Zweimal nahm Bjørnbakken an Olympischen Winterspielen teil. 1956 erreichte sie in Cortina d’Ampezzo den sechsten Platz im Slalom und Rang 14 im Riesenslalom, 1960 wurde sie in Squaw Valley 14. im Slalom und 20. im Riesenslalom. Dazwischen lag der größte Erfolg ihrer Karriere: Bei der Weltmeisterschaft 1958 in Bad Gastein gewann sie mit Laufbestzeit in beiden Durchgängen und einem Gesamtvorsprung von 1,4 Sekunden auf die Österreicherin Josefa Frandl die Goldmedaille im Slalom; zudem wurde sie Zehnte im Riesenslalom. Sie ist damit die bis heute einzige Weltmeisterin im Alpinen Skisport aus Norwegen. Für ihren Weltmeistertitel wurde sie im gleichen Jahr zusammen mit Håkon Brusveen mit der Holmenkollen-Medaille ausgezeichnet und ist eine von nur neun nicht-nordischen Skisportlern seit 1895, denen diese Ehrung zuteil wurde. Im gleichen Jahr erhielt sie die Morgenbladet-Goldmedaille.