Pierwszy sukces w karierze Gustav-Adolf Schur osiągnął w 1956 roku, kiedy wspólnie z Horstem Tüllerem i Reinholdem Pommerem zdobył brązowy medal w drużynowym wyścigu ze startu wspólnego podczas igrzysk olimpijskich w Melbourne. Na tych samych igrzyskach w rywalizacji indywidualnej został sklasyfikowany na piątej pozycji. W 1958 roku wystartował na mistrzostwach świata w Reims, gdzie zdobył złoto w kategorii amatorów. Wyczyn ten powtórzył na mistrzostwach w Zandvoort w 1959 roku, a podczas rozgrywanych rok później mistrzostw w Karl-Marx-Stadt zajął drugie miejsce za swym rodakiem Bernhardem Ecksteinem. Na igrzyskach olimpijskich w Rzymie w 1960 roku razem z Egonem Adlerem, Erichem Hagenem i Günterem Lörke wywalczył ponadto srebrny medal w drużynowej jeździe na czas, a w indywidualnym wyścigu ze startu wspólnego zajął 23. miejsce. Poza igrzyskami wygrywał między innymi w Wyścigu Pokoju w latach 1955 i 1959, klasyfikacji generalnej DDR Rundfahrt w latach 1953, 1954, 1959 i 1961 oraz Rund um Berlin w 1951 roku. Ponadto siedmiokrotnie zdobywał złote medale szosowych mistrzostw NRD.