קוסטוב נולד בעיר רסן שבאזור מקדוניה. ב-1903, לאחר מרד אילינדן היגרה משפחתו לסופיה אשר בנסיכות בולגריה. קוסטוב למד רפואה בגראץ (אוסטריה) ועבד בעיירות פרובינציאליות בבולגריה. הוא התחתן עם איואנה מרדזהנובה (Ivana Merdzhanova) בשנת 1934 ונולדו לזוג שני ילדים.