Франц Лескошек родился в словенском городе Целе. С юных лет он работал слесарем. Во время Первой мировой войны Лескошек был призван в Австро-венгерскую армию и воевал преимущественно с итальянцами на фронте на реке Изонцо. После войны он вернулся в родной город, где стал активным участником профсоюзного движения и участвовал во множестве забастовок.