Débutant dans les compétitions internationales sous le maillot de l'équipe de Yougoslavie, où il dispute des compétitions de jeunes, il remporte avec celle-ci le titre de champion du monde en 1998. Il dispute les Jeux olympiques de 2000, compétition terminée à la sixième place, et remporte le titre de Championnat d'Europe en 2001 avant de conserver le titre mondial en s'imposant en 2002. Il joue ensuite sous le maillot de la Serbie-et-Monténégro, terminant sixième du Championnat d'Europe 2003 puis onzième des Jeux olympiques de 2004. Drobnjak évolue ensuite avec le Monténégro, participant à l'accession de cette équipe à la division A du championnat d'Europe en 2009, puis aux qualifications pour le Championnat d'Europe 2011 disputées en 2010.