2 ноября 1943 года в ходе Керченско-Эльтигенской десантной операции в числе первых в подразделении высадился на Керченском полуострове. При подходе к высоте 63,0 продвижение десантников было остановлено шквальным пулемётным огнём. Гвардии сержант Абаев ползком пробрался в тыл противника и уничтожил пулемётчиков, после чего открыл огонь из трофейного пулемёта по врагу, чем посеял панику в стане неприятеля и способствовал захвату высоты. 3 ноября 1943 года командир отделения 6-го гвардейского стрелкового полка комсомолец гвардии сержант А. М. Абаев в бою за расширение плацдарма в районе селения Маяк (ныне в черте города Керчь) обойдя отходящее подразделение противника с фланга, пулемётным огнём отрезал ему пути отступления. Лично уничтожил 7 вражеских солдат и 2 взял в плен. В бою за удержание высоты 175,0 успешно отражал контратаки превосходящих сил немцев. В критический момент поднял бойцов врукопашную и опрокинул противника. Всего за два дня боёв гвардии сержант Абаев уничтожил 32 солдат неприятеля, в том числе 9 – в рукопашной схватке за высоту 175,0.