Mindaugas Kavoliūnas bestritt seine ersten Rennen in der Saison 2006/07 im Europacup (später IBU-Cup) der Junioren. 2007 nahm er in Martell erstmals an Biathlon-Juniorenweltmeisterschaften teil und wurde 64. des Einzels, 44. des Sprints, 48. der Verfolgung sowie 14. mit der litauischen Staffel. Im weiteren Verlauf des Jahres nahm er an den Juniorenrennen der Sommerbiathlon-Weltmeisterschaften 2007 in Otepää teil, wo er bei den Crosslauf-Wettkämpfen 28. des Sprints und 30. der Verfolgung, auf Rollski Siebter des Sprints und 21. der Verfolgung. Seine zweite Junioren-Weltmeisterschaften lief Kavoliūnas 2008 in Ruhpolding. In Deutschland lief er auf die Plätze 80im Einzel, 61 im Sprint und 14 mit der Staffel. Es folgte die Teilnahme an den Juniorenrennen der Biathlon-Europameisterschaften 2008 in Nové Město na Moravě, bei denen der Litauer 48. des Einzels, 49. des Sprints und 43. der Verfolgung wurde. Das Staffelrennen beendete die Auswahl seines Landes nicht. Später folgte die Teilnahme an den Juniorenwettbewerben der Sommerbiathlon-Weltmeisterschaften 2008 in Haute-Maurienne. In Frankreich wurde Kavoliūnas auf Skirollern 24. des Sprints und 29. der Verfolgung.