1
00:00:23,230 --> 00:00:28,870
بسم الله الرحمن الرحيم في الساعة هذه طبعا هيكون

2
00:00:28,870 --> 00:00:34,770
فيانا مناقشة نشوف

3
00:00:34,770 --> 00:00:39,790
ال section الأخيرة في chapter تلاتة نبدأ section

4
00:00:39,790 --> 00:00:43,610
تلاتة ستة فيانكم أي سؤال في section تلاتة ستة؟

5
00:00:51,050 --> 00:00:56,790
التالي هذا نقشناه المرة اللي فاتت طيب

6
00:00:56,790 --> 00:01:02,630
في section تلاتة سبعة في عندكم أي أسئلة في section

7
00:01:02,630 --> 00:01:08,970
تلاتة سبعة سؤال رقم احداشر نعم رقم احداشر

8
00:01:22,550 --> 00:01:35,490
بس الرقم 11 تلاتة سابعة if

9
00:01:35,490 --> 00:01:42,950
the series sigma a n with

10
00:01:42,950 --> 00:01:46,270
a

11
00:01:46,270 --> 00:01:51,070
n أكبر من الصفر is convergent

12
00:01:54,210 --> 00:02:01,230
is convergent then

13
00:02:01,230 --> 00:02:14,890
is the series sigma للجدر التربيهي ولا

14
00:02:14,890 --> 00:02:15,410
لأ؟

15
00:02:24,900 --> 00:02:29,340
is the series and

16
00:02:29,340 --> 00:02:39,240
if and

17
00:02:39,240 --> 00:02:52,300
if BN BN بساوي A واحد زائد إلى AN كل هذا مجسوم على

18
00:02:52,300 --> 00:02:52,720
N

19
00:02:55,990 --> 00:03:03,350
مع الـ n يشبه الـ n ثم

20
00:03:03,350 --> 00:03:08,310
اظهر .. اظهر

21
00:03:08,310 --> 00:03:15,590
ان السيريز سيجما bn دائما

22
00:03:15,590 --> 00:03:19,510
.. دائما

23
00:03:19,510 --> 00:03:21,290
متحرر

24
00:03:33,740 --> 00:03:34,160
Okay

25
00:03:51,610 --> 00:03:56,550
بنثبت ان لو كانت ال series هذه حدودها كلها موجبة و

26
00:03:56,550 --> 00:04:02,670
convergent وعرفنا Pn على ان ال average لمجموعة او

27
00:04:02,670 --> 00:04:09,750
ال average لأول n من حدود ال series An فبنثبت ان

28
00:04:09,750 --> 00:04:12,790
ال series هذه بتطلع دائما divergent

29
00:04:18,290 --> 00:04:21,610
وارجي ال unbounded ال series لما تكون unbounded

30
00:04:21,610 --> 00:04:25,710
تتطير مين هي ال unbounded؟ الأسئلة ال sequence of

31
00:04:25,710 --> 00:04:36,990
partial sums صحيح يعني

32
00:04:36,990 --> 00:04:42,710
أنا عندي أول شي not

33
00:04:42,710 --> 00:04:43,290
first

34
00:04:47,630 --> 00:05:00,050
رحزي أولا أنه لكل K ينتمي إلى N EK

35
00:05:00,050 --> 00:05:12,590
اللي هو بيساوي A1 زايد EK على N على K هذا

36
00:05:12,590 --> 00:05:15,870
بيكون دايما أكبر من أو يساوي

37
00:05:20,590 --> 00:05:25,570
A1 على K لأن

38
00:05:25,570 --> 00:05:32,410
ال .. ال bus اللي هنا أكبر من A1 لأن الأعداد هنا

39
00:05:32,410 --> 00:05:37,150
اللي في ال bus كل أعداد موجبة فال bus اللي هنا

40
00:05:37,150 --> 00:05:40,930
أكبر من ال bus اللي هناك وبالتالي هذا دايما صحيح

41
00:05:40,930 --> 00:05:45,650
لكل K في N hence

42
00:05:45,650 --> 00:05:46,790
وبالتالي

43
00:05:48,890 --> 00:05:57,350
لو أخدت الـ SIN الانف بارشيل سام للسيريز سيجما BN

44
00:06:05,920 --> 00:06:10,120
إذن هذا عبارة عن ال F partial sum لل series sigma

45
00:06:10,120 --> 00:06:17,480
bn الآن عندي bk أكبر من أو يساوي هاي summation من

46
00:06:17,480 --> 00:06:24,380
k بساوي واحد إلى n و ال bk هادي أكبر من أو يساوي a

47
00:06:24,380 --> 00:06:29,640
واحد على k ال a واحد ثابت بالنسبة ل k ده تمليش على

48
00:06:29,640 --> 00:06:36,860
k فبطلّه برا هاي a واحد ضربSummation من K بيسار

49
00:06:36,860 --> 00:06:44,400
واحد إلى N لواحد على K واحنا

50
00:06:44,400 --> 00:06:50,140
أثبتنا قبل هيك أنه ال sequence of partial sums لل

51
00:06:50,140 --> 00:06:57,620
harmonic series is unbounded

52
00:06:57,620 --> 00:07:03,380
في كان مثال سابق بيقول إنه

53
00:07:07,390 --> 00:07:14,970
إن الـ sequence هذه من n بساوي واحد to infinity is

54
00:07:14,970 --> 00:07:18,590
unbounded

55
00:07:18,590 --> 00:07:25,010
is unbounded حسب

56
00:07:25,010 --> 00:07:31,030
مثال سألت إذا لما أضربها ال sequence هذه لما أضرب

57
00:07:31,030 --> 00:07:35,350
حدودها أو أضربها في ثابت موجة تبقى unbounded

58
00:07:39,070 --> 00:07:48,770
وبالتالي إذا SM هذا بيقدي ان ال sequence SM is

59
00:07:48,770 --> 00:07:52,610
unbounded

60
00:07:52,610 --> 00:07:59,870
therefore ال

61
00:07:59,870 --> 00:08:08,950
limit ل SM لما انتقل ل infinity does not existand

62
00:08:08,950 --> 00:08:16,510
therefore the series sigma dn diverges لان احنا

63
00:08:16,510 --> 00:08:19,970
قلنا قبلك ان اي infinite series بتكون convergent

64
00:08:19,970 --> 00:08:24,570
if and only if the sequence of partial sums is

65
00:08:24,570 --> 00:08:32,870
convergent لان هذا هو الحل okay تمام في

66
00:08:32,870 --> 00:08:35,730
أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة

67
00:08:53,340 --> 00:08:58,320
مفهوم الحل؟ في

68
00:08:58,320 --> 00:09:03,800
أسئلة تانية في ال section هذا أو أي section سابق؟

69
00:09:03,800 --> 00:09:11,180
فسؤال سبعة هذا

70
00:09:11,180 --> 00:09:16,210
المماثل بيشبه مثال تلاتة سبعة ستةفاقرأي المثال

71
00:09:16,210 --> 00:09:22,330
حاولي تطبقي نفس الطريقة مشروحليك مثال فحاولي

72
00:09:22,330 --> 00:09:28,710
اتجلدي المثال في اي اسئلة تانية؟

73
00:09:28,710 --> 00:09:35,950
مان

74
00:09:35,950 --> 00:09:37,170
لديها سؤال؟

75
00:09:56,850 --> 00:10:11,850
في عندكم أسرة طيب

76
00:10:11,850 --> 00:10:14,790
لما تفكروا في أسرة بدي أنا بارهنكم koshi

77
00:10:14,790 --> 00:10:21,390
condensation set test لأن هذا في عليه أسرة ومهم

78
00:10:38,680 --> 00:10:56,660
سؤال اتماشي section تلاتة .. سابعة قوشيز

79
00:10:56,660 --> 00:11:00,760
condensation

80
00:11:00,760 --> 00:11:01,180
test

81
00:11:13,290 --> 00:11:19,130
فال test هذا بيقول let sigma

82
00:11:19,130 --> 00:11:29,970
an be a series .. a series of

83
00:11:29,970 --> 00:11:42,270
monotone .. of monotone decreasing positive

84
00:11:45,320 --> 00:11:54,260
مجموعات اثنين اثنين

85
00:11:54,260 --> 00:11:54,260
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

86
00:11:54,260 --> 00:11:54,340
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

87
00:11:54,340 --> 00:11:58,160
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

88
00:11:58,160 --> 00:11:59,760
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

89
00:11:59,760 --> 00:12:03,980
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

90
00:12:03,980 --> 00:12:05,320
اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين

91
00:12:05,320 --> 00:12:08,420
اثنين اثنين اثنين

92
00:12:08,420 --> 00:12:14,380
اثنين

93
00:12:14,380 --> 00:12:14,820
اثن

94
00:12:42,930 --> 00:12:48,630
وهي البرهان اولا

95
00:12:48,630 --> 00:13:02,350
خلّينا نلاحظnote that لاحظي انه لو أخدت نص في

96
00:13:02,350 --> 00:13:12,530
summation من k بساوي zero to infinity ل two أُس k

97
00:13:12,530 --> 00:13:18,930
في a two to k هذا

98
00:13:18,930 --> 00:13:20,830
بيطلع بساوي نص

99
00:13:23,540 --> 00:13:33,720
في A1 اول حد لما كدا ساوى سفر فبطلع نص A1 الحد

100
00:13:33,720 --> 00:13:43,940
اللي بعده هيطلع A2 اللي بعده اتنين A4 واللي بعده

101
00:13:43,940 --> 00:13:52,020
اربعة في A8 وهكذا نستمر على هذا النمط إلى

102
00:13:55,470 --> 00:14:00,650
أتنين خلّينا ناخد المجموعة من K بساوي سفر إلى M

103
00:14:00,650 --> 00:14:08,290
حيث M عدد طبيعي ما فأخر حد هيكون اتنين أس M سالب

104
00:14:08,290 --> 00:14:15,670
واحد في A اتنين أس M الآن

105
00:14:15,670 --> 00:14:21,770
هذا المجموع أصغر من A واحد نص A واحد بالتأكيد أصغر

106
00:14:21,770 --> 00:14:32,160
من A واحدو طبعا ال .. ال .. الأعداد هذه كلها موجبة

107
00:14:32,160 --> 00:14:38,600
و بتكون decrease in sequence فنص a1 أصغر من a1 و

108
00:14:38,600 --> 00:14:59,570
a2 بساوي a2 و 2 a4 أصغر من a3 زائد a4 صح؟A4 أصغر

109
00:14:59,570 --> 00:15:07,110
من A3 لأن ال sequence A N decreasing فعندي A4 زاد

110
00:15:07,110 --> 00:15:17,350
A4 أصغر من A3 زاد A4 و هكذا برضه عندي A8 أصغر من

111
00:15:17,350 --> 00:15:25,190
A5 و أصغر من A6 و أصغر من A7وبالتالي هدا هيكون

112
00:15:25,190 --> 00:15:30,470
اربعة ا تمانية اصغر من مجموعة اربعة حدود اللي هم a

113
00:15:30,470 --> 00:15:42,270
خمسة زائد a ستة زائد a سبعة زائد a تمانية و هكذا

114
00:15:42,270 --> 00:15:48,830
استمر على هذا النمط الى ان نصل لاخر

115
00:15:51,230 --> 00:15:58,170
هدول الحدود هيكون اصغر من .. او لحد هذا الأخير

116
00:15:58,170 --> 00:16:04,530
اصغر من المجموعة اللي هو a اتنين اص ام سالب واحد

117
00:16:04,530 --> 00:16:11,430
زائد واحد زائد a

118
00:16:11,430 --> 00:16:18,920
اتنين اص ام سالب واحد زائد اتنين زائد و هكذابقت

119
00:16:18,920 --> 00:16:24,700
أصغر من مجموعة كل ال series لأن هذه كلها حدود

120
00:16:24,700 --> 00:16:29,680
موجبة، أعداد موجبة وهذا

121
00:16:29,680 --> 00:16:38,540
الكلام صحيح لكل M، لكل M عدد طبيعي أكبر

122
00:16:38,540 --> 00:16:47,240
من أو يساوي، يعني عدد طبيعي وبالتالي

123
00:16:47,240 --> 00:16:48,120
and so

124
00:16:50,890 --> 00:17:01,690
وبالتالي نضرب sum من k بساوي سفر إلى m لتو أس ك

125
00:17:01,690 --> 00:17:10,490
بإتنين أس ك ده هيطلع أصغر من أو ساوي نضرب الطرفين

126
00:17:10,490 --> 00:17:15,470
في اتنين عشان نتخلص من النصفبصير المجموع هذا أصغر

127
00:17:15,470 --> 00:17:21,410
من أوسعه اتنين في summation من n equals zero to

128
00:17:21,410 --> 00:17:27,750
infinity ل a n تمام؟

129
00:17:27,750 --> 00:17:34,330
وهذا

130
00:17:34,330 --> 00:17:39,650
صحيح لكل m belonging to N

131
00:17:44,360 --> 00:18:02,120
بنسمي ال quality هذه واحد طيب

132
00:18:02,120 --> 00:18:05,680
now next

133
00:18:09,650 --> 00:18:21,350
given any m أكبر من أو سوى الواحد choose using

134
00:18:21,350 --> 00:18:34,050
Archimedean property choose

135
00:18:34,050 --> 00:18:44,810
k بحيث أنهtwo to K أكبر من M لأي عدد طبيعي ممكن

136
00:18:44,810 --> 00:18:58,530
ألاقي عدد طبيعي بحياتي two to K أكبر من M then ال

137
00:18:58,530 --> 00:19:06,690
summation from N equals zero to Mلان هذا بيطلع

138
00:19:06,690 --> 00:19:12,630
أصغر من a0

139
00:19:12,630 --> 00:19:19,710
زائد a1 زائد a2

140
00:19:19,710 --> 00:19:31,150
زائد a3 زائد a4 زائد a5 زائد a6 زائد a7 زائد a8

141
00:19:35,390 --> 00:19:47,670
مع بعض زائد و هكذا إلى اتنين

142
00:19:47,670 --> 00:19:55,190
أسكت زائد اتنين أسكت زائد واحد زائد و هكذا إلى

143
00:19:55,190 --> 00:19:59,330
اتنين

144
00:19:59,330 --> 00:20:03,950
أسكت زائد واحد سالب واحد

145
00:20:12,500 --> 00:20:17,840
أنا عند ال M هذا ال M أصغر من اتنين أس كي في آخر

146
00:20:17,840 --> 00:20:26,460
حد اللي هو AM هيكون أصغر من A رقم اتنين أس كي أو

147
00:20:26,460 --> 00:20:34,180
أصغر من أو ساوي اتنين رقم A أس اتنين كي زي واحد

148
00:20:34,180 --> 00:20:35,780
minus واحد

149
00:20:43,450 --> 00:20:52,190
والمجموع هذا .. هذا المجموع أصغر من او يساوي a0

150
00:20:52,190 --> 00:20:57,490
زائد a1 زائد

151
00:20:57,490 --> 00:21:06,710
2 a2 لأن a3 أصغر من a2 صح؟ عشان ال sequence an is

152
00:21:06,710 --> 00:21:13,030
decreasing و هذا المجموع أصغر من 4 a

153
00:21:14,740 --> 00:21:26,420
أربعة صح وهكذا إلى المجموع هذا هيكون أصغر من اتنين

154
00:21:26,420 --> 00:21:37,280
أث كيه هذول عدد الحدود في a اتنين أث كيه يعني هذول

155
00:21:37,280 --> 00:21:41,860
عدد الحدود عددهم اتنين أث كيه وكل واحد منهم

156
00:21:45,050 --> 00:21:55,350
أصغر من ات اول واحد اللي هو ات نين اص كيه وهذا

157
00:21:55,350 --> 00:22:01,830
بدوره أصغر من ات نين اص كيه زائد summation من كيه

158
00:22:01,830 --> 00:22:09,730
بساوي zero to infinity لاتنين اص كيه في ات نين اص

159
00:22:09,730 --> 00:22:17,540
كيه هاي أول حد ات نين اص كيهلما ك بيساوي سفر بيطلع

160
00:22:17,540 --> 00:22:25,640
ا واحد و بعدين اللي بعده بيطلع اتنين اتنين لما ك

161
00:22:25,640 --> 00:22:33,480
بيساوي واحد و اللي بعده اربعة اربعة و هكذا طبعا

162
00:22:33,480 --> 00:22:37,400
هذا بوقف المجموعة هذا finite هذا أصغر من المجموعة

163
00:22:37,400 --> 00:22:41,400
من ك بيساوي سفر إلى ملا نهاية هذا طبعا في حدود

164
00:22:41,400 --> 00:22:41,820
أكتر

165
00:22:44,960 --> 00:22:53,040
تمام؟ وبالتالي إذا نستنتج and so نستنتج

166
00:22:53,040 --> 00:23:02,980
إنه المجموعة sigma from n equal zero to infinity ل

167
00:23:02,980 --> 00:23:12,050
a nبطلع أصغر من أو ساوي a0 زاد sigma from k equals

168
00:23:12,050 --> 00:23:20,790
zero to infinity ل 2 أُس k a2 أُس k لأن

169
00:23:20,790 --> 00:23:26,810
هذا صحيح لكل m أكبر من أو ساوي الواحد لأن هذا

170
00:23:26,810 --> 00:23:33,330
عبارة عن هذا عبارة عن upper bound هذا العددأو هذا

171
00:23:33,330 --> 00:23:39,530
العدد upper bound لل sequence of partial sums هنا

172
00:23:39,530 --> 00:23:44,190
فما

173
00:23:44,190 --> 00:23:47,210
هذه ال sequence of partial sums is increasing

174
00:23:47,210 --> 00:23:50,750
متزايدة

175
00:23:50,750 --> 00:23:55,110
و bounded above by this number إذا ال limit تبعت

176
00:23:55,110 --> 00:23:58,650
ال sequence of partial sums exist و بالساوية

177
00:23:58,650 --> 00:24:04,990
supremumلـ sequence of partial sums الـ supremum

178
00:24:04,990 --> 00:24:11,150
لـ sequence of partial sums أقل من ال upper bound

179
00:24:11,150 --> 00:24:13,670
هذا upper bound لـ sequence of partial sums ال

180
00:24:13,670 --> 00:24:17,050
supremum أصغر upper bound وبالتالي إذا ال supremum

181
00:24:17,050 --> 00:24:21,690
لـ sequence of partial sums هو عبارة عن limit لـ

182
00:24:21,690 --> 00:24:23,730
sequence of partial sums اللي هو مجموعة ال

183
00:24:23,730 --> 00:24:29,190
infinite series أصغر من أو ساوي ال upper boundby

184
00:24:29,190 --> 00:24:34,290
monotone convergence theorem السيريز

185
00:24:34,290 --> 00:24:39,610
هذي convergence ومجموعة بساول limit ل sequence of

186
00:24:39,610 --> 00:24:44,710
partial sums اللي هي أصغر من أو ساول عددها okay

187
00:24:44,710 --> 00:24:54,170
إذا نسمي المتباينة هذه اتنين إذا من المتباينة واحد

188
00:24:54,170 --> 00:24:54,870
واتنين

189
00:25:11,870 --> 00:25:19,130
الان بمقارنة مباشرة الاختلافات

190
00:25:19,130 --> 00:25:30,640
المتباينات واحدة و اتنين بيقدواالسيريز sigma a n

191
00:25:30,640 --> 00:25:39,720
converges if and only if السيريز sigma اثنين اثنين

192
00:25:39,720 --> 00:25:47,820
a اثنين اثنين converges تعالى

193
00:25:47,820 --> 00:25:54,680
نشوف لو كانت السيريز هذه convergent فالسيريز

194
00:25:54,680 --> 00:25:55,780
هذه convergent

195
00:25:58,080 --> 00:26:03,500
وبالتالي طبعا أن هذا صحيح لكل M بالمناسبة بقدر أن

196
00:26:03,500 --> 00:26:08,880
هذه أيضا sequence of partial sums هذه ال limit

197
00:26:08,880 --> 00:26:19,460
تبعتها exist وبالتالي ال infinite series هذه إذا

198
00:26:19,460 --> 00:26:27,250
أن ال ممكن نقول أن هذا الكلام صحيحالان لو كانت ال

199
00:26:27,250 --> 00:26:31,430
series هادي convergent فنضربها في ثابت اتنين تطلع

200
00:26:31,430 --> 00:26:35,270
convergent وبالتالي ال series هادي convergent by

201
00:26:35,270 --> 00:26:40,170
direct comparison test العكس لو كانت ال series

202
00:26:40,170 --> 00:26:41,670
هادي convergent

203
00:26:44,460 --> 00:26:50,840
فلما أضفلها حد عدد موجب بيبقى conversion وبالتالي

204
00:26:50,840 --> 00:26:54,080
by direct comparison test ال series الأصغر بتطلع

205
00:26:54,080 --> 00:26:58,160
conversion okay تمام؟ لأن هذا بثبت koshi

206
00:26:58,160 --> 00:27:03,600
condensation test هذا ال test قوي كتير ويله فوائد

207
00:27:03,600 --> 00:27:13,000
كتيرة فمن الفوائد تبعته يعني

208
00:27:13,000 --> 00:27:13,800
هذه مثال

209
00:27:22,170 --> 00:27:37,410
ممكن نستنتج ال test P-series مثال،

210
00:27:37,410 --> 00:27:46,290
أنا موجود في أحدى التمرين التمرين 13

211
00:27:53,040 --> 00:28:05,440
تعملين تلتاش سيكشن تلاتة سبعة ايش بيقول هذا if if

212
00:28:05,440 --> 00:28:16,600
P أكبر من السفر is a real number discuss

213
00:28:16,600 --> 00:28:20,940
the

214
00:28:20,940 --> 00:28:21,680
convergence

215
00:28:42,640 --> 00:28:44,720
تعالوا نفحص

216
00:28:49,400 --> 00:28:58,120
Summation from n equals one to infinity لإتنين أُس

217
00:28:58,120 --> 00:29:08,700
n في واحد على هاي أو خلّيني أقول إتنين أُس n في a

218
00:29:08,700 --> 00:29:16,120
and a إتنين أُس m إيش بيساوي هذا طبعا هاي عندي a n

219
00:29:16,120 --> 00:29:24,230
هذا هو عبارة عن a mالحد العام لل series فان بساوي

220
00:29:24,230 --> 00:29:30,290
1 على n to p فبتبحث هل ال series هذي convergent او

221
00:29:30,290 --> 00:29:33,990
متى بتكون هذي ال series convergent وبالتالي بقدر

222
00:29:33,990 --> 00:29:37,890
اطبق اللي هو cauchy condensation test فهذه عبارة

223
00:29:37,890 --> 00:29:43,970
عن sigma from n equals one to infinityالان ايه

224
00:29:43,970 --> 00:29:53,550
اتنين اص ان بطلع واحد على اتنين اص ان الكل اص P

225
00:29:53,550 --> 00:30:03,810
تمام؟ وهذا بيساوي summation from n equals one to

226
00:30:03,810 --> 00:30:18,940
infinity لاتنين اص واحد minus Pالكل أسئلة وهدي

227
00:30:18,940 --> 00:30:27,020
is a geometric series is a geometric series

228
00:30:27,020 --> 00:30:33,680
وبالتالي

229
00:30:33,680 --> 00:30:38,320
مظبوط هذا عبارة عن geometric series لو بدى أكتب

230
00:30:38,320 --> 00:30:40,620
حدود تبعتها

231
00:30:43,100 --> 00:30:52,660
فاول حد عبارة عن اتنين اص واحد minus P الحد التاني

232
00:30:52,660 --> 00:31:00,940
اتنين اص واحد minus P الكل تربية و هكذا فالحد

233
00:31:00,940 --> 00:31:05,480
الاول اتنين اص واحد minus P الحد التاني اتنين اص

234
00:31:05,480 --> 00:31:09,980
واحد minus P و هكذا with ratio

235
00:31:14,090 --> 00:31:28,710
with ratio with

236
00:31:28,710 --> 00:31:34,830
ratio R

237
00:31:34,830 --> 00:31:41,790
بساوي اتنين اص واحد minus P

238
00:31:48,590 --> 00:31:58,790
So by geometric series test it converges if

239
00:31:58,790 --> 00:32:06,450
and all if absolute R بيساوي اتنين أس واحد minus P

240
00:32:06,450 --> 00:32:16,670
أصغر من واحد وهذا بتحقق اتنين أس واحد minus P أصغر

241
00:32:16,670 --> 00:32:25,590
من واحدفنقول if واحد minus P اذا

242
00:32:25,590 --> 00:32:36,910
كان واحد minus P أصغر من السفر سالم لأن لو كان

243
00:32:36,910 --> 00:32:41,430
واحد minus P موجب فاتنين أس أي عدد موجب عمره ما

244
00:32:41,430 --> 00:32:47,440
بيكون أصغر من واحدنصبوت لكن لو كان الأس سالم فبصير

245
00:32:47,440 --> 00:32:52,620
هذا واحد على اتنين أس وموجب فبصير أصغر من واحد اذا

246
00:32:52,620 --> 00:32:57,020
هذا صحيح if and only if الأس تابع الأتنين اللي هو

247
00:32:57,020 --> 00:33:06,240
واحد minus P أصغر من سفر if and only if واحد أصغر

248
00:33:06,240 --> 00:33:12,920
من P أو P أكبر من واحد okay تماموهذا هو ال P

249
00:33:12,920 --> 00:33:19,120
Series Test لان احنا استنتجنا ال P Series Test من

250
00:33:19,120 --> 00:33:26,200
Koshi Condensation Test فاكرين ال P Series هذي او

251
00:33:26,200 --> 00:33:29,840
ال P Series Test اثبتنا ان Convergent if and only

252
00:33:29,840 --> 00:33:35,200
if P أكبر من 1 وDivergent اذا كانت P أصغر منها

253
00:33:35,200 --> 00:33:35,960
وسائل 1

254
00:33:42,110 --> 00:33:51,730
Okay إذا ال .. هذا المعنى So by Cauchy Cauchy's

255
00:33:51,730 --> 00:34:01,910
Condensation Test The series Sigma

256
00:34:01,910 --> 00:34:07,830
from N equals one to infinity ال one over N to P

257
00:34:08,830 --> 00:34:16,530
convergence if and only if P أكبر من واحد وهذا هو

258
00:34:16,530 --> 00:34:23,030
ال P-series test إذن هذا بورجينا قوة Koshi

259
00:34:23,030 --> 00:34:29,530
Condensation Test okay تمام؟ في طبعا أسئلة أخرى

260
00:34:29,530 --> 00:34:33,430
على Koshi Condensation Test وانا طالب منكم تحلوها

261
00:34:33,430 --> 00:34:41,340
زي السؤال 14 و15 صح؟ففي أي شيء في الأسئلة دي أو

262
00:34:41,340 --> 00:34:47,160
أسئلة تانية؟

263
00:34:47,160 --> 00:34:56,500
في

264
00:34:56,500 --> 00:34:58,180
عندكم أي أسئلة؟

265
00:35:13,000 --> 00:35:19,560
إذا سيكشن واحد تلاتة سبعة في أي سؤال تاني عندكم في

266
00:35:19,560 --> 00:35:25,540
الأسئلة هذه أو

267
00:35:25,540 --> 00:35:31,860
السيكاشن السابقة أو سيكشن أربعة واحد إذا بتحبه

268
00:35:31,860 --> 00:35:35,560
سيكشن أربعة واحد

269
00:36:06,090 --> 00:36:13,070
مافيش أسئلة؟ طيب ال .. مدان مافيش أسئلة نواصل ..

270
00:36:13,070 --> 00:36:16,190
نكمل

271
00:36:16,190 --> 00:36:17,490
المحاضرة في السابقة

272
00:36:49,090 --> 00:36:53,250
المرة الأخرى اتحدثنا عن ال two-sided limits و عن

273
00:36:53,250 --> 00:37:00,350
ال one-sided limits و أخدنا بعض النظريات و قلنا إن

274
00:37:00,350 --> 00:37:05,090
جميع النظريات اللي برهنناها هو one-sided limit

275
00:37:05,090 --> 00:37:12,990
صحيحة لل two-sided limitsأو المباريات الصحيحة لـ

276
00:37:12,990 --> 00:37:17,070
two-sided limits بتكون أيضا صحيحة لـ one-sided

277
00:37:17,070 --> 00:37:26,650
limit فناخد

278
00:37:26,650 --> 00:37:31,350
أنفلة show

279
00:37:31,350 --> 00:37:31,950
that

280
00:37:35,020 --> 00:37:55,100
Limit لـ Signum X لإن X تقول لسفر لا يوجد فنلاحظ

281
00:37:55,100 --> 00:37:59,600
أن Limit لأول شئ Signum X

282
00:38:03,790 --> 00:38:11,230
بساوي x على absolute x لكل x لا يساوي سفر لما

283
00:38:11,230 --> 00:38:15,010
أعرفنا الدالة هذه قلت لها بس هي نفسها x على

284
00:38:15,010 --> 00:38:20,690
absolute x لو كان x بساوي سفر الآن ال limit ل

285
00:38:20,690 --> 00:38:30,890
sigma x لما x تقول إلى سفر من اليمين بساوي ال

286
00:38:30,890 --> 00:38:31,310
limit

287
00:38:35,810 --> 00:38:41,530
لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من

288
00:38:41,530 --> 00:38:50,190
اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى

289
00:38:50,190 --> 00:38:55,650
صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x

290
00:38:55,650 --> 00:38:57,330
تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من

291
00:38:57,330 --> 00:39:02,560
اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمينلما x تقول أصغر

292
00:39:02,560 --> 00:39:21,640
من اليسار لما x أصغر من صفر لما

293
00:39:21,640 --> 00:39:28,560
x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر

294
00:39:28,560 --> 00:39:33,950
لما x أصغر من صفرالسالب واحد بيطلع السالب واحد ان

295
00:39:33,950 --> 00:39:37,670
انا عندي ال limit من اليامين يساوي واحد ال limit

296
00:39:37,670 --> 00:39:44,230
من اليسار يساوي سالب واحد مش متساوي اتين so by

297
00:39:44,230 --> 00:39:50,150
theorem حسب النظرية اللي أخدناها theorem اربعة

298
00:39:50,150 --> 00:39:55,630
تلاتة تلاتة بيطلع

299
00:39:55,630 --> 00:40:01,080
عندي ال limit او ال two sided limitللـ signal

300
00:40:01,080 --> 00:40:09,560
function لما x تقول السفر does not exist تمام؟

301
00:40:09,560 --> 00:40:22,280
طيب خلّيني انا اخد show

302
00:40:22,280 --> 00:40:27,380
that ال

303
00:40:27,380 --> 00:40:32,350
limit لل function e والواحد على xلما x تقول إلى

304
00:40:32,350 --> 00:40:40,550
سفر من اليمين does not exist and

305
00:40:40,550 --> 00:40:43,910
من

306
00:40:43,910 --> 00:40:51,170
ال limit لنفس ال function e to واحد على x لما x

307
00:40:51,170 --> 00:40:58,710
تقول إلى سفر من اليسار تطلع موجودة و بساوي سفر

308
00:41:23,830 --> 00:41:31,010
طيب ال ..

309
00:41:31,010 --> 00:41:34,050
نحاول نبرهن الجزء الأول

310
00:41:56,420 --> 00:42:03,380
بناخد الجزء الأول let

311
00:42:03,380 --> 00:42:13,540
z of x بساوي e to 1 على x حفة x لا تساوي 0 وبدنا

312
00:42:13,540 --> 00:42:19,260
نثبت to

313
00:42:19,260 --> 00:42:28,130
show ان ال limitلـ g of x لما x تقول لصفر من

314
00:42:28,130 --> 00:42:38,750
اليمين does not exist it suffices to

315
00:42:38,750 --> 00:42:42,710
show يكفي

316
00:42:42,710 --> 00:42:52,650
اثبات ان ال function g of x is not bounded on

317
00:42:56,170 --> 00:43:05,850
on a right .. on a right neighborhood

318
00:43:05,850 --> 00:43:13,670
.. on a right neighborhood اللي هو سفر دلتا of

319
00:43:13,670 --> 00:43:15,230
zero

320
00:43:25,230 --> 00:43:28,670
أخذنا قبل ذلك نظرية بتقول إيه ده عشان أثبت أنه ال

321
00:43:28,670 --> 00:43:35,710
limit ل function عن نقطة معينة مش موجودة يكفي أثبت

322
00:43:35,710 --> 00:43:43,910
أنه أنه الدالة unbounded عند أي unbounded

323
00:43:43,910 --> 00:43:48,650
عند أي neighborhood

324
00:43:48,650 --> 00:43:56,210
للنقطة الآن بالنسبة لل one-sided limitعشان أقول إن

325
00:43:56,210 --> 00:44:02,230
ال limit ل function زي هذه g of x لما x تقول إلى

326
00:44:02,230 --> 00:44:09,430
سفر من اليمين does not exist فهي

327
00:44:09,430 --> 00:44:16,390
السفر و ال x تقول لسفر من اليمين فبدل ما أخد delta

328
00:44:16,390 --> 00:44:20,290
neighborhood للسفر

329
00:44:20,290 --> 00:44:29,960
فباخد right neighborhoodright neighborhood للسفر

330
00:44:29,960 --> 00:44:35,960
فيكفي ان ال function هذه ماهياش bounded عن كل

331
00:44:35,960 --> 00:44:41,780
right neighborhood يعني جوار من اليمين للسفر لان

332
00:44:41,780 --> 00:44:46,000
انا بتعامل مع نهاية من اليمين لكن لما كنت اتعامل

333
00:44:46,000 --> 00:44:51,240
مع نهاية من الطرفين فكنت ااخد delta neighborhood

334
00:44:51,240 --> 00:44:56,840
كاملفلو أثبتت إن الـ function هذه ماهياش bounded

335
00:44:56,840 --> 00:45:01,280
عند أي right neighborhood للصفر على الصورة هذه

336
00:45:01,280 --> 00:45:06,220
فحسب نظرية سابقة الدالة مش ممكن يكون لها limit من

337
00:45:06,220 --> 00:45:09,960
اليمين عند الصفر لأن لو كان لها limit عند الصفر من

338
00:45:09,960 --> 00:45:15,820
اليمين فلازم تكون bounded على some neighborhood ..

339
00:45:15,820 --> 00:45:25,650
right neighborhood للصفرOkay تمام و لإثبات ذلك to

340
00:45:25,650 --> 00:45:29,270
see

341
00:45:29,270 --> 00:45:39,290
this we use ال inequality التالية وهي T أكبر من

342
00:45:39,290 --> 00:45:47,010
سفر دايما أصغر من E أس T for all T أكبر من سفر هذه

343
00:45:47,010 --> 00:45:54,200
المتباينةهذه المتباينة موجودة

344
00:45:54,200 --> 00:46:01,780
برهانة C Chapter 8 برهانة

345
00:46:01,780 --> 00:46:07,600
موجودة في Chapter 8 اللي هتاخدوه لاحقا فهنستخدم

346
00:46:07,600 --> 00:46:11,460
اللي هو المتباينة هذه في اثبات ان ال function

347
00:46:11,460 --> 00:46:17,420
ماهياش bounded على neighborhood او right

348
00:46:17,420 --> 00:46:25,130
neighborhood للصفرOkay عشان الوجد خلص بنوقف و

349
00:46:25,130 --> 00:46:29,590
بناخد خمس دقايق break و بعدين بنكمل ان شاء الله

350
00:46:29,590 --> 00:46:35,550
البرهانة فحنوقف و نكمل في الجزء التالي من المحاضرة