Jesper Fast begann in seiner Geburtsstadt beim "Nässjö HC" mit dem Eishockeyspielen. Mit Beginn der Saison 2007/08 wechselte er in die Jugendabteilung von HV71 aus dem nur 40 Kilometer entfernten Jönköping. Dort spielte er vorerst für die U18, kam aber schon in seiner ersten Saison auf drei Einsätze für die U20 in der J20 SuperElit. Die folgende Spielzeit 2008/09 verbrachte Fast, obwohl noch für die U18 spielberechtigt, fast ausschließlich bei der U20 und wurde am Ende der Saison mit der Mannschaft Vizemeister. Eine deutliche Leistungssteigerung gelang ihm im nächsten Jahr, als er seine Punktausbeute in 37 Ligaspielen von 14 auf 49 steigerte. Damit machte er im In- und Ausland auf sich aufmerksam, sodass er zum einen für HV71 in der höchsten Spielklasse Schwedens, der Elitserien, debütierte und zum anderen im NHL Entry Draft 2010 an 157. Position von den New York Rangers ausgewählt wurde.