Andrej Meszároš je odchovancom Dukly Trenčín, za ktorú hral v slovenskej hokejovej extralige v sezóne 2002/2003 a následne aj 2003/2004. V roku 2004 ho draftoval v prvom kole z celkového 23. miesta klub NHL – Ottawa Senators. Sezónu 2004/2005 odohral vo Western Hockey League (WHL) v drese Vancouver Giants, kde ho vyhlásili za najlepšieho klubového nováčika a obrancu sezóny, stal sa členom druhého All-Star tímu WHL a figuroval i v nováčikovskom All-Rookie tíme. Pred sezónou 2005/2006 podpísal nováčikovský kontrakt s Ottawou Senators. Prvý zápas v NHL odohral "5. októbra 2005" proti Torontu, prvý gól zaznamenal "9. decembra" do siete Vancouveru. V drese "Senators" odohral celkom tri sezóny, nastúpil na 246 zápasov základnej časti, v ktorých získal 110 bodov (26+84). V play-off odohral ďalších 34 zápasov so ziskom deviatich bodov.