Klaverness begann als 12-Jährige Fußball zu spielen. Sie trainierte beim IL Kvernbit in der damaligen Gemeinde Meland. Im Alter von 16 Jahren wechselte sie im Jahr 1997 zum IL Sandviken und sie gab ihr Debüt für eine Jugendnationalmannschaft. Nachdem der IL Sandviken abstieg, wechselte sie 2000 zunächst zu Arna-Bjørnar und nachdem Sandviken nicht erneut aufstieg, ging sie 2001 zu Athene Moss über. Im Jahr 2002 begann Klaveness für den Fußballverein Asker FK zu spielen, mit dem sie im Jahr 2005 den norwegischen Pokal gewann. In dieser Zeit gelang es ihr auch, einen Stammplatz in der Nationalmannschaft zu erhalten. Bei der WM 2003 schied ihr Team im Viertelfinale aus, bei der Europameisterschaft 2005 gewann es die Silbermedaille. Da ihr Verein Asker FK wegen finanzieller Probleme im Herbst 2005 absteigen musste, wechselte sie für die Saison 2006 zum schwedischen Verein Umeå IK, mit welchem sie 2006 und 2007 jeweils die Meisterschaft gewann. Zudem wurde sie auch dort Pokalsiegerin 2007 und Klaveness spielte beim &lt;a href="UEFA%20Women%E2%80%99s%20Cup%202006/07"&gt;UEFA Women’s Cup 2006/07&lt;/a&gt; im Finale.