Bence Bánszki startet für "Honvéd Zalka". Seine erste internationale Meisterschaft waren die Juniorenrennen der Sommerbiathlon-Weltmeisterschaften 2010 in Duszniki-Zdrój, wo er 49. des Sprints wurde. Es folgten die Biathlon-Juniorenweltmeisterschaften 2011 in Nové Město na Moravě, bei denen Bánszki als beste Platzierung einen 84. Platz im Einzel erreichte. 2012 war in Kontiolahti ein 82. Platz im Sprint bestes Resultat, 2013 in Obertilliach ein 87. Platz im Einzel und 2014 in Presque Isle Rang 52 ebenfalls im Einzel. Zudem wurde er jeweils 57. in Sprint und Verfolgung. Bei den Juniorenrennen der Sommerbiathlon-Europameisterschaften 2011 in Martell wurde der Ungar 28. des Sprints, 26. der Verfolgung und Staffel-Sechster. Bei den Juniorenrennen der Biathlon-Europameisterschaften 2014 in Nové Město na Moravě erreichte Bánszki sowohl im Einzel wie im Sprint den 68. Platz.