Carkner spielte während seiner Juniorenzeit zwischen 1983 und 1986 überaus erfolgreich für die Peterborough Petes in der Ontario Hockey League. Während dieser Zeit wurde er 1985 und 1986 jeweils ins All-Star-Team der Liga berufen und gewann in seinem letzten Jahr gemeinsam mit Jeff Brown die Max Kaminsky Trophy als beste Verteidiger der Liga. Bereits zuvor war der Abwehrspieler im NHL Entry Draft 1984 an 14. Gesamtstelle von den New York Rangers ausgewählt worden.