بسم الله الرحمن الرحيم، أعزائي الطلاب السلام
عليكم ورحمة الله وبركاته في هذا الـ World Section
100 Chapter 3 بعنوان الـ Derivative as a Function
بيعطينا كيف نجد روابط مستخدمة بالتعريف في الـ section
مبني على هذا التعريف Definition The derivative of
the function f of x with respect to the variable x
is the function f prime of x whose value at x is
f prime of x المشتقة لـ f تساوي limit لـ f of x ناقص
f of x على h طبعا هذه النهاية إذا كانت موجودة
فبكون مشتقة الدالة f of x موجودة وهي f prime
of x فعشان أجيب نهاية الدالة أول حاجة بجيب المعدل
التغير f of x ناقص f of x على h وببحث النهاية عن
h تؤول لـ 0 إذا
كانت النهاية موجودة فهي المشتقة الأولى في تعريف
مكافئ آخر F prime X هو limit F of X زائد h ناقص F of
X على h ناقص X لما h تؤول لـ X لدي تعريفين، التعريف
الأول هو U والتعريف الثاني مكافئ باستخدام
التعريف الهندسي للمشتقة كالآتي افترض فيه أن
الدالة هي F of X بالأزرار على الفترة من X لـ Z
أخذنا عند نقطة X صورتها F of X النقطة الثانية Z و
F of Z لو جبنا هذا الخط المستقيم اللي بسميه القاطع
الـ mail تبعه يساوي F of Z ناقص F of X على طول
الفترة h يساوي Z ناقص X هذا هو بيساوي F of Z ناقص F of
X عزيزي نقصلما نجيب النقطة z تقترب من نقطة x بمعنى
أن h تؤول لـ zero فبيصير عندنا مماس المشتقة الأولى هي
ميل المماس عند النقطة هناخد قدرة أبطالها تتطلب
مننا أن نجيب مشتقة f of x تساوي x على x أقصر واحد
هي f of x نعوذ من الـ x زي الـ h على x زي الـ h ناقص
واحد f برايم X حتة ثانية تقوى الـ limit f X زي
الـ h ناقص f X على X ملاك تقوى الـ Zero نعوذ
من الـ x زي الـ h على X ملاك تقوى الـ Zero وبعد
الاستماعات أول حاجة أنا واضحة أن المقدار اللي في
الـ bus هو عبارة عن فرق بين كسرين واحدنا المقارنة
دلوقتي من X ناقص واحد X ذات h ناقص واحد أيها وده
المعنى إذا أخذنا X ذات h في X ناقص h ناقص X في X ذات
h ناقص واحدة لصورة هذه كله ومضمون في واحد علاقة
شيها
عندما نفكر في الـ bust وكانت الـ bust موجودة على
سالب h سالب h بالاختصار مع h بديني سالب واحد في
الـ bust فعندنا ناخد نهاية عندما نجد h تؤول أننا
سنعود على h سترى بديني سالب واحد على X ناقص واحد
لكل كربيع ومشتق الدالة اللي عندنا الأصلية هو سالب
واحد على X ناقص واحد لكل كربيع ننتقل الآن إلى مثل
ثاني example two find the derivative of F of Z
example
twoA, Find the derivative of f of x بسوء جدر الـ x
for x أكبر من 0 B, Find the tangent line to the
curve Y بسوء جدر الـ x at x بسوء أربعة بالنسبة
لفرق A, f prime of X هساوي الـ limit لـ f زد ناقص f
of x على زد ناقص X هنعود f of z هي جدر الـ z و f of
x هي جدر الـ x على زد ناقص X طبعا الـ z تؤول لـ x
المقام الذي قمنا بعمله يتخلص من أسوأ المقام إما
يبدأ بالنظر بالمرافق جدر z زائد جدر x أو بإنحل
المقام جدر z ناقص جدر x في جدر z زائد جدر x نختصرها
لما حدث لي 1 على جدر z زائد جدر x فالـ z تؤول لـ x
هنعوض عن جدر x ويصبح 1 على جدر x زائد جدر x و1 على 2
زائد جدر x بالنسبة للفرق ب عشان نجيب ميل المماس عند
نقطة x تساوي أربعة هو عبارة عن مشتقة اتجاه اللي عند
الأربعة بنعودها عن x بأربعة بدينا ربع صار المماس
معروفة اللي هو ميله ربع والنقطة هنا بنسبها عند ال
x تساوي أربعة فالنقطة الاحدث السينية اللي هي أربعة
اللي عندها المماس عند معدلته فالأحداث الصادي هيكون
صورته صورة الأربعة جدر الأربعة بيدينا اثنين فهي
نقطة أربعة وجدر الأربعة اللي هو اثنين عند الـ mail
تبقى ربع فتظهر معادلة خلق المماثلات تساوي في
احداث الصادي بالنقطة زائد الـ mail في x ناقص 61 وهذا
هو المماثلات وعندي رقم توضيحية هذا عندها يبدأ الـ
x باللون الأزرق والنقطة 4 و2 هيها والمماثلات هي Y
ثم ربع x زائد 1 يوجد هنا رموز مثلًا في الـ F
المشتقة نرمز لها تبقى f prime X أو Y prime
X أو dy/dx أو d/dx f of x
بعدين عوض عن نفس الـ a أو نفس الكلام دي أفضل أكثر
من مثال 16A إلى آخر في
أن بالنسبة لاشتراك من طرف واحد من النقطة في أن
الـ right hand derivative والـ left-hand derivative
هو نفس التعريف بيكون الـ h تؤول لـ 0 من الطرف فلو
كانت الـ right-hand derivative عند نقطة a فبناخد
limit لـ f a زائد h ناقص f a على h من h تؤول
لـ 0 من اليمين عند نقطة b شمال limit لـ f b زائد h
ناقص f b على h من h تؤول لـ 0 من الشمال حاجة
هي من الطرف طبعا في رسمة توضيحية عند نقطة a نجيب
المشتقة عندنا من اليمين فناخد limit f of a زائد الـ h
ناقص f of a على h لما h تؤول لـ 0 من اليمين وعند
الـ b نفس الكلام f of b زائد الـ h ناقص f of b على h
لما h تؤول لـ 0 من اليسار ملاحظة
a function f has a derivative at a point if and
only if it has left hand and right hand
derivatives there And these one-sided derivatives
are equal لأن هناك فرق في الدالة قبل اشتغالها عن
نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا
كانت عندها نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا كانت عندها
نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا
كانت عندها نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا كانت عندها
نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا
كانت عندها نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا كانت عندها
نقطة إذا كانت عندها نقطة إذا كانت
مثال show that the derivative of y .. show that
the function y is equal to تفصيل x, the
differential goes on تبقى من 0 إلى 0 كل فترة من
الـ 0 لما إلى النهاية what has no derivative at x
equal to 0 المشكلة عند الـ 0 أنه ستكون الـ right
hand derivative و left hand derivative مش ده تتغير
انتساويات لو أخذنا الـ right hand derivative هي
limit قيمة مطلقة الـ 0 علشان ناخد قيمة مطلقة الـ 0
علشان نقول زي إلا مينهي قيمة منطقة الـ h على h الـ
h تؤولها 0 من اليمين يعني h أكبر من 0 لأ مدام h
أكبر من 0 يعني قيمة منطقة الـ h هي نفس الـ h
فهيكون h على h فـ h على h هو أحد الدنيا كل متر في
الدنيا واحد إذا مشتق من اليمين فهو واحد بالمثل
مشتق من اليسار ناخد نفس الاشي لكن ناخد الـ h
تؤولها 0 لليسار فمدام روحيط معاها هي نفس الـ Pop
لكن هنا h تؤولها 0 من اليسار ومدام h تؤولها 0 من
اليسار إذا الـ h أقل من 0 مدام أقل من Zero فالقيم
المطلقة لـ h هي سالب h سنجد جواب سالب واحد فالمشتق
لقيم المطلقة عند الصفر من اليمين موجودة في نفس
واحد ومن الشمال الموجودة قيمها سالب واحد ولكن لأنه
اثنين وغير متساويتين فالمشتق لقيم المطلقة عند
الصفر غير موجودة ناخذ مثال لو مشتق جدر X عند X
أكبر من صفر ثم اثبتناها جذر X في المثال أن 1 أكثر
من X أخذنا باستخدام التعريف الـ Limit لما اشتغل من
الـ Zero من اليمين لجذر Zero ذات اتش نقل جذر Zero
على اتش للمشتقة عن اليمين لأن الجذر معرف من
صفر لما لا نهاية في الخارج من هنا بيطلع واحد على
جذر الاتش وبصوّي ما لا نهاية للمشتقة عن اليمين
اليمين بصوّي ما لا نهاية هنا بنشوف مادة الحلقة
بيكون ده لا ملهاش مشتقة عن نقطة فرسمة ده اللي بيقدر
يعرفها أول حالة عندما يكون corner هو المنحنى دي اللي
في corner هيكون عندي مستقلة غير موجودة لأنها هتكون
الـ one sided derivative مختلفة زي ما توقفنا في
القيمة المطلقة عند الصفر يمين واحد ويمين واحد ثاني
ماهي الـ cusp الـ cusp بيكون عندنا هي cusp فشكل cusp
النقطة هنا بيكون الميل عندك الـ slope للـ tangent
بيروح لما لا نهاية من طرف تاني سالب ما لا نهاية من
طرف آخر لسالب ما لا نهاية فعن الـ vertical يعني أن
بيكون عندي مماس عمودي في حالة المماس العمودي هذا
يكون من الطرفين عندي بيروح لما لا نهاية أو بيروح
لسالب ما لا نهاية وإن في عدم اتصال أي دالة غير
متصلة عن النقطة فهي غير قابلة للاشتقاق الثانية
عندها في عدم اتصال في jump فلا يوجد اشتقاق بالحالة
اللي برضه لا يوجد اتصال بالحالات عيدها أربع
حالات الحالة الثالثة يكون في المشتقة النقطة إذا
كانت النقطة هذه عندها corner أو cusp الحالة الثانية
الحالة الثالثة لما تكون عندك vertical tangent مماس
رأسي الحالة الرابعة لما تكون غير متصلة الحالات
هذول بتكون الدالة غير قابلة للاشتقاق عن النقطة
هي نظرية بتدين علاقة بين اشتقاق واتصال يعني أي
دالة قبل الاشتقاق هي متصلة
فالاشتقاق أقوى من الاتصال لكن بالعكس صحيح ممكن تكون
الدالة متصلة عندك لكن غير قابلة للاشتقاق وأبسط مثلها
اللي قلناها قبل شوية الـ greatest integer الـ greatest integer
متصلة عند الصفر لكن غير قابلة للاشتقاق فإذا كانت
الدالة قابلة للاشتقاق عندك فهي متصلة
طبعاً لو أخذنا من التقية الـ greatest integer
functions هذه غير قابلة للاشتقاق في كل الـ integers
لأنها غير متصلة عندها فأي نقطة تكون التقية اللي
غير متصلة عندها فهي غير قابلة للاشتقاق وهذا المفروض
معكوس في
الملاحظة
هذه العلوم راح يقول that the converse of theorem 1
is false a function need not have a derivative at
a point where it is continuous يعني مش ضروري تكون
الدالة قابلة للاشتقاق عن نقطة بيكون متصلة دلوقتي أنا
فاهم من هذه النظرية إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق
عن نقطة فهي متصلة إذا كانت الدالة غير متصلة عن
نقطة فهي غير قابلة للاشتقاق لكن إذا كان عندي الدالة
متصلة على النقطة فليس ضروري أن تكون قابلة للاشتقاق
ممكن تكون قابلة للاشتقاق أو لا أي مثل يكون متصلة لكن
غير قابلة للاشتقاق ولكن إذا كانت غير متصلة فهي غير قابلة
للاشتقاق فالمثال الـ greatest integer النتيجة أن غير متصل عند
العدد الصحيح حتى يكون قابل للاشتقاق عند العدد الصحيح
الواحدة أمثلة طبعاً الفكرة الأساسية كيف نجيب
المشتقة بسهولة من التعريف أنا بدي أن الـ F of X هو
8 جذر X ناقص 2 طلب منها نجيب معادلة من خط المماس
المماس المماس المماس المماس المماس المماس
المماس المماس المماس المي
عند فرق الكثيرين، نذهب إلى المقام المحمل في
المقام هذا ثم نضع ثمانية في البسط ناقص ثمانية ثم
نضع ناقص ثمانية ثم نضع ناقص ثمانية ثم نضع ناقص ثمانية
ثم نضع ناقص ثمانية ثم نضع ناقص ثمانية ثم نضع ناقص
ثمانية ثم نضع ناقص ثمانية ثم نضع ناقص ثمانية ثم نضع
ناقص ثمانية ثم نضع ناقص ثمانية ثم نضع ناقص ثمانية ثم
نضع ناقص ثمانية ثمانية ثمانية ثمانية ثمانية ثمانية
ثمانية ثمانية ثمانية
ثم هذه الثمانية هبرّح ونقلها فتظهر جواب الـ 4 على X
ناقص 2 أس 3 على 2 المشتقة هي عشان أجيب لكم المماس
ومعادلته هي في المعادلة عندنا نقطة 6 طبعاً نقطة 6
أخذناها من النقطة المعطاة للسؤال هي 6.6 ونقلها
ساوي سالب نصف الاتصال عندنا نقطة معروفة 6.4 6.4
على فكرة كان ممكن ترفض بـ 6 أنا ممكن أجيب أربعة
بالتعويض إذا وضعنا X هنا ناقص ستة فتظهر لو تمنا
جذر ستة ناقص اثنين ناقص أربعة عوض بالنقطة ستة وأربعة
بالمائة وسالب نصف فبعطينا معادلة المماس ناخد السؤال على
wild side of the derivative هذا يبقى واضح أنه فيه
مشكلة عند الصفر التعريف من اليمين ده دي أصار هنجيب
المشتقة عند الصفر هنجيبه من right hand derivative
هي تعريف اف اكس على اتش ناقص اف اكس على اتش ماشية أولى
0 بيمين اتش أقل من 0 يميني يعني اتش أقل من 0
واضح تاني اللفة ناخد نفس التعريف فكلمة H تقل لـ 0
من اليسار ناخد F of H أو H تقل لـ 0 من اليسار يعني
H أقل من Zero هناخد على طرف الشمال صورة H تربيع هي
H تربيع هحطناها على H ونحسب أنها بتساوي Zero
للمشتقة من اليمين عند Zero واحد ومن اليسار Zero
فتالياً هتكون مشتقة عند الـ Zero هذا المثال بيقول
أن هنا سكشن 3 و 2 أخذنا فيها حاجة كإيجاد
المشتقة ذلك اللي أخذناها بالتعريف وأخذنا الـ one
sided derivative والـ right derivative والـ left
derivative والعلاقة قابل للاشتقاق والاقتصاد أن كل ذلك
قابل للاشتقاق عن نقطة هي متصلة لكن إذا كانت الدالة
غير متصلة عن نقطة هي غير قابلة للاشتقاق لكن إذا كانت
متصلة عن نقطة فبقدرش احكي ممكن يكون قابل للاشتقاق
وممكن يقول لا طبعاً في كام مثال قلنا أن المطلقة دا
المثال مشهور أن هي الدالة اللي متصلة على النقطة اللي
صفرها غير قابلة للاشتقاق وأخذنا الحالات اللي بتكون في
الدرجة قبل النقطة اللي بتكون وين في corner وين في
cusp وين في vertical line وين في discontinuous في
ختام هذا الفيديو أتمنى لكم التوفيق والسلام عليكم
ورحمة الله وبركاته