Ursprüngliche Kunst-Ausbildung in Kiew und Warschau (diente auch als Buchhalter) im Jahre 1890. 1902 bis 1907 besuchte er Kurse im Rerberg-Studio in Moskau, wo er auf Maschkow und Malewitsch traf. Insbesondere Malewitsch hatte einen großen Einfluss auf seine künstlerische Laufbahn und brachte ihn in den Kreis der Gründer der russischen Avantgarde sowie des Kubofuturismus, später zum Suprematismus. Auf der letzten futuristischen Ausstellung 0,10 in Petrograd 1915, zeigte Kljun erstmals seine kubistischen und abstrakten Skulpturen. Kljun wurde in den Jahren 1916 und 1917 Mitglied der "Supremus-Gesellschaft" und später Anhänger des französischen Purismus. Infolge der zunehmenden Repressionen während des Stalinismus wandte er sich – bereits isoliert – dem sozialistischen Realismus zu.