بسم الله الرحمن الرحيم السلام عليكم ورحمة الله
وبركاته اليوم هنكمل الحسابات ال slotted crank
mechanism في المحاضرتين السابقتين عملنا حسبنا ال
velocity و ال acceleration و ال position لل piston
حسبنا ال .. ال .. anger velocity و anger
acceleration لل connecting rod و بعدين عملنا force
analysis حسبنا ال piston effort حكينا ال piston
effort هو net force along the line of stroke due
to .. حكينا ال F P بيستوى ال F L minus plus F I
minus ال friction force في حالة horizontal engine
اليوم هنكمل اول شي هنتعرف على فكرة جديدة هي ال
compound pendulum انا عندي هنا مبين عندي rigid
body معلق من نقطة a هذا
مركز ثقة لل rigid bodymarket psychology والمسافة
من نقطة التعليق o لmarket psychology هي h الان
عملنا small displacement small angular
displacement لل rigid body بمقدار
زاوية theta طبعا في الوزن مؤثر لتحت وزن ال rigid
body
اللي هو الوزن M في G الوزن ممكن احاوله احلله لو
مركبة تجاهي المركب في اتجاه ال O G اللي هي هتكون M
G Cos
θ المركبة عمودية
على ال O G اللي هي M G
sine theta ال
KG هو ال rates of gyration about G KG ال rates of
gyration حوالين ال G لو أخدت ال moment حوالين O
summation حوالين
O هز يكون سوء I Oفي Alpha طبعا
ال Mg cos θ بتعملش moment ال Mg هيكون دي معناته Mg
sin θ بسوء ال I O ال I O هتكون ال
moment of inertia حوالين ال G IG
زاد ال mass في H تربيع وال I G اللي هي M هبقى قرا
عن ال
mass في ال rates of gyration KG تربيع زاد M في H
تربيع يعني هتكون M في KG تربيع زاد H تربيع يعني ال
M G sin θ هتكون ال I O اللي هي Mم في KG تربيه زاد
H تربيه في الفة for small for small angle
displacement for small for small theta يكون
دي sign theta تقريبا بتساوي theta يعني ممكن احكي
انا MG theta
بتساوي M في KG تربية زاد H تربية في Alpha يعني ال
M بتروح مع ال M يعني
ثتة على Alpha هالسيرة دي
الثيتا على الفا هتكون
سوى كي جي تربيه زاد اتش تربيه على جي الزمن
الدوري لل oscillation رايح جاي هصيرله periodic
time
هيكون يستوى اللي هو اتنين باى الجزر التربيعى لثيتا
على الفا
يعني هيكون ازاوية TP ازاوية اتنين by الجزر
التربيعي θ على الف ل KG تربيع زاد H تربيع على G
الآن يعني ممكن ألخص الموضوع ببساطة بحكي إذا عندي
جسم إذا عندي جسمشكله ثلاثة شكله مكلقع شكله مكلقع
يعني أجيب صخرة مثلا و عايز أعرف ال moment of
inertia بتاعتها و لا أبسط من هيك بعمل مثلا ثقب في
الجسم و بعلكه بحط مصمار هنا و بعدين بعمل بحرك بلفه
بزاوية theta و بسيبهاش to oscillate لأن في عندى
oscillationو بحسب اللي بحسب مثلا بعدي مثلا عشرة او
عشرة هو عشرة oscillation بشوف أكتر عشرة
oscillation أكتر ماخد وقت بقسم على عشرة بحسب الزمن
الدوري حسبت الزمن الدوري و أنا عارف G عارف G وعارف
H عارف H عارف H بحسب Hال KG يعني بحسب الزمن الدوري
بحسب ال K ال KG حسبة ال KG ال IG بيستوي M في KG
تربيع يعني أحد أحد الطرق لحساب ال rates of
gyration أو حساب ال moment of inertia ل rigid body
حوالين مركز ثقاله يعني حكينا الزمن الدوري اللي هو
periodic time بيساوي اتنين بقى جزء تربيه على ك ج
تربيه و زد ه تربيه على ج في ه او
ج هد في ه طيب
الان
لو اخدت بندول عادي اخدت بندول بندول اللي احنا
بنعرفه
هذه حبل و في كتلة هنا وهذه
الزاوية ثيتا هيكون البدرة اللي عندى مج مج
مج مج مج مج مج مج مج مج مج مجالـ Torque حوالين O
الـ Torque هيكون سواء MG في L هذا طوله L Sine
Theta بسوء I Oفى alpha for small theta حسينا دى
MGL فى theta بالساوية ال I O هتكون M L square فى
alpha يعني ال theta على الفا بتساوي
هذا الـ L مع L و M مع M هيكون L على G و الزمن
الدوري الـ Tv هيكون 2 Pi الجزر التربيعي لـ Theta
على Alpha يعني هتكون الـ Tv لـ لـ Simple pendulum
هتكون 2 Pi الجزر التربيعي لل L على
G خلّين نقارن عند هذا for simple pendulum for
simple pendulum ال T P لل symbol pendulum هتكون
تستوى اتنين by الجزر التربيعي ل L L
على G لاحظوا هتلاحظوا القاتل هذا
تقريبا ال ال capital هتكون سوى كي جي تربية زاد اتش
تربية على اتش
معناته ال equivalent length of a simple pendulum
which gives the same frequency as compound
pendulum لكون ال length هتكون أقل بالساوية كيجي
تربيه زي H تربيه على H يعني كيجي تربيه على H زائد
H
طيب لان هنشوف كيف نوجد equivalent rigid .. كيف
ممكن أستبدل .. أستبدل rigid body ب two masses بحيث
ال effect بتاع ال two masses يكون نفس ال effect لل
.. لل .. لل rigid body احنا حكيها to determine
motion of a rigid body it is convenient to replace
the rigid body by two masses placed at fixed
distance apart such that أنا ممكن أستبدل جسم ..
جسمأستبدله ب two masses بحيث
يكون ال sum of the two masses بالسواء ال total
mass لل rigid body و ال center of gravity لل two
masses يتطابق مع ال center of gravity لل rigid
body و ال sum of mass متفنرشة لل two masses
بالسواء ال mass متفنرشة لل rigid body على نحو
التالي أنا عندي هذا الجسم
هذا الوضع كتلة M هذا
مركز تيكولوجي و
كتلة H M بدي
أستبدل الاتنين مجموعات واحدة مجموعة M
واحدةone mass at B كتلتها M اتنين المسافة بين M و
M واحد الواحد وهين الاتنين والمسافة الكلية بين ال
two masses ال capital الان
اللي سويته انا هي عندي rigid body حكيت بدي احط
مكافئلهالـ rigid body ال mass بتاعته M بدي احطله
مكافئله two masses M1 و M2 بحيث ان يكون M1 زاد M2
بالساوية M و مركز ثقل M1 و M2 هو نفس مركز ثقل ال
mass اللي هو G و ال mass متفنرشة ل M1 و M2 حوالين
G هو نفس ال mass متفنرشة لل rigid body حوالين G
يعني هيكون عنده اول شي ال sum of the two masses M1
زاد M2 بالساوية M هي واحدة بعدين moment حوالين جيه
M1 L1 بالساوية M2 M2 L2 المعنية M2 بالساوية M1 L1
على M2 عوض في هذه المقال M1زاد M2 اللي هو M1 ال L1
على M2 اللي هيبقى عن إيه؟ اللي هيبقى عن M minus M1
بساوي M لو أخدت M1 عامل مشترك بيصير واحد زاد L1
زاد
L1على M minus M واحد بالساوي M خدنا هنا M minus M
واحد طيب
الآن هعمل Simplification خاصة المعادلة في الآخر ان
M واحد بالساوي
L اتنين على
على ال واحد زاد ال اتنين في M و ال M اتنين هتكون
سوى ال واحد في M على ال واحد زاد ال اتنين ليه هذه
العلاقات؟ هتطلع عنده M واحد بيسوى ال اتنين في M
على ال واحد زاد ال اتنين و M اتنين بيسوى ال واحد
في M على ال واحد زاد ال اتنين اذا حاولتش بهم تطلع
فعلا M واحد زاد M اتنين بيسوى M
الان ال total moment of inertia حوالين حوالين
نقطة G لتومة أساسها يكون M1 L1 تربيع زاد M2 L2
تربيع بالساوية M KG تربيع
لان M1 اللي هي عبارة عن L2 M على L1 زاد L2 زاد
طبعا في L1 تربيع زاد L2
زاد L1 على L1 زاد L2في M L2 تربيع بيسمو M KG تربيع
نختصر M من الطرفين و ناخد L1
L2
عامل مشترك بيصفي عنده و على L1 زاد L2 عندهين L2
بيصير عندهين L1زاد L2 بيساوي KG تربيع يعني هيروح
هذا مع هذا بصف عنده L1 L2 بيساوي KG تربيع معناته
for the two mass system M1 M2 to be dynamically
equivalent to the total mass M of the rigid body
لازم يكون عندهمجموعة Thomas M1 زي M2 بيستوي M و ال
moment of inertia ل Thomas M1 M2 حوالي G هي نفسها
ال moment of inertia لل total mass حوالي G و ال
center of gravity ل Thomas M1 M2 هو نفسه G الآن
التلت شروط هتعطينا تلت معدلة تانية هتطلع عند M1
بيستوي L2 في M على L1 زي L2 و M2 بيستوي L1 M على
L1 زي L2 و L1 L2 تطلع عندنا بيستوي KG تربيع
طيب
الان graphically عشان أجد ال equivalent mass
system هاي ال mass الكلية M هاي المركز تقل G I
place a mass at a distance L واحد هذه M واحد و L
واحد من ال mass G
الان بعمل خط عمودي لان عندي هذه خط الأفقه بعمل
عندي ال mouse بعمل خط عمودي على الخط الأفقه طوله
طول الخط هذا بستوي KG بعدين بوصل M1 مع نقطة C
بعدين بعمل عمودي على ACعمودي لحد ما اتقطع مع الخط
الأفقي بيعطيني ال location of M2 هذي بتكون L2 طبعا
L1 في L2 بتساوي KG تربيع يعني
انا ممكن اثبتها ببساطة هذي انا عندى
كيجي تربيع بتساوي
اللي هو AC تربيع ناقص
الواحد تربيع أو
بتساوي برضه BC تربيع minus الاتنين تربيع
يعني الواحد تربية يعني بعمل simplification
للمعادلة هذه هيطلع في الآخران دي كاجي تربية
بالسواء الواحد في الاتنين يعني as a homework prove
prove هذه علاقة prove it شغل حسب مطلتات
معناته is I can replace a rigid body by a two mass
system that is dynamically equivalent to the rigid
body عشان يكون dynamically equivalent لازم تلاتة
conditions تتحقق لازم يكون مجموع ال two masses M1
و M2 بستوى ال total mass M بعدين مركز ثقة لل two
masses حوالي ال G
هيكون النقطة G يعني هكون M1 L1 بيستوى M2 L2 رقم
تلاتة ال .. ال .. ال .. ال .. ال mass motor
inertia ل M1 و M2 مجموحهم بيستوى نفس ال mass motor
inertia ل ال .. للكتلة الكلية طبعا تلاتة الشروط
هذي بتترجم للمعادلات هيكون عندي M1 بيستوى L2 في M
على L1 زد L2 و M1 بيساوي M2 بيساوي L1 على L1 زد L2
في M وعند ال condition التانية اللي هي L1 L2
بيساوي KG تربيع ال KG هي ال rates of gyration
about ال G نشوف مثال
a connecting rod of a gasoline engine is three
hundred millimeters long between its center and
the connecting rod المسافة بين مركز A تلت ميت ميلي
متر it has a mass of fifteen kilogram الmass
بتاعته خمس عشر كيلو جرام
الـ mass mode of inertia الـ I حوالين الـ G بيساوي
سبعة تلاف كيلو جرام ملي ميتر تربيع its center of
gravity is at two hundred millimeters from its
small end مركز تقالو G واقع
لبعدمتين ميلي متر من ال small end هذا small end
جهة ال piston ال big end بتكون جهة ال crank طيب
determine dynamical dynamical equivalent to mass
system of the connecting rod if one of the masses
is located at the small end center اوجد ال
dynamical equivalent system اذا حطيت mass حطيت هنا
mass M1
هين يعني الواحد هتكون .. هتكون اللي هي متين ملي
ميتر والأل عبارة عن لسه ما عصبنهاش
الـ الواحد متين ملي متر بده تحسب dynamical ..
determined dynamic equivalent to mass system اذا
حطيت احد ال masses M واحد عند النقطة التانية هتكون
ال mass التانية somewhere هنا مش عارفينها هتكون
عند هنا M اتنين هذا الاتنين وهذا الواحد احنا
عارفين عارفين
إنه الواحد الاتنين بيساوي KG تربيع طيب ال KG تربيع
عبارة عن IG على M يعني هيكون ال IG اللي هي سبعة
تلاف kilogram millimeter
تربيع على خمستاش حيطلع
بالمعناه تحسن عند الواحد اللي هي الواحد اللي هي
متين في ال اتنين بالسوقياجي تربيع اللي هي سبعة
تلاف على خمستاش يعني القل اتنين هتكون السابع
وهيروح السفر طبعا مع السفر هاي سفرينعالخمسة
اربعتاش عالخمسة فيها ايش تلاتة عالاتنين فيها واحد
عالاتنين فيها ايش سبعة انا تقل اتنين تطلع
سبعة على
تلاتة مليمتر تحسبها
تطلع الـ two point تلاتة millimeter
هذا الأقل اتنين طيب ال M واحد ال M واحد هتكون اللي
هي هتكون أقل اتنين في M أقل واحد زاد أقل اتنينيعني
هتكون القل اتنين اللي هي اتنين point تلاتة تلاتة
في الماس خمستاش على الواحد اللي هو امتين زاد اتنين
point تلات تلاتة
بتطلع point واحد سبعة point واحد سبعة تلاتة
kilogram ال M اتنين هتكون ال M ال M minus M واحد
ال
M اللي هي خمستاش ناقص point واحد سبعة تلاتة
هتطلع اربعتاش point تمانية اتنين سبعة معناته
انا ممكن ال connecting rod هذا اللي وزنه سبعميت
كيلو جرام و مركز تقله هنا على بعد متين ملي من مركز
الدائرة هذه استبدله ب two masses one mass at this
end قيمتهاpoint one seven تلاتة kilogram one mass
هنا على بعد اتنين point تلاتة millimeter قيمتها
اربعتاش point تمانية اتنين سبعة kilogram هذا ال
two masses M واحد و M اتنين are dynamically
equivalent to this connecting rod connecting ماشي
شوف
مثال تاني
عند الـ connecting rod تم تعليقه على بعد خمسة و
عشرين مليمتر يعني تم تعليقه من هنا
above the center of the small end and ستمية و
خمسين millimeter above its center of gravity يعني
هذه المسافة هذي H و
هاي ال center of gravity H
بالساوية ستمية
و خمسين millimeter
its mass being سبعة و تلاتين و نص كيلو جرام ال
mass بتاعة ال connecting rod سبعة و تلاتين و نص
كيلو جرام و
ان permitted to oscillate انا انعلقته من هنا و
خلته يتمرجح يمين شمال و ان permitted to oscillate
time period is found to be one point eight seven
second ال periodic time
بالساوية one point eight seven second find
dynamical equivalent system constituting of two
masses one of which is located at the small n
center اوجد dynamical equivalent system مقام من
two masses احد ال masses جاية في ال center هنا
طيب انا عشان اجيب dynamic equivalent .. عشان اجيب
dynamic .. اجيب dynamic equivalent .. اجيب two
mass dynamic equivalent system محتاج اعرف ال
radius of gyration KG ال KG كيف هعرفه هو معطيني ال
predict time predict time عندي TP نرجع المعادلات
هنا ال pendulum predict time TP
بالساوية اتنين باي الجزر
التربيعي ل KG تربيع زاد H تربيع على GH يعني
لو ربعت الطرفين هسأل ال TP تربيع
على اربع بايتربيعبساوي KG تربيع زاد H تربيع على GH
يعني
انا هاكول ان دي TB تربيع في GH على اربع Pi تربيع
بساوي KG تربيعزاد H تربيع معناته KG تربيع حيث هو
TP تربيع GH على أربع بايتربيع minus H تربيع حيث
ساوى ال period of time يعطيني one point eightseven
تربية ال جي اللي هي تسعة point تمانية سفر ستة ال H
معطينيه اللي هي ستمية و خمسين يعني point ستة خمسة
على أربع بايتربية minus point ستة خمسةتربية ومنها
بحسب ال KG تربية يعني انا هاكل عن ده one
point eight seven
يعني هيكون point خمسة ستة
خمسة اتنين ناقص ناقص
point ستة خمسة في point ستة خمسة بتطلع point واحد
point واحد اربع اتنين سبعة هذه كاج تربع
طيب الان ال ال واحد انا هستبدل هذا الجسم بكتلتين
كتلة جاية في المركزين و كتلة مكان تاني هحسبه
معناته ال ال واحد هتكون تستوي ال ال واحد ال
ال واحد هتكون ستمية و خمسين ماينوس خمسة و عشرين
هتكون ستمية و خمسة و عشرينملي متر لأن
ال واحد ال اتنين بيسوى كج تربيع انا
هاكون دي ال ال اتنين هتكون سواء كج تربيع اللي هي
point واحد اربعة اتنين سبعة على ال ال واحد اللي هي
point ستة اتنين خمسة عصبناش ال ال اتنينعلى تقسيم
point six اتنين خمسة هيكون point اتنين اتنين تسعة
متر يعني متين وتسعة عشرين millimeter
يعني انا حاسس ان عندي كتلة هين جاية عندي هين M
واحد هين M اتنين هاد هتكون امتين و خمسة و عشرين
ملي لما بتحسب قيم الكتل ال M واحد بالساول L اتنين
على ال واحد زاد L اتنين في Mالـ L2 هي مائة و تسعة
و عشرين على ستة مائة و خمسة و عشرين زياد مائة و
تسعة و عشرين في الـ M التي هي سبعة و تلاتين و نص
والـ M2 هتكون ساوي M minus M1 الـ M1 هنا حسبنا
مائة و تسعة و عشرين
بتطلع ال M1 عشرة point أو خمسة ستة kilogram يعني
ال M2 هتكون سبعة وتلاتين و نص ناقص عشرة point أو
خمسة ستة بتطلع
عشرة سبعة و تلاتين و نص ناقص عشرة point zero خمسة
ستة تطلع اربع و عشرين سبعة و عشرين point اربع اربع
kilogram معناته
ال rigid body هذا ممكن استبدله this rigid body can
be replaced by two massesone located at this small
center M1 قيمتها 10.056 على بعد 625 من مركز الثقل
625 ميلي another mass M2 قيمتها 27.44 كيلو جرام
على بعد 225 ميلي متر من مركز الثقل هذا ال two mass
system M1 و M2 بيكون dynamical equivalent ل total
mass of the connecting rod
طبعا في المحاضرة الجاية هنشوف إيش فايدة الكلام هذا
إيه طبعا إيه ميزة و فايدة نكتفي اليوم المحاضرة
الجاية بنكمل باقى الأمثلة بتوقع تحلوها أنت و
المعيد مع بعض