Monja war erstmals bei der Basketball-Europameisterschaft 2003 in einem Endrundenkader der Herren-Nationalmannschaft vertreten. Bei dieser und bei der folgenden EM 2005 belegte man jeweils den achten Platz und verpasste damit sowohl die Qualifikation für die Olympischen Spiele 2004 als auch für die WM 2006. Bei der EM 2007 stieß man unter dem neuen Nationaltrainer David Blatt bis auf eine recht deutliche 69:81 Zwischenrundenniederlage gegen Gastgeber Spanien ungeschlagen bis ins Finale vor. Hier konnte man den favorisierten Gastgeber dann mit einem Punkt besiegen und konnte nach 13 EM-Titeln für die Basketballnationalmannschaft der UdSSR erstmals eine Europameisterschaft für Russland erkämpfen. Bei den folgenden Olympischen Spielen 2008 enttäuschte man mit nur einem Vorrundensieg und einem frühzeitigen Ausscheiden. Bei der EM 2009 startete man ebenfalls relativ schwach und konnte sich als Titelverteidiger nur knapp mit einem Vorrundensieg für die Zwischenrunde qualifizieren, in der man alle drei Spiele gewann. Im Viertelfinale verlor man jedoch den späteren Finalisten Serbien und wurde am Ende Siebter. Bei der WM 2010 präsentierte man sich in der Vorrunde stark und verlor nur ein Spiel gegen Gastgeber Türkei. Im Viertelfinale traf man jedoch auf den späteren Titelgewinner Vereinigte Staaten und wurde ebenfalls letztendlich Siebter. Bei der EM 2011 gewann man alle Spiele, darunter eine Neuauflage des Viertelfinales gegen Serbien, bis zum Halbfinale, das man gegen Frankreich verlor. Im Spiel um den dritten Platz konnte man sich die Bronzemedaille gegen die Überraschungsmannschaft des Turniers Mazedonien sichern. Bei den Olympischen Spielen 2012 in London verlor man das Halbfinale wiederum gegen Frankreich und sicherte man sich gegen Argentinien die Bronzemedaille.