Kostner, der für GS Fiamme Oro startet, gab sein internationales Debüt im Rahmen des Alpencups im September 2013 in Oberwiesenthal. Bei den Nordischen Skispielen der OPA 2014 im französischen Gérardmer belegte er beim Gundersen-Wettkampf der Schüler von der Mittelschanze und über 4 km den zweiten Platz. 2015 nahm Kostner am Europäischen Olympischen Winter-Jugendfestival 2015 in Tschagguns/Partenen teil, wo er sowohl im Einzel über 10 km als Fünfter als auch im Sprint als Vierter knapp die Medaillen verpasste. Wenige Tage später trat Kostner erstmals bei Nordischen Junioren-Skiweltmeisterschaften an, konnte allerdings wie in den darauffolgenden Jahren keine Medaillen holen. Zwei Jahre nach dem Gewinn der Silbermedaille im Schülerwettkampf, wurde Kostner im Juniorenwettbewerb der Nordischen Skispiele der OPA 2016 in Tarvisio und Villach erneut Zweiter, diesmal hinter dem Deutschen Tim Kopp. Wenige Wochen später wurde er Neunter bei den Olympischen Jugend-Winterspielen in Lillehammer.