Martin Cibák begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Heimatstadt in der Jugend des MHk 32 Liptovský Mikuláš, für dessen Profimannschaft er in der Saison 1997/98 sein Debüt in der slowakischen Extraliga gab, wobei er in seinem Rookiejahr in 33 Spielen sechs Scorerpunkte, darunter zwei Tore, erzielte. Anschließend wurde er im NHL Entry Draft 1998 in der neunten Runde als insgesamt 252. Spieler von den Tampa Bay Lightning ausgewählt.