Anders Bjork wurde in Mequon geboren und spielte in seiner Jugend unter anderem für die "Chicago Mission" in Chicago im angrenzenden Bundesstaat Illinois. Zur Saison 2012/13 wechselte der Angreifer in das USA Hockey National Team Development Program (NTDP), die zentrale Talenteschmiede des US-amerikanischen Eishockeyverbands USA Hockey. Mit den Auswahlen des NTDP nahm er am Spielbetrieb der United States Hockey League (USHL) teil, der höchsten Juniorenliga des Landes. Zudem fungieren die Teams der Programms als Nachwuchs-Nationalmannschaften, sodass Bjork an der World U-17 Hockey Challenge 2013 sowie der U18-Weltmeisterschaft 2014 teilnahm und dabei eine Bronzemedaille gewann sowie U18-Weltmeister wurde. Nach zwei Spielzeiten schied er altersbedingt aus dem NTDP aus und wurde anschließend im NHL Entry Draft 2014 an 146. Position von den Boston Bruins ausgewählt.