بسم الله الرحمن الرحيم عودنا على بدء سابقا قبل
حوالي عشرة أيام او ما يزيد كنا بنتكلم عن رسم البني
للمنحنيات بنذكر تذكير كيف كنا بنرسم هذه المنحنيات
بنعمل قدر خطواتالخطوة الأولى بنشوف تقاطة المنحنة
المحورية الإحداثية عن طريق مرة نحط X ب Zero نشوف
قداش قيمة Y نحط Y ب Zero نشوف قداش قيمة X وبالتالي
بنجيب نقاط تقاطة المنحنة مع محاور الإحداثيةقطة
ثانية نجيب الاسمتوتز خطوط التقارب لمهم للمنحنة
وخطوط التقارب لا تكون الا لفنكشن فيها بصف ومقام
يعني rational function زي مهمزي ال function
بتبعتنا هذه يبقى هذه فيها فيها ال symptoms يبقى
قبلنا نجيبها ال symptoms بعد هيك بنجيب المشتقة
الأولى منها بنحسب حاجتين ال local maximum و ال
local minimum و ال increasing و ال decreasing يعني
فترة التزايد و فترة التنقص و كذلك موقع نهاية
العموظة المحلية بعد هيك بنروح نجيب المشتقة الثانية
و منها بنجيب ال concave up و ال concave down
الانحناء الى أسفل والانحناء الى أعلى او التقوس الى
أعلى والتقوس الى أسفل وكذلك بنجيب ال inflection
points ان موجودة بعد هيك بنروح نرسم الرسم اللي لنا
من خلال المعلومات اللتي حصلنا عليها هيك كنا بنعمل
يبقى لازلنا بنعمل نفس التكتيك وهي مثال بين يدينا
بقولي ارسم اللي هو المنحنة اللي عندنا هذه باجي
بقوله X لا يساوي اتنين يبقى ساوي اقل و الله ماجليش
انا بقوله الدالة غير معرفة ان X ساوي اتنين يبقى
الخطوة الاولى بان نشوف نقاط التقاط مع محوري
الاحداثيات يبقى بده احط X بزيرو يبقى باجي بقوله لو
كانت ال X تساوي زيروY يساوي ناقص ثلاثة على ناقص
اتنين و يساوي ثلاثة على اتنين و يساوي ناقص
ثلاثة على ناقص اتنين و يساوي ناقص ثلاثة على ناقص
اتنين و يساوي ناقص ثلاثة على ناقص اتنين و يساوي
ناقص ثلاثة على ناقص اتنين و يساوي ناقص ثلاثة على
ناقص اتنين و يساوي ناقص ثلاثة على ناقص اتنين و
يساوي ناقص ثلاثة على ناقص اتنين و يساوي ناقص ثلاثة
على ناقص اتنين و يof intersections with the
coordinate axes
R
النقطة الأولى وانتهينا
من الخطوة الأولى بدنا نروح للخطوة الثانية بفضل من
حد ما نشوف المعادلة لإن بصف مقامدرجة البصر أكبر من
أو تساوي درجة المقام أنه نقسم جسمها مطولة يبقى
بتروح أقسم ال X تربية ناقص ثلاثة تقسيم ال X ناقص
اتنين فيها ال X ب X تربية ناقص اتنين Xزاد بيصير
ناقص بيصير زاد بتروح هادي بظل 2x ناقص ثلاثة الباقي
من الدرجة الأولى والمقسوم عليه من الدرجة الأولى
بواصل عملية القسمة يبقى 2x على x فيها جداش فيها
ليه اتنين ب2x ناقص اربعة زاد بيصير ناقص وهادي زاد
بظل هنا جداش واحدإذاً الدالة اللي عندنا y تساوي x
تربيع ناقص ثلاثة على x ناقص اتنين يساوي خارج القسم
هو x زائد اتنين الباقي هو واحد لسه بدي اجسمه على x
ناقص اتنينطبعا خارج قسم هذا هو دالة خطية يبقى هذا
بدي يكون main هو ال oblique asymptote يبقى بعدي
بقوله y تساوي x زائد اتنين هذا is the oblique
asymptote
هل هالدالة معرفة عن X يساوي 2؟ لأ يبقى في احتمال
قوي جدا ان يكون هذا vertical asymptote مشان هيك
بتروح اخد ال limit لما ال X بدي روح لل 2 من جهة
اليمين او من جهة اليساريبقى بدى أخد limit لما ال X
بدى يروح لل إتنين مثلا من جهتي اليسار لمن؟ لل X
زائد اتنين زائد واحد على X ناقص اتنين بدى أشوف كده
الشهادة بدها تعطينا الجواب كالتالي تعويض مباشر
اتنين زائد اتنين زائد واحد علىأنا رايح للإتنين من
جهة الشمال يعني أقل من إتنين بحاجة بسيطة جدا يبقى
المقام هذا بيكون very small negative quantity يبقى
very small negative quantity يبقى الجواب أربعة
ناقص infinity يبقى الجواب ناقص infinity بالمثل أنت
بدك تروح تشوف في ال symptom التاني و الله بس أنا
إحنا هيك يكفينا لكن إنت لو روحت شييت لي هيك مش غلط
أخدت ال limit لمن؟ لما ال X بدي يروح للإتنين من
جهة الشمال لل X زائد اتنين زائد واحد على X نقص
اتنين حتى تلاقيه يبقى يساوي كده؟ infinity يبقى
بناء عليه ال X يساوي اتنين هذا main is a vertical
asymptote
تمام يبقى هيك خلصنا لل symptoms بدنا نيجي لمين
للاشتقاق ونشوف ال increasing و ال decreasing و ال
local maximum و ال local minimum اذا بدنا نيجي
نقوله ال F of X عندنا اللي هي مين X زائد 2 زائد 1
على X ناقص 2 بدنا نشتقها يبقى ال F prime of X
تساوي1 مُشتقة 2 بـ 0 سالب 1 x ناقص 2 لكل تربيعممكن
اخلها بالشكل هذا وممكن احطها بشكل اخر مشان انحدد
اللي هو اللي وين بتاخد قيم موجبة وين بتاخد قيم
سالمة فلو جيت وحطيها كل المقامات بصير X ناقص اتنين
لكل تربية ب X ناقص اتنين لكل تربية ناقص واحدX ناقص
اتنين لكل تربية بدا فك تبعت البصر لان هذه يبجي هذه
لو فكتها بتبجي على الشكل التالي X تربية ناقص اربعة
X زائد اربعة ناقص واحد بناء عليها أصبحت ال F prime
of Xاما بالشكل اللى عندنا هذا اما بالشكل الجديد
الشكل الجديد هو X تربية ناقص اربعة X زائد تلاتة X
ناقص اتنين لكل تربية هذه لو جيتها حللت هيبقى X
ناقص واحد X ناقص تلاتة X ناقص اتنين لكل تربية
بالشكل اللى عندنا هذاهذا جيد يبقى أسعار ال F prime
لها شكل الشكل الأول هي اللي فوق والشكل التاني اللي
منه تحت طبعا اللي تحت سهل جدا منه أحدد إشارة
المشتقة الأولى يبقى لو جيت أخد اشارة X ناقص واحد
أقول هذا ال real line وهذا النقطة بياخد ال zero
تبقى عند X يساوي واحد بعد الواحد كلها positiveزي
ما انت شايف و قبله ايه؟ negative لو جيت أخدت إشارة
ال X ناقص تلاتة هذا ال real line و بياخد ال zero
تبع وين؟ عندي التلاتة بعد التلاتة positive و قبل
التلاتة كله negativeطبعا بدي اروح اجي اخد اشارة ال
X ناقص اتنين لكل تربيع بتاخد ال zero تبعها عند
اتنين بعد اتنين positive و قبل اتنين positive
لانها كمية مربعةفيبدأ إشارة المقدار ككل X ناقص
واحد في X ناقص تلاتة على X ناقص اتنين لكل تاربيع
وهذا ال real line وهي التلاتة وهي اتنين وهي الواحد
اتنين تلاتة موجة سالب سالب موجةيبقى ده اللي هنا
كانت increasing صارت decreasing بقيت decreasing
صارت increasing بالشكل اللي عندنا هذا فبعدين بقول
ال if is increasing ده التزايدية على الفترة من ان
سالب infinity لغاية مين الواحد
على الفترة التانية من عين تلاتة لغاية Infinityالان
ال f is decreasing ده لتناقصية on الفترة من عند
الواحد لغاية اتنين كفترة مفتوحة مفتوحة ليش؟ لإن ده
لغير معرفة عند اتنين and on اتنين و لغاية تلاتة و
closed من عندين، من عند التلاتةطبعا واضح ان عندي
الواحد فيه local وعندي التلاتة فيه local واتنين
مافيش لإنه ضلت نازلة وضلت نازلة طيب بدنا نروح نجيب
له F of واحد اللي هو واحد تربيه ناقص تلاتة على
واحد ناقص اتنين ويسوي ناقص اتنين على ناقص واحد
يسوي قداش اتنينبنجيب له f of تلاتة اللي هو بده
يسوي تلاتة تربيه ناقص تلاتة على تلاتة ناقص اتنين
ويسوي كدهش؟ ستةإذا من هذا الكلام بنقول ال F has
local maximum اتنين at x تساوي واحد and local
minimum and local minimum ستة at x يساوي تلاتةمش
هتروح تستغرب تقول ال local maximum اتنين و ال
local minimum ستة لا غرابة في ذلك و زي ما هنشوف
الآن من خلال ال main من خلال الرسم خلصنا قصة
المشتقة الأولى بدنا نروح لمين؟ للمشتقة الثانية
بدنا نروح لل F double prime of X مين أسهل؟ نشتقل
اللي في المربع هذه ولا اللي تاعة؟ اللي في المربع
السالي كتيريبقى مشتقة الواحد ب zero ومشتقة هذا ب
سالب سالب اتنين على المقدار تكيب يعني اتنين على
اكس ناقص اتنين لكل تكيب
يبقى هذا المشتقة الثانية مباشرة طيب لو قلت هذه
تساوي زيرو فهي لها حل يعني اتنين تساوي زيرو ممكن
يبقى فيش إمكانية طيب المشتقة الثانية غير معرفة وين
عند اتنين في عند اتنين inflection point بنشوف اذا
الدلة متصلة ولا لا وفي concavity ولا لا واضح انه
عند اتنين الدلة غيرإذا ليه يمكن تبقى الإتنين
inflection point على الإطلاق إذا بدرح أخد إشارة
الإتنين طبعا موجبة على طول الخط ماعندي مشكلة يبقى
المشكلة في إشارة مين؟ X ناقص إتنين يبقى بدهجة
يقوله إشارة الإتنين على X ناقص إتنين لكل تكيب
ويقول له هذا الرقم اللي هو الإتنيناذا لو جيت بعد
اتنين زي تلاتة مثلا بس يقول البنجو سين هذا ماله
موجب واللي فوق موجب على موجب بموجب لو جيت قبل
اتنين زي واحد يبقى البنجو سين سالب واحد تكيب بسالب
اتنين على كمية سالبة بكمية سالبة يبقى اللي قبله
سالبة يبقى concave down هذي concave up يبقى باجي
بقوله the graphup if is concave down على الفترة من
سالب infinity لغاية اتنين and concave up on الفترة
من اتنين لغاية infinityعند اتنين ماعنديش
inflection point لإن الدالة غير معرفة no
inflection point
at x يساوى اتنين because ال F is discontinuous
at
تبقى الدالة مقتصرة عند هذه النقطة اتنين اتدالة
تغير اتجاه الconcavity فعلا غيرت اتجاه الconcavity
الأن من خلال المعلومات اللي عندنا بناروح نرسم رسمة
هذه ال function هذه الشجة كلها عندنا بس تلت نقاط
لإتنين هدول اللي هو zero و تلاتة ع اتنين و سلب جدر
تلاتة و zero و جدر تلاتة و zero عن اكس يسوى اتنين
اللي هو oblique asymptote و اكس يسوى اتنين اللي هو
vertical asymptoteيبقى من خلال هذه المعلومات التي
حصل عليها أن نروح نعرف ما هو شكل الرسم البياني
لهذه الدالة
لو ان هذا محور X هذا محور Y هذا نقطة الاصل اللي هي
Zero قولت لك لما تيجي ترسم أول شغلة تروح ترسمها
ليه ال asymptote يبقى انا كان عندي أبلغة asymptote
لو Y تساوي X زائد 2 لو كانت X ب Zero فالY بقداش ب
2لو كانت ال Y ب Zero X ب سالب اتنين يبقى بروح بوصل
بينهم و بمد هذا على استقامته الى ما شاء الله يبقى
هذا ال oblige asymptote Y X يساوي زائد اتنين في
عندي vertical asymptote اللي هو X يساوي اتنينX
يساوي اتنين يبقى هذا X يساوي اتنين وهو ال Vertical
Asymptote او هذه Zero و اتنين وهذه ناقص اتنين و
Zero يبقى رحسمة ال Asymptotesبروح نرسم ال local
maximum و ال local minimum قال لي في عندي local
maximum اتنين عند x يساوي واحد واحد بدأ تيجي هنا
هي واحد لإن هذه اتنين القيمة اتنين يبقى اي اتنين
اقبلها بالضبط تماما يبقى في عندي local maximumبعد
ذلك ال local minimum عن تلاتة و ستة يبقى لو رحت و
قلت هي تلاتة و قد اطلع ستة يبقى هذا النقطة اللي هي
تلاتة و ستة local maximum تمام بعد ذلك هذا ال
asymptote يبقى ال function بدها تظل نازلة معاه هذا
ال asymptote ال function بدها تظل نازلة معاه
بالشكل اللي عندنا هذا تماميبقى هذا هي ال function
هذا الان asymptote يبقى ال function بدها تبقى
ماشية معاه وهذا بدها تبقى ماشية معاه بالشكل اللي
عندنا هذا اللي أنا مش عارف، هل رسمي هذا صحيح؟
والله مش صحيح، إذا بدي أروح أشوف ال concave up و
ال concave downتأكد من صحة الكلام
مظبوط و من اتنين لغاية infinity concave up تمام
يبقى ال concave مظبوط تعالى ال increasing ال
increasing من سلب infinity لغاية الواحد لأن النقطة
هذه واحد و اتنين تمام و كذلك increasing من تلاتة
لغاية infinity مظبوطبنجي للـ Decreasing، الـ
Decreasing من عند الواحد لغاية اتنين ومن اتنين
لغاية التلاتة وهي Decreasing، مظبوط؟ تمام تمام
يبقى راسمنا دقيق مية المية لغبار على ذلك، حد اللي
هو اي تساول هنا؟طيب، الحين هذا أو الأسئلة اللي
فاتت هذا هذا السؤال والأسئلة السابقة كلها بلون
واحد بدنا نحاول نعطيك سؤال بلون آخر يختلف عن شكل
المسائل السابقة كليا السؤال بيقول ايه؟ بيقول يرسم
لل function سؤال خمسة اجراففى الـ function f of x
بده يساوي الـ cosine الـ x زائد جذر تلاتة sine الـ
x والـ x هذه أكبر من أو تساوي zero هو أقل من أو
يساوي اتنين باىطبعا لو نظرت لهذا السؤال يختلف كليا
عن المثال السابق في شكله جاب ال beginner يقول
polynomial يا اما rational function، polynomial في
البسطة و polynomial في المقع إذا هذا يختلف نشوف
كيف نحل السؤال من هذا القبيل
شوف يا زيالان انا بدي اقتصر رسمة فقط على ال
interval من صفر لغاية اتنين by يعني ال period تبع
ال sign و نفس ال period تبع man ال cosine بدي اعرف
ما هو شكل هذه الدلة بنقوله بسيطة جدا اذا انا بدي
اشوف من وين بدها تبدأ بدل مااخد تقاطع منحنى مع
محور الاحدثية بدي اشوف من وين بدها تبدأأذا لو جيت
أخدت F of Zero يبقى F of Zero بده تساوي Cos Zero
جدر تلاتة Sine Zero Sine Zero ب Zero و Cos الصفر
يبقى داشر ب واحد لو رحت قلت لك بدي أخد كمان F of
اتنين By يبقى Cos اتنين By زائد جدر تلاتة Sine
اتنين By هذه Zero وهذه واحدةيبقى واحد معناته هذا
الكلام the points النقاط اللي هي ال zero واحد and
اتنين by واحد lie on the graph هذا بدل اقول تقاطة
مع محور الاحداثيات طبعا الشراكة هذه الأولى جابت
للتقاطة مع محور Yهذه التانية بدأت تجيب لي وين
بينتهي المنحنة لكن هذه وين بيبدأ المنحنة وهذه وين
بينتهي المنحنة خلّي التقاطة مع محور X نجيبه الآن
بطريقة ثانية طب مشان هيك إذا بدي أبدأ شغلي في عندي
حاجة اسمها قسمت تهينة لأ يبقى قصة لو قسمت الصفة
على شجة يبقى تروح لمين؟للمشتقة وشوف كيف بدي احسبها
اذا انا بدي اجيل ال F prime of X مشتقة ال cos بسلب
sin X زائد جذر تلاتة في cos Xهذه ههه مش زي
المشتقات اللي فعلها تحط اجواز و تشوف الشرط الجوز
الأول و الثاني و اضرب او اقسم و تطلع الإشارات هذه
صار فيها مشكلة مافيش عنده اجواز و مافيش عامل مشركة
و كذا بسيطة بنسألك السؤال التالي هل هناك نقطة هذه
المشتقة غير معرفة عندها على الفترة من Zero لإتنين
Byلا من zero لأتنين باي ولا حتى لكل ال real life
كلها معرفة على الكل يبقى معاها ان ده مشكلة فيها ده
اذا المشكلة واجتشها دي بدأت ساوي zeroأبدا بحط هذه
تساوي zero وبجي بحل المعادلة هذه إذا هذه لو نجلنا
ال sign على الشجرة التانية بصير ان ال sign ال x
بيساوي جذر تلاتة في cosine ال x اكسم على cosine
بيصير sign على cosine لبتان ال x بيساوي جذر تلاتة
معنى هذا الكلام ان ال X بتتساوي أبصر قدريش تعالى
نسألك السؤال التالف الظل طلع قيمة موجب و الله سالب
اه موجب اه الظل يكون موجب في أي الأرباع الأول
والتالف اذا انا عندى بدل الزاوية زاويتين يعني عندى
نقطتينالتانى عندهم بدى يساوي جداش جذر تلاتة يعني
المشتقة بدها تساوي جداش وإن المشتقة هي المشتقة هي
المشتقة هي المشتقة هي المشتقة هي المشتقة هي
المشتقة هي المشتقة هي المشتقةتلاتة يعني ستين درجة
يبقى X بدها تساوي باي على تلاتة وال X التانية بدها
تساوي في الربع التالت يبقى بسيطة جدا مية و تمانين
و بس اضيف عليها باية على تلاتة مية و تمانين زائد
باية على تلاتة اللي هو كدهاش اربعة باية على تلاتة
يبقى اربعة باية على تلاتة يبقى هذول ايش يعتبرون
شباب؟لكن انا بدأ اقسم من ال real line عالميا حسب
النقاط اللى عندي يبقى انا بناء عليه لو جيت قولت
هذا ال real line و بدي ابدا من عند ال zero وانتهي
بمينبال إتنين باي إذا في النص يكون هنا قد ياش باي
في النص كمان هنا بيكون باي على اتنين وفي النص
التاني بيكون تلاتة باي على اتنين بهاي جسم تمين ال
real life الان بدأت أشوف موقع النقاط الحارجة عندي
عالميا على الرسم الأول باي على تلاتة يعني ستين
درجةستين دولار يعني تلتين الخط تقريبا يبقى هنا هاي
باي على تلاتة التانية ميتين واربعين يبقى هاي
الميتين المية و تمانين بدي اضيف عليها ستين يبقى
كمان هذه اربع باي على تلاتة اذا احنا انقسمت الفترة
اللي عندنا هذه من صفر الاتنين باي الى ثلاث فترات
الفترة الأولى من Zero لغاية بايع تلاتة، التانية من
بايع تلاتة لأربع بايع تلاتة، التالتة من أربع بايع
تلاتة لغاية نان بايم، بدأ أشوف إشارة الـF'، وين
الـF'؟ هذه الـF' اللي عندنا، يبقى هذه بدأ أخد
عليها إشارةالـ F prime of X اللي هو الخطة اللي
عندنا هنا بدي اجي على الفترة من Zero لغاية باية
تلاتة الفترة الأولى لقبل النقطة الحارجة خد أي
زاوية قبل باية على تلاتة باية على ستة تلاتين درجة
فبجي بقوله جي تلاتين بنصهي نهجة تلاتين بجذر تلاتة
على اتنين عامة بسيط تلاتة على اتنين واحد ونص ونقص
نص بظل واحد موجب ولا سالم اذا اي زاوية تاخدها في
هذه الفترة هتعطينا قيمة موجبةعلى الفترة من باى على
تلاتة لغاية اربعة باية تلاتة خد باية اتنين خد باية
اتنين خد اللي بدكيها لوقت ما توصل لغاية اربعة باية
تلاتة فلو أخدنا باى مثلا يبقى باجي بقوله sign باى
بزيرو كسامية وتمانين بسالب واحد في جدر تلاتة
بسالبينيعني كمية سالبة لو أخدت باي على اتنين مش
باي يبقى بصير هادي بزيره صار بايتين بواحد بالسالب
يبقى بصير هادي كلها من سالبة هادي كلها من عند ال
باية تلاتة لغاية أربعة باية تلاتة طيب بدي أخد من
أربعة باية تلاتة لاتنين باي لو أخدت تلاتة باية على
اتنينتلاتة بعدين للمتين والسبعين ضرر يعني كوصين
للمتين والسبعين بزيرو صين للمتين والسبعين بسلب
واحد مع السلب بيصير موجب اذا الفترة هذه كلها بدها
تكون فترة موجبة يبقى الدالة كانت increasing صارت
عند هنا decreasing رجعت هنا صارت ايه؟ صارت
increasing اذا بروح بقوله ما ياتيالـ F is
increasing دالة زيودية على الفترة من Zero لغاية
باية تلاتة and on كمان أربعة باية على تلاتة لغاية
اتنين بايةالـ F is decreasing ذالت نقصية على
الفترة من عند ال باي على تلاتة لغاية أربع باي على
تلاتة بدنا نجيب ال local maximum و ال local
minimum إذا بدنا نروح نحسب قيمة الدالة اللي عندنا
يبقى بناروح نحسب F of Pi على تلاتة بنرجع على رأس
المسألة بدنا نشيل كل X ونحط مكانها اللي همين Pi
على تلاتة يبقى بصير Cos Pi على تلاتةزائد جذر تلاتة
صاعد باية على تلاتة ويساوي جت ستين اللي هي بنص وجه
ستين جذر تلاتة على اتنين يبقى الجواب كله اتنينبدي
اخد f of التانية اللي هو أربع باقي على تلاتة ويسوى
ال cosine أربع باقي على تلاتة جذر تلاتة ال sign
أربع باقي على تلاتة ويسوى أربع باقي على تلاتة في
الرابع التالت في الرابع التالت يجيب التمامسالب
يعني المية وتمانين زائد بايع تلاتة لجتا بايع على
تلاتة بس بالسالب يبقى اللي هو سالب نص زائد جذر
تلاتة برضه ال sign سالب يبقى سالب جذر تلاتة على
الإتنين يبقى الجواب قداش سالب اتنين يبقى بروح
بقوله ال F has localالـ F has local maximum local
maximum مجدش اتنين ات اكس يسوى باي على تلاتة and
local minimum سالب اتنين ات اكس يسوى اربع باي على
تلاتةخلصنا ال local maximum و ال local minimum و
ال increasing و ال decreasing يبقى ضايق ال
inflection point او ال concave up و ال concave
down اذا بدنا نروح نجيب له ال f w prime of x ال f
prime of x هي بنشتقها كمان مرةيبقى سالب cosine X
وبعد اتفاض cosine بسالب sin يبقى سالب جدر تلاتة في
sin X طبعا هذه معرفة على طول إذا بدي أحط ال F
double prime ب zero ونشوف إيش بدها تعطينايبقى لو
حطينا هذه تساوي zero هذا بده يعطينا انه جذر تلاتة
في صين ال X جذر تلاتة في صين X بده يساوي سالب
cosine ال X يبقى معناه هذا الكلام انه تان ال X
بساوي سالب واحد على جذر تلاتةالظلق لقيمة سالبة
يبقى الزاوية موجة في الرابع الثاني و رابع الرابع
لأنه ظل موجة في الرابع الأول و التالت إذا سالب في
التاني و الرابع يعني معنى هذا الكلام إن ال X يساوي
بقى اللي بقول مين الزاوية اللي جيبت من واحد على
جدر تلاتة ليه باي على ستة طوحة من المائة و تمانين
بصير خمسة باي على ستة خمسة باي على ستة و X التانية
أحد عشر باي على ستة اترحهم كذلك من مين؟ من اتنين
باي لدورة كاملة يبقى جيبنا ال X خمسة باي أو على ال
calculator عندك انت بتجيبها دورييبقى خمسة ضاي على
ستة او احداشر لو تلاتمية و تلاتين درجة ومية و
خمسين درجة يبقى هاي طلعنا اللي هو النقاط اللي قد
تكون conflicting points الله أعلم أنا مش متأكد لكن
أنا بقول الدالة الأصلية دالة متصلة على كل ال real
lineالسؤال هو والله عند هذه النقاط، إذا الدالة
غيرت اتجاه الـconcavity تبعها، بيكون فعلا عندنا،
عندنا اللي هو inflection point. إذا أنا لو جيت،
قلت هذا الـreal line كله.وبدأنا من عند ال zero
وانت هنا عند من؟ عند اتنين باي يبقى في النص هنا
باي وفي النص هنا قداش باي على اتنين وفي النص هنا
قداش تلاتة باي على الأتنين احنا النقاط اللي هالنا
خمسة باي ع ست يعني مية وخمسين درجة مية وخمسين درجة
يعني بتجيني هنايبقى هذا خمسة باى على ستة التانية
هيها احداشر باى على ستة تلاتمية و تلاتين درجة يبقى
هذا احداشر باى على مين على ستة الان بدنا نجي في
الفترة الأولى بدنا نجي على المشتقة f double prime
اشوف فموجة بو الله سلبة اذا بدي اعوض باي زاوية
خلال الفترة دى مثلالو أخد مبايع اثنين بيصير Zero
هنا واحد بيصير سالب يعني قيمة سالبة، إذا خلال هذه
الفترة كلها قيمة سالبة، بالدادية على الفترة من هنا
لغاية هناخد أي زاوية من هنا و التكن باي تلاتة باي
اتنين اللي بدك إياها يبقى لو أخدت باي cosine باي
بيزيرو كوصين مية و تمانين بسلب واحد مع سلب بيصير
موجم إذا خلال هذه الفترة بتكون هذه كلها مالها
بالموجم بتبدي الفترة الصغيرة الأخيرة خد اللي بدك
إياها و التكن اتنين باي بيصير هذه zero و هنا اتنين
بايبواحد و عندك سالب يبقى بصير سالب يبقى المنحنة
هنا concave down هنا concave up هنا ماله concave
down بالشكل اللي عنها اذا بروح بقوله ما يأتي the
graph is
concave down
على الفترة الأولى من عند الـ zero لغاية جداش لخمسة
by على ستة خمسة by على ستة and on وكذلك من
الاحداشر by على ستة و لغاية جداش و لغاية اتنين by
andConcave up مفتوح إلى أعلى على الفترة من خمسة
باي على ستة إلى أحد عشر باي على ستة بالشكل اللي
عندنا هناالدالة متصلة وتغير الـconcavity يبقى
النقطتين هذول ما لهم inflection points
هذه الزاوية 150 فى الرابع التانى يبقى ال cosine
بالسالم او جهة ابايا على ستة اللي هو جدر تلاتة على
اتنين خمسة ابايا على ستة اللي جهة بتابعها بنص فى
جدر تلاتة يبقى بزايد جدر تلاتة على اتنين ويسوى قد
ياش Zeroالان F of 11 Pi على 6 Cos 11 Pi على 6 زي
جدر 3 Sin 11 Pi على 6 ويساويهذه ال 11 باية على 6
موجودة في الرابع الرابع في الرابع الرابع ال cosine
موجب يبقى زائد جذر 3 على 2 وهذا ناقص جذر 3 على 2
وهو Zero يبقى باجي بقوله the inflection points are
اللي هم النقطة الأولى اللي هي خمسة by على ستة و
zero and احداشر
خلصنا ال concavity وخلصنا النقاط لم يبقى لنا اللي
هي عملية الرسم يبقى لو جيت رسمت وقلت هذا المنحنى
لأن هذا محور X وهذا محور Yأقصى قيمة بتاخدها الدالة
اللي هو الاتنين و أقل قيمة اللي هو الـminimum اللي
هو السالب اتنين يبقى لو جيت قولت هذا الخط اللي هو
الاتنين و هذا الخط المناظر اللي هو جداش سالب اتنين
وهذه النقطة الأصل اللي هي zero بدي أكبر الخط من
ناحية هذه بس علشان هي الرسمة كلها على اليمينيبقى
لو جيت قولت هاي الخط هنا وهذا اللي هو سالب اتنين
وهذا ال zero وهذا اللي هو اتنين وهذا محور Y من
Zero لغاية اتنين با يبقى هاد اتنين باالمنحنة هيبدأ
عند النقطة 01 وينتهي
عند النقطة 2x1 لنقطة 2x1
بعد كده السيمتوت مافيهش عندي بده اروح لل local
maximum و ال local minimum خليني ارتب الخطة لان
هذه يبقى باي على اتنينيبقى هذه تلاتة باي على
الإتنين الـ inflection points عند النقطة خمسة باي
على ستة و Zero يبقى هذه النقطة الخمسة باي على ستة
و النقطة اللي بقى أحد عشر باي على ستة يبقى هذه
النقطة الخمسة باي على ستةبعد هيك، بتجي لل local
maximum، وين ال local؟ اه، هي عندك local maximum
اتنين، عند ال by على تلاتة عند ستين درجة يبقى هي
ال by على تلاتة، by على تلاتة عند local maximum
هنا، اتنين بالشكل اللي عندنا هناهو عندى local
minimum local مصالف اتنين عند اربعة باية على تلاتة
يعني متين واربعين درجة متين واربعين يعني عنده
النقطة هذه تقريبا و بدك تنزل تحت يبقى هذه local
minimum بالشكل اللى عندنا بعد هيكجالي ادالة
increasing من Zero لغاية باية تلاتة، مظبوط؟ من
Zero لغاية باية تلاتة increasing، يبجي هذه المنحنة
اللي عندنا هنابعديها decreasing من عند ال باية
تلاتة لغاية هذه اربعة باية على تلاتة يبقى هذه
decreasing ويمر بال inflection point وهك بصير
مفتوح الاعلى بعديها يجلي increasing ويمر بال
inflection point وهك وبعدها بصير
تأكد ان معلوماتنا صح و لا لأ هذي increasing و
decreasing و increasing مظبوط مائة لمائة نجي هل من
عندي ال zero لخمسة باية على ستة concave down ولا
لأ طلع لان concave مظبوط هل من خمسة باية على ستة
لان احداشر باية على ستة concave up مظبوطالان من
احداشر بايع الستة لغاية اتنين بايكون كيف؟ down
يبقى الاسفل يبقى رسم لدقيق مية لمية هذا الان
النقطة والنقطة الثانية اللي عندنا هاده هدوله ال
inflection pointsالنقطتين اللي عندنا هدول طبعا هذه
النقطة اللي هي اربع باي ع تلاتة وسالي باتنين وهذه
اللي هي باي ع تلاتة واتنين هذه local maximum وهذه
local minimum
النقطة الأعلى هي ال local minimum والنقطة الأعلى
هي local maximum
يبقى انا بدي ارسم فعلا هذه لو بدك تقولي هذا بقولك
هذه صحيح هذه local minimum هذه هنا كمان local
maximum اقولك زيادة على ذلكهذه absolute maximum
وهذه absolute minimum لأن أقصى قيمة بياخدها هي
اتنين خلال فترة من zero لاتنين باي وأقل قيمة
بياخدها سالب اتنين من zero لاتنين باي يبقى هذه
absolute minimum وهذه absolute maximum فيه ما لو
طلبها، لأنه ما طلبش هو جالي ارسم وخلاص ونقوله
رسمنا يعطيك العافيةتمام؟ إذا لحد هنا انتهى هذا ال
section وإليكم أرقام المسائل على هذا ال section
اللي هو exercises أربعة أربعة يبقى باجي بقوله
exercises أربعة أربعة المسائل التالية من واحد
لواحد و تسعين ال wholeبنضيف عليها من تلاتة وتسعين
لستة وتسعين ومن مية واحد لمية واطماش مية واحد لمية
واطماش
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
هذا بده الرسمة طيب
هذا انتهى عليك سكشن اربعة اربعة الرسم ايه السمس
فيها
سمتت؟ لأ روحنا حطينا ال local maximum و ال local
minimumوالـ inflection points بعد ذلك دورنا ال
increasing دورنا ال decreasing و بعدين شوفنا هل
الرسمة كان كيف أبوك و كيف دان و لا جناها تمام يقول
بصمنا خلاص طيب الان بدنا نيجي لامام الحلقات اللي
بده الرسمة او خلاص؟ الرسم خلاص؟
الان بروح ل section أربعة خمسة و أربعة ستة و
بقولهم الله سهل عليكم بروح ل أربعة سبعة اللي هو ال
antiderivative آخر
section في الشبطة وهو مقدمة لموضوع التكامل تمام؟
ال antiderivative بدنا نعطي تعريف قلها definition
A function capital F is an
antiderivative of
F on an interval I
نقطة مهمة جدا the most general
the most general antiderivative
antiderivative
of f on ال interval I on interval I is capital F
of X زائد constant C whereI of C is constant نجي
لـ some antiderivatives
some antiderivatives أو antiderivative formulas
طبعا اللي احبه مشتقة الدول المثلثية الستة بلا جهد
كله كلام بسيط ولا حاجة مولاشي
يبقى
في الاندونيزيا الموضوع ال antiderivative
antiderivative تفاضل لما اقول antiderivative يعني
انا بدي اشتغل شغل ضب التفاضلضد التفاضل اتعلمناه في
السنوية يعني عبارة عن ايش؟ بس مابديش اقول تكامل
حتى اللحظة لما نوصل لتكامل بدي اقول تكامل زي ما
هعرفه بعد قليل طبعا يبقى انا بدي اقول ضد التفاضل
antiderivative يبقى ضد التفاضل شو يعني ضد التفاضل
التعريف بيقولي ما يأتي بيقولي اتبع لك capital F
خلي بالك كافي عند الكتابةكابتل F هي الـ
Antiderivative للـ small f على فترة محددة والتي
تكون الفترة I إذا كان مشتق الكابتل F هي الـ small
f لكل X الموجود أويا في الـ interval I يبقى كابتل
F هي الـ Antiderivative للدالة small f إذا كان
مشتق كابتل F أعطتنا مهمةأعطتني اللي هو اعطتني ليه
ال small f لكن لو جيت قولتك مثلا ال X تكيب هذه
مشتقتها جداش تقول لي تلاتة X تربية لو قولتك X تكيب
زائد مية جداش مشتقتها تلاتة X تربية اذا نفس المشتق
لك الفرق بين الدلاتين جداش مقدار ثابت اذا انا بدي
روح اتلاشى القطأ ان وجد هذا القطأفبروح بقول هنا
the most general antiderivative of f على ال
interval I هو يبارعا capital F of X زي ال main زي
ال constant C يبقى هنا أضفتلها مقدار ثابت لا يؤثر
على شكل ال main على شكل ال derivativeالدالة هادى
هو ارض سيم الانتي دريفاتيف بروح بحط لهزاية كونستان
سي حتى اتخلص من المشكلة سواء كانت سي بزيرو او غير
زيرو قولنا where c is كونستان يبقى كل الشغل عندي
حطيت سي بمقدار 7 الكلام اللى بقوله بده اروح اطبقه
على ارض الواقع فروحنا عملنا جدوللبعض الدوال
الشهيرة بدنا نجيبلها الـ Antiderivative تبعهانجي
للدالة الأولى ال X to the power N ال X هو المتغير
ان هذا is a real number بس بشرط ال N ممنوع يتساوي
سالب واحد لكن ان شاء الله في كل كلاصة ب .. هناخد
لو كانت ال X بدي تساوي سالب واحد شو بدي يكون شكل
ال antiderivative في هذه الحالة او التكامل للدالة
برضه هنعرفه لو كانت ال X يساوي كده سالب واحد طبعا
ماعطيناش كيكلأن في موضوع لغة مات بيدخل في الموضوع
لكن احنا حتى الآن ماعناش لغة مات يبقى ال X to the
power and the antiderivative اللي هو بضيف للأس
واحد و بقسم على الأس الجديد و بقوله زائد كونستانسي
وهذا اللي كنا زمان من كامله في الثانوية تمالوم
سميته كامل غير المحدودSin KX بدي بسأل نفسي قداش
الدالة او قداش تفاضل الـSin هو Cos أنا بديش تفاضل
الـSin أنا بدي الـAntiderivative للـSin يعني ما هي
الدالة اللي مشتقدة بتعطينا الـSin بقول لو جيت
اشتقدت تفاضل الـCos سالب الـSin بروح السالب مع
السالبدرب مشتقة تزوجه K بتروح مع K بضال قداش SIN
الككس والـ C مشتقة تبزيره SIN الككس إذا بناء عليه
الـ Antiderivative لـ SIN الككس هو سالب واحد على K
Cos K X زائد Const C لو بدجاجي للككس كدوش متقعة
الـ SIN هو Cos يبقى لو جيت أشتق هذه هو Cos ضرب K
بتروح مع K بتعطيني Cosإذا الـ Antiderivative لـ
Cos X هو 1 على K لـ Sin K X زي الكنستانسي تفاضل ال
10 بسكتربيع هذا ال Antiderivative لسكتربيع هي 10
مقسومة على 1 على K بالمثل تفاضل كتان بسالب
كوسيكنتربيع هذا ال Antiderivative لكوسيكنتربيع K X
الوثالب واحد على كلكو تان كك زائد كونستان سي تفاضل
تسيك بسيك تان إذا الـ Antiderivative لسيك ككس تان
ككس هو واحد على ك في مين في سيك الككس يعني كأنه
انا برجع ترجيه ابدأ اللي انفضله بترجعه لمين اللي
اصل قبل التفاضل بدل المضربفي تفاضل الزاوية بقسم
على تفاضل الزاوية لان عندي ال antiderivative لكو
سي كانت كوتان هي سالي كو سي كانت كك مقصومة على مين
على ك زائد كونستران سي لو اشتقت هذه بتعطيني مين
هذه هي ال antiderivative لمين لدلها بعد هيك لو
كانت دالة اي f of x سواء اللي في الجدول او غيرهم
فبدي ال antiderivative لك في ال f smallيبقى كيب
اقول ان انت مالكش دعوة و الف اصمه لانت دريفتيف هي
ال capital F of X زائد constant C الان لو كانت
الكيب سالب واحد يبقى بيصير الانت دريفتيف لسالب F
of X هي سالب capital F of X زائد constant C يبقى
الكيب حاطينا سالب واحد لو كان المجموع الجبري
لدالتين الانت دريفتيف يبقى المجموع الجبري لتو انت
دريفتيف
من خلال جدور بدنا نروح نحسب ال ant derivatives
للدوال المختلفة الاتية يبقى انا عند x والسلب 4زائد
اتنين X زائد تلاتة يبقى هذا مجموع جبري لثلاث دوال
وليس لدالتين يبقى ال ant derivative للأولى زائد ال
ant derivative للتانية زائد ال ant derivative
للتالتة وكلهم بتحطلهم منهم كالكلاصين يبقى باجي
بقوله هنا ال antiالخطوة التالية هي يبقى هنا x أس
بدي أضيف للأس واحد و أقسم على الأس الجديد لو أضفت
للأس واحد جديش بصير عندى هذا سالب تلاتة على سالب
تلاتةاللي هو لإتنين هاي X بتضيف للأس واحد بيصير
جداش تنين على اتنين زائد تلاتة هادي أصلا X أس Zero
بدي أضف لها واحد اللي هو Zeroزائد واحد على مين على
واحد زائد constant C يبقى النتيجة تساوي X السلب
تلاتة على سلب تلاتة لاتنين مع اتنين الله سهل عليها
يبقى X تربيع زائد تلاتة X زائد constant Cنأخد سؤال
آخر نمر اتنين بدنا ال antiderivative لل X أص ناقص
تلاتة على اتنين زائد ال X تربيع بد ال
antiderivative لها ال antiderivative is يبقى X أص
هذا باعتباره نص اللي برا مالوش دعوة كويس يبقى x
بالضبط اللي هو احنا بصير جداش سالي باتنين على جداش
على سالي باتنين زائد x تكييب على تلاتة زائد
constant C يبقى ناقص ربع x اص ناقص اتنين زائد x
تكييب على تلاتة زائد constant C
نقطة تالتة بدنا اللي هو جذر ال X زائد واحد على جذر
Xبنفضل نعيد صياغة المثلة يبقى لو قعدنا صياغة
المثلة مانصير هذي X أص نص زاد X أص نص طلعها فوق
بصير جداش X أص سالف نص بد ال antiderivative ال
antiderivative isX أُس جدّاش تلاتة على اتنين مقسوم
على تلاتة على اتنين X أُس على جداش زائد constant C
يعني هذي بيصير طولتين X أس تلاتة على اتنين زائد
اتنين جذر ال X زائد constant Cالنقطة الرابعة ال
نقطة الرابعة بدنا سالب نص X و سالب تلاتة على اتنين
بد ال antiderivative لها يبقى ال antiderivative as
شوف يا زيد يبقى سالب نص مالوش دعوةأي كي بيظل زي ما
هو مقدار فارق بدي ال antiderivative الاكس او
الثلاثة على اتنين يبقى X بيضيف لل أس واحد بيظل
جديد سالب نص سالب تلاتة على اتنين زائد واحد بيظل
سالب نص مقسوما على سالب نص زائد constant C سالب نص
مع سالب نص بيظل X أس سالب نص زائد constant C خمسة
خمسة بدنا cosine لمين ل by x على اتنين زائد by في
cosine ال x بدنا ال antiderivative لها يبقى ال
antiderivative is تعالى تطلعلي لل cosine هذا ال
cosine عندنايبقى ال cosine اللي هو رقم تلاتة يبقى
واحد على كي في ال sign وين ال kn هنا باي على اتنين
يبقى واحد على باي على اتنين وهذه ال sign باي اكس
على اتنينهذه ال constant مالوش دعوة و cosine X هي
مين؟ sine X بقول زائد constant C لو قعدنا ترتيب
هيبقى وصير اتنين على باي sine باي X على اتنين زائد
باي في sine X زائد constant C طيب بدنا نيجي لستة
ستة اللي هو ناقص تلاتة على اتنين كو سي كان تربيع
لتلاتة اكس على اتنين بدنا ال ant derivative لها
يبقى ال ant derivative is سالب تلاتة على اتنين
مانوش دعوة ونرجع لمينالكثير كان تربية الكثير كان
تربية هي فوق يبقى سالب واحد على كيف الكتان يبقى
هذا نصف وهي سالب واحد على تلاتة على اتنينوهنا كتان
تلاتة X على اتنين زائد constant C سالب تلاتة على
اتنين في البسطة و سالب تلاتة على اتنين في المقام
مع السلامة يبقى بضالة ان بس جداش كتان تلاتة X على
اتنين زائد constant C
طيب نجي لها سبعة سبعة بدنا نسالي باي cos by x على
اتنين cot by x على اتنين برضه بدنا نجيب ال
antiderivative لهايبقى ال antiderivative is سالب
باي مالاش دعوة طلعليه هدى ال cosecant كتان هى ال
cosecant كتان يبقى سالب واحد على ك في مين في ال
cosecant يبقى سالب واحد باي على اتنين في مين
نختصر نقص مع نقص بتروح والبي مع تروح والاتنين
بتصير في ال bus يبجي اتنين كوسيكان باي اكس على
اتنين زائد constant c نمره تمانيةتمانية بدنا اربع
six تلاتة اكس تان تلاتة اكس يبقى ال antiderivative
الها is خد بالك هنا اربع مالاش دعوةتمام؟ وهذه الآن
سك فيه تان يعني عندي سك فيه تان يبقى واحد على ك في
سك يبقى واحد على تلاتة في سك تلاتة X زائد كل أسطن
C يعني أربع أتلات سك تلاتة X زائد كل أسطن Cزي ما
انت شايف هذا اليدر كله اعتمد على مشتقة الدوال
المثلثية الستة يبقى اللي عارف المشتقات بيلاقي هذا
كله كلام بسيط وحتى أبسط من البسيطولذلك إذا ما
أعطيتك الدواء المثلثية الستة جوجل تدير بالك، متكرر
معاك كتير في Calculus A و Calculus B و Calculus C
و في الفيزيا و ربما في الكيميا و ما إلى ذلك، إذا
لا يستغنى عنهم بتاتا
طيب نطور معلوماتنا حاجة وسيطة هيك ناخد هذا التعريف
و بعدين عليه شوية أمثلة يبقى definition the set of
all antiderivatives the set of all antiderivatives
of
دالة F is the
indefinite integral
بالنسبة ل X بالنسبة ل X and denoted by تكامل
لل F of X DX
ال F of X is called the integrand
and
X is the variable of integration
مثال واحد انتج
اتجارات
محدودة
أول واحدة من هذه التكاملات تكامل واحد ناقص X تربيع
ناقص تلاتة X أس خمسة كل بالنسبة إلى DX
يبقى اخر نقطة موجودة عندنا في هذا ال section اللي
هو موضوع التكامل غير المحدود طبعا عندنا انواعين من
انواع التكامل التكامل المحدود والتكامل غير المحدود
التكامل المحدود خليه لل chapter القادمالتكامل غير
المحدود مرتبط تماما بالانتي دريفتيف او كما قلنا
قبل قليل هو عبارة عن الانتي دريفتيف اذا انا باجي
بقول the set of all antiderivatives of الدلة F is
the indefinite integral of الدلة F with respect to
X and denoted by تكامل F of X DXطبعا ال
antiderivative لدالة F يكون capital F of X زائد
constant C يبقى هذا اللي هو ال general
antiderivative يبقى هذا هو التكامل تبع مين الدالة
يبقى كل ال antiderivatives لدالة في C هذا قد يكون
أرقام مختلفة إذا هذا بيكون كله عبارة عن مينالـ
Indefinite Integral أو التكامل غير المحدود للدلة F
بالنسبة للمتغير X وبديله الرمز تكامل F of X DX الـ
F of X is called the Integrand Integrand بالعربي
يعني الدلة المراد تكاملهايبقى f of x أدالة المرأة
التكامل الانتجرال و ال x هذا بنقول التكامل بنسبة
لمين ده المتغير x the variable of integration
قلوله المتغير تبع من تبع التكاملالان بدنا نبدأ
نشتغل زي الـ Antiderivative اللي توبس بدي اسميه من
هنا ورايا هي تكامل وانتقل الكل شوية يبقى قاللي
هاتليهاش التكاملات غير المحدودة التالية و بدلي
بأول تكامل تكامل لواحد ناقص X تربيع ناقص تلاتة X
أس خمسة DX يبقى باجي بقوله solutionهذا التكامل
عبارة عن تكامل واحد ناقص X تربيع ناقص تلاتة X أُس
خمسة DX يبقى بده يستوي هذا مقدار ثابت له واحد يبقى
هذا أصلا X أُس Zero لما مقدر فيه الا واحد بيصير X
أُس على يبقى X فقط لغايةنقص X تربي يعني X تكييب
على تلاتة ناقص تلاتة مالاش دعوة X أُس خمسة بيصير X
أُس ستة على ستة زائد كونستان C يبقى الجواب صار X
ناقص X تكييب على تلاتة تلاتة على ستة بيبقى نصف X
أُس ستة زائد كونستان C السؤال اللي بعدنمر اتنين
بدنا تكامل لخمس ناقص اتنين على اكس تكييب زائدي
اتنين اكس كل وين في دي اكسبقول له بسيطة يبقى انا
بتعيد ترتيب المثل أجيب المشتغل يبقى بالداجي أقول
له هذا integration لخمس نقصي اتنين X أس سالب تلاتة
زيدي اتنين X كله بالنسبة إلى DX بقول اه خمس مالوش
دعوة و بصير X أس واحد على واحد يبقى ب Xنقص اتنين
اكس بدي اضيف للأس واحد و اقسم للأس الجديد بصير
جداش سالي باتنين على الأس الجديد اللي هو السالي
باتنين زائدي اتنين اكس تربيه على اتنين زائد
constant C يبقى النتيجة اكس على خمسةنقص اتنين مع
نقص اتنين الله يسهل عليها يبقى X أساليب اتنين و
اتنين مع اتنين مع السلامة يبقى X تربية زائد
constant C سؤال التالت بدنا تكامل لمن؟
ل X أساليب تلاتة في X زائد واحد في DXفيش حاجة اسمه
تكامل المقدار الأول ضرب تكامل المقدار الثاني يبقى
بدي أفكها و أشوف كيف بيصير هذه تكامل X أسالب اتنين
زائد X أسالب تلاتة كله في DXالآن بضيف الأس واحد
وبقسم على الأس الجديد يبقى هذا X أس سالب واحد على
سالب واحد زاد X أس سالب اتنين على سالب اتنين زاد
constant C أو سالب X أس سالب واحد سالب نص X أس
سالب اتنين زاد constant C أربع بدنا تكامل
للـ X في جذر الـ X زائد جذر الـ X كله على X تربيع
بالنسبالة دي X مافيش حاجة اسمها تكمل البسط على
تكمل المقام مافيش عنها ولا تكمل الطرف الأول في
تكمل الطرف الاياك و ثم اياكيبدأ يعيد الترتيب تبع
المثلة يبدأ يتكامن هذه x في x أُص نص يعني x أُص
جداش تلاتة على اتنين يبدأ هذا x أُص تلاتة على
اتنين زاد x أُص نص هذه لو طلعتها فهو تبصير x أُص
جداشأو لو أزعت ماعنديش مشكلة أسيان هذه و الله هذه
بدي أدخل هذه جوا الجوس يبقى بصير تكامل X أس سالب
نص زائد اللي هو X أس سالب تلاتة على اتنين كله في
DXتمام؟ إذا بدأ الكاميرا بضيف للأس واحد و أقسم على
الأس الجديد يبقى بيصير X أس نص على نص زاد X أس
ناقص نص على ناقص نص زاد constant C او اتنين جذر ال
X ناقص اتنين X أس سالب نص زاد constant Cسؤال
الخامس بدا تكامل لنص
في كثيكان تربيع ال X ناقص كثيكان ال X في كتان ال X
كل هذا الكلام بالنسبة إلى مين؟ إلى DXالمقدار
الثابت له دعرة؟ قال له ايش دعرة؟ يبقى يا ناص خلّيك
برا، بظهر لعنا، تكامل كوسيكا تربيعسالب كتان لإن
انتفاض كتان بسالب كوسيكانت تربيع إذا انتكمل
كوسيكانت تربيع بسالب كتان ال X نجي كوسيكانت كتان
بسالب كوسيكانت مع سالب بصير موجب اللي هو كوسيكانت
ال X كله زائد constant C ستة بدنا تكامل
للي اتنين زي التان تربيع ثيتا كله في دي ثيتا اه
هاد اللي ماخدناش اشوف ناشطة كامل تان تربيع ايه
اتفضل اتنين اصلا واحد زي دورها كويس كويس يبقى
اختراحواحد بيقول بدي أشيل اتنين و بدي أكتبها واحد
زائد واحد زائد تان تربيع و أشيل واحد زائد تان
تربيع و أحط بدل سك تربيع و بيقولوا والله كلها
مظبوط ميان ميان و واحد قال لي لأ لأ لأ انا بدي
أشيل تان تربيع و أحط بدل سك تربيع ناقص واحد مش هي
نفسها برضه يبقى سواء كان هادي والله هادي سيانة
ماتفرجش ان انا ليش سك تربية لإن السك تربية بعرف ال
antiderivative بس التان تربية بعرفوش تمامأذا هذه
لو روحت كتبتها على الشكل التالي تكامل اتنين زائد
تربية ثيتا ناقص واحد دي ثيتا يعني شيلت التان تربية
حطيت بدلها من المتطابقات المثلثية تعت شبتر one اها
section اللي هو واحد تلاتة حاطبها sector بيها ناقص
واحد بدل ان تكامل واحد زائد sector بيها ثيتا كله
في دي ثيتا تكامل واحد بثيتا وتكامل ال sector بيها
بتان ثيتا زائد constant Cطيب سبعة بدنا تكامل اللي
هو واحد ناقص كتان تربيع ثيتا كله في دي ثيتا
بختلف عن السؤال اللى قبله نفس الفكرة إذا باجي بقول
هذا الواحد مانوش ده وهي النقل كتان تربية لكسكن
تربية ثيتا ناقص واحد شكل ان كله في دي ثيتاهذا لو
فكت القوس بصير ناقص ناقص واحد بواحد واحد اتنين
يبقى بيصير تكامل لاتنين ناقص كوسيكا تربيع ثيتا في
دي ثيتا يبقى الجواب باتنين ثيتا وكوسيكا تربيع
بيصير زائد كتان ثيتا زائد constant C
سبعة هنا بنجي ليه تمانية تمانية تكامل ل cosecant
theta على مين؟ cosecant theta على cosecant theta
ناقص sin theta كله في دي theta cosecant
و sin بينفعش تخلي لونين في المثلة كلهم بتخليهم لون
واحدالـ cosecant هي مقلوب مين؟ مقلوب الـ sine يبقى
هذا تكامل واحد على sin θ واحد على sin θ نقص sin θ
كله في dθيبقى تكامل واحد على صين الثيتا يبقى
صين ثيتا يبقى واحد ناقص صين تربيه من الثيتا اظن ان
هذه دي ثيتا بيصير تكامل واحد على واحد ناقص صين
تربيه ثيتا دي ثيتا لو جلبنا الصين فوق بتطير مع
الصين اللي فوق بتظهر مثلا واحد ناقص صين تربيهكوصين
تربية يبقى تكامل 1 على كوصين تربية θ دي ثيتا
طيب نجي نكمل هذا الكلام يسمى تكامل كيف تكامل هذه
تكامل
تكامل تكامل تكامل تكامل تكامل
تكامل
تكامل X على الجذري التربيعي لتلاتة زائد X تربيع DX
بسيطة الشغل فيك جدا ميزم صعب المسألة الجدران بدي
اشيل اللي تحت الجدران و احطه باي variable جديد اذا
لو حطيتي T تساوي تلاتة زائد X ترمية يبقى D T تفضل
تلاتة بالزيرو واحد اتنين X DXبصير النص دي تي بدى
يساوي ال X DX إذا ال X DX بقدر أخيلها أو أكتملها
كده نص دي تي تاوية تمامة يبقى تكمل هذا نص وهذا دي
تي وهذا جذري تييبقى بدل المهم كالكة هيك كتبناها
بشكل قلطة يانص خليك برا مالكش دعوة ويتكامل تيوس نص
لو طلعتها بوجهي بصير تيوس جداش سالم نص في دي يبقى
صارت فرقة ولا لامش مستاهلة صارت يبقى هذا الكلام
يسوى نص مالكش دعوة و هذه T أص نص على نص زائد
constant C هذه مع هذه يبقى الجواب جذر ال T زائد
constant C بدي أشيل ال T و أحط متها ليه تلاتة زائد
X تربيع زائد constant C طيب
خدلي سؤال عشر تكامل لمن لكوصين تربيع لمن X على
أربعة X على أربعة DX في مرة علينا في الجدول توكو
ساين تربيع أو ساين تربيع في الشمكانية ولا سؤال
بسيط بحولها بدل لضعف الزاويةأحنا بنعرف أن تربيع X
يساوي نص في واحد زائد كوصين اتنين X، مظبوط؟ إذاً
هذه بدها تساوي تكامل ونص في واحد زائد كوصين اتنين
المقدار هذا يصير كم؟ X على اتنين DXيعني بدى اضرب
هدى فى اتنين هدى X هدى جده مرة تانى اضرب هدى فى
اتنين بصير X على مين على الاتنين بقوله يا نص خلّيك
برا مالكش دعوة وتكمل الواحد بقداش ب X وتكمل ال
cosine ب sine X على اتنين بدك تجسم على مين على
الزاوية اللى هى النصزائد constant C يبقى بناء عليه
الجواب مص ال X زائد نين تنجلة بتروح زائد sign X
على اتنين زائد constant C مثال رقم اتنين مثال
اتنين بسيط مش مثل النقطة واحدة مش كتير يبقى بيقول
برضه من الكتابةVerify اتأكد ان ذات تكامل تلاتة X
زائد خمسة قص ناقص اتنين DX بدل ساوي ناقص تلاتة X
زائد خمسة قص ناقص واحد على تلاتة زائد
تأكد انه تكامل هذا بده يساوي هذا ايش
رايكم؟ كيف بنا نثبت هذا الكلام؟ بدون ما أكاملممتاز
جدا يعني لو اشتقت هذه اللي على اليمين بده تطلع
اللي جوا هذه، مظبوط؟ اذا تعالوا نشتق هذه ونشوف
يفجأة انا بدي اقول له solution اها بدي اخد D على
DX لسالم 3X زائد 5 والسالم 1 على 3 زائد constant
CY سواءسالب تلث مالكش دعوة بعد هيك بجي بقول الأس
في القوس مرفوعة
لنفس الأس مطروح من واحد في مشتقة مداخل القوس مشتقة
مداخل القوس اللي هي كده؟ تلاتة تمام تمام ومشتقة
الـCزيرو لإنه constant بقول اه ناقص مع ناقص بزاد و
تلاتة مع تلاتة مع السلامة يبقى ضال الجواب تلاتة X
زاد خمسة أس ناقص اتنين هى هذه صح ولا لا يبقى هذه
لو سميتها المثلة star يبقى باجي بقوله star hold
صحيحةأخر مثال في هذا ال section بيقول لي ما يعطي
مثال تلاتة بيقول
لي find a curve find a curve بدنا منحنا y تساوي f
of x with true partiesله الخواص التالي ان دي
square y by دي x square بده يسوى ستة اكس و اتس
اجراف passes اتس اجراف passes اترا زيرو واحد
سؤال مرة تانيةبقول هاتلي شكل المنحنى Y كدالة في X
الذي له الخواص التالية خاصية الأولى مشتقة الثانية
اله تساوي 6X الرسم البياني اله يمر بهذه النقطة إذا
هذه النقطة تحقق المنحنىالخاصية التالتة انه
الهيروزينتال تانجنتال بنفس النقطة يعني المماس تبقى
يكون ماله أفوقيا بقوله بسيطة جدا نبدأ بالمعلومة
الأولى قال دي سكوير واي على دي اكس سكوير يساوي ستة
اكس اظن لو كملناها مرة بتروح المشتقة الثانية ويظل
بينا انها المشتقة الأولى يبقى باجي بقوله by
integration
بتكمل بيبقى عند مين دي y على دي x هذه بدها تساوي
ستة x تربيع على اتنين زائد constant وليكن c one
طيب يعني هذه بدها تساوي تلاتة x تربيع زائد c one
هذا مين مشتقل ايش راح جلي هناالمماس أفقي عند
النقطة 01 إذا من خلالها بقدر يجيب ال constant C1
فبجي بقول له at النقطة 01 we haveيبقى الهيروزونتال
تانجلت يعني الاسلوب تبعه كده؟ بزيرو يبقى هذا
الاسلوب تبعه بزيرو هو dy على dx تمام؟ بده يساوي
مين؟ بده يساوي تلاتة في زيرو لكل تربيع زي كنصة C1
يبقى بناء على C1 كده بده يساوي؟يبقى بناء على dy
على dx يبقى باس ثلاثة اكس مصدور طيب نروح كامل
لنطلب شكل ال y as a function of x بقوله الآن برضه
by integration
بالتكامل هذه تكاملها بقدرش يبقى Y هذه تكاملها
بقدرش يبقى تلاتة X تكييب ع تلاتة زائد كنص فانتاني
وليكن C2 يبقى هذه بدأت تساوي X تكييب زائد C2 ايش
راح جليه؟ جلي هذا الملحنة يمر بالنقطة هذه إذا باجي
بقوله at
يبقى ال Y بقداش واحد وC بقداش Zero زائد C اتنين
يبقى C اتنين بده يساوي قداش واحد يبقى المنحنة اللي
بده يا Y تساوي X كيب زائد واحد