Окончив в 1932 году школу, А. А. Гагкаев учился в школе фабрично-заводского ученичества, затем работал на предприятии Московский Метрострой, совмещая работу с учёбой на рабфаке. В 1936 году Алихан Гагкаев поступил в Московский автодорожный институт. По окончании двух курсов института по путёвке ЦК ВЛКСМ он был направлен в 1-е Ленинградское артиллерийское училище имени Красного Октября, которое окончил с отличием досрочно 4 февраля 1940 года. Получив сразу звание лейтенанта, А. А. Гагкаев был направлен в 78-й стрелковый полк 74-й Таманской стрелковой дивизии Одесского военного округа, где был назначен на должность командира артиллерийского взвода. Летом 1940 года Алихан Андреевич участвовал в операции по присоединению Бессарабии и Северной Буковины к СССР. Перед войной часть, в которой служил лейтенант А. А. Гагкаев, дислоцировалась в городе Ананьев Одесской области Украинской ССР.