Acheson erreichte nur in seinem ersten Rennen das Ziel. 1985 fuhr er als Ersatzmann für Manfred Winkelhock, der während der Saison tödlich verunglückt war. Zwischen 1988 und 1992 nahm er jedes Jahr für wechselnde Teams am 24-Stunden-Rennen von Le Mans teil. Während er sich in drei Jahren nicht für das Hauptrennen qualifizieren konnte, konnte Acheson dreimal das Rennen auf einem Podiumsplatz beenden; jeweils 2. Platz: 1989 mit Mauro Baldi und Gianfranco Brancatelli auf Sauber C9 und 1992 mit Masanori Sekiya und Pierre-Henri Raphanel auf Toyota TS010 sowie ein 3. Platz 1991 mit Bob Wollek und Teo Fabi auf Silk Cut Jaguar.