Seinen ersten Freiluft-Titel gewann Awerbuch bei den Europameisterschaften 2002 in München mit 5,85 m. 2003 stellte er mit 5,93 m seinen persönlichen Rekord auf (zugleich israelischer Rekord), und bei den Olympischen Spielen 2004 in Athen belegte er den achten Platz.