Hannu Järvenpää begann seine Karriere als Eishockeyspieler bei Kärpät Oulu, für dessen Profimannschaft er von 1981 bis 1986 in der SM-liiga aktiv war. In der Saison 1983/84 lief er parallel zudem in vier Spielen für die finnische Olympiaauswahl auf, die zur Vorbereitung auf die Olympischen Spiele an der SM-liiga teilnahm, schaffte es jedoch nicht in den Olympiakader. Bereits im NHL Entry Draft 1982 war der Flügelspieler in der siebten Runde als insgesamt 145. Spieler von den Canadiens de Montréal ausgewählt worden. Da diese ihn anschließend jedoch nicht unter Vertrag nahmen, konnten die Winnipeg Jets den Finnen im NHL Entry Draft 1986 in der vierten Runde als insgesamt 71. Spieler auswählen. Daraufhin spielte er drei Jahre lang für Winnipeg in der National Hockey League und kam in diesem Zeitraum parallel neun Mal für deren Farmteam, die Moncton Hawks, in der American Hockey League zum Einsatz. In seinem Rookiejahr, der &lt;a href="NHL%201986/87"&gt;Saison 1986/87&lt;/a&gt; konnte er nur 20 Spiele bestreiten, da er in einem Zweikampf mit Craig Muni von den Edmonton Oilers eine schwere Knieverletzung erlitt.