Pierwszą dużą międzynarodową impreza w karierze Heugi były mistrzostwa świata w Chamonix w 1962 roku. Zajął tam piąte miejsce w kombinacji alpejskiej oraz dwunaste w slalomie i slalomie gigancie. Pierwszy sukces osiągnął podczas igrzysk olimpijskich w Innsbrucku w 1964 roku, gdzie wywalczył brązowy medal slalomie. W zawodach tych wyprzedzili go jedynie Austriak Josef Stiegler oraz kolejny reprezentant USA, Billy Kidd. Wspólnie z Kiddem byli pierwszymi reprezentantami USA, którzy zdobyli medale olimpijskie w narciarstwie alpejskim. Był to jednocześnie jedyny medal wywalczony przez niego na międzynarodowej imprezie tej rangi. Na tych samych igrzyskach wystartował także w gigancie, uzyskując piąty czas. Amerykanin został jednak zdyskwalifikowany po zakończeniu zawodów, a jego wynik anulowano. Na rozgrywanych cztery lata później igrzyskach olimpijskich w Grenoble był siódmy w slalomie i dziesiąty w gigancie. W międzyczasie wystartował na mistrzostwach świata w Portillo, gdzie jego najlepszym wynikiem było czwarte miejsce w kombinacji. Walkę o medal przegrał tam z Ludwigiem Leitnerem z RFN o 1,76 punktu. Zajął tam również szóste miejsce w slalomie, tracąc do podium nieco ponad 1 sekundę.