Pocházel ze šlechtického rodu z Porýní, jehož členové se od 17. století uplatňovali v císařských službách a v roce 1655 dosáhli povýšení do hraběcího stavu. Narodil se jako nejmladší syn polního maršála a zemského velitele v Čechách hraběte Viléma Dauna (1621–1706), matka Anna Marie (1635–1712) pocházela z rodu Althannů. Jindřich Josef od mládí sloužil v armádě a spolu se staršími bratry bojoval ve válce o španělské dědictví, již ve třiceti letech dosáhl hodnosti generálního polního vachtmistra (1708). V roce 1716 byl povýšen na polního podmaršála a pod velením Evžena Savojského bojoval v bitvách u Petrovaradína a Bělehradu. Během pražské korunovace Karla VI. českým králem obdržel hodnost polního zbrojmistra (1723). Od roku 1724 byl velitelem pevnosti v Budíně a stal se členem dvorské válečné rady. Byl též c.k. tajným radou a komořím, v roce 1741 byl povýšen na polního maršála.