بسم الله الرحمن الرحيم هنبدأ في المحاضرة هذه
chapter جديد وهو chapter أربعة في الكتاب المقرر
عنوان الـ chapter limits of functions و هنبدأ أول
section في الـ chapter هذا و برضه عنوان الـ section
الأول هو نفس عنوان الـ chapter limits of functions
فقبل ما نعرف limit of a function بدنا نتعرف على
مصطلح جديد وهو cluster point of a set نقطة تراكم
الـ cluster point أو بعض الكتب بيسموها accumulation
point و كتب أخرى بيسميها limit point فلو في عندي
set A subset من R set of real numbers و C real
number فالـ real number هذا بنسميه cluster point
للست a if and only if the following condition is
satisfied for every delta عدد موجب نقدر نجد x
ينتمي إلى المجموعة a و الـ x هذه مختلفة عن النقطة c
بحيث ان المسافة بين x و c تكون أصغر من delta هذا
الشرط هذا
الشرط is equivalent to saying بكافئ ان انا اقول
every delta neighborhood every delta neighborhood
لنقطة c اللى هو الفترة المفتوحة اللى مركزها c ونص
قطرة delta every delta neighborhood of c يتقاطع مع
المجموعة a في نقطة واحدة على الأقل x مختلفة عن الـ
c يعني بمعنى أخر بقدر ألاقي في التقاطع هذا نقطة x
يعني التقاطع هذا لا يساوي five okay
كمان مرة النقطة C هذه بتكون cluster point للمجموعة
A إذا أي delta neighborhood للنقطة C بيتقاطع مع
المجموعة A في نقطة X مختلفة عن الـC بس لازم
كل delta neighborhood لـC يتقاطع مع المجموعة A في
نقطة X مختلفة عن الـC طب عشان اثبت ان الـC ليست
cluster point بنفي الشرط هذا يكفي ان اقول there
exist بدل for every delta او every delta
neighborhood يكفى ان اجيب there exists delta
neighborhood واحد ل C و التقاطع هذا بساوي فاي يعني
بحيث ان الـ delta neighborhood لا يتقاطع مع اي
مشيول منها C بالمرة ناخد نظرية الأول الـ definition
هذا بيكافئ النظرية التانية بتقول ان
الـ condition هذا تبع التعريف بكافئ شرط تاني اذا
هنا let A subset من R و C real number C
is a cluster is a cluster point of the set A if and
only if the following condition is satisfied there
exist a
sequence a n contained in A وكل عناصرها مختلفة
عن ال C such that limit a n بساوي c اذا هذا الشرط
بكافئ الشرط اللي هناك الشرط هذا او اللي بكافه
فلبرهان ذلك اذا كمان مرة انا عشان اثبت ان c is a
cluster point للمجموع يعني يكفي ان اثبت ان يوجد
سيكوانس في المجموعة A وكل على سرها مختلفة لاتساوي
C وانهيتها بالساوي لعدد C فتعالى نبرهن النظرية هذه
نبرهن الـ only if part الأول فالـ only if part يعني
الـ assumption assume ان C is a cluster is
a cluster point
of a then
for every n ينتمي إلى n لكل عدد طبيعي n take delta
بساوي واحد على n عدد موجب بما انه C is a cluster
point ل A then by definition of a cluster point
then
by definition there exist a N ينتمي إلى A مختلف عن
ال C such that
ال ..
الـ AN هذا ينتمي للـ Delta neighborhood للـ
C وطبعا ينتمي إلى A negative C هعمل
التعريف هذالما انه الـ C is a cluster point لأي
Delta أكبر من السفر خد Delta بساوي واحد على N لكل
عدد طبيعي N هذا بيطلع عدد موجب لذلك لـ Delta بساوي
واحد على N بقدر ألاجني عنصر X اللي هو ساميه An
يعتمد على الـ Delta وهذا العنصر موجود في A مختلف
عن الـ Cو أيضا موجود في الـ delta neighborhood لـ
C طيب
إذا و
واضح هنا من الـ AN ينتمي ل الـ
AN ينتمي ل DN الـ
delta أو الـ 1 على N neighborhood للـ C اللي هو C
سالب واحد على N C موجب واحد على N وهذا صحيح لكل N
بيقدي انه بيقدي
انه C سالم A N أو
absolute a n سالب c أصغر من واحد على n وهذا صحيح
لكل n هزبوت؟
هاي a n أكبر من c سالب واحد على n أصغر من c زاد
واحد على n هذا معناه absolute a n minus c أصغر من
واحد على n لكل n هذا صحيح لكل n
إذا هاي فيها sequence إذا هاي أثبتنا مايوجد
sequence إذا am is a sequence in a وكل حدودها
مختلفة عن ال c and by theorem اتنين اربعة الشهيرة
أنا عندي الـ absolute value هذي أصغر من واحد على N
لكل N limit واحد على N بالساوي سفر خد C بالساوي
واحد عدن موجب لأن بيطلع limit الـ sequence A N as N
tends to infinity بساوي S C إذن هين أثبتنا إنه لو
كانت C cluster point فأثبتنا إنه يوجد sequence A N
في المجموعة A وكل عناصرها مختلفة عن الـ C ونهايتها
بساوي الـ C إذا هذا بثبت جزء الـ only if part الآن
لثبت العكس لإثبات
العكس
assume أن الشرط اللي حصل بتتحقق
assume الـ condition اللي حصل holds يعني بتتحقق to
show c is a cluster point of
a let delta أكبر من السفر is given since
by star من الشرط star لدي limit لان بساوي c و
delta أكبر من السفر is given إذا من تعريف delta
capital N للـ limit لأي delta أو إبسلون عدد موجب
there exist n يعتمد على delta natural number دحيث
أنه لكل n أكبر من أو سوى capital N هذا بيقدي أنه
absolute a n minus c أصغر من delta
إذاً هذا بيقدّي إنه هيعندي am
طبعا هدف قلبي أن a n أصغر
من c زائد delta أكبر من c negative delta يعني a n
تنتمي إلى v delta of c وتنتمي طبعا من الـ condition
star تنتمي إلى a difference c وهذا صحيح لكل n أكبر
من أو ساوي capital N إذا هاي كل delta neighborhood
ل C بيتقاطع مع A في عدد لانهائي من النقاط المختلفة
عن ال C وبالتالي الشرط تبع الـ definition هيتحققو
then by definition .. by definition C is a cluster
point of the set A و هدا بكمل الـ F part and
therefore completes the proof of the theorem okay
تمام؟
Fine خلّينا ناخد بعض الأمثلة
تشير إلى أن كل X ينتمي إلى مقفل مقفل مقفل
مقفل
of set A1 بساوي الفترة
المفتوحة من سفر إلى واحد من
هنا يثبت إن كل X الفترة المغلقة من سفر إلى واحد هي
cluster point للفترة المفتوحة من سفر إلى واحد
ففي الأول بدي أثبت أنه كل نقطة داخل الفترة المغلقة
هي cluster point للمجموع عادي و بعدين في المرحلة
التانية حتة من نقاط الأطراف اللي هي 01 تطلع أيضا
cluster point لست A1 فنشوف مع بعض ان الـ claim 1
بنثبت ان كل X ينتمي للفترة المفتوحة is a cluster
point of
set A1 اللي هي الفترة المفتوحة نفسها لبرهان ذلك to
see this البرهن ذلك fix ينتمي
للفترة المفتوحة ونثبت ان cluster point للمجموعة a1
اذا fix x and let delta أكبر من السفر be given نبدأ
بالـ delta أكبر من 0 ونثبت أن كل delta
neighborhood للنقطة X بيتقاطع مع المجموعة A1 في
نقطة مختلفة عن X وبالتالي الـ X هتطلع cluster
point حسب التعريف طيب نحن
لدينا اتصالين
two cases حالتين الحالة
الأولى ان الـ delta هذه اللى انا اخترتها العشوائية
الـ delta اللى انا اخترتها ممكن تكون اصغر من ..
طبعا موجبة هي ممكن تكون اصغر من واحد ف in this
case in
in this case في هذه الحالة
لدينا in this
case الـ delta neighborhood لـ X اللي هو X minus
Delta X موجب Delta بنلاحظ أنه تقاطع مع المجموعة A
اللي هي الفترة اللي مفتوحة من صفر لواحد بيطلع
واحد من الخيارات التالية: إما الفترة المفتوحة x
negative delta x positive delta أو الفترة المفتوحة
من صفر إلى x positive delta أو الفترة
المفتوحة من x negative delta إلى واحد أو الفترة
المفتوحة من صفر إلى واحد
حسب قيمة الـ Delta يعني أنا
عندي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 هذه الفترة
المفتوحة تبعتي اللي هي A1 هذا الـ set A1 وأنا عندي
الـ Delta عدد موجب أصغر من 1 والـ X هذه تنتمي .. الـ
X هذه نقطة ما في الفترة
fixed number بين 0 و 1 الآن
أنا عندي الـ delta neighborhood لـ X هذا هو ممكن
يكون زي هيك شكله وبالتالي تقاطع تقاطعه مع الفترة
المفتوحة هو نفسه، صح؟ إذا كان زي هيك أو ممكن يكون
الـ delta neighborhood للـ X يكون شكله زي هيك
وبالتالي
تقاطعه مع الفترة .. مع الـ set واحد، هيكون الفترة
المفتوحة من صفر إلى X زي الـ Delta اللي هي الثانية
يعني صح وممكن يكون الـ
delta neighborhood الـ X تكون قريبة من الواحد زي
هيك والـ delta neighborhood حوالين الـ X يكون زي
هيك شكله هاي x negative delta x positive delta
وبالتالي تقاطع مع الفترة من صفر إلى واحد هيعطيني
الجزء هذا اللي هو فترة مفتوحة من X سالب Delta إلى
واحد وممكن
الـ Delta neighborhood الـ X تكون قريبة من المنتصف والـ
Delta تكون قريبة من الواحد قيمتها أصغر من واحد لكن
قريبة من واحد وبالتالي الـ Delta neighborhood للـ X
يكون زي هيك وبالتالي تقاطعه مع المجموعة A واحد
بيطلع المجموعة A واحد نفسها، صحيح؟ إن هذه كل
الاحتمالات وفي كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite
is infinite
تقاطع المجموعتين هذول بيطلع فترة والفترة أي فترة
مفتوحة الـ cardinal number تبعها بيساوي الـ cardinal
number تبع الـ real numbers اللي هي uncountable set
وبالتالي infinite إذا التقاطع هذا infinite وهذا
بيقود إلى أن الـ V
Delta of X تقاطع الـ a1 منزوعة منها الـ X هيطلع
بالتأكيد لا يساوي في لأن التقاطع هذا بيطلع
infinite وبالتالي هيك بيكون أثبتنا أن كل Delta
neighborhood لـ X بيتقاطع مع a1 في نقطة مختلفة عن X
الحالة الثانية case two أن الـ Delta هذه تكون أكبر
من أو يساوي واحد برضه في الحالة دي بنأتي نثبت أنه كل
delta neighborhood لـ X بتقاطع مع A واحد في نقطة
مختلفة عن الـ X نشوف مع بعض in this case in
this case الـ X negative أو الـ negative delta X
موجب delta هذا اللي هو الـ delta neighborhood لـ X
تقاطع المجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة من 0 إلى
1 هيطلع بيساوي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 لأن الـ
Delta هنا أكبر من أو يساوي الواحد يعني هي عندي من 0
إلى 1 هذه اللي هي المجموعة A وهي X نقطة ما داخل
الفترة فلما يكون X زائد الـ Delta لما تكون الـ Delta
تبعتي أكبر من واحد فـ X زائد الـ Delta هتكون هنا و X
سالب الـ Delta بالتأكيد هتكون هنا وبالتالي الـ Delta
neighborhood لـ X هيحتوي المجموعة A واحد وبالتالي
تقاطع معاها تطلع المجموعة A واحد وهذا is infinite
وبالتالي
إذا الـ delta neighborhood هذا تقاطع الفترة
المفتوحة minus X
لا أكيد بتأكيد لا يساوي five okay تمام إذا في
الحالتين الـ condition تبع الـ cluster point تتحقق
therefore by definition X is cluster point is
cluster point of الـ set A واحد اللي هي الفترة
المفتوحة من صفر إلى واحد طبعاً إذا هذا بيثبت الـ
claim الأولاني طبعاً الآن هأثبت claim ثاني الـ claim
الثاني
النقطة 0 is a cluster point
of set A1 الفترة مفتوحة من 0 إلى 1 لإثبات
ذلك
to see this let نبدأ let Delta أكبر من الصفر be
given فهنا
لأي Delta الـ Delta
neighborhood للصفر اللي هو هيطلع
سالب Delta زائد صفر وموجب Delta زائد صفر فتقاطع هذا مع
الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد بيساوي
في خيارين إما الفترة المفتوحة من صفر إلى Delta إذا
كانت الـ Delta أصغر من واحد طبعاً أكبر من صفر وبساوي
الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد إذا كان الـ Delta
أكبر من أو يساوي الواحد زي ما شوفنا في برهان الكلام
الأولاني مظبوط هاي الاندي الفترة من صفر إلى واحد
هذه المجموعة A1 وهي
X نقطة .. لأ هاي الصفر بالدفتر أن الصفر cluster
point للمجموعة A1 فأخذت أي Delta أكبر من الصفر الآن
الـ Delta هذه لو كانت الـ Delta هذه إذا هي سالب
Delta موجب Delta لو كانت الـ Delta هذه أصغر من واحد
فتقاطع الـ Delta neighborhood مع الـ A واحد هيكون
الجزء هذا اللي هو الفترة المفتوحة من صفر لـ Delta
صح؟ ولو كانت الـ Delta هذه أكبر من واحد لو كانت الـ
Delta هذه أكبر من واحد
فالـ .. فـ Delta هتكون هاي Delta أكبر من واحد وسالب
Delta هتكون هنا وبالتالي الـ Delta neighborhood هذا
تقاطع مع A واحد بيساوي A واحد مظبوط صح؟ تمام؟ وفي
كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite is infinite
infinite set لأنه open interval
تقاطع A-A1 هو
نفس تقاطع A1
إذن هي اللي أثبتت إن كل Delta neighborhood للصفر
يتقاطع مع المجموعة A1 في نقطة مختلفة عن الصفر في
حقيقة الأمر في حقيقة الأمر كل Delta neighborhood
للصفر بتقاطع مع A1 في عدد لانهائي من النقاط اللي
موجودة في A1 ومختلفة عن الصفر إذن by definition
zero is a cluster
point of A1 اللي هي الفترة مفتوحة من صفر لواحد
يبقى لإكمال البرهان يمكن أن يظهر الكليم الثالث
باقي أُثبت أن الواحد is a cluster point of set A1
اللي هي الفترة المفتوحة من صفر لواحد وبرهان الـ claim
الثالث زي .. similar لبرهان الـ claim الثالث إذا
هنا the proof its proof is similar to
claim to
فحاسيبكم أنتم تكتبوا وبالتالي هيك بيكون أثبتنا
أن كل نقطة في الفترة المغلقة سواء كانت نقطة الطرف
اللي هي 0 أو 1 أو نقطة داخلية interior point نقطة
داخل الفترة المغلقة كل النقاط هذه بتطلع cluster
points لمجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة تمام؟
بالمثل ممكن إثبات أن
كل نقطة في الفترة المغلقة is cluster point
للمجموعة A2 اللي هي الفترة المغلقة من 0 إلى 1
والبرهان
هو نفسه بنعمل three claims وفي كل برهان هيكون الفرق
أنه عندي أنا A بدل A1 هيكون A2 فهتكون اللي هو
الفترات هذه فترة مغلقة من صفر إلى واحد وبالتالي
بيصير هذه الفترة من هنا مغلقة عند الصفر ومغلقة عند
الصفر ومغلقة عند الواحد وهكذا نفس البرهان نسخ لصق
مع التعديلات البسيطة أن A واحد الآن أصبحت بدل ما
كانت فترة مفتوحة من صفر لواحد أصبحت فترة مغلقة
وبالتالي في التقاطعات الحسابات نغلق اللي هو
الفترات and الحاجة المطلوبة okay وبالتالي نفس
البرهان will go through هيمشي بالتمام والكمال Okay
تمام؟ إذا هذا البرهان مشابه لبرهان المثال الأول
نأخذ كمان مثال آخر مثال
ثالث every every
finite
set A contained in R has no
cluster
points
كل finite set ما لهاش ولا cluster point والبرهان سهل
proof say
دعنا الـ set a نسمي عناصرها a1, a2 إلى an هدف مش
هدف finite set إذا عناصرهم ممكن أعملهم list a1, a2
إلى an و ممكن أعملهم order أرتبهم حسب المؤشر تبعهم
يعني a1 أصغر من a2 أصغر من a3 أصغر من أصغر من an
ممكن نعمل كلمة من هذا ولا لأ ممكن by the ordering
principle
أو باستخدام الـ ordering تبع الـ real numbers إذا
هي عندي الـ set A تبعتي هي خط العداد وهي A1 وهي A2 وهي
A3 مش شرط المسافة بين كل أنصار والتاني تكون
متساوية وهكذا إلى أخر عنصر AN ف
fix X
ينتمي إلى R و بدي أثبت أن claim X is not a cluster
point
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
بالتالي المجم
إما X تنتمي إلى A أو X تنتمي إلى الـ complement
يعني لا تنتمي إلى A صح؟
ففي الحالة الأولى case واحد أثر من X تنتمي إلى A
وبالدفع تثبت إن X ليست cluster point
say x بساوي a m for some m أكبر من أو ساوي واحد
أصغر من أو ساوي مش هذا الـ x موجود في a و a على
سرها a واحد إلى a n إذا هذا الـ x هو a m for some m
بين واحد و n طيب let
delta بساوي نص المسافة الـ minimum المسافة
بين am minus am minus واحد وam زائد واحد minus am
يعني هاي الـ X هاي الـ M هاي AM وهاي AM زاد واحد
والأنصر اللي جاب لها AM minus واحد احنا قلنا الـ X
سبعتي الـ X سبعتي هي الـ AM الآن باخد المسافة هذه
اللي هي بين a m زي دول اللي هي المسافة هذه و باخد
المسافة هذه بين a m و a m سالب واحد لازم واحدة
تكون أصغر من أو يساوي التانية باخدها الـ minimum الـ
minimum .. الـ minimum بين المسافتين .. الأصغر بين
المسافتين هدول و باخد نصها و باخد نصها بسميها
delta فنص .. لو قلنا الأصغر لو قلنا مثلا الأصغر
اللي هي هذه فنص الدلتا هذا هي فإذا الـ delta هتكون
المسافة هذه و بكوّن delta neighborhood حوالين الـ X
الآن الـ delta neighborhood هذا then verify
ممكنكم تتحققوا verify that
الـ Delta neighborhood V Delta ل A M اللي هي الـ X
تقاطع
الـ set A فاي منزوعة منها A M هيطلع بساوي الفاي
مافيش تقاطع بينهم وبالتالي therefore by definition
ام اكس بساوي ام is not a
cluster point of set A لأن عشان تكون ما تكونيش
cluster point لمجموعة A لازم أثبت إنه يوجد there
exist delta neighborhood للـ X تبعت اللي هي AM بحيث
إنه الـ delta neighborhood هذا ما يتقطعش مع الـ set A في
أي نقطة مختلفة عن النقطة X وهذا حصل Okay تمام إذا
هذا في حالة لما الـ X تكون موجودة في A الحالة
التانية ان الـ case 2 case
2 ان الـ X لا تنتمي الـ الـ set A ففي الحالة هذه
معناته x مابتساويش ولا واحد من العناصر هذه فالحالة
هذه ممكن أجزيها إلى تلت حالات الحالة
الأولى ان الـ x تبعتي تكون أصغر من a واحد وبالتالي
واضح ان المسافة بين X و A واحد كبيرة وباخد نص
المسافة دلتا إذا هيوجد دلتا نبرود ل X ومابتقطعش
مع المجموعة A بالمرة وبالتالي X is not cluster
point ممكن الحالة التانية أن X تكون أكبر من الـ AM
برضه باخد المسافة دي بجيبها و باخد نصها على انه
Delta و بكون Delta neighborhood حوالين الـ X هذا الـ
Delta neighborhood واضح انه مابتقطعش مع الـ set A
بالمرة وبالتالي إذا X في الحالة دي ليست cluster
point الحالة التالتة ان X تكون واقعة بين عنصرين من
عناصر الـ set فباخد اللي هو المسافة الأصغر من
المسافتين هدول و هي تكون هادي و باخد نصها delta و
بكون delta neighborhood حواليها هذا الـ delta
neighborhood بتقطعش مع المجموعة هاد المرة وبالتالي
حسب التعريف x ليست cluster point
ما احنا قلنا إذا كانت X تنتمي لأيه هي برهانة MA لا
تنتمي لأ تنتمي اه ليش قدامها بين تنتمي و لا تنتمي
ما هي الـ X ما تنتميش لأيه فممكن تكون بين عنصرين من
عنصرهم هي تنتمي لـ R ما تنتميش لأيه فممكن تكون
موجودة بين A2 و A3 صح أو بين A1 و A2 أو بين A3 أو
A و هكذا أو ممكن تكون الـ X على يمين الـ AN أو حالة
تالتة X تكون على يسار الـ A واحد وشوفنا في كل
الحالات هذه التلاتة أنه بقدر ألاقي delta
neighborhood حوالين الـ X لا يتقاطع مع المجموعة A
بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا الكلام
هذا واضح حاولوا تكتبوه بطريقة يعني منطقية okay
تمام؟
أنا متخيلة الـ A عبارة عن set دائر مثلا أنا هيك
متخيلة و أنه مثلا الـ cluster point هي عبارة عن
نقطة .. لأ الـ A ماتتخيليش الـ A عند الـ set الـ A هي
جزء من الأعداد الحقيقية subset من R و R خط لازم
يعني تتخيل الحاجات زمان على الـ interior point و الـ
boundary هذا في الـ topology حاجة تانية هي زي ات
شبهها يعني ممكن نفهمها بهذا الطريقة بس ممكن اه
ممكن بس احنا هنا على الـ real line يعني خليني احنا
نتقيد بالـ sets اللي موجودة على الـ real line أما هو
طبعا في تعني من الكلام هذا في حاجات أعم و فرغات
أعم من الـ .. الـ real number اللي هو الـ topological
spaces و هذا موضوع طبعا متشعب و بده يعني تدرس الـ
topology عشان تفهم كل شيء okay فى أي أسئلة تاني؟
okay لنكتفي بهذا القدر و إن شاء الله بنكمل
المحاضرة الجاية الموضوع و بنخش بتعريف الـ limit للـ
functions