קוטיק נולד ב-1847 נולד בקאמניץ ליטובסק, היא קמניץ (ליטא), למשפחת פרנסים וחוכרים אמידה. אביו משה היה בנו של גובה המיסים (סבורשצ'יק) העירוני, ואמו שרה הייתה בתו של הרב אליעזר הלוי מגרודנה. קיבל חינוך יהודי מסורתי ב"חדר" ואצל מורים פרטיים. סבו ומשפחתו מצד אמו היו "מתנגדים", אביו הפך לחסיד נלהב לאחר נישואיו, ונאמן לצדיקים מקוברין ומסלונים. יחזקאל הצעיר נמשך בצעירותו לעולמה של החסידות, אולם בבגרותו הפך מתנגד. עובדה שיצרה בינו לבין אביו קרע שהעיב על כל חייו. למן שנת 1861, בעקבות זעזועים חברתיים וכלכליים ברוסיה והמרד הפולני בשנת 1863, ירדה המשפחה מנכסיה. בשנת 1865 נשא קוטיק לאשה נערה יתומה מפינסק בשם לִיבֶּה, אותה ראה לראשונה בעת חופתו. כל חיו עמדו בצל המאבק המתמשך בין סיפוק תשוקתו לרכישת השכלה, לבין הצורך לפרנס את משפחתו. לאחר הנישואים ניסו בני הזוג, ללא הצלחה יתירה, להתפרנס כבעלי חנות. בשנת 1868 נולד בנם הבכור אברהם, לימים פעיל סוציאליסטי. קוטיק רקם תוכניות ללמוד בישיבת וולוז'ין וכן ללמוד רוסית, כדי לזכות במשרה של "רב מטעם הממשלה", אולם אביו הכשילו בכל פעם מחדש.