Barretts Vater Rowan spielte von 1992 bis 1996 Basketball an der St. John’s University im US-Bundesstaat New York und anschließend als Profi in Israel, Argentinien, Spanien, Frankreich, Venezuela und Griechenland. 2000 nahm er mit der kanadischen Nationalmannschaft an den Olympischen Sommerspielen sowie 1998 und 2002 an Weltmeisterschaften teil. Nach seiner Spielerlaufbahn wurde er Mitglied des Führungsstabes der kanadischen Basketballnationalmannschaft und Stellvertreter von Manager Steve Nash, R. J. Barretts Patenonkel. Seine Mutter Kesha (Mädchenname: Duhaney) betrieb an der St. John's University Leichtathletik (Sprint).