Jari Grönstrand begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Heimatstadt in der Nachwuchsabteilung von Tappara Tampere, für dessen Profimannschaft er von 1982 bis 1986 in der finnischen SM-liiga aktiv war. In diesem Zeitraum wurde er 1984 und 1986 jeweils Finnischer Meister und 1986 zudem in das All-Star Team der SM-liiga gewählt. Anschließend wurde der Verteidiger im NHL Entry Draft 1986 in der fünften Runde als insgesamt 96. Spieler von den Minnesota North Stars ausgewählt, für die er in der &lt;a href="NHL%201986/87"&gt;Saison 1986/87&lt;/a&gt; sein Debüt in der National Hockey League gab. In seinem Rookiejahr erzielte er dabei in 47 Spielen ein Tor und gab sechs Vorlagen.