ב-20 ביולי 2015 חתם סאביץ' על חוזה ל-5 שנים באתלטיקו מדריד מליגת העל הספרדית, כאשר הקשר מריו סוארס עושה את הדרך ההפוכה. ב-22 בספטמבר ערך סאביץ' את הופעת הבכורה שלו במועדון, כששיחק 90 דקות בניצחון 0–2 על חטאפה במסגרת המחזור החמישי בליגה. הוא ערך 12 הופעות ליגה בעונת . סאביץ' היה שחקן חשוב בהגעתה של אתלטיקו מדריד לגמר ליגת האלופות 2016, בו הפסידה אתלטיקו מדריד לריאל מדריד, יריבתה העירונית, בדו-קרב בעיטות עונשין. הוא היה לשחקן המונטנגרי הראשון בגמר ליגת האלופות מזה 18 שנים.