Воспитанник ташкентской школы тхэквондо. На взрослых международных соревнованиях Байкузиев дебютировал на Универсиаде 2009 года в Белграде в категории до 78 кг, где уступил во втором раунде будущему бронзовому призёру южнокорейцу Пэк Сун Хону, представляя Узбекский Государственный Институт Физической Культуры. Также в 2009 году Джасур принял участие в первом для себя чемпионате мира, но был остановлен в 1/8 финала азербайджанцем Рашадом Ахмадовым.