Åberg spielte während seiner Juniorenzeit beim Klub seiner Geburtsstadt Djurgårdens IF aus Stockholm. Dort durchlief er bis 2012 die Juniorenabteilungen des Klubs und feierte in der Saison 2010/11 sein Debüt in der Herrenmannschaft, die in der Elitserien auflief. Im Sommer 2012 wurde er sowohl im KHL Junior Draft vom SKA Sankt Petersburg als auch im NHL Entry Draft von den Nashville Predators in der zweiten Runde ausgewählt.