Антон Злобин является воспитанником «Спартака», в составе которого прошёл все этапы становления, вплоть до выпуска из СШОР. На Драфте юниоров КХЛ 2010 года был выбран, в первом раунде под общим 20-м номером, московским «Динамо». После драфта Антон принял решение уехать в за океан и попал в клуб главной юниорской лиги Квебека (QMJHL) — «Шавиниган Катарактес». Вместе со своей новой командой, в сезоне 2011/12, выиграл Мемориальный кубок. После успеха в QMJHL, Антон был выбран на Драфте НХЛ 2012 года, в 6 раунде под общим 173-м номером, командой «Питтсбург Пингвинз».