Ensimmäisen aikuisten pikaluistelun arvokisamitalinsa, väriltään hopeisen, Parra voitti maaliskuussa 2001 Salt Lake Cityssä matkakohtaisten MM-kisojen 1 500 metriltä. Samassa kaupungissa pidetyissä vuoden 2002 talviolympialaisissa Parra oli elämänsä kunnossa ja saalisti kultaisen ja hopeisen mitalin. Kultamitali tuli 1 500 metriltä maailmanennätysajalla 1.43,95. 5 000 metrin kilpailussa hän luisteli maailmanennätysajan 6.17,98, mutta piti ennätystä hallussaan vain 20 minuutin ajan, sillä alankomaalainen Jochem Uytdehaage luisteli vielä kovempaa ja pudotti Parran hopealle. Samana keväänä yleisluistelijoiden MM-kisoissa Heerenveenissä Parra saavutti pronssia, mikä jäi hänen viimeiseksi arvokisamitalikseen.