Entre 1926 i 1931 Bárány guanyà quatre Campionats d'Europa. El 1929 a ser la segona persona, rere Johnny Weissmuller, en nedar els 100 metres en menys d'un minut. Bárány va realitzar un doctorat en dret i ciències polítiques. De 1957 a 1959 va ser secretari general de l'Associació Hongaresa de Natació. També va ser entrenador nacional i àrbitre internacional i va escriure més de 30 llibres sobre natació. El 1978 va ingressar a l'International Swimming Hall of Fame.