Юнас розпочав свою кар'єру в Фер'єстад, де він грав з 1988 по 1996 роки. В Драфті НХЛ 1992 року обраний в десятому раунді під 222 номером клубом Калгарі Флеймс‎. До Північної Америки він переїхав в влітку 1996 року, де з 1996 по 2003 роки швед грав у НХЛ за «Калгарі», «Монреаль Канадієнс‎» і «Торонто Мейпл-Ліфс».