אגאסי נולד בלאס וגאס (שבמדינת נבדה) ב-29 באפריל 1970 למשפחה נוצרית, ומצד אביו ממוצא ארמני וארמי. אביו של אגאסי, עמנואל אגאסיאן שנולד באיראן, היה מתאגרף מקצועי שייצג את איראן באולימפיאדה בשנים 1948 ו-1952. אביו היגר לארצות הברית, כשאחד מאבותיו קיצר את שם משפחתם עוד קודם לכן מ"אגסיאן" ל"אגאסי" כדי להציל את עורם מידי הטורקים שהיו אכזרים כלפי הלאום הארמני.