В ряды Рабоче-крестьянской Красной Армии А. А. Горячев был призван Кизеловским районным военкоматом Свердловской области в сентябре 1938 года. В действующей армии с декабря 1941 года. В боях с немецко-фашистскими захватчиками младший командир Горячев с января 1942 года на Северо-Западном (с 22 января — Калининском) фронте в составе 4-й ударной армии. Боевое крещение принял под городом Осташковом во время Торопецко-Холмской операции. В феврале 1942 года в бою под городом Велижем Алексей Андреевич был ранен. После излечения в мае 1942 года его направили в 334-ю стрелковую дивизию, где он принял под командование отделение 407-й отдельной разведывательной роты.