Soelakvelidze begon zijn carrière bij Torpedo Koetaisi, dat toen in de tweede klasse speelde. In 1978 maakte hij de overstap naar Dinamo Tbilisi, waar hij tien jaar speelde. Met deze club werd hij in 1978 landskampioen en won hij in 1979 de beker. In 1981 won hij met zijn club definale van de Europacup II tegen FC Carl Zeiss Jena. Hij sloot zijn carrière in 1989 af bij de Zweedse club Holmsund.