Im Juni 1942 wurde Adcock als stellvertretender Chef des Stabes für Logistik (G-4) des I. Korps "(I Corps)" zunächst nach Großbritannien versetzt, von wo aus er anschließend auf dem Kriegsschauplatz Mittelmeerraum an Einsätzen in Nordafrika teilnahm. Für seine dortigen Verdienste wurde ihm 1942 erstmals der Legion of Merit verliehen. Er fungierte daraufhin von Januar bis März 1943 als stellvertretender Chef des Stabes für Logistik der nach der alliierten Landung in Nordafrika "(Operation Torch)" am 3. Januar 1943 in Marokko neuaufgestellten 5. Armee "(Fifth United States Army)" unter dem Kommando von Generalleutnant Mark W. Clark. Nach seiner Beförderung zum Brigadegeneral "(Brigadier-General)" am 18. März 1943 übernahm er zwischen März 1943 und August 1944 den Posten als stellvertretender Chef des Stabes für Logistik im Hauptquartier der Alliierten Streitkräfte AFHQ "(Allied Forces Headquarters)". Aufgrund seiner dortigen Verdienste wurde er 1944 mit der Army Distinguished Service Medal ausgezeichnet.