האשק עסק בענפי ספורט נוספים בילדותו ונערותו, והצליח בעיקר בטניס כשזכה במספר תארים מקומיים באזור מגוריו. כדורגל הוא ספורט נפוץ במשפחתו - בן דודו, איוון האשק, היה נשיא התאחדות הכדורגל של צ'כיה, ובעברו שחקן מקצועני ששיחק 54 פעמים במדי נבחרת צ'כוסלובקיה ופעם נוספת בנבחרת צ'כיה לאחר מהפכת הקטיפה, ומאמן שאימן את נבחרת צ'כיה בחלק ממוקדמות מונדיאל 2010 ולפני כן בצרפת ובעולם הערבי. אחיו של דומיניק, מרטין האשק, הוא כדורגלן עבר ששיחק 14 פעמים במדי נבחרת צ'כיה, וכיום מאמן כדורגל. אחיינו, שנקרא מרטין האשק אף הוא, הוא כדורגלן.