János Móré był wychowankiem drużyny Bocskai FC. Grał także w klubie Ferencvárosi, z którym zwyciężył w lidze węgierskiej, a także zdobył Puchar Węgier. Miał na koncie 3 występy w reprezentacji Węgier. W 1934 był w kadrze na Mistrzostwa Świata.