Bradley McGee commence le cyclisme à l'âge de dix ans. En 1993, il remporte les championnats d'Australie de poursuite individuelle et par équipes ainsi que ceux du contre-la-montre sur route dans la catégorie juniors. Aux championnats du monde juniors, il s'impose lors du tournoi de poursuite individuelle. Il prend en outre la troisième place de la course aux points et la quatrième de la poursuite par équipes. Ses résultats durant cette année lui valent de recevoir le Trophée Sir Hubert Opperman, récompensant le cycliste australien de l'année. En 1994, toujours en catégorie junior, il remporte quatre titres nationaux (poursuite individuelle et par équipes, scratch et course à l'élimination). Aux championnats du monde juniors, il conserve son titre en poursuite individuelle et y ajoute celui de la poursuite par équipes. Il participe à ses premiers Jeux du Commonwealth à Victoria en Colombie britannique, où il remporte également la médaille d'or en poursuite individuelle et en poursuite par équipes, avec Brett Aitken, Stuart O'Grady, Tim O'Shannessey, tous trois champions du monde de la discipline l'année précédente.