Maksim Tarasov part s'installer à Budapest en fin d'année 1992 et concourt dès l'année suivante pour la Russie. Avec un saut à 5,80 m, il termine à la troisième place des Championnats du monde 1993 de Stuttgart, derrière les 6,00 m de Sergueï Bubka et les 5,90 m de Grigoriy Yegorov, et à égalité avec Igor Trandenkov. En fin de saison, le Russe prend la troisième place de la Finale du Grand Prix de Londres. Absent des Championnats d'Europe 1994, il est sélectionné en 1995 pour les Championnats du monde de Göteborg. Tarasov remporte la médaille d'argent du concours avec 5,86 m, battu une nouvelle fois par Bubka. En 1997, Tarasov monte à deux reprises sur un podium mondial, remportant en mars la médaille de bronze des Championnats du monde en salle de Paris-Bercy, avant de prendre durant l'été la deuxième place des Championnats du monde en plein air d'Athènes remportés une nouvelle fois par l'Ukrainien Bubka. Il franchit cette même année pour la première fois la barre des 6,00 m : à Nice tout d'abord le et à Fukuoka ensuite le , devenant ainsi le cinquième perchiste de l'histoire à dépasser cette hauteur symbolique.