Varnajo wurde 1949 nationaler Meister im Straßenrennen der Amateure. Bei den UCI-Straßen-Weltmeisterschaften 1949 belegte er beim Sieg von Henk Faanhof den 5. Rang. Ein Jahr später, 1950, wurde er beim überraschenden Sieg von Jack Hoobin Vize-Weltmeister. 1951 wurde er Berufsfahrer und blieb bis 1965 aktiv. Er fuhr erfolgreich Bahnrennen und gewann auch einige Straßenrennen wie 1952 Paris–Camembert, 1953 Paris–Bourges, 1954 den Boucles de la Seine. Sein wichtigster Erfolg war der Sieg auf der 23. Etappe der Tour de France 1954, die er auf dem 41. Platz des Endklassements beendete. 1955 und 1958 schied er aus der Tour aus.