El cardenal Blázquez es el hombre de confianza del papa Francisco en España. El pontífice ha reconocido que profesa a Blázquez un "especial sentimiento de afecto" y este lo ha acompañado en eventos destacados, como la Jornada Mundial de la Juventud 2016 en Cracovia o, en 2017, el 125 aniversario del Colegio Español San José en Roma o el centenario de las Apariciones de Fátima. Es, además, miembro de varios dicasterios de la Curia Romana: