Zavojko werd geboren in een adellijk gezin in het dorpje Prochorovka in het gouvernement Poltava (nu de Oekraïense oblast Tsjerkasy). In 1827 nam hij als "mitsjman" (Russische benaming voor adelborst) deel aan de Zeeslag bij Navarino en tussen 1835 en 1838 maakte hij twee reizen om de wereld.