Na igrzyskach olimpijskich w 1956 w Melbourne niespodziewanie wygrał bieg na 1500 metrów, wyprzedzając Klausa Richtzenhaina ze wspólnej reprezentacji Niemiec i Johna Landy’ego z Australii oraz ustanawiając rekord olimpijski wynikiem 3:41,2. Był to pierwszy złoty medal olimpijski dla Irlandii w lekkoatletyce od czasów Boba Tisdalla w 1932 w Los Angeles. Delany zdobył brązowy medal w biegu na 1500 metrów na mistrzostwach Europy w 1958 w Sztokholmie, za Brianem Hewsonem z Wielkiej Brytanii i Danem Waernem ze Szwecji. Startował na igrzyskach olmpijskich w 1960 w Rzymie w biegu na 800 metrów, ale odpadł w ćwierćfinale. Zwyciężył na tym dystansie podczas uniwersjady w 1961 w Sofii.