Barnas Vater war Drucksetzer. Barna erlernte Tischtennis im Alter von 13 Jahren in einem lokalen Sportverein in Budapest. Bald gehörte er zu den Spitzenspielern in Ungarn. Erstmals wurde er bei der Tischtennisweltmeisterschaft 1930 in Berlin Weltmeister im Einzel. Insgesamt gewann er 32 Medaillen bei Weltmeisterschaften: 23 Mal Gold, 6 Mal Silber und 3 Mal Bronze. 17 Mal wurde er ungarischer Meister. Mehrmals wurde er mit dem ungarischen Team Weltmeister. Am erfolgreichsten war er bei der Weltmeisterschaft 1935, als er jeweils im Einzel, Doppel und Mixed den 1. Platz belegte. Zwischendurch nahm er oft erfolgreich an Turnieren in Nordamerika, Australien und Europa teil.