Seinen ersten Film drehte Fábri 1951. Er drehte zwischen 1951 und 1983 insgesamt 22 Filme und erhielt für seine Arbeiten zahlreichen Auszeichnungen auf internationalen Filmfestivals. Auf der Berlinale 1982 erhielt einen Silbernen Bären für sein Drehbuch zu seinem Film "Requiem". Sein berühmtester Film entstand 1969 nach Ferenc Molnárs Roman "Die Jungen von der Paulstraße". Für diesen Film erhielt er eine Oscar-Nominierung in der Kategorie „Bester fremdsprachiger Film“. Eine zweite Oscar-Nominierung erhielt er 1979 für seinen Film "Die Ungarn".