Рефат Аблаєв народився у Кримській АРСР. У 1944 році разом з іншими кримськими татарами був депортований радянською владою до Узбекистану, де й почав займатися боротьбою у 1952 році. Представляв спортивне товариство «Динамо» (Ташкент). Брав участь у 10 чемпіонатах СРСР з боротьби в період з 1955 по 1967 рік. У 1957 році виконав норматив майстра спорту СРСР. У 1959 та 1961 роках здобував «золото» першості країни. Крім того, у 1961 році став переможцем Спартакіади народів СРСР. Рік потому посів друге місце в чемпіонаті СРСР у ваговій категорії до 63 кг, а наступного року здобув звання Почесного майстра спорту СРСР. У міжнародних змаганнях участі не брав через те, що був «невиїзним» за політичними мотивами.