In 1988 bereikte Zavarov met de Sovjet-Unie - dat voornamelijk bestond uit spelers van Dynamo Kiev, zoals Oleksij Mychajlytsjenko, Oleg Protasov en Ihor Bilanov - de finale van het EK voetbal 1988. Daarin verloor het met 2-0 van Nederland, door doelpunten van Ruud Gullit en Marco van Basten. Na het EK voetbal openden de grenzen van de Sovjet-Unie zich en mochten voetballers de overstap maken naar Europese clubs. Zavarov was een van de eerste spelers die vertrok en tekende een contract bij Juventus. Met de Italiaanse topclub legde hij in 1990 beslag op de Coppa Italia en UEFA Cup, maar in het algemeen was zijn eigen inbreng minimaal. Net zoals vele andere Sovjet-spelers die destijds de overstap maakten naar Europa mislukten zij stuk voor stuk.