Andrej Šustr wurde in Pilsen geboren und begann im Alter von acht Jahren mit dem Eishockeyspielen, nachdem die tschechische Nationalmannschaft bei den Olympischen Winterspielen 1998 die Goldmedaille gewonnen hatte. Er durchlief die Jugendmannschaften des in seiner Heimatstadt ansässigen HC Plzeň 1929 bis er in der Saison 2008/09 an den drittklassigen "HC Rokycany" verliehen wurde. Nach nur zwei Einsätzen dort kehrte Šustr auch nicht mehr in die U20 des HC Plzeň zurück, sondern verließ Tschechien im November 2008 gen Nordamerika und schloss sich den "Kenai River Brown Bears" in Soldotna, Alaska an. Nach einem Jahr in der North American Hockey League, während dessen er bei einer Gastfamilie wohnte, wechselte der Verteidiger zur Spielzeit 2009/10 zu den "Youngstown Phantoms" in die United States Hockey League und damit in eine höhere Juniorenliga. In Youngstown verzeichnete Šustr 19 Punkte in 50 Spielen; zudem nahm er mit der U20-Nationalmannschaft Tschechiens an der U20-Junioren-WM 2010 teil.