Ungvári saavutti Lontoon olympialaisissa 2012 hopeaa 66 kg:n sarjassa hävittyään loppuottelussa georgialaiselle Laša Šavdatuašvilille. Rio de Janeiron olympialaisissa 2016 hän oli 73-kiloisissa viides. MM-kilpailuissa hän on saanut 66 kg:n painoluokassa pronssia Kairossa 2005, Rio de Janeirossa 2007 ja Rotterdamissa 2009 sekä ollut seitsemäs Tokiossa 2010. 73-kiloisissa hän oli seitsemäs Astanassa 2015 ja Budapestissa 2021.