Vlasov voitti olympiakultaa 74 kg:n painoluokassa Lontoossa 2012 kukistettuaan loppuottelussa armenialaisen Arsen Julfalakyanin ja Rio de Janeirossa 2016, jossa voitti finaalissa Tanskan Mark Madsenin. Hän voitti maailmanmestaruuden 74-kiloisissa Istanbulissa 2011 ja 75 kg:n sarjassa Las Vegasissa 2015. Hän sai MM-hopeaa 74-kiloisissa Budapestissa 2013. Euroopan-mestaruuden hän voitti samassa painoluokassa Belgradissa 2012 ja Tbilisissä 2013 sekä sai EM-pronssia Dortmundssa 2011. Hän voitti 77-kiloisten Euroopan-mestaruuden Kaspijskissa 2018 ja Bukarestissa 2019.