Kaut je talentovaným hokejistou, jenž s hokejem začínal ve Žďáru nad Sázavou. Žďárský klub sice v mladším dorostu hrál nejvyšší soutěž, ovšem ve starším dorostu hrál o úroveň níže. Martin Kaut tak přestoupil do Pardubic, kde působil jeho o 10 let starší bratr Tomáš. V mládežnických klubech Pardubic si vedl tak dobře, že byl nominován do reprezentace sedmnáctiletých pro Světový pohár do 17 let 2016. V létě byl navíc součástí reprezentace osmnáctiletých na Memoriálu Ivana Hlinky, který s týmem vyhrál. V sezoně &lt;a href="%C4%8Cesk%C3%A1%20hokejov%C3%A1%20extraliga%202016/2017"&gt;2016/17&lt;/a&gt; už byl začleněn do profesionálního týmu Pardubic, i když na střídavé starty stále vypomáhal i juniorskému týmu. V Pardubicích však dostal šanci i v důležitých utkáních Ligy mistrů a posléze i baráže. V Extralize debutoval 2. října 2016 v Mladé Boleslavi při porážce 1:2. První gól vstřelil téměř o rok později 10. září 2017 během vítězného utkání (2:0) ve Zlíně. V roce 2017 hrál za reprezentaci osmnáctiletých na světovém šampionátu, kde v 5 utkáních zaznamenal 2 body za gól a asistenci. Ve stěžejní sezoně &lt;a href="Extraliga%20ledn%C3%ADho%20hokeje%202017/18"&gt;2017/2018&lt;/a&gt;, ve které se rozhodovalo o jeho posezonní pozici v draftu NHL, už pravidelně nastupoval v extraligovém dresu Pardubic a navíc byl nominován na Mistrovství světa juniorů 2018 v americkém Buffalu,v roce 2018 byl draftován do NHL v Dallasu z 16. pozice týmem Colorado Avalanche.