Urodził się jako trzeci syn Henryka Adolfa i Zofii z domu Tonkel-Ślepowron. Ojciec był powstańcem z 1863, naczelnikiem Archiwum Warszawskiego Towarzystwa Kredytowego Ziemskiego. Braćmi Henryka Gorzechowskiego byli Jan ps. „Jur”, członek Organizacji Bojowej PPS, generał brygady (w latach 1922–1929 mąż Zofii Nałkowskiej) i Józef, późniejszy pracownik MSZ.