John Hayden wurde in Chicago geboren, wuchs allerdings in Greenwich im Bundesstaat Connecticut auf, wo er in seiner Jugend die Brunswick School besuchte und für deren Eishockey-Team in der regionalen High-School-Liga spielte. Zur Saison 2011/12 wechselte der Angreifer in das USA Hockey National Team Development Program (NTDP), die zentrale Talenteschmiede des US-amerikanischen Eishockeyverbands USA Hockey. Mit den Auswahlen des NTDP nahm er am Spielbetrieb der United States Hockey League (USHL) teil, der höchsten Juniorenliga des Landes. Zudem fungieren die Teams der Programms als Nachwuchs-Nationalmannschaften, sodass Hayden an der World U-17 Hockey Challenge 2012 sowie der U18-Weltmeisterschaft 2013 teilnahm und dort jeweils die Silbermedaille gewann. Nach zwei Spielzeiten schied er altersbedingt aus dem NTDP aus und wurde anschließend im NHL Entry Draft 2013 an 74. Position von den Chicago Blackhawks aus seiner Geburtsstadt ausgewählt.