بسم الله الرحمن الرحيم الحمد لله رب العالمين
والصلاة والسلام على سيد المرسلين سيدنا محمد على
آله وصحبه أجمعين هذه هي المحاضرة الرابعة في مساق
قياضيات منفصلة لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية
كلية ال IT قسم الحوسبة المتنقلة المحاضرة اليوم هي
المحاضرة الأولى أيضا في chapter 4 وهو المعنون ب
number theory and cryptography اللي هي بنقصد فيها
نظرية الأعداد والتشفير والتشفير هو عبارة عن تطبيق
على نظرية الأعداد. ال section الأول اللي هنتحدث عنه
اليوم اللي هو divisibility and modular arithmetic
اللي هو شو معناه القسمة أو قابلية القسمة وحنشوف
دالتين واحدة دالة اسمها المد وواحدة دالة اسمها
div ونشوف إيش اللي بنقصد فيهم. الآن نحكي أول شيء عن
ال division. الآن ال division اللي هي القسمة نشوف
شو معناه ال a divides b؟ إيش معناه أنه عدد يقسم
عدد آخر اسمه b؟ طبعا حديثنا كله بيصب في اللي هو في
ال integers يعني احنا كل الأعداد اللي بنتناولها
اليوم هي عبارة عن أعداد صحيحة. الآن بنقول if a and b
are integers يعني لو كان عندي a و b عبارة عن أعداد
صحيحة with a لا تساوي صفر. مدام قال with a لا تساوي
صفر شكلنا هنقسم على a لأن القسمة على a مرفوضة فعشان
هيك مفترضين أن a لا تساوي صفر. الآن بيقول then a
divides b يعني بيقول أن a تقسم b. شو معنى a تقسم b؟
اللي هو if there exists an integer c such that ال
b بتساوي ال a في c. في هذه الحالة بيقول a divides b.
يعني إكترنا نكتب b على صورة a في integer آخر أو
في عدد صحيح آخر. زي ما نقول ستة بتساوي اثنين في ثلاثة.
فبتكون الاثنين تقسم من الستة. يعني بمعنى آخر a
divides b اللي هو a is a factor of b يعني a عامل
من عوامل b أو divisor of b أو قاسم من قواسم الـ b.
إذا لما نقول a divides b بنقصد أنه a عامل من عوامل
b وبنقصد a قاسم من قواسم الـ b أو بنقصد b عبارة عن
من مضاعفات الـ a. يعني b is multiple of a. كل
التعبير الثلاثة دول a قاسم من قاسم الـ b أو a عامل
من عوامل الـ b أو b من مضاعفات الـ a كلها المقصود
فيها أن a divides b. ما هي الـ notation تبعتها؟ نقول
a divides b وهي a وهي عصره بينهم b. شكل العصره هي
شبه عمودية يعني a divides b denotes that a divides
b أو a تقسم b. الآن قلنا أن a تقسم b معناه أن ال
a عامل من عامل b. يعني لو جينا قسمنا ال b على ال a
هتطلع integer. يعني الآن لما نقول a تقسم b بنعني أنه
على طول العدد b على العدد a. فده معناه يعني بيقول لك
b على العدد a هيطلع إيش مالو؟ انتجر زي ما هنا هاي مش
هاد معناه a تقسم b. يعني الآن b على a هتطلع ال c
يعني integer. إذا من الآن وطالع مجرد نقول a تقسم b
معناه ال b على ال a هو عبارة عن عدد صحيح. طب لو
بدنا نقول a does not divide b نرمز بالرمزية ده a
وهي الشحطة الأولى وهي فجهها شحطة ثانية. يعني a does
not divide b يعني a لا تقسم ال b. ناخذ أمثلة عددية
الآن المثال الأول determine whether الثلاثة بتقسم
السبعة و whether الثلاثة بتقسم 11. لإن احنا
على طول الحد ما نشوف على طول الثلاثة ما بتقسمش السبعة
ليش؟ لأن السبعة على الثلاثة مش عدد صحيح. إذا الثلاثة
does not divide بيه. إذا أكيد ال solution هنقوله
الثلاثة لا تقسم السبعة because اللي هو السبعة على
الثلاثة ليست عدد صحيح. لأن ثلاثة بتقسم 12. كلكم قلتم
هل جيت 12 على ثلاثة؟ أربعة. يعني الثلاثة لازم تقسم من
12. إذا أكيد ثلاثة بتقسم 12 لأن 12 على ثلاثة هي عبارة
عن إيش؟ طلعت الأربعة. أو بمعنى آخر 12 بتساوي 3 في 4.
زي ما عملنا في ال a ال b بتساوي a في c. إذا الثلاثة
تقسم من 12. إذا الكلام سهل. طيب نيجي لخواص ال
divisibility أو خواص قابلية ال a أو خواص القسمة.
نشوف. اللي قال لو كان عند a وb وc عبارة عن integers
أعداد صحيحة والـ a لا تساوي صفر لأن شكل اللي هنقسم
على الـ a عشان يجي الـ a لا تساوي الصفر. الآن بقول
لي لو a بتجسم الـ b والـ a بتجسم ال c أكيد ال a
هتجسم ال b زائد ال c. كلام منطقي. خد مثلا اثنين
بتجسم الستة واثنين بتجسم العشرة. إذا اثنين بتجسم
الستة زائد العشرة اللي هي الستة عشر. أكيد اثنين بتجسم
الستة عشر. إذا دائما ال a بتجسم ال b و ال a بتجسم ال
c. هذول بخزن المعلومة بتعطينا أن ال a بتجسم ال b
زائد ال c. هنروح لبعد من هيك بعد شوية. الآن a بتجسم ال
b. أكيد ال a هتجسم ال b في خمسة وال b في ستة وال
b في سبعة وال b في ثمانية. يعني أكيد ال a بتجسم ال
b في c لكل integer c. 100 مثال نستطيع أن نقولها. يعني
اثنين بتقسم الستة أكيد اثنين بتقسم الستة في ثلاثة
اللي هي 18. اثنين بتقسم الستة في خمسة في 30.
اثنين بتقسم الستة في مليون. إذا اثنين هتقسم ال b في
c اللي هو في حال اثنين بتقسم ال b. الآن الخاصية هذه
الثالثة اللي بنسميها خاصية التعدي. ال a بتجسم ال b
و ال b بتجسم ال c. مع بعض هدول لازم يعطلنا ال a
بتجسم ال c. هذا الكلام سهل برضه لإن ال a بتجسم ال
... خلنا نقول ال 2 بتجسم ال 6 وال 6 بتجسم ال 24.
إذا أكيد ال 2 بتجسم ال 24. الثلاثة بتجسم الستة
والستة بتجسم ال 18. إذا الثلاثة بتجسم من
ال 18. إذا خاصية التعدي متحققة أيضا. لأن نتيجة
للنظرية اللي فوق اللي هو طبعا هذه كان البرهان
المطلوب لكن احنا لسبب الظروف الآن أعطيناكم إياها
بدون برهان وهنا حكينا أمثلة عددية عليها. المهم نفهم
إيش اللي هو الخاصية دي. نيجي لل Corollary أو النتيجة
لل theorem اللي عندنا. بقول لو كان a و b و c عبارة
عن أعداد صحيحة وال a لا تساوي c يعني if a and b
and c are integers وال a لا تساوي صفر such that
ال a divides ال b وال a divides ال c يعني ال a
بتقسم ال b وال a بتقسم ال c. إذا الـ a هتقسم مش بس
الـ b زائد الـ c لأ هتقسم أي linear combination
بينهم. يعني هندمج هذه وهذه مع بعض ونحصل أن الـ a
بتقسم الـ b m زائد الـ c n لكل m و n. إيش ال linear
combination هذا؟ بنسميه ال b m زائد ال c n عبارة عن
linear combination بين الـ b ومين؟ والـ c. إذا
بنقول ما يلي يا جماعة إنه لو الـ a بتقسم الـ b و
الـ a بتقسم الـ c حيكون عند الـ a بتقسم أي linear
combination b m زائد مين؟ c m where m and n
integers. يعني ناخذ مثال عند الـ 3 بتقسم 12 والـ 3
بتقسم الـ 15. أكيد الـ 3 بتقسم 12 في m زائد 15 في n
لكل ال integers m و n. أنت جرب حط أي integers بيجي
على بالك m و n هتلاقي الثلاثة بتجسم 12 m زائد 15
m. ناخذ مثلا
الثلاثة بتجسم 78. أكيد لأن الثمانية
و7 و15 وجرب أعداد زي ما بدك هتلاقي مدام
الثلاثة بتجسم 12 والثلاثة بتجسم 15
الثلاثة هتجسم أي linear combination بين 12
و15. إيش linear combination يعني؟ 12 في m
زائد 15 في m لكل integers m. طيب الآن نيجي ل
division algorithm أو اللي بنسميها خوارزمية القسمة.
خوارزمية القسمة مش غريبة علينا بنعرفها بنعرفها من
و احنا صغار. الآن لو قلت لك قسم لي العشرة على الخمسة
هتقول لي العشرة على الخمسة بيساوي اثنين. بقول لك في متبقي
قسم هتقول لي لا. يعني وكأنه العشرة لما قسمناها على خمسة
طلعت ناتج قسمة اثنين ولا يوجد متبقي قسمة يعني
متبقي القسمة صفر. لكن لو قلت لك قسم 11 على خمسة على
خمسة هتقول 11 على خمسة بيساوي اثنين وبيزيد واحد.
هذا الواحد هو متبقي القسمة والاثنين هي ناتج القسمة.
هذا اللي بتقوله بالظبط ال division algorithm. when
an integer is divided by a positive integer there
is a quotient and remainder يعني في ذاتها قسمة وفي
متبقي قسمة لما نقسم اللي هو العدد على positive number
دي اللي هو مقسوم عليه this is traditionally called
the division algorithm أو خوارزمية القسمة وخلّينا
نشوف إيش خوارزمية القسمة أو نظرية الخوارزمية
القسمة بتقول بقى يعني صلوا على النبي عليه الصلاة
والسلام if a is an integer and d is a positive
integer يعني a أي انتجر سالم موجبة بالإبداكية حتى
لو كان صفر مش فارغة هقلناه و ال d positive integer
أكبر من صفر لما نقسم ال a على ال d هيطلع ناتج قسمة
بدي أسميه Q والمتبقي اللي هو بدي أسميه R بعد ذلك
يوجد
ناتج قسمة واحد Q ومتبقي واحد R بحيث أن R أكبر أو يساوي صفر
وصغر من D دائماً عندما تقسم ال A على ال D يعني
11 على خمسة و تقول 11 على خمسة بيطلع اثنين و بضال
واحد الواحد هذا سبناه ليش سبناه لأنه أصلاً هو أكبر أو
يساوي صفر و أصغر من المقسوم عليه اللي هي الخمسة
فدائماً ال remainder بيكون أكبر أو يساوي صفر و أصغر
من المقسوم عليه ال D إذاً لما نقعد نقسم ال A على ال
D بيطلع لنا ناتج قسمة اسمه Q وفيه remainder اسمه R
عشان هيك بنقول A بتساوي D في Q زائد R زي ما قولنا
ل 11 بساوي ال 5 في 2 ب 10 زائد ال 1 ال 1 هو ال
remainder وال 2 هو ناتج القسمة هو الخمسة اللي
قسمنا عليها إذاً الآن الـ A بيتساوى DQ زائد الـ R حيث
الـ A هو المقسوم والـ D المقسوم عليه والـ Q ناتج
القسمة والـ R هو المتبقي D is called the divisor
الآن المقسوم عليه A is called the dividend اللي هو
المقسوم و Q is called the quotient ناتج القسمة و R
is called the remainder من هذا الحديث الآن بدنا
نستقي مع بعض دالتين نعرفن كما يلي definitions of
functions واحدة اسمها div واحدة اسمها mod بدنا
نصطلح مع بعض شو معناه أن احنا بنقول ايه div دي
اللي بنقصد فيها أنه لما جينا قسمنا ال a على ال d
طلع عندي ناتج قسمة ناتج القسمة هذا اللي بتسميه a
ضاض d بقصد فيه ناتج قسمة a على d هذا ناتج القسمة
طيب أهم ال d إيش بقصد فيه هو المتبقي من ناتج قسمة a
على d إذا a ضاض d مقصود فيه لما أقسم a على d
بيطلع اللي هي ناتج القسمة لما أقسم الـ a على d
بيطلع عندي remainder فبقصد ال a mod ال d هو عبارة
عن مين المتبقي أو ال remainder اتفقنا علينا دول
الدالتين يللا خلينا نشوف أمثلة عددية طيب احنا نشوف
أمثلة عددية المثال العددي لل division algorithm هو ما
يعني what are the quotient and remainder when 101
is divided by 11 بنشوف إيش اللي هو الناتج القسمة
ومتبقي القسمة لما نقسم 101 على 11 أكيد كلكم كان
101 على 11 في 99 و بيظهر بينهم قد إيش بزيادة 2 فاكيد
اللي هو هيكون عندي 101 بيساوي 11 اللي هو ضرب تسعة
زائد اثنين تسعة هذا هو ناتج القسمة والاثنين هو
متبقي القسمة عشان هيك بنكتبهم بالطريقة اللي اتفقنا
عليها قبل شوية اللي هو بيصير عندي اللي هو عندي
المتبقي القسمة اللي هو 2 فبنكتب 101 mod 11 بما أن في
متبقي القسمة لما نقسم 101 ل 11 بيطلع 2 وبنكتب 101
mod 11 معناته الدالة هذه بتعني أنه لما نقسم 101
ل 11 بيكون ناتج القسمة 100 اللي هو 9 زي ما شفنا
اللي عاملينه احنا هنا في ال division
السؤال الثاني هو what are the quotient and
remainder when -11 is divided by 3 ناقص 11 ناقص 11 ناقص
11 ناقص 11 ناقص
11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص
11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 ناقص 11 في هذه الحالة
بيصير ناقص 11 بيساوي ثلاثة في ناقص أربعة زائد واحد
لما نقسم الناقص ماحدش يقول ناقص ثلاثة لأنه بيصير
ثلاثة في ناقص ثلاثة بيساوي ناقص تسعة ناقص تسعة
بيصير ناقص أحد عشر بيساوي ناقص تسعة ناقص اثنين و ال
remainder لازم المتبقي يكون إيه شماله أكبر من صفر
و أصغر من ثلاثة لأن احنا لما نقدر نقسم أي عدد على
ال remainder بيطلع أنه عدد صحيح لو زاد عن اللي هو
.. لو ال remainder طلع بالسالب لأ احنا ما بنقبلش
بنوحد الكلام كله مع بعض كلنا نقسم زي بعض و طلعنا
remainder زي بعض و ناتج قسمنا زي بعض عشان هيك
بنطلب ال remainder يكون بين الصفر و بين الثلاثة زي
ما كنا نعمل زمان في قسمة الأعداد الصحيحة على بعض
الآن هذا بيصير ناقص 11 بيساوي ثلاثة في ناقص 4 زائد من
1 الآن هذا اللي هو الواحد هو عبارة عن ال remainder
عشان هيك بنقول الواحد اللي هو بيساوي ناقص أحد عشر mod
ثلاثة نقول إن دالة المد هذه تعني قسمة ناقص أحد عشر ع
ثلاثة بيطلع متبقي القسمة بيساوي واحد يعني هذه تدل
على متبقي القسمة الآن اللي هو ناقص 11 ضاض 3 تعني
اللي هو ناتج قسمة ناقص 11 على 3 اللي هو إيش طلع
عندي ناقص 4 و هيك بنوجد اللي هو ناتج القسمة و
بنوجد مين اللي هو متبقي القسمة الآن إن دخلنا على
حاجة اسمها ال congruence relation أو اللي هي علاقة
التطابق الآن إيش اللي بنقصد فيها علاقة التطابق؟
خلينا نشوف إيش اللي هو تعريف علاقة التطابق دي، إيش
معناه الـcongruence؟ لو كان عندي A وB عبارة عن
أعداد صحيحة integers and M is a positive integer
والـ M إيش ماله؟ عدد صحيح موجب بنقول أن a is
congruent to b modulo m يعني a تطابق b modulo m
يعني a تطابق b اللي هو بالنسبة للمقياس m إذا حققت
مالي ال m تقسم ال b ناقص a أو تقسم ال a ناقص b
في هذه الحالة بنقول a تطابق ال b modulo m وبنرمز
لها بالرمز اللي عندي a is congruent to B modulo M
نعني بها أن M تقسم اللي هو ال A ناقص B تقسم ال A
ناقص B هذا معناه أن A تطابق ال B modulo M الآن
هذه على بعضها بنسميها is a congruence أو بنسميها
تطابقة و ال M هو ال modulus أو هو مقياس التطابق
بنسميه الآن اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي
اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي اللي
يكون المتطابقتين إذا كان ال a و ال b
اللي هي نفس ال remainder لو قسمناها على ال m يعني
لو قسمنا ال b على ال m هنلاقي اللي هو ناتج القسمة
b على m R1 و ناتج قسمة a على m R2 في حالة ما يكون
المتطابقتين لازم ال R1 إيش يساوي R2 عشان هيك two
integers are congruent modulo m if and only if they
have the same remainder when divided by m
لو كانت ال a لا تطابق ال b بنرمز ال a لا تطابق ال b
modulo m وهذا ماذا بتحدث؟ بتحدث لما نلاقي ال m لا
تقسم ال a ناقص b أو لما نلاقي ال remainder لل b
لما نقسمها على m يختلف عن ال remainder لل a لما
نقسمها على m طيب خلينا نشوف احنا مثال أو
أمثلة عددية نشوف المثال العددي بيقول determine
whether ال 17 is congruent to 5 ولا لأ أو بعدين
modulo 6 طبعاً and whether ال 24 and ال 14 are
congruent modulo 6 الآن بده يشوف السبعة عشر والخمسة
هل المتطابقتين modulo 6 قلنا أحد أمرين ابني جي
بنقول السبعة عشر ناقص خمسة بيطلع اثنا عشر الستة بتقسم
إذن إذا السبعة عشر بتقسم الخمسة modulo 6 الآن طريقة
أخرى اللي هي أنه بنجيب نجسم السبعة عشر على الستة
المتبقي جدّيش خمسة هو نفس المتبقي لما الخمسة نجسمها
على الستة لأن المتبقي بيطلع خمسة ونتج القسم صفر
طبيعي إذن الآن السبعة عشر تطابق خمسة modulo ستة لأن أحد
سببين يا إما الستة بتقسم حاصل طرحين يا إما هذا لما
نقسم على هذا وهذا لما نقسم على هذا بيعطي نفس
النتيجة نفس اللي هو ال remainder طيب الآن يجي نحكم
على مين؟ على الرابعة والعشرين والرابعة عشر هل congruent
modulo ستة ولا لأ؟ أكيد كلكم قالوا الرابعة والعشرون نقص
الرابعة عشر بتساوي عشرة الستة بتقسمش العشرة إذن
الرابعة والعشرون لا تطابق الرابعة عشر modulo ستة أو
مقياس ستة الآن لو أحد قال لا ما هو أنا بتطلع لها
نظرة أخرى الرابعة والعشرون لو جسمناها على الستة بتطلع
ال remainder صفر لأنه تقبل القسمة عليها لكن الرابعة
عشر لما نجسمها على الستة بتطلع عندي remainder
اثنين إذن ال remainder هنا وال remainder هنا
مختلفات إذن they are not Congruent أحد الأمرين اللي
بتشتغلوه هو صحيح ندى الآن نشوف أخذنا شغلتين الآن
أخذنا اللي هو إيه؟ تطابق الـ P modulo M اللي هو و
الـ a mod m بتساوي b بدنا نشوف العلاقة the
relation between أو the relationship between mod m
and mod m notations يعني هذه اللي بالغامق هذه اللي
بنقصد فيها دالة a mod m اللي هي نقصدنا فيها دالة
لما عرفنا هي وال dive الآن a تطابق b mod m اللي
هي علاقة بين اللي هي integers a و b قلنا إيش هذا
بتعني؟ بتعني أن a تطابق b modulo m اللي هي معناتها
أن m بتجسم ال a minus b أو بمعنى آخر قلنا معناتها
أن المتبقي القسمة من a على m هو نفس متبقي القسمة
من b على m بينما هذه يا جماعة اللي بتعني a mod m
أنه لما نجسم ال a على m متبقي القسمة بساوي b ماشي
إذن لما نقول a mod m بساوي b يعني متبقي قسمة a على
m بساوي b أما هنا a تطابق b mod m أنه متبقي القسمة
a على m هو نفسه متبقي القسمة b لما نقسمه على m الآن
هذا الكلام حكيته أنا it وطبق me the relation on
the six integers هذه علاقة على الستة integers بينما
هذه عبارة عن دالة اتفاقنا عليها اللي هي the
notation denotes the function أو a function
العلاقة بين التنتين الآن هنشوف that the
relationship between these two is made clear in
this theorem هتكون واضحة من خلال هذه النظرية اللي
أمامنا شوفوا يا جماعة صلى الله عليه الصلاة والسلام
لو كان عندي a و b integers و m positive integers
احنا ال a تطابق b modulo m هي تكافئ تماما يعني if
and only if هذه على بعضها هذه تكافئ تماما أن نقول
a mod m بساوي b mod m لأن بي mod ام إيش بتعني؟ أن متبقي
قسمة ال b على m يساوي متبقي قسمة ال a على m لأن
هذه بتعني متبقي قسمة ال a على m وهذه بتعني متبقي
قسمة ال b على m هذه معناتها مساواة يعني متبقي
قسمة هذه على هذه بساوي متبقي قسمة هذه على هذه هو
بالضبط هذا اللي هو A تطابق B mod M يعني متطابق قسمة
A على M اللي هو نفسه متطابق قسمة B على M وكأنه هذا
التعبير هو هذا التعبير ولكن بصورة أخرى ماشي الحال؟
طيب الآن إذا هذا بكافة اللي هو هذه الكلمتين بخزن
هذول اللي عندنا أو كافاته خلينا نشوف مثال الآن الـ
31 و 351 متطابقتين ليش؟ لأن 351 ناقص 31 تطلع 320
العشرة بتجسمها إذن فعلاً متطابقتين بالنسبة للمقياس
عشرة الآن طيب الآن إني جيت نشوف اللي هو ال .. ال ..
ال .. نظرة أخرى لهذه أن هذا وهذول اللي هي نفس ال
remainder لما نجسمها للعشرة هذا هو الآن 31 لما
تجسمها على عشرة بيطلع متبقي واحد 351 لما تجسمها
على عشرة بيطلع متبقي واحد إذن هذا بيساوي هذا يعني
اللي هي التطابقات وبالمناسبة التطابقات اللي هو
موضوع ال congruences هذه هي أصلاً لودادتنا أو
خلينا نقول اللي بتعلمنا كيف أو قدام هنعرف أنظمة
العد من خلالها نظام العد الثاني نظام العد الثلاثي
الرباعي الخماسي العشاري اللي بنتعامل فيه أو الست عشري
أو الثمانية اللي بدنا إياه اللي هو النظام العد اللي
هو اللي بتبع من المقياس يعني مقياس عشرة بنصير مجول
عن نظام العد العشاري مقياس اثنين بنصير مجول عن
نظام العد الاثنين وهكذا وإن شاء الله هنجيه قدام
الآن بيكون هيك احنا خلصنا اللي هو اللي بدنا إياه في
هذا ال section وعندي ال homework التالي بدنا إياه
تجيبوليه ببعتلكم عن واتس بظبط إيش اللي بدنا إياه الآن
السؤال الأول بيقول لي 31 تطابق ماذا modulo سبعة هل
بالطابق الخامسة، بالطابق ال 211؟ يمكن الطابق
واحدة، اثنتين، ثلاث، كل واحدة من هناك تشوف مين
بالطابق ال 31 modulo السبعة وتحط اللي تحتها خط
وتقول لي ليش بالطابقها والثاني لماذا بالطبق عشرة؟
find اللي هو عشرة ضايف ثلاثة عشر ضايف ثلاثة قد إيش
قيمته 101 ضايف ثلاثة وعشرين برضه نفس الشيء وبعدين
أوجد عشرة modulo ثلاثة الآخر هذول إيجاد زي ما شرحنا
قبل شوية الآن question الثالث which of the
following divides the positive integer a؟ يعني
عندي في positive integer a مين من هذول divides
which of the following divides the positive
integer a إيه أو خلينا نقول which of the following
أو a divides which of the following a divides
which of the following يعني مش هنا اللي بدنا نوجد
منه هل ال a بتجسم هذول ولا لأ؟ a بتجسم مين منهم بدك
تحددها وهيك بكون خلصنا ال section الأول وإلى
لقاء آخر والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته