Morosini war zweiter von drei Söhnen des Prokurators von San Marco Pietro Morosini und der Maria Morosini, einer entfernten Verwandten. Schon früh schlug er eine militärische Laufbahn ein. Als Jugendlicher hatte er an Bord einer Galeere seemännische Erfahrung sammeln können. Als junger Mann nahm er an Kämpfen gegen die Seeräuber in der Adria, am Castrokrieg und am Krieg um Kreta (Candia) teil, wo er schließlich zum "provveditore general" befördert wurde. Nach fünfundzwanzig Jahre langen heftigen Kämpfen um Kreta musste er 1669 die Insel an die Türken übergeben. Venedig wurde neben einem ehrenhaften Abzug der Unterhalt einiger Flottenstützpunkte auf der Insel gestattet und durfte die Inseln Tinos und Kythera sowie Gebiete in Dalmatien behalten. Nach seiner Rückkehr nach Venedig wurde er der Feigheit und des Landesverrates beschuldigt, jedoch in allen Punkten freigesprochen (die Söldner aus Frankreich, aus dem Kirchenstaat, aus Malta und aus Deutschland hatten die Venezianer zuletzt im Stich gelassen).