Dąbrowski wuchs in Hoyerswerda als Sohn des kursächsischen Obersten Johann Michael Dąbrowski (Dombrowski) auf und diente von 1772 bis 1792 in der sächsischen Armee, nahm dann auf der Seite Polens unter Stanislaus Poniatowski am Russisch-Polnischen Krieg von 1792 teil, gegen die russische Invasion in Polen-Litauen und die Konföderation von Targowica.