Der nur 1,69 m große Czibor war einer der besten Linksaußen seiner Zeit. Sándor Mezei, der Trainer der damaligen ungarischen Juniorenauswahl, entdeckte ihn bei einem Spiel zweier drittklassiger Mannschaften. Czibor arbeitete damals auch als Lokführer. Er spielte von 1948 bis 1949 beim Ferencvárosi TC in Budapest und wechselte dann zunächst zu Csepeli Vasas sowie in weiterer Folge zu Honvéd Budapest, wo er gemeinsam mit Ferenc Puskás und Sándor Kocsis spielte. Diese drei bildeten das Angriffstrio, das Anfang der 1950er Jahre unterstützt von Nándor Hidegkuti in der ungarischen Nationalmannschaft zu Weltruhm gelangte. 1952 wurde er in Helsinki Olympiasieger, und 1953 war er Teil der ungarischen Nationalelf, die mit 6:3 als erste Mannschaft vom Kontinent gegen England im Wembley-Stadion gewann. Als die ungarische Auswahl zur Fußball-Weltmeisterschaft 1954 in die Schweiz fuhr, war sie vier Jahre lang ungeschlagen und der haushohe Favorit auf den Titel. Im Endspiel gegen Deutschland traf Czibor zur programmgemäßen 2:0-Führung für Ungarn, ehe seine Mannschaft völlig unerwartet noch mit 2:3 verlor.