Николай Дашкиев родился в учительской семье в городке Краснокутск (в настоящее время Харьковская область). По окончании средней школы поступил на геофизический факультет Ленинградского университета, но не успел закончить учёбу из-за начавшейся войны. Плохое зрение не позволило Николаю попасть в армию сразу, но с февраля 1943 года он участвовал в боевых действиях — как рядовой стрелок, затем как радист и командир отделения связи. Дашкиев участвовал в сражении на Курской дуге, форсировании Днепра в районе Вышгорода, Корсунь-Шевченковской операции, а в дальнейшем воевал в Карпатах, Польше и Чехословакии. Среди его наград — Орден Красной Звезды, медаль «За боевые заслуги» и медаль «За отвагу».