Nach seinem Wechsel zu Galatasaray Istanbul rückte Acuner auch in den Fokus des Trainerstabs der türkischen Nationalmannschaft. So wurde er im Rahmen eines zum 23. April 1948 angesetzten EM1968-Qualifikationsspiels gegen die Irische Nationalmannschaft vom damaligen Nationaltrainer Adnan Süvari das erste Mal in den Kader der türkischen Nationalmannschaft berufen. Bei dieser Partie spielte er von Anfang an und gab sein Länderspieldebüt. Fortan gehörte er vier Jahre lang zu den regelmäßig nominierten Spielern und nahm mit der Nationalmannschaft am ECO-Cup 1967 und ECO-Cup 1969 teil. Beide Male konnte Acuner mit seiner Mannschaft diesen Pokal gewinnen.