Lawtonin isä, Richard Lawton oli töissä Providence Journal-Bulletin -sanomalehdessä ja perhe asui Rhode Islandissa. Lawton pelasi nuorena jääkiekkoa high schoolinsa Mount St. Charles Academyn jääkiekkojoukkueessa. Joukkue voitti Rhode Islandin high school -sarjan mestaruuden neljä kertaa peräkkäin vuosina 1980–1983 ja voitti 121 ottelua tuona aikana pelaamistaan 126 ottelusta. Vuonna 1983 Lawton edusti Yhdysvaltojen jääkiekkomaajoukkuetta alle 20-vuotiaitten maailmanmestaruuskilpailuissa ja aikuisten maailmanmestaruuskilpailuiden B-sarjassa. Ennen NHL:n vuoden 1983 varaustilaisuutta NHL:n Central Scouting Bureau piti häntä tilaisuuden lupaavimpana pelaajana ja The Hockey News piti häntä viidenneksi lupaavimpana. Kesällä 1983 Minnesota North Stars valitsi hänet varaustilaisuuden pelaajana. Lawton on ensimmäinen varaustilaisuuden ensimmäisenä valittu yhdysvaltalainen jääkiekkoilija.