Pierwszy sukces w karierze Anne Heggtveit osiągnęła w 1954 roku, kiedy podczas zawodów Holmenkollen ski festival w Oslo zwyciężyła w slalomie gigancie. W tym samym roku wystartowała na mistrzostwach świata w Åre, gdzie jej najlepszym wynikiem było siódme miejsce w slalomie. W 1956 roku wystąpiła na igrzyskach olimpijskich w Cortina d’Ampezzo, zajmując miejsca w trzeciej i czwartej dziesiątce. Podczas rozgrywanych w 1958 roku mistrzostw świata w Bad Gastein Heggtveit była szósta w kombinacji, siódma w zjeździe, ósma w slalomie oraz piętnasta w gigancie. Największe sukcesy osiągnęła jednak podczas igrzysk olimpijskich w Squaw Valley w 1960 roku. Kanadyjka wywalczyła tam złoty medal w slalomie, prowadząc już po pierwszym przejeździe. W drugim przejeździe osiągnęła drugi czas, co jednak wystarczyło do zwycięstwa z przewagą 3,3 sekundy nad Betsy Snite z USA i 7,0 sekundy nad Barbarą Henneberger ze Wspólnej Reprezentacji Niemiec. Był to pierwszy w historii złoty medal olimpijski dla Kanady w narciarstwie alpejskim. Igrzyska w Squaw Valley były równocześnie mistrzostwami świata, jednak kombinację rozegrano tylko w ramach drugiej z tych imprez. W konkurencji tej Heggtveit również zwyciężyła, wyprzedzając dwie reprezentantki RFN: Sonję Sperl i Barbarę Henneberger. Została tym samym pierwszą Kanadyjką w historii, która została mistrzynią świata w kombinacji. Ponadto w 1959 roku zwyciężyła w kombinacji podczas zawodów Arlberg-Kandahar-Rennen rozgrywanych w Garmisch-Partenkirchen. W 1960 roku zakończyła karierę.