Erste internationale Erfahrungen sammelte Balázs Baji im Jahr 2007, als er bei den Junioreneuropameisterschaften in Hengelo bis in das Halbfinale gelangte und dort mit 13,80 s ausschied. Im Jahr darauf belegte er bei den Juniorenweltmeisterschaften in Bydgoszcz in 13,60 s den siebten Platz. 2009 qualifizierte er sich im 60-Meter-Hürdenlauf für die Halleneuropameisterschaften in Turin, bei denen er mit 7,94 s in Vorlauf ausschied, ehe er bei den U23-Europameisterschaften in Kaunas mit 13,96 s im Halbfinale ausschied. 2010 nahm er erstmals an den Europameisterschaften in Barcelona teil, scheiterte dort aber mit 14,01 s in der ersten Runde. Auch bei den Leichtathletik-Halleneuropameisterschaften 2011 in Paris schied er über 60 m Hürden mit 7,77 s in der Vorrunde aus und belegte anschließend bei der Sommer-Universiade in Shenzhen in 13,71 s den sechsten Platz. Zudem qualifizierte er sich für die Weltmeisterschaften in Daegu, bei denen er mit 14,06 s in der ersten Runde ausschied. Im Jahr darauf erreichte er bei den Hallenweltmeisterschaften in Istanbul das Halbfinale und schied dort mit 7,76 s aus. Daraufhin schied er auch bei den Europameisterschaften in Helsinki mit 13,68 s im Halbfinale aus und nahm im August auch an den Olympischen Spielen in London teil, bei denen er mit 13,76 s im Vorlauf ausschied.