Pierwszy sukces w karierze Alex Pedersen osiągnął w 1983 roku, kiedy wspólnie z kolegami z reprezentacji zdobył złoty medal w drużynowej jeździe na czas podczas mistrzostw świata juniorów. Rok później zdobył brązowy medal na MŚJ w wyścigu ze startu wspólnego, a w 1986 roku został mistrzem Danii wśród amatorów. W 1987 roku wystartował na mistrzostwach świata w Villach, zdobywając brązowy medal w wyścigu ze startu wspólnego amatorów. W zawodach tych wyprzedzili go tylko Francuz Richard Vivien oraz Niemiec Hartmut Bölts. W tej samej konkurencji Pedersen zdobył złoty medal na rozgrywanych siedem lat później mistrzostwach świata w Agrigento. Wyprzedził tam bezpośrednio Słowaka Milana Dvorščíka i Francuza Christophe'a Mengina. Jeszcze czterokrotnie zdobywał medale mistrzostw kraju, w tym złoty w 1992 roku. Nigdy nie wziął udziału w igrzyskach olimpijskich. W latach 1988-1991 przez cztery sezony jeździł w zawodowym peletonie.