Pierwszym międzynarodowym osiągnięciem Elvesta było zdobycie w roku 1981 srebrnego medalu na mistrzostwach świata juniorów do lat 20 w Meksyku. Dwa lata później zwyciężył w rozegranych w Groningen mistrzostwach Europy juniorów w tej samej kategorii wiekowej. W roku 1986 zdobył tytuł mistrza Estonii, zaś w 1987 brązowy medal na mistrzostwach ZSRR. W tym samym roku zwyciężył w memoriale Borislava Kosticia we Vršacu oraz zajął II miejsce w turnieju międzystrefowym w Zagrzebiu i awansował do meczów pretendentów. Duży sukces odniósł w roku 1988 w Belfort, zajmując III miejsce (za Garrim Kasparowem oraz Anatolijem Karpowem, a przed całą światową czołówką) w turnieju z cyklu "Puchar Świata". W tym samym roku spotkał się również w Saint John w I rundzie meczów pretendenckich z Arturem Jusupowem, ale mecz przegrał i odpadł z dalszych rozgrywek. Rok później odniósł kolejny sukces, zwyciężając przed Wasilijem Iwanczukiem i Anatolijem Karpowem w turnieju w Reggio Emilia. W roku 1994 zwyciężył (wraz z Lembitem Ollem) w otwartym turnieju "New York Open". Trzykrotnie brał udział w mistrzostwach świata FIDE rozgrywanych systemem pucharowym, najlepszy rezultat uzyskując w roku 2001 w Moskwie (awansował wówczas do IV rundy, w której przegrał z Jewgienijem Bariejewem). W roku 2003 podzielił I miejsce w turnieju "World Open" w Filadelfii, natomiast rok później wydał swoją pierwszą książkę pt. "The Story of a Chess Player" ("Historia szachisty"). W 2008 r. zdobył w Boca Raton tytuł mistrza Ameryki.