Meschi spielte in seiner Karriere bei zwei Vereinen Dinamo Tiflis und Lokomotive Tiflis. Mit Dinamo wurde er 1964 sowjetischer Meister. Er beendete seine Vereinskarriere 1970. International spielte Meschi in der sowjetischen Auswahl. Er nahm an der Fußball-Weltmeisterschaft 1962 in Chile teil, bei der sein Team im Viertelfinale ausschied. Außerdem gewann er mit der Sbornaja 1960 den Europameistertitel.