מורז נולדה וגדלה בארצות הברית למשפחה של שחיינים. סבה מצד אימה היה חבר נבחרת השחייה של צרפת. גם ג'וזף (ג'ו) מורז, סבה מצד אביה שחה בקבוצה היהודית "הכח וינה" מאוסטריה (שהוקמה לפני מלחמת העולם השנייה) ב-1930, והוא סיפר איך לאחר סיפוח המדינה להיטלר, השחיינים היהודים הוכו קשות בבריכה על ידי נאצים. ב-1938, הוא היגר לארצות הברית ושירת בצבא האמריקאי. האב החורג של אביה, ריימונד פדרמן , גם כן יהודי, היה בן 14 כשהוריו הסתירו אותו בארון מתחת לגרם מדרגות מפני הגסטפו שהגיעו לצרפת תחת שליטת הנאצים. כל משפחתו נספתה באושוויץ, אך הוא הצליח להימלט לחוות בדרום צרפת. שנים לאחר מכן, הוא הפך לשחיין גב מוביל בנבחרת צרפת, והוא היגר ב-1947 לארצות הברית. גם אביה ואחיה היו שחיינים.