La carriera di Bojana Živković, nota dal 2018 come Bojana Drča in seguito al matrimonio con l'ex cestista Luka Drča, inizia nel 2005, tra le file dell'Odbojkaški Klub Poštar 064, con cui si aggiudica campionato e Coppa di Serbia e Montenegro. Un anno dopo fa il suo esordio nella nazionale serbo-montenegrina e viene ingaggiata dalla Ženski odbojkaški klub Crvena zvezda, con cui intraprende un sodalizio che dura cinque stagioni; durante le ultime due si aggiudica il campionato e la Coppa di Serbia; inoltre disputa due final-four di Coppa CEV: nel 2008 chiude al terzo posto e viene premiata come miglior muro, nel 2010 chiude al secondo posto e viene premiata come miglior palleggiatrice. Nel 2007 esordisce nella neonata nazionale serba, con cui si aggiudica due edizioni consecutive della European League, nel 2009 e nel 2010.