Erste internationale Erfahrungen sammelte Stipe Žunić bei den Jugendweltmeisterschaften 2007 in Ostrava, bei denen er im Kugelstoßen mit 17,12 m in der Qualifikation ausschied und im Speerwurf mit 70,25 m den siebten Platz belegte. Anschließend gewann er beim Europäischen Olympischen Jugendfestival in Belgrad mit 70,98 m die Bronzemedaille. Im Jahr darauf nahm er an den Juniorenweltmeisterschaften im polnischen Bydgoszcz teil und schied dort mit dem Speer mit 62,44 m in der Qualifikation aus. 2009 wurde er bei den Junioreneuropameisterschaften in Novi Sad mit 54,96 m Neunter im Diskuswurf sowie mit 69,20 m Zehnter mit dem Speer. Zwei Jahre darauf klassierte er sich bei den U23-Europameisterschaften in Ostrava mit 69,53 m auf Rang elf. Seitdem konzentriert sich Žunić hauptsächlich auf das Kugelstoßen.