Anett Mészáros war 2002 Dritte der U17-Europameisterschaften in der Gewichtsklasse bis 63 Kilogramm. Bei den Junioren-Weltmeisterschaften im gleichen Jahr belegte sie den fünften Platz, jetzt aber bereits in der Gewichtsklasse bis 70 Kilogramm. In dieser Gewichtsklasse gewann sie von 2002 bis 2004 und 2007 den ungarischen Meistertitel. 2003 gewann sie die U17-Europameisterschaften und belegte den zweiten Platz bei den U20-Europameisterschaften. 2004 war Anett Mészáros sowohl U20-Europameisterin als auch U20-Weltmeisterin. Ihre erste internationale Medaille in der Altersklasse der Erwachsenen gewann sie bei den Europameisterschaften 2005 in Rotterdam. Im Halbfinale unterlag sie der Niederländerin Edith Bosch, den Kampf um Bronze gewann sie gegen Silvia Schlagnitweit aus Österreich. Ein halbes Jahr später gewann sie bei den U23-Europameisterschaften ebenfalls Bronze. 2006 siegte Anett Mészáros bei den U20-Europameisterschaften, bei den U20-Weltmeisterschaften unterlag sie im Finale der Japanerin Tomoe Ueno. Eine weitere Silbermedaille erkämpfte sie bei den U23-Europameisterschaften, als sie erst im Finale gegen die Portugiesin Ana Cachola verlor. Bei den Weltmeisterschaften 2007 in Rio de Janeiro unterlag die Ungarin im Viertelfinale der Französin Gévrise Émane, mit drei Siegen in der Hoffnungsrunde erkämpfte sich Mészáros eine Bronzemedaille. Im Jahr darauf erreichte sie bei den Europameisterschaften in Lissabon das Halbfinale. Nach Niederlagen gegen die Spanierin Leire Iglesias und die Deutsche Kerstin Thiele belegte sie den fünften Platz. Bei den Olympischen Spielen 2008 in Peking unterlag Anett Mészáros im Viertelfinale der Japanerin Masae Ueno und belegte letztlich den siebten Platz. Ende 2008 gewann sie eine Bronzemedaille bei den U23-Europameisterschaften.