2002 gewann Ungvari in Warschau sein erstes Weltcupturnier. Bei den Europameisterschaften 2002 in Maribor gewann er das Finale gegen den Slowaken Jozef Krnáč. Im Jahr darauf belegte er den siebten Platz. Bei den Olympischen Spielen 2004 schied er in seinem zweiten Kampf gegen den Portugiesen João Pina aus. Ende 2004 siegte Ungvári bei den Studentenweltmeisterschaften und wurde mit der ungarischen Mannschaft Zweiter. 2005 erreichte er das Finale bei den Europameisterschaften, verlor dann aber gegen den Aserbaidschaner Elchin Ismayilov. Bei den Weltmeisterschaften 2005 in Kairo unterlag Ungvári früh gegen den späteren Weltmeister João Derly aus Brasilien, gewann dann aber in der Hoffnungsrunde vier Kämpfe und erhielt eine Bronzemedaille. Bei den Mannschaftseuropameisterschaften 2005 belegten die Ungarn den zweiten Platz. 2006 belegte Ungvári den zweiten Platz bei den Studentenweltmeisterschaften. 2007 erreichte er den fünften Platz bei den Europameisterschaften. Bei den Weltmeisterschaften 2007 in Rio de Janeiro unterlag er im Viertelfinale gegen den Kubaner Yordanis Arencibia, nach drei Siegen in der Hoffnungsrunde erhielt er, wie zwei Jahre zuvor, die Bronzemedaille. 2008 erreichte Ungvári das Finale bei den Europameisterschaften in Lissabon, dort unterlag er dem Georgier Sasa Kedelaschwili. Bei den Olympischen Spielen 2008 besiegte er Kedelaschwili in der zweiten Runde, unterlag aber in seinem dritten Kampf gegen den Russen Alim Gadanow.