Beim internationalen Turnier in Zürich 1959 besiegte Fischer mit dem Esten Paul Keres das erste Mal einen sowjetischen Großmeister. Das Kandidatenturnier 1959 in Jugoslawien beendete er im Alter von 16 Jahren auf dem fünften Rang; gegen den späteren Weltmeister Michail Tal verlor er alle vier Partien. Beim internationalen Turnier in Mar del Plata im April 1960 gewann Fischer alle Partien bis auf zwei, u. a. bezwang er Erich Eliskases. Im November 1960, während der Schacholympiade in Leipzig, antwortete Fischer auf die Frage eines Journalisten, wann er glaube, Weltmeister werden zu können: „Vielleicht 1963.“ Im A-Finale dieser Schacholympiade schlug er mit Max Euwe zum ersten Mal einen früheren Weltmeister. Im Sommer 1961 spielte er einen Wettkampf gegen Samuel Reshevsky, der nach elf Partien bei einem unentschiedenen Stand von 5½:5½ abgebrochen wurde. Das anschließende Turnier in Bled gewann Michail Tal mit 14½ Punkten aus 19 Partien, einen Punkt vor dem ungeschlagenen Fischer, der die Partie gegen den Turniersieger für sich entscheiden konnte. Bei seinem zweiten Kandidatenturnier, Curaçao 1962, belegte Fischer jedoch nur den vierten Platz. Er beschuldigte die teilnehmenden sowjetischen Spieler, untereinander abgesprochene Remispartien gespielt zu haben, um ihre Kräfte dadurch für den Kampf gegen ihn zu schonen. Diese Kritik führte später dazu, dass die FIDE den Modus für Kandidatenturniere änderte und Zweikämpfe anstelle von Rundenturnieren einführte.