Szivós voitti Unkarin maajoukkueessa olympiakultaa Montréalissa 1976, olympiahopeaa Münchenissä 1972, olympiapronssia Méxicossa 1968 ja Moskovassa 1980, kolme MM-mitalia, joukossa mestaruus Belgradissa 1973, ja kolme EM-mitalia joista kaksi kultaista. Hänen István-isänsä oli vesipallon kaksinkertainen olympiavoittaja ja kolminkertainen olympiamitalisti ja Márton-poikansa olympiatason vesipalloilija. Szivós on, kuten isänsäkin, nimetty International Swimming Hall of Fameen.