Bei den Europameisterschaften 2012 kam Kyburz im Sprint auf Rang sechs und sprintete für das Team "Schweiz 2" in der Staffel auf der Schlussstrecke zu Gold. Bei den Orientierungslauf-Weltmeisterschaften 2012 in Lausanne gewann Matthias Kyburz, vor seinen beiden Teamkameraden Matthias Merz und Matthias Müller die Goldmedaille im Sprint. Bei den World Games 2013 in Kolumbien wurde Kyburz zum erfolgreichsten Orientierungsläufer dieser Spiele. Im Sprint gewann er knapp vor dem Russen Andrey Khramov und dem Schweden Jerker Lysell. In der Mittel-Distanz setzte er sich gegen seinen Schweizer Teamkollegen Daniel Hubmann und dem Litauer Vilius Aleliūnas durch. Zum Abschluss erkämpfte sich Kyburz seine dritte Goldmedaille, welche er deutlich mit der Mixed-Staffel (zusammen mit Daniel Hubmann, Sara Lüscher und Judith Wyder) vor den Teams aus Dänemark und Österreich gewann.