Jozef Sabovčík begann im Alter von sieben Jahren auf Wunsch seiner Großmutter mit dem Eiskunstlauf. Später sagte Sabovčík, dass er seiner Großmutter einen Großteil seines Erfolgs verdanke. Während seiner Amateurkarriere wurde Sabovčik von 1979 bis 1984 sechsfacher nationaler Meister der Tschechoslowakei und 1985 und 1986 zweifacher Europameister. Außerdem gewann er die Bronzemedaille bei den Olympischen Spielen 1984 hinter Scott Hamilton und Brian Orser. Sabovčík wurde von Agnesa Búřilová trainiert.