В сентябре 2012 года Москвина в паре с киевлянкой Мариной Кийко получила золотые награды на первенстве в Лоле (Португалия). В 2013 году Наталья завоевала бронзовую медаль на Всемирных играх в Кали (Колумбия). В том же году Наталья в паре с Дианой Ключник стала бронзовым призёром чемпионата мира в Софии в синхронных прыжках на батуте. В 2015 году принимала участие в Европейских играх в Баку. Наталья Москвина заняла четвёртое место, уступив 0,365 балла бронзовому призёру — белоруске Анне Горчёнок. В сентябре того же года с Мариной Кийко заняла третье место в синхронных прыжках на батуте (Вальядолид, Испания) с результатом 47,000. В родном Харькове на чемпионате Украины в 2016 году она завоевала две золотые медали — в индивидуальных прыжках среди женщин и в синхронных прыжках в паре с Мариной Кийко. На Олимпийских играх 2016 Москвина выступила неудачно, совершив ошибку во втором элементе, в итоге она заняла последнее место и не прошла в финал. Завоевала золото на Всемирных играх 2017 во Вроцлаве.