Avec le club de la capitale argentine où il est le gardien titulaire, Pumpido remporte le championnat d'Argentine pour la première fois en 1986. Durant l'été, il participe à la Coupe du monde au Mexique en tant que premier gardien de la sélection "Albiceleste", et décroche le trophée mondial, ne concédant que cinq buts en sept matches. Par la suite, il remporte encore la même année la Copa Libertadores, pour la première fois dans l'Histoire du club, et la Coupe intercontinentale, ce qui est également la première, et jusqu'à présent seule, victoire dans la compétition pour River Plate. Il joue encore deux saisons à Buenos Aires, et tente sa chance en Europe en 1988, au Real Betis plus précisément.