В марте 2014 года Альчинас победил Гленна Спиринга и Мэтью Эдгара и впервые в своей карьере вышел в третий раунд UK Open, где его победил Кристиан Кист со счетом 9:2. Он продвинулся в 1/8 финала на седьмом чемпионате Players Championship благодаря победам над Найджелом Хейдоном, Марком Барилли и Стюартом Келлеттом, прежде чем уступил 3:6 Кигану Брауну. Во втором раунде Кубка мира по дартсу Альчинас и Родригес проиграли свои одиночные матчи голландской паре Майклу ван Гервену и Раймонду ван Барневельду и покинули турнир. Год спустя испанцы вновь проиграли, на этот раз Тони играл с Кристо Рейесом. В первом раунде они уступили бельгийским братьям Киму и Ронни Хёйбрехтсам. В индивидуальных соревнованиях в течение 2015 года Альчинас квалифицировался на International Darts Open and European Darts Grand Prix, но выбыл в первых раундах обоих турниров. Он дошел до финала отборочного турнира Южной Европы на чемпионат мира 2016 года и проиграл 4:6 греку Джону Майклу.