Pierwszy międzynarodowy sukces w karierze Stefan Küng osiągnął w 2011 roku, kiedy zdobył złoty medal w madisonie podczas torowych mistrzostw Europy juniorów. W tym samym roku wystąpił w barwach gospodarzy na igrzyskach małych państw Europy w Liechtensteinie, zdobywając srebrne medale na szosie w wyścigu ze startu wspólnego i indywidualnej jeździe na czas. Na rozgrywanych dwa lata później torowych mistrzostwach świata w Mińsku wywalczył brązowy medal w indywidualnym wyścigu na dochodzenie. W zawodach tych wyprzedzili go jedynie Australijczyk Michael Hepburn oraz Martyn Irvine z Irlandii. Jest ponadto mistrzem Szwajcarii w omnium i indywidualnej jeździe na czas z 2011 roku. W 2014 roku wystąpił na mistrzostwach świata w Cali, gdzie był drugi w indywidualnym wyścigu na dochodzenie, przegrywając tylko z Alexandrem Edmondsonem z Australii. Na tych samych mistrzostwach wspólnie z Thérym Schirem zdobył brązowy medal w madisonie.