Największy sukces w karierze Jacques Besson osiągnął w 1946 roku, kiedy zdobył srebrny medal w wyścigu ze startu zatrzymanego zawodowców podczas mistrzostw świata w Zurychu. W zawodach tych wyprzedził go jedynie Włoch Elia Frosio, a trzecie miejsce wywalczył Francuz Louis Chaillot. Kilkakrotnie zdobywał medale mistrzostw Europy, między innymi zwyciężając w swej koronnej konkurencji w latach 1948 i 1949. Ponadto Besson wielokrotnie zdobywał medale torowych mistrzostw Szwajcarii, w tym osiem złotych. Nigdy nie wystąpił na igrzyskach olimpijskich.