Karierę piłkarską Tichonow rozpoczął w rodzinnym Kaliningradzie, w tamtejszym klubie Wympieł Kaliningrad. Następnie w 1992 roku został piłkarzem grającego w Drugiej Dywizji Tytana Reutow, a w połowie sezonu trafił do Spartaka Moskwa. W 1992 i 1993 roku wywalczył ze Spartakiem swoje dwa pierwsze tytuły mistrza kraju, jednak w zespole z Moskwy pełnił rolę rezerwowego. W sezonie 1994 był już podstawowym zawodnikiem Spartaka i wygrał z nim zarówno rozgrywki ligowe, jak i Pucharu Rosji. W 1996 roku ponownie został mistrzem kraju, a gazeta „Football Weekly” uznała go piłkarzem roku w Rosji. W latach 1997–2000 czterokrotnie z rzędu Tichonow wywalczył tytuł mistrzowski, a w 1998 roku zdobył też swój drugi Puchar Rosji. W 1999 roku Sport-Express uznał go najlepszym piłkarzem Rosji. W Spartaku grał do zakończenia rundy wiosennej sezonu 2000, a łącznie dla Spartaka rozegrał 191 meczów ligowych, w których zdobył 68 bramek.