Największy sukces w karierze Heinz Cattani osiągnął w 1939 roku, kiedy wspólnie z Fritzem Feierabendem, Alphonse'em Hörningiem i Josephem Beerlim zwyciężył w czwórkach podczas mistrzostw świata w Cortina d'Ampezzo. Był to jednak jego jedyny medal wywalczony na międzynarodowej imprezie tej rangi. Nigdy nie wystąpił na igrzyskach olimpijskich.