Mayasich wuchs in Eveleth und spielte als Schüler in der Eishockeymannschaft der "Eveleth High School". Er führte sein Team zwischen 1948 und 1951 zu vier Titeln bei den State Tournaments und gewann alle 69 Spiele in seiner Highschool-Karriere. Darüber hinaus hält er verschiedene Rekorde als bester Einzelspieler im Highschool-Eishockey in Minnesota. Auch als Football-Spieler war er erfolgreich und erhielt nach seinem Schulabschluss ein Stipendium an der University of Minnesota. Dort spielte er jedoch ausschließlich in der Eishockeymannschaft. In 111 Spielen bei den Golden Gophers erzielte er 144 Tore und gab 154 Assists. Zweimal wurde er in das All-American-Team berufen. 1954 stand das Team im NCAA-Final-Four, doch im Finale unterlagen die Gophers in der Overtime gegen das Rensselaer Polytechnic Institute mit 4:5. Nach seinem Abschluss 1955 erfüllte Mayasich seinen Militärdienst. Er wurde in die US-Nationalmannschaft berufen und gewann bei den Olympischen Winterspielen 1956 in Cortina d’Ampezzo mit dem US-Team die Silbermedaille. Seinen größten Erfolg erreichte Mayasich 1960, als er bei den Olympischen Winterspielen in Squaw Valley mit der US-Mannschaft erstmals die olympische Goldmedaille gewann. In 14 Spielen bei Olympia insgesamt erzielte er 13 Tore und neun Assists. Darüber hinaus gehörte er bei den Weltmeisterschaften 1958, 1961, 1962 (3. Platz), 1966 und zuletzt 1969, als das US-Team den abgeschlagen letzten Platz belegte und in die B-Gruppe abstieg, zur Nationalmannschaft.