Meksika'nın Brasilia büyükelçisi olarak görev yaptığı dönemde Latin Amerika'dan nükleer silahların temizlenmesi sorunu ile karşı karşıya kalan Garcia, 1962'deki Küba Füze Krizi'nin ardından Meksika hükûmetini silahsızlanma politikasını desteklemeye ikna etti.Bu yoldaki çabaları Tlatelolco Antlaşması'yla (1967) sonuçlandı; antlaşmada imzası olan 22 ülke nükleer silahları kendi topraklarına sokmama kararı aldılar.Garcia bu antlaşmadan bir yıl sonra, Nükleer Silahların Yayılmasını Önleme Antlaşması taslağının hazırlanmasına yardımcı oldu.1977'de Cenevre'deki Silahsızlanma Konferansı'na daimi temsilci olarak atandı.Ertesi yılki, BM Genel Kurulu'nun silahsızlanma konulu özel oturumunda Meksika heyetine başkanlık etti.