אלבריצ'י נולד ב-6 בדצמבר 1864 בגאלארטה שבממלכת איטליה. ב-1886 הוא התגייס לצבא המלכותי האיטלקי והוצב בכוחות הארטילריה. ב-1888 הוא הועלה לדרגת לוטננט ולחם במלחמה האיטלקית-אתיופית הראשונה. ב-1897 הוא הועלה לדרגת קפטן, ב-1907 לדרגת מייג'ור, וב-1908 מונה למפקד גדוד וביצע עמו פעולות סיוע במהלך רעידות האדמה בקלבריה ובסיציליה באותה שנה. ב-1909 הוצב במטה הכללי וב-1910 הוא מונה לשלישו הצבאי של ויטוריו אמנואלה השלישי, מלך איטליה. ב-1912 הוא הועלה לדרגת לוטננט קולונל, וב-1913 קיבל תואר רוזן מהמלך. עם כניסתה של איטליה למלחמת העולם הראשונה הוא שמר בתחילה על תפקידו במטכ"ל, וב-1916 הועבר לפקד על בריגדת "בזיליקטה". במרץ של אותה שנה הוא מונה לראש מטה הארמייה הראשונה. הוא לחם עם הארמייה בקרב אסיאגו, וב-1917 הועבר לפקד על הדיוויזיה ה-5. מאוחר יותר הוא הועבר לפקד על הקורפוס ה-2 ולחם עמו בקרב קפורטו.