Nachdem Stipe Pletikosa nach der Fußball-Weltmeisterschaft 2014 seine Nationalmannschaftskarriere beendet hatte, rückte Subašić zur neuen Nummer 1 auf. In der erfolgreichen Qualifikation für die Fußball-Europameisterschaft 2016 in Frankreich bestritt er alle Spiele und wurde anschließend in das kroatische Aufgebot aufgenommen. Auch während des Turniers war er Stammtorhüter und stand bei allen vier Spielen bis zum Ausscheiden im Achtelfinale zwischen den Pfosten.