Veini Vehviläinen begann seine Karriere als Eishockeyspieler in seiner Geburtsstadt in der Nachwuchsabteilung von JYP Jyväskylä, für den er am 19. September 2015 mit einem Shutout gegen die Pelicans in der Liiga debütierte. Seit 2014 spielt er zudem für JYP-Akatemia, Ausbildungsteam und Kooperationspartner von JYP Jyväskyla, in der zweitklassigen Mestis. Bei den NHL Entry Drafts 2015 und 2016 war er vom "Central Scouting Service" als sechst- (2015) bzw. drittbester (2016) europäischer Nachwuchstorwart eingestuft worden, wurde aber nicht gedraftet. Im Januar 2017 wurde er bis zum Saisonende an Vaasan Sport aus der Liiga ausgeliehen.