Oršić pelasi Kroatian juniorimaajoukkueissa parikymmentä ottelua. Kroatian A-maajoukkueessa hän pelasi ensimmäisen kerran syyskuussa 2019 EM-karsintaottelussa Azerbaidžania vastaan. Ensimmäisen maaottelumaalinsa hän teki kesän 2021 EM-kilpailuissa neljännesvälierässä Espanjaa vastaan: vaihdosta 67. minuutilla kentälle tullut Oršić kavensi 85. minuutilla Espanjan johdon 2–3:een ja syötti lisäajalla tasoitusmaalin, mutta jatkoajalla Espanja teki kaksi maalia ja voitti. Oršić on kesäkuun 2021 loppuun mennessä pelannut kymmenen maaottelua, joista kolme ottelua hän on pelannut avauskokoonpanossa. Otteluista kolme on kuulunut MM- ja kaksi EM-karsintaan.