Trzykrotny olimpijczyk (IO 1948, IO 1952, IO 1956). Najlepszy wynik osiągnął w swoich drugich igrzyskach. Został wówczas brązowym medalistą olimpijskim w karabinie małokalibrowym leżąc z 50 m, przegrywając wyłącznie z Iosifem Sîrbu i Borisem Andriejewem. W latach 1949–1954 zdobył 8 medali na mistrzostwach świata, w tym 5 złotych, 1 srebrny i 2 brązowe. Trzykrotny mistrz świata w konkurencjach indywidualnych. Najwięcej medali zdobył na mistrzostwach świata w 1952 roku (5). Na zawodach tych 3-krotnie ustanawiał rekord świata. Jackson ma w dorobku także 9 medali na igrzyskach panamerykańskich, w tym 3 na Igrzyskach Panamerykańskich 1951 (2 złota i 1 srebro) i 6 na Igrzyskach Panamerykańskich 1955 (5 złotych i 1 brązowy medal).