Okay إذا احنا في المحاضرة الأخيرة أخدنا الـ
monotone convergence theorem وشوفنا
أنه في النظرية هذه لو في عندي sequence و ال
sequence هذه monotone يعني increasing أو
decreasing فعشان فبتكون convergent if and only if
it is boundedإذا الـ monotone sequence converges
if and only if it is bounded طيب
ال monotone sequence نوعين إما increasing أو
decreasing فلو كانت ال sequence increasing و طبعا
bounded فشوفنا إنها بتكون convergent حسب ال
statement الأول و ال limit تبعتها بساوي ال
supremum اللي لها ك set و لو كانت ال sequence
decreasing و بالطبع boundedفحسب ال statement الأول
تطلع convergence ونهايتها هي ال infimum تبعها ك Z
وشوفنا
برهانة مغرية في المحاضرة السابقة
الان بنشوف كيف نطبق النظرية في إثبات إن certain
sequences are convergent أو divergent النظرية هذه
بالمناسبة ممكن نستخدمها في إثبات إنه monotone
sequence معينة إما convergent أو divergent عشان
أثبت إن ال monotone sequence إذا عندي أنا monotone
sequence عشان أثبت إنها convergent لازم أثبت إنها
bounded العكس لو في عنده monotone sequenceوبدي
اثبت انها divergent يكفي ان اثبت انها unbounded
not bounded فهي ان ال sequence xn بساوي واحد على n
هاد ال sequence معروف انه ال limit انها convergent
وits limit is zero زيها زي ال sequence واحد على nو
ممكن تبرهن أن الـ sequence هذه convergence و
نهايتها بالساعة و سفر باستخدام تعريف epsilon
capital N لل limit بالظبط زي ما عملنا في برهان ال
limit أن ال limit لل sequence واحد علي N بالساعة و
سفر باستخدام الarchimedean property فهذا برهان
ممكن أي واحدة فيكم تكتبهاللي هو باستخدام تعريف
epsilon capital N زائد الـarchimedean property
بالظبط زي ما أثبتنا limit 1 على N بساوية 0 اليوم
هنشوف برهان تاني باستخدام الـ monotone convergence
theorem
السيكوانس هي بالحد العام ال n term تبعها xn one
over square root of n طبعا square root of n أصغر
من square root of z واحد لأي عدد طبيعي وبالتالي
مقلوب لكبير أصغر من مقلوب لكبير هذا xn زاد واحد
وهذا xn أنا عندي sequence is such that xn زاد واحد
أصغر من xn هذا معناه أن ال sequence is increasing
كذلك الـ sequence هذه is bounded لأنه هي فيه عدد
موجب M بساوي واحد عدد موجب بحيث أنه absolute xn
أصغر من أو يساوي M لكل N لأن أنا فيها ال sequence
increasingdecreasing و bounded اذا by monotone
convergence theorem ال sequence هذه هتكون
convergent و ال limit تبعتها بساوي ال infimum طيب
ال infimum للمجموعة هذه بتساوي سفر
وبرهان ذلك شبيه ببرهان الـ infimum للـ sequence 1
على n بالساوي 0 باستخدام الـ Archimedean property
راجعوا برهان أن الـ infimum للـ sequence 1 على n
وهذا ثمتناه في المحاضرات السابقة راجعوا البرهان
وكتبوا برهان مشابه لهبنفس الطريقة نثبت ان الانثرام
لسيكوانس هادى او الست هادى سفر اذا حسب الـ
monotone convergence theorem ال sequence واحد على
جذر M is convergent و ال limit تبعتها بساوي
الانثرام تبعها اللى هو سفر اذا هى مثال على تطبيق
الـ monotone convergence theoremكذلك ممكن برضه زي
ما قلتلكم نستخدم الـ monotone convergence theorem
في أثبات أن سيكوانس زي هذه is divergent نشوف
مع بعض كيف .. إذا هنا هاي سيكوانس الحد العام تبعها
xn هذا الint partial sum بالمناسبة هذا الint
partial sum في ال harmonic seriesسيجما من K بساول
واحد to infinity لواحد على K وهد
ال harmonic series is divergent معروف في calculus
بقى ال series هد is divergent وهد الحد العام في ال
sequence of partial sums وفي calculus بقى درسنا
إذا بتذكروا إذا فاكرين حاجةمن الموضوع هذا انه a
series converges if and only if ال sequence of
partial sums is convergent فلو ال series is
divergent ال sequence of partial sums is divergent
هذه هي ال sequence of partial sums حدث بتنها
divergent بس مش باستخدام calculus بقى باستخدام ال
monotone convergence theoremطيب ال sequence هي
الحد العام xn إذا الحد رقم n زياد واحد هي بنضيف
زياد واحد على n زياد واحد للمجموع هذا اللي هو xn
صح؟ وبالتالي زي ما أنتوا شايفين الحد xn زياد واحد
هو الحد xn زائد حد موجب وبالتالي هذا أكبر من xn
الكلام هذا صحيح لكل n إذاً هذا معناه إن ال
sequence xn is increasing، متزايدة، الآن أنا في
ندي sequence xn، هذه الحد الآن تبعها، و ال
sequence هذه increasing، monotone يعنيالان الـ
monotone convergence بتقول لي عشان أثبت أن ال
sequence هذي convergent لازم أثبت أنها bounded
وعشان أثبت أنها divergent لازم أثبت أنها unbounded
فتعالوا نفحص هل هي bounded ولا لأ إذا طلعت bounded
بتكون convergent إذا طلعت unbounded بتكون
divergent
تعالوا نشوف الحد العام يعني هنا في حاخد ال
sequence بدل x in x اللي الحد العام تبعها two to n
هذه عبارة عن subsequence فهذه subsequence من ال
sequence x in
يعني هذه جزء من ال sequence هذه هذه أول حد فيها x
رقم مؤشر تبعه اتنين صح؟ يعني هذه حدود ال sequence
هذه x اتنين لما n بساوة واحد بعدين اللي بعده x
أربع بعدين x تمام يعني و هكذا طبعا هذه الحدود هذه
كلها موجودة هنا صح؟ فهذه بنسميها subsequence من ال
sequence الأصليالان انا بدي اخد الحد العام لل sub
sequence دي اللي المؤشر تبعه 2 أس n بدل n طيب
انا عند xn بساوي المجموعة هذا واحد زاد نص زاد تلت
اخر حد واحد على n طب لما بدي ال n ب 2 أس n هيطلع
عند المجموعة واحد زاد نص زاد تلت الى اخر حد واحد
على 2 أس n صح؟ هذا من تعريف ال sequenceالان الحدود
هذه تبع المجموع هعملها blocks، بلوكات فواحد لوحده
في block، نص لوحده، هاخد التلت والربع مع بعض،
بعدين ال block الرابع هتكون خمس و سدس و سبعة و
تمان، أربع حدود مع بعض، جمهم مع بعضو هكذا إلى ال
block الأخيرة اللي هي 1 على 2 أس N سالب 1 زاد 1
إلى 1 على 2 أس N طيب
هاي ال 1 نزل النص، الآن التلت هذا، التلت أكبر من
ربع إن علامة التساوي هذه صارت أكبر، يعني بدلت
التلت بربع، والتلت أكبر من ربعفصار مجموع ربعين
الان في ال block اللي بعديها في عندي خمس و سُدس و
سبعة تمن كل واحد منهم أكبر من أو يساوي التمن فعشان
يصير في عندي هنا تمن زي تمن زي تمن أربع مرات اللي
هو بطلع نص أربعة أتمان نص وهنا ربعين نص صح؟ وهنا
هذا الحد اللي هنا هذاأكبر من واحد على اتنين أسئن
لأنه اتنين أسئن أكبر من اتنين أسئن سالب واحد زائد
واحد لكل ان إذاً هذا أكبر من واحد على اتنين أسئن
والبعد أكبر من واحد على اتنين أسئن و هكذا إذاً هنا
عندي واحد على اتنين أسئن مجموعة على نفسه اتنين
أسئن سالب واحد من المراتفمجموهم بيساوي مجموها دول
بيساوي اتنين اص ان سالب واحد في واحد على اتنين اص
ان بيطلع نص اذا هذا المجموعة نص وهذا نص واللي بعده
نص كلهم نصارى ماعدا اول حد اذا واحد وهي نص وهذا نص
اللي بعده نص واخر واحد نص طب كام حد في هنا هاي حد
ودول عددهم nin من الحدود وهذا وعد هاي in زاد واحد
من الحدود طب هدول عددهم in لما أجمع عدد على نفسه
in من المرات بيطلع in في نص اللي هو in عتنين زاد
واحد طيب لما in تقول ل infinity in عتنين يقول ل
infinity وبالتالي واحد زاد in عتنين بيروح ل
infinity تمام؟
إذا أنا عندي الحد العام لل sequence هذه أو ال
subsequenceطولة أكبر من مقدار يقول لـ infinity هو
بالتالي إذا
أنا عندي x to two to n tends to infinity as n
tends to infinityوبالتالي هذا معناه أن X على 2 نص
M أكبر من M لكل M عدد موجب ما معناه أن ال limit
لحد
هذا أو ال sequence X المؤشرات تبقية 2 نص M تقول
infinity معناته هذا الحد العام لها أكبر من أي عدد
موجبوبالتالي إذا الـ subsequence هذه اللي هي الحد
العام تبعها X plus 2N is unbounded وبالتالي
فهذا بيقدي إن ال sequence XN نفسها is unbounded
لأنه لو كانت ال sequence boundedفأي sub-sequence
منها اللي هي جزء منها هتكون bounded صح هذا واضح
تمام الان by monotone convergence theorem ال
sequence x in unbounded وبالتالي it is divergent
لأن لو كانت convergent فلازم تكون bounded okay إذا
هاي استخدمنا ال monotone convergence theoremلإثبات
أن سيكوانس معينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
مُعينة مُعينة مُعينة
مُعين
المثال التالت برضه هنستخدم .. هنطبق عليه اللي هو
الـ monotone convergence theorem
بس هذا المثال مختلف عن المثالين السابقين الان انا
بدي اعرف ال sequence x in inductively بطريقة
استقرائية شوفنا
احنا لما بدينا ال chapter هذا ان ال sequences can
be defined in two waysاما explicitly زي مثلا ال
sequence xn بالساوي واحد على n او recursively او
inductively بطريقة استقرائية بان انا اخد قيمة للحد
الاول او اول حدين اعطيهم قيم محددة و بعدين اعرف
الحد العام بدالة الحدود اللي قبلهفهي اندي الحد
الاول نفرض انه بساوي واحد الان بنعرف xn زياد واحد
على انه square root لاتنين ضرب الحد اللي جابناه
وهذا لكل n لان بالطريقة هذه ممكن اعرف ان هذا
بيعطينا sequence الان هذه ال sequence عايزين نثبت
انها convergent زائد ان ال limit تبقاتها بساوي
لعدد اتنين
لبرهان ذلك سنستخدم الـ monotone convergence
theorem عشان
أقدر استخدام الـ monotone convergence theorem ففي
عندي ال claim الأول يعني بدي أثبت في الإدعاء الأول
هذا ان ال sequence xn is increasing and bounded by
2
فلبرهان ذلك بنلاحظ
أن X1 من التعريف تبع ال sequence X1 بساوي 1 و X2
ممكن أجيبها من ال recursive formula أو ال
inductive formula إن أنا أاخد n بساوي 1 فبطلع X2
بساوي جدر 2 ل X1 و X1 1 إذا X2 بطلع جدر 2وبالتالي
من الحسابات هذه بيطلع اندي هاي X واحد X واحد
بيساوي واحد وبالتالي اكبر منها بيساوي واحد واسغر
من X اتنين لان X اتنين جدر اتنين الواحد اصغر من
جدر اتنين و
X اتنين اللي هو جدر اتنين اصغر من الاتنين لان كل
هذا صحيح
تمام؟ لسه ما خلصناهش لسه ما خلصناهش احنا ما فرضنا
انه صحيح احنا أثبتناه لسه
ما أثبتناش هذا ال claim لسه ما أثبتناه احنا لسه ده
بداية البرهانةالبرهان لـ claim بدأنا بما راحظنا ان
x1 من التعريف مقطع بساوي واحد و x2 حسبناها منها
بساوي جدر اتنين ل x1 اللي هو جدر اتنين وبالتالي
بطلع اندي هيك هاي x1 أكبر من أو ساوي واحد و أصغر
من جدر اتنين اللي هو x2 و x2 اللي هي جدر اتنين
أصغر من اتنينليش احنا عملنا هذا الكلام لان هيبين
الان now الان بدي اثبت بدي استخدم ال induction we
use induction لاثبات العبارة هذه وهي ان xn اصغر من
xn زائد واحد وهذا اصغر من اتنين وهذا اكبر من أوسع
الواحد لكلمن البرهن صحة العبارة هذه by induction
طيب الحالة اللي فيها خد n بساوية واحد الحالة اللي
فيها n بساوية واحد هي هاي x واحد أكبر من أو ساوية
واحد هدا هي و أصغر من x اتنين هدا هيو X2 أصغر من 2
إذا العبارة هذه صحيحة لما N بساوي 1 لأنه هنا
أثبتناها الآن
افرضي .. افرضي أن العبارة صحيحة عند N بساوي K يعني
عندك هنا XKاكبر من او ساول واحد اصغر من X K زايد
واحد اصغر من اتنين هنا فرضنا هذا ال induction high
precision وعايزين نثبت ان هذا بيقدي ان القبارة
صحيحة and N بيساوي K زايد واحد يعني بدي اثبت هذه
المتباينة
بدي أثبت المتباينة هذه طبعا فتعالى نشوف كيف نثبت
المتباينة هذه طيب
أنا عنديهي عندي المتباينة هذه احنا
فرضين ان المتباينة هذه صحيحة احنا
فرضين من induction hypothesis ان هذه المتباينة
صحيحةأضرب المتباينة هذه في اتنين هي اضرب كل
الأطراف في اتنين فبصير اتنين اصغر من اتنين XK اصغر
من اتنين XK زائد واحد اصغر من اربع وهذا بيقدي ان
واحد اصغر من جدر اتنين
و اذا انا الان باخد الجذر التربيعى لكل الأطراف هذه
اخد الجذر التربيعى فهي جذر اتنين طبعا اكبر من واحد
اصغر منه يساوي جذر اتنين XK اللى هو XK زاد واحد
هذا طبعا من التعريف تبع ال sequence من ال
inductive formula جذر اتنين XK حسب التعريف بساوي
XK زاد واحدوهذا أصغر من هنا جدر اتنين xk أصغر من
جدر اتنين xk زائد واحد وهذا أصغر من جدر الأربع
اللي هو الأتنين إذا هاي بيطلع عندي واحد أصغر من أو
يساوي xk زائد واحد وهذا برضه من ال inductive
formula الجدر التربيع هذا بيساوي xk زائد اتنينإذا
هي 1 أصغر من أو ساوي xk زاد 1 أصغر من xk زاد 2
أصغر من 2 وبالتالي إذا أثبتنا إحنا صحة العبارة هذه
عن k زاد 1 وبالتالي هيك بنكون كملنا ال induction
okay طبعا إذا ال claim تعالوا نشوف الآن ليش ال
sequenceأه ليه ال sequence تبعتنا بتطلع bounded
وincreasing فاكرين احنا أثبتنا by induction ان x
in أصغر من x in زايد واحد أصغر من اتنين أكبر من
أوي ساوي واحد لكل in من الجزء هذا نستنتج
ان ال sequence is increasing صح؟لأن هى عندى xn
أصغر من xn زاد واحد لكل n ومن المتباينة كلها يعني
اللى هى xn أصغر من اتنين أكبر من أوسع واحد لكل n
هذا معناته ال sequence bounded هى محصورة بين واحد
واتنين و bounded above by اتنين لذلك هذا يكمل
برهان ال claim الأول يعنيوهو انه sequence x in
increasing و bounded الان by monotone convergence
theorem ال sequence x in هتكون convergent دعينا
نسمي ال limit تبعتها x وطبعا حسب ال monotone
convergence theorem بما انه sequence increasing
اذا ال limit تبعتها بساوي ال suprem لها ك set اذا
انا في عندي الآن ال sequence تبعتي convergent هي
عندي limitx in convergent بيساوي x اللي هي طبعا
حسب النظرية بيساوي ال supremum الان بدي أجيب قيمة
ال x هذا طبعا
مش سهل أن أجيب ال supremum ل ال sequence فبجيبها
بطريقة تانية إذا
ال claim التاني بدي أثبت أن ال x ال limit ل ال
sequence اللي هي x بيساوي 2
طيب انا عندي من تعريف الـ sequence انا عندي xn زاد
واحد بساوي جدر اتنين xn و هذا الكلام صحيح for
every m ناخد ال limit لاتطرفين لما n تقول ل
infinity بتطلع limit xn زاد واحد بساوي limit جدر
اتنين ثابت في limit جدر ال xn مظبوط؟
طيب احنا فرضين او احنا استنتجنا احنا لسه مستنتجين
من ال monotone convergence ان limit xn بيساوي x
وبالتالي limit xn زاد واحد برضه بتساوي x وهي
بيساوي جذر اتنين و limit جذر xn بيساوي جذر ال x
حسب نظرية سابقة اذا ال limit هذه اذا هي x و جذر
اتنين في ال limit هذه بتطلع جذر ال xإذا أصبح أثيان
دي معادلة في مجهول واحد x ممكن أحلها و ذلك بتربيع
الطرفين فالمعادلة هذه بعد مربعها تصير هيك وهذه في
إلها حالين إما x بيطلع بساوي سفر أو x بساوي اتنين
احنا عايزين ال x ناخد x بساوي اتنين و نرفض x بساوي
سفر طب ليه نرفض x بساوي سفر؟لأن اثبتنا هنا by
induction أن xn أكبر من أوسع واحد أصغر من الأتنين
و أثبتنا أن ال sequence هذه convergent، إذا حسب
نظرية سابقة
إذن ال limit لل sequence xn هتطلع محصورة بين 2 و
بين 1 خدمة نظرية بتقول لو كانت ال sequence xn
convergent و xn أكبر من أو ساوي a أصغر من أو ساوي
b لكل n فال limit لل sequence xn بتطلع أيضا محصورة
بين a و bيعني طب هدى هى ال X فرضنا ان ال limit هدى
X اذا بطلع انا عندي X اكبر من او ساوي واحد اصغر من
الاتنين وبالتالي مش ممكن ال X اللى هى محصورة بين
واحد واتنين مش ممكن تساوي سفر مش ممكن تساوي سفر
اذا لازم الساوي .. وانا عندي سفر او اتنين اذا لازم
الساوي اتنينOkay إذا هين هيك استخدمنا الـ monotone
convergence بالمثل في أد التمرين زي هذه sequences
معرفة inductively و هتثبتوا أنها convergent و
تجيبوا قيمة ال limit بنفس الطريقة و بنفس الأسلوب
فحاولوا تستفيدوا من حل المثال الأخير هذا في حل مثل
هذه التمرين Okay تمام واضحإذن هنا أخدنا تطبيقات
متنوعة على الـ monotone convergence theorem وهي
التمرين ل section تلاتة تلاتة نبدأ
section أربعة أو تلاتة أربعة نعم بيقول إنه ممكن
نحل بحر ثاني و نثبت أنه الإثنان يصدرهم للإكسام
مظبوط صحيح الإثنان يتحركون على طريق اللملة اللي هي
الإكسام
والله انت فاكر فيه و بعدين قولي ليه هي
عندك sequence حدودها معروفة معرفة ممكن تكتب أول
اربع خمس عدود و تحاول تستنتجي ايه هي قيمة ال
supreme و تبرهنها طبعا فهذا متروك اليك
هذا يعني حل آخر فانا قلت ان ال suprem مش سهل ان
احنا نجيبه لمثل هذه ال sequences او ال sets
وبالتالي ال monotone convergence في الفيلم كان
ممكن يكون أسهل لأن هاي الكلام التاني هذا الأخير
مااخدش وجهة يعني أخدنا ال formula ال inductive
formula و أخدنا ال limit للطرفين و حلينا معادلة في
Xو ادركنا ان ال X ليس لازم تساوي سفر من هنا لان X
محصولة بين واحد و اتنين هذا أسهل من ان انا اجيب ال
suprem لكن هذا ممنعش ان ممكن حد معين يثبت ان ال
suprem هو اتنين اذا كان سهل فكان بيعني نستخدمه مش
سهل نستخدم ال monotone convergence
الـ sub-sequences and Bolzano-Weierstrass theorem،
ال sub-sequences شوفنا قبل شوية sub-sequence
شوفنا قبل لحظات في المثال التاني انه في عنده
sequence هي عنده sequence xn حدودها x1, x2, x3, x4
و هكذا و في كانت sequence تانية لحد الآن تبعها 2
أُس nالحدود هذي هتكون X2 X4 X8 و هكذا صح؟ لو سمنا
الاتنين هذي R1 والاربعة هذي سمنها R2 والتمانية R3
فبنلاحظ أن R1 أكبر من أو ساوء واحد، عدد طبيعي أكبر
من أو ساوء واحد وR2 أكبر من R1، اللي هو أربعة أكبر
من اتنين وR3 اللي هو تمانية أكبر من R2و هكذا اذا
ال sub sequence المؤشرات تبعتها او ال indices انا
بسميه index مجموعة index indices ال indices او
المؤشرات لل sub sequence هي عداد طبيعية هذا هي
اتنين اربعة تمانية هي عداد طبيعية والعداد الطبيعية
هذه بتشكل sequence هذه عبارة عن sequence of
natural numbersصح؟ و ال sequence هذه is strictly
.. strictly increasing
.. strictly increasing يعني متزايدة زيادة صحيحة
يعني R واحد أصغر منه مش أصغر منه أو يساوي R اتنين
و R اتنين أصغر منه و لا تساوي R تلاتة و هكذا
مظبوط؟ صح؟
إذا السب سيكوانس السب سيكوانس من أي سيكوانس هي
مجموعة جزئية منها صح لأن حدودها هي حدود حدود السب
سيكوانس هي عناصر أو حدود من السيكوانس العصلية لكن
مش أي حدود لازم تكون مرتبة بحيث أن المؤشرات تبعتها
اتشكل strictly increasing sequence of natural
numbersتمام؟ زي هيك إذاً
هذا هو تعريف الـ subsequence إذا لو في أنا عندي
sequence XN واخدت strictly increasing sequence of
natural numbers فال sequence اللي المؤشرات تبعتها
هي ال sequence RN اللي هي هذه عناصرها بنسميها
subsequence من ال sequence XNو هاي أمثلة هتابر هذه
الـ sequence x in الـ sequence of natural numbers
فهذه subsequence منها اتنين in الـ sequence of
even numbers او even natural numbers ده هي على
سرعة اتنين اربعة ستة و هكذا وهذه عبارة عن sequence
of odd national numbers واحد تلاتة خمسة و هكذا
وحدود ال sequence هذه هي X R واحد هذا X اتنين هذا
رقمه هذا رقم اتنين يعني R واحد بساوة اتنين طيب X R
اتنين اربع X R اتنينر2 هذا حد رقم أربعة، ر2 بيساوي
أربعة و ر1 بيساوي اتنين، و اتنين أصغر من أربعة، XR
تلاتة ستة، ر تلاتة ستة نفس الحاجة، يعني هذه
subsequence وهذه subsequence من ال sequence Xلأن
مأشراتهم كلهم بشكل strictly increasing sequences
of natural numbers بالمثل ال sequence 1 على 2 n
سالب 1 و ال sequence 1 على n factorial هدول
برضه أيضا sub sequences من ال sequence 1 على n
لكن الـ sequence اللي لحد الآن تبقى الحدودها واحد
على واحد، سفر، تلت، سفر، خمس، سفر، و هكذا هذه ليست
subsequence من الـ sequence واحد على انه لأن السفر
هذا هايلها، مش موجودة، ليست ثلاثا تاني لل sequence
هذه ومؤشرات الحدوديعني لا تشكل strictly increasing
sequence طيب
لو أخدت أي tail أي tail M tail حيث M fixed natural
number ف X أي tail ده M tail of any sequence X in
طبعا ال M tail ده حدوده عبارة عن sequence الحد
الأول تبعهاx capital M زاد واحد الحد التاني x
capital M زاد اتنين التالت x capital M زاد تلاتة و
هكذا فطبعا
هذه عبارة عن sub sequence من ال sequence الام لأن
كل أنصر في ال sub sequence هذه هي موجودة هنا صح؟
والمؤشرات تبعات ال sub-sequence هي M زاد واحد اصغر
من R اتنين اللي هو M زاد اتنين وR اتنين اصغر من R
تلاتة اللي هو M زاد تلاتة وكده هذا sub-sequence
ولا مش sub-sequence؟ لو أخدت أي sequence X in فأي
M تل هو sub-sequence منهاكذلك لو أخدت أي sequence
xn فالـ sequence x اللي الحد اللي عم تبعها المؤشر
تبعه 2 أس n هذي برضه subsequence زي ما شوفنا و x2n
الحدود الزوجية لو أخدت الحدود الزوجية فقط فهذا
بعطيني subsequence و لو أخدت الحدود الفردية تعطيني
subsequence ثانية و لا كدهالان سؤال
اللى بهمنا احنا ما هي علاقة ال sequence بال
subsequence من حيث ال convergence و ال divergence؟
يعني لو كانت ال sequence convergent لو في اندي
سيكوانس xn convergent ل x واخدت أي sub sequence
منها هل هذه ال sequence لازم تكون convergent زيها
ولا divergent لازم تكون convergent و ال limit
تبعتها نفس ال limit و لها نفس ال limit ماشي
لحظة
كثير من الناس
إذا كمان مرة بهمني أنا أنه لو في عندي sequence
نظرية هذه بتقول لو في عندي sequence xn of real
numbers وكانت ال sequence هذه convergent ل x فأي
subsequence منها بتكون convergent و ال limit
تبعتها هي نفس ال limit لل sequence xn
وهذا يعني ممكن ان احنا نثبته بسهولة عشان اثبت ان
ال subsequence XRN converge ل X فبستخدم تعريف Y
capital N فلو أخدت أي Y أكبر من السفر أنا عندي ال
sequence الأصلية هي convergent ل Xوبالتالي من
تعريف ال convergence لما أن XM converged ل X إذا
يوجد عدد طبيعي يعتمد على إبسلون بحيث أن المسافة
بين XM و X أصغر من إبسلون لكل M أكبر من أو يساوي
capital M طيب أنا عندي المؤشرات
تبع السب سيكوينس بتشكل increasing
sequenceوأول واحد .. أول عدد فيها طبعا هذا عدد
طبيعي وبالتالي أكبر من أو ساوي الواحد فبالتالي ال
Rn هدولة ال Rn ممكن اثبات باستخدام ال induction أن
Rn أكبر من أو ساوي N لكل N وبالتالي
لو أخدت N أكبر من أو ساوي capital N فعندي أنا Rnمن
هنا أكبر من أو ساوي small n و ال n أنا ماخده أكبر
من أو ساوي capital N إذا بيطلع عندي RN هاي بيطلع
عندي RN أكبر من أو ساوي capital N وبالتالي من ال
implication 13 ال implication 13 بتقوللي لأي عدد
أكبر من أو ساوية capital N المسافة بين X للعدد هذا
للمؤشر هذا سالب X أصغر من Yإذا أنا هيك أثبتت ..
أنا هيك أثبتت أنه ال .. لأي epsilon أكبر من السفر
في capital N يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر منه
ساوي capital N المسافة بين XRN و X أصغر من epsilon
وبالتالي من تعريف epsilon capital N للنهايةأنا هيك
بكون أثبتت أنه limit xr n لما n تقول ل infinity
بساوي x وهذا هو المطلوب طبعا
في هنا أمثلة باقي شوية أمثلةفهذه الأمثلة يعني
حاولوا أنكم تقرؤوها في مثلين كيف نطبق النظرية هذه
أو نوجد العلاقة بين كيف نثبت ال convergence لل
sequence من خلال إثبات
ال convergence لل subsequences أو العكسفحاولوا
تقرؤوها و هيك نكون يعني تقريبا .. هنكمل ان شاء
الله المرة الجاية و .. هن .. هنوقف استخدام ال
powerpoint ابتداء من المحاضرة الجاية و هنشره على
اللغة okay انتهت المحاضرة نشوفكم ان شاء الله يوم
اتنين