Aleksiej Kazakow karierę siatkarską rozpoczynał w rosyjskim klubie – Iskra Odincowo. Grał w nim przez dwa sezony 1996/1997 i 1997/1998. Pierwszym sukcesem reprezentacyjnym siatkarza było zdobycie Mistrzostwa Świata juniorów w 1995 roku. Do seniorskiej kadry narodowej został po raz pierwszy powołany w 1996 roku. W 1998 magazyn Super-Express uznał go najlepszym siatkarzem w Rosji. Na igrzyskach olimpijskich w 2000 roku wraz z reprezentacją zdobył srebrny medal, wówczas był zawodnikiem Cimone Modena. Cztery lata później, na igrzyskach olimpijskich w 2004 roku w Atenach zdobył brązowy medal, reprezentował wtedy barwy Itasu Diatec Trentino. W sezonie 2004/2005 rosyjski środkowy wrócił do kraju, i po raz drugi w karierze grał w Iskrze Odincowo. Po Mistrzostwach Świata w 2006 roku w Japonii, Kazakow zdecydował się na grę w Nieftjanku Ufa. W sezonie 2009/2010 występował w Lokomotiwie Nowosybirsk. Od sezonu 2010/2010 występuje w Dinamo Moskwa.