Dylan Cozens wurde in Whitehorse geboren und spielte dort in seiner Jugend unter anderem für die „Whitehorse Mustangs“. Mit Beginn der Saison 2015/16 lief er für Nachwuchsteams in British Columbia auf, darunter die Delta Hockey Academy, die Yale Hockey Academy sowie die „Cariboo Cougars“. In der Spielzeit 2016/17 kam der Angreifer erstmals für die Lethbridge Hurricanes in der Western Hockey League (WHL) zum Einsatz, der ranghöchsten Juniorenliga der Region, und etablierte sich dort ab der Saison 2017/18. In dieser verzeichnete er 53 Scorerpunkte in 57 Spielen und wurde daher als bester Rookie der Liga mit der Jim Piggott Memorial Trophy geehrt. Im Folgejahr steigerte er diese Statistik deutlich auf 84 Punkte aus 68 Partien, sodass er als eines der vielversprechendsten Talente gehandelt wurde und daher am CHL Top Prospects Game teilnahm. Im anschließenden NHL Entry Draft 2019 wurde der Kanadier in der Folge an siebter Position von den Buffalo Sabres berücksichtigt, die ihn wenig später im Juli 2019 mit einem Einstiegsvertrag ausstatteten. Vorerst kehrte der Center jedoch für eine weitere Spielzeit zu den Hurricanes zurück, bei denen er das Amt des Mannschaftskapitäns übernahm. Nach 85 Punkten in 51 Partien der verkürzten Saison 2019/20 platzierte er sich unter den zehn besten Scorern der Liga, sodass man ihn ins WHL East First All-Star Team wählte.