Erste Erfahrungen bei internationale Meisterschaften sammelte Süleyman Bekmezci beim Europäischen Olympischen Jugendfestival (EYOF) 2011 in Trabzon, bei dem er mit 1:57,56 min in der ersten Runde im 800-Meter-Lauf ausschied. 2013 gewann er bei den Junioreneuropameisterschaften in Rieti in 3:44,45 min die Silbermedaille im 1500-Meter-Lauf und im Jahr darauf wurde er bei den U23-Mittelmeer-Meisterschaften in Aubagne in 3:53,01 min Fünfter, ehe er bei den Juniorenweltmeisterschaften in Eugene mit 3:49,01 min in der Vorrunde ausschied. 2015 scheiterte er bei den U23-Europameisterschaften in Tallinn mit 3:45,85 min im Vorlauf aus und im Jahr darauf gewann er bei den U23-Mittelmeer-Meisterschaften in Tunis in 4:09,56 min die Silbermedaille über 1500 m hinter dem Tunesier Abdessalem Ayouni. Zudem siegte er dort in 14:41,03 min im 5000-Meter-Lauf. Anschließend gewann er bei den Balkan-Meisterschaften in Pitești in 3:44,85 min die Bronzemedaille über 1500 m und wurde in 1:50,63 min Fünfter im 800-Meter-Lauf. 2017 gewann er bei den Balkan-Hallenmeisterschaften in Belgrad in 3:47,10 min die Silbermedaille über 1500 m und anschließend klassierte er sich bei den U23-Europameisterschaften in Bydgoszcz mit 3:54,63 min auf dem zwölften Platz. Im Jahr darauf wurde er in 3:46,01 min Fünfter über 1500 m bei den Balkan-Meisterschaften in Stara Sagora.