Im Jahre 1840 wurde Normans Vater, der einige Jahre auf Kuba als Kaufmann tätig gewesen war, Geschäftspartner eines Warenhauses in Calcutta, wohin ihm sein Sohn und seine Ehefrau 1842 folgten. Dort trat er der 17-jährig der British Indian Army bei. 1844 wurde er Offizieranwärter. Er kämpfte im Zweiten Sikh-Krieg und wurde daraufhin von Baron Clyde als Major im Feldzug gegen die Afridi berufen. Norman kämpfte in zahlreichen Feldzügen zwischen 1850 und 1854 sowie im Santal-Aufstand von 1855 bis 1856.