Juri Dobryschkin begann seine Karriere als Eishockeyspieler bei Krylja Sowetow Moskau, für dessen Profimannschaft er von 1996 bis 1999 in der Superliga aktiv war. Anschließend wurde er im NHL Entry Draft 1999 in der sechsten Runde als insgesamt 159. Spieler von den Atlanta Thrashers ausgewählt, für die er allerdings nie spielte. Stattdessen wechselte der Flügelspieler innerhalb der Superliga zu Ak Bars Kasan, für das er ebenfalls drei Spielzeiten lang auflief und mit dem er 2000 und 2002 jeweils russischer Vizemeister wurde. Von 2002 bis 2004 stand er für Sewerstal Tscherepowez auf dem Eis, mit dem er in der Saison 2002/03 ein weiteres Mal Vizemeister wurde.