Fils d'un menuisier domicilié rue Châtillon, Joseph Charles Daga naît le à Metz. Après des études secondaires à Metz, Joseph Charles Daga s'inscrit en à l'hôpital militaire du Fort Moselle, comme chirurgien élève. Il est promu chirurgien sous-aide en 1848 avant d'être affecté à l’hôpital du Val-de-Grâce en 1849. Affecté au d'infanterie de ligne en 1851, l'aide major Daga est envoyé en Algérie en 1853, où il exerce à l’hôpital militaire du Dey. En 1854, il est affecté au d’infanterie légère et reçoit la Légion d'honneur après avoir été blessé pendant l'assaut de Malakoff le . De retour à l’hôpital militaire du Gros-Caillou à Paris en 1857, il est promu médecin-major, avant d'être affecté au d’infanterie de ligne en 1858.