Nascido em Hampstead, Londres, Graham ficou conhecido durante a parte final de sua carreira por sua inteligência e paciência. Ele iniciou sua carreira na Fórmula 1 aos 29 anos correndo pela Lotus. Depois de dois anos sem marcar sequer um ponto, entrou na BRM, e venceu seu primeiro campeonato em 1962. Ainda na BRM, ele foi vice-campeão em , e . Seu segundo título veio depois de voltar para a Lotus em 1968. Nesse mesmo ano, ele venceu o Grande Prêmio da Espanha com a Lotus patrocinada pela "Gold Leaf", na primeira aparição de um carro estampado por uma empresa tabagista sem vínculo com o meio automobilístico.