احنا المرة اللي فاتت أخذنا موضوع الـ sub sequences و
آخر نظرية أخذناها في الموضوع هذا كان في نظرية 2.16
النظرية هذه بتنص على إنه لو كان في عندي sequence
of real numbers وكانت convergent فأي subsequence
منها بتكون convergent و ليها نفس الـ limit تمام؟
الآن بدنا نطبق النظرية هذه من خلال الأمثلة التالية
فالمثال
الأول لو كان 1 أصغر من أو لو كان صفر أصغر من B
أصغر من 1 فبدنا نثبت أن هذا بيؤدي أن limit الـ
sequence bn بساوي صفر برهان ذلك بنعرف
الـ sequence Xn اللي الحد العام تبعها بساوي B أس
N تمام؟ الآن من الفرض أنا عندي صفر أصغر من B أصغر
من 1 هذا بيؤدي أن Xn اللي هي بساوي B أس N الـ B
هذا عدد موجب أصغر من 1 فكل ما كبرت القوة تبعته كل
ما بتصغر يعني هذا أكبر من B أس n زائد 1 اللي هو
Xn زائد 1 الكلام هذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية
n فهذا بيؤدي ان الـ sequence xn is decreasing
متناقصة كذلك احنا في عندنا since بما أنه الـ Xn
تبعتي اللي احنا عرفناها على عينها B أس N إذا كان B
أكبر من 0 أصغر من 1 فـ B أس N بيطلع أكبر من أو يساوي
0 أصغر من أو يساوي 1 وهذا صحيح لكل N هذا معناه أن
الصفر حد أدنى للـ sequence BN والواحد حد أعلى
وبالتالي sequence bn is bounded من أسفل ومن أعلى
وبالتالي bounded إذا الـ sequence xn is bounded
الآن
أنا في عندي sequence xn decreasing وبالتالي
monotone و bounded إذا by monotone convergence تطلع
convergent
by monotone convergence theorem xn converges say
دعنا خلّينا نسمي الـ limit تبعتها x say limit xn
بساوي x
الآن بدنا نثبت انها هيثبت لنا أن الـ sequence xn اللي
الحد العام تبعها B أس N تطلع convergent إلى عدد x
الآن بدنا نثبت ان الـ x هذا هو صفر أكلم الـ
x بساوي صفر طيب by الـ theorem اثنين ستة عشر الـ
subsequence لو أخدت الـ subsequence اللي حدودها
زوجية لو أخدت الحدود الزوجية من الـ sequence xn هذه
فهذه subsequence من xn فهذه أيضا converges لـ x
حسب نظرية 2.16 الـ sequence xn converge لـ x x2
in subsequence من xn وبالتالي convergent by
theorem 16 إلى x طيب، الآن so as بما أنه
x2n بيساوي B أس اتنين n x2n بدها باتنين n
بيساوي B أس اتنين n وهذه ممكن كتبتها على صورة B
أس n الكل تربيع وهذا عبارة عن xn تربيع الكلام هذا
صحيح لكل n خدوا الـ limit للطرفين لما n تؤول لـ
infinity إذا الـ limit لـ x2n لما n تؤول infinity
بساوي limit xn تربيع لما n تؤول infinity وهذا
بساوي limit xn الكل تربيع طيب limit .. أنا عندي
limit xn بساوي x إذا هذا x تربيع
و limit x2n بساوي x إن أنا أصبح في عندي معادلة x
بساوي x تربيع حل المعادلة هذه في x فبطلع x بساوي
صفر أو x بساوي 1 تمام؟
طيب مين أخذ الصفر ولا الواحد؟
أنا عندي الـ sequence تبعتي decreasing متناقصة أنا
عندي .. أنا عندي الـ X since
Xn is decreasing متناقصة
و الـ limit تبعتها و x اللي هي بساوي limit xn
من هنا limit xn هتطلع أكبر من أو يساوي صفر أصغر
من أو يساوي الواحد و الـ x إما بساوي صفر أو 1 و
متناقصة فلازم الـ x الـ limit تبعتها x يساوي صفر
لأنها بتتناقص مش بتزايد okay إذا الـ X بساوي صفر
برضه
ممكن نحن نقول إن الـ sequence الـ X بساوي الـ infimum
لـ XN حيث N ينتمي لـ N حسب الـ monotone convergence
theorem وهي الـ XN bounded below by صفر والصفر هو
الـ infimum لها إذاً هذا بيساوي الصفر لأن
الصفر عبارة عن lower bound هو أكبر ممكن إثبات إنه
أكبر lower bound طيب واضح المثال هذا؟ كيف طبقنا
نظرية 2.16 لإيجاد limit للـ convergent sequence لأن
احنا أثبتنا إن الـ sequence convergent أخذنا sequence
الحد اللي عام تبعها B أس n أثبتنا إنها
convergent by monotone convergence theorem وجبنا
قيمة الـ limit باستخدام نظرية 2.16 أو ممكن باستخدام
الـ monotone convergence theorem تمام؟ ناخد مثال
تاني
لو كان عندي c عدد حقيقي أكبر من 1 فهذا بيؤدي ان
الـ limit لـ c أس 1 على n لما n تؤول infinity
بيساوي 1 البرهان
بنفس الطريقة اللي برهننا فيها المثال الأول let
المرة هذه yn نعرّف sequence yn الـ nth term
تبقى yn بساوي c أس 1 على n لكل n عدد طبيعي then
واضح أن yn زائد 1 بساوي c أس 1 على n زائد
1 و الـ c عدد أكبر من 1 وهذا الجذر رقم n زائد
1 له هذا بيطلع أكبر من أو أصغر من الجذر رقم n أو
الجذر النوني لـ c كل ما كبر الجذر كل ما العدد
بيصغر إذا كان العدد أكبر من 1 وهذا بساوي yn وهذا
صحيح لكل n هذا معناه yn زائد 1 أصغر من yn
معناته الـ sequence yn is decreasing متناقصة also
أيضا أنا عندي في الـ sequence هذه y1 أكبر من أو
يساوي yn لأن الـ sequence متناقصة صح؟
و Yn من هنا Yn بساوي C أس N الـ C أكبر من 1 إذا
الجذر النوني لـ C عدد أكبر من 1 بيبقى أكبر من
1 إذا هذا أكبر من أو يساوي 1 تمام؟ وهذا
الكلام صحيح لكل N؟ إذن هي الـ sequence تبعتي yn
bounded below by one and bounded above by y1 y
one عدد حقيقي موجب أكبر من 1 إذن
هذا معناه أن الـ sequence yn is bounded صح is
bounded so by monotone convergence theorem a
sequence yn converges converge say الـ limit تبعتها
بساوي عدد y افترضوا ان الـ limit تبعتها بساوي
واحد الآن بنثبت ان الـ limit
y بساوي واحد الـ claim ان الـ limit y بساوي
واحد كمان مرة نفس السلسلة اللي بستخدمها برنامج
اتنين ستة عشر الـ subsequence اللي هي متتالية الحدود
الزوجية y2n هذي
المفروض تكون convergent لنفس الـ limit تبعت الـ
sequence yn اللي هي y تمام طيب
but
Y2N شو بيساوي؟ C أس 1 على اتنين N وهذا بيساوي C
أس 1 على N الكل أس 1 على اتنين وهذا بيساوي C
أس 1 على N عبارة عن Yn الكل أس نصف الكلام هذا
صحيح لكل n إذا لو أخدت الـ limit للطرفين لما n تؤول
infinity فبطلع عندي limit y2n as n times infinity
بساوي limit yn
لما n تؤول infinity الكل أس نصف وهذا بساوي limit الكل أس نصف
طيب limit yn قلنا بتساوي y إذن هذا y أس نصف و
limit y2n قلنا بتساوي y إذن أنا أصبح في
عندي معادلة y بساوي y أس نصف لو حلينا المعادلة هذه
في y فـ y تلبية بساوي 1 ومنها بطلع y بساوي صفر or y
بساوي 1
احنا عايزين الـ y تساوي المثال التاني 1 عايزين
الـ y تساوي 1 تمام فأنا عندي since limit أنا
عندي من هنا
أنا عندي yn أكبر من أو يساوي 1 لكل n بيؤدي انه
limit yn اللي هي y هي قاعدة نظرية بتقول لو y الـ
sequence bounded below by a فـ limit yn تطلع أكبر
من أو يساوي الواحد
طيب y أكبر من أو يساوي الواحد واحنا قلنا انه
لازم تطلع إما صفر أو 1 فمين الـ .. الـ .. الإجابة
المنطقية إذا الـ y لازم يساوي 1 وبالتالي هيك
ممكن اثبتنا ان الـ sequence اللي الـ instance تبعها
c to one over n is convergent و الـ limit تبعتها
بساوي 1 تمام واضح؟
في أي سؤال؟ طيب
النظرية اللي بعد النظرية هذه
نظرية السبعة عشر divergence
criterion
let xn be sequence in R لو
كانت xn sequence of real numbers then the
following statements are equivalent العبارات
التالية متكافئة xn does not converge to x ينتمي إلى
R
ثنين يوجد ε₀ أكبر من صفر بحيث أنه such
that for any k عدد طبيعي يوجد
عدد طبيعي rk ينتمي إلى N with
rk أكبر من أو يساوي k and
|xrk - x|
أكبر من أو يساوي ε₀
العبارة الثالثة
يوجد ε₀ أكبر من الصفر and a subsequence
... a subsequence xrk or xrn of the sequence x in
such that |xrn|
- x| أكبر من أو يساوي ε₀ لكل n تمام؟
لإثبات النظرية هذه عشان أثبت ثلاث عبارات متكافئة
حسب الlogic حسب المنطق أو مبادئ الرياضيات لازم
نثبت أن واحد بكافئ اثنين واثنين بكافئ ثلاثة وهذا
ممكن إثباته بأن احنا نثبت واحد بيؤدي لاثنين واثنين
بيؤدي لثلاثة وثلاثة بيؤدي لواحد هيك بنغلق الدائرة
فهذا اللي هنعمله فنبدأ بالبرهان نثبت الأول أن
العبارة الأولى implies الثانية بتؤدي للثانية ف
assume
العبارة الأولى صحيحة وهو xm does not converge to x
طيب ارجعوا لتعريف ε N definition of
convergence ما معناه أن ال sequence xn converge ل
x معناه لكل ε أكبر من الصفر يوجد N
يعتمد على ε بحيث لكل n أكبر من أو يساوي
N المسافة بين xn و x أصغر من ε طب
مايعني xn لا تتقارب ل x معناه نفي كل الكلام هذا
اللي حكيناه بيحصل بدل لكل ε أكبر من الصفر
يوجد N بصير يوجد ε واحدة ε
₀ عدد موجب بحيث such that بحيث أنه لكل
k أو n عدد طبيعي the implication
ال implication تبع التعريف ε N ال
implication اللي هي لكل n أكبر من أو يساوي N
لازم يطلع المسافة بين xn و x أصغر من ε
₀ ال implication هذه is false ليست
صحيحة طب ما هذا معناه هذا معناه
this means هذا يعني this means أنه لكل K
عدد طبيعي يوجد لكل
K عدد طبيعي مايعني أن هذا غلط معناه يوجد لكل K عدد
طبيعي K يوجد عدد واحد مش لكل ال N الأكبر
منه يوجد عدد طبيعي واحد أكبر من أو يساوي يوجد عدد
طبيعي سمه n أو rk يعتمد على K عدد
طبيعي بحيث أنه
بحيث أنه طبعا
ال rk هذا هيكون
أكبر من أو يساوي k and rk
أكبر من أو يساوي k and |xrk| or xrk
- x| أكبر من أو يساوي بدل أصغر من ε₀
النفي تبعها أكبر من أو يساوي ε₀ now
replace
badly replace K by k
to get العبارة
اثنين صح؟
هاي بدلنا K بـ k فهنا أثبتنا أن يوجد يوجد
ε₀ أكبر من صفر بحيث لكل k يوجد
rk أكبر من أو يساوي k والمسافة بين xrk
- x| أكبر من أو يساوي ε₀
الآن نثبت اثنين بيؤدي لثلاثة إذا two implies
three assume
two holds افترض أن العبارة الثانية صحيحة بني
نثبت أن العبارة الثالثة صحيحة طيب؟
then for k يساوي واحد يعني ينتمي إلى N الآن احنا
فترضين اثنين العبارة اثنين صحيحة إذا احنا فترضين أن
يوجد ε₀ بحيث الكلام هذا بتحقق الآن لو
أخذت k هذه يساوي واحد فيوجد
r₁ عدد طبيعي وطبعا r₁ بالتأكيد أكبر من أو يساوي
واحد such that |xr₁ - x| أكبر من أو
يساوي ε₀ صح؟ next for
k يساوي r₁ زائد واحد مش
هذا عدد طبيعي لو أخذت k يساوي r₁ زائد واحد r
واحد عدد طبيعي زائد واحد عدد طبيعي يوجد r₂ عدد
طبيعي و r₂ أكبر من أو يساوي r
واحد زائد واحد such that |xr₂ - x|
أكبر من أو يساوي ε₀ صح طيب
كمان برضه لو استمرينا في العملية هذه now
for r₂ زائد واحد مش هذا عدد طبيعي لو أخذت k
يساوي اه لو أخذت k يساوي r₂ زائد واحد هذا
عدد طبيعي هنا اثنين اثنين لو أخذت k يساوي r₂
زائد واحد إذا حسب اثنين يوجد r₃ عدد طبيعي و r
₃ أكبر من أو يساوي ال k اللي هو r₂ زائد
واحد بحيث أن المسافة بين xr₃ - x| أكبر
من أو يساوي ε₀ طب لو استمرينا في العملية
هذه شو هنحصل؟ ايه اللي هيحصل؟ continuing this
process
this process اللي هو استمرينا في العملية دي اللي
عملية تطبيق العبارة الثانية we obtain هنحصل على we
obtain strictly increasing
increasing sequence
rk من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن sequence
of natural numbers in N such
that and hence وبالتالي وبالتالي نحصل على a
subsequence xrk
من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن
subsequence من ال sequence xn بحيث such that
|xrk - x| أكبر من أو يساوي ε₀
والكلام هذا صحيح لكل k ينتمي إلى N
هي في الخطوة الأولى حصلنا على r₁ وبالتالي على xr₁
بحيث |xr₁ - x| أكبر من أو يساوي x نزيلة
في الخطوة الثانية حصلنا على r₂ وبالتالي xr₂ لاحظوا
r₂ أكبر من r₁ و r₃ أكبر من r₂، إذن هذه sequence of
natural numbers strictly increasing، إذن ال
sequence، المؤشرات تبعها هي الأعداد الطبيعية، هذه
subsequence حسب التعريف من sequence x و بتحقق في
الخطوة الثانية |xr₂ - x| أكبر من أو يساوي ε₀
الخطوة الثالثة لما k يساوي ثلاثة هي |xr₃ - x|
أكبر من أو يساوي ε₀ وهكذا إذن هنا عملنا
construction عملنا بناء بنينا subsequence اللي هي
subsequence هذه من ال sequence xn بطريقة استقرائية
وهذه الـ subsequence بتحقق المتباينة هذه وهذه
بالضبط العبارة ثلاثة إذا three العبارة الثالثة whole
تمام؟
إذا هيك أثبتنا أن اثنين تؤدي لثلاثة باقي إثبات
أن العبارة الثالثة تعني واحدة
ف assume .. assume العبارة الثالثة صحيحة يعني يوجد
ε₀ أكبر من صفر and a subsequence xrk
of the sequence x in such that |xrk - x|
أكبر من أو يساوي ε₀ لكل k طيب
هذا معناه أو هذا بيؤدي أن xrk
أو xrn أو xrk لا تنتمي لـ (x - ε₀ , x + ε₀) x زائد ε₀ لا تنتمي
للفترة المفتوحة هذه
اللي هو هذه الفترة المفتوحة سميناها قبل هيك ε
₀ neighborhood لـ x صح؟ هذه فترة مفتوحة مركزها x
ونصف قطرها ε₀ المتباينة هذه بتقول إن هذا
الكلام لكل k لكل k لو حلت .. لو حلت المتباينة هذه
في x بيطلع في x لو حلت المتباينة هذه في xrk بيطلع
xrk لا ينتمي للفترة المفتوحة وبالتالي
hence by
definition by ال neighborhood definition of
limit
فاكرين احنا اخذنا تعريف ال limit لل sequence اول
تعريف كان neighborhood definition وبعدين اثبتنا
انه بكافئ في نظرية 2.2 اثبتنا انه بكافئ ال ε
N definition لل limit
xn converge to x معناه لأي
neighborhood لـ x زي هذا لازم
عشان
ال subsequence هذه converge لـ x لازم أي
neighborhood لـ x يحتوي كل حدود ال sequence من
N وانت طالع أو من K وانت طالع لكل
small k أكبر من أو يساوي capital K هذا لازم يكون صحيح
لكل neighborhood طب أنا في .. لأن في عندي there
exists epsilon zero neighborhood لـ X وكل حدود الـ
subsequence مش موجودة فيه، هذا بالظبط نفي تعريف الـ
neighborhood definition للـ convergence وبالتالي
هذا معناه حسب تعريف الـ neighborhood definition أن
الـ subsequence هذه does not converge لـ X، طب احنا
عايزين نثبت، عشان نثبت أن العبارة واحد صحيحة، عايزين
نثبت أن الـ sequence نفسها، مش الـ subsequence، الـ
sequence نفسها does not converge لـ X، إذا أنا بدي
أكتب هنا claim لبرهان
العبارة الأولى، باقي اثبات الـ claim، وهو أن الـ
sequence x n نفسها does not converge لـ x، فنشوف
مع بعض، assume ببرهان بالتناقض، assume on the contrary
أن
الـ sequence x n converge لـ x، okay، برهان بالتناقض
افرض أن الـ sequence converge لـ x، by a theorem اثنين
بيقول the subsequence، the subsequence اللي هي X n k
الـ subsequence مش هاد الـ subsequence، هاد المفروض
تطلع convergent لـ X، وهدا ده ديني contradiction، لأن
أنا عندي sub sequence هنا استنتجنا أنها does not
converge لـ X، إذا في عندي تناقض، التناقض هذا سببه أن
احنا فرضنا أن X n converge لـ X، إذا بطلع عندي X n
does not converge لـ X، وبالتالي إذا one holds، إذا
one holds، وبالتالي هيك بنكون كملنا برهان النظرية
okay، تمام، إذا هيك اثبتنا أن التلاتة بيعد لواحد
وبالتالي العبارات التلاتة هذه متكافئة، احنا بهمنا
في التطبيق اللي هو الجزء الأخير، يعني عشان أنا اثبت
إنه sequence معينة does not converge to any real
number X، يكفي
إثبات أن يوجد Y0، يوجد subsequence بحيث أن المسافة
دي أكبر من أو يساوي Y0 لكل M، هنشوف الكلام هذا في
أمثلة لاحقة، لكن خلينا بس ناخد مثالا على النظرية هذه
إذا
ناخد examples هاي
مثال واحد
الـ sequence اللي الحد العام تبعها سالب واحد plus
n is divergent، طبعا
احنا اثبتنا قبل هيك أن الـ sequence هي divergent
عملنا proof by contradiction، فرضنا أن أنا
convergent ووصلنا إلى تناقض، صح؟ اليوم هناخد برهان
ثاني، باستخدام نظرية 16 أو نظرية التانية، يعني نشوف
مع بعض، prove if
it were convergent، say
-1-N converges to X ينتمي إلى R، لو فرضنا إن
سيكوانس هذه convergent هنثبت إنها divergent ببرهان
بالتناقض، لو فرضنا إنها convergent to some X، إذا
كانت convergent، إن اسمها لمات، then
الـ sub sequences اللي
هم سالب واحد أس اثنين n and سالب واحد أس اثنين n plus واحد
سالب واحد، هذه الـ subsequence هي الحدود الزوجية من
هنا، وهذه الحدود الفردية، إذا كانت الـ sequence
نفسها converged لـ X، فالتنتين هذول both converged لـ
X، و
بالتالي، so X
بتساوي limit سالب واحد قو اثنين n، صح؟ وهذه بتساوي
limit سالب واحد قو اثنين n زائد واحد، الـ sequence هذه
ثابت واحد بتساوي واحد، صح؟ and برضه احنا قلنا أن الـ
X بتساوي limit الـ subsequence للحدود الفردية اللي
هي هذه، طيب
سالب واحد قو عدد فردي بطلع سالب واحد، إذن هذه الـ
sequence حدودها فردية، إذن هي عبارة عن sequence
ثابت سالب واحد، وبالتالي limit لثابت بطلع ثابت، إذا
أنا أطلع عندي واحد بتساوي x من المعادلة الأولى
وكذلك الـ x بتساوي سالب واحد، يعني معناه واحد بتساوي
سالب واحد، وهذا contradiction، تمام؟ إذا مستحيل أن الـ
sequence هذه تكون convergent لأنها لازم تكون
divergent، okay، تمام؟ إذا هنا كلمة were الدلالة
على الاستحالة، كان ممكن اسمها الـ sequence هذه مفرد
واحدة، مفروض أقول if it was convergent لكن أنا عارف
أنه مستحيل أنها تكون convergent فلدلالة على
استحالة بستخدم it were زي if I were a king مش if I
was a king، لكن أنا مش king، okay، تمام؟ إذا بنوقف
عند هذا المثال، المحاضرة هي انتهت، وبنكمل إن شاء
الله، سبوع جديد