Roman Fosti sammelte 2001 erste internationale Wettkampferfahrung. Zu Beginn seiner sportlichen Laufbahn trat er in erster Linie in den Mittelstreckenläufen an. Im Juli 2001 gewann er die Bronzemedaille bei den Estnischen Meisterschaften über 800 Meter. 2002 verbesserte er sich im 800-Meter-Lauf auf 1:49,93 min, wurde anschließend Estnischer Vizemeister und trat im Juli bei den U20-Weltmeisterschaften auf Jamaika an. Dabei zog er in das Halbfinale ein, in dem er als Neunter seines Laufes schließlich ausschied. 2005 nahm er im März im Kurzstreckenlauf an den Crosslauf-Weltmeisterschaften in Saint-Étienne teil und landete dabei weit abgeschlagen auf Platz 132. 2009 trat Fosti in Belgrad über 800 und 1500 Meter bei der Universiade an. Zunächst ging er über 1500 Meter an den Start, schied allerdings bereits nach dem Vorlauf aus. Im 800-Meter-Lauf zog er in das Halbfinale ein, worin er als Sechster eines Laufes ausschied. 2011 nahm er in Paris über 1500 Meter an den Halleneuropameisterschaften teil, verpasste allerdings den Einzug in das Halbfinale. Später im August trat er in Shenzhen erneut zur Universiade an. Dabei zeigte sich ein ähnliches Bild wie zwei Jahre zuvor. Über 1500 Meter schied er nach dem Vorlauf aus, im 800-Meter-Lauf erreichte er das Halbfinale.