Eugenio Beltrami kam am 30. Mai 1930 in Marling als jüngstes von drei Geschwistern in der Villa Inderst zur Welt. Seine Eltern waren der aus Winterthur im Kanton Zürich stammende Eugen Beltrami (1896–1970) und seine Frau Giuseppina Goser (1888–1954). Sein Grossvater väterlicherseits, Eugenio Eusebio Beltrami (1853–1922), wanderte 1883 aus der italienischen Stadt Correggio in die Schweiz ein und war mit der Winterthurerin Anna Luise Flaigg (1869–1934) verheiratet. 1916 verliess sein Vater die Schweiz und kämpfte im Ersten Weltkrieg in einem italienischen Infanterie-Regiment am Isonzo und im Vallagarina. Nach dem Krieg liess er sich in der bis 1918 zu Österreich-Ungarn gehörenden Stadt Rovereto nieder, wo er sich 1921 mit Giuseppina Goser verheiratete.