Alexin isä Réal Jean "Alfie" Turcotte pelasi omalla urallaan hyökkääjänä pudotuspelit mukaan lukien yhteensä 117 NHL-ottelua Montreal Canadiensissa, Winnipeg Jetsissa ja Washington Capitalsissa. Alfie oli Montreal Canadiensin ensimmäisen kierroksen varaus (17. varaus) vuodelta . Hän loi pääsarjauraa myös Saksassa, Sveitsissä ja Itävallassa sekä kuului Yhdysvaltain vuoden 1986 MM-joukkueeseen. Myös Alexin sedät Jeff sekä serkut Tanner ja Tara Turcotte ovat pelanneet jääkiekkoa. Alex Turcotten isoisä Réal Turcotte pelasi hyökkääjänä Michiganin yliopistojoukkueessa sekä myöhemmin toimi samaan aikaan WHL-seura Nanaimo Islandersin pääomistajana, päävalmentajana ja toimitusjohtajana.