Turunan geometrik berikut dari S
=


a

1
−
r





{\textstyle S={\frac {a}{1-r}}} mulai dengan mewakili suku-suku dari deret geometrik 1
,
r
,

r

2


,
…
,

r

i


,
…


{\textstyle 1,r,r^{2},\dots ,r^{i},\dots } sebagai luas persegi bertindih, A

0


,

A

1


,

A

2


,
…
,

A

i


,
…


{\textstyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{i},\dots } masing-masing. Setiap luas persegi bertindih A

i




{\textstyle A_{i}} memiliki luas berbentuk L tak bertindih L

i


=

A

i


−

A

i
+
1


=

A

i


⋅
(
1
−
r
)


{\textstyle L_{i}=A_{i}-A_{i+1}=A_{i}\cdot (1-r)} . Oleh karena itu, A

i



L

i




=


1

1
−
r





{\textstyle {\frac {A_{i}}{L_{i}}}={\frac {1}{1-r}}} atau A

i


=



L

i



1
−
r





{\textstyle A_{i}={\frac {L_{i}}{1-r}}} . Dengan kata lain, setiap luas persegi bertindih bsa ditransformasi menjadi sebuah luas ekuivalen berbentuk L tak bertindih dengan penskalaan bahwa sebuah faktor dari 1

1
−
r





{\textstyle {\frac {1}{1-r}}} . Diberikan bahwa penjumlahan dari semua luas berbentuk L tidak berskala adalah 1


{\textstyle 1} (karena mereka mempartisi persegi satuan), penjumlahan dari semua luas berbentuk L berskala oleh 1

1
−
r





{\textstyle {\frac {1}{1-r}}} juga harus 1

1
−
r





{\textstyle {\frac {1}{1-r}}} , di mana penjumlahan dari semua suku dari deret geometrik. Sebuah skala umum untuk mendapatkan benetuk yang lebih umum dari rumus bentuk tertutup, S
=


a

1
−
r





{\textstyle S={\frac {a}{1-r}}} , di mana diturunkan untuk rentang 0
<
r
<
1


{\textstyle 0<r<1} tetapi bisa diperpanjang hingga rentang −
1
<
r
<
1


{\textstyle -1<r<1} dengan menerapkan rumus yang diturunkan secara terpisah menjadi dua partisi dari deret geometrikː salah satu dengan pangkat genap r


{\textstyle r} (yang tidak bisa negatif) dan lainnya dengan pangkat ganjil r


{\textstyle r} (yang bisa negatif). Jumlah dari dua partisi adalah S
=


a

1
−

r

2





+



a
r


1
−

r

2





=



a
⋅
(
1
+
r
)


(
1
−
r
)
(
1
+
r
)



=


a

1
−
r





{\textstyle S={\frac {a}{1-r^{2}}}+{\frac {ar}{1-r^{2}}}={\frac {a\cdot (1+r)}{(1-r)(1+r)}}={\frac {a}{1-r}}} .