Общественной работой Драгунский интересовался с юности. В 19 лет он уже был депутатом Краснопресненского района Москвы (1930—1933). Член ВКП(б) с 1931 года. Член Центральной ревизионной комиссии КПСС (1971—1990). Он избирался делегатом XXII, XXIV, XXV, XXVI и XXVII съездов КПСС. В 1962 году Давид Абрамович был избран членом Президиума ЦК КП Армении и депутатом Верховного Совета Армянской ССР, а в 1959 году — депутатом Днепропетровского горсовета депутатов трудящихся.