Во взрослой сборной Кувейта Аль-Бураики мог дебютировать в 2000 году, когда он был включён в заявку сборной для участия в Кубке Азии, однако, на поле Салех так и не появился. В итоге в национальной сборной Кувейта Салех аль-Бураики дебютировал в 2002 году, когда принял участие в товарищеском матче против сборной Германии. Сборная Кувейта проиграла матч 0:7, а Салех вышел в основном составе и провёл на поле 89 минут. В 2004 году Аль-Бураики принял участие в Кубке Азии. На турнире Салех провёл всего 56 минут, выйдя в стартовом составе в матче против Иордании.