Erste internationale Erfahrungen sammelte Asmir Kolašinac 2005 für Serbien und Montenegro startend bei den U23-Europameisterschaften in Erfurt, bei denen er mit einer Weite von 15,66 m in der Qualifikation ausschied. Zwei Jahre nahm er für Serbien an der Sommer-Universiade in Bangkok teil und belegte dort mit 18,90 m den sechsten Platz. 2008 konnte er sich weiter steigern und qualifizierte sich erstmals für dir Olympischen Spiele in Peking, bei denen er aber mit 19,01 m in der Qualifikation aus, wie auch bei den Weltmeisterschaften im Jahr darauf in Berlin mit einer Weite von 19,67 m. Zuvor gelangte er bei den Studentenweltspielen in Belgrad bis in das Finale, brachte dort aber keinen gültigen Versuch zustande. 2010 schied er bei den Hallenweltmeisterschaften in Doha mit 20,10 m in der Qualifikation aus und bei den Europameisterschaften in Barcelona belegte er mit einem Wurf auf 19,77 m im Finale Rang sieben. Bei den Weltmeisterschaften 2011 wurde er Elfter. Im Jahr darauf schied er bei den Halleneuropameisterschaften in Paris ohne einen gültigen Versuch in der Qualifikation aus, gelangte aber bei den Weltmeisterschaften in Daegu bis in das Finale, in dem er mit 19,84 m auf den zehnten Platz gelangte.