Gotsch besuchte das Berliner Kadettenhaus und wurde am 12. Oktober 1822 als Sekondeleutnant dem 7. Kürassier-Regiment der Preußischen Armee überwiesen. Vom 15. Oktober 1825 bis zum 16. August 1828 war er zur weiteren Ausbildung an die Allgemeine Kriegsschule kommandiert. Von 1832 bis 1842 wurde er als Regimentsadjutanten verwendet und zwischenzeitlich Anfang März 1834 zum Premierleutnant befördert. Daran schloss sich bis 1843 eine Kommandierung zum topographischen Büro. Am 1. Mai 1843 kam er dann als Hauptmann in den Generalstab des Gardekorps. Gotsch avancierte am 22. Juli 1848 zum Major und wurde am 2. September 1848 in den Generalstab des III. Armee-Korps versetzt. Am 22. März 1849 wurde er in den Generalstab des Oberbefehlshabers des nach Schleswig bestimmten Reichsheeres kommandiert. Während des Krieges gegen Dänemark kämpfte er in den Gefechten bei Almind und Diuf. Für Vejle erhielt Gotsch den Roten Adlerorden IV. Klasse mit Schwertern und das Ritterkreuz des Militär-St.-Heinrichs-Ordens.