Bazarganin isä oli kauppias Tabrizista ja etnisyydeltään azeri. Bazargan kävi aluksi islamilaista madrasa-koulua. Insinööriopintonsa hän suoritti Ranskassa Pariisin arvostetussa École Centrale des Arts et Manufactures -oppilaitoksessa, jossa hän perehtyi termodynamiikkaan. Bazargan palasi vuonna 1936 Iraniin ja jatkoi akateemista uraansa. Hän lähti 1940-luvulla mukaan politiikkaan moskeijaseuran ja islamilaisen opiskelijaliiton kautta, ja perusti vuonna 1945 insinöörien liiton. Bazargan opetti tekniikkaa Teheranin yliopistossa, jossa hänestä tuli teknologian laitoksen dekaani. Oltuaan suunnittelemassa Teheranin uutta vesihuoltojärjestelmää vuonna 1952 hän pääsi kykyjensä ja teknisen suuntautumisensa ansiosta pääministeri Mohammad Mossadeqin suosioon. Bazargan kuului tuolloin Iran-puolueeseen, joka oli osa Mossadeqin kansallista rintamaa. Mossadeq nimitti Bazarganin valvomaan kansallistamaansa Iranin öljyteollisuutta. Kun šaahi Mohammed Reza Pahlavi palasi valtaan ja syrjäytti Mossadeqin vuoden 1953 vallankaappauksella, Bazargan joutui joksikin aikaa vankeuteen.