بسم الله الرحمن الرحيم ننتقل الان الى section
تلاتة اتنين في ال derivative المرة اللى فاتت كنا
بناخد المشتقة عند نقطة واحدة فقط الان بدنا نعممها
عن جميع النقاط اللى الدالة معرفة عليها فباجي بقول
ال derivative as a function المشتقة كدالة يعني
المشتق ال function هذه بتطلع عندنا دالة جديدة
التعريف يقول معناه الـ derivative of the function
f of x with respect to x is the function f prime
of x يبقى المشتقة in general ليس عند نقطة وإنما
على كل ديمان تبع الدالة f بدي أسميه f prime of x
حيث ال f prime of x هي ال limit لما ال h بتروح ل
zero فال f of x زائد ال h تنقص ال f of x على h
المرة الماضية لما كنا بقول المشتقة عند نقطة بجينا
نقول f prime of
بشرط ان ال limit تبقى موجودةالـ domain للـ f' كون
صارت عندي function جديدة f' حصلنا عليها من هذه ال
limit إذا هذه الدالة جديدة لها domain، بدي أعرف شو
ال domain تبعها، فال domain تبع ال f' هو نفس ال
domain تبع الدالة f بس بدي أشيل منه النقاطاللي
بتخلّي ال limit هذه مالها does not exist يعني إذا
في إن عندي نقطة أو نقطتين أو تلاتة بيخلّي المشتقة
غير معرفة بدي أشيلهم من domain ده ال F وإذا مافيش
عندي ولا نقطة بيشيل domain ال F prime هو من؟
النقطة التالية لو كانت الدالة مشتقتها موجودة عند
النقطة X تساوي ايه يبقى بروح بقول ان ال F is
differentiable عند النقطة X يساوي ايه دي ايضا بال
F اختصار لكلمة differentiable
Differentiable قابل الاشتقاق بختصرها الى DIW يبقى
بقول ان الدالة قابل الاشتقاق عند النقطة X يساوي A
النقطة البعدة لو المشتقة تبع الدالة F exist عند كل
نقطة في دمينها يبقى بقول ان الدالة differentiable
على الدمين تبعها كلهبش بدنا نرمز المشتقة بأحد
الرموز التالية، يا إما f prime of x، يا إما dy على
dx، يا إما df على dx، يا إما dx لدالف، dx هذا يعني
d على dx، بعض الكتب تعطيها الرمز لأن هذا يا إما ال
y prime، لكن الرموز لدرجة
الرمز الأخر الرمز الأول الرمز التاني هذه هي الرموز
الدارجة في الغالب لكن لو فتحت أي كتاب كالقلص و
لاقيت الرمز هذا من حد ما تشوفه هذا رمز يدل المشتقة
الأولى لدالة Fطيب لو دي F على دي X بدي أحسبها عند
نقطة X يساوي A يبقى بيعطيها الرمز التالي F prime
of A يا إما دي F على دي X عند X يساوي A يا إما دي
Y على دي X عند X يساوي من؟ يساوي Aلأن النقطة
الأخيرة التعريف اللي فوق هذا بدي أعيد صياغته
بطريقة أخرى فبجي بقول هنا لو حطنا z تساوي x زائد h
في التعريف اللي فوق يبقى بدي أعرف التعريف اللي فوق
شو بدي يكون شكله نظرا لوجود ال H عندي من هنا بدي
أجيب ال H يبقى ال H هتساوي zنقص ال X يبقى ال H
تساوي Z نقص ال X وبالتالي التعريف اللي فوق هيأخد
الشكل التالي ال F prime of X يساوي limit ال H اللي
عندها ده بده يشيله ويحط متى ليه ال Z نقص X بده
يروح لوين ل Zero X زاد H اللي هي ب Z F of X زي ما
هي H اللي هي Z نقص ال Xيبقى التعريف اللى فوق هنا
هو نفس التعريف اللى تحته بس غير شكل مين الرموز او
بمعنى اخر هنا لو اضفت X للطرفين بصير ال Z بدأ تروح
لمين؟ لل X يبقى بصير التعريف ال F prime of X هو ال
limitلما Z بدأ تروح لل X لل F of Z ناقص ال F of X
على Z ناقص ال X يعني أصبح عندي شكلاني للتعريف هذا
هو الشكل الأول المشتقة عند أي نقطة وهذا كمان تعريف
المشتقة عند أي نقطة والاتنين هدول are equivalent
استخدم المناسب بالنسبة لك و كله هيعطيني نفس
النتيجة سواء استخدمت الصيغة اللى فوق او الصيغة
اللى تحت الاتنين are the same نبدأ ناخد اول مثال
من هذه الأمثلة كتطبيق على الكلام اللى احنا قلناه
هنابقول لو كانت ده ال F of X يساوي واحد ناقص X على
اتنين X بدنا نوجد شغل تاني بدنا نوجد المشتقة عند
اي لحظة او عند اي نقطة بعدين بدي اجيب المشتقة عند
X يساوي سالم واحدطيب يبقى انا بتروح هطبق التعريف
الأول على سبيل المثال طبعا هطبق مرة التعريف الأول
و مرة التعريف الثاني عشان نعرف كيف نستخدم هذا
التعريف يبقى لو بده اجي لل F prime of X هذا ال
limit لما ال H بده تروح لل zero لل F of X زائد ال
H نقص ال F of X على H يبقى ال limit لما ال H بده
تروح لل zero تمام؟يبقى بيقول F of X زائد H يبقى
بدي أشيل كل X هنا و أحط مكانها X زائد الـH يبقى
بيصير واحد ناقص X زائد الـH على الإتنين في X زائد
الـH ناقص F of X كما هيعلى اتنين X وكل هذا مقصوما
على مين؟ مقصوما على H يبقى هذا الكلام بده يساوي ال
limit لما ال H بدها تروح لل zeroبتوحد المقامات
لدالة اللي فوق، الاتنين مشترك في ما بينهما، ال X
مافيش غيرها، ال X زائد ال H مافيش غيرها، يبقى وحدة
المقامات بالنسبة للبسط، لو جسمت المقدار هذا على
المقدار هذا بيظل كدهش؟بيبقى X فقط لا غير يبقى هذا
عبارة عن X في واحد ناقص X ناقص H وصلنا للناقص اللي
عندنا هذه بدنا نجسم هذا المقدار على هذا بيبقى
لاندي قداش X زائد H مضربة في من؟ في الواحد ناقص X
يبقى قالة ال limit اللي عندي إلى الشكل التالي هي
limit لما ال H بدها تروح لل zero وهذا ال H وهذا 2X
هتنزل في المقام وهذا ال X زائد ال Hوالبسط بيصير x
ناقص x تربية ناقص hx فكيت الجوث الأول بدي افك
الجوث التاني يبقى هنا ناقص x ناقص فناقص بزايد x
تربية بعدها ناقص h ناقص فناقص بزايد hxهذا الكلام
بده يساوي limit لما ال H بدها تروح ل zero تعالى
هنا عندى اللي هو سالب X تربيه وموجب X تربيه مع
السلامة سالب H X وموجب H X موجب ال X وسالب X مع
السلامة لم يبقى عندى إلا من سالب H في البصد يبقى
هاي سالب Hالمقام H في 2X X زائد الـH نختصر الـH مع
الـH كذلك يبقى النتيجة limit لما الـH بدأ تروح
للـ0 ل-1 على 2X X زائد الـHبص مقدار ثابت يبقى
نهاية المقدار الثابت بالمقدار الثابت itself الان
هذا ليهاش X ليهاش دلع يبقى 2X اللي بين قوسين
polynomial من الدرجة الأولى يبقى تعويض مباشر عن H
ب0 يبقى لدي كده X يبقى النتيجة سالب 1 على 2X تربيع
هذا مقدار مشتقة الدلعيبقى ال F prime of X يبقى
يسوى واحد على اتنين X تربية طيب هذا اللي هو
المطلوب الأول كل اللي اشتغلنا من البداية هذا كان
نمرة A بداجي الألة نمرة B نمرة B قال يحسب لمقدار
هذه المشتقع ال main and سالب واحد إذا باجي بقوله F
prime of سالب واحد يسوىالمشتقة موجودة هي في prime
of X يساوي النتيجة هذه يبقى ما علي اللي أشيل ال X
و أحط مكانها سالب واحد يبقى ايه سالب واحد على
اتنين في سالب واحد تربيع يبقى الجواب قداش سالب نص
يبقى قيمة المشتقة عند السالب واحد تساوي قداش تساوي
سالب نصروح ناخد كمان مثال اخر مثال
رقم اتنين بيقول ف ال F of X يسوي جذر ال X
أول جدلنا اللي هو ال F prime of X and ال F prime
of 81
يبقى بدنا من؟ بدنا الـ F' of X والـ F' of 1.80
بقوله كويس يبقى بدنا نيجي نطبق التعريف تبع الـ F'
of X بعدين بقوله solution
حسب التعريف بدأ أزال كل X و أكتب مكانها X زائد H
في الدالة المعرفة يبقى الجذر التربيعي لل X زائد H
ناقص ال F of X اللي هو جذر ال X على H لما ال H بدأ
تروح لل Zeroتعويض المباشر هجيبلي Zero على Zero كون
عندي جذور اذا هروح عشان اضرب في المرافق يبقى هذا
الكلام لو ضربته بدي اضربه في جذر التربية ل X زائد
ال H زائد جذر ال X و اقسم على جذر ال X زائد ال H
زائد جذر ال X بالشكل اللي عندنا هذا
يبقى آلة المثل للشكل التالي f prime of x يسوى ال
limit لما ال h بدها تروح لمين لزرع ال bus هو الفرق
بين المربعين يبقى مربع الأولى ناقص مربع الثانية
مربع الأولى هو ال x زائد ال h ناقص ال x هذا اللي
هو ال bus على المقام h في الجدر التربية ل x زائد
ال hزائد جذر الـ X سالب H وموجة بـ H مع السلامة
يبقى ألت المسألة limit لما الـ H بدأ تروح للـ Zero
للـ H على H في الجذر التربية لـ X زائد الـ H زائد
جذر الـ X برضه الـ H مع الـ H اللي ساعد عليها يبقى
ألت إلى limitلما الـH بدها تروح لمين؟ للـ0
للـfunction اللي عندنا واحد على الجذر التربية لـX
زائد H زائد جذر الـX لما الـH بدها تروح لـ0 يبقى
الterm هذا بروح لوين؟ للـ0 يبقى واحد على جذر الـX
زائد جذر الـX يبقى واحد على مين؟ على الاتنين جذر
الـXطب ليش احنا جيبنا هذا السؤال؟ جيبناه متعمدين؟
ليش؟ بديك تعرف من الآن فصاعدا ان مشتقة جذر ال X هي
عبارة عن واحد على اتنين جذر ال X، من الآن فصاعدا،
اتنينلو كان الجذر هذا polynomial من الدرجة الأولى
ومعامل X هو الواحد الصحيح زي جذر X زي عشرة جذر X
ناقص خمسين شو مشتقته؟ برضه واحد على اتنين نفس
الجذر لكن لو كان المعامل تبع X فيه رقمطبق اللي
قعدت السلسلة لسه بدي اضرب في هذا الرقم يبقى انسى
لسه ماخدناش قاعدة السلسلة تمام او chain rule يبقى
احنا بس بنقولك لو كان عندك جدر والمعامل تبعك هو
الواحد الصحيح يبقى مشتقته واحد على اتنين الجدرإذا
بلزمش إنه نعمل خطوات هذه إنه نعمل خطوات حتى نصل
للقانون هذا لكن لو جابلك هذا السؤال في الامتحان
ماكنتش تشتغل الشغلات هذه مظبوط لكن هذا إذا كان
قالك بالتعريف لكن ماقالش لك التعريف تكتبوا أتنين
جدر ال X ليش؟ لأن جدر ال X هذي أصلا X أص نصمش تقتل
انا اخدها المرة الجاية نص اكس نص ناقص نص يعني واحد
ع اتنين جدر ال X مصبوح وبالتالي بصير القصة
retrieval بس لشان التعريف يبقى روحنا اشتغلنا ببين
بالتعريف المطلوب الثاني بدنا ال F prime of واحد و
تمانينيبقى هذا الكلام واحد على اتنين الجذر التربيه
الواحد والتمانين واحد على اتنين في تسعة يبقى جداش
واحد على تمانتاشر مقدار المشتقة الأولى نعطي كمان
مثال على التعريف الثاني او على استخدام التعريف
الثاني يبقى example تلاتة
أمثلة تلاتة بيقول use the formula
استخدم الصيغة اللي هي ال F prime of X يسوي ال
limit لما Z بدها تروح لل X لل F of Z ناقص ال F of
X على Z ناقص ال X to find لإيجاد
f prime of x for the function little for the
function f of x يساوي x تربية ناقص ثلاثة x زائد
أربعة زائد أربعة and find
يساوي اتنين
بقول استخدم الصيرة الثانية للتعريف to find المشتقة
الأولى للدالة f للدالة f of x ساوي x تربية ناقص 3x
زات 4 ومن ثم هات لمعادلة المماثل المنحنةعند النقطة
x سواء من اتنين يبقى هنا قيدني بمن بالتعريف الثاني
لو ما قيدنيش يبقى ايه للخيار يا بيستخدم الصيغة
الأولى يا بيستخدم من الصيغة الثانية سيان يبقى باجي
بقولهالـ f prime of x اللي هي عبارة عن main اللي
هو ال limit اللي جال عليها دي يبقى limit لما z بدأ
تروح لل x لل f of z ناقص ال f of x كله على z ناقص
ال xهذا الكلام بده يساوي ال limit لما Z بدها تروح
لل X F of Z معناته بده يجي على الدالة دي و استبدل
المتغير X بالمتغير Z يبقى بصير Z تربيعنقص تلاتة Z
زائد أربعة ناقص ال F of X الدالة كما هي X تربية
ناقص تلاتة X زائد أربعة كله على مين على Z ناقص ال
Xهذا الكلام بده يساوي ال f prime of x بده يساوي ال
limit لما z بدها تروح لل x ل z تربيع ناقص تلاتة z
زائد أربعةبدا افك الجوس اللى فوق يبقى ناقص X تربية
زائد تلاتة X ناقص أربعة على Z ناقص ال X زائد أربعة
وناقص أربعة مافيش غيرهم اكثر من هيك اختصارات
مباشرة ماعنديش لكن ممكن احنا نروح نخلق اختصارات
اخرى كيف؟طلعلي لـ Z تربية وناقص X تربية هذي بدأ
أخدهم مع بعض يبقى هذي بصير Z تربية ناقص X تربية
بضل عندى ناقص تلاتة Z وزائد تلاتة X يعني ممكن أخد
ناقص تلاتة عامل مشترك يبقى هذي ناقص تلاتة عامل
مشترك بضل عندى مين؟زد ناقص ال X يبقى زد ناقص ال X
كله على زد ناقص ال X هذا الكلام بده يساوي يبقى ال
F prime of X يساوي هذا بده يروح أحلله الفرق بين
المربعين يبقى هاي Zناقص x في z زائد x ناقص ثلاثة
في z ناقص x على z ناقص ال x
يساوي واضح ان Z ناقص X ممكن اخدها عامل مشترك من
الطرفين يبقى هذا Z ناقص X
زائد X ناقص ثلاثة كله على مين؟ على Z ناقص X وهذا
بدي أخدله ال limit لما Z بديها تروح لمين؟ لل Xيبقى
النتيجة هذا الجوز هيروح مع مين؟ مع المقام وتصفى ال
limit على الشكل التالي limit لما z بدها تروح لل x
ل z ناقص x ناقص تلاتة يبقى أصبحت ال f prime of x
يساويزد زائد ال X ناقص ثلاثة لما زد بدأ تروح لل X
يعني معناته بده يشيل كل زد ويعود معناه ب X ليش؟
لأن هذه دالة خطية يبقى بصير عندي X زائد ال X ناقص
ثلاثة يعني اتنين X ناقص ثلاثة هذه مشتقة تمين
الدالة اللي عنها طب المشتقة هذه عبارة عن إيش؟
السلوب ممتاز، السلوب تبع من؟ التانجنت عند أي لحظة
يبقى هذه في نفس الوقت بدها تساوي السلوب of the
tangent عند أي x في دمين الدالة اللي عندهاهو راح
ايش قال لي قال لي هاتلي ال tangent عند x يساوي
تمام عشان اجيب له المماس بدي x node و y node يعني
بدي احداثي نقطة يكمل هو ماعطاني x وماعطانيش mainY
أو ماعطانيش F أو V2 لذلك بروح أخدله من ال F أو V2
F أو V2 بترجح اتعود في الدلة الأصلية يبقى 2 تربية
ناقص 3 في 2 زائد 4 Y يساوي 8 ناقص 6 يساوي 2 يبقى
بناء عليه أصبحت the point ofTangency as X node وY
node بدها تساوي 2 و2 ال X بتنين طلعت Y بتنين كذلك
اذا باجي بقوله the equation of the tangent as ال Y
يساوي ال middleفي الـ X ناقص الـ X node زائد الـ Y
node إذا مشان أجيب معادلة المماس للمنحنة بدي
شغلتين بدي ميل الماس المماس للمنحنة اتنين بدي
إحداث نقطة واقع عليه إحداث النقطة موجودالمين المين
ممكن اجيبه من وين من هنا and ال f prime of اتنين
يساوي اتنين في اتنين ناقص تلاتة اللي هو قداش واحد
يبقى هذا ال slope of the tangent صار قداش صار واحد
يبقى بناء ان عليه بدي يصير y يساوي واحد في ال x
ناقص اتنين زائد
تعريف جديد يقول ما يأتي Definition
فترة مفتوحة على فترة
مفتوحة if it has a derivative
عند كل نقطة موجودة
في هذه الفترة
زي ما أخدنا الاشتراك على فترة مفتوحة، فبناخد
الاشتراك على فترة مغلقة يبقى definition the
function if is differentiable على الفترة المغلقة
if it
is differentiable onالفترة المفتوحة إذا كان
the limits إذا النهايات لإتنين limit لما ال H بدها
تروح ل Zero من جهة اليمين لل F of Zero زائد ال H
ناقص ال F of A زائد ال Hنقص الـ F of A كل هذا على
H and limit لما الـ H بدأ تروح للـ Zero من جهتي
الشماللماين؟ لل F of B زائد ال H ناقص ال F of B
كله على H ال two limits هذه بقول عنها معلها exists
خلّي بالك الـ two definitions الدفينيشن الأول
بتكلم على المشتقة على open interval الدفينيشن
التاني بتكلم على مشتقة على closed interval نجيب
الدفينيشن الأول الـ y تسوي f of x is
differentiable on an open interval if it has a
derivative إذا إلها مشتقة at each point of the
intervalعند كل نقطة من هذه الفترة.يعني بالداجة على
الفترة المفتوحة، لو كانت الدالة قابلة الاشتراك عند
كل نقطة من نقاط الفترة المفتوحة، بقول الدالة قابلة
الاشتراك على كل هذه الفترة.طب لو كانت الفترة
مغلقة،بدي أخد الفترة المفتوحة وبعدين أخد من طرفي
الانترول فبقى بقول الدالة if قابل اشتراك على
الفترة المغلقة اللي عندنا if it is differentiable
على الفترة a وbإذا كانت قابلة شقاق على الفترة
المفتوحة A وB وإذا كانت قابلة شقاق على الفترة
المفتوحة A وBيبقى انا بدي اذهب الى a من جهة اليمين
و بدي اذهب الى b من جهة اليسار
هذا بنسميه right hand derivative at
x يسوى a هذا بنسميه left hand derivative at
x يسوى bتمام؟يبقى إذا الـ right-handed derivative
و الـ left-handed derivative under peripheral
interval exist زائد الـ function قابل اشتراك على
كل الفترة المفتوحة يبقى في هذه الحالة بقول الدالة
قابلة للاشتراك على كل الفترة المغلقة اللي عندنا
طبعا الان بنأخد بعض الأمثلة على ذلك هذا التعريف
كيف نستخدمه؟مثال واحد مثال
واحد
مثال واحد
مثال واحد مثال واحد مثال واحد مثال واحد مثال واحد
قول X أم لا هذا السؤال هل
الدالة قابلة للاشتقاق لجميع قيم X لل absolute
value ولا لا؟
من سالب infinity إلى infinity فهو بيسأل هل الدالة
قابلة إشتقاق على كل ال domain تبعه يعني كل ال real
line ولا لأ؟ فنقول الله والله ما احنا عارفين، هو
بيسأل سواء احنا نقول له يا إما قابلة إشتقاق، يا
إما على الأقل بدي أجيبله نقطة دالة غير قابلة
لإشتقاق عندها وبالتالي الجواب أنها ليس قابلة
لإشتقاق for all x، يعني لو جبحالة واحدة الدالة غير
قابل الاشتقاق عندها بيكون اللي هو الدالة غير قابل
الاشتقاق على الفترة اللي عندنا يعني بكافة نجيب
counterexample واحد يعني مثال واحد يثبت أنها ليست
قابل الاشتقاق على كل الفترة اللي عندنا بيقولوا
ماشي هذا ال absolute valueممكن ارجع لتعريفة و اقول
هي x ناقص تلاتة بالشكل ان هذا العبارة عن جزء اين
الجزء الاول هو عبارة عن x ناقص تلاتة لما ال x اكبر
من او تسوى كدهتلاتة ولا Zero؟ تلاتة طيب يالله
تلاتة وهنا ناقص X ناقص تلاتة يعني تلاتة ناقص X لما
ال X مالها أقل من تلاتة تمام؟بدي بقوله والله كويس
اذا انا بدي اجي اخد f prime of x وين عندى التلاتة
تمام بس لما تبقى اكبر منى التلاتة يعنى كأنه انا
رايح لها التلاتة من وين من جهة اللى بدي اقوله f
primeمن جهة
اليمين يبقى هذا الكلام بيساوي ال limit لما ال H
بدها تروح ل zero من جهة اليمين بيجي للدالة اللي
عندنا هنا اللي هي عبارة عن مين ال Xزائد الـ H ناقص
التلاتة ناقص ال F والله اكتبها لك نظري وبعدين
بنعوض تعملاش تقولي كيف هاد يجي يبقى هادي بدنا
نقوله F of X naught زائد ال H ناقص ال F of X
naught على H بتاخد ال limit لما ال H بدها تروح ل
Zero من جهة اليمينيبقى هذه الـ limit لما الـ H
بدها تروح لـ 0 من جهة اليمين، مش لتلاتةاذا X راحت
لي تلاتة معناه ان H راحت لين لزيرو هاي المقصود
فيها يبقى الـH بتروح لي زيرو من جهة اليمين يبقى
بداجي لل X node X node عندي بقى درجة تلاتة يبقى
تلاتة زائد H ناقص تلاتة هاي الدالة الأولى ناقص F
of X nodeاللي هو تلاتة ناقص تلاتة كله هذا على مين؟
على H يبقى هذا الكلام بده يسوي ال limit لما ال H
بدها تروح لوين؟ ل Zero من جهة اليمين بيصير عندنا
مين؟ تلاتة و سالب تلاتة مع السلامة يبقى بضال قداش
عندنا H و هنا H و هذه كلها ب Zero اللي هو الجواب
قداش بده يعطينا واحد صحيحبتروح أخد المشتقة للدالة
من جهة مين؟ من جهة الشمال يعني هذا ال limit لما ال
H بدها تروح ل zero من جهة الشمال لل F of تلاتة
زائد ال H ناقص F of تلاتة على H يعني ال limit لما
ال H بدها تروح ل zero من جهة الشمال0 من جهة الشمال
يعني كأنه احنا رايحين ليه تلاتة من جهة من الشمال
يبقى تدالة تلاتة ناقص X يبقى بروح بقوله تلاتة ناقص
X زائد ال H ناقص تلاتة ناقص تلاتة كله على مين؟ على
H يبقى هذا الكلام بده يساوي ال limit لما ال H بده
تروح ل 0 من جهة الشماللمن؟ لتلاتة ناقص X ناقص H
لأن الـ X حطينها مدالها تلاتة عن الـ X non تمام؟
يبقى تلاتة ناقص ثلاثة ناقص ال H و هذه كما هي ناقص
ب Zero على مين؟ على H هذه هتروح مع هذه يبقى ال
limit لما ال H بتروح ل Zero من جهة الشمال لسلب H
على H اللي هو كده؟ سلب واحد يبقى إيش رأيك؟ المشتقة
موجودة؟يبقى بالصير عندنا if prime of تلاتة does
not existمش موجودة هذا يعني ان ال F is not
differentiable at X يساوي تلتة يعني الدالة غير
قابلة لاشتقاق عند X يساوي تلتة طيب سؤال لو روحنا و
قولنا هذا المحور هذا محور X وهذا Y وهذه أصلا
الدالة الهيمينabsolute value ل X عملنا لها shift
جهة اليمين بمقدار تلاتة يبقى صارت ال function
بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا absolute value ل X
ناقص تلاتة المشكلة وين؟المشكلة عندى التلاتة صارت،
عندى التلاتة الدالة غير قابلة للاشتقاء، طب هنا
الرسم هذه، إيش بنقول عن النقطة هذه بالنسبة للرسم؟
حرجة critical point ماشي موافقة حرجة لكن هل احنا
ايش بنقول طيب لما تلاقي شغلتين او لما تلاقي حيطة
من هنا او حيطة من هنا او حيطة من هنا او حيطة من
هنا او حيطة من هنا او حيطة من هنا او حيطة من هنا
او حيطة من هنا او حيطة من هنا او حيطة من هنا او
حيطة من هنا او حيطة من هنا او حيطة من هنا او حيطة
من هنا او حيطة من هنا او حيطة من هنا او حيطة من
هنا او حيطة من هنا او حيطة من هنا او حيطة من هنا
او حيطة من هنا او حيطة من هنا او حي
يبقى هذا اللي عندنا corner يبقى أول حالة من
الحالات اللي ده اللي عندها غير قابل الاشتقاق لو
كان عندي cornerالـ Limit من اليمين لا تساوي الـ
Limit من الشمال، لماذا؟ لأن المماس هنا للمنحنة هو
نفس المنحنة، بيعملني الزاوية حادة يبقى الظل موجب،
لكن الخط هذا بيعملني زاوية مالها منفرجة يبقى الظل،
بيعطيني قيمة سلم، يعني عندي التلاتة صار المياه
موجب وسلم في نفس اللحظة، بنفع هذا الكلام؟ بنفعك،
طب يوصلك كمان سؤالعند ال corner هنا كم مماسة بتقدر
ترسمها؟ كتير، مظبوط، ومن معنى هذا الكلام أن الدالة
غير قابلة للاشتقاء طيب، على أي حال سنرجع إلى هذه
الحالات بعد قليل، ولكن كل اللي بدياك تعرفه أن
الدالة هه، لو كان الرسم البياني في cornerيبقى
الدالة غير قابلة للاشتقاء عند هذا ال corner طيب فى
كمان سؤال مغلبني شوية هل ال absolute value لل X
ناقص ثلاثة دالة متصلة عندك تسوى تلاتة متصلة لكنها
يعني الاتصال بيعطينيش اشتقاقلو كانت الدالة متصلة
قد تكون قابلة للاشتراك وقد لا تكون مش مضمون السؤال
هو هل العكس صحيح و لا غير صحيح؟ يعني لو كانت
الدالة قابلة للاشتراك إذا هي بقى متصلة يبقى خليني
أحطها لك في صيغة ال remark التالية remark F
the function is differentiable then it is
continuous but
.. ولكن the converse
is not true always أو not true خلاصالعكس ليس
بالضرورة
صحيحا يبقى الدالة F لو كانت دالة قابلة لإشتقاق إذا
هي إجباري دالة متصلة لكن العكس the converse العكس
ليس صحيحا يعني لو كانت الدالة متصلة ليس بالضرورة
أن تكون قابلة لمين؟ قابلة للإشتقاق
ناخد كمان مثال example
let
ال F of X دي ساوي الجذر التربيه ل X ناقص سبعة
او ايش دولنا؟ نمرة A بدي domain ال F نمرة B بدي ال
F prime of X نمرة C بدي domain ال F prime solution
بدي احسبله domain الدالة F فبجي بقوله domain
الدالة F كل العناصر X بحيث N و اجتشد دالة هذه
معرفة إذا كل القيمة اللي تحت الجدر كانت سالبة يعني
مش صحيح كلامييبقى إذا كل القيمة اللي تحت الجدرد
كانت موجبة أو صفر يبقى إذا كان ال X نقل سبعة
greater than or equal to zero يعني هذه كل العناصر
X بحيث أن ال X greater than or equal to seven يعني
هذا الكلام closed interval من سبعة لغاية infinity
تمام؟طيب هذا كله نمرة A جيبنا domain الدالة، بدأ
أجي لنمرة B، نمرة B قاللي هاتلي المشتقة، أروح أبدأ
من جديد، والله جاهز هيعملها في المثال اللي جابلي
شوية، يبقى باجي بقوله from the
اللي قبل هذا from a previous
example من مثال سابق اللي
هو ال F prime of X يسوى واحد على اتنين الجذر
التربيهي ل X ناقص سبعةليش؟ لأن معامل X هو الواحد
الصحيح يبقى تفاضل الجدر واحد على اتنين الجدر بدنا
عشان نقعد نكرر ما كنا في المثال قبل السنة يبقى هذا
نمرا B نمرا C نمرا C قال هتلي domain ال F prime
يبقى domain ال F prime هو domain ال Fما هذا النقاط
اللي بتخليلي المشتقة غير معرفة، المشتقة غير معرفة
عند من؟ عند السبعة، لكن غير هيكغير السبعة معرفة،
يبقى باجي بقوله ال domain بتبع ال F prime هو عبارة
عن domain الدلة F، بدي أطرح منه فقط الرقم سبعة
الرقم سبعة ليش؟ لأن عند الرقم سبعة المشتقة
undefined غير معرفة يبقى هذا الكلام بده يساوي ال
interval من سبعة لغاية infinity بده أشيل منه الرقم
سبعة يبقى بده يعطيني ال open interval سبعة و
infinity
طيب بدنا نجي نشوف الأماكن اللي الدالة عندها تكون
غير قابلة للاشتقاء عندنا
أربعة أماكن على الرسم البياني للدالة الدالة عندها
تكون غير قابلة للاشتقاءماشي الحالات الأربعة بنقول
ما يأتي لو كان الرسم البياني فيه corner زي ما قلنا
توف المثال السابق تمام؟ الحال التاني لو كان في
عندي sharp turn رجوح حد بنسميه كسب يعني المنحلة
بيكون فيه زي رأس مدبّب الحالة التالتة واجتيشلو
عندي vertical tangent يبقى
الظل تبقى بقداش ب infinity يبقى الأصبع تتدلة غير
المشتقة غير معرفة الحالة الرابعة لو عندي
discontinuity
الاربعية هحطلك في صيغة ال remark التالية يبقى
remark the
function f of xis not
differentiable at a point x يساوي c in the
following cases
في الحالات التالية نمرة واحد if the graph اذا
الرسم البياني has a corner because
زي ما شوفنا في المثال السابق قبل قليل they one
sided derivative
differ
يعني بيختلف المشتقة من اليمين على المشتقة من
الشمال
The graph is الرسم البياني has a cusp كسب يعني
sharp turn رجوع
حاد للمنحنة الحالة التالتة
إذا كانت الكرافة لديها تجنب
رقمي مماسا رأسيا
إذا كانت الصورة مستمرة
يبقى فيها عندي أربع حالات الأربع حالات هدول بيكون
عندي المنحنة أو الدالة غير قابلة للاشتقاء معادلة
المنحنة بتبقى عندها غير قابلة للاشتقاء مين هي
الأماكن أو النقط اللي الدالة عندها بتكون غير قابلة
للاشتقاء حالة الأولىلو ال graph has a corner يبقى
فيه corner زي اللي توقف absolute value لمن؟ لل X
ناقص ثلاثة because the one sided derivative differ
لأن المشتقة من اليمين غير المشتقة من الشمال وهذه
الحالة أشرنا إليها قبل قليل يبقى هذا X، هذه Y، هذه
Zero، يبقى هنا هذا ما نسميه corner
بالتالي المشتقة من اليمين لأو المشتقة من اليمين
لاتساوى المشتقة من الشمال الحالة الأولى لو كان
عندي corner يبقى الدالة غير قابل اشتقاق الحالة
الثانية بيقول if the graph has a cusp رجوع حاد
للمنحنة طبعا احنا خدنا function قبل ذلك اللي هي ال
function التالي هذا Xوهذا Y فكانت رسمة الدالة
بتنزلك و بتطلع هيك عندي ال zero حد ماذا ذكرها يا
شهود؟ Y تسوى X أُص تلاتة على اتنين والله اتنين على
تلاتة2 ع 3 طولتين كويس يبقى هذي Y يساوي X أس
طولتين هذا A اللي هو كسب كسب يعني إيه؟ يعني لو جيت
مماس من اليمين و مماس من الشمال اتنين are
different اتنين لو بدي ارسم مماس عند هذه النقطة
برسم لنهاية من من المماسات ليس بالضرورة أن يكون
الرأس المدبب إلى أسفلممكن يكون الرأس مدبب إلى
أعلى، يعني لو جينا و قولنا هذه المحاور و قولنا هذا
محور X و هذا ممكن المنحنة يجي لكيك و يجي نازلك،
يبقى كمان هذا كاسبيبقى عند النقطة هذه ل X يساوي C
بيكون في عندي كاصمة يبقى هذا الشكل كذا سواء كان
الرأس المدبب إلى أسفل أو الرأس المدبب إلى أعلى طيب
الحالة التانية بقول تالتة بقول لو كان عندي
vertical tangentأظن المحاضرة الماضية أخدنا ال
vertical tangent و قلنا القوة ده مش موجود في الجزء
النظري لكن موجود في التمرين و كان عندنا دالة زي
من؟ زي الدالة هذي X و Y و المنحنة جينا رسمناها و
أجا نازل هيك بالشكل هذول هو من؟ Y تساوي X أسطلهذا
محور Y هذا vertical tangent
عند الـ Zero طبعا السؤال اللي أتناه كل مرة فتخلنا
فيه إزاحة جهة اليمين بمقدار واحد ممكن أجربلك ياه
شوية و أقولك هاي المحاول هذا محور X هذا محور Y
أجانبه انحنى هكذا وجهت عند النقطة دي بدي أرسم مماس
فكان المماس على الشكل التالي
يبقى هذا مين vertical tangent كمان هذا vertical
tangent تمام
يبقى عند x يساوي c الدالة كذلك غير قابلة للاشتقاء
الحالة الرابعة لو عندك discontinuity الدالة غير
متصلة عند هذا النقطة تقدر تلص مماس عندهافي المنحنة
توجد ثقوب في المنحنة يبقى لو جينا قولنا افترض عندك
اي منحنة بالشكل اللي عندنا هذا محور X و هذا محور Y
و اخترسمت المنحنة فكان المنحنة جاي بالشكل هذا و
عند X يساوي C في عند هنا اياش ثقب تقدر عند هذا
الثقب ترسم مماس يبعتلك الله لأن المماس بده احداث
نقطة عند هذه النقطة لا تقع على المنحنةإذا لن تصير
أنت رسم ماسك وبالتالي لا يمكن أن يكون في عندك هنا
الدالة قابلة لا continuity ولا differentiability
لكن اتطلع في الحالات اللي عندنا هذه كلها، الدالة
متصلة، لكنها غير قابلة للاشتقاء، لكن في الحالة
الأخيرة، لا دالة متصلة ولا حتى قابلة للاشتقاء، ما
علينا، يبقى هدول الأربع حالات بتكون ملم فيهم تماما
عند الـ Cusp أو الـ Corner تقدر ترسم مالا نهاية من
المماسات عند الـ Discontinuity ماقدرش ارسم ولا
مماس على الإطلاق طيب نبدأ نأيجي ناخد بعض الأمثلة
أول مثال example بيقول
ما يأتي example oneبيقولي show that
the function بييلي ان الدالة f of xيساوي أحد أمرين
يا إما ال X تربيع في sign واحد على X لما ال X لا
تساوي Zero يا إما Zero لما ال X تساوي Zero is
differentiable
at X يساوي Zero andفاين f prime of zero
السؤال اللى قدامنا بيقول يبين لإن هذه الدالة قابلة
للاشتقاء قويا عند X يساوي Zero وبيجيب قداش قيمة
هذه المشتقة بيقول له بسيطة احنا عندنا ال F prime
of Zeroبتجيب المشتقة عند الصفر يبقى هذه بدها تساوي
limit لما ال H بدها تروح لل zero لل F of zero زائد
ال H ناقص F of zero على H يبقى هذه المشتقة عند
الصفر يبقى بدها تجيب ال F prime of zeroأشوف هل هي
exist و الله ماهياش exist إذا طلعت does not exist
يبقى خلاص ال F prime زيرون لا يمكن نجدها و إذا
طلعت مانا مانت الدالة قابلة الاشتقاق عند زيرون و
قيمتها القيمة لمن اللي بتطلع بقوله كويس يبقى هذه
ال limit لما ال H بدها تروح لزيرونبتداجي للدالة
بدي أشيل كل X و أكتب بدلها من Zero زائد H يبقى هاي
Zero زائد H لكل تربيع Sine واحد على Zero زائد ال H
ناقص F of Zero قيمة الدالة عند Zero بجداش ب Zero
كل هذا الكلام مقسوم على جداش على Hيبقى هذا بده
يساوي ال limit لما ال H بدها تروح لل zero لل H
تربيع في ال sign واحد على H كله مقسوم العالمين على
H والباقي كله طار طبعا في اختصارات عندنا وبتالي ال
limitلما الـ H بدها تروح لـ 0 للـ H في الـ sign 1
على H أظن هذه حسبناها قبل ذلك بدل المرة مرتين يبقى
النتيجة تساوي 0 وهذا previous example
مثال سابق معناته اللي limit هذه exist وتساوي zero
يبقى
الـ F is differentiable at X يساوي Zero and ال F
prime of Zero بده يساوي قداش بده يساوي Zero طيب
هذا مثال بسيط و مباشر نعطيكم مثال و نشوف شو رأيكم
فيه يبقى example to
بقول ما يأتي for what values
of a and b will the function
f of xيساوي أحد أمرين يا إما اللي هو AX لما ال X
أقل من اتنين يا إما AX تربيةنقص بـ x زائد تلاتة
لما الـ x greater than or equal to two ماله هذا ب
differentiable at x يساوي اتنين
سؤال مرة تانية بقول لي ما هي القيم التي تأخذها كل
من أو كل من a و b بحيث ال function هذا تبقى قابل
للاشتقاق عند x يساوي اتنين هذا النوع من المسائل مر
علينا قبل ذلك مرتين مرة في ال limit و مرة في ال
continuityفي ال derivative و كله في كل الأمور
بيقول هاتلي قيمة الثابت ايه تمام؟ يبقى ادير بالك
من الحكاية هذا بدك تكون دقيق لانه لا يكاد يخلو
ممكن يجيك على ال limit ممكن يجيك على ال continuity
ممكن يجيك على ال differentiability وقد قتينا بهذه
النوعية من الأسئلة قبل ذلك عدة مراتيبقى السؤال
بيقول بدي قيم ايه و بيه بحيث الدالة تبقى ايه قعب
الاشتقاء قعب الاشتقاء معناته المشتقة من اليمين بدت
سوى المشتقة من اللي يشمل عند x يسوى من الاتنين
تمام يبقى بدي اخد اول حاجة if ال x اقل من الاتنين
يبقى بدنا نروح نحسب المشتقة عندي اتنين بس من وين؟
اقل من اتنين اقل من اتنين يبقى من وين؟ من جهة
اليسار يبقى ال limit لما ال H بدها تروح ل zero من
وين؟ من جهة اليسار اقل من اتنين يبقى هاي ال
functionيبقى بدنا نيجي ناخد F of 2 زائد H يبقى A
في 2 زائد ال H ناقص ال A في 2 كله على H يبقى هذه
تساوي ال F prime من جهة الشمال عند 2 تساويLimit
لما الـ H بدها تروح لـ 0 من جهة الشمال لـ 2A زائد
الـ A H ناقص 2A كله على مين على الـ H؟ هذه وهذه مع
بعضها الـ H مع الـ H يبقى نتيجة كده بدها تساوي فقط
لغية يبقى هذا المشتقة من جهة الشمالزي ما جيبنا
المشتقة من جهة الشمال بدنا نجيب المشتقة من وين؟ من
جهة اليمين يبقى ال limit لما ال H بدها تروح لل
zero من جهة اليمين تمام؟ ال zero من جهة اليمين
معناته X أكبر من الأتنين يبقى هاي الدالة اللي
عندنا يبقى بده أشيل كل X و أكتب مكانها 2 زائد H
يبقى a في اتنين زائد h لكل تربيع ناقص بيه في
الاتنين زائد h زائد تلاتة ناقصهذه كلها F of A زائد
H ناقص F of اتنين يبقى ناقص A في اتنين ترابية ناقص
B في اتنين زائد تلاتة وهيقفلنا ال course وكل هذا
مقسوم العالمين على H يبقى النتيجة limitلما ال H
بدها تروح ل zero من جهة اليمين يبقى هذا الترم شباب
يبقى هذا اتنين في اتنين باربعة A زائد اربعة H في A
يبقى زائد اربعة H زائد H تربية في A يبقى زائد A H
تربية
ناقص اتنين B ناقص H في B زائد تلاتةنجي للقصة
التانية ناقص أربعة A زائد اتنين B ناقص ثلاثة كل
هذا الكلام مقسوما على H مين اللي بيسأله؟ ايه؟ هذا
الطواريب الباشر. ليه؟ يقول A اتنين زائد H ناقص A
تبين T. هذا الأولى؟
الـF prime عند الـA limit لما الـH بتروح لـ0 للـF
of A زائد الـH ناقص الـF of A على H كيف؟
هو اللي فوق هي
ماختلفناش مش احنا جزئين الان رايحين لاتنين من جهة
الشمال يعني هذه مش موجودة عني مش موجودة هنا اللي
فوق، مظبوط ولا لا؟ يبقى انا بشتغل على اللي فوق
دونها، هي اجي الدور على اللي مين، على اللي تحت،
اصحت خربط من الشجتات، انا قلتك رايح لاتنين من جهة
الشمال، اخدت ال F Prime من جهة الشمال، تمام؟طيب
نجي نكمل هنا كل علاج نجي نختصر أظن الأربعة ا
والسالب أربعة ا مع السلامة عندك هنا سالبي
اتنين بيه وزيدي اتنين بيهموجة بتلاتة و سالب تلاتة
يبقى هذا كله راح كل مافيش غير كده تمام؟ يبقى هذا
الكلام بده يساوي ال limit لما ال H بده يروح ل zero
من جهة اليمين بده ياخد H عام المشترك بيبقى عندي 4A
زيد A H ناقص Bكل هذا الكلام على مين؟ على H يبقى
بتروح الـH هذه مع الـH هذه يبقى ال limit لما الـH
بدها تروح للـ0 من جهتي اليمين للـ4A زائد A H ناقص
B لما الـH بدها تروح للـ0 هذا ال term كله بيروح
بجداش بـ0 بظل الناتج 4A ناقص Bجلد دالة قابلة
للاشتقاق عندي اتنين إذا ما دام دالة قابلة للاشتقاق
عندي اتنين بدأ يكون المشتقة من اليمين تساوي
المشتقة من أين؟ من الشمال يبقى
باجي بقوله since بما أن يعني ال F isdifferentiable
at x يساوي اتنين we have ان المشتقة من الشمال
للاتنينبدي يساوي المشتقة من اليمين للإتنين هذا
معناه إيش؟ معناه إن الـA اللي طلعناها في الأول بدي
يساوي أربعة A ناقص الـB هذا معناه إن B يساوي تلاتة
A من اللي بيسأل؟
خدنا ال term الأول و التاني ال term التاني يا
راجل أخدنا اللي فوق لحالها و أخدنا اللي تحت لحالها
جزئين مظبوط و هنا اشتغل نفس الشغل
يعني لما جيت اشتغلت في اللي فوق مثلا جيبت الدال
اللي تحته و حاطيتها مع اللي فوق طلع
فيها كويس
طيب ليش استغلت التنتين في أن عندنا نفس النقطة؟
لأنه الاتنين ملتجيات على نفس النقطة، النقطة موجودة
على المنحنات والله
هو صح يا راجل، عشان امتحان فيزيا، عشان امتحان
فيزيا، خلّي بالك، خلّي بالك و صح صح، كويسطيب، على
أي حال، أنا عندي هذه معادلة في كام مجهول؟ فيه
مجهولين، بدي كمان معادلة تانية مش هنقدر أحلها،
أيوة، قول اذا
قابل الاشتقاق، يجب أن تكون متصلة، مظبوط
طب جالا ليه؟ يعني
لو أخدنا اتصاله فقط، بيكون حالينا المشكلة؟ طب أنا
الحين ما هو اللي ضايل علينا، إيش بيستخدم قرار
سياسي الاتصال؟ بس إنت إستعجلت، لو صبرتك دقيقتين،
فانتهت الشغل هذه، شوف ال CDالان انا من الاشتقاق
جبت معادلة بمجهولين تمام؟ اذا بدي كمان معادلة مش
هنجب احل المثل او المعادلة بتربط المجهولين ايضا
فماعنديش الا مين الا ال continuity لهذه الدالة
فباجي بقوله since بما انالـ F is differentiable at
X يساوى اتنين نحن لدينا ان ال F is continuous at X
يساوى اتنين مش امكانية كويس يبقى بده أروح أجيب له
F of اتنينخاصية الاتصال قيمة الدالة عند نقطة يساوي
نهاية الدالة عند نفس النقطة
زائد تلاتة تمام طب هدى قداش تساوي بيب تلاتة ايه
اذا بقدر اقول هدى تساوي اربعة ايه ناقص اتنين في
تلاتة ايه زائد تلاتة مظبوط هيك يبقى شلت البي وحطيت
بدالها اللى هو تلاتة ايه من فوقيبقى هذا بده يسمى
قداش اللي هو أربعة إيه ناقص ستة إيه زي التلاتة
يعني بيبقى القداش ناقص اتنين إيه زي التلاتةهذا
قيمة الدالة عند اتنين بدي اروح اجيب limit لل
function يبقى انا بدي limit لل F of X لما ال X بدي
اروح لل اتنين على سبيل المثال من جهة الشمال لأن من
جهة اليمين هتعطيني النتيجة هذهمظبوط ولا لأ؟ و
كونها continuous يبقى ال limit من اليمين بدها تسوي
ال limit من الشمال يبقى بتكفيني بس ال limit من
الشمال من جهة الشمال للدالة يبقى هاي ال limit لما
ال X بده يروح للاتنين من جهة الشمال اتنين من جهة
الشمال يبقى Xبالعكس من الدرجة الأولى يجب التعويض
مباشر يبقى هذا بتعطيك اتنين ايه الان since بما ان
ال F is continuous at X يساوي اتنين we have إذا
القيمتين هدول لازم مالهم يساووا بعضيبقى بدى يصير
نقص اتنين ا زائد تلاتة بدها تساوي لاتنين ايه تمام
يبقى بناء عليه الأربعة ايه بدها تساوي تلاتة يبقى
ال ايه بدى يساوي قداش تلات تربع and
الـ B يساوي تلاتة في تلت اربع يعني ان الـ B يساوي
تسعة اربع يبقى لو كانت الـ A بتلت اربع و الـ B
بتلت تسعة اربع بصير الدالة قابلة للاشتقاق عن
الاتنينوبالتالي بيصير continuous عند وين؟ عند
الاتنين أيضا لحد هنا انتهى هذا ال section ويلايكم
أرقام
المسائل exercises تلاتة اتنين يبقى exercises تلاتة
اتنين المسائل التالية
من واحد لغاية واحد و تلاتين القد وبنضيف عليهم سبعة
و تلاتين و تسعة و تلاتين واتنين واربعين وتلاتة
واربعينوخمسة واربعين وسبعة واربعين وتسعة واربعين
وتلاتة وخمسين واربعة وخمسين وخمسة وخمسين وتمانية
وخمسين
المرة القادمة ان شاء الله بنبدأ في قواعد الاشتقاق
اللي انتم استعجلين عليها