Барєєв входив до складу збірної СРСР на шаховій олімпіаді 1990 року і збірної Росії на олімпіадах 1994, 1996 і 1998 років. Серед успіхів в особистих змаганнях — перше місце на Корус-турнірі у Вейк-ан-Зеє 2002 року попереду Майкла Адамса, Петера Леко і Олександра Морозевича. У тому ж 2002 році Барєєв дійшов до півфіналу турніру претендентів у Дортмунді, де поступився Веселину Топалову. Фіналіст Кубка світу ФІДЕ 2000, володар Кубка Росії 2009.