Costantini lag in het ziekenhuis, waar hij een vaatchirurgische ingreep moest ondergaan, terwijl de voorbereidingen werden getroffen voor het Conclaaf van 1958. Even nadat hij had laten weten zich gesterkt genoeg te voelen om aan het conclaaf deel te nemen, overleed hij aan de gevolgen van een hartaanval. Zijn uitvaart werd door 31 kardinalen, die voor het conclaaf in Rome waren, bijgewoond.