Klemens Honselmann war der Sohn von Franz Honselmann, Prokurist im Verlag Ferdinand Schöningh, und Pauline Honselmann geb. Rathscheck. Der ältere Bruder Joseph fiel 1918 in der Marne-Schlacht, zudem hatte er noch eine Schwester. Nach der Volksschule besuchte er das traditionsreiche Gymnasium Theodorianum, nach der Unterprima wurde er 1918 noch für ein halbes Jahr als Soldat eingezogen, nach Kriegsende konnte er im Juni 1919 das Abitur nachholen. Ab Herbst 1919 studierte er Theologie in Paderborn an der Philosophisch-Theologischen Akademie, 1923 in Freiburg im Breisgau. 1924 trat er in das Priesterseminar Paderborn ein, am 28. März 1925 wurde er von Bischof Caspar Klein zum Priester geweiht. Ab 1929 war er Vikar an der Bonifatiuskirche in Dortmund, noch im gleichen Jahr wurde er Vikar in Zörbig (heute Landkreis Anhalt-Bitterfeld). 1933 wurde er zum Studium beurlaubt, fungierte zugleich aber als Aushilfe an der Busdorfkirche in Paderborn. Im Januar 1934 wurde er Kooperator in Eickelborn (heute Stadt Lippstadt), im März 1934 Vikar an der Busdorfkirche. Nach weiteren Studien wurde er 1937 in Freiburg i. Br. zum Dr. theol. promoviert. Seine Doktorarbeit, gedruckt unter dem Titel "Von der Carta zur Siegelkunde", war grundlegend für die Geschichte der Urkunden des Bistums Paderborn, die Quellenkritik gehörte seither zu seinen Arbeitsschwerpunkten. 1939 und 1940 absolvierte er eine bibliothekarische Ausbildung an der Universitätsbibliothek Münster und an der Preußischen Staatsbibliothek. Von Dezember 1940 bis September 1941 war er erneut Vikar in Eickelborn, anschließend bis August 1942 zu Studienzwecken im deutschen Priesterseminar (Campo Santo Teutonico) in Rom.