Bøgh war ein Sohn des Schullehrers Hans Henrik Bøgh und dessen Ehefrau Marie Dorothea, geborene Møller. Sein Bruder war der Dichter und Komponist Erik Bøgh (1822–1899). Nach dem Ersten Schleswig-Holsteinischen Krieg, an dem er als dänischer Soldat teilnahm, besuchte er ab 1851 die Königlich Dänische Kunstakademie in Kopenhagen. Unterrichtet wurde er unter anderem von Johann Ludwig Lund. 1854 debütierte er auf der Frühjahrsausstellung in Charlottenborg, wo er fortan regelmäßig ausstellte. 1857 gewann der den Neuhausen-Preis. 1860/1861 hielt er sich mittels eines Reisestipendiums in Düsseldorf, Brüssel, Antwerpen und vor allem Paris auf. 1863 heiratete er Anne Cathrine Sophie Henriette Møller, Tochter des Gerichtsvollziehers Niels Møller und dessen Ehefrau Elisa, geborene Gertner. Das Paar bekam 1865 die Tochter Elisabeth, die eine Malerin wurde. 1873 erhielt er den Titel "Professor".