Йеспер Фаст начал свою карьеру в родном городе в местном клубе «Несшё». С сезона 2007-08 начал своё выступление за юниорский состав ХВ71 (до 18 лет), также сыграл три игры за молодёжный состав (до 20 лет). Следующий сезон 2008-09 уже провёл в молодёжном составе, став бронзовым призёром молодёжной лиги, также несколько игр сыграл и за юниоров. В этом же сезоне Йеспер сыграл одну встречу за родной клуб «Несшё», который выступает в «Дивизионе 2» — чётвертой по силе лиге Швеции. В сезоне 2009-10 Фаст набрал 49 очков (23+26) по системе гол+пас в молодёжном составе, благодаря этому он дебютировал в основной команде, сыграв 2 встречи в Элитсерии. Также Йеспер стал привлекаться в различные юношеские сборные Швеции. Прибавив в прошедшем сезоне Фаст привлёк к себе внимание за рубежом. Летом 2010 года Йеспер был выбран на драфте НХЛ в 6-м раунде под общим 157-м номером клубом «Нью-Йорк Рейнджерс». С сезона 2010/11 твёрдо стал основным игроком ХВ71, отыграв 36 встреч в регулярном чемпионате и 3 в плей-офф.