اليوم طبعا هنكمل الشرح
أو
بعض الملاحظات على النظرية اللي أخذناها في المحاضرة
السابقة النظرية هذه بتتحدث عن nested interval
property أو خاصية الفترات المتداخلة وشفنا في
النظرية هذه أن لو في عندي sequence of nested
intervals الفترات هذه كلهم nested يعني كل واحدة
تحتوي اللي بعدها مباشرة، زائد أن الفترات هذه كلهم
closed كلهم closed و bounded ففي
الحالة هذه التقاطع تبع الـ sequence of intervals لا
يساوي ∅ يعني في على الأقل عنصر واحد بالتقاطع
شفنا برضه لو في الشرط الإضافي هذا اتحقق وهو
لاحظوا أن هذه عبارة عن ℕ فهذه sequence من
العداد الطبيعية الغير سالبة، و بالمناسبة الـ infimum واضح
أنه lower bound للمجموعة هذه، صح؟ لكن مش شرط أن
الـ infimum يكون هو الـ infimum للمجموعة هذه، فإذا كان الـ
infimum للمجموعة هذه اللي هو أكبر lower bound هو
الـ infimum فالتقاطع فيها عنصر واحد، okay تمام وشفنا
مرتين على البرهان المرة اللي فاتت، و أعتقد أن
البرهان مكتوب بالتفصيل واضح ومرينا عليه جزء جزء
فأرجو أن تكونوا قرأتوها كمان مرة وفهمتوها، في حد
عنده استفسار على البرهان أو النظرية هذه؟ طيب الآن
النظرية هذه، نرجع للنظرية كمان مرة الآن
في ملاحظة بتقول أن لو أنا في النظرية هذه الفترات
هذه، الفرض أن الفترات in مغلقة closed، لو حذفت، شيلت
الفرض هذا فالنظرية هذه بتبطل تكون صحيحة، فالنظرية
هذه بتبطل تكون صحيحة، وحنشوف counter example يوضح
عدم صحتها، كذلك
طب افرض أن هذا الشرط متحقق في الفترات، لكن اللي مش
متحقق اللي هو الـ boundedness، يعني الفترات هذه ليست
محدودة، ليست bounded، برضه في الحالة هذه النظرية
تفشل، و في counter example يوضح فشلها، okay إذا
حنشوف two counter examples، خليني نشوفهم مع بعض
إذا هذه الـ remark اللي أنا اتحدث عنها قلت أن it
should be noted يجب ملاحظة أن generally بصورة عامة
a nested sequence of intervals need not have a
common point يعني لو فيه nested sequence من
الفترات المتداخلة مش شرط تقاطعهم يكون في ∅ يعني
أي نقطة أو نقطة مشاركة، يعني مش شرط أن التقاطع لها
يساوي ∅ فالآن هذه هي اللي حكينا عنها أول
مثال، هذه
في المثال الأول الفرض the hypothesis الفرض أن الـ
intervals In في نظرية 22 be closed cannot be
dropped يعني لا يمكن حذفه، لا يمكن الاستغناء عنه
وتبقى النظرية نظرية صحيحة، for example على سبيل
المثال لو أخذت الفترات In، الفترة In هي الفترة
المفتوحة من 0 لـ 1/n حيث n عدد طبيعي، فواضح أن
الفترات هذه nested صح؟ لأن الفترة الأولى هتكون
الفترة المفتوحة من 0 لـ 1، الفترة الثانية الفترة المفتوحة
من 0 لـ 1/2، وهذه محتوى في I1، و I3 الفترة
المفتوحة من 0 لـ 1/3 محتوى داخل I2، و هكذا لذلك
واضح أن الـ sequence of open intervals In is nested
sequence كذلك عناصر الـ sequence هذه bounded، هذه
فترات محصورة لكن الفترات هذه not closed مش closed
يعني عبارة عن مجموعات مفتوحة ليست مغلقة، إذن شرط
الإغلاق هنا انحذف، وبالتالي نتيجة النظرية مش شرط
تكون صحيحة، إذن التقاطع هنا لنفس الـ sequence هذه
بيطلع بيساوي ∅ مافيش common point، مافيش نقطة
مشتركة في هذه الفترات، طبعا هذا مش واضح
هذا تقاطع الفترات المفتوحة هذه بيساوي ∅ هذا مش
واضح يحتاج إلى برهان، هي البرهان بين قوسين مربعين
تعالوا نبرهن أن تقاطع الفترات هذه بيساوي ∅ to see
this to see this معناه لبرهان ذلك مش لرأي ذلك، هذا
تعبير مجازي استخدمه لبرهان الشيء، العبارة اللي احنا
عايزينها، ف to see this suppose in the contrary
بنفترض على النقيض أن التقاطع هذا بيساويش ∅ يعني في
على الأقل عنصر x في التقاطع بنصل لتناقض، طيب الـ x
موجود في التقاطع معناته x موجود في In لكل n، إذن x
موجود في كل واحدة من الفترات In، طيب x موجود في
الفترة In معناته x أكبر من 0 أصغر من 1/n
أصغر من 1/n، أصغر من 1/n تمام
وبالتالي
حسب الـ Archimedean property، هذا عبارة عن أحد صور
الـ Archimedean property بتقول بما أن x هذا عدد
موجب، الـ x هذا عدد موجب، إذا يوجد عدد طبيعي n0
مقلوبه وأصغر من العدد الموجب وهذا بتديني تناقض،
هذا بتديني تناقض، هذا بتناقض مع كون الـ x أصغر من 1
على n لكل n، يعني الـ x هذه أصغر من 1/n0 وهي في
نفس الوقت أكبر من 1/n0، لأن هذا بتديني تناقض
لأن التناقض هذا سبب الـ assumption تبعنا أن يوجد x
في التقاطع، لأن الصح أن التقاطع هذا مافيش فيه ولا
عنصر يعني is the empty set، إن هذا مثال بيورجي أو
بيوضح أنه لو حذفنا شرط أن الفترات في نظرية 22
closed فبتطلع النظرية، النظرية تفشل، بتبطل النظرية
و هذا مثال بيوضح فشلها، الآن المثال الثاني نفس
الحاجة، الفرض أن الفترات في نظرية 22 be bounded
بتكون محدودة cannot be dropped لا يمكن إسقاطه
لا يمكن إهماله، فعشان
نوضح هذا الكلام بـ counter example، ف for example
على سبيل المثال هناخد الفترات المغلقة In، فترة
مغلقة من n إلى ما لا نهاية حيث n عدد طبيعي، هذه
الفترات كل هذه فترة مغلقة، كل فترة على الصورة هذه
مغلقة إذا شرط الإغلاق متحقق، بعدين الفترات هذه nested
لحظة، أول فترة هي الفترة المغلقة من واحد لما لا
نهاية، الثانية فترة مغلقة من اثنين لما لا نهاية
وهذه محتوى في I1، الفترة الثالثة الفترة المغلقة
من ثلاثة لما لا نهاية وهذه محتوى في I2 وهكذا
فالفترات هذه nested and closed مغلقة لكن ماهي
bounded مش محصورة، it's not bounded .. هذه كمجموعة
is not bounded above، كمجموعة ليس لها supremum، is
not bounded above، إذن شرط الـ boundedness اختل
وبالتالي نتيجة النظرية هتختلف، إذا الفترات هذه
closed but unbounded وإذا هنجد أن تقاطع الفترات
هذه مافيش فيه ولا نقطة، تقاطع هذا بيساوي ∅ كمان
مرة، المساواة هذه بدها مش واضحة ليست واضحة، فبدنا
نثبت صحة المساواة هذه كمان مرة، نعمل برهان بالتناقض
نعمل برهان بالتناقض
فافرض أن التقاطع هذا لا يساوي ∅، وبالتالي يوجد
x في التقاطع، إذا x موجود في الفترة In لكل n، هذا
من تعريف التقاطع، x موجودة في In معناته x أكبر من
أو يساوي n وهذا صحيح لكل n، هذا بتناقض مع الـ
Archimedean property نظرية الأساسية نظرية 15
في الشبطرة، دي اللي بتقول لأي عدد حقيقي x ينتمي إلى
ℝ بتؤدي أن يوجد n0 ينتمي إلى ℕ بحيث أن x أصغر من
n0
هذه هي الـ Archimedean property الأساسية، طيب أنا
عندي الآن من الـ Archimedean property عندي يوجد عدد
طبيعي n0 لـ n0 أكبر من x، وعندي هنا أن x أكبر من أو
يساوي n لكل n في ℕ وبالتالي x أكبر من أو يساوي n
0 لأن n0 ينتمي إلى ℕ، فإذا عندي هنا x أكبر
من أو يساوي n0 و x أصغر من n0، هذا بيديني
تناقض، إذا في عندي contradiction، إذا هذا العنصر غير
موجود such an x does not exist يعني التقاطع هذا
بيساوى ∅ كما هو مطلوب، تمام؟ واضح البرهان؟ إذن هذه
مثال ثاني بوضح أن شرط الـ boundedness لا يمكن
إسقاطه وتبقى nested intervals theorem صحيحة، okay؟
في نظرية ثانية يمكن هذه مرت معاكم في المبادئ لكن
اليوم هنعطيلها برهان يعتمد على الـ nested intervals
theorem أو nested intervals property برهان جديد
غير اللي أخذته في مبادئ الرياضيات، فالنظرية
هذه 24 بتتحدث عن الـ uncountability of the real
numbers فبكل بساطة النظرية هذه بتقول أن مجموعة
الاعداد الحقيقية is uncountable the set ℝ of all
real numbers is uncountable طيب
ماذا يعني أن الـ set تكون countable؟ في حد فيكم
بيُعرف؟ الـ set A أو S، definition
definition تعريف S is countable if
and only if كتّب في المبادئ either أما S is finite or
أو
S is denumerable أو في بيجيكشن one to one
correspondence بينها وبين الأعداد الطبيعية يعني
هذا معناه it is denumerable قابلة للترقيم طيب
إذا كانت ال set ليست
finite وليست in one to one correspondence with
the natural numbers أو ليست denumerable فبنسميها
uncountable غير قابلة للعد countable قابلة للعد
uncountable غير قابلة للعد طيب
ال
..
معروف في مبادئ رياضيات درسنا أن ال interval هذه و
ال interval هذه كلاهما uncountable الفترة
المفتوحة من صفر لواحد infinite set أول حاجة
infinite set و
طبعًا ممكن تثبت أنها uncountable
و طبعًا هذه الفترة المغلقة تحتوي هذه الفترة
المفتوحة فإذا كانت هذه uncountable هذه تكون
uncountable وهذا البرهان موجود في نظرية في الكتاب
المقرر textbook الكتاب المقرر
طبعًا
طيب
الـ احنا عايزين نثبت عشان نثبت أن ال set هذه ال R
لاحظوا أن ال R is
in one to one correspondence مع الفترة المفتوحة أو
المغلقة حتى في
byjection بينها وبين الفترة المفتوحة المغلقة 01
وبرضه المفتوحة الآن لو أثبتنا أن الفترة هذه
uncountable فهذه
الـ R in one to one correspondence معها فال R هذه
تطلع uncountable هذه نظرية موجودة في مبادئ
الرياضيات إذا كانت هناك مجموعتين
equivalent to each other فهناك بيجيكشن بينهم إذا
كانت واحدة countable فال أخرى تظهر countable إذا
كانت هذه finite تظهر هذه finite إذا كانت هذه
infinite تظهر هذه infinite كل هذه نظريات موجودة في
مبادئ الرياضيات إذا لو أثبتنا أن الفترة هادي
uncountable فبتطلع R uncountable طيب
لإثبات ذلك هنا عايزين نثبت أن الفترة هادي نثبت أن
الفترة هادي uncountable لبرهان ذلك نعمل برهان
بالتناقض
بنثبت أن الفترة المغلقة هذه uncountable نفرض
المقيد
أن الفترة هذه countable لاحظوا أن الفترة هذه
infinite والآن countable إذا بتطلع equipotent أو
in one to one correspondence with natural numbers
الآن في الحالة هذه I in one to one correspondence
with real numbers أو بنسميها innumerable صح؟
الآن ال set I denumerable يعني ممكن ترقيمها
بالأعداد الطبيعية إذا ممكن نسمي عناصرها xn حيث n عدد
طبيعي اللي هي x1, x2, x3 أي set denumerable
أو in one to one correspondence with natural
numbers ممكن ترقيم عناصرها ك list by the natural
numbers إذا I هي كل عناصرها رقمناهم بالأعداد
الطبيعية
لحظة احنا بدنا نصل الى تناقض احنا بدنا القرآن
وفرضنا ال contrary هو Assume ال contrary ان I is
countable بدنا نصل الى تناقض طيب هي الفترة I هي
الفترة I هي الفترة I هذه
I وفي اندكس اي هاد الفترة اي هاد يعني عناصرها هي
مرقمة اكس واحد اكس اتنين الى ما لا نهاية افرض ان اكس
واحد موجود هنا اول عنصر في الفترة موجود هنا فممكن
اختار فترة مغلقة اسميها اي واحد ممكن اختار فترة
مغلقة أسميها I1 بحيث أن ال X1 هذه لا تنتمي للفترة
I1 وممكن
اختار فترة مغلقة ثانية طب افرضي أن X2 موجودة هنا
العنصر الثاني في الفترة I ايه رقم X2 موجود هنا أو
هنا أو هنا فبقدر اختار فترة مغلقة ثانية نسميها I2
اللي هي الفترة هذه بحيث أن X2 لا تنتمي ل I2 و
الفترة I2 هي فترة جزئية من I1 طيب افرض أن X3
موجودة هنا أو هنا أو هنا أو أي مكان ثاني فبقدر
اختار فترة مغلقة تسميها I3 اللي هي الفترة هذه بحيث
أن X3 لا تنتمي للفترة I3 والفترة I3 جزئية من
الفترة I2 ممكن نستمر على هذا النمط هنحصل على
sequence of intervals اللي هي I1 تحتوي I2 تحتوي I3
و هكذا ممكن نستمر إلى ما لا نهاية و كل الفترات هذول
محتوى .. كل واحدة منهم محتوى داخل ال I و كل واحدة
من الفترات هذه صممناها بحيث أن XN لا ينتمي إلى IN
لكل N بيساوي واحد اثنين إلى ما لا نهاية صح؟ إذا لو
استمرنا في العملية هذه هنحصل على sequence of nested
intervals و ال intervals هدول كلهم closed و
bounded كلهم closed و bounded و كل الفترات هذه
محتوية داخل الفترة I و X in العنصر X in من ال
sequence هذه لا ينتمي ل I in لكل N الآن ممكن نطبق
nested interval property theorem اللي هي theorem
بتقول ده في عندي sequence of nested intervals و
كلهم closed و bounded فالتقاطع تبعهم لا يساوي في I
إذا التقاطع تبعهم موجود في نقطة واحدة دعنا نسميها
ساى و الفترات هذه كلها كل الفترات هذه موجودة داخل
الفترة I داخل الفترة I
ماشي هنا اه
ايش صار؟ هي فوق صار
إذا حسب نفس ال interval theorem يوجد نقطة psi في
تقاطع الفترات الفترات كلهم موجودين داخل I إذا
تقاطعهم موجود داخل I وبالتالي النقطة psi هذه
موجودة في كل الفترات I in لأن موجودة في تقاطعهم
كلهم صح إذا النقطة psi موجودة في I in لكل N و الفترة
I N هذه لا تحتوي من هنا الفترة I N لا تحتوي X N
والآن تحتوي psi إذا psi لا تساوي X N الكلام هذا
صحيح لكل N بظبط هذا عنصر في الفترة هذه و X N ليس
عنصر فيها إذا مش ممكن يكونوا متساويين صح؟
ال Psi قلنا هي تنتمي إلى I ال Psi موجودة في I و
الفترة I رقمنا عناصرها قبل شوية انا
في اندكس يوجد عدد حقيقي Psi ينتمي ل I و في نفس
الوجهة الفترة I هي كل عناصرها مُرقّمة بالعداد
الطبيعي عناصرها X1 و X2 إلى ما لا نهائي والآن في
عندي Psi مختلف عن كل عناصر الفترة I فهذا
بيدّي أن ال sequence أو ال set هذه is not a
complete enumeration of I ليست ترقيم كامل للفترة I
وهذا تناقض يعني
احنا قلنا الفترة I هذه تطلع countable و infinite
إذا ممكن نرقم إذا denumerable يعني ممكن نرقم عن
اصرها كلها بالأعداد الطبيعية وبالتالي كل عنصرها X
تمام؟ الآن في البرهان هذا وجدنا أن في صي عنصر جديد
في I مختلف عن كل عناصرها معناته هذه ال list ليست
ترقيم كامل ل I في عناصر أخرى زي صي مش مرقمة و هذا
تناقض لأن إحنا عندنا ال set I هذه countable و
infinite و denomable إذن هي list تبع كل عناصرها
فكيف طلع فيه عنصر جديد مختلف عن عناصرها فهذا تناقض
إذن هذا التناقض بيثبت أن فرضنا أن الفترة I كانت
countable كان فرض خاطئ وبالتالي الفترة I تطلع
uncountable إذا الآن الفترة I uncountable وأنا
عندي R equivalent لفترة مغلقة 01 ممكن نوجد
bijection بينهم إذا ال R تطلع uncountable كما هو
مطلوب إذا
هذا هو برهان النظرية اللي أفادت هي طبعًا برهان بيعتمد
على شوفنا ال nested interval theorem وبالتالي هذا
برهان مختلف عن البرهان اللي بنعطيه في مبادئ
الرياضيات في برهان ثاني برضه لنظرية هذه يعطى في
مبادئ الرياضيات اللي هو باستخدام counter diagonal
argument مشهور
يعني البرهان يرجع إلى العالم الرياضي Cantor يسمى
Cantor دي أقنع ال argument بيثبت أن الفترة المفتوحة
من صفر لواحد is uncountable وبالتالي R is
uncountable لأن R في byjection بينها وبين ال open
interval من صفر لواحد الآن في نتيجة على نظرية
الأخيرة هذه ال set هذه ال R minus Q اللي هي ال
set of all irrationals أيضًا is uncountable
والبرهان هنا نفس البرهان اللي بنعطيه في المبادئ
برهان by contradiction assume and contrary أن ال
set R minus Q is countable وإحنا عندنا نظرية في
المبادئ أخذنا بتقول إن لو في عندي مجموعتين A وB وكل
واحدة منهم countable فاتحادهم بيطلع countable الآن
أنا في عندي Q countable معروف أن Q is countable
والآن احنا فرضنا أن R-Q is countable إذا اتحاد
المجموعتين هدول اللي هو R بيطلع countable وهذا
بتناقض مع النتيجة اللي لسه مثبتينها في النظرية
السابقة Okay إذا في عندي contradiction إذا الفرض
أنه الست هذه countable كان خاطئ إذا الصح أنه الست
هذه اللي هي ال irrational number is uncountable
okay تمام إذا الـ مع
انتهاء النتيجة هذه هيك بنكون غطينا section 2
خمسة وهاي التمرين المطلوب تحلوها مش عايز أبدأ
section جديد عايز أن احنا نستغل الوقت المتبقي من
المحاضرة في حل أسئلة discussion يعني مناقشة فأي
واحدة فيكم عندها مناقشة احنا أنا عارف أن انتوا
هتحضروا حالكم ليوم السبت المناقشة لكن برضه أكيد
يعني في بينكم ناس محضرين فلو عندكم أسئلة في
section 2 3 أو 2 4 أو section
2 2 أو 2 1 فممكن نحاول نحلها في
الوقت المتبقي من المحاضرة ماشي الحال فإذا مين عندها
أي سؤال في الـ .. المحاضرات
السابقة أو تمارين المحاضرات السابقة من
لديها سؤال؟ في عندنا أسئلة كتيرة في المحاضرات
السابقة homework كتير مين لديها سؤال؟ مين عندها
سؤال؟ مين بتحلم السؤال؟ ولا
واحدة عندها سؤال؟ تفضل طيب
طبعا هذه إشارة غير يعني غير إيجابية أو إشارة سلبية
يعني لحد الآن أنتوا مش المادة ما بتدرسهاش دراسة
حقيقية وهذا معناه أن أنتوا مش ماخدينها بجد يعني
كما أجب وهذا دليل عليكم تحلوش مسألة ف أنا
هسأل عنكم خليني أحل لكم كام سؤال هاي section 2
3 هنا هاي
مثلا سؤال 4
هي السؤال 4 section 2 3 أنا
عندي set S 4 بيساوي كل الأعداد 1- -1-
1 / N حيث N عدد طبيعي والمطلوب
find
Find الـ Supremum أو الـ infimum ل S4 و أيضا الـ
Supremum ل S4 طيب
احنا أخذنا في مثال في الـ section هذا
خلنا ننام هنا ولا لسه؟
Solution أخذنا احنا مثال بيقول أنه الـ .. لو كان في
.. في الـ section اللي بعد وممكن الحل باستخدام
المثال رقم A يعني by example
2 4 1 الجزء A أنا عندي الـ supremum ل A
زاد S A عدد حقيقي S مجموعة جزئية من R أثبتنا أن
هذا بيساوي A زائد supremum الـ S فلو
بدي أحل الجزء B ف let S بيساوي مجموعة ..
let
S بيساوي مجموعة الأعداد -1
أس N على N حيث N عدد طبيعي
ممكن نحول السلب لموجة هاد عبارة عن -1 ..
-1 و نص و -1 تلت و -1 ربع و كده
فممكن اثبات أن الـ super mom تبع السيدتها دي
أستاذ
نعم هنحن لو سالب اللي برا دخلناه يصير -1
plus 1 plus 1 على أنا ممكن اه ممكن ناخد -
هذا فهذا أكبر أنصر هو الواحد صح هيك بتنحل الصح
برضه هذا ممكن فبيصير عندي هنا 1 - اول أنصر
1- نص فالصبر ممكن يكون 1 بعدين 1- تلت
ربع و هكذا فالـ supremum إذاً الـ supremum ل S بيساوي
هاي اللي .. لاحظ أن الأكبر عدد في الست هذه هو
الواحد 1 أكبر من أو يساوي كل الأعداد هذه وهو
أصغر upper bound إذاً الواحد upper bound للست هذه
هي أكبر من أو يساوي كل عناصرها وهو أصغر upper bound
إذاً هذا بيساوي 1 لـ س .. إيش بس يعني؟
ما
هو أصغر؟ طلع 2 2 أستاذ الـ super 2 مش
هي على حسب القاعدة نحن نحط أي واحد بيصير
2؟ لا لا احنا بنحكي عن الست هذه اللي هنا مش
اللي هناك هذه S وهذه S4 فبيختلفوا عن بعض الست هذه
هذا هي أنصرها فما
هو بيناجب lower bound أو أكبر lower bound أكبر
lower bound طب نلاحظ -1/2 أصغر من -1/4 أصغر
من بعد هيك -1/6 اه فاعتقد
أن هذا هيطلع -1/2 هذا أكبر lower bound
طيب لو طبقنا النظرية هذه أنا أخدت S بيساوي الكلام
هذا و A بيساوي 1 إذا
الـ supremum ل S 4 بيساوي A زائد الـ supremum ل S
صح؟ والـ a بيساوي 1 والـ suprem لـ s بيساوي 1
فبيطلع الـ suprem لـ S 4 بيساوي 2 تمام؟ الآن
بنجيب الـ infimum لـ S 4 بنفس الطريقة ممكن
إثبات
إذا هنا similar
example
similar
example 2 4 1 أي ممكن من خلاله نثبت أن
الـ infimum أن
الـ infimum لـ set A زائد S بيساوي A زائد الـ infimum لـ S
وبالتالي
أن
أنا لو بدي أجرب على جزء A ف الـ infimum لـ S 4
بيساوي الـ infimum لـ A زائد S اللي هو الـ infimum لـ
1 زائد S وهذا بيساوي 1 زائد infimum لـ S و
هذا بيساوي 1 زائد infimum الـ S -1/2 فبيطلع 1/2
okay أن الـ infimum لـ set S 4 بيطلع - بيطلع 1/2
هذا حل حل ثاني أن أنا يعني أحاول
اه يعني أكتب عناصر المجموعة هذه أفرطها وأحاول
أشوف وين أصغر عنصر ووين أكبر عنصر ووين هيكون في
عندي upper bounds و lower bounds ونحاول نثبت أنه
الـ .. يعني بالطريقة هذه يعني ممكن نحن نحل الأسئلة
بطريقة ثانية فهذا حلو يعني
هذا الـ set ممكن نكتب عناصرها يعني أول عنصر لما N
بيساوي 1 1- -1-
-1 يعني 0 الانصر اللي بعده 1-1/2
بيطلع 1/2 اللي بعده بيطلع 1- -1/3 يعني
1/3 يعني قد ايه 4/3 اللي بعده 1
موجب 1/4 بيطلع قد ايه
5/4 و هكذا فهنلاحظ
أن الـ 2 2 upper bound لأن هو هيكون أكبر
عنصر و ننتبه للست لو في أي upper bound ثاني لو في
أي upper bound
of S4 فهذا بيقودى أن 2 أصغر من أو يساوي الـ V
لأنه 2 عنصر في الست S4 صح؟ إذا 2 upper
bound واضح أن 2 أكبر من أو يساوي كل عناصر S4
صح؟ ولو أخدت أي upper bound لـ S4 فبما أن V هو upper
bound لـ S4 و 2 عنصر في S4 إذن 2 أصغر من أو
يساوي V إذن هنا أثبتنا أن 2 upper bound لـ S4
و 2 أصغر من أو يساوي أي upper bound لـ S4 إذن
2 هو الـ supremum بالمثل ممكن نثبت أن النص هو
الـ infimum إذن هذا برهان ثاني أنا اتعمدت أعطيكم البرهان
هذا عشان القوانين هذه نشوف كيف نطبقها برضه هذا
برهان صعب ناجح الحل؟ okay؟
في أي سؤال أو استفسار؟ إذا احنا هنكتفي بهذا القدر