Bosanquet, Sohn des Pastors Robert William Bosanquet und Bruder des Philosophen Bernard Bosanquet, trat 1857 der Royal Navy bei und nahm im gleichen Jahr an der Eroberung von Kanton während des Zweiten Opiumkriegs teil. Er machte Karriere in der Kriegsmarine, wurde 1882 zum Kapitän zur See und 1897 zum Konteradmiral befördert. Von 1899 bis 1902 war er Oberbefehlshaber der englischen Truppen im Raum der Westindischen Inseln, wo er unter anderem den noch andauernden Sklavenhandel bekämpfte. Anschließend erfolgte seine Beförderung zum Vizeadmiral. Im Zeitraum von 1904 bis 1907 leitete er die englischen Truppen in Nordamerika und den Westindischen Inseln.