Nach einer Zeit als herumziehender Poolbillardspieler ("hustler") wurde Thorburn Anfang der 1970er-Jahre Kanadas führender Snookerspieler. Nach einigen Erfolgen in Nordamerika wurde er 1972 Profispieler, gewann aber in den folgenden Jahren mehrfach die kanadische Amateur-Meisterschaft. Als Profi stieg er binnen weniger Jahre in die Weltspitze auf. Erste Erfolge feierte er vor allem bei den Canadian Open sowie bei der Snookerweltmeisterschaft 1977 und beim Masters 1978, wo er jeweils ins Finale einzog. In den anschließenden Jahren schied der Kanadier nur selten vor einem Viertelfinale eines Turnieres aus. Eine Saison nach seinem Weltmeister-Titel wurde er auch Weltranglisten-Führender. Auch wenn er nach nur einer Saison den ersten Platz der Rangliste wieder abgeben musste, blieben ihm seine Erfolge erhalten: Dreimal siegte er in den 1980ern beim Masters, bei der WM 1983 wurde er zudem wieder Vize-Weltmeister und spielte sein erstes Maximum Break.