František tiež povedal, že niektorí kardináli s ním vtipkovali, že by si mal vybrať buď meno "Hadrián", kedže Hadrián VI. bol reformátorom cirkvi, alebo "Klement", aby dorovnal skóre s Klementom XIV., ktorý potláčal Spoločonosť Ježišovu. Vo februári 2014 sa do médií dostala správa, že ak by bol Bergoglio zvolený za pápeža už v pri konkláve v roku 2005, vybral by si meno Ján XXIV. na počesť svätého Jána XXIII. Mal to povedať kardinálovi Francescovi Marchisanovi: "„Ján, pomenoval by som sa Ján, ako Dobrý pápež, bol by som ním kompletne inšpirovaný.“"