Mironov a commencé sa carrière en 1985 avec le HK CSKA Moscou dans le championnat d'URSS. Il a été repêché par les Maple Leafs de Toronto à la du repêchage de la LNH en 1991. Après sept saisons en Russie, il rejoignit les Maple Leafs au cours de la saison 1991-1992. Après quatre saisons à Toronto, il rejoignit les Penguins de Pittsburgh puis les Mighty Ducks d'Anaheim. En 1998, il fut sélectionné pour participer au Match des étoiles. Il fut échangé cette même saison aux Red Wings de Détroit contre Jamie Pushor et un choix de repêchage et remporta la Coupe Stanley. Mironov rejoignit ensuite les Capitals de Washington pour la saison 1998-1999 où il termina sa carrière dans la LNH.