موسيقى
الآن نكمل الموضوع الذي تحدثنا فيه المرة الماضية
وهو الـ hyperbolic functions أخذنا الـ derivatives للـ
hyperbolic functions وبدأنا في التكاملات وآخر
حاجة كملناها كان تكامل tanh x و sech x وقلنا أن
الـ sech x تمامًا مثل الـ tanh x والـ cosech x تكاملها
مثل الـ sech بالضبط، مثل ما عملنا الـ sech بنعمل main
ننتقل هنا لتكامل الرقم 2، يبقى integration لـ e
أصلًا ناقص x في cosh x dx
لذلك ممكن أحولها كلها بدلالات الـ x exponential
function وأسهلنا من هذه الشغلة، إذا هذه بتصير
كالتالي، يساوي integration لـ e والسالب x cosh x
ليه e والسكس زائد e والسالب x كله على اثنين في dx
هذا الكلام بده يساوي نصف، خليه برا التكامل لإنه
constant وهذا بيظل 1 زائد e أس ناقص اثنين x وكل
هذا بالنسبة لمين؟ لـ dx، يبقى هذا نصف وتكامل الواحد
هو بـ x والـ x بنشيله بنفسها زي ما هي مقسومة على سالب
اثنين زائد constant c، إذا الإجابة cosh x ناقص ربع
e أس ناقص اثنين x زائد constant c، التكامل الثالث
بدنا تكامل لمين؟ لـ sech³ x tanh x dx ويساوي
يلا ماذا تقترحون حتى نستطيع نكامل هذه المثلّة، نعمل
الـ sech اللي هو sech² x في sech x في tanh x
في dx، هذا كله مشتقة مين؟ sech بس بإشارة سالب لأن
مشتقة الـ sech بسالب sech tanh، إذا هذه تساوي سالب تكامل
لـ sech² x dx لـ sech x، شكل عن هذا وكانت واحدة من
كامل y² dy، يعني من هنا لو حطيت الـ sech x بـ y
يبقى sech x tanh x هي سالب dy على أي حال كان
المثل y² dy، يبقى نضيف للأس واحد ونقسمه على
الأس الجديد، يبقى ناقص ثلث sech³ x زائد
constant c، السؤال الرابع بدنا تكامل لـ sinh 2x
على 1 زائد cosh x كله بالنسبة لـ dx يساوي
عن اسم رأيكم واضح هنا cosh x وهنا sinh 2x
يبقى هذه اثنين
sinh x في cosh x في cosh x كله على مين؟ على 1
زائد cosh x كله بالنسبة لمين؟ كله dx، ممكن أشيل
المقام كله مرة واحدة وأحطه بمتغير آخر، إذا لو حطيت
الـ y تساوي 1 زائد cosh x يبقى dy يساوي sinh x
dx، إذا ممكن أشيل sinh x مع الـ dx كل هذه أكثر
بدلها بمين؟ يبقى بصير المثل يساوي هاي اثنين برا وهي
تكامل هادي مع هادي اللي هي بدي y، طيب cosh x هي
عبارة عن y ناقص 1 يبقى y ناقص 1 على y
بالشكل اللي عنها ده، يبقى تحولت المثل من دوال
زائدية إلى دوال عادية، يبقى هذا الكلام بده يساوي
اثنين تكامل 1 ناقص 1 على y في الـ dy يساوي
اثنين
تكامل 1 هو بـ y وهذا ناقص ln absolute value
لـ y زائد constant c وتساوي 2 فيه نجي إلى y يبقى
1 زائد cosh x يبقى 1 زائد cosh x ناقص
ln 1 زائد cosh x زائد constant c بالشكل اللي
عندنا هنا طبعًا ما حطيتش الـ absolute value لأن الـ cosh
دائمًا وأبدًا موجبة بياخد قيم من 1 فما فوق وأنا
كمان 1 يبقى هذه positive for all x يبقى هذه بده
يساوي 2 زائد 2 cosh x ناقص ln 1 زائد
cosh x زائد constant c، لو روحنا للكتاب بلاقي
الإجابة هذه بلاقي جزء منها وجزء منها لا، يبقى لو
روحنا للكتاب بلاقي 2 cosh x ناقص ln 1
زائد cosh x بالشكل اللي قمناها بقى زائد
constant وليكن c1، الآن الـ c هذه تعتبر constant و 2
كمان constant ممكن يشيلهم ويحضرهم c1 والـ c1 بده
يساوي c زائد 2 يبقى بنلاقي الإجابة عنها، هذه
ملاقيش الإجابة اللي فوق، على أي حال، هذه والله هذه
تفرجش هنا، طيب هذا السؤال الرابع، السؤال الخامس بدنا
تكامل لـ 1 زائد tanh x كله مقسوم على العالمين على
cosh² x في الـ dx
الآن لو جيت لي هذه المثلّة بقدر أقول هذا الكلام بده
يساوي تكامل أظن أبسط شغل أنه نوزع الـ bus على
المقام، يبقى بصير أن هذه 1 على cosh² x زائد
tanh x على cosh² x كل هذا الكلام بالنسبة لـ dx
هذا بده يساوي تكامل 1 على cosh² اللي هي
مين؟ sech² x زائد هذه 1 على cosh² كمان
sech² x يبقى هذه sech² x في tanh x كله
بالنسبة لمين؟ إلى dx، هذه تكاملها سهل، هذه تكاملها
مثل مين؟ مثل السؤال اللي عندنا هنا في الأول بالضبط
تمامًا، ليش؟ لأن تفاضل الـ tanh هو sech²، يعني
ممكن أشيل هذه مع هذه وأكتفي بدلها d tanh، يعني كأن
المسألة هي تكامل لـ sech² x dx زائد tanh x
بدنا نكاملها، وهذه مع هذه اللي مشتقة tanh x
طلع لي مرة ثانية، مشتقة tanh x اللي بـ sech² x
dx هي sech² x أو sech² x وهذا dx يبقى sech
² x مع dx كتبت بدلها d tanh يبقى تكامل الـ sech
² هو tanh x زائد tanh² x كله على اثنين
زائد كله constant c
اثنين، هذه مالها؟
هذه اثنين،
آه هنا بدها اثنين فقط ولا غير، صحيح؟ وهذه بدها
اثنين، صحيح، مظبوط كلامك، صح مائة بالمائة، أيوة
بقول زي ما بدك بس اكتب له صح وخلاص، كل حاجة تكتبها
صح
ما حدش يقدر يترد عليك فيها تمام؟ المهم تقبل كتابتك
صحّحها واتخافش، كلمة تكتب اكتبها عند التصحيح بترجمها
شاطر في الترجمة، طيب need a need a love سؤال اللي
بعده هذا خمسة، سؤال ستة، سؤال ستة بدنا تكامل لـ tanh
x ln cosh x كله في dx، ln cosh x كله في tanh
x
لو جينا نتطلع للمثل هذه في شغل مصعبان، شو لبس
الشعب هذه؟ اللي هو ln cosh، تمام؟ إذا لو حطيت الـ y
تساوي ln cosh x، بدنا dy يبقى 1 على cosh x
في تفاضل الـ cosh اللي هو sinh x في الـ dx، يعني الـ
dy sinh على cosh اللي هي بمين؟ tanh x dx، يبقى هذا
كله مع هذا كله بشيله بحق بدل مين؟ dy، يبقى صارت
المثلّة كامل y dy، يبقى هذا بسيط جدًا، نصف y² زائد
constant c، نصف بشيل الـ y وبحط بدل الـ ln cosh x
لكل تربيع زائد constant c، good exercise لك حل
في الدقرة براحتك، بدنا تكامل لـ cosh⁻¹ tanh
x sech² x كل هذا على الـ square root لـ 1
minus اللي هو tanh² x كله بالنسبة لـ dx
cosh⁻¹ وليس cos⁻¹، أنت حتى الآن ما أخدتش
معكوس الدوالة الزائدية ولكن سآخذهم فورًا
بنجي الآن لمعكوس الدوال الزائدية، يبقى الـ inverse
hyperbolic functions، الـ inverse hyperbolic
functions
معكوس
الدوال الزائدية، خلي بالك معناه هنا
هذا محور x، هذا محور y، هذه نقطة الأصل اللي هي zero
افتحوا لي على رسمة الدوال الزائدية اللي رسمناها المرة
الماضية، الرسومات الستة، مشان بدنا نجيب المعكوسات
تبعها، لو رحت لرسمة sinh⁻¹، رسمة sinh⁻¹
كانت بالشكل اللي عندنا هذا، open up open down، لما
نرسم الخط y تساوي x، نجيبها عبرها، يبقى بيصير sinh
⁻¹ بهذا الشكل، يبقى
هذه رسمة مين؟ sinh⁻¹
x، واضح أن الـ domain يساوي الـ range يساوي كل الـ real
line، ب ال estate
في نقطة واحدة، يبقى الدالة one to one، يبقى الـ
inverse exist، يبقى هي رسمت من الـ inverse بدنا نيجي
لل gauche inverse يبقى لو روحنا و قلنا هذا محور
X هذا محور Y هذه نقطة الأصل اللي هي Zero رسمنا
منحنى ال gauche فمنحنى ال gauche بقى جارى زي هيك
هذه النقطة هي 1 أو 01 لو رسمت horizontal line
هيقطع المنحنى وين فيه نقطتين لذلك بدنا نروح نعمل
restriction على ال domain المنقطة هذه كأنها مش
موجودة بداخلها بس الجزء اللي على اليمين يبقى لو جينا
و قلنا هذا الخط اللي عندنا y تساوي x و بدي أقلب
الرسمة عبر هذا الخط هذا الخط اللي همين y تساوي x
أقلب الرسم عبر الخط يبقى النقطة هذه الإحداثي تبعها
Zero و واحد و Zero يبقى بدأ يصير هذه هذا كمكيف
أبوه يصير ماله كمكيف دعوه يكون متمثل بالنسبة لمن
للخط Y تساوي X إذا اللي فوق هذه هي جوش X واللي
تحت هذه هي جوش inverse X ال domain بتابع جوش
inverse x يساوي من واحد لغاية infinity
وال range بتابع جوش inverse x بده يساوي من 0
لإنفينيتي يبقى من 0 لأقل قيمة بياخدها هنا اللي هي
الصفر و بيبدأ يطلع و يزيد يبقى هذه رسمة من الجوش
والجوش inverse اطلع لي على رسمة التنش inverse عندك
التنش ال X قصدك تانش ال X لو رسمت أي horizontal
line بتلاقي يقطع المنحنى في نقطة واحدة المنحنى
مرسوم بين سالب واحد و واحد ارسم أي خط أفقي بتلاقي
يقطع في نقطة واحدة إذا المعكوس موجود وبالتالي لو
رحت ارسم منحنى تانش inverse يبقى بقول هذا محور X
وهذا محور Y وهذا النقطة إلى 1 وهذا النقطة إلى 2
سالب 1 لو تخيلت الخط X يساوي واحد والخط X يساوي
سالب واحد وجيت ارسم الرسمة اللي عندنا هذه يبقى
رسمتها شبيهة بمنحنى تان مع الفارق هذا من سالب واحد
إلى اثنين اللي هو اثنين لكن هذا من سالب واحد إلى
واحد يبقى بديجيك المنحنى بالشكل هذا هيك ويجي نازل
بهذا الشكل يبقى هذه رسمة اللي هو tan inverse x
الآن بدنا ال domain للتانش inverse اللي هجينا و
قلنا بدنا نأخذ ال domain للتانش inverse x اللي هو
اللي وين؟ من سالب واحد إلى واحد as an open
interval لكن ال range للتانش inverse x من سالب
infinity لإنفينيتي يعني كل real line بالاستثناء
.الآن بدنا نيجي لكتانش inverse x هذا محور x هذا y
وهذا z المرة الأخرى رسمنا التانش والكوتانش على نفس
الرسمة وكان ما فيش تداخل فيه ما بينهم من سالب واحد
إلى واحد للتانش بعد الواحد وقبل السالب واحد لمين
للكوتانش وهنا نفس الطريقة لو جيت قلت هذا الخط اللي
هو x يساوي واحد وهذا الخط الثاني ال X اللي هو تساوي
سالب واحد إذا كوتانش مش هيدخل المنطقة ما بين
سالب واحد وواحد وإنما يخلقها لمين لتانش inverse
يفهم لو روحت رسمتها هتاخد الشكل التالي ومن هنا
هتاخد الشكل هذا اللي عندنا تمام؟ يبقى هذه هي ال
cot inverse x وهذه كمان هي ال cot
inverse x يبقى ال domain تبعها من عند واحد لما لا
نهاية ومن سالب واحد لسالب ما لا نهاية
للكوتان inverse x بده يساوي من سالب infinity لغاية
سالب واحد as an open interval اتحاد واحد و
infinity
الـ Range لكو تانش inverse X كل الـ real line ما
عدا الـ zero يعني كأنه من سلب infinity لغاية الـ
zero اتحاد zero و infinity طب نيجي للرسمة الرابعة
شكلها أن هذا هيك الخامسة هو الواحد
الصحيح يبقى لو رسمنا منحنى السش منحنى السش بيجيني
بالشكل اللي عندنا هذا هو السش ال X لو جينا رسمنا
horizontal line في الفترة من عند الصفر لغاية
الواحد بلاقي الخط الأفقي لأن هذا سيقطع المنحنى في
نقطتين إذا المنحنى هذا أو الدالة هذه ليست one to
one لكن لو روحت عملت restriction على ال domain من
عندي ال zero لغاية infinity معناه هذا الكلام شيلت
هذه كلها لمنقطة مالهاش وجود يبقى اكتفيت من عندي ال
zero لغاية infinity و رسمت أي horizontal line ضمنت
في هذه الحالة أن المنحنى بدي يكون one to one النقطة
اللي فوق هذه الإحداثي تبعها Zero وواحد في
المعكوس ماذا سيحصل؟ واحد و Infinity يبقى لو جيت ارسم
ها ستجيك هكذا بالشكل اللي عندنا هذا يبقى الخط
الأزرق هذا هو Sinh inverse X فبيصير عندنا Domain
Sinh inverse X يساوي من وين لوين؟ ال domain بنصف
الواحد بس من عند ال zero open ومن عند الواحد
مغلقة closed طيب بدنا range ل Sinh inverse X واللي هو
بده يساوي من أولى ومن أولى من عند الـ Zero لغاية
Infinity من عند الـ Z closed أقل قيمة بياخدها Zero
عند X ساوي قداش واحد طيب نجرى الرسمة الأخيرة اللي
هي رقم ستة هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل
اللي هي Zero المرة اللي فاتت رسمنا y تساوي Cosh ال x
فكانت قوسين على شكل الدالة y تساوي واحد على x لو
جيت رسمت الخط y تساوي x وقلبتها بطلع شكل يشبه مين
الأصلي يبقى بديجيك هذه وهذه بديجيك بالشكل اللي
عندنا هذا يبقى هذه رسمة Cosh inverse x الآن اطلع ال
domain يساوي ال range يساوي كل ال real line ما عدا
الـ zero يبقى domain لـ Cosh inverse x بده يساوي ال
range بتابع الـ Cosh inverse x بده يساوي كل الـ
real line بده أشيل منها مين بس الـ zero أو من سالب infinity
إلى zero اتحاد zero و infinity يبقى هذه الرسومات
الستة زي ما أنت شايف ليه معكوس الدوال المثلثية في
أن الآن بعض القواعد تخص معكوس الدوال الزائدية على
الشكل التالي يبقى بالدراجة some rules بعض القواعد
about inverse
hyperbolic functions
نمرة واحد Sinh
inverse X يساوي Cosh inverse واحد على X نمرة اثنين
Cosh inverse X يساوي Sinh inverse واحد على X نمرة
ثلاثة Cotanh inverse X يساوي Tanh inverse واحد على
X نقرأ
البرهين سهل جدا بنبرهن أي واحدة فيهم والباقي كله
بنفس الطريقة فمثلا لو قلنا افترض ان ال Y بدنا
نبرهن نمرة A أو النقطة اللي هي نمرة واحد
بنجيب الجملة المكافئة لهذه الجملة فبروح نأثر على
الطرفين بمن؟ ب Sinh بصير عندي Sinh ال Y يساوي كده؟
يساوي X Sinh مقلوب من؟ نقلب ال Cosh يبقى هذا معناه واحد
على Cosh ال Y بده يساوي من X بدنا نشكله يبقى هذه
بيصير Cosh ال Y يساوي قداش واحد على X بدنا نجيب
العبارة المكافئة لهذه العبارة يبقى نأثر على الطرفين
بمين؟ Cosh inverse يبقى بيصير أن y يساوي Cosh inverse
واحد على x مين هي y؟ ليه Sinh inverse x؟ يبقى هذا
معناه أن Sinh inverse x يساوي Cosh inverse واحد على
x وهو المطلوب، الشكل يعني هذاباخذ مثال صغير
example find the exact value بدنا القيمة الحقيقية
of Sinh لميم Sinh لـ Cosh inverse أربعة على ثلاثة
يبقى ال solution يبقى
يبقى يبقى يبقى يبقى يبقى يبقى يبقى يبقى يبقى يبقى
يبقى يبقى يبقى ببقدرش هنا ههه أقول أن هذا ال ..
هذه آه Sinh و Cosh universe ولا قادر ارسم مثلث ولا
قادر .. ما له علاقة بالمثلثات هذه لكن احنا عندنا
هنا ههه أول نقطة بأجي بقول هذه تساوي Sinh لما يكون
Cosh inverse أربعة على ثلاثة يبقى هو ال Sinh مقلوبة يبقى
بنبنى نكتب ال Sinh inverse ونقلبها يبقى هذه Sinh inverse
ومقلوبها قداش؟ له ثلاثة على أربعة الآن هذا
الكلام يستخدم الدومين الـ Sich inverse اللي مسحناه
قبل قليل من واحد لواحد من صفر لواحد تلت اربع موجودة
في الدومين لأنها جاية من الواحد الصحيحة موجودة في
الدومين من صفر لواحد إذا هذه هي اللي هتنغي التانية
والنتيجة جديش تلت اربع ليش because اللي هو تلت
اربع موجودة في الفترة من عند الـ zero لغاية الواحد
طب
نيجي لل derivatives of
inverse hyperbolic functions inverse hyperbolic
functions
مشتقة معكوس الدوال المثلثية if U is a
differentiable function of X then d U على DX
لسنش inverse U خلي بالك معناها هنا يبقى واحد على
الجذر التربيعي لواحد زائد U تربيع في ال DU على
DX لو رجعنا لمشتقة sign inverse فكانت واحد ناقص U
تربيع هذا و واحد زائد U تربيع في ال DU على DX
وما عنديش قيود على ال U لأن الsin inverse معرفة
لمين؟ لكل real line بلا استثناء
يبقى 1 على الجذر التربيعي ل U تربيع ناقص واحد في
DU على DX و بشرط أن ال U هذه مالها؟ أكبر من الواحد
الصحيحة لما عملنا domain الـ Gauss inverse صلي من
واحد لوين؟ للما لا نهاية، لكن الـU هذه اللي عند
الواحد ماهيوش معرفة، إذا استبعدنا المساواة هنا
نعمل تلاتة بدنا D على DX لتانش inverse U يبقى واحد
على واحد ناقص U تربيع في DU على DX اربع D على DX
لكو تانش inverse U واحد على واحد ناقص U تربيع في DU
على DX يعني مشتقة التانش انفرس هي مشتقة الكوتانش
انفرس؟ شكلا نعم لكن حقيقة لا، كيف الشكل هيبقى
الأثنين زي بعض، لكن بدنا domain كل واحدة فيهم
فبروح بقول و بالشرط الـ Absolute Value ليه أقل من
واحد لأن ال domain تبعها tension versus ما رسمته
محصور بين سالب واحد و واحد وهذه ال domain تبعها
greater than one بعد الواحد و جاب المين؟ و جاب
للسالب واحد و من هنا جاء الفرق بينهما خمسة بدنا D
على DX لمين؟ لسش Inverse U يبقى واحد على U الجذر
التربيعي لواحد ناقص U تربيع في DU على DX و الـ U
هذه أكبر من الـ Zero وأقل من الواحد الـ Sich
inverse الدومين تبعها ما بين Zero وما بين الواحد
الآن وبإشارة سالب يا بركالان ستة بدنا D على DX لا
قصش inverse U برضه سالب واحد على absolute value ل
U الجذر التربيعي لواحد زائد U تربيع في DU على DX
وبشرط أن ال U لا تساوي Zero طب من هذه بدنا نروح
نجيب ستة كاملات زي ما هذا ست مشتقات بدنا نجيب ست
تكاملات مش زي ال inverse trigonometric functions،
هذه جيبنا تلت تكاملات والتلت التانية زيهم بإشارة
سالب، هذه بتختلف، يبقى لو جيت للتكامل الأول بدنا
integration لواحد على الجذر التربيعي ل a تربيع
زائد x تربيع dx يبقى هذا كله بمين؟ بsin inverse x
على a زائد constant c هذه بالضبط بس بدل الواحد
أجتني نفس البرهان تبع sign inverse a يعني بدنا نحط
ال U أو بدنا نحط ال X لساوي AT دورة اوتوماتيكا
بتطلع معاك هذه و ال A بتروح نمر اتنين بنتكامل واحد
على الجذر التربيعي ل X تربيع ناقص A تربيع DX يبقى
هذه Gauss inverse كمان X على A زائد constant C
تلاتة integration لواحد على واحد او على A تربيع
ناقص X تربيع في DX طلعله هنا كويس، الاشتقاق تبع
الاتنين بيعطيني نفس النتيجة، إذا أنا عندي تكامل
يبدأ الإجابة بدأ تكون إجابتين الإجابة الأولى 1 على
a فتانش inverse x على a زائد constant c هنا 1 على
a كتانش inverse x على a زائد constant c طب كيف بدي
أميز بينهم؟ بنرجع بنقول هذا بالشرط أن ال absolute
value ل X أقل من A و هذا بالشرط أن ال absolute
value ل X مالها؟ أكبر من A وبالتالي تقيد ده ب
domain كل واحدة منهم طب لو وجاني سؤال في الامتحان
وجاني زي هي كده أو صرت معاه مثل بهذا شكل اكتب تنش
و الله اكتب تنش
إذا كان التكامل تكاملا محدودا يبقى أنا بتقيد بحدود
التكامل يابا حطله التنش، يالكه تنش، حسب حدود
التكامل اللي موجودة عندنا كما سنعطيك مثال بعد قليل
إن شاء الله تعالى. طيب التكامل الرابع بنتكامل ل 1
على x الجذر التربيعي ل a تربيع ناقص x تربيع دي x
يبقى هنا الكلام دي يساوي سالب 1 على a ل sich
inverse x على a زائد constant c وبشرط
أن ال zero أقل من x أقل من مين؟
نمر الخامسة بدنا تكامل واحد على اكس
لا حد ينصب انتهى الجزء النظري تبع ال section كله
لم يبق إلا مجموعة من الأمثلة على التفاضلات
والتكاملات وما يتعلق بمين؟ بمعكوس الدوال الزائدي
يبقى
examples بناخد example one أول
مثال solve for
x حل بالنسبة إلى x المعادلة E أس جوش inverse
لإتنين x زائد D على DX لماين لكو صين انفرس لصين ال
X الشكل اللي عندنا هذا كله يساوي Zero و Zero أقل
من أو يساوي X أقل من أو يساوي ال واحد هذا السؤال
يا شباب جئنا به في إحدى الامتحانات السابقة والآن
جايبين اقولك مثال مشان تعرف كيف بنفكر في ربط عدة
مواضيع مع بعضها بسؤال واحد السؤال مرة تانية بقول
Solve for X يعني حل بالنسبة لـ X يعني هات للقيمة
العددية لمن؟ لـ X علمًا بأن X محصورة بين صفر و
واحد لو الـ X كله اتبرأ أثناء الحل معاه و تحل
أكمل، مش مظبوط يبقى X محصورة بين الصفر و الواحد
أكبر من الصفر أو تساوي وأقل من واحد أو تساوي باجي
بتطلع هذا exponential مش تقى يبقى أنا بدي اشتق هذه
ومشان اطلع اشوف ايه الشكل الناتج في ما بقى إذا
باجي بقوله solution المثل اللي عندك E أس غوش انفرس
اتنين X الشكل اللي عندنا هذه مشتقة الـ cosine
inverse بسالب واحد على مين؟ على الجذر التربيعي
لواحد ناقص sine تربيع ال X في مشتقة الـ sine اللي
هو cosine X كله بيديه سوى قداش؟ بيديه سوى Zero
صارت المسألة E أس غوش inverse 2X ناقص واحد ناقص صين
تربيع X كوصين تربيع X تطلع من تحت الجذر absolute
من ال X لكن X محسوبة بين صفر و واحد يبقى كوصين
موجة يبقى بصيرة عندك كوصين ال X و اللي تحت كله
كوصين ال X يساوي Zero إذا صار E أس غوش inverse
للإتنين X ناقص واحد يساوي مانبيساوي 0 او E أس غوش
انفرس غوش انفرس اتنين X اتنين X بدي ساوي قداش؟ واحد
احنا بدنا ال X يبقى أول خطوة بنتخلص منين؟ من ال
exponential يبقى ناخد لان للطرفين يبقى هذا بده
يعطيلك أن غوش انفرس اتنين اكس بده يساوي لن الواحد
لأن الواحد في جداش إذا جوش inverse اتنين اكس بده
يساوي جداش بده يساوي zero أنا مابديش شكل حتى جوش
inverse يبقى بأثر على الطرفين بمين؟ بجوش يبقى هذا
بدي يعطيك جوش لمن؟ لجوش inverse ل 2x بدي ساوي جوش
ال zero
يبقى 1 ومنها x يساوي نص الموجودة في الفترة المغلقة
مع مشتقة الدول المثلثية كله بسؤال واحد المثال
الثاني نمر اتنين find y prime for each of the
following النقطة
الأولى
نشتغل الدالة هذه واضح أن هذا جزء وهذا جزء تاني يعني
هذه function وهذه function تانية إذا هذه مشتقة
main حصل ضرب دالتين يبقى بدنا ال y prime يساوي
الدالة الأولى مشتقة الدالة التانية مشتقة tan
inverse x اللي هي واحد على واحد ناقص x تربيع هي
الأولى في مشتقة الثانية زائد tan
Y' يساوي 1 ناقص X في
1 زائد X ناقص tanh inverse X نختصر هذا مع هذا يبقى
النتيجة النهائية واحد على واحد زائد X ناقص tanh
inverse X واحد
على واحد زائد X وهذه ناقص لكي نفهم أن شرط ناقص برا
يبقى ناقص tanh inverse X نقطة ثانية Y تساوي gersh
inverse لمين؟ لـ 2 الجذر التربيعي لـ X زائد واحد
يبقى Y' يساوي تفاضل الجوش inverse واحد على الجذر
التربيعي لمربع المقدار هذا له 4 في X زائد واحد
الربع بطير الجذر وعندك هنا ناقص 1 في مشتقة
الزاوية 2 ما لكش دعوة والجذر 1 على 2
الجذر التربيعي لـ X زائد واحد في مشتقة ما تحت الجذر
بـ 1 صحيح يبقى هذا النتيجة يساوي لـ 2 هذه مع
2 الله يسهل عليها يبقى البسط كله بـ 1 صحيح
هذه 4 X زائد 3 طبعا 4 X زائد 4
ناقص 1 يبقى 4 X زائد 3 وهذا يبقى
الجذر التربيعي لـ X زائد 1 النقطة الثالثة هذا
صحيح وهذا تحت الجذر مظبوط وهذا تحت الجذر طيب
السؤال الثالث بيقول لي Y تساوي جوش الـ X في Tan
لمين؟ Tan لـ sin inverse X
يبقى بدنا نطبق قاعدة، you say هذه تعتبر دالة و
هذه دالة ثانية يبقى جوش الـ X زي ما هو في مشتقة
الثانية تفاضل الـ tan بسيك تربيع لمين؟ لـ sin inverse X
خلصنا؟ لا لسه بيبقى تضرب في مشتقة الـ sin inverse
اللي هو جذر واحد على الجذر التربيعي لواحد زائد X
تربيع هي أخذنا الأولى في مشتقة الثانية زائد الدالة
الثانية اللي هي Tan لـ Sin inverse X في مشتقة الجوش
اللي هو بـ Sin X السؤال الرابع أو النقطة الرابعة
سؤال مرة ثانية مشتقة cotanh inverse لكوتان E أُس X
يعني اللي برا دالة زائدية واللي جوا دالة أسية
والثانية cotanh inverse للـ X exponential function
2 أُس X تساوي تفاضل cotanh inverse واحد على واحد
ناقص cotan تربيع E أُس X تفاضل cotanh inverse X واحد
على واحد ناقص X تربيع يبقى واحد ناقص cotan تربيع E أُس
في مشتقة مين الـ cotan؟ مشتقة الـ cotan بسالب cosec تربيع
E أُس X في مشتقة الزاوية مين؟ بـ E أُس X بالشكل اللي عندنا
يبقى هذا انتهينا من مين؟ من اشتقاق الجزء الأول لسه
الآن زائد cosec inverse اللي هو مين؟ سالب واحد على
absolute value لـ 2 X الـ 2 دائما نقول ناقص X
أكبر من الـ 0 يبقى كتبت الـ absolute و الله ما
كتبته سيان في مين؟ في الجذر التربيعي يلا واحد زائد
2 اس X لكل تربيع في مشتقة 2 X اللي
2 اس X في مين؟ في الـ ln 2 يبقى 2 اس
X مع 2 اس X الآن هذا الكلام بده يساوي اللي
هو من E اس X بالسالب طبعا هي سالب وهي يساوي في من في
cosecant تربيع E اس X على واحد ناقص cotan تربيع E اس X
ناقص لأن 2 على الجذر التربيعي لواحد زائد
2 اس 2 X هذا النقطة الرابعة بدنا نروح
للنقطة الخامسة اليمين Y تساوي Y تساوي الجذر
التربيعي لـ sech inverse X زائد E tanh inverse لمين
لـ 2 X بدنا الـ Y' تساوي
يبقى تفاضل الجذر 1 على 2 الجذر ضرب
مشتقة ما تحت الجذر مشتقة الـ sech inverse سالب 1
على X الجذر التربيعي لـ 1 ناقص X تربيع يبقى مشتقة
الجذر واحد على 2 الجذر في مشتقة ما تحت الجذر
السالب واحد على X الجذر التربيعي لـ 1 ناقص X
تربيع
في مشتقة الـ E مشتقة الـ tanh inverse اللي هو واحد
على واحد ناقص 2 X لكل تربيع في مشتقة الزاوية
اللي هو بقداش بـ 2 اختصارات ما فيش خلّيها زي ما
هي واتوكل على الله وصلنا لآخر مثال اللي هو مثال
التكاملات نؤجله للمرة القادمة إن شاء الله تعالى