В ходе азербайджано-армянского вооружённого конфликта участвовал в боевых действиях по защите суверенитета и территориальной целостности Азербайджана. 9 июня 1992 года в Агдамском районе шли кровопролитные бои. В этих боях майор азербайджанской армии, умелый и мужественный командир А. Давидович служил примером для своих подчинённых, нанося противнику удар за ударом. Вооружённые формирования неприятеля терпели ощутимый урон от войск под командованием майора А. Давидовича. Анатолий проявил исключительный героизм в боях, когда азербайджанская армия перешла в наступление в Агдамском направлении. У села Нахичеваник молодой майор лично уничтожил несколько единиц вражеской боевой техники, ожесточённо сражался с противником.