Im Alter von neunzehn Jahren trat Palme dem "Deutschen Schachverein Wien" bei, wo er auf bekannte Schachmeister wie Rudolf Spielmann, Ernst Grünfeld, Albert Becker, Hans Müller und Josef Lokvenc traf und aus diesen Begegnungen Gewinn für seine Spielstärke zog. Vier Jahre darauf wurde er als Teilnehmer an dem bekannten jährlichen Trebitsch-Gedenkturnier zugelassen. Im Jahr 1936 wurde Palme für die inoffizielle Schacholympiade in München nominiert, wo er für die österreichische Mannschaft an Brett 7 ein Ergebnis von 9 Punkten aus 16 Partien erzielte. Ein Jahr später übersiedelte Palme nach Berlin. Er gewann 1940 die Stadtmeisterschaft von Berlin u. a. vor Friedrich Sämisch, Berthold Koch und Rudolf Teschner. 1941 wurde er Zweiter. 1941 nahm er an der Großdeutschen Meisterschaft in Bad Oeynhausen teil und erreichte Platz 5 bis 7. 1942 gewann er die Stuttgarter Meisterschaft und 1945 die von Augsburg.