Jonssonin urheilu-ura alkoi toden teolla 22-vuotiaana vuonna 1934, jolloin hän saavutti Ruotsin maastojuoksumestaruuskisoissa hopeaa. Samana kesänä hän teki ensiesiintymisen maajoukkueessa maaottelussa Saksaa vastaan. Ensimmäisen Ruotsin mestaruutensa hän saavutti 1935 5 000 metrillä. Seuraavana vuonna hän voitti Ruotsin mestaruuden 1 500 metrillä. Heinäkuussa 1936 Berliinin olympialaisissa Jonsson saavutti pronssia 5 000 metrillä Suomen Gunnar Höckertin voittaessa. Tilanteen teki mahdolliseksi suomalaisen 10 000 metrin olympiavoittajan Ilmari Salmisen kaatuminen. Jonssonin aika oli 14.29,0, joka oli uusi Ruotsin ennätys ja paransi vuodelta 1925 voimassa ollut Edvin Widen tekemää ennätystä. Seuraavina vuosina Jonsson voitti 1937, 1938 ja 1939 5 000 metrin Ruotsin mestaruuden. Jonsson voitti viisi kertaa peräkkäin 1935-1939 maastojuoksun Ruotsin mestaruuden. Vuonna 1938 Pariisissa järjestettiin yleisurheilun EM-kisat. Niissä Jonsson taisteli suomalaisia Taisto Mäkeä ja Kauko Pekuria vastaan. Mäki voitti, ja Jonsson tuli toiseksi.