Дмитрий Климзов родился 17 ноября 1918 года в селе Ильмино (ныне — Пензенской области). После окончания семи классов школы работал в колхозе. В марте 1939 года был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С первого дня войны — на её фронтах. Принимал участие в боях на Западном, 1-м, 2-м и 3-м Белорусском фронтах, четыре раза был ранен. К июню 1944 года старшина Дмитрий Климзов был старшиной стрелковой роты 774-го стрелкового полка 222-й стрелковой дивизии 33-й армии 3-го Белорусского фронта. Отличился во время Белорусской операции.