Enríquez speelde welgeteld één officiële interland voor Ecuador. Onder leiding van de Uruguayaanse bondscoach Luis Grimaldi maakte hij zijn debuut op 2 april 1987 in de vriendschappelijke thuiswedstrijd tegen Cuba (0-0) in Azogues. Hij nam met zijn vaderland deel aan de strijd om de Copa América 1987, maar kwam niet in actie tijdens dat toernooi.