C ноября 1774 года Генрих обучался в берлинском кадетском корпусе и 25 марта 1778 года был выпущен из него в пехотный полк "von Luck (Nr. 53)" с чином ефрейтор-капрал. Принимал участие в войне за баварское наследство и 10 августа 1782 года получил звание лейтенанта. C 12 мая 1790 года Горн служил адъютантом генерала Франца Андреаса фон Фаврата (). Во время похода в Польшу участвовал в битве при Равке и осаде Варшавы, за что был удостоен 6 июня 1794 года ордена Pour le Mérite.