Никита Алексеев начал свою профессиональную карьеру в 1998 году в составе клуба Хоккейной лиги Онтарио «Эри Оттерз», который в том же году выбрал его в первом раунде под общим 5-м номером на драфте Канадской хоккейной лиги. В своём дебютном сезоне Никита провёл на площадке 66 матчей, в которых он набрал 37 (18+19) очков, однако уже в следующем сезоне он сумел значительно повысить свою результативность, отметившись 60 (28+32) баллами в 77 играх, после чего на драфте НХЛ он был выбран в первом раунде под общим 8-м номером клубом «Тампа-Бэй Лайтнинг».