Tim Gerresheim war Sohn des Fechtmeisters Otto Gerresheim, der 1951 aus Berlin nach Hamburg gekommen war und 1954 den Hamburger "Fechtclub Rothenbaum" gegründet hatte. 1959 gewann Tim Gerresheim erstmals die deutsche Meisterschaft mit dem Florett, im gleichen Jahr belegte er den zweiten Platz bei der Juniorenweltmeisterschaft. In der Erwachsenenklasse unterlag er mit der deutschen Mannschaft bei den Fechtweltmeisterschaften 1959 in Budapest erst im Finale gegen die sowjetische Equipe. Im Jahr darauf schied er bei den Olympischen Spielen 1960 in Rom im Einzelwettbewerb in der dritten Runde aus. Mit der Mannschaft erreichte er das Viertelfinale gegen Frankreich. Dort stand es nach 16 Gefechten Unentschieden mit 8:8 und Tim Gerresheim musste in den Entscheidungskampf gegen den vierfachen Olympiasieger Christian d’Oriola. Gerresheim gewann dieses Gefecht mit 5:0 Treffern. Im Halbfinale unterlagen die deutschen Fechter den späteren Olympiasiegern aus der Sowjetunion, gegen die Ungarn gewannen die Deutschen das Gefecht um Bronze mit 9:5 Punkten, wobei Gerresheim drei seiner vier Gefechte gewann.