W reprezentacji Szwajcarii Minelli zadebiutował 15 czerwca 1930 roku w przegranym 0:1 towarzyskim meczu ze Szwecją, rozegranym w Sztokholmie. W 1934 roku został powołany do kadry na mistrzostwa świata we Włoszech. Tam jako kapitan Szwajcarii wystąpił we dwóch meczach: w 1/8 finału z Holandią (3:2) i ćwierćfinale z Czechosłowacją (2:3).