Em sua carreira júnior, Alexei tinha como ídolos os ginastas soviéticos Dimitri Bilozertchev e Nikolai Andrianov. Em 1993, aos 16 anos, participou do Campeonato Mundial de Birmingham,- sendo sua primeira competição sênior; conquistou a quinta colocação no evento de solo. No ano posterior, disputou o Europeu de Praga. Nele, foi medalhista de ouro nas barras paralelas, quarto colocado no concurso geral, e sexto na final da barra fixa. Na prova coletiva, foi prata, ao não superar a equipe bielorrussa. Ainda em 1994, estreou em competições mundiais, participando do Campeonato Mundial de Brisbane; sendo medalhista de bronze na prova das barras paralelas, e 12º colocado na competição geral. Na prova por equipes, realizada em Dortmund, Alexei foi prata, superado pela equipe chinesa.