Soprannominato "el mono" ("la scimmia"), Burgos iniziò la carriera nelle giovanili dell'Almagro de Florida. In seguito, però, lo ingaggiò il Ferro Carril Oeste, che lo fece debuttare in prima squadra il 3 settembre 1989: giocò infatti nella sfida contro il Newell's Old Boys. Dopo cinque stagioni su alti livelli, venne acquistato dal River Plate. Con il nuovo club vinse per quattro volte il Torneo Apertura e per una il Torneo Clausura, oltre alla Coppa Libertadores 1996 e la Supercoppa Sudamericana nel 1997. Fu in panchina anche nella Coppa Intercontinentale 1996, persa contro la Juventus.