Фёдор Гаркуша родился 17 февраля 1920 года в селе Павловка (ныне — Васильковский район Днепропетровской области Украины) в семье крестьянина. Окончил семь классов школы, после чего работал комбайнёром в машинно-тракторной станции. В 1938 году Гаркуша был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. В 1941 году он окончил Минское кавалерийское училище. С июня того же года — на фронтах Великой Отечественной войны. К июлю 1943 года гвардии лейтенант Фёдор Гаркуша командовал взводом конной разведки 224-го гвардейского стрелкового полка 72-й гвардейской стрелковой дивизии 7-й гвардейской армии Степного фронта. Отличился во время битвы за Курской дуге.