Uwe Bellmann wuchs in Sayda im Osterzgebirge auf. Er begann seine Skilanglaufkarriere in der "BSG Einheit Sayda", später startete er für den SC Traktor Oberwiesenthal. Seit Anfang der 1980er Jahre war er international für die DDR aktiv. Den größten internationalen Erfolg schaffte er schon bei seinen ersten Weltmeisterschaften 1982, als er am Holmenkollen in Oslo als Startläufer der Staffel gemeinsam mit Uwe Wünsch, Stefan Schicker und Frank Schröder zeitgleich mit den Finnen hinter der Sowjetunion und den zeitgleichen Norwegern die Bronzemedaille gewann. Über 30 Kilometer im Freien Stil wurde er 20. 1982 erreichte er auch im Skilanglauf-Weltcup seine ersten Top-Resultate, etwa einen fünften Rang über 15 Kilometer in Le Brassus. Bei den Olympischen Winterspielen 1984 in Sarajevo blieb Bellmann ohne Medaille, erreichte aber dennoch mit den Rängen sieben über 15 Kilometer, zehn über 30 Kilometer und neun mit der Staffel gute Resultate. Das Rennen über 50 Kilometer beendete er nicht. Nächstes Großereignis wurden die Weltmeisterschaften 1985 in Seefeld mit einem 50. Rang über 50 Kilometer Klassisch für Bellmann. In Oberstdorf kam 1987 ein 12. Rang über dieselbe Distanz aber im Freien Stil hinzu. 1988 blieb Bellmann bei den Olympischen Winterspielen in Calgary erneut ohne Medaille, erreichte aber dennoch mit den Rängen fünf über 15 Kilometer Klassisch, acht über 50 Kilometer Freistil und 25 über 30 Kilometer Klassisch gute Resultate. Auch im Weltcup schaffte er mit Rang drei in Ramsau am Dachstein über 15 Kilometer Freistil sein bestes Resultat in dieser Wettkampfserie. Die Nordische Skiweltmeisterschaft 1989 in Lahti brachte mit den Rängen fünf in der 30-Kilometer-Verfolgung und Platz sechs mit der DDR-Staffel erneut gute Resultate.