Parkes fece il suo esordio professionistico con , squadra nella quale giocò anche il padre. Nel 2010, alla sua prima stagione di Mitre 10 Cup, fu titolare in tutte le giornate della competizione. L'anno seguente si trasferì all' di cui diventò capitano nel 2012; nello stesso periodo raggiunse la finale del campionato neozelandese persa contro nonostante una sua meta ad inizio partita. Quest'ultimo fu il suo miglior risultato nelle quattro annate trascorse nel club neozelandese, interrotte solamente da una breve esperienza con gli nella First Division della Currie Cup 2013. Durante la sua permanenza nell'emisfero australe, Parkes disputò anche tre stagioni di Super Rugby: nel 2012 con i , nel 2013 retrocesse con i e nel 2014 con gli . Nel dicembre 2014 firmò un contratto con la franchigia gallese degli , dove si ricongiunse con Wayne Pivac suo ex allenatore nei quattro anni trascorsi nell'Auckland. Il suo ambientamento nella nuova squadra fu molto veloce, dopo l'esordio in Pro 12 contro i partendo dalla panchina, fu titolare in tutti gli incontri fino al termine del campionato. Già all'inizio della stagione 2015-2016 iniziò a ricoprire il ruolo di capitano quando Ken Owens era assente per impegni internazionali. Scese in campo in tutte le partite che portarono gli Scarlets a vincere il Pro12 2016-2017. Raggiunse la finale anche l'anno successivo e, nonostante la sconfitta, fu inserito nel "dream team" stagionale nella posizione di primo centro. Nel maggio 2020 annunciò ufficialmente il suo trasferimento alla squadra giapponese dei Panasonic Wild Knights dopo sei stagioni trascorse negli Scarlets.