Banys begann 2007 mit dem Biathlonsport. Er startet für den Verein "Vetrunge". Seine ersten internationalen Rennen bestritt Banys im Rahmen des &lt;a href="IBU-Junior-Cup%202015/16"&gt;IBU-Junior-Cups 2015/16&lt;/a&gt; in Obertilliach. Die beiden Sprints dort beendete auf Position 69 und 94. Es folgte eine Teilnahme bei den Biathlon-Jugendweltmeisterschaften 2016. Er startete dort in Einzel, Sprint und Staffel. Bei den anschließenden Olympischen Jugend-Winterspielen 2016 in Lillehammer schaffte Banys mit Platz 13 eine Platzierung unter den besten 15. Im folgenden Verfolger konnte er sich nach 7 Schießfehlern nicht verbessern und wurde 31. Nach einer Teilnahme bei Junioren-Europameisterschaften 2016 nahm er ein Jahr später an den Biathlon-Europameisterschaften 2017 der Erwachsenen teil und wurde unter anderem 18. in der Mixed-Staffel. Bei Jugendweltmeisterschaften 2017 war seine beste Einzelposition ein 36. Platz in dem Verfolgungswettbewerb. Sein Debüt im Biathlon-Weltcup feierte Banys 2018 zu Beginn des Jahres in Oberhof. Beim Staffelrennen schoss er allerdings die litauische Staffel mit Tomas Kaukėnas, Vytautas Strolia und Karol Dombrovski aus dem Rennen nach einer Strafrunde liegend, sowie einer im Stehendanschlag. Anschließend wurde er überrundet und an Position 21 aus dem Rennen genommen. Sein erstes Einzelrennen im Weltcup lief Linas Banys in Antholz. Im Sprint schoss er vier Strafrunden und wurde 103. Bei den anschließenden Junioren-Europameisterschaften 2016 wurde Banys sogar nach fehlerfreiem Schießen 6. Wie auch schon im Vorjahr startete er mit Beginn des neuen Kalenderjahres 2019 bei den Weltcups in Oberhof und Ruhpolding jeweils in Sprint und Staffel.