Anna Astwazaturowa wurde 1978 in Baku als Tochter der zwei Künstler Norik Astwazaturow und Irina geboren. Um Geld zu verdienen, musste ihr Vater jedoch 12-Stunden-Schichten in einer Holzfabrik verrichten. Obwohl ihre Großeltern Armenisch sprachen, wuchs sie wie viele Angehörige der Intelligenzija von Baku allein mit Russisch als Familiensprache auf. Ihre Eltern waren ebenso wie ihr Bruder in Baku geboren, doch ihr Großvater Jegische Astwazaturian war bereits einmal als Kind vor dem Armenierpogrom in Baku 1918 geflohen und zu Sowjetzeiten zurückgekehrt. Trotz der offiziellen Völkerfreundschaft wurden wie bei Aseris auch in Annas Familie Erinnerungen an die blutige Vergangenheit wach gehalten. Um sich aus nationalistischen Auseinandersetzungen herauszuhalten, beschloss Jegische, die Familie zu russifizieren, und änderte den Namen Astwazaturian in Astwazaturow um. Als 1988 die antiarmenischen Ausschreitungen in Baku begannen, griffen aserbaidschanische nationalistische Oppositionelle unter anderem auch Annas russischsprachige Schule an, da sie hier armenische Kinder vermuteten. Der Schulleiter forderte die Angreifer auf, die Kinder in Ruhe zu lassen, wurde jedoch niedergeschlagen. Bald darauf verließ sie mit ihren Eltern und ihrem Bruder die Stadt, so dass sie das Pogrom in Baku im Januar 1990, das lediglich ein Höhepunkt der seit 1988 andauernden Gewalttätigkeiten war, nicht mehr miterlebte.