Бареев входил в состав сборной СССР на шахматной олимпиаде в 1990 году и сборной России на олимпиадах 1994, 1996 и 1998 годов. Среди успехов в личных соревнованиях — первое место на Корус-турнире в Вейк-ан-Зее в 2002 году впереди Майкла Адамса, Петера Леко и Александра Морозевича. В том же 2002 году Бареев дошёл до полуфинала турнира претендентов в Дортмунде, где уступил Веселину Топалову. Финалист Кубка мира ФИДЕ 2000, обладатель Кубка России 2009.