Ванджиони — воспитанник клуба «Ньюэллс Олд Бойз». 4 августа 2007 года в матче против «Сан-Лоренсо» он дебютировал в аргентинской Примере. В этом же поединке Леонель забил свой первый гол за «Бойз». В начале 2013 года он перешёл в «Ривер Плейт». Сумма трансфера составила 1,1 млн. евро. 11 февраля в матче против «Бельграно» Ванджиони дебютировал за новую команду. В этом же поединке он забил свой первый гол за «Ривер Плейт». В 2014 году Леонель помог команде выиграть чемпионат, а также завоевать Южноамериканский кубок и Суперкубок Аргентины. В 2015 году Ванджиони стал обладателем Кубка Либертадорес и Рекопа Южной Америки, а также занял второе место на клубном чемпионате мира.