Erste internationale Erfahrungen sammelte Jan Vukovič im Jahr 2016, als er beim Europäischen Olympischen Jugendfestival in Tiflis mit 1:58,74 min in der ersten Runde ausschied und mit der slowenischen 4-mal-100-Meter-Staffel den Vorlauf nicht beenden konnte. Auch bei den im Jahr darauf ebenfalls in Tiflis ausgetragenen Jugendeuropameisterschaften schied er über 800 Meter mit 1:57,54 min in der ersten Runde aus. 2017 gelangte er bei den U18-Weltmeisterschaften in Nairobi bis in das Halbfinale und schied dort mit 1:52,89 min aus und 2019 wurde er bei den U20-Europameisterschaften in Borås in 1:52,36 min Fünfter. 2021 siegte er in 3:07,35 min mit der Staffel bei den Balkan-Meisterschaften in Smederevo und anschließend belegte er bei den U23-Europameisterschaften in Tallinn in 1:48,26 min den achten Platz über 800 m und wurde in 3:07,22 min Fünfter im Staffelbewerb.