Il a servi dans l'armée impériale allemande pendant la Première Guerre mondiale. Conrath réussit à rester dans la Reichswehr pendant l'entre-deux-guerres et il entra plus tard dans la Luftwaffe. Conrath se voit confier le commandement de la division d'élite Hermann Goering en 1940 et la dirige pendant les campagnes en Union soviétique, en Afrique du Nord et en Italie. En 1944, il a été honoré par l'église catholique en Italie pour avoir veillé à ce que les trésors de Monte Cassino ne soient pas détruits lors de la bataille contre les alliés, utilisant du carburant et des troupes pour retirer des livres et des biens du monastère et les transporter à Rome et au Vatican. En , Hanns-Horst von Necker le remplaça en tant que commandant de la division.