Gegen Ende der 1920er Jahre arbeitete Steiner zwei Jahre als Ingenieur in den Vereinigten Staaten; nach seiner Rückkehr gewann er 1931 seine erste ungarische Meisterschaft (die zweite im Jahr 1936) und erzielte weitere gute Resultate in den Turnieren von Mährisch Ostrau 1933 (geteilter Zweiter), Maribor 1934 und in Wien 1935 (jeweils geteilter erster Platz) und in Wien 1938 (erster Platz). Steiner spielte 1931, 1933 und 1935 bei allen drei Schacholympiaden für Ungarn. Bei seinem ersten Einsatz am zweiten Brett (am Spitzenbrett spielte sein Bruder Endre) erreichte er das drittbeste Einzelergebnis. 1936 gewann er mit Ungarn die inoffiziellen Schacholympiade in München und erreichte das zweitbeste Einzelergebnis am zweiten Brett.