Bradley verbrachte seine Juniorenzeit bei den London Knights in der Ontario Hockey League. Hier wurden die Scouts der Calgary Flames auf ihn aufmerksam und wählten ihn beim NHL Entry Draft 1983 in der dritten Runde als 51. Zu den Central Hockey League Playoffs holte man ihn ins Farmteam zu den Colorado Flames. 1985 wurde er mit der kanadischen Mannschaft Junioren-Weltmeister.