أحنا هنكمل الموضوع لـ Properly Divergent Sequences
اللي بدأناه المحاضرة السابقة، فشوفنا في المحاضرة
السابقة تعريف ما معنى أنه limit لـ sequence xn
بساوي infinity وما معنى أنه limit لـ sequence xn
بساوي negative infinity، طبعاً الـ sequence بتكون
properly divergent إذا كانت ال limit تبعتها
بساوي infinity أو سالب infinity، في عندي
comparison test لـ .. لـ properly divergent
sequences، هذا ال test بيقول لي لو في عندي two
sequences xn و yn، two sequences of real numbers
بيحققوا الشرط star، satisfy the condition star، وهو
أن كل حد في xn أصغر من أو ساوي الحد اللي بنظره في
ال sequence التانية yn، هذا صحيح لكل n، فإذا كانت ال
limit of the bigger sequence or the smaller
sequence is infinity، then the limit of the bigger
sequence is infinity، and if the limit of the big
the bigger sequence is negative infinity، then the
limit of the smaller
الجزء بي هو نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط an
application of the definition، طبقنا التعريف
بالبرهان زي ما أنتم شايفينه، برهان الجزء A similar
مشابه لجزء B، فحنسيبوا تمرين لكم، اتحاولوا يعني
اتبرهنوا بنفس الطريقة، okay تمام، فلو سمحتوا حاولوا
انكم اتبرهنوا الجزء A بنفس الطريقة، في عندنا شوية
ملاحظات على النظرية
نعطيلها رقم تسعة و ثلاثين، فالملاحظات
في عندي تلت ملاحظات، الملاحظة الأولى أنه theorem
النظرية
السابقة، أعتقد أن هذا الرقم المفروض يكون ثلاثين
theorem 29 remains true، تبقى صحيحة، if condition if
condition star is replaced، إذا بدلنا الشرط star by
the weaker condition، by the weaker condition
اللي
هو xn less than or equal yn، لكل
n أكبر من أو ساوي m، for some n natural number
يعني بدل ما Xn أصغر من أو ساوي Yn لكل الان، لكل
الأعداد الطبيعية N، فلنفرض أن يوجد M عدد طبيعي
نفرض أن يوجد some M عدد طبيعي بحيث أن المتباينة هذه
تتحقق لكل N أكبر من أو ساوي M، يعني مش شرط تتحقق
للأعداد الطبيعية اللي أصغر من M، فالنظرية برضه تبقى
صحيحة، ولو بدنا نبرهن النظرية اللي فاتت تحت الشرط
الأضعف، هذا الشرط أضعف من الشرط ال star، لكن برضه
بيعطيني نفس النظرية، فال ..
ففي الحالة هذه، in fact، في حقيقة الأمر، in fact، in
the proofs، in the proofs of النظرية السابقة، take
the required، the required in to be that
corresponds، that corresponds
that corresponds to the given to
the given alpha or
given beta to
be in عبارة عن ال maximum، the m و n of alpha أو n
بساوي ال maximum، الأكبر بين العدد الطبيعي m و n
of beta، إذن
في البرهان مثلاً، هذه الجزء التالي برهاننا عادي هي
نقلت الكلام هذا صحيح، ويوجد capital N هتعتمد على
beta بحيث أن الكلام هذا يتحقق، الآن ال star ما قدرش
أ say bye star، هذه هتكون double star بدل ال star
فأنا سميها double star، فالآن
بأخد بعرف n، ال n هذه بعرفها على أنها الأكبر بين m
و n of beta، وبالتالي ال n هذه أكبر من أو ساوي M و
أكبر من أو ساوي N of beta، وبالتالي لما أجي أخد N
أكبر من أو ساوي capital N، بأضمن أن ال N تبعتي هذه
أكبر من أو ساوي M، وبالتالي XN أصغر من أو ساوي YN
وكذلك
ال N لما تكون ال N أكبر من أو ساوي N، الـ N هذه
فبأضمن أنها أكبر من أو ساوي N of beta، وبالتالي
الكلام هذا بيتحقق، ويعني هيك بيكون برهن الجزء B بال
.. باستخدام الشرط الأضعف double star، بالمثل طبعاً
ممكن نعطيه في حالة لما يكون بدي أبرهن الجزء A
فبأخد ال N المطلوبة هي ال maximum ل M وN of alpha
في برهان A تحت شرط star، هذه أول ملاحظة، الملاحظة
الثانية، الملاحظة
الثانية، if condition star holds، إذا كان الشرط star
holds، then
النتيجة أن y in tends to infinity does not
necessarily implies، أن x in tends to infinity
وكان limit ال yn بساوي infinity، فليس من الضروري أن
يكون limit xn بساوي infinity، وهي مثال يوضح ذلك، for
example، على سبيل المثال، consider، consider
ال sequence 1 على n، أصغر من أو بساوي n، لكل n في n
إذن هي، أنا عندي xn وهي عندي yn وهي xn أصغر من
يساوي yn، الشرط الصغير متحقق، لكن أنا عندي ال limit
لـ sequence yn، اللي الحد العام تبعها n، هذي بساوي
infinity، but ال limit ل xn اللي هي واحد على n، بساوي
صفر، لا تساوي infinity، الصفر لا يساوي infinity، okay
تمام، إذا الشرط star ما بيخلنيش أستنتج أنه limit x
in بساوي infinity، عندما limit y in بساوي
infinity، بالمثل، if condition star holds، إذا كان
الشرط الـ start متحقق، then x
in تقول إلى negative infinity، ليس بالضرورة بيؤدي
مش شرط يؤدي أن ال sequence y in تقول لـ negative
infinity، هذا مش شرط يكون صحيح، بنأ مثال على ذلك
ممكن نفس المثال بس
for example، بس نضرب في سالب، هي عندي negative n
أصغر من أو ساوي negative واحد على n، لكل n في n، هل
هذا كلام صح؟ أنا عندي واحد على n أصغر من أو ساوي n
لكل n، هذا صح، اضرب في سالب واحد، تناقص هاه؟ هي عندك
xn بساوي سالب n، وهي عندنا yn بساوي negative واحد
على n، الآن أنا عندي limit xn اللي هو سالب n لما
طبعاً n تقول infinity بساوي negative infinity، but
لكن limit ال yn اللي هو واحد على n، ايش بتساوي؟
بساوي صفر، سالب واحد عفواً، سالب واحد على n، limit سالب
واحد على n بساوي صفر، وليست سالب infinity، okay
تمام؟ إذا النظرية ال comparison test لا يقبل .. لا
يقبل التأويل زي ما بيقولوا، بس النتائج تبعتها كما
هي في a و b، أي شيء آخر مش مظبوط، هو أمثلة بتوضح
الأشياء الأخرى، تمام؟ في كمان اختبار آخر زي هذا
بنسميه limit comparison
test، فال
.. نمسح
limit comparison test، خلّيني
آخد two sequences x in و y in، بـ sequences of
positive real numbers
بالتالي سيكون الحدود
الموجبة، لكي يكونوا سالبة وبعضهم سالبة وبعضهم موجبة
بي
such that limit
لـ xn over yn، as n tends to infinity بساوي L، عدد
موجبة
بنسمي المعادلة add star، then
limit xn بساوي infinity، if and only if limit yn
بساوي infinity، إذا
هنا في عندي limit comparison test الذي يتم استخدامه
للسيقونسات، واحدة فقط من حدوث واحدة واحدة فقط من
حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث
فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث
واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من
حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة
فقط من حدوث واحدة فقط من
حدوث واحدة، ف
let assume، ال أكبر من الصفر، satisfies
المعادلة
لسه نفرض أن في عدد حقيقي L وهو بحقق star، يعني هو
limit لـ ratio لـ xn على yn، تمام؟
take epsilon
بساوي
L على 2، Since L is positive، L over 2 is positive
لأن أنا جبت إبسلون which is positive، طيب since من
الفرض since the sequence XN over YN converges to Lوهي
عندي إبسلون أكبر من الصفر is given. إذا by
definition of convergence by epsilon capital N
definition لإبسلون هذه for this إبسلون, there exists
capital N يعتمد على إبسلون يعتمد
على الإبسلون اللي هي بتعتمد على العدد L natural
number بحيث أنه لكل N أكبر منه سوى capital N بيطلع
عندي absolute xn over yn negative L less than
إبسلون. هتبوت هيك؟ طيب الـ Y بساوي L over 2 خلينا
نشيل ال absolute value فبصير عندي Xn over Yn minus
L less than L over two bigger than negative L over اتنين و
هذا صحيح لكل N bigger than or equal N. اجمع L على
كل الأطراف. إن أنا بطلع عندي xn over yn less than
three over two L bigger than L over two, and this
is true for every n bigger than or equal n. نسمي
المتباينة هذه double star now.
by double star, أنا عندي xn على yn أصغر من تلاتة ع
اتنين ال اللي هو الجزء هذا وهذا صحيح لكل n bigger
than or equal to n. بيقدي انه xn
في اتنين على التلاتة L less than YN وهذا صحيح لكل
N bigger than or equal N. تصبوت هيك صح؟ هذه
المتباينة بتقدر هذه هي نفس هذه
so as limit. احنا فرضنا... now now
أو .. أو so if
limit xn بساوي infinity إذا كان limit xn بساوي
infinity و هذا ثابت موجب. this is positive constant
ف limit كل هذا برضه بساوي plus infinity و
بالتالي by comparison test then by comparison by
comparison
by comparison test. النظرية اللى فاتت مع الشرط
المخفف مع الشرط المخفف لأن في النظرية اللى فاتت
كان عندي xn أصغر من أو يسوى yn لكل n بعدين قلنا أن
هذا الشرط لو خففناه لكل n أكبر من أو يسوى عدد طبيعي
ما وليكن capital N هنا برضه بتظل صحيحة. فby
comparison test and limit ال sequence هذه بساوي
infinity إذا limit الأكبر limit yn بساوي infinity.
تمام؟ الآن بنثبت العكس نثبت الآن العكس. طيب
conversely
Conversely. Assume Assume المرهد أنه limit yn بساوي
infinity. من double star من double star لو أخدت
النص .. النص هذا من المتباينة النص الآخر. عندي أنا
L على 2 أصغر من XN على YN هذا صحيح for every N
أكبر من أو ساوية capital N. طيب هذا بيقدي ان ال L
over 2 في YN أصغر من XN لكل N bigger than or equal
to capital N. طيب
since
limit yn بساوي infinity بيقدي انه limit ثابت موجب
في yn لأن هذا بيقدي انه limit ثابت الا اتنين في yn
بساوي infinity. so by comparison
by comparison test
أنا عندي limit ال sequence لصغيرة infinity، إذا
limit ال sequence الأكبر بطلع infinity، إذا limit
xn equals infinity. وهذا بكمل البرهان، okay؟
تمام؟ إذا هذا بكمل ال limit comparison .. برهان ال
limit comparison test. طبعا ال test هذا و ال test
اللي جابله ال comparison test في عليهم هتجدوا فيه
بعض التمرين ممكن
تطبيقهم على بعض ال sequences موجودة في التمرين
فهنسيبكم طبعا تحلوا التمرين عشان تشوفوا كيف ممكن
تطبيقهم
باقي section واحد في ال chapter تلاتة
السيكشن الأخير سيكشن
تلاتة سبعة في شبكر 3 هذا هيكون أبراعا مقدمة
introduction to
infinite series
introduction to infinite series. مقدمة في
المتسلسلات اللانهائية
نعرف شو معناه متسلسلة لانهائية. let xn
contained in R be a sequence. sequence of real
numbers. sum
x1
plus x2 plus ..x3 plus و هكذا plus xn plus و هكذا
و ممكن نكتبه بالصورة using sigma notation نستخدم
رمز sigma. ممكن هذا نسميه summation from n equals
one to infinity إلى xn. فالصورة
المجموع هذاهذا expanded. هذا compact form of
summation is called an infinite series generated
by
متولدة من .. by the sequence x in. إذن
infinite series generated by the sequence x in. إذا
هذه عبارة عن infinite series بتسميها متولدة من الـ
sequence x in. طيب for every
for each n belong to N define خلينا نعرف S1 على
أنه X1. S2 على أنه S1 زاد X2 بساوي X1 زاد X2. S3
بساوي S2 زاد X3. يساوي X1 زايد X2 زايد X3 and
so on و هكذا. نعرف SN على انه SN negative one زايد
XN وطبعا ال SN negative one هيكون عبارة عن
summation
x1 زائد x2 زائد و هكذا إلى أخر حد xn-1. هذا عبارة
عن ايه؟ هذا عبارة عن s in negative one بنضيف لها xn
فهذا بيطلع بيساوي summation من k equals one to n
to for xk. إذا
sn هو مجموع الحدود من اول حد الى حد رقم n وهكذا
ممكن نستمر الى ملا نهاية and so on. الآن أنا كوّنت
sequence لاحظوا s1, s2, s3, sn هذا عبارة عن
sequence. ال sequence الجديدة هذه لها اسمو sequence
مهمة of partial sums. مظبوط؟ قعدت نسميها اذا طرست
تفاضل الف وفهمته الموضوع هذا هناك الموضوع ال
series قعدت نسميها the sequence of partial sums
إذا the sequence
SN from N equals one to infinity is called بنسميها
the sequence the sequence of partial sums
sequence of partial sums of the series اللي هي
sigma xn أو sigma من n بساعة واحد لانفينيتي. okay
الآن now if
the sequence sn converges, say
limit sn بالساوي عدد s ينتمي إلى r طبعا then
we say في الحالة هذه بنقول أنه the series اللي
هي summation xn from n equals one to infinity
converges
and its sum is summation from n equals one to
infinity ل x in. ال summation تبعها أو المجموعة
تبعها عبارة عن limit لل sequence of partial sums
اللي هو العدد S.
لو كانت ال sequence divergent
if the sequence is in diverges, we
say أنه ال series sigma
x in diverges
إذا ال convergence و ال divergence depends on the
divergence أو convergence of the infinite series
depends on the convergence or divergence of the
sequence of partial sums. مرتبط بيها ال sequence of
partial sums. convergent السيريز اللي تابع إليها
convergent. والعكس إذا كانت ال sequence of partial
sums divergent, ال series ال infinite series
التابعة إلى divergent. طيب
ناخد بعض الأمثلة طبعا
ال Sn هذا ال Sn
هذا بنسميه الانث partial sum. الانث partial sum
انث partial sum المجموع الجزئي أنوني. okay هو
الحد العام لل sequence و partial sums. إذا لما بدي
نخبر هل ال series convergent ولا divergent بجيب ال
sequence of partial sums وبجيب الحد العام لل
sequence of partial sums وبأفحص هل ال sequence هذي
convergent ولا divergent. ناخد
بعض الأمثلة
المثال الأول consider
sequence
R to N from N equals 0 to infinity. طبعا هذه
sequence of real numbers. Where R is a real number
which
generates هذه الsequence generates the geometric
.. the so-called geometric series .. geometric
series
اللي هي summation from n equals zero to infinity
from r to n okay إذا هي هذه الsequence of real
numbers بتولد infinite series أو generates this
infinite series اللي هي حدودها أول حد لما n بساوي
صفر واحد بعدين r بعدين r تربيعو R أس N و
هكذا ف such series is called geometric series هذه
الseries اللي على الصورة هذه بنسميها geometric
series الآن هذه الseries
this series واحد converges and
its sum اللي هو sigma from n equals zero to
infinity لRn بساوي واحد على واحد minus R إذا كان
absolute R أصغر من واحد and diverges and
اثنين diverges if
absolute R أكبر من أو يساوي واحد خلّينا
نثبت الجزء الأول
to prove one أنا
عندي ال SN بساوي سيجما
من K بساوي صفر إلى N ل R أس K اللي هو واحد زائد R
زائد R تربيع زائد R أس N وفي عندي .. في عندي ..
لو
ضربت SN في R فبضرب الطرف اليمين في R فبطلع R زائد R
تربيع زائد و هكذا زائد R أس N و آخر حد هيكون R أس N
زائد 1 تمام؟ الآن خلّينا نطرح ال subtract
subtract نطرح المعادلة اللي تحت من اللي فوق فبطلع عندي
SN في واحد minus R أخدت عامل مشترك SN ولمّا أطرح
هذا بروح مع هذا كل الحدود بتروح مع بعضها بظل عندي
واحد سالب R أس N زائد 1 تمام؟ ومن هنا إذا SN
بساوي واحد على واحد سالب R سالب R أس N زائد 1
على واحد سالب R ممكن
هذا نوديه على ناحية الثانية فبصير عندي هذا سالب
هذا بساوي
سالب R أس N زائد 1 على واحد سالب R الآن إذا
ناخد ال absolute value للطرفين SN سالب واحد على
واحد سالب R بيطلع بيساوي الكلام هذا وهذا أصغر من
أو يساوي absolute R أس N زائد 1 على absolute واحد
minus R تمام؟
إذا عندي أنا هاي واحد على absolute واحد سالب R ضرب
absolute R أس N زائد 1 الآن if absolute R أصغر
من واحد فهذا بيؤدي أن ال limit ل absolute R أس N زي
1 لما N تؤول ل infinity هذا بيساوي صفر أخذناها قبل
هيك وبالتالي
إذا ال ..
إذا أنا عندي ال absolute value هذه أكبر من أو يساوي
صفر و أصغر من أو يساوي ثابت موجب في هذه الsequence
هذه الsequence تؤول لـ 0 وهذه الـ sequence ثابتة
تؤول لـ 0 إذا by sandwich theorem
بتطلع عندي ال limit ل absolute SN سالب 1 على 1
minus R لما N تؤول ل infinity بساوي صفر وممكن
ندخل ال limit جوا فهذا بقدر أنه limit 1 على SN
عفوا limit SN لما N تؤول ل infinity بساوي 1 على 1
سالب R وبالتالي إذا الـ series sigma from N equal 0
to infinity لR أس N مجموعتها تطلع convergent
ومجموعها بساوي limit SN وهذا بساوي 1 على 1 minus R
إذن هذا بيثبت الجزء الأول الجزء الثاني ممكن إثباته
لو R بساوي واحد فبطلع عندي بجمع واحد على واحد عدد
لا نهائي من المرات وبالتالي ال sequence of partial
sums ممكن إثبات أنها unbounded وبالتالي not
convergent إذن الseries not convergent نفس الحاجة
لو كان absolute R أكبر من واحد فممكن إثبات أن ال
sequence of partial sums is divergent وبالتالي ال
series is divergent تمام؟ في أي سؤال؟ إذا بنوقف هنا
و بنكمل إن شاء الله الموضوع اللي جاي في المحاضرة
القادمة يوم السبت