Antonio war Sohn von Giovanni und Elisabetta Cappello und verheiratet mit Elena Barbarigo, Tochter des Admirals Agostino Barbarigo, der in der Schlacht von Lepanto gefallen war. Auch aus der Familie Elenas waren zwei Dogen hervorgegangen. Antonios älterer Bruder Michele war Bischof von Vicenza. Das Paar hatte zwölf oder vierzehn Kinder, darunter sieben Töchter, die Nonnen wurden. Vor seiner Wahl war Antonio Botschafter bei Heinrich IV. von Frankreich und ab 1603 Prokurator.