Banaschewski ist der Sohn der promovierten Kunsthistorikerin Anne Banaschewski und wuchs in Hamburg auf, wo er die Bombardierung 1943 erlebte und als Flakhelfer diente. 1945 bis 1947 war er Kriegsgefangener. Er wurde 1953 an der Universität Hamburg bei Ernst Witt promoviert (Untersuchungen über Filterräume). Ab 1955 war er an der McMaster University, an der er 1964 McKay Professor für Mathematik wurde, 1961 bis 1967 und 1982 bis 1987 der Mathematikfakultät vorstand und 1991 emeritiert wurde.