Barber spielte zunächst von 1981 bis 1983 in der British Columbia Hockey League bei den "Kelowna Buckaroos" und von 1983 bis 1984 für die "St. Albert Saints" in der Alberta Junior Hockey League. Danach wechselte er ans College, wo er von 1984 bis 1988 für die Bowling Green State University auflief. Der rechte Flügelspieler war bereits im NHL Entry Draft 1983 von den Edmonton Oilers in der sechsten Runde an 120. Position ausgewählt worden, doch bevor er jemals ein Spiel für diese bestritt, gaben sie seine Transferrechte im Dezember 1985 zu den Minnesota North Stars ab.