John Nunn nahm in den Jahren 1976 bis 1994 an sämtlichen Schacholympiaden für England teil. In dieser Zeit gewann das englische Team zweimal die Bronze- und dreimal die Silbermedaille. Er selbst erhielt Gold für sein Einzelergebnis bei der Schacholympiade 1984 in Thessaloniki und 1988 eine Silbermedaille. 1984 erreichte er außerdem die beste Elo-Leistung aller Teilnehmer. Bei den Mannschaftseuropameisterschaften 1977, 1980, 1983, 1989 und 1992 gehörte Nunn zur englischen Mannschaft. 1980 und 1992 erreichte die Mannschaft den dritten Platz, 1980 gelang Nunn außerdem das beste Einzelergebnis am dritten Brett. Nunn nahm mit der englischen Auswahl an den Mannschaftsweltmeisterschaften 1985, 1989 und 1997 teil. Beim zweiten Wettkampf UdSSR gegen den Rest der Welt, der 1984 in London stattfand, gehörte Nunn zur Weltauswahl. Bei seinen drei Partien erreichte er je ein Remis gegen Michail Tal und Oleh Romanischin, eine zweite Partie gegen Tal verlor er.