קוזנצוב נולד ב-15 בינואר 1894 בכפר אוסלקה המזרחית במחוז פרם, אז בתחומי האימפריה הרוסית, למשפחה ממעמד הפועלים. בחודש אפריל 1915, במהלך מלחמת העולם הראשונה, התגייס לצבא האימפריה הרוסית ועבר אימונים בקאזאן עד מרץ 1916. ביולי של אותה שנה הוא הועלה לדרגת פודפורצ'יק. הוא לחם במסגרת החזית המזרחית במלחמת העולם הראשונה, ובאוגוסט 1918 התגייס לצבא האדום. הוא לחם במלחמת האזרחים ברוסיה תחילה כמפקד פלוגה ואז כמפקד גדוד. באוקטובר 1923 הוא מונה למפקד הרגימנט ה-89. ב-1928 הוא הצטרף למפלגה הקומוניסטית של ברית המועצות, ב-1929 עבר קורס קצינים. במרץ 1930 הוא מונה לסגן מפקד הדיוויזיה ה-51, וכשנה לאחר מכן הועבר למלא את אותו התפקיד בדיוויזיה ה-25. הוא אף שימש לזמן קצר כמפקד הדיוויזיה ה-2. בתחילת שנת 1936 הוא סיים את האקדמיה הצבאית פרונזה, וקיבל דרגת קומבריג (מפקד בריגדה). באוקטובר של אותה שנה מונה למפקד הדיוויזיה ה-99. ביולי 1937 הוא קודם לתפקיד מפקד הקורפוס ה-16, וב-23 במרץ 1938 קודם לדרגת קומדיב (מפקד דיוויזיה), ובה בעת הועבר לפקד על הקורפוס ה-2. ב-23 ביולי של אותה שנה הוא הועבר לפקד על הארמייה ה-3. ב-9 בפברואר 1939 הוא קודם לדרגת קומקור (מפקד קורפוס). בהמשך אותה שנה הוא השתתף בפלישת ברית המועצות לפולין כמפקד קבוצת ויטבסק ופולאצק. ב-4 ביוני 1940, בעקבות ביטול הדרגות הישנות של הצבא האדום, והכנסתן לשימוש של הדרגות ששימשו את צבא הצאר, קיבל קוזנצוב דרגת גנרל לייטננט.