Greiner stammte aus Augsburg in Schwaben. Er besuchte ein humanistisches Gymnasium und trat während des Zweiten Weltkriegs im Oktober 1940 in das Heer der Wehrmacht ein. Er diente im Infanterie-Ersatz-Bataillon 61 in München (Wehrkreis VII) und absolvierte den Offizierbewerberlehrgang beim Infanterie-Ersatz-Bataillon 7, das als Sicherungstruppe in Saint-Avold im besetzten Frankreich fungierte. Im Mai 1941 wurde er Gruppenführer im Infanterieregiment 61, das zuvor ins besetzte Polen verlegt worden war. 1941/42 durchlief er den 8. Offizieranwärterlehrgang an der Infanterieschule für Fahnenjunker in Potsdam-Bornstedt.