Анна Боргквист родилась в городе Векшё. До семи лет играла в хоккей на улице, пока не была не записана в школу «Векшё Лейкерс». Боргквист не нравилось фигурное катание; её отец, Ян Олоф, и старший брат, Тобиас, были хоккеистами. С 12-ти лет она начала играть за основную команду «Векшё Лейкерс» в первом дивизионе. Перед сезоном 2007/08, в котором «Лейкерс» должны были стартовать в новой образованной женской лиге — Рикссериен, 15-летняя Боргквист была назначена помощником капитана команды. Она стала лучшим бомбардиром команды по итогам регулярного чемпионата и плей-офф. В ходе сезона она дебютировала за юниорскую и национальную сборные Швеции. Анна приняла участие в первом розыгрыше чемпионата мира до 18 лет. Шведки не сумели завоевать медали, заняв четвёртое место. Боргквист вместе с Мадлен Эстлинг стали лучшими в сборной по показателю полезности — «+7». После сезона 2007/08 «Векшё Лейкерс» прекратил выступление, и Анна перешла в другой клуб лиги — «Лександ». В свой первой сезон в новой команде она стала её лучшим снайпером и бомбардиром. Боргквист продолжила регулярно играть за сборную страны. В январе 2009 года она приняла участие на своём втором юниорском чемпионате мира. Анна заработала 4 (3+1) очка в 4-х матчах и помогла сборной завоевать бронзовые медали.