Gromer trat bereits in jungen Jahren als Schachspieler in Erscheinung, so gab er im Alter von 13 Jahren eine Simultanvorstellung an 20 Brettern. In den 1930er Jahren gehörte er zu den stärksten Spielern Frankreichs, er gewann 1933, 1937 und 1938 die französische Meisterschaft und nahm mit Frankreich an den Schacholympiaden 1930, 1931 und 1939 teil. Auch bei einigen internationalen Turnieren gelangen Gromer gute Ergebnisse, so erreichte er 1930 in Paris den zweiten Platz gleichauf mit Savielly Tartakower, gewann 1934 in Madrid und erreichte 1938 in Paris den zweiten Platz.