Für die Slowakei nahm Budaj im Juniorenbereich an der U18-Junioren-Weltmeisterschaft 2000 sowie den U20-Junioren-Weltmeisterschaften 2001 und 2002 teil. Im Seniorenbereich stand er im Aufgebot seines Landes bei den Weltmeisterschaften 2008 und 2010 sowie bei den Olympischen Winterspielen 2006 in Turin und 2010 in Vancouver. Zudem vertrat er die Slowakei 2004 beim World Cup of Hockey.