Bautin begann seine Laufbahn 1988 beim sowjetischen Zweitligisten Kristall Saratow, bevor er 1990 zu Dynamo Moskau in die höchste Spielklasse der UdSSR wechselte. Nach dem Olympiasieg der GUS wurde er beim NHL Entry Draft 1992 von den Winnipeg Jets der NHL als 17. der ersten Runde gedraftet. Nach zwei Jahren als Stammspieler mit 130 Einsätzen bei den Jets wechselte er im März 1994 zu den Detroit Red Wings. Bei den Red Wings kam er jedoch nur zu einem einzigen Einsatz, Bautin kam stattdessen fast ausschließlich bei den Adirondack Red Wings, einem Farmteam Detroits, zum Einsatz. Auch nach einem Wechsel 1995 zu den San Jose Sharks konnte er sich nicht als Stammspieler in der NHL etablieren, sondern verließ die Mannschaft nach ebenfalls lediglich einem Einsatz wieder.