Dış görünümü nedeniyle lakabı "Nene" (bebek) olan futbolcu, futbola 16 yaşındayken Peru takımı Alianza Lima'da başladı. 19 yaşına geldiğinde Peru millî futbol takımında forma giymeye başlayan Cubillas, henüz 20 yaşında iken, Meksika'da düzenlenen 1970 FIFA Dünya Kupası kadrosunda yer aldı. Attığı 5 golle takımının turnuvada çeyrek finale yükselmesinde önemli rol oynadı. 1975 Copa América'da ise Peru'nun 1939'daki turnuvadan sonraki 2. Güney Amerika şampiyonluğunu kazanmasına katkı sağladı. 1978 FIFA Dünya Kupası'nda da Peru kadrosunda yer alan Cubillas, 5 gol kaydetmesine karşın Peru, 2. tur gruplarında turnuvadan elendi. Peru ile katıldığı son dünya kupası olan 1982 FIFA Dünya Kupası'nda ise ilk turda 2 beraberlik ve 1 mağlubiyet alarak turnuvadan elendi.