Chabat nasce ad Orano, nell'allora Algeria francese, il 24 novembre del 1958 da una famiglia ebraica. Nel 1963, un anno dopo la dichiarazione d'indipendenza dell'Algeria, il piccolo Alain si trasferisce con la famiglia in Francia, dove cresce nel comune di Morsang-sur-Orge. Ha cominciato a lavorare come fumettista e, dal 1980, trova lavoro presso Radio Andorra e France Inter.