Bowman wurde 1983 als amtierender US-amerikanischer Juniorenmeister in Sarajevo Juniorenweltmeister. Erstmals auf dem nationalen Podium bei den Senioren stand er 1987 und qualifizierte sich damit für seine erste Weltmeisterschaft, die er auf dem siebten Platz beendete. Auch bei seinen ersten Olympischen Spielen wurde er 1988 in Calgary Siebter. Bei der Weltmeisterschaft 1988 belegte er den fünften Platz. 1989 wurde Bowman erstmals US-amerikanischer Meister bei den Senioren und gewann in Paris mit Silber hinter Kurt Browning seine erste Weltmeisterschaftsmedaille. Bei der Weltmeisterschaft im Jahr darauf errang er mit Bronze hinter Browning und Wiktor Petrenko seine zweite und letzte WM-Medaille. Seine fünfte Weltmeisterschaft beendete er 1991 als Fünfter. 1992 wurde Bowman erneut US-Meister. Bei seinen zweiten Olympischen Spielen verfehlte er in Albertville als Vierter eine Medaille. Diese Platzierung wiederholte sich auch bei seiner letzten Weltmeisterschaft.