الـ .. في المحاضرة السابقة بدأنا التعرف على Cauchy
sequences فأخذنا تعريف الـ Cauchy sequence و أثبتنا
أنه كل convergent sequence is Cauchy و أعتقد كمان
أثبتنا أنه كل Cauchy sequence is bounded صحيح؟ اليوم
هنثبت العكس و هو أن كل كوشي sequence is convergent
فنستعيد بس نستذكر مع بعض تعريف الكوشي sequence
definition a
sequence of real numbers xn is
Cauchy
إذا تحقق الشرط التالي لكل epsilon أكبر من الصفر
يوجد capital N depends on epsilon natural number
such that لو كان n و m bigger than or equal N this
implies أن absolute value ل xn minus xm أصغر من
epsilon وشوفنا
المرة اللي فاتت أو برهنا lemma 2 و 21 every
convergent
sequence is Cauchy
ثم برهنا another lemma lemma 2 و 22 بتقول
اللمّة هذه أن every Cauchy
sequence
is bounded اليوم
هنثبت نظرية مهمة نظرية 2 و 33 وهذه
النظرية هي كوشي كوشي
criterion
أو معيار كوشي معيار
كوشي للتقارب النظرية
بتنص على أن a sequence xn contained in R is
convergent
is convergent if and only if it is Cauchy any
sequence of real numbers بتكون convergent if and
only if it is Cauchy البرهان
this part اللي هو الـ only if part هذا هو نفسه لمّة
21 if xn is convergent then
by
لمّة 21
it is Cauchy it is Cauchy
لأن هذا جزء برهناه في المحاضرة السابقة على صورة
لمّة 21 الـ .. الـ if part هنبرهنه اليوم
هنشوف مع بعض assume العكس assume أن الـ sequence xn
in is Cauchy وبدنا
نثبت إنها convergent طيب بما إنها Cauchy then
by لمّا 22 تطلع bounded
إذا by لمّة 22 الـ sequence xn is
bounded باستخدام
Bolzano-Weierstrass theorem
اللي أخدناها المحاضرة السابقة أو اللي قبلها هذا
اختصار بولزانو ويرشتراس بولزانو ويرشتراس هنا بتقول
أن كل bounded sequence has a convergent
subsequence فهي عندي bounded sequence sequence xn
in has a
convergent
sub-sequence xn
nk وها دي converges to x* تنتمي إلى R طبعا؟
إذن هذه sub-sequence من xn وconvergent to some x
* تنتمي إلى R
طيب احنا عايزين نثبت claim عايزين
احنا نثبت أن الـ sequence xn converges إلى العدد
x* وبالتالي هيك بنكمل برهان النظرية صح؟ فلبرهان
ذلك
نستخدم تعريف epsilon capital N للـ limit فبنبدأ بـ
epsilon أكبر من الصفر عشوائية let epsilon أكبر من
الصفر be given نحتاج أن نشهر أن هناك كابتل N كمية
عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على
إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد
على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة
تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية
عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
كمية عامة تعتمد على إبسلون
وهي epsilon given، إذا by definition of Cauchy
sequence there exists capital N depends on epsilon
natural number such that لكل n و m أكبر من أو يساوي
capital N، this implies an absolute xn minus xm
less than epsilon at null نسمي
الـ implication هيا دي (*) طيب
احنا حصلنا على أن الـ sequence xn أو الـ subsequence
xnk converges to x*
إذا لنفس الـ epsilon و epsilon هي نفس الـ epsilon
given فمن تعريف الـ convergence for
same epsilon أكبر من الصفر نفس الـ epsilon اللي
هناك نقدر نلاقي يوجد capital K عدد طبيعي capital K
وهذا العدد .. هذا عبارة عن عدد طبيعي وهذا العدد
الطبيعي هو واحد من مؤشرات الـ subsequence اللي هم
n1, n2, n3 و
هكذا إذا يوجد كابتل K اللي هو واحد عدد طبيعي وهذا
واحد من مؤشرات الـ subsequence ممكن أختاره هذا
كابتل K أكبر من أو يساوي كابتل N بحيث
أن الـ absolute value لـ Xcapital K minus X*
أصغر من epsilon على 2 كمان
مرة الـ subsequence هي هتconverge لـ X* إذا في
capital K natural number و هو واحد من large واحد
من الـ indices وطبعا كبير هو ممكن نختاره أكبر من أو
يساوي capital N بحيث المسافة بين X كابتل K و X* أصلا
أصغر من epsilon على 2 هو ممكن أن أنا يعني هذا أحط هنا K
و أقول أن هذا أصغر من epsilon على 2 لكل K أكبر من أو
يساوي كابتل Kصح؟ مش هيك تعريف الـ convergence لكن
أنا بدي اخد K بساوي كابتل K وبالتالي اخد بس X
كابتل K المسافة بينها و بين X* أصغر من epsilon على 2
نسمي المتباينة هذه (**) الآن
now
أنا عندي كابتل K أكبر من أو يساوي كابتل N so
by (*) by
(*) with m بساوي كابتل K we
have لدينا
absolute xn minus x capital k أصغر من epsilon على 2 نسمي
هذه المتباينة (***) (***) كمان مرة الـ k هذه
اختارناها أكبر منها و يساوي n و من (*) إذا كانت
الـ K .. إذا خدت m بساوي كابتل K و هذه أكبر من أو
يساوي N فبتصير المتباينة هذه absolute xn minus xk
أصغر من epsilon على 2 و الـ n هذه لازم تكون أكبر
من أو يساوي m، إذن هذا صحيح لكل small m أكبر من أو
يساوي كابتل N
تمام hence by
(**) الآن من (**) and (***)
لدينا we have لو كان n أكبر من أو يساوي capital N
فهذا بيقدي أن الـ absolute xn minus x* طبعا
هنا هترح x capital K و هرجعها
إذا I subtracted xk and get it back باخد هدول
الأثنين مع بعض والتحدين هدول مع بعض الـ absolute
value بالترانجل inequality بالترانجل inequality
هذا أصغر من absolute الحد الأول اللي هو xn
minus xk زائد absolute الحد الثاني اللي هو xk
minus x* الآن
باستخدام (***) من المتباينة هذه هاي عندي أنا
xn أول شي الـ n small n أكبر من أو يساوي capital N
هاي small n أكبر من أو يساوي capital N وبالتالي الـ
absolute value هذه أصغر من epsilon على 2 زائد و
من (**) من (**) هي عندي absolute xk
minus x* أصغر من epsilon على 2 المجموع بتطلع
epsilon since
epsilon أكبر من الصفر was arbitrarily
نحن لدينا من مفهوم الـ convergence أنه هيك منكون
أثبتنا أن الـ limit xn as n tends to infinity equals
x* وهذا بكمل برهان الـ claim و النظرية تمام؟
هاي لاحظوا أن احنا بنثبت أننا ندعي أن الـ sequence
xn هي الـ convergent لـ x* حسب تعريف epsilon
capital N للـ limits بدأنا بـ epsilon given عشوائية
عدد موجب أثبتنا هي يوجد capital N يعتمد على
epsilon natural number بحيث أن لكل n أكبر من أو يساوي
capital N طلع absolute |xn - x*| <
ε لما إن هذا الكلام صحيح لكل ε إذا by
definition limit xn = x*، إذا ال sequence
convergent إذا هذا بيكمل البرهان إن لو كانت ال
sequence كوشي then it is convergent تمام واضح
البرهان؟ okay حلو إذا نعم
مش احنا حاكينا أن xn is bounded؟ صحيح طيب الحين
في عندنا بالنظام و بالسترس في عندنا xn في عندنا
convergent subsequence صح هذا هي صح convergent ل x
and to some x* احنا أخذنا نظرية إذا كانت ال
convergent subsequence converge to x* و x to r ف x
* and تكون converge ل x* لا ماأخذنا نظرية زيك أنت مش
خارق النظرية صح
لأ النظرية ما بتحكيش هيك معلش النظرية هذه بتقول لو
أنا في عندي bounded sequence و لو كل convergent
subsequence من ال sequence هذه convergent لعدد x*
فلازم ال sequence نفسها تكون convergent ل x* أنا
عندي بس subsequence واحدة converged ل x*
أصلاً وليس every convergent subsequence converged
ل x* أصلاً فالفرض الثاني تبع النظرية اللي بتحكي عنها
مش متحقق وبالتالي لا أستطيع تطبيق النظرية تمام؟ في
أي سؤال ثاني؟ okay ده سؤال كثير يعني مهم و .. و ..
و جيد و يا ريت يعني أي حد عنده تساؤل زي هذا يعني
يسأله هل في أي شيء في القرآن مش واضح؟ واضح أكثر من
هيك؟ Okay أعتقد أن البرهان واضح يعني لو قرأته
بتمعن هتجد أنه يعني سهل و بسيط طيب نأخذ أمثلة على
كيف نستخدم تعريف ال Cauchy sequence في إثبات أنه
given sequence is Cauchy باستخدام التعريف مباشرة و
ليس باستخدام اللي هو Cauchy criterion
إذا نأخذ هنا بعض الأمثلة examples
الأمثلة
دي أنا أعطيها الرقم 224 أول مثال show
directly show direct that
ال sequence ال
sequence 1/n is Cauchy
لما أقول show directly أن ال sequence معينة is
Cauchy معناها ده بدي أستخدم التعريف بدي أستخدم
التعريف تبع Cauchy sequence فنشوف
مع بعض طبعاً
البرهان باستخدام التعريف هنبدأ بـ ε >
الصفر ونرد عليها بـ capital N بتخلي ال implication
هي دي تتحقق بالظبط زي .. يعني قريب يعني بالظبط زي
ما عملنا في إثبات أن ال sequence is convergent و
هنستخدم ال Archimedean property نشوف مع بعض let
بالمناسبة .. بالمناسبة يعني احنا كيف نحدد ال
capital N for any given ε؟
أنا يعني هي عندي |xn - xm| لو في عندي
ε given ε موجبة given فمن الآخر أنا
عايز أثبت أنه هذا أصغر من ε، مظبوط؟ طب ما هذا
عبارة عن |1/n - 1/m| وهذا
أصغر من أو يساوي |1/n| + |1/m| مظبوط وهذه أعداد موجبة فهذا 1/n
+ 1/m مظبوط وهذه أعداد موجبة فهذا 1/n
+ 1/m طيب
أنا عايز أجيب capital N بحيث
أنه لو كانت ال n و ال m أكبر من أو يساوي capital N
فبدنا هذا يؤدي إلى ال absolute value هذه أصغر من
ε إذن ال n و ال m هدول لازم يكونوا أكبر من
capital N اللي أنا مش عارف إيش هي، بدي أجيبها، إذن
و بالتالي من هنا هذا بيقود إلى أن 1/n و كذلك
1/m أصغر من أو يساوي 1/capital N، صح؟ إذا
كانت n أكبر من أو يساوي capital N فـ 1/n هتصير
أصغر من أو يساوي 1/capital N وكذلك بالنسبة ل
m، مظبوط؟ إذاً هذا هيصير أصغر من أو يساوي 1/
capital N وهذا أصغر من 1/capital N بيساوي 2/
capital N الآن بدي أخلي هذا، متى بيكون هذا أصغر من
ε؟ أه، إذا هأخذ n أصغر من ε/2 أو 1
على n أصغر من ε/2 إذا هذا أصغر من
ε عندما 1/n أصغر من ε/2 طيب،
أنا لو بدأت بـ ε عدد موجب فـ ε/2 بيطلع
عدد موجب و by Archimedean property لأي عدد موجب زي
هذا يوجد capital N عدد طبيعي بحيث مقلوبه وأصغر من
ε على اتنين إذا capital N اللي بتعتمد على ال
given ε لازم تكون مقلوبها أصغر من ε على
اتنين عشان يطلع هذا أصغر من ε شفتوا كيف
منطلق ال capital N و ال Archimedean property طبعاً
تضمن لي وجود مثل هالعدد capital N تمام؟ إذا بآجي
بقول هنا let ε الكلام هذا طبعاً بعمله في
الهامش بعدين بآجي برتبه بقول let ε أكبر من
الصفر be given إذاً
it choose by
Archimedean property
نختار capital N عدد طبيعي بحيث أن مقلوب ال N أصغر
من ε على اتنين إذا هنا أثبتت يوجد capital N
وهي اعتمدت على ε هي مرتبطة بـ ε
هذا هيعطينا ال implication تبع ال Cauchy sequence
then
لو أخذت n و m أكبر من أو يساوي ال capital N هذه
فبالتأكيد هذا هيقود إلى أن 1/n و كذلك 1/m
كلهما أصغر من أو يساوي 1/capital N وهذا
بدوره بيقود إلى أن |1/n - 1/m|
m طبعاً هذه xm وهذه xn فشفنا أن هذا أصغر من أو
يساوي |1/n| باستخدام ال triangle
inequality زائد |-1/m| اللي هو
|1/m| طيب هذا بيساوي 1/n +
1/m لأن أعداد موجبة وقول إن هذا أصغر من
أو يساوي 1/n + 1/m وهذا بيساوي
2/capital N وهذا من الاختيار تبعنا لـ capital N by
2/capital N أصغر من ε طب
ما هذا .. هذا هو شرط Cauchy صح؟ هذا هو شرط Cauchy إذا
by definition بما أن هذا صحيح لكل ε since
ε أكبر من الصفر was arbitrary by
definition of Cauchy sequence ال sequence xn is
اللي هي 1/n اللي الحد العام تبعها 1/
n is Cauchy تمام
هنا أثبتنا أن ال sequence Cauchy مباشرة باستخدام
التعريف طبعاً في برهان ثاني ممكن نستخدم Cauchy
criterion احنا ممكن نثبت أن ال sequence هذي
convergent وأثبتنا هذا الكلام قبل كده صح؟ و حسب
Cauchy criterion بما أنه ال sequence convergent
then it is Cauchy صح؟ هذا برهان ثاني لكن إذا كنا
لكم برهنيها directly يعني استخدم التعريف لازم
البرهان هذا هو اللي إيه تكتبوه واضح تمام؟ في أي
استفسار؟
نأخذ مثال ثاني
مثال رقم 2 consider .. consider
ال sequence defined
inductively
إذا في عندي sequence معرفة بطريقة استقرائية
كالتالي كما يلي هناخد x1 = 1 و x2 =
2 طب و xn n ≥ 3 هناخده =
1/2 في xn-2 + xn-1 طبعاً هذا
لكل n عدد طبيعي أكبر من أو يساوي 3 إذا هنا في
inductive sequence معرفة بطريقة استقرائية أول حدين اللي
هم قيم معينة الحد الثالث وانت طالع معرف بدلالة
الحدين اللي قبله مباشرة هذا طبعاً بيعطينا
sequence المطلوب عايزين نثبت show أن ال sequence xn
is convergent و converges to the number 5/
3 البرهان
هنثبت we first show
that sequence xn converges by
showing
بإثبات أنه
إنها Cauchy thanks
to Cauchy criterion
طبعاً هذا بفضل معيار كوشي أو Cauchy criterion هنثبت
الأول أن ال sequence هي to convergent بإثبات إنه
Cauchy وهذا طبعاً حسب Cauchy criterion إذا أثبتنا إن ال
sequence Cauchy بتكون convergent تمام فنشوف كيف ممكن
نثبت الكلام هذا فأول شيء بدي أثبت إن ال sequence
bounded إذن هنا الإدعاء
الأول أو claim number one السيكونس xn الحد العام
تبعها أكبر من أو يساوي الواحد أصغر من أو يساوي اثنين
لكل n في N لبرهان
ذلك to see this use
induction
on n so I will leave it for you to prove claim one
by induction on n فالحالة
لو بنشوف بقرا ال statement هذا when n equals one
هذا معناه أن المتباينة هذه هتكون x one أكبر من أو
يساوي الواحد أصغر من أو يساوي اثنين وهذا true وهذه
صحيحة لأن هاي x واحد بساوي واحد والواحد أكبر من
أو يساوي الواحد هو less than or equal to إذن ال
statement هذا is true for n يساوي one assume it is
true for n يساوي k وprove it for n يساوي k زائد
واحد فيعني
هسيبكم أنتم تكملوا البرهان البرهان سهل
So this is claim one الآن by claim one
By claim one the
sequence xn is bounded حسب
claim one لأن claim one أثبتنا فيه أو هتثبتوا فيه
أن الـ xn ال sequence xn كل حدود ال sequence
محصورة بين واحد واثنين وبالتالي bounded below by
one bound above by two وبالتالي bounded okay إذا
ال sequence bounded الآن لو كتبنا writing
out
الأول مرات... المرات
الأول مرات... المرات الأول مرات... المرات الأول
المرات الأول مرات... المرات الأول مرات الأول مرات
مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
الأول مرات الأول
مرات الأول
مرات
is not monotone لو
كتبنا أول أربع خمس ست حدود من ال sequence هذه
فبلاحظ أنها ليست monotone ليست increasing neither
increasing nor decreasing وبالتالي نقدر نستخدم الـ
monotone convergence theorem so we can't we can't
use the monotone convergence theorem we
can't
we can't use monotone convergence theorem الـ
sequence bounded عشان نستخدم الـ monotone
convergence theorem لازم تكون monotone increasing
أو monotone decreasing ف it is not monotone
فما أقدرش أستخدم ال monotone convergence theorem
عشان أفحص ال convergence ال sequence لازم أبحث عن
طريقة ثانية غير الـ monotone convergence فيها طيب
هنثبت claim 2 claim
2 ادعاء ثاني وهو أن ال sequence xn بتحقق المعادلة
absolute xn minus xn زائد واحد يساوي واحد على
اثنين أس n ناقص واحد وهذا الكلام صحيح for every n
في N to
see
this لبرهان ذلك use induction
use induction on n برضه ممكن برهان المعادلة هذه by
induction on n هينبرهن
البرهان if
n يساوي واحد ف absolute x واحد minus x اثنين يساوي
absolute واحد ناقص اثنين يساوي absolute واحد يساوي
واحد هذا الطرف اليمين والطرف اليسار واحد على
اثنين أس n ناقص واحد يساوي واحد على اثنين زائد
صفر يساوي واحد واحد يساوي واحد إذا
المعادلة true for n يساوي واحد طيب assume ال
induction hypothesis الفرض طبع ال induction assume
أنه ال...
ال claim is true for n يساوي k و k طبعا أكبر من أو يساوي واحد هذا
معناه أن absolute xk minus xk زائد واحد يساوي
واحد على اثنين أس k ناقص واحد، صح؟ هذه العبارة
صحيحة and k
أكبر من أو يساوي واحد
الآن تعال نثبت صحة العبارة عند n يساوي k زائد
واحد ناخذ الطرف الشمال عندما n يساوي k زائد واحد
هذا عبارة عن x k زائد واحد ناقص x k زائد اثنين
بدنا نثبت أن هذا يساوي واحد على اثنين أس k صح؟ طب
تعال نشوف هي absolute xk زائد واحد ناقص الآن xk
زائد اثنين من ال definition تبع ال sequence بدل n
بدل n ب k زائد اثنين فبيطلع نص في xk زائد xk زائد
واحد
وهذا يساوي وهذا يساوي نص في absolute x x
k ناقص x k زائد واحد
بعد ما نطرح بيطلع عنده نص عامل مشترك و absolute
الآن by induction hypothesis من الفرض تبع ال
induction ال absolute value هذه أيها ايش يساوي
عوض عنها أي نص ضرب one over two to k ناقص one
ويساوي واحد على
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
الآن باستخدام ال claim الثاني ممكن نثبت شغلة مهمة
في البرهان إذا
خليها هادي للمرة الجاية بس بدي أكتبها خليكم أنتم
تفكروا فيها... خليكم أنتم تفكروا فيها Now
using a claim to verify... verify that...
Fm أكبر من N فهذا
بيودي أن absolute Xn ناقص Xm أصغر من واحد على
اثنين أس M ناقص اثنين
إذاً هذا ممكن إثباته by the triangle inequality و
claim اثنين فبنوقف
هنا وبنكمل ال... بنكمل إن شاء الله البرهان في
المحاضرة الجاية، في حد عنده أي سؤال أو استفسار؟