אלברכט נולד ב-8 במאי 1837 בברלין, לאלברכט, נסיך פרוסיה שהיה אחיהם של פרידריך וילהלם הרביעי, מלך פרוסיה ווילהלם הראשון, קיסר גרמניה ואשתו מריאן, נסיכת הולנד שהייתה בתו של וילם הראשון, מלך הולנד. בשנת 1847 התגייס אלברכט לצבא הפרוסי, ולחם בשורותיו במלחמת שלזוויג הראשונה, במלחמת שלזוויג השנייה, ובמלחמת אוסטריה–פרוסיה, שבה נטל חלק בקרב קניגרץ.