Bij haar debuut in het volwassenencircuit (het ITF-toernooi van Bournemouth in april 2009) won zij meteen de titel, samen met de Britse Stephanie Cornish. In 2010 won zij vier ITF-toernooien, en in 2011 nogmaals dat aantal. Zij speelde met wisselende partners uit allerlei landen. In 2012 won zij haar eerste WTA-titel, op het toernooi van Birmingham, samen met de Taiwanese Hsieh Su-wei. Later dat jaar nam zij deel aan de Olympische Spelen in Londen, samen met Ágnes Szávay – zij strandden in de eerste ronde. Op 8 juni 2015 kwam zij de top-tien van de WTA-ranglijst binnen – later die maand steeg zij naar de achtste plek. In de tweede helft van 2014 en in 2015 bereikte zij met Française Kristina Mladenovic zesmaal een WTA-finale, waarvan zij de laatste drie wonnen. Tussen maart en oktober 2016 speelde Babos veel samen met de Kazachse Jaroslava Sjvedova – dat leverde finaleplaatsen op bij het mandatory-toernooi van Miami en op Wimbledon, en deelname aan het eindejaarskampioenschap. Sinds mei 2017 speelt Babos uitsluitend samen met de Tsjechische Andrea Hlaváčková – dat leverde titels op in Rabat, Quebec, Tasjkent en Moskou. Als bekroning van tennisseizoen 2017 wonnen zij de titel op het eindejaarskampioenschap – Babos steeg daarmee naar de zevende positie op de WTA-ranglijst. In januari 2018 volgde meteen een andere zware titel: die van het Australian Open, samen met Française Kristina Mladenovic – hiermee steeg zij naar de vijfde positie. Na het bereiken van de kwartfinale op Wimbledon 2018 bereikte zij de eerste plaats op de wereldranglijst. Aan het einde van het tennisseizoen 2018 won zij, samen met Française Kristina Mladenovic het eindejaarskampioenschap in het dubbelspel, hetgeen zij een jaar later prolongeerden. In 2019 won dit koppel ook de titel op Roland Garros, en in 2020 die op het Australian Open. Tot op heden(oktober 2020) vergaarde zij 25 WTA-dubbelspel­titels.