Dąbrowski có cha là Jan Michał Dąbrowski và mẹ là Zofia Maria Dąbrowska, née Sophie von Lettow, ông sinh ra ở Pierzchów, Vương quốc Ba Lan (1569-1795), ngày 29 tháng 8 năm 1755. Ông lớn lên ở Hoyerswerda, Tuyển đế hầu quốc Sachsen, nơi cha của ông phục vụ với hàm Đại tá trong Quân đội Sachsen. Ông gia nhập Đội Cận vệ Kỵ binh Hoàng gia Sachsen năm 1770 hoặc năm 1771. Gia đình ông gốc Ba Lan. Mặc dù vậy, tuổi thơ và tuổi trẻ của ông lớn lên với nền Văn hóa Đức ở Sachsen, và ký tên mình là Johann Heinrich Dąbrowski. Ông tham gia chiến đấu trong Chiến tranh Kế vị Bayern (1778–1779), cha của ông mất trong khoảng thời gian chiến tranh này. Không lâu sau đó, ông kết hôn với Gustawa Rackel năm 1780. Ông sống ở Dresden, và được thăng hàm đều đặn, trở thành Rittmeister (tạm dịch: đội trưởng kỵ binh) vào năm 1789. Ông phục vụ với chức Tổng phụ tá của Vua Frederick Augustus I của Saxony từ năm 1788 đến năm 1791.