Даниил Вовченко является воспитанником школы родного Череповца. В юном возрасте стал выступать на уровне региональных первенств в составе команды «Северсталь» своей возрастной категории. Также на юношеском уровне Даниил пробовал свои силы в санкт-петербургских командах «Нева» и «Форвард», где выступал на Межрегиональных первенствах, но неизменно возвращался в родной город. В январе 2012 года был приглашён в состав юношеской сборной России для участия в Зимних юношеских Олимпийских играх, которые проходили в австрийском городе Инсбрук. На этом турнире сборная России завоевала второе место. В ноябре 2012 года стал привлекаться к играм за юниорскую сборную России, в составе которой принял участие в «Турнире 4-х наций». В 2013 году был вызван в сборную России U17 для участия в 11-ом Европейском зимнем юношеском Олимпийском фестивале, который проходил с 18 по 22 февраля в румынском городе Брашов. В этом турнире юноши из России заняли второе место. Помимо этого, игрок был приглашён в состав юниорской сборной страны для участия в Мировом кубке вызова. К тому времени Даниил уже начал свои выступления в составе молодёжной команды «Алмаз» на уровне Молодёжной хоккейной лиги. В 2014 году в составе молодёжной сборной страны Даниил стал победителем Молодёжной суперсерии. Помимо этого, Вовченко был вызван в состав сборной «Запада» на Кубок вызова МХЛ 2015, проходившем в родном Череповце, по итогу которого завоевал трофей с командой.