بسم الله الرحمن الرحيم المرة التي فاتت بدأنا ب
section ثلاثة خمسة الذي هو ال dimension أعطينا
تعريف للـ in dimensional vector space أو الـ vector
space has dimension n و أعطينا تعريف للـ bases فقط
و أعطينا على ذلك مثالا واحدا فكان تعريف الـ in
dimensional vector space قلنا هو الـ vector space
الذي يتحقق فيه شرطين، الشرط الأول عندي مجموعة من الـ
linearly independent vectors، الشرط الثاني لو أخذت
أكثر من هذول بمقدار ولو vector واحد، بدنا نكون
معهم linearly dependent، إن حدث ذلك يبقى الـ
dimension تبع الـ vector space هو عدد الـ linearly
independent elements، هذا التعريف الأول، التعريف
الثاني، يقولنا V1 و V2 و V3 و Vk، الـ vectors هذول
أسميهم basis للـ vector space إذا تحقق شرطان، الشرط
الأول كانوا هذول بيولدولي الـ vector space كله، فيه
الشرط الثاني، يكونوا هذول كلهم linearly independent
وقلنا من الأفضل أن نستخدم الشرط الثاني ثم الشرط
الأول، يعني كيف؟ يعني بدي أثبت أن هذول الـ vectors
are linearly independent، ومن ثم بدي أثبت أن أي
element في الـ vector space هو linear combination
باستخدام هذه الـ vectors، هذا ما تحدثنا فيه في المرة
الماضية، الآن ننتقل إلى نظرية، برضه لازلنا في نفس
الموضوع، النظرية بتقول أن لو كان الـ V هو vector
space، الـ dimension له يساوي N، يبقى أنا عندي شرطين
متحققتان الآن، تمام؟ ليش؟ لو الـ dimension الـ vector
space يعطيني أن هو، يعطيني أن then every basis of
V spans V، يبقى أي basis للـ vector space V بيولد لي
جميع عناصر من V، وهذا ذكرنا المرة التي فاتت أن
العناصر التي أقول عليهم basis للـ vector space إذا
أي element في الـ vector space قدرت أكتبه بواسطة
linear combination بمين؟ بهذه الـ vectors، طيب بدنا
نيجي لبرهان النظرية، يبقى برهان النظرية كالتالي، بدي
آخذ basis موجود في V وأثبت أن هذا الـ basis
بيولد لي جميع عناصر V، تماما، إذا تم لنا ذلك، بيكون
خلصنا من الموضوع، يبقى بدائي أقول هنا let الذي هو
من V1 و V2 و لغاية الـ VN بـ
يبقى أنا فرضت أن v1 وv2 ولغاية vn عبارة عن الـ basis
لـ vector space v، طبعا أنا مجبر أن أقول من 1
لغاية n، ولا كان بيمكن أزيدهم شوية، مجبر
مجبر إجباري لإنه dimension للـ vector space N، تمام
الـ dimension له يبقى عدد العناصر في الـ bases يبقى
بناء عليه هذول bases لمين؟ للـ vector space V، تمام
الآن إذا أثبت له أن أي element في الـ vector space
V هو linear combination من هذول، أتوماتيك بيكونوا
هذول بيولدوا لجميع عناصر V بالضبط تماما، لذلك أروح
آخذ أي عنصر V موجود في الـ vector space V، مدام أخذت
V في الـ vector space V، في احتمال أن هذه الـ V تبقى
في المجموعة هذه، صح ولا لأ؟ واحتمال أن تكون خارج
المجموعة، مش لا، احتمالين واردين، يبقى بدي أدرس هذين
الاحتمالين، يبقى let الـ V belongs to V، فبجي بقول if
الـ V موجود في المجموعة V1 وV2 لغاية الـ Vn then
ماذا سيحصل؟ مدام V موجود هنا، يبقى V أبقى أحد
من هؤلاء، يبقى then الـ V ستكون Vi، و I أكبر من أو
تساوى 1 وأقل من أن تساوي n، يعني احتمال أن V تبقى V
1 واحتمال الـ V تبقى V2 واحتمال الـ V تبقى V3 و
احتمال الـ V تكون مين؟ Vn وهكذا، طيب يبقى احتمال الـ
V هذه تبقى مين؟ تبقى Vi، يبقى بناء عليه بقدر أكتب
الـ V هذه على الشكل التالي، Zero في V1، 0 في V2 زائد
زائد واحد في Vi زائد وننزل لغاية Zero في الـ Vn
بنعملها، بنعفش، هذا كله بيصفر، بيظل مين عندي؟ و Vi مين
هي يبقى كلامي صحيح، صحيح ولا لأ؟ يبقى إيش معنى هذا
الكلام؟ أن V هو linear combination من كل الـ V's
التي عندي، يبقى هنا this means that، هذا يعني أن الـ
V is a linear combination
linear combination of، هم كلهم الـ V's التي لدينا
V1 و V2 و لغاية VN
إيش أنا بدي أثبت؟ أي basis span الـ V، أخذت element
عشوائي وطالع في مين؟ في المجموعة التي أخذتها، هذا
قدرت أكتبه على linear combination من الـ V، معناته
الـ V هذا موجود وين؟ في الـ span تبع الـ vectors التي
عندنا هذه، طيب الآن، سرا V موجود في الـ span تبع من؟ V1
و V2 و لغاية VN، هذا لو كان الـ V موجود في المجموعة
هذه، طيب هنا لو كان الـ V does not belong to من
للمجموعة V1 و V2 و لغاية VN
لو كان هذا مش موجود هنا، إيش الذي بدي يحصل؟ then إيش
رأيك في الست هذه V و V1 و V2 و VN linearly
dependent ولا linearly independent، الـ
vectors هذول، أضفت عليهم الذي هو الـ vector V التي
مش منهم، يبقى هذول مجموعة linearly dependent ولا
linearly independent؟ linearly independent، ليش؟
لأن الـ dimension هذا ليه يساوي N؟ أول تعريف أخذناه
في هذا section وذكرته قبل قليل أول ما بدأت محاضرتي
قلت لما أقول الـ vector space finite dimensional أو
الـ dimension له يساوي N، يبقى فيه عندي شرطين
لو أضفت عليهم كمان vector بيصير مين؟ linearly
dependent، يبقى هذه أضفت عليهم دول vector ولا لأ؟
يبقى then هذول are linearly dependent، السبب
because the
dimension
V is n، وهذول عددهم كم؟ n زائد واحد، يعني أكثر
منهم بمقدار، بكم؟ بمقدار واحد، طيب كويس، مدام هذول
linearly dependent، يبقى لازم ألاقي scalars ههه
موجودة في R بحيث أضرب scalar في كل واحد وأجمع
بيساوي كم؟ Zero، يبقى this means that there exist c0
و c1 و c2 و cn not all zero such that، بحيث أن such
that الذي هو c0 V زائد c1 V1 زائد c2 V2 زائد cn
Vn بدّه يساوي zero، مين التي تسأل؟ التي تحكي أيوة
كيف هذول من من V1 لغاية Vn حطيت عليهم كمان واحد، مش
هيك تعريف الـ dimension؟ أول تعريف، هذه هي V وبعدين
بعدين V1 وبعدين V2، يبقى هذه المجموعة
التي فوق التي linearly independent، أضفت لهم كمان
واحد، من تعريف الـ dimension تبع المرة التي فاتت، أول
تعريف أخذناها وذكرته قبل قليل مرتين، قلت تعريف أن
لما أقول الـ dimension للـ vector space N معناته أن
الـ linearly independent vectors عددهم يساوي N لو
أضفت عليها كمان vector بيصيروا linearly، هي التي
احنا بنقوله، لم نأتِ غير الكلام هذا، ما جيبناه شيء
جديد، تمام؟ لكن يبدو أنكم مش قارئات، هذا الذي
أخذناه المحاضرة الماضية، ورغم أني قلته مرتين
اليوم وهي كمان ثالث مرة، يبقى ما لكمش حضر بعد ذلك
طيب يبقى بأجي بقول هذا يعني أن في عندي ثوابت مش
كلهم صفر لإيش أقول linearly dependent، بحيث
المجموع هذا يساوي zero، معناته السيهات هذول فيهم
على الأقل ولو رقم واحد لا يساوي zero، طب أنا بدي أدعي
الآن أن c0 هذا لا يساوي zero ونشوف الدعاء هذا
صح ولا غلط، يبقى بأجي بقول we claim that، أن c
0 لا يساوي zero، claim يعني يدعى، يبقى أنا بدعي
الآن أن c0 هذا لا يساوي zero، بدي أشوف الدعاء
صح ولا غلط، لو فرضت عكس هذا، لو فرضت أن الـ c0
بدّه يساوي zero يا بنات، يبقى الـ term هذا بيروح بـ
zero، مين بيظل؟ هذول، طب هذول كلهم linearly
independent، إذا إجباري الباقي كله بيصير بمين؟ بـ
zero، إذا يبقى معنى هذا الكلام c0 بيساوي c1
بيساوي c، independent، معقول هذا الكلام؟ طب أنا جاي
linearly dependent وكيف هذول بيساوي؟ ما فيش إمكانية
يبقى بيصير كلامي غلط وعكسه هو مين؟ صح، يبقى أنا بأجي
بقول وأقلم ذاتنا، ندعي أن الـ c0 يساوي zero،
otherwise
يعني وإلا لو كان الـ c0 بدّه يساوي zero، then الـ
c1 V1 زائد c2 V2 زائد cn Vn بدّه يساوي zero، هذا إيش
معناه؟ معناه إنه c1 بدّه يساوي c2 بدّه يساوي بدّه يساوي
cn بدّه يساوي zero، because، السبب إنه v1
يبقى إذا هذا الكلام صحيح ولا غلط؟ إن c0 بيبقى 0
غلط، يبقى الصح إنه c0 ما له؟ لا يساوي 0، لإن لو
صار 0، يبقى هذول بيبقى صار 0 وهذا كله صار 0،
linearly independent، يبقى معناته بيصيروا هذول كلهم
linearly independent، وهذا خطأ، يبقى هنا c0 لا
يمكن أن يساوي 0، تمام، يبقى بناء عليه so c0 V بدّه
يساوي ناقص c1 V1 ناقص c2 V2 ناقص cn في الـ Vn، نقسم
كله على c0، ليش؟ لأن c0 لا يساوي، إذا الـ V
ناقص c1 على c0 في الـ V1 ناقص c2 على c0 في
الـ V2 ناقص ناقص cn على c0 في الـ Vn، أو إن
شئت، قلنا إن V بدّه يساوي هذا a1 كله، يبقى a1 V1
زائد a2 V2 زائد an Vn
معنى هذا الكلام؟ معناته الـ element V التي مش
موجود في الـ set of linearly independent elements
هو linear combination من من؟ من الآخرين، يبقى هنا
So V is a linear combination
combination of V1 وV2 وكذلك VN
طلع هنا V لما كان في المجموعة، طلع هو linear
combination من الآخرين، ولما ما كانش في المجموعة
طلع كمان هو linear combination من الآخرين، معناته
إيش؟ معناته هذا يمثل من؟ basis، معناته الـ basis هذا
spanning الـ V، يبقى هنا الـ V موجود في الـ span
بتابع الـ V كلها، يبقى هكذا الذي هو الـ V1 والـ
V2 والـ Vn كل المجموعة هذه مالها؟ span الذي هو الـ V
يبقى بناء عليه من الآن صاعدا، أي basis لـ vector
space بدّه يجيب لي جميع عناصر الـ space بي listنا
تمام؟ وهي أثبتنا أنه لو كان الـ element من ضمن الـ
basis أو كان الـ element من برا الـ basis يبقى كتبته
على صيغة linear combination من من؟ من عناصر الـ basis
يبقى حط المعلومة هذه في دماغك، هذه معلومة أساسية
بدنا نبني عليها كثير من الشغل تبعنا في
أنا كمان نظرية بسيطة صغيرة، مش زي هذه النظرية
بتقول ما يأتي، theorem
إذا كان هناك مجموعة من n وحدات لينيارية، الوحدات
اللينيارية، الوحدات اللينيارية، اللينيارية، الواحدة
من مجلة V
a vector space
V that
spans
V then
V has
V1 و V2 و لغاية VN
هو ذكرنا أنه مش هنثبت أن ال dimension الذي يساوي
أنه بده يثبت شغلتين الشغل الأول معتاه إيش قال لي؟
قال لي في عندك n linearly independent elements يبقى
هذه الشغل معتاه وزيادة شوية شوية that spans V
بيولدوا لي من؟ بيولدوا لي عناصر V بقول آه هدول ال n
linearly independent لو زدت عليهم كمان vector ماذا
يحدث؟ Linearly Independent وهذا إجباري لو كان
Linearly Independent هذا لو كان لو كان ال
dimension يساوي N لكن أنا مش عارف إن ال dimension
أنا بدي أثبت إن ال dimension يساوي M لكن خليني
أرجع بالذاكرة إلى الوراء شوية نذكر مش section
ثلاثة أربعة section ثلاثة ثلاثة لو أخذت مجموعة من
ال vectors و أخذت مجموعة من ال vectors الثانية و
أثبت أن كل vector في المجموعة الأولى هو linear
combination من الثانية و كانت المجموعة أكبر من
الثانية بجهد linearly dependent قلنا إذا كان ال V1
و V2 و لغاية VN هدول مالهم و عندي مجموعة ثانية U1
و U2 و لغاية UK و لجيت إن ال N أكبر من K إن حدث
ذلك ثم كل عناصر من V1 لغاية VN هو linear
combination من ال U1 و U2 و لغاية UK يبقى في هذه
الحالة بقول أن ال V هات هدول كلهم are linearly
dependent مش هيك أخذنا نظرية في section ثلاثة
ثلاثة طيب يبقى أنا الآن بتطبق هذه النظرية تطلع لي
يا بنات هدول مالهم linearly independent يبقى هدول
لو أخذت عدد منهم أكثر بواحد Linearly بحيث أنا جايل
إيش هدول Linearly أن دي منها ذات Spans V Spans V
يعني إيش؟ يعني كل element في V هو linear
combination من هدول يبقى that is every element of
V is a linear combination
of
V1 و V2 و لغاية VN
يبقى هنا أخذ كل element من V هو linear combination
كل element من V هو linear combination كل element
من V هو linear combination كل element من V هو
linear combination كل element من V هو linear
combination كل element من V هو linear combination
كل element من V هو linear
combination كل element من V هو linear combination
كل element من V هو linear combination
نظرية سابقة Any set with more than N elements is
Linearly dependent صحيح ولا لأ؟ يبقى أي مجموعة أخرى
من هذه ال vectors أكثر من N elements بتكون مالها
Linearly dependent هذا التعريف من أين؟ تعريف ال
dimension الذي أخذناه المرة التي في الأول تعريف
يبقى Thus وهكذا The dimension of V is N يعني أنا
طبقت التعريف تطبيقًا مباشرًا كمان
نظرية ثالثة without proof يبقى هذه كمان نظرية
theorem
if ال V has dimension N then
every set of فاتح
الباب
يبقى FLV لديه مرحلة في كل جزء من الأشياء
اللينيارية الاندبندنتية الليمينتس الليمينتس
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس
الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس الليمينتس
الليمينتس الليمينتس exactly has exactly n elements
فيها
n elements which is
also a basis for
v
نرجع لنظرية الأخيرة و نرى ما هو المقصود منها
النظرية بتقول ال letter V has dimension N يبقى أنا
فيه عندي vector space و ال dimension له يساوي N
يبقى ما يجدش عدد العناصر في ال business يا بنات طيب
تمام then every set of linearly independent
elements that span V has exactly N elements يبقى
أنا بدعي أن ال bases الذي يساوي N لو روحت لجيت ست
عدد عناصرها يساوي N وكانوا linearly independent
وكل واحد ولد ليه عناصر V يبقى هذا ينفع كمان bases
ولا لا؟ معناه لل vector space الذي عندي فيه كم
bases كثيرة يعني ما عنديش مش bases واحد عندي كثيرة من
ال bases هذه تمام يعني ال vector space الذي واحد
قد يكون له two bases ثلاثة bases أربعة bases خمسة
bases الآن كل مجموعة من ال elements يتحقق فيها
شرطان الشرط الأول أنهم linearly independent
elements الشرط الثاني أي عنصر في ال vector space
دي بنقدر نولّده واسطة هذه العناصر بيكونوا هدول
bases لمن؟ لل vector space وعتلاج ال vector space
مجموعة من ال bases طيب خليني أسأل كمان سؤال ال
bases المختلفة لو أخذنا two bases لل vector space
هل عدد العناصر هنا يختلف عن عدد العناصر هنا؟
العربية بس الذي يختلف لا يختلف تمامًا ليش؟ لأن عدد
عناصر بيزز هو ال dimension يبقى هذا ال dimension و
الثاني يبقى يعطيني نفس ال dimension يبقى الاثنين
بدون أن يكون أو الثلاثة أو الأربعة أو الخمسة بيزز
كلهم فيهم نفس العدد من العناصر ولم أقول نفس
العناصر نفس العدد في خمسة يبقى هنا في خمسة في ثا
في ستة يبقى هنا في ستة وهكذا
هذا الـ V لو كان ال dimension له يساوي N يبقى أي
مجموعة من الـ linearly independent elements من الـ
V التي بتولد لي أو بتجيب لي عناصر V has exactly N
elements فيها بالضبط N elements which also is a
basis وهذا يكون لي بايزز لل vector space V معناه
أن ال vector space V له مجموعة من ال bases وليس
بايزز واحد فقط لا غير كما سنرى من خلال الأمثلة الآن
أخذت ال vector space RN الذي هو the set of all n
tuples من X1 ل XN وكل ال X هذول are real number
روحت من هذول أخذت مجموعة هذه المجموعة عددها كم؟
عددها N E1 الحد الأولي بواحد والباقي بصفر E2 الحد
الثاني بواحد والباقي الذي جابله والذي بعده بصفر
E3 الحد الثاني بصفر الذي جابله والذي بعده بصفر
لغاية EN كله بصفر ما عدا الحد الأخير بجداش بواحد صفة
بيقول يبين لي أن هدول بيكونوا لي basis لل RN علشان
يكونوا لي basis بدي أطبق شرطين الشرط لو تثبت أنهم
linearly independent إحنا بنثبت أنهم linearly
independent بأكثر من طريقة كونستاند في الأول
كونستاند في الثاني كونستاند في الثاني ونساوي
بالصفر ونثبت أن الكونستاند هذول كلهم بأسفار مظبوط
هيك طريقة ثانية أنا بدي أجيب ال determinant لهم لو
طلعت ال determinant أنهم لا يساوي صفر يبقى دول
مالهم Linearly Independent مش هيك أخذنا نظرية بيد
المقال ممتاز جدًا يبقى أنا بدي أجلي solution بدي
أجلي الخاصية الأولى بدي أثبت له أن هدول linearly
independent يبقى بدي أخذ له determinant لمين؟ للـ E1
والـ E2 و لغاية الـ EN يبقى هذا الكلام بده يساوي
هذا المحدد E1 بدي أكتبه على شكل عمود 1، 0 وظل ماشي
لغاية الـ 0 E2، 0، 1، 0 وظل ماشي لغاية الـ 0 وهكذا
الذي بعده zero zero واحد ونظل ماشين لغاية ال zero
نظل ماشين لغاية ال zero وهنا zero وهنا zero و
نظل ماشين لغاية كده؟ لغاية ال واحد طب هذا مش هو
محدد لمصفوفة الوحدة ولا لا؟ يبقى هذا هو determinant
لل I Nمحدد يحدث ضربه واحد في واحد بواحد كله ماله
لا يساوي صفر المعناته هدول are linearly
independent يبقى هنا سا اي واحد و اي اتنين و لغاية
ال EN are linearly independent vectors in RN
النقطة الأولى التي عندنا بدي أثبت أن هدول بيولدوا لي
مين؟ جميع عناصر ال vector space V أو أي element في
ال vector space V هو linear combination من مين؟ من
ال vectors هذول كويس فبجي بقول له let x1 و x2 و
لغاية xn موجودة في ال RN then
بدي أكتب ال element هذا على الشكل التالي X1 و X2 و
لغاية XN بده يساوي آه آه بقدر أقول X1 والباقي كله
بأسفار زائد Zero X2 Zero والباقي كله بأسفار زائد
ونظل ماشيين لغاية ما نوصل ل Zero Zero Zero و
لغاية XN ينفع هيك ولا لا؟ لو جيت جامعة المركبة لو لا
X واحد والباقي الكل بيصفر يبقى X واحد الذي بعده 0
هنا x2 الذي بقى يبقى أسفاري بـx2 يبقى كتابة هذا ال
element على شكل مجموعة من ال elements إذا بقدر
أقول هذا الكلام يسوي x1 في 1 x1 في 1 0 0 و لغاية 0
X2 في 0 و 1 و 0 و لغاية الـ 0 زائد زائد XN في 0 و
0 ونظل ماشيين لغاية ال 1 أخذنا عامل مشترك كبيرر
تمام؟ طب الجثة هذه عبارة عن مين؟ E1 يبقى هذا الكلام
بده يعطيني X1E1 X2E2 و لغاية XNEN ايه يعني معنى
هذا الكلام أن أي element موجود في الار ان هو
linear combination من من من هذول يبقى هنا every
element
نرن is a linear combination
of
E1 و E2 و لغاية En معناته ال vectors هدول ما لهم
span RN يعني بولدوا لي ال RN يبقى هنا that is أي أن
الـ E1 والـ E2 والـ EN أسبان مين؟ أسبان RN يبقى
هذول بيولدوا لي RN إيش معنى هذا الكلام؟ إن هذول
بيشكلوا لي مين؟ Bases للـ RN
الذي هو ال E1 و ال E2 و ال AN is a basis for RN
تعرفوا إيش بيسموها ده يا بنات؟ بيسموها standard
basis يعني ال basis المتعرف عليه عند كل العلماء
ولا عند كل الدول ولا عند كل الناس يبقى هذا called
the standard basis of RM يبقى هذا basis called the
standard basis
for
RN إيش standard basis for ان؟ يعني في basis غيره؟
آه في غيره بس مش على هالشكل هذا طب
لو لجيت basis آخر يا بنات كدهش بديكون عدد عناصره؟
ن مثل هذا بالضبط تمامًا مادام نستخدم ال basis عدد
عناصره ن يبقى أي basis آخر عدد عناصره يساوي N طيب
خليني أخذ special cases من هذا المثال يعني نصغر
شوية ونشتغل عمل شوية يبقى بدي أقول له special
cases of
أول واحدة لو أخذت اي واحد بده يساوي واحد وصفر و اي
اتنين بده يساوي صفر وواحد هدول are the standard
basis of R2
مظبوط هك؟ طيب ليش؟ لأن أي element x1 و x2 بقدر
أكتبه على صيغة linear combination من اتنين هدول
يعني x1 x2 بقدر أكتب x1 في 1 و 0 زائد x2 في 0 و 1
صحيح ولا لأ؟ إذا كتبت linear combination من اتنين
هدول linearly dependent ولا linearly independent؟
واحد خد مجموعة تانية ال element واحد و تلاتة و ال
element تاني سالب اتنين و ستة خد مجموعة تالتة اتنين
و واحد و تلاتة و زيرو خد مجموعة رابعة كمان اللي هو
اتنين و سالب واحد و سالب اتنين و اتنين كلهم دول
معاهم because
لأن على سبيل المثال V1
== 1.3 V2
== 1.1 V2 == 1.3 V2 == 1.3 V2
== 1.3 each one is
not a multiple of
the other مواش مضاعفات الآخر and the dimension of
ارتو از تو
خلّيني أخبرك أن أنا احنا بناخد بعض الحالات الخاصة
من الار ان طبعا قلنا بناخد الحالة الخاصة الأولى لو
أخد ال elements E1 هو واحد و E2 هو زيرو و واحد
يبقى اتنين هدول are linearly independent لأن ولا
واحد فيهم هو مضاعفات الآخر يبقى لهادول linearly
independent هدول بيكونوا للي standard bases لمين
لارتو لأن احنا تو في المثال اللي قبله أثبتناهم لو
كان كل واحد في N من المراكبات إذا الحالة خاصة لو
أخدت جدهش بس مراكبتين يبقى هدول vectors يمثلوا للي
standard bases لمين لارتو وهذا بيعطينا أن ال
dimension لالـ vector space R2 هو جداش اتنين بعد
ذلك لو أخدت الـ E1 يتكون من ثلاث مركبات 100
والتاني 010 والتالي 001 يبقى هذول كمان linearly
independent لأن ولا واحد فيهم مضاعفات الثاني برضه
هذول standard basis لمين للـ R3 والـ R3 ال
dimension له يساوي 3 احنا بنقول هدول ليه standard
basis يعني هل هناك basis أخرى، الإجابة نعم، هناك
مجموعة كثيرة من ال basis، مش ع جد هدول، لو كمان،
بس احنا هدول جيبناهم على سبيل المثال، لو جات
للمجموعة هذه، يبقى طلع في هدول اتنين، هل واحد فيه
مضاعفات التاني؟ لأ هدول هل واحد فيهم مضاعفات
التانية لأ هدول في واحد فيهم مضاعفات التانية يعني
لو ضربت هذا في رقم بيطلع هذا ماعنديش هل هذا
مضاعفات هذا برضه لأ يبقى ولا واحد فيهم مضاعفات
التانية طيب ممتاز يبقى هدول linearly independent
صحيح طيب ال vector space هذا جداش اللي ال bases له
إذا هذا بنفع يكون basis لأن ال dimension له يسوى 2
وهي جبت له 2 linearly independent of L مثلا
النظرية الأخيرة بتقول لي كل ال basis فيهم نفس
العدد من العناصر تمام يبقى العناصر هذول linearly
independent وعددهم يساوي اتنين اللي هو ال
dimension لل vector space يبقى هذول يمثلون ال main
bases يبقى هذول E1 وE2 bases لأعلى اتنين هذول برضه
bases لأعلى اتنين هذول bases لأعلى اتنين هذول
bases لأعلى اتنين هذول bases لأعلى اتنين بتحب
تتأكد أن ماعندكيش مشكلة خد اكس واحد و اكس اتنين
موجودة في قارة اتنين و شوف هذا ال element بتقدر
تكتبه بدلالة اي واحد فيهم ولا لا يعني هل بقدر اقول
constant في الاول زائد constant في التاني بيعطيني
ال X واحد و X اتنين لأ يعني بدي اجيب قيمة ال
constant C واحد و C اتنين بدلالة X واحد و X اتنين
ان جدرت اجيب جب هدول linearcombination يعني إجباري
بدك تجيبهم مش بنقدر لأ بنقدر و نص كمان نجيبهم ليش
لأن هدول يمثلولي basis لأ لإن على أي حال في
المحاضرة القادمة ان شاء الله اليوم بنروح بنكمل
اللي هو هذا ال section ان شاء الله