צור צנעני החל להתאמן במועדון האיגרוף של בית"ר תל אביב בהדרכתו של אשר בירנבלום בשנת 1960 בהיותו בן 16 שנה וחצי. כבר בשנת 1961 זכה לראשונה בתואר אלוף ישראל ובמדליית זהב במכביה השישית.