Pierwszy sukces w karierze František Raboň odniósł w 1981 roku, kiedy wspólnie z Martinem Pencem, Jiřím Pokorným i Alešem Trčką zdobył brązowy medal w drużynowym wyścigu na dochodzenie podczas mistrzostw świata w Brnie. Dwa lata później, na mistrzostwach świata w Zurychu powtórzył ten wynik razem z Robertem Štěrbą, Pavlem Soukupem i Alešem Trčką. Startował także w wyścigach szosowych, wygrywając między innymi prolog oraz jeden z etapów wyścigu w Lidicach w 1980 roku. Nigdy nie brał udziału w igrzyskach olimpijskich.