Zur Saison 2015/16 wechselte Böhme nach Polen zu MKS Cuprum Lubin. 2017 wurde er mit der Nationalmannschaft in Polen Vize-Europameister. Danach wechselte er zum griechischen Erstligisten Olympiakos Piräus. Mit dem Verein wurde er in der Saison 2017/18 griechischer Meister und erreichte das Finale im Challenge Cup. 2019 gelang ihm mit Piräus die Titelverteidigung in der Liga. Anschließend wurde er vom russischen Verein Dynamo Lo verpflichtet.