Константин Волков начал свою профессиональную карьеру в 2000 году в составе клуба Первой лиги «Ижорец». После этого он отправился в Москву, где стал выступать за фарм-клуб «Динамо». В 2003 году Константин стал игроком клуба ТХК «Тверь», однако уже спустя 18 матчей он переехал в Тольятти, где стал выступать за вторую команду «Лады», а сезон он заканчивал в самарском ЦСК ВВС. В том же году на драфте НХЛ он был выбран в 4 раунде под общим 125 номером клубом «Торонто Мейпл Лифс».