Cruppi studierte Rechtswissenschaften und wurde Anwalt am Appellationsgericht von Paris. Später wurde er Generalanwalt am Appellationsgericht und am Kassationshof. Seine politische Laufbahn begann mit seiner Wahl in den Generalrat des Départements Haute-Garonne. Im Mai 1898 wurde Cruppi für den dritten Wahlkreis von Toulouse in die Nationalversammlung gewählt. Von Januar 1908 bis Juli 1909 bekleidete er das Amt des Ministers für Handel und Industrie in der Regierung Georges Clemenceaus. Im März 1911 wurde er als Außenminister in das Kabinett Ernest Monis' berufen. Er schickte eine Expedition nach Fès, die zur Zweiten Marokkokrise und schließlich der Errichtung des französischen Protektorats in Marokko führte. Nach dem Rücktritt der Regierung Monis leitete bis Januar 1912 Cruppi das Justizministerium.