Navara nahm seit 2002 an allen neun Schacholympiaden teil und spielte dabei siebenmal am ersten Brett. Bei der Schacholympiade 2012 in Istanbul wurde er bester Spieler am zweiten Brett. Von 2001 bis 2019 nahm Navara mit der tschechischen Mannschaft an allen neun Mannschaftseuropameisterschaften teil, er erreichte dabei 2001 das zweitbeste und 2003 das drittbeste Ergebnis jeweils am zweiten Brett sowie 2017 das drittbeste Ergebnis am Spitzenbrett. 2001 gelang ihm außerdem die drittbeste Eloleistung aller Teilnehmer.