Die Weisheit, dass es aus Prag näher in die Nationalmannschaft ist, bestätigte sich auch für Andrej Kvašňák. 1960 debütierte er im tschechoslowakischen Dress beim 4:0-Erfolg gegen Österreich, wobei er den letzten Treffer selbst beisteuerte. Obwohl Kvašňák wenig internationale Erfahrung hatte, wurde er für die Europameisterschaft 1960 nominiert, bei der die Tschechoslowakei die Bronzemedaille gewann. 1962 zählte Kvašňák zum Stamm der tschechoslowakischen Mannschaft, die sich überraschend bis in das Endspiel vorkämpfen konnte, dort aber Brasilien mit 1:3 unterlag. Von englischen Experten wurde er hinter dem brasilianischen Star Garrincha zum zweitbesten Spieler des Turniers gekürt. Bis 1970 stand Kvašňák insgesamt 47 Mal in der Landesauswahl und konnte 13 Tore erzielen. 1969 sicherte er seinem die Land die Teilnahme an der Weltmeisterschaft 1970 in Mexiko. Zunächst erzielte er ein Tor beim wichtigen 3:3 gegen Ungarn, das letztlich zum Entscheidungsspiel gegen denselben Gegner rund zweieinhalb Monate später in Marseille führte. Kvašňák traf in der 43. Spielminute vom Elfmeterpunkt und legte so den Grundstein zum 4:1-Sieg der Tschechoslowakei.