Carty fait ses premières armes dans le club de sa ville d'origine, les Buccaneer d'Athlone. Formé au niveau professionnel dans l'académie du Connacht, il y est joueur depuis 2012, prenant part à l'inattendue saison victorieuse du Connacht dans le Pro12 en 2015-2016. Au terme de la saison 2018-2019, carty est le meilleur marqueur de l'histoire du Connacht avec 723 points.