Flütsch, der für den SC Pany startet, nimmt seit 2002 an Wettbewerben der FIS teil. Sein Debüt im Weltcup hatte er im Januar 2006 in Nendaz, welches er auf dem 44. Rang im Parallelslalom beendete. Im Dezember 2008 erreichte er in Limone Piemonte mit dem siebten Rang im Parallel-Riesenslalom seine erste Top Zehn Platzierung im Weltcup. Bei den Snowboard-Weltmeisterschaften 2009 in Gangwon errang er den 17. Platz im Parallelslalom. Zu Beginn der Saison 2010/11 holte er in Telluride mit dem zweiten Platz im Parallel-Riesenslalom seine erste Podestplatzierung im Weltcup. Bei den Snowboard-Weltmeisterschaften 2011 in La Molina belegte er den achten Platz im Parallelslalom und den vierten Rang im Parallel-Riesenslalom. Im Januar 2013 kam er bei den Snowboard-Weltmeisterschaften in Stoneham im Parallelslalom und im Parallel-Riesenslalom auf den siebten Platz. Drei Monate später wurde er Schweizer Meister im Parallel-Riesenslalom. Bei seiner ersten Olympiateilnahme 2014 in Sotschi belegte er den 11. Rang im Parallel-Riesenslalom und den zehnten Rang im Parallelslalom. Bei den Snowboard-Weltmeisterschaften 2015 am Kreischberg errang er den 31. Platz im Parallel-Riesenslalom und den neunten Platz im Parallelslalom. Im März 2015 wurde er in Grächen Schweizer Meister im Parallelslalom. In der Saison 2016/17 erreichte er im Weltcup drei Top Zehn Platzierungen, darunter Platz Zwei im Parallelslalom in Bad Gastein und errang damit den siebten Platz im Parallelslalom-Weltcup. Beim Saisonhöhepunkt den Snowboard-Weltmeisterschaften 2017 in Sierra Nevada wurde er Zehnter im Parallelslalom.