Grant entstammt einer schottischen Gentry-Familie. Sein Bruder war der Maler Sir Francis Grant, Mitglied der Royal Academy of Arts. Hope Grant trat 1826 als Kornett bei den "9th Lancers" in die britische Armee ein. Er diente zwischen 1840 und 1842 unter George Elliot und Hugh Gough im Ersten Opiumkrieg. Nachdem er zum Major befördert worden war, erfolgte seine Versetzung nach Indien. Er nahm 1845/46 am Ersten Sikh-Krieg teil und kämpfte in der Schlacht von Sobraon (10. Februar 1846) mit großer Auszeichnung gegen die Sikhs.