כישרון הריצה של צברי התגלה בזמן שרותו הצבאי, שבמסגרתו זכה במספר תחרויות. בעין גב שילב בין אימוני הריצה לעבודתו. כדבריו: "במהלך העבודה בבננות אני רץ בין ברזי ההשקיה ולאחר הצהרים אני מתאמן בצורה מסודרת עם מאמן". שנות השיא של הקריירה הספורטיבית שלו היו בסוף שנות ה-50 ובתחילת שנות ה-60 של המאה העשרים אז ייצג את הפועל עין גב, זכה בתחרויות רבות והיה חבר בנבחרת ישראל בריצה, כשהוא מתאמן תחת המאמן אמנון גור. בין השנים 1960 ו-1962 ניצח שלוש פעמים ברציפות במרוץ הקפת התבור, שהוא מרוץ שדה למרחק של כ-11 קילומטר. בין השנים 1959 ו-1963 ניצח צברי ארבע פעמים ב"מרוץ סיני" ל-10,000 מטר בקריית טבעון. צברי ייצג את ישראל בריצת 10,000 מטר במכביה השישית ב-1961 ובמכביה השמינית ב-1969 וזכה במדליות כסף וארד. צברי המשיך להתחרות במרוצי שדה בישראל במהלך שנות השישים והתברג במקומות גבוהים. צברי ייצג את מרכז הפועל במרוץ למרחק שמונה קילומטר שארגן העיתון "ל'הומניטה" בחוצות פריז ב-1962 וסיים אותו במקום העשירי והשתתף גם בתחרויות בינלאומיות נוספות.