סאבו יליד בודפשט. 1917, הפתיע את זירת השחמט הבינלאומית בשנת 1935, בגיל 18, והיה הזוכה הראשון של אליפויות הונגריה, טורניר בינלאומי שנערך בטטה, הונגריה (Tatatóváros), ונבחר לייצג את מדינתו באולימפיאדת השחמט 1935 שהתקיימה בוורשה. הצופים באולימפיאדה התפעלו מהכישרון של השחמטאי הצעיר בסגנון ההתקפתי שהיה מנוגד לסגנון הפוזיציונלי המקובל יותר בין השחמטאים בני ארצו. הסברה המקובלת היא שסאבו הצעיר למד אצל גזה מארוצי, שנחשב באותה תקופה לדמות אב בעולם השחמט בהונגריה, לאחר שאימן בעבר שחמטאים שהפכו לאלופי העולם, כמו מקס אויבה וורה מנצ'יק.