Maajoukkueurallaan Kuzkin edusti Neuvostoliittoa 176 maaottelussa, joissa teki 19 maalia. Hän oli voittamassa maailmanmestaruutta vuosina 1963, 1965, 1966, 1967, 1969 ja 1971 sekä olympiakultaa vuosina 1964, 1968 ja 1972. Syksyllä 1972 hän pelasi Kanadaa vastaan Summit Series -ottelusarjassa. Pelaajauransa jälkeen Kuzkin toimi muun muassa TsSKA Moskovan valmentajana. Hänet nimitettiin IIHF:n Hockey Hall of Fameen vuonna 2005.