Schönborn gold tijdens de conclaven van 2005 en 2013 als een van de papabili voor het nieuwe pausschap. In 2009 uitte Schönborn tijdens een interview met de ORF kritiek op ongenoemde medewerkers in het Vaticaan, naar aanleiding van het opheffen van de excommunicatie van de bisschoppen van de Priesterbroederschap Sint Pius X - onder wie Richard Williamson, die de Holocaust minimaliseerde -, omdat zij de paus onvoldoende zouden hebben ingelicht over de opvattingen van Williamson.