Kvartalnov edusti Neuvostoliittoa vuosien 1989 ja 1991 MM-kilpailuissa sekä Venäjää MM-kisoissa 1996. Kvartalnov vieraili myös SM-liigan Jokereissa kaudella 1999–2000 ottaen SM-hopeaa. Hän lopetti uransa kasvattajaseurassaan, Venäjän kakkosliigaan pudonneessa HK Himik Voskresenskissa kaudella 2007–08.