Anier García remporte les Championnats panaméricains junior en 1995. L'année suivante, il est éliminé au stade des quarts de finale lors des Jeux olympiques de 1996 à Atlanta. Il éclate sur la scène internationale durant l'année 1997 en remportant la finale du 60 mètres haies des Championnats du monde en salle de Paris. Blessé à la jambe lors des Championnats du monde en plein air d'Athènes, il est contraint à l'abandon en demi-finale. En 1999, Garcia remporte le 110 mètres haies des Jeux panaméricains mais doit s'incliner en finale des Mondiaux de Séville face au Britannique Colin Jackson. Il établit néanmoins un nouveau record national de Cuba en 13 s 07.