Назели Авдалян начала заниматься спортом в 1994 году. Её первым увлечением была акробатика. С 2004 года также стала заниматься тяжёлой атлетикой, постепенно сосредоточившись на этом виде спорта. В 2006 году впервые стала чемпионкой Армении по тяжёлой атлетике и вошла в состав национальной сборной этой страны, приняла участие в чемпионате мира в Санто-Доминго, где заняла седьмое место. В 2007 году стала серебряным призёром чемпионата Европы в Страсбурге, а в 2008 году — победительницей чемпионата Европы в Линьяно. Несмотря на быстрый прогресс и победу на чемпионате Европы тренерский штаб сборной Армении не включил её в состав участников Олимпийских игр в Пекине.