В 1981 году начал заниматься картингом. В 1987 году завоевал титул чемпиона мира по картингу, на следующий год стал победителем фестиваля Формулы-Форд в Брэндс-Хэтче. В 1991 году начал выступать в Формуле-3000, выступления в которой он закончил в 1995 году, завоевав титул чемпиона. В 1997 году должен был провести полный сезон в новой команде Формулы-1 «Лола», но после первого же этапа сезона в Австралии, где Соспири не прошёл квалификацию, уступив обладателю поула более 11 секунд, команда приняла решение отказаться от участия в чемпионате мира. Вместо Формулы-1 Соспири в 1997 году участвовал в чемпионате IRL, где на одном из этапов ему удалось финишировать вторым, и в Формуле-Ниппон.