Bleiner begann im Alter von 12 Jahren den Skisport wettkampfmäßig auszuüben. Im österreichischen Nachwuchs gehörte er bald zu den stärksten Läufern und gewann von 1964 bis 1966 acht Juniorenmeistertitel, wobei er 1965 sogar in allen vier Disziplinen (Abfahrt, Riesenslalom, Slalom und Kombination) siegte. Auch auf internationaler Ebene verzeichnete er in diesen Jahren seine ersten Erfolge. Nachdem er 1964 bereits Zweiter im B-Klasse-Slalom am Ätna wurde, erzielte er 1965 in der erstklassig besetzten Lauberhornabfahrt in Wengen ebenfalls den zweiten Platz. Gute Resultate erzielte er im Winter 1965 auch in den Skandinavien-Rennen: In der Abfahrt von Narvik und im Riesenslalom von Gällivare wurde er jeweils Dritter und im Riesenslalom von Åre feierte er seinen ersten Sieg. In den nächsten Jahren wurde dann auch der Riesenslalom zu seiner stärksten Disziplin. Im Winter 1965/66 gelangen ihm ein weiterer Sieg im Riesenslalom von Kranjska Gora und zwei zweite Plätze in den Riesenslaloms von Cortina d’Ampezzo und Oberwiesenthal. Er qualifizierte sich für die Weltmeisterschaft 1966 im chilenischen Portillo und erreichte dort den siebten Platz im Riesenslalom.