Согласно послужному формуляру, Григорий Елагин числился на военной службе с 1733 года, начал службу на унтер-офицерских должностях, в ходе крымских походов фельдмаршала Миниха участвовал во взятии Перекопа, в боях под Карасу-Базаром и при захвате Бахчисарая, штурме Очакова. В 1743 году получил первое обер-офицерское звание прапорщика, в дальнейшем произведён в поручики (1748), ротмистры (1757), в 1763 году получил штаб-офицерское звание секунд-майора, на следующий год — премьер-майора. Согласно сохранившимся в архивах послужным спискам, Елагин характеризовался исправным офицером: «под судом и в штрафах не бывал», «читать и писать умеет, а других наук не знает».