Перший матч за національну збірну провів 27 червня 1965 року в Москві. Господарі здобули переконливу перемогу над збірною Данії (6:0). Відіграв один тайм у наступному матчі з дворазовими чемпіонами світу — бразильцями. Вразити ворота Кавазашвілі вдалося лише «королю футболу» Пеле. Був дублером Льва Яшина на чемпіонаті світу 1966 в Англії. Провів два матчі групового етапу проти збірних КНДР (3:0) і Чилі (2:1). На чемпіонату Європи 1968 провів чотири матчі першого етапу і один у чвертьфіналі, зі збірною Угорщини. У півфіналі та матчі за третє місце ворота радянської збірної захищав гравець «Пахтакора» Юрій Пшеничников. На чемпіонаті світу 1970 року у Мексиці був гравцем основного складу, провів чотири матчі. Чвертьфінал з Уругваєм став останнім поєдинком у збірній СРСР. Усього за шість років, у складі головної команди країни, провів 29 матчів (19 пропущених голів). Більшу кількість поєдинків провели лише три голкіпери: Рінат Дасаєв (91), Лев Яшин (74) і Євген Рудаков (48).