Константин Будьков родился 13 июня 1916 года в деревне Пруд (ныне — Псковской области) в семье крестьянина. Окончил семилетнюю школу, после чего переехал в 1935 году в Ленинград, где работал на заводе и одновременно окончил десять классов школы. В 1938 году Будьков был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. В 1940 году он окончил школу НКВД, после чего служил во внутренних органах в городе Чудово Ленинградской области. С 18 августа 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Участвовал в боях на Северном, Ленинградском, Волховском, 1-м, 2-м и 3-м Прибалтийских и 1-м Белорусском фронтах. Принимал участие в обороне Ленинграда, Тихвинской, Любанской, Синявинской, Мгинской, Новгородско-Лужской, Режицко-Двинской, Рижской, Мемельской операциях. К январю 1945 года майор Константин Будьков командовал 1-м стрелковым батальоном 1071-го стрелкового полка 311-й стрелковой дивизии 61-й армии 1-го Белорусского фронта. Отличился во время Варшавско-Познанской операции.