Blaßnig war Mitglied der ÖSV-Kader von 1983 bis 2002. Seine Karriere begann der für den HSV Lienz startende Zollwachebeamte als Biathlet. 1984 belegte er einen vierten Platz bei der Biathlon-Junioreneuropameisterschaft und gab in Oberhof sein Weltcupdebüt. Bei den Biathlon-Weltmeisterschaften 1985 im bayrischen Ruhpolding war er nur Ersatzmann. Nach dreijähriger krankheits- und verletzungsbedingter Pause schaffte er ein Comeback als Skilangläufer. Er startete bei den Weltmeisterschaften 1991 in Val di Fiemme und erzielte Platz 21 über 30 km klassisch, Platz 31 über 10 km klassisch und Rang 38 im 50 km Freistilbewerb. Eine neuerliche Verletzung verhinderte eine mögliche Teilnahme an den Olympischen Winterspielen 1992. In den Jahren 1993, 1995 und 1996 wurde er Österreichischer Staatsmeister in der Langlauf-Staffel und 1994 gewann er den Staatsmeistertitel im 50-Kilometer-Bewerb.