Na arenie międzynarodowej Laura Orgué po raz pierwszy pojawiła się 24 stycznia 2004 roku w Candanchú, gdzie zajęła siódme miejsce w sprincie techniką dowolną. W 2005 roku wystartowała w mistrzostwach świata juniorów w Rovaniemi, gdzie zajęła między innymi 39. miejsce w biegu łączonym na 10 km. Rok później, podczas mistrzostw świata juniorów w Kranju jej najlepszym wynikiem było 32. miejsce w biegu na 5 km stylem klasycznym. W kategorii młodzieżowców była między innymi dziesiąta w biegu na 10 km klasykiem na mistrzostwach świata juniorów w Malles Venosta w 2008 roku, a rok później podczas mistrzostw w Praz de Lys – Sommand na tym samym dystansie techniką dowolną Hiszpanka zdobyła brązowy medal.