קושנר נולד באביניון שבדרום צרפת, לאב יהודי אשכנזי ולאם צרפתייה נוצרית פרוטסטנטית. סבו וסבתו נספו באושוויץ, לשם נשלחו בעת הכיבוש הגרמני בצרפת במלחמת העולם השנייה. הוא החל את דרכו הפוליטית במפלגה הקומוניסטית הצרפתית, ועבד כרופא בצלב האדום בניגריה בשנת 1968 בתקופת מלחמת האזרחים. תחום התמחותו הרפואי הוא גסטרואנטרולוגיה.