Pierwszy sukces w karierze Anton Tkáč osiągnął w 1970 roku, kiedy zdobył brązowy medal w wyścigu na 1 km podczas mistrzostw świata w Leicesterze. W zawodach tych wyprzedzili go jedynie Duńczyk Niels Fredborg oraz Nowozelandczyk Harry Kent. Dwa lata później wystąpił na igrzyskach olimpijskich w Monachium, gdzie w tej samej konkurencji zajął trzynastą pozycję, a w drużynowym wyścigu na dochodzenie był jedenasty. Na rozgrywanych w 1974 roku mistrzostwach świata w Montrealu Tkáč zdobył złoty medal w sprincie indywidualnym amatorów, wynik ten powtórzył podczas mistrzostw świata w Monachium w 1978 roku. W międzyczasie zwyciężył w tej konkurencji również podczas igrzysk olimpijskich w Montrealu w 1976 roku, bezpośrednio wyprzedzając Francuza Daniela Morelona oraz Hansa-Jürgena Geschke z NRD. W sprincie wystartował także na igrzyskach w Moskwie w 1980 roku, gdzie zajął czwartą pozycję, przegrywając walkę o brąz z Siergiejem Kopyłowem z ZSRR.