Происходит из семьи советских партийных и российских хозяйственных работников. Прадед Антона, Генрих (Хейнрих) Вайно, руководящий работник Томского обкома партии — активный участник борьбы за установление Советской власти в Сибири. В частности, принимал участие в подавлении восстания Чехословацкого корпуса, а также в подавлении антисоветского крестьянского восстания в Томской губернии. Сын Генриха, Карл Генрихович Вайно (род. 1923) был руководящим партийным работником: в 1978—1988 годах занимал пост первого секретаря ЦК Коммунистической партии Эстонии. Отец Антона, Эдуард Карлович Вайно (род. 1949), председатель Делового совета Куба-Россия в Торгово-промышленной палате Российской Федерации, с 1990-го по 1997 год — главный представитель ОАО «АвтоВАЗ» в США; с 2009 года по 2020 — вице-президент по внешним связям и взаимодействию с акционерами ОАО «АвтоВАЗ». Мать Татьяна Галинская, в первом браке Вайно, во втором Ежевская.