אמורבייטה נולד בקנטאורה שבוונצואלה להורים ממוצא בסקי. הוא התחיל את הקריירה שלו במחלקת הנוער של אתלטיק בילבאו ובעונת ערך את הופעת הבכורה שלו בקבוצה הבוגרת. בעונת עזב את קבוצת המילואים והצטרף רשמית לסגל הקבוצה הראשונה בה רשם 27 הופעות בליגה ועוד אחת בליגה. הוא פתח בהרכב הקבוצה בגמר הליגה האירופית 2012, בו הפסידה בילבאו 3-0 לאתלטיקו מדריד.