Frédérik Gauthier wurde in Laval geboren und wuchs im benachbarten Saint-Lin–Laurentides auf, wo er in seiner Jugend für die "Association du Hockey Mineur des Gaulois de St-Lin des Laurentides" in der regionalen Juniorenliga aktiv war. Anschließend besuchte er das Collège Esther-Blondin und spielt für deren Eishockeyteam, die "Phénix". Parallel dazu nahm der Angreifer 2011 an den Canada Games teil, bei denen er mit der Auswahl seiner Heimatprovinz Québec die Silbermedaille gewann. Erste internationale Erfahrungen sammelte Gauthier über den Jahreswechsel 2011/12, als er das Team "Canada Québec" bei der World U-17 Hockey Challenge 2012 vertrat. Am Ende dieser Spielzeit wurde der Center im "Entry Draft" der Ligue de hockey junior majeur du Québec (LHJMQ) an 40. Position von den Océanic de Rimouski ausgewählt, für die er mit Beginn der Spielzeit 2012/13 in der höchsten Juniorenliga Québecs auflief. In seiner ersten Saison kam Gauthier auf 60 Scorerpunkte in 62 Spielen, wurde zum CHL Top Prospects Game eingeladen und am Saisonende ins All-Rookie Team der LHJMQ gewählt. Nachdem er mit der U18-Nationalmannschaft Kanadas bei der U18-Weltmeisterschaft 2013 die Goldmedaille gewonnen hatte, wählten ihn die Toronto Maple Leafs im NHL Entry Draft 2013 an 21. Position aus.