Mahre ottenne il suo primo risultato di rilievo in Coppa del Mondo il 5 dicembre 1975, giungendo 6º nello slalom gigante disputato sul tracciato francese di Val-d'Isère. Nel febbraio dell'anno successivo partecipò ai XII Giochi olimpici invernali di piazzandosi 5º nello slalom gigante e 18º nello slalom speciale. Poco più tardi, il 5 marzo a Copper Mountain, colse in slalom gigante il suo primo podio in Coppa del Mondo (2º).