Bei den Olympischen Sommerspielen 1904 in seiner Heimatstadt St. Louis gewann Joseph Wear zusammen mit seinem Landsmann Allen West im Tennis-Herrendoppel die Bronzemedaille, nachdem sie im Halbfinale den späteren Olympiazweiten Alphonzo Bell und Robert LeRoy in drei Sätzen mit 6:2, 1:6 und 2:6 unterlegen waren. Sein jüngerer Bruder Arthur belegte mit einem anderen Partner ebenfalls den dritten Platz. Sein größter Erfolg im Tennis waren fünf Titel bei den "U.S. Court Tennis Championships" und der dreimalige Gewinn der der "Racquet Doubles Championship".