Carrier verbrachte seine Juniorenzeit zwischen 2010 und 2014 in der Ligue de hockey junior majeur du Québec. Dort lief er bis Januar 2014 für die Cape Breton Screaming Eagles auf, ehe er ligaintern zu den Voltigeurs de Drummondville wechselte. Während dieser Zeit war er im NHL Entry Draft 2013 in der zweiten Runde an 57. Position von den St. Louis Blues aus der National Hockey League ausgewählt worden. Diese hatten ihn im August desselben Jahres unter Vertrag genommen. Allerdings wurden seine Rechte für den Profibereich im Februar 2014 Teil eines Transfergeschäfts. Die Blues sicherten sich die Dienste von Ryan Miller und Steve Ott von den Buffalo Sabres und gaben im Gegenzug Carrier gemeinsam mit Jaroslav Halák, Chris Stewart und einem Erstrunden-Wahlrecht im NHL Entry Draft 2015 ab.