2002 год стал самым успешным в карьере Алёшина. На чемпионате Европы по водным видам спорта в Берлине Евгений в составе эстафетного квартета стал чемпионом Европы на дистанции 4×100 метров комбинированным стилем. В том же году Алёшин завоевал бронзу чемпионата мира по плаванию на короткой воде. На чемпионатах Европы в 25-метровом бассейне Алёшин за свою карьеру стал обладателем двух бронзовых медалей. В 2004 году на первенстве в Вене он стал третьим на 200-метровке в плавании на спине. А в 2009 году на той же дистанции завоевал бронзу на чемпионате Европы в Стамбуле.