Энди Муг был выбран в седьмом раунде драфта 1980 года клубом «Эдмонтон Ойлерз». Вместе с «Эдмонтоном» Муг выиграл три Кубка Стэнли: в 1984, 1985 и 1987 годах. 8 марта 1988 года «Эдмонтон» обменял Муга в «Бостон Брюинз» на нападающего Джеффа Куртнолла, вратаря Билла Рэнфорда и выбор во втором раунде драфта 1988 года. 25 июня 1993 года Муг перешёл в «Даллас Старз» в обмен на вратаря Джона Кейси. Этот обмен стал частью сделки по переходу защитника Горда Мёрфи из «Бостона» в «Даллас», которая состоялась 20 июня того же года. 17 июля 1997 года Энди Муг перешёл в «Монреаль Канадиенс» в качестве свободного агента.