Починаючи з сезону 1993—1994 років, Олексія почали залучати до ігор за рідну команду «Крила Рад» (Москва). У своєму дебютному сезоні Морозов провів лише 7 поєдинків. Але вже з наступного року він став одним з лідерів команди, за яку і грав до 1997. Влітку 1995 року на драфті національної хокейної ліги, Олексія було обрано в першому раунді під загальним 24 номером командою Піттсбург Пінгвінс.