Фалкерсон родился в округе Вашингтон, в семье Абрама Фалкерсона Старшего (1789–1859) и Маргарет Лафлин Венс (1796–1864). Его дед некогда переселился в Вирджинию из Пенсильвании, а его отец прошёл войну 1812 года в звании капитана а позже служил полковником вирджинского ополчения. Он рос в городе Абингдон, где изучал право и в конце 1846 года получил лицензию адвоката, но затем вместе с братьями вступил в Теннессийский полк и участвовал в Мексиканской войне в 1847 - 1848 годах. После войны он снова вернулся к юридической практике в Эстиллвиле и Абингдоне. В 1857 году он был избран судьёй 13-го судейского дистрикта и оставался на этой должности до начала Гражданской войны. В 1852 - 1854 и 1857 - 1858 годах он был членом попечительского совета Вирджинского Военного Института.