Йозеф Страка начал свою профессиональную карьеру в 1995 году в составе родного клуба чешской Экстралиги «Литвинов», успешно выступая до этого за его фарм-клуб. В своём дебютном сезоне Йозеф провёл на площадке 48 матчей, в которых он набрал 15 (8+7) очков, завоевав вместе с клубом серебряные медали чешского первенства. В том же году на драфте Канадской хоккейной лиги он был выбран в 1 раунде под общим 35 номером клубом «Келоуна Рокетс», а уже в следующем году на драфте НХЛ Страка был выбран в 5 раунде под общим 122 номером клубом «Калгари Флеймз».