Oberhammer compitió por primera vez en los Juegos Paralímpicos en los Juegos Paralímpicos de Invierno de 1984 en Innsbruck, Austria, en los eventos Alpine combinación alpina B2, descenso B2 y eslalon gigante B2. Ganó la medalla de bronce en el evento de combinación alpina B2. En los Juegos Paralímpicos de Invierno de 1988, 1992 y 1994 se hizo con una medalla en cada evento en el que compitió. También ganó una medalla de oro y dos medallas de bronce en los Paralímpicos de Invierno de 1998.