Chilen maajoukkueessa Puch pelasi ensimmäisen ottelunsa toukokuussa 2009, kun Chile hävisi ystävyysottelussa Japanille 0–4. Hän pelasi yhteensä kuusi ystävyysottelua vuosina 2009–2012. Vuosina 2013–2015 Puch ei pelannut maaotteluita. Siitä huolimatta hänet valittiin Copa Américaan 2015, jonka Chile lopulta voitti. Puch joutui kuitenkin jäämään pois turnauksesta loukkaantumisen vuoksi, ja Francisco Silva sai hänen paikkansa. Puch pelasi maajoukkueessa seuraavan kerran toukokuussa 2016 ja tuli valituksi Copa América Centenarioon, jossa pelasi ensimmäisen kilpailullisen maaottelunsa 30-vuotiaana Chilen voittaessa alkulohkovaiheessa Bolivian 2–1. Turnauksen puolivälierässä Puch teki ensimmäiset kaksi maajoukkuemaaliaan Chilen voittaessa Meksikon 7–0.