بسم الله الرحمن الرحيم بدأنا المرة الماضية في
موضوع ال groups اللي هي المجموعات وعرفنا ان ال set
و عليها binary operation بقول عنها group إذا
حققتلي ثلاث خاص الخاصية الأولى خاصية ال
associativity الخاصية الثانية خاصية ال identity
element الخاصية التالتة هي خاصية ال inverse
element لأي element موجود في group Gواخدنا على ذلك
بدل المثال أربع وهذا هو المثال رقم خمسة يبقى الـ
ZN هي عبارة عن المجموع العناصرها Zero واحد اتنين
تلاتة لغاية N ناقص واحد العملية المعرفة عليها اللي
هي ال addition modulo Nيبقى العملية اللى على z n
هي عملية الجمع العادية بس ايش كل ما يصير n بنهملهم
يعني المقياس تبعه هو m هذه عبارة عن ايش عبارة عن
group under addition ليش ال a اللى من zero لغاية n
ناقص واحدة كلها أعداد عادية بس modulo n ما زاد على
ال n ناقص واحد اللى هو n ببدأ من zeroإذا زاد واحد
يبدأ واحد وإذا زاد اتنين يصبح اتنين وكذلك يبقى انا
عند الاعداد هذه هذه الاعداد لو جمعتها واحد زاد
اتنين اتنين زاد واحد اي رقم ان اجمعه بدل ماعناش
مشكلة في هذه الحالة اتنين لو جمعت اي عددين يعني
هذه ال group a billion لو جمعت اي عددين هيعطيك عدد
موجود في هذه الصدرطيب النقطة الثانية لو عملت
associative بين أي ثلاثة أعداد منهم فهيطلع نفس
العدد مشكلتنا مش هذا مشكلتنا من هو ال identity
element تحت عملية الجماعة؟ من؟
بدي معكوس أي عنصر موجود فيها
هذه بعض الكتب يا شباب بتعبّر عنها ZN هكذا وبتحط
لعملية جامع وفي دائرة من حد ما تشوف عملية جامع في
دائرة معناته هذه عملية الجامع موديله N مشان
يفرجوها ويميزوا بينها و بين عملية الجامع العادية
يبقى هنا Zero is the identity
the inverse of k الموجود في z in z يعني مين العدد
اللى بدي اضيفه لهذا العدد يطلع zero او يطلع in
الهمين in minus ال kيبقى the inverse of k المن is
n minus الk لإن احنا عندنا عملية جمعة modulo n لو
جمعته اتنين هدول بيطلع in اهم ال in بيصير ال zero
اللي همين ال identity element طيب هذه جروب بسيطة و
زي ما تشوف هي abelian لإنه اتنين زياد خمسة هي خمسة
زياد اتنين و هكذاطيب نروح لمثال أتقل شوية و أتقل
شويات مش شوية بيقول let ال UN be the set of all
positive integers
less than
less than ال N less than ال N and relatively prime
relatively prime to N then
ال U N هذه ال U Nand the situ in is an
abelian group under
multiplication modulo n
بسبب نرجع للست UN هذه مين هي ال UN؟بقول ال U N هي
set of all positive integers مجموعة الأعداد
الصحيحة المجمة واللي عليها شرط تاني less than N
يبقى أقل من العدد N وفي نفس الوقت relatively prime
مع N طب وقف شوية خلينا نعرف مين هذه الأرقام لو جيت
قلتلك بدي ال U خمسةبس الواحد والتلاتة طب والاربعة
والاتنين يبقى الاعداد كلهم واحد اتنين تلاتة اربعة
كلهم are relatively prime to خمسة يبقى هذي mainly
وخمسة لكن لو قلت you ستة you ستة اللي هي واحد
وخمسة في غيرهم بس هدول هم اللي relatively prime ل
you ستة لو قلتلك you عشرة لك تقول الواحدوالثلاثة
والسبعة والتسعة مش غيرهم يبقى هي ال U خمسة الأعداد
اللي أقل من الرقم المعطو اللي بيكون relatively
prime لهذا الرقم مثلا لو جت ليه خمستاش يبقى الواحد
والاتنين والاربعة والسبعة
والتمنية تسعة لأ العشر لأ احداش اتناش لأ التلتاش
لأ اربعتاش لأ يبقى لغاية تمين لغاية التلتاش وها
كده يبقى بجيب الأرقام اللي أقل من الرقم الموطن
واللي بيكون relatively prime لهذا الرقم وكلهم
أرقام صحيحة موجبة هاي المقصود باليونين يبقى هذه
الست يو ام مين ال operation اللي عليهاGallery in
the UN is an ability group under multiplication
modulo M يبقى العملية عالمية ضرب modulo N يعني
المقياس تبعها هو مين هو N أول شيء بدنا نثبت إنه
هذي group طيب ال group هذي بدي لسه ما قلتش إنه هذي
binary operationاندر مالتفليكيشن موديلو ان هل هذه
binary operation على ال UN ام لا لم نقول ذلك لكن
انا بدي اخد عددين واضربهم في بعض واشوفهل اتنين
هدول modulo N بيكونوا .. ان كان طلع ال remainder
تبعهم موجود في ال UN بيكون تم المطلوب؟ ان ما طلعش
بصير كلامنا مش صحيح وفيش داعي اروح لبقية الشروط
تمامإذا خلّيني أشوف ال condition الأول النقطة
الأولى بدي أثبت إنه هذه binary operation لذلك بدي
أقوله افترض إن ال A و ال B موجودة في ال UN إيش بدي
أثبت إنها binary operation بدي أثبت إن ال A B
modulo N موجود وين؟ موجود في ال UN هذا اللي عايز
أثبته فبكويس بقوله then
مرت علينا ال division algorithm احنا صح؟ division
algorithm ومر علينا ل grasses common divisor يبقى
انا بروح بختار المناسب اللي بيخدمني في هذه الحالة
لو جيها تقولش لك ال grace is common divisor ل ال a
و ال n قداش بتقول ايه؟ واحد ليش؟ لأن ال elements
اللي موجودة are relatively prime to m يبقى and و
في نفس الوقت ال grace is common divisor ل ال b و
ال n بتسوي قداش؟إذاً كل واحدة منهم بقدر اكتبها على
صيغة linear combination يبقى باجي بقول AS1 زائد
NT1 بدل ساوية واحدالـ B S2 زائد ال N T2 بده يساوي
1 وهذا for some اللي هو S1 و S2 و T1 و T2 كلها
اللي موجودة وين؟ في ال 6 of integers
طب انا بدي حصل الضرب a في b modulo n يكون موجودة
في ال UN مشان هيك خليني اروح اضربهم في بعض و اشوف
كده يكون الناتج اللي عندنا اذا لو جيت اضربهم في
بعض فبجي بقول a s one زائد n t one
بس2 زائد ال N يساوي واحد في واحد اللي هو واحدطبعا
يبقى ضرب في الطرف الشمال في الشمال واليمين في
اليمين تعالى فى كحاصل ضرب القوسين هدول يبقى هذا a
b s one s two زائد ال element هذا ضربته هنا إذا
بدى ضربه في التاني هذا يبقى زائد n a s one t two
زائد بدي أضرب هذا هنايبقى زائد n في main في T1 في
B في ال S2 زائد في التاني يبقى N تربيع T1 T2 كله
بده يسوى واحد صحيح اظن هذا في hash N خليها لحالها
يبقى هذا ال a b في ال s one s two زاد شو رايك هدول
بدي أخد منهم ان عامل مشترك ايه شو بيظل عندك a s
one t two زائد t one b s two زائد n t one t two
كله بدي يساوي واحدإيش تفسيرك لهذه العبارة؟ طلع أنا
عندي هنا رقم و هنا inيبقى ال a,b و ال n are
relatively prime ولا لا او لجريسس common divisor
لهم بدي يساوي واحد يبقى هذا معناته ان الجريسس
common divisor لل a و ال b و ال n بدي يساوي الواحد
هذا بدي يعطيلك ان ال a,b and ال n are relatively
primeهذا شو معناه يا شباب هذا معناه ان ال a و b
موجودين في ال un يعني عملية ضرب modulo n is a
binary operation يبقى هذا معناته ان ال multi
application modulo n is
a binary
Operation بدنا نيجي للنقطة التانية النقطة التانية
بدي أخليها عليك تمرني دك فيها في الدعري check that
this operation is associative
on الـ UN يعني وكذبت لي أنه إيه في B في C بده
يساوي إيه لحالها مضروبة في B وC النقطة التالتة مين
ال identity element لهذه ال group واحد يبقى واحد
is the identity element
شو السبب ان لو ضاربته في a modulo n بطلع ال a
itself يبقى هذا because واحد في a modulo n بدر
يساوي ال a modulo n اللي بدر يساوي ال a itself لكل
ال a الموجودة في ال UN
طب النقطة الرابعة بد ال inverse the inverse of ايه
اللي موجود في ال U N is N
مين قال هذا الكلام يعني لما اقول N زائد واحد على N
كله مجسوم على N مش هيك على ايه طب هل هذا انتجة
طب كيف بده يصير عادي؟ برا ال z ده ده يعني مو صبطتش
معاناة أو برا ال UN صحيح؟ يبقى هذا الكلام ليس
صحيحا يبقى لو جيه تقولك the inverse of L is X
where X
is the solution of the equationهو حل المعادلة ax
modulo n بده يساوي مين؟ بده يساوي واحد لأن هذا
الواحد هو ال identity element يبقى حل المعادلة هذه
طبعا هذا بيعتمد على ال a من هي وعلى ال n من هي إذا
عرفت ال n وعرفت ال a بقدر أجيب له ال x بسهولةو هذه
القصة بصير سهلة يبقى هذه صارت appealing group
لانها حققت لمن؟ حققت للاربعة شروط يبقى لو اعطيتك
مثال for example تفضل
قول
أحنا اللي بنقولك الحل تبع هذه المعادلة بيكون هو
المعكوس تبع الـA وهذا يختلف من عنصر إلى آخر قد
يكون الـA معكوس لنفسه وقد يكون معكوس آخر كما سأريك
الآن إن كانت هذه ال group لازم غصب عن و عن ما اسمك
أنت ماهر ماهر ايه خريسغصب إن هو عنده مهر يخلص لازم
يجي معكوس لهذا الالمطور اللي بس بطل يصير group
تمام؟ يبقى ال group لازم كل عنصر في ال group اللي
جيه له معكوس طيب يبقى هو حالة نعطي مثال توضح لو
أخدت you اللي بدك إياها مش ممكن تدحك أنت you إيش
بدك إياها؟ you خمسة دي كم رشد؟ you عشر مثلا، you
عشرةعشريش عناصرها الواحد والاتنين التلاتة
أربعة خمسة ستة سبعة تمانية تسعة يبقى ماعنديش إلا
هذه العناصر تمام الواحد هو ال identity elementيبقى
احنا كله modulo عشرة بدي اشوف التلاتة مين معكوسها
ماهو العدد اللي بدي اضره في التلاتة modulo عشرة
يعطينا الواحد الصحيح مين؟ السبعة سبعة في تلاتة
واحد عشرين شيل منهم عشرتينيبقى الـ identity
element يبقى التلاتة هو معكوس السبعة والسبعة هي
معكوس من الادلي والتلاتة يبقى التلاتة is the
inverse element of سبعةطب التسعة مين معكوسة؟ نفسها
لإن التسعة في تسعة و 8 عشرات بظلمين ال identity
element and تسعة is the inverse of itself يبجى
التسعة هو معكوس لنفسه
يبقى خريص لقيناله معكوس ولا لا طبعا
هذه ال group شباب عليها سنة كتيرة و عليها شغل كتير
يبقى هذه ال group very important طيب ننتقل الآن
إلى المثال اللي بعدهيبقى مثال سبعة مثال سبعة بيقول
the set لو أخدت ال z و عليها عملية الطرح of
integers of integers under subtraction
هل يا ترى هذه group ولا ماهياش group؟ اه ده السؤال
أنا أدعي is not a group because
طبعا لو طرحت اي عنصر من بعض سواء طالع انها تجميل
وجود والله سالم فيها وموجود في z إذا عملية الطرح
على z is a binary operation مافيش فيها مشكلة لكن
هل هذه associative ام لا الله أعلم يبقى هنا
because if التلاتة مثلا والخمسة والسبعة موجودة في
z thenأنا بدى تلاتة ناقص وعندك خمسة ناقص سبعة بدى
أستخدم خاصية ال associativity أشوف أصحيها عليها
ولا لأ يبقى هذا تلاتة ناقص خمسة ناقص سبعة مقداش يا
شباب ناقص اثنين يعني تلاتة زيدي اثنين يسوى مقداش
خمسة بطولكن تلاتة ناقص خمسة ناقص سبعة و يساوي
تلاتة ناقص خمسة سالب اتنين سالب اتنين سالب سبعة
سالب تسعة يبقى هذا الكلام معناه انه العملية
associative ولا not associative يبقى هذا معناه انه
subtraction عملية الطرح is not associative من هنا
زعمنا قبل قليل انها ليست groupإذا عملية الأعداد أو
مجموعة الأعداد الصحيحة تحت عملية الطرح مهياش group
المثال رقم تمانية بيقول إذا set R star مين هي هذه
ال star اللي هي عبارة عن ال set R بدي أشيل منها ال
zerosix star of non zero real numbers non
zero real numbers is a group under the ordinary
السبق
مرة تانية ال set of real numbers اللي هي اللي بدي
أشيل منها ال zero و بدي أسميها R star يبقى مجموعة
الأعداد الحقيقية استثنت منها ال zero عرفت عليها
عملية الضرب العادية طبعا الأعداد ال real numbers
أضرب اي two real numbers في بعض بيطلع ايه اش ولا
بيطلع يعني natural اطلع real تمام يبقى هذا معناته
ان ال multiplication is a binary operation اتنين
عملية الضرب العادية is associative عالمين على ال
set of real numbers يبقى ده اللي عندى بد ال
identity element وبد ال inverse element يبقى
becausewe know that احنا بنعرف ان ال multi
application is a binary binary
associative binary associative operation
بالنسبة للدرب الوحيد هو
الـ identity element of R starطب لو أخدت عنصر A
معكوس في R و الله K موجود في R مين معكوسه بيكون؟
ممتاز جدا يبقى مقلوبه هو بيكون معكوسه لأن لو ضربت
اتنين في بعض بطلع من؟ ال identity element يبقى
باجي بقوله the inverse element of Aاللي موجود في R
star is واحد على إيه since إيه في واحد على إيه بده
يساوي واحد طب السؤال هو ليش استبعد ال zero؟ أيوة
يبقى ال zero مالوش معكس لو ضربته في أي رقم لا يمكن
يطلع من؟ لا يمكن يطلع الواحد الصحيح على الإطلاق
مثال تسعة بيقول الدراسات جي الto over R الgeneral
linear group of two by two matrices over R اللي هي
كل المصوفات A, B, C, D بحيث أن ال A والB والC والD
موجودة في set of real numbers وفي نفس الوقت ال A D
نقص B C لا يسوى Zero
under matrix multiplication
is
a group
طبعا احنا درسنا في الجبر الخطي المصحوفة لنظامها
اتنين في اتنين يبجي فيها صفين و عمودين يبجي هذه
المصحوفة بقول انه نظامها اتنين في اتنين او ال size
تبعها اتنين في اتنين مش اتنين في اتنين يسوى اربعة
الاتنين الأولى يدل على رقم الصفوف والاتنين الثانية
يدل على رقم الأعمدة يبقى هذه بدى أسميها ال general
linear group of two by two matrices over R هكذا
تقرأ general linear group of two by two matrices
over R مين هي هذه أنا مهمنيش التسمة بهمني التركيب
الداخلي مين هي هذهيبقى هي كل المصففات اللي نظامها
اتنين في اتنين و ال elements اللي داخل المصففة
كلهم عناصر موجودة فيها سواء كان zero ولا واحد ولا
نص ولا تلتبع ولا اي رقم سالب موجب كثير ماعناش
مشكلةAnd و في نفس الوقت ال A D ناقص B C ليسوا Zero
اتطلعلي A D ناقص B C شو يعني هنا يعني المحدد تبع
المصوفة المحدد تبع المصوفة ليسوا Zero يبقى نحنا كل
المصوفات اللي عناصرها بيكونوا أعدادحقيقية
ومحدداتها لاتساوي أسفارا عرفت عليها عملية ضرب
العادية تبع المصحفات under matrix multiplication
عملية ضرب المصحفات بدعي أنا هذا أن هذا is a group
نرجع للجبر الخطي اظن حاصل ضرب تلت مصحفات
associative ولا لا اتنين لما نضرب مصحفتين نظامهم
اتنين في اتنين تطلع مصحف النظام اربعة في اربعةو
الله اتنين في اتنين يبقى اتنين في اتنين كذلك اذا
عملية ضرب المصطفات is a binary operation يبقى
بقوله النقطة الاولى we know that من الجبر الخاطئ
we know from linear algebra that
matrix multiplication is
an associative binary
operation
on
النقطة الثانية ال identity element
In the general linear group of two by two matrices
over R, which is 1,000,000,000,000,000,000,000,000
,000,000,000,000,000
,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
بنبدل عناصر القطر الرئيسي وبنغير إشارات عناصر
القطر الثانوييبقى دي واحد على ا دي ناقص بي سي في
المصوفة هذه دي بيصير هنا وال ا مكانها بنبدل ال ا
وال د مكان بعض وبنغير إشارات عناصر القطر الثانوين
يبقى من هنا صارت هذه group السؤال هو is it abelian
group ايوة يبقى هنا ال general linear group of two
by two matrices is not abelian because السبب ان ال
a bلا يساوي BA والA والB موجودات في ال general
linear group of two by two matrices over R دير
بالك ما كتبتش for all A وB لإنه يمكن يوصف بيحصل
أحيان يطلع ال A في B ويسوي ال B في ال A لكن مش
دايما يعني لو جيت حالة حالتين تلاتة بيشدوا عن
القاعدة لكن ال general الكلام هذا مالهمش صحيح يبقى
هذا مثال عملي فعلا ومتعرف عليه واشتغلناه في ال
linear algebra ان هذه ال group عبارة عن non
abelian group تمام و ال identity element عرفنا
ممكن نيجي ناخد منها حالة خاصة يا جباب ايه
بيه لا يستوي بيه
هي واحد عالى اي
دي ناقص بي سي اللي هو المحدد طبعا
أنا كان بإمكاني أقول لك هذه matrix is an
associative binary operation ال binary operation
كان بإمكاني أعملها لك كالتالي أنا عندي شرط إن
المحدد لا يساوي zero صح ولا لا إذا لو أخدت مصفتين
محددهم لا يساوي zeroلو ضربتهم في بعض و أخدت المحدد
تبعهم و دي يطلع معناه لا يساوي ذلك لإن ال
determinant لل A في ال B يساوي ال determinant لل A
في ال determinant يعني كان بإمكاني ها دي ها ها
اللي ال binary operation أقولكان انا عندى ال
determinant لـA لا يساوي 0 و ال determinant لـB لا
يساوي 0 صح ولا لأ حسب ال condition اللى هماطينيا
الان لو أخدت ال determinant للـA في الـB حسب
معلوماتنا من ال linear algebra اللى احنا قلنا
عليها ال linear algebra يبقى هذا بده يساوي
determinantللـ F determinant للـ B تمام؟ يبقى هذا
كله ماله لا يساوي Zero معناته حصل الضرب هذا موجود
وين؟ موجود في الـ U من هنا هذه صارت binary
operation و لا associative يام أخدناها في الثانوية
و كذلك أخدناها وين؟ في الجبر الخاطي طيب ممكن نيجي
نروح ناخد حالة خاصةمن ال general linear group هذه
بدل المحدد لا يساوي 0 بدي أقول محدد يساوي 1 صحيح
وهذه بسميها ال special linear group of two by two
matrices over R وهذه كمان بتلعب دور كبير في عين
الجبر عندنا في المسائل المختلفة
نمرة عشرة the set الهي ال special linear a group
of two by two matrices over R اللي هي كل المصففات
اللي على الشكل اللي عندنا a,b,c,d بحيث ان ال a و
ال b و ال c و ال d هذه موجودةموجودة في ال Q أو ال
R أو ال C or ZP or ZP and وفي نفس الوقت and
الـ and ال a d نقص بي سي يساوي واحد هذه
is called the special linear a group of degree
of degree two over a يبقى دي بدل مكانة general هنا
قولنا special حالة خاصة منها المحدد يساوي واحد و
برضه هذه ما لها is هذه a group under matrix
multiplication
طيب تعالى نتفهم شوية ال general أنا أخدتها بس على
set of real numbers هنا إيش كاتب؟ كاتب ال elements
هدول ممكن يكونوا rational number و ممكن يكونوا
real number و ممكن يكونوا complex number و ممكن
يكونوا ZP حيث ال P is prime يبقى ال P هذا شباب هذا
primeيعني ممكن أخد العناصر من زد اتنين و من زد
تلاتة و من زد خمسة و من زد سبعة و من زد احداش و من
زد تلتاش لكن باخدهمش من مينباخدهمش من z6 باخدهمش
من z8 باخدهمش من z9 يبقى شرطنا انه zp prime يعني
بمعنى اخر ان هذه المصفوفات المجموعة المصفوفات
العناصر ممكن يكونوا من ال Q بس والمحدد لا يساوي
zero ممكن يكونوا من ال real numbers والمحدد لا
يساوي zero ممكن يكونوا من ال complex numbers
والمحدد لا يساوي Zero ممكن يكونوا من ال ZP والمحدد
ماله لا يساوي Zero الان لو قلت هدول من ال real
number بصير هذه حالة خاصة من مين؟ من السؤال اللي
جبله ال identity element هو واحد Zero Zero واحد
معكوس المصوفة هو نفس المعكوس اللي عندنا هذا بس هذا
ايش بصير؟ بروح بواحد لإن المحدد يساوي واحد يبقى
باجي بقوله هناالواحد هو المصفوفة اللي هو ال matrix
اللي
هي واحد زيرو زيرو واحد is the identity element
In the special linear group of two by two matrices
over R The inverse of الـ A والـ B والـ C والـ D
اللي موجودة في ال general linear group of two by
two ال special linear group of two by two matrices
ما ينطبق على Rينطبق على ال special linear of two
by two matrices over q و over c و over zp يبقى
this is a true for ال general for ال specialالـ
Special Linear Group of 2x2 matrices over Q والـ
Special Linear Group of 2x2 matrices over C والـ
Special Linear Group of 2x2 matrices over ZT
أظن هدول كلهم طبيعي بسهلات الحسابات لكن تعالى نحسب
لك شغلة زى هذه نعطيك مصفوفة موجودة في zp ونشوف ايش
اللى حصل for example consider
زد بي هي زد فايف يبقى
then اللي هو غرض واحد zero zero واحد is the
identity element
طب بنفع يا شباب اقول في زد خمسة في عندنا واحد خمسة
تلاتة اربعة واحد خمسة تلاتة اربعة بنفع؟ لأ الخمسة
مش موجودة هذا زد خمسة معاك من zero واحد اتنين
تلاتة لغاية اربعة اقل من انه بتبدأ من وين؟ بتبدأ
من ال zeroيبقى الارقام اللي بدك تاخدها تبقى zero
واحد اتنين تلاتة اربعة فقط لغير ما تزيد عليهم هاي
واحدة الثانية بد المحدد تبعه يكون كده مشان يكون
يكون كلامها صحيح طيب يبقى هذا هو ال identity
element لمين لل group هذي
the inverse of a b c d is نفس القصة d a ناقص b و
هنا ناقص cنعطي مثال عددي غالي يعني ناخد مصفوفة
عناصرها من زد خمسة ونشوف كيف بدنا نجبلها من
المعكوس
تساوي مثلا تلاتة اربعة اربعة اربعة بالشكل اللي
عندنا بدأ
اشوف هل المصفوفة هذه موجودة في ال special linear
group هذي ولا لأ بمعنى اخرالعناصر تبقى تلاتة و
أربعة و أربعة و أربعة موجودة في Z خمسة كلام مظبوط
اتنين هل المحدد بدي يسوي واحد ام لا ماجي بقوله هذا
بدي determinant لل A يبقى تلاتة في أربعة ناقص اللي
هو أربعة في أربعة كل هذا موديولو
يبقى هذا الكلام يبدو يساوي تلاتة في أربعة باطن عشر
ناقص ست عشر مديولو خمسة ويساوي ناقص أربعة مديولو
خمسة طيب الناقص أربعة هذه لو ضفت لها المقياس اللي
هو خمسة بطلع كده؟ واحديبقى هذه بطلع واحد module
وخمسة يعني بواحديبقى بناء عليها شباب ال
determinant لإيه سوا إيه سوا احد معناته المصحوفة
هذه موجودة يبقى هذا معناه ان المصحوفة تلاتة اربعة
اربعة اربعة belongs لل special linear group of two
by two matrices over z five طيب بدنا نجيب المعكوس
تبعهباجي بقول الان the inverse matrix of اللي هي
تلاتة أربعة أربعة أربعة is المحدد بواحد صحيح يبقى
بنقسم شعليه يبقى باجي بقوله بصير هنا أربعة و هنا
تلاتة بدلنا عناصر القطر الرئيسي مكان بعضعناصر قطر
الثروة بيكون بالمن؟ بالصالب بالشكل هذا طيب
لو جينا لبعضك و قولنا له طب اربعة في تلاتة باطماش
ناقص 16 يظهر ناقص 4 يعني واحد طيب انا بدي اجيبها
لك بطريقة اخرى لو جيت قولتلك بالشكل اللي عندنا هنا
لان هتيجي تقول ال ZP فش فيها سالب اربعة و سالب
اربعةزد P تبدأ من واندي Zero واحد اتنين لغاية P
ناقص واحد مانشيفاش عندي سالب طب و السالب هذا كيف
جبته بقولك بسيطة جدا الان هذا السالب بدي احوله الى
موجب الموجب بخليها زي ما هي السالب انا زد خمسة
يبقى المقياس عندي قداش خمسة اذا بدي اروح اضيف خمسة
للسالب اربع بطلع قداشواحد يبقى هذا عندنا واحد و
هذه واحد و هذه تلاتة تمام؟
انا ادعي ان هذه المصفوفة هي معكوث من؟ معكوث
المصفوفة الأصلية، مشان يبقى كلام صحيح لو ضربتها من
اليمين او من الشمال بدي يطلع من؟ مصفوفة الوحدة
يبقى دير بالك، اي مصفوفة أخرى تاخدها بعد ذلك
موجودة في ال especially بقيت عاملها بنفس الطريقة
يعني انا مش جايبها للناس اللي هو انما مش هنعلمك
كيفية الحسابات في ZP بدك تجيب عناصر المصوفة لعناصر
اليوم اللي ميكونوا من ZP اثنين النتيجة اللي اتضارب
نتيجة اللي اخد المحدد بدك تتقيد بخاصة ZP وشروط ال
special linear group ان المحدد تبعها بده يساوي مان
بده يساوي واحدالان لو ضربت
اتنين في بعض اذا ما طلعش مصمم تلواحدة بصير كلامي
غلطأثنين انا لما ادعي ان هذه المعكوس المصوفة هذه
لازم العناصر اللي يطلع دول يكون موجودات في Z فيه
يبقى الواحد و التلاتة و الأربعة و الواحد كلهم
موجودة في Z خمسة مظبوط يبقى كله من Z خمسة الان انا
لازم اقول it was كذا because ليش هذه هي المعكوس
انا الآن حسبت عمليا بس بدي اثبتها رياضيةلو قلت
تلاتة اربعة اربعة اربعة اربعة اربعة اربعة اربعة
اربعة اربعة اربعة اربعة اربعة اربعة اربعة اربعة
اربعة اربعة اربعة اربعة اربعة اربعة
طيب الصفر الثاني في العمود التاني تلاتة واربع في
تلاتة باطناش اتناش و تلاتة خمستاش اربع في اربع
بستاش واربع عشرين الان اربع في واحد باربع واربع في
تلاتة باطناش اللي هي بستاش لكن انا بده هذا كله
مديله خمسةموديول الخمس هنا واحد زيرو وهنا زيرو
واحد هو ال identity matrix يبقى فعلا هذه هي هذه
اللي هي المصوفة ومعكوس هذه المصوفة هي المصوفة اللي
عندنا يبقى عند الحسابات في زد خمسة في زد سبعة في
زد أحد عشان بدك تحسب بنفس الطريقة اللي عندنالازلنا
في المحاضرة القادمة مع مزيد من الأمثلة على Legros