Lundstram pelasi Evertonin junioreissa mutta aloitti liigauransa lainapelaajana Doncaster Roversissa, Yeovil Townissa, Leyton Orientissa, Blackpoolissa ja Scunthorpe Unitedissa. Kesällä 2015 hän siirtyi Oxford Unitediin ja kesällä 2017 edelleen Sheffield Unitediin. Ensimmäisen valioliigaottelunsa Lundstram pelasi Sheffield Unitedissa elokuussa 2019 ja ensimmäisen valioliigamaalinsa hän teki kauden toisessa ottelussa Crystal Palacea vastaan. Marraskuussa 2019 hän teki Burnleyä vastaan kaksi maalia, helmikuussa 2020 Bournemouthia vastaan yhden maalin ja heinäkuussa 2020 kauden viimeisessä ottelussa Southamptonia vastaan yhden maalin. Hän pelasi kaudella 2019–2020 Valioliigassa 34 ottelua, joista avauskokoonpanossa 26 ottelua. Kaudella 2020–2021 hän pelasi Valioliigassa 28 ottelua, joista avauskokoonpanossa 23 ottelua, eikä tehnyt maaleja. Englannin mestaruussarjassa hän on pelannut 77 ottelua ja tehnyt viisi maalia. Ykkösliigassa hänellä on takanaan 77 ottelua ja yksi maali.