Oleksandr Klymenko gewann 1997 bei den Bahn-Radweltmeisterschaften die Silbermedaille in der Mannschaftsverfolgung, gemeinsam mit Oleksandr Symonenko, Oleksandr Fedenko und Serhij Matwjejew. Auf der Straße gewann Klymenko 1997 die Bronzemedaille im Straßenrennen der Militär-Weltmeisterschaften. In der Saison 2002 wurde er ukrainischer Meister im Straßenrennen. Außerdem gewann er jeweils eine Etappe und die Gesamtwertung bei der Tour of Japan und bei der Bałtyk-Karkonosze Tour. Im Jahr darauf konnte er den Gesamtsieg bei der "Bałtyk-Karkonosze Tour" wiederholen. 2005 war Klymenko beim Grand Prix Palma in der Slowakei erfolgreich. In der Saison 2006 gewann er die Bronzemedaille im Einzelzeitfahren der Militär-Weltmeisterschaften im niederländischen Chaam.