Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Anastasija Słonowa pojawiła się 16 listopada 2007 roku w Muonio, gdzie w zawodach FIS Race zajęła 55. miejsce w eliminacjach sprintu techniką klasyczną. W lutym 2008 roku wystartowała na mistrzostwach świata juniorów w Malles Venosta, jednak plasowała się w szóstej dziesiątce. Jeszcze trzykrotnie startowała na imprezach tego cyklu, najlepszy wynik osiągając na MŚJ w Otepää w 2011 roku, gdzie była czwarta w biegu łączonym na 10 km. Czwarta była także rok wcześniej w sztafecie. Swój największy dotychczasowy sukces osiągnęła w 2013 roku, kiedy podczas mistrzostw świata U-23 w Libercu zdobyła srebrny medal na dystansie 10 km techniką dowolną.