Заниматься горными лыжами Матей Фалат начал в раннем детстве, параллельно лыжам он увлекался гимнастикой. В 10 лет он выступил на своих первых соревнованиях. На соревнованиях под эгидой FIS Матей начал выступать с конца 2008 года. Довольно часто Фалат попадал в десятку в гонках FIS и национальных чемпионатах, а несколько раз словацкий спортсмен одерживал победы в этих соревнованиях. С 2012 года Бедник стал принимать участия в соревнованиях Кубка Европы, Североамериканского Кубка и Кубка Австралии и Новой Зеландии, причём в каждом из этих Кубков Фалату удавалось набирать зачётные очки. В 2013 году Матей принял участие в зимней Универсиаде. В слаломе словацкий горнолыжник смог попасть в десятку, заняв итогове 9-е место. Также Фалат принимал участие в нескольких этапах Кубка мира, но ему ни разу не удалось финишировать. На чемпионатах мира лучшим результатом в карьере Матея является 24-е место в суперкомбинации на мировом первенстве 2011 года.