Домбровски е роден на 29 август 1755 г. в Пежхов, в семейството на Зофия Мария Домбровска (с моминско име "фон Летов") и Ян Михал Домбровски. Израства в Хойерсверда, Курфюрство Саксония, където баща му служи като генерал в Саксонската армия. Въпреки че семейството му е от полски произход , той израства сред немска култура в Саксония и се подписвал като Ян Хайнрих Домбровски. Бил се е в Картофената война (1778 – 1789), по време на която почива баща му. Малко по-късно се жени за Густава Ракел. Живее в Дрезден и става ротмистър през 1789 г. Служи като генерал-адютант на крал Фридрих Август I от 1788 до 1791 година.