Dsagnidse nahm mit der georgischen Frauenmannschaft seit 2004 an allen Schacholympiaden teil. Georgien gewann die Schacholympiade 2008 in Dresden, bei der Schacholympiade 2012 in Istanbul erreichte Dsagnidse in der Einzelwertung am Spitzenbrett den zweiten Platz hinter Hou Yifan. Bei der Schacholympiade 2014 in Tromsø erreichte sie am ersten Brett das beste Ergebnis. An Mannschaftsweltmeisterschaften der Frauen nahm Dsagnidse viermal (2009, 2011, 2013 und 2017) teil, bestes Ergebnis war jeweils der dritte Platz 2011 in Mardin und 2017.