1983 und 1996 wurde Stoltzman jeweils mit dem Grammy Award in der Kategorie „Beste Kammermusik-Darbietung“ ausgezeichnet. Darüber hinaus wurde er in den Jahren 1977, 1984, 1989, 1991, 1994 und 2005 insgesamt sechs weitere Male für einen Grammy nominiert. 1986 wurde er in Anerkennung um seine Verdienste für die klassische Musik als erster Blasmusiker mit dem Avery Fisher Prize ausgezeichnet. 2005 erhielt er die Sanford Medaille der Yale University.