كل واحد يفتح لي على رسمة الـ trigonometric
functions اللي رسمناها المرة الماضية، مينحاول نستفيد
أو نطلع من خلال الرسم بعض الشغلات الأساسية
المتعلقة بالـ trigonometric functions، طلع لي في
الرسمة كويس، طلع لي في رسمة cos X و sec X في الأول
كوكوساين الـ X وكذلك مقلوبها سيك الـ X، شو رأيك في رسمة
كوكوساين الـ X؟ هل هي متماثلة بالنسبة لمحور Y؟ يعني هل
الرسم اللي على يمين محور Y زي الرسم اللي على شمال
محور Y؟ بالضبط، يعني طيب ممتاز، لو كان المنحنى متماثل
بالنسبة لمحور Y، يبقى دالة بنسميها even function
بناء عليه cosine الـ X is an even function، طلع لي
لسيك X اللي هي مقلوب الـ cosine، برضه الرسمة اللي على
يمين محور Y زي الرسمة اللي على شمال محور Y، يبقى
بناء عليه كذلك سيك الـ X is even function، تمام تمام.
اللي هنضايق مع مين عندنا؟ الأربع نسب الأخرى اللي هي
مين؟ ساين الـ X، تان الـ X، كوتان الـ X، كوسيكانت الـ X.
الأربع نسب الأخرى، فالله عليك في الرسمات تبعتهم شوف
ليهم، هل هي متماثلة بالنسبة لنقطة الأصل أم لا؟ بمعنى
لو رسمت أي خط يمر بنقطة الأصل بيكون بعد أي نقطة
على الناحية دي ازاي البعد من الناحية الثانية أم
لا؟ مين
اللي بتعترض عليها؟
آخر واحدة، مظبوط؟ ارسم أي خط يمر بنقطة الأصل، خط
اللي عجبك، وشوفها متماثلة بالنسبة له ولا لأ، أي نقطة
على منحنى الـ cosecant من الناحية دي، وأي نقطة
على منحنى ال cosecant من الناحية المناظرة لها، نفس
البعد ولا لأ؟ يبقى عندك الأربع نسب أو الأربع نسب
الأخرى كلها are odd functions، تمام؟ يبقى النسب
المثلثية الستة، اثنين منهم even وأربعة odd، الكلام
اللي بنقوله بدنا نسجله ونشوف ما هو المعنى الرياضي
له، يبقى باجي بقول from the graph of the
trigonometric functions we have، النقطة الأولى
cosine الـ X and Sec X، أو
graph is symmetric about
the Y axis.
أي أن لما تبقى الـ cosine even يبقى cosine لسالب x
شو بده تساوي؟ تعريف الـ even function، cosine الـ x
and second لسالب x
هذه النقطة الأولى، النقطة الثانية
الشيء اللي قلناه هو symmetric about the y-axis،
يعني هذا بدي أعطيك إنه cosine الـ x and sec الـ x
are even functions، يبقى هدول دوال زوجية، الآن بدنا
نيجي لقدام لـ sign الـ X وكذلك تان الـ X وكذلك كتان
الـ X and cosecant الـ X are symmetric about
the origin.
يبقى هدول symmetric about the origin، that is، ساين
الـ X وتان الـ X وكوتان الـ X and ال cosecant X are
odd functions، هذا شو بده يعطيك؟ هذا بده يعطيك
معناها ساين لسالب x بده يساوي سالب ساين الـ x، تان لسالب x
بده يساوي سالب تان الـ x، كوتان لسالب x يساوي سالب كوتان الـ x and
كوسيكانت لسالب x يساوي سالب كوسيكانت الـ x.
ساين الاكس يساوي سالب سين الاكس، وتان الاكس يساوي
سالب تان الاكس، وكوتان لسالب اكس يساوي سالب كوتان
الاكس، وكوسيكانت لسالب اكس يساوي سالب كوسيكانت الاكس.
هذا معناه الـ odd function، يبقى النسب المثلثية ستة،
اثنين even وأربعة odd، يبقى كوساين لسالب X هو كوساين X،
سكند لسالب X هي سكند X، ساين لسالب X بسالب ساين X،
تان لسالب X هو سالب تان X، كوتان لسالب X هو سالب
كوتان X، كوسيكانت لسالب X هو سالب كوسيكانت X، الآن
بدنا نربط القديم بالجديد، يعني بدنا نعطي أمثلة على
المثال اللي وقتاش بتكون الدالة even ووقتاش بتكون
الدالة odd وبدنا ندخل فيها النسب المثلثية اللي
عندنا، يبقى بدنا نعطي مثال توضيحي على ذلك، يبقى
example، المثال
بيقول ما يأتي، determine whether
the following functions
are even, odd or neither.
هل هي even ولا odd والله لا even ولا odd، نمرة a
بدنا ناخد الدالة f of x يساوي x تربيع cosine 2x،
مشان نحكم على هذه الـ function يبقى بنيجي بنشيل كل
X وبنحط مكانها مين؟ سالب X، يبقى بنا نيجي ناخد F
of سالب X، يبقى هذه سالب X الكل تربيع، Cos 2 في سالب
X، هذه بدها تساوي X تربيع itself، وهذه كوساين لثلاث
اتنين X، الآن الـ cosine even يبقى ثالث بالزاوية
وهذه تطير وتبقى باسم الزاوية، يبقى هذا الكلام
يعطينا X تربيع في كوساين 2X، الآن الـ cosine
هي عبارة
عن رأس المسألة اللي عندنا، يبقى هذا بده يساوي الـ F
of X itself، يبقى معناه هذا الكلام إن الدالة هذه
معناها is even function، الـ F of X يساوي X تربيع
فيه Cos 2X is an even function، طيب نيجي ناخد كمان
function أخرى نمرة بيه، الـ F of X يساوي، يساوي مين؟
absolute value لـ X زائد ساين square X، كله مقسومًا
على الجذر الثالث لـ X
هذه بدها تساوي أو بدي اخذ الـ F of سالب X، يبقى سالب
اللي هو الـ X كله كـ absolute value، زائد sin تربيع
لسالب X على الجذر الثالث لسالب X
هذا الكلام بده يساوي، أظن من خلاص الـ absolute value
هذا بتعطينا absolute value لـ X كما هي، هذه باجي
بقول هيك، يطلع لي كويس، لما أقول sin²x، أليست هي sin
x الكل square؟ تمام تمام، يبقى هذه الـ sin odd، يبقى
لما أقول sin لسالب x الكل تربيع، يبقى سالب sin x
الكل تربيع، إذا هذه مربعها شو بدي يعطيني؟ sin تربيع
الـ x، يبقى هذه زائد سالب ساين X الكل تربيع على هذه
الجذر الثالث، السالب واحد، هذه أليست هي السالب واحد
الكل تكعيب X
سكت الشعب مش شايف بالضبط، بس هذا مين؟ الجذر الثالث
طب كتبت هيك ليش؟ كتبت عشان بس بدي أوضح لك إن السالب
هذه تبقى كما هي، طيب هذا الكلام بده يساوي absolute
value لـ X، هذه لما ربيعها بيطير السالب بيصير sine
square X، هذه يساوي السالب الجذر الثالث لـ X، سالب
واحد الكل تكعيب، طلعها برا الجذر، تطلع السالب برا الجذر
بظل الجذر الثالث لمين؟ لـ X، ممكن أخد هذه السالب عامل
مشترك من الكل، ويبقى عندي في الداخل absolute value
لـ X، ساين تربيع الـ X، وهنا الجذر الثالث لـ X، سؤال هو
المقدار بين القوسين مش هو عبارة عن أصل المثل اللي
فوق؟ يبقى بده أشيله وأحط بداله F of X، وشرط السالب
هي ضرورة، يبقى سالب F of X، يبقى بناء عليه F of سالب X
صار تانية مية سالب F of X، معناه هذا الكلام إن الدالة
F معناها odd function، يبقى سؤال F is M
F of X يساوي واحد زائد تان X زائد 2 باي على
مين؟ على سك الـ X ناقص 2 باي، مش عارف
اكتب الدالة بشكل ألطف من الشكل اللي قدامنا، باجي بقول
هذه عبارة عن واحد زائد هذه X زائد 2 باي، قداش
الـ period تبعت التان باي، طيب يبقى بقدر احذف باي
ومضاعفات 2 باي و 3 باي و 10 باي كله بقدر
احذفه، ما عنديش مشكلة إن هذه الـ period تبعتي التان.
إذا هذه بالضبط هي واحد زائد تان الـ X على الـ
period لسك كده؟ 2 باي، يبقى احذف والله أضف لن
تغير في القيمة، إذا هذه لو أضفت لها 2 باي كده
ستبقى ال... سك X فقط، لغير يبقى هذه صارت سك X، يبقى
صارت مسألتي بالشكل قدامنا هذا، يبقى أنا لسه الخطوة
الأولى حطيت المسألة في شكل جديد مكافئ للشكل الأول،
بروح أخذ f of سالب x يساوي واحد زائد تان لسالب x
على سكند لسالب x، ويساوي واحد، التان قد والله even،
يعني السالب هذا ماله؟ يطلع برة، يبقى هنا سالب تان
الـ X، السك
يبقى هذا لا
يساوي f of x،
بأخذ إشارة سالب من البسط عامل مشترك، يبقى لو أخذت
إشارة سالب من البسط عامل مشترك، بضل ناقص واحد زائد
تان الـ X على المقام اللي هو سك X كما هو، يبقى هل
المقدار بين القوسين هو الدالة الأصلية اللي هناك؟ لأ،
برضه ما هو شهوة، يبقى كمان لا يساوي سالب F of X،
يبقى الدالة ما لها not، odd، بناء عليه الدالة هذه is
neither even nor odd، يبقى سواء الـ F is neither even
nor odd، يبقى لا هذا ولا ذاك.
الآن بدنا نيجي لآخر نقطة في هذا الـ section واللي
هي عبارة عن الـ trigonometric identities.
المتطابقات المثلثية، وهذه غالبكم كانوا بيتضايقوا
منها وهم في المرحلة الثانوية، وهنعرضها لك إن شاء
الله بطريقة سهلة ومبسطة ويسيرة، خلي بالك، معناه
يبقى باجي لأول متطابقة من هذه المتطابقات، أظن فش
واحد يكون بجهلها، زائد كوساين تربيع الـ X بواحد، كله
بعرفها، هذه مظلوم، فش واحد بعرفهاش، طيب يبقى لو جيت
للمتطابقة الأولى، كوساين تربيع الـ X زائد ساين تربيع
الـ X يساوي واحد، مش رأيك هذه هطلع منها متطابقتين
أخرى منها، مرة بدي أقسم عليكم ساين تربيع ومرة
بده أقسم علي ساين تربيع بطلعتين تانية، يبقى
بيصيروا جداش؟ ثلاث، لكن ثلاث هو في الحقيقة هما
واحدة في الشريحة تمام، إذا لو قسمت على كوساين تربيع
جداش؟ بيطلع عندي هنا واحد، ساين تربيع على كوساين
تربيع ليهم، مين؟ تان تربيع الـ X، واحد على كوساين تربيع
دي مقلوب السيك يبقى سك تربيع الـ X، تمام، ما حدا
أحسن من حدا، زي ما قسمت على كوساين تربيع بدك تروح
تقسم على الـ ساين تربيع بيصير الـ كوساين تربيع على الـ ساين
تربيع بكوتان تربيع الـ X زائد واحد سواء على الـ ساين
تربيع اللي بكوسيكانت تربيع الـ X، يبقى هي عندي صار عندي
ثلاث متطابقات مثلثية، لكن في الحقيقة هذه واحدة بس
بتنتهي إن بجيبهم بسهولة، الباقية اقسم إن اجت معاك
دغري، طيب، ننتقل إلى المتطابقة الثانية كنت زمان أعلمكم
ما هو جاء ألف زائد باء، جاء ألف زائد باء، جاء ألف
جابا زائد جتا ألف جابا، نبدأ بجاء وجتا، وبعد كده
نقلب، اللي كانت جتا بنخليها جتا، واللي كانت جتا
بنخليها جا، مش هيك كنت أعلمكم؟ احنا نفس القصة، بس هنقول
ساين وكوساين، يبقى بالداخل ميم لساين
الـ X زائد الـ Y يساوي ساين الأولى كوساين التانية
يبقى هي ساين X في كوساين Y، الشارع هذه الزائد اللي
الشباب إنه بيفهم هذه فهما جامدا كيف يعني فهما
جامدا يعني بقول لك هذا أنا مش حافظ غيره لكن هذا أنا
بقدر أطوعه حسب المثل اللي عندي ازاي ما بدي فمثلا
لو كانت هذه Sin 6X ستة اكس مش اثنين اكس طلع اثنين
هذا القاعدة بتاعت القانون والزاوية اللي جوا هنا
نصف الزاوية اللي برا يعني لو كانت هذه ال sign ستة
اكس بقول له اثنين sin ثلاثة اكس cosine ثلاثة اكس عادي
جدا، لو كان sin 10x، يبقى بقول له 2sin 5x cos 5x، طب
لو كانت هذه sin X فقط، يبقى بصير 2 زي ما هي sin X
على 2 cos X على 2، يعني sin نصف ال X في cos نصف ال X،
الزاوية اللي جوا، نصف في الزاوية اللي برا، تفضل
ما لها؟ هذه زائد
يبقى هذه زائد اللي تحت ناقص هذه ناقص يبقى هنا ناقص
هذه زائدة عكسها تماما ال cos زي بعضه المقام مخالف
في الإشارة تمام طيب أروح نكمل باقي شغلنا يبقى أنا
بدي أستخدم هذا القانون أو هذه القاعدة متى لازم
الأمر يعني حسب طبيعة المثل اللي عندي بدي أحور هذا
زي ما بدي حسب نوع المثل اللي موجودة عنه مش هذا
جامد ما لهش ليونة لابد ليونة زي ما بدك حسب طبيعة
المثل يبقى هذه النقطة اللي هي sin 2x بدنا نروح
لـ cos 2x يعني لو ال X ساوي ال Y يبقى ايش بيصير عندي
هنا cos 2x شوف ايش بيصير بصير cosine x cosine ال y
يعني cosine x في cosine ال x يعني cosine تربيع ال
x sine x sine x يبقى sine تربيع ال x إذا نهديها
بصير cosine تربيع ال x ناقص sine تربيع ال x تمام
أصلًا صبر شوية راجع يبقى الآن الصيغة الأولى لـ cos 2x
باجي على الصيغة لأن هذه بشيل كل y و بحط مكانها x
بصير cos تربيع ناقص sin تربيع ال x
هشام إسماعيل ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي
ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي
بقول لك يا إبراهيم قال ال sign تربيع هذه بدي آجي من فوق و
أكتبها بدلالة ال cosine إذا أنا بقدر أشيل ال sign
تربيع و أكتب بدلالة واحد ناقص cosine تربيع طيب هي
مسبوقة بناقص بصير cosine تربيع بالموجب والواحد
بالسالب إذا بصير هذه اثنين cosine تربيع ال X ناقص
واحد يبقى هذه بصير اثنين cosine تربيع ال X ناقص
واحد من وين جبتها هذا from واحد من الأولى هذا from
بس اصبر علينا شوية واحدة واحدة احنا جايين يبقى
الآن هذه صارت cosine اثنين X لها صيغتان الصيغة
الأولى cosine تربيع ال X ناقص sine تربيع ال X
الصيغة الثانية اثنين cosine تربيع ال X ناقص واحد
اجى صاحبنا هذا المستعجل أقول شو اسمك أنت؟ آدم زايد
زايد زايد زايد زايد زايد زايد زايد زايد زايد زايد
بيقول لي هذه يستوي، قل لي بالله على ال cosine تربيع
هذه و أخلص منها بقول له بيكتب واحد ناقص sin
تربيع ال X بيصير ناقص sin تربيع و ناقص sin تربيع
بناقص اثنين sided يعني بيصير هذه واحد ناقص اثنين
sin تربيع ال X يبقى أسعار cosine 2x لها ثلاث صيغ
الصيغة الأولى cosine تربيع ال X نقص sin تربيع ال X
الصيغة الثانية اثنين cosine تربيع ال X نقص واحد
الصيغة الثالثة واحد نقص اثنين sin تربيع ال X يبقى
ياغي و زايد قالوا لنا فيه صيغتين غير الصيغة الأولى
قلنا ماشي تمام و كتبنا الصيغة الثلاث بدنا قانون واحد
ثالث غير اثنين ويقترح علينا اقتراح آخر في حد بده
يقترح أيوة فارق من المفضل أيوة طبعًا فارق من المفضل
يعني بصير جذر اثنين cosine ال X ناقص واحد جذر
اثنين cosine X زائد واحد لأ بنأتي بجديد أنا بدي جديد
أستعمله و أنا بشتغل فيه؟ إذا ما فيش أنا بأجيب ها
أيوه هاي احنا الساعة بهاي الدول يا رجل ما وصلناش ال 10
فيها ها دي أنا بحكي ها
ماهي فيه
جديد؟ طيب أنا من هدول بدي أطلع لك شغلة جديدة و اسميها
رقم أربعة رقم أربعة شوف يا سيد أطلع لي في هذه
cosine اثنين اكس وهذه شايف فاهم؟ بدي أوصل واحد على
الشغلة الثانية ايش بيصير؟ واحد زائد cosine اثنين اكس
بدي أقسم كله على اثنين بصينا عند مين؟ cosine تربيع
ال X يساوي النص في واحد زائد cosine اثنين X يعني
جبت مربع النسبة المثلثية بواسطة النسبة المثلثية بس
ضعف الزاوية الزاوية اللي جوا جد الزاوية اللي برا
ما لها مرتين بعكس ال sign كانت ال sign الزاوية اللي
برا جد اللي جوا مرتين تمام هذه اللي جوا جد اللي
برا مرتين على عكسها تماما طيب كويس ما حدش أحسن من
حد زي ما جبت هذه جبنا ثانية زي ما جبنا cosine
تربيع ال X يبقى بدنا نروح نجيب sin تربيع ال X يبقى
نصف في واحد
لغاية هنا هذول أهم المتطابقات المثلثية في Calculus
A و Calculus B و Calculus C و المعادلة التفاضلية و
الفيزياء و اللي مش عارف ايه كل الشغلة تتعلق
بالرياضيات هدول هم الأساس طبعًا في أخريات طبعًا لكن
هدول أهم حاجة بتقابلنا أثناء الشغل طب نكمل ها بدنا
نروح نيجي لمن لتان جيت sin2x و cos2x بدنا tan
اثنين اكس رغم أنها نادرة الاستعمال عندنا في ال
calculus أهم حاجة مين اللي هي ال sin و ال cos لكن
بدنا نقولها إذا لو جيت هنا خمسة و روحت قلت بدي
tan اثنين اكس يساوي يبقى شيلنا واي وحطينا مكان X
بيصير tan اثنين X بيصير tan X زائد tan ال X باثنين
tan ال X يبقى باثنين tan ال X على واحد ناقص tan
تربيع ال X مش ده تهمية كتير ماهياش مهمة عندنا كتير
هذه خمسة ابني جي الستة ستة شباب في إن حاجة اسمها
قاعدة جيوب التمام ال law of cosine يبقى ال law of
cosine ايش قاعدة جيوب التمام قاعدة جيوب التمام
تقول لو عندك ثلاث أضلاع المثلث و بدك تجيب ثلاث زوايا
أنت ما عندكش لا طول، من خلال الأطوال بقدر أجيب
الزوايا، الزوايا هي هذه القاعدة اللي بيسميها قاعدة
جيب تملة، لو كان عندك أي مثلث شو ما يكون شكله
هذا مثلث سمت الضلع هذا A سمت الضلع هذا B سمت الضلع
هذا C ونفترض أن هذا محور X وهذا محور Y وهذه نقطة
الأصل اللي هي Zero أخذنا الضلعين A و B حصروني بينهم
زاوية زاوية هذه سميتها ايش؟ ثيتا، لو بدي أعرف كده
الزاوية ثيتا، بقول له هذه القاعدة بتقول لي cosine
ثيتا يساوي، بدي أعلمك الطريقة و بتصير بعد هيك فارغة
بسيطة ولا حاجة، أين الزاوية ثيتا هي؟ أين ضلعيها؟ A
و B مش هنجيب كوساين الجيب تمام بقول مربع الضلع
الأول للزاوية زائد مربع الضلع الثاني للزاوية ناقص
مربع الضلع الثالث اللي هو قبل الزاوية على اثنين
حاصل ضرب ضلعيها يعني ايش باجي بقول A تربيع زي B
تربيع ناقص C تربيع على اثنين B بس سبع يبقى جيب
تمام أي زاوية باطل على الضلعين اللي يتكونوا
للزاوية مربع الأول زائد مربع الثاني ناقص مربع الضلع
الثالث اللي بيقفل المثلث اللي بيقفل المثلث على
اثنين حاصل ضرب ضلعيها بناء عليه لو بدي أجيب جيب
تمام الزاوية اللي فوق بقول له A تربيع زائد C تربيع
ناقص B تربيع على اثنين AC لو بدي أجيب جيب تمام
الزوايا هذه بقول B تربيع زائد C تربيع ناقص A تربيع
على اثنين BC وبالتالي بأجيب تسموه في التنمية حل
المثلث بيعطيك ثلاث معلومات والله معلومتين وبدك
تجيب باقي المعلومات تبع المثلث يعني بدنا نجيب
الأضلاع كلها وبدنا نجيب الزوايا كلها ده اسمه بجيب
تسموه حل المثلث تمام؟ طب لو حصل أن الزاوية هذه كانت
تسعين درجة تسعين درجة بيصير جتا تسعين بجدل صفر
بيصير هذا بصفر اه لأن في المثلثة القائمة الزاوية
مربع الضلع هذا زائد مربع الضلع هذا بيساوي مربع
الضلع الثالث فيه ثورة إذا بيصير بصفر جدل صفر على
أي رقم يساوي صفر كلام صحيح يبقى سواء كان قائم ولا
حاد ولا منفرج ما عندنا مشكلة في هذه الحالة طيب هذا
كله كان موجود في الطبعات من الطبعة الأولى وحتى
الطبعة الحادية عشرة اجى في الطبعة الثانية عشرة
اللي بين ايدينا و حطينا الخاصية رقم سبعة الخاصية رقم
سبعة بتقول ما يأتي بتقول for any
أنقل theta لأي زاوية theta major مقاسة
بالتقدير الدائري major in radians بالتقدير
الدائري we have
النقطة الأولى
و الكلام هذا رايح مثل و تقن باريه هنا في صفحة
الثمانية و عشرين بدك البرهان مر عليه في الكتاب،
بدكش بلاش، لكن هل لها استعمالات خلال الأسئلة أو
خلال الشغل من شغله؟ ما ألاقش استعمالات بالمرة، أهم
حاجة قلت لك لحد هنا، من الأول لحد هنا، هذا أهم ما
يأتي طبعًا في بعض المعلومات الأخرى عن حساب المثلثة مش
كده بس بتلزمناش زي قاعدة الجيم ألف شرط على جه ألف
يساوي بقى شرط على جه باقي يساوي جيم شرطة على جه جيم
في أي مثلث تلزمنا في شغلنا؟ ما تلزمناش احنا يبقى احنا
هذه أهم حاجة بتمر علينا في قواعد حساب المثلث الآن
بدنا نأخذ أمثلة على كل ما سمعته عندنا بدل المثال
أربعة أمثلة و بدنا نيجي نشوف هذه الأمثلة قبل ما
نشوف، حد بيحب يسأله يتساءل هنا؟ أيوه؟ كيف؟ ما لهاش
استخدامات عندنا حاليًا، بعد ما تتطور إن شاء الله
بصير الاستخدامات ثانية، هذا، اهتلتها في ال T نقص
هذه الإشارة بالزائد يبقى هذه بالزائد اللي تحت
بالناقص بيدك هي بالناقص تصير ناقص و اللي تحت زائد
مخالفة على طول الخط
كيف؟ كيف استنتجها يعني؟ احنا هذا كله مراجعة اللي
أنت اخذته في الثانوية، هم لازم تستنتج من جديد هذا
كله من الأول و ده راح أرسم لك دائرة و أقول لك هي
المحاور و آخذ نقطة على محيط الدائرة و أقول لك هذا X
و هذا Y و هذا نصف القطر و يلا اربع ال cosine و ال
sine بيطلع عندك جداش، ما بديش هذا الكلام فانا ما
بضيع وقتي في معلومات عتيجة أو بيتة بالنسبة لك، أنا
كل بذاكرك هي تذكير، اه، ايش لازمان؟ كده؟ بسيطة،
لسه مش بقول، نمرا ورا أحد، نمرا اثنين، غريب جدا،
اه، أيوة، مالها؟
خلاص؟ أيوه
سؤال وجيه جدًا، بيقول افترض هذه أندا كانت cosine
أربعة X بيصير cosine تربيع اثنين X ناقص sine تربيع
اثنين X ويساوي اثنين cosine تربيع اثنين X ناقص
واحد واحد ناقص اثنين sine تربيع اثنين X و هكذا
يعني أنت بتقدر تشتغل بالقاعدة هذه زي ما بدها طيب
نبدأ نأخذ أمثلة على كل ما سبق و 369 00:41:28,690 -->
لواحد والله هذا خلى في بالي يترقى في بالي سؤال هذا
السؤال جبناه أعتقد العام الماضي أو اللي جابله
السؤال بيقول بدي الـ period لـ absolute value لـ
cosine الـ X اللي بيعرف يرفع يده فوق خليني أعرفه في
المحاضرة الماضية في المحاضرة بدي قداش الـ period لـ
هذه الدالة أيوة
باي على اثنين يعني نص باي وجهة نظر باي
و نص باي باي و نص على الوسط أو كما قال أيوة اللي
بقى عاوز يرفع أيضا فوق أيوة أيضا في الآخر كده إيش؟
مش سامع أي عدد على اثنين؟ أي عدد سالب تردي؟ يعني
ثلاثة باي على اثنين أو خمسة باي على اثنين؟ يعني
الـ period هذه بتم غطي زي ما بدي؟ والله الـ period
قيمة ثابتة دائما أنا بسأل الـ period بتم غطي هذي كل
يوم تبقى في لون؟ والله لون واحد يبقى يا صاحبي إجابتك
هذه لما حللها من عشوة اسمك أنت؟ مش سامع مهندس يبقى
الـ period لـ الـ cosine باي فقط لغير رسمة الـ cosine
اللي عندك لما نأخذ له الـ absolute value كل اللي
كانت تحت تنجلي بيصير فوق وبالتالي الـ cosine بيصير
كله فوق ما عنديش رسومات تحت طبعا يبقى الـ period بيصير
قداش باي فقط زي ما قال هشام ياغي هذا طبعا و زي ما
قال صاحبنا هناك يبقى الـ period تبقى هيو ساوي باي
فقط بحط بكل امتحان جبت أجابة باي على اثنين و باي
و ثلاثة باي على اثنين و اثنين باي أو باي على
اثنين و باي و اثنين باي و none of the above و
اللي حط لخط تحت الإجابة الصحيحة يبقى دير بالك من
هذا الكلام هذا يدل على الذكاء و على الفهم اه مش
ليه يقول الـ cosine خلاص ما احنا عارفين هاتنين باي
يبقى اثنين باي ويمشي طيب هذا كلام خاطر نجل و نمر
بيهنمر بيه بدي الـ domain لدالة F سؤال هو هل هناك
قيمة دالة هذه ما هي غير معرفة عندها في نهاية طيب يبقى
هذه من سالب infinity إلى infinity واحد مهندس يعني
مخنضي فكر وقال لي أنا بدي أطلع الإجابة هذه بقولك
يعني قال له هذا الواحد يعتبر function ثابتة قلت له
صحيح الـ domain تبعها من وين لوين كل الـ real line و
هذه الـ cosine الـ domain تبعها منين كل الـ real line
والدلتين هدول مطروحتين من بعض بطريقة واحنا أخذنا أن
الـ domain الفرق بين دلتين هو domain المجموعة بين
دلتين هو domain حاصل ضرب دلتين وهو الـ intersection
between two domains مظبوط يبقى من سالب infinity
لإنفنتي تقاطع مع سالب infinity لإنفنتي هيبقى 200
سالب infinity لإنفنتي اللي احنا قلنا عليها يبقى
ما عندي مشكلة واحد فكر زي هيك بطريقة ثانية بتدهش
أقوله بدي الـ range لدالة F يساوي يبقى بدنا الواحد
ناقص cosine الـ X قداش الـ range من وين لوين من صفر
لإثنين متأكدين طب الـ cosine تأخذ قيمة سالم
لو cosine أخدت أقل قيمة لها قداش سالب واحد مع
السالب مش بيصير موجب واحد واحد نام لو أخدت أقصى
قيمة لها قداش واحد بيصير واحد وأقصى واحد بظل باقي
القيم كلها تتأرجح ما بين الـ 0 و 2 يبقى الـ range من
عند الـ 0 لغاية من الـ 2 بدنا نيجي لنمرة C بدنا
domain الدالة F ويساوي في قيمة هنا الدالة ما هي غير
معرفة عندها؟ في؟ اللي هي مين؟ ممتاز يبقى .. يبقى
خليني أطرح السؤال بطريقة أخرى هل domain الـ tan
تربيع يختلف عن domain الـ tan؟ في اختلاف؟ لا يوجد
اختلاف في المرة الـ domain أنا لا أتكلم عن الـ
range أنا أتكلم عن الـ domain domain الـ tan هو
domain الـ tan تربيع لأن tan تربيع تعني domain الـ
tan تقاطع domain الـ tan حصل ضرب دلتين يبقى
domain تبع الـ intersection ما بين الاتنين يعني الـ
domain الـ intersection مع نفسه يبقى نفسه تمام؟ طيب
جبنا domain الـ tan و احنا عندنا كمان واحد الواحد من
سالب infinity لـ infinity دومين الثاني احنا عارفين
أخذناه قبل هيك أنت رستريكشن من حياطيني دومين
الثاني يبقى هذا بتعطيني كل الـ real line ما عدا in
by على اثنين حيث أن odd مش شكل أخذناها من هناك يبقى
هذا بدي يعطيني كل الـ real line بدي أشيل منه زائد
أو ناقص in by على اثنين و الـ in is odd الشكل اللي
عندنا هنا طيب هذا من هذا الـ domain بدي الـ range
بتابع الدالة F
ممكن يأخذ قيمة سالبة range الدالة هذه؟ ممكن في يوم
الأيام يأخذ سالب؟ لأنه tan تربيع زائد واحد
يقول عمره ما هياخد قيمة سالبة طب الـ tan تربيع يعني
بياخد صفر؟ tan تربيع بياخد زيرو؟ اه بياخد زيرو
المنحنى الثانية مربع نقطة أصل مربع زيرو بزيرو زائد
واحد يبقى فيها واحد يبقى أقل قيمة تأخذها الدالة دي
قداش واحد و أكبر قيمة لأن الـ tan تربيع بتأخذ كل
الـ tan بتأخذ من سالب infinity إلى infinity لما
تربعها بتبطر تصير سالب بيصير كل موجب من zero إلى
infinity زائد واحد بيصير من واحد إلى infinity يبقى
هذا الـ range بده يصير من عند الواحد closed و لغاية
infinity مش زي الثلاثية الأولتين من zero لا اثنين وإنما من واحد لغاية infinity هذا هو
zero لا اثنين وإنما من واحد لغاية infinity هذا هو
المثال الأول بدنا نيجي للمثال رقم اثنين الشكل اللي
قلناه شوفوا يا سيدي المثال رقم اثنين بيقول ما يأتي
write the following write the following
functions in terms of in terms of sign الـ X and
cosine الـ X اكتب لي الدالة اللي التالية بدلالة الـ
sign و الـ cosine نمرة A بدنا sign
لثلاثة باي على اثنين نقطة sin X إذا
بتقدر تكتبها بدالة sin X لحالها ما عندنا مشكلة cosine X
لحالها ما عندنا مشكلة بدالة sin و الـ cosine مع بعض برضه
ما في مشكلة هاللي تقدر عليه اكتب لي هذه الدالة إيه
بقى ماجي بقول مولاك واسم ثلاثة باي على اثنين هذي
270 يعني أقل من الـ period بتاعة الـ sign
مظبوط أقل منها بقوله بسيطة إذا هذه بقدر أفكها دوري
و أجي و أقوله الـ sign ثلاثة by على اثنين cosine الـ
X لشيء عادي بالناقص يبقى بالناقص cosine ثلاثة by
على اثنين في sign الـ X هذا الكلام يساوي قداش جيب الـ
270 سالب واحد في cosine الـ X يبقى سالب cosine الـ X
جبت الـ 270 بـ Zero يبقى راحة يبقى ضلي الجواب بس سالب
cosine الـ X نمرة B
بنضله cosine ثلاثة باي زائد X بقول له الـ period لـ
الـ cosine قداش يبقى أنا بقدر أشيل اثنين باي من
مسألتي بالمرة بقدر أتخلص منها يبقى هذه عمليا هي
cosine باي زائد X السبب إن الـ period للـ cosine اثنين
باي يبقى أهمل الـ period هذه اللي هي الاثنين باي
بضال عندي بس باي بقول هذه بفكها زي اللي فوق يبقى
cosine باي cosine الـ X ناقص sin باي في الـ sin الـ X
واحد وسبع cosine مية و ثمانين هذه بقداش سالب واحد
في cosine الـ X بسالب cosine الـ X sin المية و ثمانين
بزيرو يبقى طار الـ zero طلع الإجابتين هذا مالهم زي
بعض كان بإمكاني أعصير السؤالين بسؤال واحد و أقول
لك show that إن الـ sin ثلاثة بي عتنين ناقص X
يساوي الـ cosine ثلاثة بي زائد X
الإشارة اللي هنا في حالة الـ cosine عكس الإشارة
اللي هنا بالضبط تمام في الـ sine زي بعض طالع عندك
كتبناها قبل قليل تمام يبقى النتيجة يسمي سالب
cosine الـ X نجي لنمر الـ C نمر الـ C بدنا واحد على
tan الـ X زائد cotan الـ X عشان نعرف كم تساوي بدلالة
main الـ sine و الـ cosine يبقى
هذه تساوي واحد على sine الـ X على cosine الـ X زائد
cosine الـ X على sine الـ X هذا واحد على بدا واحدة
لها المقامات يبقى بالصيرة sin X في cos X على هذه
بيبقى sin في sin بـ sin تربيع X زائد هذه على هذه
بيبقى cos بـ cos تربيع X تمام يبقى هذه لو قلبتها إيش
بيصير؟ sin الـ X في cosine الـ X sin تربيع زائد cosine
تربيع لـ قداش بواحد يبقى النتيجة sin الـ X في cosine
الـ X هيها كتبتها بدلالة الـ sin و الـ cosine واحد قال
لي أنا بدأ أكتب بدلالة مش sin X sin اثنين X بقوله
ما فيش مشكلة أضرب في اثنين و أقسم على اثنين يبقى
بصير نص اثنين sin x cos x اللي بصير اثنين x يبقى
نص sin اثنين x بس مش هذا المطلوب المطلوب جالي
اكتبها بدلالة مين الـ sign و الـ cosine يبقى
بيخليها زي ما هي بالضبط تماما طيب هذا نمرة c بدا أجي
لنمرة d يبقى نمرة d بيقول لي cosine تربيع x على
اثنين يعني أنا بدي أتخلص من مين من الـ X على 2 و
اكتبها بدلالة من cosine الـ X أو sine الـ X اللي
تقدر عليه اللي تشوفه بقوله هذا الكلام يساوي يطلع لي
في نمرة 4 عندك من المتطابقات قبل شوية يبقى هذه
بقدر أكتب عليها نص في واحد زائد cosine جد هذه
مرتين يبقى اثنين في X على اثنين تمام يبقى هذه
صارت نص في واحد زائد cosine الـ X يبقى هاي كتبناها
بدلالة اثنين cosine الـ X طيب نمرة E بيقول ليه sin
لثلاثة X
sin لثلاثة X احنا قلنا بنا نكتبها بدالة sin X و cos
X مظبوط يبقى هذي فكر كويس باجي بقوله هذي sin X
زائد اثنين X مظبوط وبعد هيك صارت هذي sin لمجموع
قيمتين يبقى بقدر أفكها باستخدام الـ sin يبقى هذه
الـ sin X في cos 2X زائد cos x في sin 2x لماذا أنا
بدي أوصلها إلى cos x و sin x يعني بدي أشوف في
المثلة خلقت 2x بالمرة ووصلها إن شاء الله توصلها الـ
sin تربيع و cos تربيع ما عنديش مشكلة يبقى باجي
بقوله هذا الكلام يساوي sin x مطلوبة بس cosine اثنين
x هذه معلها مش مطلوبة إذا cosine اثنين x لها
بدل الصيغة تلصيح حط الصيغة اللي تعجبك بقوله كويس
و الصيغة بديها بدلالة cosine X و sine X أو أي
واحدة فيهم سيانة بتفرقش عندنا يبقى باجي بقول له
هاي cos و cosine 2X مين الصيغة اللي بدكيها؟
اثنين cosine تربيع الـ X ناقص واحد هاي معناها cosine
اثنين X طيب نيجي يدي الزائد cosine الـ X في يدي
اثنين sin الـ X في cosine الـ X هاي خلصتها كل ابداع
الـ cosine بس بدي عملية ترتيب و تهذيب يبقى هذا الكلام
بده يساوي
طيب إيش رأيك هذه؟ و هذه في بينهم sin X cos X و 2
عامل مش هي يبقى 4 صح؟ يبقى بيظل عندي 4 sin X cos X
ناقص sin X ممكن تحويلها بدل الـ sin الواحد ناقص sin
تربيع الـ X وبالتالي كلها بتصير بدل الـ اثنين sin
خلها زمان 569 01:02
في الـ interval هادي لإن هذه الزاوية سالب باي على ستة
موجة بقى سالبة و هنا عندنا زاوية موجة بقوله بسيطة
جدا هات الزاوية اللي بتكملها 360 بتكون
هي الزاوية المطلوبة في الربع الرابع يبقى لما أقول
30 شو اللي بيكملها 330 يعني
11 باي على 6 باي على 6 بـ 30 في 11
بـ 330 درجة يبقى الزاوية الأخرى هي
11 باي على 6 و θ تساوي 11 باي على 6
هذا حل المسألة نمرى
لربالك، لو كانت الإشارة هذه بالسالب، لأصبح الحل في
الربع الثاني والربع الثالث، يعني إزاي بتطلع في
الربع الثاني والربع الثالث؟ طيب، نمرى بيه؟نمرى بيه
بيقول ساين 2 θ ناقص كوزاين اه الزاوية هذه
غير الزاوية هذه مظبوط إذًا يبدأ أخلي الزاوية كلهم
بدلالة 2 θ يبدأ أخلي الزاوية كلهم بدلالة
θ يبقى الأسهل إن أخليها بدلالة 2 بدلالة
θ إذا ساين 2 θ اللي هي 2 ساين θ
كوزاين θ ناقص كوزاين θ يساوي قداش يساوي Zero في
عمل مشترك اللي هو Cos θ بيظل 2 Sin θ
ناقص 1 يساوي Zero هذا معناه إنه Cos θ بده
يساوي Zero و 2 Sin θ ناقص 1 يساوي Zero
أو إن شئتم فقولوا Cos θ يساوي Zero و Sin θ
يساوي نصف يبقى θ تساوي. الآن بدي أدور مين الزاوية
اللي جيب تمامها يساوي الصفر والزاوية موجودة من صفر
لـ 2 باي.
كوزاين صفر بصفر لا بواحد يبقى هذا كلام مش صحيح يبقى
مين الزاوية اللي جيبها تماما يساوي صفر تساعد يبقى θ
تساوي باي على 2 وكذلك θ تساوي قداش 3
باي سهل جدا لو قلبت هالرسم بتلاقي كلامنا صحيح
بدون حسابات ولا تحسب على Calculator ولا غيره نجي
للتاني هو θ تساوي من الزاوية اللي جيبها يساوي نصف
30 يعني باي على 6 و θ تساوي استنى شوية الـ
جيب موجب يعني في الربع الأول والربع الرابع بقوله
بسيطة هذه باي على 6 مكملتها 180 بتكون
هي اللي باي على 6 لإن جيب أي زاوية قادة يساوي
جيب الزاوية المكملة لأ مش المتممة، المتممة بتكون
90 مكملة بتكون 180 يبقى θ تساوي 180
و 50 درجة اللي هو 5 باي على 6 يبقى كل قيمة
منهم أو كل معادلة منهم إلها حلين يبقى مسألتنا هذه
إلها أربعة حلول زي ما أنت شايف وليس حلين بعض
الشباب بيحط على الكمبيوتر تطلع الزاوية الحادة بيحطها
و بيجي ماشي وبالتالي بيضيع نصف السؤال هذا هو المثال
رقم 3 بدنا نروح للمثال رقم 4 وما أدرك
مالمثال رقم 4 بيقول لي Show that بيلي إنه نمر
ايه؟ ساين θ زائد كوزاين 2 θ ناقص 1
على مين؟ على كوزاين θ ناقص ساين 2 θ يساوي
تان الزاوية θ نقولها Solution
في مثل هذا النوع من المسائل اللي بقيت سموها
المتطابقات المثلثية بقيت كثير من الشباب من حد يطلع
في المسألة بسيطة النبض يرفع عنده اهتمام؟ خاصة في
المرحلة الثانوية، ليش؟ لإنّه مش عارف يدير القوانين
اللي أخذها بها تخدمه في المثلة، تا قبل قليل لما
شرحنا القوانين قولنا بدك تقبل أنت الشاطر وتحرك
القوانين يمين وشمال بحيث تتناسب طبيعة المثلة اللي
عندك بعدين أنا بسأل بقول تان θ صعبة فاكفكها
ووصلها للشكل هذه لكن هذه بقدر أشتغل فيها وربما تصل
إلى مين؟ الطرف اليمين إذا لو جيت مسكت الطرف الشمال
يبقى بالدايجي أقول له هاي ساين θ زائد كوزاين
2 θ ناقص 1 على كوزاين θ ناقص ساين
2 θ يساوي طيب ايش يساوي ساين θ أنا بديها
لإن تان تعني ساين على كوزاين يبقى هذه خليها ما عندي
مشكلة فيها إذا مشكلتي تكمن في وين؟ في كوزاين 2
θ ناقص 1 في عندي أكثر من مقترح المقترح الأول
أنه أخد إشارة سالب عام المشترك
مظبوط؟ هذا المقترح الأول المقترح الثاني كوزاين
2 θ هذه إلها ثلاث صيغ أشيلها وأحط الصيغة
اللتي تعجبني من الثلاث بقول لها بده احط صيغة طيّر
لمين؟ سالب 1 يعني بده يخلي اللي 1 ناقص ناقص
ايش؟ 2 ساين تربيع θ يعني المقترح هذا أنا
ما بديش اه ساين θ هي هذه بدي أقول زائد 1 ناقص
2 ساين تربيع θ ناقص 1
لكن أول ما يجي في بالك مش ما يجي تفكيري الأولاني و
أول ما يجي تفكيري الثاني إن أشيل كوزاين 2 θ
وأحط إحدى القيم الثلاث هذا أول ما سيطرق على من؟
على ذهنك هيبدأ جهدك كوزاين θ ما عنديش فيها مشكلة
ناقص هذه مالهاش اللاصقة واحدة يبقى أنا مجبر عليها
2 ساين θ كوزاين θ يبقى بقل يصير عندي في
البسط والمقام 2 θ كله بدلالة 8 بدلالة θ هذا
الكلام يساوي ناقص 1 وزايد 1 مع السلامة وبقدر
أخد ساين θ عامل مشترك من الكل بيظل 1 ناقص 2
ساين الزاوية θ على هنا كمان بقدر أخد كوزاين
θ عام المشترك يبقى هي كوزاين θ عام المشترك
1 ناقص 2 ساين θ هذا ما هذا الله سهل عليه
يبقى صار عندي ساين θ على كوزاين θ اليومين
بسيط جدا طيب هذا يعتبر سؤال سهل Very easy أنت قلت
شوية تضحكوا ليش أنا حاطط بس قيمة الـ كوزاين والـ
ساين نتيجة وبس وبقى كله لعاله راح طبيعي مدوش
تفكير طيب نيجي ناخد كمان سؤال 1 ناقص كوزاين θ
على ساين θ يساوي ساين θ على 1 زائد كوزاين θ يساوي
تان θ على 2
هذا قصة طويلة، هذول ثلاث شغلات مش شغلتين كمان،
مظبوط؟ يبقى بنيجي للحل، Solution يلا فاكر لي كويس
كيف التفكير الأول اللي بنخلي بس أول Two terms
يساووا بعض، وبعدين بنفهم على باقي المسألة اللي
يبقى
فتح كويس عينك وخليك دقيق النظر أنا عندي بدي أثبت
إن الـ term هذا يساوي الـ term هذا لاحظ الـ ساين كانت
في المقام صارت في البسط 1 ناقص كوزاين صارت تحت
1 زائد كوزاين بمعنى لو جيت أخدت الطرف الشمال
1 ناقص كوزاين θ على الـ ساين θ بتقدر
تخلق في المثلة 1 زائد كوزاين θ
اللي هو المنافسة صحيح ولا لأ؟ يبقى أنا لو ضربت في
المرافق معناته ضربت في 1 صحيح معناته خلقت في
المقام 1 زي الـ pusatita اللي هي مطلوبة عندي و
بعدين الله بفرجها يا أخي زي الليش يبقى باجي بقوله
بدي أروح أضرب هذه 1 زائد كوزاين θ على 1 زائد
كوزاين θ هذه اعتمدت عندك على مين؟ على دقة النظر
أنا عندي هذا term بده أوصل لـ term هذا 1 زائد
كوزاين θ هو المرافق لـ 1 ناقص كوزاين θ فعلا
هيُوصر في المقام يبقى انتهيته بعد هيك نتحاسب مش
مش مشكلة وبنشوف وين متوصل بقوله كويس هذا الكلام بده
يساوي ايش رأيك في الـ براصنة؟ فرق بين المربعين؟ بدي
أرجعه إلى الأصل اللي ابتدى به يبقى الأصل اللي ابتدى به
هو 1 ناقص كوزاين تربيع θ على ساين θ في
1 زائد كوزاين الزاوية θ واحد يقول بدي أحلل
هذه وأختصر وبقوله رجعت لرأس المسس لا ممتاز اه
1 ناقص كوزاين تربيع θ من أول متطاقم مثل هذه
ساين تربيع يبقى هذا بيصير ساين تربيع θ على ساين
θ في 1 زائد كوزاين الزاوية θ ابن اختصر
التربيع مع الـ ساين بيظل ساين θ على 1 زائد
كوزاين هه غير هو طلعت لحالها بسهولة، مظبوط؟ يبقى
ولا في .. بس ضربت في المرافق غير هو طلعت يعني أنت
بتحيط بمفاتيحه كويس بتلاقي أجت معاك فكل المتطابقات
اللي كانت بتزهجكوا في الثانوية وبتستنوا المدرس
يحلها اللي كنت تنسخه من ورا بسيطة بتشغل مخك حاجة
بسيطة مش كتير، بنعشه عميق في تفكيري، بس تفكير
بسيط، طيب ما دام هيك تعال نفكر أنا وصلت الـ term
الأول الى term الثاني إذا وصلت الـ term الأول إلى
الثالث أو الثاني الى الثالث ابنك بحلنا الإشكالية
صحيح ولا لأ؟ طب تعالى أفكر كده إذا وصل الـ term
الثاني إلى الثالث بقولك بس طلع كويس في المثلة
الطرف الشمال هذا كله بدلالة مين؟ θ الجواب هنا
بدلالة مين؟ حول مثلث بدلالة θ على 2 تبقى حلية
الإشكالية ولا حاجة بيصير بس حول المثلة كلها بدلالة
θ على 2 بقوله والله كويس يبقى باجي بقوله And
هذا ساين θ على 1 زائد كوزاين θ يسمى بدي أحول
البسط والمقام كله بدلالة θ على 2 يبقى ساين θ
بـ قداش
نجي لـ 1 زائد كوزاين الزاوية θ هذه لو كانت لو
كانت 1 زائد كوزاين 2 θ كان قلنا له هذه
2 كوزاين تربيع θ صح ولا لا؟ يبقى أنا عندي في
القانون هيك بفكر في الهامش بقول أنا عندي كوزاين
تربيع θ يساوي النصف في 1 زائد كوزاين 2
θ
بقول له تمام يبقى هذه لو قلت لك كوزاين تربيع θ
على 2 ايش بدك تقوله؟ نصف في 1 زائد كوزاين جد
هذه مرتين اليمين θ هي و 1 زائد كوساين θ
اللي بدنا ياها هي موجودة يبقى اش اعمل؟ بس أضرب في
2 يبقى خلصت القصة هذه يبقى لو ضربتها في 2
بيصير 2 كوساين تربيع θ على 2 يساوي 1
زائد كوساين الزاوية θ تمام؟ إذا في الهامش هذا
اللي اشتغلته بعدين بشيل 1 ذات cos θ و بحط قيمته
طبعا أنا اشتغلت في الـ end وسينما حالي مش عارف بس أنا
قادر احطها لكم وأمشي دوري لكن جبت لك من وين كيف
فكرت فيها إذا بقدر أشيلها وأكثر بدالها 2
كوساين تربيع θ على 2 يبقى هاي حولت مسألتي
كلها بدالت الزاوية θ على 2 أظن بقدر أقول
2 مع 2 و cos مع التربيع بيظل قداش عندي ساين
θ على 2 على cos θ على 2 قداش هذا بيعطيني تان θ على
2 إذا وهو المطلوب خلصنا ايوه
مش مشكلة عادي جدا حول زي ما بدك بالطريقة التي
تراها مناسبة لحد هنا Stop انتهى الـ section إليكم
أرقام المسائل المطلوبة من هذا الـ section هذا
section 1 3 مش هيك يبقى هنا ما أقولكوا
هاكتب لكوا فوق مش هي الكل يشوفها يبقى Exercises
1 3 المسائل التالية من 1 لـ 25
الـ odd 1 لـ 25 الـ odd من 1 و 31
الفترة الزمنية وأنت في الصف السابع أعتقد بيقولوا
السرعة المتوسطة تساوي المسافة على الزمن تمام؟ هي
هذه المسافة على الزمن يعني المسافة المقطوعة على
الزمن المستغرق في قطع هذه المسافة طبعًا هنا الحركة
without acceleration بدون عجلة هي السرعة المتوسطة
تمام؟ طيب لازم أنسى الموضوع المعادل للتغير هو
متوسط معدل التغير
The average rate of change متوسط معدل التغير
الدالة Y تساوي F of X with respect to X يعني
بالنسبة للمتغير X over the interval على الفترة X1
و X2 is Delta Y على Delta X وين Delta Y و Delta X
هذه خلي بالك معايا كويسًا الآن أنا لو جئت للمحاور
و روحت قلت هذا محور X وهذا محور Y وهذا نقطة الأصل
اللي هي Zero رسمنا منحنى لدالة F of X فكانت بقدر
الله الدالة بالشكل هذا هيك يبقى هذا منحنى الدالة
هيك Y تساوي F of X أخذنا نقطتين على المنحنى مثل
النقطة هذه و مثل النقطة اللي عندنا هذه أو النقطة
هذه والنقطة قريبة شوية النقطة هذه هذه النقطة جت
نازل رأسك اللي جت إحداثيها هو X1 ومن هنا جت نازل
عمود ثاني اللي جت هذا من X2 هذه النقطة سميتها P
اللي إحداثيها تبع X1 وF من X1 أو X1 وY1 النقطة هذه
سميتها Q X2 و F of X2 بالشكل اللي عندنا هذا بدي أشوف
قداش مقدار التغير في X و قداش مقدار التغير في Y
باجي بقول له البعد هذا هو عبارة عن مين؟ F of X1 ايه
الإحداثي؟ رقم Y بالنسبة لمين؟ للنقطة هذه بالدالة
للنقطة الثانية لأن هذه الخطة المنقطة اللي احنا
رسمناها كلها هو F of X اتنين يبقى كل هذا F of X
اتنين لو جئت من هنا رسمت خط أفقي موازي لمحور X
إذا هذا يعتبر الفرق ما بين الاتنين اللي هو F اكس
اتنين بدي أشيل منه F اكس واحد يبقى هذه F اكس
اتنين ناقص F اكس واحد هذه اللي بدي اسميها Delta Y
الفرق في ال Y يبقى Delta Y هذه F اكس اتنين ناقص F
اكس واحد على هذه كلها المسافة من هنا إلى هنا هي X2
هذه لحالها كلها المسافة X1 يبقى الفرق بينهم X2-X1
يعطينا المسافة X2-X1 المسافة من هنا إلى هنا يبقى
على X2-X1
هذا الكلام يساوي، بدي أحاول أصيغ هذا الكلام بصياغة
أخرى، لو جئت المسافة هذه من هنا لهنا سميتها H،
يبقى هذه هي H يبقى x2 ناقص x1 هي h إذا صارت x2 هي
عبارة عن x1 زائد مين؟ زائد h إذا صارت x2 هذه x1
زائد h إذا هذه ممكن أصيرها صياغة أخرى و أقول f of
x1 زائد h ناقص f of x1 على مين؟ على x واحد زائد h
ناقص x واحد يبقى بضال قداش h وبشرط أن ال h هذه
does not equal to zero لأن لو كانت هذه ب zero بصير
ما عنديش هنا المتوسط معدل التغير يبقى هذا اللي
كتبته هو متوسط معدل التغير خليني أسألكم السؤال
التالي هذه كلها اللي هي delta y وهذه كلها اللي هي
مين Delta X طب لما نقسم هذا على هذا أليس هو ميل
الخط المستقيم اللي عندنا هذا هيك صح ولا لأ يبقى
هذا ميل الخط المستقيم اللي عندنا هذا اللي بسميه
secant قاطع وليس مماس قاطع للمرحلة قطع في النقطتين
P و لQ يبقى هذا الكلام بالضبط بيساوي ال slope of
the secant اللي هو PQ يبقى هذا ميل القطع أو ميل
الخط المستقيم اللي هو line PQ طيب كويس احنا إن شاء
الله بعد شهر وشوية و تسير فيها عيد الأضحى
والناس بيروحوا يزوروا بعض و يسلموا على بعض حبت
النقطة Q هتروح تسلم على مين؟ على النقطة P تبدأ تمشي
في الطريق المرسوم إليها وهي المنحنى Y تساوي F of X
أجت كاسدر هك على المنحنى كل ما تقرب Q من P الـH
هذه بتكبر ولا بتصغر؟ يعني لما وصلت هنا صارت الـH
أصغر فلما نيكوتة كانت تقترب من P يبقى الـH وإن
بدها تروح بتروح لـ 0 يبقى في هذه الحالة القاطع ايش
بده يصبح؟ مماس، على طول القاطع يبقى بده يصبح أيش؟
مماس، يبقى إذا اقتربت النقطة Q من النقطة P فإن ال
secant يصبح tangent واحنا الموضوع اللي كاتبينه
tangent to the curve يبقى القاطع للمنحنة بده يصير
مين؟ بده يصير مماس للمنحنة بدنا نكتب هالكلمة هذه
اللي حكيناها بالعربي فبروح بقول ما يأتي if
the point if the point Q approaches
إذا اقتربت أو approach إذا اقتربت the point P
إذا الـ Q اقتربت من P along the
curve على المنحنى Y تساوي F of X then the
secant PQ secant PQ becomes a tangent بده يصبح
مماس to the curve
يصبح مماس للمنحنى at the point P نصيح مماس لمنحنة
عند P هذا يعني أن ال slope of the curve
طيب فإجابه اقول ما يأتي لو النقطة Q Approach the
point P إذا النقطة Q اقتربت من النقطة P يعني صارت
المسافة بينهم ضئيلة جداً بس بتقترب مش عشوائيًا
ماشية على المنحنى Y تساوي F of X نازل على المنحنى
على P إذا اقتربت منها along the curve Y تساوي F of
X then the secant PQ يبقى القاطع هذا بيصبح ايه؟
بيصبح مماس للمنحنى بهذا الشكل يبقى
هذا tangent
بنصبح مماس للمنحنى عند نقطة P عند نقطة P وفي هذه
الحالة ميل المنحنى عند نقطة P يساوي ميل المماس
للمنحنى عند نقطة P يبقى المنحنى ميله عند نقطة P هو
ميل المماس للمنحنى عند نفس النقطة تمامًا طب حد بيعرف
يقول لك كيف بدنا نوجد ده؟ لكل بساطة طبعًا هناخد ال
section الجاي بروح باخد ال limit لهذا المقدار لما
ال H بده يروح ل zero وهو اللي بسميه ايش؟ معدل
التغير يبقى معدل التغير هو ال limit لما ال H بده
يروح ل zero يعني لو ال H راحت ل zero بحصل على مين؟
على معدل التغير أول مثال بسيط جدا على هذا الموضوع
example
بقول find the average rate of change of the
function f of θ يساوي الجذر التربيعي ل 4 θ
plus one over the interval على الفترة من عند ال
zero لغاية اتنين تحكي
أشيله خلي الجلم يحكي مدوش يسمع حكي
اللي هبقى بيقول لي هات لي قداش متوسط معدله تغير
للدالة هذه على الفترة هذه يبقى احنا نذهب نحسب له
قداش ال F of Zero يبقى الجذر التربيعي ل Zero زائد
واحد يساوي واحد بدنا كمان ال F of اتنين أول الفترة
و آخر يعني F of X اتنين و F of X واحد يبقى F of
اتنين يساوي الجذر التربيعي اللي 4 في 2 زائد
واحد يعني الجذر التسعة اللي هو بقداش 3 الآن ال
average rate of change اللي هو دلتا F على دلتا
ثيتا Delta Y على Delta X هنا دلتا F على دلتا ثيتا
بده يساوي مين F of اتنين ناقص f of zero على ال 2
ناقص ال zero كلام من التعريف يبقى هذا الكلام بده
يساوي 3 ناقص 1 على 2 ويساوي كده 1
صحيح مثال ثاني كمان وآخر بيقول ما يأتي example
two
consider the curve اعتبر
المنحنى y تساوي x تربيع ناقص 4 x المطلوب الأول
find the slope of
the curve للمنحنى at the point عند النقطة P (1, -3)
نمر بـ Find an equation بدنا معادلة of
the tangent line خط التماس at the point P (1, -3)
سؤال مرة ثانية اعتبر المنحنى f of x أو y يساوي x
تربيع ناقص 4x مطلوب أن يقول لي هاتي ال slope
للمنحنى عند النقطة وهاتي معادلة المماس للمنحنى عند
نفس النقطة يبقى أنا أقول ال slope لل curve بتساوي
ال slope تبع مين؟ تبع ال tangent بدنا نجيب لل slope
تبع مين؟ تبع ال curve يبقى بدنا نجيب للمثال اللي
عندنا ونشوف كيف بدنا نجيب ال slope ل ال curve
اللي عندنا يبقى كتبنا قبل أقل اللي هو delta Y على
delta X يساوي F of قداش X واحد عندي يعني f of x
واحد زائد ال h ناقص f of x واحد على h، مظبوط؟ يبقى
هذا الكلام بده يساوي، بده آجي على الدالة، بده أشيل
كل x وأحط مكانها x واحد زائد ال h ال x واحد عندي
بقداش اللي هو 1، يبقى بده أشيل بدي أشيل 1
زائد h بدي أشيل كل X وأحط مكانها 1 زائد h
لكل تربيع ناقص 4 في 1 زائد h هذا لسه كل
ال term الأول ناقص F of X اللي عندنا هذا يبقى ناقص
F of واحد F of واحد اللي هي مين؟ 1 تربيع ناقص
4 في 1 كل هذا الكلام على كده؟ على H تمام
يبقى هذا الكلام بده يساوي 1 زائد 2 H زائد
ال H تربيع ناقص 4 ناقص 4 H طلع لي هذه سالب
4 وزائد 1 سالب 3 وعندك سالب يبقى موجبة
بتلاتة كله على h، 3 بالموجب و1 بالموجب
4 وسالب 4 مع السلامة، ضال عندي هنا h
تربيع، عندك 2 h وناقص 4 h بناقص 2
h، كله على h لو أخذنا h عامل مشترك بيبقى
ال h ناقص 2 على h يساوي ال h ناقص 2 هذا
مين ال average rate of change هذا بده يساوي ال
average rate of change يعني مين؟ the slope of the
secant مظبوط احنا قلنا لما ال Q تيجي نازلة رايحة
على P إذا H بده تروح لوين؟ ل Zero إذا H راحت ل
Zero بيصبح ال secant معله tangent يبقى بصير مماس و
بصير ميل المماس هو ميل مين؟ ميل المنحنى يبقى بيجي
بيقول له هنا F h راحت لـ Zero get the slope of the
curve اللي هو المطلوب الأول من هنا نمرا a مطلوب
الأول تبع المثال يبقى لما ال H بده تروح لل zero we
get the slope of the curve اللي هو بده يساوي قداش
سالب 2 سالب 2 بالضبط هو الإسلوب the tangent
at line at P (1, -3) صحيح ولا لا؟ قال له
ال slope of the curve هو ال slope of line of the
tangent قال له المطلوب الثاني عندك بدي معادلة
المماس المماس خط مستقيم صحيح ولا لا؟ يبقى بدنا نجيب
معادلة الخط المستقيم بدلالة ميله ونقطة واقعة عليه
صحيح ولا لا؟ يبقى باجي بقول له هنا the equation of
the tangent
Y يساوي M في X ناقص X naught زائد Y naught مش هذه
معادلة الخط المستقيم يبقى بدنا نعوض فيها ونجيب
معادلة ال tangent
بعدين بقول له يبقى Y يساوي الميل سالب 2 X ناقص X
naught قداش ال X naught اللي هو 1 زائد Y naught
يبقى ناقص 3 يبقى بصير Y تساوي ناقص 2 X
زائد 2 ناقص 3 يبقى Y ناقص