Francis V. Greene wurde am 27. Juni 1850 in Providence im US-Bundesstaat Rhode Island geboren. Greene’s Familie hatte zu dieser Zeit bereits einen herausragenden Platz in der amerikanischen Militärgeschichte inne. Sein Vater George S. Greene war General während des amerikanischen Bürgerkriegs und berühmt durch seine Verteidigung des Culp Hügels bei der Schlacht von Gettysburg. Sein älterer Bruder Samuel D. Greene, war der verantwortliche Offizier auf der "USS Monitor" während der Schlacht von Hampton Roads.