Radim Bičánek begann seine Karriere als Eishockeyspieler in der Nachwuchsabteilung des HC Dukla Jihlava, für dessen Profimannschaft er in der &lt;a href="1.%20Liga%20%28Tschechoslowakei%29%201992/93"&gt;Saison 1992/93&lt;/a&gt; in der 1. Liga, der höchsten tschechoslowakischen Spielklasse, sein Debüt gab. In seinem Rookiejahr erzielte er in 43 Spielen zwei Tore und gab drei Vorlagen. Anschließend wurde er im NHL Entry Draft 1993 in der zweiten Runde als insgesamt 27. Spieler von den Ottawa Senators ausgewählt. Zunächst spielte der Verteidiger zwei Jahre lang in der kanadischen Juniorenliga Ontario Hockey League für die Belleville Bulls, ehe er gegen Ende der &lt;a href="NHL%201994/95"&gt;Saison 1994/95&lt;/a&gt; erstmals in der National Hockey League für die Ottawa Senators auflief. In der gesamten folgenden Spielzeit kam er ausschließlich für deren Farmteam, die Prince Edward Island Senators, in der American Hockey League zum Einsatz. Bei den Ottawa Senators konnte er sich auch in den folgenden drei Jahren nie vollständig durchsetzen, so dass er überwiegend für deren Farmteams in den Minor Leagues auf dem Eis stand. Dies waren die Detroit Vipers, Manitoba Moose und Grand Rapids Griffins in der International Hockey League, sowie die Worcester IceCats in der AHL.