W trakcie II wojny światowej Giacomo Conti zgłosił się do Regia Aeronautica (wł. "Królewskie Siły Powietrzne"), dochodząc do stopnia majora. Największy sukces w karierze sportowej osiągnął w 1956 roku, kiedy w parze z Lamberto Dalla Costą zdobył złoty medal w dwójkach podczas igrzysk olimpijskich w Cortina d’Ampezzo. Był to jego jedyny start olimpijski. Nigdy nie zdobył medalu na mistrzostwach świata, najlepszy wynik osiągnął na mistrzostwach świata w Sankt Moritz w 1957 roku, gdzie w dwójkach zajął czwarte miejsce. Jeszcze w 1957 roku zakończył karierę.