Из дворянского рода Басаргиных, имевшего татарское происхождение. В ранней юности был отдан на обучение в Морской кадетский корпус. Уже в 15 лет, в звании гардемарина, был зачислен в действующий морской экипаж — на 80-пушечный линейный корабль «Уриил», ставший флагманом в составе эскадры, отплывшей в Средиземное море под командованием вице-адмирала Д. Н. Сенявина. Во время Второй Архипелагской экспедиции гардемарин Григорий Басаргин участвовал в сражениях этой эскадры с турками при Дарданеллах и у горы Афон.