В спорт Мартина привёл его отец. На соревнованиях под эгидой FIS Хубер начал выступать в 2008 году. В 2009 году юный горнолыжник выступил на чемпионате мира. Лучшим результатом для Хубера стало 36-е место в слаломе. 24 января 2012 года казахстанец дебютировал в Кубке мира на этапе в австрийском Шладминге. На чемпионате 2013 года Хубер выступил в трёх дисциплинах, но не смог ни разу попасть даже в число 40 лучших.