Toen hun land in het midden van de 13e eeuw in het oosten werd binnengevallen door het Mongoolse rijk, in sommige in het latere Moldavië (zie Iași en Jaszvasar), kwamen de Jasz samen met de Koemanen/Cumaniërs (Hongaars: "Kun") naar het Koninkrijk Hongarije. Ze werden opgenomen door de Hongaarse koning, Béla IV Árpád, die hoopte dat de Jaszs zouden helpen bij het weerstaan van de Mongool-Tataarse invasie. Kort na hun intrede verslechterde de relatie dramatisch tussen de Hongaarse adel en de Koemaan-Jasz-stammen, die vervolgens het land verlieten. Na het einde van de Mongool-Tataarse invasie keerden ze terug en vestigden zich in het centrale deel van de Pannonische vlakte, nabij de rivieren Zagyva en Tarna.