Suzuki is een jeugdproduct van Kashima Antlers. Na enkele nationale titels won hij in 2018 de AFC Champions League met zijn club. In de finale startte hij zowel in de heen- als in de terugwedstrijd tegen het Iraanse Persepolis FC. Na de finale werd hij uitgeroepen tot Speler van het Toernooi. Vanwege een hamstringblessure miste Suzuki wel het daaropvolgende WK voor clubs 2018, waaraan hij in 2016 wél had deelgenomen. Op het einde van het jaar eindigde Suzuki tweede in de verkiezing van de Aziatische voetballer van het jaar, na Abdelkarim Hassan.