Bei der U-16-Mannschaftsweltmeisterschaft 1979 im dänischen Viborg erhielt Egon Brestian eine individuelle Goldmedaille für sein Ergebnis von 5,5 Punkten aus 7 Partien am zweiten Brett (am ersten Brett Österreichs spielte Josef Klinger). Beim Mitropa Cup 1991 in Brünn erhielt Brestian eine individuelle Goldmedaille für sein Ergebnis von 4 aus 6 am Spitzenbrett Österreichs. Dreimal spielte er für Österreich bei Schacholympiaden: 1990 in Novi Sad mit einer individuellen Goldmedaille für sein Ergebnis von 9,5 aus 12 am dritten Brett, 1994 in Moskau am zweiten Brett hinter Nikolaus Stanec und 1998 in Elista am Spitzenbrett. Bei Schacholympiaden hat er ein Gesamtergebnis von 19,5 Punkten aus 32 Partien (+14 =11 −7). Des Weiteren spielte er für Österreich bei den Mannschaftseuropameisterschaften 1989 in Haifa und 1999 in Batumi (jeweils am zweiten Brett).