1
00:00:21,160 --> 00:00:26,220
بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى نهاية

2
00:00:26,220 --> 00:00:29,920
المحاضرة الماضية المحاضرة الماضية بدأنا بموضوع ال

3
00:00:29,920 --> 00:00:37,240
diagonalization وكيف نعمل الهو diagonalize للمصوفة

4
00:00:37,240 --> 00:00:41,780
بمعنى خليها مصوفة قطرية ابتدنا بتعريف ال similar

5
00:00:41,780 --> 00:00:47,180
matrix فقلنا ان ال similar matrix بإذا جدرت لاجي

6
00:00:47,180 --> 00:00:53,710
مصوفة تانية Kبحيث الكي هذه non zero matrix يعني او

7
00:00:53,710 --> 00:00:57,610
non singular matrix ايش يعني يعني المعكوس تبعها

8
00:00:57,610 --> 00:01:02,470
موجود بحيث اللي بيبدأ يسوي ال K inverse في ال A في

9
00:01:02,470 --> 00:01:06,750
الكي تمام؟ واخدنا على ذلك مثالا واحدا بعد ما

10
00:01:06,750 --> 00:01:11,440
أثبتناإن إذا كانت ال A similar ل B فإن B similar ل

11
00:01:11,440 --> 00:01:14,940
A وفي نفس اللغة وفي نفس الوقت A is similar to

12
00:01:14,940 --> 00:01:18,580
itself تمام يبقى هذا اللي خدناه المحاضرة الماضية و

13
00:01:18,580 --> 00:01:23,160
الآن بدنا نضيق .. أخدنا طبعا مثال واحد لسه ياما

14
00:01:23,160 --> 00:01:27,500
ناخد أمثلة فبدنا نبدأ نحط بعض المعلومات النظرية

15
00:01:27,500 --> 00:01:33,160
الأساسية أو العمودي الفقري في هذا sectionبيقول لي

16
00:01:33,160 --> 00:01:37,540
to show that the given n by n matrix is a is

17
00:01:37,540 --> 00:01:41,120
similar to a diagonal matrix و ال diagonal matrix

18
00:01:41,120 --> 00:01:44,180
هي بكتوبها بالشكل هذا من حد ما تشوفيها دي يعني

19
00:01:44,180 --> 00:01:49,800
مصوفة قطرية جميع عناصرها أصفرا معادة عناصرالقطر

20
00:01:49,800 --> 00:01:57,540
الرئيسي نأخذ النظرية التالية طبعا من اللمدات هذول

21
00:01:57,540 --> 00:02:00,400
اللمدة واحد و اللمدة اتنين و اللمدة ان هي ال eigen

22
00:02:00,400 --> 00:02:07,440
values مش حياله مش اي ارقام يبقى ارقام محددةطيب

23
00:02:07,440 --> 00:02:11,480
النظرية بتقول إيه؟ the n by n matrix A is similar

24
00:02:11,480 --> 00:02:16,420
to a diagonal matrix ملاحظي المرة اللي فاتت بدينا

25
00:02:16,420 --> 00:02:21,060
canvas A K طلت عني مصروفة قطرية في الآخر، مصبوط

26
00:02:21,060 --> 00:02:24,920
ولا لأ؟ المصروف القطرية العمودي الفقري قيمة ال two

27
00:02:24,920 --> 00:02:28,870
landers اللي طلوا عندي بالضبطيبقى هنا لما أقول الـ

28
00:02:28,870 --> 00:02:32,650
A is similar to a diagonal matrix if and only if

29
00:02:32,650 --> 00:02:36,350
it has a set of linearly independent eigenvectors

30
00:02:36,350 --> 00:02:43,250
K1 وK2 لغاية KM الكلام هذا بدي أعيد صياغته مرة

31
00:02:43,250 --> 00:02:48,750
تانية باجي بقول that is لو كان عند المصوفة K هذه

32
00:02:48,750 --> 00:02:53,670
مصوفة K K1 هو العمود الأول K2 العمود التالت KN

33
00:02:53,670 --> 00:03:01,400
العمود رقم Mوكل eigen vector هذا مناظر لمن؟ مناظر

34
00:03:01,400 --> 00:03:04,500
لل eigen value اللي هي لاندا واحد والتاني لاندا

35
00:03:04,500 --> 00:03:08,920
اتنين والتالتة لاندا تلاتة والاخر لاندا in them ال

36
00:03:08,920 --> 00:03:14,340
K inverse A في ال K بده يساوي المصوفة اللي عندها

37
00:03:14,340 --> 00:03:18,880
دي يعني بده يساوي المصوفة لجميع عناصرها أصفرا ما

38
00:03:18,880 --> 00:03:25,450
عدا عناصر قطة الرئيسي بيكونوا على أسرها هو من؟هذه

39
00:03:25,450 --> 00:03:29,090
النظرية بتحكي بالكارشاكل انها ده يبقى لو اعطاني

40
00:03:29,090 --> 00:03:35,010
مصفوفة ايه بدي اجيب ال diagonal matrix بتاعها بحيث

41
00:03:35,010 --> 00:03:40,090
العناصر تبع ال diagonal matrix يكونوا هم ال eigen

42
00:03:40,090 --> 00:03:46,120
values يبقى بدي احاول اجيبالـEigenvectors اللي

43
00:03:46,120 --> 00:03:50,260
عندنا والـEigenvectors بس بيشرّنوا كلهم linearly

44
00:03:50,260 --> 00:03:54,260
independent لأنه جالي linearly independent ولو

45
00:03:54,260 --> 00:03:58,420
واحد يعتمد على التاني كلهم مستقلات عن بعض تمام

46
00:03:58,420 --> 00:04:02,220
الاستقلال يبقى بحص العالمين على ال diagonal matrix

47
00:04:03,840 --> 00:04:07,760
الان بدأجي للعنوان اللي انا رافعه المرة اللي فاتت

48
00:04:07,760 --> 00:04:11,780
كنا بنتكلم عن ال similar matrix فقط و لم نتكلم عن

49
00:04:11,780 --> 00:04:15,460
ال diagonalization تمام؟ هذا الكلام اللي احنا

50
00:04:15,460 --> 00:04:19,140
بنحكي هو ال diagonalization و احنا مش ذارين طلع

51
00:04:19,140 --> 00:04:20,120
التريفش بقول

52
00:04:24,300 --> 00:04:28,980
التعريف اللي جابله if a is a similar to a diagonal

53
00:04:28,980 --> 00:04:34,880
matrix يعني هالكلام هذا صحيح then a is said to be

54
00:04:34,880 --> 00:04:40,130
diagonalizableيبقى المصوفة ايه بنقدر نعملها على

55
00:04:40,130 --> 00:04:46,770
شكل مصوفة قطرية يبقى لو كانت المصوفة similar to a

56
00:04:46,770 --> 00:04:50,330
diagonal matrix automatic بقول ان ال a دي

57
00:04:50,330 --> 00:04:55,180
diagonalizableطيب التعريف التاني بيقول لو كانت ال

58
00:04:55,180 --> 00:05:00,600
a diagonalizable matrix then it processes يتفترض

59
00:05:00,600 --> 00:05:05,100
in linearly independent eigenvectors يبقى ال

60
00:05:05,100 --> 00:05:08,140
eigenvectors اللي عندنا عددهم يساوي in بدهم يكونوا

61
00:05:08,140 --> 00:05:15,240
linearly independentوهذه الستة نسميها complete set

62
00:05:15,240 --> 00:05:20,380
of eigenvectors يبقى هذه المجموعة الكاملة لمين لل

63
00:05:20,380 --> 00:05:24,040
eigenvectors اللي عندنا على أي حال التعريف

64
00:05:24,040 --> 00:05:29,380
الأولاني دقيق جدا لأنه هيقولك كيف بدك تخلي المصوفة

65
00:05:29,380 --> 00:05:34,920
دي diagonal matrix صح السؤال ممكنطلع هنا نطرح حدث

66
00:05:34,920 --> 00:05:39,440
و نحاول الإجابة عليه نمشي خطوات محددة الآن بعد

67
00:05:39,440 --> 00:05:44,080
قليل فتجيجي معايا بقول how to diagonalize an n by

68
00:05:44,080 --> 00:05:48,180
n matrix انا بعطيك مصفوفة لما اعطيك مصفوفة كيف

69
00:05:48,180 --> 00:05:55,500
المصفوفة ديبتكتب عليها على شكل قطري فقط وبحيث

70
00:05:55,500 --> 00:06:00,480
عناصر القطر الرئيسي هما الـEigenvalues فقط لا غير

71
00:06:00,480 --> 00:06:04,360
بقول لها بدي أمشي تلت خطوات اللي عندنا خطوة الأولى

72
00:06:06,680 --> 00:06:10,320
Find in linearly independent eigenvectors of the

73
00:06:10,320 --> 00:06:15,720
matrix A,C,K1,K2 لغاية KN وهذا الكلام بجيناه احنا

74
00:06:15,720 --> 00:06:20,020
بنوجده في الأمثلة السابقة كل أربع section واحد كان

75
00:06:20,020 --> 00:06:24,310
ال eigenvalues و ال eigenvectorsإذا الخطوة الأولى

76
00:06:24,310 --> 00:06:30,090
تحصيل حاصل في كل الأمثلة اللى فاتت سواء كانت

77
00:06:30,090 --> 00:06:33,530
complex اللى اللى لعنها كانت complex أو real صحيح

78
00:06:33,530 --> 00:06:37,830
ولا لا يجب الخطوة الأولى لم نأتي بجديد نجي الخطوة

79
00:06:37,830 --> 00:06:42,690
التانية finally matrix Kاللي هي عناصر هم اللي عمود

80
00:06:42,690 --> 00:06:48,090
الأول كواحد كتنين كام يبجى هذه برضه كنا بنكتبها

81
00:06:48,090 --> 00:06:50,930
اللي هو العناصر اللي عندنا هذه تبعت ال

82
00:06:50,930 --> 00:06:54,870
eigenvectors لما نقول الست هذه تُسمّت ال bases لل

83
00:06:54,870 --> 00:07:00,260
eigen spaces تمام؟ يبجى، إيه المصروف في هذه؟Where

84
00:07:00,260 --> 00:07:04,840
الكهات هذول are called eigenvectors يبقى جيبنا له

85
00:07:04,840 --> 00:07:09,820
المصوفة تحصيل حاصل كمان هذه يعني ال eigenvectors

86
00:07:09,820 --> 00:07:13,560
اللي جيبناهم بدك تكتبهم بس على شكل المصوفة هي اللي

87
00:07:13,560 --> 00:07:17,900
بتقوله منهم الخطوة الثانيةيبقى الخطوة الأولى بدي

88
00:07:17,900 --> 00:07:21,100
أجيب ال eigenvalues و ال eigenvectors الخطوة

89
00:07:21,100 --> 00:07:24,660
التانية بدي أكتب ال eigenvectors على شكل مصفوفة

90
00:07:24,660 --> 00:07:30,820
الخطوة التالتة دي matrix المصففة كإنفرس A كي والب

91
00:07:30,820 --> 00:07:35,080
A دياجونال matrix حديها الرمز دي يبقى بتطلع عندك

92
00:07:35,080 --> 00:07:39,180
ال diagonal يعني بدي أضربمعكوس المصفوفة K اللي

93
00:07:39,180 --> 00:07:43,240
طلعت هنا هنا في اتنين في المصفوفة A الأصلي اللي

94
00:07:43,240 --> 00:07:48,180
عندي في المصفوفة K النتج لازم يطلع المصفوفة اللي

95
00:07:48,180 --> 00:07:51,460
عندنا هذه where lambda I the eigenvector the

96
00:07:51,460 --> 00:07:56,580
eigenvalue corresponding to Ki والI من واحد لغاية

97
00:07:56,580 --> 00:08:01,200
مين لغاية ال N طب حد فيكم بتحب تسأل أي سؤال في

98
00:08:01,200 --> 00:08:05,120
الكلمتين انا اضغطيك قبل ان نذهب للتطبيق العاملي

99
00:08:05,120 --> 00:08:11,690
لهذا الكلامحدث فيكوا تحب تسألوا اي سؤال؟ جاهزين؟

100
00:08:11,690 --> 00:08:16,010
طيب طبعا تعرفوا الامتحان وجه اليوم 24 اللي هو يوم

101
00:08:16,010 --> 00:08:20,750
الثلاثاء مش بكرا الثلاثاء اللي بعدها الأربعة ولا

102
00:08:20,750 --> 00:08:25,470
الثلاثة؟ الأربعة الأربعة مافيش مشكلة عادي جدا يبقى

103
00:08:25,470 --> 00:08:29,910
الامتحان يوم الأربعاء اللي هو القادم ساعة قد أيش؟

104
00:08:29,910 --> 00:08:35,140
ساعتين تانية بعد ما نخلص محاضرتنابس عند الطلاب مش

105
00:08:35,140 --> 00:08:41,920
عندكم. طيب على أي حال ما علينا يبقى الامتحان كما

106
00:08:41,920 --> 00:08:47,280
هو في chapter 3 و باقي chapter 2 مش هنضيف زيادة

107
00:08:47,280 --> 00:08:53,290
للمتحان انطبعه جاهز.هذا هو المثال اللي عندنا بيقول

108
00:08:53,290 --> 00:08:57,430
خد المصوفة نظامها اتنين في اتنين زي ما انت شايف

109
00:08:57,430 --> 00:09:01,190
هاتل ال eigen value و ال eigen vectors يبقى هذا

110
00:09:01,190 --> 00:09:04,070
اللي كنا بنجيبه المرة الماضية في ال section اربعة

111
00:09:04,070 --> 00:09:08,510
واحد بعدين تبيني ان ال a is diagonalizable يبقى

112
00:09:08,510 --> 00:09:15,340
بعدين تبيني ان المصوفة aبقدر استبدلها بمصفوفة

113
00:09:15,340 --> 00:09:21,180
قطرية عناصرها هما عناصر من الـ eigenvalues إذا بدي

114
00:09:21,180 --> 00:09:28,300
أبدأ زي ما كنت ببدأ هناك بدي أخد lambda I ناقص

115
00:09:28,300 --> 00:09:36,080
المصفوفة A وتساوي I Lambda و هنا Zero Zero Lambda

116
00:09:36,080 --> 00:09:38,540
ناقص المصفوفة A

117
00:09:41,740 --> 00:09:46,140
بالشكل اللي عندنا هذا هذي بتصبح على الشكل التالي

118
00:09:46,140 --> 00:09:53,160
هنا لندن مافيش غيرها و هنا ناقص واحد و هنا ناقص

119
00:09:53,160 --> 00:09:59,820
اتنين و هنا لندن ناقص واحد بالشكل اللي عندنا هنا

120
00:10:00,650 --> 00:10:04,650
بعد ذلك سأحصل على determinant من خلال الـ

121
00:10:04,650 --> 00:10:08,250
determinant أو المحدد سأحصل على قيم الـ

122
00:10:08,250 --> 00:10:14,090
eigenvalues يبقى سأحصل على determinant لمن ل

123
00:10:14,090 --> 00:10:20,330
lambda I ناقص الـ A و أسوي بالزيرو يبقى هذا معناه

124
00:10:20,330 --> 00:10:26,570
ان المحدد lambda سالب واحد سالب اتنين lambda سالب

125
00:10:26,570 --> 00:10:33,390
واحد سيسوىبتفك هذا يبقى لاندا في لاندا ناقص واحد

126
00:10:33,390 --> 00:10:39,450
ناقص اتنين يساوي مين؟ يساوي Zero يبقى المحدد هذا

127
00:10:39,450 --> 00:10:46,370
في لاندا تربيع ناقص لاندا ناقص اتنين يساوي Zero

128
00:10:46,370 --> 00:10:52,770
بدي احلل هذا كحصل ضرب قوسين يبقى او حصل ضرب عاملين

129
00:10:52,770 --> 00:11:00,050
يساوي Zeroهنا lambda هنا lambda هنا واحد هنا اتنين

130
00:11:00,050 --> 00:11:04,930
هنا ناقص هنا زائد يبقى زائد lambda او ناقص اتنين

131
00:11:04,930 --> 00:11:08,190
lambda بيبقى ناقص lambda واحدة هي موجودة عندنا

132
00:11:08,190 --> 00:11:13,730
يبقى تحليلنا سليم يبقى بناء عليه lambda تساوي سالب

133
00:11:13,730 --> 00:11:17,910
واحد و lambda تساوي اتنين من هذول البنات

134
00:11:21,730 --> 00:11:29,470
يبقى هذول are the eigenvalues

135
00:11:29,470 --> 00:11:39,530
of the matrix A يبقى هذول اللي هم ال eigenvalues

136
00:11:57,290 --> 00:12:02,270
بعد ذلك نجيب الـEigenvectors يبقى احنا حتى الآن في

137
00:12:02,270 --> 00:12:06,390
الخطوة الأولى لسه جيبنا الـEigenvalues وبعد ذلك

138
00:12:06,390 --> 00:12:09,930
نجيب الـEigenvectors

139
00:12:09,930 --> 00:12:16,490
يبقى بالده دي للمصوفة او لحاصل الضرب اللي هو مين

140
00:12:18,900 --> 00:12:22,260
هذا كله من أول ومبتدأ الحلقة تعتبر النقطة الأولى

141
00:12:22,260 --> 00:12:29,560
نمرة a احنا اننا lambda I ناقص ال a في ال X بيساوي

142
00:12:29,560 --> 00:12:32,660
zero هذه المعادلة الأصلية اللي بنشتغل عليها

143
00:12:32,660 --> 00:12:40,440
ابتدائها من section 4-1 هي هي ماغيرناش هذا معناهم

144
00:12:42,120 --> 00:12:47,200
لاند اي ناقص اتنين هي هجازة المصوفة لانها ناقص

145
00:12:47,200 --> 00:12:52,320
واحد لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص واحد لاند اي

146
00:12:52,320 --> 00:12:54,480
ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين

147
00:12:54,480 --> 00:12:55,100
لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص

148
00:12:55,100 --> 00:12:55,320
اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند

149
00:12:55,320 --> 00:12:55,620
اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص

150
00:12:55,620 --> 00:12:59,240
اتنين لاند اي ناقص اتنين لاند اي ناقص اتنين

151
00:12:59,350 --> 00:13:05,730
بتاخد الحالة الأولى لو كانت Lambda تساوي سالب واحد

152
00:13:05,730 --> 00:13:09,410
مافيش اللي بده يصير يبقى بده أشيل كل Lambda و أحط

153
00:13:09,410 --> 00:13:14,570
مكانها سالب واحد يبقى بصير عنه هنا سالب واحد سالب

154
00:13:14,570 --> 00:13:22,530
واحد و هنا سالب اتنين سالب اتنين في X واحد X اتنين

155
00:13:22,530 --> 00:13:27,650
كله بده يساوي من Zero و Zeroهذا المعادل يجب أن

156
00:13:27,650 --> 00:13:32,270
أفكر المعادلة هذه و أحولها إلى معادلات يعني

157
00:13:32,270 --> 00:13:35,070
المعادلة المصفوهية يجب أن أضربها و أحولها إلى

158
00:13:35,070 --> 00:13:41,890
معادلتين فأقول له ناقص X1 ناقص X2 سيكون Zero وهنا

159
00:13:41,890 --> 00:13:49,210
ناقص 2 X1 ناقص 2 X2 سيكون Zero هذه كانت معادلة يا

160
00:13:49,210 --> 00:13:54,000
بناتمعادلة واحدة تنتهي لك في الحقيقة معادلة واحدة

161
00:13:54,000 --> 00:14:00,860
إذا هذه المعادلة الواحدة X1 زائد X2 بده يساوي Zero

162
00:14:00,860 --> 00:14:08,820
ومنها X1 بده يساوي من سالب X2 أو X2 بده يساوي سالب

163
00:14:08,820 --> 00:14:17,060
X1يبقى باجي بقوله لو كانت ال X2 بدي ساوي A then X1

164
00:14:17,060 --> 00:14:25,760
بدي مين سالب A هذا بدي يعطيني the eigen vectors

165
00:14:26,750 --> 00:14:37,190
are in the form على الشكل التالي اللي هما من X1 X2

166
00:14:37,190 --> 00:14:47,310
بده يساوي X1 اللي هي ناقص A و X2 اللي هي A بالشكل

167
00:14:47,310 --> 00:14:51,590
اللي عندنا او A في سالب واحد واحد

168
00:14:54,310 --> 00:15:00,330
يبقى طالع عندي هذا هو يمثل mean bases لل eigen

169
00:15:00,330 --> 00:15:06,510
vector space المناظر لل eigen value لمن lambda

170
00:15:06,510 --> 00:15:08,590
تساوي سالب واحد

171
00:15:17,540 --> 00:15:22,440
الان بدنا نجي لمين؟ ناخد لان ده التانية يبقى باجي

172
00:15:22,440 --> 00:15:29,200
بقوله هنا F لان ده تزاوي التانية طلت معانا اتنين

173
00:15:29,200 --> 00:15:34,970
يبقى thenلما طلعت لاندا تساوي اتنين يبقى المعادلة

174
00:15:34,970 --> 00:15:39,390
المصففية هتكون عليه الشكل التالي هشيل كل لاندا و

175
00:15:39,390 --> 00:15:45,330
احط مكانها اتنين يبقى اتنين ناقص واحد هنا ناقص

176
00:15:45,330 --> 00:15:50,690
اتنين و اتنين ناقص واحد اللي يبقى درجة اب واحد

177
00:15:50,690 --> 00:15:55,830
بالشكل اللي عندنا هذا X واحد X اتنين بدها تساوي

178
00:15:55,830 --> 00:16:02,120
Zero Zeroهذول هتعطيني معادلتين المعادلة الأولى

179
00:16:02,120 --> 00:16:08,520
اللى هى 2x1-x2 بده يسوى zero والمعادلة التانية

180
00:16:08,520 --> 00:16:16,600
الناقصى 2x1 زائد x2 برضه يسوى zero هذول كام معادلة

181
00:16:16,600 --> 00:16:21,210
يا بنات؟معادلة واحدة لأن لو ضربت التانية فى سالب

182
00:16:21,210 --> 00:16:26,270
بيصير هي المعادلة الأولى يبقى هذا معناه انه اتنين

183
00:16:26,270 --> 00:16:31,910
اكس واحد ناقص اكس اتنين بده يساوي Zero هذا معناه

184
00:16:31,910 --> 00:16:36,970
ان اكس اتنين بده يساوي اتنين اكس واحد يبقى هذا

185
00:16:36,970 --> 00:16:44,750
معناه ان لو كانت ال X واحد تساوي ايه والله بي مثلا

186
00:16:44,750 --> 00:16:57,200
thenبعد ذلك X2 يكون 2B وبالتالي اصبحت هنا من the

187
00:16:57,200 --> 00:17:08,180
Eigen vectors are inthe form صار على الشكل التالي

188
00:17:08,180 --> 00:17:16,540
ال X1 ب B و هنا ب 2B يعني بيه برا و هنا واحد اتنين

189
00:17:16,540 --> 00:17:23,720
بالشكل اللي عندنا هذا طبعا هذا يمثل bases لمين لل

190
00:17:23,720 --> 00:17:30,380
eigen vector space اللي عندنا طيب الآن خلصت اللي

191
00:17:30,380 --> 00:17:35,760
هو المطلوب الأولالمطلوب التالي جالي هتل المصفوفة K

192
00:17:35,760 --> 00:17:43,320
باجي بقولها المصفوفة K هي عبارة عن مين؟ هي عبارة

193
00:17:43,320 --> 00:17:49,460
عن K واحد و K اتنين في عندي غيرهم؟ ماعنديش غيرهم K

194
00:17:49,460 --> 00:17:56,860
واحد اللي هو من سالب واحد و واحد و K اتنين K اتنين

195
00:17:56,860 --> 00:18:03,570
هي عبارة عن العمود واحد و اتنينلاحظ ان اتنين هدول

196
00:18:03,570 --> 00:18:07,870
linearly dependent ولا linearly independent

197
00:18:07,870 --> 00:18:14,010
اندبندنت ليش ان ولا واحد فيهم مضاعفات الآخر يبقى

198
00:18:14,010 --> 00:18:21,290
هنا باجي بقولك بين جثين نوتthat لحظة أن السالب

199
00:18:21,290 --> 00:18:29,110
واحد وواحد and التاني واحد واتنين are linearly

200
00:18:29,110 --> 00:18:30,390
independent

201
00:18:34,060 --> 00:18:40,500
الخطوة التالتة هي المطلوب نمر بيه من المسألة بيّلي

202
00:18:40,500 --> 00:18:44,960
ان a is diagonalizable يعني احنا حتى اللي هنجيبنا

203
00:18:44,960 --> 00:18:48,640
ال eigenvalues و ال eigenvectors اللي عندنا و

204
00:18:48,640 --> 00:18:54,840
حطناهم على شكل مصفوفة اذا بيداجي لنمر بيه من

205
00:18:54,840 --> 00:19:00,110
السؤالمش هنجيب نمرة بيه بدي أجي للمصفوفة K و أجيب

206
00:19:00,110 --> 00:19:05,170
من المعكوث سبعها مش هنجيب المعكوث سبعها بدي أعرف

207
00:19:05,170 --> 00:19:11,510
قداش ال determinant لل K تمام يبقى المحدد سالب

208
00:19:11,510 --> 00:19:18,910
واحد واحد اتنين ويساوي سالب اتنين سالب واحد ويساوي

209
00:19:18,910 --> 00:19:24,870
قداش سالب تلاتة وزي ما انتوا شايفينلا يساوي zero

210
00:19:24,870 --> 00:19:31,350
يعني هذه المصفوفة non singular matrix يبجى هذا

211
00:19:31,350 --> 00:19:40,570
معناه انك is a non singular matrix

212
00:19:41,270 --> 00:19:46,830
ما دام non singular matrix إذا إيه اللي هي معكوس

213
00:19:46,830 --> 00:19:52,310
بدنا نروح نجيب المعكوس تبع هذه المصفوفة و نضربه في

214
00:19:52,310 --> 00:19:59,650
المصفوفة A و كذلك في المصفوفة K تسلم يبقى الان K

215
00:19:59,650 --> 00:20:05,730
inverse AK إيش بده تعمل إيش الناتج يا بنات حتى

216
00:20:05,730 --> 00:20:07,450
بتجري تقولي جديش الناتج

217
00:20:09,990 --> 00:20:15,550
هما المصوفة نظام اتنين في اتنين بحيث القطر الرئيسي

218
00:20:15,550 --> 00:20:19,910
هو ناقص واحد واتنين والقطر الرئيسي الثانوي يبقى

219
00:20:19,910 --> 00:20:24,270
أسفار يعني جاب المبدأ لإن هذه المصوفة هي اللي

220
00:20:24,270 --> 00:20:28,830
بتعملي ال diagonalization للميم للمصوفة A وبالتالي

221
00:20:28,830 --> 00:20:34,850
بقول ال A is diagonalizable طيب هذا معناه طبعا

222
00:20:34,850 --> 00:20:39,970
هتعرفيش مين يا بنات؟النتج المصوفة اللي بتطلعيش

223
00:20:39,970 --> 00:20:44,610
بقول عليها similar to a مش هتعرف ال similar وكأنه

224
00:20:44,610 --> 00:20:48,850
ال similar هي من؟ هي ال diagonalization هي نفس

225
00:20:48,850 --> 00:20:53,350
العملية بس هنا حطنا لها شغل و كده هناك ماكناش

226
00:20:53,350 --> 00:20:57,190
بنعرف هذا الكلام في المثال اللي اطرحناه المحاضرة

227
00:20:57,190 --> 00:21:02,010
الماضيةيبقى هذا الكلام يساوي بالداخل لمعكوس

228
00:21:02,010 --> 00:21:08,010
المصوفة K بنبدل عناصر القطر الرئيسي مكان بعض

229
00:21:08,010 --> 00:21:14,130
وبنغير إشارات عناصر القطر الثانوي وبنجسم على محدد

230
00:21:14,130 --> 00:21:19,730
هذه المصوفة المحدد هذا كده؟ سالب تلاتة يبقى هاي

231
00:21:19,730 --> 00:21:26,640
واحد على سالب تلاتةبتداجي هنا هذا اتنين وهنا سالب

232
00:21:26,640 --> 00:21:32,020
واحد وهنا سالب واحد وهنا سالب واحد غيرت اشارات

233
00:21:32,020 --> 00:21:36,060
عناصر القطر الثانوي وبدلت عناصر القطر الرئيسي مكان

234
00:21:36,060 --> 00:21:43,500
بعض ال a باجي بنزلها كما كانت له zero واحد اتنين

235
00:21:43,500 --> 00:21:52,120
واحد مصوفة ك كما هي واحد اتنين ويساويسالب تلت

236
00:21:52,120 --> 00:21:57,980
خلّيك برا تمام؟ بيضل لإن هنا بدي أدرب المصفتين

237
00:21:57,980 --> 00:22:04,800
مثلا هذا اتنين سالب واحد سالب واحد سالب واحد فيه

238
00:22:04,800 --> 00:22:09,880
بدي أضرب هدول المصفتين في بعض يبقى Zero واحد اللي

239
00:22:09,880 --> 00:22:15,740
هو بواحد يبقى Zero واتنين يبقى في اتنينيبقى سالب

240
00:22:15,740 --> 00:22:21,440
اتنين و واحد يبقى سالب واحد اتنين و اتنين يبقى كده

241
00:22:21,440 --> 00:22:26,040
اش؟ اربعة بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا الكلام

242
00:22:26,040 --> 00:22:32,080
بده يساوي سالب طول فيه نضرب المصفتين هدول في بعض

243
00:22:32,080 --> 00:22:39,630
يبقى هنا اتنين و هنا واحد يبقى تلاتةهنا أربعة

244
00:22:39,630 --> 00:22:46,750
وناقص أربعة يبقى zero تمام هنا صف ثاني سالب واحد

245
00:22:46,750 --> 00:22:51,510
وموجب واحد يبقى zero الصف الثاني في العمود التاني

246
00:22:51,510 --> 00:22:57,610
سالب اتنين وسالب أربعة يبقى سالب ستة بالشكل اللي

247
00:22:57,610 --> 00:23:03,690
عندنا دهبدي اضرب كل العناصر في سالب طول يبقى هذا

248
00:23:03,690 --> 00:23:08,970
بيعطيكوا جداش سالب واحد و هنا zero و هنا zero سالب

249
00:23:08,970 --> 00:23:14,230
مع سالب موجب و هنا باتنين اطلعلي عناصر القطرة

250
00:23:14,230 --> 00:23:18,810
رئيسي سالب واحد و اتنين هي قيم main ال eigen value

251
00:23:18,810 --> 00:23:23,970
المعنى هذا الكلام ان ال a is diagonalizable يبقى

252
00:23:23,970 --> 00:23:31,720
هناالـ A is diagonalizable

253
00:23:31,720 --> 00:23:34,040
وهو المطلوب

254
00:24:01,920 --> 00:24:11,060
ناخد الملاحظة هذه remark it

255
00:24:11,060 --> 00:24:22,540
should be noted that it should be noted that يجب

256
00:24:22,540 --> 00:24:29,060
ملاحظة ان not every square matrix not every

257
00:24:32,360 --> 00:24:45,100
square matrix مش كل مصوفة مربعة is similar to

258
00:24:45,100 --> 00:24:51,880
a diagonal matrix

259
00:24:51,880 --> 00:24:58,860
because السبب

260
00:25:01,690 --> 00:25:11,770
بسبب ان ليس كل مقاطع كل مقاطعة

261
00:25:11,770 --> 00:25:19,870
لديها

262
00:25:19,870 --> 00:25:26,650
مقاطعة كاملة كمقاطعة

263
00:25:26,650 --> 00:25:26,650
كاملة

264
00:25:31,150 --> 00:25:38,230
complicit of eigenvectors

265
00:25:38,230 --> 00:25:41,450
example

266
00:25:41,450 --> 00:25:48,430
is

267
00:25:48,430 --> 00:25:57,750
the matrix A تساوي

268
00:25:58,890 --> 00:26:07,490
ايتنين تلاتة زيرو اتنين Similar to

269
00:26:07,490 --> 00:26:10,890
a diagonal matrix

270
00:26:36,780 --> 00:27:04,360
العمود هذا لازم خلاص خلي

271
00:27:04,360 --> 00:27:10,490
بالكمالملاحظة اللى كتبناها المثال اللى جاب لو كان

272
00:27:10,490 --> 00:27:13,810
هنا مصحوف مربع نظام اتنين في اتنين لقناها

273
00:27:13,810 --> 00:27:18,010
diagonalizable لما نسأل هل المصحوف دي

274
00:27:18,010 --> 00:27:22,370
diagonalizable ولا لا انا بفهم منها شغلتين الشغل

275
00:27:22,370 --> 00:27:26,130
الاولى قد تكون diagonalizable وقد لا تكون

276
00:27:26,130 --> 00:27:31,060
diagonalizableإذا ما بنقدر نقول مش كل مصفوفة

277
00:27:31,060 --> 00:27:36,100
similar to اي مصفوفة أخرى ليس بالضرورة أو بمعنى

278
00:27:36,100 --> 00:27:41,760
أخر مش كل مصفوفة بتكون diagonalizable طيب كيه بدنا

279
00:27:41,760 --> 00:27:46,300
نثبت صحة هذا الكلام أو كيه بدنا نبين هذا الكلام؟

280
00:27:46,300 --> 00:27:49,120
إيش بقولي هنا في الملاحظة دي؟

281
00:27:57,900 --> 00:28:07,700
مش كل مصفوفة مربعة مشكلة مش كل مصفوفة

282
00:28:07,700 --> 00:28:11,600
مربعة مشكلة

283
00:28:11,600 --> 00:28:12,280
مش كل

284
00:28:14,720 --> 00:28:18,640
square matrix المصحوفة مربعية و complete set of

285
00:28:18,640 --> 00:28:24,120
eigenvalues تعالى نترجم هذا الكلام على أرض الواقع

286
00:28:24,120 --> 00:28:27,100
المعطيني المصحوفة وجالى يشوف لي هل هذه

287
00:28:27,100 --> 00:28:32,180
diagonalizable ولا not diagonalizable إذا بدي أمشي

288
00:28:32,180 --> 00:28:35,940
مثل ما مشيت في المثال اللى طوى شوف حالي إلى وين

289
00:28:35,940 --> 00:28:41,280
بدي أوصل هل بقدر أكمل ولا بقدرش أكملوإذا ماقدرش

290
00:28:41,280 --> 00:28:45,360
أكمل إيش الشيء اللي خلاني ماقدرش أكمل الحكي تبعي

291
00:28:45,360 --> 00:28:52,280
بقوله بسيطة إذا أنا بدي أبدأ ب lambda I ناقص ال a

292
00:28:52,280 --> 00:29:02,480
يبقى اللي هي mean lambda 00 lambda ناقص ال a 2302

293
00:29:02,480 --> 00:29:10,830
ويساويهنا لاندا ناقص اتنين وهنا ناقص ثلاثة و zero

294
00:29:10,830 --> 00:29:16,590
كزي ما هو وهنا لاندا ناقص اتنين بشكل اللي عندنا

295
00:29:16,590 --> 00:29:25,080
هذابدى اخد المحدد يبقى determinant لlanda i ناقص

296
00:29:25,080 --> 00:29:32,580
ال a ويسوى المحدد landa ناقص اتنين ناقص ثلاثة zero

297
00:29:32,580 --> 00:29:39,270
landa ناقص اتنينيبقى هذا lambda ناقص اتنين لكل

298
00:29:39,270 --> 00:29:45,470
تربيع ناقص ال zero هذا الكلام بده يساوي zero يبقى

299
00:29:45,470 --> 00:29:51,210
هذا معناه ان ال lambda ناقص اتنين لكل تربيع يساوي

300
00:29:51,210 --> 00:29:56,410
zero هذه معادلة من اي درجة من درجة ان يبقى لها كم

301
00:29:56,410 --> 00:30:00,890
حل حلين يبقى هذه المعادلة لك الحلان

302
00:30:05,540 --> 00:30:12,540
يبقى هذا الكلام بناء عليه ان لاندا واحد تساوي

303
00:30:12,540 --> 00:30:19,850
لاندا اتنين تساوي اتنينبناء عليه سأحصل على

304
00:30:19,850 --> 00:30:27,190
الـEigenvectors المناظرة لمن؟ لـLanda تساوي اتنين

305
00:30:27,190 --> 00:30:32,930
يبقى باجي بقول هنا لو أخدنا لاندا واحد تساوي اتنين

306
00:30:32,930 --> 00:30:40,090
تمام؟ بدي أروح أخد من؟ لاندا I ناقص الـA في الـX

307
00:30:40,090 --> 00:30:47,130
كل هذا الكلام بدي يساوي Zero هذا بدي يعطينالاندا

308
00:30:47,130 --> 00:30:52,150
اي ناقص ليها هذه المصوفة هشيل لاندا هذه و اكتب

309
00:30:52,150 --> 00:30:58,540
مكانها جداشو اكتب مكانها اتنين بيصير هايها هاي

310
00:30:58,540 --> 00:31:02,240
لاندا ناقص اتنين ولا شي تقولي من وين اجت و هنا

311
00:31:02,240 --> 00:31:10,760
ناقص تلاتة و هنا zero و هنا لاندا ناقص اتنين و هاد

312
00:31:10,760 --> 00:31:16,820
ال X واحد X اتنين بدها ساوي zero و zero بالشكل

313
00:31:16,820 --> 00:31:21,810
اللي عندنا هنايبقى لما لاندا تساوي اتنين بيصير

314
00:31:21,810 --> 00:31:26,970
المصفوفة لانها تبقى كم؟ Zero وهذه سالب تلاتة وهذه

315
00:31:26,970 --> 00:31:33,690
Zero وهذه Zero في X واحد X اتنين بده يساوي Zero و

316
00:31:33,690 --> 00:31:39,730
Zero يبقى الصف الأول في العمود الأول بيعطينا مين؟

317
00:31:39,730 --> 00:31:45,130
بيعطينا سالب تلاتة X اتنين يساوي Zero في غير هي

318
00:31:45,130 --> 00:31:51,940
كده؟ما اعطانيش الا معادلة واحدة بمجهول واحد كل

319
00:31:51,940 --> 00:31:57,060
اللي بقدر اقوله من هذه المعادلة ان ال X2 بده ساوي

320
00:31:57,060 --> 00:32:05,550
قداش طب و ال X1 اي رقم؟ مين مكان يكونيبقى باجي

321
00:32:05,550 --> 00:32:14,170
بقوله and اكس اتنين بده يسوي ال a say مثلا يعني اه

322
00:32:14,170 --> 00:32:17,270
وقع كيف؟ بسمع

323
00:32:19,810 --> 00:32:31,730
يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1

324
00:32:31,730 --> 00:32:40,890
يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1

325
00:32:40,890 --> 00:32:43,450
يبقى X1 يبقى

326
00:32:46,580 --> 00:32:55,980
تو لاندا واحد يساوي اتنين are in the form على

327
00:32:55,980 --> 00:33:04,040
الشكل التالي X واحد X اتنين يساوي X واحد اللي هو ب

328
00:33:04,040 --> 00:33:09,700
A و X اتنين اللي هو بقداش ب Zero اللي يساوي A في

329
00:33:09,700 --> 00:33:14,260
واحد Zero طب

330
00:33:14,260 --> 00:33:21,480
لاندا مكررةيبقى التانية زيها صح ولا لأ يبقى also

331
00:33:21,480 --> 00:33:28,240
the eigenvectors

332
00:33:28,240 --> 00:33:35,900
corresponding to

333
00:33:35,900 --> 00:33:45,480
land اتنين تساوي اتنين are in the four

334
00:33:47,770 --> 00:33:54,870
يبقى أصبحت على الشكل التالي اللي هو بي مثلا لكن هي

335
00:33:54,870 --> 00:34:00,370
هي نفسها ماتغيرتش يبقى ليس بي وإنما ايه في واحد

336
00:34:00,370 --> 00:34:01,070
زيرو

337
00:34:04,190 --> 00:34:09,650
طيب تعالى نشوف في هذه الحالة شو شكل المصوفة K

338
00:34:09,650 --> 00:34:14,310
المصوفة K بحط فيها ال Eigen vectors مظبوطة ولا لأ

339
00:34:14,310 --> 00:34:24,210
يبقى بناء عليه المصوفة K بدها تساوي 1010

340
00:34:24,210 --> 00:34:26,070
تمام

341
00:34:28,060 --> 00:34:32,700
لو رجعنا ل a similar to b يقولنا if there exists a

342
00:34:32,700 --> 00:34:38,620
non singular matrix K such that تمام؟ بدنا نشوف هل

343
00:34:38,620 --> 00:34:42,220
هذه singular ولا non singular

344
00:34:44,480 --> 00:34:49,600
يبقى احنا بنات هنا طلعنا المصوفة K تبعت ال

345
00:34:49,600 --> 00:34:54,480
eigenvectors على الشكل اللي عندنا هذا جينا اخدنا

346
00:34:54,480 --> 00:34:59,300
المحدد اللي لها وجينا المحدد اللي يساوي مين؟ Zero

347
00:34:59,300 --> 00:35:03,780
مدام المحدد Zero يعني ال K inverse does not exist

348
00:35:03,780 --> 00:35:09,760
لأن المصوفة اللي لها ماكوس هي المصوفة اللي محددها

349
00:35:09,760 --> 00:35:15,700
لا يساوي Zero تمام؟يساوي زي رويب جهدي مش موجودة،

350
00:35:15,700 --> 00:35:20,980
مدن مش موجودة، إذا لا يمكن تبقى المصوفة similar to

351
00:35:20,980 --> 00:35:24,560
a diagonal matrix أو المصوفة بقول عنها هي

352
00:35:24,560 --> 00:35:29,160
diagonalizable يعطيكوا العافية