Никита Высоцкий заниматься спортом начал под руководством своего дедушки, Хабибуллина Раиса Габдрахмановича, учителя физкультуры Рождественской школы Увельского района. В 2007 году Никита поступил в СШОР № 2 по легкой атлетике города Челябинска, где продолжил тренировки под руководством Дениса Петровича Блажко и Владимира Леонидовича Колпакова. В 2012 году член сборной России Высоцкий выиграл чемпионат Европы по кроссу в составе юниорской команды (личное место — 14). В 2016 году на Чемпионате России по легкой атлетике Никита стал вице-чемпионом страны в беге на 1500 метров.