Böttcher entstammte einer Berliner Beamtenfamilie; sein Vater Max war von 1907 bis 1946 Turn- und Zeichenlehrer an der Hermann-Tast-Schule (bis 1924 „Husumer Gelehrtenschule“) in Husum, die er selber besuchen sollte, sowie freiberuflicher Grafiker und Maler. Er entwarf u. a. das Husumer Notgeld. Während der Novemberpogrome 1938 wurde sein Vater aufgrund von jüdischen Vorfahren kurzzeitig durch die Nationalsozialisten verhaftet. In seiner Jugend war Johann Max Böttcher Mitglied der Jugendorganisation des paramilitärischen Stahlhelms. Nach dem Abitur 1939 wurde er zum Reichsarbeitsdienst (RAD) eingezogen und diente dann fünfeinhalb Jahre als Soldat in der Wehrmacht. Die Beförderung vom Oberfähnrich zum Leutnant blieb ihm allerdings verwehrt.