Sportoval od dětství, vystudoval Fakultu tělesné výchovy a sportu a Přírodovědeckou fakultu Univerzity Karlovy. Po úraze se začal věnovat plavání, ve kterém reprezentoval Českou republiku již na mistrovství Evropy 1995 v Perpignanu, kde se dostal do finále na trati 50 m znak, a rok později na Letních paralympijských hrách v Atlantě, kde v téže disciplíně obsadil 6. místo. Na evropském šampionátu 1997 v Badajozu získal první dvě medaile, na mistrovství světa 1998 v Christchurchi byl ovlivněn nemocí, která mu znemožnila doplavat na předních umístěních. O rok později na mistrovství Evropy v Braunschweigu získal titul na trati 50 m znak, k němuž přidal další dva cenné kovy. Znakařským vrcholem byla pro Martina Kováře letní paralympiáda 2000 v Sydney, kde na padesátce získal zlatou medaili ve světovém rekordu, kterou doplnil o bronz z trati 100 m volný způsob. V roce 2001 absolvoval pouze domácí šampionát, více se však věnoval tréninku, kde se zaměřil na kraul. Na mistrovství světa 2002 v argentinském Mar del Plata vyhrál v tomto plaveckém stylu na tratích 50 a 100 m; dále zde získal stříbra z 200 m a štafety 4× 50 m volný způsob. V letech 2002 a 2003 překonal na kraulařských tratích 10× světový rekord. Zúčastnil se také letních paralympijských her 2004 v Athénách, kde se se ziskem tří zlatých medailí z tratí 50, 100 a 200 m volný způsob (pokaždé se světovým rekordem) stal nejúspěšnějším českým sportovcem. Po hrách ukončil sportovní kariéru.