Aleksanjan saavutti Lontoon olympialaisissa 2012 pronssia 96 kg:n painoluokassa. Hän voitti Rio de Janeiron olympialaisissa 2016 kultaa 98 kg:n sarjassa voitettuaan loppuottelussa kuubalaisen Yasmany Lugon. Tokion olympialaisissa 2020 hän sai 97 kg:n painoluokassa hopeaa hävittyään loppuottelussa Musa Jevlojeville. Hän voitti maailmanmestaruuden 98 kg:n sarjassa Taškentissa 2014 kukistettuaan loppuottelussa saksalaisen Oliver Hasslerin, Las Vegasissa 2015, jossa voitti finaalissa iranilainen Ghasem Rezaein. ja Pariisissa 2017 kukistettuaan loppuottelussa venäläisen Musa Jevlojevin. Hän sai MM-hopeaa 96-kiloisissa Budapestissa 2013 ja 97-kiloisissa Nur-Sultanissa 2019. Hän oli 96 kg:n painoluokassa seitsemäs MM-kilpailuissa 2011.