Байрон Річі почав свою кар'єру хокеїста в клубі «Летбридж Гаррікейнс», виступав за цей клуб з 1993 по 1997 (Західна хокейна ліга), в сезоні 1996/97 років виграв Кубок президента. У Драфті НХЛ 1995 року обраний у сьомому раунді під 165-й номером клубом Гартфорд Вейлерс, за який до слова ніколи не виступав. Після їх переїзду в 1997 році, Байрон дебютував у Національній хокейній лізі в складі Кароліна Гаррікейнс у сезоні 1998/99 років, провів три матчі. Решту перших двох років він провів у фарм-клубі «Біст оф Нью-Гейвен» (Американська хокейна ліга). З 1999 по 2001 роки Річі виступав в «Цинциннаті Циклонес» ("International Hockey League").