Il apprend à jouer aux échecs à l'âge de six ans auprès de son père. À 12 ans il entre dans une école d'échecs de Moscou et y a Vladimir Yourkov comme premier entraîneur. Au début des années 1980, il surgit tel un dans le monde des échecs: Sokolov gagne le championnat d'URSS junior en 1981, puis le Championnat du monde d'échecs junior en 1982 à Copenhague; il devient champion d'URSS en 1984 à Lviv et obtient son titre de grand maître international de la FIDE. Sokolov obtient la médaille d'or avec l'URSS à l'Olympiade d'échecs de 1984 à Thessalonique et de 1986 à Dubaï, ainsi qu'au championnat du monde d'échecs par équipes disputé pour la première fois à Lucerne en 1985.