Entraîné par son père Nick, Alexei Almoukov fait ses débuts en compétition dans le ski de fond, participant à la Coupe Aus/NZ à partir de 2004. Il essaie le biathlon à l'âge de dix-huit ans, puis y prend part au niveau international à partir de 2008-2009, où il court ses premières manches de Coupe du monde et les Championnats du monde. Aux Jeux olympiques d'hiver de 2010, il est du sprint et de l'individuel.