Deret geometrik
caption: Setiap dari persegi berwarna ungu memiliki 1
4




{\textstyle {\frac {1}{4}}} dari luas persegi besar berikutnya (



1
2


×


1
2


=


1
4


,


1
4


×


1
4


=


1
16


,

 dst.


)



{\textstyle \left({\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}}\times {\frac {1}{4}}={\frac {1}{16}},{\text{ dst.}}\right)} . Penjumlahan dari luas persegi berwarna ungu adalah sepertiga dari luas persegi besar.
caption: Deret geometri lain (skala umum a
=


4
9




{\textstyle a={\frac {4}{9}}} dan rasio umum r
=


1
9




{\textstyle r={\frac {1}{9}}} ) ditunjukkan sebagai luas persegi berwarna ungu. Total luas berwarna ungu adalah S
=


a

1
−
r



=



(


4
9


)


1
−

(


1
9


)




=


1
2




{\textstyle S={\frac {a}{1-r}}={\frac {\left({\frac {4}{9}}\right)}{1-\left({\frac {1}{9}}\right)}}={\frac {1}{2}}} , yang bisa dikonfirmasi dengan mengamati bahwa di luar persegi dipartisi menjadi sebuah jumlah tak terhingga luas berbentuk L masing-masing empat persegi berwarna ungu dan empat persegi berwarna kuning, yang setengah berwarna ungu.
caption: Konvergensi dari deret geometrik dengan r
=


1
2




{\textstyle r={\frac {1}{2}}} dan a
=


1
2




{\textstyle a={\frac {1}{2}}}
caption: Konvergensi dari deret geometrik dengan r
=


1
2




{\textstyle r={\frac {1}{2}}} dan a
=


1
2




{\textstyle a={\frac {1}{2}}}
caption: Derivasi visual dari penjumlahan suku takhingga dari sebuah deret geometrik
caption: Turunan geometrik berikut dari S
=


a

1
−
r





{\textstyle S={\frac {a}{1-r}}} mulai dengan mewakili suku-suku dari deret geometrik 1
,
r
,

r

2


,
…
,

r

i


,
…


{\textstyle 1,r,r^{2},\dots ,r^{i},\dots } sebagai luas persegi bertindih, A

0


,

A

1


,

A

2


,
…
,

A

i


,
…


{\textstyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{i},\dots } masing-masing. Setiap luas persegi bertindih A

i




{\textstyle A_{i}} memiliki luas berbentuk L tak bertindih L

i


=

A

i


−

A

i
+
1


=

A

i


⋅
(
1
−
r
)


{\textstyle L_{i}=A_{i}-A_{i+1}=A_{i}\cdot (1-r)} . Oleh karena itu, A

i



L

i




=


1

1
−
r





{\textstyle {\frac {A_{i}}{L_{i}}}={\frac {1}{1-r}}} atau A

i


=



L

i



1
−
r





{\textstyle A_{i}={\frac {L_{i}}{1-r}}} . Dengan kata lain, setiap luas persegi bertindih bsa ditransformasi menjadi sebuah luas ekuivalen berbentuk L tak bertindih dengan penskalaan bahwa sebuah faktor dari 1

1
−
r





{\textstyle {\frac {1}{1-r}}} . Diberikan bahwa penjumlahan dari semua luas berbentuk L tidak berskala adalah 1


{\textstyle 1} (karena mereka mempartisi persegi satuan), penjumlahan dari semua luas berbentuk L berskala oleh 1

1
−
r





{\textstyle {\frac {1}{1-r}}} juga harus 1

1
−
r





{\textstyle {\frac {1}{1-r}}} , di mana penjumlahan dari semua suku dari deret geometrik. Sebuah skala umum untuk mendapatkan benetuk yang lebih umum dari rumus bentuk tertutup, S
=


a

1
−
r





{\textstyle S={\frac {a}{1-r}}} , di mana diturunkan untuk rentang 0
<
r
<
1


{\textstyle 0<r<1} tetapi bisa diperpanjang hingga rentang −
1
<
r
<
1


{\textstyle -1<r<1} dengan menerapkan rumus yang diturunkan secara terpisah menjadi dua partisi dari deret geometrikː salah satu dengan pangkat genap r


{\textstyle r} (yang tidak bisa negatif) dan lainnya dengan pangkat ganjil r


{\textstyle r} (yang bisa negatif). Jumlah dari dua partisi adalah S
=


a

1
−

r

2





+



a
r


1
−

r

2





=



a
⋅
(
1
+
r
)


(
1
−
r
)
(
1
+
r
)



=


a

1
−
r





{\textstyle S={\frac {a}{1-r^{2}}}+{\frac {ar}{1-r^{2}}}={\frac {a\cdot (1+r)}{(1-r)(1+r)}}={\frac {a}{1-r}}} .
caption: Berikut ini adalah sebuah turunan geometrik dari rumus untuk deret geometrik parsial S
=
1
+
r
+

r

2


+
⋯
+

r

n
−
1




{\displaystyle S=1+r+r^{2}+\dots +r^{n-1}} dengan rasio r
>
1


{\displaystyle r>1} . Setiap suku dari deret r

i




{\displaystyle r^{i}} diwakli oleh luas dari persegi bertindih A

i




{\displaystyle A_{i}} yang dapat berubah menjadi luas berbentuk ;. Setiap luas berbentuk L L

i


=

A

i


−

A

i
−
1


=

(

1
−


1
r



)


A

i


=




(

r
−
1

)


A

i



r


=

(

r
−
1

)


A

i
−
1




{\displaystyle L_{i}=A_{i}-A_{i-1}=\left(1-{\frac {1}{r}}\right)A_{i}={\frac {\left(r-1\right)A_{i}}{r}}=\left(r-1\right)A_{i-1}} , yang ekuivalen dengan L

i
+
1


=
(
r
−
1
)

A

i




{\textstyle L_{i+1}=(r-1)A_{i}} , atau A

i


=



L

i
+
1



r
−
1





{\textstyle A_{i}={\frac {L_{i+1}}{r-1}}} . Oleh karena itu, S


{\textstyle S} , jumlah dari A

i




{\displaystyle A_{i}} pada i
=
0


{\displaystyle i=0} ke n
−
1


{\textstyle n-1} sama dengan jumlah dari L

i



r
−
1





{\textstyle {\frac {L_{i}}{r-1}}} pada i
=
1


{\textstyle i=1} ke n


{\textstyle n} . Catat bahwa tak berskala L

i




{\displaystyle L_{i}} pada i
=
1


{\textstyle i=1} ke n


{\textstyle n} hanya sebuah partisi A

n




{\displaystyle A_{n}} kurang takik dari kanan atas luas A

0




{\textstyle A_{0}} , S
=




A

n


−

A

0




r
−
1



=




r

n


−
1


r
−
1





{\textstyle S={\frac {A_{n}-A_{0}}{r-1}}={\frac {r^{n}-1}{r-1}}} . Menerapkan sebuah skala a


{\textstyle a} ke semua hasil jumlah bertindih dan luas tak bertindih dalam S
=



a
⋅
(

r

n


−
1
)


r
−
1





{\textstyle S={\frac {a\cdot (r^{n}-1)}{r-1}}} .
caption: Pemisahan Archimedes dari sebuah segmen parabolik menjadi tak terhingga banyaknya segitiga
caption: Interior dari kepingan salju Koch adalah sebuah gabungan dari banyaknya segitiga tak terhingga.