Bonner machte sich auch als Nationaltorwart einen Namen. Zwischen 1981 und 1996 stand er insgesamt 80-mal im Tor der Boys in Green. Er erlebte somit die Blütezeit der irischen Nationalelf von Ende der Achtziger- bis Mitte der Neunzigerjahre. So war er bei der Europameisterschaft 1988 in Deutschland, der ersten Teilnahme Irlands an einem großen Fußballturnier, beim historischen 1:0-Sieg über England dabei. Bei der Weltmeisterschaft 1990 avancierte Bonner zum Helden, als er im Achtelfinale gegen Rumänien den Elfmeter von Daniel Timofte parierte und damit seiner Mannschaft das Weiterkommen sicherte. Im Viertelfinale unterlagen die Iren dann Gastgeber Italien. Bei der Weltmeisterschaft 1994 in den USA gelang Bonner und seinen Kollegen mit einem 1:0-Sieg über die Italiener die Revanche. Doch diesmal kam für die "Kleeblätter" bereits im Achtelfinale gegen die Niederlande das Aus – das Spiel endete 0:2, wobei Bonner beim zweiten Treffer eine weniger gute Figur machte. Bonner bestritt danach noch die Qualifikation zur Europameisterschaft 1996, in der die Iren abermals an den Niederländern scheiterten.