Galstjan gewann 2005 bei den russischen Meisterschaften in der Altersklasse U17 seinen ersten nationalen Titel. Im März 2006, im März 2007 und im März 2008 gewann er die russischen Meisterschaften in der Altersklasse U20 und belegte im November 2007 in dieser Meisterschaft den dritten Platz in seiner Gewichtsklasse. Im Oktober 2007 wurde er Europameister U20 in Prag und im April 2009 Europameister in Tiflis. Seinen ersten globalen Meisterschaftstitel errang Galstjan bei den Junioren-Weltmeisterschaften im Oktober 2008 in Bangkok, daneben gewann er weitere internationale Turniere oder platzierte sich in den oberen Rängen. Bei der Weltmeisterschaft in Tokio im Oktober 2010 wurde er Dritter, ebenso bei den Europameisterschaften in Istanbul im April 2011. Bei den Weltmeisterschaften in Paris im August 2011 belegte er den siebten Platz.