Bei den Olympischen Spielen 1928 in Amsterdam schied Heinrich über 100 Meter Freistil im Vorlauf und über 400 Meter Freistil im Halbfinale aus. Die Medaillenchance in der Staffel verpassten Karl Schubert, August Heitmann, Friedel Berges und Herbert Heinrich durch eine Disqualifikation im Vorlauf. 1931 nahm Heinrich auch an den dritten Schwimmeuropameisterschaften in Paris teil. In 9:48,6 Minuten gewann er zusammen mit Karl Schubert, Raimund Deiters und Hans Balk die Silbermedaille hinter der ungarischen Staffel.