Vyrůstal v Nordingře, kde hrál za tým Höga Kusten Hockey. Po přijetí na střední školu v Örnsköldsviku začal hrát za dorost týmu MODO Hockey, ze kterého se postupem času vypracoval do juniorského týmu a poté i do nejvyšší švédské soutěže Elitserien. Pochází z hokejové rodiny. Jeho bratři Thomas a Tommy hrají v lize HockeyAllsvenskan a sestra Tina získala s ženskou reprezentací Švédska na Mistrovství světa v roce 2007 bronzovou medaili. Enström byl po úspěšné nováčkovské sezóně v Elitserien zvolen nováčkem roku a posléze byl vybrán v draftu NHL 2003 na celkově 239. místě týmem Atlanta Thrashers. V sezóně 2006–07 se stal s MODO mistrem Švédska a v playoff byl nejlepším nahrávačem ligy.