Jiří Bicek begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Heimatstadt in der Jugend des TJ VSŽ Košice, für dessen Profimannschaft er von 1995 bis 1997 in der slowakischen Extraliga aktiv war. In dieser Zeit gewann er mit dem Team in der Saison 1995/96 erstmals die slowakische Meisterschaft und wurde im folgenden Jahr Vizemeister. Anschließend wurde er im NHL Entry Draft 1997 in der fünften Runde als insgesamt 131. Spieler von den New Jersey Devils ausgewählt, für die er in der Saison 2000/01 sein Debüt in der National Hockey League gab. Zuvor hatte der Angreifer bereits drei Jahre ausschließlich für deren Farmteam aus der American Hockey League, die Albany River Rats, gespielt. Mit den New Jersey Devils gewann der Linksschütze in der Saison 2002/03 als erster Slowake überhaupt den prestigeträchtigen Stanley Cup, nachdem er sich mit seiner Mannschaft im Finale gegen die Mighty Ducks of Anaheim durchgesetzt hatte.