بسم الله الرحمن الرحيم المرة الماضية بدأنا بعنوان
اللي هو بعض أنواع الدوال العادية واخدنا أول نوع من
هذه الأنواع وهي ال linear function يعني الدالة
الخطية وشوفنا ان هذا رسمته هو خط مستقيم وشفنا
الخطوط المستقيمةفي حالات المختلفة مثل موازية لمحور
X أو عمودية على محور X أو مائلة على محور X أو
الخطوط المستقيمة تمر بنقطة الأصل أو لا تمر بنقطة
الأصل كل هذه رسمناها واخدنا المعادلات تبعتهابنجي
للنوع الثاني اللي هو the power functions دوال
القوة يعني الدالة المرفوعة لمين لأس معين بنعطيها
التعريف كتالي the function f of x يساوي x to the
power a where ال a is constant حيث ال a مقدار ثابت
is called a power function
الدالة اللي عندنا هذه الاساس متغير والأس ثابت جالي
ال a is constant الآن ال a هذا ما حطيتش قيود عليه
إلا أنه مقدارا ثابتايبقى مدام مقدار ثابت يعني real
number قد يكون صفر قد يكون موجب قد يكون سالب قد
يكون كاسري طبعا لو كان الصفر لأصبح X و Zero بواحدة
له الخط المستقيم الموازي لمحور Xواللي بيبقى بعنه
مسافة مقدرة واحد وهذه رسمناها وهي في ال linear
function يبقى ال a عندي بدنا نستبعد الصفر بدنا
ناخد positive negative بالسالب و هكذا أو كثري و
نشوف الحالات المختلفة مثلا لو بدنا ناخد أمثلة
مختلفة على هذه و بدنا ناخد لو كانت ال a موجةفمثلا
لو جيت أخدت ال F of X تساوي X يبقى ال A عندي هنا
قداش بتكون واحد صحيح طبعا رسمناها قبل هيك وقلنا
هذا محور X هذا محور Y هذا نقطة الأصل اللي هي Zero
هذا الخط الذي يمثل هذه الدالة هو الخط المستقيم
اللى عندنا هذا باللون الأزرق وقولنا هذا معادلة Y
تساوي X الزاوية اللى عندنا هذه جد الزاوية عندنا
هذه وكل واحدة فيهم خمسة واربعين درجة وسميناها في
حالة ال linear functions ال identity function اللى
دالت الواحدةهذا لو كان A تساوي واحد نجي لو كان ال
F of X يساوي مثلا X تربية و بدنا نرسم هذه الدالة
يبقى هذا محور X هذا محور Y هذا نقطة الاصل اللي هي
Zero يبقى هذا ال problem المشهورة اللي بنرفع طول
دراستنا في المرحلة الثانوية يبقى القطة المكافئة
اللي على الشكل اللي عندنا هذايبقى هذا Y تساوي X
تربيع والـA عندي تساوي كم؟ تساوي اتنين طيب لو جينا
قولنا ال F of X بدها تساوي X تكييم يبقى الـA عندي
هنا كم؟ تلاتة برضه الرسم هذه رسمناها كثيرا في
المرحلة الثانوية وكان رسمتها على الشكل التالي نذكر
بها تذكير ليس الايبقى هذا رسمة المنحنى اللى عندنا
هذا ال Y تساوي X تكعيبهذه نقطة الأصل اللي هي Zero
والـ A عندي تساوي تلتة طب لو كانت الـ A تساوي
أربعة يبقى بصير عند ال F of X يساوي X أُص أربعة
يبقى الـ A تساوي أربعة لو حبينا نرسم الرسم هذه
يبقى هي المحاور هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة
الأصل اللي هي Zeroرسمتها تشبه X تربيها لكن مع بعض
الفوارق البسيطة كالتالي يبقى هاي رسمتها بتجيني هيك
بتجي بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا رسمة Y F of X
يسوى X أس 4 او Y تسوى X أس 4 بنجي لو كانت F of X
يسوى X أس 5 يبقى ال A تسوى 5يبقى رسمتها تشبه
لفوفكس يساوي X تكيب مع الفارق يبقى هي المحاور هذا
محور X هذا محور Y هذا نقطة الأصل اللي هي Zero يبقى
المنحنة بيجينا بالشكل اللي عندنا هذا هيك يبقى هذا
بيجينا هيك
لا مش نفسها، هذه يا دوب تقاطع تقاطع هذه كأنها
تمسمح و ركز ولا تشبيه يعني، يعني بتفتح شوية عند ال
zero، بتلاقيها أفتح شويةطيب هذا لو كانت الأسس
موجبة طب لو كانت الأسس سالبة زي ايش مثلا زي f of x
يسوى x السالب واحد يعني قداش واحد ع الاكس يبقى ال
a تسوى قداش سالب واحد لو روحنا رسمنا الرسمة هذه
فبجي بقول هذا محور x هذا محور y هذا نقطة الأصل
اللي هي zero
الدالة المعرفة على طول القط يبقى على يمين الـ zero
بتاخد قيم موجبة على طول الشكل اللي عندنا هذا هيك
وعلى شمال الـ zero بتاخدش قيم سالبة بالشكل اللي
عندنا هذا هيكيبقى هذه اللي هي ده ال F of X يسوى
واحد على X وال X الأس تبعها بده يسوى سالب واحد لو
جينا الأس يسوى سالب اتنين يبقى ال F of X يسوى X
أسالي باتنين يعني واحد على X تربيع يبقى هذا محور X
هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zeroهل يمكن لهذه
الدالة أن تأخذ القيمة صفر يبعد على اتنين؟ هل يمكن
أن تأخذ قيمة سالبة؟يبقى على الشجتين القيام موجبة
سواء كان على يمين ال zero ولا على شمالي ال zero
القيام موجبة يبقى المنحنى بيجيلك كده او من هنا
بيجي جوس بالشكل التاني هذا ال data is undefined
عند ال zero لاحظ بالنسبة لل data الأولى ال domain
يسوى ال rain يسوى كل ال real line معاها دهزيرو هنا
ال domain كل ال real line ما عدا زيرو ال range من
zero ل infinity as an open interval تمام طيب هذا
رسمتنا لو كانت الأسس سالبة طب لو كانت الأسس كثور
فالرسم على الشكل التاليأفترض أن f of x يساوي جذر
ال X يعني X أس قداش أس نص لو حبينا نرسم الرسم اللي
عندنا هذه يبقى بصير على الشكل التالي هذا محور X
هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero يبقى مجوس
بالشكل اللي عندنا هذا هيكيبقى هذا رسمة الدالة Y
تساوي جذر ال X ال domain يساوي ال range يساوي
الفترة من عند ال zero لغاية infinity طبعا مغلقة من
عند ال zeroلو جينا لل Y تساوي X أس طلت يعني الجذر
التالت ل X وحبنا نرسم الرسم هذه فبجي بقول هذا محور
X هذا محور Y هذه النقطة الأصل اللي هي Zero بدنا
هذا الجذر يبقى الجذر هيجيك بالشكل التالت لأن منحنى
هيجيك هيك ويجي من ناحية تانية هيك
يبقى هذا Y يساوي الجذر التالت ل X أو X أُس طول بعد
هيك بدنا نيجي للرسمة Y تساوي Y تساوي X أُس طول تين
مثلا يعني مين؟ يعني الجذر التالت لل X تربيةطبعا
هذه الرسمة دائما و أبدا معرفة لل X الموجبة
والسالبة والصفر يعني ال domain كله ال real line
لكن ال range بياخد قيمة سالبة طب بياخد القيمة
الصفر بياخد صفر لو روحت رسمتها هتاخد الشكل التالي
هذا محور X هذا محور Yهذا نقطة الأصل اللي هي Zero
يبقى حيجيك جزء من المنحنة بالشكل هذا والجزء التاني
بالشكل هذا يبقى هذه اللي هي X أس تلتين أو الجذر
التالت ل X تربية بقيت أن أخر رسمة وهي Y تساوي بدل
X أس تلتين X أس تلتة على اتنينيعني مين؟ يعني الجذر
التربيهي لمن؟ لل X تكيب، لو روحنا رسمنا المنحنة
يبقى هذا محور X، هذا محور Y، هذه نقطة الأصل اللي
هي Zeroطبعا لا يمكن يكون الجدر معرف لقيمة سالب إذا
ال domain هيكون من where ل where من zero ل
infinity و ال range كذلك من zero ل infinity يبقى
المنحنة هيطلع عندك بمين؟ بالشكل اللي عندك هنا يبقى
هذا اللي هو x أس 3 على 2 ال domain يساوي ال range
يبقى الرسومات هذه هي الرسومات الأساسية التي ستتكرر
معاك كثيرا جدا خلال دراستنا هذا في Calculus A يبقى
مطلوب منك أن تكون ملمن بهذه الرسومات
طيب ننتقل الآن إلى النوع الثاني من أنواع الدوالة
يبقى انتهينا من ال linear functions و من ال power
functions بدنا نروح للنوع الثالث من هذه الدوالة
يبقى النوع التالت اللي هو عبارة عن كثيرات الحدود
اللي هي ال polynomial
يبقى النوع التالت polynomials
اللي هو كثيرات الحدود نعطيها تعريف definition a
polynomial كثيرة الحدود is a function يبقى هي
عبارة عن ال in the formفي الشكل التالي ال P of X
يساوي AN
لحظة الأس يتدرج من أعلى إلى أسفل
في عندنا ال N هذا اللي بتبدأ يبقى هذا عدد صحيح غير
سالب يعني ممكن يكون موجب و ممكن يكون صفر يبقى لا
يمكن أن يكون سالب ال A N و ال A N minus one و ال A
two و ال A one و ال A node كل الإيهات هدول ثوابت a
reconnaissance او a real number نكتب لك هذا الكلام
حيث ال N is a non negative
integer عدد
صحيح غير سالب
نمبرز والأرقام اللي هو a n و a n minus ال one ونظل
ماشيين لغاية ما نوصل لل a two a one a naught هدول
كلهم are real are real numbers
أعداد حقيقية بنسميها called the coefficients
المعاملات
of the polynomial معاملات
كثيرة الحدود and
الـ N is called the degree of
the polynomial
يبقى مرة تانيةأو النوع الثالث من الدوال اللي هو من
كثيرات الحدود لما أقول كثيرات الحدود يعني عندي
مجموعة من الحدود وجمعناهم جمع طب الحدود هدول في
عليهم قيود أه في عليهم قيود تعالى نشوف الكثيرة
الحدود هي عبارة عن دلة في الشكل التالي بديها الرمز
اللي هو P of X الحرف الأول من كلمة polynomial وهو
function فقولنا P of Xهي constant في ال X to the
power N constant تاني في X to the power N minus
one constant تالت في X to the power N minus two و
هكذا الأسبيب ينزل N الناقص واحد الناقص اتنين
الناقص ثلاثة and so on لغاية ما نصل إلى A2 X تربية
A1 X زائد ال A9الرقم N قد يكون صفرا و قد يكون عددا
موجبا لا يمكن أن يكون كاسري ولا يمكن أن يكون سالبي
و لما قلت N is a non negative integer يبقى عدد
صحيح و العدد صحيح غير سالب إذا لم يبقى إلا zero أو
عدد صحيح موجبهذه النقطة الأولى الآن الأرقام اللي
عندنا ال a هات هذول a0 و a1 و a2 و a3 و a4 و aN
minus 1 و aN هذول ثوابت بسميهم معاملات ال
polynomial يبقى هذول بسميهم the coefficients
المعاملات لكثيرات الحدود طيب ان اللي هو أعلى قوة
موجودة عندنا هنا بسميها برجة ال polynomialيبقى
كثيرة الحدود هذه من الدرجة النونية يعني من الدرجة
الرقم N نعطي شغلة توضيحية على ذلك مثلا for example
كمثال على ذلك
فمثال على ذلك الان لو جيت قلت اتنين اكس اص اربعة
زائد تلاتة اكس ترابيع زائد عشرة اكس ناقص واحد
ملاحظين ان الأساس بتنزل اربعة اتنين يعني التلاتة
ماله مفقود مش موجود شو اللي ضيعوا المعامل تبعه
المعامل تبعه عبارة عن ايه؟ Zero هلجل ممنوعالمعامل
يكون Zero وما جليش، إذا ممكن للمعامل أن يكون صفر
وبالتالي يفقد term او اتنين او تلاتة او عشرة من ال
polynomial ماعناه مشكلة المهم أعلى أس موجود، يبقى
هذه polynomial من الدرجة الرابعةاللي هو أعلى أس أو
أعلى قوة موجودة عند الأمين للعدد X يبقى هذه as a
polynomial of
degree
4
طيب خلّيني أسأل السؤال التالي أول دل الخطية اللي
أخدناها المرة الماضية دل الخطية دل الخطية بلونوميا
ولا لا؟ ومن أي درجة؟ من ال first degree من الدرجة
الأولى يبقى any linear function is a polynomial of
the first degree طيب لو قلت لك F of X سوى constant
بولنوميل من الدرجة الصفرية يعني X to the power
zero يعني ممكن يكون عندي بولنوميل من الدرجة
الصفرية بولنوميل من الدرجة الأولى بولنوميل من
الدرجة الثانية و هكذا يبقى هنا and ال P of X يساوي
تلاتة مثلا is a polynomial
of degree أو of zero degree يبقى
من الدرجة الصفرية وهكذا
بننتقل الان الى النوع الرابع من هذه ال functions
وهي ال rational functions الدوال النسبية الدوال
النسبية هي دلاخر قسم فسط و مقامبس كل دا اللي في
البصد ونظرتها في المقام التنتين are polynomials مش
أي دوال يبقى بالدالي للنقطة الرابعة اللي هي
rational functions الرابعة صحيح اللي هي rational
الدوال النسبية او بعض التراجم العربية بتقول الدوال
الجذرية الدوال الجذرية و لا الدوال النسبية بهمن
المعنى الرياضي فباجي بقوله the rational function
is
an expression هي صيغة in the formفي الشكل التالي
ال F of X بده يساوي P of X مقسومة على ال Q of X
where حيث ال P of X and ال Q of X are polynomials
Polynomials P of
X على Q of X يعني ال domain تبع ال polynomial
هو كل ال real number ما يعدى الأرقام اللى بتخلى
المقام بأصفار يبقى the set of all element x such
that q of x does not equal to zero for example لو
بدي domain
مثلا X أُص أربع ثلاثة X تكييب زائد X ناقص ستاشر
كله مقسوما على X في X زائد ثلاثة مش بنفع هذه
polynomial ولا لا؟ X ترمية زائد ثلاثة X يبقى
polynomial يبقى ال domain الهدىاللي هو كل ال real
number بده يشيل منها الأرقام اللي بتخلي المقام
يساوي zero وهي ناقص تلاتة وزيريعني كأنه من سالب
Infinity لغاية سالب تلاتة اتحاد سالب تلاتة و Zero
اتحاد Zero و Infinity كلها فترات مفتوحة يبقى هذا
ال domain يعني ممكن أصيغها بصياغة أخرى و أقول من
سالب Infinity لسالب تلاتة اتحاد سالب تلاتة و Zero
اتحاد Zero و Infinity بالشكل اللي قدامنا هذاطيب
ننتقل الأن إلى الدالة الخامسة وهي ال algebraic
function ال algebraic functions الدوال الجابرية it
is a function يبقى الدالة الجابرية it is a
function هي عبارة عن دالة thatcan be constructed
يمكن أن تنشأ أو يمكن أن تتكون using باستخدام
algebraic operations
ايش العمليات الجابرية زي addition subtraction
عملية
الطرح multiplication عملية الدرب multiplication
division
عملية القسمة taking roots
عملية
أخذ الجذور for example the
functions مثلايعني بينجل الدوال الجابرية ما هي
الدوال الجابرية بيقول الدوال الجابرية هي الدوال
التي يمكن أن تنشأ أو تتكون can be constructed
using algebraic operations يعني تنشأ نتيجة
للعمليات الجابرية العمليات الجابرية هي الجمع
والطرح والضربوالقسمة و كذلك اخذ الجذور و نحو ذلك
يبقى كل هذه المقول عليها عمليات رياضية او عمليات
جبرية زي ايش مثلا يبقى هنا ال function f of x بدها
تساوي مثلا الجدر التربيعي ل x تربية زائد 5 كم
عملية جبرية عملنا هناتلت عمليات، ضربنا ال X في
نفسها ل product أو ال multiple كده و صارت X تربية،
عضفنا إلها خمسة، يبقى عملية الجامعة عيتين تان،
التالت أخدنا الجذر، يبقى تلت عمليات في نفس الوقت،
مثلالو جينا قولنا الـ G of X يساوي X زائد تلاتة في
الجذر التالت مثلاً للـ X ناقص واحد وزائد X على X
تربية زائد خمسة وعشرين كل العمليات الجبرية موجودة
الحمد لله كل ذكرضها موجودة في السؤال يمكن هذه كمان
algebraic
هل الـ rational function اللي فوق ال algebraic
function؟ ال algebraic لإنه جامع وبعدها قسمة،
مظبوط؟ يبقى and ال rational functions
are algebraic function
يبقى هذه كذلك اللي هو دوال جابرية مالها؟
متأكد؟
طب وانا زيك هاي،
بدي أقول عبارة هيك وشوفوليها صحيحة ولا لأ Any
algebraic function is a rational function خطأطب
نشوف العكس، any rational function is an algebraic
function صح؟ any real أو any linear function is an
algebraic functionأي دالة تربيعية هي الـ algebraic
function يعني ايه فوكس يساوي X تربيع؟ عملية ضرب
طيب بدأ أسأل السؤال التالي وشوفولي كلامي صح ولا لأ
any polynomial is a rational function
أي كثيرة حدود is a rational function. لأ، مدام هي
كانت في قضية خلافية بين الفقهاء، بدنا جواب محدد
ونناقش ليش، أيوة يا أخي العرب.
مية المية كلامه صحيح انا اي polynomial عبارة عن
مين؟ عبارة عن نفسي ال polynomial مجسومة على واحد،
الواحد هو polynomial من الدرجة الصفرية وان اشترط
في ال rational function تبقى polynomial في الوسط و
polynomial في المقامإذا كلامه صح حط على واحد مظبوط
مية لمية يبقى any polynomial is a rational
function وبالتالي any polynomial is an algebraic
functionمصبوط ولا لا؟ انها rational function وانا
بقول any rational function is an algebraic
function and so on وها كده دي الواقع الكلمة
بيقولولك ممكن نجيبه صح او خطأ او خيارات متعددة
وتختار الإجابة الصحيحة او الإجابة الخاطئة ممكن
اعطيك تلت إجابات صحيحةووحدة خاطئة ويقولك طلع
للإجابة الخاطئة وليس الإجابة الصحيحة والعكس ممكن
يكون مثلة إجابة خاطئة وواحدة صحيحة وطلع للإجابة
الصحيحة يعني السؤال ممكن يأتي هكذا أو هكذا أو حط
صح أو خطأ على العبارات الرياضية التالية ده ماكنتش
فاهم الكلام اللي قدامي على اللوحة معناته مش هتعرف
تشتغل يبقى هداني بفتح ذهنك بأسئلة مختلفة من خلال
التعريف اللي مكتوب عندي على اللوحة ماجبتش زيدة ولا
كلمة جبتش زيدةكله من خلال التعريف اللي موجود بس
بربطها مع بعضها بمين بالمسائل اللي انت ارتسمها طيب
نيجي للدالة سادسة والاخيرة يبقى الدالة رقم ستة لل
Transcendental function يبقى
transcendental functions الدوال السامية it is the
functions السامية it is the functions هي الدوال
that are not algebraic
Trigonometric functions هي الدوال اللي ماهياش دوال
جابريا as زي ايش؟ نمرة واحد Trigonometric
functions Trigonometric
functions نمرة اتنين ال exponential
f of x يساوي a to the power x و ال a greater than
zero and a does not equal to one نمرة تلاتة ال
logarithmic
الدوال اللغاريتمية زي ايش؟ زي ال F of X يساوي
لغاريتم X للأساس A وال A greater than zero and A
does not equal to one
حسنا؟
طبعا هنرسم كل دوالة من الدوال السامية اللي عنده،
طبعا في غيرهم كمان، هشرلها بعد قليل ونرسم هذه
الدوالة لل Transcendental function الدوال السامية
يبقى الدوال السامية عدة أنواع من هذه الأنواع نمرة
واحد هي ما تكونش دوال جبرية من هذه الأنواع اللي هي
الـ trigonometric functions يعني الدوال المثلثية
الدوال المثلثية كام واحدة؟ ستة الجيب، جيب تمام،
غلط تمام، قاطع قاطع تمام الزاوية وهي الجيب اللي هي
صين ال Xجب التمام cosine ال X، الظل هي tan ال X،
ظل التمام كتان ال X، قاطع الزاوية يبقى سك ال X،
قاطع تمام الزاوية كsecant ال X، يبقى هذه الدولة
المثلثية الستة مرة تانيةSin X يعني جيب الزاوية X
Cos X يبقى جيب تمامي الزاوية X Tan X يبقى ضل X ضا
X كتان X ضل تمامي الزاوية X سك X قا X قاطعي
الزاوية Consequent X قاطع تمامي الزاوية Xيبقى هذه
النسب المثلثية الستة ان شاء الله الست هذول هنرسمهم
وناخد ال domain و ال range و المتطابقات المثلثية
المتعلقة بهمبس مش في ال section الجاي هذا ال
section اللي بعده section واحد تلاتة منفرد كله
للدوالي المثلثي او مين ايه في نومين او الدومين
مقدش ال period لكل واحدة فيهم كل هذا الموضوع
section واحد تلاتة ورسوماتهم كمان تمام؟ يبقى هذه
اللي لما إليها عودة ان شاء الله في section واحد
تلاتة طيب نجي للدالة الثانية ال exponential
functionطبعا في فرق ما بين ال power function و بين
ال exponential function ال power function الأساس
متغير و الأوس ثابت لكن ال exponential function
الأساس ثابت و الأوس متغير يعنيمقدار ثابت هناك ال
power function قبل قليل كانت x أس a هنا جلبنا
خلّينا الأساس أس والأس ماله أساسه سمناها ال
exponential functions الدوال الأسيةF of X يساوي A
to the power X اتنين بد ال A تبقى أكبر من ال zero
دائما و أبدا و ال A لا تساوي واحد طب ليش ال
condition هذا لحاجة في نفس يعقوب سنعرفكم بعضها بعد
قليل والبعض الآخر ل calculus B ان شاء الله لما
تدرسوا calculus B في الفصل القادم او في ثالث
section من الفصل القادمطيب يبقى بدنا نيجي للدالة
هذه a to the power x بدنا نروح نرسم رسمة هذه
الدالة و نشوف شو ال domain إلها وش ال range إلها
وش شكلها هذه فبقى بقول الشكل كتالي خلي بالك معايا
كويس هذا محور x هذا محور y هذا النقطة اللي هي zero
قبل برسم قبل a أكبر من zero يبقى a بتاخدش قيمة
دائما لو أبقى القيمة موجبة اتنين قبل a لا تساوي
الواحد لإن لو كانت ال a تساوي واحد بصير واحد قص أي
رقم بواحد يبقى هذه ال linear function أو الدالة
الثابتة لرسمتها خط مستغرب يعني كأنه ماكانك سر
ماسويناش اشيبس في كمان سبب اخر خليه لك القلاص بيه
ان شاء الله لما تاخد القلاص يبقى نقولك يام طيب
يبقى بدنا نروح نرسم هذه يبقى لو قلتلك واحد أس اكس
بده يطلع خط مستقيم صحيح ولا لا؟ يبقى هذا الواحد أس
اكس، هذا عندك هنا الواحد، وهذا هذا، هذا هيك، هذا
الواحد أس اكسلو كان اتنين اص اكس يبقى اتنين
اص اكس يبقى اتنين اص اكس يبقى اتنين
اص اكس يبقى اتنين اص اكس يبقى
اتنين اص اكس يبقى اتنين اص اكسبنفس الطريقة جوز زيه
بدي مر بنفس النقطة هذه طيب ليش؟ لأنه إكس أس لو
كانت ال X ب Zero فتنين أز Zero تلاتة أز Zero مية
أز Zero يبقى كله بدي مر بالنقطة هذهها اللي الإحداث
تبعها Zero واحدكله لازم يمر بالنقطة هذه إذا لو قلت
أربعة أس إكس هل تجي منها و فوق ولا منها و تحت؟
منها و فوق و تعالى نقولك ليش لو جيت قلت هذه رسمة
الدالة أربعة أس إكس مثلا لو خدت ال X عندي بواحد
يبقى واحد أس واحد اللي هي الواحد تجي كنقطة هذهطيب
لو قلت اتنين أس واحد يعني باتنين بدها تجيك النقطة
هذه لو قلت لك أربعة أس واحد يبقى بتطلع بدها تجيلك
النقطة هذه و هكذا يبقى من هنا تجي منها و فوق و
هكذا مادام رقم أكبر من الواحدة الصحية يعني الجزء
اللي على اليمين بده يجي من الخط واحد هو ال six و
فوقطب لو كان محصور بين الصفر والواحد الصحيح مص طول
تلات اربع الاخرى ومدنيجي هذابدي يجي هنا تحت بس هنا
بدي يطلع فوق نوريك كده يبقى لو أجينا للخط هذا هيك
بالشكل اللي عندنا هنا هذا بيصير نص أس X تمام؟ يعني
نص اتنين هذي لو طلعتها فهو بيصير اتنين أس سالب1 في
1 ب2 أس سالب 1 يعني 2 أس سالب 1 في x يعني 2 أس
سالب x إذا مص أس x يساوي 2 أس سالب xلو كان الرقم
أكبر من الواحد الصحيح اتنين تلاتة أربعة ورفعة إلى
أسالب الرسم هذه بتجيه من وين؟ من الشجة التانية، من
اليمين لوين؟ لليشمال يبقى هذه رسمة
يبقى هذه رسمة a to the power x in general سواء كان
الأس موجب أو سالب أو زيرو طيب السؤال هو a to the
power x هل عمرها بتاخد القيمة الصيفر و أي رسومات
قدامك؟سفر بتاخد واحد مأمنين وقل من واحد مأمنين
كمان السؤال الثاني هل يمكن A to the power X ان
تاخد قيمة سالبة؟ مش ممكنية لإن كلها رسمتها فوق
محوركها لكن تعالي برضه نحسبها عدديا لو قلتك اتنين
أس سالب تلاتة يعني واحد على اتنين أس ثلاثة
إذا قلت اتنين والثلاثة يبقى تمانية ملموقة واتنين
والزيرو واحد يعني موجة إذا ال exponential function
لا يمكن في يوم من الأيام أن تأخذ القيمة الصفر أو
أي قيمة سلبة يبقى بناء عليهبقدر أحط القاعدة و أنا
مرتاح a to the power x أكبر من 0 for all x بس
الشرط هذا موجود عندي ههه ال a أكبر من ال 0 و ال a
ممنوع تساوي واحد يبقى ال a to the power x positive
دائما و always يعني لن يكسر هذا القانون ولو مرة
أكبر من 100 من 0 لا بيساوي 0 ولا بيساوي قيمة سالفة
هذا الهي ال exponential function a to the power x
نجي لل logarithmic function الدالة اللغريةطبعا
أخدت لغارتمات الأعداد والأعداد المقابلة لللغارتمات
في المرحلة الثانوية، مظبوط؟ السؤال مرة تانية، مدام
أخدناها بدأ أسأل السؤال التالي، هل أخدت في يوم من
الأيام لغارتم لكمية سالبة؟ لأ، يعني ما أخدناش
لغارتم لعدد سالب، أخدت في الكيميا لغارتم لعدد
سالب؟يا راجل اتجه الله يا راجل تقرأ بالدالة في سلب
ماعنديش مشكلة، لكن انا بقول هل أخدت له غريتم كمية
سالبة؟ السؤال اللي بعده هل أخدت له غريتم لزيرو؟
لغرتم الواحد بصفر، مش لغرتم صفر بواحد، يبقى لغرتم
صفر Undefined، لغرتم الكمية السلبية Undefined،
بتداسة للسؤال التالت، قداش domain لغرتم X للأساس
إيه قبل أن أرسمها؟من صفر لإنفينيتي مفتوح على أن
اللغة الرسمية ليست معرفة للازرع ولا للثالث يبقى
مضلوش اللي هي القيامة الموجبة يبقى ال domain لللغة
الرسمية تبع ال Xمن صفر إلى انفتاح يعني لما أرسم
الرسمة بدها تطلع عيمين محور Y وعلى الشمال ولا بس
عيمينه؟ عيمينه عيمينه طيب قبل ما أرسمها بدي أسأل
كمان سؤال قداشي ال domain لل A to the power X
domain ال
A to the power Xما هي قدامي هي هذه بتاخد الموجب
وهي هذه بتاخد السالب وهذه زيها يبقى من سالب
infinity ل infinity كل real number طيب السؤال
الثاني ال range ما هي مكتوب قندك ومرسوم يبقى من
زير، من واحد، يعني هذه الرسومات من هذه الشخصيات
يبقى الـ Range للـ A to the power X من Zero
لإنفينيتي as an open interval خلّي المعلومتين هذول
عندك، بدي أرجع أسئلك فيهم سؤال، بدي أرجع أسئلك في
هذول سؤالطيب نجي للدالة اللغة الرثمية الدالة اللغة
الرثمية لو روحت رسمت هذه المحاور يبقى هذا محور X
هذا محور Y هذا النقطة اللي هي main اللي هي zero لو
روحنا رسمنا ال function تفاج نحنا وياك والسالب
والصفر يبعد الله يبقى بتاخدش إلا أو غير معرفة إلا
للقيم الموجبةيبقى هذا الخط الأزرق اللي هو Y تساوي
logarithm X للأساس A
طيب تمام النقطة هذه لحدثي تبعها واحد وزيرو زي ما
النقطة اللي فوق زيرو واحد طيب الآن ال domain
للورتم
ال X للأساس ايه؟
من صفر لغاية infinity as an open interval بد ال
range للغرتم ال X للأساس هذا بياخد القيام الموجب
هذا بياخد ال zero هذا بياخد القيام من سالب
infinity لغاية infinityيعني لغارتما الرقم قد يكون
موجبا و قد يكون صفرا و قد يكون سالبا لكن ال domain
دائما و أبدا موجب طيب النوع الثالث النوع الرابع
اللي أنا ما كتبتش من ال Transcendental function
اللي هو ال inverse function اللي هو معاكوس الدالة،
معاكوس الدالة ما لكوش علاقة فيه في هذا الفصللكن
الفصل الجاي ان شاء الله الفصل التاني Calculus بأول
section في أول محاضرة inverse function معكوس
الدالة تمام؟ يبقى هدول الأربعة أصناف هم اللي
بنسميهم ال Transcendental functions اللي هيمروا
علينا خلال دراستنا سواء كان في Calculus A أو
Calculus B بدنا نغششك معلومة لCalculus Bإن الـ A
to the power X ولغرتم الـ X to the power A كل
واحدة فيهم معكوسة للتانية يبقى the inverse
function of A to the power X is لغرتم الـ X
للأساسي والعكس بالعكس معكوسة دالة لغرتم X للأساسي
هي A to the power X ولاحظ السؤال اللي قلناه القوله
ال domain هنا هو ال range هناوالـ Range هنا هو ال
domain لما كتبتيها عكس مظبوط يبقى الدوام لما تبقى
واحدة معكوسة للدنيا بيكون ال domain الأولى هو ال
range التانية و ال range الأولى هو domain التانية
و رسمة كل واحدة فيهم ان شاء الله هتلاقيها is
symmetric about the line Y تساوي X
ولو واحد يجاوز، الزلمة سأل سؤاله، بدي يفهم، تيجي
على لوحك شويه نتفهن احنا معاك؟ يلا تعالي هنا، طبعا
في أمور تبسط على شو اسمك انت؟حسن الكحول يالا يا
حسن اسألك و لا كده مرة تانية مظبوط
صحيح يعني لا سالب ولا صفر يعني ال X هذه دائما و
أبدا موجبة طلع هنا من هنا لهنا أخدنا صفر ولا أخدنا
سالب ليبقى تفاجنا على القطة هذا النقطة التانيةهذا
domain والله range، يعني احنا لما أخذنا القيم
الموجبة فلعتنا هنا قيم موجبة وطلعتنا صفر وطلعتنا
قيم سالبةيعني ال range بتجيب الموجب والسالب، بس ال
domain للموجب، واضح؟ في مشكلة؟ ايوة، اتخربطش من ال
domain و اتكترنى، حاجة بت .. ايوة ايه تتطارق، صح؟
صحيح؟
لنسمع
سؤاله، اشوف سؤاله مرة تانية، ايوة؟بحكي ال A أُس X
هي اللي احنا أخدناها ها والسين اللي هي قيمة أولها
لإيه؟ يعني مش عارف الشي اللي أخدتها أنت و بعدين
عالم والله عارف أشي اللي بدويا شوف يا سيدي في عندك
حاجة اسم A أُس X وفي E أُس X E أُس X اللي عدده
اتنين وسبعة من عشرة تقريبابس a to the power x هذه
ال a أي رقم من صفر ل infinity عدل واحد الصحيح يعني
ال a to the power x اللي هو العدد اللي انت بتقصده
هو حالة خاصة من a to the power x لما تكون a فقط
اتنين وسبعة من عشرة أو كاشر بخلصش تمام؟ خلاصنا؟
ايوة
ممتاز جدا، بيسأل صاحبنا السؤال التالي والسؤال
وجهه، مع الحق، بيقول احنا رسمنا اللغارتم هذه لـA
to the power X، هذه even والله odd، بيقول والله
إذا متمثلة بالنسبة لمحور A وI فهي evenهل هي
متماثلة؟ يبقى not even صف على شجة نجي هل متماثلة
بالنسبة لمحور X؟ يعني هل اي نقطة هنا فيك بالها
نقطة هنا؟ يبقى ماهياش متماثلة بالنسبة لمحور X و
بضيفله عليها ولا حتى symmetric بالنسبة لل origin
التلاتة كلها لا يبقى ماعنديش symmetry بالنسبة لها
بتاتا خلصنا؟طيب لحد هنا stop بدنا في الحل تروح
تمرن إيدك في ال exercises تبعد واحد واحد من
المسائل من واحد لسبعة و خمسين ال odd numbers طبعا
و بقولك odd ليش ان الإيجابات عندك في الكتاب مش
هنتعرف أنت بتشتغل صحولا بتشتغل غلط، تمام؟ ولا يصعب
عليك بتروح على ال discussion وانت جاهز مش تروح على
ال discussion وانت مش حلل ولا سؤال بصير انت مجمعي
شوية أما حلل، بتروح وانت موطن نفسك وفاهمي كويس،
okay؟ يبقى هنا يعني، يبقى المسال بتروح تحلوا، نبغى
بك تروح على ال discussion وإذا ملهجتش في ال
discussionو رحت للميضة على الغرفة و مالقتش و
بتجيني في الساعات المكتبية أهلا وسهلا وراحت بالكل
اللي بيجي يسأله و اللي بيجي يسأله حرف ده اللي هو
على جنهه طب الأن ننتقل إلى ال section الثاني اللي
يليه هو section 1-2 اللي بتكون من ثلاث نقاط رئيسة
النقطة الأولى لل combining functions بدنا نكوّن
دالة جديدة من دوال موجودة والنقطة الثانية ال
shifting of functions بدنا نرسم الدول و نعمل لها
إذاحاتذات اليمين أو ذات الشمال وإلى أعلى وإلى أسفل
كذلك والنقطة التالتة ال scaling graphs اذا بنرسم
الرسمة بنسب معينة تصغير أو تكبير للرسمة الكلام
اللي سمعته هو مختصر section 1-2 يبقى section 1-2
بتكلم عن ما يأتي
combining functions النقطة الأولى النقطة التانية
shiftings shiftings
الإزاحات and scaling graphs
نبدأ بالنقطة الأولى اللى فى ال combining functions
بإننا ناخد ال sums و ال differences الطرح أو
الفروقات و ال products اللى هو عملية الدرب and
quotients عملية القسمة
كل هدول بإننا نعطيهم تعريف فبجي بقول definition if
ال if and ال g are two functions and if ال xموجودة
في domain ال F تقاطع مع domain ال G we define
بالروح
نعرف تعريفات التالية نمرة واحد f زائد او ناقص g as
a function of x بدي يساوي ال f of x زائد او ناقص g
of x نمرة اتنين ال f في g of x بدي يساوي ال f of x
مضروب في ال g of x and
الـCF as a function of X بدي الساوي C في الـF of X
والـC is constant نمرة تلاتةبدنا ال F على G كله as
a function of X بديه ساوي ال F of X على G of X
وبشرط ان ال G of X ممنوع يتساوي Zero لان
كل هدول functions جديدة بدنا domain لمام لل Fزائد
ال G هو ال domain لل F ناقص ال G هو ال domain لل F
في G هو ال domain لل F تقاطع مع domain لل G and
وزيادة على ذلك ال domain لل C في ال F
النقطة التالتة والاخيرة domain ال F على G
Domain الـ F تقاطم مع Domain الـ G كل هذا بتشيل كل
العناصر اللي بتخللي G of X يساوي Zero for example
let
الـ F of X ساول جدر التربيع إلى X زائد أربعة and
الـ G of X ساول جدر التربيع إلى X تربيع ناقص أربعة
find بدنا كل من نمرا A بدنا
ال F زيدي الجي و ال F في جي و ال F على جي
نمر بين بدنا domain ال F زيدي الجي domainالـ F في
G and domain ال F على G نمرسى
بدنا ال F على G as a function of one and ال F على
G as a function of three
لما اقول combining functions يبقى احنا عندنا
دالتين او اكثر بدنا نعملهم عملية تجميع عملية تجميع
قد يكون جمع قد يكون طرح قد يكون طرب قد يكون قسمة
قد يكون عملية تركيبيةبس التركيبية أجلناها لك إلى
ما بعد قليل قلينا نشوف الشغلات اللي بيبقى أول شغلة
بدنا نكوّن دالة جديدة من دالتين موجودتين إما
بعملية الجامعة أو عملية الطرح أو عملية الضرب أو
عملية القسمة وبعد ما نكوّن هذه الدول بدنا ندور على
ال domain تبعهاما هي علاقة الـ domain لهذه الدوال
بالـ domains للدلتين الأصليتين بقول التعريف كتل
افترض ان عندك دلتين f و g are two functions وخدنا
element x موجود في تقاطع two domains domain ال f
intersection domain ال g يعني انا جبت domain ال fو
جبت domain الـ G و أخدت النقاط المشتركة بين ال two
domains تمام؟ يبقى هذا اللي سمنا ال intersection
أو تقاطع ال two domains أخدت element موجود في هذا
و جيت بدي أخد F زائد G أو F ناقصي لما اتأثر على
هذا ال elementبعرفها هي عبارة عن تأثير ال F على X
مضافا إليه أو مقروحا منه تأثير ال G على X الأن لو
أخدت حاصل ضرب FG as a function of X يسوى تأثير ال
F على X مضروبا في تأثير ال G على X الأن لو دالها
دي أخدتها مقدار ثابت مضروبة في الدالة تانية ممكن
أقولمقدار ثابت مضروب في F كله بيؤثر على X يساوي C
itself نفسها ماتغيرتاش في تأثير ال F على X حيث ال
C constant مقدار ثابت بدنا ال F على G لما تأثر على
X يساوي تأثير ال F على X مقسوما على تأثير ال G على
X بحيث انالجيوبكس ممنوع يتساوي zero لإن لو سوى
zero عند هذه النقطة بصير القسمة is undefined غير
معرفة إذا أنشأنا دوال جديدة من الدالتين الأصليتين
بد ال domain لكل واحدة منهم الحمد لله domain
الجامع هو domain الطرح هو domainاللي هو الضرب هو
التقاطة بين ال two domains زي ما هشوف عمليا بعد
قليل طيب بيجيني ال domain main المقدار الثابت في F
بيقول هو ال domain تبع ال F تعالى نشوف ليش قاللي
domain ال Fالسؤال اللى جابلى و قاللى ال domain
الجامع و الطرح و الضرب اللى هو ال intersection ما
بين الاتنين يبقى انا بدأ اخد الضرب بدل ال F او ال
G بدأ احط مقدار ثابت هو ال F of X لما تسوى مقدار
ثابت جديش ال domain تبعهاكل real number من سالب
infinity إلى infinity ب gene مين domain ال F يبقى
تقاطع ما بين domain ال F وما بين ال set of real
numbers domain ال F itself ومن هنا روح نقول دومين
ال constant F هو مينهو domain الـ F itself طبقنا
ال domain تبع حاصل الطرب هذا قولنا ال intersection
ما بين ال two domains طيب domain خارج القسمة يبقى
ال intersection ما بين ال two domains بدي أشيل منه
النقاطاللي بتخليه للمقام ما لها ساوي زي هو يبقى
ناقص كل العناصر X اللي صورتها بدها تكون صفر لإن
القسم عند هذه النقاط بصير ما لها and five طب هذا
كلام نظري بدنا نشوفه على أرض الواقعمعطيني دلتين و
قليلات للجمع و الضرب و القسمة و بعد هيك ال domains
اللي لهم و بعدين تحسبلي ال domains القسمة عنده
رقمين بقوله ماشي بدي اجي للنقطة الأولى بدي اخدله f
زائد g as a function of x بدي اعرف شو شكل الجمع
بنطبق التعريف اللي أنا قايله يبقى لما أطبق التعريف
هذه عبارة عن f of x زائد main g of x f of x معروفة
عند اللي هي main الجذر التربية إلى x زائد 4 زائد
ال g of x اللي هي الجذر التربية إلى x تربية ناقص 4
بقدر هدولة جمعهم أكتر من هيخلاص؟ يبقى خلاص؟ بقدرش
أجمع أكثر منك، يبقى هايوم، كل اللي بقدر أعمله أن
أضرب في المرافق وبالتالي أحطهم في شكل جديد،
كالكعزيزة، مالهاش لزوم، يبقى خلاص، وصل لحد هنا،
والله يعطيك العافيةبعد هيك بداجي لمين؟ للنقطة
التانية اللي هي ال FG as a function of X يبقى ال F
of X في ال G of X يبقى الجدر التربيعي لل X اللي
عندنا هذه لل X زائد الأربعة مضروبة في الجدر
التربيعي لل X تربيع ناقص أربعةهذه صحيحه بقدر
أخليها جذر واحد، مظبوط، بقدر أقول هذا جذر واحد،
مظبوط، لمين؟ لل X زائد أربعة، بال X تربية نقص
أربعة، بقدر واحد و أخليه جذر واحد، أكتر من هيك،
وصل لحد هنا، والله يعطيك العافيةبتداجي لمن؟ ل ال F
على G as a function of X يبقى ال F of X على ال G
of X يبقى الجدرى التربية لل X زائد 4 على من على
الجدرى التربية ل X تربية ناقص 4 هو اللي بقدر أخليه
كذلك
خلصنا المطلوب الأول بدنا نيجي للمطلوب التاني نجلب
الدميل للأولى و الدميل للتانىمش هنجيب ال two
domains لازم أعرف قداش domain ال F و domain ال G و
التقاطة فيما بينهما لأن هذا أساسي في شغلنا صحيح
ولا لأ يبقى باجي بقوله بدي أجيبله في الأول domain
ده ال F هو كل العناصر X بحيث هو أنه برجع لل F صح
بيتنا هذه تمام؟ بدي ال domain تبعهابدى القيمة اللى
تحت الجدر تبقى دائما و أبدا أكبر من أو تساوي ال
zero يبقى ال X زائد أربعة greater than or equal to
zero يبقى كل العناصر X بحيث أن ال X تكون أكبر من
أو تساوي جداش سلب أربعة يعني من سلب أربعة ثم فوق
يعني من و لا وينسالب أربعة لغاية infinity يبقى هذا
كل ال interval مغلقة من عند السلب أربعة و لغاية ال
infinity مفتوحة بالشكل اللي قدامنا هنا تمام هاي
جيبنا domain ال F بدنا نجيب main domain ال G
domain ال G كل العناصر X بحيث رانا برضه صاحبنا هذا
جذريبقى بدى كل الكمية اللى تحت الجدرد تبقى أكبر من
أو تساوي ال zero بحيث ان X squared minus four
greater than or equal to zero يبقى كل العناصر X
أضيف أربعة للطرفين يبقى بحيث أن X تربية greater
than or equal to من للأربعة انا مابدى X تربية بدى
X يبقى شو بعمل؟بأخد الجذر التربيهي للطرفين، يبقى
هذا كل العناصر X بحيث أن absolute value ل X أكبر
من أو تسوى absolute value لاتنين اللي همين
بالاتنين، صح؟ سكت الشعبالجدر التربية على اكس تربية
هو absolute value لكس يبقى absolute value لكس
الجدر التربية على اربعة هو absolute value لاتنين
اللي هي باتنين itself طبعا فبدي اعبر عن هذه بصياغة
اخرى فبجي بقول هذه كل العناصر X such that هذه اما
ال X greater than or equal to
بس اسمع اسمع ليش ايش؟ وهي
هذا الكلام يسمى كلمة or تعني اتحاد
يبقى باجي بقول جال ال X أكبر من أو تساوي 2 يعني من
عند اتنين لوان للمالة نهاية جال ال X أقل من أو
يسالب يعني بدك ترجع من سالب اتنين لوان لكن الفترة
الصغيرة بنحطها في الأول و الكبيرة بنحطها بالاخر
يبقى كل ال interval من سالب infinity لغاية سالب
اتنينمغلقة من عند السلب اتنين بسبب اليساوي اتحاد
الفترة من اتنين لغاية infinity
طيب، حتى الآن جيب بس domain ال F و domain ال G،
أصبر عليا بس نخلص، الآن أنا بدي domain المشترك ما
بين الأثنين، لأنه عند التعريف قال X موجودة وين في
التقاطة، ولمن حسبنا ال domain قال اللي موجود في
تقاطة الأثنينيبقى احنا بدنا نروح نجيب تقاطع
الفترتين domain ال F مع domain ال G إذا بقوله بدي
domain الدلة F تقاطع مع domain الدلة G يساوي وما
أدركى مالي يساوي وكيف بدنا نعزبه استغلنا شوية بقى
أصب الله ما أخلصالان بدى أعلمك كيف تحسبه بطريقة ما
تخرش الميه تمام؟ بدك تروح تلصم راسم كيف الرسم؟
بقوله هذا ال real lifeبتدهش للفترة الأولى تبع ال
domain ده اللي يفجل من وين؟ من عند السلب أربعة
لغاية؟ يعني لو قلت هذا ال zero بده تجينا سلب أربعة
هنا، مظبوط؟ نبعدها شوية مشان الكل يشوف جول هنا،
هاي سلب أربعة يبقى من وين لوين، من عند السلب أربعة
بدي أبقى الماشي إلى ما لا نهايةسهم يعني قال فالله
سهل عليها إلى نيرة الله الأرض ومن عليها خلاصنا
مين؟ هذا مين اللي رسمته؟ domain ال F بدي أروح ل
domain ال G domain ال G جاله من سالب infinity
لغاية سالب اتنين سالب اتنين وين بيجينا؟ هنا سالب
اتنين و بتدك ترجع لوين؟ لسالب infinity و بعد هيكمن
عند اتنين لل infinity يبقى اتنين تجينا بعد ال zero
يبقى هاي اتنين ولل infinity بالشكل اللي عندنا هذا
الان التقاط اتباعهم هو المنطقة المشتركة ما بين
الاتنين وإن اتنين موجودين مع بعض تكون هي المنطقة
المشتركة اطلعلي هذه اظن هذه المنطقة المشتركة ما
بين الاتنين هنا وهنا هذه المنطقة المشتركة ما بين
الاتنينصحيح ولا لأ؟ يبقى بناء عليه بقدر ال domain
من سالب أربعة لسالب اتنين من سالب أربعة لسالب
اتنين as an closed interval بسبب وجود اليساوي بدا
أحب عليها كمان الفترة من و لا و ام من اتنين مغلقة
لغاية infinityيبقى يا شباب إن رسمت زيها في عمرك ما
هتغلط، بس تجي تقدرها بدور الرسم، احتمال الخطأ وارد
بنسبة 150%هذا للبعض والبعض الاخر قد يكون نسبة نجاح
150% واما ما ده فيه اختلاف في العقول إذا حتى ما
نغلطش بنحاول نرسم طيب رسمنا وحددنا الفترة الحين
بدنا نيجي لمين لنمربيه في المثلة نحسب ال domain
اللي بدناه بعد ما اشتغلنا الشغل هذه كلها
نمسك نمرة بي لان، هاي نمرة بي، نمرة بي قال لي
domain ال F زي دي ال G و domain ال F في G هدول زي
بعض، مش فيهم مشكلة، مظبوط؟ يبقى بقى جيبقى أقول له
domainالـ F زائد الـ G هو domain الـ F في G هو
domain الـ F تقاطعه مع domain الـ G، مش هيك؟ يبقى
هذا جاهز، حسبتهبجيبها زي ما هي و بقعدها بسلامتها
يبقى هذه يساوي سالب أربعة و سالب اتنين اتحاد اتنين
و infinity بقى اللي عندنا في نمرة بيه ايجاد domain
خارج القسمة بقوله and
الـ domain بتبع ال F على G اللي هو domain ال F
تقعقه مع domain ال G بدي أشيل منه كل ال X's اللي
بدها تخليه ليه G of X يساوي Zeroمش هيك التعريف طيب
ال intersection جاهز هيه فوق يبقى سالي باتنين
أسالف أربع لغاية سالي باتنين اتحاد اتنين و
infinity بدي أشيل منه كل القيم اللي بدها تخلي
المقام ب zero من القيم اللي بتخلي جي ب zero هي جي
ما هو اللي يجعلها zero؟ إتنان و سالب إتنان، هل
يوجد غيرهم؟ بكتبهم as a set سالب إتنين و إتنين،
يبقى بدا يجي على الفترة هذه، بدي أشيل منها سالب
إتنين و إتنان اللي عندنا، يبقى بدل ما يتلت، بخليها
مفتوحة، يقول خلصنا، حلنا مشكلتنايبقى هذه يساوي
سالب أربعة مغلقة سالب اتنين بنخليها مفتوحة اتحاد
كمان مفتوحة اتنين و infinity يبقى استبعدنا سالب
اتنين و اتنين
المشكلة في حساب ال domain مش في الشكل إذا في
اختصارات باختصرها بالمقال فيش اختصارات X ناقص
اتنين في X زي اتنين فرق من المربعين هدفش اللي فوق
X زي اتاربعة لأ لأ اجى في باله X ناقص اربعة X زي
اتاربعة تم اختصار فيش اختصار
هي ال F في ال bus و لا في المقاممصبوط؟ يبقى بيخلى
اللى فى المقام هو اللى يساوي دى لأصفار المقام مش
أصفار البطل أصفار البطل ده اللى معرفة عندها
ماعنديش مشكلة المشكلة لو وقعت الأصفار فى المقام
عارف ليش؟ لأنه لا يمكن في علم الرياضية إنك تقسم
على صفر خارج نطاقة العقل البشري مش ممكن يتصورها
العقل البشري في يوم من الأيامماشي الى يومنا هذا
طبعا تمام؟ يبقى خلاصنا منين؟ نمرة بيخلاصنا منها
كلها جيبنا ال domain طبعا ايوة كيف؟ تعال هنا، ايه
الحد؟
انيات اللي بتنعد، لحد هنا؟ وين اللي مافهمتوش؟ممتاز
جدا طيب اذا دمية دولة F1 و F2 هيها هل الجلر معرف
لقيمة سالبة يعني بدي اكبر او يساوي ها ايه اكبر من
او يساوي زيه تعرف تحلي المتباينة هنا يعني بنضيف
سالب اربعة على الطرفين بصير X اكبر من سالب اربعة
او يساوي يعني من سالب اربعة والله سهل عليك لوين؟
أكبر منها سالب ثلاثة سالب اتنين سالب واحد زير واحد
اتنين لغاية ما يبقى هذه خلاصة من هذه التانية
واختها هاي الجدرى التربية الاكستربية نقصرها
بدناياها اكبر من او تساومين ال zero ضيف اربع على
الطرفين بصير الاكستربية اكبرخد الجدر التربيه
الاطفالي موافق؟ لحد هنا تمام؟ بدنا نفسر هذه، هذه
معناها يا إما ال X أكبر يسوى اتنين، يا إما أقل من
أوي يسوى سالب اتنين، يعني من عند اتنين لما لا
نهاية من سالب اتنين اكترى على سالب ما لا نهاية،
مظبط هك؟ فهمت؟ بدنا التقاط ما بين الفترة هذه و
الفترة هذه هي قدامكخلاص لا؟ ضالي شيء؟ شو اسمك أنت؟
زهر المناصر، هاي تالث مرة بسأله عن اسمه، مظبوط؟
يبقى زهرة المناصرة بانها تزهر هك و تفتح اكتر ان
شاء الله هاي خلاصة من المطلوب التاني نمره بيه بدنا
نروح لنمره ال C حد بيقدر يعطيني الجواب مباشرة من
ضل يعوض ولا حاجة F على G of 1
طلع للـ domain تباعها، وين ال domain؟ ال F على G
اللي هاد، موجود الواحد هناموجود؟ يبقى does not
exist مظبوط ان واحد مش موجود في الفترة هذه يبقى
اوتوماتيكي هذه محلولة خالصة اذا يبقى بالداجي اقوله
ال F على G as a function of one does not does not
existبسبب ان الواحد ليس مستحيل للفترة ناقص اربعة
وناقص اتنين اتحاد اتنين وانفنتي مش موجود في الفترة
هذهيبقى كيف؟ احنا بيجيب قيمة الدالة في element
موجود في domainها، هذا مش موجود في domainها، إذا
لا يمكن لهذه أن يحصل، طب واحد قاللي لا ماجهش في
باله الكلام هذا، اخرج قاللي احنا أخذنا اللي وين
خارج قسمة الاتنين هايه، تمام؟ بقولكوا إيهوقال حطلي
واحد بقوله واحد واربعة خمسة واحد تربيه بواحد نقص
اربعة نقص ثلاثة سالب خمسة ع تلاتة does not exist
كمية تخيلية مظبوط يبقى لا يمكن نقدر يجيب قال لي
بعد هيك هات ليه؟فعل جي جاهز
هي الجدر التربيعي لتلاتة زائد أربعة على تلاتة
تربيع ناقص أربعة مظبوط يعني هذا الجدر التربيعي
لسبعة على تسعة ناقص أربعة سبعة أخمس يبقى existماشي
يا سيدي طيب لحد هنا تمام انتهينا من جزء من النقطة
الأولى اللي هي ال combining functions بدنا ننتقل
إلى النقطة الثانية في نفس ال combining function
وهي very important
هيش النقطة الثانية لل composition of functions
اللي كنتوا بتسموها f circle g او f بعد g ايوة دمان
ال f على g ماله ابدا دمان ال f التقاطة تبع ال
اتنين اللي كتبنا تحت بده الشيء القيم اللي بتخلي g
تساوي صفر الجدر التربية ل x تربية نقص 4 او اكتشف
بيساوي صفرعند x اتنين و سالب اتنين لأنه اربعة ناقص
اربعة بصفر ناقص اتنين كل تربية اربعة ناقص اربعة
بزيرو يبقى بدنا نشيل اتنين و سالب اتنين من ال
interval سالب اربعة لغاية سالب اتنين اتحاد اتنين و
infinity يعني بصير مفتوح ان عند سالب اتنين و اتنين
ليس الاطيب بنيجي الأن لتكملة النقطة الأولى اللي هي
ال composite functions يبقى بالدالي لحاجة اسمها ال
composite functions
definition
F
ال F عند ال G R
two functions recomposite
function
الدلة التركيبية او الدلة المحصلة لل F composition
G is defined by
إذا كانت الـ composition جي كمعاملة من X يساوي F
للجي من X بحيث أن X موجودة في دمين الجي مرة
تانية
الكمبوزيت فانكشن الدالة المحاصلة أو الدالة
التركيبية يعني انا عندى دالتين بدى اركب منهم دالة
جديدة دالة واحدة دى من الدالتين اللى موجودة او تلت
دول بدى اركب منهم دالة او اربعة او ما إلى ذلك
الدالة التركيبية او الدالة المحاصلة بدي اعطيها رمز
F circle G كنتوا بتقراوها في التانوي F بعد G او F
circle Gفي علمنا F composition G F composition G
Circle بس عشانها دائرة صغيرة بنقول Circle أما في
الحقيقة بنقول F composition G is defined by
بنعرفها كتالة F composition G of X يساوي F of G of
X بعيثة X موجودة وين في domain الجي خلّي بالك
معايا هناالان انا بقول if composition D of X مين
اقرب واحد علي X؟ if والله جي جي يبقى جي هتأثر علي
X يبقى X لازم تكون وين ومن الجي حتى تقدر تأثر
عليها طيب أثرنا ب G علي X صارت مين؟G of X إذاً G
of X صار element جديد في domain main الدالة F حتى
تقدر F تأثر عليها نوضح لك هذا الكلام بالرسم لو
عندي هنا ست والست سميتها A والست تانية سميتها B
والست ثالثة سميتها C خلي بالك معايا كويسالان من A
الى B في عندي دالة اسمها G من B الى C في عندي دالة
اسمها F الان لو كان عندي element هنا اسمه Xيبقى
هذا ال element موجود في domain main إذا جي بتأثر
على كل عناصر a إذا هتأثر على هذا ال element يبقى
جي لما تحث .. لما تأثر على x بده يظهرله صورة في بي
اسمها mainG of X هي صورة الـ Element X اللي موجود
في A صورته ظهرت في B بي هو domain مين يبقى ال F
هتأثر على هذا ال element اللي موجود في domainها
اللي موجود في domainها وتخلي صورته هناF of ال
element اللي موجود في domainها اللي هو G of X
وكأنه بيه مهادي مش هتظهر كأنه بده يصير ال X بده
يجي لل element اللي عندنا هذا اللي اسمه main F of
G of X وبالتالي F composition G of X بده يسوي F of
G of Xطيب سؤال هل ال F composition G يساوي G
composition F؟ فرقة السما على الأرض هنا ال element
بيكون في ال domain ال G هنا ال element في ال
domain ال F يبقى هذه اللي لا يمكن أن تساوي هذهيبقى
بقوله هنا in general على وجه العموم ال F
composition G لا يساوي G composition F السؤال
الثاني احنا جبنادالة جديدة من الدالتين الأصليتين
زي ما كنا قبل قليل بنضيف دالة جديدة إذا بدنا ال
domain تبعها وفتحلي كويس لإن كتير من الشباب بضلوا
يسألوا فيها كتير عملية سهلة جدابس مش عارف ليش
بيكتروا فيها السؤال الان بدنا نيجي لل domain بتابع
ال F composition G بدي اعرفه تعريف مين هو الان هذه
مشان تأثر على element بدي اقول كل العناصر Xيبقى x
هوين بده يكون موجود؟ في domain الجي يبقى كل
العناصر x بحيث أن x موجود في domain الجي وفي نفس
الوقت and ال g of x هوين بده يكون موجود؟ في domain
ال F موجود في domain ال F يبقى هذا تعريف تبع
الكوميزيون ولا رياسة منهاكل العناصر اللى موجود فى
domain الـG صار عنده Geobox يبقى Geobox بديها تكون
وان موجودة فى domain الـF خلص التعريف بالمهم مش
التعريف هو كيف اتطبق لمين التعريف إذا سنذهب إلى
مثال مباشرة example عادى
نثبت المعلومة هذه قبل ما نمشيالمثال بيقول ما ياتي
let فبرا هعطيك على هذه النقطة بدل المثال تلاتة وكل
واحد فني بيختلف عن الثاني ففتحه كويس ودجج معاه let
اللي هو ال f of x بدل يسوى x²-1 andالـ G of X بدي
ساوي الـ Square Root لمن؟ للخمسة ناقص الـ X نمرا
A بدي الـ F composition G نمرا B بدي الـ G
composition Fنمرة C بد ال G composition G نمرة D
بد ال domain ال F composition G and domain ال G
composition G
هلا مالك هنافتح معايا كويس مش هشوف كيف بنحسب
الشغلات هذه الان بدنا f composition g as a
function of x شو شكلهفبجي بقول شكله كالتالي F of G
of X طبعا الان G of X موجودة عندي يبقى بشيل G of X
و بحط قيمة مكانها يبقى F of ال G of X هي عبارة عن
الجذر التربية إلى مين لخمسة ناقص ال Xبعدك اسمع
شوية هنا بيقول ال F لما تأثر على العنصر يسوى مربع
العنصر مطروح منه يبقى F لما تأثر على هذا العنصر
مربع هذا العنصر مطروح منه واحد يبقى هذا الكلام بده
يصير خمسة ناقص X تحت الجذر الكل تربية بده أشيل منه
واحدتمام؟ يبقى هذا شو بده يساوي؟ هذا خمسة ناقص X
ناقص واحد يبقى النتيجة أربع ناقص X
بنفس الطريقة يجيب الجي جي جي جي جي جي جي جي جي جي
جي جي جي جي جي جي جي جي جي جي
جي
الان جي لما تأثر على العنصر يساوي الجذري التربيعي
لخمسة ناقص هذا العنصر يبقى هذا بده يساوي الجذري
التربيعي لخمسة ناقص هذا العنصر لإكس تربية ناقص
واحدهذا بده يصير الجدر التربية لخمسة ناقص X تربية
زي واحد يبقى الجدر التربية لستة ناقص X تربية اللي
مافهمش يتابع معاه نمره C بده جي composition جي
كذلكبعد هيك بيضلش هوضر ولا لوحد، بدل السؤال تلاتة
على نفس المفهوم، يبقى هذا G لـG of X يبقى G لأ،
بدي أشيل الـG of X و أحط قيمة اللي هو الجذر
الترفيعي للخمسة ناقص Xوكأن هذا ال element كله أصبح
عنصر في domain main الجي جي لما اتأثر على عنصر
اللي في domainها بده يساوي الجدري التربيعي لخمسة
ناقص هذا العنصر يبقى هذا بده يساوي الجدري التربيعي
لخمسة ناقص هذا العنصر خمسة ناقص Xواضح؟ هاي بدل
سؤال اتنين تلاتة حلنا لك كيف تحسب main ال
composition وبالتالي خلصنا A وB وC الآن بدنا نجيب
ال domain بشان نجيب ال domain بدنا domain كل واحدة
فيهم في الأول يبقى قبل ما نيجي للباقي بدي domain
ال F يسوّن كفايةفى نقطة لفها دى مش معرفة عندها
يبقى معناها كل ال real number يبقى من سالب
infinity إلى infinity ماشي بدنا domain الجى كل
العناصر X بحيث N بدى كل القيمة اللى تحت الجدرة
تبقى مالهاأكبر من أو تساوي الـ zero بدي كل الخمسة
نقص X greater than or equal to zero يعني كل
العناصر X بحيث أنيبقى X أقل
من أو تسوى خمسة بسالب infinity لغاية خمسة
تمام؟ جيبنا ال two domains يبقى حلينا المعضلة و
بلش عندي إلا أحسب كده ال domain تبع كل واحدة فيهم
إذا بيداجي لنمرى D بدي ال domain بتبع ال F
composition G و لا ال G composition .. ال F
composition Gالتعريف بيقولك كل العناصر X بحيث ان X
موجودة في دمين الـG and الـG of X موجودة في دمين
الـF مش هيك التعريف بدنا نبدأ نطبق التعريف فتحه
كيف بدنا نطبق التعريفالـ X هذه موجودة في domain
الجي وين domain الجي؟ أيه؟ يبقى من سالب infinity
لغاية خمسة وفي نفس الوقت andالـ g of x main هي
اللى عندنا اللى هى الجدرى التربية الى خمسة ناقص x
موجودة فى domain ال F domain ال F من وين لأ وين من
سالب infinity الى infinity خلصنا هذا التطبيق حرفى
بعد ما خلصنا التطبيق الحرفى بده المخ يبدأ يشتغل
بنشوف كيف بده يشتغل هاد يا شباب بنزلها زي ما هين X
موجودة من سالب infinity لغاية أخرى هاد مافيش مشكلة
المشكلة هو هنا مدام X هنا بدي أطلع X هنا موجودة في
فترة وبعد هيك بجيب التقاطع بين الفترتينبكون خلصنا،
مظبوط؟ طب مشان نخلص، هذا الجذر فيه قبله إشارة
سالم؟ مافيش قبله إشارة سالم، إذا هذا فيه جزء موجب
و جزء سالم، إذا لا يمكن لهذا يخد لي أي قيمة قبل ال
zero، صح ولا لا؟بس ممكن يكون zero، مظبوط؟ يعني
معنى هذا الكلام and الجذر التربيهي لخمسة ناقص X
بدي يكون أكبر من أو يساوي ال zero سكت الشعب وسكت
أهل الكهف طيب خليكم معاه مرة تانيةبقول مرة تانية
صح صح هذي very important بتجيبها لامتحانات كتير صح
صح معايا كويس الحين هذي نزلت كما هي تمام هذه
الهيجيوفكس بديها تكون موجودة في domain ال F كتبنا
domain ال Fهل الجدر مسبوق بإشارة سالب؟ لا، يعني
هذا الجدر اللي لا يأخذ إلا قيمًا يبقى من سالب
infinity لغاية zero يبعتلك الله، صح؟ يعني يبدو
يكون موجود من وين؟ من zero إلى infinity، يعني هه،
نعملها كخطوطين موجود في الفترة من zero لغاية
infinity، أظن فيش مشكلة هنا؟خلاصنا؟ يعني هذا الجذر
فلو كان قبله إشارة سالم بروح باخد الفترة من سالم
infinity إلى وين لغاية zero، وابحثت هذه؟
بنزلها زي ما هي مش هغير فيها ولا حاجة ان هذا
معناته ان الجدر التربية لخمسة ناقص x أكبر من أو
تساوي ال zeroمظهر؟ مش عارف معناها؟ طيب هذه بدأ
تنزل كما هي وهي الأن ربع للطرفين بصير عندك خمسة
نقص X greater than or equal to zero نزل هذه زي ما
هي and هاتلي X للطرفين بصير مالها خمسة أكبر من أو
تساوي ال X يعني مين؟نفس الفترة اللي عندنا هذه يعني
كأنه هذه كل العناصر x بحيث أن x موجودة من سلب
infinity لغاية خمسة and ال x موجودة تمام من سلب
infinity لغاية خمسةيبقى موجودة في الفترة التانية
طب ما هي نفس الفترة صح ولا لا إذا انت قاطع الفترة
مع نفسها هي نفس الفترة إذا نفس ال interval من سالب
infinity لغاية خمسة بالشكل اللي عندنا هذا هذه مهما
اتحلل بسيطة تمام طيب بدنا نيجي نشوف التانيةالتانية
يا ترى بدأ تطلع نفس الفترة والله بتختلف عنها هذا
ما سنجيب عليه فورا يبقى مضاجي الآن اخر حاجة domain
الجي composition جي يبقى كل العناصر x بحيث ان x
موجودة في domain الجي andالـ G of X موجودة في دمين
الـ G يبقى
كل العناصر X بحيث ان X موجودة وين دمين الـ G؟ هاي
دمين الـ G من سالب Infinity إلى خمسة من سالب
Infinity إلى خمسة andالـ g of x اللى هى الجدرى
التربية اللى خمسة ماقص x كما هى موجودة فى domain
main فى domain الـ g domain الـ g اللى هى من سالب
infinity لغاية كده لغاية خمسةهذه الآن بنزلها كما
هي وباقي بقول and هذا الجدر مسبوق بإشارة موجب يعني
ماعنديش سلب جابله إذا من سلب infinity لغاية zero
يبعتلك الله زي ما حكينا هنا يبقى وضل من ويل لويلمن
zero لخمسة بس يبقى and الجدر تبع الخمسة ناقص x
موجود في ال closed interval من zero لغاية خمسةليش؟
لأنه بالموجة بيبقى استبعدنا كل السالب بالمرة طيب
هذه بنزلها زي ما هي and الجدر التربية ل 5-x أقل من
و قد يساوي 5و أكبر من و قد يساوي zero هذه بنزلها
زي ما هي and ربع الطرفين بصير خمسة ناقص x أقل من
أو يساوي 125 هذه بنزلها زي ما هيعشان اضيف السالب
خمسة للثلاثة اطراف السالب خمسة اقل من او يسوى
السالب X اقل من او يسوى
طيب هادي بالصير تنزل هادي زي ما هي هادي ان اضرب
كله في شر السلب لان انا بدي اكسب الموجةخمسة أكبر
من X أكبر من سالب عشرين و جفلنا تمام؟ يبقى هذه
صارت كل العناصر X بحيث أن X موجودة من سالب
Infinity لغاية خمسة and
الـ X موجودة طلع هذه بتظبطها أكبر من أو يساوي سالب
عشرين وأقل من أو يساوي خمسة صغيرة بنكتبها في الأول
يبقى هذه سالب عشرين وهذه ما لها أقل من أو يساوي X
وهذه أقل من أو يساوي خمسة جلبت بس الوضعX موجودة
في الفترة من سالب عشرين لغاية خمسةيبقى انا عند هذا
ال real line هذا من عند الخمسة بدأ ترجع لين؟ لل
infinity وهذا بيجينا قبلها هنا ال zero هذا بيقول X
موجودة من سالب عشرين لغاية خمسة سالب عشرين وين بدأ
تجينا؟ تجينا هنا سالب عشرينيعني على الفترة اللي
عندنا هذه فقط لا غير هذه من هنا هك لهنا أين الفترة
المشتركة بينهم؟ سالب عشرين دغاية خمسة يعني كأن هذه
X موجودة في سلب Infinity وخمسة تقاطع الفترة سالب
عشرين وخمسةاللي هو بده يساوي عنه سالب عشرين ولغاية
خمسة، سالب عشرين لغاية خمسة، خلاص؟ واضح عظم الشغل
هيك؟ طيب، لسه لا يزال عندنا مثالين فكرتهم في نفس
الموضوع بس بأفكار مختلفة، هعطيكوا العزف