Jozef Čierny begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Heimatstadt in der Nachwuchsabteilung des HKm Zvolen, für dessen Profimannschaft er in der Saison 1991/92 sein Debüt in der zweiten tschechoslowakischen Spielklasse gab. Anschließend wurde er im NHL Entry Draft 1992 in der zweiten Runde als insgesamt 35. Spieler von den Buffalo Sabres ausgewählt, für die er allerdings nie spielte. Stattdessen lief der Flügelspieler in der Saison 1992/93 für deren Farmteam, die Rochester Americans, in der American Hockey League auf. Zusammen mit einem Viertrundenwahlrecht für den NHL Entry Draft 1994 wurde er am 1. September 1993 im Tausch gegen Craig Simpson an die Edmonton Oilers abgegeben. Für die Kanadier stand er während der &lt;a href="NHL%201993/94"&gt;Saison 1993/94&lt;/a&gt; in einem einzigen Spiel in der National Hockey League auf dem Eis, bei dem er punkt- und straflos blieb. Die gesamte restliche Zeit von 1993 bis 1995 verbrachte er hingegen bei Edmontons AHL-Farmteam Cape Breton Oilers.