"Independence" lên đường vào ngày 19 tháng 4, 1962 cho lượt phục vụ thứ ba cùng Đệ lục Hạm đội tại Địa Trung Hải, vào lúc tình hình căng thẳng do Tổng thống John F. Kennedy tái khẳng định quyền kiểm soát của Hoa Kỳ, Anh và Pháp trên phần lãnh thổ Tây Berlin trước áp lực của Liên Xô. Nó quay trở về Norfolk vào ngày 27 tháng 8, và lên đường đi vùng biển Caribe vào ngày 11 tháng 10 để thực tập. Khi Tổng thống Kennedy ra lệnh phong tỏa Cuba vào ngày 24 tháng 10 do vụ Khủng hoảng tên lửa Cuba, chiếc tàu sân bay đã đi đến ngoài khơi Puerto Rico và đóng vai trò quan trọng trong việc gây áp lực, buộc Liên Xô phải rút bỏ những tên lửa đạn đạo tầm trung mang đầu đạn hạt nhân khỏi hòn đảo Trung Mỹ này. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, nó quay trở về Norfolk vào ngày 25 tháng 11, tiếp tục thực tập huấn luyện trước khi được đại tu tại Xưởng hải quân Norfolk, rồi tiến hành huấn luyện ôn tập tại vịnh Guantánamo, Cuba.