بسم الله الرحمن الرحيم في الـ two sections الماضية
كنا بنتحدث فقط عن اللي هو الاشتقاق من خلال التعريف
اليوم بدنا نذكر قواعد الاشتقاق اللي خذتها في
الثانوية العامة زي ما أنت شايف لا يوجد فيها حرف
جديد وإنما تُذكّر بمدرسة في الثانوية العامة بعد ذلك
سنذهب إلى أمثلة توضيحية على القواعد اللي موجودة
عندنا يبقى differentiation rules قواعد الاشتقاق أولًا
قاعدة بتقول لو كانت الدالة دالة ثابتة f of x يساوي
c حيث c constant إذا مشتقة هذه الدالة تساوي قداش؟
Zero فالمشتقة في الثانوية العامة تعلمنا أن مشتقة
المقدار الثابت تساوي صفر يعني لو كانت f of x يساوي
خمسة إذا الـ f prime of x يساوي لو كان f of x يساوي
باي
بالنسبة للنقطة الثانية if n is a non zero real
number then d على dx للـ x to the power n هو الـ n في
x أُس n ناقص واحد طبعًا الآن أي real number لا يساوي
zero طبعًا ليش اشتراطنا لا يساوي zero لأنه لو كان
يساوي zero لأصبح x أُس zero بقداش؟ يعني مقدار ثابت
وقتها مشتقته تساوي مين؟ تساوي صفر طيب يبقى الآن قد
يكون positive قد يكون negative قد يكون rational
غيره إلى آخره يبقى مشتقته على طول n x أُس n
ناقص واحد النقطة الثالثة F في الـ C is constant
يبقى بدنا نجمع الحالتين الاثنتين هدول مع بعض يبقى D
على DX لـ C في F of X الـ C المقدار الثابت بقوله خليك
على جنب و بروح بشتق مين؟ بشتق ده لـ F of X زي ما
كنت بتقوله مشتقة تلاتة x أُس خمسة في الثانوية بقول
تلاتة ثابتة ومشتقة x أُس خمسة خمسة x أُس أربعة
وبالتالي بيصير 15 x أُس أربعة يبقى الـ C بيظل
كأنه مالوش دعوة تمامًا بالـ derivative الآن for
example الـ D على DX لـ C x to the power N بقول الـ C
مقدارها بتخليك زي ما أنت والـ x أُس N من النقطة
الثانية مشتقته n x أُس n ناقص واحد النقطة الرابعة
F الـ U والـ V are differentiable functions of X
يبقى then D على DX لـ U زائد أو ناقص V تساوي مشتقة
الـ U زائد أو ناقص مشتقة الـ V بجيبها بتقول في
الثانوية العامة مشتقة المجموع الجبري لدالتين يساوي
المجموع الجبري لمشتقتيهما
مجموعة الـ terms ممكن تكون تلات دوال أربع دوال n من
الدوال يبقى المشتقة هتدخل على كل دالة من هذه
الدوال يبقى D على DX U1 زائد أو ناقص U2 زائد أو ناقص
U3 زائد أو ناقص UN يبقى DU1 على DX زائد أو ناقص DU2 زائد
أو ناقص DU3 على DX زائد أو ناقص نظل ماشي
لغاية ما نوصل لمشتقة الـ UN بنسبة الـ X الآن
بنتقل لحاصل الضرب والقسمة فباجي بقول if U and V
are differentiable functions of X then الـ D على DX
لـ U في الـ V يساوي الدالة الأولى في مشتقة الدالة
الثانية زائد الدالة الثانية في مشتقة الدالة الأولى
مرة ثانية الأولى في مشتقة الدالة الثانية زائد
الدالة الثانية في مشتقة من الأولى يبقى U في DV على
DX زائد الـ V في DU على DX النقطة السادسة مشتقة
خارج قسمة الدالتين يساوي المقام في مشتقة البسط ناقص
البسط في مشتقة المقام على مربع المقام الأصلي مرة
ثانية كثير من الشباب غلطتهم وين؟ من خلال السنوات
الماضية بقى نلمس بيقول البسط في مشتقة المقام ناقص
المقام في مشتقة المقام يعني بيقلب الإشارة هذا طبعًا
كلام خطأ فمرة ثانية بركز وبقول المقام في مشتقة الـ
bus ناقص الـ bus في مشتقة المقام على مربع المقام
الأصلي نأخذ special case حالة خاصة منه قلنا in
particular كحالة خاصة مشتقة واحد على V يعني لو
كانت الـ U ده اللي ثابت اللي هو بالواحد الصحيح
فمشتقتها سالب واحد على V تربيع في الـ DV على DX، من
أين أتى هذا؟ أتى من الخطوة اللي فوق، فلما آتي أقول
المقام في مشتقة البسط، يصير Zero بيضلش عنده إلا
ناقص البسط في مشتقة المقام على مربع المقام الأصلي
يبقى لما بدي أجي أطبقها هنا بدي أقول المقام في
مشتقة البسط بـ zero طار ناقص البسط اللي هو واحد في
مشتقة المقام اللي هو dv على dx على مربع المقام
الأصلي اللي هو main
بالتالي ما عنديش أي تغيير في مثل هذه الحالة يبقى هذا
بالنسبة للمشتقات العادية الآن، يعني المشتقات من
الرتبة الأولى، لو ده مشتق من الرتبة الثانية أو
الثالثة أو الرابعة، فبقول المشتقة الثانية، المشتقة
الثالثة، المشتقة الرابعة، المشتقة النونية يبقى مرة
ثانية بقول second derivative and higher derivative
المشتقة الثانية والمشتقات العليا فباجي بقول لو كان
مشتقة الـ y هي y prime بديلها رمز dy على dx بتجيب
المشتقة الثانية بديلها رمز y double prime اللي دي
على دي اكس لدي ي على دي اكس أما بأعطيها الرمز هذا
أو الرمز هذا أو d square y على dx square و
هكذا لو أردت المشتقة الثالثة y يساوي d تكعيب y على
dx تكعيب and so on لغاية ما أوصل للمشتقة n أنها
دي مش y مرفوعة للأس n وإنما y to the derivative n
لما تشوف الآن الـ n بين قوسين هذه تعني مشتقة ولا تعني قوّة
يبقى y to the derivative n هي dny على dxn يعني
المشتقة النونية لدالة y بالنسبة لمن؟ أو لـ x
example one بيقول find y prime for each of the
following يبقى بنجيب المشتقة الأولى لكل مما يأتي
النقطة الأولى Y تساوي أربعة جذر الـ X ناقص خمسة على
X بما نشتق باستخدام قواعد الاشتقاق اللي موجودة
عندنا يبقى باجي بدون له solution
ممكن أشتق مباشرة وممكن أروح أبسط الدالة ثم أقوم
بعملية الاشتقاق فبدأت أقول Y' يساوي الأربعة مالهاش
دعوة اللي هي constant لقولنا مشتقة C في الـ F of X
يساوي C في مشتقة الدالة يبقى الأربعة مالهاش دعوة
الجذر الـ X أخذناها قبل ذلك كمثال وأقول لك دول دير
بالك، دول بتكتَب لي واحد على اثنين جذر الـ X، ناقص،
هذه الآن مقدار ثابت على دالة، طلعليه مقدار ثابت
يساوي السالب واحد على الدالة تربيع في مشتقة هذه
الدالة، إذًا سالب خمسة مالهاش دعوة على X تربيع في
مشتقة من الـ X اللي بيقدر بواحد صحيح
المثال الثاني
Y تساوي تلاتة الجذر الثالث لـ X تربيع ناقص اثنين
على الجذر التربيعي لـ X تكعيب لما نشوف مثل ذلك
بنفضل نرتب شكل المسألة قبل أن نقوم بعملية التفاضل
يبقى الحل على الشكل التالي solution لو جيت قلت الـ Y
يساوي التلاتة مالهاش داعي أكون أصلًا هذا يعني X تربيع
أُس ثلث يعني X أُس كده ايش؟ اثنين على تلاتة أُس ثلث
ناقص اثنين هذه الجذر التربيعي لـ X تكعيب يعني X تكعيب
أُس نصف يعني X أُس تلاتة على اثنين ونطلعها فوق بيصير
X أُس سالب تلاتة على اثنين تمام إذا حطيت المسألة
بشكل جديد الآن بقدر أقوله المشتقة الأولى Y prime
السابق تلاتة مالهاش دعوة نيجي هذه الأس في X مرفوعة
للأس مطروح منه واحد يبقى اثنين على تلاتة ناقص واحد لأن دي
قداش؟ سالب ثلث أنت وين منها؟ ناقص اثنين في سالب
تلاتة على اثنين X أُس سالب تلاتة على اثنين سالب
واحد يعني كده؟ سالب خمسة على اثنين سالب خمسة على
اثنين Y يساوي تلاتة مع تلاتة بيبقى ليه اثنين X أُس
سالب ثلثين كمان مع اثنين وزائد في ناقص في ناقص
بزائد اثنين مع اثنين بيظل تلاتة x والسالب خمسة
على اثنين النقطة رقم ثلاث Y تساوي خمسة
زائد اثنين X زائد X تربيع كله على الجذر التربيعي
لـ X طبعًا زي ما رتبنا المسألة اللي فوق بنفضل نرتب
المسألة هذه أولًا ثم نقوم بعملية الاشتقاق يبقى هنا
بدي أروح أكتب المسألة على الشكل التالي Y تساوي كيف
بقدر أرتبها؟ بقدر أوزع الـ bus على مين؟ على المقام،
يبقى ده بيصير خمسة على جذر الـ X، يعني خمسة X
و السالب نصف، يبقى هاي خمسة X و السالب نصف، زائد اثنين
هذا X على جذر X يعني X على X أُس نصف يبقى فوق جذر X
أُس نصف يبقى زائد 2X أُس نصف يعني 2 جذر X طيب زائد X أُس
نصف وهنا اثنين بيبقى X أُس تلاتة على اثنين هذا بدّه
يعطيلك أن y prime يساوي نشتق يبقى هاي خمسة وهاي
سالب نصف X أُس سالب تلاتة على اثنين يبقى ناقص نصف X أُس
سالب تلاتة على اثنين وهنا زائد اثنين في نصف X أُس
نصف سالب واحد دول جديد سالب نصف يبقى سالب نصف اللي
بعده زائد تلاتة على اثنين
لو حبينا نقيت بس نرتبها يبقى ناقص خمسة على اثنين
هذه نمرة C من الأمثلة نروح لنمرة D يبقى نمرة D
بتقول ما يأتي Y تساوي X تربيع زائد اثنين X X تربيع
زائد اثنين X على X تربيع ناقص واحد بنجيب مشتقتها
يبقى مشتقتها هي عبارة عن مشتقة خارج قسمة دالتين
يبقى الـ y prime يساوي المقام في مشتقة البسط مشتقة
البسط اللي هو اثنين X زائد اثنين ناقص البسط اللي
هو X تربيع زائد اثنين X في مشتقة المقام اللي
هو باثنين X كل هذا مقسومًا على مربع المقام الأصلي
تمام يبقى هذا الكلام بدي أعطينا Y' يساوي بدي أحاول
أختصر اللي هو الحساب اللي قدامي هذه فباجي بقول
اثنين X تكعيب زائد اثنين X تربيع ناقص اثنين X ناقص
اثنين، هذه فكّية القوس الأول القوس الثاني ناقص
اثنين X تكعيب وكمان ناقص أربعة X تربيع على
المقام X تربيع ناقص واحد لكل تربيع يبقى الـ y prime
يبقى يساوي 2x تكعيب وناقص 2x تكعيب مع السلامة عند
2x تربيع وناقص 4x تربيع يبقى ناقص 2x تربيع ناقص
اثنين X ناقص اثنين في غيرهم على X تربيع ناقص واحد
لكل تربيع اختصارات ما فيهش يبقى بروح وبخليها زي ما
هي نمرة ايش؟ بدنا Y تساوي X تربيع زائد تلاتة في جذر
الـ X ناقص تلاتة في تلاتة X أُس ثلثين ناقص اثنين
فكّرها لي
كيف أنه نشتق هذه الظلة هذه الدالة مش دالتين وإنما
بدل الدالة تلات دوال، يعني حاصل ضرب تلات دوال،
بدنا نيجي نشوف كيف نشتقهم طبعًا في أكثر من اقتراح
الاقتراح الأول نضرب هذول اثنين في بعض وبعدين يصير
مشتقة حاصل ضرب دالتين أو نضرب اثنين هذول في بعض وبعدين
بعدين يحصل ضرب دالتين أو تضرب أي اثنين في بعض وبعدين
بعدين يحصل ضرب دالتين أو نضرب التلاتة في بعض ثم
نشتق هذه وجهة نظر تمام؟ لكن هناك وجهة نظر أخرى وهي
المشتقة الأول والثاني والثاني والأول
الثاني of y تساوي x تربيع ناقص x أس تلتين
يبقى بدنا المشتقة الثانية لمن؟ لـ x تربيع ناقص x أس
تلتين بقولها بسيطة يعني بدنا نشتق هذه الدالة كم
مرة مرتين يبقى بداشي أقوله y prime 2x ناقص
2/3 x أس كده؟ كده؟ 2/3 سالب واحد كده ايش بيظل؟
سالب ثلث ثم بعد هيك بروح اجيب مين؟ المشتقة الثانية
يبقى المشتقة الثانية y double prime تساوي مشتقة
الأولى بـ 2 وهذه ناقص ثلثين ما لهاش دعوة وهذا سالب
ثلث x أس سالب ثلث سالب واحد يعني سالب واحد وثلث يبقى
سالب أربعة على ثلاثة يبقى قلة النتيجة الـ 2 ناقص
2/9 x أو سالب 4/
3 نمر
بي find
الـ y to the derivative m for the function لدى ال
y تساوي واحد على x زائد ثلاثة
مشان أجيب المشتقة النونية نروح أجيب المشتقة الأولى
و الثانية و الثالثة و الرابعة و الخامسة لغاية ما
اهتدي إلى شكل المشتقة النونية كيف كانت تالية
solution؟
الآن بده يجي إلى y' يساوي مشتقة هذه سالب واحد على
x زائد ثلاثة الكل تربيع في مشتقة ما تحت ما إلا اللي
هو المقام اللي هو بقد إيش بـ 1 يبقى النتيجة صارت
سالب واحد على x زائد ثلاثة الكل تربيع
بنروح نجيب المشتقة الثانية يعني يا شباب هذه كأنها
إيش؟ كأنها سالب x زائد ثلاثة الكل أس سالب 2 طيب هذه
هي الـ y'' هي السالب اللي برة وهي سالب 2 وهي
القوس زي ما هو وبدنا نطرح منه واحد بيصير السالب
2 سالب واحد سالب 3 في تفاضل مداخل القوس
اللي هو الـ d'/dx اللي هو
بواحد يبقى النتيجة صارت اللي هو 2 x زائد ثلاثة
و سالب 3 السلام عليكم طيب بدنا نروح نجيب المشتقة
الثالثة يساوي هاي الـ 2 اللي برة وهاي سالب 3 و
هذا x زائد ثلاثة أس سالب كده إيش؟ سالب 3 سالب
واحد اللي هو سالب 4 في مشتقة مداخل القوس اللي
هو بواحد طيب الآن لو جيت المشتقة الرابعة يساوي
2 في سالب 3 في سالب 4 في الـ x زائد
3 أس سالب 5 ما ... وين اللي مضروبينهاش؟ وين
اللي محطوطينهاش؟ الثالثة هي الثالثة هي 2 سالب
3 في x أس 4 سالب 3 سالب 1 سالب
4 كيف مكتوبينهاش عاد؟ على كلام كان سليم مائة
بالمائة، لا غبار عليه، تمام؟ طيب، بس ثواني شوية،
الآن هذا ويا الساوي، سالب في سالب موجب يبقى 2
في 3 في 4 x زائد 3 الكل أس سالب 5
إيش رأيك بدي أصيغ هذه الصياغة أخرى لو رجعنا هيك في
الهمش للثانوية العامة بقينا نقول مضروب الـ 4
4 في 3 في 2 في 1 مش هيك بيناجي أول؟
صح؟ يعني كنت تكتبوها هيك و الله واحدة و نقطة مش
هيك يعني فهي ممتازة يعني يبقى مضروب الـ 4 اللي
هو 4 في مضروب الـ 3 هيك كنت تكتبوها أو 4
في 3 في مضروب 2
4×3×2×1 4×3×2×1 4×3×2×1 4×3×2×1 4×3×2×1
4×3×2×1
هذه هي السالب برة 2 في 3 مش هي مضروب 3
أيضا لأن 3 في 2 في 1 إذا هذه 3
factorial في الـ x زائد 3 الكل أس سالب 4 لو
جيت لهذه أليست هذه هي 2 factorial في x زائد
3 الكل أس سالب 3؟ هذه أليست هي 1
factorial فاهمين؟ x أس 3 أو ناقص 2
طيب ممتاز إذا لو ضلت ماشي على الشكل هذه هوصل
للمشتقة النونية what's the matter استنى شوية عدت عشان
أجيب شكل المشتقة النونية بدي أقارن بين نتائج التي
توصلت اليها هذا المشتقة كده إيش؟ 4 النتيجة
4 factorial x أس 3 أس سالب 5 يبقى 4
4 سالب 5 تعال خد المشتقة الثالثة 3
factorial بس بشرط سالب، وهنا كده؟ سالب 4، تعليل
المشتقة الثانية، 2 factorial و السالب 3
القوس، تعليل y prime، يبقى 1 factorial x أس
3 يساوي سالب 2، يبقى الملاحظة ما يأتي حد
موجب، حد سالب، مش كله موجب ولا كله سالب، مرة موجب،
مرة سالب، مرة موجب، مرة سالب، أي واحدة، 2،
رتبة المشتقة هي تبعت الـ factorial المشتقة الرابعة
4 factorial المشتقة الثانية 2 factorial
المشتقة الأولى 1 factorial 2 والله 3 ال
قوس في الحالات الأربعة زي ما هو بس اللي بتغير
الأس زائد في حالة المشتقة الأولى كان سالب 2 في
عادة المشتقة الثانية كان سالب 3 في عادة
المشتقة الرابعة كأنه في المشتقة الثالثة صار سالب
4 في عادة المشتقة الرابعة صار سالب 5 وهكذا
إذا بناء على هذه المقارنة بقدر أكتب شكل المشتقة
النونية يبقى يا باجي بقول سالب واحد to the power n
و بدي أرجعلها لسه أتأكد شغلي صح و الله غلط 4
4 factorial 3 3 factorial يبقى n n
factorial الـ x زائد 3 زي ما هو المشتقة الرابعة
بسالب 5 يبقى بدأ يقول سالب n وكمان سالب واحد
يعني المشتقة قد يبدأ يحطه بشرة سالب وأطرح منها واحد
الرابعة بسالب 5، الثالثة بسالب 4، الثانية
بسال 3، الأولى بسالب 2 وهكذا، يعني أقل من
رتبة المشتقة بضمن بسالب واحد، الرتبة بسالب وكمان
تطرح منها سالب واحد نرجع لهذا نتأكد شغلي صح و لا
غلط، إن كان صح نكملها، إن كان غلط بنعمله التصحيح
اللي لازم، بدالي أقول لو بدي المشتقة الأولى، يبقى
مكان الـ n بده أحط 1، يبقى y prime، يبقى بده
أحط هنا 1 وهنا 1، يبقى 1 بصير هذه سالب،
القوس و السالب 2 سالب القوس السالب 2 اللي
المشتقة اه والله هذه مظبوطة تمام نسيت السالب بس هنا
يعني تمام؟ بنجرب مين؟ لو كانت الـ n بـ 2 يبقى هذه
السالب 1 تربيع بالموجب بصير 2 factorial x
أس 3 و سالب 3 لأن الـ n بـ 2 سالب
2 سالب 1 سالب 3 يبقى الـ y double prime
بصير 2 factorial x أس 3 و السالب 3
وهكذا بلاحظ الكلام هذا صحيح دائما و أبدا إذا
المشتقة النونية سالب واحد أس n n factorial في x
أس 3 to the power سالب n سالب واحد طيب لو
نجيت الإشارة حسب ما مكتوب مش صحيحة يعني لاجئة
المشتقة و لا بدل ما هي سالب لاجئتها موجبة كيف
تصحيها بكل بساطة بس جبل إن كتب زائد واحد تبقى خلصت
منها المشكلة دائما أنا بحط أس n لاجئتها مظبوطة
كانت بها ما لاجئتها بس بضيف واحد بصير مظبوطة تمام
مائة بالمئة هذا السؤال اللي كنت تسأله و لا غيره
الاشتغال بقى عشان أقول x أس أتردد كله سالب m و متصفر
الداخل دولة احنا ما خدناش تقول x أس كتبة احنا ما
خدناش تقول x أس كتبة احنا ما خدناش تقول x أس كتبة
احنا ما خدناش تقول x أس كتبة احنا ما خدناش تقول x
أس كتبة احنا ما خدناش تقول x أس كتبة احنا ما خدناش
تقول x أس كتبة احنا ما خدناش تقول x أس كتبة احنا
ما خدناش تقول x أس كتبة احنا ما خدناش تقول x زي
كتبة احنا ما خدناش تقول x أس كتبة احنا ما خدناش
تقول x أس كتبة احنا ما خدناش تقول x أس كتبة احنا
ما خدناش تقول x أس كتبة إن شاء الله تشيروني حد بدي
أسأل ثاني؟ المشتقة اللي هو واحد على اثنين جذر ال
x؟ المشتقة
اللي هو واحد على اثنين جذر الـ x؟ المشتقة اللي هو
واحد على اثنين جذر الـ x؟ المشتقة اللي هو واحد على
x؟ المشتقة اللي هو واحد على اثنين جذر الـ x؟ المشتق
اللي هو واحد على اثنين جذر الـ x؟ المشتقة اللي هو
واحد على اثنين جذر الـ x؟ المشتقة اللي هو واحد على
اثنين جذر الـ x؟ المش
أي سؤال بده مشتقة العاشرة الـ 20% بنشوف النتيجة هنا
و بنعمل مقارنة و بنقل عليها بنستنتجها سواء كان
الـ sin أو الـ cos أو جذر الـ x أو أي شغلة من الشغلات
هذه شوف مادام الشقاق بطلقلك نفس الدالة بس بتغير
الأس لازم يكون في شكل المشتقة النونية
الإشارة عندي ناقص واحد، حاطيتها و ص n، مظبوط؟ يبقى
هذه بحطها لأي إشارة بعد ذلك، مدام موجبة بسالب موجبة
بسالبة، بحط هذه، إذا والله لاجئتها، لما تيجي عوض
المشتقة و الثانية و الثالثة، لاجئتها الصحيح، يبقى
الوضع صحيح، لاجئتها غلط، بس للأس هذا بحط n زائد
واحد، و الباقي كما هو، يعني اللي كانت موجبة بصير
سالب، واللي كانت سالبة بصير موجبة، بتطلع معناة دورية
ماشي يا سيدي طيب ننتقل إلى المثال اللي يليه المثال
اللي بعده مثال رقم 3 يبقى 3 بقول الـ f
of 2 يساوي 2 and الـ f prime of 2 يساوي
3 and الـ f prime of 2 يساوي 3 find
وجدلي اللي هو dy by dx for
نيجي الآن للمشتقة اللي عندنا هذا يبقى solution
الآن في إن y تساوي f of x على x تربيع زائد f of x
عند x يساوي 2 مطلوب قد إيش مقدار المشتقة عند x
يساوي 2 إذا بدنا نروح نشتق الدالة و نعوض
بالمعطيات اللي موجودة عندنا يبقى الـ y prime يساوي
هذه خارج قسمة الدالتين يبقى المقام في مشتقة البسط
ناقص البسط في مشتقة المقام 2x زائد f prime of x
كل هذا مقسوم على مربع المقام الأصلي الكل تربيع بعد
هيك بدنا نروح نجيب الـ y prime عند x يساوي كده؟ 2
يبقى بدنا نشيل كل x ونحط مكانها 2 يبقى هذا الكلام
بدّه يساوي 2 تربيع زائد الـ f of 2 في الـ f prime of 2
ناقص الـ f of 2 2 في 2 زائد f prime of 2
كله مقسومًا على 2 تربيع زائد f of 2 الكل
تربيع النتيجة تساوي 4 زائد f of 2 مقطع
اللي هو بقد إيش بـ 2 f prime of 2 اللي هي
بقد إيش بـ 3 يبقى مضروب في 3 ناقص f of 2 بـ 2
4 زائد f prime of 2 اللي هو بـ 3 كل هذا
الكلام مقسومًا على اللي هو 4 زائد f of 2 بـ 2 الكل
تربيع نجا 2 × 4 6 × 3 18
ناقص 3 و 4 7 × 2 14 كل
هذا الكلام على 36 يبقى على 36
بيظل 4 على 36 يقبل جواب قد إيش تساوي
المماس للمنحنى المماس للمنحنى المماس للمنحنى
المماس للمنحنى
يبقى هذا الكلام بده يساوي ثلاثة × تربيع ناقص ثلاثة
× تربيع ناقص أربعة الآن هذا يساوي ميل المماس للمنحنى
يبقى هذا يساوي slope of the tangent عند أي لحظة طب
أنا بدي slope of the tangent وين؟ عند النقطة اثنين
وواحد يبقى باجي بقول له the slope of the tangent at
the point
يبقى هذا الكلام يساوي ثلاثة × اثنين تربيع ناقص
أربعة ثلاثة × أربعة ناقص أربعة يساوي
ثلاثة × اثنين تربيع ناقص أربعة يبقى هذا الميل
تبع ال tangent هذا لو رحت أعطيته الرمز m1 الآن أنا
عندي حاصل ضرب ميلي المستقيمين المتعامدين يساوي ماذا؟
سالب واحد بما أن حاصل ضرب الأول × الثاني يساوي
سالب واحد هذا بده يعطينا أنه ثمانية × m2
يساوي سالب واحد يبقى m2 يساوي سالب ثمانية يبقى
هذا الميل of the perpendicular line
to the tangent يبقى هذا ميل العمودي على من؟ على
المماس النقطة معروفة والميل معروف إذا بقدر أجيب
معادلة العمودي يبقى هنا from the equation y يساوي m
× x ناقص x naught زائد y naught the equation
of the perpendicular line
is y يساوي الميل له قداش سالب ثمانية × الـ x ناقص
اثنين زائد واحد هذه المعادلة انتهينا منها لكن بدي
أعيد ترتيبها فبقول لو ضربنا كله × ثمانية بيصير
ثمانية y يساوي ناقص x زائد اثنين زائد ثمانية ضربنا
كله × من؟ × ثمانية أو صار معادلة العمودي هي
ثمانية y يساوي ناقص x زائد عشرة هذه هي المعادلة
المطلوبة ويتبع خلصنا الجزء الأول من المسألة بداخل
الجزء الثاني الجزء الثاني قال لي هات لي معادلة
المماس كل المماس اللي ما له يساوي ماذا؟ يساوي
ثمانية مدام الميل يساوي ثمانية إذا بدي أجيب
النقاط اللي الميل عندها يساوي ماذا؟ يساوي ثمانية،
لما نجيب للنقاط والميل معروف بيصير سهل يجيب معادلة
هذا المماس بعدين بقول له ما يأتي بدنا نحاول نجيب
إحداثي النقاط هذه الآن الميل اللي هو بده يساوي الـ
dy على dx اللي هو من؟ اللي هو ثلاثة x تربيع ناقص
أربعة يساوي ماذا؟ يساوي ثمانية طبعا x هذه عند أي
نقطة in general هذه المعادلة هتعطيني ثلاثة × تربيع
يساوي ماذا؟ 12 يبقى × تربيع يساوي أربعة يبقى الـ × بدها
تساوي زائد أو ناقص اثنين يبقى عندي كم نقطة بيصير
للتماس؟ نقطة اثنين يبقى النقطة الأولى f × يساوي اثنين ثم
لماذا تساوي واحد أظن؟
فالـ × يساوي سالب اثنين ثم الـ y يساوي سالب اثنين
الكل تكعيب ناقص أربعة × سالب اثنين زائد واحد و
يساوي كمان ماذا واحد يبقى أصبح عندي نقطتين للتماس
The points of tangency
النقاط التماس هي اثنين وواحد and سالب اثنين وواحد يبقى كم مماس
دي؟ اثنين يبقى بقى دي بقول له the first tangent is y يساوي
الميل قداش؟ نعطيها ثمانية يبقى أي ثمانية × x ناقص
اثنين زائد الواحد أو الـ y يساوي ثمانية x ناقص
ستة عشر زائد واحد يبقى الـ y يساوي ثمانية x ناقص
خمسة عشر هذا المماس الأول نجيب المماس الثاني the
second tangent المماس الثاني و أي يساوي نفس الميل
اللي هو قداش ثمانية يبقى أي ثمانية × x ناقص ناقص
اثنين زائد واحد أو إن شئتم فقولوا y يساوي ثمانية x
طبعا ناقص ناقص اثنين بيزيد اثنين × ثمانية بستة عشر
زائد واحد أو y يساوي ثمانية x زائد سبعة عشر تمام؟
طب ده أسألكم سؤال هل المماسين دول متوازيين؟
متوازيين؟ مش عارفين الشباب؟ ما هي ما أعطيك نفس
الميل اللي هو ثمانية وما هي المعامل تبع الـ x هو
الميل ويساوي ثمانية إذا ما دام نفس الميل يبقى
المماسين متوازيين وعطيتكم مثال قبل ذلك وطلعوا
ورسمتوا زيادة وقلت لكم وبينتوا كل مماس متوازيه هو
الـ x نفسه اثنين ثلاثة واحد هنا والله فوق فوق فوق فوق
فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق
فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق
فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق
فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق فوق
المثال الأخير في هذا الـ section بيقول ما يأتي مثال
خمسة find
the values of
a and b if the tangent
the tangent to the curve
للمنحنى y يساوي ax تربيع زائد bx has slope برضه
ثمانية at the point واحد وخمسة
سؤال مرة ثانية بيقول هات لي قيمة a و b إذا كان
المماس للمنحنى ميله ثمانية عند هذه النقطة أنا عندي
مجهولين ومعطيني الميل وعند النقطة هذه يبقى بدي
أروح أشتق مش هنجيب الـ slope يبقى أول خطوة بدي
أقول له y prime يساوي اثنين a x زائد b الآن y' عند من
عند x يساوي كم؟ يساوي واحد يساوي كم؟ يساوي ثمانية
الميل يساوي ثمانية عند النقطة هذه هذا ايش معناه؟
هذا معناه أنك تشيل كل x و تضعها في مكان كم؟ واحد
يبقى اثنين a × واحد زائد b يساوي ماذا؟ ثمانية
يبقى صار اثنين a زائد b يساوي ثمانية طيب هذه
معلومة تربط بين المجهولين الاثنين بدنا كمان معلومة
النقطة هذه النقطة في التماس تقع على المماس وتقع
على المنحنى إذا تحقق معادلات المنحنى إذا and ات
اللي هي النقطة واحد وخمسة ويهاب يبقى بده يشيل الـ y
ويحط مكانها خمسة ويشيل x ويحط مكانها واحد يبقى
خمسة بدها تساوي a × واحد تربيع زائد b × واحد هذا
بده يعطيك a زائد b بده يساوي ماذا؟ بده يساوي خمسة
طيب الآن أنا عندي معادلتين اثنين a زائد b يساوي
ثمانية شو رأيك أنا بضربها × سالب واحد بيصير سالب a
سالب b يساوي سالب خمسة و أجمع يعني بدي أحل
المعادلتين الاثنين دول مع بعض بيطلع عندي ماذا الـ a
يساوي ثلاثة أجمع بيضل عندي هنا a و بيضل عندي هنا
ثلاثة طيب لما a تساوي ثلاثة b تساوي خمسة ناقص ثلاثة
اللي هو ماذا اثنين and الـ b يساوي اثنين لاحظ هنا
انتهى هذا الـ section اللي هو ثلاثة ثلاثة وإليك
أرقام المسائل
هي في الزاوية عندك يبقى exercises ثلاثة ثلاثة
المسائل التالية من واحد لواحد وخمسين والأد و نضيف
عليها كمان اللي هو من خمسة وخمسين لثمانية وخمسين و
كذلك من واحد و ستين لغاية أربعة و ستين واحد و ستين
لغاية أربعة و ستين والآن نروح لـ section ثلاثة
أربعة نقول الله يسهل عليك و نروح لثلاثة خمسة
اللي هو الـ derivatives of
مشتقة الدوال المثلثية أول شيء قبل ما نبدأ في مشتقة
الدوال المثلثية نذكر في شغل اخذناها قبل ذلك الشغل
هذه it should be noted that
limit لـ sin x على x لما الـ x تروح لـ zero يساوي
ماذا؟ واحد هذه مرت علينا قبل هيك بدي اخذ مثال عليها
وبعد هيك نروح لمن؟ لمشتقة الدوال المثلثية بدي الـ
limit لما الـ x بدها تروح للـ zero لـ cosine الـ x
ناقص واحد على من؟ على x شوفوا
يا زيد طبعا التعويض المباشر بيجيب صفر على صفر لكن أنا
بدي اكتب هذا على الشكل التالي شو
رأيك آخذ سالب عامل مشترك بيصير limit لما الـ x بدها
تروح لـ صفر للواحد ناقص cosine x على x سويتش شيء ولا
شيء حتى الآن بده ضرب × مرافق الـ cos طبعا ماذا ضرب
ليش مشان أخلق النظرية هذه مشان أقدر استخدمها يبقى
هذه لو روحنا ضربنا × المرافق واحد زائد cosine الـ x
على واحد زائد cosine الـ x يبقى هذه بدها تساوي الـ
limit لما الـ x بدها تروح لوين؟ لـ zero لمن؟ للبسط
فرق بين مربعين واحد ناقص cosine تربيع الـ x على x
× واحد زائد cosine الـ x أو هذا سالب limit لما الـ
x بدها تروح لـ zero واحد ناقص cosine تربيع من حساب
المثلثات لو sin تربيع الـ x على x × واحد زائد
cosine الـ x أول متطابقة مثلثية أخذناها في section
واحد ثلاثة كان cosine تربيع الـ x زائد sine تربيع
الـ x يساوي قداش واحد إذا واحد ناقص cosine تربيع الـ
x هي sine تربيع الـ x إذا هذا خلقت في المثلث sin
الـ x على x يبقى هذه صارت على الشكل التالي هي
السالب وهي limit لما الـ x بدها تروح لـ صفر لـ sin x على
x × sin x على واحد زائد cos x الآن بدأ أدخل الـ limit
على كل منهما يبقى هذا الكلام يساوي سالب limit لما
الـ x بدها تروح للـ zero لـ sin الـ x على x × limit
لما الـ x بدها تروح للـ zero لـ sin الـ x على واحد
زائد cosine الـ x الـ limit هذا ماذا؟ هي فوق عندي
بواحد صحيح يبقى هذه السالب وهي واحد هذه × ماذا؟
صفر على واحد زائد واحد النتيجة كلها ماذا صفر كده
من الآن فصاعدا limit هذه كلها بتساوي ماذا صفر طب
شو دخل هذا في الـ trigonometric؟ اه هذه النظريات و
هذه النظريات الآن في البرهان في إثبات مشتقة الدوال
المثلثية إذا بدنا نيجي نستخدم النظريتين دول في
إيجاد مشتقة الدوال المثلثية المختلفة
بدنا نجي لأول مشتقة من هذه المشتقات
الـ f prime of x يساوي ماذا؟ cos x يعني مشتقة الجيب
هو من؟ جيب التمام بدنا نثبت صحة هذا الكلام بدنا
نرجع للإثبات للتعريف يبقى احنا كان عندنا f prime
of x يساوي الـ limit لما الـ h بدها تروح للـ zero للـ f
of x زائد الـ h ناقص الـ f of x كله على h مش هذا كان
التعريف اللي لنا الـ f of x هي من؟ sin الـ x إذا
بدي آجي على الـ sin أشيل كل x و أحط مكانها x زائد h
يبقى الـ f prime of x يساوي الـ limit لما الـ h
بدها تروح لـ zero بدي آجي على الـ sin أشيل الـ x و
أكتب مكانها x زائد الـ h الـ f of x زي ما هي sin
x كله على من؟ على h التعويض المباشر بيجيب لـ صفر على صفر
لإن الـ sine is 0 بـ صفر و الـ h بـ صفر بيصير صفر ناقص صفر
على صفر و ما شاء الله عليها كمية غير معينة يبقى
استخدم صلاحياتك و اشتغل الشغل اللي بدك إياه h بدأت
تروح لـ صفر لو رجعنا بالذاكرة إلى الورق هذا الـ sine
back graphic و الـ sine cosine زائد cosine sine يبقى
هذا بقدر أقول هو عبارة عن sin الـ x × cos الـ h 570 01:02:01,
بده يسوي ال limit لما ال H بدها تروح ل zero تمام؟
بده افك ال cosine، cosine، cosine سالب، sine، sine
يبقى cosine ال X cosine ال H ناقص sine ال X في
sine الـ H ناقص Cos X كل هذا على H يساوي Limit لما
الـ H بدها تروح لـ Zero برضه ال term الأول والأخير
بده ياخد Cos X عام المشترك يبقى Cos X عام المشترك
وضل Cos H ناقص واحد على H ناقص limit لما الـH بده
تروح لـ0 لمين؟ لـsin X في sin H على H مرة ثانية
هذا القصيد مالهوش دعوة بطله برا يبقى هذا cosine ال
X في limit لما ال H بده تروح لل zero ل cosine ال H
ناقص واحد على H ناقص sine ال X برا في limit لما ال
H بده تروح لل zero ل sine ال H على H يبقى هذا
cosine X وهذا كم؟ بصفرو ناقص sine X وهذا كم؟ بواحد
يبقى النتيجة ناقص sine X يبقى من الآن صاعدا
مشتقة ال cosine بسالب sine لحد هنا الاشتقاق من خلال
التعريف الله يعطيك العافية مكفي بدنا نشتق بطريقة
أخرى يبقى بدنا نيجي لنمرة تلاتة بدنا D على DX لتان
ال X يبقى باجي بقوله D على DX ليه؟ الآن بقدر اكتبها
بدلالة الـSin والـCos وبالتالي بقدر استخدم نتيجتي
ال derivative اللي عندنا يبقى هذا الـSin X على Cos
X الآن هذه مشتقة خارج قسمة الدالتين يبقى هذا الكلام
يساوي المقام في مشتقة البسط ناقص البسط اللي هو sin
X في مشتقة المقام ال cosine بسالب sin X كله على
مربع المقام الأصلي النتيجة تساوي cosine تربيع ناقص
فناقص بزايد sin تربيع ال X كله على cosine تربيع ال
X cosine تربيع ال X زايد sin تربيع ال X من أول
متطابقة جديد بواحد صحيح يبقى النتيجة واحد على
cosine تربيع ال X ال cosine مقلوب من sec يبقى هذا
الكلام بدي يساوي sec تربيع ال X يبقى من الألف
صاعدا مشتقة التان بقد ايش إذا good exercise لك اللي
هو نمرة أربعة exercise لك بدك تثبتلي ان دي على DX
لمين ل cotan ال X اللي هي دي على DX ل cos ال X على sin
ال X يساوي سالب cosec تربيع ال X بنفس الطريقة هيك
عملتلك المقام في مشتقة البسط ناقص البسط في مشتقة
المقام على مربع المقام الأصلي وعطيتك النتيجة بنجي
لخمسة بدنا d على dx لمن ل sec ال x يبقى d على dx
ال sec هو مين واحد على cosine قبل شوية قلنا مشتقة
واحد على V سالب واحد على V تربيع في DV على DX يبقى
سالب واحد على cosine تربيع ال X في مشتقة ال cosine
سالب sin X إذن النتيجة تساوي سالب في سالب بموجب sin
X على cos تربيع X اللي بقدر اكتبها على الشكل
التالي واحد على cosine X في sin X على cosine X
واحد على cosine ب sec ال X sin على cos تان ال X
sec ال X في تان ال X، آخر حاجة، good exercise لك،
لكن ايه؟ D على DX ل cosecant X، يعني D على DX ال
cosecant الواحد على sin X يبقى سالب cosecant ال X
cotan ال X يبقى أصبح مباركة لك كل مشتقة الدوال
المثلثية الستة إذا نحن ناخد بعض الأمثلة على هذه
الدوال المثلثية الستة
أول مثال بيقول ما يأتي example
one find
y prime for each of the following أن المشتقة لكل مما
يأتي نمرة واحد Y تساوي X في cos X ناقص X تربيع في
sin X فتح معايا كويس يبقى solution بالنهاية prime
يساوي هذه تعتبر حاصل ضرب دالتين يبقى الدالة الأولى
في مشتقة الدالة الثانية فبضل cosine بسالب sin X
زائد الدالة الثانية في مشتقة الأولى لواحد صحيح
خلصنا منها ناقص دالة الأولى في مشتقة الدالة
الثانية هينا ناقص للكل زائد الدالة الثانية في مشتقة
الدالة الأولى اللي هي اتنين X بهذا الشكل نعيد
ترتيبها y' يساوي ناقص x في sin x زائد cos x ناقص x
تربيع في cos x ناقص 2x في sin x
وهذا نفس الشيء يبقى سالب تلاتة x في sin x زائد
cosine x ناقص x تربيع في cosine x
النقطة الثانية y تساوي cosine تربيع x على 2 ناقص
sin تربيع x على 2 طلع
عليه كويس احنا طوال خدنا مشتقة الدول المثلثية الستة
لكن ما أخذناش مشتقات مربعاتها صحيح ولا لا؟ لكن لو
رجعنا بالذاكرة إلى الوراء بقينا نقول cosine 2x
يساوي cosine تربيع ال X ناقص sine تربيع ال X زو
اللي جوا نص اللي برا يبقى بناء عليه cosine ال X
ايش تساوي؟ cosine تربيع X على 2 ناقص sine تربيع X
على 2 هي هذه؟ يبقى أصل المسألة Y يساوي من Cos X
خلاص يبقى فرطة يبقى بناء على Y' يساوي سالب Sin X
هذه ممكن اشتقها إن شاء الله بعد ما ناخد Chain Rule
ال section الجاي ونروحها نشتقها بدون ما نعمل الشغل
هذه على أي حال تلاتة Y تساوي Y تساوي X في sin X في
تان X يبقى هذا مشتقة ايش؟ حاصل ضرب ثلاث دول قبل
شوية أخدنا مشتقة حاصل ضرب ثلاثة أقوات، متذكر؟ طيب
يلا نشوف، يبقى solution
الـ y' يساوي مشتقة الأولى بواحد بضرب قد ايش sin x في
تان ال x زائد ال x مشتقة ال sin ب cos x في تان ال x
زائد x في sin ال X مشتقة التان بمين؟ ب sec تربيع ال
X في اختصارات؟ بالمرة؟ طيب هذه sin X في تان ال X
زائد X أليست هذه هي sin X على cosine X إذا ال
cosine مع ال cosine بتروح بيبقى X في sin X هذه مش
فيها أي اشكالية يبقى X في sin X في sec تربيع X
هذا النقطة من نقطة التالتة النقطة الرابعة النقطة
الرابعة بيقول لي Y تساوي واحد زائد تان ال X على
واحد ناقص تان ال X بدنا نشتقها طبعا واضح هذه
مشتقة خارج قسمة الدالتين يبقى باجي بقوله Y' يساوي
المقام في مين؟ في مشتقة البسط الواحد بـ0 والتان
ب sec تربيع ال X ناقص البسط واحد زائد تان ال X في
مشتقة المقام سالب sec تربيع ال X كله على مربع
المقام الأصلي واحد ناقص تان X لكل تربيع
هذا الكلام يساوي نفك الأقواس هيدي يبقى sec تربيع
ال X ناقص تان X في sec تربيع ال X
ناقص فناقص بزايد يبقى زائد sec تربيع ال X زائد تان ال
X في sec تربيع ال X كله مقسوما واحد ناقص تان ال X
لكل تربيع أظن هذا موجب وهذا سالب مع السلامة يبقى
النتيجة صارت Y' يساوي 2× sec تربيع X واحد ناقص تان X
لكل تربيع نقطة الخامسة Y تساوي تان X ناقص X بنجيب y
prime يبقى y prime يصيب تفاضل التان ب sec تربيع ال x
و تفاضل ال x ب 1 طيب sec تربيع ناقص 1 بقد ايش sec تربيع
ال x النقطة السادسة y تساوي sin
ال x على واحد زائد cosine ال X طبعا خارج قسم
الدالتين يبقى ال Y' يساوي المقام في مشتقة البسط
ناقص البسط في مشتقة المقام مشتقة الواحد Zero مشتقة
ال cosine سالب sine يبقى سالب sine ال X كله على
مربع المقام الأصلي واحد زائد cosine X لكل تربيع ببدأ
فك القوة السادة يبقى cosine X زائد cosine تربيع ال
X ناقص في ناقص يبقى زائد sine تربيع ال X كله على
واحد زائد cosine X الكل تربيع ويساوي cosine X زائد
طلّع لي cosine تربيع زي cosine تربيع هذه كلها كم دهش
يبقى زائد واحد زائد cosine X لكل تربيع عظيم البسط
هو المقدار بين القوسين يبقى هذا الكلام دي ساعة
واحد على واحد زائد cosine X
طب المثال الثاني then find y double prime for each of
the following نمرة
ايه؟ y تساوي x تربيع في sin ال x الأمثلة السابقة
كان كله بدنا المشتقة الأولى هنا بدنا المشتقة
الثانية يبقى solution مشان يجيب المشتقة ثانية لازم
يجيب المشتقة يبقى y prime يساوي حاصل ضرب دالتين
يبقى x تربيع في cosine ال x زائد اللي هو اتنين x
في sin ال X بدنا نجيب المشتقة الثانية حاصل
ضرب دالتين و كذلك حاصل ضرب دالتين يبقى الدالة
الأولى في مشتقة الدالة الثانية زائد الدالة الثانية
في مشتقة الدالة الأولى ال term التاني زائد 2x في
cosine ال X الأولى في مشتقة التانية زائد التانية
في مشتقة الأولى هي التانية و مشتقة الأولى اللي هي
ب 2 يبقى آلة المثلة سالب x تربيع في sine ال X
زائد 2x في cosine ال X و 2x بيصير كده؟ أربعةx cos
x زائد 2 sin x ما فيش غيرها طيب نمرة بإيه؟ y
تساوي cosecant ال x لنقش أكثر من هيك كافي طيب
يبقى y prime سالب cosecant ال x cotan ال x بنواي
double prime سالب ما نوس دعوة خليه برا هذا حاصل
ضرب دلتين يبقى cosecant ل x تفاضل cotan سالب
cosecant تربيع قبل قليل يبقى سالب cosecant تربيع
لكس الدوال المثلثية دير بالك مشتقتهم مثل ملح الطعام
لا يستغنى عنهم بدك تعرف مشتقة الدوال الستة مثل اسمك
ال sine ب cosine ال cosine ب سالب sine ال tan ب
sec تربيع ال cotan ب سالب cosecant تربيع ال sec
ب sec tan و ال cosecant ب سالب cosecant cotan زي
اسمك تكون عارفه طيب يبقى الدالة الأولى في مشتقة
الدالة الثانية زائد الدالة الثانية في مشتقة ال
cosecant له سالب cosecant ال X cotan ال X وهيقفلنا
القوس الآن بداخل الاشارة جوا يبقى ناقص فناقص بزايد
cosecant تربيع ال X هذا ال term الأول ال term التاني ناقص
فناقص كذلك بزايد اللي هو cosecant ال X cotan تربيع ال
X بقى
الاخر مثلا هه طبعا ضيعت هو العشر دقائق ما بين
الأسلسل عطلان لما بجدرة جدرة وصلنا هنا يبقى
example تلاتة آخر
مثال
أول نقطة بدنا limit لما ال X بده تروح لل zero لمن؟
ل sin if تحجز يبقى π زائد تان ال X على من؟ على
تان ال X ناقص اتنين في sec ال X
اللي بسيطة اللي متهادي سهلة، اللي متهادي معاها
صلاحيات، سيب النسبة المثلثية بتدخل وين؟ على
الزاوية، اللي بين قوسين تعتبر زاوية لمين؟ لل sin
يبقى هذه بدها تساوي ال sin افتح قرص يبقى ال
limit ندخل داخل ال sin على مين؟ على الزاوية يبقى
ال sin وهي limit دخلناها على مين؟ على الزاوية هذا
الكلام بده يساوي هي ال sin الآن limit البسط على
limit المقام limit المقدار الثابت بالمقدار الثابت
itself tan zero ب zero يبقى زائد zero على tan zero
ب zero ناقص اتنين sec zero يبقى داشر بواحد يبقى
صارت المسألة sin لسالب π على اتنين ال sin اد
والله even يبقى سالب برا π على اتنين sin π على 770
الـ X بدها تروح للـ zero لـ تان ثيتا لـ X زائد باي على
أربعة ناقص واحد كله على X يبقى المثال أخذ شكلًا
جديدًا يبقى هذا الكلام بيصير الـ limit لما الـ X
بدها تروح للـ zero التان هذي بقدر أفكها يبقى باجي
بقوله تان الـ X زائد تان باي على أربعة على واحد ناقص
تان الـ X تان باي على أربعة وعندي ناقص ولسه كله
مجسوم على X كل الخمسة والأربعين بواحد هذا الكلام
يساوي Limit لما الـ X بده يروح للـ Zero نجي لتان الـ
X زائد واحد وضل الخمسة والأربعين بواحد وضل الخمسة
والأربعين بواحد على واحد ناقص تان الـ X كله ناقص واحد
على X طب ايش رأيك نوحد المقامات للكل؟ فهذا الكلام
بده يساوي limit لما الـ X بده يروح لـ zero هذا شرط
الكسر و بده نوحد المقامات للكل واحد ناقص تاني الـ X
بظل تاني الـ X زائد واحد وبعد هيك ناقص واحد زائد
تان الـ X وكله مقسوم على مين على X يبقى الـ limit
لما الـ X بده تروح للـ zero ناقص واحد وزائد واحد مع
السلامة يبقى بصيري اتنين تان الـ X على X في واحد
ناقص تان الـ X أو إن شئتم فقولوا اتنين خليك برا و
هاي limit لما الـ X بده تروح لـ zero لـ تان الـ X على X
فمين في واحد على واحد ناقص تان الـ X هذه حافظينها
ضمن الثانوية بواحد أنا مش حافظها يبقى بده يساوي
اتنين limit
Limit لما الـ X تروح لـ Zero واحد ناقص
تاني X يساوي اتنين وهذه كلها بواحد وهذه كلها بواحد
على كوساين صفر بواحد وهذه zero وكمان بواحد يبقى
الجواب قداش اتنين يبقى exercises تلاتة خمسة
المسائل التالية خلاص
exercises تلاتة خمسة المسائل من واحد لسبعة و ثلاثين
القد
ومن تلاتة وأربعين لتلاتة وخمسين القد
طبعًا وكذلك من سبعة وخمسين لغاية ستين
خدت واحدة