Mushyk startete am Anfang seiner Karriere für die Ukraine. 2002 nahm er zum ersten Mal an Weltmeisterschaften teil und belegte den 15. Platz in der Klasse bis 85 kg. Bei den Europameisterschaften 2004 gewann er in der Klasse bis 94 kg Bronze im Zweikampf und Silber im Stoßen. Im selben Jahr nahm er an den Olympischen Spielen in Athen teil, bei denen er den achten Platz erreichte. 2006 wurde er bei den Europameisterschaften Elfter und 2007 bei den Weltmeisterschaften 15.