Hacı Ömer wurde 1906 in Akçakaya geboren, einem kleinen Dorf bei Kayseri in Zentralanatolien. Er besuchte die lokale Dorfschule. Nachdem Sabancı früh den Vater verloren hatte, ging er 1920 als Dreizehnjähriger nach Adana und wurde Baumwollarbeiter. Er profitierte mittelbar vom Völkermord an den Armeniern, denn in Adana beteiligte sich Hacı Ömer zwar nicht direkt an der durch die Regierung geförderten Übernahme von Unternehmen der vertriebenen oder ausgelöschten Minderheiten, nutzte aber zum selben Zweck Kontakte zu vermögenden Familien aus Kayseri.