Pierwszy sukces w karierze Enrico Fabris osiągnął w 2005 roku, kiedy wspólnie z Ippolito Sanfratello i Matteo Anesim zdobył srebrny medal srebrny medal w biegu drużynowym podczas mistrzostw świata na dystansach w Inzell. Na tej samej imprezie był też czwarty w biegu na 5000 m, przegrywając walkę o medal z Holendrem Carlem Verheijenem. Na rozgrywanych rok później igrzyskach olimpijskich w Turynie zdobył brązowy medal na dystansie 5000 m, przegrywając tylko z Chadem Hedrickiem z USA i Svenem Kramerem z Holandii. Był to pierwszy w historii medal dla Włoch w łyżwiarstwie szybkim. Pięć dni później, wspólnie z Sanfratello, Anesim i Stefano Donagrandim wywalczył drużynowo pierwszy złoty medal dla Włoch. Na tych igrzyskach Fabris wygrał też bieg na 1500 m, stając się pierwszym w historii włoskim indywidualnym mistrzem olimpijskim w łyżwiarstwie szybkim. Czasem 1:45,97 min Fabris pokonał faworyzowanych Amerykanów Shaniego Davisa i Chada Hedricka. W 2006 roku Włoch zdobył też srebrny medal podczas mistrzostw świata w wieloboju w Calgary.