Burrows begann seine Karriere im Alter von 19 Jahren in der Québec Major Junior Hockey League mit den Cataractes de Shawinigan. Nachdem er nicht für den NHL Entry Draft 2002 berücksichtigt worden war, wechselte er für die Saison 2002/03 zu den Greenville Grrrowl in die East Coast Hockey League. Später in der Saison wechselte er abermals den Verein, diesmal zu den Baton Rouge Kingfish. Für beide Vereine erzielte er in seiner ersten Saison 32 Punkte in 66 Spielen. In der darauffolgenden Saison 2003/04 kam Burrows zu den Columbia Inferno, dem damaligen ECHL-Farmteam der Vancouver Canucks, und steigerte sich dort auf 29 Tore und 73 Punkte in einer Saison. Früh in derselben Saison unterschrieb Burrows bei den Manitoba Moose in der American Hockey League, wo er zwei Spiele absolvierte, bevor er wieder zurück nach Columbia geschickt wurde.