Бергквист — воспитанник клуба «Мальмё». 1 октября 2016 года в матче против «Хеккена» он дебютировал в Аллсвенскан лиге, заменив во втором тайме Йо-Инге Бергета. В своём дебютном сезоне Тедди стал чемпионом Швеции. Летом 2017 года для получения игровой практики Бергквист на правах аренды перешёл в «Отвидаберг». 22 июля в матче против «Броммапойкарна» он дебютировал в Суперэттане. В начале 2018 года Тедди был отдан в аренду в «Варберг».