Rico doorliep de jeugdopleiding van Sevilla FC. Op 22 februari 2011 debuteerde hij hier in het tweede elftal, in een competitieduel tegen AD Ceuta. Op 1 juli 2013 zette hij zijn handtekening onder een nieuwe, tweejarige verbintenis. Vanwege blessures van Beto en Mariano Barbosa debuteerde Rico op 14 september 2014 in het eerste team, tijdens een wedstrijd in de Primera División thuis tegen Getafe CF. Sevilla won met 2–0, wat voor Rico een clean sheet betekende. Vier dagen later maakte hij zijn Europese debuut, in de UEFA Europa League tegen Feyenoord. Door een blessure van Beto bleef Rico voor de rest van het seizoen 2014/2015 eerste doelman. Zo speelde hij onder meer tijdens de gewonnen Europa Leaguefinale, waarin hij zijn eerste prijs won in het betaald voetbal.