Denis Kuljasch begann seine Karriere als Eishockeyspieler in der drittklassigen Perwaja Liga, in der er in der Saison 1999/2000 für die zweite Mannschaft des HK Awangard Omsk aktiv war. Anschließend spielte er in den folgenden drei Spielzeiten für deren Ligarivalen Gasowik Tjumen und ZSK WWS Samara. Daraufhin erhielt der Verteidiger einen Vertrag beim HK ZSKA Moskau, für den er zwei Jahre lang in der russischen Superliga aktiv war. In dieser Zeit wurde er im NHL Entry Draft 2004 in der achten Runde als insgesamt 243. Spieler von den Nashville Predators ausgewählt, für die er allerdings nie spielte. Im Sommer 2005 wechselte der Linksschütze zum amtierenden russischen Meister HK Dynamo Moskau, für den er weitere zwei Spielzeiten spielte, und mit dem er 2006 den IIHF European Champions Cup gewann. Zwischen 2007 und 2010 stand Kuljasch erneut für seinen Ex-Club HK ZSKA Moskau auf dem Eis, bevor er im Januar 2010 im Tausch gegen zwei Abwehrspieler an seinen Heimatverein, den HK Awangard Omsk, abgegeben wurde.