Après une première saison difficile où il remporte 3 victoires et perd 11 matchs pour un club de dernière place, il s'impose rapidement comme l'un des meilleurs lanceurs de la ligue. En 1991, alors que les Braves passent d'un club de dernière place à un titre de la Ligue nationale, Avery prend le rang du vote de fin d'année désignant le vainqueur du trophée Cy Young du meilleur lanceur de la saison après une campagne de 18 victoires et 8 défaites au cours de laquelle il affiche une moyenne de points mérités de 3,38 en 210 manches et un tiers lancées. Il réserve cependant ses meilleures performances pour les séries éliminatoires. En deux départs, Avery n'accorde aucun point aux Pirates de Pittsburgh en 16 manches et un tiers lancées, réussissant 17 retraits sur des prises. Il établit alors un record de la Ligue nationale pour les manches consécutives sans accorder de points en éliminatoires. Avery le prix du joueur par excellence de la Série de championnat 1991 de la Ligue nationale. Moins dominant en finale, où il n'est impliqué dans aucune décision, il conserve néanmoins une moyenne de points mérités de 3,46 en deux départs lors de la Série mondiale 1991 remportée par les Twins du Minnesota aux dépens d'Atlanta.