בנקי נולד במשפחה יהודית. הוריו היו ד"ר איגנץ לווינגר וברטה זלצר (בטי). אביו היה רופא, ובפרוץ המהפכה ומלחמת 49–1848 בהונגריה, אביו שהיה נשוי טרי התייצב והתנדב לצבא העממי ההונגרי שהתארגן. בצבא שימש כרופא ראשי עד לכישלון המהפכה ופירוק הצבא מנשקו. על אף היותו יהודי, ראשית חייו של אביו כקצין בצבא ההונגרי תרמו גם לחינוכו הפטריוטי של הבן דונאט. הוא נולד כילד רביעי במשפחה ומאוחר יותר כשהמשפחה גדלה לשישה ילדים היא עברה לכפר קטן אחר במרכז מערב הונגריה. בשנת 1879, והוא כבר היה סטודנט באוניברסיטה, שינה את שמו לשם הונגרי באנקי המזכיר את כפר הולדתו.