Anastassija Blisnjuk nahm zweimal an Olympischen Spielen teil. Bei ihrem Olympiadebüt 2012 in London gehörte sie zum russischen Aufgebot im Gruppenmehrkampf, den die Russinnen mit 57,000 Punkten vor der weißrussischen und der italienischen Equipe auf dem ersten Platz beendeten und Olympiasiegerinnen wurden. Blisnjuk gewann zusammen mit Uljana Donskowa, Xenija Dudkina, Alina Makarenko, Anastassija Nasarenko und Karolina Sewastjanowa die Goldmedaille. Bei den Olympischen Spielen 2016 in Rio de Janeiro wiederholte Blisnjuk im Gruppenmehrkampf diesen Erfolg. Mit 36,233 Punkten setzte sie sich zusammen mit Wera Birjukowa, Anastassija Maximowa, Anastassija Tatarewa und Marija Tolkatschowa vor den spanischen und den bulgarischen Turnerinnen durch und sicherte sich ihre zweite Goldmedaille.