Conway cominciò a giocare a livello giovanile nel Blackrock College RFC e successivamente si mise in evidenza nell'Irlanda Under-20 che vinse il Sei Nazioni 2010. Lo stesso anno approdò al , con cui debuttò nel Pro12. Con il club vinse la Challenge Cup 2012-13 e il Pro12 2012-13 e, dopo tre anni di militanza nel Leinster, a partire dalla stagione successiva si trasferì al .