Unice gewann 2006 mit der US-amerikanischen Auswahl die Silbermedaille bei der World U-17 Hockey Challenge, im Folgejahr nahm er als Mitglied seines Heimatlandes am Wettbewerb der U18-Junioren-Weltmeisterschaft teil und errang mit den USA erneut die Silbermedaille. Außerdem wurde der Unice als bester Torhüter des Turniers ausgezeichnet und ins All-Star der Weltmeisterschaft gewählt. Wiederum ein Jahr später nahm der Torwart mittlerweile mit der U-20-Nationalmannschaft der Vereinigten Staaten an der Weltmeisterschaft teil.