Syn inżyniera Zaima i Arife z d. Tahiri. W 1993 ukończył studia z zakresu elektroniki na uniwersytecie w Prisztinie, uzyskując dyplom inżyniera. W latach 1997–1998 zaangażował się w ruch studencki, organizując demonstracji przeciwko zajęciu przez policję serbską budynków uniwersyteckich. W 1998 objął funkcję rzecznika Adema Demaçiego, przedstawiciela politycznego Wyzwoleńczej Armii Kosowa. W czasie wojny w Kosowie, 21 kwietnia 1999 został aresztowany przez policję serbską i osadzony w więzieniu Lipljan, skąd wkrótce przeniesiony do Kruševaca. Stanął przed Sądem Okręgowym w Niszu, który 13 marca 2000 skazał go na karę 15 lat więzienia za prowadzenie działalności antypaństwowej. Więzienie w Požarevacu opuścił 7 grudnia 2001, pod naciskiem opinii międzynarodowej na władze Serbii. Po uwolnieniu zaangażował się w działalność ruchu Samookreślenie, organizując akcje protestacyjne przeciwko rządom UNMIK w Kosowie, w ramach których postulował uzyskanie przez Kosowo pełnej niepodległości. 10 lutego 2007 doszło do starć demonstrantów z policjantami rumuńskimi służącymi w ramach misji UNMIK. Zginęło dwóch nieuzbrojonych demonstrantów, a 82 osoby zostały ranne. Albin Kurti jako organizator protestu został aresztowany i spędził cztery miesiące w więzieniu.