צוברי נולד וגדל באילת, להורים צברים ממוצא תימני ואשכנזי. בעידודם של אביו זאב, שגלש כתחביב, ואחותו, שגלשה אף היא, החל צוברי לגלוש בגלשן רוח כבר מגיל 7. צוברי הוא אחיינו של המתאבק גד צברי שהשתתף באולימפיאדת מינכן, שהיה בין הספורטאים הישראלים שנלקחו כבני ערובה, אך הוא הצליח להימלט ללא פגע. בת דודתו היא הגולשת הדר הלר. בתקופת שירותו בצה"ל הוכר צוברי כספורטאי מצטיין ושירת בבסיס חיל הים באילת.