Boggio wuchs in Turin auf, erhielt schon für den Schulbesuch Stipendien, da er aus bescheidenen Verhältnissen kam und durch seine Begabung auffiel, und studierte an der Universität Turin Mathematik mit dem Laurea-Abschluss 1899. Danach war er Assistent für projektive und darstellende Geometrie in Turin bei Mario Pieri, was er auch weiter lehrte als Pieri 1900 von Turin wegging. Daneben erfolgten erste Veröffentlichungen in mathematischer Physik. Ab 1903 lehrte er mathematische Physik an der Universität Pavia und gleichzeitig als Assistent von Giuseppe Peano Analysis in Turin. 1905 wurde er nach einem Wettbewerb Professor für Finanzmathematik an der höheren Handelsschule in Genua (später Teil der Universität Genua). 1908 gewann er nach einem Wettbewerb den Lehrstuhl für rationale Mechanik an der Universität Messina. Er überlebte das bald darauf erfolgte verheerende Erdbeben in Messina und lehrte kurz in Florenz.