Nicolas Hague wurde in Kitchener geboren und spielte dort in seiner Jugend unter anderem für die "Kitchener Jr. Rangers" sowie die "Kitchener Dutchmen". Mit Beginn der Saison 2015/16 wechselte er in die Ontario Hockey League (OHL), die höchste Juniorenliga seiner Heimatprovinz, zu den Mississauga Steelheads, die ihn in der "OHL Priority Selection" des Jahres 2014 an 29. Position ausgewählt hatten. In seinem ersten Jahr wurde der Verteidiger ins "OHL Second All-Rookie Team" gewählt und darüber hinaus für seine schulischen Leistungen mit der Bobby Smith Trophy geehrt. Im Folgejahr steigerte er seine persönliche Statistik auf 46 Scorerpunkte aus 65 Spielen und erreichte mit den Steelheads das Finale um den J. Ross Robertson Cup, in dem die Mannschaft jedoch den Erie Otters mit 1:4 unterlag. Im folgenden NHL Entry Draft 2017 wurde er an 34. Position von den neu gegründeten Vegas Golden Knights berücksichtigt. Zur Spielzeit 2017/18 übernahm der Kanadier das Amt des Mannschaftskapitäns in Mississauga und verbesserte seine Offensivleistungen abermals deutlich, so führte er alle Verteidiger der OHL mit 35 Treffern an und verzeichnete insgesamt 78 Punkte. Daher zeichnete man ihn mit der Max Kaminsky Trophy als besten Abwehrspieler der Liga aus und wählte ihn ins "OHL First All-Star Team", bevor ihn auch die gesamte Canadian Hockey League (CHL) als CHL Defenceman of the Year ehrte.