Анатолий Вавилов родился 1 апреля 1924 года в городе Вятка (ныне — Киров) в рабочей семье. Окончил семь классов школы и школу фабрично-заводского ученичества, после чего работал слесарем в локомотивном депо станции «Киров-1». В 1942 году Вавилов был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию. С сентября того же года — на фронтах Великой Отечественной войны. К сентябрю 1943 года младший сержант Анатолий Вавилов был наводчиком орудия 1334-го зенитного артиллерийского полка 21-й зенитной артиллерийской дивизии 47-й армии Воронежского фронта. Отличился во время освобождения Киева.