Der im heutigen Pulaski County geborene Joseph Draper besuchte private Schulen. Nach einem anschließenden Jurastudium und seiner 1818 erfolgten Zulassung als Rechtsanwalt begann er in Wytheville in diesem Beruf zu arbeiten. Er nahm als einfacher Soldat am Britisch-Amerikanischen Krieg von 1812 teil. In den 1820er Jahren schloss er sich der Bewegung um den späteren Präsidenten Andrew Jackson an und wurde Mitglied der von diesem 1828 gegründeten Demokratischen Partei. Zwischen 1828 und 1830 saß er im Senat von Virginia.