Клиний принадлежал к одному из наиболее влиятельных и богатых аристократических родов Афин, возводившему свою генеалогию к мифологическому герою Еврисаку, сыну Аякса Теламонида и царю Саламина. В некоторых эпиграфических источниках представителей этого рода называют Саламиниями. Отец Клиния носил то же имя и предположительно был племянником ещё одного Клиния, упомянутого в источниках как участник битвы при Артемисии в 480 году до н. э.. Матерью Клиния-младшего была Диномаха, дочь Мегакла из рода Алкмеонидов, двоюродная сестра Перикла и родная сестра его первой жены Телезиппы.