Nach mehr als sechs Jahren im Franchise aus dem Bundesstaat Arizona wurde Stone Mitte Februar 2017 im Tausch für ein Drittrunden-Wahlrecht im NHL Entry Draft 2017 zu den Calgary Flames transferiert. Ferner sollen die Coyotes ein weiteres Fünftrunden-Wahlrecht für den NHL Entry Draft 2018 erhalten, sofern Stone seinen Vertrag in Calgary nach Saisonende verlängert. Für die Restlaufzeit des Vertrages übernahm sein Ex-Arbeitgeber zudem 50 Prozent von Stones Jahresgehalt. Anschließend unterzeichnete Stone im Juni 2017 einen neuen Dreijahresvertrag bei den Flames, der ihm ein durchschnittliches Jahresgehalt von 3,5 Millionen US-Dollar einbringen soll, und erfüllte somit die Bedingung des Transfergeschäfts.