Campbell es descrito como un futbolista veloz, elegante e intrépido con el balón en los pies que le gusta encarar a la defensa. Comenzó su carrera futbolística en Costa Rica jugando para el Deportivo Saprissa, para después integrarse a préstamo en el Puntarenas. En 2011, tras una destacada participación con su selección en la Copa América, dio el salto a Inglaterra y se unió al Arsenal de la Premier League. Aunque no logró participar en la temporada con el equipo inglés, este le cedió al Lorient de Francia. Campbell adquirió su primera experiencia en territorio europeo hasta que en la siguiente temporada salió por segunda ocasión a préstamo, siendo su nuevo destino el Real Betis Balompié de la Primera División de España. Su tercera salida se llevó en la temporada 2013-14 con el Olympiakos de Grecia donde se consolidó en la posición de extremo derecho, y logró uno de sus puntos más altos de su carrera al conseguir once goles y el título de la Superliga. Sus buenas actuaciones le permitieron regresar al Arsenal a partir de la temporada 2014-15, pero estuvo solamente en la primera mitad de la misma. En ese periodo se coronó campeón del Community Shield 2014. Luego fue prestado por cuarta ocasión al Villarreal de España hasta el fin de la temporada. Regresó al conjunto inglés hasta el 2016. Tuvo sus últimas cesiones al Sporting de Lisboa de Portugal y otra vez al Real Betis. En 2018 fue traspasado al Frosinone de Italia, siendo esta su última experiencia europea. Al año siguiente se integró al plantel del León donde en su primera campaña se conformó con el subcampeonato. En julio de 2021 firmó con el Monterrey a préstamo.