Kavalek est né à Prague. Il a remporté le championnat de Tchécoslovaquie d'échecs en 1962 et en 1968 ainsi que le tournoi IBM d'Amsterdam en 1968. Quand les chars soviétiques firent irruption à Prague en août 1968, Kavalek participait au mémorial Rubinstein à Polanica-Zdrój en Pologne, où il termina second. Kavalek, qui a toujours détesté le communisme, décide d'émigrer à l'Ouest plutôt que de regagner une Tchécoslovaquie aux mains des soviétiques. Avec ses gains de tournoi, il achète de la vodka, qu'il utilise pour soudoyer des garde-frontières et passer la frontière de la RFA.