Amer es el más joven de seis hermanos de origen palestino. El padre de Amer trabajó como ingeniero para la Kuwait Oil Company, y fue en la propia ciudad de Kuwait donde nació Mohammed. En octubre de 1990, durante la Guerra del Golfo, Mohammed Amer huyó de Kuwait junto con su hermana Haifa, su hermano Amer y su madre. Emigraron a los Estados Unidos y se asentaron en Houston, Texas.