На соревнованиях под эгидой FIS Кошкин начал выступать в 2009 году. В том же году Дмитрий стал чемпионом Казахстана в гигантском слаломе. Начиная с сезона 2009/2010 Кошкин стал принимать участие в Кубке Европы и Кубке Южной Америки. На зимней Азиаде 2011 года в соревнованиях, проходивших в ущелье Чимбулак вблизи Алматы, Дмитрий стал чемпионом в скоростном спуске и серебряным призёром в супергиганте. На мировых первенствах Кошкин впервые выступил на чемпионате 2011 года. Лучшим результатом для казахстанского горнолыжника стало 39-е место в супергиганте. 14 декабря 2012 года казахстанец дебютировал в Кубке мира на этапе в итальянском городе Валь-Гардена. На чемпионате 2013 года Кошкин выступил в трёх дисциплинах, но только в скоростном спуске он смог добраться до финиша, став 39-м.