Byström representerade Ångermanland under TV-pucken 2009. Efter att ha övertygat i J20 SuperElit debuterade Byström i SHL som 16-åring den 25 november 2010 och blev då den yngste MoDo-spelare att spela i SHL, därtill en av de yngsta genom alla tider. Säsongen därpå var han nästan ordinarie i SHL:s grundserie och producerade samtidigt 29 poäng på 34 matcher i J20 SuperElit. Han representerade även Sverige i J18-VM i en turnering som slutade med silver för Sveriges del. Sommaren 2012 blev han draftad av Dallas Stars i NHL-draftens andrarunda, som 43:e namn totalt. Han skrev den 16 juli 2012 ett treårskontrakt med Dallas och blev därefter utlånad - första säsongen till moderklubben MoDo och Örebro Hockey, och därpå följande säsong till Färjestads BK där han växte ut till en av klubbens bästa backar. Båda dessa säsonger förbättrade han sin poängproduktion i SHL.