Stablinski – meist kurz "Stab" gerufen – wurde vor allem durch seinen viermaligen Gewinn der Französischen Meisterschaft im Straßenrennen sowie die zweimalige Vizemeisterschaft innerhalb von sechs Jahren bekannt, eine bis heute nicht wieder erreichte Erfolgsserie, was ihm den Beinamen "Monsieur France" einbrachte. In seiner Profikarriere von 1952 bis 1968 feierte er insgesamt 105 Profisiege und wurde Straßenweltmeister 1962, wohingegen er die Tour de France oder den Giro d’Italia nie gewinnen konnte. Bei seiner letzten Tour 1968 war sein Dopingtest positiv auf Amphetamine und er wurde für einen Monat gesperrt.