Kazimierz Ślączka urodził się 26 października 1885 w Buczaczu. Jego rodzicami byli Wojciech (1851–1925, powstaniec styczniowy, adwokat) i Bronisława z domu Mysłowska (1856–1903). Jego rodzeństwem byli: Zofia (zm. 1890 w wieku 3 lat), Klementyna (zmarła w 1893 w wieku 2 lat), Janina (nauczycielka), Aleksander (1893–1940, lekarz, jeden z twórców neurochirurgii polskiej, kapitan Wojska Polskiego, ofiara zbrodni katyńskiej, Roman (1895–1967, adwokat i radca prawny z tytułem doktora, działający w Gdyni). Rodzina Ślączków zamieszkiwała w kamienicy przy ulicy Tadeusza Kościuszki, gdzie obecnie pod numerem 26 mieści się główny oddział sanockiej poczty (po II wojnie światowej gmach został przejęty od dra Romana Ślączki).