Luca Cunti galt früh als grosses Eishockeytalent. Beim NHL Entry Draft 2007 wurde er in der dritten Runde von den Tampa Bay Lightning ausgewählt. Seine weitere Karriere verlief jedoch zunächst durchzogen und er erlangte den Ruf als ewiges und schwierig zu führendes Talent. Die Erstligisten EHC Dübendorf und EHC Weinfelden waren seine ersten Stationen, später die NLB-Klubs HC Thurgau und GCK Lions. In der National League A blieb er bei den SCL Tigers nur Durchschnitt. Erst in der &lt;a href="National%20League%20A%202011/12"&gt;Saison 2011/12&lt;/a&gt; schaffte Cunti unter der Führung von Bob Hartley bei den ZSC Lions den Durchbruch und erreichte mit diesen als Aufsteiger des Jahres den Schweizer Meistertitel. Ab der Saison 2012/13 gehörte Cunti zu den Führungsspieler der Lions und gewann mit diesen 2014 einen weiteren Meistertitel sowie 2016 den Schweizer Pokalwettbewerb. In der Saison 2016/17, nach der sein Vertrag bei den Lions auslief, wurde er unregelmäßig vom Trainer der Lions eingesetzt. Anfang Dezember 2016 unterschrieb Cunti einen Vertrag beim HC Lugano, der ab Sommer 2017 galt. In der Folge versuchte der HC Lugano, Cunti bis zum Ende der Saison 2016/17 auszuleihen, letztlich entschied sich das Management der Lions jedoch für ein Leihgeschäft mit dem EHC Kloten.