Ян Еник начал свою хоккейную карьеру в юниорской команде «Млада Болеслав» (до 16 лет), в конце сезона 2012/13. В 2015 году перешёл в клуб «Били Тигржи Либерец», за который выступал до конца 2018 года. На 2018 году был выбран в 3-м раунде под общим 65-м номером клубом «Аризона Койотис». По ходу сезона 2018/19 перебрался в Северную Америку, где 2 сезона играл в хоккейной лиге Онтарио за «Гамильтон Булдогс». Из-за позднего начала сезона 2020/21 в Северной Америке, осенью 2020 года провёл 7 матчей во 2-й финской лиге Местис за клуб «Кеттеря». По возвращению за океан, играл в АХЛ за фарм-клуб «Аризоны» «Тусон Роадраннерс». В конце сезона 2020/21 был вызван в «Аризону». 7 мая 2021 года Ян Еник дебютировал в НХЛ в гостевой игре с «Сан-Хосе Шаркс», которую «Аризона» выиграла со счётом 5:2, при этом Еник забросил шайбу на последней минуте матча в пустые ворота. На следующий день он снова забил гол в ворота «Сан-Хосе» и помог своей команде одержать победу со счётом 5:4. Таким образом, в своём первом сезоне в НХЛ, Еник забросил две шайбы в двух матчах.