1984 nahm Snow bei den Olympischen Spielen in Los Angeles am 1.500 m-Rollstuhlrennen, einem Demonstrationsrennen, teil und gewann die Silbermedaille. Bei den Paralympischen Spielen 1992 in Barcelona gewann er im Rollstuhltennis im Einzel und im Doppel die Goldmedaille. 1996 konnte er bei den Paralympischen Spielen in Atlanta mit der amerikanischen Rollstuhlbasketballmannschaft die Bronzemedaille erringen. 2000 in Sydney nahm er nochmals am Rollstuhltenniswettbewerb teil, unterlag allerdings in der dritten Runde dem Australier David Hall. 1991 wurde er von der International Tennis Federation als erster Weltmeister im Rollstuhltennis ausgezeichnet. Beim 1994 erstmals ausgetragenen Wheelchair Tennis Masters gewann Randy Snow den Einzelwettbewerb und erreichte im Jahr darauf nochmals das Finale. 2004 wurde er als erster paralympischer Sportler in die United States Olympic Hall of Fame aufgenommen.