Juraj Minčík wurde 1995 Junioren-Weltmeister mit dem Team im Einer-Canadier. Ein Jahr später belegte er bei den Olympischen Spielen in Atlanta Platz 15 im C-1 Slalom. Während seiner Karriere wurde er mit dem Team fünf Mal (1998, 200, 2002 2005 und 2007) Europameister und zwei Mal Weltmeister (1997 und 2003).