Adam Pelech wurde in Toronto geboren und spielte in seiner Jugend für die prestigeträchtigen Jugendabteilungen der "Toronto Marlboros" in den regionalen Juniorenligen. 2010 wurde er an 22. Position der "Priority Selection" der Ontario Hockey League (OHL) von den Erie Otters ausgewählt, für die er mit Beginn der Saison 2010/11 auflief. Während seiner Rookie-Saison debütierte er auf internationalem Niveau, als er über den Jahreswechsel mit dem Team "Canada Ontario" an der World U-17 Hockey Challenge 2011 teilnahm und dort die Goldmedaille gewann. Eine weitere Goldmedaille folgte beim Ivan Hlinka Memorial Tournament 2011 im August 2011. Nach seinem zweiten OHL-Jahr, in dem der Verteidiger auf 20 Scorerpunkte in 44 Spielen kam, nahm er mit der kanadischen U18-Auswahl an der U18-Weltmeisterschaft 2012 teil und errang dort mit dem Team die Bronzemedaille. Darüber hinaus wurde er von der OHL mit der Bobby Smith Trophy und dem Ivan Tennant Memorial Award geehrt, die Spieler mit herausragenden schulischen Leistungen ehren. Anschließend wurde Pelech im NHL Entry Draft 2012 an 65. Position von den New York Islanders ausgewählt, nachdem er zuvor am CHL Top Prospects Game teilgenommen hatte. Vorerst kehrte der Abwehrspieler jedoch für zwei weitere Jahre nach Erie zurück und kam dort in der Saison 2013/14 mit 54 Punkten aus 60 Spielen auf seine beste persönliche Statistik, sodass er ins "Second All-Star Team" der Liga gewählt wurde. Zudem vertrat er sein Heimatland mit der U20-Nationalmannschaft bei der U20-Weltmeisterschaft 2014 und belegte dort mit dem Team den vierten Platz.