Lauterbach startete für den SC Turbine Erfurt, für den auch sein Bruder Wolfram antrat, der Sechste der Europameisterschaften 1974 im Weitsprung. Henry Lauterbach wurde schlagartig bekannt, als er bei den DDR-Meisterschaften 1976 sowohl im Hochsprung hinter Rolf Beilschmidt als auch im Weitsprung hinter Frank Wartenberg den zweiten Platz erreichte. Im Hochsprung hatte er sich mit 2,18 m auf Anhieb für die Olympischen Spiele 1976 in Montreal qualifiziert, in Montreal verpasste er allerdings mit 2,13 m den Endkampf. In den folgenden Jahren konzentrierte sich Lauterbach weitgehend auf den Hochsprung. Er wurde 1977 und 1978 jeweils Vizemeister der DDR hinter Rolf Beilschmidt, in der Halle belegte er 1978 den zweiten Platz hinter Beilschmidt, 1979 wurde Lauterbach Hallenmeister. Bei den Europameisterschaften 1978 in Prag sprang Lauterbach 2,26 m und belegte den vierten Platz, zwei Zentimeter und einen Platz hinter Beilschmidt. Bei den Halleneuropameisterschaften 1979 in Wien belegte er mit 2,21 m den fünften Platz. 1980 sprang Lauterbach bei den DDR-Meisterschaften zum vierten Mal auf den zweiten Platz, diesmal geschlagen von Gerd Wessig. Bei den Olympischen Spielen 1980 in Moskau überquerte Lauterbach 2,29 m und war als Viertplatzierter nur drittbester DDR-Springer, denn Gerd Wessig gewann Gold und Jörg Freimuth Bronze.