السلام عليكم بسم الله الرحمن الرحيم اليوم طبعا
فينا لقائن اللقاء الأول هناخد فيه مناقشة زي ما ..
زي ما احنا متعودين هنناقش اليوم section تلاتة
أربعة و تلاتة خمسة فإذا في عندكم أي أسئلة معينة في
section تلاتة أربعةأو تلاتة خمسة فهذه فرصة عندكم
أنكم يعني تسألوا الأسئلة و نحاول نحلها مع بعض فمين
في عندك أي سؤال في ال section تلاتة أربعة الأول
السؤال الرابع حصل دار الجامعة التلانية كوشيسي بصرش
زيت كادر في ال section تلاتة أربعة
الأول في section تلاتة اربعة فيها أي أسئلة؟ سؤال
تمانية
هذه السؤال تمانية D section تلاتة أربعة determine
the following limits determine
يعني حد دي أو أوج دي ال limit لل sequence اللي
الحد العام تبعهاواحد زائد اتنين واحد زائد
واحد على اتنين N الكل أس تلاتة N لما
N تقول ل Infinity احنا
عندنا ال ..
We know احنا فيه ان ال limit المعروفة limit واحد
زايد X على M الكل أس M as M tends to infinity
بساوي E أس X ال limit هذه معروفة موجودة هنا
باستخدام ال limit هذه ممكن ان احنا وبالتالي
تعالى
نشوف واحد زائد واحد على اتنين in الكل اصلا تلاتة
inنحاول نكتب هذا على صورة واحد زائد X على M الكل
قص M فهذا ممكن كتابته على صورة المقدار هذا على
الصورة واحد زائد نص على M نص
على M الكل قص M الكل
تكيين
صحيح وبالتالي therefore limit لما انتقل ل infinity
ل ال sequence اللي لحد تبعها هذا بيساوي limit لما
انتقل ل infinity ل الكلام هذا للمفضار اللي هناو هي
عندي واحد زي ال X على M او M الكل اص M ف limit
المقدار اللي جوا بساوي E اص نص او E اص X الكل ده
كئيب انا مقدر ادخل ال limit جوا القصير المربعين
limit المقدار اللي جوا جوا القصير المربعينحسب
القاعدة او القانون هذا E أُس X اللي هو نص وبعدين 2
بالكلتك A فبطلع E أُس 3 على 2 إذا هذه هي قيمة ال
limit okay تمام في
أسلة تانية في ال section هذا تلاتة أربعة
PIS love section تلاتة أربعة طيب
section تلاتة خمسة أنا في السؤال الرابع الشخصي
التاني
سيكشن تلاتة خمسة الرابع ولا التالت قصدك؟ الرابع
سؤال
رقم أربعة سيكشن تلاتة خمسة طيب
سؤال
أربعة سيكشن تلاتة خمسةالسؤال هذا بتقول show
directly from the definition
إذا XIN و YIN هم سيكونات كوشي هم سيكونات
كوشي هم
سيكونات كوشي هم سيكونات كوشي
فبرهان هذه زي البرهان اللي أخدناها قبل هيك في
قوانين نهايات proof
similar to proof of
the fact أنه
بساوي limit xn ضرب limit yn
و أعتقد هذا برهنها بالتفصيل using epsilon over two
argument تذكره؟ أه فحاولي تكتبي برهان مشابه و إذا
كان ماقدرتيش ممكن بعديها أعطيكي برهان تفصيلي okay؟
في أي أسئلة تانية؟
section تلقيتها خمسة
سؤال
عشرة ناس
سؤال عشر
section تلاتة خمسة if
x one less than x two are
arbitrary
real numbers and
xn
بيساوي نص
xn-2 plus xn-1 for n أكبر من 2 show in the
sequence xn is convergent
what is its limit what is
its limit ده هي النهاية تبعتنا بدنا نوجد نهايتها
في
حد فيكم فكر فيحلل السؤال هذاأي حد يعني حاول
ال burn in clever في أي أفكار أي شيء مافيش عندكم
أي فكرة عن الحل نحلوا
مع بعض نشوف
أنا عندي من الفرض x1 أصغر من x2 أعداد حقيقية فهعرف
let L بساوي x2 negative x1 هذا بيطلع عدد موجب لأن
x2 أكبر من x1 الآن باستخدام ال induction use
induction
on n بيمكنكم
تثبته انه المعادلة
التالية absolute xn plus one negative xn بساوي L
over two to n negative one and this is true for
every L
إذا كان n بساوي لكل
n أكبر من أو يساوي اتنين عشان هنا يكون هذا المعنى
فابدى ب n بساوي اتنين و اثبت ان المعادلة هذه صحقفل
بصحيته عند n بساوي k حيث k أكبر من اتنين أعداد
طبيعي وثبت صحيته عند n بساوي k زاد واحد طبعا في
الإثباتات بدك تستخدم التعريف تبع xn بدلالة الحدود
اللي جابله
و التعريف اللي انا اخدته ان ال هو عبارة عن الفرط
بين X2 و X1 اذا هذا سهل ممكن تبعته by induction
الان بعد ما تتبت هذا by induction now use this to
show that
بنستخدم المعادلة هذه to show that if M أكبر من N
أعداد طبيعية then absolute XM negative XM ال
absolute value لفرق XM و XMطبعا هذا هنخليه اصغر من
او ساوي absolute xn minus xn plus one زي absolute
xn plus one minus xn plus two و هكذا
absolute xm negative one negative xm
okay
تمام انا ايش عملت طرحت xn زيادة واحد ورجعتها طرحت
xn زيادة اتنين ورجعتهاو بعدين أخدت الأزواج هذه مع
بعض و استخدمت ل triangle inequality ال absolute
value ل مجموعة كبيرة أصغر من أوسع مجموعة absolute
values فالان
باستخدام لو سمينا المعادلة هاد ال star فباستخدام
ال starالـ absolute value هذه بساوي ال over two to
n minus واحد okay هذه نفسها دي و ال absolute value
اللي بعدها بساوي ال على two to n و هكذا و آخر حد
هيكون ال overtwo to m negative two لان
استخدام السارق مظبوط الان ممكن ناخد عامل مشترك
هاخد
عامل مشترك L over
تمام؟
الان هذا اصغر من واحد على اتنين قص ان نجاتف واحد
والمجموع هذا اصغر من اتنين
لان هذا جزء من الهارمونيك جيومتريكس سيريز اللي هي
واحد على اتنين قص ان من ان equal zero to infinity
هذه مجموعة اتنينفهذا جزء منها وبالتالي المجموعة
هذا أصغر من المجموعة الـ geometric series هذه
المجموعة بساوة اتنين okay فإذا هذا المجموعة أصغر
من اتنين إذا هذا أصغر من واحد على اتنين قص ان سالب
واحد في اتنين اللي هو عبارة عن واحد على اتنين قص
ان سالب اتنين
الان هذا بيروح للسفر as n tends to infinityهو
بالتالي ده بتطلع عندي أنا ال limit ل absolute xn
minus xm as m as n tenths of infinity و طبعاً m
تقول infinity تساوي سفر therefore ال sequence xn
is Cauchy
و بالتالي therefore by cauchy criterion by cauchy
criterion x in convergence صح؟ say
دعينا نسمي ال limit ل x in بساوي x حيث x is real
number الان مطلوب ان احنا نجد قيمة ال x قيمة ال
limit لل sequence اللى هى سمنها x فبنرجع للمعادلة
هناك
to find x
take limits
of
both sides
في المعادلة هذه اللي هنا and then
take limit of both sides in this equation to get
انه limitx in بساوي نص في limit x in negative two
زاد limit x in negative one as intensity هذا
بيقدي ان limit x in عبارة عن x بساوي نص هذه
subsequenceمن الـ xn، وبالتالي، الـ limit تبعتها
برضه x وهذا الـ subsequence من الـ xn والـ limit
تبعتها x لإن كانت الـ sequence convergent لـ x فأي
subsequence بتكون convergent لنفس الـ x وهذا بيطلع
بساوية
فاحنا هيك ماطلعش عندنا إش جديد طالع X بساوي X
فاحنا هيك مازمناش ال limit مازمناش
ال limit
فاحنا هيك ماجبناش ال limit وهدي مشكلة أو يعني ال
..
طب خلينا نرجع للمعادلة اللي اثبتناها اثبتناها
by induction
طيب خلّي موضوع ال limit هذا لمرة تانية
سي حد عنده أي فكرة؟
خلّي ال limit نجيبها المرة الجاية يبدو
أن الطريقة تباعتنا ما .. ما زبطتش فنحاول نفكر فيها
مرة تانية و نجيبها، مين عنده سؤال تاني؟ و أنتوا
كمان طبعا فكروا في إيجاب قيمة ال limit
في أي أسئلة تانية في ال section تلاتة خمسة سؤال
تمانية سؤال تمانية سؤال
تمانية section تلاتة خمسة show directly
مش هو directly that
a bounded a
bounded a bounded monotone a bounded monotone
ماراتون ان كريزم ماراتون
ان كريزم الاختصار هو
كوشي
السيكوينس دي bounded و monotone increasing فاحنا
خدنا نظرية بتطلع لازم تكونby monotone convergence
theorem it is convergent عسب ال monotone
convergence و بالتالي ممكن نقول by Cauchy
criterion بما انها convergent اذا Cauchy هذا برهان
و صحيح بس الكتاب مش عايز هذا البرهان عايز برهان
مباشر باستخدام ال definition تبع ال Cauchy
sequenceOkay فالبرهان بسيط وسهل يعني ما هوش صعب
proof since
طبعا
ال sequence خليني أسميها x in since
ال sequence تبعتنا x inis bounded بما ان ال
sequence is bounded then
لو أخدت U بساوي Supremum ل XN-N ينتمي لإن Supremum
هذا exists in R
by supremum property او by completeness property
اي bounded set has supremum فخلينا نفرض ان ال U هو
supremum فهذا بيطلع عدد حقيقي exist يعني عدد حقيقي
الان من ال definition by
definitionof supremum
هو بالأحرى مش من التعريف من لمّة تأتي بعد التعريف
والمّة
من
هنا by Aprilius
النظرية هذه خلينا نرجعها أو نجمها او نجمها او
نجمها او نجمها U of a set
of a set S
is
the supremum is
the supremum
S F and only F لكل أبسلون أكبر من السفر يوجد عنصر
S يعتبد على أبسلون في S بحيث أنه لو ضفنا .. لو
طرحنا من ال supremum أبسلون فبيبطل أكبر دعوة بيصير
أصغر من Sباستخدام هذه النظرية السابقة لو أخدت
given
epsilon
أكبر من السفر لو أخدت epsilon عشوائية أكبر من
السفر يوجد capital N في N
عدد طبيعي بحيث ان ال .. ال .. ال
U نيجاتيب XN عرفوا ال U نيجاتيب إبسلون بيطلع أصغر
من S Y S Y حقول ده X اللي ال index سبقه capital N
إذا هذا العنصر اللي في الـ sequence أو في ال set
هذه اللي هو S Y يعتمد على إبسلون ما ال N هذه تعتمد
على إبسلون وهي U إترح منه إبسلون بيطلع أصغر من
عنصر S Y اللي هو موجود هنا إذا هذا حسب النظرية
تمام؟ الآن since
لاحظوا انتوا ان ال XIN هذا عنصر في الست وبالتالي و
ال U upper bound ال U اللي هو ال supreme دايما
بيكون upper bound فهذا بيطلع أصغر من أو ساوي ال U
since
ال sequence XIN is increasing متزايدة
we get نحصل
على التالي فنحصل
على التالي لو كان M أكبر من أو ساوي N أكبر من أو
ساوي capital Nفهذا هيقدّي إلى أن u negative
epsilon أصغر من x capital N من هنا و x capital N
أصغر من أو سوى x small n لأن ال sequence is
increasing و small n أكبر من أو سوى capital Nو هذا
أصغر من أوي ساوي xm لأن ال sequence increasing و
xm أصغر من أوي ساوي u لأن ال u upper bound لكل
عناصر ال sequence تمام؟ و ال u
فهذا بيقدّي .. هذا
بيقدّي ان xn minus
epsilon أصغر من xn لأن الepsilon عدد موجب فلما
اطلع عدد موجب العدد xn بصغروعندي xn أصغر من أو
ساوي xm لأن ال m أكبر من أو ساوي n و ال sequence
تبعتي increasing و xm أصغر من أو ساوي ال u
من هنا، من المتباينة هذه واضح ان انا عندي ال
U أصغر من XN زاد إبسلون، صح؟ هل عندي U negative
إبسلون أصغر من XN فاضيف إبسلون فبطلع U أصغر من XN
زايد ابسلون اذا انا بطلع عندى xn
او ال .. ال xm تطلع اكبر من xn minus ابسلون اصغر
من xn زايد ابسلون
وهذا معناه ان absolute xn او xn minus xn اصغر من
epsilon اصبت؟ صح؟ وهذا صحيح لكل M أكبر من أو ساوي
M أكبر من أو ساوي capital M تمام؟ اذا بنقول هنا
sinceepsilon أكبر من السفر was arbitrary it
follows بينتج
من تعريف الكوشي sequence that sequence xm is
cauchy
وهنا هيك طبقنا التعريف وهذا برهان مباشر okay تمام
واضح في
أي سؤال سؤال تانية واضح البرهان في أي سفصار
في أي سؤال تاني section تلاتة خمسة أو تلاتة ستة
لبعده
الناس
اللي بدرسوا
التلاتة ستة؟ سؤال أربعة في رياضينا.
هذا ما حللناه إزاي؟
السكتشن تلاتة ستة السؤال الرابع ترى بي establish
establish
the
proper divergence
of
sequence
يجيب الان زي الواحد ان الان اكوار الواحد تنتهي ان
انا اثبت ان انا اثبت
ان انا اثبت ان انا اثبت
ان انا اثبت ان انا اثبتلا ال sequence اللي ال inf
term تبعها و الحد العام تبعها جدر انزعي الواحد لما
M تقوى ل infinity بساوي infinity استاذ ماعرفش طلقة
D ماعرفش بيه بيه عرفت حلوة دي طلقة دي
استاذ بدك دي طرقة ديالفرقة دي
يعني هيطلع عندي هنا limit in على جدر in زي الواحد
لما in تقول infinity بساوي infinity ممكن تستخدم
limit comparison test او comparison test اه فال
فهل فكرتي انك تستخدمي comparison test او limit
comparison test؟ فكرت عن نظري يعني برنامج ده يفير
لأ و أنت عندك التعريف و عندك في limit comparison
test و comparison test لأ
هاي موجود في تلاتة ستة في ..مافيش limit comparison
test؟ فيك طيب هاي انا شايف في ..
انت
عندك .. ياعمل المقارنة انت
عندك ..
يعني قارنة ال .. جدر ال N بدك تقارن هذه مع
N على جدر ال N لما N تكون كبيرة ابنهم الواحد فهذه
بيصير زيها زي ال sequence اللي لحد الآن تبعها N
على جدر ال N وهذه بيساوي جدر ال N
فبتعمل limit comparison use limit comparison test
هاي عندي an ولا إيش مسميهم الكتاب نعم
يعني xn وهي yn وتعالى نحسب ال limit
تعالى نحسب ال limit ل
xn على yn as n tends to infinity بساوي ال limit ل
n على الجذر n زي الواحد تقسيم
في واحد على جدر ال N لما N تقول ال infinity بيساوي
limit لجدر
التربية A ل N على N زي واحد مظبوط؟
بندخل ال limit جوه فبقلع واحد اكبر من صفته الان
sinceاحنا اثبتنا ان ال series sigma او ال sequence
since ال sequence ان الحد العام تبعها جدر ال n او
since limit yn
as n tends to infinity بالساوية limit جدر ال n as
n tends to infinity بالساوية infinity we get
from limit comparison test from limit comparison
test from limit
comparison test from limit comparison test from
limit comparison test from limit comparison test
from limit comparison test from limit comparison
test from limit comparison test from limit
comparison test from limit comparison test from
limit comparison test from limit comparison test
from limit comparison test from limit comparison
test from limit comparison test from limit
comparison test from limit comparison test from
limit comparison test from limit comparison test
from limit comparison test from limit comparison
test from limit comparison test from limit
comparison test from limit comparison test from
limit comparison test from limit comparison test
from limit comparison test from limit comparison
test from limit comparison test from limit
comparison test from limit comparison test from
limit comparison test from limit comparison test
from limit comparison test from limit comparison
test from limit comparison test from limit
comparison test from limit comparison test from
limit comparison test from limit comparison test
from limit comparison test from limit comparison
test from limit comparison test from limit
comparison test from limit comparison test from
limit comparison test from limit comparison test
from limit comparison test from limit comparison
test from limit comparison test from limit
comparison test from limit comparison test from
limit comparison test from limit
comparison test from limit comparison test
تمام؟ okay اذا ممكن نستخدم ال limit comparison
test او ال diet comparison test اذا نفع و نحل باج
التمارين في .. او الأجزاء الأخرى في exercise أربعة
رقم .. section تلاتة ستة okay بنوقف هنا و بنكمل
المرة الجاية نكتفي بهذا القدر