Almirón aloitti pääsarjauransa kotimaansa Cerro Porteñossa. Vuonna 2015 hän siirtyi argentiinalaiseen Club Atlético Lanúsiin, jonka riveissä hän voitti Argentiinan mestaruuden vuonna 2016. Vuodet 2017–2018 hän edusti pohjoisamerikkalaisen MLS-liigan Atlanta Unitedia ja voitti MLS Cupin eli liigan mestaruuden vuonna 2018. Mestaruuskautena hän teki 13 maalia ja antoi 11 maalisyöttöä. Tammikuussa 2019 Almirón siirtyi englantilaisseura Newcastle Unitediin viiden ja puolen vuoden sopimuksella. Hän pelasi kevätkaudella 2019 Valioliigassa kymmenen ottelua. Kaudella 2019–2020 hän pelasi 36 liigaottelua, joista 35:ssä avauskokoonpanossa ja 22:ssa täydet minuutit mutta onnistui maalinteossa ensimmäisen kerran vasta juuri ennen joulua Crystal Palacea vastaan ja toisen kerran tammikuussa Wolverhampton Wanderersia vastaan. Heinäkuussa hän teki vielä maalin peräkkäisissä otteluissa Bournemouthia ja West Ham Unitedia vastaan ja nosti siten kauden liigamaalimääränsä neljään. FA Cupissa hän teki kuudessa ottelussa yhteensä neljä maalia. Kaudella 2020–2021 Almirón on tehnyt 24 liigaottelussaan neljä maalia, joista kaksi helmikuussa Southamptonia vastaan.