Kulcsár saavutti ensimmäisen arvokisamitalinsa Tukholman EM-kilpailuissa 1958 sijoittumalla pronssille tuloksella 75,26 m. Hän voitti neljänneksi sijoittuneen ranskalaisen Michel Macquet’n vain kahdeksalla senttimetrillä. Rooman kesäolympialaisissa 1960 hän saavutti pronssia tuloksella 78,57 m. Belgradin EM-kilpailuissa 1962 hän sijoittui viidenneksi tuloksella 76,89 m. Tokion kesäolympialaisissa 1964 hän saavutti hopeaa tuloksella 82,32 m. Hänet voitti tuolloin vain suomalainen Pauli Nevala, joka puolestaan Budapestin EM-kilpailuissa 1966 jäi mitalien ulkopuolelle hävittyään 18 senttimetrin erolla tuloksen 80,54 m heittäneelle ja pronssia ottaneelle Kulcsárille.