Kučerov začínal s hokejem v jeho rodné Moskvě, kde později nastupoval za tamní tým CSKA Moskva, kde si vyzkoušel i Kontinentální hokejovou ligu (KHL). Během draftu NHL 2011 si ho ve 2. kole vybral tým Tampa Bay Lightning jako 58. celkově. Ve snaze adaptovat se na zámořský hokej přešel Kučerov do kanadské juniorské ligy Quebec Major Junior Hockey League (QMJHL), kde nastupoval nejprve za Quebec Remparts a později za tým Rouyn-Noranda Huskies.