Wheeler nousi suksille jo kaksivuotiaana ja oli maansa nuorten mestari 12-vuotiaana. Hänelle tarjottiin mahdollisuutta osallistua vuoden 1950 MM-kisoihin, mutta tuolloin hänen vanhempansa eivät antaneet 15-vuotiaan Wheelerin osallistua. Wheeler osallistui arvokisoihin ensimmäistä kertaa vuonna 1952, jolloin hän kilpaili Oslon olympialaisissa. Tuolloin hän oli pujottelussa kahdeskymmeneskuudes ja kahdeskymmenesseitsemäs sekä suurpujottelussa että syöksylaskussa. Wheeler osallistui olympialaisiin myös Cortina d'Ampezzossa 1956. Tuolloin hänet hylättiin pujottelussa ja hän oli kuudes suurpujottelussa sekä voitti pronssia syöksystä. Wheeler sai vuoden 1958 MM-kisoista kolme mitalia, kultaa syöksylaskusta ja suurpujottelusta sekä hopeaa alppiyhdistetystä. Wheeler lopetti uransa seuraavana vuonna.