Alekséi Gorchakov era hijo del príncipe Iván Gorchakov y hermana del célebre generalísimo ruso Alexander Suvorov. Nacido en Moscú, se alistó en el Regimiento Salvavidas de Preobrazhensk en 1774, y comenzó su servicio varios años después en 1781. En 1786 ingresó en el ejército regular como capitán y sirvió con distinción (como juez) a las órdenes de su tío Suvorov en la Guerra ruso-turca de 1787-92. Gorchakov se distinguió en las campañas de 1789 en Akerman, en Ochakov, esta última por la que recibió la Orden de San Jorge (4ª clase), además de ser ascendido a teniente coronel y convertirse en adjudicatario del Príncipe Potemkin, en Kaumany, en Bender y en la campaña de 1790. En 1790 fue ascendido a coronel del regimiento de Azov. En 1792 luchó en Polonia (Guerra ruso-polaca de 1792) y recibió la Orden de San Vladimiro (4ª clase).