Заниматься горными лыжами Мацей Быдлиньский начал в два года, под руководством своего отца. На соревнованиях под эгидой FIS Мацей начал выступать в конце 2003 года. Довольно часто Быдлиньский попадал в десятку в гонках FIS и национальных чемпионатах. С 2007 года польский горнолыжник стал принимать участия в соревнованиях Кубка Европы, а с 2012 года и в Североамериканском Кубке, причём в каждом из этих Кубков Фалату удавалось набирать зачётные очки. В 2009 году он выступил на зимней Универсиаде, где лучшим результатом для поляка стало 7-е место в скоростном спуске. Быдлиньский принял участие в трёх чемпионатах мира. Лучшим результатом на мировых первенствах является 16-е место, завоёванное в комбинации на чемпионате 2013 года в австрийском Шладминге. В Кубке мира Быдлиньский дебютировал 26 октября 2008 года на этапе в австрийском городе Зёльден. Свои первые очки в рамках мирового кубка Мацей заработал 14 января 2011 года в швейцарском Венгене, когда стал 27-м в комбинации. Лишь однажды польскому спортсмену удалось попасть в 10-ку сильнейших на Кубке мира — это случилось 27 января 2013 года в Кицбюэле, когда Мацей стал 9-м в комбинации.