В соревнованиях под эгидой FIS Клемен Коси впервые начал участвовать в конце 2006 года. Первоначально он участвовал в гонках FIS, национальных чемпионатах и турнирах Ситизен, но с 2009 года Коси уже стал выступать в Кубке Европы. В 2011 году Клемен был близок к попаданию на подиум на юниорском чемпионате мира, но в слаломе совсем немного уступил лидерам и остался на 4-й позиции. В Кубке мира Коси дебютировал 6 марта 2011 года в словенском городе Краньска Гора. Свои первые очки в рамках мирового Кубка словенский горнолыжник заработал на этапе в швейцарском городе Венген, став 14-м в комбинации. В следующий раз кубковые очки Коси получил спустя год, всё в том же Венгене, заняв в комбинации уже 22-е место. В 2013 году Коси выступил на чемпионате мира, где в комбинации смог занять очень высокое 12-ое место, в остальных дисциплинах Клемен расположился в районе 30-го места.