Александр Богашев родился 5 августа 1919 года в Иркутске в семье железнодорожника. После окончания школы-семилетки в городе Черемхово и горно-промышленного училища работал электриком на шахте. В 1939 году был призван на службу в Рабоче-крестьянскую Красную Армию Черемховским городским военным комиссариатом. Проходил службу на Дальнем Востоке, затем в городе Ровно Украинской ССР, командова взводом разведки, имел звание старшины. С начала Великой Отечественной войны — на её фронтах. Участвовал в боях на Юго-Западном фронте в 1941 году. Под городом Коростень получил тяжёлое ранение и был эвакуирован в госпиталь. Выздоровев, был направлен на Закавказский фронт, где принял участие в Керченско-Феодосийской операции. В мае 1942 года был контужен и попал в плен. В июле 1942 года бежал из немецкого эшелона, организовал и возглавил партизанский отряд, действовавший на Украине в тылу врага. В ноябре 1943 года Богашев воссоединился с советскими частями, участвовал в боях на 1-м Украинском фронте. Участвовал в освобождении Киева, Житомирско-Бердичевской и Корсунь-Шевченковской операциях. Впоследствии служил на 2-м Украинском фронте, участвовал в Уманско-Ботошанской операции. К марту 1944 года старший лейтенант Александр Богашев командовал ротой автоматчиков 529-го стрелкового полка 163-й стрелковой дивизии 40-й армии 2-го Украинского фронта. Отличился во время форсирования Южного Буга.