Den nationalen Meistertitel errang Albin Planinc 1965 in Novi Sad. Für Aufsehen sorgte sein Sieg beim Vidmar-Memorial-Turnier in Ljubljana 1969, das er vor Svetozar Gligorić gewann. Für diesen Erfolg wurde ihm der Titel "Internationaler Meister" verliehen. Nach seinem geteilten 2. Platz in Skopje 1971 wurde er "Großmeister". Er nahm in den 1970er Jahren an einigen Jugoslawischen Landesmeisterschaften teil, konnte dort allerdings keine nennenswerten Erfolge erzielen. Mit der jugoslawischen Nationalmannschaft nahm er an der Schacholympiade 1974 in Nizza teil, wo er den zweiten Platz erreichte, ebenso bei den Mannschaftseuropameisterschaften 1970 in Kapfenberg und 1973 in Bath. 1970 erreichte er mit der jugoslawischen Mannschaft den zweiten Platz. Sein bestes Ergebnis bei Turnieren im Ausland war der mit Exweltmeister Tigran Petrosjan geteilte Sieg beim IBM-Turnier in Amsterdam 1973. Nach 1979 zog er sich aus gesundheitlichen Gründen (Depressionen) vom Turnierschach größtenteils zurück, sein letztes gewertetes Turnier spielte er 1985. Die letzten Jahre seines Lebens verbrachte er in einer psychiatrischen Klinik in Ljubljana.