Сезон 1994/95 защитник начал в клубе Высшей лиги «УралАЗ» из Миасса. После непродолжительного времени, проведённого за эту команду, Тертышный был вызван в «Трактор», где уже с первых матчей стал игроком основного состава. В «Тракторе» Дмитрий сразу стал показывать хорошую игру. В своём дебютном сезоне он провёл 39 матчей, в которых отметился тремя результативными передачами. Тертышного стали привлекать в молодёжную сборную России для игры со сверстниками из Финляндии и Швеции. На турнире на приз «Ленинградской правды» за игрой хоккеиста наблюдал Евгений Зимин, работавший скаутом «Филадельфии Флайерз» в Европе. Тертышный оказался в сфере интересов «Флайерз», и на драфте НХЛ 1995 года клуб выбрал хоккеиста под общим 132-м номером. Сам игрок не ожидал, что окажется задрафтованным, а тем более таким клубом как «Филадельфия». По его словам до драфта с ним контактировали только агенты «Нью-Йорк Рейнджерс» и «Сан-Хосе Шаркс».