Papst Johannes Paul II. ernannte ihn am 25. November 1978 zum Erzbischof von Canberra und am 12. Februar 1983 zum Erzbischof von Sydney. Im Konsistorium vom 28. Juni 1988 nahm er Clancy als Kardinalpriester mit der Titelkirche "Santa Maria in Vallicella" in das Kardinalskollegium auf. 1998 hielt er sich auf einer Synode im Vatikan auf, die die katholische Kirche in Ozeanien behandelte. An den Konklaven 2005 und 2013 nahm er wegen Überschreitung der Altersgrenze nicht teil.