Родители Гиви Ахвледиани — офицер царской армии и русская сестра милосердия — познакомились в Турции на перекрёстках Первой мировой войны. В трёхлетнем возрасте Гиви остался без матери (ей было всего 20), а в 1937 году был расстрелян его отец. Как сын «врага народа» Гиви не был включён в 1949 году в состав сборной СССР для участия на первом в истории чемпионате мира, хотя её тренеры Григорий Берлянд и Николай Бендеров обратили внимание на этого игрока из Тбилиси, получившего звание мастера спорта ещё в 1938 году, за успешное выступление на всесоюзных студенческих соревнованиях за команды Тбилисского университета по баскетболу и волейболу. В 1951 году по ходатайству Николая Романова, ставшего впоследствии председателем Спорткомитета СССР, Ахвледиани всё же был вызван в главную команду страны, в составе которой завоевал золотые медали чемпионата Европы в Париже, а в следующем году стал победителем первенства планеты, проходившего на стадионе «Динамо» в Москве.