Asmaiparaschwili nahm mit der georgischen Mannschaft an den Schacholympiaden 1992 bis 2004 jeweils am Spitzenbrett teil. Bei der Schacholympiade 1998 in Elista erreichte er die beste Elo-Leistung aller Spieler. Außerdem gehörte er bei der Mannschaftsweltmeisterschaft 2005 und bei den Mannschaftseuropameisterschaften 1997, 2003 und 2005 zur georgischen Auswahl.