Największy sukces w karierze Harry Snell osiągnął w 1948 roku, kiedy zdobył złoty medal w wyścigu ze startu wspólnego amatorów podczas mistrzostw świata w Valkenburgu. W zawodach tych wyprzedził bezpośrednio Belga Liévina Lerno oraz swego rodaka – Olle Wänlunda. Był to jednak jedyny medal wywalczony przez Snella na międzynarodowej imprezie tej rangi. Ponadto wygrał szwedzki Mälaren Runt w latach 1944, 1945 i 1948 oraz trzynastokrotnie zdobywał mistrzostwo Szwecji. Trzykrotnie zdobywał też złote medale na mistrzostwach krajów nordyckich. W 1948 roku wziął udział w igrzyskach olimpijskich w Londynie, gdzie był osiemnasty w wyścigu ze startu wspólnego, a w wyścigu drużynowym Szwedzi zajęli piąte miejsce. Nigdy nie podpisał zawodowego kontraktu.