Архип Неколенко начал заниматься хоккеем в хоккейной школе «Крылья Советов», вслед за своим старшим братом. В январе 2012 года был приглашён в состав юношеской сборной России для участия в Зимних юношеских Олимпийских играх, которые проходили в австрийском городе Инсбрук. На этом турнире сборная России завоевала второе место. После выпуска из школы «Крыльев» Архип попал в систему московского «Спартака», где дебютировал на профессиональном уровне в составе молодёжной команды «МХК Спартак» в сезоне &lt;a href="%D0%A7%D0%B5%D0%BC%D0%BF%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%82%20%D0%9C%D0%A5%D0%9B%20%D0%B2%20%D1%81%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D0%B5%202012/2013"&gt;2012/2013&lt;/a&gt;, став серебряным призёром соревнований по итогам плей-офф. В сезоне &lt;a href="%D0%A7%D0%B5%D0%BC%D0%BF%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%82%20%D0%9C%D0%A5%D0%9B%20%D0%B2%20%D1%81%D0%B5%D0%B7%D0%BE%D0%BD%D0%B5%202013/2014"&gt;МХЛ 2013/2014&lt;/a&gt; Архип выиграл свой первый серьёзный трофей в карьере, вместе с МХК «Спартак» завоевав кубок Харламова. Летом 2014 года питерский СКА объявил о переходе 16 игроков «Спартака» и МХК «Спартак» в свою клубную систему, в том числе и Архипа Неколенко.