Beeler begann 1956 mit dem Radsport. Mit dem Sieg bei der Habsburg-Rundfahrt 1957 schaffte er die Qualifikation in die damalige A-Klasse der Amateure in der Schweiz. 1958 konnte er die Zürichsee-Rundfahrt gewinnen. Ein Jahr später wurde er Landesmeister bei den Amateuren. Dies brachte ihm die Nominierung für die UCI-Straßenweltmeisterschaft ein, wobei er jedoch das Rennen aufgab. Im Herbst gewann er die Limmental-Rundfahrt. Diesen Sieg konnte er 1960 wiederholen, zudem gewann er die erste Austragung des Zeitfahrens von Zürich. Er nahm an den Olympischen Sommerspielen in Rom teil und belegte im Strassenrennen Platz 32. Danach löste er eine Lizenz als Unabhängiger, um so auch an den Rennen der Berufsfahrer teilnehmen zu können. 1961 unterbrach er seine Laufbahn für ein Jahr, fuhr Anfang 1962 noch einige Rennen und trat dann vom Radsport zurück.