В октябре 1943 года Андрей Никитович стал командиром 1-го артиллерийского дивизиона 287-го артиллерийского полка 143-й стрелковой дивизии, сменив на этом посту геройски погибшего капитана Н. С. Прохоренко. 18 октября 1943 года в бою на правом берегу Днепра у села Лапутьки Киевской области А. Н. Заварзин был ранен, но быстро вернулся в строй. В ходе Киевской наступательной операции ему было присвоено воинское звание майора. Освобождая Правобережную Украину (Житомирско-Бердичевская операция и Ровно-Луцкая операция), А. Н. Заварзин в составе своего подразделения прошёл с боями свыше 650 километров. Особенно его артиллеристы отличились в боях на подступах к городу Сарны и в уличных боях за город с 9 по 11 января 1944 года. Майор А. Н. Заварзин, находясь в боевых порядках наступающих частей Красной Армии, умело управлял огнём своего дивизиона, благодаря чему был нанесён серьёзный урон живой силе и технике врага. Дивизион Заварзина уничтожил за этот период 6 пулемётов, 2 артиллерийских орудия, 4 повозки с боеприпасами и до 80 солдат и офицеров неприятеля. Огнём дивизиона были также подавлены 2 миномётные батареи и повреждён бронепоезд противника.