لازلنا في تشابتر ستة وهو الـ isomorphism المرة اللي
فاتت عرفنا الـ automorphism وعرفنا أنه عبارة عن
isomorphism لكن من الـ group إلى نفس الـ group
وبالتالي سميناه automorphism عرفنا كمان الـ Inner
Automorphism induced by an element of a group G
وقلنا الـ Phi A of X يساوي A X A inverse وسمينا
هذا الـ Inner Automorphism من G الآن لو جمعنا كل
الـ Automorphism في G وسميناهم الـ Automorphism لـ G
جمعنا كل الـ inner automorphism وسميناهم الـ inner
automorphism of G يفجر الرمز اللي قدام الـ
automorphism لـ G كل الـ automorphism اللي موجودة في
الـ group G الـ inner automorphism لـ G كل الـ inner
automorphism of group G النظرية اللي عندنا بتقول لو
كانت جي جروب يبقى الـ automorphism والـ inner
automorphism لجروب جي كل واحد فيهم عبارة عن جروب
بدي أحاول أثبت النقطة الأولى ومن ثم أثبت النقطة
الثانية طبع الكتاب تركها .. تركه ملكه as an
exercise يعني حطه الـ .. الـ .. الـ .. في التمرين
تبعت ميم تبعت الكتاب على أساس أحله كـ exercise
احنا هنبره إنه برهان عادي يبقى الخطوة الأولى بدي
أثبت له إن الـ automorphism is a group يعني بدي أثبت
إن الـ binary operation اللي على الـ automorphism اللي
جيه is a binary operation associative الـ identity
element الـ inverse element وهكذا نجي للنقطة
الأولى لذلك بدي أقوله let فاي واحد وفاي اتنين
موجودات في الـ automorphism اللاجئ يبقى
بناء عليه مدام automorphism يبقى كل من فاي واحد وفاي
اتنين is one to one and onto يبقى then فاي واحد وفاي
اتنين is one to one and onto هذا بيعطينا من مبادئ
الرياضيات إن الـ composition فيما بينهما فاي واحد في
اتنين is one to one and onto كذلك من مبادئ
الرياضيات لو كان عندي two functions كل واحدة فيهم
one to one and onto يبقى الـ composition عليهم
بيعطينا one to one and onto function بدي أشوف
هالهدى بتخدم خاصية الـ isomorphism ولا لأ إن خدمت
يبقى بصير هدى هذه موجودة في الـ automorphism
يبقى بناء عليه هذي بتعطينا فاي وان لـ فاي تو of XY ليش
هذا تعريف الـ composition of functions اللي أخدناه
في calculus A هذا الكلام يساوي فاي واحد of فاي
اتنين أنا فرضه Automorphism لـ جي يعني Isomorphism إذا
بناء عليه لما يأثر على الـ X و Y يبدو يساوي فاي في
تو of X فاي في تو of Y يبقى فاي تو of X فاي في تو of
Y ليش؟ since لإن الـ فاي تو is isomorphism طيب هذا
الكلام يساوي يساوي فاي وان لـ فاي two of x وكمان فاي
وان لـ فاي two of y لنفس السبب نظرا لإن فاي وان is
an isomorphism يبقى هذا الكلام since فاي وان is an
isomorphism طيب بدا الشغلانة الـ composition of
functions بده رجعهم إلى أصلهم يبقى هذا معناه فاي
واحد في اتنين كله as a function of x و فاي واحد في
اتنين as a function of y يبقى بناء عليه أصبح فاي
واحد في اتنين في اتنين is an isomorphism وبالتالي
Automorphism يبقى الـ automorphism لـ G is closed under
the composition of functions أو الـ composition of
functions is a binary operation على مين؟ على G
يبقى يا بتروح تقولي هنا الـ automorphism
automorphism لـ G is closed under the
composition of functions يعني إذا كان بدل العبارة
هذه بتقدر تقولي so the composition of a function
is a binary operation على مين على الـ automorphism لمين
إلى دي يعني إحنا حتى الآن أثبتنا مين الخاصية
الأولى إن الـ operation is a binary operation بتقدر
تقولها بينجو سين حطها binary operation عندك مشان
تتأكد إن هذه الخطوة هي الخطوة الأولى في إثبات الـ
group الخطوة الثانية خاصية associativity we know
that احنا بنعرف إن that the composition of
functions
is associative يبقى فيش داعي أروح نعملها لإننا
عارفين إنها هذه يبقى اتحققت من الخاصية الثانية
بدنا نروح نجيب خاصية الـ identity element الآن الـ I
من G إلى G هذه is the identity function
خليني أسألكم السؤال اللي طالع لما أخدتم مبادئ
الرياضية الـ identity function one to one and onto
ولا لأ؟ مظبوط؟ يبقى هذه الـ identity function which
is one to one and onto مش عجبا هكذا and الـ I لو
أثرت على الـ X في Y، أيش بتعطيه لك؟ الـ X في Y لأن
الـ Identity function الـ X هذه ليست I of X وهذه I
of Y إذا حققت الخاصية تبع الـ isomorphism صار one
to one and onto و حقق الخاصية و من الـ group لنفسها
يبقى هنا الـ I موجود في الـ automorphism الجيب يبقى
أصبحت الـ I عبارة عن automorphism هذا هو الـ identity
element يبقى is the identity
Element of الـ automorphism
اللي جيه بدك تعمل تشك تاخد الـ identity مع automorphism
تاني و تعمل بينهم composites بينهم مالوش تأثير
مافيش مشكلة طب الآن بدنا نيجي لمين؟ للمعكوس، الآن
اف فاي موجود في الـ automorphism لجيب أحاول أن أثبت إن
الـ Phi Inverse عبارة عن Automorphism إذا أثبتت إن
الـ Phi Inverse عبارة عن Automorphism يبقى أثارة
الـ Automorphism is a group وانتهينا من المثلة يعني
كأننا نشتغل الآن ما أشتغلناه في الشابتر الثاني بعد
تشابتر المقدمة وهو تشابتر الـ group يبقى then Phi is
one to one and onto مش على جد هيك مادام فاي one to
one and one to one يبقى معاكسه as one to one and
one to كذلك function يبقى one to one and onto
function هذا معناه إنه فاي انفرس عبارة عن one to
one and onto function ضايل علينا مين؟ ضايل علينا
نثبت إن فاي انفرس is an isomorphism يعني فاي انفرس
of x y هو فاي انفرس of x وفاي انفرس of y أظن
أثبتناها في النظرية قبل الماضية أو السبع نقاط
أثبتناها فيهم طيب و
Prove that احنا برهننا كذلك إن فاي انفرس of x y
يساوي فاي انفرس of x فاي في انفرس of y برهنها سابقا
يبقى صارت فاي انفرس exist وفي نفس الوقت حققت خاصية
الـ isomorphism يبقى ه أو الـ automorphism هذا معناه
إن فاي انفرس موجود في الـ automorphism لمام الاجيه صار
الـ automorphism الاجيه closed under the operation
العملية associative الـ identity element موجود
المعكوس لأي element موجود في الـ automorphism موجود يبقى
الـ automorphism مالها is a group يبقى الـ automorphism لدي
is a group under the composition of
functions
طيب كويس انتهينا من الأولى نيجي لنقطة ثانية الـ inner
automorphism لـ G the set of all elements Phi A
such that الـ Phi A of X بده يساوي الـ A X A inverse
وهذا الكلام لكل الـ X اللي موجودة في G هذه عرفناها
المرة اللي فاتت بالشكل اللي عنها ده، بدي أحاول
أثبت إنه هذه is a group طب خليني أسألكوا السؤال
التالي، لو قدرت أثبت إن الـ inner automorphism اللي
جي subgroup من الـ automorphism اللي جي مش الـ inner
بصير group لأن الـ subgroup هي مجموعة جزئية من
المجموعة الأصلية بس تحت نفس العملية إذا لو قدرت
أثبت إن الـ inner automorphisms اللي جيه هي عبارة عن
subgroup من الـ automorphism اللي جيه بصير هذه group
ونكون انتهينا من المسألة هذه يبقى بدنا نروح نثبتها
بدنا نثبت إن الـ inner هذه is a group مشان أثبتها
group بدأ أثبتها sub group من ال-atom morphism لـ G
الـ inner atom morphism لـ G is non-empty
ليش؟ because
الـ Phi E موجودة في الـ Inner Atomorphism لـ جي يعني
هذا هو الـ identity element because and الـ Phi E is
the identity element and الـ Inner
Atomorphism لـ G
أنا بدعي أنه الـ identity element الآن بدي بين أن
هذا هو الـ identity element تبع الـ atomorphism يبقى
هذا بدي يعطيني أن الـ phi E of X يساوي الـ X يساوي
شريك الـ X هذه لو ضربت في الـ identity element تتغير
يعني لو قلت لك هذه E X صح ولا غلط؟ مية المية طب لو
قلت لك كمان ضربت في معكوس الـ identity element مين
معكوس الـ identity element الـ identity element نفسه
يبقى سعر الـ Phi E ده موجود في الـ inner atom
morphism لـ G ومن هنا الـ inner atom morphism لـ G is
non-empty طب كويس الآن بدأ أخد two elements موجودات
في الـ inner و أثبت أن الأول في معكوس الثاني موجود
يبقى بداجي أقوله let code لفاي a وفاي b موجودات
في الـ inner atomorphism لـ جي then
بدي أخد فاي a فاي b inverse كله as a function of x
وشوف هل هذا موجود في الـ inner ولا لأ بمعنى آخر هل
بقدر أكتب حصل الضرب هذا على شكل inner atomorphism
والله ما أقدرش هذا ما سنجيب عليه طيب هذا الكلام يساوي
as a
function of x طبعًا برهنا هذا الكلام سابقًا في
نظريات السابقة بينا أن فاي a inverse الانفرس
بنزله على من؟ على الـ element يبقى هاي نزلنا الـ
inverse على من؟ على الـ element اللي جواهذا
composition of functions يبقى فاي a لمين لفاي b
inverse as a function of x يبقى هذه الـ فاي اللي برا
هذه الـ فاي اللي برا a واللي جوا هذي بده أطبق عليها
التعريف اللي احنا جايلينه هنا يبقى هذه عبارة عن B
inverse X B inverse Inverse طبق لهذا التعريف Phi A
الـ element A X A inverse يبقى هذا الـ element X الـ
element inverse بالشكل اللي عندنا هذا الآن بدي أطبق
التعريف كمان مرة يبقى هذا بدي يعطيني الـ a b
inverse x b inverse x b inverse inverse كل هذا
الكلام في من؟ في الـ a inverse يبقى اعتبرت هذا كله
element في domain الـ phi of A طبقت عليه التعريف
اللي هناك A نفس الـ element الـ A inverse الآن
بالدالي لخاصية الـ associativity يبقى بناء عليه هذا
بقدر أقول A B inverse في الـ X فيه أطلع لي هذا الـ
element inverse و هذا الـ element inverse بقدر
أجمعهم بـ inverse واحد بعد ما أغير أو أبدل مواقعهم
يبقى هذا الكلام اللي هو الـ a b inverse الكل
inverse بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا inverse و
هذا inverse جلبت وضعهم و خلت inverse للكل أطلع لي
للمقدار بين القوسين هو هذا ولا لا يبقى صار الـ
element هذا هو الـ element هذا بس inverse أليس هو
تعريف inner atomorphism يعني هذا كأنه مين كأنه في
a b inverse of x تمام
يبقى ابتدأت بـ element في معكوسه الثاني طلع عندي Phi
of AB inverse يعني إيش؟ يعني اللي هو inner
atomorphism إذا هذا موجود في inner atomorphism لـ G
ثبت هنا أنه non-empty أخدت الـ elements موجودات في
الـ inner فردت الأول في معكوس الثاني طلع موجود وين
في الـ inner atomorphism يبقى بناء عليه الـ inner
atomorphism لـ جي is a subgroup من الـ atomorphism
لـ جي هذا بيعطينا
حد لو يتسائل بالنسبة للنظرية
علي صوتك شوية عشان
نثبت أنها non-empty ممتاز تعال
هنا تعال تعال الحق الحق قول
أنا ادعيت أن هذا هو الـ identity element هايو جايلك
هذا is identity element أن جي جيت قلت لك مدام
identity يبقى بده يساوي هيك مظبوط تأثيره على الـ
element بيساوي الـ element هذه النتيجة بدي أحاول أحط
على شكل inner atomorphism فروحت قلت الـ Phi يساوي X
يساوي E X E inverse هذا شكل inner atomorphism
وبالتالي هذا موجود هنا قسمة عالمية أربعة بيصير
في A X بيساوي E X E inverse فاي E هي الـ identity هي
جايلك من الأول في E موجودة وهي الـ identity مش الـ
E الـ E هو الـ identity تبع الـ group لكن في E هو
الـ identity element تبع الـ atom morphism وتبع الـ
inner atom morphism در بالك يعني هدول functions
وليست elements عادية تمام لكن صورها هي الـ elements
اللي موجودة وين في نفس الـ group اللي عندنا جي حد
يلاقي تساوي الآخر؟ طيب بدنا نروح و نوضع هذا الكلام
بمثال example
بقول الـ D4 بده يساوي الـ R0 R90 R180 و
R270 H V D D prime find find أو
جد ليه الـ inner
لـ D4 بدنا الـ inner atomorphism لـ D4
solution
تعال نشوف اللي هو الـ elements المختلفة اللي بدنا
نجيبها من خلال الـ elements اللي عندنا نتكلم احنا
على الـ inner مدام على الـ inner يبقى نتكلم على
functions كلها بهذا الشكل تمام؟ بدي أروح أجيب هنا
فاي R0 as a function of x طبعًا الـ X مين يا
شباب الـ X أي عنصر من هدول مين ما كان يكون يبقى هذا
لكل الـ X اللي موجودة في G يبقى هذا حسب الـ
definition بده يساوي R0 X R0 inverse حد
فيكم يقدر يقول لي قداش الناتج؟ قداش؟ X لأن هذا هو الـ
identity element ومعكوس الـ identity element الـ
identity element نفسه ويضربه في أي element بيعطينا
نفس الـ element طيب كويس إذا تأثير في R0 على
جميع عناصر جي بيعطيني جميع عناصر دي حط على شجرة
الآن بداجة أخد في R180 as a function of
X يبقى هذا الكلام يبدو يساوي R180 X R180 Inverse
السؤال هو قبل ما أسافر أعطيتكم الـ center تبع الـ D4
أو الـ Dn قلنا لكم إذا الـ N فردي يبقى الـ center
ما فيه إلا الـ identity element وإذا الـ Dn الـ N
زوجي يبقى فيها الـ Identity Element والـ R180 صحيح
ولا لأ؟ إذا الـ R180 هذه موجودة في الـ Center يعني
كوميوتس مع جميع عناصر D4 إذا هذه لو بدلتها هنا بيصير
X R180 R180 Inverse اللي هي بالـ Identity يبقى ناتج
كده بده يعطينا
لأن الـ R 180 موجودة في الـ Center تبع الـ D4 طب من
الاثنين هدول إذا الناتج هو نفسه معناته في R0
تأثيرها على الـ elements بتساوي في R0 تأثيرها
على الـ R180 تأثيرها على الـ elements يبقى
أصبح في R0 بتساوي في R180 تمام يبقى
هدول في الـ atom morphism عنصرين ولا عنصر واحد
عنصرين ولا واحد واحد ممتاز جدًا طيب تعال نشوف فاي
R270 تأثيرها على X يبقى هذه
R270 X R270 inverse وتساوي إيش
رأيك الـ R270 بقدر أكتبها R180 مضروبة في R90 صحيح
ولا لا؟ لأن هذه نفسها الـ rotation هو نفسه ما عناه مش
مشكلة طيب هنا الـ X الـ R270 .. اه هذه R270 و
سبعين inverse حسب التعريف طبعًا يبقى R270 و
سبعين inverse في الـ H مش خليني أسألكم السؤال
التالي R270 كده إيش تساوي يا شباب R0
طبعًا طيب R0 لو ضربتها في R90 inverse بيصير الـ
R270 تساوي الـ R90 inverse يعني ضربت
الطرفين في مين؟ R تسعين انفرس يبقى بناء عليه الـ R
ميتين وسبعين انفرس، الـ R ميتين وسبعين انفرس لو بدأ
أخد الانفرس هنا، يقول هيعطيني من الانفرس هنا يبقى
الـ R ميتين وسبعين انفرس بده يساوي الـ R تسعين طيب
هذا الكلام بده يساوي هذه الـ R التي هي
R تسعين inverse في R مية وتمانين inverseالـ
موجودة مع الـ Center يبقى لو جيب تهادي معهدش بصير
الـ Identity Element يبقى بصير الناتج R 90 X R 90
Inverse أليس تهادي على الصيغة اللي موجودة عندنا
هذه؟ يبقى هذه Φ R تسعين يبقى هذه Φ R تسعين as a
function of X يبقى بناء عليه أصبح عند هنا مين Φ
R ميتين وسبعين بده يساوي Φ R تسعين هذه بروزناها
وهذه بروزناها النتيجة اللي حصلنا عليها يبقى خلصنا
من R نود ومن R تسعين ومن R مية وتمانين ومن R
ميتين وسبعين بدنا نجي لامام لـ Φ H as a function
of X يبقى H X H inverse هذا الكلام يساوي بالدجل الـ
H عندنا ورحت فتحت على الجدول صفحة واحد وثلاثين
تابع الكتاب اللامان لـ دي فور صفحة واحد وثلاثين
وروح تدور على H ممكن تساوي هلاجيها R مية وتمانين
في V يبقى R مية وتمانين في V هي الـ H إذا ممكن
أشيلها وأكتب R مية وتمانين V في الـ X في الـ R مية
وتمانين V inverse كلها طب ليش كتبتها هيك؟ عشان أسهل
عملية الاختصارات يعني بدي أحاول أكتبها بدلالة من؟
بدلالة الـ R180 كون الـ R180 في الـ center إذا
بتختصرني نص الشيء اللي موجود طيب هذا الكلام يساوي
R180
في V في الـ X هذه الـ inverse الـ V inverse R مية و
تمانين inverse طب هذه لو جبت عندها دي بقى كم بصير
بالـ identity ايش بصير عندنا هنا VX V inverse يبقى
هذه مين هذه Φ V of X يبقى بناء عليه أصبح عندي Φ
H هي عبارة عن Φ V بقى اللي عندي أخر حاجة Φ D
Prime as a function of X يبقى هي D Prime X D Prime
Inverse بنفس الطريقة اللي جبت فيها H بدي أروح أجيب
D' بروح بفتح الجدول صفحة واحد وثلاثين على الـ D'
على من؟ على الـ D' بدي R مية وتمانين عشان يجيب لي
D' بصير R مية وتمانين في D يبقى بشيلها وبكتب
بدالها R مية وتمانين في D في X في الـ R مية و
تمانين في D كل هذا الكلام inverse يبقى هذا الكلام
بيصير R مية وتمانين في D
يبقى هذه مع هذه بمين؟ بالـ identity element تمام
يبقى النتيجة هتعطيك DX D inverse هذه هي عبارة عن
Φ D of x يبقى بناء عليه أصبح Φ D prime
بده يساوي Φ D
يبقى الثمانية inner automorphism
صاروا كده؟ أربعة وليست ثمانية، الأربع صاروا على
الشكل التالي
يبقى هنا صار الـ inner automorphism لـ D4 هو عبارة
عن الـ Φ R نوت طبعًا يساوي Φ R مية وتمانين والثاني
Φ R تسعين اللي يساوي Φ R ميتين وسبعين والثالث
اللي هو Φ H والرابع اللي هو Φ D بهذا الشكل
يبقى هدول الـ inner automorphism لمن؟ لـ G السؤال هو
هل الـ inner automorphism لـ G أقل من ذلك واللهيهم
الأربعة فيش غيرهم بمعنى آخر هل الأربعة هدول بقدر
أخسرهم لثلاثة ولا لاثنين تعالوا نشوفوا نتأكد من
هذا الكلام أنا أدعي أن هذه الأربعة are distinct
يبقى هنا this أو the elements له five R node وfive
R تسعين وfive H and five
D are distinct
إذا Distinct معناته ايه؟ معناته إنه فعلا الـ
Inner Automorphism فيه الـ D والـ G ما فيش فيه إلا
الأربع عناصر هدول أو الأربع Inner Automorphism مشان
أثبتهم Distinct يكفيني counter example واحد لكل
واحدة فيهم تعالوا نشوفوا الآن أنا أدعي إنهم هذول
distinct إذا لو جيت قلت Φ R نود وبده أخليه
يأثر مثلًا على H أخد H عشوائيًا من الـ D4 يبقى هذا
بده يساوي R نود H R نود اللي هو Φ H الآن
بدأ أخد Φ R تسعين as a function of H يبقى هذا
الكلام بده يساوي R تسعين H R تسعين inverse ويساوي
برضه بده أرجع للجدول R تسعين H اللي في صفحة واحدة
وثلاثين R تسعين HR تسعين تضربها في H بيطلع D
Prime يبقى هذه D Prime R تسعين inverse اللي هي
بمين؟ بـ R ميتين والسبعين يبقى R ميتين والسبعين الـ D
Prime في الـ R ميتين والسبعين عندك D Prime في الـ R
ميتين والسبعين اللي هو بيعطيلك V بيعطيلك V هذه
أعطتني H وهذه أعطتني V إذا لا يمكن للـ R لـ Φ R
تسعين إنه يساوي مين؟ إنه يساوي الـ Φ R نود الآن
بالمثل لو جيت قلت Φ R تسعين بدي أبحثها مع مين؟ مع
Φ H بدي أثبت إنه ما فيش تساوي فيما بينهما يبقى Φ R
تسعين مثلًا لو خلتها تأثر على R تسعين يبقى ما بيصيرش
R تسعين R تسعين R تسعين inverse اللي هو بقد ايش؟ R
تسعين الآن بدي أنا أخد Φ H R تسعين يبقى هذا
الكلام يساوي H R تسعين H inverse يبقى
H inverse Y يساوي بالدجل الـ H R تسعين برضه من
صفحة واحدة وثلاثين بدي من؟ بدي الـ H R تسعين عندك الـ
H R تسعين اللي هي بـ D' طب والـ H inverse مش هي
H يا شباب ولا لا؟ سكت الشعب العناصر اللي عندنا هذه
هو الـ H تربيعها تساوي V تربيعها تساوي D تربيعها
تساوي D' تربيعها تساوي الـ identity قلنا يبقى الـ H
والـ H inverse D' D inverse V' V inverse D prime يا D
prime inverse، مظبوط؟ إذا أشيلتها وحطيت قيمتها،
الآن بدي أشوف الـ DH مين هي، يبقى لو جيت لـ D في H،
D في H باللي بقى 270 يبقى هذه بدها تساوي الـ R 270
وسبعين يبقى من الاثنين هدول معناه هذا الكلام اللي
هو Φ R تسعين لا يمكن أن تساوي الـ Φ H اللي
عندنا بقى اللي عندنا مين بقى الـ Φ D الآن احنا
بياننا هي الثانية الأولى نياتي وهي الثانية
الثانية وهي الثانية اللي بعضهم Φ R تسعين برضه
بده يخلي يأثر على R تسعين أعطاني R تسعين itself
بده أخد آخر واحدة Φ D لما تأثر على R تسعين يبقى
هذا الكلام يساوي DR تسعين D inverse هو يساوي بدي
أجيب له الـ D R تسعين من الجدول الـ D R تسعين عبارة
عن V يبقى هذه V والـ D inverse هي عبارة عن D بدي
أجيب له الـ V في D يبقى الـ V في D اللي يبقى R ميتين
وسبعين يبقى هذه تساوي R ميتين وسبعين ملي الاثنين هدول
بس تنتج إن الـ Φ R تسعين لا يمكن أن تساوي الـ Φ D
اللي عملته أنا لسه شغلة أثبت إن الـ Φ R تسعين لا
بتساوي هذه ولا بتساوي هذه ولا بتساوي هذه الآن أنت
بتكتب إن الـ Φ H ما تساويش هذه Φ H ما تساويش هذه وΦ
H ما تساويش هذه وبعدين Φ D يبقى بروح بقوله
similarly
similarly for اللي هو Φ H and Φ D thus وهكذا
هكذا الـ inner automorphism اللي D4 هو عبارة
عن الـ Φ R نود والـ Φ R تسعين والـ Φ H و
الـ Φ D فقط لا غير طيب بدي أسأل السؤال التالي أنا
أخد تأثير الـ R node على H والـ R node على H طب لو
غيرت الـ H هذه يمكن يطلع اثنين زي بعض اه دير بالك
اصبر شوية اصبر عليّ شوية أنا هنا أثبت له إن الـ R
نود الـ R نود هي الـ R مية وتمانين على مين؟ على
X هل الـ X اخترت رمز معين ولا جيت على ثمانية رموز
على ثمانية ممتاز إذا إذا أنا لما أقول هذه لا تساوي
قد تساوي على بعض الرموز ولا تساوي على البعض الآخر
يبقى أنا بس جبت counter example أنها لا تساوي in
general لكن قد يحدث تساوي آخر لا مشكلة في ذلك لأن
أنا بدي عدم التساوي يكون على الكل بلا استثناء إذا
لو لجيت رمز واحد من الثمانية التساوي غير حاصل زي
ما شوفت هنا يبقى هدول يمكن أن يتساوى رغم أن هم
ممكن يتساوى على بعض العناصر لكن in general على D4
كلها بحصلش تساوي واضح كلامي؟ أيوة مش سامع إيش
بتقول هل صوتك
مين المتساوين؟
ماعنديش مشكلة أنا بقول لك أنه ممكن يحصل تساوي لكن
إذا بدك التساوي على جميع العناصر وليس على بعضها
عشان يحصل التساوي طبعا إذا أنا من الثمان عناصر
فبعد if لو جيت عنصر واحد التساوي غير حاصل إذا in
general التساوي غير حاصل عشان يكون تساوي بدي يكون
لجميع العناصر X يعني جميع عناصر D4 الثمانية بلا
استثناء يبقى بناء عليه هدول عناصر ال inner
automorphism تبعت منهم تبعات ال D4 اللي هو طلبهم
وبالتالي انتهى هذا السؤال ننتقل الآن إلى سؤال
السؤال الآخر وهو very important ولو أنه لم يبقى
له وقت السؤال الآخر بيقول ما يأتي خليه
بلكن كمان example
example بقول الكمبيوتر احسب لي ال automorphism لـ Z
منين لـ Z عشرة
أنا بدي احسب له كل الـ automorphism لـ Z10 يعني أنا بدي
function من Z10 إلى Z10 تبقى وأنت وأنت وأنت و تخدم
خاصية من الـ isomorphism كل function بهذه الطريقة
بتبقى موجود وين؟ في الـ automorphism لمين؟ لـ Z10 طبعا
هنثبت أن هدول أربعة فقط لغيروهذا ما سيكون في
المحاضرة بعض الظهر لإنه ما ضلش معانا واجد إلا تمام؟
هذا أنا بغششك من الحين إذا معاك الكتاب موجودة في
الكتاب تمر عليها ولن تفهم منها إلا القليل أنا
متأكد مش هتفهم إن هو كتاب إلا القليل لكن إن شاء
الله بنوضحها لك وبنفهمها لك في المحاضرة القادمة
إن شاء الله يعطيكم العفو