Mezi roky 1928 a 1934 studoval Cubr na Fakultě architektury a pozemního stavitelství ČVUT v Praze. Roku 1937 založil spolu se Zdeňkem Pokorným architektonický ateliér. Po druhé světové válce patřil mezi spoluzakladatele Stavoprojektu (1948). V něm roku 1949 založil a vedl jeden z jeho ateliérů. Během padesátých let 20. století připravoval prezentaci Československa na Světové výstavě (EXPO) 1958 v belgickém Bruselu. Posléze se podílel i na následující výstavě, která se konala v roce 1967 v kanadském Montréalu. Roku 1960 se stal profesorem architektury na ČVUT v Praze a o osm let později (1968) profesorem Školy architektury Akademie výtvarných umění Praha.