Bachmann esordì con la maglia del Torino il 9 gennaio 1910, contro l'US Milanese. Il 18 dicembre di quello stesso anno realizzò il primo gol, contro l'Internazionale. Dal 1910 al 1912 giocò insieme a lui al Torino anche il fratello minore, Adolfo (che era pertanto conosciuto come Bachmann II). La prima stagione di Heinrich Bachmann al Torino si concluse con 7 presenze e nessuna rete in Prima Categoria; la seconda lo vide scendere in campo per 15 volte, con 4 reti (di cui 2 su calcio di rigore). Nel campionato 1911 giocò 14 gare, senza segnare; nel maggio 1912 giocò due amichevoli nel Milan, entrambe contro l'Union Saint-Gilloise. Dalla stagione 1912-1913 fu capitano del Torino, mantenendo questo ruolo fino alla stagione 1915-1916; il Torino fu poi inattivo sino al 1919, e Bachmann trovò sistemazione all'Internazionale, ove giocò la stagione 1918-1919. Tornato al Torino, continuò a esserne il capitano fino al suo ritiro; la sua ultima gara fu Pisa-Torino del 27 gennaio 1924. Affermò di non aver mai voluto ricevere alcun compenso per le partite giocate con la squadra granata, di cui fu a lungo capitano.