Under olympiska spelen 1976 i Innsbruck i Österrike blev Mösching nummer 35 i normalbacken ("Toni-Seelos-Olympiaschanze" i Seefeld in Tirol) och nummer 30 i stora backen ("Bergiselbacken" i Innsbruck). Robert Mösching tävlade säsongerna 1976/1977, 1977/1978 och 1978/1979 utan framgångar. Han hoppade i Vikersundbacken under skidflygnings-VM 1977. Han slutade på en 16:e plats. Tävlingen vanns av landsmannen Walter Steiner. Mösching startade i Skid-VM 1978 i Lahtis i Finland. Där blev han nummer 20 i de individuella tävlingarna i båda backarna i Salpausselkä. I lagtävlingen blev han nummer 7 tillsammans med det schweiziska laget.