Unzer, der 1789 vom Journalisten Johann Hermann Stoever als „Mann in den besten Jahren, schön gebauet, und ein sentimentalischer und witziger Kopf“ beschrieben wurde, galt als sehr kontaktfreudig. Freunde wie der Dichter Friedrich Gottlieb Klopstock luden ihn daher in den 1770er und 1780er Jahren gerne zu Festlichkeiten ein. Am 14. Juli 1790 feierte er gemeinsam mit seinem Freund aus Jugendtagen, Adolph Freiherr von Knigge, sowie einem Kreis um Georg Heinrich Sieveking und Johann Albert Heinrich Reimarus den ersten Jahrestag des Sturms auf die Bastille. In der Folgezeit verfolgte Unzer aktiv die Ideale der Französischen Revolution und war die führende Person der Jakobiner in Hamburg und Altona. 1798 vertrat er deren Ideen gemeinsam mit seinem Freund Heymann Salomon Pappenheimer in Holstein.