Grosse Erfolge brachte Steuri der Winter 1935: Er gewann die Bronzemedaille in der Abfahrt bei der Weltmeisterschaft in Mürren, kam jedoch im Slalom nur auf Platz 32 und damit in der Kombination auf Rang 13. Bei den Arlberg-Kandahar-Rennen am selben Ort gewann er die Abfahrt und wurde Dritter in der Kombination. Beim Lauberhornrennen in Wengen gewann er die Kombination und wurde jeweils Zweiter in Abfahrt und Slalom, worauf er als erster überhaupt mit dem Lauberhorn-Schnee-Kristall in Gold für fünf Podestplätze in Abfahrt und Slalom (die Kombination wird nicht mitgezählt) ausgezeichnet wurde. Beim Grossen Schweizer Skirennen 1935 in Grindelwald belegte er den zweiten Platz in der Abfahrt und bei den Französischen Meisterschaften in Chamonix erreichte er Platz zwei in der Abfahrt, Rang drei im Slalom und damit den zweiten Platz in der Kombination (0,03 Punkte hinter François Vignole). Zudem erzielte er beim Grand Prix von Megève den zweiten Platz in der Abfahrt sowie Rang drei in der Kombination.