Po válce dokončil studia na právech a získal titul doktora práv. V roce 1947 byl vybrán do reprezentačního týmu, který na MS 1947 získal historicky první československý titul mistrů světa v ledním hokeji. O rok později jel s týmem na Zimní olympijské hry 1948, kde jen díky horšímu skóre obsadil druhé místo za Kanadou. V té době byl díky své rychlosti, hbitosti a strategickému hraní hodnocen jako nejlepší československý obránce; oceňovány byly i jeho střelecké schopnosti. V prosinci 1948, deset měsíců po komunistickém převratu, se zúčastnil s týmem Spenglerova poháru ve Švýcarsku. Domů se již nevrátil, stejně jako další spoluhráč z týmu – Oldřich Zábrodský, Sláma zůstal ve Švýcarsku, kde se věnoval hokeji plných 5 let, jako hráč i trenér. Následně v roce 1953 se přestěhoval do USA, kde následně získal magisterský titul z knihovnictví na univerzitě v Denveru. V roce 1966 se stal hlavním správcem knihovny Moorpark Junior College, do důchodu odešel v roce 1980.