Mkrtytschans Vater floh 1915 vor den Massakern in Armenien nach Krasnodar, wo Grigori Mkrtytschan 1925 geboren wurde. Bald zog die Familie nach Moskau, wo Mkrtytschan als Kind zunächst Fußball spielte. Im Winter wurde statt Fußball Bandy gespielt, da er jedoch nicht ganz so schnell auf Kufen war, wurde er von seinen Freunden als Torwart bestimmt.