Заниматься борьбой Элис начал в раннем детстве под руководством своего отца Иляза — многократного чемпиона Албании по греко-римской борьбе. На крупных международных молодёжных соревнованиях Гури стал выступать с 2002 года. В 2003 году Элис принял участие во взрослом чемпионате мира, но стал там лишь 37-м. Пробовал Гури отобраться и на летние Олимпийские игры 2004 года, но проиграл в квалификационном турнире. Впервые пробиться в десятку сильнейших албанцу удалось в 2007 году, когда он стал 7-м на мировом первенстве в Баку. Этот результат также принёс Гури олимпийскую лицензию для участия в Играх в Пекине. В апреле 2008 года Элис завоевал свою первую значимую награду, завоевав бронзу чемпионата Европы.