Азамат Абдураїмов народився в Ташкенті 27 квітня 1966 року в сім'ї відомого нападника місцевого «Пахтакора» Берадора Абдураїмова в день руйнівного ташкентського землетрусу. З дитинства життя Азамата було пов'язане з футболом, і батько часто брав його на матчі ташкентської команди, в яких він виходив на поле з капітанською пов'язкою. У дитинстві Азамат Абдураїмов займався також баскетболом, боксом, хокеєм, проте вибрав для себе як основне заняття футбол. Перші серйозні уроки футболу молодший Абдураїмов отримав у московській школі ЕШВСМ, у 1982 році став разом із командою чемпіоном СРСР серед юнацьких команд. На початку 1983 року Азамат Абдураїмов грав у дублюючому складі «Пахтакора», пізніше перейшов до московської команди другої ліги ФШМ. Наступного року він потрапив до дублюючого складу московського «Спартака». У 1985 року молодого футболіста призвали на строкову службу до Радянської Армії, яку він спочатку проходив у дублюючому складі ростовського СКА, а пізніше у другому складі московського ЦСКА. У 1987 році Азамат Абдураїмов переходить до «Пахтакора», де головним тренером був його батько. Азамат став одним із лідерів команди, отримав запрошення до вищолігового московського «Спартака». Проте коли головним тренером команди став Федір Новиков, а його батько став начальником команди, новий головний тренер не захотів, щоб у команді було двоє Абдураїмових, і Азамат вирішив прийняти запрошення «Спартака». У московському клубі молодший Абдураїмов зіграв, щоправда, лише 3 гри в основі клубу у зв'язку із великою конкуренцією в складі, і сам попросив, щоб його відпустили на сезон 1991 року до іншої вищолігової команди — душанбинського «Паміра». У таджицькій команді Азамат Абдураїмов виступав досить успішно, розділивши друге місце по результативності з Чарияром Мухадовим та Рашидом Рахімовим. Цей чемпіонат став останнім в історії турніром на першість СРСР.