Свою ігрову кар'єру розпочав у юнацькій команді «Спартак» (Ужгород). У 1956 р. наставник ужгородців Михайло Михалина його ще зовсім молодим юнаком запросив до головної дружини краю, яка тоді була учасником чемпіонату СРСР в класі «Б». Спочатку йому довелося цілий рік просидіти на лаві запасних, але вже у 1957 р. він з командою став четвертьфіналістом Кубка СРСР з футболу у 1 зоні УРСР. Незабаром на талановитого молодого голкіпера звернули увагу тренери київського «Динамо» і в 1959 р. він, разом зі своїми одноклубниками Турянчиком та Сабо переїхав у столицю України. Перший сезон у складі киян, став найуспішнішим в кар'єрі воротаря. Замінивши на останньому рубежі травмованого основного кіпера команди Макарова, продемонстрував надійну і впевнену гру, чим привернув до себе увагу тренерів збірної СРСР, яка тоді почала підготовку до Кубку Європи. Гаваші у 1959 р. зайняв шосте місце серед лауреатів щорічної нагороди Футболіст року в Україні. Згодом він потрапляє в списки кандидатів в збірну СРСР, проводить з національною командою збори, беручи участь у тренувальній грі. (В той час він був внесений в заявку на товариський матч збірних СРСР і Чехословаччини, в якому був дублером Льва Яшина). Але зіграти в головній команді країни, так і не вдалося. Наступного року він повернувся до рідного клубу. В ужгородському «Спартаку», хоч був воротарем, однак розкрив себе і в атаці. Навіть одного сезону став найкращим бомбардиром цієї команди, яку в 1961 р. перейменували на «Верховину» і в якій він завершив свою ігрову кар'єру.