Pierwszy sukces w karierze Swietłana Żurowa osiągnęła w 1996 roku, kiedy wywalczyła złoty medal w biegu na 500 m podczas dystansowych mistrzostw świata w Hamar. W tej samej konkurencji zdobyła też srebrne medale na mistrzostwach świata w Calgary (1998), mistrzostwach świata w Heerenveen (1999) i mistrzostwach świata w Nagano (2000) oraz brązowy podczas mistrzostw świata w Salt Lake City (2001). W latach 1998-1999 wyprzedzała ją tylko Catriona Le May Doan z Kanady, a w 2000 roku lepsza okazała się Niemka Monique Garbrecht. Ponadto w 2006 roku Rosjanka zwyciężyła na mistrzostwach świata w wieloboju sprinterskim w Heerenveen. Wyprzedziła tam bezpośrednio Chinkę Wang Manli i Włoszkę Chiarę Simionato.