بسم الله الرحمن الرحيم في الساعة هذه طبعا هيكون
فيانا مناقشة نشوف
الـ section الأخيرة في chapter تلاتة نبدأ section
تلاتة ستة فيانكم أي سؤال في section تلاتة ستة؟
التالي هذا نقشناه المرة اللي فاتت طيب
في section تلاتة سبعة في عندكم أي أسئلة في section
تلاتة سبعة سؤال رقم احداشر نعم رقم احداشر
بس الرقم 11 تلاتة سابعة if
the series sigma a n with
a
n أكبر من الصفر is convergent
is convergent then
is the series sigma للجذر التربيعي ولا
لأ؟
is the series and
if and
if BN BN بيساوي A واحد زائد إلى AN كل هذا مجسوم على
N
مع الـ n يشبه الـ n ثم
اظهر .. اظهر
ان السيريز سيجما bn دائما
.. دائما
متحرر
Okay
بنثبت ان لو كانت ال series هذه حدودها كلها موجبة و
convergent وعرفنا Pn على ان ال average لمجموعة أو
ال average لأول n من حدود ال series An فبنثبت ان
ال series هذه بتطلع دائما divergent
وارجي ال unbounded ال series لما تكون unbounded
تتطير مين هي ال unbounded؟ الأسئلة ال sequence of
partial sums صحيح يعني
أنا عندي أول شي not
first
رحزي أولا أنه لكل K ينتمي إلى N EK
اللي هو بيساوي A1 زايد EK على N على K هذا
بيكون دايما أكبر من أو يساوي
A1 على K لأن
ال .. ال sum اللي هنا أكبر من A1 لأن الأعداد هنا
اللي في ال sum كل أعداد موجبة فال sum اللي هنا
أكبر من ال sum اللي هناك وبالتالي هذا دايما صحيح
لكل K في N hence
وبالتالي
لو أخدت الـ nth partial sum للسيريز سيجما BN
إذن هذا عبارة عن الـ nth partial sum لل series sigma
bn الآن عندي bk أكبر من أو يساوي هاي summation من
k بساوي واحد إلى n و ال bk هادي أكبر من أو يساوي a
واحد على k ال a واحد ثابت بالنسبة ل k ده تمليش على
k فبطلّه برا هاي a واحد ضربSummation من K بيساوي
واحد إلى N لواحد على K واحنا
أثبتنا قبل هيك أنه ال sequence of partial sums لل
harmonic series is unbounded
في كان مثال سابق بيقول إنه
إن الـ sequence هذه من n بساوي واحد to infinity is
unbounded
is unbounded حسب
مثال سألت إذا لما أضربها ال sequence هذه لما أضرب
حدودها أو أضربها في ثابت موجب تبقى unbounded
وبالتالي إذا SM هذا بيقدي ان ال sequence SM is
unbounded
therefore ال
limit ل SM لما انتقل ل infinity does not exist and
therefore the series sigma dn diverges لان احنا
قلنا قبلك ان اي infinite series بتكون convergent
if and only if the sequence of partial sums is
convergent لان هذا هو الحل okay تمام في
أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة
مفهوم الحل؟ في
أسئلة تانية في ال section هذا أو أي section سابق؟
فسؤال سبعة هذا
المماثل بيشبه مثال تلاتة سبعة ستة فاقرأي المثال
حاولي تطبقي نفس الطريقة مشروحليك في المثال فحاولي
اتجلدي المثال في اي اسئلة تانية؟
مان
لديها سؤال؟
في عندكم أسرة طيب
لما تفكروا في أسرة بدي أنا بارهنكم Cauchy
condensation test لأن هذا في عليه أسرة ومهم
سؤال اتماشي section تلاتة .. سابعة Cauchy
condensation
test
فال test هذا بيقول let sigma
an be a series .. a series of
monotone .. of monotone decreasing positive
مجموعات اثنين اثنين
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
اثنين اثنين اثنين
اثنين
اثن
وهي البرهان أولا
خلّينا نلاحظ note that لاحظي انه لو أخدت نص في
summation من k بساوي zero to infinity ل two أُس k
في a two to k هذا
بيطلع بساوي نص
في A1 اول حد لما كدا ساوى سفر فبطلع نص A1 الحد
اللي بعده هيطلع A2 اللي بعده اتنين A4 واللي بعده
اربعة في A8 وهكذا نستمر على هذا النمط إلى
أتنين خلّينا ناخد المجموعة من K بساوي سفر إلى M
حيث M عدد طبيعي ما فأخر حد هيكون اتنين أس M سالب
واحد في A اتنين أس M الآن
هذا المجموع أصغر من A واحد نص A واحد بالتأكيد أصغر
من A واحد وطبعا ال .. ال .. الأعداد هذه كلها موجبة
و بتكون decrease in sequence فنص a1 أصغر من a1 و
a2 بساوي a2 و 2 a4 أصغر من a3 زائد a4 صح؟A4 أصغر
من A3 لأن ال sequence A N decreasing فعندي A4 زائد
A4 أصغر من A3 زائد A4 و هكذا برضه عندي A8 أصغر من
A5 و أصغر من A6 و أصغر من A7وبالتالي هدا هيكون
اربعة A8 اصغر من مجموعة اربعة حدود اللي هم a
خمسة زائد a ستة زائد a سبعة زائد a تمانية و هكذا
استمر على هذا النمط الى ان نصل لاخر
هدول الحدود هيكون اصغر من .. او لحد هذا الأخير
اصغر من المجموعة اللي هو a اتنين أُس ام سالب واحد
زائد واحد زائد a
اتنين أُس ام سالب واحد زائد اتنين زائد و هكذابقت
أصغر من مجموعة كل ال series لأن هذه كلها حدود
موجبة، أعداد موجبة وهذا
الكلام صحيح لكل M، لكل M عدد طبيعي أكبر
من أو يساوي، يعني عدد طبيعي وبالتالي
and so
وبالتالي نضرب sum من k بساوي سفر إلى m لتو أس ك
بإتنين أُس ك ده هيطلع أصغر من أو ساوي نضرب الطرفين
في اتنين عشان نتخلص من النصف بصير المجموع هذا أصغر
من أو يساوي اتنين في summation من n equals zero to
infinity ل a n تمام؟
وهذا
صحيح لكل m belonging to N
بنسمي ال quality هذه واحد طيب
now next
given any m أكبر من أو سوى الواحد choose using
Archimedean property choose
k بحيث أنه two to K أكبر من M لأي عدد طبيعي ممكن
ألاقي عدد طبيعي بحياتي two to K أكبر من M then ال
summation from N equals zero to M لان هذا بيطلع
أصغر من a0
زائد a1 زائد a2
زائد a3 زائد a4 زائد a5 زائد a6 زائد a7 زائد a8
مع بعض زائد و هكذا إلى اتنين
أس 2 زائد 2 أس 2 زائد 1 زائد وهكذا إلى
2
أس 2 زائد 1 سالب 1
أنا عند الـ M هذا الـ M أصغر من 2 أس K في آخر
حد اللي هو AM هيكون أصغر من A رقم 2 أس K أو
أصغر من أو يساوي 2 رقم A أس 2K زي واحد
ناقص 1
والمجموع هذا .. هذا المجموع أصغر من أو يساوي a0
زائد a1 زائد
2 a2 لأن a3 أصغر من a2 صح؟ عشان الـ sequence an is
decreasing وهذا المجموع أصغر من 4 a
4 صح وهكذا إلى المجموع هذا هيكون أصغر من 2
أس K هذول عدد الحدود في a 2 أس K يعني هذول
عدد الحدود عددهم 2 أس K وكل واحد منهم
أصغر من 2 أول واحد اللي هو 2 أس 2K وهذا
بدوره أصغر من 2 أس 2K زائد summation من K
بساوي 0 to infinity لـ 2 أس K في 2 أس
K هاي أول حد 2 أس K لما K بيساوي 0 بيطلع
1 واحد وبعدين اللي بعده بيطلع 2 2 لما K
بيساوي 1 واللي بعده 4 4 وهكذا طبعا
هذا بوقف المجموعة هذا finite هذا أصغر من المجموعة
من K بيساوي 0 إلى ما لا نهاية هذا طبعا في حدود
أكثر
تمام؟ وبالتالي إذا نستنتج and so نستنتج
إنه المجموعة ∑ from n equal 0 to infinity لـ
an بطلع أصغر من أو يساوي a0 زائد ∑ from k equals
0 to infinity لـ 2k a2k لأن
هذا صحيح لكل M أكبر من أو يساوي الـ 1 لأن هذا
عبارة عن هذا عبارة عن upper bound هذا العدد أو هذا
العدد upper bound للـ sequence of partial sums هنا
فما
هذه الـ sequence of partial sums is increasing
متزايدة
و bounded above by this number إذا الـ limit تبعت
الـ sequence of partial sums exist وبالساوي
supremum للـ sequence of partial sums الـ supremum
للـ sequence of partial sums أقل من الـ upper bound
هذا upper bound للـ sequence of partial sums الـ
supremum أصغر upper bound وبالتالي إذا الـ supremum
للـ sequence of partial sums هو عبارة عن limit للـ
sequence of partial sums اللي هو مجموعة الـ
infinite series أصغر من أو يساوي الـ upper bound by
monotone convergence theorem السيريز
هذي convergence ومجموعة بساوي limit للـ sequence of
partial sums اللي هي أصغر من أو ساوي عددها okay
إذا نسمي المتباينة هذه 2 إذا من المتباينة 1
و2
الآن بمقارنة مباشرة الاختلافات
المتباينات 1 و 2 بيقدوا السيريز ∑ an
converges if and only if السيريز ∑ 22
a22 converges تعالى
نشوف لو كانت السيريز هذه convergent فالسيريز
هذه convergent
وبالتالي طبعا أن هذا صحيح لكل M بالمناسبة بقدر أن
هذه أيضا sequence of partial sums هذه الـ limit
تبعتها exist وبالتالي الـ infinite series هذه إذا
أن ال ممكن نقول أن هذا الكلام صحيح الآن لو كانت الـ
series هادي convergent فنضربها في ثابت 2 تطلع
convergent وبالتالي الـ series هادي convergent by
direct comparison test العكس لو كانت الـ series
هادي convergent
فلما أضفلها حد عدد موجب بيبقى conversion وبالتالي
by direct comparison test الـ series الأصغر بتطلع
conversion okay تمام؟ لأن هذا بثبت Cauchy
condensation test هذا الـ test قوي كتير وله فوائد
كتيرة فمن الفوائد تبعتها يعني
هذه مثال
ممكن نستنتج الـ P-series test مثال،
أنا موجود في إحدى التمارين التمرين 13
تعملين تلتاش سيكشن 3 7 ايش بيقول هذا if if
P أكبر من الـ 0 is a real number discuss
the
convergence
تعالوا نفحص
∑ from n equals 1 to infinity لـ 2 أس
n في 1 على هاي أو خليني أقول 2 أس n في a
and a 2 أس m ايش بيساوي هذا طبعا هاي عندي an
هذا هو عبارة عن am الحد العام للـ series فان بيساوي
1 على np فبتبحث هل الـ series هذي convergent أو
متى بتكون هذي الـ series convergent وبالتالي بقدر
أطبق اللي هو Cauchy condensation test فهذه عبارة
عن ∑ from n equals 1 to infinity الآن ايه
2 أس n بطلع 1 على 2 أس n الكل أس P
تمام؟ وهذا بيساوي ∑ from n equals 1 to
infinity لـ 2 أس 1−P الكل أس n وهدي
is a geometric series is a geometric series
وبالتالي
مظبوط هذا عبارة عن geometric series لو بدى أكتب
حدود تبعتها
فأول حد عبارة عن 2 أس 1−P الحد الثاني
2 أس 1−P الكل تربيع وهكذا فالحد
الأول 2 أس 1−P الحد الثاني 2 أس
1−P وهكذا with ratio
with ratio with
ratio R
بيساوي 2 أس 1−P
So by geometric series test it converges if
and only if |R| بيساوي 2 أس 1−P
أصغر من 1 وهذا بتحقق 2 أس 1−P أصغر
من 1 فنقول if 1−P إذا
كان 1−P أصغر من الـ 0 سالب لأن لو كان
1−P موجب فـ 2 أس أي عدد موجب عمره ما
بيكون أصغر من 1 نصفوت لكن لو كان الأس سالب فبيصير
هذا 1 على 2 أس وموجب فبيصير أصغر من 1 إذا
هذا صحيح if and only if الأس تابع الـ 2 اللي هو
1−P أصغر من 0 if and only if 1 أصغر
من P أو P أكبر من 1 okay تمام وهذا هو الـ P
series test لأن احنا استنتجنا الـ P series test من
Cauchy Condensation test فاكرين الـ P series هذي أو
الـ P series test اثبتنا أن Convergent if and only
if P أكبر من 1 وDivergent إذا كانت P أصغر منها
وسائل 1
Okay إذا الـ .. هذا المعنى So by Cauchy Cauchy's
Condensation Test The series ∑
from N equals 1 to infinity الـ 1 over NP
convergence if and only if P أكبر من 1 وهذا هو
الـ P-series test إذن هذا بورجينا قوة Cauchy
Condensation Test okay تمام؟ في طبعا أسئلة أخرى
على Cauchy Condensation Test وأنا طالب منكم تحلوها
زي السؤال 14 و15 صح؟ ففي أي شيء في الأسئلة دي أو
أسئلة ثانية؟
في
عندكم أي أسئلة؟
إذا سيكشن 1 3 7 في أي سؤال ثاني عندكم في
الأسئلة هذه أو
السيكاشن السابقة أو سيكشن 4 1 إذا بتحبه
سيكشن 4 1
مافيش أسئلة؟ طيب الـ .. مدام مافيش أسئلة نواصل ..
نكمل
المحاضرة في السابقة
المرة الأخرى تحدثنا عن الـ two-sided limits وعن
الـ one-sided limits وأخذنا بعض النظريات وقلنا إن
جميع النظريات اللي برهناها هو one-sided limit
صحيحة للـ two-sided limits أو النظريات الصحيحة لـ
two-sided limits بتكون أيضا صحيحة لـ one-sided
limit فناخد
مثال show
that
Limit لـ Signum X لإن X تقول لـ 0 لا يوجد فنلاحظ
أن Limit لأول شيء Signum X
بساوي x على absolute x لكل x لا يساوي صفر لما
أعرفنا الدالة هذه قلت لها بس هي نفسها x على
absolute x لو كان x بساوي صفر الآن ال limit ل
sigma x لما x تقول إلى صفر من اليمين بساوي ال
limit
لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من
اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى
صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x
تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من
اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول أصغر
من اليسار لما x أصغر من صفر لما
x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر
لما x أصغر من صفر، السالب واحد بيطلع السالب واحد إن
أنا عندي ال limit من اليمين يساوي واحد، ال limit
من اليسار يساوي سالب واحد، مش متساويين الاثنين، so by
theorem، حسب النظرية اللي أخدناها theorem أربعة
ثلاثة، بيطلع
عندي ال limit أو ال two sided limit للـ signal
function لما x تقول إلى الصفر does not exist تمام؟
طيب خلّيني أنا آخد show
that ال
limit لل function e والواحد على x لما x تقول إلى
صفر من اليمين does not exist and
من
ال limit لنفس ال function e to واحد على x لما x
تقول إلى صفر من اليسار تطلع موجودة و بساوي صفر
طيب ال ...
نحاول نبرهن الجزء الأول
بناخد الجزء الأول let
z of x بساوي e to 1 على x، حفة x لا تساوي 0، وبدنا
نثبت to
show إن ال limit لـ g of x لما x تقول لصفر من
اليمين does not exist، it suffices to
show يكفي
إثبات أن ال function g of x is not bounded on
on a right ... on a right neighborhood
... on a right neighborhood اللي هو صفر دلتا of
zero
أخذنا قبل ذلك نظرية بتقول إيه؟ ده عشان أثبت أنه ال
limit ل function عن نقطة معينة مش موجودة يكفي أثبت
أنه أنه الدالة unbounded عند أي unbounded
عند أي neighborhood
للنقطة الآن بالنسبة لل one-sided limit عشان أقول إن
ال limit ل function زي هذه g of x لما x تقول إلى
صفر من اليمين does not exist فهي
الصفر و ال x تقول لسفر من اليمين فبدل ما أخد delta
neighborhood للصفر
فباخد right neighborhood right neighborhood للصفر
فيكفي إن ال function هذه ماهياش bounded عن كل
right neighborhood يعني جوار من اليمين للصفر لأن
أنا بتعامل مع نهاية من اليمين لكن لما كنت اتعامل
مع نهاية من الطرفين فكنت آخد delta neighborhood
كامل، ولو أثبتت إن الـ function هذه ماهياش bounded
عند أي right neighborhood للصفر على الصورة هذه
فحسب نظرية سابقة الدالة مش ممكن يكون لها limit من
اليمين عند الصفر لأن لو كان لها limit عند الصفر من
اليمين فلازم تكون bounded على some neighborhood ...
right neighborhood للصفر Okay تمام و لإثبات ذلك to
see
this we use ال inequality التالية وهي T أكبر من
صفر دايما أصغر من E أس T for all T أكبر من صفر هذه
المتباينة هذه المتباينة موجودة
برهانها في Chapter 8 برهانها
موجودة في Chapter 8 اللي هتاخدوه لاحقا فهنستخدم
اللي هو المتباينة هذه في إثبات إن ال function
ماهياش bounded على neighborhood أو right
neighborhood للصفر Okay عشان الوجد خلص بنوقف و
بناخد خمس دقايق break وبعدين بنكمل إن شاء الله
البرهان فحنوقف ونكمل في الجزء التالي من المحاضرة