في محاضرة الصبح قبل ساعتين بدأنا في موضوع ال
groups اللي هو اول موضوع في ال alphabet algebra
المقرر علينا مشان نعرف ال group لازم نعرف حاجة
اسمها binary operation و بعد ذلك بندخل الى موضوع
ال groupعرفنا ال binary operation على set هي عبارة
عن function من ال 6 cross ال 6 إلى set أخرى بحيث
ال order paired اللي في ال 6 cross ال 6 بيكون
موجود وين في ال set itself وعطينا على ذلك مثالين
وهذا هو المثال رقم 3يبقى انا عرفت ال function star
من z cross z إلى z by a star b يسوى a b نقص واحد
يعني ال star صارت عبارة عن عمليتين في انا واحد
عملية الضرب ما بين ال a و ال b و عملية الطرح من
واحد لكن على set of integers السؤال هو لما اضرب ال
a في b حصل ضرب two integers بيعطيني integer ولا
بيعطيني شغل تانيتطرح منه واحد بيظل انتجر ولا بيبقى
يصير انتجر؟ معناته هذه binary operation يبقى هذه
ال .. then .. then star is a binary operation
السبب because ان العدد اللي عندنا a b minus ال one
موجود في zما دام موجود في Z يبقى هذه ال operation
is a binary operation طيب نتجل الأمثلة شوية مثال
رقم أربعة بيقول let ال X ب any non empty set any
non empty set define
capital P of X to
be the
power set فئة القوة of set X اللي عندنا يعني اللي
هي the set of allthe set of all subsets of x
define
star
by
a
star b بده يساوي a union bلكل ال a و ال b اللي
موجودة في ال power set of x ال power set of x then
star
then star هذه is a binary operation
بينيري اوبريشن on ال power set لل X because
طبعا ال power set اللي هي فئة القوة أو فئة القوة
درسناها في مبدأ الرياضيات والان بنعيد دراستها مرة
ثانيةفلو أخدت الـ x أي non-empty set ركز على non
-empty يعني ليست في فيها عناصر بدي أعرف ال power
set of x هي ال power set of x أو the set of all
subset of x يبقى بداجي على ال set x أشوف عناصرها
أجيب كل ال subsets الممكنة بما فيهم في و ال x
itselfهذه بسميها الـtrivial subset وهذه أكبر
subset من ال 6 because أخدنا في مادة الرجالات أن
ال 6 is a subset of itself يبقى كل ال subsets اللي
عنده بيكونوله ميهم بيكونوله ال power set لل 6x بدا
أعرف اللي هو ال relation اللي .. ال operation اللي
عندنا a star b بده يساوي a union bلكل ال a و ال b
اللي موجودة في ال power set السؤال هو هل star هذه
binary operation ولا لا؟بقول والله إذا نتيجة أستر
بيجبتلي عنصر دائما و أبدا و هذا العنصر موجود في ال
power set إذا هذه binary operation يعني نتيجة
للعملية ما بين الاتنين لعملية ال union ههه بدها
تجيبلي عنصر موجود في ال power set إذا هذه binary
operation لو جبت عنصر طالع برا يبقى ليست binary
operationيبقى ال operation a star b a union b لكل
ال a و ال b اللي موجودة في ال P of x then star is
a binary operation على power set because نجي نشوف
ما هو السبب الآن ال operation a star b بدي يسوي a
union b السؤال هو a union b هل هذه ال subset من X
يا شباب؟لو أخدت any two subsets من الـ6X وجبت لهم
الـunion يكون موجود في الـX itself ولا بتطلع برا؟
لاتطلعش برا يبقى هذا موجود دائما و أبدا في X طب
والـX هذه أليس subset من ال power set of X؟يبقى
star ال element هذا موجود في ال power set ال x هذه
as a أعلى مش subset ال x هذه belongs موجودة في ال
power set لكن ال a union b ال subset من ال x والx
belong في ال power set of x معناه هذا كلام ال star
is a binary operation طب السؤال هوهل ال
intersection ما بين ال two sets a و b is a subset؟
يعني هل هو موجود في ال power set؟ليش؟ على أسوأ
الاحتمالات بدي يطلع في فحو ولا لأ في subset من ال
X ولا لأ يبقى في موجودة في ال power set وبناء عليه
سعر ال intersection كمان also is a binary
operation يبقى باجي بقول ان similarly كمان شغلة
تانيةsimilarly ال
.. ال .. ال star او a star b ال a star b بدي يسوي
a intersection b ها دي is a binary is a binary
operation
بارضه بنفس الطريقة ليش ان ال intersection ما بين
ال A والB موجود في ال set X
بسبب أن a intersection b هو subset من set x وهذا
سيعطينا أن a intersection b هو subset من set x طيب
ناخد كمان مثال بيختلف عن شكل هذه الأمثلة كلياlet
خمسة let الجي capital g بدي ساوي كل ال real
numbers x اللي موجودة في ال set of real numbers
بحيث ان ال x أكبر من أو تساوي واحد define عرفلي a
star by
x star y يساوي x y ناقص x ناقص y زائدي اتنين then
star اللي عندنا هذا is a binary operation is
a binary operation because
السبب؟ خلّي بالك هناالان انا اخد ست جديدة على غير
الأمثلة السابقة سميتها G مين هي G؟ اخدت عناصر من
set of real numbers اللي مين هم العناصر كلهم اللي
بيكونوا دائما وأبدا أكبر من الواحد الصحية كسور مش
كسور اللي وهم اعداد موجبة دائما وأبدا وكلها أكبر
من الواحد الصحيحعرفت star على ال G cross ال G إلى
G على الشكل التالي X star Y بده يساوي XY ناقص X
ناقص Y زائد اتنين يبقى عملية ضرب و طرح و جمع في آن
واحد من هذه ال star عرفتها بهذه الطريقة أنا أدعي
السبب اذا طلع هذا ال elementموجود في جي بقى كلامي
صح ماطلع موجود في جي بقى كلامي ماله مش صحيح بمعنى
أخر لو طلع هذا المقدار كله أكبر من الواحد الصحيح
معناته موجود في جي ماطلع يبقى كلامي ماله ليس صحيحا
ممتاز جدا يبقى باجي بقوله بدي أبيله ليش هذه binary
operation because ifx و y موجودة في g then ال x
هذا تبقى أكبر من الواحد و في نفس الوقت ال y أكبر
من الواحدعسب الـ definition تبع الـ G ماخد two
elements موجودات في G يبقى الـ two elements كل
واحد يوم أكبر من مين؟ من الواحد طيب هذا معناته ان
ال X greater than one and ال Y ناقص واحد أكبر من
مين؟ من ال zero إذا هذا ال term موجب و الله سالم
أكبر من Zero موجب ولا عمره حتى بيصير Zero يعني لا
Zero ولا سالب هذا موجب طب لو مسكت هذا الرقم الموجب
وضربته في ال inequality هذه بتتغير ولا بيظلها زي
ما هي يعني الأكبر من هذه بتتغير ولا بتغير إلى أقل
منه ولا بتظل أكبر منه يبقى بدي أمسك ال term هذا و
أضربه في ال inequality هذهيبقى بدي اشوف هذا ايش
بيعطينا يبقى مشان اوضح لك الصورة بدي اقول لك multi
apply the inequality المتباينة
x greater than one by y minus one we getبنحصل على
يبقى هذا ال X في Y minus ال one أكبر من ال Y minus
ال one مظبوط؟
طيب، إيش رأيك؟ بدي أفك الطرف الشمال يبقى XY ناقص X
إيش رأيك؟ هجيب ال Y على الشجة التانية ناقص Y أكبر
من اللي هو سالب واحد
طيب ايش رايك لو اضفت للطرفين اتنين؟مرة واحدة بضيف
رقم هنا زي ما اضيف رقم هنا عادي جدا واتنين
positive positive ولا negative في حالة الجامعة
ماتفرجش عندي المشكلة في حالة الضرب او القسمة يبقى
هنا لو اضفت اتنين بيصير x في y ناقص x ناقص y زائدي
اتنين اكبر من قداش اضفت اتنين للطرفين طب الطرف هذا
مش هو هذايبقى star العدد اللي عندي هذا أكبر من
واحد يبقى موجود في جي يبقى هذا بده يعطيلك ان ال X
Y ناقص X ناقص Y زي دي اتنين belongs to G لذلك star
is a binary operation لأن تحت العملية اللي عندنا
هذه ال star طلع الناتج موجود في G إذا هذه مالها
binary operationطيب احنا مهدنا لل group بموضوع ال
binary operation الان بدنا ندخل في صميم الموضوع و
هو تعريف ال groupالجروب يا شباب هي ال set بدي أضع
عليها binary operation بحيث تحققلي ثلاثة شروط ان
تحققتي ثلاثة شروط بسمي ال set مع ال binary
operation is a group ايش الشروط التلاتة؟ اول شيء
ال binary operation هذه بتبقى associativeادماجية
تمام او تجميعية زي ما بتسموها انتوا اتنين في عنصر
بده اسميه عنصر الوحدة ال identity element انتوا
بالعربي بجهة السماوية الثانوية العنصر المحايديبقى
المحايد أو الوحدة هو ال identity element الشرط
التالت كل عنصر في ال group تحت هذه العملية بدي
يكون له معكوس بحيث لو ضربت عنصر في معكوسه بدي يطين
من عنصر المحايد ال identity element لو تحققت
الشروط هذه التلاتة بقول يبقى الجيل اللي عندي is a
groupالكلام اللى سمعته بناروح نكتبه لإنه كل ال
section مبني على مين على الكلمتين اللى سمعتهم يبقى
بداجي الى definition يبقى definition let ال g be a
non empty non empty set
and let a star be a
binary operation
on اللي هو g على set g then
ال جي والستار مع بعض هدول يعني الست جي والستار
عملية عليها هدى is called a group بنسميها مجموعة
if the following properties
if the following reporters are satisfied are
satisfied ايش
الخواص هذه اللي هو الخاصية الأولى the star is
associative associative
that is a
star b a star c بدو يساوي a star b star c لكل
ال a و ال b و ال c اللي موجودة في ال group g ال
condition الثاني
condition الثاني there is an element such
that
بحيث انA Star A يساوي E Star A يساوي الـ A السلف
لكل الـ A الموجودة في G بلا استثناء يبقى الـ E is
called the identity element
of
G condition
الثالث والأخير
for each a الموجود في g there exist b in g such
thatبحيث ان such that ال a star b بده يساوي b star
a بده يساوي ال identity e بيه
is called يبقى
بيه في هذه الحالة بنسميه is theinverse element of
a معكوس العنصر a and denoted by ال b بده يساوي ال
a inverse command
definition the group
الـ G is called abelian
if
ال X Y متساوي Y X لكل ال X و Y الموجودة في ال
group G
يبقى احنا ابتداء من هذا التعريف بكون بدأنا ندخل في
علم ال groups او علم المجموعات اللي هو موضوع
دراستنا لهذا الفصل اللي هو ال abstract algebra
يبقى اول موضوع في موضوع الجبر اللي هو الموضوع
المجموعات الان نعرف المجموعة و بعدين ناخدأمثلة
متعددة على المجموعة بدل المثال عشر او احد مثال
وبعد ذلك ناخد بعض خواص المجموعات البسيطة يبقى
التعليف بيقول ما يتفترض ان G هو عبارة عن non-empty
set يبقى ليست الفئة الخاوية وانما على الأقل فيها
ولو عنصر واحدand let the star be a binary
operation على g الست
جي معالي الstar مع بعض هدول بيكونولي a group إذا
تحققت عندي ثلاثة خواص أو ثلاثة شروطالشروط أو
الخواصة دي لـ star اللي عندي is associative يبقى
هي عملية إدماجية بمعنى ان a star b star c يساوي
يعني بتخلي a تأثر على b في الأول حسب تعريف ال star
والعنصر اللى ينتج يخلّيه أثر على مين؟ على C
النتيجة تماما كما لو B أثرت على C طالع عنصر جديد
هذا العنصر بدأ أثر عليه بإيه لازم يكون اتنين are
equal ان حدث ذلك يبقى بقوله خاصية ال associativity
الصحيحة لجميع العناصر يعني لما بدأ أخد A وB وC مش
بدأ اختارهم عناصر محددة فلان وفلان بدأ أخد أي
عناصر بغض النظر شو شكلهمالنقطة الثانية بيقول لي
there is an element E بحيث اذا لجيت عنصر اعطيته
الرمز E بس هذا إله خواص طبعا العنصر هذا موجود في
جي itself بحيث ان لو أثرت بال A على ال E بال star
هذه تماما كما لو أثرت بال E على A والنتج طالع ال A
itselfيبقى هذا اللي كنا بنسميه عنصر المحيد لا
يتأثر أي element في المجموعة بهذا ال element تحت
العملية star أثر عليه star بهذا العنصر ويبقى ال
element كما هو يبقى إن حدث ذلك هذا بسميه عنصر
المحيد او في لغة ال groups احنا هنسميه identity
element اللي هو عنصر الوحدة لهذه المجموعةبنضل عند
ال condition التالت والاخير قال لي 4H اللي موجود
في G لأي عنصر A موجود في G هلاقي عنصر تاني اسمه B
موجود في G بحيث لو ضربته من اليمين او من الشمال A
Star B بلاقي النتيجة هو B Star A يسوى ال identity
element itself يبقى هذا بده يعطيني عنصر الوحدة
نفسهإن حدث ذلك يبقى هذا العنصر معكوس العنصر A يبقى
في هذه الحالة ال B is called the inverse element
of A
هذا الـ A كلها اللي فوق واسة اللي بسميه the
inverse element of A معكوس العنصر A يبقى B اللي
لجيته هذا بدي أسميه معكوس العنصر اللي هو A طب
السؤال هو هل كل عنصر في G لازم يجيه معكوس يعني مش
بالضرورة بعضهم ما و بعضهم لأ طب إيش جاي ال A لأfor
each لكل عنصر يبقى كل عنصر في جي بدأت تجيله معكوس
مش بعضهم له و بعضهم مالواشي كل عنصر في جي له معكوس
يعني لو أتصورت أن جي هذه خمس عناصر يبقى فيهم اللي
هو أربعة واحد معكوس للتاني و ال identity element
معكوس لنفسهلو كانوا ستة يبقى تلاتة معكوسات التلاتة
التانيات و هكذا يبقى كل عنصر في ال group جي حلقيله
معكوس موجود في جي بعد لو ضربت العنصر في معكوسه من
الشمال والله لمين بدي يطلع عنصر الوحدة طب عنصر
الوحدة هذا هو الصفر ولا واحد صحيحيقول حسب ال
operation المعرفة على ال group يبقى حسب ال group
وحسب ال operation اللي عليها ملاجئ ال identity
اللي يمكن ال identity is zeroيمكن ال identity يطلع
واحد يمكن ال identity يطلع عشرة مثلا هادئ جدا يبقى
حسب ال operation اللى موجودة عندك وقد نستغرب هذا
لان نستغرب ولا حاجة وحنوريك بعض الأمثلة نحسب فيها
ال identity element ومايطلعش لا zero ولا واحديبقى
هذا يعني ان الشخص ما يكون شكله يكون بهمنيش يبقى ال
identity يعتمد على ال group ويعتمد على ال
operation على ال group اتفضل معناته
مش معكوس يبقى ليست group يبقى اذا اختل اي شرط من
الشروط التلاتة بالبطرة ستصبح groupيبقى مشان تكون
ال group بدي any non zero set والتلت شروط يتحققوا
هدول بدي ال operation هذه تبقى binary operation
نمرا واحد لو ماكنتش binary operation الصبح أخدنا
مثل ماهياش binary operation يبقى ده مينفعش يتكون
ال groupلازم نبقى بيناري اوبريشن أولا ثم تتحقق
الشروط التلتة تطلع الشجرة التعريف جينامتستاتار بي
بيناري اوبريشن يبقى هذه بسميها group لو تحققت
الشروط التلتة يبقى انا في الحقيقة عندي تلت شروط
ولا اربعةأربعة بدك هدى binary operation لستار
بتبقى associative أو اختصارا بروح بقول هم التلاتة
لستار هدى بدي associative binary operation يبقى
جمعت الشرطين مين بشرط واحد اتنين وجود ال identity
element تلاتة وجود معكوس العنصر لأى عنصر موجود وين
موجود في ال group Gإن حدث ذلك بقول يبقى الـ 6G
اللي عندنا هذه مالها is A group وحتى أرسخ هذا
المفهوم من دماغك و أسحب المفهوم اللي في دماغك إن
ال operation هذه هي عملية ضرب لحالها أو عملية قسمة
لحالها أو عملية طرح لحالهاهتشوف أمثلة مختلفة و
عديدة حتى مصبح احنا مقيدين بشكل ال six اللي عندنا
و ماناش دعوة في ال six الأخرى اتنين مقيدين بال
binary operation اللي عندنا و غيرها من ال
operations ماليش علاقة فيهم تمام؟ وهذا يختلف من
group إلى الأخرى نعطي أول مثال على ذلك قبله نعطي
أول مثال كلمة AbelianAbelian بالعربي يعني ابدالي
ابدالي زي ما يقول commutative ابدالي فبجي بقول
group G is called abelian اذا كان ال X في Y بده
ساوي Y في X لكل ال X و Y اللي موجودة بلا استثناء
يعني لو جيت شباب اللي في القاعة خمسين طالب تمام لو
بدل كل واحد مقعد و مكان التاني ماصارش تغيير عندى
ولا حاجةكويس يبقى ما عدش فيه طول ولا قصر مع تبديل
مقعده ولا نقص من مقامه لا يبقى طالب زي ما هو مسجل
المادة وقاعد عندنا إذا لما بدل واحد مكان التاني
لجيته يساوي نفس التبديل الأصلي إن حدث ذلك يبقى هذا
بقول عنك commutative group أو abelian group لكن
بقولش commutative commutative بقول عن درجاتالتسمية
أو التعريف في حالة ال rings اللي هو تبعت الفصل
الثاني ان شاء الله ان شاء الله اللي باخد جبر حديثة
نمسكو ال commutative ring لكن في ال group هسميها
abelian group نسبة للعالمهي ابيل اللى اكتشف هالشغل
هذى وسميت باسمه ابيليان جروب اذا من حد ما تسمع
كلمة ابيليان جروب بدك تفهم ان العناصر بقدر ابدلهم
مكان بعض بدون اي مشاكل تمام؟ فهذا معنى ابيليان
جروبنأخد أبسط الأمثلة و نتدرج إلى الأثقال فالأثقال
فالأثقال حتى نصل إلى أمثلة مختلفة يبقى examples
أمثلة
أول مثال على ذلك الآن ال Z وال Q and set of real
numbers هذول underusual addition تحت عملية الجمع
العادي under usual addition اللي هو ال plus are
abelian groups are
abelian groups because
السبب يبقى انا ادعى انه زد تحت عملية الجامعة
العادى اقول لك usual addition الجامعة العادى تبع
ال real numberالـ Q تحت الجامعه العادى الـ R تحت
الجامعه العادى يعني عملش معرف على الـ set of
integers ومعرف على ال set of rational numbers
ومعرف على ال set of .. يعني هدول يعتبروا إيه؟
ثلاثة أمثلة يعني هدول three groups تحت العملية الـ
plus هذا و ال groups هدول are abelian احنا بنعرف
لما أقول A زائد B يعني اتنين زائد تلاتةسوى تلاتة
زي اتنين جامعه عادي صح ولا لا هذا على زد لو جيت
على ال IQ اتنين عدديا نسبيا مجموعهم عدد نسبي كذلك
لو جيت مجموع عددين حقيقيا بيعطينا ايه؟ عدد حقيقي
بجهة دي binary operationيبقى هنا بقوله because a
plus is a by أو associative بالمرة كمان is
associative
binary operation
on
z والي qand كذلك من ال set of real numbers طب كويس
أظن
أخدنا هذه الكثير حكاية ال associativity للأعداد
الحقيقية ما هي النسبية والصحيها جزء من الأعداد
الحقيقية يبقى الأعداد الحقيقية لما أقول اتنين زي
التلاتة زي الخمسة هو تلاتة زي الخمسة والإنتاج يضيف
له اتنين عادى جدا مافيش فيها مشكلةيبقى هذه بالنسبة
لل associative طب مين ال identity element في حالة
الجامعة ال zero يبقى هنا is هذه النقطة الأولى
النقطة الثانية النقطة الثانية ال zero is the
identity element because
الـ zero زائد ال بي مثلا يساوي بي زائد ال zero بده
يساوي ال بي itself الكلام هذا for all بي اللي
موجودة في z أوي q and ال a طيب النقطة التالتة
لو أخدت element a موجود في أي منهما من المعكوس
تبعه يعني مين العدد اللي بدي أضيفه إليه يطلع من؟
يطلع zero سالم العدد يبقى هنا the inverse ofأي
اللي موجود في الـ Z أو الـ Q and ال R is سالب A
since لأن ال A زائد ناقص A يسوى ناقص A زائد A يسوى
Zero لهمين ال identity element طيب
نمر اتنينروح ناخد مثال اخر لو أخدت الآن z و تحت
عملية الضرب العادي z is
not a group يبقى هذه ماهياش group under usual
multiplication
تحت عملية الضرب العادية ليش؟ because because
if ال a موجود في z and ال a لا يسوى واحد وبحيث ال
a لا يسوى واحدالان تحت عملية الضرب من ال identity
element الواحد ممتاز جدا يبقى هذا واحد لان اي عدد
اضربه في واحد بيطلع نفسي لوحده السؤال هو هل بقدر
الاقي element اضربه في اي عدد يطلع واحد
أنا بدي في Z أنا بحكي على Z فقط أنا مقيد بال 6
بتبعتي ال 6 الأخرى ماليش علاقة فيها و مقيد بال
operation اللي عندي بقدر ألاقي في الشمكانية يبقى F
ال A موجودة under ال A لا تساوي واحد then there is
أو there exists no element Bن اللي هو z such that
بحيث ان ال a في b بده يساوي الواحد الصحيح يعني for
example if
ال a تساوي تلتة بقدر الاقي عدد بي اضروف تلتة يطلع
واحد بس بحيث العدد فيه zفالـ a تسوى تلاتة then
there is no integer
بي such that بحيث ان تلاتة بيبدوا يساوي واحد
مالاجيش هذا العدد بتاتا يبقى هذه زد تحت عملية ضرب
مالهاطيب خليني أسأل كمان سؤال لو قلتلك ال set of
real numbers كويس؟ بس أصبر شوية ال set of real
numbers تحت عملية الضرب هل هي group؟ ليش؟بالنسبة
للصفر بلا جيش و لا inverse ليش ان ال identity قلت
هو مين بلا جيش ولا عدد اضربه في الصفر يطلع واحد
صحيح يدي ليست جروب و هكذا اذا احنا ال set مقيدين
بال set بشكل الاعداد اللى موجودة فيها مقيد بال
identity اللى عندى فيها مقيد بال binary
operational اللى موجودة عندى حققت الشروط بقول جروب
ما حققت بقوله ماهياش جروبطيب لو جيت قولش لك تلاتة
let الاي تساوي الجدر التربيعي للسالب واحد define
define
usual multiplication multiplication
on
عرفت حصل الضرب على set of complex numbersواحد ناقص
واحد اي ناقص اي ناقص اي حيث اي هو الجدر التربية
للسالب واحد يبقى دول complex ولا لا وعليهم عملية
ضرب العادية تبع ال complex number السؤال هو هل هذه
group ولا لا في الأول بدي أشوف هل ال
multiplication هذهلو ضرب اي عددين في بعض من دول
بيبقى complex و لا بيبطل يصير complexany real
number is complex هذا complex وهذا complex وهذا
complex وهذا complex وهذا complex يبقى العملية هذه
طيب لو ضربت ال I في ناقص I أليست مثل ناقص I في I
لأن العملية إبدالية هذا ناقص واحد في I زي I في
ناقص واحد سياد يبقى هذه اللي هي عبارة عن
associative binary operation يبقى let then
النقطة الان هي نقطة
عملية عملية عملية عملية عملية عملية
عملية عملية
طب كويس، مين ال identity element؟ واحد، يبقى واحد
is the identity element
يبقى الواحد هو عنصر الواحد اللي دي لو ضربته في أي
واحد من هدول بيطلع نفس الواحد هدول طيب السؤال مين
معكوس السلب واحد السلب واحد itself يبقى السلب واحد
is the inverse of itself يبقى هو معكوس لنفسي هنا
سلب واحد is the inverse of itselfطيب مين معكوس
الواحد؟ الواحد نفسه، ضربه نفسه بيطلع واحد، ماعنديش
أمر يبقى هذا ال identity دائما و أبدا شباب ال
identity هو معكوسه لنفسه، يتدورش عليه أي group
تطلع في الدنيا عندك ال identity ان هو معكوسه
لنفسها طيب الان مين معكوس ال I؟ ال سالب I طب و
السالب I؟لو ضربت اي في اي باي ترميلي بسالب واحد و
عندك سالب بصير موجة بواحد يبقى هنا باجي بقول له ال
اي is the inverse of سالب اي
من هذول التلاتة مع اللي فوق يبقى صلة هذه ال group
تحت عملية ضرب is a group يبقى هذا بدي يعطيلك انه g
تحت عملية الضرب اللي عندنا هذه is a group يبقى هذه
عبارة عن مجموعة
مثال رقم أربعة مثال
رقم أربعة هذا سؤال تلاتة من الكتاب بيقول لي show
that the set اللي هي مين؟ واحد واثنين وتلاتة
واربعة under
multiplication module خمسة module خمسة is an
abelian group is an abelian group but ولكن اللي هو
واحدو اتنين و تلاتة under multiplication
modulo
أربعة
is not a group
سؤال مرة تانية السؤال يعتبر سؤالينعندما أعطيني
أربعة أعداد واحد اتنين تلاتة عرفنا عليهم عملية ضرب
module خمسة عملية ضرب بالمقياس خمسة قال لي أثبت إن
هذه عبارة عن abelian group abelian سهلة تلاتة في
اتنين هي اتنين في تلاتة تلاتة في اربع هي اربع في
تلاتة اتنين في اربع هي اربع في اتنين والباقي في
واحد ما هي بطلع نفسها تمام؟ إذا أنا حكيت ال
abelian هذه تحصيل حصل يبقى أنا بالزمن ال
associative و بالزمن من؟ال binary operation في
الأول و لزمنا ال identity و المعكوس بقوله بسيطة
جدا الان بدي أشوف هل هي associ .. هي قبل ال
associative هل هي binary operation ولا لا بقوله
الله كويس يعني لو تعرفت أي عنصرين في بعضهم بدي
يكون ناتج داخل الستة دي ان حدث ذلك بقوله هذه
binary operation الان تعال خدلي اتنين في واحدبتنين
موجودة تلاتة في واحد تلاتة موجودة اربعة في واحد
باربعة موجودة نمسك اتنين اتنين في تلاتة ستة modulo
خمسة بيظل قداش واحد موجود اتنين في اربعة تمانية
modulo خمسة تلاتة موجود خلصنا اتنين ضربنا في تلاتة
و اربعة لان تلاتة في اربعة باطمعشر modulo خمسة
باتنين موجود يبقى داشت صارت binary operation يبقى
باجي بقوله اول شيءالـ multiplication modulo
خمسة is a binary operation on the set اللي واحد
واثنين وتلاتة واربع because السبب
الـ A, B modulo خمسة موجود في الست واحد واتنين
وتلاتة واربعة لكل ال A و ال B شو رايك أسميها
للسهولة أسميها S و هذا يبدأ أسميها S يبغى لكل ال A
و ال B اللي موجودة وين في Sيبقى حاصل ضرب اي اتنين
كله موجود وين موجود لذلك بايناري وبرجانت اتنين هذا
ضرب عادي بس باخد الموديولو في الآخر يبقى
associative ولا لا يبقى هنا كمان لاحظ انه note انه
multiplication modulo
خمسة
is associative بدّك
تشكل بساطرة هذا مافي مشكلة احنا ال I هو ال
identity الواحد يبقى هذا سهل لكن ضالي عند مين
الاتنين والتلاتة والاربعة يبقى بقدر أخدهم مع بعض
او يبقى خلصت ال group كله مظبوط يعني for example
لو أخدت اتنين أستار تلاتة أستار أربع طيب، هذا
اتنين في تلاتة بستة موديولو خمسة صح ولا لأ؟ يبقى
ستة موديولو خمسة فيها قداشر؟ واحد يبقى بظل واحد
أستار أربعأربعة مد يولو خمسة يبقى هذا بده يساوي
أربعة and لو أخدت اتنين star تلاتة star أربعة
ويساوي تلاتة في أربعةب12 modulo 5 ب2 يبقى يساوي 2
star 2 يعني 2 في 2 ب4 modulo 5 اللي هي ب4 يبقى هذا
بده يعطينا 4 يبقى star هذه هي نفس هذه بالظبط يبقى
العملية أساسية وضل بس دور مين الواحد واحد اللي
هيقدمه لأخر بالنسبة لعملية الدور لأن هو ال
identity elementيبقى على طول الخطب نقول واحد is
the identity element لأن
الواحد في أي رقم من الباقي module وخمسة هيعطيني
نفس الرقم مش هيغير حاجة طيب مين معكوس اي واحد فيهم
يالا شوف
من معكوس أي رقم من هذه الأرقام اتنين
والتلاتة معكوسات لبعض لأن اتنين في تلاتة موديول
وخمسة بطلع جداش واحد اللي هو ال identity element
طب والاربعة في اربعةيبقى اربعة معكوس لنفسه و اتنين
معكوس للتلاتة و ال identity هو معكوس لنفسه إذا صار
كل عنصر له معكوس يبقى هنا باجي بقول every element
in S has an inverse
since الواحد is the inverse of واحد بعدها
اتنين is the inverse of تلاتة sinceلأن اتنين في
تلاتة modulo خمسة بده يساوي واحد and الأربعة is
the inverse of itself since اللي همينأربعة مضروبة
في أربعة Modulo خمسة يساوي واحد يبقى كل عنصر له
معكوس يبقى بناء عليه أصبحت هذه group يبقى هنا ال S
تساوي واحد واتنين وتلاتة واربعة is a group under
multiplication multiplication modulo
خمسة طب أنا لسه خلصت الشطر الأول من السؤال جالي
لكن المجموعة هذه module أربعة is not a group بقوله
كويس ايش عرفك بدي و لو شرط واحد يختل من الشروط
اللي عندي بتبطل الصير a group صح ولا لا طيب حد
بقدر يجيبلي هذا الشرط
ممتاز جدا تعالى نشوف تلاتة هذه بيقول مالهاش معكوس
ليش؟ لأني قلت تلاتة في تلاتة تسعة تسعة شيل منهم
أربعتين بيظل واحد إذا التلاتة معكوس لنفسي صح يبقى
معكوسالان اتنين في تلاتة ايه بستة شيل منهم اربعة
بطلع اتنين يبجى ده مش اتنين معكسه مش التلاتة لكن
اتنين في اتنين اربعة تعني زيرو يبجى اتنين او هذه
ماهياش closed under يعني هذه ال operation ماهياش
binary operationلأن ال element موجود في نفس ال set
يبقى هذه بقول له that set اللي هو واحد و اتنين و
تلاتة under multi application modulo أربعة is not
a group since
الاتنين مستار اتنين يساوي أربعة modulo أربعة ليه
تساوي زيرو وهذا does not belong للست واحد واتنين
وتلاتة يبقى الشرط الأول تبقى binary operation لأنه
تحت عملية ضرب modulo أربعة التي بيكون موجود في
الست هذه هذا مش موجوديبقى يبعتلك الله لازلنا في
الأمثلة السهلة حتى هذه اللحظة لسه عندنا أمثلة
كثيرة بدنا على قلبي كمان محاضرتين مشان نخلص
الأمثلة على موضوع ال group لإن هذا الأساس اللى
بدنا نبني عليه كل دراستنا في موضوع ال groups بعد
ذلك يعطيكوا العجب