بسم الله الرحمن الرحيم المرة اللى فات بدأنا ب
section تلاتة خمسة اللى هو ال dimension اعطينا
تعريف لل in dimensional vector space او ال vector
space has dimension in و اعطينا تعريف لل bases فقط
و اعطينا على ذلك مثلا واحدة فكان تعريف ال in
dimensional vector space قولنا هو ال vector space
اللى بتحقق فيه شرطينالشرط الأول عندي مجموعة من ال
linearly independent vectors الشرط الثاني لو أخدت
أكثر من هدول بمقدار و لو vector واحد بدنا نكون
معاهم linearly dependent إن حدث ذلك يبقى ال
dimension تبع ال vector space هو عدد ال linearly
independent elements هذا التعريف الأول التعريف
الثانيقلنا V1 و V2 و V3 و Vk ال vectors هدول
بسميهم basis لل vector space إذا تحقق شرطان الشرط
الأول كانوا هدول بيولدولي ال vector space كله فيه
الشرط الثانيبيكونوا هدول كلهم linearly independent
وقلنا من الأفضل ان نستخدم الشرط الثاني ثم الشرط
الأول يعني كيف؟ يعني بدي أثبت ان هدول ال vectors
are linearly independent ومن ثم بدي أثبت ان اي
element في ال vector space هو linear combination
باستخدام هذه ال vectors هذا ما تحدثنا فيه في المرة
الماضية الان ننتقل الى نظرية برضه لازلنا في نفس
الموضوع النظرية بتقول ان لو كان ال V هو vector
space ال dimension له يساوي N يبقى انا عندي شرطين
متحققات الان تمام؟ ليش؟ لو ال dimension ال vector
space ميعطيني ان هو ميعطيني انthen every basis of
V spans V يبقى أي basis لل vector space V بيولدلي
جميع عناصر من V وهذا ذكرنا المرة اللي فاتت أن
العناصر اللي بقول عليهم basis لل vector space إذا
أي element في ال vector space قدرت أكتب بغاصدة
linear combination بمين بهذه ال vectors طيب بدنا
نيجي لبرهان النظريةيبقى برهانة نظرية كالتالي بدي
اخد basis موجود في V و اثبت ان هذا ال basis
بيولدلي جميع عناصر V تماما اذا تم لنا ذلك بيكون
خلصنا من الموضوع يبقى بداجي اقول هنا let اللي هو
من V1 و V2 و لغاية ال VN ب
يبقى انا فرض ان v1 وv2 ولغاية vn عبارة عن ال basis
ل ال vector space v طبعا انا مجبر ان اقول من 1
لغاية n و لا كان بيمكن ازيدهم شوية مجبر
مجبر إجباري لإنه dimension لل vector space N تمام
ال dimension له يبقى عدد العناصر في ال bases يبقى
بناء عليه هدول bases لمين لل vector space V تمام
الان اذا اثبت له ان اي element في ال vector space
V هو linear combination من هدول اتوماتيك بيكونوا
هدول بيولو لجميع عناصر V بالضبط تماما لذلك بروح
اخد اي عنصر V موجود في ال vector space V مدام اخد
V في ال vector space V في احتمالإن هذه الـ V تبقى
في المجموعة هذه صح ولا لأ؟ واحتمال أن تكون خارج
المجموعة مش لا احتمالين وردات يبقى بدي أدرس هذين
الاحتمالين يبقى let ال V belongs to V فبجي بقول if
ال V موجود في المجموعة V1 وV2لغاية ال V in then
ماذا سيحصل؟ مدان V موجود هنا يبقى V أبقى أقل من 1
من هؤلاء يبقى then ال V ستكون V I و I أكبر من أو
تسوى 1 و أقل من أن تسوى in يعني إحتمال أن V تبقى V
1و احتمال ال V تبقى V2 و احتمال ال V تبقى V3 و
احتمال ال V تكون مين؟ VN و هكذا طيب يبقى احتمال ال
V هذه تبقى مين؟ تبقى VI يبقى بناء عليه بقدر اكتب
ال V هذه على الشكل التالي Zero في V10 في V2 زائد
زائد واحد في VI زائد وانضل لغاية Zero في ال VIN
بنفعلها بنفعش هذا كله بيصفر بيظل مين عندي و VI مين
هييبقى كلامي صحيح صحيح ولا لأ يبقى ايش معنى هذا
الكلام ان V هو linear combination من كل ال V's
اللي عندي يبقى هنا this means that هذا يعني ان ال
V is a linear combination
Linear combination of الهمان كل البيهات اللي لدينا
V1 و V2 و لغاية VN
أيش أنا بده أثبت؟ أي basis span ال V أخدت element
عشوائي و طالع في مين في المجموع اللي أخدتم هذا
جدرت أكتبه على linear combination من ال V معناته
ال V هذا موجود وين؟ في ال span تبع ال vectors اللي
عندنا هذه طيبالان سرة V موجود في ال span تبع من V1
و V2 و لغاية VN هذا لو كان ال V موجود في المجموعة
هذه طيب هنا لو كان ال V does not belong to من
للمجموعة V1 و V2 و لغاية VN
لو كان هذا مش موجود هنا إيش اللي بدي يحصل then إيش
رأيك في الست هذه V و V1 و V2 و VN linearly
dependent ولا linearly independent ال
vectors هذول أضفت عليهم اللي هو ال vector V اللي
مش منهميبقى هدول مجموع linearly dependent ولا
linearly independent؟ linearly independent ليش؟
لأن ال dimension هذا ليه يساوي N أول تعريف أخدناه
في هذا section وذكرته قبل قليل أول ما بدأت محاضرتي
قلت لما أقول ال vector space finite dimensional أو
ال dimension له يساوي N يبقى فيه عندي شرطين
لو اضفت عليهم كمان vector بيصير مين؟ linearly
dependent يبقى هاي اضفت عليهم دول vector ولا لأ
يبقى then هدول are linearly dependent السبب
because the
dimension
v is n و هدول عددهم جديش n زائد واحد يعني اكتر
منهم بمقدار جديد بمقدار واحد طيب كويس مادام هدول
linearly dependent يبقى لازم ألاقي scalars ههه
موجودة في R بحيث اضرب scalar في كل واحد و أجمع
بيسوي جديش zero يبقى thismeans that there exist c0
و c1 و c2 و cn not all zero such that بحيث أن such
thatاللي هو c node v زائد c1 v1 زائد c2 v2 زائد cn
vn بده يساوي zero مين اللي بتسأل اللي بتحكي ايوة
كيف هدول من من v1 لغاية vn حطيت عليهم كمان واحدمش
هيك تعريف ال dimension اول تعريف هايه هاي V و
بعدين V واحد و بعدين V اتنين يبقى هذه المجموعة
اللي فوق اللي linearly independent اضافت لهم كمان
واحدمن تعريف ال dimension تبع المرة اللى فاتت اول
تعريف اخدناها وذكرته قبل قليل مرتين قلت تعريف ان
لما اقول ال dimension لل vector space N معناته ان
ال linearly independent vectors عددهم يساوي N لو
اضفت عليها command vector بيصيروا linearlyهي اللي
احنا بنقوله، لم نأتي غير الكلام هذا، ماجيبناه شي
جديد، تمام؟ لكن يبدو انكم مش قريات، هذا اللي
أخدناه المحاضرة الماضية، و رغم اني قلته مرتين
اليوم، وهي كمان تالت مرة، يبقوا مالكوش حضر بعد ذلك
طيب يبقى باجي بقول هذا يعني ان في عندي ثوابت مش
كلهم أصفر لإيش ان اقول linearly dependent بحيث
المجموع هذا يساوي zero معناته السيهات هدول فيهم
على الأقل ولو رقم واحد لايساوي zeroطب انا بدى ادعى
الان ان c node هذا لا يساوي zero ونشوف الدعاء هذا
صح ولا غلط يبقى باجي بقول وي ا claim that ان c
node لا يساوي zero claim يعني يدعى يبقى انا بدعى
الان ان c node هذا لا يساوي zero بدى اشوف الدعاء
صح ولا غلطلو فرضت عكس هذا، لو فرضت ان الـC note
بدى يساوي zero يا بنات، يبقى ال term هذا بروح ب
zero، مين بظل؟ هدولطب هدول كلهم linearly
independent إذا إجباري الباقي كله بصير بمين؟ ب
zero إذا يبقى معنى هذا الكلام C node بيساوي C واحد
بيساوي C independent معقول هذا الكلام؟ طب أنا جاي
linearly dependent وكيف هدول بيساوي؟ مافيش إمكانية
يبقى بصير كلامي غلط وعكسه هو مين؟ صح يبقى أنا باجي
بقول و اقلم ذاتنا الدعي أن ال C node يساوي zero
otherwise
يعني و إلا لو كان ال c note بده ساوي zero then ال
c1 v1 زايد c2 v2 زايد cn vn بده ساوي zero هذا إيش
معناه؟ معناه إنه c1 بده ساوي c2 بده ساوي بده ساوي
cn بده ساوي zero because السبب إنه v1
يبقى إذا هذا الكلام صحيح ولا غلط؟إن سي نود بيبقى 0
غلط يبقى الصح إنه سي نود ماله لا يساوي 0 لإن لو
سوى 0 يبقى هدول بيبقى سوى 0 وهدا كله سوى 0
linearly independent يبقى معناته بصيره هدول كلهم
linearly independent وهذا خطأ يبقى هنا سي نود لا
يمكن أن يساوي 0تمام يبقى بناء عليه so c node v بده
يسوي ناقص c1 v1 ناقص c2 v2 ناقص cn في ال vn نقسم
كله على c node ليش؟ لأن c node لا يسويأذا ال V
ناقص C1 على C node في ال V1 ناقص C2 على C node في
ال V2 ناقص ناقص CN على C node في ال VN أو ان
شئتولنا فقولنا ان V بده يسمي هذا A1 كله يبقى A1 V1
زائد A2 V2 زائد AN VN
معنى هذا الكلام؟ معناته الـ Element V اللي مش
موجود في ال set of linearly independent elements
هو linear combination من من؟ من الآخرين يبقى هنا
Sir V is a linear combination
combination of V1 وV2 وكذلك VN
طلع هنا V لما كان في المجموعة طلع هو linear
combination من الآخرين ولمّا ماكانش في المجموعة
طلع كمان هو linear combination من الآخرين معناته
ايش؟ معناته هذا يمثل من؟ basis معناته ال basis هذا
spanning ال V يبقى هناالـ V موجود في الـ span
بتابع الـ V كلها يبقى دص وهكذا اللي هو ال V1 و ال
V2 و ال VN كل المجموعة هذه مالها span اللي هو ال V
يبقى بناء عليه من الأنفا صاعدا أي basis ل vector
space بدي يجيبلي جميع عناصر ال space بي listتنا
تمام؟ وهي أثبتنا أنه لو كان ال element من ضمن ال
basis أو كان ال element من برا ال basis يبقى كتبته
على صيغة linear combination من من عناصر ال basis
يبقى حط المعلومة هذه في دماغك هذه معلومة أساسية
بدنا نبني عليها كثير من الشغل تبعنا في
انا كمان نظرية بسيطة صغيرة مش زي هذه النظرية
بتقول ما ياتي theorem
إذا كان هناك مجلد من الواحدات اللينيارية الوحدات
اللينيارية الوحدات اللينيارية اللينيارية الواحدة
من مجلة V
a vector space
V that
spans
V then
V has
Dimension N طيب
كويس نرى على النظرية مرة ثانية نقرأ و نحاول نفهم
كيف حنبرهنهابقول if there is a set of n linearly
independent elements of a vector space V ذات span
V بجه أنا عندي معلومتين المعلومة الأولى خدت مجموعة
من ال vectors اللي جيتهم linearly independent
المعلومة الثانيةهدول ال vectors بيولّولي جميع أنصر
V بلا استثناء يعني أي عنصر في ال vector space V
بقدر أكتبه على شكل ال linear combination من ال set
of N linearly independent elements بقول إن ال V
has a dimension N يبقى بدي أثبت أن ال dimension لل
vector space هذا يساوي Nالان انا مش هنثبت ان ال
dimension ال vector space يساوي ان بدي اثبت نقطتين
اللي هو اول تعريف اخدناه في المحاضرة الماضية بدي
اثبته ان عندي in linearly independent elements
لطلب ثاني لو اضفت عليهم كمان vector بدي يكونوا
مالهم linearly dependent تمام؟ يبقى هذا اللي احنا
.. اللي احنا بنقوله يبقى ال proof
بدا اخد let V1 و V2 و لغاية VN بـlinearly
independent elements of V
هؤلاء مالهم؟ هؤلاء في حد ذاتهم يتعاملون بالـV
ويولدون بالـV يبقى Linear من ذات يتعامل بالـV
طيب
كويس، ماهذا يتعامل بالـV؟ يعني أي element من V هو
Linear Combination من هؤلاء، صحيح ولا لأ؟ يبقى هذا
معناهإنه every element of V is a linear
combination of
V1 و V2 و لغاية VN
هو ذكرنا انه مش هنثبت ان ال dimension الو يساوي
انه بده يثبت شغلتين الشغل الأول معتاه ايش قاللي؟
قاللي في عندك n linearly independent elements يبقى
هاي الشغل معتاه وزيادة شوية شوية that spans V
بيولدولي من؟ بيولدولي عناصر V بقول اه هدول ال n
linearly independent لو زيت عليهم كمان vectorماذا
يحصل؟ Linearly Independent وهذا إجباري لو كان
Linearly Independent هذا لو كان لو كان ال
dimension يساوي N لكن أنا مش عارف إن ال dimension
أنا بدي أثبت إن ال dimension يساوي M لكن خليني
أرجع بالذاكرة إلى الوراء شوية نذكر مش section
تلاتة أربعة section تلاتة تلاتةلو أخذت مجموعة من
ال vectors و أخذت مجموعة من ال vectors التانية و
أثبت أن كل vector في المجموعة الأولى هو linear
combination من التانية و كانت المجموعة أكبر من
التانية بجهد linearly dependentقلنا إذا كان ال V1
و V2 و لغاية VN هدول مالهم و عندي مجموعة تانية U1
و U2 و لغاية UK و لجيت إن ال N أكبر من K إن حدث
ذلك ثم كل عناصر من V1 لغاية VN هو linear
combination من ال U1 و U2 و لغايةUK يبقى في هذه
الحالة بقول ان ال V هات هدول كلهم are linearly
dependent مش هيك أخدنا نظرية في section تلاتة
تلاتة طيب يبقى أنا الأن بتطبق هذه النظرية تطلعولي
يا بنات هدول مالهم linearly independent يبقى هدول
لو أخدت عدد منهم أكتر بواحدLinearly بحيث انا جايل
ايش هدول Linearly ان دي منها ذات Spans V Spans V
يعني ايش يعني كل element في V هو linear
combination من هدول يبقى that is every element of
V isA linear combination
of
V1 و V2 و لغاية VN
يبقى هنا اخد كل element من V هو linear combination
كل element من V هو linear combination كل element
من V هو linear combination كل element من V هو
linear combination كل element من V هو linear
combination كل element من V هو linear combination
كل element من V هو linear
combination كل element من V هو linear combination
كل element من V هو linear combination
نظرية سابقة Any set with more than N elements is
Linearly dependent صحيح ولا لأ يبقى أي مجموعة أخرى
من هذه ال vectors أكتر من N elements بتكون مالها
Linearly dependent هذه التعريف من أين؟ تعريف ال
dimension اللي أخدها المرة اللي في الأول تعريف
يبقى Thus و هكذا The dimension ofV is in يعني أنا
طبقت التعريف تطبيقا مباشرا كمان
نظرية ثالثة without proof يبقى هاي كمان نظرية
theorem
if ال V has dimension N then
every set of فاتح
الباب
يبقى FLV لديه مرحلة في كل جزء من الأشياء
اللينيارية الاندبندنتية الليمينتس الليمينتس
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس
الليمينتس الليمينتسexactly has exactly n elements
فيها
n elements which is
also a basis for
v
نرجع لنظرية الأخيرة و نرى ما هو المقصود منها
النظرية بتقول ال letter V has dimension N يبقى انا
فيه عندي vector space و ال dimension له يساوي N
يبقى مايجدش عدد العناصر في ال business يا بناتطيب
تمام then every set of linearly independent
elements that span V has exactly N elements يبجى
أنا بتدعي ان ال bases اللي يساوي N لو روحت لجيت ست
عدد عناصرها يساوي N وكانوا linearly independent
وكل واحد ولد ليه عناصر V يبجى هذا بنفع كمان bases
ولا لا؟معناته لل vector space اللى عندي فيه كام
bases كتير يعني ماعنديش مش bases واحد عندي كتير من
ال bases هذه تمام يعني ال vector space اللى واحد
قد يكون له two bases تلاتة bases اربعة bases خمسة
bases الان كل مجموعة من ال elements يتحقق فيها
شرطانالشرط الأول إنهم linearly independent
elements الشرط الثاني أي عنصر في ال vector space
دي بنقدر نولّب واسطة هذه العناصر بيكونوا هدول
bases لمن؟ لل vector space وعتلاج ال vector space
مجموعة من ال bases طيب خليني أسأل كمان سؤال ال
bases المختلفة لو أخدنا two bases لل vector space
هل عدد العناصر هنا يختلف عن عدد العناصر هنا؟
العربيةبس اللي بيختلف لا يختلف تماما ليش؟ لإن عدد
عناصر بيزز هو ال dimension يبقى هذا ال dimension و
التاني يبقى يعطيني نفس ال dimension يبقى الأتنين
بدون أن يكون أو التلاتة أو الأربعة أو الخمسة بيزز
كلهم فيهم نفس العدد من العناصر ولم أقول نفس
العناصر نفس العدد في خمسة يبقى هنا في خمسة في تا
في ستة يبقى هنا في ستة و هكذا
هذا الـ V لو كان ال dimension له يساوي N يبقى اي
مجموعة من الـ linearly independent elements من الـ
V اللي بتولدلي او بتجيبلي عناصر V has exactly N
elements فيها بالضبط N elements which also is a
basis وهذا بيكوّل ليبازز لل vector space V معناه
ان ال vector space V له مجموعة من ال bases وليس
بازز واحد فقط لا غير كما سنرى من خلال الأمثلة الان
اخدت ال vector space RN اللي هو the set of all n
tuples من X1 لXN وكل ال X هذول are real number
روحت من هذول اخدت مجموعةهذه المجموعة عددها كم؟
عددها N E1 الحد الأولي بواحد والباقي بزيرو E2 الحد
التاني بواحد والباقي اللي جابله و اللي بعده بزيرو
E3 الحد التاني بزيرو اللي جابله و اللي بعده بزيرو
لغاية EN كله بزيرو ما عدا الحد الأخير بجداش بواحصة
بيقول يبين لي ان هدول بيكونولي basis لل RN عشان
يكونولي basis بدي اطبق شرطينالشرط لو تثبت انهم
linearly independent احنا بنثبت انهم linearly
independent باكثر من طريقة كونستاند في الأول
كونستاند في التاني كونستاند في التاني ونساوي
بالزيرو ونثبت ان الكونستاند هذول كلهم بأسفار مظبوط
هيك طريقة ثانية انا بدي اجيب ال determinant لهم لو
طلعت ال determinant انهم لا يساوي زيرو يبقى دول
مالهمLinearly Independent مش هيك اخدنا نظرية بيد
المقال ممتاز جدا يبقى انا بدي اجلى solution بدي
اجلى الخاصية الاولى بدي اثبتله ان هدول linearly
independent يبقى بدي اخدله determinant لمينللـ E1
والـ E2 و لغاية الـ EN يبقى هذا الكلام بده يساوي
هذا المحدد E1 بدي اكتبه على شكل عمود 1، 0 وضل ماشي
لغاية الـ 0 E2، 0، 1، 0 وضل ماشي لغاية الـ 0و هكذا
اللي بعده zero zero واحد و نظل ماشيل لغاية ال zero
نظل ماشيل لغاية ال zero و هنا zero و هنا zero و
نظل ماشيل لغاية كده؟ لغاية ال واحد طب هذا مش هو
محدد لمصوف الوحدة ولا لا؟ يبقى هذا هو determinant
لل I Nمحدد يحصل ضربه واحد في واحد بواحد كله ماله
لا يساوي زيرو المعناته هدول are linearly
independent يبقى هنا سا اي واحد و اي اتنين و لغاية
ال EN are linearly independent vectors in RN
النقطة الأولى اللى عندنا بدى اثبت ان هدول بولدولى
مين جميع ناسر ال vector space V او اي element في
ال vector space V هو linear combination من مينمن
ال vectors هذول كويس فبجي بقوله let x1 و x2 و
لغاية xn موجودة في ال RN then
بدي اكتب ال element هذا على الشكل التالي X1 و X2 و
لغاية XN بده يساوي اه اه بقدر اقول X1 و الباقي كله
باسفار زائد Zero X2 Zero و الباقي كله باسفار زائد
و نضل ماشيين لغاية ما نوصل ل Zero Zero Zero و
لغاية XNبنفع هيك ولا لا؟ لو جيت جامعة المركبة لولا
X واحد والباقي الكل بيصفر يبقى X واحداللي بعده 0
هنا x2 اللي بقى يبقى أسفاري بـx2 يبقى كتابة هذا ال
element على شكل مجموعة من ال elements إذا بقدر
أقول هذا الكلام يسوى x1 في 1 x1 في 1 0 0 و لغاية 0
X2 في 0 و 1 و 0 و لغاية الـ 0 زائد زائد XN في 0 و
0 و نظل ماشيين لغاية ال 1 خدنا عامل مشترك كبرر
تمام؟ طب الجث هدى عبارة عن مين؟E1 يبقى هذا الكلام
بدي يعطيني X1E1 X2E2 و لغاية XNEN ايه يعني معنى
هذا الكلام ان اي element موجود في الار ان هو
linear combination من من من هذول يبقى هنا every
element
نرن is a linear combination
of
E1 و E2 و لغاية Enمعناته ال vectors هدول ما لهم
span RN يعني بوضولي ال RN يبقى هنا that isأي أن
الـ E1 والـ E2 والـ EN أسبان مين أسبان RN يبقى
هذول بيولدولي RN إيش معنى هذا الكلام إن هذول
بيشكلولي مين؟ Bases للـ RN
اللي هو ال E1 و ال E2 و ال AN is a basis for RN
تعرفوا إيش بيسموها ده يا بنات؟بسموله standard
basis يعني ال basis المتعرف عليه عند كل العلماء
ولا عند كل الدول ولا عند كل الناس يبقى هذا called
the standard basis of RM يبقى هذا basis called the
standard basis
for
RN ايش standard basis for ان؟ يعني في basis غيره؟
اه في غيره بس مش على هالشكل هذا طب
لو لجيت basis اخر يا بنادي كدهش بديكون عدد عناصره؟
ن مثل هذا بالضبط تماما مادام نستخدم ال basis عدد
عناصره ن يبقى اي basis اخر عدد عناصره يساوي ن طيب
خليني اخد special cases من هذا المثال يعني نصغر
شوية و نشتغل عمل شوية يبقى بدهجة اقوله special
cases of
أول واحدة لو أخدت اي واحد بده يسوي واحد وزيرو و اي
اتنين بده يسوي زيرو وواحد هدول are the standard
basis of R2
مظبوط هك؟ طيب ليش؟ لأن أي element x1 و x2 بقدر
اكتبه على صيغة linear combination من اتنين هدول
يعني x1 x2 بقدر اكتب x1 في 1 و 0 زاد x2 في 0 و 1
صحيح ولا لأ؟ اذا كتبت linear combination من اتنين
هدول linearly dependent ولا linearly independent؟
يعني هل واحد فيهم مضاعفات الآخر؟ لأ عمره ما هيحصل،
تمام؟ يبقى اتنين are linearly independent، مدام
linearly independent بيشكلوا ليه basis وانت هنا
منهم، بقى الله هاتيلي ورقة من دفترك من عندك هناك،
عينك الله المرة
يا الله كل واحدة اسمها ورقمها الجامعية وانت ورقها
من عندك كمان للي وراكي كل واحدة اسمها ورقمها
الجامعية طيب يبقى بدنا نيجي ناخد حالات خاصة من مين
من هذا الان هدول بيمثلوا اصدار مربيزز لل R2 قداش
ال dimension لل R2؟ قداش؟ اتنين ما هيهم مش غيرهم
تمام يبقى هدول بيستخدموا ال
المصطلح
ارتو از اتنين طيب نقطة ثانية لو جيت اقول لك ا واحد
يساوي واحد وزيرو وزيرو و اتنين يساوي زيرو واحد
وزيرو اقول لك ا تلاتة يساوي زيرو وزيرو واحد بالشكل
اللي عندنا هدول برضه هدول are standard
Bases for R3 and R3 has dimension 3
طب ايش رايك اجيبك بيزز غير هدول و اكتر مش واحد ولا
اتنين خدي الملاحظة هذه also و كذلك
كل من المجموعات التالية is a basis for R2
الـ element واحد و تلاتة و ال element واحد و سالب
واحد خد مجموعة تانية ال element واحد و تلاتة و ال
element تاني سالب اتنين و ستة خد مجموعة تالتةأتنين
و واحد و تلاتة و زيرو خد مجموعة رابعة كمان اللي هو
اتنين و سالف واحد و سالبي اتنين و اتنين كلهم دول
معاهم because
لأن على سبيل المثال V1
== 1.3 V2
== 1.1 V2 == 1.3 V2 == 1.3 V2
== 1.3each one is
not multiple of
the other مواش مضاعفات الآخر and the dimension of
ارتو از تو
خلّيني أخبرك ان انا احنا بناخد بعض الحالات الخاصة
من الار ان طبعا قلنا بناخد الحالة الخاصة الأولى لو
أخد ال elements E1 هو واحد و E2 هو زيرو و واحد
يبقى اتنين هدول are linearly independent لأن ولا
واحد فيهم هو مضاعفات الآخريبقى لهادول linearly
independent هدول بيكونوا للي standard bases لمين
لارتو لإن احنا تو في المثال اللي قبله أثبتناهم لو
كان كل واحد في N من المراكبات إذا الحالة خاصة لو
أخدت جدهش بس مراكبتين يبقى هدول vectors يمثلوا للي
standard bases لمين لارتو وهذا بيعطينا ان ال
dimension لالـ vector space R2 هو جداش اتنين بعد
ذلك لو أخدت الـ E1 يتكون من ثلاث مركبات 100
والتاني 010 والتالي 001 يبقى هذول كمان linearly
independent لأن ولا واحد فيهم مضاعفات الثاني برضه
هذول standard basis لمين للـ R3 والـ R3 ال
dimension له يساوي 3أحنا بنقول هدول ليه standard
basis يعني هل هناك basis أخرى، الإجابة نعم، هناك
مجموعة كثيرة من ال basis، مش ع جد هدول، لو كمان،
بس احنا هدول جيبناهم على سبيل المثال، لو جات
للمجموعة هذه، يبقى طلع في هدول اتنين، هل واحد فيه
مضاعفات التاني؟لأ هدول هل واحد فيهم مضاعفات
التانية لأ هدول في واحد فيهم مضاعفات التانية يعني
لو ضربت هذا في رقم بيطلع هذا ماعنديش هل هذا
مضاعفات هذا برضه لأ يبقى ولا واحد فيهم مضاعفات
التانية طيب ممتاز يبقى هدول linearly independent
صحيح طيب ال vector space هذا جداش اللي ال bases له
إذا هذا بنفع يكون basis لأن ال dimension له يسوى 2
وهي جبت له 2 linearly independent of L مثلا
النظرية الأخيرة بتقول لي كل ال basis فيهم نفس
العددمن العناصر تمام يبقى العناصر هذول linearly
independent وعددهم يساوي اتنين اللي هو ال
dimension لل vector space يبقى هذول يمثلون ال main
bases يبقى هذول E1 وE2 bases لأعلى اتنين هذول برضه
bases لأعلى اتنين هذول bases لأعلى اتنين هذول
bases لأعلى اتنين هذول bases لأعلى اتنين بتحب
تتأكد ان ماعندكيش مشكلةخد اكس واحد و اكس اتنين
موجودة في قارة اتنين و شوف هذا ال element بتقدر
تكتبه بدلالة اي واحد فيهم ولا لا يعني هل بقدر اقول
constant في الاول زائد constant في التاني بيعطيني
ال X واحد و X اتنين لأ يعني بدي اجيب قيمة ال
constant C واحد و C اتنين بدلالة X واحد و X اتنين
ان جدرت اجيب جب هدول linearcombination يعني إجباري
بدك تجيبهم مش بنقدر لأ بنقدر و نص كمان نجيبهم ليش
لإن هدول يمثلولي basis لأ لإن على أي حال في
المحاضرة القادمة ان شاء الله اليوم بنروح بنكمل
اللي هو هذا ال section ان شاء الله