Aleksander Grajf arbeitet als Ausbilder beim slowenischen Militär. Grajf trat für den "SK Pohorje" an. Er begann seine Laufbahn als Skilangläufer. In dieser Disziplin nahm er 1984 und 1988 an den Olympischen Winterspielen teil. Grajf wechselte 1988 zum Biathlon. Erstes Großereignis waren die Biathlon-Weltmeisterschaften 1988 in Feistritz an der Drau, wo er 18. im Einzel wurde. Seine zweite WM bestritt er erst fünf Jahre später in Borowez. Dort nahm er nur im Staffelrennen teil und belegte den 13. Platz. Eine in dem Jahr zugezogene Verletzung am rechten Ellenbogen verhinderte vier Jahre lang eine Fortsetzung der Karriere. 1998 in Pokljuka startete er im auf dem olympischen Sprintrennen basierenden Verfolgungsrennen und wurde 29. 1999 startete Grajf in Kontiolahti zunächst nur mit der Staffel und belegte Platz sieben. Beim Ausweichrennen wegen des schlechten Wetters in Kontiolahti am Holmenkollen in Oslo wurde er noch im Einzel eingesetzt, beendete das Rennen aber nicht. Nur bei seinen letzten Weltmeisterschaften 2001 in Pokljuka konnte er in allen Rennen antreten. Im Einzel belegte er Platz 36, im Sprint wurde er 14., in der Verfolgung 29. und im Massenstart 21. Mit der Staffel erreichte er zudem Platz sieben. 1992 startete Grajf erstmals als Biathlet bei den Olympischen Winterspielen. In Albertville wurde er 24. im Einzel, 33. im Sprint und 20. mit der slowenischen Staffel. Aufgrund der Verletzung konnte er nicht in Lillehammer antreten, somit waren die Spiele 1998 in Nagano seine insgesamt vierten olympischen Wettkämpfe. Hier wurde der Slowene 25. im Einzel, 40. im Sprint und 12. mit der Staffel. Grajfs letzte Spiele waren die Wettkämpfe 2002 von Salt Lake City, wo er 59. im Sprint, 46 in der Verfolgung und Staffel-Zehnter wurde.