Егор Зайцев является воспитанником хоккейной школы «Динамо» им. А. И. Чернышева. Профессиональную карьеру начал в молодежной команде «Динамо» в 2014 году. В следующем году стал игроком команды ВХЛ, а через год дебютировал и за основной состав «Динамо» в чемпионате КХЛ. Это событие пришлось на домашний для «Динамо» матч, который состоялся 2 сентября 2016 года, против новосибирской «Сибири». 22 декабря 2016 год, в гостевой игре динамовцев против нижегородского «Торпедо», Егор Зайцев стал одним из авторов результативной передачи, тем самым открыв счёт персональным очкам в КХЛ. Также, в сезоне &lt;a href="%D0%92%D0%A5%D0%9B%20%D0%B2%20%D1%81%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D0%B5%202016/2017"&gt;2016/2017&lt;/a&gt; в составе фарм-клуба бело-голубых, Егор Зайцев стал победителем Чемпионата ВХЛ и Обладателем Кубка Братина. На драфте НХЛ в 2017 году Егор был выбран в 7 раунде, под общим 205-м номером, клубом — «Нью-Джерси Девилз».