Anthony Mosse nahm im Alter von 17 Jahren 1982 erstmals an den Commonwealth Games teil. Bei der Universiade 1983 gewann Mosse Bronze über 200 Meter Schmetterling und wurde Fünfter über 100 Meter Schmetterling. Bei seiner Olympiapremiere in Los Angeles 1984 erreichte er in beiden Schmetterlingswettkämpfen das Finale.