V letech 2014 a zejména pak 2015 se stal široce známým pro svoji otevřenou a často nevybíravou kritiku islámu. Nárůst veřejného povědomí o jeho osobě je dán především obavami značné části populace z rozšiřování vlivu islámu v Česku, souvisejícími s teroristickými útoky islamistů v Evropě, aktivitami organizace Islámský stát i Evropskou migrační krizí. Studiu islámu se začal věnovat již dříve, po teroristických útocích 11. září 2001. V červenci roku 2009 spoluzakládal facebookovou komunitu nazvanou Islám v České republice nechceme (IvČRN), se kterou začal takto získané poznatky sdílet. Postupem času se počet facebookových příznivců této stránky, se kterou je Konvička nejvýrazněji spjatý, zvyšoval a v lednu 2016 dosáhl počtu více než 163 000 osob; poté byla komunita zablokována ze strany Facebooku kvůli údajně nenávistným příspěvkům a aktivisté přesunuli svou činnost na záložní stránku. V první polovině roku 2015 oznámil záměr vstoupit do politiky. V červnu 2015 jako „nadstavba“ iniciativy Islám v ČR nechceme pro tyto účely vznikl spolek Blok proti islámu (BPI), jehož předsedou se stal Martin Konvička. Ve své funkci byl následně potvrzen v prosinci téhož roku na volebním sněmu BPI. Konvička původně zamýšlel, že Blok proti islámu bude sdružovat kandidáty vícero politických stran a hnutí s protiislámskými názory. Po neúspěšných jednáních se zástupci Strany svobodných občanů, SPD Tomia Okamury a také ODS však plány přehodnotil; nejprve spolupracoval s Úsvitem – Národní Koalice, ale od května 2016 se jeho hnutí osamostatnilo.