Szöllősi belegte bei den Weltmeisterschaften 1966 in Berlin im Vierer-Kajak über 10.000 Meter den zweiten Platz und wurde im Zweier-Kajak mit László Fábián auf derselben Strecke Weltmeister. Vier Jahre später sicherte er sich in Kopenhagen mit Vilmos Nagy im Zweier-Kajak über 10.000 Meter die Silbermedaille. Bereits 1959 gelangen ihm drei Medaillengewinne bei den Europameisterschaften in Duisburg. Im Einer-Kajak über 1000 Meter und im Zweier-Kajak mit János Petroczy über 10.000 Meter wurde er jeweils Europameister, während die beiden über 1000 Meter Silber gewannen. Ebenfalls drei Medaillen sicherte er sich 1961 in Posen. Mit der 4-mal-500-Meter-Staffel gewann er zunächst Silber, ehe er zusammen mit László Fábián im Zweier-Kajak über 500 Meter und über 1000 Meter Europameister wurde. 1965 in Bukarest belegte Szöllősi auf der 1000-Meter-Strecke im Einer-Kajak ebenso den dritten Rang wie im Zweier-Kajak mit László Fábián. Über 10.000 Meter wurde die beiden ein letztes Mal gemeinsam Europameister. Bei den Europameisterschaften 1969 in Moskau sicherte sich Szöllősi mit der 4-mal-500-Meter-Staffel eine weitere Bronzemedaille.