Heini Baumgartner nahm im Dezember 1981 an den internationalen Freestyle-Jugendmeisterschaften in Saas-Fee teil und belegte die Ränge 21 und 35 im Ballett und auf der Buckelpiste. Sein Debüt im Freestyle-Skiing-Weltcup gab er im Februar 1984 in Courchevel. Seine erste Platzierung in den Punkterängen gelang ihm März des folgenden Jahres mit einem sechsten Platz in Mariazell. Ab seiner zweiten Saison im Weltcup startete er vereinzelt auch auf der Buckelpiste, konnte dabei aber nur wenige Punkte sammeln. Sein bestes Resultat in dieser Disziplin blieb Rang 19 im Dezember 1987 in La Plagne. Bei den ersten Weltmeisterschaften in Tignes erreichte er Rang 12 in seiner Paradedisziplin.