Stefan Küng commence sa carrière internationale en 2010, avec les championnats d'Europe juniors à Ankara. Il termine huitième du contre-la-montre, sa discipline de prédilection. L'année suivante, il remporte le Tour de Berne juniors et une étape du Tour du Pays de Vaud. Toujours en 2011, associé à Théry Schir, il devient champion d'Europe de l'américaine juniors et aussi double champion de Suisse juniors (en contre-la-montre individuel sur route et de l'omnium sur piste). Dans la même année, il remporte deux médailles d'argent derrière Bob Jungels aux Jeux des petits États d'Europe, où il court pour le Liechtenstein. En fin de saison, il remporte lors des Six jours de Zurich, l'UIV Cup à Zürich avec Jan Keller.