Arthur von Enzenberg besuchte das Gymnasium in Innsbruck. Nachdem er am Italienfeldzug von 1859 teilgenommen hatte, begann er an der Universität Innsbruck Rechtswissenschaft zu studieren. Mit Viktor von Ebner-Rofenstein wurde er 1860 im Corps Chinesia aktiv. Als Inaktiver wechselte er an die Katholische Universität Löwen, die Universität Graz und die Universität Wien. 1865 wurde er zum Dr. jur. promoviert. Nach Tätigkeiten als Praktikant bei der Statthalterei Innsbruck und dem Innen- und Kultusministerium wurde von Enzenberg 1875 Bezirkshauptmann von Meran. 1882 wurde er zum Vizepräsidenten der Statthalterei Graz ernannt. 1885 erfolgte seine Berufung zum Sektionschef im Ministerium für Kultus und Unterricht. 1892 trat er in den Ruhestand. Das Innsbrucker Corps Rhaetia – seit 1913 Traditionsträger der Chinesia – verlieh ihm 1914 die Mitgliedschaft.