Юрий Добрышкин начал свою профессиональную карьеру в 1996 году в составе московского клуба «Крылья Советов», где за три сезона он набрал 20 (15+5) очков в 79 проведённых матчах. В 1999 году на драфте НХЛ он был выбран в 6 раунде под общим 159 номером клубом «Атланта Трэшерз». В том же году Юрий подписал контракт с казанским «Ак Барсом», в составе которого стал двукратным серебряным призёром чемпионата России, за три сезона проведя на площадке 141 матч, и набрав 59 (33+26) очков. С 2002 по 2004 год Добрышкин выступал в составе череповецкой «Северстали», с которой вновь завоевал серебро российского первенства, став также лучшим снайпером турнира.