Артур Кулда начал свою профессиональную карьеру в 2003 году в составе родного рижского клуба «Призма». Через год Артур начал выступать в молодёжной команде московского ЦСКА. В 2006 году на драфте НХЛ Кулда был выбран в 7 раунде под общим 200 номером клубом «Атланта Трэшерз». После этого Артур принимает решение отправиться в Северную Америку, где первые два года выступает за клуб OHL «Питерборо Питс».