Weinrich spielte zunächst von 1983 bis 1985 Eishockey an der "North Yarmouth Academy" im High-School-Ligensystem der Vereinigten Staaten. Während dieser Zeit wurde er beim NHL Entry Draft 1984 in der neunten Runde von den Buffalo Sabres ausgewählt. Da Weinrich noch zu jung für den Entry Draft war, wurde die Wahl für nichtig erklärt. Ein Jahr später, beim NHL Entry Draft 1985, war der Defensivakteur erstmals regelkonform für den Draft zugelassen und wurde in der zweiten Runde an Position 32 von den New Jersey Devils selektiert. In den folgenden drei Spielzeiten war der US-Amerikaner hauptsächlich für die Eishockeymannschaft der University of Maine aktiv, für die Weinrich in der Hockey East auflief. Während der &lt;a href="NHL%201988/89"&gt;Saison 1988/89&lt;/a&gt; debütierte er für die New Jersey Devils in der NHL, spielte jedoch vorwiegend für deren Farmteam, die Utica Devils, in der American Hockey League. Einer guten Rookiesaison folgte in der &lt;a href="AHL%201989/90"&gt;Spielzeit 1989/90&lt;/a&gt; eine ausgezeichnete Saison bei den Utica Devils in der AHL, als Weinrich in 57 Partien zwölf Tore erzielte und 48 Assists verbuchte. Seine überzeugenden Leistungen wurden zum Saisonende mit dem Eddie Shore Award als bester Verteidiger des Jahres sowie der Nominierung ins First All-Star Team der Liga gewürdigt. Zur folgenden Spielzeit fand Weinrich Aufnahme in den NHL-Kader der Devils und es gelang ihm auf Anhieb der Durchbruch in der National Hockey League, sodass er zum Saisonende ins NHL All-Rookie Team gewählt wurde.