La carriera di Oleg Šatunov inizia nelle formazioni giovanili della sua città, Joškar-Ola. Nel 1982 si trasferisce a Leningrado, dove gioca per nove stagioni nel Volejbol'nyj Klub Avtomobilist Sankt-Peterburg. Con la formazione russa vince la Coppa dell'Unione Sovietica 1989 e la Superliga, nel 1992 e nel 1992-93. In ambito europeo conquista per due volte consecutive la Coppa CEV, nelle edizioni 1987-88 e 1988-89. Durante questo periodo ottiene le prime convocazioni in nazionale, prima in quella sovietica, con la quale ottiene la medaglia di bronzo nella Coppa del Mondo 1989 e nel campionato mondiale 1990, e poi in quella russa, conquistando l'oro sia nella Coppa del Mondo che al campionato europeo 1991, oltre all'argento nella World League 1993 e il bronzo alla World League 1991 e al campionato europeo 1993; ottiene inoltre il riconoscimento individuale come miglior muro nelle World League del 1993 e del 1995.