Henrik Borgström durchlief in seiner Jugend die Nachwuchsabteilungen der Jokerit aus seiner Heimatstadt Helsinki. Innerhalb der Stadt wechselte er zur Saison 2013/14 zum HIFK Helsinki, für dessen U18-Team er fortan in der "Jr. B SM-sarja" auflief. Mit Beginn der Spielzeit 2015/16 wurde er in die U20 des Vereins aufgenommen und kam in der "Jr. A SM-liiga", der höchsten Juniorenliga Finnlands, auf 55 Scorerpunkte in 40 Spielen, sodass der Mittelstürmer als eines der vielversprechendsten europäischen Talente für den anstehenden NHL Entry Draft 2016 gehandelt wurde. Im eigentlichen Draft berücksichtigten ihn dann die Florida Panthers an 23. Position, ebenso wie Salawat Julajew Ufa im KHL Junior Draft 2016 an 50. Position.