В 2008 году Юрай Куцка, на счету которого уже был опыт выступлений за молодёжную сборную Словакии, впервые был вызван в основную национальную сборную. 19 ноября того же года дебютировал за сборную в матче с командой Лихтенштейна. В составе сборной участвовал в матчах Чемпионата Европы по футболу 2016 . Принял участие во всех матчах сборной на Чемпионате Европы 2020.