Erste Erfahrungen bei internationalen Meisterschaften sammelte Natalya Asanova im Jahr 2006, als sie bei den Juniorenasienmeisterschaften in Macau in 14,24 s die Silbermedaille im 100-Meter-Hürdenlauf gewann. Damit qualifizierte sie sich für die Juniorenweltmeisterschaften in Peking, bei denen sie aber mit 14,48 s in der ersten Runde ausschied. 2009 startete sie erstmals bei den Asienmeisterschaften in Guangzhou und gewann dort in 59,37 s auf Anhieb die Bronzemedaille hinter der Japanerin Satomi Kubokura und Noraseela Mohd Khalid aus Malaysia. 2010 belegte sie bei den Asienspielen ebendort in 57,25 s den sechsten Platz und im Jahr darauf wurde sie bei den Asienmeisterschaften in Kōbe in 59,72 s Achte. 2012 qualifizierte sie sich dann erstmals für die Olympischen Spiele in London, bei denen sie mit 58,05 s im Vorlauf ausschied.