Заннас родился в столице Османской Македонии, городе Фессалоники в 1892 году. Его отец, фармацевт Димитриос Заннас (1850—1915) был известным человеком в городе, уважаемым всеми группами населения, включая османские власти. Отец тайно принимал участие в Борьбе за Македонию, но был вне подозрения. Центром греческой пропаганды в Македонии было консульство Греции в городе, но консульство было под наблюдением.