Erste internationale Erfahrungen sammelte Tamás Kazi im Jahr 2007, als er bei den U23-Europameisterschaften in Debrecen im 800-Meter-Lauf mit 1:50,58 min in der ersten Runde ausschied. Anschließend nahm er an der Sommer-Universiade in Bangkok teil und gelangte dort bis in das Halbfinale, in dem er mit 1:48,98 min ausschied. 2009 qualifizierte er sich erstmals für die Weltmeisterschaften in Berlin und erreichte dort das Semifinale, in dem er mit 1:47,01 min ausschied. Im Jahr darauf schied er dann bei den Europameisterschaften in Barcelona mit 1:50,21 min in der Vorrunde aus, wie auch bei den Leichtathletik-Halleneuropameisterschaften 2011 in Paris mit 1:50,85 min. Ende August gelangte er bei den Weltmeisterschaften im südkoreanischen Daegu erneut bis ins Halbfinale und schied dort mit 1:46,53 min aus. 2012 qualifizierte er sich für die Teilnahme an den Olympischen Spielen in London, scheiterte dort aber mit 1:47,10 min im Vorlauf.