Der künstlerische Erfolg stellte sich ungewöhnlich schnell ein. 1873 war er auf der Weltausstellung in Wien vertreten. 1874 in London und Berlin, 1876 in Philadelphia. Auf der Ausstellung der Royal Academy erhielt er 1874 die „Albert-Edward-Medaille“ und 1877 eine Silbermedaille. 1878 stellte er auf der Weltausstellung in Paris aus. 1884 wurde ein Werk Normanns anlässlich einer Ausstellung des Pariser Salons mit einer Ehrenmedaille bedacht, fünf Jahre später errang er für ein anderes Gemälde eine Bronzemedaille. Weitere Ausstellungsorte waren Göteborg (1881), Boston (1883), Budapest (1884), Antwerpen (1885), Versailles (1885), Madrid (1892) und München (1904). Unter den Käufern seiner Bilder waren das Schwedische Nationalmuseum Stockholm (1877), König Oscar II. (1883, 1887), Kaiser Wilhelm II. (1887) und Erzherzog Franz Ferdinand von Österreich-Este (1904).