Давид Пастрняк является воспитанником клуба «Гавиржов». На драфте НХЛ в 2014 году был выбран в первом раунде под общим 25-м номером клубом «Бостон Брюинз». За год до этого был выбран в 1 раунде под 34-м общим номером на драфте юниоров КХЛ командой «Северсталь». Учитывая потенциальный локаут в НХЛ перед началом сезона 2020/21 московский ЦСКА в конце декабря 2018 года за денежную компенсацию выменял у «Северстали» права на Пастрняка, чтобы иметь приоритетную возможность его приобретения перед другими клубами КХЛ.