Song Min-kyu wurde in Nonsan geboren und wuchs dort sowie in der nahen Millionenstadt Daejeon auf. Er spielte in diversen Schulmannschaften sowie der Jugendabteilung des Chungju Hummel FC. Nach seinem Abschluss an der Chungju Commercial High School kam er zur Saison 2018 im Rahmen eines Auswahlverfahrens zur K-League-Franchise Pohang Steelers. Sein Debüt in der höchsten koreanischen Spielklasse bestritt er am 2. Mai 2018 (11. Spieltag) beim 0:0-Unentschieden gegen Incheon United, als er in der 74. Spielminute für Jung Won-jin eingewechselt wurde. In dieser Spielzeit kam er in einer weiteren Ligapartie zum Einsatz.