Der in Falkenberg geborene Jesper Karlsson begann seine fußballerische Ausbildung im Alter von vier Jahren beim lokalen IF Böljan. Im Frühjahr 2015 wechselte er in die Jugendakademie des Falkenbergs FF, wo er bereits im Herbst desselben Jahres einen professionellen Vertrag unterzeichnete. Sein Debüt in der höchsten schwedischen Spielklasse gab er am 3. April 2016 (1. Spieltag) bei der 0:2-Heimniederlage gegen den IFK Göteborg, als er in der 79. Spielminute für Akseli Pelvas eingewechselt wurde. Seine ersten beiden Ligatore gelangen dem Stürmer am 17. Juli (14. Spieltag) beim 3:3-Unentschieden gegen den Hammarby IF. In den darauffolgenden Wochen etablierte er sich als Stammkraft beim abstiegsbedrohten Verein. Mit sieben Toren in 26 Ligaeinsätzen galt der junge Karlsson als einer der wenigen Lichtblicke von Falkenbergs in dieser Saison 2016, die für den Verein letztlich mit der Relegation als Tabellenletzter endete.