Bij haar eerste deelname aan het volwassenencircuit (het ITF-toernooi van Bournemouth in april 2009) bereikte zij al meteen een finaleplaats. De week erop, in Edinburgh, behaalde zij haar eerste ITF-titel, een titel die zij in 2010 prolongeerde. Haar eerste deelname aan de WTA-tour was het toernooi van Boedapest in juli 2010. Successen op de WTA-tour boekte zij pas in 2012. Na een halvefinaleplaats op het toernooi van Bogota in februari, behaalde zij de week daarna haar eerste WTA-titel op het toernooi van Monterrey. Hiermee kwam zij voor het eerst binnen op de top-100 van de WTA-ranglijst (plaats 68). Later dat jaar nam zij deel aan de Olympische Spelen in Londen – zij bereikte er de tweede ronde. In 2015 won Babos het WTA-toernooi van Taipei – na twee andere geplaatste speel­sters te hebben uitgeschakeld, rekende zij in de finale af met het eerste reekshoofd, Misaki Doi. Haar derde WTA-titel won zij voor eigen publiek, op het toernooi van Boedapest in 2017 – in de finale klopte zij Lucie Šafářová. In 2018 won zij voor de vierde keer een toernooi, in Taiwan.