Народився 1 квітня 1974 року в місті Норт-Шилдс. Вихованець футбольної школи клубу «Ньюкасл Юнайтед». 10 листопада 1990 року у віці лише 16 років Вотсон дебютував за першу команду, вийшовши на заміну в матчі проти «Вулвергемптон Вондерерз» (1:2), ставши наймолодшим футболістом, який коли-небудь виступав за «Ньюкасл» на офіційному рівні. У 1993 році допоміг команді вийти до Прем'єр-ліги і в подальшому залишався основним гравцем «сорок». Вотсон двічі з командою став віце-чемпіоном Англії у сезонах 1995/96 і 1996/97, а також грав у фіналі Кубка Англії 1998 року та Суперкубку Англії 1996 року, але в обох випадках залишався без трофею. Невдовзі після початку сезону 1998/99 років Руд Гулліт вирішив продати Вотсона, оскільки вже мав достатню кількість гравців у складі, і тому хотів, щоб плата за трансфер Стіва в 4 мільйони фунтів була реінвестована в нових гравців. Загалом Вотсон провів у рідному клубі сім сезонів, взявши участь у 208 матчах чемпіонату.