La carriera di Andrzej Stelmach inizia nella squadra della sua città, la Szkolny Klub Sportowy Strzegom. La prima esperienza ad alti livelli arriva nella stagione 1989-90 con la maglia del Klub Sportowy Chełmiec Wałbrzych, club partecipante al campionato polacco di seconda divisione; l'anno successivo passa al Klub Sportowy AZS Częstochowa Sportowa, dove rimane per sette campionati, ottenendo quattro scudetti e una Supercoppa polacca. In questo periodo arrivano anche le prime convocazioni nella nazionale della Polonia, con la quale prende parte ai Giochi Olimpici di Atlanta e al campionato europeo del 1993 e del 1995.