بسم الله الرحمن الرحيم الموضوع اللى قدر بين ايدينا
اليوم اللى هو one sided limit طبعا ابتدأنا من
section 1 لغاية section 3 لم ناخد في اي يوم من
الأيام ال limit من اليمين او ال limit من الشمال
وانما بجأنا ناخد limit سعالية بدلا من محكمة limit
ثم limit سعادية ثم ال section الماضى كان بواسط
epsilon و delta definitionالنظرية بتقول ليش؟
بالبلدي قبل ما نقراها روح ناخد ال limit للدالة من
اليمين وال limit للدالة من الشمال إذا اتنين تساووا
يبقى ال limit exist و تساوى القيم اللي بتطلع هذا
باختصار، تمام؟ الكلام اللي سمعته هى مكتوب جبنانا،
بنقول a function f of x has a limit as x
approaches c لها limit لما ال x بتروح ل c and only
fإذا و فقط إذا كان it has a left hand and right
hand limits إذا ال limit من اليمين موجودة و ال
limit من الشمال موجودة عند تلك النقطة there يعني
هناك عند النقطة اللي عندنا هذه اللي هي c and these
limits are equal و ال two limits هدول بيكونوا
متساويتين ذاتي
في السطرة و بدأت صيغة مرياضيا بالسطرة اللى قدامنا
هذه فبجب اقول limit ال F of X لما ال X بده تروح
الى C يساوي ال L if and only if limit ال F of X
لما ال X بده تروح الى C من جهة اليسار بده تساوي L
وفي نفس الوقت limit ال F of X لما ال X بده تروح
الى C من جهة اليامين بده يساوي نفس النتيجة اللى هى
Lيبقى إذا تساوت النتيجة للـ function من اليمين
والنتيجة من اليسار يبقى ال limit exists وتساوي هذه
القيمة اللي طلعت أنا بنا نبدأ ناخد أمثلة مختلفة
على ميم على الكلام اللي قلنا هذاطبعا أنا عارف أنه
بعض الأسئلة بتدور في دماكه، لكن هذه الأسئلة بدي
أجاوبها، بدي أسألها أنا وسنجاوب عليها بعد قليل، بس
ناخد بعض الأمثلةعلى الـ graph of a function as
shown in the following figure رسمى اللى قدامنا هذه
بيقول احسب لل limit إذا كانت موجودة و إذا مش
موجودة مسامحينك فيها ال limit الأولى بيقول اللى
limit ال F of X لما ال X بده تروح لسالب واحد من
جهة اليمين يبقى باجي لسالب واحد هي السالب واحد أنا
رايحله من جهة مين؟ من جهة اليمين يبقى الدالة كل ما
اقترب من سالب واحد من جهة اليمين الدالة طالعة
لمين؟للواحد يبقى هذه ال limit تساوي واحد صحيح نجي
لبعدها limit ال f of x لما ال x بده تروح ل zero
إذا روحت ل zero من جهة الشمال بلاقي هذه نزل أوين ل
zero وإذا روحت ل zero من جهة اليمين بلاقي هذه نزل
أوين ل zero يبقى ال limit من اليمين بده تساوي ال
limit من الشمال يبقى بتساوي قداش zeroالان بنا
limit لل F of X لما ال X بده تروح لل واحد من جهة
اليسار يبقى احنا رايحين لل واحد من جهة اليسار
الدالة طالعة لوين؟ لل اتنين يبقى ال limit هنا
تساوي كده ايش؟ تساوي اتنين بنا limit لل F of X لما
ال X بده تروح لل واحد من جهة اليمين يبقى احنا
رايحين لل واحد من جهة اليمين بدي اقول دالة رايحة
لوين؟يبقى النتيجة تساوي واحد بناء عليه من جهة
اليمين بواحد من جهة الشمال باتنين اختلفت القيمتان
يبقى ال limit ما لها does not exist يبقى هذه بقوله
does not existهذا الـ Limit
غير موجودة
أنا بدرسلك سؤال فيه أن إيه ال function بعد
التلاتة؟ ماعنديش يبقى هذي does not exist مش موجودة
لأنه لا يوجد عندنا function يبقى كمان هذي does not
existتمام؟ طيب نيجي للي بعدها اللي هو نمرة ست سبعة
بيقول اللي limit ال F of X لما ال X بيطرح ده C
where C موجودة أي نقطة تاخدها في ال interval من
عند الواحد لغاية التلاتة بشرط التلاتة مش منهم
والواحد مش منهم يبقى داخل الفترة من واحد إلى تلاتة
ال limit جداش؟ بينفعش اقول اتنين هنا؟هذه القيمة
وليس انا لما اجرب على الاتنين من جهة اليمين ومن
جهة الشمال بلاقي هذا مجرب على مين؟ على واحد يبقى
limit exist وتساوي جداش كلها وتساوي واحد صحيحيبقى
هذه ال limit أوجدنها من خلال الرسم طبعا أعطيتكم
قبل ذلك سؤال من هذا الموديل هذا تمام؟ و هذا هو
سؤال ثاني طيب ننتقل الآن إلى نوية أخرى من هذه
المسائل كمان مثال أخر بقول find the following
limits
if it exists إذا موجودة بدناها مش موجودة بلاش نمرة
واحد limit لما ال X بده تروح ليه تلاتة ال absolute
value لل X ناقص تلاتة على X تربية ناقص X ناقص ستة
لو
جه تعوض أيوة
بس أنا كدهش ال domain بالله بيقول زميلكوا ال
domain من سالب واحد لغاية تلاتة
كل الدالة معرفة على جميع ال interval من سالب واحد
لغاية تلاتة مافي مشكلة تقدر تجيبلي نقطة اللي بيقول
لأ تقدر تجيبلي نقطة الدالة غير معرفة عندها خلال
الفترة من واحد لتلاتة فيه؟ فهبقى أنا بدي أسألك
كمان سؤال ال range اللي هيقداش؟اسمه عرضين ترويها،
السؤال إيه له؟ من صفر لأ اتنين، من عند اتنين مفتوح
أو لا؟لأ موجودة يبقى هذه clause من zero لغاية
اتنين ليش اتطلع عند اتنين قيمة ده لا يساوي اتنين
هي مفتوحة لكن هي موجودة يبقى ال range clause
interval من zero لغاية اتنين ننتقل للسؤال الثاني
بده limit لهذا المقدار لما ال X بده يروح ليه تلاتة
لو جاء تعاود مباشر يبقى البسط ب zero والمقام كذلك
ب zero
بنرجع الآن بالذاكرة الى الوراء بذاكر تذكير فقط
بتعريف ال absolute value كنا نقول ال absolute
value ل X بيسوي X إذا ال X greater than or equal
to 0 و سلب X إذا ال X أقل من 100خلّي هذه المعلومة
هادى فى دماغك ونحاول نقيص عليها يبقى إذا X موجبة
تبقى لأبسولية فلل X هي X إذا X سالبة يبقى لأبسولية
فلل X ساوية كده؟ سالب Xطيب أنا الأن بدي أحسب هذه
ال limit بدي أجرب أخد ال limit لما ال X بده تروح
لتلاتة من جهة الشمال لل absolute value لل X ناقص
تلاتة على X تربية ناقص X ناقص ستة ويسوي ال limit
لما ال X بده تروح لتلاتة من جهة الشمالطلع عليك
كويس، الآن أنا لما أروح لتلاتة من جهة الشمال، يعني
لما أقول هذا ال real line وهذا عند التلاتة وأنا
رايح للتلاتة من جهة الشمال، يبقى أقل من تلاتة ولا
أكثر؟أقل من تلاتة لما نطرحها من تلاتة بتظهر كمية
سالبة يبقى مادام كمية سالبة إذا ان تعريفها ده
بتظهر جزء زي ما هو بس بإشارة سالبة يبقى هذا بدي
يصير السالب ال X ناقص تلاتة يبقى هي اتخلص من ال
absolute value إذا ال X بتروح لتلتة من جهات اليسار
والمقام بدي أحللهيبقى هاي اكس هاي اكس هنا اتنين
هنا تلاتة هنا ناقص هنا زاد هاي زائد اتنين اكس
وناقص تلاتة اكس بيبقى ناقص اكس بتحليلنا سليم مائة
بالمائة الجث هذا بيروح مع الجث هذا تقول المسألة
الى limit لما ال X بيروح لتلاتة من جهة اليسار
لسالب واحد على X زائد اتنينيبقى limit ال constant
بال constant itself هذا متضال خطي يبقى تعويض مباشر
يبقى النتيجة تساوي كده؟ سالب خمس طب تعالى نشوف هنا
limit من اليمين يبقى limit لما ال X بده تروح لتلتة
من جهة اليمين لل absolute value لل X ناقص تلتة على
ال X تربية ناقص X ناقص ستة يبقى limit لما ال X بده
تروحالى تلاتة من جهة اليمين
تلاتة من جهة اليمين يبقى احنا هنا اكثر من تلاتة
تلاتة وكسر ناقص تلاتة بدل هذا الكسر يبقى هذا دائما
وابدا قيمة موجبة مدام قيمة موجبة يبقى ال absolute
value للمقدر بالمقدر itself على من على x زائد
اتنين في x ناقص تلاتة بالشكل اللي عندنا هذاتمام؟
نختصر يبقى هنا هذا الجزء مع هذا الجزء ويساوي ال
limit لما ال X بدها تروح إلى تلاتة من جهة اليمين
لواحد على X زائد اتنين تعويض مباشر واحد ع تلاتة
زائد اتنين يساوي جداش خمسيبقى هل ال limit exist
ولا does not exist لأن ال limit من اليمين لا تساوي
ال limit من الشمال يبقى بروح بقول لسه limit لما ال
x بدها تروح لتلاتة absolute value ل x ناقص ثلاثة x
تربية ناقص x ناقص ستة does not existالسبب because
ان ال limit من الشمال لا تساوي ال limit من اليمين
سالب خمس لا يساوي خمس وبالتالي ال limit ما لها
does not exist
المثال الثاني امر اتنين لما
ال X بدأ تروح الى تلاتة كذلك لمين؟ للجذر التربية
اللي تلاتة X في X ناقص تلاتة على absolute value لل
X ناقص تلاتةأنا بهمنيش ال absolute في البقعة و
الله في المقام بأثرش عندي أنا بهمني النتيجة تبعتها
باجي بقول برضه بدي أخد ال limit من اليمين و ال
limit من الشمال و نشوف شو النتج يبقى هاي limit لما
ال X بده تروح لتلاتة من جهة اليسار للجذر التربيه
لتلاتة X في X ناقص تلاتة على absolute value لل X
ناقص تلاتةيبقى limit لما ال X بتروح لتلاتة من جهتي
اليسار الان الجدر التربية لتلاتة X مالوش دعوة X
ناقص تلاتة مالوش دعوة نيجي هذا لما ال X بتروح
لتلاتة من جهتي الشمال هذه قيمة سالبة اذا بتخلص من
ال absolute value بحق مكانهاالـ X ناقص تلاتة
بإشارة سالب، القوس هذا مع القوس هذا الله سهل عليه
يبقى limit لما ال X بدي روح لتلاتة من جهات اليسار
لسالب الجذري التربية لمين لتلاتة Xالان تلاتة في
تلاتة بتسعة تحت الجدر بسالب تلاتة نروح ناخد ال
limit لما ال X بده تروح إلى تلاتة من جهة اليمين
لتلاتة X ناقص تلاتة على absolute value لل X ناقص
تلاتة يبقى limit لما ال X بده يروح لتلاتة من جهة
اليمين لجدر تلاتة X في X ناقص تلاتة علىالـ X بيذهب
لـ 3 من جهة اليمين، يبقى هذه القيمة قيمة موجبة،
إذا نزيل الـ absolute value ونكتبها كما هي بدون
absolute لأنها قيمة موجبة، بروح القوس هذا مع القوس
هذا، آلة المسألة إلى limit، لما الـ X بيذهب لـ 3
من جهة اليمينلجدر تلاتة X يبقى النتيجة تساوي كده؟
تساوي تلاتة برضه ال limit من اليمين لا تساوي ال
limit من الشمال يبقى سا limit لما ال X بدي روح
لتلاتة لجدر تلاتة X في X ناقص تلاتة على absolute
value ل X ناقص تلاتة
ما هيش موجودة طيب النقطة التالتة بدنا limit لما
ال X كذلك بدها تروح ليه تلاتة كلها تلاتات اليومX
بدأ تروح لـ 3 لمن؟ لـ X ناقص دلة صحيح X على دالة
السقف لـ X ناقص 2
خلّيني أقول لك يا عزيزي مرة تذهب تخطيط يمين للشمال
و تدقق معاه كويس تذهب تخطيط لما تذهب ال X تلاتة من
جهة اليسار لل X ناقص دالةلور انتجر فانكشن دالة
الأرض على دالة السقف X ناقص اتنين ويساوي طلع لينا
كويس احنا رايحين لتلاتة من جهة الشمال يبقى هذا
الخط اللي عندي هذا تلاتة قبله اتنين بعده اربعة
رايحين لتلاتة من جهة اليسار يبقى هذه تلاتة ما فيها
مشكلة هذه اللي بدها تساوي اللي انا احنا رايحين
لتلاتة من جهة اليسار يعني احنا اقل من تلاتة اقل من
تلاتة يعني اتنين وحط الكثر اللي بدك هي اتنين وواحد
من عشرة اتنين ونص اتنين وتسعة من عشرة اتنين وتسعة
وتسعين من المئة زي الانتخابات العربية زي ما بدك
ماعناش مشكلة يا بني لما تقولي 92 و تسعية من المية
ماكت نزلها للأرض مازاش تصيرأتنين يبقى تلاتة ناقص
اتنين على اتنين وكسر يعني اتنين و تسعة و تسعين من
الميان ناقص اتنين و تسعة و تسعين من الميان ارفع
على السقف بقداش اب واحد تلاتة ناقص اتنين اب واحد
يساوي قداش واحد بدنا نروح ناخد ال limit لما ال X
بدها تروح لتلاتة من جهة اليمين لل X ناقصدالة الأرض
لل X على دالة السقف X ناقص اتنين يبقى هذه تساوي
هذه تلاتة ناقص هذه تلاتة من جهة اليامين معناته
تلاتة وكسر تلاتة وكسر نزلها للأرض جديش بصير تلاتة
تلاتة وكسر نقص اتنين يبقى بضال واحد وكسر نرفع على
السجن بصير اتنينيبقى الجواب كده؟ Zero طلع هنا واحد
و هنا Zero يبقى ال limit ممتاز جدا يبقى بالدرجة
أقوله ال limit لما ال X بده يروح ليه تلاتة لل X
ناقص دالة الأرض لل X دالة السقف لل X ناقص اتنين
does not exist does not exist
السبب because ان ال limit من اليمين لا تساوي ال
limit من من من الشمال طيب دي اعطيك مثال زي هذا
شبهه واشوف مارشو رأيك في الموضوع يبقى بدنا نيجي
ناخد limit لما ال X بدها تروح ل 3 و 6 من 10 لدالة
السقف ل X على X itself
بتروح اخد limit لما ال X بيروح لتلاتة وستة من عشرة
من جهة الشمال لمين؟ لدالة السقف على X ويسمى تلاتة
وستة من عشرة يعني قبل تلاتة وستة من عشرة يعني قداش
مثلاتلاتة و نص تلاتة و نص ارفع على السقف اربع بصير
هذه اربعة على تلاتة و ستة من عشرة يعني قداش يعني
اربعين على ستة و تلاتين مظبوط يعني عشر اتساع عشرة
على تسعة طب خد لل limitلما ال X بده يروح ل 3 و 6
من عشرة من جهة اليمين لدالة السقف ل X على X و
يساوي 3 و 6 من عشرة بده ياخد بعدها، إيه يعني؟ 3 و
7 من عشرة، نرفع على السقف الجبيهش، هيبقى 4 على 3 و
6 من عشرة، هيها هادييبقى قداشي الجواب عشرة على
تسعة من الاتنين هدول مش بتقدر تستنتج ان ال limit
لما ال X بده يروح لتلاتة أو ستة من عشرة لدالة
السقف على X يساوي قداشي عشرة تسعة طيب استنى شوية
احنا عندنا مثالينالمثال الأول طلعت النتيجة عنده
جداش does not exist هنا واحد وفوق زيرو صارت does
not exist وهي هذه دالة صحيح X هنا كمان دالة صحيح X
لكن طلعت النتيجة exist ايش ملاحظاتنا على هذا
الكلام؟ اتفضلالخطران الصحيح يكون في نقاط تحول في
جدر ال .. و يكون عضو الصحيح يكون نقطة تحول و يكون
ال .. على ناحية اليمين اللي يختلف على ناحية اليسار
قاعدة او من النقاط اللي فيها عشاب سنة و ثلاثة و
حصة ستة يكون نقاط داخلية داخل القرار على يمين
المجموعة نفس ال .. نفس اللي من حياتهالكلام صحيح
إذا ال limit عندي في حالة دالة صحيح C إذا ال limit
راحت لرقم صحيح بلق ال limit مازالت موجودة بس إذا
راحت لي كثر بلق ال limit مالها موجودة في الغالب
ليش؟ لأن هذه الدالة اسمها step function دالة
القفزة أو الدالة الدرجية أو الدالة السلمية عند
العدد الصحيحبيحصل ال discontinuity أو بيحصل منين
القفزة بصير ال limit من اليمين تختلف عن ال limit
من الشمال وبالتالي ال limit ما لها does not exist
طيب نعطيك كمان مثال غير هذه الأمثلة ونشوف شو رأيك
فيه وبعدها بنطرح عدة تساؤلات أو بعض التساؤلات
ونشوف كيف بدنا نجاوب عليهاناخد كمان مثال رقم خمسة
بيقول ما يأتي خمسة بيقول بده limit لل F of X لما
ال X بدها تروح لثلاثة where ال F of X أحد أمرين
الأمر الأول X تربية ناقص خمسة لما ال X أقل من أو
يسوى تلاتة أو الجذر التربية إلى X زائد تلتاشر لما
ال X greater than تلاتة
هذا السؤال طبعا شكله يختلف عن شكل الأربعة السابقة
أول سؤالين كانوا بيشتملوا على ال absolute value
القيمة المطلقة والسؤالين التانية كانوا بيشتملوا
على دالة العدد الصحيح سواء كانت integer floor
function أو integer ceiling functionهذا السؤال
بيكون من جزئين يعني هذه piecewise function تبقى
مكونة منها من جزئين طيب بلاحظ ان الجزئين هدول
بيختلفوا عن بعض وين عند العدد رقم تلاتةإذا عندى
التلاتة هذه ممكن أخد ال limit من اليمين ولا اخد ال
limit من الشمال بل إجباري لازم أخد ال limit من
اليمين و ال limit من الشمال إذا بدأت ياخد limit
لما ال X بده تروح لتلاتة من جهة الشمال لل F of X
يبقى limit لما ال X بده تروح لتلاتة من جهة الشمال
تلاتة من جهة الشمال يعني احنا ماله اقل من تلاتة
وقد تساوي، اذا بيكون شكل الدالة هو من اكس تربية
ناقص خمسة، يبقى اكس تربية ناقص خمسة، هذه
polynomial من الدرجة الثانية يبقى تعويض مباشريبقى
هذه بيصير تلاتة لكل تربيع ناقص خمسة اللي هو جداش
أربع بعد هيك بدنا نروح ناخد limit ال F of X لما ال
X بده يروح لمن؟ لتلاتة من جهة اليمينLimit لما ال X
بده يروح لتلاتة من جهة اليمين تلاتة من جهة اليمين
معناته ال X معلها أكبر من تلاتة بيكون ال function
هي عبارة عن الجدر التربية ل X زائد 100 زائد 13
الآن لما ناخدنا قوانين ال limit في ال section قبل
الماضيقلنا هذا ال limit معاها الصلاحيات وبتدخل تحت
الجدر لما تدخل تحت الجدر اللي تحت الجدر دالة خطية
مدام دالة خطية يبقى تعويض مباشر يبقى النتيجة تساوي
الجدر لتلاتة زائد تلتاشر اللي هو جدات أربعة مدام
أربعة يبقى صارت النتيجة من اليمن اللي بلعب في
الجوال يرمي الجوال وإلايبقى صارت ال limit من
اليمين زي ال limit من الشمال وبالتالي أصبح عندنا
ال limit لل F of X لما ال X بتروح ل 3 exist وتساوي
كده؟ تساوي 4 يبقى ال limit في هذه الحالة يساوي 4
بدنا نعطي كمان مثال على ال piecewise function بس
بشكل آخر المثال بيقول ما يأتي نمرة 6ستة بيقولي او
بيخلي example لحاله example جديد باعتباره يبقى هذا
example بيقول
لاتالـ F of X يسوى أحد أمرين يا إما AX plus one
لما الـ X less than or equal to three يا إما AX
square minus one لما الـ X greater than three find
the value
Find the value of the constant A
هات المقدار الثابت A such that بحيث أن limit
سؤال هذا زي السؤال اللي قبله لكن بفكرة جديدةطبعا
زي ما انت شايف هو piecewise function دل مجزئي
لجزئين بدنا نقرأ هذا السؤال و نفهم ما هو المطلوب
منه السؤال ميعطيني ال F of X على الشكل اللي قدامنا
X plus one لما X أقل من أو يسوى تلاتة و X square
minus one لما X greater than تلاتةواللي هاتلي
مقبار ثابت ايه بحيث ال limit هذه مالها exist سؤال
اللي يقبله ماكنتش عارف انا exist ولا لأ حسبت ال
limit من اليمين و ال limit من الشمال اللي جيتنا مع
بعضك وقلت لو exist what ساوي أربع هنا بقول لي لأ
ال limit exist بس هو مش عارفهاو من خلال هذا الكلام
بيقوللي هاتلي قيمة الثابت ايه بقولله مادام ال
limit exist إذا ال limit من اليامين تسوي ال limit
من الشمال يبقى أنا بده أحسب ال two limits وبعدين
بسويهم بعض و بجيب قيمة الثابت ايه أصبح يبقى بناء
عليه بدهجي أقوله بدهجي أاخد limitالـ F of X لما
الـ X بده يروح لتلاتة من جهة الشمال يبقى هذا ال
limit لما الـ X بده يروح لتلاتة من جهة اليسار من
جهة اليسار يبقى X أقل من أو يسوى تلاتةيبقى الدالة
عبارة عن ايش؟ ax plus one يبقى ax plus one ويساوي
هذه الدالة دالة خطية يبقى عند حساب الليمت عوّب
تعويضا مباشرا يبقى دي بيصير تلاتة a plus oneبعد
هيك بروح اخد ال limit لما ال X بده يروح لتلاتة من
جهة اليمين لل F of X يبقى limit لما ال X بده تروح
لتلاتة من جهة اليمين لمن لل A X square minus one X
أكبر من تلاتة يبقى تروح للتلاتة من جهة اليمين يبقى
بتكون هذه هيبالا، هذه البرنامج المن الدرجة
الثانية، إذا تعويض مباشر يبقى ا في تلاتة لكل تربيع
ناقص واحد، يبقى تسعة ا ناقص واحد، من الاتنين هدول،
جال ال limit exists، يبقى باجي بقوله sinceبما ان
limit لل F of X لما ال X بيروح ليه تلاتة exists we
have ايش
بيحصل انها تلاتة A زائد واحد بتسوى تسعة A ناقص
الواحدبنجيب الإيهات عن بعض و ال constants عن بعض
بيصير ستة ايه يساوي اتنين و منها ايه يساوي قداش
تلت اذا ايه لما تكون تلت هي اللي خلت ال limit
مالها exist يبقى فكرة السؤال مثل فكرة السؤال اللي
جابله لكن فيها شغلة فنية جديدة شويةخلّينا نوقف
وقفة محاسبة مع النفس ونسأل بعض التسوئلات ونشوف كيف
بدنا نجاوب عليها احنا سابقا قبل أن ناخد هذا ال
section لا كنا بناخد نهاية من اليمين ولا نهامش
واللي بيعطيني هذا السؤال و تك بضرب في المرافق بحلل
و اختصر بمش عارف اعمل شغل زي هيك ايه لو بيطلع عياش
الجواب ان
السؤال هو متى نأخذ النهاية من اليمين والنهاية من
اليسار لل function اللي عندنا؟
يعني قصدك لو كانت الدالة غير معرفة عندها نقطة،
كلام كويس، ايوة،
ماشي وجهة نظر سليمة،
نقاط تحول، كلام كويس
يبقى هذه الأمثلة اللي أعطناها اتعمد أجيبها أمثلة
على الحالات اللي بدنا نروح ناخد فيها ال limit من
اليمين و ال limit من اليسار لذلك بدنا نخليك تكتبها
بالعربي حتى وين ما تشوف مسألة من هذا القبيل تعرف
كيف نتجاوب عليها اكتبلي بالعربي متى ناخد النهاية
من اليمين و من اليسار
متى ناخذ أو نحسب النهاية من اليمين ومن اليسار
الإجابة في الحالات التالية في الحالات الأربعة
التالية الحالة
الأولى إذا احتوت المسألة على
القيمة المطلقة
إذا احتوت المسألة على دالة صحيح سين ولا صحيح إكس
صحيح إكس بنجو سين بتقدر تكتب دالة السقف ودالة
الأرض دالة السقف ودالة الأرض للعدد الصحيح نمر
تلاتةإذا كانت الدالة مجزئة إلى عدة أجزاء زي
السؤالين الأثنين الأخيرين هؤلاء اللي بقى نقولها
piecewise function دالة مجزئة إلى أجزاء نمر أربعة
إذا كانت الدالة غير معرفة
عند النقطة المراد إيجاد النهاية عندها تمام؟ طبعا
هذه ان شاء الله هنتعرضلها في ال section مش القادم
اللي بعده هنرجع للنقطة الرابعة هذه الأخيرة ان شاء
الله ونعطي عليها أمثلة كثيرة أيضا
هي عندك مثال ايه؟ كيف؟ الأول ليش ما فنتوش؟ ليش ما
قلت إن أنا من هنا؟ ليه ولا هدى؟ أنت عندك X بتروح
لرقم، أخدت من الشمال قبل الرقم هذا، أخدت من اليمين
يعني بعد الرقم هذا، قبل الرقم هذا، لا السقف، بطلع
للرقم الصحيح اللي فوق، ده للأرض، بنزل للرقم الصحيح
اللي من التحت وكذا، الله بالسر علينا
خالصة طيب
الان زي ما انت شايف اعطيناك بدل المثال خمسة وكلها
ماجيبناش فيها سيرة النسب المثلثية على الأطلاق
ولذلك بنحاول نربط القديم بالجديد ندخل النسب
المثلثية في موضوع ال limits بنذكرك بنظرية، النظرية
هذه أخدتها في الثانوية العامة بنذكر بتذكركنت
بتقولوا ما يأتي اسمع انت وياه limit جا سين على سين
لما سين بتروح ل zero بيبقى تساوي واحد مظبوط او
limit لضع سين على سين لما سين بتروح ل zero برضه
تساومين يبقى هذه النظرية بدنا نكتبها و نشتغل عليها
العديد من الأمثلة
يبقى بتيجي تقولي ال limits involving
sin
θ على θ لأ لأ نفس ال section نظرية
limitلـsin θ على θ لما θ بدها تروح للـ0 يسوى 1 and
limit لما θ بدها تروح للـ0 لـθ على sin θ يسوى 1
كذلك
عشان يبقى سهل
اللي بقى لك هناطبعا هذه اللي أخدته في التنوية
العامة بنذكر بها تذكير لسؤالها لكن بهمنا كيفية
استخدامهاطبعا الكتاب رايح انبرهان احنا بننشط برهين
بس الله يعطيك العافية عرفنا ياها وبنقولك ما هو
السبب اللي خلى ال limit لها تساوي واحد صحيح يبقى
limit لصين ثيتا على ثيتا لما ثيتا تساوي zero بده
يساوي واحد لو رحنا جلبناها جلبنا ثيتا فوق والصين
تحتيبقى بتعطيك نفس النتيجة اللي هي واحد يبقى limit
لثيتا على sin ثيتا لما ثيتا بتروح على zero بتسوي
قداش واحد هذه الرسمة اللي احنا رسمينها اللي هي
رسمة main sin theta على thetaالمنحنة عند الـ zero
ده اللي غير معرفة، طبعا، طيب، هذه بتنزل عند الـ
zero، يعني عند الـ zero بتكون وصلت أقصى ما يمكن،
بتنزل عند السلب by أكتر، بعدك بتصير أقل، أقل و
هكذا، و من الناحية التانية بنفس main بنفس الطريقة
اللي عندناطيب الآن من الرسم اللى قدامنا هذه لو
روحت أخدت ال limit من الشمال و ال limit من اليمين
يبقى limit ل sin θ على θ لما θ بدأ تروح ل zero من
جهة الشمال لو احنا روحنا ل zero من جهة الشماليبقى
الدالة الطائحة للواحد يبقى هذه بدل ساعة واحد and
لو روحنا أخدنا limit ل sin θ على θ لما θ راحت لل
zero من جهة اليمينيبقى يساوي كمان؟ يساوي واحد يبقى
بناء عليه ال limit اللي فوق هذا يبقى كم؟ واحد يبقى
هذا بدي يعطيك دائما و أبدا ان ال limit لمين؟ ل
sign theta على theta لما theta بده تروح لل zero
بده تساوي واحدرغم انه عشان عند ال zero الدالة is
undefined ماهياش معرف لإنه sign zero ب zero صار
zero على zero كمية غير معينة وبالتالي الدالة هذه
مالها غير معرفة بهمنا الآن كيفية استخدام هذه
النظريةفي حل المسائل المختلفة يبقى بنيجي نقولك
احسب للنهايات التالية إذا كانت موجودة example find
the following limits
النهايات
التالية نمرة واحدبعد ذلك بدنا limit لما ال X بده
تروح ل zero لل sign X على 2 على X
طلع لهنا تاني للنظرية limit sin θ على θ لما θ
بتروح للزيرو يساوي واحد، بدي الزاوية، هي نفسها
اللي هنا، هي نفسها اللي بدها تروح لمين، للزيرو
بعدين باطلع في مثلة هنا X على 2 وهنا X وهنا X بدي
هدي X على 2 و بدي هدي X على 2 وبالتالي بقدر استخدم
النظرية مباشرة يعني كأنه ثيتا صارت في الجداش ثيتا
على 2 بقوله بسيطة يعني هنا لو هدي كانت X على 2 كان
المشكلة انحلت صحيح ولا لا؟ يبقى بقول اضرب في نص و
اجسم على نصلا تتغير القيمة يبقى بناء عليه هذي بدها
تساوي ال limit لما ال X بدها تروح لمين؟ ل Zero ل
نص Sign X على 2 على X على 2صارت هذه الزاوية هي
اللي تحت، بس هذه لأ، بقول أضرب هذه في نص، بصير نص
في X، نص في X، نص في Zero، ب Zero، يبقى هذا الكلام
يساوي، النص هذا بدي أخليه برا هيوهذا ال limit هذي
بتصير نص X والله X على 2 X على 2 تروح لل Zero لمن؟
لصين X على 2 على X على 2صارت الزاوية اللي هنا هي
اللي هنا هي اللي هنا يبقى نص في واحد يبقى الجواب
يساوي قداش يساوي نص يعني المطلوب منك إنك تحور
المسألة تبعتها تكون على شكل النظرية وبالتالي
باستخدم النظرية أيضا
مثال اتنين
مثال اتنين بيبنى ال limit لما ال X بدى روح لل zero
لتان خمسة X على من؟ على تلاتة X اول
شي هدى تان و ليست ساعة اتنين اتنين الزاوية عندى
خمسة X و اللى تحت مالها تلاتة Xمضرو في ايش؟ ولا
مدي أضرو في خمسة أو تلاتة ولا عادي بس اسمعني كويس
اسمع كويس بس بدأ نمشي step by step خطوة بخطوة أنا
بقول بدلي التلاتة هذه لو كانت خمسة كان مشكلتي
محلولةيبقى يا تلف بده يخليك برا وبعدك بده نضغط في
خمسة ونقسم على خمسة أو على رأيكوا نضغط في خمسة على
تلاتة ونقسم على خمسة على تلاتة كلام مظبوط وماحدش
إله اعتراب على ذلك اسمه يا ابن ايه؟يبقى أنا بدّى
أخلّي هذه بدل تلاتة بدّى أخلّيها خمسة يبقى بدأ
أضرب في خمسة على تلاتة وهنا أضرب في خمسة على تلاتة
بيصير الكلام صحيح يعني هذه بدها أصير ال limit هاي
خمسة على تلاتة التان عبارة عن signخمسة اكس على هذه
صارت تلاتة مع تلاتة صارت خمسة اكس و هنا cosine
خمسة اكسيبقى 10 عملتها sign على cosine ضربت في
خمسة على تلاتة وانا ضربت في خمسة على تلاتة راحت
التلاتة مع تلاتة ضلت كدهش ضلت خمسة بقول كويس هذه
ال X بدي روح لوين ل zeroالان هذا مقدار ثابت، بقوله
شرفنا برا، يبقى هذا مقدار ثابت خليك برا، وهذا
limit، وهذا sign خمسة X على خمسة Xهذا يا شباب لما
تبقى ال X بدها تروح لل Zero لو ضربتها في خمسة
بيصير خمسة X بتروح ل Zero في خمسة ليه بيبقى داشت؟
Zero يبقى الذي يكافئ هذه هي خمسة X بدها تروح لمين؟
لل Zero By للمين؟ Limit لما ال X بدها تروح ل Zero
لواحد على Cos 5Xيعني جزأتي limit لمن؟ limit للدالة
الأولى هذه اللي عندنا و limit للدالة التانية
الأولى ضربت الساهم هذا في خمسة والتاني خليته زي ما
هو يبقى النتيجة تساوية هذه الخمسة اعتلتها اللي برا
بالداخل هذهأليست في صيغة النظرية اللي قدامي هذه
إذا بقدر أشيلها و أكتب لها قداش واحد صحيح بيبقى
هذه واحد على عوض تعدماش ال cosine صفر بواحد يبقى
على واحد إذا النتيجة تساوي إيش خمسة على تلتة
بتسمعش بيقول من هنا بدي أقسم البصد و المقام على
إكس بصير التلت برا و بصير تان خمس إكس على إكس
يعني انت بصير المقام شيلته وصار كله في البص و البص
بص على مقام مكانك لم تأتي بجديد
أنا بديش تحفظ الهفظ، أنا بدي تفهم كيف توصل مسألتك
إلى صيغة النظرية، وهذا هو الشغل الرياضي، اسمع
كويس، افهمني كويسأنا ماأريد منك حفيظ، انا اريد منك
فهم، اريد منك تفهم كيف أجت، بقول أخدنا فتنة، بقولك
صح، اللي أخدته في ثانوية صحية، بس هاد انت حفظت
حفظت، من حد ما تشوف الرقم X بالرقم ع الرقم وامشي،
لو عملت في الجامعة بنحطلك علامة استفهام من أين لك
هذا، و ده السؤال عليه أربع علامة يمكن نحطلك علامة،
بس و التلاتة بتطيروافي الجامعة يا شباب justify
your answer يعني بتبين إجابتك من وين جبتها، ما هو
جبتها إذا حطيت الإجابة دغري أنا أفهم إنه أحد
أمرين، يا إما عندك ال fox تبعك هذا اللي هو على
الحاسبة، من نوع fox بتعطيك الإجابة دغري، بتعطيكش
خطوات، يا إما ال radar جابها يمين أو شمالأو واحدة
من الاتنين، مالهاش تفتينا من غير هيك، ولذلك تاخدش
عليها شيء، لأ أنا بقولك خلّي كل خطوة و تختصرش، و
أنت بتحل إياك أن تختصر، خلّيني كل خطوة أتسلم
للتانية، لإن احنا بحط علامات على الخطوات و ليس على
الإجابة النهائية، يعني ممكن تبقى خطواتك صح و أنت
غلط بس في الإجابة النهائية، بحطلك مش أقل من تسعين
في المية من الدرجةلكن انا بتحطقني جواب بعطيك درجة،
بعطيك عشرين في المية بس، اه؟ هو بعد هيك في أسئلة
في الليل في الزوايا المثلثية في المعدد، أحل الصلاة
صفحات لغير ما كنتوا حتى الحاجات هتتوا، قبل ما توصل
لقميها اللي بطبصي، الحل هيكون صفحة. فانت شو قلتلك
هنا؟بهمنا .. انا بهمنيش اللي هو الجامعة، بهمني
الخطوات الرياضية، طريقة الحل، هي اللي انا بتبقىها
وانا بوزع الدرجات على خطوات الحل، الخطوة مالاقاش
بطيب درجتها، هي كاننا في الجامعة، يعني بدنا الطالب
يطلع فاهم مش حافظ، انك تطلع فاهم، كويس، هاي سؤال،
اه
فهمتش؟ أقولك اشتغل رياضي صح، ماقولش لك أي حاجة،
لكن تيجي من فوق اقلب غربة النصارى، اغلب الوجهة
تقولتلك يالا بدك تنزلي تحت الأعمارة، من الشباب
فطيت و نزلتي تحت طب و أنت ممكن تنكسر، هذا إذا ما
موتتش، و ممكن تنزلي مع الدرجة، و ممكن تنزلي مع
اللصان صغير، أنا بدي تمشي لي ماشية صحية، ماحدش
يقولك كده غلط، واضح؟ ايوةفي إخترانات مضطراتية، يجب
أن تحولها للصيغة الـx² على الـx بدي الصيغة هذه
تطبيق النظرية، بدي الصيغة على الشكل هذا أو الشكل
هذا؟ بدي أكتب له السؤال إنه بده هذه الصيغة؟ لأ
بكتبش لك، بكتب لك هاتين ليموت و بسكت، و أنت لعلك و
أنت تحطها في الصيغة هذه و تحطها للجوابطيب السؤال
اللي بعده لسه أسئلة فنية كتير هي بس هذا أنا لسه
بفتحلك الخيطة شوية شوية لسه .. لسه .. لسه في أسئلة
كتير خد السؤال اللي بعده تلاتة بدي limit لما ال X
بدي أروح ل zero ل X زي ال X في Cos X على Sin X في
Cos X
سؤال بقول X زاد X في Cos X على Sin X في Cos Xمقترح
بيقول نوزع البسط على المقال بيقولك خير نجرب نوزع
نشوف نوصل لنتيجة ولا بنوصلش لنتيجة يبقى هذه ال
limit لما ال X بده يروح لل zero لل X على sin X cos
X زائد X في cos X على sin X في cos Xأقوله تبعرح
قال لي وزع ال limits قلنا له ماشي high limit لما
ال X بدها تروح لل zero لل X على sin X في limit لما
ال X بدها تروح ل zero ل واحد على cosine X زائد
limit لما ال X بدها تروح ل zero اختصرنا هذه مع هذه
وصرت Xعلى صين الـ X قول له تمام هذه كلها بقداش؟
بواحد مضوبة
فيه هذه واحد قصين صفر بقداش؟ بواحد زائد هذه كمان
بواحد يبقى الجواب يساوي قداش؟ نه واحد تاني قال لي
لا لا لا أنا ماديش الطريقة هذه قولت له أيوةقال لي
بدي اروح اضرب ال bus كله في اتنين و المقام في
اتنين بس انا شغل العساب المثلثات شويه صار تدى
اتنين sin X cos Xبصين اتنين اكس بصين
اتنين اكس بصين اتنين اكس بصين اتنين اكس
يبقى ليحل بالحل الأول سليم وليحل بالحل الثاني سليم
كذلك ماعندي مشكلة في هذه الحالة مثال
رقم أربعة بقول
limitلما ال X بدها تروح لل Zero لتان تلاتة X على
سين تمانية X سؤال كذلك من أسلة الكتاب هذا كنا
بناخد زي في التوجيه يبقى الجواب تلاتة ع تمانية مش
هيكطبعا؟ إيش بدك تقول؟ ما
شبهتش فيها نهاية أنا حللت و الساعة تانية حولت
القصايل على القصايل و حللت هذه نتيجة على نظرية انت
خدتها بس أنا بعرفاش فاهم لما أقولك أنا بعرفاش؟ أنا
كمصحح بدتش تغلي باللي أعطيته لكمش يعني ايه؟ لإن
السؤال ممكن ماتجيش ووركتك معايا، ممكن تيجي مع
غيري، مامرش علي الكلام هذا، اه مثلا يعني، طيب، على
اي حال، بعدين باطلع في مسألة هذه، انا عندي كل اللي
بعرفه صح، يمكن تحول المسألة بدلالة صين و تكون صين
يبقى هذه المثلة تساوي limit لما ال x يروح ل zero ل
sin 3x على sin 8x في 1 على cos 3xيبقى شيلنا التان
و حطينا قيمتها و بعدين بوزع ال limit على كل منها
يبقى هذا يسوى ال limit لما ال x بيذهب لين؟ ل 0 ل
sin 3x على sin 8x في ال limit لما ال x بيذهب ل 0 ل
1 على cos 3xطيب باجي بتطلع هذه ال sign على ال sign
مش النظرية اللي عندناطب ايش بدى اعمل مشان احطها في
صفر ايوة بدنا نقسم كل من البسط والمقام علي مين علي
x اذا لو قسمنا كل من البسط والمقام علي x بيصير
limit لما ال x بيروح لل zero ل sin 3x علي x كله ل
sin 8x علي x وهدى ال cosine سفر بقداشواحد اللي
يجيبش واحد ماعنده مشكلة يساوي هذه لو كانت تلاتة
كانت حلت مشكلتناوهنا لو كان تمانية لان حلت
مشكلتنا، اذا اننا حضروا في تلاتة ع تلاتة وهنا
تمانية ع تمانية يبقى وزع ال limit يبقى هذه ال
limit واي تلاتة لل sign تلاتة X على تلاتة X واي
تلاتة X بدأ تروح لل zeroعلى limit طيب يبقى بروح
نكمل مثل هذه او نضرب في تمانية و بنجسم على تمانية
يبقى limit لتمانية X على sign تمانية X sign
لتمانية X بدي هنا تمانية يبقى بضرب في تمانية و
بجسم على تمانية و هنا تمانية X بتروح لوينالان هاي
تلاتة برا limit وهي limit لمن؟ لتلاتة اكس بدها
تروح لل zero لل sign تلاتة اكس على تلاتة اكس
تمانية limit ل تمانية اكس بدها تروح لل zero لل
sign تمانية اكس على تمانية اكساللي هاللاحظ تلاتة
اكس تلاتة اكس تلاتة اكس يبقى ال limit لهذه بقداش
بواحد تمانية اكس تمانية اكس تمانية اكس يبقى ال
limit له في قداش بواحد يبقى هذه صارت تلاتة في واحد
على تمانية في واحد ويسوي قداش تلاتة اتمان بالشكل
اللي عنها دهعشان أول من بدأوا يسمعوا 8x، 8x حصلوا
وقعوا، صارت 8، صارت هذه 10 ثلاثة x ع تمانية x
سؤال إيه لك؟ شو اسمك انت؟ محمد العشي مشان اتعشى
جيبتنا شي جديد؟ انا .. و لا هذا مش طريقة انا، نفس
الطريقة و نفس الفكرة أنا بدي جيبلي شغل هيك من
بينك، تمام؟ يبغي اخليك مع الملاعب
ومن منعك؟ ابدا
انت بدلت خطوة مكان خطوة وخليت كل شي زي ما هو صحيح
ولا لا؟ فإيه صاحبنا محمد العايش؟ وانت شسمك؟ تامر؟
جرادة يبقى تمر جرادة لم تأتي بجديد انت قررت ما
قاله محمد العشي بس بدلت خطوة مكان خطوة ولم تأتي
بأي جديد صحيح؟ اللي بده يرفع يدي يعطيني فكرة جميلة
لم تخطر عبالنا مثلا او ما استوعبش خطوة وبسأل عليها
هي اللي بدنا مش بدنا نكرر نفس الكلام ايوة
الحل اللي بيكون عندك x بدها تروح ل 0تمام؟ لو
ضربتها في تلتة بيصير تلتة X بتروح تلتة في Zero
بقداش Zero طب اللي هو العكس أنا عندي تلتة X بتروح
ل Zero ضربتها في تلت ايش بيصير؟ يبقى هيها ولا لا؟
ماعنديش مشكلة فيها اه انت ال X لما .. لما خدتها
ثمانية؟ قول سؤالك اترحب؟ اه
تعال هى بشوف لا
ممكن بس كده سؤال احنا مش ماخده تعال اتفضل شباب انا
مش شايف ان انا مصطلح اش كتب من هنا اه على حين جامب
بوزة انها تانه في خاعد اخدناها بالاول ثمان و تلاتة
اكس على اكس تلاتة قدر من هنا ثمان و تمانية اكس على
اكس تمانية انا كتاب تلاتة اكس على اكس بساوي واحد
دغري لأ بساوي تلاتة مش واحد
مافعش تطلع إجابتك بقى في الكلام صاند
تلاتة X على X صوت تلاتة مباشرة مين اللي قال هذا
الكلام يبقى خلاص بده نمسح النظرية وقول الكلامة
أخدناه في التلوية يا زلمة كلامك غلط أنت فاهمان غلط
لماذا؟ هكذا طب هاي التلاتة احتمالية لا لا لا يا
ابني مابديش تحفظ حفظ مابتفهم الخطوات هذه كم فرق
مابتفهمش نظرية خدام مابتفهمش نظرية خدام مابتفهمش
نظرية خدام
X على X بيساوي الأرض اللي هو الأرض اللي هنا فاكر
أكتر من الأرض ساين الأرض لأنه عدد يعني ماشي فاكر
أكتر من الأرض ال X على X بيساوي الأرض هذا نفسه مين
قال هذا لو كانت البعض الشيخ أستاذ مواطن انا جابت
عليه يعني انا مادوش شمالي
هذا نص النظرية هيك؟ اللي خدناها تو هيك بنص؟ لأ،
ممتاز جدا، يبقى هذا كلام خطأ، لو أحطه، بحطلك عليه
سفر، لإن الزاوية اللي فوق هي زاوية تحت، بدي يكون
هذا هيك، شوف يا بدايةجيت على الجامعة بنا نسخل
عقليتك و نفهمك تفهم صحيح بقولتلك من أول مرة بديش
ياك تبقى صاميم بديك تبقى فاهم حتى تقدر بعد أربع
سنين توقف مكان هنا و تبقى معيد و تفهم الطلاب هذا
اللي بديكي ياه، بديش تبقى حافظ و تقوله خدها و امشي
و خدها و امشي، لا يا عم اتفضللما ناخد الاشتراك من
اللي نحكي، ليه السادسين الاشتراك بصرا للاستعجال
الشباب؟ كل حديثة حديثة، ايوة صارت
سلسلة تعوي، تنعوض، تبت X و Y
مافيش مشكلة بس تتعود و تشيل شغلة و تبدل كلهم كانوا
مافيش مشكلة عادي جدامافيش اي اشكالية عادي جدا انا
بيهمني يظل الشكل العام للنظرية مهما كانت كانت X
كانت تلاتة X كانت ناقص X بدى اللى دى الزاوية هى
اللى تحت هى اللى بتروح لل zero تمام؟ دى ربالك اه
كل بدى هيكتب صح مش هيكتبلى هيكده مثلا زى ما كان
كاتب جبل والد تسوي Nمافيش حاجة تسوي هنا، لك تكتب
limit بدون limit لها معنى لها، انت طالب جامعي طب
غلط، بدون limit غلط، ما علمت بدك و تقولك ليش، يا
ابني افلك تعلم بطريقة صحيحة، بشان بكرا تعلم الطلاب
بطريقة صحية، طب السؤال الخامس، ببنى limitلما ال X
بده تروح لل واحد لل sign X ناقص واحد على X تربيع
ZX ناقص اتنين كده
شهد يا ماجي ده؟ حط واحد و خلاص؟ طيب ايه بتطلع في
مثلتي؟الزاوية X نقص واحد هذه polynomial من الدرجة
الثانية هذه X بتروح للواحد يعني ما هيش شكل النظرية
أصل نظرية X بتروح ل zero لكن لما أطلع هذه X نقص
واحد بدي أخلق هنا X نقص واحد و بدي أخلق هذه هنا X
نقص واحدقصة تبصيفة جدا ضيف سالب واحد للطرفين يعني
نبقوا نخلقنا هنا وهذه من حللة نبقوا نخلقنا X ناقص
واحد وبعدين الله بفرجهايبقى باجي بقوله هذه بده
تبقى ال limit X ناقص واحد بده تروح لمين؟ لل zero
وهذه ال sign X ناقص واحد هذه بنحللها I قوسين I X و
I X و I واحد و I اتنين تمام عند الإشارة هذه
بالموجب يبقى هذه بالموجب وهذه بالسالب يبقى تحليلنا
سليم مائة بالمائةهذه الان ممكن اجزئها الى limit
لحاصل ضرب دليل T لو جيت هنا قلت هذه ال limit لمن X
ناقص واحد كلها بتروح لل zero لل sine X ناقص واحد
بعد ماكس ناقص واحد تمام فى مين فى ال limit ضال
عندى واحد على X زيدي اتنين هذه لو خلتها قلت X بدها
تروح للواحد بدل ماكس ناقص واحد تروح لزيره يبقى X
بدها تروح لمين للواحد يبقى جزاية ال limit الى two
limits سؤالهذه كلها بقدرش لإن الزاوية هذه هي هذه
هي هذه يا محمود أول ساعة بيقول لو قدّلت يعني لو
أنا شيلت X ناقصها و حاطيت فدالها Y شو بيصير؟ Y Y Y
هيها يعني بقى أنا بيهم إن الزاوية هذه هو المقدر
هذا هو المقدر هذا جيش مايكون شغل تحط ال X تحط ال Y
تحط ال Z تحط قصه تحط ان شاء الله تلت كميات جوا
ماعندي معناهبدي ازاى هذه تكون هى هذه هى اللى هنا
تمام يبقى هذا كله بقداش بواحد صحيح فيه هذا الان
تعويض مباشر لإن المقدار الثابت هو هنا واحد زائد
اتنين يبقى الجواب قداش يساوي طوله يعني بدي اتفرج
المثل اللى عندك بحيث تحطه في صيغة النظرية وبالتالي
نطبق النظرية بدون مشاكل نبقى ستةنمرى 6 بالـ
delimit لما الـ X بدها تروح للـ 0 لمن؟ للصين واحد
ناقص cosine الـ X على من؟ على X لما الـ X بدها
تروح للـ 0 طالع
ليه كويس هنا؟يقول limit اللي بين قصين كلها هي
الزاوية تبعت ال sign كل اللي بين قصين هو الزاوية
تبعت ال sign تمام؟ يبقى انا مش هنقدر اطبق النظرية
بدي يكون عند هنا واحد ناقص cosine ال X و بدي هنا
واحد ناقص cosine X يروح لمين؟ يروح ل zero نسمع
يعني اتضربت في واحد نقص كوصين و جسمت على واحد نقص
كوصين ماعناه مشكلة زميلكوا بيقترح ما يأتيبيقول
المثل هذه بيدا اكتبها على الشكل التالي limit لما
ال X بيروح لل zero ل sine واحد ناقص cosine ال X
على X هي الاصل تبعه بيروح اضرب في واحد ناقص cosine
ال X و اجسم على واحد ناقص cosine ال X بيقول ماشي
اضرب في واحدصحيح وبالتالي المثالة تبقى كما هي طيب
قال لي هذه بدى اعملها بالشكل التالي هذا ال limit
لما ال x بدها تروح ل zero و قال لي اي sine واحد
ناقص cosine ال x على واحد ناقصكو صين ال X طبعا و
كده ايش ضلة عندنا ضلة ان واحد على X او واحد ناقص
كو صين ال X كل غد على مين على X طبعا قلنا اللي
بدنا نيجي للدالة هذه الدالة صار الزاوية اللي عندنا
هي اللي تحت باجي بقولها هذهبتشوف كيف بدي أعملها
شوف يا سيدي الأول لما أقوله ال X بدها تروح ل Zero
خد ال cosine للطرفين بصير cosine ال X بده يروح ل
cosine ال Zero قداش cosine ال Zero؟ واحد يبقى صار
cosine ال X بده يروح لل واحدهاتوا على الشجة
التانية او ضيف سالب واحد للطرفين بيصير cosine ال X
سالب واحد يروح لمين؟
أضرب الطرفين في شرط السالب بصير واحد ناقص cosine
ال X بيروح لمين؟ Zero في السالب ما هو Zero طيب إذا
ال X بيروح إلى Zero بيكافئها واحد ناقص cosine ال X
بيروح لوين؟للـ zero إذا هذه بدها تساوي limit لما
ال X بدي روح لل zero ل sin واحد ناقص cosine ال X
على واحد ناقص cosine ال X في ال limit لما ال X
بدها تروح لل zero لواحد ناقص cosine ال X على Xطيب
نعمل هذه بالطريقة اللى عملناها يبقى هذه تساوي high
limit هذه بدي استبدلها بمين بواحد ناقص cosine ال X
كلها بده تروح لل zero لل sine واحد ناقص cosine ال
X على مين على واحد ناقص cosine ال Xهذه المقامات
كلها مجددش تشيلها يابان جوسينة تحطها ثيتا تحطها
واي تحطها زيد معنى مشكلة المهم صارت الزاوية هي
المقام هي المقنرة اللي عندنا نيجي هذا كله بواحد
نيجي نكملhigh limit لما ال X بدأ تروح لل zero
التعويض المباشر هنا بيجيب لل zero على zero كمية
غير معينة يبقى تدبر حالك طبعا هناك أكثر من طريقة
المرافق بنفع المرافق نضرب في المرافق تبع ال bus
كلام صحيح و تمشي النتيجة واحد تاني قال لأ انا بدي
استخدم حساب المثلثات
ماشي الحال يفجر بده يشيل واحد نقص ويقول لي اتنين
cosine تربيه X ع اتنين
يبقى لو ضربنا في المرافق الحل الصحيح مرافق ال bus
لو روحنا شيلنا الواحد ناقص cosine ال X و كتبنا
بدلة اتنين sin تربيه X على اتنين برضه كلام سليم
100% و ماحدش مقدر يقول ان هذا غلط يبقى على شكتين
صح امامك طريقاطريق الاول اشيل واحد ناقص cosine
الاكس واكتبها اتنين sin تروية X على اتنين يا اما
اروح اضرب البصط المقام في المرافق تبع البصط اللي
هو واحد زائد cosine الاكس تحب نضرب في المرافق و
الله حساب المثلثات مرافق المرافق ماشيطيب يبقى high
limit لمن؟ لواحد ناقص cosine X على X واحد زائد
cosine X واحد زائد cosine X هذا الكلام يساوي، هذا
كله بواحد صحيحيبقى هذا بواعي صحيح مضروب هذا الآن
بيصير limit لما ال X بدها تروح ل zero البسط فرق
بين المربعين يبقى واحد ناقص cosine تربيع ال X على
X في واحد على واحد زائد cosine ال Xهذا الكلام بده
يساوي limit لما ال X بده يروح لل 0 بداك اللي هتبعت
البصر اللي هو واحد ناقص cosine تربيع ليه بصين
تربيع يبقى limit للصين تربيع ال X على X في limit
لما ال X بده تروح لل 0 للواحد على واحد زاد cosine
ال Xهذا الكلام بده يساوي limit لما ال X بدها تروح
لل zero تمام؟ بدي أخد sin X على X في limit لما ال
X بدها تروح لل zero ل sin X في limit لما ال X بدها
تروح لل zero ل 1 على 1 زاد cosine X هذي بقدراش؟
وهذا هو قيمة واحد
على واحد زائد واحد يبقى النتيجة تساوي زيرو يبقى
limit لهذه ال function تساوي زيرو عليك انتهى هذا
ال section وإليكم أرقام المسائل ولحد هنا داخل في
الامتحانيبقى exercises اتنين اربعة المسائل التالية
exercises اتنين اربعة المسائل من واحد لغاية واحد
واربعين القدر
ومن تلاتة واربعين لغاية ستة واربعين