הארנט נולד בקלונאקילטי שבמחוז קורק, אירלנד בתקופת הרעב הגדול. זמן קצר לאחר לידתו משפחתו היגרה לאמריקה והתיישבה בפילדלפיה. בהיותו אזרח ארצות הברית בשנת 1868 התפרנס כצעיר על ידי חריטה תוך שהוא לוקח שיעורי לילה באקדמיה לאמנויות יפות בפנסילבניה ובהמשך, בניו יורק באקדמיה לעיצוב. ציור השמן הידוע הראשון שלו, טבע דומם, מתוארך לשנת 1874.