Родился 18 ноября 1942 года в деревне Ново-Соловьево Можайского района. Был одним из четверых детей. Отец Драгунов Григорий Яковлевич ушёл на фронт с началом войны, служил артеллеристом на Западном фронте, конец войны встрели в Кенегсберге. После окончания войны Григорий Яковлевич был председателем колхоза, затем начальником отделения совхоза в Московской области. Мать Драгунова Инна Ивановна работала библиотекарем. Родители рано приучили детей к труду и развили тягу к образованию. Ребёнком Юрий Григорьевич освоил крестьянские профессии. А школьником поступил на работу в совхоз «Уваровский 2» в Можайском районе Московской области в 1960 году.