Welsh erwarb 1772 an der Dummer Academy in Byfield, Massachusetts, einen Bachelor. Anschließend begann er an der Harvard University sein Medizinstudium. Im Amerikanischen Unabhängigkeitskrieg versorgte er während der Gefechte von Lexington und Concord (19. April 1775) gemeinsam mit William Eustis die Verwundeten. Nach der verlorenen Schlacht von Bunker Hill (17. Juni 1775) half Walsh, aus der Flucht der unterlegenen amerikanischen Truppen einen geordneten Rückzug nach Cambridge zu organisieren. Ab dem 31. Oktober 1775 war er Militärchirurg im 19. Regiment, ab 1776 gehörte er zum 27. Infanterieregiment der Kontinentalarmee, unter anderem in der Schlacht von Trenton. Am 31. Dezember 1776 verließ Welsh die Armee, um sich in Boston als Arzt niederzulassen.