Browne rejoint le club d'Auckland City en 2012 grâce au partenariat entre le club et le Central United, et intègre directement l'équipe première en Premiership. Il devient le plus jeune joueur à jouer en Coupe du monde des clubs en 2012 à l'âge de seize ans. Après la saison 2014-2015, il est nommé comme étant le joueur ayant le plus de potentiel du championnat en raison de son style de jeu et de ses performances, notamment un triplé en demi-finale du championnat contre le Waitakere United. En trois ans, il marque dix buts en trente-trois matchs de championnat, remporte deux fois la Ligue des champions et fait partie de l'équipe ayant terminée troisième de la Coupe du monde des clubs en 2014.