Böhme begann seine Karriere beim SV Preußen Berlin in Hohenschönhausen. Anschließend spielte er beim Nachwuchs des SCC Berlin und beim VC Olympia Berlin. Mit der deutschen Junioren-Nationalmannschaft nahm Böhme, dessen Bruder Matthias ebenfalls Volleyball spielt, an den Weltmeisterschaften 2003 und 2005 (Platz acht und neun) sowie an den Europameisterschaften 2003 und 2004 (Platz vier und drei) teil. 2005 wechselte er zur Bundesliga-Mannschaft des SCC Berlin. In der ersten Saison erreichte er mit dem Verein das Halbfinale im DVV-Pokal und den dritten Platz in Bundesliga. Die gleichen Ergebnisse gab es in der Saison 2006/07. In der folgenden Saison kam Böhme mit dem SCC ins Pokal-Halbfinale und wurde deutscher Vizemeister. In seiner Berliner Zeit debütierte der Mittelblocker auch in der A-Nationalmannschaft. Mit der DVV-Auswahl erreichte er bei den Olympischen Spielen 2008 in Peking den neunten Platz. In der Saison 2008/09 endeten die beiden nationalen Wettbewerbe für Berlin jeweils im Halbfinale. Mit der Nationalmannschaft gewann Böhme die Volleyball-Europaliga 2009 und wurde Sechster bei der Europameisterschaft.