Хайнц Гюнтхардт дебютировал в составе сборной Швейцарии в Кубке Дэвиса в октябре 1975 года, став в возрасте 16 лет и 244 дней самым молодым игроком в её истории. На следующий год 17-летний швейцарец стал победителем Открытого чемпионата Франции и Уимблдонского турнира в одиночном разряде среди юношей. В феврале 1978 года, вскоре после своего 19-летия, он стал первым в истории профессионального тура Гран-при игроком, выигравшим турнир этой серии после попадания в основную сетку в качестве «счастливого неудачника» (). По пути к победе он переиграл таких соперников, как Брайан Тичер, Ян Кодеш и Гарольд Соломон. В этом же году он дошёл в парном разряде до своих первых финалов сначала на Открытом чемпионате Канады, а затем в чемпионате США среди профессионалов. На следующий год он уже завоевал три титула в парном разряде — последовательно на Открытых чемпионатах ЮАР, Швеции и Австрии с тремя разными партнёрами. Ещё четыре парных финала он проиграл.