Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Anatolij Nieuczesow pojawił się 25 października 2003 roku w zawodach Pucharu Świata w Düsseldorfie. Zajął wtedy 48. miejsce w sprincie stylem dowolnym. Był to jego pierwszy i zarazem ostatni występ w PŚ i w klasyfikacji generalnej nie był klasyfikowany. Największe sukcesy w karierze osiągnął w 2004 roku, kiedy zdobył dwa medale podczas mistrzostw świata juniorów w Stryn. Na dystansie 30 km techniką klasyczną był najlepszy, a wspólnie z kolegami z reprezentacji zdobył brązowy medal w sztafecie. Nigdy nie wystąpił na mistrzostwach świata seniorów oraz igrzyskach olimpijskich. W 2005 roku zakończył karierę.