Антоний Цешинский родился в городе Олесница (ныне — Нижнесилезское воеводство Польши). Учился в классических гимназиях Познани и Быдгоща. Обучался медицинскому делу в Берлине и Мюнхене. С 1913 года работал адъюнкт-профессором — директором стоматологической клиники при медицинском факультете Львовского университете. Благодаря активной деятельности Цешинского клиника была преобразована в стоматологический институт, на то время бывший первым в странах Восточной Европы. В годы вхождения Львова в состав Польши Цешинский преподавал в Львовском медицинском институте, заведовал в нём кафедрой стоматологии. В 1927—1928 годах был деканом медицинского факультета. Кроме того, избирался председателем Польского Национального комитета Международного союза стоматологической помощи, почётным председателем Союза славянских стоматологов, почётным членом Стоматологических обществ в Вашингтоне, Буэнос-Айресе, Праге и Вене. В начальный период Первой мировой войны Цешинский стал организатором в своём институте представительства Красного Креста. Перед занятием Львова русской армией Цешинский уехал в Тарнов, позднее переехал в Вену, где основал поликлинику для лечения челюстно-лицевых травм у беженцев из Польши. Участвовал в обороне Львова от Украинской Галицкой Армии в ноябре 1918 года.