23 февраля 1944 года в возрасте 6 лет Суламбек вместе с семьей оказался в ссылке в Казахстане в результате депортации ингушского народа. Детство и юность Суламбека прошли в городе Балхаш Карагандинской области. Там он с отличием получил среднее образование, однако золотую медаль выпускник Суламбек Евлоев не получил, так как являлся представителем репрессированного народа.