بسم الله الرحمن الرحيمبنرجح الآن لآخر كلمتين
قولناهم المحاضرة الماضية كنا بنتحدث على ال
piecewise function يبقى الدالة المكونة من عدة قطع
أو من عدة أجزاء واخدنا على ذلك ثلاثة أمثلة وهذا هو
المثال الرابع والأخر ان شاء الله على ال piecewise
function ثم بعدها ننتقل إلى نقطة أخرى
المثال الرقم أربعة بيقول find a formula هات لصيغة
for the function with the corresponding graph اللي
إلها الرسم المقابل يكبر cross bonding مقابل graph
رسم يكبر الرسم تبعها بالشكل المقابل عندنا أيوة
بالشكل هذا الشكل الغامق اللي عندنا هذا هيك أيوة
وهنا بجيك الشكل اللي عندنا هذا
وهذا كذلك بشكل كويس
يبقى هذا اللي قدامنا مكونا من كام جزء يا شباب؟ من
ثلاثة أجزاء يبقى الحل يكون على الشكل التالي
solution يبقى احنا عندنا piecewise function مكونا
من ثلاثة أجزاءبنجي للجزء الأول واضح ان احداثية
النقطة هذه قداش سالب واحد واحد يعني هذه لو جيت
نازا الرأسي بيكون ان هذا يعنى سالب واحد طيب هذا
الخط اللي بيبدأ 00
يبقى F of X يساوي كم؟ سالب X يبقى هذا F of X يساوي
سالب X وبشرط X أكبر من أو تساوي سالب واحد وأقل من
كم؟من الـ Zero على الفترة من سالب واحد لغاية Zero
هذا هو الجزء الأول بدنا نيجي للجزء التاني احداثيات
النقطة هذه قداشر واحد و واحد يعني لو جيت نازل رأسي
هيك بيكون النقطة هذه قداشر واحد يبقى الجزء الثاني
محصور من وين أو معرف على الفترة من وين لوين من صفر
لواحد طب قداشر اللي هو معادلة هذا الخطهذا أفقي
واحد يعني Y تساوي واحد يبقى هنا واحد وبالشرط ان ال
X أكبر من ال zero ولا تساوي لإن عند ال zero الدالة
غير معرفة وأقل من أو يساوي من ال واحد يبقى بالشكل
اللي عندنا هذا خلصنا الجزء الثاني هذايبقى كأنه ما
لم يبقى عندنا إلا من الجزء الثالث يبقى الجزء
الثالث كذلك عبارة عن خط مستقيم مشان أعرف معادلة
الخط المستقيم بلزمني ميلو ونقطة واقعة عليه تمام،
بدي أجيب ميلو، يبقى عندي بدل نقطة نقطة نقطة، هذه
الأحداث تبعها كم؟ تلاتة وزيرووبالتالي بقدر أجيب ال
slope تبع الخطة اللي عندنا هنا فبجيب أقول في الها
مش هيك ال slope اللي هو بديله الرمز M اللي هو
الميل يسوى فرق الصدات على فرق الصينة يبقى واحد
ناقص Zero على واحد ناقص ثلاثة ويسوى جداتو يساوي
الناقص نص يبقى الميال اللي عندنا وجدناه يساوي
السلب نص الآن بدنا نقطة واقع عليه فجعلنا نقطة مين
واحد و واحد سمعتوا بالخط المستقيم اللي هو معدته Y
يساوي M في X ناقص X node زائد Y nodeسكت الشبابه،
ماسمعتوا مش فيه هذه؟ بلاش، هنجيب نفس المعادلة بس
بصيرة أخرى، أخدته إن ال Y ناقص Y not على X ناقص X
not يساوي المال، هذه أخدتوها يعني، هذه هي هذه
بالظبط بالحرف الواحد طب اضرب ضرب تبادل يفجأة لو
ضربنا ضرب تبادل يصير y ناقص y node يسوى m في x
ناقص x node ناقص y node هد على الشجة هدف تطلع
المعادلة هدى يفجأة المعادلة هدى او المعادلة هدى
الاتنين are the same اتنين نفس الشيء بتضبط تماما
يبقى بناء عليه المعادلة بصير Y يسوى الميل ناقص نص
في X ناقص واحد زائد واحد او ان شئتم فقولوا ناقص نص
X زائد نص زائد واحديعني ايه؟ يعني ناقص نص X ناقص
نص X زائد تلاتة على اتنين يبقى أصبح كأنه خط
المستقيم اللي كنا بنقوله في الإعدادي والثانويوسات
تساوي ألف سين زائد با، مظبوط؟الف بيكون هو الميل
تبع الخط المستقيم وبقى طول الجزر المقطوع من محور
الصداد الا اننا هنقول المعادلة هذه او هذه او ال Y
تساوي MX زائد B يبقى هذه معادلتها خط المستقيم في
ال general form وهذه هعطيكوا إياها في محاضرة اليوم
بعد قليل أن هذه ليه معادلة خط المستقيم في صيغتها
أو في صورتها العامة على أي حال هذه هذه هذه كلها
are the same ال M هي المل با أو ال بي هو طول الجزء
المقطوع من محور Y أو من محور الصدرما رأيك إذا أخذت
النص عام المشترك برا
يبقى عندك تلاتة ناقص X إذا الجزء التالت يصبح نصه
برا وهنا تلاتة ناقص X و X محصورة ما بين الواحد و
بين من و بين التلاتةطبعا اللحظة ان الواحد هنا
مكرر، كررتها والله مسحتها بتفرقش عندنا، اتنين are
the same يعني لو خلتها برضه مافي مشكلة، لكن ماقدرش
احط يساوي عند التلاتة لإن هذا التجويف موجود على
الخاط المستقيميبقى هي كتبنا شكل المعادلة من خلال
المعلومات اللي موجودة عندنا أنا بدأ أسأل سؤال
زيادة مشان نربط القديم بالجديد لو سألتلك قلتلك
قداش بالله domain الـF علمًا أن ال domain هي مكتوب
قدامك على اللوح ومرسوم بدي تقولي من كده إلى كده
أيضًامن سالب تلاتة لغاية الواحد مفتوح من عند
التلاتة وماعندي سالب واحد فقط يعني كل الفترة هذه
بدون استثناء اه يعني برضه نشيل ال zero ماشي يبقى
ال domain بقوله الفترة من عند الناقص واحد لغاية
التلاتة مفتوحة ومغلقة بدي أشيل منها ال zero as a
setتمام؟ او بذاك صيغة صيغة اخرى تقول لي من عندنا
ناقص واحد لغاية ال zero اتحاد zero و تلاتة as an
open interval مافي مشكلة طيب بدنا نروح نجيب ال
range بتابع الدالة F يعني هتاخد قيم من وين لوين
ايوة
من عند الـ zero لغاية بتفوتش أبدا، يبقى من عند ال
zero مفتوحة، لأن هنا، هنا بتاخدش قيم، لغاية قداش،
لغاية الواحد، ومن عند الواحد مقفلة، لإن كل القيم
هذه و هذه كلها بواحد صحيحيبقى هي جزء من ال domain
و ال range لهذه زيادة معلومات زيادة على ما هو
مطلوب في المسألة طيب لما نيجي لحاجة اسمة
increasing and decreasing function دلت التزايد و
دلت التناقص يبقى increasing and
decreasing
الدوال التزايدية والدوال التناقصية
الـ F بـ A function نفترض ان الـ F عبارة عن دالة
defined معرفة on an interval I معرفة على فترة I
and let و افترض ان ال X واحد و ال X اتنين موجودة
في الفترة I نمرا واحدالـ F of X2 is greater than F
of X1 whenever X1
less than X2
is said to be increasing is said to be increasing
on
الفترة I نمر اتنين F ال F of X اتنينأقل من f of x1
whenever x1 أقل من x2 then f is said to be
decreasing on the interval I
لما نعود نقرأ التعريف من أول و جديد نحاول نفهم هذا
التعريف نرسم رسم توضيحي لمعنى هذا التعريف حتى هذه
المعلومات تثبت في دماغنا يبقى النقطة اللي دي لما
نتعرض لل increasing function and decreasing
function الدالة التزايدية والدالة التناقصيةبيقول
افترض ال F هي دالة معرفة على فترة I ولم احدد هذه
الفترة closed ولا open ولا half closed ولا half
open سيا اي فترة من الفترات ايش ما تكون ايه تكون
ماعليهاش قولأخذت two elements x1 وx2 موجودين في
هذه الفترة بقول والله إذا كان f of x2 أكبر من f of
x1 علما إن x1 أقل من x2 إن حدث ذلكيبقى الدالة دالة
تزايدية على
الفترة I
نمر اتنين اذا ال F of X2 اقل من F of X1 لما ال X1
اقل من X2 يبقى دالة بتقول عليها نمالة دالة تناقصية
دالة decreasing على الفترة اللي عندنا هذه طب تعالى
نشوف هذا الكلام على الطبيعة حتى هذا المفهوم يرسخ
في دماغنا فمثلالو جتخدت محاور كنت هذا محور X وهذا
محور Y وهذه نقطة الأصل اللي عندنا وروحت رسمت منحنى
دالة بأي طريقة كانت فطلعت الدالة بالشكل اللي عندنا
هذا يبقى هذه اللي هي منحنى الدالة Y تساوي F of X
الدالة هذه معرفة على الفترة من عند النقطة هذه مثلا
لغاية من لغاية النقطة هذه يبقى هذه الفترة اللي
عندنا I بغض النظر هل هي مفتوحة مغلقة نصف مفتوحة
نصف مغلقة ما بتفرق عننارحت اخد اي نقطتين موجودتين
على ال interval اللي عندنا هذه نفترض انه كان هذه
هي النقطة الاولى X1 وهذه النقطة الثانية هي X2 يبقى
من اللي اصغر X1 ولا X2؟ X1 اصغر يبقى هذه X1أقل من
X2 تعالى نشوف قيم الدالة عند هتين النقطتين جيت هنا
على المسافة اللى عندنا هذه هيك فكانت هذه F of X
واحد جيت على قيمة الدالة هنا وجيت طالع لجيت هذه
مينf of x2 من اللي أكبر من خلال الرسم واضح أن f of
x2 مسافة من هنا لهنا أكبر من f of x1 يبقى إذا f of
x2 أكبر من f of x1لما اكس واحد اقل من اكس اتنين
يبقى الدالة زي ما انت شايف طالعة تزايدية او سهل
عليها من هنا اقول ان الدالة هذه مالها increasing
function يبقى هذه الدالة بسميها increasing
function يبقى هذه الدالة تزايدية لكن لو جيت قلت
هاي المحاولةهذا محور X وهذا محور Y وهذه نقطة الاصل
و روحت رسمت منحنى الدالة بقدر الله طلع منحنى
الدالة عندك على الفترة اللى عندنا هذه اللى هى اللى
سميها الفترة I من عنده النقطة هذه لغاية مهم النقطة
هذهلاحظوا في اللي قبلها خدت X سالبة لانها قبل الـ0
و هنا X2 موجبة يجب ان يكون X1 نيجاتيب و X2
positive يجب ان يكون بمانت هذه أقل من هذه هنا بدأ
اخدهم يتنتين بالسالب يتنتين بالموجبة ليس بالضرورة
مرة سالبة و مرة موجبة افترضانه اخدت النقطة هذه x1
واخدت النقطة التانية هذه x2 يبقى x1 هي المسافة
الصغيرة هذه وx2 هي المسافة الكبرى اللى عندنا هذه
يبقى مضمون إن X1 ماله أقل من X2 اللي هو ال term
اللي عندنا هذا يبقى أي X1 أقل من X2 بدى أروح أشوف
F of X1 و F of X2 طلعنا رأسي هيك فكان هذه F of X1
هنا طلعنا رأسي كمان بالشكل هذا فصار هذه F of X2
يبجى مين اللي أصغر فيهم؟ F of X2 أصغر من F of X1 و
X1 كذلك أصغر من X2 يبجى لما تبجى ال X1 أقل من X2
فإن ال F of X2 أقلإن حدث ذلك، يبقى الدالة
التناقصية
يبقى هادى decreasing function دلة تناقصية اللاحظ
إن ال condition هذا لم يتغير في الحالتين يعني ال
domain لم يتغير يبقى لاتغير منقيمتين اللي موجودة
في ال range f of x2 أكبر من f of x1 يعني f of x2
أقل من f of x1 يبقى هذه decreasing وهذه increasing
طيب بنحاول نعطي أمثلة توضيحية على ال increasing
functions و ال decreasing functions الرسمتين مع
التعريف لتوضيح معنى التعريف من الناحية الهندسية
طيب نعطي مثال المثال بيقول ما يأتي example
Sketch the graph of the following functions
ارسم لي كل من الدول التالية and determine
وحدد ليه determine the intervals of
increasing and
decreasing
حدد لي فترات التزايد والتناقص لكل من الدوالة
التالية نمرا A Y تساوي نص X تكيب نمرا B Y تساوي
سالب واحد على absolute value ل Xنمر الـ C ال F of
X يساوي سالب X لما ال X أقل من Zero و اتنين او
تلاتة لما ال X greater than or equal to Zero ونمر
ال Dالـ F of X يساوي الجدرى التربية لتسعة ناقص X
تربية خلّي
براك هنا السؤال دو شقينالشق الأول جالي أرسم رسمة
كل دالة من الدوالي التالية وبعد ما تخلص رسم بدأك
تحددلي فترات التزايدوالتناقص لكل دالة من هذه
الدوال الثلاث يجب أن نأتي إلى النقطة الأولى وهي
نمرة A يقول ي يساوي نص X تكييب نص X تكييب ولا تلت
X تكييب ولا ميت X تكييب بيظل الشكل العام متشابه
بتقرب على محور Y أو بتبعدعلى محور Y يبقى أصل
الدالة Y تساوي ضربناها في رقم أقل من واحد الصحيح
يعني بتفتح مبتعدة عن محور Yأكبر من واحدة صحيح تقرب
على محور Y يعني ما علينا مش مشكلة يبقى لو جينا
قولنا هاي المحاور هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة
الأصل اللي هي Zero يبقى Y يساوي نص X تكيب بدأ تجين
بالشكل هذايبقى ادي Y يساوي نص X تكيب ارسم رسمنا
المطلوب التاني فترات التزايد وفترات التناقص السؤال
الآن للحدود بدنا نعرف وين فترات التزايد للدالة وين
فترات التناقص لهذه الدالةهل الدالة تزايدية على
طول؟ او هل الدالة تناقصية على طول؟ ايوه يا أخي
العرب زي دايما تسكر لما نهاني ايوة انت اه اه ايوه
تناقصة من سلب ما لا يهاني يعني الدالة تناقصية من
سلب infinity لانفي و لا تزايدية مش سالة كويس من
سفر ل infinity ايش؟
تعالى نشوف الكلام اللى بيحكي هذا او يدعيه صح ولا
خطأ بيقول زميلكوا شو اسمك انت؟ عبدالهادي؟
عبدالهد ازمالي بيقول ما يأتي بيقول من سالب
infinity لغاية ال zero decreasing و من عند ال zero
لغاية infinity increasing هكذا يزعمتمام؟ بدنا نشوف
هل الزعم هذا جاي من الضمانة يعني متأكدة الكلام مية
المية و الله الزعم احتمال يكون صدق و احتمال يكون
ماهواش صدق تعالى نشوف بدنا نطبق التعريف اللى عندنا
هنا يبقى خلّينا نيجي على الفترة الأولى اللى قال
فيها هذه تناقصية اذا بدي اخد قيمتين I X واحد وقيمة
تانية I X اتنينيبقى عشان دي X واحد أقل من X اتنين
صحيح ولا لأ؟ لأنه ناقص تلاتة أقل من ناقص اتنين
صحيح ولا لأ؟ يبقى بداجي أنزل رأسي لغاية مقابل
المنحنة ومن هنا بدي أنزل رأسي لغاية مقابل المنحنة
من اللي أصغر هذه والله هذهأه هذه أصغر يعني f of x2
أكبر من f of x1 لإن ناقص واحد وناقص عشرة ناقص واحد
أكبر من ناقص عشرة تمام يبقى f of x2 أكبر منF of X
واحد ده ما X واحد اقل من X اتنين اكبر يعني مشي
التاني هو انما من يبقى زعمه اللي زعمه خطأ تمام؟
طبعا هو جالك ايش؟ جالك ناقص عشرة اكبر من ناقص واحد
وبناء عليه زعم هذا الزعم مظبوط؟ يبقى يا عبدالهادي
ماقص عشرة أصغر من ناقص واحد وأصغر من ناقص اتنين
وأصغر من ناقص تمانية تمام إذا بصير الفترة من سالب
infinity إلى zero increasing ولا decreasing
increasing والجزء اللي على الأمين باصمين لك عليه
الدالة تزايدية كل ما تكبر X بالزيادة قيمة Y أو
بالزيادة قيمة F من هنا الدالة هذه increasing على
كل ال real line بلا ستة يبقى هنا بقوله if is
increasing
هو ان الفترة من سالب infinity لإنفينيتي كلها
بلاستثناء ماعنديش decreasing بالمرة طيب نيجي لنمرة
B وما أدرك هما نمرة B ايه نمرة B طلعليه كويس F of
X بده يساوي سالب واحد على absolute value ل Xهذه
تساوي أحد أمرين يا إما السالب واحد على X لما ال X
أكبر من Zero ولا تساوي
لسالب يعني صارت واحد على X لما ال X مالها أقل من
Zero مظبوط ولا لا؟ صحيح؟ يعني أنا بس شيلت ال
absolute value و حطيته تاريخ بصير سالب سالب بصير
موجة بقى تمام؟ طيب بدنا نيجي نرسم رسمتنا هذه هي
المحاور وهذا محور X وهذا محور Yهذه نقطة الأصل
الهيمان Zero رسمة واحد على إكس يجب أن أرسمها قبل
إشارة السالب قبل إشارة السالب يبقى هيها هيك هيها
هيك يبقى المنقطة هذه رسمة من؟ واحد على إكس فقط لا
غيرمش هذا سؤالنا، احنا سؤالنا واحد على absolute
value of X لما أقول absolute value of X يبقى بطل
يصير عندي سالم، إيش بيصير؟ موجب، يعني هذا الجثة
إيش بده يحصل له؟ بده ينقلب ويصير فاضيبقى لو جيت هك
بالشكل اللي عندنا هنا بده يصير هذا مع هذا هو رسمة
واحد على absolute value of X يبقى المنجق فوق هذا
رسمة واحد على absolute value of X مش هذا سؤالنا
سؤالنا السالب واحد على absolute value of X يعني
أنا برابط الدالة كلها في إشاراتيعني اللي كان في
قيمة موجة مابدها تصير سالبة، و اللي كانت سالبة،
يبقى احنا هذه جلبناها و صارت فوق، يبقى مابقالش
عندي تحت ولا حاجة، كل الدالة صارت فوق، سبقت بإشارة
مين، تنجلب كلها وصير وين؟ وصير تحت، يبقى بده يصير
الخط المتواصل هذا
ومن هنا بنفس الطريقة هيك هذا Y تساوي سالب واحد على
absolute value of X تمام؟ يبقى هيرة سمن الدالة
اللي عندنا هذه قبل مجاوب على باقي السؤال اللي خاطر
اسأله السؤال التالي قداش domain هذه الدالة؟ من
ويلة وين؟ ايوةارمى عدى زيرو موافقين يبقى ال domain
من سالب infinity ل infinity عدى ال zero طب بدنا
نيجي لل range ال range هاي هاج قدامك اصطلع فيه بدي
واحد من الشجر هذه ايوة ايوة من سفر مفتوح يعني من
السفر الفوق يعنيمن سلب infinity إلى zero as an
open intervalيبقى ال domain كل الريا الله المعدد
Zero لأن عند Zero تنزل لسالب Infinity تمام هذا ال
domain ال range بتاخدش قيم موجبة انما بس القيم
السالبة اللي أسفل عندنا يبقى من عند السالب
Infinity لغاية من Zero يبقى هذا السؤال زيادة على
ما هو مطلوب أجبنا عليه ربطناه بأول نقطة أخدناها في
هذا section وهي ال domainوالـ Range فبدأ نكمل
سؤالنا Orson رسمنا قال لي هاتلي فترات التزايد
وفترات التناقص لهذه الدلة امسكولي الفترة من سالب
infinity لغاية ال zero بدي اعرف الدلة increasing و
الله decreasing يالا بدي واحد من الشجة هذه يالا
شوف يالا انتوا القوم الكبير ايوةهذه واحد، اتنين و
نص، ثلاثة، اه هذه او هذه او هذه او هذه او هذه او
هذه او هذه او هذه او هذه او هذه او هذه او هذه او
هذه او هذه او هذه او هذه او هذه او هذه او هذه ا
Increasing ولا Decreasing؟ Decreasing كان عقوسيا،
الكلام مصحيح، ليش؟ لأن الوقت أخد أي X هنا واحد و
أي X2 هنا تمام؟ X1 أجل من X2 لكن F of X2 أجل من F
of X1 يبقى على الفترة هذه Decreasing on
من سالب infinity لغاية zero as an open interval
طيب بدنا نيجي من zero لغاية infinity من هنا للاخر
بدنا واحد مش شجيه دي أيوة decrease برضه تناقصية
يعني
اسمع يا شباب شو اسمك انت يا ابنيمحمد .. محمد ايش؟
محمد رمزي، بنا ترمزنا لنص اليمين تبع الدلة، هل هو
increasing ولا decreasing؟ اعتبر حاجتك، ماقولتش
قبل ذلك، تقولي من جديد،
بس هيمشي شوكوا الشباب
يعني لو أخدت x واحد و أنا x اتنين بصير f of x
اتنينأكبر من F of X واحد لإن كله هذا تاع يبقى
الجزء هذا ماله increasing function يبقى على المص
هذا بقول increasing ده لتزايدية على الفترة من zero
لغاية infinity
طيب هذا نمرة B من المثلة بدنا نيجي لنمرة C يبقى
نمرة Cنمر الـ C تبدأ لمكوّنة من جزئين يبقى عندنا F
of X أحد أمرين يا إما ناقص X لما الـ X أقل من الـ
Zero يا إما تلاتة لما الـ X greater than or equal
to Zero بدنا نروح نرسم الرسم البياني لهذه ال
function يعني هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة
الأصل اللي هي Zero
خاط مستقيم X أقل من Zero
تساوي سالب X ومن هنا مالها مفتوحة لإن ماعنديش
يساوي تمام يبقى هذه Y يساوي سالب X نجي لغاية بعد
ال zero الدالة دائما و أبدا مش ساوية قداشوكذلك عند
الـ Zero بدأ يساوي تلاتة يبقى تلاتة بدنا نطلع فوق
هي النقطة هذه تلاتة يبقى الخط المستقيم اللي عندنا
هذا يبقى هذا Y يساوي تلاتة قبل ما نجاوب على الجزء
الثاني برضه لخاطر أسأل على domain هذه الدالة من و
لا وين بده domain الدالة هذهكداش؟ كل الار كلامه
صحيح بلا استثناء of all real numbers بدنا ال range
ال range من وين
لوين تاني ال range مش ال domain ال range
أيوة بس من صفر لتلاتة بزيدش هذا
الخط أنا راجع لسالب X لسالب Infinite و هو طالع
الله سهل عليه بوقف عندي التلاتة و الله بضل طالع
يعني
قدش بصير
من صفر لسالب infinity تحت؟ ايوة،
من وين؟ من zero ل infinity، كيف نزلت لسالب
infinity؟ طبعا احنا طالعين فوقالـ Domain سلب ماشي
الحال، بس الـRing طالع فوق، هي رسم الخط المستقيم
الله يسهل عليه، ماشي، ماشي، ماشي، إلى أن يرث الله
الأرض ومن عليها، وماشي، موقفش، تمام؟ يبقى لحد وين
رايح؟ لسلب Infinity ولا لـInfinity؟أحكي يا ابني
ايه؟ طلع اليهرة هذه اللي يبقى الهاتف infinity يبقى
من zero ل infinity من عند ال zero open و من عند ال
infinity open و هذا الطبيعي يبقى ال ring من zero ل
infinity as an open until عمره ما ياخد قيمة سالبة
طيب ماشي الحل مادام هيك بدنا نعيد لك السؤال تاني
انت أيوة من سالب infinity لغاية ال zero الجزء
الأول اتدال عليه increasing و لا decreasing خط
اللي نازل هذا من فوق و رايح على النقطة الأصلي كيف؟
مش سامع كويسيبقى هنا هذا decreasing function يبقى
ال F is decreasing on ال interval من سلب infinity
لغاية ال zero طب بعد ال zero
يعني ايش؟ يعني ثابت، يعني increasing و decreasing
في نفس الوقت؟ يعني يا جيربي، تبقى increasing و
decreasing في نفس الوقت؟ يا رايل، كيف increasing و
decreasing؟ بدي أفهم هذه كيف تمام؟ يبقى فش حاجة
اسمها increasing و decreasing في نفس الوقت على
فترة تمامةع الفترة يا اما increasing يا decreasing
يا يمكن شوية على فترة increasing و شوية decreasing
لكن على الفترة اللى بدنا يها تبعت السؤال النهائي
بسميها constant function neither increasing nor
decreasing لا تزايد ولا تنقص يبقى ثابوت ده اللى
ثابت هال constant function يبقى باجي بقول ال F is
neitherincreasing nor decreasing
on الفترة من عند الـ zero لغاية infinity بالشكل
اللي عندنا هذا يبقى هذه class interval او بين جثين
بنسميها constant function يبقى دالة ثابتة كويس هذا
بالنسبة الى C بدنا نيجي بالنسبة الى Dيبقى دي بيقول
ال F of X يساوي ال square root لتسعة ناقص X تربية
السؤال لكم ما عدلتش هذه F of X يساوي الجدر التربية
لتسعة ناقص X تربية يعني Y تساوي الجدر التربية
لتسعة ناقص X تربية ما عدلتش دائرة ممتازة ده مركزها
النقطة الأصل و نص قطرها يبقى
دائرة مركزها النقطة الأصل و نص قطرها يبقى دائرة
مركزها النقطة الأصل و نص قطرها يبقى دائرة مركزها
النقطة الأصل و نص قطرها يبقى دائرة مركزها النقطة
الأصل و نص قطرها يبقى دائرة مركزها النقطة الأصل و
نص قطرها يبقى دائرة مركزها النقطة الأصل و نص قطرها
يبقىهل هي هذه أو تلك يبقى هذا محور X هذا محور Y
بجي بطلع قبل الجذر في عندي سالب وموجب ولا بس موجب؟
وين هو السالب والموجب؟ يبقى أنا مش كاتب إلا موجب
عارفين لو كنت كاتب سالب وموجب بطلت الصير function
يا سالب فقط يا إما موجب فقط حتى تصبحيبقى هنا
الإشارة Y تساوي قيمة موجبة فقط إذا أنا عندي نص
الدائرة اللي على اليمين و الله اللي على الشمال و
الله اللي فوق و الله اللي تحت
أذا هذه لو جيت رسمتها تعطيني النص في الدائرة
العلوي بهذا الشكل هذه سالب تلاتة و Zero هذه تلاتة
و Zero هذه Zero و تلاتة وهذه نقطة الأصل اللي هي
Zero ارسم رسمنا ال domain من و لا و اين؟سالب تلاتة
لا تلاتة و ال range من zero لغاية تلاتة تمام تمام
طيب مش هذا اللي بدنا .. بدنا وين increasing وين
decreasing او هل هي increasing على طول او
decreasing على طول يالا بدنا من هنا من الشجة دي و
النصف الأخيرة ايوة اللي في مقرافع يده الشماليعني
بيقول الامير عفر إيده الشمال من ثالث ثلاثة إلى
زيرو إلى increasing
ممتاز جدا يبقى هنا ال F is increasing دالة تزايدية
على الفترة من سالف تلاتة لغاية Zero لأن الدالة
معرفة هنا ومعرفة هنا تمام بعد هيك ال F is
decreasing onالفترة من Zero لغاية تلاتة يبقى هنا
هذه increasing وهنا decreasing ده التناقصية على
هذه الفترة ايوة وانا بدأ أسأل مش سامع كويسوزلل
ليش؟ وزلل ليش عشان مقفل الفترة؟ صح ولا لأ تلامنا؟
في نقطة مشتركة ما بين الفترتين، مظبوط ولا لأ؟ كيف؟
مانقلة ذلك، بطل تحسب لهنا و بتداوقف لهنا، بتداوقف
لعندها، increasing ولا لأ؟
ننتقل الآن إلى نقطة أخرى بعد ال increasing و
ال decreasingالو ال even و ال odd functions الدوال
الزوجية و الدوال الفردية اه
لو نزليبقى متجسمة لفترات على فترة increasing وعلى
فترة دانية decreasing و هكذا لبعض increasing لبعض
decreasing تمام تمام طيب نجي لنقطة جديدة ال even
and
odd functions و كذلك ال symmetryالتماثل من الرسالة
ايوة هدى
ولا هدى دى فوق كيف هدى
X واحد و هدى X اتنين مين اللى صغيرة فيهاأقل من X2،
من الكبيرة فيهم؟ من الكبيرة ومن الصغيرة؟ مش هذه F
of X2 و هذه F of X1؟يبقى f of x2 مالها يبقى
decreasing ولا حسب التعريف f of x2 أقل من f of x1
ده ما x1 أقل من x2 يبقى decreasing مظبوط ولا لأ
يبقى صح ولا لأ لا هي عمرنا ما جولنا x1 أقل من x2
يعني x2 أكبر من x1 صح ولا لألما ندى نقول ان X1 أقل
من X2 بدك تجرها من ناحية تانية ماعنى مشكلة X2 أكبر
من X1 F of
X2 ايوة تجي الله يا راجل هدى أكبر من هدى
خلاص؟ مسحوبة؟ حط
وين ما بدك و اكتب مين اللي فيهم الصغراء هذا عامل
مش لشان واحد اقل من اتنين يعني اكس واحد اقل من
اتنين لأ بدا اكتب ايه يا ربي؟
يبقى f of b أقل من f of a يبقى decreasingمظبوط؟ F
of B أكبر من F of A يبقى increasing يبقى X واحد و
X اثنان هذا رمز اطول مانقال اجباري و ليس القرآن
نزل من السماء ايوة يا راجل كل الكلام فارق كله
أخدته في الثانوية نفسي بسبق ان عربة بقيت بانجليزي
بس مش أكتر اما كله أخدته هذا
سمعتش قناة هناك اي رنز ما انت ان القيمة تبعها تبقى
تحسب F of X يعني F of A و F of B يبقى انا بتقيت
بالقيم وليش ده بالرموز ارمز زي ما بدك و بعدين انت
ويا تعالي هنا على الهجوم يالا بسرعة نشوف اكتشافاتك
للسوفر كولومبوس يالا يا ابني ارهج بسرعة
فضل هنا هايا الجلام و احكي خلّي
مالك هنا يا شباب نسمع يمكن نلاقي حاجة جديدة ما
نعرفاش تفضل مثلا
هذه سالب خمسة وهذه سالب واحد مثلا
خلاص انت ويا نجي لثلاث نقاط مهمة الآن في الشغل
اللي هي الدالة الزوجية والدالة الفردية وتماثل
المنحنى symmetry تماثل هناخد تماثل بالنسبة لمحور X
تماثل بالنسبة لمحور Yتماثل بالنسبة لنقطة الأصل
تمام طيب بدنا نعطي تعريف لل even و ال odd function
ثم تعريف لل symmetry بالنسبة لل x و ال y و نقطة
الأصل يبقى بالضاجي لل definition تعريف الأول the
function
F is called an even function
if F of ناقص X بدي سوى F of X لكل X الموجودة في
دمية دالة F
الـ function F is called an odd function F الـ F
of سالب X يساوي سالب F of X لكل الـ X اللي موجودة
في دمين الدالة F نمرة تلاتة The graph of
the functionis symmetric يكون متماثلا about the x
axis حوالين محور x means that يعني انه ايش means
thatإن الـ x و ال y lie on the graph if and only
if إذا و فقط إذا كان ال x و ناقص y lie on the
graph
خدتوا الدالة الزوجية والدالة الفردية في المرحلة
الثانوية بالمرة نهائية خلاص مصدقين يا عم حتى لو
أخدت مدي أعتبرك مش ماخد وبدنا نبدأ من الصفر بس
مديك تطلع فاهم أيه اللي مديه طيب بين إيدينا ثلاث
نقاط رئيسة ال even function الدالة الزوجيةالـ Odd
function الدالة الفردية تلاتة السيمتري والسيمتري
هنقسمه إلى تلات نقاط سيمتري بالنسبة لمحور X سيمتري
بالنسبة لمحور Y سيمتري بالنسبة لنقطة الأصل بدنا
نيجي للتعريف اللي بين أديناتعريف الأول بيقول
الدالة F بقول عنها دالة زوجية even function F ال F
of سلب X بديه ساوي F of X لكل ال X اللي موجودة في
دمية ال F بلا استثناءيعني ايش قصدك تقول اه لما
اقول f of ناقص x بده يساوي ال f of x يعني ايش يعني
لو جيت على الدالة اللي عندنا شيلت x وحطيت مكانها
سالب x تبقى الدالة كما هي بدون تغيير أبسط الأمثلة
لو قلتك f of x يساوي x تربية شيل ال x وحق مكانها
ناقص x بصير ناقص x الكلاللي هي مين؟ X تربيع يبقى
هذه بسميها ايه؟ دالة زوجية طيب تمام نيجي للدالة
الفردية الدالة F بقول عنها دالة فردية إذا كان F of
ناقص X يساوي ناقص F of X لكل ال X اللي موجودة في
domain الدالة F بمعنىلو شيلت ال X وحطيت مكانها
ناقص X اللي هو ال variable تبع ال function بدا
تطلع نفس الدالة الأصلية بس مسبوقة بإشارة إن حدث
ذلك بقول هذه odd function يبقى هذه هي دالة فردية
طيب يبقى في فروقات الآن ما بين الدالة الفردية
والدالة الزوجيةالدالة الزوجية لا تتأثر بتغيير
الإشارةالدالة الفردية إذا غيرت الإشارة بدأ تجي
إشارة سالب لكل ال function بلا ستة نعم مظبوط هيك
طيب نجي لحكاية التماثل خلي بالك معايا هنا نجي نمرة
تلاتة ال graph of the function is symmetric about
the x axis المنحنة تبع الدالة يكون متماثلا بالنسبة
لمحور X المقصود بالبلديعني الرسم اللي أعلى محور X
بيظهر الرسم زيها بالضبط وعلى نفس البعد من محور X
يبقى لو كانت اللي فوق محور X ال Y عندها بالموجة
تظهر رسم زيها تحت محور X بيصير مين؟بالسالب، يعني
لو كانت النقطة X وY موجودة على المنحنة، بدا تظهر
جبلها تحت نقطة X وY، الإحداث السيني زي ما هو،
الخلاف صار في من؟ في الإحداث الصادرفراح قال لي هذه
معناها ايش means that تعني انه لو النقطة x و y
وقعت على المنحنة يبقى يجب ان النقطة x و سالب y تقع
كذلك عالميا على المنحنة تمام تمام ايضا بال if هذا
اختصار لكلمة if and only ifاللي كنتوا في الثانوية
بتقولولها إذا و فقط إذا كان مش هيك؟طيب إذا وفقت
إذا كان ترجمته بالإنقليزي if and only if وتختصر
إلى IFF هذا من ناحية اللغة لكن من ناحية المرياضية
إيش معناها؟ if and only if يعني هذه العبارة ممكن
تقراها من الشمال لليمين وممكن من اليمين للشمال هذا
بالكلام البلديلكن بالكلام الرياضي لو أعطيت النقطة
هذه و المنحنة كانت متمثل بالنسبة لمحور X لازم
تلاقي النقطة هذه موجودة على المنحنة و العكس لو كان
المنحنة متمثل بالنسبة لمحور X لاجيت النقطة هذه على
المنحنة لازم تلاقي النقطة هذه موجودة على المنحنة
يعني الاتجاه بصيرفي اتجاهين متعاكسين وكل الاتجاهين
يكونوا صحيحا طيب ايش رأيك انا بدي اربع ال symmetry
بال even وال odd functionو بعد هيك هرسملك اللي هو
التلات رسومات كيف تربطهم بيقولك اه ال even
function الدالة الزوجية و لو روحت رسمت المنحنة
تبعها بيكون متمثل بالنسبة لمحور Y يعني الرسم اللي
على يمين محور Y زي الرسم اللي على شمال محور Y
تمام؟يعني إيش؟ يعني لو قلنا هذا مجسم أو هذا بني
آدم واجب فينا وهذا المحور هو محور وي المرأة
المستوية يبقى صورة هذا المجسم بتظهر وين؟ على الشجة
التانية وعلى نفس البعد يبقى المنحنة اللي على
اليمينبدى يظهر منحنى تانى على شمال محور زى وعلى
نفس main وعلى نفس البعد بمعنى اخر لو كانت النقطة x
و y على يمين محور y على منحنى تظهر نقطة مقابلة على
الشمال اللى من سالب x و y اجباله تمام هى x و y
يبقى هنا سالب x و yيبقى إذا وقت النقطة X وY على
المنحنة فتظهر النقطة سالب X وY على المنحنة هذا
التماثل بالنسبة لمحور Y وهي الدالة الزوجية ضايل
عندي كمان نقطة بدنا نخلصه ضايل مين الدالة الفردية
الدالة الفردية معناها أن الرسم البياني للدالة
متماثل بالنسبة لنقطة الأصلمعناه ان اي نقطة ليحدث
الى x و y بدها تظهر نقطة سالب x و سالب y يعني
البعد على محور x من الناحية دي بده يظهر بعد من
الناحية التانية بعد هنا بده يظهر على نفس البعد
نقطة مناضرة لها من الناحية التانية يبقى هذا
التماثل بالنسبة يعني لو وقعت نقطة في الرابع الأول
نظرتها بتيجي في التالت لو وقعت في التاني نظرتها
بتيجي في الرابع الرابع
نرسم الرسمات وبعد ذلك بنكون جوابنا على الأسئلة
اللى بتدور فى دماغك وانت ماانتش دارى او دارى سيام
يبقى بدي اكتب هذا على شكل ال remark التالية remark
زى علامة او زى شغلة مشهورة او ما إلى ذلك يبقى هنا
remark
الـ remark بتقول ما يتعجسمها إلى نقطتين النقطة
الأولى the graph of
an even function الدالة الزوجية is symmetric
متماثلا
about the
Y Axis حوالين محور X لإيش؟ since لإن ال F سلب X
بده يسوى من ال F of X أي أنة that is أي أنة a
point XY
Lie
on the graph if and only if سلب x و y lie on the
graph نمره
اتنين the graph of an odd functionis symmetric
about
the origin تمثل بالنصب لنقطة الأصل since نظرا لإنه
الـ F of سالب X دي ساوي سالب F of X that is I N, a
point النقطةوالـ y lie on the graph على الرسم
البياني if and only if سلب x وسلب y lie on the
graph
إلا إن هذا الكلام بدي أرسمه على الطبيعة مشان شوفه
على الطبيعة كيف بيحصل تمثل بالنسبة ل X تمثل
بالنسبة ل Y تمثل بالنسبة لل origin وكيف علاقته هذا
مع ال even و ال odd function مع الدالة الزوجية و
الدالة الفرديةلذلك بالداجل الحالي هنا رقم تلاتة
قال للرسم البياني للدالة يكون متمثلا حول محور X
معناه هذا إن لو وقعت النقطة X وY على المنحنة فإن
النقطة X و سالف Y تقع على المنحنة والعكس بالعكس
افترض عند محاور شكل هذا هذا محور Xوهذا محور Y رحنا
رسمنا أي منحنى فمثلا كان المنحنى اللي عندنا بالشكل
هذا جينا
أخدنا أي نقطة على المنحنى ولي تكون النقطة XY يبقى
وين ال X؟ يبقى هذا البعد هو X وهذا البعد ماله؟ هو
Yالنقطة المناظرة في تماثل بالنسبة لمحور X يعني
الرسم اللي أعلى محور X في رسم زيها بالضبط تماما
باسم مقلوبة أسفل محور X يعني لو مديت هذا على
استقامته بديكون الطول هذا جد الطول هذاهذا Y موجب
هذا Y سالب يبقى هذه سالب Y يبقى هذه سالب Y لكن ال
X هذه هل تغيرت؟ لأ يبقى إحداث النقطة هذه بظل X زي
ما هو سالب Yيبقى إن حدث ذلك أي نقطة على المنحنة X
وY اللى جيتك بالها أسفل منها تماما وعلى نفس البعد
من محور X نقطة تانية إحداثيها X و سالب Y يبقى هذا
النقطة معاها أو المنحنة بيكون متماثل بالنسبة لمحور
X يعني لو قلتلك هذه النقطة كانت واحد وواحديكون
النقطة هذه واحد و سالب واحد فواحد تاني يقول لي طب
لو كانت النقطة في الشجة التانية بقول له في الشجة
التانية يعني وين؟ يعني هنا تمام؟ يبقى هذه بصير
عنده هنا سالب X يبقى سالب X و Y تمام؟ بدها تظهر
نقطة جبالها على الشكل هذاالـ X مش هيحصل فيها ولا
حاجة يبقى السالب X ستبقى كما هي بس ال Y هذا ايش
بده يصير لها ده يصير سالب Y يبقى سالب X وسالب Y
يبقى الإحداث الأول مش هيحصل عليه أي تغيير وانما
الإحداث الثاني هو اللي بيحصل عليه تغيير من هنا
بقول المنحنة اللي قدامنا هذا متمثل بالنسبةلمحور X
طيب انتهينا من النقطة الأولى اللى تعتى الرسم الان
بدى اربط ال even و ال odd مع مين مع باقي ال
symmetry يبقى بداجى اخد التماثل بالنسبة لمحور Y
يبقى
هذا منحنا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الأصل اللى
هي Zeroلو رسمت منحنى وطلع المنحنى بالشكل اللى
عندنا فكان
المنحنى بالشكل اللى عندنا
المنحنى هذا هي محور و Y جاي في النص يبقى الرسم
اللي على اليمين زي مين زي الرسم اللي على الشمال
بالضبط تماما يبقى مافي مشكلة الرسم ازاي ماهي ماشية
بالشكل هذابدي اخد اي نقطة موجودة هنا يبقى النقطة
هذه لو نزلتك بيكون البعد هذا ماله X والبعد هذا
يبقى النقطة هذه اللي احدثت تبعها XYلو جيت من هذه
النقطة نزلت عمود على محور Y ومديته على استقامته
هنا يبقى هذه النقطة بتكون جد هذه بالضبط تماما اللي
هي هذه جد هذه بالضبط تماما وبالتالي بيصير إحداث
النقطة هذه ناقص X وY بالضبط تماماطيب هذه Y يعني
هذه X وهذه مين؟ F of X صحيح ولا لا؟ هذه اللي هو
سلب X و F of سالب X لحداتي تبعها البعد الرأسي هذا
هو نفس البعد الرأسي هذا ولا لا؟يبقى النقطة هذه
البعد هذا جد البعد هذا البعد من هو f of x وهذا
البعد من يبقى اتنين هذول بيسووا بعض f of سالب x
بيسووا معين f of x مش هذا تعريف ال even function
ولا لاإذا ال even function هي الرسم البياني لها
دالة هذه الدالة رسمتها متمثلة بالنسبة لمحور Y يعني
الجزء اللي على يمين محور Y زي الجزء اللي على
الشمال محورك كأنه هو هو بس مقلوب عبر مرآة مستوية
يعني لو حطيت المرآة المستوية على محور Y تظهر الرسم
هذه مقلوبة وين؟في النهاية تنزعى انت الصبح لما بدك
تيجى على الجامعة توقف قدام المرآة لو قولنا المرآة
هذه المحور ويبقى تظهر صورتك وين؟ على الناحية
التانية بس مقلوبة انا متجه غربنا الصورة بتبين وين؟
شرقا يبقى الصورة مقلوبة عبر مين؟ محورهذه الان بشكل
لو انا موجهه على محور Y من الناحية هذه بيصير موجهه
على محور Y من الناحية الثانية يبقى المنحنة متماثل
بالنسبة لمحور Y وبالتالي هذه بقول عنها even
functionيبقى الرسم البياني للدالة الزوجية يكون
متماثلا بالنسبة لمحور Y طيب نجل النقطة الثالثة
والاخيرةيبقى لو جيت قولت هذا محور X هذا محور Y هذا
نقطة الأصل تمام باجي بقول لو أخدت المنحنة مثلا Y
تساوي X تكيب الشكل اللي عندها يبقى هذا Y تساوي X
تكيبجينا قولنا لك خدك اي نقطة على المنحنة و التكن
مثلا النقطة اللي عندك هذه جداش الإحداث تبعها تقولي
هذه x و y يبقى هذه النقطة x و y قولتلك بالله وصللي
لنقطة الأصل و مد المستقيم على استقامتهبتقول لي هي
هيك على نقطة الاصل وصلته من الناحية التانية تمام
يبقى المنحنة صار بالشكل اللي عندنا هذا
يبقى وصلنا هذا على استقامته بالشكل اللي عندنا هذا
صار الخط اللي عندي هذا قد ميم الخط اللي عندنا هذا
هذه النقطة x و y لكن هذه لو جيت رأسك هذه سالب x
يبقى هذا المنحنى متماثل بالنسبة لنقطة الأصل لأن أي
نقطة علي بعضها عن نقطة الأصل من هذه الناحية يسوى
نفس البعد اللي على المنحنى من وينمن الناحية الأخرى
رياضيا يعني لو وقعت النقطة x و y على المنحنة فإن
النقطة ناقص x و ناقص y تقع على المنحنة مثل ما عشان
ال graph of an odd function is symmetric about the
origin ليش؟ لأن ال F of ناقص xالـ F of ناقص X بدو
يساوي ناقص F of X اللي هي F of X اللي هي Y تمام؟
من هنا قولنا هذا معنى أيش؟ معنى التماثل بالنسبة لل
origin يبقى ال odd function رسمتها دائما و أبدا
متماثلة بالنسبة لنقطة الاصل ال even function
رسمتها متماثلة دائما و أبدا بالنسبة لميه؟ لمحولة
اسأل السؤال اللي بغلبة
مش وهمي، حقيقي، حقيقي، اه و من هنا رسمتك اللي هو
القطع الناقص هذا رسمة حقيقية، اه ممتاز
جدا، السؤال هوبقيت لفترات التزايد والتنقص اللي
ملايش داعو بال even و ال odd هنا صح؟ طب أقولك ماشي
الحال أنا بالداجي كيف؟ فاستنى شوية ما احنا هنجاوب
عليه، الآن هل الرسم هذه هي رسمة اقتران؟ بطلنا
increasing و decreasing؟مظبوط؟ يجب ويحطها على
الشجرة احنا ال increasing و ال decreasing كلها
بالنسبالي function وقتاش ال function increasing
وقتاش ال function decreasing ايوة اللي رفع أيديه
هنا بطل؟ ايوة الدائرة انت فيها ثلاثة دائرة مالها؟
بتحطها ده ثلاثة ليه؟ بالملون و السحر طب انا بسألك
هي الدائرة دالةممكن يكون ده، لممكن لا، حسب
الـInterval اللي بتاخدها عليها، صحيح ولا لا؟
وبالتالي ماقدرش أحكم، لإن أنا بقول أيه، even
function أو odd function، يبقى دائرة أنا مش عارف،
غير لما أشوفها، هي نص دائرة، نص يمين، ولا شمال،
ولا فوق، ولا تحت، وبالتالي بيصيح اختلف الكلام،
أيوة
تمام ايش مكتوب قدامك على اللوح هنا؟ مكتوب الـOdd
ها الـSymmetric حوالين مين؟ و الله حوالين محوركس
Right Believe
it بدل ما كانت موجه بصرة سالبة Believe it هي
X شرطها مختلفة لكن صورتهم نفسها F of X يسوى F of
ناقص X يا
راجل أنا قلتلك هيكتفهمنيش غلط اسمه يا ابني أنت
وياه احنا بنتكلم على مين على ال even function بس
اسمع برضه عودنا للدائرة تاني يا راجل وين هي
الدائرة ماعنديش دائرة قطعة النقص مارواش functionو
بعد ايه؟ احنا هذا اللي رسمناها ال ellipse بس لمعنى
ال symmetry المنحنى جولنا تمام؟ او ال S طيب يبقى
المنحنى يكونوا متماثلين و لم اقر رسمة ال function
المنحنى قد يكون function و قد لا يكون function
خربطش بين التنتين ايوة استاذ اقبل نقص لتحت ال cell
لو قرناها كل واحد حاجةماشي الحاجة، بنفع ولا بنفعش؟
بنفع، ماشي يبقى شيلنا اللي فوق وخلّينا y less than
zeroكتبنا القطع الناقص معادلته X تربيع على A تربيع
زي Y تربيع على B تربيع يساوي واحد و روحت و حطيت
condition Y أقل من أو تساوي Zero يبقى بصير اللي
فوق بسلامته هذا كله مش موجوده في شغل النص في
السفليأي vertical line اللي يقطعه إلا في نقطة
واحدة صار function ما هو سؤالك even غصب عني وعنك،
عارف ليش؟ لإن النصف اللي على اليمين بيصير زي النصف
اللي على الإشمع، مابدأش سؤالها دي خلاص،
ده اللي عارف يسأل تاني؟ بدنا نفوت للنقطة اللي
بعدها أو النقطة اللي بعدها بدنا نعطي مثالعلى الـ
odd و ال even قبل نحكم على ال function هل هي odd و
لا even بمعنى بدنا نطبق التعريف اللي احنا حطناه
قدامنا وبواسطة هذا التعريف نحكم على ال function هل
هي even و لا odd و لا even و لا odd يبقى example
determine whether حدد
لهال the following functions الدوالي
التالية are even odd or
neither يعني لا even ولا odd نمر ايه ال F of X
يسوى X قصة أربعة absolute value لل X تكيب زائد
خمسة solution قال
شوف لهذه الدالةهل هي even ولا odd و الله لا even
ولا odd و الله ايش رايح نضيف عليها even و odd في
نفس الوقت بنفع بنفع في حالة واحدة فقط لا غير لو
كانت f of x تساوي zeroبصير الـ function even و odd
في نفس الوقت لكن غير هيك يبعتلك الله مش صحيح طيب
على أي حال يبقى يا even يا odd
زائد خمسة تمام هذه ايش رأيك فيها X أص أربعة زي
ماني X أص أربعة زائد absolute value هذه سالب X في
سالب X في سالب X يعني سالب X لكل تكييب زائد خمسة
أول خاصية من قواص القيمة المطلقة اللي خدتوها في
الثانوية ان absolute value ل-x هي absolute value ل
-xabsolute value للسالب تلاتة هي absolute value
للتلاتة اللي هي بتلاتة، مظبوط او لا؟ و قص عليها كل
ال real numbers، اذا absolute value للسالب X هي
absolute value لX، اذا هذه عبارة عن ايش؟absolute
value ل X تكييب يبقى هذه بدها تساوي X أُس 4 زائد
absolute value ل X تكييب زائد خمسة طبقا لهذه
الخاصية طب هذه مين هي؟ مش هي الدالة الأصلية؟ يبقى
هذه بدها تساوي F of X الأصليةيبقى بناء على يسار F
of سلب X يساوي مين؟ يبقى دالة هذه مالها؟ even
function يبقى sol F is an even function يبقى دالة
زوجية نمر بيها F of X يساوي X على X تربية ناقص
تلتة بتعرف هذه دالة زوجية والله ده ده ده ده ده ده
ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده ده
ده ده ده ده ده ده ده ده
أنا مش عارف أيه السؤال
بتشيل كل X و بتحط مكانها سالم X وبعدين بطلع أشوف
شو النتيجة ان طلعت الدالة الأصلية يبقى even مع
طلعة الدالة الأصلية يمكن odd ويمكن لا even ولا odd
هذه اللي احنا قاعدين بندور عليه مظبوط هذه طلعت من؟
الدالة الأصلية إذن الدالة هذه even يعني سعر F of
سالم X هو F of X مظبوط يا ابني؟ مش هيك كان
التعريف؟طيب نيجي للتانية F of X يساوي X على X
تربية سالب ثلاثة الان انا بدي اخد من F of سالب X
يبقى سالب X سالب X لكل تربية سالب تلاتة شلت كل X و
حطيت مكانهاسالب X يبقى هذه بدها تساوي سالب X على
هذه X تربيع ناقص ثلاثة هذه بقدر اقول خدلي السالب
برا بيظل X على X تربيع ناقص ثلاثة اللي بين جسينها
دي مين؟ هذه F of X الأصلية يبقى هي السالب برا وهي
ال F of Xأيش صار عندى F of سالب X يساوي قداش سالب
F of X هذه الأصلية وهذه اللى توصلنا لها بناء عليه
ال F دى مالها odd function يبقى فال F is an odd
function نجى
لنمرى ال Cنمرى C ال F of X absolute value لل X
زائد واحد بدي أشوفها even و لا odd يبقى solution
بدي أخد ال F of سالب X absolute value لسالب X زائد
واحد هل هي الدالة الأصلية اللي فوق؟
هي اللي فوق يبقى هذه لا تساوي F of X يعني هذه ما
لها not even طيب بلاش هل هذه تساوي سالم X زائد
واحد؟مش ممكنية، يبقى هذه مش هذه، مختلفة كلياً،
يبقى هذه لا تساوي هذه، يبقى ما لها كمعنى not، odd،
يبقى بناء علي هذه لا even ولا would يبقى neither،
يبقى هذا بكل معناته إيش؟ إن ال F is neither even
nor oddطيب شو رايك؟ نمر دي اللي أخدت ال F of X
يساوي ال X تكييب ناقص ثلاثة X يبقى
هذا ال F of ناقص X ناقص X لكل تكييب ناقص ثلاثة في
ناقص Xهذه بناقص x تكيب زائد ثلاثة x هل هذه هي
الدالة الأصلية يبقى لا تساوي f of x يبقى not even
طيب شو رأيك؟ بدأ أخد سالب عامل مشترك منها يبقى هاي
السالب برا، إيش ضال عندي؟ X تكيب سالب تلاتة X،
مظبوط؟ طيب اللي بين جثين، هي الأصلية اللي فوق؟
يبقى هذه يساوي ناقص ال F over X، يبقى odd function
طيب بدنا نيجي لنقطة جديدة غير ال even و ال odd و
ال symmetry
يبقى بنا نجي لآخر نقطة في هذا ال section اللي هي
حاجة اسمها ال common functions يبقى ال common
Linear functions يعني الدوال العادية يعني الدول
اللي هتدرج معاك طيلة هذا الفصل و احنا بنشتغل فيه
calculus ايه اول نوع من هذه الأنواع اللي هي ال
linear functions الدوال الخطية بدنا نعطيلها تعريف
التعريف بيقول ما يأتي a function f
الشكل التالي f of x يساوي mx زائد b where ال m and
ال b are constantsهدول ثوابت constants is called a
linear function
يبقى الدلل بشكل هذا بسميها دلّة خطية، يعني بالبلد
دي دلّة خطية لو رسمتها، شو بتكون رسمتها؟ خط
مستقيم، خط مستقيم، يبقى هاي المقصود فيها، أظن هذه
اللي وعدت فيها قبل شوية في بداية المحاضرةطيب يبقى
هذه معادلة خط مستقيم او كنت بتقوله في الثانوية Y
يساوي MX زائد B ال M هذا طول الجزء الميل وال B هو
طول الجزء المخطوعة من محور الصعدات Y intercept
وهذا هو ال slowالمين طيب كويس يبقى ال M هذا بيرمز
للسلوب تبع ال line وهذا ال Y intercept يعني طول
الجزء المخطوة من محور الصدر الآن بدأ ناخد المستقيم
هذا في حالاته المختلفة تمامفبجي بقول لو كان عندى
محاور بالشكل هذا هذا محور X وهذا محور Y وحبيت ارسم
الخط المستقيم اللى عندنا افترض هذا الخط المستقيم
تمام يبقى هذا الخط اللى معادلته Y تساوي MX زائد B
وين ال B وين ال M هذهأحنا بنقول ان ال B هي ال Y
intercept يبقى B هي المسافة اللي عندنا هذه تمام؟
يعني إحداث النقطة هذه هو Zero و M طيب وين ال M؟ ال
M ال slope يعني الظلمة الزاوية اللي بيعملها لي مع
الاتجاه الموجدلل X axis يبقى هذا الخط المستقيم
اللي عندنا واضح ان ال mail تبع عماله موجب ولا سالب
موجب لإن الزاوية زاوية حدة لكن لو الخط المستقيم
أجى من الناحية التانية بصير Y تساوي سلب MX زائد B
الخط المستقيم هذا بدنا نيجي ناخدله عدة حالات
الحالة الأولىلو كانت ال M تساوي Zero يعني الميل
تبع الخط المستخدم تساوي Zero يعني ايش؟ موازي لمحور
الصينة او منطبق عليه وموازي يعني جاي فوق او جاي
تحتيبقى بدي اجي اخد نمرة واحد F ال M تساوي Zero
وال B لا تساوي Zero يبقى بدي اقصير هذه المحاور
اللي عندنا هذا محور X هذا Y هذا Zeroم تساوي زيرو
part of term هذي بيصير f of x تساوي كدهش بيه يعني
بيصير عندنا y تساوي بيه والله إذا بيه أكبر من ال
zero بده يجينا الخط المستقيم فوق يبقى هذا y تساوي
بيه و ال b greater than zeroطيب الخط المستقيم ممكن
يكون بالسالب إذا y يسوي كمية سالبة يبقى بده يجينا
الخط هذا y تسوي سالب b و ال b أكبر من ال zero طيب
ليش كتبت ال b أكبر من ال zero؟ مشان أضمن أنها تبقى
هذه سالبة، مظبوط؟ يبقى y تسوي سالب تلاتةالتلاتة
أكبر من ال zero يبقى مضمون هذا يظل ياش قيمة سالبة
مش مشكلة يبقى y تساوي بي و بي أقل من ال zero عادى
جدا نفس الكتابة يبقى y تساوي سالب بي و بي موجبة
دائما و أبدا مشان أضمن أن هذا يظل من السالب طيب
ممكن مايكونش y تساوي بي ممكن يكون ال Xيساوي A رقم
و ال A هذا ممكن يكون موجب و ممكن يكون سالب يبقى
بصير عندي هذه المحاور و هذا محور X و هذا محور Y Y
تساوي A هي يبقى هذا Y تساوي A ال مسافة من هنا لهنا
اكس يساوي ايه؟ اكس بده يساوي a والa positive والa
greater than zero لكن لو جت الخط اللي عندنا هذا
يبقى هذا X يساوي سالب A والـ A كذلك أكبر من الـ
Zero عشان أطبع أن هذا سالب يبقى X يساوي A موازية
لمحور Y من جهة اليمين X يساوي سالب A موازية لمحور
Y من جهة الشمال يبقى هذه الحالة الأولى الخطوط
المستقيمة الموازية لمحور X أو الموازية لمحور Yممكن
ال M ما تكونش ب Zero تكون رقم ولكن ال B هي اللي
بتبقى ب Zero طب لو ال B هذه صارت ب Zero الخط
المستقيم ماله؟ بده يمر بنقطة الأصل يبقى بدنا نيجي
للنقطة الثانية F ال M لا تساوي Zero وال B تساوي
Zeroالحالة القطوط المستقيمة ستكون بهذا الشكل يبقى
هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي الـ
Zero فتاخد أول شغلة لو كان ال M بواحد يبقاش مصير
معادلةF of X يساوي X يعني Y تساوي X يبقى بدرجيك
الخط اللي عندك هذا بالشكل هذا هيك و مده على
استقالة يبقى هذا ال F of X بده يساوي ال X أو ال Y
يساوي ال X الزاوية هذه بخمسة و أربعين والزاوية هذه
بخمسة و أربعينهذه في علم الرياضيات بيسموها ال
identity function دالة الوحدة يبقى هذه بنسميها ال
identity function يبقى هذه دالة الوحدة ايه لو كان
F of X يسوى مص Xيبقى ايش بده يصير؟ بده يصير الخط
هنا في الشجة هذه، من هذا و فوق ولا منه و تحت؟ منه
و تحت، لإن عند X يساوي واحد بيصير قيمته نص، بس هذا
عند الواحد بيصير قيمته واحد، يبقى هذا الخط الأزرق
هذا هيكبدي أجيلك اللي هو Y تساوي نص X يعني M تساوي
نص طب لو كم Y تساوي اتنين X فوق بدي أجي منه فوق
يبقى هذا الخط بدي أجيك هناكخط هنا y تساوي اتنين
اكس عارفين ليش يا شباب لإن لو قلت هي النقطة اللي
هي واحد بس هي عند الواحد قيمته نص هذا عند الواحد
قيمته جداش واحد هذا عند الواحد قيمته جداش اتنين
وهكذاطب واحد يقول لي طيب y تساوي ناقص x مش موجب
ضغوط تيجي من الشجة التانية يبقى من الشجة التانية
تجينا الخط y تساوي سالب x و هكذا ما ينطبق على
الموجب ينطبق على السالب عندنا يبقى هذا الوضع
للخطوط المستقيمة في حالتها
التناسب الطردي والتناسب العكسي يبقى definition two
variables
يوجد اتناسب وتناسب انترضيا اذا واحد دائما
دائما و أبدا a constant multiple of
the other that
is أي أنهY تساوي K في X for non zero constant K
Also
و كذلكY يساوي K في واحد على X يعني
ان Y is inversely
proportional
عن طريق الـ X
أنا عندى متغيرين واحد X واحد Y المتغيرين هذول are
proportional يعنى يتناسبوا تناسبا طرديا if one is
always a constant multiple of the other إذا كان
أحدهم مضاعفات الآخر جده مرة و نص جده مرتين جده خمس
مرات جده سبعة مرات و تلت تربع زى ما بدك مضاعفاته
That is بدي أصيغ السطرين هدول بصيغة رياضية فباجي
بقوله Y يساوي K حيث K عدد حقيقي غير صفري نين تلاتة
واحد و نص عشرين خمسمية زي ما بدك تمام for none
zero constant K لمقدار ثابت غير الصفريبقى هذا
التناسب الطبيعي لما اقول متغيرين متناسبين بقدر
اقلب التناسب الى تساوي و بضغط فى مين فى مقدار ثابت
يبقى هذا اللى اتعلمناه في الفيزيا كل حياتنابجلب
التناسب إلى تساوي بضرب في مقدار ثابت المقدار
الثابت اللي هو K مقدار ثابت غير الصفر المعادلة
التانية Y يساوي K على X تناسب عكسي يبقى means يعني
ان Y is inversely proportional تتناسب تناسبا عكسيا
مع من مع ال variable التاني اللي هو Xواضح كلامي
هنا؟ طيب لحد هنا stop لسه لما ننتهي بعد لكن بدي
أعطيكوا أرقام المسائل مشان تبدوا تشتغلوا و تحضروا
ال discussion
المناقشة ايو بدرس روح اتمرن ديلك في الأسئلة
التالية exercises واحد واحد المسائل من واحد لغاية
سبعة و خمسين ال odd numbers اه الأرقام الفردية من
واحد لسبعة و خمسين