Po raz pierwszy na arenie międzynarodowej Andrew Musgrave pojawił się 25 lutego 2006 roku podczas zawodów juniorów w Candanchú, gdzie zajął 57. miejsce w biegu na 10 km techniką dowolną. Dwa lata później wystartował na mistrzostwach świata juniorów w Malles Venosta, zajmując odległe pozycje. Najlepszy wynik osiągnął na rozgrywanych rok później mistrzostwach świata juniorów w Praz de Lys – Sommand, gdzie był dziewiąty w biegu na 10 km stylem dowolnym. W 2013 roku był czwarty na dystansie 15 km stylem dowolnym podczas mistrzostw świata młodzieżowców w Libercu.