Barber entame sa carrière universitaire avec les Redhawks de Miami de l'Université Miami (Ohio) en 2012-2013. À la fin de sa saison recrue, il est nommé sur la première équipe d'étoiles de la CCHA grâce à une récolte de 39 points en 40 matchs. Il se classe d'ailleurs au 2e rang des pointeurs chez les Redhawks derrière Austin Czarnik. Le , durant sa 2e année universitaire, il est désigné capitaine de la formation américaine junior de hockey pour le Championnat du monde junior de hockey sur glace 2014. Il a remporté la médaille d'or avec les États-Unis lors de l'édition 2013 du tournoi.