Kurri pelasi urallaan 101 aikuisten maaottelua tehopistein 36+37=73. Suomen jääkiekkomaajoukkuetta hän edusti neljä kertaa maailmanmestaruuskilpailuissa, kolme kertaa Kanada-cupissa, kahdesti olympialaisissa ja kerran maailmancupissa saavuttaen kolmannen sijan vuoden 1991 Kanada-cupissa, hopeaa vuoden 1994 maailmanmestaruuskilpailuissa ja pronssia vuoden 1998 olympialaisissa. Hänet valittiin tähdistökentälliseen vuosien 1991 ja 1994 maailmanmestaruuskilpailuissa ja äänestettiin Suomen parhaaksi jääkiekkoilijaksi peräti yhdeksän kertaa perättäin vuosina 1982–1990. Suomen Jääkiekkoliitto palkitsi Kurrin vuonna 1994 ensimmäistä kertaa Suomessa jaetulla Presidents’ Trophylla ja vuonna 2000 hänet nimettiin Kansainvälisen Jääkiekkoliiton kunniagalleriaan. Vuonna 2002 Salt Lake Cityn talviolympialaisten urheilijat valitsivat Kurrin neljän vuoden jäsenkaudelle Kansainvälisen Olympiakomitean jäseneksi. Suomen jääkiekkomaajoukkue on jäädyttänyt Kurrin pelinumeron 17 ja Suomen Jääkiekkomuseo on kunnioittanut Kurrin mittavaa pelaajauraa aateloimalla hänet Jääkiekkoleijonaksi numerolla 113 vuonna 1998 sekä avaamalla museon tiloihin "Jari Kurri – jäänmurtaja" -erikoisnäyttelyn vuonna 2013.