El cardenal Agagianián participó en los cónclaves papales de 1958 y 1963. Durante el cónclave papal de 1958 asistió a la muerte de Pío XII, Agagianián recibió un gran número de votos, finalmente acercándose la mayoría necesitada para elección. Esto fue confirmado por el papa elegido él, Papa Juan XXIII. El cardenal Agagianián fue también especulado para ser el "papabile" en el cónclave de 1963 de cuál se eligió al Papa Pablo VI y según el sitio web de Iglesia católica armenia, era también rumor que él fue elegido en aquel cónclave pero no aceptó el cargo.