Rawson wstąpił do Royal Navy jako czternastoletni kadet. Jeszcze jako nastolatek wziął udział w II wojnie opiumowej, walcząc m.in. podczas zdobywania Fortów Dagu. W 1877 otrzymał stopień kapitana i został dowódcą fregaty HMS „Minotaur”. W czasie wojny brytyjsko-egipskiej w 1882 odpowiadał za wszystkie brytyjskie okręty transportowe biorące udział w tym konflikcie. W 1883 został powołany w skład sztabu brytyjskiej Floty Śródziemnomorskiej. Następnie w 1885 objął dowodzenie bazy morskiej HMNB Devonport. W 1889 powrócił do służby na morzu jako dowódca pancernika HMS „Benbow”. W 1895 został dowódcą sił Royal Navy stacjonujących w Afryce Południowej. W 1896 był głównodowodzącym siłami brytyjskimi podczas wojny angielsko-zanzibarskiej.