Aleksandr Woznicyn wychował się w rodzinie prawosławnej. Był gruntownie wykształcony. Pochodził ze starego szlacheckiego rodu związanego z Nowogrodem Wielkim. Jego wuj, Prokofij Bogdanowicz Woznicyn, należał do moskiewskiej arystokracji. Jako dyplomata doprowadził do podpisania w Bakczysaraju w roku 1681 rozejmu między Rosją a Turcją. Jego ciotka została żoną kontradmirała Iwana Akimowicza Sieniawina, co otworzyło Aleksandrowi drogę do kariery w rosyjskiej flocie.