بسم الله الرحمن الرحيم مثل ما أخذنا تطبيقات على
التفاضل برضه بدنا نأخذ تطبيقات على التكامل بعد ما
أخذنا في chapter 5 كيفية تكامل الدوال المختلفة يبقى
chapter 6 هو تطبيقات على استخدام التكامل في هذه
التطبيقات سنحاول إيجاد الحجوم والمساحات وأطوال
المنحنيات طبعًا هنجد الحجوم وهذا جديد علينا لم
نتعرض لهم من قبل سنجد المساحات السطحية للمجسمات
لأن المساحة بين المنحنيات درسناها في chapter خمسة
في آخر section كان section خمسة ستة ولذلك المساحات
هنا ليست المساحات في المستوى وإنما المساحات في
الفضاء يعني مساحة اللي هو مجسم موجود في الفضاء
هنبدأ بأول نقطة وهي إيجاد الحجوم يبقى applications
of definite integrals تطبيقات التكاملات المحدودة
section 61 volumes using cross sections يبقى بدنا
نحاول نوجد الحجوم باستخدام المقاطع للمجسمات
المجسم هذا بده ينشأ عندنا من دوران بدنا نأخذ مقطع
لهذا المجسم الناتج ومن خلال المقطع اللي عندنا هذا
بدنا نحاول نوجد قداش حجم المجسم طبعًا في هذا ال
section في عندي يا إما طريقة ال disk لو كان المقطع
هو عبارة عن اللي هو دائرة مصممة وبالتالي بسميها
disk يعني قرص مصمت أو ممكن يكون قرص مصمت بس فيه
تجويف ممكن يكون شريحة تمام يبقى هناخد طريقة اللي
هو الشريحة هذه و نأخذ طريقة ال disk فنبدأ بطريقة
ال disk في الأول فقال لي volume of revolution يعني
حجم المجسم الناتج من الدوران revolution دوران solid
مجسم يبقى حجم المجسم الناتج من الدوران وببدأ نتعرف
لأول طريقة The disk method طريقة القرص نعطيه
التعريف التالي يبقى volume of the solid حجم المجسم
generated المتولد أو المتكون by revolving the
region between بدوران المنطقة المحصورة ما بين الرسم
البياني لمنحنى دالة y تساوي r of x and the x axis
about the x axis يعني الدوران هيكون حوالي محور x
is يبقى لو جئت افترضت أن عندي منحنى زي ما أنت شايف
Y تساوي R of X بدي أخلي هذا المنحنى يدور حوالي
محور X وبعد شوية هاخذ مثلا خليه يدور حوالي خط
موازٍ لمحور X بعد ذلك يمكن أن يكون المنحنى يدور
حوالي محور Y حسب طبيعة المنحنى أو حوالي خط موازٍ
لمحور Y كل هذا سناخذ عليه أمثلة للحالات الأربع
دوران حول محور X حولين خط موازٍ لمحور X حولين محور
Y حولين خط موازٍ لمحور Y ايه بنشوف كيف بنجيب الحجوم
في الحالات الأربع خلّينا في البداية لو كان الدوران
حول محور X نشوف كيف بنجد حجم المجسم الناتج من
الدوران يبقى هذه عندي R of X زي ما أنت شايف بدي
أخليها تدور في الفضاء بدي أريك ما هو شكل المجسم
الناتج من الدوران الآن لما أقول محور الدوران هو
محور X يبقى أي نقطة خارج محور الدوران عند دورانها
سترسم محيط دائرة تمام تمام إذا النقطة هذه هنا
هترسم لي محيط دائرة يبقى لو جئت للدائرة و روحت قلت
هذه الدائرة اللي عندنا تمام هذه كمان النقطة
هترسم لي محيط دائرة هذا هو نصف قطرها يبقى لما أديت
هذا على استقامته بقدر طوله يبقى هتصبح الدائرة اللي
عندنا بهذا الشكل تمام يبقى الخط الخارجي هذا هيصبح
على الشكل التالي يبقى هذا المجسم اللي نتج منه دورة
كل نقطة على هذا المنحنى بترسم محيط دائرة فحصل عندنا
من المجسم اللي أمامنا هذا بدنا نوجد حجم هذا المجسم
إذا بدي أروح أأخذ cross section من أعلى إلى أسفل
بدي أقطعه بمقطع و أشوف شكل المقطع السؤال هو ما هو
شكل المقطع؟ دائرة كذلك يبقى الدائرة هذه لو روحت
رسمتها بدي يكون عندي خط بالشكل هذا يكتر ومن
الناحية الثانية بيظهر ليش فهارسمه منقط خط بالشكل
اللي عندنا هنا يبقى هذه دائرة هذه دائرة هذه دائرة
يبقى هذا هو المقطع اللي عندنا هنا طيب مدام دائرة
حد بيقدر يقول لي قداش مساحة الدائرة؟ πr² ممتاز جدا
يبقى أنا لو هذه المساحة أعطيتها الرمز a يبقى a هذه
هي المساحة من هنا راح نقول له ال volume v يساوي
تكامل من عند ال a هنا لغاية ال b هنا تكامل من a
إلى b لهذه المساحة اللي هي A of X بيعطيني حجم
المجسم كله يبقى تكامل هذه المساحة من عند ال A إلى
B يساوي تكامل من A إلى B مساحة دائرة تحت النقطة
الرباعية وين نقلوا المسافة؟ من هنا لغاية هنا هذا
الخط اللي عندنا الغامق هذا هو مين؟ هذا هو نصف
القطر يبقى نصف القطر البعد ما بين المنحنى ومحور X
R of X هو البعد اللي عندنا يبقى لما يقول لي طه نقطة
بيه يصير بي R of X لكل قيمة يعد X يبقى هذا حجم
المجسم الناتج من الدوران يبقى نصف القطر هذا اللي
عندنا هو عبارة عن مين عبارة عن R of X إن كامل هذا
من A لـ B بنحصل على حجم المجسم الناتج من الدوران قد
يكون الدوران حسب طبيعة المنحنى حول محور Y إذا كان
الدوران حول محور Y يبقى بدنا نروح نكامل بالنسبة
لمين إلى Y وبالتالي بيصير ال volume في هذه الحالة
V يساوي تكامل من C إلى D لل A of Y دي Y أو تكامل بـ I
R of Y لكل قيمة مين
الآن بعد هذا الكلام نروح نأخذ أمثلة تطبيقية على
الكلام اللي احنا بنقوله ونشوف كيف هنحسب هذه الحجوم
بدنا نيجي لأول مثال على هذا الموضوع يبقى example
one
يبقى مشان أحسب الحجم بدي شغلتين بدي أعرف بس حدود
التكامل من وين لوين اتنين بدي أعرف قداش نصف القطر
تبع المقطع إذا عرفت هذا بصير الشغل تكامل عادي
روتيني عادي لا شيء فيه يبقى هدول أهم حاجة عندي حدود
التكامل اتحددها الصح اتنين اللي هو مان نصف القطر تبع
اللي هو دائرة المقطع أو تبع ال disk يبقى هذا اللي
رسمناه مظلة للي عندنا هذا هذا هو ال disk يبقى هذا
هو ال disk لأن احنا قلنا بناخد أول طريقة اللي هي
ال disk مثال نعطي مثال يبقى example one بيقول ما
يأتي find the volume of the solid find the volume
of the solid generated by
revolving
the region bounded by the region bounded by
والمحدود بـ Y تساوي X تكعيب وY تساوي Zero and X
يساوي اتنين about the X axis about
the X Axis
لما نحل مثال على هذا الموضوع يبقى أول شغلة بدنا
نعملها بدنا نرسم الرسمة مشان نقدر نحدد حدود
التكامل يبقى بيقول هات لي حجم المجسم الناتج من
دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى Y تساوي X تكعيب
يبقى لو رحنا رسمنا المنحنى بالشكل هذا هذا محور X
هذا محور Y وهذا نقطة الأصل Z يبقى المنحنى Y تساوي
X تكعيب منحنى رسمناه عدة مرات قبل ذلك يبقى ما هو
جديد بالنسبة لنا يبقى هذا المنحنى المهم يبقى Y
تساوي X تكعيب
بعد هيك قال كمان محدود ب مين؟ Y تساوي صفر مين Y
تساوي صفر هذا؟ محور X يبقى هذا الخط اللي هو Y
تساوي صفر بعد هيك قال الخط X يساوي 2 يبقى
خط رأسي بهذا الشكل X يساوي 2 يبقى هذا 2
يبقى بين محور X والمنحنى Y تساوي X تكعيب والخط X
يساوي 2 يبقى عبارة عن المنطقة المظللة اللي عندنا
هذه ما للمنطقة هذه؟ هذه بدها تدور حوالي محور X
تمام يبقى هل بدورة أرسم المجسم الناتج من الدوران؟
ليس بدورة لكن حدد نصف قطر ال disk تبعك بصير خلصه
يبقى مشان هيك كأن المجسم موجود و بدو يروح اعمل فيه
مهم مقطع المقطع هذا بدو يكون ال disk تبعه بالشكل
اللي عندنا هذا يبقى هذا نصف القطر تبع ال disk
السؤال هو قداش مقدار نصف القطر هذا؟ X تكعيب لأن
X تكعيب هي المسافة بين محور X والمنحنى اللي فات
لأن هذا المنحنى لو جئت كملته بدو يجيني بالشكل اللي
عندنا هذا بالشكل هذا و بدو يجيني هذا هيك مش هذا
الشكل هذه هترسم لي محيط دائرة وهذه نقطة الأصل زي ما
هي ثابتة إذا هذا لو أخذت ال disk بدو يكون ال disk
بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا نصف القطر بدي أحدد
نصف القطر والباقي بيصير كله شغل روتيني يبقى نصف
القطر اللي عندنا هو عبارة عن المسافة هذه هي Y
تساوي يبقى بروح بقول له ال volume V بدو يساوي تكامل ال
X هتتغير من وين لوين؟ من صفر لغاية 2 لل باي R
of X اللي هي X تكعيب الكل تربيع بالنسبة لـ dx
بالنسبة لـ DX باي مقدار ثابت ما له دعوة وهي تكامل
من صفر لـ 2 وهذا X أس 6 DX يبقى هذه تساوي باي
وهذه X السابعة على 7 من zero لغاية 2 يبقى
هذه باي على 7 في 2 أس 7 ناقص zero 2
أس 7 اللي هي قداش؟ 128 يبقى 128
على 7 باي هذا حجم المجسم الناتج من الدوران وهذا من
أبسط أنواع المسائل اللي ما فيش فيه تفكير ولا حاجة
مباشرة طيب نعطيك سؤال أأصعب شوية example 2
بيقول find the
volume of the solid بنقدر حجم المجسم generated by
revolving
the region الناتج من دوران المنطقة in the first
quadrant in the first quadrant
في الربع الأول bounded above by bounded above
by
by the line y
تساوي 2 below ومن أسفل by the curve y يساوي 2 sin
x 2 sin x و ال X هذه محصورة بين ال Zero وما بين ال
π على 2 and on the left ومن الجهة اليسرى by
the y axis by the y axis بمحور y about the line y
تساوي 2
سؤال مرة ثانية بيقول هات لي حجم المجسم المتولد من
دوران المنطقة في الربع الأول والمحدودة من أعلى
بالخط Y تساوي 2 ومن أسفل بالمنحنى Y يساوي
2 sin X و X فقط من Zero لغاية π على 2 and
on the left ومن الجهة اليسرى بمحور Y والدوران
حوالي الخط Y تساوي 2 وليس حوالي محور X يبقى
المثال السابق أن الدوران حوالي هنا حوالي خط
موازٍ لمحور X إذا خلينا نرسم المنطقة اللي عندنا
هذه ونشوف كيف بدنا نحسب اللي هو الـ dx اللي هو
التكامل هذا يبقى هذا محور X هذا محور y هذا الخط
اللي عندنا y اللي هو y تساوي كذا يساوي 2 يبقى
هذا من أعلى من أسفل جلّي بالمنحنى y تساوي 2 sin x
sin x أكبر قيمة بياخد قداش؟ 1 لما أضربه بـ 2
صير 2 يعني أقصى حاجة بوصلها أنه يمس الخط اللي
عندنا هذا مظبوط طب هو بياخد الـ sin القيمة 1
عند π على 2 اذا لو جئت قلت هذه
النقطة Zero و جئت رسمت هذا المنحنى يقول المنحنى
بدو يجيني بالشكل اللي عندنا هذا هذه النقطة اللي هي 175 0
سميناها هي الدوران لفوق تمام حد بدي يوصل تاني قبل
ما نفقد إذا مين اللي بحكي إيوه
مش بنزل عمود أنت لو رسمت دائرة أنا بجيب نص قطر لأنّه
قبل شوية قلنا ليس بالضرورة أني ارسم الرسمة كلها
صحيح ولا لأ؟ فجأة أنا بأخذ بس نص قطر دائرة المقطع
يعني نص قطر الـ disk اللي عندك هذا لو دار لفوق يبقى
هذه بدها تيجي هنا و هذه مكانها زي ما هي بدها يصير
هذا نصف قطر دائرة المقطع واستفدت من عليك أنها بس
يكفيني ارسم نصف القطر والله يعطيك العافية ليس
بالضرورة أن ارسم رسمة كاملة لهمين؟ وين ما بدك من
هنا لغاية هنا
بتنزل عمود من المنطقة اللي عندك على محور الدوران
Y تساوي اثنين يبقى هذا نصف القطر يبقى ما ضلش اللي هي
كامل وكامل عندنا هي من Zero لغاية كده ايش؟ لـ π على
اثنين يبقى باجي بقول له Volume V يبقى تكامل من
Zero لـ π على اثنين لـ π فيه نصف القطر اللي هو
اثنين ناقص اثنين Sin X الكل تربيع يقعد X يبقى هذا
بدّه يتساوي الـ π هيها برة وهي تكامل من Zero لغاية
π على الـ X فتفكر التربيع اللي عندنا هذا يبقى هذا
ناقص ثمانية Sin الـ X زائد أربعة Sin تربيع الـ X
كله بالنسبة لمين؟ إلى DX تمام؟ طيب الآن الـ term
الأول والـ term الثاني سهل تكامله، المشكلة في الـ
term الثالث يبقى الـ term الثالث بدنا نروح نكتبه
بدلالة ضعف الزاوية يبقى هذا الكلام بدّه يساوي π π
برة تكامل من Zero لغاية π على اثنين وهي الـ
هي الأربعة ناقص ثمانية في Sin الـ X زائد 4 Sin
التربيع هي عبارة عن نصف في واحد زائد Cos يبقى هي أربعة في
Cos يفتح قوس واحد ناقص Cos اثنين X كل هذا الكلام
بالنسبة لمن؟ لـ DX هذا بدّه يساوي هي الـ π برة
وهي تكامل من Zero لغاية π على اثنين طبعاً طلع لي إلى
هنا أربعة في نصف باثنين اثنين في واحد باثنين اثنين
وأربعة ستة يبقى هذه بدها تصير ستة ناقص ثمانية Sin
الـ X زي ما هي ما فيش فيها مشكلة نيجي هنا ونضلي 2 Cos 2X
يبقى ناقص 2 Cos 2X
كل هذا الكلام بالنسبة إلى DX يبقى نيجي نكامل يبقى
هذا أصبح الـ Volume V بدّه يساوي π π اللي برة و
بدنا نكامل تكامل الـ 6 اللي هي في 6X وسالب 8 ما لهاش
علاقة وتكامل الـ Sin بسالب Cos مع سالب بصير موجب ب
ثمانية Cos الـ X واللي بعدها ناقص Sin اثنين X
على اثنين بتروح مع الاثنين والكلام من Zero لغاية
π على اثنين
بنعوض بالقيمة اللي فوق يبقى 6 في π على 2 يبقى 3
π يبقى هذه 3 π اللي بعدها Cos π على 2 هو
0 يبقى هذه زائد 0 ناقص
هذه القيمة اللي فوق ناقص اللي تحت ستة في Zero
بقد ايش؟ بـ Zero و Cos صفر بواحد يبقى ناقص ثمانية
ناقص مع ناقص بصير زائد Sin الـ Zero اللي هو بقد ايش؟
بـ Zero يبقى النتيجة صارت π 3 π ناقص ثمانية
مين اللي بيحكي؟ اللي فوق ناقص اللي تحت كـ وصلة ستة
باقي طبعاً يبقى دخلت سالب على كل واحدة منهم يبقى هذه
النتيجة النهائية لمين؟ لحجم يبقى زي ما أنت شايف كلّه
شغل روتيني بس حدّ الحدود التكامل صح اثنين أحد النص
القطر صح بصير باقي الشغل روتيني عادي مثال رقم ثلاثة
example three find the
volume of the solid generated by
revolving
by revolving the region bounded
by the line the region bounded by الـ X بدّه يساوي
اثنين على Y زائد واحد والـ X يساوي Zero والـ Y تساوي
Zero and الـ Y تساوي ثلاثة about the Y axis أولياً
محور Y السؤال
مرة ثانية بقول هات لي حجم المجسم المتكون من دوران
المنطقة المحدودة بالمنحنى X يساوي اثنين على Y زائد
واحد شكله هيك مش عارفينه لكن لو حطيته Y as a
function of X هلاقي شكله صار معروف ومقلوب بالنسبة
لنا لكن هيك مش طبيعي مش عارفينه طيب لما نوصله سهل
X يساوي Zero و Y تساوي Zero محور Y ومحور X ما عندناش
مشكلة فيهم و Y تساوي ثلاثة ما عندناش مشكلة والدوران
حول محور Y احنا اخذنا مثالين الأول حول محور X
الثاني حول خط موازي لمحور X هذا منين؟ محور Y طب
نحاول نرسم هذه المنطقة مشان نرسم هذه المنطقة احنا
عندنا X يساوي 2 على Y زائد 1 أو ممكن اكتب Y زائد
واحد بدّه يساوي اثنين على X أو ممكن اقول أن Y
يساوي اثنين على X ناقص واحد ناقص واحد هدف تبع
Shift واثنين ما لها دعوة بتجرب على المنحنى دي
بجانب رسمة Y تساوي واحد على X اظن يا ما رسمناها هي
مش جديدة بالنسبة لنا يبقى هذا صارت مسألة سهلة جداً
إذا لو روحت رسمت المنحنى هياخد الشكل التالي يبقى
هذا عندنا محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي
Zero يبقى هذا Y يساوي 2 على X ونجرب على محور Y و
Shift إلى أسفل بمقدار
Y تساوي سالب واحد يبقى هذا Y تساوي سالب واحد يبقى
المنحنى يريد أن ينزل لتحت المقدار سلبي Y تساوي
واحد X عارفينه جوس على اليمين وجوس على الشمال من
هنا بس مش كل الرسم بدي إياها يبقى أنا بروح برسم اللي
بدي إياها يبقى اللي جوس اللي على اليمين بدي اعمله
Shift لأسفل بمقدار واحد بس هوسع الرسم مشان الكل
يشوف يبقى بداجي اقول هذا المنحنى اللي عندنا تمام
يبقى هذا هو الـ X يساوي اثنين على Y زائد واحد أو Y
يساوي اثنين على X ناقص واحد هذا والله هذا سيء بعد
هيك قال لي هذا محور X وهذا محور Y يبقى خلصنا من
هدول يبقى Y تساوي ثلاثة يبقى بادروح ارسم له الخط
اللي عندنا هذا Y تساوي ثلاثة إذا أصبحت المنطقة
اللي محصورة بين المنحنى ومحور X ومحور Y وخط Y تساوي
ثلاثة اللي هي المنطقة المظللة اللي عندنا هذه يبقى
هذه المنطقة بدها تدور وين؟ حول محور Y إذا بدي
ارسم خط يقطع هذه المنطقة وعمودي على محور الدوران
يبقى لو جيت هنا قلت ارسم هذا الخط العمودي تمام؟
بدي اعرف قد ايش الطول تبعه يبقى من هنا لغاية هنا هذا
X يساوي كم؟ اثنين على Y زائد واحد يبقى هذا هو نصف
القطر تمام؟ يبقى باجي بقول له يبقى بدي اكامل بالنسبة
إلى Y أقل قيمة بتاخذها Y هنا كم؟ واكبر قيمة هنا
بتاخذها كم؟ ثلاثة لأن هذا النقطة الإحداثية تبعها
ثلاثة لأن الخط هذا Y تساوي ثلاثة يبقى الـ Volume V
يبقى تكامل من Zero لغاية ثلاثة لـ π في R اللي هي اثنين
على Y زائد واحد الكل تربيع D Y طيب هذا الكلام يبقى
يساوي لو ربعت هذا يصبح أربعة مع π خليك برة يبقى
هذه أربعة π خليها برة Y تكامل من Zero إلى ثلاثة
للوحد على Y زائد واحد الكل تربيع D Y هذا يبدو يساوي
أربعة π في تكامل اللي بيعرف يكاملها على طول كان بها
يعرفش حط له تعويض بنعرف نكاملها على طول سالب واحد
على Y زائد واحد تعرفش هه هتروح تقول لي في الهمش
حط لي مثلاً T تساوي Y زائد واحد يبقى DT بدّه يساوي
مين؟ DY يبقى هذا بيصير تكامل لواحد على T تربيع و
DT بدل DY بقيت حدود التكامل لما تبقى Y بثلاثة يبقى
T بقد ايش؟ بأربعة لما تبقى Y بـ Zero يبقى T بقد ايش؟ بواحد أو
لو خليتها زي ما هي وقولتي لي سالب واحد على واي زائد
واحد بيطلع كلام مظبوط مية المية يبقى هذا الكلام
بدّه يساوي أربعة π تكامل من واحد لغاية أربعة لـ T
أس ناقص اثنين DT يبقى النتيجة تساوي أربعة π و
T أس سالب واحد على سالب واحد والحكي من عند الواحد
لغاية كده؟ لأربعة يبقى سالب أربعة π وهذه واحدة
على تي من عند الواحد لغاية كده؟ لغاية الأربعة يبقى
هذا الكلام بدّه يساوي سالب أربعة π ما له دعوة
وهذا الربع ناقص واحد ويساوي هي سالب أربعة π برة
وربع ناقص واحد بقد ايش؟ بناقص ثلاثة أرباع يبقى الجواب
يساوي ثلاثة π فقط لغير هو حجم المجسم الناتج من
الدوران
تفضل تمام والتعويض هذه ايش بتسوي؟ اه كيف مش اخذنا
التكامل بالتعويض ولما الحد ما تحط تعويض بتتغير
حدود طبقا للتعويض الجديدة Zero ثلاثة هذا للمتغير
Y ينعكسهم للمتغير T من واحد إلى أربعة طيب ناخذ
كمان مثال رقم أربعة الرقم أربعة بقول find the
volume of the solid find the volume of the solid
generated
by
revolving
the
region ناتج من دوران المنطقة bounded by the lines
بالخطوط
المستقيمة Y تساوي 2X Y تساوي Zero والـ X يساوي
واحد about
X يساوي 1 احنا
حتى الآن اخذنا ثلاثة أمثلة مثال
الأول الدوران حول محور X الثاني خط موازي
لمحور X الثالث الرابع
المنطقة المحصورة ما بين الخط Y تساوي 2X يبقى Y يساوي
2X ويبقى
Y يساوي 2X ويبقى Y يساوي 0
يبقى المنطقة اللي محصورة بين الثلاثة هذول هي
المنطقة المظللة اللي عندنا هذه تمام يبقى هذه
المنطقة الدوران حول مين؟ حول اللي هو X يساوي
واحد يعني خط موازي لمحور وراء Y وبالتالي احنا بنكامل
بالنسبة لـ Y ولا بالنسبة لـ X؟ بالنسبة لـ Y لموازي
لمحور Y إذا بدأت ارسم خط يقطع منطقة التكامل بشكل
عن هذا يبقى هذا يمثل نصف قطر disk أو نصف قطر دائرة
في المقطع بدي اعرف قد ايش مقدار هذا نصف القطر السؤال
هو قد ايش المسافة هذه
واحد ناقص اثنين واحد ناقص اثنين هذا الان solution
عندنا المنحنى Y تساوي 2X يعني لو اخذنا أي قيمة X
على أفكر تطلع Y على راسك هل بنقدر نكتب X بدلالة
Y؟ جواب نعم يعني هذه الـ X بدها تساوي نصف Y أو Y على
2 يبقى لما اقول البعد X البعد X يمثل البعد اللي
عندنا هذا المنقط هكذا تمام؟ قد ايش البعد هذا من هنا
لهنا اللي هو مين؟ Y على 2 يبقى هذا البعد هو Y على
2 اللي هي معادلة الخط اللي عندنا هذا بدل ما اقول Y
تساوي اثنين X بدي اقول X يساوي كده Y بدل ما اخذ
البعد الرأسي باخذ البعد الأفقي وبالتالي هذا نصف
القطر اللي عندنا هذا بيصير واحد ناقص Y على مين؟ على
اثنين مرة ثانية بقول البعد هذا كله واحد صحيح يعني
البعد هذا كله ايه؟ واحد صحيح انا بدي طول الخط 372 00
اتنين النتيجة تساوى Hi Bye برة وبدنا نعود هذا اتنين
ناقص اتنين أربع على اتنين باتنين زائد ثمانية على
إثنا عشر-000 كله راح معاه السلامة يبقى ألة المسألة
اتنين مع اتنين الله سهل عليها بيظل باي في جداش في
ثمانية على إثنا عشر على الأربعة فيها الثلاثة على
الأربعة فيها اثنين وعلى الأربعة فيها الثلاثة يبقى
اثنين باي على ثلاثة قيمة هذا الحجبطيب أعطانا الآن
أربعة أمثلة على الأربع حالات محور X خط موازٍ له
ومحور Y خط موازٍ له طيب هذه الحالة الأولى اللي لو
كان المقطع disk مصمت قد يكون disk فيه تجويف كويس
من النتيجة شو القصة هذا disk فيه تجويف هذا
بنسميها الطريقة الثانية وهي طريقة ال washer وشر
يعني رندلة رندلة إيش رندلة اللي فاهم ده ال ring
ماشي ال ring ماشي لما تشوف صمولة بيحط تحتها حديدة
مثقوبة مظبوط حتى مشان تمسك الصمولة الحديدة
المثقوبة هذه بيسميها رندلة أو واشر بلاش لما
تيجيكم للتابع الغاز يجيبوكم جرق الغاز بيعطيكم
جلدة الصمرة هذه جلدة الصمرة اللي هو قرص بس مثقوب
من النص مظبوط يبقى هذه الواشر كذلك العشرة الشكل هذا
لو ضيّعنا لأصفر اللي في المص بيصير washer بيظل في
الخارج وهكذا يبقى هذه موضوع main موضوع ال washer
بدنا نيجي نعرف متى نستخدم طريقة ال washer طبعا
طريقة ال disk إذا كان المقطع مصمتا مش فيه أي تجويف
إذا بدنا نيجي للطريقة الثانية اللي هو the washer
method أخذنا أول طريقة اللي هي طريقة ال desk اثنين
the washer method we
use this method we use this
method نستخدم هذه الطريقة if the solid إذا كان
المجسم of revolution
of revolution has a hole موجود في ثقب أو تجويف and
it بداخله وفي هذه الحالة بقوله the volume the
volume V بتساوي التكامل من A إلى B لل by لمين للـ R
of X لكل تربيع ناقص R of X لكل تربيع كله بالنسبة
إلى DX where capital R of X نصف
القطر الخارجي and الـ r of x is the inner radius
نصف القطر الداخلي
نرجع لكلام اللي احنا كاتبينه هذا مرة ثانية يبقى
طريقة الواشر method الواشر يا شباب على الشكل
التالي قرص بهذا الشكل يبقى هذا القرص الخارجي وقرص
داخلي أو دائرة داخلية بهذا الشكل هذه المنطقة اللي
بينهم كلها منطقة مصمتة واللي في الداخل هذا تجويف
وهذا المركز تمام الخط
اللي عندنا هذا من هنا لهنا هذا اللي هو ال small r
of x نصف القطر الداخلي وهذا ال outer radius اللي
هو نصف القطر الخارجي
يعني المقطع لما نقطع لهذا التجويف هيكون في نصف قطر
خارجي وفي نصف قطر داخلي كما سترى يبقى لو جينا
تخيلنا أن هذا محور X على سبيل المثال وهذا محور Y
وجئت للمنحنى اللي عندنا بهذا الشكل مثلا كان Y
تساوي R of X وجئنا لمنحنى ثاني المنحنى الثاني كان
بالشكل هذا اللي هو Y تساوي R of X small تمام الآن
على المنطقة A وB افترض أنه بدأ هذا الكلام من عند
ال A ولغاية من ولغاية B الاثنين هذول حصروا بينهم
مساحة اللي هي المساحة المظللة اللي عندنا هذه كلها
تمام هذا لو دار حول الخط اللي هو المحور y تساوي
x كان هو محور الدوران يبقى فيه إن حاجة اسمها outer
radius وفيه إن حاجة اسمها inner radius ال inner
radius عند أي لحظة هو الخط اللي عندنا هذا يبقى هذا
هو r of x small ال outer radius هو الخط اللي عندنا
هذا
لا احنا بياخدهم على نفس النقطة لأنك تجي على نفس
النقطة بالضبط تماما لكن ليس بالضرورة خد وين ما بدك
تمام بس أنا رسمت بيدي مشان يوضح لك من وين لوين هذا
سميته مين اللي هو ال R of X بالشكل اللي عندنا هذا
يعني لو دار المجسم حول محور ال X بتلاقي هذا
النقطة صارت مدينة هذه على استقامتها لغاية هنا يبقى
هذه بدها تجيك الدائرة اللي عندك هذه أو هذه بدها
تجيك دائرة بالشكل اللي عندك هذا أو هذا بده يجيلك
الخط اللي فوق أو من هنا بده يجيلك main بدي اجيلك
الخط اللي تحت بالشكل اللي عندك هذا هيك تمام يبقى
هذا اللي بدي يصير إيش بيصير عندك لو جئت أخذت disk
يبقى ال disk هاي معاه
لما ناخد ال disk مقطع واحد يبقى بده يجيلك الشكل
هذا هيك هذا مش هيظهر يبقى هيكون في الناحية الثانية
بهذا الشكل هذا ههه بده يكون عندك بالشكل هذا وهذا
كمان بالشكل هذا كويس يبقى وين ال washer في هذه
الحالة ال washer المنطقة الحمرة هذه كلها
هذه المنطقة الحمرة اللي هو washer يبقى فيه تجويف
التجويف اللي هو المنطقة البيضاء يبقى هذا هو ال
inner radius وهذا هو ال outer radius من هنا هيحصلك
بالأسود لغاية ما توصل لوين للنقطة هذه يبقى هذا كله
هذا هو ال R of X الشكل اللي عندنا وهذا من هنا لهنا
فقط هو ال inner radius R of X بالشكل اللي عندك
تعالى تشوف إيش اللي قال لي ال volume اللي قال لي
ال volume يجب أن تتكامل من A إلى B ل π مضروبة في
مين في نقطة رمزية هذا الكلام لو فكته لحد هنا بيعطيني
المساحة تبع الدائرة الكبيرة هذا بيعطينا المساحة تبع
الدائرة الصغيرة لما تتنين من بعض بيصير المنطقة
المظللة بكمل عليها من A إلى B بجيب له حجم المجسم
الناتج من الدوران يبقى هذه ال washer هذه اللي أنت
شايفها وهذه اللي جوا هيها رسمتها لكنا للتوضيح يبقى
ال ultra radius من النقطة هذه لنقطة هذه ال inner
radius من النقطة هذه لوين لنقطة اللي عندنا لنقطة
طبعا هذه المركز المشترك للدائرتين أو لل two disks
ال disk المجوف على شكل دائرة وال disk المصمت
الثاني واضح الكلام هذا يبقى مشان نجيب ال volume في
هذه الحالة شو بالزامنين بالزامنين شغلتين الشغلة
الأولى بدك تحدد حدود التكامل زي ما كنا في حالة ال
disk الشغلة الثانية بدك تحدد ال inner radius أو
out of radius مثل
هذا الكلام لو كان بالنسبة ل Y لو كان الدوران
حول محور Y أو حول خط موازٍ لمحور Y بنعمل نفس
السفينة بسيطة كمان من C إلى D ل π ل R of Y الكل تربيع
ناقص R of Y الكل تربيع يعني نفس القصة بس بصير
بالنسبة ل Y كمان أحد فيكم له أي تساؤل قبل أن
نذهب إلى الأمثلة طبعا هذا آخر جزء نظري موجود في
هذا ال section بس الكلمتين اللي قدامك علقوا علينا
أحد لديكم له أي تساؤل ندخل للأمثلة توكلنا على
الله يبقى بنجي لأول مثال على موضوع أو استخدام
الوشر method يبقى example one find
the volume of the sun يعني اكتب
أنت وياه بدون صوت بقول يجب أن تجد قطعة المسلحة التي
تم
تجرى منها حول المنطقة
bounded by the curve بالمنحنى y يساوي أربعة ناقص x
تربيع and the line والخط المستقيم y تساوي اثنين
ناقص x about
X Axis طبعا
ذكرنا إن هذه الطريقة طريقة ال washroom نستخدمها إذا
كان في عندي تجويف أو ثقب في هذا المجسم واضح أن
الجزء الأبيض هذا كله يعتبر تجويف داخل المجسم
الكبير في هذا السؤال طبعا هو بيقول ليش في عندك
تجويف ولا ما عندكش أنت لحالك من خلال الرسم بتستنتج
هل هناك تجويف أم لا إذا نرجع لمسألتنا نقرأ ونرسم
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم
نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم نرسم
نرسم نY تساوي ناقص X تربيع يبقى الفرابولة مفتوحة
إلى أسفل زائد أربعة يبقى shift إلى أعلى بمقدار أربعة
يبقى الفرابولة بتجيني وين بالشكل اللي عندنا هذا
يبقى هذا ال Y تساوي أربعة ناقص X تربيع طبعا لو حطيت
Y تساوي Zero بصير X باثنين وسالب اثنين يبقى
النقطة هذه سالب اثنين والنقطة هذه قداش اللي هو
الاثنين اللي هم نقطتي تقاطع المنحنى مع محور X تمام
خط y تساوي 2 ناقص x باجي بقول لو كانت x ب 0 يبقى y
ب 2 يبقى ب 2 نصف اللي هي النقطة اللي عندنا هذه ولو
كانت y ب 0 يبقى x في قداش ب 2 يبقى لما y تساوي 0 x
ب 2 يبقى حتاني نقطة ثانية تقع على الخط المستقيم
يبقى لو وصلت ما بينهم ومديت الخط على استقامته
يكون هذا هو الخط اللي موجود عندنا اللي هو main y
تساوي 2 ناقص 6 الاثنين هذول حصروا لي مساحة فيما
بينهما قال هات لي حجم المجسم المتولد من دوران
المنطقة المحدودة بالمنحنى والخط المستقيم يبقى هذا
الخط المستقيم وهذا المنحنى يبقى هذه المنطقة
المظللة المحصورة فيما بينهما هذه المنطقة بدها
دور حول محور X يبقى معنى هذا الكلام هذا
يعتبر تجويف فيما لو دارت هذه المنطقة تجويف موجود
داخل المجسم يبقى أنا بدي وين ال outer radius وين
ال inner radius يبقى بالداخل ال outer radius بدي
ارسم خط يقطع المنطقة المظللة لو عمودي على محور
الدوران يبقى هذا يعتبر مين outer radius يبقى outer
radius
اللي هو capital R of X بدها تساوي أربعة ناقص X
تربيع بدنا ال inner radius ال inner radius هو
المسافة من هنا لهنا اللي هو منطقة الفراغ طب منطقة
الفراغ Y كده تساوي هنا؟ يبقى هذه المنطقة فقط من هنا
لغاية هنا Y تساوي أو R of X يبقى يساوي اثنين ناقص
X يبقى حددت ال outer radius وال inner radius صار
شغل روتيني ده اللي عندي بدي حدد main حدود التكامل
أقل قيمة بتاخدها X اللي هو القيمة اللي عندنا هذه وأكبر
قيمة بتاخدها X اللي هو القيمة اللي عندنا هذه
هذه معروفة بقيت هذه مجهولة مشان أجيب هذه هي القيمة
بروح بحل المعادلتين مع بعض وبجيب قيمة X يبقى أنا
عندي أربعة ناقص X تربيع يساوي اثنين ناقص X بدي أنقل
هذه على الجهة الثانية بصير X تربيع ناقص X ناقص 2
بيصبح Zero يبقى جثين بالشكل اللي عندنا هذا بيصبح
Zero يبقى هذه X وهذه X وهذه واحد اثنين ناقص زائد
من هذه بقدر أقوله يبقى X بيصبح سالب واحد وهنا X
بيصبح اثنين الاثنين الحمد لله هي موجودة بقيت
هذه اللي هي قداش سالب واحد إذا انحددت حدود التكامل
ناقص كمز هذا
الكلام ممكن يسوي هذه و هذه و هذه و هذه معكم سلامة
بالتمانية زائد اثنين و ثلاثين على خمسة زائد اثنا عشر
ناقص ثلاثة يبقى ناقص ثلاثة وعندك هنا ناقص اثنين و
هنا زائد خمسة شكل اللي عندنا هذا يبقى هذا الكلام
بده يساوي by فيه ثمانية و اثنا عشر عشرين عشرين شيل
منهم خمسة بيضل كده خمسة عشر وعندك هنا اثنين و
ثلاثين و واحد بتلاتة و ثلاثين على خمسة يبقى هذا
الكلام بده يساوي باي في خمسة في خمسة عشر بخمسة
و سبعين خمسة وسبعين بيضيف عليهم ثلاثين بيصير مئة و
ثمانية مئة وثمانية على خمسة باي هذا هو حجم المجسم
اللي موجود عندنا
بناخد كمان مثال تبقى
example two will
find the volume of
هذا صليت أن حجم المجسم generated by revolving
generated by revolving
generated by revolving ماتخليش أطرد أطردكوا برا
ماتخليش أضطرر لهذا الأسلوب احترم نفسك و بديش كلام
يبقى generated by revolving the
region bounded by
the parabola y
تساوي x تربيع below
by the x axis ومن أسفل بمحور x and on the right by
the right من جهة اليمين by the line بالخط
المستقيم x يساوي واحد
x يساوي اثنين
نرجع لسؤالنا مرة ثانية السؤال بيقول فات لحجم
المجسم المتولد من دوران المنطقة المحدودة بالبرابله
y تساوي x تربيع و من أسفل بمحور x و من جهة اليمين
بالخط y أو ال x تساوي واحد حولين محور yوالتانية
حولينا الخط x يساوي 2 يبقى ده مش سؤال واحد وانما
سؤالين في آلة واحد يبقى بدنا نيجي نشوف كيف ننهل
هدين السؤالين ونبدأ بالنقطة a مشان نيجي للنقطة a
بدنا نروح نرسم المنطقة مشان نحدد حدود التكامليبقى
أنا لو جيت قلت هاي المحاور هذا محور x هذا محور y
هذا نقطة الأصل اللي هي zero y تساوي x تربيع بجيلي
بالشكل اللي عنها يبقى هذا y تساوي x تربيع تمام؟
جالي ومن أسفل بمحور x تحت بمحور x ومن الشجرة اللي
قمت بالخط x يساوي واحد يبقى لو جيت قلت هذا ال line
له x يساوي واحد يبقى المنطقة اللي عندنا هذه هي
المنطقة اللي محصورة عندنا هذه المنطقة بدها تدور في
الحالة الأولى حوالي مين؟ حوالي المحور y يبقى
معناه هذا الكلام بدي أكمل بالنسبة ل y ولا بالنسبة
ل x؟ ل y مادة بالنسبة ل y إذا بدي أرسم خط يقطع
منطقة التكامل وعمودي على محور الدوران يبقى لو جيت
قلت هذا الخط اللي هو يقطع منطقة التكامل وعمودي
على محور الدوران بدي أعرف كده طول من هنا لغاية هنا
يبقى هذا يعتبر ال outer radius وهذا يعتبر inner
radius تمام تمام تمام
تمام تمام تمام تمام تمام تمام
تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام تمام
تمام تمام تمام تمام يبقى المسافة هذه كلها شباب قداش
يبقى هذا x يساوي جذر ال y و المسافة من هنا لهنا
قداش واحد صحيح اللي المسافة من هنا يبقى ال outer
radius يساوي واحد و ال inner radius اللي هو قداش
جذر ال y يبقى أصبح عندنا هنا ال outer radius ال x
يساوي قداش واحد وال inner radius نصف القطر الداخلي
ال x يساوي جذر ال y يبقى الفرق في ما بينهما
يعطيني الحجم المجسم الناتج من الدوران دلوقتي بدي
أعرف y تتغير من أين إلى أين يبقى y هتتغير من هنا
لغاية هنا هذه أقل قيمة بتاخدها y وهذه أكبر قيمة
بتاخدها y مشان أطل أعرف قداش القيمة هذه بدروح أحل
المعادلتين هدول مالهم مع بعض يبقى احنا عندنا جذر
ال y بده يساوي واحد هذا معناه أن y تساوي قداش واحد
يبقى هذا النقطة لو كانت ال y بواحد يبقى x بقداش
بواحد كذلك إذا نحدث النقطة هذه واحد وواحد يبقى ال
y تتغير من zero لغاية واحد يبقى بالداجي لل volume
v يساوي تكامل من zero إلى واحد ال outer radius by
i ال outer radius اتفجنا من هنا لهنا اللي هو
قداش واحد تربيع ناقص ال inner radius اللي هو من هنا
لغاية هنا اللي هو ال gathering ال y لكل تربيع و
التكامل كله بالنسبة لمين الى dy يبقى اشتغلت شغل
سليم مائة بالمائة يبقى النتيجة جد ما تطلع تطلع
ماتفرجش عننا يبقى هذه بدها تساوي π برا و π تكمل
من zero لواحد لواحد ناقص y كله dy طبعا النتيجة
تساوي π برا و π ناقص y تربيع على اثنين كله من
عند ال zero لغاية واحد يبقى هذا بدي يعطيك π وهنا
واحد ناقص نصف والباقي كله بناقص zero ويساوي π في
نصف يعني π على اثنين هذا هي الحجم المطلوب π على
اثنين تمام فضل لو دار
حوالين محور x بطل يصير في عندي washer يبقى برجع لل
disk تمام و هذا الفرق ما بين الاثنين هنا نظرا لإنه
دار حولين محور y يعني بالعربي لو حبيت أبينها
لك بده أقولك هنا هذه بدها توصل وهذه بدها تصير هيك
وهذه هيك وهذه من هنا هيك وهذه هيك طبعا؟ يبقى هذا
ايش؟ هاي الصارع عندك تجيب في هذا بدي أجيلك هيك
بالشكل اللي عندي أو هذا بدي أجيلك هيك و هيك هذا
الشكل طبعا؟ يبقى هذه ال washer اللي عندي هذه ال
washer اللي عندي طبعا؟
واضحيت؟
يبقى كأنه ايش؟ قص طوانة وجوفناها بالتجويف الداخلي،
اه يبقى good سمعتش
قلنا له مش ممكن تكون نفس الحاجة ده؟ ليش؟ هو
المجسم بيطلع نفسه يعني؟ المجسم بصير نفسه جرب احنا
حسبناها حوالي المحور y وانت جربها حوالي المحور x
وهي اللي بقولك ال x ستتغير من عند ال zero لغاية
واحد و ال y تساوي x تربيع هي موجودة عندك احسب
المساحة بالله وقل لجد نرجع الآن لنمر بيه من
المثلة يبقى لو جيت لنمر بيه من المثلة يبقى هذه
المحاولة وهذا محور x وهذا محور y وهذا نقطة الأصل
اللي هي zero والملحنة اللي عندنا رسمناها فكان بهذا
الشكل هذا y تساوي x تربيع و هذا الخط له x يساوي
واحد و هاي المساحة اللي موجودة عندنا اللي هي
المساحة اللي عندنا هذه وإحداثيات النقطة هذه واحد
واحد جل الحالة الثانية لو المساحة اللي دارت حولينا
الخط y أو x يساوي مين؟ اثنين يبقى x يساوي اثنين بدي
يجيلك هذا ال x يساوي قداش اثنين هذا الشكل تمام؟
يبقى هذا الخط اللي هو x يساوي اثنين طيب مدام هيك
بيكي عندي outer radius و inner radius إذا بدي أرسم
خط يقطع منطقة التكامل وعمودي على محور الدوران
بالشكل اللي عندنا هذا مثلا هذا الخط الأحمر هذا
يعتبر main outer radius هذا من هنا لهنا يعتبر من ال
inner radius يبقى مشان اميزك فيما بيننا هذا ال
inner radius هو القطع الأسود والقطع الأحمر هو ال
outer radius السؤال هو المسافة من هنا لهنا كده؟
اثنين بدي أشيل منها المسافة هذه يبقى لو جيت
المسافة هذه
يبقى المسافة هذه x يساوي جذر ال y طيب إذا ال volume
v بدي تساوي تكامل ل π y بدي أجيلك ال outer radius ال
outer radius يصل من هنا لهنا يعني الاثنين بدي
أشيل منها جذر ال y يبقى الاثنين ناقص جذر ال y لكل
تربيع ناقص ال inner radius ال inner radius
المستفادة دي كلها باثنين بدي أشيل منها واحد يبقى 2
ناقص واحد لكل تربيع كله بالنسبة لمين الى dy
بقية حدود التكامل هل تغيرت؟ لأ يبقى زي ما هي من صفر
لغاية واحد يبقى من صفر لغاية واحد كما هي يبقى
النتيجة تساوي π by برة وتكامل من صفر لغاية واحد
بده افكر قوس هذا أربعة ناقص اثنين جذر ال y والله
ناقص أربعة جذر ال y يبقى ناقص أربعة جذر ال y
يبقى النتيجة تساوي π تكامل من صفر لغاية واحد
عندك ناقص واحد وزاد أربعة بيضل قداش ثلاثة وهنا زائد
y وهنا ناقص أربعة y أصل نص كل هذا الكلام نسبة الى
مين الى by يبقى أصبح ال volume v اللي عندنا بده
يساوي π by برة وبدنا نكامل يبقى ثلاثة y زائد y
تربيع على اثنين ناقص أربعة والثالثة على اثنين على
ثلاثة على اثنين كله من صفر لغاية واحد يبقى هذا
الكلام بده يساوي π في ثلاثة y زائد y تربيع على
اثنين ناقص ثمانية على ثلاثة y أقصى ثلاثة على اثنين
كله من صفر لغاية واحد يبقى بده يساوي π في ثلاثة
ناقص ثمانية على ثلاثة والباقي كله ناقص ناقص ناقص ناقص
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص
ناقص ناقص ناقص ناقص ناقص
المثال الأخير في هذا ال section يبقى example ثلاثة
بيقول ما يأتي find volume
of the solid generated
generated
by revolving the
region by
revolving the region bounded
by y تساوي x تربيع and y تساوي أربعة above the
line y
تساوي خمسة حولنا الخط y تساوي خمسة
نرجع لأسوالنا مرة ثانية قولي هاتلي حجم المجسم
المتولد تعالى يا ابنيا تعالى كيف حالك أنت من وقتاش
احنا بنرد على الجولات في المحاضرات تعالى عوضي وقعد
وإلا بخليك تاخد دفاعك ومتعودش على القعب المرة يا
جوال يا محاضرة
مرة ثانية يبقى find the volume of the solid هاتلي
حجم المجسم المتولد بدوران المنطقة المحدودة
بالمنحنى y تساوي x تربيع وy تساوي أربعة حولين الخط
y تساوي خمسة يبقى لو روحت رسمت المنطقة هذه يبقى هاي
المحاور هذا محور x وهذا محور y وهذا نقطة الأصل
اللي هي zero y تساوي x تربيع الكل بيعرفه برابولة
من الأربعة لغاية كده خمسة
واحد ضالت عند الـ X بدها تتغير من أقل قيمة لها إلى
أكبر قيمة لها هيها لذلك سنحل المعادلات مع بعض
يبقى احنا عندنا y تساوي x تربيع يبقى هذه هي من ال
x تربيع وهنا عندنا y تساوي كده؟ أربعة معناه هذا
الكلام أن الـ x بدأ تساوي زائد أو ناقص يبقى هنا
بيصير الـ x بسالب اثنين وهنا الـ x بقدر؟ اثنين إذا
أصبح الـ volume V متساوي تكامل من سالب اثنين إلى
اثنين إلى باي للـ outer radius الكل تربيع الخمسة
ناقص X تربيع الخمسة ناقص X تربيع الكل تربيع ناقص
الـ small radius اللي هو واحد لكل تربيع كله بالنسبة
إلى ماذا يعني صار هذا تكامل من سالب اثنين إلى اثنين
لبي بده فك الجزء يبقى هاي خمسة وعشرين ناقص عشرة X
تربيع زائد X أس أربعة ناقص واحد في DX أظن ناقص واحد
وزائد خمسة وعشرين بيظل جداش
عشرة اكس تربيع زائد اكس أس أربعة ناقص واحد في DX
أظن ناقص واحد وزائد خمسة وعشرين بيظل جداش أربع
وعشرين يبقى تكامل من سالب اثنين إلى اثنين لبي في
الأربع وعشرين ناقص عشرة x تربيع زائد x أس أربعة كله
بالنسبة لما إلى dx الدالة دي even function
هيكفي هذا اثنين وتكامل من صفر للاتنين وهي الـ
باي برا يبقى اثنين باي وضل عندك هنا للأربع وعشرين ناقص
عشرة X تربيع زائد X أُس أربعة كله بالنسبة إلى من؟
إلى DX عملنا ليش؟ لأن هذه الدالة Event Function
يبقى نظرة لإنها دالة زوجية والـ Symmetric Interval
من سالب اثنين إلى اثنين X تربيع و X أُس أربعة يبقى
ماعنديش أسس فردية يبقى هذه Evil Function على طول
الخط يبقى النتيجة يساوي هي اثنين باي برا يبقى أربع
وعشرين اكس عشرة على تلاتة اكس تكعيب زي اكس وخمسة
على خمسة من صفر لغاية اثنين يبقى هذا اثنين باي في
اثنين في أربع وعشرين ثمانية وأربعين ناقص ثمانية
في عشرة ثمانين على تلاتة زائد اثنين أقصد خمسة التي
هي اثنين و تلاتين على خمسة والباقي كله بـ zero
ماعنا مشكلة في هذه الحالة يبقى نتيجته ساوي اثنين
by هذا بقدر أقول كله على خمستاشر يبقى بيننا نيجي
نضرب ثمانية و أربعين في خمستاشر خمسة في ثمانية اب
أربعين خمسة في أربع وعشرين أربع وعشرين ثمانية
وأربعين اثنا عشر سبعمية وعشرين يبقى هذه السبعمية
وعشرين ناقص خمستاشر ع تلاتة فيها الخمسة أربعمية
زائد تلاتة اللي هو ستة وتسعين يبقى هنا ستة وتسعين
بصير عندي ستة وتسعة واثنين أحد عشر يبقى ثمانمية
وستاش بده أشيل منها أربعمية بيظل أربعمية وستاش
تمام؟ يبقى هذه يساوي اثنين باي أربعمية وست عشر كله
على كدهش على خمستاشر يبقى ثمانمية و 32 باي على 15
هذا مقدار الحجم الجسم المتكون من الدوران وصلنا إلى
نهاية الـ section بدنا أرقام المسائل لـ exercises
ستة واحدة يبقى هنا بنجي بنقول exercises ستة واحد
المثال من خمستاشر لغاية تسعة وأربعين الاد من اللي
بده يسأل ايه اتفضل ما عرفتش كيف يبقى تعالي ارسم
الرسم هذي لفوق وشوف هذا بصير صدوف ولا لا يبقى لو
جينا رسمنا هذه بده يصير هيك مظبوط يا سيدي؟ و هذا
الخط .. الخط هي جانبك و هذا الخط التاني بده يصير
هيك يبقى هذا مصمد بالشكل اللي عندك كده لأن هذه
عملتلك دائرة الشكل هذا و هذه عملتلك دائرة بالشكل
اللي عندك كان، مظبوط هيك؟ عرفته ولا ما عرفتش؟ حد
بدي يسأل تاني؟ أنا بيعطيك العافية