiednia, stamtąd – do bazyliki świętego Piotra w Rzymie.