Für Russland nahm Bobkow im Juniorenbereich an der U18-Junioren-Weltmeisterschaft 2009 sowie den U20-Junioren-Weltmeisterschaften 2010 und 2011 teil. Bei der U18-WM 2009 gewann er mit seiner Mannschaft die Silbermedaille. Er selbst wurde zum besten Torwart des Turniers und einem der drei besten Spieler seines Teams gewählt. Bei der U20-WM 2011 gewann er mit seiner Mannschaft den Weltmeistertitel.