Алексей Кривченков начал свою профессиональную карьеру в 1994 году в составе московского ЦСКА, выступая до этого за фарм-клуб родной новосибирской «Сибири». В следующем году на драфте НХЛ он был выбран в 3 раунде под общим 76 номером клубом «Питтсбург Пингвинз». В 1995 году Алексей принял решение отправиться в Северную Америку, где он стал игроком клуба «Кливленд Ламберджэкс». За три года, проведённых за океаном, Кривченков выступал за 5 клубов, однако, так и не сумев пробиться в НХЛ, перед началом сезона 1998/99 он вернулся в Новосибирск.