אביו של דז'ה קוסטולאני היה ארפאד קוסטולני (1859-1926 מורה לפיזיקה ומתמטיקה, ואמו הייתה אאולאליה ברנר (1866-1948). סבו מצד אביו היה אגושטון קוסטולאני, פקיד בנק ששירת כסרן בצבא של הגנרל בם במהפיכת 1848 בהונגריה (הכיר אישית הן את מנהיג המהפיכה לאיוש קושוט והן את המשורר שאנדור פטפי). הוא זה שלימד את נכדו דז'ה קוסטולאני קרוא וכתוב וגם אנגלית. התינוק הוטבל ב־7 באפריל 1885, בקהילה הרומית-קתולית בסנטה טרזה בסובוטיצה, סנדקיו היו אישטוואן הופבאואר, לימים גנרל 3 כוכבים ואשתו, איזבלה אורבץ. הילד קיבל בטבילה את השמות הפרטיים דז'ה, אישטוואן ואיזבלה.