Nachdem er bereits im NHL Entry Draft 1992 in der zweiten Runde an 33. Stelle von den Montréal Canadiens aus der National Hockey League ausgewählt worden war, holten ihn diese zu Beginn der &lt;a href="AHL%201994/95"&gt;Saison 1994/95&lt;/a&gt; in ihr Farmteam, die Fredericton Canadiens, aus der American Hockey League. Mit dem verspäteten Beginn der NHL-Saison lief Bure ab Januar 1995 dann für die Canadiens in der NHL auf. Die in ihn gesetzten Erwartungen konnte der oft verletzte Stürmer in den folgenden drei Jahren aber nur selten erfüllen. So wurde er im Februar 1998 für Jonas Höglund und Zarley Zalapski an den Ligakonkurrenten Calgary Flames abgegeben. Dort fand sich der Angreifer immer besser zurecht und führte das Team in der &lt;a href="NHL%201999/2000"&gt;Saison 1999/2000&lt;/a&gt; in den Kategorien Tore und Punkte an. Im Juni 2001, nach fast dreieinhalb Jahren, endete Bures Zeit in Calgary aber, als er mit Jason Wiemer im Austausch für Rob Niedermayer und ein Zweitrunden-Wahlrecht im NHL Entry Draft 2001 zu den Florida Panthers abgegeben wurde. Aufgrund mehrerer Verletzungen absolvierte er binnen zwei Jahren aber lediglich 77 Spiele für die Mannschaft, bevor ihn die Panthers gemeinsam mit einem Fünftrunden-Wahlrecht im NHL Entry Draft 2004 für Mike Van Ryn zu den St. Louis Blues transferierten. Für St. Louis bestritt er nur elf Spiele, ehe er über die Waiver-Liste nach Florida zurückkehrte. Dort absolvierte er bis März 2004 die &lt;a href="NHL%202003/04"&gt;Spielzeit 2003/04&lt;/a&gt;. Anschließend gaben die Panthers Bure für Drew Bagnall und ein Zweitrunden-Wahlrecht im NHL Entry Draft 2004 an die Dallas Stars ab.