Радек Дуда начинал свою карьеру в клубе «Баник Соколов». В 1997 году он дебютировал в чешской Экстралиге за пражскую «Спарту» в матче плей-офф против «Витковице». В сезоне 1996/97 стал бронзовым призёром Экстралиги. После драфта НХЛ 1998 года, на котором Дуда был выбран в 7-м раунде под 192-м номером клубом НХЛ «Калгари Флэймз», он перебрался за океан. С 1998 по 2000 год играл в западной хоккейной лиге за команды «Реджайна Пэтс» и «Летбридж Харрикейнз». Вернувшись в Чехию, Дуда стал выступать за «Пльзень». В 2002 году стал игроком пражской «Славии», с которой добился наибольших успехов своей карьеры. Дважды, в 2003 и 2008 годах, он становился чемпионом Чехии, в 2006 году стал серебряным призёром. В сезоне 2004/05, который из-за локаута в НХЛ получился очень представительным, Дуда стал получать меньше игрового времени в «Славии». В команде выступали хоккеисты НХЛ, в частности словацкие нападающие Жигмунд Палффи и Йозеф Штумпел. Из-за большой конкуренции в нападении Дуда был обменян в «Пльзень» на защитника Ярослава Шпачека.