Antonín Stavjaňa begann seine Laufbahn beim HC Dukla Trenčín, für den er 1981 sein Debüt in der 1. Liga, der höchsten Spielklasse der Tschechoslowakei. 1986 wechselte er zum TJ Gottwaldov und wurde beim NHL Entry Draft von den Calgary Flames in der 12. Runde an 247. Stelle ausgewählt. Gleich in seiner ersten Spielzeit mit Gottwaldov wusste er zu überzeugen und wurde sowohl als bester Verteidiger ausgezeichnet, als auch ins All-Star-Team der Extraliga gewählt. Er kehrte für eine Spielzeit nach Trenčín zurück, bevor er zurück in das inzwischen in Zlín umbenannte Gottwaldov ging.