Абкарян родился во французском городе Гонесс, недалеко от Парижа. Его детство прошло в Ливане, после начала гражданской войны он переехал в США. В Лос-Анджелесе Абкарян присоединился к труппе армянского театра под руководством Джеральда Паразяна. В 1985 году он вернулся во Францию и стал актёром «Театра дю Солей» Арианы Мнушкиной. Абкарян преуспел в классическом репертуаре театра, в 2001 году был отмечен премией Мольера как лучший актёр. Он также сам поставил шесть пьес, три из которых были его собственного сочинения.