Moskovan olympialaisissa 1980 Salnikov voitti kolme kultaa: 1 500 metrin vapaauinnissa uiden matkan ensimmäisenä alle 15 minuutin, aikaan 14.58,27, sekä 400 metrin vapaauinnissa ja 4 × 200 metrin vapaauintiviestissä. EM-kilpailuissa 1981 hän voitti 1 500 metrillä kultaa ja sijoittui 400 metrillä hopealle 0,14 sekuntia Jugoslavian Borut Petrićille hävinneenä. MM-kilpailuissa 1982 Salnikov puolusti menestyksekkäästi 400 ja 1 500 metrin maailmanmestaruuksiaan. Vuonna 1983 hän ui 1 500 metrin vapaauinnissa uuden maailmanennätyksen 14.54,76, mikä säilyi rikkomattomana vuoteen 1991 saakka, sekä voitti EM-kilpailuissa kultaa 400 ja 1 500 metrin vapaauinnissa (hopeamitalisti Petrić hävisi hänelle lyhyemmällä matkalla 2,16 ja pidemmällä 5,70 sekuntia).