Клиний принадлежал к одному из наиболее влиятельных и богатых аристократических семейств Афин. Его рождение датируют приблизительно 510-ми годами до н. э. Клиний упоминается только в связи с одним событием. В 480 году до н. э., во время греко-персидских войн, он участвовал в морской битве с персами при Артемисии, командуя построенным на собственные средства кораблём с 200 воинами на борту. По словам античных авторов, он отличился в этом бою. Плутарх называет Клиния отцом Алкивиада, но, по мнению исследователей, он ошибается. В силу хронологии Клиний приходился Алкивиаду скорее двоюродным дедом.