بسم الله الرحمن الرحيم الموضوع اللي قدر بين إيدينا
اليوم اللي هو one sided limit طبعًا ابتدأنا من
section 1 لغاية section 3 ما أخذنا في أي يوم من
الأيام ال limit من اليمين أو ال limit من الشمال
وإنما بجأنا نأخذ limit سعالية بدلًا من محكمة limit
ثم limit سعادية ثم ال section الماضي كان بواسط
epsilon و delta definition النظرية بتقول ليش؟
بالبلدي قبل ما نقرأها روح نأخذ ال limit للدالة من
اليمين وال limit للدالة من الشمال إذا اثنين تساووا
يبقى ال limit exist وتساوي القيم اللي بتطلع هذا
باختصار، تمام؟ الكلام اللي سمعته هو مكتوب جبنانا،
بنقول a function f of x has a limit as x
approaches c لها limit لما ال x بتروح ل c and only
if و فقط إذا كان it has a left hand and right
hand limits إذا ال limit من اليمين موجودة وال
limit من الشمال موجودة عند تلك النقطة there يعني
هناك عند النقطة اللي عندنا هذه اللي هي c and these
limits are equal وال two limits هدول بيكونوا
متساويتين ذاتي
في السطر وبدأت صيغة رياضيًا بالسطرة اللي قدامنا
هذه فبجب أقول limit ال F of X لما ال X بدها تروح
إلى C يساوي ال L if and only if limit ال F of X
لما ال X بدها تروح إلى C من جهة اليسار بدها تساوي L
وفي نفس الوقت limit ال F of X لما ال X بدها تروح
إلى C من جهة اليمين بدها تساوي نفس النتيجة اللي هي
L يبقى إذا تساوت النتيجة للـ function من اليمين
والنتيجة من اليسار يبقى ال limit exists وتساوي هذه
القيمة اللي طلعت أنا بنبدأ نأخذ أمثلة مختلفة
على ميم على الكلام اللي قلنا هذا طبعًا أنا عارف أنه
بعض الأسئلة بتدور في دماغك، لكن هذه الأسئلة بدي
أجاوبها، بدي أسألها أنا وسنجاوب عليها بعد قليل، بس
نأخذ بعض الأمثلة على الـ graph of a function as
shown in the following figure رسمي اللي قدامنا هذه
بيقول احسب لل limit إذا كانت موجودة وإذا مش
موجودة مسامحينك فيها ال limit الأولى بيقول اللي
limit ال F of X لما ال X بدها تروح لسالب واحد من
جهة اليمين يبقى باجي لسالب واحد هي السالب واحد أنا
رايح له من جهة مين؟ من جهة اليمين يبقى الدالة كل ما
اقترب من سالب واحد من جهة اليمين الدالة طالعة
لمين؟ للواحد يبقى هذه ال limit تساوي واحد صحيح نجي
لبعدها limit ال f of x لما ال x بدها تروح ل zero
إذا روحت ل zero من جهة الشمال بلاقي هذه نزل أوين ل
zero وإذا روحت ل zero من جهة اليمين بلاقي هذه نزل
أوين ل zero يبقى ال limit من اليمين بدها تساوي ال
limit من الشمال يبقى بتساوي قداش zero الآن بنأخذ
limit لل F of X لما ال X بدها تروح لل واحد من جهة
اليسار يبقى احنا رايحين لل واحد من جهة اليسار
الدالة طالعة لوين؟ لل اثنين يبقى ال limit هنا
تساوي كده ايش؟ تساوي اثنين بنأخذ limit لل F of X لما
ال X بدها تروح لل واحد من جهة اليمين يبقى احنا
رايحين لل واحد من جهة اليمين بدي أقول الدالة رايحة
لوين؟ يبقى النتيجة تساوي واحد بناء عليه من جهة
اليمين بواحد من جهة الشمال باثنين اختلفت القيمتان
يبقى ال limit ما لها does not exist يبقى هذه بقوله
does not exist هذا الـ Limit
غير موجودة
أنا بدرس لك سؤال فيه أن ايه ال function بعد
الثلاثة؟ ما عنديش يبقى هذي does not exist مش موجودة
لأنه لا يوجد عندنا function يبقى كمان هذي does not
exist تمام؟ طيب نجي للي بعدها اللي هو نمرة ست سبعة
بيقول اللي limit ال F of X لما ال X بيطرح ده C
where C موجودة أي نقطة تأخذها في ال interval من
عند الواحد لغاية الثلاثة بشرط الثلاثة مش منهم
والواحد مش منهم يبقى داخل الفترة من واحد إلى ثلاثة
ال limit قداش؟ بينفعش أقول اثنين هنا؟ هذه القيمة
وليس أنا لما أجرب على الاثنين من جهة اليمين ومن
جهة الشمال بلاقي هذا مجرب على مين؟ على واحد يبقى
limit exist وتساوي قداش كلها وتساوي واحد صحيح يبقى
هذه ال limit أوجدناها من خلال الرسم طبعًا أعطيتكم
قبل ذلك سؤال من هذا الموديل هذا تمام؟ وهذا هو
سؤال ثاني طيب ننتقل الآن إلى نوعية أخرى من هذه
المسائل كمان مثال آخر بقول find the following
limits
if it exists إذا موجودة بدنا إياها مش موجودة بلاش نمرة
واحد limit لما ال X بدها تروح ليه ثلاثة ال absolute
value لل X ناقص ثلاثة على X تربيع ناقص X ناقص ستة
لو
جاء تعوض أيوة
بس أنا كدهش ال domain بالله بيقول زميلكوا ال
domain من سالب واحد لغاية ثلاثة
كل الدالة معرفة على جميع ال interval من سالب واحد
لغاية ثلاثة ما في مشكلة تقدر تجيب لي نقطة اللي بيقول
لأ تقدر تجيب لي نقطة الدالة غير معرفة عندها خلال
الفترة من واحد لثلاثة فيه؟ فهبقى أنا بدي أسألك
كمان سؤال ال range اللي هي قداش؟ اسمه عرضين ترويها،
السؤال ايه له؟ من صفر ل اثنين، من عند اثنين مفتوح
أو لا؟ لأ موجودة يبقى هذه closed من zero لغاية
اثنين ليش طلعت عند اثنين قيمة ده لا يساوي اثنين
هي مفتوحة لكن هي موجودة يبقى ال range closed
interval من zero لغاية اثنين ننتقل للسؤال الثاني
بدها limit لهذا المقدار لما ال X بدها تروح ليه ثلاثة
لو جاء تعوض مباشر يبقى البسط ب zero والمقام كذلك
ب zero
بنرجع الآن بالذاكرة إلى الوراء بتذكير فقط
بتعريف ال absolute value كنا نقول ال absolute
value ل X بيساوي X إذا ال X greater than or equal
to 0 وسالب X إذا ال X أقل من 0 خلي هذه المعلومة
هادية في دماغك ونحاول نقيص عليها يبقى إذا X موجبة
تبقى لابسولية فلل X هي X إذا X سالبة يبقى لابسولية
فلل X ساوية كده؟ سالب X طيب أنا الآن بدي أحسب هذه
ال limit بدي أجرب آخذ ال limit لما ال X بدها تروح
لثلاثة من جهة الشمال لل absolute value لل X ناقص
ثلاثة على X تربيع ناقص X ناقص ستة ويساوي ال limit
لما ال X بدها تروح لثلاثة من جهة الشمال طلع عليك
كويس، الآن أنا لما أروح لثلاثة من جهة الشمال، يعني
لما أقول هذا ال real line وهذا عند الثلاثة وأنا
رايح للثلاثة من جهة الشمال، يبقى أقل من ثلاثة ولا
أكثر؟ أقل من ثلاثة لما نطرحها من ثلاثة بتظهر كمية
سالبة يبقى مادام كمية سالبة إذا إن تعريفها ده
بتظهر الجزء زي ما هو بس بإشارة سالبة يبقى هذا بدي
يصير السالب ال X ناقص ثلاثة يبقى هي اتخلصت من ال
absolute value إذا ال X بتروح لثلاثة من جهة اليسار
والمقام بدي أحلله يبقى هاي X هاي X هنا اثنين
هنا ثلاثة هنا ناقص هنا زاد هاي زائد اثنين X
وناقص ثلاثة X بيبقى ناقص X بتحليلنا سليم مائة
بالمائة الجُث هذا بيروح مع الجُث هذا بتقول المسألة
إلى limit لما ال X بيروح لثلاثة من جهة اليسار
لسالب واحد على X زائد اثنين يبقى limit ال constant
بال constant itself هذا متعدد خطي يبقى تعويض مباشر
يبقى النتيجة تساوي كده؟ سالب خمسة طب تعال نشوف هنا
limit من اليمين يبقى limit لما ال X بدها تروح لثلاثة
من جهة اليمين لل absolute value لل X ناقص ثلاثة على
ال X تربيع ناقص X ناقص ستة يبقى limit لما ال X بدها
تروح لثلاثة من جهة اليمين
ثلاثة من جهة اليمين يبقى احنا هنا أكثر من ثلاثة
ثلاثة وكسر ناقص ثلاثة بدل هذا الكسر يبقى هذا دائمًا
وأبدًا قيمة موجبة مادام قيمة موجبة يبقى ال absolute
value للمقدار بالمقدار itself على من على X زائد
اثنين في X ناقص ثلاثة بالشكل اللي عندنا هذاتمام؟
نختصر يبقى هنا هذا الجزء مع هذا الجزء ويساوي ال
limit لما ال X بدها تروح إلى ثلاثة من جهة اليمين
لواحد على X زائد اثنين تعويض مباشر واحد على ثلاثة
زائد اثنين يساوي قداش خمسة يبقى هل ال limit exist
ولا does not exist لأن ال limit من اليمين لا تساوي
ال limit من الشمال يبقى بروح بقول لسه limit لما ال
x بدها تروح لثلاثة absolute value ل x ناقص ثلاثة x
تربيع ناقص x ناقص ستة does not exist السبب because
أن ال limit من الشمال لا تساوي ال limit من اليمين
سالب خمسة لا تساوي خمسة وبالتالي ال limit ما لها
does not exist
المثال الثاني أمر اثنين لما
ال X بدها تروح إلى ثلاثة كذلك لمين؟ للجذر التربيعي
لثلاثة X في X ناقص ثلاثة على absolute value لل
X ناقص ثلاثة أنا بهمنيّش ال absolute في البسط ولا
في المقام بأثرّش عندي أنا بهمني النتيجة تبعتها
بأجي بقول برضه بدي آخذ ال limit من اليمين وال
limit من الشمال ونشوف شو النتج يبقى هاي limit لما
ال X بدها تروح لثلاثة من جهة اليسار للجذر التربيعي
لثلاثة X في X ناقص ثلاثة على absolute value لل X
ناقص ثلاثة يبقى limit لما ال X بتروح لثلاثة من جهتي
اليسار الآن الجذر التربيعي لثلاثة X ما له دعوة X
ناقص ثلاثة ما له دعوة نيجي هذا لما ال X بتروح
لثلاثة من جهتي الشمال هذه قيمة سالبة إذا بتخلص من
ال absolute value بحط مكانها ال X ناقص ثلاثة
بإشارة سالب، القوس هذا مع القوس هذا الله سهّل عليه
يبقى limit لما ال X بدها تروح لثلاثة من جهة اليسار
لسالب الجذر التربيعي لمين؟ لثلاثة X الآن ثلاثة في
ثلاثة بتسعة تحت الجذر بسالب ثلاثة نروح نأخذ ال
limit لما ال X بدها تروح إلى ثلاثة من جهة اليمين
لثلاثة X ناقص ثلاثة على absolute value لل X ناقص
ثلاثة يبقى limit لما ال X بدها تروح لثلاثة من جهة
اليمين لجذر ثلاثة X في X ناقص ثلاثة على ال X بيذهب
لـ 3 من جهة اليمين، يبقى هذه القيمة قيمة موجبة،
إذا نزيل ال absolute value ونكتبها كما هي بدون
absolute لأنها قيمة موجبة، بروح القوس هذا مع القوس
هذا، آلة المسألة إلى limit، لما ال X بيذهب لـ 3
من جهة اليمين لجذر ثلاثة X يبقى النتيجة تساوي كده؟
تساوي ثلاثة برضه ال limit من اليمين لا تساوي ال
limit من الشمال يبقى سا limit لما ال X بدها تروح
لثلاثة لجذر ثلاثة X في X ناقص ثلاثة على absolute
value ل X ناقص ثلاثة
ما هيّش موجودة طيب النقطة الثالثة بدنا limit لما
ال X كذلك بدها تروح ليه ثلاثة كلها ثلاثات اليوم X
أقول له ال limit لما الـ X بده يروح لـ 3 للـ X
ناقص دالة الأرض للـ X دالة السقف للـ X ناقص 2
does not exist does not exist
السبب because أن ال limit من اليمين لا تساوي ال
limit من من من الشمال طيب دي أعطيك مثال زي هذا
شبهه وأشوف مارشو رأيك في الموضوع يبقى بدنا نيجي
ناخد limit لما الـ X بدها تروح لـ 3.6 لدالة
السقف لـ X على X itself
بتروح آخد limit لما الـ X بيروح لـ 3.6
من جهة الشمال لمين؟ لدالة السقف على X ويسمى 3
و 6 من 10 يعني قبل 3.6 يعني قداش
مثلا 3.5 3.5 ارفع على السقف 4 بصير
هذه 4 على 3.6 يعني قداش يعني
40 على 36 مظبوط يعني 10 على 9
على 9 طب آخد لل limit لما الـ X بده يروح لـ 3.6
من عشرة من جهة اليمين لدالة السقف لـ X على X و
يساوي 3.6 بده ياخد بعدها، إيه يعني؟ 3 و
7 من عشرة، نرفع على السقف هيبقى 4 على 3 و
6 من عشرة، هيها هاديبقى قداش الجواب 10 على
9 من الاتنين هدول مش بتقدر تستنتج أن ال limit
لما الـ X بده يروح لـ 3.6 لدالة
السقف على X يساوي قداش 10 على 9 طيب استنى شوية
احنا عندنا مثالين المثال الأول طلعت النتيجة عنده
قداش does not exist هنا 1 وفوق 0 صارت does
not exist وهي هذه دالة صحيح X هنا كمان دالة صحيح X
لكن طلعت النتيجة exist إيش ملاحظاتنا على هذا
الكلام؟ اتفضل الخطران الصحيح يكون في نقاط تحول في
جدر الـ .. و يكون عضو الصحيح يكون نقطة تحول و يكون
الـ .. على ناحية اليمين اللي يختلف على ناحية اليسار
قاعدة أو من النقاط اللي فيها عشاب سنة و 3 و
حصة 6 يكون نقاط داخلية داخل القرار على يمين
المجموعة نفس الـ .. نفس اللي من حياته الكلام صحيح
إذا ال limit عندي في حالة دالة صحيح C إذا ال limit
راحت لرقم صحيح بلق ال limit مازالت موجودة بس إذا
راحت لـ كثر بلق ال limit مالها موجودة في الغالب
ليش؟ لأن هذه الدالة اسمها step function دالة
القفزة أو الدالة الدرجية أو الدالة السلمية عند
العدد الصحيح بيحصل ال discontinuity أو بيحصل منين
القفزة بصير ال limit من اليمين تختلف عن ال limit
من الشمال وبالتالي ال limit ما لها does not exist
طيب نعطيك كمان مثال غير هذه الأمثلة ونشوف شو رأيك
فيه وبعدها بنطرح عدة تساؤلات أو بعض التساؤلات
ونشوف كيف بدنا نجاوب عليه آخذ كمان مثال رقم 5
بيقول ما يأتي 5 بيقول بده limit للـ F of X لما
الـ X بدها تروح لـ 3 where الـ F of X أحد أمرين
الأمر الأول X تربيع ناقص 5 لما الـ X أقل من أو
يساوي 3 أو الجذر التربيعي لـ X زائد 13 لما
الـ X greater than 3
هذا السؤال طبعا شكله يختلف عن شكل الـ 4 السابقة
أول سؤالين كانوا بيشتملوا على ال absolute value
القيمة المطلقة والسؤالين التانية كانوا بيشتملوا
على دالة العدد الصحيح سواء كانت integer floor
function أو integer ceiling function هذا السؤال
بيكون من جزئين يعني هذه piecewise function تبقى
مكونة منها من جزئين طيب بلاحظ أن الجزئين هدول
بيختلفوا عن بعض وين عند العدد رقم 3 إذا عندي
الـ 3 هذه ممكن آخد ال limit من اليمين ولا آخد ال
limit من الشمال بل إجباري لازم آخد ال limit من
اليمين و ال limit من الشمال إذا بدأت آخد limit
لما الـ X بده تروح لـ 3 من جهة الشمال للـ F of X
يبقى limit لما الـ X بده تروح لـ 3 من جهة الشمال
3 من جهة الشمال يعني احنا مالها أقل من 3
وقد تساوي، إذا بيكون شكل الدالة هو من X تربيع
ناقص 5، يبقى X تربيع ناقص 5، هذه
polynomial من الدرجة الثانية يبقى تعويض مباشر يبقى
هذه بيصير 3 لكل تربيع ناقص 5 اللي هو قداش
4 بعد هيك بدنا نروح آخد limit الـ F of X لما الـ
X بده يروح لمن؟ لـ 3 من جهة اليمين Limit لما الـ X
بده يروح لـ 3 من جهة اليمين 3 من جهة اليمين
معناته الـ X مالها أكبر من 3 بيكون ال function
هي عبارة عن الجذر التربيعي لـ X زائد 13
الآن لما آخدنا قوانين ال limit في ال section قبل
الماضي قالت هذا ال limit مالها الصلاحيات وبتدخل تحت
الجذر لما تدخل تحت الجذر اللي تحت الجذر دالة خطية
مدام دالة خطية يبقى تعويض مباشر يبقى النتيجة تساوي
الجذر لـ 3 زائد 13 اللي هو قداش 4 مدام
4 يبقى صارت النتيجة من اليمين اللي بلعب في
الجوال يرمي الجوال وإلا يبقى صارت ال limit من
اليمين زي ال limit من الشمال وبالتالي أصبح عندنا
ال limit للـ F of X لما الـ X بتروح لـ 3 exist وتساوي
كده؟ تساوي 4 يبقى ال limit في هذه الحالة يساوي 4
بدنا نعطي كمان مثال على ال piecewise function بس
بشكل آخر المثال بيقول ما يأتي نمرة 6 ستة بيقولي أو
بيخلي example لحاله example جديد باعتباره يبقى هذا
example بيقول
لما الـ F of X يساوي أحد أمرين يا إما AX plus 1
لما الـ X less than or equal to 3 يا إما AX
تربيع ناقص 1 لما الـ X greater than 3 find
the value
Find the value of the constant A
هات المقدار الثابت A such that بحيث أن limit
سؤال هذا زي السؤال اللي قبله لكن بفكرة جديدة طبعا
زي ما أنت شايف هو piecewise function دل مجزئي
لجزئين بدنا نقرأ هذا السؤال ونفهم ما هو المطلوب
منه السؤال ميعطيني الـ F of X على الشكل اللي قدامنا
X plus 1 لما X أقل من أو يساوي 3 و X تربيع
ناقص 1 لما X greater than 3 واللي هاتلي
مقبار ثابت A بحيث ال limit هذه مالها exist سؤال
اللي يقبله ماكنتش عارف أنا exist ولا لأ حسبت ال
limit من اليمين و ال limit من الشمال اللي جيتنا مع
بعضك وقلت لو exist what ساوي 4 هنا بقول لي لأ
ال limit exist بس هو مش عارفها ومن خلال هذا الكلام
بيقول لي هاتلي قيمة الثابت A بقول له مادام ال
limit exist إذا ال limit من اليمين تساوي ال limit
من الشمال يبقى أنا بده أحسب ال two limits وبعدين
بسويهم بعض وبجيب قيمة الثابت A أصبح يبقى بناء
عليه بدهجي أقول له بدهجي آخد limit الـ F of X لما
الـ X بده يروح لـ 3 من جهة الشمال يبقى هذا ال
limit لما الـ X بده يروح لـ 3 من جهة اليسار من
جهة اليسار يبقى X أقل من أو يساوي 3 يبقى الدالة
عبارة عن إيش؟ AX plus 1 يبقى AX plus 1 ويساوي
هذه الدالة دالة خطية يبقى عند حساب الليمت عوّض
تعويضا مباشرا يبقى دي بيصير 3A plus 1 بعد
هيك بروح آخد ال limit لما الـ X بده يروح لـ 3 من
جهة اليمين للـ F of X يبقى limit لما الـ X بده تروح
لـ 3 من جهة اليمين لمن للـ AX تربيع ناقص 1 X
أكبر من 3 يبقى تروح لـ 3 من جهة اليمين يبقى
بتكون هذه هيبالا، هذه البرنامج من الدرجة
الثانية، إذا تعويض مباشر يبقى A في 3 لكل تربيع
ناقص 1، يبقى 9A ناقص 1، من الاتنين هدول،
جال ال limit exists، يبقى باجي بقول له since بما أن
limit للـ F of X لما الـ X بيروح ليه 3 exists we
have إيش
بيحصل أن 3A زائد 1 بتساوي 9A ناقص
الـ 1 بنجيب الـ Aهات عن بعض و ال constants عن بعض
بيصير 6A يساوي 2 ومنها A يساوي قداش
1/3 إذا A لما تكون 1/3 هي اللي خلت ال limit
مالها exist يبقى فكرة السؤال مثل فكرة السؤال اللي
جاب له لكن فيها شغلة فنية جديدة شوية خلّينا نوقف
وقفة محاسبة مع النفس ونسأل بعض التسوئلات ونشوف كيف
بدنا نجاوب عليها احنا سابقا قبل أن آخذ هذا ال
section لا كنا بناخد نهاية من اليمين ولا نهاية من
الشمال اللي بيعطيني هذا السؤال وتك بضرب في المرافق بحلل
واختصر بمش عارف أعمل شغل زي هيك إيه لو بيطلع عياش
الجواب أن
السؤال هو متى نأخذ النهاية من اليمين والنهاية من
اليسار لل function اللي عندنا؟
يعني قصدك لو كانت الدالة غير معرفة عندها نقطة،
كلام كويس، أيوة،
ماشي وجهة نظر سليمة،
نقاط تحول، كلام كويس
يبقى هذه الأمثلة اللي أعطناها اتعمد أجيبها أمثلة
على الحالات اللي بدنا نروح آخذ فيها ال limit من
اليمين و ال limit من اليسار لذلك بدنا نخليك تكتبها
بالعربي حتى وين ما تشوف مسألة من هذا القبيل تعرف
كيف نتجاوب عليها اكتب لي بالعربي متى نأخذ النهاية
من اليمين ومن اليسار
متى نأخذ أو نحسب النهاية من اليمين ومن اليسار
الإجابة في الحالات التالية في الحالات الـ 4
التالية الحالة
الأولى إذا احتوت المسألة على
القيمة المطلقة
إذا احتوت المسألة على دالة صحيح سين ولا صحيح إكس
صحيح إكس بنجو سين بتقدر تكتب دالة السقف ودالة
الأرض دالة السقف ودالة الأرض للعدد الصحيح نمر
3 إذا كانت الدالة مجزئة إلى عدة أجزاء زي
السؤالين الاثنين الأخيرين هؤلاء اللي بقى نقولها
piecewise function دالة مجزئة إلى أجزاء نمر 4
إذا كانت الدالة غير معرفة
عند النقطة المراد إيجاد النهاية عندها تمام؟ طبعا
هذه إن شاء الله هنتعرض لها في ال section مش القادم
اللي بعده هنرجع للنقطة الرابعة هذه الأخيرة إن شاء
الله ونعطي عليها أمثلة كثيرة أيضا
هي عندك مثال إيه؟ كيف؟ الأول ليش ما فنتوش؟ ليش ما
قلت إن أنا من هنا؟ ليه ولا هدى؟ أنت عندك X بتروح
لرقم، آخدت من الشمال قبل الرقم هذا، آخدت من اليمين
يعني بعد الرقم هذا، قبل الرقم هذا، لا السقف، بطلع
للرقم الصحيح اللي فوق، ده للأرض، بنزل للرقم الصحيح
اللي من تحت وكذا، الله بالسر علينا
خالصة طيب
الآن زي ما أنت شايف أعطيناك بدل المثال 5 وكلها
ما جبناش فيها سيرة النسب
بتنزل عند السالب by أكثر، بعدك بتصير أقل، أقل و
هكذا، و من الناحية الثانية بنفس الـ main بنفس الطريقة
اللي عندنا طيب الآن من الرسم اللي قدامنا هذه لو
روحت أخدت الـ limit من الشمال و الـ limit من اليمين
يبقى الـ limit لـ sin θ على θ لما θ بدأت تروح لـ zero من
جهة الشمال لو احنا روحنا لـ zero من جهة الشمال يبقى
الدالة بتروح للواحد يبقى هذه بتساوي واحد and
لو روحنا أخدنا الـ limit لـ sin θ على θ لما θ راحت لل
zero من جهة اليمين يبقى يساوي كمان؟ يساوي واحد يبقى
بناء عليه الـ limit اللي فوق هذا يبقى كم؟ واحد يبقى
هذا بده يعطيك دائما و أبدا أن الـ limit لمين؟ ل
sin theta على theta لما theta بدها تروح لل zero
بدها تساوي واحد رغم أنه عشان عند ال zero الدالة is
undefined ماهياش معرفة لأنه sin zero بـ zero صار
zero على zero كمية غير معينة وبالتالي الدالة هذه
مالها غير معرفة بهمنا الآن كيفية استخدام هذه
النظرية في حل المسائل المختلفة يبقى بنيجي نقولك
احسب للنهايات التالية إذا كانت موجودة example find
the following limits
النهايات
التالية نمرة واحد بعد ذلك بدنا الـ limit لما الـ X بدها
تروح لـ zero للـ sin X على 2 على X
طلع لهنا تاني للنظرية الـ limit sin θ على θ لما θ
بتروح للزيرو يساوي واحد، بدي الزاوية، هي نفسها
اللي هنا، هي نفسها اللي بدها تروح لمين، للزيرو
بعدين بطلع في مثلث هنا X على 2 وهنا X وهنا X بدي
هدي X على 2 و بدي هدي X على 2 وبالتالي بقدر أستخدم
النظرية مباشرة يعني كأنه ثيتا صارت في الجداش ثيتا
على 2 بقوله بسيطة يعني هنا لو هدي كانت X على 2 كان
المشكلة انحلت صحيح ولا لا؟ يبقى بقول أضرب في نص و
أقسم على نص ما بتتغير القيمة يبقى بناء عليه هذي بدها
تساوي الـ limit لما الـ X بدها تروح لمين؟ لـ Zero ل
نص sin X على 2 على X على 2 صارت هذه الزاوية هي
اللي تحت، بس هذه لأ، بقول أضرب هذه في نص، بصير نص
في X، نص في X، نص في Zero، بـ Zero، يبقى هذا الكلام
يساوي، النص هذا بدي أخليه برا هيوهذا الـ limit هذي
بتصير نص الـ X والله الـ X على 2 الـ X على 2 تروح لل Zero لمن؟
لـ sin X على 2 على X على 2 صارت الزاوية اللي هنا هي
اللي هنا هي اللي هنا يبقى نص في واحد يبقى الجواب
يساوي قداش يساوي نص يعني المطلوب منك إنك تحور
المسألة تبعتها تكون على شكل النظرية وبالتالي
باستخدام النظرية أيضا
مثال اثنين
مثال اثنين بنحسب الـ limit لما الـ X بدها تروح لل zero
لـ tan خمسة X على من؟ على ثلاثة X أول
شيء هدي tan وليست sin اثنين اثنين الزاوية عندي
خمسة X واللي تحت مالها ثلاثة X مضروبة في ايش؟ ولا
مدي مضروبة في خمسة أو ثلاثة ولا عادي بس اسمعني كويس
اسمع كويس بس بدنا نمشي step by step خطوة بخطوة أنا
بقول بدل الثلاثة هذه لو كانت خمسة كانت مشكلتي
محلولة يبقى يا تلف بدها تخليك برا وبعدك بدنا نضرب في
خمسة ونقسم على خمسة أو على رأيكم نضرب في خمسة على
ثلاثة ونقسم على خمسة على ثلاثة كلام مظبوط وماحدش
له اعتراض على ذلك اسمه يا ابن ايه؟ يبقى أنا بدي
أخلي هذه بدل ثلاثة بدي أخليها خمسة يبقى بدنا
نضرب في خمسة على ثلاثة وهنا نضرب في خمسة على ثلاثة
بيصير الكلام صحيح يعني هذه بدها تصير الـ limit هاي
خمسة على ثلاثة الـ tan عبارة عن sin خمسة X على هذه
صارت ثلاثة مع ثلاثة صارت خمسة X وهنا cos
خمسة X يبقى 10 عملتها sin على cos ضربت في
خمسة على ثلاثة وأنا ضربت في خمسة على ثلاثة راحت
الثلاثة مع ثلاثة ضلت كدهش ضلت خمسة بقول كويس هذه
الـ X بدها تروح لوين لـ zero الآن هذا مقدار ثابت، بقوله
شرفنا برا، يبقى هذا مقدار ثابت خليك برا، وهذا
الـ limit، وهذا sin خمسة X على خمسة X هذا يا شباب لما
تبقى الـ X بدها تروح لل Zero لو ضربتها في خمسة
بيصير خمسة X بتروح لـ Zero في خمسة ليه بيبقى داشت؟
Zero يبقى الذي يكافئ هذه هي خمسة X بدها تروح لمين؟
لل Zero By للـ مين؟ الـ limit لما الـ X بدها تروح لـ Zero
لواحد على Cos 5X يعني جزأتي الـ limit لمن؟ الـ limit للدالة
الأولى هذه اللي عندنا و الـ limit للدالة الثانية
الأولى ضربت الساهم هذا في خمسة والثاني خليته زي ما
هو يبقى النتيجة بتساوي هذه الخمسة اعتلتها اللي برا
بالداخل هذه أليست في صيغة النظرية اللي قدامي هذه
إذا بقدر أشيلها وأكتب لها قداش واحد صحيح بيبقى
هذه واحد على عوض تعد ماش الـ cos صفر بواحد يبقى
على واحد إذا النتيجة بتساوي ايش خمسة على ثلاثة
بتسمعش بيقول من هنا بدي أقسم البسط والمقام على
X بصير الثلث برا وبصير tan خمسة X على X
يعني أنت بصير المقام شيلته وصار كله في البسط والبسط
بسط على مقام مكانك لم تأتي بجديد
أنا بديش حفظ الهفظ، أنا بدي تفهم كيف توصل مسألتك
إلى صيغة النظرية، وهذا هو الشغل الرياضي، اسمع
كويس، افهمني كويس أنا ما أريد منك حفظ، أنا أريد منك
فهم، أريد منك تفهم كيف اجت، بقول أخذنا فتنة، بقولك
صح، اللي أخذته في ثانوية عامة صح، بس هذا أنت حفظت
حفظت، من حد ما تشوف الرقم X بالرقم على الرقم وامشي،
لو عملت في الجامعة بنحطلك علامة استفهام من أين لك
هذا، وده السؤال عليه أربع علامة يمكن نحطلك علامة،
بس والثلاثة بتطيروا في الجامعة يا شباب justify
your answer يعني بتبين إجابتك من وين جبتها، ما هو
جبتها إذا حطيت الإجابة دغري أنا أفهم أنه أحد
أمرين، يا إما عندك الـ fox تبعك هذا اللي هو على
الحاسبة، من نوع fox بتعطيك الإجابة دغري، بتعطيكش
خطوات، يا إما الـ radar جابها يمين أو شمال أو واحدة
من الاثنين، مالهاش تفيدنا من غير هيك، ولذلك تاخدش
عليها شيء، لأ أنا بقولك خلّي كل خطوة وتختصرش، و
أنت بتحل إياك أن تختصر، خليني كل خطوة أتسلم
للتانية، لأن احنا بنحط علامات على الخطوات وليس على
الإجابة النهائية، يعني ممكن تبقى خطواتك صح وأنت
غلط بس في الإجابة النهائية، بنحطلك مش أقل من تسعين
في المئة من الدرجة لكن أنا بتحطلي جواب بعطيك درجة،
بعطيك عشرين في المئة بس، اه؟ هو بعد هيك في أسئلة
في الليل في الزوايا المثلثية في المعدد، أحل الصلاة
صفحات لغير ما كنتوا حتى الحاجات حتتوا، قبل ما توصل
لقميها اللي بطبصي، الحل حيكون صفحة. فأنت شو قلتلك
هنا؟ بهمنا .. أنا بهميش اللي هو الجامعة، بهمني
الخطوات الرياضية، طريقة الحل، هي اللي أنا بتهمني
وأنا بوزع الدرجات على خطوات الحل، الخطوة ما ألاقيش
بطيب درجتها، هي كاننا في الجامعة، يعني بدنا الطالب
يطلع فاهم مش حافظ، أنك تطلع فاهم، كويس، هي سؤال،
اه
فهمتش؟ أقولك اشتغل رياضي صح، ما أقولش لك أي حاجة،
لكن تيجي من فوق تقلب غربة النصارى، اغلب الوجهة
تقول لك يالا بدك تنزلي تحت الأعمارة، من الشباب
فطيت ونزلتي تحت طب وأنت ممكن تنكسر، هذا إذا ما
موتتش، وممكن تنزلي مع الدرجة، وممكن تنزلي مع
اللصان صغير، أنا بدي تمشي لي ماشية صحية، ماحدش
يقول لك كده غلط، واضح؟ أيوة في اختيارات اضطرارية، يجب
أن تحولها للصيغة الـ x² على الـ x بدي الصيغة هذه
لتطبيق النظرية، بدي الصيغة على الشكل هذا أو الشكل
هذا؟ بدي أكتب له السؤال أنه بده هذه الصيغة؟ لأ
بكتبش لك، بكتب لك هاتين ليموت وبسكت، وأنت لعلك و
أنت تحطها في الصيغة هذه وتحطها للجواب طيب السؤال
اللي بعده لسه أسئلة فنية كتير هي بس هذا أنا لسه
بفتحلك الخيط شوية شوية لسه .. لسه .. لسه في أسئلة
كتير خد السؤال اللي بعده ثلاثة بدي الـ limit لما الـ X
بدها تروح لـ zero لـ X زي الـ X في cos X على sin X في
cos X
سؤال بقول X زائد X في cos X على sin X في cos X مقترح
بيقول نوزع البسط على المقام بيقول لك خير نجرب نوزع
نشوف نوصل لنتيجة ولا بنوصلش لنتيجة يبقى هذه ال
limit لما الـ X بدها تروح لل zero لل X على sin X cos
X زائد X في cos X على sin X في cos X بقوله تبعرح
قال لي وزع الـ limits قلنا له ماشي high limit لما
الـ X بدها تروح لل zero لل X على sin X في الـ limit لما
الـ X بدها تروح لـ zero لواحد على cos X زائد
الـ limit لما الـ X بدها تروح لـ zero اختصرنا هذه مع هذه
وصارت X على sin X قول له تمام هذه كلها بقداش؟
بواحد مضروبة
فيه هذه واحد على cos صفر بقداش؟ بواحد زائد هذه كمان
بواحد يبقى الجواب يساوي قداش؟ اثنين واحد ثاني قال لي
لا لا لا أنا ما بديش الطريقة هذه قلت له أيوة قال لي
بدي أروح أضرب البسط كله في اثنين والمقام في
اثنين بس أنا شغل العساب المثلثات شوية صار تعطينا
اثنين sin X cos X بـ sin اثنين X بـ sin
اثنين X بـ sin اثنين X بـ sin اثنين X
يبقى ليحل بالحل الأول سليم وليحل بالحل الثاني سليم
كذلك ما عندي مشكلة في هذه الحالة مثال
رقم أربعة بقول
الـ limit لما الـ X بدها تروح لل Zero لـ tan ثلاثة X على
sin ثمانية X سؤال كذلك من أسئلة الكتاب هذا كنا
بناخده زي في التوجيه يبقى الجواب ثلاثة على ثمانية مش
هيك طبعا؟ ايش بدك تقول؟ ما
شبهتش فيها نهاية أنا حللت والساعة ثانية حولت
القصايل على القصايل وحللت هذه نتيجة على نظرية أنت
أخذتها بس أنا ما بعرفش فاهم لما أقول لك أنا ما بعرفش؟ أنا
كمصحح بدأت أغلي باللي أعطيته لكمش يعني ايه؟ لأن
السؤال ممكن ما تجيش وورقتك معايا، ممكن تيجي مع
غيري، ما مر علي الكلام هذا، اه مثلا يعني، طيب، على
أي حال، بعدين بطلع في مسألة هذه، أنا عندي كل اللي
بعرفه صح، يمكن تحول المسألة بدلالة sin وتكون sin
يبقى هذه المثلث بتساوي الـ limit لما الـ x يروح لـ zero ل
sin 3x على sin 8x في 1 على cos 3x يبقى شيلنا الـ tan
وحطينا قيمتها وبعدين بوزع الـ limit على كل منها
يبقى هذا بيساوي الـ limit لما الـ x بيذهب لوين؟ لـ 0 ل
جرادة يبقى تمر جرادة لم تأتِ بجديد أنت قررت ما
قاله محمد العشي بس بدلت خطوة مكان خطوة ولم تأتِ
بأي جديد صحيح؟ اللي بده يرفع يده يعطيني فكرة جميلة
لم تخطر على بالنا مثلًا أو ما استوعبت خطوة وبسأل عليها
هي اللي بدنا مش بدنا نكرر نفس الكلام أيوة
الحل اللي بيكون عندك x بدها تروح لـ 0 تمام؟ لو
ضربتها في ثلاثة بيصير ثلاثة X بتروح ثلاثة في Zero
بقدّاش Zero طب اللي هو العكس أنا عندي ثلاثة X بتروح
لـ Zero ضربتها في ثلاثة إيش بيصير؟ يبقى هيها ولا لا؟
ما عنديش مشكلة فيها اه أنت الـ X لما .. لما خذتها
ثمانية؟ قل سؤالك أترحب؟ اه
تعال هي بشوف لا
ممكن بس كده سؤال احنا مش ماخذين تعال تفضل شباب أنا
مش شايف إن أنا مصطلح أش كتب من هنا اه على حين جامب
بوز إن هي ثانية في خاعد أخذناها بالأول ثمانية و ثلاثة
x على x ثلاثة قدر من هنا ثمانية و ثمانية x على
x ثمانية أنا كتاب ثلاثة x على x بيساوي واحد
دغري لأ بيساوي ثلاثة مش واحد
ما فيش تطلع إجابتك بقى في الكلام sound
ثلاثة x على x صوت ثلاثة مباشرة مين اللي قال هذا
الكلام يبقى خلاص بدّه نمسح النظرية ونقول الكلمة
أخذناه في التلوية يا زلمة كلامك غلط أنت فاهم غلط
لماذا؟ هكذا طب هي الثلاث احتمالية لا لا لا يا
ابني ما بدّيش تحفظ حفظ ما بتفهم الخطوات هذه كم فرق
ما بتفهمش نظرية خدام ما بتفهمش نظرية خدام ما بتفهمش
x على x بيساوي الأرض اللي هو الأرض اللي هنا فاكر
أكثر من الأرض ساين الأرض لأنه عدد يعني ماشي فاكر
أكثر من الأرض الـ x على x بيساوي الأرض هذا نفسه مين
قال هذا لو كانت البعض الشيخ أستاذ مواطن أنا جابت
عليه يعني أنا ما أدوش شمالي
هذا نص النظرية هيك؟ اللي أخذناها توّ هيك بنص؟ لأ،
ممتاز جدا، يبقى هذا كلام خطأ، لو أحطه، بحط لك عليه
سفر، لأن الزاوية اللي فوق هي زاوية تحت، بدّي يكون
هذا هيك، شوف يا بداية جيت على الجامعة بنا نسخل
عقليتك و نفهمك تفهم صحيح بقول لك من أول مرة ما بدّيش
ياك تبقى صاميم بدّيك تبقى فاهم حتى تقدر بعد أربع
سنين توقف مكان هنا و تبقى معيد و تفهم الطلاب هذا
اللي بدّيك إيّاه، ما بدّيش تبقى حافظ و تقوله خدها و امشي
و خدها و امشي، لا يا عم تفضل لما ناخذ الاشتراك من
اللي نحكي، ليه السادسين الاشتراك بصراحة للاستعجال
الشباب؟ كل حديثة حديثة، أيوة صارت
سلسلة تعوي، تنعوض، تبت x و y
ما فيش مشكلة بس تتعود و تشيل شغلة و تبدّل كلهم كانوا
ما فيش مشكلة عادي جدا ما فيش أيّ إشكالية عادي جدا أنا
بيهمني يظل الشكل العام للنظرية مهما كانت كانت x
كانت ثلاثة x كانت ناقص x بدّي اللي دي الزاوية هي
اللي تحت هي اللي بتروح لـ zero تمام؟ دي ربّع لك اه
كل بدّه يكتب صح مش يكتب لي هيكده مثلًا زي ما كان
كاتب جبل والد تسوي n ما فيش حاجة تسوي هنا، لك تكتب
limit بدون limit لها معنى لها، أنت طالب جامعي طب
غلط، بدون limit غلط، ما علمت بدّك و أقول لك ليش، يا
ابني أفلك تعلم بطريقة صحيحة، بشأن بكرا تعلم الطلاب
بطريقة صحية، طب السؤال الخامس، ببنى limit لما الـ x
بدّه تروح لـ واحد للـ sign x ناقص واحد على x تربيع
zx ناقص اثنين كده
شهد يا ماجي ده؟ حط واحد و خلاص؟ طيب إيه بتطلع في
مثلتي؟ الزاوية x نقص واحد هذه polynomial من الدرجة
الثانية هذه x بتروح للواحد يعني ما هيش شكل النظرية
أصل نظرية x بتروح لـ zero لكن لما أطلع هذه x نقص
واحد بدّي أخلق هنا x نقص واحد و بدّي أخلق هذه هنا x
نقص واحد قصة تبصيفة جدا ضيف سالب واحد للطرفين يعني
نابقوا نخلقنا هنا وهذه من حلّة نابقوا نخلقنا x ناقص
واحد وبعدين الله بفرجها يبقى باجي بقوله هذه بدّه
تبقى الـ limit x ناقص واحد بدّه تروح لمين؟ لـ zero
وهذه الـ sign x ناقص واحد هذه بنحللها | قوسين | x و
| x و | واحد و | اثنين تمام عند الإشارة هذه
بالموجب يبقى هذه بالموجب وهذه بالسالب يبقى تحليلنا
سليم مائة بالمئة هذه الآن ممكن أجزيءها إلى limit
لحاصل ضرب دليل t لو جيت هنا قلت هذه الـ limit لمن x
ناقص واحد كلها بتروح لـ zero للـ sine x ناقص واحد
بعد max ناقص واحد تمام في مين في الـ limit ضال
عندي واحد على x زيد اثنين هذه لو خليتها قلت x بدها
تروح للواحد بدل max ناقص واحد تروح لـ zero يبقى x
بدها تروح لمين للواحد يبقى جزاية الـ limit إلى two
limits سؤالهذه كلها بقدرش لأن الزاوية هذه هي هذه
هي هذه يا محمود أول ساعة بيقول لو قدّلت يعني لو
أنا شيلت x ناقصها و حاطيت فِدالها y شو بيصير؟ y y y
هيها يعني بقى أنا بيهمني إن الزاوية هذه هو المقدر
هذا هو المقدر هذا الجيش ما يكون شغل تحط الـ x تحط الـ y
تحط الـ z تحط قصة تحط إن شاء الله ثلاثة كميات جوا
ما عندي معناه بدّي ازاي هذه تكون هي هذه هي اللي هنا
تمام يبقى هذا كله بقدّاش بواحد صحيح فيه هذا الآن
تعويض مباشر لأن المقدار الثابت هو هنا واحد زائد
اثنين يبقى الجواب قدّاش يساوي طوله يعني بدّي أتفرج
المثال اللي عندك بحيث تحطه في صيغة النظرية وبالتالي
نطبق النظرية بدون مشاكل نَبقى ستة نمرة 6 بالـ
delimit لما الـ x بدها تروح لـ 0 لمن؟ للـ sin واحد
ناقص cosine الـ x على من؟ على x لما الـ x بدها
تروح لـ 0 طالع
ليه كويس هنا؟ يقول limit اللي بين قوسين كلها هي
الزاوية تبعت الـ sign كل اللي بين قوسين هو الزاوية
تبعت الـ sign تمام؟ يبقى أنا مش هنقدر نطبق النظرية
بدّي يكون عند هنا واحد ناقص cosine الـ x و بدّي هنا
واحد ناقص cosine x يروح لمين؟ يروح لـ zero نسمع
يعني تضربت في واحد نقص كوسين وجسمت على واحد نقص
كوسين ما عناه مشكلة زميلكوا بيقترح ما يأتي بيقول
المثال هذه بدّه أكتبها على الشكل التالي limit لما
الـ x بيروح لـ zero لـ sine واحد ناقص cosine الـ x
على x هي الأصل تبعه بيروح اضرب في واحد ناقص cosine
الـ x و أجسم على واحد ناقص cosine الـ x بيقول ماشي
اضرب في واحد صحيح وبالتالي المثال تبقى كما هي طيب
قال لي هذه بدّه أعملها بالشكل التالي هذا الـ limit
لما الـ x بدها تروح لـ zero و قال لي أيّ sine واحد
ناقص cosine الـ x على واحد ناقص كو صين الـ x طبعًا و
كده إيش ضلّ عندنا ضلّ إن واحد على x أو واحد ناقص
كو صين الـ x كل غد على مين على x طبعًا قلنا اللي
بدّنا نيجي للدالة هذه الدالة صار الزاوية اللي عندنا
هي اللي تحت باجي بقولها هذه بتشوف كيف بدّي أعملها
شوف يا سيدي الأول لما أقوله الـ x بدها تروح لـ Zero
خذ الـ cosine للطرفين بيصير cosine الـ x بدّه يروح لـ
cosine الـ Zero قدّاش cosine الـ Zero؟ واحد يبقى صار
cosine الـ x بدّه يروح للواحد هتوا على الشجة
الثانية أو ضيف سالب واحد للطرفين بيصير cosine الـ x
سالب واحد يروح لمين؟
اضرب الطرفين في شرط السالب بيصير واحد ناقص cosine
الـ x بيروح لمين؟ Zero في السالب ما هو Zero طيب إذا
الـ x بيروح إلى Zero بيكافئها واحد ناقص cosine الـ x
بيروح لوين؟ لـ zero إذا هذه بدها تساوي limit لما
الـ x بدّي روح لـ zero لـ sin واحد ناقص cosine الـ x
على واحد ناقص cosine الـ x في الـ limit لما الـ x
بدها تروح لـ zero لواحد ناقص cosine الـ x طيب
نعمل هذه بالطريقة اللي عملناها يبقى هذه تساوي high
limit هذه بدّي أستبدلها بمين بواحد ناقص cosine الـ x
كلها بدّه تروح لـ zero للـ sine واحد ناقص cosine الـ
x على مين على واحد ناقص cosine الـ x هذه المقامات
كلها مجدّش تشيلها يابان جوسينة تحطها ثيتا تحطها
واي تحطها زيد معنى مشكلة المهم صارت الزاوية هي
المقام هي المقنرة اللي عندنا نيجي هذا كله بواحد
نيجي نكمل high limit لما الـ x بدأ تروح لـ zero
التعويض المباشر هنا بيجيب لـ zero على zero كمية
غير معينة يبقى تدبّر حالك طبعًا هناك أكثر من طريقة
المرافق بنفع المرافق نضرب في المرافق تبع الـ bus
كلام صحيح و تمشي النتيجة واحد ثاني قال لأ أنا بدّي
أستخدم حساب المثلثات
ماشي الحال يفجر بدّه يشيل واحد نقص ويقول لي اثنين
cosine تربيع x على اثنين
يبقى لو ضربنا في المرافق الحل الصحيح مرافق الـ bus
لو روحنا شيلنا الواحد ناقص cosine الـ x و كتبنا
بدله اثنين sin تربيع x على اثنين برضه كلام سليم
100% وما حدا مقدر يقول إن هذا غلط يبقى على شِكتين
صح أمامك طريق طريق الأول أشيل واحد ناقص cosine
الـ x وأكتبها اثنين sin تربيع x على اثنين يا إما
أروح اضرب البسط المقام في المرافق تبع البسط اللي
هو واحد زائد cosine الـ x تحب نضرب في المرافق و
الله حساب المثلثات مرافق المرافق ماشي طيب يبقى high
limit لمن؟ لواحد ناقص cosine x على x واحد زائد
cosine x واحد زائد cosine x هذا الكلام يساوي، هذا
كله بواحد صحيح يبقى هذا بواحد صحيح مضروب هذا الآن
بيصير limit لما الـ x بدها تروح لـ zero البسط فرق
بين المربعين يبقى واحد ناقص cosine تربيع الـ x على
x في واحد على واحد زائد cosine الـ x هذا الكلام بدّه
يساوي limit لما الـ x بدّه يروح لـ 0 بدّاك اللي هتبعت
البسط اللي هو واحد ناقص cosine تربيع ليه كوسين
تربيع يبقى limit للـ sin تربيع الـ x على x في limit
لما الـ x بدّه يروح لـ 0 للواحد على واحد زاد cosine
الـ x هذا الكلام بدّه يساوي limit لما الـ x بدها تروح
لـ zero تمام؟ بدّي اخذ sin x على x في limit لما الـ
x بدها تروح لـ zero لـ sin x في limit لما الـ x بدها
تروح لـ zero لـ 1 على 1 زاد cosine x هذي بقدّاش؟
وهذا هو قيمة واحد
على واحد زائد واحد يبقى النتيجة تساوي صفر يبقى
limit لهذه الـ function تساوي صفر عليك انتهى هذا
الـ section وإليكم أرقام المسائل ولحد هنا داخل في
الامتحان يبقى exercises اثنين أربعة المسائل التالية
exercises اثنين أربعة المسائل من واحد لغاية واحد
و أربعين القدر