Der 1,82 m große Euan Burton kämpfte bis 2012 meist im Halbmittelgewicht, der Gewichtsklasse bis 81 Kilogramm. Der Judoka vom "Edinburgh Judo Club" gewann 2002 und 2003 bei den British Trials. Bei den Europameisterschaften 2004 belegte er den fünften Platz. Im Jahr darauf bei den Europameisterschaften 2005 in Rotterdam unterlag er im Halbfinale dem Slowaken Boris Novotny, den Kampf um Bronze gewann Burton gegen den Franzosen Anthony Rodriguez. Zwei Jahre später bei den Europameisterschaften 2007 in Belgrad verlor Burton im Viertelfinale gegen den Niederländer Guillaume Elmont, nach drei Siegen in der Hoffnungsrunde erhielt Burton eine Bronzemedaille. Bei den Weltmeisterschaften 2007 in Rio de Janeiro bezwang er im Viertelfinale Guillaume Elmont, unterlag aber im Halbfinale Anthony Rodriguez. Mit einem Sieg über den Italiener Giuseppe Maddaloni erkämpfte Burton eine Bronzemedaille.