Brendan Leipsic wurde in Winnipeg geboren und spielte dort in seiner Jugend unter anderem für die "Winnipeg Monarchs" sowie die "Winnipeg Wild". Zur Saison 2010/11 wechselte er in die ranghöchste Western Hockey League (WHL) zu den Portland Winterhawks, bevor er sein Heimatland wenig später bei der World U-17 Hockey Challenge 2011 erstmals auf internationalem Niveau vertrat. Nach zwei durchschnittlichen Jahren in Portland wurde der Angreifer im NHL Entry Draft 2012 an 89. Position von den Nashville Predators ausgewählt, die ihn vorerst erwartungsgemäß zurück in die WHL schickten. Dort gelang Leipsic anschließend der Durchbruch, indem er in 68 Spielen auf 120 Scorerpunkte kam, damit – gemeinsam mit Teamkollege Nic Petan – die WHL wie auch die gesamte Canadian Hockey League als Topscorer anführte und daher mit der Bob Clarke Trophy sowie dem CHL Top Scorer Award geehrt wurde. Außerdem gewann er in dieser Spielzeit 2012/13 mit den Winterhawks die WHL-Playoffs um den Ed Chynoweth Cup und wurde am Saisonende ins "WHL (West) Second All-Star Team" berufen. Im anschließenden Memorial Cup scheiterte das Team erst im Finale an den Halifax Mooseheads. Trotz dieser Leistungen kehrte der Kanadier in der Folge für ein viertes und letztes Jahr in die WHL zurück, bevor er zur Spielzeit 2014/15 in die Organisation der Nashville Predators wechselte, die ihn bereits im Mai 2013 mit einem Einstiegsvertrag ausgestattet hatten.