Родился и жил в Палермо на Сицилии. Музыкальную карьеру начал в 14 лет, выступая с концертами в Италии, Германии и Австрии. С 1860 по 1913 год был профессором по классу гобоя и английского рожка в Королевской консерватории в Палермо. Там же он женился. У него было 6 дочерей, двое из которых учились игре на арфе, и два преждевременно умерших сына. В период 1876—1884 он прекратил публичные выступления в связи с резким ухудшением зрения, ему грозила полная слепота. В 1879 году возглавил муниципальный музыкальный коллектив, исполнявший, наряду с музыкой итальянских авторов той эпохи, произведения Вагнера, Дебюсси, Грига, Сибелиуса, Гайдна, Бетховена и самого Паскулли. Коллектив прекратил существование вскоре после ухода Паскулли с должности. Незадолго до смерти получил останки своего сына, погибшего при Капоретто во время Первой мировой войны. Был очень популярен при жизни, но впоследствии забыт. Его открыли заново публике Хайнц Холлигер и благодаря находкам рукописей в библиотеках, концертным исполнениям и записям на дисках его произведений. Омару Дзоболи в 1985 г. ещё живые тогда дочери А.Паскулли Кончетта и Лаура подарили несколько неразборчивых рукописей и инструменты своего отца в знак благодарности за популяризацию его творчества.