Burg ble født og vokste opp i Jerusalems forsted Rehavia. Faren Yosef Burg ble født i Tyskland, var israelsk politiker innvalgt i Knesset for Israels religiøse parti og hadde en rekke ministerposter i landets regjering. Moren Rivka ble født i Hebron og var en overlevende fra massakren i sin hjemby i 1929. Avraham Burg har tjenestegjort som løytnant fallskjermjegerbrigaden i Israels forsvar og har en grad i statsvitenskap ved Det hebraiske universitetet i Jerusalem.