1
00:00:21,630 --> 00:00:28,730
Okay إن شاء الله اليوم هنعمل مناقشة لبعض المسائل

2
00:00:28,730 --> 00:00:34,230
في section 2.3 و 2.4 زي ما وعدناكم 

3
00:00:34,230 --> 00:00:44,690
سابقا ونشوف بعض الحلول لبعض المسائل المهمة ففي

4
00:00:44,690 --> 00:00:52,530
بسألة سؤال خامس في section 2.3 بيقول لو في

5
00:00:52,530 --> 00:00:57,270
عندي مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية و

6
00:00:57,270 --> 00:01:03,550
bounded below فالـ infimum للـ set S هو سالب الـ

7
00:01:03,550 --> 00:01:09,110
supremum لـ سالب S هذا

8
00:01:09,110 --> 00:01:13,870
التمرين حالة خاصة من التمرين رقم أربعة في section

9
00:01:13,870 --> 00:01:21,120
2.4 و بالتحديد هو حالة خاصة من الجزء B من

10
00:01:21,120 --> 00:01:26,980
التمرين هذا ففي الجزء B لو كان B .. إيش بقول هذا

11
00:01:26,980 --> 00:01:34,160
الجزء؟ لو كان B عدد سالب فـ infimum لـ S بيساوي B

12
00:01:34,160 --> 00:01:42,620
في supremum S فلو أخدت B بيساوي سالب واحد و هذا عدد

13
00:01:42,620 --> 00:01:50,580
سالب فبطل عندي infimum  infimum 

14
00:01:50,580 --> 00:01:58,780
سالب S لأ هذا عبارة عن حالة خاصة من الجزء الثاني

15
00:01:58,780 --> 00:02:05,560
لو أخدنا B بيساوي سالب واحد في الجزء هذا اللي هنا

16
00:02:07,490 --> 00:02:14,150
فبطلع عندي supremum سالب S بيساوي

17
00:02:14,150 --> 00:02:19,390
سالب infimum S هاي سالب اضربك سالب واحد سالب

18
00:02:19,390 --> 00:02:23,390
infimum S لأن هذا التمرين حالة خاصة من الجزء هذا

19
00:02:23,390 --> 00:02:30,450
الثاني في الفرع B وبالتالي هذا التمرين تعميم لهذا

20
00:02:30,450 --> 00:02:37,140
الجزء ولا جزء ثانيو لجزء ثاني اللي هو عبارة عن ال

21
00:02:37,140 --> 00:02:47,140
supremum أو الـ infimum لـ سالب S بيساوي سالب الـ

22
00:02:47,140 --> 00:02:54,240
supremum لـ S هذا تعميم لجزء اللي هان وهذا تعميم

23
00:02:54,240 --> 00:03:00,920
لجزء اللي هان وذلك بـ taking B equals سالب

24
00:03:00,920 --> 00:03:12,510
واحد خلينا نبرهن الجزء الأول من الفرع A والجزء 

25
00:03:12,510 --> 00:03:17,190
الأول من الفرع B وبالمثل بإمكانكم تبرهن الجزء

26
00:03:17,190 --> 00:03:22,510
الثاني من الـ part A والجزء الثاني من part B

27
00:03:22,510 --> 00:03:30,890
فنبرهن الجزء A لبرهان الجزء A اللي 

28
00:03:30,890 --> 00:03:37,490
هو هذا الجزء فأنا عندي a عدد موجب S is bounded

29
00:03:37,490 --> 00:03:42,390
وبالتالي bounded below إذا الـ infimum لـ S exist سميه 

30
00:03:42,390 --> 00:03:47,110
w طبعا الـ infimum عبارة عن lower bound لـ S إذا الـ w

31
00:03:47,110 --> 00:03:53,030
أصغر من أو يساوي X لكل X ∈ S وبالتالي لو ضربت في عدد 

32
00:03:53,030 --> 00:03:57,510
موجب a فبطلع aw أصغر من أو يساوي aX لكل S هذا 

33
00:03:57,510 --> 00:04:05,230
معناه إن العدد هذا lower bound لـ aS أنا عايز أثبت

34
00:04:05,230 --> 00:04:10,670
أن أي w هذا العدد مش بس lower bound هو أكبر lower

35
00:04:10,670 --> 00:04:19,690
bound للـ set aS فباخد أي let V be any lower bound

36
00:04:19,690 --> 00:04:27,790
any lower bound للـ set aS وبينا

37
00:04:27,790 --> 00:04:32,710
نثبت أن هذا الـ V أصغر من أو يساوي aw عشان يكون هو

38
00:04:32,710 --> 00:04:33,390
الـ infimum

39
00:04:35,910 --> 00:04:43,990
طيب هذا معناه V lower bound للـ set aS معناه V أصغر

40
00:04:43,990 --> 00:04:52,010
من أو يساوي aX لكل X في S طيب أنا عندي 1/a

41
00:04:52,010 --> 00:04:57,330
عدد موجب إذا 1/a عدد موجب فلو ضربت المتباينة

42
00:04:57,330 --> 00:05:00,270
هذه في العدد الموجب 1/a اشتغلت هنا

43
00:05:00,270 --> 00:05:07,900
مابتتغيرش فبصير عندي V/a أصغر من أو يساوي X لكل

44
00:05:07,900 --> 00:05:12,300
X ∈ S طب

45
00:05:12,300 --> 00:05:20,540
ما هذا معناه أنه العدد الـ number V over A is a

46
00:05:20,540 --> 00:05:25,840
lower bound لمن؟

47
00:05:25,840 --> 00:05:30,580
لـ S وبالتالي

48
00:05:30,580 --> 00:05:38,490
إذا الـ infimum .. إذا الـ V/a أصغر من أو يساوي الـ

49
00:05:38,490 --> 00:05:48,090
infimum للـ set S صح؟ طب اضربي في a عدد موجب بطلع

50
00:05:48,090 --> 00:05:58,990
عندي V أصغر من أو يساوي a في infimum S طب

51
00:05:58,990 --> 00:06:07,730
infimum S هذا سميته w لأن هذا بيساوي aw إذن هين

52
00:06:07,730 --> 00:06:13,790
أثبتنا إنه العدد aw هذا أبرع الـ lower bound للـ set

53
00:06:13,790 --> 00:06:20,390
aS وأخدنا أي lower bound للـ set aS فوجدنا إن الـ

54
00:06:20,390 --> 00:06:27,770
lower bound هذا أصغر من أو يساوي a في w فهذا معناه

55
00:06:27,770 --> 00:06:37,630
إن aw هو الـ infimum لمن؟ للـ set aS كما هو موضح في الـ

56
00:06:37,630 --> 00:06:44,290
claim أو في الإدعاء تمام؟ وهذا بيثبت الجزء الأول في

57
00:06:44,290 --> 00:06:51,650
الـ part A هاي infimum aS بيساوي a في w اللي هو

58
00:06:51,650 --> 00:06:58,250
infimum S إذن هذا بيثبت الجزء الأول في الفرع A

59
00:06:58,250 --> 00:07:01,850
Similarly بالمثل ممكن

60
00:07:05,820 --> 00:07:12,760
بالمثل ممكن نثبت الفرع الثاني أو

61
00:07:12,760 --> 00:07:20,060
الجزء الثاني في الفرع A تمام؟ فهسيب هذا جزء لكم

62
00:07:20,060 --> 00:07:27,840
لأن هذا مشابه للفرع اللي أنا واضح؟ في أي سؤال؟ طيب

63
00:07:27,840 --> 00:07:30,780
نحاول نثبت الجزء الأول في الفرع B

64
00:07:35,110 --> 00:07:42,150
بنثبت الجزء هذا في الفرع B لت

65
00:07:42,150 --> 00:07:53,770
بـ أصغر من صفر، عدد حقيقي سالب وأنا عندي الـ set الـ

66
00:07:53,770 --> 00:07:58,230
set since الـ set S is bounded

67
00:08:01,660 --> 00:08:10,440
إذا الـ infimum w بيساوي الـ infimum لـ S exists in R

68
00:08:10,440 --> 00:08:13,460
إذا

69
00:08:13,460 --> 00:08:18,240
في عندي أنا الـ .. الـ infimum لـ S .. S bounded

70
00:08:18,240 --> 00:08:21,180
below bounded وبالتالي bounded below إذا by

71
00:08:21,180 --> 00:08:26,460
infimum property الـ infimum لـ S سميته w exist

72
00:08:30,860 --> 00:08:41,580
هذا معناه .. أو هذا بقد .. إذا 

73
00:08:41,580 --> 00:08:46,180
هذا معناه أن w lower bound لـ S و w أصغر من أو يساوي

74
00:08:46,180 --> 00:08:49,880
X لكل X ∈ S

75
00:08:53,000 --> 00:08:58,980
طيب وعندي أنا الـ B عدد سالب فلو ضربنا المتباينة

76
00:08:58,980 --> 00:09:06,840
هذه في B عدد سالب فبصير bX أصغر من أو يساوي bW لكل

77
00:09:06,840 --> 00:09:18,890
X ∈ S صح؟ إذن هذا معناه إنه العدد bW is an

78
00:09:18,890 --> 00:09:28,750
upper is an upper bound لمين؟ للـ set bS للـ set b

79
00:09:28,750 --> 00:09:33,930
في S اللي هي مجموعة كل العناصر b ضرب X b ضرب

80
00:09:33,930 --> 00:09:38,570
X حيث X ينتمي للـ S هذا عبارة عن upper bound

81
00:09:38,570 --> 00:09:46,570
طيب الـ set هذه الـ set هذه bounded لأن الـ set S bounded

82
00:09:46,570 --> 00:09:51,270
فضربها في عدد بتظلها bounded وبالتالي bounded above

83
00:09:51,270 --> 00:09:57,250
إذا الـ .. الـ .. إلها supremum by supremum property

84
00:09:57,250 --> 00:10:08,990
وبالتالي إذا الـ bW هذا أو الـ supremum للـ set bS هذا

85
00:10:08,990 --> 00:10:14,330
عبارة عن الـ least upper bound for the set bS هذا

86
00:10:14,330 --> 00:10:20,270
بيطلع أصغر من أو يساوي أي upper bound وليه هو أصغر

87
00:10:20,270 --> 00:10:28,150
من أو يساوي الـ upper bound bW للـ set bS طب

88
00:10:28,150 --> 00:10:29,610
احنا عايزين نثبت

89
00:10:32,240 --> 00:10:38,840
احنا عايزين نثبت أن bW هي الـ supremum لـ set b

90
00:10:38,840 --> 00:10:42,460
في S فهين

91
00:10:42,460 --> 00:10:47,020
أثبتنا أن العدد bW هذا upper bound للـ set هذه

92
00:10:47,020 --> 00:10:51,240
bW هو upper bound للـ set الإثبات إنه هو الـ

93
00:10:51,240 --> 00:10:55,240
supremum باقي إثبات إن أنا لو أخدت أي upper bound

94
00:10:55,240 --> 00:11:00,400
للـ set هذه لازم يطلع أكبر من أو يساوي bW

95
00:11:04,070 --> 00:11:11,310
any upper bound

96
00:11:11,310 --> 00:11:18,490
of except bS هذا 

97
00:11:18,490 --> 00:11:28,090
معناه أن b في x أصغر من أو يساوي v لكل x ∈ S تمام؟

98
00:11:29,920 --> 00:11:34,420
طيب أنا عندي b عدد سالب إذا 1/b ايضا عدد

99
00:11:34,420 --> 00:11:38,960
سالب فلو ضربت المتباينة هذه في عدد سالب اللي هو

100
00:11:38,960 --> 00:11:50,040
1/b فهيطلع عندي v/b أصغر من أو

101
00:11:50,040 --> 00:11:52,340
يساوي X لكل X ∈ S

102
00:11:55,350 --> 00:12:04,150
هذا معناه أن العدد V/b is a lower bound لمن؟

103
00:12:04,150 --> 00:12:11,510
لـ set S مضبوط صح؟ وبالتالي

104
00:12:11,510 --> 00:12:17,930
إذا .. إذا 

105
00:12:17,930 --> 00:12:23,970
الـ V/b اللي هو lower bound للـ set S أصغر من أو

106
00:12:23,970 --> 00:12:28,370
يساوي الـ infimum للـ set S

107
00:12:54,340 --> 00:13:06,560
احنا إيش قاعدين نثبت الـ ..

108
00:13:06,560 --> 00:13:12,960
يبدو أن أنا يعني هنا بيثبت الجزء الثاني يعني، يلا 

109
00:13:12,960 --> 00:13:22,410
من حظكم نحاول نثبت الجزء الثاني مش الأول فكمان مرة

110
00:13:22,410 --> 00:13:26,810
نراجع B عدد سالب S is bounded وبالتالي bounded

111
00:13:26,810 --> 00:13:33,650
below إذن الـ infimum لـ set S موجود وبالتالي 

112
00:13:33,650 --> 00:13:37,630
المتباينة هذه بتتحقق وبالتالي هذه بتتحقق بعد ما

113
00:13:37,630 --> 00:13:42,070
ضربنا في B عدد سالب إذن b وطلع upper bound لـ

114
00:13:42,070 --> 00:13:48,410
set bS وبالتالي الـ supremum للـ set bS بيطلع أصغر

115
00:13:48,410 --> 00:13:52,510
من أو يساوي bW الآن بدنا نثبت أن الـ b

116
00:13:52,510 --> 00:14:00,810
W هذا هو الـ supremum لـ set bS تمام فأخدنا أي 

117
00:14:00,810 --> 00:14:05,550
upper bound v .. أي upper bound لـ set bS فوجدنا

118
00:14:05,550 --> 00:14:09,930
أن v/b is a lower bound لـ set S وبالتالي v على 

119
00:14:09,930 --> 00:14:14,290
b أصغر من أو يساوي الـ greatest lower bound لـ set S

120
00:14:17,060 --> 00:14:27,860
طب لو ضربنا في b و b عدد سالب فهيطلع عندي .. إذا 

121
00:14:27,860 --> 00:14:34,940
لو ضربنا المتباينة هذه في b عدد سالب فهيطلع عندي

122
00:14:34,940 --> 00:14:43,120
اللي هو b في infimum S هيطلع أصغر من أو يساوي الـ

123
00:14:43,120 --> 00:14:45,120
v، مضبوط هيك؟

124
00:14:48,920 --> 00:14:56,120
طب هذا هذا سميته w إذا b في w أصغر من أو يساوي الـ

125
00:14:56,120 --> 00:15:02,100
v إذا البرهان هذا أثبتنا فيه حاجتين إنه أول شيء

126
00:15:02,100 --> 00:15:07,540
العدد bW هذا upper bound للـ set bS وبعدين 

127
00:15:07,540 --> 00:15:14,350
أخدنا أي upper bound v أي upper bound لـ set bS طلع

128
00:15:14,350 --> 00:15:19,910
الـ v هذا أكبر من أو يساوي bW وبالتالي هذا

129
00:15:19,910 --> 00:15:29,650
معناه إذا العدد bW هو عبارة عن الـ supremum

130
00:15:29,650 --> 00:15:40,970
الـ supremum لـ set b في S لـ set b في S لأن هذا العدد

131
00:15:40,970 --> 00:15:45,570
upper bound للـ set هذه وهو أصغر upper bound أخدنا أي 

132
00:15:45,570 --> 00:15:51,390
upper bound للـ set هذه طلع bW أصغر من أو يساوي

133
00:15:51,390 --> 00:15:56,050
إذن bW هو أصغر upper bound للـ set هذه والآن

134
00:15:56,050 --> 00:16:03,410
بنعود عن w إذن الـ b في w اللي هو infimum of S

135
00:16:03,410 --> 00:16:12,590
بتطلع بيساوي supremum لـ b في S وهذا بيبرهن الجزء

136
00:16:12,590 --> 00:16:18,330
الثاني من الفرع B بالمثل ممكن برهان الجزء الأول

137
00:16:18,330 --> 00:16:24,850
من الفرع B فأنا بأدعوكم إلى كتابة برهان الأجزاء

138
00:16:24,850 --> 00:16:30,330
المشابهة هذه تمام؟ إذن هيك بنكون .. يعني أخدنا

139
00:16:30,330 --> 00:16:37,150
حلول تقريبا شبه كاملة للتمرين 5 section 2.3 في

140
00:16:37,150 --> 00:16:41,530
عندكم أي أسئلة ثانية في الـ section 2.3 أو 

141
00:16:41,530 --> 00:16:48,470
اتنين أربعة؟ في

142
00:16:48,470 --> 00:16:54,190
أي أسئلة ثانية؟ السؤال عشرة في section اتنين ثلاثة

143
00:17:28,800 --> 00:17:38,060
سؤال عشرة section اتنين ثلاثة ملخص السؤال بيقول S

144
00:17:38,060 --> 00:17:52,000
is a bounded bounded subset of R و Phi

145
00:17:52,000 --> 00:17:55,460
لا يساوي S subset

146
00:18:00,440 --> 00:18:07,020
فإن S0 non-empty subset من S مجموعة جزئية غير 

147
00:18:07,020 --> 00:18:17,280
خالية من المجموعة S فبدنا نثبت شو برهني أن ال

148
00:18:17,280 --> 00:18:26,260
infimum لـ S أصغر من أو يساوي ال infimum لـ S0

149
00:18:26,260 --> 00:18:32,540
أصغر من أو يساوي ال supremum للـ S Zero أصغر من لو

150
00:18:32,540 --> 00:18:41,940
يساوي ال supremum للـ S نشوف

151
00:18:41,940 --> 00:18:46,860
البرهان مع بعض برهان سهل وبسيط يعتمد على تعريف ال

152
00:18:46,860 --> 00:18:52,760
infimum وعلى تعريف ال supremum طيب

153
00:18:52,760 --> 00:18:57,900
أنا عندي المجموعة S since

154
00:19:00,710 --> 00:19:08,790
بما أن S مجموعة غير خالية و bounded is a bounded

155
00:19:08,790 --> 00:19:12,990
then ال

156
00:19:12,990 --> 00:19:28,810
infimum لـ S exist and supremum لـ S both exist

157
00:19:36,050 --> 00:19:44,310
بعد الـ infimum property ست اس لإنفمام وكذلك ست اس

158
00:19:44,310 --> 00:19:52,290
لسوبرمام هدول موجودين في R طيب

159
00:19:52,290 --> 00:19:56,150
أنا عندي السوبرمام

160
00:19:56,150 --> 00:20:15,640
للـ S السوبرمام للـ S is an upper bound فهي

161
00:20:15,640 --> 00:20:25,520
أيضا it is also an upper bound لأي

162
00:20:25,520 --> 00:20:31,060
subset لأي subset S0 من ال S

163
00:20:36,460 --> 00:20:44,900
و بالتالي and therefore and

164
00:20:44,900 --> 00:20:52,600
therefore ال

165
00:20:52,600 --> 00:20:57,540
supremum لـ S0

166
00:20:57,540 --> 00:21:01,840
أصغر من أو يساوي ال supremum لـ S

167
00:21:07,110 --> 00:21:15,710
كمان مرة ال .. ال S هذه ال S0 سبسط من S فأي upper

168
00:21:15,710 --> 00:21:20,070
bound ل S هو أيضا upper bound لأي مجموعة جزئية

169
00:21:20,070 --> 00:21:26,410
منها طيب ال supremum ل S upper bound ل S

170
00:21:26,410 --> 00:21:32,830
وبالتالي هو upper bound ل S0 طيب ال supremum ل S0

171
00:21:32,830 --> 00:21:39,130
هذا أصغر upper bound ل S0وهذا upper bound ل S0 إذا

172
00:21:39,130 --> 00:21:42,550
أصغر upper bound أصغر من لو يساوي أي upper bound

173
00:21:42,550 --> 00:21:51,650
وبالتالي المتباينة هذه صحيحة كذلك by

174
00:21:51,650 --> 00:21:57,950
definition حسب التعريفات ال

175
00:21:57,950 --> 00:22:06,790
infimum للـ S0 أصغر من أو يساوي ال supremum للـ S0

176
00:22:06,790 --> 00:22:10,750
الـ

177
00:22:10,750 --> 00:22:11,750
S0 هذه

178
00:22:15,230 --> 00:22:21,930
طبعا هذه ال set S0 subset من S و S bounded إلى S0

179
00:22:21,930 --> 00:22:26,710
bounded ال infimum ل S0 exist و ال suprem ل S0

180
00:22:26,710 --> 00:22:32,770
exist دائما لأي set S0 ال infimum دائما أصغر من أو

181
00:22:32,770 --> 00:22:39,250
يساوي ال supremum نعمل رسمة نوضح الكلام هذا

182
00:22:44,850 --> 00:22:56,850
نعتبر أن هذه هي الست اس وهي

183
00:22:56,850 --> 00:23:07,950
ال .. ال .. ال supremum للست اس وهي ال infimum

184
00:23:11,090 --> 00:23:17,810
للـ set S فدائما ال .. دائما

185
00:23:17,810 --> 00:23:24,050
ال minimum لأي set هو lower bound لل set وبالتالي

186
00:23:24,050 --> 00:23:28,950
أصغر من لو يساوي كل عناصرهاهو عبارة عن lower bound

187
00:23:28,950 --> 00:23:32,810
للست ال supreme للست S هو عبارة عن upper bound

188
00:23:32,810 --> 00:23:37,650
للست وبالتالي أكبر من أو يساوي كل عناصرها فواضح أن

189
00:23:37,650 --> 00:23:42,770
ال infimum للست S لازم يكون أصغر من أو يساوي ال

190
00:23:42,770 --> 00:23:52,970
supremum ونفس الشيء لو أخذنا أي مجموعة جزئية سمنها

191
00:23:52,970 --> 00:23:53,790
S0

192
00:23:56,180 --> 00:24:02,200
يعني هذه المجموعة اسمها S0 فبما أن ال set S

193
00:24:02,200 --> 00:24:10,400
bounded إذن S0 bounded وبالتالي ال supremum ل S0

194
00:24:10,400 --> 00:24:16,220
دايما أكبر من أو يساوي ال infimum ل S0 بنفس الطريقة

195
00:24:16,220 --> 00:24:23,710
إذن هذا دايما .. هذا دايما صحيح عشان احنا نكمل

196
00:24:23,710 --> 00:24:30,150
البرهان إذا احنا أثبتنا هذا واضح من التعريفات وهذا

197
00:24:30,150 --> 00:24:35,150
الجزء أثبتناه باقي

198
00:24:35,150 --> 00:24:40,930
إثبات الجزء الأخير هذا فإذا

199
00:24:40,930 --> 00:24:45,790
بنقول finally أخيرا لإثبات الجزء الأخير هذا أنا

200
00:24:45,790 --> 00:24:49,570
عندي ال inform ل S is a lower bound ل S

201
00:24:52,070 --> 00:24:57,350
وبالتالي هو lower bound لأي مجموعة جزئية S0 من S

202
00:24:57,350 --> 00:25:00,890
وبالتالي

203
00:25:00,890 --> 00:25:11,770
إذا ال influence ل S0 هذا

204
00:25:11,770 --> 00:25:19,180
أكبر lower bound ل S0 هذا أكبر lower bound ل S0 و

205
00:25:19,180 --> 00:25:25,960
هذا lower bound ل S0 إذاً هذا بيطلع أكبر من أو

206
00:25:25,960 --> 00:25:33,500
ساوي infimum ال S هذا lower bound ل S0 و هذا

207
00:25:33,500 --> 00:25:37,820
أكبر lower bound ل S0 إذاً هذا أصغر من أو يساوي

208
00:25:37,820 --> 00:25:43,700
هذا و هذا بيكمل برهان المتباينة اللى حاطين عليها

209
00:25:43,700 --> 00:25:48,380
علامة استفهام إذا هيك بيكون برهاننا التمرين okay

210
00:25:48,380 --> 00:25:53,660
تمام واضح؟

211
00:25:53,660 --> 00:26:03,660
في أسئلة ثانية خلنا نحل كمان سؤال إذا بتحبه ممكن

212
00:26:03,660 --> 00:26:04,900
نحل كمان سؤال

213
00:26:08,660 --> 00:26:16,040
في section اتنين ثلاثة برضه؟ اه في أي section؟

214
00:26:16,040 --> 00:26:21,840
اتنين ثلاثة ولا اتنين أربعة؟ اتنين ثلاثة؟ طيب نحل

215
00:26:21,840 --> 00:26:24,020
هذا السؤال و بعد هيك يعني نوجد

216
00:26:43,630 --> 00:26:57,410
هي السؤال الحادي عشر سيكشن اتنين ثلاثة بنشوف

217
00:26:57,410 --> 00:27:05,850
السؤال شو بيقول S

218
00:27:05,850 --> 00:27:11,530
subset من R و

219
00:27:11,530 --> 00:27:25,720
S* بساوي ال supremum لـ S وهذا بينتمي لل S

220
00:27:25,720 --> 00:27:31,040
belongs to S فإذا

221
00:27:31,040 --> 00:27:41,140
كان U لا ينتمي لل S إذا كان U لا ينتمي لل S شو

222
00:27:42,390 --> 00:27:49,090
عايزين نثبت أن ال superman لـ

223
00:27:49,090 --> 00:28:05,890
S union singleton U بيطلع بيساوي ال superman لـ

224
00:28:05,890 --> 00:28:10,330
اللي تتكون من عنصرين S* و U

225
00:28:13,540 --> 00:28:28,400
where are you؟ طبعا في برهانين للسؤال هذا ال

226
00:28:28,400 --> 00:28:33,840
proof one البرهان الأول we

227
00:28:33,840 --> 00:28:38,580
use .. we use exercise

228
00:28:42,560 --> 00:28:51,600
تسعة section اتنين ثلاثة وهذا ال exercise بيقول

229
00:28:51,600 --> 00:28:59,340
إذا كانت لو

230
00:28:59,340 --> 00:29:03,380
كان a و b bounded

231
00:29:09,480 --> 00:29:18,660
فهذا بيؤدي أن a union b is bounded and

232
00:29:18,660 --> 00:29:32,360
مش هيكوا بس و ال supremum .. ال supremum لإتحاد b

233
00:29:32,360 --> 00:29:36,980
بساوي supremum

234
00:29:39,920 --> 00:29:44,900
Supermom A و Supermom

235
00:29:44,900 --> 00:29:51,760
B إذا

236
00:29:51,760 --> 00:29:57,440
هذا تمرين رقم تسعة هناخده نستخدمه فلو استخدمنا هذا

237
00:29:57,440 --> 00:30:07,700
التمرين فالنتيجة هذه بتطلع على طول مباشرة إذا

238
00:30:07,700 --> 00:30:08,540
هنا take

239
00:30:11,570 --> 00:30:17,410
A بساوي S و

240
00:30:17,410 --> 00:30:25,570
طبعا هادي ال set bounded ال set هادي bounded و

241
00:30:25,570 --> 00:30:32,610
عندي ال set B هاخدها singleton U و هادي bounded

242
00:30:32,610 --> 00:30:41,790
set إذا by exercise 9 a hat b اللي هي ال S هذه

243
00:30:41,790 --> 00:30:47,650
بتطلع bounded by

244
00:30:47,650 --> 00:30:56,490
exercise 9 section 2 3 ال S union singleton u is

245
00:30:56,490 --> 00:31:00,750
bounded and

246
00:31:00,750 --> 00:31:10,540
مش هيكوا بس ال supremum لـ A اتحاد بالـ S union

247
00:31:10,540 --> 00:31:18,160
هذا الـ A وهذا الـ Singleton U بتساوي الـ Supremum

248
00:31:18,160 --> 00:31:22,440
لـ

249
00:31:22,440 --> 00:31:32,820
Supremum A هذا عبارة عن S* و Supremum D هذا

250
00:31:32,820 --> 00:31:37,830
عبارة عن Singleton U أنا عندي set فيها عنصر واحد

251
00:31:37,830 --> 00:31:42,510
فال Supreme تبعها هو ال info تبعها هو نفس ال

252
00:31:42,510 --> 00:31:46,850
answer يعني هذا واضح من تعريف ال suprem

253
00:31:54,620 --> 00:31:59,580
و هذا هو المطلوب إذا هذا تطبيق مباشر على تمرين 9

254
00:31:59,580 --> 00:32:03,860
إذا المعنى أن أنتم لازم تحلوا تمرين 9 و هذا

255
00:32:03,860 --> 00:32:11,260
التمرين موجود في يعني في إرشاد له أو hint لحله في

256
00:32:11,260 --> 00:32:16,680
خلف .. خلف الكتاب في حل تمرين اللي .. اللي الكتاب

257
00:32:16,680 --> 00:32:21,280
بيحاول يعرضها عشان يساعد الطالب نعم تفضلي

258
00:32:28,890 --> 00:32:37,250
آه صحيح نعم و

259
00:32:37,250 --> 00:32:45,170
في السؤال تسعة و في السؤال الحادي عشر ال S

260
00:32:45,170 --> 00:32:51,010
من المقطيات bounded صحيح لأنها احنا فرضين أن S

261
00:32:51,010 --> 00:32:56,370
subset من R و ال supremum لل S اللي هو S* عدد

262
00:32:56,370 --> 00:33:06,050
ينتمي ل S و S subset من R هذا بيؤدي أن ال S is

263
00:33:06,050 --> 00:33:12,750
bounded above على الأقل bounded above تمام؟

264
00:33:16,370 --> 00:33:22,230
تمام؟ فلو كانت ال A و ال B bounded above فهيطلع

265
00:33:22,230 --> 00:33:25,510
الاتحاد تبعهم bounded above و هذا اللي احنا

266
00:33:25,510 --> 00:33:30,490
عايزينه و ال supremum اللي لهم بساوي .. لاتحادهم

267
00:33:30,490 --> 00:33:37,540
بساوي الكلام هذا فعلى الأقل .. آه؟ و نفس الكلام

268
00:33:37,540 --> 00:33:41,860
للإنفمام ممكن نثبت حاجة مشابهة بالنسبة للإنفمام

269
00:33:41,860 --> 00:33:47,140
يعني ممكن نثبت أن الإنفايم هنا يعني ها and ممكن

270
00:33:47,140 --> 00:33:58,820
نضيف إنفمام ل a union b بساوي انفمام انف a و انف b

271
00:34:01,670 --> 00:34:06,630
فاحنا بس أخدنا .. طبخنا الجزء هذا الجزء بيكون صحيح

272
00:34:06,630 --> 00:34:13,390
إذا كانت a و b both are bounded above وبالتالي

273
00:34:13,390 --> 00:34:16,430
اتحادهم بيطلع bounded below و ال infimum للاتحاد

274
00:34:16,430 --> 00:34:23,780
بيطلع infimum ل infimum المجمعة الثانية فهذا متحقق

275
00:34:23,780 --> 00:34:28,640
هنا متحقق أن هاي S* ينتمي ل S وبالتالي عدد

276
00:34:28,640 --> 00:34:32,420
حقيقي أن S ال set هذه لها supremum وبالتالي

277
00:34:32,420 --> 00:34:37,360
bounded above و single to new ما هي finite set و

278
00:34:37,360 --> 00:34:41,960
كل finite set is bounded فهي bounded above و below

279
00:34:41,960 --> 00:34:47,530
طبعا وبالتالي ممكن نطبق الجزء هذاهذا برهان برهان

280
00:34:47,530 --> 00:34:51,790
ثاني ممكن أن احنا نعمل برهان مباشر يعني بلاش 

281
00:34:51,790 --> 00:35:00,970
نستخدم exercise تسعة ثاني

282
00:35:00,970 --> 00:35:09,310
ممكن we 

283
00:35:09,310 --> 00:35:13,450
consider we

284
00:35:13,450 --> 00:35:15,230
consider two cases

285
00:35:18,470 --> 00:35:24,390
نعتبر حالتين الـ S star هذا من المعطيات عدد حقيقي و

286
00:35:24,390 --> 00:35:31,790
U عدد حقيقي آخر لا ينتمي لـ S فممكن يكون عندي الـ U

287
00:35:31,790 --> 00:35:40,850
أكبر من أو يساوي S star or الـ U أصغر من S star هذا

288
00:35:40,850 --> 00:35:46,750
طبعا by trichotomy by trichotomy

289
00:35:50,710 --> 00:35:58,670
property من الخاصية الثلاثية U, S*) أعداد حقيقية

290
00:35:58,670 --> 00:36:04,850
ففي عندي تلت حالات أما U أصغر من S*) أو U أكبر من 

291
00:36:04,850 --> 00:36:10,450
S*) أو U بيساوي S*) هدول حالتين وهذه الثالثة

292
00:36:10,450 --> 00:36:15,950
فتعالوا في كل حالة نثبت هذا اللي هو المطلوب فإذا

293
00:36:15,950 --> 00:36:22,180
في عندي في الحالة الأولى X أقل أو بيساوي من الـ Supremum

294
00:36:22,180 --> 00:36:27,400
الموجود في الـ U أو

295
00:36:27,400 --> 00:36:33,000
إيش الثانية؟ أو X أقل أو بيساوي الـ U، X أصغر من أو

296
00:36:33,000 --> 00:36:38,280
بيساوي الـ U، صح؟ بعدها أنا هقول أكيد إن الـ X أقل

297
00:36:38,280 --> 00:36:45,360
أو بيساوي من الـ .. إن الـ X lower bound is lower 

298
00:36:45,360 --> 00:36:45,960
bound

299
00:36:49,050 --> 00:37:03,630
للـ set اللي بتتكون من S star و U صح؟ وبالتالي لحظة

300
00:37:03,630 --> 00:37:09,490
شوية لو سمحتني إذا

301
00:37:09,490 --> 00:37:14,830
الـ X lower bound للـ set هذه إذا الـ infimum

302
00:37:22,180 --> 00:37:27,840
الـ X أصغر

303
00:37:27,840 --> 00:37:36,400
من أو ساوي الـ infimum لـ Sلأ ما هو هذا lower bound

304
00:37:36,400 --> 00:37:41,960
لـ S star للمجموعة هذه وبالتالي هو أصغر من أو 

305
00:37:41,960 --> 00:37:45,700
ساوي الـ infimum و الـ infimum دائما قولنا قبل شوية

306
00:37:45,700 --> 00:37:51,780
أصغر من أو ساوي الـ supremum لنفس المجموعة لسه

307
00:37:51,780 --> 00:37:58,160
متبتيلوا قبل شوية في التمرين السابق صح؟ طيب هيك

308
00:37:58,160 --> 00:37:59,260
منكون أثبتنا

309
00:38:06,750 --> 00:38:17,210
إذا هذا صحيح since this holds لكل

310
00:38:17,210 --> 00:38:26,130
x ينتمي احنا خدنا x عشوائية فهي fix x مظبوط؟ x 

311
00:38:26,130 --> 00:38:33,700
كانت عنصر عشوائي ف fix x ينتمي لـ S union Singleton

312
00:38:33,700 --> 00:38:39,260
U فإذا هذه الأداء صحيح لكل X ينتمي للمجموعة هذه

313
00:38:39,260 --> 00:38:50,460
وبالتالي إذا الـ supremum لـ S star و U is upper

314
00:38:50,460 --> 00:39:00,300
bound Upper bound لمن؟ لـ S union singleton U

315
00:39:08,160 --> 00:39:23,180
مظبوط؟ إذا الـ supremum لـ S union singleton U لأ

316
00:39:23,180 --> 00:39:28,280
مش هيك لأ إذا هذا عبارة عن upper bound لـ set هذه

317
00:39:28,280 --> 00:39:34,830
بنثبت إن هو الـ supremumيعني هيك بيطلع هذا .. هذا

318
00:39:34,830 --> 00:39:40,610
upper bound لـ S هذه لأن هذا بيطلع أكبر من أو ساوي

319
00:39:40,610 --> 00:39:49,610
.. هذا أصغر من أو ساوي الـ supremum لـ

320
00:39:49,610 --> 00:39:57,310
S star و U احنا بدنا مساواة صح؟ فبقدرش أستنتج

321
00:39:57,310 --> 00:40:03,070
مساواة هنا تمام؟ أما شو ممكن أما زي ما عملنا في

322
00:40:03,070 --> 00:40:07,430
البراهين السابقة ممكن نثبت الـ claim ممكن نثبت 

323
00:40:07,430 --> 00:40:13,070
المساواة كما يلي أنا عندي هذا .. هذا العدد .. هذا

324
00:40:13,070 --> 00:40:19,270
العدد عبارة عن upper bound للـ set هذه احنا عايزين

325
00:40:19,270 --> 00:40:22,970
نثبت إن هذا مش upper bound هو الـ least upper bound

326
00:40:22,970 --> 00:40:29,330
إذا نـ claim إن الـ supremum

327
00:40:29,330 --> 00:40:36,590
لـ S union لـ set هذه هو العدد هذا

328
00:40:49,020 --> 00:41:02,440
انشوف let V be any upper bound لـ S union

329
00:41:02,440 --> 00:41:11,840
singleton U هذا بيقدي ان X أصغر من أو بساوي او هذا 

330
00:41:11,840 --> 00:41:12,640
بيقدي ان

331
00:41:25,690 --> 00:41:38,530
هذا بيقدي أن x أصغر من أو يساوي S لكل x في S and

332
00:41:38,530 --> 00:41:43,990
x أصغر من أو يساوي لأ

333
00:41:46,040 --> 00:41:53,780
عفوا إيش هذا؟ X أصغر من أو ساوي V لكل X في S and U

334
00:41:53,780 --> 00:41:57,120
أصغر من أو ساوي V صح؟

335
00:42:02,420 --> 00:42:05,840
طيب، معناته هذا upper bound، الـ V upper bound للـ set

336
00:42:05,840 --> 00:42:13,880
S إذن الـ supremum للـ set S اللي هو S star بطلع أصغر

337
00:42:13,880 --> 00:42:22,600
من أو ساوى V and U أصغر من أو ساوى V معناته إن الـ

338
00:42:22,600 --> 00:42:30,660
V is upper bound Upper bound لمين؟ للـ set

339
00:42:33,070 --> 00:42:39,670
اللي هي S star و U صح؟ لأن هاي V أكبر من أو يساوي

340
00:42:39,670 --> 00:42:48,670
S star و أكبر من أو يساوي الـ U فهذا

341
00:42:48,670 --> 00:42:55,990
بيقدي إذا الـ supremum إذا كان الـ V upper bound للـ

342
00:42:55,990 --> 00:43:10,590
S هذه فالـ supremum للـ set هذي اللي هي S star و U أصغر

343
00:43:10,590 --> 00:43:17,270
من أو ساوي الـ V هذا أكبر upper bound للـ set وهذا

344
00:43:17,270 --> 00:43:21,490
upper bound لنفس الـ set لأن أصغر upper bound أصغر من

345
00:43:21,490 --> 00:43:23,050
أو ساوي أي upper bound

346
00:43:26,490 --> 00:43:33,690
وبالتالي هين أثبتنا .. هين أثبتنا أنه الـ .. العدد

347
00:43:33,690 --> 00:43:40,890
هذا .. العدد هذا .. هذا العدد أثبتنا حاجتين هذا

348
00:43:40,890 --> 00:43:46,470
العدد هيه upper bound لمين للـ S هذه كذلك في الـ

349
00:43:46,470 --> 00:43:51,410
claim هذا أثبتنا أنه لو أخدت أي upper bound للـ S

350
00:43:51,410 --> 00:43:57,370
هذه وسميته V فهذا العدد أصغر من أو ساوى V، إذن

351
00:43:57,370 --> 00:44:04,550
العدد هذا هو أصغر، إذن العدد هذا هو الـ supremum لـ set

352
00:44:04,550 --> 00:44:10,750
هذه، إذن هذا this proves

353
00:44:10,750 --> 00:44:14,110
the

354
00:44:14,110 --> 00:44:21,070
claim الادعاء اللي احنا حكينا عنه وبالتالي هذا

355
00:44:21,070 --> 00:44:27,310
بيكون برهان ثاني أو برهان آخر وزي ما زميلتكم اقترحت

356
00:44:27,310 --> 00:44:33,670
مافيش داعي للـ cases هنا البرهان الثاني يبدأ بـ X

357
00:44:33,670 --> 00:44:43,180
تنتمي للـ set هذه وهنا أثبتنا ان العدد هذا هو الـ

358
00:44:43,180 --> 00:44:48,440
supremum للـ set هذه أو الـ supremum للـ set هذه اللي هي

359
00:44:48,440 --> 00:44:52,400
S اتحاد single to new الـ supremum إليها exist

360
00:44:52,400 --> 00:45:00,900
موجود و بيساوي العدد supremum S star و U هو هذا

361
00:45:00,900 --> 00:45:05,240
العدد upper bound للـ set هذه و أي upper bound آخر 

362
00:45:05,240 --> 00:45:10,340
للـ set طلع أصغر من .. أكبر من أو يساوي العدد هذا

363
00:45:10,340 --> 00:45:13,520
وبالتالي هذا هو أصغر upper bound أو super bound

364
00:45:13,520 --> 00:45:19,780
نعم هذي؟

365
00:45:19,780 --> 00:45:23,180
اه

366
00:45:23,180 --> 00:45:24,260
صح

367
00:45:32,010 --> 00:45:38,490
عن؟ بينهم or مش end لأ من تعريف .. من تعريف

368
00:45:38,490 --> 00:45:43,710
الاتحاد x ينتمي للاتحاد معناته x ينتمي للـ .. أو ..

369
00:45:43,710 --> 00:45:47,130
مش هيك تعريف الاتحاد؟ اه sorry اه ف or مافيش end

370
00:45:47,130 --> 00:45:51,330
ليش الـ end؟ معرفة إنها or بس احنا استنتجنا .. يعني

371
00:45:51,330 --> 00:45:54,730
هنا مكان الـ end استنتجنا إنها upper bound لكن هنا 

372
00:45:54,730 --> 00:45:57,490
or يعني مش end عشان نستنتج إنها x lower bound

373
00:46:05,960 --> 00:46:10,580
صحيح يعني لو كانت x أقل من أم يساوي أس أسطر and x 

374
00:46:10,580 --> 00:46:13,860
أقل من أم يساوي u فإنت صحيح احنا نستنتج إنه x

375
00:46:13,860 --> 00:46:18,340
lower bound للمجموعة أه صحيح كلامك إذا عشان هيك

376
00:46:18,340 --> 00:46:25,920
احنا لازم نحدد هل الـ u هو بالتالي كان لازم عشان

377
00:46:25,920 --> 00:46:32,760
البرهنة ده فعلا يكون صح كان لازم نفصل حالتين فلو

378
00:46:32,760 --> 00:46:41,400
كانت هنا الـ u لو كانت الـ .. الـ S star أصغر من أو

379
00:46:41,400 --> 00:46:45,420
يساوي الـ U دكتور؟

380
00:46:45,420 --> 00:46:51,540
نعم مش X هي أصغر أو يساوي الـ supremum للـ S أو إن

381
00:46:51,540 --> 00:46:56,060
الـ X أصغر أو يساوي مجموعة الـ U الحالة هي كأنا خبرت

382
00:46:56,060 --> 00:46:59,460
إن الـ X هتكون أصغر أو يساوي الـ supremum يا إما

383
00:46:59,460 --> 00:47:06,300
supremum للـ S أو supremum للـ مجموعة الـ U يعني المهم

384
00:47:06,300 --> 00:47:14,460
هي هتطلع الـ Supremum لواحدة من المجموعتين أنا

385
00:47:14,460 --> 00:47:19,900
قبل جملة الـ X أزيدور أنا قصدي إن أكثر X أصغر أو

386
00:47:19,900 --> 00:47:28,380
بيساوي الـ Supremum يعني بشكل مجمعة واحدة X أصغر

387
00:47:28,380 --> 00:47:35,770
أو بيساوي الـ Supremum لـ S star يعني هي اللي هولأ

388
00:47:35,770 --> 00:47:43,570
هاد أبراهين S أنها أصغر أو نسبة مجموعة بستار كمه

389
00:47:43,570 --> 00:47:50,620
قلو يعني لو حضرتيهم المهم هتطلع للـ super أه صح لأن

390
00:47:50,620 --> 00:47:56,760
الـ suprem هذا أكبر من أو ساوي S star و أكبر من أو

391
00:47:56,760 --> 00:48:02,960
ساوي الـ U و X أصغر من أو ساوي .. لو كانت الـ X أصغر

392
00:48:02,960 --> 00:48:05,980
من أو ساوي هذا فهي أكيد أصغر من أو ساوي الـ suprem

393
00:48:05,980 --> 00:48:10,780
و لو كانت الـ X أصغر من أو ساوي الـ U فهي أكيد أصغر

394
00:48:10,780 --> 00:48:12,900
من أو ساوي الـ suprem

395
00:48:17,590 --> 00:48:26,170
وبالتالي هذا معناه إنه الصحيح

396
00:48:26,170 --> 00:48:34,450
ففي الحالة هذه إذا الـ supremum لـ set الـ star و you 

397
00:48:34,450 --> 00:48:41,610
is upper bound upper bound للإتحاد

398
00:48:44,300 --> 00:48:54,800
bound of S union single to new لأن

399
00:48:54,800 --> 00:49:03,260
هذا fixed ماشي الحال فهذا بحل إشكالية و بعديها

400
00:49:03,260 --> 00:49:07,380
بنشطب كل الكلام هذا لأ ما هو هذا الكلام يعني هو

401
00:49:07,380 --> 00:49:15,430
تقريبا تفسير ل .. بما أن الـ ..هذا مالوش داعي صار

402
00:49:15,430 --> 00:49:23,350
هذا مالوش داعي وهذه الخطوة بدل ما نكتبها هنا هذا

403
00:49:23,350 --> 00:49:27,430
هي إذا مرة ثانية إن أيد البرهان الآن يعني البرهان 

404
00:49:27,430 --> 00:49:33,170
مافي مشكلة إن شاء الله هاي بنثبت X في الاتحاد تبع

405
00:49:33,170 --> 00:49:38,990
المجموعتين هذول الآن X تنتمي للـ set هذه أو تنتمي للـ set

406
00:49:38,990 --> 00:49:52,140
هذه يعني بتساوي LU وبالتالي الـ X تنتمي لـ S فهي

407
00:49:52,140 --> 00:49:56,180
أصغر من أو ساوي الـ supremum لـ S اللي هو S الصغير

408
00:49:57,460 --> 00:50:04,020
أو X أصغر من أو يساوي الـ U، X بالساوي الـ U بتقدي ان

409
00:50:04,020 --> 00:50:08,900
X أصغر من أو يساوي الـ U الآن لو أخدت الـ supremum لـ S

410
00:50:08,900 --> 00:50:12,920
أصغر و U طبعا هذه finite set of real numbers وفي

411
00:50:12,920 --> 00:50:16,780
تمرين بيقول لو عندي finite set of real numbers فالـ

412
00:50:16,780 --> 00:50:21,390
suprem تبعها موجود و ينتمي للـ set و الـ infimum

413
00:50:21,390 --> 00:50:24,630
تبعها أيضا موجود و ينتمي لـ .. يعني يكون عنصر في الـ

414
00:50:24,630 --> 00:50:28,530
set هذا أحد التمارين اللي طبعا ما عليناهوش لكن

415
00:50:28,530 --> 00:50:34,090
بإمكانكم تثبتوه by induction فهذه finally الـ set

416
00:50:34,090 --> 00:50:37,390
إذا الـ supremum تبعها exist إلا أن هذا الـ supremum

417
00:50:37,390 --> 00:50:41,990
أكبر من أو ساوي S star وبالتالي أكبر من أو ساوي X

418
00:50:41,990 --> 00:50:46,790
و هذا الـ supremum أكبر من أو ساوي U

419
00:50:50,610 --> 00:50:55,450
وبالتالي أكبر من أو يساوي الـ X اللي هي U أكبر من

420
00:50:55,450 --> 00:51:01,150
أو ساوي، إذا الآن هذا الكلام صحيح لكل X ينتمي 

421
00:51:01,150 --> 00:51:09,230
للإتحاد هذا العدد الآن أكبر من أو يساوي كل عناصر ال

422
00:51:09,230 --> 00:51:13,350
6 في الاتحاد فهو upper bound للـ 6 هذه فهو upper bound

423
00:51:13,350 --> 00:51:18,770
العدد هذا upper bound للـ 6 هذه الآن أثبتنا أن هذا

424
00:51:18,770 --> 00:51:23,380
الـ upper bound هو أصغر upper bound للاتحاد وهو

425
00:51:23,380 --> 00:51:29,160
أخذنا أي upper bound عشوائي للاتحاد طلع هذا ال

426
00:51:29,160 --> 00:51:33,140
upper bound العشوائي أكبر من أو يساوي العدد هذا

427
00:51:33,140 --> 00:51:36,720
الذي نريد هو الـ supremum إذا هذا العدد هو الـ

428
00:51:36,720 --> 00:51:42,940
supremum للست هذه تمام؟ okay؟ في أي سؤال آخر؟

429
00:51:42,940 --> 00:51:51,480
فلنحلّ كمان سؤالين في الـ .. نحلّ مثلا خليني

430
00:51:51,480 --> 00:51:54,300
أنا اخترت لكم بعض الأسئلة مادام أنتم يعني شاكلّكم

431
00:51:54,300 --> 00:51:59,300
إلا طبعا إذا أحد سأل خليني أمسح اللوح الأول ونحلّ

432
00:51:59,300 --> 00:52:00,240
كمان سؤالين

433
00:52:16,370 --> 00:52:21,990
يعني قبل قليل ذكرنا التمرين

434
00:52:21,990 --> 00:52:34,770
هذا التمرين 12 section 2 3 وهذا التمرين يقول let

435
00:52:34,770 --> 00:52:51,380
S بيـ .. let S يساوي X1 إلى XN be any non

436
00:52:51,380 --> 00:52:58,260
-empty finite finite

437
00:52:58,260 --> 00:53:12,080
set أو subset من R فنثبت

438
00:53:12,080 --> 00:53:14,920
أن الـ show

439
00:53:17,460 --> 00:53:34,980
infimum from S و supremum S ينتمي لـ S وكذلك

440
00:53:34,980 --> 00:53:41,720
الـ supremum لـ 6S موجود وهو عنصر في 6S

441
00:53:52,980 --> 00:53:59,400
Okay إذا الـ finite set تبعتي هذه فرضنا أن عناصرها

442
00:53:59,400 --> 00:54:06,300
سمينا عناصرها x1, x2 إلى xn لأن هذه set فيها n

443
00:54:06,300 --> 00:54:18,540
elements طيب ممكن نرتب العناصر هذه by rearranging

444
00:54:18,540 --> 00:54:23,200
indices

445
00:54:23,200 --> 00:54:27,220
if

446
00:54:27,220 --> 00:54:36,520
necessary إذا كان ضروري we

447
00:54:36,520 --> 00:54:50,310
may and dowe may and do assume that

448
00:54:50,310 --> 00:54:53,890
x1

449
00:54:53,890 --> 00:55:04,950
less than x2 less than less than xn أنا

450
00:55:04,950 --> 00:55:13,580
عندي finite set call it x1 إلى xn ممكن أن أعيد

451
00:55:13,580 --> 00:55:20,620
ترتيب العناصر هذه هي طبعا أعداد حقيقية فممكن أن

452
00:55:20,620 --> 00:55:26,880
أعيد .. وطبعا كلهم عناصر غير متساوية فممكن

453
00:55:26,880 --> 00:55:32,200
أعيد ترتيب أو تسمية العناصر هذه المؤشرات تبعات هذه

454
00:55:32,200 --> 00:55:38,680
ممكن أعيد ترتيبها بحيث أن يطلع x1 أصغر من x2 أصغر

455
00:55:38,680 --> 00:55:44,920
من x3 أو هكذا الأكثر هذا ممكن نعمله ولا لا؟ ممكن

456
00:55:44,920 --> 00:55:48,380
الآن

457
00:55:48,380 --> 00:55:54,640
تعالوا نثبت claim

458
00:55:54,640 --> 00:56:01,120
أنا أُدّعي أن الـ minimum للـ set S سيطلع يساوي X

459
00:56:01,120 --> 00:56:08,200
واحد وهذا ينتمي لـ S يعني بعد ما رتبت العناصر عملت

460
00:56:08,200 --> 00:56:12,740
ordering لهم بالطريقة دي فحسبت أن الـ infimum plus

461
00:56:12,740 --> 00:56:18,820
set S يساوي أصغر عنصر في الـ set الذي هو X1 وهذا

462
00:56:18,820 --> 00:56:29,620
طبعا ينتمي إلى S طيب لإثبات ذلك clearly واضح

463
00:56:29,620 --> 00:56:40,900
أن X1 is a lower bound lower bound لـ set S نظراً لأن

464
00:56:40,900 --> 00:56:45,740
X1 أصغر من أو يساوي كل العناصر التي في الـ set فهو

465
00:56:45,740 --> 00:56:51,000
واضح أنه lower bound الآن أنا أُثبت أنه ليس فقط

466
00:56:51,000 --> 00:56:54,400
lower bound هو الـ infimum هو الـ greatest lower

467
00:56:54,400 --> 00:57:01,620
bound إذا هنا now if W is

468
00:57:04,400 --> 00:57:16,580
any lower bound .. any lower bound of S فهذا

469
00:57:16,580 --> 00:57:25,780
معناه أن W أصغر من أو يساوي Xi لكل I يساوي 1 2

470
00:57:25,780 --> 00:57:29,640
إلى N صح؟

471
00:57:30,510 --> 00:57:38,370
وأصغر من أو يساوي كل عناصرها وبالتالي therefore w

472
00:57:38,370 --> 00:57:44,970
أصغر من أو يساوي x واحد لأن x واحد هو أحد عناصر

473
00:57:44,970 --> 00:57:54,350
الـ set إذا أنا عندي الآن x واحد is lower bound للـ set و

474
00:57:54,350 --> 00:58:00,190
أي lower bound للـ set يطلع أصغر من أو يساوي x واحد

475
00:58:00,190 --> 00:58:08,770
إذا by definition الـ x واحد آه أو الـ infimum للـ set

476
00:58:08,770 --> 00:58:16,330
s exist and يساوي x واحد تمام؟

477
00:58:16,330 --> 00:58:22,610
بالمثل ممكن نثبت الـ .. آه هنا similarly

478
00:58:26,410 --> 00:58:33,190
similarly show that أن أنا سأترككم بطريقة مشابهة

479
00:58:34,440 --> 00:58:39,920
تثبتوا الـ claim الثاني وهو أن الـ supremum للـ set S

480
00:58:39,920 --> 00:58:47,620
exist و يساوي XN وطبعا هذا ينتمي للـ set S وهو

481
00:58:47,620 --> 00:58:52,040
المطلوب okay تمام إن هيك نكون أثبتنا أن أي finite

482
00:58:52,040 --> 00:58:56,920
set لها supremum لها infimum وهذان يطلعان عناصر

483
00:58:56,920 --> 00:59:01,960
فيها بالتحديد الـ infimum هو الـ least element أصغر

484
00:59:01,960 --> 00:59:07,600
عنصر في الـ set والـ supremum هو الـ greatest element

485
00:59:07,600 --> 00:59:12,480
الذي هو أكبر عنصر في الـ set هذا طبعا الكلام غير

486
00:59:12,480 --> 00:59:16,360
صحيح إذا الـ set S كانت infinite هذا فقط صحيح في

487
00:59:16,360 --> 00:59:22,600
حالة الـ finite set إذا الـ .. هذا يكون يكمل برهان

488
00:59:22,600 --> 00:59:30,220
التمرين هذا وبالتالي نكتفي بحل أو بهذا القدر من

489
00:59:30,220 --> 00:59:34,260
حل التمرين وإن شاء الله أسبوع القادم نكمل حلّ

490
00:59:34,260 --> 00:59:35,400
تمارين أخرى