Məmmədyarov jest jednym z grupy kilku młodych, utalentowanych szachistów pochodzących z Azerbejdżanu, którzy w ostatnich latach zadziwili świat szachowy swoimi postępami. W 2002 roku zajął pierwsze miejsce w mistrzostwach Europy juniorów do 18 lat. Rok później zdobył dwa tytuły mistrza świata juniorów – w kategorii do 18 i do 20 lat. Za te osiągnięcia Międzynarodowa Federacja Szachowa przyznała mu tytuł arcymistrza. W 2004 zwyciężył w Międzynarodowych Mistrzostwach Dubaju. W tym samym roku zajął II miejsce na Turnieju Młodych Mistrzów w Lozannie, przegrywając w finale z Luke McShanem. Wystąpił również w mistrzostwach świata systemem pucharowym, przegrywając w III rundzie z Liviu-Dieterem Nisipeanu. W styczniu 2005 roku zajął dzielone II miejsce w grupie B prestiżowego turnieju "Corus" w Wijk aan Zee (za Siergiejem Kariakinem) oraz po raz drugi w karierze został mistrzem świata juniorów do 20 lat. W roku 2006 odniół duży sukces, zajmując I miejsce (wraz z Judit Polgár, a przed Weselinem Topałowem oraz Iwanem Sokołowem) w bardzo silnie obsadzonym turnieju w Hoogeveen. Zwyciężył również w otwartym turnieju w Baku oraz podzielił I miejsca w Reykjavíku oraz Moskwie ("Aerofłot Open"). W 2008 r. podzielił II m. (za Peterem Leko, wspólnie z Janem Niepomniaszczijem, Wasilijem Iwanczukiem i Janem Gustafssonem) w turnieju "Dortmunder Schachtage" w Dortmundzie, natomiast w 2010 r. podzielił I m. w turnieju "President's" Cup w Baku (wspólnie z Władimirem Kramnikiem i Gatą Kamskim) oraz w memoriale Michaiła Tala w Moskwie (wspólnie z Lewonem Aronjamen i Siergiejem Kariakinem). W 2013 r. zdobył w Chanty-Mansyjsku tytuł mistrza świata w szachach szybkich oraz zajął II m. (za Weselinem Topałowem) w cyklu "FIDE Grand Prix 2012-2013", zdobywając prawo do gry w turnieju pretendentów w 2014 roku (w turnieju tym zajął V miejsce).