1991 nahm Burnett mit begrenztem Erfolg am Juniorenwettbewerb des World Masters teil. Ein Jahr später gewann er mit einem Sieg über Martin Dziewialtowski die schottische Snooker-Meisterschaft. Nur kurze Zeit später wurde er Profispieler. Während seiner ersten vier Profisaisons schied Burnett häufig in der Qualifikation aus und konnte anfangs nur selten, später immerhin einige Male die Hauptrunde von Ranglistenturnieren erreichten. Nachdem er bereits das Halbfinale der Benson &amp; Hedges Championship 1994 erreicht hatte, das Turnier aber kein Ranglistenturnier war, gipfelte die Entwicklung mit einer Hauptrundenteilnahme an der prestigeträchtigen Snookerweltmeisterschaft 1996. Auf der Weltrangliste verbesserte sich Burnett, der sich im Laufe langsam hochgearbeitet hatte, auf Platz 54. Die nächsten drei Spielzeiten hielten für den Schotten häufig Hauptrundenteilnahmen bereit. Mehrfach kam er bei Ranglistenturnieren auch recht weit, sodass er in diesem Triennium dreimal das Viertelfinale eines Ranglistenturnieres erreichte. Infolgedessen stieg er auf Rang 27 auf, womit er bereits die höchste Platzierung seiner Karriere erzielt hatte.