Ojciec Abrasimowa Andriej Iwanowicz, członek Czerwonej Gwardii, zginął w czasie rewolucji pod Orszą. Matka wychowywała samotnie Piotra Abrasimowa i jego siostrę. Miał dwie córki, urodzone w 1940 i 1941. Autor szeregu książek wspomnieniowych.