Burney trat 1807 in die Britische Ostindienkompanie ein und nahm am 1. Anglo-Birmanischen Krieg teil. 1818 wurde er zum Leutnant und Adjutanten des 20. Bengalischen Regiments ernannt. Später wirkte er als Agent der Britischen Ostindienkompanie. Er wurde 1825 als Botschafter (emissary) für Siam ernannt und kam 1826 nach Siam, wo er mit König Rama III. einen Handelsvertrag abschloss (heute Burney-Vertrag genannt), der sich positiv auf die weitere Entwicklung der regionalen Kaufmannschaft und auf den Handel zwischen Siam und Europa auswirkte. Zuvor hatte er bereits die Verhandlungen zum Grenzverlauf zwischen Siam und dem von den Briten besetzten Birma geführt, die im beiderseitigen Einvernehmen abgeschlossen wurden. Nur der exakte Verlauf der Grenze am Drei-Pagoden-Pass (Provinz Kanchanaburi) war und blieb lange Zeit umstritten.