Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Ana Bucik pojawiła się 26 listopada 2008 roku w Livigno, gdzie w zawodach juniorskich zajęła siódme miejsce w gigancie. W 2009 roku wystartowała na olimpijskim festiwalu młodzieży Europy w Szczyrku, gdzie była między innymi dziewiąta w slalomie. W tym samym roku wzięła udział w slalomie na mistrzostwach świata juniorów w Garmisch-Partenkirchen, jednak nie ukończyła rywalizacji. Jeszcze pięciokrotnie startowała na imprezach tego cyklu, najlepszy indywidualny wynik osiągając podczas mistrzostw świata juniorów w Roccaraso w 2012 roku, gdzie wspólnie z kolegami z reprezentacji zdobyła złoty medal w rywalizacji drużynowej. Indywidualnie najlepszy wynik osiągnęła na rozgrywanych rok wcześniej mistrzostwach świata juniorów w Crans Montana, zajmując siódmą pozycję w kombinacji.