Bei den Europameisterschaften 2013 in Budapest besiegte er im Halbfinale den Briten Ashley McKenzie und im Finale den Schweizer Ludovic Chammartin. Vier Monate später verlor der Europameister bei den Weltmeisterschaften 2013 in Rio de Janeiro sein Halbfinale gegen den Mongolen Daschdawaagiin Amartüwschin und den Kampf um Bronze gegen Orxan Səfərov aus Aserbaidschan. Ende der Woche gewannen die Georgier den Titel im Teamwettbewerb. Bei den Europameisterschaften 2014 in Montpellier siegte Papinaschwili im Viertelfinale über den Armenier Howhannes Dawtjan und im Halbfinale gegen Ilgar Mushkiyev aus Aserbaidschan. Im Finale unterlag er dem Russen Beslan Mudranow. Vier Monate später bei den Weltmeisterschaften 2014 in Tscheljabinsk unterlag er im Halbfinale dem Mongolen Ganbatyn Boldbaatar. Mit einem Sieg über den Israeli Artiom Arshanski sicherte sich Papinaschwili eine Bronzemedaille. Die Europameisterschaften 2015 wurden im Rahmen der Europaspiele 2015 in Baku ausgetragen. Papinaschwili unterlag im Viertelfinale dem Niederländer Jeroen Mooren, mit Siegen über den Deutschen Tobias Englmaier und den Spanier Francisco Garrigós kämpfte sich der Georgier zur Bronzemedaille durch. Nach vier Medaillen in Folge belegte Papinaschwili bei den Europameisterschaften 2016 den fünften Platz. Bei den Olympischen Spielen 2016 in Rio de Janeiro bezwang er im Viertelfinale den Japaner Naohisa Takato und unterlag im Halbfinale Beslan Mudranow. Den Kampf um eine Bronzemedaille gegen den Usbeken Diyorbek Oʻrozboyev verlor der Georgier wie bereits das Halbfinale durch Strafwertungen.