Il est fils de Joseph Minc (1908-2011) et Lisa, née Bogacz (décédée en 1999). Son père, prothésiste-dentaire de formation, naît au sein de la communauté juive de Brest-Litovsk où l'antisémitisme est très fort : « Quand on sortait du quartier, on nous insultait, on nous jetait des pierres, on lâchait les chiens », adhère au Parti communiste polonais, alors formation politique clandestine, et choisit en 1931 l'exil en France, du côté de Bordeaux, pour passer un diplôme universitaire de dentiste. Rattrapé par la guerre, menacé d'être déporté, échappant de peu à la rafle du Vél. d'Hiv., ayant déménagé l'avant-veille, il combat pendant l'Occupation au sein des FTP-MOI. En 1947, Joseph, devenu dentiste diplômé d'État, et son épouse s'installent rue Chapon ; c'est là que le petit Alain passe son enfance. Ils obtiennent leur naturalisation le 28 février 1948. Joseph Minc quittera le Parti communiste en 1967.