Ivan Hlinka begann mit sechs Jahren in der Nachwuchsmannschaft von CHZ Litvínov Eishockey zu spielen. Mit 16 Jahren wurde er zum Spieler in deren Ligamannschaft berufen. Mit 20 Jahren wurde Hlinka Mannschaftskapitän und in die Tschechoslowakische Eishockeynationalmannschaft berufen. Während seiner sportlichen Laufbahn studierte er in Prag an der Wirtschaftshochschule und war an der Sportfakultät im Studiengang als Mannschaftstrainer eingeschrieben. Als Spieler wurde er mit dem tschechoslowakischen Team dreimal Eishockeyweltmeister: 1972 in Prag, 1976 in Katowice und 1977 in Wien. Hlinka spielte bei elf Weltmeisterschaften (1970–1981) sowie beim Canada Cup 1976 für die Tschechoslowakei. Hinzu kommen zwei Teilnahmen an den Olympischen Spielen. Er gewann 1972 in Sapporo die Bronze- und 1976 in Innsbruck die Silbermedaille.