Damn arrebatou o Grammy para Melhor Álbum de Rap na edição de 2018 da premiação, sendo o 2ª álbum do rapper a vencer nessa categoria, depois de "To Pimp a Butterfly", em 2016. Também 2018, venceu o prêmio de o de "Outstanding Album" (algo como "Álbum Extraordinário", em uma tradução livre) como no NAACP Image Awards. Em 2017, venceu o prêmio de Álbum do Ano no BET Hip Hop Awards e o de Álbum de Rap/Hip Hop Favorito no American Music Awards. Em março de 2018, venceu o prêmio de álbum hip hop do ano no iHeartRadio Music Awards. Em abril de 2018, foi o primeiro álbum de música popular a levar um Prêmio Pulitzer de Música, premiação antes concedida apenas a álbuns de jazz e música clássica. No site oficial, o Pulitzer justifica a honra: "DAMN é uma coleção virtuosa de músicas unificada por sua autenticidade e dinamismo rítmico, que oferece uma visão da complexidade da vida moderna de afro-americanos""."