Курт Вольф родился 6 февраля 1895 года в Грайфсвальде, Померания. В 17 лет стал кадетом, служа в железнодорожном полку № 4 на должности унтер-офицера. В Первую мировую войну был повышен до лейтенанта. 17 апреля 1915 года был переведён в авиацию. В июле 1915 года Курт Вольф чудом уцелел в авиакатастрофе. Она случилась во время его первого полёта. Сам Вольф отделался лишь вывихом плеча. Другой пилот разбил свой самолёт «LVG» и погиб. В декабре 1915 года Вольф получил лётный сертификат в Доберитце. Летал в составе эскадрилий "KG 7" и "Stafiel 40" под Верденом, затем — на Сомме. 5 ноября 1916 года был отправлен в Jasta 11, где ему не удалось одержать ни одной победы. Когда же Манфред фон Рихтгофен, ас Первой мировой войны, принял командование этой эскадрильей, Курт Вольф также стал одерживать свои победы. С 6 марта по 1 мая 1917 года он сбил 29 самолётов противника. 3 мая Курта Вольфа перевели на должность командира в "Jasta 29". 2 июля он вернулся в "Jasta 11" и принял командование. Через девять дней, 11 июля, он был ранен в левую руку в бою восточнее Ипра. Там он сражался с «Sopwith Triplane» из 10-й морской эскадрильи. Два месяца спустя, 11 сентября, Вольф был повышен до обер-лейтенанта.