Erste internationale Erfahrungen sammelte Šarūnas Banevičius bei der Sommer-Universiade 2013 in Kasan, bei der er mit einer Weite von 19,22 m den siebten Platz belegte. Anschließend erreichte er bei den U23-Europameisterschaften in Tampere das Finale und wurde dort mit 18,75 m Achter. 2015 schied er bei den Halleneuropameisterschaften in Prag mit 18,72 m in der Qualifikation aus und erreichte anschließend bei den Studentenweltspielen in Gwangju mit einem Wurf auf 18,66 m Rang sieben. Zwei Jahre darauf wurde er dann bei der Sommer-Universiade in Taipeh mit 19,72 m Sechster.