Ники Пилич впервые занялся теннисом только в 13 лет, выменяв ракетку на велосипед у приятеля. Свои первые игры за сборную Югославии в Кубке Дэвиса он провёл в 1961 году. В этот же год, ещё продолжая учёбу в институте, он представлял Югославию на Универсиаде в Софии и завоевал серебряную медаль в одиночном разряде и «золото» в паре с Боро Йовановичем. На следующий год, в 22 года, Пилич в паре с Йовановичем дошёл до финала Уимблдонского турнира, где их продвижение остановили австралийцы Фред Столл и Боб Хьюитт. После этого успеха Йованович и Пилич были названы газетой «Sportske novosti» спортсменами года в Хорватии — титул, которого Пилич позже удостаивался ещё дважды.