Вячеслав Лещенко начал заниматься хоккеем в подмосковном городе Электросталь, в школе местной хоккейной команды «Кристалл», за которую дебютировал на уровне Открытого Чемпионата Москвы среди юношей своей возрастной категории. В 2007 и 2008 годах выступал за юношескую команду московского «Спартака». После зимней Спартакиады 2012 года, которая проходила в Твери, перебрался в спортивную школу подмосковного клуба — «Атлант». По выпуску подписал свой первый, профессиональный контракт и начал выступать в молодёжной команде на уровне МХЛ — «Мытищинские Атланты». В 2012 году впервые вызвался под флаг Юниорской сборной России и принял участие в Мировом Кубке Вызова, проходившем в канадском городе Уинсор. В 2013 году, в составе Юниорской сборной выиграл медали международного турнира, проходившем в шведском городе Йончепинг, а также принимал участие в Чемпионате Мира среди юниоров, который проходил в Сочи.