Aljaksej Abromtschyk gab sein internationales Debüt im Rahmen der Biathlon-Juniorenweltmeisterschaften 2009 in Canmore, wo er in seinem ersten Rennen, dem Einzel, hinter Ludwig Ehrhart und Antti Raatikainen die Bronzemedaille gewann. Im Sprint wurde er Neunter, im Verfolgungsrennen Elfter und verpasste mit der weißrussischen Staffel als Viertplatzierter einen weiteren Medaillengewinn. Ein Jahr später erreichte er in Torsby die Ränge 19 im Einzel, sieben im Sprint, elf in der Verfolgung und fünf mit der Staffel. Es folgen die Juniorenweltmeisterschaften 2011 in Nové Město na Moravě, wo Abromtschyk 22. des Einzels, 25. des Sprints, 17. der Verfolgung und Neunter im Staffelrennen wurde. Nur wenig später lief der Weißrusse auch die Juniorenrennen bei den Europameisterschaften in Ridnaun, bei denen er 34. des Sprints, 18. der Verfolgung und Neunter des Einzels wurde. Mit Iryna Kryuko, Darja Nestertschik und Aljaksandr Daroschka gewann er zudem im Mixed-Staffelrennen hinter den Vertretungen Russlands und Frankreichs die Bronzemedaille. Bei den Europameisterschaften 2012 in Osrblie wurde Abromtschyk zunächst bei den Junioren eingesetzt und belegte den Neunten Platz im Sprint, wurde 15. der Verfolgung und 22. des Einzels.