С детских лет сопровождал своего отца в заграничных поездках, где получил образование и изучил несколько европейских языков. В 1722 году получил чин камер-юнкера и был назначен советником посольства в Гааге. Однако уже в мае 1722 отправлен к французскому двору, где действовал совместно со своим отцом, сопровождавшим его как частное лицо. Куракиным удалось добиться содействия Франции в сохранении мира с Османской империей во время персидского похода. В 1724 году Б. И. Куракин назначен чрезвычайным и полномочным послом во Франции, А. Б. Куракин назначен представителем при французском дворе с пожалованием чина камергера (15.5.1724). Перед дипломатами была поставлена задача добиться согласия на брак царевны Елизаветы с королём Людовиком. Однако этот проект не удался. Оказывал покровительство учившемуся за границей В. К. Тредиаковскому, который посвятил ему свой перевод поэмы «Езда на остров Любви». После смерти отца в 1727 году назначен послом в Париже. Эрнст Миних в своих «Записках» писал: