2007 wurde er mit der Säbelmannschaft Weltmeister. Er nahm an den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking teil und belegte den siebten Platz mit Mannschaft und den fünfzehnten Platz im Einzel. Bei den Olympischen Sommerspielen 2012 in London wurde Szilágyi Olympiasieger im Säbelfechten, den Sieger von 2008 Zhong Man besiegte er im Achtelfinale 15:10. 2015 wurde er Europameister. Bei den Olympischen Sommerspielen 2016 in Rio de Janeiro gelang es ihm seinen Olympiasieg im Finale gegen den US-Amerikaner Daryl Homer zu verteidigen. Bei den Olympischen Sommerspielen 2020 in Tokio konnte er diesen Erfolg gegen den Italiener Luigi Samele wiederholen und sich seine dritte Goldmedaille in Folge sichern. Mit der Mannschaft gewann er außerdem Bronze.