Originaire de Wattwil et membre du club Speer Ebnat-Kappel, il prend part à ses premières compétitions internationales en 2012. En 2013, il dispute le Festival olympique de la jeunesse européenne. Klee gagne ses premières courses junior lors de la saison 2013-2014, lors de laquelle, il court aux Championnats du monde junior à Val di Fiemme. Lors de l'édition 2016 des Championnats du monde junior, à Rasnov, il prend la quatrième place sur le dix kilomètres classique.