Igor Bobkow begann seine Karriere als Eishockeyspieler in der Nachwuchsabteilung des HK Metallurg Magnitogorsk, für dessen zweite Mannschaft er in der Saison 2008/09 in der drittklassigen Perwaja Liga aktiv war. Anschließend wurde der Torwart im NHL Entry Draft 2009 in der dritten Runde als insgesamt 76. Spieler von den Anaheim Ducks ausgewählt. Zunächst blieb er jedoch in Magnitogorsk und gewann 2010 mit Metallurgs Juniorenmannschaft Stalnyje Lissy Magnitogorsk den Charlamow-Pokal, den Meistertitel der neu gegründeten multinationalen Nachwuchsliga Molodjoschnaja Chokkeinaja Liga.