Dla 34-letniego Köpkego Euro 1996 było pierwszą piłkarską imprezą, na której wystąpił w podstawowej jedenastce. Znalazł się w kadrze na Mistrzostwa Świata 1990 i 1994 oraz Mistrzostwa Europy 1992, ale wówczas był jedynie zmiennikiem Bodo Illgnera. Po mundialu 1994 27-letni Illgner ogłosił zakończenie reprezentacyjnej kariery, a Vogts musiał wybrać nowego pierwszego bramkarza z duetu Köpke – Kahn. Postawił na starszego zawodnika Eintrachtu Frankfurt i zdaniem wielu obserwatorów nie pomylił się. Köpke przez cały turniej przepuścił tylko trzy gole (żadnego w rozgrywkach grupowych) i jako jedyny, prócz Davida Seamana, obronił rzut karny podczas zasadniczego czasu gry. Uznany został za najlepszego bramkarza turnieju. Po mistrzostwach był o krok od przejścia do FC Barcelony.