Anton Rödin begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Heimatstadt in der Nachwuchsabteilung von Hammarby IF. Im Sommer 2006 wechselte er in die Nachwuchsabteilung von Brynäs IF, mit dessen U20-Junioren er 2008 zunächst Vizemeister und schließlich 2009 Meister der Nachwuchsliga SuperElit wurde. In der Saison 2008/09 gab der Flügelspieler zudem sein Debüt im professionellen Eishockey, als er in sechs Spielen als Leihspieler für den IK Oskarshamn in der HockeyAllsvenskan, der zweiten schwedischen Spielklasse, zum Einsatz kam. Daraufhin wurde er im NHL Entry Draft 2009 in der zweiten Runde als insgesamt 53. Spieler von den Vancouver Canucks ausgewählt. In der Saison 2009/10 stand er erstmals während einer gesamten Spielzeit in der Elitserien auf dem Eis und erzielte in seinem Rookiejahr in insgesamt 41 Spielen zwei Tore und gab vier Vorlagen. Zudem lief er für den Zweitligisten Mora IK in acht Spielen auf, in denen er zwei Tore erzielte und ebenso viele Vorlagen gab.