Генрих Куль был вторым из девяти детей Иоганна Генриха Куля (1757, Марбург — 1830, Ханау) и Марии Юдифь Вальтер (1770, Ханау — 1810, Ханау). Уже в родном доме существовали контакты с многочисленными натуралистами, так у Иоганна Филиппа Ахиллеса Лейслера, собирателя и торговца естественнонаучным материалом, Куль научился таксидермии, посещая в то же время Высшую земельную школу в Ханау. Когда Лейслер умер после битвы около Ханау, Куль заботился о его коллекции до её продажи на аукционе в 1816 году, а также вёл его дела и дальнейшие исследования о местных летучих мышах. Последнее он закончил монографией, которая была впервые опубликована в 1816 году. С рядом натуралистов он состоял в переписке. Иоганн Вольфганг фон Гёте упоминает его исследования, после того, как 14 июля 1814 года посещает коллекции Общества естествознания в Ханау, где Генрих Куль был куратором.