Anissimov, qui joue à la position d'ailier droit pour le Lokomotiv Iaroslavl au cours de la saison 2005-2006, fut repêché en , au total, au repêchage d'entrée dans la Ligue nationale de hockey par les Rangers de New York en 2006. Il choisit alors de rester dans son pays pour encore une saison et en , il signe son premier contrat professionnel avec les Rangers. Il passe alors la saison avec l'équipe du Wolf Pack de Hartford dans la Ligue américaine de hockey. Le , il est échangé aux Blue Jackets de Columbus avec Brandon Dubinsky, Tim Erixon et un choix de premier tour au repêchage d'entrée dans la LNH 2013 en retour de Rick Nash, Steven Delisle et un choix conditionnel de troisième tour en 2013.