السلام عليكم، اليوم في اللقاء الأول هناخد مناقشة و
أعتقد أن احنا في المناقشة السابقة وصلنا لـ section
ثلاثة خمسة، أصبع؟ فممكن
اليوم هنناقش section ثلاثة ستة أو ثلاثة سبعة في
أي أسئلة عندكم في section ثلاثة خمسة أو section
ثلاثة ستة، السؤال ستة، أي سؤال؟ سؤال ثلاثة ستة
سؤال
ستة، section ثلاثة ستة
Let xn, let the sequence xn be properly divergent
there, and let
and let yn be such that limit xn ضرب yn limit
حاصل الضرب لما n تؤول لـ infinity يساوي
L ينتمي إلى R، يعني exists in R، شو
مطلوب ثم اثبت، أظهر أن سيكوينس yn يتعامل
بالصفر، حل
السؤال هذا بيعتمد على سؤال سابق، اللي هو سؤال ثلاثة
فالسؤال
هذا بيقول أن f
xn أكبر من صفر لكل n عدد طبيعي، then
limit xn بساوي zero if and only if limit واحد على
xn as n tends to infinity بساوي plus infinity
Okay، لأن في سؤال طلعتها إذا كانت xn حدود sequence
حدودها موجبة، و ف limit ال sequence xn بساوي صفر
if and only if limit مقلوب ال sequence xn بساوي
plus infinity
وطبعًا في كمان ممكن نثبت أن لو كانت الـ xn حدودها
سالبة، ف limit xn بساوي صفر if and only if limit واحد
على xn بساوي negative infinity
بما أن xn هو بشكل صحيح ديفرجينت
ثم قيمة xn بساوي إنفينتي أو قيمة xn بساوي نيجاتيف
إنفينتي
case one، ناخد الحالة الأولى اللي فيها limit xm
بساوي infinity by
exercise
رقم ثلاثة، section ثلاثة ستة، والـ exercise اللي فوق
هذا
معناه أنه we have هيطلع أنه limit المطلوب ال
sequence xn as n tends to infinity بيطلع صفر، يعني
اعتبري هذه هي xn، تعتبر الـ 1 على xn هي xn، فإذا كان
limit xn بساوي infinity، فlimit مقلوب الـ xn اللي
هنا، مقلوب اللي هو إيه؟ بتطلع صفر ولا عكس؟ يعني هنا
نفس الـ exercise بس بدل xn بـ 1 على xn، فهذه
نتيجة صحيحة تمام، hence
الـ limit لـ
yn as n tends to infinity بساوي الـ limit الـ
yn، ممكن كتبتها على صورة على
صورة
xn في yn ضرب 1
على xn صح؟
نظبط هيك، الـ yn هي عبارة عن xn في yn في 1 على xn
الآن الـ limit هذه لحد الأول exist، و limit لـ 1
على xn برضه exist، إذا الـ limit حاصل الضرب بساوي حاصل
ضرب الـ limits، بقدر استخدم القانون هذا، هطبق أنه
limit حاصل ضرب two sequences بساوي limit الأولى
اللي هي حاصل ضرب xn yn، ضرب limit الـ sequence
التانية هي 1 على xn as n tends to infinity، و
الـ limit الأولى مش ساميناها عدد L لما exist ضرب الـ
limit التانية صفر، فبيطلع عندي صفر وهو المطلوب، فهنا
أثبتنا في الحالة التانية، case two
لو كانت الـ limit لـ xn بساوي negative infinity، ففي
الحالة هذه بيطلع عندي برضه by exercise ثلاثة
section ثلاثة ستة، بس هنا مع التعديل هيطلع أن الـ
limit لـ 1 على xn مثلًا صفر، وباقي البرهان
and the rest of the proof is similar to
case one
Okay تمام، إذا هذا اللي هو البرهان أن الادعاء
يعتمد على exercise ثلاثة المهم وهو أن limit لـ
sequence بيساوي infinity if and only if limit
مقلوب ال sequence بيساوي صفر أو العكس تمام، وهذا
في عنكم أسئلة ثانية؟
في
أسئلة ثانية، section ثلاثة ستة الفرق بيه من سؤال
تسعة
نحاول نكتب السؤال وبعدين السؤال
تسعة، section ثلاثة ستة
لت xn و yn بيكونوا عاملين من عاملين من عاملين من
عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من
عاملين من عاملين
مطلوب الأول هو show if limit yn بساوي infinity
then limit
xn بساوي infinity
والجزء الثاني show if xn is bounded then
limit
yn is serviceable طبعًا
في برهانين للـ
للـ exercise هذا، البرهان الأول باستخدام
exercise 7 اللي جابله، يعني هنا since
من الفرض لما إنه limit xn على yn as n tends to
infinity بساوي plus infinity then by exercise
ثلاثة، section ثلاثة ستة، if limit sequence بساوي
infinity بيطلع limit مقلوب الـ sequence اللي هو yn
على xn as n tends to infinity بساوي صفر، now
apply
exercise
رقم سبعة، section ثلاثة ستة، to
get
the results in a and b، وهذا بيعطيني المطلوب، لو بصيت ولا
لا الـ exercise
سبعة في الـ exercise سبعة بيقول ده كانت الـ limit للـ
quotient للـ quotient زي هذا بساوي صفر، و xn و yn
حدودهم موجبة، ففي الحالة هذه إذا كانت limit الـ
sequence اللي تحت convergent إذا
كانت limit الـ sequence اللي تحت
لأ limit الـ sequence اللي فوق اللي هي yn هنا
infinity فبيطلع limit xn بالـ infinity اللي هو جزء
الاول، وكمان إذا كانت الـ sequence اللي في المقام
bounded اللي هي xn هنا طبعًا في المقام bounded
فرقة الـ sequence اللي في الـ bust تطلع يساوي 0، وهذا
هو الجزء الثاني، هذا حسب هذا لو بدنا نستخدم
exercise رقم 7 وطبعًا لازم نبرهنه، لكن ممكن نعطي
برهان مباشر بدون ما يستخدم exercise السابعة
وبالتالي إذا في حال ثاني أو برهان ثاني باستخدام
التعريفات وال comparison tests، باستخدام التعريفات
زائد ال comparison tests، اختبارات المقارنة، الـ
proof رقم اثنين، since
إننا ننسى هذا القران، أنا عندي هذه الفرض since limit
لـ xn over yn هذا عبارة عن sequence، لأن الـ limit
إلى بالصفر plus infinity، then given Alpha أي real
number Alpha من تعريف الـ improper convergence
لأي Alpha there exists capital N يعتمد على Alpha
عدد طبيعي بحيث إنه يكون M أكبر من أو يساوي الـ capital N
بيطلع عندي xm على ym أكبر من Alpha، طبعًا
وهذا بيقودِ أن xm أكبر من Alpha في ym، لما عندي yn
هنا موجبة، لما أضرب الطرفين في yn، التباين إشارتها
تبقى كما هي، إذا
أنا عندي الآن الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أو يساوي
كابتن، الآن الآن
by
بمعنى الـ Direct Comparison Test، بما
إنه limit yn
بساوي infinity
ناخد Alpha في 1 ممكن
آه ناخد Alpha في 1 صح، دي من الـ Alpha دي ثاني
واحد يعني ثاني الـ R مظبوط، فده واحد وثاني واحد، بما
أن الـ limit لـ yn
بساوي infinity، نحن نحصل على limit لـ xn بساوي
infinity، لأن هذا بيثبت الجزء الأول، أنت بدك الجزء
الثاني صح؟ طيب
بنشوف الجزء الثاني، إذا كانت الـ sequence xn
bounded فبالتالي y in بسرعة نصف طيب
الجزء
دي since x is bounded إذن
في عدد موجب There exists a positive number بحيث أنه
absolute value of xn أصغر من أو يساوي m لكل n في هذا من
تعريف الboundary نفسه طيب بالمنطلق بتاعنا إيه؟ أن
ال limit ل yn عند صفر طيب to show limit yn يساوي
zero let epsilon بنستخدم تعريف epsilon و capital M
لإن هي let epsilon أكبر من الصفر be given من
epsilon على M بيطلع عدد موجب من
العدد الموجب يعتمد
على إبسلون على M يعتبر
إبسلون على M
أنا عندي إيش عندي بدي
أثبت أن limit yn يساوي صفر فخلينا نشوف
طيب أنا لازم أستخدم .. آه لازم أستخدم ..
طيب since ..
طيب بس هنا يعني خليني أقول since
بما أن ال limit ل yn على xn as n tends to infinity
أنا عندي المقلوب هذا ال limit تبعته infinity، هذا
ال limit تبعته صفر وهي عندي epsilon على m عدد موجب
given، there exists capital M يعتمد على epsilon
على m عدد طبيعي لحيث أنه لكل n أكبر من أو يساوي ال
capital N بيطلع عندي absolute value of yn على xn ناقص ال
zero أصغر من epsilon على m تمام؟
طب ما هذا بيقودني فإنا
بدي أثبت أن limit yn يساوي صفر يعني بدي أثبت أن
ال absolute value لو كان n أكبر من أو يساوي capital
N بتثبت أن ال absolute value ل yn ناقص 0 أصغر
من epsilon عشان أثبت أن ال limit ل yn يساوي صفر
بتثبت أن ال absolute value ل yn ناقص 0 أصغر من
ال given epsilon طيب
هذا يساوي absolute value of Yn يساوي absolute value of Xn ضرب Yn
على Xn ناقص zero و هذا يساوي absolute value of Xn في
absolute value of Yn على Xn
بتكون موضوع ممكن نحط zero هنا طيب
هذا لكل N هذا أصغر من أو يساوي M و ال absolute
value هذه لكل N أكبر من أو يساوي capital N هذا
أصغر من إبسلون على M إبسلون على M مش هيبقى M مع N
بقى اللي عندي إبسلون طبعا؟ طيب since أكبر من الصفر
was arbitrarily we get أن limit ل yn as n tends
to infinity يساوي zero و هو المفروض يعني هذا بيكمل
برهان الجزء بيه okay طبعا؟ هذا على اعتبار أن احنا
exercise سبعة ما بنعرفوش بس في كل الأحوال احنا
استخدمنا exercise ثلاثة طبعا
هكذا بنثبت تسعة و سبعة بالمناسبة زيه بنفس الطريقة
بأفكار مشابهة ممكن إثباته بنفس السلوب بنفس النمط
كمان في أي أسئلة تانية في section ثلاثة سبعة؟ إذا
مافيش خلينا ننتقل ل section ثلاثة سبعة تبع
ال series هذا في
عندكم أي أسئلة في section ثلاثة سبعة؟ ثلاثة خمسة؟
ثلاثة سبعة؟
في أي أسئلة في section ثلاثة سبعة أو ثلاثة ستة
مافيش؟
السؤال ثلاثة فرع ثلاثة سبعة السؤال الثالث الفرع
السيه؟
استخدمت ال partial fractions؟ آه بس مش .. مش كله
بالغاية طلعت قيم A و C بيطلعوا نص و نص و B بيطلعوا
سالب واحد و بعد ما جيت أكمل مش كل الحدود بيطلعوا
بالطبع معايا زي قمتي لو سألني الجامعة آه عشان
هيكون ثلاثة كسور يعني آه
بس لازم يكون فيه يعني تلاشي و فيه
.. نشوف
يعني مافيش تلاشي جيبت الارتباط برشا الصمت .. فيه
تلاشي بس فيه بيضغط آه بخلينا نشوف خليني أجرب
السؤال
ثلاثة الفرع C سيكشن ثلاثة سبعة
استخدمت ال partial fractions
لإظهار
أن عدد الـ infinite series سيجما من ن يعني واحد
لما لا نهاية الواحد على n في n زائد واحد في n زائد
اثنين يساوي واحد على أربعة
فبدنا نكتب هذا بتحلل و باستخدام ال partial
fractions إلى ثلاثة كسور فوجدت
فرعة التواردة كانت دي؟ كان الأولى A بتساوي نص يعني
نص على n الثانية سالب واحد سالب أو زائد سالب واحد على
n زائد واحد والأخيرة نص على n زائد اثنين تعال
نحسب ال nth partial sum sn يساوي سيجما من k يساوي
واحد إلى n ل xk اللي هو واحد على k في k زائد واحد
في k زائد اثنين بنبدل n بال k وبعدين
هذا عبارة عن سيجما من k يساوي واحد إلى n و بنكتب
هذا واحد على
2k ناقص واحد
على k زائد واحد موجب خلينا
نحط الحاجات الموجبة مع بعض يعني زائد واحد على
2k زائد أربعة
ناقص واحد على K ناقص واحد و
بعدين نكتب أول شوية حدود مهم جدا اللي كل ثوابت هذه
صح يعني في حد ثاني جابهم متأكد من صحتهم لأن لو
فيهم خطأ مش هنقبلهم ونطلع الجواب
فنكتب أول حد هي .. أول حد هيكون لما k يساوي
واحد .. نص .. هيطلع نص زائد واحد على .. ثمانية ..
اثنين .. لأ واحد على ستة .. واحد على ستة صح ناقص
نص .. سالب نص
زائد لحد الثاني واحد على ثلاثة زائد
.. واحد على أربعة .. واحد على أربعة .. أربعة .. الأول
واحد على أربعة أو واحد على أربعة الأول وبعدين واحد
على .. ثمانية .. واحد على ثمانية .. ثمانية ناقص
ثُلث ناقص ثُلث طيب قول لي بعده واحد على ستة واحد على
ستة واحد على إيه؟ على ستة واحد على عشرة اثنين في
ثلاثة بستة آه واحد على ستة زائد واحد على عشرة زائد
واحد على عشرة ناقص ربع ناقص ربع زائد
وهكذا الآخر حد هيكون واحد على 2n زائد واحد على 2n زائد 4
مع بعض وبعدين الثاني واحد على n زائد 1 فنشوف
إيش اللي بيتلاشى وإيش اللي بيطلع يعني نص هنا راح مع
نص و
ربع هنا راح مع الربع هنا قلت
لك هذا مش هيروح مع حد صح؟ هذا يبقى
لكن الثمن هيروح والثُلث هيروح لأن الثُلث في مجموعة
ليه ثُلث والثمن هيجمع ليه الثمن بس برضه هييجي
ناقص واحد على ثمانية وهيظل واحد على ثمانية فيه؟
آه لما نقعد بالقيمة سوى سبعة هيطلع إننا ناقص واحد
على ثمانية آه شيء ناقص واحد على ثمانية
وممكن كمان برضه واحد على ستة أو في برضه واحد على
ستة سيطلع سالب واحد على ستة لأن بيساوي خمسة سيطلع
ثاندي سالب واحد على ستة فمين اللي بيضل على المحدود
يعني
بتاعي هذا ستس هيبقى هذا هيروحوا هذا هيروح يعني
شو اللي بضل في الآخر يعني
أنا بتاعي اللي هيضل في الآخر اللي هو يمكن الثُلث
الثُلث ناقص ثُلث وهنا
كل حد بيروح مع آدم فوضوح يروح مع اللي بعده فمش
هيروح مع حد فهيبقى واحد على اثنين يعني و
.. إيش هيبقى كمان؟
هذا هيروح هيبقى له اثنين هدول اثنين إيه مظلوم زاد
واحد على اثنين ام زائد أربعة سُدُس
ناقص ثُلث تطلع ناقص سُدُس وهذا ما يروح من صفر مش مظلوم
المفروض ال limit تطلع ربعها بالتالي
لازم احنا نكتب المزيد من الحدود عشان نشوف كيف النمط
.. كيف النمط هيصير
فبدأ عملية grouping للحدود تجميع ويعني الحصول على علامات
معينة مش عارف أنا مش متأكد أن هذا هتكون صح يمكن
في شغلات ثانية بتبقى واحنا ما ذكرناش فال
..
ذا بده فحص آه فخلينا نقول try it again try it
again
خلينا نحاول فيه مرة ثانية ونحاول يعني نقدر نخلي
يعني هذا يساوي ربع أو يساوي حاجة ال limit بتاعتها في
النهاية هتطلع ربع وبالتالي ال limit لل sequence of
partial sums هيطلع ربعه وبالتالي ال series
conversion مجموعة بساوي ال limit لل partial sums
فهذا يعني مشكوك فيه شكله مش صح نحاول مرة ثانية فيه
وبعدين نشوف يعني كيف مين اللي بيصل للجواب الصح
نحاول نكتبه مرة ثانية okay تمام لكن يعني ماهو
مستحيل أو ماهو يعني صعب ممكن أي واحد يتوصل إليه
بس بده إيه مزيد من الحدود والاستنتاج نمط معين
فخلينا نسيبكم تفكروا فيه كمان مرة في أسئلة ثانية
في ال section هذا فحاولوا
تفكروا فيه في أسئلة ثانية
في أسئلة ثانية في section ثلاثة سبعة أو ال sections
السابقة اللي تسبقه ثلاثة ستة ثلاثة خمسة في
كتير أسئلة يعني مطلوبة منكم واضح أن أنتم مش محضرين
ولا دارسين الموضوع وبالتالي ما عندكم مش أسئلة
فإلى أن يكون عندكم أسئلة بنكمل المناقشة يوم السبت
الجاي أو تحضروا المناقشة مع الشعبة الثانية يوم
الأربعاء خلينا
نرجع لل limits of functions وناخد المثال الأخير في
ال section هذاك
المرة الجاية دخلنا أثبتنا
أن ال limit أثبتنا
أن ال limit أنتِ مثال رقم 2
لسفر function ل X لما X تقول لسفر does not exist
أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
أخذنا هذا و أخذنا
هذا و أوحد على X لما X تقول لسفر does not exist in
R فلبرحان
ذلك let
F of X تساوي sign واحد على X و X لا تساوي صفر
وبعدين we consider two
sequences واحدة
xn الحد العام تبعها عبارة عن واحد على واحد
على n πاي و n ينتمي ل Z
و Yn الحد العام تبعها واحد على πاي على ثمانين زائد
اثنين N πاي و N ينتمي إلى Z هذا عبارة عن Sequences
of positive numbers
واضح أن ال limit ل xn as n tends to infinity بساوي
0 وكذلك ال limit ل yn لما n تقول infinity برضه
بساوي 0 لأن المقام لما n تقول infinity المقام
بيروح ل infinity طيب
الآن ال limit
الـ image لـ sequence xn لما n تقول الانفينيتي
بساوي ال limit ل sign xn لما n تقول الانفينيتي وهذا
بساوي ال limit ل sign n في pi لما n تقول الانفينيتي
Sin N في Pi بساوي واحد بساوي صفر لكل N وبالتالي
هذا بساوي limit ال sequence صفر لما N تؤول
infinity بساوي صفر and limit
الإمج للسيكوينس YM لما N تقول انفينيتي بساوي limit
وهذا المفروض يكون sign
1 على xn وهذا المفروض يكون sign 1 على yn مقلوب y in
بيطلع بساوي πاية اتنين ازايد اتنين in πاية وهذا
المقدار دائما بساوي واحد لكل in إذا أنا في عندي
limit لل sequence بالحد العام تبعها واحد السيكوانس
تابعة واحد وهذا بساوي واحد إن إن أنا في عندي
two sequences Xm تؤول صفر و limit صورتها
بساوي صفر و في عندي سيكوانس ثانية Ym ال limit
تبعها أيضا بساوي صفر لكن limit صورتها بساوي
واحد وبالتالي
by sequential criterion ال
limit لل function f of x لما x تقول ل0 does not
exist in R مش ممكن تكون موجودة في R لأن
لو كانت ال limit هذه موجودة فالمفروض limit صورة xn
بما أن xn تؤول للسفر نكتب
since otherwise لأن
لو كلاك ذلك لو كانت هذه موجودة if limit
في limit ل F of X لما X تؤول ل صفر exist
then المفروض ال limit ل f of x n لما n تؤول
infinity بتساوي ال limit ل f of y n as n tends to
infinity وهذا مستحيل which is impossible وهذا زي
ما شوفنا مستحيل impossible لأن طولها limit f of x
in بساوي صفر و limit f of y in بساوي واحد إذن
هنا استخدمنا sequential criterion في إثبات إن ال
limit لل function f of x بساوي sign واحد على x
غير موجودة عند الصفر طيب
هناخد break خمس دقائق وبعدين نواصل المحاضرة
الثانية