Il commence à skier à l'âge de deux ans et entre dans l'équipe nationale à l'âge de 16 ans et court son premier championnat du monde junior en 1991. Alain Baxter fait ses débuts dans la Coupe du monde en 1996 au slalom géant de Hinterstoder et participe aux Championnats du monde dans la Sierra Nevada peu après, où il atteint la position au slalom géant. Il est sélectionné pour les Jeux olympiques de Nagano en 1998, pour finir du slalom. Finalement, il doit attendre la saison 2000-2001 pour émerger dans la Coupe du monde avec ses premières deuxièmes manches en slalom, qui aboutissent avec quatre résultats dans le top dix : neuvième, huitième, septième et enfin quatrième sur la piste d'Åre, soit le meilleur résultat de sa carrière.