Анатолий Кожевников родился 12 марта 1917 года в деревне Базаиха (ныне в черте Красноярска). После окончания семи классов и Красноярского сельскохозяйственного техникума работал землеустроителем, затем топографом. Окончил Красноярский аэроклуб. В 1938 году Кожевников был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. В 1940 году он с отличием окончил Батайскую военную авиационную школу пилотов, после чего остался в ней лётчиком-инструктором. С июля 1941 года — на фронтах Великой Отечественной войны. Участвовал в боях на Дону, Сталинградской и Курской битвах, освобождении Украинской и Молдавской ССР, Румынии, Польши, боях в Германии.