Murray spielte ein Jahr für die "Huskies" an der University of Washington. Dort erzielte er 16,1 Punkte, 6,0 Rebounds 4,4 Assists und 1,8 Steals im Schnitt. Nach seinem Freshmanjahr entschloss er sich, sich zur NBA-Draft anzumelden und wurde in der NBA-Draft 2016 an 29. Stelle von den San Antonio Spurs ausgewählt. Bei den Spurs spielte er im ersten Jahr eine wichtige Rolle, dafür absolvierte er mehrere Einsätze für das Farmteam der Spurs, die Austin Spurs. Murray absolvierte 38 Saisonspiele für die Spurs, wo er sein Potenzial aufblitzen ließ und 8 Startereinsätze feierte. Zudem absolvierte er 11 Playoffeinsätze für die Spurs. Nachdem sich Tony Parker in einem Playoffspiel verletzte, ersetzte Murray diesen.