В сезоне 2012-13 Врана дебютировал в составе «Линчёпинга» в шведской хоккейной лиге. По окончании сезона 2014 года Якуб подписал трёхлетний контракт новичка с командой НХЛ «Вашингтон Кэпиталз», выбравшей его на драфте НХЛ 2014 года. Врана дебютировал в НХЛ 1 декабря 2016 года в матче против команды «Нью-Йорк Айлендерс». Свой первый гол в НХЛ Якуб забил 9 декабря 2016 года в ворота команды «Баффало Сейбрз».