المحاضرة اللي فاتت بدينا في عرض بعض ال
applications of the supremum property وبعتقد أن
احنا أخذنا أول مثال اللي هو المثال هذا مظبوط
فقولنا
إن المثال هذا لو أخدت أي bounded set bounded
above وعرفت المجموعة a زائد s بالطريقة هذه فأثبتنا
وممكن بسهولة إثبات أن ال supremum للمجموعة الجديدة
A plus S بتساوي A plus ال supremum لـ S وشوفنا
البرهان بالتفصيل المرة اللي فاتت وكان هنا البرهان
بعتمد على أن الـ set اللي bounded above
الـ set S هي bounded above لأن ال supremum تبعها
exists by the supremum property وشوفنا بعد هيك أنه
الـ .. العدد a زائد u بيطلع upper bound للـ set هذه و
بعدين أثبتنا أن هذا العدد هو أصغر upper bound أو
supremum للـ set هذه وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن
supremum للـ set هذه موجود و بيساوي العدد a زائد u
اللي هو a زائد supremum S المثال الثاني
لو أخدت two functions المجال الـ domain تبعهم
مجموعة D subset من R وكتبت
F of D على أنها مجموعة كل العناصر F of X حيث و X
ينتمي لـ D فالـ set F of D هذه هي الـ range تبع الـ
function F صح؟ هي المدى تبع الـ function F و كذلك
الـ set G of D هي الـ range تبع الـ function G
فلو فرضنا أن الـ set f of d و الـ set g of d bounded
set R فطبعا حسب ال supremum property المجموعات دول
كل واحدة لها supremum كذلك حسب ال infimum property
المجموعتين هذول كل واحدة فيهم إلها infimum، الـ
infimum تبعهم exists إذا نفرض إن المجمعتين هذول
bounded عشان إيه نضمن وجود ال supremum والinfimum
لكل واحدة منهم الآن في عندي بدي أبرهن حاجة ثانية لو
كان الفرض f of x أصغر من أو يساوي g of x بتحقق لكل
x ينتمي لـ D بيطلع ال supremum للمجموعة F of D بيطلع أصغر من
أو يساوي ال supremum للمجموعة G of D وبرهان هذا
البرهان يعني سهل أنا كاتب إنه easy exercise لكن
ممكن تبرهنه ممكن تبرهنه بكل سهولة فهي نكتب الـ proof
of part one للجزء الأول فخلّينا
نثبت fix x
ينتمي إلى d ناخد عنصر x ينتمي إلى d عشوائي by
hypothesis من الفرض
من الفرض أنا عندي f of x أصغر من أو يساوي g of x
للـ x هذه و لأي x دي صح هذا من الفرض و g of x g of
x أصغر من أو يساوي ال supremum للـ set g of d
طبعا هذا زي ما قلنا exists by supremum property
باستخدام خاصية الـ
supremum .. هذا .. هذا عنصر في الـ set هذا g of x عنصر
في الـ set g of d صح؟وهذا upper bound ال supremum لـ g of
d و هذا عنصر في الـ set g of d فهذا أكيد أكبر من أو يساوي
ال upper bound للـ set اللي بينتمي إليها فهذا صحيح
الآن هذا صحيح لكل x since x belonged to D was
arbitrarily
arbitrary إن إن بيطلع عندي F of X أصغر من أو يساوي
ال supremum لـ G of D وهذا صحيح لكل X في D هذا
معناه إنه العدد هذا هذا العدد أكبر من أو يساوي كل
عناصر الـ set F of D صح؟ هي هذا معناه أن الـ
supremum لـ set G of D is an upper bound an upper
bound
لمين؟
of set f of d بصح؟
لأن هيك كل عنصر f of x في f of d أصغر من أو يساوي
العدد هذا، صح؟ طيب since ال supremum لـ set f of d
exists in R طبعا برضه by supremum property لأن احنا
فرضين أن الـ set هذه bounded صح فال supremum تبعها
موجود الآن الـ set هذه ال supremum تبعها موجود
والعدد هذا هذا العدد عبارة عن upper bound لـ set
إذا ما العلاقة بين ال upper bound هذا للـ set وال
supremum للـ set؟ في واحد أكبر من أو يساوي الثاني لأن
بما أن هذا الكلام صحيح نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن هذا
أصغر upper bound للـ set f of d وهذا upper bound للـ set
f of d إذا ال supremum بيطلع أصغر من أو يساوي ال
upper bound اللي هو supremum g of d وهو المطلوب
وهذا بيثبت الجزء الأول okay تمام إذا الجزء الأول مش
صعب وهنا أثبتنا واضح
برهان الجزء الثاني برضه شبيه فيه الجزء الثاني، إيش
بيقول ليه؟ الفرض، لاحظوا الفرق بين الفرض تبع الجزء
الثاني والجزء الأول الفرض
هنا إن f of x أصغر من أو يساوي g of y لكل x و y في
D
هذا أشمَل وهذا أعمل من هذا وهذا أقوى من هذا لاحظوا
إنه لو هذا صح فهذا بيطلع صح اللي فوق لكن الـ x مش
صحيح طيب
إذا .. إذا هذا الكلام صحيح فهذا بيقدي إن الـ
supremum لـ F of D بيطلع أصغر من أو يساوي ال infimum
لـ set G of D نشوف
الـ .. نبرهن الكلام هذا
البرهان الجزء الثاني البرهان
الجزء الثاني هذا conditional statement هي الفرض
وهي النتيجة الـ conclusion فبنفرض أن الفرض هذا صحيح
و بنثبت يثبت يثبت عنصر Y في D من الفرض بيطلع عندي f
of x أصغر من أو يساوي g of y وهذا صحيح لكل x في دي
و الـ y ثابت يعني هذا من الفرض صحيح لكل x في دي طيب،
الآن هذا معناه أن العدد هذا g of y هي في y أنصه
ثابت هي أكبر .. هذا العدد أكبر من أو يساوي كل الـ F
of X لكل X دي معناه هذا upper bound للـ set F of D
الآن g of y عبارة عن upper bound للـ set F of D من
هنا، مظبوط؟ تمام؟
وبالتالي الـ least upper bound لـ F of D بيطلع أصغر
من أو يساوي الـ upper bound لـ F of D اللي هو G of Y لأن
هذه المتباينة صحيحة
اخترناها was arbitrary fixed احنا اخترناها عشوائي
arbitrary وثبتناها أن الكلام المتباينة هذه الآن صحيح
لكل y أن المتباينة هذه صحيحة true for every y في D
هذا معناه من المتباينة هذه percentage إنه العدد
ال supremum لـ F of D هذا عبارة عن lower bound
لمجموعة العناصر g of y حيث y ينتمي لـ d يعني العدد
هذا عبارة عن lower bound للـ set g of d عظيم صح؟ طيب
ال infimum لـ g of d exists وهذا العدد lower bound
للـ set هذه و ال infimum هذا عبارة عن الـ greatest
lower bound لـ G و D إذا الـ greatest lower bound
دايما بيكون أكبر من أو يساوي أي lower bound إذا الـ
lower bound هذا أصغر من أو يساوي الـ greatest lower
bound لـ G و D و هذا اللي هو هذا النتيجة اللي احنا
عايزين نصل لها okay تمام واضح؟ إذن هذا برهاني جزء
الثاني الآن في ملاحظة الملاحظة هذه بتقول إنه يعني
ممكن طالبة طلعت تسأل أو تستفسر أو تتساءل طب ما هذا
الشرط تبعين زي هذا ما فيش فرق بينهم فاحنا بنقول لأ
هذا الشرط التحت أقوى من اللي فوق اللي تحت لو كان
التحت صحيح بيقدي للي فوق لكن لو كان اللي فوق صحيح
هذا ما بيقدي للي تحت هذا الشرط أقوى من اللي فوق
فممكن واحدة فيكم تسأل تقول طب لو احنا أخذنا الفرض
هذا لو فرضنا أن هذا الكلام صح هل ممكن نحصل على
نتيجة اللي تحته؟ الإجابة لأ، الإجابة لأ، هذا مش
ممكن، إذا الـ .. لو شيلنا الفرض هذا و بدلناه بالفرض
اللي فوق فالنتيجة هذه لا يمكن نحصل عليها، مش شرط
تكون صحيحة أو مثال يوضح إنه لا يمكن استبدال الفرض
تبع الجزء الثاني بالفرض تبع الجزء الأول ونحصل نحصل
على نتيجة الجزء الثاني
فناخد على سبيل المثال أو counterexample بيسميه في
رياضيات لو أخدت f of x بيساوي x تربيع دالة تربيع
و g of x الـ identity function و أخدت الـ domain
المشترك لـ f و g الـ closed unit interval
فطبعا بنلاحظ أن f of x اللي هي x تربيع لكل x في الـ
closed unit interval x تربيع أصغر من أو يساوي x،
مظبوط؟ و X بيساوي G of X فهي في عندي الـ two
functions هدول بالمناسبة الـ two functions هدول
كلاهم كلاهم bounded bounded below by zero bounded
above by الـ range تبعهم الـ range تبعهم F of D و G of D
of D ك sets كمجموعات بطلوا subset من المجموعة من
السفر لواحد، وبالتالي كلا هما bounded above by واحد
و bounded below by صفر، إذن
هذه المجموعات هي bounded وهي عند ال function f of
x أصغر من أو يساوي g of x لكل x دي، هذا الفرض تبع
الجزء واحد اللي شوفناه قبل شوية، لكن النتيجة تبع
الجزء التالي لا تتحقق، تعالى نشوف هي ال supremum ل
f of d هي مجموعة f of d الواحد
أكبر
من الصفر الصفر
برضه عبارة عن greatest lower bound أو الانفم من
المجموعة هذه، واضح أن الصفر lower bound للسفر هذه
وهو greatest lower bound، إذاً هي عند الـ supremum
لـ F of D أكبر من الـ infimum لـ G of D، وهذا نفي
نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
كنتيجة على الـ completeness property في عندي نتيجة
كتير مهمة، وهنستخدمها كتير، معناها اللي هو ال
material اللي هناخدها لاحقا، اللي هو ال Archimedean
property أو خاصية Archimedes، إيه الخاصية هذه بتقول
لأي عدد حقيقي x في عدد طبيعي أكبر منه، أعطيني أي
عدد حقيقي x سواء كان صفر أو موجب أو سالب، بقدر
أعطيكي عدد طبيعي أكبر منه أو بقدر أوجدلك عدد طبيعي
يكون أكبر منه، البرهان تبع النظرية هذه بيعتمد على
الـ completeness property، فلبرهان ذلك نبدأ بالـ
Fix X في R ونثبتها ونعمل برهان بالتناقض، نحن عايزين
نثبت أنه للـ Fix X اللي احنا ثبتناها يوجد
عايزين نثبت العبارة، أن العبارة هذه تكون صحيحة، يوجد
عدد طبيعي أكبر من X، فبدا أعمل برهان بالتناقض، بدا
أفرض أن نفي العبارة هذه هو الصح، إذا ن assume ال
contrary أن نفي العبارة هذه الصح، طب نفي العبارة
هذه الصح، there exist ما بصير لكل N في N عكس
المتباينة هذه اللي هو n أصغر من أو يساوي x، إذن هنا
ال contrary أو النفي، نفي النتيجة هذه، معناها أن كل
الأعداد الطبيعية أصغر من أو يساوي x، هذا معناه أن ال
x هذا upper bound لـ set N وبالتالي الـ set N إلها
upper bound أو bounded above، إذا by the supremum
أو completeness of property، الـ set N بطلع يوجد
إلها supremum، الـ supremum تبعها exist and are،
سميه، فلنسميه u، فلنسميه u، تمام؟ في
لمة واحد اثنين عشر، لمة واحدة اثناء عشر كده بتقول لو كان
U أو u بساوي ال supremum لست S if and only if لكل
epsilon أكبر من الصفر نقدر نلاقي S epsilon في الست
S بحيث انه U سالب epsilon أصغر من S epsilon
طب أقل، أنا عندي فيه U بساوي Supremum ل N، S بساوي
6 N كل الأعداد الطبيعية، هي عندي Supremum ل N اللي
هو U exist، إذا حسب لمة واحد اثنين عشر لو أخدت epsilon
لو أخدت epsilon بالساوية واحد، هذا عدد موجب، إذا لهذا
ال epsilon بقدر ألاقي عدد S epsilon هسمي M هنا بدل S
epsilon في اللمة، عدد طبيعي بحيث أنه لما أخد U minus
epsilon اللي هو الواحد، هذا بيطلع أصغر من S epsilon
اللي هو M، إذاً هذا نحصل عليه من لمة واحدة واثنين
عشر، طيب المتباين هذه، ودي واحد، نجري واحد على مين
فبيطلع U أصغر من M زائد واحد، طيب ال M عدد طبيعي
إذاً M زائد واحد عدد طبيعي صح؟ إذاً هذا M زائد
واحد عدد طبيعي وأكبر من U، و U قلنا ال U هو ال
supremum ل N يعني upper bound بيطلع upper bound ل
N، فكيف U upper bound ل set N للعداد الطبيعية، وفي
عنصر في العداد الطبيعية أكبر منه، لأن هذا بيديني
تناقض لكون U هو upper bound ل set للعداد الطبيعية
إذا وصلنا إلى تناقض، وبالتالي هذا بكمل البرهانة، إذا
الفرض تبعنا التناقض هذا، تقول إن ال assumption
تبعنا هذا، إن الكلام هذا صح كان خطر، إذا الصح نفيه
اللي هو المطلوب، okay، تمام، إذا هذه ال Archimedean
property هذه، ال Archimedean property، الآن ال
Archimedean property هذه أو خاصية Archimedes إلها
صور أخرى متعددة، وهذه الصور هي موجودة في كوريلري
واحد ستة عشر، إذا
النتيجة هذه في أن صور أخرى لـ ال Archimedean
property ف
Alternative forms يعني صور أخرى لـ Archimedean
property، let YUZ be positive real numbers، إذن
YUZ تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة
أول نتيجة، يوجد n عدد طبيعي بحيث أن الـ z أصغر من n
مضروب في y، إذا لو عندي عددين حقيقين موجبين z وy
بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن ال z أصغر من n مضروب
في y، كذلك لأي عدد حقيقي موجب y بقدر ألاقي عدد طبيعي
مقلوبه أصغر من العدد الموجب Y، طبعا مقلوب العدد
الطبيعي دائما موجب، كذلك
لأي عدد حقيقي موجب Z بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن
العدد الموجب Z أكبر من أو يساوي N سالب واحد وأصغر
من N، إذن التلات خواص هدولة كل واحدة منهم بنسميها
Archimedean property أو صورة أخرى من ال
Archimedean property، الجزء
الأخير هذا هو عبارة عن مثال وليس ال Archimedean
يعني هذا استثناء، يعني مجرد set بالساوي ال sequence
واحد على n، متتالية العداد الحقيقية 1 على N حيث N
عدد طبيعي، فال set هذه هنثبت أن ال infimum إلها هو
الصفر، طيب إذا نشوف ونثبت العزاء الأولى، الجزء
الأول
الجزء A لإثبات الجزء A خلّينا نعرف X بساوي Z على Y
طبعا Z وY أعداد حقيقية موجبة، إذن خارج قسمتهم أعداد
موجب، إذن هذا عبارة عن عدد حقيقي موجب، يعني ال X هذا
عبارة عن real number وموجب، فحسب ال Archimedean
property، لأي x عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي أكبر من الـ
x، إذا الـ x اللي أنا أخده Z على y بقدر ألاقي عدد
طبيعي n أكبر منه، يعني Z على y أصغر من n، لو ضربت
المتباينة هذه في y، y عدد موجب، فهيصير عندي Z أصغر من
n في y، وهذه هي النتيجة تبع الجزء الأول، okay، إذا
هيك يكون أثبتنا الجزء الأول، واضح؟ لإثبات الجزء
الثاني، لو أخدنا في الجزء الأول لو أخدت Z بساوي
واحد، فهيصير عندي 1 أصغر من n في y، ال Z هذا عدد
موجب، فلو أخد ال Z بالساوية واحد، هذا عدد موجب، فحسب
النتيجة a بيطلع عندي Z أصغر من n، يوجد عدد طبيعي n
بحيث أن Z أصغر من ny، يعني 1 أصغر من ny، الآن نضرب
في 1 على n، 1 على n عدد موجب، لو ضربنا الطرفين بالعدد
الموجب بواحد علينا بيطلع 1 علينا أصغر من Y، وهذا
اللي احنا عايزينه، تمام، إن هذا برهان الجزء الثاني
لبرهان الجزء الثالث، الجزء
C
بنثبت أنه لأي عدد حقيقي موجب Z فيه عدد طبيعي بحيث
أن Z محصورة بين N سالب واحد و M تمام، نعرف الست EZ
على إنها كل الأعداد الطبيعية M اللي بتكون أكبر من
Z، الآن هذه المجموعة غير خالية، لأنه
لأن الـ Z هذا عدد موجب، وبالتالي في الآخر هو عدد
حقيقي، ف by Archimedean property
اللي هي 115 رقمها، نظرية 115 بتقول أي عدد حقيقي z
يوجد عدد .. يوجد عدد طبيعي، يوجد m في n بحيث أن z
أصغر من n، إذا
المجموعة هذه على الأقل فيها عنصر واحد اللي هو الـ
M هذا، أو خليني اسميه MZ تمام
الـ Archimedean property تضمن أنه للعدد Z هذا اللي
هو يعني احنا فرضين أن العدد موجب، الـ set هذه بقدر
ألاقي عدد طبيعي MZ أكبر من Z، وبالتالي المجموعة هذه
تحتوي تحتوي على العنصر هذا على الأقل، لأن هذه
مجموعة غير خالية، واضحة النقطة هذه؟ الآن في خاصية
الترتيب أو بنسميها ال well ordering property، وهذه
في الحقيقة بتدرسها في نهاية في آخر chapter في
مبادئ رياضيات، ال well ordering property بتقول إن
every non-empty subset of N has a least element
يعني أي مجموعة غير خالية من مجموعة الأعداد
الطبيعية لازم اللي جي لها least element، لازم يكون
لها أصغر عنصر، يعني خدي أنت على الجربة حتى خدي أي
مجموعة جزئية من العدالة الطبيعية هتجد أن فيها عنصر
فيها هو أصغر عنصر، فهذا طبعا حسب ال well ordering
property، يعني درس المبادئ، وأنا شخصيا لما بدرس
مبادئ بحاول يعني أمر عليها أو أعطيها حتى لو يعني
بصورة مختصرة بقرابش الناس الثانية لما بدرسوا
المبادئ بعتقد ممكن ما وصلوش إليها لكن مش مشكلة هاي
نحن بنحكيلكم عنها
إذا هي عندي هذه عبارة عن subset من مجموعة الأعداد
الطبيعية و non-empty إذا لازم يكون فيها least
element إذا بقدر ألاقي NZ في مجموعة الأعداد
الطبيعية و هذا ال NZ هو least element لل set هذه
الغير خالية okay تمام إذا هنا يوجد عنصر nz عدد
طبيعي وهذا العدد الطبيعي هو ال least element ل
easy طيب
الآن هذا أصغر عنصر في ال set هذه يعني معناه nz لو
طرحت من nz طرحت منها واحد فطبعا هذا أصغر من NZ هذا
أصغر من NZ صح؟ مظبوط؟ وهذا أصغر عنصر لل set easy
هذا أصغر عنصر وهذا أصغر منه إذا هذا العنصر مش
ممكن يكون موجود بال set easy صح؟ لأن هذا أصغر من
أصغر
عنصر في ال set طيب،
معناه أن هذا nz سالب واحد ما هوش في ez
يعني هذا العنصر مش موجود في set ez هذا هي
معناته بيحققش الصفة المميزة لل set ez متى
العنصر بيكون موجود هنا إذا بيحقق الصفة هذه أو
المتباينة هذه طب إذا كان العنصر لا ينتمي لل set
معناته بيحققش المتباينة دي بيحقق ما فيها إذا هي بيحقق
ما فيها هاي nz-1 بدل ما يكون أكبر بيصير أصغر من أو
يساوي ال z إذا كون العنصر هذا مش موجود في ez
معناته بيطلع أصغر من أو يساوي ال z وال z هو أصغر
عنصر لل set ez
ف ال z أصغر من n احنا قلنا أنه ال ..
أو أصغر من ال nz
الآن زي هذا عنصر يعني
هذا بينتمي إلى ال set ez لأنه أصغر عنصر فيها
فينتمي إليها فإن زي ينتمي ل ez معناته العنصر زي
هذا أكبر من ال z العنصر زي أكبر من ال z ومن هنا أن
زي سالب واحد مش موجود في ez فهو أصغر من أو يساوي
ال z وبالتالي هيك بنكون أثبتنا المتباينة هذه اللي
هو اللي احنا عايزينه في الجزء c لأن هيك بنكون
كملنا برهان الجزء c الأقل بالنسبة للجزء الأخير هذا
يعني عبارة عن ليس مش alternative form لل
Archimedean property ليس صورة أخرى لخاصية
Archimedean بس مجرد مثال، مجرد مثال أعطى ست والست
هذه bounded bounded above by one bounded below by
zero لبرهان
ذلك البرهان سهل نشوف
البرهان
كمان مرة ال set هذه هي عبارة عن .. نكتبها إيش هي
ال
set is عبارة عن ال set of all واحد على n حيث n is
natural number
واضح أن العنصر أصغر من أو يساوي واحد على n لكل n
ينتمي إلى n صح؟ وبالتالي إذا zero is lower lower
bound لمين of set s وبالتالي ال infimum إذا it has
an infimum by the infimum property ال infimum
property بتقول كل set bounded below بيكون ال في
إلها infimum say w بيساوي infimum s إذا هنا say
دعنا نسمي ال infimum هذا اللي إحنا ضمنين وجوده
باستخدام ال infimum property دعنا نسميه w تمام؟ إذا
الـ ال w هذا هو أكبر هو أكبر lower bound لست
s والعنصر lower bound إذا أكيد ال w أكبر من أو يساوي
والعنصر صح؟ العنصر قلنا هذه lower bound لست و ال w
هو ال infimum اللي هو أكبر lower bound إذا ال w
أكبر من أو أكبر من أو يساوي العنصر طب احنا عايزين
نثبت احنا عايزين في النهاية نثبت أن ال w هذا
اللي هو ال infimum بيساوي العنصر هذا اللي عايزين
نثبته أنا عندي w أكبر من أو يساوي العنصر لكن أنا بدي
أثبت أن ال w بيساوي العنصر، تمام؟
فلإثبات ذلك
خلّينا ناخد أي إبسلون أكبر من العنصر فحسب
ال Archimedean property اللي هو الجزء ب المكافئ
Archimedean property لأي عدد موجب إبسلون بقدر
ألاقي عدد طبيعي مقلوبه وأصغر من إبسلون، صح؟ هذا
الجزء ب من النتيجة
إن أنا في عندي هي 1 على n أصغر من epsilon يوجد
n هذا الطبيعي بحيث 1 على n أصغر من epsilon و 1
على n هذه عنصر ال 1 على n هذه عبارة عن عنصر في ال
set s و ال w هذه lower bound إلها ال w هذه هو ال
minimum لل set s و 1 على n عنصر في s إذا ال w بيطلع
أصغر من أو يساوي أي عنصر في ال set لأنه lower bound
صح؟ وقبل شوية قلنا إن ال w هي u بس نتجنا إن ال w
اللي هو ال infimum أكبر من أو يساوي العنصر اللي هو
lower bound وهذا أكبر lower bound الآن هذه ال
epsilon عشوائية إن الكلام هذا صحيح لكل epsilon
أكبر من العنصر إذا في عندي نظرية واحد ثمانية بتقول
ليه؟ كانت بتقول إن لو كان ال a عدد غير سالب و أصغر
من epsilon لكل epsilon أكبر من العنصر فهذا بيقود إلى أن
a بيساوي العنصر، صح؟ هذه نظرية واحد ثمانية، صح؟ هي ال
w التي هي ال a أكبر من أو يساوي العنصر وأصغر من
إبسلون لكل إبسلون عدد موجب فحسب النظرية هذه بيطلع
w بيساوي العنصر وهذا اللي احنا عايزينه نثبته، تمام؟ إذن
هذا بيثبت أن ال infimum للست دي أو لل sequence
واحد على n هو العنصر، تمام؟ وهنا استخدمنا في البرهان
ال Archimedean property الصورة بيه من ال
Archimedean property في
النظرية هذه احنا أثبتنا قبل هيك
احنا أثبتنا سابقا في
السابق أثبتنا أنه في كان نظرية أو مثال بتقول أن
جذر 2 is not a rational number
أو العدد جذر اثنين is irrational نعم مظبوط فطبعا
في البرهان هذا اعتمدنا في البرهان على أن جذر
اثنين هذا عدد حقيقي يعني exist هو أحد العداد
الحقيقية وفرضنا عملنا برهان غير مباشر فرضنا أنه
جذر اثنين ينتمي ل q أو عدد نسبي ووصلنا إلى تناقض
تمام اليوم بنرجع للوراء شوية وبنقول احنا هنا في
النظرية هذه في البرهان أو في النظرية هذه افترضنا
جدلا أو افترضنا مسبقا أن جذر اثنين هذا عدد حقيقي
اليوم هنرجع ونثبت أن existence of جذر اثنين يعني
جذر اثنين هذا بنثبت أن هو فعلا عدد حقيقي مش عدد
آخر مش عدد تخيّلي
فهذا يعني البرهان أو
نظريها دي بالظبط بتقول انه جذر اثنين وعدد حقيقي
يعني يوجد عدد حقيقي موجب x ومربعه هو اثنين okay
فبرهان النظرية هذه يعني ممكن شوية طويل لكن موجود
عندكم بالتفصيل ويعني موجود إلى أعزاء ويعني مش صعب
أنكم يعني تقرؤوا بمجموعتهم و تفهموه فأرجو أنكم
تقرؤوا البرهان و تحاولوا تفهموه و ممكن يعني المرة
الجاية إن شاء الله نسأل نحاول نمر عليه أو نحاول
نبرهن نقصر عليه، طبعا؟ إذا نكتفي بهذا القدر ونكمل
إن شاء الله المرة الجاية