Yannick Weber stammt aus der Jugend des SC Bern, verbrachte seine erste Profisaison jedoch beim Zweitligisten SC Langenthal. Nach nur einem Jahr entschied er sich 2006 zu einem Wechsel nach Nordamerika und spielte fortan bei den Kitchener Rangers in der Ontario Hockey League. Beim NHL Entry Draft 2007 zogen ihn die Canadiens de Montréal an 73. Stelle und nahmen ihn ein Jahr später auch unter Vertrag. Nach einigen Saisons hauptsächlich mit Einsätzen für das Farmteam der Canadiens in der AHL, die Hamilton Bulldogs, kam Weber in der Saison 2010/11 zu 41 Einsätzen im Fanionteam. Zum Ende der Saison unterschrieb Weber einen Einwegvertrag bis ins Jahr 2013.