Jonas Bergqvist begann seine Karriere als Eishockeyspieler bei Leksands IF, für die er von 1981 bis 1989 in der Elitserien aktiv war. In diesem Zeitraum wurde der Angreifer im NHL Entry Draft 1988 in der sechsten Runde als insgesamt 126. Spieler von den Calgary Flames ausgewählt. Für die Flames spielte er in der &lt;a href="NHL%201989/90"&gt;Saison 1989/90&lt;/a&gt; ebenso in der National Hockey League, wie für deren Farmteam aus der International Hockey League, die Salt Lake Golden Eagles. In seinem Rookiejahr erzielte er dabei in 22 NHL-Einsätzen insgesamt sieben Scorerpunkte, darunter zwei Tore. Im Anschluss an diese Spielzeit wechselte der Schwede zum Mannheimer ERC in die Eishockey-Bundesliga, für die er in 36 Spielen 16 Tore erzielte und 23 Vorlagen gab.