Francisco Calvo fue convocado por el entrenador argentino Ricardo La Volpe para jugar la Copa América de 2011. Hizo su debut el 2 de julio de ese año, en el partido entre la Selección costarricense contra la colombiana, el cual la escuadra "Tricolor" salió derrotada 1-0. Su segundo juego se disputó ante Bolivia el 7 de julio, donde se obtuvo la victoria 0-2, con anotaciones de sus compañeros Josué Martínez y Joel Campbell. Francisco tuvo la titularidad en ambos partidos durante los 90' minutos, no obstante, en el último encuentro de la fase de grupos se enfrentó a Argentina, y solo jugó 45' minutos en la derrota 3-0, lo que significó la eliminación del torneo para los "Ticos".