Принадлежи към благородническия арменски род Аспиети, вероятно роднина на военачалниците Михаил Аспиет и Константин Аспиет, живели в края на XII век. Алексий Аспиет се появява в изворите за пръв път през 1195 година като византийски управител на град Сяр (Серес), на когото император Алексий III Ангел заповядва да посрещне настъпващата българска армия на въстаналите братя Петър и Асен. В битката при Сяр през лятото или есента на 1195 година византийската войска е разбита и Аспиет заедно с много други византийци попада в български плен.