Agris Saviels begann seine Spielerkarriere beim HK Lido Nafta Riga, für die er in der Saison 1996/97 das erste Mal in der lettischen Eishockey-Liga spielte. 1998 wechselte er nach Nordamerika zu den "Notre Dame Hounds", einem Juniorenteam aus Saskatchewan. Ein Jahr später nahmen ihn die Owen Sound Platers aus der Ontario Hockey League unter Vertrag, bevor er beim NHL Entry Draft 2000 von den Colorado Avalanche in der zweiten Runde an 63. Stelle ausgewählt wurde.