Aux Championnats du monde en salle 1991 de Séville, Conway remporte son premier grand titre international en réalisant 2,40 m, devançant notamment Artur Partyka et Javier Sotomayor. La même année, il s'impose à l'Universiade de Sheffield et décroche la médaille de bronze des Jeux panaméricains de La Havane et des Championnats du monde en plein air de Tokyo remportés par Charles Austin. En 1992, il termine à la troisième place de la finale des Jeux olympiques de Barcelone qui voit cinq athlètes franchir la barre de 2,34 m. Sotomayor remporte finalement le concours au nombre d'essais réussis.