Claudes Mutter Christine ist frühere Skilangläuferin und Biathletin, die unter anderem bei den Weltmeisterschaften 1984 den achten Platz im Einzelrennen belegte. Als Betreuerin des örtlichen "Ski Club de Basse Sur Le Rupt ski nordique" war sie die erste Trainerin von Fabien, seinem älteren Bruder Florent und seinem jüngeren Bruder Émilien, die alle drei Biathleten wurden. Florent Claude war bis einschließlich 2016 Mitglied des französischen B-Kaders und nahm 2017 die belgische Staatsangehörigkeit an; er wurde einer der führenden Athleten des in der Entwicklung begriffenen belgischen Biathlonteams. Fabien startete teilweise parallel mit seinem älteren Bruder im IBU-Cup sowie im Weltcup und trat bei französischen Meisterschaften gemeinsam mit ihm in Staffeln für das Vogesen-Team an: 2013 gewannen sie dabei zusammen mit Florian Rivot den Titel. Die beiden Brüder lebten zwischenzeitlich in einer Wohngemeinschaft in Prémanon und waren Trainingspartner.