Burr spielte zunächst drei Jahre von 1983 bis 1986 in der Ontario Hockey League bei den Kitchener Rangers mit denen er in der Saison &lt;a href="OHL%201983/84"&gt;1983/84&lt;/a&gt; am Memorial-Cup-Turnier teilnahm. Zudem wurde er mit dem Emms Family Award für den besten Rookie der OHL ausgezeichnet. Bereits während seines zweiten Jahres in der OHL holten ihn die Detroit Red Wings, die ihn im NHL Entry Draft 1984 in der ersten Runde an siebter Position ausgewählt hatten, in den NHL-Kader und ließen ihn neunmal auflaufen. Gleiches taten sie auch im darauf folgenden Spieljahr, wobei er in der OHL-Saison ins "Second All-Star Team" gewählt wurde und in der American Hockey League den Calder Cup mit den Adirondack Red Wings gewann.