2002 Münchenin EM-kisoissa Averbuh voitti kultamitalin tuloksella 585. Kuitenkin seuraavana talvena Birminghamin halli-MM-kisoissa hän jäi karsintoihin. Samana vuonna hän ei ollut mukana Pariisin MM-kisoissa. Seuraavana talvena MM-hallikisoissa Budapestissa hänen taipaleensa päättyi jälleen karsintoihin. Elokuussa Ateenan olympialaisissa hän selviytyi loppukilpailuun, missä jäi kahdeksanneksi tuloksella 565. Kausi 2005 jäi Averbuhilta arvokisojen osalta kokonaan väliin, mutta seuraavana vuonna helmikuussa Moskovan MM-hallikisoissa hän oli neljäs ja samana kesänä voitettuaan ensin Eurooppa-cupin A-ryhmän kilpailun seipäässä Banská Bystricassa, Göteborgin EM-kisoissa puolusti Euroopan mestaruuttaan menestyksekkäästi. Osakan MM-kilpailuissa 2007 hän sijoittui seitsemänneksi. Pekingin olympialaisissa 2008 hän karsiutui loppukilpailusta.