Henry Rinklins Karriere begann 1975, als er bei den erstmals ausgetragenen Weltmeisterschaften der Junioren in Lausanne Weltmeister im Punktefahren wurde. Zwei Jahre später, 1977, wurde der deutsche Bahnvierer mit Peter Vonhof, Hans Lutz, Günther Schumacher und Rinklin Vizeweltmeister, nur geschlagen von der Mannschaft der DDR. 1978 (mit Christian Bock) und 1979 (mit Peter Vonhof) wurde er deutscher Meister im Zweier-Mannschaftsfahren, 1982 zudem im Omnium. Als Amateur startete er u. a. für den Verein BRC Opel Schüler Derby.