Pierwsze sukcesy w karierze Wiaczesław Jekimow osiągnął w 1984 roku, kiedy zdobył trzy medale na torowych mistrzostwach świata juniorów: złote w drużynowym wyścigu na dochodzenie i wyścigu punktowym oraz srebrny w indywidualnym wyścigu na dochodzenie. Na rozgrywanych rok później torowych mistrzostwach w Bassano zdobył złoto indywidualnym wyścigu na dochodzenie amatorów, a wspólnie z Aleksandrem Krasnowemm Maratem Ganiejewem i Wasilijem Szpundowem zajął trzecie miejsce w drużynie. W indywidualnym wyścigu na dochodzenie zdobył jeszcze cztery medale: złote na MŚ w Colorado Springs (1986), MŚ w Lyonie (1989) i MŚ w Maebashi (1990) oraz srebrny podczas MŚ w Wiedniu (1987). Równocześnie zdobył jeszcze trzy medale w drużynie: złoto w 1987 roku, srebro w 1989 roku i brąz w 1986 roku. Ponadto na mistrzostwach w Stuttgarcie w 1991 roku Jekimow okazał się najlepszy w wyścigu punktowym.