Отец — Шалва Николаевич Хубутия (1922—2002), окончил институт пищевой промышленности, работал в системе общественного питания на руководящих должностях, в том числе директором объединения столовых. Мать — Этери Ивановна Сичинава (род. 1923), занималась воспитанием детей. В семье были два сына и дочь, М. Хубутия — младший ребёнок. Брат Заур (1944—1992) работал врачом; погиб во время войны в Абхазии при эвакуации раненых. Ещё до получения метрики мальчика в семье стали звать Анзором, близкие и друзья называют его так всю жизнь. Но в свидетельство о рождении родные внесли старинное грузинское имя Могели.