Muratow war Mitglied der Burewestnik-Sportvereinigung und gehörte 1952 dem sowjetischen Kader bei den Olympischen Sommerspielen in Helsinki an. Dort gewann er mit seinem Team die Goldmedaille im Mannschaftsmehrkampf. Die Weltmeisterschaften im Gerätturnen in der italienischen Hauptstadt Rom zwei Jahre darauf verliefen für ihn ebenfalls sehr erfolgreich, da er insgesamt vier Medaillen erringen konnte. Auf Grund dieser guten Leistungen nominierte man ihn 1956 abermals für die Olympischen Spiele in Melbourne. Muratow vermochte es, seine vorherigen Leistungen noch zu steigern und gewann sowohl im Bodenturnen als auch im Sprung und im Mannschaftsmehrkampf die Gold- und darüber hinaus im Ringeturnen die Silbermedaille, was ihn zu einem der erfolgreichsten Athleten der Spiele machte.