Kellaw stand als Bischof von Durham vor dem Problem, dass im Krieg gegen Schottland die Schotten bei ihren Raubzügen zunehmend weiter nach Nordengland vorstießen. Schon seine Abwesenheit am Konzil von Vienne 1311 wurde mit der Begründung entschuldigt, dass er für die Verteidigung der Grenze zu Schottland verantwortlich war. Auch bei den englischen Parlamenten ließ er sich regelmäßig vertreten, da aufgrund der schottischen Angriffe seine Anwesenheit in Nordengland erforderlich sei. Dabei versuchte er, das County Durham vor Plünderungen zu schützen, in dem er den Schotten hohe Lösegelder zahlte und sich so kurzzeitige Waffenstillstände erkaufte. "Richard Marmaduke", sein Verwalter und dazu einer seiner wichtigsten Ratgeber, war auch ein Vasall von Thomas of Lancaster und diente regelmäßig als Unterhändler mit den Schotten über die Höhe der Lösegelder. Als der königliche Favorit Piers Gaveston 1312 von Lancaster und anderen rebellierenden Magnaten in Scarborough Castle in Yorkshire belagert wurde, soll Kellaw ihm Zuflucht verweigert haben. Gaveston wurde gefangen genommen und wenig später nach kurzer Verhandlung hingerichtet. Der erzürnte König soll daraufhin versucht haben, dass Kellaw als Bischof von Durham eine andere Diözese übertragen wurde. Als der König 1314 einen Feldzug nach Schottland führte, musste Kellaw dem König 1000 Mark zahlen und 1500 Mann für das Heer aufbieten. Der Feldzug endete jedoch mit der Niederlage in der Schlacht von Bannockburn. Daraufhin setzten die Schotten ihre Angriffe auf Nordengland fort. Bis zu seinem Tod musste Kellaw Lösegelder an die Schotten zahlen, damit diese seine Diözese nicht plünderten.