Aumann se narodil ve Frankfurtu nad Mohanem v tehdejší Výmarské republice a v roce 1938 emigroval se svou rodinou dva týdny před Křišťálovou nocí do Spojených států. V New Yorku navštěvoval ješivu rabbiho Jacoba Josepha. V roce 1950 absolvoval City College of New York a získal titul bakalář v oboru matematika. Poté studoval na Massachusettském technologickém institutu, kde v roce 1952 získal titul magistr a v roce 1955 titul Ph.D. Jeho doktorandská disertace "Asphericity of Alternating Linkages" obsahovala teorii uzlů ("knot theory"). V roce 1956 se odstěhoval do Izraele a od té doby je zaměstnancem matematické fakulty Hebrejské univerzity v Jeruzalémě a zároveň je od roku 1989 i hostujícím profesorem na Stony Brook University.