Wami saavutti ensimmäisen kerran menestystä Afrikan kisoissa 1991, kun hän sijoittui nuorten maastojuoksussa viidenneksi. Seuraavana vuonna hän oli nuorten MM-kisojen 10 000 metrin juoksussa toinen. Vuonna 1993 hän voitti pronssia Afrikan mestaruuskilpailuissa 10 000 metrillä ja 1995 juoksi kolmanneksi Afrikan kisoissa samalla matkalla. Vuonna 1996 Wami voitti maastojuoksun maailmanmestaruuden pitkällä matkalla. Samana vuonna Atlantan olympialaisissa hän voitti olympiapronssia 10 000 metrin juoksussa.