Né à Budapest, Szabó fait irruption dans le monde des échecs en 1935, à l'âge inhabituellement jeune de 18 ans. Cette année-là, il remporte le championnat de Hongrie (il le remportera à huit reprises dans sa carrière), un tournoi international à Tata et est pressenti pour représenter son pays à l'Olympiade de Varsovie. L'année suivante il participe à l'Olympiade officieuse de Munich où il réussit le score de 16,5 points sur 19 possibles, signant la meilleure performance du tournoi. Les prodiges de cet âge ne sont pas habituels à l'époque, et c'est avec curiosité que les spectateurs suivent ce joueur d'attaque, un style radicalement opposé à celui, positionnel et sobre, de ses compatriotes. On pense que Szabó a été l'élève de Géza Maróczy, qui fait alors figure de patriarche dans les échecs hongrois et avait déjà été l'entraîneur du champion du monde Max Euwe et de la championne du monde Vera Menchik.