Narodil se v zemědělské vesnici typu mošav Kfar Malal v tehdejší britské mandátní Palestině jako Ariel Scheinerman do rodiny Samuela (Šmu'el) Scheinermana (1896–1956) a Věry (Dvora), rozené Schneerov (1900–1988). Jeho rodiče pocházeli z carského Ruska, a to z měst Brest Litovsk a Mogilev, a seznámili se na univerzitě v gruzínském Tbilisi, kde jeho otec studoval agronomii a matka medicínu. Jejich setkání umožnily dějinné události počátku 20. století (první světová válka a bolševická revoluce), které zmařily, respektive odsunuly, plány Scheinermanových na přesídlení do Palestiny. Otec Samuela Scheinermana, Mordechaj, byl hlavním představitelem sionistického hnutí ve svém rodném městě Brestu Litevském. Zúčastnil se prvního sionistického kongresu v Basileji a posléze připravoval ostatní na přesídlení do Palestiny. V hnutí se spřátelil se Ze'evem Beginem, otcem budoucího izraelského premiéra a Šaronova stranického kolegy Menachema Begina, jehož přivedla v roce 1913 na svět Scheinermanova manželka Mirjam, povoláním porodní asistentka. Když se Begin se Scheinermanem v srpnu 1904 dozvěděli o smrti zakladatele moderního sionismu, Theodora Herzla, chtěli za něj v místní synagoze pronést kadiš, modlitbu za zemřelé. Místní rabín, který si Herzla uctít nepřál, to však zakázal, a tak dvojice vyrazila dveře zamčené budovy, aby se dostala dovnitř a mohla tak učinit.