Jakub Kovář begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Heimatstadt in der Nachwuchsabteilung des IHC Písek. Von dort wechselte der Torwart 2005 zu den U20-Junioren des HC České Budějovice, für die er in den folgenden beiden Jahren aktiv war. In diesem Zeitraum wurde er im NHL Entry Draft 2006 in der vierten Runde als insgesamt 109. Spieler von den Philadelphia Flyers ausgewählt, für die er allerdings nie spielte. Stattdessen lief er in der Saison 2007/08 für die Oshawa Generals und Windsor Spitfires in der kanadischen Juniorenliga Ontario Hockey League auf.