Öberg wurde in Kiruna in der Provinz Norrbotten geboren und zog mit ihrer Familie als Kind in die Gemeinde Piteå. Dort gründete ihr Vater Mitte der 2000er Jahre den "Piteå Skidskytte Klubb", in dem neben Öberg auch die etwa gleichaltrige Anna Magnusson trainierte. Magnussons und Öbergs Laufbahnen verliefen längere Zeit weitgehend parallel, so besuchten beide das Skigymnasium in Sollefteå. Magnusson wurde 2015 – ein Jahr früher als Öberg – Teil des schwedischen Weltcupteams und holte bei der Junioren-WM 2016 im von Öberg gewonnenen Sprint die Bronzemedaille. Beide schrieben 2017 in einem Interview mit der Regionalzeitung "Norrbottens kuriren" dem freundschaftlichen Wettbewerb untereinander einen Großteil des gemeinsamen Erfolgs zu. Hanna Öbergs drei Jahre jüngere Schwester Elvira gewann 2018 wenige Wochen nach Hannas Olympiasieg drei Goldmedaillen bei den Jugendweltmeisterschaften, was zu medialen Vergleichen zwischen den Schwestern führte. Im Dezember 2019 liefen beide Öbergs erstmals gemeinsam in einer schwedischen Weltcupstaffel und belegten (mit Linn Persson und Mona Brorsson) den dritten Rang. Hanna Öberg zog nach ihrem Schulabschluss in Sollefteå in Schwedens Biathlonzentrum Östersund, wo sie ein Studium an der Universität aufnahm.