Mit sieben Jahren begann Luka Mkheidze mit dem georgischen Nationalsport Judo und war im Alter von zwölf Jahren bereits einmal georgischer Meister im Kinderjudo, ehe er 2008 oder 2009 in Folge des Kaukasuskriegs mit seiner Mutter das Land verließ. Nach Kriegsende lebte Mkheidzes Vater, ein Zahntechniker, wie viele Menschen in Tiflis mit seiner Familie in Armut und plante, das Land zu verlassen. Die beiden älteren Schwestern, die bereits studierten, blieben in Georgien, um die an Alzheimer erkrankte Großmutter zu versorgen. Mit seiner Mutter kam Luka Mkheidze über Weißrussland in ein polnisches Flüchtlingslager. Sie verbrachten dort mehrere Monate, bis ihr Antrag auf politisches Asyl abgelehnt wurde. Mit Hilfe eines Schleusers kamen sie nach Frankreich, wo die Familie im März 2010 in Villeneuve-Saint-Georges wieder zusammentraf. Im Großraum Paris fand Mkheidze zunächst in "Sucy Judo" (Sucy-en-Brie) seinen neuen Verein. Dann zogen die Mkheidses nach Le Havre. 2015 erhielt Luka Mkheidze die französische Staatsbürgerschaft; sein neuer Verein "Judo Perrey Guerrier" gewann die Unterstützung des Bürgermeisters von Le Havre, Édouard Philippe, für ein beschleunigtes Verfahren.