Участник трёх конклавов: 25-26 августа 1978 года, избравшего Иоанна Павла I, и 14-16 октября 1978 года, на котором понтификом был избран Иоанн Павел II. Баум был также и одним из кардиналов-избирателей, которые участвовали в папском Конклаве 2005 года, избравшем папой римским Бенедикта XVI. На Конклаве он был старшим по возведению в сан кардиналом.