Największy sukces w karierze Didier Bouvet osiągnął w 1984 roku, kiedy podczas igrzysk olimpijskich w Sarajewie wywalczył brązowy medal w slalomie. Po pierwszym przejeździe zajmował piąte miejsce, tracąc do prowadzącego Stevena Mahre 1,14 sekundy. W drugim przejeździe uzyskał trzeci czas, co dało mu trzeci łączny wynik i brązowy medal. W zawodach tych wyprzedzili go jedynie reprezentujący Stany Zjednoczone bracia Phil i Steven Mahre. Był to pierwszy olimpijski medal dla Francji w tej konkurencji od igrzysk w Grenoble w 1968 roku, kiedy złoto wywalczył Jean-Claude Killy. Był to także jedyny medal wywalczony przez męską część reprezentacji Francji w narciarstwie alpejskim na tych igrzyskach. W Sarajewie Francuz wystartował także w gigancie, kończąc rywalizację na czternastej pozycji. Kilkakrotnie startował na mistrzostwach świata, najlepszy wynik osiągając w 1989 roku, kiedy podczas mistrzostw świata w Vail zajął dwunaste miejsce w slalomie.