Alekna je v svoji karieri nastopil na poletnih olimpijskih igrah v letih 1996 v Atlanti, 2000 v Sydneyju, 2004 v Atenah, 2008 v Pekingu in 2012 v Londonu. V letih 2000 in 2004 je osvojil naslov olimpijskega prvaka v metu diska, leta 2008 pa je osvojil bronasto medaljo. Na svetovnih prvenstvih je osvojil naslova prvaka v letih 2003 in 2005 ter naslova podprvaka v letih 1997 in 2001, na evropskih prvenstvih pa naslov prvaka leta 2006, srebrno medaljo leta 2002 in bronasto leta 1998.