Puică alkoi menestyä juoksussa vasta suhteellisen varttuneena. Vuonna 1979 hän teki maailmanennätyksen 2 000 metrin juoksussa Bukarestissa ajalla 5.33,5. Vuonna 1982 hän teki mailin juoksun maailmanennätyksen Rietissä ajalla 4.17,44. Samana vuonna hän voitti hopeaa Ateenan EM-kisojen 3 000 metrin juoksussa. 1984 Los Angelesin kesäolympialaisissa Puică sijoittui 1 500 metrin juoksussa kolmanneksi ja voitti 3 000 metrin juoksun, jossa Mary Decker ja Zola Budd törmäsivät. 1986 hän teki uransa viimeisen maailmanennätyksen parantaen 2 000 metrin tulosta Lontoossa lukemiin 5.28,69. Samana vuonna Stuttgartin EM-kilpailuissa hän voitti hopeaa 3 000 metrin kilpailussa. 1987 hän voitti sisäratojen MM-kilpailuissa Indianapoliksessa 3 000 metrillä pronssia ja Rooman MM-kisoissa hopeaa.