נולד בשם אסטבן ארנסטו אצ'ווריה סמסון (בספרדית: Esteban Ernesto Echevarría Samson) בהוואנה שבקובה, למשפחה מרקע נוצרי בעיקרה. בנם של ליליאן, מורה ואסטבן אצ'ווריה, טייס שעבד בחברת קובאנה דה אוויאסיון. סבו של באואר מצד אמו היה יהודי שנמלט לשם מגרמניה הנאצית, וממנו לקח את שם המשפחה "באואר" כשם במה. הוריו של באואר היגרו מקובה למיאמי שבפלורידה ב-4 ביולי 1960, בעקבות המהפכה של פידל קסטרו. הוא סיים את בית הספר התיכון "מיאמי קורל פארק" ב-1974. באואר התכוון להיות מוזיקאי, אבל אז פנה למשחק ולמד ב"מיאמי-דֵייד קומיוניטי קולג", אך אז עבר לאוניברסיטת מיאמי, שם למד במחלקה לאמנויות התיאטרון ושיחק בתיאטרון "ג'רי הרמן רינג" שם התיידד עם השחקן ריי ליוטה.