Barna wurde von 1985 bis 1992 acht Mal in Folge tschechoslowakischer Meister. Er nahm von 1983 bis 1992 zehnmal in Folge an Europameisterschaften teil und gewann vier Medaillen; 1989 wurde er Dritter, 1990 und 1991 Vize-Europameister hinter Wiktor Petrenko und 1992 schließlich Europameister. Von 1984 bis 1992 nahm Barna neunmal in Folge an Weltmeisterschaften teil, konnte aber nie eine Medaille erringen. Sein bestes Ergebnis war der vierte Platz bei der Weltmeisterschaft 1991. Barna vertrat sein Land zweimal bei Olympischen Spielen. 1988 in Calgary wurde er 13. und 1992 in Albertville gewann er die Bronzemedaille. Mit dem Europameistertitel und Olympiabronze wurde 1992 sein sportlich erfolgreichstes Jahr. Danach beendete er seine Wettkampfkarriere.