Spence växte upp i en bil- och racingmiljö och började vid 22 års ålder att tävla i sin fars Turner sportvagn. Säsongen därpå gick han till Formel Junior där han först körde en AC Bristol och sedan med framgång en Emeryson. Spence fick därför chansen att köra en Emeryson-Climax i Solitudes Grand Prix i Tyskland och senare under året i "Lewis-Evans Trophy" på Brands Hatch. Året därpå bytte han stall till Ian Walker Racing och körde en Lotus i Formel Junior. Detta ledde till att han fick en förarplats i Lotus FJ 1963 och i september fick Spence göra formel 1-debut då han var stand-in för den skadade Trevor Taylor i Lotus F1 i Italiens Grand Prix 1963 .