Bereits als 17-Jährige brachte Bissi unter ihrem Geburtsnamen ihre ersten Singles heraus, die jedoch erfolglos blieben – genauso wie ihre ersten beiden Alben "La mia poca grande età" (1975) und "Cosa resta un fiore" (1978), für die sie das Pseudonym Alice Visconti benutzte. Erst die Zusammenarbeit mit dem Cantautore Franco Battiato brachte den Durchbruch. Das erste gemeinsame Album "Capo Nord" (1980) – jetzt als Alice – wurde zu einem kleinen Achtungserfolg. Die daraus ausgekoppelte Single "Il vento caldo dell’estate" wurde hingegen zum Überraschungshit. Mit "Per Elisa" gewann sie das Sanremo-Festival 1981, die Single erreichte Platz eins der italienischen Charts und wurde eine halbe Million Mal verkauft. Der Erfolg wiederholte sich in vielen europäischen Ländern (Deutschland, Schweiz, Österreich, Holland, Belgien, Finnland), wo sie zusammen mit Künstlern wie Gianna Nannini, Loretta Goggi und Ricchi e Poveri Teil einer Welle italienischer Pop- und Rockmusik wurde. Es folgten zwei Alben mit angerockter Popmusik, "Per Elisa" und "Azimut". Beide Alben waren von Battiato produziert. Ihr erstes selbstproduziertes Album "Falsi allarmi" (1983) war weniger erfolgreich als seine Vorgänger. Ihren größten Erfolg in Deutschland hatte sie mit "Una notte speciale", das auf dem achten Platz der meistverkauften Singles des Jahres 1982 lag; es wurde von Tony Holiday auch in einer deutschen Version aufgenommen.