Dalla Costa bezocht de seminaries van Vicenza en Padua alvorens op 25 juli 1895 tot priester gewijd te worden. Hij werkte vervolgens als pastor in het seminarie van Vicenza. Op 25 mei 1923 benoemde paus Pius XI hem tot bisschop van Padua. Acht jaar later volgde zijn benoeming tot aartsbisschop van Florence. Tot 1933 leidde hij het bisdom Padua nog als apostolisch administrator. Tijdens het consistorie van 13 mei 1933 werd hij kardinaal gecreëerd. Hij kreeg de "Basiliek van San Marco" als titelkerk. Hij nam deel aan het conclaaf van 1939, dat leidde tot de verkiezing van paus Pius XII en dat van 1958, waarbij paus Johannes XXIII werd gekozen.