Bednarek edusti kotimaassaan vuosina 2013–2017 Lech Poznańia ja kauden 2015–2016 lainasopimuksella Górnik Łęcznaa. Hän pelasi Puolan pääsarjassa Ekstraklasassa 48 ottelua ja teki niissä yhden maalin. Kesällä 2017 hän siirtyi Southamptoniin. Kaudella 2017–2018 hän pelasi Valioliigassa viisi ottelua ja teki maalin avausottelussaan Chelseaa vastaan huhtikuussa 2018. Kaudella 2018–2019 hän pelasi Valioliigassa 25 ottelua. Kaudella 2019–2020 hän pelasi 34 valioliigaottelua ja ne kaikki alusta loppuun lukuun ottamatta yhden ottelun loppuhetkiä. Tammikuussa 2020 hän teki Wolverhampton Wanderersia vastaan kauden ainoan maalinsa. Kaudella 2020–2021 hän pelasi Valioliigassa 36 ottelua, kaikki avauskokoonpanossa, ja teki maalin marraskuussa Manchester Unitedia vastaan. Hän oli aina avauskokoonpanon pelaaja myös FA Cupissa, jossa Southampton ylsi välieriin voitettuaan aiemmilla kierroksilla muun muassa Arsenalin ja Wolverhamptonin.