Von Beruf war Heinrich Wagner Oberstudienrat. Nach dem Ersten Weltkrieg spielte er für die "Kieler Schachgesellschaft von 1884". Im Jahr 1921 gewann er in Kiel ein Meisterturnier vor Friedrich Sämisch, beim Schachkongress des Deutschen Schachbundes 1923 in Frankfurt am Main belegte er hinter Ernst Grünfeld gemeinsam mit Ehrhardt Post den zweiten Platz. 1925 war er mit Akiba Rubinstein auf dem geteilten dritten Platz bei der Deutschen Einzelmeisterschaft in Breslau, die Efim Bogoljubow vor Aaron Nimzowitsch gewann. 1926 in Wien gewann er gemeinsam mit Karl Gilg, 1930 ein Turnier in Hamburg, im gleichen Jahr besiegte er in Hamburg Herbert Heinicke in einem Wettkampf mit 8,5:3,5. Für Deutschland spielte er bei den Schacholympiaden 1927, 1928, 1930 und 1931. Die deutsche Nationalmannschaft gewann mit ihm 1930 in Hamburg die Bronzemedaille.