Urallaan Minelli pelasi kotikaupunkinsa FC Küsnachtissa, Servettessä, Grasshoppers Zürichissä ja FC Zürichissä. Ensimmäisen Sveitsin mestaruuden Minelli voitti Servettessä 1930 ja Grasshopperiin siirryttyään Minelli voitti viisi mestaruutta ja Sveitsin cupin kahdeksan kertaa. Minelli pelasi Sveitsin maajoukkueessa 80 maaottelua, mikä oli pitkään maan ennätys. Minelli pelasi myös kahdet maailmanmestaruuskilpailut, vuosina 1934 ja 1938.