Mepham nousi Brentfordin junioreista mestaruussarjassa pelaavaan edustusjoukkueeseen pysyvästi kaudella 2017–2018 päästyään edellisenä kautena kentälle vain yhdessä FA Cupin ottelussa. Hän pelasi 1,5 kauden aikana mestaruussarjassa 43 ottelua ja teki niissä yhden maalin. Tammikuussa 2019 Mepham siirtyi Bournemouthiin, jossa hän pelasi loppukauden aikana 13 ottelua. Hän teki Valioliigassa ensimmäisen maalinsa kauden 2019–2020 avausottelussaan Sheffield Unitedia vastaan. Se olikin hänen ainoa maalinsa kauden 12 valioliigaottelussa. Kaudella 2020–2021 Bournemouth pelasi mestaruussarjassa, jossa Mephamille kertyi 24 ottelua ja yksi maali sekä lisäksi kaksi valioliigakarsintaottelua.