Pierwszy raz na arenie międzynarodowej Aleksandr Biessmiertnych pojawił się 22 listopada 2007 roku, kiedy zajął 27. miejsce w biegu na 15 km techniką dowolną w zawodach Pucharu Kontynentalnego w rosyjskiej miejscowości Werszyna Tea. W styczniu 2009 roku brał udział w mistrzostwach świata młodzieżowców w Praz de Lys – Sommand, gdzie zdobył dwa medale. Najpierw był trzeci w biegu łączonym na 30 km - wyprzedzili go jedynie Francuz Maurice Manificat oraz Kazach Aleksiej Połtoranin. Dwa dni później był drugi za Siergiejem Czeriepanowem z Kazachstanu w biegu na 15 km stylem dowolnym. W Pucharze Świata zadebiutował 8 marca 2009 roku w Lahti, zajmując 29. pozycję na dystansie 15 km stylem dowolnym. Był to jego jedyny start w tej edycji PŚ i ostatecznie w &lt;a href="Puchar%20%C5%9Awiata%20w%20biegach%20narciarskich%202008/2009"&gt;sezonie 2008/2009&lt;/a&gt; zajął 178. miejsce w klasyfikacji generalnej. W &lt;a href="Puchar%20%C5%9Awiata%20w%20biegach%20narciarskich%202010/2011"&gt;sezonie 2010/2011&lt;/a&gt; wziął udział w piątej edycji Tour de Ski, którą ukończył na 25. pozycji. Taki sam wynik osiągnął również w szóstej edycji tych zawodów, a w &lt;a href="Tour%20de%20Ski%202012/2013"&gt;Tour de Ski 2012/2013&lt;/a&gt; był dwudziesty. Pierwsze podium Pucharu Świata wywalczył 19 stycznia 2013 roku, kiedy zajął drugie miejsce na dystansie 15 km klasykiem, przegrywając tylko z Połtoraninem. W tym samym roku brał także udział w mistrzostwach świata w Val di Fiemme, gdzie na dystansie 50 km techniką klasyczną zajął 23. miejsce.