Árpád Pusztai absolvierte ein Studium der Chemie an der Budapester Eötvös-Loránd-Universität, das er 1953 abschloss. Er arbeitete danach an der ebenfalls in Budapest ansässigen Ungarischen Akademie der Wissenschaften, bis er wegen des Scheiterns des Ungarischen Volksaufstandes 1956 über ein Flüchtlingslager in Österreich nach Großbritannien emigrierte. Dort erlangte er am Londoner Lister Institute einen Doktorgrad.