Народжений в Солт-Лейк-Сіті, штат Юта, Нельсон відвідував Університет штату Юта, де здобув ступінь бакалавра в 1945 році. У 22 роки він з відзнакою закінчив Університет Юти і отримав диплом лікаря. Він продовжив освіту і здобув ступінь доктора філософії. в університеті Міннесоти, де у складі групи лікарів був піонером у розвитку хірургії на відкритому серці. У 1951 р. підтримав першу в історії операцію на відкритому серці людини за допомогою серцево-легеневого шунтування . Після подальшої хірургічної підготовки та дворічного перебування в медичному корпусі армії США під час війни в Кореї, Нельсон повернувся в Солт-Лейк-Сіті і прийняв професорсько-викладацьку діяльність в Медичній школі університету штату Юта . Наступні 29 років він провів, працюючи в галузі кардіоторакальної хірургії . Нельсон став відомим серцевим хірургом і обіймав посаду президента Товариства судинної хірургії та Медичної асоціації штату Юта.