Артур Григорян родился в 1967 году в Ташкенте в семье выходцев из Нагорного Карабаха. Начал заниматься боксом в 1978 году под руководством Льва Ахмеджанова. В 1990 году стал победителем Игр доброй воли в Сиэтле. По ходу этого турнира он выиграл у таких сильных соперников как будущий чемпион мира среди профессионалов Шейн Мосли (США) и чемпион мира (1989) Хулио Гонсалес (Куба). В 1991 году дошёл до финала и завоевал серебряную медаль чемпионата мира в Сиднее. В 1992 году выиграл чемпионат СНГ, в составе Объединённой команды участвовал в Олимпийских играх в Барселоне.