طيب ناخد أمثلة
كيف نجيب ال supremum و ال infimum لمجموعات جزئية
من مجموعة الأعداد الحقيقية فلو أخدت الفترة المغلقة
من سفر لواحد فعايز أفبت claim هنا ادعي ان ال
supremum لست اسم سار واحدلبرهان ذلك حسب تعريف ال
supremum اللي هو least upper bound لازم أثبت شرطين
أول شي الواحد upper bound ل S وهذا صحيح واضح واحد
is upper bound لمجموع S لأن الواحد أكبر من أو
يساوي كل العناصر اللي في الفترة صح؟إذاً واحد upper
bound الآن لإثبات أن واحد هو أصغر upper bound ال
supremum يعني لازم أثبته أن واحد أصغر من أو ساوي
أي upper bound فلو خدنا V V any upper bound فال V
أكبر من أو ساوي كل العناصر اللي هنا من ضمنها
الواحدإذن ال V أكبر من أو ساوي ال واحد الان واحد
upper bound والواحد أصغر من أو ساوي أي upper bound
V إذن ال واحد هو ال supremum إذن هيك أثبتنا إن
واحد هو ال supremum بالمثل ممكن أثبات إن العنصر أو
العدد سفر هو ال infimum للفترة المغلقة من سفر إلى
واحدطيب مثال تاني لو أخدت T هي الفترة المفتوحة من
0 ل1 فبرضه كمان لو
أخدت T هي الفترة المفتوحة من 0 ل1 فممكن أثبات أن
ال supremum ل T هو 1واضح ان الواحد upper bound
للست للفترة المفتوحة لأن واحد أكبر من أو ساوي كل
ال X اللي هنا هذا واضح الان لإثبات أن الواحد هذا
هو ال supremum في لمّة واحد اتناش خدناها المرة
اللي فاتت بتقول عشان ال upper bound واحد يكون هو
ال supremum لازم أثبت أنه في شرط لكل ابسلون أكبر
من السفر يوجدعنصر S Y في السفر S أو T هنا بحيث أنه
واحد سالب ال epsilon أصغر من S epsilon فهنثبت
الكلام هذا إذن هنا هينبدأ let epsilon أكبر من
السفر be given لأن ال epsilon هذا ممكن يكون أصغر
من أو ساوي الواحد أو أكبر من أو أكبر من الواحد
الإبسلون هذا عدد موجب ممكن جدا يكون أصغر من أو
ساوي الواحد أو أكبر من واحد ناخد الحالة الأولى، لو
إبسلون أصغر من أو ساوي الواحد فحاخد S إبسلون، أعرف
S إبسلون واحد سالب إبسلون على اتنين هذا العدد
بيطلع عدد أكبر من سفر وأصغر من واحد وبالتالي ينتمي
لتين الآن
لو أخدت واحد وطرحت منها إبسلونفهذا بيطلع أصغر يعني
لو أخدت واحد و طرحت منها epsilon فهذا أصغر من واحد
سالب epsilon ع اتنين هذا طرحت منه عدد أكبر من هذا
لذا هذا أصغر من التاني و بعدين ليش يقصر؟ طب
ما هذا هو S epsilonهذا هو سإبسلون إذا
في الحالة هذه لأي إبسلون أكبر من السفر هين أثبتت
إن يوجد سإبسلون في T وهذا الـ S إبسلون أكبر من
واحد سالب إبسلون أو واحد سالب إبسلون أصغر من S
إبسلون هذا هو الشرط اللي في لمبة واحد اتناش هينتقل
الحالة التانية، لو كان إمسنان أكبر من واحد فأكيد
واحد سالب إمسنان هيطلع عدد سالب، يعني أصغر من سفر،
وال X هذا .. ال X هذا لو أخدت أي X في T فأي X في T
موجب، أي X في T موجبإذن هين أثبتنا في الحالة
التانية إنه لو كان epsilon أكبر من واحد فبطلع مش
يوجد S epsilon واحد في T كل عناصر ال T بتحقق إنه
واحد سالب epsilon أصغر من S أو S epsilon وبالتالي
في كلتال حالتين ال both cases الشرط تبع لما واحد
اتناشر تبع ال supremum اللي بكافئ ال supremumمتحقق
وبالتالي واحد هو ال supremum لتين مثال
تالت احنا شفنا قبل شوية في بداية المحاضرة ان كل
عدد حقيقي هو upper bound و كذلك lower bound
للمجموع الخالي Phi و بناء على ذلك Phi does not
have a supremum ولا infimum
هي برهان فاي has no .. فاي has no supremum البرهان
proof assume
you
belong to R is supremum فاي ال least upper bound
لفاي
then u سالب واحد أصغر من u and u سالب واحد هاد عدد
حقيقي is upper bound
of ال fiveكمان مرة نفرض ان U جد U نفرض
ان U جد U جد U بالنمط R و هو Supremum ل Phi طيب U
سالب واحد أصغر من Uو قبل شوية كنا ملاحظة ان اي عدد
حقيقي زي هذا عبارة عن upper bound لفائي ف K في ال
U .. K في ال U هو ال supremum K في ال U هو ال
supremum هو أصغر upper bound و في upper bound أصغر
منه هذا بدي تناقض which
.. which is a contradiction
إن هذا بدّيني تناقض وبالتالي هذا أثبات أن الـ Fi
مالهاش Supremum بالمثل ممكن أثبات أن الـ Fi أو
المجموعة الخالية ليس لها Supremum طيب
نيجي لل completeness property
الـ completeness property of R بتنص على إنه كل
مجموعة غير خالية .. كل مجموعة غير خالية S من R و
bounded above .. و bounded above محدودة من أعلى
has supremum لازم يكون فيه لها supremum يعني مثال
على ذلك لو أخدنا S بسبب الفترة المغلقة 01 أوالفترة
مفتوحة من صفر واحد فهي هذي set و bounded above اذا
ال property بتقولي بتضمنلي تضمن ان هذي ال set لها
soprano اللي هو الواحد اللي اثبتناه قبل شوية اذا
ال property بتضمن وجود soprano لكن ما بتجيبليها
ولا بتقوليإيش هو؟ عشان نجيبه لازم نعمل برهان زي ما
شوفنا في الأمثلة السابقة هد هي ال supremum أو ال
completeness property خاصية التمام للأعداد
الحقيقية الآن زي ما قلتلكم قبل هيك في توقع ما بين
ال upper bounds و ال lower bounds ال supremums و
ال infimumsفال .. ال .. اي خاصية صحيحة لل supreme
بتكون في بقابلها خاصية صحيحة لل infimum ففي نتيجة
هنا على completeness property corollaryبنسميها الـ
infimum property of R لإن في supremum property of
R وفي بقبلها infimum property of R فال infimum
property of R بتقول ان every non-empty subset S of
R which is bounded below has an infimum يعني كل
مجموعة غير خالية من العداد الحقيقية ومحصورة من
أسفل لازم يكون لها infimum أو أكبر حد أدنى
وهي البرهان .. نشوف البرهان تبع ال .. ال corollary
أو النتيجة هذه بنعرف set .. بنعرف ال set E علي
أنها كل العناصر W اللي بتكون lower bound للمجموعة
S طيب by hypothesis حسب الفرضالـ E مجموعة غير
خالية، يعني فيها على الأقل عنصر، ليه؟ لإن احنا
فرضين إن المجموعة S، المجموعة S هذه bounded below،
يعني إلها lower bound وبالتالي إذا في على الأقل
عنصر واحد، W في E، إذا الـ E مجموعة غير خالية،
تمام؟ هذا من الفرض
كذلك من الفرض أي X في S ثبار عن upper bound لـ E
لو كان X ينتمي إلى S فهذا بيقدّي انه W أصغر من أو
يساوي X لكل W في E
ليش هذا الكلام صحيح؟ لأن كل W في E عبارة عن lower
bound ل S وبما أن W lower bound ل S فأي أنصر في S
بيكون أكبر من أو ساوي ال lower bound، صح؟ إذن هذا
معناه إن X upper bound هي X أكبر من أو ساوي كل
عناصر ال E وبالتالي أي X في S هو عبارة عن
أي x في s هو upper bound للست
خاصية التمام، إذا ال .. ال set E هذه is bounded
above وبالتالي يوجد إلها suprem، ال suprem تبعها
لو سميته small s exists in R هذا .. وجود ال suprem
مضمون باستخدام ال suprem propertyالان بدنا نثبت ان
هذا العدد small s هو الـ infimum هو الـ infimum
للست S وهيك بنكون كملنا البرهان إذا الإثبات
للادعاء هذا ان عندي ال S هنا بساوي supremum E
وبالتالي ال S هذا upper bound ل E يعني S أكبر من
أو ساوي كل ال X في E
الأن بناء على المتباينة هذه أو الجملة هذه لإثبات
أن S هي الـ infimum لcapital S يبقى إثبات أن S
عبارة عن lower bound S is a lower bound of S ليش
هذا يكفي لإثبات أن S هو الinfimum لS؟
تعالى نشوف ليش هذا يكفي يكفي
اثبات ان ال S is a lower bound لل 6S يعني بدنا
نثبت ان ال X عفوا
ال S أصغر من أو ساوي كل العناصر Y
يعني بدنا نثبت أن S ينتمي
للset E يعني
لإثبات أن S is the lower bound of S معناه بد أثبت
أن S عنصر في E لأن E is the set of all lower
bounds of S صح؟ فلو أثبتت أن S تنتمي إلى E
فالمفروض هذا معناه ان ال S .. اه هايه .. لو هذا ال
S .. لو هذا ال S أثبتت انه .. لو أثبتت ان ال S هذا
ينتمي إلى ايه؟
فمعناه ان كل العناصر اللي في E أصغر من أو يساوي ال
S طيب كل العناصر X اللي في E هي عبارة عن lower
bounds ل Sواذا كان S موجود في E بيكون أيضا lower
bound ل S لكن ال S هذا بتمتع بالخاصية أنه أكبر من
أو ساوي كل عناصر ال set A إذا هو أكبر lower bound
يعني هو ال infimum صح؟ تمام؟مرة تانية احنا وصلنا
ان ال X كل العناصر X في E اصغر من او ساوي S الان
لو اثبتت ان ال S هذا ينتمي ل E يعني lower bound ل
Sمعناته ال S هدى اكبر من او ساوي كل عناصر ال 6E
وبالتالي هو اكبر lower
bound يعني هو ال infimum اذا فعلا يكفي او يبقى
اثبات ان ال S اسمه ال S lower bound لل 6S فلبرهان
ذلك بنعمل برهان بالتناقض افرضى انه اللي احنا
بنلثبته خطأيعني اسمه ال S ليس lower bound للست S
هذا معناه بقدر ألاجي أنصر Y في S و هذا ال Y أصغر
من S لأن S ليس lower bound فهذا بيقدي .. لاحظوا أن
ال S هو ال supremum ل E .. S هو ال supremum ل E و
Y أصغر منه إذن Y هذا مش ممكن يكون upper bound للست
Eال Y أصغر من S و S بساوي supremum E إذا Y مش ممكن
يكون upper bound ل E لأنه بجوزش هذا يكون upper
bound ل E و هذا أصغر upper bound ل E صح؟ طيب إذا
ال Y مش ممكن يكون upper bound ل E إذا بقدر ألاقي X
في E و هذا ال X أكبر من ال Y هذه المتباينة بتعطيني
تناقض
تتناقض مع تعريف ال set E كيف X تنتمي ل E كيف ال X
تنتمي ل E و في نفس الوجهة X أكبر من عنصر ما اللي
هو Y في S يعني ال X هذا ليس lower bound هذا تناقض
okay إذا نصل إلى تناقض وبالتالي هذا التناقض بيقول
لي أن الفرض الفرض تبعنا هذا
إن small s is not lower bound كان فرض خطأ إذا لازم
يكون s lower bound وهذا بيكمل برهان ال claim تمام؟
في
ال section القادم
هناخد تطبيقات على الـ supreme property و ال infame
property فالتطبيقات
هذه هتكون على شكل أمثلة فمثلا
أول تطبيقلو أخدت أي subset من R و bounded above و
A أي عدد حقيقي فمنعرف A زائد capital S على أنه
مجموعة كل العناصر على الصورة A plus X حيث X ينتمي
لS الآن ممكن أثبت أن ال supremum للمجموعة هذه هو
عبارة عن A زائد ال supremum لS
و هذا يعني البرهان مش صعب أيه بسيط وسهل نشوف مع
بعض نفرض ان U هو ال suprem ل S ال set S is bounded
above، إذن إلها suprem هذا مضمون حسب ال suprem
propertyوبالتالي الـ U هذا اللي هو ال supreme هو
upper bound ل S إذا U أكبر من أو ساوي كل عناصر ال
S إذا لو ضفت A على الطرفين فبطلع A زاد X أصغر من
أو ساوي A زاد U لكل X في S وبالتالي العدد هذاعبارة
عن upper bound لمن؟ لست a زاد s اللي عرفناها قبل
شوية لأن هذا العدد أكبر من أو ساوي كل عناصر الست
هذه اللي على الصورة a زاد x لذلك هي اللي أثبتت أن
a زاد u is upper bound للست هذه لأن نريد أن نثبت
أن a زاد u هو أصغر upper bound للست هذه فبناخد أي
upper bound آخر للست a plus sفطبعا ال V Upper
Bound للست هي U أكبر من أو ساوي كل عناصرها الان
انجل ال A عن ناحية التانية فبصير X أصغر من أو ساوي
V minus A لكل X في S طيب
الان احنا عندنا ال U هو ال supremum ل S ال U هو ال
supremum ل S والان هذا العددهذا عبارة عن upper
bound of S لأن U أكبر من أو ساوي كل عناصر الـ S
وهذا أصغر upper bound لـ S إذن ال superman بيطلع
أصغر من أو ساوي ال upper bound V minus A ل S إذن
بيطلع عند U أصغر من أو ساوي
إن أنا بطلع عندي U أصغر من أو ساوي V minus A ودي A
عن ناحية التانية فبصير A زاد U أصغر من أو ساوي V
إذا هين أثبتنا حاجتين أول شيء إنه العدد هذا upper
bound للست هذه أخدنا أي upper bound عشوائي للست
هذهفطلع العدد a زاد u اصغر من او ساوي اي upper
bound لست a زاد s اذا من تعريف ال supremum بطلع ال
supremum لست a زاد s exist و بساوي a زاد uأن الـ
supremum للست هذي هو a زيد u وبالتالي و هذا بساوي
a و ال u هي ال supremum ل S أننا هيك بنكون أثبتنا
أن supremum الست a زيد s هو a زاد supremum S،
تمام؟ لو كانت الست هذي bounded below فممكن أيضا
نثبت أن ال infimum ل a زاد s بساوي a زاد infimum
S، تمام؟طبعا في أمثلة أخرى هنا ممكن تقرؤوها و
تحضروها و نوقف هنا نكتفي بهذا القدر و بنكمل ان شاء
الله يوم السبت المحاضرة القادمة