Limit barisan
caption: Limit barisan keliling segibanyak segi-n beraturan yang melilit bagian luar lingkaran satuan sama dengan keliling lingkaran, yaitu 2
π
r


{\displaystyle 2\pi r} . Barisan keliling segibanyak beraturan yang menyinggung bagian dalam lingkaran pun menuju limit yang sama.
caption: Suku-suku barisan (n+1/2n^2) diplotkan sebagai titik-titik biru. Terlihat bahwa barisan konvergen menuju 0 untuk n semakin membesar.
caption: Plot barisan Cauchy ( xn ), ditampilkan dengan warna biru, seperti xn versus n . Secara visual, kita melihat bahwa barisan tersebut tampaknya berkumpul ke titik batas karena suku-suku dalam barisan tersebut menjadi semakin dekat n meningkat. Dalam bilangan real setiap barisan Cauchy bertemu ke beberapa batas.
caption: Semakin bilangan bulat positif 



n


{\displaystyle n}

 membesar tanpa batas, nilai 



n
⋅
sin
⁡

(



1
n



)



{\displaystyle n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}

 menjadi semakin dekat menuju 



1


{\displaystyle 1}

. Dapat dikatakan bahwa "limit barisan 



n
⋅
sin
⁡

(



1
n



)



{\displaystyle n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}

 sama dengan  



1


{\displaystyle 1}

."
caption: Contoh barisan yang konvergen ke a


{\displaystyle a} .
caption: Untuk sebarang ε
>
0


{\displaystyle \varepsilon >0} yang dipilih, terdapat bilangan bulat N

0




{\displaystyle N_{0}} sedemikian sehingga seluruh nilai barisan dari suku ke- N

0




{\displaystyle N_{0}} sampai seterusnya berada di lingkungan (
a
−
ε
,
a
+
ε
)


{\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )} .
caption: Untuk nilai, ϵ

1


>
0


{\displaystyle \epsilon _{1}>0} yang lain, akan terdapat pula bilangan bulat N

1




{\displaystyle N_{1}} , bersesuaian dengan nilai ϵ

1




{\displaystyle \epsilon _{1}} tersebut, sedemikian sehingga barisan dari suku ke- N

1




{\displaystyle N_{1}} sampai seterusnya itu berada di dalam lingkungan (
a
−

ε

1


,
a
+

ε

1


)


{\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})} .
caption: Untuk setiap ε
>
0


{\displaystyle \varepsilon >0} , hanya terdapat sebanyak hingga anggota barisan di luar lingkungan (
a
−
ε
,
a
+
ε
)


{\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )} .