Афанасий Солодов родился 7 октября 1906 года в деревне Кутьково (ныне — Московская область). Окончил начальную школу. В 1920 году переехал в Новосибирскую область. В 1928—1930 годах проходил службу в Рабоче-крестьянской Красной Армии. В 1932 году Солодов повторно был призван в армию. В 1934 году он окончил Ленинградское военно-политическое училище, в 1943 году — курсы «Выстрел». Участвовал в боях на реке Халхин-Гол. С марта 1943 года — на фронтах Великой Отечественной войны.