Peykoğlu besuchte das renommierte Galatasaray-Gymnasium und spielte hier in der Jugendabteilung des Traditionsvereins Galatasaray Istanbul – jenes Vereins, der von Schülern des Galatasaray-Gymnasiums gegründet wurde. Sein fußballerisches Talent sprach sich in der Galatasaray-Gemeinde schnell herum, sodass er 1921 als Sechzehnjähriger in den Kader der Fußballmannschaft Galatasaray Istanbul aufgenommen wurde. Zum Zeitpunkt seines Eintritts in den Profikader befand sich Istanbul aufgrund der Niederlage des Osmanischen Reiches nach dem Ersten Weltkrieg unter der Besatzung der Siegermächte (siehe Besetzung Istanbuls). Nachdem die türkischen Mannschaften der Stadt einen Großteil dieser Besetzung keinen Ligabetrieb fortführten, wurde mit der &lt;a href="Cuma%20Ligi%201920/21"&gt;Saison 1920/21&lt;/a&gt; der Spielbetrieb der İstanbul Cuma Ligi (dt. "Istanbuler Freitagsliga") wieder aufgenommen, der damals renommiertesten Liga des Landes. Peykoğlu kam in der Spielzeit 22/23 dieser Liga in der Partie vom 9. März 1923 gegen den Erzrivalen Fenerbahçe Istanbul zum Einsatz und gab mit dieser Partie sein Profidebüt.