Энтони Куинн родился в мексиканском городе Чиуауа в 1915 году в разгар мексиканской революции. Его мать Мануэла Оахака была представительницей ацтеков, а отец, Франсиско Куинн, имел ирландские корни. Его детство прошло в Эль-Пасо в Техасе и пригороде Лос-Анджелеса, где Куинн окончил школу. В юности он изучал искусство и архитектуру у прославленного Фрэнка Ллойда Райта, с которым у него, несмотря на большую разницу в возрасте, завязались дружеские отношения.