المرة اللى فاتت او في المحاضرة للصادفة عرفنا ال
cluster point و أخدنا أمثلة كيف نجيب ال cluster
points لمجموعة معينة و وجفنا عند المثال التالت
المثال التالت show that
zero is the only cluster
point of
the set A7
كل واحد على N حيث و N that's a number دكتور هذا
مثال تاني أخدناها ده؟ لأ لأ اللي أخدناه اللي هو ال
.. هناخدها هناخدها هناخدها ف .. هنا هنا .. هنا
هنا اتنين
إن Zero is a cluster point تلت
Delta أكبر من السفل Be given by Archimedean
property
يوجد capital N ينتمي إلى N بحيث انه واحد على N
أصغر من نفسه hence
الدلتا نيبر هو zero لو
أخدت xN هو واحد على ن فهذا ينتمي إلى
المجموعة Aوانت ليه لا ال delta number هون ل ..
او ال x هذا المفروض delta ال delta number هو ده
اسمه
أسوأ؟ إذن
هذا لا أي سؤال خالد
الدلتا نبقى رهود للسفر اللي هي الفترة المفتوحة من
سالب دلتا إلى دلتا
فهي عندي واحد على N أصغر من دلتا وطبعا أكبر من سفر
فواحد على أن ينتمي للـDelta neighborhood للسفر
وواحد على أن ينتمي للمجموعة A وبالتالي يجب أن نكون
أثبتنا أنه لأي Delta أكبر من السفر أو أي Delta
neighborhood للسفر يتقاطع مع A في نقطة مختلفة عن
السفر ال
X انها جلدها تساوي سفرلاتسار السفر وبالتالي إذا
هذا بثبت السفر is a cluster point of
الست إذا هذا بثبت ال claim الآن ليه مايكون فيه
cluster points أخرى؟
إذا كانت X لا تساوي سفر، فهي ليست مجموعة من A
فحاسيبكم
أنتم تكتبوا البرهان
هي سفر وهي واحد وهي نص وهي تلت وهي واحد على N وهي
واحد على N زائد واحد وهكذا
فهنا تاندي two cases case one ان x تنتمي الى a و
الحلقة التانية case two ان x لا تنتمي الى a ال x
دي مستويش السفر احنا already اثبتنا ان السفر
cluster pointطيب افرض X مستويش سفر إذا X ممكن
تساوي واحد أو نص أو تلت أو واحد على N for some N
صح؟ ممكن ماتساويش ولا عنصر ممكن ماتكونش تم تمل أيه
فلو كانت ال X واحد من العناصر هدول واحد من العناصر
الست فبقدر ألاقي أن يوجد بقدر ألاقي delta
neighborhood للعنصر مثلا التلت بقدر ألاقي delta
neighborhood
الأنصر اللي بعد هذا هيكون ربع فباخد المسافة الأصغر
بين تلت ربع تلت و نص و باخد نص المسافة ديلتا فبصير
عند هنا ديلتا نبرهود للتلت و بتقاطعش مع المجموعة A
بالمرة أو في نقطة مختلفة عن التلتوبالتالي لو كانت
ال X موجودة في A زي التلت مثلا فال X ليست cluster
point الآن ال X لا تنتمي ل أيه؟ ال X لا تنتمي ل
أيه؟ معناته هي عنصر هنا زي هذا X أزرق من سفر أو X
ممكن تكون جاية بين عنصرين فباخد المسافة بين X و
أقرب عنصر إلها من اليمين و أقرب عنصر إلها من
اليسارو باخد نص المسافة ديلتا او ابسلان و بكوّن
دلتا نبرود ل X هذا دلتا نبرود مش هيتقاطع مع ال 6 و
بالتالي النقطة هذه عمرها ما بتكون cluster point
ممكن كمان النقطة هذه ال X مش موجودة فيها ممكن تكون
على شمال السفر او على يمين الواحدفلو كانت على يمين
الواحد خد نص المسافة هي دلتا إذا هي دلتا نبقى
روحود ل X مابتخطعش معاه بالمرة بالتالي X مابت
cluster هنا لو كانت X أصغر من سفر فخد نص المسافة
بين X و 0 على إنها دلتاوبالتالي كونة delta
neighborhood ل X هذا delta neighborhood بتقاطعش مع
A بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا في كل
الأحوال X ليست cluster point سواء كانت في A أو مش
موجودة إذا كانت X مختلفة عن الصفر فليست cluster
point okay إذا zero is the only نقطة الوحيدةمافيش
نقطة غيرها بتكون cluster point بالمثل ممكن نثبت
مثال أخر f
i بساوي ال
unit technological interval and
IQ بساوي I تقاطع ال rational numbers then
every x تنهي ل I is a cluster point a cluster
point of IQ
إذا I هي الفترة المغلقة من صفر لواحد IQ هي كل
الأعداد المسبية الموجودة في الفترة المغلقة من صفر
لواحد ممكن إثبات إن كل X في الفترة المغلقة I هي
cluster point للمجموعة IQ وذلك باستخدام ال density
theoremproof use
the density theorem فحاسيبكم
انتوا تكتبوا البرهان خدي أي x في I واخدتي انه أي
أعملكم برهان هكذا بدون أن أكتب أي شيء هذه الفترة I
من صفر إلى واحد هذه الفترة المغلقة من ملفة أن كل X
كل X فيها هو cluster point لمجموعة الأعداد المسمية
في I ففي عندي تلت حالات MX هتكون أكبر من صفر أصغر
من واحد يعني نقطة داخليها ليست نقطة طرفو طبعا هي
لو أخدت أي delta عدد موجب و كوّنت delta
neighborhood لل X فال delta neighborhood هذا
هيتقاطع مع المجموعة A IQ حسب نظرية الكثافة أي فترة
مفتوحة زي هذه تحتوي rational number صح؟وبالتالي اي
delta neighborhood ل ال X هيتقاطع مع المجموعة IQ
في نقطة R مختلفة عن ال X حسب نظرية الكثارة
وبالتالي حسب التعريف اذا ال X هذه اللي هي نقطة
داخلية is a cluster point لمن؟
للمجموعة IQلو كانت ال .. ال .. ال x هي نقطة الطرف
الحلقة التانية لما x تكون هي سفر لما x تكون بساوي
سفر وخدي أي delta neighborhood لأن هاي سالب delta
موجب delta فالفترة
هذه تتقطع يعني
هاي delta هادي delta و هادي نقطة سفرالان الفترة
هذه بقدر الاقي فيها rational number حسب مباريك
الكفافة موجود بين سفر و دلتا و ال rational number
هذا موجود في ال unit closed intervalوبالتالي كل
delta neighborhood للصفر يتقاطع
مع المجموع IQ في نقطة R مختلفة عن الصفر وبالتالي
الصفر هو cluster point بالمثل ممكن تباتل بالواحد
cluster point لأن اي delta neighborhood للواحد
هيحتوي حسب نظرية الكثافة لو هذا كان واحد ثالث دلتا
في النقطة هذه وهذه واحد فبنقدر نلاقي Rrational
number حسب مجرد كدفة بين واحد سالب دلتا وواحد
وبالتالي ال delta neighborhood هذا المركزه واحد و
نصف خطره دلتا هيتقاطع مع ال IQ في نقطة مختلفة عن
الواحد وبالتالي واحد cluster point الان لان هسيبكم
تكتبوا البرهان بالتفصيل
Okay إذاً هيك يعني عندنا عدة أمثلة على ال cluster
points نرجع لمفهوم ال limit ل ال function اللي هو
كان عنوان ال section تبعنا اذا
هنا definition
دع الـ f يكون مفعولًا من a إلى r مفعولًا
في أين a مجزرة من r و c مجزرة من الـ
set A
المعنى number L هو مقال
للمعنى
f at
xبس you see إذا تحقق الشرط التالي for any epsilon
أكبر من سفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجد
بحيث أنه لكل x ينتمي إلى aو المسافة بين .. و ال X
هذا يختلف عن ال C و المسافة بينها و بين ال C أصغر
من Delta لازم هذا يضمن أن absolute F of X minus L
أصغر من Delta إذن هذا شرط .. هذا شرط أو بسميهأنا
بسميه ابسلون دلتا definition ابسلون دلتا
definition of limit لل
limit of a functionالـ Limit لـ function f of x
بالساوي أو L هي عبارة عن Limit لـ function f of x
and x بالساوي C إذا لو أعطتوني أي إبسلون عدد موجب
لازم أنا أرد عليها Delta عدد موجب آخر يعتمد على
إبسلون بحيث أنه لكل X في المجموعة A اللي هو ال
domain تبع ال functionو X هذه مختلفة لا تساوي C
يعني المتباين هذه معناها X لا تساوي Cإذاً لكل x في
a مختلفة عن الـc والمسافة بينها وبين الـc أصغر من
دلتا لازم تطلع المسافة بين f of x و L أصغر من
إبسلون هذا الكلام اتحقق لكل إبسلون أكبر من الصفر
فبنقول إن العدد L is a limit of the function f عند
النقطة c
من هذا التعريف بينتج على طول اه طيب in this case
in this case we
say انه if converges if convergesto the number L
at X بساوي C and we write ونكتب الحالة هذه limit ل
F of X لما X تقول إلى C بساوي L أو ممكن نكتب limit
F as X tends to C بساوي L أو ممكن نكتب
أو ممكن نكتب f of x tends to L as x tends to c كل
هدول معناهم أن العدد L limit لل function f and x
سوى c
ف limit f of x as x tends to c does not exist،
يعني مافيش عدد L زي هذا، we say ان ال function f
diverges، diverges at x less than c
الان نستطيع ان نثبت ان ال limit لل function هذه
النقطة لو كانت موجودة لو كان ال function لها limit
فlimit هذه لازم تكون unique ال
function if from A to R can have only
والبرهان شبه البرهان الـ uniqueness of the limit
of a sequence we use epsilon over two argument
استنتاج epsilon على اتنين او برهان epsilon على
اتنين هنشوف مع بعض هاي برهان تروح left epsilon
اكبر
من السفر ب given since
طب
خليني الأوللبرهانة النظرية هذه بدي أفرض أنه فيه
two limits assume أن ال limit ل f of x as x tends
to c بساوي عدد الواحد and limit أيضا ل f of x as x
tends to c بساوي عدد تاني الاتنينوعشان أثبت
النظرية لازم أثبت الإدعاء التالي إن ال1 بساوي ال4
فلبرهان ذلك let epsilon أكبر من السفر be given
since مما أننا فرضين أن ال limitلأف as x tends to
c بالساوي الواحد then by definition by epsilon
delta definition of limit there exists delta one
depends on epsilon positive numberبحيث أنه لو كان
x ينتمي إلى a و absolute x minus c أصغر من delta
one أكبر من سفر فهذا بيقدي أن absolute f of x
minus l one أصغر من epsilon عتنين عشان الاستنتاج
هذا واحد
Also ايضا احنا
فرضين من ال limit لل function f of x as x tends to
c بساوي عدد تاني ال اتنين then
for the same for same epsilon اكبر من ستة نفس ال
epsilon يعنيلنفس الـ Epsilon بما أن limit ل F of X
and X بساوية C بساوية L2 نجد Delta 2 تعتمد على
Epsilon على 2 وبالتالي على Epsilon عدد موجد بحيث
أنه لو كان X ينتمي إلى A و Absolute X minus C أصغر
من Delta 2 أكبر من 0فهذا أكيد بيقدّي أنه absolute
f of x minus L2 أصغر من epsilon على 2 ال sum ال
implication هي D2 الآن بناخد .. بنعرف delta ل L
Delta بتساوي ال minimum ل delta واحد و delta اتنين
طبعا هذا بيطلع عدد
موجب لإن دلتا واحد ودلتا اتنين عدد موجب وكذلك دلتا
دي تعتمد على ابسلون لإن دلتا واحد ودلتا اتنين
يعتمدوا على ابسلون then
by
واحد and اتنيننحصل على التالي، لو كان x ينتقل إلى
a و absolute x minus c أصغر من delta أكبر من سفر
فهذا هيقدر أن absolute L1 minus L2بساوي absolute
L1 minus F of X زائد F of X minus L2 إذا انطلعت
أنا F of X ورجعتها فكأني ما جيرتش حاجة وهذا بيطلع
باستخدام ال triangle inequalityبالترائنجل الـ
equality لـ absolute value لمجموعة حاجتين أصغر من
لو يساوي absolute L1 minus F of X ذات absolute F
of X minus L2 الآن
باستخدام ال implication واحد، اللحظة أن الـ delta
هي ال minimum لـ delta واحد و delta اتنينوبالتالي
الـ delta هذه أصغر من delta واحد فحسب ال
implication واحد لما يكون x ينتمي ل a و absolute x
minus c أصغر من delta واحد فانا بقدم ال absolute
value هذه أصغر من y على 2 كذلك باستخدام ال
implication 2أنا عندي الـ delta هذه هي الـ minimum
لـ delta 1 و delta 2 وبالتالي أصغر من delta 2 فبال
implication 2 بتقول لو كان x ينتمي ل a و absolute
x minus c أصغر من delta 2 فال absolute value ل f
of x minus l2 less than epsilon over 2 هذا بيساوي
epsilonإذا أنا طلع عندي أثبتت أن absolute L1 minus
L2 أكبر من أبسلون طبعا أكيد أكبر من أو ساوى سفر و
الأن هذا صحيح لكل أبسلون أكبر من السفر لأن one
hand هنا ال epsilon was arbitrary givenالإبسلون
was arbitrarily يعني نقول since this holds for
every إبسلون في لمّة أخدناها في بداية ال course
بتقول لو في عندي عدد حفيفي a أكبر من أو ساوي سفر و
أصغر من إبسلون فإن إبسلون أكبر من السفر فهذا بيقدي
أن a بيساوي سفرأخد ايه هنا الـ absolute value ل L1
minus L2 فحسب النمة هذه هيطلع عندى هذا بقدر اللي
قدر انه absolute L1 minus L2 بالساوية سفر وبالتالي
بطلع عندى L1 بساوية L2 وهو المطلوبإذا أنا فرقت إن
الـ function إلها two limits عن نقطة فطلع الـ two
limits متساوياتين وبالتالي لو كانت الـ function
إلها limit عن نقطة فال limit تطلع وحيدة unique،
بقى ده؟ في أي سؤال أو أي سؤال على البرهانة؟
ناخد ملاحظة هنا الـ
epsilon delta definition of limit of a function f
from a to r
the inequality المتباينة
اللي هي absolute x minus c أكبر من سفر أصغر من
دولتان means حاجتين الجزء هذا معناه أن absolute x
minus c لا يساوى سفروبالتالي X لا يساوي C إذاً هذا
يعني أن X لا تساوي C المتباينة
التانية اللي هي absolute X minus C أصغر من Delta
هذه بتكافئ أن X minus C أصغر من Delta أكبر من ثالث
Delta صح؟وهذه بتكافئ أن X أكبر من C Negative Delta
أصغر من C زائد Delta وهذا معناه أن X تنتمي لـ
Delta Neverhood لـ C اللي هو الفترة اللي اتروها من
C Minus Delta ل C Plus Delta
إذا المتباينة دي معناها x لا تساوي c and x تنتمي
لل delta اللي برجود لل c اللي هو الفترة المفتوحة
من c سالم negative delta إلى c plus delta كذلك
المتباينة also
الإي نكواليتي المتباينة
اللي هي absolute f of x minus L أصغر من إبسلون
means
لو جينا الحل المتباينة هذه في f of x
فهي عندي f of x minus L أصغر من إبسلون أكبر من
سالم إبسلون حل المتباينة هذه في f of x اجمع L على
كل أطراف فبطلع f of x أصغر من L زاد إبسلون أكبر من
L ميجا تل إبسلون فهذا معناه أن f of xbelongs to
the epsilon neighborhood للعدد L اللي هو الفترة
المفتوحة from L negative epsilon إلى L plus
epsilon مظبوط؟ صحيح؟ وبالتالي إن هذا بيقود إلى
المتيجة التالية
دع الـ F تعمل من A إلى R وC مقاومة مقاومة من A
ثم التقالير ممتازة التقالير ممتازة
Limit f of x as x tends to c بساوية عدد delta اللي
هو تعريف epsilon delta هذا معناه أنه لكل epsilon
أكبر من السفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد
موجد
Such that لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c
أصغر من delta أكبر من ستر فهذا لازم يتضمن أن
absolute f of x minus L أصغر من أصغر يعني معنى أخر
L هي limit لل function f of x هو بتالي تعريف
epsilon delta متحقفالان هذا تعريف epsilon دلتا
بكاذب ال neverhood definition ال
neverhood definition of limit وهو
ان for every
for every epsilon
neighborhood V
epsilon of L there exists delta neighborhood V
delta of C بحيث
إن لو كانت X تنتمي إلى A ومختلفة عن الـC وموجودة
أيضًا في الـDelta نبرهود لـC فلازم هذا يقدر إن
صورة X لازم تنتمي للـY نبرهود لـA
و هذا بالظبط عملنا اخر remark، prove it
follows from
above remark write
it down
حاولوا تكتبوا البرهان، البرهان فسرناها هنا
واضحناها من ال remark خلينا نشوف خلينا
نرسم رسمها في المحور Xنحو الـ y وهي ال origin وخفض
انه يوجد function مثل هذه فهذا بالحقيقة function y
بسهولة f of x وهي c نقطة في المجال تبع الدالة او
حتى لو ماكنتش موجودة c is the cluster point وهي
هذا عدد حقيقي
فده عدد حقيقي فمعنى
ان limit لل F and X بالساوية C بالساوية L معناه
لأي أبسلون أكبر من السفر أي لأي أبسلون أكبر من
السفر ممكن أناأكول epsilon neighborhood لأي
epsilon أكبر من 0 يعني بقدر أكوّنإبسلون نبرهود
بإبسلون
لإل فلو كان هذا given given إبسلون يعني given
إبسلون نبرهود لإل بقدر أجيل
أرد عليه
الدلتا دلتا neighborhood هذا عبارة عن delta
neighborhood ل C إذا انا أخدت اعطتوني إبسلون بقدر
أكون إبسلون neighborhood ل L فبقدر أرد عليه ال
delta neighborhood ل C في الفترة المفتوحة هذه
بالتالي، إذا كان هناك مجتمع إبسلن لـL، فهناك مجتمع
Delta لـC أو هناك مجتمع Delta عدد موجب بحيث إن لو
كانت الـX موجودة في A، و المتباين هذا تتحقق، طب X
موجودة في A، و المتباين هذا تتحقق، معناته X موجودة
في A و مختلفة عن الـC، و X موجودة في الـDelta
neighborhoodهذه معناته X تنتمي لـA ومختلفة عن الـC
و X موجودة في الـDelta نبرهود هذا الشرط هذا بيقدّي
أن المتباين هذا تتحقق المتباين هذا تتحقق معناه أن
ال F of X صورة X تنتمي للـY نبرهود لـB فهو واضح أن
هذا التعريف بيقدّي للتعريف هذا باستخدام تفسير ال
remarkو العكس طبعا صحيح .. صحيح okay تمام؟ اذا هذا
بنسميه ال .. هذا التعريفبنسمي الـ neighborhood
definition للـ limit of a function والتعريف دا أو
هذا بنسمي الـ epsilon delta definition
of the limit of a function تمام؟ وهذا طبعا زي ال
epsilon capital N definition للlimit of a sequence
وبعد هي فكرين أعرفنا ال neighborhood definition
للlimit of a sequenceهذا يعني يكافئ الكلام اللي
هنا إذا الأن في عندي تعريفين لل limit of a
function at a point أو at a cluster point الدارش
التعريف اللي هنستخدمه أكتر هو epsilon delta
definition of the limit أكتر من ال neighborhood
definition لكن أنا ممنعش أن أنا في أوقات معينة
أستخدم ال neighborhood definition طيب ناخد بعض
الأمثلةعلى كيفية إثبات إن الـ limit لـ certain
function is a certain number by
using epsilon delta definition نشوف مع بعض، وهذا
يعني بوازي الكلام اللي عملناه بالنسبة لل limits of
sequencesفإذا هنا في الامثلة في كل الامثلة التالية
عايزين نستخدم ال definition of أو epsilon delta
definition أو ال neighborhood definition لل limit
of a function to prove إنه limit عن نقطة محددة
بساوي عدد محدد فمثلا إن نثبت إنه limit لدالة ثابت
B لما X تقولها C بساوي B
فلت هنا عندي فان الـ function تبعتي f of x بالساوي
ثابت بي لكل x تنتمي إلى R فان الـ function تبعتي
ده اللي ثابتة وبالتالي اذا هنا لثبات ان ال limit
تبعتها بالساوي بي
أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر
من السفر
تعالى نشوف ال implication ال delta هذه works ولا
لأ فانا عندي ان لو كانت ال X تنتمي ل A طبعا ال A
مجال الدالة هنا هو كل العدالة الحقيقية و absolute
X minus C أكبر من 0 أصغر من Deltaهل هذا بيقدر
لأبسليوت f of x minus b أصغر من إبسلون بالتأكيد
أنا عندي f of x بالساوي بيه سالب ال limit اللي هي
بيه فهذا بيطلع أبسليوت السفر بيطلع سفر والسفر هذا
أصغر من أي إبسلون موجةإذا حصلت تعريف Epsilon Delta
يعني أثبتت أنه لأي Epsilon أي Delta موجبة works
تعمل تعطيل ال implication وبالتالي by definition
limit F of X as X tends to C بساوي D طيب
ناخد كمان مثال لو أخدت ال identity function
بنثبت ان limit ده identity function لما x تقول الى
اي عدد حقيقى c بساوي c نستخدم
تعريف epsilon delta let epsilon أكبر من السفر be
given المرة هذه بدي ارد على ال epsilon هذه ال
delta تعتمد عليها هختار ال deltaبساول ابسلون
بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتهي عبارة عن ال
identity function لكل X المجال تبعها كل الأعداد
الحقيقية فلو كانت X تنتمي ل A اللي هي R و Absolute
X minus C أكبر من Zero أصغر من Delta فخلينا نشوف
هل بيطلع Absolute F of X minus ال L اللي هو C أصغر
من Epsilon هنشوف
طيب نعوض عن F of X بالساوي X minus C طب أنا عند ال
X هذه موجودة في R و المسافة بينها و مختلفة عن ال C
و المسافة بينهم أصغر من Delta اللي أنا باخدها
بالساوي Y إذا ال absolute X minus C من هنا أصغر من
Delta اللي هي Yوبالتالي درهين أثبتت أنه لأي إبسلون
يوجد دلتا اللي هي إبسلون نفسها بحيث لكل x في a إذا
كان absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من دلتا
هذا بيقدر أن absolute f of x minus l أصغر من
إبسلون since إبسلون أكبر من الصفر was arbitrary
we get from the definition هذا الكلام صحيح لكل
epsilon وبالتالي by definition بطلع عندي limit ال
function f of x اللي هي ال identity function لما x
تقوى ل c بساوي c وهو المطلوب تمام okay إذا المرة
الجايةهنثبت ان limited ده لتربعية لما x او ل c
بساوي c تربية وهذا موجود طبعا في الكتاب وفي كمان
أمثلة أخرى فارجو أنكم تقرؤوا الأمثلة هذه من الكتاب
و تحضروها للمحاضرة الجايةوتشوفوا كيف تم استخدام
تعريف epsilon delta في اثبات ان ال limit لدالة زهر
الدالة التربعية بساوي C تربية عند اي نقطة C okay
تمام؟ في اي سؤال او افسار؟ اذا نكتفي بهذا القدر
وان شاء الله اللي انا تكمله في المحاضرة القادمة