Мартин Цибак начал свою профессиональную карьеру в родном клубе «ХК 32 Липтовски Микулаш». Карьера за океаном для Мартина началась в 1998 году, когда он перешёл в клуб WHL «Медисин-Хат Тайгерз». В том же году Цибак был выбран под общим 252 номером в 9 раунде драфта НХЛ клубом «Тампа Бэй Лайтнинг». В общей сложности, за 2 проведенных сезона (1998/99, 1999/00) в «Медисин-Хат» Мартин набрал 92 (37+55) очка в 114 матчах.