Kozlov fu scelto in 45ª posizione assoluta dai Detroit Red Wings nel 1990. Fece il suo esordio in National Hockey League il 12 marzo 1992 mettendo a referto due assist nel successo di Detroit per 5-4 contro i St. Louis Blues. Dopo un breve periodo di adattamento in American Hockey League con gli Adirondack Red Wings diventò un titolare nel roster di Detroit già a partire dalla stagione 1993-1994. Dopo l'acquisto nel 1995 da parte dei Red Wings di Igor' Larionov, l'allora allenatore dei Red Wings Scotty Bowman creò un blocco di cinque giocatori russi denominato "Russian Five": oltre a Kozlov ne facevano parte gli attaccanti Sergej Fëdorov e Igor' Larionov, e i difensori Vladimir Konstantinov e Vjačeslav Fetisov. Questo gruppo contribuì ai successi della franchigia di Detroit, capace di vincere due Stanley Cup consecutive nel 1997 e nel 1998.