אברמסקי נולד בעיר מינסק (אז בתחום המושב היהודי של האימפריה הרוסית) לרייזל, בעלת ייחוס רבני, ולרב יחזקאל אברמסקי, תלמיד חכם וראש ישיבה נודע. שמעון לא למד בבית ספר באופן מסודר אלא עם מורים פרטיים, בשפות יידיש, רוסית ועברית. בשנת 1929 נשפט אביו יחזקאל לגלות בסיביר בעקבות פעילותו נגד הדיכוי של היהדות בברית המועצות. לאחר קמפיין בינלאומי שוחרר, ובדצמבר 1931 היגרה המשפחה לאנגליה, ושם למד שמעון אברמסקי אנגלית. בשנת 1936 נסע לארץ ישראל כדי ללמוד באוניברסיטה העברית בירושלים לתואר בוגר בהיסטוריה יהודית וכללית ופילוסופיה. במהלך שהותו היה מעורב בפעילות פוליטית סוציאליסטית. בשנת 1939 חזר לקיץ לבקר את הוריו, וכשפרצה מלחמת העולם השנייה נשאר באנגליה ועבד בחנות ספרים יהודית בלונדון, כך שמעולם לא סיים תואר ראשון. בשנת 1940 נישא למרים לבית נירשטיין, בתו של אחד מבעלי החנות. בשנת 1941 הצטרף למפלגה הקומוניסטית הבריטית והיה פעיל בה. בשנת 1952 הוא שלח מכתב למערכת האקונומיסט בה יצא נגד הטענה שהשלטון בברית המועצות הוא אנטישמי, וטען שלא ניתן לדעת האם יהודי ברית המועצות רוצים לעלות לישראל. בשנת 1958, כשנתיים לאחר הפלישה הסובייטית להונגריה, פרש ממנה.