Busch, aus einfachen Verhältnissen stammend, besuchte ein Gymnasium und maturierte mit Auszeichnung. Im Ersten Weltkrieg diente er an der italienischen Front und beendete diesen Einsatz als hochdekorierter Leutnant der Reserve. Nach dem verlorenen Krieg studierte er Französisch und Turnen an der Universität Innsbruck sowie in Freiburg in der Schweiz und Paris. 1921 nahm er eine Lehrtätigkeit als Turnlehrer am Innsbrucker Bundes- und Realgymnasium an. Ab 1931 leitete er die vom Alpenverein eingerichtete Landesstelle für alpines Jugendwandern in Tirol. Weil Busch Funktionär der Vaterländischen Front war und als politischer Gegner eingestuft wurde, wurde er nach der Eingliederung Österreichs in das Deutsche Reich von seiner Lehrtätigkeit suspendiert. Im Zweiten Weltkrieg diente er unter anderem im Heerespersonalamt im Oberkommando des Heeres in Berlin. Nach dem Krieg war er im treuhändigen Verwaltungsausschuss tätig und wurde 1946 zu dessen Vorsitzenden berufen. 1947 wurde ihm die Treuhandverwaltung von rund 180 Hütten der deutschen Sektionen des Alpenvereins übertragen und er wickelte deren Restitution ab. Ende 1952 wurde Busch zum Ersten Vorsitzenden des Österreichischen Alpenvereins gewählt.