Первого успеха Дейвис смог добиться в 2010 году, когда стал чемпионом Игр Центральной Америки и Карибского бассейна. С 2013 года Хулио стал постоянно занимать призовые места на важнейших соревнованиях. Дейвис стал серебряным призёром Боливарианских игр, чемпионом Южноамериканских игр, бронзовым призёром Игр Центральной Америки и Карибского бассейна. Своего главного успеха опытный колумбийский боксёр добился в 2015 году, когда стал серебряным призёром Панамериканских игр, уступив в финале кубинцу Эрисланди Савону.