Karierę rozpoczynał w Stanach Zjednoczonych. 4 czerwca 2010 w KHL Junior Draft w 2010 został wybrany przez białoruski klub Dynama Mińsk (runda 7, numer 170). Przeszło trzy tygodnie później, 26 czerwca w drafcie NHL z 2010 został wybrany przez Dallas Stars jako pierwszy wśród bramkarzy. Następnie podpisał trzyletni kontrakt z tym klubem. Od tego czasu przez dwa sezony grał w dwóch klubach w juniorskich kanadyjskich rozgrywkach OHL. W marcu 2012 został przekazany do klubu farmerskiego, Texas Stars. Od tego czasu występuje w barwach tej drużyny w rozgrywkach AHL. 20 października 2013 zadebiutował w lidze NHL w barwach Dallas. Był to jego jedyny mecz w NHL do 2016. W tym czasie występował w Texas Stars w AHL, a także w lidze ECHL. W czerwcu 2015 przedłużył kontrakt z Dallas Stars o rok. Pod koniec czerwca 2016 jego prawa zawodnicze nabył klub Los Angeles Kings. 5 lutego 2020 Toronto Maple Leafs wymieniło Campbella (oraz Kyle'a Clifforda) za Trevor'a Moore'a.