Рикардо Аланкорн начал карьеру в клубе «Сан-Лоренсо» в 1933 году, и в первый же год выиграл с клубом титул чемпиона Аргентины, а через 3 года выиграл Кубок Славы Муниципалитета Буэнос-Айреса и занял второе место в аргентинском первенстве. За Сан-Лоренсо Аланкорн выступал 6 лет, в течение которых провёл 128 матчей и забил 77 голов, ключая 4 мяча в матче с «Ланусом» в 1937 году, завершившимся со счётом 7:0. Затем он перешёл в клуб «Бока Хуниорс», дебютировав 11 июня 1939 года в матче с «Ривер Плейт», завершившимся со счётом 2:0 в пользу «Боки». 16 июня 1939 года он забил свой первый гол за «Боку Хуниорс», поразив ворота «Феррокариль Оэсте», а затем забил ещё 2 гола, сделав «хэт-трик». В 1940 году Аларкон выиграл свой второй, в карьере, чемпионский титул, в том же году он 25 мая забил первый гол на Бомбонере в ворота «Сан-Лоренсо» в товарищеской игре, а через месяц, 30 июня, повторил этот успех и в официальной встрече, поразив ворота «Ньюэллс Олд Бойз». Через год, 26 января 1941 года дебютировал в сборной Аргентины в матче с Перу, в том же году он поехал на чемпионат Южной Америки, однако на поле не выходил. Последний матч за «Боку» Аланкорн провёл 1 ноября, вновь против «Ньюэллс», завершившийся поражением «Боки» 0:1. После «Боки» Аланкорн выступал за «Платенсе» и бразильский «Фламенго».