Beckeringh van Rhijn was een zoon van Cornelis Hendrikus van Rhijn en Anthonia Beckering Lankhorst. Beckeringh van Rhijn begon zijn burgemeestersloopbaan in 1952 in de gemeenten Vierpolders en Zwartewaal, nadat hij als CHU'er door een katholiek was gepasseerd in Schoonebeek. Het jaar na zijn benoeming voltrok zich de watersnood, die ook in deze gemeenten op Voorne-Putten niet zonder gevolgen bleef. Hij werd in februari 1964 benoemd tot burgemeester van Beilen. Als burgemeester van deze gemeente maakte hij in december 1975 deel uit van het beleidsteam bij de kaping van een trein door zeven Molukkerse jongeren bij het Drentse Wijster. Beckeringh van Rhijn werd in 1977 benoemd tot Ridder in de Orde van Oranje-Nassau. In datzelfde jaar volgde zijn benoeming tot burgemeester van de Groningse gemeente Stadskanaal. Tijdens zijn burgemeesterschap van Stadskanaal werd hij geconfronteerd met de gevolgen van de inkrimping van de Philipsvestiging in Stadskanaal. Hij toonde zich verontwaardigd over het beleid van de Philipsdirectie. In 1985 beëindigde hij zijn bestuurlijke loopbaan. Hij werd als burgemeester van Stadskanaal opgevolgd door Frits Brink, die vanuit de rijkspolitie Drenthe eveneens betrokken was geweest bij de aanpak van de treinkaping in Wijster.