Bei den Junioren-Weltmeisterschaften 2013, die wie das "European Youth Olympic Festival" zwei Jahre zuvor ebenfalls in Liberec ausgetragen wurden, konnte er am 26. Januar 2013 mit der polnischen Mannschaft, zu der neben ihm Bartłomiej Kłusek, Aleksander Zniszczoł und Klemens Murańka gehörten, hinter Slowenien die Silbermedaille erringen. Nachdem ihm bei den Continental-Cup-Springen im US-amerikanischen Iron Mountain Anfang Februar gleich dreimal der Sprung in die Punkteplätze gelungen war, darunter mit Platz sieben sein bis dahin bestes Ergebnis in dieser Wettkampfserie, wurde Biegun ein Wochenende später erstmals für die polnische Weltcupmannschaft nominiert: Beim Fliegen von der Heini-Klopfer-Skiflugschanze erreichte er als 30. nicht nur seinen ersten Weltcuppunkt, sondern konnte mit 180 Metern auch den weitesten Flug seiner Karriere stehen. Am 23. Februar 2013 konnte er in Wisła als Dritter erstmals das Podium eines Continental-Cup-Springens besteigen. Ende Juni 2013 gewann Biegun dann den ersten Continental-Cup-Wettkampf im österreichischen Stams. Am 23. August 2013 gewann er im japanischen Hakuba erstmals einen Einzelwettbewerb im Sommer-Grand-Prix, nachdem er drei Wochen zuvor mit der polnischen Equipe bereits das Mannschaftsspringen in Wisła für sich entscheiden konnte. In der Gesamtwertung des Grand Prix belegte er den fünften Rang. Am 24. November desselben Jahres folgte in der Vogtland Arena in Klingenthal sein erster Weltcupsieg. Bei den Junioren-Weltmeisterschaften 2014 im italienischen Predazzo wurde er gemeinsam mit Zniszczoł, Murańka und Jakub Wolny Mannschaftsweltmeister.