Alldritt possiede la doppia nazionalità franco-scozzese in quanto suo padre è originario del paese britannico e si è trasferito in Francia a ventinove anni. La sua formazione rugbistica iniziò nel club del suo paese natale Condom, per poi proseguire nelle giovanili dell' dove fu compagno di squadra di Antoine Dupont e Pierre Bourgarit, anche loro futuri internazionali francesi. Il suo esordio professionistico avvenne proprio con il club formatore durante il campionato di Federale 1 (terza serie francese) 2015-2016. Trascorse un altro anno nell'Auch prima di trasferirsi, nell'estate 2017, a . Nel suo nuovo club trascorse la prima stagione alternandosi tra l'under-22 e la prima squadra nella quale ottenne un totale di dieci presenze. Nell'annata successiva diventò un elemento centrale della rosa, tanto da disputare come titolare sia la finale di Challenge Cup persa contro sia la semifinale del Top 14.