بسم الله الرحمن الرحيم في نهاية المحاضرة الماضية
أخذنا نظرية النظرية بتقول لو عندي رقمين S و T are
relatively prime يبقى الـ UST isomorphic للـ US
External Product مع من مع الـ UT يعني بقدر أكتب
الـ UN على صيغة External Product لمن؟ لـ two
groups لـ three groups لـ four groups وما إلى ذلك
بشرط يكون ال S و ال T are relatively prime وأخذنا
كمان نقطة أن UST على S isomorphic ل UT وكذلك U
T ل UST isomorphic ل US وزيادة على ذلك رولر
عليها بنقول لو عندنا الرقم M واستطعنا الـ M نكتبه
على الشكل التالي يبقى M بده يساوي N واحد
بحيث أي اثنين من هذه الأرقام are relatively prime
يعني ni مع nj اثنين are relatively prime لكل i لا
تساوي j يبقى في هذه الحالة بقدر أقول أن الـ UM
ايزو مورفيك كلمة لـ UN1 UN2 UN3 UN لغاية الـ
UNN الآن إن والله إن كهذه عملها لـ إن كهذه يبقى هذه
بالصغيرة إن كهذه بالشكل اللي عندنا هذا طبعًا الآن
بدي الآن أشتغل عمليًا بيقول لي هاي عندك اليوم 105
بتقدر تكتبها لي على الشكل اللي عندك كده؟ بمعنى هل
بتقدر تكتب الـ 105 على شكل isomorphic ل two groups؟
الإجابة نعم نعم كيف؟ بتدور على رقمين ال relative
to prime وحاصل ضربهما يساوي 105 بتقدر تعطوني
رقمين؟ 21 وخمسة كويس يبقى هذا اللي هو عبارة
عن U اللي هو 21 مضروبة في 5
يبقى هذه isomorphic ل U21 External
Product مع U5 كمان الـ U105 عبارة عن U15
في 7 في 15 × أو 5 يبقى هذا الكلام isomorphic
لمن؟ لـ U15 Extended like product مع مين؟ مع U7
أجواح التالت منكم سمعت بيقول الـ U105 هي عبارة عن
U35 في 3 بقوله كلامك صح يبقى هذه
isomorphic لـ U35 external product مع
U3 هجوا على التالت قال الـ U105 هذه الـ U
105 بدها تساوي الـ U3 في 5 في 7 3 و
كلهم تلاتة are relatively prime يبقى هذي
isomorphic لمين؟ ليه3 external direct product
ليه5 external direct product لمين؟ ليه7
يعني ليس بالضرورة أن يكون two groups وهنا ممكن
يكون ثلاثة ممكن أربعة ممكن يكون K من الأرقام اللي
كلها relative لأن إذا أخذت أي اثنين مع بعض بيكونوا
relatively main و relatively prime هذا بالنسبة
لمن؟ للنقطة الأولى والنقطة الثالثة لو جيت للنقطة
الثانية وبدي أحسب لأي رقم منهم بدي أحسب U مثلاً
15 ل 105 يساوي تعرف مين عناصرها
المرة اللي فاتت أعطيناكم تعريف لها وقلنا كل
العناصر X بحيث أن الـ X modulo K بدي يعطيني الواحد
الصحيح تعريف كتبناه معاكم المرة اللي فاتت إذا بدي
أدور على عناصر الـ 105 وأروح أجيب عناصر الـ U15 على
105 أظن لو بدي أقعد أكتب عناصر الـ 105 كلهم هتأخذنا
خمس دقائق ونحن قاعدين نستنتج مين اللي رتب الـ
prime مع 105 لذلك بقول لا بدي أحسب مباشرة
في U15 105 الواحد منهم لأن الواحد ناقص
واحد يساوي صفر مضاعفات الـ 15 طيب الـ 16
منهم يعني أنت الخامس والـ 16 ده ما نحط رقم قدامه ولما
تحط رقم قدامه تتأكد أن الرقم هذا relatively
prime على الـ 105 ولا لا تمام؟ حتى يكون من
عناصر الـ 105 الـ 16 من عناصر الـ 105
لأنهم بيقسمش غير على 2 و 4 و 8 وهذه
كلها relatively prime على الـ 105 يبقى 16
شريك 31 منهم؟ و31 و15 في
32 و1 31 والـ 31
is a prime وبالتالي relative to the prime مع أي
منها طيب 46 46 relative to the
prime مع الـ 105 له 2 في 23
2 relative to the prime والـ 23 يبقى
فعلاً الـ 46 منهم طيب الـ 61 أنا بضيف
كله 5 عشان تمام الـ 61 منهم لأن 1 و
60 is a prime كذلك طيب الآن لو جيت على الـ 6 و
70 6 و70 اه هذا لما نشيل من 15 مضل
جداش مضل 1 كلام صحيح لكن هل الـ 6 و70
relative ل prime مع الـ 105 على 5 بتجيش
وعلى 7 بتجيش وعلى 3 برضه بتجيش ويبقى الـ 6
و70 كذلك منهم طيب الـ 91 75
و15 90 كمان 1 91 معاهم حط يعني
طب 7 في 13 بقداش؟ و91 طب الـ 7 بتكسب على
7 والـ 105 بتكسب على 7 يبقى الـ 91 مش منهم
بدي كمان 15 بكون في التواصل 105,106 برا الرقم
انتهينا منه يبقى لا يوجد إلا هذه الأرقام تمام شوفت
كيف بنحسبها اختار لي أي رقم من عندك من الأرقام اللي
هي اللي بتقسم 105 حتى نحسبها طيب هدها اللي هو 15
أليس isomorphic لـ 7 لأن 7 في 15 ب 105
و5 ونحن قلنا هنا الـ US على ST isomorphic
لمين؟ لـ UT يبقى نحن هنا قلنا U15 وهذا
عبارة عن 15 في 7 يبقى isomorphic لـ U7
U7 كم عنصر فيه؟ 6 عناصر هدول 6 1 2
3 4 5 6 كلها مناصعية 100 ل 100 تمام
اختار لي كمان رقم آخر نحسبه لك بنفس الطريقة اللي
بدك إياها يومين نحسب نحسب كمان واحد بكفي يوم 15
35 35 أنت جبت أسهل حاجة طب
من أنا ما أعرف يعطيني الشمال اللي فيه يلا يا أبو
واحد أول واحد منهم 36 الواحد اه معروف
أجنب عليه 36 36 منهم مختلف منهم
بص بص بص 36 منهم 36 اللي تبلى
prime مع 105 مش بيكسب مع 3 36
ايه ده مش منهم حطه على شجرة يلا 71 71
71 منهم أكيد؟ اسمها يا راجل يعني
مش منهم طب أنا بدأ أحط منهم هذا هو طب خلصنا ولا
فيه كمان؟ كده إيش بصير؟
بره يبقى ما عنديش إلا رقمين، تمام؟ هذا اللي هو مين
اللي هو U35 وهذا isomorphic لمن؟ ليه3
لما قلنا هنا isomorphic لـ U3 وهكذا
تمام؟ الخطر أن نجيب رقم كبير لأن هذا سهل يعني جيب
عندي أعداد كثيرة زي إيش مثلاً زي U105 أبصار
قديش يلا أختار لك 7 15 15 خدناه يبقى
بدك 21 5 اه 21
مين الرقم اللي لو ضربته في 35 بيعطيك 105
اللي هو 3 مصبوط وبالتالي هذا isomorphic
لـ U3 وهكذا طيب لو قلنا رقم ثاني U قداش قلتوا
21 21 يفجل واحد منهم بعدك
22 منهم أكيد ولا لا مش 22
اللي هو 2 في 21 اللي في ال prime هو
105 اللي هو 22 طب 3 و
40 منهم 21 في 2 ب 42 اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط
اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط
اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغط اضغ
يبقى هذه اللي هي من الـ 64 طب لو ضربته في
4 بصير 81 85 ليس
relatively prime مع مين؟ مع 105 لأن هو
بيكسب على 5 يبقى حطه على شجرة الآن بعد الـ 4
و80 لو ضربت في 5 بصير الـ 105 يبقى
انتهينا منه مظبوط يبقى لا يوجد عندي إلا هذه
الأرقام وهذا isomorphic ليه5 تمام لأنه 5 في
21 هو اللي ب 105 .. 105 تطلع يه5
فيها واحد واتنين وتلاتة وأربعة أربعة أرقام وماعناش
هنا إلا مين إلا أربعة أرقام ووضع الشغل هذا كده يبقى
الـU اللي عندي جدر تجيبها isomorphic لمين لـgroups
أو الـexternal product لمين لـgroups مختلفة ولسه
في كلام في هذا الموضوع الكلام ماشي بدي أنتقل من
الـU groups أحولها إلى isomorphic لـcyclic اللي هو
لـgroups اللي هي Z2 وZ3 وZ4 وZ5 وZ10 وZ30 وما إلى
ذلك في عندنا .. اللي هو .. اللي هو قاعدة القاعدة
هذه طبعا برهنت في إحدى المراجع التي اعتمد عليها
هذا الكتاب ولذلك بدنا ناخدها كحقائق we have the
following notes أو the following facts دي عندي
حقائق مهمة جدا الحقيقة الأولى أن ال U2 isomorphic
فقط لست لفش فيها الواحد إلا الواحد الصحيح و ال
U4 isomorphic لمام ل U isomorphic ل U2 تربيع أو
تساوية U2 ترابيع واللي هي isomorphic ل Z2 النقطة
الثانية ال U2 أُس N isomorphic ل Z2 External
Direct Product مع Zزد اثنين أُس N ناقص اثنين أُس
N four N أكبر من أو تساوي ثلاثة النقطة الثالثة
والأخيرة ال U P to the power N isomorphic لمين ل
Z P N ناقص P أس N ناقص واحد for P and N prime الـ P
and odd a prime so
we can write we can write ال U-groups ال U-groups
as an external direct product as an external
direct product
external product of cyclic groups نعطي
مثال example write
يو سبعمائة وعشرين يو سبعمائة وعشرين as
an external direct product as an external direct
product external
direct product of
cyclic groups نرجع
لهذه الحقائق مرة أخرى ونشوف كيف بدنا نشتغل عليها
أو ماذا نستفيد من هذه الحقائق الثلاث النقطة الأولى
جال ال U2 isomorphic للعدد اللي هو واحد as a set
طبعا U2 مافيش فيها إلا element للعنصر اللي هو الواحد
يبقى هذا وضع طبيعي لل trivial case الحالة البديهية
U4 ل U2 تربيع isomorphic ل Z2 لأن U4 فيها كام عنصر
ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة
يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو
أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة
ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة
يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة
ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة
أربعة ثلاثة يو أربعة ثلاثة
يو أربعة اثنين ناقص اثنين من الآن فصاعدا نشتغل بشكل
هذا يعني ال N ناقص اثنين هو أُس لمين للاثنين الآن
ال UPN isomorphic لزد P أس N مطروحا منه P أس N
ناقص واحد وإنما يكون P prime و P أكبر من مين من
الاثنين يعني أنت ثلاثة فصاعدا يبقى هذا الكلام
قدامنا موجود بالشكل هنا هذا إيش فائدته؟ فائدته
أن ال group UN مهما كان شكلها ممكن أخليها
isomorphic لمين ل cyclic groups شو ال cyclic
groups اللي كلها بدي أكتبها بدلالة z والأعداد اللي
موجودة في z2 في z3 في z4 سهل حسابتهم لكن لو جت لي
720 بدي أكتب أرقامها من هنا للدهر دوب نخلص واحنا
بدنا نجيب الأرقام اللي relative ل prime مع مين مع
ال 720 قصتنا طويلة وحزينة لكن لما أنا أكتبها بهذا
الشكل بداية ال Z بصير سهل التعامل معاها يبقى فائدة
هذه الحقيقة تسهيل التعامل مع مين مع ال U-groups
نعطيك مثال توضيحي على ذلك اللي أكتب ل U720 as a
product of cyclic groups بقى دي بقول له الحل
كتابة solution يبقى
أنا بدي أروح ل U720
هذه اللي بقدر أكتبها Uly بدي أحطها على حاصل ضرب
أعداد لو قلت لك هذه عبارة عن 16×9×5 5×16 بـ 80 80×9
بـ 8×9 بـ 72 يعني 720 يبقى هذا الكلام صحيح بالمئة
بالمئة هذه الآن ايزو مورفك لمين لـ 16
اكستيرنال دايكا product معاه تسعة اكستيرنال دايكا
product معاه خمسة طيب هذه مين هي؟ أليست U2 أُس
أربعة Extended product ثلاثة ترابيع Extended
product ل U خمسة ستة عشر اللي هي اثنين أُس أربعة و
ثلاثة ترابيع اللي هي تسعة والخمسة زمان طيب السؤال
هو ليش كتبته زي هيك؟ سوف أحاول أن أقوم بالتحويل إلى
الـ Cyclic Group. لكن عندما أحاول تحويلها بدلالة
الزد اللي لدي حسب القواعد اللي لدي بقدر أتأكد أن
كلامي مائة في المائة كله external product لل
Cyclic Group
ماشي ما احنا قلنا مشان هيك بدنا نبسط هالشغل هذه
بدنا نبسط هالشغل هذه و .. و نروح نكتبها بهذا الشكل
طيب يبقى لأن كتبت الـ U 720 على الشكل اللي عندي
وهذه كتبتها بالشكل هذا الآن هذه U2 أقصى 4 هنا U2
أقصى N و N أكبر من أو يساوي 3 isomorphic لهذه إذا
بدي أقول له هذه isomorphic لزد اثنين external
direct product مع زد بيقول لي مين اثنين هي زي ما
هي ال n اللي هي أربعة ناقص اثنين يبقى طبقت هذه
على main على الأولى اللي هي اثنين أقصى أربعة و
وصلنا هذه زي ال n الثلاثة هذا prime مظبوط إذا
بيدروح لمين للحالة الثالثة يبقى isomorphic لمين
لزى P التي هي ثلاثة و N اثنين ناقص ثلاثة أس اثنين
ناقص واحد ثم خلصنا هذا الأمر وهناك استيقظنا ضايق
كتابة مع U خمسة اللي هي عبارة عن Z كده
إيش قلنا ZP يعني Z خمسة أس واحد ناقص خمسة أس واحد
ناقص واحد يبقى أوطة ويد مباشرة هذا P بثلاثة و P
بخمسة و N بواحد خمسة و S واحد ناقص واحد شوف هذه
إيش صارت صارت هذه Z اثنين external product مع Z
أبصر جداش أربعة ناقص اثنين باثنين اثنين تربيع بأربعة
يبقى هذه isomorphic لزاد أربعة نجي لهذه ثلاثة تربيع
تسعة وهنا ثلاثة أس واحد بثلاثة تسعة ناقص ثلاثة
بستة يبقى isomorphic لزاد ستة وهذه الآن خمسة أس
صفر بواحد وهنا خمسة أس واحد بخمسة ناقص واحد يبقى
زد أربعة يبقى لأن كتابة زد سبعمائة وعشرين على صيغة
زد اثنين external product لزد أربعة external
product لزد ستة external product لزد أربعة والأربعة
cyclic groups يبقى بناء عليه ال group اللي عندنا يو
سبعمية وعشرين جبت group بتعمل معاها isomorphism
وبالتالي خواص ال يو سبعمائة وعشرين هي نفس الخواص
اللي عندنا يبقى بناء عليه لو جالي هاتلي element ال
order الو كذا في سبعمائة وعشرين بروح على هذه هذه سهل
التعامل معاها بس ليه 720 صعب التعامل معاها إذا
بجيب هذه المكافئة لها ومن خلالها بقدر أجيب من اللي
هو ال element اللي ال order عنده يعطيني إياه في
السؤال
يبقى هذا الشكل وضع لتبسيط الحسابات العملية في ال
groups المختلفة
نعطيك
مثال على هذا الكلام وبالتالي المثال أنت تعودت على
external product مكون من رقمين احنا هنعطيك سنة من
ثلاثة من أربعة أكثر من ذلك يبقى باجي بقول example
how
many elements
of
order
سؤال مرة ثانية السؤال بيقول إيه؟ بيقول كم عنصر ال
order الو 12 في ال U سبعمائة وعشرين طبعا بدنا
نقعد نحسب كل element لحاله تطلع روحنا مش هنقدر
نحسبهم لكن هذه سبعمائة وعشرون التي جاءتها
isomorphic لمن؟ للي عندنا هذه، بيبقى الحسابات هنا
أسهل كثيرًا جدًا من الحسابات هناك، أيوة طب بتخلص بالله
في الساعتين اللي بتقدر تجيبهم؟ طب وكمان ساعتين من
9D واحسب لي كل الـ elements اللي relatively prime مع
720، وادور عليهم من الـ order اللي يساوي 12، أنت حر
جيب اللي بدك إياه، أنا مش زعلان، بس هتاخد وقت رهيب
جداً، ساعتينك مش هيكفو لحساب اللي هو السؤال هذا الآن
solution from the above example
من المثال اللي فوق، الـ U720 أيزو مورفك لـ Z2
Extended like product مع Z4، Extended like product
مع Z6، Extended like product مع Z4
أي element هنا، الـ order إليه يساوي اثنا عشر، يبقى بناء
عليه يبدو لو حسبنا فيه الثانية يبقى so the number of
elements of order اثنا عشر in u سبعمائة وعشرون
equal of the number of elements of
order
طب احنا أخذنا أول نظرية في هذا section وكان مشان
أجيب الـ order للـ element المركب مثلًا من مركبة
هنا بجيب الـ list common multiple لمن؟ للـ two
orders اللي عنده وبالتالي بكون جابت الـ order للـ
element اللي موجود في الـ external direct product
لذلك بروح آخذ element هنا، وافترض أن هذا الـ element
الـ order له يساوي 12، وأبحث عن الـ orders المختلفة
في هذه الحالة يبقى بداجي أقول له let الـ a والـ b والـ
c والـ d اللي موجودة في Z2 similar product مع Z4
similar product مع Z6، similar product مع Z4 such
that بحيث أن الـ order للـ a والـ b والـ c والـ d كله
بده يساوي كده؟ بده يساوي ما شاء الله، طيب الآن لما نقادي
لـ Z2، Z2 كم عنصر فيها؟ اثنين يعني الـ
order واحد والـ order للعنصر الثاني اثنين، صح ولا لا؟
يبقى أي element في Z2 الـ order له يا إما
واحد اللي هو الـ identity يا إما اثنين، طيب خذ لي
Z4 الـ order اللي فيها واحد وكده واثنين
ثلاثة، بتجسم الأربعة، بتتكلم
على order بتتكلمش على العناصر اللي موجودة فيها
واحد واثنين وأربعة، واحد واثنين وأربعة، وفيه غيرهم؟
مظبوط، لإن الـ order للـ element بيجسم للـ order للـ
group Z4 في أربعة عناصر، إذا قسمنا واحد اثنين
أربعة فقط، لغير فيش حاجة اسمها ثلاثة، العناصر اللي
موجودة في الـ Z6، واحد اثنين ثلاثة ستة، في شغلهم الـ
Z4 قبل قليل، يبقى بدي أضع هذه المعلومة دي وبناء
عليه بدي أبدأ أحدد كم عنصر عندي، يبقى هنا any
element
في Z4 has order واحد واثنين، Any element in Z4 has
order 1,2,4، أي element في Z6 has order 1,2,3,6، أي
element في Z4، في Z4 has element 1,2,4
طيب أنا لما بدي أجيب الـ order للـ element بدي
أجيب الـ least common multiples لمين؟ للـ أربعة orders
مش هيك؟ بقول كويسة، طلع لي الـ order الأول واحد و
اثنين موجود مع هدول ولا لأ؟ موجود مع هذه، موجود مع
هذه، يعني وجود إيش؟ بس بيخر بشكل بيخليها كبيرة، يبقى
في الحقيقة أنا بدي أبحث بس عن A وB وC تمام؟ لكن
هداك بدي أخليه في حسابي مش باهيم له، يبقى الذي
يتحكم في الـ order اللي هو الـ 12 اللي هو الثلاث
الأخيرة هدول، والهدا 1 و2 مش مشكلة، يبقى عندي
عنصرين بدخلهم في الحساب بعد ذلك، يبقى بدالي للـ 2 و
4 اللي عندي، يبقى هنا الـ element A الـ order إيه؟ 1
و2، الـ element B 1,2,4، الـ element C 1,2,3,6، الـ
element D 1,2,4، طب الآن أنا بدي أدور الـ main الـ
least common multiple اللي هم بده يعطيني قداش؟ 12
وبحيث ها طلع لي هنا الآن الواحد والاثنين مكررة
مالواحد والاثنين، يبقى لا قيمة لها، مظبوط؟ يبقى هنا
ضال عند مين؟ الأربعة، يبقى لو كان الـ order اللي بيه
بده يساوي الأربعة، والـ order اللي يسيه كان ثلاثة
أو ستة، طب ليش ثلاثة أو ستة؟ لأن ثلاثة أو أربعة
ليس كم الـ multiple اللي قلهم قداش؟ اثنا عشر، والستة
والأربعة ليس كم الـ multiple اللي قلهم كمان مين؟
اثنا عشر، يبقى هذا اللي يساه يتحكم في من؟ في الـ order
طب واللي تحت هذا؟ لتحت ما هو داخل في الحساب لإن
واحد اثنين هي موجودة والأربعة موجودة هنا، يبقى الـ D
مش هتأثر عندي، مش هتجيب لي معلومات جديدة، يبقى بإضافة
تحصيل حاصل، هي الحالة الأولى، يبقى الحالة الأولى
اللي الـ order الـ list common multiple اللي بده
يطلع اثنا عشر، خذ الحالة الثانية، ممكن يكون الـ order
اللي دي هو أربعة، والـ C له ثلاثة وستة، مش هيك وارد؟
تمام، والباقي اللي هو اللي بيتحصيل حاصل بسيط، تمام؟
يبقى بدنا نيجي نشتغل الشغل اللي عندنا هادي
الآن قلنا بالنسبة للأولى اللي اسمها multiple، تحصيل
حاصل، يبقى دي مش هتدخل في الحساب عندنا، يبقى we have
two cases
هي عندي حالتين، الحالة الأولى أن الـ order للـ B بده
يساوي الأربعة، والـ order لـ C يا إما ثلاثة يا إما
ستة، يبقى ثلاثة وأربعة الـ least common multiple
يبقى 12، الستة والأربعة الـ least common multiple
يبقى 12، يبقى هدول يجيبوا لي الـ element الـ order يساوي
كم؟ الـ 12، طب كم عنصر في Z4 الـ order يساوي
أربعة؟ بس اثنين، هو الواحد والثلاثة، الواحد والثلاثة
في Z4 الـ order يساوي مين؟ الأربعة، يمجى بيه
هنا يا بدها تساوي واحد يا بدها تساوي ثلاثة، طيب C
هنا بدها تساوي الـ order له ثلاثة أو الـ order له
ستة، أظن الواحد الـ order له ستة، طب واثنين؟ طب و
الأربعة؟ الـ order ماذا؟ ثلاثة؟ ثلاثة؟ طب والستة؟ واحد
واحد، واحد، واحد، واحد، واحد، واحد، واحد، واحد،
واحد،
وا
الرقم يا باخد C بواحد يا باخد الستة يعني اثنين، هذا
الـ component يا بتكون واحد يا بتكون ستة، صفر ماشي؟
الحاجة بتزعل ليه؟ هذا
احنا بنحكي الآن في order كبير مش لحاله، تمام؟ احنا
بنحكي الآن الـ order للـ element بده يساوي ستة، مين
الـ elements اللي الـ order اللي هم يساوي .. ده مش
ستة .. ده خمسة .. ده خمسة، الواحد والخمسة الـ order
اللي هم ستة صحيح؟ اثنين والأربعة هم الـ order اللي
هم ثلاثة، طيب هذا الـ B والـ C، طب والـ D؟ لا خذها أي
شيء، أي نعم، and ادي arbitrary يعني خذها زي ما بدك
كويس؟ طيب لما آخذها زي المبدأ بقول آخذ الأربعة، لما
أنا آخذ يعني الأربعة مش هيتغير، ليش؟ لأن الـ order
سبعة هي واحد، هي اثنين، هي أربعة، هي وماخذناهم
معاهدي يعني مش هيجيبوا لي إيش؟ ليش دي؟ يبقى الآن the
number of elements of order
الحين الـ A كم عنصر فيها؟ اثنين، الـ B كم عنصر؟ اثنين
الـ C كم عنصر؟ أربعة، الـ D خذ زي ما بدك، قداش؟ أربعة
يبقى أربعة في أربعة في ستة عشر في أربعة، أربعة وستين
يبقى أربعة وستين element، هذول الـ order يساوي 12، لو
كان
هدول الـ orders، لكن أنا كم عنصر هدول عندي؟ أربعة، نص
خذ اللي بدك إياه، الـ orders واحد واثنين وأربعة زي
الواحد واتنين واربعة إذا هدول قلت مصفوفة شجعون
اشتغلت في هدول تمام هدول الآن هذا بضيف تحصيل حاصل
يعني أيش ما كان يكون كان ال zero كان الواحد كان
الاتنين كان التلاتة لن يغير في النتيجة شيئا وكان
أنت بتكتب element مكون من أربع مركبات يعني عندك
بدائل اتنين لل A وبدائل اتنين لل B لأن ال order
يساوي أربعة وعندك أربع بدائل لل C وأربع بدائل لل D
صحيح ولا لا؟ يبقى على بعضهم كله مصيره جداش أربعة
وستين عنصر هذا هي الحالة الأولى الحالة الثانية
ال order اللي دي ممكن يكون أربعة and ال order لسه يا
إما تلاتة يا إما ستة يبقى
في هذه الحالة لما ال order اللي دي بدي يساوي أربعة
كم element بيعطينا اتنين مظبوط يبقى هنا في عندي
اتنين elements طيب لما يكون هنا في عندي جداش؟
جداش؟ أربع elements طيب
نيجي لل a جداش؟ أربع elements اتنين elements نيجي
لل b جداش عندي؟ اتنين elements
يبقى صغر الآن اتنين أخذناها
أربعة مع الخطوة اللي قبلها آه أخذناها أربعة مع
الخطوة اللي قبلها لا نكررها لأن التكرار هذا بيجيب
شغلات أكثر من اللازم يبقى so we have العنصر
الأولاني اتنين والتاني أربعة واللي بعده اتنين
واللي بعده اتنين يبقى تمانية في أربعة بجداش باتنين و
تلاتين element of order اللي هو اتناشر طب إذا على
بعضهم جداش
يو سبعمية وعشرين has اللي هو قداش في الأول أربعة
وستين زائد اتنين وتلاتين ويساوي ستة وتسعين element
of order اللي هو اتناشر
يبقى بناء عليها من الآن فصاعدا لو قال لي شوف لقداش
عدد العناصر اللي ال order لهم يساوي رقم معين في
UN ال UN ال N مهما كانت تكون بدي أحولها إلى مين؟
بدي أحولها إلى ال cyclic groups مدالة z2 و z3 و z4
و z5 و z6 و بيبقوا أحسب من مين من هذه ال z اللي هو
هذه العناصر على هيك بيكون انتهى ال section طيب في
عندك سؤال زي سؤال تلاتة بيقول ما يأتي سؤال
تلاتة بيقول الـ G group with identity والـ H بيه
group with identity prove that الـ G isomorphic
الـ G isomorphic لمين؟ لل external direct product
للـ G external like product مع ال identity element
تبع ال H and ال H is isomorphic لمن؟
لل identity تبع ال G external like product مع من؟
مع ال H
خلّي بالك أني أنا عندي الـ G و ال H are groups مش
هتقول الـH subgroup من G اللي ما له عاش علاقة هذه
group وهذه group ثاني بقول اثبت أن الـG هي
isomorphic لمين لـG وال external direct product
يبقى هنا بتروح تعرف له Phi من الـG إلى الـG
external direct product مع E H Pi فاي اف جي ممكن
أخذ صورته هنا ممكن أخذها جي والاي تبع ال H
لو جيت أخذت بدل في أخذت مثلا اللي هو ال F من ال H
إلى ال identity element تبع ال G across ال H by ال
F of H بده يساوي ال external direct product لل
E تبع ال G للـ A تابع الـ G و H بالشكل اللي عندنا
هنا أو بلاش هون هذا ايه جوز وهذا ايه جي و H جوز
مباشرة يبقى بدنا نثبت من هذا طبعا إذا أثبتنا الأول
بيصير التاني حرفيا زيه طيب لو جيت له الأولى يبقى بدي
أثبت له أن الـ Phi is one to one يبقى بدي أقول له
assume افترض أن Phi of G1 بدي يساوي Phi of G2 هذا
معناته أن الـ G1 و ال identity تبع ال H بدي يساوي
G2 و ال identity تبع ال H طبعا two order pair are
equal يبقى المجموعة الأولى سواء المجموعة الأولى أو
المجموعة الثانية سواء مين المجموعة الثانية يبقى G1
سواء G2 وهذا الـEH هو نفسه الـEH أظن وهو المطلوب
الآن مدّاجي أثبت له أن فاي is onto يبقى بالدرجة
أقوله افترض أن ال X موجود في ال G external product
مع ال identity تبع ال H ثم شكل ال X هذا بده يساوي
element من G و ال identity element تبع ال H طيب هذا
حسب التعريف هو مين؟ Phi of G لذلك Phi is أنتم بقى
لدينا Phi is an isomorphism يبقى Phi is an
isomorphism يبقى بدي أقعد أخذ ال Phi of G و G2
الشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا الكلام بده يساوي اللي
هو مين اللي هو five of g one g two بده يساوي اللي
هو g one g two وال إيه h هذا الكلام بده يساوي بده
أحاول أكتب هذا على صيغة حاصل ضرب قوسين إذا لو جيت
قلت جي واحد مع ال E H وهنا جي اتنين مع ال E H لو
ضربت ضرب component wise يبقى بيصير جي ون جي تون
وال E H في ال E H هي بال E H itself يبقى هذا الكلام
بده يساوي هذا Phi of G1 و هذا Phi of G2 يبقى هنا
Phi is an isomorphism وهكذا بالنسبة لمن؟ بالنسبة
للثاني