Родился в многодетной семье. Родители — выходцы из семей раскулаченных крестьян и казаков, выселенных на север РСФСР в начале 1930-х годов. Отец участник Великой Отечественной войны. Детство и юность Константина Гнетнева прошли в посёлке при 17-м шлюзе Беломорско-Балтийского канала.