Свою хоккейную карьеру Мюррей начал в клубе «Тандер-Бей Кингз», после чего в 2010 году перешёл в «Су-Сент-Мари Грейхаундз» из Хоккейной лиги Онтарио. На Драфте НХЛ 2012 был выбран «Питтсбург Пингвинз» в третьем раунде под общим 83-м номером. 4 сентября 2013 года Мэтт заключил контракт новичка с «Питтсбург Пингвинз», но ещё один сезон продолжал выступление за «Грейхаундз» и прошёл с ними до полуфинала конференции юниорской лиги в качестве основного вратаря.