بسم الله الرحمن الرحيم أعزائي الطلاب السلام عليكم
ورحمة الله وبركاته في هذا الفيديو إن شاء الله
سنبدأ في الفصل الخامس chapter 5 سنبدأ أول section
معناها يكون خمسة ثلاثة بعنوان the definite
integral التكامل المحدود طبعًا موضوع التكامل لسه
بجديد عليكم درسناه في المرحلة الثانوية كمان أخذناها
في section أربعة سبعة كمقدمة اللي هو ال
antiderivatives أصل المشتقة أول حد بالنسبة للتكامل
هذه هي إشارة التكامل الـ Integral Sign والـ A والـ
الـ B هم حدود التكامل الـ A هو الحد الأدنى الـ
Lower Limit of Integration والـ B هو الـ Upper
Limit of Integration f of x هي الدالة اللي
بنتكاملها عندنا الـ DX هو المتغير اللي بنتكامل
بالنسبة له سندرس العلاقة بين التكامل و اتصال
الدالة في نظرية نقلية واحد هذه الـ integrable and
non-integrable functions مثلًا تكون الدالة قابلة
تكامل أو غير قابلة تكامل if a function f is
continuous over the interval a,b إذا كانت الـ
function f متصلة على الفترة من a إلى b or if f has
at most finitely many jumps discontinuous there أو
في الفترة هذه الدالة مش متصلة عليها كلها لكن متصلة
على الفترة كلها ما عدا عدد محدود من النقاط وبتكون
غير متصلة نتيجة ال jump نوع اللي هو القفزة عشان هي
قفزة عدم اتصال then the finite integral f of x من
a إلى b dx exist and f is integrable over a وb عشان
تكون دالة قابلة للتكامل على فترة لازم تكون متصلة أو متصلة
على الفترة كلها ما عدا بعض النقاط اللي بتكون مش
متصلة عندها أو بعض النقاط المحدودة بكون عدم اتصال
ال jump بالتالي أي دالة متصلة قابلة للتكامل لكن
العكس غير صحيح أن لو كانت دالة قابلة للتكامل على
فترة فما الضروري أن تكون متصلة ممكن تكون متصلة أو
متصلة على فترة ما عدا بعض النقاط خواص التكامل
المحدود هناخد احنا لو اتكلمنا عن خواص التكامل المحدود في أن
الخواص التكامل المحدود لو كان عند f و g are
integrable over the interval a و b لو كان عند دالة
قابلة للتكامل على فترة من a ل b فأول حاجة الخاصية
إذا قلبنا حدود التكامل تظهر نفس القيمة لكن بإشارة
مخالفة فتكامل f of x من b إلى a إنها هتساوي سالب
تكامل f of dx من a ل b الخاصية الثانية أنه لو كمان
الدالة من ال upper limit والأول limit كانوا زي بعض
نفس القيمة يعني من a ل a فقيمة التكامل هتكون zero
لو قمنا بالتكامل f of x وطلبنا في ثابت فالثابت
بيطلع خارج التكامل فتكامل من a ل b ل k f of x dx
هي تساوي k في تكامل f of x dx يعني الثابت بيطلع
خارج التكامل تكامل مجموعة دالتين أو الفرق بينهم
ممكن أوزع التكامل يصبح التكامل الأول زائد أو ناقص
التكامل الثاني اللي هو تكامل على الجمع أو الطرح
اللي هو عند ال additivity لو أنا بدي أتكامل f of x
من a ل b زي أتكامل f of x من b ل c وأنا في b وأنا
في b فهذا سيساوي تكامل من a ل c من a ل c f of x dx
عند ال max وال minimum in quality if f has a
maximum value max f يعني minimum value minimum f
على فترة من a ل b يعني أنا على فترة من a ل b هذه
اللي اللي بدي أكامله عندي max أكبر قيمة لها أو
minimum ففي الحالة هذه تكامل الدالة على الفترة من
a ل b f of x dx موجود محصور بين القيمتين وأصغر قيمة
للدالة في الفترة هذه في طول الفترة وأكبر قيمة
للدالة في طول الفترة لو كان عندي f of x أكبر
من أو تساوي g of x على الفترة من a ل b فتكامل f of x هي
أكبر من أو تساوي تكامل g of x على نفس الفترة لو كانت F
of X non-negative يعني أكبر من أو تساوي Zero فتكامل F
of X على الفترة من A لـ B هتكون برضه non-negative
أكبر من أو تساوي Zero نقوم
باستخدام الخواص في حالة بعض الأسئلة مثال اثنين أنه
إذا كان F of X من سالب واحد لواحد تساوي خمسة فتكامل
F of X DX من واحد لأربعة تساوي سالب اثنين فتكامل H of
X DX من سالب واحد لواحد تساوي سبعة تكامل f of x dx من
أربعة لواحد هو نفس التكامل هذا من واحد لأربعة لكن
الإشارة ستكون سالب التكامل باستخدام الخاصية الأولى
ويساوي سالب تبقى تكامل من واحد لأربعة سالب اثنين زائد من
واحد لأربعة اثنين تكامل من سالب واحد لواحد 2 f of
x زائد ثلاثة h of x dx هيساوي اثنين في التكامل
وزعنا التكامل على اثنين بعدين الثلاثة بتطلع لبرا
بضرب اثنين في تكامل f of x من سالب واحد لواحد و
ثلاثة في تكامل h of x من سالب واحد لواحد و
تساوي اثنين في خمسة زائد ثلاثة في سبعة تساوي واحد
وثلاثين تكامل f of x من سالب واحد لأربعة f of x
من سالب واحد لأربعة أنا عندي التكامل في قسم دي
من سالب واحد لواحد وهم من واحد لأربعة إذا أنا عند
التكامل هذا ممكن إحنا نأخذ من سالب واحد لواحد و ثم
من واحد لأربعة ونعوض هذا خمسة وهذا أنا
أقصد
بناخد بقول show that the value of integration
الجذر واحد زائد cos x dx من صفر لواحد is less
than or equal جذر الاثنين هنستخدم الخاصية اللي
درسناها خاصية رقم ستة ال max وال minimum
inequality كلنا بنعرف إن ال cosine دائماً محصور في
الفترة من سالب واحد لواحد يعني ال cosine ال x
هيكون أقل من أو يساوي واحد فبالتالي جذر واحد زائد كوزين X هيكون
أقل من جذر اثنين فجذر واحد زائد كوزين X هيكون أقل من أو
يساوي جذر اثنين يعني جذر اثنين هيكون أكبر قيمة لأن كوزين X
أكبر قيمة له واحد
هيكون أكبر قيمة جذر واحد زائد واحد ويساوي جذر
الاثنين فبالتالي حسب ال inequality اللي أخذناها ال
max and minimum inequality التكامل من صفر لواحد
لجذر واحد زائد كوزين ال X هي أقل من أو تساوي أكبر قيمة
لجذر اثنين في طول الفترة فطول فترة من صفر لواحد هي
واحد فبتلاقي أقل من أو يساوي جذر الاثنين فأكبر قيمة التكامل
هذا هو جذر الاثنين نأخذ العلاقة بين المساحة
والتكامل بقول area under the graph of non-negative
function يعني f of X عندنا اللي هتكون قيمتها أكبر
من أو تساوي Zero على الفترة في الحالة هذه بيكون هو
التكامل المعطيني للمساحة نأخذ تعريف of Y equal to
F of X is non-negative function and integrable
over a closed interval AB يعني على الفترة من A ل B
هذه اللي قبل التكامل non-negative يعني قيمة F of
X أكبر من أو تساوي Zero Under the curve Y equals F of X
over A وB is the integral of F of X from A to B
يعني في الحالة هذه هي تكامل A لB F of X DX على
الفترة اللي F of X بتكون فيها الـ Integrable و Non
-negative هي تساوي الـ Area فالمساحة تحت المنحنى دي
اللي هي هتكون فوق محور السينات لأنها
Non-negative هي نفسها عبارة .. نحسبها عن طريق
التكامل لكن إحنا بصورة عامة تكامل أي دالة ما يعطينا
مش المساحة إلا في حالة هي تكون الدالة non
negative يعني منحنى أعلى من اللي هو محور السينات طيب
كيف نجد اللي هو المساحات عن طريق التكامل هذا دعنا
ندرسه إن شاء الله في ال second year جاي إن شاء
الله بالتفصيل نأخذ حلقة خاصة لو أخذنا f of x تساوي
ال x اللي هو y تساوي x على فترة من الصفر ل b
الصفر ل b يعني أنا عندي في الربع الأول هيه
وطالع زاوية من الصفر ل b هيه رسمنا y تساوي f of
x هتدينا المساحة تحت المنحنى من 0 إلى B هو مساحة
مثلث نصف طول القاعدة في الارتفاع B نصف طول القاعدة
في الارتفاع B نصف طول القاعدة في الارتفاع B نصف
نص طول القاعدة في الارتفاع B نص طول القاعدة في
الارتفاع B نص طول القاعدة في الارتفاع B نص طول
القاعدة في الارتفاع B نص طول القاعدة في الارتفاع B
نص طول القاعدة في الارتفاع B نص طول القاعدة في
الارتفاع B نص طول القاعدة في الارتفاع B نص طول
القاعدة في الارتفاع B نص طول
بتكون ثابت في طول الفترة B-A تكامل X تربيع من A
لـ D X B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B
-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A
-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B
-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-A-B-
F is integrable on A وB then it's average value on
A وB هو بنسميه الـ Mean فالـ Mean Value أو الـ
Average Value الدالة على فترة من A لـ B يساوي هو واحد
على طول الفترة في تكامل الدالة على الفترة، إذا أنا
بتجيب تكامل الدالة على الفترة هو بيسموه على طول
الفترة، هذا الـ average value أو الـ Mean لأخذ عليه
مثال لو أخذنا f of x يساوي جذر أربعة ناقص X تربيع
على فترة من سالب اثنين للاثنين تلاحظوا دي معادلة نصف
دائرة لو وصلنا ها هي لو أخذنا f of x يساوي جذر
أربعة ناقص X تربيع هي أنا تلاحظوا دي معادلة دائرة
هتكون هناخد نصف الأعلى لأن أنا أخذ موجب نصف قطر
هيساوي اثنين لأن أنا أتذكر هحط واي بيصير واي تربيع
زائد واي تربيع يساوي أربعة مركز نقطة الأصل فـ واي f of
x يساوي جذر أربعة ناقص X تربيع هو هنصفها لأعلى بنجيب
الـ Average Value الـ Average Value عشان نجيبه
بنجيب المساحة عارف إن الدائرة مساحة تساوي باي
في R تربيع وعند نقطة تربيع هو نصف القطر اللي هو
طوله اثنين فالقالة تساوي نصف في باي في R تربيع R هو
نصف القطر تلاحظوا باي في R تربيع هذا يديني مساحة
الدائرة لكن أنا بدي نصفها نضربها في نصف وبتطلع يساوي
اثنين باي لذا التكامل من سالب اثنين للاثنين أوجد
الأربعة ناقص X تربيع D X يساوي اثنين باي فالـ Average
Value يساوي واحد على طول فترة اثنين ناقص ناقص اثنين
طول الفترة أربعة بيصير ربع في قيمة الـ Integral يعني
ربع في اثنين بيبديني باي على اثنين وهي هتكون مستقيم
بمثل الـ Average Value Y يساوي باي على الاثنين لأن
ننتقل للأسئلة هندرس بعض الأمثلة من الأسئلة سؤال 13
Suppose that F is integrable and
بنجيب تكامل f of z من 3 إلى 4 وتكامل f of t dt من
4 على 3
أول حاجة بالنسبة للتكامل F of Z من 3 لـ 4 يساوي
التكامل من 0 لـ 4 F of Z ناقص التكامل من 0 لـ 3 F of
Z يزيد فنتج التكامل المطلوب في المعطى المعطى
عندنا من 0 لـ 4 ومن 0 لـ 3 فلو أخذنا احنا الفرق بال
homework دينيه من 3 لـ 4 لأن التكامل من 0 لـ 4
هيساوي التكامل من 0 لـ 3 زائد التكامل من 3 لـ 4
المطلوب فلكن أخذناها العطار في الشمال فأصبح
بالصورة هذه وانعوض 7-3 ودينا 4 تكامل F of T DT من 4
ثلاثة هو نفسه يساوي سالب تكامل F of T DT من ثلاثة
أربعة تكامل F of T DT من ثلاثة أربعة هو نفسه تكامل
F of Z بيزيد من ثلاثة أربعة ما أفهمش إيش أن تسمي ال
variable هنا T أو Z لكن نفس الدالة تكامل عرفت
الفضلة بدينا نفس التكامل هو يساوي سالب أربعة بأن نوجد
احنا التكامل لاثنين ناقص قيمة أولى X D X من سالب
واحد لواحد طبعا عن طريق اللي هو نرسم الشكل على
مساحة الأشياء المتضامة أشكال الأول اثنين ناقص قيمة
لزدها من قرصمتها فاطلعتها المقصومة جزئين الفوق
مثلثات والاتحاد مستطيل فالتكامل أو طلعته non
-negative لأن فوق محور السينات بعدين ا و واحد زي
اثنين الأولى هي ا و واحد مساحة المثلثات اللي
عندي سواء نصف القاعدة القاعدة اللي هي طولها اثنين
فالارتفاع عندنا هو واحد فسواء نصف في اثنين في واحد
زائد مستطيل هذا مساحة القاعدة اللي هو عندي الطول
في العرض أو هذا هو منها نصف واحد لواحد اثنين في
واحد اثنين في واحد يساوي ثلاثة إذا أنت كامل هذا
يساوي ثلاثة طبعا قدام هنحصله باستخدام القواعد إن
شاء الله سيكون خاشن القادمة نستخدم الخواص احنا خدنا
في الـ Section تكامل ثابت وتكامل X و X تربيع و X
تكعيب فلو أخذنا تكامل سؤال 9B نحسب تكامل 3X تربيع زائد
X ناقص 5 D X من 0 لـ 2 باستخدام الخواص وزعنا التكامل و
ثم طلعناها بالـ Props End ثلاثة تكاملات وصار ثلاثة
تكامل X تربيع X تكعيب على 3 عوضنا بالحدود 2 و 0 زي X تربيع
على 2 ناقص 5 في X ونحط 2 و 0 وبعد ما نعوض
بالحدود بيطلع الجواب كله صفر طبعا هذا ليش طلعت صفر
الجواب هذا زي ما هو واضح قدام هيكون هذا للورقة منها جزء
منها يقع فوق محور السينات وجزء تحت محور السينات و
الاثنين هيحصروا مساحة متساوية فوق محور السينات و
مساحة أخرى زيها تحت محور السينات فالمساحتين مع بعض
هيلغوا بعض فبالتالي طلع جواب Zero سنجد أن التكامل
لا يعطينا المساحة في حال تكون الدالة على الفترة
اللي بيكمل عليها الـ non-negative يعني فوق ما هو
لمحور السينات ناخذ مثل على الـ average value نضيف F of T
يساوي T ناقص واحد أو تربيع على الفترة من واحد لثلاثة
من الـ average value عشان نجيبها هي التكامل على نفس
في الثلاثة يساوي تكامل فكان تربيع تربيع
تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع تربيع
تربيع تربيع تربيع تربيع
بعد المثال بيكون أنهينا Section 5-3 وهو أول
Section في الـ Chapter تلك الخمسة إن كان لما أنت كامل في
الـ Section القادم هندرس كيف نجد التكامل باستخدام
القواعد والتعويض