Babanina behoorde halverwege jaren 60 tot de beste schoolslagzwemsters van de wereld. Ze was het succesvolst in de jaren voor de doorbraak van haar teamgenoot Galina Prozoemensjtsjikova. Babanina was vijfvoudig Sovjetkampioene (1962-1964) en maakte in 1962 haar internationale debuut op de Europese kampioenschappen. Hier won ze echter geen medaille. Op de Olympische Zomerspelen van Tokio (1964) veroverde ze het brons op zowel de 200 meter schoolslag als de wisselslagestafette. Ook verbeterde ze twee keer achter elkaar het wereldrecord op de 100 meter schoolslag (1.17,2 minuut in 1964 en 1.16,5 minuut in 1965).