Er ist der Sohn von "Oda Scheuer" und von "Ernst Kissinger" (1910–1994), Mitinhaber des Herrenkonfektionsgeschäfts seiner Eltern in seiner Geburtsstadt Bad Kissingen. Nach der Machtergreifung der Nationalsozialisten emigrierte Ernst Kissinger am 4. Juli 1937 über Triest (Italien) nach Israel und baute sich in Tel Aviv eine neue Existenz als Textilkaufmann auf. Kaynars Großeltern väterlicherseits verließen Bad Kissingen erst nach den Novemberpogromen von 1938. Die Familie Kissinger ist mit dem früheren US-Außenministers Henry Kissinger verwandt.