Kosta Hristić est né à Belgrade. Son père Nikola Hristić (1818-1911) fut plusieurs fois président du conseil de la Principauté de Serbie puis du Royaume de Serbie. Sa mère Julijana appartenait à la famille Hadži-Jovanović et Kosta était par elle l'arrière-petit-fils de Toma Vučić Perišić, un héros du Premier et du Second soulèvement serbe contre les Ottomans.