Poggi syntyi Piacenzassa ja sai pappisvihkimyksensä 28. heinäkuuta 1940. 1960-luvulla hän toimi Pyhän istuimen suurlähettiläänä, nuntiuksena, keskisen Afrikan maissa Kamerunissa, Kongossa, Tšadissa, Gabonissa ja Keski-Afrikan tasavallassa. Vatikaanin kirjaston ja arkistojen hoitajana hän toimi 1992–1998. Kardinaalin arvo hänelle myönnettiin 1994. Ohitettuaan konklaavin jäsenelle säädetyn enimmäisäänestysiän Poggi ei enää osallistunut uuden paavin valintaan keväällä 2005.