بسم الله والحمد لله والصلاة والسلام على رسول الله
اليوم إن شاء الله شباب هنبدأ بالـ chapter الثالث
tree geometry أو حساب المثلثات الـ chapter المهم و
خصوصًا لما نتكلم في الـ animation عن الظل والأبعاد
والأطوال اللي ممكن أعملها estimation في الـ design
الخاص بها عفوًا لكن قبل ما أروح على الـ 3D Geometry
طبعًا حملت الـ chapter على الـ model وحملت exercises
بتاعتي السنة الماضية للـ chapter الأول والثاني
طبعًا مطلوب منك تحل الـ exercises جهزهم لإن اليوم
غالباً اليوم هنزلك assignment منهم تسلم لي يوم
الجمعة على الـ model فأنت ابدأ حل بالـ assignment أو
الـ exercise اللي موجودة عندك كيف تسلمه على الـ
model بعد نهاية المحاضرة بقى أريك كيف إن شاء الله
تعال أولًا Tree Geometry أو Tree Gonometry Geometry
المقصود فيها عبارة عن احنا بنعرف حساب المثلثات
بتاعتك المصطلح العربي اللي عندنا اللي هي الـ
measurement لـ three sided polygon بوليغون أي شكل
مكوّن من مجموعة من الأضلاع بنسميه بوليغون أضلاع
بوليغون
ونقاط اتصالها لما بتكلم على three sided معناته
أنا بتكلم على بوليغون اللي له ثلاث أوجه فقط اللي
هو المثلث فقط
لو فكرنا نعمل المخزن هذا تمام بحيث أنه نصمم السقف
ما يطيرش مع الريح الشديدة وفي نفس الوقت لازم يكون
فيه ميّال كويس للمي اللي بتتسقط في المطر ضمن
ارتفاع معقول فبيلزمني حساب مثلثات لأن هاي مثلث هي
اثنين وزاوية ينظر لمثلث كله هي ثلاثة لو أنا بتكلم
سابقا تكلمنا على الظل ففي أول اللي اتكلمنا في أول
محاضرة التقينا فيها تكلمنا إن الظل تبع الشجرة هذه
بيرتبط بارتفاع مصدر الضوء أو الشمس الآن الضوء
الساقط أول ما بيصطدم الضوء بالشجرة بيبدأ يتشكل
الظل من خلال الزاوية اللي موجودة هنا طبعًا هذه
الزاوية وهذه الزاوية بحساب المثلثات هي نفس الزاوية
اللي موجودة أهلنا طيب دلوقتي تكلم على Fillery
Geometry هركز على حساب المثلثات بالدرجة الأولى
وفيها مجموعة من الـ functions أو مجموعة من الشغلات
اللي ظهرت مصطلح الـ vector والـ transforms والـ
geometry والـ quantations والـ interpolation
هنشوفهم كمصطلحات خطوة بخطوة بالرياضيات وشو
تطبيقاتهم في الرسم ماذا سيغطي هذا الـ chapter معنا؟
قياس الزاوية قياسات الزاوية الـ ratios حسابات أو
نسب المثلثية كما نسميها three geometry ratios أو
الدوال اللي احنا بنعرفها الـ sign والـ cosine والـ
inverse تبعتهم والـ tan طبعًا الـ inverse ratios الـ
geometries وفي عندي بعض الـ rules زي الـ sign rule والـ
cosine rule هنشوفهم في نهاية الـ chapter طبعًا شو
علاقة حساب المثلثات بالدائرة باللي موجود عندنا هن
الزوايا تبدأ من صفر حكيت عنها المرة الماضية 90
180 270 وبرجع لصفر 360 و ببدأ بدورة جديدة ومع كل
نقطة على محيط الدائرة بكوّن مثلث مع كل نقطة على
محيط الدائرة بكوّن مثلث قائم الزاوية بالتحديد تمام
الآن تطبيقات
في الاستخدام أنتم
كلكم رحتوا هنا آه؟ على الكلب؟ آه كويس فكرت كلكم
عسكر أروح شارط بالمحاضرة أنا بعدين طيب الآن يا
شباب لما أنا بأطلع نظر مستقيم للأمام على سبيل
المثال أنا بدي أجهز فان وبدي أوجه نظري باتجاه
عدسة الكاميرا مباشرة هل فقط أنا بشوف عدسة
الكاميرا؟ لا بشوف .. بشوف شغلات ثانية .. بشوف شغلات
ثانية أعلى من الكاميرا وشغلات ثانية أسفل منها يعني
الآن فعليًا في نظري أنا شايف بعض الرؤوس اللي جاية
وراء بس فعليًا الملامح مش دقيقة مئة في المئة
بالنسبة لي ليش؟ لأن الـ focus تبعي مش مركز عليه مركز
على الكاميرا ذاتها طيب .. الآن هذا الـ horizontal
line اللي هو مستوى نظري مستقيم ازاي اللي اتشكلت
لفوق هذه نسميها angle of elevation الزاوية العليا
والـ angle of depression اللي هي تكون الزاوية الأسفل
زاوية الإحباط أو زاوية الشموخ أو الكبرياء أسميها
زي ما بدك الآن لما تشوف شخص مغرور ماشي ماشي ماشي
ماشي ماشي ماشي ماشي ماشي ماشي ماشي ماشي ماشي ماشي
ماشي ماشي ماشي ماشي ماشي ماشي ماشي هذه الزاوية
بتنعكس أو بتختلف حسب الـ object اللي بينظر
للثاني مثلًا الـ barrage high والـ F16 اللي في
المقاتلة اللي في الجو الآن
المقاتلة بالنسبة للبارجة في الـ angle of elevation
اللي أنا جايبها فيهاش في الزاوية العليا مضبوط؟ أيوة
والعكس صحيح فيما يتعلق البارجة بالنسبة لمن؟ للطيارة
والعلاقة بينهم خط مستقيم واحد هو اللي ليش بفصل أنت
الآن هاي الخط المستقيم خلينا نقول من خلال كامرة
الطائرة وهي الخط المستقيم الخاص بالبارجة الآن وقبل
الافتراض هايهم إذا احنا اتفقنا إن الزاوية اللي فوق
elevation
وهنا الـ depression معناته البرج بالنسبة للطائرة دي
في الـ depression والعكس صحيح الـ depression
للباخرة الباخرة بتطلع الطيارة فوق ولا لتحت حاجة
اللي في اثنين الزي اللي فوق elevation والزي اللي
تحت depression الأهم مين اللي بتطلع لفوق؟ البارجة
معناته البارجة بالنسبة له البارجة الطائرة ضمن الـ
elevation angle طبعًا؟ كده؟
ولا إشي؟ طيب
ليش هذا الكلام مهم يا شباب؟ من تطبيقاته كذلك من
تطبيقات حساب المثلثات الآن
الـ pointer هذا موجود بالمسافة هذه أنا شايف كل
تفاصيله لو جربته بالعين بشوف جزء منه ولو جربته
أكثر بشوف جزء أقل كذلك يبقى إنه زي ما حكينا المرة
الماضية برضه أنا بنظر للـ .. باتجاه الباب الآن
المنظور هذا أو الزاوية هذه هي زاوية الرؤية زاوية
الرؤية الموجودة عندي هنا إذا كل ما أنا .. هي
الجدار كل ما أنا بروح باتجاه الجدار الزاوية بتقل،
مظبوط؟ الزاوية نفسها هي ثابتة لإن مستوى إنه مش
هيتغير بالخطوة والثانية إلا لو نزلت درجة أو طلعت
درجة ثانية لكن كل ما أنا على flat area ما هي
تتغير نظرية واحدة ثابتة ارتفاعية لكن كل ما أنا
بجرب الزاوية من الجدار الارتفاع اللي بيصير مدى
الرؤية هما نسميه احنا ارتفاع الرؤية أو مدى الرؤية
اللي أنا بتكلم عليه بيقل عشان هيك في التصوير لما
أنت بدك تعمل graphic صح بدك تفترض position
للكاميرا وposition للكرة أو الشغل اللي أنت بدك
تصوره ولما بدها تجرب الكاميرا تمام الأصل بدك
تعمل zoom out تكبر العنصر اللي موجود هذا عشان تبين
صورته بشكل واضح
الآن في ما يتعلق بقياس الزوايا أنا في عندي two
unit لقياس الزوايا في عندي الـ degree الـ degree
الدرجة وفيها بتتم تقسيم الزوايا من صفر لثلاثمئة
أو عفوا أنت قسمت زاوية الدائرة عشان هي قلت لك ليش
الدائرة أنا ثلاثمئة
وستين درجة
لما أنا بتكلم قياسي الزاوية بده يتم بِوِحدة الدرجة
بتكلم على ثلاثمئة وستين درجة والدرجة بتحتوي على
ستين دقيقة والآن والدقيقة بتحتوي على ستين ثانية
لكن احنا بالعادة بنتكلم فقط على الـ degree
وما يهمناش التفاصيل الثانية كثير ليش؟ لأن احنا لما
نتكلم قاعدين على مقضفات ولا يهمنا التفاصيل الكتيرة
هي .. درجة .. خلينا نتكلم احنا بس على القيمة اللي
موجودة هنا وقيمة اللي أنا بستخدمها لأجل التعبير عن
الزاوية أو الدرجة هي القيمة العشرية اللي أنا
بستخدمها طبعًا من ضمن الشغلات الأساسية اللي احنا
بنعرفها الزوايا الداخلية للمثلث مجموعهم مئة و
ثمانين درجة أي مثلث أي مثلث أي مثلث مجموع الزوايا
الداخلية اللي له 180 درجة يعني بصير أنا لو عندي في
أي مثلث زاويتين بقدر أجيب الثالثة وطبعًا لما بأجي
بتكلم على مثلث متساوي الساقين متساوي الساقين أو متساوي
الأضلاع أو بتكلم مثلث على قائم الزاوية هذي هتساعدني
في قوانين ثانية هتصير مثلًا أبدل الـ زاوية أو ضلع
أجيب أو ضلعين عفوا أجيب باقي الزاوية اللي موجودة
عندي على المثلث اللي هنا طيب الثاني يعني احنا الآن
بتكلم على 180 درجة لما بتكلم بستخدم الدرجة كوحدة
في قياس لزاوية المثلث وفي
عندي النظام الدائري أو ال radian اللي هي القياس
التاني الآن في عندي قياسين واحد اللي هو ال degree
والثاني
اللي هو ال radian الآن
لما أنا بقى آجي أتكلم على ال radian أنا قاعد أتكلم
على محيط الدائرة آجي أتكلم على محيط الدائرة إن
الدائرة زي ما قلنا قبل شوية هي الأساس وبالمناسبة
الدائرة هذه بنتكلم على دائرة الوحدة يعني نصف قطرها
يساوي واحد أتكلم على دائرة نصف قطرها واحد unit
ال unit دي ممكن تكون متر ممكن تكون centimeter ممكن
تكون نصف centimeter مش قضية بس في الآخر في وحدة
واحدة ثابتة موجودة غالبًا لما نتكلم على الرسم
بنرسمها على الدفتر نستخدم واحد centimeter تمام الآن
أنا أتكلم على radial unit معناته أنا أتكلم على
مقطع من محيط الدائرة مقطع
من محيط الدائرة يكون يساوي.. يساوي نصف القطر قد إيش
نصف القطر يعني اللي أنا واحد يعني بين قوسين بدي آجي
أقسم محيط الدائرة اللي نصف قطرها واحد تمام لقطع
متساوية قد إيش طول كل قطعة واحدة واحدة طيب احنا
بنعرف محيط الدائرة قد إيش يا شباب 2πr 2
π مظبوط ال π اللي هي 3.14 هو
ال r بس في القطع قيمتها واحد يعني أنا بدي أروح أقسم
محيط الدائرة اللي هو 2π تمام لمجموعة
متساوية من القطع كل واحدة قيمتها واحد واحد واحد
ال π هذه هي ال 180 من 0 ل 180
مظبوط 2π 360 درجة ومن هنا أجت العلاقة ما
بين ال radian وال degree ليش 360 درجة بالتحديد مش
500 درجة ولا 200 ولا 350 لأن 2π محيط الدائرة نصف
قطرها يتم تقسيمها لمجموعة من القطع وكل قطعة طبعًا
تشكل زاوية هي هالصفر واحد اثنين ثلاثة أربعة إلى
آخرها من القياسات اللي موجودة عندها طبعًا سيُبنى من
القيمة اللي موجودة بس الفكرة في التقسيم إن لازم
التقسيم تكون قيمة متساوية بنفس القول اللي موجود
عندها يعني الأهم كمان مرة لما تشوف الصورة هي بقية
أنا أتكلم على دائرة الوحدة لنصف قطرها طوله واحدة
واحدة وال radian بأعد كمان مرة هي عبارة عن مقطع من
محيط الدائرة أو جزء على محيط الدائرة يساوي نصف
القطر يساوي نصف القطر يعني شباب لو أنا أجيت قلت لك
الدائرة هذه ال r
تبعها تساوي 2 unit ال r تبعها نصف القطر تساوي
اثنين وسألتك ال arc اللي أنا بدي أقطعه اللي بدي
يمثل one radian قد إيش بتقوله؟ فضل اثنين لأن احنا قلنا
كمان مرة ال radian هي عبارة عن نقطة
من محيط الدائرة يساوي نصف القطر يساوي نصف القطر
طيب ال perimeter ها شباب ال perimeter اللي هو
مقصود فيها محيط الدائرة محيط الدائرة طيب الآن
معناته
أنا في عندي علاقة ما بين ال 360 وال 2π ولا
لا في عندي الآن ثلاثة.. في عندي 360 درجة
بتساوي 2π 2π يعني أنا بقدر أحول من
degree ل radian
والعكس
بناءً على العلاقة اللي موجودة عندي همطب اثنين و
ستين و 2π معناته أنا في عندي 180
درجة تساوي π طيب لو أنا أجيت سألتك و
قلت لك أنا عندك 150 درجة قد إيش تساوي بـ
radian شو بتساوي؟ كيف حصلت على 5/6؟
أنا بجد بقول لك عندك 150 درجة قد إيش بتساوي
الآية ما تنسى إن كل 180 درجة تتساوي π فانت عشان
تحول ال X من ال degree تبعك طبعًا لـ π ماذا يجب
أن تفعل؟ يجب أن تقسم X على 180 مضروبة في π
المنطقية تقول π/180 في 180 مظبوط؟ وبالتالي القيمة
لن تتغير لكن عندما أضيف π لدي هيك بحصل على
النتيجة الصحيحة اللي موجودة نرجع ل مثال 150 150 على
180
π هيك نقول 150 بال degree بيبقى تساوي 150 على
180 في ال π 0 مع 0 وهون 5 وهون 6 قسمنا
على 3 مظبوط؟ بعدك في اختصار؟ لا بقى تقول هذا
تساوي 5/6 π هي ال 150 درجة ال 90 درجة
90 درجة بدها تساوي 90 على 180 في π
تساوي 1/2 π أو اللي بتسميها احنا π/2 تمام
يا شباب؟ طيب كيف أميز القياس اللي موجود عندي أنا
في البداية؟ كيف أميز القياس اللي موجود عندي في
البداية؟ هو مديني إياها بال degree ولا مديني إياها بـ
radian إذا
قال لي radian معناته ال π لازم تكون جزء منه مظبوط
لازم ال π تكون جزء منه وإذا قال لي degree أو
كتب لي رقم زي هيك مثلًا 75 أما بكتب لي
اللي بحط في ال textsuper text مرتفع circle رمز
الدرجة أو بيقول 95 أو 75 أو
degree تمام يعني
الآن من degree ل radian إيش بتروح أسوي؟ بدي أضرب
في π على 180 أصبت؟ من degree ل radian
بدي أضرب في π/180 طب من radian ل degree بدي
أضرب في إيش؟ في 180/π لأن العملية هتكون
عملية عكسية لأن العملية هتكون العملية العكسية 180
على π تعال نشوف على سبيل المثال بقول أنا في
عندي 3/4 π
3/4 π قد إيش تساوي بـ
degree هذه بيبقى تساوي 3π/4 ضرب 180
على π ال π تروح مع ال π أنا على 4
على 4 × 45 45 3 × 45
و 40 135 degree
طبعًا طيب لو أنا سألتك one radian unit واحدة واحدة
من ال π قد إيش تساوي 180 هدا ال π كلها تساوي 180 one radian
180 one radian
one radian مقطع واحد على محيط دائرة أقولها واحد
واحد cm one unit مظبوط ما بجيبش الزاوية اللي
بتشكلها ال radian الآن
احنا فيه عندنا value لل π مظبوط في عندنا value لل
π قيمتها 3.14 قيمتها 3
فاصلة 14 تمام الآن أنا في عندي one radian
أنا
عندي one radian بدي أحولها ل degree بدي أعرف ال
degree قد إيش إيش قلنا بنساوي؟ بدي آخذ ال radian هذي
وأضربها في 180/π 1 × 180
على π يا شباب 180/π يعني تساوي 180
على 3.14 يعني تقريبًا 57
و 3 approximately القيمة مش لإنه
عملنا ال truncation يعني تمام يعني قيمة كل one
radian بيمثل 57 degree تمام الأمور واضحة
لحد اللحظة شباب
قبل ما نبدأ بالتحويل تعال شوف لي هون عادة في
موضوع الزوايا ممكن تظهر عندك واحد من الرموز اللي
موجودة عندها هذا المفروض مربع هي كامل الصورة
يعني
بس ال slide بدها خط هون تكتمل الزاوية right angle
أقصد فيها زاوية قائمة straight
angle مستقيمة و full rotation دورة كاملة يعني 360
درجة طيب على رأي هداك الواحد الواحد
تغير حياته 360 درجة يا شباب ما تغيرش
مظبوط طيب اللي هتعال نحول بقول لي في عندك مجموعة
من ال degrees وبدي أحولهم ل radian بدي أحولهم ل
radian قلنا بضرب في π π/ في X على 180
و 45 يا شباب 45 في
π/180 واحد أربعة سوى π/4
بس
150
حسبناها
قبل شوية كانت 5π/6 370 370π/180 1 فاصلة قد إيش
واحد يعني هي بدها عشرة 370 قد إيش الشباب
بالمناسبة 370 قد إيش 2.1 مش
1.9 370 كملت الدورة يعني
هذه تساوي 2
فاصلة 1
تقريبًا π و
لو أنت كتبت هذه بس بالمناسبة واحد غلط عرف ليش؟ لأن
هي تقريبًا 10/180 يعني 1/
ثلاثة عشر فاصلة صفر خمسة تقريبا خمسة من مئة
تقريبا وإنشاء جول كمان أكثر شوية ممشي الحل نعملازم
تكون بدلالة باي أي 3.14 إذا أنت بدك value 3.14
طبعا لكن عادة .. عادة أنا بالجيب أقول إن ال value
هذه خلاص بجرب أشوف ال باي بقول رديان لكن لو قدر
على سبيل المثال وقال لي أنا في عندك خمسة رديان و
ستجد قيمتها تساوي خمسة باي لأ يا صاحبي لأ توريب
إن الواحد رديان حسبناها شباب سبعة وخمسون معناته بدك
تضرب هذا خمسة ضرب مئة وثمانين على باي عشان تجيبه
بال degree وهذا قيمتها تساوي هذا تلزمك ال calculator
أو تلزمك الحاسب عشان تتجسم في الآخر على ثلاثة و
ثمانية عشر أو ثلاثة فاصلة أربعة عشر من مئة عفواً أيوه
لو قال لك الآن خليني احنا نطلع بس من هدول ونرجع
لسؤال بكل بساطة جاء قال لي أنا في عندي خمسة degree
وهات لي إياها بال radian مباشرة بتروح أنت بتقول
خمسة by على 180 المسألة خلصت هيك إذا أنا بالديكيات
تقول لي في الآخر كم radian بالتفصيل بكتب خمسة في
π التي هي ثلاثة وأربعة عشر على مئة وثمانين هتطلع
قيمة أقل من واحد من عشرة ليش؟ لأن ال radian من واحد
قيمته سبعة وخمسون أنا آخذ خمسة تقريبا أقل من واحد
من عشرة هتطلع الزاوية هذه بال radian طيب لو أنا اجيت
وقلت لك الخمسة باي دي حول ليها ل radian إيش
المطلوب مني أنا أساوي اضرب في مئة وثمانين عفواً
خمسة degree حول ليها ل radian اضرب في باي على مئة
وثمانين وخلاص ليش يا صاحبي ليش العكس أنا جعلت
بقول لك عندك خمسة degree دي هتحول ليها ل radian يعني
أنا بتجسم على 180 وتطبق في ال by هي هي القانون
الأصح يا أبنائي .. لا هذا ال radian تمام؟ الآن برجع بأكيد
كمان مرة شباب لو يجي قال لي عندي أنا مثلا ثلاثة
على خمسة باي القياس هذا بأي .. بأي زاوية؟ إيش
الوحدة في القياس؟ ال radian هتلي يساوي كم degree؟
هتضرب مباشرة الآن ثلاثة ضرب مئة وثمانين باي على
خمسة باي أو عشان ما تخربطش ثلاثة
باي على خمسة ضرب مئة وثمانين على باي وهنا
بعد 180 على 5 يا شباب أربعين
وستة وثلاثون إيه طب حجرية في حد عنده حسابات ثانية
ستة وثلاثون أربعون مستحيل يتكون اللي المفروض تطلع
عليك متين أصبحت؟ إيه وهذه بتساوي ستة
وثلاثون في ثلاثة بنتكلم على مئة وثمانية
degree تمام برجع بذكرك إذا جاءك هي القيمة ماتوا
بيختاروا من اللي بقى في ال consideration تبعتك لو
ذا جاءك زي ما في المثال راح جاءك أنا في عندي 114
.6 radian
كم degree؟ مباشرة بدك تأخذ 114.6 ضرب 180 على باي
طيب عشان أجيب ال value الصحيحة شوف ما بدي أساوي
لأن إن إن أنت بحاجة تعوّض مكان ال by 3 و 14 يعني
أنت مش في كل المسائل هتضطر تعوض ال by طيب تقريباً
قديش بتطلع يا شباب
درجة هيك رقم في الألف في الألف أيوه
ثلاثمية ثلاثمية ما بدناش نفتح مزاد احنا برضه حاول
اعمل calculation بسيطة ع الشغل اربطه في شغل المرة
تعالى قبل شوية سبعة وخمسون أيوه
سبعة وخمسون هذا الآن متكلم على Radian كل واحد فيهم
قيمته 57.3 يعني عندك 100 على الأقل في 57 فمتكلم
على 5700 أقرب يعني متكلم على 6000 وفور مصبوط؟
فأنت برضه يعني بيبقى تكون شويش منتبه وحاول تشغل
دماغك في الموضوع الحسبة البسيطة اللي عندنا هي،
تمام؟ حولنا الآن من Radian ل degree بالعكس بنضرب
في 180 على باي احنا already بدنا نحول باي على
ثلاثة في 180 باي على ثلاثة برضه 180 على باي ال باي
مع ال باي وثلاثة مع الثمانية عشر ستة يعني ستين درجة
تمام؟
اثنين باي على ثلاثة ضعفها مئة وعشرون الأخيرة حلناها قبل
شوية مصبوط مئة وأربعة وأربعون تمام في أي مشكلة
يا شباب في التحويل ال
باي على ثلاثة تساوي ستين radian حرام عليك هي radian 60
degree 60 درجة هي radian ما تنساش قول لك يا شباب
تنخدع لو سكتنا في السؤال أو أي حد سكت وجاءك قياس
الزاوية عبارة عن اثنين by على ثلاثة مباشرة هذا
القياس radian هذا القياس radian لا محالة لو راح
جاءك .. لو راح جاءك مئة وسكت لا هنا بالك ما
تجيش في الفخ بدك تسأله عن ال unit إيش هي ال unit
اللي عندك هنا لأنها هتفرج معك كثير إذا جاءك والله
الزاوية هذه بال radian معناته بتجاه بتتكلم على خمس
تلاف وسبعمية مصبوط؟ خمسة تلاف وسبعمية وثلاثون كمان
إنشاء هذه الزاوية يعني بيضغط اللي يلف وبعدها تجسم
لتلف مئة وستين وتقدر تجيب بس البعدها لكن لو جاءك
degree خلصنا هي زاوية منفرجة أقل من ال 180 اللي
موجودة عندنا فأنت بدك تتمتع به كويس حط لك ال π
مباشرة radian حط لك دائرة degree
سكت لا بدنا نتأكد إيش الوحدة القياسية اللي بتتكلم
عليها ال bi وما تش ما تبرها 180 اه الآن إذا من
اللي بيسألني أو من اللي بيسأل متى اعتبر ال bi 180
ومتى اعتبرها 3.14 لما أنا بدي أحول لما تيجي
الزاوية ونعتبرها 180 لما تيجي الحالة هيك 3.14 إذا
كان الزاوية جايب جاها وكانت زاوية يعني بأؤيد 100%
لك هنا 100% في حد عنده كلام ثاني؟ الآن وإما بدك
تحسب إذا حسب حساب زيك طلعته 14% وأنت مغمض بس إذا
جاءت بعد sign أو cosine أو tan بنتكلم على 180 درجة
طبعا؟ راحة في كل حسبتي أنا قبل شوية من أين جاءت
العلاقة؟ قلنا يا شباب ليش 360 درجة؟ لأننا فعليا
الدائرة الوحدة هذه عملنا عليها جسمناها جسمنا
المحيط تبعها
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
تكافئ 2 باي بس في ال calculation في العملية
الحسابية ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة
ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة
وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة
ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة
وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة
ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة
وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة ثلاثة وأربعة
ثلاثة وأربعة
ثلاثة و 2 باي في R 2 باي في 1 لأن القطر
واحد واحد مصبوط؟ وفرضنا محيط الدائرة هذا
وقطعناها لقطع متساوية مقدارها واحد واحد تمام؟
هتطلع عندنا 360 قطعة تمام؟ كل قطعة 2
باي حرام عليك المحيط كله المحيط كل 2 باي
تمام؟ كل قطعة هي 1 على 2 باي 1 على 2
باي اللي هي ال arc هيك سَمّالها ال arc قد ايش حصر
زاوية حصر زاوية مقدارها سبعة وخمسون فاصلة point
ثلاثة من خط من ال x-axis لما بدأ يرتاح حصر زاوية
مقدارها يعني هيك لو أنا تخيلت انه هذا واحد نصف
القطعة كل واحد وال arc هذا كل واحد معناته ازايلها
دي سبعة وخمسون فاصلة ثلاثة
الآن
لما أنا بتكلم على ال trigonometric ratios أو
الدوال أو النسب المثلثية نسب المثلثية لما اتكلم
على نسب مثلثية أبغي بالنظر شو كان حجم المثلث تمام؟
أبغي بالنظر على أطوال أضلاع المثلث يبقى المثلث
مثلث وتطبق عليه كل الصفات يعني لو أنا طبعاً اللوح
النهار أنا مش فاكر أنا كنت هأحط الصور ولا لا اللوحان
مجسم لمربعات زي دفتر الرسم البياني تبع زمان أي
واحدة اثنين ثلاثة أربعة خمسة هذه ستة أو هذه واحدة
اثنين ثلاثة أربعة خمسة ستة أو هذه واحدة اثنين
ثلاثة أربعة خمسة ستة أو رسمت مثلث بالشكل هذا يا شباب
هو المفروض خط مستقيم بس ما عنديش مصطرة أنا زمان دي
كنا نجيب للمدرس مصطرة anyway في الآخر هذه زاوية
قائمة مصبوط وهذه زاوية حادة وهذه زاوية حادة
الزاوية القائمة تسعين درجة مثلث متساوي الضلعين
معناته هذه خمسة وأربعون وهذه خمسة وأربعون تمام اللي
أنا بقى أقوله ال sign وال cosine هم عبارة عن نسب
ما بين الأضلاع اللي موجودة عندي الأضلاع الثلاثة
تبع المثلث لو أنا .. لو أنا صغرت حجم المثلث خليت
المثلث هيبقى من أربع وحدات هيك
إيش اتغير في المثلث اتغيرت أطوال الأضلاع نعم بس
الزوايا ظلت 45 ما اتغيرتش ولا حاجة عشان هي كان في
أي مثلث .. في أي مثلث قائم الزاوية بغض النظر عن
حجمه النسبة ال ratios اللي هي علاقة الأطوال مع
بعضها نسبة ثابتة ما بتتغير طيب الار ال ratios أو
النسبة اللي احنا بنعرفها اللي هي الـ sine والـ
cosine والـ tan والـ Cosecant والـ secant والـ cot اللي
هي الـ .. الآن الجهة الجب اللي هي الجيب والظهر هن
الظل وظله هيك كانوا يسمونيهم بالعربي زمان تمام؟
الآن هدول ما بنحكيش بالـ inverse .. هذا .. شباب .. شو
يعني نسبة؟ ما بنحكيش .. قبل نرجع للبداية .. شو يعني
ratio؟ شو يعني نسبة؟ اه؟ شو يعني نسبة؟
بس؟ بسط ومقام Fraction بسط ومقام الآن الـ ratio
تتذكر الـ ratio number الـ rational number العدد
النسبية الـ ratio أول مقطع فيها ratio نسبة وبجلد
عن العدد النسبي اللي أنا بقدر اكتبه على صورة بسط و
مقام فالـ ratio في حساب المثلثات برضه ماهي نسبة بسط
ومقام الآن الـ sine هي عبارة عن علاقة الضلع المقابل
على الوتر من الضلع المقابل حسب الزاوية اللي بتتكلم
عليها إذا أنا بتتكلم هاي الزاوية تبعتي برة عن
الوتر معروف هو المقابل للزاوية القائمة هاي الـ θ
معناته الـ sin θ يساوي المقابل أربعة
على الوتر 5؟
على إن هو 4 وحدات 1 2 3 4 الـ
hypotenuse اللي جوه عشانك حققت C okay هاي C prime okay
الآن O يساوي 6 على الـ C بيب احنا كمان في نظرية
فيه فيثاغورس تمام اللي هو بده يحسب طول الـ hypotenuse طول
الـ hypotenuse تربيع يساوي الضلع الأول تربيع زائد الضلع
الثاني تربيع مضبوط تمام تعال نشوف الدائرة كمان
مرة وشوف علاقتها بحساب المثلثات والحسبة البسيطة
اللي احنا ممكن نشغل عليها أنا قبل شوية تكلمنا
دائرة الوحدة هي الأساس كانت في موضوع الزوايا
لما تكون الزاوية تبعتي أو نقطة الصفر هنا نقطة
البداية على محيط الدائرة على الـ X axis صفر زاوية
صفر وبدأت أحرك أو أتحرك على المحيط مع كل نقطة على
المحيط بتتشكل عندي زاوية جديدة مظبوط؟ مين بتتحكم
في الزاوية؟ شيئين شيئين لاحظ إن عندي نصف القطر
ثابت أنا اللي هو الـ hypotenuse نصف القطر الـ hypotenuse دائماً
ثابت مضبوط جدًّا نقول له 1 1 R
تساوي 1 الآن طب مين اللي بتتغير بتغير موقع النقطة
هي هذه وبما إن أنا على موقع النقطة اتغير الارتفاع
تبع المثلث والقاعدة تبعتها الوتر ما اتغير الوتر
ثابت ما بتتغيرش اللي اتغير جاي عندي ارتفاع المثلث
والقاعدة يعني في أي مثلث أنا فيه عندي هيك في أي مثلث
هذه بتسميها الـ base القاعدة مضبوط وهذه الـ height
ارتفاع المثلث والـ C أو الـ hypotenuse بنرمز لها
غالباً بالـ hypotenuse تمام الآن لاحظ
لو أنا بدي أحافظ على نفس الـ hypotenuse نفس الطول
ما يتغيرش ايش الحل الوحيد اللي عندي إن كل وحدة
بنزلها من المحيط أعفن من الارتفاع أزيدها وين في الـ
base يعني تخيل إن الزاوية هذه عليها حلقة عليها
عجلة أو بكرة وهذا كل ما أنا برزق لتحت الفيساوي
بتتحرك بالاتجاه .. بحافظ على إن الـ hypotenuse الوش نفس
القياس اللي موجود عندي هنا هذا الكلام .. هذا الكلام
معناته أنا كل ما بتغير الارتفاع أو بنجيب إن
الزاوية هذه هي عبارة عن نسبة لتغير الضلعين اللي
موجودين عندي هنا اللي هم الـ height والـ base لأن الـ
radius أو عفواً الـ radius أو الـ hypotenuse ثابت وما
بيصير عليه تغيير طيب تعال تشوف الرسمة البسيطة هذه
الـ GIF الموجودة عندي هنا في الـ slide ايش
الـ value اللي فوق هنا شباب طيب
خليني نتكلم إن هي الـ cosine تمام الرسمة اللي
بالخط الأزرق اللي فوق رسمة الـ cosine
ايش الـ value اللي بتطلع هنا ربطني إياها الـ chapter
الماضي تبع الجبر واش الـ value اللي على الـ X axis
هاي المجال والمدى المجال والمدى وين فيهم المجال
المجال قيمة الزاوية المجال قيمة الزاوية المدى اللي
هي من 0 لـ 1 اللي هي القيم اللي بتتغير فيهم ده
لو بتعود ترجع مع كل دورة موجودة عندها الآن هاي
الزاوية ايه كل من الآن لاحظ هاي قياس الزاوية عندها
ايه
anyway في الآخر لإن بتعامل مع دائرة تمام لما برجع
لنفس النقطة برجع دورة ثانية من جديد وبرجع بعيد
الكرر في الرسمة عشان هيك هتبقى رسمة الـ sin والـ
cos إلى ما لا نهاية بنفس الشكل اللي موجودة
عليها عبارة عن موجة متكررة اللي لها نفس الـ
bandwidth عفواً اللي لها نفس الـ width ونفس
الامتداد ونفس الـ height اللي موجود عندها
كم ربع عندي هان؟ 4 4 1
2 الـ first الـ second الـ third والـ fourth تمام
الآن لما بتكون الزاوية تبعتي في
الربع الأول
هذه الزاوية هي على سبيل المثال الارتفاع
أو الـ height تبع المثلث الـ height الـ height تبع
المثلث بيزيد plus والـ base بينقص مضبوط
هي لو أنا جيت الـ height وصل الـ maximum عند 90
بعديّش بيساوي ايه؟ بيبدأ ينزل لما يطابق مع الصفر
اللي هي هنا عند الـ 180 مضبوط اللي هي عكس
الصفر وبيبدأ الـ height يرتفع مرة ثانية في الربع
الثالث لما بيصل 180 نهاية الربع الثالث
بكون وصل الـ maximum في الـ height تبعت وبعد هيك
بيبدأ يصغر لإن ما يصل للصفر بيطابق الدائرة لإن
هذا الكلام عشان هيك أنا بقول لك الموجة تبعت الـ
sin والـ cosine هتظل ثابتة إلى ما لا نهاية مش
هتتغير بنفس الـ size ونفس الموجة اللي موجودة عندي
تعال نروح نشوف الحسبة تبعت الـ ratio أو الحساب
المثلثات اللي موجود عندنا حاولت أثبت الصورة
السابقة هاي المثلث واخذت المثلث على جانب في عندي
الآن إذا كانت الزاوية θ هي المستهدفة هان
فمعناته أنا في عندي هان الـ opposite المقابل
الـ adjacent
المجاور وهنا في عندي الـ hypotenuse الوتر الآن sin
θ هي الـ ratio هي تساوي الـ hypotenuse الـ opposite
عفواً على الـ hypotenuse المقابل على الوتر الـ cosine
المجاور على الوتر والـ tan المقابل على المجاور تمام
يعني لو أنا افترضت هيك هد
ارتفاع 2 وهد 3 تمام هد 2 الـ opposite
ارتفاع 2 والـ base قولوا 3 بدي أجيب الـ
hypotenuse ما احنا عمالة نقول الـ hypotenuse تساوي الجذر
التربيعي 2 تربيع زائد 3 تربيع حسب
فيثاغورس مضبوط 4 و9 13 تحت الجذر
يعني جذر الـ 13 الآن sin θ sin
θ يساوي 2 على جذر الـ 13 طيب بدي أعرف
ازاي وأجد ايش ماذا أفعل؟ بدي أستخدم shift على الـ
calculator بس ما عنديش أنا shift بدي أروح أستخدم الـ
sin inverse sin inverse لـ 2 على جذر الـ 13
تديني مين يا شباب؟ تديني θ طبعاً؟ الـ sin
inverse اخذناها هون في الـ chapter الماضي بالتحديث في
المحاضرات الماضية المحاضرة الماضية طبعاً؟ طيب
الأهم الـ cosine inverse على نفس المثلث 3 لأنها
هتكون المجاور هذه الزاوية 3 على الـ hypotenuse
الـ hypotenuse تلقي 13 ثاني الـ θ 2 على 3
اللي هو المقابل على المجاور الـ function الـ tan هي
اللي كانوا عندنا الـ secant والـ cosecant اللي احنا
سميناهم القهو القطة والظطة هم عبارة عن مقلوب
الجيب والجتا والظل عشان تتذكرهم في مصطلح من تلت
حروف سهل جداً ص ص ح الـ sin opposite على الـ
hypotenuse الـ sin opposite على الـ hypotenuse كوزين
ك كوزين
adjacent على hypotenuse تونة تان opposite على adjacent إذا أنت مش يعني ما كنتش
ما تقدر تتذكر الحروف الكلمات كتيرة حاول اعتمد على
الرموز البسيطة لأن reciprocal مقلوب
مقلوب النسبة اللي موجودة عندي هنا إذا كانت الـ sin
تساوي الـ opposite على الـ hypotenuse تمام الـ
reciprocal الـ reciprocal الـ reciprocal الـ
reciprocal مقلوب الـ sin الـ secant بتساوي
1 على sin طيب 1 على opposite على الـ
hypotenuse
الـ hypotenuse على الـ opposite و
نفس الكلام cosecant و secant و coten طبعاً يا شباب
تعال نجي هاي مثلث نشتغل
عليها بقول لي أنا في عندي مثلث
ومطلوب منك تجيب الـ unknown values في المثلث هذا
تجيب الـ unknown القيم الغير معروفة في المثلث احنا
اتفقنا أنه من أيش القيم؟ أولًا أيش القيم المجهولة؟
عندي أنا عندي ثلاث مجاهيل عندي الآن الـ height وعندي
الـ base وعندي إيش ساميها هادي الـ alpha أو الـ theta
ساميها زي ما بدك تمام؟ أسهل حاجة بالنسبة لك بالحسبة
هي اللي هتكون الزاوية
الآن قد إيش قياس الزاوية؟ مجموع الزاوية الداخلية
للمثلث قلنا مئة وثمانين، أنا عندي معناته Alpha
بدها تساوي مئة وثمانين ناقص تسعين زائد خمسة و
ثلاثين
الشطارة كثير عندك هنا مئة وخمسة وعشرون تمام من مئة
وثمانين بقى الخمسة والخمسين يعني مئة وثمانين ناقص
مئة وخمسة وعشرون خمسة وخمسون درجة هو
بتكلم على درجات، وهذه القائمة قلنا تسعين درجة لو
سألك جاك هاتلي إياها بالـ radian مباشرة بتحسبها
هيك بتوصلها خمسة وخمسين وبتدور في الآخر باي على
مئة وثمانين بتكون وصلت.. حولتها للـ radian باي
ثلاثة فاصلة وأربعة عشر تمام شوية
كيف أجال من واحد؟ أجال من واحد Radian طيب أجال من
واحد Radian وما المشكلة؟ أجال من واحد Radian
مافيش مشكلة بس ماتقوليش أجال من واحد وتسكت زي ما
أنت سويت عشان هيك الشباب ممكن إنه انصدمت مصبوط؟
أجال من واحد Radian لأن واحد Radian سبعة وخمسين
فاللي قبلها كانت خمسة وخمسين فطبيعي أجال من واحد
Radian طيب المقلوب الثاني يا شباب الـ height
والـ base أو بين جثنين هم الـ opposite للخمسة و
ثلاثين والـ adjacent ولا شو رأيك؟ أنا إزاي المعلومة
عندي إزاي الآن معلومة طيب
ساين الخمسة والثلاثين إيش تساوي؟ الـ opposite على الـ
hypotenuse على أربعة فاصلة تسعة Opposite عشان ماحدش
يقول لي صفر، هاي الـ Opposite قيمة ساين خمسة وثلاثين
كذا؟ إيش يساوي؟ بدنا الـ calculator سبعة
خمسين من مئة فاصلة أربعة أو ساعة خمس مئة أربعة
وسبعين من ألف الآن صار في عندي الـ opposite على
أربعة فاصلة تسعة يساوي خمس مئة وأربعة وسبعين من ألف
إيش أساوي؟ أنا بدي قيمة الـ opposite أعمل ضرب
تبادلي معناته قيمته الـ Opposite اثنين فاصلة ثمانية
واحد طيب بدي أجيب الـ adjacent المجاور عند الكوزاين
خمسة وثلاثين يساوي الـ adjacent على أربعة فاصلة
تسعة تساوي فاصلة ثمانية وتسعة عشر من ألف ضرب
تبادلي معناته الـ adjacent يساوي أربعة point صفر
واحد
حد اللي هتقول يا كنت شوف طيب هذه والله بدون
calculator في حياتنا ما بنجيبها، مصبوط؟ أنا ممكن
أجيب لك أرقام ما تحتاج عشان إنك تستخدم calculator
هو علمك كمان شوية طريقة سهلة للزوايا الرئيسية،
تمام؟ اللي هم صفر، ثلاثين، خمسة وأربعين، ستين،
تسعين، تمام؟ طيب، في حد عنده أي سؤال يا شباب؟ okay
الله يعطيك الله عافية