موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نكمل ما ابتدأنا به في المرة
الماضية المرة الماضية بدأنا بالinfinite series
وأخذنا فيها الgeometric series ثم بعد ذلك انتقلنا
إلى اختبار الحد النوني في الgeometric series قلنا
الseries هذه ممكن تكون converge فقط إذا كان ال
absolute value للratio التابعة لها أقل من واحد صحيح
يعني إذا كانت محصورة بين واحد وسالب واحد وبتبقى
diverge إذا absolute value للR أكبر من أو يساوي
واحد صحيح ثم انتقلنا إلى أول اختبار من الاختبارات
الستة اللي من خلالهم بنبدأ نحكم على series هل هي
converge أو diverge وأخذنا أول اختبار المرة الماضية
اللي هو اختبار الحد النوني
بنجي على الحد النوني في الseries وبناخد له ال
limit، إذا والله كانت الlimit لا تساوي zero أو
infinity على كل الأمرين، بنقول إن الseries هذه
مالها، diverged فقط، لا غير. الاختبار الحد النوني
يقيس الdivergence للseries ولا يقيس ال
convergence إذا مشان يشوف الseries هذه هي
divergent ولا لا بروح باخد limit للحد النوني إذا
الlimit كانت تساوي أي رقم ما عدا الصفر أو كانت ال
limit تساوي الinfinity
أخذنا على ذلك المرة الماضية مثالا واحدا وهذا هو
المثال رقم اثنين إذا بدنا نشوف هذي الseries هل هي
converge ولا diverge إذا بتروح تأخذ limit للحد
النوني لهذه الseries إذا بدي آخذ limitللـ A N
لما الN tends to infinity يبقى limit لما الN
tends to infinity لـ 2 to the power N زائد 4 to the
power N على 3 to the power N زائد 4 to the power N
التعويض المباشر حيجيب للبسط بالإنفينيتي والمقام
بالإنفينيتي تمام؟ يبقى بناء عليه مهما نشتاق، لا
يمكن أن ينتهي البسط أو المقام، ولا واحد فيهم
بينتهي، إذن مش هنخلص من هالشغل هذه إذا ما نلجأ
للطريقة الثانية لحساب الlimits إذا كانت النتيجة
infinity على infinity وهي أن نقسم كل من البسط و
المقام على x المرفوعة لأكبر أس في المقام وفي
المقابل هنقسم كل من البسط والمقام على أكبر قيمة
موجودة في المقام. مين اللي أكبر؟ 4 أس N ولا
3 أس N؟ 4 أس N إذا مدى نقسم كل من البسط
والمقام على 4 أس N إذا لو جينا جسمنا هتأخذ
الشكل التالي limit لما N تبدأ تروح لـ infinity
لـ 2 على 4 كله to the power N زائد 1
على 3 على 4 كله to the power N زائد 1
الكل اللي بين قوسين هذا كسر أقل من الواحد الصحيح
يبقى الlimit إيه لما الN تبدأ تروح لماله ليه
يساوي zero من الجدول النقطة رقم 4 في الجدول ال
limits الستة يبقى هذا بيروح بـ zero وهذا بيلحق بـ
zero بيظهر الناتج كده والواحد ماله ليه يساوي zero
بروح بقوله by the end
وانتهينا من المثال
سؤال رقم 3 بيقول لي summation من N equal one
to infinity لل N plus one على الجذر التربيعي لـ 4
N تربيع زائد 3
بنروح ناخذ limit للـ a n لما الـ n tends to infinity
يساوي limit لما الـ n tends to infinity للـ n plus
one على الجذر التربيعي لـ 4 n تربيع زائد
3
طلعنا في المقدار اللي عندنا هنا التعويض المباشر
بيجيب لـ infinity على infinity يبقى يا إما لوبيتال rule يا إما الطريقة اللي تبعناها فوق وهي إنه نقسم
كل من الnumerator و المقام على n المرفوع لأكبر أس
في المقام. أكبر n مرفوعة للأس في المقام اللي هي جذر
n تربيع لكن n تربيع تحت الجذر يبقى هذي في الحقيقة
جذرها بيكون n يبقى بنقسم كل من الnumerator والمقام على n
يبقى بناء عليه هذا بدي يعطينا الlimit لما الـ n
tends to infinity للواحد زائد واحد على n على هذه
اللي بدك تسميها على n تدخل n تحت الجذر التربيعي
لما تدخل n تحت الجذر التربيعي بيصير الجذر
التربيعي لـ 4 زائد 3 على n تربيع لأن n لما
ندخله تحت الجذر بيصير n تربيع بيصير عندنا 4 n
تربيع على n تربيع اللي يبقى 4 3 على n
تربيع كما هي الآن الlimit هندخله لكل من الnumerator و
المقام لو دخلت على الnumerator فنهاية المقدار الثابت
بالمقدار الثابت نفسه وهذا بجد يروح لـ zero وهذا على
جذر الـ 4 اللي هو بقداش بـ 2 وهذا بـ zero يبقى
الجواب يساوي نصف لا يساوي zero فبروح بقول هنا by the
interim test the series اللي هي مين؟ اللي هي
summation لل N plus one على الsquare root لل
4 N تربيع زائد 3 من N equal one to
infinity by their وانتهينا من المثال هذا السؤال
الرابع. عندنا summation من N equal one to infinity
لل N على N ناقص 1 كله to the power N يبدأ
بأننا نروح ناخذ limit لما الـ N tends to infinity
لل N على N ناقص 1 كله to the power N لو جينا
عوّضنا تعويضا مباشرا فصير infinity على infinity وكل
نقص infinity هذا الشيء أنا ما أعرفه لكن تقدر تكتب
المسألة بشكل آخر لو جينا جسمنا أو كتبنا المسألة
بشكل آخر بصير limit لما N بدها تروح إلى infinity
تمام؟ أيوة
ماشي ما نسيناش شيء صار infinity أس infinity على
infinity أس infinity لم نأتِ من نتيجة هذا
لما ناخذ ln للطرفين لكن هنا عندنا حل بدون واخذ ln
أنا بلجأ لل ln عندما تتعقد الأمور
من كل من الnumerator و المقام، الnumerator جاهز يبقى باخد N
عامل مشترك من المقام أو بيقسم كل من الnumerator و المقام
على N تمام؟ يعني كأنه بدأ حط الكسر في شكل جديد، 1
على N ناقص 1 على N نفس الكسر اللي فوق، مظبوط؟ إذًا
هذا بدي يساوي الlimit لـ 1 على N جسمنا عليه 1
ناقص 1 على N كله to the power N، الشكل اللي
عندنا هذا يعني N مع N راحة بقي عندنا 1 على 1
ناقص 1 على N بالشكل اللي عندنا هذا فهذا الكلام
بدي يساوي 1 على قداش المقدار هذا من الجدول يبقى
هذا رقم 5 اللي هو قداش e والسالب 1 يبقى e
والسالب 1 اللي تساوي e لا تساوي zero يبقى حد
نهاية بالله هتمر شغلات عليك كثير بالشكل هذا وجبت لك
سؤال زيها في الsequences مثال اللي كان 3 e
زاد واحد على 3 e ناقص 1 كله to the power
نفس المفهوم مضبوط تمامًا يبقى باجي بقوله by the
infirm test the series summation
لمين n equal one
سؤال الخامس. سؤال الخامس بيقول لي summation من n
equal zero to infinity لل e to the power N على e
to the power N زائد ال m وبدنا نروح ناخذ الlimit
لما الـ n tends to infinity لل a n يبقى ده limit
لما الـ n tends to infinity لل e أس n على ال e أس n
زائد m لو جينا عوّضنا تعويضا مباشرا هيعطينا
infinity على infinity يبقى ممكن مشتقة البسط على
مشتقة المقام أو نجسم زي اللي قبل خلينا نجرب نشتق
يبقى أي limit لما ال n tends to infinity مشتقة ال e
بننزل بال e بننزل e في مشتقة اللي جنبها بقداش. لو
عوّضنا تعويضا مباشرا بيعطينا infinity على infinity
بنجيب الrule كمان مرة limit لما ال n tends to
infinity مشتقة الexponential كما هي ال
exponential كما هي مشتقة ال 1 بـ zero يبقى هنا
لو اختصرنا هذه مع هذه كده بيبقى ال 1 ماله ليه
يساوي zero بروح أقوله buy the infirm
test the series
اللي هي ال summation من N equal 0 to infinity لل E
N على U S N زائد N by virtue في السؤال
السادس بسمع واحد بيقول فيش واحدة convergeيقول لك
يمكن لكن احنا ال N ثانوي يقيص التباعد ولا يقيص
التقارب ممكن الاختبار يفشل و تطلع ال conversion
الله أعلم شو بعرفنا لما نشوف خد كالمثال اللي هو
مثال 6 بيقول summation من N equal one to infinity
لإن ال N على N زائد واحد بنروح ناخد limit لهذا
المقدار يبقى لو جينا أخدنا limit لما ال N tends to
infinity لإن ال N على N زائد واحد
معها Vip تصريح تدخل تحت الجذور وداخل الأقواس وما
إلى ذلك يبقى هذا يبدو يسوى ال lim ل limit N على N
زائد واحد لما ال N tends to infinity يساوي ال lim
تعاود المباشر بيجيب ل infinity على infinity يبقى
مشتقة ال بسط على مشتقة المقام بجداجلأن الواحد يبقى
كم؟ Zero طيب Zero إذا ال series converged مش
عارفين المرة اللي فاتة حاطيناك نظرية بقولك لو كانت
converged يبقى ال limit يساوي Zero طب لو كان ال
limit يساوي Zero الله أعلم قد تكون converged و قد
تكون divergent يبقى في هذه الحالة اختبار لحد انه
ماله بيفشلهيبقى هذا بدي يعطيلك the nth term test
fails يبقى فشل طب مادام فشل كيبقى كي تسوي؟ دبر
حالك
يبقى برنا نروح نبحث عن طريقة أخرى للحكم على هذه ال
series هل هي converge او divergeولكن summation من
n equal one to infinity لإن ال n على n زائد واحد
يساوي summation من n equal one to infinity بدي
أحاول أكتب المثل هذه بصيغة أخرى إذا بقدر أقول هذه
لإن البسط ناقص لإن المقام شكله أنانيطب التعويض
المباشر لو أخدت limitاش بيطيني infinity سالب
infinity باعرفهاش هذي باكن هو اتحول الى infinity
على infinity او zero على zero طب ما هي كانت محولة
و جاهزة من الأول و فشل طب عشان نسوي ندبر حركة نرجع
لنفس ال sectionلما هذا الاختبار فشل رجعنا لمين؟ لأ
البداية كوننا sequence of partial sums ومن خلالها
قدرنا نحكم على مين على ال series بقوله كويس اذا
انا بدي ارجع لمين ل sequence of partial sums
مابديش اكونها من جديد مابدي اخد الحد نوني دغري
فبجي بقوله ذا in the term of the sequence of
partial
نبدأ باستخدام الرمز SN يبقى
لن الواحد ناقص لن اتنين لن اتنين ناقص لن تلاتة لن
تلاتة ناقص لن اربعة زاد ونظل ماشي لغاية ما نوصل
الحد النوني اللي هو لنلن ان ناقص لن ان زائد واحد
هذا شكل الحد النوني
طيب يبقى بناء عليه ال S N يساوي سالب لن اتنين
وموجب لن اتنين سالب لن تلاتة وموجب لن تلاتة سالب
لن اربعة وموجب لن اربعة سالب لن ال N وموجب لن ال N
مع السلامة اشرا يقول ان الواحد بجدي اشرا اذا انقلت
المسألة الى سالب لن ال N زائد واحد بنروح ناخد limit
للحد النوني في ال sequence لما ال N tends to
infinity يبقى هذا الكلام limit لمين؟ لسالب لإن ال
N زائد واحد لما ال N tends to infinity
معنى هذا الكلام ان ال sequence of partial sumsاللي
هي مين؟ على الشكل سالب لن ال N زائد واحد مالها
Diverge مدام Diverge هذا بده يعطينا مين؟ انه the
series اللي هي summation لن
ال N على N زائد واحد من N equal one to infinity
diverge وانتهينا من هذه المسألة اذا
اعطيناك الان بدل المثال ستة على كيفية تطبيق ال
nth term test
لازال في ال section بعض المعلومات البسيطة اول
معلومة عبارة عن نظرية theorem النظرية بتقول ما
يأتي FSummation على AN بده يساوي ال A and
summation على B ان بده يساوي ال B are convergent
Series متسلسلتين تقاربيتين then نمرة واحد اللي هو
summation على a n زائد او ناقص b n بيسوي summation
على a n زائد او ناقص summation على b n يبقى a زائد
او ناقص بي هذه is convergent يبقى هذه بتكون
تقاربية نمر اتنين if K is a non zero
constant is a non-zero constant then
summation ل K في ال A N و اللي هو بده يساوي K في
ال A is convergent
نمر واحد if K is a
non-zero constant
and summation على an diverge then summation لك في
en diverge كذلك
لو كان عندي convergence series زائد او ناقص
convergence series الناتج بده يعطينا convergence
seriesنمرتها بعدها لو كان convergence series زائد
او ناقص divergence series الناتج بده يعطينا
divergence series divergence
seriesالنقطة التالتة والاخيرة لو كان divergent
series زاد او ناقص divergent series الناتج بدي
يعطينا may be convergent series or may be
divergent series
نرجع للنظرية اللى كاتبناها نقرأ و نحاول نشوف شو
اللى موجود فيها بقول افترض ان ال summation على a n
بده يساوي رقم a و ال summation على b n بده يساوي
رقم تاني b يبقى التنتين كانوا convergence series
يبقى في مثل هذه الحالة الجمع الجابري لل two series
ال summation هيدخل على الأولى و ال summation هيدخل
على التانية بيصير convergence زائد او ناقص
convergence series يبقى بده يعطيني a زائد او ناقص
بيه اعطاني رقم يجه مجموع two convergence series هو
عبارة عالميا عن convergence series نقطة ثانية لو
كانت ال series نفسها convergent وضربناها في مقدار
ثابت وده المقدار غير ال zero يبقى في هذه الحالة
بتظل هي convergence series
النقطة الأخيرة في النظرية و النقطة الأولى في ال
remark نوجز ذلك في ما يلي السيريز هذه ان كانت
converge او diverge وضربتها في مقدار ثابت المقدار
الثابت هذا نص تلت ربع خمسمية مليون قد ما يكون اي
number positive ولا حتى negative المهم مايكون مش
zero يبقى اللى كانت converge لما ضفها في هذا الرقم
بدها تبقى converge اللى كانت diverge وضربتها في
هذا الرقم برضه تبقى diverge كما هي يعني بالبلد هيك
اختصارا نقول ضرب ال series في رقم غير الصفر لا
يغير من ال convergence او ال divergence تبع ال
series اللى بتبقى converge بتبقى converge واللي
كانت diverge بيبقالها diverge كما هي مافيش تغيير
طيب لو عندنا جامع احنا اخدنا هنا جامع ل two
convergence يبقى روحت حطيته النقطة الأولى
convergence زائد او ناقص convergence series
بيعطينا convergence طيب convergence series زاد او
ناقص divergence series بيعطينا مين؟ divergence
series divergence series زاد او ناقص divergence
series بيعطينا series جديدة قد تكون converge وقد
تكون diverge الاحتمالان قائمان سأعطيك مثال بعد قليل
يوضح هذه الشيء، السؤال هو هؤلاء التلاتة هل يختلفوا
عن ال improper integrals؟ مافيش في أي تغيير تماما،
نفس المفهوم اللي كان في حالة ال two improper
integrals هو نفسه في حالة ال two convergent أو
الـdivergent series نعطيك مثال توضح للشيء اللي
اللي قاعد بدور في دماغك شو اللي بدور في دماغك إن
لو عندي divergence series وعندي divergence series
مجموعة ميساوي divergence بيقول معقول اه بتخش دماغك
دغري لإن infinity زائد infinity تساوي infinity إذا
ن divergence ماشي الحال طيب لكن لو diverse وعندي
ثانية diverse هل يعقل انها تكون converge الاجابة
نعم وإليك المثال التالي يبقى example
والثاني والثالث والرابع والخامس واحد زائد إلى آخره
السؤال هو هل هذه converged series ولا diverse
series؟ Is it
geometric series؟ هل هذه هي geometric series؟ نعم
لأن أجسم أي حد على الحد السابق له بيطلع يبجهين
الأساس بواحد وال ratio بواحد مش هيقول يبجه هذه
diverse geometric series يبجه هذه diverse
geometric series because
يبقى دا if summation then او diverse geometric
series because absolute value لR بده يساوي الواحد
طيب خدلي ال series الثانية and if summation من N
equal one to infinity لمين لسالب واحد to the power
2N ناقص ال 1 يساوي من يعرف يقول الحد الأول
قداش؟ كله Zero كله Zero؟ ثالث واحد ثالث واحد
والثالث والرابع السبب إن الأس فردي هذا الأس زوجي
فكله بالموجب هذا الأس دائما و أبدا مهما تحط ال N
بيطلع فردي يبقى هذا بدي يعطيني واحد سالب واحد زائد
سالب واحد زائد سالب واحد زائد سالب واحد زائد زائد
سالب واحد زائد إلى ما شاء الله طيب كمان هذه دايفير
جيومتريك سيريز السبب because absolute value ل R
يساوي كده اكيد اقسم سالب واحد على سالب واحد بواحد
بالموجب مش بسالب واحد يبقى سالب واحد على سالب واحد
بواحد يبقى الحد الأول سالب واحد والأساس واحد صحيح
طب التنتين هدول by their يبقى if summation يساوي
كذا by their والتاني ال summation هذه يساوي by
their then ايش رأيك بدي أجمع التنتين مع بعض يبقى
بداجي summation من n equal one to infinity لناقص
واحد to the power 2N ناقص 1 زائد summation
من n equal one to infinity لمين لسالب واحد ولا
خليها 2N زي ما في الأول وهذه 2N ناقص
واحد تعالوا نجمع بنشوف قداش بيعطينا كل answer مع
نظيره قداش Zero زائد Zero زائد Zero زائد Zero زائد
Zero زائد Zero زائد Zero زائد Zero زائد Zero زائد
Zero زائد
Zero
و أمر 0 على 0 بده يساوي قيمة وهذه undefined يبقى
هذه ليست جيومتريكس سيريز لكن الجامعة تبعها أعطاني
zero يبقى هذه convergence series يبقى هذا مثال ل
two divergence series يعطاني main اللي هو
convergence series طيب بدنا نيجي الآن لمثال على
هذا الكلام example
بقول discuss ناقش لي the convergence of
the
following series
if the
series
converge find its sum بدنا
نجدها المجموعة تبعها
نمر a summation من n equal zero to infinity لخمسة
على اثنين to the power n ناقص واحد
على ثلاثة to the power n يبقى
هذه بقدر أقول يساوي ممكن أحطها على شكل فرق ما بين
two series يبقى هذه ال summation من N equal zero
to infinity هذه الخمسة بقدر أكتبها نصف to the power
N ناقص summation من N equal zero to infinity لواحد
على ثلاثة to the power N والله علينا كويس هل هذه
Geometric Series؟ لأ لأ يبقى هذه convert لأن ال
ratio تبعها يساوي نصف أقل من الواحد الصحيح يبقى هذه
convert Geometric Series السبب because إن absolute
value لR يساوي نصف أقل من الواحد الصحيح نجي لل
series الثانية هذه برضه convert geometric series
السبب إن absolute value ل R يساوي ثلث أقل من الواحد
الصحيح مادام ناقص converge يبقى ال series اللي
قمناها دي مالها convert
يبقى هنا sum from n equals zero to infinity لخمسة
على اثنين to the power of n ناقص واحد على ثلاثة to
the power of n
بدها يساوي S واحد ناقص S اثنين يبقى ال S عندنا بدنا
نجي نجمع ال series الأولى الحد الأول في ال series
الأولى كده إيش؟ خمسة على واحد ناقص الأساسي اللي هو نصف
ناقص الحد الأول في ال series اللي عندنا هنا كده إيش؟
واحد على واحد ناقص ثلث ويساوي الآن هذا خمسة على نصف
وهنا ناقص واحد على ثلثين واحد ناقص ثلث يساوي ثلثين
يعني عشرة ناقص ثلاثة على اثنين يبقى هنا هذا الكلام
بدها يساوي بالمرة عشرة أشيل منها واحد ونصف بيصير
ثمانية ونصف يعني السبعة عشر على اثنين مجموع ال
series نمر بيه بيقول لي summation من N equal zero
to infinity لمن؟ لل E على N to the power N E على
باي to the power N زائد E N على من على N زائد ثلاثة
بنجي نشوف هل ال series هذه converge ولا diverge
فعلاً
في كل series على حدها مشان نشوف كيف بنحكم على كل
واحدة فيهم هل هي converge أم diverge نجي
لل series الأولانية
ايش رأيك فيها هذه convert ولا diverge convert لإنه
E على باي اثنين وسبعة من عشر اتل اتو اربعتاشر من
مية كسر أقل من الواحد الصحيح إذا هذه converge
geometric series السبب because إن absolute value
ل R يساوي E على باي يعني اثنين وسبعة من عشرة تقريباً
على ثلاثة وأربعتاشر من مية تقريباً أقل من الواحد
الصحيح
لأ يبقى بتروح أشوف هل هذه Convergent ولا Divergent
بروح إذا بدي اخذ ال N's term test هي اللي عندي
المتوفر يبقى باخذ limit لما ال N tends to infinity
لل EOS N على N زائد ثلاثة تعويض مباشر بتجيب لي
infinity على infinity بقدر أستخدم قاعدة lobital هي
بجادي limit لما ال n tends to infinity لمن ل ال E
أس ان على واحد EOS Infinity يبقى درجة يبقى ال
series اللي عملناها دي مالها divers يبقى sum
summation لل EOS N على N زائد ثلاثة divers إذا مش
اللي حصل عندي صار عندنا الأولى convergeوالتانية
Diverge يبقى نتيجة كده؟ يبقى Summation من N equal
zero to infinity لل E على Pi to the power N زائد E
أس N على N زائد ثلاثة Diverge series
عشان أعطيكم الملاحظة يبقى remark adding
or
deleting a
finite number
معدل عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد
عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد
عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد عدد
عدد
عدد عد
أو مختلفة مختلفة
من السلسلة
adding or diluting above it أو شطب عدد محدود من
حدود الـ series لا يؤثر على الـ convergence ولا على
الـ divergence لمن؟ للـ series يعني افترض أنا عندي
series summation من n equal one to infinity للـ a n
شطبت إن شاء الله يكون خمسمئة حد منها مرة واحدة
وأهملتهم، يبقى بدي أبدأ من عند رقم خمسمئة واحد إلى
infinity إذا الـ series الأصلية converged يبقى
الجديدة converged وإذا الأصلية diverged يبقى
الجديدة diverged كذلك طب افترض إنه أنت عندك
summation من عند n تساوي مية إلى infinity كانت
converged أو Diverge ورحت ابتديت من عند N تساوي
Zero لـ Infinity يعني كأنه أضافت كده تسعة وتسعين
حد مظبوط هذا لا يؤثر على الـ convergence ولا على الـ
divergence يعني إذا الأصلية كانت converge يبقى
الجديدة converge وإذا الأصلية Diverge يبقى الجديدة
كذلك Diverge فقولنا that is a n نمرة واحد if
summation من n equal one to infinity للـ a n
converge or diverge هذي أو هذي then summation من n
تساوي خمسمئة زي ما قلنا إلى infinity للـ a n برضه
converge or diverge اللي كانت converge بتبقى الـ
converge واللي كانت diverge بتبقى الـ diverge نمري
اتنين if summation من N equal 100 to infinity للـ a n
converge or diverge then summation من N equal 0 to
infinity للـ a n converge or diverge يبقى في الأول
طرحنا اللي هو 499 حد، أهملناهم، واخدنا الـ series
لبعدها، هنا بدأنا من عند المية، لقتها converge أو
كانت diverge، قمت أضفتلها كمان تسعة وتسعين حد أو
ميت حد لأن بدأت من عند الـ n تساوي zero أضفتلها ميت
حد، يبقى إذا الأصلية converge يبقى الجديدة converge
وإذا الجديدة، إذا الأصلية diverge يبقى الجديدة كذلك
diverge، طب ايش دخل هذا الموضوع؟ اه بنقولك هذا
الكلام له ما بعده في الـ sections القادمة، طب في
حاجة شرطلها برضه في هذا الـ section قبل قبل ذلك في
المحاضرة الماضية وهي تغيير الدليل اللي تحت الـ
summation يبقى في عندنا حاجة بنسميها reindexing
عادة تغيير الدليل تحت الـ summation تمام؟ ايش
تغيير الدليل تحت الـ summation؟ طلعلي كويس هنا بجي
بقوله لو كان عندي الـ summation من n equal zero to
infinity أو من عند n تساوي واحد إلى infinity للـ a
أرقام n ناقص واحد، بدل ما كانت بالشكل هذا الـ N بادئ
من وين؟ من عند الـ واحد لو جيت شيلت كل N وحطيت
مكانها N زائد واحد، تساوي واحد إلى انفينيتي، A أرقام
N زائد واحد ناقص واحد بالشكل هذا، يبقى شيلت كل N
وحطيت مكانها ايه؟ N زائد واحد، يبقى هذه هتساوي الـ
summation، هتل الواحد هنا بيجي بشرة مخالفة بصير من
عند n تساوي zero إلى infinity للـ A r أس N، يبقى ايش
اللي حصل الـ index بدل ما كان واحد خلاه اين؟ خلاه
zero، طب بده لو طلعته أكثر من ذلك يبقى باجي بقوله
الـ summation، والـ summation من n equal one to
infinity للـ a أرقام n ناقص واحد، يساوي الـ summation
بدل ما حطيت n زائد واحد، بده أحط n ناقص أربعة، تساوي
واحد إلى infinity، يبقى هذا ar أس n ناقص أربعة ناقص
واحد، يعني هذا بيصير الـ summation من عند N تساوي
خمسة إلى infinity للـ A أرقام N ناقص خمسة، شو رأيك؟
هل هدول التلاتة بيختلفوا عن بعض؟ والله هما هما
تعالى نشوف، بدأ امسك من؟ الأول اللي عندنا هذا، بدأ
أحط N بواحد، بيصير هذا كله بجداش r0 بـ 1 في A يبقى بـ A
ar تربيع
ar تكعيب، ar تربيع
ar تركيب ar تركيب ar تركيب ar تركيب ar تركيب ar
تركيب ar تركيب ar تركيب ar تركيب ar تركيب ar تركيب
ar تركيب ar ت
طيب بسكلي هذه n تساوي خمسة، يبقى حط n بخمسة بصير ar
أس زيرو اللي بيبقى داشر a، حط ستة ar هي، حط سبعة ar
تربيع، يبقى صار كل هذه اللي يبدأ تساوي الـ summation
من n equal zero to infinity
يبقى هذا اللي بنسميه reindexing، إعادة صياغة الدليل
تحت الـ summation دون أن نغير من قيمة الـ series
طبعا لأول واحدة لو قبل ما نحكي لك الكلام هذا و
سألنا كواحدة، تنتين، تلاتة، تقولي ولا واحدة زي
التانية، شكلا بيساووا بعض، ليش الـ index اللي تحت صحيح
اللي فوق infinity لهم كلهم بس الـ index اللي تحت الـ
summation يختلف من series إلى أخرى، نهيك عن شكل
الحد النوني يختلف من واحدة إلى أخرى لكن لو جينا
نحسبهم عمليا بلاج التلاتة كله ايه كله زي بعض وبناء
عليه
يبقى إعادة تغيير الدليل اللي تحت الـ summation ممكن
بدون مشاكل، أهمال عدد محدود من حدود الـ series لا
يغير لا الـ convergence ولا الـ divergence، إهمال عدد
محدود من حدود الـ series لا يغير الـ convergence ولا
الـ divergence شكلا
شكلا لكن عمليا وين
هو؟ هذي يعني و هذي؟ هذي
و الله هذي أي واحدة منهم summation هذي convert لو
كانت convert روحت أهملت أربعمية وتسعة وتسعين حد
منها ماشي وتزعل؟ لأ، اين؟ لكن عندك تعويض بيكون
a500 هذا، هذا بيكون a1 وهذا بيكون a500، a500 هو
الحد الأول في الـ series الجديدة، يختلف عن الحد
الأول في الـ series الأصلية تمام؟ هذا لو بدأت من عند
المية بيكون A مية هو الحد الأول في الـ series
العصرية، هنا A صفر هو الحد الأول في الـ series
العصرية، إذا تنتين مختلفتين عن بعض تماما كويس؟ يبقى
هذه اللحظة اللي قلت لحد هنا انتهى هذا الـ section