Dapkūnaitė gehört zu den populärsten Schauspielerinnen ihres Landes und hat auch außerhalb des Baltikums internationalen Erfolg. Sie begann ihre Filmkarriere 1986 noch in der Sowjetunion. 1994 spielte sie neben Oleg Menschikow in Nikita Michalkows Oscar-preisgekröntem Film "Die Sonne, die uns täuscht". Daraufhin wurde sie auch erstmals in internationalen Produktionen besetzt. 1996 spielte sie eine kleine Rolle in "" von Brian De Palma und 1997 die Ehefrau von Heinrich Harrer (Brad Pitt) in "Sieben Jahre in Tibet" von Jean-Jacques Annaud. In ihrer Heimat Litauen spielt sie neben der Filmarbeit im Theater. Im Jahr 2010 gehört Dapkūnaitė der Jury der 67. Internationalen Filmfestspiele von Venedig an.