Von 1918 bis 1922 absolvierte er eine Lithographenlehre und besuchte die Zeichenschule des Lindenau-Museums in Altenburg. Zwischen 1924 und 1931 studierte er an der Kunstakademie Dresden bei Otto Gussmann und Georg Lührig. In dieser Zeit unternahm er diverse Reisen; unter anderem nach München, Wien und Amsterdam. Burkhardt war Mitglied der Dresdner Sezession 1932. Im Jahr 1937 wurden seine Werke als entartet verfemt. 1945 wurde sein gesamtes bisheriges Werk beim Bombenangriff auf Dresden zerstört. Seit 1945 wohnte Heinrich Burkhardt wieder in Altenburg und wurde Leiter der Zeichenschule des Lindenau-Museums. Burkhardt nahm 1946 u. a. mit seinem Ölgemälde „Brennende Stadt“ an der Allgemeinen Deutschen Kunstausstellung in Dresden teil.