بسم الله الرحمن الرحيم انتهينا من المرة الماضية
اللي كان بتحدث عن ال extreme values سواء كانت
local maximum و local minimum أو absolute maximum
و absolute minimumبننتقل الى ال section اللي يليه
هو section 4-2 بتحدث عن the main value theorem
نظرية القيمة المتوسطة قبل ما نبدأ بنظرية القيمة
المتوسطة بدأ ناخد نظرية أخرى وهي نظرية roleيبقى
بين أيدنا الان rules theorem تنص على ما يقتين
بيقول افترض ان y تساوي f of x ده المتصلة على
الفترة المغلقة a وb وفي نفس الوقت هذه ال function
قابلة للاشتقاء على الفترة المفتوحة a وb يبقى هاي
شرطينشرب التالت لو كان f of a يساوي f of b فهناك
أقل نمبر c في الأفترى a وb بحيث أن f prime of c
يساوي 0 يبقى هذه النظرية بتقولي أنا في عندي
function تساوي y تساوي f of x إذا هذه ال function
حققتلي ثلاثة شروط وهمالشرط الأول، الدلق متصل على
الفترة المغلقة A وB. إثنان، قابل الاشتقاق على
الفترة المفتوحة A وB. تلاتة، قيمة F of A بدأت ساوي
F of B. إن حدث ذلكيبقى لازم أكدر ألاقي نقطة C أو
عدد C في الفترة A وB على الأقل نقطة اللي لم يكن
أكتر يعني ممكن عدد ممكن اتنين ممكن تلاتة ممكن
أربعة الاخرين يعني على الأقل لازم ألاقي نقطة واحدة
في الفترة A وB at which بحيث أن ال F prime of C
بده يساوي قداش بده يساوي Zero تمام تماميبقى هذه
الشروط التلاتة عندنا اللي همين نظرية رول وهي تمهيد
لنظرية القيمة المتاسبة تعالى نفهم هذا النص على
الطبيعة، الآن نجد طالع على الرسمة الأولى اللي
عندناهذا المنحنى اللي انت شايفينه هو منحنى Della Y
تساوي F of X أو المنحنى اللي عنده هو منحنى Della Y
تساوي F of X تعالى نشوف هل الشروط الثلاثة متحقق
على كل من الرسم الأولى والثانيةأم لا؟ زي ما انت
شايف الخط متواصل بلا استثناء على الفترة المغلقة A
وB الدالة معرفة، تمام؟ إذن الدالة continuous على
الفترة A وB باجي على الفترة المفتوحة A وB هل
الدالة قابلة لاشتقاق أم لا؟ طبعا قابلة لاشتقاق
لأنه لا يوجد لا كسب ولا corner ولا vertical
tangent ولا discontinuityالاربعة تبعة عدم الاتصال،
عدم ال differentiation لتبالى، واضح؟ إذا أهدي زيها
طالع على المنحنى، مافيش عندي ولا عند أي نقطة في
vertical tangent ولا كسب ولا corner ولا vertical
tangent أو discontinuity مافيش عندي ولا حالة من
الحالات الأربعة، إذا اتدى لقاء بالاشتقاء في الرسم
الأولى وفي الرسم الثانيبالـ F of A يسوى F of B، هي
قيمة الدالة عند A، و هي قيمة الدالة عند B جايت وين
على نفس الخط. قيمة الدالة عند A تسوى قيمة الدالة
عند B نفس الخط الأفقي الموازي لمحور X. يبقى الآن
تحققت الشروط التلاتة. بيقول، there exists أو there
is at least على الأقل فيها نقطة واحدة.لكن ممكن
ألاقياش أكتر من نقطة، النقطة هذه ما لها؟ قيمة
المشتقة عندها يساوي مين؟ يساوي زيري، يعني المماس
عند هذه النقطة بيكون ما له؟
الخط اللي يواصل بين F of A وF of B يواظه خط أفقي
الان يجب ان يكون F prime of C1 يسوى 0 يعني المماس
أفقي F prime of C2 يسوى 0 معناته المماس أفقي F
prime of C3 يسوى 0 معناته المماس أفقيوالخط اللى
وصل بين F of A و F of B برضه زى ما انت شايف موازن
للممثات التلاتة اللى عندنا يبقى بناء علي من الآن
فصاعدا إذا تحققت الشروط التلاتة إجبارى على الأقل
لازم ألاقي ولو نقطة واحدة عندها قيمة المشتقة يساوي
Zero يمكن ألاقي تنتينيمكن تلاتة، يمكن أربعة، ماعنا
مشكلة. المهم على الأقل إذا وجدت الشروط الداء
الدالة أو تحققت الشروط الداء الثلاثة لدالة ما لازم
ألاجي ولو نقطة واحدة في الفترة المفتوحة A وB بحيث
أن المشتق عنها تساوي مين؟ تساوي Zero. تعالى نشوف
هذا بأمثلة عملية. بيقول لي بييني أن هذه الدالة
تحقق hypothesis فرضياتمفردها فرضية بس بدل الـI هذي
بحط بدالها I يبقى لو كانت I بكون hypothesis فرض
واحد بالـA يبقى الجمع hypothesis فرضيات يعني إيش
الفرضيات عن الفرضيات التلاتة اللي هنا يبقى بيقول
إن هذه ال function تحقق فرضيات نظرية رول على
الفترة المغلقة من Zero لغايةبعد ذلك هاتلي قيمة C
أو قيم C اللى موجودة فى الفترة المفتوحة 04 بحيث ان
قيمة المشتقة عندها تساوي كداش تساوي Zero يبقى احنا
فى الأول اللى بدنا نشوف فالتلات فرضيات متحققة ولا
ان كانت متحققة يبقى غصب عن اللى مايرضى لازم ألاقي
نقطة C قيمة المشتقة عندها تساوي صفربالدالي لمن؟
لدلة اللي عندنا هذه، الدلة هذه الدمية انتبعها من
ويل لويلبنعندي Zero لغاية Infinity، عند Zero
الدالة معرفة، بظبط ولا لا؟ لأنه أنا عند الجدرد،
معناته continuous على الفترة من Zero إلى Infinity،
يعني continuous على الفترة من أين اللي وين؟ من
Zero لأربعة.يفجأة باجي بقوله ال domain تبع الدالة
F، بده يساوي من Zero لغاية Infinity.هذا بده يعطينا
ان ال F is continuous on الفترة من Zero لغاية
كدهش؟ لغاية أربعة يبقى اتحقق الشرف الأول عندي طبعا
يمكن واحد يقولي احنا ماخدنا ذلك بقوله كيف؟وقال لـ
continuous function بدي أشوف ال limit تبعته عند أي
نقطة و بدي أشوف مين و بدي أشوف قيمتها بقول هذا
كلام صحيح عند نقطة على interval يقول بدي أشوف
طرفية ال interval و بدي أشوف مين الفنص هذه قصة
طويلة جدا لكن احنا بجيب و أقول هذه الدالة معرفة من
و إلى وينمن Zero لإنفينتي، مدى أن معرفتي جاذبوا
منها، إذن هي ده اللي متواصلة عليها، لو في نقطة
ماشية متواصلة، سحبناها منها، إذن هذه أغنطني عن مين
ماين أكواد الشغل الطويل تبعنا اللي بدي أثبت ال
continuity على interval لهذه ال function طيب كويس،
ضال ال differentiability، إذن أنا عند ال F of X
بدي أتساوياللي هو x على 2 ناقص جذر ال X روح نشتق
يبقى ال F prime of X يساوي نص ناقص واحد على اتنين
جذر ال X في مشتقة ما تحت الجذر اللي هو قداشر واحد
وين هذا ال domain تبع ال f prime؟ هو domain ال f
ماعدى النقاط المشتقة عندها غير معرفة هل الدالة
معرفة عند ال zero؟ إذا بدنا نشيل ال zero فقط لغر و
الباقي بيبقى كما هو يبقى هذا معناه ان ال f is
differentiable on الفترة من zero لاربععند اي نقطة
خلال الفترة من Zero لاربع المعطاعة المشتقة هذه
معرفة، إذا هذه الـ function مالها ده المتصل عالميا
على هذه الفترة وفي نفس الوقت قابلة للاشتقاء يبقى
هيجب بقاش two conditions فهي لعند ال condition
التالت بده أروح أجيب له ال F of Zero أظن تساوي
Zeroزيرو جدر زيرو بزيرو بزيرو بد أجيب له ال F of
أربع يبقى هذا بتسوي أربع على اتنين ناقص جدر الأربع
يعني اتنين ناقص اتنين يسوي جدر زيرو معناه هذا
الكلام ان ال F of zero بد يسوي مين؟الـ F of أربعة
وبالتالي تحققت شروط من نظرية rule يبقى هنا sir the
function F of X يبدأ تسوى X على اتنين ناقص جذر ال
X satisfy the hypothesis the
hypothesis ofthe rules theorem يبقى معناه ان هذه
ال function تحقق نظرية rule معناته ايش؟ هذا بدي
اعطيك there exist رقم c موجود في الفترة 04 such
that بحيث هو ان ال f prime of c بدي سوى قداشزيرو
قال هاتلي ال C هذه، بديها، قال find the value of C
اللي موجودة في الفترة zero أربعة و اللي المشتقة
عندها بدأت ساوي زيرو، بنقوله بسيطة جدا ال F prime
of C يعني بدي أجي على ال F prime و لل F prime هيها
بدي أشيل كل X و أحط مكانها C يبقى معناته هذا
الكلام ناقص ناقص واحد على اتنين جدري ال C بده يسوي
قداش Zero او انشيتهم فاقولوا واحد على اتنين جدري
ال C يسوي قداشنص او بمعنى اخر اتنين جذر ال C يساوي
اتنين يبقى جذر ال C يساوي كدهش لو ربعنا الطرفين
بيصير عندنا C تساوي واحد اذا عندك C تساوي واحد
بيكون F prime of واحد بيساوي كدهشالنص صحيح كلامنا
و الله كله كلام تعالى شوف f prime of واحد حط هنا
واحد بصير مص ناقص نص يساوي زيروك بكلامنا صحيحهذا
هو نظرية رول ومثال عليها نذهب إلى العمود الفقري
تبع هذا المجلد وهو العنوان اللي نراه فيه هو ال
main value theorem يبقى بعد هذا بالداجي the main
value theorem ال
main value theorem تنص على ما يأتي
فترب انه Suppose that the function
اللي هي Y تساوي F of X is continuous is
continuous on a closed interval
على الفترة المفتوحة A وB ثم هناك
يوجد على الأقل في
الفترة
المفتوحة A وB
بحيث ان ال F of B ناقص ال F of A على B ناقص ال A
فهو F prime of C
خلّاله كويس هنا.
هذي there exist يوجد، there exist يوجد
اللي هي بالإنجليزي بسمة مجنوبة على الشجرة التانية
معناته there exists يوجد طيب بدنا نيجي لنظرية
القيمة المتواصفة the main value term لو دققت في
نظرية القيمة المتواصفة بلاقي فيها فرقين فقط ما
بينها وبين نظرية role الفرق الأول هو حد بيقدر
يكتشفهأيوة ان الشرب التالت مش موجود F of A بديه
يسوي F of B مش موجود الشرب الثاني او النقطة
الثانية ايوة
نجلي تسوى Zero هنا ليس بالضرورة تسوى Zero ممكن
تسوى Zero او لا تسوى Zero نظرية و نظرية rule الفرق
ما بين الاتنين هدولهو فقط الشرط هذا ونتيجة ان هذا
الشرط تصبح نتيجة ومخالفة الشرط هذا ان هناك f of a
يسوى f of b بالخط الواصل بينهم أوفقي تمام انهم خط
واصلي يبقى المماس بيكون أوفق يبقى f prime يسوى
zero هنا شال الشرط هذا مجرد شال الشرط هذا يبقى f
prime of c يسوى f of b نقص f of a على b نقص ال a
أفترض أن الدالة دالة متصلة على الفترة المولقة وهو
الشرط الأول من نظرية رول، قابل الاشتقاق على الفترة
المفتوحة الشرط التالي من نظرية رول، الشرط التالت
اختفى، then there is at least يوجد على الأقل نقطة
إن لم يكن أكثرفي الفترة A وB at which ال F of B
نقص ال F of A على B نقص ال A بدل سوء ال F prime of
C هناك بيجيني أقول المماس أفقي، هل يا ترى هنا
المماس أفقي؟
الان ليس بالضرورة ان F of A تساوي F of Bليس
بالضرورة، كويس؟ يبقى هذه اللي هي ال F of A وهذه ال
F of B، هذا الخط الواصل بينهما، تمام؟ طيب، الأن لو
بدى أجيب ميل هذا الخطيبقى بدى أروح أرسم من هنا خط
عفوقي بالشكل لأن هذا بيعمل ليه زاوية قائمة صحيح
ولا لأ؟ إذا الخط اللى عنها ده من A إلى B المسافة
من هنا لغاية هنا هي B ناقص ال A صحيح ولا لأ؟ والخط
الراسي هذا هو ال F of Aوالخط هذا كله هو F of B إذا
بصير المسافة هذه لحالها فقط F of B ناقص F of A
يبقى المسافة هذه F of B ناقص F of A تعالي الآن لو
جيت عند النقطة اللي عندنايبقى حلاجة النقطة C بحيث
لو رسمت المماس عند هذه النقطة أيه المماس اللي
عندنا يمس المنحنة عند هذه النقطة يبقى هذا المماس
منه F prime of C يبقى اتنين هذول متوازين
فبيقول ف prime of C اللي هو ميل المماس للمنحنة عند
النقطة C بدي say F of B نقص F of A على B نقص ال A
اللي هو ميل الوطر اللي عندنا هذايبقى الاتنين هدول
بيساوي بعضهم، يبقى هذا معنى النظرية من الناحية
الهندسية المماث عند النقطة C المل تبعه يساوي المل
الخط الواصل ما بين ال F of A والF of B اللي هما
بيساووش بعض، في رول كانوا بيساوي واحد، يعني هذا
المل يساوي Zero، من هنا أتى الفرق في ما بينهماهذه
نظرية القيمة المتوسطة الآن بدنا ناخد بعض الأمثلة
على هذه النظرية أول مثال بيقول ما يأتي by example
one is
the functionهل الدالة f of x تساوي احد امرين اتنين
x ناقص تلاتة لما ال x محصورة ما بين ال zero و ما
بين اتنين او ستة x اللي هو ال term التاني ناقص x
تربية ناقص سبعةو ال X هذه محصورة ما بين اتنين وبين
التلاتة satisfy the
hypothesis of
the mean value theorem
خلّيني أبدأ كدا نعطيني مثلة f of x بعض عن p's y's
function ومعرفة على الفترة من zero إلى تلاتة يعني
ال domain تبع الدالة فقط بدي أخد من أين إلى أين من
zero إلى تلاتة بقول هل الدالة هذه تحقق شروط ال
main value theorem ولا لأ بقوله كويس يقول الخطوة
الأولى بدي أشوف هلهي continuous على الفترة المغلقة
من Zero لثلاثة ولا لأ اول شي بقوله domain الدالة F
يساوي الفترة المغلقة من Zero إلى ثلاثة من Zero إلى
اتنين ومن اتنين لثلاثة يبقى احنا مقيدين بهذه
الفترة الان هذه دالة خطيةده اللي خاطية، ده اللي
متاصلة، هذه ده اللي من الدرجة الثانية، منحنة، برضه
متاصلة، يبقى المشكلة وين؟ عند نقطة الالتقاء، ممكن
يكون منحنة بالشكل هذا أو الخط المستقيم جاي من فوق،
لا يلتقي معاه، مظبوط؟إذا أثبتنا إن اتنين بيلتقوا
مع بعض، فالدالة مالها؟ دالة متصلة، إذا المشكلتنا
حصلة وين؟ حصلة عند اتنين طب، مش هنشوف الدالة متصلة
عند اتنين ولا لأ، بدي أشوف هل قيمة الدالة عند
اتنين تساوي نهاية الدالة عند اتنين ولا لأ، إذا بجي
بقوله بدي أخد ال F of اتنينإتنين حصلة في ال term
الأول يجي اتنين في اتنين ناقص تلاتة و يسوى كده؟
واحد طيب أليس تهادي هي limit لل F of X لما ال X
بده يروح لليتنين من جهة الشمال؟صحيح ولا لأ؟ يبقى
هدول بيساوي بعض، يبقى لو قدرت أثبت أن ال limit ال
F of X لما ال X بتروح لإتنين من جهة اليمين بيساوي
النتيجة هذه، بيبقى الدالة دالة مبتصرة، بصير نهاية
الدالة تساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة. إذا
بيدروح أخد limit ال F of X لما ال X بيروح لإتنين
من جهة اليمين.يبقى هذا ال limit لما ال X بده تروح
للإتنين من جهة اليمين إذا احنا رايحين للإتنين من
جهة اليمين يبقى وين؟ الجزء الثاني من ال function
يبقى بيصير 6X ناقص X تربية ناقص 7 هذه polynomial
من الدرجة الثانيةيبقى تعويض مباشر يبقى ستة في
اتنين ناقص اتنين تربية ناقص سبعة ما يساوي اتناشر
وهذه اربعة وناقص اربعة وناقص سبعة اللي هو ناقص
أحداشر يبقى اتناشر ناقص أحداشر اللي هو قداشر نفس
القيمة اللي عندنا هذه يبقى بناء عليه الساملما ال X
يذهب إلى الاتنين سواء كان يمين او شمال تساوي ال F
of اتنين تساوي واحد هذا سيعطينا ان ال F is
continuous على كل الفترة من 0 لغاية 8 لغاية 3
هل الدالة قابلة للاشتراك على الفترة المفتوحة من
Zero لغاية تلاتة ولا لأ؟ تبقى مشكلتنا وين؟ عند
اتنين، نفس الطريقة، هل ال continuous بيعطيني
differentiability؟ليس بالضرورة، هذا كلام ليس
دقيقًا. إذا ما أقدرش، بس لو كانت قابلة للاشتقاء،
بقول automatic continuous غصبًا على ميربع، إذا ما
أقدرش أقول إن ده قابل للاشتقاك، شفه و هيك، اللي
أروح أثبتها. طيب، لو روحت أنا جيبت المشتقة من جهة
الشمال عند اتنين.تمام؟ يبقى المشتقة من جهة الشمال
يعني X أقل من الإتنين يبقى بده اشتق تساوي كده
تساوي اتنين طب لو بده اجيب المشتقة من جهة اليمين
عند اتنينيبقى بده يصير الستة ناقص اتنين X والحكي
هذا كله عند X يسوي قداش اتنين يبقى بيصير الستة
ناقص اتنين في اتنين يسوي قداش كمان اتنين نفس
القيمةيبقى هنا بقول له sir ال F prime او ال F is
differentiable at X يساوي اتنين هذا معناه ان ال F
isDifferentiable على الفترة المفتوحة من Zero لتلتة
لإن الاشتقاق الأولى مافيش فيه مشكلة واشتقاق الثاني
مافيه مشكلة المشكلة تكمن عند نقطة الالتقاء هل هي
Corner هل هي Castle هل هي Vertical Tangent هل هي
Discontinuity
السؤال يقول هل يتدل هذي تحقق شروط الـ Mean Value
Theorem ولا لأ؟ هم الشرطين اتحققوا، خلاص انتهينا،
يبقى ناسا الـF satisfy the
hypothesis
of the main value theorem
نمتقل إلى مثال آخر example
two show
that the
function f of x يسوى x زائد واحد علي x satisfy
هي حياثيات أساسية
قيمة ثيرم على الانترال
interval على الفترة المغلقة نص و اتنين and find
all
values of
C
that satisfy
the main value theorem
ولا نعود لمثال مرة أخرىالـ F of X تساوي X زائد
واحد بيين لي أن هذه الدلة تحقق نظرية القيم
المتوسطة على الفترة من نص لغاية اتنين وبعد ذلك
هتلي كل قيم C التي تحقق الهو ال main value theorem
على الفترة اللي هو نص و اتنين بقوله بسيطة، اذا
بدأو حدرس ال continuity لهذه الدلةأحنا عندنا ال F
of X يساوي X زائد واحد على X ال discontinuity حاصل
وين؟ في ال zero فقط ليه غير؟ ال discontinuity
الموجودة أو النقطة zero موجودة في الفترة ديلأ يبقى
هذه f of x is undefined
غير معرفة at x تساوي zero ليه ماهياش موجودة في
الفترة النص و اتنين معنى هذا الكلام ان دلدله متصلة
على الفترة هذه يبقى this means
that هذا يعني ان ال if is continuous
على الفترة المغنقة نص و اتنين لان ال discontinuity
فقط عند ال zero و zero خارج هذه الفترة نجي لمين ال
differentiability مش هنشوفه قبل اشتقاق ولا لا يبقى
لو جيت اشتقطة f prime of x يستوي واحد نقص واحد على
x تربيه المشتقة هذه غير معرفةخارج الفترة هذه يبقى
هذا ال f prime بده تساوي كده هذه is undefined كمان
غير محرفة at x يساوي zero اللي مش موجودة في الفترة
اللي هي النص و اتنين هذا معناه ان ال fis
differentiable on الفترة نص و اتنين إذا انتحققوا
الشرطين تبعين ال main value theorem يبقى F of X
تساوي X زائد واحد على X satisfy the hypothesis
of the mean value theorem يبقى المطموب الأول من
المسألة حققنا هذا على ال interval on ال interval
نص و اتنى بيقول هاتلي قيم C التي تحقق ال mean
value theoremبقوله by the mean value theorem there
exists c موجود في الفترة المفتوحة مص و اتنين such
that
الـ F of اتنين ناقص الـ F of نص على اتنين ناقص نص
يقدر يساوي الـ F prime of Cمش هنحقق هذا، بدي أعرف
قداش F of اتنين و قداش ال F of نص، يبقى بدي أشيل
هنا و أقول هذا اتنين زائد نص ناقص ال F of نص نص
زائد واحد على نصكله على قداش اتنين ناقص نصف بيبقى
واحد و نصف اللي هو تلاتة على اتنين بده يساوي F
prime of C هي F prime بس بده اشيل كل X و أحط
مكانها C يبقى واحد ناقص واحد على C تربية
طبعا ناقص المقدار هذا كله حطوه لبنجوسين برضه جداش
اتنين و نص يعني جداش مقلع زيرو يبقى هذا معناهإن
واحد ناقص واحد على C تربية تساوي Zero هذا معناه إن
واحد على C تربية تساوي واحد هذا معناه إن C تربية
تساوي واحد هذا معناه إن C تربية تساوي زائد أو ناقص
واحدتعال، طيب، الآن هل السالب واحد موجودة في
الفترة هذه؟ لأ، يبقى الـC تساوي السالب واحد، does
not belong للفترة اللي هي المصوتنا، يبقى هذه ايه؟
مرفوضةيبقى هذا مرفوضة، هذا بدّه يعطيك ان الـC
تساوي واحد هي المطموعة اللي موجودة في الفترة ما
بين نص و اتنين يبقى الـC اللي بدّه يهي الـC تساوي
واحد صحيح كويس،
يقول أعطيك العافية خلاص، مكملش، انتهينا، ماتحققش،
يبقى انتهينا منهنأخد مثال
يبقى example three show
that show that sign ال B
اقل من أو يساوي absolute value ل B ناقص ال A for
any numbers
A and B
طبعا السؤالين اللي فاتوا كانوا واضحات قال بييلي ان
هذه الدالة بتحقق شروط ال main value theorem و
بعدين هات لقيمة C هنا أباني سؤال لا جالي main
value theorem ولا جابلي سيرة ال main value theorem
يبقى كله بترجع لشطاطة كال انت صاحي ولا لأ فاهم
الموضوع لأهذا طبعا أحد أسئلة الكتاب زي ما هو نصا
زي هيك قال يبين لي أن ال absolute value ل sign ال
B ناقص sign ال A أقل من أو يسوى B ناقص عليه ك
absolute value لأي قيمة A أو B بقوله والله كويس
السؤال هوأنا بدي أجرب الـ Mean Value Theorem، لكي
أجرب الـ Mean Value Theorem، بدي فانكشن عندنا،
السؤال هو مين الـ function في هذه المثلة؟ الـ sine
ال X، يبقى أنا بس انتيجة استنتاجي من خلال مين؟ من
خلال الكلام اللي موجود عندى، ال sine ال B ناقص ال
sine ال A، يعني هذا قيمة للـ function عند بي وقيمة
أخرى للـ function وين، عند بي يبقى أول خطوة بقول
لهالـ f of x يساوي صين الـ x مدام صين الـ x يبقى
الصين الـ x فيها discontinuity يبقى هذه f of x هذه
الصين الـ x continuous for all x بالاستثناء كل الـ
real lineطيب، معنى هذا الكلام إن ال F is
continuous على الفترة A وB اللي هي جزء من مين؟ جزء
من ال real life خد أي close خد اللي بدكيها، zero
واحد، zero اتنين، واحد وخمسة، عشرة وخمسمية، أي
فترة بدكيهاإن شاء الله تقول لي ناقص ثلاثة وواحد،
سيئات، أي فترة بدي أخدها لأن ماعطليش قيود على A
وB، مين ما يكون الـA وB، وكون أخدت لبس الـU value
مين أصغر ومين أكبر، لا قيمة لها هذا السيئات، طيب
تمام، يبقى بالك كنتني واصل على هذه الفترةهل هي
differentiable ولا لا؟ إذا بجي بقوله F prime of X
تفضل الـSin بCos X المشتقة دي في نقطة ماهياش معرفة
يبقى هذا الـ if a parameter is defined برضه for
all x belastate لأ معناه هذا الكلب ان ال if is
differentiable على الفترة المفتوحة a و bإذا انتحقق
الشرطين، تبعين من؟ تبعين الـMain Value Theorem،
معناه اللازم ألاقي على الأقل ولو نقطة C، بحيث
نظرية القيمة المتوسطة تبقى صحيحة يبقى الـF of X
يساوي الصين الـX satisfy the hypothesis
of the mean value theory هذا معناه إيش؟ إنه يوجد
there exists C موجودة في الفترة المفتوحة A وB such
that بحيث أن ال F of Bنقص ال F of A على B نقص ال A
بدي يسوي F prime of C
الان بده اجي لل F of B اللي هي مين؟ صين ال B نقل
صين ال A على B اه بدت تتخلق المثل عندى، مش هيك؟
يبقى هذا الكلام بده يساوي F prime اللي هو جباش،
cosine يبقى هذا cosine ال Cطب ايش رأيك؟ بتاخد ال
absolute value للترفين تمام؟ هذا الكلام بده يساوي
هذا بده يعطيلك absolute value ل sign ال B ناقص
sign ال A على absolute value لل B ناقص ال E يساوي
absolute value لكو sign ال C
كده؟ يعني دايما هو أكتر من الواحديبقى اذا كوصين
الـC لما ربك يحط فيه البركة بيصير واحد
يبقى لو ضربت الطرفين فيها لا تتغير ال inequality
يبقى لو ضربت الطرفين بيصير عند مين absolute value
لل sign ال B ناقص A اللي هو sign ال A كله ك
absolute value أقل من أو يساوي ال B ناقص ال A أظن
وهو المطلوب
كيف ايش؟ احنا موضوعنا موضوع ال mean value theorem،
مظبوط؟ ماعنديش معلومات غيرها حتى اللحظة، يا هي
نظرية رول، مظبوط ولا لا؟طيب، يبقى أنا مين أسهل
ليه؟ هذه النظرية ولا نظرية رول؟ هذه لإن أنا بدأ
شرطين، بدليش الشرط التالت ومن الصعب إني أجيب الشرط
التالت، مظبوط؟ يبقى automatically أنا سنتاج لحالة
إنها نظرية رول طيب، بعدين أنا بدي أعطيك كمان مثال
بفكرة جديدة مختلفة وشوف كيف بدك تعرفها، هل هي
نظرية رول ولا غير نظرية رول؟ خد؟ أيوة
إذا لا تحقق نظر L في الشرطين بقدرش أقول there
exist C بقدرش مش إمكانية أبدا
مش ال cosine قداش cosine ال C أكبر قيمة بياخدوه
وأقل قيمة Zeroأقل من أو يساوي واحد يعني أقل من أو
يساوي واحد، مظبوط ولا لأ؟ يبقى هنا أقل من أو يساوي
واحد، اضرب ضرب تبادلي، بصي ال sign بيناقص sign ليه
ك absolute value أقل من أو يساوي واحد ضرب absolute
value ليه بيناقص عليه، وهو المطلوب
حد بدأ يسأل تاني؟ و بالمثال الرابع؟ مثال أربعة؟
وقول الـ suppose that
ال F is continuous on
الفترة المغلقة Zero وأربع
وال F of 0 يبدو يساوي واحد and الاتنين
اقل من او يساوي ال F prime of X اقل من او يساوي
خمسة for all X الموجودة في الفترة المفتوحة Zero
وأربعالسؤال هو show that بيّلي إنه التسعة أقل من
أو يساوي ال F of أربعة أقل من أو يساوي الواحد
وعشرين
نقرر من السؤالين، السؤال هذا لا اعطاني قيمة لدالة
ولا اعطاني شكل دالة ولا اعطاني continuous ولا
differentialعلى ده حالة من خلال المعطية تبعت المثل
استنتجت شكل الدالة و روحت اشتقيت الدالة و أثبتت
انها دالة متصلة على كل ال real line وبالتالي أخدت
فترة من هذا ال real line و بعدين أثبتت انها
differentiable وبالتالي استخدمت ال main value
theoremهذا السؤال قال لي ال F ده اللي متصل على
فترة 0 و 4 يبقى أعطاني main condition الأول تبع ال
main .. وماقلليش هستخدم ال main value theorem
قاللي أنت حر سوي اللي بدك إياه، و أعطاني معلومات و
أنا لحالي بدي أستنتج الشغلة اللي ممكن أحلبها main
السؤالقال ياف دالة مقتصرة على فترة المغلقة 0 4
وقيمة الدالة عند 0 تساوي 1 صحيح وقيمة المشتقة
محصورة بين 2 و5 لكل ال X اللي موجودة وينأربعة
محصورة
بين التسعة وما بين الواحد وعشرين
بقول طيب ايش؟ من وين بيزيجي بقولها؟ بعدين بقول اه
ماهي F of 4 موجودة في نظرية ال mean value theorem
نجان نقلوها Z بجانها F of 4 و F of 0 على 4 ناقصة 0
بتساوي F prime of Z مش هيك نظرية ال mean value اذا
انا بدي ابحث هل ال F اللي عندي هني هل تحقق شروط ال
mean value theorem ام لا والله إذا حققتها بقدر
استخدم ال mean value و أحل السؤال ما حققتهابروح
أكبس في شغلة تانية يمكن ولا ربما الله أعلم يبقى
احنا بنقول الدلة دلة متصلة على الفترة المغلقة يبقى
الخطوة الأولى بقوله ال F is continuous على الفترة
المغلقة 04
بدي أشوف هل الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة
المفتوحة 04 ولا لأ باجي بكمل قراية الأسئلة F of 0
تسوى 1 هذا مالعيش علاقة بالاشتقاق هذه قيمة الدالة
عند نقطة بيعطيني كمان condition إن قيمة المشتقة
محصورة بين 2 و 5 لكل ال X
ماذا تستنتج من هذه العبارة؟ اه مدام انها قيم
محصولة، اذا الدالة قابلة لاشتقاق خلال هذه الفترة،
يبقى جبت ال condition التاني التابع مين؟ ال main
value theorem، باجي بقولهلإتنين أقل من أو يساوي f
prime of x أقل من أو يساوي لكل ال x اللي موجودة في
الفترة 0 4 هذا شو تعني means that هذا تعني أن ال f
is differentiable on الفترة 0 4المشتقة محصورة بين
2 و 5 لكل ال X اللي في 0 و 4 يبقى الدالة قابلة
الاشتقاء خلال هذه الفترة وقيمة المشتقة محصورة
دائما و أبدا بين 2 و 5 يبقى الدالة قابلة الاشتقاء
خلال هذه الفترة من ال two conditions لإتنين هدول
بقدر أقوله إذاالـ if satisfy the hypothesis
of the main value theorem اذا هذه النظرية تحقق او
هذه الدالة F تحقق شروط نظرية القيمة المتواصلة مدام
هيك هذا شو معناه يبقى هناك
بحيث ان such that f prime of c بده ساوي اللي هو ال
F of أربعة ناقص ال F of Zero على أربعة ناقص ال
Zero طبعا؟ طيب، باجي بقوله هذا شو معناه؟ F of
أربعة لازمالي في الإجابةيبقى ماقدرش ألعب فيها ولا
حاجة ال F of zero مقاطع في المثل بواحد يبقى باشي
لو بكتب بدالها واحد اربعة ناقص zero اللي هو بقدراش
باربعة بده يسوى F prime of C يبقى هذا بده يسوى F
prime of Cالان f prime of x محصورة بين اتنين وخمسة
لكل ال x اللي محصورة في ال بينزير واربع، إذا معنى
هذا الكلام إن القيمة هذه محصورة بين مين ومين؟ بين
اتنين وخمسة، يبقى باجي بقوله بما أنلإتنين أقل من f
prime of x أقل من أو يسوى خمسة لكل ال x اللي
موجودة في zero أربعة إذا أنت تنطبق على الكلام اللي
إحنا جايب له هذا since هذا يبقى we have أن ال f of
أربعة ناقص الواحدأربعة محصورة ما بين اتنين وبين
مان وبين الخمسة، بصبر؟ لأن هذه F'C واحنا عنا F'X
لكل X اللي موجودة في الفترة هذه محصورة هنا، إذن C
موجودة في هذه الفترة، إذن F'C بدي يكون محصور بين
اتنين
أقل من او يساوي F of أربعة ناقص واحد اقل من او
يساوي أربعة في خمسة وعشرينواضيف لي واحد للثلاثة
أطراف بيصير تسعة أقل من أو يساوي ال F of أربعة أقل
من أو يساوي الواحد وعشرين وهو المطلوب ايوة ادي
بالك سؤال زي هذا مرة جيبناه في إحدى الامتحانات
عميلي بدي أسأل ال condition التاني هذاوالله هذا
اللي هنا، ممتاز جدا، طلعلي في أصله في المثلة،
بيقوللي أصله في المثلة إن F prime of X محصورة
دائما بين 2 و 5 لكل ال X اللي موجودة في الفترة من
0 ل4يبقى انا لو جيت على الفترة من zero لاربعة وجبت
المشتقة، المشتقة محصورة بين اتنين وخمسة، يعني
المشتقة exist، راح ولا لا؟ يبقى المشتقة موجودة
خلال الفترة من zero لاربعة، وهو ال condition
التاني من شروط ال main value termأعطانيها
continuous و هي differentiable بسبب تطبيق ال main
value theorem روحنا و طبقنا ال main value theorem
there exists c موجودة في الفترة من 0 ل 4 فهو f
prime of c بيسوي f of b نقص f of a على b مقص ال a
f of 0 معطب 1 شيلته و حطيته 1 4 نقص 0 بيسوي f
prime of cبرجع لل condition المشتقة لكل ال X
الموجودة من صفر لاربع محصورة بين اتنين و خمسة ال C
موجودة في الفترة 0 و 4 اذا F prime of C بيكون
محصورة ما بين اتنين و خمسة لكن ال F prime of C هي
F اربع نقص واحد على اربعبشيلة بحط f of أربعة ناقص
واحد على أربعة محصورة بين اتنين أو خمسة بحل
الانقلاد يصير ال F of أربعة محصورة بين التسعة وما
بين الواحد وعشرين في عندنا بعض النتائج على هذه
النظرية نعطيكم بدل النتيجة تنتين يبقى بالداجة
للنتيجة الأولى لهذه النظرية Crawler one
النتيجة الأولى بقول F F prime of X يساوي Zero at
each point X عند كل نقطة X of an open interval
ثم ال F of X يكون كونستانت C لكل
X الموجودة في الفترة المفتوحة A وB حيث
C هو كونستانت
خلّيني أقولك واحدالسؤال مرة تانية بقول لو كان f
prime of x يساوي 0 عند كل نقطة x في الفترة
المفتوحة a و b then f of x بدي ساوي constant c و
ال c هذه عبارة عن element موجود في الفترة a و b
بنقوله بسيطة جدا تعالى نشوف ال proofيعني الـ
crawler هذه بتقول لو كانت المشتقة لدالة تساوي zero
إذا هذه الدالة تعتبر دالة ثابتة طبعا أنا أخدنا في
ال chapter اللي فات في ال derivatives إن مشتقة
المقنعر ثابت يساوي، هذه بتقول للعكس، لو كانت
المشتقة تساوي zero إذا هذه الدالة دالةطيب تعالى
نشوف يبقى انا عند المشتقة تساوي zero بده احاول ان
هذه المشتقة تساوي مقدارا ثابتا بنقوله بسيطة جدا
يبقى انا بدى استفيدCrollary يعني نتيجة، نتيجة على
مين؟ نتيجة على نظرية ال main value theorem يعني
معناته أنا في البرهان بدي أطبق نظرية ال main value
theoremطبعا من وين لوين انا مش شايف انه closed
interval مش شايف انا هيك تمام فباجي بقوله بدي اطبق
اه بدي اجيب الشروط بحدافيرها الموجودة على الكلام
اللي موجود عندنا هذا بيقول ان المشتقة تساوي zero
عند كل نقطة موجودة في ال open interval ايش يعني
يعني الدلق قابل الاشتقاق على الفترة المفتوحة هذه
يبقى انا اول ما ابدأ بدي اقول اللي افترض عندي x1 و
x2 موجودة في الفترة المفتوحة a و b such that بحيث
ان ال x1 اقل من ال x2 على سبيل المثال اخدت نقطتين
في الفترة المفتوحة بحيث ان ال X1 أقل من X2 يعني ال
X1 و X2 لا بتساوي ال A ولا بتساوي ال B يعني لو جيت
قلت هذا ال real line واخدت هذه A واخدت هذه Bيبقى
اخد هنا x1 واخد هنا x2 واضح ان x1 اقل من ماين من
x2 طب يعني هدول قيمتين لا يمكن ان يتساوي صحيح ولا
لا؟
إذا أثبت أن قيمة الدالة عند X1 هي نفس قيمة الدالة
عند X2 يبقى هذه دالة ياشيتابع الانكس واحد وانكس
اتنين ليس قيم محددة، أي قيم موجودة في الانكس،
عشوائي أنا أخدتهم، ليس اتنين اتنين بعينهم وفلان
وفلان، لأ زي ما انا اقول انا بدي اخد اي طلاب اتنين
من الصرف، بس لو قلت تعيا محمد انت ابن فلان وانت
تعيا اسلمان، يعني ان انا اخترت اتنين بعينهم يعني،
يبقى هذا لا ينطق على الأخر، بس لو قلت اخدت اي
اتنينفتحنا الباب واخدنا اي اتنين يبقى خلاص اي
اتنين ينطبق عليها كل ما هو في القاعة تمام؟ يبقى
احنا بدنا نيجي هنا بدأ اخد two element X واحد و X
اتنين عشوائيا موجددات واحدفى الفترة اللى عندنا
المفتوحة A وB يعني ماعرفك لما نقول X1 و X2 لا
بتساوي و لا بتساوي B تمام الآن احنا عندنا ال F
prime of X يساوي Zero على الفترة المفتوحة A وB
معناته ايش؟ معناته ان ال F is differentiable on
الفترة المفتوحة A وBصحيح ولا لا؟ طيب سنة شوية بس
هذا معناه ان ال F is differentiable on الفترة
المغلقة X واحد و X اتنينلأن X1 و X2 جزء من الفترة
هذه كلها صحيح ولا لأ يبقى الدالة قابلة اشتقاق على
الفترة مدام قابلة اشتقاق إذا continuous يبقى هذا
يعطينا ان ال F is continuous on the closed
interval X1 و X2and differentiable on الفترة
المفتوحة x1 و x2يعني if a differentiable على اللي
closed مش بتضلها differentiable على اللي أقل منها
مش على الأقل منها وزيادة شوية برا لإنه على كل
الفترة من a إلى b معادة a وb يبقى اتحقق الشرطين
تبعات ال mean value theorem صحيح؟ يبقى هنا ال if
satisfy the hypothesis
of the mean value theorem هذا معناه ايش؟ there
exist c موجودة في الفترة x واحد و x اتنين such
that بحيث ان ifنقص f of x2 نقص f of x1 على x2 نقص
x1 بيسوي f prime of c
فقط فقط فقط فقط فقط فقط فقطزيرو يبقى هذا الكلام
بده يعطينا ان ال F of X2 ناقص F of X1 على X2 ناقص
X1 بده يساوي زيرو ايه السبب؟ because ان ال F prime
of X بده يساوي زيرو على الفترة كلها A وB يعني على
الفترة X1 وX2 بيه جزء منهاطيب مادام زيرو يبقى مين
اللي بيساوي زيرو البصد ولا المقعد؟ يبقى هنا بقوله
سوء ال F of X اتنين من عقص ال F of X واحد بيساوي
زيرو هذا معناته ان ال F of X اتنين بيساوي مين؟الـ
F of X1 لكل الـ X1 والـ X2 اللي موجودة في الفترة
المفتوحة A وB يعني X1 وX2 اي نقطتين ما تفسيرك لهذا
الكلام ان ده ثابت هذا معناه ان الـ F is a constant
function
on الفترة A وB هذا معناه ان ال F of X بدي ساوي
constant C على كل الفترة A وB وهو المطلوب شايف إذا
إلها جران يبقى closed جوهز يبقى مفتوحة في المثلة
فوق جالك open interval مظبوط
تعال هنا شوف تعال خلّي بالكم و أنا يا شباب نشوف مع
رأيه يبقى
F of X اتنين بسوء F of X واحد على كل ال X واحد و X
اتنين الموجودة في ال A و B احنا عاملنا الفترة كده؟
A و B و X اتنين واحد خد X واحد و X اتنين الموجودة
داخل هذه الفترة يعني ماعنديش لا A ولا B مظبوط هك؟
أحنا أخدنا X وحدة من X عشوائيا من A وB ممنوع
على الكلام لأنه مش موجود ال A وB من أساسها اه مش
موجودة خلاص طيب في كمان اكرولريه تاني أبسط
منها شوية يعني
عند كل نقطة x in an open interval
بقية مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح
مفتاح مفتاح مفتاح
مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح
مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح مفتاح م
بحيث ان ال F of X يساوي ال G of X زائد constant C
لكل ال X اللي موجودة في الفترة المفتوحة A وB
أي أن الـ F ناقص الـ G is a constant function
on الفترة A وB
معطيني ان مشتقتين لدى اللى بيكونوا متساويتين نعطيك
مثال قبل ما نجي لـ Crawler هذا لو قولتك F of X
يساوي X تكيب كده مشتقتها؟ X تربية لو قولتك F of X
يساوي X تكيب زائد ميةمشتقتة كمان تلاتة إذا
المدلتين هدول مشتقاتهم متساوية، انت قداش الفرق فيه
ما بينهما؟ المية هو مقدار تابع، تمام؟ فالفرق ما
بين الاتنين هذا مقدار تابع، هذا على سبيل المثال
طيب، يبقى برجع تاني
الفرق ما بين الدلتين كان مقدارا ثابتا
each point x in an open interval a وb يبقى
المشتقتان متساويتين على كل نقطة على الفترة
المفتوحة a وb then there exists a constant c لازم
يجي اللاجئ مقدار c بحيث ان ال f of x سوى g of x
زائد c يعني الفرق فيما بينهماهو مقدار ثابت اللي هو
C لكل ال X اللي موجودة في A وB ذاتة ان ال F ناقص G
is a constant function يعني لو جبت هذا على الشجة
تانية بصير الفرق بينهم يسوي C يبقى الفرق بينهم
يسوي مقدارا ثابتا بدنا نروح نثبت صحة هذا الكلام
يبقى أنا عندي هذه المعطياتأول خطوة لت ال f' of x
تساوي g' of x لكل ال x الموجودة في ال open
interval a و bبقدر اخلها معادلة صفرية يبقى ال F
prime of X ناقص G prime of X يساوي كده؟ يساوي Zero
خلّي هذه المعلومة عندك وبدأجي اقول افترض ان ال H
of X بده يساوي ال F of X ناقص ال G of Xبدي افترض
ان عندي دالة هذه الدالة هي الفرق ما بين هتين
الدالتين طب لو جيت و قولت لك اشتق هذه الدالة يبقى
باجي بقوله يبقى ال H prime of X يساوي ال F prime
of X ناقص G prime of Xطب من المعادل اللي فوق يبقى
هذا الكلام إيش بقدر أستنتج منه بقدر أستنتج إن ال H
prime of X يساوي ماين؟ يساوي Zero طلعلي هنا في ال
crawler الأولى لو دلة يساوي Zero إذا هذه الدلة
تساوي مقدارا ثابتا ثم باجي بقوله By crawlerي
when we have ان ال H of X بده يساوي ال C و ال C is
constant يبقى هذا مقدارا ثابتا يبقى سعر عندي ال H
of X بده يساوي اللي انا فرضه كده F of Xماقص الـ g
of x بدي يسوي المقدار الثابت لأن هذا يبقى بناء
عليه هذا بدي يعطيك ان ال f of x بدي يسوي ال g of x
زائد constant c وهو المطلوب هذا معناه ان ال f ماقص
ال g is a constant functionوهو اللي مفروض بقى بيه
كويس نيجوا الآن ايوه نقولك
اثبت ال quarry one و بعدين اثبت التاني يعني مش هيك
والله بضهك يعني نعيد ال quarry one نكتبهن اول و
جديدشوف، إذا طلب دائما و أبدا إثبات جزء يعتمد على
جزء آخر، بيعطيلك نمره إيه يثبتلي الجزء الأول و
بعدين بطلب إثبات الجزء الثاني، ليش صعبي ليه؟ ولا
صعب ولا هادر، بدك تعتبره صعب انت، هذا شأنك
نأخد بعض الأمثلة على الـ two crawlers هذول اللي
عندنا بس قبل ما ناخد الأمثلة خدنا الملاحظة البسيطة
هذه النقطة
الأعلى اتروا صحيحة على الفترة المفتوحة من A إلى
Infinityومن سالب infinity لغاية ال V ان سالب
infinity و infinity
السؤال هو مصطلح
الـ F of X تساوي تلاتة for all X give reasons
for your
answer
نرجع مرة تانية. ايوة. اكيد انه لازم يكون المماث
يكون نقطة من خلالها، يكون مماث واحد، يعني مايكونش
يكون مماث عشان يبقى يجي من خلالها من خلالها،
بالاختران التابع، يعني إذا بنعمل مماث النقطة،
هيقاطع كل النقاط؟ لأ، بصير نفس المماث عند جميع
النقاطوهيحول لنفس الميل مثلا خط أفقي أو خط مائل
سياد، و أين ما يكون الخط بدي سياد نفس الميلكله من
أوله إلى آخره، هذا خط مستقيل نرجع لأسئلتنا مرة
أخرى، يفترض أن قيمة الدالة عند السلب واحد هي
تلاتة، والـF prime of X بدأ يساوي Zero لكل X بلا
استثناءفي الدموعين طبعا تبع الدالة بسهل بقولك must
f of x يسوى تلاتة هل يجب ان ال f of x يسوى تلاتة
for all x يعني يعني هل يتدالى دالة ثابتة وتسوى
تلاتة لجميع قيم x بلا ستناء اعطيني سبب ان كان نعم
لماذا وان كان لأ لماذا نقوله بسيطة جدا احنا عندنا
الان ال f prime of x يسوى zeroصحيح ولا لا؟
بالكرولري الأولى يبقى F of X ساوي مقدار ثابت يبقى
باجي بقوله هذا بده يعطيلك by the above krolary
when
we haveإن ال F of X بده يساوي مقدارا ثابتا for all
X بلا استثناء where C is constant مين
اللي بيقولي في الامتحان؟ أنت؟ قول تاني
يعني انا لو جالك سؤال زي هيك، مش لازم اقولك اثبت
ال crawler في الأول و بعدين السؤال عليها، هيك اللي
بصير، ولا مانعك بالعرفش نحط امتحانات؟ بسيط،
شوف يا سيدي في وضع الامتحانات، لما يجيبك سؤال و
بدي انحل على شغلة معينة، بقولك اثبتها و بعدين
بعطيك السؤالعليها ومن الخطأ جدا ان نجيب سؤال
بمطلوب ان المطلوب الثاني يعتمد على المطلوب الأول
طب انا ماقدرسش أحل المطلوب الأول بقدر أحل المطلوب
التاني؟ لأ وبالتالي هذا من الخطأ في او في
استراتيجية الخطأ تبع مين تبع الامتحانات اللي ممكن
يقع فيها بعض الناس على أي حال ولا يهمك بنحط
امتحانات قبل أن تليدك أمكوبالتالي مش جديد علينا
هذا طيب نرجع مرة تانية احنا عندنا f prime of x بده
يساوي قداش بده يساوي zero بالكرولري اول وحدة يبقى
ده ال f of x يساوي مقدارا ثابتا لجميع قيم x
بالاستثناءفبرا اندي معلومة، شو المعلومة بتقول؟
بتقول لي F of سالب واحد بده يساوي تلاتة يبقى الأن
since بما أن F of سالب واحد يساوي تلاتة وأنا جايل
هنا ياشيالـ F of X يسوي مقدار ثابت لكل ال X's بلا
استئناف تمام يبقى من الاتنين هدول مع بعض بقدر
استنتج ان ال F of X بده تسوي تلاتة for all X بلا
استئناف خلصنا؟ يبقى must ولا ما must ايش؟ must
خُد لك كمان مثال يبقى
example two find
the
function f of x
الـ F' of X يسوى تمانية ناقص كوسيكا تربيع X and
the graph and
the graph of دلة F passing
passing through the point يمر
خلال النقطة الى اربعة
وزرع
سؤال مرة تانية بيقولي هاتلي الدالة f of x
المشتقتها بتساوي القيمة اللي عندها دي، يبقى دي
ليست على الكورولة الأولى، الكورولة الأولى بتقول
المشتقة بتساوي جديش، zero هذي قالها لأ بتساوي دالة
تانية، طيب نشوفوالرسم الباني لهذه الدالة اللى احنا
بدنا يمر بالنقطة باية على اربعة وزيره بقولكوا ياسي
يبقى الكرولري الاولى لايمكن ان تحل هذه المثلة يبقى
اللى ممكن يحل المثلة هدميا الكرولري التانية يبقى
انا بدي افترضإن عندي دالة g of x مشتقتها تساوي من؟
تساوي ال F prime حتى أقدر أطبق من؟ اللي هو التاني
هذي يبقى التماني هذي مشتقت من؟ تمانية X إذا I
تمانية Xوالدالة التانية هذه مشتقت من؟ كتان يبقى
زائد كتان ال X بدي افترض ان عندي دالة مشتقتها
تساوي المشتقة اللي عندها هذا بدي اعطيلهان ال g
prime of x يساوي تمانية ناقص كوسيكا تربيع ال x هذا
بد يعطيك ان ال f prime of x تساوي ال g prime of x
وتساوي تمانية ناقص
كوسيكا تربيع ال x
بتقول لو كان ال F' بده يساوي G' يبقى الفرق في ما
بينهما يساويمقدارا ثابتا، مظبوط؟ يبقى هذا معناه،
معناه ايش؟ لما يكون F' يسوى G' حسب نص انه يبقى
الفرق ما بين الدالتين بديه يسوى مقدارا ثابتا،
ممتاز جدا، يبقى معنى هذا الكلام ان ال F of X ناقص
ال G of Xبدي يساوي كده؟ بدي يساوي مقدارا ثابتا
اللي هو C معناه هذا الكلام ان ال F of X بدي يساوي
ال G of X زائد constant C معناه هذا الكلام ان ال F
of X بدي يساوي ال G of X اللي هي تمانية X زائد
كتانالـ X صحيح ولا لأ؟ زائد كونستانت C يبقى أنا
جبتله شكل ال F of X لكن بدلالة من؟ المتغير C قال
لي إن الدلة المنحنة تبعها يمر بالنقطة بي على أربعة
و زيرو إذا بداجي أعوض في الدلة هذه يبقى هنا باجي
بقوله at اللي هو by أربعة و زيرو we haveالـ F باي
عالى أربعة بده تسوى Zero يبقى Zero بده تسوى تمانية
في باي عالى أربعة زائد كتان باي عالى أربعة زائد
كنص تان C
هذا يصبح اتنين باى وهذا كتان باى على اربع اللي هو
واحد صحيح زائد كونستان سي يساوي كده؟ Zero يبقى
بناء عليه أصبح الكونستان سي يساوي سالب اتنين باى
سالب كده؟
باقية نقطة أخيرة شباب النقطة الأخيرة حاططها في ال
exercises وليس في الجزء النظري
النقطة هذه حساب الأصفر لدلة ما counting zeros
تمام؟ يبقى هاطلق في صيغة ال remark التالية remark
التي
counting zeros
حساب أصفر دلة بيقول افترضإن ال F ب إيه
continuous ب إيه continuous a function on the
closed interval a و b and differentiable على
الفترة المفتوحة a و bالنقطة الأولى if ال F of A
and ال F of B have opposite signs
إشاراتهم مختلفة and نمر
اتنينالـ F' أكبر من الـ 0 على الفترة المفتوحة A و
B أو الـ F' أقل من الـ 0 على الفترة المفتوحة A و B
فالـ F
لديه بالضبط
بالضبط one zero between a and b example show
that the function
F of X واحد على واحد ناقص X زيدي الجدري التربيعي
لواحد زائد X ناقص تلاتة واحد من عشرة have
one zero على الفترة المفتوحة سالب واحد وواحد
counting zeros يعني حساب أصفار الدالة يعني السؤال
هو اجتاش بوبمان أن الدالة تساوي zero عند نقطة ما
بقول ايش؟ لو كانت الدلة دالة متصلة على الفترة
المغلقة A وB يبقى احنا افترض عندنا function وقولنا
هذا محور X وهذا Y وهذا ال function اللي عندنا وروح
نقولنا على الفترة اللي عندنا Fوهنا من ال B افترض
الدالة دالة كانت متصلة على الفترة A وB وقبل اشتقاق
على الفترة المفتوحة A وB لو كان ال F of A و F of B
of opposite signs يعني إشارتهم مختلفتين يعني واحدة
موجبة والتانيةيبقى رسمي هذا صحيح هيك؟ لأ مش صحيح F
of A هي موجبة و F of B موجبة وقال لأ التنتين of
opposite signs يبقى معنى هذا الكلام بده تكون واحدة
تحت محور X والتانيةأعلى محور X يبقى لو قلنا هذا X
وهذا Y بديجيك المنحنة مثلا بالشكل اللي عندك هنا
خلّي هذه مثلا اللي هو النقطة A وهذه اللي عندك
التانية اللي هي النقطة Bيبقى هذه F of A مالها أقل
من الـ Zero وهنا هذه F of B أكبر من الـ Zero أو
العكس ممكن F of A فوق و F of B تحت سيال ايوة ايش
بيقولي الدالة دالة متاصلة ماشي هي دالة متاصلة
اتنين قابل اشتراك قابل اشتراك ماعنديش لا تصب ولا
كورن ولا vertical tangent ولا discontinuityطيب،
اتنين، الـF of A والـF of B have opposite signs،
إشارتهم مختلفة، يعني واحدة موجبة والتانية، لحظة
الـF of B هي موجبة والـF of A سالبة، اتنين، كان
مشتقت الدالة على الفترة A وB يا إما موجبة دائما
وأبدا، يا إما سالبة دائما، الدالة هذه دالة
تزايدية، صحيح ولا لأ؟ إذا مشتقتها دائما وأبدا،
موجبةلو كانت ذالة تناقصية، بقى مستقلتها سالمة، مش
التان تان في انا الواحد or تعني ان هذه اولت، ان
حدث ذلكيبقى إذا القيمتين هدول متساوية، مختلفتين في
الإشارة، و الدالة دالة زيودية أو دالة نقصية، إذا
غصب عن اللي مايرضى بده تقطع مين؟ محور X، يبقى لما
تقطع محور X عند هذا النقطة، تبقى قيمة الدالة عند
هذا النقطة تساوي كده؟ تساوي Zero، تمام؟يبقى هي
معناها هيك فبيقول ليش ان حدث ذلك يبقى ال F is
exactly one zero between ال A و ال B ال zero هذا
بدرجيني مابين مين؟ مابين ال A و ال B
أخدت ايه؟ Intermediate Value Theorem اه ماقلناش
والله عكس الإشارة ولا جيبنا سيرة تهالي والله يا
حبيبي ال Intermediate Value Theorem قلت لو خدنا
رقم موجود بين ال A وال Bبين ال F of A و ال F of B
بلا جيل و أصل ما بين ال A و ال B هذا ال
intermediate value theorem و ليست هذه مظبوط هذه
بتختلف كليا عن ال intermediate value theorem هذه
بتقول دلدلة متصلة و قابلة الاشتقاء متصلة على
closed interval و قابل اشتقاق على الفترة
يوجد كمان زيادة على ذلك two conditions ال
condition الأولى أن ال F وB وF وB إشارتهم مختلفة
واحدة موجبة واحدة سلبية يعني واحدة فوق محور X
وواحدة تحت محور X كلها متاصلة إذن automatically
هتقطع محور X مصبوط؟ مدام هتقطع هتقطع في نخ موجودة
بين ال A و ال B بمجرد تقطع محور X تقبل قيمة الدالة
عندها تساوي Zero فجالي فإن ال F is exactly one
zero ما بين ال A و ال Bنثبت هذا الكلام عمليا نقول
لو كان موجة نقطة البداية هي نفسها نقطة الموجة
نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة
الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها
نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة
نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة الموجة نفسها نقطة
بهمنيش، بهمني إنها بدأت تحت و بدأت فوق، بس إنت لما
بده رد عليك عليها شكل موجة، يبقى انت فهذا الشرط
تمام؟ بطلة تزيديها على قول أو تنقصيها على قول،
يبقى أنت صارتش تشتغل ضد الطيار، ماشي؟ احنا بيقول
بتحقق ال conditions في ان و احدلو كان هذا الكلام
صحيح وشيلنا الشرط هذا، بصير مش نقطة، بصير ما شاء
الله عليها نقطة، يعني zeros كتير، مش واحدة، تمام؟
احنا بيقول، there exists exactly one، بالضبط واحدة
مافيش غيرها، قيمة الدالة عندها تساوي صفر، تمام؟
طيب، بيقول الشهداء، the function هذي have one zero
في الفترة من سالب واحد إلى واحد،فبجي بقول ال F of
X هذه اللي تساوي واحد على واحد ناقص X زائد الجدرى
التربية على واحد زائد X ثلاثة وواحد من عشرة هذه
الدمين تبعها من وين لوين
يبقى هذه الدالة معرفة
من سالب واحد لواحد كفترة
مفتوحة وليست مغلقةلأن عند الواحد هذه undefined طب
احنا ال main value theorem اول نص اللي بيقولك
closed interval مدام continuous على الفترة دي اذا
انا بدي اخد جزء من هذه الفترة اضمن ال continuity
عليها يبقى بجي بقول الساعة ال F is continuous
أن الفترة المغلقة سالب زيرو تسعة من عشرة لغاية
زيرو تسعة من عشرة مضمون هيك ولا لا؟ اندس سالب واحد
كده؟ اندس سالب واحد؟ احنا بنقولك ها دي ماشي، اندس
سالب واحد مغلق، هاه؟ ولا همك، continuous من اندس
سالب واحد، كلامك مظبوطتمام؟ لكن هاي السبعة تلاقي
السالب واحد والواحد كمان، مش هان تبقى مبسوط خالص،
يبقى من ناقص 9 على 9 اللي هو كفترة مغلقة دالة
continuous عليها، بدي أشوف هال difference أقول
عليها ولا لأ، معناته بدي أروح أشتق، إذا بدي أخد ال
F prime of X يساوي السالب واحد على واحد ناقص X لكل
تقريبيا في مشتقةاللي هو المقدار اللي هو سالب واحد
يبقى بيصير موجب يبقى واحد على واحد نقص اكسل كل
تربية زائد واحد على اتنين الجذر التربية على واحد
زائد اكسل وده كونه مقدار تمت طيب برضه إيش رأيك على
الفترة هذه قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة ولا
لا؟ يبقى هادى
الفترة المفتوحة سالب واحد و واحد يبقى ال F is
differentiable on سالب زير و تسعة من عشرة و زير و
تسعة من عشرة مش هدول الشرطين تبعات ال mean value
theoremيبقى هما الشرطين اللي انا جايلهم هنا بدي
اجيب له ال F of A و ال F of B يبقى بدي اجيب له ال
F of سالب Zero تسعة من عشرة يعني ال F of سالب تسعة
على عشرةيبقى هذا الكلام دي ثابت داجي على الدالة
الأصلية و اقول واحد على واحد ناقص ناقص تسعة على
عشرة زائد الجذري التربيهي لواحد ناقص تسعة على عشرة
طبعا هي زيد بس احنا مااخدينها بالناقص يبقى ناقص
بعدها ناقص تلاتة واحد من عشرة يبقى هذا الكلام
يساوي هذا بيصير واحد على واحد زائد تسعة على عشرةزي
دي الجذري التربيعي كله على عشرة بيظل عشرة ناقص
تسعة اللي هو بقداش بواحد ناقص تلاتة واحد من عشرة
هذه يا شباب بيصير عشرة على تسعة عشر يبقى هذه عشرة
عشرة عشرةهذه عشرة وعشرة تسعة تطلع على عشرة فوق
وهنا على عشرة تسعة عشر عشرة تسعة عشر زائد اللي هو
عشر تحت الجدر الترميعي ناقص ثلاثة وواحد من عشرة شو
رأيك؟ هذا و هذا ميجيوش واحد صحيح وهذا سالب يبقى
هذه قيمة أقل من ال zero صحيح ولا لا؟
ماشي يبقى بدنا نيجي ناخد F of 0 9 من 10 بنفس
الطريقةيبقى هذا بدأ يصير F of 9 على 10 ويسوى 1 على
1 ناقص 9 على 10 زائد الجدر التربية ل 1 زائد 9 على
10 ناقص 3 1 من 10 النتيجة تساوي هذا يبقى هنا عشرة
بنقلب فوق بصير عشرةزاد الجذري التربيعي لمين؟ لتسعة
عشرة على عشرة ناقص ثلاثة واحد من عشرة، موجي ابو
الله سالي بقىيبقى أكبر من الـ zero تحقق ال
condition الأول بدنا نيجي ال condition التاني بدى
أشتقها هيشتقناها ال F prime of X يبقى ال F prime
of X بده يسوى واحد على واحد ناقص X الكل تربية زائد
واحد على اتنين الجذر التربية لواحد زائد Xأيش رأيك؟
هذه عمرها بتاخد قيمة سالبة؟ يبقى هذه أكبر من الـ0
لكل الـX اللي موجودة سالب 09 و 09 بالشكل اللي
عندنا هنا يبقى اتحقق من ال condition الثاني بدي
بقوله by the above remark
There exists C موجودة في الفترة من سالب واحد إلى
واحد أو انشطة فاقل في الفترة تبعتنا او سالب واحد
وواحد
بحيث أن ال F of C بده ساوي Zero يبقى فى ال F has
one zero on الفترة من سالب واحد إلى واحد وهو
المطلوب