Teorema bilangan prima
caption: Grafik tersebut menunjukkan bahwa rasio dari fungsi penghitungan bilangan prima π
(
x
)


{\displaystyle \pi (x)} hingga dua dari perkiraannya x

ln
⁡
x





{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}} dan Li
⁡
(
x
)


{\displaystyle \operatorname {Li} (x)} . Ketika x


{\displaystyle x} meningkat (perhatikan sumbu x


{\displaystyle x} adalah logaritmik), kedua rasionya menuju 1. Rasio untuk x

ln
⁡
x





{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}} konvergen dari atas sangat lambat, sedangkan rasio untuk Li
⁡
(
x
)


{\displaystyle \operatorname {Li} (x)} konvergen lebih cepat dari bawah.
caption: Plot log menunjukkan galat absolut x

log
⁡
x





{\textstyle {\frac {x}{\log x}}} dan Li
⁡
(
x
)


{\displaystyle \operatorname {Li} (x)} , dua aporksimasi ke fungsi penghitungan prima π
(
x
)


{\displaystyle \pi (x)} . Tidak seperti rasio, selisih antara π
(
x
)


{\displaystyle \pi (x)} dan x

log
⁡
x





{\textstyle {\frac {x}{\log x}}} meningkat tanpa batas saat x


{\displaystyle x} meningkat. Di samping itu, Li
⁡
(
x
)
−
π
(
x
)


{\displaystyle \operatorname {Li} (x)-\pi (x)} bertukar tanda berkali-kali.