Bozek je večji del svoje kariere preigral v severnoameriških hokejskih ligah. V ligi NHL je igral enajst sezon za klube Los Angeles Kings, Calgary Flames, St. Louis Blues, Vancouver Canucks in San Jose Sharks. V sezoni 1993/1994 je igral za Olimpijo Hertz Ljubljana. Za kanadsko reprezentanco je igral na Svetovnem prvenstvu 1991, kjer je osvojil srebrno medaljo, sam pa je na osmih tekmah dosegel po en gol in podajo.