Alex Borg lernte Snooker von seinem Vater, mit dem er in seinem Wohnort in einen Club zum Spielen ging. Er gehörte schon als Jugendlicher zu den besten Spielern seines Landes und 1987 stand er erstmals im Finale der maltesischen Meisterschaft, wo er gegen Joe Grech verlor. 1990 und 1991 verlor er jeweils gegen Paul Mifsud. Er trat auch bei internationalen Amateurwettbewerben an und erreichte unter anderem zweimal das Viertelfinale der U21-Weltmeisterschaft (1988 und 1990). Mit der Öffnung der Profitour für alle Spieler im Jahr 1991 trat auch Borg bei den Profiturnieren an. Aufgrund der hohen Teilnehmerzahlen musste er durch zahlreiche Qualifikationsrunden, aber bereits im ersten Jahr erreichte er bei den European Open die Letzten 128. Im Jahr darauf kam er bei den International Open noch eine Runde weiter, zwei weitere Male erreichte er die Letzten 128, darunter bei der Weltmeisterschaft, wo er Dominic Dale mit 4:10 unterlag. damit gehörte er zu den Top 200 der Weltrangliste.