Эндрю Селби родился в Южном Уэльсе в городе Барри. Там же начал заниматься боксом. Первым крупным международным успехом для молодого валлийца стала бронза на чемпионате Европы 2008 года в Ливерпуле в категории до 54 кг. Спустя два года Селби смог повторить свой успех, заняв третье место на первенстве в Москве. С начала 2011 года в любительском боксе произошло изменение весовых категорий. И Селби стал выступать в категории до 52 кг. Эти изменения оказались для Селби очень успешными. Сначала в июне Эндрю стал чемпионом Европы, обыграв в финале Георгия Балакшина. Победив на континентальном первенстве Селби стал первым валлийцем за последние 85 лет, кому удалось выиграть чемпионат Европы. А в декабре Эндрю стал серебряным призёром на чемпионате мира в Баку. Этот успех принёс Селби олимпийскую лицензию для участия в летних Олимпийских играх 2012 года в составе сборной Великобритании. В 2013 году завоевал золотую медаль на чемпионате Европы в Минске, победив в финале ирландца Майкла Конлана.