Пулевой стрельбой начала заниматься в девятилетнем возрасте, а уже спустя четыре года установила национальный рекорд Сербии в своей возрастной категории. В 2007 году Бобана стала чемпионкой Европы по стрельбе из пневматического пистолета среди юниоров, а в 2010 году завоевала два континентальных «золота» и среди взрослых. В дальнейшем успешно выступала на европейском уровне, завоёвывая медали практически на каждом континентальном первенстве по стрельбе из пневматического оружия. В 2014 году на чемпионате мира в испанской Гранаде Бобана Величкович стала чемпионкой в командном турнире по стрельбе из пневматического пистолета, выступая вместе с Зораной Арунович и своим личным тренером Ясной Шекарич.