Kožíšek wurde 2006 in den Nationalkader aufgenommen und startete am 14. Januar 2006 erstmals im FIS-Cup in Harrachov. Bei den Junioren-Weltmeisterschaften 2007 im italienischen Tarvisio wurde er mit dem Team auf der Normalschanze Siebenter. Nach weiteren Springen im FIS-Cup, startete er am 27. Dezember 2007 erstmals in Engelberg im Continental Cup. Bei den Junioren-Weltmeisterschaften 2008 im polnischen Zakopane sprang er im Gegensatz zu 2007 nicht mehr im Teamspringen. Im Einzel von der Normalschanze erreichte er den 18. Platz. Es folgte ein weiteres Jahr im Continental Cup, wo er mit Platz 8 am 28. Dezember 2008 in Engelberg sein bis dahin bestes Einzelergebnis erreichte. Am 23. Januar 2009 sprang er erstmals im A-Nationalkader in Whistler die Qualifikation für ein Weltcup-Springen mit und konnte sich überraschend als 37. qualifizieren. Beim Springen am folgenden Tag schied er nach Platz 43 im ersten Durchgang aus. Das zweite Springen beendete er auf Platz 44. Bei den Junioren-Weltmeisterschaften 2009 im slowakischen Štrbské Pleso erreichte er auf der Normalschanze den 5. Platz und im Teamspringen den 8. Platz. Beim Skifliegen in Oberstdorf am 14. Februar 2009 stand er erneut im A-Kader und erreichte, nachdem er in der Qualifikation auf den 11. Platz sprang, im Finalspringen den 39. Platz. Dies war bis dahin sein bestes Einzelergebnis im Weltcup. Im Teamwettbewerb wurde er gemeinsam mit Borek Sedlák, Jan Matura und Lukáš Hlava am Ende Siebenter. Bei den Nordische Junioren-Skiweltmeisterschaften 2010 in Hinterzarten wurde er Neunter mit der Mannschaft und 36. im Einzelwettbewerb. Ein Jahr später erreichte er bei seinen altersbedingt letzten Junioren-Weltmeisterschaften im estnischen Otepää erreichte er im Einzel von der Normalschanze den 29. Platz und mit der tschechischen Mannschaft den achten Platz im Teamspringen.