Nachdem Berezan seine Juniorenzeit in der Alberta Junior Hockey League äußerst erfolgreich hinter sich gebracht hatte, wurde er im NHL Entry Draft 1983 in der dritten Runde an 55. Stelle von den Calgary Flames ausgewählt. Die folgenden zwei Spielzeiten 1983/84 und 1984/85 spielte Berezan dann an der University of North Dakota in der National Collegiate Athletic Association, ehe er zum Ende der zweiten Spielzeit erstmals von den Flames in der NHL eingesetzt wurde. Der Kanadier hinterließ dabei mit fünf Punkten in neun Spielen einen bleibenden Eindruck und etablierte sich in den folgenden vier Spieljahren im Stammkader des Teams.